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Les surfaces de Riemann des fonctions m6romorphes
P a r CHARLES BLANC, Lausanne
(suite) CHAPITI~E IV
Le type d'une surface de Riemann et son r~seau
w 11. Les transformations de Bloch
Dans une conf6rence ~ la Sorbonne, M. Ahlfors a dit que le probl~me de la recherche de crit~res de type de surfaces de l~iemann 6tait le plus important de la th~orie des fonctionsl6). On connalt un certain nombre de tels crit~res ; la plupart d 'entre eux sont des conditions suffisantes pour le cas hyperbolique. On peut se demander jusqu'~ quel point le r~seau d'une surface nons renseigne sur son type, le mot r~seau ~tant pris dans son sens primitif ou suivant une de nos g6n6ralisations.
Certains crit~res connus sont bas6s sur l '6tude du r6seau (par exemple le crit~re relatif aux surfaces dont la base singuli~re est form6e de trois points 17) ; d 'aut re part, M. Ahlfors a donn6 des crit~res oh les valeurs sont remplac6es par des cercles18); c'est l~ une g6n~ralisation analogue ~ celle qu 'on obtiendrait en passant d 'un crit~re snr les r~seaux au sens primitif,
un crit~re sur les r~seaux au sens du w 6. Nous aurons l'occasion, au cours de ce chapitre, de donner de telles g4n~ralisations.
Cette id6e du passage de crit6res sur des vateurs s des crit6res sur des eereles est due s lVI. Bloeh19).
Appelons transiormation de Bloch une transformation d'une surface qui soit
1 ~ topologique, 2 ~ telle que si d est la distance de deux points, d* ta distance des points
correspondants, on ait 1
d* < d < kd*
quels que soient les deux points envisag6s.
le) Bull. See. Mal)h. de France, 60, 1932, p. 197. 17) 1~. Nevanllnna, Comm. Math. tIelv., 5, 1932, p. 95. is) Comlotes I~endus, 194, 1932, p. 245 eg 1145. zg) A. Bloch, E n s e i g n e m e n t Magh~ m a t i que , 25, 1926, p. 83.
335
Le principe de continuit5 topologique de M. Bloeh affirme en somme qu'une transformation telle que celle que nous venons de d~finir conserve le type d 'une surface. I1 ne s'agit pas, ~videmment, de donner une d~- monstrat ion de ce principe tr~s g~n6ral.
On voit que deux surfaces qui ont le m6me r~seau, au sens du w 6, se d~duisent l 'une de l 'autre par une transformation de Bloch. E n effet, soit p l'ordre du r~seau, F et F* les deux surfaces; ~ F et F* correspondent deux pavages form,s de p paves. Une premiere transformation de Bloch trans- formera F* en une surface F 1 pour laquelle le pavage est le m~me que pour F. Puis on modifie F~ s l ' int~rieur de chaque pav~, pour l 'amener s eoincider avec F.
Soit a une singularit~ isol~e d 'une surface de l%iemann F. On dira qu 'on dgplace a lorsqu'on remplace a par une autre singularit~ b, de m~me nature, situ~e dans une portion A de F qui ne contient que la singu- larit~ a de F.
Thdor~me 15: Soient F et F* de,~x sur/aces de Riemann simplement connexes qui se ddduisent l'une de l'autre par le ddplacement d'un nombre /ini de singularitds algdbriques. Alors F* eat du m~me type que F.
D4monstration: Soient al , a2, ..., a~ les singularit4s de F qui sont d~plac~es en bl, b 2 . . . . , b~. Soit A~ la portion qui eontient a k.
Supposons F parabolique; w ~ ](z) est la fonction qui reprSsente le plan ouvert sur F. Supposons F* hyperbolique ; w ~ g(~) la fonction qui repr6sente le cercle [~] < R sur F*. Otons du plan z les domaines qui correspondent aux A ~ par la fonction inverse de w ---- / (z) ; la fronti~re de A ~ est ferrule, donc ces domaines sont int4rieurs s un cercle de rayon fini. Soit D l e reste du plan z, et A la partie correspondante du cercle I~] < R par la fonction
= g-1 [ / ( z ) ] .
Dans la repr6sentation de D sur A, au point s l ' infini de D correspond tout le cercle I ~1 ---- R; on sait que cela est impossible. Donc F* est para- bolique, et le th~or~me est d~montr~.
Nous verrons au paragraphe suivant un exemple de conservation du type dans une transformation qui d~place une infinit~ de singularit~s alg~briques.
336
w 12. Surfaces de Riemann dont le r@seau est le m~me que celui de
fonetions inverses de fonetions p@riodiques
Soit w = / ( z ) une fonct ion entigre, r4elle pour z r6el, et p~riodique de p@riode r~elle. Nous nous proposons de reconnal t re quel sera, dans cer- rains cas, le t y p e d 'une surface de R i e m a n n qui aurui t le m@me r6seau que la surface de z(w).
La fonc t ion / r ( z ) a des racines pour z r4el; on peu t suppose r / I (0 ) r 0. Soient un la p@riode de /(z), et a l , a s . . . . , a~ les racines de /~(z) pour 0 < z < l ; ~1 . . . . . co~ les va leurs / (a l ) . . . . . /(%,). Les points eo 1 . . . . . oJ~ sont des singularit4s alg@briques de la surface de R i e m a n n F de l ' inverse de w = / ( z ) .
Soient 0~ 1 . . . . , a~ des segments int4rieurs au segment (0, 1) tels que :
1 ~ a~ est int@rieur s ak ; 2 ~ les segments ak n ' empi~ ten t pas; 3 ~ les segments (0, s) et (1 - - s, 1) sont ext@rieurs aux ak(s > 0).
La fonct ion w ---- ] (z) fai t correspondre aux poin ts d 'aff ixes z ~ lc - - (k ent ier , et ~ dans un segment ~ ) , les segments F~ de t race ~k de F ; toutes les singularit@s w~ se t r o u v e n t dans les segments F k .
Soit F* une surface de R i e m a n n que l 'on peu t obtenir s par t i r de F e n d@plagant routes les singularit@s ~o~ s l'int@rieur du segment F k correspon- dan t (deux singulari tSs de F qui ava ien t m~me t race on t m a i n t e n a n t des t races qui p e u v e n t ~tre diff@rentes, mais sont int@rieures ~ ~ ) .
Th@or~me 16 : F* est du type parabolique.
D~mons t ra t ion : Soit g($) l~ fonc t ion qui repr~sente le cercle I~1 ~ c sur F*. On supposera c ~ c~. La surface F , c o u p l e ]e long des s e g m e n t s / ' k est iden t ique s la surface F* , coup@e le long de ces re@rues segments . On peut donc representer conform~ment le plan, pourvu des coupures ~k et de celles q u ' o n obt ien t par la t rans la t ion Z ~ z ~- k (k entier) sur le cercle I~1 ~ e, pou rvu des coupures cor respondantes ; la repr6sen ta t ion so fair au moyen de la fonct ion
C = g - 1 [ / ( z ) ] = h(z).
Passons du cercle ]~[ < c & une bande de la rgeur 2g au moyen de la t r ans fo rmat ion
t ~ log ~ ---- H(z) .
337
Soit un cerele C~ ] z l = r , r = k + ~ , k entier, I ~ l < s . I1 ne coupe aucun a; la fonction H(z) t ransforme ce cercle eh une courbe L~ du plan t, courbe de longueur ~gale ou sup&%ure s 2z. On a donc
'"r 2z ~<~ rdqJ z = rei~
ou, suivant l ' in~galit~ de Schwarz
2W 2 ~ 2 2 ~ I
4g2~;rdqJf ~ rdqJ=27~rt~ IdH2 "0 0 ' ' "o ~ rdq~
Donc k + e 7 k + s 2 z
L'express ion de dro i te repr6sente l ' a i re balay6e par L~ torsque r var ie de k - - e ~ k + s . On a encore
2 :~ )fl_, i "at < x~ y ] ~ 2r dr dT
quel que soit N, ent ier positif. Le second membre est borne, si on suppose c fini. Donc
l k - - ~ " r
ee qui est une contradict ion. Donc c : c~, et le th~or~me est de- montr&
w 13. G~nbraUsation d 'un th~or~me de M. R. Nevanl inna
I1 s 'agi t d 'un th6orgme dgmontr~ par M. R. Nevanlinna dans son m~moire: Ein Satz i~ber die konforme Abbildung Riemann'scher Fldchen. Comm. !Vfath. Helv. 5 (1932), p. 95--107.
L 'au teur consid~re les surfaces de Riemann dont toutes les singularit~s sont logarithmiques et ont pour traces trois points du plan. On construit l ' a rbre topologique de cette surface, on y choisit une origine Go, d 'oh on dSduit les g6n6rations G1, G2, . . . . Soit a ( n ) + 2 le nombre de sommets
~ _ L _ ~ de G,LI M. Nevanl inna d~montre que si ha(n) diverge, la sur/ace est
du type parabolique.
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Nous g6n6ralisons ce th6or~me, en remplagant trois points par trois eercles du plan.
Supposons donc que la surface de I~iemann F, simplement connexe, n ' a que des singularit6s logarithmiques, que leurs traces sont toutes con- tenues dans trois cercles C1, C2, Ca, sans points communs, ni points frontigres communs, de rayons rl , r2, ra; de plus, on ne passe d 'une singu]arit5 d 'un cerele ~ une autre singularit6 de ce cercle que par un d6tour autour d 'une singularit6 d 'un autre cercle.
Nous pouvons construire un arbre topologique de cette surface. Soient el, ~ , ~3 trois nombres sup6rieurs ~ un, tels que Fun des cercles C'1, C'2, C~ de m~mes ccntres que CI, C2, C aet de rayons r1~1, r2e~, r3ea soit tangent aux deux autres, ces derniers ne se coupant pas. Soit I le point d'inter- section de deux tangentes: il est clair que les tangentes men6es de I s C~, C2, C a ne coupent aucun de ces cercles, et sont routes distinctes.
Soit z = ~ (w) la fonction qui repr6sente 2' sur le cercle I z I < R (~< oo). Nous appelons arbre de F l'image, par ~ (w), des demi-droites c~t, a2, aa ; a k ~tant une demi-droite issue de I e t comprise entre C k et Ck+l, et l ' image de demi-droites de/7', issues de I e t passant par les singularit~s de F ; si, pour une branche de ~0(w), un cercle C k ne contient aucune singularit6, on prend une demi-droite quelconque, issue de I, et coupant ce cercle.
Pour simplifier les caleuls, on supposera I s l'origine. Puisque nous avons construit un arbre, nous pouvons introduire,
comme M. Nevanlinna, les g6n~rations, puis les quantit6s a(n). Alors on a l e
1 Thdor~me 17 : Si ~. n--~(n) diverge, F est du type parabolique.
La d6monstration que nous donnons suit de tr~s pros celle de 1~. Nevanlinna.
On dira qu 'un domaine 616mentaire H appart ient s la n-i~me g6n6ration s i n est le plus petit indiee des ggn~rations auxquelles appart iennent les sommets de H. On appelle origine de la fronti~re F de H l e sommet de F appar tenant ~ G~.
Soit donc H u n domaine de G~. I1 lui correspond une singularit~ a de F, int6rieure 5~ Ck; w (z), fonction inverse de ~0 (w), repr6sente H sur une partie F~, de F, qui contient la seule singularit6 a. La fronti~re de F,, se compose de demi-droites (0, c~); elle contient la surface de recouvrement du domaine doublement connexe obtenu en 6rant a de l 'angle des tangentes menses de I ~ C k.
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Soient A1, As, As, trois po in ts du p lan ; A k est situ6 dans l ' angle form6 par les t angen tes men6es de I s Q + I et Ck+2, l ' angle ne con tenan t aucun des trois cercles. I1 est clair que F n ne cont ien t aucun po in t du secteur qui con t ien t A~.
Faisons la t r ans fo rma t ion
w ( z ) - - A k (9(z) - - 1 log + ic
- ~ w ( z ) - - a
oh on p rend une d6 te rmina t ion que lconque du logar i thme e t oh c, cons- t an t e r6elle, est tel le que (9 (z) = 0 si z e s t ~ l 'or igine de H ; eo (z) repr6sente H sur un domaine H,0, e t pour tou t po in t de la fronti~re F~ de Ho~ on a - - K 2 < ~ (9 < E l , quel que soit H.
I ) ' au t r e par t , la droi te ~ (9 ~ cons tan te coupe F~ en un seul point .
Soit r > n ; on cons t ru i t la courbe L~ de la fa~on su ivan te :
1 ~ le demi-cercle ] ( 9 - - K 1 ] = r - - n ~ o >/K1; 2 ~ les d e u x segments ~ ~o = ~ (r - - n), co dans Ho, ;
L~ coupe F,., en deux points A~ et B~.
Faisons encore l~ t r ans fo rmat ion t = log z en coupan t le cercle ] z I < R le long d ' u n polygone de l 'arbre. A H correspond un domaine H t , et s L~ une section de H t don t la longueur sera s (r). On a
< [= (r - - n) .+ 2K~ + 2K2] dA (r) dr
A (r) 6rant l ' a i re de H comprise ent re !Xt = log R 0 e t la courbe qui corres- pond ~ Lr. R0 est un n o m b r c fixe inf6rieur s R, e t on p rend r > r0, r 0 6 tan t choisi assez g rand pour que A (r) air un sens. On a alors
puis
82(r) <: Ka~rdAd~ r)
v~s2(r) < K3~r d~(r) dr
r ~ r 0
(1)
la somme ~tant 6 tendue s t o u s l e s domaines H des gdn6rations Go, G1 . . . . . G~ (n < r) et ~ = 27A. Soit 2 (r) le hombre des sections s (r) e t
o~ (r) : Xs (r).
340
On a (2:8(r))~ ~(r)
Xs~(r) ~ ~t(r) -- 2(r) (2)
Soit fl(r) : max [0, 2 7 i - - a ( r ) ] (3)
Alors 4n 2 4~fl(r) d~ ).(r) 2(r) < K3:~r-~
donc, si r > r 0 " ~fl(r)gr 4 ~ dr <K3[~(r)__~(ro) ]_~4jo a(r) " (4)
~0 ~ 1 .
or, pour ~ - - 1 < r ~ r , 2(r)----a(v)-~2 ; d o n c si Xn--~n~dlverg e, il
e n e s t de mSme pour
v ~ ~fl (r) dr . d'oh il r~sulte que si ~.~ ha(n) diverge et si R e s t fini, J ~ - d i v e r g e .
I1 faut montrer que cela est impossible.
Supposons donc R fini; on peut admettre que R > 1. Soit arbr la courbe du plan z qui correspond ~ Lr. S i r est entier, tous les arcs arb r forment un contour simple M,. Soit r non entier: n - - 1 < r < n. Les extr6mit~s des a,b, peuvent ne pas coincider. Nous les relions par un segment 7, de l'arSte correspondante de l 'arbre topologique, et soit encore M, le contour ferm4 obtenu. On passe au plan t ~ log z ; M~ donne une courbe de longueur au moins ggale g 2z~; soit y(r) la longueur, dans le plan t, d 'un arc ajout6. On a
donc, d'aprSs (3) ~,(r) + Xr ( r ) ~ 2~
(r) <~ Z ~'(r) (6)
Nous nous proposons d'~valuer les ~ (r).
Soit P1P2 un polygone de l 'arbre, sans autres points de ramification que P1 et P~. P1 appartient s G .... P2 s Gm+2~+I" Lorsque r varie de m s m ~ 2p ~- 1, les points a~ et br se d6placent, d 'une fa?on continue, de P1
P2, en coincidant aux sommets. Soit K le domaine constitu6 par les domaines 616mentaires des sommets de P~P2. A P1P 2 correspond, dans le plan w, une courbe qui a pour trace deux demi-droites, issues de
3 4 1
l'origine. Soient a et b les singularit6s qui correspondent aux domaines limit6s par P1 P2; on supposera que P~ correspond s w -~ 0. Posons
W - - ~ y = log ~ + ( - - 1)Pier .
On choisit la d6termination convenable du logarithme, en sorte qu'b, P1P 2 corresponde une certaine courbe ~b, passant par les points - - p 2 i z , - - ( p - 1)2i~r . . . . , 0 . . . . . p2izr. A ~(r) correspond un arc de r dont la longueur est born~e; soit K 4 cette borne, et ~ (r) la kingueur de ~ .
Soit y~ le point de y~ qui correspond s a~. En appliquant, au besoin plusieurs lois, l'in~galit~ de Koebe (mais un hombre fini et born~ de lois), on voit que
dy ~= y~
z 6rant un point de ~ .
L'in~galit6 de Bieberbach donne
/ Vu @ l ~=~, < e(r)
xrq ~tant l 'aire (finie) de K , et ~(r) le rayon d 'un cercle de centre y~, et contenu dans l ' image de K .
Or, pour m + p + l ~ l ~ r < m + p + l ~ l + l
i Q(r)>~--I~l si E~I=0, I , . . . , P - - 1 ~ ( r ) > K 8 si LvI=P (7)
on en conclut que
donc
~(r)
<Ks Vu I*K=p
et si on suppose r assez grand pour que P1P2 soit ext6rieur /~ I z] = 1
r ( r ) < ! K7 ]/q- p- - I~ l
K8 1/u
342
Alors
I ~(r)dr<2 Ksfl-K,~.~-- ;- q <K9V- q - logK , o p . (8) m
Cekte re la t ion peu t s '@rire aussi entre des l imites n o n enti~res
~ y(r)dr < K s ~/q log Klor 2 . (9) r l
Soit m a i n t e n a n t n o (entier) assez g rand pour que tou te la par t ie cprrespondante de l ' a rbre soit ext6rieure s ]z] = 1. Soit u n in terval le (no, r) et B (no, r) la par t ie correspondante de l 'arbre. On divise B (n 0, r) en segments S(P1P2). Le hombre de ces segments est au plus de 22(r), Pou r Fun de ces segments S, avec r 2 < r, on a
y(r)dr<KgV-q log Klor<K,zV- ~- log r ; (10) S
posons r b(r) = j" ~ ( ~ ) d ~ .
no On a
b(r) ~ ~ (Vy(u) )du no
la somme 6 tan t 6 tendue ~ t o u s l e s S qui correspondent s r = u. On a encore
b(r) < Kll log r . ~ V q
a somme 6 ran t 6 t endue aux segments S de B(n o, r). Mais
et , ~ q ~ 3R ~
done b(r) < K12V2(r) �9 log r
d 'oh on t i re
! ~ fl (r) dr ~ db (r) b (r) [~ b (r) dr [ • b (r) d2 (r)
K l o g r K [logrdr +~'lo-r dA < l=-k - + " J - 7 --~ +K~=j ~ r / ,
~'o ro
T _ ' O ro , I . ,
~ / ~ 1 2 ~ - - - 0 "~- r--~ r ~7~ r0
d 'oh la convergence de l ' in tdgrale . Le thdorbme est d6montr6.
(11)
343
w 14. G6n6ralisation du th6orgme pr6e6dent
I1 y aurait peu s modifier darts la d6monstration si, au lieu de trois eercles on avait p cercles C1 . . . . . C~. En g6n6ral, clans ce cas, on ne pourra pas trouver un point I e t un point E r6pondant aux conditions requises ; ces conditions servent uniquement s nous assurer que le cercle I w ] = r--n coupe F,~ en deux points seulement, ce qui permet &affirmer ensuite que les arcs ~,~ sont situ6s enti6rement dans un intervalle entre deux sommets de l 'arbre.
Si on a p cercles C1 . . . . , C~, soit I un point quelconque, ext6rieur aux cercles, et E le point s l'infini. Nous relions I s E par des chemins en- tourant les Ci. On peut choisir ces chemins tels que le nombre de points sur chaque chemin pour lesquels
a+w arg - - 0
a - - W
(a est un point int6rieur quelconque de Ci) soit au plus 6gal ~ p. Alors u n arc ~ sera compris dans p intervalles au plus du r6seau. La relation (9) devient
rB
.I "y(r)dr<Kg~" (vq log K~or) (9')
la somme 6rant 6tendue s p intervalles cons6cutifs, c'est-~-dire s p valeurs de ~ consScutives. On a donc
~2
f 7(r)dr < Kpp ~, ]/q log Klo(% + p)
la somme dtant dtendue ~ p domaines du plan. Posons
o n a
done
Q : ~ q
T2
j" y (r)dr < Kop VP VQ log Kl0 (r2 + p)
ce qui donne, h la place de (10)
~7(r)dr<K'11]/Q log r r > r 0 . (10')
344
De plus X Q ~ P2R2 (11')
done b (r) < K~2 [A(r) �9 log r
et le
Th4or~me 18 : Soit F une sur/ace de R iemann dont toutes les singularit4s sont logarithmiques et groupies dans p cercles, ext&ieurs les uns aux autres, et soit (~(n) + 2 le nombre de sommets de la gdndration G~ du rdseau corres-
1 pondant; si I~ ~ diverge, F est parabolique.
w 15. Un erit~re de type
Th4or~me 19 : Toutes les sur/aces de R iemann qui ont, au sens du w 6, un m~me rdseau que la surface de l'inverse de w = e ~z, sont du type para- bolique.
D6monstration: Pour plus de commodit6, rempla~ons e ez par
w = / ( z ) -- ae~Z + b c e ~ + d
en choisissant les constantes a, b, c, d e n sorte que 1, oo, 0 deviennent 1 , - - ~ + ~ '~ ~ , ~3~ ~.~ On choisit, pour construire le r~seau de la surface de Riemann F* de ]-l(w)=r le cercle [ w l = l pour courbe L, et les points I et E tels que
Le r~seau est alors constitu6 par la droite ~ z = 0 et par les demi-droites ~ z = ( k + � 8 9 l c = O , ~ l , ~ 2 . . . . . On a, sur les droites ~ z - - (k + �89
~ w ( z ) = o .
Soit H k la bande
Consid6rons main tenant la surface de Riemann simplement connexe F, qui a m~me r~seau que F* ; on suppose que la singularit~ qui correspond
_ _ i un pour F* a pour trace un, que celles qui correspondent ~ "~ + ont des traces int~rieures s un cercle C1, celles qui correspondent
~3- i des traces int~rieures s un cercle C2, les cercles C 1 et C 2 con-
23 Commentar i i Ma themat i c i H e l v e t i c i 3 4 5
t e n a n t respect ivement - - ca + 4- ct - - Yvf - - ~ , et 6rant assez peti ts pour ne pas fitre eoupds pa r les courbes I E qui d o n n e n t les arfites du rgseau.
On peu t d6couper F l e long des courbes a y a n t pour t race les courbes IE qui on t divis6 F * en domaines 616mentaires ; soit F k la par t ie de F qui correspond ainsi ~ la bande H k. On peu t repr6senter F k conform6ment sur H k de mani6re q u ' a u x poin ts I de F k correspondent les points M de la fronti~re de Hk pour lesquels on a
1 (z) = I
E n effet, Fk est une surface de recouw'ement d ' u n demi-p lan pourvu d ' u n e singulari t6 logar i thmique o~. On peu t repr6senter conform6ment le demi -p lan ~ w > 0 sur lu i -mgme en sorte que w~ aille en - - ~ 2
et que I reste fixe. Soit w~ = ~%(w) la fonct ion qui effectue cet te represen- ta t ion . La fonct ion
z = ~ ( w J = ~[~o~(w)] = r
repr6sente F k sur H , ; d ' au t r e par t on a
r = ~ [ ~ ( z ) ] = q ( 1 ) = M
ce qui mon t re que la repr6senta t ion envisag6e est b ien possible. On proc&de ainsi pour chaque domaine H k .
Soit w----F(C) la fonc t ion qui repr6sente le cercle [C[ <c(c <~oo) sur F . On supposera c < oo. La fonct ion
C = ~-~ [ r
donne une repr6senta t ion de H~ sur u n e par t ie du cercle I$] < c. On coupe le cercle I C I < c le long de la fronti&re d ' u n domaine cor rcspondant /~ u n F k et on pose
t = log $
en f ixant une d6 te rmina t ion du logar i thme; l ' image du cercle [~[ < c est une bande B.
E n ve r tu de l 'hypoth~se fai te sur les cercles C x ct C2, les points du p lan z, sur les droites ~z ~ (k + �89 pour lesquels on a
~b~l(z) = 1
sont situ6s dans le demi-p lan ~z < K~, et ceux pour lesquels
~ ( z ) = 0 o u
346
dans le demi-plan !~z > K~, K~ > K~, K~ et K'I grant des constantes qui ne d6pendent pas de It. Soit H~ la partie de H k situ~e dans le demi-plan ~ z ~ K~. La fonction
Z = / - ' [V '~ {/(z)}]
repr6sente H~ sur une partie Hk de H~. Hk est limit6 par une courbe Lk reliant les droites Dz = (It § �89 7~ et Dz ~-- (k § ~)z. Les courbes L k sont contenues dans une bande
~ K 2 ~ ~ z ~ K s
A H k correspond un domaine T k de B au moyen de la fonction
t = log [ F - ' ( r = Z~(z)
Soit C Rune courbe ferm6e du plan z compos~e de la fa~on suivante:
1 ~ un demi-cercle CI: I z - - K 21 ~ R ~ z > K 2 ; 2 ~ un demi-cercle C/I: I z + K~I = R ~ z < - - K2; 3 ~ deux segments situ~s respeetivement sur les droites ~z ~ 4 -R ,
reliant les extr~mit4s des deux demi-cercles.
La longueur de C Rest ~gale s 4K~ § 2~R.
Soit ~1 la partie de F qui correspond s l 'ensemble des domaines Tk(/c = 0, 4-1, 4-2 . . . . ), et soit ~2 = F - - ~ 1 . On peut repr4senter-le demi-plan ~ z ~ 0 sur ~2 par la fonction
On posera w = / ( z + K~) .
t : log [F- ' ( / ( z § K1))] : X(z)
en choisissant la m~me d6termination du logarithme que plus haut ; t-----g(z) repr~sente le demi-plan ~ z < 0 sur la partie T de B situ~e hors des T~.
Soit 0 la partie de C• contenue dans le demi-plan !~z < 0, Ok la pattie de C~ contenue dans Hk; O(R) et Ok(R ) les longueurs de 0 et de 0~. I1 faut remarquer que, pour certaines valeurs de k et de R, O k et 0 peuvent avoir un segment commun, mais la longueur de ce segment est bornge, et on a toujours
O(R) + ~O~(R) < 8K 2 + 2 ~ R .
347
Soit s~ l 'arc qui correspond s 0~ dans la representation
et s l 'arc qui correspond s 0 par t - - ~ (z). Les arcs s~ et s n e forment pas une courbe connexe, mais on peut r~unir les arcs s~ et s de mani~re s ~ormer une courbe d 'un seul tenant , les arcs ajout6s correspondant s des segments des droites Uz = (]c + �89 et ~ z ~ 0, la longueur de ces segments 6rant toujours inf~rieure s celle d 'un intervatle compris entre deux points pour lesqnels on a w (z) ~-- I .
Soit ? , l 'arc ajout6 qui correspond s un segment de Dz ~ (k ~ �89 ? , (R) sa longueur. Soient d 'autre part #~ et/~e les arcs qui correspondent
des segments de !~z ~ 0, et peut-~tre aussi ~ des segments de Dz --~ (k -~ �89 dans le cas oh C~ coupe L~ en un point qui correspond
un point de Dz ~ (k ~- �89 par la transformation
z =/-~[~(/(~))];
ces segments de ~z = (k -~ �89 sont alors certainement contenus dans une bande [~z[ < K~. Soient #I(R) et/~e (R) les longueurs de ~1 et de g~. On a
s(R) + .~sk(R ) ~ Xyk(R) ~- #~(R) +/~2(R) ~ 2 ~
les sommes ~tant ~tendues ~ tous les indices k pour lesquels, R ~tant donn6, s k et ~k ont un sens. On 5crira XIy~(R) la somme des 7k(R) ~tendue s tous ces indices k, moins les deux extremes, k + et k l / (k / ~ O, ]c rl ~ 0).
On a, d'apr~s l'in4galit~ de Schwarz
d'oh
s ~ ( R ) = ( S [ z ~ [ I dzl) 2 ~ O~(R) S I z'~[2 Rdq J z = Re+'f Ok Ok
2 i: ~R < f I x'~ 13 R ~ R ~ Ok
et la m~me inSgalit6 pour s(It). En addit ionnant, suppose C fini
~ ( ~ s ~ ( R ) s~(R)t ' - o ~ + o--(~i ~ < g3.
on obtient, si on
348
Mais on a
s~(R) s2(R) Z o-V(-~ ~- o - ~ >~
( Zse(R) + s(R) ) 2 ZOk (R) + 0 (R)
>~ ( zs~ (R) + s (R) )~ 2~R -4- 8K2
donc , ( Z s ~ (R) + s (R) )~ dR
�9 R < K4 pour R, > R 0 �9 (1)
R1
Eva luons ~ ( R ) et #~(R). Pour cela, nous nous appuyons sur les th6orbmes de Koebe et de Bieberbach, comme l ' a fai t M. R. Nevan l inna dans la d6mons t ra t ion du th6or~me cit6 au w 13.
Soit q.~ la somme des aires de Tk_ x et Tk; soit d ' au t re pa r t q~ l 'a ire du domaine de B qui correspond s la bande
( k + � 8 9 l + � 8 9 , ~z<K'x
par la repr6senta t ion t - - Z (z). On trouve, comme plus hau t
yk(R) < K s Vq; e ( R ) _ 1 �9
e(R) 6ran t le nombre de points M situ6s sur la droite ~z = (k + �89 l ' in t6r ieur de CR; pour t o u s l e s k, ~ l 'except ion de k I e t k H, on a
~(R) > K6er
~k(R)<K5 V ~ <gTV~k.e-r K s e r - - 1
done
pour k' et k" on a s imp lemen t
rk(R) < K8 VC~ .
pour R> R 1 ;
D ' a u t r e pa r t on a
Or
ftl(R) < KgVq~,
ft~ (R) < K9 Vq~,_1 .
(.~'rk(R))2 < n(R) . v~'~2(R)
n(R) 6ran t le nombre de domaines H~. t ravers6s par C~ .
349
On a
done
et
R1
quel que soit R~ > R 0.
Evaluons main tenant
On a
De m~me
d 'oh
et
n (R) < K10. R
' q~ Klo R ( V ' rk(R)) 2 < K : X
Kll �9 R e-2~+~' ql~ < K12 R'e -~r
J ('Z'Y(R))edRR < . ~,~dR K~3 R~
t] 2 �9 r k , ( R )
J ( R ) = j ~ d R . R1
J (R) < - - - k dR R1
R
< i K~q'kdR< zK~ ~ qk=K14 .
R~ ~ d R ~ K~5 i--~ 1, 2
§ t%dR R~ R ~ 2K14 § 2K15
(2)
Les in6galit6s (1), (2), (3),
~ [Yk' dR < K18 . (3) § § § ~2] ~
R~ R
ajout~es membre h membre, donnent
~ (Zsk § s) 2 § (Z' 7~)'- § (Tk, § rk,, § ~1 § ~)2 dR K17
R1 .R
d'oh, par la relat ion
R "<Kls.
I1 y a contradict ion, done le th~or~me est d~montr~.
350
w 16. Un nouveau crit~re de type
Arbre ddriv~ d'un arbre donn~ : Soit R u n arbre topologique; joignons tous ses sommets multiples s un sommet quelconque par des polygones de l 'arbre. Soit R r l 'arbre ainsi obtenu; on l 'appellera le d~riv~ de R. On d~finit ensuite le second d~riv4, etc. Si l ' a rbre R e s t fini (e'est-s s 'il l imite un hombre fini de domaines du plan), son d~riv6 n 'a qu'un hombre fini de sommets. Si l ' a rbre R e s t eelui de la surface universelle de recouvrement de la sphere dont on a 5t~ p (p ~ 3) points, R f --~ R.
Remarquons que, m6me pour des surfaces du type parabolique, on peut avoir R ~ R 2o) .
Thdor~me 20 : Soit F une sur/ace de Riemann dont toutes les singularitgs sont logarithmiques et ont pour traces trois points ~ol, (%, o) a e t dont le rdseau ddrivd est identique ~t celui de l'inverse de w ~ e e~. Numdrotons, h partir d'une origine queleonque, et dans ehaque sens, les points de rami- /ication du rgseau de F (c'est un arbre) ; soit n le nombre de sommets de ce rdseau situds sur le polygone qui relie deux points de rami/ication d'indices v e t - - ~ . S i on a
n < gov (1) F est du type parabolique.
D~monstrat ion : On supposera que les singularit~s de F sont les m~mes que eelles de la surface F* de l ' inverse de /(z) ~ e ~, e 'est-s que ces singularit~s sont un (une singularitY), zdro et in/ ini .
Tragons dans le plan z tes droites
~ z = O ; ~ z = k ~ , k = O , ~ l . . . .
Soient L l e s courbes correspondantes de la surface F* par la transforma- t ion w ~ / ( z ) ; les courbes L d~coupent F*. Appelons F~ la par t ie de F* qui correspond s la bande H k
On peut d6couper F au moyen des mSmes courbes que celles qui ont d~compos~ F*. On choisit l 'origine du r~seau telle que la par t ie de F qui eontient cet te origine corresponde s la bande 0 < ~z ~ ~. On fera correspondre s F~ la part ie F o de F qui correspond au premier point de
20) voir E. Ullrich, Comm. Math. Helv., 7, 1934, p. 63.
351
ramification du r~seau de _~, s par t i r de l 'origine choisie, dans le sens positif; F~, correspondant ~ F~, sera la par t ie de 2' qui correspond au point de ramification suivant , F_~ la par t ie correspondant au premier point de ramification rencontr~ en parcourant le d~riv(~ du r~seau de 2' dans le sens nggatif. F nes t identique s F~.
Les part ies F n ne sont pas seules s former F . I1 reste:
1 ~ une par t ie ~ identique s celle que donne la fonction ](z) dans le demi-plan !~ z < 0 ;
2 ~ des domaines simples ~ , correspondant aux sommets non ramifies du r~seau de F , situ4s sur son d~riv4.
Soit w - ~ g(~) la fonction qui repr~sente le cercle ]~[ ~ c sur F ; on supposera c < o0. On coupe le ccrcle ]$1 < c le long d 'un des arcs de la fronti~re du domaine qui correspond ~ ~, puis on pose t - ~ log ~, en choisissant une d~termination du logari thme; le cercle est represent8 ainsi sur une bande flS. Soit h(t) la fonction qui repr4scnte i5 sur F ; e t Hk, ~, ~ i les domaines qui correspondent ~ F~, ~, ~ , , pa r la repr4sen- ta t ion
t = h - ~ ( w ) .
Par suite de l ' identi t6 de F k et de F~, on peut repr6senter conform6ment H~ sur H n par la fonction
t = h - ~ [ / ( z ) ] = p ~ ( z ) .
Soit C~ le demi-cercle I ~1 -~ r, ~ z ~ O. Par l ' interm4di~ire des fonctions p~(z), C~ est repr~sent~ sur le plan t suivant des arcs sn, si~u~s respec- t ivement dans les domaines F n. Ces arcs ne forment par une courbe d 'un seul tenant , coupant ~5. Evaluons la longueur sn(r ) de s k. Soit On(r ) la longueur de Fare 0n de C~ situ4 dans H i . On a, d 'apr~s l 'in~galit~ de Schwarz et suivant un calcul d~js fair
s~ (r) ~. O n (r) dAd--~kr(r)
A n (r) ~tant l 'a i re du domaine balay6 par s k. Or on a
s~ (r) (2:s k (r))2 (ZIs k (r))~ 0-~ >~ _ r 0 ~ ( r ) - = r
la somme ~tant ~tendue/~ tous les k, en posant s k (r) ---- 0 si C~ ne coupe pas le domaine H i . On posera XAe(r ) ~ ~(r), et Xsk(r ) == S(r), d'oh
352
S2(r) d ~
7er dr et
" ~ S~(r) dr < ~(r) --~(ro) < K1 (2) ro
puisque c ~ c ~ .
Consid4rons les arcs s~ et sk+~; u n e extr~mit4 A de s k et une extr~mit~ B de s~+~ correspondent s u n m~me point du p lan z, donc en ces points on a
h(A) -~ h ( B ) .
Le domaine qui sSp~re H~ de H~+~ correspond s #~ domaines ~ : ~+~, ~i~e . . . . . ~ i + ~ " On repr~sente le domaine 9 ~ + ~ + " " + ~ i + ~ sur u n domaine de la bande
0 < ~ y < 2 ~ pa r la fonct ion
y ~-- log h (t) -~ u (t)
On pen t relier A s B par u n arc 7~ qui, pa r l ' in term~diai re de u(t), donne u n segment du p lan y, parall~le s ~ y ~ 0, et de longueur 2/%7~. Soit yk(r) la longueur de ~ , et soit y ~ Yl ~- iy2. L'in~gali t6 de Schwarz donne encore
2'~k~ dt d 2~.I,:~ ~,"7~ ~ dt
donc 2 ~ ' ~ dt 2 dB k (r)
Yk (r) <~ dy2 2/~k~ Jo d y dyl (r)
si B k (r) est l 'a ire du domaine balay5 par Yk. On a y ~ e ~. Soit ~ l 'abscisse du point oh Cr coupe la droite ~ z --~ kz . On a Yl ~ ~ ee, su ivan t que k est pair ou non. On a donc
dyl ~ eQ
et
2 / ~ r ~ e-~ ;
or, pour routes les valeurs de k, sauf les deux extremes, on
/> ~ >/VT pour r > ~o d 'oh
r 2 Vr l" rk (r) e
J ~ - ~ d r < ~ B k ( r ) - B k(ro) . To
353
Faisons l& somme pour toutes les va leurs de k, sauf les deux extr6mes. On l '6crira X I. On
O r
~o - t t k " 2 ~ d r < Z ' Bk(r) < K1
Z ' r~ ~> (x%)~ _ (p(r))~__ /1~ X'/~k X ' / ~
mais, d 'apr~s l ' in6gal i t6 (1), on a
2r K0 2r Y~ 7~
ou encore
done
et
~-.'#k < K2 2r 7g
r ~ xF:(r ) ~" /l~ 2K~r
~ /-2 (r) e, ~7 4 K 2 ~ dr < KI
?o qui en t ra lne l ' in6gal i t6
Y~ l"2~zr(r) dr < K 3 . (3)
Consid6rons m a i n t e n a n t les rk cor respondan t aux va leurs ext remes de k . L ' in~gal i t6
r~(r) dB~(r) 2#~----~ < dyl (r)
est encore valable . On a
y~ (r) = r~- - k27r ~ d 'oh
dyl Yl - ~ = r
Donc
et
dy~ r dr 1 / ~ "
dBk(r) dBk(r) ] / ~ d ~ ( r ) = dr r
354
ro+W ,o+,, I(r)er < ) ro /~k~ ro
- - �9 ~ / ~ dr < K 4 [ B k ( ro -~ ~) - - B k ( t o ) ] . r
Int6grons main tenan t de ro s r(r > ro). On obtient l'in~galit6
t
2 ~ a d r < K4ZB~(r)
en remarquant que la somme situ6e dans le premier membre est ~tendue aux deux wleurs extremes de k, pour chaque valeur de r; par contre, ta somme du deuxi~me membre est ~tendue & tous]es indices k. On a donc
j~ 2 r , , 7 ~ ( ) ~ <K~ (4)
ro 2 /~k a ar "
Pour compldter la courbe, il faut relier les deux points C et D qui correspondent aux points ir et --- ir de CT, par un arc situ~ dans ~J. On repr~sentera ~ sur le demi-plan ~ y < 0 au moyen d 'une fonction y = q (t), que l 'on peut choisir telle qne:
1 ~ q[h-l(/(O))] = 0;
2 ~ h[q-l(2ka)] = h[q-~(0)].
Aux points C et D correspondent deux points E et 2, de la droite ~ y - ~ 0. Consid6rons un intervalle r ~ / c a , r ~ (k + 1)~; lorsque r varie de /ca & (k ~- 1)a, E parcourt lo segment i9, i(Q -~ ~) et 2' le seg- ment - - i ~ r, - - i ( ~ r + a). Tra~ons dans le demi-plan ~ y < 0 un demi- cercle ~ de diam6tre E2,. Soit ~* le rayon de ~; ~ ~ correspond une eourbe a du plan t, de longueur a(r). On a encore
et, quel que soit r,
donc
d• 2
(~(r) < a~*~ dy [dy]
dQ* - - 1
dr
f dt 2 dG(r) dyy I dY l -- dr
G(r) 6rant l 'aire du domaine balay~ par a. I1 en r~sulte que
(k+D~ f a~(r~)dr < [ G ( ( k § 1 ) ~ ) - - G @ u ) ] .
355
En ver tu de l'in6galit6 (1), on a
done
et
~" < K e r
(k+l)~ 2" " (k?)~ a2(r )
d'oh
On a
dr
(k+l)7~ 2 / ,
i " a 2 (r) dr < K s . ~ r
~0
Y--1
0
done, cn vertu de (1),
V--1
X (#k + # -k -0 < ( K o - - 2) v § 1 . o
Soit v pair. Pour v/2 valeurs au moins de k, on a
(5)
/~k ~ 2-Ko et #-k-1 ~ 2 K o .
Soit R~ l 'ensemble des valeurs de r comprises dans les p premiers intervalles k ~ r ~ ( k ~ l ) ~ , avec /~k-~2K0 et # - ~ - 1 ~ 2 K o . Sur R~, r v6rifie l 'in6galit6 r ~ (2p + 1)~
donc ,i" -~--dr C dr ~ p ~ ~ _ _ R~ ,Re r (4p + 1) ~ 5
Soit R = lim R~. On a
J = = . (6) R Y
D'aut re part , les in6galitds (2), (3), (4) et (5) donnent
fR S~(r) d r + CI '~(r) d r + CX':?J~(r) dr-~ Ca~'(r) dr ~r ~R ~r JR z r r g r
< K t + K3 + K~ + K s '= K9 �9
356
Or
done
et
S(r) + F(r) + 2:"y~(r) + a(r) >~ 2:z
y~2 S2(r) + I'~(r) + Z" O,~(r) + a2(r) >~ ~
*Y I: 2 d?' t ~ < K 9 R
<
ce qui est contradictoire avec (6). d6montr6.
Donc c = c ~ , et le thdorbme est
w 17. La fonction H(r l , r2)
Soient F une surface de Riemann simplement connexe, T u n e section divisant F e n deux parties F1 et _F2, simplement connexes. Repr@entons F1 et F 2 sur les demi-plans ~ ~ ~ 0 et ~ ~ ~ 0. A T correspond la droite
~ ----- 0 ou une partie de celle-ci. Dans le dernier cas, F est du type hypcr- bolique ; dans le premier, elle peut 6tre d 'un type ou de l 'autre. On volt en effet qu'elle peut ~tre du type hyperbolique en prenant pour F l ' int6rieur d 'un cercle et pour T u n e spirale ind6finie, int6rieure s ce cercle.
Nous ne nous occuperons que du cas oh toute la droite ~ $ ~ 0 (moins le point ~ l'infini) correspond s T.
A un point de T correspondent deux points de ~ ~ = 0 (celui qui provient de la repr6sentation de F 1 sur ~ ~ ~ 0 et celui qui provient de la repr6sentation de 2' 2 sur D ~ ~ 0). On 6tablit ainsi une correspondance biunivoque entre deux ponctuelles de support ~ ~ ~ 0. Soient r 1 e t r e deux valeurs correspondantes de ~ ~. Elles vdrifient une relation
a v e c
H (rl , r2) = 0
r2-+ -~ c~ si r l - + ~ - ~ I
r 2 - + - - c ~ si r ~ - > - - c ~ (H)
Si T e s t une courbe analytique, H (r 1, r2) == 0 est une relation ana- lytique, ce que nous supposerons d6sormais.
357
Thdordme 21 : Soit H (r 1, r2) = 0 une relation analytique satis/aisant aux conditions (H). On peut dd/inir, au moyen des deux demi-plans ~ ~ ~ 0 et
~ ~ 0 lids suivant la relation H = O, une sur/ace de R iemann simplement c o n n g x e ,
Supposons pour commencer quc pour aucune valeur de r, on n 'a
r~ (rl) ~- 0 ou oo ;
nous allons montrer que les deux demi-plans ~ r ~ 0 et ~ ~ ~ 0 soud~s de mani~re que pour deux points correspondants on ai t H($I , r 0, forment une surface de g iemann .
On appellera point de F tout point des deux demi-plans, en consid~rant comme identiques deux points qui coincident dans la soudure.
Soit ~ un point te l clue ~ r r 0. On prend pour voisinage de ~ un cercle de centre r et dont le rayon est inf~rieur s ] ~ r
Soit ~ tel clue ~ = 0 (~ est donc constitu~ par deux points ~ et ~ , de ~ $ ~ 0 et ~ ~ 0 ) . g6solvons H($1, ~ , ) = 0 autour du point ~ : ~($~); cet te fonction est %guli~re et univalente dans un cercle de rayon ~0, de centre ~ . On prend pour voisinage de ~ le domaine constitu6 par :
1 ~ le demi-disque [ ~ - - ~[ <:. ~, ~ ~ 0 avec ~ ~0; 2 ~ l ' image du demi-disque I ~ - - ~ [ < e, ~ ~ ~ 0 par la t ransformation
~ = ~ . (~) .
Le voisinage ainsi obtenu est bien representable topologiquement sur un cercle, le point ~ a l lant s l ' int6rieur du cercle.
Ce syst~me de voisinages v~rifie les axiomes du w 1 :
Ax iome 1 : Soient V1 et V 2 deux voisinages de ~. Si ~t~ =/= 0, on preud pour voisinage V un cercle dont le rayon est le plus pet i t des deux rayons de V1 et V 2. Si ~ $ ---- 0, on prend pour 9 le minimum des valeurs corres- pondantes de V1 et V2.
A x i o m e 2: Supposons que $* soit int6rieur s un voisinage V($0). Si $0 =/= 0, on a ~ ~* r 0 et il suffit de prendre pour rayon du voisinage de
~* une longueur assez petite. Si ~-~0 ~- 0, deux cas peuvent se p%senter:
1 ~ ~ * ~ O; alors, suivant que ~ * > 0 ou ~ * < O, on prend V(~*) l ' int~rieur du demi-disque [ r $0] ~ ~, ~$ ~ 0 ou a l ' int6rieur de
l ' image de [ ~ - - ~0] < ~, ~ < 0;
2 ~ ~ * ---- 0; on prend un rayon ~i assez pet i t pour que le disque I ~ - - ~* ] < e t soit int~rieur au disque l ~ - - ~01 < e.
358
Axiome 3: Soient ~* e t ~** deux points diff6rents I1 est clair qu 'on p e u t choisir des voisinages V (~*) et V ($**) avec V (~*). V ($**) = O.
Donc H = 0 d~finit une surface topologique s implement connexe. Or, on peu t d~finir pour chaque vois inage une repr4senta t ion sur un cercle qui fa i t de F une surface de l~iemann.
Supposons d ' a b o r d ~ avec ~ $ r 0; on prend, pour effectuer la repre- senta t ion, la fonc t ion w = ~. Passons m a i n t e n a n t s ~ avec ~ ~ ----- 0. P o u r les points du veis inage pour lesquels ~ $ ~ 0, on effectue d ' abord la t r ans fo rmat ion inverse de ~e = ~e(~), puis on fa i t w ---- ~1 ce qui donne une representa t ion sur un cercle.
On a donc bien une surface de R iemann .
t Envisageons le cas off r~ (rl) a des z~ros. Soit r~ un z~ro d 'o rdre n de
r~ (rl); n e s t pair en ver tu de la monoton ie de r~ (rl). On fair, pour com- mencer , la t r ans fo rmat ion su ivan te :
2 n § 1
Z 1 = ($1 - - r~) ~ 2
2
z ~ = ( ~ - - r ~ ) ~
en choisissant une d6termina t ion quelconque. La re la t ion H($1, ~ ) ~ 0 dev ien t ~ (Z1, Z2) -~ 0; elle est r4guli~re au tour de Z 1 ~ 0. On precede alors comme on l ' a fair plus haut . On consid~re le rayon ~0 d ' u n cercle de cent re Z1 = 0 dans lequel Z 2 (Z~) est r~guli~re et univalente . On d~finit le vois inage de Z~ = 0:
1 ~ la par t ie du disque IZ~I <: ~ < Q0 int~rieure s la pa r t i e du p lan qui correspond s ~ ~1 ~ 0;
2 ~ l ' image dans le plan Z 2 du reste de ce disque, au moyen de la trans- fo rmat ion Z~ (Z1).
Le vois inage de ~ est l ' image de ce vois inage par les fonct ions ~1 (Z1) r e spec t ivement ~ (Z~).
P o u r faire la represen ta t ion conforme de ce voisinage, on passe par les fonct ions inverses au cercle [Zll ~ ~, d 'oh il r~sulte que dans ce cas encore H ---- 0 pe rme t de d4finir une surface de R iemann .
Si on a r~ (rl) ~ co, on se con ten te d ' i n t e rve r t i r les var iables r 1 et r2, d 'oh r~ (r2) ---- 0, e t le r a i sonnement est le m~me.
On mon t r e sans peine que ce t te surface est s implement connexe. Si on p rend pour H = 0 non pas une, mais plusieurs re la t ions analyt iques , d e n t la succession sat isfai t aux condi t ions (H), on d~finit encore une
559
surface de Riemann, mais les valeurs (r~, r~) qui correspondent au passage d 'une relation H/~ l 'autre ne donnent pas, en g6n6ral, des points de la surface; il en r6sulte que celle-ls n 'es t plus toujours simplement c o n n e x e ,
On appellera surface correspondant s la fonction H la surface qui est d6finie pa r la d6monstrat ion du th6orgme 2i .
La d6finition de la fonction H e t le th6or6me 21 nous montrent un nouvel aspect du problbme de la d6terminat ion du type : H 6taut donn~e, quel est le type de la surface de I{iemann F correspondante? Nous donnons quelques solutions partielles de ce probl~me.
Thdor~me 22 : S i pour u n ensemble E de valeurs de r 1 on a
dr1
f l
dO > Kadr l
r; + r;" oit avec ~ 2 '
la racine de H ( - - r~ , r2) = 0 ;
% K , < dr'2 < K~ K , > O
alco's F est du type parabolique.
(1)
(2)
ra est la racine de H (r 1, r2) = O et o4 - - r ~ est
(3)
D6erivons un demi-cerele /1,. de rayon r duns l e demi-plan ~ ~ ~> 0, �9 J
ayan t son centre s l 'origine. Aux extr6mlt6s de ee demi-eercle corres- pondent deux points A, et By de ~ ~ = 0, d'~ffixes r; et - - r ; ' . D6erivons un demi-eerele Fe , dans le demi-plan ~,~ <~ 0, de diam~tre A ~ B , . Soit C, l ' image de _F, + Fe duns le plan s = log z, si on suppose qu 'on a repr6sent6 F sur le eerele I zl < R.
Soient ~1(~) et ~2 (~) les fonetions qui effectuent la repr6sentat ion de ~ >//0 et ~ ~ <~ 0 sur les domaines eorrespondants du p lan s, a~ (r) et
a~ (r) les longueurs des ares eorrespondant ~ F~ et F o . On a
~(r) + ~(r) >~ 2~
et +2 ~ (r) <~ ,~r S I q~', I ~ rdO ~=re~O
2 et, si on suppose R fini
360
f a[ < K3 (4) (r)dr
r
puis o~(r) ~ < ~ S I~'~1 ~ IdOl
OU
a~(r) ~ ~# K4 dA(q) pour r dans E (5)
en vertu de (3), A (~) ~tant l 'a i re du domaine limit~ par l ' image de / '~ . Donc
/E a~ (r) d~ (r)
e (r) < K5
et
fB a~ (r)dr
r < Ke (6)
d 'apr~s (2). II r~sulte de (4) et de (6)
r <K~
en contradict ion avec (1). Done R = e% et le thgor~me eat d6montrg.
Supposons que H ~ 0 est une relation alg~brique. Si on prend pour E les valeurs de r sup~rieures s r0, les hypotheses du th~or~me precedent sont v~rifi~es. On a done le
Thdor~me 23 : S i H = 0 est algdbrique, 2' est du type parabolique.
On peut encore ~noncer le th~or~me suivant :
Thdor~me 24 : Supposons la relation H ~ 0 8ymgtrique (c'est-s que H ( - - % , - -r~) = H (r 1, r2) ) avec de plus, pour r 1 assez grand
dr~ > Ko dr1 . (1) r2 r l
Alors F e~t du type parabolique.
C'est un cas part icul ier du th6or~me 22. En effet, l 'hypoth~se de la sym~trie ~quivaut s poser
24 Commenta~ MathemaUci Helvetici 361
donc, pour route valeur de r 1 sup6rieure s to, on a
et
ce qui d6montre le th6or~me.
r l
d~ > Ko dr~
La condition (1) du dernier th6or~me ne peut pas gtre compl~tement supprim6e: il existe des fonetions H, v6rifiant les conditions (H), sym6- triques au sens du th6orbme pr6c6dent, et qui sont hyperboliques.
Voici quelques exemples simples de fonctions H auxquelles s 'appliquent les th6orbmes pr6e6dents. Soit
H ( r 1, r2) - - ~ r l - - r ~ : 0 ;
l ' image de T dans le plan est form6e de deux demi-droites faisant un angle droit (au sommet de l 'angle correspond r 1 ~ r 2 ---- 0, qui est une singularit6 de la relation H -- 0). Si on a
H(r 1, r2)_~r2--(er~--e -rl)~-O
le type est encore parabolique, en vertu du th6or6me 24; s T correspond alors une parabole.
w 18. Exemple de cas hyperbolique
Dans le cas oh une fonction H donne une surface hyperbolique, les domaines du cercle [z I < I auxquels correspondent les deux demi-plans
~ >~ 0 et ~ ~ ~ 0 darts la repr6sentation de la surface sur un cercle peuvent 6tre limit6s par des courbes en spirale (domaines spiral6s). L'exemple que nous allons donner est de cette nature.
Consid6rons la bande B
0 ~ < ~ z ~ < ~ ~ z > ~ 0 ;
nous 6tablissons une eorrespondance biunivoque entre les points des deux demi-droites ~z--= 0 et ~z = :t, !~z > 0 . Soient P et Q deux points eorrespondants, on posera i~P = u et i~Q = v.
362
Supposons pour commencer que v = ku . Nous allons construire dans B une fonction analytique univMente ] ( z ) = / ( x + i y ) , telle que [/(z)[ ---- eonstante sur ehaque segment PQ, et telle que
arg/(Q) - - a rg / (P ) = ~ .
Posons ](z) = re iv, et r ( P ) - - q)(u); r est une fonction croissante de u; r (x , y) est une constante sur la droite
On a
et
- - z t x + y ( k - - 1 ) u + z t u = O.
Or(x ,y) - , Ou O r ( x , y ) _, Ou ' - % Y 9
O~o _ 1 Or 0~o 1 Or
Ox r Oy ' Oy r Ox
done
Ox q~ Oy Oy q~ Ox
et sur un segment PQ
\Ox] \Oy] dy dcP = q5 Ou
d'oh
done
10u\~ /au\2
0
4 ' ~" ~:2+u2(k__1) 2 .
r :r~ + u~ (k - - 1)~ - - q~ ~r ( k - - 1) log k
4 ' ~ ( k - - 1) q~ [Tr~+u~(k- - 1) ~] log k
ce qui permet de cMeuler 4 . On voit que l 'on a
~-~-~ + log ~ = 0
3 6 3
donc que log r(x, y) est une fonct ion h a r m o n i q u e ; /(z) = re iv es t donc une fonc t ion analy t ique . El le es t un iva len te ; /(z) repr6sente B sur un domaine spiral6 int6rieur ~ un cercle de r ayon fini.
Consid6rons m a i n t e n a n t une re la t ion plus g6n6rale
v = v ( u ) ;
on pose u - - - - log r~, v = log r 2 e t on fair l 'hypoth6se que la fonct ion
H(r~, r~) ~ log r 2 - - v (log r~) = 0
v6rifie les condi t ions (H), que
H ( - - r 2 , - - r l ) = 0 si H ( r l , r2) ~ 0 e t que de plus
v ' (u )>K~>2 et vH(u) >~0 p o u r u > u o . (t)
I I s 'agi t de repr6senter la bande B sur un domaine spiral6 D, au moyen d ' u n e fonc t ion t = h (z), de manibre que l ' on ai t
Ih (u ) l = I h ( v + i~)1 U > U o
a r g h (v + i:r) - - a r g h ( u ) = ~ ;
ee t t e repr6senta t ion est possible. En effet, on repr6sente la bande 0 ~< ~z ~< ~ sur le demi-p lan ~ r ~ 0 en posan t r = log z e t on considbre la re la t ion
H (rl, r~) ~ log r 2 --. v (log rl) = 0 ;
on repr6sente la surface cor respondante sur le cercle ] t t < c (<~ oo), de sor te que t = 0 si ~ = O. L e po in t ~ -= 0 est un centre de sym6tr ie de la surface, en ce sens qu ' i l existe une t r ans fo rmat ion b iun ivoque e t con- fo rme ~* - ' S(~), de la surface sur elle mgn~e, qui conserve ~ - - 0 e t t e l l e que S [ S ( ~ ) ] = ~ . On pose en effet, si ~ # 0 , ~ * = - - ~ , et si
~ O, ~ = ~2 et ~2 ~1; le po in t ~* ~" = - - * = - ( 1, r est b ien sur la
surface. Dans le eercle It I < c, la t r ans fo rma t ion S donne une t r ans fo rmat ion
t* = T(t) , b iun ivoque e t conforme, qui conserve le po in t t = 0; donc
t ~ : t . e t o
et de plus t - ~ t . e ~ i e
364
donc 0 = z~, e t t* = - - t. I1 en r6sulte que les domaines D et D* qui correspondent s ~ ~ ~ 0 et s ~ $ ~ 0 se d6duisent l 'un de l ' au t re pa r une ro ta t ion de z au tou r de t = 0. Soit z = g (t) la fonct ion qui repr6sente D sur B. Consid6rons le cercle
Itl = r < c
et les arcs de ce cercle int6rieurs ~ D. I1 leur correspond des arcs int6rieurs b~ B : l 'un, M N , relic les deux droi tes y = 0 e t y = :r, les autres, PIQ1, P~Q2, . . . re l ient chacun deux points situ6s sur la m6me droite, a l t e r n a t i v e m e n t y = 0 et y = ~.
Soit ] (z) la fonc t ion qui a 6t6 const ru i te au d6but de ce paragraphe ,
pour la va leur k = ~A , et soit
= F(t) = log / [g ( t ) ] ;
F (t) repr6sente la par t ie de D ext6r ieure au cercle ] t ] = r 0 sur un domaine F, don t l 'a i re es t finie. A u x ares du cercle It[ = r cor respondent des arcs int6rieurs s F. Soi t S (r) la longueur to ta le de ces ares.
Eva luons la va r i a t ion de T, a r g u m e n t d e / ( z ) sur M N et sur P~Q~.
On a
Or
Oq~_ q)' au aq~_ q~' Ou ax r ay ay q~ a x "
a u ~rx (k - - 1) 2 ~ x ( K 1 - - 2) K2x K 2 > 0 ay [ : r + y ( k - - 1)] 2 = [ 2 z t + y ( K 1 - - 2)] 2 > '
donc a~
ax >
si x > xo �9
D ' a u t r e pa r t
Sur M N ,
e t
oh on a pos6 u l = ~ M
2~2K2 (K1 - - 2) x K__2a K1 ~ X [ 4 u 2 + x2 (K~- - 2)2] l o g - V
K 3 > 0
0 u z~ 2
0x ~ A- y ~ - - 1) /> K11
o_+ 0 y > 0 .
la va r i a t ion A ~o de q vdrifie donc l ' indgali t6
A ~ > K 3 log v-! Ul
et vl = - - ~ N .
365
Soit un arc P1 Q~ dont les extr6mit4s sont sur y = 0 . Pour cet arc,
Q1 A~o>K3 log ~ .
Soit enfin un arc P~Q2 dont les extr4mit6s sent sur y = ~ ; on a encore
A ? > K3 log ~ Q2 ~P2 "
Mais ~P2 = v(Qi) et ~Qa = v(P3) ; et
~Q2 > P3 ~P~
puisque v'(u) > 1 , et v"(u)>~O .
Mais
et
done
puisque
On en tire que
S(r)/> ~ A ~ o > K3 [ l o g - ~ + logp~ + l o g ~ § ... ]
= K3 log vl Qn
vl = v(PO > K1P1
Q. -~ v(ul) > Kl ul
S ( r ) > K 3 log . K ~ = K 4 > 0 K I > 1 .
l F ' ( t ) si t e s t dans D Soit F ' ( t ) = 0 si t est hors de D ,
alors 2 S ] F ' ( t ) [ r d O > K 4 t = r e i~ o
d 'oh 2zC 277
t rdO I ]_~'(t)I~rdO > K~ 0 0
~o I~'(t)I~dO> K~ 2~r
2~r 2 r
2 J t J r ~*o O r o
366
L'int6grale du premier membre est born6e, puisqu'elle repr6sente l'aire d 'un domaine int6rieur g F; donc
j er r < K s ;
ro
il en r6snlte que r e s t bornS, done H (r 1, r2) correspond g une surface du type hyperbolique.
Prenons pour H = 0 la relation
H ~ e -e-~l q- e -~r2 - - 1 = 0
pour laquelle on a H ( - - r ~ , - - - r l ) = H ( r l , r = ) . On pose u- - - - logr i , v = l o g r ~ , e t d e H = 0 o n t i r e
e -eev-~ 1 - - e -e-eu
on volt que pour u >u0 , on a v > 0 , vr>K1 > 2 et v zr ~ 0. Donc la relation H = 0 est du type hyperbolique.
Prenons dans le demi-plan ~ r ~ 0 la fonction
w l ( ~ ) = e -~-r
et dans le deufi-plan ~ $ ~ 0 ,
w ~ ( ~ ) = l - - e - ~ .
Les surfaces F 1 et F2 qu'elles d4finissent peuvent se souder le long du segment (0, 1) qui correspond g l 'axe ~ ~ ~ 0. Soit F la surface que l 'on obtient en soudant F 1 et F~ ; F est hyperbolique, car si ~1 et ~2 sent les affixes de deux points de ~ r - - 0 qui donnent le mSme point de F, ils v6rifient la relation
e-e-i~ = l__e-e g2
donc la relation H = 0 que nous venous d'4tndier. On volt par lg que l 'ensemble des singu]arit4s d 'une surface du type
hyperbolique peut 8tre d4nombrable, de mSme que l 'ensemble des singularit~s d 'une surface du type parabolique peut ne pas l'Stre2t). Dans ce dernier cas, on arrive au r4sultat, en rar4fiant suffisamment les singularit6s ; dans notre exemple, c'est la dissym6trie qui donne g la sur- face son type hyperbolique.
21) M. Valiron a d4jk donn6, pa r une ~out autro m&hode, des exemples de surfaces du type hyperbolique, den t l 'ensemble des singulari t6s es t d6nombrable ; voir Comptes Rendus , 198, 1934, p. 2065-2067, e t J . de Math. pures e t appl. 15, 1936, p. 423-435. Pour les surfaces du type parabol ique, den t l 'ensemble des singularit6s a la puissance du continu, veer le m6moiro eit6 k la note 20).
3 6 7
w 19. Conclusions: quelques remarques sur la fonction H(rl, r2)
I1 y a un cas part iculier oh l '~tude de la relat ion H (rl, r2) ~ 0 pr~sente un certain int~r~t.
Consid~rons une fonction m~romorphe w : = / ( z ) dans le cercle [z] < R ( ~ co); soit w = ~ une singularit~ logari thmique de la fonction inverse, A une port ion circulaire dont le centre est la t race de co, et qui contient la singularit~ co. On coupe la surface F de z (w) le long de la fronti~re de A, et on repr~sente A e t F - A sur les demi-plans ~ > 0 et ~ ~ ~ 0; on suppose que pour les deux demi-plans la droite ~ ~ == 0 (moins le point s l 'infini) com-espond ~ la fronti~re de A. On d~finit ainsi une fonction H.
Supposons que nous connaissions le type d 'une surface F , ainsi qu'une relat ion H = 0 obtenue s par t i r de F suivant le proc~d~ donn6 ci-dessus. Posons
H * ( r l , r~) - - H ( r 1 ~- Ic sin r l , r2)
avec 0 ~ / c ~ 1. Quel est le type de la surface F* qui fournit H* ? Si on peut montrer que dans t o u s l e s cas le type de F* est le m~me que celui de F , on aura montr~ que la surface obtenue s par t i r de F e n d~pla~ant seulement une singutarit~ logari thmique s l ' int~rieur d 'une port ion qui ne contient que cette singularitY, est du m~me type que 2', I1 convient de remarquer que si l 'un des th4or~mes 22 ou 24 s 'applique b. H, il en r6sulte que H* est aussi parabolique.
La d~monstration de l ' identit~ des types de H c t de H* ~tablirait de fa~on rigoureuse le principe de Bloch dans sa forme la plus simple, re la t ivement s une seule singularit6 t ranscendante.
(Re~u le 16 f6vrier 1937.)
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