LGL Cours de Mathématiques 2014

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AB Beran - TheorieExamen-ASavoir.doc Théorie à l’examen - C/D - 1 -

La théorie à l'examen de 1ere CD - Analyse

Extrait de Horaire et Programme - Examen

Partie théorique:

Les pages 55 à 57 du chapitre 3 (propriétés des logarithmes, lien entre logarithmes de bases différentes,

lien entre exponentielles de bases différentes, dérivées) et les pages 67, 68, 86 et 87 du chapitre 4

(propriétés des primitives, lien entre intégrale définie et primitive: propriétés 2 et 3) peuvent faire l'objet

d'une ou de plusieurs questions théoriques (avec démonstrations) à l'examen.

La cote d'éventuelles questions sur la partie théorique n'excède pas 8 points.

Pour toute question portant sur la partie théorique, la définition, l'énoncé de la propriété et la

démonstration doivent figurer dans le manuel.

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AB Beran - TheorieExamen-ASavoir.doc Théorie à l’examen - C/D - 2 -

Théorie sur les exponentielles et logarithmes pp. 55-57

Logarithme d’un produit

Formule de base supposée connue

Les 3 premières lignes connues,

il faut continuer par substitutions

respectives

Comme souvent, le plus dur est

de savoir comment commencer la

démonstration en question

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AB Beran - TheorieExamen-ASavoir.doc Théorie à l’examen - C/D - 3 -

Propriété des logarithmes

Encore une fois, il faut savoir

comment démarrer la démo.

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AB Beran - TheorieExamen-ASavoir.doc Théorie à l’examen - C/D - 4 -

Alternative plus simple

ln ln

' 'ln

ln ln ln

xax x a

x x a

x a x

a e e

a e

e a a a

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AB Beran - TheorieExamen-ASavoir.doc Théorie à l’examen - C/D - 5 -

Sur les pages à venir vous trouvez quelques propriétés et démonstrations extraites du livre, mais munies de

quelques commentaires.

Définition et démonstrations des propriétés 1 et 2 sur les primitives (p. 67)

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AB Beran - TheorieExamen-ASavoir.doc Théorie à l’examen - C/D - 6 -

Propriétés 3 et 4 et démonstration de la propriétés 5 sur les primitives (p. 68)

2 primitives d’une même fonction diffèrent par une constante

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AB Beran - TheorieExamen-ASavoir.doc Théorie à l’examen - C/D - 7 -

Démonstration de la propriété 2 sur les intégrales définies (p. 86)

Propriété 2 p. 82

La permutation des bornes de

l'intégrale définie d'une fonction

intégrable change le signe de cette

intégrale: b a

a b

f x dx f x dx

Propriété 4 p.82

Si f est intégrable sur ;a b ,

alors, ;c a b :

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

propriété de l'additivité de l'intégrale définie

Propriété 1 p.85

Toute fonction continue sur ;a b est

intégrable sur ;a b .

Changement des bornes

Somme de 2 intégrales

Théorème de Lagrange

(Accroissements finis et

continuité)

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AB Beran - TheorieExamen-ASavoir.doc Théorie à l’examen - C/D - 8 -

Démonstration de la propriété 3 sur les intégrales définies (p. 86/87)

On commence par l’introduction d’une

primitive G de la fonction f qui diffère de la

primitive cherchée F .

Propriété 2 p.86

Si f est une fonction continue sur ;a b ,

alors :

1) la fonction : :

x

a

F x f t dt

est dérivable sur ;a b ;

2) la dérivée de F est f.

Autrement dit :

La fonction F est une primitive de f .

Propriété 2 p. 67

Si F et G sont des primitives de f sur I

I est un intervalle inclus dans le domaine de f

Alors il existe une constante C telle que F x G x C pour tout réel x dans I .

(Dans le cours cette constante réelle a toujours été nommée k)