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Les mathématiques grecques :

Euclide et au delà

david.aubin@upmc.fr Alexandrie entre le 1er siècle av. J.-C. et le 1er siècle ap. J.-C. Remarquez le Musée et la Bibliothèque au centre du plan.

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Alexandrie vers 300 av. J.-C.

•  Fondée par Alexandre vers –331. •  Capitale de l’Egypte sous Ptolémée, après la mort d’Alexandre

en –323. •  Ville grecque en Egypte

–  « Tout ce qui peut exister ou se produire sur terre, on le trouve en Egypte: fortune, sport, pouvoir, ciel bleu, gloire, spectacles, philosophes, or fin, jolis garçons, temples des Dieux adelphes, le roi qui est si bon, Musée, vin, toutes les bonnes choses dont on peut avoir envie, et des femmes, tant de femmes » (Hérondas, Mime 1, 26 sq. [3e s. av. J.-C.])

•  Le Musée et la bibliothèque. –  Situé en dehors, mais proche de la ville. Salle ouverte garnie de sièges; déambulatoires; une salle à

manger et dépendances. Le directeur du Musée était un grand prêtre desservant les Muses ou Sérapis.

–  Athénée (né vers 170 ap. J.-C.): « Dans l’Egypte populeuse, on engraisse des scribes, grands amateurs de grimoires, qui se livrent à des querelles interminables dans les volières des Muses ».

•  Euclide, Les Eléments (vers –300): un des plus anciens traités de maths qui nous soit parvenu: d’où vient-il?

Sommaire

•  Retour en arrière: Origine des mathématiques grecques

•  Mathématiques chez les présocratiques –  Thalès de Milet: les premiers théorèmes –  Les pythagoricien et les arts libéraux –  Les Éléates: éviter l’infini

•  Athènes et les mathématiques platoniciennes •  L’école d’Alexandrie

–  Euclide –  Les Éléments.

•  Ce qui n’est pas dans Euclide.

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Origine des mathématiques grecques

•  Une construction idéologique –  Mathématiques pratiques chez les Barbares. –  Liées à la naissance de la « philosophie » chez les Grecs. –  Désintéressement; déduction; démonstration, etc.

•  Une pratique de l�élite –  Peu d�évidence d�une pratique de type « euclidien »

avant le 5e siècle av. J.-C. à Athènes. –  Un très petit nombre de citoyens parfois très fortunés

(sans doute moins de 1000 pour toute l�Antiquité!). –  Une pratique écrite (correspondance) qui s�appuie sur des diagrammes. –  Reconnaissance d�une utilité pratique (dont on se méfie parfois). –  Filiation philosophique revendiquée; une rhétorique de la conviction.

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Les mathématiques et la philosophie

•  Les lieux: Trois écoles (plus une): –  École de Milet –  École de Crotone –  (l’École d’Élée). –  École d’Athènes.

•  Les dates –  D’où nous viennent-

elles? Que faut-il en penser?

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L’école de Milet

•  Thalès (v. –625 à v. –547) – Éclipse de Soleil de mai 585

•  La guerre entre les Mèdes et le Lydiens: « s'étant livré bataille, le jour se changea tout à coup en nuit, pendant que les deux armées en étaient aux mains. Thalès de Milet avait prédit aux Ioniens ce changement, et il en avait fixé le temps en l'année où il s'opéra. Les Lydiens et les Mèdes, voyant que la nuit avait pris la place du jour, cessèrent le combat, et n'en furent que plus empressés à faire la paix » (Hérodote, Histoire).

– Un homme politique, ingénieur : aurait fait détourner un fleuve (toujours selon Hérodote).

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L’école de Milet

•  Thalès (v. –625 à v. –547) – Voyage en Egypte: la hauteur d’une pyramide.

•  «  Ainsi, vous, Thalès, le roi d'Egypte vous admire beaucoup, et […] il a été […] ravi de la manière dont vous avez mesuré la pyramide sans le moindre embarras et sans avoir eu besoin d'aucun instrument. Après avoir dressé votre bâton à l'extrémité de l'ombre que projetait la pyramide, vous construisîtes deux triangles par la tangence d'un rayon, et vous démontrâtes qu'il y avait la même proportion entre la hauteur du bâton et la hauteur de la pyramide qu'entre la longueur des deux ombres. » (Plutarque, Le Banquet des sept sages).

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L’école de Milet

•  Thalès (v. –625 à v. –547) –  4 théorèmes de géométrie

(selon Proclus, Commentaires sur le premier livre d’Euclide):

•  Un cercle est bissecté par tout diamètre.

•  Les angles sur la base d’un triangle isocèle sont égaux.

•  Les angles entre deux droite qui se coupent sont égaux.

•  Deux triangles sont semblables s’ils deux angles et un côté égaux.

–  Selon Diogène Laërce: •  Un angle dans un demi cercle est

droit.

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L’école de Milet

•  Thalès (v. –625 à v. –547) – « Thalès, le fondateur

de cette manière de philosopher, prend l'eau pour principe » (Aristote, Métaphysique)

•  Anaximandre (v. –610 à v. –545) – Astronomie:

la sphère, le gnomon.

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•  Le polos: un des premiers instruments d’observation astronomique

http://www.cairn.info/zen.php?ID_ARTICLE=DHA_342_0065

L’école de Crotone

•  Pythagore (v. –560 à v. –480). –  Chef politique, chamane, mais pas un mathématicien…

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Détail de l’Ecole d’Athène de Raphaël

Manuscrit médiéval

Les pythagoriciens

•  Les nombres comme base de la philosophie. •  Les rapports harmonieux. •  La quadrivium: arithmétique, géométrie,

astronomie, musique. Une légende? •  Somme des angles d’un triangle. •  « Théorème de Pythagore. » •  L’irrationnel. •  Les 5 solides réguliers.

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L’école d’Elée

•  Parménide (v. –544 à v. –450)

•  Zénon (v. –490 à –425).

•  Monisme. –  Tout est un. –  Négation du non-être. –  Négation du mouvement.

•  Les paradoxes. –  Chez Aristote,

La Physique, IV. –  La dichotomie –  L’Achille (page suivante). –  La flèche –  Le stade.

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Éviter l’infini?

Paradoxe d’Achille (et la tortue), selon Aristote, Physique:

« le plus lent à la course ne sera jamais rattrapé par le plus rapide; car celui qui poursuit doit toujours commencer par atteindre le point d’où est parti le fuyard, de sorte que le plus lent a toujours quelque avance. »

« le raisonnement de Zénon suppose à tort que les infinis ne peuvent être parcourus ou touchés chacun successivement en un temps fini. En effet la longueur et le temps, et en général tout continu, sont dits infinis en deux acceptions, soit en division, soit aux extrémités. »

« il semble également impossible que l'infini soit et ne soit pas, il faut évidemment en conclure qu'en un sens l'infini existe et qu'en un sens il n'existe point. »

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Infini actuel et potentiel

Aristote, Métaphysique, livre 9, chap. 6 :

« on ne dit pas de l'infini qu'il est en puissance parce qu'il pourrait avoir effectivement une existence séparée et individuelle, mais seulement parce qu'il peut être conçu comme tel par la pensée. En effet, c'est parce que la division de l'infini ne peut jamais s'arrêter qu'on admet qu'un acte de ce genre est en puissance; mais ce n'est pas parce qu'il est séparé réellement »

Aristote, Physique

1. « nul continu n’est sans partie. » 2. « L’infini se trouve donc être le contraire de ce qu’on dit: en effet, non

pas ce en dehors de quoi il n’y a rien, mais ce en dehors de quoi il y a toujours quelque chose, voilà l’infini. »

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A Athènes

•  Anaxagore (–499 à –428) –  La philosophie à Athènes. –  Explication des éclipses –  Quadrature du cercle.

•  Socrate (–470 à –399). –  « Connais-toi toi-même »

•  Platon (–427 à –347). –  Le Timée. –  L’Académie. –  Aγεωμέτρητος+μηδεὶς+εἰσίτω

« Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ». 

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Hippocrate de Chios

•  Mathématicien et astronome.

•  À Athènes vers – 430. •  Selon Proclus, il aurait

le premier écrit des Éléments.

•  D’Eudème (via Simplicius): le problème des lunules.

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Théorème: L’aire des deux lunules hachurées prises ensembles est égale à l’aire du triangle rectangle ABC.

Platon (vers 428–348 av. J.-C.) « Platon pose alors ce problème aux mathématiciens: Quels sont les mouvements circulaires uniformes et parfaitement réguliers qu’il convient de prendre pour hypothèses, afin que l’on puisse sauver les apparences que les astres errants présentent? » -- Simplicius, Commentaire à la Physique d’Aristote.

•  Le Timée –  origine de l’univers, de

l’homme et de la société –  explication scientifique:

une méthode, un outil

•  Notion de « paradigme »

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La sphère dans le Timée

•  Le Cercle: « Quant à sa figure, il lui a donné celle qui lui convient le mieux et qui a de l’affinité avec lui. Or, au Vivant qui doit envelopper en lui-même tous les vivants, la figure qui convient est celle qui comprend en elle-même toutes les figures possibles. C’est pourquoi le Dieu a tourné le Monde en forme sphérique et circulaire, les distances étant partout égales, depuis le centre jusqu’aux extrémités. C’est là de toutes les figures la plus parfaite et la plus complètement semblable à elle-même. En effet, le Dieu pensait que le semblable est mille fois plus beau que le dissemblable (…). « Je veux dire, afin que le Monde fût aussi semblable que possible au Vivant parfait et intelligible et pour imiter la substance éternelle. »

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Les « triangles » dans le Timée

« Tout animal nouvellement formé, ayant encore des triangles neufs et de l’espèce primitive qui sert comme de base aux autres, retient tous ces éléments dans une union puissante ; toute sa masse est tendre, étant récemment sortie de la moelle et nourrie de lait. Quand il s’assimile les triangles qui lui viennent du dehors, ceux dont ses aliments et ses breuvages se composent ; comme ces triangles sont plus vieux et plus faibles que les siens propres, il l’emporte sur eux, les dissout au moyen de ses triangles neufs, et l’animal grandit en se nourrissant de beaucoup d’éléments semblables aux siens. Mais quand les triangles primitifs perdent leur force à cause des luttes nombreuses qu’ils ont soutenues longtemps contre beaucoup d’autres triangles, ils ne peuvent plus diviser et transformer à leur image les triangles que la nourriture contient : au contraire, ils sont facilement dissous par ceux qui viennent du dehors ; alors tout l’animal cède, il dépérit, et cet état s’appelle la vieillesse. »

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Certains des élèves de Platon sont mathématiciens

•  Théétète (vers –417 à –369). – Un dialogue de Platon: théorie de la science. – Théorie des irrationnels.

•  Eudoxe (vers –408 à –355). – Sphères concentriques en cosmologie. – Théorie des proportions. – Méthode d’exhaustion.

•  Aristote (vers –384 à 322). •  Plusieurs Éléments publiés, perdus.

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Rappel : Euclide, Les Eléments (1)

•  Compilation d’anciens résultats dont peut-être aucun n’est original. L’organisation, elle, l’est sans aucun doute. ≠ l’ensemble des connaissance de l’époque!

•  Les 13 « livres » des Eléments. –  I à VI: les « livres plans » = géométrie plane

•  sf Livre V: les rapports et proportions. –  VII à IX: les « nombres »

•  définitions regroupées au début du livre VII. –  X: le plus long et le plus difficile sur l’in/commensurabilité.

•  les irrationnels de Theaetatus, la théorie des proportions d’Eudoxe. –  XI à XIII: livres « sur les solides ».

•  définitions au début du livre XI. •  les cinq solides platoniciens (cf. Le Timée)

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Euclide, Les Eléments (2)

•  Les premiers livres: la géométrie plane. •  une figure n’a que trois caractéristiques

(cf. les Données) – position: le fait qu’elle occupe un lieu. –  forme : triangles, carrés, cercles ! d’où l’importance des relations de similitude.

–  taille (ou grandeur).

•  ≠ poids, couleur, dureté, mouvement, etc.

Les propositions du livre I des Eléments d’Euclide Arrangée dans un ordre logique, selon Charles Dodgson [Lewis Carroll] 1883.

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Euclide, Les Eléments (3)

•  La géométrie plane: du plus simple au plus complexe. –  Livre I et II: triangles et parallélogrammes. –  Livres III et IV:

cercles et polygones réguliers inscrits dans un cercle.

•  Les principales « opérations » géométriques. –  la « règle » et le « compas » –  dichotomie d’une droite, d’un angle, élévation d’une

perpendiculaire, construction d’une parallèle, etc.

•  Les « grandeurs »: 1° des rapports d’égalité. –  Géométrie plane sans proportion.

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Euclide, Les Eléments (4)

•  Structure de l’exposé mathématique euclidien = un principe d’économie – réduction des éléments considérés – réduction des demandes et des théories utilisées.

•  Ex: les 28 premières prop. du livre I évite le recours au postulat des parallèles.

– exhaustivité et progression. – un seul critère: la logique. ≠  indications doxographiques ou historiques.

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Euclide, Les Eléments (5)

•  Vu en td: •  Structure de l’exposé mathématique euclidien •  Les cas d’égalité des triangles •  Exemple de théorème classique : « Pythagore » •  Théorie des parallèles •  Constructions à la règle et au compas •  Notion de nombre et rapports de grandeurs •  Figures semblables •  « Aires » et « volumes » : la méthode d’exhaustion

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Euclide: Définitions

•  Livre I:

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Euclide: les demandes

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Euclide: les notions communes

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Euclide: la démonstration

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Euclide: rapports et proportions

LIVRE V:

NB. « raison » = λογοσ (logos)

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Euclide: les nombres LIVRE VII:

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Euclide: les « irrationnels »

•  LIVRE X

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Ce qui n’est pas dans Euclide

•  Les trois grands problèmes des mathématiques grecques –  Quadrature du cercle (Artémon de Clazomènes, vers –435). –  Duplication du cube (Hippocrate de Chios, vers –430).

« Eratosthène, dans le livre qui a pour titre le Platonicien, rapporte que les Déliens ayant interrogé l’oracle sur le moyen de se délivrer de la peste, le dieu leur ordonna de construire un autel double de celui qui existait déjà. Ce problème jeta les architectes dans un étrange embarras. Ils se demandaient comment on peut faire un solide double d’un autre. Ils interrogèrent Platon sur la difficulté. Celui-ci leur répondit que le dieu avait ainsi rendu l’oracle, non qu’il eût aucun besoin d’un autel double, mais pour reprocher aux Grecs de négliger l’étude des mathématiques et de faire peu de cas de la géométrie ». [Théon de Smyrne, Philosophe platonicien.]

–  Trisection de l’angle (Hippias d’Elis, vers –425).

•  Mathématiques avancées: –  Archimède, Apollonius et Diophante.

•  Les mathématiques « pratiques » –  Astronomie et musique; optique et mécanique –  Numération; architecture; etc.

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Deux cultures mathématiques

•  Les traités = un « iceberg »? •  Mathématiques pratiques:

– L’abaque occidental = les « calculateurs ». •  Des professionnels (commerce, construction, etc.) •  Archéologie, témoignages, dans les traités néo-

pythagoriciens (Nicomaque, Jamblique)

– Les « arpenteurs »: les « tireurs de corde » •  Mesure d’aires et de volumes •  Des papyrus, mais totalement absents les traités

mathématiques.

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Le papyrus de Vienne (1er siècle ap. J.-C.)

•  « A propos des pierres et des choses nécessaires à la construction d’une maison, tu mesureras le volume selon les règles du géomètre comme suit: la pierre a 5 pieds partout. Fais 5 × 5 ! Cela fait 25. Il s’agit de l’aire de la surface. Multiplie ceci par 5 pour la hauteur. Cela fait 125. La pierre aura autant de pieds et est appelée cube. »

Calcul de l’aire d’un trapèze (Papyrus d’Ayer à Chicago) « Soit donné un trapezoïde scalène tel que celui dessiné plus bas, selon les conditions du problème, le 13 au carré égale 169, et le 15 au carré égale 225. Retirer le 169; le reste est 56. Retirer le 2 du côté supérieur du 16 de la base; le reste est 14. Prendre 1/14 de 56; c'est 4. Cela retiré du 14 laisse 10. La moitié de ceci laisse 10. La moitié de ceci égale 5. Ceci au carré égale 25. Retirer ceci du 169; le reste est 144, dont la racine est 12. Ceci par le 5 de la base égale 60, dont la moitié est 30; de tant d'acres est la surface de chacun des triangles rectangles. Et le 12 par le 2 du côté supérieur égale 24; de tant d'acres est le rectangle intérieur. Et le 12 multiplié par le 4 de la base égale 48; dont la moitié est 24; de tant d'acres est le triangle obtusange. Suit la figure: » Edgar J. Goodspeed, “The Ayer Papyrus,” The American Mathematical Monthly, Vol. 10, No. 5 (May, 1903), pp.133-135 . Cours 2 - 16/9/2016 D. AUBIN - 3H011 38

Platon, Philèbe

« Ne doit-on pas reconnaître qu'il y a une arithmétique pour le vulgaire et une autre propre aux philosophes ? […] Car les uns font entrer dans le même calcul des unités numériques inégales, par exemple, deux armées, deux boeufs, les deux unités les plus petites et les deux unités les plus grandes de toutes, tandis que les autres refusent de les suivre, si l’on n’admet pas que, dans le nombre infini des unités, il n’y a aucune unité qui diffère d’aucune autre unité […] L’art de calculer et de mesurer dans l’architecture et le commerce ne diffère-t-il pas de la géométrie et des calculs qu’élaborent les philosophes ? »

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Platon, La République •  SOCRATE: l'étude [de la logistique et de l'arithmétique ] est nécessaire

au guerrier pour ranger une armée, et au philosophe pour sortir de la sphère du devenir et atteindre l'essence, sans quoi il ne serait jamais arithméticien. […] Il conviendrait donc, Glaucon, de prescrire cette étude par une loi, et de persuader à ceux qui doivent remplir les plus hautes fonctions publiques de se livrer à la science du calcul, non pas superficiellement, mais jusqu'à ce qu'ils arrivent, par la pure intelligence, à connaître la nature des nombres; et de cultiver cette science non pas pour la faire servir aux ventes et aux achats, comme les négociants et les marchands, mais pour l'appliquer à la guerre, et pour faciliter la conversion de l'âme du monde de la génération vers la vérité et l'essence […].

•  S: Et j'aperçois maintenant […] combien [la science des nombres] est belle et utile, sous bien des rapports, à notre dessein, à condition qu'on l'étudie pour connaître et non pour trafiquer. G: Qu'admires-tu donc si fort en elle? S: Ce pouvoir, dont je viens de parler, de donner à l'âme un vigoureux élan vers la région supérieure, et de l'obliger à raisonner sur les nombres en eux-mêmes, sans jamais souffrir qu'on introduise dans ses raisonnements des nombres visibles et palpables.

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Trois sciences des nombres

•  L’arithmétique = la nature des nombres •  La logistique = le calcul à l’aide des nombres •  La numération = la représentation des nombres.

– Deux système de numération chez les Grecs: •  Le système archaïque de l’Attique

•  Le système ionien: ce système ne permet pas de faire des calculs. Les calculs se font à l’aide d’un abaque.

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La logistique

•  L’art de faire des calculs avec les nombres.

•  L’abaque occidental est différent du boulier (=l’abaque oriental)

•  Détail du vase de Darius (provenant de Canossa) Vers – 350. Museo Archeologico Nazionale, Naples

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http://www.encyclopedie-universelle.com/images/abaque-vase-darius-perse-musee-

archeologique-naples-pm.jpg

http://www.iser.uni-erlangen.de/pictures/I9024_02.jpg

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Pratique vs. théorique Énoncés algorithmiques = des « recettes ».

Énoncés démonstratifs = des « preuves » qui n’expliquent pas comment on la trouve.

Liés à des activités pratiques et commerciales.

Liés à la philosophie. Désintéressés: un outil de « distinction » sociale?

Hérités des traditions moyen-orientales (babyloniennes et égyptiennes).

Originaux à la « Grèce » antique: nés à Athènes, chez Thalès ou Pythagore?

Institutionnalisés: des traditions corporatives.

Peu ou pas institutionnalisés? Communication passant par l’écrit; enseignement classique basique.

Des figures géométriques utilisant les lettres; Un langage standardisé et impersonnel;

Des mots et procédures communes.

La machine d’Anticythère

•  Datée de – 150 à – 100 env. •  Découverte en 1900,

aujourd’hui au Musée archéologique d’Athènes.

•  Une machine sophistiquée pour calculer le mouvement des planètes de manière analogique. –  Plus de 30 roues dentées en

bronze. –  Un modèle des cycles solaires et

lunaires selon Hipparque?

•  http://www.antikythera-mechanism.gr/

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