Chapitre 5 Rappel d’analyse · 2016. 7. 8. · Chapitre 5: Rappel d’analyse G en eralit es 1 G en eralit es 1.1 D e nitions Une fonction f d’une variable r eelle a valeurs r

Chapitre 5

Rappel d’analyse

Cours de mathematiques de BCPST Premiere annee.

Table des matieres

1 Generalites 21.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Restriction de l’ensemble d’etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2 Lien avec le signe de la derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.3 Rappel sur le calcul de derivee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.4 Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Rappel sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.1 Operations et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5.2 Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.3 Quelques idees pour lever l’indetermination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Etudes des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.1 En un point fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.2 A l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Notion de bijection continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Fonctions usuelles 192.1 Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Logarithme et fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Logarithme et fonction exponentielle en base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4.2 Proprietes et graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Fonctions trigonometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chapitre 5: Rappel d’analyse Generalites

1 Generalites

1.1 Definitions

• Une fonction f d’une variable reelle a valeurs reelles est definie par la donnee d’unepartie Df de R, appelee ensemble de definition de f et par un processus qui, a toutelement x de Df associe un unique nombre que l’on note f(x). On note alors :

f :

Df → Rx 7→ f(x)

.

• Lorsqu’on donne juste le processus sans preciser l’ensemble de definition, celui-ci estl’ensemble des reels x pour lesquels f(x) est defini.• Pour tout a de Df , on dit que f(a) est l’image de a par f et que a est un antecedent

de f(a) par f .

• Munissons le plan P d’un repere (O,→i ,→j ). On appelle courbe representative (ou

representation graphique ou graphe) de f l’ensemble M(x, f(x)) ∈ P, x ∈ Df , onle note generalement Γf . On dit aussi que Γf est la courbe d’equation y = f(x).

Definition 1

,) Exemple :

1. f1 :

[−1, +∞ [ → Rx 7→

√x+ 1

est une fonction, son ensemble de definition est [−1, +∞ [ .

2. g1 :

[8563, +∞ [ → Rx 7→

√x+ 1

est une fonction dont l’ensemble de definition est [8563, +∞ [ .

g1 et f1 ne sont pas les memes fonctions car elles n’ont pas le meme ensemble de definition.

3. f2 : x 7→ 4

x2 − 3x+ 2est une fonction. Son ensemble de definition n’etant pas explicite, celui-ci

est par convention le plus grand ensemble de R sur lequel on puisse definir la fonction. Ici, c’estR\ 1; 2.

4. Id : x 7→ x, la fonction identite, est une fonction definie sur R.

5. f3 : x 7→ x2 + 1 est une fonction definie sur R. f3(4) = 17 donc 17 est l’image de 4 par f et 4est un antecedent de 17 par f3. On remarque qu’il n’y a pas necessairement unicite de la notiond’antecedent (−4 est aussi un antecedent de 17 par f3).

* Remarque :

f1 :

[−1, +∞ [ → Rx 7→

√x+ 1

et f4 :

[−1, +∞ [ → Ry 7→

√y + 1

designent la meme fonction (Notion

de variable muette).

* Remarque :Ceci n’est pas la courbe representative d’une fonction (car les elements de l’espace de depart doiventavoir au maximum une image par une fonction) :

Lycee Pierre-Gilles de Gennes/ ENCPB 2 2014/2015


1.2 Operations

Soient f et g deux fonctions definies respectivement sur Df et Dg deux parties de R etλ un reel.• On note λf la fonction definies sur Df par :

Pour tout x de Df , (λf)(x) = λf(x).

• Si Df et Dg ne sont pas disjoints, on definit les fonction f+g et f×g sur Df ∩Dg par :

Pour tout x de Df ∩Dg, (f + g)(x) = f(x) + g(x) et (f × g)(x) = f(x)× g(x).

• On note D = x ∈ Df ∩Dg tel que g(x) 6= 0. Si D n’est pas l’ensemble vide, on

definit la fonctionf

gsur D par :

Pour tout x de D,

(f

g

)(x) =

f(x)

g(x).

Definition 2

Soient f et g deux fonctions definies respectivement sur Df et Dg deux parties de R .On note D = x ∈ Df tel que f(x) ∈ Dg . Si D n’est pas l’ensemble vide, on definit lafonction g f sur Df par :

Pour tout x de D (g f)(x) = g(f(x)).

Definition 3

,) Exemple :

On pose f :

R → Rx 7→ x+ 2

, g :

R− → Rx 7→ x2 + 1

et h :

R → Rx 7→ x2 + 1

. D’apres les definitions

precedentes, on a :



1. f + g :

R− → Rx 7→ x2 + x+ 3

2. 3f :

R → Rx 7→ 3x+ 6

3. 4f − 2g :

R− → Rx 7→ −2x2 + 4x+ 6

4. f × g :

R− → Rx 7→ x3 + 2x2 + x+ 2

5. h f :

R → Rx 7→ x2 + 4x+ 5

6. f h :

R → Rx 7→ x2 + 3

7. g f :

]−∞,−2] → Rx 7→ x2 + 4x+ 5

8. f g :

R− → Rx 7→ x2 + 3

-) Exercice 1 :

Donner l’ensemble de definition des fonctions suivantes :

1. f : x 7→ ln (−x)√(x− 3)

2. g : x 7→ cos (ln (x2 − 3))

Soient f , g et h trois fonctions definies respectivement sur Df , Dg et Dh trois par-ties de R. On suppose que Df et Dg ne sont pas disjoints et que D l’ensemblex ∈ Df ∩Dg tel que (f(x), g(x)) ∈ (Dh)

2 n’est pas l’ensemble vide. On a alors :

(g + f) h = g h+ f h et (g × f) h = (g h)× (f h) .

Proposition 4

+ Mise en garde :Utilisons les notations de la proposition precedente. Si toutes les applications suivantes sont definies,en general, on n’a pas :

h (g + f) = h g + h f et g (f × h) = (g f)× (g h) .

-) Exercice 2 :

Decrire f1 f2 et f2 f1 avec :

f1 :

[−1, +∞ [ → Rx 7→

√x+ 1

et f2 :

R\ −3 → R

x 7→ 1

x+ 3



1.3 Restriction de l’ensemble d’etude

Soient f une fonction numerique definie sur une partie Df de R et T un reel strictementpositif. On dit que f est T -periodique si on a :

Pour tout x de Df , x+ T appartient a Df et f(x+ T ) = f(x).

On dit alors que T est une periode de f .

Definition 5

Soient T un reel strictement positif et f une fonction numerique definie sur une partieDf de R et de periode T . La courbe representative Cf de f dans le plan P muni d’un

repere (O,→i ,→j ) est globalement invariante par translation de vecteur T

→i . Il suffit

donc d’etudier f sur n’importe quel intervalle de longueur T puis de completer par des

translations appropriees. Etudier par exemple f sur [0, T ]∩Df ou bien sur

[−T

2,T

2

]∩Df

suffit donc.

Proposition 6

,) Exemple :

1. Soit ω un reel strictement positif. f1 : x 7→ cos(ωx) est2π

ωperiodique. On pourra etudier donc

f1 sur[−πω,π

ω

].

2. tan est π periodique. Il suffit donc d’etudier cette fonction sur]−π

2,π

2

[.

• Un partie D de R verifiant que, pour tout x de D, −x appartient a D est dite centreeen zero.• Soit f une fonction numerique definie sur une partie Df de R .• On dit que f est paire si :

Pour tout x de Df ,−x appartient a Df et f(−x) = f(x).

• On dit que f est impaire si :

Pour tout x de Df ,−x appartient a Df et f(−x) = −f(x).

Definition 7

,) Exemple :



1. R, R? et [−10,−3] ∪ [3, 10] sont trois ensembles centres en zero.

2. [−10, 7], R+, [−10,−3] ∪ [2, 10] sont trois ensembles qui ne sont pas centres en zero.

,) Exemple :

1.

[−1, 2] - Rx - cos(x)

n’est ni une fonction paire ni une fonction impaire car son ensemble de

definition n’est pas centre en zero.

2.

[−100, 100] - Rx - x+ 1

n’est ni une fonction paire (car f(10) 6= f(−10)) ni une fonction

impaire (car f(10) 6= −f(−10)) meme si son ensemble de definition est centre en zero.

3. x 7→ x2, x 7→ cos(x) et x 7→∣∣∣∣x+

1

x

∣∣∣∣ sont trois fonctions paires.

4. x 7→ x3, x 7→ tan(x) et x 7→ esin(x) − 1

esin(x) + 1sont trois fonctions impaires.

* Remarque :Si f est impaire et si f(0) existe alors f(0) = 0.

On munit le plan P d’un repere (O,→i ,→j ) orthogonal. Soient a et b deux reels, f une

fonction numerique definie sur une partie Df de R et Cf sa courbe representative.• Cf admet la droite d’equation x = a comme axe de symetrie si et seulement si on a :

Pour tout x de Df , 2a− x appartient a Df et f(2a− x) = f(x).

Si tel est le cas, il suffira d’etudier cette fonction sur [ a,+∞ [ ∩ Df ou bien sur]−∞, a ] ∩Df puis de completer par symetrie.

• Cf admet le point Ω(a, b) comme centre de symetrie si et seulement si on a :

Pour tout x de Df , 2a− x appartient a Df et f(2a− x) = 2b− f(x).

Si tel est le cas, il suffira d’etudier cette fonction sur [ a,+∞ [ ∩ Df ou bien sur]−∞, a ] ∩Df puis de completer par symetrie.

Proposition 8

,) Exemple :

On se place dans le plan P muni d’un repere (O,→i ,→j ) orthogonal.

1. La courbe representative de x 7→ (x+ 1)2 admet x = −1 comme axe de symetrie.

2. La courbe representative de x 7→ tan(x− 1) + 2 admet Ω(1, 2) comme centre de symetrie.



¨) Corollaire 9 :

On munit le plan P d’un repere (O,→i ,→j ) orthogonal. Soient f une fonction numerique definie sur

une partie Df de R et Cf sa courbe representative.• f est paire si et seulement si Cf admet l’axe des ordonnees comme axe de symetrie.• f est impaire si et seulement si Cf admet l’origine comme centre de symetrie.Ainsi, si f est paire ou impaire, alors on etudie cette fonction sur R+ ∩Df ou bien sur R− ∩Df

puis on complete par symetrie.

1.4 Variation d’une fonction

1.4.1 Definition

Soit f une fonctions definie sur une partie Df de R. Soit D une partie de Df . On dit quef est :• croissante sur D si :

Pour tout (x, y) de D2, x 6 y ⇒ f(x) 6 f(y).

• strictement croissante sur D si :

Pour tout (x, y) de D2, x < y ⇒ f(x) < f(y).

• decroissante sur D si :

Pour tout (x, y) de D2, x 6 y ⇒ f(x) > f(y).

• strictement decroissante sur D si :

Pour tout (x, y) de D2, x < y ⇒ f(x) > f(y).

• strictement monotone sur D si f est strictement croissante sur D ou bien si f eststrictement decroissante sur D.• monotone sur D si elle est croissante sur D ou bien decroissante sur D.• constante sur D si, pour tout (x, y) de D2, on a : f(x) = f(y).

Definition 10

Soit f une fonctions definie sur une partie Df de R .• On dit que f est croissante si f est croissante sur Df .• On definit sans probleme la notion de fonction monotone, strictement croissante...

Definition 11

,) Exemple :Soient a, b et c trois reels. On suppose a negatif et b positif.



1. cos est strictement decroissante sur [0, π].

2. x 7→ ln(x) est strictement croissante sur R?+.

3. x 7→ bxc est croissante sur R.

4. x 7→ bxc est constante sur [ 5, 6 [ .

5. x 7→ ax+ c est decroissante.

6. x 7→ bx+ c est croissante .

7. x 7→ x2 est strictement decroissante sur R−.

8. x 7→ 1

xest strictement decroissante sur R?

+.

+ Mise en garde :

x 7→ 1

xest strictement decroissante sur R?

+ et est strictement decroissante sur R?− mais n’est pas

strictement decroissante sur R? car −1 < 10 et1

−1<

1

10.

Soient f et g deux fonctions definies respectivement sur une partie D de R, λ+ un reelpositif et λ− un reel negatif.• Si f et g ont meme monotonie sur D alors la fonction f + g a meme monotonie que f .• f et λ+f ont meme sens de variation sur D.• f et λ−f ont des sens de variation contraires sur D.

Proposition 12

Soient f et g deux fonctions definies respectivement sur Df et Dg deux parties de R. Onsuppose que f(Df ) ⊂ Dg.• Si f et g ont meme monotonie (sur Df et Dg respectivement) alors g f est croissante

sur Df .• Si f et g sont de monotonie contraire (sur Df et Dg respectivement) alors g f est

decroissante sur Df .

Proposition 13

,) Exemple :

On obtient que, par composition, x 7→ 1

x2est strictement croissante sur R?

− et strictement decroissante

sur R?+ .

1.4.2 Lien avec le signe de la derivee

On note R = R ∪ +∞;−∞. On l’appelle droite numerique achevee.

Definition 14

Dans cette partie, J est un intervalle dont les extremites sont c et d (qui ne sont pas forcement

des elements de J) avec c et d deux elements de R. On noteJ l’intervalle ]c, d[.



,) Exemple :

• Si J est [2; 5],J est ]2; 5[.

• Si J est ]− 24; 13],J est ]− 24; 13[.

• Si J est [2; 13[,J est ]2; 13[.

• Si J est ]2; 11[,J est ]2; 11[.

• Si J est ]−∞; 11],J est ]−∞; 11[.

• Si J est ]−∞; 15[,J est ]−∞; 15[.

• Si J est [10; +∞[,J est ]10; +∞[.

• Si J est ]27; +∞[,J est ]27; +∞[.

Soit f : J → R une fonction continue sur J et derivable surJ . On a :

• f est constante sur J ⇐⇒ Pour tout x deJ , on a : f ′(x) = 0.

• f est croissante sur J ⇐⇒ Pour tout x deJ , on a : f ′(x) > 0.

• f est decroissante sur J ⇐⇒ Pour tout x deJ , on a : f ′(x) 6 0.

Proposition 15

+ Mise en garde :

1. On est donc amene a resoudre l’inequation f ′(x) > 0 d’inconnue x ∈J (ou bien l’inequation

f ′(x) 6 0 d’inconnue x ∈J , inutile de faire les deux si on raisonne par equivalence) pour avoir

les variations de f . Resoudre l’equation f ′(x) = 0 d’inconnue x ∈J n’a pas d’interet !

2. Ne pas oublier que la condition J intervalle est fondamentale et necessaire pour, a partird’information sur le signe de la derivee, trouver les variations de la fonction. Par exemple, la

derivee de f : x 7→ 1

xest strictement negative mais f n’est pas decroissante. Autre exemple, la

derivee de g : x 7→ arctan(x) + arctan

(1

x

)est nulle mais g n’est pas constante.

* Remarque :Si le signe de f ′ est difficile a obtenir et si f est une fonction deux fois derivable alors pensereventuellement a f (2) dont le signe donne le tableau de variations de f ′ et peut faciliter l’etude dusigne de f ′.

Soit f : J → R une fonction continue sur J et derivable surJ . On a :

• Si, pour tout x deJ , on a f ′(x) > 0 alors f est strictement croissante.

• Si, pour tout x deJ , on a f ′(x) < 0 alors f est strictement decroissante.

Proposition 16



+ Mise en garde :Attention, la proposition precedente ne donne pas une condition necessaire et suffisante pour avoir lastricte monotonie d’une fonction. La fonction x 7→ x3 est continue, derivable et strictement croissantemais sa derivee s’annule en 0.

-) Exercice 3 :

Soit f la fonction suivante :

f : x 7→ x2 + x+ 1

(x− 1)3

f est-elle decroissante sur son ensemble de definition ?

1.4.3 Rappel sur le calcul de derivee

On rappelle dans le tableau suivant les derivees des fonction usuelles. Dans ce tableau, f estune fonction definie sur Df et derivable sur Df ′ . On donne aussi l’expression des derivees f ′ de cesfonctions.

s designe un reel, n un entier naturel, m un entier strictement negatif et a un reel strictementpositif.

Df f Df ′ f ′

R x 7→ s R x 7→ 0R x 7→ xn R x 7→ nxn−1

R? x 7→ xm R? x 7→ mxm−1

R?+ x 7→ xs R?

+ x 7→ sxs−1

R x 7→ ex R x 7→ ex

R x 7→ cosx R x 7→ − sinxR x 7→ sinx R x 7→ cosx

R\π2

+ kπ, k ∈ Z

x 7→ tanx R\π2

+ kπ, k ∈ Z

x 7→ 1 + tan2 xR?

+ x 7→ ln(x) R?+ x 7→ 1

x

R x 7→ ax R x 7→ ln(a)ax

Les proprietes algebriques de la derivation seront demontrees plus tard, les voici :

Soient λ un reel, D une partie de R et f : D → R et g : D → R deux fonctions .Si f et g sont derivables sur D alors f + g, f × g et λf sont derivables sur D et on a :

(f + g)′ = f ′ + g′, (λf)′ = λf ′ et (f × g)′ = f ′ × g + g′ × f.

Proposition 17



Soit f : D → R une fonction avec D une partie de R. Soit h une fonction definie surDh une partie de R. On suppose que f(D) ⊂ Dh. Si f est derivable sur D et si h estderivable sur Dh alors h f est derivable sur D et on a :

(h f)′ = (h′ f)× f ′.

Proposition 18

* Remarque :On peut reiterer cette proposition. Si r1, r2 et r3 sont trois fonctions numeriques definies et derivablesrespectivement sur D1,D2 et D3 trois parties de R et si r3(D3) ⊂ D2 et r2(D2) ⊂ D1 alors r1 r2 r3est derivable sur D3 et

(r1 r2 r3)′ = (r′1 r2 r3)× (r′2 r3)× (r′3) .

Pour deriver une composee, on commence donc par deriver ” la fonction externe” puis on fait au furet a mesure...

,) Exemple :s designe un reel, n un entier naturel. Soient u, v et w trois fonctions derivables sur D. On supposeque v est strictement positive sur D et que w ne s’annule pas sur D. On a :

1. un est derivable sur D, sa derivee est nu′un−1.

2. eu est derivable sur D, sa derivee est u′eu.

3.√v est derivable sur D, sa derivee est

v′

2√v

.

4. vs est derivable sur D, sa derivee est sv′vs−1.

5. ln(|w|) est derivable sur D, sa derivee estw′

w.

Soit D une partie de R. Soient f : D → R et g : D → R deux fonctions .

• Si f est derivable sur D et si f ne s’annule pas sur D alors1

fest derivable sur D et

on a : (1

f

)′= − f

′

f 2.

• Si f et g sont derivables sur D et si f ne s’annule pas sur D alorsg

fest derivable et

on a : (g

f

)′=g′f − f ′g

f 2.

Proposition 19

-) Exercice 4 :

Calculer les derivees des fonctions suivantes sans justifier leur existence :



1. f : x 7→√

ln (3x2 − 5)

2. f : x 7→ ln (ln (ln(sin(x))))

3. f : x 7→ cos(x) + 1

(1− tan(x2))10

4. f : x 7→ ln

(1 + x

1− x

)

* Remarque :Respecter bien la notation f ′(x). Avant le symbole de derivation se trouve toujours une fonction,apres se trouve un reel pour lequel f ′ est definie. Si x est un reel strictement positif, ln′ (x2) existe

et vaut1

x2et pas

2x

x2, il ne s’agit pas de deriver une composee mais de derivee ln en un reel qui est

le carre d’autre reels. On ecrit f ′(x) et jamais, ni f(x)′, ni (f(x))′. sin′ (x2) est par exemple cos (x2)et pas cos (x2)× 2x.

1.4.4 Extremum

Soit f une fonction numerique definie sur sur une partie Df de R . Soit A une partie deDf .• f est dite majoree sur A s’il existe un reel M tel que :

∀ x ∈ A, f(x) 6 M.

On dit alors que M est un majorant de f .

• f est dite minoree sur A s’il existe un reel m tel que :

∀ x ∈ A, f(x) > m.

On dit alors que m est un minorant de f .

• f est dite majoree si f est majoree sur Df .• f est dite minoree si f est minoree sur Df .• f est dite bornee sur A si f est majoree et minoree sur A.• f est dite bornee si f est bornee sur Df .

Definition 20

,) Exemple :

1. cos et sin sont bornees.

2. Une fonction positive est minoree par 0.

+ Mise en garde :Un majorant ou un minorant d’une fonction ne doit pas dependre de la variable. On ne peut pas direpar exemple que x 7→ x2 est majoree (ce qui est faux !) car, pour tout reel x, on a : x2 6 x2 + 1.

* Remarque :



• La fonction f est majoree si et seulement si son graphe se trouve en dessous d’une droitehorizontale.• Plus precisement, la fonction f est majoree par M si et seulement si son graphe se trouve en

dessous de la droite d’equation y = M :

Soit f une fonction numerique definie sur sur une partie Df de R . Soit A une partie deDf .• f admet un maximum (ou maximum global ou maximum absolu) sur A en a ∈ A si :∀ x ∈ A, f(x) 6 f(a).• f admet un minimum (ou minimum global ou minimum absolu) sur A en a ∈ A si :∀ x ∈ A, f(x) > f(a).• f admet un maximum local en a ∈ Df s’il existe un reel strictement positif ε tel que∀ x ∈ ] a− ε, a+ ε [ ∩Df , f(x) 6 f(a) .• f admet un minimum local en a ∈ Df s’il existe un reel strictement positif ε tel que∀ x ∈ ] a− ε, a+ ε [ ∩Df , f(x) > f(a).• f admet un maximum si f admet un maximum sur Df . Si le maximum est atteint ena ∈ Df , on dit que f(a) est le maximum de f .• f admet un minimum si f admet un minimum sur Df . Si le minimum est atteint ena ∈ Df , on dit que f(a) est le minimum de f .• f admet un extremum local sur A si f admet un minimum local sur A ou si f admet

un maximum local sur A.• f admet un extremum local si f admet un extremum local sur Df .• f admet un extremum (ou extremum global) sur A si f admet un minimum sur A ou

si f admet un maximum sur A.• f admet un extremum si f admet un extremum global sur Df .

Definition 21

* Remarque :

1. Maximum et minimum n’existe pas necessairement. Par exemple, x 7→ x3 n’admet ni minimumni maximum.

2. Une fonction peut etre majoree sans admettre de maximum, une fonction peut etre minoree

sans admettre de minimum. C’est le cas de la fonction x 7→ 1

xqui est minoree sur R+

? mais qui

n’admet pas de minimum.



3. Quand ils existent, maximum et minimum ne sont pas forcement atteint une seule fois. Lafonction cos admet :• un maximum ,1, atteint en tous les multiples de 2π.• un minimum ,−1, atteint en tous les points de la forme π + 2kπ avec k entier.

4. Un maximum local peut tres bien ne pas etre un maximum. Par exemple, f : x 7→ x3 − 3xadmet un maximum local en −1 et f(−1) n’est pas un maximum de f puisque f(−1) = 2 etf(5) = 110. On peut bien sur faire la meme remarque pour minimum local et minimum.

,) Exemple :x 7→ 4 + (x − 3)2 n’est pas majoree. Elle n’a pas de maximum (ni local ni global). Elle est minoree(par −1 par exemple) et atteint son minimum 4 en 3.

+ Mise en garde :Attention a ne pas confondre un extremum d’une fonction et le point en lequel elle atteint cetextremum. Par exemple, le minimum de x 7→ 4 + (x− 3)2 vaut 4 et il est atteint en 3.

1.5 Rappel sur les limites

1.5.1 Operations et limites



Dans ces tableaux, L1, L2 et λ designent trois reels, f et g deux fonctions numeriquesdefinies sur une partie D de R et a une borne finie ou infinie d’un intervalle ouvert inclusdans D. On suppose que lim

x→af(x) et lim

x→ag(x) existent (ce qui n’est pas du tout une

evidence comme on le verra plus loin dans l’annee) et on resume alors les operations surles limites dans les tableaux suivants :F.I signifie que la forme est indeterminee (mais pas que la limite n’existe pas !).

Limite d’une somme

limx→a

(f(x) + g(x)) limx→a

f(x)

L1 +∞ −∞L2 L1 + L2 +∞ −∞

limx→a

g(x) +∞ +∞ +∞ F.I

−∞ −∞ F.I −∞

Limite du produit par un scalaire

limx→a

λf(x) limx→a

f(x)

L1 +∞ −∞si λ > 0 λL1 +∞ −∞si λ = 0 0 0 0si λ < 0 λL1 −∞ +∞

Limite du produit

limx→a

(f(x)g(x)) limx→a

f(x)

L1 > 0 L1 = 0 L1 < 0 +∞ −∞L2 > 0 +∞ −∞L2 = 0 L1L2 F.I F.I

limx→a

g(x) L2 < 0 −∞ +∞+∞ +∞ F.I −∞ +∞ −∞−∞ −∞ F.I +∞ −∞ +∞

Limite de l’inverse

limx→a

f(x)

L 6= 0 0+ 0− +∞ −∞ 0

limx→a

1

f(x)

1

L+∞ −∞ 0+ 0− F.I

Proposition 22

* Remarque :

• Les trois formes indeterminees peuvent donc se resumer par : ”∞−∞” , ”0×∞”, ”0

0”, ”∞∞

”.



(Au passage, de la forme indeterminee 0 × ∞, on en deduit les formes indeterminees ”∞∞

”,

”1∞”,”00” et ”∞0”.)

• Pour obtenir la limite d’un quotient, il faut se servir de la proposition sur la limite de l’inverseet celle sur la limite du produit.

Pour la composition, on a la proposition suivante :

Soit (a, lf , lg) ∈ (R)3. Soient f et g deux fonctions definies respectivement sur Df et Dg

deux parties de R telle que f(Df ) ⊂ Dg et f est definie au voisinage de a.Si lim

x−→a(f(x)) = lf et lim

y−→lf(g(y)) = lg alors lim

x−→a((gf)(x)) existe et lim

x−→a((gf)(x)) = lg.

Proposition 23

1.5.2 Limites classiques

Croissances compareesSoient a et b deux reels strictement positifs. On a :

1. limx−→+∞

(xa

(ex)b

)= 0

2. limx−→+∞

((ln(x))b

xa

)= 0

3. limx−→+∞

((ex)b

xa

)= +∞

4. limx−→+∞

(xa

(ln(x))b

)= +∞

5. limx−→0+

((| ln(x)|)bxa

)= 0

Proposition 24

* Remarque :

Soient a et b deux reels strictement positifs. Le fait que limx−→−∞

xa

(ex)bexiste et soit egale a 0 est une

consequence de la proposition sur la limite des produits et pas une consequence de la propositionprecedente.

Soit f : D → R une fonction avec D une partie de R, soit a un element de D. Si f est

derivable en a alors limx−→a

(f(x)− f(a)

x− a

)existe et vaut f ′(a). Sous reserve d’existence,

on a donc :

f ′(a) = limx−→a

(f(x)− f(a)

x− a

).

Proposition 25



Taux d’accroissements

1. limx−→0

(sin(x)

x

)= 1

2. limx−→0

(tan(x)

x

)= 1

3. limx−→0

(ln(1 + x)

x

)= 1

4. limx−→0

(ex − 1

x

)= 1

Proposition 26

1.5.3 Quelques idees pour lever l’indetermination

1. Idee 1 : On peut mettre en facteur le terme preponderant au numerateur et au denominateurpuis on simplifie. C’est classique pour les indeterminees du type ”0

0” ou ”∞∞”.

2. Idee 2 : On peut utiliser la quantite conjuguees quand apparaıt une racine.

3. Idee 3 : Certaines fonctions peuvent faire penser a des formules classiques comme les formulesde trigonometrie ou ln

(ab

)= ln(a)− ln(b) ou ea−b = ea

eb , ...

4. Idee 4 : On peut utiliser les croissances comparees si on des fonctions du type polynomes,exponentielle, logarithme.

5. Idee 5 : On peut utiliser les taux d’accroissements. C’est classique pour les indeterminees dutype ”0

0” ou ”∞∞”.

-) Exercice 5 :

Determiner, si elles existent, les limites suivantes :

1. limx−→0

(exp(3x)

15x4

)2. lim

x−→+∞

(exp(3x)

15x4

) 3. limx−→+∞

(1 +

1

x

)x4. lim

x−→0

(1− cos(x)

x2

)

1.6 Etudes des branches infinies

1.6.1 En un point fini

Dans cette partie, f est une fonction numerique a variable reelle, I un intervalle de reels et a un

point de I. On suppose que f est definie I\ a. On munit le plan P d’un repere (O,→i ,→j ) orthogonal.

• Si limx−→a

(f(x)) existe et est finie alors le point a est un faux probleme. On peut prolonger f par

continuite en posant f(a) = limx−→a

(f(x)).

• Si la limite de f en a (a droite ou a gauche) est infinie alors Cf admet une asymptote verticaled’equation x = a. On dit que f admet une branche infinie en a.

1.6.2 A l’infini

Dans cette partie, f est une fonction numerique a variable reelle. On suppose que f est definie auvoisinage de l’infini, on dit alors que f admet une branche infinie en l’infini. On munit le plan P d’un

repere (O,→i ,→j ) orthogonal. Pour etudier le comportement en l’infini de f , on applique la demarche



suivante :

Etape 1 : Calcul de limx−→∞

(f(x)).

• Si limx−→∞

(f(x)) existe et est finie alors, en notant l cette limite, Cf admet en l’infini une asymp-

tote horizontale, c’est la droite d’equation y = l. On arrete alors ici notre etude.• Si lim

x−→∞(f(x)) est infinie alors on passe a la prochaine etape.

,) Exemple :

Cf , courbe representative de f : x 7→ x2 + 5

2x2 − 6, admet en l’infini une asymptote horizontale d’equation

y =1

2.


(f(x)

x

).


(f(x)

x

)= 0 alors Cf admet en l’infini une branche parabolique de direction l’axe des

abscisses. On arrete alors ici notre etude.


(f(x)

x

)est infinie alors Cf admet en l’infini une branche parabolique de direction

l’axe des ordonnees. On arrete alors ici notre etude.


(f(x)

x

)existe, est finie et non nul, alors on note a cette limite et on passe a la

prochaine etape.

,) Exemple :Cln admet en l’infini une branche parabolique de direction l’axe des abscisses et Cexp admet en l’infiniune branche parabolique de direction l’axe des ordonnees.


(f(x)− ax) avec a = limx−→∞

(f(x)

x

).


(f(x)− ax) est infinie alors Cf admet en l’infini une branche parabolique de direction

la droite d’equation y = ax. On arrete alors ici notre etude.• Si lim

x−→∞(f(x)− ax) existe et est finie alors, en notant b cette limite, Cf admet en l’infini une

asymptote oblique d’equation y = ax+ b .

,) Exemple :

Cf , courbe representative de f : x 7→ x2 + 5

2x− 6, admet en l’infini une asymptote oblique d’equation

y =x

2+

3

2.

-) Exercice 6 :

Etudier la fonction suivante f : x 7→ x2 + ln (x2 − 1) et en particulier ses branches infinies.


Chapitre 5: Rappel d’analyse Fonctions usuelles

1.7 Notion de bijection continue

Theoreme de la bijection continueSoit D un ensemble de reels, f une fonction numerique dont l’ensemble de definition estD. Si f est strictement monotone et continue sur D alors :• f realise une bijection de D sur f(D).• f−1 est strictement monotone et son sens de variation est celui de f .• Soit y un reel. L’equation f(x) = y d’inconnue x element de D a une unique solution

(qui est f−1(y)) si y appartient a f(D) et n’a aucune solution si y n’appartient pas af(D).

Theoreme 27

+ Mise en garde :Deux mises en garde concernant ce theoreme :

1. N’oubliez pas la condition ”y ∈ f(I)”. L’equation, d’inconnue x reel positif,√x = −2 n’a pas

de solution...

2. Le y du precedent theoreme ne doit pas dependre de x. En prenant g : x 7→ f(x)− y, on peuttoujours se ramener a un probleme de recherche d’antecedent de 0 et eviter ainsi ce danger.On utilise alors le theoreme de la bijection continue dans ce cas particulier : si g est continueet strictement monotone sur D alors l’equation, d’inconnue x element de D, g(x) = 0 a uneunique solution si 0 appartient a g(D) et zero solution si 0 n’appartient pas a g(D).

-) Exercice 7 :

Soit λ un element de ]0; 1[. Evaluer, en fonction du reel λ, le nombre de solution a l’equation (Eλ)d’inconnue x reel suivante :

exp (λx) = x (Eλ).

2 Fonctions usuelles

2.1 Fonctions affines

Une fonction affine est une fonction du type f : x 7→ ax+ b avec a et b deux reels.• f est definie et derivable sur R et sa monotonie est donnee par le signe de a.• f ′ : x 7→ a• f est croissante si a > 0 et decroisante si a 6 0.

• On munit le plan P d’un repere (O,→i ,→j ). La courbe representative de f est une droite

d’equation y = ax+ b.

Proposition 28



2.2 Logarithme et fonction exponentielle

Soit la fonction f : x 7→ 1

x. f est continue sur R?

+, la fonction F : x 7→∫ x

1

f(t)dt existe

donc et est l’unique primitive de la fonction inverse sur R?+ s’annulant en 1, on l’appelle

logarithme neperien et on la note ln.

Definition 29

De la definition decoule de maniere immediate les proprietes suivantes :

1. ln(1) = 0.

2. ln est definie et derivable sur R?+.

3. ln′ : x 7→ 1

x4. ln est strictement croissante sur R?

+

Proposition 30

Soient a et b deux reels strictement positifs et n un entier, on a la propriete fondamentalesuivante :

ln(a× b) = ln(a) + ln(b)

On a aussi :

• ln(ab

)= ln(a)− ln(b) • ln

(1

b

)= − ln(b)

• ln (an) = n ln(a).

Proposition 31

+ Mise en garde :Si a et b sont deux reels tels que a× b > 0, on n’est pas sur d’avoir ln(ab) = ln(a) + ln(b) mais :

ln(a× b) = ln(|a|) + ln(|b|).

on peut faire bien sur la meme remarque pour la formule avec le quotient !

ln est une bijection de R?+ sur R . On appelle fonction exponentielle la bijection reciproque

de ln. On a donc :

∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R?+, y = exp(x)⇐⇒ x = ln(y).

Definition 32



De la definition decoule de maniere immediate les proprietes suivantes :

1. exp(0) = 1.

2. exp est definie et derivable sur R.

3. Pour tout reel x, exp(x) > 0.

4. exp′ : x 7→ exp(x)

5. exp est strictement croissante sur R

Proposition 33

On appelle e l’unique reel strictement positif tel que ln(e) = 1. Son existence et son uniciteproviennent du theoreme de la bijection continue.

Soient a et b deux reels, c un reel strictement positif et n un entier, on a la proprietefondamentale :

exp(a+ b) = exp(a)× exp(b).

On a aussi :

• ln(exp(a)) = a.• exp(ln(c)) = c.

• exp(−a) =1

exp(a).

• exp(b− a) =exp(b)

exp(a).

• (exp(a))n = exp(na).• exp(a) = ea.

Proposition 34

.) Illustration :Voici le graphe de ces fonctions :



2.3 Logarithme et fonction exponentielle en base a

Soit a un reel strictement positif.• On appelle exponentielle en base a et on note expa la fonction definie par :

expa

R - Rx - ax

en posant, pour tout reel x, ax = exp (x ln(a)).• Si a 6= 1, on appelle logarithme en base a et on note lna la fonction definie par :

lna

R?+

- R

x -ln(x)

ln(a)

Definition 35

,) Exemple :Utilisons les notations de la precedente definition.

1. Si a = e, on retrouve le logarithme neperien.

2. Si a = 10, on obtient le logarithme decimal que l’on note aussi log et qui, historiquement,a joue un role important car il a permis de faire de nombreux calculs avant l’avenement desordinateurs et des calculatrices. Il est toujours utilise en physique (decibels) et en chimie (pH).

3. Si a = 2, on obtient le logarithme binaire assez utilise en informatique.




Soient a et b deux reels strictement positifs. On suppose que a est different de 1, on a :

∀(x, y) ∈(R?

+

)2, lna(x× y) = lna(x) + lna(y)

On a aussi :• lna (1) = 0 et lna (a) = 1.

• ∀(x, y) ∈(R?

+

)2, lna

(x

y

)= lna(x)− lna(y)

• ∀y ∈ R?+, lna

(1

y

)= − lna(y).

• ∀x ∈ R, lna (bx) = x lna(b).

Proposition 36

Soient a et b deux reels strictement positifs, on a :

∀(x, y) ∈ R2, ax+y = ax × ay

On a aussi :

• a0 = 1 et a1 = a• ∀(x, y) ∈ R2, ax

ay = ax−y• ∀(x, y) ∈ R2, (ax)y = axy

• ∀x ∈ R, ax × bx = (a× b)x

Proposition 37

Soit a un reel strictement positif et different de 1, on a :

∀x ∈ R, lna (ax) = x et ∀x ∈ R?+, a

lna(x) = x.

Proposition 38

2.4 Fonctions puissances

2.4.1 Definition

Soient n un entier naturel, x un reel et α un reel.

• On pose : xn =

x× · · · × x︸︷︷︸n fois

si n > 1

1 si n = 0.

.

• Si x est non nul, on pose : x−n =1

xn.

• Si x est strictement positif, on pose : xα = exp (α ln(x)).

Definition 39



* Remarque :Si x est un reel strictement positif et n un entier naturel, xn est a la fois x× · · · × x︸︷︷︸

n fois

et exp (n ln(x)),

x−n est a la fois l’inverse de xn et exp (−n ln(x)).

+ Mise en garde :Lorsque l’on etudie une fonction du type f : x 7→ u(x)v(x) (une focntion ou la puissance varie enfonction de la variable), on commence toujours par ecrire que, sous reserve d’existence, pour toutreel x, on a :

f(x) = exp (v(x) ln(u(x))) .

Calculer une derivee, faire un calcul de limite,... sans passer par cette expliciatation serait une erreur.On peut bien sur la meme remarque pour une suite du type (vwn

n )n∈N.

Les relations :

• am × an = am+n

• am

an= am−n si a 6= 0

• (a× b)m = am × bm

• (am)n = amn

• am

bm=(ab

)msi a 6= 0

sont valables :• pour tous reels a et b si m et n sont deux entiers naturels,• pour tous reels non nuls a et b si m et n sont deux entiers,• pour tous reels strictement positifs a et b si m et n sont deux reels.

Proposition 40

* Remarque :Cette derniere proposition est consideree comme evidente. Elle doit absolument etre totalementacquise. Ne pas faire de melange en simplifiant par exemple du am × bn en (a× b)m+n.

Soit n un entier naturel pair et m un entier naturel impair.• Soit x un reel positif. On definit n

√x comme etant la solution de l’equation yn = x

d’inconnue y reel positif. On a donc :

∀ x ∈ R+, ∀ y ∈ R+, y = n√x⇐⇒ x = yn.

• Soit x un reel. On definit m√x comme etant la solution de l’equation ym = x d’inconnue

y reel. On a donc :

∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R, y = m√x⇐⇒ x = ym.

Definition 41

* Remarque :

x1n , c’est-a-dire exp

(ln(x)

n

)et n√x designe la meme quantite si x est un reel positif et n un entier

naturel.



+ Mise en garde :x

1n et n

√x ne designe pas la meme quantite si x est un reel negatif et n un entier naturel impair. n

√x

est alors defini et x1n n’a pas de sens. Voici par exemple une preuve que −1 = 1 :

−1 = (−1)1

= (−1)22

=((−1)2

) 12

=√

(−1)2

= 1

Cette preuve est bien sur erronee, l’erreur commise ici est de confondre (−1)22 et ((−1)2)

12 .

2.4.2 Proprietes et graphiques

Soit α un reel. On definit fα la fonction suivante : fα : x 7→ xα. On sait que :1. • fα est definie et derivable sur R?

+.• f ′α : x 7→ α× xα−1.• fα est croissante sur R?

+ si α est positif et decroissante sur R?+ si α est negatif.

2. Si α est aussi un entier naturel alors voici quelques proprietes supplementaires defα :• fα est definie et derivable sur R .• fα est pair si α est pair et impair si α est impair.• f ′α : x 7→ α× xα−1

• fα est croissante sur R si α est impair et est decroissante sur R− puis croissantesur R+ si α est pair.

3. Si α est aussi un entier negatif alors voici quelques proprietes supplementaires defα :• fα est definie et derivable sur R? .• fα est pair si α est pair et impair si α est impair.• f ′α : x 7→ α× xα−1

• fα est decroissante sur R?− puis decroissante sur R?

+ si α est impair et est crois-sante sur R?

− puis decroissante sur R?+ si α est pair.

Proposition 42

* Remarque :

1. f2 est la fonction carre, sa courbe representative dans un repere orthonorme est une parabole.

2. f−1 est la fonction inverse, sa courbe representative dans un repere orthonorme est une hyper-bole.

¨) Corollaire 43 :Un polynome est defini et derivable sur R.




Soit n un entier naturel non nul. Notons gn la fonction suivante :

gn : x 7→ n√x.

– Pour tout reel strictement positif x, on a gn(x) = x1n .

• Si n est impair, gn est impaire et derivable sur R .• Si n est pair, gn est definie sur R+ et derivable sur R?

+ et sa courbe representativepresente une demi-tangente verticale en l’origine.• g′n : x 7→ 1

nx

1n−1

• gn est strictement croissante.

Proposition 44

* Remarque :g2 est la fonction racine carree, g3 est la fonction racine cubique.

+ Mise en garde :

• Soit x un reel, on a :√x2 = |x| (et pas forcement x...).

• Soient a et b deux reels tels que ab > 0, on a :√ab =

√|a|√|b|.




2.5 Fonctions trigonometrique

Quelques valeurs particulieres a connaıtre par cœur :

θ 0 π6

π4

π3

π2

π

cos θ 1√

32

1√2

=√

22

12

0 −1

sin θ 0 12

1√2

=√

22

√3

21 0

tan θ 0 1√3

1√

3 non defini 0

Proposition 45

• cos et sin sont definies et derivables sur R.• cos et sin sont 2π periodiques.• sin est impaire et cos paire.• cos′ : x 7→ − sin(x)• sin′ : x 7→ cos(x)

Proposition 46




• tan est definie et derivable sur R\ π

2+ kπ, k ∈ Z

.

• tan est π periodique.• tan est impaire.• tan′ : x 7→ 1 + tan2(x).

Proposition 47

.) Illustration :Voici le graphe de cette fonction :


Documents

Chapitre 5 Rappel d’analyse · 2016. 7. 8. · Chapitre 5: Rappel d’analyse G en eralit es 1 G en eralit es 1.1 D e nitions Une fonction f d’une variable r eelle a valeurs r