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Séries numériques
1. Généralités...................................................................................................................p.1Séries à termes réels ou complexes, sommes partielles, convergence ou divergence.Pour les séries convergentes : le terme général tend vers 0, somme et restes, linéarité de la somme.Séries géométriques : sommes partielles, condition nécessaire et suffisante de convergence, valeur de la somme en cas de convergence.
Série télescopique : condition nécessaire et suffisante pour que la série ∑ (un+1−un) soit convergente.
2. Séries à termes positifs................................................................................................p.6Condition nécessaire et suffisante pour la convergence d'une série à termes positifs.Théorème de comparaison série-intégrale. Séries de Riemann.Critère de comparaison et critère d'équivalence pour les séries à termes positifs.Comparaison à une série géométrique, règle de d'Alembert.
3. Séries absolument convergentes..................................................................................p.10Définition de la convergence absolue d'une série à termes réels ou complexes.La convergence absolue implique la convergence.Inégalité triangulaire.
4. Développement décimal d'un nombre réel..................................................................p.12Définition du développement décimal d'un nombre réel.Caractérisation des nombres rationnels à l'aide de leur développement décimal.
--------------
L'objet de ce chapitre est l'étude des suites de sommes. Par exemple (∑k=1
n 1k )n∈ℕ :
123456789
def a(n): return 1/n
def S(n): if n==1: return a(1) return a(n)+S(n-1)
print(S(100))
12345678910
def a(n): return 1/n
def S(n): s=0 for k in range(1,n+1): s=s+a(k) return s
print(S(100))
1234567
def a(n): return 1/n
def S(n): return sum(a(k) for k in range(1,n+1))
print(S(100))
L'affichage obtenu après exécution de chacun des 3 codes ci-dessus est : 5.187377517639621
1. Gén éralités
Définition d'une série numérique
Soit (an)n⩾n0 une suite de réels ou de complexes.
La série de terme général an notée ∑n⩾n0
an est la suite définie par ∑n⩾n0
an≝(∑k=n0
n
ak)n⩾n0
Pour tout entier n⩾n0 , chaque terme ∑k=n0
n
ak est appelé somme partielle d'indice n.
Remarque : ∑n⩾0
an est souvent notée ∑ an .
On peut retenir : ∑ an=(a0 ;a0+a1 ;a0+a1+a2 ;a0+a1+a 2+a3 ;…)
Exemple : une série ayant pour terme général an=a 0+n×r a pour somme partielle d'indice n : ∑k=0
n
ak=…
Séries numériques 1/16 pycreach.free.fr - TSI2
La série ∑n⩾1
1n
est appelé série harmonique car son terme
général est proportionnel à la période de l'harmonique de rang n d'un signal périodique.
Exemples de codes Python permettant d'afficher la liste des 10 premiers termes de la série harmonique.1234567
def a(k): return 1/k
L=[a(1)]for n in range(2,11): L.append(L[-1]+a(n))print(L)
1 print([sum(1/k for k in range(1,n+1)) for n in range(1,11)])
Ces deux codes affichent :[1.0, 1.5, 1.8333333333333333, 2.083333333333333, 2.283333333333333, 2.4499999999999997, 2.5928571428571425, 2.7178571428571425, 2.8289682539682537, 2.9289682539682538]
La commande utilisant la définition d'une liste par compréhension s'avère plus coûteuse en temps de calcul.
Définition d'une série numérique convergente
Soit (an)n⩾n0 une suite de réels ou de complexes.
La série ∑n⩾n0
an est dite convergente si et seulement si la suite des sommes partielles (∑k=n0
n
ak)n⩾n0
est convergente.
Si la série ∑n⩾n0
an est convergente alors sa limite est appelée somme de la série notée ∑n=n0
+∞
an≝ limn→+∞(∑k=n0
n
ak)Si la série ∑
n⩾n0
an n'est pas convergente alors elle est dite divergente.
∑n⩾n0
an est une série donc une suite de nombres.
Si la série ∑n⩾n0
an converge alors sa somme ∑n=0
+∞
an est un nombre.
Remarque : l'expression « nature d'une série » désigne son caractère convergent ou divergent.
Suite (an)n⩾n0 Série ∑
n⩾n0
an
Le terme général d'indice n est an La somme partielle d'indice n est ∑k=n0
n
ak
La limite (si elle existe) de la suite (an)n⩾n0 est lim
n→+∞an La somme (si elle existe) de la série ∑
n⩾n0
an est ∑n=n0
+∞
an
Exemple de code Python utilisant le module sympy pour obtenir les expressions des sommes partielles ou de la somme d'une série numérique.1234567
from sympy import *k,n = symbols('k n')
pprint(summation(1/2**k, (k, 1, n)))pprint(summation(1/2**k, (k, 1, oo)))pprint(summation(1/k**2, (k, 1, n)))pprint(summation(1/k**2, (k, 1, oo)))
affichage :
Séries numériques 2/16 pycreach.free.fr - TSI2
Cas des séries de terme général complexe
Soit (z n)n⩾n0 une suite de nombres complexes.
La série ∑n⩾n0
z n est convergente si et seulement si les séries ∑n⩾n0
Re ( zn ) et ∑n⩾n0
Im ( zn) sont convergentes.
Si ∑n⩾n0
zn est convergente alors Re(∑n=n0
+∞
z n)=∑n=n0
+∞
Re (z n) et Im(∑n=n0
+∞
z n)=∑n=n0
+∞
Im ( zn ) .
Démonstration : soient un entier n⩾n0 , et Sn=∑k=n0
n
z k alors Re (Sn)=∑k=n0
n
… et Im (Sn)=∑k=n0
n
… car...
Ainsi la nature des séries ∑n⩾n0
Re ( zn ) et ∑n⩾n0
Im ( zn) se ramène à la convergence des suites ...
L'encadrement du module donné par : ∀ z∈ℂ , {∣z∣⩽∣Re ( z )∣+∣Im ( z )∣ (1)max (∣Re ( z )∣;∣Im ( z )∣)⩽∣z∣ (2)
permet de démontrer l'équivalence entre la convergence de la suite complexe (Sn)n⩾n0 et les convergences des suites
réelles (Re (Sn ))n⩾n0 et (Im (Sn))n⩾n0
.
► Si (Sn)n⩾n0
converge vers S∈ℂ , alors d'après (2) appliqué à z=S−Sn on a :
or limn→+∞
∣S−Sn∣=0 donc...
► Si (Re (Sn ))n⩾n0 et ( Im (Sn))n⩾n0
convergent respectivement vers les deux réels LR et L I alors en notant S=LR+ iL I
et en appliquant (1), à z=S−Sn on a :
or {limn→+∞
∣LR−Re (Sn)∣=0
limn→+∞
∣L I−Im (Sn)∣=0 donc... □
Condition nécessaire pour la convergence d'une série numérique
Soit (an)n⩾n0 une suite de réels ou de complexes.
Si la série ∑n⩾n0
an est convergente alors la suite (an)n⩾n0 est convergente et lim
n→+∞an=0 .
Si la suite (an)n⩾n0 n'est pas convergente ou si lim
n→+∞an=l≠0 alors la série ∑
n⩾n0
an est dite grossièrement divergente.
Démonstration : soit pour tout entier naturel n⩾n0 la somme partielle sn≝∑k=n0
n
ak .
sn−sn−1=…
Si la série ∑n⩾n0
an est convergente alors les suites (sn ) et (sn−1) sont convergentes vers la même limite donc... □
Cette condition n'est pas suffisante pour assurer la convergence d'une série numérique. Exemple : le terme général de la série harmonique tend vers 0 et pourtant la série harmonique est divergente.
En effet, supposons, par l'absurde, qu'il existe un réel l tel que ∑n=1
+∞ 1n= l .
En notant les sommes partielles sn≝∑k=1
n 1k
, on a : ∀ n∈ℕ *, s2 n−sn=…
Donc ∀ n∈ℕ *, s2 n−sn⩾12
. La suite (s2 n)n⩾1 est une suite extraite de la suite (sn )n⩾1 donc ... □
Cette condition nécessaire n'est pas transposable aux intégrales généralisées : il existe des intégrales généralisées du type ∫1
+∞
f (t )dt convergentes (et même absolument convergentes) pour lesquelles f (t ) n'admet pas de limite quand t
tend vers +∞ .
Séries numériques 3/16 pycreach.free.fr - TSI2
Définition du reste d'une série convergente
Soit ∑n⩾n0
an une série convergente.
Le reste d'indice n⩾n0 est le nombre noté ∑k=n+1
+∞
ak défini par ∑k=n+1
+∞
ak≝∑k=n0
+∞
ak−∑k=n0
n
a k .
Exemple : Le reste de la série ∑( 45 )
n
est...
Propriété asymptotique des restes d'une série convergente
Soit ∑n⩾n0
an une série convergente.
La suite des restes d'indice n est convergente et limn→+∞∑k=n+1
+∞
an=0 .
Remarque : le comportement asymptotique des restes d'une série convergente permet d'évaluer sa vitesse de convergence.
Exemple : si ∀ n∈ℕ *, ∣∑k=n+1
+∞
ak∣⩽ 1
n2 alors ∑k=n0
10
ak est une approximation de ∑k=n0
+∞
ak avec une précision ...
Opérations sur les séries numériques convergentes
Soient (an)n⩾n0 et (bn )n⩾n0
deux suites de réels ou de complexes, λ un scalaire (réel ou complexe).
Si ∑n⩾n0
an est convergente alors la série ∑n⩾n0
λan est convergente et ∑n=n0
+∞
λan=λ∑n=n0
+∞
a n
Si les séries ∑n⩾n0
an et ∑n⩾n0
bn sont convergentes alors la série ∑n⩾n0
an+bn est convergente et
∑n=n0
+∞
an+bn=∑n=n0
+∞
an+∑n=n0
+∞
bn
L'ensemble des séries numériques réelles convergentes est un ℝ _espace vectoriel et l'application qui à toute série numérique associe sa limite est une forme linéaire.
Ensemble des séries numériques réelles convergentes → ℝ
∑n⩾n0
an → ∑n=n0
+∞
a n
Conséquence : Si la série ∑n⩾n0
an est convergente et la série ∑n⩾n0
bn est divergente alors la série ∑n⩾n0
an+bn est...
En effet si ∑n⩾n0
an+bn était convergente alors ∑n⩾n0
an+bn−a n serait...
Si les séries ∑n⩾n0
an et ∑n⩾n0
bn sont divergentes alors on ne peut rien conclure sur la série ∑n⩾n0
an+bn .
Exemples : ∑n⩾0
1 et ∑n⩾0
−1 …
Définition des séries géométriques
Les séries géométriques sont de la forme ∑ qn avec q∈ℂ , les sommes partielles sont donc
si q≠1 , ∑k=0
n
qk=1−qn+1
1−q
si q=1 , ∑k=0
n
qk=n+1
Séries numériques 4/16 pycreach.free.fr - TSI2
Caractérisation des séries géométriques convergentes
Soit q∈ℂ .
La série géométrique ∑ qn converge si et seulement si ∣q∣<1 .
Si la série géométrique ∑ qn converge alors ∑n=0
+∞
qn=1
1−q
Démonstration : Si q=1 alors ∀ n∈ℕ , 1+q+q2+…+qn=…soit q∈ℂ∖ {1} , alors ∀ n∈ℕ , 1+q+q2+…+qn=…Si ∣q∣<1 alors ...Si ∣q∣⩾1 alors … □Remarque : une série géométrique de raison différente de 1 converge ou diverge à vitesse géométrique :
∑k=n+1
+∞
qk=qn+1
1−q=O+∞(qn )
Série géométrique réelle.
Série géométrique complexe.Dans le plan complexe, les vecteurs représentés ci-dessous ont pour affixe le terme général de la série : qn
Les points ont pour affixe les sommes partielles : ∑k=0
n
qk
n=1 n=2 n=3
Séries numériques 5/16 pycreach.free.fr - TSI2
Caractérisation des séries télescopiques convergentes
Soit (u n)n⩾n0 une suite réelle ou complexe.
La série ∑n⩾n0
(un+1−un) est convergente si et seulement si la suite (u n)n⩾n0 est convergente.
Si (u n)n⩾n0 est convergente alors ∑
k=n0
+∞
uk+1−uk=( limn→+∞
un)−un0
Démonstration : soit n∈ℕ , ∑k=n0
n
(uk+1−uk )=∑k=n0
n
u k+1−∑k=n0
n
uk= ∑k=n0+1
n+1
uk−∑k=n0
n
uk=un+1−un0
► Si la suite (u n) est convergente alors limn→+∞(∑k=n0
n
(un+1−u n))= limn→+∞
(un+1−un0)=( lim
n→+∞un )−un0
► Si la série ∑ (un+1−un) est convergente alors en utilisant un=un0+∑k=n0
n−1
(uk+1−uk ) on a limn→+∞
un=un0+∑k=n0
+∞
(u k+1−uk ) □
Exemples : ∑n⩾1(cos( 1
n+1 )−cos( 1n ))
∑n⩾1
(√n+1−√ n)
2. Série s à termes positifs
Condition nécessaire et suffisante pour la convergence d'une série à termes général positif
Soit (x n)n⩾n0 une suite de réels positifs ou nuls.
La série ∑n⩾n0
x n est convergente si et seulement si la suite des sommes partielles (∑k=n0
n
x k)n⩾n0
est majorée.
Si la série ∑n⩾n0
x n est convergente alors ∑k=n0
+∞
xk=supn⩾n0(∑k=n0
n
xk) .
Démonstration : si pour tout entier n⩾n0 , xn⩾0 alors la suite des sommes partielles (∑k=n0
n
x k)n⩾n0
est croissante donc...
Ce critère n'est pas suffisant si le terme général n'est pas positif. Contre-exemple : ∑ (−1)n …
Comparaison série - intégrale
Soit f une fonction positive, décroissante et continue sur l'intervalle [n0 ;+∞ [ .
La série ∑n⩾n0
f (n) et l'intégrale généralisée ∫n0
+∞
f (t )dt sont de même nature.
Les sommes partielles sont encadrées par : ∫n0
n+1f (t )dt⩽∑
k=n0
n
f (k )⩽ f (n0 )+∫n0
nf (t )dt
Si la série ∑n⩾n0
f (n) converge alors les restes d'indice n sont encadrés par : ∫n+1
+∞
f (t )dt⩽ ∑k=n+1
+∞
f (k )⩽∫n+∞
f (t )dt .
Démonstration : soit k⩾n0+1 , {∀ t∈[k ;k+1] , f (t )⩽ f ( k )∀ t∈[k−1; k ] , f (k )⩽ f (t )
car f est décroissante sur [k ; k+1 ] et sur [k−1;k ]
Ainsi, f étant continue sur [k ; k+1 ] et sur [k−1 ;k ] , par croissance de l'intégrale, on a :
{∫kk +1f (t )dt⩽∫k
k+1f ( k )dt= f ( k )
f (k )=∫k−1
kf (k )dt⩽∫k−1
kf (t )dt
Séries numériques 6/16 pycreach.free.fr - TSI2
Donc pour tout k⩾n0+1 , ∫kk+1f (t )d t⩽ f (k )⩽∫k−1
kf (t )dt
Par sommation pour k allant de p>n0+1 à q> p et en appliquant la relation de Chasles pour les intégrales,
∫pp+1f (t )dt⩽ f ( p)⩽∫p−1
pf (t )dt
∫p+1
p+2f (t )dt⩽ f ( p+1)⩽∫p
p+1f (t )dt
⋮
∫qq+1f (t )dt⩽ f (q)⩽∫q−1
qf (t )dt
}⇒ ∫pq+1f (t )dt⩽∑
k= p
q
f (k )⩽∫p−1
qf (t )d t
Minoration des sommes partielles :
Majoration des sommes partielles :
Si l'intégrale ∫n0
+∞
f (t )dt est divergente alors...
Si l'intégrale ∫n0
+∞
f (t )dt est convergente alors... □
Remarque : Ce critère étant asymptotique, il suffit de considérer, pour un certain a⩾n0 , l'intégrale généralisée
∫a+∞
f (t )dt
Exemple : application à la série ∑n⩾2
1n ln (n)
.
La fonction x→1
x ln ( x ) est continue, positive et décroissante (à démontrer) sur [2 ;+∞ [ , le critère de comparaison
série-intégrale assure que la série ∑n⩾2
1n ln (n)
est de même nature que l'intégrale généralisée ∫2
+∞ 1x ln ( x )
d x
Pour A>2 , ∫2
A 1x ln ( x )
d x=[ ln ( ln ( x )) ]2A=ln ( ln (A ))−ln (ln 2 ) , or lim
A→+∞ln (A )=+∞
Séries numériques 7/16 pycreach.free.fr - TSI2
Ainsi, l'intégrale généralisée ∫2
+∞ 1x ln ( x )
d x est divergente donc la série ∑n⩾2
1n ln (n)
est divergente.
Ce critère ne s'applique pas aux fonctions non-monotones : par exemple pour f ( x )=1−cos (2 nπ ) , la série ∑ f (n )
est convergente car ∀ n∈ℕ , f (n)=… et pourtant l'intégrale ∫0
+∞
f (t )d t est divergente.
Définition des séries de Riemann
Les séries de Riemann sont les séries ∑n⩾1
1nα
avec α∈ℝ .
Exemple : la série harmonique est une série de Riemann pour α=… .
La série ∑n⩾1
1
n2 pour α=…
La série ∑n⩾1
1
√n pour α=…
Caractérisation des séries de Riemann convergentes
Soit α∈ℝ .
La série de Riemann ∑n⩾1
1nα
est convergente si et seulement si α>1 .
Démonstration : Si α⩽0 alors...
Si 0<α⩽1 alors ...
Si 1<α alors... □
Exemple : la série ∑n⩾1
1
n2 est convergente et ∑
n=1
+∞ 1
n2= π
2
6 (calculée par exemple grâce aux séries de Fourier)
Comparaison des termes généraux positifs
Soient (x n) et ( yn ) deux suites de réels positifs.
Critère de minoration du terme général par celui d'une série divergente ∀ n∈ℕ , xn⩽ y n
∑ x n est divergente}⇒∑ y nest divergente
Critère de majoration du terme général par celui d'une série convergente ∀ n∈ℕ, x n⩽y n
∑ yn converge}⇒∑ xn converge
Ce critère étant asymptotique, il suffit de considérer la positivité et la comparaison à partir d'un certain rang.Démonstration : On démontre par récurrence que la comparaison des termes s'étend aux sommes partielles... □
Critère d'équivalence des termes généraux positifs
Soient (x n) et ( yn ) deux suites de réels positifs.
Si xn∼+∞ y n (équivalences des termes généraux) alors les séries ∑ xn et ∑ y n sont de même nature.
Démonstration : si xn∼+∞ y n alors il existe une suite (αn ) telle que {x n=αn× y nlimn→+∞
αn=1
Donc il existe un rang N tel que ∀ n⩾N , 0,9<αn<1,1Donc... □
Séries numériques 8/16 pycreach.free.fr - TSI2
Ce critère ne s'applique pas aux séries dont le terme général change de signe.
Contre-exemple : soit (x n)n⩾1 et ( yn )n⩾1 définies par xn=(−1)n
√n+
1n
et yn=(−1 )n
√n+(−1)n
n
∀ n∈ℕ *, x nyn=… Donc xn∼+∞ y n
Or, en démontrant que les sommes partielles (∑k=1
2 n (−1)k
√k )n⩾1
et (∑k=1
2 n+1 (−1)k
√k )n⩾0
sont des suites adjacentes on démontre
que la série ∑n⩾1
(−1)n
√ n est convergente. De même en étudiant les sommes partielles (∑
k=1
2 n (−1)k
k )n⩾1
et (∑k=1
2 n+1 (−1)k
k )n⩾0
,
on démontre que la série ∑n⩾1
(−1)n
n est convergente.
Donc la série ∑n⩾1
xn … Et la série ∑n⩾1
y n ...
Critère d'équivalence du terme général avec celui d'une série de Riemann
Soit (x n) une suite de réels telle que xn∼+∞1nα .
La série ∑ xn est convergente si et seulement si α>1 .
Remarque : inutile ici de vérifier que la série est à termes positifs car xn∼+∞1nα
l'impose à partir d'un certain rang.
En effet, si xn∼+∞1nα
alors...
Critère de comparaison à une série géométrique : la règle de d'Alembert
Soit (x n) une suite de réels strictement positifs à partir d'un certain rang n0 telle que la suite des quotients
( x n+1
x n )n⩾n0
soit convergente, on note L≝ limn→+∞
xn+1
xn.
Si L>1 alors la série ∑ xn est grossièrement divergente.
Si L<1 alors la série ∑ xn est convergente.
Démonstration :
► Si L>1 alors pour ε=L−1
2>0, il existe un rang nε⩾n0 tel que ∀ n⩾nε , L−ε<
xn+1
xn
Or L−ε>1 car...
En notant ∑n⩾n0
Re ( zn )
, on a ∀ n⩾nε , xn>0 donc : ∀ n⩾nε , q xn< xn+1
Ainsi, par récurrence, on démontre que ∀ n⩾nl , qn−nε xnε<x n donc limn→+∞
xn=…
Séries numériques 9/16 pycreach.free.fr - TSI2
► Si L<1 alors pour ε=1−L
2>0, il existe un rang nε⩾n0 tel que ∀ n⩾nε ,
xn+1
xn<L+ε
De plus ∀ n⩾nl , xn>0 donc : ∀ n⩾nl , xn+1< xn (L+ε)Or L+ε>1 car...
En notant q=L+ε , on a ∀ n⩾nε , xn>0 donc : ∀ n⩾nε , xn<q xn+1
Ainsi, par récurrence, on démontre que ∀ n⩾nl , xn<qn−nε x nε or la série ∑ qn ...
□
Exemple : ∑n⩾1
n!
nn ...
Pour l=1 tout peut arriver !Exemples : pour la série harmonique...
Pour la série ∑n⩾1
1
n2...
3 . Séries absolument convergentes
Définition de la convergence absolue d'une série à terme général réel ou complexe
Soit (an)n⩾n0 une suite de réels ou de complexes.
La série ∑n⩾n0
an est absolument convergente si et seulement la série ∑n⩾n0
∣an∣ est convergente.
Remarque : Selon le cas ∣an∣ désigne la valeur absolue ou le module du nombre mais dans tous les cas ∑n>n0
∣an∣ est une
série de réels positifs.
Condition suffisante pour assurer la convergence d'une série
Soit (an)n⩾n0 une suite de réels ou de complexes.
Si la série ∑n⩾n0
an est absolument convergente alors la série ∑n⩾n0
an est convergente.
Démonstration : ► Si (an)n⩾n0
est une suite de réels alors on l'écrit comme somme de deux suites ( pn )n⩾n0 et (qn )n>n0
respectivement à
termes positifs et négatifs.
Pour tout entier n⩾n0 , pn=max (a n; 0 )={an si an>00 sinon
et qn=min (an ;0 )={an si an<00 sinon
ainsi an= pn+qn .
Pour tout entier n⩾n0 , 0⩽ pn⩽∣an∣ , ainsi …
Pour tout entier n⩾n0 , 0⩽−qn⩽∣an∣ , ainsi …
Conclusion : si la série ∑n⩾n0
an est absolument convergente alors les séries ∑n⩾n0
pn et ∑n⩾n0
qn sont convergentes donc...
► Si (an)n⩾n0 est une suite de nombres complexes alors pour tout entier n⩾n0 , 0⩽∣Re (an )∣<∣an∣ .
Séries numériques 10/16 pycreach.free.fr - TSI2
La série ∑n⩾n0
∣Re (an )∣ est une série de réels positifs donc : si ∑n⩾n0
∣an∣ converge alors...
Ainsi, ∑n>n0
Re (an ) étant une suite de réels, si la série ∑n⩾n0
an est absolument convergente, la série ∑n>n0
Re (an ) est ...
De même, pour tout entier n⩾n0 , 0⩽∣Im (an)∣⩽∣an∣ ...□
La réciproque est fausse : il existe des séries dont le terme général n'est pas de signe constant et qui sont convergentes mais non absolument convergentes elles sont alors dites semi-convergentes.
L'objectif du programme n'est pas l'étude de la semi-convergence dans le cas général.
Exemple : La série ∑n⩾1
(−1)n
n n'est pas absolument convergente car....
Cependant pour p∈ℕ *, ∑k=1
2 p (−1)k
k=…
∑k=1
2 p+1 (−1)k
k=…
Donc la série ∑n⩾1
(−1)n
n est convergente.
Application au développement asymptotique d'échelle de comparaison 1
nk. :
Soit deux réels α et β et une série ∑n⩾1
xn telle que : xn=α1n+β
1
n2 +o( 1
n2 )Si α≠0 alors, la série de terme général α
1n
est divergente car...
La série de terme général β1
n2 +o( 1
n2 ) est convergente car …
Séries numériques 11/16 pycreach.free.fr - TSI2
Donc la série ∑n⩾1
xn est convergente si et seulement si α=0 .
Une série du type ∑ o( 1n ) peut être convergente ou divergente.
Exemples : 1
n2=o( 1
n ) or la série ∑n⩾1
1
n2 est une série de Riemann convergente.
1n ln (n )
=o( 1n ) or la série ∑
n⩾2
1n ln (n)
est divergente (cf. précédemment).
Inégalité triangulaire pour les séries absolument convergentes
Soit ∑n⩾n0
an une série absolument convergente.
∣∑n=n0
+∞
an∣⩽∑n=n0
+∞
∣an∣
Démonstration : soit un entier n⩾n0 , et l'hypothèse de récurrence HR (n ):∣∑k=n0
n
ak∣⩽∑k=n0
n
∣ak∣
Initialisation : ∣an0∣=∣an0
∣ donc HR (n0 ) est vérifiée.
Hérédité : Supposons qu'il existe un entier p⩾n0 tel que HR ( p ) soit vérifiée.
∣∑k=n0
p+1
ak∣=∣(∑k=n0
p
ak)+a p+1∣⩽∣∑k=n0
p
ak∣+∣a p+1∣ d'après l'inégalité triangulaire dans ℝ ou ℂ .
Donc HR ( p ) étant vérifiée : ∣∑k=n0
p+1
ak∣⩽∑k=n0
p+1
∣ak∣ donc HR ( p ) est vérifiée.
Conclusion : pour tout entier naturel n⩾n0 , HR (n ) es vérifiée.
La série ∑n⩾n0
an étant absolument convergente, la série ∑n⩾n0
∣an∣ et la série ∑n⩾n0
an convergent donc par passage à la limite
quand n tend vers +∞ dans HR (n ) on a : ∣∑n=n0
+∞
an∣⩽∑n=n0
+∞
∣an∣ □
4 . Développement décimal d'un nombre réel.
Définition d'un développement décimal d'un nombre réel positif
Soit x∈ℝ+ et la suite (an) définie par
{a0=⌊ x ⌋
∀ n∈ℕ*, an=⌊10
nx ⌋−10 ⌊10
n−1x ⌋
i.e. ∀ n∈ℕ *, an est le reste de la division euclidienne de ⌊10n x ⌋ par 10
i.e. {a0=⌊ x ⌋
∀ n∈ℕa n+1=⌊10n x ⌋−∑k=0
n−1
(10n−kak )
Alors : a0∈ℕ et ∀ n∈ℕ* , an∈{0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ;5 ; 6 ;7 ;8; 9}
de plus, x=∑n=0
+∞
(an10−n )
Le réel x a pour développement décimal illimité : a0 , a1a2…
Démonstration :
La division euclidienne de ⌊10n x ⌋ par 10 a pour quotient q et reste r ⇔ {⌊10n x ⌋=10×q+r0⩽r<10
⇔
{⌊10n x ⌋−10 q=r10 q⩽⌊10n x ⌋<10q+10
⇔ {⌊10n x ⌋−10 q=r
q⩽⌊10n x ⌋
10<q+1
⇔ {⌊10n x ⌋−10 q=r
q=⌊ ⌊10n x ⌋10 ⌋
Or 10n x−1<⌊10n x ⌋⩽10n x donc 10n−1 x−110<⌊10 n x ⌋
10⩽10n−1 x
Séries numériques 12/16 pycreach.free.fr - TSI2
De plus ⌊10n−1 x ⌋⩽10n−1 x<⌊10n−1 x ⌋+1 donc ⌊10n−1 x ⌋−110<⌊10 n x ⌋
10<⌊10n−1 x ⌋+1
Or ⌊10n−1 x ⌋∈ℕ et [10n x ]∈ℕ donc [10n−1 x ]⩽[10n x ]
10<[10n−1 x ]+1
Ainsi ⌊ [10n x ]10 ⌋=[10n−1 x ]
Montrons que la série ∑ (an10−n) est convergente.
∀ n∈ℕ* , 0⩽an10−n⩽9×10−n or la série ∑10−n est convergente car...
Ainsi, d'après le critère ….
Démontrons par récurrence : HR (n ) : « ∑k=0
n
(a k10−k)⩽x<10−n+∑k=0
n
(a k10−k ) »
Initialisation : ⌊ x ⌋⩽x< ⌊ x ⌋+1 donc a0⩽x<10−0+a0 ainsi, HR (0) est vérifiée.Hérédité : supposons qu'il existe p∈ℕ tel que HR ( p ) soit vérifiée.
Alors 10 p∑k=0
p
(ak10−k)⩽x10 p<1+10 p∑k=0
p
(ak10−k)
Donc ∑k=0
p
(a k 10p−k)⩽x10 p<1+∑
k=0
p
(a k 10p−k)
Or pour k∈⟦0 ; p⟧ , p−k∈ℕ donc ak 10 p−k∈ℕ ainsi ∑k=0
p
(a k10p−k)∈ℕ d'où ⌊ x 10 p ⌋=∑k=0
p
(a k10 p−k)=10 p∑k=0
p
(a k 10−k )
Par ailleurs, par définition de la fonction parie entière : ⌊ x 10 p+1 ⌋⩽x 10p+1<⌊ x10 p+1⌋+1 (1)
Or, par définition de a p+1 , on a : ⌊ x 10 p+1 ⌋=10 ⌊ x10 p ⌋+a p+1=10 p+1∑k=0
p
(a k 10−k )+a p+1
Donc l'inégalité (1) implique : 10−( p+1)a p+1+∑k=0
p
(ak10−k)⩽x<10−( p+1 )a p+1+∑k=0
p
(ak 10−k )+10−( p+1 )
Ainsi : ∑k=0
p+1
(a k10−k)⩽x<10−p+1+∑k=0
p+1
(ak10−k) , HR ( p+1) est vérifiée.
Conclusion : ∀ n∈ℕ , HR (n ) est vérifiée.
En notant S=∑k=0
+∞
(ak10−k) on obtient, pour n tendant vers +∞ dans HR (n ) , S⩽x⩽S donc x=S . □
Développement décimal d'un réel négatif
Soit x∈ℝ- et a0 , a1a2… le développement décimal illimité de −x .Le développement décimal illimité de x est −a0 ,a1a 2…
⌊−x ⌋=−⌊ x ⌋ ⇔ ...⌊−x ⌋=−⌊ x ⌋−1 ⇔ ...
Exemples de codes Python permettant le calcul récursif ou itératif des premières décimales d'un réel :123456789101112
def decimales(x,n): if x<0: s=-1 x=-x else : s=1 L=[s*int(x)] for k in range(1,n): L.append(int(10**k*x)-10*int(10**(k-1)*x)) return L
print(decimales(-285/28,20))
[-10, 1, 7, 8, 5, 7, 1, 4, 2, 8, 5, 7, 1, 4, 2, 8, 8, 32, -256, 4096]
123456789101112
def decimales(x,n): if x<0: s=-1 x=-x else : s=1 if n<0: return [] else : return [s*int(x)]+decimales(10*x-10*int(x),n-1)
print(decimales(-285/28,20))
[-10, 1, 7, 8, 5, 7, 1, 4, 2, 8, 5, 7, 1, 4, 2, 9, 1, 8, 0, 4, 6]
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Après la 14ème décimale les résultats ne sont plus les mêmes selon les deux algorithmes : en effet les flottants ne représentent pas tous les réels de façon exacte et le traitement itératif ou récursif impacte les arrondis.
De façon analogue, en informatique les nombres décimaux (type float) sont utilisés à l'aide de leur développement
binaire tronqué : pour p et q entiers tels que p⩽q , x=∑k=p
q
bk2k avec ∀ k∈⟦ p ;q⟧ , bk∈{0 ;1 } .
Ceci peut conduire à des comportements incohérents avec l'écriture décimale des nombres. Exemple de console python :
0.30000000000000004
Python 3.2.5 on win32>>> 0.1+0.2
En effet ∑k=1
+∞
2−(4 k )+2−(4 k+1)=…
L'application {∑ (a n10−n)∣∀ n∈ℕ , an∈{0 ;1 ;2 ;3 ; 4 ; 5 ;6 ; 7 ;8 ; 9}} → ℝ
∑ (an10−n) → ∑n=0
+∞
(a n10−n)
n'est pas injective.
Exemple : ∑n=0
+∞
9×10−n=…
Propriété du développement décimal d'un nombre réel
Soit x∈ℝ ayant pour développement décimal ±a0 ,a1a 2… . La suite (an) ne peut pas être constante égale à (9) à partir d'un certain rang.
Démonstration : Supposons, par l'absurde qu'il existe n0∈N* , tel que pour tout entier n⩾n0 , an=9 .
Alors x=∑k=0
n0−1
(ak10−k)+∑k=n0
+∞
(9×10−k ) par linéarité : ∑k=n0
+∞
(9×10−k )=9∑k=n0
+∞
10−k
Or par changement d'indice : ∑k=n0
+∞
10−k=∑k=0
+∞
10−n0−k=10−n0∑
k=0
+∞
10−k
Par somme d'une série géométrique convergente : ∑k=n0
+∞
10−k=∑k=0
+∞
10−n0−k=10−n010
10−1=
101−n0
9
Ainsi, ∑k=n0
+∞
(9×10−k )=101−n0
D'où : x=101−n0+∑
k=0
n0−1
(a k10−k ) ce qui contredit le fait que x<101−n0+∑
k=0
n0−1
(ak 10−k ) (cf démonstration précédente).
La suite (an) ne peut donc pas être constante égale à (9) à partir d'un certain rang. □
Caractérisation des nombres rationnels
Soit x∈ℝ ayant pour développement décimal illimité ±a0 ,a1a 2… .x∈ℚ ⇔ (an) est périodique à partir d'un certain rang
Si (an) est p_périodique à partir d'un certain rang r alors on note le développement décimal illimité périodique ±a0 ,a1a 2…ar−1ar…ar+ (p−1)
Démonstration : ► Si (an) est périodique à partir d'un rang n0 , alors il existe p0 tel que ∀ n⩾n0 , an=a n+ p0
donc ∀ k∈ℕ , {an0+k p0
=an0
an0+1+k p0=an0+1…
an0+ p0−1+k p0=an0+ p0−1
Ainsi, ∑n=0
n0−1+k p0
(an10−n )=∑n=0
n0−1
(an10−n)+ ∑n=n0
n0−1+k p0
(an10−n)=∑n=0
n0−1
(an10−n )+ ∑n=n0
n0+ p0−1
(an10−n )+…+ ∑n=n0+(k−1) p0
n0+k p0−1
(a n10−n)⏟
k sommes
Séries numériques 14/16 pycreach.free.fr - TSI2
∑n=0
n0−1+k p0
(an10−n )=∑n=0
n0−1
(an10−n)+ ∑n=n0
n0+ p0−1
(an10−n )+…+ ∑n=n0
n0+ p0−1
(an10−(n+( k−1) p0))
∑n=0
n0−1+k p0
(an10−n )=∑n=0
n0−1
(an10−n)+ ∑n=n0
n0+ p0−1
(an10−n )+…+10−(k−1 ) p0 ∑n=n0
n0+ p0−1
(an10−n )
∑n=0
n0−1+k p0
(an10−n )=∑n=0
n0−1
(an10−n)+(∑q=0
k−1
10−q p0)( ∑n=n0
n0+ p0−1
(an10−n))or ∑
q=0
+∞
(10−q p0)=… ∈ℚ
De plus ( ∑n=n0
n0+ p0−1
(an10−n))∈ℚ et (∑n=0
n0−1
(a n10−n))∈ℚ donc …
► Soit x∈ℚ , ⌊ x ⌋⩽x< ⌊ x ⌋+1 donc 0⩽x−⌊ x ⌋<1 et x−⌊ x ⌋∈ℚ
Soient a∈ℕ et b∈ℕ * tels que x−⌊ x ⌋=ab
Considérons les b+1 divisions euclidiennes de 10na par b pour n∈⟦0;b⟧ :a=bq0+r 0 et 0⩽r0<b
10a=bq1+r1 et 0⩽r1<b…10b a=b qb+r b e t 0⩽rb<b
} il y a b valeurs possibles pour b+1 restes r 0 , …, rb donc, d'après le principe des tiroirs
(si b+1 chaussettes sont rangées dans b tiroirs alors au moins l'un des tiroirs contient au moins une paire de chaussettes) , il existe nécessairement au moins deux restes égaux : soient ( p ; p' )∈⟦0 ;b⟧2 tels que p< p' et r p=r p' .
Alors 10 p'a−bq p'=10 pa−bq p donc 10p'ab=10p
ab+q p'−q p
Donc pour tout entier n⩾ p , 10n+ p'−pab=10n
ab+10n− p (q p'−q p)
Or n− p⩾0 donc 10n− p( pq'−q p )∈ℤPar ailleurs ∀ y∈ℝ et ∀ k∈ℤ , ⌊ y+k ⌋=⌊ y ⌋+k car ⌊ y ⌋⩽ y<⌊ y ⌋+1 ⇒ ⌊ y ⌋+k⩽y+k<⌊ y ⌋+k+1 et ⌊ y ⌋+k∈ℤ
Donc pour tout entier n⩾ p , ⌊10n+ p'− pab ⌋=⌊10n
ab ⌋+10n−p (q p'−q p )
Ainsi pour n⩾ p+1 on a : ⌊10n+ p'− pab ⌋−10⌊10n−1+ p'− p a
b ⌋=⌊10 nab ⌋+10 n−p (q p'−q p )−10(⌊10n−1 a
b ⌋+10n−1− p(q p'−q p))Donc pour tout entier n⩾ p+1 , ⌊10n+ p'− p
ab ⌋−10⌊10n−1+ p'− p a
b ⌋=⌊10 nab ⌋−10(⌊10n−1 a
b ⌋)Ce qui signifie, en notant 0 ,a1 a2…a pa p+1…a p'−1 le développement décimal illimité de
ab
:
pour tout entier n⩾ p+1 , an+ p'− p=an donc la suite (an) est p'− p périodique à partir du rang p+1 . □Remarque : la longueur de la période est majorée par ∣b∣ .
Cette caractérisation s'applique en particulier aux nombres décimaux (car ils sont rationnels) !Exemple : le nombre décimal 0,1 est un rationnel car …Exemple de code Python permettant de déterminer le développement décimal illimité périodique d'un rationnel.
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1234567891011121314151617181920212223242526272829303132
def decimales_rationnel(a,b): if a/b<0: s=-1 else : s=1 a=abs(a) b=abs(b) L=[s*(a//b)] a=a%b R=[] k=0 while a not in R: L.append((10*a)//b) R.append(a) a=(10*a)%b k=k+1 p=0 while a!=R[p]: p=p+1 return (L,p)num=int(input("Saisir un numérateur :"))den=int(input("Saisir un dénominateur :"))L,p=decimales_rationnel(num,den)L1=L[:p+1]L2=L[p+1:]C1=str(L1[0])+','for i in range(1,len(L1)): C1=C1+str(L1[i])C2=''for i in range(len(L2)): C2=C2+str(L2[i])print(str(num)+'/'+str(den)+' a pour écriture décimale : '+C1+'\033[4m'+C2)
Saisir un numérateur :-285Saisir un dénominateur :28-285/28 a pour écriture décimale : -10,17857142
Saisir un numérateur :1Saisir un dénominateur :231/23 a pour écriture décimale : 0,0434782608695652173913
Réciproquement si un développement décimal illimité périodique est donné, il est possible de déterminer un rationnel ayant ce développement décimal illimité périodique.Exemple : soit x le nombre ayant pour développement décimal illimité périodique : 0,1234012En notant x=0 ,1234+x ' on a 1000x'−x'=…
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![Le travail collaboratif avec Windchill - Portail éduscol · Le travail collaboratif avec Windchill Thierry POrTMANN[1] mots-clés communication, lycée technologique, postbac, projet](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/600104e27a15a3235b682c61/le-travail-collaboratif-avec-windchill-portail-duscol-le-travail-collaboratif.jpg)
