LES NOMBRES COMPLEXES - frignanese.free.frfrignanese.free.fr/pages/ts/geometrie/cours/nbrecomplex.pdf · 3.8 Formule de Moivre. ... – Tout nombre complexe dont la partie r´eelle

LES NOMBRES COMPLEXES

Table des matieres

1 Ecriture algebrique d’un nombre complexe 2

1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Somme, produit et inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Equation dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Representation geometrique d’un nombre complexe 4

2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Somme et oppose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Conjugue d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Operations ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Ecriture trigonometrique d’un nombre complexe 7

3.1 Definition d’un argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Definition de l’ecriture trigonometrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5 Theoreme : ecritures trigonometrique et algebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.6 Theoreme : l’argument du produit est egal la somme des arguments. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.7 Theoreme : l’argument d’un quotient est egal la difference des arguments. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.8 Formule de Moivre. ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Ecriture exponentielle d’un nombre complexe 10

4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3 Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1

Les nombres complexes Lycee Marie Curie de Tarbes

Dans ce chapitre le plan est rapporte a un repere orthonormal (O;−→e1 ,−→e2)

1 Ecriture algebrique d’un nombre complexe

1.1 Definitions

– L’ensemble des nombres de la forme a+ i b , ou a et b sont des reels et i est tel que i2 = −1 , est appele ensemble des

nombres complexes. On le note C.

Les proprietes des operations addition et multiplication dans R se prolongent dans C.

– L’ecriture z = a+ i b est la forme algebrique du nombre complexe z.

a est la partie reelle de z, b sa partie imaginaire.

On note Re(z) = a, Im(z) = b.

R est une partie de C, R contient les nombres complexes dont la partie imaginaire b est nulle.

– Tout nombre complexe dont la partie reelle a est nulle est appele nombre imaginaire pur.

Exemple 1

z = −3 + 2 i, Re(z) = −3, Im(z) = 2

1.2 Proprietes

– Deux nombres complexes sont egaux si et seulement si ils ont la meme partie reelle et la meme partie imaginaire.

– 0 est considere la fois comme un reel et un imaginaire pur.

1.3 Somme, produit et inverse

Soient z = a+ i b et z′ = a′ + i b′ deux nombres complexes.

z + z′ = (a+ a′) + i (b+ b′) , z × z′ = (aa′ − bb′) + i (ab′ + a′b) , (z 6= 0),1

z=

a

a2 + b2− i

b

a2 + b2.

Demonstration 1

– z × z′ = (a+ i b)(a′ + i b′) = aa′ + i ab′ + i a′b+ i2bb′ = aa′ − bb′ + i(ab′ + a′b)

–1

z=

1

a+ i b=

a− i b

(a+ i b)(a− i b)=

a− i b

a2 − (ib)2=

a− i b

a2 − (−1)b2=

a− i b

a2 + b2

Exemple 2

La forme algebrique de :1

3 + i√3

est1

3 + i√3=

3− i√3

9 + 3=

1

4− i

√3

12.

1.4 Equation dans C

Theoreme

Soit l’equation a z2 + b z + c = 0 . ou a, b et c sont des reels, a non nul, ∆ = b2 − 4ac est le discriminant.

– Si ∆ = 0 l’equation admet un unique solution : z =−b

2a.

– Si ∆ > 0 l’equation admet deux solutions reelles : z1 =−b−

√∆

2aet z2 =

−b+√∆

2a.

– Si ∆ < 0 l’equation admet deux solutions complexes : z1 =−b− i

√−∆

2aet z2 =

−b+ i√−∆

2a.

Geometrie 1 Page 2 Francis Rignanese


Demonstration 2

a z2 + b z + c = a

[

z2 +b

az +

c

a

]

= a

[

(

z +b

2a

)2

− b2

4a2+

c

a

]

= a

[

(

z +b

2a

)2

− b2

4a2+

4ac

4a2

]

Donc a z2 + b z + c = a

[

(

z +b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a2

]

= a

[

(

z +b

2a

)2

− ∆

4a2

]

.

– Si ∆ = 0 alors a z2 + b z + c = a

[

(

z +b

2a

)2]

Et a etant non nul on doit avoir

(

z +b

2a

)2

= 0 ou z = − b

2a

– Si ∆ > 0 alors a z2 + b z + c = a

(

z +b

2a

)2

−

(√∆)2

4a2

= a

(

z +b

2a

)2

−(√

∆

2a

)2


(

z +b

2a

)2

−(√

∆

2a

)2

= 0 ou

(

z +b

2a+

√∆

2a

)(

z +b

2a−

√∆

2a

)

= 0

Ou encore

(

z − −b−√∆

2a

)(

z − −b+√∆

2a

)

= 0

– Si ∆ < 0, alors ∆ =(

i√−∆

)2


(

z +b

2a

)2

−(

i√−∆

2a

)2

= 0 ou

(

z +b

2a+

i√−∆

2a

)(

z +b

2a− i

√−∆

2a

)

= 0

Ou encore

(

z − −b− i√−∆

2a

)(

z − −b+ i√−∆

2a

)

= 0

Exemple 3

France juin 2007

On considere l’equation :

(E) z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = 0

ou z est un nombre complexe.

1. Demontrer que le nombre complexe i est solution de cette equation.

2. Determiner les nombres reels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait :

z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i)(

az2 + bz + c)

.

3. En deduire les solutions de l’equation (E).

Soit (E) l’equation z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = 0.

1. On a : i3 − (4 + i)i2 + (13 + 4i)i− 13i = −i + 4 + i− 4 + 13i− 13i = 0 donc i est solution de (E).

2. (z − i)(az2 + bz + c) = az3 + (b − ai)z2 + (c− bi)z − ic.

Deux polynomes sont egaux si et seulement si les coefficients sont egaux. On obtient le systeme :

a = 1

b− ai = −4− i

c− bi = 13 + 4i

−ic = −13i

⇔

a = 1

c = 13

b− i = −4− i

13− bi = 13 + 4i

⇔

a = 1

b = −4

c = 13

donc z3 − (4 + i)z2 + (13 + 4i)z − 13i = (z − i)(z2 − 4z + 13).

3. L’equation (E) s’ecrit (z − i)(z2 − 4z + 13) = 0.

Dans C, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.



(a) z − i = 0 ⇔ z = i

(b) z2 − 4z + 13 = 0.

∆ = −36 = (6i)2 < 0. Il y a deux racines complexes conjuguees4− 6i

2= 2− 3i et 2 + 3i.

L’ensemble des solutions est : S = {i ; 2− 3i ; 2 + 3i}

2 Representation geometrique d’un nombre complexe

2.1 Definitions

Soit M un point de coordonnees (x; y).

Le nombre complexe z = x+ i y est appel affixe du point M.

Le point M est appele image du nombre complexe z.

On note M(z) le point d’affixe z.

Remarques

– Le nombre complexe z est aussi l’affixe du vecteur−−→OM .

– Le vecteur−−→OM est aussi l’image du nombre complexe z.

– Le plan muni du repere orthonormal direct (O;−→e1 ,−→e2) est appel plan com-

plexe.

x

y

b

O −→e1

−→e2

bM (z)

b

b

2.2 Somme et oppose

1. Soit M et P deux points d’affixe z = x+ i y et z′ = x′ + i y′.

Le point S defini par−→OS =

−−→OM +

−−−→OM ′ a pour affixe z+ z′.

2. Le point T defini par−→OT = −−−→

OM a pour affixe −z.

3. l’affixe du vecteur−−−→MM ′ est z′ − z.

b

O −→e1

−→e2

bM(z)

bM

′(z′)

bS(z + z

′)

b

T (−z)

Exemple 4

La reunion 2007

A, B, C designent les points d’affixes respectives a = −2√3, b =

√3− 3i et c = 2i.

On designe par E le barycentre du systeme {(A ; 1) ; (C ; 3)}.Etablir l’affixe du point E .

Par definition−−→OE =

1

4

(−→OA+ 3

−−→OC)

⇔ zE =1

4× a+

3

4× c =

1

4× (−2

√3) +

3

4× 2 i = −

√3

2+

3

2i.

2.3 Conjugue d’un nombre complexe

2.3.1 Definitions

Le conjugue du nombre complexe z = x+ i y est le nombre complexe z = x− iy .



2.3.2 Proprietes

– z + z = 2×Re(z), z − z = 2 i × Im(z).

– z est un nombre rel si et seulement si z = z . z est un imaginaire pur si et seulement si z = −z.

– Si z = x+ i y alors zz = x2 + y2.

2.4 Operations ROC

Theoreme

Soient les nombres complexes z = x+ i y et z′ = x′ + i y′.

– z + z′ = z + z′, z − z′ = z − z′, z × z′ = z × z′.

–

(

1

z

)

=1

z

–( z

z′

)

=z

z′

– λ tant un rel, (λ× z) = λ× z

– (zn) = (z)n, n entier naturel.

Demonstration 3

On pose z = x+ i y, z′ = x′ + i y′.

– z+ z′ = (x+ i y) + (x′ + i y′) = (x+ x′) + i (y+ y′), et z + z′ = (x− i y) + (x′ − i y′) = (x+ x′)− i (y+ y′) = z + z′

– z− z′ = (x+ i y)− (x′ + i y′) = (x− x′) + i (y− y′), et z − z′ = (x− i y)− (x′ − i y′) = (x− x′)− i (y− y′) = z − z′

– z × z′ = (xx′ − yy′) + i (xy′ + x′y) et z × z′ = (x− i y)(x′ − i y′) = (xx′ − yy′)− i (xy′ + x′y) = (z × z′)

–1

z=

1

x+ i y=

x

x2 + y2− i

y

x2 + y2et

1

z=

1

x− i y=

x+ i y

x2 + y2=

x

x2 + y2+ i

y

x2 + y2=

(

1

z

)

–( z

z′

)

=

(

z × 1

z′

)

= z ×(

1

z′

)

= z × 1

z′=

z

z′

– (λ× z) = λ× z = λ× z, λ etant reel : λ = λ.

– Montrons par recurrence la propriete : Pn : (zn) = (z)n

• Pour n = 0, (z0) = 10 = 1 = 1 et (z)0= 1

• On suppose la propriete vraie au rang n, autrement dit : (zn) = (z)n

.

Montrons qu’elle est vraie au rang suivant n+ 1.

(zn+1) = (zn × z) = (zn)× z = (z)n × z = (z)n+1

• La propriete est vraie au rang O, et si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n+ 1.

Elle est donc vraie pour tout n entier naturel.

Exemple 5

France juin 2006

On considere le plan complexe P rapporte a un repere orthonormal direct (O;−→e1 ,−→e2).M est un point du plan P distinct de O et des points d’affixes 1 et i. On admet de meme que M ′ est distinct de ces trois

points.

Etablir l’egalitez′ − 1

z′ − i=

1

i

(

z − 1

z + i

)

= −i

(

z − 1

z − i

)

.



Pour tout z 6= 0 :

z′ − 1

z′ − i=

1

z− 1

1

z− i

=

1− z

z1− i z

z

=1− z

1− iz=

1− z

i(−i− z)=

1

i× z − 1

z + i=

1

i× z − 1

z − i=

1

i

(

z − 1

z − i

)

= −i

(

z − 1

z − i

)

2.5 Module d’un nombre complexe

2.5.1 Definition

Soit M un point du plan d’affixe z. On appelle module du nombre complexe z la distance OM . On le note |z| = OM .

2.5.2 Proprietes

Soit M et M ′ deux points d’affixes respectives les nombres complexes z et z′ .

• Si z = x+ i y alors |z| =√

x2 + y2

• |z| = |z| , z × z = x2 + y2 =⇒ |z| =√z × z

• |z × z′| = |z| × |z′|,∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=1

|z| ,∣

∣

∣

z

z′

∣

∣

∣=

|z||z′| .

• MM ′ = |z′ − z|.

• |z + z′| ≤ |z|+ |z′|

• |zn| = |z|n, n entier naturel.

Demonstration 4

• Si z = x+ i y alors le point M pour coordonnes (x; y) et donc |z| = OM =√

x2 + y2

• z × z = (x+ i y)(x− i y) = x2 − (i y)2 = x2 − (−y2) = x2 + y2

• Nous avons vu que |z| =√z × z,

d’ou |z × z′| =√

zz′ × (zz′) =√

z × z′ × z × z′ =√

(z × z)× (z′ × z′) =√z × z ×

√

z′ × z′ = |z| × |z′|

De meme

∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

=

√

1

z×(

1

z

)

=

√

1

z× 1

z=

√

1

z × z=

1√z × z

=1

|z|∣

∣

∣

z

z′

∣

∣

∣=

∣

∣

∣

∣

z × 1

z′

∣

∣

∣

∣

= |z| ×∣

∣

∣

∣

1

z′

∣

∣

∣

∣

= |z| × 1

|z′| =|z||z′| .

• |z + z′| ≤ |z|+ |z′|

Soit les points M et M’ d’affixes respectives z et z′.

P est le symetrique de M’ par rapport l’origine du repere O.

P a donc pour affixe −z′.

On a ainsi PM ≤ PO + OM . Mais PO = OM ′ d’o PM ≤ OM ′ + OM .

Autrement dit |z + z′| ≤ |z|+ |z′|.

b

O

bMbM

′

b

P

• On demontre par recurrence la propriete :|zn| = |z|n, n entier naturel.

– Si n = 0,∣

∣z0∣

∣ = 1 et |z|0 = 1



– On suppose la propriete vraie au rang n autrement dit, |zn| = |z|n

On a alors∣

∣zn+1∣

∣ = |zn × z| = |zn| × |z| = |z|n × |z| = |z|n+1

– On a montre que la propriete est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n+ 1.

Cette propriete est donc vraie pour tout n entier naturel.

• L’affixe du vecteur−−−→MM ′ est z′ − z d’ou MM ′ = |z′ − z|.

Exemple 6

Polynesie juin 2006

On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considere l’application f qui, a tout point

M different du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M ′ d’affixe z′ definie par

z′ =z − 1

z + 1

1. Determiner les points invariants def c’est-a-dire les points M tels que M = f(M).

2. Montrer que, pour tout nombre complexe z different de −1, (z′ − 1) (z + 1) = −2.

3. En deduire une relation entre |z′ − 1| et |z + 1| , pour tout nombre complexe z different de −1.

4. Traduire ces deux relations en termes de distances.

1. Si z 6= −1, z =z − 1

z + 1⇐⇒ z(z + 1) = z − 1 ⇐⇒ z2 + z = z − 1 ⇐⇒ z2 = −1 ⇐⇒ z = i ou z = −i.

Les points invariants par f sont les deux points d’affixes i et −i

2. z 6= −1, (z′ − 1)(z + 1) =

(

z − 1

z + 1− 1

)

(z + 1) =

(

z − 1− z − 1

z + 1

)

(z + 1) = z − 1− z − 1 = −2.

3. L’egalite de ces deux complexes entraıne l’egalite de leurs modules

Soit (z′ − 1)(z + 1)| = | − 2| ⇐⇒ |z′ − 1| × |z + 1| = 2 ⇐⇒ AM ′ × BM = 2.

3 Ecriture trigonometrique d’un nombre complexe

3.1 Definition d’un argument d’un nombre complexe

Soit M un point d’affixe le nombre complexe z non nul.

On appelle argument de z tous les reels θ, mesure en radians de

l’angle(−→e1 ;

−−→OM

)

.

On note arg(z) = θ + 2kπ, k ∈ Z ou arg(z) = θ [2π] (modulo [2π] ).

Autrement dit, un nombre complexe non nul a une infinite d’arguments.

Si θ est l’un d’entre eux, tout autre argument de z s’crit θ + 2kπ.

On dit aussi qu’un argument de z est defini modulo 2π.

θb

O

bM

−→e1

−→e2

3.2 Remarque

Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument car la definition arg(z) =(−→e1 ;

−−→OM

)

suppose M 6= 0.



3.3 Proprietes

1. Si z est un rel strictement positif alors arg(z) = 0 [2π].

2. Si z est un rel strictement negatif alors arg(z) = π [2π].

3. Si z est un imaginaire pur non nul alors arg(z) =π

2[π].

4. Si arg(z) = θ [2π] alors arg(−z) = θ + π [2π]

5. Si arg(z) = θ [2π] alors arg (z) = −θ [2π].

−θ

θ + π θ

b

O

bA

−→e1

−→e2

bB

bC

3.4 Definition de l’ecriture trigonometrique d’un nombre complexe

Tout nombre complexe z non nul, de module r et dont un argument est θ, peut

s’ecrire z = r (cos(θ) + i sin(θ)) .

Cette ecriture est appelee ecriture trigonometrique du nombre complexe z.

3.5 Theoreme : ecritures trigonometrique et algebrique

Soit z = x+ i y un nombre complexe non nul.

On a z = |z| (cos(θ) + i sin(θ))

avec cos(θ) =x

√

x2 + y2et sin(θ) =

y√

x2 + y2.

Reciproquement :

si z = r (cos(θ) + i sin(θ)) , r > 0 alors |z| = r et arg(z) = θ [2π].

x

y

θ

(z)

r

b

O

bM

b

N

cos(θ)

sin(θ)

Demonstration 5

z = x+ i y =√

x2 + y2

(

x√

x2 + y2+

y√

x2 + y2

)

= |z|(cos θ + i sin θ)

3.6 Theoreme : l’argument du produit est egal la somme des arguments. ROC

Soit z de module r et d’argument θ, z′ de module r′ et d’argument θ′ deux nombres complexes non nuls.

arg(z × z′) = arg(z) + arg(z′)

.

Demonstration 6

On ecrit z = r(cos θ + i sin θ) et z′ = r′(cos θ′ + i sin θ′)

On a alors z × z′ = r(cos θ + i sin θ)× r′(cos θ′ + i sin θ′) = r r′ (cos θ + i sin θ)× (cos θ′ + i sin θ′)

D’o z × z′ = r r′ (cos θ cos θ′ + i cos θ sin θ′ + i sin θ cos θ′ − sin θ sin θ′)

Soit z × z′ = r r′ [cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(sin θ cos θ′ + cos θ sin θ′)] = r r′ [cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′)]

Autrement dit multiplier deux nombres complexes non nuls revient multiplier les modules et ajouter les arguments.

3.7 Theoreme : l’argument d’un quotient est egal la difference des arguments. ROC

Soit z et z′ deux nombres complexes non nuls.

On a arg

(

1

z

)

= −arg(z) et arg( z

z′

)

= arg(z)− arg(z′) .



Demonstration 7

• z × 1

z= 1 et donc arg

(

z × 1

z

)

= arg(1)

Or arg

(

z × 1

z

)

= arg(z) + arg

(

1

z

)

et arg(1) = 0.

Et donc arg(z) + arg

(

1

z

)

= 0

• On a arg(z × z′) = arg(z)×(

1

z′

)

= arg(z) + arg

(

1

z

)

= arg(z)− arg(z′)

3.8 Formule de Moivre. ROC

Soit z = r(cos θ + i sin θ) et n un entier naturel. On a zn = rn (cos(n θ) + i sin(n θ)) .

Autrement dit

• |zn| = |z|n

• arg (zn) = n× arg(z)

Demonstration 8

On demontre par recurrence la propriete : zn = rn (cos(n θ) + i sin(n θ)).

• Si n = 0, z0 = 1 et rn (cos(n θ) + i sin(n θ)) = r0 (cos(0) + i sin(0)) = 1

• On suppose la propriete vraie au rang n autrement dit, zn = rn (cos(n θ) + i sin(n θ)), ou

|zn| = |z|n, et arg (zn) = n× arg(z)

*∣

∣zn+1∣

∣ = |zn × z| = |zn| × |z| = |z|n × |z| = rn × r = rn+1.

* arg(

zn+1)

= arg (zn × z) = arg (zn) + arg(z) = n× arg(z) + arg(z) = (n+ 1)× arg(z).

* Autrement dit zn+1 = rn+1 [cos ((n+ 1) θ) + i sin ((n+ 1) θ)].

• On a montre que la propriete est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n + 1. Cette

propriete est donc vraie pour tout n entier naturel

Exemple 7

La reunion sept 2007

Soit les nombres complexes : z1 =√2 + i

√6, z2 = 2 + 2i et Z =

z1

z2.

1. Ecrire Z sous forme algebrique.

2. Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z.

3. En deduire cosπ

12et sin

π

12.

4. Ecrire sous forme algebrique le nombre complexe Z2007.

1. Z =z1

z2=

√2 + i

√6

2 + 2i=

(2 − 2 i)(√2 + i

√6)

22 + 22=

2√2 + i 2

√6− 2

√2ı− 2 i2

√6

8=

2√6 + 2

√2

8+ i

2√6− 2

√2

8.

Et donc Z =

√6 +

√2

4+ i

√6−

√2

4.



2. – z1 =√2 + i

√6, |z1| =

√2 + 6 =

√8 = 2

√2.

D’o z1 = 2√2

( √2

2√2+ i

√6

2√2

)

= 2√2

(

1

2+ i

√3

2

)

.

Et donc cos θ =1

2et sin θ =

√3

2. Soit θ =

π

3[2π].

– z2 = 2 + 2i, |z2| =√

22 + 22 =√8 = 2

√2.

D’o z2 = 2√2

(

2

2√2+ i

2

2√2

)

= 2√2

(

1√2+ i

√2√2

)

= 2√2

(√2

2+ i

√2

2

)

.

Et donc cos θ =

√2

2et sin θ =

√2

2. Soit θ =

π

4[2π].

– Z =z1

z2, donc |Z| = |z1|

|z2|=

2√2

2√2= 1.

Et arg(Z) = arg

(

z1

z2

)

= arg(z1)− arg(z2) =π

3− π

4=

π

12[2π].

3. Z = cos( π

12

)

+ i sin( π

12

)

=

√6 +

√2

4+ i

√6−

√2

4.

Et donc cos( π

12

)

=

√6 +

√2

4et sin

( π

12

)

=

√6−

√2

4.

4. D’apres la formule de Moivre : Z2007 = cos(

2007× π

12

)

+ i sin(

2007× π

12

)

.

Or2007 π

12=

1992 π

12+

15 π

12= 166 π +

15 π

12= 83× 2 π +

5 π

4.

Et donc Z2007 = cos

(

5 π

4

)

+ i sin

(

5 π

4

)

Or cos

(

5 π

4

)

= cos(

π +π

4

)

= − cos(π

4

)

= −√2

2, sin

(

5 π

4

)

= sin(

π +π

4

)

= − sin(π

4

)

= −√2

2

D’o Z2007 = −√2

2− i

√2

2

4 Ecriture exponentielle d’un nombre complexe

On considere la fonction f definie sur R et valeurs dans C par f(θ) = cos θ + i sin θ, θ rel.

Ainsi f(θ + θ′) = cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′).

f(θ) a pour module 1 et argument θ

f(θ′) a pour module 1 et argument θ′

f(θ)× f(θ′) a pour module 1 et argument θ + θ′

Mais aussi f(θ + θ′) a pour module 1 et argument θ + θ′

Donc f(θ + θ′) = f(θ)× f(θ′) (meme module et meme argument)

De plus f(0) = cos 0 + i sin 0 = 1.

La fonction f verifie les proprietes d’une fonction exponentielle, soit f(θ) = eiθ.

4.1 Definition

– Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est θ est not eiθ.

– Si z est un nombre complexe de module r et d’argument θ on ecrit z = r eiθ.

Autrement dit eiθ = cos θ + i sin θ



4.2 Remarque

1. ei 0 = 1, eiπ

2 = i, eiπ = −1, eiπ

4 =

√2

2+ i

√2

2.

2. eiθ × eiθ′

= ei(θ+θ′),eiθ

eiθ′= ei(θ−θ′)

3. Formule de Moivre :(

eiθ)n

= ei n θ.

4.3 Formules d’Euler

eiθ = cos θ + i sin θ

e−iθ = cos θ − i sin θdonne cos θ =

eiθ + e−iθ

2et sin θ =

eiθ − e−iθ

2 i

Exemple 8

Antilles juin 2005

Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe −1.

Soit f l’application du plan P prive de O dans P qui :

a tout point M d’affixe z distinct de O associe le point M ′ = f(M) d’affixe z′ =−1

z.

1. Soit E le point d’affixe eiπ

3 ; on appelle E′ son image par f . Determiner l’affixe de E′ sous forme exponentielle, puis

sous forme algebrique.

2. Soit K le point d’affixe 2ei5π

6 et K ′ l’image de K par F .

Determiner l’affixe de K ′ sous forme exponentielle, puis sous forme algebrique..

3. On designe par R un point d’affixe 1 + eiθ ou θ ∈]− π ; π[. R appartient au cercle C3 de centre A et de rayon 1.

(a) Montrer que z′ + 1 =z − 1

z.

En deduire que : |z′ + 1| = |z′|.

(b) Si on considere maintenant les points d’affixe 1 + eiθ ou θ ∈]− π ; π[, montrer que leurs images sont situees sur

une droite. On pourra utiliser le resultat du a..

1. L’affixe E′ est −1

eiπ

3

= − 1

e−iπ

3

= −eiπ

3 = eiπeiπ

3 = ei4π

3 = −1

2− i

√3

2

2. L’affixe de K ′ est−1

2ei5π

6

=−1

2e−i5π

6

=−1

2ei

5π

6 =1

2eiπei

5π

6 =1

2ei

11π

6 =

√3

2− 1

2i

3. (a) On a : z′ + 1 =− 1

z+ 1 =

z − 1

z. Donc |z′ + 1| =

|z − 1||z|

Comme R est un point du cercle de centre A, d’affixe 1, et de rayon 1, alors :

|z − 1| = 1 ⇔ |z − 1| = 1 ⇔ |z − 1| = 1. Donc, |z′ + 1| =1

|z| =∣

∣

∣

∣

1

z

∣

∣

∣

∣

= |z′|

(b) Comme |z′ + 1| = |z′|, alors BR’=OR’ car B a pour affixe -1, donc R’ appartient la mediatrice du segment [OB].

Ainsi l’image de R, point distinct de O, appartenant au cercle C3 de centre A et de rayon 1 est sur une droite : la

mediatrice du segment [OB] .


Documents

LES NOMBRES COMPLEXES - frignanese.free.frfrignanese.free.fr/pages/ts/geometrie/cours/nbrecomplex.pdf · 3.8 Formule de Moivre. ... – Tout nombre complexe dont la partie r´eelle