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LES NOMBRES COMPLEXES
Table des matieres
1 Ecriture algebrique d’un nombre complexe 2
1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Somme, produit et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Equation dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Representation geometrique d’un nombre complexe 4
2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Somme et oppose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Conjugue d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Operations ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Ecriture trigonometrique d’un nombre complexe 7
3.1 Definition d’un argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Definition de l’ecriture trigonometrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.5 Theoreme : ecritures trigonometrique et algebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Theoreme : l’argument du produit est egal la somme des arguments. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.7 Theoreme : l’argument d’un quotient est egal la difference des arguments. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.8 Formule de Moivre. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Ecriture exponentielle d’un nombre complexe 10
4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
Dans ce chapitre le plan est rapporte a un repere orthonormal (O;−→e1 ,−→e2)
1 Ecriture algebrique d’un nombre complexe
1.1 Definitions
– L’ensemble des nombres de la forme a+ i b , ou a et b sont des reels et i est tel que i2 = −1 , est appele ensemble des
nombres complexes. On le note C.
Les proprietes des operations addition et multiplication dans R se prolongent dans C.
– L’ecriture z = a+ i b est la forme algebrique du nombre complexe z.
a est la partie reelle de z, b sa partie imaginaire.
On note Re(z) = a, Im(z) = b.
R est une partie de C, R contient les nombres complexes dont la partie imaginaire b est nulle.
– Tout nombre complexe dont la partie reelle a est nulle est appele nombre imaginaire pur.
Exemple 1
z = −3 + 2 i, Re(z) = −3, Im(z) = 2
1.2 Proprietes
– Deux nombres complexes sont egaux si et seulement si ils ont la meme partie reelle et la meme partie imaginaire.
– 0 est considere la fois comme un reel et un imaginaire pur.
1.3 Somme, produit et inverse
Soient z = a+ i b et z′ = a′ + i b′ deux nombres complexes.
z + z′ = (a+ a′) + i (b+ b′) , z × z′ = (aa′ − bb′) + i (ab′ + a′b) , (z 6= 0),1
z=
a
a2 + b2− i
b
a2 + b2.
Demonstration 1
– z × z′ = (a+ i b)(a′ + i b′) = aa′ + i ab′ + i a′b+ i2bb′ = aa′ − bb′ + i(ab′ + a′b)
–1
z=
1
a+ i b=
a− i b
(a+ i b)(a− i b)=
a− i b
a2 − (ib)2=
a− i b
a2 − (−1)b2=
a− i b
a2 + b2
Exemple 2
La forme algebrique de :1
3 + i√3
est1
3 + i√3=
3− i√3
9 + 3=
1
4− i
√3
12.
1.4 Equation dans C
Theoreme
Soit l’equation a z2 + b z + c = 0 . ou a, b et c sont des reels, a non nul, ∆ = b2 − 4ac est le discriminant.
– Si ∆ = 0 l’equation admet un unique solution : z =−b
2a.
– Si ∆ > 0 l’equation admet deux solutions reelles : z1 =−b−
√∆
2aet z2 =
−b+√∆
2a.
– Si ∆ < 0 l’equation admet deux solutions complexes : z1 =−b− i
√−∆
2aet z2 =
−b+ i√−∆
2a.
Geometrie 1 Page 2 Francis Rignanese
Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
Demonstration 2
a z2 + b z + c = a
[
z2 +b
az +
c
a
]
= a
[
(
z +b
2a
)2
− b2
4a2+
c
a
]
= a
[
(
z +b
2a
)2
− b2
4a2+
4ac
4a2
]
Donc a z2 + b z + c = a
[
(
z +b
2a
)2
− b2 − 4ac
4a2
]
= a
[
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2
]
.
– Si ∆ = 0 alors a z2 + b z + c = a
[
(
z +b
2a
)2]
Et a etant non nul on doit avoir
(
z +b
2a
)2
= 0 ou z = − b
2a
– Si ∆ > 0 alors a z2 + b z + c = a
(
z +b
2a
)2
−
(√∆)2
4a2
= a
(
z +b
2a
)2
−(√
∆
2a
)2
Et a etant non nul on doit avoir
(
z +b
2a
)2
−(√
∆
2a
)2
= 0 ou
(
z +b
2a+
√∆
2a
)(
z +b
2a−
√∆
2a
)
= 0
Ou encore
(
z − −b−√∆
2a
)(
z − −b+√∆
2a
)
= 0
– Si ∆ < 0, alors ∆ =(
i√−∆
)2
Et a etant non nul on doit avoir
(
z +b
2a
)2
−(
i√−∆
2a
)2
= 0 ou
(
z +b
2a+
i√−∆
2a
)(
z +b
2a− i
√−∆
2a
)
= 0
Ou encore
(
z − −b− i√−∆
2a
)(
z − −b+ i√−∆
2a
)
= 0
Exemple 3
France juin 2007
On considere l’equation :
(E) z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = 0
ou z est un nombre complexe.
1. Demontrer que le nombre complexe i est solution de cette equation.
2. Determiner les nombres reels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :
z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i)(
az2 + bz + c)
.
3. En deduire les solutions de l’equation (E).
Soit (E) l’equation z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = 0.
1. On a : i3 − (4 + i)i2 + (13 + 4i)i− 13i = −i + 4 + i− 4 + 13i− 13i = 0 donc i est solution de (E).
2. (z − i)(az2 + bz + c) = az3 + (b − ai)z2 + (c− bi)z − ic.
Deux polynomes sont egaux si et seulement si les coefficients sont egaux. On obtient le systeme :
a = 1
b− ai = −4− i
c− bi = 13 + 4i
−ic = −13i
⇔
a = 1
c = 13
b− i = −4− i
13− bi = 13 + 4i
⇔
a = 1
b = −4
c = 13
donc z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i)(z2 − 4z + 13).
3. L’equation (E) s’ecrit (z − i)(z2 − 4z + 13) = 0.
Dans C, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Geometrie 1 Page 3 Francis Rignanese
Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
(a) z − i = 0 ⇔ z = i
(b) z2 − 4z + 13 = 0.
∆ = −36 = (6i)2 < 0. Il y a deux racines complexes conjuguees4− 6i
2= 2− 3i et 2 + 3i.
L’ensemble des solutions est : S = {i ; 2− 3i ; 2 + 3i}
2 Representation geometrique d’un nombre complexe
2.1 Definitions
Soit M un point de coordonnees (x; y).
Le nombre complexe z = x+ i y est appel affixe du point M.
Le point M est appele image du nombre complexe z.
On note M(z) le point d’affixe z.
Remarques
– Le nombre complexe z est aussi l’affixe du vecteur−−→OM .
– Le vecteur−−→OM est aussi l’image du nombre complexe z.
– Le plan muni du repere orthonormal direct (O;−→e1 ,−→e2) est appel plan com-
plexe.
x
y
b
O −→e1
−→e2
bM (z)
b
b
2.2 Somme et oppose
1. Soit M et P deux points d’affixe z = x+ i y et z′ = x′ + i y′.
Le point S defini par−→OS =
−−→OM +
−−−→OM ′ a pour affixe z+ z′.
2. Le point T defini par−→OT = −−−→
OM a pour affixe −z.
3. l’affixe du vecteur−−−→MM ′ est z′ − z.
b
O −→e1
−→e2
bM(z)
bM
′(z′)
bS(z + z
′)
b
T (−z)
Exemple 4
La reunion 2007
A, B, C designent les points d’affixes respectives a = −2√3, b =
√3− 3i et c = 2i.
On designe par E le barycentre du systeme {(A ; 1) ; (C ; 3)}.Etablir l’affixe du point E .
Par definition−−→OE =
1
4
(−→OA+ 3
−−→OC)
⇔ zE =1
4× a+
3
4× c =
1
4× (−2
√3) +
3
4× 2 i = −
√3
2+
3
2i.
2.3 Conjugue d’un nombre complexe
2.3.1 Definitions
Le conjugue du nombre complexe z = x+ i y est le nombre complexe z = x− iy .
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Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
2.3.2 Proprietes
– z + z = 2×Re(z), z − z = 2 i × Im(z).
– z est un nombre rel si et seulement si z = z . z est un imaginaire pur si et seulement si z = −z.
– Si z = x+ i y alors zz = x2 + y2.
2.4 Operations ROC
Theoreme
Soient les nombres complexes z = x+ i y et z′ = x′ + i y′.
– z + z′ = z + z′, z − z′ = z − z′, z × z′ = z × z′.
–
(
1
z
)
=1
z
–( z
z′
)
=z
z′
– λ tant un rel, (λ× z) = λ× z
– (zn) = (z)n, n entier naturel.
Demonstration 3
On pose z = x+ i y, z′ = x′ + i y′.
– z+ z′ = (x+ i y) + (x′ + i y′) = (x+ x′) + i (y+ y′), et z + z′ = (x− i y) + (x′ − i y′) = (x+ x′)− i (y+ y′) = z + z′
– z− z′ = (x+ i y)− (x′ + i y′) = (x− x′) + i (y− y′), et z − z′ = (x− i y)− (x′ − i y′) = (x− x′)− i (y− y′) = z − z′
– z × z′ = (xx′ − yy′) + i (xy′ + x′y) et z × z′ = (x− i y)(x′ − i y′) = (xx′ − yy′)− i (xy′ + x′y) = (z × z′)
–1
z=
1
x+ i y=
x
x2 + y2− i
y
x2 + y2et
1
z=
1
x− i y=
x+ i y
x2 + y2=
x
x2 + y2+ i
y
x2 + y2=
(
1
z
)
–( z
z′
)
=
(
z × 1
z′
)
= z ×(
1
z′
)
= z × 1
z′=
z
z′
– (λ× z) = λ× z = λ× z, λ etant reel : λ = λ.
– Montrons par recurrence la propriete : Pn : (zn) = (z)n
• Pour n = 0, (z0) = 10 = 1 = 1 et (z)0= 1
• On suppose la propriete vraie au rang n, autrement dit : (zn) = (z)n
.
Montrons qu’elle est vraie au rang suivant n+ 1.
(zn+1) = (zn × z) = (zn)× z = (z)n × z = (z)n+1
• La propriete est vraie au rang O, et si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n+ 1.
Elle est donc vraie pour tout n entier naturel.
Exemple 5
France juin 2006
On considere le plan complexe P rapporte a un repere orthonormal direct (O;−→e1 ,−→e2).M est un point du plan P distinct de O et des points d’affixes 1 et i. On admet de meme que M ′ est distinct de ces trois
points.
Etablir l’egalitez′ − 1
z′ − i=
1
i
(
z − 1
z + i
)
= −i
(
z − 1
z − i
)
.
Geometrie 1 Page 5 Francis Rignanese
Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
Pour tout z 6= 0 :
z′ − 1
z′ − i=
1
z− 1
1
z− i
=
1− z
z1− i z
z
=1− z
1− iz=
1− z
i(−i− z)=
1
i× z − 1
z + i=
1
i× z − 1
z − i=
1
i
(
z − 1
z − i
)
= −i
(
z − 1
z − i
)
2.5 Module d’un nombre complexe
2.5.1 Definition
Soit M un point du plan d’affixe z. On appelle module du nombre complexe z la distance OM . On le note |z| = OM .
2.5.2 Proprietes
Soit M et M ′ deux points d’affixes respectives les nombres complexes z et z′ .
• Si z = x+ i y alors |z| =√
x2 + y2
• |z| = |z| , z × z = x2 + y2 =⇒ |z| =√z × z
• |z × z′| = |z| × |z′|,∣
∣
∣
∣
1
z
∣
∣
∣
∣
=1
|z| ,∣
∣
∣
z
z′
∣
∣
∣=
|z||z′| .
• MM ′ = |z′ − z|.
• |z + z′| ≤ |z|+ |z′|
• |zn| = |z|n, n entier naturel.
Demonstration 4
• Si z = x+ i y alors le point M pour coordonnes (x; y) et donc |z| = OM =√
x2 + y2
• z × z = (x+ i y)(x− i y) = x2 − (i y)2 = x2 − (−y2) = x2 + y2
• Nous avons vu que |z| =√z × z,
d’ou |z × z′| =√
zz′ × (zz′) =√
z × z′ × z × z′ =√
(z × z)× (z′ × z′) =√z × z ×
√
z′ × z′ = |z| × |z′|
De meme
∣
∣
∣
∣
1
z
∣
∣
∣
∣
=
√
1
z×(
1
z
)
=
√
1
z× 1
z=
√
1
z × z=
1√z × z
=1
|z|∣
∣
∣
z
z′
∣
∣
∣=
∣
∣
∣
∣
z × 1
z′
∣
∣
∣
∣
= |z| ×∣
∣
∣
∣
1
z′
∣
∣
∣
∣
= |z| × 1
|z′| =|z||z′| .
• |z + z′| ≤ |z|+ |z′|
Soit les points M et M’ d’affixes respectives z et z′.
P est le symetrique de M’ par rapport l’origine du repere O.
P a donc pour affixe −z′.
On a ainsi PM ≤ PO + OM . Mais PO = OM ′ d’o PM ≤ OM ′ + OM .
Autrement dit |z + z′| ≤ |z|+ |z′|.
b
O
bMbM
′
b
P
• On demontre par recurrence la propriete :|zn| = |z|n, n entier naturel.
– Si n = 0,∣
∣z0∣
∣ = 1 et |z|0 = 1
Geometrie 1 Page 6 Francis Rignanese
Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
– On suppose la propriete vraie au rang n autrement dit, |zn| = |z|n
On a alors∣
∣zn+1∣
∣ = |zn × z| = |zn| × |z| = |z|n × |z| = |z|n+1
– On a montre que la propriete est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n+ 1.
Cette propriete est donc vraie pour tout n entier naturel.
• L’affixe du vecteur−−−→MM ′ est z′ − z d’ou MM ′ = |z′ − z|.
Exemple 6
Polynesie juin 2006
On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considere l’application f qui, a tout point
M different du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M ′ d’affixe z′ definie par
z′ =z − 1
z + 1
1. Determiner les points invariants def c’est-a-dire les points M tels que M = f(M).
2. Montrer que, pour tout nombre complexe z different de −1, (z′ − 1) (z + 1) = −2.
3. En deduire une relation entre |z′ − 1| et |z + 1| , pour tout nombre complexe z different de −1.
4. Traduire ces deux relations en termes de distances.
1. Si z 6= −1, z =z − 1
z + 1⇐⇒ z(z + 1) = z − 1 ⇐⇒ z2 + z = z − 1 ⇐⇒ z2 = −1 ⇐⇒ z = i ou z = −i.
Les points invariants par f sont les deux points d’affixes i et −i
2. z 6= −1, (z′ − 1)(z + 1) =
(
z − 1
z + 1− 1
)
(z + 1) =
(
z − 1− z − 1
z + 1
)
(z + 1) = z − 1− z − 1 = −2.
3. L’egalite de ces deux complexes entraıne l’egalite de leurs modules
Soit (z′ − 1)(z + 1)| = | − 2| ⇐⇒ |z′ − 1| × |z + 1| = 2 ⇐⇒ AM ′ × BM = 2.
3 Ecriture trigonometrique d’un nombre complexe
3.1 Definition d’un argument d’un nombre complexe
Soit M un point d’affixe le nombre complexe z non nul.
On appelle argument de z tous les reels θ, mesure en radians de
l’angle(−→e1 ;
−−→OM
)
.
On note arg(z) = θ + 2kπ, k ∈ Z ou arg(z) = θ [2π] (modulo [2π] ).
Autrement dit, un nombre complexe non nul a une infinite d’arguments.
Si θ est l’un d’entre eux, tout autre argument de z s’crit θ + 2kπ.
On dit aussi qu’un argument de z est defini modulo 2π.
θb
O
bM
−→e1
−→e2
3.2 Remarque
Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument car la definition arg(z) =(−→e1 ;
−−→OM
)
suppose M 6= 0.
Geometrie 1 Page 7 Francis Rignanese
Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
3.3 Proprietes
1. Si z est un rel strictement positif alors arg(z) = 0 [2π].
2. Si z est un rel strictement negatif alors arg(z) = π [2π].
3. Si z est un imaginaire pur non nul alors arg(z) =π
2[π].
4. Si arg(z) = θ [2π] alors arg(−z) = θ + π [2π]
5. Si arg(z) = θ [2π] alors arg (z) = −θ [2π].
−θ
θ + π θ
b
O
bA
−→e1
−→e2
bB
bC
3.4 Definition de l’ecriture trigonometrique d’un nombre complexe
Tout nombre complexe z non nul, de module r et dont un argument est θ, peut
s’ecrire z = r (cos(θ) + i sin(θ)) .
Cette ecriture est appelee ecriture trigonometrique du nombre complexe z.
3.5 Theoreme : ecritures trigonometrique et algebrique
Soit z = x+ i y un nombre complexe non nul.
On a z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))
avec cos(θ) =x
√
x2 + y2et sin(θ) =
y√
x2 + y2.
Reciproquement :
si z = r (cos(θ) + i sin(θ)) , r > 0 alors |z| = r et arg(z) = θ [2π].
x
y
θ
(z)
r
b
O
bM
b
N
cos(θ)
sin(θ)
Demonstration 5
z = x+ i y =√
x2 + y2
(
x√
x2 + y2+
y√
x2 + y2
)
= |z|(cos θ + i sin θ)
3.6 Theoreme : l’argument du produit est egal la somme des arguments. ROC
Soit z de module r et d’argument θ, z′ de module r′ et d’argument θ′ deux nombres complexes non nuls.
arg(z × z′) = arg(z) + arg(z′)
.
Demonstration 6
On ecrit z = r(cos θ + i sin θ) et z′ = r′(cos θ′ + i sin θ′)
On a alors z × z′ = r(cos θ + i sin θ)× r′(cos θ′ + i sin θ′) = r r′ (cos θ + i sin θ)× (cos θ′ + i sin θ′)
D’o z × z′ = r r′ (cos θ cos θ′ + i cos θ sin θ′ + i sin θ cos θ′ − sin θ sin θ′)
Soit z × z′ = r r′ [cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(sin θ cos θ′ + cos θ sin θ′)] = r r′ [cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′)]
Autrement dit multiplier deux nombres complexes non nuls revient multiplier les modules et ajouter les arguments.
3.7 Theoreme : l’argument d’un quotient est egal la difference des arguments. ROC
Soit z et z′ deux nombres complexes non nuls.
On a arg
(
1
z
)
= −arg(z) et arg( z
z′
)
= arg(z)− arg(z′) .
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Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
Demonstration 7
• z × 1
z= 1 et donc arg
(
z × 1
z
)
= arg(1)
Or arg
(
z × 1
z
)
= arg(z) + arg
(
1
z
)
et arg(1) = 0.
Et donc arg(z) + arg
(
1
z
)
= 0
• On a arg(z × z′) = arg(z)×(
1
z′
)
= arg(z) + arg
(
1
z
)
= arg(z)− arg(z′)
3.8 Formule de Moivre. ROC
Soit z = r(cos θ + i sin θ) et n un entier naturel. On a zn = rn (cos(n θ) + i sin(n θ)) .
Autrement dit
• |zn| = |z|n
• arg (zn) = n× arg(z)
Demonstration 8
On demontre par recurrence la propriete : zn = rn (cos(n θ) + i sin(n θ)).
• Si n = 0, z0 = 1 et rn (cos(n θ) + i sin(n θ)) = r0 (cos(0) + i sin(0)) = 1
• On suppose la propriete vraie au rang n autrement dit, zn = rn (cos(n θ) + i sin(n θ)), ou
|zn| = |z|n, et arg (zn) = n× arg(z)
*∣
∣zn+1∣
∣ = |zn × z| = |zn| × |z| = |z|n × |z| = rn × r = rn+1.
* arg(
zn+1)
= arg (zn × z) = arg (zn) + arg(z) = n× arg(z) + arg(z) = (n+ 1)× arg(z).
* Autrement dit zn+1 = rn+1 [cos ((n+ 1) θ) + i sin ((n+ 1) θ)].
• On a montre que la propriete est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n + 1. Cette
propriete est donc vraie pour tout n entier naturel
Exemple 7
La reunion sept 2007
Soit les nombres complexes : z1 =√2 + i
√6, z2 = 2 + 2i et Z =
z1
z2.
1. Ecrire Z sous forme algebrique.
2. Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z.
3. En deduire cosπ
12et sin
π
12.
4. Ecrire sous forme algebrique le nombre complexe Z2007.
1. Z =z1
z2=
√2 + i
√6
2 + 2i=
(2 − 2 i)(√2 + i
√6)
22 + 22=
2√2 + i 2
√6− 2
√2ı− 2 i2
√6
8=
2√6 + 2
√2
8+ i
2√6− 2
√2
8.
Et donc Z =
√6 +
√2
4+ i
√6−
√2
4.
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Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
2. – z1 =√2 + i
√6, |z1| =
√2 + 6 =
√8 = 2
√2.
D’o z1 = 2√2
( √2
2√2+ i
√6
2√2
)
= 2√2
(
1
2+ i
√3
2
)
.
Et donc cos θ =1
2et sin θ =
√3
2. Soit θ =
π
3[2π].
– z2 = 2 + 2i, |z2| =√
22 + 22 =√8 = 2
√2.
D’o z2 = 2√2
(
2
2√2+ i
2
2√2
)
= 2√2
(
1√2+ i
√2√2
)
= 2√2
(√2
2+ i
√2
2
)
.
Et donc cos θ =
√2
2et sin θ =
√2
2. Soit θ =
π
4[2π].
– Z =z1
z2, donc |Z| = |z1|
|z2|=
2√2
2√2= 1.
Et arg(Z) = arg
(
z1
z2
)
= arg(z1)− arg(z2) =π
3− π
4=
π
12[2π].
3. Z = cos( π
12
)
+ i sin( π
12
)
=
√6 +
√2
4+ i
√6−
√2
4.
Et donc cos( π
12
)
=
√6 +
√2
4et sin
( π
12
)
=
√6−
√2
4.
4. D’apres la formule de Moivre : Z2007 = cos(
2007× π
12
)
+ i sin(
2007× π
12
)
.
Or2007 π
12=
1992 π
12+
15 π
12= 166 π +
15 π
12= 83× 2 π +
5 π
4.
Et donc Z2007 = cos
(
5 π
4
)
+ i sin
(
5 π
4
)
Or cos
(
5 π
4
)
= cos(
π +π
4
)
= − cos(π
4
)
= −√2
2, sin
(
5 π
4
)
= sin(
π +π
4
)
= − sin(π
4
)
= −√2
2
D’o Z2007 = −√2
2− i
√2
2
4 Ecriture exponentielle d’un nombre complexe
On considere la fonction f definie sur R et valeurs dans C par f(θ) = cos θ + i sin θ, θ rel.
Ainsi f(θ + θ′) = cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′).
f(θ) a pour module 1 et argument θ
f(θ′) a pour module 1 et argument θ′
f(θ)× f(θ′) a pour module 1 et argument θ + θ′
Mais aussi f(θ + θ′) a pour module 1 et argument θ + θ′
Donc f(θ + θ′) = f(θ)× f(θ′) (meme module et meme argument)
De plus f(0) = cos 0 + i sin 0 = 1.
La fonction f verifie les proprietes d’une fonction exponentielle, soit f(θ) = eiθ.
4.1 Definition
– Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est θ est not eiθ.
– Si z est un nombre complexe de module r et d’argument θ on ecrit z = r eiθ.
Autrement dit eiθ = cos θ + i sin θ
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Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes
4.2 Remarque
1. ei 0 = 1, eiπ
2 = i, eiπ = −1, eiπ
4 =
√2
2+ i
√2
2.
2. eiθ × eiθ′
= ei(θ+θ′),eiθ
eiθ′= ei(θ−θ′)
3. Formule de Moivre :(
eiθ)n
= ei n θ.
4.3 Formules d’Euler
eiθ = cos θ + i sin θ
e−iθ = cos θ − i sin θdonne cos θ =
eiθ + e−iθ
2et sin θ =
eiθ − e−iθ
2 i
Exemple 8
Antilles juin 2005
Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe −1.
Soit f l’application du plan P prive de O dans P qui :
a tout point M d’affixe z distinct de O associe le point M ′ = f(M) d’affixe z′ =−1
z.
1. Soit E le point d’affixe eiπ
3 ; on appelle E′ son image par f . Determiner l’affixe de E′ sous forme exponentielle, puis
sous forme algebrique.
2. Soit K le point d’affixe 2ei5π
6 et K ′ l’image de K par F .
Determiner l’affixe de K ′ sous forme exponentielle, puis sous forme algebrique..
3. On designe par R un point d’affixe 1 + eiθ ou θ ∈]− π ; π[. R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.
(a) Montrer que z′ + 1 =z − 1
z.
En deduire que : |z′ + 1| = |z′|.
(b) Si on considere maintenant les points d’affixe 1 + eiθ ou θ ∈]− π ; π[, montrer que leurs images sont situees sur
une droite. On pourra utiliser le resultat du a..
1. L’affixe E′ est −1
eiπ
3
= − 1
e−iπ
3
= −eiπ
3 = eiπeiπ
3 = ei4π
3 = −1
2− i
√3
2
2. L’affixe de K ′ est−1
2ei5π
6
=−1
2e−i5π
6
=−1
2ei
5π
6 =1
2eiπei
5π
6 =1
2ei
11π
6 =
√3
2− 1
2i
3. (a) On a : z′ + 1 =− 1
z+ 1 =
z − 1
z. Donc |z′ + 1| =
|z − 1||z|
Comme R est un point du cercle de centre A, d’affixe 1, et de rayon 1, alors :
|z − 1| = 1 ⇔ |z − 1| = 1 ⇔ |z − 1| = 1. Donc, |z′ + 1| =1
|z| =∣
∣
∣
∣
1
z
∣
∣
∣
∣
= |z′|
(b) Comme |z′ + 1| = |z′|, alors BR’=OR’ car B a pour affixe -1, donc R’ appartient la mediatrice du segment [OB].
Ainsi l’image de R, point distinct de O, appartenant au cercle C3 de centre A et de rayon 1 est sur une droite : la
mediatrice du segment [OB] .
Geometrie 1 Page 11 Francis Rignanese
