Licence de Sciences et Technologies Notes provisoires LP398

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Université Pierre et Marie CurieParis VI

Licence de Sciences et Technologies

Mentions Physique et Électronique

Chaîne de Mesures etCapteurs

LP398Notes en cours de rédaction

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c© [email protected] 10 février 2018

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Table des matières

Table des matières ii

1 Circuits linéaires 11.1 Circuits linéaires en régime statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Dipôle – caractéristique – loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2.1 Loi des nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Impédance équivalente et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3.1 Association série – diviseur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3.2 Association parallèle – diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.4 Sources continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4.1 Sources parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4.2 Sources réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Théorèmes de Thévenin et de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Détermination des éléments des schémas équivalents de Thévenin et Norton . . . . . . . . 6

1.2.1.1 Essai à vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1.2 Essai en court-circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1.3 Extinction des sources indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1.4 Exemple 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1.5 Exemple 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1.6 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Amplitude complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Intégration et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Loi d’Ohm–impédance et admittance complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3.1 Résistances parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3.2 Self-inductances parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3.3 Condensateurs parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3.4 Associations d’impédances complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3.5 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3.5.1 Diviseur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.3.5.2 Circuits résonnants R-L-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Autres théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 Théorème de Millmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Sources commandées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Définition – usage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 Les quatre types de sources commandées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.3 Méthodes d’étude des circuits avec sources commandées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.4 Circuits à S.C. équivalents à une impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.4.1 Impédance simple : deux formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.4.2 Multiplicateur d’impédance à SVCV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.4.3 Diviseur d’impédance à SICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.5 Exemples de circuits actifs à S.C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5.5.1 Exemple élémentaire à SICV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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1.5.5.2 Exemple de circuit à SVCV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Filtres 152.1 Utilité des filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Échelle logarithmique et décibels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Différents types de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Filtres passifs analogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Filtres actifs analogiques et filtres numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Amplificateur opérationnel 213.1 A.O. en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Introduction – représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Caractéristiques de l’A.O. — A.O. idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.2.1 Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.2.2 A.O. idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.3 Comparateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.3.1 Comparateur à seuil nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.3.2 Comparateurs à seuil quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.4 Bande passante de l’A.O. seul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.5 Le phénomène de triangulation : le slew rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 A.O. en linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.1 Ampli. non inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1.1 Analyse détaillée d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.1.2 Effet de la limitation en fréquence du gain de l’A.O. . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1.3 Analyse rapide pour un A.O. idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Le suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.3 L’amplificateur inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.4 Autres fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.4.1 Sommation pondérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.4.2 Différence pondérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.4.3 Intégrateur actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.4.4 Étude temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.4.4.1 Intégrateur non-compensé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.4.4.2 Intégrateur compensé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.4.5 Étude en régime sinusoïdal permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.4.5.1 Intégrateur non-compensé (sans R′) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.4.5.2 Intégrateur compensé (avec R′) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.4.6 Différentiateur actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.4.7 Filtres actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.4.8 Convertisseur courant-tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.4.9 Convertisseur tension-courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Triggers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.1 Trigger inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1.1 Stabilité des points de fonctionnement : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.1.2 Définition des seuils dans le cas d’un A.O. idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.1.3 Hystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Trigger non-inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.3 Triggers à seuils non symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Oscillateurs non-sinusoïdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.1 Multivibrateur astable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2 Générateur de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Montages utilisant des dipôles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.1 Redresseur sans seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.2 Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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4 Capteurs et conditionneurs 374.1 Introduction–Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.2 Exemples de capteurs actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.3 Exemples de capteurs passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.3.1 Effets de géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.3.2 Effets des propriétés électromagnétiques des matériaux . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.4 Notion de corps d’épreuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2 Caractéristiques de la chaîne de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1 Caractéristiques du capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.2 Erreurs de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.2.1 Erreurs déterministes systématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.2.2 Erreurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.2.3 Précision d’un capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.3 Grandeurs d’influence sur la chaîne de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Capteurs de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Introduction : bilan thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.1.1 Solution à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.1.2 Constante de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.1.3 Analogie avec les circuits électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2 Principes physiques et capteurs de température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.2.1 Thermocouples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.2.2 Thermométrie à diodes et transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3.3 Thermométrie résistive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.3.1 Résistances métalliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.3.2 Thermistances à semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.3.3 Linéarisation amont en thermométrie résistive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.3.3.1 Linéarisation parallèle des thermistances . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3.3.3.2 Linéarisation série des thermistances métalliques . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Conditionneurs pour capteurs résistifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.1 Montages de base, sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4.1.1 Source de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.1.2 Montage potentiométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.1.3 Montage à alimentations symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4.1.4 Montages en pont de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4.1.4.1 Montage à un capteur en quart de pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.1.4.2 Montage à deux capteurs en demi-pont . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4.1.4.3 Montage à quatre capteurs en pont complet . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.4.1.5 Linéarisation aval : montage à pont actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4.2 Compensation des grandeurs d’influence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.2.1 Influence des fils de liaison dans les montages à ponts . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Capteurs de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5.1 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5.2 Principe des jauges extensométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5.3 Caractéristiques des jauges extensométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Diodes et applications 495.1 Diodes à jonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1 Structure et caractéristique statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.1.1 Semi-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.1.2 Jonction P–N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.1.3 Caractéristique statique de la diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.1.2 Modélisations statiques de la diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.2.1 Diode idéale sans seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.2.2 Diode idéale avec seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.2.3 Diode idéale avec seuil et résistance série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.2.4 Équation approchée de la caractéristique (hors claquage) . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Polarisation des dipôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

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5.2.1 Polarisation d’un dipôle passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.1.0.1 Cas de la diode : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.2 Association de dipôles non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.2.1 Association diode sans seuil et résistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.2.2 Association de deux diodes avec seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Dipôles non linéaires en régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3.1 Utilisation des diodes en grands signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.1.1 Redresseur mono-alternance passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3.1.1.1 Remarque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.1.2 Redresseur mono-alternance actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3.1.3 Limiteurs à diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3.2 Dipôles non linéaires en petits signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3.2.1 Résistance différentielle d’un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3.2.2 Résistance différentielle de la diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3.2.3 Méthode pratique d’étude des dipôles en petits signaux . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3.2.3.1 Remarque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.3 Exemple : atténuateur à diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3.3.1 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4 Thermométrie à diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4.1 Principe de la thermométrie à diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4.2 Exemple de montage de thermométrie à diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.5 Autres diodes : diodes Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5.1 Caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5.2 Applications des diodes Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.6 Composants opto-électroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.1 Diodes électroluminescentes : DEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6.1.1 Description des DEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.1.2 Circuits à DEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.6.2 Photodiodes et photopiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.2.1 Caractéristiques et modes de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6.2.2 Mode photoconducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.6.2.3 Mode photovoltaïque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6.3 Autres photodétecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.6.3.1 Phototransistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.6.3.2 Photomultiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.6.3.3 Photorésistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Index 65

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Chapitre 1

Méthodes de base d’étude des circuitslinéaires

1.1 Circuits linéaires en régime statique

Pour simplifier la présentation, on considère dans un premier temps seulement le régime statique ou continu,dans lequel les grandeurs électriques (courant, tension, ...) sont indépendantes du temps. Mais une grandepartie des lois présentées restent valables pour les régimes dépendant du temps, notamment le régime sinusoïdalpermanent (voir 1.3, avec les amplitudes et impédances complexes).

1.1.1 Dipôle – caractéristique – loi d’Ohm

Un dipôle est un circuit électrique accessible par deux bornes A et B à partirdesquelles sont définis :

— le courant I entrant par A ;— la tension (différence de potentiel : ddp) V = VAB = VA − VB aux bornes

du dipôle.Noter la convention récepteur dans laquelle le courant entre dans le dipôle parson pôle + : le dipôle consomme de l’énergie quand P = V I > 0.

I A

B

V

Figure 1.1 – Dipôle

La caractéristique statique du dipôle est la représentation I = f(V ) du courant continu dans le dipôle enfonction de la tension V à ses bornes.

Le dipôle est qualifié de linéaire si sa caractéristique statique est une droite.Le dipôle est dit passif si sa caractéristique passe par l’origine.

Exemple : une résistance est un dipôle linéaire passif. Elle suit la loi d’Ohm :

V = RI où R est la résistance en Ohm (Ω) ou I = GV où G = 1/R est la conductance en Siemens (S)

01/R

V

I

P > 0P < 0

P > 0 P < 0

Figure 1.2 – Caractéris-tique d’une résistance R :V = RI ou I = GV où Gest la conductance.

0 V

I

R = 0

Figure 1.3 – Caractéris-tique d’un court-circuit :V = 0 ∀I ⇐⇒R = 0 ⇐⇒ G = ∞

0 V

I

R = ∞

Figure 1.4 – Caractéris-tique d’un circuit ouvert :I = 0 ∀V ⇐⇒G = 0 ⇐⇒ R = ∞

1

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1.1.2 Lois de Kirchhoff

1.1.2.1 Loi des nœudsLa somme algébrique des courants arrivant sur un nœud estnulle. ∑

k

Ik = 0

Figure 1.5 –Loi des nœuds

I1I2

I3

I4I5

N-B : la masse est un nœud électrique particulier qui n’est pas toujours représenté explicitement comme unnœud du graphe.

Figure 1.6 – Application de la loi des nœuds

Sans calculer les courants dans les branches en parallèle, onpeut affirmer que I1 = I2.

I1 I2

1.1.2.2 Loi des maillesLa somme algébrique des différences de potentiel orientées dansune maille est nulle : ∑

k

Vk = 0

Figure 1.7 – Loi des mailles : V1 + V2 + V3 + V4 = 0

V1

V3

V2V4

N-B : la maille peut se refermer via la masse ducircuit.

Figure 1.8 – Loi des mailles avec la masse

V1 = V2 + V3

+Ve

V2

V1 V3

1.1.3 Impédance équivalente et diviseurs

1.1.3.1 Association série – diviseur de tensionLe courant I est commun aux dipôles en série ⇒ l’éliminer dans l’expression des tensions.

V1

R1=

V2

R2=

V1 + V2

R1 + R2= I =

V

Réquiv.

On en déduit

Réquiv. = R1 + R2 etV1

V=

R1

R1 + R2

Figure 1.9 – Diviseur de tension

R2

R1

V2

V1

IV

NB1 : Si R1 ≫ R2, Réquiv. ≈ R1 : en série, c’est la plus grande résistance qui l’emporte.

NB2 : si une des résistances en série devient un circuit ouvert, la résistance équivalente tend vers l’infini.

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Généralisation : Dans le cas de n résistances en série,

Réquiv. =∑

k

Rk et Vi =Ri∑k Rk

V

1.1.3.2 Association parallèle – diviseur de courant

La tension V est commune aux dipôles en parallèle ⇒ l’éliminer dans l’expressiondes courants.

R1I1 = V = R2I2 = et I = I1 + I2 = Y1V + Y2V = (Y1 + Y2)V

On en déduit

Yéquiv. = Y1 + Y2 etI1

I=

Y1

Y1 + Y2

Dans le cas de deux branches en parallèle, on peut écrire le diviseur de courant entermes de résistances, en plaçant au numérateur la résistance de la branche opposéeà celle dont on calcule le courant :

I1

I=

R2

R1 + R2et Réquiv. =

R1R2

R1 + R2

R1 R2

I

I1 I2

V

Figure 1.10 – Divi-seur de courant

NB1 : Si R1 ≫ R2, Réquiv. ≈ R2 : en parallèle, c’est la plus petite résistance qui l’emporte.

NB2 : si une des résistances en parallèle devient un court-circuit, la résistance équivalente tend vers zéro.

Généralisation : Dans le cas de n résistances en parallèle,

Yéquiv. =∑

k

Yk et Ii =Yi∑k Yk

I

L’expression du diviseur de courant en termes de résistances devient rapidement très complexe 1 quand le nombrede branches est supérieur à deux. Il est donc conseillé de travailler avec les admittances.

1.1.4 Sources continues

La convention générateur est employée pour les sources qui sont des dipôles actifs : I et V dans le mêmesens dans le dipôle.

1.1.4.1 Sources parfaites

Source de tension idéale

+V

A

B

I

E

Figure 1.11 – Source detension idéale : impose latension V = E ∀I

Source de courant idéale

V

IA

B

+

I0

Figure 1.12 – Source decourant idéale : impose lecourant I = I0 ∀V

1. Par exemple pour trois branches,I1

I=

R2R3

R1R2 + R2R3 + R3R1

I1 s’annule dès que l’une des résistances (R2 ou R3) des autres branches s’annule.

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I

V

récepteur

E > 0

reposgénérateur

I > 0

I < 0

Figure 1.13 – Caractéristique d’une source de ten-sion continue idéale

I

V

récepteur générateur

repos I0 > 0

V > 0V < 0

Figure 1.14 – Caractéristique d’une source decourant continue idéale

La puissance fournie est positive dans le premier quadrant seulement. Elle s’annule lorsque :

I = 0 pour la source de tension, donc quand elleest en circuit ouvert.

V = 0 pour la source de courant, donc quand elleest en court-circuit.

Extinction : éteindre une source idéale indépendante, c’est annuler le paramètre qu’elle impose.Éteindre une source de tension idéale, c’est latransformer en court-circuit.

Éteindre une source de courant idéale, c’est latransformer en circuit ouvert.

Dans les deux cas, on translate la caractéristique pour la faire passer par l’origine : on rend le dipôle passif.

1.1.4.2 Sources réelles

En pratique, la quantité que cherche à imposer une source tend à diminuer au fur et à mesure que la puissancefournie augmente. Dans le cadre des sources linéaires, l’imperfection de la source se modélise par une résistanceinterne, petite (r) ou grande (R) selon le type de source. On obtient les schémas suivants :

+V

A

B

I

E

r

Figure 1.15 – Source de tension réelle : tend àimposer la tension V = E − rI ; devient idéale sir → 0.

+V

IA

B

RI0

Figure 1.16 – Source de courant réelle : tend àimposer le courant I = I0 − V/R ; devient idéale siR → ∞.

0 V

I

E/rcourt-circuit

E

−1/rcircuit ouvert

idéaleréelle

Figure 1.17 – Caractéristique d’une source de ten-sion réelle : l’imperfection est liée à r supposéefaible.

0 V

I

idéale

réelle

−1/R

I0

court-circuit

RI0

circuit ouvert

Figure 1.18 – Caractéristique d’une source decourant réelle : l’imperfection est liée à R supposéegrande.


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1.2 Représentation des dipôles linéaires : théorèmes de Thévenin etde Norton

Le comportement d’un dipôle linéaire peut être représenté, vis à vis de l’extérieur, par un schémaéquivalent à deux éléments :

— série : schéma de Thévenin ;

— parallèle : schéma de Norton.

B

A

V

I

circuitlinéaire

Figure 1.19 – Dipôle linéaire : noter la convention générateur pour le courant.

Série : schéma de Thévenin

+V

A

B

I

ETh

RTh

Figure 1.20 – Série : schéma de Thévenin

Parallèle : schéma de Norton

+V

IA

B

YNortonINorton

Figure 1.21 – Parallèle : schéma de Norton

Équation linéaire associée

V = ETh − RThI I = INorton − YNortonV

Équivalence entre les deux schémas

ETh = RThINorton et RThYNorton = 1

0 V

I

INorton

−YNorton = −1/RTh

ETh

circuit ouvert

court-circuit

Figure 1.22 – Caractéristique statique du dipôle

N.-B. 1 : Les sources idéales n’admettent qu’une représentation :

— source de tension : RTh = 0 ⇒ YNorton = ∞ Droite verticale. Thévenin seulement.

— source de courant : YNorton = 0 ⇒ RTh = ∞ Droite horizontale. Norton seulement.

N.-B. 2 : Si ETh et INorton sont positifs, les dipôles fonctionnent en générateur pour les points du premierquadrant (0 6 V 6 ETh ou 0 6 I 6 INorton) et en récepteur dans les quadrants II et IV.


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1.2.1 Détermination des éléments des schémas équivalents de Thévenin et Norton

1.2.1.1 Essai à vide

charge infinie

I = 0 ⇒ V = ETh

A

B

V = ETh

I = 0

dipôle

Figure 1.23 – Essai à vide

1.2.1.2 Essai en court-circuit

charge nulle

V = 0 ⇒ I = INorton

A

B

V = 0

I = INorton

dipôle

Figure 1.24 – Essai encourt-circuit

1.2.1.3 Extinction des sources indépendantes

En éteignant toutes les sources indépendantes présentes dansle circuit, on le rend passif. En changeant la convention de cou-rant, maintenant orienté entrant dans le dipôle, on peut évaluersa résistance comme si on la mesurait (en continu) avec un ohm-mètre (qui comporte bien un générateur).

RTh =(

V

I ′

)

sources indépendantes éteintes

V

I ′

dipôle passivé

Ei = 0Ik = 0

B

A

générateur

auxilliaire

Figure 1.25 – Extinction des sources in-dépendantes

Conclusion : Les schémas équivalents ne comportent que 2 paramètres libres alors qu’une infinité d’essaisest envisageable en choisissant différentes valeurs pour la charge (dont les éléments du schéma équivalent nedépendent pas). Traditionnellement, on choisit les essais simplifiant les calculs, donc avec une charge infinieou nulle 2, sachant que l’on peut déterminer directement impédance de Thévenin ou admittance de Norton parl’extinction des sources indépendantes. Selon les circuits, on peut choisir parmi les trois essais ci-dessus, les deuxqui présentent les calculs les plus simples. Le troisième essai permet alors une vérification.

1.2.1.4 Exemple 1

— essai à vide : I = 0 donc I0 circule dans R

V = RI0 = ETh

— essai en court-circuit : V = 0 donc R et ρ en //

diviseur de courant INorton = I0R

R + ρ

— extinction de la source de courant I0 : ⇒ circuit ouvert

RTh = R + ρ

Vérification :ETh

INorton= R + ρ

+I0

R

ρ

IA

B

V

Figure 1.26 – Exemple 1 avec une source :recherche du schéma équivalent de Théveninvu entre A et B

2. Expérimentalement, on ne réalisera jamais un circuit ouvert parfait à cause de la résistance du voltmètre mesurant la tensionà vide, ni un vrai court-circuit parfait à cause de la résistance de l’ampèremètre mesurant le courant de court-circuit.


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1.2.1.5 Exemple 2

E +

R

I0 +

I A

B

ρ

r

V

Figure 1.27 – Exemple 2 avec deux sourcesindépendantes : recherche du schéma de Thé-venin vu entre A et B par ρ

essai à vide

E +

R

I0 +

rI = 0

I0

I = 0

ETh

ETh = E + RI0

essai en court-circuit

E +

R

I0 +

rIN.

INorton

IN. − I0

E = rINorton + R(INorton − I0)

⇒ INorton =E + RI0

R + r

extinction des sources indépendantes

R

rI ′ A

B

I ′

I ′

V

E ⇒ court circuitI0 ⇒ circuit ouvert

RTh = R + r

Vérification :

ETh

INorton= R + r

1.2.1.6 Cas particuliers

Quand on prend le schéma équivalent de Théve-nin d’une source de tension idéale E0 en parallèleavec une résistance R, on fait « disparaître » larésistance ! En effet, la source de tension impose latension à ses bornes, quelle que soit l’impédanceplacée en parallèle. Du point de vue de l’extérieur,tout se passe comme si la résistance disparaissait.Mais ne pas croire qu’elle n’influe pas sur la sourceinitiale E0, qui doit fournir le courant que la ré-sistance R consomme.

ETh = E0 +

I

E0 +

R

II ′ 6= I

Figure 1.28 – Schéma de Thévenin particulier


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Quand on prend le schéma équivalent deNorton d’une source de courant idéale I0

en série avec une résistance R, on fait « dis-paraître » la résistance ! En effet, la sourcede courant impose le courant à ses bornes,quelle que soit l’impédance placée en sé-rie. Du point de vue de l’extérieur, tout sepasse comme si la résistance disparaissait.Mais ne pas croire qu’elle n’influe pas sur lasource initiale I0, qui doit fournir la puis-sance dissipée par la résistance R.

I0 +R

INorton = I0 +

Figure 1.29 – Schéma de Norton particulier

1.3 Circuits linéaires en régime sinusoïdal permanent – Amplitudeet impédances complexes

1.3.1 Amplitude complexe

v(t) = V cos(ωt + ϕ) = ℜ(

V ej(ωt+ϕ))

= ℜ(V ejϕejωt

)

v(t) = ℜ(V˜

ejωt)

V˜

= V ejϕ est l’amplitude complexe de la la tension sinusoïdale v(t). Les courants peuvent être représentésde la même façon en régime sinusoïdal permanent.

N.B. : la puissance instantanée comporte une composante continue et une partie sinusoïdale, mais à la pul-sation 2ω ; elle ne peut donc pas être représentée par une amplitude complexe.

1.3.2 Intégration et dérivation

La dérivation d’une fonction sinusoïdale du temps se traduit par une multiplication par jω dans le domainedes amplitudes complexes.

v(t) = ℜ(V˜

ejωt)

= V cos (ωt + ϕ)

dv

dt= −V ω sin (ωt + ϕ) = V ω cos (ωt + ϕ + π/2) = ℜ

(V ωej(ωt+ϕ+π/2)

)= ℜ

(jV ωej(ωt+ϕ)

)= ℜ

(jωV

˜ejωt

)

ddt

⇐⇒ ×jω

De même, l’intégration d’une fonction sinusoïdale du temps se traduit par une division par jω dans le domainedes amplitudes complexes.

∫ t

0

dt′ ⇐⇒ ×1

jω

1.3.3 Loi d’Ohm–impédance et admittance complexes

impédance complexe Z =V

I˜

admittance complexe Y =I

V˜

1.3.3.1 Résistances parfaites

Aux bornes d’une résistance pure, courant et tensions sont en phase. La loi temporelle v(t) = Ri(t) (avecR > 0) ou i(t) = Gv(t) (où G = 1/R > 0 est la conductance) se traduit en amplitudes complexes par V

˜= RI

˜ou I˜

= GV˜

. L’impédance complexe d’une résistance pure est donc réelle ZR = R ainsi que son admittanceYR = G = 1/R.


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1.3.3.2 Self-inductances parfaites

Aux bornes d’une self-inductance parfaite, v(t) = Ldi

dt, donc VL

˜= jLωIL

˜. L’impédance complexe d’une

self-inductance parfaite est imaginaire pure :

ZL = jLω et YL =1

jLω.

Une self se comporte comme un vrai court-circuit en continu, et tend vers un circuit ouvert à très hautefréquence.

1.3.3.3 Condensateurs parfaits

Aux bornes d’un condensateur parfait de capacité C, i(t) = Cdv

dt, donc IC

˜= jCωVC

˜. L’impédance complexe

d’un condensateur parfait est imaginaire pure :

ZC =1

jCωet YC = jCω .

Une capacité se comporte comme un vrai circuit ouvert en continu, et tend vers un court-circuit à très hautefréquence : une capacité de liaison placée en série entre deux parties de circuit permet de laisser passer le courantalternatif mais pas le continu.

1.3.3.4 Associations d’impédances complexes

Les lois d’association des résistances se généralisent aux impédances complexes de même que les notions dediviseurs de tension et de courant :

— En association série, les impédances s’ajoutent : Z =∑

k Zk

En particulier, la self-inductance équivalente à plusieurs selfs en série est la somme de leurs inductances :

L =∑

k Lk. En revanche si C1 et C2 sont en série, C =C1C2

C1 + C2.

— En association parallèle, les admittances s’ajoutent : Y =∑

k Yk

En particulier, la capacité équivalente à plusieurs condensateurs en parallèle est la somme de leurs capa-

cités : C =∑

k Ck. En revanche si L1 et L2 sont en parallèle, L =L1L2

L1 + L2.

N.-B. : Ne pas oublier que l’impédance complexe dépend de la fréquence et donc que si le circuit comporteplusieurs générateurs de fréquences différentes, il faut traiter séparément ces fréquences et utiliser (si le circuitest linéaire) le principe de superposition (cf. 1.4.2) pour calculer les courants et tensions composites.

1.3.3.5 Exemples d’application

1.3.3.5.1 Diviseur de tension

e(t) = E cos ωt

V

E˜

=R

R +1

jCω

=jRCω

1 + jRCω

Figure 1.30 – Diviseur de tension sinusoïdal

e(t) + v(t)

R

C


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1.3.3.5.2 Circuits résonnants R-L-C

Circuit résonnant série

C RL

Z = R + j

(Lω −

1Cω

)

|Z| minimale si LCω2 = 1.

Circuit résonnant parallèle

C

L

R

Y =1R

+ jCω +1

jLω

|Y | minimale (circuit bouchon) si LCω2 = 1.

1.4 Autres théorèmes

1.4.1 Théorème de MillmannAssociation de n dipôles linéaires en parallèle représentés cha-cun par :

— leur schéma équivalent de Thévenin (ek, Zk) pour lesbranches actives ;

— leur impédance équivalente Zk pour les branches pas-sives ;

Orienter tous les courants et toutes les sources de tension dansle même sens et écrire la loi des nœuds.

∑

k

Ik = 0 où VAB = Ek − ZkIk

donc Ik = Yk(Ek − VAB)

I1

E1 +I2

E2 +Ik

Ek +

Z1

VAB

A

B

Z2 Zk

Figure 1.31 – Théorème de Millmann

VAB =∑

k YkEk∑k Yk

=

∑k

Ek

Zk∑

k

1Zk

N.-B. 1 : S’il existe des branches passives, le numérateur comporte moins de termes que le dénominateur.

N.-B. 2 : L’utilisation des impédances complexes repose sur l’hypothèse que toutes les sources sont à la mêmefréquence dès lors que l’une des impédances n’est pas réelle : dans le cas contraire, il faut faire appel au théorèmede superposition (cf. 1.4.2).

Figure 1.32 – Exemple d’application du théorème de Millmannavec e1(t) = ℜ

(E1˜

ejωt)

e2(t) = ℜ(

E2˜

ejωt)

V =

E1

R+ jCωE2

1R

+1ρ

+ jCω

e1 +

C

e2 +

R

ρ

V


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1.4.2 Principe de superposition

Dès que l’on travaille avec des sources à plusieurs fréquences et en particulier avec du continu et une sourcesinusoïdale, pour lesquels les éléments passifs non résistifs ne présentent pas la même impédance complexe, onne peut pas traiter globalement les différentes fréquences.

Si le circuit est linéaire, on peut calculer les contributions de chacune des sources en éteignant toutes lesautres, puis faire la somme de leurs contributions : c’est le principe de superposition. Ce principe est bienentendu applicable aux circuits linéaires comportant plusieurs sources de même fréquence.

Ainsi, on peut étudier les circuits linéaires en régime périodique non sinusoïdal : il suffit de décomposer ensérie de Fourier courants et tensions, d’utiliser les impédances associées à chaque harmonique pour calculer sacontribution et d’appliquer le principe de superposition pour sommer les contributions de toutes les harmoniques.

1.4.2.1 Exemple

Figure 1.33 – Utilisation du principe de superposition

e1(t) = ℜ(

E1˜

ejω1t)

ω1 = 2πf1

e2(t) = ℜ(

E2˜

ejω2t)

ω2 = 2πf2

Avec des sources à deux fréquences différentes (sinon, on peut utiliser lethéorème de Millmann), on recherche la tension V aux bornes de Z.

e1 + e2 +V

Z1 Z2

Z

Figure 1.34 – Contribution de e1 à la fréquence f1

e2 est remplacée par un court-circuit.

V1˜

= E1˜

Z(f1)//Z2(f1)Z1(f1) + Z(f1)//Z2(f1)

e1 + V1

Z1 Z2

Z

Figure 1.35 – Contribution de e2 à la fréquence f2

e1 est remplacée par un court-circuit.

V2˜

= E2˜

Z(f2)//Z1(f2)Z2(f2) + Z(f2)//Z1(f2)

e2 +V2

Z1 Z2

Z

Application du principe de superposition dans le domaine temporel

v(t) = v1(t) + v2(t)

1.5 Sources commandées

1.5.1 Définition – usage

Pour représenter des dispositifs électroniques actifs au niveau des composants (transistors, amplificateursopérationnels, ...) ou des systèmes (étage amplificateur par exemple), dans lesquels une tension ou un courantdépend uniquement d’un autre paramètre (courant ou tension) du circuit, on introduit la notion de source

dépendante, liée ou commandée par ce paramètre.Les sources commandées sont représentées comme les sources réelles, mais avec un losange à la place du

cercle.

N.-B. : On n’étudiera ici que les dépendances linéaires.


Not

es p

rovi

soire

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398


1.5.2 Les quatre types de sources commandées

Suivant la nature (courant ou tension) de la source et du paramètre de commande, on distingue quatre typesde sources commandées caractérisées par une constante de type résistance, conductance, gain en tension ou gainen courant.

Paramètre decommande

Source de tension v Source de courant j

tension u SVCV

+ v = ku

k gain en tensionSICV

+ j = gu

g conductance

courant i SVCI

+ v = ρi

ρ résistanceSICI

+ j = ki

k gain en courant

1.5.3 Méthodes d’étude des circuits avec sources commandées

Principe Le paramètre de commande de la source commandée prend diverses valeurs suivant les essais aux-quels on soumet le circuit : il faut alors éliminer ce paramètre (qui est une variable muette) pour exprimer lerésultat final en fonction des sources indépendantes et des impédances des dipôles passifs. En particulier, dansl’application des théorèmes de Thévenin ou Norton, il est prudent de modifier la notation indiquant la valeurdu paramètre de commande à chaque essai.

La méthode de calcul de RTh en rendant passif le circuit est applicable à condition de n’éteindre que lessources indépendantes (et de calculer les sources commandées).

N.-B. 1 : Une source commandée linéairement ne s’éteint que quand son paramètre de commande s’annule.

N.-B. 2 : Dans les transformations de schéma, ne pas modifier (ou laisser disparaître) la définition d’unparamètre de commande d’une source liée.

1.5.4 Circuits à sources commandées équivalents à une impédance

1.5.4.1 Impédance simple : deux formes

Une source de tension commandée par le courant qui la traverse ou une source de courant commandée parla tension à ses bornes est équivalente à une résistance... qui peut être négative suivant l’orientation des courantet tension.

+ v = ρi

i

ρ

i

v

+

v

i = gv

1/g

i

v


Not

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rovi

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398


1.5.4.2 Multiplicateur d’impédance à SVCV

+

r u

i

(1 + k)r

i

w

v = ku

w w = u + ku

puis éliminer u avec :

u = ri

w = (1 + k)ri

d’où une résistance apparente de (1 + k)r.

1.5.4.3 Diviseur d’impédance à SICI

r

j

v

kj

i

r

1 + kv

ii = j + kj

v = rj

éliminer ji = (1 + k)v/r

d’où une résistance apparente der

1 + k.

1.5.5 Exemples de circuits actifs à sources commandées

1.5.5.1 Exemple élémentaire à SICV

On cherche à déterminer les schémas de Thévenin et deNorton entre les bornes A et B du circuit ci-contre quicomporte une source indépendante e et une source decourant commandée en tension i = gv.

e +

v

i = gv

A

B

Essai à vide

e +

v1

i1 = gv1

A

B

eTh

i′1 = 0

i′

1 = i1 = gv1 = 0 ⇒ v1 = 0

Ce qui élimine v1, donc :

eTh = e − v1 et eTh = e

Essai en court-circuit

e +

v2

i2 = gv2

A

B

vAB = 0

iN

iN = i2 = gv2

Éliminer v2 :

v2 = e donc iN = ge

Extinction des sources indépendantes

v3

i3 = gv3

A

B

vAB

i′

La seule source indépendante est la source detension e ; elle s’éteint en court-circuit. Alors,

vAB = −v3

Donc

ZTh =VAB

I ′=

−V3

−gV3=

1g


Not

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398


Conclusion

e +

1/gA

B

ge +

A

B

1/g

1.5.5.2 Exemple de circuit à SVCV

On cherche à déterminer les schémas de Thévenin et deNorton entre les bornes A et B du circuit ci-contre quicomporte une source de courant indépendante i0 et unesource de tension commandée en tension v = ku.

A

B

i0 +ρ ru

v = ku +

Essai à vide

A

B

i0 +ρ ru1 eTh

v1 = ku1 + i′ = 0 eTh = u1 + ku1 reste à éliminer u1 :

i0 =u1

ρ+

eTh

r= u1

(1ρ

+1 + k

r

)

eTh = (1 + k)(

ρ//r

1 + k

)i0 donc eTh = [(1 + k)ρ//r] i0

Essai en court-circuit

A

B

i0 +ρ ru2

v2 = ku2 +

iNorton

iNorton = i0 − u2/ρ reste à éliminer u2 :

u2 = −v2 ⇒ u2(1 + k) = 0

⇒ u2 = v2 = 0 donc iNorton = i0

donc RTh =eTh

iNorton= r//(1 + k)ρ

Extinction des sources indépendantes

A

B

ρ ru3

v3 = ku3 +

w′

i′′ i′La seule source indépendante est la sourcede courant i0 ; elle s’éteint en circuit ouvert.Alors,

w′ = u + ku

Donc

RTh =W ′

I ′= r//

W ′

I ′= r//(1 + k)ρ

Remarque : ne pas éteindre la source dépendante v = ku, ce qui donnerait RTh = r//ρ.Conclusion

Schéma équivalent de Thévenin

+

A

B

[(1 + k)ρ//r] i0

(1 + k)ρ//rSchéma équivalent de Norton

i0 +

A

B

(1 + k)ρ//r


Not

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398


CHAPITRE 2 r INTRODUCTION AUX FILTRES

RESUMÉDECOURS(UELP398)

1. Utilitédesfiltres

En électronique, un filtre est un circuit qui permet de sélectionner des signaux ayant une certaine

fréquenceetdatténuerlesautres.Unexempledelaviecouranteestlefiltreradioquisélectionnelesignal

dontlafréquencecorrespondàlastationquelonsouhaiteécouteretatténuesuffisammentlesautres.

2. Rappelssurléchellelogarithmiqueetlesdécibels

a) Échellelogarithmique

Pouruneéchellelinéaire,ladistanceentredeuxpointsestproportionnelleàladifférencedesvaleurs

decesdeuxpoints.Pouruneéchellelogarithmique,ladistanceentredeuxpointsestproportionnelle

aulogarithmedurapportdesvaleursdecesdeuxpoints.Parexemple,Fig.1a,ladistanceestlamême

entre200Hzet400Hzquentre600Hzet800HzalorsqueFig.1bladistanceestlamêmeentre1Hz

et10Hzquentre10Hzet100Hz.

(a) (b)

Fig.1rReprésentationdunemêmefonctionen

a)échellelinéairesurlesdeuxaxes,b)échellelogarithmiquesurlesdeuxaxes(logrlog)

Notonsquenconséquence ilnexistepasdezérosurunaxegraduéavecuneéchelle logarithmique.

Lutilisationduneéchellelogarithmiqueestparticulièrementadaptéequandlagammedevaleursest

étendue(variationdeplusieursordresdegrandeur):celapermeteneffet,contrairementà léchelle

linéaire,dedonnerune importance identique aux faibles valeurspar rapport aux fortes comme le

présente lexemplecirdessusoùunemêmefonctionG(f)esttracéesurlesdeuxtypesdegraphiques

(Fig.1).Uneautreutilitéestdemontrergraphiquementquunphénomènevarieexponentiellement.

Eneffet,siy=AeDxalors lareprésentationdeyenfonctiondexavecuneéchelle logarithmiqueen

ordonnéeetlinéaireenabscisse(diagrammesemirlogarithmique)revientàtracerlog10(y)enfonction

dex:ainsi,onobtientunedroite(cf. leTP1sur lacaractérisationdunediode).Demême,siy=Axn

1.0E-05

1.0E-04

1.0E-03

1.0E-02

1.0E-01

1.0E+00

1.0E-01 1.0E+00 1.0E+01 1.0E+02 1.0E+03

fréquence [Hz]

gain

[ ]

0.0E+00

1.0E-01

2.0E-01

3.0E-01

4.0E-01

5.0E-01

6.0E-01

7.0E-01

8.0E-01

9.0E-01

1.0E+00

0.0E+00 2.0E+02 4.0E+02 6.0E+02 8.0E+02 1.0E+03

fréquence [Hz]

gain

[ ]

1Hz 2Hz6Hz

c© O. Dubrunfaut LP398 15

Not

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398


alors la représentation de y en fonction de x avec une échelle logarithmique en ordonnée et en

abscisse(diagramme«logrlog»)revientàtracerlog10(y)enfonctiondelog10(x):ainsi,onobtientune

droite(depentepositivesin>0etnégativesin<0).

b) Bel(B)etdécibel(dB)

Le logarithmedécimal (log10)dunrapportdepuissancesexprimeenBel.Parexemple,sià lentrée

dunelignedetransmissionlapuissanceestde2Wetàlasortiede0,5W,ondiraquelaligneatténue

lesignaldelog10(2/0,5)Belssoit0,6B.Ledécibel(dB)estpluslargementutiliséavec10dBY1B.Soit:

G=10log10(P1/P2)endB.Danslexempleprécédent,latténuationestde6dB.

Sicenesontplusdesrapportsdepuissancequisonten jeumaisdetensionoudecourantalors le

rapport des tensions (ou des courants) en dB vaut 20log10(U1/U2) (ou 20log10(I1/I2)). En effet, la

puissance est proportionnelle à la tension au carré.Ainsi, à résistance constante: 10log10(P1/P2) =

10log10(U12/U2

2)=20log10(U1/U2).

Danslasuitedecechapitre,cesontdesrapportsdetensionquiserontétudiés.Enrésumé,lerapport

GVdestensionsU1surU2sexprimeendBainsi:

GVdB=20log10(U1/U2)[dB].

QuelquescorrespondancespourdesgainsentensionsontdonnéesdansleTableau1:

GV 1/100 1/10 0,2 1/2 1/21/2 1 2

1/2 2 5 10 100

GVdB >40dB >20dB >14dB >6dB >3dB 0dB 3dB 6dB 14dB 20dB 40dB

Tab.1CorrespondanceentreGVetGVdB.

LutilisationdesdBestparticulièrementintéressantepourétudierdesphénomènesoùunparamètre

variedeplusieursordresdegrandeur:celapermetdemanipulerdesnombres«raisonnables».Par

exemple,pourunrapportvariantde10r2à10

6,léquivalentendBestcomprisentre>40dBet120dB.

Deplus,ilestfréquentenélectroniquequedansunechaînedemesuredesrapportsdepuissanceou

detension(gain)semultiplient:

circuitA:GA=U2/U1,circuitB:GB=U3/U2,circuitAsuividuB:GT=U3/U1=(U3/U2).(U2/U1)=GAGB.

Enexprimant lesgainsendB, ilsuffitalorsdajouterGAdBetGBdBpourtrouverGTdB.Notonstracerun

rapportR suruneéchelle logarithmiqueestéquivalentà tracerce rapportRendB suruneéchelle

linéaire(cf.ledoubleaxedesordonnéesFig.2).Lintérêtdeléchellelogsurléchellelinéairegraduée

endBestlabsencedecalcullogarithmique(avantagemoinscrucialdepuislarrivéedescalculatrices).

3. Différentstypesdefiltresetleurscaractéristiques

a) Fonctiondetransfert

Etantdonnée la fonctionmêmedun filtre, létudedeceluircise faitgénéralementdans ledomaine

fréquentiel (cf.Chapitre1):pourun signaldentrée sinusoïdaldonné,onétudie comment varie le

signaldesortie.Pourcela,lafonctiondetransfertH(jZ)estutilisée:Hest lerapportdelamplitude

complexedelatensionensortiedufiltresurlamplitudecomplexedelatensionenentréedufiltre.

Hestcaractériséeparsonmodule(appelégénéralementlegainG,mêmepourG<1)etsonargument

I (déphasagedusignaldesortiepar rapportàceluidentrée).Létude fréquentielle faite, ilest très

simplealorsderepasseraudomainetemporel.Sive=AcosZtetquelafonctiondetransfertH=GejM:

16 LP398 c© O. Dubrunfaut

Not

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Par exemple, pour un signal dentrée ve = 2cos(2S.10 000t) [V] et pour G(10 kHz) = 0,1 et

M(10kHz))=+90°(vsenavancesurve)alorsvs=0,2cos(2S.10000t+S/2)(lamplitudeestdiviséepar

10etlasortieestdéphaséede90°parrapportàlentrée).Pourunsignaldentréevepériodiquenonr

sinusoïdaletsi lesystèmeest linéaire, il fautdécomposerveenunesommedesinusoïdes (sériede

Fourier)etappliquerà chaque termede la somme la fonctionde transfertH.Parexemple, si ve=

Acos(Z1t)+Bcos(Z2t)+alorsvs=G(Z1)Acos(Z1t+M(Z1))+G(Z2)Bcos(Z2t+M(Z2))+..NB:pour

lessignauxnonpériodiques,ilfaututiliserlatransforméedeFourrier.

b) ReprésentationdelafonctiondetransfertsurundiagrammedeBode

LediagrammedeBodeestunmoyensynthétiqueetvisueldeprésenterlescaractéristiquesdunfiltre.

Ysontreprésentéeslesvariationsenfréquencedumoduleetdelargumentdelafonctiondetransfert

dunsystème.Laxedesabscissesestenéchelle logarithmique, laxedesordonnéesest linéairepour

largument(endegréouenradian)etlogarithmiquepourlemodule(sansunité:rapportdetension).

NotonsquesilegainestendB,alorsléchelledesordonnéesestlinéaire(cf.Fig.2).

c) Différentstypesdefiltres

LalluredesgainsdestroisprincipauxtypesdefiltresquenousrencontreronssontprésentésFig.2.

Fig.2rDiagrammesdeBode(gain)defiltresa)passerhaut,b)passerbas,c)passerbande(largerbande)


Not

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fc est la fréquence de coupure à r3 dB: par définition le gain est à cette fréquence égal au gain

maximumdivisépar21/2 (i.e.G(fC)=GMAX/2

1/2ouencoreGdB(fC)=GMAXdB3dBcar20log10(1/2

1/2)C

>3). Labandepassantedu filtreest lintervallede fréquencedans lequel legainest comprisentre

GMAXdBetGMAXdB3dB:danscettebande,lessignauxdesortiesontpeuatténués.

Lefiltrepasserbaslaissepasserlessignauxdentréeayantunefréquenceinférieureàfc(G(f<fc/10)C

1etdonc|vs|C|ve|,G(f< fc)>0,7)etbloque lesautressignaux (G(f>10fc)<1/10etdonc|vs|<

|ve|/10,G(f>fc)<0,7).Lemêmeraisonnementpeutêtretenupourlefiltrepasserhaut.

Pourlefiltrepasserbande,lessignauxdentréeayantunefréquencecompriseentrefc1etfc2sontpeu

atténués (G>0,7), lesautres sontatténués (G<0,7). La fréquenceoù legainestmaximumest la

fréquencecentralef0dufiltrepasserbande.Labanderpassanteestcompriseentrefc1etfc2.

Lapentedu gain est aussiunparamètre important:plus cellerci est importante,meilleure sera la

sélectiondecertainesfréquences.Parexemple,pourunfiltreradio(filtrepasserbande:Fig.2c):sion

souhaite recevoir correctement la station émettant des ondes autour de 93,5 MHz, il faut non

seulementque lafréquencecentraledufiltresoitégaleà93,5MHz(GMAX=G(93,5MHz))maisaussi

quelessignauxprovenantdesstationsémettantàdesfréquencesproches(93,1et93,9MHz)soient

suffisammentatténués (parexempleG(93,1MHz)<GMAX/10): ilestdoncnécessaireque lespentes

soientsuffisammentfortes.

Notons que connaissant le cahier des charges du filtre (fréquence centrale, banderpassante,

atténuation dans la banderpassante et hors banderpassante, etc.), il existe des méthodes pour

synthétiserunfiltre.

4. Filtrespassifsanalogiques

Les filtresdits«passifs»nutilisentquedescomposantspassifs (cestràrdireà la foisuncomposantqui

consommedelénergieetnenproduitpasetoùilnyapasdegainenpuissance)commedesrésistances,

des condensateurs et des bobines. Analogique, par opposition à numérique, se dit de signaux dont

linformationestreprésentéeparunegrandeurphysique(uncourant,unetension,etc.),grandeurquipeut

prendreuneinfinitédevaleurscontinues.Aucontraire,ennumérique,lesvaleurssontdiscrètes.

Exempledunfiltredu1erordre

SoitlecircuitdelaFig.3.veestlatensiondentréeducircuit,vscelledesortie.Pourétudierlaréponseen

fréquencedececircuit,nouscherchonslexpressiondesafonctiondetransfertH,veétantalorsunsignal

sinusoïdal.

Fig.3Filtrepasserbas

Commeveestsinusoïdal,lecondensateurdecapacitéCauneimpédanceéquivalenteZC=1/jCZoùZest

lapulsationdeve.Enappliquantlaformuledudiviseurdetension:

vs=veZC/(ZC+R)soitH=1/(1+jWZ)avecW=RC.

veR

C vs


Not

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Notonsquelefiltreestditdu«1erordre»cardanslexpressiondeH,Z(oufpuisqueZ=2Sf)estàla

puissance1(léquationdifférentiellerelativeàcecircuitestdu1erordre).Unfiltredu2

èmeordreaurait

unepenteen1/f2ouenf

2(équationdifférentielledu2

èmeordre).

ConnaissantH,onpeut alorspourun signal sinusoïdalenentrée trouver lexpression complexedu

signal de sortie puis son expression dans le domaine temporel (cf. §3a). Généralement, il est

intéressantde représenterH surundiagrammedeBode, les caractéristiquesprincipales y sonten

effetrésumées.UneétudeasymptotiquepermetdesimplifierletracédeG=|H|=1/(1+W2Z

2)1/2:

x Recherchedelasymptotebassefréquence(fÆ0):Asy.BF=1(droitehorizontale).

x Recherchedelasymptotehautefréquence(fÆL):Asy.HF=1/(2SWf)(poserqueAsy.HFtend

verszéronaidepasautracésurlediagrammedeBodepuisqueléchelleétantlogarithmique,ilny

a pas de zéro). En échelle logrlog cest léquation dune droite puisque log(Asy.HF) = log10(1) >

log10(2SWf)=>log10(2SWf).Ilsuffitdoncpourtracerlasymptotehautefréquencedetrouver2deses

pointsouunpointetsapente.Unpointsimpleàplacerestenf=1/2SWoùAsy.HF=1.Lapentede

lasymptoteestde>20dBpardécade, cestràrdireune chutedun facteur10dugainquand la

fréquenceestmultipliéepar10(unedécade:entrefet10f).Eneffet:

Af1Asy.HF(f1)C1/(2SWf1)età10f1Asy.HF(10f1)=1/(2SW10f1)=Asy.HF(f1)/10.

EndB:Asy.HFdB(10f1)=20log10(Asy.HF(f1)/10)=Asy.HFdB(f1)20dBetdoncunechutede20dB

pardécade.

x Point dintersection des 2 asymptotes: Il faut résoudreAsy.BF(f) =Asy.HF(f). La solution est ici

évidente:f=1/2SW

x Gaupointdintersection:G(1/2SW)=1/21/2ouencoreGdB(1/2SW)=20log10(1/2

1/2)=>3dB.

La fréquencede coupureà>3dBestdéterminéeen résolvantG(fC)=GMAX/21/2ouencoreGdB(fC)=

GMAXdB>3dB.Ici,GMAX=1ouGMAXdB=0dB.Ilfautdoncrésoudre:1/(1+(2SWfC))1/2=1/2

1/2ÆfC=

1/2SW(cestdoncaussidanscetteexemplelepointdintersectiondesasymptotes).Labandepassante

decefiltreest[0;fC]soit[0;1/2SW].

PourledéphasageIdevsparrapportàve,ilfauttracerlargumentdeH:

I=Arg(H)=arg(1/(1+jWZ))=arg(1)arg(1+jWZ)=0arctg(WZ/1)enprenantlavaleurdarctg(WZ/1)

compriseentre0et90°puisque1>0etWZ>0.

I(0)=0,I(fC)=>45°etI(fÆL)=>90°.

LediagrammedeBodedelafonctiondetransfertdecefiltreesttracéenphaseFig.4etengainFig.2b

pourfC=1/2SW=2kHz.

Fig.4rDiagrammedeBodeenphaseducircuitdelaFig.3

Entemporel, lestensionsdesortiepourunetensiondentréesinusoïdalede4Vdamplitudecrêteà

crête (ve=Acos(2Sft)[V]avecA=2V)sontdonnéescirdessouspourunefréquencede200Hz<<fc

(Fig.5a)etpourunefréquencede20kHz>>fc(Fig.5b)(vs=A|H(f)|cos(2Sft+I(f)).


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(a) (b)

Fig.5Tensiondentrée(traitpointillé)etdesortie(traitplein)pourlefiltredelaFig.3

a) fréquence:200Hz,b)fréquence:20kHz

Le signaldentréeà200Hz se retrouvequasiment inchangéen sortiealorsqueceluià20kHzest

atténuédun facteur10eten retardde90°: le filtre laisseseulementpasser lessignauxayantune

fréquencetrèsinférieureàlafréquencedecoupure(2kHz).

5. Filtresactifsanalogiquesetfiltresnumériques

Les filtresanalogiquesdits«actifs»utilisentdes composantspassifsetactifs (parexempleunAOPqui

consomme de lénergie continue pour amplifier un signal dentrée par exemple sinusoïdal, cf. Ch.3).

Lintérêtdecesfiltresestentreautredajouteràlafonctionfiltragelafonctionamplificationdanslemême

circuit(cf.TDAOP,Partie2).

Parmi les filtres autres quanalogiques, il existe les filtres numériques: le signal à traiter est, sil est

analogique, préalablement transformé en un signal numérique grâce à un Convertisseur Analogique

Numérique(CAN).Lesavantagessontentreautrelaminiaturisationetlasouplesselorsdelasynthèsedu

filtre où il sagit de programmer et non de placer des composants: cela permet ainsi par exemple de

changerplusfacilementlescaractéristiquesdufiltre(reprogrammationcontrechangementdesvaleursde

composants) et dobtenir des caractéristiques hors de portée de lanalogique (filtre très sélectif par

exemple).Enmicrorélectronique,lesfiltresnumériquessonttrèslargementprépondérants.

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007

t [s]

[V]

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.00001 0.00002 0.00003 0.00004 0.00005 0.00006 0.00007

t [s]

[V]

T=1/f=0,005s T=1/f=0,00005s


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Chapitre 3

Amplificateur opérationnel

L’amplificateur opérationnel est étudié d’abord sans réaction de la sortie sur l’entrée (« boucle ouverte »),puis avec une réaction négative (contre-réaction pour les fonctions linéaires), ensuite avec une réaction positive(pour les fonctions non-linéaires telles que les comparateurs), et enfin avec plusieurs réactions (positive etnégative) pour constituer un oscillateur. On termine par les montages à A.0. comportant un dipôle non-linéaire.

3.1 L’amplificateur opérationnel en boucle ouverte

3.1.1 Introduction – représentation

Un amplificateur opérationnel (A.O.) est un circuit actif complexe comportant plusieurs transistors, desrésistances, des capacités, des diodes, ... intégré dans un boîtier monolithique et dont le comportement peut êtremodélisé par un amplificateur de tension presque idéal de gain très élevé, de très grande impédance d’entrée etde très faible impédance de sortie. Ce circuit comporte au minimum 5 bornes :

— V +cc et V −

cc les deux bornes d’alimentation continue qui fournissent l’énergie néces-saire à l’amplification de l’information ; ces bornes ne sont pas toujours mention-nées dans les schémas, mais elles sont essentielles au fonctionnement de l’A.O.

— trois bornes de signal :

— V+ l’entrée non inverseuse signalée par le symbole + ;

— V− l’entrée inverseuse signalée par le symbole − ;

— Vs la sortie.

Sur certains A.O., des bornes supplémentaires permettent l’ajustement des paramètrespour que le comportement de l’A.O. se rapproche de celui d’un A.O. idéal.

−

+VS

V−

V +cc

V −cc

ε

V+

Figure 3.1 – Bornesde l’amplificateuropérationnel

La tension différentielle d’entrée ε = V+ − V− permet de définir le gain en tension Av = Vs/ε de l’A.O.

Remarque : les signes ± à l’entrée n’indiquent pas des polarités mais seulement le signe du gain en tensionassocié à chaque entrée.

+

+V+

V−

VS−

+

ε

V −cc

V +cc

Figure 3.2 – L’amplificateur opérationnel et ses alimenta-tions V +

cc et V −cc avec la référence de potentiel à la masse.

Remarque : ne pas écrire la loi des nœuds sans faire inter-venir les alimentations continues.i+ + i− + is + iV +

cc+ iV −

cc= 0 mais i+ + i− + is 6= 0

Les caractéristiques de l’A.O. imposent i+ ≈ i− ≈ 0 doncis ≈ −iV +

cc− iV −

cc, c’est à dire que le courant de sortie est

fourni par les alimentations.

21

Not

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−

+VS

V−

V +cc

V −cc

ε

V+

Figure 3.3 – Les 5bornes de l’amplifi-cateur opérationnel

−

+VS

V−

V+

ε

Figure 3.4 – Repré-sentation de l’A.O.sans les alimenta-tions continues

∞−

+ VSV+

V−

ε

Figure 3.5 – Repré-sentation normaliséede l’A.O. idéal

3.1.2 Caractéristiques de l’A.O. — A.O. idéal

Dans le domaine linéaire et en mode différentiel (c’est-à-dire en considérant que la tension d’entrée est latension différentielle ǫ), l’A.O. peut être représenté comme un amplificateur de tension presqu’idéal à S.V.C.V.(source de tension commandée en tension, cf. 1.5.2).

−Ze

I−

I+

Avε

ZS

+

VS

V−

ε

V+

+

−

Figure 3.6 – Représentation de l’A.O. linéaire commesource de tension commandée en tension (S.V.C.V.).

en entrée Ze → ∞ donc

I+ = I− = 0 (3.1)

en sortie Zs → 0Le gain en tension différentiel de la sourcecommandée est défini par :

Av =Vs

ε=

Vs

V+ − V−

(3.2)

3.1.2.1 Limitation de la tension de sortie : saturation

Vs

V +sat

ε

V −

sat

Av0

Figure 3.7 – Caractéristiquestatique de transfert en tension

La première limitation de l’A.O. est que sa tension de sortie est compriseentre deux niveaux appelés niveaux de saturation :

V −

sat 6 Vs 6 V +sat

Les niveaux de saturation V ±

sat sont proches des tensions d’alimentationsmais de valeur absolue inférieure en général : V −

sat ≈ V −cc et V +

sat ≈ V +cc

(certains A.O., qualifiés de rail to rail, présentent des tensions de satu-ration confondues avec les tensions d’alimentation, en particulier dans lecas de faibles tensions d’alimentation).Le domaine de linéarité est donc très limité en ce qui concerne la tensiond’entrée :

V −

sat

AV0

6 ε 6V +

sat

AV0

Ordres de grandeur : AV0≈ 200 000 pour le TL082. V ±

sat ≈ V ±cc ≈ 10 V

⇒ |ε| 6 0, 05 mV.

3.1.2.2 A.O. idéal ou parfait

Ze → ∞ Zs → 0 Av → ∞


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Vs

V +sat

ε

V −

sat

Av0→ ∞

0

Figure 3.8 – Caractéristique statique de transfert en tension d’un A.O. idéal

Conséquence du gain infini : dans le domaine linéaire, la tension différentielled’entrée est nulle.Trois domaines de fonctionnement :

ε < 0 ⇒ Vs = V −

sat ≈ V −

cc

V +sat < Vs < V +

sat ⇒ ε = 0

ε > 0 ⇒ Vs = V +sat ≈ V +

cc

3.1.3 Application de l’A.O. en boucle ouverte : les comparateurs

3.1.3.1 Comparateur à seuil nul

Ve VS−

+

Figure 3.9 – Comparateur noninverseur à seuil nul

Vs =

V +

sat si Ve > 0V −

sat si Ve < 0

Ze = ∞

0

V −

sat

Vs

V +sat

Ve

Figure 3.10 – Fonction detransfert d’un comparateurnon inverseur à seuil nul

3.1.3.2 Comparateurs à seuil quelconque

V1

V2 VS−

+

Figure 3.11 – Comparateur àseuil quelconque : une tension fixeest appliquée sur une entrée et lesignal d’entrée sur l’autre

0 V20= V1

V −

sat

Vs

V2

V +sat

Figure 3.12 – Fonction detransfert Vs = f(V2) d’uncomparateur non inverseur àseuil V1 quelconque

0 V10= V2

V +sat

V1

V −

sat

Vs

Figure 3.13 – Fonction de transfertVs = f(V1) d’un comparateur inver-seur à seuil V2 quelconque

N.-B. : ces montages comparateurs sans réaction sont sensibles aux parasites et on leur préfère souvent descomparateurs à hystérésis (cf. 3.3, p. 31).

3.1.4 Bande passante de l’A.O. seul

Les imperfections de l’A.O. se manifestent aussi quand la fréquence augmente. Non seulement le gain del’A.O. en boucle ouverte n’est pas infini, mais la réponse de l’A.O. aux variations de la tension d’entrée n’est pasinstantanée. On peut modéliser ces imperfections en représentant l’A.O. comme un circuit du premier ordre.

vs(t) + τdvs

dt= AV0

ε


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Le gain en boucle ouverte de l’A.O. Av = Vs/ε dépend donc de la fréquence. Le gain statique AV0= Av(f = 0)

de l’A.O. est très élevé, mais le gain chute dès que l’on sort des très basses fréquences.

pente −1

−20 dB/décade

f

|Av(f)|

|Av0|

f0

(log)

1

fT(échelle log)

Figure 3.14 – Bande passante d’un A.O. enboucle ouverte (échelles log-log)

En régime sinusoïdal permanent :

Av(f) =AV0

1 + jωτ=

AV0

1 + jf/f0

où f0 =1

2πτest la fréquence de coupure en boucle ouverte.

Si f ≫ f0, Av(f) ≈ −jAV0f0/f .

La fréquence de transition fT est définie par |Av(fT )| = 1.Comme fT ≫ f0, fT = AV0

f0.

On caractérise les performances du gain d’un A.O. par le produit gain × bande AV0f0 = fT . Par exemple, pour

le TL082, f0 ≈ 15 Hz (τ ≈ 10 ms), AV0≈ 200 000 donc AV0

f0 = 3 MHz.

Conclusion En boucle ouverte, l’A.O. est très lent, mais a beaucoup de gain.

3.1.5 Le phénomène de triangulation : le slew rate

Une autre imperfection de l’A.O. est la limitation de la vitesse de variation de la tension de sortie qui semanifeste dans le cas de transitions rapides en particulier en comparateur. À cause de non-linéarités internes,la pente maximale de la tension de sortie est limitée en valeur absolue par le slew rate SR :

∣∣∣∣dvs

dt

∣∣∣∣ 6 SR

Le slew rate, de l’ordre du V/µs pour certains A.O., peut atteindre maintenant plusieurs fois 1000 V/µs pourdes A.O. rapides. Sans même tenir compte de la bande passante finie, l’A.O. soumis à discontinuités de tensiondifférentielle d’entrée devrait répondre par des discontinuités de tension de sortie ; la limitation due au slew rate

produit au contraire des tensions de sortie à pente fixe ±SR, phénomène nommé triangulation.

t

V −

sat

+SR

V +sat

−SR

vs réel

vs avec slew rate infini

Figure 3.15 – Phénomène de triangu-lation (slew rate) pour un signal d’en-trée carré

En comparateur, le temps de montée minimal est donné par

(V +sat − V −

sat)/SR

Donc si la période des signaux est assez faible, la tension desortie peut devenir triangulaire. Expérimentalement, la pentelimitée par le slew rate est facile à mettre en évidence car ellene dépend pas de la fréquence ni de l’amplitude des signauxd’entrée.

Mesure du slew rate avec entrée sinusoïdale : Dans le cas de fonctionnement en linéaire, par exempleen sinusoïdal, la pente maximale est obtenue lors du passage à zéro : la déformation due au slew-rate est alorsdifficile à repérer car la sinusoïde est proche d’une droite au voisinage du zéro qui est un point d’inflexion.Par ailleurs, dans un montage amplificateur, utilisé en dehors de la bande passante, l’amplitude du signal desortie est inversement proportionnelle à la fréquence (filtre du premier ordre), donc la pente maximale devientindépendante de la fréquence : il faut agir sur l’amplitude pour observer le phénomène de triangulation.


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3.2 Amplificateur opérationnel en contre-réaction : fonctionnementlinéaire

3.2.1 L’amplificateur non inverseur

3.2.1.1 Analyse détaillée d’un exemple

ρg

R1

ve++

−

R2

vs

ie

Figure 3.16 – Amplificateur non in-verseur

V+ = Ve I− = 0 ⇒ V− =R1

R1 + R2Vs = kVs où 0 < k < 1.

Équation de réaction ε = V+ − V− = Ve − kVs ⇒dε

dVs= −k < 0

donc réaction négative.La réaction impose une relation linéaire entre la tension différentielled’entrée et la tension de sortie,

Vs =Ve − ε

k

qui se traduit dans le plan (ε, Vs) par une droite de pente −1/k négativeparamétrée par la tension d’entrée Ve. Les points de fonctionnementpossibles sont situés à l’intersection entre cette droite et la caractéris-tique de transfert en tension de l’A.O.

Vs

V +sat

V −

sat

Av0

Ve = 0

Ve = V

H > 0

Ve > V

H

Ve < V

B

−1/kVe ր

Ve = V

B < 0

ε

Figure 3.17 – Réseau de réaction de l’amplificateur non inverseur

Un seul point de fonctionnement possible quel que soit Ve :

— Ve < VB ⇒ Vs = V −

sat < 0 saturé

— VB < Ve < VH ⇒ Vs = Avε < 0 non saturé, linéaire

— Ve > VH ⇒ Vs = V +sat > 0 saturé

Stabilité des points de fonctionnement : supposer ∆Vs d’origine externe (alimentation par exemple) ; lecircuit de réaction réagit par ∆ε = −k∆Vs.

— Si l’A.O. est dans le domaine linéaire, il amplifie la perturbation en valeur absolue mais ∆V ′s = Av∆ε =

−kAv∆Vs est de signe opposé, ce qui impose un retour à l’équilibre. Le point est donc stable.

— Si l’A.O. est dans le domaine saturé, la tension de sortie ne dépend plus de la tension d’entrée ∆V ′s = 0

et la perturbation n’est pas amplifiée. Le point est aussi stable.

Conclusion Dans les trois cas, le point d’intersection est stable.Si on suppose que la tension de sortie calculée en régime linéaire est dans l’intervalle ]V −

sat; V +sat[, alors

Vs = Avε = Av (Ve − kVs).

Vs

Ve=

Av

1 + kAvest le gain en boucle fermée


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Si kAv ≫ 1,Vs

Ve≈

1k

= 1 +R2

R1est indépendant de Av.

En pratique, on fait le calcul approché dans l’hypothèse linéaire et on vérifie ensuite que la tension calculéen’atteint pas les limites de saturation :

V −

sat < Vs =(

1 +R2

R1

)Ve < V +

sat

ce qui définit les limites de linéarité en termes de tension d’entrée.

VB =R1

R1 + R2V −

sat < Ve <R1

R1 + R2V +

sat = VH

3.2.1.2 Effet de la limitation en fréquence du gain de l’A.O.

pente −1

−20 dB/décade

f

|Av(f)|

|Av0|

f0

(log)

(échelle log) fc

|Gv0|

Figure 3.18 – Bande passante de l’amplificateur non-inverseur

On suppose que l’A.O. se comporte comme un système du pre-mier ordre de gain

Av(f) =AV0

1 + jf/f0

Le gain du montage amplificateur on inverseur s’écrit

Gv(f) =Av(f)

1 + kAv(f)=

1

k +1

Av(f)

=1

k +1 + jf/f0

AV0

=GV0

1 + jGV0

f

AV0f0

Si on définit fc = AV0f0/GV0

, le gain du montage est celui d’un système du premier ordre :

Gv(f) =GV0

1 + jf/fc

On remarque que le produit gain×bande est conservé entre l’A.O. seul et le montage utilisant l’A.O. encontre-réaction.

AV0f0 = GV0

fc

La contre-réaction a permis d’augmenter la bande passante au prix d’une diminution du gain.

3.2.1.3 Analyse rapide pour un A.O. idéal

V+ = Ve I− = 0 ⇒ V− =R1

R1 + R2Vs donc

dε

dVs= −

R1

R1 + R2< 0 donc réaction négative, donc linéaire

tant que la tension de sortie calculée vérifie : V −

sat < Vs < V +sat.

Or Vs = Avε avec Av → ∞ et Vs fini, donc ε = 0.

V+ = V− Ve =R1

R1 + R2Vs ⇒

Vs

Ve= 1 +

R2

R1

Autres propriétés du montage amplificateur non-inverseur :— Impédance d’entrée du montage : Ze = Ve/Ie = ∞ car I+ = 0.— Impédance de sortie du montage : Zs = 0 car la sortie se fait directement sur la source de tension

commandée de l’A.O.Dans le cas où l’A.O. n’est pas idéal, l’impédance d’entrée du montage Ze vaut (1 + kAv)ZA.O.

eet son impédance de

sortie Zs vaut ZA.O.s

/(1 + kAv).


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3.2.2 Le suiveur

ρg

ve++

−

vs

ie

Figure 3.19 – Amplificateur suiveur

Réaction négative car ε = Ve − Vs, donc si l’A.O. est idéal, ε = 0.

Ve = V+ = V− = Vs donc Vs = Ve

Intérêt : adaptateur d’impédance

— Impédance d’entrée du montage : Ze = ∞.

— Impédance de sortie du montage : Zs = 0.

3.2.3 L’amplificateur inverseur

ρg

eg

R1

ve+

ie

+

−

R2

vs

Figure 3.20 – Amplificateur inverseur

I− = 0 doncVe − V−

R1=

V− − Vs

R2

On peut aussi utiliser Millmann :

V− =R2

R1 + R2Ve +

R1

R1 + R2Vs

de plus V+ = 0, doncdε

dVs< 0

La réaction est négative et, si l’A.O. est idéal, à faible niveau, V+ = V− d’où

Vs

Ve= −

R2

R1

Impédances du montage :

— Impédance d’entrée Ze = Ve/Ie = R1 6= ∞ (c’est un inconvénient de ce montage)

— Impédance de sortie du montage : Zs = 0

Conclusion

— Les propriétés des montages à réaction négative sont indépendantes du gain de l’A.O. pourvu qu’il soitassez grand.

— La méthode d’étude consiste à écrire I+ = I− = 0, puis Vs = Av(V+ −V−) tant que V −

sat < Vs < V +sat (c’est

à dire hors saturation). Si de plus l’AO est parfait Av → ∞ implique V+ = V−.


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3.2.4 Autres fonctions en réaction négative

3.2.4.1 Sommation pondérée

R1

R2

+ e1

ρ1

+ e2

ρ2

R

V1

V2

vs

−

+

Figure 3.21 – Sommation pondé-rée

R assure la réaction négative, doncV− = V+ = 0. Or I = I1 + I2

V1

R1+

V2

R2= −

Vs

R

Vs = −

(R

R1V1 +

R

R2V2

)

3.2.4.2 Différence pondérée

+ e1

ρ1

+ e2

ρ2

R1 R2

R3

R4

vs

V1

V2

−

+

Figure 3.22 – Différence pondé-rée

R2 assure la réaction négative,donc V− = V+.

I− = 0 ⇒V1 − V−

R1=

V− − Vs

R2

Vs = −R2

R1V1 +

(1 +

R2

R1

)V−

Si on ajoute le diviseur résistif R3-R4, Vs = −R2

R1V1 +

R1 + R2

R1

R4

R3 + R4V2

Dans le cas où toutes les résistances sont égales, Vs = V2 − V1 .

3.2.4.3 Intégrateur actif

ρg

ve+

+

−

vs

R

R′

C

Figure 3.23 – Intégrateur actif

— non compensé (sans R′)

— compensé (avec R′)

C assure la contre-réaction, sauf pour le continu,pour lequel il se comporte en circuit ouvert.

3.2.4.4 Étude temporelle

On suppose l’A.O. idéal pour simplifier.


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3.2.4.4.1 Intégrateur non-compensé : Admettons que ε = 0, V+ = 0 ⇒ V− = 0. Or I− = 0, donc lecourant est le même dans R et dans C :

ve

R= −C

dvs

dt

Si on pose τ = RC, ve(t) = −τdvs

dtdonc

vs(t) = −1τ

∫ t

0

ve(t′) dt′ + vs(0)

N.B. : noter que l’intégrateur est inverseur.S’il existe la moindre composante continue dans ve, ou une imperfection de l’A.O. du type I− 6= 0 par

exemple, l’intégration de cette composante va produire en sortie une rampe qui amènera l’A.O. en saturation.Ce montage est donc inutilisable tel quel et pour assurer une contre-réaction aussi en continu, on place enparallèle avec C une résistance R′ de grande valeur. C’est le montage intégrateur compensé.

3.2.4.4.2 Intégrateur compensé : alors iR = iC + i′R et, en admettant que ε = 0,

ve

R= −C

dvs

dt−

vs

R′

ve = −τdvs

dt−

R

R′vs

3.2.4.5 Étude en régime sinusoïdal permanent

On peut alors étudier le montage en utilisant les amplitudes et les impédances complexes.

3.2.4.5.1 Intégrateur non-compensé (sans R′) :

Vs

Ve= −

1/jCω

R=

j

ωτ=

jf0

foù f0 =

12πRC

dont le module donne une pente −1 en log-log, mais tend vers l’infini pour ω → 0 (en fait, limité par le gainfini Av0

de l’A.O.).

3.2.4.5.2 Intégrateur compensé (avec R′) :

Ve

R= −Y Vs = −

(1R′

+ jCω

)Vs ⇒

Vs

Ve= −

R′/R

1 + jR′Cω

ffc (échelle log)

|Vs/Ve|(f)

C domine

1/RCω

pente −1 (intégrateur)

sans R′

R′ domine

(log)

R′/R

ampliinverseur

Figure 3.24 – Fonction de transfert de l’intégrateuractif non-compensé (sans R′) et compensé (avec R′)

Si on note fc =1

2πR′Cla fréquence de coupure, les

comportements asymptotiques sont :

f ≪ fcVs

Ve≈ −

R′

Ramplificateur inverseur

f ≫ fcVs

Ve≈

jf0

fintégrateur inverseur

La fonction de transfert a la même allure que celle de l’intégrateur passif, mais l’intégrateur passif est noninverseur et de gain très faible dans le domaine où il intègre.


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3.2.4.6 Différentiateur actif

ρg r C

+ ve+

−

vs

R Figure 3.25 – Différentiateur actif

— non compensé (sans r, soit r = 0)

— compensé (avec r)

R assure la réaction négative ; donc sil’AO est parfait, V− = V+ = 0. Dans lecas non compensé, si τ = RC :

−Cdve

dt=

vs

Rsoit vs = −τ

dve

dt

En régime sinusoïdal permanent,Vs

Ve= −jωτ .

Mais alors la fonction de transfert devrait tendre vers l’infini en très haute fréquence : pour limiter le gainHF, on place une petite résistance r en série avec C, ce qui donne le différentiateur compensé. Alors

Vs

Ve= −

jRCω

1 + jrCω

Si on note fc =1

2πrCla fréquence de coupure, les comportements asymptotiques sont :

f ≪ fcVs

Ve≈ −jRCω différentiateur inverseur

f ≫ fcVs

Ve≈ −

R

ramplificateur inverseur

La fonction de transfert a la même allure que celle du dérivateur passif, mais le dérivateur passif est non inverseuret de gain très faible dans le domaine où il dérive.

3.2.4.7 Filtres actifs

R′

C

R′

ρg

R

vs

−

++ eg

ve

Figure 3.26 – Déphaseur actif

R′ assure la contre-réaction, donc V+ = V−. Enrégime sinusoïdal permanent,

V+ =R

R + 1/jCωVe =

jX

1 + jXVe où X = RCω

V− =Ve + Vs

2Finalement

Vs

Ve=

−1 + jX

1 + jX

dont le module est 1 (passe-tout) et l’argument

φ = 2 arctan(1/X)


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3.2.4.8 Convertisseur courant-tension

Zgi0

ie

+ ve+

−

vs

RFigure 3.27 – Convertisseur courant-tension

R assure une contre-réaction donc ε = 0, V− =V+ = 0. Ainsi la source de courant est court-circuitée (elle ne fournit plus de puissance etl’influence de son impédance interne n’est plusperçue).IZg

= 0 ⇒ IR = I0 ⇒ Vs = −RI0.

Applications : détecteurs photoélectriques (photodiodes par exemple) où I0 est proportionnel à un flux optique.On ajoute parfois une capacité C en parallèle avec R pour constituer un passe-bas du premier ordre afin deréduire le bruit haute fréquence.

3.2.4.9 Convertisseur tension-courant

ρg

veeg +

+

−

vs

RLR ILFigure 3.28 – Convertisseur tension-courant à charge flottante

La charge RL assure la réaction négative, donc V− = V+ = Ve.Comme I− = 0, IL = IR = V−/R = Ve/R, et ce indépendammentde la charge RL.Il faut cependant éviter la saturation de l’A.O. si la charge RL estélevée. L’inconvénient de ce montage est qu’aucune des bornes dela charge n’est à la masse, d’où le qualificatif de charge flottante. Ilexiste un montage de conversion tension-courant avec la charge à lamasse (cf. fig. 3.29), mais il nécessite quatre résistances et comportedeux réactions (positive et négative).

ρg

ve

R3

eg +

R2R1

RL

R4

vs

+

−

iL

Figure 3.29 – Convertisseur tension-courant àcharge à la masse

R2 assure la réaction négative, mais R4 provoqueune réaction positive. On montre que le cou-rant iL dans la charge RL est proportionnel àla tension d’entrée Ve si les résistances vérifientR2/R1 = R4/R3.

3.3 A.O. en réaction positive : triggers ou comparateurs à hystérésis

Remarque : dans les montages à réaction positive, il est rare que l’on ait ε = 0. En particulier, dans lestriggers, ε ne s’annule que de façon très fugitive, lors du basculement de la tension de sortie.


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3.3.1 Trigger inverseur

R2

R1

+ e

ρve

vs

−

+

Figure 3.30 – Trigger inverseur

V− = Ve I+ = 0 ⇒ V+ =R1

R1 + R2Vs = kVs où

0 < k < 1.Équation de réaction ε = V+ − V− = kVs − Ve ⇒dε

dVs= k > 0 donc réaction positive.

La réaction impose une relation linéaire entre la tensiondifférentielle d’entrée et la tension de sortie,

Vs =Ve + ε

k

qui se traduit dans le plan (ε, Vs) par une droite de pente1/k positive paramétrée par la tension d’entrée Ve.

Les points de fonctionnement possibles sont situés à l’intersection entre cette droite et la caractéristique detransfert en tension de l’A.O.

Vs

V +sat

V −

sat

Av0

Ve= 0

Ve= VH

> 0Ve

> VH

Ve< VBVe

= VB< 0

1/kVe ր

ε

Figure 3.31 – Réseau de réaction du trigger inverseur

Nombre de points de fonctionnement possibles en fonction de Ve :— Ve < VB ⇒ Vs = V +

sat > 0 un seul point saturé— VB < Ve < VH trois points : deux saturés, un dans le domaine linéaire— Ve > VH ⇒ Vs = V −

sat < 0 un seul point saturé

3.3.1.1 Stabilité des points de fonctionnement :

Supposer ∆Vs d’origine externe (alimentation par exemple) ; le circuit de réaction réagit par ∆ε = k∆Vs.— Si l’A.O. est dans le domaine linéaire, il amplifie la perturbation initiale car ∆V ′

s = Av∆ε = kAv∆Vs estde même signe que ∆Vs. Le point est donc instable.

— Si l’A.O. est dans le domaine saturé, la tension de sortie ne dépend plus de la tension différentielle d’entrée∆V ′

s = 0 et la perturbation n’est pas amplifiée. Le point est stable.Finalement, les seuls points stables sont les points où l’A.O. est saturé.

Ve < VB Vs = V +sat une solution stable

VB < Ve < VH Vs = V ±

sat deux solutions stables ⇒ système à mémoire

Ve > VH Vs = V −

sat une solution stable


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3.3.1.2 Définition des seuils dans le cas d’un A.O. idéal

VB ε = 0 et Vs = V −

sat ⇒ VB = Ve = kV −

sat =R1

R1 + R2V −

sat

VH ε = 0 et Vs = V +sat ⇒ VH = Ve = kV +

sat =R1

R1 + R2V +

sat

0

Vs

Ve

V −

sat

VHVB

V +sat Figure 3.32 – Fonction de transfert du trigger inverseur

Ne pas croire que Ve < VH implique Vs = V +sat. En particulier, si

VB < Ve < VH , c’est la mémoire du circuit (hystérésis) et non lavaleur instantanée de Ve qui détermine Vs.

3.3.1.3 Hystérésis

— Supposons Vs = V +sat : cela implique Ve < VH . Cet état se maintient si Ve varie tant que ε > 0 c’est à dire

tant que Ve < VH où Vs bascule vers V −

sat.

— Supposons Vs = V −

sat : cela implique Ve > VB . Cet état se maintient si Ve varie tant que ε < 0 c’est à diretant que Ve > VB où Vs bascule vers V +

sat.

Applications Comparateur avec jeu permettant une certaine immunité au bruit.Comme l’entrée se fait directement sur la borne V−, ce montage présente une impédance d’entrée infinie. Si

les seuils ne dépendent que du rapport des résistances, le courant de sortie de l’AO est limité par la somme desrésistances IS = V ±

sat/(R1 + R2).

3.3.2 Trigger non-inverseur

R2+ eρ

R1vevs

−

+

Figure 3.33 – Trigger non-inverseur

I+ = 0 doncVe − V+

R1=

V+ − Vs

R2

On peut aussi utiliser Millmann :

V+ =R2

R1 + R2Ve +

R1

R1 + R2Vs

de plus V− = 0, doncdε

dVs> 0 et la réaction est positive.

On peut montrer que les seuls points de fonctionnement stables sont en saturation Vs = V ±

sat.

0

Vs

VeVHVB

V +sat

V −

sat

Figure 3.34 – Fonction de transfert du trigger non-inverseur

Seuils :

VH = −R1

R2V −

sat positif

VB = −R1

R2V +

sat négatif


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Par rapport au trigger inverseur, ce montage présente l’inconvénient d’une impédance d’entrée non infinie.

3.3.3 Triggers à seuils non symétriques

R2+ e2

ρ2

R1

+ e1

ρ1

v2vs

v1

−

+

Figure 3.35 – Trigger à seuils non symétriques

Ce montage, inspiré des triggers précédents, peut êtrevu :

— comme un trigger inverseur si l’entrée est v1 etv2 est fixe,

— ou comme un trigger non-inverseur si l’entréeest v2 et v1 est fixe.

3.4 Combinaison de réactions positive et négative : oscillateurs non-sinusoïdaux

3.4.1 Multivibrateur astable

R1 R2

RC

vs

−

+

Figure 3.36 – Multivibrateur astable

Principe

— une réaction positive instantanée⇒ Vs saturé ε 6= 0.

— une réaction négative via R différée (par la capacité) quitend à ramener ε vers 0 et fait alors basculer la sortie.

Le système est alors astable et Vs bascule périodiquement entreV +

sat et V −

sat.

R2 assure la réaction positive et R1-R2 constituent un montage de type trigger inverseur. R et C permettentla réaction négative différée. V− ne peut pas présenter de discontinuité, car c’est la ddp aux bornes d’unecapacité.

I− = 0 ⇒ CdV−

dt=

Vs − V−

R

V− + τdV−

dt= Vs où τ = RC

La capacité se charge alternativement sous V +sat et V −

sat à travers R avec continuité de V− aux instants debasculement de Vs.

Charge de durée T− sous V −

sat partant de VH et jusqu’à VB

VB = V −

sat (1 − exp(−T−/τ)) + VH exp(−T−/τ)

T− = τ ln(

−V −

sat + VH

−V −

sat + VB

)


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Charge de durée T+ sous V +sat partant de VB et jusqu’à VH

VH = V +sat (1 − exp(−T+/τ)) + VB exp(−T+/τ)

T+ = τ ln(

V +sat − VB

V +sat − VH

)

VH

VB

T− T+

T

0

Vs(t)

τ

V +sat

V −

sat

V−(t)

Figure 3.37 – Ten-sions dans le multivibra-teur astable : on sup-pose ici que la capa-cité n’est pas chargée àl’instant initial et que lala tension de sortie ini-tiale est V +

sat. On ob-serve une phase transi-toire de charge de 0 versV +

sat jusqu’à VH , puis unrégime périodique de pé-riode T = T+ + T−.

Dans le cas où les tensions de saturation sont opposées (on peut prendre V ±

sat = ±E pour simplifier), lesdeux phases ont même durée et :

T = 2T+ = 2T− = 2RC ln(

1 +2R1

R2

)

Si R1 ≪ R2, le signal V−(t) est quasi triangulaire et T ≈ 4RCR1/R2.

3.4.2 Générateur de triangles

Dans le multivibrateur astable, on ne peut obtenir des triangles qu’à très bas niveau, quand le circuit RCfonctionne en intégrateur passif. Si on utilise un second amplificateur opérationnel, on peut mettre en cascadeun intégrateur actif non compensé avec le trigger non inverseur de façon à produire de vrais triangles en vs. Sion reboucle vs sur ve (pointillés sur fig. 3.38), on réalise un générateur de signaux triangulaires en vs et carrésen v1. En effet, comme v1 = V ±

sat, la capacité C se charge à courant V ±

sat/R constant et vs évolue entre VB et VH .

R1

R2

+

− v1

ve

+

−R

C

vs

Bouclage du système

Figure 3.38 – Générateur de signauxtriangulaires

v1 = −RCdvS

dtoù v1 = V ±

sat.

Si on suppose V ±

sat = ±E, la période

est donnée par T = 4RCR1

R2.


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3.5 Montages utilisant des dipôles non linéaires

3.5.1 Redresseur sans seuil

ρg

+ e

R

V2

v1−

+

ID VD

vs

Figure 3.39 – Redresseur sans seuil monoalternance

— Quand V1 > 0, la diode conduit et assure une réactionnégative sur l’A.O. : alors V2 = V1 et Vs = V1 +VD ≈V1 + 0, 7 V.

— Quand V1 < 0, la diode est bloquée et laisse l’A.O.en boucle ouverte : il sature alors à V −

sat et V2 = 0.Pour éviter que le blocage de la diode ne sature l’AO,on place une autre diode en limiteur entre la sortie del’AO et la masse. Quand la tension de sortie de l’AOdescend en dessous du seuil (−0, 7 V) de cette diode,elle conduit et VS est limité vers le bas à −0, 7 V.

Pour une étude détaillée de ce montage, voir 5.3.1.2,page 55, dans le chapitre diodes.

3.5.2 Fonctions logarithme et exponentielle

Ces fonctions utilisent la caractéristique exponentielle de la diode en direct et une résistance R parcouruepar le même courant. Suivant que l’on place la diode ou la résistance dans la branche de contre-réaction, latension de sortie est une fonction logarithme ou exponentielle de la tension d’entrée.

+ e

ρg R

+

−

VD

ID

vevs

Figure 3.40 – Fonction logarithme

Si la diode conduit (iD > 0), elle assure la réaction néga-tive. Avec un AO parfait, V− = V+ = 0, donc ve = RID

et vs = −VD. Si la caractéristique de la diode est expo-nentielle, ID = I0 exp (VD/VT ), on en déduit

vs = −VT log(

ve

RI0

)

La condition pour assurer la contre-réaction est finalement ve > 0.

R

+ e

ρg

+

−

vevs

VD

ID

Figure 3.41 – Fonction exponentielle

La résistance R assure la réaction négative. Avec un AOparfait, V− = V+ = 0, donc ve = VD et vs = −RID.Si la caractéristique de la diode est exponentielle, ID =I0 exp (VD/VT ), on en déduit

vs = −RI0 exp (ve/VT )

Ce montage ne fonctionne ainsi que si la diode est dans son domaine conducteur.


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Chapitre 4

Capteurs et conditionneurs

4.1 Introduction–Exemples

4.1.1 Terminologie

Le mesurande m est la grandeur physique à mesurer, par exemple un déplacement, une vitesse, une pression,une température, une déformation, un flux optique...

Le capteur (sensor) est le premier élément de la chaîne de mesure : il traduit l’action du mesurande en unegrandeur électrique s = f(m) où la caractéristique f est déterminée par les lois physiques du capteur (c’est untransducteur particulier).

Côté sortie, le capteur se présente, du point de vue électrique :— soit comme un générateur : s est un courant, une tension ou une charge ; le capteur est dit actif et délivre

directement un signal électrique ;— soit comme une impédance : s est une résistance, une self ou une capacité ; le capteur est dit passif et

une source extérieure est nécessaire pour obtenir un signal électrique ; l’ensemble capteur passif et circuitconditionneur se comporte comme une source électrique réelle.

4.1.2 Exemples de capteurs actifs

Les capteurs actifs sont généralement des convertisseurs d’énergie (mécanique, thermique, radiative, ...) enénergie électrique 1. Citons quelques principes physiques invoqués :

— effet thermoélectrique (Seebeck) : la force électromotrice (ddp) du thermocouple est la somme des effetsde la soudure entre les deux métaux (effet Peltier) et du gradient de température dans le métal (effetThomson).

— effet piézoélectrique : polarisation électrique de certains matériaux causée par une contrainte mécanique.— induction électromagnétique : ddp produite par la variation du flux causée par le déplacement d’un conduc-

teur par rapport à un champ magnétique (loi de Lenz).— effet photoélectrique : photovoltaïque (photopiles) ou photoconducteur (photodiodes), voir 5.6.2, p. 61.— effet Hall (le capteur n’est pas un convertisseur d’énergie dans ce cas) : dans un matériau soumis à un

champ magnétique#–

B et parcouru par un courant, un champ# –

EH = − #–v ∧#–

B apparait perpendiculairementau courant et à

#–

B pour annuler la force de Lorentz, créant une ddp de Hall entre les deux faces duconducteur. C’est un exemple de mesure sans contact.

4.1.3 Exemples de capteurs passifs

L’impédance d’un capteur passif peut dépendre de la géométrie du capteur et des propriétés électriques desmatériaux qui le constituent :

— la résistance d’un conducteur filiforme dépend de sa section S, de sa longueur l et de la résistivité ρ dumatériau : R = ρl/S

— la capacité d’un condensateur plan dépend de la distance e entre les conducteurs, de leur surface S enregard et de la permittivité diélectrique de l’isolant : C = εS/e

1. Ces conversions peuvent souvent être utilisées en sens inverse pour commander électriquement des modifications mécaniquesou thermodynamiques : refroidissement à effet Peltier, actionneurs piézoélectriques, moteurs électriques...

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— la self-inductance d’un solénoïde dépend de sa section S, du nombre N d’enroulements, de la longueur let de la perméabilité magnétique µ du noyau : L = µN2S/l

4.1.3.1 Effets de géométrie

La géométrie du capteur peut dépendre de la position d’un élément mobile : par exemple, la position d’uncurseur sur un potentiomètre, le niveau d’un fluide dans un réservoir dont les parois constituent les armaturesd’un condensateur, ou la position du noyau mobile d’une inductance.

Cette géométrie peut aussi être simplement modifiée par les déformations induites par les forces appliquéesou les changements de paramètres thermodynamiques (dilatation notamment).

4.1.3.2 Effets des propriétés électromagnétiques des matériaux

Les propriétés électromagnétiques des matériaux sont fonction de paramètres environnementaux, comme latempérature, la pression, l’humidité, le flux optique incident,... En choisissant de façon adéquate le matériauet la géométrie pour optimiser la sensibilité, chacune de ses influences peut servir de principe à la constitutiond’un capteur passif.

Exemples :— la température influe sur la résistivité ⇒ thermistances métalliques ou à semi-conducteurs ;— le flux optique peut modifier la résistivité de certains semi-conducteurs ⇒ photorésistances ;— les contraintes mécaniques modifient la résistance du matériau auquel elles sont appliquées ⇒ jauges

extensométriques (ou jauges de contraintes) ;— l’humidité influe sur la résistivité de certains polymères conducteurs ⇒ hygromètres résistifs (sensibles à

la température) ;— l’humidité influe sur la constante diélectrique de certains polymères ⇒ hygromètres capacitifs (moins

sensibles à la température que les résistifs).

4.1.4 Notion de corps d’épreuve

Il est parfois plus facile de mesurer l’effet d’un mesurande primaire m1 sur un transducteur appelé corps

d’épreuve qui le traduit en mesurande secondaire m2 auquel est sensible le capteur. Par exemple, pour évaluerune force (mesurande primaire), on peut l’appliquer à une barre en flexion ; elle produit alors une déformation(mesurande secondaire) qui peut être mesurée par une jauge de contrainte. Une pression acoustique appliquéeà une membrane provoque son déplacement qui peut être mesuré par un capteur de position : c’est le principedu microphone électrodynamique. On peut déterminer une accélération en mesurant son effet sur une massesismique maintenue par une force de rappel : il suffit alors de mesurer l’allongement du ressort.

4.2 Caractéristiques de la chaîne de mesure

4.2.1 Caractéristiques du capteur

La caractéristique d’un capteur est la relation s = f(m) entre mesurande et grandeur électrique déterminéepar les lois physiques du capteur. Le relevé de la loi s = f(m) constitue l’étalonnage du capteur.

L’étendue de mesure est l’intervalle [m1, m2] de valeurs du mesurande à l’intérieur duquel la relations = f(m) est exploitable (en particulier monotone) pour évaluer m.

On définit la sensibilité du capteur S =ds

dm. Lorsque le mesurande n’est pas fonction du temps, le capteur

délivre un signal continu et on parle de sensibilité statique, S0. Si le mesurande est fonction du temps, oncaractérise le capteur par sa sensibilité dynamique qui dépend de la fréquence. Le capteur est linéaire si Sest indépendante du mesurande m. En statique, la caractéristique d’un capteur linéaire est une droite. Dans lecas non-linéaire, l’erreur de linéarité est l’écart entre la caractéristique réelle et son approximation linéaire.

En dynamique, le capteur peut être modélisé en première approximation par un système du premier ordrerégi par l’équation différentielle :

s(t) + τds

dt= S0m(t)

Il est linéaire si S0 et τ sont indépendants de m. Sa fonction de transfert s’écrit alors :

S(f) =S0

1 + 2πjfτ


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Il se comporte alors comme un passe-bas du premier ordre de bande passante [0, 1/(2πτ)]. Mais on rencontreaussi des capteurs se comportant comme des systèmes du second ordre (autorisant alors des résonances).

4.2.2 Erreurs de mesure

4.2.2.1 Erreurs déterministes systématiques

Les erreurs déterministes sont des décalages, de signe en général connu, qui provoquent un biais dans lesmesures. Elles peuvent être partiellement compensées... tant qu’elles restent faibles.

— erreur d’étalonnage (notamment en cas de vieillissement du capteur) ;

— erreur de rapidité si la constante de temps de la chaîne de mesure est trop grande par rapport par exempleà la période du signal ;

— erreur de finesse : elle caractérise la perturbation systématique induite par le capteur et ses liaisons sur lesystème physique (on parle aussi de la discrétion du capteur) ; elle dépend du capteur et de son couplageavec le milieu et présente des aspects statiques et dynamiques (inertie du capteur).

— la finesse d’un voltmètre dépend du rapport RVoltm./RTh entre sa résistance interne et la résistancede Thévenin du circuit vu par le voltmètre : il est d’autant plus fin que ce rapport est grand ;

— la finesse d’une thermistance est d’autant meilleure que l’effet Joule d’auto-échauffement est faible,la capacité calorifique de la thermistance faible devant celle du milieu et la conduction thermique desfils de liaison est faible.

La suppression des contacts mécaniques et thermiques permet d’améliorer la finesse d’un capteur : lesmeilleures finesses sont obtenues par la télédétection (par exemple dans les mesures de vitesse par effetDoppler).

4.2.2.2 Erreurs aléatoires

Les erreurs aléatoires dont le signe n’est pas connu a priori contribuent à la dispersion des mesures : erreursde lecture, erreur de quantification (en numérique), erreurs dues aux signaux parasites et bruits divers, auxfluctuations des sources...

4.2.2.3 Précision d’un capteur

m

m vraip(m)

Capteur juste et fidèle ⇒ précis

m

m vraip(m)

Capteur juste non fidèle

m

m vraip(m)

Capteur non juste mais fidèle

m

m vraip(m)

Capteur ni juste ni fidèle

4.2.3 Grandeurs d’influence sur la chaîne de mesure

Les grandeurs d’influence sont les grandeurs parasites susceptibles d’affecter le signal électrique déli-vré par le capteur indépendamment du mesurande. Il peut s’agir de grandeurs d’influence ambiantes ou deparamètres liés à la chaîne elle-même :


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— la température qui modifie à la fois la géométrie et les propriétés physiques du matériau ;— la pression, les accélérations et vibrations ;— la lumière ambiante (naturelle et artificielle) ;— l’humidité ;— les champs électromagnétiques en général ;— les fluctuations des alimentations électriques.

Il est possible de réduire des erreurs liées aux grandeurs d’influence :— en s’en protégeant : isolation thermique, découplage mécanique, filtrage optique ou électronique, blindage

magnétique, découplage électrique (via des photocoupleurs par exemple) ;— en les fixant : enceinte thermostatée, alimentation régulée ;— en les compensant par une structure différentielle de la chaîne (deux capteurs en opposition tous deux

soumis à la même grandeur d’influence, mais dont un seul est sensible au mesurande, voir 4.4.2, p. 46).

4.3 Capteurs de température

4.3.1 Introduction : bilan thermique

Les transferts de chaleur doivent prendre en compte trois phénomènes : la conduction, la convection et leséchanges radiatifs. En introduisant la conductance thermique Gxy (en W K−1) entre deux milieux x et y, lapuissance transférée du milieu x vers le milieu y peut être représentée sous la forme Px→y = Gxy(Tx − Ty).L’échauffement du capteur (c) résulte de trois contributions : l’échange avec le milieu (x) dont on mesure latempérature Tx, l’échange (parasite) avec le milieu ambiant (a) à la température Ta et l’auto-échauffement (PJ )par effet Joule dans le cas d’une thermistance. Sa température est régie par l’équation différentielle :

MCdTc

dt= Gxc(Tx − Tc) + Gac(Ta − Tc) + PJ (4.1)

où MC est la capacité calorifique du capteur et Gxc et Gac sont des conductivités thermiques.

4.3.1.1 Solution à l’équilibre

La solution statique s’écrit :

Tc0=

GxcTx + GacTa + PJ

Gxc + Gac(4.2)

Si on néglige l’effet Joule, l’erreur systématique est négligeable si le contact thermique du capteur avec le milieumesuré est plus efficace que son contact avec le milieu ambiant : Gxc ≫ Gac.

L’effet Joule est donc responsable d’une erreur de finesse (systématiquement positive) de l’ordre de PJ /Gxc

qu’il convient de minimiser.

4.3.1.2 Constante de temps

L’évolution temporelle de la température de la thermistance suit l’équation différentielle du premier ordre(4.1) dont la constante de temps τ s’écrit :

τ =MC

Gxc + Gac= MC (Rxc//Rac) (4.3)

où Rxc et Rac sont les résistances thermiques entre le capteur et le milieu à mesurer ou le milieu ambiant.La réponse du capteur sera donc d’autant plus rapide que :

— sa capacité calorifique sera faible (on préfèrera donc des capteurs de petites dimensions) ;— son couplage thermique au milieu à mesurer sera bon (c’est pourquoi on emploie des pâtes thermiques

spécialement conçues pour améliorer la conductance thermique entre la thermistance et un matériau solide,ou on ventile une thermistance mesurant la température d’un gaz pour augmenter la convection).

4.3.1.3 Analogie avec les circuits électriques

Les équations de bilan thermique mettent en évidence une analogie avec celles des circuits électriques, danslaquelle :

— les températures sont les analogues des potentiels électriques ;— les thermostats sont les analogues des sources de tension électriques ;— les puissances thermiques correspondent aux courants électriques ;


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— les sources de chaleur indépendantes de la température (par exemple la dissipation par effet Joule) sontassociées à des sources de courant ;

— les conductances (respectivement les résistances) thermiques correspondent aux conductances (respecti-vement aux résistances) électriques ;

— la loi de Fourier Px→y = Gxy(Tx − Ty) est l’analogue de la loi d’Ohm.Le schéma électrique associé au bilan thermique de la thermistance (voir équ. 4.1) prend la forme du circuit de lafigure 4.1. Par des transformations de type Thévenin → Norton (voir fig.4.2), on met en évidence la températured’équilibre et la constante de temps.

Tx +

MC

TC

Ta +

PJ +Rxc Rac

Figure 4.1 – Analogue électrique du circuitthermique : PJ est une source de chaleur doncde courant.

+ GxcTx + GaxTa

Rxc//Rac

TC

MCPJ+

Figure 4.2 – Circuit thermique en représentation pa-rallèle : la température d’équilibre correspond à la ten-sion à vide du circuit sans la capacité MC.

4.3.2 Principes physiques et capteurs de température

4.3.2.1 Thermocouples

Un thermocouple est constitué de la jonction de deux matériaux A et B permettant de mesurer la différencede température entre la jonction à T1 et une température de référence T0. C’est un capteur actif se comportantcomme une source de tension eT1,T0

AB de l’ordre de 10 mV qui ne peut débiter qu’un courant extrêmement faible.La mesure de cette ddp s’effectue avec un voltmètre de très grande impédance d’entrée ou, mieux, une méthoded’opposition qui annule le courant. La sensibilité très faible (au maximum 60 µV/K) permet une grande étenduede mesure. L’auto-échauffement est négligeable, donc c’est un capteur de grande finesse utilisable à très basssetempérature. Mais la détermination de T1 nécessite de connaître la température de référence T0 : on peut parexemple la fixer avec un thermostat.

4.3.2.2 Thermométrie à diodes et transistors

Montage à courant constant de sensibilité ≈ −2,2 mV/K, voir § 5.4, p. 59.

4.3.3 Thermométrie résistive

Une thermistance est une résistance qui dépend de la température. La sensibilité thermique sR(T ) et lecoefficient de température αR(T ) d’une thermistance R(T ) sont définis respectivement par :

sR(T ) =dR

dTet αR(T ) =

1

R

dR

dToù T est la température absolue en Kelvin.

4.3.3.1 Résistances métalliques

La résistivité du métal est créée par les impuretés et les défauts du réseau, mais aussi par l’agitationthermique, compliquée par la dilatation du réseau. Les thermistances métalliques sont des capteurs linéaires,peu sensibles mais de grande étendue de mesure.

Expression approchée de la résistance d’une thermistance métallique :

R(t) = R0

(1 + At + Bt2

)

où t est la température en degrés Celsius, A est positif et de quelques 10−3 K−1, B modélise la courbure (B < 0pour le platine et B > 0 pour le nickel).

Leur coefficient de température α(t) =A + 2Bt

1 + At + Bt2est de l’ordre de 4 × 10−3 K−1.


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4.3.3.2 Thermistances à semi-conducteurs

La résistivité des semi-conducteurs dépend du nombre de porteurs donc de la température ; elle est élevée,donc une thermistance à semi-conducteur peut être très petite et ainsi présenter une faible inertie thermique.Les thermistances à semi-conducteurs sont des capteurs non-linéaires, très sensibles mais de faible étendue demesure. On distingue selon le sens de variation de la résistance :

CTN Thermistances à coefficient de température négatifdR

dT< 0

Thermistances à base d’oxydesLeur résistance peut être représentée par :

R(T ) = R0 exp

[β

(1

T−

1

T0

)]

où β vaut entre 3000 K et 5000 K, T est la tempéra-ture absolue, et T0 est une température absolue deréférence.

αT =1

R

dR

dt= −

β

T 2< 0 αT ∼ −4 × 10−2 K−1

Noter qu’alimenter une CTN en tension peutprovoquer un emballement thermique par auto-échauffement : en effet, la puissance dissipée par effetJoule, en U2/R, augmente avec la température.

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Rés

ista

nce

en k

Ohm

température en Celsius

Caractéristique d’une CTN 5kOhm

CTN ß=3700 K

Figure 4.3 – CTN de 5 kΩ avec β = 3700 K

CTP Thermistances à coefficient de température positifαT ∼ +7 × 10−3 K−1 un peu plus faible que les CTN

4.3.3.3 Linéarisation amont en thermométrie résistive

La relation R(T ) résistance-température n’est pas linéaire, mais il est possible en associant une résistance ρen série ou en parallèle avec R, de linéariser localement la dépendance en température de la résistance équivalenteau prix d’une perte de sensibilité : il s’agit alors de linéarisation amont 2.

4.3.3.3.1 Linéarisation parallèle des thermistancesOn note r la résistance équivalente à l’association en parallèle d’une résistance fixe ρ et R(T ) : si une des

résistances est très petite devant l’autre, c’est la plus petite qui l’emporte. À très basse température pour uneCTN (figure 4.4) et à très haute température pour une CTP (figure 4.5), R(T ) → ∞, donc r → ρ. Dans cedomaine où la résistance ρ joue le rôle prépondérant, la concavité de r(T ) est vers le bas, alors qu’elle est vers lehaut dans le domaine où ρ ≪ R(T ). Le changement de concavité se fait quand la dérivée seconde s’annule, doncau point d’inflexion (T = T⋆). Au voisinage de T⋆, la courbe r(T ) ne comporte plus de terme quadratique ; elleest donc très proche de la tangente locale. La sensibilité de la résistance équivalente r est bien sûr plus faibleen valeur absolue que celle de R.

T

ρ

R(T )

r(T )

T⋆

Figure 4.4 – Thermistance à semi-conducteur de type CTN (αT < 0)linéarisée en T⋆

Cas où la concavité de R(T )est vers le haut, c’est-à-direoù la dérivée seconde est po-

sitived2R

dT 2> 0. Placer ρ en

parallèle limite la résistanceéquivalente à ρ et imposeun changement de concavitéen T⋆. T

0

R(T )

ρ

r(T )

T⋆

Figure 4.5 – Thermistance à semi-conducteur de type CTP (αT > 0)linéarisée en T⋆

2. La linéarisation aval va concerner la relation résistance–tension par exemple, cf. § 4.4.1.5, p. 46.


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Calcul de la résistance fixe ρ à placer en parallèle

r =ρR

ρ + R⇒

dr

dT=

ρ2

(ρ + R)2

dR

dT

d2r

dT 2=

ρ2

(ρ + R)2

d2R

dT 2−

2ρ2

(ρ + R)3

(dR

dT

)2

Si ρ est choisie telle que, pour T = T⋆,

(ρ + R)d2R

dT 2= 2

(dR

dT

)2

(4.4)

la courbe r(T ) présente un point d’inflexion en T⋆.

αr =1

r

dr

dT=

ρ + R

ρR

ρ2

(ρ + R)2

dR

dT=

ρ

R(ρ + R)

dR

dTαr

αR=

ρ

ρ + Rdonc le coefficient thermique diminue.

Cas d’une thermistance à CTNdR

dT= −

β

T 2R et

d2R

dT 2=

β

T 4R(β + 2T )

La relation 4.4 s’écrit donc(ρ + R)(β + 2T⋆) = 2βR

On en tire :

ρ = R(T⋆)β − 2T⋆

β + 2T⋆

La linéarisation est possible si T⋆ < β/2 ≈ 1500 K à 2500 K.

r = R0

(1

2−

T0

β

)

Cas d’une thermistance métallique

B(ρ + R′) = R′

0 (A + 2Bt)2

Donc impossible avec du platine car B < 0, mais possible avec du nickel.

ρ = R′

0

(A2

BNi− 1

)donc αr/αR ≈ 1

La correction est très faible car les thermistances sont beaucoup plus linéaires que les CTN.

4.3.3.3.2 Linéarisation série des thermistances métalliquesPour linéariser des thermistances métalliques, on préfère associer en série deux thermistances de métaux de

coefficient B de signes opposés, par exemple du nickel et du platine.

RPt = R0Pt

(1 + APtt + BPtt

2)

RNi = R0Ni

(1 + ANit + BNit

2)

R = RPt + RNi = R0Pt + R0

Ni +(R0

PtAPt + R0NiANi

)t +

(R0

PtBPt + R0NiBNi

)t2

On choisit donc R0PtBPt ≈ −R0

NiBNi. Sachant que BNi/BPt ≈ −10, et qu’il faut choisir des valeurs normalisées,on peut prendre R0

Pt = 1000 Ω et R0Ni = 100 Ω.

4.4 Conditionneurs pour capteurs résistifs

On aborde dans cette section les conditionneurs pour capteurs passifs notamment résistifs comme les thermis-tances ou les jauges de contraintes. Mais certains montages à pont peuvent être utilisés pour d’autres capteurspassifs en particulier capacitifs, à condition de les alimenter en sinusoïdal et de remplacer les résistances par desimpédances complexes.


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4.4.1 Montages de base, sensibilité

4.4.1.1 Source de courant

RC

Vm

RV

+ I0

Figure 4.6 – Montage à source decourant

Supposer la source courant idéale, sinon intégrer RNorton à larésistance du voltmètre.

Vm = (RC//RV ) I0 ≈ RCI0 si Rv ≫ RC

Sensibilité résistive :

S =dVm

dRC= I0 = constante

Si RV et RNorton sont négligeables, le conditionneur est linéaire a.

a. Cela n’implique pas forcément que l’ensemble de la chaîne soit linéaire :il faudrait pour cela que la résistance du capteur présente aussi une dépen-dance linéaire en fonction du mesurande.

Mais les sources de courant sont souvent constituées à partir d’une source de tension associée à une granderésistance, impliquant des courants faibles et donc une faible sensibilité. Par ailleurs, ce montage très simple nepermet pas de compensation vis à vis des grandeurs d’influence. Il sera donc rarement utilisé.

4.4.1.2 Montage potentiométrique

RC

Vm

RV

R1

+ E

Figure 4.7 – Montage potentiomé-trique

On suppose pour simplifier que la source de tension est idéale.

Vm =RC//RV

R1 + RC//RVE

si Rv ≫ RC Vm =RC

R1 + RCE

Le conditionneur est non-linéaire ; la sensibilité dépend du pointde fonctionnement :

S1 =dVm

dRC=

R1

(R1 + RC)2E

À RC fixée, la sensiblité maximale est obtenue en choisissant R1

telle quedS1

dR1= 0 soit R1 = RC

Alors

Smax1 =

E

4RC

La tension de sortie au repos ne peut pas être nulle dans le montage potentiométrique : pour annuler Vm lorsqueRC = RC0

, plusieurs solutions sont envisageables : l’utilisation de deux sources symétriques, l’emploi d’unsoustracteur et les montages à pont de Wheatstone.

4.4.1.3 Montage à alimentations symétriques

Dans le montage potentiométrique, on remplace la source E par deux sources opposées ±E montées en sérieavec la masse entre les deux. La tension de sortie est alors :

Vm =RC − R1

RC + R1E

qui s’annule pour RC = RC0si on choisit R1 = RC0

. En alternatif, on peut produire les deux tensions opposéespar un transformateur à point milieu : dans ce cas les fluctuations des deux sources sont liées et s’éliminent aupremier ordre dans la tension de sortie Vm.


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4.4.1.4 Montages en pont de Wheatstone

4.4.1.4.1 Montage à un capteur en quart de pont

RCR4

R3 R1

B A

C

D

Vm+ E

Figure 4.8 – Quart de pont à 1 capteur

Il s’agit de deux montages potentiométriques dont un de réfé-rence (sans capteur) connectés en différentiel.

Vm =

(RC

R1 + RC−

R4

R3 + R4

)E (4.5)

On choisit les résistances pour équilibrer le pont Vm = 0 lorsqueRC = RC0

: R1R4 = R3RC0.

La sensiblité est celle du montage potentiométrique précédent(cf. § 4.4.1.2, p.44). Le conditionneur reste non-linéaire. Onpeut choisir R1 = RC0

pour maximiser la sensibilité en RC0;

alors R3 = R4 et

Smax1 =

E

4RC

4.4.1.4.2 Montage à deux capteurs en demi-pont Si on peut disposer de deux capteurs identiques, ilest possible de doubler la sensibilité en insérant un capteur dans chaque branche du pont, de façon à cumulerles déséquilibres : on obtient le montage dit « demi-pont ».

RCR4

RC R1

B A

C

D

Vm+ E

Figure 4.9 – Demi-pont à 2 capteurs

Vm =

(RC

R1 + RC−

R4

RC + R4

)E (4.6)

La sensibilité s’exprime :

S2 =dVm

dRC=

(R1

(R1 + RC)2+

R4

(R4 + RC)2

)E

Si le pont est équilibré en RC = RC0, R1 = R4 = RC0

. Alors

S2 =2RC0

(RC0+ RC)2

E

dépend de RC et vaut S2(RC0) = E/2RC0

.

4.4.1.4.3 Montage à quatre capteurs en pont complet Enfin, s’il est possible de disposer de capteursrésistifs R+

C et R−

C dont les sensibilités au mesurande sont opposées 3, on peut encore doubler la sensiblité enplaçant deux capteurs en opposition (push-pull) par branche : on obtient alors le pont dit «complet».

3. Ce n’est pas le cas en thermométrie, mais c’est parfois possible dans les mesures de déformation à jauges extensométriquesde même type soumises à des déformations opposées. Placées par exemple sur une poutre en flexion (cf. 4.14, p. 48), la jauge surla face supérieure (qui s’allonge) et celle sur la face inférieure (qui se rétracte) auront des sensibilités opposées.


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R+CR−

C

R+C R−

C

B A

C

D

Vm+ E

Figure 4.10 – Pont complet à quatrecapteurs

Vm =

(R+

C

R+C + R−

C

−R−

C

R−

C + R+C

)E (4.7)

dR+C

dm= −

dR−

C

dm

La sensibilité résistive au point RC0associé à m0 vaut donc :

S4 =E

RC0

soit 4 fois celle du montage en quart de pont.Cette structure différentielle présente aussi l’avantage de com-penser l’effet de certaines grandeurs d’influence (par exemplela température) qui affecteraient également les deux capteursR+

C et R−

C .

4.4.1.5 Linéarisation aval : montage à pont actif

Enfin, notamment si la résistance du capteur varie linéairement avec le mesurande, on peut souhaiter que leconditionneur soit lui aussi linéaire : c’est l’avantage du montage à pont actif.

+ −R4

R3

V ′′m

+ E

RC

R1

Figure 4.11 – Pont actif

La résistance RC assure la contre-réaction sur l’AO,qui, sauf saturation, va fonctionner en linéaire.

V+ =R4

R4 + R3E et

E − V−

R1=

V− − Vm

RC

On en déduit :

Vm =R1R4 − R3RC

R1(R3 + R4)E (4.8)

La sensibilité résistive est donc constante :

S5 = −R3

R1(R3 + R4)E

Si on choisit les résistances pour annuler la tensionde sortie au repos,

R1R4 = R3RC0

En fixant de plus par exemple R1 = R3, donc R4 = RC0,

S5 = −E

R1 + RC0

soit S5 = −E

2RC0

c’est à dire celle du demi-pont passif.

4.4.2 Compensation des grandeurs d’influence

4.4.2.1 Influence des fils de liaison dans les montages à ponts

Parfois, le capteur est assez éloigné du reste de la chaîne de mesure et les câbles de liaison peuvent alorsprésenter une résistance rf non-négligeable et soumise à l’influence de grandeurs parasites (température parexemple). Dans le montage éléméntaire dit à deux fils (cf. Fig. 4.12), chaque résistance rf induit une erreursystématique, mais il est possible de compenser cette erreur au prix de câbles supplémentaires avec les montagesà trois fils (cf. Fig. 4.13) ou à quatre fils.


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R4

R3 R1

RC

C’

A’

rf

r′

f

B A

C

V

D

+ E

Figure 4.12 – Pont à deux fils

Le capteur est situé entre A′ et C′ à distance de lachaîne. Le montage élémentaire dit à deux fils faitintervenir rf à l’aller entre A et A′ et r′

f au retourentre C′ et C : on mesure donc RC + rf + r′

f ≈RC + 2rf au lieu de RC . On commet donc uneerreur systématique dans la mesure de RC .Cette erreur peut être compensée en interposant 2fils supplémentaires de résistances proches de rf etr′

f , faisant un aller-retour vers la zone du capteur,entre le point C et la résistance R4.

Dans un conditionneur à pont, il est possible de compenser les résistances des câbles de liaison en les intégrantdans des branches adjacentes du pont, ce qui nécessite des fils supplémentaires car un des noeuds du pontest alors à distance de la chaîne. On utilise des câbles identiques, donc de même résistance, disposés le plusprès possible, donc à des températures quasi-identiques, afin de limiter l’influence des grandeurs parasites parcompensation. On distingue les montages à trois fils avec un troisième fil côté générateur (cf. Fig. 4.13) de ceuxavec un fil côté détecteur.

R3 R1

R4 RC

r′

f

r′′

f

B A

V

C

rf

A’

C’

D

+ E

Figure 4.13 – Pont à trois fils dont un côté gé-nérateur

Le montage à trois fils fait intervenir un fil sup-plémentaire côté générateur représenté ici par r′′

f :il permet de placer les fils aller et retour versle capteur RC dans deux branches adjacentes dupont, permettant ainsi à rf et r′

f de se compen-ser. La condition d’équilibre du pont reste en effetR1R′

4 = R′CR3 où R′

4 = R4 +r′

f et R′C = RC +rf .

À condition de choisir R1 = R3 et d’assurerr′

f = rf , elle s’écrit donc RC = R4. L’inconvé-nient de r′′

f est d’augmenter la résistance internede la source de tension, ce qui réduit la sensibilité.

Si on place le troisième fil dans la branche du détecteur, en déportant par exemple le noeud A à distance, larésistance r′′

f est négligeable, en série, devant celle, en général grande, du détecteur. Mais les tensions parasitesinduites sur r′′

f ne sont pas compensées et interviennent directement sur la tension mesurée.

4.5 Capteurs de déformation

4.5.1 Élasticité

Un solide soumis à une contrainte F/S en Nm−2 (compression par exemple) se déforme de façon réversibletant que l’on reste dans la limite d’élasticité. Au delà, des phénomènes d’hystérésis peuvent apparaître, puis unefatigue au bout de quelques millions de cycles, voire une rupture si la contrainte est trop forte. La déformation

selon une direction est définie par :

ε =∆L

L(4.9)

Dans le domaine élastique, la déformation ε// dans le sens de la contrainte est donnée par la loi de Hooke :

ε// =1

E

F

S(4.10)

où E est l’élasticité du matériau ou module de Young, de l’ordre de 1011 Pa pour les métaux. La contrainteproduit aussi une déformation de signe opposé perpendiculairement à sa direction, qui s’exprime :

ε⊥ = −νε// (4.11)

où ν est le coefficient de Poisson (sans unité), de l’ordre de 0,3.


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4.5.2 Principe des jauges extensométriquesUne jauge extensométrique est un capteur résistif collé au corpsd’épreuve et subissant les mêmes déformations sous l’effet decontraintes. Sa résistance R = ρL/S varie sous l’effet des déforma-tions (d’où des variations de L et S) mais aussi de sa résistivité (ρ).

∆R

R=

∆L

L−

∆S

S+

∆ρ

ρ

Si la jauge est soumise à une contrainte selon la direction de L, ladéformation transverse va modifier sa section de façon identique selonles deux directions x et y par exemple :

∆x

x=

∆y

y= −ν

∆L

Ldonc

∆S

S= −2ν

∆L

L

jauges

poutre

R+C

R−

CF

Figure 4.14 – Poutre enflexion avec deux jauges en op-position : R+

C (extension) etR−

C (compression).

L’effet piézorésistif est responsable de la variation de résistivité avec le volume de la jauge :

∆ρ

ρ= C

∆V

V

où C est la constante de Bridgman.— pour les métaux C ≈ 1

— pour certains semi-conducteurs, C ≈ 100 à 200

Alors∆V

V=

∆S

S+

∆L

L= (1 − 2ν)

∆L

LAinsi :

∆R

R= [ 1 + 2ν︸︷︷︸

géométrie

+ C(1 − 2ν)︸︷︷︸résistivité

]∆L

L= K

∆L

L(4.12)

où K est le facteur de jauge.— pour les métaux, K ≈ 2 ;— pour certains semi-conducteurs, K ≈ 100.

4.5.3 Caractéristiques des jauges extensométriques

métalliques à semi-conducteurs

facteur de jauge K ∝ 2 K ∝ 100

sensibilité faible fortelinéarité bonne mauvaiseétendue de mesure grande faibleinfluence de la température faible forteforme multi-brins pour aug-

menter la sensibilitébrin unique

l1

l2

b2

b1

isolant

matériau de la jauge

Figure 4.15 – Géométrie multi-brins des jauges métal-liquesLa géométrie des jauges métalliques est conçue pouroptimiser la sensibilité à la déformation dans l’axe lon-gitudinal :

— on multiplie le nombre de brins associés en série ;

— on les choisit longs et étroits (b1 ≪ l1) pour aug-menter leur résistance ;

— on les relie par des branches perpendiculaires lesplus courtes et larges (b2 ≫ l2) possible pour di-minuer leur résistance, donc la sensibilité aux dé-formations orthogonales.


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Chapitre 5

Diodes et applications

5.1 Diodes à jonction

5.1.1 Structure et caractéristique statique

5.1.1.1 Semi-conducteur

La conductivité σ d’un matériau est l’inverse de sa résistivité ρ : elle s’exprime en Ω−1m−1. Un semi-

conducteur est un matériau de conductivité intermédiaire entre celle des conducteurs (pour le cuivre parexemple, ρ ≈ 1, 6 · 10−8 Ω·m) et celle des isolants.

Un semi-conducteur intrinsèque conduit très peu à température ambiante, mais sa conductivité augmenteavec la température. L’agitation thermique permet le passage d’électrons de la bande de valence à la bande deconduction compte tenu de la faible valeur de la bande interdite qui les sépare. L’emplacement vacant dans lecristal laissé par l’électron, nommé trou est susceptible d’être comblé par un électron de conduction : c’est larecombinaison électron-trou. La création de paire électron-trou et leur recombinaison en un autre point du cristalpeuvent être considérées comme un courant de trous, bien qu’aucune charge positive ne se déplace réellement.Exemples (valence 4) : silicium, germanium, carbone et composés comme l’arséniure de gallium.

Afin d’augmenter la conductivité d’une façon mieux contrôlée, on peut doper les semi-conducteurs en ajou-tant des impuretés se comportant :

— soit en donneurs d’électrons (type N) pour les impuretés pentavalentes (arsenic, phosphore, bismuth, ...)— soit en accepteurs d’électrons (type P) pour les impuretés trivalentes (aluminium, bore, gallium, ...)

On obtient alors un semi-conducteur extrinsèque, porteur de charges majoritaires associées aux impuretés (élec-trons pour le type N, trous pour le type P). Dans ce semi-conducteur dopé, les porteurs minoritaires restentbien sûr responsables d’une conduction faible qui augmente avec la température.

5.1.1.2 Jonction P–N

N

P

A anode

K cathode

ID VD

Jonction PN = mise en contact d’un semi-conducteur de type P et d’unsemi-conducteur de type N.

Figure 5.1 – Diode à jonction

La diode est un dipôle passif, d’où la convention récepteur : courant entrantpar le pôle +, c’est-à-dire l’anode.

Diffusion des porteurs majoritaires ⇒ recombinaisons dans la zone de transition qui devient une zone d’ap-pauvrissement ou déplétion avec essentiellement des charges fixes qui créent un champ électrique et donc unebarrière de potentiel s’opposant au passage du courant.

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5.1.1.3 Caractéristique statique de la diode

VD

ID

1©

2©

3©

0

VBR

Figure 5.2 – Caractéristique statique directe d’une diode à jonc-tion

1© au delà d’un seuil de tension de l’ordre de 0,4 V, croissancetrès rapide (exponentielle) du courant direct

2© pour VBR < VD < Vseuil, blocage de la diode, donc cou-rant très faible (dépendant de la température à cause desminoritaires)

3© pour VD 6 VBR, croissance très rapide du courant inverse(phénomènes Zener et d’avalanche) ⇒ destruction de ladiode

5.1.2 Modélisations statiques de la diode (hors claquage)

5.1.2.1 Diode idéale sans seuil

VD0

ID

1©

2©

Figure 5.3 – Caractéristique d’une diode sans seuil

1© ID > 0 ⇒ VD = 0 : conduction directediode = court-circuit

2© VD < 0 ⇒ ID = 0 : blocagediode = circuit ouvert

Diode = interrupteur unidirectionnel

ID

VD

5.1.2.2 Diode idéale avec seuil

VD0

ID

2©

1©

V0

Figure 5.4 – Caractéristique d’une diode avec seuil

1© ID > 0 ⇒ VD = V0 : conduction directediode = source de tension idéale V0

2© VD < V0 ⇒ ID = 0 : blocagediode = circuit ouvert

Diode = interrupteur unidirectionnel en série avec source de tension idéale

+V0 ID

VD


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5.1.2.3 Diode idéale avec seuil et résistance série

VD0

ID

2©V0

1©

1/r

Figure 5.5 – Caractéristique d’une diode avec seuil et résistance série

1© ID > 0 ⇒ VD = V0 + rID : conduction directediode = source de tension réelle (V0, r)

2© VD < V0 ⇒ ID = 0 : blocagediode = circuit ouvert

Diode = interrupteur unidirectionnel en série avec source de tension réelle

+V0 r ID

VD

5.1.2.4 Équation approchée de la caractéristique (hors claquage)

ID = IS

[exp

(VD

VT

)− 1

]

où IS est le courant de saturation, fonction croissante de la température.

IS = CT 3 exp

(−∆E

VT

)où C est une constante, T la température absolue de la jonction,

∆E est la largeur de la bande interdite : ∆E ≈ 1, 12 V pour le silicium

et VT = ηkT

qavec k = 1, 38 × 10−23 JK−1 q = 1, 6 × 10−19 C

1 6 η 6 2 dépend du dopage et de l’ordre de grandeur du courant

À la température ambiante, kT/q ≈ 26 mV, ce qui permet deux approximations :

1. si VD ≫ VT

ID ≈ IS eVD/VT utilisable en particulier au delà du seuil

2. si VD ≪ −VT

ID ≈ −IS courant de saturation inverse indépendant de VD

5.2 Polarisation des dipôles (exemple des diodes)

5.2.1 Polarisation d’un dipôle passif

Polariser un dipôle passif = le connecter à un générateur continu pour :

— lui fournir de l’énergie,

— lui imposer un point de fonctionnement en statique.

Si on suppose le générateur (dipôle actif) linéaire, on peut le représenter par son schéma équivalent de Thévenin(représentation série ETh = E, RTh = R) ou de Norton (représentation parallèle IN , YNorton).Les conventions de signe, liées au caractère actif ou passif des dipôles, sont cohérentes pour cette connexion.

dipôle

passif

quelconque

dipôle

actif

linéaire

V

A

B

I

⇒

V

IE

V

A

B

I

+

R

Figure 5.6 – Polarisation d’un dipôle passif


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La droite de charge statique 1 est la représentation de la relation linéaire imposée par le générateurcontinu aux courant et tension dans le dipôle passif :

V = E − RI

I

V0

P0 : point de polarisation

V0 RI0

I0

V0/R

E

E/R

droite de charge statique

Figure 5.7 – Polarisation d’unediode

Le point de polarisation est situéà l’intersection entre la droite decharge statique et la caractéristique(éventuellement non linéaire) du di-pôle.

5.2.1.0.1 Cas de la diode : éviter la polarisation par source de tension à cause de la croissance exponentielledu courant en fonction de la tension. Préférer alimenter la diode par une source de courant. Alors RI0 ≫

V0 implique I0 =E − V0

R≈

E − 0, 7 VR

≈E

R. Si on choisit une résistance R élevée, le courant est donc

essentiellement fixé par le circuit de polarisation, c’est-à-dire E et R.

5.2.2 Association de dipôles non linéaires

Dans le cas où le circuit comporte plusieurs dipôles non linéaires associés, il est possible de se ramener à laméthode précédente (voir 5.2.1) en construisant de façon graphique la caractéristique statique de l’associationde ces dipôles :

— en série, à courant fixé, en sommant les tensions ;

— en parallèle, à tension fixée, en sommant les courants.

5.2.2.1 Association diode sans seuil et résistance

R

V1

I10

1/RV1

I1

I2 V2

0

I2

V2

1. Pour un quadripôle, on distingue la droite d’attaque qui représente les contraintes linéaires imposées côté entrée, de la droitede charge qui représente les contraintes linéaires imposées côté sortie du quadripôle. Mais pour un dipôle, les deux termes sontemployés dans le même sens.


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I

RV

0

1/R

I

V

Figure 5.8 – Association série

R

V

I

1/R

0V

I

Figure 5.9 – Association parallèle

5.2.2.2 Association de deux diodes avec seuil

Ii Vi

0 0,7 V

Ii

Vi

Figure 5.10 – Diode avecseuil

V

I

0 0,7 V

I

−0, 7 VV

Figure 5.11 – Association de deuxdiodes en parallèle tête-bêche

V

I0

V

I

1,4 V

Figure 5.12 – Associationde deux diodes en série

5.3 Dipôles non linéaires en régime variable

Suivant que l’on souhaite ou non modifier la forme d’onde, distinguer en fonction de l’amplitude de lacomposante variable les utilisations :

— grands signaux exploitant délibérément la non-linéarité, éventuellement sans polarisation préalable. Lepoint de fonctionnement P (t) décrit alors une partie importante de la caractéristique.

⇒ traitement graphique ou en modélisant la caractéristique du dipôle par des segments de droites.

Exemples : redresseurs, limiteurs, multiplieurs de signaux, changement de fréquence, ...

— petits signaux : le point de fonctionnement P (t) décrit alors un petit arc sur la caractéristique qui pourraêtre assimilé à sa tangente locale. Les signaux alternatifs de faible amplitude ne seront alors pas déformés.

⇒ polarisation nécessaire et linéarisation locale.


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5.3.1 Utilisation des diodes en grands signaux

5.3.1.1 Redresseur mono-alternance passif (charge résistive)

Ve

+

Vs

ID

VD

R

Figure 5.13 – Redressement mono-alternance

Ve = VD + Vs

Vs = RID

⇒ Ve = VD + RID droite de charge

Modèle sans seuil

Ve(t)

Vs(t)

ID(t)

VD(t)

Figure 5.14 – Modèle de diode sans seuil

1. ID > 0 ⇒ VD = 0 ⇒ Vs = Ve.Alors ID = Ve/R, la diode est un inter-rupteur fermé si Ve > 0.

2. VD < 0 ⇒ ID = 0 ⇒ Vs = 0.Alors VD = Ve, la diode est un interrup-teur ouvert si Ve < 0.

0

1

Vs

Ve

Ve

+

Vs

IDR C

VD

IR IC

Figure 5.15 – Détecteur de crête

Si on ajoute une capacité C en parallèle avec la résistance R, onobtient un détecteur de crête à condition que la constante de tempsdu circuit τ = RC soit grande devant la période du signal d’entrée.Quand la diode se bloque, c’est la capacité qui fournit le courant

dans la résistance : ID(t) = IR(t) + IC(t) =Vs(t)

R+ τ

dVs(t)

dt


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Modèle avec seuil

Ve(t)

Vs(t)

0,7 V

VD(t)0,7 V

Figure 5.16 – Modèle de diode avecseuil

1. ID > 0 ⇒ VD = 0, 7 V ⇒Vs = Ve − 0, 7 V.Alors ID = (Ve − 0, 7 V)/R, ladiode est passante si Ve > 0, 7 V.

2. VD < 0, 7 V ⇒ ID = 0 ⇒Vs = 0.Alors VD = Ve, la diode est blo-quée si Ve < 0, 7 V.

Vs

Ve

10

0, 7 V

Dans le cas où Ve ne dépasse pas le seuil de la diode, on doit faire appel au redresseur actif sans seuil avecA.O. (cf. 5.3.1.2, p. 55).

5.3.1.1.1 Remarque : il existe plusieurs montages redresseurs passifs double alternance, dont le montageà pont qui utilise quatre diodes.

5.3.1.2 Redresseur mono-alternance actif (charge résistive)

ρg

V1+

+

−

Vs

V2

ID

VD

R

Figure 5.17 – Redressement mono-alternanceactif

Cas d’un A.O. parfait et d’une diode avec seuil(voir 3.5.1, page 36)I− = 0 ⇒ V2 = RID = V−

ε = V1 − V2

droite de charge de la diode : VD = Vs − RID

— si Vs > 0, 7 V, D conduit (ID > 0) VD = 0, 7 V ⇒ V2 = Vs − 0, 7 V ⇒ ε = V1 − Vs + 0, 7 V ⇒dε

dVs< 0 ⇒ contre réaction ⇒ ε = 0 ⇒ V2 = V1 = RID ⇒ V1 > 0

— si Vs < 0, 7 V, D est bloquée (ID = 0) V2 = 0⇒ ε = V1 ⇒ plus de réaction ⇒ A.O. en comparateur

On montre simplement qu’alors l’A.O. est saturé en négatif : Vs = V −

sat.

Si on prend en compte un A.O. de gain fini Av, le seuil est ramené à 0, 7 V/(1 + Av).


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Remarque : Quand la diode est bloquée, il n’y a plus de réaction et la tension de sortie de l’AO est V −

sat, caralors V1 = ε < 0. La transition de passante vers bloquée devrait se traduire par une discontinuité de la tensionVs de sortie de l’AO : mais la vitesse de variation de la tension de sortie de l’AO est limitée par le slew-rate

(cf. 3.1.5, p. 24) de l’AO. En conséquence, lorsque la réaction se remet en place, l’AO tarde à retrouver la tensionde sortie attendue en régime linéaire et le début de conduction est retardé. Pour limiter ces déformations, oninterpose souvent une diode en inverse entre la sortie de l’AO et la masse. Cette diode (bloquée quand l’autreconduit) limite la tension de sortie en négatif à −0, 7 V et réduit donc la durée de retour vers Vs > 0.

5.3.1.3 Limiteurs à diode

Ve

r

+R

Vs

ID

Figure 5.18 – Limiteur à diode (r ≪ R)

— si ID > 0, VD = Vs = 0, 7 V et la condition de conductions’écrit : Ve > (1 + r/R)0, 7 V ≈ 0, 7 V si on suppose r ≪ R.

— Si VD < 0, 7 V, la diode est bloquée et Vs = VeR

R+r ≈ Ve siVe < 0, 7 V.

Ve

r

+R

VsFigure 5.19 – Limiteur bidirectionnel à diodes (avecr ≪ R pour éviter trop de pertes)

Applications (éventuellement avec des diodes Zenerpour accéder à des seuils différents de ±0, 7 V) : protec-tion de circuits fragiles, génération de signaux carrés,...

5.3.2 Dipôles non linéaires en petits signaux

Au voisinage d’un point P0 fixé par la polarisation, on applique un signal alternatif de faible amplitude. P (t)décrit alors un petit arc sur la caractéristique du dipôle non-linéaire assimilable à sa tangente locale.

⇒ dipôle linéarisé localement et composante alternative des signaux peu déformée.

⇒ étude locale avec les méthodes des circuits linéaires.

dipôle

passif

non linéaireE0

V (t)

A

B

I(t)R

+

+

e(t)

Figure 5.20 – Dipôle non-linéaire alimenté en régime de petits-signaux

E(t) = E0 + e(t) avec |(e(t)| ≪ E0

en petits signaux alternatifs. Par exemple, en sinusoïdal,

E(t) = E0 + E1 cos ωt avec E1 ≪ E0

Si le dipôle actif est linéaire, il impose une relation linéaire entre V (t) et I(t) : c’est la droite de charge

dynamique du dipôle. Ici V (t) = E0 +e(t)−RI(t). En général, elle ne possède pas la même pente que la droitede charge statique, même si c’est le cas pour ce montage.


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I

V0

droite de charge dynamiquev(t)

i(t)

V0

I0

E0 − E1 E0 E0 + E1

P0 1/rd

Figure 5.21 – Droite decharge dynamique

La droite de charge dyna-mique passe par le pointde polarisation, origine desaxes des composantes alter-natives.

Décomposition de la tension et du courant en :

— composante continue V0, I0 (coordonnées du point de polarisation) obtenue en éteignant l’alternatif

— composante alternative v(t), i(t), obtenue par translation de l’origine au point de polarisation P0.

v(t) = V (t) − V0

i(t) = I(t) − I0

5.3.2.1 Résistance différentielle d’un dipôle

Linéarisation locale de la caractéristique : v(t) = rdi(t) où la résistance différentielle rd d’un dipôle au pointP0 est définie par la pente locale de sa caractéristique au point de polarisation P0.

rd =

(dV

dI

)

P0

rd dépend du point de polarisation si le dipôle est non-linéaire ⇒ le continu influe sur l’alternatif.

5.3.2.2 Résistance différentielle de la diode (dans la partie conductrice)

ID ≈ IS exp(VD/VT ) ⇒ VD = VT ln ID/IS

Donc

rd =VT

ID0

= ηkT

ID0

∝1

ID0

Ordre de grandeur : rd ≈26 mV

ID0

≈ qq 10 Ω pour un courant de qq mA.

Remarque : en haute fréquence, v(t) et i(t) ne sont plus en phase et il faut faire intervenir une capacité(interne à la diode) en parallèle avec la résistance différentielle pour représenter la diode en petits signaux.

5.3.2.3 Méthode pratique d’étude des dipôles non linéaires en petits signaux

1. En continu :

— éteindre les sources alternatives

— remplacer les capacités par des circuits ouverts (les selfs par des courts circuits)

→ point de polarisation statique P0(V0, I0)→ la pente locale de la caractéristique donne rd(P0).


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2. En alternatif :— éteindre les sources continues (de tension → court-circuit, de courant → circuit ouvert)— en petits signaux, remplacer le dipôle non-linéaire par sa résistance différentielle (plus généralement

son schéma alternatif petits signaux)3. Faire la somme des composantes continue et alternative.

5.3.2.3.1 Remarque : en général la résistance de Thévenin en continu est plus grande que l’impédance deThévenin en alternatif à cause des capacités. La droite d’attaque dynamique est donc plus pentue que la droited’attaque statique.

5.3.3 Exemple : atténuateur à diode

+

∼

+ E0

e(t)

C

D

ID(t)

VD(t)

R0

R1 Figure 5.22 – Atténuateur à diode

La diode est polarisée par la source continue E0, R0 eton lui injecte de l’alternatif à travers la capacité C grâceau générateur e(t) = E1 cos ωt : on suppose de plus queE1 ≪ E0.

+ E0

D

ID0

VD0

R0

R1

Figure 5.23 – Schéma équivalent de l’atténuateur à diode encontinu

En continu, on éteint la source alternative e(t) qui se transiformeen court-circuit. La capacité C se comporte en circuit ouvert, cequi isole la branche R1 de la diode.Le point de polarisation peut être déterminé graphiquement,ou par le calcul en supposant VD0

≈ 0, 7 V, soit ID0≈ (E0 −

0, 7 V)/R0. La résistance différentielle en ce point, rd =VT

ID0

est

en général très faible devant R0 car E ≫ VT .

+

∼e(t)

CR1

rd

vd(t)

R0

id(t)

Figure 5.24 – Schéma équivalent de l’atténuateur à diodeen petits signaux alternatifs

En alternatif, on éteint la source continue E0 qui devientun court-circuit. Si l’amplitude des signaux alternatifs estfaible, on peut remplacer la diode par sa résistance diffé-rentielle rd calculée au point de polarisation. La résistanceR0 en parallèle sur rd et beaucoup plus grande peut êtrenégligée.

v

e˜

=rd

rd + R1 +1

jCω

Si de plus 2,1

Cω≪ rd + R1

v

e˜

=rd

rd + R1

On peut donc commander par la tension continue E0 (qui fixe le point polarisation, donc aussi rd) l’atténuationv˜/e˜

en alternatif.

2. C’est à dire si C est un court circuit devant la résistance de Thévenin qu’elle voit.


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5.3.3.1 Conclusion

Tension et courant totaux dans la diode :

VD(t) = VD0+ vd(t)

ID(t) = ID0+ id(t)

Ne pas confondre avec l’application du théorème de superposition car ici le continu exerce une influence surl’alternatif par l’intermédiaire de rd.

5.4 Thermométrie à diodes

5.4.1 Principe de la thermométrie à diodes

En supposant η = 1, la caractéristique de la diode peut être décrite dans la zone conductrice par :

ID = CT 3 exp

(VD − ∆E

VT

)

Si on travaille à courant constant, la tension VD décroît avec la température.

VD = ∆E + VT ln

(ID

CT 3

)

La sensibilité thermique de la tension aux bornes de la diode est donc :(

dVD

dT

)

ID=Cte

=VD − ∆E − 3VT

T

Au voisinage de VD ≈ 0, 6 V, on obtient −2, 2 mV/K pour le silicium. La dépendance n’est pas linéaire, mais lanon-linéarité est faible (comme pour les sondes résistives métalliques).

5.4.2 Exemple de montage de thermométrie à diode

R1

R2

+

−

+ER3 R4

R0

R6

R5

(1)

(2)

Vs1

Vs2

−

+

−

+

U1

ID VD

U0U5

Figure 5.25 – Thermométrie à diode

Le premier A.O. permet d’alimenter la diode à courant constant :

ID =U0

R0=

R1

R1 + R2

E

R0

La tension de sortie Vs1du premier étage présente la même sensibilité de l’ordre de −2 mV/K à la température

que VD.Le deuxième étage est un amplificateur de différence qui permet le réglage du zéro via R5/R6 et améliore la

sensibilité d’un facteur −R4/R3. Dans ce montage, Vs2est une fonction croissante de la température.


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5.5 Autres diodes : diodes Zener

5.5.1 Caractéristique

VD

2©

0

−VZ0

VZ

3©

1©

ID

1/rZ

Figure 5.26 – Caractéristique statique directed’une diode Zener

VD

IZID

VZ

Figure 5.27 – Symbole d’une diode Zener

C’est une diode qui peut être utilisée en conduction in-verse sans claquage. En ajustant le dopage de la jonction,on fabrique des diodes Zener avec des tensions Zener nor-malisées de quelques Volts. La résistance rZ en conductionZener particulièrement faible en fait de très bonnes sourcesde tension utilisées en régulation.

Modélisation

1© Conduction directe si ID > 0source de tension VD = 0, 7 V

2© Blocage si −VZ0< VD < 0, 7 V

circuit ouvert

3© Conduction inverse si ID < 0 (IZ > 0)source de tension VD = −VZ0

(VZ = VZ0)

5.5.2 Applications des diodes Zener

Suivant qu’en mode normal la diode Zener conduit ou est bloquée, on peut l’utiliser pour stabiliser unetension autour de VZ0

ou pour limiter la tension à une valeur maximale. Ainsi les diodes Zener sont employéesdans les régulateurs de tension et dans les limiteurs de tension.

Limiteurs

Il est possible de choisir le seuil auquel on limite la tension en choisissant la diode Zener. Mais dans lelimiteur bidirectionnel, on ne peut pas utiliser une simple association de deux diodes Zener en parallèle, caralors ce serait leur conduction directe qui fixerait le seuil à 0,7 V.

Ve

r

+

R

Vs

Figure 5.28 – Limiteur bidirectionnel àdiodes Zener (r ≪ R)

Vs(t)

Ve(t)

−VZ0− 0, 7 V

+VZ0+ 0, 7 V

Figure 5.29 – Tensions d’entrée et de sor-tie du limiteur bidirectionnelLes diodes ne conduisent que lorsque latension atteint ±(VZ0

+ 0, 7 V). Dans lesdeux cas, l’une est en conduction directequand l’autre est en conduction inverse.


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5.6 Composants opto-électroniques

5.6.1 Diodes électroluminescentes : DEL (Light Emitting Diodes ou LED)

5.6.1.1 Description des DEL

La recombinaison des paires électron-trou libère une quantité d’énergie égale à la largeur ∆E de la bandeinterdite. Cette énergie produit :

— de la chaleur dans le cas d’une diode normale ;

— une émission de photon dans le cas d’une diode électroluminescente.

La longueur d’onde émise dépend de la largeur de la bande interdite, donc du matériau utilisé et du dopage.Quand ∆E augmente, la tension de seuil de la DEL augmente et la longueur d’onde d’émission diminue. Lestensions de seuil sont d’environ 1,4 V pour le rouge, 2 V pour le jaune, 3 V pour le vert et 4 V pour le bleu. Ilexiste aussi des diodes au nitrure de gallium (GaN) qui émettent dans l’UV et permettent par phosphorescencede produire une lumière blanche utilisée dans l’éclairage. Noter aussi que la tension de claquage est plus faible(quelques Volts) sur les DEL que sur les diodes normales, ce qui les rend plus fragiles.

VD

ID

ou

VD

ID

Figure 5.30 – Représenta-tions d’une diode DEL

Le flux émis par la DEL est proportionnel au courant dans la diode :

Φe = KID où K s’exprime en W/A (5.1)

5.6.1.2 Circuits à DEL

La polarisation d’une DEL s’effectue comme pour une diode normale en conduction directe, en alimentantla DEL avec un circuit se comportant comme une source de courant.

Mais dans des applications de signalisation, on peut alimenter la DEL par une source alternative à conditionde la protéger en inverse par une diode normale montée en limiteur de tension. On profite parfois de la persistancerétinienne pour alimenter la DEL en impulsions et régler le flux moyen émis en ajustant le rapport cyclique τ/Tdes impulsions.

Les associations de DEL peuvent être étudiées graphiquement ou en approximant les caractéristiques pardes segments de droites. On peut par exemple associer en parallèle tête-bêche deux DEL de couleurs différentesqui s’allument suivant la polarité du signal appliqué 3 .

5.6.2 Photodiodes et photopiles

5.6.2.1 Caractéristiques et modes de fonctionnement

ID

VDΦr

Figure 5.31 –Symbole d’unephotodiode

Les photodiodes mettent en œuvre le phénomène inverse des DEL : c’est le fluxoptique reçu Φr (absorbé) par la photodiode qui excite la jonction PN et augmenteson courant inverse.

3. Noter cependant que si on place deux DEL de tensions de seuil différentes en parallèle dans le même sens, seule celle à latension de seuil la plus faible pourra s’allumer !


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VD

III IV

0

VD = −RID

droite d’attaque

−E

Icc = −E/R

Iobsc

I1

I2

II I

Φr = 0

ID

Φr1> 0

Φr2> Φr1

Figure 5.32 – Caractéristique statique d’une photodiode

Distinguer les trois domaines de fonctionne-ment :

I ID > 0 et VD > 0 : récepteurfonctionne comme une diode normale,mais la caractéristique dépend du fluxreçu Φr.

III ID < 0 et VD < 0 : récepteur (modephotoconducteur) ou photodiode

le flux reçu Φr augmente le courant in-verse de la diode (comme le fait la tem-pérature dans une diode normale)

IR = Iobsc(T ) + K ′Φr (5.2)

où Iobsc(T ) est le courant d’obscuritéqui dépend de la température.

IV ID < 0 et VD > 0 : générateur (modephotovoltaïque) ou photopile

5.6.2.2 Mode photoconducteur

Polarisation

E

R

+ID

Φr

VD

VR

IR

Figure 5.33 – Polarisation d’une photodiode

La photodiode doit travailler en récepteur donc nécessite une alimen-tation. Comme elle fonctionne en inverse (quadrant III) on utilise depréférence les notations IR = −ID > 0 et VR = −VD > 0.

Modélisation

La photodiode, dans le quadrant III, peut être modélisée comme une source de courant 4 fonction du fluxoptique reçu Φr, représentée par son schéma de Norton.

ID

VDΦr

+

VRCDRD

IR ≈ K ′Φr IR = Iobsc + K ′Φr ≈ K ′Φr

RD ≈ 1 GΩ à 100 GΩCD ≈ qq. 10 pF (CD ց si VR ր)

Figure 5.34 – Modélisation d’une photodiode

Conditionneur à résistance série

Le montage de polarisation (voir Fig. 5.33) peut, en fait, servir de conditionneur pour délivrer une tensionproportionnelle au flux reçu.

4. Cette source fonctionne en récepteur à cause de l’alimentation E.


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ER

+IR

Vs

Φr

Vs = RIR ≈ RK ′Φr sensibilité :dVs

dΦr= K ′R

Le courant IR étant faible, on choisit R grande et c’est aussi favorable àune grande sensibilité. Mais, en alternatif, la capacité CD forme avec R unfiltre passe-bas de fréquence de coupure souvent trop basse pour utiliserla photodiode en alternatif.

Figure 5.35 – Conditionneur de photodiode à résistance série

On préfère choisir une résistance R pas trop grande et amplifier la tension à ses bornes avec un montageamplificateur de très grande impédance, donc nécessairement non-inverseur (sur un amplificateur inverseur,l’impédance d’entrée ne peut pas être infinie à cause de la résistance de contre-réaction). Mais il est en généralnécessaire d’éliminer la composante continue du signal et souvent ses composantes très basse fréquence associéesà la lumière ambiante et au courant d’obscurité. On insère donc une cellule passe-haut à l’entrée de l’amplifica-teur. Si on prend aussi en compte la capacité CD de la photodiode, le comportement global du circuit en termesde sensibilité au flux optique est celui d’un passe-bande.

Conditionneur à convertisseur courant-tension

E+

ΦrIR

+

−

vs

R

Comme V− = V+ = 0, la photodiode est polarisée sous −E. AlorsVs = −RIR = −RK ′Φr. L’avantage de ce montage est qu’en al-ternatif, la ddp est nulle a aux bornes de la photodiode, donc sesimperfections (RD et CD) n’ont plus d’influence et le courant al-ternatif dans R est le courant K ′φr .

Figure 5.36 – Conditionneur de photodiode à convertisseurcourant-tension actif

a. Ce n’est plus exact si l’AO n’est pas idéal.

5.6.2.3 Mode photovoltaïque

IR > 0

R

ΦrVD

Sans alimentation, la photodiode se comporte en générateur. VD = −RID =RIR > 0. C’est le mode de fonctionnement des photopiles solaires par exemple.En instrumentation, on peut, suivant la dynamique des flux optiques à mesurer,choisir entre deux cas extrêmes pour la résistance R, pour lesquels la diode nefournit aucune puissance : l’énergie doit alors être apportée par un A.O.

Figure 5.37 – Photodiode en mode photovoltaïque

Montage en court-circuit

Φr

IR

+

−

Vs

REn court-circuit (VD = 0), le courant d’obscurité de la photodiode estnul, ce qui est propice à la mesure de flux très faibles. Associée avec unconvertisseur courant-tension, qui assure une ddp nulle entre V+ et V−, laphotodiode permet d’obtenir une tension de sortie qui dépend linéairementdu flux Φr : Vs = RK ′Φr.

Figure 5.38 – Photodiode en court-circuit


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Montage en circuit ouvert

R2

R1

Φr

ID = 0

VD −

+

VD

Vs

Si au contraire, on impose un courant nul dans la diode, la tensionprésente une dépendance logarithmique en fonction du flux Φr.En effet, dès que VD dépasse quelques dizièmes de V,

ID = IseVD/VT − K ′Φr = 0

peut s’écrire :

VD = VT ln

(K ′Φr

Is

)

La condition est finalement que Φr ne soit pas trop faible. Pouramplifier la tension VD sans faire circuler de courant dans la diode,on peut utiliser un amplificateur non-inverseur.

Figure 5.39 – Photodiode en circuit ouvert

5.6.3 Autres photodétecteurs

5.6.3.1 Phototransistors

Les phototransistors sont des transistors dont la base est sensible au flux lumineux. Ils sont plus sensiblesque les photodiodes, mais beaucoup moins rapides.

5.6.3.2 Photomultiplicateurs

Le photomultiplicateur utilise une surface sensible, la photocathode qui émet des électrons quand elle estsoumise à un flux de photons et plusieurs dynodes source d’émission secondaire d’électrons. Chaque électrodecontribue au gain qui peut atteindre 106 entre photocathode et dernière dynode. Le photomultiplicateur estdonc un détecteur très sensible et aussi très rapide. En revanche, il nécessite l’emploi de hautes tensions.

Du point de vue électrique, le photomultiplicateur se comporte comme une source de courant proportionnelleau flux optique reçu.

5.6.3.3 Photorésistances

Les photorésistances (en anglais Light Dependant Resistors, LDR) sont les analogues pour le flux lumi-neux des résistances à coefficient de température négatif (CTN). L’absorption d’énergie radiative libère dansle semi-conducteur des électrons responsables d’une conduction qui croît avec la puissance absorbée. Quandcette conduction est dominante, la résistance R d’une photorésistance suit une loi approximative en puissance(négative) du flux énergétique absorbé Φ :

R ∝ Φ−α où α est de l’ordre de 1

Quand l’éclairement est très faible, il faut tenir compte d’une conduction résiduelle non radiative que l’on peutmodéliser par une résistance d’obscurité très grande Robsc.. Le courant d’obscurité et le photocourant s’ajoutant,le schéma électrique de la photorésistance associe ces deux résistances en parallèle : R′ = R//Robsc..

La dépendance est fortement non-linéaire et la gamme de valeurs très étendue. Les photorésistances sonttrès sensibles, bidirectionnelles et peuvent supporter des tensions et courants assez élevés. Cela permet de lesplacer parfois directement dans la partie puissance du circuit. En revanche, elles s’avèrent assez lentes.

b1

l2conducteur B

b2

l1

cond

ucte

urA

semi-conducteurphotosensible

Figure 5.40 – Géométrie d’une photorésistance

Pour maximiser la photoconduction, on prend souvent uneforme de peigne interdigité pour les deux conducteurs (zoneshachurées) ; la géométrie de la surface sensible (en noir) pré-sente alors un rapport l/s petit grâce à une petite distancel1 et une grande section de contact proportionnelle à b1.Les applications des photorésistances vont de la détectionde la lumière ambiante pour les commandes d’éclairage aurepérage des déplacements d’objets opaques (la résistancedépend de la surface exposée au flux lumineux).


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Index

– A –addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28admittance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8amplificateur

inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27non inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27amplitude complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8association parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3association série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

– B –bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 23boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 55Bridgman . . . . . . . . . . . . . . voir constante de Bridgman

– C –capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 37capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

coefficient de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47comparateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23conditionneur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 43conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8conductivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49constante de Bridgman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47contre-réaction . . . . . . . . . . . . . . . voir réaction négativeconvertisseur

courant-tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 63tension-courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

corps d’épreuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38coupe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16courant d’obscurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63CTN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 64CTP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

– D –décibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47DEL . . . . . . . . . . . . . . . . . voir diode électroluminescentedérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15différentiateur

actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 30

différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 49

à jonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49avec seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50, 51caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50électroluminescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61en grands signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54équation de la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51limiteur à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 56, 60redressement à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54redressement actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55sans seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

association de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52en petits signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56en régime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1diviseur

de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

droite de chargedynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

– E –effet

Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Peltier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Seebeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47erreur de linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38étalonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38étendue de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

– F –fils de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46filtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30finesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 39, 41fonctionnement linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

65

Not

es p

rovi

soire

s LP

398


– G –générateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35grands signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

– H –Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir effet HallHooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir loi de Hookehystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33

– I –impédance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37intégrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

– J –jauge extensométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48jonction P–N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

– L –LDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir photorésistanceLED . . . . . . . . . . . . . . . . . voir diode électroluminescentelimiteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 56, 60linéarisation

amont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42aval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 56

logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 36, 64loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 8loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2loi des nœuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

– M –mesurande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37module de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47multivibrateur astable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

– N –Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir schéma de Norton

– O –Ohm

loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir loi d’Ohmunité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

opto-électronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

– P –passe-bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 39passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16passe-tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Peltier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir effet Peltierperméabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38permittivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37petits signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 57, 58

photocathode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64photoconducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62photodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61, 62photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37photomultiplicateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64photopile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61photorésistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64phototransistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64photovoltaïque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63piézoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37piézorésistif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir coefficient de Poissonpolarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51pont

actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45demi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45quart de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

potentiométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

– R –réaction

négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25, 55positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

régime statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1résistance différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57résistivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 49

– S –saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 26, 36schéma

de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 12-14, 51, 62de Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 12-14, 51, 58

Seebeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir effet Seebecksemi-conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 42, 48, 49sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Siemens

unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1slew rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 36, 56sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

commandée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-14, 22de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 4-6, 8, 31de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 4, 5, 7, 22indépendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir amplificateur suiveur

– T –température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 40-43, 59tension différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21théorème

de Millmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

thermistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 41-43thermoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir schéma de ThéveninThomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir effet Thomson


Not

es p

rovi

soire

s LP

398


transducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37trigger

asymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34de Schmitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32non-inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

– Y –Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir module de Young

– Z –Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . voir diode Zener


Documents

Licence de Sciences et Technologies Notes provisoires LP398