Licence Calcul Differentiel

LICENCEDE

MATHÉMATIQUESPURES

CalculDifférentiel

Philippe Charpentier

Université Bordeaux IAnnée universitaire 2000-01

PHILIPPE CHARPENTIER

UNIVERSITÉ BORDEAUX ILABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES PURES

351, COURS DE LA LIBÉRATION, 33405 TALENCEAdresse électronique: [email protected]

Introduction

Cepolycopié a été réalisé durant l’année universitaire 2000-2001 alors que j’enseignais les certificats de Licence LA1 etLA2. J’ai choisi de faire une présentation assez exhaustive (donc ne correspondant pas toujours exactement au contenudes programmes officiels de la Licence de Bordeaux) affin d’éviter au maximum les « trous » que j’ai pu constater entravaillant à la préparation de l’oral de l’agrégation.

La présentation tâche toujours de dégager en premier les concepts généraux même si on ne les utilise que dans des cas particuliers.Par rapport au programme officiel il n’y a finalement que peu de changements. Pour les équations différentielles, la notion de solutionapprochée a été systématiquement développée et utilisée. Ainsi le Théorème de cauchy-Lipschitz est non seulement démontré avec leThéorème du point fixe mais aussi avec avec la méthode d’Euler des solutions approchées. Du même coup, on montre le Théorème deArzela-Cauchy-Péano.

Les exercices des fins de chapitre sont dûs aux enseignants de travaux dirigés, Christophe Bavard, Gérard Galusinski, Gilles Robertet Philippe Monnier.

Philippe Charpentier

iii

Table des matières

Introduction iii

CHAPITRE I. Calcul Différentiel 1I.1. Fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1I.2. Théorème des accroissements finis et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.2.1. Le Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.2.2. Applications du Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.3. Théorèmes d’inversion locale et des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.3.1. Le Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10I.3.2. Le Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

I.4. Différentielles d’ordre supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.4.1. Différentielles secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.4.2. Différentielles d’ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I.5. Formule de Taylor, développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.5.1. La formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.5.2. Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.5.3. Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

I.6. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.6.1. Maxima et minima relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.6.2. C k-conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.6.3. Sous-variétés différentiables, extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

CHAPITRE II. Équations différentielles 43II.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

II.1.1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43II.1.2. Bouts des solutions maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II.1.3. Cylindres de sécurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II.2. Solutions approchées, Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.3. Théorèmes d’existence et d’unicité généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

II.3.1. Le cas de dimension finie : le Théorème de Cauchy-Peano-Arzela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.3.2. Le cas localement lipschitzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

II.3.2.1. Lemmes de Gronwall, Lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.3.2.2. Le Théorème de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.3.2.3. Solutions globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.3.2.4. Dépendance par rapport aux conditions initiales et à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

II.4. Le Théorème des bouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59II.5. Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II.5.1. Définitions, existence et unicité des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62II.5.2. Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

II.5.2.1. Cas où E est de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64II.5.3. Résolution des équations différentielles linéaires d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

II.5.3.1. Équation différentielles linéaires scalaires d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66II.5.4. Équations différentielles linéaires à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

II.5.4.1. Cas où E est de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67II.5.4.2. Cas des équations d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

II.5.5. Stabilité des solutions des équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68II.6. Éléments d’études qualitatives en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

v

TABLE DES MATIÈRES

Exemples de sujets et de corrigés d’examens 75Examen partiel de l’année universitaire 2000-2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Examen de la session de Juin 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Examen de la session de Septembre 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Examen de la session de Mai 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Sujet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Index des Notations 85

Index Terminologique 87

Bibliographie 89

viLicence de Mathématiques Pures de Bordeaux

Calcul Différentiel

CHAPITRE I

CHAPITRE I

CALCUL

DIFFÉRENTIEL

SECTION I.1

Fonctions différentiables

DÉFINITION I.1.1.1. Soient X un espace métrique, Y un espace normé, U un ouvert de X , x

0

un point de U et g une fonctionde U dans Y . On dit qu’une fonction f de U dans un espace normé E est un o(g) (resp. O(g)), et on écritf = o(g) (resp. f = O(g)) au point x

0

, s’il existe un voisinage V de x0

et une fonction " de V dans E telle que8x 2 V , f(x) = kg(x)k "(x) avec lim

x!x

0

x6=x

0

"(x) = 0 (resp. lim

x!x

0

x6=x

0

k"(x)k < +1).

2. Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, x0

2 U et fi

: U ! F , i = 1; 2, deux fonctions.On dit que f

1

et f2

sont tangentes en x0

si, en posant m(r) = sup

kx�x

0

k�r

kf

1

(x)� f

2

(x)k, pour r assez petit, on

a m(r) = o(r) en r = 0. Il revient au même de dire que f1

� f

2

= o(kx� x

0

k).3. Sous les même hypothèses que le 2., on dit que f

1

et f2

sont strictement tangentes en x

0

si,f

1

(x

0

) � f

2

(x

0

) = 0 et 8" > 0, il existe r > 0 tel que, pour kx� x

0

k < r et ky � x

0

k < r on ak(f

1

(x)� f

2

(x)� (f

1

(y)� f

2

(y))k � " kx� yk, c’est-à-dire que f1

� f

2

est lipschitzienne de rapport " dansla boule B(x

0

; r).

Bien sûr, la notion de stricte tangence est plus forte que celle de tangence.

PROPOSITION I.1.1.Soient E et F deux espaces normés sur K , U un ouvert de E, x

0

2 U et fi

: U ! F , i = 1; 2, deuxfonctions.

1. La relation « f1

est tangente à f2

en x0

» est une relation d’équivalence. Si f1

est tangente à f2

en x0

,f

1

� f

2

est continue en x0

et vaut 0 en ce point ; en particulier, si f1

est continue en x0

, f2

l’est aussi.2. Il existe au plus une application linéaire g de E dans F telle que les fonctions x 7! f

1

(x) � f

1

(x

0

) etx 7! g(x� x

0

) soient tangentes en x0

. De plus, si f1

est continue en x0

alors g est continue et réciproquement.

Démonstration. Le 1. est immédiat, et, la seule chose à voir dans le 2. est le fait que si deux applications linéaires g1

et g2

de E dansF sont tangentes en zéro alors elles sont égales ce qui évident puisque

sup

kxk�r

kg

1

(x)� g

2

(x)k = kg

1

� g

2

k r:

1

CHAPITRE I. CALCUL DIFFÉRENTIEL

DÉFINITION I.1.2.Soient E et F deux espaces normés sur K , U un ouvert de E, x

0

2 U et f : U ! F . On dit que f estdifférentiable en x

0

si les conditions suivantes sont vérifiés :1. f est continue en x

0

.2. Il existe une application linéaire g : E ! F telle que les applications x 7! f(x)�f(x

0

) et x 7! g(x�x

0

)

soient tangentes en x0

, c’est-à-dire f(x) = f(x

0

) + g(x� x

0

) + o(kx� x

0

k).De plus, lorsqu’elle existe, cette application linéaire est unique et continue. On l’appelle la différentielle de

f en x0

ou la dérivée de f en x0

et elle se note df(x0

) ou encore f 0(x0

). Si f est différentiable en tout pointde U , on dit que f est différentiable dans U et l’application df : x ! df(x) de U dans L (E;F ) s’appellel’application dérivée de f , ou simplement la dérivée ou la différentielle de f .

Remarque I.1.1. 1. La Proposition précédente montre qu’une fonction f est différentiable en x0

si et seulement si la condition 2.de la Définition ci-dessus est satisfaite avec g continue.

2. df(x0

) est donc une application linéaire de E dans F . Son action sur un élément h de E sera notée df(x0

)(h) ou df(x0

) � h.3. Dans toute la suite, dans un énoncé donné, les espaces vectoriels considérés sont des espaces vectoriels sur un même corps K qui

est soit R soit C . Naturellement, lorsque les espaces normés sont complexes, on peut aussi les considérer comme des espaces normésréels. La notion de différentiabilité dépend alors du corps sur lequel on se place. En effet, si on considère que le corps des scalairesest R, la fonction est différentiable s’il existe une application R-linéaire tangente, et, si on considère que le corps des scalaires est C ,elle le sera s’il existe une application C -linéaire tangente. Ainsi on voit aussitôt, par la définition même, que la différentiabilité sur Cimplique celle sur R, la R-différentielle étant égale à la C -différentielle, mais la réciproque n’est pas vraie en général : une fonctionR-différentiable est C -différentiable si et seulement si sa R-différentielle est C -linéaire.

4. Dans le cas où E = R, df(x0

) est une application linéaire de R dans F . Elle s’écrit donc t 7! tdf(x

0

) � 1. On identifie alorstoujours l’application linéaire df(x

0

) avec le point de F df(x

0

) � 1. Ceci redonne, dans le cas où E = F = R, la notion usuelle dedérivée.

Le but du présent cours n’est pas d’étudier les différences profondes qui existent entre la R-différentiabilité et la C -différentiabilité(ceci est essentiellement l’objet de la théorie des fonctions holomorphes), mais de construire une théorie des fonctions différentiablesindépendante du corps.

DÉFINITION I.1.3.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E et f : U ! F . On dit que f est continûment

différentiable dans U ou de classe C 1 dans U , et on note f 2 C 1

(U ;F ), ou simplement f 2 C 1

(U), si f estdifférentiable dans U et si l’application dérivée df est continue de U dans L (E;F ) (muni de la norme usuelledes applications linéaires continues).

DÉFINITION I.1.4.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, f : U ! F et x

0

2 U . On dit que f est strictementdifférentiable en x

0

s’il existe une application linéaire continue g : E ! F telle que les applications x 7!f(x)� f(x

0

) et x 7! g(x� x

0

) soient strictement tangentes en x0

.

La Proposition suivante est immédiate :

PROPOSITION I.1.2.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, f : U ! F et x

0

2 U . f est strictement différen-tiable en x

0

si et seulement si elle est différentiable en x0

et si on a

f(x)� f(y) = df(x

0

) � (x� y) + kx� yk (x; y)

avec lim

x;y!x

0

(x; y) = 0.

Nous verrons, à la section suivante (Proposition I.2.2, page 9), une condition suffisante de différentiabilité stricte qui impliquequ’une fonction continûment différentiable est strictement différentiable.

La Proposition suivante se vérifie très facilement à partir des définitions :

PROPOSITION I.1.3.Les notions de fonctions différentiables, strictement différentiables, de différentielle en un point et d’appli-

cation dérivée restent inchangées si on remplace les normes des espaces E et F par des normes équivalentes.

PROPOSITION I.1.4.Soient E F et G trois espaces normés, U un ouvert de E et V un ouvert de F .1. Si f et g sont deux applications de U dans F différentiables en x

0

2 U , pour tous scalaires � et �,

2Licence de Mathématiques Pures de Bordeaux


I.1. FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES

�f + �g est différentiable en x0

et d(�f + �g)(x

0

) = �df(x

0

) + �dg(x

0

).2. Soient f : U ! F , g : V ! G, x

0

2 U et supposons f(x0

) = y

0

2 V . Si f est différentiable en x0

et gdifférentiable en y

0

alors g Æ f est différentiable en x0

et d(g Æ f)(x0

) = dg(y

0

) Æ df(x

0

).

Démonstration. La preuve du 1. est élémentaire, vérifions simplement le 2. f étant différentiable en x0

, elle est continue, et on peutécrire

g(f(x)) = g(f(x

0

)) + dg(y

0

) � (f(x)� f(x

0

)) + o(kf(x)� f(x

0

)k)

pour x voisin de x0

. En écrivant ensuite que f est différentiable en x0

et en remplaçant dans l’expression précédente, il vient

g(f(x)) = g(f(x

0

)) + dg(y

0

) Æ df(x

0

) � (x� x

0

) + dg(y

0

) � o(kx� x

0

k) + o(kdf(x

0

) � (x� x

0

) + o(kx� x

0

k)k :

Comme df(x0

) et dg(y0

) sont continues, on a dg(y0

) � (o kx� x

0

k) = o(kx� x

0

k) et

o(kdf(x

0

) � (x� x

0

) + o(kx� x

0

k)k = o(kx� x

0

k):

PROPOSITION I.1.5.1. Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E et f : U ! F . Si f est constante elle est

différentiable en tout point de U et df(x) = 0, 8x 2 U .

2. Soient Ei

, 1 � i � n, et F des espaces normés et f : E =

n

Y

i=1

E

i

! F une application multilinéaire

continue. Alors f est différentiable en tout point x = (x

1

; : : : ; x

n

) de E et

df(x) � (h

1

; : : : ; h

n

) = f(h

1

; x

2

; : : : ; x

n

) + f(x

1

; h

2

; : : : ; x

n

) + : : :+ f(x

1

; : : : ; x

n�1

; h

n

):

3. Soient E et F deux espaces de Banach. Soit GL (E;F ) le sous ensemble de L (E;F ) constitué desisomorphismes de E sur F . Alors GL (E;F ) est ouvert dans L (E;F ) et l’application ' : u 7! u

�1 deGL (E;F ) dans GL (F ;E) est de classe C 1. De plus, pour toute u 2 GL (E;F ), on a

d'(u) � h = �u

�1

Æ h Æ u

�1

; h 2 GL (E;F ):

Démonstration. Le 1. est évident ainsi que le 2. pour n = 1. Montrons donc le 2. pour n > 1. Par linéarité, on a

f(x

1

+ h

1

; : : : x

n

+ h

n

) = f(h

1

; x

2

; : : : ; x

n

) + : : :+ f(x

1

; : : : ; h

n�1

; x

n

) + g(x; h);

où g(x; h) est une somme d’expressions de la forme f(zI

) avec zI

= (z

1

; : : : ; z

n

) I � f1; 2; : : : ng, cardI � 2, zi

= x

i

, sii =2 I et z

i

= h

i

si i 2 I . Alors la continuité de f implique qu’il existe une constante K ne dépendant que de n et de x telle quekg(x; h)k � K kgk sup

i6=j

kh

i

k kh

j

k � K kgk khk

2

= o(khk) ce qui termine la preuve du 2.

Démontrons maintenant le 3. Voyons tout d’abord que GL (E;F ) est ouvert dans L (E;F ) : soient u 2 GL (E;F ) et h 2

L (E;F ) ; pour voir que u+h est un isomorphisme pour khk assez petit, il suffit de voir que u�1

Æ(u+h) = id

E

+u

�1

Æh2 GL (E).Or si on prend khk � 1=2

u

�1

�1

, cela résulte du Lemme important suivant :

LEMME. 1. Soit E un espace de Banach. Si u 2 L (E) est telle que kuk < 1 alors id

E

� u est inversible dans L (E), et,

(id

E

� u)

�1

�

1

1� kuk

.

2. Soient E et F deux espace normés. L’application u 7! u

�1 de GL (E;F ) dans GL (F ;E) est continue.

Démonstration du Lemme. Considérons la sérieX

n�0

u

n. Comme kunk � kuk

n, cette série est absolument convergente, donc conver-

gente. On voit alors aussitôt que sa somme v vérifie v Æ (idE

� u) = (id

E

� u) Æ v = id

E

.Montrons maintenant le 2. du Lemme. Soit u 2 GL (E;F ) et supposons qu’il existe une suite h

n

2 GL (E;F ) qui tends verszéro telle que, pour tout n, u+ h

n

2 GL (E;F ). Alors, pour tout n, idE

+ u

�1

Æ h

n

2 GL (E;E) (multiplier à gauche par u�1), eton a (u+ h

n

)

�1

� u

�1

= (id

E

+ u

�1

Æ h

n

)

�1

Æ u

�1

� u

�1

= ((id

E

+ u

�1

Æ h

n

)

�1

� id

E

) Æ u

�1, donc (u + h

n

)

�1

� u

�1

=

�(id

E

+ u

�1

Æ h

n

)

�1

Æ u

�1

Æ h

n

Æ u

�1. Or la formule

N

X

m=0

(�1)

m

(u

�1

Æ h

n

)

m

!

Æ

�

id

E

+ u

�1

Æ h

n

�

= id

E

+ (�1)

N

�

u

�1

Æ h

n

�

N+1

montre que, pour khn

k petit (i.e. n assez grand) la norme de�

id

E

+ u

�1

Æ h

n

�

�1

est uniformément bornée ce qui permet de conclure.

Philippe Charpentier 3


Fin de la démonstration de la Proposition. Pour khk assez petit, on a '(u + h) � '(u) = (u + h)

�1

Æ (u � (u + h)) Æ u

�1

=

�(u+h)

�1

ÆhÆu

�1. Pour voir que ' est différentiable, il suffit de voir que la différence entre (u+h)�1

ÆhÆu

�1 et u�1

ÆhÆu

�1 estun o(khk). Or cette différence est, en norme majorée par

(u+ h)

�1

� u

�1

u

�1

khk, et il suffit de voir que

(u+ h)

�1

� u

�1

tend vers zéro quand h tend vers zéro ce qui n’est autre que la continuité de ' qui est donnée par le Lemme.Reste à voir que d' est continue de GL (E;F ) dans L (L (E;F );L (E;F )) ce qui est très simple : l’application qui à

(v;w) 2 L (E;F ) � L (E;F ) fait correspondre l’application linéaire h 7! �v Æ h Æ w est continue de L (E;F ) � L (E;F )

dans L (L (E;F );L (E;F )), et, comme d'(u) = ('(u); '(u)), le résultat découle de la continuité de ' que nous avons déjàétablie.

PROPOSITION I.1.6.

Soient E et Fi

, 1 � i � n, des espaces normés, F =

n

Y

i=1

F

i

, U un ouvert de E et f une fonction de U

dans F . Pour tout i, soit pi

la projection de F sur Fi

, et ui

l’injection canonique de Fi

dans F définie paru

i

(x

i

) = (0; : : : ; x

i

; : : : ; 0). Soit x0

2 U . Notons fi

= p

i

Æ f . Pour que f soit différentiable en x0

, il faut et ilsuffit que, pour chaque i, la fonction f

i

soit différentiable. De plus, dans ce cas, on a

df(x

0

) =

n

X

i=0

u

i

Æ df

i

(x

0

):

Démonstration. Les applications pi

et ui

étant linéaires, elles sont différentiables (Proposition I.1.5, page précédente) de différentiellesen chaque point égales à elles même, et, par suite (Proposition I.1.4, page 2) f

i

est différentiable de différentielle dfi

(x

0

) = p

i

Ædf(x

0

).

Inversement, on a f =

n

X

i=1

u

i

Æ f

i

d’où on déduit aussitôt le résultat.

COROLLAIRE.

Soient E, Ei

, 1 � i � n, et F des espaces normés, f une application multilinéaire continue de E =

n

Y

i=1

E

i

dans F et U un ouvert de E. Pour tout i soit ui

une fonction de U dans Ei

et posons u(x) = f(u

1

(x);

: : : ; u

n

(x)), x 2 U . Soit x0

2 U . Si, pour tout i, ui

est différentiable en x0

alors u l’est aussi et on a

du(x

0

) � h =

n

X

i=1

f(u

1

(x

0

); : : : ; du

i

(x

0

) � h; : : : ; u

n

(x

0

)):

Démonstration. En effet, il suffit de remarquer que u est la composée de f avec l’application de U dansn

Y

i=1

E

i

définie par x 7!

(u

1

(x); : : : ; u

n

(x)) et d’appliquer la Proposition précédente (ainsi que la Proposition I.1.4 et la Proposition I.1.5).

Remarque I.1.2. Si F =

n

M

i=1

F

i

est somme directe topologique de sous-espaces, il est canoniquement isomorphe à l’espace normé

produit des Fi

, et la Proposition précédente s’applique clairement : si on note pi

la projection canonique de F sur Fi

, une fonction

f : U ! F est différentiable en x0

si et seulement si les fonctions fi

= p

i

Æf sont différentiables et on a df(x0

) � h =

n

X

i=1

df

i

(x

0

) � h.

PROPOSITION I.1.7.

Soient Ei

, 1 � i � n, et F des espaces normés, E =

n

Y

i=1

E

i

, U un ouvert de E, x0 = (x

0

1

; : : : x

0

n

) 2

U , et f une fonction de U dans F . Pour tout i, soient �x0i

la fonction de Ei

dans E définie par �x0i

(x

i

) =

(x

0

1

; : : : ; x

i

; : : : x

0

n

),Ui

= (�

x

0

i

)

�1

(U), qui est un ouvert contenant x0i

, et fx0

i

= fÆ�

x

0

i

. Si f est différentiable en

x

0 alors les fonctions fx0

i

sont différentiables en x0i

et on a df(x0) � h =

n

X

i=1

df

x

0

i

(x

0

i

) � h

i

, h = (h

1

; : : : ; h

n

).

La différentielle de fx0

i

en x0i

est généralement notée dfx

i

(x

0

) ou�f

�x

i

(x

0

) ou encore f 0x

i

(x

0

) et s’appelle la

différentielle partielle de f par rapport à xi

au point x0 ou encore la dérivée partielle de f par rapport à xi

en



I.1. FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES

x

0, et la formule précédente devient

df(x

0

) =

n

X

i=1

df

x

i

(x

0

) Æ p

i

;

où pi

est la projection canonique de E sur Ei

.Si, pour tout x0 2 U , fx

0

i

est différentiable en x0i

, l’application x 7! df

x

i

(x) s’appelle la dérivée partielle

de f par rapport à xi

et se note dfx

i

ou�f

�x

i

ou encore f 0x

i

. De plus, si f est différentiable en tout point de U ,

pour que f soit de classe C 1 dans U , il faut et il suffit que les fonctions dfx

i

soient continues dans U .

Démonstration. Pour tout i, soit ui

l’injection canonique de Ei

dans E définie par ui

(x

i

) = (0; : : : x

i

; : : : 0). Comme �0i

(x

i

) =

x

0

+ u

i

(x

i

� x

0

i

), �0i

est différentiable dans Ei

et on a d�0i

(x

i

) = u

i

, pour tout xi

2 E

i

. Par suite, fi

est différentiable en x0i

etdf

i

(x

0

i

) = df(x

0

) Æ u

i

, d’où la première partie de l’énoncé. La seconde partie est immédiate.

Remarque I.1.3. 1. L’existence des dérivées partielles dfx

i

, pour tout i, n’implique pas, à priori, que f est différentiable. Nousreviendrons sur cette question à la section suivante.

2. Si dimE

i

= 1 df

x

i

est une application linéaire de K dans F que l’on identifie toujours à sa valeur en 1.

DÉFINITION I.1.5.Soient E et F deux espaces normés, E

1

un sous-espace de E, U un ouvert de E et f une fonction de Udans F . On dit que f est différentiable dans la direction E

1

en x0

2 U si la fonction x 7! f(x

0

+ x), x 2 E1

,qui est définie dans un voisinage de 0 dans E

1

est différentiable en 0. On note dE

1

f(x

0

) la différentielle de cetteapplication et on l’appelle la différentielle de f dans la direction E

1

en x0

. C’est un élément deL (E

1

;F ).

Les deux Propositions suivantes, qui sont immédiates, permettent de relier les différentielles dans une direction aux notions de diffé-rentielle et de différentielles partielles :

PROPOSITION I.1.8.Soient E et F deux espaces normés,E

1

un sous-espace deE, U un ouvert de E et f une fonction de U dansF . Si f est différentiable en x

0

alors elle est différentiable dans la direction E1

en x0

et dE

1

f(x

0

) = df(x

0

)

jE

1

.

PROPOSITION I.1.9.

Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, f une fonction de U dans F et x0 2 U . Sup-

posons que E soit somme directe topologique de sous-espaces Ei

, 1 � i � n. Identifions E =

n

M

i=1

E

i

avec

l’espace normé produitn

Y

i=1

E

i

par l’isomorphisme canonique (bicontinu)n

X

i=1

x

i

7! (x

1

; : : : ; x

n

). Pour tout i, f

est différentiable dans la direction Ei

en x0 si et seulement si elle admet une différentielle partielle par rapportà x

i

au point x0, et de plus, dfx

i

(x

0

) = d

E

i

f(x

0

). En particulier, si f est différentiable en x0, alors, pourh = (h

1

; : : : ; h

n

) 2 E, on a

df(x

0

) � h =

n

X

i=1

d

E

i

f(x

0

) � h

i

:

Remarque I.1.4. On notera que, comme pour les différentielles partielles, l’existence de différentielles dans diverses directions(par exemple, dans la proposition précédente, pour chaque E

i

) n’implique pas la différentiabilité de la fonction (cela n’implique mêmepas la continuité au point).

Pour terminer, résumons les résultats précédents dans le cas où les espaces E et F se décomposent tous les deux :

PROPOSITION I.1.10.Soient

E =

n

M

i=1

E

i

et F =

n

M

j=1

F

j

deux espaces normés sommes directes topologiques de sous-espaces, U un ouvert de E, f une fonction de Udans F et x

0

un point de U . Pour tout j, soit pj

la projection canonique de F sur Fj

et f j = p

j

Æ f . Si f est



différentiable en x0

alors pour tous i et j, f j est différentiable dans la direction Ei

en x0

et

df(x

0

) � h =

n

m

X

i=1

j=1

df

j

E

i

(x

0

) � h

i

:

On dit que df(x0

) est donnée par la matrice Jacobienne�

df

j

E

i

(x

0

)

�

1�i�n

1�j�m

où df jE

i

(x

0

) 2 L (E

i

;F

j

).

En utilisant cette écriture, on peut énoncer à nouveau la Proposition sur la différentielle d’une application composée :

PROPOSITION I.1.11.Soient

E =

n

M

i=1

E

i

; F =

n

M

j=1

F

j

et G =

p

M

k=1

G

k

trois espaces normés sommes directes topologiques de sous-espaces,U un ouvert deE, f une fonction deU dansF , V un ouvert de F , g une fonction de V dans G et x

0

un point de U tel que f(x0

) = y

0

2 V . On suppose quef est différentiable en x

0

et que g est différentiable en y0

. Alors, avec les notations de la Proposition précédentepour f et l’analogue pour g, pour h 2 E, on a

d(g Æ f) � h =

n

p

X

i=1

k=1

0

�

m

X

j=1

dg

k

F

j

(y

0

) Æ df

j

E

i

(x

0

)

1

A

� h

i

:

En d’autres termes la matrice Jacobienne de g Æ f est le produit des matrices Jacobiennes de g et f .

SECTION I.2

Théorème des accroissementsfinis et applications

SOUS-SECTION I.2.1

Le Théorème des accroissements finis

On considère tout d’abord le cas des fonctions d’une variable réelle pour lesquelles on a un résultat plus précis.

DÉFINITION I.2.1.

Soit f une fonction d’un intervalle [a; b℄ de R dans un espace normé F . On dit que f admet une dérivée

à droite (resp. gauche) en x0

2 [a; b[ (resp. x0

2℄a; b℄) si f 0d

(x

0

) = lim

h!0

h>0

f(x

0

+ h)� f(x

0

)

h

(resp. f 0g

(x

0

) =

lim

h!0

h<0

f(x

0

+ h)� f(x

0

)

h

) existe.

On remarquera, bien sûr, qu’une fonction de [a; b℄ dans F est différentiable en x0

2℄a; b[ si et seulement si elle admet des dérivéesà droite et à gauche et que f 0

d

(x

0

) = f

0

g

(x

0

).

THÉORÈME I.2.1 (Théorème des accroissements finis ).SoientF un espace normé, f : [a; b℄! F et g : [a; b℄! R deux fonctions continues. Supposons que pour

tout x 2℄a; b[ sauf peut être pour x appartenant à un sous-ensemble dénombrable D de ℄a; b[, f 0d

(x) et g0d

(x)



I.2. THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS ET APPLICATIONS

existe et vérifient kf 0d

(x)k � g

0

d

(x), x 2℄a; b[nD. Alors on a

kf(b)� f(a)k � g(b)� g(a):

Démonstration. Supposons tout d’abord D = ;. Il suffit de montrer que, pour tout " > 0, pour tout x 2 [a; b℄, on a

kf(x)� f(a)k � g(x)� g(a) + "(x� a) + " (I.2.1)

(en appliquant ceci à x = b et en faisant tendre " vers zéro). Soit U l’ensemble des x 2 [a; b℄ qui ne satisfont pas à (I.2.1). Lacontinuité des fonctions montre que U est ouvert. Si U est non vide, il a une borne inférieure . Par continuité, (I.2.1) est vraie auvoisinage de a, donc > a et =2 U puisque ce dernier est ouvert, ce qui implique aussi que < b. On a donc kf 0

d

( )k � g

0

d

( ) cequi implique kf(x)� f( )k � g(x) � g( ) + "(x � ) pour � x � + � avec � assez petit. Comme vérifie (I.2.1), on a donckf(x)� f(a)k � g(x)�g(a)+"(x�a)+" ce qui contredit la définition de . Considérons maintenant le cas général où les élémentsde D forment une suite x

n

. Au lieu de démontrer (I.2.1), nous allons démontrer que, en notant Nx

l’ensemble des entiers n tels quex

n

< x, pour tout x 2 [a; b℄,

kf(x)� f(a)k � g(x)� g(a) + "

X

n2N

x

2

�n

!

+ "(x� a) + "; (I.2.2)

ce qui donnera la conclusion comme précédemment. Remarquons tout d’abord que la fonction x 7!X

n2N

x

2

�n est continue en tout

point n’appartenant pas à D, continue à gauche aux points de D et croissante : en effet, la croissance étant évidente, la continuitérésulte du fait que, si x =2 D, pour tout m, il existe Æ > 0 tel que ℄x � Æ; x + Æ[ ne contienne aucun x

p

avec p � m, ce qui entraîne�

�

�

�

�

�

X

n2N

x

2

�n

�

X

n2N

x�Æ

2

�n

�

�

�

�

�

�

� 2

�m+1, et, si x 2 D, on a le même résultat en remplaçant ℄x� Æ; x+ Æ[ par ℄x� Æ; x[. Il en résulte que

si on désigne encore par U l’ensemble des x 2 [a; b℄ qui ne satisfont pas à (I.2.2), si x 2 U , il existe Æ > 0 tel que ℄x � Æ; x℄ � U .Supposons donc a nouveau U non vide, et soit sa borne inférieure. Comme précédemment on a a < et ce qui précède montre que < b, et que =2 U . Si =2 D, on peut conclure comme dans la première partie. Supposons 2 D c’est-à-dire = x

n

0

. Alors,

pour tout x > on aX

n2N

x

2

�n

�

X

n2N

2

�n

+ 2

�n

0 , et, comme n’est pas dans U , par continuité, (I.2.2) est encore vérifiée sur un

intervalle semi-ouvert non vide [ ; + �[ ce qui contredit encore la définition de .

COROLLAIRE.Soit f : [a; b℄ ! F une application continue. Supposons que f admette une dérivée à droite f 0

d

(x) pourtout x 2℄a; b[ et que kf 0

d

(x)k � k. Alors, pour tous x1

, x2

dans [a; b℄, on a kf(x1

)� f(x

2

)k � k jx

1

� x

2

j.

Remarque I.2.1. On a bien sûr des énoncés analogues pour les dérivées à gauche qui s’obtiennent en changeant x en �x.

Considérons maintenant les fonctions définies sur un ouvert d’un espace normé.

THÉORÈME I.2.2 (Théorème des accroissements finis ).Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E et f : U ! F . Soient a et b deux points de U tels

que le segment [a; b℄ joignant a à b dans E soit contenu dans U . Supposons f continue sur [a; b℄ et que, pourtout x 2℄a; b[, f soit différentiable en x et que kdf(x)k � k. Alors kf(b)� f(a)k � k kb� ak.

Démonstration. On considère la fonction h(t) = f((1 � t)a + tb), t 2 [0; 1℄. Alors h est différentiable en tout point de ℄0; 1[ etkdh(t)k � k kb� ak. Il suffit donc d’appliquer le corollaire précédent.

COROLLAIRE.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert convexe de E et f : U ! F . Supposons que, pour tout

x 2 U , f soit différentiable en x et que kdf(x)k � k. Alors, 8x; y 2 U , kf(x)� f(y)k � k kx� yk.

PROPOSITION I.2.1.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert connexe de E et f : U ! F . Supposons que, pour tout

x 2 U , f soit différentiable en x et que df(x) = 0. Alors f est constante dans U .

Démonstration. En effet, le Théorème précédent implique que f est localement constante. Comme f est continue et U connexe, ceciimplique que f est constante.

Le Théorème des accroissements finis pour les fonctions réelles d’une variable réelle classique est une égalité (f(x + h) =

f(x)+ f

0

(#x)h, # 2℄0; 1[). Il est bien connu que ce Théorème est en général faux pour les fonction à valeurs dans un espace vectorielde dimension supérieure ou égale à 2. Par contre, si f est définie sur un ouvert d’un espace normé et à valeurs dans R, on peut appliquerle Théorème classique à la restriction de la fonction à un segment. Cela donne immédiatement le résultat suivant :



THÉORÈME I.2.3 (Théorème des accroissements finis ).Soit f une fonction différentiable sur un ouvert U d’un espace norméE à valeurs dans R. Soient x et h dans

E tels que le segment [x; x+ h℄ soit contenu dans U . Alors il existe # 2℄0; 1[ tel que

f(x+ h) = f(x) + df(x+ #h) � h:

Ce Théorème peut se généraliser aux fonctions à valeurs dans un espace normé de la manière suivante :

THÉORÈME I.2.4 (Théorème des accroissements finis ).Soit f une fonction différentiable sur un ouvert U d’un espace normé E à valeurs dans un espace normé F .

Soient x et h dans E tels que le segment [x; x + h℄ soit contenu dans U . Alors f(x + h) � f(x) appartient àl’enveloppe convexe fermée de l’ensemble fdf(x+ #h) � h; # 2℄0; 1[g.

Démonstration. Notons tout d’abord qu’il suffit de considérer le cas où les espaces normés sont des R-espaces vectoriels (RemarqueI.1.1, page 2). Soit L une forme linéaire continue sur F . La fonction L Æ f est donc différentiable sur U de différentielle L Æ df(Propositions I.1.4, page 2 et I.1.5, page 3). Le Théorème précédent appliqué à L Æ f montre qu’il existe #

L

2℄0; 1[ tel que

L (f(x+ h)� f(x)� df(x+ #

L

h) � h) = 0:

Alors si f(x+h)�f(x) n’appartenait pas à l’enveloppe convexe fermée de fdf(x+#h)�h; # 2℄0; 1[g, cela contredirait le Théorèmede Hahn-Banach.

SOUS-SECTION I.2.2

Applications du Théorème desaccroissements finis

THÉORÈME I.2.5.Soient E un espace normé, F un espace de Banach, U un ouvert convexe de E et (f

n

)

n2N

, une suite defonctions différentiables de U dans F . On suppose que :

1. Il existe x0

2 U tel que la suite (fn

(x

0

)) a une limite dans F ;2. La suite (df

n

) converge uniformément, sur U , vers g : U ! L (E;F ) c’est-à-dire que l’on a

lim

n!1

sup

x2U

kdf

n

(x)� g(x)k = 0:

Alors :(i) Pour tout x 2 U la suite (f

n

(x))

n2N

converge vers f(x) dans F .(ii) La suite (f

n

) converge uniformément sur toute partie bornée de U .(iii) La fonction limite f est différentiable sur U et df = g.

Démonstration. En effet, le Théorème des accroissements finis (Théorème I.2.2, page précédente) appliqué aux fonctions fp

� f

q

enun point x

1

donne

kf

p

(x)� f

p

(x

1

)� (f

q

(x)� f

q

(x

1

))k � kx� x

1

k sup

y2U

kdf

p

(y)� df

q

(y)k (I.2.3)

ce qui montre immédiatement, en prenant x1

= x

0

, que kfp

(x)� f

q

(x)k tend vers zéro uniformément sur toute partie bornée de U . Lafonction limite f existe donc puisque F est supposé complet et elle est continue. Reste à voir que f est différentiable de différentielleg. Or, x

1

2 U étant fixé, on a, pour n 2 N,

kf(x)� f(x

1

)� g(x

1

) � (x� x

1

)k � kf(x)� f(x

1

)� (f

n

(x)� f

n

(x

1

)k

+ kf

n

(x)� f

n

(x

1

)� df

n

(x

1

) � (x� x

1

)k

+ kdf

n

(x

1

) � (x� x

1

)� g(x

1

) � (x� x

1

)k :

(I.2.4)

Soit " > 0. Le premier terme du second membre de (I.2.4) se majore par " kx� x

1

k pour n � n

0

d’après (I.2.3) (en faisant q = n

et p ! 1). Le troisième terme se majore par la même quantité d’après l’hypothèse, pour n0

assez grand. Fixons maintenant n � n

0

.Alors la différentiabilité de f

n

en x1

montre que, pour kx� x

1

k � h assez petit, le second terme se majore aussi par " kx� x

1

k.



I.2. THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS ET APPLICATIONS

COROLLAIRE.Soient U un ouvert connexe d’un espace normé E et (f

n

)

n2N

, une suite de fonctions de U dans un espacede Banach F vérifiant les conditions suivantes :

1. Il existe un point x0

2 U tel que la suite (fn

(x

0

)) converge dans F ;2. Pour tout x 2 U il existe une boule de centre x et de rayon > 0 sur laquelle la suite (df

n

)

n2N

convergeuniformément vers g ;

Alors, pour tout x 2 U , la suite (fn

(x))

n2N

a une limite f(x) dansF , tout point de U possède un voisinagesur lequel la suite (f

n

) converge uniformément vers f et f est différentiable sur U et df = g.

Démonstration. En effet, soit O l’ensemble des points x de U en lesquels la suite (fn

(x)) converge. Le Théorème précédent montreque O est ouvert et fermé, et comme O est non vide, on a O = U . Le reste de l’énoncé résulte du Théorème précédent.

THÉORÈME I.2.6.

SoientEi

, 1 � i � n, et F des espaces normés,E =

n

Y

i=1

E

i

, U un ouvert deE et f une application continue

de U dans F .1. Si les dérivées partielles df

x

i

(x), 1 � i � n, existent en tout point x de U et si, pour tout i, dfx

i

: U !

L (E

i

;F ) sont continues en un point x0 de U , alors f est différentiable en x0.2. Pour que f soit de classe C 1 dans U , il faut et il suffit que f ait des dérivées partielles df

x

i

(x) en toutpoint x de U et que les applications df

x

i

soient continues.

On peut naturellement donner un énoncé analogue lorsqueE est somme directe topologique de sous-espaces, en vertu de la PropositionI.1.9, page 5.

Démonstration. Montrons tout d’abord le 1., le 2. en sera une conséquence facile. D’après la Proposition I.1.7, page 4, il faut montrerque

f(x

1

; : : : ; x

n

)� f(x

0

1

; : : : ; x

0

n

)�

n

X

i=1

df

x

i

(x

0

) � (x

i

� x

0

i

)

est un o(

x� x

0

). Il suffit donc de montrer que, pour tout " > 0, il existe � > 0 tel que pour

x

j

� x

0

j

� �, 1 � j � n, on a, pour0 � i � n� 1,

f(x

0

1

; : : : x

0

i

; x

i+1

; : : : ; x

n

)� f(x

0

1

; : : : ; x

0

i+1

; : : : x

n

)� df

x

i+1

(x

0

) � (x

i+1

� x

0

i+1

)

� "

x

i+1

� x

0

i+1

: (I.2.5)

Or la différentielle de la fonction � 7! f(x

0

1

; : : : x

0

i

; �; x

i+2

; : : : x

n

)� df

x

i+1

(x

0

) � (� � x

0

i+1

) est, dans un voisinage de x0i+1

,

df

x

i+1

(x

0

1

; : : : x

0

i

; �; x

i+2

; : : : x

n

)� df

x

i+1

(x

0

);

et l’hypothèse de continuité de dfx

i

implique donc que, que pour

x

j

� x

0

j

� �, 1 � j � n,

� � x

0

i+1

� �, � assez petit, on a

df

x

i+1

(x

0

1

; : : : x

0

i

; �; x

i+2

; : : : x

n

)� df

x

i+1

(x

0

)

� ";

et, le Théorème des accroissements finis (Théorème I.2.2, page 7) implique (I.2.5).Le 2. se voit alors aisément : nous savons déjà que la condition est nécessaire (Proposition I.1.7, page 4). Réciproquement, si elle est

satisfaite, alors f est différentiable en tout point de U d’après le 1., et elle est de classe C 1 à nouveau d’après la Proposition I.1.7.

PROPOSITION I.2.2.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E et f une application de U dans F . Soit x

0

2 U . Si fest différentiable dans U et si df est continue en x

0

alors f est strictement différentiable en x0

.

Démonstration. En effet, si on pose g(x) = f(x) � f(x

0

) � df(x

0

) � (x � x

0

), g est différentiable et dg(x) = df(x) � df(x

0

).Par hypothèse, pour " > 0, il existe � > 0 tel que, pour kx� x

0

k � �, on a kdg(x)k � ". Alors le Corollaire du Théorème desaccroissements finis ( page 7) implique que g est "-lipschitzienne dans la boule kx� x

0

k � �.

Nous allons terminer cette sous-section en donnant un Théorème célèbre dont nous ne donnerons la démonstration que dans un casparticulier, la preuve générale étant difficile :

THÉORÈME I.2.7 (Théorème de Sard ).Soient U un ouvert de Rp et f une application de classe C 1 de U dans Rn . Soit C l’ensemble des points

critiques de f , c’est-à-dire l’ensemble des points x de U tels que le rang de df(x) soit < n (i.e. dim(df(R

p

)) <

n). Alors f(C) est de mesure (de Lebesgue !) nulle.



Démonstration. Comme nous l’avons dit nous ne faisons la démonstration que dans un cas particulier, pour la simplifier : nous nouscontentons du cas p = n. Par translation, il suffit de montrer que, si I = [0; 1℄

n, f(C \ I) est de mesure nulle. Soit x 2 C \ I . Puisquedf(x)(R

n

) est un sous-espace de dimension inférieure à n � 1, il existe un hyperplan P contenant df(x)(Rn). Soit " > 0 fixé. Pourtout y 2 B(x; "), le Théorème des accroissements finis (Théorème I.2.2, page 7) appliqué à la fonction u 7! f(u)� df(x) � u donne

f(y) = f(x) + df(x) � (y � x) + kt� xk b(");

oùkb(")k � sup

u2B(x;")

kdf(x)� df(u)k;

ce qui implique lim

"!0

b(") = 0 puisque df est uniformément continue sur le compact I . Comme f(x) + df((x) � (y � x) appartient

à l’hyperplan affine ~

P = f(x) + P , la distance de f(y) à ~

P est inférieure à "b("). Ceci montre que f(B(x; ")) est située entre lesdeux hyperplans affines dont la distance à ~

P est "b("). Une autre application du même Théorème des accroissements finis montre parailleurs que

kf(y)� f(x)k � sup

u2I

kdf(u)k ky � xk

de sorte que f(y) appartient à la boule de centre f(x) et de rayon �I

" où �I

= sup

u2I

kdf(u)k. Finalement, f(B(x; ") est contenu dans

un cylindre droit dont la base est l’intersection de ~

P avec la boule de centre f(x) et de rayon �I

" et la hauteur est 2"b("). Ainsi,f(B(x; ") est contenu dans un pavé de Rn dont les côtés parallèles à P sont de longueurs

p

n�

I

" et le côté perpendiculaire à P est delongueur 2"b("). Le volume d’un tel pavé est 2n(n�1)=2

�

n�1

I

"

n

b(").Découpons maintenant chacun des n côtés du pavé I en k parties égales : on obtient ainsi kn cubes de côté 1=k. Chacun de ces

cubes est contenu dans une boule (centré en l’un quelconque des points du cube) de rayon (

p

n)=k. D’après ce qui précède, si l’un deces cubes intersecte C alors son image par f est contenue dans un pavé de volume

2n

n�1=2

�

n�1

I

k

�n

b((

p

n)=k):

Comme il y a au plus kn tels cubes, on en déduit que f(C \ I) est contenu dans une réunion finie de pavés dont la somme des volumesest 2nn�1=2

�

n�1

I

b((

p

n)=k), quantité qui tend vers zéro lorsque k tend vers l’infini. Compte tenu des propriétés bien connues de lamesure de Lebesgue sur Rn cela signifie exactement que la mesure (de Lebesgue) de f(C \ I) est nulle, et la preuve du Théorème estachevée dans ce cas particulier.

C.Q.F.D.

SECTION I.3

Théorèmes d’inversion locale etdes fonctions implicites

SOUS-SECTION I.3.1

Le Théorème d’inversion locale

PROPOSITION I.3.1.Soient E et F deux espaces de Banach, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une fonction de U dansF . Supposons que f soit strictement différentiable en x

0

et que df(x0

) soit un isomorphisme de E sur F (i.e.df(x

0

) bijective, df(x0

) et df(x0

)

�1 continues (c.f. le commentaire qui suit la Définition I.3.1). Alors il existeun voisinage ouvert V de x

0

(contenu dans U ) et un voisinage ouvert W de y0

= f(x

0

) tels que f soit unhoméomorphisme de V sur W .

Démonstration. Soit f1

= (df(x

0

))

�1

Æ f : U ! E. Comme df(x0

) est linéaire, f1

est aussi strictement différentiable en x0

etdf

1

(x

0

) = id

E

. Soit 0 < k < 1. Il existe donc r > 0 tel que l’application x 7! '(x) = x � f

1

(x) soit lipschitzienne de rapport kdans la boule B(x

0

; r). Utilisons maintenant le Lemme suivant qui est une conséquence facile du Théorème du point fixe classique :

LEMME. Soient E un espace de Banach, x0

un point deE, r > 0 et g une fonction continue de la boule ouverteB(x0

; r) dans Etelle que la fonction x 7! (x) = x� g(x) soit lipschitzienne de rapport k < 1. Soit y

0

= g(x

0

). Alors, il existe un voisinage ouvertV de x

0

contenu dans B(x0

; r) tel que g soit un homéomorphisme de V sur la boule ouverte B(y0

; (1� k)r). De plus, l’applicationréciproque g�1 de cet homéomorphisme est lipschitzienne de rapport 1=(1� k).



I.3. THÉORÈMES D’INVERSION LOCALE ET DES FONCTIONS IMPLICITES

Démonstration du Lemme. En effet, considérons la fonction ~

(x) = (x) + y

0

� x

0

. Il est clair que ~

est lipschitzienne de rapport

k dans B(x0

; r) et ~

(x

0

) = 0. Par suite, pour x 2 B(x

0

; r) on a

~

(x)

� k kx� x

0

k � kr. Alors, si y 2 B(x

0

; (1 � k)r), la

fonction !(x) = y +

~

(x) est lipschitzienne de rapport k et vérifie

k!(x)� x

0

k � ky � x

0

k+

~

(x)

:

Ainsi, si on pose (1� k)r

1

= ky � x

0

k, ! est une fonction lipschitzienne de rapport k de la boule fermée �

B(x

0

; r

1

) dans elle même.Le Théorème du point fixe classique implique que ! a un unique point fixe dans cette boule fermée ce qui signifie que l’équation~

(x) = x� y a une unique solution dans la boule B(x0

; r). En d’autres termes, pour tout y 2 B(y0

; (1� k)r), l’équation g(x) = y

a une unique solution h(y) dans la boule B(x0

; r). Ceci définit donc une fonction h de B(y0

; (1� k)r) dans B(x0

; r) et comme

g(x)� g(x

0

)

�

x� x

0

�

(x)� (x

0

)

� (1� k)

x� x

0

;

on a

h(y)� h(y

0

)

�

1

1� k

y � y

0

;

ce qui montre en particulier que h est continue. Si alors on pose V = g

�1

(B(y

0

; (1� k)r)), V est un voisinage ouvert de x0

et h estl’inverse de la restriction à V de g.

Fin de la démonstration de la Proposition. D’après le Lemme, il existe un voisinage ouvert V de x0

tel que f1

soit un homéomorphismede V sur un voisinage ouvertW

1

de f1

(x

0

). Comme df(x0

) est un homéomorphisme de E sur F , f est un homéomorphisme de V surun voisinage ouvert W de y

0

.

On notera que dans la démonstration de la Proposition précédente on a simplement utilisé que E est complet. Mais l’hypothèse« df(x

0

) est un isomorphisme » implique que F est aussi complet.

DÉFINITION I.3.1.Soient E et F deux espaces normés, V un ouvert de E etW un ouvert de F . On dit que f est un difféomor-

phisme de classeC 1 de V surW si f est une bijection de classe C 1 de V surW et si son inverse f�1 : W ! V

est aussi de classe C 1.

Avant de poursuivre plus avant, faisons une remarque importante. Si E et F sont deux espaces normés, une application linéairecontinue bijective f de E sur F n’a pas nécessairement un inverse f�1 continu. Dans toute la suite nous appellerons isomorphismed’espaces normés (ou simplement isomorphisme) deE sur F une application linéaire continue bijective f telle que f�1 soit continue.Rappelons au passage que le Théorème d’isomorphie de Banach dit que, quand E et F sont des espaces complets, toute applicationlinéaire continue bijective est un isomorphisme.

PROPOSITION I.3.2.Soient E et F deux espaces normés, V un ouvert de E et W un ouvert de F . Soit f un homéomorphisme de

V sur W différentiable en x0

2 V . Pour que f�1 soit différentiable en f(x0

) il faut et il suffit que df(x0

) soitun isomorphisme. De plus, dans ce cas d(f�1)(f(x

0

)) = (df(x

0

))

�1.

Démonstration. La condition est clairement nécessaire (en utilisant la formule de différentiation d’une fonction composée), mon-trons donc qu’elle est suffisante. Par hypothèse on a f(x) � f(x

0

) = df(x

0

) � (x � x

0

) + kx� x

0

k "(x � x

0

), x 2 V , aveclim

x!x

0

"(x� x

0

) = 0, ce qui s’écrit encore

x� x

0

= (df(x

0

))

�1

� (f(x)� f(x

0

))� kx� x

0

k (df(x

0

))

�1

� "(x� x

0

);

soit encore, pour y 2W et en posant y0

= f(x

0

),

f

�1

(y)� f

�1

(y

0

) = (df(x

0

))

�1

� (y � y

0

)�

f

�1

(y)� f

�1

(y

0

)

(df(x

0

))

�1

� "(f

�1

(y)� f

�1

(y

0

)); (I.3.1)

d’où on tire

f

�1

(y)� f

�1

(y

0

)

�

1�

(df(x

0

))

�1

"(f

�1

(y)� f

�1

(y

0

))

�

�

(df(x

0

))

�1

ky � y

0

k ;

et comme lim

y!y

0

"(f

�1

(y)� f

�1

(y

0

)) = 0 (car f est un homéomorphisme), il vient

f

�1

� y)� f

�1

(y

0

)

� K ky � y

0

k, pour y

proche de y0

(pour une certaine constante K), ce qui prouve que le second terme du second membre de (??) est un o(ky � y

0

k) ettermine la démonstration.

PROPOSITION I.3.3.Soient E et F deux espaces normés, V un ouvert de E et W un ouvert de F . Soit f un homéomorphisme de

classe C 1 de V sur W . Pour que f soit un difféomorphisme de classe C 1 de V sur W il faut et il suffit que, pourtout x 2 V , df(x) soit un isomorphisme et alors d(f�1)(y) = (df(f

�1

(y))

�1, y 2W .



Démonstration. La Proposition I.3.2 montre que f�1 est différentiable en tout point deW . Il faut seulement voir que f�1 est de classeC

1 c’est à dire que y 7! (df(f

�1

(y)))

�1 est continue. Mais, comme df est supposée continue, ceci résulte du Lemme de la PropositionI.1.5, page 3.

THÉORÈME I.3.1 (Théorème d’inversion locale ).Soient E et F deux espaces de Banach, U un ouvert de E et f une application de classe C 1 de U dans F .

On suppose qu’il existe x0

2 U tel que df(x0

) soit un isomorphisme de E sur F . Alors il existe un voisinageouvert V de x

0

contenu dans U et un voisinage ouvert W de f(x0

) tels que f soit un difféomorphisme de classeC

1 de V sur W .

Démonstration. D’après la Proposition I.2.2, page 9, f est strictement différentiable en x0

, et la Proposition I.3.1, page 10, impliquequ’il existe un voisinage ouvert V 0

� U de x0

tel que f soit un homéomorphisme de classe C 1 de V 0 sur son image. CommeGL (E;F ) est ouvert (Proposition I.1.5, page 3) son image réciproque par df est ouverte dansE et contient x

0

par hypothèse. Il existedonc un voisinage ouvert V � V

0 de x0

tel que df(x) soit un isomorphisme pour tout x 2 V . Ainsi, si on pose W = f(V ), on estdans les conditions de la Proposition I.3.3, page précédente, ce qui termine la preuve.

COROLLAIRE.

Soient E et F deux espaces de Banach, U un ouvert de E et f une application de classe C 1 de U dans F .Pour que f soit un difféomorphisme de classe C 1 de U sur son image, il faut et il suffit que les deux conditionssuivantes soient remplies :

(i) f est injective ;(ii) pour tout x 2 U , df(x) est un isomorphisme.

Démonstration. Les conditions sont bien sûr nécessaires, voyons qu’elles sont suffisantes. En effet, le Théorème d’inversion localemontre que f est un application ouverte, donc f(U) est ouvert, et la Proposition I.3.3, page précédente, montre qu’il suffit de remarquerque f est un homéomorphisme. Or, par hypothèse, f est une bijection, et la continuité de f�1 résulte du fait que f est ouverte.

Remarque I.3.1. Le Théorème d’inversion locale que nous venons de voir redonne, bien sûr, le résultat classique en dimensionfinie : si E = F = R

n , f est un difféomorphisme local en un point x0

si et seulement si f est de classe C 1 au voisinage de x0

et leJacobien de f en x

0

est non nul.

Nous terminons cette sous-section par un résultat classique d’inversion globale :

THÉORÈME I.3.2 (Théorème de Hadamard-Lévy ).Soient E et F deux espaces de Banach et f une application de classe C 1 de E dans F . On suppose que,

pour tout x 2 E, df(x) est un isomorphisme et qu’il existe un nombre A > 0 tel que

(df(x))

�1

� A. Alors fest un difféomorphisme de E sur F (i.e. surjectif) de classe C 1.

Démonstration. La Proposition précédente nous dit qu’il suffit de montrer que f est bijective.Démontrons tout d’abord que f est surjective. Soient x 2 E et y 2 F . Soit : [0; 1℄ ! F tel que (0) = f(x)., t 2 [0; 1℄.

Par hypothèse, f est un difféomorphisme au voisinage de f(x) (Théorème I.3.1) ; il existe donc h > 0 et ~ : [0; h℄ ! E telle quef Æ ~ = . Soit A l’ensemble des t 2℄0; 1℄ tels qu’il existe ~ : [0; t℄ ! E tels que f Æ ~ = . A est donc non vide. Soit a laborne supérieure de A. Si 0 < t

1

< t

2

< a, et si ~ i

: [0; t

i

℄ ! E est continue et vérifie f Æ ~

i

= , i = 1; 2, l’ensemble dest 2 [0; t

1

℄ tels que ~

1

= ~

2

sur [0; t℄ est fermé (par continuité) et ouvert car f est un difféomorphisme local en tout point de E. Ils’en suit qu’il existe ~ : [0; a[! E telle que f Æ ~ = . De cette relation on tire d~ (t) = (df(~ (t))

�1

Æ d (t), et l’hypothèseimplique kd~ (t)k � A kd (t)k, 0 � t < a. Le Théorème des accroissements finis (Théorème I.2.2, page 7) entraîne donc que si0 � t

1

� t

2

< a, on a k~ (t1

)� ~ (t

2

)k � A sup

t

kd (t)k jt

1

� t

2

j. Ceci montre que si (tn

)

n

est une suite, dans [0; a[ qui converge

vers a, alors (~ (tn

))

n

est une suite de Cauchy dans E. Comme E est supposé complet, on conclut que ~ se prolonge par continuitéà [0; a℄. Alors si a < 1, f étant un difféomorphisme local en ~ (a), ~ peut se prolonger par f�1

Æ au-delà de a ce qui contredit ladéfinition de a. Ainsi f(~ (1) = (1). Si on choisit (t) = (1 � t)f(x) + ty, y 2 F quelconque, on obtient f(~ (1)) = y, ce quiconclut.

On notera que, au passage, on a montre que pour toute fonction : [0; 1℄ ! F telle que (0) 2 f(E), nous avons montré qu’ilexiste une unique fonction ~ : [0; 1℄! E telle que f Æ ~ = . De plus, ceci reste évidement vrai si on remplace [0; 1℄ par un segmentquelconque de R.

Montrons maintenant que f est injective. Soient x et x0 deux points de E tels que f(x) = f(x

0

). Soient ~ 1

(t) = (1 � t)x + tx

0

et 1

(t) = f Æ ~

1

(t). Posons '(s; t) =

s

(t) = s

1

(t), 0 � s � 1 et 't

(s) = '(s; t) de sorte que s

(0) =

s

(1). La premièrepartie de la preuve montre que, pour tout t 2 [0; 1℄, il existe une unique fonction continue ~'

t

: [0; 1℄ ! E telle que f Æ ~'

t

= '

t

.posons ~'(s; t) = ~'

t

(s) et ~ s

(t) = ~'(s; t). Remarquons que ~' est continue car, si (s1

; t

1

) 2 [0; 1℄

2, comme f�1 existe et est undifféomorphisme local au voisinage de '(s

1

; t

1

) (Théorème I.3.1), la fonction continue (s; t) = f

�1

Æ '(s; t) définit, pout t voisinde t

1

des fonctions t

vérifiant f Æ t

= '

t

, au voisinage de s1

. Alors l’unicité obtenue dans la première partie de la démonstrationmontre que

t

= ~'

t

au voisinage de s1

. Pour montrer que x = x

0, il nous suffit de montrer que, 8s 2 [0; 1℄, on a ~

s

(0) = ~

s

(1).Soit A l’ensemble des s 2 [0; 1℄ pour lesquels cette propriété est vraie sur [0; s℄. Comme f(x) = f(x

0

), k'(s; t)k � Ks, et comme



I.3. THÉORÈMES D’INVERSION LOCALE ET DES FONCTIONS IMPLICITES

f est un difféomorphisme local à l’origine (Théorème I.3.1), il existe h > 0 tel que h 2 A. Soit a > 0 la borne sutérieure de A. Parcontinuité de ~', on a a 2 A. Si a = 1, la preuve est terminée. Supposons donc a < 1. Comme ' est continue, il existe " > 0 eth > 0 tels que f�1 existe et soit un difféomorphisme local au voisinage de '([a� "; a+ "℄� ([0; h℄ [ [1� h; 1℄). Alors, si on pose (s; t) = f

�1

Æ '(s; t), pour (s; t) 2 [a� "; a + "℄� ([0; h℄ [ [1 � h; 1℄, on a (s; 0) = (s; 1) et l’unicité prouvée précédementmontre que (s; t) = ~

s

(t), ce qui contredit la maximalité de a.C.Q.F.D.

SOUS-SECTION I.3.2

Le Théorème des fonctions implicites

THÉORÈME I.3.3 (Théorème des fonctions implicites ).Soient E, F et G trois espaces de Banach, U un ouvert de E � F et f un fonction de classe C 1 de U dans

G. Soit (x0

; y

0

) un point de U . On suppose que f(x0

; y

0

) = 0 et que la différentielle partielle de f par rapport àla seconde variable au point (x

0

; y

0

), dfy

(x

0

; y

0

), est un isomorphisme de F sur G. Alors il existe un voisinageouvert V � U de (x

0

; y

0

), un voisinage ouvert W de x0

dans E et un fonction g de classe C 1 de W dans F telsque la relation

(x; y) 2 V; f(x; y) = 0

équivaut à la relationx 2 V; y = g(x):

Démonstration. Nous allons déduire ce Théorème du Théorème d’inversion locale. Considérons l’application f1

: U ! E � G

définie par f1

(x; y) = (x; f(x; y)), (x; y) 2 U . Cette application est de classe C 1 et sa différentielle en (x

0

; y

0

) est l’application(h; k) 7! (h; df

x

(x

0

; y

0

)�h+df

y

(x

0

; y

0

)�k). L’hypothèse faite sur dfy

(x

0

; y

0

) implique que df1

(x

0

; y

0

) est un isomorphisme, et onpeut lui appliquer le Théorème d’inversion locale (Théorème I.3.1, page ci-contre) : il existe un voisinage V de (x

0

; y

0

) contenu dans Uet un voisinageW

1

de (x0

; 0) = f

1

(x

0

; y

0

) dansE�G tels que f1

soit un difféomorphisme de classe C 1. Soit g1

le difféomorphismeréciproque. Il est nécessairement de la forme g

1

(x; z) = (x; ~g(x; z)), avec (x; z) 2 W

1

, ce qui définit une fonction de classe C 1, ~g,dans W

1

. Comme f1

et g1

sont des homéomorphismes réciproques, on a équivalence entre les deux relations suivantes :(a) (x; y) 2 V et f(x; y) = z ;(b) (x; z) 2W

1

et ~g(x; z) = y.Si on fait z = 0 dans (a), on trouve la première relation de l’énoncé. Soit alorsW l’ensemble des points deE tels que (x; 0) 2W

1

.Clairement W est un ouvert de E qui contient x

0

, et si on pose g(x) = ~g(x; 0), g est une fonction de classe C 1 dans W telle que larelation (b) pour z = 0 s’écrive x 2W et g(x) = y, ce qui termine la preuve.

On notera que l’ouvertW dont l’existence est prouvée par le Théorème des fonctions implicites n’est pas nécessairement connexe,mais il contient évidement une bouleB centrée en x

0

telle que la relation x 2 B, y = g(x), implique (x; y) 2 U et f(x; y) = 0. Dansun certain sens, g est la seule fonction qui possède cette propriété :

PROPOSITION I.3.4.

Dans les conditions du Théorème des fonctions implicites, et avec les même notations, soient W 0 un voisi-nage ouvert connexe de x

0

contenu dans W et h une fonction continue de W 0 dans F telle que�

h(x

0

) = y

0

; (x; h(x)) 2 U; 8x 2W

0

;

f(x; h(x)) = 0:

Alors h est la restriction à W 0 de la fonction g donnée par le Théorème des fonctions implicites.

Démonstration. En effet, soit A l’ensemble des points de W 0 tels que h(x) = g(x). On a donc x0

2 A et A est fermé car h et g sontcontinues. Montrons maintenant que A est ouvert dans W 0. Si A n’est pas ouvert dans W 0, il existe un point x de A et une suite (x

n

)

de points de W 0

n A qui converge vers x tels que h(xn

) 6= g(x

n

), pour tout n. L’équivalence du Théorème des fonctions implicitesmontre alors que (x

n

; h(x

n

)) =2 V pour tout n. Mais comme (x; h(x)) 2 V , ceci contredit la continuité de h en x. Comme A estconnexe, on a donc bien A =W

0.

La démonstration du Théorème des fonctions implicites montre que, si on oublie l’hypothèse f(x0

; y

0

) = 0, on a démontré lerésultat suivant :

THÉORÈME I.3.4 (Théorème des fonctions implicites ).Soient E, F et G trois espaces de Banach, U un ouvert de E, V un ouvert de F , x

0

un point de U , y0

unpoint de V et f une fonction de classe C 1 de U�V dansG. On suppose que df

y

(x

0

; y

0

) est un isomorphisme de



F sur G. Alors il existe un voisinage U1

de x0

, un voisinage W de f(x0

y

0

) et une unique fonction g de U1

�W

dans V telle que 8(x; z) 2 U1

�W on ait f(x; g(x; z)) = z.

COROLLAIRE.

Soient E et F deux espaces de Banach, U un ouvert de E, x0

un point de U et f une fonction de U dansF de classe C 1. On suppose que df(x

0

) est surjective et que E est somme directe topologique de ker(df(x

0

) etd’un sous-espace E

2

(qui est nécessairement complet). Alors f(U) contient un voisinage de f(x0

).

Démonstration. En effet, remarquons tout d’abord que E2

est nécessairement complet : si (xn

) est une suite de Cauchy dans E2

alors((0; x

n

)) est une suite de Cauchy dans ker(df(x0

)) � E

2

= E et, comme E est complet, elle converge vers x = (x

1

; x

2

) ; commeles projections sont continues par hypothèse, on doit avoir x2 = limx

n

. Ceci étant remarqué, le corollaire suit immédiatement leThéorème une fois identifié E avec le produit ker(df(x

0

)�E

2

: f(U) contient le voisinage W de f(0; x0

).

SECTION I.4

Différentielles d’ordre supérieurs

SOUS-SECTION I.4.1

Différentielles secondes

DÉFINITION I.4.1.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f : U ! F une fonction. Ondit que f est deux fois différentiable en x

0

si f différentiable dans un voisinage ouvert V � U de x0

et si ladifférentielle df : V ! L (E;F ) est différentiable en x

0

. La différentielle de df en x0

est notée d2f(x0

) (ouf

00

(x

0

)) et s’appelle la différentielle seconde de f au point x0

. C’est une application linéaire continue deE dansL (E;F ), c’est-à-dire un élément deL (E;L (E;F )). On dit que f est deux fois différentiable dans U si elleest différentiable en tout point de U et si df est aussi différentiable en tout point de U , et on note d2f l’applicationx 7! d

2

f(x) de U dansL (E;L (E;F )) et on appelle différentielle seconde de f cette application. On dit quef est de classe C 2 dansU si elle est deux fois différentiable dans U (i.e. en tout point de U ) et si d2f est continuede U dans l’espace norméL (E;L (E;F )), et on note f 2 C 2

(U).

Rappelons que l’espace L (E;L (E;F )) s’identifie canoniquement et isométriquement à l’espace L (E;E;F ) des formes bili-néaires continues sur E � E par l’application u 7! ~u où ~u(h; k) = (u � h) � k.

On identifie alors toujours la différentielle seconde d2f(x0

) à la forme bilinéaire continue obtenue par cet isomor-

phisme c’est-à-dire à la forme bilinéaire continue (h; k) 7! (df

2

(x

0

) � h) � k que l’on écrit alors d2f(x0

) � (h; k).

La définition ci-dessus et l’identification précédente montrent que

PROPOSITION I.4.1.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f : U ! F une fonction. Alorsf est deux fois différentiable en x

0

si elle est différentiable dans un voisinage de x0

et s’il existe une applicationbilinéaire continue g de E �E dans F telle que, pour khk assez petit, h; k 2 E, on a

df(x

0

+ h) � k � df(x

0

) � k � g(x

0

) � (h; k) = o(khk (khk+ kkk):

La propriété fondamentale qui justifie pleinement cette identification est la suivante :

THÉORÈME I.4.1.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f : U ! F une fonctiondeux fois différentiable en x

0

. Alors d2f(x0

) est une application bilinéaire continue symétrique. Autrement dit,d

2

f(x

0

) � (h; k) = d

2

f(x

0

) � (k; h), h; k 2 E.



I.4. DIFFÉRENTIELLES D’ORDRE SUPÉRIEURS

Démonstration. Posons A(h; k) = f(x

0

+ h+ k)� f(x

0

+ h)� f(x

0

+ k) + f(x

0

).Démontrons tout d’abord que

A(h; k)� d

2

f(x

0

) � (k; h)

= o((khk+ kkk)

2

) (I.4.1)

En effet, si on écrit

A(h; k)� d

2

f(x

0

) � (k; h)

� kA(h; k)� df(x

0

+ k) � h+ df(x

0

) � hk

+

df(x

0

+ k) � h� df(x

0

) � h� d

2

f(x

0

) � (h; k)

; (I.4.2)

le second terme du second membre de cette inégalité est un o(kkk (khk + kkk) par la Proposition précédente, et, le premier s’écritk (h)� (0)k où (x) = f(x

0

+k+x)�f(x

0

+x)�df(x

0

+k)�x+df(x

0

)�x. En appliquant à le Théorème des accroissementsfinis (Théorème I.2.2, page 7), on majore ce terme par

khk sup

0�t�1

kdf(x

0

+ k + th)� df(x

0

+ th)� df(x

0

+ k) + df(x

0

)k : (I.4.3)

En écrivant df(x0

+k+ th)�df(x

0

+ th) = df(x

0

+k+ th)�df(x

0

)� (df(x

0

+ th)�df(x

0

)) = d

2

f(x

0

)� (k+ th)�d

2

f(x

0

)�

th+o(khk+ kkk), par la définition même de la différentielle seconde, on voit que (I.4.3) est un o(khk (khk+ kkk). Ainsi, la premiermembre de (I.4.2) est un o(khk (khk+ kkk)), ce qui montre (I.4.1).

Terminons maintenant la preuve du Théorème. Comme A(h; k) est symétrique, (I.4.1) donne

A(h; k)� d

2

f(x

0

) � (h; k)

= o((khk+ kkk)

2

);

et, par suite,

d

2

f(x

0

) � (h; k)� d

2

f(x

0

) � (k; h)

= o((khk+ kkk)

2

):

Alors, si h et k sont dans E de normes égales à 1, pour tout " > 0, il existe � > 0 tel que, pour j�j � � on a

d

2

f(x

0

) � (�h; �k)� d

2

f(x

0

) � (�k; �h)

� " j�j

2

(khk+ kkk)

2

;

ce qui, en simplifiant par j�j2 donne le résultat cherché.C.Q.F.D.

Remarque I.4.1. Dans le cas particulier où E = R, d2f(x0

) est une application bilinéaire de R

2 dans F . Elle s’écrit donc,(�; �) 2 R

2 , d2f(x0

) � (�; �) = ��d

2

f(x

0

) � (1; 1). On identifie toujours d2f(x0

) avec le vecteur de F d

2

f(x

0

) � (1; 1) ce quiredonne la notion usuelle de dérivée seconde dans le cas où F = R.

PROPOSITION I.4.2.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f : U ! F une fonction deuxfois différentiable en x

0

. Pour tout t fixé dans E, l’application x 7! df(x) � t, définie au voisinage de x0

estdifférentiable en x

0

de différentielle h 7! d

2

f(x

0

) � (h; t).

Démonstration. En effet, cette application est la composée de l’application linéaire u 7! u � t deL (E;F ) dans F et de l’applicationx 7! df(x) d’un voisinage de x

0

dansL (E;F ) (Proposition I.1.4, page 2 et Proposition I.1.5, page 3).

PROPOSITION I.4.3.

Soient Ei


n

Y

i=1

E

i

, U un ouvert de E, x0

un point de U et

f une fonction de U dans F deux fois différentiable en x0

. Alors, pour tout i, 1 � i � n, les différentiellespartielles df

x

i

sont différentiables en x0

. Pour tous i et j, 1 � i; j � n, dfx

i

admet une différentielle partiellepar rapport à x

j

, notée d2fx

i

x

j

(x

0

), qui est un élément de L (E

i

; E

j

;F ), et on a (d

2

f

x

i

x

j

(x

0

) � h

i

) � k

j

=

(d

2

f

x

j

x

i

(x

0

) � k

j

) � h

i

. De plus, pour tous h = (h

i

)

1�i�n

et k = (k

i

)

1�i�n

dans E, on a

d

2

f(x

0

) � (h; k) =

n

X

i=1

j=1

(d

2

f

x

i

x

j

(x

0

) � h

i

) � k

j

:

Démonstration. En effet, pour tout i, dfx

i

(x) = df(x) Æ u

i

où ui

(h

i

) = (0; : : : ; h

i

; : : : ; 0), hi

2 E

i

(Proposition I.1.7, page 4),ce qui montre que df

x

i


et que sa différentielle partielle par rapport à xj

en x0

est d2fx

i

x

j

(x

0

) = d

2

f(x

0

) Æ

(u

i

; u

j

).



Remarque I.4.2. 1. On a bien sûr un énoncé analogue pour les différentielles directionnelles lorsque E est somme directe topolo-gique de sous-espaces.

2. Dans le cas où dimE

i

= dimE

j

= 1, d2fx

i

x

j

(x

0

) est une application bilinéaire de K 2 dans F et on l’identifie toujours à savaleur au point (1; 1).

3. On notera que la Proposition ci-dessus (en particulier dans le cas du 2. ci-dessus) donne un résultat plus fort que le classiqueThéorème de Schwarz qui dit que les dérivées partielles secondes croisées sont égales lorsque la fonction est deux fois continûmentdérivable.

PROPOSITION I.4.4.

Soient Ei


n

Y

i=1

E

i


un point de U et f

une fonction de U dans F . Pour que f soit deux fois différentiable en x0

il suffit qu’elle admette des dérivéespartielles continues df

x

i

, 1 � i � n, en tout point d’un voisinage de x0

, et que les dérivées partielles secondesdf

x

i

x

j

(x), 1 � i; j � n, existent en tout point d’un voisinage de x0

et qu’elles soient continues en x0

.

Démonstration. Il suffit d’appliquer deux fois le Théorème I.2.6, page 9.

PROPOSITION I.4.5.

Soient Ei


n

Y

i=1

E

i

et f une application multilinéaire continue de

E dans F .1. Si n = 1, d2f = 0.2. Si n � 2, la différentielle seconde de f en x 2 E est donnée par la formule

d

2

f(x) � (h; k) =

X

i<j

f(�

ij

(x; h; k)) + f(�

ji

(x; k; h));

où �ij

(x; h; k) est le point de E dont toutes les coordonnées sont égales à celles de x sauf la i-ème qui est hi

etla j-ème qui est k

j

. En particulier, si n = 2, d2f est l’application constante qui à x fait correspondre la formebilinéaire symétrique continue (h; k) 7! f(h

1

; k

2

) + f(k

1

; h

2

).

Démonstration. C’est une conséquence immédiate des définitions et de la Proposition I.1.5, page 3.

Terminons ce paragraphe en donnant, à titre d’exercice le calcul de la différentielle seconde d’une fonction composée. Supposonsdonc que U soit un ouvert d’un espace normé E, V un ouvert d’un espace normé F , f une fonction de U dans V , g une fonction de Vdans un espace normé G, les deux fonctons f et g étant supposées deux fois différentiables, f en x

0

2 U et g en y0

= f(x

0

) 2 V . Ladifférentielle de g Æ f en x est donc d(g Æ f)(x) � h = dg(f(x) Æ df(x) � h. Ainsi d(g Æ f) est la composée de l’application bilinéaire (u; v) = u Æ v et de x 7! (dg(f(x); df(x)). Par des résultats que nous avons vus, on a donc

d(d(g Æ f))(x

0

) � h = (d(dg Æ f)(x

0

) � h; df(x

0

)) + (dg(f(x

0

); d

2

f(x

0

) � h);

ce qui donned

2

(g Æ f)(x

0

) � h = d

2

g(y

0

) Æ (df(x

0

) � h) Æ df(x

0

) + dg(y

0

) Æ d

2

f(x

0

) � h:

Ainsi :

PROPOSITION I.4.6.Dans les conditions ci-dessus, la différentielle seconde de g Æ f au point x

0

est donnée par la formule

d

2

(g Æ f)(x

0

) � (h; k) = d

2

g(y

0

) � (df(x

0

) � h; df(x

0

) � k) + dg(y

0

) � (d

2

f(x

0

) � (h; k)):

SOUS-SECTION I.4.2

Différentielles d’ordres supérieurs

Comme nous l’avons vu au paragraphe précédent, la différentielle seconde est une application bilinéaire symétrique continuede E � E dans F . Pour abréger les notations nous noterons S

2

(E;F ) l’espace des formes bilinéaires symétriques continues deE � E dans F et L

2

(E;F ) celui des formes bilinéaires continues de E � E dans F . Plus généralement, pour n 2 N

�

, mousnoteronsS

n

(E;F ) l’espace des formes multilinéaires f symétriques, c’est-à-dire telles que, pour toute permutation � de f1; : : : ; ng,f(x

�(1)

; : : : ; x

�(n)

) = f(x

1

; : : : ; x

n

), et continues de En dans F , et Ln

(E;F ) l’espace des formes multilinéaires continues de En

dans F . Par récurrence sur n, on déduit aussitôt la propriété suivante :




PROPOSITION I.4.7.L’espace L (E;L

n�1

(E;F )) s’identifie canoniquement et isométriquement à l’espace normé Ln

(E;F )

par l’application f 7! ~

f où ~

f(h

1

; : : : ; h

n

) = f(h

1

) � (h

1

; : : : ; h

n

).

Ces mises au point étant faites, nous pouvons généraliser aisément la notion de différerentielle seconde à celle de différentielled’ordre quelconque :

DÉFINITION I.4.2.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une application de U dansF . Par récurrence sur n, on dit que f est n fois, n � 1, différentiable au point x

0

si elle est n � 1 foisdifférentiable dans un voisinage de x

0

et si l’application x 7! d

n�1

f(x) d’un voisinage de x0

dansLn�1

(E;F )


. Dans ce cas, la différentielle de cette application s’appelle la différentielle (ou dérivée)d’ordre n de f en x

0

et se note dnf(x0

) (ou f (n)(x0

)) et c’est un élément de Ln

(E;F ). Lorsque f est nfois différentiable en tout point de U , l’application dnf : x 7! d

n

f(x) de U dans Ln

(E;F ) s’appelle ladifférentielle d’ordre n de f et se note dnf (ou f (n)). On dit que f est de classe C n dans U , et on écritf 2 C

n

(U), n � 1, si elle différentiable à l’ordre n dans (i.e. en tout point de) U et si dnf est continue. Parconvention, on dit qu’une fonction f de U dans F est de classe C 0 dans U , ce que l’on écrit f 2 C 0

(U), si elleest continue dans U . Une fonction f de U dans f qui appartient à C n

(U) pour tout n 2 N est dite de classe C1

dans U et on écrit f 2 C1(U).

THÉORÈME I.4.2.Soient E et F deux espace normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une fonction de U dans F n

fois différentiable au point x0

. Alors dnf(x0

) 2 S

n

(E;F ).

Démonstration. En effet, nous avons déjà vu ce résultat à la sous-section précédente pour n = 2 (Théorème I.4.1, page 14), démontronsle pour n � 2 par récurrence. Supposons donc le résultat vrai pour n� 1. Comme dnf(x

0

) � (h

1

; : : : ; h

n

) = (d(d

n�1

f)(x

0

) � h

1

) �

(h

2

; : : : ; h

n

), dnf(x0

) est déjà un fonction symétrique des variables h2

, . . . , hn

. Comme toute permutation de f1; : : : ; ng est composéed’un nombre fini de transpositions dont chacune permute deux éléments consécutifs, il suffit de voir que dnf(x

0

) � (h

1

; h

2

; : : : ; h

n

)

ne change pas quand on échange h1

et h2

. Or, on a dnf(x0

) � (h

1

; h

2

; : : : h

n

) = (d

2

(d

n�2

f)(x

0

) � (h

1

; h

2

)) � (h

3

; : : : ; h

n

), et lerésultat découle encore du Théorème I.4.1.

Remarque I.4.3. Dans le cas particulier où E = R, dnf(x0

) est une application n-multilinéaire de R

n dans F . Elle s’écritdonc, (�

i

) 2 R

n , dnf(x0

) � (�

1

; : : : ; �

n

) = �

1

: : : �

n

d

2

f(x

0

) � (1; : : : ; 1). On identifie toujours dnf(x0

) avec le vecteur de Fd

n

f(x

0

) � (1; : : : ; 1) (ce qui redonne la notion usuelle de dérivée n-ième dans le cas où F = R) et x 7! d

n

f(x) devient uneapplication de U dans F .

On notera que si F est un espace produit (ou une somme directe topologique) alors une fonction f de U � E dans F est de classe C n

si et seulement si chacune de ses composantes est de classe C n.La démonstration de la Proposition suivante se fait aisément en utilisant la Proposition I.4.5, page ci-contre.

PROPOSITION I.4.8.

Soient Ei

, 1 � i � n et F des espaces normés et f une application multilinéaire continue de E =

n

Y

i=1

E

i

dans F . Alors f est de classe C1 sur E et on a :1. Pour p > n d

p

f est identiquement nulle.2. Si p � n, pour tous x 2 E et h = (h

1

; : : : ; h

n

) 2 E, on a

d

p

f(x) � (h

1

; : : : ; h

p

) =

X

I=fi

1

;:::;i

p

g

i

1

<:::<i

p

I�f1;:::;ng

X

� permutationde I

f(�

�(I)

(x; h));

où ��(I)

(x; h) désigne l’élément de E dont les coordonnées �i

sont �i

= x

i

si i =2 I et �i

= h

�(i)i

, la i-èmecoordonnée de h

�(i)

, si i 2 I . En particulier dnf est constante.

PROPOSITION I.4.9.Soient E, F et G des espaces normés, U un ouvert de E, V un ouvert de F , f une application de U dans

V et g une application de V dans G. Si f est n fois différentiable en x0

2 U et si g est n fois différentiableen y

0

= f(x

0

) alors h = g Æ f est n fois différentiable en x0

. De plus si f 2 C

n

(U) et g 2 C n

(V ) alorsg Æ f 2 C

n

(U).



Démonstration. Pour n = 1, ceci résulte de la Proposition I.1.4, page 2, la formule donnant la différentielle d’une fonction composéemontrant la dernière assertion de la Proposition dans ce cas. Pour le cas général, on raisonne par récurrence sur n. Supposons doncle résultat prouvé pour n � 1. Il faut donc voir que dh est n � 1 fois différentiable et, de classe C n�1 pour la dernière assertion.Or dh(x) = dg(f(x)) Æ df(x) ce qui peut s’écrire comme la composée de l’application x 7! (dg(f(x); df(x)) et de l’application(u; v) 7! uÆv. La seconde application est bilinéaire donc de classe C1 (Proposition précédente). Pour la première, il suffit de voir queses composantes sont n � 1 fois différentiables (ou de classe C n�1), ce qui est l’hypothèse pour la seconde et résulte de l’hypothèsede récurrence pour la première. La conclusion s’obtient en réutilisant l’hypothèse de récurrence.

PROPOSITION I.4.10.

SoientE et F deux espaces de Banach. L’application ' : GL (E;F )! L (F ;E) définie par '(u) = u

�1

est de classe C1 (c.f. Proposition I.1.5, 3., page 3). De plus, pour tout n � 1, toute u 2 GL (E;F ) et touth = (h

1

; : : : ; h

n

) 2 GL (E;F )

n, on a

d

n

'(u) � h = (�1)

n

X

� permutationde f1;:::;ng

u

�1

Æ h

�(1)

Æ u

�1

Æ : : : Æ u

�1

Æ h

�(n)

Æ u

�1

:

Démonstration. Nous avons déjà vu que ' est de classe C 1 (Proposition I.1.5, page 3) et que d'(u) = ('(u); '(u)) où estdéfinie par (v;w) � h = �v Æ h Æ w. Montrons qu’elle est de classe C n en raisonnant encore une fois par récurrence sur n :supposons donc le résultat prouvé pour n � 1, et voyons que d' est de classe C n�1. Cela est fort simple : d' est la composée del’application u 7! ('(u); '(u)) qui est de classe C n�1 par hypothèse de récurrence, et de l’application bilinéaire qui est de classeC

1 (Proposition I.4.8), et il suffit d’appliquer la Proposition précédente. Pour voir la formule on procède de la manière suivante : soit

n

l’application multilinéaire continue définie par

n

(u

1

; : : : ; u

n+1

) � (h

1

; : : : h

n

) = (�1)

n

X


u

1

Æ h

�(1)

Æ u

2

Æ : : : Æ u

n

Æ h

�(n)

Æ u

n+1

:

On doit donc montrer que dn'(u) � h =

n

('(u); : : : ; '(u)) � h. On fait alors ceci par récurrence sur n sans grande difficulté. Lesdétails sont laissés au lecteur.

DÉFINITION I.4.3.Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E et f une fonction de U dans F . On dit que f est un

difféomorphisme de classe C n (resp. C1) de U dans F , si f est bijective si f et f�1 sont toutes deux de classeC

n (resp. C1).

PROPOSITION I.4.11.Soient E et F deux espaces de Banach, V un ouvert de E, W un ouvert de F et f un difféomorphisme de

classe C 1 de V sur W . Alors, si f est de classe C n (resp. C1), f�1 l’est aussi (i.e. f est un difféomorphismede classe C n (resp. C1)).

Démonstration. En effet, on sait que d(f�1

)(y) = (df(f

�1

(y))

�1. Il en résulte que d(f�1

) est la composée des applications f�1

;

df et u 7! u

�1, les deux premières étant de classe C n�1 si f est de classe C n, et la dernière étant de classe C1 (Proposition I.4.10).Raisonnons alors par récurrence sur n. Supposons le résultat vrai pour n� 1, alors f�1 est de classe C n�1 ce qui conclut.

COROLLAIRE 1.Soient E et F deux espaces de Banach, V un ouvert de E, W un ouvert de F et f un homéomorphisme de

classe C n (resp. C1) de V sur W . Si, pour tout x 2 V , df(x) est un isomorphisme alors f est un difféomor-phisme de classe C n (resp. C1).

Démonstration. Il suffit d’appliquer la Proposition précédente et de la Proposition I.3.3, page 11.

COROLLAIRE 2.Dans les conditions du Théorème d’inversion locale (Théorème I.3.1, page 12), si f est de classe C n (resp.

C

1) alors f est un difféomorphisme de classe C n (resp. C1) de V sur W .

COROLLAIRE 3.Dans les conditions du Théorème des fonctions implicites (Théorème I.3.3, page 13), si f est de classe C n

(resp. C1) alors l’application g : W ! F est aussi de classe C n (resp. C1).




PROPOSITION I.4.12.

Soient Ei

, 1 � i � n, et F des espaces normés, U un ouvert de E =

n

Y

i=1

E

i

, x0

2 U et f une fonction

de U dans F de classe C p au point x0

. Alors, pour tout fj1

; : : : ; j

p

g � f1; : : : ; ng, f admet des dérivéespartielles d’ordre p au point x

0

, dpfx

j

1

:::x

j

p

(x

0

) qui sont des éléments de L (E

j

1

; : : : ; E

j

p

;F ) vérifiant, pourtous h

i

= (h

i;j

)

1�j�n

, 1 � i � p,

(: : : (d

p

f

x

i

1

:::x

i

p

(x

0

) � h

1;i

1

) � : : :) � h

p;i

p

= (: : : (d

p

f

x

i

�(1)

:::x

i

�(p)

(x

0

) � h

�(1);i

�(1)

) � : : :) � h

�(p);i

�(p)

;

pour toute permutation � de f1; : : : ; pg, et on a

d

p

f(x

0

) � (h

1

; : : : h

p

) =

X

fj

1

;:::;j

p

g�f1;:::;ng

(: : : (d

p

f

x

j

1

:::x

j

p

(x

0

) � h

1;j

1

) � : : :) � h

p;j

p

):

Démonstration. Ceci se démontre par récurrence sur p comme la Proposition I.4.3, page 15.

Par abus de notation, on écrit usuellement dpfx

j

1

:::x

j

p

(x

0

) = d

p

f

x

j

�(1)

:::x

j

�(p)

(x

0

) pour toute permutation � de f1; : : : ; pg.

Remarque I.4.4. Dans le cas où dimE

j

i

= 1, 1 � i � p, dpfx

i

1

:::x

i

p

(x

0

) est une application multilinéaire de K

p dans Fet, comme pour les dérivées partielles secondes, on l’identifie toujours à sa valeur sur (1; : : : ; 1). De plus, dans ce cas, grâce à l’in-variance par permutation des indices, on écrit plus simplement dpf

x

�

1

1

:::x

�

n

n

(x

0

) ou même, encore plus simplement, d�f(x0

), où

� = (�

1

; : : : ; �

n

) est un multi-indice tel que j�j =n

X

i=1

�

i

= p.

De plus, toujours dans ce cas particulier où les Ej

sont de dimension 1, en regroupant les dérivées partielles en fonctions desmultiindices �, on trouve l’expression classique de la différentielle des fonctions définies sur un ouvert de Rn à partir des dérivéespartielles :

PROPOSITION I.4.13.Soient U un ouvert de Rn et f une fonction, de U dans un espace normé F , p fois différentiable en x

0

2 U .Alors, avec les notations de ci-dessus, on a :

d

p

f(x

0

)(h)

p

=

X

�=(�

1

;:::;�

n

)2N

n

j�j=p

p!

�!

d

�

f(x

0

)(h)

�

;

où (h)

p

= (h; : : : ; h), (h)� = h

�

1

1

: : : h

�

n

n

, �! = �

1

! : : : �

n

! et j�j =n

X

i=1

�

i

.

Démonstration. Ceci se voit facilement par récurrence sur p : supposons la formule vraie pour p et montrons la pour p + 1. Endifférentiant la formule à l’ordre p, il vient

d

p+1

f(x

0

) � (h)

p+1

=

X

�

n

X

i=1

d

i

(d

�

f)(x

0

)h

i

(h)

�

;

ce qui donne bien, en regroupant les dérivées partielles une formule similaire à celle que l’on cherche. Il faut simplement vérifier que,tous calculs faits, on trouve le bon coefficient. Or, di(d�f) = d

�

f , avec � de longueur p + 1, si et seulement si (�1

; : : : ; �

n

) =

(�

1

; : : : ; �

i

+ 1; : : : ; �

n

) pour un certain i tel que �i

6= 0. Ainsi le regroupement donne

d

p

f(x

0

)(h)

p

=

X

j�j=p+1

0

�

X

�

i

6=0

p!

�

1

! : : : (�

i

� 1)! : : : �

n

!

1

A

d

�

f(x

0

)(h)

�

;

ce qui donne immédiatement le résultat.

PROPOSITION I.4.14.

Soient Ei


n

Y

i=1

E

i


un point de U et f une

fonction de U dans F . Pour que f soit p fois différentiable en x0

, il suffit qu’elle admette des dérivées partiellesd

p

f

x

j

1

:::x

j

p

(x) continues au voisinage de x0

, pour tous fj1

; : : : ; j

p

g � f1; : : : ; ng.



Démonstration. Il suffit de raisonner par récurrence sur p (c.f. Proposition I.4.4, page 16) en utilisant la Proposition précédente.

Naturellement, on a des énoncés analogues (avec les différentielles directionnelles d’ordre p) à ceux des deux Propositions précé-dentes lorsque E est somme directe topologique de sous-espaces.

SECTION I.5

Formule de Taylor,développements limités

SOUS-SECTION I.5.1

La formule de Taylor

PROPOSITION I.5.1.Soient U un ouvert de R, F un espace normé et f une fonction n+ 1 fois différentiable de U dans F . Alors

d

dt

�

f(t) + (1� t)df(t) + : : :+

1

n!

(1� t)

n

d

n

f(t)

�

=

1

n!

(1� t)

n

d

n+1

f(t);

où la fonction entre parenthèse est considérée de U dans F (c.f. Remarque I.4.3, page 17) etd

dt

désigne la

différentielle au point t.

Démonstration. C’est un cas particulier du Lemme suivant :

LEMME. Soient E, F et G trois espace normés, U un ouvert de R, u une application de U dans E, v une application de U dansF et ' une application bilinéaire continue de E � F dans G. Alors l’application

t 7!

n

X

p=0

(�1)

p

'(d

p

u(t); d

n�p

v(t))

de U dans F a pour dérivée

t 7! '(u(t); d

n+1

v(t)) + (�1)

n

'(d

n+1

u(t); v(t)):

Preuve du Lemme. Ceci se voit très facilement à partir du Corollaire de la Proposition I.1.6, page 4.

Preuve de la Proposition. Il suffit d’appliquer le Lemme avec E = R, G = F , '(t; y) = ty, y 2 F et u(t) =1

n!

(1� t)

n.

Nous allons maintenant avoir besoin de la notion d’intégrale d’une fonction de variable réelle à valeurs dans un espace de Banach.Sans entrer dans les détails, précisons un peu ce point.

Soit I un intervalle de R, F un espace de Banach et f une fonction de I dans F . On peut alors considérer les sommes de Riemann,dans F , associées à f sur I . Comme dans la définition de l’intégrale de Riemann, on définit alors la notion de fonction f définie surI et à valeur dans F intégrable au sens de Riemann . Il est alors clair que si I est fermé et f continue, par continuité uniforme, elle

est intégrable au sens de Riemann, et que, si on considère la fonction x 7!Z

x

a

f(t)dt, elle est dérivable (différentiable) sur l’intérieur

de I de dérivée en x égale à f(x). En particulier, si f est dérivable et I = [a; b℄, on a f(b)� f(a) =

Z

b

a

f

0

(t)dt. On peut aussi, plus

simplement, ne considérer (cela nous suffira) que les fonctions réglées :On dit qu’une fonction f d’un segment I de R dans un espace de Banach F est réglée si elle est limite uniforme, sur I , de fonctions

en escalier c’est-à-dire de fonctions h de la forme suivante : il existe une subdivision finie (ai

)

1�i�n

de I = [a; b℄, a1

= a, an

= b, telleque, sur ℄a

i

; a

i+1

[, h soit constante (on ne s’interrese pas à la valeur de h aux points de la subdivision). On définit ensuite l’intégrale

d’une fonction en escalier h parZ

b

a

h(t)dt =

n�1

X

i=1

h

i

(a

i+1

� a

i

) 2 F où hi

2 F est la valeur prise par h sur ℄ai

; a

i+1

[. On verifie

alors facilement que si h1

et h2

sont deux fonctions en escalier, alors h1

� h

2

en est une aussi (quitte à changer les subdivisions) et



I.5. FORMULE DE TAYLOR, DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

Z

b

a

(h

1

(t)� h

2

(t))dt

� (b� a) sup

t2I

kh

1

(t)� h

2

(t)k. De là, on déduit que si f est une fonction de I dans F qui est limite uniforme

d’une suite (hn

) de fonctions en escalier alors la suite

�

Z

b

a

h

n

(t)dt

�

n

est de Cauchy dans F et donc converge (puisque F est supposé

complet) et sa limite ne dépends pas de la suite (h

n

) convergeant vers f choisie. C’est cette limite que l’on appelle l’intégrale de f .Naturellement, les fonctions continues sur un segment I sont uniformément continues (I est compact) et donc limites uniformes defonctions en escalier. Cette méthode permet donc de définir l’intégrale des fonctions continues à valeurs dans l’espace de Banach F , et

la propriété de différentiabilité de x 7!Z

x

a

f(t)dt est une conséquence immédiate des propriétés de base de l’intégrale ainsi définie.

PROPOSITION I.5.2.

Soient U un ouvert de R contenant [0; 1℄, F un espace de Banach et f une fonction de U dans F de classeC

n+1. Alors

f(1) = f(0) + df(0) +

1

2!

d

2

f(0) + : : :+

1

n!

d

n

f(0) +

Z

1

0

(1� t)

n

n!

d

n+1

f(t)dt:

Dans cette formule les différentielles dpf(0) sont identifiées à un vecteur de F .

Démonstration. Cela résulte aussitôt de la Proposition précédente.

PROPOSITION I.5.3.

Soient U un ouvert de R contenant [0; 1℄, F un espace normé et f une fonction n+ 1 fois différentiable deU dans F . Supposons que

d

n+1

f(t)

�M , 1 � t � 1. Alors

f(1)� f(0)�

1

2!

d

2

f(0)� : : :�

1

n!

d

n

f(0)

�

M

(n+ 1)!

:

Démonstration. En effet, considérons les fonctions g(t) = �M

(1� t)

n+1

(n+ 1)!

et

v(t) = f(t) + (1� t)df(t) + : : :+

1

n!

(1� t)

n

d

n

f(t):

La Proposition I.5.1 dit que kdv(t)k �(1� t)

n

n!

d

n+1

f(t)

, ce qui donne kdv(t)k �(1� t)

n

n!

M = g

0

(t). Alors la conclusion ré-

sulte du Théorème des accroissements finis (Théorème I.2.1, page 6).

THÉORÈME I.5.1 (Formule de Taylor avec reste intégral ).Soient E un espace normé, F un espace de Banach, U un ouvert de E et f une application de classe C n+1

de U dans F . On suppose que le segment [x0

; x

0

+ h℄ est contenu dans U . Alors

f(x

0

+ h) = f(x

0

) + : : :+

1

n!

d

n

f(x

0

) � (h)

n

+

Z

1

0

(1� t)

n

n!

d

n+1

f(x

0

+ th) � (h)

n+1

dt;

où (h)

p

= (h; : : : h) 2 E

p, 1 � p � n+ 1.

Démonstration. En effet, considérons la fonction v(t) = f(x

0

+ th), t 2 [0; 1℄. Alors v est de classe C n+1 et on vérifie aisément,par récurrence, que, pour tout entier p, dpv(t) = d

p

f(x

0

+ th) � (h)

p (c.f. Proposition I.4.2, page 15). Le Théorème est donc un casparticulier de la Proposition I.5.2.

THÉORÈME I.5.2 (Formule de Taylor-Lagrange ).Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E et f une application n fois différentiable. Supposons

que, pour tout x 2 U on ait

d

n+1

f(x)

�M . Alors, pour h assez petit,

f(x

0

+ h)� f(x

0

)� : : :�

1

n!

d

n

f(x

0

) � (h)

n

�M

khk

n+1

(n+ 1)!

:

Démonstration. En effet, comme dans la preuve du Théorème précédent, il suffit d’appliquer la Proposition I.5.3.



THÉORÈME I.5.3 (Formule de Taylor-Young ).Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une fonction de U dans Fn� 1 fois différentiable dans U et n fois différentiable au point x

0

. Alors

f(x

0

+ h)� f(x

0

)� : : :�

1

n!

d

n

f(x

0

) � (h)

n

= o(khk

n

):

Démonstration. Pour n = 1, c’est exactement la définition de la différentiabilité. Procédons par récurrence sur n et supposons donc le

résultat vrai pour n�1. Soit '(h) = f(x

0

+ h)� : : :�

1

n!

d

n

f(x

0

) � (h)

n. Comme dpf(x0

) est une forme multilinéaire symétrique,

le Corollaire de la Proposition I.1.6, page 4, montre que la différentielle de l’application h 7! d

p

f(x

0

)�(h)

p au point h est l’applicationlinéaire

k 7! pd

p

f(x

0

) � (h; : : : ; h; k):

Si on note pdpf(x0

) � (h)

p�1 cette application (ce qui se justifie par la symétrie de dpf(x0

)), on obtient une expression de la différen-tielle de ' en h :

d'(h) = df(x

0

+ h)� df(x

0

)� : : :�

1

(n� 1)!

d

n

f(x

0

) � (h)

n�1

:

L’hypothèse de récurrence appliquée à df donne alors kd'(h)k = o(khk

n�1

), ce qui implique, par le Théorème des accroissementsfinis (Théorème I.2.2, page 7) que, pour tout " > 0, il existe � > 0 tel que, pour khk � �, on a k'(h)� '(0)k � " khk

n, ce quitermine la preuve.

Dans le cas d’une fonction définie sur un ouvert de Rn , la Proposition I.4.13, page 19, combinée aux formules de Taylor que nousvenons de donner, redonne la forme classique pour la partie principale :

PROPOSITION I.5.4.Dans les conditions de l’une des formules de Taylor ci-dessus, si E = R

n , on a, avec les notations de laProposition I.4.13,

f(x

0

+ h) =

X

j�j�n

(h)

�

�!

d

�

f(x

0

) + Reste;

où «Reste» est à remplacer par le reste correspondant à la formule considérée, et que l’on peut exprimer avecles même notations pour la formule avec reste intégral :

Reste = (n+ 1)

X

j�j=n+1

(h)

�

�!

Z

1

0

d

�

f(x+ th)(1� t)

n

dt:

SOUS-SECTION I.5.2

Développements limités

Pour pouvoir définir la notion de développement limité, il nous faut tout d’abord introduire celle de polynôme d’un espace vectorieldans un autre.

DÉFINITION I.5.1.Soient E et F deux espaces vectoriels sur K .1. On appelle polynôme homogène de degré n, n entier � 1, de E dans F une application ' de E dans F

de la forme '(x) = f(x; : : : ; x) où f est une application multilinéaire de En dans F . Par convention, on appellepolynôme homogène de degré zéro une fonction constante de E dans F .

2. On appelle polynôme de degré n (ou � n) de E dans F une somme de polynômes homogènes 'p

de Edans F de degrés p � n.

PROPOSITION I.5.5.1. Si ' : E ! F est un polynôme homogène de degré n, il existe une application multilinéaire symétrique

g : E

n

! F telle que '(x) = g(x; : : : ; x), x 2 E.2. Soient E, F , G et H trois espaces vectoriels sur K , ' : E ! F un polynôme homogène de degré p,

: E ! G un polynôme homogène de degré q et � : F �G! H une application bilinéaire. Alors

x 7! �('(x); (x))




est un polynôme homogène de degré p + q de E dans H . Cette propriété permet de définir le «produit» despolynômes ' et .

3. Plus généralement, si E, Fi

, 1 � i � n, et H sont des espaces vectoriels, 'i

: E ! F

i

, 1 � i � n, un

polynôme homogène de degré pi

, et � une application multilinéaire den

Y

i=1

F

i

dans G alors

x 7! �('

1

(x); : : : '

n

(x))

est un polynôme homogène de degrén

X

i=1

p

i

de E dans H .

Démonstration. Le 2. et le 3. sont évidents et le 1. se voit en considérant

g(x

1

; : : : ; x

n

) =

X


f(x

�(1)

; : : : ; x

�(n)

):

Il est utile de remarquer que la notion de polynôme introduite ici généralise la notion usuelle de polynôme à n variables. En effet,Eet F étant des espaces vectoriels, soit ' un polynôme homogène de degré p deEn dans F . Il existe donc une application f multilinéairesymétrique de (E

n

)

p dans F telle que, pour x 2 E

n, on a '(x) = f(x; : : : ; x). Écrivons ~x

i

= (0; : : : ; x

i

; : : : ; 0) 2 E

n pour toutx

i

2 E ; alors

'(x) =

X

(i

1

;:::;i

p

)2f1;:::;ng

p

f(~x

i

1

; : : : ~x

i

p

):

Comme f est symétrique, on peut «regrouper» les xi

j

d’indices égaux d’où :

PROPOSITION I.5.6.Soient E et F deux espaces vectoriels et ' un polynôme de degré p de En dans F . Pour 0 � i � p, il existe

une application multilinéaire fi

de (E

n

)

i dans F telle que

'(x) =

p

X

i=1

X

�=(�

1

;:::;�

n

)2f1;:::;ng

n

j�j=

P

�

j

=i

f

i

((x

1

)

�

1

; : : : ; (x

n

)

�

n

);

où

(x

i

)

�

i

= (

�

i

foisz }| {

(0; : : : ; x

i

; : : : ; 0); : : : ; (0; : : : ; x

i

; : : : ; 0)) 2 (E

n

)

�

i

:

En particulier, si E = K et F = C (U ;G) où U est un ouvert de K n et G un espace normé, on a

'(x) =

X

�=(�

1

;:::�

n

)2f1;:::;ng

n

j�j=

P

�

j

�p

�

(x)x

�

1

1

: : : x

�

n

n

;

x = (x

1

; : : : x

n

) 2 K

n , et où �

est une fonction continue de U dans G, ce qui donne la notion usuelle defonction polynômiale de U dans G lorsque les fonctions

�

sont constantes.

DÉFINITION I.5.2.Soient E et F deux espaces vectoriels sur K . Soit ' une application de E dans F , et, pour tout h 2 E, soit

�

h

' la fonction de E dans F définie par

�

h

'(x) = '(x+ h)� '(x):

1. On appelle différence (symétrique) seconde de ' relative aux points x1

et x2

de E la fonction�

x

1

�

x

2

' = �

x

2

(�

x

1

') qui vaut, au point x,

�

x

1

�

x

2

'(x) = '(x+ x

1

+ x

2

)� '(x+ x

1

)� '(x+ x

2

) + '(x):

En particulier, la notation est justifiée par le fait que �

x

1

�

x

2

' = �

x

2

�

x

1

'.2. Pour tout entier n � 2, on appelle différence (symétrique) n-ième de ' relative aux points x

1

,. . . , xn



de E la fonction �

x

1

: : :�

x

n

' = �

x

n

(�

x

1

: : :�

x

n�1

'). Explicitement, cette fonction est :

x 7!

X

0�p�n

i

1

<:::<i

p

1�i

j

�n

(�1)

n�p

'(x+ x

i

1

+ : : :+ x

i

p

):

En particulier, pour toute permutation � de f1; : : : ; ng, on a �

x

1

: : :�

x

n

' = �

x

�(1)

: : :�

x

�(n)

'.

PROPOSITION I.5.7.Soient E et F deux espaces vectoriels sur K , et

' =

n

X

i=1

'

i

un polynôme de degré n. Soit fn

: E

n

! F une application multilinéaire symétrique telle que 'n

(x) =

f

n

(x; : : : ; x). Alors :1. Pour tout h dans E, �

h

' est un polynôme de degré � n� 1.2. Pour tous x

1

,. . . , xn

dans E, �x

1

: : :�

x

n

' = n!f

n

(x

1

; : : : ; x

n

).

Démonstration. On démontre ceci par récurrence sur n. pour n = 1, on a �

h

'(x) = '

1

(h), ce qui montre le résultat dans ce cas.Supposons donc la Proposition vraie pour n�1. Vérifions tout d’abord le premier point : en tenant compte du fait que f

n

est symétrique,on a, en écrivant �

h

' = �

h

'

n

+�

h

('

0

+ : : :+ '

n�1

) et en utilisant l’hypothèse de récurrence,

�

h

'(x) = nf

n

(x; : : : ; x; h) + (x; h) (I.5.1)

où est, en x, un polynôme homogène de degré � n � 2, ce qui montre le 1. Vérifions maintenant le 2. En écrivant (I.5.1) pourh = x

n

2 E, on peut écrire �

x

n

' =

n�1

+ : : :

0

où i

est un polynôme homogène de degré i dépendant du paramètre xn

et,de plus, pour i = n� 1,

n�1

(x) = g

n�1

(x; : : : ; x) avec gn�1

(x

1

; : : : ; x

n�1

) = nf

n

(x

1

; : : : ; x

n�1

; x

n

). On applique maintenantl’hypothèse de récurrence à �

x

n

' : �x

1

: : :�

x

n�1

(�

x

n

') = (n� 1)!g

n�1

(x

1

; : : : x

n�1

) ce qui termine la preuve.

COROLLAIRE 1.La donnée d’un polynôme ' : E ! F détermine de manière unique les polynômes homogènes '

i

tels que

' =

n

X

i=0

'

i

.

Démonstration. En effet, c’est clairement vrai pour n = 0, et, si on suppose cela vrai pour n�1, la Proposition montre que ' détermineentièrement l’application multilinéaire symétrique f

n

, donc 'n

, et il suffit d’appliquer l’hypothèse de récurrence à '� '

n

.

De ce fait 'i

s’appelle la composante de degré i de '.

COROLLAIRE 2.

Étant donné un polynôme homogène 'n

de degré n, il existe une et une seule application multilinéairesymétrique f

n

: E

n

! F telle que 'n

(x) = f

n

(x; : : : ; x).

La notion de polynômes introduite ci-dessus est abstraite. Dans le cas où les espaces E et f sont des espaces normés, il faut voir ceque signifie qu’un polynôme est continu :

PROPOSITION I.5.8.

Soient E et F deux espaces normés et ' =

n

X

i=0

'

i

un polynôme de degré n. Pour tout i soit fi

l’application

multilinéaire symétrique de Ei dans f déterminée par 'i

(Corollaire 2 ci-dessus). Les conditions suivantes sontéquivalentes :

(i) Les applications fi

sont continues.(ii) Les polynômes homogènes '

i

sont continus.(iii) ' est continu.(iv) ' est continu à l’origine.(v) Il existe r > 0 tel que sup

kxk�r

k'(x)k < +1.

(vi) Pour tout r > 0, sup

kxk�r

k'(x)k < +1.




Démonstration. Il est clair que (i))(ii))(iii))(iv). Montrons que (iv) implique (i) par récurrence sur n. L’affirmation pour n = 0

étant triviale, supposons le résultat vrai pour n� 1. D’après la Proposition I.5.7, l’application fn

est1

n!

�

x

1

: : :�

x

n

' qui (d’après la

Définition I.5.2, page 23) est une somme d’expressions de la forme (à un facteur multiplicatif près) '(xi

1

; : : : ; x

i

p

) ; ces expressionsétant continues en zéro par hypothèse, il en est donc de même de f

n

qui est donc continue partout ce qui implique que 'n

est continue.Alors '� '

n

est continue en zéro et l’hypothèse de récurrence entraîne la continuité de tous les fi

, 0 � i � n� 1.L’implication (i))(vi) est très simple : d’après la carctérisation des applications multilinéaires continues, les f

i

sont bornées sur laboule fermée �

B(0; r) ce qui entraîne la même chose pour les 'i

et donc pour '. Comme (vi))(v) est évidente, il n’y a plus qu’à voirque (v))(i). On procède à nouveau par récurrence sur n. Pour n = 0 c’est évident, supposons donc le résultat obtenu pour n� 1. Leraisonnement est similaire aux précédents : si ' est bornée sur la boule �

B(0; r) alors il en est de même de fn

et, par suite, aussi de 'n

et on peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à '� '

n

.

DÉFINITION I.5.3.Soient E et f deux espaces normés, V un voisinage de zéro dans E, n un entier positif et f une fonction

de V dans F . On dit que f est tangente à zéro à l’origine à l’ordre n si kf(x)k = o(kxk

n

). On dit que deuxfonctions f

1

et f2

de V dans F sont tangentes à l’origine à l’ordre n si f1

� f

2

est tangente à zéro à l’origineà l’ordre n.

La Définition I.5.2, page 23 montre que :

PROPOSITION I.5.9.Dans les conditions de la Définition ci-dessus, si f est tangente à zéro à l’origine à l’ordre n, on a

k�

x

1

: : :�

x

n

f(0)k = o((kx

1

k+ : : :kx

n

k)

n

):

DÉFINITION I.5.4.Soient E et f deux espaces normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une fonction de U dans F . Ondit qu’un polynôme ' : E ! F de degré � n est un développement limité de f à l’ordre n au point x

0

si lafonction x 7! f(x

0

+ x) est tangente à l’origine à ' à l’ordre n. Autrement dit si

kf(x

0

+ x)� '(x)k = o(kxk

n

):

PROPOSITION I.5.10.Soient E et f deux espaces normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une fonction de U dans F . Si'

1

et '2

sont deux développements de f à l’ordre n en x0

alors '1

= '

2

.

Démonstration. C’est exactement le Lemme suivant :

LEMME. Si un polynôme de degré � n est tangent à zéro à l’origine à l’ordre n il est identiquement nul.

Preuve du Lemme. La preuve se fait par récurrence sur n. Supposons le Lemme montré pour n� 1. Si on pose ' =

n

X

i=0

'

i

, et si fn

est

l’application multilinéaire symétrique associée à 'n

, les Propositions I.5.7, page ci-contre et I.5.9 montrent que, pour " > 0 il existe� > 0 tel que, pour kx

1

k + : : : + kx

n

k � � on a kfn

(x

1

; : : : x

n

)k � "(kx

1

k + : : : + kx

n

k)

n. Comme fn

est multilinéaire, ceciimplique f

n

= 0, et, donc ' est un polynôme de degré � n � 1 qui est tangent à zéro à l’origine à l’ordre n � 1. L’hypothèse derécurrence donne le résultat.

PROPOSITION I.5.11.Soient E et f deux espaces normés, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une fonction de U dans F .Supposons que f admette un développement limité ' à l’ordre n en x

0

. Les conditions suivantes sont équiva-lentes :

(i) f est continue en x0

.(ii) ' est continu.

Démonstration. Ceci résulte de la Proposition I.5.8, page précédente.



PROPOSITION I.5.12.

Soient E et f deux espaces normés, U un ouvert de E, x0

un point de U et f une fonction continue de U

dans F . Supposons que f admette un développement à l’ordre n ' =

n

X

i=0

'

i

en x0

. Alors :

1. pour tout p � n,p

X

i=0

'

i

est le développement limité à l’ordre p de f en x0

.

2. Si fn

est la forme multilinéaire symétrique associée à 'n

, on a

k�

x

1

: : :�

x

n

f(x

0

)� n!f

n

(x

1

; : : : x

n

)k = o((kx

1

k+ : : :+ kx

n

k)

n

):

Démonstration. Pour montrer le 1., il suffit de voir que

n

X

i=p+1

'

i

(x)

= o(kxk

p

). Mais ceci est évident car ' est supposée continue

(Proposition I.5.8, page 24. Le 2. se déduit des Propositions I.5.9, page précédente, et I.5.7, page 24.

PROPOSITION I.5.13.

Soient E et F deux espaces normés, U un ouvert de E, x0

un point de U et f une fonction n fois différen-tiable au point x

0

de U dans F . Alors :

1. f admet un développement limité à l’ordre n en x0

' =

n

X

i=0

'

i

où 'i

(x) =

1

i!

d

i

f(x

0

) � (x)

i.

2. On ak�

x

1

: : :�

x

n

f(x

0

)� d

n

f(x

0

) � (x

1

; : : : x

n

)k = o((kx

1

k+ : : :+ kx

n

k)

n

):

Démonstration. C’est une conséquence de la formule de Taylor-Young (Théorème I.5.3, page 22) et de la Proposition précédente.

PROPOSITION I.5.14.Soient E, F , G et H des espaces normés, U un ouvert de E, V un ouvert de F .

1. Soient f et g deux applications de U dans F et x0

un point de U . Si f et g admettent un développementlimité à l’ordre n au point x

0

, il en est de même de f + g et son développement limité est la somme desdéveloppements de f et g.

2. Soient f une application de U dans F , g une application de U dans G, � une application bilinéairecontinue de F �G dansH et x

0

un point de U . Si f (resp. g) admet un développement limité ' (resp. ) àl’ordre n au point x

0

alors la fonction h de U dans H définie par h(x) = �(f(x); g(x)) (i.e. le «produit»de f et g) admet un développement limité à l’ordre n au point x

0

. Plus précisément, soit � le polynôme

définit par (c.f. Proposition I.5.5, page 22) �(x) = �('(x); (x)), et posons � =

2n

X

i=0

�

i

. Alors � =

n

X

i=0

�

i

est le développement limité à l’ordre n de h au point x0

.

3. Soient f une fonction de U dans V , g une fonction de V dans G, x0

un point de U et y0

= f(x

0

).

On suppose que f (resp. g) admet un développement limité à l’ordre n ' =

n

X

i=0

'

i

, '0

= y

0

, (resp.

=

n

X

i=0

i

) au point x0

(resp. y0

). Alors g Æ f admet un développement limité à l’ordre n, !, au point

x

0

donné par la formule !(x) = g Æ f(x

0

) +

n

X

j=1

0

�

X

i

1

+:::+i

j

�n

~

j

('

i

1

(x); : : : ; '

i

j

(x))

1

A, où ~

j

désigne

l’application multilinéaire symétrique (de F j dans G) associée à j

.

Démonstration. Le 1. est évident, vérifions le 2. On écrit f(x0

+ x) = '(x) + r(x) et g(x0

+ x) = (x) + s(x) où r et s sont deso(kxk

n

), et on a

�(f(x

0

+ x); g(x

0

+ x))� �('(x); (x)) = �('(x); s(x)) + �(r(x); (x)) + �(rx); s(x));

et, d’après la caractérisation des applications multilinéaires continues, le membre de gauche de l’égalité ci-dessus est un o(kxkn) ; onconclut en notant que �� est aussi un o(kxkn).




Montrons maintenant le 3. Comme précédemment écrivons f(x0

+ x) = '(x) + r(x) et g(y0

+ y) = (y) + s(y) où r (resp. s)est un o(kxkn) (resp. o(kykn)). Il est clair que s('(x) + r(x)) = o(kxk

n

), et, en posant h = g Æ f , il vient

h(x

0

+ x) = h(x

0

) +

n

X

j=1

j

n

X

i=1

'

i

(x) + r(x)

!

+ o(kxk

n

):

Chaque terme j

n

X

i=1

'

i

(x) + r(x)

!

est une somme de d’expressions de la forme ~

j

('

i

1

(x); : : : ; '

i

j

(x)), 1 � i

p

� n, ou

~

j

(: : : ; r(x); : : :), les seconds étant des o(kxkn). Pour conclure, il suffit de voir que ~

j

('

i

1

(x); : : : ; '

i

j

(x)) est un polynôme homo-gène de degré i

1

+ : : :+ i

j

ce qui résulte de la Proposition I.5.5, page 22.

COROLLAIRE.Soient E, F et G des espaces normés, U un ouvert de E, V un ouvert de F , f une fonction de U dans V ,

g une fonction de V dans G, x0

un point de U et y0

= f(x

0

). On suppose que f est n fois différentiable aupoint x

0

et que g est n fois différentiable au point y0

. Soit h = g Æ f . Pour 1 � p � n, soit p

(x) le polynômehomogène donné par la formule

p

(x) =

n

X

j=1

0

�

X

i

1

+:::+i

j

=p

1

j!

d

j

g(y

0

) �

�

1

i

1

!

d

i

1

f(x

0

) � (x)

i

1

; : : : ;

1

i

p

!

d

i

p

f(x

0

) � (x)

i

p

�

1

A

:

Alors la différentielle d’ordre p de g Æ f au point x0

est

d

p

(g Æ f)(x

0

) � (h

1

; : : : ; h

p

) =

1

p!

�

h

1

: : :�

h

p

:

Démonstration. C’est une conséquence immédiate de la Proposition précédente et de la Proposition I.5.7, page 24.

SOUS-SECTION I.5.3

Opérateurs différentiels

Soit U un ouvert de Kn . Rappelons (c.f. Remarque I.4.4, page 19) que, pour � = (�

1

; : : : ; �

p

) 2 f1; : : : ; ng

p, on note

d

�

f(x) = df

x

�

1

1

:::x

�

n

n

f(x):

DÉFINITION I.5.5.Soient U un ouvert de K n et F un espace normé. Si P est un polynôme à n variables de degré p et à

coefficients dans C (U ;F ),P (x) =

X

�=(�

1

;:::;�

n

)

j�j�p

�

(x)x

�

1

1

: : : x

�

n

n

;

on appelle opérateur différentiel associé àP ou opérateur différentiel linéaire l’applicationDP

de l’ensembledes fonctions p fois différentiables de U dans F définie par

D

P

f(x) =

X

�=(�

1

;:::;�

n

)

j�j�p

�

(x)d

�

f(x):

PROPOSITION I.5.15 (Formule de Leibnitz).Soient E, F et G trois espaces vectoriels, � une application bilinéaire de E � F dans G, U un ouvert de

K

n , f (resp. g) une fonction p fois différentiable de U dans E (resp. F ). Soit P un polynôme à n variables dedegré p à coefficients dans C (U ;G). Posons

P (x

1

+ y

1

; : : : ; x

n

+ y

n

) =

X

�;�

��

x

�

1

1

: : : x

�

n

n

y

�

1

1

: : : y

�

n

n

:



AlorsD

P

(�(f; g))(x) =

X

�;�

��

�(d

�

f(x); d

�

g(x)):

Démonstration. Il suffit clairement de montrer ceci lorsque P est un monôme ~

M(x) = x

�

1

1

: : : x

�

n

n

, j�j � p et �1

� 1. En raisonnantpar récurrence sur p, et en écrivant ~

M(x) = x

1

M(x), on a D~

M

= D

x

1

D

M

. En développant DM

(x + y) et en utilisant l’hypothèse

de récurrence, on peut écrire DM

�(f; g) =

X

k

k

�(D

M

0

k

f;D

M

00

k

g), où M 0

k

et M 00

k

sont des monômes d’où on déduit (Proposition

I.1.5, page 3)

D

~

M

�(f; g) =

X

k

k

(�(D

x

1

D

M

0

k

f;D

M

00

k

g) + �(D

M

0

k

f;D

x

1

D

M

k

g));

ce qui s’écrit encoreX

h

0

h

�(D

N

0

h

f;D

N

h

g), la sommation étant étendue aux couples de monômes (N 0

h

;N

00

h

) tels que N 0

h

= x

1

M

0

k

et N 00

h

=M

00

k

ou bien N 0

h

=M

0

k

et N 00

h

= y

1

M

00

k

pour un indice k. Ceci donne la Proposition.

SECTION I.6

Applications

SOUS-SECTION I.6.1

Maxima et minima relatifs

Dans toute cette sous-section on considère des fonction d’un ouvert U d’un espace normé E dans R.

DÉFINITION I.6.1.Soient E un espace normé, U un ouvert de E et f une fonction de U dans R. On dit que f admet un

minimum (resp. maximum) relatif en x

0

2 U s’il existe un voisinage V de x0

dans U tel que 8x 2 V ,f(x) � f(x

0

) (resp. f(x) � f(x

0

). De plus, on dit que ce minimum (resp. maximum) est strict si l’inégalité eststricte pour tout x 6= x

0

.

On dira que f admet un extremum relatif en x0

si elle admet un minimum ou un maximum relatif en ce point.

PROPOSITION I.6.1.Soient E un espace normé, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une fonction de U dans R. Si f estdifférentiable en x

0

et si elle admet un extremum relatif en x0

alors df(x0

) = 0.

Démonstration. En effet, pour h 2 E, la fonction t 7! f(x

0

+ th) (qui est définie pour jtj assez petit) admet un extremum relatif ent = 0 ce qui implique que sa dérivée en 0 est nulle. D’après la Proposition Proposition I.1.4, page 2, on a donc df(x

0

) � h = 0.

Rappelons maintenant quelques résultats élémentaires concernant les formes quadratiques. Soit ' un polynôme homogène de degré2 d’un espace vectorielE dans R (on appelle forme quadratique réelle sur E un tel polynôme). Il existe donc une unique forme bili-néaire symétrique ~' deE�E dansR telle que'(x) = ~'(x; x), et elle est donnée par la formule ~'(x

1

; x

2

) =

1

2

('(x

1

+ x

2

)� '(x

1

)� '(x

2

)).On dit que ' est positive (on écrit ' � 0) si '(x) � 0 pour tout x 2 E c’est à dire si ~'(x; x) � 0 8x (on dit aussi que ~' est positive).

Si E est un espace normé, et si ' est continue, alors ~' est une forme bilinéaire continue. Dans ce cas les notions algébriquesusuelles se définissent, pour nous, dans le cadre topologique :

DÉFINITION I.6.2.

SoientE un espace normé et ' une forme quadratique réelle continue surE. On dit que ' est non dégénéréesi la forme bilinéaire symétrique continue associée considérée comme application de E dans son dual E0 est unisomorphisme d’espaces normés (i.e. si l’application x 7! ~'

x

où ~'

x

(y) = ~'(x; y) est bijective et son inverse estcontinue).



I.6. APPLICATIONS

PROPOSITION I.6.2.Soient E un espace normé et ' une forme quadratique réelle continue sur E.1. Si ' est non dégénérée, la relation « ~'(x; y) = 0 8y 2 E» implique x = 0.2. Si ' est positive et non dégénérée il existe une constante � > 0 telle que, 8x 2 E, on a '(x) � � kxk

2.

Démonstration. Le 1. est évident, et, en dimension finie la réciproque est aussi vraie, mais ce n’est, en général, plus le cas en dimensioninfinie. Vérifions le 2. Soit x 7! ~'

x

l’isomorphisme de E dans E0 associé à '. Comme ' est non dégénérée, par définition, ilexiste une constante � > 0 telle que kxk � � k ~'

x

k ce qui se traduit par l’existence d’un y 2 E de norme inférieure à 1 tel quekxk � 2� j ~'(x; y)j. L’inégalité de Cauchy-Schwarz implique alors kxk2 � 4�

2

'(x)'(y) � M�

2

'(x), car, ' étant continu, elle estbornée sur la boule unité.

THÉORÈME I.6.1.Soient E un espace normé, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une fonction de U dans R. Si f est deuxfois différentiable en x

0

et si elle admet un minimum relatif en x0

alors df(x0

) = 0 et d2f(x0

) � 0.

Démonstration. En effet, d’après la Proposition I.6.1, page ci-contre, la formule de Taylor-Young (Théorème I.5.3, page 22) s’écrit icif(x

0

+x)� f(x

0

) =

1

2

d

2

f(x

0

) � (x; x)+ r(x), avec r(x) = o(kxk

2

). L’hypothèse implique donc que, pour x 2 E et jtj assez petit,d

2

f(x

0

) � (tx; tx) + 2r(tx) � 0, c’est-à-dire, en posant 2r(tx) = t

2

"(t; x), d2f(x0

) � (x; x) + "(t; x) � 0. Comme "(t; x) tendsvers zéro quand t tends vers zéro, le Théorème en résulte.

Bien sûr la réciproque de ce Théorème est fausse. On a seulement le résultat plus faible suivant :

THÉORÈME I.6.2.Soient E un espace normé, U un ouvert de E, x

0

un point de U et f une fonction de U dans R. Si f est deuxfois différentiable en x

0

et si df(x0

) = 0 et d2f(x0

) est positive et non dégénérée alors f admet un minimumstrict en x

0

.

Démonstration. En effet, la formule de Taylor-Young et la Proposition précédente implique qu’il existe une constante � > 0 telle que

f(x

0

+ x)� f(x

0

) �

�

�

2

+ "(x)

�

kxk

2

;

et, pour kxk assez petit, on a �=2 + "(x) > 0.

Remarque I.6.1. 1. On a bien sûr des énoncés analogues pour les maxima relatifs.2. Le Théorème ci-dessus donne une condition suffisante d’extémum. Mais cette condition n’est naturellement pas nécéssaire. Dans

de nombreux exemples, l’utilisation de la formule de Taylor avec reste intégral permet de conclure lorsque l’on ne sait pas si d2f(x0

)

est non dégénerée.

SOUS-SECTION I.6.2

C

k-conjugaison

DÉFINITION I.6.3.Soient E, F , E

1

et F1

des espaces normés, U (resp. U1

) un ouvert de E (resp. E1

), O (resp. O1

) un ouvertde F (resp. F

1

), f une fonction de U dans O et f1

une fonction de U1

dans O1

.1. On dit que f est C k-conjuguée à f

1

s’il existe des difféomorphismes de classe C k

' de U dans U1

et de O dans O

1

tels que f1

= Æ f Æ '

�1.2. Soient x

0

2 U et x1

2 U

1

. On dit que f est localement C k-conjuguée à f1

au voisinage de x0

et x1

s’ilexiste V � U (resp. W � O) un voisinage de x

0

(resp. f(x0

)) et V1

� U

1

(resp. W1

� O

1

) un voisinage de x1

(resp. f1

(x

1

)) tels que fjV

: V !W , f1jV

1

: V

1

!W

1

et fjV

est C k-conjuguée à f1jV

1

.

La notion de C k-conjugaison est facile à retenir en se souvenant des diagrammes commutatifs de la FIG. I.6.1, page suivante.Par exemple, tout C k-difféomorphisme est C k-conjugué à l’identité.Dans la suite de cette sous-section nous allons essentiellement considérer des espaces normés de dimension finie. Il est alors

particulièrement interressant d’essayer de réduire, par C k-conjugaison, une fonction donnée à une fonction de Kn dans Km . Pour cefaire, le langage de coordonnée locale est très commode.

SoitE un espace normé de dimension finie sur K , et U un ouvert deE. Si (ei

)

1�i�n

est une base deE, tout élement x de E s’écrit

de manière unique u =

n

X

i=1

u

i

e

i

, et, l’application u 7! (u

1

; : : : ; u

n

) est un isomorphisme de E sur Kn , si n est la dimension de E.

Pour tout i, soit xi

la fonction (linéaire) de E dans K définie par xi

(u) = u

i

. Alors, on dit que le n-uplet de fonctions (x1

; : : : ; x

n

)

est un système de coordonnées linéaires sur E. Plus généralement :



U O

U

1

O

1

f

f

1

'

f

1

= Æ f Æ '

�1

V W

V

1

W

1

f

jV

f

1jV

1

~'

~

f

1jV

1

=

~

Æ f

jV

Æ ~'

�1

FIG. I.6.1 – C k-conjugaison

DÉFINITION I.6.4.Soient E un espace normé de dimension finie U un ouvert de E et x

0

un point de U . On appelle système decoordonnées locales en x

0

de classe C k la donnée de dimE fonctions xi

de U dans K de classe C k telles quel’application x 7! (x

1

(x); : : : ; x

dimE

(x)) de U dans K dim E soit un difféomorphisme de classe C k au voisinagede x

0

. Lorsque les fonctions xi

sont linéaires, on dit que le système est linéaire.

Le Théorème d’inversion locale (Théorème I.3.1, page 12) implique aussitôt le critère suivant :

PROPOSITION I.6.3.

Soient E un espace normé de dimension finie et x0

un point de E. Une application de classe C k

x 7!

(x

1

(x); : : : ; x

n

(x)) d’un voisinage de x0

dans K n est un système de coordonnées locales de classe C k en x0

si et seulement si les formes linéaires dx1

(x

0

), . . . , dxn

(x

0

) forment une base de E0. En d’autres termes, si ledéterminant de la matrice jacobienne en x

0

associée à l’application est non nul.

Avant de poursuivre, précisons l’utilisation que l’on fait généralement des coordonnées locales en dimension finie. Supposons doncqueE est un espace normé de dimension finie n et F un espace normé de dimension finiem. Soit x

0

un point deE. Supposons que l’onsoit dans la situation suivante : il existe un voisinage U de x

0

dans E, f une application de classe C k de U dans F , V un voisinage dey

0

= f(x

0

) dans F tel que f(U) � V et ' : U ! R

n et : V ! R

m deux systèmes de coordonnées locales aux points x0

et y0

. Sion note ' = (x

1

; : : : ; x

n

) et = (y

1

; : : : ; y

m

), on dit que la fonction f1

: (x

1

; : : : x

n

) 7! (f

11

(x

1

; : : : x

n

); : : : ; f

1m

(x

1

; : : : ; x

n

))

définie par f1

= Æ f Æ '

�1, et qui est C k-conjuguée à f , est l’expression de f dans les coordonnées locales (xi

), (yi

).Reprenons l’exemple d’un C k-difféomorphisme d’un ouvert U d’un espace normé E de dimension n dans un espace normé F

de même dimension. Si x0

est un point de U , choisissons un système de coordonnées locales (y

1

; : : : ; y

n

) de classe C k en y0

=

f(x

0

). Alors le système (x

1

; : : : ; x

n

) où xi

= y

i

Æ f est clairement un système de coordonnées locales en x0

(composé de deuxdifféomorphisme) de classe C k. Clairement, l’expression de f dans les coordonnées locales (x

i

), (yi

) est l’application identique. Cecipeut se généraliser aisément au cas où la différentielle de f au point x

0

est soit surjective soit injective.

PROPOSITION I.6.4.Soient E et F deux espaces normés de dimensions finies de dimensions respectives n et m, U un ouvert de

E, x0

un point de U et f une application de classe C k, k � 1, de U dans F .1. Si df(x

0

) est surjective, f est localement C k-conjuguée à la projection canonique

(x

1

; : : : ; x

m

; : : : x

n

) 7! (x

1

; : : : ; x

m

)

de K n dans Km .2. Si df(x

0

) est injective, f est localement C k-conjuguée à l’injection canonique

(x

1

; : : : ; x

n

) 7! (x

1

; : : : ; x

n

; 0; : : : ; 0)

de K n dans Km .

Démonstration. Montrons tout d’abord le 1. Puisque df(x0

) est surjective on a n � m. Soit (y1

; : : : ; y

m

) un système de coor-données locales en f(x

0

). Posons xi

= y

i

Æ f 1 � i � m. Comme df(x0

) est surjective, les formes linéaires dxi

(x

0

), 1 �

i � m sont linéairement indépendantes et on peut trouver n � m formes linéaires xj

m + 1 � j � n sur E de sorte que(dx

1

(x

0

); : : : ; dx

m

(x

0

); x

m+1

; : : : ; x

n

) forme une base de E0. La Proposition précédente montre que (x

1

; : : : ; x

m

) est un systèmede coordonnées locales en x

0

ce qui termine ce cas.Vérifions maintenant le 2. Ici df(x

0

) est injective ce qui impose n � m. Soit (x1

; : : : ; x

n

) un système de coordonnées locales en x0

.PosonsF = df(x

0

)(E)�S et soit (x0n+1

; : : : ; x

0

m

) un système de coordonnées linéaires surS de sorte que (x1

; : : : ; x

n

; x

0

n+1

; : : : ; x

0

m

)

est un système de coordonnées locales au voisinage de (x0

; 0) dans U � S. Soit ' : U � S ! F la fonction définie par '(u; s) =f(u) + s de sorte que d'(x

0

; 0) � (h; k) = df(x

0

) � h + k, et, par suite, d'(x0

; 0) et un isomorphisme de sorte que ' est un dif-féomorphisme au voisinage de (x

0

; 0) (Théorème I.3.1, page 12). Posons ensuite yi

= x

i

Æ '

�1 pour 1 � i � n et yi

= x

0

i

Æ '

�1

pour n+ 1 � i � m. Clairement les formes linéaires dyi

(f(x

0

)), 1 � i � m, forment une base de F 0, ce qui, d’après la Proposition



I.6. APPLICATIONS

précédente montre que (y1

; : : : ; y

m

) est un système de coordonnées locales sur F en f(x0

). Par construction, on a yi

Æ f = x

i

pour1 � i � n et y

i

Æ f = y

i

Æ '(:; 0) = x

0

i

(0) = 0 pour n + 1 � i � m. L’expression de f dans les coordonnées (xi

) et (yi

) est doncbien l’injection canonique de Kn dans Km .

THÉORÈME I.6.3 (Théorème du rang constant ).Soient E et F deux espaces normés (considérés sur R) de dimensions finies, U un ouvert de E, x

0

un pointde U et f une application de classe C k de U dans F . Pour que f soit C k-conjuguée à une application linéaireen x

0

, il faut et il suffit que le rang de df(x) soit constant sur un voisinage de x0

.

Démonstration. La condition est évidement nécessaire, la différentielle d’une application linéaire étant égale à elle même en tout point.Démontrons qu’elle est suffisante. Par translation, on peut supposer que x

0

= 0, f(x0

) = 0, et, on peut choisir des coordonnéeslinéaires (x0

i

) sur E et (y0i

) sur F telles que, dans ces coordonnées, df(x0

) soit l’application (x01

; : : : ; x

0

n

) 7! (x

0

1

; : : : ; x

0

r

; 0; : : : ; 0), rétant le rang de df(x

0

). Nous identifions maintenant E à Rn et F à Rm par ces coordonnées. Soient fi

, 1 � i � m, les composantesde f et considérons l’application ' de U dans Rn définie par ' = (f

1

; : : : ; f

r

; x

0

r+1

; : : : ; x

0

n

). Le choix des coordonnées impliqueque d'(0) est l’identité, et, par le Théorème d’inversion locale (Théorème I.3.1, page 12), x

1

= f

1

, . . . , xr

= f

r

, xr+1

= x

0

r+1

,. . . , x

n

= x

0

n

est un système de coordonnées locales en 0. Par construction, l’expression de f dans les coordonnées (xi

) et (y0i

) est(x

1

; : : : ; x

n

) 7! (x

1

; : : : x

r

; F

r+1

(x); : : : ; F

m

(x)) où les Fj

sont des fonctions de classe C k de (x1

; : : : ; x

n

). La matrice jacobiennede cette application contient la matrice identité r�r, et comme son rang au voisinage de 0 est égal à r, tout bloc (r+1)�(r+1) que l’onen extrait est de déterminant nul. Par suite, les dérivées partielles de F

j

par rapport à toute i-ème coordonnées, i > r, sont nulles ce quimontre que les fonction F

j

ne dépendent pas de xr+1

, . . . , xn

. Posons alors y1

= y

0

1

, . . . , yr

= y

0

r

, yr+1

= y

0

r+1

� F

r+1

(y

1

; : : : y

r

),. . . , et y

m

= y

0

m

� F

m

(y

1

; : : : y

r

). Ceci nous définit clairement un nouveau système de coordonnées locales au point 0 = f(0) (carles fonctions définissant les y

i

en fonction des y0i

sont inversibles). Si on exprime alors la fonction f dans les coordonnées (xi

) et (yi

)

on trouve clairement (x1

; : : : ; x

n

) 7! (x

1

; : : : ; x

r

; 0; : : : ; 0) ce qui est le résultat cherché.

Nous avons vu ce que l’on peut dire, en termes de C k-conjugaison, lorsque df(x0

) est soit injective soit surjective. On peut se poserla question de savoir si l’on peut dire quelque chose quand df(x

0

) = 0. Sans hypothèse supplémentaire, il est facile de voir que l’onpeut avoir à peu près n’importe quoi. C’est pour cette raison que l’on introduit la notion de point critique non dégénéré :

DÉFINITION I.6.5.

Soient U un ouvert d’un espace normé (réel) et f une application de U dans R de classe C k, k � 2. Ondit que x

0

2 U est un point critique non dégénéré de f si df(x0

) = 0 et si d2f(x0

) est une forme bilinéairesymétrique non dégénérée (c.f. sous-section précédente).

Le Théorème suivant est un analogue des résultats précédents dans le cas des point critiques non dégénérés :

THÉORÈME I.6.4 (Lemme de Morse-Palais ).Soit f une fonction réelle de classe C k+2, k � 1, définie sur un voisinage de l’origine d’un espace de

Hilbert réel E.On suppose que 0 est un point critique non dégénéré de f . Alors il existe un difféomorphisme declasse C k, ', au voisinage de 0 tel que '(0) = 0 et f(x) = 1

2

d

2

f(0) � ('(x); '(x)), au voisinage de 0.

Démonstration. Elle est basée sur un Lemme dont la preuve est similaire à celle du Lemme utilisé pour la démonstration du Théorèmese Stone-Weierstrass :

LEMME. Soient E un espace de Banach et L 2 L (E) tel que kidE

� Lk < 1.Alors il existe une suite de polynômes en L quiconverge, dans l’espace de BanachL (E), vers un endomorphisme R, noté

p

L tel que R2

= L. De plus, il existe un voisinage U deid

E

tel que la fonction L 7!p

L soit un difféomorphisme de classe C1 de U sur son image.

Démonstration du Lemme. Définissons, par récurrence, une suite (A

n

) d’éléments de L (E) en posant A0

= 0, An+1

=

1

2

(id

E

�

L+ A

2

n

). Posons a = kid

E

� Lk < 1. Par récurrence on voit tout d’abord que kAn

k <

p

a : en effet, si cela est vrai au rang n, on akA

n+1

k �

1

2

(a+ a) <

p

a. remarquons ensuite que pour tout entier p � 1 on a An+p

� A

n

=

1

2

(A

2

n+p�1

� A

2

n�1

), et comme lesA

i

commutent deux à deux (ce sont des polynômes en L), il vient

A

n+p

�A

n

=

1

2

(A

n+p�1

�A

n�1

) Æ (A

n+p�1

+A

n�1

);

d’où on déduit kAn+p

�A

n

k <

p

a kA

n+p�1

�A

n�1

k. Par récurrence on obtient donc kAn+p

�A

n

k < (

p

a)

n+1. Ceci montreque la suite (A

n

) est de Cauchy dans L (E), et comme cet espace est complet, elle converge vers B 2 L (E). Alors R = id

E

� B

est l’endomorphisme cherché. De plus, on remarque que si L 2 B(id

E

; r), r < 1, alors, R 2 B(id

E

;

p

r). Reste à voir quel’endomorphisme R =

p

L ainsi construit à partir de L 2 B(id

E

; r) définit une application de classe C1 sur cette boule (pour rassez petit). soitQ l’application de classeC1 deL (E) dans lui même définie parQ(A) = A

2. Sa différentielle étant dQ(A) � h =

A Æ h+ h Æ A, il en résulta que dQ(id

E

) est inversible. Le Théorème d’inversion locale (Théorème I.3.1, page 12) entraîne donc queQ est un difféomorphisme de classe C1 (Proposition I.4.11, page 18) dans un voisinage U de id

E

. Si on prend r assez petit pourque B(id

E

; r) � U , l’application L 7!p

L que nous avons construite est nécessairement l’inverse de Q, ce qui termine la preuve duLemme.



Démonstration du Lemme de Morse-Palais. Nous pouvons supposer que U est une boule ouverte de centre 0. Appliquons la formulede Taylor avec reste intégral (Théorème I.5.1, page 21), tout d’abord à f puis ensuite à df , il vient successivement :

f(x) =

Z

1

0

df(tx) � xdt;

et

df(tx) =

Z

1

0

d

2

f(stx) � txds;

compte tenu des hypothèses, et, par suite

f(x) =

Z

1

0

Z

1

0

d

2

f(stx) � (x)

2

tdsdt:

Alors si on pose

g(x) =

Z

1

0

Z

1

0

d

2

f(stx)tdsdt;

on peut écrire f(x) = g(x) � (x)

2. Ainsi, g est une application de classe C k de U dans L (E;E;R) qui s’identifie canoniquementà L (E;E

0

). Alors, le Théorème sur la caractérisation du dual d’un espace de Hilbert entraîne l’existence de A(x) 2 L (E) tel que,pour tout h, k dans E on ait

g(x) � (h; k) = hA(x) � h; ki : (I.6.1)

En particulier, il vient1

2

d

2

f(0) � (x)

2

= g(0) � (x)

2

= hA(0) � x; xi ;

ce qui montre que A(0) est un isomorphisme puisque 0 est un point critique non dégénéré par hypothèse.Nous cherchons un difféomorphisme local ' tel que '(0) = 0 et f(x) = 1

2

d

2

f(0) � (x)

2 c’est-à-dire, d’après ce qui précède, telque

hA(x) � x; xi = hA(0) � '(x); '(x)i : (I.6.2)

Posons B(x) = A(0)

�1

Æ A(x). puisque g est continu, A l’est aussi (par sa définition même), et, quitte à réduire U; on peut supposerqueA(0)�1

ÆA(x) est suffisamment voisin de idE

de sorte que kidE

�B(x)k < 1 pour tout x 2 U . D’après le Lemme,B(x) possèdeune racine carréeR(x). Posons '(x) = R(x)�x, et vérifions que ' est le difféomorphisme cherché. Tout d’abord, ' est bien de classeC

k, d’après le Lemme, car g l’est etA et B aussi. On a bien '(0) = 0, et d'(x) �h = dR(x) � (h; x)+R(x) �h, h 2 E, et, par suited'(0) = R(0) = id

E

est un isomorphisme, ce qui entraîne, d’après le Théorème d’inversion locale (Théorème I.3.1, page 12) que ' estun difféomorphisme local. Pour finir, il nous reste à voir que ' vérifie (I.6.2). Comme d2f(z) est symétrique (Théorème I.4.1, page 14),il en est de même de g(x). La relation (I.6.1) montre alors que A(x) est égal à son adjoint, et, par suite, B(x)� = A(x) Æ A(0)

�1,soit B(x)� Æ A(0) = A(x) = A(0) Æ B(x). Clairement, dans cette dernière relation on peut remplacer B(x) par une puissancede B(x) et donc par un polynôme en B(x), et, comme, d’après le Lemme, R(x) est limite de polynômes en B(x), on peut aussiremplacer B(x) par R(x). Ainsi on a R(x)� Æ A(0) = A(0) Æ R(x). Alors, hA(0) � '(x); '(x)i = hA(0) Æ R(x) � x;R(x) � xi =

hR(x)

�

Æ A(0) Æ R(x) � x; xi d’où hA(0) � '(x); '(x)i = hA(0) Æ B(x) � x; xi ce qui est la relation (I.6.2).C.Q.F.D.

SOUS-SECTION I.6.3

Sous-variétés différentiables, extrema liés

DÉFINITION I.6.6.Soient E un espace de Banach et F un sous-espace fermé de E. On dit qu’une partie M de E est une sous-

variété (différentiable) de classeC k deE modelée sur F si tout point x de M possède un voisinage ouvertU telqu’il existe un difféomorphisme de classeC k, ', deU sur son image'(U) � E vérifiant '(U\M) = '(U)\F .Le couple (U; ') s’appelle une carte locale de M au voisinage de x. Si le sous-espace F est de dimension finied, on dit que la sous-variétéM est de dimension d. Si de plus E est aussi de dimension finie et que sa dimensionest n, on dit aussi que M est de codimension n� d.

Dans toute la suite, nous ne considérerons que le cas où E est un espace normé réel de dimension finie. Autrement dit nous neconsidérerons que des sous-variétés de Rn . Notre but est simplement de donner des définitions équivalentes des sous-variétés, ce quiest essentiellement une application du Théorème des fonctions implicites, et de définir le plan tangent à une sous-variété. Par la mêmeoccasion, nous donnerons, dans cette sous-section, le Théorème classique des extrema liés qui s’exprime particulièrement bien avec lelangage des sous-variétés.



I.6. APPLICATIONS

PROPOSITION I.6.5.Soient E un espace normé de dimension finie n et M une partie de E. Pour que M soit une sous-variété de

dimension d de classe C k de E, il faut et il suffit que tout point x 2M possède un voisinage ouvert U sur lequelsoient définies n� d fonctions f

i

: U ! R de classe C k, d+ 1 � i � n, telles que :(i) U \M est l’ensemble des zéros communs aux fonctions f

i

, d+ 1 � i � n ;(ii) les formes linéaires df

i

(x) sont linéairement indépendantes pour tout x 2 U .

Démonstration. Voyons tout d’abord que les conditions sont nécessaires. Identifions E à Rn = R

d

� R

n�d et F à Rd � f0g (choixde coordonnées linéaires). Alors si (U;') est une carte de M (comme dans la définition ci-dessus), et si (x

i

) sont les coordonnéescanoniques de Rn , les fonctions f

i

= x

i

Æ ', d + 1 � i � n, vérifient les conditions (i) et (ii). Réciproquement, supposons que lesconditions soient vérifiées en un point x de M . Soient f

i

1 � i � d, des formes linéaires sur E telles que

(f

1

; : : : ; f

d

; df

d+1

(x); : : : ; df

n

(x))

forment une base de E0. Il en résulte que (f1

; : : : ; f

n

) est un système de coordonnées locales au point x (Proposition I.6.3, page 30),et, par suite, l’application ' = (f

1

; : : : ; f

n

) d’un voisinage V de x dans Rn est un difféomorphisme vérifiant '(V \M) = '(V ) \

(R

d

� f0g).

COROLLAIRE 1.SoientE et F deux espaces normés de dimensions finies,U un ouvert deE et f une application différentiable

de U dans F . Soit y0

un point de F tel que f�1(y0

) ne soit pas vide et que 8x 2 f�1(y0

), df(x) soit surjective.Alors f�1(y

0

) est une sous-variété de E de codimension dimF .

Démonstration. En effet, identifions F à Rp (par des coordonnées linéaires), soient (f1

; : : : ; f

p

) les composantes de f et (y10

; : : : y

p

0

)

celles de y0

. Posons gi

= f

i

� y

i

0

de sorte que

f

�1

(y

0

) = fx 2 U tels que gi

(x) = 0; 1 � i � pg:

Puisque df(x) est supposée surjective, les dgi

(x) sont linéairement indépendantes pour x 2 U , ce qui conclut.

COROLLAIRE 2.Pour que M � R

n soit une sous-variété de dimension d, il faut et il suffit que chaque point x de M possèdeun voisinage ouvert U tel qu’il existe une application f : U ! R

n�d vérifiant :(i) df(x) est surjective pour tout x 2 U ;

(ii) M \ U = f

�1

(y

0

) pour un y0

2 R

n�d .

Démonstration. En effet, la suffisance résulte du Corollaire précédent et la nécessité est contenue dans la Proposition.

PROPOSITION I.6.6.

1. Soit M une sous-variété de dimension d de Rn . Notons (x

1

; : : : ; x

n

) les coordonnées canoniques deR

n . Quitte à permuter les coordonnées (x

i

), tout point de M possède un voisinage U tel que U \M soit legraphe d’une application f d’un ouvert de Rd (que l’on identifie à f(x

1

; : : : ; x

d

; 0; : : : ; 0)g) dans Rn�d (quel’on identifie à f(0; : : : ; 0; x

d+1

; : : : ; x

n

)g).2. Soient E

1

et E2

deux espaces normés de dimensions finies, U1

un ouvert de E1

et f une application de Udans E

2

de classe C k. Alors le graphe G de f est une sous-variété de E1

� E

2

de dimension dimE

1

.

Démonstration. Montrons tout d’abord le 1. En effet, utilisons les notations et les conclusions de la Proposition précédente : soitf : U ! R

n�d l’application dont les composantes sont les fi

. Par la Proposition précédente, on peut extraire de la matrice jacobiennede f un mineur (n� d)� (n� d) de déterminant non nul ; autrement dit, quitte à permuter les coordonnées de Rn , on peut écrire

R

n

= f(x; y); x 2 R

d

; y 2 R

n�d

g

de sorte que dfy

(x) soit un isomorphisme. D’après le Théorème des fonctions implicites (Théorème I.3.3, page 13), il existe uneapplication g d’un ouvert U

1

de Rd dans Rn�d telle que f((x; g(x)) = 0 ce qui montre que l’ensemble des zéros de f (i.e. les zéroscommuns aux f

i

) est le graphe de g.Vérifions maintenant le 2. IdentifionsE

2

à Rr par de coordonnées linéaires et soient (fi

) les composantes de f . Le graphe de f estl’ensemble des points (x; x

1

; : : : ; x

r

) de U1

� R

r tels que xi

= f

i

(x), 1 � i � r, c’est-à-dire l’ensemble des zéros communs auxfonctions

g

i

(x; x

1

; : : : ; x

r

) = x

i

� f

i

(x);

et, comme les dgi

sont linéairement indépendantes, le résultat découle de la Proposition précédente.



PROPOSITION I.6.7.

Pour que M � R

n soit une sous-variété de classe C k dimension d, il faut et il suffit que chaque point y deM possède un voisinage ouvert U dans Rn tel que U \M soit l’image d’un ouvert V de Rd par une applicationp : V ! U de classe C k vérifiant :

(i) dp(x) est injective pour tout x 2 V ;(ii) p est un homéomorphisme de V sur U \M muni de la topologie induite par celle de Rn .On dit que le couple (V; p) est une représentation paramétrique (ou une paramétrisation) de U \M .

Démonstration. La nécessité résulte du 1. de la Proposition précédente, montrons la suffisance. Soit y0

2M et x0

= p

�1

(y

0

). Commedp(x

0

) est injective, si son rang est d, on peut trouver d composantes de p dont les différentielles en x0

sont linéairement indépendantes.Supposons que ce soit les d premières. Alors si on note �

1

: R

n

= R

d

� R

n�d

! R

d

= R

d

� f0g la projection canonique sur lepremier facteur, d(�

1

Æ p)(x

0

) est un isomorphisme, et, d’après le Théorème d’inversion locale (Théorème I.3.1, page 12), �1

Æ p estun difféomorphisme d’un voisinage, noté encore V , de x

0

sur un ouvert U1

de Rd . Comme p est continue, on peut supposer, quitte àréduire V , que U est le produit de U

1

� R

d

� f0g par un ouvert U2

de f0g � R

n�d . Soit �2

la projection canonique sur le secondfacteur de Rn = R

d

� R

n�d sur Rn�d = f0g � R

n�d . Comme �1

Æ p est un difféomorphisme, on peut écrire p(x) = (�

1

Æ p(x);

�

2

Æ p Æ (�

1

Æ p)

�1

Æ (�

1

Æ p)(x)), c’est-à-dire, en posant y = �

1

Æ p(x), p(x) = (y; �

2

Æ p Æ (�

1

Æ p)

�1

(y)), ce qui montre que U \Mest le graphe de �

2

Æ p Æ (�

1

Æ p)

�1

: U

1

! U

2

, et la conclusion résulte du 2. de la Proposition précédente.

Terminons ces généralités sur les sous-variétés en définissant le plan tangent :

DÉFINITION I.6.7.Soit M une sous-variété d’un espace normé E. On dit qu’un vecteur v 2 E est tangent à M en un point

x

0

de M s’il existe une application différentiable d’un intervalle I de R contenant 0 dans E telle que 8t 2 I , (t) 2M , (0) = x

0

et 0(0) = v. L’ensemble des vecteurs tangents àM au point x0

s’appelle l’espace tangentà M en x

0

et se note Tx

0

(M) (ou Tx

0

M ).

PROPOSITION I.6.8.Soit M une sous-variété de dimension d d’un espace normé de dimension finie. Alors pour tout x de M ,

T

x

M est un espace vectoriel de dimension d.

Démonstration. En effet, par la définition même des sous-variétés, il existe un voisinage ouvert U d’un point x de M et un difféo-morphisme ' : U ! E = R

d

� R

n�d tel que '(U \M) � R

d

� f0g, et on peut supposer '(x) = 0. Alors si est une courbetracée sur M comme dans la Définition ci-dessus, ' Æ est une courbe sur Rd � f0g et réciproquement. Il en résulte aussitôt qued'(x) � T

x

M = R

d

� f0g ce qui montre que Tx

M = d'(x)

�1

� R

d

� f0g est un espace vectoriel de dimension d.

Suivant la définition équivalente que l’on adopte pour une sous-variété, on a une caractérisation de son plan tangent :

PROPOSITION I.6.9.Soit M une sous-variété de dimension d d’un espace norme de dimension finie n.1. Avec les notation de la Proposition I.6.5, T

x

M est l’intersection des noyaux des dfi

(x).2. Avec les notations du Corollaire 1 de la Proposition I.6.5, si f(x) = y

0

, Tx

M est le noyau de df(x).3. Avec les notations de la Proposition I.6.6, 2., T

(x;f(x))

G est le graphe de df(x).4. Avec les notation de la Proposition I.6.7, T

x

M est dp(x) � Rd .

Démonstration. Le 1. est immédiat : pour des raisons de dimension, il suffit de voir que Tx

M est contenu dans l’intersection des noyauxdes df

i

(x) ce qui résulte aussitôt de formule de dérivation d’une fonction composée. Le 2. se voit de la même manière. Le 3. est aussisimilaire : si est tracée sur f(u; f(u))g, et si �

i

, i = 1; 2, désigne la projection sur le i-ième facteur, on a �2

Æ (t) = f(�

1

Æ (t)) etle résultat s’obtient en différentiant et en utilisant que (0) = (x; f(x)). Le 4. est tout aussi simple : si est une courbe dans V , alorsp Æ est une courbe dans M dont le vecteur tangent en 0 est dp(x) � 0(0), ce qui montre que dp(x) � Rd est contenu dans T

x

M et,comme ces deux espaces ont même dimension (puisque dp(x) est injective), ils sont égaux.

Nous terminons maintenant ce chapitre par la notion d’extrema liés.

DÉFINITION I.6.8.SoitM une sous-variété différentiable d’un espace normé de dimension finieE, U un ouvert deE qui coupe

M et f une fonction de U dans R. On dit que f présente un extremum relatif lié en x0

2 U sur M si x0

2 M

et si la restriction de f à U \M présente un extremum relatif en x0

.

PROPOSITION I.6.10.SoitM une sous-variété différentiable d’un espace normé de dimension finieE, U un ouvert deE qui coupe

M et f une fonction différentiable de U dans R. Si f a un extremum lié en x0

sur M , alors la restriction dedf(x

0

) à l’espace tangent Tx

0

M est nulle.



I.6. APPLICATIONS

Démonstration. Ceci est immédiat : si est une courbe tracée sur M passant par x0

en t = 0, alors la fonction f Æ a un extremumrelatif en t = 0 ce qui entraîne la nullité de sa dérivée, ce qui prouve la Proposition.

Cette Proposition peut se traduire de différentes manières en fonction du choix de la description de l’espace tangent à une variété,comme il est dit à la Proposition I.6.9. La plus connue est celle obtenue en utilisant la caractérisation 1. de cette Proposition :

THÉORÈME I.6.5 (Théorème des multiplicateurs de Lagrange ).Soit U un ouvert de Rn , f

i

, 1 � i � k, des fonctions de classe C 1 de U dans R dont les différentiellessont linéairement indépendantes en tout point de U , et soit M l’ensemble des zéros communs aux f

i

. Soit f unefonction de U dans R différentiable présentant un extremum lié en x

0

2 U sur M . Alors il existe des constantes

i

, 1 � i � k telles que df(x0

) =

k

X

i=1

i

df

i

(x

0

). Les nombres i

sont appelés les multiplicateurs de Lagrange.

Comme pour les extrema libres, on peut donner des conditions de différentielle seconde pour les extrema liés :

PROPOSITION I.6.11.

Soit U un ouvert de Rn , fi

, 1 � i � k, des fonctions de classe C 1 de U dans R dont les différentiellessont linéairement indépendantes en tout point de U , et soit M l’ensemble des zéros communs aux f

i

. Soit f unefonction de U dans R deux fois différentiable.

1. Si f présente un minimum lié en x0

2 U sur M , et si ( i

), 1 � i � k, sont les multiplicateurs deLagrange associés à f et M , alors la restriction à l’espace tangent T

x

0

M de M en x0

de la forme bilinéaire

d

2

f(x

0

)�

k

X

i=1

i

d

2

f

i

(x

0

) est positive.

2. Supposons qu’il existe des constantes �i

, 1 � i � k, telles que df(x0

) =

k

X

i=1

�

i

df

i

(x

0

). Alors si la

restriction à l’espace tangent Tx

0

M de la forme bilinéaire d2f(x0

)�

k

X

i=1

�

i

d

2

f

i

(x

0

) est définie positive, f

présente un minimum local lié strict en x0

2 U sur M .

Démonstration. Montrons tout d’abord le 1. Soit : [��; �[! M une courbe tracée sur M telle que (0) = x

0

. On a donc d2(f Æ )(0) � 0 (Théorème I.6.1, page 29). D’après la Proposition I.4.6, page 16, on a d2(f Æ )(0) = d

2

f(x

0

)� (

0

(0))

2

+df(x

0

)�

00

(0).Comme f

i

( (t)) = 0 pour tout i, on a d2fi

(x

0

) � (

0

(0))

2

+ df

i

(x

0

) �

00

(0) = 0, et, en additionnant à l’indentité precedente, il vient

d

2

(f Æ )(0) = d

2

f(x

0

) � (

0

(0))

2

�

k

X

i=1

�

i

d

2

f

i

(x

0

) � (

0

(0))

2

� 0;

ce qui termine la preuve par définition du plan tangent.Démontrons maintenant le 2. Raisonnons par l’absurde. Si x

0

n’est pas un minimum local strict lié, il existe une suite (x

n

)

n�1

dans M qui converge vers x0

telle que f(xn

) � f(x

0

) pour tout n � 1. Posons xn

= x

0

+ Æ

n

s

n

avec ksn

k = 1 et lim

n!1

Æ

n

= 0.

Comme la sphère unité de Rn est compacte, on peut extraire de la suite (sn

) une sous-suite convergente ; quitte à changer de notations,nous pouvons donc supposer que la suite (s

n

) est convergente de limite s0

. Le Théorème des accroissements finis (Théorème I.2.3,page 8) appliquée à chaque f

i

entre x0

et xn

montre alors que dfi

(x

0

+ #Æ

n

s

n

) � Æ

n

s

n

= 0, 0 < # < 1, ce qui implique, par passageà la limite quand n!1, df

i

(x

0

) � s

0

= 0, ce qui signifie que s0

2 T

x

0

M . Par ailleurs, la formule de Taylor-Young (Théorème I.5.3,page 22) appliquée à chaque f

i

en x0

donne

Æ

n

df

i

(x

0

) � s

n

+

Æ

2

n

2

d

2

f

i

(x

0

) � (s

n

)

2

= o(Æ

2

n

);

et, apliquée à f , donne

f(x

n

)� f(x

0

) = Æ

n

df(x

0

) � s

n

+

Æ

2

n

2

d

2

f(x

0

) � (s

n

)

2

+ o(Æ

2

n

) � 0;

d’où on déduit, compte tenu de l’hypothèse

Æ

2

n

2

d

2

f(x

0

)�

k

X

i=1

�

i

d

2

f

i

(x

0

)

!

� (s

n

)

2

+ o(Æ

2

n

) � 0:

En faisant tendre n vers l’infini, cela donne

d

2

f(x

0

)�

k

X

i=1

�

i

d

2

f

i

(x

0

)

!

� (s

0

)

2

� 0 ce qui est une contradiction avec la seconde

hypothèse puisque s0

2 T

x

0

M .



Exercices

Exercice I.1.E est un espace normé, L (E) est l’espace des applications linéaires continues de E dans lui-même muni de la norme opérateur.Montrer, en utilisant seulement la définition, que l’application � : L (E) ! L (E) définie par �(u) = u

2 est différentiable en toutpoint.

Exercice I.2.E est un espace préhilbertien réel, u un élément deL (E) (cf. Exercice I.1).

1. Montrer, en utilisant seulement la définition, que l’application f : E ! R ; f(x) = hu(x); xi est différentiable en tout point etdonner sa différentielle.

2. Traiter la question a) en utilisant les théorèmes généraux.

3. Etudier la différentiabilité de la fonction g : g(x) = hu(x); xi x; x 2 E.

Exercice I.3.E est un espace normé, L (E) est l’espace des applications linéaires continues de E dans lui-même muni de la norme opérateur.Etudier la différentiabilité des applications suivantes :

1. 'p

: u 2 L (E) 7�! u

p

; p 2 N,

2. : (u; v) 2 L (E)�L (E) 7�! u

2

v

3.

Exercice I.4.E est un espace de Banach, est l’espace des éléments u 2 L (E) tels que id

E

+ u est un isomorphisme de E ( idE

+ u est bijectiveet bicontinue).

1. Démontrer que est un ouvert deL (E).

2. Soit � l’application de dans L (E) définie par �(u) = (id

E

+ u)

�1

Æ (id

E

� u). Démontrer que � est différentiable etdonner sa différentielle.

Exercice I.5.1. Soit E un espace normé et f une application définie sur un ouvert de E à valeurs dans R, différentiable en tout point. Démontrer

que si f admet un extremum local en un point, sa différentielle y est nulle.

(a) E est un espace normé, U est un ouvert de E tel que U soit compact, et f : U ! R une application continue, nulle sur lafrontière de U et différentiable dans U . Démontrer qu’il existe x

0

2 U tel que df(x0

) = 0.

Exercice I.6.1. Soit � > 0. Etudier la différentiabilité en (0; 0) de la fonction f de R2 dans R définie par :

f(x; y) =

8

<

:

jxyj

�

x

2

+ y

2

si (x; y) 6= (0; 0)

0 sinon

(a) Même question avec

f(x; y) =

8

<

:

x

3

� y

3

x

2

+ y

2

si (x; y) 6= (0; 0)

0 sinon

Exercice I.7.Soit f la fonction de R2 dans R définie par :

f(x; y) =

8

<

:

xy

2

x

2

+ y

2

si (x; y) 6= (0; 0);

0 sinon:

1. Montrer que f admet en tout point des dérivées partielles dans toutes les directions.

2. Montrer que f n’est pas différentiable en (0; 0).

Exercice I.8.Soit E un espace normé, un ouvert convexe de E et f une application convexe différentiable de dans R.

1. Soit x0

un point de . Montrer que si f 0(x0

) = 0, f admet en x0

un minimum absolu.



EXERCICES

2. Montrer que l’ensemble fx 2 t:q: f 0(x) = 0g est convexe.

Exercice I.9.On étudie la différentiabilité d’une norme.

1. Une norme peut elle être différentiable en 0 ?

2. E est un espace de Hilbert réel. Montrer que l’application f : x 7! kxk, où la norme est déduite du produit scalaire, estdifférentiable dans le complémentaire de l’origine.

3. Soit f : R

2

! R ; f(x) = kxk

1

; x 2 R

2 . Montrer que f est différentiable en un point x si et seulement si jx1

j 6= jx

2

j.

4. Soit f : R

2

! R ; f(x) = kxk

1

; x 2 R

2 . Montrer que f est différentiable en un point x si et seulement si jx1

j et jx2

j sont nonnuls.

5. On munit o

de la norme du sup. Soit f :

0

! R ; f(x) = kxk

1

; x 2

0

. Montrer que f est différentiable en un point x si etseulement si il existe un indice n

0

tel que jxn

0

j > jx

n

j pour tout n 6= n

0

.

6. Soit (E; k:k) un espace normé et f : E ! R ; f(x) = kxk. Démontrer que si f est différentiable en x0

6= 0, alors,

(a) df(x0

)(x

0

) = kx

0

k ;

(b) kdf(x0

)k = 1 ;

(c) Pour tout � 2 R

�

; df(�x

0

) = sgn(�)df(x

0

).

Exercice I.10.Soit f : R ! R une application de classe C 1.

1. Retrouver la formule classique :

f(a+ h) = f(a) + h

Z

1

0

f

0

(a+ th)dt ; (a; h) 2 R

2

:

2. Soit � l’application de l1 dans lui-même définie par : �(x) = (f(x

n

)) ; x = (x

n

) 2 l

1. Démontrer que � est différentiableen tout point et calculer sa dérivée.

Exercice I.11.Soit E l’ensemble des applications de classe C 1 de [0; 1℄ dans R, nulles en 0 et F l’espace des applications continues de [0; 1℄ dans R.On équippe E de la norme kxk = sup

t2[0;1℄

jx

0

(t)j et F de la norme de la convergence uniforme. Soit � : E ! R et ' : E ! F définies

par :

'(x) = x

0

+ x

2 et �(x) =Z

1

0

'(x)(t)dt ; x 2 E:

Les applications ' et � sont elles différentiables ?

Exercice I.12.Soit f une application différentiable deR2 dansR et' l’ application différentiable deR2 dansR2 définie par'(r; �) = (r os �; r sin �).Ecrire les matrices jacobiennes de f et '. Donner les dérivées partielles de f Æ ' en fonction de celles de f .

1. Soit A une algèbre normée, a et b deux éléments de A et n un entier � 1. Donner une majoration de kan � b

n

k en fonction den et ka� bk.

(a) Soit E un espace normé, p un entier � 1. Démontrer que l’application u 7! u

p deL (E) dans lui-même est de classe C 1.

Exercice I.13.Soit E l’ensemble des matrices carrées réelles d’ordre d.

1. Montrer que la sérieX

(�1)

n

A

2n+1

(2n+ 1)!

converge pour tout A 2 E.

2. Soit f : E ! E l’application définie par f(A) =X

n�0

(�1)

n

A

2n+1

(2n+ 1)!

. Montrer que f est de classeC 1 et vérifie kf(A)� f(B)k �

kA�Bkmax( osh kAk ; osh kBk).

Exercice I.14.E et F sont deux espaces normés, un ouvert de E, f une application continue de dans F , dérivable dans n fag telle que

lim

x!a; x6=a

f

0

(x) = L existe dansL (E;F ).

1. Montrer que kf(a+ h)� f(a)� L(h)k � khk "(h) où " est une fonction de limite nulle en 0.

2. En déduire que f 0a) existe et f 0(a) = L.

Exercice I.15.Soient a et b deux réels a 6= b. Montrer qu’il n’existe aucun réel tel que eib � e

ia

= i(b � a)e

i . En déduire que la formule desaccroissements finis classique ne s’applique pas aux fonctions à valeurs vectorielles.



Exercice I.16.Soit f : [A; b℄! R une application continue et dérivable sur ℄a; b[ (a 6= b).

1. Montrer que si jf 0(x)j � � pour tout x 2℄a; b[, alors jf(b)� f(a)j � �(b� a).

2. Montrer que ce résultat ne subsiste pas si on remplace dérivée par dérivée à droite, ou si on considère des fonctions à valeursvertorielles (on pourra prendre f(x) = exp(ix)).

3. Soit x0

2℄a; b[. Montrer que f 0(x0

) est valeurs d’adhérence de f 0(x) pour x! x

0

(considérer g(x) = f(x)� (x� x

0

)f

0

(x

0

)

et appliquer la question 1.).

4. On pose f(x) = x

2

exp(i=x) pour x 2 R

� et f(0) = 0. Prouver que f 0(0) est isolé dans l’ensemble des valeurs f 0(x).Conclusion ?

Exercice I.17.Soit f : [a; b℄ ! E une application continue et dérivable à droite sur ℄a; b[ (a 6= b, E espace vectoriel normé). On veut établir qu’ilexiste 2℄a; b[ tel que kf(a)� f(b)k � (b� a) kf

0

d

( )k.

1. On suppose k = kf(b)� f(a)k (b� a)

�1

> 0 et kf 0d

(x)k � k pour tout x 2℄a; b[. Prouver qu’il existe x0

2℄a; b[ et h > 0 telsque kf(x

0

+ h)� f(x

0

)k < kh.

2. Conclure en appliquant le théorème des accroissements finis aux segments [a; x0

℄ et [x0

+ h; b℄.

Exercice I.18.Soit U un ouvert de Rn et f : U ! R

n . On note � la mesure de Lebesgue de Rn , et on suppose que m < n.

1. Soit P un pavé compact (produit d’intervalles fermés bornés) inclus dans U . On suppose que f est k-lipschitzienne sur P .Montrer que �(f(P )) = 0 (on pourra subdiviser P en pavés).

2. Soit K un compact inclus dans U . Prouver qu’il existe une réunion finie de pavés compacts � telle que K � � � U .

3. Si f est de classe C 1, établir que �(f(U)) = 0.

Exercice I.19.Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R et à valeurs dans un espace vectoriel normé. On suppose que f est dérivable

sur I et que f 00(a) existe (a 2 I). pour (x; y) 2 I � I , on pose g(x; y) =f(y)� f(x)

y � x

si x 6= y et g(x; x) = f

0

(x). Montrer que g

est différentiable au point (a; a) (on pourra utiliser la fonction h(t) = f(t)� f(a)� (t� a)f

0

(a)� (t� a)

2

f

00

(a)=2).

Exercice I.20.1. Soit f :℄a; b[! E une fonction vectorielle admettant une dérivée à droite en t

0

. Montrer qu’alors l’application kfk admet unedérivée à droite en t

0

.

(a) SoientE et F deux espaces vectoriels normés,U un ouvert connexe deE et a un point de U . Soit f : U ! F différentiabletelle que kdf(u)k � k kf(u)k. Montrer que pour u assez proche de a on a kf(u)k � kf(a)k exp(k ku� ak).

(b) Soit b un point de F , V un voisinage de b et soit ' : U�V ! L (E;F ) satisfaisant à k'(u; v)� '(u;w)k � k kv � wk.Montrer qu’il existe au plus une application différentiable f de U dans V telle que df(u) = '(u; f(u)) et f(a) = b.

(c) Montrer que le résultat précédent est encore vrai si l’on suppose seulement que ' possède une différentielle partielle parrapport à la seconde variable qui est continue.

Exercice I.21.Déterminer la tangente et la concavité au point (1; 2) de la courbe définie implicitement par l’équation

x ln(y) + y ln(x) = ln(2):

Exercice I.22.Soit f : R ! R

2 l’application définie par f(x; y) = (u; v) avec

u = x

p

1 + y

2

+ y

p

1 + x

2

v = (x+

p

1 + x

2

)(y +

p

1 + y

2

)

1. Étudier la différentiabilité de f . Calculer son jacobien en (x; y) 2 R

2 .

2. f est-elle inversible ? Déterminer et construire f(R2

).

Exercice I.23.Soit E un espace vectoriel de dimension finie, et u : E ! E une application de classe C 1 et k-Lipschitzienne avec k < 1. Montrerque f : E ! E définie par f(x) = x + u(x) est un difféomorphisme. [Indication : pour montrer que f est surjective, on pourramontrer que l’image inverse d’une partie bornée est bornée].

Exercice I.24.Soit E un espace de Banach. Montrer l’existence de deux voisinages U et V de Id

E

dans L(E) tels que la restriction à U de u 7! u

2

est un C1-difféomorphisme entre U et V .



EXERCICES

Exercice I.25.Soit n 2 N

� et Rn

[X℄ l’espace affine des polynomes unitaires de degré n à coefficients complexes.Soit S

n

� R

n

[X℄ l’ensemble des polynomes unitaires scindés à racines simples et Un

= f(x

1

; : : : ; x

n

) 2 R

n

j x

1

< � � � < x

n

g.Vérifier que U

n

est un ouvert de Rn et que Sn

est un ouvert de Rn

[X℄.Montrer que l’application ' : U

n

! S

n

définie par '(x1

; : : : ; x

n

) = (X � x

1

) : : : (X � x

n

) est un C1-difféomorphisme.

Exercice I.26.Soit a = (a

1

; : : : ; a

n

) 2 C

n tel que le polynome Pa

(X) = X

n

+ a

1

X

n�1

+ � � �+ a

n

admet n racines simples distinctes z1

; : : : ; z

n

.Montrer que pour tout " positif existe un � positif tel que pour tout b = (b

1

; : : : ; b

n

) dans C n vérifiant sup1�k�n

jb

k

� a

k

j � � lepolynome P

b

(X) = X

n

+ b

1

X

n�1

+ � � �+ b

n

admet n racines simples distinctes w1

; : : : ; w

n

avec jwi

� z

i

j � " pour tout i.

Exercice I.27.Soit A : R !M

n

(R) une fonction de classe C k telle que, pour tout t, A(t) admet n valeurs propres distinctes.

1. Montrer qu’on peut trouver des fonctions V1

; : : : ; V

n

: R ! R

n continues telles que, pour tout t, la famille (V1

(t); : : : ; V

n

(t))

est une base de vecteurs propres de A(t). Étudier la différentiabilité des Vi

.

2. On définit A : R !M

2

(R) par

A(t) =

�

1 + t

k

0

0 1

�

pour t < 0; A(t) =

�

1 t

k

t

k

1

�

pour t > 0 et A(0) =

�

1 0

0 1

�

:

Montrer que A est de classe C k�1 sur R. Déterminer les vecteurs propres de A(t), conclure.

Exercice I.28.1. Montrer que, si x et y sont des réels positifs, xy = y

x est équivalent à ln(x)=x = ln(y)=y.

2. Étudier la fonction f :℄0;+1[! R définie par f(x) = ln(x)=x.En déduire que, pour tout x 2℄1;+1[ différent de e, l’équation xy = y

x admet exactement deux solutions, dont l’une est x. Onnote (x) la seconde solution et on pose (e) = e. Montrer qu’on définit ainsi une fonction continue de ℄1;+1[ vers ℄1;+1[.

(a) Montrer que est de classe C1 sur ℄1; e[ et sur ℄e;+1[.

(b) Montrer qu’il existe une fonction g :℄0;+1[! R différentiable telle que

f(x) = f(e)� [(x� e)g(x)℄

2

(c) Montrer que est de classe C1 sur ℄1;+1[.

Exercice I.29 (Lemme de Morse (c.f. Théorème I.6.4)).1. On note S l’espace vectoriel des matrices symétriques de M

n

(R). On fixe A 2 S inversible et on note F = fU 2

M

n

(R) tels que t

UA = AUg.

(a) Montrer que = F \ GL

n

(R) est un ouvert deF et que l’application ' : ! S définie par '(U) =t

UAU est undifféomorphisme local en id

n

.

(b) Montrer l’existence d’un voisinage V de A dans S et d’une application h : V ! GL

n

(R) de classe C1 telle queh(A) = id

n

et th(M)Ah(M) =M pour tout M 2 V .

(c) Montrer qu’il existe une matrice diagonaleD dont les coefficients diagonaux sont des 1 et des �1 ainsi qu’une applicationg : V ! GL

n

(R) de classe C1 telle que pour tout M 2 V , tg(M)Dg(M) =M .

2. Soit f : R

n

! R une fonction de classe C1, nulle en 0 et telle que df(0) = 0. On suppose que la matrice hessienne de f en 0

est inversible.

(a) Montrer qu’il existe des fonctions lisses aij

telles que aij

= a

ji

et f(x) =X

i;j

x

i

x

j

a

ij

(x) pour tout x.

(b) Montrer qu’il existe un C1-difféomorphisme = (

1

; � � � ;

n

) défini sur un voisinage W de 0 et un entier r tels que,pour tout x dans W , on a

f(x) = (

1

(x))

2

+ � � � (

r

(x))

2

� (

r+1

(x))

2

� � � � � (

n

(x))

2

:

Exercice I.30.Le but de cet exercice est de montrer que le nombre e n’est pas algébrique d’ordre 2 (et donc est irrationnel), c’est-à-dire qu’on ne peutpas trouver trois entiers a, b, non tous nuls tels que ae2 + be+ = 0.

1. Soient a et deux entiers. On note f la fonction de R dans R définie par f(x) = ae

x

+ e

�x pour tout x réel. Ecrire la formulede Taylor-Lagrange pour f en 0.

2. On suppose que f(1) est un entier. Montrer qu’alors a = = 0. Conclure.



Exercice I.31.Soit f : R

+

! R une fonction de classe C1 telle que f(0) = 0 et lim

x!+1

f(x) = 0. Montrer (par exemple par récurrence) qu’il existe

une suite (xn

) strictement croissante et à valeurs positives telle que f (n)(xn

) = 0 pour tout n > 0. Indication : pour passer du rangn � 1 au rang n+ 1, on pourra raisonner par l’absurde.

Exercice I.32.Soient E un espâce normé, I un intervalle compact de R et f : I ! E une application de classe C1. On note Z(f) = fx 2

I tels que f(x) = 0g. Montrer que si Z(f) est infini alors il existe dans I tel que f (n)( ) = 0 pour tout n. Montrer que ce n’est plusvalable lorsque I = R.

Exercice I.33 (Théorème de Borel).1. Soit ' une fonction de classeC1 de Rn dans R nulle sur fx 2 R

n tels que kxk � 1=2g et valant 1 sur fx 2 R

n tels que kxk �1g. Soit f une fonction de classe C1 de Rn dans R et m-plate en 0 i.e. telle que D�

f(0) = 0 pour tout � = (�

1

; � � � ; �

n

) tel

que j�j =X

i

�

i

� m. Pour tout " > 0, on note f"

: R

n

! R, la fonction x 7! '(x=")f(x). Montrer que si j� � mj ; alors

sup

x2R

n

jD

�

f

"

(x)�D

�

f(x)j ! 0

quand " tend vers 0.

2. En déduire qu’on peut approcher (en un sens à préciser) toute fonction de classe C1 m-plate en 0 par des fonctions de classeC

1 nulles au voisinage de 0.

3. Pour tout multiindice � 2 N

n , on considère un réel a�

. On pose fm

: R

n

! R définie par fm

(x) =

X

j�j�m

a

�

x

�

1

1

� � �x

�

n

n

.

(a) Montrer que pour toutm, il existe une fonction gm

de classeC1 nulle sur un voisinage de 0 telle que sup

x2R

n

jD

�

(f

m

� f

m�1

� g

m

)(x)j < 1=2

m

pour tout � tel que j�j � m .

(b) Montrer qu’il existe une fonction f de classe C1 telle queD

�

f(0)

�!

= a

�

pour tout �.

Exercice I.34.Soit f : R

n

! R une fonction de classeC 2. On définit le laplacien de f par �f =

n

X

i=1

�

2

f

�x

2

i

. On note B (resp. �

B) la boule unité

ouverte (resp. fermée) de Rn .

1. Si �f(x) > 0 pour tout x dans B, montrer que f(x) < max

kyk=1

f(y) pour tout x 2 B.

2. Si �f(x) = 0 pour tout x 2 B, montrer que min

kyk=1

f(y) � f(x) � max

kyk=1

f(y) pour tout x 2 B.

1. Soient n 2 N

� , n � 2 et � > 0. On considère l’application f : R

n

! R, (x

1

; � � � ; x

n

) 7! x

1

� � �x

n

et on pose

M =

(

(x

1

; � � � ; x

n

) 2 (R

+

)

n tels queX

i

x

i

= �

)

. Étudier le maximum global de la rextriction de f à M . Retrouver ainsi

l’inégalité arithmético-géométrique.

(a) On se donne un entiern � 2 et n réels strictement positifs�1

; � � ��

n

. On noteV =

(

(x

1

; � � � ; x

n

) 2 R

n tels queX

i

x

4

i

�

4

i

= 1

)

.

Soit g : Rn ! R, (x1

; � � � ; x

n

) 7!

X

i

x

2

i

. Déterminer le maximum global ge g sur V .

Exercice I.35.Quel est, parmis tous les triangles ayant un périmètre donné p > 0, celui qui a la plus grande aire ?

Exercice I.36.Soient E et F deux espaces normés et f une application deux fois différentiable d’ un ouvert de E dans F . A tout vecteur h de E,on associe l’application '

h

: ! F , définie par 'h

(x) = df(x) � h. Montrer que 'h

est différentiable et exprimer sa différentielleen un point x 2 .

Exercice I.37.Soit E un espace de Hilbert réel, u une application linéaire continue de E dans lui-même et ' l’application de E dans R, définie par'(x) = hu(x); xi. Démontrer que ' est deux fois différentiable et déterminer sa différentielle seconde.

Exercice I.38.Soit E un espace de Banach, l’ouvert de L (E) constitué des u tels que id

E

+ u est inversible dansL (E) et � l’application de dansL (E) définie par

�(u) = (id

E

+ u)

�1

Æ (id

E

� u) ; u 2

Démontrer que � est de classe C2 et déterminer sa différentielle seconde.



EXERCICES

Exercice I.39. est un ouvert d’un espace normé E et f une application n + 1 fois différentiable de dans un espace normé F . Pour tout entier

k � n et tout a 2 , on pose T ka

f(x) = f(a) + f

0

(a) � (x� a) + : : :+

1

k!

f

(k)

(a) � (x� a; : : : ; x� a).

1. Calculer (T ka

f)

(p) pour tout entier p.

2. On suppose que est connexe et que f (n+1)

= 0. Que peut on dire de f ?

Exercice I.40.On désigne par h; i le produit scalaire usuel dans Rn . Soit f une application deux fois différentiable de Rn dans lui-même telle quef(0) = 0 et hf 0(x) � h; f 0(x) � ki = hh; ki pour tous vecteurs x; h; k 2 R

n .

1. Soit h; k 2 R

n et ' : x 2 R

n

7�! '(x) = hf

0

(x) � h; f

0

(x) � ki. Calculer la dérivée de '.

2. Pour h; k; l 2 R

n , on pose A(h; k; l) = hf

0

(x) � h; f

00

(x) � (k; l)i. Montrer que A(h; k; l) = �A(k; h; l) et A(h; k; l) =A(h; l; k). En déduire que A(h; k; l) = 0.

3. Montrer que f 00 est nulle et que f est une application linéaire conservant le produit scalaire.

Exercice I.41.Soit E un espace vectoriel normé sur R, un ouvert convexe de E et f une application de dans R.

1. On suppose f différentiable. Montrer que f est convexe si et seulement si f(x) � f(y) + f

0

(y) � (x� y) pour tous x; y 2 .

2. On suppose f de classe C2. Démontrer que f est convexe si et seulement si d2f(x) � (h; h) � 0 pour tout (x; h) 2 �E.

Exercice I.42.Soit E et F deux espaces normés et f une application deux fois différentiable de E dans F . On suppose qu’il existe deux réels A et Btels que pour tout x 2 E, kf(x)k � A et kf 0(x)k � B.

1. Montrer que pour tous x, y éléments de E, on a

f(x+ y)� f(x� y)� 2f

0

(x) � y

� B kyk

2

2. En déduire une majoration dek

f

0

(x)�y

k

kyk

pour x, y éléments de E, y non nul.

3. Montrer que pour tout x dans E,

f

0

(x)

�

p

2AB:

Exercice I.43.Soit � : R

2

! R une fonction C1 et = f(x; y) 2 R

2 t:q: �(x; y) < 0g et soit (x0

; y

0

) un point de fr(). On suppose qued�(x

0

; y

0

) 6= 0. Soient f et g deux fonctions C1 coincidant sur l’ensemble f(x; y) 2 R

2

; �(x; y) = 0g au voisinage de (x

0

; y

0

).Montrer qu’il existe un voisinage ouvert U de (x

0

; y

0

) et une fonction C1, h : U ! R telle que f � g = �h sur U . On pourraconsidérer le changement de variables local (x; y) 7! (�(x; y); y) si par exemple, ��

�x

(x

0

; y

0

) 6= 0.

Exercice I.44.Les sous ensembles suivants sont ils des sous-variétés ? On déterminera l’ espace tangent en un point quelconque lorsque cela estpossible.

1. f(x; y) 2 R

2

; x

2

+ y

2

= 1g ( On cherchera à appliquer le plus de définitions possibles du cours).

2. f(x; y; z) 2 R

3

; x

3

+ y

3

+ z

3

� 3xyz = 1g ;

3. f(x; y) 2 R

2

; x

2

� y

2

= 0g ;

4. f(t; t2) ; t � 0g [ f(t;�t

2

) ; t � 0g ;

5. f(x; y) 2 R

2

; y = jxjg.

Exercice I.45.On considère le sous ensemble de C 3

� R

6 défini par

z

2

1

� z

2

z

3

= z

2

3

z

2

� 1 = 0

Démontrer que cet ensemble est une sous variété de R6 .

Exercice I.46.Soit M une Ck sous-variété compacte de Rn de dimension d ; x

0

un point de Rn .

1. Démontrer qu’il existe un point x 2M tel que d(x0

;M) = d(x

0

; x) où d est la distance euclidienne.

2. Démontrer qu’un tel point x est tel que x� x

0

est orthogonal à l’espace tangent en x0

à M .


CHAPITRE II

CHAPITRE II

ÉQUATIONS

DIFFÉRENTIELLES

Dans tout ce chapitre, les espaces normé considérés seront toujours des espaces normés réels complets c’est-à-dire desespaces de Banach réels. Pour toute fonction différentiable x d’un intervalle de R dans un espace de Banach (réel) E,la différentielle dx(t) de x en un point t de l’intervalle de définition de x est toujours identifiée à l’élément dx(t) � 1de E et sera, le plus souvent (pour ne pas dire toujours) notée x0(t) pour satisfaire aux habitudes usuelles. De même, les

dérivées d’ordre supérieures de x, identifiées à un élément de E seront notées x00(t), x(3)(t), x(n)(t).

Les réferences bibliographiques classiques de base pour ce chapitres sont : [Car67], [Ave83] et [Dem96].

SECTION II.1

Généralités

SOUS-SECTION II.1.1

Définitions

DÉFINITION II.1.1.

Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E et f une fonction continue de U dans E. Onappelle équation différentielle d’ordre 1 une équation de la forme

x

0

(t) = f(t; x(t)) ou x0 = f(t; x): (II.1.1)

On dit qu’une fonction x de classe C 1 d’un intervalle I de R dans E est une solution de l’équation (II.1.1) si lesdeux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) (t; x(t)) 2 U pour tout t 2 I ;(ii) x0(t) = f(t; x(t)), pour tout t 2 I .

Le sous-ensemble U de la Définition ci-dessus n’est pas nécessairement ouvert, de même que l’intervalle I peut être ouvert, fermé,borné ou non. Dans le cas où une borne de l’intervalle I appartient à I , il est généralement sous-entendu que x est dérivable à droite ouà gauche (suivant le cas) et que cette dérivée vérifie l’équation (II.1.1). D’autre part, il n’est pas nécessaire de supposer, à priori, danscette Définition que x est de classe C 1 : c’est automatique puisque f est continue.

43

CHAPITRE II. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Si E est un produit finin

Y

i=1

E

i

d’espaces de Banach, et si fi

, 1 � i � n, sont les composantes de f , et xi

celles de x, alors

l’équation (II.1.1) est un système de n équations différentielles d’ordre 1 à n inconnues

x

0

i

= f

i

(t; x

1

; : : : ; x

n

); 1 � i � n:

De la même manière, on peut définir les équations différentielles d’ordre n :

DÉFINITION II.1.2.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E

n et f une fonction continue de U dans E. Onappelle équation différentielle d’ordre n une équation de la forme

x

(n)

= f(t; x; x

0

; : : : ; x

(n�1)

): (II.1.2)

On dit qu’une fonction x de classe C n d’un intervalle I de R dans E est une solution de l’équation (II.1.2) siles deux conditions suivantes sont satisfaites :

(i) (t; x(t); x0(t); : : : x(n�1)(t)) 2 U pour tout t 2 I ;(ii) x(n)(t) = f(t; x(t); x

0

(t); : : : ; x

(n�1)

(t)), pour tout t 2 I .

Ainsi x est une solution de (II.1.2) si et seulement elle est solution de l’équation différentielle du premier ordre suivante :8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

x

0

= x

1

x

0

1

= x

2

: : :

x

0

n�2

= x

n�1

x

0

n�1

= f(t; x; x

1

; : : : ; x

n�1

)

Ceci montre que l’étude des équations différentielles d’ordre n se ramène toujours à celle des équations d’ordre 1. Précisément :

PROPOSITION II.1.1.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E

n et f une fonction continue de U dans E et

x

(n)

= f(t; x; x

0

; : : : ; x

(n�1)

) (II.1.3)

une équation différentielle d’ordre n. Soit X 0

= F (t;X) l’équation différentielle d’ordre 1 où F est la fonctioncontinue définie sur U par

F (t;X) = F (t; (x

0

; : : : ; x

n�1

)) = (x

1

; : : : x

n�1

; f(t; x

0

; : : : x

n�1

)): (II.1.4)

Alors, x est solution de (II.1.3) si et seulement si, il existe une solution X = (x

0

; : : : ; x

n�1

) de (II.1.4) telle quex = x

0

. En particulier, on a x(i) = x

i

, 0 � i � n� 1.

DÉFINITION II.1.3.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E et f une fonction continue de U dans E. Soit

(t

0

; x

0

) un point intérieur à U . On appelle «problème de Cauchy» en (t

0

; x

0

) associé à l’équation différentiellex

0

= f(t; x) le problème qui consiste à chercher une solution x de l’équation différentielle précédente définiesur un intervalle I contenant t

0

et vérifiant x(t0

) = x

0

. Le point (t0

; x

0

) s’appelle la «condition initiale» (ou«donnée initiale») du problème de Cauchy.

Dans la pratique on parle du «problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

». Si un problème de Cauchy x0 = f(t; x),x(t

0

) = x

0

a une solution, on dit aussi que le point (t0

; x

0

) est un point d’existence locale pour l’équation différentielle x0 = f(t; x).On dit qu’un point d’existence locale (t

0

; x

0

) est un point d’unicité locale si, étant donné deux solutions au problème de Cauchyx

0

= f(t; x), x(t0

) = x

0

, définies sur des segments contenant t0

, il existe un segment non réduit à un point contenant t0

sur le quel lesdeux solutions sont égales.

Remarque II.1.1. Soit x0 = F (t; x) une équation différentielle d’ordre 1 provenant d’une équation d’ordre n. Alors, en termes desolution de l’équation d’ordre n, un problème de Cauchy (pour l’équation d’ordre 1) s’écrit x(i)(t

0

) = x

i

0

2 E, 0 � i � n� 1, avec(t

0

; x

0

; : : : ; x

n�1

) 2 U .

On remarquera au passage que la notion de problème de Cauchy est tout à fait naturelle : en effet, si ' : I ! E est une solution

d’une équation différentielle d’ordre 1, t0

2 I , on a '(t) =Z

t

t

0

f(u; '(u))du+ C où C est une constante. C’est cette dernière qui

fixe la condition initiale '(t0

) = x

0

.Avant de poursuivre donnons une interprétation géométrique classique des équations différentielles :



II.1. GÉNÉRALITÉS

DÉFINITION II.1.4.Soient E un espace normé et � un ensemble.1. On appelle champ de vecteurs sur E à paramètre dans � une application X d’une partie U de �� E

dans E. Si � est un espace topologique, on dit que le champ X est continu si l’application X est continue.2. Soit X un champ de vecteurs continu sur E à paramètres dans R (on dit, dans ce cas, que le paramètre est

le temps). On appelle courbe intégrale du champ X au voisinage de (t

0

; x

0

) 2 E, une courbe différentiable : I ! E, t

0

2 I , telle que, pour tout t 2 I , (t; (t)) 2 U , (t0

) = x

0

, et, la tangente 0(t) à la courbe en test égale au vecteur X(t; (t)) (i.e. à tout instant, la tangente à la courbe est donnée par le champ de vecteurs).Autrement dit si : I ! E est une solution au problème de Cauchy x0 = X(t; x), x(t

0

) = x

0

.3. Dans les conditions du 2., si le champ X est indépendant du temps (i.e. du paramètre, c’est-à-dire X :

U ! E où U est un ouvert de E), on dit que X est le «champ des vitesses» et l’équation différentiellex

0

= X(x) est dite autonome.

Cette définition est généralement prise comme définition des équations différentielles par les mécaniciens. La distinction entrechamp de vecteur dépendant du temps et champ indépendant du temps est en fait illusoire : la première se ramène à la seconde enconsidérant l’espace-temps : en effet, si X : U � R � E ! E est un champ de vecteurs dépendant du temps, soit ~

E = R � E

l’espace temps, et ~

X : U !

~

E le champ de vecteurs définit par ~

X(t; x) = (1;X(t; x)). Alors si ~ = (~

1

; ~

2

) est une courbeintégrale de ~

X , on a tout de suite ~

0

1

(t) = 1 et ~ 02

(t) = X(~

1

(t); ~

2

(t)), donc, la courbe intégrale telle que ~

1

vaille t0

au temps t0

(i.e. ~ 1

(t) = t) à une projection sur E qui est une courbe intégrale du champ X . On voit ainsi que l’on récupère toutes les courbesintégrales du champ X comme des courbes intégrales du champ des vitesses ~

X sur l’espace-temps.

DÉFINITION II.1.5.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E et f une fonction continue de U dans E.1. Soient x

1

: I

1

! E et x2

: I

2

! E deux solutions de l’équation différentielle x0 = f(t; x). On dit quex

2

prolonge x1

si I2

� I

1

et si la restriction de x2

à I1

coïncide avec x1

.2. On dit qu’une solution x : I ! E de l’équation différentielle x0 = f(t; x) est maximale s’il n’existe

pas de solution x1

: I

1

! E prolongeant x et telle que I1

! I .

PROPOSITION II.1.2.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R�E et f une fonction continue de U dans E. Toute

solution x : I ! E de l’équation différentielle x0 = f(t; x) se prolonge en une solution maximale (mais ceprolongement n’est pas nécessairement unique).

Démonstration. Pour fixer les notations, posons I = ja; bj, la notation signifiant que les bornes peuvent ou non être incluses dansl’intervalle. Montrons par exemple que x se prolonge en une solution ~x :

~

I ! E où ~

I = ja;

~

bj avec ~b � b et ~x maximale à droite (i.e.en ~b). Construisons, par récurrence des prolongements successifs x

i

de x, définis sur des intervalle ja; bi

j tels que bi

� b

i�1

: si xk�1

est construit (k � 1), soit k

la borne supérieure des tels que xk�1

se prolonge à ja; j. Il existe donc bk

� b

k�1

, bk

>

k

� 1=k

si k

< +1, bk

> k si k

= +1, et xk

: ja; b

k

j ! E une solution de l’équation différentielle prolongeant xk�1

. Clairement,par construction la suite (

k

) est décroissante et la suite (b

k

) est croissante : les suites ( k

) et (bk

) sont donc adjacentes et par suiteelles sont convergentes (dans �

R éventuellement) vers une limite commune ~b. De plus, toujours par construction des xk

, il existe unesolution de l’équation différentielle ~x : ja;

~

bj ! E qui prolonge chaque xk

et que l’on peut, si cela est possible, prolonger en ~b. alors,si z : ja; j ! E est une solution de l’équation différentielle qui prolonge ~x, elle prolonge chaque x

k

ce qui implique �

k+1

, et,par suite � ~

b.

Tout point d’existence est donc point d’existence pour une solution maximale. Il faut par contre distinguer les notions locales etglobales pour ce qui est de l’unicité. On dit qu’un point d’existence locale (t

0

; x

0

) est un point d’unicité maximale s’il n’existe qu’uneseule solution maximale au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t

0

) = x

0

. Un point d’unicité maximale est bien sûr un point d’unicitélocale mais la réciproque est fausse.

DÉFINITION II.1.6.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E et f une fonction continue de U dans E.

Supposons U de la forme I � O où I est un intervalle de R et O une partie de E. On dit qu’une solution x del’équation différentielle x0 = f(t; x) est globale si elle est définie sur l’intervalle I tout entier.

Remarque II.1.2. On notera qu’une solution globale est bien sûr maximale mais que la réciproque est fausse.

La Proposition suivante se démontre immédiatement par récurrence :

PROPOSITION II.1.3.Soient E un espace de Banach réel et U un ouvert de R � E et f une fonction continue de U dans E. Si

f est de classe C k (resp. C1) toute solution de l’équation différentielle x0 = f(t; x) est de classe C k+1 (resp.C

1).



On peut d’ailleurs aisément calculer les dérivées successives d’une solution (en dérivant l’équation différentielle) en fonctions dela solution elle même et des dérivées de f .

PROPOSITION II.1.4.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E et f une fonction continue de U dans E. Une

fonction x : I ! E est une solution du problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

, si et seulement si :

(i) x est continue, t0

2

Æ

I et (t; x(t)) 2 U , 8t 2 I ;

(ii) 8t 2 I , x(t) = x

0

+

Z

t

t

0

f(u; x(u))du.

Démonstration. En effet, il suffit de remarquer que, les fonctions f et x étant supposées continues, la fonction

t 7!

Z

t

t

0

f(u; x(u))du

est dérivable sur I de dérivée f(t; x(t)) ce qui est une propriété élémentaire de l’intégrale.

On notera, par exemple que si x est à priori dérivable sur I sauf peut être en un nombre fini de points de son intervalle de définition, etvérifie, en dehors de ces points, x0(t) = f(t; x(t)), la Proposition ci-dessus implique que x est une solution de l’équation différentielle :en fait, dans cette situation, x0 se prolonge par continuité à tout l’intervalle, ce qui implique que x est de clase C 1 sur l’intervalle.

SOUS-SECTION II.1.2

Bouts des solutions maximales

Dans cette sous-section nous allons introduire une notion qui permet, dans certains cas, de dire où se trouvent les extrémités dessolutions maximales.

DÉFINITION II.1.7.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E,

(t

0

; x

0

) 2 U et ' : I ! E une solution maximale au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

. PosonsI = j�; �j, la notation signifiant que l’intervalle peut être ouvert ou fermé.

1. Si � < +1, on appelle bout droit de la solution maximale ' l’ensemble f�g � Ad

(') où Ad

(') estl’ensemble des valeurs d’adhérence (dansE) de '(t) lorsque t tend vers �. Autrement dit,A

d

(') =

\

t2I

'(℄t; �[).

2. Si � > �1, on appelle bout gauche de la solution maximale ' l’ensemble f�g�Ag

(') où Ag

(') est

l’ensemble des valeurs d’adhérence (dansE) de '(t) lorsque t tend vers �. Autrement dit,Ad

(') =

\

t2I

'(℄�; t[).

PROPOSITION II.1.5.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E,

(t

0

; x

0


) = x

0

. Si� < +1 (resp. � > �1), et si f(t; '(t)) reste borné au voisinage de � (resp. �) (auquel cas on dit que f estbornée sur le graphe de ' au voisinage de �) alors A

d

(') (resp. Ag

(')) est réduit à un point. Autrement dit, 'a une limite en � (resp. �).

Démonstration. En effet, le Théorème des accroissements finis (Théorème I.2.2, page 7), pour t1

et t2

proches de � on a k'(t1

)� '(t

2

)k �

M jt

1

� t

2

j, ce qui montre, puisque E est complet que '(t) converge dans E lorsque t tend vers �.

PROPOSITION II.1.6.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E,

(t

0

; x

0


) = x

0

. SupposonsE de dimension finie. Si � < +1 (resp. � > �1), et si ' reste bornée au voisinage de � (resp. �) alorsA

d

(')

(resp. Ag

(')) est un compact connexe non vide.

Démonstration. En effet, si on pose Ad;t

(') = '(℄t; �[), alors Ad;t

est un compact connexe non vide et l’intersection Ad

de cescompacts ne peut être vide (famille décroissante). La connexité se voit aussi aisément : siA

d

(') � O

1

[O

2

, où lesOi

sont des ouvertsrencontrant tous deux A

d

(') et tels que A \ O

1

\ O

2

= ;. Par compacité de A, il existe deux voisinages ouverts Vr

1

(A \ O

1

) deA \ O

1

et Vr

2

(A \ O

2

) de A \ O

2

disjoints. Ainsi, quitte à changer les Oi

on peut les supposer disjoints. Si F = E n (O

1

[ O

2

),alors l’intersection des A

d;t

\ F est vide ce qui implique, par définition de la compacité, que l’un d’entre eux est vide.



II.2. SOLUTIONS APPROCHÉES, MÉTHODE D’EULER

SOUS-SECTION II.1.3

Cylindres de sécurité

DÉFINITION II.1.8.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E et f une fonction continue de U dans E.

Soit (t0

; x

0

) 2 U . On dit qu’un cylindre C = [t

0

� T; t

0

+ T ℄ �

�

B(x

0

; r

0

) est un cylindre de sécurité pourle problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t

0

) = x

0

, si toute solution x : I ! E de l’équation différentiellex

0

= f(t; x) définie sur un intervalle I contenant t0

, contenu dans [t0

� T; t

0

+ T ℄, vérifiant x(t0

) = x

0

restecontenue dans �

B(x

0

; r

0

) (i.e. x(t) 2 �

B(x

0

; r

0

), 8t 2 I).

La Proposition simple, mais importante, suivante montre qu’il existe toujours des cylindres de sécurité.

PROPOSITION II.1.7.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E et f une fonction continue de U dans E. Soit

(t

0

; x

0

) 2 U . Supposons qu’il existe un cylindre C0

= [t

0

� T

0

; t

0

+ T

0

℄ �

�

B(x

0

; r

0

) contenu dans U tel que

M = sup

(t;y)2C

0

kf(t; y)k < +1. Alors le cylindreC = [t

0

� T

1

; t

0

+ T

1

℄�

�

B(x

0

; r

0

) avec T1

= min

n

T

0

;

r

0

M

o

est un cylindre de sécurité du problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

.

Démonstration. En effet, si cela était faux, il existerait, par exemple, une solution x définie sur un intervalle [t0

; t

0

+ T

0

1

℄, T 01

� T

1

, nerestant pas dans �

B(x

0

; t

0

), c’est-à-dire telle que, pour certaines valeurs de t < T

0

1

, on ait kx(t)� x

0

k > r

0

. Soit � la borne inférieuredes t 2 [t

0

; t

0

+ T

0

1

℄ tels que kx(t)� x

0

k > r

0

, de sorte que kx(�)� x

0

k = r

0

et t0

< � < t

0

+ T

0

1

. Alors, par définition de M ,

r

0

=

Z

�

t

0

x

0

(u)du

�

Z

�

t

0

x

0

(u)

du =

Z

�

t

0

kf(u; x(u))k du �M(� � t

0

) < MT

0

1

ce qui est absurde puisque T 01

�

r

0

M

.

PROPOSITION II.1.8.1. Il existe un cylindre de sécurité dès que f est bornée sur un cylindre contenu dans U donné a priori.2. Si l’espace E est de dimension finie alors tout cylindre C

0

contenu dans U est compact et la continuitéde f implique qu’elle est bornée sur C

0

; ainsi, dans ce cas, on peut donc prendre pour C0

, dans la Propositionprécédente, tout cylindre contenu dans U .

3. En général, la continuité en (t

0

; x

0

) de f permet seulement de dire qu’il existe un cylindre C0

où f estbornée et donc un cylindre de sécurité qui lui est associé comme dans la Proposition précédente.

4. La preuve de la Proposition montre que si on a seulement M = sup

(t;y)2

~

C

0

kf(t; y)k < +1, où ~

C

0

=

[t

0

; t

0

+ T

0

℄ �

�

B(x

0

; r

0

), alors le cylindre C est de sécurité pour toute solution définie sur un intervalle de

la forme [t

0

; t

0

+ T

0

1

℄ avec T 01

� min

n

T

0

;

r

0

M

o

. Dans cette situation on dit que C = [t

0

; t

0

+ T

1

℄�

�

B(x

0

; r

0

),

T

1

= min

n

T

0

;

r

0

M

o

, est un cylindre de sécurité.

5. On notera que, d’après le Théorème des accroissements finis (Théorème I.2.2, page 7), dans les conditionsde la Proposition précédente, toute solution x définie sur un intervalle I tel que I � �

B(x

0

; r

0

) est contenu dansun cylindre de sécurité sur lequel kfkest majorée par M , est lipschitzienne de rapport M .

SECTION II.2

Solutions approchées, Méthoded’Euler

DÉFINITION II.2.1.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et

(t

0

; x

0

) 2 U . Nous dirons qu’une fonction continue ' : I = [t

0

; t

0

+ T ℄ ! E est une solution approchée



linéaire (affine) par morceaux à droite de t0

au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

, si les conditionssuivantes sont satisfaites :

(i) Il existe une subdivision ti

, 0 � i � N , de I telle que tN

= T , et, pour tout i, (ti

; '(t

i

)) 2 U ;(ii) pour tout i, 0 � i � N � 1, la restriction de ' à l’intervalle [t

i

; t

i+1

℄ est donnée par 'j[t

i

;t

i+1

℄

(t) =

'(t

i

) + (t� t

i

)f(t

i

; '(t

i

)).De même, par symétrie, nous parlerons de solution approchée linéaire (affine) par morceaux à gauche

de t0


) = x

0

.

On notera que, étant donné une subdivision de l’intervalle [t0

; t

0

+ T ℄, il existe au plus une seule solution approchée linéaire parmorceaux à droite de t

0


) = x

0

: cette méthode de construction est généralement appelée laméthode d’Euler ou méthode de la tangente. Précisément cette méthode construit la solution approchée comme suit :

PROPOSITION II.2.1 (Méthode d’Euler).Soient U une partie de R � E, E espace de Banach, et f une application de U dans E. Soit (t

0

; x

0

) 2 U .1. On définit tout d’abord ' sur l’intervalle [t

0

; t

1

℄ par '(t) = x

0

+ (t � t

0

)f(t

0

; x

0

), t1

étant choisit desorte que (t

1

; '(t

1

)) 2 U (si cela est possible bien sûr).2. on définit ensuite ' sur l’intervalle [t

1

; t

2

℄ par '(t) = '(t

1

) + (t � t

1

)f(t

1

; '(t

1

)), t2

étant là aussichoisit de sorte que (t

2

; '(t

2

)) 2 U .3. Et ainsi de suite par récurrence sur chacun des intervalles [t

i

; t

i+1

℄, 0 � i � N � 1.Il est clair que cette construction donne une solution approchée linéaire par morceaux à droite de t

0

, définiesur un intervalle [t

0

; t

N

℄ dont la taille dépend du choix initial de (t

0

; x

0

) et de f (on peut avoir, sans hypo-thèses supplémentaires, t

N

6= t

0

!). On dit que cette solution approchée linéaire par morceaux est associée à lasubdivision t

i

. De plus, on a :(i) Sur ℄t

i

; t

i+1

[, ' est dérivable et '0(t) = f(t

i

; '(t

i

)).(ii) aux points t

i

, ' a une dérivée à droite et à gauche et '0d

(t

i

) = f(t

i

; '(t

i

)) et '0g

(t

i

) = f(t

i�1

; '(t

i�1

))

(sauf aux extrémités où il n’y en a qu’une sur les deux).(iii) En notant '0(t) la dérivée de ' en dehors des points t

i

, 0 � i � N , alors '0 est une fonction en escalier

et on a '(t) = x

0

+

Z

t

t

0

'

0

(u)du, pour tout t.

Naturellement, si on choisit au hasard le point de départ (t0

; x

0

) il se peut que l’on ne puisse même pas entamer le processus deconstruction car on peut ne pas trouver t

1

6= t

0

tel que (t1

'(t

1

)) 2 U . La FIG. II.2.1 illustre la construction.

R

E

t

0

t

1

t

2

t

3

t

4

t

5

t

6

t

7

x

0

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

x

7

b

b

b

b

b

b

b

b

(t

0

; x

0

)

(t

1

; x

1

)

(t

2

; x

2

)

(t

3

; x

3

)

(t

4

; x

4

)

(t

5

; x

5

)

(t

6

; x

6

)

(t

7

; x

7

)

U

droite d’équation : x7

+ (t� t

7

)f(t

7

; x

7

), t � t

7

z }| {

x(t) = x

i

+ (t� t

i

)f(t

i

; x

i

); t

i

� t � t

i+1

FIG. II.2.1 – Solution approchée par la méthode d’Euler

Si (t0

; x

0

) 2

Æ

U , on pourra toujours construire une telle solution approchée sur un intervalle [t0

; t

N

℄ assez petit. Plus précisément,si [t

0

; T ℄ est assez petit, grâce à la continuité de f , pour toute subdivision (t

i

) de [t

0

; T ℄ on peut construire une solution approchée




associée à cette subdivision : l’idée est que, si la subdivision est assez fine, on espère ainsi approcher une solution exacte. En fait, nousallons procéder de manière plus précise en utilisant les cylindres de sécurité :

PROPOSITION II.2.2.Soient E un espace de Banach réel et U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et

(t

0

; x

0

) 2 U . Supposons que l’on ait un cylindre C0

= [t

0

; t

0

+ T

0

℄ �

�

B(x

0

; r

0

) contenu dans U sur lequel f

est bornée par M . Alors si T � T

1

= minfT

0

;

r

0

M

g, pour toute subdivision (t

i

), 1 � i � N , de [t

0

; t

0

+ T ℄,

la méthode d’Euler construit une solution approchée linéaire par morceaux associée à la subdivision (t

i

) quireste dans B(x

0

; r

0

). Autrement dit, le cylindre [t

0

; t

0

+ T

1

℄�

�

B(x

0

; r

0

) est de sécurité pour toute solutionapprochée linéaire par morceaux définie sur un intervalle [t

0

; t

0

+ T ℄. De plus, une telle solution approchée estM -lipschitzienne. Naturellement, on a un énoncé analogue pour les solutions approchées linéaires par morceauxà gauche de t

0

.

Démonstration. Reprenons les notations de la définition précédente et raisonnons par récurrence sur i : montrons que k'(t)� x

0

k �

r

0

, pour t 2 [t

i

; t

i+1

℄, si l’on suppose k'(tk

)� x

0

k � r

0

pour 0 � k � i (ce qui est bien sûr vrai si i = 0). En effet, l’hypothèse derécurrence implique kf(t

k

; '(t

k

))k � M , 1 � k � i, ce qui entraîne k'(tk

)� '(t

k+1

)k � (t

k+1

� t

k

)M pour 0 � k � i� 1, et,par suite, en écrivant

'(t)� x

0

= '(t)� '(t

i

) +

i�1

X

k=0

('(t

k

)� '(t

k+1

));

il vient

k'(t)� x

0

k �M

t� t

i

+

i�1

X

k=0

(t

k+1

� t

k

)

!

=M(t� t

0

) � r

0

:

Le fait que ' soit M -lipschitzienne résulte aussitôt de la dernière assertion de la Proposition précédente.

S’il est clair que, dans les conditions de la Proposition précédente, on peut toujours considérer des solutions approchées linéairespar morceaux définie sur des subdivisions aussi fines que l’on veut, il est moins évident que l’on puisse en construire qui soit, en uncertain sens, proches d’une vraie solution. Pour aborder cette question, introduisons tout d’abord une définition :

DÉFINITION II.2.2.Soient E un espace de Banach réel, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et

(t

0

; x

0

) 2 U . Soit " > 0.1. On dit qu’une fonction ' : I ! E de classe C 1 sur un segment contenant t

0

est une solution "-approchée de classe C 1 au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t

0

) = x

0

, si '(t0

) = x

0

et si

8t 2 I; (t; '(t)) 2 U et supt2I

k'

0

(t)� f(t; '(t))k � ":

2. On dit qu’une fonction continue ' : I ! E de classe C 1 par morceaux sur un segment I = [a; b℄

contenant t0

est une solution "-approchée de classe C 1 par morceaux au problème de Cauchy x0 = f(t; x),x(t

0

) = x

0

, si '(t0

) = x

0

et s’il existe une subdivision ti

, 1 � i � n, de I , t1

= a, tn

= b, telle que, pour toutt 2 I , ' admette une dérivée à droite '0

d

(t) et une dérivée à gauche '0g

(t) en t (sauf bien sûr aux extrémités oùil n’y en a qu’une), la restriction de ' à chaque intervalle [t

i

; t

i+1

℄ est de classe C 1 et

8t 2 I; (t; '(t)) 2 U; sup

t2I

k'

0

d

(t)� f(t; '(t))k � " et sup

t2I

'

0

g

(t)� f(t; '(t))

� ":

Nous avons vu précédemment qu’une solution approchée linéaire par morceaux ne peut s’échapper d’une boule si son intervalle dedéfinition est convenablement relié à un cylindre de sécurité. Pour les solution "-approchées, il faut modifier un peu ce résultat :

PROPOSITION II.2.3.Soient E un espace de Banach réel, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et

(t

0

; x

0

) 2 U . Supposons que l’on s’est donné un cylindre C = I �

�

B(x

0

; r

0

)� U où I est un segment de

R contenant t0

tel que sup

(t;y)2C

kf(t; y)k =M < +1. Soit " > 0. Soit T0

�

r

0

M + "

maximum de sorte que

[t

0

; t

0

+T

0

℄ soit contenu dans I . Alors toute solution "-approchée C 1 par morceaux ' : [t

0

; t

0

+T ℄! E, avecT � T

0

, au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

, reste dans la boule �

B(x

0

; r

0

). Naturellement on a unrésultat analogue pour un intervalle convenable de la forme [t

0

� T; t

0

℄.



Démonstration. Supposons que cela soit faux. On a donc une telle solution "-approchée, ', définie sur un intervalle [t

0

; t

0

+ T

1

℄,T

1

� T

0

, qui sort de la boule �

B(x

0

; r

0

) pour une valeur de t < T

1

. Soit � la borne inférieure des t pour lesquels k'(t)� x

0

k > r

0

,de sorte que k'(�)� x

0

k = r

0

et � < T

1

. Comme ' est dérivable sauf en un nombre fini de points et est continue, on a

r

0

= k'(�)� x

0

k =

Z

�

t

0

'

0

(u)du

;

et, par suite

r

0

�

Z

�

t

0

'

0

(u)� f(u;'(u))

du+

Z

�

t

0

kf(u;'(u))k du

� (M + ")(� � t

0

)

< (M + ")T

1

;

puisque, par définition de � , pour t0

� u � � , on a f(u;'(u)) 2 C. Mais ceci contredit la définition de T1

.

L’étape fondamentale pour obtenir les Théorèmes d’existence de solution locale pour les équations différentielles que nous avonsen vue est de montrer que, étant donné un cylindre de sécurité, on peut toujours construire des solutions "-approchées linéaires parmorceaux définies dans un intervalle dont la longueur ne dépend que du cylindre de sécurité. Nous allons donner deux preuves de cerésultat : l’une ne faisant aucune hypothèse sur la fonction f et l’autre sous une hypothèse d’uniforme continuité locale. La secondepermettra en plus de contrôler l’erreur faite par la solution approchée en fonction du module de continuité de f .

THÉORÈME II.2.1 (Théorème d’existence des solutions "-approchées ).Soient E un espace de Banach réel, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et

(t

0

; x

0

) 2 U . Supposons que l’on s’est donné un cylindre C = I �

�

B(x

0

; r

0

)� U où I est un segment de

R contenant t0

tel que sup

(t;y)2C

kf(t; y)k = M < +1. Soit T0

�

r

0

M

maximum de sorte que [t

0

; t

0

+ T

0

℄ soit

contenu dans I ; ainsi, [t0

; t

0

+ T

0

℄�

�

B(x

0

; r

0

) est un cylindre de sécurité. Alors, pour tout " > 0 il existe unesolution "-approchée, linéaire par morceaux ' : [t

0

; t

0

+T

0

℄! E. De plus cette solution est M -lipschitzienne.

Naturellement, on a un énoncé analogue sur l’intervalle [t0

� T

1

; t

0

℄ avec T1

�

r

0

M

et [t0

� T

1

; t

0

℄ � I .

Démonstration. Nous pouvons nous restreindre au cas T0

> 0 sinon il n’y a rien à montrer. Nous allons construire ' par la méthoded’Euler ce qui donnera tout de suite la dernière assertion concernant le fait que ' est M -lipschitzienne d’après la Proposition II.2.2 etle Théorème des accroissements finis, Théorème I.2.1, page 6. Nous construisons donc ' en utilisant la méthode d’Euler (PropositionII.2.1). D’après la Proposition II.2.2, page précédente, cela revient à montrer qu’il existe une subdivision convenable de [t

0

; t

0

+ T

0

℄.Définissons tout d’abord t

1

par

t

1

= infft � t

0

; t � T

0

tels que kf(t0

; x

0

)� f(t; x

0

+ (t� t

0

)f(t

0

; x

0

))k > "g:

Par continuité de f , on a clairement t1

> t

0

. Si t1

= T

0

la construction est terminée. Sinon on recommence le même procédé pourconstruire t

2

en remplaçant t0

par t1

et x0

par '(t1

). Si t2

= T

0

la construction se termine et sinon on recommence. Supposonsque le procédé se poursuive jusqu’à l’étape n (i.e. t

n�1

< T

0

). Remarquons tout de suite que la fonction ' ainsi construite est unesolution "-approchée sur l’intervalle [t

0

; t

n

℄ : cela résulte aussitôt de la Proposition II.2.1 et de la construction, et, de plus, elle estM -lipschitzienne. Pour conclure, il suffit donc de voir que le procédé s’arrête nécessairement c’est-à-dire que, pour n assez grand,on aura automatiquement t

n

= T

0

. Supposons que cela soit faux et que le procédé se poursuive indéfiniment. On construit ainsiune suite strictement croissante (t

n

) majorée qui converge donc vers t0 � T

0

et une solution approchée ' sur [t0

; t

0

[. Comme ' estM -lipschitzienne, on a

k'(t

n+1

)� '(t

n

)k �M(t

n+1

� t

n

)

ce qui montre que la suite ('(t

n

)) est de Cauchy dans E. Elle converge donc vers une limite x0 qui appartient à �

B(x

0

; r

0

) d’aprèsla Proposition II.2.2, page précédente. Considérons alors, pour n donné assez grand la solution approchée '

n

définie sur [t0

; t

0

℄ etassociée à la subdivision t

i

, 0 � i � n (Proposition II.2.2). Si t 2℄tn

; t

0

℄ on a '0n

(t) = f(t

n

; '(t

n

)), et, comme f est continue en(t

0

; x

0

), pour n assez grand, on aura

kf(t

n

; '(t

n

))� f(t; '

n

(t)k � "

car

k'

n

(t)� '(t

n

)k �M(t

0

� t

n

)

et k'(tn

)� x

0

k et t0 � t

n

tendent vers zéro quand n!1. Ceci contredit la possibilité de construire tn+1

.C.Q.F.D.

Si on impose une condition d’uniforme continuité à f , le Théorème précédent devient très simple :




PROPOSITION II.2.4.

Soient E un espace de Banach réel, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et(t

0

; x

0

) 2 U . Supposons qu’il existe C = I �

�

B(x

0

; r

0

) � U où I est un segment de R contenant t0

tel que,d’une part, sup

(t;y)2C

kf(t; y)k =M < +1, et, d’autre part, f soit uniformément continue sur C, c’est-à-dire que

son module de continuité

!

f

(u) = supfkf(t

1

; y

1

)� f(t

2

; y

2

)k tels que jt1

� t

2

j+ ky

1

� y

2

k � ug; u � 0;

vérifie lim

u!0

u>0

!

f

(u) = 0. Soit T0

�

r

0

M

maximum de sorte que [t0

; t

0

+T

0

℄ soit contenu dans I . Alors toute solution

approchée linéaire par morceaux à droite de t0

est "-approchée pour " = !

f

((M + 1)h

max

) où h

max

=

maxfjt

i+1

� t

i

j ; 0 � i � N � 1g.

Démonstration. C’est une conséquence immédiate de la Proposition II.2.1, page 48.

L’intérêt des solutions "-approchées réside dans la propriété suivante :

PROPOSITION II.2.5.

Soient E un espace de Banach réel, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et(t

0

; x

0

) 2 U . Supposons que l’on ait une suite 'n

, n � 1, de solutions "n

-approchées au problème de Cauchyx

0

= f(t; x), x(t0

) = x

0

, définies dans un même segment I telle que lim

n!1

"

n

= 0 (ce qui est toujours possible

par les deux résultats précédents si I est convenablement associé à un cylindre de sécurité comme dans lesPropositions précédentes) et qui converge uniformément vers une fonction continue x : I ! E telle que,8t 2 I , (t; x(t)) 2 U . Alors x est une solution de problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t

0

) = x

0

.

Démonstration. Remarquons tout d’abord que, en posant '0

= x, l’ensemble

A = f(t; '

n

(t)); n � 0; t 2 Ig

est un compact de R �E contenu dans U . En effet, si on note A l’ensemble des 'n

, n � 0, alorsA est compact dans l’espace norméC

u

(I;E) (muni de la norme uniforme) (car l’ensemble formé des points d’une suite convergente et de sa limite est toujours compact),et comme l’application (t; ) 7! (t; (t)) est continue de I � A dans R � E, son image A est compacte. Comme f est continue,ceci implique qu’elle est uniformément continue sur A (Proposition ??, page Proposition II.1.1) et, par suite, la suite des fonctionsu 7! f(u;'

n

(u)) converge uniformément, sur I , vers u 7! f(u; x(u)). Alors, comme, par hypothèse, on a, si I � [t

0

� T; t

0

+ T ℄,

'

n

(t)� x

0

�

Z

t

t

0

f(u; '

n

(u))du

� "

n

(T � t

0

);

on obtient la conclusion en écrivant

x(t)� x

0

�

Z

t

t

0

f(u; x(u))du

� kx(t)� '

n

(t)k

+

Z

t

t

0

kf(u; x(u))� f(u;'

n

(u))k du

+"

n

(T � t

0

);

et en appliquant la Proposition II.1.4, page 46.



SECTION II.3

Théorèmes d’existence etd’unicité généraux

SOUS-SECTION II.3.1

Le cas de dimension finie : le Théorème deCauchy-Peano-Arzela

THÉORÈME II.3.1 (Théorème de Cauchy-Peano-Arzela ).Soient E un espace normé réel de dimension finie, U une partie de R � E, f une fonction continue de U

dans E et (t0

; x

0

) 2 U . Supposons que l’on ait C = I �

�

B(x

0

; r

0

) � U un cylindre contenu dans U où I estun segment de R contenant t

0

(un tel cylindre existe toujours si (t0

; x

0

) est dans l’intérieur de U , mais ceci n’est

pas nécessaire). Soient M = sup

(t;y)2C

kf(t; y)k =M (M est fini car C est compact et f continue), T1

�

r

0

M

et

T

2

�

r

0

M

tous deux maximum de sorte que [t

0

� T

1

; t

0

+ T

2

℄ soit contenu dans I . Alors il existe une solution

x : [t

0

� T

1

; t

0

+ T

2

℄! E au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

.

Démonstration. Il nous suffit, par exemple, de montrer l’existence de x sur [t0

; t

0

+ T

2

℄, le même raisonnement fournira une solutionsur [t

0

� T

1

; t

0

℄ et il n’y aura plus qu’à recoller les deux solutions. D’après la Proposition précédente (f est uniformément continuesur C), pour tout n � 1, il existe une solution 1

n

-approchée, 'n

, définie sur l’intervalle [t

0

; t

0

+ T

2

℄. Comme chaque 'n

est M -lipschitzienne et '

n

(t) 2

�

B(x

0

; r

0

), 8t (Proposition II.2.2, page 49), l’ensemble des 'n

forme une partie équicontinue, et, E étant dedimension finie, �

B(x

0

; r

0

) est compacte, ce qui montre que f'n

(t); n � 1g est relativement compact. Alors le Théorème d’Ascoliimplique qu’il existe une sous-suite ('

n

k

)

k�0

de la suite ('n

) qui converge uniformément sur [t0

; t

0

+T

2

℄ vers une fonction continuex. Pour conclure, il suffit d’appliquer la Proposition II.2.5.

C.Q.F.D.

COROLLAIRE.Soient E un espace normé réel de dimension finie, U une partie de R � E, f une fonction continue de U

dans E et (t0

; x

0

) 2

Æ

U . Alors il existe une solution maximale de l’équation différentielle x0 = f(t; x) telleque x(t

0

) = x

0

. De plus, si U est ouvert, l’intervalle de définition de toute solution maximale de l’équationdifférentielle x0 = f(t; x) est ouvert.

Démonstration. La première assertion résulte du Théorème précédent et de la Proposition II.1.2, page 45. La seconde est immédiate :si x est une solution maximale définie sur ℄a; b℄, alors (b; x(b)) appartient à U qui est ouvert, et, le Théorème précédent dit qu’il existeune solution ~x au problème de Cauchy y0 = f(t; y), y(b) = x(b). En considérant alors la fonction qui est égale à x sur ℄a; b℄ et à ~x audelà de b, on contredit la maximalité de x.

Remarque II.3.1. Dans les résultats d’existence de cette sous-section il n’y a évidement pas unicité de la solution. Par exemple leproblème de Cauchy x0 = 3x

2=3, x(0) = 0, a trivialement deux solutions (locales ou maximales) : x = 0 et x(t) = t

3.

SOUS-SECTION II.3.2

Le cas localement lipschitzien

DÉFINITION II.3.1.SoientE un espace normé réel de dimension finie, U une partie de R�E, f : (t; x) 7! f(t; x) une fonction

continue de U dans E. On dit que f est localement lipschitzienne en x si, pour tout point (t0

; x

0

) de U il existeun voisinage V de (t

0

; x

0

) et une constante k � 0 (dépendant du point (t0

; x

0

)) tel que, dans V \ U f soitlipschitzienne de rapport k par rapport à x, c’est-à-dire si, pour tout couple de points (t; y

1

) et (t; y2

) de V \ U

on a kf(t; y1

)� f(t; y

2

)k � k ky

1

� y

2

k.



II.3. THÉORÈMES D’EXISTENCE ET D’UNICITÉ GÉNÉRAUX

Dans la suite, nous dirons souvent «localement lipschitzienne» pour «localement lipschitzienne en x».Dans ce cadre, nous allons démontrer des Théorèmes d’existence et d’unicité (local et maximal). Nous donnerons deux démonstra-

tion de l’existence des solutions : l’une utilisant les solutions approchées définies à la section précédente, l’autre basée sur le Théorèmedu point fixe. Pour la première, il nous faut remplacer l’argument de compacité (nécessité par l’utilisation du Théorème d’Ascoli) utilisédans la preuve du Théorème de Cauchy-Peano-Arzela par un autre. Cet argument est développé dans la première sous-section :

II.3.2.1 Lemmes de Gronwall, Lemme fondamental

L’estimation qui permet de faire converger une suite de solutions "-approchées est basé sur un Lemme élémentaire :

LEMME DE GRONWALL.

Soitu une fonction continue de [0; T ℄, T > 0, dans R telle que

u(t) � at+ k

Z

t

0

u(s)ds; t 2 [0; T ℄; a � 0; k � 0:

Alors on a u(t) �a

k

�

e

kt

� 1

�

, 0 � t � T .

Démonstration. Soit v(t) =Z

t

0

u(s)ds. Comme u est continue, v est dérivable et on a v0(t) � at+ kv(t), ce qui est une inéquation

différentielle. Posons w(t) = e

�kt

v(t). Il vient w0(t) = e

�kt

(v

0

(t)� kv(t)), d’où w0(t) � ate

�kt. Comme w(0) = 0, il vient

w(t) � a

Z

t

0

se

�ks

ds =

a

k

2

�

1� e

�kt

� kte

�kt

�

;

et, par suite v(t) �a

k

2

�

e

kt

� 1� kt

�

, d’où le résultat puisque u(t) � at+ kv(t).

LEMME FONDAMENTAL.SoientE un espace de Banach réel, U une partie de R�E, f une fonction continue de U dansE, (t

0

; x

1

) 2

U et (t0

; x

2

) 2 U . Soit I un segment de R contenant t0

. Soient '1

: I ! E une solution "1

-approchée C 1 parmorceaux au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t

0

) = x

1

, et '2

: I ! E une solution "2

-approchée C 1 parmorceaux au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t

0

) = x

2

. On suppose qu’il existe une constante k � 0 telleque, pour tout t 2 I , on a

kf(t; '

1

(t))� f(t; '

2

(t))k � k k'

1

(t)� '

2

(t)k :

Alors, on a

k'

1

(t)� '

2

(t)k � kx

1

� x

2

k e

kjt�t

0

j

+ ("

1

+ "

2

)

e

kjt�t

0

j

� 1

k

:

Démonstration. Pour simplifier les notations, nous pouvons supposer t0

= 0. D’autre part, il nous suffit de montrer cette estimationpour t > 0, le cas t < 0 se traitant en changeant t en �t. Les solutions '

i

étant "i

-approchées, on a

'

0

1

(t)� '

0

2

(t)

� "

1

+ "

2

+ kf(t; '

1

(t))� f(t; '

2

(t))k

� "

1

+ "

2

+ k k'

1

(t) + '

2

(t)k ;

où '0i

désigne la dérivée de 'i

dans un intervalle ou elle est de classeC 1. Soit '(t) = '

1

(t)�'

2

(t). En intégrant l’inégalité précédente,il vient

k'(t)� '(0)k �

Z

t

0

("

1

+ "

2

+ k k'(u)k) du

� ("

1

+ "

2

+ k k'(0)k) t+ k

Z

t

0

k'(u)� '(0)k du:

Nous pouvons donc appliquer le Lemme de Gronwall de la présente page à la fonction u(t) = k'(t)� '(0)k : cela donne

k'(t)� '(0)k �

�

"

1

+ "

2

k

+ k'(0)k

��

e

kt

� 1

�

;

ce qui donne k'(t)k � k'(0)k e

kt

+

"

1

+ "

2

k

�

e

kt

� 1

�

, ce qui est l’inégalité cherchée.



COROLLAIRE.Soient E un espace de Banach, U une partie de R � E et f et g deux fonctions continues de U dans

E. Soient I un intervalle de R et '1

: I ! E (resp. '2

: I ! E) une solution de l’équation différen-tielle x0 = f(t; x) (resp. x0 = g(t; x)). On suppose qu’il existe une constante k telle que, pour tout t 2 I ,on a kf(t; '

1

(t))� f(t; '

2

(t))k � k k'

1

(t)� '

2

(t)k (ce qui est par exemple le cas si f est globalement k-lipschitzienne), et, kf(t; x)� g(t; x)k � ", pour (t; x) 2 U . Alors, pour t

0

2 I , on a

k'

1

(t)� '

2

(t)k � k'

1

(t

0

)� '

2

(t

0

)k e

kjt�t

0

j

+ "

e

kjt�t

0

j

� 1

k

:

Démonstration. En effet, on a k'02

(t)� f(t; '

2

(t)k � ".

Il existe de nombreuses versions du Lemme de Gronwall qui consistent essentiellement à résoudre des inéquations différentielleslinéaires d’ordre 1. Nous avons donné ci-dessus celle qui nous était utile pour le Lemme fondamental. En voici quelques autres quiservent dans la théorie des équations différentielles.

PROPOSITION II.3.1 (Lemme de Gronwall ).Soient I un intervalle de R et u une fonction continue par morceaux de I dans R

+

telle qu’il existe des

constantes a � 0 et k � 0 telles que, pour un t0

2 I , on ait, pour tout t 2 I , u(t) � a+ k

Z

t

t

0

u(s)ds. Alors on

a u(t) � ae

kjt�t

0

j, t 2 I .

Démonstration. Raisonnons pour t � t

0

, l’autre cas se traitant en changeant I en �I . Comme

d

dt

�

e

�k(t�t

0

)

Z

t

t

0

u(s)ds

�

= e

�k(t�t

0

)

�

u(t)� k

Z

t

t

0

u(s)ds

�

� ae

�k(t�t

0

)

;

en intégrant, il vientZ

t

t

0

u(s)ds � e

k(t�t

0

)

a

k

�

1� e

�k(t�t

0

)

�

, et, en réutilisant l’hypothèse, on trouve le résultat.

PROPOSITION II.3.2 (Lemme de Gronwall ).Soient I un intervalle de R, u, v et f des fonctions de I dans R. On suppose que u est positive. Si, pour un

� 2 R, on a

v(t) � �+

Z

t

t

0

u(s)v(s)ds+

Z

t

t

0

f(s)ds; t � t

0

;

alors

v(t) � �e

R

t

t

0

u(s)ds

+

Z

t

t

0

e

R

t

s

u(�)d�

f(s)ds:

Démonstration. Soit ' la solution de l’équation différentielle '0 = u' + f telle que '(t0

) = �. Par intégration, l’hypothèse sur vdonne

(t) = '(t)� v(t) �

Z

t

t

0

u(s) (s)ds = #(t):

Comme u est positive, on a #0 � u#. Ainsi la fonction �(t) = e

�

R

t

t

0

u(s)ds

#(t) vérifie �0(t) � 0 et �(t0

) = 0 ce qui donne �(t) � 0.Autrement dit, '(t)� v(t) � 0, pour t � t

0

. La Proposition résulte donc du fait élémentaire que la solution de l’équation différentielle'

0

= u'+ f telle que '(t0

) = � est

'(t) = �e

R

t

t

0

u(s)ds

+

Z

t

t

0

e

R

t

s

u(�)d�

f(s)ds:

PROPOSITION II.3.3 (Lemme de Gronwall ).

Soient E un espace de Banach, I un intervalle de R et ' une application continue de I dans E de classe C 1

par morceaux au sens où les points de discontinuité de '0 forment une partie discrèteD de I et sont de premièreespèce (i.e. '0 a une limite à gauche et à droite en tout point de D). Supposons qu’il existe deux constantesA � 0 et B � 0 telles que, pour tout t 2 I nD on a

k'

0

(T )k � A k'(t)k+B:

Alors, pour tous t et t0

dans I , on a :




1. Si A > 0, k'(t)k � k'(t

0

)k e

Ajt�t

0

j

+

B

A

�

e

Ajt�t

0

j

� 1

�

.

2. Si A = 0, k'(t)k � k'(t

0

)k+B jt� t

0

j.

Démonstration. Supposons tout d’abord t � t

0

. En posant t = t

0

+ s, s � 0, il vient '(t0

+ s) =

Z

t

0

+s

t

0

'

0

(u)du+ '(t

0

), d’où

k'(t

0

+ s)k � k'(t

0

)k+Bs+A

Z

t

0

+s

t

0

k'(u)k du:

Si A = 0, cela donne 2. A partir de maintenant, on supposeA > 0. Si on pose g(s) =Z

t

0

+s

t

0

k'(u)k du, l’inégalité précédente s’écrit

g

0

(s) � Ag(s) +Bs+ k'(t

0

)k, ce qui s’écrit encored

ds

�

e

�As

g(s)

�

� Bse

�As

+ e

�As

k'(t

0

)k. Il vient donc, puisque g(0) = 0,

e

�As

g(s) � B

Z

s

0

te

�At

dt+ k'(t

0

)k

Z

s

0

e

�At

dt;

soit

Ag(s) � e

As

�

k'(t

0

)k+

B

A

�

�

B

A

� k'(t

0

)k �Bs:

En reportant ceci dans l’inégalité majorant g0(s), il vient g0(s) � e

As

(k'(t

0

)k+B=A)�B=A, ce qui est le 1.Supposons maintenant t � t

0

. Changeons I en �I , t en �t et t0

en �t0

. Si on pose #(u) = '(�u), on a #0(u) = �'

0

(�u) etainsi

#

0

(u)

=

'

0

(u)

� A k#(u)k+B; u 2 �(I nD):

Si A = 0, la première partie donne, pour u � �t

0

, k#(u)k � k#(�t

0

)k +B ju� (�t

0

)j, ce qui est le résultat voulu. Si A > 0, de

la même manière, la première partie donne k#(u)k � k#(�t

0

)k e

A(u�(�t

0

))

+

B

A

�

e

A(u�(�t

0

))

� 1

�

, pour u � �t

0

ce qui est, là

aussi, le résultat cherché.

II.3.2.2 Le Théorème de Cauchy-Lipschitz

La première conséquence du Lemme fondamental est un résultat d’unicité :

PROPOSITION II.3.4.Soient E un espace de Banach réel, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et

(t

0

; x

0

) 2 U . Soient 'i

: I ! E, i = 1; 2, deux solutions au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

. Onsuppose qu’il existe une constante k � 0 telle que, pour tout t 2 I , on a

kf(t; '

1

(t))� f(t; '

2

(t))k � k k'

1

(t)� '

2

(t)k :

Alors les deux fonctions '1

et '2

sont identiquement égales sur l’intervalle I .

Démonstration. En effet, le Lemme fondamental, page 53, appliqué aux solutions donne immédiatement le résultat.

On notera que l’on ne fait ici aucune hypothèse ni sur E ni sur la taille de l’intervalle I (il faut seulement que tout soit bien définic’est-à-dire que (t; '

i

(t)) 2 U ). Nous utiliserons cela par la suite.

THÉORÈME II.3.2 (Théorème de Cauchy-Lipschitz).SoientE un espace de Banach réel,U une partie de R�E, f une fonction continue localement lipschitzienne

de U dans E et (t0

; x

0

) 2 U .1. Deux solutions au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t

0

) = x

0

, sont identiquement égales sur l’inter-section de leurs intervalles de définition (en particulier, on a unicité locale).

2. S’il existe un segment I non réduit à un point contenant t0

et un voisinage V de x0

tels que I � V � U

alors il existe une unique solution maximale à l’équation différentielle x0 = f(t; x) qui vaut x0

en t

0

. Enparticulier, si (t

0

; x

0

) est intérieur à U , il existe une unique solution maximale au problème de Cauchy x0 =f(t; x), x(t

0

) = x

0

(existence et unicité des solutions maximales).

Démonstration. Vérifions tout d’abord l’unicité. Soient '1

: I

1

! E et '2

: I

2

! E deux solutions au problème de Cauchy etI = I

1

\ I

2

. Comme f est supposée localement lipschitzienne, la Proposition précédente montre qu’il existe un intervalle J contenudans I et contenant t

0

sur le quel les deux solutions sont égales. Supposons cet intervalle maximal (pour l’inclusion). S’il n’est pas égal àI , une de ses bornes appartient à l’intérieur de I , et, en réappliquant la Proposition en ce point on aboutit à une contradiction. L’existenceelle résulte du Théorème II.2.1 page 50, du Lemme fondamental, page 53, de la Proposition II.2.5 page 51, et de la Proposition II.1.2,page 45.



Remarque II.3.2. On notera que l’unicité du Théorème précédent montre en particulier que (dans les conditions du Théorème)deux solutions de x0 = f(t; x) définies sur un même intervalle coïncident sur tout l’intervalle si et seulement si elle prennent la mêmevaleur en un point de l’intervalle.

Vue l’importance de ce Théorème, nous allons donner une seconde démonstration qui ne fait pas appel à l’existence des solutionsapprochées mais qui utilise simplement le Théorème du point fixe classique. Pour cette démonstration, nous nous contenterons d’établirun résultat d’existence et d’unicité local, l’existence et l’unicité des solutions maximales s’en déduisant comme précédemment.

THÉORÈME II.3.3 (Théorème de Cauchy-Lipschitz).Soient E un espace de Banach réel, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et

(t

0

; x

0

) 2 U . Supposons que C0

= [t

0

� T

0

; t

0

+ T

0

℄ �

�

B(x

0

; r

0

) soit un cylindre contenu dans U sur lequelsup

(t;y)2C

0

jf(t; y)j �M < +1 et f(t; y) est k-lipschitzienne en y. Soit C = [t

0

� T; t

0

+ T ℄ �

�

B(x

0

; r

0

) avec

T = min

n

T

0

;

r

0

M

o

. Alors il existe une unique solution au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

, qui

est définie dans [t0

� T; t

0

+ T ℄.

Démonstration à partir du Théorème du point fixe. SoitF le sous-espace des fonctions continues de [t0

� T; t

0

+ T ℄ dans �

B(x

0

; r

0

)

valant x0

en t0

muni de la norme de la convergence uniforme. Pour toute u 2 F posons

F (u)(t) = x

0

+

Z

t

t

0

f(s; u(s))ds:

Par définition de T , on a kF (u)(t)� x

0

k � r

0

, ce qui montre que F envoie F dans lui même. Le Théorème sera démontré si onprouve que F a un unique point fixe (Proposition II.1.4, page 46). Soient u et v dansF . En utilisant que f est k-lipschitzienne il vientimmédiatement kF (u)(t)� F (v)(t)k � k jt� t

0

j ku� vk. Itérons cette estimation :

F

2

(u)(t)� F

2

(v)(t)

� k

2

ku� vk

Z

t

t

0

js� t

0

j ds

�

(k jt� t

0

j)

2

2!

ku� vk :

Par récurrence, on conclut aussitôt que, pour tout n on a kFn

(u)(t)� F

n

(v)(t)k �

(kT )

n

n!

ku� vk. Comme lim

n!1

(kT )

n

n!

= 0, on

voit que, pour n assez grand, Fn est une application contractante de F dans lui-même. Comme F est fermé dans Cu

([t

0

� T; t

0

+

T ℄;

�

B(x

0

; r

0

)), c’est un espace complet, et la conclusion résulte du Corollaire du Théorème du point fixe classique.

Remarque II.3.3. Dans l’énoncé ci-dessus, il n’est pas nécessaire d’avoir un cylindre de la forme C0

= [t

0

� T

0

; t

0

+ T

0

℄ �

�

B(x

0

; r

0

). Il suffit d’avoir un cylindre C0

= I �

�

B(x

0

; r

0

) possédant les même propriétés et de considérer ensuite un cylindre

C = [t

0

� T

1

; t

0

+ T

2

℄�

�

B(x

0

; r

0

) contenu dans C0

et tel que Ti

�

r

0

M

. L’unique solution au problème de Cauchy est alors définie

dans [t0

� T

1

; t

0

+ T

2

℄.

II.3.2.3 Solutions globales

Dans la preuve du Théorème précédent, le fait que [t

0

� T; t

0

+ T ℄ �

�

B(x

0

; R

0

) soit un cylindre de sécurité sert seulement àassurer que l’application F envoieF dans lui-même. Avec une hypothèse plus forte sur f , le même raisonnement donne une conditionsuffisante, mais non nécessaire, pour qu’une solution maximale soit globale :

PROPOSITION II.3.5.Soient E un espace de Banach, I un intervalle ouvert de R et f une application continue de I � E dans

E. On suppose qu’il existe une fonction continue j : I ! R

+

telle que, pour tout t fixé dans I la fonctiony 7! f(t; y) soit k(t)-lipschitzienne. Alors toute solution maximale de l’équation x0 = f(t; x) est globale (i.e.définie dans I tout entier).

Démonstration. En effet, soient (t0

; x

0

) 2 I�E et [t0

�T

1

; t

0

+T

2

℄ un segment contenu dans I . Reprenons la seconde démonstrationdu Théorème de Cauchy-Lipschitz (Théorème II.3.3) : notons tout d’abord que [t

0

� T

1

; t

0

+ T

2

℄ � E est évidement un cylindrede sécurité, et l’application F de cette preuve envoie l’espace des fonctions continues de [t

0

� T

1

; t

0

+ T

2

℄ dans E (qui est unespace de Banach pour la norme uniforme) dans lui-même. Alors si k est la borne supérieure des valeurs prises par la fonction k(t)

sur [t0

� T

1

; t

0

+ T

2

℄, comme précédemment, on voit que F p est lipschitzienne de rapportk

p

(max(T

1

; T

2

))

p

p!

donc contractante

pour p assez grand. Ceci montre que l’unique solution maximale au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

est définie sur[t

0

� T

1

; t

0

+ T

2

℄ tout entier, ce qui termine la preuve.




II.3.2.4 Dépendance par rapport aux conditions initiales et à un paramètre

PROPOSITION II.3.6.Soient E un espace de Banach réel, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E. Soient

I = [�; �℄ un segment de R, x0

2 E, r0

> 0, tels que, si C0

= I �

�

B(x

0

; r

0

) � U , kf(t; y)k � M pour(t; y) 2 C, f est k-lipschitzienne en la seconde variable, dans �

B(x

0

; r

0

), pour tout t 2 I , et, �� r

0

=2M desorte que 8x

1

2

�

B(x

0

; r

0

=2) et t1

2 I , I� �

B(x

1

; r

0

=2) soit un cylindre de sécurité pour le problème de Cauchyx

0

= f(t; x), x(t1

) = x

1

. Alors l’unique solution 't

1

;x

1


) = x

1

estdéfinie dans I . De plus :

1. L’application x1

7! '

t

1

;x

1

est ek(��)-lipschitzienne sur �

B(x

0

; r

0

=2) (i.e. si xi

2

�

B(x

0

; r

0

=2), i = 1; 2,on a, 8t 2 I , k'

t

1

;x

1

(t)� '

t

1

;x

2

(t)k � K kx

1

� x

2

k avec K = e

k(��)).2. L’application t

1

7! '

t

1

;x

1

(t) est Me

k(��)-lipschitzienne sur I .En particulier, la fonction (t; t

1

; x

1

) 7! '

t

1

;x

1

(t) est continue sur I � I �

�

B(x

0

; r

0

=2).

Démonstration. En effet, c’est une conséquence immédiate du Lemme fondamental, page 53 : pour le 1. c’est évident, et, pour le 2. ilsuffit d’utiliser en plus que les solutions au problème de Cauchy sont lipschitziennes de rapportM ( 3. de la Proposition II.1.8, page 47).La dernière assertion résulte de la compacité.

PROPOSITION II.3.7.Soient E un espace de Banach réel, � un espace topologique, U une partie de R � E, f une fonction

continue de U � � dans E. Soient I = [�; �℄ un segment de R, x0

2 E, r0

> 0, V (�

0

) un voisinage d’unpoint �

0

de �, tels que, si C0

= I �

�

B(x

0

; r

0

) � V (�

0

) � U � �, kf(t; y)k � M pour (t; y; �) 2 C

0

, f estk-lipschitzienne en la seconde variable, dans �

B(x

0

; r

0

), pour tout t 2 I , et tout � 2 V (�

0

), et, �� r

0

=2M

de sorte que 8x1

2

�

B(x

0

; r

0

=2), t1

2 I , 8� 2 V (�

0

), I � �

B(x

1

; r

0

=2) soit un cylindre de sécurité pour leproblème de Cauchy x0 = f(t; x; �), x(t

1

) = x

1

. Pour tout (t1

; x

1

; �) 2 I �

�

B(x

0

; r

0

=2)� V (�

0

) soit 't

1

;x

1

;�

l’unique solution au problème de Cauchy x0 = f(t; x; �), x(t1

) = x

1

(qui est définie sur I). Alors la fonction(t; t

1

; x

1

; �) 7! '

t

1

;x

1

;�

(t) est continue de I � �

B(x

0

; r

0

=2)� V (�

0

) dans �

B(x

0

; r

0

).

Démonstration. En effet, t1

, x1

et �1

étant fixés, la fonction (t; �) 7! f(t; '

t

1

;x

1

;�

1

(t); �) est continue ce qui implique que la fonction� 7! f(t; '

t

1

;x

1

;�

1

(t); �) est continue uniformément par rapport à t 2 I . Autrement dit, pour tout " > 0, il existe un voisinage V (�1

)

de �1

(dépendant à priori de t1

et de x1

) tel que pour tout � 2 V (�1

) on a

'

0

t

1

;x

1

;�

1

(t)� f(t; '

t

1

;x

1

;�

1

(t); �)

= kf(t; '

t

1

;x

1

;�

1

(t); �

1

)� f(t; '

t

1

;x

1

;�

1

(t); �)k � "; t 2 I;

ce qui signifie que 't

1

;x

1

;�

1

est une solution "-approchée au problème de Cauchy x0 = f(t; x; �), x(t1

) = x

1

. Le Lemme fondamental( page 53) implique alors

k'

t

1

;x

1

;�

1

(t)� '

t

1

;x

1

;�

(t)k � "

e

k(��)

k

:

Alors, grâce à la Proposition précédente, pour ~t 2 I et ~x 2 �

B(x

0

; r

0

=2), et � 2 V (�1

), on a

'

~

t;~x;�

(t)� '

t

1

;x

1

;�

1

(t)

� k'

t

1

;x

1

;�

1

(t)� '

t

1

;x

1

;�

(t)k+

'

t

1

;x

1

;�

(t)� '

~

t;x

1

;�

(t)

+

'

~

t;x

1

;�

(t)� '

~

t;~x;�

(t)

� "

e

k(��)

k

+Me

k(��)

�

�

t

1

�

~

t

�

�

+ e

k(��)

kx

1

� ~xk ;

ce qui termine la preuve.

Remarque II.3.4. Quitte à réduire l’intervalle I , on peut donner une démonstration de ce dernier résultat qui n’utilise pas la Propo-

sition précédente, directement à partir du Théorème du point fixe à paramètres appliqué à la fonction x 7! x

1

+

Z

t

t

1

f(s; x(s); �

1

)ds

définie sur l’espace des fonctions continues x de I dans �

B(x

0

; r

0

=2).

PROPOSITION II.3.8.Soient E un espace de Banach réel, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E. Soient

I = [�; �℄ un segment de R, t0

2 I , x0

2 E, r0

> 0, tels que, C0

= I �

�

B(x

0

; r

0

) �

Æ

U , kf(t; y)k � M

pour (t; y) 2 C, et, � � � � r

0

=2M de sorte que t1

2 I , 8x1

2

�

B(x

0

; r

0

=2), I � �

B(x

1

; r

0

=2) soit un cylindrede sécurité pour le problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t

1

) = x

1

. Pour tous t1

2 I et x1

2 B(x

0

; r

0

=2), soit'

t

1

;x

1

(t) = '(t; t

1

; x

1

) la solution du problème de Cauchy y0 = f(t; y), y(t1

) = x

1

. Alors :1. Supposons que f admette une dérivée partielle df

x

par rapport à la seconde variable dans un voisinage deC

0

et que (t; x) 7! df

x

(t; x) soit continue. Quitte à réduire I et r0

on suppose de plus que dfx

(t; x) est bornée surC

0

(continuité au point (t0

; x

0

)). Alors la fonction (t; x

1

) 7! '(t; t

1

; x

1

) est de classe C 1 sur I � B(x

0

; r

0

=2).De plus, la fonction t 7! d'

x

1

(t; t

1

; x

1

) (d'x

1

est une fonction de I�I�B(x

0

; r

0

=2) dansL (E)) est dérivable



par rapport à t sur I , et est solution du problème de Cauchy y0 = F

t

1

;x

1

(t; y), y(t1

) = id

E

où Ft

1

;x

1

est lafonction, de I �L (E) dansL (E), définie par F

t

1

;x

1

(t; y) = df

x

(t; '(t; t

1

; x

1

)) Æ y.2. On suppose de plus que f admette une dérivée partielle df

t

par rapport à la première variable dans unvoisinage de C

0

et que (t; x) 7! df

t

(t; x) soit continue. Quitte à réduire I et r0

on suppose aussi que dft

(t; x)

est bornée sur C0

(continuité au point (t0

; x

0

)). Alors la fonction (t; t

1

) 7! '(t; t

1

; x

1

) est de classe C 1 surI � I . De plus, la fonction t 7! d'

t

1

(t; t

1

; x

1

) (d't

1

est une fonction de I � I � B(x

0

; r

0

=2) dans E) estdérivable par rapport à t sur I , et est solution du problème de Cauchy y0 = ~

F

t

1

;x

1

(t; y), y(t1

) = f(t

1

; x

1

),où ~

F

t

1

;x

1

est la fonction de I � E dans E définie par ~

F

t

1

;x

1

(t; y) = df

x

(t; '(t; t

1

x

1

) � y. De plus, la fonction(t; t

1

; x

1

) 7! '(t; t

1

; x

1

) est de classe C 1 sur I � I � B(x

0

; r

0

=2).3. Supposons maintenant que les hypothèses du 1. soient satisfaites et que, en outre, que f dépende d’un

paramètre � appartenant à un espace de Banach �, c’est-à-dire que U est un ouvert de R�E��. Précisément,suppose que les hypothèses du 1. de l’énoncé sont satisfaites en remplaçant C

0

par C0

= I �

�

B(x

0

; r

0

) � V

0

où V0

est un voisinage fermé d’un point �0

de � (en supposant dfx

continue et bornée sur C0

). De plus, onsuppose que f admet une dérivée partielle df

�

par rapport à � dans un voisinage de C0

et que cette dernière estcontinue et bornée sur C

0

. Pour tous t1

2 I , x1

2 B(x

0

; r

0

=2) et � 2 V

0

on note 't

1

;x

1

;�

(t) = '(t; t

1

; x

1

; �)

la solution du problème de Cauchy y0 = f(t; y; �), y(t1

) = x

1

. Alors la fonction (t; x

1

; �) 7! '(t; t

1

; x

1

; �)

est de classe C 1 sur I � B(x

0

; r

0

=2) � V

0

. De plus, la fonction t 7! d'

�

(t; t

1

x

1

; �) (d'�

est une fonction deI � I � B(x

0

; r

0

=2) � V

0

dans L (�;E)) est dérivable par rapport à t sur I , et est solution du problème deCauchy y0 = F

t

1

;x

1

;�

(t; y), y(t1

) = 0, où Ft

1

x

1

;�

est la fonction de I � L (�;E) dans L (�;E) définie parF

t

1

x

1

;�

(t; y) = df

x

(t; '(t; t

1

; x

1

; �); �)Æy+df

�

(t; '(t; t

1

; x

1

; �); �). Si on suppose que, en outre, les hypothèsesdu 2. sont aussi satisfaites, la fonction (t; t

1

; x

1

; �) 7! '(t; t

1

; x

1

; �) est de classe C 1 sur I�I�B(x

0

; r

0

=2)�

V

0

.

Démonstration. Nous pouvons tout d’abord Remarquer que l’hypothèse faite sur dfx

implique (Théorème I.2.2, page 7) que f estlipschitzienne d’un rapport k indépendant de (t

1

; x

1

; �) 2 I � B(x

0

; r

0

=2) � V

0

. Ainsi le Théorème d’existence et d’unicité deCauchy-Lipschitz (Théorème II.3.3, page 56) donne l’existence et l’unicité des solutions '

t

1

;x

1

et 't

1

;x

1

;�

.Démontrons tout d’abord le 1. Notons en premier que, pour tout x 2 B(x

0

; r

0

=2), tout t1

2 I et tout t 2 I ,

y 7! F

t

1

;x

1

(t; y) = df

x

(t; '(t; t

1

; x)) Æ y

est trivialement k(t)-lipschitzienne ce qui implique (Proposition II.3.5, page 56) que le problème de Cauchy y0 = F

t

1

;x

1

(t; y), y(t1

) =

id

E

admet une unique solution qui est globale (i.e. définie sur I). Fixons t1

2 I et x1

2 B(x

0

; r

0

=2). Soit y la solution du problèmede Cauchy y0 = F

t

1

;x

1

(t; y), y(t1

) = id

E

. Tout revient à montrer que, pour x 2 B(x0

; r

0

=2),

k'(t; t

1

; x)� '(t; t

1

; x

1

)� y(t) � (x� x

1

)k = o(kx� x

1

k): (II.3.1)

En effet, si cette inégalité est prouvée, alors d'x

(t; t

1

; x) existe en x1

et vaut y(t), et la fonction (t; x

1

) 7! '(t; t

1

; x

1

) est de classe

C

1 car d'x

et�'

�t

= '

0 sont continues par rapport à (t; t1

; x

1

) : la seconde l’est évidement (solution de l’équation différentielle), et la

continuité de la première résulte de la Proposition II.3.7, page précédente, appliquée à l’équation différentielle dont y est solution.Démontrons donc (II.3.1). Pour t = t

1

la relation est évidente puisque le membre de gauche vaut zéro. pour simplifier les notations,posons z(t) = '(t; t

1

; x)� '(t; t

1

; x

1

)� y(t) � (x� x

1

) et A(t) = df

x

(t; '(t; t

1

; x

1

)). On a donc

z

0

(t)�A(t) � z(t) = f(t; '(t; t

1

; x))� f(t; '(t; t

1

; x

1

))� df

x

(t; '(t; t

1

; x

1

)) � ('(t; t

1

; x)� '(t; t

1

; x

1

)): (II.3.2)

Considérons la fonction y 7! f(t; y)�f(t; '(t; t

1

; x

1

))�df

x

(t; '(t; t

1

; x

1

))� (y�'(t; t

1

; x

1

)). En écrivant la différentielle de cettefonction au point '(t; t

1

; x), on majore le second membre de (II.3.2), en norme, par m k'(t; t

1

; x)� '(t; t

1

; x

1

)k, où

m = sup

0��1

kdf

x

(t; �'(t; t

1

; x) + (1� �)'(t; t

1

; x

1

)� df

x

(t; '(t; t

1

; x

1

))k

(Théorème I.2.2, page 7). La continuité de dfx

et la compacité , montrent alors que, pour " > 0 donné, il existe � > 0 tel que

z

0

(t)�A(t) � z(t)

� " k'(t; t

1

; x)� '(t; t

1

; x

1

)k ; pour kx� x

1

k � �:

Or d’après la Proposition II.3.6, page précédente, on a k'(t; t1

; x)� '(t; t

1

; x

1

)k � K kx� x

1

k, pour une certaine constante K,d’où

z

0

(t)� A(t) � z(t)

� K" kx� x

1

k ; pour kx� x

1

k � �:

Cette dernière estimation montre que z est une solution K"-approchée de l’équation z0 = A(t) � z telle que z(t1

) = 0. Commela fonction identiquement nulle est une solution et comme z 7! A(t) � z est lipschitzienne, de rapport � = sup kA(t)k, le Lemmefondamental, page 53, donne

kz(t)k � K" kx� x

1

k

e

�jt�t

1

j

�

; pour kx� x

1

k � �;

ce qui démontre (II.3.1).Démontrons maintenant le 2. La preuve est similaire à celle du 1. Comme précédemment, pour tout x 2 B(x

0

; r

0

=2), tout t1

2 I

et tout t 2 I , y 7! ~

F

t

1

;x

1

(t; y) = df

x

(t; '(t; x)) � y est trivialement k(t)-lipschitzienne ce qui implique (Proposition II.3.5, page 56)



II.4. LE THÉORÈME DES BOUTS

que le problème de Cauchy y0 = ~

F

t

1

;x

1

(t; y), y(t1

) = f(t

1

; x

1

) admet une unique solution qui est globale (i.e. définie sur I). Fixonst

1

2 I et x1

2 B(x

0

; r

0

=2). Soit y la solution du problème de Cauchy y0 = ~

F

t

1

;x

1

(t; y), y(t1

) = f(t

1

; x

1

). Encore une fois, toutrevient à montrer que, pour ~t 2 I , on a

'(t; t

1

; x

1

)� '(t;

~

t; x

1

)� (t

1

�

~

t)y(t)

= o(

�

�

t

1

�

~

t

�

�

): (II.3.3)

En effet, si ceci est prouvé, alors d't

1

(t; t

1

; x

1

) existe en t1

et la fonction (t; t

1

; x

1

) 7! '(t; t

1

; x

1

) est de classe C 1 : il suffit, d’aprèsce qui précède, de voir que d'

t

1

est continue ce qui résulte de Proposition II.3.7, page 57, comme précédemment.Démontrons donc (II.3.3). Posons w(t) = '(t; t

1

; x

1

) � '(t;

~

t; x

1

) � (t

1

�

~

t)y(t) et B(t) = df

x

(t; '(t; t

1

; x

1

)). Un calculimmédiat donne

w

0

(t)�B(t)w(t) = f(t; '(t; t

1

x

1

))� f(t; '(t;

~

t; x

1

))�B(t) � ('(t; t

1

x

1

)� '(t;

~

t; x

1

)):

Les même estimations que celles faites dans la preuve du 1. donnent alors kw0(t)�B(t)w(t)k � K"

�

�

t

1

�

~

t

�

�, pour�

�

t

1

�

~

t

�

�

� �, cequi signifie que w est une solution K"-approchée de l’équation différentielle w0 = B(t) � w. Remarquons maintenant que w(t

1

) =

'(t

1

; t

1

; x

1

) � '(t

1

;

~

t; x

1

) � (t

1

�

~

t)f(t

1

; x

1

), et, '(t1

; t

1

x

1

) = '(

~

t;

~

t; x

1

), ce qui donne, en appliquant le Théorème de Taylor-Lagrange (Théorème I.5.2, page 21) à l’ordre 2 la fonction t 7! '(t;

~

t; x

1

),

kw(t

1

)k =

�

�

t

1

�

~

t

�

�

f(t

1

; x

1

)� f(

~

t; x

1

)

+ o(

�

�

t

1

�

~

t

�

�

):

Par suite, pour�

�

t

1

�

~

t

�

�

� � (� assez petit), on a kw(t1

)k � "

�

�

t

1

�

~

t

�

�. Si w1

est la solution de l’équation différentielle w0 =

B(t) � w qui vaut w(t1

) en t1

, le Lemme fondamental permet de la comparer à la solution w0

= 0 qui est celle qui vaut 0 en t1

et donne kw1

(t)k � K

0

"

�

�

t

1

�

~

t

�

�. En comparant maintenant w et w1

, à nouveau avec le Lemme fondamental, on obtient kw(t)k �K

00

"

�

�

t

1

�

~

t

�

�, ce qui est (II.3.3).Pour finir, démontrons 3. Fixons t

1

et x1

. Compte tenu de ce qui précède, il nous suffit de voir que � 7! '(t; t

1

; x

1

) est dérivableet que sa dérivée satisfait l’équation différentielle décrite dans l’énoncé. La continuité de d'

�

s’en déduira comme dans les preuves du1. et du 2., ce qui permettra de conclure que ' est C 1 par rapport à toutes les variables. On peut facilement déduire la dérivabilité en� du 1. ci-dessus démontré : en effet, considérons l’équation différentielle (x

0

; y

0

) = (f(t; x; �); 0), x(t1

) = x

1

, y(t1

) = �. Si onlui applique le résultat montré au 1., on obtient que la solution x(t) = '(t; t

1

; x

1

; �), y(t) = �, est de classe C 1 en (t; x

1

; �), ce quiachève la preuve.

COROLLAIRE.

Soient E et � deux espaces de Banach, U un ouvert de R � E � �, f une fonction de classe C k, k � 1, deU dans E et (t

0

; x

0

; �

0

) 2 U . Alors il existe � > 0 et r > 0 tels que, pour tous t1

2 I = [t

0

� �; t

0

+ �℄, x1

2

B(x

0

; r) et � 2 B(�

0

; r), la solution maximale 't

1

;x

1

;�

au problème de Cauchy x0 = f(t; x; �), x(t1

) = x

1

,est définie dans I , et, la fonction

(t; t

1

; x

1

; �) 7! '(t; t

1

; x

1

; �) = '

t

1

;x

1

;�

(t)

est de classe C k dans I � I � B(x

0

; r)�B(�

0

; r).

Démonstration. Pour k = 1, c’est un cas particulier de la Proposition précédente. Raisonnons par récurrence sur k. Supposons lerésultat vrai pour k � 1. Alors la Proposition précédente dit que les fonctions d'

t

, d't

1

, d'x

1

et d'�

sont solutions d’équationsdifférentielles dont le second membre est, par hypothèse de récurrence de classe C k�1. La Proposition précédente implique donc queces fonction sont de classe C k�1 ce qui termine la preuve.

SECTION II.4

Le Théorème des bouts

Dans cette section nous allons donner des conditions suffisantes pour qu’une solution maximale soit définie dans un intervalle leplus grand possible. Nous obtiendrons ce résultat dans deux cas : le cas localement lipschitzien et le cas de dimension finie lorsque lasolution maximale est bornée.

THÉORÈME II.4.1 (Théorème des bouts ).Soient E un espace de Banach, U un ouvert de R � E et f une fonction continue de U dans E. Soit

' : I ! E une solution maximale de l’équation différentielle x0 = f(t; x). Posons I = j�; �j. On supposeque :

– Soit E est de dimension finie et, si � < +1 (resp. � > �1), f est bornée sur le graphe de ' auvoisinage de � (resp. �) ;



– Soit f est localement lipschitzienne sur U .Alors les éventuels bouts de ' sont contenus dans la frontière de U . Autrement dit, si f�g � A

d

(') (resp.f�g �A

g

(')) rencontre U alors ' n’est pas maximale.

Démonstration. Démontrons par exemple ceci pour les bouts droits. Raisonnons par l’absurde : soit (�; b) un bout droit de ' contenudans U .

Considérons tout d’abord le premier cas. La Proposition II.1.5, page 46 nous dit alors que '(t) tend vers b lorsque t ! �. Parailleurs, le Théorème de Cauchy-Peano-Arzela (Théorème II.3.1, page 52) donne une solution ~' au problème de Cauchy x0 = f(t; x),x(�) = b, définie au voisinage de �. Alors (Proposition II.1.4, page 46) la fonction égale à ' sur j�; �℄ et ~' au-delà de � est unesolution qui prolonge ' ce qui contredit la maximalité de '.

Considérons maintenant le second cas. Soit

C = [� � T; � + T ℄�

�

B(b; r)

un cylindre contenu dans U sur lequel f est bornée par M ; quitte à réduire T , nous pouvons supposer TM < r de sorte que C estun cylindre de sécurité. Quitte à réduire à nouveau T et ainsi que r, on peut aussi supposer que f est lipschitzienne de rapport k auvoisinage de C. Soit t

0

2℄��T=2; �[ et x0

= '(t

0

). Soit "0

= kx

0

� bk. Comme b est une valeur d’adhérence de '(t) lorsque t tendvers �, on peut choisir t

0

de sorte que "0

soit aussi petit que l’on veut. Soit r0

= r� "

0

. Alors la boule �

B(x

0

; r

0

) est contenue dans laboule �

B(b; r), et, si t0

est assez près de �, on peut trouver T0

tel que � � t

0

< T

0

< min(T=2; r

0

=M). Ainsi

C

0

= [t

0

� T

0

; t

0

+ T

0

℄�

�

B(x

0

; r

0

)

est contenu dans C � U , donc est un cylindre de sécurité tel que � 2℄t

0

� T

0

; t

0

+ T

0

[. Alors le Théorème de Cauchy-Lipschitz(Théorème II.3.3, page 56) dit qu’il existe une et une seule solution au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t

0

) = x

0

. Ceci montreque ' se prolonge à [t

0

� T

0

; t

0

+ T

0

℄ ce qui contredit la maximalité de '.

Remarque II.4.1. On notera que, dans les conditions du Théorème des bouts, toute solution maximale est définie sur un intervalleouvert.

PROPOSITION II.4.1.

SoientE un espace de Banach, U un ouvert de R�E, f une fonction continue de U dans E et (t0

; x

0

) 2 U .On suppose que :

– Soit E est de dimension finie et f est bornée sur U .– Soit f est localement lipschitzienne.

Soit I un intervalle ouvert contenant t0

et possédant la propriété suivante : le graphe de toute solution ' : J !

E au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

, telle que �

J est un segment contenu dans I , est contenu dansun compact de U .

Alors toute solution maximale au problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

, est définie sur un intervallecontenant I .

Démonstration. Soit ' une telle solution maximale. Supposons' définie sur un intervalle ℄�; �[. Si I n’est pas contenu dans l’intervallede définition de ' alors, par exemple, on a � 2 I . Si on considère la restriction de ' à un intervalle de la forme J =℄t

0

� �; �[,l’hypothèse faite sur I montre que '(t) admet une valeur d’adhérence b, lorsque t tend vers �, telle que (�; b) soit dans U ce quicontredit le Théorème des bouts, page précédente.

PROPOSITION II.4.2.Soient E un espace de Banach, I un intervalle ouvert de R et f une fonction continue bornée de I�E dans

E. On suppose que :– Soit E est de dimension finie.– Soit f est localement lipschitzienne.

Alors toute solution maximale de l’équation différentielle x0 = f(t; x) est définie sur I tout entier. Autrement dit,les solutions maximales sont globales.

Démonstration. En effet, soit ' une solution maximale et ℄�; �[ son intervalle de définition. Si � 2 I (en particulier � < +1), laProposition II.1.5, page 46, montre que ' a une limite, dans E, lorsque t tend vers �. Ceci contredit le Théorème des bouts, pageprécédente.

Remarque II.4.2. On peut énoncer cette Proposition sans supposer f bornée à priori : si ' est une solution maximale sur le graphede laquelle f est bornée alors ' est nécessairement globale.

Dans le cas localement lipschitzien, il n’est pas nécessaire de supposer f bornée :



II.4. LE THÉORÈME DES BOUTS

PROPOSITION II.4.3.Soient E un espace de Banach, I un intervalle ouvert de R et f une fonction continue localement lipschit-

zienne de I �E dans E. on suppose que, pour tout compact K de I il existe des constantes AK

> 0 et BK

> 0

telles que, pour (t; x) 2 K � E, on a

kf(t; x)k � A

K

kxk+B

K

:

Alors toute solution maximale de x0 = f(t; x) est globale.

Démonstration. Soient (t0

; x

0

) 2 I � E et ' : ℄�; �[! E une solution maximale. Supposons par exemple que � 2 I , et soitK = [t

0

; �℄. On a donc

'

0

(t)

� A

K

k'(t)k+B

K

:

La Proposition II.3.3, page 54, donne alors

k'(t)k � kx

0

k e

A

K

(��t

0

)

+

B

K

A

K

�

e

A

K

(��t

0

)

� 1

�

;

d’où on tire une majoration de la forme

'

0

(t)

�MA

K

+B

K

ce qui implique que ('0 restant bornée quand t tend vers �) '(t) converge dans E quand t tend vers � et contredit le Théorème desbouts.

PROPOSITION II.4.4.Soient E un espace de Banach, I un intervalle ouvert de R, O un ouvert de E, U = I �O et f une fonction

continue de U dans E. Soit ' : ℄�; �[! R une solution maximale de l’équation différentielle x0 = f(t; x). Onsuppose que :

– Soit E est de dimension finie et f est bornée sur le graphe de ' au voisinage des bornes de ℄�; �[ qui sontdans I .

– Soit f est localement lipschitzienne.Soit 2℄�; �[. Alors, si � 2 I (resp. � 2 I), pour tout compact K de O,

'

�1

(K) \ [ ; �[

(resp. '�1(K)\℄�; ℄) est compact.

Démonstration. En effet, s’il n’en était pas ainsi, l’ensemble

f(t; '(t)) tels que t 2 [ ; �[ et '(t) 2 Kg

posséderait une valeur d’adhérence (�; b) lorsque t tend vers � 2 I avec b 2 K, ce qui contredit le Théorème des bouts, page 59.

PROPOSITION II.4.5.Soient E un espace de Banach, I un intervalle ouvert de R et f une fonction continue de I �E dans E. On

suppose que :– Soit E est de dimension finie.– Soit f est localement lipschitzienne.

Soit ' : ℄�; �[! E une solution maximale de l’équation différentielle x0 = f(t; x) telle que ℄�; �[ 6= I . Alors :1. f ne reste pas bornée sur le graphe de ' au voisinage des bornes de ℄�; �[ qui sont dans I .2. Si E est de dimension finie et f localement lipschitzienne, alors k'(t)k tend vers +1 lorsque t tend vers

l’une des bornes de ℄�; �[ qui sont dans I .

Démonstration. Nous avons déjà vu le 1. lors de la Remarque suivant la page 54. Le 2. est immédiat car, dans le cas contraire, '(t)aurait une valeur d’adhérence dans E lorsque t tend vers, par exemple, � 2 I ce qui contredit encore le Théorème des bouts.

Remarque II.4.3. On peut construire un exemple de fonction f : ℄0; 1[�

0

(R) telle que l’équation différentielle x0 = f(t; x)

admette une solution maximale ' bornée définie sur ℄0; 1[ telle que, lorsque t tend vers zéro '(t) n’ait pas de valeurs d’adhérence dans

0

(R). Ceci montre que, dans le 2. de la Proposition précédente et dans la Proposition II.1.6, page 46, l’hypothèse de finitude de ladimension est nécessaire.

PROPOSITION II.4.6.Soient E un espace de Banach, I un intervalle ouvert de R, O un ouvert de E, U = I �O et f une fonction

continue de U dans E. On suppose que :– Soit E est de dimension finie.– Soit f est localement lipschitzienne.



Soit ' : ℄�; �[! E une solution maximale de l’équation différentielle x0 = f(t; x). Soit B1

(resp. B2

) unconvexe fermé borné de E contenant l’origine. Soit t

0

2℄�; �[. On suppose que l’image par f de la partie dugraphe de ' correspondant à l’intervalle ℄�; t

0

℄ (resp. [t0

; �[) est contenue dans B1

(resp. B2

). Alors

I\℄t

0

� T

1

; t

0

℄ �℄�; t

0

℄

(resp. I\℄t0

; t

0

+ T

2

℄ � [t

0

; �[) avec

T

1

= supf� > 0 tels que � �B

1

� O � '(t

0

)g

(resp. T2

= supf� > 0 tels que �B2

� O � '(t

0

)g).

Démonstration. Vérifions par exemple l’assertion concernant T1

. Si

I\℄�1; t

0

℄ =℄�; t

0

℄;

il n’y a rien à montrer, supposons donc � 2 I . Il faut montrer que t0

� T

1

� �. D’après la Proposition II.1.5, page 46, '(t) possèdeune limite a telle que, d’après le Théorème des bouts ( page 59), (�; a) appartient à la frontière de U . D’autre part, le Théorème desaccroissements finis (Théorème I.2.4, page 8) montre que, pour t 2℄�; t

0

℄, on a

'(t)� '(t

0

) 2 (t� (t

0

)B

1

� �(t

0

� �)B

1

(car 0 2 B1

). Comme B1

est fermé, on a aussia� '(t

0

) 2 �(t

0

� �)B

1

:

Si on avait t0

� T

1

< �, on aurait�(t

0

� �)B

1

� O � '(t

0

);

et par suite a 2 O. Ceci donnerait (�; a) 2 U ce qui contredit le Théorème des bouts, page 59.

SECTION II.5

Équations différentielleslinéaires

SOUS-SECTION II.5.1

Définitions, existence et unicité dessolutions

DÉFINITION II.5.1.Soient I un intervalle de R et E un espace de Banach. On appelle équation différentielle linéaire d’ordre

n à coefficients continus sur I une équation différentielle de la forme

x

(n)

= B(t) +

n�1

X

i=0

A

i

(t) � x

(i)

; (II.5.1)

où, B est une fonction continue de I dans E, et, les Ai

sont des fonctions continues de I dans L (E). LorsqueB = 0 on dit que l’équation (II.5.1) est homogène. L’équation différentielle linéaire homogène obtenue enremplaçant B(t) par 0 dans (II.5.1) est dite associée à (II.5.1).

Par opposition, si B est non identiquement nulle, l’équation (II.5.1) est dite «avec second membre».Comme il a été dit à la Proposition II.1.1, page 44, toute équation différentielle d’ordre n se ramène à une équation différentielle

d’ordre 1, ce qui ramène une équation différentielle linéaire d’ordre n à une équation différentielle linéaire d’ordre 1.Considérons alors une équation différentielle linéaire d’ordre 1 : x0 = A(t) � x + B(t). Clairement l’application f : (t; y) 7!

A(t) � y + B(t) de I � E dans E est telle que, pour tout compact K de I , il existe deux constantes CK

et DK

telle que kf(t; y)k �C

K

kyk+D

K

, pour tout (t; y) 2 K �E. Alors la Proposition II.4.3, page précédente implique :



II.5. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

PROPOSITION II.5.1.

Soient E un espace de Banach et x(n) = B(t) +

n�1

X

i=1

A

i

(t) � x

(i) une équation différentielle linéaire, les

fonctions B et Ai

étant continues sur un intervalle I .1. Pour tout (t

0

; x

0

) 2 I � E

n, la solution maximale de l’équation vérifiant x(i)(t0

) = x

0

i

est globale.De plus, deux solutions maximales sont identiques si et seulement si elles sont égales ainsi que leurs dérivéesjusqu’à l’ordre n�1 en un point de I . En d’autres termes, si '

i

, 1 � i � k, sont des solutions de l’équation telles

qu’il existe des constantes �i

et un réel t 2 I tels quek

X

i=1

�

i

'

(j)

i

(t) = 0, 0 � j � n� 1, alorsk

X

i=1

�

i

'

i

� 0.

2. Si '1

et '2

sont deux solutions de l’équation, alors '1

�'

2

est solution de l’équation homogène associée.En particulier, si '

0

est une solution de l’équation, toute autre solution est de la forme '0

+ ' où ' est unesolution de l’équation homogène associée.

3. L’ensemble des solutions de l’équation homogène associée est un sous-espace vectoriel S de C 1

(I;E).De plus, pour tout t 2 I , l’application qui à une solution ' 2 S associe ('(i)(t))

0�i�n�1

est un isomorphismed’espaces vectoriels deS sur En. En particulier, si E est de dimension finie,S l’est aussi.

Démonstration. En effet, d’après ce qui a été dit avant l’énoncé, il suffit de voir ceci pour les équations d’ordre 1, et alors, la fonction(t; y) 7! A(t) � y + B(t) est clairement k(t)-lipschitzienne par rapport à y (Proposition II.3.5, page 56). Le 2. et le 3. sont alorsévident.

SOUS-SECTION II.5.2

Résolution des équations différentielleslinéaires d’ordre 1

THÉORÈME II.5.1.Soient E un espace de Banach et x0 = A(t) � x une équation différentielle linéaire homogène de degré 1, A

étant une application continue d’un intervalle I dans L (E). Soit ~

A l’application de I dans L (L (E)) définiepar ~

A(t) � f = A(t) Æ f , f 2 L (E). Alors la solution ' de l’équation différentielle qui vaut x0

2 E au pointt

0

de I est '(t) = R(t; t

0

) � x

0

où t 7! R(t; t

0

) est la fonction de I dans L (E) qui est solution de l’équationdifférentielle linéaire x0 = ~

A(t) � x qui vaut idE

en t0

. R(t; t0

) s’appelle la résolvante (ou le noyau résolvant)de l’équation différentielle linéaire homogène.

Démonstration. En effet, l’équation x0 = ~

A(t) � x étant linéaire, t 7! R(t; t

0

) est globale d’après la Proposition II.5.1, de la présentepage. En dérivant alors '(t) = R(t; t

0

) � x

0

, il vient '0(t) = R

0

(t; t

0

) � x

0

= (A(t) Æ R(t; t

0

)) � x

0

= A(t) � '(t), et, clairement,'(t

0

) = x

0

.

PROPOSITION II.5.2.Soit R(t; t

0

) la résolvante d’une équation différentielle linéaire homogène x0 = A(t) � x de degré 1.1. Pour tous t, t

0

et t1

dans I , on a R(t; t0

) = R(t; t

1

)R(t

1

; t

0

) (la composition dans L (E) étant notéecomme un produit),R(t; t

0

) est inversible (dansL (E)) et (R(t; t0

))

�1

= R(t

0

; t).2. (t; s) 7! R(t; s) est une fonction de classe C 1 de I � I dans GL (E). De plus, si A est de classe C k sur

I alors (t; s) 7! R(t; s) est de classe C k+1.

Démonstration. En effet, la première formule résulte aussitôt de l’unicité de la Proposition II.5.1, et la seconde s’en déduit. Le 2. enrésulte : clairement t 7! R(t; t

0

) est C 1, donc (Proposition I.4.10, page 18), il en est de même de t 7! R(t

0

; t). La conclusion résultealors de la Proposition I.4.14, page 19.

PROPOSITION II.5.3 (Formule de Lagrange).Soient E un espace de Banach et x0 = A(t) � x + B(t) une équation différentielle linéaire avec second

membre à coefficients continus sur un intervalle I . Soit R(t; s) la résolvante de l’équation homogène associée.Alors pour tous t

0

2 I et x0

2 E, la solution globale de l’équation avec second membre qui vaut x0

en t0

estdonnée par la formule

'(t) = R(t; t

0

) � x

0

+

Z

t

t

0

R(t; s) �B(s)ds:



Démonstration. En effet, utilisons la méthode classique de variation de la constante : cherchons la solution sous la forme '(t) =

R(t; t

0

) � y(t). En dérivant, il vient '0(t) = R

0

(t; t

0

) � y(t) +R(t; t

0

) � y

0

(t) = A(t) � (R(t; t

0

) � y(t)) +R(t; t

0

) � y

0

(t), et y doitsatisfaireR(t; t

0

) � y

0

(t) = B(t) c’est-à-dire y0(t) = R(t

0

; t) �B(t) d’après la Proposition précédente. Comme il faut y(t0

) = x

0

, il

vient y(t) = x

0

+

Z

t

t

0

R(t

0

; s) � B(s)ds, et il n’y a plus qu’à remarquer que

R(t; t

0

) �

�

x

0

+

Z

t

t

0

R(t

0

; s) � B(s)ds

�

= R(t; t

0

) � x

0

+

Z

t

t

0

(R(t; t

0

)R(t

0

; s)) �B(s)ds:

II.5.2.1 Cas où E est de dimension finie

Dans cette sous-sous-section nous supposons que l’espace de Banach E est de dimension finie n. Comme E peut être un espacevectoriel sur R ou C , il faut préciser ce que l’on appelle la dimension de E. Si E est donné, à priori, comme espace vectoriel réel, ils’agit bien sûr de de sa dimension sur R ; s’il est donne comme espace sur C de dimension n, il est de dimension 2n sur R. Comme ceque nous allons faire est valable dans les deux cas, nous allons considérer queE est un espace vectoriel sur K = R ou C ; de dimensionn sur K .

Ainsi, si x0 = A(t) � x + B(t) est une équation différentielle linéaire, on considère ici que B est une application continue de Idans Kn et A une fonction continue de I dans l’espace des matrice carrées d’ordre n à coefficients dans K . Si on noteA(t) = fa

ij

(t)g

et x(t) = (x

i

(t))

1�i�n

2 K

n , l’équation différentielle devient un système de n équations différentielles à coefficients dans K :

x

0

i

=

n

X

j=1

a

ij

(t)x

i

+B

i

(t); 1 � i � n:

Dans toute la suite de cette sous-sous-section, nous utiliserons la notation ci-dessus pour les équations différentielles linéaires àcoefficients continus sur I , espace vectoriel de dimension finie n sur K .

Si l’équation différentielle est homogène, sa résolvante est donc une application de I� I dans l’espace des matrices carrées d’ordren à coefficients dans K , et on peut considérer son déterminant. De même, on peut considérer la trace de A(t) que nous noterons

Tr(A(t)) =

n

X

i=1

a

ii

(t).

Dans ces conditions :

PROPOSITION II.5.4.Soit x0 = A(t) � x une équation différentielle linéaire homogène, A étant une fonction continue d’un inter-

valle I dans un espace normé de dimension finie n sur K . Soit R(t; t0

) sa résolvante. Alors

detR(t; t

0

) = e

R

t

t

0

Tr(A(s)ds

:

Démonstration. En effet, posons u(t) = R(t; t

0

) de sorte que u0(t) = A(t) Æ u(t). La définition de la dérivée et la Proposition II.5.2,page précédente donnent

u(t+ h) Æ u(t)

�1

= (u(t) + hu

0

(t) + h"(h)) Æ u(t)

�1

= id

E

+ hA(t) + h"

1

(h);

et, si on pose Æ(t) = detu(t), il vient Æ(t + h)Æ(t)

�1

= 1 + hTr(A(t)) + h"

2

(h). Ceci signifie exactement que Æ est la solution de

l’équation différentielle linéaire Æ0 = Tr(A(t))Æ, Æ(t0

) = 1, dont la solution est Æ(t) = e

R

t

t

0

Tr(A(s)ds.

D’après la Proposition II.5.1, page précédente, ('i

)

1�i�n

est une base de l’espace des solutions d’une équation différentiellelinéaire homogène si et seulement si, pour chaque (ou pour un) t 2 I , ('

i

(t))

1�i�n

est une base de E.D’autre part, si ('

i

)

1�i�n

est un n-uple d’éléments de l’espace des solutions, on a 'j

(t) = R(t; t

0

) � '

j

(t

0

) (Théorème II.5.1,page précédente), ce qui fait que, si on note W : I ! E

n l’application t 7! ('

i

(t))

1�i�n

, et, ~

R(t; t

0

) : E

n

! E

n l’application(x

i

)

1�i�n

7! (R(t; t

0

) �x

i

)

1�i�n

, on a W (t) =

~

R(t; t

0

) �W (t

0

). En particulier, si ('i

)

1�i�n

et une base de l’espace des solutions,en adoptant une écriture matricielle, on a R(t; t

0

) = W (t)(W (t

0

))

�1 (on considère ici W (t) et W (t

0

) comme des matrices carréesd’ordre n inversibles). Ceci amène la définition suivante :

DÉFINITION II.5.2.Soit x0 = A(t) � x une équation différentielle linéaire homogène de degré 1, A étant une fonction continue

d’un intervalle I dans un espace normé de dimension finie n sur K . Soit S l’espace des solutions de l’équationdifférentielle.

1. Une base ('

i

)

1�i�n

deS est appelés un système fondamental de solutions.2. Si ('

i

)

1�i�n

est un système fondamental de solutions, la matrice carrée W (t) d’ordre n dont les vec-




teurs colonne sont les 'i

(t) est appelée une matrice fondamentale ou matrice Wronskienne de l’équationdifférentielle. Le déterminant w(t) de W (t) est appelé le Wronskien du système ('

i

)

1�i�n

.

PROPOSITION II.5.5.Soit x0 = A(t) � x + B(t) une équation différentielle linéaire de degré 1, A étant une fonction continue

d’un intervalle I dans un espace noprmé de dimension finie n sur K . Soit ('i

)

1�i�n

est un système fondamentalde solutions de l’équation homogène associée, W (t) la matrice fondamentale associée et w(t) son Wronskien.Alors :

1. w(t) = w(t

0

)e

R

t

t

0

Tr(A(s)ds.2. Soit '

0

la solution de l’équation homogène qui vaut x0

en t0

, et, soit '1

la solution de l’équation avecsecond membre qui vaut 0 en t

0

. Alors ' = '

0

+ '

1

est la solution de l’équation avec second membre qui vautx

0

en t0

, et on a :

'

0

(t) = W (t)W (t

0

)

�1

� x

0

;

'

1

(t) =

Z

t

t

0

W (t)W (s)

�1

B(s)ds;

'(t) = W (t)W (t

0

)

�1

� x

0

+

Z

t

t

0

W (t)W (s)

�1

B(s)ds

= W (t)

�

W (t

0

)

�1

� x

0

+

Z

t

t

0

W (s)

�1

B(s)ds

�

:

Démonstration. C’est une conséquence du Théorème II.5.1, page 63, et de la Proposition II.5.3, page 63.

SOUS-SECTION II.5.3

Résolution des équations différentielleslinéaires d’ordre n

Comme nous l’avons déjà dit, l’étude de ces équation se ramène à celle des équations d’ordre 1. Précisons cela :

PROPOSITION II.5.6.Soient E un espace de Banach et

x

(n)

= B(t) +

n�1

X

i=0

A

i

(t) � x

(i)

; (II.5.2)

B étant une fonction d’un intervalle I dans E et Ai

une fonction de I dansL (E), une équation linéaire d’ordren. Soit A(t) 2 L (E

n

) la matrice

A(t) =

0

B

B

B

B

�

0 id

E

: : : : : : 0

0 0 id

E

: : : 0

: : : : : : : : : : : : : : :

0 : : : : : : : : : id

E

A

0

(t) A

1

(t) : : : : : : A

n�1

(t)

1

C

C

C

C

A

:

Alors l’équation (II.5.2) est équivalente à l’équation différentielle linéaire d’ordre 1 x

0

= A(t) � x+ C(t) où

C(t) =

0

B

B

B

�

0

...0

B(t)

1

C

C

C

A

:

Soit R(t; t0

) la résolvante de l’équation homogène associée x0 = A(t) � x, de sorte que R(t; t0

) est une matricecarrée d’ordre n à coefficients dansL (E). Soit (R

i

(t; t

0

))

0�i�n�1

la première ligne de cette matrice. Alors :1. La solution ' de l’équation homogène associée à (II.5.2) telle que '(i) = x

i

0

, 0 � i � n � 1, en t0

est



égale à '(t) =n

X

i=0

R

i

(t; t

0

) � x

i

0

.

2. On a R(t; t0

) = (R

(j)

i

(t; t

0

))

0�i�n�1

0�j�n�1

, et, pour tout i, t 7! R

i

(t; t

0

) est solution de l’équation différen-

tielle R(n)

i

=

n�1

X

j=0

A

j

(t) ÆR

(j)

i

, R(j)

i

(t

0

; t

0

) = Æ

ij

id

E

.

Démonstration. Ceci est une conséquence immédiate des résultats de la sous-section précédente : le 2. s’obtient en dérivant la formuledu 1. donnant la solution '.

II.5.3.1 Équation différentielles linéaires scalaires d’ordre n

C’est le cas où E = K (K = R ou C ). Les Ai

et b sont donc des fonctions scalaires que l’on note alors ai

, et l’équation s’écrit

x

(n)

= b(t) +

n�1

X

i=0

a

i

(t)x

(i)

: (II.5.3)

L’identification de cette équation avec une équation d’ordre 1 que nous venons de voir donne une équation différentielle linéaire d’ordre1 avec Kn comme espace de Banach. On peut donc lui appliquer les résultats de la Sous-sous-section II.5.2.1, page 64.

Contentons nous simplement de traduire ces résultats en termes d’équation scalaire d’ordre n.Soit

x

(n)

=

n�1

X

i=0

a

i

(t)x

(i) (II.5.4)

l’équation homogène associée. Alors :

1. L’ensemble S des solutions de (II.5.4) est un sous-espace vectoriel de C n

(I;R) des fonctions de classe C n de I dans R dedimension n. Pour tout t 2 I , l’application �

t

: S ! R

n définie par �t

(') = ('(t); : : : ; '

(n�1)

(t)) est un isomorphisme.

2. Si ('1

; : : : ; '

h

) est une base de S , le système (�

1

; : : :�

n

), où �

j

= ('

j

; : : : ; '

(n�1)

j

), est un système fondamental desolutions de l’équation différentielle d’ordre 1 associée. Le wronskien de ce système est appelé le wronskien de ('

1

; : : : ; '

h

).

3. D’une manière générale, si ('1

; : : : ; '

h

) est un système de fonctions de classe C n de I dans R, on appelle wronskien de cesystème le déterminant w(t) de la matrice, dite matrice wronskienne du système,

W

('

1

;:::;'

n

)

(t) =

0

B

B

�

'

1

(t) '

2

(t) : : : '

n

(t)

'

0

1

(t) '

0

2

(t) : : : '

0

n

(t)

: : : : : : : : : : : :

'

(n�1)

1

(t) '

(n�1)

1

(t) : : : '

(n�1)

n

(t)

1

C

C

A

:

Alors, si ('1

; : : : ; '

h

) est un n-uple d’éléments deS , c’est une base deS si et seulement si son wronskien ne s’annule pas enun point de I . Dans ce cas il ne s’annule en aucun point de I , et vérifie (Proposition II.5.5, page précédente)

w(t) = w(t

0

)e

R

t

t

0

a

n�1

(s)ds

:

4. Si ('1

; : : : ; '

h

) est une base deS , la solution de (II.5.3) qui vaut x0

en t0

s’écrit

'(t) = '

0

(t) +

n

X

j=1

'

j

(t)

Z

t

t

0

b(s)w

j

(s)

w(s)

ds;

où '0

est la solution de l’équation homogène (II.5.4) qui vaut x0

en t0

, w est le wronskien du système ('

1

; : : : ; '

h

) et wj

le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant dans la matrice wronskienne W('

1

;:::;'

n

)

la j-ieme colonne par le vecteur(0; : : : ; 0; 1).

SOUS-SECTION II.5.4

Équations différentielles linéaires àcoefficients constants

Nous dirons ici qu’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 est à coefficient constant si elle s’écrit

x

0

= A � x+B(t) (II.5.5)




où A est un élément de L (E), E espace de Banach, et B une fonction continue d’un intervalle I dans E (en fait usuellement, on ditque l’équation est à coefficients constants si B est une fonction constante, mais cette hypothèse suplémentaire n’apporte rien de plus).

PROPOSITION II.5.7.La résolvante R(t) = R(t; 0) de l’équation différentielle homogène

x

0

= A � x (II.5.6)

associée à (II.5.5) est une fonction de R dans L (E) qui est la solution de l’équation différentielle R0 = A Æ R

qui vaut idE

en 0 et s’écrit R(t) = exptA = e

tA

=

X

n�0

t

n

n!

A

n. De plus la solution de (II.5.6) qui vaut x0

2 E

en t0

2 R, est égale àx(t) = exp((t� t

0

)A) � x

0

:

Démonstration. En effet, d’après le Théorème II.5.1, page 63, il suffit de vérifier que exptA est bien solution de l’équation différentielleR

0

= A ÆR ce qui résulte aussitôt du Théorème I.2.5, page 8, appliqué aux somme partielles de la série définissant exptA

De la Proposition II.5.3, page 63, on déduit immédiatement le corollaire suivant :

COROLLAIRE.La solution de l’équation différentielle (II.5.5) qui vaut x

0

en t0

est donnée par la formule

x(t) = exp((t� t

0

)A) � x

0

+

Z

t

t

0

(exp(t� s)A) �B(s)ds:

II.5.4.1 Cas où E est de dimension finie

Nous nous contentons de considérer le cas où E est un espace vectoriel de dimension finie n sur C . Ceci nous permet d’utiliser lathéorie de réduction des matrices à coefficients complexes. Précisément, nous allons utiliser le Lemme suivant :

LEMME. Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients complexes. Soient �i

, 1 � i � p, les valeurs propres de A d’ordresde multiplicité respectifs k

i

. Pour chaque i, soit Ei

le sous-espace caractéristique associé à �i

(i.e. Ei

= ker(A � �

i

id

E

)

k

i ). Alors,p

X

i=1

k

i

= n, E =

p

M

i=1

E

i

et Ei

est de dimension ki

, 1 � i � p.

ChaqueEi

est clairement stable par A, considérée comme endomorphisme de E, et on peut considérer la restriction Ai

de A à Ei

.Dans ces conditions l’équation différentielle linéaire homogène x0 = A � x est équivalente au système d’équations linéaires

homogènesx

0

i

= A

i

� x

i

; 1 � i � p;

où xi

est une fonction à valeurs dans Ei

. Les résultats de la sous-section précédente montrent que la solution de chacune de ceséquations s’écrit x

i

(t) = exp(tA

i

) � u

i

où ui

2 E

i

. En écrivant exp(tAi

) = e

�

i

t

exp(t(A

i

� �

i

)), et en utilisant que Ei

est lesous-espace caractéristique associé à �

i

, on obtient que exp(tAi

) est le produit de e�it par un polynôme de degré � k

i

� 1 en Ai

. Enrésumé :

PROPOSITION II.5.8.Soit x0 = A � x une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants, A étant une matrice

complexe carrée d’ordre n. Alors, avec les notations de ci-dessus, pour chaque valeur propre �i

(de multipliciték

i

) deA, l’équation différentielle possède des solutions à valeurs dans le sous-espace caractéristiqueEi

associéà �

i

, de la forme e�itQi

(t), où Qi

est un polynôme de degré � k

i

� 1 à valeurs dans Ei

, qui forment un espace

vectoriel de dimension ki

. De plus, toute solution de l’équation différentielle s’écrit x(t) =X

i

e

�

i

t

Q

i

(t) la

sommation s’étendant à toutes les valeurs propres distinctes de A.

II.5.4.2 Cas des équations d’ordre n

Il suffit de reprendre les résultats des sous-sections précédentes. Par exemple, si

x

(n)

=

n�1

X

i=0

A

i

� x

(i)



est une équation homogène,Ai

2 L (E), et si

A =

0

B

B

B

B

�

0 id

E

0 : : : 0

0 0 id

E

: : : 0

: : : : : : : : : : : : : : :

0 0 0 : : : id

E

A

0

A

1

A

2

: : : A

n�1

1

C

C

C

C

A

; exp(tA) =

0

B

B

�

R

0

(t) R

1

(t) : : : R

n�1

(t)

R

0

0

(t) R

0

1

(t) : : : R

0

n�1

(t)

: : : : : : : : : : : :

R

(n�1)

0

(t) R

(n�1)

1

(t) : : : R

(n�1)

n�1

(t)

1

C

C

A

;

la solution de

x

(n)

= B(t) +

n�1

X

i=0

A

i

� x

(i)

qui s’annule ainsi que ses n� 1 premières dérivées en t0

est x(t) =Z

t

t

0

R

n�1

(t� s) � B(s)ds.

Dans le cas particulier où E est de dimension 1, ces équations se ramènent aux systèmes différentiels linéaires à coefficients

constants que nous avons vus à la sous-sous-section précédente. Par exemple, pour l’équation différentielle x(n) =n�1

X

i=0

a

i

x

(i), l’équa-

tion caractéristique (donnant les valeurs propres de la matrice, une fois l’équation ramenée à l’ordre 1) est �n =

n�1

X

i=0

a

i

�

i. Ainsi,

l’équation admet des solutions de la forme e�itqi

(t) ; où �i

est une racine de l’équation caractéristique et qi

un polynôme de degré

� k

i

, où ki

est l’ordre de la racine �i

. La solution générale de l’équation s’écrit alorsX

i

e

�

i

t

q

i

(t).

SOUS-SECTION II.5.5

Stabilité des solutions des équationsdifférentielles linéaires

Donnons tout d’abord la définition générale de solution stable d’une équation différentielle :

DÉFINITION II.5.3.Soient E un espace de Banach, U une partie de R � E, f une fonction continue de U dans E et (t

0

; x

0

) unpoint de U . Supposons que la solution maximale '

t

0

;x

0


) = x

0

soitdéfinie sur un intervalle contenant [t

0

;+1[. Dans ces conditions ;1. On dit que '

t

0

;x

0

est stable s’il existe r > 0 et C � 0 tels que, pour tout x1

2 B(x

0

; r

0

), la solu-tion maximale '

t

0

;x

1


) = x

1

soit définie sur [t

0

;+1[ et vérifiek'

t

0

;x

0

(t)� '

t

0

;x

1

(t)k � C kx

0

� x

1

k pour tout t 2 [t

0

;+1[.2. On dit que '

t

0

;x

0

est asymptotiquement stable si elle est stable et s’il existe r1

> 0 et une fonction� : [t

0

;+1[! [0;+1[ continue telle que lim

t!+1

�(t) = 0 et k't

0

;x

0

(t)� '

t

0

;x

1

(t)k � �(t) kx

0

� x

1

k pour

kx

0

� x

1

k � r

1

et t 2 [t

0

;+1[.

La Proposition II.5.8 donne immédiatement le résultat suivant :

PROPOSITION II.5.9.Soit A une matrice carré à coefficients complexes d’ordre n et considérons l’équation différentielle x0 =

A � x. Alors :1. Si toutes les valeurs propres de A ayant une multiplicité strictement plus grande que 1 ont une partie

réelle srtictement négative et si celles de multiplicité 1 ont une partie réelle négative ou nulle toute solution del’équation différentielle reste bornée sur [0;+1[. En particulier toute solution est stable.

2. Si toutes les valeurs propres de A ont une partie réelle srtictement négative, toutes les solutions del’équation différentielles tendent vers zéro quand t ! +1. En particulier elles sont toutes asymptotiquementstables.

PROPOSITION II.5.10.Soient I un intervalle de R contenant [t

0

;+1[,E un espace normé de dimension finie, et A une applicationcontinue de I dansL (E). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Toutes les solutions de l’équation différentielle x0 = A(t) � x sont stables.2. Toutes les solutions de l’équation différentielle x0 = A(t) � x sont bornées.




Démonstration. En effet, soit R(t; t0

) la résolvante de l’équation de sorte que toute solution s’écrit x(t) = R(t; t

0

) � x

0

(ThéorèmeII.5.1, page 63). Alors si (e

i

)

1�i�n

est une base de E, et si chaque solution est bornée on a

sup

1�i�n

sup

t�t

0

kR(t; t

0

) � e

i

k < +1;

et, par suite sup

t�t

0

kR(t; t

0

)k < +1 ce qui implique aussitôt la stabilité des solutions. Réciproquement, si toutes les solutions sont

stables, la stabilité de la solution nulle entraîne qu’il existe r > 0 et C � 0 tels que, pour kx0

k � r, on a k't

0

;x

0

(t)k � C kx

0

k (avecles notation de la définition ci-dessus). Il s’en suit alors que

kR(t; t

0

)k = sup

kx

0

k�1

kR(t; t

0

) � x

0

k � C=r;

ce qui implique la propriété 2.

Nous terminons cette sous-section en donnant un résultat de stabilité pour une équation différentielle qui est une perturbation d’uneéquation linéaire :

PROPOSITION II.5.11.

Soit A une matrice carré d’ordre n à coefficients complexes dont les valeurs propres sont de parties réellesstrictement négatives. Soit f : I � U ! R

n une fonction continue localement lipschitzienne en x, I étant un in-tervalle ouvert de R contenant [t

0

;+1[ etU un ouvert de Rn . On suppose qu’il existe une boule ouverteB(0; a),a > 0, contenue dans U et que kf(t; x)k � �(x) kxk avec lim

x!0

�(x) = 0. Alors la fonction identiquement nulle

est une solution de l’équation différentielle

x

0

= A � x+ f(t; x) (II.5.7)

qui est asymptotiquement stable.

Démonstration. Tout d’abord, l’hypothèse faite sur f montre que f(t; 0) = 0 ce qui implique que la fonction identiquement nulle estsolution de l’équation différentielle. Soit x = '

t

0

;x

0

la solution de (II.5.7) qui vaut x0

en t0

(elle existe d’après le Théorème II.3.2,page 55). Si elle est définie sur ℄�;�[, du Corollaire de la Proposition II.5.7, page 67, on déduit que, pour t

0

� t � �, on a

x(t) = e

(t�t

0

)A

� x

0

+

Z

t

t

0

e

(t�s)A

� f(s; x(s))ds

car x est solution de l’équation différentielle linéaire x0 = A � x+ f(t; '

t

0

;x

0

(t)).

Soit Æ > 0, Æ < a, tel que, pour kxk � Æ on ait kf(t; x)k �"

k

kxk, où k � 1 et " > 0 seront fixés plus loin. Choisissons

kx

0

k < Æ. Soit t1

> t

0

tel que, pour t0

� t � t

1

on ait kx(t)k � Æ. Alors, pour t0

� t � t

1

on a

kx(t)k �

e

(t�t

0

)A

kx

0

k+

"

k

Z

t

t

0

e

(t�s)A

kx(s)k ds: (II.5.8)

Remarquons maintenant que l’hypothèse faite surA implique que l’on peut trouver k � 1,� > 0 et " > 0 tels que

e

(t�t

0

)A

� ke

�(�+")(t�t

0

),

t � t

0

. En reportant ceci dans (II.5.8), il vient

e

(�+")(t�t

0

)

kx(t)k � k kx

0

k+ "

Z

t

t

0

e

(�+")(s�t

0

)

kx(s)k ds; t

0

� t � t

1

:

Alors la Proposition II.3.1, page 54, donne e(�+")(t�t0) kx(t)k � k kx

0

k e

"(t�t

0

) c’est-à-dire kx(t)k � k kx

0

k e

��(t�t

0

), pour lemême intervalle en t. On en déduit que si kx

0

k < Æ=2k, sur tout intervalle [t0

; t

1

℄ sur lequel on a kx(t)k � Æ, on a automatiquementkx(t)k � Æ=2. En conséquence, si x est définie sur ℄�; �[, on a nécéssairement kx(t)k � Æ sur [t

0

; �[. Montrons maintenant que� = +1 : en effet, dans le cas contraire, puisque kx(t)k � Æ � a; le bout droit de x contiendrait un élément (�; b) avec kbk � Æ < a

ce qui contredit le Théorème des bouts ( page 59). Enfin, sous la condition kx0

k < Æ=2k on a kx(t)k � Æ sur [t0

;+1[ ce qui, commeon vient de le voir, implique kx(t)k � K kx

0

k e

��t, et assure que la solution nulle est asymptotiquement stable.



SECTION II.6

Éléments d’études qualitativesen dimension 1

Dans cette section, nous allons simplement donner les outils de base des études qualitatives d’équations différentielles d’ordre 1

lorsque l’espace E est R, sans donner d’exemples concrets d’utilisations.

DÉFINITION II.6.1.Soient U une partie de R � R et f une fonction continue de U dans R.1. Pout tout M = (t; x) 2 U , soit D

M

la droite passant par M de pente f(t; x). L’application M 7! D

M

s’appelle le champ des tangentes associé à l’équation différentielle x0 = f(t; x).2. Pour tout � 2 R, la courbe d’équation f(t; x) = � s’appelle l’isocline � de l’équation différentielle

x

0

= f(t; x).3. On dit qu’une courbe dans U est fortement infranchissable si aucune solution de l’équation différentielle

x

0

= f(t; x), autre que elle lorsqu’elle est elle même solution, ne peut le couper.

L’isocline 0 joue un rôle particulier : si on pose

U

+

= f(t; x) tels que f(t; x) > 0g;

U

�

= f(t; x) tels que f(t; x) < 0g

et�

0

= f(t; x) tels que f(t; x) = 0g;

toute solution de l’équation différentielle est croissante dans U+

, décroissante dans U�

et stationnaire sur �0

.Si la fonction f est localement lipschitzienne, le Théorème de Cauchy-Lipschitz ( page 55) montre que toute solution est fortement

infranchissable.

DÉFINITION II.6.2.Soient U une partie de R � R et f une fonction continue de U dans R.1. Une fonction � : I ! R dérivable est dit une barrière inférieure pour l’équation différentielle x0 =

f(t; x) si (t; �(t) 2 U , pour tout t 2 I , et si �0(t) � f(t; �(t)), 8t 2 I .2. Une fonction � : I ! R dérivable est dit une barrière supérieure pour l’équation différentielle x0 =

f(t; x) si (t; �(t) 2 U , pour tout t 2 I , et si �0(t) � f(t; �(t)), 8t 2 I .3. Une barière est dite forte si les inégalités des définition ci-dessus sont strictes pour tout t 2 I et faible

sinon.

PROPOSITION II.6.1.Soient U un ouvert de R � R et f une fonction continue de U dans R. Soit ' : I ! R une solution de

l’équation différentielle x0 = f(t; x). Soient � : I ! R et � : I ! R de classe C 1 telles que (t; �(t)) 2 U et(t; �(t)) 2 U , pour tout t 2 I .

1. Si � (resp. �) est une barrière inférieure (resp. supérieure) forte et s’il existe t0

2 I tel que �(t0

) � '(t

0

)

(resp. �(t0

) � '(t

0

)) alors pour tout t 2℄t0

;+1[\I on a �(t) < '(t) (resp. �(t) > '(t)). On traduit cettepropriété en disant qu’une barrière forte est fortement infranchissable.

2 Si de plus f est localement lipschitzienne, si � (resp. �) est une barrière inférieure (resp. supérieure) et s’ilexiste t

0

2 I tel que �(t0

) � '(t

0

) (resp. �(t0

) � '(t

0

)) alors pour tout t 2℄t0

;+1[\I on a �(t) � '(t) (resp.�(t) � '(t)). On traduit cette propriété en disant que, lorsque f est localement lipschitzienne, une barrière estfaiblement infranchissable.

Démonstration. Démontrons tout d’abord le 1. pour une barrière inférieure forte. Supposons tout d’abord �(t0

) < '(t

0

). S’il existet > t

0

tel que �(t0

) � '(t

0

), soit t1

l’infimum de l’ensemble de ces t de sorte que �(t1

) = '(t

1

) et '0(t1

) > �

0

(t

1

). Alors ' � �

est strictement croissante au voisinage de t1

et comme elle est strictement positive à gauche de t1

, on ne peut avoir �(t1

) = '(t

1

). Si�(t

0

) = '(t

0

), on a '0(t0

) > �

0

(t

0

), ce qui implique que ' � � est strictement croissante au voisinage de t0

et on remplace t0

part

0

0

> t

0

pour refaire le raisonnement précédent.Démontrons maintenant le 2. pour une barrière inférieure. Pour t

1

2 [t

0

; sup I[, soit At

1

l’ensemble des t � t

0

tels que �(s) �'(s) pour s 2 [t

0

; t℄. Il est clair que At

1

est fermé et non vide, et si = supA

t

1

, on a At

1

= [t

0

; ℄. Supposons < t

1

. Alors( ; '( )) 2 U et il existe un cylindre de sécurité C = [ � l; + l℄ � ['( ) � r; '( ) + r℄, [ � l; + l℄ � I , contenu dans U au



EXERCICES

voisinage duquel f est k-lipschitzienne pour un k > 0. Soit 0 < " < "

0

, "0

étant choisit assez petit de sorte que, quitte à réduireéventuellement l, C soit un cylindre de sécurité pour le problème de Cauchy x0 = f

"

(t; x), x( ) = '( ), avec f"

(t; x) = f(t; x) + ".Comme � est une barrière inférieure sur [ � l; + l℄ pour f c’est une bérrière inférieure forte pour f

"

pour le même intervalle. Soit '"

la solution maximale du problème de Cauchy x0 = f

"

(t; x), x( ) = '( ). Le 1. de la Proposition montre alors que �(t) < '

"

(t) pour

t 2℄ ; + l℄. D’autre part, le Corollaire du Lemme Fondamental ( page 54) donne j'(t)� '

"

(t)j �

"

k

�

e

kjt� j

� 1

�

, t 2 [ � l; + l℄.

En faisant tendre " vers zéro, il vient alors �(t) < '(t) pour t 2℄ ; + l℄, ce qui contredit la définition de . On a donc = t

1

ce quitermine la preuve.

Remarque II.6.1. Une barrière faible peut être infranchissable sans que f soit localement lipschitzienne.

DÉFINITION II.6.3.Soient U une partie de R�R et f une fonction continue de U dans R. Soient � : I ! R et � : I ! R telles

que (t; �(t) 2 U et (t; �(t) 2 U , pour tout t 2 I . Supposons que � (resp. �) soit une barrière inférieure (resp.supérieure) infranchissable pour l’équation différentielle x0 = f(t; x).

1. Si �(t) � �(t), pour tout t 2 I , on dit que l’ensemble T (�; �) = f(t; x) 2 U tels que �(t) � x �

�(t); t 2 Ig est un entonnoir.2. Si �(t) � �(t), pour tout t 2 I , on dit que l’ensemble S(�; �) = f(t; x) 2 U tels que �(t) � x �

�(t); t 2 Ig est un anti-entonnoir.

PROPOSITION II.6.2.Soient U un ouvert de R � R et f une fonction continue de U dans R localement lipschitzienne. Soient

� : I ! R et � : I ! R telles que (t; �(t) 2 U et (t; �(t) 2 U , pour tout t 2 I . Supposons que � (resp. �) soitune barrière inférieure (resp. supérieure) pour l’équation différentielle x0 = f(t; x).

1. Supposons �(t) � �(t), pour tout t 2 I (i.e. T (�; �) est un entonnoir, les barrières étant infranchissablesd’après la Proposition précédente). Alors toute solution ' : I ! R de l’équation différentielle x0 = f(t; x) telleque, pour un t

0

2 I , on ait �(t0

) � '(t

0

) � �(t

0

), est telle que �(t) � '(t) � �(t), pour t 2 [t

0

;+1[\I .2. Supposons �(t) � �(t), pour tout t 2 I (i.e. S(�; �) est un anti-entonnoir). Alors, pour tout t

0

2 I , ilexiste x

0

2 [�(t

0

); �(t

0

)℄ tel que la solution maximale ' du problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

, soitdéfinie sur [t

0

;+1[\I et vérifie �(t) � '(t) � �(t) sur cet intervalle.

3. Dans les conditions du 2., si de plus�f

�x

existe et est positive ou nulle dans S(�; �) et si

lim

t!sup I

�(t)� �(t) = 0, alors il existe une et une seule solution de l’équation différentielle x0 = f(t; x) qui

reste dans S(�; �).

Démonstration. Le 1. résulte aussitôt de la Proposition précédente. Montrons le 2. Pour t 2 I , soient �t

et �t

les solutions maximalesau problèmes de Cauchy x0 = f(t; x), x(t) = �(t) et x(t) = �(t) respectivement. En raisonnant à t décroissant (i.e. en «inversant»le sens du temps) la Proposition précédente, l’unicité du Théorème de Cauchy-Lipschitz et le Théorème des bouts ( page 59), montrentque �

t

et �t

sont définis sur ℄ � 1; t℄ \ I et vérifient �(s) � �

t

(s) � �

t

(s) � �(s) sur cet intervalle. Soit t0

2 I . Pour t � t

0

,t 2 [t

0

;+1[\I , soit Pt

(t

0

) = [�

t

(t

0

); �

t

(t

0

)℄. Soient t0

� t

1

� t

2

. Comme �(t) � �

t

2

(t) � �

t

2

(t) � �(t) pour t 2℄�1; t

2

℄ \ I ,par définition des �

t

et �t

et par l’unicité du Théorème de Cauchy-Lipschitz, on doit avoir �t

1

(t) � �

t

2

(t) � �

t

2

(t) � �

t

1

(t) sur℄�1; t

1

℄\I , ce qui montre que Pt

(t

0

), t 2 [t

0

;+1[\I , est une famille décroissante des compacts non vides. Soit x0

un point de leurintersection (qui est non vide par compacité). Si ' est définie sur ℄�

1

; �

1

[, on a alors �(t) � '(t) � �(t) sur ℄�1

; �

1

[\[t

0

;+1[\I ('est «coincée» par les �

t

et �t

). Enfin le Théorème des bouts entraîne que ([t0

;+1[\I) � [t

0

; �

1

[.Vérifions maintenant le 3. Si '

1

:℄�

1

; sup I[! R et '2

:℄�

2

; sup I[! R sont deux solutions telles que �(t) � '

1

(t) � '

2

(t) 2

�(t) dans [t0

; sup I[, t0

2 I (deux solutions ne peuvent se couper), on a '02

(t)� '

0

1

(t) =

Z

'

2

(t)

'

1

(t)

�f

�x

(t; u)du � 0, et si '2

(t

1

) �

'

1

(t

1

) > 0, pour un t1

� t

0

, par croissance de '2

� '

1

, on contredit l’hypothèse lim

t!sup I

�(t)� �(t) = 0.

Exercices

Exercice II.1.Soit A une application continue de R dans M

n

(R) et soit (I;X) une solution de X 0

= A(t)X . On suppose que la matrice A(t) estantisymétrique pour tout t 2 R.



1. Trouver une équation différentielle satisfaite par tX ÆX .

2. En déduire que si X(t

0

) est orthogonale (t0

2 I), alors X(t) est orthogonale pour tout t 2 I .

Exercice II.2.SoitE un espace de Banach etL (E) l’espace de ses endomorphismes continus. SoitA 2 C (E). On considère l’équation différentielle

X

0

+X Æ A ÆX = 0:

1. Montrer qu’il existe un solution maximale (I; ') avec '(0) = Id

E

.

2. Montrer que ' est C1.

3. Montrer que I contient l’intervalle jtj < jjAjj

�1 et que dans cet intervalle, on a '(t) = (Id

E

+ tA)

�1.

Exercice II.3.Soit E l’espace de Banach des suites de réels qui tendent vers 0 à linfini, muni de la norme k:k

1

. Pour t 2 R et x = (x

n

)

n2N

2 E, on

pose f(t; x) = (jx

n

j

1=2

+ 1=(n+ 1))

n2N

.

1. Montrer que f est continue de R �E dans E.

2. Soit a > 0 et (℄� a; a[; x) une solution de x0 = f(x) avec x(0) = 0. Montrer que xn

(t) > 0 pour t 2℄0; a[.

3. En déduire que xn

est de classe C 2 sur ℄0; a[ avec x00n

(t) > 1=2 (t 2℄0; a[).

4. Prouver que xn

(t) � t

2

=4 pour t 2℄0; a[.

5. Conclusion ?

1. Soit f(t; x) = 2jxj

1=2 pour (t; x) 2 R

2 . Donner l’allure des courbes intégrales de l’équation différentielle x0 = f(t; x).

(a) Dans quel ouvert U faut-il poser cette équation pour que tout problème de Cauchy admette une unique solution maximale ?

(b) (facultatif) Mêmes questions avec f(t; x) = j1� x

2

j

1=2.

Exercice II.4.Soient ' et deux fonctions continues de R2 dans R telles que ' < . Soient et d deux nombres réels.

1. Montrer qu’il existe un intervalle I comprenant et deux fonctions u et v de classe C 1 sur I telles que

u

0

(t) = '(t; u(t)); v

0

(t) = (t; v(t))

et u( ) = v( ) = d.

2. Montrer que pour tout t 2 I , v(t) > u(t) si t > et v(t) < u(t) si t < .

3. On suppose seulement que ' � . Montrer que (v(t)� u(t))(t� ) � 0 pour tout t 2 I .

1. Soit t0

> 0 et 2 R

� . Déterminer la solution maximale du problème de Cauchy x0 =

2

+ x

2, x(t0

) = 0:

(a) Soit (℄�;�[; ') la solution maximale du problème de Cauchy

(b) Montrer que � est fini [on pourra utiliser la méthode de comparaison].

(c) Montrer que si � > 0, alors '(t) tend vers �1 quand t tend vers �+.

(d) Prouver que � > 0 si t0

est assez grand.

(e) Etablir que quand t0

tend vers +1, � � t

0

et � sont équivalents à �t�1=2

0

=2.

Exercice II.5.SoitE un espace de Hilbert réel, I un intervalle de R etA : I ! L (E) une application continue. Montrer que les solutions Y : I ! E

de l’équation Y 0

= A(t)Y sont de norme constante si et seulement si A(t) est antisymétrique pour tout t 2 I .

Exercice II.6.Soit E un espace vectoriel de dimension finie et I un intervalle de R. Soit A : I ! L (E) continue et t

0

2 I . On considère la solutionY : I ! L (E) du problème de Cauchy

Y

0

= A(t) Æ Y Y (t

0

) = Id

E

Montrer que Y (t) est inversible pour tout t.

Exercice II.7.Soit ` : R ! L (C

n

) une application continue, de période !.

1. Soit E l’espace vectoriel des solutions R ! C

n de l’équation y0 = `(t)y. Montrer que l’application T : E ! E définiepar Ty(t) = y(t + !) est un endomorphisme de E. En déduire que l’équation y0 = `(t)y posséde une solution pour laquelley(t+ !) = �y(t) avec � 2 C .

2. Retrouver ce résultat en utilisant le fait que la résolvante vérifie

8t 2 R; R(t; 0) = R(t; !) ÆR(!; 0)



EXERCICES

3. Que se passe-t’il quand ` est constante ?

Exercice II.8.Soit p un entier positif et a

1

; : : : ; a

p

des fonctions continues de R dans R. On considére l’équation différentielle

y

(p)

+ a

1

(x):y

(p�1)

+ � � �+ a

p

(x):y = 0

Montrer que pour tout x0

réel, il existe � positif tel qu’aucune solution non nulle de cette équation différentielle n’a plus de p� 1

zéros sur l’intervalle [x0

� �; x

0

+ �℄. Étudier le cas particulier de l’équation y(3) = y

0, conclure.

Exercice II.9.Soit a un réel positif. Expliciter toutes les solutions de l’équation y00 � a

2

y = 0. En effectuant le changement de variables t = sin(�),en déduire les solutions sur ℄� 1; 1[ de

(1� t

2

)y

00

� ty

0

� a

2

y = 0

Décrire toutes les solutions de l’équation précédente.

Exercice II.10.Soit � : R ! R dérivable, croissante, telle que lim

t!1

�(t) = +1. Soit f : [t

0

;+1[! R une solution de l’équation différentielley

00

+ �(t)y. Étudier la fonction f(t)2 + f

0

(t)

2

=�(t) ; montrer que f est bornée.

Exercice II.11.Soit � : R

+

! R continue, telle queR

+1

0

j�(t)jdt converge. Soit f : [0;+1[! R une solution de l’équation différentielley

00

+�(t)y. Si f est bornée, montrer que f 0(t) a une limite en +1, et que cette limite est nulle. En déduire que deux solutions bornéessont nécessairement colinéaires. Conclusion ?

Exercice II.12.Soient a; b : R ! R continues, et y

1

; y

2

: R ! R un système fondamental de solutions de l’équation différentielle y00+a(t)y0+b(t)y.Montrer que y

1

et y2

n’ont pas de zéro commun, et qu’entre deux zéros consécutifs de y1

se trouve nécessairement un zéro de y2

; endéduire que ce zéro est unique.

Exercice II.13.Soient P;Q;R trois fonctions dérivables sur R vérifiant

8x 2 R P (x) > 0 Q(x) < R(x)

Soient y et z deux fonctions vérifiant

P (x)y

00

(x) + P

0

(x)y

0

(x) +Q(x)y(x) = P (x)z

00

(x) + P

0

(x)z

0

(x) +R(x)z(x) = 0

1. Calculer la dérivée de P (x):(y0(x)z(x)� y(x)z0(x)), et en déduire qu’entre deux zéros consécutifs de z se trouve un zéro de y.

2. Soit � : R ! R une fonction continue vérifiant 0 < !

2

< �(t) <

2 pour tout t avec ! et réels positifs. Déduire dela question précédente que toute solution de y00 + �(t)y = 0 admet une infinité de zéros, et que la distance entre deux zérosconsécutifs est comprise entre �= et �=!.

Exercice II.14.Soit I un intervalle réel et f : I ! R de classe C 2 .

1. Montrer que, si y : I ! R est solution de l’équation y00 = f(x)y, la fonction z(x) = y(x)

3 est solution de

(E) z

(4)

= 10f(x)z

00

+ 10f

0

(x)z

0

+ (9f(x)

2

� 3f

00

(x))z

2. Soit (y1

; y

2

) un système fondamental de solutions de y00 = f(x)y. On pose

z

1

(x) = y

1

(x)

3

z

2

(x) = y

1

(x)

2

y

2

(x) z

3

(x) = y

1

(x)y

2

(x)

2

z

4

(x) = y

2

(x)

3

Montrer que (z1

; z

2

; z

3

; z

4

) est un système fondamental de solutions de (E).


EXEMPLES DE SUJETS

ET DE CORRIGÉS

D ’ EXAMENS

Examen partiel de l’annéeuniversitaire 2000-2001

Sujet

Exercice IQuestion de cours

1. Soient E1

, E2

, E3

et F des espaces normés. Soit f une application multilinéaire continue de E =

3

Y

i=1

E

i

dans F .

(a) Donner explicitement la différentielle df(x) de f en un point x 2 E.

(b) En déduire (en justifiant clairement chaque étape) un calcul explicite des différentielles seconde et troisième de f , d2f(x)et d3f(x), en un point x.

2. Soient E, F et G trois espaces normés. Soient U un ouvert de E et V un ouvert de F . Soient f un application de U dans V et gune application de V dans G. Soient x

0

2 U et y0

= f(x

0

). On suppose que f est différentiable en x0

et g différentiable en y0

.

(a) Donner explicitement la différentielle de h = g Æ f en x0

.

(b) On suppose que f et g sont deux fois différentiables en x0

et y0

respectivement. Calculer explicitement (en justifiantclairement chaque étape) la différentielle seconde d2h(x

0

) de h en x0

.

Exercice II

Soit E un espace de Banach. Soit F = L (E) l’espace de Banach des endomorphismes continus de E dans lui même. Pour tout

entier k � 1, soit Pk

l’application de F dans lui-même définie par Pk

(u) =

k foisz }| {

u Æ : : : Æ u.

1. Montrer que Pk

est une fonction de classe C1 sur F .

2. Calculer explicitement la différentielle dPk

(u) de Pk

en un point u 2 F .

3. Montrer que Pk

est un difféomorphisme de classe C1 au voisinage de idE

.

75

EXEMPLES DE SUJETS ET DE CORRIGÉS D’EXAMENS

Exercice III

Soient E un espace de Banach et I = [x

0

� h

0

; x

0

+ h

0

℄ un intervalle fermé de R.

1. Soit ' une fonction de classe C 2 de I dans E. En appliquant la formule de Taylor à l’ordre 2 aux points x et x + h

0

ou x etx� h

0

, montrer que si supx2I

k'(x)k � A et supx2I

d

2

'(x)

� B, alors supx2I

kd'(x)k � 2A=h

0

+Bh

0

=2.

2. Soit f une fonction de I dans E de classe C1. On suppose que, pour tout entier n � 0 on a

sup

x2I

d

2n

f(x)

� (2n)!Mk

n

où M et k sont des constantes indépendantes de n.

(a) En utilisant le 1. donner une majoration de supx2I

d

2n+1

f(x)

pour tout n � 1.

(b) En déduire que la série de Taylor de f en x0

converge, dans E, vers f(y) pour tout y dans un voisinage de x0

que l’onprécisera.

Exercice IV

Soient E et F deux espaces de Banach et f une application de E dans F de classe C 1. On suppose qu’il existe une constanteA > 0 telle que, pour tout x 2 E, df(x) est inversible et

(df(x))

�1

� A.

1. Soit t0

2 R. Soit : ℄t

0

� h; t

0

+ h[! F une fonction continue telle que (t0

) 2 f(E). Montrer que, pour h1

� h assez petit,il existe une fonction continue ~ : ℄t

0

� h

1

; t

0

+ h

1

[! E telle que f Æ ~ = .

2. Soient [a; b℄ un intervalle, ~ 1

et ~ 2

deux fonctions continues de [a; b℄ dans E telles que f Æ ~ 1

= f Æ ~

2

et ~ 1

(a) = ~

2

(a).

(a) Soit T l’ensemble des t 2 [a; b℄ tels que ~ 1

(t) = ~

2

(t). Montrer que T est fermé.

(b) Montrer que T est ouvert.

(c) Conclure que ~ 1

= ~

2

.

3. Soit : [0; 1℄ ! F une fonction de classe C 1 telle que (0) 2 f(E). Soit T l’ensemble des t 2℄0; 1℄ pour lesquels il existe~ : [0; t℄! E continue telle que f Æ ~ = .

(a) Déduire du 1. que T est non vide.

(b) Soit � la borne supérieure de T . Déduire du 2. qu’il existe ~ : [0; � [! E continue telle que f Æ ~ = .

(c) Soit (tn

) une suite dans [0; � [ qui converge vers � . En utilisant l’hypothèse sur df (et le théorème des accroissements finis)montrer que, pour tous p et q entiers

k~ (t

p

)� ~ (t

q

)k � A sup

t2[0;1℄

kd (t)k jt

p

� t

q

j ;

et en déduire que ~ se prolonge en une fonction continue sur [0; � ℄.

(d) En raisonnant par l’absurde, déduire du 1. que � = 1.

4. Soient x 2 E et y 2 F . En appliquant ce qui précède à la fonction (t) = (1� t)f(x) + ty, montrer que f est surjective (i.e.f(E) = F ).

Corrigé

Exercice I

Cet exercice étant une question de cours, donnons brièvement les réponses :

1. (a) df(x) � (hi

) = f(h

1

; x

2

; x

3

) + f(x

1

; h

2

; x

3

) + f(x

1

; x

2

; h

3

).

(b) d2f(x) � ((hi

); (k

i

)) = f(h

1

; k

2

; x

3

) + f(k

1

; h

2

; x

3

) + f(h

1

; x

2

; k

3

) + f(k

1

; x

2

; h

3

) + f(x

1

; h

2

k

3

) + f(x

1

; k

2

; h

3

),d

3

f(x) � ((h

i

); (k

i

); (l

i

)) = f(h

1

; k

2

; l

3

) + f(k

1

; h

2

; l

3

) + f(h

1

; l

2

; k

3

) + f(k

1

; l

2

; h

3

) + f(l

1

; h

2

k

3

) + f(l

1

; k

2

; h

3

).

2. (a) dh(x0

) � h = dg(f(x

0

)) Æ df(x

0

) � h.

(b) d2h(x0

) � (h; k) = d

2

g(y

0

) � (df(x

0

) � h; df(x

0

) � k) + dg(y

0

) � (d

2

f(x

0

) � (h; k)).

Exercice II



EXAMEN DE LA SESSION DE JUIN 2001

1. Pk

est la composée de l’application linéaire u 7! (u; : : : ; u) et de l’application multilinéaire (u1

; : : : ; u

k

) 7! u

1

Æ : : : Æ u

k

.

2. dPk

(u) � h =

k�1

X

i=0

u

i

Æ h Æ u

k�i�1 où uj =

j foisz }| {

u Æ : : : Æ u.

3. dPk

(id

E

) = kid

E

, et le théorème d’inversion locale donne le résultat.

Exercice III

1. Supposons par exemple [x; x+ h

0

℄ � [x

0

� h

0

; x

0

+ h

0

℄. La formule de Taylor-Lagrange donne

k'(x+ h

0

)� '(x)� d'(x

0

)h

0

k � Bh

2

0

=2;

d’où le résultat.

2. Par le 1.,

d

2n+1

f(x)

�

2(2n)!Mk

n

h

0

+

(2n+ 2)!Mk

n+1

h

0

2

� (2n+ 1)!M

1

k

n, où M1

est une constante ne dépendant que

de M , k et h0

.

3. Le reste dans la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre n appliquée à f sur un intervalle [x

0

� h; x

0

+ h℄ se majore donc parM

2

k

n=2

h

n, et tend vers zéro si hk1=2 < 1.

Exercice IV

1. Soit x0

2 E tel que f(x0

) = (t

0

). Par le théorème d’inversion locale, f est un difféomorphisme au voisinage de x0

. Doncf

�1 est définie et continue au voisinage de (t0

). La continuité de implique donc que ~ = f

�1

Æ est définie et continue auvoisinage de t

0

.

2. (a) Immédiat les fonctions étant continues.

(b) Si t1

2 T , f est un difféomorphisme au voisinage de ~

i

(t

1

) donc ~ i

= f

�1

Æ (f Æ

i

) est déterminé au voisinage de t1

.

(c) Par connexité.

3. (a) Immédiat.

(b) Si 0 < t

1

< t

2

< � , et si ~ i

est définie sur [0; ti

℄ et vérifie f Æ ~ i

= , le 2. implique que ~

1

et ~ 2

sont égales sur [0; t1

℄.On peut alors définir ~ sur [0; � [ en posant, pour 0 < t < � , ~ (t) = ~

~

t

, où t < ~

t < � et ~ ~

t

est continue sur [0; ~t℄ et vérifief Æ ~

~

t

= (cette définition ne dépend pas du choix de ~ ~

t

.

(c) Le théorème des accroissements finis donne k~ (tp

)� ~ (t

q

)k � sup

t2I

kd~ (t)k jt

p

� t

q

j, et comme df(~ (t)) Æ d~ (t) =

d (t), il vient kd~ (t)k �

df(~ (t))

�1

kd (t)k, ce qui donne l’inégalité en utilisant l’hypothèse. Il en résulte que ~ (t

n

)

est une suite de Cauchy dans E qui converge donc vers a 2 E, ce dernier étant complet. La fonction ~ prolongée par a en� est alors continue.

(d) Si � < 1, le 1. montre ( (�) = f(a) 2 f(E)) qu’il existe ~

1

de [�; � + h℄ telle que f Æ ~

1

= et ~ 1

(�) = a. Enprolongeant alors ~ par ~

1

sur [�; � + h℄, on contredit la maximalité de � .

4. En effet, le 3. montre qu’il existe ~ : [0; 1℄ ! E telle que f Æ ~ = . En particulier f(~ (1)) = (1) = y, ce qui montre quey 2 f(E).

Examen de la session de Juin2001

Sujet

A



Soit E un espace de Hilbert réel de dimension finie n � 2 et de produit scalaire noté h:; :i. Soit u 2 L (E) un endomorphisme telque hu(x); yi = hx; u(y)i pour tous x; y 2 E. Soient g(x) = hx; xi = kxk

2, f(x) = hu(x); xi, x 2 E, et S = g

�1

(1).

1. Montrer que f et g sont de classe C1 sur E et, pour tous x; h 2 E, calculer explicitement df(x) � h et dg(x) � h.

2. Montrer que la restriction de f à S admet un maximum.

3. Montrer qu’il existe a1

2 S et �1

2 R tels que df(a1

) = �

1

dg(a

1

).

4. Montrer que (Ra1

)

? est stable par u et, en raisonnant par récurrence, en déduire que E admet une base de vecteurs propres deu.

B

Questions de cours préliminaires.

1. Donner la définition d’un cylindre de sécurité pour un problème de Cauchy. Démontrer que si U est un ouvert de R � E, Eespace de Banach, et f : U ! E une fonction continue, pour tout point (t

0

; x

0

) 2 U , il existe un cylindre de sécurité centré en(t

0

; x

0

) pour le problème de Cauchy x0 = f(t; x), x(t0

) = x

0

.

2. Soient E espace de Banach, U un ouvert de R � E et f : U ! E une fonction continue. Soient 'i

: I ! E, I segment de R,i = 1; 2, deux solution "

i

-approchées, "i

� 0, de classe C 1, de l’équation différentielle x0 = f(t; x). On suppose qu’il existek > 0 tel que, pour tout t 2 I , on a

kf(t; '

1

(t))� f(t; '

2

(t))k � k k'

1

(t)� '

2

(t)k :

Soit t0

2 I . Posons xi

= '

i

(t

0

), i = 1; 2. Démontrer que, pour tout t 2 I on a

k'

1

(t)� '

2

(t)k � kx

1

� x

2

k e

kjt�t

0

j

+ ("

1

+ "

2

)

e

kjt�t

0

j

� 1

k

:

On pourra appliquer, sans le redémontrer, le lemme de Gronwall (c’est-à-dire : si u est une fonction continue de [0; T ℄, T > 0,

dansR telle que u(t) � at+ k

Z

t

0

u(s)ds; t 2 [0; T ℄; avec a � 0; et k > 0, alors on a u(t) �a

k

�

e

kt

� 1

�

, pour 0 � t � T )

à la fonction u(t) = k'(t)� '(0)k, '(t) = '

1

(t)� '

2

(t).

3. Soient E espace de Banach et U un ouvert de R � E. Soient f et g deux fonctions continues de U dans E telles queÆ = sup

(t;x)2U

kf(t; x)� g(t; x)k < +1. Soient ' : I ! E (resp. : I ! E) une solution de l’équation différentielle

x

0

= f(t; x) (resp. x0 = g(t; x)). On suppose qu’il existe k > 0 telle que, pour tout t 2 I , kf(t; '(t))� f(t; (t))k �

k k'(t)� (t)k. Déduire du 2. une majoration explicite de k'(t)� (t)k, t 2 I , en fonction de Æ, k et des valeurs prises par' et en un point t

0

de I .

Problème

Soient un ouvert de R2 et f : ! R une fonction continue. Dans tout le problème on suppose donnée une solution ', définiesur un intervalle I de R, de l’équation différentielle x0 = f(t; x).

Soit � une fonction de classe C 1 de I dans R telle que, 8t 2 I , (t; �(t)) 2 .

I

On suppose que, pour tout t 2 I , on a �0(t) < f(t; �(t)) et qu’il existe t0

2 I tel que �(t0

) � '(t

0

).

1. Supposons tout d’abord �(t0

) < '(t

0

).

(a) On suppose qu’il existe t > t

0

tel que �(t) � '(t). Soit t1

= infft > t

0

; t 2 I; tels que �(t) � '(t)g. Montrer que�(t

1

) = '(t

1

), que '� � est strictement croissante au voisinage de t1

et conclure à une contradiction.

(b) En déduire que �(t) < '(t), pour tout t > t

0

, t 2 I .

2. On suppose maintenant que �(t0

) = '(t

0

). Montrer que �(t) < '(t) pour t > t

0

assez proche de t0

, et, en utilisant la questionprécédente, conclure que �(t) < '(t), pour tout t > t

0

, t 2 I .

II

A partir de maintenant on suppose que f est localement lipschitzienne en la seconde variable. Soit � = sup I . On supposeque, pour tout t 2 I , on a �0(t) � f(t; �(t)) et qu’il existe t

0

2 I tel que �(t0

) � '(t

0

).

1. Pour tout t2

2 [t

0

; �[, soit At

2

= ft 2 [t

0

; t

2

℄ tels que �(s) � '(s); pour s 2 [t

0

; t℄g. Montrer que At

2

est un intervalle ferménon vide que l’on notera dans la suite [t

0

; ℄.On suppose dans la suite de cette question que < t

2

.



EXAMEN DE LA SESSION DE JUIN 2001

(a) Pout tout " > 0, on pose f"

(t; x) = f(t; x) + ", (t; x) 2 . Montrer qu’il existe r > 0 et l > 0 tels que, pour 0 < " � 1,le problème de Cauchy x0 = f

"

(t; x), x( ) = '( ), admet une solution '"

définie dans l’intervalle J = [ � l; + l℄ � I età valeurs dans le segment ['( )�r;'( )+r℄, les intervalles J et ['( )�r;'( )+r℄ étant tels que f soit k-lipschitzienne,pour un k > 0, en la seconde variable dans J� ['( )�r;'( )+r℄ (on pourra montrer l’existence d’un cylindre de sécuritéconvenable).

(b) Montrer que pour t 2 J , on a

j'(t)� '

"

(t)j �

"

k

�

e

kjt� j

� 1

�

:

(c) En utilisant le résultat de la partie I, montrer que �(t) < '

"

(t) pour t 2℄ ; + l[, et en déduire que �(t) � '(t) sur lemême intervalle.

(d) Conclure à une contradiction.

2. Conclure que �(t) � '(t) pour tout t 2 [t

0

; �[.

Corrigé

A

1. f et g sont de classe C1 comme composées d’applications linéaires et bilinéaires continues (E est de dimension finie), et uncalcul immédiat donne dg(x) � h = 2 hx; hi et df(x) � h = 2 hu(x); hi puisque u est symétrique.

2. Comme S est fermé et borné, et que l’espace est de dimension finie, c’est un compact. f y admet donc un maximum.

3. Comme, pour x 2 S, dg(x) 6= 0 (dg(x) � x = kxk

2

6= 0), S est une sous-variété de E, et on peut appliquer le théorème desmultiplicateurs de Lagrange.

4. La relation df(a1

) = �

1

dg(a

1

) signifie exactement que a1

est un vecteur propre de u associé à la valeur propre �1

. Alors, six 2 E

1

= (Ra

1

)

?, on a hu(x); a1

i = hx; u(a

1

)i = 0, ce qui montre que E1

est stable par u. Comme E = (Ra

1

) � E

1

, enrecommençant le même raisonnement que précédemment avecE

1

à la place de E, on trouve un second vecteur propre a2

2 E

1

,et E

2

= ((Ra

1

)� (Ra

2

))

? est aussi stable par u. Par récurrence on en déduit le résultat demandé.

B

Questions de cours préliminaires : voir le cours.

Problème

I

1. (a) Par définition de l’inf et continuité des fonctions, on a �(t1

) � '(t

1

). Si on avait�(t1

) > '(t

1

), la continuité des fonctionscontredirait la définition de t

1

. On a donc �(t1

) = '(t

1

). Ceci implique �0(t1

) < f(t

1

; �(t

1

)) = f(t

1

; '(t

1

)) = '

0

(t

1

),et, par continuité de '0 ��0, on a '0 � �0 > 0 au voisinage de t

1

. Ceci implique que, pour t < t

1

assez proche de t1

, on a'(t) < �(t) et contredit la définition de t

1

.

(b) La contradiction précédente montre que l’hypothèse de départ de la question précédente est fausse ce qui est le résultat.

(c) Si �(t0

) = '(t

0

), on a �0(t0

) < '

0

(t

0

), et, par continuité, ' � � est strictement croissante au voisinage de t0

ce quimontre qu’il existe t0

0

> t

0

tel que, sur ℄t0

; t

0

0

℄ on a '(t) > �(t). On peut alors appliquer le raisonnement fait aux deuxquestions précédentes, en remplaçant t

0

par t00

, et obtenir '(t) > �(t) pour t > t

0

0

, ce qui permet de conclure.

II

1. (a) SoitC0

= [ �l

0

; +l

0

℄�['( )�r;'( )+r℄ un cylindre contenu dans sur le quel jf j est majorée parM et tel que f soit

k-lipschitzienne surC0

. En prenant alors, pour tout 0 � " � 1, et l <r

M + 1

, le cylindre [ �l; +l℄�['( )�r;'( )+r℄

est de sécurité pour le problème de Cauchy x0 = f

"

(t; x), x( ) = '( ).

(b) Comme '"

est une solution "-approchée du problème de Cauchy x0 = f(t; x), x( ) = '( ), qui est définie sur l’intervalleJ , on peut appliquer la troisiemme question de cours préliminaire ce qui donne l’inégalité.

(c) Il suffit d’appliquer le résultat de la partie I en remplaçant f par f"

, I par [ � l; + l℄ et t0

par (car �0(t) < f

"

(t; �(t))

sur [ � l; + l℄) pour obtenir �(t) < '

"

(t) sur ℄ ; + l℄. Comme l est indépendant de ", on obtient alors la dernièreinégalité en utilisant le (b) et en faisant tendre " vers zéro.

(d) Comme on a supposé < t

2

, quitte à réduire l, on peut supposer + l � t

2

(et bien sûr l > 0). La question précédentecontredit alors la définition de .

2. Immédiat.



Examen de la session deSeptembre 2001

Sujet

Exercice I

Soient E un espace de Banach et f : E ! R une fonction de classe C 2 telle que f(x) > 0, 8x 2 E. On suppose qu’il existe uneconstante M telle que

d

2

f(x)

�M , 8x 2 E.

1. Soient x; h 2 E et s 2 R. En écrivant f(x+ sh) avec la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que

f(x) + sdf(x) � h+

1

2

s

2

M khk

2

> 0; 8s 2 R:

2. En déduire que, 8x 2 E, kdf(x)k �p

2Mf(x).

Exercice II

Soit A une application continue de R dans l’espace des matrices carrées d’ordre n complexes. On suppose qu’il existe ! 2 R telque 8t 2 R, A(t+ !) = A(t). On considère l’équation différentielle linéaire

x

0

= A(t) � x: (E)

Soit S l’espace vectoriel sur C des solutions de (E). Pour toute x 2 S, on pose ~x(t) = x(t+ !).

1. Montrer que l’application x 7! ~x est un isomorphisme de S sur lui même.

2. Soit t0

2 R. Soit R(t; t0

) la résolvante de (E). Soit x0

2 C

n un vecteur propre de R(t0

+ !; t

0

) associé à la valeur propre �.Soit '

0

la solution de (E) qui vaut x0

en t0

.

(a) Montrer que f'0

(t

0

) = �'

0

(t

0

).

(b) En déduire que f'0

= �'

0

.

Exercice III

Question de cours préliminaire. Énoncer le théorème des bouts.Soit f une fonction de classe C 2 de Rn dans Rn telle que f(0) = 0. On suppose que, 8x 2 R

n , df(x) est inversible et qu’il existeune constante k > 0 telle que

(df(x))

�1

� k, x 2 R

n .Pour tout u 2 R

n , on considére l’équation différentielle

x

0

= (df(x))

�1

� u: (Eu

)

1. Montrer que, 8t0

2 R, 8x0

2 R

n , (Eu

) admet une solution x définie au voisinage de x0

telle que x(t0

) = x

0

.

2. Monter que toute solution de (Eu

) est définie sur R tout entier.

3. Soit 'u

la solution de (Eu

) qui vérifie 'u

(0) = 0.

(a) Calculerd

dt

(f('

u

(t))) ;

(b) En déduire que f('u

(t)) = tu+ u

0

, pour un u0

2 R

n .

4. En déduire que f('u

(1)) = u et conclure que f(Rn ) = R

n (i.e. que f est surjective).

Exercice IV



EXAMEN DE LA SESSION DE SEPTEMBRE 2001

Question de cours préliminaire. Énoncer le théorème d’inversion locale.Soit un ouvert de Rn . Soient f et g deux fonctions de classe C 1 de dans R. On suppose que, pour tout x 2 , df(x) 6= 0 et

qu’il existe une fonction continue h : ! R telle que, 8x 2 , df(x) = h(x)dg(x). Soit x0

2 fixé.

1. Montrer que, 8x 2 , h(x) 6= 0 et dg(x) 6= 0.

2. Montrer qu’il existe des formes linéaires fi

, i = 2; : : : ; n, sur Rn telles que (df(x

0

); f

2

; : : : ; f

n

) soit une base de formeslinéaires sur Rn .

3. Soit F : ! R

n la fonction définie par F (x) = (f(x); f

2

(x); : : : ; f

n

(x)), les fi

, i = 2; : : : ; n, étant les formes linéaires dela question précédente. Montrer qu’il existe un voisinage ouvert V

1

de x0

tel que F soit un difféomorphisme de classe C 1 de V1

sur son image.

4. Soit G : ! R

n la fonction définie par G(x) = (g(x); f

2

(x); : : : ; f

n

(x)), les fi

, i = 2; : : : ; n, étant les formes linéaires dela question 2. Montrer qu’il existe un voisinage ouvert V

2

de x0

tel que G soit un difféomorphisme de classe C 1 de V2

sur sonimage.

5. Soit V = V

1

\ V

2

. Déduire de ce qui précède que H = G Æ F

�1 est un difféomorphisme de classe C 1 de F (V ) sur G(V ) telque H Æ F = G.

6. Pour tout y 2 F (V ), on pose H(y) = (h

1

(y); : : : ; h

n

(y)). Montrer que

�h

1

�y

1

(f(x); f

2

(x); : : : ; f

n

(x))df(x) +

n

X

i=2

�h

1

�y

i

(f(x); f

2

(x); : : : ; f

n

(x))f

i

(x) =

1

h(x)

df(x):

7. En déduire que, 8i 2 f2; : : : ; ng, et 8y 2 F (V ), on a�h

1

�y

i

(y) = 0.

8. Conclure qu’il existe un voisinage W de f(x0

) dans R et une fonction ' : W ! R de classe C 1 telle que g = ' Æ f sur unvoisinage de x

0

.

Corrigé

Exercice I

1. En effet, par la formule de Taylor on a 0 < f(x+ sh) = f(x) + sdf(x) � h+

Z

1

0

(1� t)d

2

f(x+ tsh) � (sh)

2

dt, et comme

l’intégrale se majore, par hypothèse, par1

2

s

2

M khk

2, on obtient l’inégalité voulue.

2. Comme l’inégalité précédente est valable pour tout s 2 R, en la considérant comme une inéquation du second degré en s, il vients

2

(df(x) � h)

2

� 2s

2

M khk

2

f(x) � 0, c’est-à-dire jdf(x) � hj �p

2Mf(x) khk, ce qui donne le résultat en prenant le suppour khk � 1.

Exercice II

1. Il est clair que si x 2 S alors ~x 2 S. De plus, si x 2 S et si y(t) = x(t� !), on a y 2 S et x = ~y. Enfin x 7! ~x est clairementlinéaire.

2. (a) En effet, on a '0

(t) = R(t; t

0

) � x

0

ce qui donne f'0

(t

0

) = R(t

0

+ !; t

0

) � x

0

= �x

0

= �'

0

(t

0

).

(b) f'0

et �'0

sont donc deux solutions de l’équation différentielle qui prennent la même valeur en t0

. Elles sont donc égalespar unicité du problème de Cauchy.

Exercice III

Question de cours préliminaire. Voir le cours.

1. Comme f est supposée de classe C 2 sur Rn et comme l’application u 7! u

�1 est de classe C1, l’application x 7! (df(x))

�1

est de classe C 1 sur Rn , donc, en particulier, lipschitzienne. La conclusion résulte donc du théorème de Cauchy-Lipschitz.

2. Comme x 7! (df(x))

�1

� u est définie et continue sur Rn et localement lipschitzienne, ceci résulte du théorème des bouts.

3. (a)d

dt

(f('

u

(t))) = df('

u

(t)) � '

0

u

(t) = df('

u

(t)) �

�

(df('

u

(t)))

�1

� u

�

= u.

(b) Immédiat.

4. En faisant t = 0 dans la question précédente, il vient u0

= 0 et on conclut aussitôt.



Exercice IV

Question de cours préliminaire. Voir le cours.

1. Évident.

2. C’est le théorème de la base incomplète en dimension finie puisque df(x0

) 6= 0.

3. C’est une conséquence du théorème d’inversion locale puisque dF (x) = (df(x); f

2

(x); : : : ; f

n

(x)).

4. Idem compte tenu du 1.

5. Immédiat.

6. D’après la question précédente on a h1

(F (x)) = g(x). La formule s’obtient en dérivant cette égalité et en utilisant l’hypothèsefaite sur df et dg.

7. Comme F est un difféomorphisme sur V , pour x 2 V , les formes linéaires df(x), f2

, : : :, fn

sont indépendantes. Le résultatrésulte donc de la formule de la question précédente.

8. Soient W un voisinage de f(x0

) dans R et U un voisinage de (f

2

(x

0

); : : : ; f

n

(x

0

)) dans Rn�1 tels que W � U � F (V ).Alors si 8x 2 W , si on note ~y = (y

2

; : : : ; y

n

), la question précédents montre que ~y 7! h

1

(x; ~y) est constante dans U . Sion note ~y

0

= (f

2

(x

0

); : : : ; f

n

(x

0

)), on a, pour y = (y

1

; ~y) 2 W � U , h1

(y) = h

1

(y

1

; ~y

0

) ce qui montre que la formule'(y

1

) = h

1

(y), y = (y

1

; ~y) 2 W � U , définit une fonction ' de classe C 1 dans W . Comme H Æ F = G, si x appartient à unvoisinage assez petit de x

0

, on aura F (x) 2W � U et par suite h1

(F (x)) = '(f(x)), ce qui est le résultat.

Examen de la session de Mai2002

Sujet

Exercice I

1. Question de cours.

(a) Énoncer avec précision puis démontrer le résultat d’existence et d’unicité des solutions d’une équation différentielle li-néaire.

(b) Donner la définition de la résolvante d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1. Énoncer et démontrer ses propriétésfondamentales.

2. Soient E un espace de Banach, I un intervalle ouvert de R et t0

2 I . Soient A, B, C et D des fonctions continues de I dansL (E).

Soit (x; y) une solution du système différentiel�

x

0

= A(t) Æ x+B(t) Æ y

y

0

= C(t) Æ x+D(t) Æ y

:

Montrer que, si y(t) est inversible pour tout t 2 I , alors t 7! z(t) = x(t) Æ (y(t))

�1 est solution d’une équation différentielleque l’on explicitera.

Exercice II

Soient A et B deux fonctions continues de R dans L (R

n

) telles que, pour tout t 2 R, on ait A(t) + t

B(t) = 0. Soit y (resp. z)une solution de l’équation différentielle y0 = A(t) � y (resp. z0 = B(t) � z).

1. Calculer la dérivée de t 7! hy(t); z(t)i, où h:; :i désigne le produit scalaire euclidien de Rn .

2. Soit RA

(t; t

0

) (resp.RB

(t; t

0

)) la résolvante de l’équation y0 = A(t) � y (resp. z0 = B(t) � z). Déduire de la première questionque t

R

B

(t; t

0

) Æ R

A

(t; t

0

) = id

R

n .

3. En déduire que si A(t) = �

t

A(t) pour tout t, alors RA

(t; t

0

) est orthogonale, pour tous t et t0

.



EXAMEN DE LA SESSION DE MAI 2002

Exercice III

Soit �

B la boule (pour la norme euclidienne k:k) fermée de Rn centrée à l’origine et de rayon r0

> 0 fixé. Soient fi

, 1 � i � n,

des fonctions de classe C1 d’un voisinage de �

B dans Rn . Pour tout � = (�

1

; � � � ; �

n

) 2 R

n , on pose f(x; �) =n

X

i=1

�

i

f

i

(x). On se

donne h > 1 fixé une fois pour toutes.

1. Montrer que f est lipschitzienne par rapport à la première variable x dans �

B, uniformément par rapport à la seconde variable �,pour k�k � 1.

2. Montrer qu’il existe Æ > 0 tel que, pour k�k � Æ, le problème de Cauchy x0 = f(x; �), x(0) = 0, admet une unique solution'

�

(t) définie sur I = [�h; h℄.

Dans la suite, on note '(t; �) = '

�

(t) cette solution, (t; �) 2 I �B(0; Æ).

3. Montrer que ' est de classe C1 dans �I �B(0; Æ).

4. Soit ��

(t) = t

�'

�t

(t; �)�

n

X

i=1

�

i

�'

��

i

(t; �), (t; �) 2

�

I �B(0; Æ).

(a) Montrer que ��

est solution de l’équation différentielle z0 = df

x

('(t; �); �) � z (où dfx

est la différentielle partielle de fpar rapport à la première variable).

(b) En déduire que ��

est identiquement nulle.

5. Montrer qu’il existe une fonction définie sur un voisinage de 0 dans Rn telle que '(t; �) = (t�) (considérer (u) =

'(1; u)).

6. Montrer que, si ff1

(0); � � � ; f

n

(0)g est une base de Rn , est un difféomorphisme au voisinage de l’origine.

Exercice IV

A

Soient u et v deux fonctions continues positives d’un intervalle [t0

; t

0

+ T ℄, T > 0, dans R. On suppose qu’il existe a � 0 tel que

u(t) � a+

Z

t

t

0

u(s)v(s)ds; a � t � b:

1. Soient h(t) le second membre de l’inégalité ci-dessus et C(t) = h(t) exp

�

�

Z

t

t

0

v(s)ds

�

. Montrer que C0(t) � 0.

2. En déduire que u(t) � a exp

�

Z

t

t

0

v(s)ds

�

.

B

Soient E un espace de Banach et U un ouvert de E. Soit f : U ! E une fonction k-lipschitzienne et soit g : U ! R unefonction continue. Soient x

0

2 U et y0

2 R. Soit F : U � R ! E � R la fonction définie par F (z) = F (x; y) = (f(x); yg(x)),z = (x; y) 2 U � R. On note z

0

= (x

0

; y

0

).Soit t

0

2 R. On considère le problème de Cauchy

z

0

= F (z); z(t

0

) = z

0

: (*)

Soient z1

= (x

1

; y

1

) : I ! U �R et z2

= (x

2

; y

2

) : I ! U �R deux solutions de (??) définies sur un intervalle I = [t

0

; t

0

+T ℄

et posons z = (x; y) = z

1

� z

2

= (x

1

� x

2

; y

1

� y

2

).

3. Montrer que x � 0.

4. Montrer que, pour t � t

0

, t 2 I , on a jy(t)j �Z

t

t

0

jy(s)j jg(x

1

(s)jds.

5. En déduire que z1

� z

2

.



Corrigé

Exercice I

1. Voir le cours

2. D’après le cours, (y�1

)

0

(t) = �y(t)

�1

Æ y

0

(t) Æ y(t), ce qui donne aussitôt z0(t) = A(t) Æ z(t) +B(t)� z(t) ÆC(t) Æ z(t)�

z(t) ÆD(t). L’équation différentielle cherchée est donc : z0 = A(t) Æ z � z Æ C(t) Æ z � z ÆD(t) +B(t).

Exercice II

1. On a :(hy(t); z(t)i)

0

= hy

0

(t); z(t)i+ hy(t); z

0

(t)i

= hA(t) � y(t); z(t)i+ hy(t); B(t) � z(t)i

=

(A(t) +

t

B(t)) � y(t); z(t)

�

= 0:

2. Si y0

et z0

sont des points de Rn , on peut écrire y(t) = R

A

(t; t

0

) � y

0

et z(t) = R

B

(t; t

0

) � z

0

. La question précédente donnealors hR

A

(t; t

0

) � y

0

; R

B

(t; t

0

) � z

0

i = hy

0

; z

0

i soit

t

R

B

(t; t

0

) ÆR

A

(t; t

0

) � y

0

; z

0

�

= hy

0

; z

0

i. Ceci étant valable pour tousy

0

et z0

, on obtient le résultat.

3. Il suffit d’appliquer la question précédente avec A = B.

Exercice III

1. Soit M1

= max

i

sup

x2

�

B

kdf

i

(x)k. Prenons k�k =X

i

j�

i

j. Le théorème des accroissements finis donne aussitôt, pour xi

2

�

B,

i = 1; 2, kf(x1

; �)� f(x

2

; �)k �M

1

k�k kx

1

� x

2

k, ce qui donne le résultat demandé.

2. On a kf(x; �)k � M k�k avec M = max

i

sup

x2

�

B

kf

i

(x)k. Par suite, pourk�k � Æ, supx2

�

B

kf(x;�)k � ÆM , et on peut choisir Æ

de sorte que hÆM � r

0

ce qui signifie que [�h; h℄ � �

B est un cylindre de sécurité pour le problème de Cauchy considéré. Lethéorème de Cauchy-Lipschitz donne alors une solution définie sur l’intervalle [�h; h℄.

3. C’est le résultat du cours sur la régularité des solutions d’une équation différentielle dépendant d’un paramètre.

4. (a) En utilisant le fait que '�

est solution de l’équation différentielle x0 = f(x;�), il vient immédiatement :

�

0

�

(t) =

X

i

�

i

f

i

('(t; �)) + t

X

i

�

i

(df

i

)

x

('(t; �))

�'

�t

(t; �)�

�

X

i

�

i

f

i

('(t; �))�

X

i

�

i

X

j

�

j

(df

j

)

x

('(t; �))

�'

��

i

(t; �)

= df

x

('(t; �); �) ��

�

(t):

(b) En effet, ��

est solution d’une équation différentielle linéaire homogène et ��

(0) = 0.

5. La question 3. montre que t 7!

�

(t) = (t�) = '(1; t�) est C1 dans ℄ � 1; 1[. De plus, la question 4. (b) implique que

0

�

(t) =

�

�t

'(1; t�) =

X

i

�

i

�'

��

i

(1; t�) =

�'

�t

(1; t�) =

X

i

�

i

f

i

(

�

(t)), pour jtj � 1. Comme �

(0) = '(1; 0) = 0 (car

'

0

est solution de x0 = 0, x(0) = 0), on conclut que �

est solution du problème de Cauchy x0 = f(x;�), x(0) = 0, et, parunicité de cette solution, on en déduit que

�

(t) = '

�

(t), jtj � 1.

6. On a 0�

(0) = d (0) � � =

X

i

�

i

f

i

(0), ce qui montre (puisque ffi

(0)g est une base) que d (0) est surjective. Comme on est

en dimension finie, il n’y a plus qu’à appliquer le théorème d’inversion locale.

Exercice IV

1. En effet, C0(t) = exp

�

�

Z

t

t

0

v(s)ds

�

[u(t)v(t)� h(t)v(t)℄ et il suffit d’utiliser que u � h et v � 0.

2. Par la question précédente, C(t) � C(t

0

) = a ce qui conclut puisque u � h.

3. x1

et x2

sont deux solutions du problème de Cauchy x0 = f(x), x(t0

) = x

0

. Comme f est localement lipschitzienne, l’unicitédu théorème de Cauchy-Lipschitz donne le résultat.

4. Par la question précédente, on a y0i

= y

i

g(x

1

), i = 1; 2. Donc y0(t) = y(t)g(x

1

(t)), et il n’y a plus qu’à intégrer.

5. On a déjà x1

� x

2

et l’égalité y1

� y

2

résulte de la question précédente et de la question 2.



Index des Notations

�f

�x

i

(x

0

), 4

�f

�x

i

, 5

C

0

(U), 17C

1

(U), 2C

2

(U), 14C

1

(U), 17C

n

(U), 17L

n

(E;F ), 16S

n

(E;F ), 16O(g), 1o(g), 1d

E

1

f(x

0

), 5df(x

0

), 2df

x

i

, 5df

x

i

(x

0

), 4f

0

(x

0

), 2f

0

x

i

, 5f

0

x

i

(x

0

), 4

85

a

Index Terminologique

Champ de vecteursCourbe intégrale d’un, 45à paramètre, 45

Dérivéeà droite en un point, 6d’une fonction en un point, 2d’une fonction, 2à gauche en un point, 6Partielle d’une fonction par rapport à x

i

en un point, 5Partielle d’une fonction par rapport à x

i

, 5Difféomorphisme

de classe C 1, 11de classe C1, 18de classe C n, 18

Différentielled’une fonction en un point, 2d’une fonction, 2d’une fonction dans une direction en un point, 5d’ordre n d’une fonction en un point, 17d’ordre n d’une fonction, 17Partielle d’une fonction par rapport à x

i

en un point, 4seconde d’une fonction en un point, 14seconde d’une fonction, 14

Équation différentielleAnti-entonnoir pour une, 71Autonome, 45Barrière inférieure associé à une, 70Barrière supérieure associé à une, 70Bout droit d’une solution maximale, 46Bout gauche d’une solution maximale, 46Champ des tangentes associé à une, 70Condition initiale d’un problème de Cauchy associé à une,

44Cylindre de sécurité pour un problème de Cauchy, 47Entonnoir pour une, 71Isocline associé à une, 70linéaire d’ordre n, 62linéaire homogène, 62Linéaire homogène de degré 1

Matrice Wronskienne d’un système fondamental de solu-tions d’une, 65

Résolvante d’une, 63Système fondamental de solutions d’une, 64Wronskien d’un système fondamental de solutions d’une,

65Méthode d’Euler pour les solutions approchées d’une, 48d’ordre 1, 43d’ordre n, 44Problème de Cauchy associé à une, 44Solution d’une, 43Solution "-approchée de classe C 1 par morceaux, 49Solution "-approchée de classe C 1, 49

Solution approchée linéaire par morceaux, 48Solution asymptotiquement stable d’une, 68Solution globale d’une, 45Solution maximale d’une, 45Solution prolongeant une autre, 45Solution stable d’une, 68

Fonctionde classe C 0, 17de classe C 1, 2de classe C 2, 14de classe C1, 17de classe C n, 17Continûment différentiable, 2Dérivée, 2Développement limité d’une fonction à l’ordre n en un point,

25Différence symétrique seconde d’une fonction, 23Différence symétrique n-ième d’une fonction, 23Différentiable en x

0

, 2Deux fois Différentiable en x

0

, 14Différentiable dans la direction E

1

en un point, 5n fois différentiable en un point, 17Strictement différentiable en x

0

, 2présentant un minimum ou un maximum relatif en un point,

28présentant un extremum relatif lié en un point, 34Point critique non dégénéré d’une, 31

FonctionsTangentes en x

0

, 1Tangentes à l’origine à l’ordre n, 25Strictement tangentes en x

0

, 1Formule

de Leibnitz, 27de Taylor avec reste intégral, 21de Taylor-Lagrange, 21de Taylor-Young, 22

Isomorphisme (d’espaces normés), 11

Matrice Jacobienne d’une fonction en un point, 6

OpérateurDifférentiel linéaire, 27

Polynômede degré n, 22Homogène de degré n, 22

Sous-variétéDifférentiable de classe C k de dimension d, 32Différentiable de classe C k de E modelée sur F , 32Représentation paramétrique d’une, 34

Système de coordonnées locales en un point de classe C k, 30

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INDEX TERMINOLOGIQUE

Théorèmedes accroissements finis, 6–8des bouts, 59de Cauchy-Lipschitz, 55, 56de Cauchy-Peano-Arzela, 52Lemme de Gronwall, 53, 54de Hadamard-Lévy, 12des fonctions implicites, 13d’inversion locale, 12Lemme de Morse-Palais, 31des multiplicateurs de Lagrange, 35du rang constant, 31d’existence des solutions "-approchées d’une équation diffé-

rentielle, 50



Bibliographie

[Ave83] A. AVEZ – Calcul différentiel, Collection Maîtrise de Mathématiques Pures, Masson, Paris, 1983.

[Car67] H. CARTAN – Calcul différentiel, Collection Méthodes, Hermann, Paris, 1967.

[Dem96] J.-P. DEMAILLY – Analyse numérique et équations différentielles, Collection Grenoble Sciences, Presses Universitaires deGrenoble, 1996.

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Documents

Licence Calcul Differentiel