Cours de physique des ondes Chapitre 3

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Chapitre trois : Equation d’onde de D’Alembert

3.1 Cas de n oscillateurs couplés.

3.2 Passage à la limite.

3.3 Vibrations transversales d’une corde.

3.4 Solution générale de l’équation de D’ALEMBERT

3.5 Ondes monochromatiques progressives

3.6 Ondes stationnaires

3.7 Superposition de deux ondes planes

3.8 Cas de la corde vibrante (corde de Melde)

3.1 Cas de n oscillateurs couplés

Considérons un système formé de n points matériels de même masse m reliés par des ressorts

de même constante de raideur k.

Les différentes masses sont repérées par leurs abscisses à partir de leurs positions d’équilibre

sur l’axe x. On notera a la distance entre deux masses consécutives au repos.

A la première masse à gauche, on impose un mouvement sinusoïdal de forme :

,

Le mouvement de la masse 1 entraine, par suite de compression et de détente de ressorts et de

proche en proche, un mouvement sinusoïdal de la masse 2, puis 3…..

représente une perturbation, il s’agit ici de l’abscisse de la masse par rapport à sa position

d’équilibre.

L’équation différentielle qui régit le mouvement de la masse n peut s’écrire :

x

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Les solutions de cette équation en se limitant qu’aux oscillations forcées (régime permanent)

peuvent s’écrire :

Attention : le K représente une grandeur qui sera définie plus loin. Ce n’est pas la constante

de raideur k du ressort.

Dans l’ensemble des complexes l’équation s’écrit :

Rappel mathématique :

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Cette relation lie la pulsation Ω de la source à la pulsation propre ω0 ainsi qu’à une certaine

grandeur K appelé vecteur d’onde. Cette relation est appelé relation de dispersion.

3.2 Passage à la limite.

Dans le système précédent nous avons supposé qu’on avait un nombre n d’oscillateurs ;

supposons maintenant que ce nombre tende vers l’infini….c’est à dire que ce nombre est très

grand.

On pose :

paragraphe 3.1

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Or on a :

a la dimension d’une vitesse au carré, on pose

C’est l’équation de propagation d’une onde. Toute solution de l’équation représente

une onde qui se propage le long de l’oscillateur.

Dans un espace à trois dimensions cette équation s’écrit :

est le Laplacien de la fonction

Le phénomène de propagation est dit « non dispersif « si la célérité v est indépendante de la

fréquence.

Solutions de l’équation de propagation à une dimension :

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On ne peut pas résoudre directement cette équation, c’est une «équation linéaire par rapport à

. Toute combinaison linéaire de solutions linéairement indépendantes est au aussi

3.3 Vibrations transversales d’une corde.

On considère une corde inextensible, de masse linéique μ, tendue horizontalement avec une

force constante F. On négligera le poids de la corde devant la force appliquée. On applique

une petite perturbation à la corde, à l’origine O par exemple, on étudie la propagation de cette

perturbation le long de l’axe x, les différents éléments de la corde vont subir des déplacements

le long de l’axe Oy . C’est une propagation transversale.

Considérons une portion élémentaire dx de la corde comprise entre les abscisses x et x+dx.

Les déplacements verticaux sont très petits et les déplacements horizontaux seront négligés.

La masse de la portion de corde est μdx.

La masse linéique est donné par :

Le système étudié est la portion élémentaire AB, c’est une portion fictive. La force exercée

par la partie gauche de la corde peut être représentée par un vecteur tangent à la corde au

point A, de même la force exercée par la partie droite de la corde sur le point B peut être

représentée par un vecteur tangent à la corde. D’après la troisième loi de Newton, on a :

quand on fait tendre Δx vers zéro.

sont les tensions exercées sur la partie gauche et droite de l’élément étudié.

x

O

y

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Le théorème du centre d’inertie appliqué à cet élément de corde s’écrit :

En projetant sur l’axe x, on obtient :

et sur l’axe y, on obtient :

Comme α est petit, on peut écrire :

La deuxième équation donne :

On sait que :

y

α(x+Δx)

α(x)

O x x x+Δx

B

A

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La dérivée en un point est égale à la tangente de l’angle formé par la tangente géométrique au

point donné.

et

c’est la dimension de l’inverse du carré d’une vitesse.

La célérité de l’onde est donc donnée par :

Le déplacement transversal y(x ; t) obéit à l’équation suivante appelée «équation d’onde ou

équation de d’Alembert :

3.4 Solution générale de l’équation de D’ALEMBERT

Soit f ( x-vt ) une fonction quelconque deux fois dérivable, de la variable x-vt. Cette fonction

est solution de l’équation d’onde.

De même, une fonction quelconque g(x+vt) sera solution de l’équation d’onde.

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Toute combinaison linéaire de ces solutions est solution de l’équation d’onde. Les coefficients

placés devant chaque fonction peuvent être inclus directement dans les fonctions. La solution

générale de l’équation d’onde s’écrit alors :

Ces ondes se propageant suivant une seule direction x, sont appelées ondes planes.

: Cette fonction représente une onde se propageant dans la direction des x

croissant. En effet

La fonction f reprend à un instant

plus tard, à l’abscisse la valeur qu’elle avait

auparavant à l’instant t et à l’abscisse x. Ceci montre que cette fonction d’onde se propage

dans le sens des x positifs. On peut faire le même raisonnement à un instant

plus tôt, à

l’abscisse :

La fonction f reprend à un instant plus tard, à l’abscisse la valeur qu’elle avait auparavant

à l’instant

et à l’abscisse . Ceci montre que cette fonction d’onde se propage dans le

sens des x positifs

: Cette fonction représente une onde se propageant dans la direction des x

décroissant. En effet

La fonction g reprend à un instant

plus tard, à l’abscisse la valeur qu’elle avait

auparavant à l’instant t et à l’abscisse x. Ceci montre que cette fonction d’onde se propage

dans le sens des x négatifs.

Les deux solutions mathématiques de l’équation des ondes n’existent pas toujours, cela

dépend du problème physique.

S’il n’y a qu’une seule fonction mathématique, on parle d’onde progressive : c’est ce qui se

passe quand on a un milieu infini.

Si le milieu n’est pas infini on a alors deux solutions, la deuxième correspondant à l’onde

réfléchi. En un point x du milieu se superposent donc une onde incidente et une onde

réfléchie.

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3.5 Ondes monochromatiques progressives

Une onde progressive est dite monochromatique si peut être mise sous la forme :

L’équation d’onde est donnée par :

On voit bien que la fonction est bien solution de l’équation d’onde.

La fréquence, la période et la pulsation sont des grandeurs qui ne dépendent pas de la nature

du milieu mais uniquement de la source.

La quantité :

est appelé longueur d’onde, c’est une période spatiale selon x, comme T : période temporelle

et 2π période angulaire.

La longueur d’onde dépend de la vitesse du milieu et donc du milieu.

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La fonction cosinus étant paire et le déphasage.

On définit aussi un vecteur appelé vecteur d’onde dont l’unité dans le S.I est le m-1

par :

L’élongation complexe associée sera :

3.6 Ondes stationnaires

Une forme générale de l’équation de D’Alembert est donnée par :

Dans certains cas, la solution de l’équation de D’Alembert s’écrit sous la forme :

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La fonction F est fonction de la seule variable x et G de la seule variable t. Les deux variables

x et t sont découplées. L’onde alors ne se propage plus : il s’agit d’une onde stationnaire.

L’amplitude de cette onde décrite par F(x) est constante pour un x donné. Il peut exister des

points pour lesquelles F(x) = 0 : ce sont les nœuds de l’onde stationnaire et des points pour

lesquels F(x) est maximale : ce sont des ventres de l’onde stationnaire.

3.7 Superposition de deux ondes planes

monochromatiques

Considérons une onde plane monochromatique se propageant dans un milieu à l’extrémité

duquel un dispositif permet la réflexion totale de l’onde. On supposera que l’onde réfléchi se

propage avec la même amplitude que l’onde incidente. On peut donc écrire pour

L’onde incidente :

Et pour l’onde réfléchie :

En un point M quelconque l’onde résultante est la somme de ces deux ondes.

On obtient une onde stationnaire.

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Les nœuds de vibration pour lesquelles la fonction d’onde est nulle sont tels que :

donc

Deux nœuds successifs sont distants de

.

Entre les nœuds, on a des ventres de vibration, ils sont tels que :

donc

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

temps(s)

t=0

t=T/6

t=T/4

t=T/2

ψ(x,t) = 2A cos(2πx/λ ).cos(ωt)

A 5

λ 1

ω 6,28

T 1

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3.8 Cas de la corde vibrante (corde de Melde)

3.8.1 Corde avec extrémité fixe

Le montage comporte une corde fixée à un diapason entretenu par un vibreur, l’autre

extrémité de la corde est fixée à une masse.

La fréquence de vibration est imposée par le vibreur.

Lorsque la longueur de la corde entre le diapason et la poulie et la force appliquée par

l’intermédiaire de la masse m sont quelconques, on observe une corde épaisse et floue.

Si on modifie la longueur de la corde ou la tension exercée sur la corde, on aperçoit la

formation de nœuds et de ventres d’une onde stationnaire.

http://www.ac-grenoble.fr/disciplines/spc/genevieve_tulloue/file/gtulloue/Ondes/ondes_stationnaires/melde.html

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3.8.2 Corde avec extrémité libre

On repend le montage précédent et on maintient la corde verticalement, son extrémité est libre

de se mouvoir malgré la présence d’une force.

Pour un réglage donné, on voit la formation d’un certain nombre de fuseaux, on obtient des

ondes stationnaires avec un nœud au niveau du diapason et un ventre à l’autre extrémité de la

corde.

3.8.3 Corde fixée aux deux extrémités.

Considérons une corde de longueur L fixée à ses deux extrémités en x = 0 et en x = L.

Supposons une onde monochromatique se déplaçant le long de cette corde dans le sens de x

positifs d’amplitude A et une onde d’amplitude B de même pulsation ω dans le sens des x

négatifs. La fonction d’onde y est donnée par :

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On sait que :

et

N représente la fréquence. En remplaçant on obtient un ensemble de fréquences pouvant se

propager sur la corde.

d’où :

C’est la fréquence fondamentale.

C’est la première harmonique.

On peut de la même manière déterminer les autres harmoniques, ce sont des fréquences qui

correspondent à des modes de vibration de la corde.

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-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

L

Corde de longueur L fixée aux extrémités.

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

L

n=2 1ère harmonique L = λ

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5

L

n=3 2ème harmonique L = 3λ/2

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-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5

n=4 3ème harmonique L =2 λ