Les surfaces ombilicales et les surfaces minimales réglées ...1.4 Métriques riemanniennes, ariétésV riemanniennes . . . . . . . . . . . 18 ... Ce mémoire est départagé, en

MÉMOIRE

pour obtenir le titre de

MAGISTER EN MATHÉMATIQUES

de l'Université d'Oran Es-senia

Option : Analyse Mathématiques et Applications

Présenté par

Hamid KHIAR

Les surfaces ombilicales et lessurfaces minimales réglées dansl'espace de Lorentz-Heisenberg

Mémoire dirigé par Professeur M. BEKKAR

soutenu le ...............

devant le Jury composé de :

Président : M. Terbeche - Professeur, Université d'Oran.

Rapporteur : M. Bekkar - Professeur, Université d'Oran.

Co-encadreur : H. Zoubir - Maître de conférence-A-, E.N.S.E.T, Oran.

Examinateurs : M. Aiboudi - Maître de conférence-A-, Université d'Oran.

S. Ouakas - Maître de conférence-A-, Université de Saida.

Invitée : Mme Amara Zenati

Remerciements

Au nom d'Allah, le Tout Miséricordieux, le Très Miséricordieux.

Un remerciement très particulier va au Pr. M. Bekkar pour son encouragement

durant toute la période de réalisation de ce travail. J'ai eu l'honneur et le plaisir

d'être son étudiant. Je dois dire que ces deux années passées à travailler avec lui

ont été agréables et très protables. Je lui suis très reconnaissant de m'avoir fait

découvrir, partager sa passion, et aimer la géométrie, petit à petit, avec patience et

disponibilité, pour un sujet mathématique intéressant. A l'interface entre algèbre,

géométrie diérentielle et équations aux dérivées partielles, d'autant plus que

certains de ses travaux ont été une source d'inspiration pour moi.

Je suis aussi très reconnaissant au Dr. H. Zoubir qui m'a beaucoup aidé et a accepté

d'être mon co-encadreur.

Je tiens à exprimer aussi ma reconnaissance et mes remerciements à tous

mes enseignants dont j'ai eu la chance d'être leur étudiant. Notamment le Pr. Ch.

Bouzar, Dr. M.H. Mortad et Dr. R. Chaïli.

Je voudrais aussi remercier chaleureusement le Dr. M. Aiboudi et Dr. S. Ouakas

qui ont accepté de lire et d'expertiser ce travail et me font un grand honneur de

faire partie du jury.

Je tiens également à remercier le Pr. M. Terbeche de me faire l'honneur de présider

le jury de ce mémoire.

Je remercie chaleureusement les collègues pour leur aide et leur soutien. Notamment

SidAhmed, Zouaoui et Djamel..

On ne pourra clôturer ces remerciements sans me retourner vers ma famille, mes

parents, mes s÷urs et mes frères qui m'ont toujours soutenu et poussé et aller

jusqu'à la nalisation du mémoire. Je suis ère de pouvoir leur dédier ce travail.

Pour nir, mon dernier et plus grand remerciement sera envers ceux qui me

supportent tous les jours : ma femme et mes enfants.

Ce mémoire est dédié à ma mère, à ma femme et à ma

grande soeur...

à toute la famille...

et les meilleurs amis...

2

Table des matières

1 Rappels et dénitions 7

1.1 Notions de variétés et de sous variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Espace tangent et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Interprétation algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Formes bilinéaires et formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Métriques riemanniennes, Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . 18

1.5 Connexions et géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Connexions riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2 Courbure d'une connexion riemannienne . . . . . . . . . . . . 24

1.5.3 Tenseur de Ricci et courbure riemannienne scalaire . . . . . . 27

1.5.4 Laplacien sur une variété riemannienne . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.5 Notion de géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6 La théorie locale des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.6.1 Première et deuxième formes fondamentales . . . . . . . . . . 32

1.6.2 L'application de Gauss et courbure d'une surface . . . . . . . 36

1.7 Surfaces parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7.1 Surface parallèle à une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Espace de Minkowski 40

2.1 Un peu d'historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Courbes dans l'espace de Minkowski R31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.1 L'espace de Minkowski R31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 Equations de Seret-Frenet dans l'espace de Minkowski . . . . . 43

2.2.3 Exemple de courbes à courbure et torsion constante . . . . . . 45

2.3 Surfaces dans l'espace de Minkowski R31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3

TABLE DES MATIÈRES 4

2.3.1 Surfaces de type espace, temps et lumière : . . . . . . . . . . . 46

2.3.2 Les équations de Gauss et de Weingarten dans R31 . . . . . . . 49

2.3.3 Surfaces de rotations dans l'espace de Minkowski . . . . . . . 52

2.3.4 Surfaces réglées dans l'espace de Minkowski . . . . . . . . . . 53

3 Surfaces ombilicales et surfaces minimales réglées dans l'espace de

Lorentz-Heisenberg 55

3.1 Etude de la métrique gξ de Lorentz-Heisenberg . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Propriétés de la métrique gξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.2 Equation des surfaces minimales dans l'espace de Lorentz-

Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.3 Equation des géodésiques dans l'espace de Lorentz-Heisenberg 59

3.2 Surfaces ombilicales dans l'espace H13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.1 Surfaces totalement géodésiques dans H13 . . . . . . . . . . . . 65

3.3 Surfaces minimales réglées dans l'espace H13 . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.1 Surfaces minimales réglées par des droites géodésiques . . . . . 69

3.3.2 Surfaces minimales réglées par des droites . . . . . . . . . . . 74


Introduction

Dans ce mémoire sont donnés quelques bases sur les variétés diérentiables, leurs

représentations, et tout ce qui est utile pour l'élaboration du manuscrit. Loin d'être

complet, ce texte expose des dénitions et résultats importants dans ce domaine.

Peu d'exemples y sont développés car les références citées en sont bien fournies.

Seuls quelques calculs techniques dans les ouvrages courants sont exposés de façon

à illustrer des concepts et rendre moins diciles certains résultats.

L'objet de ce travail est la recherche des surfaces ombilicales et surfaces minimales

réglées dans l'espace R3 muni de la métrique de Lorentz-Heisenberg.

Cette métrique est

gξ = dx2 + dy2 −(dz + ξ(ydx− xdy)

)2

, ξ ∈ R.

Ce mémoire est départagé, en gros, en trois chapitres :

1. Le premier chapitre est réservé aux rappels et dénitions des outils mathé-

matiques de base d'algèbre et de géométrie euclidienne et riemannienne. On

s'intéresse aux espaces tangents. On donne une interprétation géométrique,

algébrique et physique de cet espace. On rappelle les notions de connexions,

de dérivée covariante, etc...

2. Le deuxième chapitre est entièrement consacré à la géométrie de l'espace de

Minkowski qu'on note R31.

On donne tous les éléments qui caractérisent cet espace. Entre autres, la courbe

et ses diérents types, à savoir le type espace, temps et lumière avec quelques

exemples. On dénit le système de Seret-Frenet dans l'espace de Minkowski.

En dernière partie de ce chapitre, on dénit une surface dans R31, et les dif-

férents types, avec quelques exemples. On écrit les équations de Gauss et de

Weingarten dans cet espace et on termine avec les surfaces de révolution et les

surfaces réglées.

3. Le troisième chapitre concerne la recherche des surface ombilicales et des sur-

faces minimales réglées dans l'espace de Lorentz-Heisenberg. On commence

d'abord par l'étude de la métrique de Lorentz-Heisenberg. On donne tous les


éléments qui caractérisent cette métrique, on calcule les symboles de Christof-

fel Γkij et les formes de connexion θij. Nous en déduisons ainsi les formes de

courbure Ωij et les composantes du tenseur de courbure Rijkl et celle du tenseur

de Ricci Rij. Nous écrirons aussi l'équation des surfaces minimales associée et

les équation des géodésiques. On aborde le sujet de recherche des surfaces om-

bilicales et on démontre qu'il n'existe pas de telles surfaces dans l'espace de

Lorentz-Heisenberg pour le cas ξ = 0, et pour le cas ξ = 0 on trouve le plan et

la pseudo-sphère de courbure de Gauss K = 1. On démontre aussi qu'il n y a

pas de surface totalement géodésique. On termine par les surfaces minimales

réglées par des droites.

On démontre que :

i) Les seules surfaces minimales de H13 réglées par des droites géodésiques

verticales sont des morceaux de plans verticaux.

ii) Les seules surfaces minimales de H13 réglées par des droites géodésiques de

contact sont, à isométrie près de H13, des morceaux de plans, des morceaux

d'hélicoïdes z = γArctg(y/x) avec γ réel, ou des morceaux du paraboloïde

hyperbolique z = ξxy. Ces résultats sont similaires aux résultats annoncés

dans [B.S] sur l'espace de Heisenberg. On montre aussi que la surface

z =λ

4ξ

[x√x2 − 1 − Log

(x +

√x2 − 1

)]− ξxy est minimale réglée par la

droite Lt de vecteur directeur (0, 1,−ξt) passant par le point (t, 0, a(t)). La

droite Lt n'est pas une géodésique de H13.

Dans cette partie on propose alors une description de toutes les surfaces mi-

nimales de H13 réglées par des droites qui ne sont pas nécessairement des géo-

désiques de H13. Cependant, dans ce dernier cas la description proposée n'est

pas complète dans le sens où les surfaces obtenues dépendent de fonctions ar-

bitraires qui sont solutions d'équations diérentielles qui ne sont pas résolues.

Chapitre 1

Rappels et dénitions

1.1 Notions de variétés et de sous variétés

La notion de variété diérentiable généralise le calcul diérentiel qu'on sait dénir

sur Rn. Pour cela, nous allons introduire des objets mathématiques qui ressemblent

localement à Rn, an d'y transférer ce que nous savons faire (i.e. continuité, déri-

vabilité, vecteurs, applications diverses...), mais qui globalement ne seront pas to-

pologiquement identiques à Rn. De tels objets nous sont familiers dans R3 : une

sphère, un tore, un cylindre, une selle, une nappe... ressemblent localement à R2.

Nous voyons toujours ces objets comme sous-ensembles de R3. Ce que nous allons

dénir ne peut à priori pas être vu comme sous-ensemble d'un Rn. Nous voulons en

donner une dénition intrinsèque, que nous appellerons variétés, sans faire référence

à un espace plus grand. Nous allons recoller ensemble des ouverts de Rn. Globale-

ment, nous n'auront pas nécessairement Rn, mais localement, nous aurons à notre

disposition tout ce que nous savons faire sur un ouvert de Rn.

Dénition 1.1 Une variété topologique M de dimension n est un espace topologique

séparé à base dénomobrable d'ouverts dont chaque point x admtet un voisinage ouvert

U homéomorphe à un ouvert Ω de Rn.

La donnée d'un tel homéomorphisme φ : U ⊂ M → Ω ⊂ Rn s'appelle une carte

locale au voisinage de x.

Exemples :

1. Rn est une variété topologique de dimension n.

7

1.1 Notions de variétés et de sous variétés 8

2. La sphère

Sn = (x1, ..., xn+1) ∈ Rn+1,n+1∑i=1

x2i = 1

est une variété topologique de dimension n muni de la topologie induite par

celle de Rn.

Les ouverts sont : Ui = (x1, ..., xn) ∈ Rn, xi > 0 et Uj = (x1, ..., xn) ∈

Rn, xj < 0

Les applications sont :

φi : Ui → Rn

x 7→ (x1, ..., xi−1, xi+1, ..., xn).

Les φi sont des homémorphismes car pour tout point

(x1, ..., xi−1, xi+1, ..., xn) ∈ φi(Ui) il ne correspond qu'un seul point

xi =

√1−

∑j =i

x2j .

φ−1i est continue ; φi(Ui) est un ouvert de Rn+1.

φj φ−1i : (x1, ..., xi, ..., xn+1) →

(x1, ...,

√1−

∑j =i

x2j , ..., xj, ..., xn+1

)3. Soit M = x ∈ Rn/ F (x) = 0 tel que F : Rn → Rn−k est une submersion

continument diérentiable (i.e, DF est surjective ou Rang(DF ) = n− k).

Alors M est une variété topologique de dimension k.

.

Dénition 1.2 Un atlas de classe Ck sur une variété M est un recouvrement de

cette variété par une famille d'ouverts Ui homéomorphes à Rn tels qu'étant données

deux quelconques de ces cartes locales (U1, φ1) et (U2, φ2), l'application φ2 φ−11 est

un diéomorphisme de classe Ck entre les ouverts de Rn images de U1 ∩ U2 par les

homémorphismes φ1 et φ2.

Exemple :

Le groupe des rotations SO(3) = A = (aij)|aij ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ 3 det(aij) = 1.

1.1 Notions de variétés et de sous variétés 9

C'est une variété de dimension 3. En dénissant l'application de Cayley :

C : R3 → SO(3), C(A) := (1 + A)(1− A)−1.

Ici 1 est la matrice unité, et A la matrice symétrique A =

0 a b−a 0 c−b −c 0

où a, b, c

des paramètres réels qui peut également être considéré comme un élément de R3.

L'application de Cayley est injective, et l'inverse peut être utilisé comme catre de

SO(3) et déterminée comme suit :

C(A) = B ⇔ B(1− A) = 1 + A

⇔ (B + 1)A = B − 1

⇔ A = (B + 1)−1(B − 1)

notez que B + 1 est toujours inversible, sauf si −1 est une valeur propre de B. Les

matrices B pour lesquelles cette dernière condition est vériée sont précisément les

rotations d'angle π. En fait, l'image de l'application de Cayley est tout SO(3) à

l'exception de l'ensemble des matrices de rotation d'angle π.

L'ensemble de toutes ces rotations par π est naturellement bijective à l'ensemble de

tous les axes de rotation possibles , donc bijective au plan projectif RP 2.

Si l'on dénit Ei comme la matrice de rotation par un angle π autour du ime axe, et

si on considère E0 = 1, alors les quatre applications suivantes (Resp. leurs inverses)

dénissent un atlas sur SO(3) :

A 7→ Ei · C(A), i = 0, 1, 2, 3.

Dénition 1.3 La donnée d'un atlas de classe Ck munit M d'une structure dié-

rentiable de classe Ck. On dit alors que M est une variété diérentiable de classe

Ck.

Dénition 1.4 Un sous ensemble N d'une variété topologique M est appelé sous

variété de M si, muni de la topologie induite par celle de M , c'est-à-dire dont les

ouverts sont les traces sur N d'ouverts de M , il est une variété.

1.2 Espace tangent et propriétés 10

Dénition 1.5 Un sous ensemble N d'une variété diérentiable M de classe Ck

est dit une sous variété diérentiable de M s'il existe un atlas de M dont la trace

sur N soit un atlas de classe Ck.

Exemple :

Le groupe orthogonal O(n) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre n inver-

sible A tel que tA = A−1. C'est une sous variété diérentiable de dimension n(n−1)2

et de classe C∞ de Rn2.

1.2 Espace tangent et propriétés

Soit M une variété diérentiable de classe C∞. Nous allons dénir la notion

d'espace tangent. Cette notion est assez immédiate dans le cas d'une sphère (par

exemple) : c'est le plan tangent, dans Rn3, à la sphère au point considéré ; c'est

donc un sous espace de dimension 2 de Rn3. Nous allons devoir dénir ce que sont

les vecteurs tangents et le plan tangent sans avoir à faire référence à un quelconque

espace plus grand que M . Ici nous en donnons trois interprétations d'un espace

tangent.

On appelle courbe diérentiable sur une variété M de classe C∞, la donnée d'une

application γ :]− ε, ε[⊂ R →M de classe C∞.

Soit I(p) l'algèbre des fonctions diérentiables sur un voisinage d'un point p et

γ(t) une courbe diérentiable tel que γ(0) = p.

Dénition 1.6 Un vecteur tangent à la courbe γ(t) au point p est une application

X dénie par

X : I(p) → R

f 7→ X(f) =df(γ(t))

dt|t=0.


1.2.1 Interprétation géométrique

Un vecteur tangent en p est une classe d'équivalence de courbes diérentiables

γ :]− ε, ε[⊂ R →M , où

γ ∼ γ∗ ⇔ (φ γ)′(0) = (φ γ∗)′(0)

pour toute carte φ contient le point p.

Vecteurs tangents sont tangents aux courbes tracées sur la variété.

1.2.2 Interprétation algébrique

Un vecteur tangent X en p est une dérivation (opérateur de dérivation) dénie

sur l'ensemble :

Fp(M) := f :M → R | f ∈ C∞

La valeur X(f) est aussi appelée dérivée directionelle de f dans la direction

de X.

Cette dénition signie plus précisément ce qui suit. X est une application

X : Fp(M) → R avec les deux propriétés suivantes :

1. X(αf + βg) = αX(f) + βX(g) où α, β ∈ R, f, g ∈ Fp(M) ;

2. X(fg) = X(f)g(p) + f(p)X(g) pour f, g ∈ Fp(M).

Vecteurs tangents sont des dérivations agissant sur les fonctions scalaires.

1.2.3 Interprétation physique

Un vecteur tangent en p est déni comme un n-uplet de nombres réels (ξi)i=1,...,n

dans un système de coordonnées x1,...,xn (qui est dans une carte), de telle sorte que

dans tout autre système de coordonnées x1,...,xn (i.e, dans une autre carte), le même

vecteur est donnée par le n-uplet (ξi)i=1,...,n correspond, où :

ξi =n∑

j=1

∂xi∂xj

|p ξj

Proposition 1.1 Soit M une variété diérentiable de dimension n et p ∈ M , si

x1, ..., xn est un système de coordonnées locales autour du point p alors l'ensemble


des vecteurs tangents à M en p est un R-espace vectoriel, de dimension n, de base

( ∂∂xi

)1≤i≤n.

Cet espace est appelé espace vectoriel tangent à M au point p et on le note TpM .

Dénition 1.7 Un champ de vecteurs X sur une variété diérentiable M est une

application qui associe à tout point p ∈ M un vecteur tangent à M au point p,

tel que, pour toute carte φ : U → V avec les coordonnées locales x1, ..., xn, les

coecients X i : U → R dans l'expression :

X =n∑

i=1

X i(p)∂

∂xi|p

sont des fonctions diérentiables, X i = X i(x1, ..., xn).

Une autre notation courante est X =n∑

i=1

X i ∂

∂xi.

L'ensemble de tous les champs de vecteurs diérentiables sur M est un R-espace

vectoriel, on le note N (M).

Théorème 1.1 L'espace (algébrique) tangent en p à une variété diérentiable M

de dimension n est un R-espace vectoriel engendré dans le système des coordonnées

locales x1,...,xn par :

∂

∂x1, ...,

∂

∂xn

Pour tout vecteur tangent X en p on a

X =n∑

i=1

X(xi)∂

∂xi

Pour la preuve de ce théorème, nous avons besoin du lemme suivant :

Lemme 1.1 Si X est un vecteur tangent et f est une fonction constante, alors

X(f)=0.


Supposons que f ≡ 1 partout. Alors on a

X(1) = X(1 · 1) = X(1) · 1 + 1 ·X(1) = 2X(1)

d'où X(1) = 0.

Maintenant on va supposer que f ≡ c. Alors on a

X(c) = X(c · 1) = cX(1) = c · 0 = 0

Preuve du théorème :

On va faire les calculs sur une carte φ : U → V . Sans restreindre la généralité, on

peut supposer V une boule ouverte de rayon ε avec φ(p) = 0, donc x1(p) = ... =

xn(p) = 0. Soit h : V → R une fonction diérentiable, et f := h φ.

Posons hi(y) :=∫ 1

0∂h∂ui

(ty)dt (Notez que h ∈ C∞ ⇒ hi ∈ C∞).

Eectuons les calculs suivants :

n∑i=1

∂h

∂ui(ty)

d(tui)

dt︸︷︷︸=ui

=∂h

∂t(ty)

qui implique

n∑i=1

hi(y)ui =

∫ 1

0

∂h

∂t(ty)dt = h(y)− h(0)

De ceci, nous obtenons, en utilisant les identités f = hφ, fi = hiφ, xi = uiφ,l'équation

f(q)− f(p) =n∑

i=1

fi(q)xi(q)

pour un point q variable. En dérivant /xi, on obtient

∂f

∂xi= fi(p).


Maintenant, si on nous donne un vecteur tangent X au point p, alors

X(f) = X(f(p) +

n∑i=1

fixi

)= 0 +

n∑i=1

X(fi) xi(p)︸︷︷︸=0

+n∑

i=1

fi(p) ·X(xi)

=n∑

i=1

∂f

∂xiX(xi) =

( n∑i=1

X(xi)∂

∂xi

)(f)

pour tout f . Les vecteurs∂

∂xisont linéairement indépendants, puisque

∂

∂xi(xj) =

∂xj∂xi

= δij.

Dénition 1.8 (Crochet de Lie)

Soient X, Y deux champs de vecteurs (diérentiables) sur M , et soit f : M → R

une fonction diérentiable. On dénit le crochet [X, Y ] (appelé Crochet de Lie)

par la relation suivante :

[X, Y ](f) = X(Y f)− Y (Xf)

Remarquons que [X,Y ] est aussi un champ de vecteurs sur M (aussi appelé

dérivée de Lie LXY de Y dans la direction de X).

En terme de coordonnées locales, siX =

n∑i=1

X i ∂

∂xi,

Y =n∑

j=1

Y j ∂

∂xj

Alors,

[X,Y ] =n∑

i,j=1

(X i ∂Y j

∂xi− Y i ∂Xj

∂xi

) ∂

∂xj

Lemme 1.2 Soient X, Y, Z des champs de vecteurs, soit α, β ∈ R, et soit f, g :

M → R des fonctions diérentiables, alors le crochet de Lie a les propriétés sui-

vantes :


i) [αX + βY, Z] = α[X,Z] + β[Y, Z] ;

ii) [X, Y ] = −[Y,X] ;

iii) [fX, gY ] = fg[X,Y ] + f(Xg)Y − g(Y f)X ;

iv) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 ; (Identité de Jacobi)

v) [∂

∂xi,∂

∂xj] = 0.

Preuve : Les propriétés (i) et (ii) sont évidentes.

(iii) découle de :

[fX, gY ](ϕ) = fX((gY )ϕ)− gY ((fX)ϕ)

= f(Xg)(Y ϕ) + fgX(Y ϕ)− g(Y f)(Xϕ)− gfY (Xϕ)

=(fg[X, Y ] + f(Xg)Y − g(Y f)X

)(ϕ)

pour toute fonction ϕ dénie dans un voisinage du point en considération.

L'identité de Jacobi (iv)est facilement vériée comme suit, où nous écrire symboli-

quement [X, Y ] = XY − Y X :

[X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]]

= XY Z −XZY − Y ZX + ZY X + Y ZX − Y XZ − ZXY

+XZY + ZXY − ZY X −XY Z + Y XZ = 0

(v) découle de la diérentiabilité de f .

On appelle Algèbre de Lie l'espace vectoriel des champs de vecteurs invariants à

gauche muni de l'opération crochet.

Dénition 1.9 (Espace cotangent)

Soit l'application

h : TpM → R

X 7→ h(X)

qui est une forme linéaire appelée aussi covecteurs tangents à M en p ou vecteurs

covariants.

1.3 Formes bilinéaires et formes quadratiques 16

L'espace T ∗pM = h : TpM → R est appelé dual de TpM ou espace cotangent à M

en p.

- Une application qui associe à tout point p de M un covecteur sur TpM est dite

une 1-forme.

En particulier si x1, ..., xn est un systéme de coordonnées locales autour du point

p, alors les diérentielles totales (dxi)p forment une base de T ∗pM .

1.3 Formes bilinéaires et formes quadratiques

Dans tout ce qui suit, on suppose que le corps K est commutatif et de caracté-

ristique diérent de 2.

Dénition 1.10 Une forme bilinéaire sur le K-espace vectoriel E est une applica-

tion B : E × E → K, linéaire par rapport à chaque argument, c'est-à-dire

i) B(λx, y) = B(x, λy) = λB(x, y), ∀x, y ∈ E et ∀λ ∈ K.

ii) B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z) et B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z), ∀x, y, z ∈ E.

Dénition 1.11 On dit qu'une forme bilinéaire B est symétrique si B(x, y) =

B(y, x).

Si E est de dimension nie n, et si e1, ..., en est une base de E.

Désignons les composantes des vecteurs x et y dans cette base respectivement par

(x1, ..., xn) et (y1, ..., yn), alors d'après la dénition

B(x, y) = B( n∑

i=1

xiei,n∑

j=1

yjej

)=

n∑i=1

xiB(ei,

n∑j=1

yjej

)

=n∑

i=1

xi

( n∑j=1

yjB(ei, ej))=

n∑i=1

n∑j=1

bijxiyj

où on a posé B(ei, ej) = bij.

On appelle la matrice carrée A = (bij) d'ordre n la matrice de la forme bilinéaire B

1.3 Formes bilinéaires et formes quadratiques 17

dans la base e1, ..., en. A l'aide de cette matrice, on peut écrire aussi

B(x, y) =t XAY, X =

x1...xn

et Y =

y1...yn

Dénition 1.12 Soit E un K-espace vectoriel, on appelle forme quadratique sur E,

toute application Q : E → K vériant les deux conditions suivantes :

i) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K : Q(λx) = λ2Q(x).

ii) L'application (x, y) 7→ B(x, y) = 12

(Q(x+ y)−Q(x)−Q(y)

)est bilinéaire sur

E (nécessairement symétrique).

De plus, on a B(x, x) = Q(x).

Si e1, ..., en désigne une base de E, et si x =n∑

i=1

xiei et y =n∑

j=1

yjej, alors

B(x, y) =n∑

i=1

biixiyi +∑

1≤i<j≤n

bij(xiyj + xjyi)

on en déduit

Q(x) =n∑

i=1

biix2i + 2

∑1≤i<j≤n

bijxixj

On peut écrire aussi Q(x) sous la forme matricielle suivante

Q(x) =t XAX, X =

x1...xn

et A = (bij)

1.4 Métriques riemanniennes, Variétés riemanniennes 18

On dit que la forme quadratique Q(x) est dénie positive si et seulement si les

mineurs principaux da la matrice carrée A = (bij) sont positifs (Critère de Sylvester)

D1 = b11 > 0,

D2 =

∣∣∣∣ b11 b12b21 b22

∣∣∣∣ > 0,

...

...∣∣∣∣∣∣∣∣b11 . . . . . . b1nb21 . . . . . . b1n. . . . . . . . . . . .bn1 . . . . . . bnn

∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0.

1.4 Métriques riemanniennes, Variétés rieman-

niennes

L'espace

L2(TpM,R) = α : TpM × TpM → R/ α est bilineaire

a une base

dxi ⊗ dxj/ i, j = 1, ..., n

où les dxi forment la base duale de l'espace dual

(TpM)∗ = L(TpM,R) = ω : TpM → R/ forme lineaire

déni comme suit :

dxi

( ∂

∂xj

)= δij =

1 si i = j,0 sinon.

Les formes bilinéaires dxi⊗dxj sont dénis en termes de leur action sur la base :

(dxi ⊗ dxj)( ∂

∂xk,∂

∂xl

)= δikδjl =

1 si i = k et j = l,0 sinon.

En insérant la base, pour les coecients de la représentation

α =∑i,j

αijdxi ⊗ dxj


on obtient l'expression

αij = α( ∂

∂xi,∂

∂xj

).

Dénition 1.13 (Métrique riemannienne) Une métrique riemannienne g sur M

est une application p 7→ gp ∈ L2(TpM,R) tels que les conditions suivantes sont

vériées :

1. gp(X, Y ) = gp(Y,X) pour tout X, Y

2. gp(X,X) > 0 pour tout X = 0

3. Les coecients gij dans chaque représentation locale (i.e, dans toute carte)

gp =∑i,j

gij(p)dxi ⊗ dxj

sont des fonctions diérentiables.

(M, g) est alors appelée variété riemannienne.

Remarques :

1. Une métrique riemannienne g dénit en chaque point p un produit scalaire gp

sur l'espace tangent TpM . La notation < X, Y > au lieu de gp(X,Y ) est aussi

utilisée. Les notions d'angles et de longueurs sont déterminés par ce produit

scalaire.

La longueur ou la norme d'un vecteur X est donnée par

∥X∥ :=√g(X,X)

et l'angle β entre deux vecteurs tangent X et Y peuvent être dénies par

l'équation

g(X, Y ) = ∥X∥ · ∥Y ∥ cos β

2. Si la condition que g est dénie positive est remplacée par la plus faible

condition, elle sera appelée non-dégénérée (ce qui signie que g(X,Y ) =

0 pour tout Y implique X = 0), puis on arrive à la notion de

métrique pseudo-riemannienne ou métrique semi-riemannienne, pour la-

quelle toutes les notions sont dénies exactement de la même façon que les


métriques riemanniennes.

En particulier, une métrique dite de Lorentz est dénie comme étant celle où la

signature de g est (−,+,+,+), telles métriques sont essentielles à la théorie de

la relativité générale. L'espace associé à cette métrique appelé souvent espace

de Minkowski R41 où la métrique est dénie par

(gij) =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Exemples :

1. L'exemple standard est (M, g) = (Rn, g0), où la métrique (g0)ij = δij (matrice

identité) est la métrique euclidienne dans Rn. Cet espace est aussi appelé

Espace euclidien notée En tel que le produit scalaire induit par cette métrique

est le produit scalaire euclidien g0(., .) =< ., . >.

2. Une autre métrique riemannienne sur Rn est donnée par gij(x1, ..., xn) :=

δij(1 + xixj) :

(gij) =

1 + x21 0 . . . 0

0 1 + x22 . . . 0...

.... . .

...0 . . . 0 1 + x2n

De même, on peut dénir de nombreuses métriques simplement en choisissant

arbitrairement les coecients gij, à condition seulement que l'on a dénie

positive ou non-dégénérescence de la métrique.

3. Le demi plan supérieur de Poincaré (x, y) ∈ R2/ y > 0 avec la métrique

(gij(x, y)) =1

y2

(1 00 1

)

est une variété riemannienne.

1.5 Connexions et géodésiques 21

1.5 Connexions et géodésiques

1.5.1 Connexions riemanniennes

On désire donner une notion de vecteur dérivé en un point p d'un champ de

vecteurs Y selon une direction donnée X(p). Pour des raisons pratiques, nous allons

plutôt dénir la dérivée directionnelle, dérivée covariante du champ de vecteurs Y

selon le champ de vecteurs X, c'est-à-dire en tout point de M à la fois, et on va voir

la diérence entre ces deux dérivées.

Dénition 1.14 (Dérivée directionnelle) Soit Y un champs de vecteur diéren-

tiable, dénie sur un ouvert de Rn+1, et soit X un vecteur directionnel xé en un

point xé p de cet ouvert. (en d'autres termes, supposons (p,X) ∈ TpRn+1). Alors

l'expression

DXY |p = DY |p(X) = limt→0

1

t(Y (p+ tX)− Y (p))

est appelée la dérivée directionnelle de Y dans la direction de X. (Ici DY désigne

la matrice jacobienne)

En outre, DXY |p est déni de façon unique par la valeur de Y le long d'une courbe

diérentiable arbitraire γ :]− ε, ε[→ Rn+1 avec γ(0) = p et γ(0) = X.

Plus précisément, on a

DXY |p = DY |p(X) = limt→0

1

t(Y (γ(t))− Y (p))

En particulier, si f : U → Rn+1 est une paramétrisation régulière d'une hypersurface

de Rn+1, alors on a

D ∂f∂ui

∂f

∂uj=

∂2f

∂ui∂uj

Dénition 1.15 (Dérivée Covariante) Si X, Y sont tangents à une hypersurface,

alors l'expression

∇XY := (DXY )Tang. = DXY− < DXY,N >

est appelée Dérivée covariante de Y dans la direction de X (ou par rapport à

X). Si X, Y sont des champs de vecteurs tangents, alors la dérivée covariante l'est

aussi.


Remarque 1.1 Il est en tout cas important de diérencier entre les deux opérateurs

diérentiels (dérivée directionnelle et dérivée covariante) :

La dérivée directionnelle D opère sur les champs de vecteurs dans l'espace

euclidien ambiant.

La dérivée covariante ∇ opère uniquement sur les champs de vecteurs tangents

dans l'hypersurface.

Lemme 1.3 (Propriétés de D et ∇)

i) Dφ1X1+φ2X2Y = φ1DX1Y + φ2DX2Y ,

∇φ1X1+φ2X2Y = φ1∇X1Y + φ2∇X2Y . (Linéarité)

ii) DX(Y1 + Y2) = DXY1 +DXY2,

∇X(Y1 + Y2) = ∇XY1 +∇XY2. (Additivité)

iii) DX(φY ) = φDXY +X(φ)Y ,

∇X(φY ) = φ∇XY +X(φ)Y . (règle du produit)

iv) DX < Y1, Y2 >=< DXY1, Y2 > + < Y1, DXY2 >,

∇X < Y1, Y2 >=< ∇XY1, Y2 > + < Y1,∇XY2 >. (Compatibilité avec le produit

scalaire)

Remarque importante : En général, D et ∇ ne sont pas commutatives,

c'est-à-dire

DXY = DYX et ∇XY = ∇YX

Un exemple de ceci :

Soit e1, e2 la base canonique de R2 avec les coordonnées (x, y). Alors on a

Deiej = 0, ∀i, j

On choisit X := xe2, Y := e1, on obtient

DXY = Dxe2e1 = xDe1e2 = 0

mais

DYX = De1(xe2) = xDe1e2︸︷︷︸=0

+De1x︸︷︷︸=1

·e2 = e2 = 0

Expressions locales : Si on pose ei = ∂∂xi

, en termes de coordonnées locales, si

on écrit

X =n∑

i=1

X iei et Y =n∑

j=1

Y jej


∇XY s'exprime par :

∇XY =∑i

X i∇eiY =∑i

X i∑j

∇ei(Yjej) =

∑i,j

X i(∂Y j

∂xiej + Y j∇eiej)

Les quantités Γkij dénies par

∇ ∂∂xi

∂

∂xj=

n∑k=1

Γkij

∂

∂xk

sont appelées symboles de Christoffel de deuxième espèce, et ils s'expriment en

fonction de (gij) par :

Γkij =

1

2

n∑l=1

gkl(∂glj∂xi

+∂gli∂xj

− ∂gij∂xl

)

On observe que Γkij = Γk

ji.

De cette dénition une connexion linéaire est entièrement dénie par les coecients

Γkij.

Dénition 1.16 (Connexion Riemannienne)

Une Connexion Riemannienne ∇ sur une variété riemannienne (M, g) est une ap-

plication (X, Y ) → ∇XY , qui associe à deux champs de vecteurs diérentiables don-

nés X, Y un troisième champ de vecteurs ∇XY diérentiable tels que les conditions

suivantes sont vériées (f :M → R désigne une fonction diérentiable) :

i) ∇X1+X2Y = ∇X1Y +∇X2Y ; (additivité dans l'indice)

ii) ∇fXY = f∇XY ; (linéarité dans l'indice)

iii) ∇X(Y1 + Y2) = ∇XY1 +∇XY2 ; (additivité dans l'argument)

iv) ∇X(fY ) = f∇XY +X(f)Y ; (règle du produit dans l'argument)

v) X(g(Y, Z)) = g(∇XY, Z) + g(Y,∇XZ) ; (compatibilité avec la métrique)

vi) ∇XY −∇YX − [X, Y ] = 0 (symétrie ou torsion-liberté)

Si la condition (vi) n'est pas satisfaite, la dierence

T (X,Y ) = ∇XY −∇YX − [X, Y ]


est appelée Tenseur de torsion de ∇ de type (1,2).

Au lieu de "connexion" on parle aussi de "dérivée covariante", et au lieu de

"connexion riemannienne" le terme "connexion de Levi-Civita".

Exemples :

1. Dans l'espace euclidien (Rn, g0) avec la métrique standard g0, nous pouvons

mettre ∇ = D, ce qui signie que la dérivée directionnelle est une connexion

riemannienne.

2. Dans R3, ∇XY := DXY + 12X × Y , où X × Y est le produit vectoriel de deux

vecteurs. Ce ∇ satisfait (i)− (v), mais pas (vi) :

∇XY −∇YX = DXY −DYX +X × Y = [X, Y ] +X × Y︸︷︷︸torsion

Théorème 1.2 Dans toute variété riemannienne (M, g), il existe une connexion

riemannienne et une seule telle que :

1. Elle est sans torsion, i.e T (X,Y ) = 0.

2. La dérivée covariante du tenseur métrique est identiquement nulle (tenseur

parallèle)

1.5.2 Courbure d'une connexion riemannienne

Dénition 1.17 On peut construire un autre tenseur comme le tenseur de torsion,

appelé Tenseur de Courbure de type (1,3) déni par

T (X,Y, Z) = R(X, Y )Z = ∇X∇YZ −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z

où X, Y, Z sont des vecteurs tangents en p.

Notons que la quantité droite de l'equation ci-dessus dépend uniquement de la

valeur des vecteurs X, Y, Z au point p.

La notation R(X,Y )Z vient du fait que pour des vecteurs xés X, Y , la transfor-

mation de courbure R(X,Y ) peut être considérée comme un endomorphisme dans


l'espace tangent.

D'après [K1.N], on a

R( ∂

∂xk,∂

∂xj

) ∂

∂xi=

∑s

Rsikj

∂

∂xs

où les composantes en repère naturel du tenseur de courbure sont :

Rsikj =

∂Γsij

∂xk− ∂Γs

ik

∂xj+ Γr

ijΓsrk − Γr

ikΓsrj

Lemme 1.4 (symétries du tenseur de courbure)

Soient X,Y, Z, V des champs de vecteurs arbitraires, les relations suivantes sont

vériées :

1. R(X, Y )Z = −R(Y,X)Z ;

2. R(X, Y )Z +R(Y, Z)X +R(Z,X)Y = 0 ; (1re identité de Bianchi)

3. (∇XR)(Y, Z)V +(∇YR)(Z,X)V +(∇ZR)(X, Y )V = 0 ; (2me identité de Bian-

chi)

4.⟨R(X,Y )Z, V

⟩= −

⟨R(X, Y )V, Z

⟩;

5.⟨R(X,Y )Z, V

⟩=

⟨R(Z, V )X, Y

⟩.

Ecrites sous les notations de Ricci, ces cinq équations sont les suivantes : (Rappelons

que Rijkl = gsiRsjkl.)

1. Rmijk = −Rm

ikj ;

2. Rmijk +Rm

jki +Rmkij = 0 ;

3. ∇iRmljk +∇jR

mlki +∇kR

mlij = 0 ;

4. Rijkl = −Rjikl ;

5. Rijkl = Rklij.

Pour une base orthonormée X1, ..., Xn de Rn, soient ω1, ..., ωn la base duale

associée, tel que

ωi(Xj) = δij.


On dénit les 1-formes ωij par l'équation ω

ij(Y ) = ωi(DYXj) pour tout Y . on obtient

alors

DYXj =∑i

ωij(Y )Xi.

Ces ωij satisfaits l'équation ω

ij = −ωj

i , car

ωij(Y ) + ωj

i = DY < Xi, Xj >= 0

Théorème 1.3 (Equation de structure de Maurer-Cartan)

L'équation suivante exprime les conditions d'intégrabilité de la dérivée dans la théorie

des surfaces :

dωij +

∑k

ωik ∧ ωk

j = 0 pour tout i, j.

Preuve :

On a

DYXj =∑k

ωkj (Y )Xk

On sait que si X,Y, Z sont des champs de vecteurs, dénis sur un ouvert de Rn,

alors on a

DX(DYZ)−DY (DXZ) = D[X,Y ]Z

D'où, un calcul simple conduit à

0 =⟨Xi, DX(DYXj)−DY (DXXj)−D[X,Y ]Xj

⟩= ωi

(DX(

∑k

ωkj (Y )Xk)−DY (

∑k

ωkj (X)Xk)−

∑k

ωkj ([X, Y ])Xk

)=

∑k

ωkj (Y )ωi

k(X)−∑k

ωkj (X)ωi

k(Y ) +∑k

DX(ωkj (Y ))ωi(Xk)

−∑k

DY (ωkj (X))ωi(Xk)−

∑k

ωkj ([X,Y ])ωi(Xk)

=∑k

ωik ∧ ωk

j (X, Y ) +DX(ωij(Y ))−DY (ω

ij(X))− ωi

j([X,Y ])

=(∑

k

ωik ∧ ωk

j + dωij

)(X,Y ).


Dénition 1.18 (Forme de courbure)

La forme de courbure Ωij est dénie par la relation

Ωij(X, Y ) =

⟨R(X, Y )Xj, Xi

⟩.

Alors on a l'équation suivante

Ωij = dωi

j +∑k

ωik ∧ ωk

j .

1.5.3 Tenseur de Ricci et courbure riemannienne scalaire

Dénition 1.19 On appelle Tenseur de Ricci le tenseur d'ordre 2 trace du ten-

seur de courbure, i.e

(C1R)(Y, Z) = Ric(Y, Z) = Tr(X 7→ R(X, Y )Z

)On utilisons les notations de Ricci, on a Rij = Rk

ikj.

Son expression en repère naturel est :

Rij = Rkikj =

∂Γkij

∂xk− ∂Γk

ik

∂xj+ Γr

ijΓkrk − Γr

ikΓkrj

Compte tenu de la symétrie des Γkij, le tenseur de Ricci est symétrique, i.e Rij = Rji.

Dénition 1.20 La trace du tenseur de Ricci est appelée courbure scalaire, no-

tée S, et est dénie par S = Rijgji = Rk

ikjgji.

Dénition 1.21 (Espace d'Einstein)

Une variété riemannienne (M, g) est appelée espace d'Einstein si le tenseur de

Ricci est un multiple de la métrique g, i.e

Ricc(X, Y ) = λ · g(X, Y ),

pour tout X, Y , avec une fonction λ :M → R.


1.5.4 Laplacien sur une variété riemannienne

On dénit l'opérateur de Laplace noté ∆ de la façon suivante

∆ : C∞(M) → C∞(M)

f 7−→ ∆f = div(grad f)

En coordonnées locales, on écrit :

∆f =1√detG

∂

∂xi

[gij

∂f

∂xj

√detG

]où G = (gij), i, j = 1, ..., n

Propriétés :

Soient f1, f2 ∈ C∞(M)

1. ∆(f1 + f2) = ∆f1 +∆f2

2. ∆(f1f2) = f2∆f1 + f1∆f2 − 2g(gradf1, gradf2)

On rappelle que

gradf = gij∂f

∂xj

∂

∂xi

où gij est la matrice inverse de gij.

Exemple :

Le laplacien d'une fonction f :M → R en coordonnées cylindriques r, θ, z.

On a x = r cos θ,y = r sin θ,z = z.

L'espace R3 est muni de la métrique euclidienne ds2 = dx2 + dy2 + dz2.

En coordonnées cylindriques la métrique devient ds2 = dr2 + r2dθ2 + dz2.

D'où le tenseur G associé à cette métrique est

G = (gij) =

1 0 00 r2 00 0 1

et G−1 = (gij) =

1 0 00 1

r20

0 0 1


Les composantes du gradf en cordonnées cylindriques sont

∂1f =∂f

∂r, ∂2f =

∂f

∂θ, ∂3f =

∂f

∂z

On a√detG = r, et en utilisant la dédintion du laplacien nous obtenons

∆(r,θ,z)f =1

r

( ∂

∂r(r∂f

∂r) +

∂

∂θ(r

r2∂f

∂θ) +

∂

∂z(r∂f

∂z))

=∂2f

∂r2+

1

r2∂2f

∂θ2+∂2f

∂z2.

1.5.5 Notion de géodésiques

Dans un espace riemannien ou semi-riemannien il existe toujours des courbes

intrinsèques jouissant d'une particularité qui les distingue des autres courbes. Elles

sont appelées géodésiques, ce sont des courbes qui réalisent le minimum des

distance entre deux points donnés moyennant une métrique donnée.

Dénition 1.22 Soit Y un champ de vecteurs tangents sur une surface S.

On dit que Y est parallèle, si ∇XY ≡ 0 pour tout champ de vecteurs tangents

X.

1.2. On dit que le champ de vecteurs Y est constant au sens covariant ou parallèle

le long de la courbe γ(t) si ∇γ(t)Y = 0.

3. Une courbe γ(t) non constante est dite géodésique ou auto-parallèle en t si

le champ de vecteurs tangents γ(t) est parallèle le long de γ, i.e ∇γ(t)γ(t) = 0.

Une courbe régulière γ(t) sur une surface S est une géodésique si et seulement

si sa normale principale est parallèle à la normale à S en tout point p ∈ γ.

Cette propriété permet d'identier quelques géodésiques de manière géométrique.

Exemples :

i) Les géodésiques du plan sont des droites.

ii) Les droites génératrices, les cercles horizontaux et les hélices sont les géodé-

siques du cylindre.


iii) Les grands cercles sont les géodésiques de la sphère.

En général, les géodésiques sur une variété M sont les extrémales de la fonctionnelle

L(γ) qui, à toute courbe γ : [a, b] ⊂ R → M diérentiable (ou par morceaux),

associe sa longueur (extrémités xées), en eet,

Nous avons l'habitude de dire que la géodésique est le plus court chemin (courbe)

localement, en ce sens qu'elle n'est jamais plus longue que toute autre courbe joi-

gnant les mêmes points susamment proches.

Nous allons donner une approche analytique de cette notion.

Considérons la fonctionnelle

L(γ) =

∫ B

A

L(x(t), x(t)

)dt

où L(x, x

)est fonction de x(t) =

(x1(t), ..., xn(t)

)et du vecteur tangent

x(t) =(x1(t), ..., xn(t)

)tels que A =

(xA1 , ..., x

An

), B =

(xB1 , ..., x

Bn

)un couple de

points xés.

Soit l'ensemble des courbes γ paramétrées par(xi = xi(t); i ∈ [1, n], a ≤ t ≤ b

),

diérentiables qui constituent le chemin joignant A et B tel que xi(a) = xAi et

xi(b) = xBi .

On va chercher la courbe γ qui rend minimale L(γ).

Pour cela on va perturber γ par une autre courbe voisine η = ηi, diérentiable et

qui s'annule sur les extrémités, i.e ηi(a) = ηi(b) = 0.

Pour que L(γ) soit minimale il faut que

d

dεL[γ + εη

]ε=0

= 0.

Il vient alors

d

dεL[γ + εη

]ε=0

=

∫ b

a

[ ∂L∂xi

ηi +∂L

∂xiηi

]dt = 0 (1)

où l'intégrale est prise par dénition le long de γ.

Le second membre de l'intégrale s'intègre par parties, soit∫ b

a

∂L

∂xiηidt =

[ ∂L∂xi

ηi

]ba−

∫ b

a

ηid

dt

( ∂L∂xi

)dt


Comme ηi(a) = ηi(b) = 0, il vient

[ ∂L∂xi

ηi

]ba= 0

donc ∫ b

a

∂L

∂xiηidt = −

∫ b

a

d

dt

( ∂L∂xi

)ηidt

Portant cette expression dans (1), on aura, pour tout γ,

∫ b

a

[ ∂L∂xi

− d

dt

( ∂L∂xi

)]ηidt = 0,

d'où l'égalité

∂L

∂xi=

d

dt

( ∂L∂xi

)Ces équations sont appelées équations d'Euler-Lagrange, et leurs solutions sont

dites extrémales de la fonctionnelle L.

Remarque :

Dans R3, ces notions sont en liaison directe avec le fait que la première forme fon-

damentale d'une surface (S) sert pour calculer les longueurs sur une surface, soit :

Dans le cas où L = 12gijxixj, on a

∂L

∂xi= gijxi ,

∂L

∂xk=

1

2

∂gij∂xk

xixj

On obtient l'équation des extrémales

d

dt

(gkjxj

)=

1

2

∂gij∂xk

xixj

c'est-à-dire

xjgjk +∂gjk∂xi

xixj =1

2

∂gij∂xk

xixj

Puisque gkmgjk = δjm, il vient

xm + gkm(∂gjk∂xi

− 1

2

∂gij∂xk

)xixj = 0

1.6 La théorie locale des surfaces 32

ou encore, en posant

Γmij =

1

2gkm(

∂gjk∂xi

+∂gik∂xj

− ∂gij∂xk

)

D'où

xm + Γmij xixj = 0, i, j, k,m = 1, ..., n.

Ce systéme d'équations diérentielles du second ordre gère les courbes dites

géodésiques.

1.6 La théorie locale des surfaces

1.6.1 Première et deuxième formes fondamentales

Toutes ces notions peuvent être appliquées à l'espace R3 en tant que variété

riemannienne et aux sous variétés de R3 de dimension 2 qui sont les surfaces. Ainsi,

pour des raisons pratiques nous travaillerons avec les coordonnées (x, y, z) ∈ R3

et S la surface tel que pour tout p = f(u, v) ∈ S elle est repérée par f(u, v) =

(x(u, v), y(u, v), z(u, v)).

On se place dans R3 muni d'une métrique riemannienne

ds2 = gijduiduj, i, j = 1, 2, 3.

Dénition 1.23 On appelle première forme fondamentale de la surface S la

forme quadratique induite par ds2 sur S qu'on note I et qui s'écrit par la matrice

symétrique dénie positive suivante :

(gij) =

(E FF G

)=

(I(∂f

∂u, ∂f∂u) I(∂f

∂u, ∂f∂v)

I(∂f∂v, ∂f∂u) I(∂f

∂v, ∂f∂v)

)=

⟨∂f∂u, ∂f∂u

⟩ ⟨∂f∂u, ∂f∂v

⟩⟨∂f∂v, ∂f∂u

⟩ ⟨∂f∂v, ∂f∂v

⟩ où les quantités E,F et G sont appelées les coecients de la première forme

fondamentale.

On peut écrire la première forme fondamentale sous la forme quadratique comme

suit :

I(du, dv) = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2


La matrice (gij) est appelée aussi le tenseur de mesure.

La première forme fondamentale sert à calculer la longueur d'arc sur une surface,

l'aire d'un domaine, la recherche des isométries, etc...

En fait, si on donne une courbe γ(t) = f(u(t), v(t)), alors l'expression

√E(dudt

)2+ 2F

du

dt

dv

dt+G

(dvdt

)2est égale à la longueur ∥γ∥ du vecteur tangent γ(t), car γ = fuu+ fvv implique

< γ, γ > = < fu, fu > u2 + 2 < fu, fv > uv+ < fv, fv > v2

= Eu2 + 2Fuv +Gv2.

La première forme fondamentale peut être clairement distinguée du produit sca-

laire sur l'espace tangent. Si ∂∂u, ∂∂v désigne la base standard de l'espace tangent,

ce produit scalaire est donné par la matrice suivante

( ⟨∂∂u, ∂∂u

⟩ ⟨∂∂u, ∂∂v

⟩⟨∂∂v, ∂∂u

⟩ ⟨∂∂v, ∂∂v

⟩ )=

(1 00 1

)

Dénition 1.24 Une surface S ou une sous-variété de R3 de dimension deux est

orientable si et seulement s'il existe un champ de vecteurs normal unitaire continue

N sur S, en coordonnées locales f(u, v), le vecteur normal unitaire N est exprimé

par :

N = ±(∂f∂u

∧ ∂f

∂v

)/∥∂f∂u

∧ ∂f

∂v∥

Dénition 1.25 On appelle deuxième forme fondamentale la forme quadratique

II qui s'écrit :

II = g(DN, df) = gijDNiduj

D'après [1].

On adoptera la notation d'Einstein pour la sommation, gij est le tenseur associé à la

métrique g = gijduiduj et DN est la dérivée covariante du vecteur normal unitaire

dénit par

gijNjduj = 0 et df = fudu+ fvdv.


Les composantes covariantes de N s'écrivent

Ni = gijNj

On dénit aussi l'expression de la deuxième forme fondamentale par :

II(du, dv) = Ldu2 + 2Mdudv +Ndv2

où L,M et N sont appelés les coecients de la deuxième forme fondamentale, et

sont exprimés par L = −g

(∇U1U1,N

),

M = −g(∇U2U1,N

),

N = −g(∇U2U2,N

).

avec U1, U2 désignent les vecteurs tangents à la surface f(u, v) = (u, v, w(u, v)).

Tout objet mathématique est caractérisé par un ou plusieurs invariants algé-

briques.

Il en est de même pour une surface. Elle est entièrement et uniquement déterminée

ou caractérisée par deux invariants algébriques qui sont directement calculés par les

éléments de la première et la deuxième formes fondamentales.

Ce sont la courbure de Gauss et la courbure moyenne.

Car sur l'espace tangent TpS au point p il existe une base qui diagonalise simulta-

nément les matrices I et II, moyennant une isométrie, elles s'écrivent sous la forme :

I =

(1 00 1

), II =

(k1 00 k2

)et les valeurs k1 et k2 sont appelées courbures principales et qui réalisent nu-

mériquement le maximum et le minimum de la courbure d'une section normale,

c'est-à-dire la trace du plan normal sur la surface S.

Algébriquement, ces valeurs sont racines du pôlynome caractéristique qui est une

équation du second degré Det(II− kI) = 0.

Explicitement ce sont les racines de l'équation

(EG− F 2)k2 − (EN +GL− 2FM)k + LN −M2 = 0.

Cette équation est universellement écrite plutôt comme

k2 − EN +GL− 2FM

EG− F 2k +

LN −M2

EG− F 2= 0.


Remarque : k1 et k2 peuvent être aussi dénies comme les valeurs propres de

la matrice I−1II.

Dénition 1.26 (Courbures)

i) On appelle courbure de Gauss(en tout point de S) le produit des courbures

principales noté KG = k1k2 =LN−M2

EG−F 2 .

ii) On appelle courbure moyenne(en tout point de S) la moyenne entre les cour-

bures principales noté H = 12(k1 + k2) =

EN+GL−2FMEG−F 2 .

iii) Un point p sur la surface est dit : (voir Figure 1.1)

Elliptique si K(p) > 0,

Hyperbolique si K(p) < 0,

Parabolique si K(p) = 0 et H(p) = 0,

Ombilic si k1(p) = k2(p),

P roprement ombilic si k1(p) = k2(p) = 0,

Point de niveau si k1(p) = k2(p) = 0.

Exemples :

1. Tout point de l'ellipsoide d'équation x2

a2+ y2

b2+ z2

c2= 1 est elliptique.

2. Tout point de la sphère unité d'équation x2 + y2 + z2 = 1 est proprement

ombilic.

3. Tout point de l'hyperboloïde à une nappe d'équation x2 + y2 − z2 = 1 est

hyperbolique.

4. Tout point du cylindre circulaire (appelé aussi cylindre de révolution) d'équa-

tion x2 + y2 = r2 est parabolique.

5. Tout point du plan est un point de niveau.

6. Tout point du paraboloïde de rotation d'équation z = x2 + y2 est elliptique

sauf un point isolé umbilic, à savoir l'origine.

7. Tout point du selle de singe d'équation z = x3 − 3xy2 est hyperbolique sauf

un point de niveau isolé, à savoir l'origine.


Figure 1.1 Points elliptiques, hyperboliques et paraboliques avec des courbes deniveau.

1.6.2 L'application de Gauss et courbure d'une surface

Tout comme la courbure des courbes est décrite par les changements des tan-

gentes, nous nous attendons à ce que la courbure des surfaces est liée à des chan-

gements dans les plans tangents. Étant donné que chaque plan est essentiellement

déterminé juste par une seule direction, à savoir celle de son vecteur normal.

Soit S2 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 la sphère unitaire, on a la dénition

suivante

Dénition 1.27 Pour toute surface S paramétrée par f : U → R3, l'application

de Gauss ν : U −→ S2 est dénie par

ν(u, v) :=∂f∂u

∧ ∂f∂v

∥∂f∂u

∧ ∂f∂v∥

Des années durant beaucoup de mathématiciens se sont intéressés à déterminer

les diérentes surfaces ayant comme valeurs critique KG et H.

Nous citons, entre autres, que les surfaces dont la courbure de Gauss KG = 0

sont dites développables et celles dont la courbure moyenne H = 0 sont dites

1.7 Surfaces parallèles 37

Figure 1.2 Surfaces parallèles.

minimales.

Cette dernière catégorie de surfaces a occupé et occupe une très grande place dans

la recherche mathématiques et autres...

1.7 Surfaces parallèles

Le mot parallélisme décrit le fait d'être parallèle, selon le contexte il peut avoir

une signication particulière.

1.7.1 Surface parallèle à une autre

Soit S une surface orientable et λ ∈ R.

Dénition 1.28 La surface Sλ est dite parallèle à S si elle est dénie par

Sλ = p+ λN | p ∈ S

où N est la normale à S au point p.

En d'autres termes, la surface Sλ est obtenue par une translation orthogonale

de la surface S à une distance λ. (voir gure 1.2)

Remarque : Deux surfaces sont dites parallèles si toute normale à l'une est

normale à l'autre. On ajoute alors la distance entre deux points à normale commune

est une constante, appelée distance de parallélisme. Ne pas confondre avec des

surfaces translatées l'une de l'autre.

Comme pour les plans, la relation de parallélisme des surfaces est une relation

d'équivalence.


Proposition 1.2 Soient k1, k2 les courbures principales de la surface S, et soit Sλ

la surface parallèle associée à S. Supposons que ni k1 ni k2 est égale à 1λ, en tout

point de S. Alors

1. Sλ est une surface (régulière) orientée, la normale unitaire à Sλ au point p+λN

étant égale à εN où ε est le signe de (1− λk1)(1− λk2).

2. Les courbures principales de Sλ sontεk1

1− λk1et

εk21− λk2

.

3. La courbure moyenne et la courbure de Gauss sont dénies par

Hλ =ε(H − λK)

1− 2λH + λ2K,

Kλ =K

1− 2λH + λ2K

où H et K sont la courbure moyenne et la courbure de Gauss da la surface S.

Preuve :

1. Soit X(u, v) la paramétrisation régulière de S avec N(u, v) la normale unitaire

standard. Alors la paramétrisation de Sλ est dénie par

Xλ(u, v) = X(u, v) + λN(u, v)

On dénit la matrice de l'application de Weingarten W de S par rapport à la

base Xu, Xv du plan tangent par

W =

(a cb d

)avec

−Nu = aXu + cXv,−Nv = bXu + dXv.

d'après ci-dessus, on obtient

Xλ

u = Xu + λNu = (1− λa)Xu − λbXv,Xλ

v = Xv + λNv = −λcXu + (1− λd)Xv. (*)

d'où alors,

Xλu ∧Xλ

v =[1− λ(a+ d) + λ2(ad− bc)

]Xu ∧Xv


Puisque k1 et k1 sont les valeurs propres de W , et puisque la somme et le pro-

duit des valeurs propres de cette matrice sont égaux à la trace et le déterminant

de la matrice, respectivement,

k1 + k2 = a+ d, k1k2 = ad− bc

Alors,

Xλu ∧Xλ

v = (1− λk1)(1− λk2)Xu ∧Xv

Les armations de la partie (1) découlent de cette équation.

2. Le système (∗) indique que la matrice exprimant Xλu et Xλ

v en termes de Xu

et Xv est I − λW , et le fait que Nλ = εN implique que −εW est la matrice

exprimant Nλu et Nλ

v en termes de Xu et Xv.

La combinaison de ces deux observations nous donnent

Wλ = ε(I − λW)−1W =

(a′ c′

b′ d′

)

où Wλ est l'application de Weingarten de Sλ par rapport à la base Xλu , X

λv

du plan tangent.

Les armations de la partie (ii) découle de cette équation et la preuve de (i).

3. La partie (iii) résulte de la partie (ii) par des calculs simples.

Chapitre 2

Espace de Minkowski

2.1 Un peu d'historique

Un espace de Minkowski, du nom de son inventeur Hermann Minkowski, est un

espace ane mathématique à quatre dimensions modélisant l'espace-temps de la

relativité restreinte. Les propriétés physiques présentes dans cette théorie corres-

pondent à des propriétés géométriques de cet espace.

La physique classique est également géométrisée, et ce depuis Isaac Newton. L'in-

térêt de cette géométrisation de la relativité restreinte est dans le fait que le temps

lui-même y est représenté est lié à l'espace matériel et les propriétés abstraites de

la relativité restreinte y trouvent une représentation proche de la géométrie eucli-

dienne.

Cet espace a été introduit dès 1905 par Henri Poincaré. La primeur de la découverte

est un sujet à débats, mais il semble, d'après certains historiens des sciences, que

l'interprétation moderne de cet espace comme espace-temps physique, et non par

convention calculatoire, est une idée de Minkowski.

H. Poincaré aurait proposé cet espace comme une présentation algébrique et géomé-

trique possible pratique d'un point de vue calculatoire, mais axiomatique, c'est-à-dire

conventionnelle. Seul Hermann Minkowski aurait vu dès 1907 que l'espace réel clas-

sique était un modèle expérimentable et pas seulement conventionnel. H. Poincaré

se rapprochera de ce point de vue en 1912. Il exprimera que l'on peut dénir un

espace-temps à partir du groupe de symétrie des lois de la physique en posant cette

fois le principe de relativité comme une convention.

40

2.2 Courbes dans l'espace de Minkowski R31 41

2.2 Courbes dans l'espace de Minkowski R31

Jusqu'à présent nous avons considéré l'espace euclidien notre espace ambiant. Le

produit scalaire euclidien

< X, Y >=3∑

i=1

xiyi

implique entre autres que la longueur ∥c∥ de la tangente sur une courbe régulière

c(t) ne s'annule jamais. Cependant, il ya de bonnes raisons pour lequel les produits

scalaires en général ne sont pas nécessairements dénies positives.

Dans la théorie de la relativité restreinte, par exemple, on travaille dans un

espace-temps de 3+1 dimensions, où le temps est considéré comme une dimension.

Dans la direction de cette coordonnée, le produit scalaire a un signe négatif. De

la même façon, on peut considérer l'espace tri-dimensionnel comme un espace de

dimension 2+1, c'est-à-dire le traitement de certaines dimensions diérement des

autres.

2.2.1 L'espace de Minkowski R31

On appelle espace de Minkowski R31 l'espace vectoriel R

3 constitué des vecteurs

(x1, x2, x3)/ x1, x2, x3 ∈ R muni du produit scalaire

< X, Y >1= −x1y1 + x2y2 + x3y3

Les vecteurs tangents sont dénis précisément comme dans le cas de l'espace

euclidien R3.

Dénition 2.1 Un vecteur X non nul est dit de :

type-espace, si < X,X >1> 0,

type-temps, si < X,X >1< 0,

type-lumière ou isotrope ou vecteur nul, si < X,X >1= 0.

L'ensemble des vecteurs nuls de R31 forment ce qu'on appelle "cône de lumière",

en coordonnées :

(x1, x2, x3)/ x21 = x22 + x23, x1 = 0


Remarque 2.1 Si le produit scalaire < X,X >1 est écrit sous la forme −γ2t2 +

x22 + x23 où t désigne le paramètre temps et γ la vitesse de la lumière, alors le cône

de lumière représente la propagation de la lumière dans le plan (x2, x3).

Dans R31, les règles de calcul restent les mêmes comme dans l'espace euclidien R3.

Notons par :

c(t)= paramétrisation régulière.

c(s)= paramétrisation par le paramètre naturel s.

c = dcdt= vecteur tangent.

c′ = dcds= vecteur tangent unitaire.

c =ds

dtc′ = ∥c∥c′

avec ∥c′∥ = 1.

Dénition 2.2 Une courbe régulière c : I → R31 est dite de :

type-espace, si < c, c >1> 0,

type-temps, si < c, c >1< 0,

type-lumière ou isotrope ou vecteur nul, si < c, c >1= 0.

Exemples :

i) L'hyperbole x21 = x22 +1, x3 = 0 est de type espace. Elle est paramétrisée par

c(t) = (cosh t, sinh t, 0)

D'où

c(t) = (sinh t, cosh t, 0),

ce qui implique < c, c >1= 1, le paramètre t est en fait la longueur de l'arc.

ii) De la même façon, l'hyperbole x21 = x22 − 1, x3 = 0 est de type temps avec

la paramétrisation c(t) = (sinh t, cosh t, 0). En eet c(t) = (cosh t, sinh t, 0), ce

qui donne < c, c >1= −1.

iii) La droite c(t) = (t, t, 0) est isotrope ou de type lumière, cette droite se situe

(à l'exception du point pour t = 0) entièrement sur le cône de lumière.


Lemme 2.1 Une courbe régulière c : I → R31 qui est de type-espace ou de type-temps

partout, peut être paramétrée par le paramètre naturel s dans le sens où < c, c >1=

±1 est vérié partout. En général on a pas toujours une courbe qui est partout de

type-lumière, mais on peut paramétrer une droite de type lumière de telle sorte que

c = 0. Ces paramétrisations sont pas uniques, mais seulement déterminées à une

translation t 7→ at+ b. Par conséquent ce paramètre est appelé paramètre ane.

Preuve :

Soit donnée une courbe c : [a, b] → R31, de longeur totale L donnée par :

L =

∫ b

a

∥dcdt∥dt

où

∥dcdt∥ =

√|< dc

dt,dc

dt>1|

Posons ensuite [α, β] = [0, L], et dénissons ainsi le paramètre naturel s par la

relation s(t) := ψ(t) =∫ t

a∥dcdt(τ)∥dτ . Cela dénit une fonction ψ : [a, b] → [0, L]

Alors on a :

ds

dt=dψ

dt= ∥dc

dt∥ =

√|< dc

dt,dc

dt>1| = 0

Car c est supposé de type-espace ou de type-temps, et par conséquent il existe une

fonction réciproque φ := ψ−1 tel que c φ := c ψ−1 est paramétrée par s.

Cette paramétrisation est unique à une translation s 7→ s+ s0 ou s 7→ s0 − s.

Dans le cas où c est de type-lumière la preuve est évidente.

2.2.2 Equations de Seret-Frenet dans l'espace de Minkowski

An d'obtenir les équations de Seret-Frenet, nous observons tout d'abord que

dans R31 le produit vectoriel (modié) de deux vecteurs A et B peut être dénie par

la relation

< A ∧B,C >1= det(A,B,C), ∀C ∈ R31.


De la même manière on peut dénir un repère orthonormé e1, e2, e3 comme

suit : < ei, ej >1= εδij / ε = ±1, i, j = 1, 2, 3e3 = e1 ∧ e2.

Si nous dénissons ϵ, η ∈ −1, 1 par

< e1, e1 >1= ϵ, < e2, e2 >1= η,

il s'ensuit que < e3, e3 >1= −ϵη.Par conséquent, chaque vecteur X peut être décomposé de façon unique en ses

trois composantes :

X = ϵ < X, e1 >1 e1 + η < X, e2 >1 e2 − ϵη < X, e3 >1 e3.

On a le théorème suivant :

Théorème 2.1 Soit c une courbe de type-espace ou de type-temps, paramétrée par

le paramètre naturel, et satisfait < c′′, c′′ >1 = 0. Alors cette courbe induit un repère

orthonormé,

e1 = c′, e2 =c′′√

|< c′′, c′′ >1|, e3 = e1 ∧ e2.

pour lequel les équations de Seret-Frenet vérient (ici ϵ et η sont dénis comme

ci-dessus) : e1e2e3

′

=

0 κη 0−κϵ 0 −τϵη0 −τη 0

e1e2e3

Les quantités dénies par cette relation, à savoir

κ =< e′1, e2 >1 et τ =< e′2, e3 >1

sont appelées la courbure et la torsion de la courbe c.

Preuve :

Comme dans le cas euclidien, on a :

e1 = c′ vecteur tangente2 =

c′′

∥c′′∥ vecteur normal unitairee3 = e1 ∧ e2 vecteur binormal


où κ := ∥c′′∥, τ =< e′2, e3 >1.

Les équations de Seret-Frenet sous écriture matricielle prennent la forme suivante :

e1e2e3

′

=

0 κ 0−κ 0 τ0 −τ 0

e1e2e3

Nous avons seulement besoin de calculer les composantes de e′1, e

′2, e

′3.

e′1 = c′′

= ϵ < c′′, e1 >1 e1 + η < c′′, e2 >1 e2 − ϵη < c′′, e3 >1 e3

= η < c′′, e2 >1 e2 = η < e′1, e2 >1 e2

= ηκe2.

< e′2, e1 >1 = − < e′1, e2 >1= −κ

< e′3, e2 >1 = − < e′2, e3 >1= −τ

2.2.3 Exemple de courbes à courbure et torsion constante

Les courbes planes suivantes ont une courbure constante :

c1(t) = (0, cos t, sin t), c2(t) = (sinh t, cosh t, 0), c3(t) = (cosh t, sinh t, 0).

Ici, c1 et c2 sont de type-espace, alors que c3 est de type-temps.

Les courbes planes à courbure et torsion constante peuvent être considérées

comme trajectoire d'une particule le long un mouvement hélicoïdal dans l'espace

de Minkowski.

Les matrices de rotation correspondantes seront discutés dans la section suivante.

On peut ensuite ajouter une translation dans la direction de l'axe de rotation, d'où

on obtient de cette manière les courbes suivantes avec courbure et torsion constante :

a ∈ R,

c4(t) = (at, cos t, sin t), c5(t) = (cosh t, sinh t, at), c6(t) = (sinh t, cosh t, at).

2.3 Surfaces dans l'espace de Minkowski R31 46

2.3 Surfaces dans l'espace de Minkowski R31

Tout comme on peut dénir et étudier les courbes dans l'espace de Minkowski,

nous pouvons développer une théorie de surfaces dans cet espace.

Une telle surface est dénie comme une immersion f d'un ouvert U ⊂ R2 dans

R31, i.e f : U → R3

1 exactement comme dans l'espace R3.

En raison de diérents types de vecteurs cités en [dénition 2.1], il existe dié-

rents types de plans, en particulier plans tangents. La première forme fondamentale

peut être formellement dénie comme au chap.1 dénition 1.23.

Cependant, cette forme n'est pas nécessairement dénie positive, même pas de

rang maximal. Au moins le rang ne peut s'annuler, car il ne peut y avoir un plan

de dimension 2 en R31 qui contient uniquement de vecteurs nuls.

Ce qui conduit à la classication suivante des surfaces en diérents types :

2.3.1 Surfaces de type espace, temps et lumière :

Dénition 2.3 Une surface f : U → R31 est dite de

Type-espace, si la première forme fondamentale est dénie positive.

Type-temps, si la première forme fondamentale est indéterminée (indénie).

Isotrope, si la première forme fondamentale est de rang égal à 1.

Exemples :

1. L'hyperboloïde à deux nappes x21 = x22+x23+1 est une surface qui est partout

de type-espace.

2. De la même façon, l'hyperboloïde à une nappe x21 = x22 + x23 − 1.

3. Le cône de lumière x21 = x22 + x23 privé de l'origine est une surface isotrope.

Dénition 2.4 Soit S une surface dans l'espace R31. Le plan tangent hérite de la

structure Lorentzienne de l'espace ambiant. On dénit les fonctions E,F et G : U →R par

E =< fu, fu >1, F =< fu, fv >1, G =< fv, fv >1


Les quantités E,F,G sont appelées les coecients de la première forme fondamentale

de la surface S.

Supposons en outre que N est le vecteur normal à la surface, N est donné par

l'expression

N =fu ∧ fv

∥ fu ∧ fv ∥

On dénit les fonctions L,M et N : U → R31 par

L = − < N, fuu >1,M = − < N, fuv >1,N = − < N, fvv >1 .

De même, L,M,N sont appelées les coecients de la deuxième forme fondamen-

tale de la surface S.

Lemme 2.2 Une surface f : U → R31 est de type-espace (resp. type-temps, isotrope)

si et seulement si pour tout point p il existe un vecteur non nul de de type-temps

(resp. type-espace, isotrope) orthogonal au plan tangent Tuf par rapport au produit

scalaire <,>1 de l'espace de Minkowski.

Preuve :

Dans le premier cas, nous choisissons une base orthonormée v1, v2 du plan

tangent Tuf et on ajoute un vecteur X = 0 pour construire une base de l'espace

de dimension 3, alors ça doit aboutir à que X est orthogonal au plan tangent.

Si on prend f(u, v) = (u, v, θ(u, v)) une paramétrisation de la surface S.

S est de type-espace, alors par dénition on a E > 0, EG− F 2 > 0 ie

E =< fu, fu >1= θ2u − 1

EG− F 2 =< fu, fu >1< fv, fv >1 − < fu, fv >21= θ2u − 1 = θ2u − θ2v − 1 > 0

On choisit un vecteur X(a, b, c) = 0 tel que v1, v2, X forment une base de

R31,

alors < v1, v2 >1=< X, v1 >1=< X, v2 >1= 0,

Mais v1 = αfu + βfv,v2 = γfu + λfv


d'où < X, fu >1=< X, fv >1= 0, c'est-à-dire

−a+ cθu = 0,b+ cθv = 0

=⇒a = cθu,b = −cθv

D'où X(a, b, c) = (cθu,−cθv, c) = c(θu,−θv, 1).

Par hypothèse on a θ2u − θ2v − 1 > 0, alors −θ2u + θ2v + 1 < 0.

Or c2(−θ2u+θ2v+1) =< X,X >1< 0, ce qui veut dire que X est de type-temps.

Dans le deuxième cas, on procède de la même manière.

Dans le troisième cas, on a E = 0, EG− F 2 = 0, alors

0 = EG− F 2 = −θ2u + θ2v + 1 =< X,X >1

D'où X est isotrope.

Corollaire 2.1 1. Une surface de type-espace a un unique vecteur (au signe près)

normal unitaire, qui est nécessairement de type-temps.

2. Une surface de type-temps a un unique vecteur (au signe près) normal unitaire,

qui est nécessairement de type-espace.

3. Une surface isotrope a un unique espace normal de dimension 1, mais cela est

contenu dans un espace tangent (de ce point de vue, l'espace tangent et l'espace

normal n'engendrent pas l'espace R31 comme on est habitué.)

Exemples :

1. Si nous revenons aux exemples précédents, on voit facilement que l'hyperbo-

loïde à deux nappes est de type-espace, alors que sa normale unitaire est de

type-temps.

En eet, si en paramétrise cette surface par

f(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v))

où x1 = cosh u,x2 = sinhu cos v,x3 = sinhu sin v.


et on calculons la normale

N =fu ∧ fv

∥ fu ∧ fv ∥= (− coshu,− sinhu cos v,− sinhu sin v).

Par conséquent, N est de type-temps, car < N,N >1= −1, en utilisant le

lemme, on déduit que cette surface est de type-espace.

2. Dans le cas du cône de lumière nous voyons aussi que chaque vecteur position

en tout point du cône de lumière est un vecteur normal, qui est contenu dans

le plan tangent. Notons que cette situation est similaire au cas de la sphère

unitaire S2 dans le cas euclidien.

2.3.2 Les équations de Gauss et de Weingarten dans R31

Soit M une variété semi-riemannienne de dimension n et x1, ..., xn un système

de coordonnées, p ∈M .

Alors ∂1, ..., ∂n où ∂i = ∂∂xi

(i = 1, ..., n) forment une base de l'espace tangent

TpM , et dx1, ..., dxn forme la base duale de l'espace duale (TpM)∗.

Dénition 2.5 Pour une surface de R31 de type-espace ou de type-temps il existe

une normale unitaire qui est unique (de signe près), peut être utilisé pour dénir

l'application de Gauss tout comme au chap.1 déntion 1.26. Plus précisément l'ap-

plication de Gauss est une application

ν : U → S2(1) = (x1, x2, x3) ∈ R31/ − x21 + x22 + x23 = 1.

au cas où la surface est de type-temps (i.e, la normale est de type-espace), et

ν : U → S2(−1) = (x1, x2, x3) ∈ R31/ − x21 + x22 + x23 = −1.

au cas où la surface est de type-espace (i.e, la normale est de type-temps).

Ensuite, on peut dénir l'application de Weingarten par W = −DN (Df)−1.

La première forme fondamentale I de la surface est donnée en coordonnées locales

(tout comme dans le cas euclidien) par

gij =< fui, fuj

>1 .


Dans le cas euclidien, pour tout vecteur tangent X et Y , on a

II(X,Y ) = I(WX,Y ),

et en raisons de diérents types de normales unitaires, on va considérer ici la

deuxième forme fondamentale comme valeur vectorielle dénie comme suit :

< II(X,Y ),N >1=< WX,Y >1,

En coordonnées locales nous avons alors,

II(fui, fuj

) = hijN = ε < fuiuj,N >1 N

où hij = II et ε =< N,N >1 est le signe qui est déni par ν.

Pour obtenir la Courbure de Gauss, au lieu de prendre le déterminant de hij, il

faut prendre le déterminant de hijν dans le sens suivant, la courbure de Gauss est

dénie par

K =

⟨II(X,X), II(Y, Y )

⟩1−

⟨II(X, Y ), II(Y,X)

⟩1

I(X,X)I(Y, Y )− I(X, Y )I(Y,X)=det(hij)

det(gij)ε

Ici, X, Y est une base arbitraire du plan tangent, par exemple X = ∂f∂u1

, Y = ∂f∂u2

.

Si nous prenons une base orthonormale e1, e2 avec < ei, ei >1= εi, on obtient

K = ε1ε2

(< II(e1, e1), II(e2, e2) >1 − < II(e1, e2), II(e2, e1) >1

)De la même façon, on dénit la courbure moyenne sous forme vectorielle, à savoir

la trace de II par rapport à I où l'on dénit le vecteur courbure moyenne, par

H =1

2

(ε1II(e1, e1) + ε2II(e2, e2)

)Puisque la courbure moyenne est seulement dénie à un signe en tout cas, le

signe n'est pas important. En revanche, pour la courbure de Gauss le signe est

d'une importance fondamentale, car le déterminant ne dépend pas du signe de N.

Cela signie que nous sommes confrontés à ce phénomène que si l'application de

Weingarten est l'identité nous ne pouvons conclure que K = 1, mais seulement que

K = ε =< N,N >1= ±1.


Théorème 2.2 (Equation de Gauss) Soit f : U → R31, où U est un ouvert de

R2, et soit N le vecteur normal unitaire. Alors

fuu = Γ1

11fu + Γ211fv + L < N,N >1 N,

fuv = Γ112fu + Γ2

12fv +M < N,N >1 N,fvv = Γ1

22fu + Γ222fv +N < N,N >1 N.

Preuve :

Puisque f est régulière, il s'ensuit que fu, fv et N forment une base de R31. Soient

αi, βi et γi ∈ R, i = 1, 2, 3, tels que

fuu = α1fu + α2fv + α3N,fuv = β1fu + β2fv + β3N,fvv = γ1fu + γ2fv + γ3N.

Notez que

α3 = L < N,N >1, β3 =M < N,N >1, γ3 = N < N,N >1

Pour déterminer les autres coecients, on prend le produit scalaire de chacunes des

équations avec fu et fv. Il vient

α1E + α2F =< fuu, fu >1=12Eu,

α1F + α2G =< fuu, fv >1= Fu − 12Ev,

β1E + β2F =< fuv, fu >1=12Ev,

β1F + β2G =< fuv, fv >1=12Gu,

γ1E + γ2F =< fvv, fu >1= Fv − 12Gu,

γ1F + γ2G =< fvv, fv >1=12Gv,

Les deux premières équations peuvents être résolues pour α1 et α2, on trouve α1 =

Γ111 et α2 = Γ2

11. Les autres équations ont des solutions similaires ce qui achève la

preuve du théorème.

Théorème 2.3 (Equation de Weingarten) Soit f : U → R31 et N le vecteur

normal unitaire. Alors Nu et Nv s'expriment dans la base fu, fv sous la forme

Nu = MF−LG

EG−F 2 fu +LF−MEEG−F 2 fv,

Nv =NF−MGEG−F 2 fu +

MF−NEEG−F 2 fv.


Preuve :

Puisque < N,Nu >1=< N,Nv >1= 0, Nu et Nv sont des vecteurs tangents.

Soient a, b, c, d ∈ R tels que

Nu = afu + bfv et Nv = cfu + dfv

d'où

−L = aE + bF, −M = cE + dF−M = aF + bG, −N = cF + dG

Ce qui donne

a = MF−LGEG−F 2 , b = LF−ME

EG−F 2

c = NF−MGEG−F 2 , d = MF−NE

EG−F 2

Ceci achève la preuve.

2.3.3 Surfaces de rotations dans l'espace de Minkowski

Une surface de rotation dans l'espace euclidien R3 est généré par la rotation

d'une courbe arbitraire autour d'un axe arbitraire. Dans l'espace de Minkowski R31,

cependant, il y a diérents types de courbes (type-espace, type-temps et isotrope)

ainsi que diérents types d'axes de rotation (type-espace, type-temps et isotrope),

de sorte qu'il y a diérentes types de surfaces de rotation.

Une rotation dont l'axe est de type-temps (par exemple l'axe x1) est décrite par la

matrice 1 0 00 cosφ sinφ0 − sinφ cosφ

Formellement, cela semble identique à une matrice de rotation euclidienne, par consé-

quent, les surfaces de rotation obtenues par rotations d'axes de ce genre doit «ressem-

bler» à surfaces de rotation euclidiennes. La surface elle-même sera de type-espace,

si la courbe est du type-espace (par exemple l'hyperboloïde à deux nappes), et sera

de type-temps si la courbe l'est aussi (par exemple l'hyperboloïde à une nappe) ;

une courbe isotrope conduit à une surface isotrope de rotation.

Une rotation dont l'axe est de type-espace (par exemple l'axe x3) est décrite par la


matrice coshφ sinhφ 0sinhφ coshφ 0

0 0 1

Il est facile de voir que l'application linéaire dénie par cette matrice préserve le

produit scalaire (ainsi il est légitime de parler d'une rotation).

La surface de rotation ainsi obtenue remplace chaque point de la courbe par une

hyperbole, au lieu d'un cercle. C'est pourquoi les surfaces de ce type ont un aspect

très diérent des surfaces de rotation euclidiennes. Selon le type de courbe qui est

mis en rotation, on obtient à nouveau un type de surface de rotation.

Enn, il y a des rotations dont l'axe est isotrope, par exemple la diagonale dans le

plan (x1, x2). La matrice qui décrit une telle rotation est

1 + φ2

2−φ2

2φ

−φ2

21− φ2

2φ

φ −φ 1

Cette matrice ne ressemble plus à une matrice de rotation euclidienne en aucune

façon, mais elle préserve le produit scalaire, et elle xe la droite engendrée par le

vecteur isotrope (1, 1, 0).

Finalement, on peut donner une dénition un peu explicite d'une surface de

rotation comme suit :

Dénition 2.6 Une surface est appelée surface de rotation, si elle est généré par la

rotation d'une courbe arbitraire t 7→ (r(t), h(t)) autour de l'axe des z dans R31, en

d'autres termes, si elle admet une paramétrisation de la forme suivante :

f(t, φ) = (r(t) cosφ, r(t) sinφ, h(t)).

2.3.4 Surfaces réglées dans l'espace de Minkowski

Une surface réglée peut être dénie dans l'espace de Minkowski comme dans

l'espace euclidien, car une droite euclidienne est également une droite dans l'espace

de Minkowski.


Dénition 2.7 Une surface est appelée surface réglée, si elle admet une C2-

paramétrisation de la forme suivante :

f(u, v) = c(u) + vX(u),

où c est une courbe diérentiable (pas nécessairement régulière) et X est un champ

de vecteurs non nuls lelong c.

Il y a dans l'espace de Minkowski quatre diérents types de surfaces réglées, qui

sont en même temps aussi des surfaces minimales, à savoir : pour une constante

a = 0, on a

f1(u, v) = (au, v cosu, v sinu),f2(u, v) = (v sinhu, v coshu, au),f3(u, v) = (v coshu, v sinhu, au),

f4(u, v) =(a(u

3

3+ u) + uv, a(u

3

3− u) + uv, au2 + v

),

Chapitre 3

Surfaces ombilicales et surfaces

minimales réglées dans l'espace de

Lorentz-Heisenberg

3.1 Etude de la métrique gξ de Lorentz-Heisenberg

Dans ce qui suit nous noterons (R3, gξ) ≃ H13 la variété riemannienne R3 munie

de la métrique lorentzienne gξ dénie par :


)2

, ξ ∈ R.

Pour bien connaître cet espace, nous allons calculer et déterminer les éléments se

référant à cet espace.

Cette métrique est invariante par la transformation donnée par :

xyz

7−→

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0A B 1

xyz

+

abc

où φ, a, b, c ∈ R et A = ξ(a sinφ− b cosφ), B = ξ(a cosφ+ b sinφ), voir [2]

Nous rappelons les symboles de Christoel Γkij, l'expression de la connexion de Levi-

Civita et les formes de connexion θij. Nous en déduisons ainsi les formes de courbures

Ωij et les composantes du tenseur de courbure Rs

ikj et celles du tenseur de Ricci Rij.

55

3.1 Etude de la métrique gξ de Lorentz-Heisenberg 56

3.1.1 Propriétés de la métrique gξ

Soit la métrique Lorentzienne gξ dénie comme ci-dessus.

On pose θ3 = dz + ξ(ydx− xdy) appelée forme de Darboux.

Les trois 1-formes invariantes à gauche exprimant la géométrie semi-riemannienne

de H13 sont respectivement :

θ1 = dx,θ2 = dy,θ3 = dz + ξ(ydx− xdy).

Ainsi, gξ s'écrit sous la forme quadratique : gξ = (θ1)2 + (θ2)2 − (θ3)2.

Les champs de vecteurs duaux de ces formes sont respectivement les champs inva-

riants à gauche suivants : e1 =

∂

∂x− ξy

∂

∂z,

e2 =∂

∂y+ ξx

∂

∂z,

e3 =∂

∂z.

Ainsi nous avons directement le tenseur fondamental de gξ (i.e la matrice gij)

associée à la métrique, et son inverse gij. Les matrices associées sont :

(gij) =

1− ξ2y2 ξ2xy −ξyξ2xy 1− ξ2x2 ξx−ξy ξx −1

, (gij) =

1 0 −ξy0 1 ξx

−ξy ξx ξ2(x2 + y2)− 1

Dont le déterminant est det(gij) = det(gij) = −1.

Les symboles de Christoel ainsi que les formes de connexion de Levi-Civita en

coordonnées (x, y, z) pour la métrique gξ sont :

Γkij =

1

2

[gk1

(∂g1j∂xi

+∂g1i∂xj

−∂gij∂x

)]+1

2

[gk2

(∂g2j∂xi

+∂g2i∂xj

−∂gij∂y

)]+1

2

[gk3

(∂g3j∂xi

+∂g3i∂xj

−∂gij∂z

)]i, j, k = 1, 2, 3 avec x1 = x, x2 = y et x3 = z.


Explicitement, on obtient :

Γ112 = −ξ2y, Γ1

22 = 2ξ2x, Γ123 = −ξ;

Γ211 = 2ξ2y, Γ2

12 = −ξ2x, Γ213 = ξ;

Γ311 = 2ξ3xy, Γ3

12 = ξ3(y2 − x2), Γ313 = ξ2x, Γ3

22 = −2ξ3xy, Γ323 = ξ2y;

Les autres tous nuls.

L'expression de la connexion de Levi-Civita par rapport à la base invariante

(e1, e2, e3) sur H13 est donnée par :

∇e1e1 = 0, ∇e2e1 = −ξe3, ∇e3e1 = ξe2,∇e1e2 = ξe3, ∇e2e2 = 0, ∇e3e2 = −ξe1,∇e1e3 = ξe2, ∇e2e3 = −ξe1, ∇e3e3 = 0.

Les crochets de Lie sont :

[e1, e2] = 2ξe3, [e1, e3] = [e2, e3] = 0.

Ainsi que

gξ(e1, e1) = gξ(e2, e2) = 1, et gξ(e3, e3) = −1.

Remarque :

Notons que la 1-forme θ3 est une forme de contact sur H13, car :

θ3 ∧ dθ3 = −2ξdx ∧ dy ∧ dz = 0 ⇐⇒ ξ = 0.

Les formes de connexion θij relative à la base θ = (θ1, θ2, θ3) sont dénies par

gξ(∇Xei, ej) = θij(X)

pour tout champ de vecteurs X.

Notons que θij est une 1-forme antisymétrique, i.e θji = −θij et peut s'écrire sous

la forme θij = aijdx+ bijdy + cijdz avec i, j = 1, 2, 3.

Donc il sut de trouver θ12, θ13 et θ23.

Calculons θ12. En eet,θ12(e1) = 0θ12(e2) = 0θ12(e3) = ξ

⇒

a12 − ξyc12 = 0b12 + ξxc12 = 0c12 = ξ

⇒

a12 = ξ2yb12 = −ξ2xc12 = ξ


D'où :

θ12 = ξ2ydx− ξ2xdy + ξdz = ξ[dz + ξ(ydx− xdy)] = ξθ3

De la même manière on trouve θ13 et θ23. Donc explicitement sont exprimées par

θ12 = ξθ3, θ13 = ξθ2, θ23 = −ξθ1.

Les formes de courbure Ωij relative à la base θ = (θ1, θ2, θ3) sont exprimées en

utilisant l'équation de la dénition 1.18 par :Ω1

2 = −3ξ2θ1 ∧ θ2,Ω1

3 = ξ2θ1 ∧ θ3,Ω2

3 = ξ2θ2 ∧ θ3.

On déduit alors les composantes du tenseur de courbure associé à la connexion

à partir de la deuxième équation de structure de E. Cartan,

Ωij =

1

2

∑k,l

Rijklθ

k ∧ θl = dθij +∑h

θih ∧ θhj.

d'où R1

212 = −3ξ2,R1

313 = ξ2,R2

323 = ξ2.

Les courbures Rij de Ricci sont déduites et on aR22 = −3ξ2,R33 = 2ξ2,Les autres tous nulles.

De ce fait, si on adopte comme courbure scalaire celle donnée dans la dénition

1.20, alors on a :

S = ξ2[2ξ2(x2 + y2)− 5].

3.1.2 Equation des surfaces minimales dans l'espace de

Lorentz-Heisenberg

Soit S une surface de H13 donnée comme graphe d'une fonction w = f(u, v), les

coecients de la première et deuxième forme fondamentale sont calculés dans la


section suivante.

Nous rappelons qu'une surface est dite minimale si sa courbure moyenne

H =EN +GL− 2FM

2(EG− F 2)≡ 0

c'est-à-dire

EN +GL− 2FM ≡ 0

En reportant les expressions E,F,G, L,M,N dans l'équation précédente on obtient

(1−Q2)fuu + (1− P 2)fvv + 2PQfuv = 0

Ce sera l'équation des surfaces minimales dans H13. (Voir [4])

Remarque : Cette équation devient celle trouvée dans l'espace de Lorentz-

Minkowski R13 si ξ = 0. Voir [20]

On pourrait aussi déterminer l'équation précédente en étudiant le comportement

des surfaces voisines Sε d'équation wε = f(u, v) + εh(u, v) comme avait procédé

Woestijne [20] pour écrire l'équation des surfaces minimales dans l'espace de Lorentz-

Minkowski. Cela consiste à déterminer la surface d'aire minimale celle qui sont toutes

bordées par la même courbe fermée R13. Ce procédé utilise le calcul des variations.

Un raisonnement classique du calcul des variations nous conduit à l'équation des

surfaces minimales suivante :

∂

∂u

P

W+

∂

∂v

Q

W= 0.

3.1.3 Equation des géodésiques dans l'espace de Lorentz-

Heisenberg

On rappelle que les géodésiques de l'espace de Heisenberg sont des droites ou des

helices [8].

On dénit le Lagrangien associé à la métrique gξ par

L =1

2

∑i,j

gijxixj

D'où les géodésiques s'obtiennent à partir du Lagrangien suivant

L =1

2

[(1− ξ2y2)x2 + (1− ξ2x2)y2 + 2ξ2xyxy + 2ξxyz − 2ξyxz − z2

]

3.2 Surfaces ombilicales dans l'espace H13 60

qui sont explicitement exprimées par :x− 2ξ2yxy − 2ξyz + 2ξ2xy2 = 0,y + 2ξ2yx2 − 2ξ2xxy + 2ξxz = 0,z + 2ξ3xyx2 − 2ξ3(x2 − y2)xy + 2ξ2xxz + 2ξ2yyz − 2ξ3xyy2 = 0.

3.2 Surfaces ombilicales dans l'espace H13

On a dèjà vu la dénition d'un point ombilic dans la dénition 1.26, mais on

peut donner une autre dénition de ceci,

Dénition 3.1 Une surface (S) est ombilicale si les formes fondamentales associées

sont proportionnelles partout, où toute direction est principale, autrement dit :

∃ρ ∈ R /L

E=M

F=N

G= ρ

Exemple :

La sphère de rayon a de R3 est ombilicale, car

ρ =II

I=

1

a

Théorème 3.1 Si tous les points d'une surface connexe S riemannienne sont um-

bilics, alors S est soit contenue dans une sphère ou dans un plan.

Preuve :

Soit p ∈ S, f(u, v) sa paramétrisation dans un ouvert U connexe.

Etant donné que chaque q ∈ S est un umbilic, on a pour tout vecteur,

w = a1fu + a2fv ∈ TqS

l'équation

dN(w) = λ(q)w

où dN est la diérentielle de l'application de Gauss et λ(q) est une fonction dié-

rentiable sur U .

Nous montrons d'abord que λ(q) est constante sur U , pour cela, nous écrivons l'équa-

tion ci-dessus par

Nua1 +Nva2 = λ(fua1 + fva2)


Donc, puisque w est arbitraire, alors

Nu = λfu,Nv = λfv.

Diérentions la première équation en u et la deuxième en v, et puis on fait la

soustraction, on obtient

λufu − λvfv = 0

Puisque fu et fv sont linéairement indépendants, nous concluons que

λu = λv = 0

D'où λ est constant.

Si λ = 0, i.e Nu = Nv = 0 et donc N = N0 =constant.

Ainsi⟨f(u, v),N0

⟩u=

⟨f(u, v),N0

⟩v= 0, par conséquent,

⟨f(u, v),N0

⟩= constant.

et tout point f(u, v) appartient à un plan.

Si λ = 0, alors le point f(u, v)− 1λN(u, v) = m est xé, car

(f(u, v)− 1

λN(u, v)

)u=

(f(u, v)− 1

λN(u, v)

)v= 0

D'où

| f(u, v)−m |2= 1

λ2

c'est-à-dire, tout point f(u, v) appartient à une sphère de centre m et de rayon 1|λ| .

Nous allons démontrer la non existence des surfaces ombilicales dans l'espace de

Lorentz-Heisenberg dans le cas ξ = 0.

Dans le cas Riemannien ce résultat est déjà fait par A.Sanini, voir [18], en

utilisant des propriétés géométriques.

Nous allons, juste avec des méthodes analytiques, et dans le cas pseudo-

riemannien, donner une démonstration plus explicite.


On utilisera la notation de Monge pour les dierentes dérivées partielles de f .

r = fxx, s = fxy, t = fyy,

Les coecients de la 1re et la 2me forme fondamentale sont :

E = 1− P 2, F = −PQ, G = 1−Q2,L = 1

W(−fxx + 2ξPQ), M = 1

W(−fxy + ξ(Q2 − P 2)), N = 1

W(−fyy − 2ξPQ)

où

P = fx + ξy, Q = fy − ξx, W =√P 2 +Q2 − 1.

Un calcul simple nous donne :

∇XxXx = 2ξPe2 + fxxe3,∇XxXy = −ξPe1 + ξQe2 + fxye3,∇XyXy = −2ξQe1 + fyye3,

En appliquant la dénition, on trouve

r = ρ(P 2 − 1) + 2ξPQ,s = ρPQ+ ξ(Q2 − P 2), (i)t = ρ(Q2 − 1)− 2ξPQ

La fonction f doit vérier les conditions de dérivabilité

ry − sx = 0, (*)tx − sy = 0

où ry = ρy(P

2 − 1) + 2ρPPy + 2ξ(QPy + PQy),sx = ρxPQ+ ρQPx + ρPQx + 2ξ(QQx − PPx),sy = ρyPQ+ ρQPy + ρPQy + 2ξ(QQy − PPy),tx = ρx(Q

2 − 1) + 2ρQQx − 2ξ(QPx + PQx)

D'autre part on a

Px = r = ρ(P 2 − 1) + 2ξPQ,Py = s+ ξ = ρPQ+ ξ(Q2 − P 2 + 1),Qx = s− ξ = ρPQ+ ξ(Q2 − P 2 − 1),Qy = t = ρ(Q2 − 1)− 2ξPQ


Le système (*) devient

ρxPQ+ ρy(1− P 2) = ρ2Q+ 4ξ2Q+ ρξP (P 2 +Q2 − 1),ρx(1−Q2) + ρyPQ = ρ2P + 4ξ2P − ρξQ(P 2 +Q2 − 1)

Multiplions la première équation par Q et la deuxième par P , après addition et

comme on a supposer que P 2 +Q2 − 1 = 0 on aura

Pρx = −Qρy + (ρ2 + 4ξ2)(P 2 +Q2)

En portant cette relation dans la deuxième équation on obtient nalement

ρx = ρξQ+ P (ρ2 + 4ξ2),ρy = −ρξP +Q(ρ2 + 4ξ2)

On a la condition de dérivabilité ρxy = ρyx où

ρxy = −3ρξ2PQ+ξ(ρ2+4ξ2)(−P 2+2Q2+1)+ρ2ξ(−2P 2+Q2−1)+3ρPQ(ρ2+4ξ2)

ρyx = −3ρξ2PQ+ξ(ρ2+4ξ2)(−2P 2+Q2−1)+ρ2ξ(−P 2+2Q2+1)+3ρPQ(ρ2+4ξ2)

soit donc :

ξ(ρ2 + 4ξ2)(P 2 +Q2 + 2) + ρ2ξ(−P 2 −Q2 − 2) = 0

Alors

ξ3(P 2 +Q2 + 2) = 0 (∗∗)

Discussion

1er cas : ξ = 0.

Dans ce cas l'equation (**) n'a pas de solutions, car P 2 + Q2 + 2 = 0, par

conséquent il n'existe pas de surfaces ombilicales. Ainsi nous avons démontré le

Théorème 3.2 L'espace H13 = (R3, gξ) ne contient pas de surfaces ombilicales si

ξ = 0.


2eme cas : ξ = 0.

Le système (i) devient

r = ρ(p2 − 1),s = ρpq, (ii)t = ρ(q2 − 1)

On voit que la surface d'équation z = ax + by + c où a, b, c ∈ R est une surface

ombilicale (totalement géodésique).

On va vérier si la pseudo-sphère de courbure de Gauss K = 1, d'équation

x2 + y2 − z2 = 1

est ombilicale.

L'équation de cette surface peut s'écrire sous la forme suivante

z = ε√x2 + y2 − 1

avec ε2 = 1. D'où

p =

εx√x2 + y2 − 1

, q =εy√

x2 + y2 − 1, r =

ε(y2 − 1)

(x2 + y2 − 1)√x2 + y2 − 1

,

s =−εxy

(x2 + y2 − 1)√x2 + y2 − 1

, t =ε(x2 − 1)

(x2 + y2 − 1)√x2 + y2 − 1

.

Alors, d'après le système (ii), on obtient

ρ =r

p2 − 1=

ε(y2 − 1)

(x2 + y2 − 1)√x2 + y2 − 1

· x2 + y2 − 1

1− y2=

−ε√x2 + y2 − 1

ρ =s

pq=

−εxy(x2 + y2 − 1)

√x2 + y2 − 1

· x2 + y2 − 1

xy=

−ε√x2 + y2 − 1

ρ =t

q2 − 1=

ε(x2 − 1)

(x2 + y2 − 1)√x2 + y2 − 1

· x2 + y2 − 1

1− x2=

−ε√x2 + y2 − 1


D'où

L

E=M

F=N

G= ρ = −ε

Alors la pseudo-sphère de courbure de Gauss K = 1 est ombilicale dans l'espace de

Lorentz-Minkowski.

Remarque 3.1 La surface d'équation z = ax+by+c et la pseudo-sphère de courbure

de Gauss K = 1 sont des surfaces ombilicales dans l'espace de Lorentz-Minkowski.

3.2.1 Surfaces totalement géodésiques dans H13

On se propose de voir s'il existe des surfaces totalements géodésiques dans l'es-

pace de Lorentz-Heisenberg. En eet :

Une surface S est totalement géodésique si et seulement si la deuxième forme

fondamentale est identiquement nulle, L =M = N = 0.

D'où elle s'exprime par le systèmer = fxx = 2ξPQ,s = fxy = ξ(Q2 − P 2),t = fyy = −2ξPQ.

On adopte la même démonstration faite dans la recherche des surfaces ombilicales

dans le paragraphe précédent, on obtientry = 2ξ2Q(Q2 − 3P 2 − 1),sx = 2ξ2Q(Q2 − 3P 2 + 1),sy = 2ξ2P (P 2 − 3Q2 − 1),tx = 2ξ2P (P 2 − 3Q2 + 1).

En utilisant la condition de dérivabilité, on trouvery = sx,sy = tx.

⇐⇒ξ2Q = 0,ξ2P = 0.

1) Si ξ = 0, alors fxx = fxy = fyy = 0.

Si fxx = 0 on trouve f(x, y) = xα(y) + β(y), où α, β sont des fonctions

arbitraires en y.

En dérivant f par rapport à x puis par rapport à y on obtient

fxy = α′(y) = 0.

3.3 Surfaces minimales réglées dans l'espace H13 66

Alors α(y) = a, a est une constante réelle. D'où f(x, y) = ax+ β(y).

En dérivant f deux fois par rapport à y on obtient fyy = β′′(y) = 0.

Soit donc

β(y) = by + c, b, c ∈ R.

Par conséquent on a la surface d'équation z = ax+ by + c (Le plan dans R3).

2) Si ξ = 0, alors P = Q = 0, ça se traduit enfx = −ξy,fy = ξx.

fy = ξx donne f(x, y) = ξxy + g(x), en dérivant par rapport à x on a,

fx = ξy + g′(x) = −ξy

ce qui implique que g(x) = −2ξxy + C. En reportant g(x) dans f(x, y) =

ξxy + g(x) on trouve f(x, y) = −ξxy + C.

En dérivant cette dernière équation par rapport à y, on trouve fy = −ξx, onaboutit à une contradiction. Cela prouve qu'il n y a pas de surfaces totalement

géodésiques, d'où

Théorème 3.3 L'espace H13 = (R3, gξ) ne contient pas de surfaces totalement

géodésiques si ξ = 0.

3.3 Surfaces minimales réglées dans l'espace H13

Dans ce paragraphe, on va utiliser la notion d'isométries, dont on donne d'abord

la :

Dénition 3.2 Soit E un espace vectoriel euclidien. On appelle isométrie de E

tout endomorphisme f de E tel que :

< f(x), f(y) >=< x, y >, ∀x, y ∈ E.

On dit alors que f préserve le produit scalaire.

Notons par O(E) l'ensemble des isométries de E. Cet ensemble est un groupe pour

la loi de composition .


Proposition 3.1 Si (e1, ..., en) est une base orthonormée de E, si f ∈ End(E) et

si A est la matrice associée à f dans cette base. Alors f ∈ O(E) ssi

A ∈ O(n) = A ∈ GL(n,K) | tAA = 1n

Dénition 3.3 L'ensemble

SO(n) = A ∈ O(n) | det(A) = 1

est un sous-groupe de O(n), appelé groupe des rotations de dimension n.

L'espace de Lorentz-Heisenberg H13 admet un groupe d'isométries de dimension

quatre comme celui de Heisenberg, voir [3], ce groupe qu'on notera G est le groupe

des transformations anes de R3 suivantes : xyz

7−→

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0A B 1

xyz

+

abc

où θ, a, b, c sont des réels et

A = ξ(a sin θ − b cos θ), B = ξ(a cos θ + b sin θ).

Dans la suite les éléments de G seront notés par (θ; a, b, c). Le groupe G contient les

rotations (θ; 0, 0, 0) de R3 autour de l'axe (Oz) dénies par l'application

xyz

7−→

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 00 0 1

xyz

il contient aussi les translations à gauche (0; a, b, c) pour laquelle la métrique gξ est

invariante à gauche. Ces translations sont dénies par l'application

xyz

7−→

1 0 00 1 0

−ξb ξa 1

xyz

+

abc

On s'intéresse dans ce paragraphe par la recherche des surfaces minimales de H1

3

réglées par des droites qui sont des géodésiques de cet espace.


On a déjà donner dans le paragraphe 3.1.3 les équations d'Euler-Lagrange donnant

les géodésiques de H13, ces équations sont

x− 2ξ2yxy − 2ξyz + 2ξ2xy2 = 0,y + 2ξ2yx2 − 2ξ2xxy + 2ξxz = 0, (1)z + 2ξ3xyx2 − 2ξ3(x2 − y2)xy + 2ξ2xxz + 2ξ2yyz − 2ξ3xyy2 = 0.

Voyons maintenant ces géodésiques qui sont des droites ;

Notons par Γ(t) la géodésique issue du point m = (x(0), y(0), z(0)) de H13 et tangente

au vecteur V = (x(0), y(0), z(0)) ∈ TmH13. Alors si Γ(t) est une droite, donc elle passe

par m et admet V comme vecteur directeur, d'où l'équation de cette droite est la

suivante : x(t) = x(0) + x(0)t,y(t) = y(0) + y(0)t,z(t) = z(0) + z(0)t.

et puisque c'est une géodésique elle vérie l'équation (1). En eet,

pour simpliéé les notations posonsα = x(0),β = y(0),γ = z(0).

et

λ = x(0),µ = y(0),δ = z(0).

On a x(t) = y(t) = z(t) = 0, et en remplaçant les valeurs de x(t), y(t), z(t) dans (1)

on obtient−ξ(βt+ µ)αβ − βγ + ξ(αt+ λ)β2 = 0,−ξ(αt+ λ)αβ + αγ + ξ(βt+ µ)α2 = 0, (1)'ξ[(βt+ µ)2 − (αt+ λ)2]αβ + (αt+ λ)αγ + (βt+ µ)βγ + ξ(βt+ µ)(αt+ λ)(α2 − β2) = 0.

La première et la deuxième équation du système (1)′ donnent

β[γ + ξ(µα− λβ)] = 0,α[γ + ξ(µα− λβ)] = 0.

(2)

Pour la troisème équation, le membre à gauche est un polynôme de degré un en t et

s'annule lorsque ses coecients s'annulent ce qui est équivaut au

ξ(α2 − β2)(αµ+ λβ) + 2ξαβ(βµ− αλ) + γ(α2 + β2) = 0,ξλµ(α2 − β2) + ξαβ(µ2 − λ2) + γ(αλ− βµ) = 0.


d'où on obtient(αλ+ βµ)[γ + ξ(µα− λβ)] = 0,(α2 + β2)[γ + ξ(µα− λβ)] = 0.

(3)

D'après les deux systèmes (2) et (3), deux cas se présentent :

Soit γ + ξ(µα− λβ) = 0 ou bien α = β = 0.

Premier cas : α = β = 0.

C'est-à-dire x(0) = y(0) = 0, cela veut dire que V est vertical, d'où Γ(t) est la droite

vertical d'équation x(t) = x(0),y(t) = y(0),z(t) = z(0) + z(0)t.

Deuxième cas : γ + ξ(µα− λβ) = 0.

C'est-à-dire z(0) + ξ[y(0)x(0) − x(0)y(0)] = 0, cela veut dire que V est dans le

noyau de la forme de Darboux θ3 = dz + ξ(ydx− xdy) qui est une forme de contact

de R3, elle dénit par ses noyaux une distribution non intégrable F de R3, car−→Ω · rot(

−→Ω) = 2ξ = 0 (

−→Ω(ξy,−ξx, 1) le champ de vecteurs associé à cette forme). La

droite Γ(t) est appelée droite géodésique de contact d'équation

x(t) = x(0) + x(0)t,y(t) = y(0) + y(0)t,z(t) = z(0) + ξ[x(0)y(0)− y(0)x(0)]t.

3.3.1 Surfaces minimales réglées par des droites géodésiques

1. Considérons la surface Σ de H13 dénie par l'application

(t, s) 7−→ m(t, s) = U(t) + sV (t) ∈ R3 et V (t) = 0.

Cette surface est réglée par la droite Lt, passant par le point U(t) et de

vecteur directeur V (t).

Moyennant une isométrie de H13 et on se basant sur les deux cas étudiés

ci-dessus, on peut se ramener localement à l'un des deux cas suivants :

Pour le 1er cas : On peut choisir V (t) = (0, 0, 1) puisque le vecteur directeur

est vertical, et le point U(t) = (t, a(t), 0) quelconque sur le plan (Oxy) (a est


une fonction en t).

Pour le 2eme cas : Puisque le vecteur directeur n'est pas vertical,

i.e V (t) = (u(t), v(t), w(t)) avec u = 0 ou v = 0, on peut choisir un autre

vecteur qui est parallèle à V en divisant par exemple sur v(t) = 0 d'où le

vecteur s'écrit V (t) = (u(t), 1, v(t)), pour le point U(t) on peut le prendre sur

le plan (Oxz), i.e U(t) = (t, 0, a(t)).

2. Etude du 1er cas :

La surface Σ est paramétrisée localement par

(t, s) 7−→

x(t, s) = t,y(t, s) = a(t),z(t, s) = s.

Soit X(t, s) = (t, a(t), s), alors

Xt =

∂∂x

+ a′ ∂∂y

= e1 + a′e2 + ξ(a− ta′)e3,

Xs = e3,

D'où les coecients de la première forme fondamentale sont respectivement

E = gξ(Xt, Xt) = 1 + a′2 − ξ2(a− ta′)2,F = gξ(Xt, Xs) = −ξ(a− ta′),G = gξ(Xs, Xs) = −1.

SoitN la normale unitaire à cette surface de coordonnées (α, β, γ) dans la base

(e1, e2, e3), il vérie le système suivant

gξ(Xt,N) = gξ(Xs,N) = 0,gξ(N,N) = 1,

On obtient alors α = −a′√

1+a′2,

β = 1√1+a′2

,

γ = 0,

Enn on a N = −a′√1+a′2

e1 +1√

1+a′2e2.

Avant d'écrire les coecients de la deuxième forme fondamentale, calculons


d'abord les connexions ∇XtXt, ∇XsXt et ∇XsXs, elles sont données explicite-

ment par

∇XtXt = [−2ξ2a′(a− ta′)]e1 + [2a′′ + 2ξ2(a− ta′)]e2 + [−2ξta′′]e3,∇XsXt = −ξa′e1 + ξe2,∇XsXs = 0,

D'où L = −gξ(∇XtXt,N) =

−2√1 + a′2

[a′′ + ξ2(1 + a′2)(a− ta′)],

M = −gξ(∇XsXt,N) = −ξ√1 + a′2,

N = −gξ(∇XsXt,N) = 0.

Remarque : Les primes désignent la dérivation par rapport à t.

La condition de minimalité EN +GL−2FM = 0 conduit à l'équation a′′ = 0,

c'est-à-dire a(t) = λt + µ avec λ, µ ∈ R. Autrement dit la surface Σ est un

plan vertical. Ainsi nous avons démontré le

Théorème 3.4 Les seules surfaces minimales de H13 réglées par des droites


3. Etude du 2me cas :

Supposons que les droites Lt sont des droites géodésiques de contact, c'est-à-

dire que V est dans le noyau de la forme de Darboux θ3, d'où on a

v(t) = ξ(t · 1− 0 · u(t)) = ξt

et la surface Σ est paramétrisée localement par

(t, s) 7−→

x(t, s) = t+ su(t),y(t, s) = s,z(t, s) = a(t) + ξts.

L'équation x(t, s) = t + y · u(t) dénit implicitement t = t(x, y) en fonction

de x et y. Par conséquent la surface Σ est localement le graphe d'une fonction

z = f(x, y) avec

f(x, y) = a(t(x, y)) + ξyt(x, y)


On sait d'après ce qui précède que cette surface est minimale si la fonction f

vérie l'équation

[1−(fy−ξx)2]fxx+[1−(fx+ξy)2]fyy+2(fy−ξx)(fx+ξy)fxy = 0 (4)

Partant des dénitions des fonctions t(x, y) et f(x, y) on obtient

tx =1

1 + yu′, ty =

−u1 + yu′

= −utx,

fx = (a′ + ξy)tx, fy = (a′ + ξy)ty + ξt

où l'indice désigne la dérivation par rapport à la variable en indice et les primes

la dérivation par rapport à t.

En dérivant une deuxième fois par rapport à x et y on obtient

fxx = a′′t2x + (a′ + ξy)txx,fxy = ξtx + a′′txty + (a′ + ξy)txy,fyy = 2ξty + a′′t2y + (a′ + ξy)tyy,

(5)

avec

txx =−yu′′

(1 + yu′)3, txy = −u′t2x − utxx, tyy = 2uu′t2x + u2txx.

En tenant compte de la relation fy − ξx = −u(fx + ξy), l'équation (4) des

surfaces minimales devient

fxx + fyy − (fx + ξy)2(u2fxx + 2ufxy + fyy

)= 0

Un calcul simple montre que u2fxx + 2ufxy + fyy = 0 de sorte que l'équation

des surfaces minimales s'écrit

fxx + fyy = 0 (6)

Par conséquent nous avons établi le

Théorème 3.5 Les surfaces minimales de H13 réglées par des droites géodé-

siques de contact sont localement des graphes de fonctions harmoniques (sauf

au voisinage des points où elles contiennent une droite verticale).


4. Déterminons maintenant les fonctions u et a pour que l'équation (6) soit sa-

tisfaite. Les expressions (5) portées dans cette équation conduisent à :

−ξy2[u′′(1+u2)]+y[u′(a′′(1+u2)+2uu′a′−2ξu

)−u′′(1+u2)a′

]+[a′′(1+u2)+2uu′a′−2ξu] = 0

Ce polynôme du second degré en y s'annule lorsque ses coecients s'annulent

identiquement ce qui est équivaut au système de deux équationsu′′ = 0,a′′(1 + u2) + 2uu′a′ − 2ξu = 0

(7)

La première équation donne u(t) = αt+ β avec α, β ∈ R.

La deuxième équation s'écrit(a′(1 + u2)

)′= 2ξu, soit donc

a′(1 + u2) = ξαt2 + 2ξβt+ ν, ν ∈ R.

Finalement on obtient les solutions suivantes

a(t) =ξt

α+ γArctg(αt+ β) + δ si α = 0

a(t) =ξβt2

1 + β2+ γt+ δ si α = 0

d'où les fonctions f correspondantes

f1(x, y) =ξ(x− βy)

α+ γArctg

(αx+ β

αy + 1

)+ δ si α = 0

f2(x, y) =ξ(x− βy)(y + βx)

1 + β2+ γ(x− βy) + δ si α = 0

Considérons l'isométrie (0; β/α, 1/α,−δ), elle transforme la surface z =

f1(x, y) en la surface z = γArctg(x/y

)qui est un plan si γ = 0 et un hé-

licoïde si γ = 0. Cet hélicoïde peut être globalement paramétrisé parx(t, s) = s sin t,y(t, s) = s cos t,z(t, s) = γt.

Cette paramétrisation représente une droite horizontale Lt de vecteur directeur

(sin t, cos t, 0) et passant par le point (0, 0, γt) de l'axe (Oz). Par conséquent les


surfaces minimales représentées localement par z = f1(x, y) sont à isométrie

près de H13 des morceaux de plans ou des morceaux d'hélicoïdes.

En ce qui concerne les surfaces minimales représentées localement par l'équa-

tion z = f2(x, y), l'isométrie (Arctgβ; 0,γ

ξ

√1 + β2,−δ) permet de les trans-

former en un morceau du paraboloïde hyperbolique z = ξxy. Par conséquent

nous avons démontré le

Théorème 3.6 Les seules surfaces minimales de H13 réglées par des droites

géodésiques de contact sont, à isométrie près de H13, des morceaux de plans,

des morceaux d'hélicoïdes ou des morceaux du paraboloïde hyperbolique.

3.3.2 Surfaces minimales réglées par des droites

1. Le cas des surfaces réglées par des droites quelconques est plus délicat car il y

a trois fonctions inconnues a(t), u(t) et v(t) à déterminer pour que la surface

Σ paramétrisée localement par

(t, s) 7−→

x(t, s) = t+ su(t),y(t, s) = s,z(t, s) = a(t) + sv(t).

soit minimale.

On voit comme dans le paragraphe précédent que la surface Σ est localement

le graphe d'une fonction z = f(x, y) avec

f(x, y) = a(t(x, y)) + yv(t(x, y))

En dérivant par rapport à x et y on obtient

fx = (a′ + yv′)tx, fy = (a′ + yv′)ty + vfxx = (a′′ + yv′′)t2x + (a′ + yv′)txx,fxy = v′tx + (a′′ + yv′′)txty + (a′ + yv′)txy,fyy = 2v′ty + (a′′ + yv′′)t2y + (a′ + yv′)tyy,

(8)

Et remarquons aussi que fy − ξx = −u(fx + ξy) + S avec S = v − ξt.

L'équation (4) des surfaces minimales devient(1−S2

)fxx+fyy−(fx+ξy)

2(u2fxx+2ufxy+fyy

)+2S(fx+ξy)(ufxx+fxy) = 0


Un calcul simple montre que u2fxx + 2ufxy + fyy = 0.

Les expressions (8) portées dans l'équation des surfaces minimales ci-dessus

conduisent à :

y2[T (u′v′′ − v′u′′)+ 2ξu′RS

]+ y

[T (v′′ − u′′a′)+Tu′a′′ − 2uu′R+2RS(v′ + ξ)

][+ Ta′′ + 2R(Sa′ − u)

]= 0

avec

T = 1 + u2 − S2, R = v′ − a′u′

et dont l'annulation des coecients conduit au système de trois équationsT (u′v′′ − v′u′′) + 2ξu′RS = 0,(Ta′′ − 2uR)u′ + T (v′′ − u′′a′) + 2RS(v′ + ξ) = 0,Ta′′ + 2R(Sa′ − u) = 0.

(9)

Multiplions la première équation par v′′ − u′′a′, la deuxième par v′u′′ − u′v′′

et la troisième par u′(u′v′′ − v′u′′) et faisons la somme. Nous obtenons alors

l'équation

R2S[ξu′′ + v′u′′ − u′v′′

]= 0 (10)

Trois cas sont à considérer : S = 0, R = 0 ou ξu′′ = u′v′′ − v′u′′.

2. Supposons que S = 0, c'est-à-dire que v = ξt. C'est le cas des surfaces réglées

par les droites géodésiques de contact qui a été étudié au paragraphe précédent.

(voir théorème 3.4).

3. Supposons que R = 0, le système (9) s'écritT (u′v′′ − v′u′′) = 0,Ta′′u′ + T (v′′ − u′′a′) = 0,Ta′′ = 0.

(11)

Sachant que v′ = a′u′, alors v′′ − u′′a′ = a′′u′, donc le système (11) équivaut à

Ta′′ = 0.

i) Si a′′ = 0, c'est-à-dire a(t) = λt+ µ et v(t) = λu(t) + δ avec λ, µ, δ ∈ R et

u une fonction quelconque. La solution correspondante s'écritx(t, s) = t+ su(t),y(t, s) = s,z(t, s) = λt+ µ+ λsu(t) + δs.


Autrement dit z = λx+ δy + µ, qui représente un plan.

ii) Si T = 0, c'est-à-dire v = ξt+ ε√1 + u2, où ε2 = 1.

Alors la surface Σ est paramétrisée localement parx(t, s) = t+ su(t),y(t, s) = s,

z(t, s) = a(t) + s(ξt+ ε√

1 + u(t)2).

Les coecients de la première forme fondamentale sontE = (1 + yu′)2 − (a′ + 2ξy + ξy2u′)2 − 2εyuu′(a′ + 2ξy + ξy2u′)√

1 + u2− y2u2u′2

1 + u2,

F = u− ε√1 + u2(a′ + 2ξy + ξy2u′),

G = 0.

Compte tenu de l'ampleur des calculs, j'ai choisi de calculer uniquement les

coecientsM et N du moment que G = 0 et la condition de minimalité sera

EN − 2FM = 0. D'où les coecients M et N sont donnés par le système

suivant

C ·M = −ξ(1 + u2(1 + yu′))(a′ + 2ξy + ξy2u′)2 + u′(a′ + 2ξy + ξy2u′)

−2ξyuu′(ε+ u2(1 + yu′))(a′ + 2ξy + ξy2u′)√1 + u2

+ ξεyuu′(1 + yu′)√1 + u2(a′ + 2ξy + ξy2u′)

+ξy3u2u′3

1 + u2− εuu′√

1 + u2+ ξu2(1 + u2)− ξ(1 + yu′)2,

C ·N = −2ξε√1 + u2(1 + u2)(a′ + 2ξy + ξy2u′) + 2ξu(1 + u2).

où C = −εu+√1 + u2(a′ + 2ξy + ξy2u′).

La condition de minimalité EN − 2FM = 0 conduit à un polynôme de

degré 7 en y dont l'annulation des coecients conduit à uu′ = 0, c'est-à-dire

u = Cste, ce qui contredit le fait que 0 = ξ = v′ = a′u′ = 0.

D'où T ne peut pas être nul, ce qui donne que le premier cas, i.e a′′ = 0.

4. Supposons que ξu′′ = u′v′′ − v′u′′. Cette équation équivaut à u′v′′ = u′′(v′ + ξ)

dont les solutions sont (par la méthode de séparation des variables)

” u′ = 0 et v quelconque ” (12)

” u quelconque et v = λu(t) + µ− ξt, λ, µ ∈ R ” (13)


Le système (9) s'écrit maintenant

Tu′′ + 2u′RS = 0,T v′′ + 2RS(v′ + ξ) = 0,Ta′′ + 2R(Sa′ − u) = 0.

(14)

Dans le cas où u′ = 0, c'est-à-dire que u est constant, une rotation autour de

l'axe (Oz) permet de se restreindre au cas u = 0. Le système (14) devient

Tv′′ + 2Sv′(v′ + ξ) = 0, (15.a)Ta′′ + 2v′a′S = 0. (15.b)

L'équation (15.a) admet la solution particulière v′ = −ξ, c'est-à-direv = −ξt+ κ où κ ∈ R, pour laquelle l'équation 15.b devient

[1− (2ξt− κ)2]a′′ + 2ξ(2ξt− κ)a′ = 0.

par la méthode de séparation des variables, les solutions sont

a(t) =λ

4ξ

[τ√τ 2 − 1− Log

(τ +

√τ 2 − 1

)]+ µ

avec τ = 2ξt− κ, λ, µ ∈ R.

La surface minimale correspondante admet comme paramétrisation

x(t, s) = t,y(t, s) = s,z(t, s) = a(t) + s(−ξt+ κ).

Cette surface est le graphe de la fonction z = a(x) + y(κ− ξx).

L'isométrie (0;−κ/ξ, 0,−µ) permet de ramener cette surface au graphe de la

fonction

z =λ

4ξ

[x√x2 − 1− Log

(x+

√x2 − 1

)]− ξxy.

Considérons maintenant la solution générale v de l'équation (15.a),

avec v′ = −ξ. On vérie facilement que a(t) = λ(v(t) + ξt

)+ µ avec λ, µ ∈ R

est la solution générale de l'équation (15.b) car cette équation est linéaire en


a et la solution proposée dépend de deux constantes arbitraires. La surface

minimale correspondante admet comme paramétrisation

x(t, s) = t,y(t, s) = s,z(t, s) = λ

(v(t) + ξt

)+ µ+ sv(t).

Cette surface est le graphe de la fonction z = (λ+ y)v(x) + λξx+ µ.

L'isométrie (0; 0, λ,−µ) permet de ramener cette surface au graphe de la fonc-

tion z = yv(x), où la fonction v est une solution de l'équation (15.a), c'est-à-

dire vérie (1− (v − ξx)2

)v′′ + 2v′(v′ + ξ)(v − ξx) = 0.

Le changement de variable v(x) = ξ[r(x) + x

]transforme cette équation en

(1− ξ2r2)r′′ + 2ξ2(r′ + 1)(r′ + 2)r = 0

Cette équation, peut être ramenée à une équation du premier ordre en r′ à

variables séparables est dont les solutions en r portées dans z = ξy[r(x) + x

]font de celle-ci une surface minimale réglée.

5. Il reste à considérer maintenant le cas donné par la relation (13).

Le système (14) s'écrit

Tu′′ + 2u′S[(λ− a′)u′ − ξ] = 0,Ta′′ + 2(Sa′ − u)[(λ− a′)u′ − ξ] = 0.

(16)

avec T = 1 + u2 − (λu+ µ− 2ξt)2 et S = λu+ µ− 2ξt.

La surface minimale correspondante admet comme paramétrisation

x(t, s) = t+ su(t),y(t, s) = s,z(t, s) = a(t) + s

(λu(t) + µ− ξt

), λ, µ ∈ R.

L'isométrie (0; 2µ,−2λ, 0) permet de se ramener au cas λ = µ = 0.


En regroupant les résultats précédents on énonce le

Théorème 3.7 Les surfaces minimales de H13 réglées par les droites sont à

isométrie près de H13 :

(a) Les morceaux de plans.

(b) Les morceaux du paraboloïde hyperbolique d'équation z = ξxy.

(c) Les morceaux d'hélicoïdes paramétrés par

x(t, s) = s sin t, y(t, s) = s cos t, z(t, s) = γt, γ = 0.

(d) Les morceaux de surfaces d'équation

z =λ

4ξ

[x√x2 − 1− Log

(x+

√x2 − 1

)]− ξxy, λ = 0.

(e) Les morceaux de surfaces qui sont localement des graphes de la fonction

z = ξy[r(x) + x

]où r est la solution de l'équation

(1− ξ2r2)r′′ + 2ξ2(r′ + 1)(r′ + 2)r = 0.

(f) Les morceaux de surfaces qui sont paramétrisées localement par

x(t, s) = t+ su(t), y(t, s) = s, z(t, s) = a(t)− ξst.

avec u et a solutions du système

(1 + u2 − 4ξ2t2

)u′′ + 4ξ(ξ + a′u′)tu′ = 0,(

1 + u2 − 4ξ2t2)a′′ + (2ξta′ + u)(ξ + a′u′) = 0.

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Résumé

Surfaces ombilicales et surfacesminimales réglées dans l'espace de

Lorentz-Heisenberg

Dans ce mémoire sont donnés quelques bases sur les variétés diérentiables,

leurs représentations, et tout ce qui est utile pour l'élaboration du manuscrit. Loin

d'être complet, ce texte expose des dénitions et résultats importants dans ce

domaine. Peu d'exemples y sont développés car les références citées en sont bien

fournies. Seuls quelques calculs techniques dans les ouvrages courants sont exposés

de façon à illustrer des concepts et rendre moins diciles certains résultats.

L'objet de ce travail est la recherche des surfaces ombilicales et surfaces minimales

réglées dans l'espace R3 muni de la métrique de Lorentz-Heisenberg.

Cette métrique est


)2

, ξ ∈ R.

Ce mémoire est départagé, en gros, en trois chapitres :

1. Le premier chapitre est réservé aux rappels et dénitions des outils mathé-

matiques de base d'algèbre et de géométrie euclidienne et riemannienne. On

s'intéresse aux espaces tangents. On donne une interprétation géométrique,

algébrique et physique de cet espace. On rappelle les notions de connexions,

de dérivée covariante, etc...

2. Le deuxième chapitre est entièrement consacré à la géométrie de l'espace de

Minkowski qu'on note R31.

On donne tous les éléments qui caractérisent cet espace. Entre autres, la courbe

et ses diérents types, à savoir le type espace, temps et lumière avec quelques

exemples. On dénit le système de Seret-Frenet dans l'espace de Minkowski.

En dernière partie de ce chapitre, on dénit une surface dans R31, et les dif-

férents types, avec quelques exemples. On écrit les équations de Gauss et de

2

Weingarten dans cet espace et on termine avec les surfaces de révolution et les

surfaces réglées.

3. Le troisième chapitre concerne la recherche des surface ombilicales et des sur-

faces minimales réglées dans l'espace de Lorentz-Heisenberg. On commence

d'abord par l'étude de la métrique de Lorentz-Heisenberg. On donne tous les

éléments qui caractérisent cette métrique, on calcule les symboles de Christof-

fel Γkij et les formes de connexion θij. Nous en déduisons ainsi les formes de

courbure Ωij et les composantes du tenseur de courbure Rijkl et celle du tenseur

de Ricci Rij. Nous écrirons aussi l'équation des surfaces minimales associée et

les équation des géodésiques. On aborde le sujet de recherche des surfaces om-

bilicales et on démontre qu'il n'existe pas de telles surfaces dans l'espace de

Lorentz-Heisenberg pour le cas ξ = 0, et pour le cas ξ = 0 on trouve le plan et

la pseudo-sphère de courbure de Gauss K = 1. On démontre aussi qu'il n y a

pas de surface totalement géodésique. On termine par les surfaces minimales

réglées par des droites.

On démontre que :

i) Les seules surfaces minimales de H13 réglées par des droites géodésiques


ii) Les seules surfaces minimales de H13 réglées par des droites géodésiques de

contact sont, à isométrie près de H13, des morceaux de plans, des morceaux

d'hélicoïdes z = γArctg(y/x) avec γ réel, ou des morceaux du paraboloïde

hyperbolique z = ξxy. Ces résultats sont similaires aux résultats annoncés

dans [B.S] sur l'espace de Heisenberg. On montre aussi que la surface

z =λ

4ξ

[x√x2 − 1 − Log

(x +

√x2 − 1

)]− ξxy est minimale réglée par la

droite Lt de vecteur directeur (0, 1,−ξt) passant par le point (t, 0, a(t)). La

droite Lt n'est pas une géodésique de H13.

Dans cette partie on propose alors une description de toutes les surfaces mi-

nimales de H13 réglées par des droites qui ne sont pas nécessairement des géo-

désiques de H13. Cependant, dans ce dernier cas la description proposée n'est

pas complète dans le sens où les surfaces obtenues dépendent de fonctions ar-

bitraires qui sont solutions d'équations diérentielles qui ne sont pas résolues.

Résume

Ce mémoire est départagé, en gros, en trois chapitres :1. Le premier chapitre est réservé aux rappels et notions des outils mathé-matiques de base d'algèbre et de géométrie euclidienne et riemannienne.2. Le deuxième chapitre est entièrement consacré à la géométrie de l'espacede Minkowski3. Le troisième chapitre concerne la recherche des surfaces ombilicales etdes surfaces minimales réglées dans l'espace de Lorentz-Heisenberg.

Mots clésEspace de Lorentz; Espace de minkowski; Surface minimale; Surface réglée;Surface totalement géodésique; Espace de Heisenberg; Groupe desisométries.

Documents

Les surfaces ombilicales et les surfaces minimales réglées ...1.4 Métriques riemanniennes, ariétésV riemanniennes . . . . . . . . . . . 18 ... Ce mémoire est départagé, en