Licence de Sciences et Technologies, L2 Parcours Physique,Travaux Pratiques UE 34P

Physique des Fluides et Thermodynamique

Contacts : J-M Roussel, G Boedecet N. BurleUniversité Aix-Marseille

18 octobre 2013

Résumé

L’UE 34P comprendra une série de 6 TP différents de 3 h (6 postes pour 12 étudiants par séance).

Table des matières

1 Statique des fluides 2

Étude de propriétés de volume d’un liquide (~gradP = ρ~g) et ses propriétés de surface (tension de surface)2

2 Fluide visqueux - viscosimètre à chute 5

Mesure de la viscosité de la glycérine d’après la vitesse limite de chute de billes de verre. 5

3 Du fluide parfait au fluide visqueux 7

L’expérience de vidange d’un réservoir modélisée comme un écoulement parfait. 7

4 Chaleur Latente 9

Mesures de la chaleur latente de fusion de la glace puis de vaporisation de l’eau 9

5 Conduction thermique 12

Test de la loi de Fourier à l’aide de l’expérience historiquede Ingen Housz 12

6 Diffusion de particules 16

Mesure du coefficient de diffusion du glycérol dans l’eau 16

1

1 Statique des fluides

La statique des fluides est l’étude de l’équilibre des fluidesdans le champ de pesanteur.

1.1 Notion de pression

1.1.1 Fluide parfait

Un élément de surface séparant deux portions d’un même fluideest le siège d’interactions entre les moléculesqui le constituent. De ces interactions résulte une force qui, pour un fluide parfait, est normale à cet élément desurface et indépendante de son orientation. La pression du fluideP traduit le rapport de l’intensité de cette forcepar unité de surface.Ainsi, la force élementaire de pression

−→df s’exercant sur un élément de surface orienté

−→dS

s’écrit :−→df = P

−→ds (1)

Si on fait le bilan des forces de pression s’exercant sur les facettes d’un élément de volume, on observe que la

variation de pression se traduit par une force volumique.La force élémentaire volumique de pression−→df ′ s’exerçant

sur un élément de volumedτ du fluide s’écrit :

−→df ′ = −

−−→gradPdτ (2)

Pour mettre en évidence les forces exercées par l’atmo-sphère, il suffit de les supprimer sur un coté d’une surface.On pourrait par exemple reproduire l’expérience des hé-misphères de Magdebourg qui consiste à réaliser un videprimaire à l’intérieur de deux hémisphères accolés de 50cm de diamètre. En 1654, Otto Von Guericke Bourg-mestre de Magdebourg fit atteler huit chevaux à chaquehémisphère pour parvenir à les séparer et ainsi vaincre lapression atmosphérique !– A l’aide de la relation (1), estimer la force nécessaire

pour séparer les hémisphères de 50 cm de diamètre

1.2 Fluide dans le champ de pesanteur

1.2.1 Principe fondamental de l’hydrostatique

Dans le champ de pesanteur, l’élément de volumedτ du fluide est en équilibre mécanique si son poids~dp =ρ~gdτ pour un fluide incompressible (de masse volumique constante) s’oppose à la force élémentaire de pressiondf [Eq. 2]. Le principe fondamental de l’hydrostatique décrit le gradient de pression au sein d’un fluide pesant :

−−→gradP = ρ~g

– Exprimer la variation de la pression dans les trois di-rections du fluide incompressible en supposant~g coli-néaire l’axez.

– Mesurer à l’aide d’un capteur manométrique et du lo-giciel Generis(ou à l’aide d’un capteur de pression re-lié à un multimètre, facteur de conversion :1, 235V ↔1000hPa) la variation de la pression en fonction de laprofondeur de la sonde plongée dans une éprouvetteremplie d’eau puis contenant de l’alcool. Vous obser-verez qu’en plongeant la sonde, le ménisque délimitantl’interface air/liquide dans le tube se déplace avec laprofondeur ainsi que la hauteur de la surface du liquidedans l’éprouvette. La hauteurh est définie comme ladistance entre ces deux points.

– Vérifier quantitativement(tracer la courbe)la relationPb −Pa = ρgh puis déterminer la densité des liquidesconsidérés.

2

1.3 Tension superficielle d’un liquide

L’énergie potentielle d’une molécule diffère suivant la position qu’elle occupe dans le liquide. Elle sera d’autantplus grande que le nombre de molécules voisines sera faible.Elle est donc minimum lorsque la molécule est au seindu liquide. En revanche pour retirer une molécule du liquideet l’amener à la surface, on doit effectuer un travailqui est l’énergie de surface par molécule de surface. A l’équilibre, un liquide présentera donc une surface d’aireminimum pour minimiser son énergie potentielle totale. Autrement dit, la surface tend à se contracter comme leferait une pellicule superficielle élastique tendue. Le travail dW à fournir pour augmenter la surface libre d’unliquide d’une surfacedS s’écritdW = γdS oùγ est l’énergie de surface du liquide (également appelée coefficientde tension superficielle en N/m). Le coefficientγ qui dépend de la nature du liquide et de la température, peutégalement s’écrire comme le rapport d’une force par unité delongueur.

dl

dx

df

FIGURE 1 –dW = dfdx = γdS = γdldx où ~df est tangent à la surface du liquide et s’applique sur le contour dela surface étirée.

1.3.1 Mise en évidence qualitative

FIGURE 2 – On plonge le cadre ABCD et le fil MN dans la solution de détergent et on égoutte : on obtient ainsi unfilm mince qui s’étend sur la surface du cadre. On perce le film entre MN et BC.

Refaites la manipulation décrite en figure 2. Qu’observez-vous? Pouvez-vous l’expliquer qualitativement?

1.3.2 Raccordement d’une surface libre et d’une paroi solide

Liquide mouillant ou non : au point de contact entre la paroi solide, l’air et le liquide, la surface libre du liquidefait un angleθ avec la paroi, appelé angle de raccordement.

solide

liquide

air

θ

T

liquide

air

solide

T

θ

FIGURE 3 – On parle de liquide mouillant si l’angle de raccordement est compris entre 0 etπ/2 ; de liquide nonmouillant sinon. Cet angle traduit l’équilibre entre les forces de tension superficielle aux interfaces liquide-air,liquide-solide, air-solide.

3

1.3.3 Mesure de la tension de surface par arrachement

Lecomte de Nouy (1883-1947) : un anneau métallique de poidsp et de rayonR, accroché à un dynamomètreétalonné, repose sur un liquide qui le mouille parfaitement. Pour arracher l’anneau au liquide il faut exercer uneforceF telle queF − p = 2 ∗ 2πRγ.

FIGURE 4 – On établit que la lame mince est soumise de la part du liquide à une force dirigée vers le bas quivaut :2Lγcosθ oùL est la largeur de la lame,θ l’angle de raccordement du liquide sur la lame etγ est la tensionsuperficielle du liquide. Dispositif expérimental

La mesure de la force conduit directement à la valeur decos θ. Dans la pratique, on fait en sorte d’avoircos θ ≈ 1 en utilisant une lame spécialement traitée pour être parfaitement mouillée par les liquides usuels. Ons’arrange aussi pour que la lame affleure l’eau au moment de lamesure de façon à annuler la poussée d’Archimède.On prendra soin de ne pas toucher directement avec les doigtsla partie de l’anneau en contact avec le liquide. Avotre avis, pourquoi?

En utilisant le matériel à votre disposition, réaliser le montage permettant de la détermination de la tension desurface par arrachement :

– Si vous disposez d’un dynamomètre de traction, mesurer le poids de l’anneau métallique puis la valeur de laforce nécessaire à l’arrachement de celui-ci lorsqu’il repose sur de l’eau.

– Si vous disposez d’un dynamomètre de torsion, régler l’indicateur principal sur zéro, puis, en utilisant lamolette à l’arrière, compensez le poids de l’anneau de façonà ce que le fléau de la balance soit horizontal.Plongez l’anneau dans l’eau puis, en utilisant la molette à l’avant, mesurez la valeur de la force nécessaire àl’arrachement de l’anneau.

En déduire la valeur de la tension superficielle de l’eau. Après avoir séché l’anneau, recommencer l’expérienceavec de l’alcool et en déduire la valeur de la tension superficielle de l’éthanol.

1.3.4 Loi de Jurin

Une application de ce phénomène est la loi de Jurinpour des tubes capillaires. On prend des tubes de dif-férents diamètres, si l’angle de raccordement est obtus(Hg) on a dépression dans les tubes, s’il est aigu (eau)on a ascension. La dénivellation dans le capillaire estdonnée par

h =2γ cos θ

ρgR

où ρ est la masse volumique du liquide,θ est l’anglede raccordement. Par exemple :θeau = 0˚, θbenzene =11 ,̊ θmercure = 185˚.– Réaliser l’expérience avec de l’alcool pur puis avec

de l’eau.– Tracer l’ascensionh du liquide dans le tube en

fonction du rayonr du tube(diamètres des tubes :0, 4; 0, 8; 1, 2 et2, 2mm.)

– Montrer que la loi de Jurin est vérifiée et en déduireθethanol (vous utiliserez la valeur deγ déduite pararrachement).

FIGURE 5 – Illustration du phénomène de capillaritédécrit par la loi de Jurin

4

2 Fluide visqueux - viscosimètre à chute

Mesure de la viscosité de la glycérine d’après la vitesse limite de chute de billes de verre.

2.1 Objectifs

On se propose de déterminer le coefficient de viscositéη de la glycérine. Pour cela nous mesurerons les vitesseslimites atteintes par des billes de verre de diamètres différents lors de leur chute dans la glycérine. L’écoulementétant supposé laminaire, nous appliquerons la loi de Stokesqui donne accès au coefficient de viscosité du fluideconnaissant la vitesse limite, le diamètre et la densité de la bille ainsi que celle du fluide. Une vérification aposteriori du régime laminaire sera faite en calculant les nombres de Reynolds considérés.

2.2 Principe

Un corps en chute libre dans un fluide est soumis à trois forces:- son poids~P , qui l’entraîne vers le bas, force constante ;- la poussée d’Archimède~A,constante également, qui s’oppose à la chute ;- une force de frottements fluides~F , qui augmente avec la vitesse de l’objet~v et qui s’oppose au mouvement.

L’accélération~a de l’objet de massem s’écrit alors :

m~a = ~F + ~P + ~A

FIGURE 6 – Dispositif expérimental

Au début de la chute le corps est sans vitesse initiale et tombe (si la poussée d’Archimède est inférieure aupoids !) Il y a alors mouvement et apparition de la force de frottement qui augmente jusqu’à ce que la somme destrois forces s’annule :

‖ ~F‖+ ‖ ~A‖ = ‖ ~P‖

L’accélération est alors nulle et le corps se stabilise à vitesse constante dite vitesse limite de chute notéevl.

2.3 Régime laminaire : nombre de Reynolds et loi de Stokes

La nature de l’écoulement dépend d’un nombre sans dimensionappelé nombre de ReynoldsRe . Ce nombreest fonction de la vitesse limite de chutevl, d’une taille caractéristiqued de l’écoulement (par exemple, le diamètre

5

de l’objet si celui-ci est une sphère), de la masse volumiqueρf du fluide, et de sa viscosité dynamiqueη . Lenombre de ReynoldsRe vaut :

Re = vldρf/η

Si le nombre de ReynoldsRe est faible (inférieur à 1), l’écoulement est laminaire : ce sont les forces de viscositéqui sont prépondérantes et leur modèle est assimilé à la formule de Stokes. La force de frottements fluides~F estalors proportionnelle à la vitesse~v et au diamètred selon la loi énoncée par Stokes :

~F = −3πηd~v

Si la loi de Stokes est vérifiée, et d’après les expressions précédentes, il est facile de montrer que la vitesse limitede chutevl s’écrit en fonction du coefficient de viscositéη et du diamètred de la bille sous la forme suivante :

vl =ρb − ρf18η

gd2

(rappels :‖ ~P‖ = mbg = ρbVbg ;‖ ~A‖ = ρfVbg ; Vb = 4/3πr3 ; oùρb etρf sont les masses volumiques de la billeet du fluide,Vb le volume de la bille).

2.4 Manipulation

Dans cette manipulation le fluide est de la glycérine, de masse volumiqueρf = 1.25 103kg/m3 , les billessont en verreρb = 2.52 103kg/m3 .

2.4.1 Vérification de la loi de Stokes

On dispose de 4 diamètres de billes avec les incertitudes absolues données par le fournisseur :d1 = 2.0 ±0.2mm ; d2 = 3.0± 0.2mm ; d3 = 4.0± 0.3mm d4 = 5.0± 0.3mm.

Lacher les billes dans le flacon de glycérine (il faut aider les plus petites à s’enfoncer, avec la pointe d’uncrayon) et mesurer à l’aide du chronomètre, leur temps de chute tchute entre les deux traits de repère de hauteurh(voir figure). Le premier repère est pris suffisamment bas pour que l’on puisse considérer que la vitesse limite estatteinte et que le parcours entre les deux traits est à vitesse constantevl = h/tchute . Pour chaque diamètre, faire3 ou 4 mesures et calculer le temps moyentm ±∆t.

Mesurer la hauteurh entre les deux traits (aucun rapport avec la graduation, quiest volumique !). Regrouperles résultats en tableau en précisant les incertitudes.

Ecrire la relation entre le temps de chutetchute et le diamètred ; en identifiant avec la relationtchute = kdm ,donner la valeur théorique de l’exposantm.

Tracer sur un papier log-log le graphe représentant le tempsde chute en fonction du diamètre, avec les rec-tangles d’incertitudes.

Calculer la pente du graphe obtenu ; trouver la relation entre cette pente et l’exposantm et en déduire l’inter-valle dans lequel se situe la valeur expérimentale dem.

2.4.2 Mesure du coefficient de viscosité de la glycérine

A l’aide des résultats précédents, calculer le coefficient de viscositéη.On fera le calcul pour les diamètres 2.0 et 3.0 mm et on donnerala valeur moyenneη ±∆η.Déterminer quel type de graphe pourrait permettre une détermination graphique du coefficient de viscosité

d’après un calcul de pente.

2.4.3 Vérification des conditions d’écoulement laminaire

On vérifiera a posteriori que les conditions d’écoulement laminaire sont bien remplies en calculant, l’intervallede nombres de Reynolds considérés.

Nota : prendre garde aux unités ! Utiliser le système international. Eviter de gaspiller les billes, les quantitésdisponibles sont limitées et elles sont récupérées par les enseignants en fin de cycle de TP - Merci

6

3 Du fluide parfait au fluide visqueux

L’expérience de vidange d’un réservoir modélisée comme un écoulement parfait.

3.1 Objectif

L’expérience consiste à étudier la vidange d’un fluide par unréservoir percé au fond d’un trou qui est prolongépar un tube (Fig. 7). L’objectif de cette expérience est de montrer qu’un même fluide peut se comporter commeun fluide parfait ou un fluide visqueux suivant la longueur du tube utilisée. Nous étudierons en détail le cas del’écoulement parfait (tube court), nous aborderons de manière plus qualitative le cas où les forces de frottement nesont plus négligeables.

h(t)

h(0) A: V(t), S

B: v(t), s

0

z

x

R

reθ

er

ez

tube de sortiede rayon Rde longueur L

g

FIGURE 7 – Schéma du montage.h(t) désigne la différence de hauteur entre la surface libre et letrou au fond duréservoir. La surface libre,A est caractérisée par sa vitesseV et sa sectionS. Le fluide s’écoule en bas (B) par unpetit tuyau de longueurL, de sections, à une vitessev. On noteDm le débit massique. A droite, zoom sur le tubede sortie. La couche cylindrique de fluide de rayonr est représentée.

3.2 Théorie

3.2.1 Fluide parfait

Dans le cas d’un fluide parfait (sans viscosité), on peut, en régime stationnaire, appliquer le théorème deBernouilli qui permet d’obtenir la vitessev du fluide en fonction de la hauteurh (voir Fig.7) :

1. Fluide incompressible :ρ = cste.

2. Conservation de la masse :Dm(A, t) = Dm(B, t) <=> ρV S = ρvs

3. Conservation de l’énergie mécanique :E(A, t) = E(B, t) <=> 12ρV

2 + ρgh = 12ρv

2

Pour s << S, v(t) =√

2gh(t)

On constate quev2 est proportionnelle àh et que le liquide s’écoule avec une vitesse indépendante de sa massevolumique : il n’y a pas de différence entre le mercure et l’eau ! C’est la loi de Galilée (ou de Newton) sur la chutedes corps transposée à l’hydrodynamique.

3.2.2 Fluide visqueux

Si le fluide est visqueux, l’énergie mécanique ne se conserveplus même pour un écoulement incompressible.Afin d’obtenir la vitesse d’écoulement à la sortie du tube, examinons les forces tangentielles s’exerçant sur unecouche cylindrique de fluide de rayonr de longueurL :

1. Système invariant par translation et rotation :v(r, θ, z) = v(r)ez.

2. Force de viscosité :fv = η2πrL dvdr

3. Force de pression entre les deux extrémités du tube :fp = πr2∆P = πr2ρgh

En régime stationnaire, il y a équilibre des forces :

η2πrLdv

dr= πr2ρgh

7

En intégrant cette équation et en respectant les conditionsaux limitesv(R, t) = 0, on obtient la loi de Poiseuillequi relie le profil de la vitesse dans le tube à sa section :

v(r, t) =mgh(t)

4ηL[R2 − r2]

L’introduction des forces de frottement dans le calcul conduit à un profil parabolique de la vitesse au sein dela conduite avec une vitesse maximale au centre et une vitesse nulle en périphérie. D’un point de vue physique,on voit bien que la vitesse au centre est d’autant plus faibleque la viscosité est grande et que le tube est long.Par ailleurs, la vitesse est proportionnelle à la hauteur dechute et croît avec l’ouverture de la conduite. D’un pointde vue pratique, les grandeurs mesurables sont la vitesse moyenne du fluide à la sortie du tubev(t) et le débitmassiqueDm(t). Ces deux grandeurs se déduisent dev(r, t) comme suit :

Dm(t) =

∫ R

0

v(r, t)2πrdr =πR4

8Lηρgh(t)

etv(t) = Dm(t)/s

Les deux modèles montrent que la vitesse instantanée d’écoulement doit évoluer en fonction de la hauteurh(t) comme une loi de puissance1/2 pour un écoulement parfait et comme une loi linéaire pour un écoulementvisqueux.

3.3 Expérience

L’expérience consiste à mesurer la vitesse instantanée du fluide en fonction de la hauteur et à tracerv(h) pourdeux tubes : un court (quelques cm) et un long (plus d’un m). Plus le tube est long, plus l’énergie dissipée parfrottement est importante. Ainsi, on s’attend à observer lecomportement visqueux pour le long tube (et parfaitpour le tube court).

g

h(0)

B: v(t), s

0

z

x

h(t)

bouchontube

L

FIGURE 8 – Principe du vase de Mariotte. Le réservoir est hermétiquement fermé en haut par un bouchon. Letube passant par le bouchon permet de fixer la pression de l’atmosphère non pas à la surface libre comme dans lemontage précédent, mais à l’extrémité inférieure du tube. Ainsi, tant que la surface libre n’est pas en dessous de lapartie inférieure du tube, la hauteur pertinente pour la vidange esth

Pour effectuer une mesure de vitesse instantanée correcte,une façon astucieuse de procéder est d’utiliser unvase de Mariotte (Fig. 8). Dans ce cas,h est maintenue constante et la vitesse d’écoulement est par conséquentconstante. Pour déterminerv(t), on mesure le temps∆t mis par le fluide pour remplir un volume constant (bécherde 100 mL par exemple). On av = Vbecher/s∆t = K/∆t.

Pour différentes valeurs deh (sortir le bouchon et déplacer délicatement le tube), on mesure les différentesvaleurs∆t.

– Pour le tube court, on pourra tracer(1/∆t)2 = f(h) (pour 6 points) et vérifier que l’on a une relationlinéaire. Le fluide peut donc être considéré parfait dans cette situation expérimentale.

– Est ce que le coefficient directeur mesuré est celui attendu?– Pour le tube long, on pourra tracer(1/∆t) = f(h) (pour seulement trois points) et vérifier que l’on a une

relation linéaire. Le fluide peut donc être considéré visqueux dans cette autre situation expérimentale.– Discuter à nouveau la valeur de la pente obtenue.– Enfin, pour une même hauteurh, comparer et commenter l’intensité du débit obtenue dans les deux régimes.

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4 Chaleur Latente

Mesures de la chaleur latente de fusion de la glace puis de vaporisation de l’eau

4.1 Objectifs

L’enthalpie de changement d’état (encore parfois appelée chaleur latente de changement d’état), molaire oumassique, est la quantité de chaleur nécessaire à l’unité dequantité de matière (mole) ou de masse (kg) d’un corpspur pour qu’il change d’état, cette transformation ayant lieu à pression constante. Le but de ce TP est de mesurercette quantité pour deux changements d’état de l’eau :

1. Pour le passage de l’état solide à l’état liquide (on parlera d’enthalpie de fusion) par calorimétrie.

2. Pour le passage de l’état liquide à l’état de vapeur (on parlera d’enthalpie de vaporisation) en mesurantsimultanément la pression et la température à la coexistence des phases (à l’ébullition).

4.2 Mesure de la chaleur latente de fusion de la glace.

Une massem de glace à la température de 0 ˚C est introduite dans le calorimètre contenant une masse d’eaume à la températureθ0. Soit θf la température du calorimètre à la fin de l’expérience ; l’équation calorimétriques’écrit :

(mece + C)(θf − θ0) +mceθf +mLf = 0 (3)

oùce est la capacité thermique de l’eau,C la capacité thermique du calorimètre, etLf la chaleur latente de fusionde la glace.

La massem de glace introduite est déterminée par pesée du calorimètreavant et après introduction de la glace.Les morceaux de glace utilisés sont retirés d’un mélange de glace et d’eau en équilibre et doivent être séchés avecdu papier filtre. On comparera la valeur deLf mesurée à sa valeur théorique (334 kJ/kg).

– Représenter l’évolution de la courbe de température attendue lorsque l’on plongera les glaçons.– En utilisant la méthode des mélanges, déterminer la capacité thermique du calorimètre (voir section 4.2.1).– Pour minimiser l’effet des échanges de chaleur avec le milieu extérieur, la méthode de compensation de

Rumford (voir section 4.2.2)seraemployée. Estimerθ0 pour queles conditions d’application de la méthodesoient remplies.

– Déterminer la chaleur latente de fusion de la glace.

4.2.1 Mesure de la capacité thermique C du calorimètre et de ses accessoires.

Le calorimètre et ses accessoires participent aux échangesd’énergie. Avant toute mesure calorimètrique, ilnous faut donc déterminer la capacité thermique (en J K−1) du calorimètre que l’on utilise. Plusieurs méthodespermettent de déterminerC :

– méthodes des mélanges : on applique la méthode des mélangesavec deux masses d’eau différentes :- 1er temps : calorimètre +m1 eau, température =θa (inférieure si possible de qq kelvins à la températureambiante par exemple)- 2ème temps : on ajoutem2 eau àθ1 > θa.- 3ème temps : la température finale estθf . Le bilan donne

(m1c0 + C)(θf − θa) +m2c0(θf − θ1) = 0

La capacité thermique du calorimètre est donc donnée par :

C = m2c0θ1 − θfθf − θa

−m1c0

Ordres de grandeur :m1 = 0.10 kg,m2 = 0.15 kg, c0(= ceau) = 4180J.K−1kg−1, ∆θ ≈ 10˚C– par pesée :C est déterminée en pesant l’enceinte intérieure du calorimètre et en multipliant la masse obtenue

par la capacité thermique massique du métal constituant l’enceinte.– méthode électrique : On apporte une quantité connue d’énergie à une masse connue d’eau, en maintenant

une tension électriqueU constante au borne d’une résistanceR plongeant dans cette masse d’eau. On repèrela températureθ de l’eau, qui est aussi celle de la résistance de chauffage, du calorimètre et de la sondethermométrique, l’ensemble étant toujours en équilibre thermique. Le système considéré est formé par lecalorimètre et son appareillage et la masseme d’eau. La puissance électrique apportée vaut

Pe =U2

R

9

La puissance thermique mise en jeu par le système vaut

Pt = (mece + C)dθ

dt

Avec :me masse de liquide,ce capacité thermique massique de liquide, :C capacité thermique de l’ensemblerésistance + calorimètre + sonde thermique (on supposera que la contribution de la résistance et de la sondesont négligeables). S’il n’y a pas de perte,

Pe = Pt

Si la tension d’alimention est constante, les points acquispar ordinateurθ en fonction du temps sont à peuprès alignés ; une modélisation par une droite deθ(t) de pentea = dθ

dt permet d’en déduire la valeur deC :

C =U2

Ra−mece

On choisira la méthode des mélanges par défaut et l’on confirmera la valeur deC par les autres méthodess’il nous reste du temps en fin de TP.

4.2.2 Méthode de Rumford

Le calorimètre, bien que limitant les échanges d’énergie avec l’extérieur, n’est pas parfait. Si on place de l’eauplus chaude que la température ambiante à l’intérieur, il y aura une perte d’énergie vers l’extérieur : l’eau refroidit.Réciproquement, si l’eau à l’intérieur est plus froide que la température ambiante, il y aura transfert d’énergiedepuis l’extérieur. Ces échanges d’énergie sont une sourced’erreur importante pour la mesure de la chaleur latentede fusion de l’eau, puisque l’équation calorimétrique (3) suppose que ces échanges avec le milieu extérieur sontnuls. Pour limiter la quantité totale de chaleur échangée avec le milieu extérieur, la méthode decompensation deRumford préconise que les températures initiale et finale sesituent de part et d’autre de la température ambiante,comme dans le cas illustré en figure 9. Les quantités de chaleur reçues du milieu extérieur par le calorimètre sontalors positives pendant la première partie de l’expérienceet négatives dans la deuxième partie.De plus, commela température initiale et la température finale sont situées symétriquement de part et d’autre de la températureambiante, la somme des quantités de chaleur échangées est sensiblement nulle. Ceci se vérifie (voir figure 9) sil’on admet que la variation d’enthalpie due aux pertes pendant la duréetf − t0 est de la forme(W + Q)perte =

−∫ tft0[a + b(θ(t) − θa)]dt où θa est la température ambiante,a et b sont de coefficients positifs à déterminer

dépendant de l’origine diverse des pertes (rayonnement, convection, puissance de l’agitateur, vaporisation)

θ

t

θ

θ

θ

a

o

f

K

A

H

B

L

FIGURE 9 – Exemple schématique de l’évolution de la température dans le calorimètre lorsque l’on y introduit uncorps chaud à l’instantθA. Le terme de perte(W + Q)perte ∝ aireHBL − aireHAK est réduit lorsque l’onapplique la méthode de Rumford. Avec un “mauvais” calorimètre une mesure correcte reste possible.

4.3 Chaleur latente de vaporisation de l’eau.

La chaleur latente de vaporisation est donnée par la formulede Clausius-Clapeyron qui vous sera démontréeen cours :

LV = T (Vg − Vl)

(

∂P

∂T

)

V

où T est la température en Kelvin lors du changement d’état,Vg et Vl les volumes spécifiques (autrementappelés volumes massiques) des phases gazeuse et liquide respectivement, et(∂P/∂T )V le gradient de pressionpar rapport à la température à volume constant.

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4.3.1 Travail préparatoire

– Donner les unités de chaque quantité présente dans la formule de Clapeyron.– En notant queVl peut être négligé devantVg, écrire la nouvelle expression deLV en fonction deP , T , et(∂P/∂T )V en assimilant la vapeur d’eau à un gaz parfait.

– Par intégration, donner l’expression deP en fonction deT à la coexistence.

4.3.2 Protocole expérimental

Pour déterminer la valeur de la chaleur latente de vaporisationLV de l’eau, il suffit de déterminer expérimen-talement la valeur du terme(∂P/∂T )V lors du changement d’état, d’après la formule de Clausius-Clapeyron.

En effet, le passage de l’eau liquide à de la vapeur d’eau s’effectue à T=373.15 K. Pour mesurer(∂P/∂T )Vlors de la vaporisation, on effectuera donc des mesures simultanées de pressionP et de températureT à l’aide del’ordinateur. On dispose pour cela d’un ballon dans lequel on place 120 ml d’eau liquide. Le ballon est relié à uncapteur de température et un capteur de pression. Après avoir amené l’eau à ébullition, le ballon est ensuite ferméet retiré du chauffe-ballon. La température et la pression diminuent, l’ébullition se poursuit, le système parcourtla ligne (P,T) de coexistence des phases liquide / vapeur. Onenregistrera pendant 20 secondes la pression et latempérature en fonction du temps (logiciel Généris). Avantd’exploiter vos résultats, n’oubliez pas de rétablir lapression atmosphérique dans le ballon.

Remarque :Afin d’obtenir un graphique P en fonction de T exploitable, ilest recommandé de ne pas effectuerl’expérience dès l’apparition de l’ébullition, mais d’attendre un peu afin que le système s’homogénéise. On pourrapar exemple regarder la température de la vapeur. Il faut aussi penser à bien écarter le chauffe ballon afin d’éviterde chauffer par rayonnement.

4.3.3 Exploitation des résultats

– Tracer le graphique P (en Pa) en fonction de T (en K). En déduire la valeur de(∂P/∂T )V à la températurede 100 ˚C.

– En déduire la valeur de la chaleur latente de vaporisationLV de l’eau en J/mol puis en J/kg.– Comparer avec la valeur théorique deLV pour l’eau (2258 kJ/kg).

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5 Conduction thermique

Test de la loi de Fourier à l’aide de l’expérience historiquede Ingen Housz

5.1 Objectifs expérimentaux

Mise en évidence de la conduction thermique dans différentes tiges de cuivre (tige pleine, tube creux et tigepleine isolée) et dans une tige de verre. Comparaison de la distribution de température mesurée le long des tigesavec une modélisation simple.

5.2 Principe

5.2.1 Expérience

On utilise une plaque chauffante régulée en température dans laquelle sont enfoncées différentes tiges. Onmaintient ainsi une extrémité de chaque tige à température constante. Le reste de la tige est plongé dans l’airambiant (Fig 10).

On commence par mettre en marche la plaque chauffante équipée de sa protection, la température va augmenterprogressivement pendant un certain temps (environ une demi-heure) puis se stabiliser. Une fois atteint ce régimepermanent, la température de la tige n’est pas uniforme, elle est plus élevée à proximité de l’extrémité chaude, etplus froide à proximité de l’extrémité libre.

Le but de ce TP est 1) de comparer la température au bout de chaque tige, 2) de mesurer la variation de latempératureT (x) lorsqu’on s’éloigne de l’extrémité chaude, pour une tige pleine et le tube creux.

FIGURE 10 – Dispositif expérimental

5.2.2 Thermocouple et thermomètre

Pour les mesures de température on utilise un thermomètre à thermocouple de type K (les matériaux utiliséssont Ni-Cr/Ni-Al) déjà étalonné. La température affichée par le thermomètre est directement celle de la soudure àl’extrémité des deux fils.

5.2.3 Résultat de la modélisation

Les calculs mathématiques sont reportés à la fin du texte. Nous souhaitons modéliser dans cette sous-partiel’évolution de la température le long d’une tige de cuivre chauffée à une de ses extrémités. La tige est plus chaudeque l’air environnant, il va donc y avoir transfert thermique entre la tige chaude et l’air ambiant. Nous allons mo-déliser le problème puis le résoudre. La résolution mathématique est difficile, mais il est intéressant de comprendrele phénomène physique. On obtient à la fin l’expression finaleT (x) utile pour le TP.

On considère ici une tige métallique de grande longueurL, de rayon extérieurr, de section droiteA. Pour lestiges pleines,A = πr2, en revanche pour le tube creux de rayon intérieurr′, A = πr2 − πr′2. Nous allons traiter

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ici le cas de la tige pleine de cuivre non isolée, mais on donnera le résultat final également pour le tube creux. Soitx l’abscisse le long de l’axe de la tige, la tige est située entrex = 0 etx = L.

On impose à une extrémité de la tige (x = 0) une températureT1 élevée. L’air ambiant est à températureT0.On attend suffisamment longtemps pour qu’un état stationnaire s’établisse, c’est-à-dire pour que la température sesoit stabilisée dans la tige : dans ce cas, la température n’est pas la même en tout point de la tige, et vautT (x) enun point d’abscissex. Il paraît intuitif que la température décroît lorsqu’on s’éloigne du coté chaud, c’est-à-direlorsquex augmente.

Le modèle (cf. 4) nous donne alors :

T (x)− T0 = (T1 − T0)e+(L−x)/a + e−(L−x)/a

e+L/a + e−L/aaveca =

√

λA

2πrhconvectif(4)

où λ = 300 W.m−1K−1 est la conductivité thermique du cuivre que nous utilisons,et où hconvectif = 12W.m−2K−1 est le coefficient d’échange thermique entre cuivre solide et air au repos. Nous voyons que le pa-ramètrea, qui est une longueur, est caractéristique de la décroissance de la température le long de la tige : siaest petit (quelques centimètres), la température décroît très vite : au bout de quelques dizaines de centimètres latige est quasiment à la température ambiante. Au contraire,si a est grand (quelques dizaines de centimètres), latempérature reste assez élevée même en bout de tige.

La température en bout de tige est donnée par :

T (x = L)− T0 = (T1 − T0)2

e+L/a + e−L/a(5)

Les quatre tiges sont différentes, à partir de la tige de cuivre pleine, nous avons modifié un seul paramètre àchaque fois :

- la section du tube lorsque nous travaillons avec le tube creux : le tube creux a une surface de conductionAmoindre que celle de la tige pleine. Les autres paramètres sont inchangés.

- le coefficient d’échange thermique convectif pour la tige isolée : la tige isolée est caractérisée par un coeffi-cienthtige isoléebeaucoup plus faible que pour la tige plongée dans de l’air sans isolant.

- la conductivité thermiqueλ pour la tige de verre qui a un coefficient de conductivité thermique beaucoup plusfaible que le cuivre (λverre = 1, 15 W.m−1K−1). Le coefficienthconvectif d’échange verre-air est quasiment le mêmeque celui de cuivre-air.

On s’attend donc à des conductions thermiques différentes selon les tiges.

5.3 Mode opératoire

1. On commence par mettre le thermostat de la plaque chauffante sur 2 et attendre l’établissement du régimepermanent (une demi-heure environ). Pour éviter les pertesde temps, il est conseillé de commencer la ré-daction pendant l’établissement du régime permanent. Ne pas se brûler ! Placer le tissu épais de protectionavant la mise en marche.

2. On dispose de 3 tiges de cuivre et d’une tige de verre : une tige pleine de cuivre de rayonr = 5 mm (tige I),un tube creux de cuivre de rayon extérieur5 mm et intérieur4 mm (tige II), une tige pleine de cuivre de rayon5 mm entourée d’un isolant thermique (ici de la laine de roche), afin de diminuer les échanges thermiquesavec le milieu extérieur (tige III), et finalement, une tige de verre, également de rayon5 mm (tige IV).À l’aide d’un thermocouple et d’un thermomètre relever la température le long des tiges I et II. Pour cela,insérer le fil du thermocouple dans un des trous équidistantsfaits dans la tige, puis lire la températuresur l’affichage du thermomètre. Afin d’avoir un bon contact thermique lors de la mesure, il est conseilléde déposer un peu (très peu) de pâte thermique sur le fil du thermocouple. La distance entre deux troussuccessifs est de 2 cm. On prendra plusieurs mesures pour chacune des tiges. Attention aux brûlures, latempérature des tiges peut dépasser 100◦C !Pour les tiges III et IV on mesurera la température seulementà l’extrémité la plus froide afin de pouvoir faireune comparaison avec les tiges I et II.

5.4 Analyse des résultats expérimentaux et comparaison avec la loi théorique

1. Tracer sur un papier millimétré, pour les tiges I et II, la températureT (en◦C) en fonction de la distancex(encm) par rapport à l’extrémité chauffée. Comparer. Attention : reporter également le tableau des mesures dansle compte rendu.

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2. Reporter vos mesures sur le tableur de Généris et modéliser vos résultats par la solution théorique de l’Eq.(4). On fixera la valeur deL.

3. Comparer la valeur dea expérimentale déduite de la modélisation à celle théoriqueissue de l’Eq. (4).

4. À partir des courbes expérimentales obtenues, extrapoler la valeur de la températureT1 enx = 0. En utilisantl’équation (5) et la température mesurée en bout de la tige III, trouverhtige isolée. La température de l’air,T0,sera mesurée en utilisant le thermomètre à thermocouple.

5. Ensuite calculer la température en bout de tige,T (x = L) (tiges I, II et IV), à partir de l’équation (5).Comparer avec les valeurs mesurées.Laquelle des 4 tiges (I, II, III ou IV) amène le mieux la chaleur à son bout ? Pourquoi?

6. Trouver, en utilisant l’équation (4), les distributionsde température théoriques pour les tiges I et II. Onprendra pourx au moins 3 valeurs parmi celles utilisées dans l’expérience.Tracer les distributions de température ainsi obtenues surle même papier millimétré que les courbes expéri-mentales. Comparer.

5.5 Modélisation de la température le long de la tige

Nous souhaitons modéliser dans ce paragraphe l’évolution de la température le long d’une tige de cuivre chauf-fée à une de ses extrémités. La tige est plus chaude que l’air environnant, il n’y a pas d’isolation thermique, il vadonc y avoir transfert thermique entre la tige chaude et l’air ambiant. Nous allons modéliser le problème puis lerésoudre. La résolution mathématique est difficile, mais ilest intéressant de comprendre le phénomène physique.On obtient à la fin l’expression finaleT (x) utile pour le TP.

On considère ici une tige métallique de grande longueurL, de rayon extérieurr, de section droiteA. Pour latige pleine,A = πr2, en revanche pour le tube creux de rayon intérieurr′, A = πr2 − πr′2. Nous allons traiter icile cas de la tige pleine, mais on donnera le résultat final également pour le tube creux.

Soitx l’abscisse le long de l’axe de la tige, située entrex = 0 etx = L.On impose à une extrémité de la tige (x = 0) une températureT1 élevée. L’air ambiant est à températureT0. On

attend suffisamment longtemps pour qu’un état stationnaires’établisse, pour que la température se soit stabiliséedans la tige : dans ce cas, la température n’est pas la même en tout point de la tige, et vautT (x) en un pointd’abscissex. Il paraît intuitif que la température décroît lorsqu’on s’éloigne du coté chaud, c’est-à-dire lorsquexaugmente.

FIGURE 11 – Bilan des flux thermiques sur un petit tronçon de tige.

Examinons un petit tronçon infinitésimal de tige formant un tronc de cylindre de hauteurδx, de sectionA etde rayon extérieurr, situé entre l’abscissex0 et l’abscissex0 + δx , voir Fig. 11. Nous allons faire le bilan destransferts thermiques entrant et sortant de ce petit cylindre : la partie de la tige située enx < x0 est plus chaudeque notre tronçon, le transfert thermique depuis cette zoneva donc amener de l’énergie vers le petit cylindre.Inversement la partie de la tige située enx > x0 + δx est plus froide que notre tronçon, le transfert thermiquedepuis cette zone va donc amener de l’énergie à sortir de notre petit cylindre vers le reste de la tigex > x0 + δx.Enfin notre tronçon est plus chaud que l’air ambiant, là encore de l’énergie va quitter notre tronçon en direction del’air extérieur, à travers le flanc du cylindre.

Nous allons estimer la puissance thermique transférée à travers les trois surfaces suivantes :1. section de la tige enx0 (entrée d’énergie)

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2. section de la tige enx0 + δx (sortie)3. flancs du cylindre (sortie).Pour les deux premières nous allons utiliser la loi de Fourier qui décrit la conduction thermique dans les

solides, qui dit que la puissance thermique transférée à travers une surfaceA est−λAf(x) oùf(x) = ∂T∂x dans le

cas général.λ est la conductivité thermique du cuivre.On trouve donc une puissance thermique entrante :−λAf(x0) enx0, et une puissance sortante :−λAf(x0 +

δx) enx0 + δx.Pour le transfert à travers le flanc, nous allons utiliser la loi décrivant les transferts entre un solide et un

fluide en présence de convection dans le fluide, la surface d’échange est le flanc du cylindre d’aireAflanc =2πrδx, la température estT (x0) dans la tige etT0 dans l’air ambiant. La puissance thermique sortante est alors−hconvectifAflanc(T0 − T (x0)) oùhconvectif est le coefficient d’échange entre un solide (cuivre) et de l’air au repos.

L’observation expérimentale nous montre qu’au bout d’un certain temps la température cesse d’évoluer en unpoint donné, ce qui signifie que la température dans notre petit tronçon ne varie plus.

Supposons que le flux thermique entrant n’équilibre pas le flux sortant, le système reçoit (ou fournit) alors enpermanence de la chaleur, ce qui fait varier son énergie interne (il n’y a pas d’échange de travail ici), et donc satempérature. Comme nous constatons que la température n’évolue pas, c’est donc que les flux entrant et sortants’équilibrent exactement une fois atteint le régime stationnaire.

On peut donc écrire cette égalité :−λAf(x0) = −λAf(x0 + δx) − hconvectifAflanc(T0 − T (x0)). Nous al-lons maintenant utiliser le fait queδx est petit : pour toute fonctiong, on peut écrireg(x0 + δx) = g(x0) +δxg′(x0) +O(δx2). On néglige ici les termes du second ordre, ce qui nous donne :λAf(x0 + δx)− λAf(x0) +Aflanchconvectif(T0 − T (x0)) = 0, soit

λAδxf ′(x0) + hconvectifAflanc(T0 − T (x0)) = 0

soit en utilisant quef(x) = ∂T∂x , d’où f ′(x) = ∂2T

∂x2 , et queAflanc = 2πrδx

λAδx∂2T

∂x2(x0) + 2πrδxhconvectif(T0 − T (x0)) = 0

qu’on réécrit, après avoir divisé parλAδx :

∂2T

∂x2(x0)−

2πrhconvectif

λA(T (x0)− T0) = 0

On obtient ainsi une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, qu’on sait ré-soudre. La solution est :

T (x)− T0 = αe−x/a + βe+x/a

avec

a =

√

λA

2πrhconvectif

Les deux constantes d’intégrationα et β s’expriment grâce à deux conditions aux limites, la première enx = 0, où l’on imposeT = T1. La seconde condition est plus délicate à exprimer mais traduit simplement que leflux d’énergie en bout de tige est nul. (∂T

∂x (x = L) = 0)On trouve :

T (x)− T0 = (T1 − T0)e+(L−x)/a + e−(L−x)/a

e+L/a + e−L/a

Ce qu’on réécrit volontiers en utilisant la fonction appelée cosinus hyperboliquech telle quech x = (e+x +e−x)/2

T (x)− T0 = (T1 − T0)ch ((L− x)/a)

ch (L/a)

En particulier, la température en bout de tige s’écrit :

T (x = L)− T0 = (T1 − T0)2

e+L/a + e−L/a

Les mêmes résultats sont valables pour le tube creux, avec

a = atubecreux=

√

λ(πr2 − πr′2)

2πrhconvectif

.

15

6 Diffusion de particules

Mesure du coefficient de diffusion du glycérol dans l’eau parméthode optique

Attention, pour ce TP, on utilise un faisceau laser qui éclaire une cuve transpa-rente puis forme une image sur un écran. L’utilisation d’un tel laser nécessitel’application de règles de sécurité élementaires. En particulier, ne pas regar-der dans la direction de la source laser !

Résumé

Dans ce TP, on cherche à mesurer le coefficient de diffusion duglycérol dans l’eau en utilisant une méthodeoptique permettant de remonter au gradient de concentration d’une solution inhomogène de glycérol.

6.1 Introduction : diffusionLa diffusion de la matière désigne le phénomène de transportspontané et irréversible de la matière au sein

d’un système, du fait de l’agitation thermique des molécules qui le constituent. La diffusion de la matière a pourconséquence l’homogénéisation spatiale des concentrations des différents constituants du système. Inspiré par laloi de Fourier pour les transferts thermiques, Adolf Fick propose en 1855 la loi phénoménologique qui porte sonnom et qui relie le flux de matière

−→j au gradient spatial de concentrationc :

−→j = −D

−→∇c (6)

Le coefficient de proportionnalitéD, qui s’exprime enm2.s−1 dans le SI, s’appelle le coefficient de diffusion.Dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, l’origine microscopique de la diffusion est particulièrement

claire, puisqu’on peut calculer le coefficient de diffusionD à l’aide de deux quantités microscopiques :

D =1

3lv̄ (7)

où l est le libre parcours moyen etv̄ est la vitesse moyenne. Dans ce cadre,D gouverne l’autodiffusion d’ungaz. La loi de Fick n’est pas seulement valable pour l’autodiffusion, elle s’applique également à la diffusion departicules plongées dans un fluide, typiquement à la diffusion des molécules de glycérol dans de l’eau. Dans ceTP, on s’intéressera à la mesure du coefficient de diffusion correspondant à cette situation.

6.2 Principe de l’expérienceDans une cuve en verre, on crée (cf. section 6.3) la superposition de deux couches de liquide différentes : au

fond, une solution de glycérol, et au dessus, une couche d’eau distillée. A l’instant initial, le profil de concentrationdes molécules de glycérol est donc une "marche d’escalier".Du fait de la diffusion des molécules de glycérol dansl’eau, ce profil va évoluer au cours du temps jusqu’à atteindre l’état stationnaire où la concentration en glycérolest uniforme dans toute la cuve. Le suivi au cours du temps de ce profil de concentration permet de remonter à lavaleur du coefficient de diffusion du glycérol dans l’eau.

FIGURE 12 – Schéma de principe de l’expérience

L’analyse du système (cf. section 6.4) montre qu’il n’est pas nécessaire de connaître le profil exact de concen-tration, et que l’on peut déterminer le coefficient de diffusion à partir du gradient de concentration. On utilise pourcela l’idée suivante : puisque l’eau et le glycérol pur ont des indices de réfraction différents, une solution conte-nant une concentration inhomogène de glycérol présentera des variations d’indice de réfraction. Si on éclaire lacuve par un faisceau lumineux, celui ci sera dévié par le gradient d’indice. La mesure de cette déviation permettrade remonter au gradient d’indice et donc au gradient de concentration. De plus, afin de mesurer simultanémentle gradient de concentration à différentes positions, on éclaire la cuve non avec un faisceau mais avec une nappelumineuse.

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6.3 Protocole expérimentalLisez bien tout le protocole expérimental avant de commencer et surtout vérifiez que tout est prêt avant

de verser le glycérol : une fois que celui-ci est dans la cuve,il n’est plus possible de faire marche arrière...

1. Mesurer l’épaisseur interned de la cuve.

2. Elargir un faisceau laser avec une lentille cylindrique pour créer une nappe laser.

3. Orienter la nappe de façon à ce qu’elle dessine une diagonale sur la face avant de la cuve.

4. Placer un écran recouvert de papier millimétré derrière la cuve, à environ 50 cm. Mesurer précisémentL,la distance cuve écran.

5. Répérer l’image de la nappe sur l’écran lorsque la cuve estvide.

6. Remplir la buretted’un mélange (50/50) homogène de glycérol et d’eau, puis placer la burette sur un coté dela cuve, son extrémité allant jusqu’au fond de la cuve(pour limiter au maximum le mélange par convectionlorsqu’on versera le glycérol).

7. Remplir la cuve à moitié d’eau.

8. A ce stade,vérifier que tout est prêt pour la suite de l’expérience.

9. Verser doucement le glycérol dans le fond de la cuve. Déclencher le chronomètre. Ne pas essayer de retirerla burette et veiller à ne pas secouer la cuve pendant le restede l’expérience.

10. Relever la déflexion maximum en fonction du temps (pendant une heure au moins, avec des relevés régu-lièrement espacés, toutes les 5 minutes par exemple).

6.4 Analyse

6.4.1 Profil de concentration

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-10 -5 0 5 10

C(x

,t)

x

t=0t=∞

FIGURE 13 – Evolution du profil de concentration normalisé parc0 dans la cuve au cours du temps

La superposition des deux couches de liquide de concentration différentes en glycérol engendre un gradientde concentration vertical. Dans le cas unidimensionnel, l’équation de diffusion s’écrit, en notantx l’axe vertical :

∂c

∂t= D

∂2c

∂x2(8)

On choisit l’originex = 0 au niveau de l’interface eau-glycérol à l’instant (t = 0). Les conditions initialessont alors :

c(x < 0, t = 0) = 0 (eau)

c(x > 0, t = 0) = c0 (solution de glycérol)(9)

avecc0 la concentration de la solution de glycérol.La solution de (8) avec les conditions initiales (9) est donnée par :

c(x, t) =c0

2

[

1 +2√π

∫ x

2√

Dt

0

e−u2

du

]

(10)

On rappelle que :

F (z) =

∫ a(z)

0

f(u)du ⇒ ∂F

∂z= f(a(z)).

∂a

∂z(11)

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1. A l’aide de la formule (11), vérifier que (10) est bien solution de (8).Le gradient de concentration est donc donné par :

∂c

∂x(x, t) =

c0

2√πDt

e−

x2

4Dt (12)

2. Tracer le profil du gradient de concentration. En quel endroit est-il maximal ?

6.4.2 Déviation du faisceau

FIGURE 14 – Déviation du faisceau lumineux par le gradient d’indice. La déviation représentée est fortementexagérée pour faciliter le schéma.

Le gradient d’indice de réfraction créé par le profil de concentration inhomogène entraine une déviation dufaisceau lumineux. On cherche ici à déterminer la relation entre valeur du gradient d’indice et angle de déviation.

1. Ecrire la loi de Snell-Descartes à l’interface entre le liquide et l’air (face arrière de la cuve). On noteraθ

l’angle entre l’horizontale et le rayon incident etα l’angle entre l’horizontale et le rayon réfracté. Dans lalimite des petits angles, montrer que l’on aboutit à :

nθ = α (13)

2. Dans la limite où la largeur de la cuve vérified ≪ R, on peut approximer la déviation du faisceau lumineuxpar un arc de cercle de rayonR. Exprimer la relation entreθ etd,R.

3. Le trajet d’un rayon lumineux dans un milieu dont l’indicevarie est donné par l’équation eikonale :

−→∇n =

d(

n−→t)

ds

où s est l’abscisse curviligne le long du rayon, et−→t est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire. En

développant cette équation, on trouve :

−→∇n =dn

ds

−→t + n

1

R−→ν

où−→ν est le vecteur normal à la courbe et1R

la courbure. En écrivant que−→∇n = dn

dx−→ex, où−→ex est le vecteur

unitaire suivant l’axe desx, et en projetant sur la direction normale−→ν , on obtient donc :

dn

dx−→ex · −→ν = n

1

R

Montrer que−→ex · −→ν = cos θ et en déduire en utilisant les résultats précédents que, dans la limiteθ ≈ 0, ona la relation suivante :

dn

dx=

α

d(14)

18

6.4.3 Détermination du coefficient de diffusion

1. Calculer l’angle de déviationα en fonction de la déflexion maximumh et de la distance cuve écranL.

2. A l’aide du gradient de concentration déterminé précédemment, calculer le gradient d’indice en supposantque l’indicen varie linéairement en fonction de la concentration en glycérol :

n = neau + c(ngly − neau) (15)

En déduire la valeur du gradient d’indice et en particulier sa valeur maximale en fonction deD et t.

3. Montrer que la relation permettant de déterminerD à partir deα, d, t et des indices de réfraction de l’eauneau et du glycérolngly s’écrit :

D =

[

(ngly − neau)c0d

2α√πt

]2

(16)

4. Déduire de vos mesures la valeur deD. On prendraneau = 1.33 etngly = 1.47.

5. Tracerα en fonction de 1√

t.

19