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Lycée Sainte GenevièvePT-PT*MATHÉMATIQUES
2020-2021CoursChap 1
LES SÉRIES NUMÉRIQUES
Objectifs :
� Étudier la nature d'une série à termes positifs.
� Étudier la nature d'une série à termes dans R ou C.� Calculer la somme d'une série convergente.
Table des matières
1 Généralités sur les séries numériques 21.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Divergence grossière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Première série de référence : la série géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Reste d'une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Structure algébrique de l'ensemble des séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Lien séries-suites : les séries télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Séries à termes positifs 102.1 Lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 La règle de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Comparaison séries-intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.1 Comparaison séries-intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.2 Application 1 : Les séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Application 2 : Étude des sommes partielles de séries divergentes et des restes de séries
convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Séries absolument convergentes 233.1 La convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Étude pratique de la convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Le produit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Compléments : études de quelques séries non absolument convergentes 314.1 Les séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 L'utilisation d'un développement asymptotique sur deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Synthèse : tableau récapitulatif 35
6 Représentation décimale d'un nombre réel 366.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Existence et unicité de la représentation décimale propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Application en informatique : représentation des nombres réels par des �ottants . . . . . . . . . . . 38
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1 Généralités sur les séries numériques
1.1 Dé�nitions
Notion de série
Dé�nition 1. Soit (un)n2N une suite à valeurs dans K = R ou C.On peut alors lui associer une autre suite (Sn)n2N, appelée la suite des sommes partielles, en posant :
On appelle série de terme général un la suite (Sn)n2N. On la note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remarques :
� Une série n'est donc pas autre chose qu'une suite. On peut donc lui appliquer tous les résultats concernantles suites. Mais une série est donnée par son terme général un et non par la suite des sommes partielles(Sn)n2N. Ainsi, l'objectif de ce chapitre est de développer pour étudier une série des outilsspéci�ques opérant sur son terme général un.
� Lorsque (un)n�n0 n'est dé�ni qu'à partir d'un certain rang n0 :
? On pose pour tout n � n0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
? On note alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convergence-Divergence
Dé�nition 2. Soit la sérieX
un.
� La sérieX
un est dite convergente lorsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinon elle est dite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� En cas de convergence, il existe donc S = limn!+1Sn 2 K. S s'appelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et on note
Ne pas confondre les notations suivantes :
�X
un représente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�+1Xn=0
un est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L'écriture+1Xn=0
un n'est possible que si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples :
� La série nulle :
� La série presque nulle :
Exercice 1 : Soit (un)n2N une suite constante. A quelle condition la série de terme général un est-elle convergente ?
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1.2 Divergence grossière
Une condition nécessaire de convergence
Propriété 1. Si la sérieX
un converge, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve :
Une réciproque fausse
La réciproque est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple : La série harmoniqueXn�1
1
nest une série divergente et pour autant son terme général tend vers 0.
Montrons la divergence de la série harmonique (méthode 1) :
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Une contraposée très utile :
Dans ce cas, on dit que la série est grossièrement divergente et on parle de divergence grossière.
Étape 1 de l'étude d'une série numérique : calcul de la limite de son terme général.
� Si limn!+1un 6= 0 : la série diverge grossièrement.
� Si limn!+1un = 0 : on ne peut rien en déduire.
Exemples :
�X
(�1)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�X
cos(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Première série de référence : la série géométrique
Soit x 2 C, on peut considérer la série géométrique de raison x :X
xn.
Théorème 1. Soit x 2 C.�X
xn converge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elle est même grossièrement divergente pour . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Et, pour jxj < 1, sa somme est égale à :
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Preuve :
1.4 Reste d'une série convergente
Dé�nition
On ne modi�e pas la nature d'une série en changeant un nombre �ni de termes (et donc en particulier ses premierstermes). Ainsi nous allons pouvoir dé�nir le reste d'une série convergente :
Dé�nition 3. SoitX
un une série convergente.
� Pour tout n 2 N, la sérieX
k�n+1uk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�+1X
k=n+1
uk s'appelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Pour tout n 2 N : Rn = ou S =
Preuve :
On ne confond pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Remarque : Lorsque on obtient une inégalité de type jRnj � ", c'est-à-dire : jS � Snj � ", alors Sn est une
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valeur approchée de S à moins de " près. D'où l'intérêt des formules de majoration du reste.
La suite des restes tend vers 0
Propriété 2. SiX
un est une série convergente alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve :
Exemple : Soit x 2 C tel que la série géométrique de raison x converge. Que vaut Rn pour tout n 2 N ?
1.5 Structure algébrique de l'ensemble des séries convergentes
Une structure d'espace vectoriel
Propriété 3. Soient deux sériesX
un etX
vn qui convergent respectivement vers S et S0 et � 2 C.Alors on a :
�X
(un + vn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�X
�un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve :
Remarques :
� Reformulations :
? L'ensemble C des séries convergentes est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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? L'application� : C ! K
Xun 7!
+1Xn=0
un
est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� SiX
un converge etX
vn diverge, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� SiX
un etX
vn divergent alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
? Exemple 1 :
? Exemple 2 :
� On ne coupe pas des séries sans précaution !En particulier, l'exemple 1 montre que
X(un + vn) peut être une série convergente avec
Xun et
Xvn
divergentes.
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Cas des séries à termes complexes
Propriété 4. SoitX
un une série à termes complexes. On a :
Xun converge()
8>>>>><>>>>>:
Dans ce cas, on a alors :
+1Xn=0
un =
Preuve :
Exemple : Les séries trigonométriques : Montrer que les séries de termes généraux un =cos (n)
2net
vn =sin (n)
2nsont convergentes et calculer leur somme. On pourra ensuite généraliser cela aux sériesX
rn cos (n�) etX
rn sin (n�) avec r 2 [0; 1[ et � 2 R.
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1.6 Lien séries-suites : les séries télescopiques
Propriété 5. Soit une sérieXn�1
un tel que un s'écrive sous la forme : un = an � an�1 avec (an)n2N
une suite à valeurs dans K. Une telle série s'appelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On a alors :
�Xn�1
un converge () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Dans ce cas, on peut calculer la valeur de sa somme S :
Preuve :
Exemples : Étude de la sérieXn�1
1
n(n+ 1), de la série
Xn�1
ln
�1 +
1
n
�puis de la série
X 1pn+ 1 +
pn
:
� Savoir reconnaître des séries télescopiquesX
(an � an�1) permet d'étudier la nature d'une série et encas de convergence d'en calculer sa somme.Quelques idées classiques :
? Décomposition en éléments simples dans le cas d'une fraction rationnelle�
? Utilisation de la quantité conjuguée,
? Utilisation du formulaire de trigonométrie lorsque la série comporte des arctan ; sin ; cos ; tan ...
� Parfois, pour étudier la nature d'une suite, on étudie la nature de la série télescopiqueX
(an � an�1)(voir l'exemple sur le développement asymptotique de la série harmonique)
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Exercice 2 : Dans chaque cas suivants, déterminer la nature de la sérieXn�1
un et lorsqu'il y a convergence, calculer la somme de la
série : un =1pn+ 1
� 1pn
et un = ln�cos�
1
2n
��.
2 Séries à termes positifs
On suppose ici essentiellement un 2 R+ pour tout n 2 N, mais d'autres cas s'y ramènent :
� Étude deX
un avec un 2 R+ à partir d'un certain rang : 9N 2 N; 8n � N; un 2 R+
carX
un etXn�N
un ont même nature.
� Étude deX
un avec un 2 R� pour tout n 2 N ou à partir d'un certain rang
carX
un etX
�un ont même nature.
2.1 Lemme fondamental
Propriété 6. SoitX
un une série à termes réels positifs.
Alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve :
Propriété 7. SoitX
un une série à termes réels positifs. On a alors :
� Ou bien (Sn)n2N est une suite majorée et alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Ou bien (Sn)n2N N'est PAS une suite majorée et alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve :
Exemple : On a déjà montré que la série harmonique diverge. Comme elle est de plus à termes positifs, . . . . . .
Sauf dans quelques cas, on utilisera plutôt, pour étudier la nature d'une série, les théorèmes qui suivent permettantde travailler directement sur le terme général de la série et non sur ses sommes partielles.
2.2 Théorèmes de comparaison
Il s'agit ici de comparer les termes généraux de deux séries.
Comparaison de deux séries à termes positifs : inégalités
Propriété 8. SoientX
un etX
vn deux séries véri�ant :
� SiX
vn converge alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Par contraposée : siX
un diverge alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Preuve :
Exemples :
� Justi�er que la série de terme général un =1
1 + 2nest convergente.
� SoitX
un une série à termes positifs convergente. Montrer queX
u2n est convergente.
� Déterminer la nature de la sérieXn�1
ln (n)
n2n.
Remarque : Les résultats de convergence, divergence restent vrais sous l'hypothèse :
9N 2 N; 8n � N; 0 � un � vn
car
� les sériesX
un etXn�N
un ont même nature,
� les sériesX
vn etXn�N
vn ont même nature.
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Règle des équivalents
Théorème 2. SoientX
un etX
vn deux séries.
On suppose que :
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alors :
Preuve :
Rj j j j j0 1
21 3
22
nnnnnnnnnnn
�n (pour n � N)
Exemples :
� Divergence de la série harmonique (Méthode 2) :
En tant que série télescopique, on a déjà montré la divergence de la sérieXn�1
ln
�1 +
1
n
�. En déduire la nature
de la série harmoniqueXn�1
1
n.
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� En tant que série télescopique, on a déjà montré la convergence de la sérieXn�1
1
n(n+ 1). En déduire la nature
de la sérieXn�1
1
n2.
Exercice 3 : Déterminer la nature de la sérieXn�1
1
2n � 1.
Remarque : Avec les équivalents, la positivité d'un seul des termes généraux su�t puisque, par équivalence,l'autre est aussi positif à partir d'un certain rang.
Exemple : Développement asymptotique de la série harmonique :
On considère la suite (un)n�1 dé�nie par : 8n 2 N?; un =
nX
k=1
1
k
!� ln (n). D'après le critère sur les séries
télescopiques, montrons alors que la suite (un)n�1 converge en étudiant la nature de la sérieXn�2
(un � un�1).
Conclusion : développement asymptotique de la série harmonique :Il existe ainsi une constante , appelée constante d'Euler, telle que
nXk=1
1
k=
n!+1 ln (n) + + �(1):
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Règle de domination, règle du o
Propriété 9. SoientX
un etX
vn deux séries.
On suppose que :
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alors :
Preuve :
Propriété 10. SoientX
un etX
vn deux séries.
On suppose que :
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alors :
Preuve :
Remarques :
� Les contraposées de ces deux propriétés donnent :
? Pour le � grand O � :
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? Pour le � petit o � :
� Les résultats restent vrais si les séries sont à termes positifs qu'à partir d'un certain rang.
Exemple : Étude pour tout � 2 R de la nature de la sérieXn�1
n�e�n :
Utilisation des théorèmes de comparaison pour déterminer la nature d'une série à termes positifs :
� Connaissance de la nature des séries de référence : série géométrique, série de Riemann (voir plus loin)
� Comparaison du terme général de notre série à celui d'une série de référence :
? En le majorant (pour une convergence) ou en le minorant (pour une divergence) :Y penser pour des termes généraux avec du sin ; cos ; b c....
? En trouvant un équivalent simple du terme général.Parfois un calcul de DL est alors nécessaire.
Exercice 4 : Déterminer la nature des séries de terme généraux an =j sinnjn2
, bn = ln (n+ �)� ln (n+ e) et cn = ln�1 +
2
n2
�� 1
n2.
2.3 La règle de d'Alembert
Théorème 3. SoitX
un une série. On suppose que :
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alors :
� Si ` < 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Si ` > 1, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Si ` = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve :
� Cas 1 : si ` < 1 :
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Rj j j j0 ` `+1
21
nnnnnnnnnnn
un+1
un(pour n � N)
� Cas 2 : si ` > 1 :
Penser à la règle de d'Alembert lorsque l'écriture de un fait intervenir des factorielles, des puissances.
au cas douteux ` = 1
Exemples :
� Nature de la série exponentielleX xn
n!lorsque x > 0 :
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� Nature de la sérieX nn
n!:
� Cas douteux : considérer les deux sériesX 1
netX 1
n2:
2.4 Comparaison séries-intégrales
2.4.1 Comparaison séries-intégrales
Comprendre l'idée de la méthode
On considère une série à termes positifs dont on veut étudier la nature. Elle s'écrit doncX
f(n). Une méthodepour étudier la nature de cette série est d'utiliser le théorème de comparaison en encadrant f(n). Or, lorsque lafonction f est :
� continue sur R+ (a�n que l'intégrale existe),
� positive sur R+ (a�n que la série soit bien à termes positifs),
� et décroissante sur R+,
il existe alors un moyen simple d'encadrer f(n) en utilisant des intégrales. Ensuite, si l'intégrale est plus facilementcalculable que la série, cela permet d'obtenir de nouveaux résultats.Toute la méthode tient sur le schéma suivant, en remarquant que f(n) peut être vu comme l'aire d'un rectanglede largeur 1 et de hauteur f(n) :
f(n) f(n)
f(n)
n� 1 n n+ 1
y = f(x)
Graphiquement, il apparaît que
� f(n) � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� f(n) � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cette inégalité, qui se lit facilement sur un dessin, correspond en fait rigoureusement à un théorème de croissance
de l'intégrale en remarquant que f(n) =
nZn�1
f(n)dt =
n+1Zn
f(n)dt.
Illustrons tout cela par l'étude d'un exemple assez classique :
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Exemple : Divergence de la série harmonique (méthode 3) et équivalent en +1 :
Comparaison série-intégrale
Lemme 1. Soit n0 2 N. Soit f : [n0;+1[! R+ une fonction positive, continue et décroissante sur
[n0;+1[. On a
Preuve :
f(n) f(n)f(n)
n� 1 n n+ 1
y = f(x)
Exercice 5 : Soit f une fonction continue, positive et décroissante sur R+. Pour tout n 2 N?, on pose : un =
0@ nZn�1
f
1A � f(n).
Montrer que la sérieX
un converge.
Comme pour la série harmonique, nous allons devoir étudier la convergence ou divergence de sommes partielles
s'écrivant sous la forme : SN =
NZn0
f(t)dt lorsque N tend vers +1. A�n de pouvoir passer à la limite de ces
sommes partielles (si elle existe), nous avons besoin d'intégrer des fonctions sur des intervalles non bornés du type[n0;+1[. Un chapitre entier est dédié à l'étude de ce type d'intégrale, nous nous contentons ici de la dé�nitiond'intégrale impropre.
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Dé�nition 4. Soit f une fonction continue sur [a;+1[ avec a 2 R.
� On dit que l'intégrale impropre
Z+1
af converge si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Sinon on dit que l'intégrale impropre
Z+1
af diverge.
Propriété 11. Soit n0 2 N et f une fonction continue, positive et décroissante sur [n0;+1[. Alors
Preuve :
Penser au théorème de comparaison série-intégrale lorsque an = f(n) avec une fonction f véri�ant :
� f continue, positive, décroissante sur [n0;+1[,
� et on sait étudier facilement la nature deZ
+1
af .
Exemples : Déterminer la nature des séries de terme général (séries de Bertrand) : un =ln (n)
n, un =
1
n ln (n)
et un =1
n(ln (n))2.
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2.4.2 Application 1 : Les séries de Riemann
Convergence et divergence des séries de Riemann
Lemme 2. Soit � 2 R.
+1Z1
dt
t�converge ()
Preuve :
Théorème 4. Séries de Riemann :
Soit � 2 R. Xn�1
1
n�converge ()
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Preuve :
Exemples :
� On a déjà vu que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�Xn�1
1pn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�Xn�1
1
npn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Deux séries de référence : série géométrique et série de Riemann.
� Utilisation des théorèmes de comparaison en utilisant ces séries de référence, en particulier :
? théorème des inégalités,
? Utilisation d'équivalents,
? Règle des n�un (voir ci-dessous).
Règle des n�un
Lorsque le terme général un n'admet pas d'équivalent simple, on peut alors utiliser la règle des n�un qui n'estautre que la règle du � petit o �avec les séries de Riemann. En e�et, on peut remarquer que :
n�un =un1
n�
:
Propriété 12. SoitX
un une série à termes positifs et � 2 R.� S'il existe � > 1 tel que lim
n!+1n�un = 0 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� S'il existe � � 1 tel que limn!+1n�un = +1 alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Preuve :
Exemples :
� Série de Bertrand, le retour 1 : Déterminer la nature des séries de terme général : un =ln (n)
n2et
un =1p
n ln (n).
� Déterminer la nature des séries de terme général : un = e�n2
et un = e�pn.
2.4.3 Application 2 : Étude des sommes partielles de séries divergentes et des restes de sériesconvergentes
Soit f : [0;+1[! R+ continue, positive et décroissante sur R+. Le principe d'obtention des encadrements dansle cadre des comparaisons série-intégrale permet d'encadrer de façon précise les restes d'une série convergente oules sommes partielles d'une série divergente et d'en déduire souvent des équivalents.
Exemple : Exemples avec les séries de Riemann :
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� Cas de convergence : Soit � > 1. Déterminer un équivalent simple de Rn =+1X
p=n+1
1
p�:
� Cas de divergence : Soit � 2]0; 1[. Déterminer un équivalent simple de Sn =nX
p=1
1
p�:
Exercice 6 : Exemples avec les séries de Bertrand : Déterminer un équivalent simple de Rn =
+1Xp=n+1
1
p2 ln (p). Déterminer un
équivalent simple de Sn =
nXp=1
1
p ln (p).
3 Séries absolument convergentes
Cadre d'étude :
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� Des séries dont le terme général un est complexe NON réel,
� Des séries dont le terme général un est réel mais de signe NON constant.
On commence alors par étudier la sérieX
junj, série de termes positifs sur laquelle on peut donc utiliser tous lesthéorèmes vus dans la section précédente.
3.1 La convergence absolue
Dé�nition
Dé�nition 5. On dit queX
un converge absolument si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemples :
� La sérieXn�1
(�1)n
n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� La sérieX ein
2n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Une série absolument convergente converge
Théorème 5. Une série absolument convergente est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preuve :
� Cas des séries à termes réels : utilisation des parties positive et négative :
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� Cas des séries à termes complexes : utilisation des parties réelle et imaginaire :
La réciproque est fausse : on va montrer plus loin queXn�1
(�1)n
nconverge. Pour autant elle n'est pas
absolument convergente car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On appelle série semi-convergente une série convergente qui n'est pas absolument convergente.
Inégalité triangulaire
Propriété 13. Si la série de terme général un converge absolument, alors :
Preuve :
3.2 Étude pratique de la convergence absolue
Il s'agit d'appliquer àX
junj les résultats de la section précédente en particulier les théorèmes de comparaisonet la règle de d'Alembert.
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Théorèmes de comparaison
Propriété 14. SoientX
un une série numérique etX
vn une série à termes positifs convergente.
� Si pour tout n 2 N : junj � vn alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Si pour tout n 2 N : junj �+1 vn alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Si un =+1 O(vn) alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� Si un =+1 �(vn) alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� En particulier la règle des n�un devient :
si � > 1 et un =+1 �
�1
n�
�(équivalent à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ), alors :
Preuve :
Exemples : Déterminer la nature de la sérieXn�1
cos (n�)
n2pour tout � 2 R puis celle de la série
X ein
n2 + i.
Remarque : L'hypothèse deX
vn une série convergente à termes positifs est indispensable !
Exemples :
� On pose pour tout n 2 N?, un =1
net vn =
(�1)n
n. On a alors :
? un =+1 O(vn) car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
? On va montrer plus loin queXn�1
vn converge (voir le critère des séries alternées)
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? Pour autant, on sait déjà queXn�1
un diverge.
� On pose pour tout n 2 N?, un =1
net vn =
(�1)npn
. On a alors :
? un =+1 �(vn) car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
? On va montrer plus loin queXn�1
vn converge (voir le critère des séries alternées)
? Pour autant, on sait déjà queXn�1
un diverge.
Les théorèmes de comparaison ne s'appliquent pas ici puisque la sérieX
vn n'est pas à termes positifs !
Règle de d'Alembert
Il s'agit d'appliquer la règle de d'Alembert à junj.
Exemple : Montrons que pour tout z 2 C?, la sérieX zn
n!converge absolument.
Remarque : La somme s'appelle l'exponentielle de z :
exp (z) =+1Xn=0
zn
n!
ce qui permet de dé�nir rigoureusement la fonction exponentielle complexe : exp : C! C.
3.3 Le produit de Cauchy
Dé�nition
A�n de bien comprendre la dé�niton du produit de Cauchy, commençons par faire quelques exemples simples.
� Considérons deux séries convergentesX
un etX
vn. On a pu donner un sens à la somme de deux séries ouau produit d'une série par un scalaire :
? la somme de deux série est la série de terme général un + vn,
? la multiplication d'une série par le scalaire � est la série de terme général �un.
On cherche alors à savoir quel sens donner au produit de deux séries convergentes. Peut-on écrire :
+1Xn=0
un
! +1Xn=0
vn
!=
+1Xn=0
unvn?
La réponse est sans appel, NON ! ! Pour s'en convaincre, il su�t déjà de constater :
(u0 + u1)(v0 + v1) 6= u0v0 + u1v1:
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� Considérons en guise de deuxième contre-exemple deux séries géométriques de terme général1
2n:
� Comment peut-on calculer le produit deux séries ou plus précisément le produit de la somme de deux sériesconvergentes ? Regardons d'abord ce qui se passe dans le cas des sommes partielles :
nXi=0
ui
!0@ nXj=0
vj
1A =
= sommation verticale
= sommation horizontale
6= u0v0 + u1v1 + � � �+ unvn
0 1 2 3 4i
0
1
2
3
4
j
u0v0
u0v1
u0v2
u0v3
u0v4
u1v0
u1v1
u1v2
u1v3
u1v4
u2v0
u2v1
u2v2
u2v3
u2v4
u3v0
u3v1
u3v2
u3v3
u3v4
u4v0
u4v1
u4v2
u4v3
u4v4
Sommation verticale
0 1 2 3 4i
0
1
2
3
4
j
u0v0 u1v0 u2v0 u3v0 u4v0
u0v1 u1v1 u2v1 u3v1 u4v1
u0v2 u1v2 u2v2 u3v2 u4v2
u0v3 u1v3 u2v3 u3v3 u4v3
u0v4 u1v4 u2v4 u3v4 u4v4
Sommation horizontale
Mais on peut aussi choisir de sommer les termes le long des diagonales :Formellement, sans donner de sens rigoureux, regardons la forme des premiers termes lorsque l'on somme lelong des diagonales :
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�Xi=0
ui
!0@ �Xj=0
vj
1A =
=
0 1 2 3 4i
0
1
2
3
4
j
u0v0
u0v1
u0v2
u0v3
u0v4
u1v0
u1v1
u1v2
u1v3
u1v4
u2v0
u2v1
u2v2
u2v3
u2v4
u3v0
u3v1
u3v2
u3v3
u3v4
u4v0
u4v1
u4v2
u4v3
u4v4
w0
w1
w2
w3
w4
w5
Le long des diagonalesCela nous conduit à la dé�nition suivante :
Dé�nition 6. SoientX
un etX
vn deux séries numériques. On appelle produit de Cauchy de ces
deux séries, la sérieX
wn de terme général wn dé�ni par
wn =
Théorème
Théorème 6. SiXn�0
un etXn�0
vn sont absolument convergentes alors :
� leur produit de CauchyXn�0
wn converge absolument
� et la somme est égale à :
+1Xn=0
wn =
Preuve : Admis.
Exemples :
� Avec la série exponentielle : on a déjà démontré que pour tout (z; z0) 2 C2, les sériesX zn
n!etX (z0)n
n!sont
absolument convergentes. Donc la série produit de Cauchy l'est aussi. Calculons sa somme :
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� Avec la série géométrique : Soit q 2]� 1; 1[ et considérons la série géométrique de raison q. Elle est doncabsolument convergente. Donc la série produit de Cauchy de la même série
Xqn est absolument
convergente. Calculons sa somme :
Si le terme général de la série à étudier s'écrit sous la forme d'une SOMMEnX
k=0
ukvn�k, le théorème de
Cauchy, sous ses hypothèses, assure :
� l'absolue convergence de la série à étudier,
� un calcul de sa somme.
Exercice 7 : Étudier la nature de la série de terme général wn =
nXk=1
1
k22n�k. En cas de convergence, calculer sa somme. On pourra
admettre que
+1Xn=1
1
n2=
�
2.
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4 Compléments : études de quelques séries non absolument convergentes
On rappelle qu'une série est dite semi-convergente si elle converge sans converger absolument. Les méthodes vuesprécédemment ne s'appliquent donc plus sauf lorsque l'on reconnaît une série télescopique. On donne ici deuxméthodes classiques d'étude de séries semi-convergentes.
4.1 Les séries alternées
Dé�nition des séries alternées
Dé�nition 7. Une série à termes réelsX
un est dite alternée si la suite ((�1)nun)n2N est de signe
contant. AinsiX
un est alternée si son terme général un est de la forme :
8n 2 N; un = ou 8n 2 N; un =
avec (vn)n2N une suite positive.
Exemple : La série harmonique alternée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le critère spécial aux séries alternées : HP
Quitte à considérer les opposés, on peut supposer par exemple que : 8n 2 N; un = (�1)vn avec (vn)n2N une suiteà termes positifs.
Théorème 7. SoitX
un une série à termes réels. On suppose que :
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alors la sérieX
un converge.
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Preuve :
Exemple : La série harmonique alternée ne converge pas absolument mais elle converge. En e�et :
Exercice 8 : Étudier la nature de la série de terme généralXn�1
(�1)n
n�.
Encadrement du reste
Propriété 15. Sous les hypothèse du critère spécial aux séries alternées,
le reste Rn est compris entre 0 et un+1 (il a donc le même signe que un+1).
Preuve : On se place donc sous les hypothèses du critère spécial aux séries alternées. On distingue alors le casn = 2p+ 1 impair et le cas n = 2p pair :
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� Cas pair n = 2p :
Rj jjS
Rn
un+1
� Cas n impair n = 2p+ 1 :
Rj jjS
Rn
un+1
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4.2 L'utilisation d'un développement asymptotique sur deux exemples
Parfois, le critère spécial aux séries alternées ne s'applique pas. On peut alors, en utilisant un développementasymptotique du terme général de la série, réussir tout de même à étudier sa convergence ou divergence. Traitonscela sur deux exemples :
Exemples :
� Nature de la sérieXn�1
sin
�(�1)n
n+
1
n2
�:
� Nature de la sérieXn�2
ln
�1 +
(�1)npn
�:
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5 Synthèse : tableau récapitulatif
Étudier la sérieX
un=
Étudier son terme général un.
Deux séries de référence :
� Série géométrique :X
qn converge () jqj < 1
� Série de Riemann :X 1
n�converge () � > 1
limn!+1un = 0 ?
un de signe constant apcr ?
Div grossière
ACV?Termes positifs
SCV?
Règle
des
équivalents
Théorèm
edes
inégalités
Règle
den�un
Règle
ded'Alem
bert
Com
paraison P
et RProd
uitdeCauchy
Série
télescopiqu
e
SommeSomme
Critère
auxséries
alternées
Série
télescopiqu
e
Dévelop
pem
entasym
ptotiqu
e
Somme
Oui
Non
Oui Non
Non
Oui
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6 Représentation décimale d'un nombre réel
6.1 Dé�nitions
Développement décimal d'un réel
On s'intéresse ici à l'écriture d'un réel sous la forme � d'un nombre à virgule �. Par exemple :
� = 3; 14159::::: ou1
3= 0; 333333333::::::::
Pour les réels négatifs, l'usage veut que l'on adopte l'écriture décimale de leur valeur absolue précédée du signe� - �. Par exemple :
�p2 = �1; 414:::: ou � e = �2; 7182818284::::
On se contente donc dans la suite de considérer des réels positifs.L'écriture décimale d'un réel positif telle que :
� = 3; 14159::::: = 3 +1
10+
4
102+
1
103+
5
104+
9
105+ : : :
conduit naturellement à l'étude de séries de terme général un =an
10n= an10
�n avec
� a0 2 N� Pour tout n � 1, an est un chi�re c'est-à-dire an 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g.Une telle série
Xun =
X an
10nconverge bien. En e�et, on a :
� 8n 2 N?, 0 � an
10n� 9
10n,
� les sériesX
un etX 9
10nsont à termes positifs,
� comme série géométrique avec���� 110
���� < 1,X 1
10nconverge et donc, par structure vectorielle,
X 9
10nconverge
aussi.
Ainsi en utilisant le théorème de comparaison sur les séries à termes positifs, on obtient bien la convergence deX an
10n. On peut alors dé�nir le développement décimal d'un réel comme suit :
Dé�nition 8. On appelle développement décimal d'un réel positif x, toute suite (an)n2N telle que
� a0 2 N� Pour tout n 2 N?, an 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g,
� x =+1Xn=0
an
10n.
Développement décimal propre d'un réel
Malheureusement, une telle écriture de x n'est pas unique.
Exemple : Montrer que 0; 999999999::::::::::: = 1; 00000000000::::::::::
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A�n d'éviter ce problème, nous allons nous limiter aux suites (an)n2N dont les termes ne sont pas constammentégaux à 9 à partir d'un certain rang :
Dé�nition 9. On dit qu'un développement décimal d'un réel x est propre si la suite (an)n2N n'est pas
stationnaire en 9, c'est-à-dire :
6.2 Existence et unicité de la représentation décimale propre
Théorème 8. Tout réel positif admet un et un seul développement décimal propre.
Autrement dit, tout réel positif s'écrit de manière unique sous la forme
x = a0; a1a2a3a4 : : : � � � =+1Xn=0
an
10n;
avec
� a0 2 N� Pour tout n 2 N?, an 2 f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g,� (an)n2N non stationnaire en 9.
Preuve : Admis.
Remarque : Conjecturer l'expression de la suite (an)n2N intervenant dans le développement décimal propre dex :
Exemple : On cherche le développement décimal propre de � =1
12. Calculer les premiers chi�res du
développement décimal propre de � =1
12. Quelle conjecture peut-on en tirer ? Prouver que la conjecture
précédente est vraie.
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Remarques : On peut montrer les deux résultats suivants :
� Un nombre réel admet un développement décimal propre �ni si et seulement si il s'agit d'un nombre décimal
(c'est-à-dire un nombre rationnel s'écrivant sous la formea
10pavec a 2 Z et p 2 N).
� Un nombre réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique à partir d'uncertain rang.
Exemple :1
3= 0; 3333333333::::::::: ou
1
13= 0:07692307692307693:::
6.3 Application en informatique : représentation des nombres réels par des �ottants
La représentation des nombres réels en machine, appelés nombres �ottants utilise ce développement mais enne conservant qu'un nombre �ni de chi�res après la virgule, ce qui explique bien des erreurs d'arrondis sur les�ottants.
Exemples :
� cos(pi/2) renvoie sous Python, non pas 0, mais 6.123233995736766e-17.
� Le test d'égalité : cos(pi/2)==0 renvoie quand à lui : False.
Ainsi, les erreurs d'arrondis sur les �ottants rendent dangereux les tests d'égalité, puisque l'expression a==0 peutrenvoyer False à cause d'une erreur d'arrondi sur a. Pour tester si deux �ottants sont égaux, il est ainsi plusprudent de tester la � presque égalité �, c'est-à-dire si la di�érence entre les �ottants est � petite �. Par exemple,pour tester si deux �ottant a et b sont égaux, on peut tester : abs(a-b)<10**(-14).
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