LGCIV2043 : Structures en bois - issd.beissd.be/PDF/BOIS_Partie 2.pdf · La magnifique structure en bois « The Passenger » construite pour Mons 2015 après son effondrement partiel

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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Cours de : Structures en bois

LGCIV2043 : Structures en boisPierre Latteur Partie 2 : Calcul ELU et ELS

des éléments structuraux

2


Contenu (82 pages) :Section 1 : GénéralitésSection 2 : Bases de conception et calculSection 3 : Propriétés des matériauxSection 4 : DurabilitéSection 5 : Bases de l’analyse de structuresSection 6 : Etats limites ultimesSection 7 : Etats limites de service

Remarques : NVN ENV 1995-1-1 : ancienne version provisoire NBN EN 1995-1-1 = EN 1995-1-1 (même contenu) Partie 1-2 de l’EC5: concerne les aspects FEU (Partie 5) Partie 2 de l’EC5: concerne les PONTS en bois

Section 8 : Assemblages par organes métalliquesSection 9 : Composants et sous-systèmesSection 10 : Détails structuraux et contrôle

Annexe A, B, C, D

L’EC5-partie 1-1 :Calcul des structures en bois

3


L’EC5-partie 1-1/A1 et A2 : Amendements 1 et 2

Ces documents de 22 pages (Amendement 1, 2008) et 10 pages (Amendement 2, 2014) proposent des corrections, parfois importantes, du texte de base (partie 1-1) de l’EC5

4


L’EC5-partie 1-1 : Annexe nationale ANB

Ce document de 6 pages propose quelques variantes mineures au texte de base de l’EC5, uniquement applicables en Belgique

5


b

h

…Les paramètres « b » et « h » représentent respectivement la largeur et la hauteur de la section de la poutre à l’endroit considéré. L’aire bxh est notée A

…Les efforts internes pondérés selon les combinaisons de charge réglementaires sont notés MEd, VEd, NEd, TEd et les contraintes associées sont notées Ed et Ed

Avertissement : dans ce cours…

Pierre LatteurCours de : Structures en bois

Chap. 8 : Eléments structuraux en bois massif

Photo :lineaire-design.com

7


Bois ronds

Il n’existe pas de norme européenne pour le classement des bois ronds, moins utilisés en structure que les bois sciés

Les dimensions courantes sont :- Diamètre : 8 à 20 cm- Longueur : jusqu’à 6 m

Processus de fabrication :- Ebranchage et écimage- Ecorçage- Calibrage, fraisage- Tronçonnage- Tri- Séchage- Préservation

8


Quelques utilisations des bois ronds

9


Bois sciés Obtenus par découpe des grumes dans le sens longitudinal

En structure, les résineux sont beaucoup plus utilisés que les feuillus, davantage destinés aux menuiseries

Les résineux sont plus droits et plus longs : en Belgique, les scieries de résineux sont donc plus développées et automatisées que celles des feuillus

Le rendement de sciage est de l’ordre de 60% (40% de déchets)

(Source : Houtinfobois.be)

En Belgique, 80% des bois sciés de résineux sont utilisés en structure et le reste pour l’emballage, la paletterie et le coffrage

10


Etapes de production des bois sciésSource des figures :

Houtinfobois.be, 2015

11


Dimensions usuelles des bois de structure sciés

Les dimensions annoncées ne correspondent pas toujours à des éléments séchés et/ou rabotés : il faut y être attentif !Rem 1 : voir à ce sujet: http://www.houtinfobois.be/fr/190/construction/dimensions-des-boisRem 2 : épaisseur du rabotage: 1mm/face pour une dimension de base de 38 à 49mm, 2.5mm/face pour 50 à 150mm, 3mm/face pour plus de 150mm

Le tableau ci-contre donne quelques dimensions courantes des sections de résineux en Europe (séchées et rabotées, jusqu’à7 m de longueur)

100 125 150 175 200 225 300

19

25

32

38 (4-15) (4-23)

50

63 (7-15) (7-18)

75 () (8-23)

100 () (10-30)

Largeur b

[mm]

Appelations

courantes notées

entre parenthèses

Hauteur h [mm]

Caractéristiques des sections rabotées et séchées usuelles

Dimensions Dimensions rabotées bh3 (/106) bh2 (/106) bh (/103)

non rabotées b [mm] h [mm] [mm4] [mm3] [mm2]

4x15 : 38 150 128,3 0,86 5,70

4x23 : 38 225 432,8 1,92 8,55

7x15 : 63 150 212,6 1,42 9,45

7x18 : 63 175 337,6 1,93 11,03

8x23 : 75 225 854,3 3,80 16,88

10x30 : 100 300 2700,0 9,00 30,00


Chap. 9 : Eléments structurauxen bois lamellé-collé (BLC)

Ce chapitre est inspiré des slides du cours du professeur Descamps

de l’Umons

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Pourquoi le BLC?

Uniformiser les défauts naturels du bois pour obtenir un matériau final aux propriétés mieux contrôlées et moins variables

Permettre la production d’éléments structuraux de très grandes dimensions, sans avoir le besoin de grands arbres

Permettre la production d’éléments aux formes quelconques

Libramont Exhibitions & Congress (arcs de portée 60 m tous les 4,5 m). Architecte : Synergy

International, ingénieur : MC² sprl

Koblenz/Allemagne - 2011 Viewpoint (Ney&Partners

18


Etapes de production du BLC

Séchage du bois (éviter les déformations après collage et favoriser le collage)

Tri manuel ou automatique des lamelles

Stockage provisoire

Rabotage des lamelles

Aboutage : la résistance en traction du joint doit être au moins égale à la résistance hors du joint

Collage des lamelles pour former la section (6h), et serrage (0,4…1,2 MPa) avec cintrage éventuel

19


Etapes de production du BLC (suite)

Elimination des bavures de colle par rabotage

20


Dimensions couranteset limitations

Les dimensions courantes sont : - Largeur : 6 à 27 cm- Hauteur : jusqu’à 2 m- Longueur : …40 m…, portée

limitée par le transportRaboteuse pour BLC

Exemple des dimensions de section produites chez Lamcol :- Largeur : 115, 140, 160, 185, 205, 235, 270 mm- Hauteur : multiples de 45 mm

21


Quelques exemples d’utilisations du BLC

Centre de secours d’Annecy en France (Agence Richard

Plottier), 2002, 31 m de portée

22


Quelques exemples d’utilisations du BLC

Centre balnéaire Raoul Fonquesne en France (Yvon Carduner), 1993


Chap. 10 : Actions, cas de charges, combinaisons de (cas de) charges

Myanmar/Birmanie (Mandalay), 2014:

le pont U Bein

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Sécurité d’une part, service d’autre part

Sécurité structurale : si danger d’effondrement local ou global, on parle d’état limite ultime (ELU)

Aptitude au service : si déformations inacceptables (mais aussi vibrations et altération de l’aspect), on parled’état limite de service (ELS)

Souvent, ce sont les ELS qui guident le dimensionnement pour les simples poutres, alors que pour des systèmes structurauxplus complexes (treillis, arcs,…), ce sont les ELU (éléments et assemblages)

La magnifique structure en bois « The Passenger » construite pour Mons 2015 après son effondrement

partiel en décembre 2014,heureusement sans faire de victimes

Les incertitudes sont couvertes à la fois par des coefficients réducteurs sur les résistances des matériaux (m=1,25…1,3) et des coefficients pondérateurs sur les actions (i =1,35…1,5, i=0,3…1). Ces coefficients couvrent les autres incertitudes liées aux imprécisions de modélisation, défauts de construction, tolérances non respectées, etc.

25


Les types d’actions (=charges) :

Le poids propre de la structure portante :

action permanente G

Pont du Gard : poids propre important

Toiture tendue : poids propre faible

Les charges s’accrochant à la structure portante :

action permanente G

Couvertures, bardages, façades,

châssis, faux-plafonds,

équipements…

Les actions variables Q:

Le ventLa neige :

Les piétons, voitures, etc

(=charges d’exploitation) :

Les actions

accidentelles A :

feu, explosion, choc, séisme, …

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Les types d’actions (=charges) :

Le poids propre de la structure portante :

action permanente G

Pont du Gard : poids propre important

Toiture tendue : poids propre faible

Les charges s’accrochant à la structure portante :

action permanente G

Couvertures, bardages, façades,

châssis, faux-plafonds,

équipements…

Les actions variables Q:

Le ventLa neige :

Les piétons, voitures, etc

(=charges d’exploitation) :

Les actions

accidentelles A :

feu, explosion, choc, séisme, …

Tout comme pour les matériaux auxquels on associe des résistances caractéristiques (ft,0,k, fc,0,k, fm,k, etc. = résistance obtenue dans plus de 95% des cas), les actions peuvent, par voie statistique, s’exprimer en valeurs caractéristiques :

Gk,j : valeur caractéristique de la charge permanente j (par ex. : poids propre)Qk,i : valeur caractéristique de la charge variable i (par ex. : vent)

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Les actions variables/accidentelles peuvent être dynamiques

Rafales de vent :Tourbillons de Von Karman:

Action de la foule (salles de concert, passerelles, gradins, …)

:

Millenium Bridge, Londres (1999) : la passerelle a dû être fermée peu après son inauguration à cause de ses

déformations trop importantes sous les charges de foule.

Actions sismiques (tremblements de terre) :

28


Max. 40 m

> 40 m

Dilatations empêchées : efforts parasites

40 m à 60 m

Autres types d’actions (actions indirectes)

Actions thermiques :

Tassements d’appuis :

Structure hyperstatique : le tassement d’appui

génère des efforts internes

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Cas de charge et combinaisons (de cas) de charges

Un CAS DE CHARGE est une action qui peut agir sans les

autres (sauf le poids propre qui est

toujours présent)

Cas 1 : le poids propre

Cas 2 : les charges permanentes

Cas 4 : les piétons

Cas 5 : la neige sur la partie droite du pont

Cas 6 : la neige sur la partie gauche du pont

Cas 7 : un vent qui soulève le pont

Etc...

Une COMBINAISON DE (CAS DE) CHARGES est un ensemble de cas de charges pouvant agir

en même temps

Combinaison 1 : Cas 1 + Cas 2 + Cas 3 + Cas 7

Combinaison 2 : Cas 1 + Cas 2 + Cas 4 + Cas 6 + Cas7

Etc...

Un élément structural doit donc être vérifié pour toutes les combinaisons de charges, chacune d’elle provoquant en une section donnée une combinaison d’efforts internes (MEd, N Ed, V Ed, T Ed) différente, appelée Sollicitation et dont

l’effet (en termes de contraintes par exemple) est noté Sd

L’une d’elle sera forcément la plus défavorable !

(voir également : notion d’enveloppe des efforts)

30


Les combinaisons de charges définies par l’EC1 (§6.4.3)Les charges permanentes peuvent se combiner à 3 types distincts de combinaisons de charges variables :

En cas de charge accidentelle (feu…), il est utile de pouvoir la combiner avec un compromis entre les deux précédentes : ce sont les combinaisons fréquentes de charges variables, plus sévères que la quasi-permanente, mais moins que les rare. Elle est aussi parfois utilisée pour les calculs ELS pour des critères esthétiques et de confort (NBN03-003) 1,dom : coefficients 1

2

,2,1

i

iidomdom QQ

j

jG

Charges variables s’appliquant sur l’ouvrage pendant une grande partie (50%) de sa vie (ex : bibliothèques) : c’est lacombinaison dite quasi-permanente. Elle est utilisée pour les calculs de déformations non réversibles (fluage)

1

,2

i

iiQ

2,i : coefficients1

j

jG

Charges variables ayant une trèsfaible probabilité de se produire en même temps : ce sont lescombinaisons dites rares ou caractéristiques. Elles sont utilisées pour les calculs ELU

2

,0,,

i

iiiQdomdomQ QQ

Action variable dominante

Actions variables concomitantes

Q,i : coefficients >1 (en général 1,5)0,i : coefficients 1 tenant compte de la probabilité réduite d’avoir plusieurs charges variables agissant ensemble avec un effet maximum

j

jG

31


Les combinaisons ELU, pratiquement…

L’EC0 impose de vérifier les éléments structuraux pour toutes les combinaisons rares (autant de combinaisons que d’actions variables, prises chacune à leur tour comme charge dominante) :

2

,0,,,

i

iiiQdomdomQ

j

jjG QQG

Actions permanentes

Action variable dominante

Autres actions variables

A quelques exceptions près (charges favorables et classes de conséquence), cette formulation peut se réécrire :

2,05,135,1

iiidom

jj QQG

Q,i : coefficients >1 (en général 1,5)

0,i : coefficients 1 tenant compte de la probabilité réduite d’avoir plusieurs charges variables agissant

ensemble avec un effet maximum

De manière simplifiée (avant projet) et (très) sécuritaire, on peut prendre 0,i=1, en veillant à séparer les actions ou parties d’actions éventuelles ayant un effet favorable :

i

i

j

j QG35,1

QGj

j 5,135,1 Ou, si une seule charge variable :

Type d'action variable Y0

Toutes charges d'exploitation sauf stockage (habitations,

bureaux, lieux de rassemblement, magasins)0,7

Stockage 1

Charges de véhicules jusqu'à 160 kN 0,7Neige 0,5Vent 0,6

Température (hors incendie) 0,6

Valeurs du coefficient 0pour les bâtiments

32


Et en cas de charge accidentelle ?

L’EC0 définit aussi une formulation des combinaisons à considérer en cas d’action accidentelle (notée Ad), et basée sur les combinaisons fréquentes de charges variables, avec :

2

,21

i

iidomd

j

j QQAG

- Les coefficients 2 qui pondèrent les autres charges variables (non dominantes dans la combinaison considérée)

- Le coefficient 1 qui pondère la charge variable Qk,dom prise comme dominante dans la combinaison considérée

Type d'action variable Y1 Y2

Charges d'exploitation (habitations et

bureaux)0,5 0,3

Charges d'exploitations (lieux de

rassemblement et magasins)0,7 0,6

Stockage 0,9 0,8Charges de véhicules jusqu'à 160 kN 0,5 ou 0,7 0,3 ou 0,6

Neige 0,2 0Vent 0,5 0

Température (hors incendie) 0,5 0

Valeurs de 1et 2pour les bâtiments

= 0 en cas d’incendie< > 0 en cas de séisme ou explosion

33


Détail des valeurs de 0, 1 et 2 selon l’EC0, applicables en Belgique

34


RAPPEL : coefficients correctifs kdef et 2 pour les flèches à long terme (fluage)

Classe de

service 1

Classe de

service 2

Classe de

service 3

0,6 0,8 2

Valeurs de kdef (EC5)

Type d'action variable Y2

Charges d'exploitation (habitations et

bureaux)0,3

Charges d'exploitations (lieux de

rassemblement et magasins)0,6

Stockage 0,8Charges de véhicules jusqu'à 160 kN 0,3 ou 0,6

Neige 0Vent 0

Température (hors incendie) 0

Valeurs de 2pour les bâtimentsLe fluage est dû aux charges permanentes G, mais aussi à la fraction Y2Q des charges variables qui s’applique de manière cumulée pendant une partie de la vie de l’ouvrage

( ) 1: 22 avecukuuuuGCharges instdefinstcreepinsttermelong

2 : égal à 1 pour les charges permanentes, qui ont un effet prépondérant sur le fluage. Pour les charges d’exploitation, il ne dépend que du temps d’application et est, évidemment, toujours <1 :

( ) 1: 22 avecukuuuuQCharges instdefinstcreepinsttermelong

Kdef : caractérise la propension au fluage, ne dépend que de l’hygrométrie, donc de la classe de service, et s’applique de la même façon aux charges permanentes et variables

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Combinaisons ELS pour les flèches selon l’EC5 (§2.2.3)

Flèche instantanée uinst (dite aussi flèche élastique) : c’est une flèche qui s’annule quand l’action disparaît, qu’elle soit permanente et/ou variable. Elle est liée à une notion de court terme. Elle est identique en début de vie et en fin de vie de l’ouvrage, et peut être calculée avec Emoyen

et les combinaisons rares prises avec G= Q =1 :

2

,0

i

iidom

j

j QQG

- Soit encore à partir de la combinaison dite « quasi permanente », mais de manière simplifiée en la

multipliant par kdef, puis en calculant la flèche élastique avec Gmoy et Emoy:

1

,2

i

ii

j

jdef QGk

Flèche de fluage ucreep : c’est une flèche résiduelle qui s’ajoute à uinst et qui subsiste même quand toute les actions disparaissent. Elle est liée à une notion de long terme. Ce sont les charges permanentes qui la provoquent, mais aussi la partie2,iQk,i des charges variables Qk,i qui s’applique de manière cumulée pendant une grande partie de la vie de l’ouvrage. ucreep se calcule :

- Soit à partir de la combinaison dite « quasi permanente » et d’un calcul (complexe) de

fluage: )(1

,2fluagedelois

udeCalculQG

creep

i

ii

j

j

36


Calcul d’une flèche en début de vie de l’ouvrage : synthèse

)384/5( 4 EIqLtypedushabituelleformules

( )iinstinst uu ,max, max

Calcul à partir des combinaisons rares prises avec G= Q =1 :

2

,0

i

iidom

j

j QQG

icombichaquepourEaveccalculéu moyiinst ,

G1…

Gj…

Q1 Q2…

Gi…

uinst

1i

i

j

j QGSimplification éventuelle avec une seule

combinaison (0,i=1 : sécuritaire) :

37


Calcul d’une flèche en fin de vie de l’ouvrage : synthèse

)9,384/5( 4 chapvoirEIqLtypedushabituelleformules

( )ifinfin uu ,max

Calcul de ufin (flèche totale à long terme) à partir des combinaisons rares modifiées :

moyifin Eaveccalculéu ,

La flèche finale (flèche totale) vaut ufin=uinst+ucreep

( )

1,2

2,01

iiidef

iiidom

jjdef QkQQGk

1

,2

i

ii

j

jdef QGk

2

,0

i

iidom

j

j QQG +Pour le calcul de la flèche

instantanée uinst

Pour le calcul de la flèche différée (non réversible, de fluage) ucreep

Simplification éventuelle avec une seule combinaison (0,i=1 : sécuritaire) :

( )

1

,2

1

1i

iidef

i

i

j

jdef QkQGk


Chap. 11 : calcul des flèchesSelon les critères définis par l’EC5

39


Généralités Pour les calculs de flèche à partir des combinaisons définies au chap. 10 , ce sont les valeurs moyennes de E et G qui sont utilisées, contrairement aux calculs ELU qui se basent sur les valeurs caractéristiques des résistances et des modules (pour le flambement ou le déversement)

mmoyend EE 11 mAvec

Les déformations d’effort tranchant peuvent être importantes (bois : G petit !)

mmoyend GG

L’EC5 (§7.1) recommande (sans imposer) les limitations suivantes :

Contreflèche éventuelle (peu fréquente pour le bois)Flèche finale

Flèche « résultante finale »Flèche « instantanée » Flèche de fluage

1 : Ceci n’est pas clairement défini dans les dernières versions de l’EC5, mais confirmé dans certains ouvrages tels que : Designers' Guide to Eurocode 5: Design of Timber Buildings, J. Porteousand P. Ross, 2013

http://www.icevirtuallibrary.com/search;jsessionid=6e140eu3cn9q2.x-telford-live-01?value1=&option1=all&value2=Jack+Porteous&option2=author

http://www.icevirtuallibrary.com/search;jsessionid=6e140eu3cn9q2.x-telford-live-01?value1=&option1=all&value2=Peter+Ross&option2=author

40


est le glissement : il détermine la déformation angulaireproduite par les contraintes de cisaillement

G est le module de glissement, avec, pourun matériau élastique linéaire isotrope :

G

( )

12

EG

RAPPEL : le module de glissement G est au glissement ce que le module d’élasticité E est à la déformation

)( E

Les contraintes normales provoquent de l’allongement ou du rétrécissement Les contraintes cisaillement provoquent du gauchissement/glissement

Pour le bois qui est tout sauf isotrope, le module de glissement G ne répond pas à la loi G=E/2(1+) ci-dessus. Ses valeurs sont très faibles et inférieures à 1000 Mpa : il faut donc en principe en tenir compte pour le calcul des flèches

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RAPPEL : théorème de la force unité(voir cours MDS et STAB)

La flèche en A s’obtient avec la relation suivante :

x 1N

m(x),n(x),v(x)

A

A=?

A

M(x),N(x),V(x)

Lx

x v

Lx

x

Lx

x

A dxGA

Vvdx

EA

Nndx

EI

Mm

000

Av : section réduite

Av=5bh/6 pour une section rectangulaire

Av=âme de la section pour une section en I

42


Exemple : flèche au centre d’une poutre

Flèche de moment :

-

-

qxqLxV

qxqLxxM

2)(

22)( 2

( )EI

qLdx

EI

xqxqLxdx

EI

MmLx

x

Lx

x384

5

42

42

0

2

0

-

x

=?

L

q [kN/m]

x

q [kN/m]

M(x)

qL/2V(x)

x

m(x)

1/2

1 [kN]

mmax=L/4

L/2

v(x)

21)(

2)(

xv

xxm

Flèche d’effort tranchant :

( )

v

Lx

x v

Lx

x v GA

qLdx

GA

xqxqLdx

GA

Vv

84

22

22

00

-

v

VMtotGA

qL

EI

qL

8384

5 24

43


Peut-on négliger les déformations d’effort tranchant ?

Le rapport Emoyen/Gmoyen est quasiment invariable pour le

bois massif (=16). Pour le BLC, il varie entre 13 et 22 (avec

une moyenne de 18)

b

h3

44

32

5

384

5

Ebh

qL

EI

qLM

Gbh

qL

GA

qL

v

V20

3

8

22

22

36,1596,0

L

h

L

h

G

E

M

V

Les déformations d’effort tranchant ne

sont donc négligeables que pour les poutres

élancées(L/h>10 : 15%) !

=5bh/6 pour section rect.


Chap. 12 : Résistance en section : critères de dimensionnement ELU

Une horreur!

Rappel : valeurs caractéristiques prescrites par laNBN EN 338: version 2016 (bois sciés et ronds)

E0 : identique en compression, en traction, et donc en flexionE90 : en compression uniquement (car non pertinent en traction car quasiment nul)G0,k : introuvable dans les normes, mais plusieurs document concèdent que G0,k = E0,k/16

C18 C22 C24 C27 C30 C35 C40 D30 D35 D40 D50 D60 D70

fm,k 18 22 24 27 30 35 40 30 35 40 50 60 70 fm,k

ft,0,k 10 13 14,5 16,5 19 22,5 26 18 21 24 30 36 42 ft,0,k

ft,90,k 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 ft,90,k

fc,0,k 18 20 21 22 24 25 27 24 25 27 30 33 36 fc,0,k

fc,90,k 2,2 2,4 2,5 2,5 2,7 2,7 2,8 5,3 5,4 5,5 6,2 10,5 12 fc,90,k

fv,k 3,4 3,8 4 4 4 4 4 3,9 4,1 4,2 4,5 4,8 5 fv,k

E0,moyen 9000 10000 11000 11500 12000 13000 14000 11000 12000 13000 14000 17000 20000 E0,moyen

E0,k 6000 6700 7400 7700 8000 8700 9400 9200 10100 10900 11800 14300 16800 E0,k

E90,moyen 300 330 370 380 400 430 470 730 800 870 930 1130 1330 E90,moyen

Gmoyen 560 630 690 720 750 810 880 690 750 810 880 1060 1250 Gmoyen

rk 320 340 350 360 380 390 400 530 540 550 620 700 800 rk

rmoyen 380 410 420 430 460 470 480 640 650 660 740 840 960 rmkg/m

3

Mpa

Mpa

Résineux Feuillus

46


GL20h GL24h GL28h GL32h

fm,k 20 24 28 32

ft,0,k 16 19,2 22,4 25,6

ft,90,k 0,5 0,5 0,5 0,5

fc,0,k 20 24 28 32

fc,90,k 2,5 2,5 2,5 2,5

fv,k 3,5 3,5 3,5 3,5

E0,moyen 8400 11500 12600 14200

E0,k 7000 9600 10500 11800

E90,moyen 300 300 300 300

Gmoyen 650 650 650 650

G0,k 540 540 540 540

rk 340 385 425 440

rm 370 420 460 490

Lamellé-collé homogène (BLC)

Mpa

kg/m3

Mpa

Rappel : valeurs caractéristiques prescrites par la NBN EN 14080 (Bois lamellé collé homogène)

Le BLC homogène est constitué de planches en C24, C30,C40,…identiques de bas en haut

Le BLC panaché est une variante dans laquelle on place des planches de meilleure qualité au niveau des fibres inférieures et supérieures (GL24c à GL36c, dont les valeurs caractéristiques sont aussi bonnes en flexion)

La résistance du BLC est déterminée par la classe du bois constitutif et la résistance des aboutages, qui constituent des zones de faiblesse

47


Principe généraldu calcul ELU Calcul des combinaisons de charges :

Si on ne tient pas compte des

phénomènes d’instabilité

(flambement et déversement), on

parlera de résistance en section. Dans le

cas contraire on parlera de résistance

globale

Pour chaque combinaison, calcul des efforts internes dans la structure : chaque élément structural est soumis à une sollicitation d’efforts

internes (MEd,NEd,VEd,TEd), dont l’effet est noté Sd

2

,015,135,1i

ii

j

j QQG

1

35,135,1i

i

j

j QGou (simplif.) :

Pour chaque sollicitation Sd, il faut vérifierLe critère de résistance Xd de l’élément structural :

( )m

ksyshdd

XkkkXS

mod

Résistance caractéristique

Coefficient de sécuritéSelon classe de service et

temps d’application des charges

Le cas échéant : kh (éléments petits, voir partie 1) et ksys

(effet système)

48


Principe généraldu calcul ELU (suite)

Calcul ELU (=combinaisons rares)

Bois massif 1,3

Bois lamellé-collé 1,25

Calcul ELU (combinaisons accidentelles) 1

Calcul ELS 1

Valeurs de m selon l'EC5

Plus la charge est de longue durée, plus le kmod à prendre en compte est petit

m

kd

XkS

mod

G seules : kmod=0,6 (charge perm.)

l’EC5 (§3.1.3(2)) impose que, pour une combinaisondonnée, le kmod à prendre en compte dans le critère de résistancecorrespondra à la charge de plus courte durée dans la combinaison (…discutable…)

Exemple (pour une classe de service 2) :

G + Exploit. + Neige : kmod=0,8 (neige)G + Exploit. + vent : kmod=0,9 (vent)

G + neige (dom.) + vent (Y0) : kmod=0,9 (vent)

G + stockage (dom.) + piétons (Y0) : kmod=0,8 (piétons)

Classe de

durée de

charge

Durée de la charge ExempleClasse de

service 1

Classe de

service 2

Classe de

service 3

Permanente >10 ans Poids propre 0,6 0,6 0,5

Long terme 6 mois10 ans Stockage 0,7 0,7 0,55

Moyen terme 1 semaine6 moisCharges

d'exploitation, neige0,8 0,8 0,65

Court terme <1 semaine (Neige), vent 0,9 0,9 0,7

Instantanée Instantanée(Vent),

action accidentelle1,1 1,1 0,9

Tableau défini dans l'EC5 Coefficients kmod associés

Rem : l’ANB ne spécifie pas si la neige est du MT ou du CT, ni si le vent est du CT ou de l’instantané. Suggestion : Neige =MT (0,8), Vent=CT (0,9)

49


Critère en traction || aux fibres

Critère de dimensionnement :dt

EdEdt f

A

N,0,,0,

NEd

t,0,Ed𝑥𝑦

𝑧

Axe x = sens des fibres

A

( )mktdt fkfavec ,0,mod,0,

50


Critère en traction aux fibres (à éviter!)

Critère de dimensionnement (bois massif) :

dtEd

Edt fA

N,90,,90,

NEd

t,90,Ed

𝑥𝑦

𝑧


A

Critère de dimensionnement (lamellé-collé) :

2,03

,90,,90,

01,0

V

mf

A

Ndt

EdEdt

V

Facteur correctif dans l’ancienne version de l’EC5, qui a disparu aujourd’hui, avec ambiguïté : en traction aux fibres, plus le volume contraint est grand, plus la probabilité de trouver des nœuds est grand, ce qui fragilise l’ensemble

51


Critère en compression || aux fibres

Critère de dimensionnement :dc

EdEdc f

A

N,0,,0,

NEd

c,0,Ed𝑥𝑦

𝑧


52


Critère en compression aux fibres

Critère de dimensionnement :

dcEd

Edc fA

N,90,,90,

NEd

c,90,Ed

𝑥𝑦

𝑧


A

Appui

Ce critère peut-être rendu moins sévère par l’introduction d’un coefficient kc,90 qui tient compte de différents paramètres : distance avec d’autres charges (l1), zone d’application de la charge (l), hauteur de la section (h), etc. (voir EC5, §6.1.5. Voir également notion de longueur et aire efficace)

dccEd

Edc fkA

N,90,90,,90,

avec 1kc,901,75*

*amendement de 2008 à l'EC5 : 1,75 et plus 4

53


Critère en compression ou traction oblique(formules de Hankinson et al)

Compression oblique :

dc

dcdc

dc

dc fff

ffAvec ,0,

,90,,0,

,90,

,,²cos²sin

dcEd

Edc fA

N,,,,

A

NEd

Traction oblique :

dtEd

Edt fA

N,,,,

dt

dtdt

dt

dt fff

ffAvec ,0,

,90,,0,

,90,

,,²cos²sin

:

Remarque : l’EC5 introduit dans cette formule un paramètre kc,90 (le même qu’au transparent précédent), mais sa détermination est ambigüe. On conseille donc ici de le prendre égal à 1, ce qui est sécuritaire

54


Critère en flexion simple : contraintes dues au moment

Critère de dimensionnement : dm

él

EdEdm f

W

M,,

MEd

m,Ed

𝑥𝑦

𝑧


Comme la rupture est une rupture fragile qui a lieu dans la zone tendue de la poutre (pas de plastification possible dans cette zone), on considère que la répartition des contraintes est triangulaire, même si dans la zone comprimée de la plastification peut apparaître :

Il n’est donc pas question de supposer la naissance de rotule plastique comme pour les structures métalliques et la notion de module de flexion plastique Wpl n’existe pas

MEd

VEd

55


Critère en flexion simple : contraintes dues àl’effort tranchant

La section soumise à l’effort tranchant maximal doit être vérifiée indépendamment de la section soumise au moment maximal

Ed=3V/(2A)𝑥𝑦

𝑧


VEd

Ed

Ed

Dans le cas du bois, ce sont les contraintes rasantes, provoquant du cisaillement longitudinal, qui sont les plus défavorables :

Cisaillement longitudinal

Cisaillement transversal

(Et Ed=4V/(3A) pour une section circulaire)

( ) dv

ef

Ed

cr

EdEd f

hb

V

hbk

V,

2

3

2

3

kcr (cr pour « cracks ») est un coefficient égal à 0,67 pour le bois massif et le BLC, qui tient compte de

l‘existence éventuelle de fissures dans le bois(VOIR : EC5/A1/Chap. 6.1.7/équ. 6.13a

et EC5/A2/chap. 9/équ. 6.60)

Dans la suite de ce cours, on notera

bef=kcrb=0,67b

56


Quelques mots d’explication sur le coefficent kcr

C’est la norme EN338 qui définit les résistances caractéristiques des différentes classes de bois, en particulier les valeurs de fv,k

Dans la version actuelle de cette norme, les valeurs données pour fv,k sont accompagnées de la note suivante : « Les valeurs caractéristiques pour fv,k sont données pour du bois sans fissures. Il convient de couvrir l’impact des fissures par des règles de calcul »

Pour la Belgique, la règle de calcul dont il est question est précisée dans l’amendement A1 (2008) de l’EC5 (Chap. 6.1.7/équ. 6.13a) : b remplacé par 0,67b

Notons que :- l’influence des fissures sur les caractéristiques mécaniques du bois est

aujourd’hui encore très peu connue - l’ancienne version de l’EC5 ne mentionnait pas le facteur kcr. De même, les anciennes versions de la EN338 ne mentionnaient pas la note ci-dessus mais prescrivaient des valeurs de fv,k inférieures à celles prescrites dans la version actuelle, d’un facteur moyen proche de 0,67. La situation actuelle permet donc à chaque état de prescrire la règle de calcul qu’il juge opportune (0,67 en Belgique via l’amendement 1 de l’EC5 datant de 2008)

57


Poutre en flexion simple : récapitulatif du calcul

MEd

VEd

Pour chaque combinaison, calcul des efforts internes et réactions d’appui

Calcul des combinaisons de charges ELU :

2

,015,135,1i

ii

j

j QQG

Q

QG i

i

j

j

5,1

35,135,1 1ou (simplif.) :

Vérification du critère de FLECHE (fin du chap 10 et chap 11) et de FEU (chap 15)

Vérification dans la section la plus fléchie : dmcrit

él

EdEdm fk

W

M,,

Vérification dans la section avec effort tranchant max : dv

cr

EdEd f

bhk

V,

2

3

Vérification à l’appui (réaction REd) : dc

appui

EdEdc f

A

R,90,,90,

Si déversement (chap 11)

58


Quel critère domine ? M?, V?, ?

Soit, par définition :

kmmoyen

dvdmkvkm

fE

ffff

,,0

,,,,

Hypothèse : E0,moy/Gmoy=16

(Ok pour bois massif mais approximatif pour BLC : E0,moy/Gmoy=13…22)

MEd=qEdL2/8

VEd=qEdL/2 qEd [kN/m]

300)1(

5

12

32

5

,0

2

3

,0

4 Lk

bhE

qL

bhE

qLdef

moymoy

Critère de flèche :

Suite en page suivante175,0

2

,

,

h

L

bf

qf

W

M

dm

Eddm

él

Ed Critère de flexion :(déversement négligé)

167,0

75,02

3

,

,

h

L

bf

qµf

hb

V

dm

Eddv

ef

Ed Critère d’effort tranchant :

4,17,0

56,056,0255,1

7,0

,

,,0,,

mod

dEdef

dmmoydmkm

m

qqetk

fEffk

15

12

32

52043

,

h

L

h

L

bf

q

dm

Ed

µmoyen moyen

Résineux 7,2 422,9

Feuillus 11,0 313,9

BLC 7,4 448,2

59


Suite :

Zh

L

2

75,0

On peut simplifier les 3 critères précédents en les multipliant chacun par le même facteur adimensionnel Z=bfm,d/qEd, ce qui permet d’éliminer qdef, b et fm,d de la comparaison. Le + grand des termes de gauche de l’inégalité (ordonnée du graphe) sera alors le critère dominant :

Flexion :

Zh

Lµmoy

12,1

Effort tranchant : Flèche :

Zh

L

h

L

moy

5

12

32

52043

Le critère de moment de flexion ne domine jamais

Pour les élancements L/h<10, le critère d’effort tranchantdomine toujours

Pour les élancements L/h>10, le critère de flèche domine toujours

61


Critère en flexion composée (M+ traction)

MEd

m,Ed

=Mél/Wél

𝑥𝑦

𝑧


NEd

t,0,Ed=NEd/A

dvEd ,


1,

,

,0,

,0,

dm

Edm

dt

Edt

ff

Avec vérification de la section la plus sollicitée par l’effort tranchant :

dtEdt f ,0,,0,

dmEdm f ,,

62


(Suite)

Exemple de flexion composée avec traction : chevron bloqué sur la panne faîtière et libre sur la panne sablière

© CNDB

© CNDB

63


Critère en flexion composée (M+ compression)

dvEd ,


1,

,

2

,0,

,0,

dm

Edm

dc

Edc

ff


MEd

m,Ed

=Mél/Wél

𝑥𝑦

𝑧


NEd

c,0,Ed=NEd/A

dcEdc f ,0,,0,

dmEdm f ,,

Il y a un effet favorable provenant de l’interaction avec la compression, où le comportement s’avère plastique : globalement le comportement est moins fragile que quand la traction est dominante : non linéarité de la courbe

64


(Suite)

Exemple de flexion composée avec compression :chevron bloqué sur la panne sablière. En panne faîtière, on peut avoir blocage ou non

© CNDB

65


Critère en flexion oblique (=biaxiale) : moment

17,0,7,0,

,,

,

,,

,

,,

,

,,

dm

Edzm

dm

Edym

dm

Edzm

dm

Edym

ffffMax

Comme seuls 2 coins d’aire très réduite sont soumis à de grandes contraintes, la probabilité de trouver des nœuds dans des zones tendues diminue et l’EC5 autorise l’application d’un coefficient favorable (0,7) pour les sections rectangulaires :

m,y,Ed

+m,z,Ed

My,Ed

m,y,Ed

=Mél,y/Wél,y

𝑥𝑦

𝑧


𝑥𝑦

𝑧

Mz,Ed

m,z,Ed

=Mél,z/Wél,z

dmEdzmEdym f ,,,,,

Critère de dimensionnement:

66


Critère en flexion oblique (=biaxiale) : effort tranchant

Les contraintes de cisaillement résultantes doivent être calculées vectoriellement :

dvEdzEdy ,

2

,

2

,

z, Ed

𝑥𝑦

𝑧


Ed

Vz,Ed

y,Ed

Vy,Ed

y,Ed

z,Ed2

,

2

, EdzEdy

Critère de dimensionnement:

67


Critère en flexion déviée (=composée oblique)(My + Mz + traction)

m,y,Ed

+m,z,Ed

𝑥

𝑧Axe x = sens

des fibres

Mz,Ed

NEd

t,0,Ed


1,

,,

,

,,

,0,

,0,

dm

Edzm

dm

Edym

dt

Edt

fff

1

7,0

7,0

,

,,

,

,,

,0,

,0,

,

,,

,

,,

,0,

,0,

dm

Edzm

dm

Edym

dt

Edt

dm

Edzm

dm

Edym

dt

Edt

fff

fffMax

L’EC5 permet l’utilisation d’une formulation moins sécuritaire (voir flexion biaxiale) :

My,Ed

Il faut également vérifier l’effet de l’effort tranchant à l’aide du même

critère qu’en flexion biaxiale :

dvEdzEdy ,

2

,

2

,

68


1

7,0

7,0

,

,,

,

,,

2

,0,

,0,

,

,,

,

,,

2

,0,

,0,

dm

Edzm

dm

Edym

dc

Edc

dm

Edzm

dm

Edym

dc

Edc

fff

fffMax


m,y,Ed

+m,z,Ed

Mz,Ed

NEd

c,0,Ed

My,Ed


1,

,,

,

,,

2

,0,

,0,

dm

Edzm

dm

Edym

dc

Edc

fff

Il faut également vérifier l’effet de l’effort tranchant à l’aide du même

critère qu’en flexion biaxiale :

dvEdzEdy ,

2

,

2

,

Critère en flexion déviée (My + Mz + compression)

69


Poutres entaillées (=grugées) à leur extrémité

bh

VEd

2

32max,,

ef

Edbh

V

2

31max,,

Edt ,

Il doit exister une contrainte de traction aux fibres pour équilibrer le morceau

h

efh

Réactionx

( )

--

hh

h

xh

kk

BLCetBMpourk

ef

nv

cr

1,1

8,01

min

67,0

2

Avec :

=5 pour bois massif=6,5 pour BLC

L’eurocode (§6.5) impose de vérifier le critère empirique suivant :

dvv

efcr

Ed kbhk

V,1max,,

2

3

Valeurs de kcr (=0,67) :EC5/A1/chap.6.1.7/équ. 6.13a et

EC5/A2/chap.9/équ. 6.60

70


Fente due à une contrainte de traction aux fibres prenant naissance dans la partie grugée

71


Poutres entaillées (=grugées) à leur extrémité (suite)

bh

VEd

2

32max,,

ef

Edbh

V

2

31max,,

Edc,

Il doit exister d’une contrainte de compression aux fibres pour équilibrer le morceau

Réaction

Dans ce cas, comme il s’agit de compression et pas de traction, on peut prendre kv=1 et le critère habituel est utilisé :

1vkAvec :dvv

efcr

Ed kbhk

V,1max,,

2

3

Valeurs de kcr (=0,67) :EC5/A1/chap.6.1.7/équ. 6.13a et

EC5/A2/chap.9/équ. 6.60


Chap. 13 : intégration du flambement dans les critères de résistance

73


RAPPEL : loi d’Euler

2

min,0

2

f

k

critL

IEF

Imin=min(Iy, Ix)

y

x

F

F

Lf=2L Lf=LLf=L

Lf=0,7L Lf=0,5L

E0,k et pas E0,moy!

74


RAPPEL : la longueur de flambement n’est pas toujours simple à trouver…

Lf = L Lf = L Lf = 2L Lf = 2L

CAS 2 :Inertie poutre <<< inertie colonnes: Lf = 2L

L Lf = ? 2L

CAS intermédiaire :inertie poutre inertie colonnes

CAS 1 :Inertie poutre >>> inertie colonnes : Lf = L

75


RAPPEL : élancement et sensibilité au flambement

IA

f

k

f

kcritcrit

L

E

A

I

L

E

A

F2

,0

2

2

,0

2

L’élancement est une mesure du danger de flambement :

Sensibilité au flambement

0 à 20 aucune

20 à 50 faible à moyenne

50 à 80 forte

80 à 200 très forte

> 200 à proscrire

= 20 = 50 = 10 = 200 = 80

2

,0

2

f

k

critL

IEF

I

AL f

déf .

Si on pose , on obtient une autre formulation de la loi d’Euler :

crit

2

,0

2

k

crit

E

76


kc

k

kccritf

Ef

,0,

2

,0

2

,0,

2

,0

2

.

k

crit

E

Standardisation de la loi d’Euler :

kc

k

Ekc

k

critf

Ef

E

,0,

,0

,0,2

,0

2

E est l’élancement en dessous duquel la loi d‘Euler cesse d’être valable :

Comportement réel

Loi d’Euler

kcf ,0, « limite » fc,0,k du matériau idéalisé

kc

k

Ef

E

,0,

,0

2

,0

2

. kcrit E

E

rel

kckE

f

fE

IAL

,0,,0Avec :

( )2

2

,0,,0 /

kck fE

2

2

2

1 relE

77


Critère de résistance en compression simple selon l’EC5

dccEd

Edc fkA

N,0,,0,

Avec :

( )( )23,015,0 relrelck -

Eulercrit

kc

E

déf

rel

f

,

,0,

22

1

rel

c

kkk

-

élémentsdesrectitudelaàlié

BLCpour

massifboispourc

1,0

2,0

A vérifier selon les 2 axes !

78


En résumé pour le dimensionnement (section rectang. bxh)

FIN

On choisit une valeur arbitraire de b et h

IALf

k

kc

relE

f

,0

,0,

22

1

rel

c

kkk

-( )( )23,015,0 relrelck -

BLCpour

massifboispourc

1,0

2,0

?,0, dccEd fkhb

N

NON

OUI

:3,0rel

:3,0rel 1 ck

79


Généralisation à la flexion composée (MEd+NEd)

MEd

𝑥𝑦

𝑧


NEd

( )1

,

,

,0,

,0,

dm

Edm

dczc,yc,

Edc

ffk,kmin


Les kc sont calculés avec les mêmes formules qu’en compression simple (transparent précédent)

dvEd ,

La sensibilité au flambement ne permet plus de tenir compte d’un effet favorable de plastification de la zone comprimée par élévation au carré du 1er terme du critère

80


Généralisation à la flexion déviée (My,Ed+Mz,Ed+NEd)


Les kc sont calculés avec les mêmes formules qu’en compression simple (transparent précédent)

( )

( )

1

7,0

7,0

,

,,

,

,,

,0,

,0,

,

,,

,

,,

,0,

,0,

dm

Edzm

dm

Edym

dczc,yc,

Edc

dm

Edzm

dm

Edym

dczc,yc,

Edc

fffk,kmin

fffk,kminMax


( )1

,

,,

,

,,

,0,

,0,

dm

Edzm

dm

Edym

dczc,yc,

Edc

fffk,kmin

NEd

Mz,Ed

My,EddvEdzEdy ,

2

,

2

,


Cas typique où les éléments secondaires, suffisamment

nombreux, empêchent l’apparition d’un déversement des grandes poutres principales (complexe

sportif à Clamart en France, bureau d’études Charpentes-concept)

Chap. 14 : intégration du déversement dans les critères de résistance

82


Rappel : le déversement, c’est quoi ?

Le déversement est un flambement transversal de la membrure comprimée d’une poutre fléchie

Comme la membrure tendue ne flambe pas, elle « retient » la membrure comprimée. Il en résulte une torsion de la poutre

La sensibilité au déversement est influencée par : le type d’appuis, le type de charge et son point d’application

Q [kN]

83


Rappel : aire, inertie, inertie polaire

][ 2mdAAA

Contour de la section

r

L’inertie polaire est liée à un point (souvent le centre G) :

][ 42 mdArIA

p

(Avec Ip=Ix+Iy car r2=x2+y2)

L’aire est indépendante de tout axe :

][

][

42

42

mdAxI

mdAyI

A

y

A

xL’inertie (ou moment d’inertie) est toujours liée à un axe :

][ 4mxydAIA

xy Le produit d’inertie est toujours lié à 2 axes :

(Il est nul si x ou y est un axe de symétrie)

84


Rappel : torsion et constante de torsion

torGI

T

G est le module de glissementet vaut E/(2(1+)) pour un matériau

isotrope…ce qui n’est pas le cas du bois !

La constante de torsion (ou moment d’inertie en torsion) [m4] se définit par la relation qui lie le moment de torsion T

et l’angle de rotation par unité de longueur :

Pour les sections circulaires pleines ou creuses, on démontre que Itor=Ip, avec : RI

T

tor

max2

4RI tor

Pour les sections rectangulaires, on a toujours Itor<Ip, avec, pour des sections élancées (h>>b) : 3

63,013hb

h

bI tor

-

(Pour la section pleine)

-

EI

Mr 1

85


Quantification du déversement (EC5/§6.3.3)

dmcrit

él

EdEdm fk

W

M,,

critm

kmdéf

mrel

f

,

,

,

-

2

,,

,,

,

1:4,1

75,056,1:4,175,0

1:75,0

mrelcritmrel

mrelcritmrel

critmrel

k

k

k

Avec :yélel

torkk

yél

crity

critmWL

IGIE

W

M

,

,0min,0

,

,

,

el

k

critmhL

Eb ,0

2

,

78,0

Simplification pour les poutres de section rectangulaire en résineux (mais aussi en feuillu, comme l’a démontré M. Monhonval/2015) :

Longueur effective de la poutre (voir p.

suivante)

86


Valeurs de la longueur effective selon l’EC5

87


En résumé pour le dimensionnement (section rectang. bxh)

FIN

On connaît les valeurs de b et h qui satisfont lecritère de flexion sans déversement

NON

OUI

On lit la valeur de Lel dans le tableau de l’EC5

el

k

critmhL

Eb ,0

2

,

78,0

critm

km

mrel

f

,

,

,

-

2

,,

,,

,

1:4,1

75,056,1:4,175,0

1:75,0

mrelcritmrel

mrelcritmrel

critmrel

k

k

k

?,dmcrit

él

Ed fkW

M

88


Formulation générale en flexion déviée avec flambement + déversement

Dans le cas rare où tous les types d’efforts internes se combinent à une sensibilité à la fois au flambement et au déversement, le critère de vérification général devient le suivant. Notons que kcrit,z est en général égal à 1 :

( )1

,,

,,

,,

,,

,0,

,0,

dmzcrit

Edzm

dmycrit

Edym

dczc,yc,

Edc

fkfkfk,kmin

NEd

Mz,Ed

My,Ed


Photo : sud-toitures-charpentes.fr

Chap. 15 :Eléments courbes en BLC

90


!1 : Contraintes de cintrage (en usine) dans les lamelles

Le BLC étant composé de lamelles fines (<45 mm), leur cintrage en atelier est aisé et permet d’obtenir toutes les formes possibles

mEtW

M

EtEbt

M

EI

M

r

221213

r

tEm

2

Pour une lamelle d’épaisseur t courbée avec un rayon r, la contrainte de flexion m

vaut (voir cours de MDS – W=bt2/6) :

Pour r=240t (en général on a r>200t)et E=10000 Mpa, on obtient

une valeur élevée: MPam 8,20240

1

2

10000

brinr

L’EC5 intègre ce phénomène dans la réduction de la capacité en flexion (pas en traction ou compression, curieusement) via un coefficient kr :

240/1

240/001,076,0

trsi

trsitrk

in

inin

ravec :dmrdm fkf ,, (empirique, tenant compte de la relaxation) :

Dans une lamelle, le cintrage (avant collage et pressage) crée des contraintes qui diminuent les capacités de flexion, traction, …

m

m

m

m

m

m

91


Valeurs du coefficient kr prescrites par l’EC5

92


!2 : Non linéarité des contraintes de flexion

Dans la section d’un élément courbe, les contraintes sont d’autant moins linéaires (loi =My/I) que la courbure est grande (R/h petit)

La répartition est en réalité hyperbolique avec des contraintes supérieures sur l’intrados, quelque soit le sens du moment (voir cours LAUCE2124 : éléments à forte courbure, théorie de Winkler) :

R

dl

h

MCG

e

R rinCentre de courbure

Fibre neutreFibre moyenne

Pour en tenir compte, l’EC5 majore les contraintes calculées avec MED/W :

W

Mk

W

M Edl

Ed

2

6,035,01

R

h

R

hklavec :

93


Valeurs du coefficient kl prescrites par l’EC5

94


!3 : Naissance de contraintes aux fibres

Equilibre vertical du morceau grisé en supposant une répartition linéaire des contraintes :

2sin2

2sin2

dC

dRb

R

h

d

CCd/2d/2

M M

]1[bR

C

( )]2[

2222

WMb

hb

hC m

La force résultante C des contraintes de compression vaut :

W

M

R

h

25,0:]1[]2[ On obtient :

95


!3 : Naissance de contraintes aux fibres

Equilibre vertical du morceau grisé en supposant une répartition linéaire des contraintes :

2sin2

2sin2

dC

dRb

R

h

d

CCd/2d/2

M M

]1[bR

C

( )]2[

2222

WMb

hb

hC m

La force résultante C des contraintes de compression vaut :

W

M

R

h

25,0:]1[]2[ On obtient :

Ce facteur 0,25h/R est désigné Kp par l’EC5, qui définitle critère plus global ci-dessous :

Remarque : pour un M tel que l’intrados est comprimé, la contrainte aux fibres est une contrainte de compression, mais ce cas n’est jamais critique étant donné le rapport moyen entre fc,90,k et fm,k

12

3

,90,,

dtvoldis

Edp

dv

ef

Ed

fkk

W

Mk

f

hb

V*0

EdVsi

dtvoldisEd

p fkkW

Mk ,90,

( )rh25,0 =1,4 pour une poutre courbe

d’inertie constante

2,0301,0

V

mkvol

V : totalité du volume de la partie cintrée de l’élément, (V étant limité au 2/3 du volume de la poutre)

* : logique puisque VEd crée des contraintes rasantes qui agissent sur les facettes tendues

96


Valeurs du coefficients kp prescrites par l’EC5

97


Eléments courbes : synthèse du calcul ELU

1. Dans la section la plus comprimée ET la section la plus fléchie, calculer

c,Ed=NEd/bh et m,Ed=6MEd/bh2 et vérifier le critère de flexion composée :

3. Dans la section soumise au plus grand effort tranchant VEd, vérifier : dv

cr

EdEd f

bhk

V,

2

3

1,90,

,

,

dtvoldis

Edmp

dv

Ed

fkk

k

f

2. Dans ces 2 mêmes sections, si l’intrados est tendu, calculer Ed=3VEd/2bh et vérifier la traction aux fibres :

kr 1 : tient compte du cintrage des lamelles en usinekl 1 : tient compte de la contrainte de flexion dont la répartition ne répond plus à la loi habituelle =M/Wkp =0…0,15… : permet de calculer les contraintes de traction aux fibres à partir des contraintes de flexion

kc 1 : tient compte de la sensibilité au flambementkdis =1,4 : permet d’intégrer la manière dont sont distribuées les contraintes de traction aux fibreskvol <1 : tient compte de « l’effet volume » (volume grand plus de défauts moins de résistance)

11

,

,

,0,

,0,

,0,

,0,

dmr

Edml

dcc

Edc

dt

Edt

r fk

k

fkou

fk

L’EC5 n’en fait mention que pour la flexion, mais sa place ici semble

pertinente(cintrage en usine des lamelles)

Pas évident à déterminer pour un élément qui n’est plus droit ! …approche numérique nécessaire (le logiciel Scia est capable de fournir la valeur de kc).


Photo james.fr

Chap. 16 :Poutres à inertie variable

99


100


Contraintes maximales dans une poutre à inertie variable : pas là où M est maximum ! …

( )( )( )( )2

6

xhb

xMx

( )( )( )

02max

xh

xM

dx

dquetelxpour

am hh

Lxpourmax

1

( ) aam hx

L

hhxh

-

( ) ( )xLqxxM - 5,0

Poutre à simple décroissance :

101


12 -

LLhh

Lxpourmax

mam

m

12

12

-

-

LLhh

LLhhhhet

mam

mama

( ) ( )xLqxxM - 5,0

Poutre à double décroissance :

102


Les poutres à inertie variable : équations valables

Pour autant que la pente ne soit pas trop forte, les formules établies pour les poutres prismatiques, restent valables1 (bien que la réalité montre que les contraintes de flexion ne sont plus parfaitement linéaires, en particulier au niveau du faîte des poutres à double décroissance)

EI

M

r

1

I

My

1Selon Timoshenko, Résistance des matériaux, vol 1

Par contre, la théorie des poutres prismatiques donnera des solutions identiques pour les cas suivants, qu’elle ne pourra distinguer :

103


m

m

Approche intuitive

Si l’élément à inertie variable est en compression ou traction simple,on utilise simplement les critères définis au RAPPEL 1 (Hankinson)

Si l’élément est en flexion simple ou composée, les anciennes versions de l’EC5 utilisaient le critère de Hankison (Rappel 1) qui s’est avéré imprécis. Actuellement, l’EC5 prescrit une formulation corrigée qui fait intervenir l’influence des contraintes de cisaillement et de traction/compression : voir détails plus loin

Dans un élément dont l’inertie est variable :

Les fibres de bois sont coupées sur un bord au moins

Les contraintes de flexion (traction ou compression) longent le bord de la section et sont obliques par rapport aux fibres : elles ont donc une composante aux fibres défavorable au bois,dont il faut tenir compte

104


Quelques rappels pour bien comprendre les

poutres à inertie variable

105


A

NEd

RAPPEL 1 : le bois « n’aime pas » la tractionou compression oblique (Hankinson et al)

Compression oblique :

dc

dcdc

dc

dc fff

ffAvec ,0,

,90,,0,

,90,

,,²cos²sin

dcEd

Edc fA

N,,,,

Traction oblique :

dtEd

Edt fA

N,,,,

dt

dtdt

dt

dt fff

ffAvec ,0,

,90,,0,

,90,

,,²cos²sin

:

Remarque : l’EC5 introduit dans cette formule un paramètre kc,90 (le même qu’au transparent précédent), mais sa détermination est ambigüe. On conseille donc ici de le prendre égal à 1, ce qui est sécuritaire

106


Corolaire : le long d’un bord d’une section droite, la contrainte tangentielle est tangente à ce bord :

RAPPEL 2 : réciprocité des contraintes tangentielles

( ) ( ) - '0'0 yzxxyzM A

107


N

=Ncos/(A/cos)

=Nsin/(A/cos)

RAPPEL 3 : contraintes dans un joint collé

N se décompose en :

- 1 composante Ncos de traction- 1 composante Nsin de cisaillement

, qui agissent sur une section oblique(joint collé) d’aire A/cos :

Aire A

Poutre en traction constituée d’un joint collé incliné de ° :

Le joint est donc soumis à :

- 1 contrainte de traction =cos2(N/A) =0cos2

- 1 contrainte de cisaillement =0cossin

108


tractioncompression

RAPPEL 4 : contraintes principales

Lignes de contraintes principales dans une poutre sur deux appuis : Allure des

contraintes dues à une charge ponctuelle

109


RAPPEL 5 : cercle de Mohr, contraintes de bord de poutre

V

M

ZOOM

P 0 et =M/W 0

Pour un carré de matière de coté dx0 situé au bord de la fibre supérieure, on a :

M/W

0

0

0

dx 0

Par exemple, facette orientée à 45° par rapport au bord

supérieur :

0,5M/W

110


Quantification des contraintes aux fibres

111


Divergences par rapport à la théorie des poutres prismatiques : naissance de contraintes aux fibres !

Pour assurer l’équilibre vertical, il doit exister une contrainte de compression aux fibres :

m

c,90

dx0

dy=dx.tg

( ) ( )

( ) ( )

tgdxbtgdxbF

tgtgdxbdxbF

ccvert

mmhoriz

90,90,:0

:0 2

90, tgmc

Compression + compression

m

t,90

dx0

dy=dx.tg

idemF

idemF

vert

horiz

:0

:0 2

90, tgmt

Pour assurer l’équilibre vertical, il doit exister une contrainte de traction aux fibres :

Traction + traction

112


Poutres àsimple décroissance

113


Critère ELU pour les poutres à simple décroissance

Pour tenir compte des contraintes aux fibres, l’EC5 n’utilise pas les équations d’Hankinson, mais prescrit plutôt un critère (empirique lui aussi) basé sur la comparaison, sur la face inclinée, de la contrainte MEd/Wél avec le facteur km,fm,d :

dmmEd

él

Ed fkbh

M

W

M,,2

6

(+ vérification du critère habituel dans la section soumise à VEd,max et

calcul de flèche)

2

2

,90,

,

2

,

,

,

75,01

1

tgf

ftg

f

f

k

dt

dm

dv

dm

m

2

2

,90,

,

2

,

,

,

5,11

1

tgf

ftg

f

f

k

dc

dm

dv

dm

m

Si la face inclinée est comprimée :

Si la face inclinée est tendue :avec :

114


Poutres àdouble décroissance

115


Hors de la zone de faîtage, on a montré qu’il existe une compression aux fibres : il faut faire la même vérification que pour les poutres à simple décroissance

Dans la zone de faîtage, c’est l’inverse : la poussée au vide crée une traction aux fibres, comme l’illustre la figure ci-dessus

Cas particulier du faîte des poutres à double décroissance

t,90

Dans la zone de faîtage, VEd est nul, donc pas de contrainte rasante , donc m et t,90 s’annulent sur la fibre supérieure :

t,90=0

0

dx 0

t,90=0

0

dx 0

m=0

m

t,90

116


Critère ELU pour les poutres à double décroissance

Dans les zones hors du faîte, vérifier le mêmecritère que pour les éléments à simple décroissance :

dmmEd

él

Ed fkbh

M

W

M,,2

6

Dans la zone de faîte, il faut vérifier le critère de flexion ET de traction fibres :

dmEd

l fbh

Mk ,2

6 24,54,11 tgtgkl avec (empirique) :Flexion :

( ) dtvoldisEd

p fkkbh

Mtgk ,90,2

62,0

( )

1:

01,0:

4,1

2,03

masssifbois

VmBLCk

k

vol

dis

avec (empirique) :

Traction fibres :

Si VEd0 dans la section de faîte : voir EC5, §6.4.3(7)

(+ vérification du critère habituel dans la section soumise à VEd,max et

calcul de flèche)

117


Poutres avec zone circulaire

118


Critère ELU pour les poutres avec zone circulaire

Dans les zones latérales, vérifier le même critère que pour les éléments à simple décroissance :

dmmEd

él

Ed fkbh

M

W

M,,2

6

( ) ( )

240/1

240/001,076,0

6,035,012

trsi

trsitrk

rhrhk

in

inin

r

apapl

avec (empirique) :Flexion :

Dans la zone de faîte, il faut vérifier le critère de flexion ET de traction fibres, en tenant compte, via kr, de la diminution de résistance due au fléchissement de production des lamelles :

dmrEd

l fkbh

Mk ,2

6

Les lamelles sont en général parallèles aux faces inférieures et supérieures, et cintrées au faîte en usine sur un angle (en degrés)

( )inapap rhbhV 2360

( ) dtvoldisEd

ap fkkbh

Mrh ,90,2

625,0

( )

2,0301,0

4,1

Vmk

k

vol

dis

Traction fibres :


avec (empirique) :

(en degrés)

119


Critère ELU pour les poutres avec zone circulaire

Dans les zones latérales, vérifier le même critère que pour les éléments à simple décroissance :

dmmEd

él

Ed fkbh

M

W

M,,2

6

( ) ( )

240/1

240/001,076,0

6,035,012

trsi

trsitrk

rhrhk

in

inin

r

apapl

avec (empirique) :Flexion :

Dans la zone de faîte, il faut vérifier le critère de flexion ET de traction fibres, en tenant compte, via kr, de la diminution de résistance due au fléchissement de production des lamelles :

dmrEd

l fkbh

Mk ,2

6

Les lamelles sont en général parallèles aux faces inférieures et supérieures, et cintrées au faîte en usine sur un angle (en degrés)

( )inapap rhbhV 2360

( ) dtvoldisEd

ap fkkbh

Mrh ,90,2

625,0

( )

2,0301,0

4,1

Vmk

k

vol

dis

Traction fibres :


avec (empirique) :

(en degrés)

120


Poutres avec intrados circulaire

121


Critère ELU pour les poutres BLC avec intrados circulaire

Dans les zones à simple décroissance, vérifier le même critère que pour les éléments à simple décroissance :

dmmEd

él

Ed fkbh

M

W

M,,2

6

Dans la zone de faîte, il faut vérifier le critère de flexion ET de traction fibres, en tenant compte, via kr, de la diminution de résistance due au cintrage des lamelles en usine :

Les lamelles sont en général parallèles à la face inférieure et cintrées au faîte en usine. Les fibres supérieures sont découpées

( )

2,0301,0

7,1

Vmk

k

vol

dis

Traction fibres :

avec (empirique) :( ) dtvoldisEd

p fkkbh

MECvoirk ,90,2

6)8(3.4.6§,5:

240/1

240/001,076,0

47.643.6.),4(3.4.6§,5

trsi

trsitrk

àéquECvoirk

in

inin

r

l

avec (empirique) :Flexion : dmrEd

l fkbh

Mk ,2

6


122


Synthèse pour tous les types de poutres à

inertie variable

123


Poutres à inertie variable : synthèse du calcul ELU

dmmEd fk

bh

M,,2

6

(km, est à choisir selon que le bord coupé est en compression ou en traction.Si les 2 bords sont coupés, on prendra le + petit des deux)

km, 1 : tient compte de la compression/traction oblique sur le bord coupékl 1 : tient compte de la contrainte de flexion en zone de faîte dont la répartition ne répond plus à la loi habituelle =M/W

kr 1 : tient compte du cintrage éventuel des lamelles en usinekp =0…0,15… : permet de calculer les contraintes de traction aux fibres à partir des contraintes de flexion (empirique)

kdis =1,4 ou 1,7 : permet d’intégrer la manière dont sont distribuées les contraintes de traction aux fibreskvol <1 : tient compte de « l’effet volume » (volume grand plus de défauts moins de résistance)

Dans la zone soumise au plus grand effort tranchant VEd, vérifier : dv

ef

EdEd f

hb

V,

2

3

S’il existe une zone de faîte avec MEd et VEd, vérifier :

dmrEd

l fkbh

Mk ,2

6La flexion :

La traction aux fibres : dtvoldis

Edp fkk

bh

Mk ,90,2

6 et si VEd0 : 1

6

,90,

2

,

dtvoldis

Edp

dv

Ed

fkk

bh

Mk

f

Hors des zones de faîte, calculer l’abscisse de plus grande contrainte, relative à MEd et h, et vérifier le critère suivant :

124


Calcul de la flèche maximale d’une poutre à inertie variable

( ) ( ) ( )

Lx

x v

Lx

x

Lx

x

A dxxGA

Vvdx

xEA

Nndx

xEI

Mv

000

x 1N

m(x),n(x),v(x)

A

A=?

A

M(x),N(x),V(x)

La formulation analytique de la flèche maximale et de son abscisse peut s’avérer complexe : l’utilisation d’un tableur ou d’un petit code de programmation est utile

En 1ère approximation et pour un avant-projet, on peut utiliser une hauteur de section constante égale à la hauteur moyenne

On trouve également dans [Construction en bois, Natterer et al, §6.2.3.5] une abaque permettant de calculer rapidement ces flèches dans des cas simples

Par application du théorème de la force unité (voir cours de MDS), en utilisant I(x), A(x) et Av(x) :

Documents

LGCIV2043 : Structures en bois - issd.beissd.be/PDF/BOIS_Partie 2.pdf · La magnifique structure en bois « The Passenger » construite pour Mons 2015 après son effondrement partiel