Les histogrammes

Introduction1. Définition d’un histogramme2. Étendue (ou amplitude)3. Médiane 4. Nombre de classes5. Intervalles de classe6. Nombre d’éléments par classe7. Fréquence par classe8. Exemple d’histogramme : cas des pesée

des rations alimentaires

Introduction

‘Les feuilles de relevés, aussi précises soient-elles, ne facilitent pas une vision synthétique et opérationnelle, surtout lorsque le nombre de données est important.

Il faut donc opérer des regroupements et des simplifications, quitte à perdre un peu d’informations.

L’histogramme permet notamment de condenser l’information et offre à l’analyse un outil « visuel » intéressant’1.

1. Définition d’un histogramme

Définition : (source : Dictionnaire de la qualité.)« Représenter une série de données pour en visualiser le type de distribution, la tendance centrale et leur dispersion.

L’outil prend habituellement la forme d'un graphique à barres représentant les fréquences d'une série de données réparties en plusieurs classes ou cellules. »

2. Étendue (ou amplitude)

Définition : Source : glossaire statistique de wikipédia

L'étendue d'une série statistique est la différence entre sa valeur la plus haute et sa valeur la plus basse.

•Exemple :

sur une semaine de janvier on relève les températures suivantes : -2 -4 -7 +2 +6 -5 +1.

L' étendue = valeur la plus haute - valeur la plus basse

= (+6)-(-7)= 13

3. Médiane

• En théorie des probabilités et en statistiques, la médiane est un nombre qui divise en deux parties l'échantillon, la population ou la distribution de probabilités tel que chaque partie contient le même nombre de valeurs.

• Dans une liste finie de valeurs, il suffit d'ordonner les valeurs dans un ordre croissant et de choisir la valeur centrale comme médiane.

• La médiane est un paramètre d'une série statistique simple, et plus exactement

un paramètre de position, c'est le nombre qui permet de couper la population étudiée en deux groupes contenant le même nombre d'individus. Ce paramètre est utile pour donner la répartition du caractère étudié, car 50 % environ de la population étudiée a une modalité inférieure à la médiane et 50 % une modalité supérieure à la médiane.

3.1. Exemple de calcul d’une médiane d’une série discrète

Le médiane d'une série statistique rangée dans l'ordre croissant (x1 , x2 , x3 , x4 , ....., xn) est le nombre M défini de la façon suivante :

– Si n = 2p est pair , M est le centre de l'intervalle [xp ; xp+1]

– Si n est impair, M est le nombre xp où p = (n + 1)/2 .

Exemple : on fait une étude statistique sur les 50 notes attribuées par un jury à un examen, voici les résultats obtenus en classant ces notes

par ordre croissant (variable discrète ). n = 50 est pair , il faut donc prendre le centre de [9 ; 10]

Utilisons la colonne des effectifs cumulés pour déterminer la médiane : il y a 50 notes, la  25ème note est 9 et la 26ème : 10. Voila la répartition des notes pour comprendre :

Dans le tableau il n'y a pas de valeur partageant la série statistique en deux groupe de même effectif,( l'effectif total est pair ) dans ce cas l'intervalle médian est [9;10] et on prendre pour médiane le centre de cet intervalle : 9,5

3.2. Exemple de calcul de médiane d’une série continue2

D'après la colonne "effectif cumulé" : 18 personnes  ont moins de 8 30 personnes ont moins de 12 La médiane se trouve donc dans l'intervalle [8;12[ ( appelée classe médiane ) on va la déterminer par interpolation linéaire.

Utilisons la colonne des effectifs cumulés pour déterminer la médiane : il y a 50 notes, 50 % de l'effectif total c'est 25, la médiane est ici la note correspondant à l'effectif cumulé 25.  

Rappel :Dans un triangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle vaut :                                                                                                

La médiane est environ 10,33.50 % environ des personnes ont eu moins de 10,33 et 50 % plus de 10,33 .

4. Nombre de classes dans un histogramme

La première opération est de déterminer le nombre de classes de l’histogramme. Généralement, dans le cadre d’une analyse de ce type, on utilise des classes de largeur identique.

Le nombre de classes dépend du nombre de valeurs N dont on dispose.

Le nombre de classes K peut être déterminé par les formules suivantes :

–

ou plus simplement

–

5. Intervalles de classe

L’amplitude w de l’histogramme est :

L’amplitude h théorique de chaque classe est alors :

Il faut arrondir cette valeur à un multiple de résolution de l’instrument de mesure (arrondi à l'excès).

6. Nombre d’éléments par classe

• L'effectif ni d'une modalité Xi est le nombre d'éléments qui prennent cette modalité dans la distribution observée.

• La somme des effectifs pris par chacune des modalités donne le nombre d'éléments N.

7. Fréquence par classe

• la fréquence fi désigne un nombre d'éléments par rapport à un ensemble plus large auxquels ils appartiennent. fi = n i / N

• Cette fréquence peut s'exprimer en % ou en fraction de 1 ( 1 signifiant 100% de l'ensemble). Elle se calcule en divisant la donnée par le tout.

8. Exemple d’histogramme :cas des pesées des rations alimentaires

Soit la fabrication de rations alimentaires, la pesée des rations Xi avant emballage donne la série de 64 mesures suivantes en

 :

0.547 0.563 0.532 0.521 0.514 0.547 0.578 0.532 0.552 0.526

0.534 0.560 0.502 0.503 0.516 0.565 0.532 0.574 0.521 0.523

0.542 0.539 0.543 0.548 0.565 0.569 0.574 0.596 0.547 0.578

0.532 0.552 0.554 0.596 0.529 0.555 0.559 0.503 0.499 0.526

0.551 0.589 0.588 0.568 0.564 0.568 0.556 0.523 0.526 0.579

0.551 0.584 0.551 0.512 0.536 0.567 0.512 0.553 0.534 0.559

0.498 0.567 0.589 0.579

1. Calculer l’étendue de l’échantillon.2. Calculer le nombre de classe.3. Calculer l’amplitude de la classe.

sachant que la résolution de la balance (la précision) est de 0.001.

4. Rechercher le nombre d’éléments par classe.

5. Calculer les fréquences par classe.6. Tracer l’histogramme. 7. Calculer la médiane

• Les caractéristiques du relevé sont les suivantes :Nombre de l’échantillon N = 64Valeur minimale = 0.498Valeur maximale = 0.596L’étendue = 0.098

• Le nombre de classes est égal à 7 en utilisant la formule avec le logarithme décimal

• L'amplitude de classe est 0,098/7 = 0,014 kg que l'on arrondit à 0,015 kg

• La résolution de la balance est de 0.001

• La valeur minimale de la première classe est donnée par la valeur minimale de la série moins une demi-résolution : 0.498 – (0.001/2) = 0.04975

• Par souci de facilité pour l'interprétation, on peut arrondir cette valeur à 0,495 kg.

= 1 + ((10 log 64) /3) = 7

Recherche du nombre d’éléments par classe

• Classe 1 : [0.495,0.510 [ : n1 = 5 éléments

• Classe 2 : [0.510, 0.525[ : n2 = 8 éléments

• Classe 3 : [0.525,0.540 [ : n3 =12 éléments

• Classe 4 : [0.540,0.555 [ : n4 =14 éléments

• Classe 5 : [0.555,0.570 [ : n5 = 13 éléments

• Classe 6 : [0.570,0.585 [ : n6= 7 éléments

• Classe 7 : [0.585,0.600 [ : n7= 5 éléments

Vérification : la somme des ni = 5 + 8+12+14+13+7+5 =64

Exemple de calcul des fréquences :

• N = 64• Classe 1 = f1 = n1 / N = 5/64 = 0.078 = 7.8%• Classe 2 = f2 = n2 / N = 8/64 = 0.125 = 12.5%• Classe 3 = f3 = n3 / N = 12/64 = 0.1875 = 18.75%• Classe 4 = f4 = n4 / N = 14/64 = 0.219 = 21.9%• Classe 5 = f5 = n5 / N = 13/64 = 0.203 = 20.3%• Classe 6 = f6 = n6 / N = 7/64 = 0.109 = 10.9%• Classe 7 = f7 = n7 / N = 5/64 = 0.078 = 7.8%

Source : On obtient l'histogramme suivant :

Classes Nombre d’échantillons Le Cumul

Classe 1 : [0.495,0.510 [ 5 5

Classe 2 : [0.510, 0.525[ 8 13

Classe 3 : [0.525,0.540 [ 12 25*

Classe 4 : [0.540,0.555 [ 14 39*

Classe 5 : [0.555,0.570 [ 13 52

Classe 6 : [0.570,0.585 [ 7 59

Classe 7 : [0.585,0.600 [ 5 64

il y a 64 échantillons50 % des échantillons c'est 32, La médiane est ici la valeur correspondant au cumul 32.

25 échantillons pèsent moins de 0,54039 échantillons pèsent moins 0,555

25 39

0,555

0,540

32

A

B

MMédiane

Me – 0,540 0,555 – 0,540_________ = ___________

32 - 25 39 – 25

Me = 0,5475

Bibliographie et Webographie

1. Anne Gratacap . Pierre Médan, ‘Management de la production : concepts . Méthodes . Cas, 2ème édition, Dunod

2. Encyclopédie Wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Histogramme