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};,rtZSa'rc

LINIVERSITE DE METZINSTITUT DE PHYSIQUE ELECTRONIQUE ET DE CHIMIE

THESE DE DOCTORAT

PRESENTEE PAR

Rachid CHEIKH

POUR L'OBTENTION DU

DOCTORAT DE L'LINIVERSITE DEMETZ

Etude des collisions (e,2e) sur des ulcalins préparés

Soutenue le Jeudi 03 décembre 1998

I)evant la commission d'Examen :

398o645

s/ry sr(za

Mme A. CHETIOIJI, Professeur à I'Université de Paris

R. ALLAN, Docteur au Laboratoire de Daresbury

Warrington (RU)

D. HEI BrBLrorHEêLrE uNrvERsrrArRE DE METZ laen

i;î|l||il||||||ffiil|[lililil|il]|||||il|il||il||]022 234188 0

rapporteur

rapporteur

examinateur

examinateur

directeur de Thèse

-1998-

4 tr.ran (rù câo, ?è,æ,

4 onoa, ûù ûàrre%î)ozp,

ee ,r4ér444ûîe eof /rqt, ?r,toi ( aeuto ta4t 44414'dfæ ef a.fteoùrc, fnan

tért4alr/ttzn dp ona. /r6/4dz azettoditA4lw, et oa' pî4l4t4de ,rufërldp à

a.ao A)p &t* ?èrre, à taa' frù ûè?o77îère et à cuæ ln)z eâar 7o;rra

ef Seznt. Faac kllrra zfioronano, /tia*6oauleo', Saarlna4*ræocA A

tiaaaa'4na/la' Sdorr&?P, /4 oror"o'7/zueon, Adi/, tfltaatt', AV*t'ta"æ er k

pliif 'Q,aaarlc, z4 *ao,74rfizo Sana' el -4,e;14'

4 toap cercfr ç& att a'oa/û2 ianatt, ip didrz ce taaæi/'

RM

Oe ûatail d été elkrtué az ^4ahnafaaw dp ?âq/4& ?fiîoUrutla,aze A dzo @/,to,caa dp

(?lzrte,wtti dz ?7&ft, fu t*ra à æ*aæiEc pnfuaaua'A ?lîa'ta,cepc b ?4a14ê44//, ,o44h/n

?azaazoc, yé a dh4é e ûâ&il ef ç4ë o*'o /ai.l Pnkfu'n dp ost e4é'u2r4e, dp oa'

,44éflodp F;ln4oVrye, dp dza otu4tda,trutlo au&,ta&,ùpa' aù*i rytz 44. rinâa4'ëfé d'e4/rût'

fu za,tændz ?tîada"ttz 4, @ûuttt:, "aak//z/rt,

à (?/aA<n'lté dp ?aneo. çrë d 4A*

aa/,/fé d'êr& ia4'/ale//rt' A /na'adzz't d4 W dp na' ilào.

fu ænowae Tfîaatleuc R. AMan, Dætcr,ac au /,a/oaafaitza dz Dur4/utrl à ?lann'aa/aeo

(4.0, yë a 4lt4 ar//41é d'êhw aâ//p?îq/, faatt torltco ëet @"a"rlbtto et /44tt ko

d,eorzaUuo W'M d etæo et44zn/(P.

fu 'æruaa;e ?7ûna,aezrt. D. ?lenaecotl, eiaité de Reiloz&,0' eZeS (he'4, rti a

æK,/fé dp l*i& /orrfëe dtc i4tlrl eçc laal W'ewnëtt4.ttr/'u

fu zznenæ é4d/rr't41/4t?/loatleut 8, /a4lalthto, ?'n{zaacu, de ('Ttaupzotrti dp77îeî',7, ç4i

a aæerp* dp Fa*ceppz aa lanq dp taa f/i,oz æontote eranuta'teurr, /44n êo4' @vurliauo,

ozo qnânfuo çza/ïzt âunaëtcil ef oa' 7ulAMaoaa,

2cæ ??|eolAoru ko. aaurlnoo. dz /4ntl tnaranaf czë ('er/rzzoatnt dp ona' /rnl&4de ,rafrfldn

I f*, &aa| da/,/ré dp 72qa cP tza444,

7//eo az"tnsuaenen'a rcal û4almotl à 771"ua'aett'c ?' Se'at er 7/îadanta /'ca' Faan kocna

4 //tdrl/aff(, 4Hdt4to4t4rr4û, TTattec ef Rda/iln à ç4i i'er,/atnz aa' Vnandz l,aûTtdz

faan b oaa'ttzct .44a,at ef aa'tén'&z(' çn'c/o ttt"utl4'//4tûé,

?/îeo æ"tnozaaettncrtto uaut ar,t4/i à SdU, Seotaastt4 0cudât"a, Tdnd ef à Aao oæo

@Uèr4eë dz /a/ona*aaz /V7/î0 gzë u4l otze c,ue ttæo 4ot4t4a att/cartæ dp ûtu4i1,

4 raqo qllr çz'ut a'act/lce ldt4alto'

R, eâdâ/.

?a1* lzoTltatùnzt

Table des mutières

Introduction générale

1 Rappel de la théorie des collisions et déftnitions des sections efftcaces

1. Introduction ... . . . . . . . . """" J

2. Le hamiltonien H et sa résolvante. ' . . . . . . . . . . . . """6

2.1. Déf in i t ions. . . . . . . . . . " " " " " " " " " " " '62.2. Developpement de G(z) en série de puissance de V....."' """""""" 7

3. Expression de l'opératear de Green-.. """""""' 8

3.1. Déf in i t ions. . . . . . . . . . " " " " " " " " " " " ' 8

3.2. Relat ion entre Gx et GË. . . . . . . . . . . . " " " " " " ' 8

4, Matrices de diffasion et de transition .....".'.... """""" 11

4.1. Matrice de diffusion """""" 1I

4.2. Matrice de transit ion """""13

5. Approximation de Born """"""' 14

6, Notion de sections efficaces """15

6.1. Sect ions ef f icaces de d i f fus ion ' . ' . " . . . ' . . " " " " " " " " " '156.2. Sect ions ef f icaces d ' ion isat ion ' . ' . . ' . . . ' . " " " " " " " " " '156.3. Sectiort èÛtr"o""s d' ionisation simplement dff irentie\\es... . . . . . . . . . . . . . . . . .16

6. 4. S e ct ions eff icaces d' ionis ation doubl ement dff ir entiel l es .. . . ' . " ' . ' . ' . ". . . 1 6

6.5. Sectiont "ff iro""s

d' ionisation tr iplement dff irentiel les... . . . . . . . . . . ' . . . . . . '16

?d('/a dzo7klaa:ànzt'

2 Etude de l'état initial et de l'état lînal dans une collision (e,2e)

sur des cibles alcalines

7. Introduction.... . . . . . . . . . . . . ' 18

2. Description de l'état initial du système électron-alcalin --....'.....' .'..-..19

2.1. Concept d'électron acti f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' - ' . ."" 19

2.2. Lois de conservations de l'énergie et des quantités de mouvement'.'.'......'.'.'202.3. Rôle du transfert d'impulsion K..'....'.' -."" 20

2.4. Description de l'électron de valence ...."" 21

2.5. Descript ion de lavoie init iale... . . . . ' . . ' - ' ."" '21

3. Description de la voie ftnale, problème de double continuum '..'...'-"" 23

3.1. Fonction d'onde corrélée Vrc... . ' . . . . . . """25

3.2. Fonct ion d 'onde V zc . . . . . . . . . . . . . ' . " - ' . . . ' . . " " ' 30

3.3. Fonction d'onde V zcc .'-'-"" 30

4. Conclus ion. . . . . . . . . . . . ' . . . ' . "31

3 Application de la fonction corrélée au processus (e,2e)

de l'hydrogène et du sodium

7. In t roduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - ' - " . . . . . ' . ' - ' 32

2. Méthode d.e calcul de ta SETD .. ' . ' . ' . . . . . . . . ' . . . .33

2.1. Section ff icacetriplement dff irentiel le (SETD) ... . . . . . . . . . . ' .""33

2.2. Méthode de cqlcul de la SETD '.. . . . . ' - ' . . . '34

3. Résattats et discussions ... . . . . . . ' . . ' .35

3.1. Hydrogène et sodium 3s.... . . ' . . . . . . . . . . ."""""36

3.2. Hydrogène et sodium 3p.... . . . . . - ' . ' . . . ' .- . . . .""42

3.3. Hydrogène et sodium 3d ... . . . . . . .- ' . . . . . . ' .- . ."" 52

4. Conclusion.... . . . . . . . . ' . ' ."-65

l l

?aA(p dzo%lansw

4 Etude de l'effet de la polarisation dans la SETD

1. In t roduct ion . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . - - ' . . . . ' . " - . . ' .66

2. Mélange statistique d'états et état pur, opérateur densitë'..... .....-'.-..-67

2.1. Mélange statistique d'états et état pur' ""'672.2. Description du système par son vecteur d'état...' .-.....68

2.3. Description du système par son opérateur densité -"" 69

3. Rotation d'un système physique, opérateur de rotation ..'."-.'.....'.""'72

3.1. Définit ion des rotqtions : Angles d'Euler. ' .- ' . . . .-".. .""72

3.2. Rotation d'un système physique : opérateur de rotation '...'-'.'.....73

3.3. Rotation des observables... . . . . . . . . . . . . .". ' . . . ."74

3.4.Momentc inét iqueetrotat ions inf in i tés imales- ' - - . ' . . . . . . ' . . ' - . - . - . . . - . " "74

3.5. Construction de l'opérateur rotation R(crBy) '-........75

3.6. Sous espace invariant irréductible ...-'.""'76

3.6.a. Sous espace invariant ei . . . . . . . . . . . . ' . ." ' .76

3.6.b. Sous espace invariant irréductible'....."-".'... ..""76

4. Tensears et opérateurs tensoriels '..'...'."'.'.""'78

4.1. Scalaires et vecteurs . '- ' --. . . . . ' ."78

4.2. Tenseurs d'ordre supérieur ' . . ." ' .". ' . ' .""" '78

4.3. Tenseurs sphériques irréductibles.. ' . . . .". . . . . . . . . . . . . . . . .""80

4.4. Opérateurs tensoriels... . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . ' . ."" ' 80

4 .5 .E témen tsdema t r i cedesopé ra teu rs tenso r i e l s ' - . . ' . . . ' - ' . . ' - . ' . . . . . ' . ' - " . 814.6. Règles de sélection --.". ' . . . ' .-"" '81

5. Matrices de rotation Ri , tenseurs statistiques ......'.."'.. ...."..'.....'.'.'..82

6. SETD, tenseurs d'orientation et d'alignement..."'-' -'-""" 83

7. Résultats et discussions ... . .- ' . . . ' ."89

7.1. Hydrogène et sodium 3p. . . . . . . . . . . . ' . ' - ' . " " '89

7.2. Hydrogène et sodium 3d. . . . . . . . . . . . . ' . . . . - . . . -94

Publication

8. Conclusion.... . . . . . . . . ' - . . .101

ltl

TalA lzoIftîan:ènoo.

ANNEXES

tv

1a*danaa

INTRODUCTION

L'ionisation simple ou multiple par impact électronique des systèmes atomiques,

ioniques ou moléculaires est un des processus importants de la physique

collisionnelle en particulier pour l'étude de la structure de la matière. Elle trouve

aussi son application dans différents domaines tels que I'astrophysique et la physique

des plasmas.

Le développement des études du processus d'ionisation par impact électronique a

commencé au début du siècle par les travaux de Niels Bohr (1913 et 1915) dans un

cadre classique puis par Hans Bethe (1930) dans un cadre quantique. Langmuir et

Jones (1928), plis Rudberg (1930) ont été les premiers à se lancer dans des travaux

expérimentaux. En 1932, Hughes et McMillan (1932) ont pu mesurer les sections

efficaces totale, simple et double. Ce n'est qu'à la flrn des années 60 qu'on été faites

les premières mesures des sections efficaces triplement différentielles d'ionisation

par Ehrhardt et at (1969) sur I'atome d'hélium et Amaldi et al (1969) sur le carbone.

lndndz<liaa

Ces auteurs ont utilisé les techniques d'observation par coincidence. Ces techniques

ont ouvert la voie à de nombreux travaux expérimentaux du même type sur d'autres

cibles atomiques et se sont étendues à d'autres expériences utilisant des rayons X ou

y comme particules incidentes.

Les expériences de simple ionisation (e,2e) se font généralement suivant deux

géométries. La première dite symétrique dans laquelle les deux électrons détectés ont

la même énergie avec des angles de diffusion et d'éjection égaux, a été introduite par

Amaldi et al (1969), on peut aussi citer les travaux de Frost et al (1990) et Baum et al

(1992). La seconde dite asymétrique, les deux électrons ont des énergies différentes,

introduite par Ehrhardt et at (1969), elle peut être coplanaire ou non. On peut aussi

citer les travaux de Lahmam-Bennani (1983-1992).

Parallèlement au développement des techniques d'observation expérimentales, les

progrès informatiques ont largement contribué au développement théorique dans ce

domaine.

Les calculs quantiques ont débuté par Hans Bethe (1930) eI Massey et Mohr (1933)

dans le cadre de la première approximation de Born. D'autres travaux ont été réalisés,

Peterkop (1960-62) ptis Rudge et Seaton (1964-1968) ont développé une théorie

gén&a\e de I'ionisation permettant d'obtenir une représentation intégrale de

1'amplitude de diffusion. Afin de décrire les corrélations entre les deux électrons dans

|e continuum, ces auteurs ont introduit la notion de charges effectives. Les deux

électrons sont alors décrits par le produit de deux coulombiennes à charges variables

liées par l'équation de Peterkop (1962). Cette description a été utilisée par la suite

par Schultz (1973) puis par lhhelan et al (1989). Ils ont obtenu un accord relatif avec

les résultats expérimentaux.

Le modèle à particules indépendantes utilisant un produit de deux fonctions d'ondes

coulombiennes (2C) a été introduit par Geltman (1956) pour décrire le processus de

double ionisation d'hélium, Geltman et Hidalgo (1974) pour le processus de simple

ionisation. Ce modèle ne satisfait pas aux conditions asymptotiques exactes. Une

description plus correcte du comportement asymptotique a été proposée par Redmond

1ænfuaiau

(non publiée et citée par Rosenberg (1973)). Les trois part icules "l ibres" sont

décrites par les phases asymptotiques des ondes coulombiennes (Àosenberg (1973)).

Pour étendre cette forme asymptotique à d'autres régions où les particules sont

proches donc à énergies comparables, ces facteurs ont été remplacés par des

hypergéométriques confluentes.

Ce type de fonction d'onde du double continuum (3C) fut considérée plus tard par

Merkuriev (1977) et utilisée par plusieurs auteurs et pour divers processus, citons

Gariboti et Miraglic (1980) pour I ' ionisation par des ions, Brauner et a/ (1989) pour

f ionisation simple par électron, Joulakian et al (1992) pour la double ionisation par

électron, et Pont et al (1996) pour le processus (y,2e).

L'utilisation de cette fonction d'onde mène à des calculs assez lourds. Divers

traitements simplifiés sont assez souvent utilisés. Franz et Altick (1992) ont remplacé

[a fonction hypergéométrique tenant compte de la répulsion des deux électrons par

son comportement asymptotique. Botero et Macek (1991 ,1992), Whelan et al (1993)

Hda et al (1994), Popov et al (1994) puis Nicolas et al (1996) ainsi que plusieurs

auteurs ont remplacé la fonction hypergéométrique décrivant I'interaction électron-

électron par I'unité tout en gardant sa normalisation (modèle dit de Gamow).

Un autre traitement consistant à tenir en compte des ordres supérieurs dans le

développement de Born a été utilisé par d'autres auteurs (Byron et Joachain

(1973,1977) et Byron et al (1985)).

Le présent travail se décompose de quatre chapitres. Le premier développe d'une

manière générale les éléments de base concernant la théorie des collisions,

notamment les définitions des opérateurs de Green ainsi que la matrice de diffusion.

Nous donnons ensuite les définitions des sections efficaces totale et différentielles en

fonction de cette matrice.

Le deuxième chapitre est consacré à la description des états, initiaux et finaux, dans

une collision (e,2e) sur des cibles alcalines. Une description du double continuum est

donnée en suivant la méthode utilisée par Brauner et al (1989).

3

'?ahulzclaaa

Dans le troisième chapitre, afin de comparer les différentes fonctions d'ondes

développées dans le chapitre 2, nous les appliquerons à la détermination des sections

efficaces triplement différentielles (SETD) des états n : 3 d'hydrogène et du sodium.

En effet, l'étude des sections efficaces triplement différentielles nous informe sur

I'importance de la corrélation, donc en particulier sur la description du double

continuum.

Le dernier chapitre est séparé en deux parties. Dans la partie théorique nous

présenterons pour une cible préparée une étude des paramètres d'orientation et

d'alignement à partir du formalisme de la matrice densité et en utilisant la technique

des tenseurs irréductibles (Fano et Macek (1973), Blum (1981)). La section efficace

triplement différentielle est analysée en fonction des tenseurs d'orientation et

d'alignement. Une application est ensuite faite sur les états préparés p et d

d'hydrogène et du sodium.

4

_Rdp/z/ dp (a tlin4tZ dzo æ(/,ada'a d di|ùafrhdo dzo aætiaao elkrÂrzo

Chapitre I

RAPPEL DE LA THEORIE DES COLLISIONS

ET DEFINITIONS DES SECTIONS EFFICACES

1. Introduction

Dans ce chapitre introductif, nous rappelons les définitions et les principes de base de

la théorie des collisions. Nous considérons deux systèmes dont les états sont

parfaitement connus. Ces deux systèmes sont, dans notre cas, un électron incident et

un atome neutre. Au cours du temps la distance entre ces deux corps diminue et leur

interaction augmente. Cette interaction peut modifier les caractéristiques externes

telles que la direction ou internes telles que la structure des atomes. L'étude de

l'évolution du système au cours du temps nous permet de définir la probabilité de

transition entre un état initial et un état fînal puis de la relier à la notion de section

efficace. Pour les collisions par impact électronique nous rappellerons les définitions

des sections efficaces simplement, doublement et triplement différentielles. Nous

étudierons en particulier cette dernière qui nous informe de façon très détaillée sur le

processus de simple ionisation.

((

-Rd,pfel dp h tlânn& dzt æ(liaatta' a lilt:ata:au dzo azctuan' el{kâaa

2. Le hamiltonien H et sa résolvante

2.1. Définit ions

Soit un système formé d'un électron incident et d'un atome cible. Soit

hamiltonien de ce système. Par définition la résolvante d'une observable H

fonction analytique de la variable complexe z :

H

est

le

la

(1 -1 )

Sur I'axe réel du plan complexe z (figure 1), est porté le spectre de H. Ce spectre

comporte, en général, une partie discrète et une partie continue. Pour simplifier, nous

supposons que le spectre de H est discret.

Figure 1. Représentation des contours f et f, sur I'axe réel.

Le spectre de H est indiqué en gras.

Nous désignons par Eo, E,, ... E,, ..., la suite des valeurs propres de H. Soit P' le

projecteur lié au sous espace engendré par la valeur propre Et :

H& =Ei& 0-2)

Les projecteurs P, vérifient les relations d'orthogonalité et de fermeture, soit :

G(z) = I

z -H

Pt P: = ôi: Pi

I& =ti

( l -3 )

(1 -4)

Avec (1-1) on obtient :

-Ra'/fd de (a tléii& dzo æ(llolaw a ailtota:aat dzo azcrto'u' e4&arzo

G(z)Pr =:*

par conséquent, en utilisant les relations de fermeture (1-4),

( 1 -5)

G(z)=Tc(4t, =?+

1 rp, = j- d G(z) dz' 2 i n J r i

(z -H)c =G(z-H) : t

on obtient la formule suivante :

1 pH Pr -

,1n9r" G(z) dz

Introduisant la fonction Y de part et d'autre de l'équation (1-8),

c(z) (z- u)Y = v + G(z) (zY - HY): Y

= G(z) (zY - EY)= tY

= G(z)Y = *-z -E

la résolvante s'écrit :

son résidu est le

(r-7)

(1 -8 )

(1 -e)

(1 -10)

(1-6)

Chaque valeur propre discrète E, de H étant un pôle simple de G (z),

projecteur P,, donc :

où f, est un contour fermé du plan complexe entourant le point E, à I'exclusion de

toute autre singularité de G (z).Plus généralement, si f est un contour fermé ne

passant par aucune valeur propre de H (figure 1) de plus si P. est la somme des

projecteurs P, relatifs aux valeurs propres de H situées à I'intérieur de ce contour,

, , =*{ c1,ya'

Multipliant cette équation membre à membre par H et utilisant I'identité (1-l) :

7

-Rd'f44/ dz h tléary7 &o co(l'eo'aap a dilt:aaaæ dzo oattor'u el{*Ârto

2.2.Développement de G(z) en série de puissance de Y

Si H s'écrit :

H=H, ,+V

où V est une perturbation. Les résolvantes de H et Hu sont respectivement

(1 -11)

c=#_v, c.=:q l-tz)

Ecrivons G comme

G: 1 = r 1r-H l--+ _-z - H u - Y , - H u I f ' J z - H p - Y

= t [( z-H,,-v)*vl--J-z - H u [ \ t ' t J z - H v - Y

= ' (z-H.-v) -=- 1= \ t : ; l ,z -Hp \ - - - t r / z -Hp -Y , -Hu z -Hu -V

111

z -Hu t -H , z -Hu -Y

donc G=Gp( l+VG) (1 -13)

Par itération de (1-13) on obtient un développement de G en série de puissance de V.

c = Ëcp(vc*)" (1-14)n=0

3. Expression de ltopérateur de Green

3.1. Définit ions

Nous supposons que durant la collision, le système passe d'un état stationnair. lu)

vers un état stationnaire lU). f'equation de Schrôdinger indépendante du temps

s'écrit :

I

Rd,f,/z/ de (z tl,ân'tie lzo coll'ao,aua. a li/twaaaa' dzo aectioaa. efi#e&o

ou

avec Ho le hamiltonlen

En reportant 1'équation

HY=EY

avec

(B - ttoXq + r) = v(<l + x) +

+

=

=

On reconnaît dans ce

vers E.

Soient les opérateurs

HY=E\

H:Ho +V

du système non perturbé et V la perturbation.

(1-16) dans (1-15) on trouve :

+ (Ho +V)Y=EY

+ (E-Ho)Y=VY

Y=g+X

(E-Ho)<P=Q

(n-uo)x=V<p+Vx,

(E -Ho-V) f =Vq

(E-H) X , =V<p

Vr =*"9

( 1 - 15 )

(1 -16)

(r-r7)

d'une solutionLa solution générale de cette équation s'écrit donc comme la somme

particulière y et d'une solution homogène <p, donc :

En reportant (1-18) dans (1-17) puis en uti l isant l 'équation (1-19)

(1 -18)

(1 -1e)

(r-20)

terme la résolvante (z- H)-t de l 'observable

Gt et Gfr définis par :

H lorsque z tend

(I-2ra)

(r-ztb)

, 1G= = lim

q-+o* E-Ht iq

^ + 1(J; : rllÏ-r' l to* E-Ho +ir1

Ces résolvantes sont appelées opérateurs de Green.

ç

-Ra'ppel lp h tâét4tu dzo æMloara d di4à'ûërio"l dpo azcltuu e4lra*rzo

Les équations (1-21a) et (1-zlb) donnent leurs comportements au voisinage de ses

singularités. En effet :

- Si z tend vers E en restant au dessus de I'axe réel (Im z > 0) alors G(z) tend vers

G* .

- Si z tend vers E en restant au dessous de l'axe réel (Im z < 0) alors G(z) tend vers

G- .

Donc le terme (B-ff)-t de l 'équation (1-20) devient l im --1-. Les signes *1-+o* E-Htit '1

correspondent à un comportement asymptotique d'onde sortante ou entrante.

Donc les solutioîs X (l-20) s'écrivent :

ï .== l im V= l - q=VGtg ( l -22)' v r_+o* E-Ht i t1

'

En substituant (l-22) dans (1-18), on obtient la fonction Y finale, solution de

l 'équat ion (1-15) :

lv*) : l .p)+ f im v=+lq)= lq)+ctv l<p) (r-23)l - I t r r n -ô . E_H+ i r . l " , t ' t

H étant hérmitique, les opérateurs de Green sont reliés à leurs conjugués par

l 'équation suivante :

(Gt)* = Gt

et par suite l'équation conjuguée de 1'équation (1 -23) s'éctit:

(*- l= (q | * (q lv c* (r-24)

3.2. Relation entre G' et Gfr

Soient deux opérateurs A et B. Ils vérifient l'égalité suivante :

I - I =1r"-el !=1rB-A)-LA B A .

, B B I

' A ( 1 -25)

donc :

t0

-Rd'ppel de h tlâub dzo ea(l'eo.aua. æ dillala;au dzo ozcrano efi{&d&o

En posant :

et en uti l isant I 'expression (I-26) on

111n-H+ in

= - t

E-Hs t in E-H6 + i q

ceci implique que

1 = I *1r"-A)1:1*1(s-nl1A B A .

,B B B ' 'A

A=E-H+ i r l

B=E-Ho + i t l

trouve :

(r-26)

(r-27)

(1 -28)

(r-2e)

(1 -30)

lE-HoI in-(E-Ht in) f E-+r,n

=1*tv-- - lE-H+ in E-Ho + iq E-Ho + i1 E-H+ in

En se reportant aux équations (1 -2la) et (l-2lb) on trouve finalement la relation entre

GtetGfr :

G" -cË =GË VGi =Gt VGË ( 1 -3 1 )

4. Matrices de diffusion et de transition

4.1. Matrice de diffusion

H peut s'écrire dans les voies initiales et finales comme

H = K*Vi = K'+Vt

où V, et V, sont les potentiels d'interaction entre les particules dans la voie initiale et

la voie finale. Soient Y,(*).t Yf*) ler fonctions d'onde initiales et finales décrivant

notre système.

Suivant Heisenberg (1946), on peut introduire la matrice de diffusion 5. L'élément

de matrice de diffusion 5 est donné pat ' (f ls l i )

fl

_Rd4p4 dp h tlii4tb dzo æ|,&:alara. A liltnefaua. dzo ozcîaaao e4{kÂ.eë

(r-32)

Suivant C. J. Joachain (1987) posons que :

( t lr l i )=(vl- 'YI-) )yl.,

)+ (vf-t - Y,(+) | *1.' )=(*f.'

= ôrl * (*f-' -Yr(+) | *,t.' )

=ôri*;n.(*,1u,(u"j,." #E,l*1.') (1-33)

En appliquant la relation (1-10) dans la fonction Y,(*), l'équation (1-33) devient :

(rlsli)=ô,,+ rim (=+ - -=-+ . l(q,lv, lvJ.')t ' 1 -ô . 'E , -E , + iq E r -E i - i n ' \ '

- ô,, -;jf.

"_ii7 (o,lt, lYI.') (1-34)

Le terme 1ir" - --J1 - a un pôle pour E1 = Ei, on peut l'écrire donc comme :' t+o* (Es -Ei ) " +\ "

l im l ; ; =Cô (E r -E , )

r t -+o* (Es -E i ) ' + r l '

où C est une constante, il est facile de montrer qu'elle est égale à n. Soit :

116 ----!- =æ ô(Er - E,) (1-35)n + o * ( E p - E i ) ' + \ '

Finalement l'élément de matrice 5 s'écrit :

(1 -36)

De même en utilisant un raisonnement similaire, on en déduit :

(r-37)

(r ls l i ) = ô,, -2inô(Er -E,) (qr lvr lv l . ' )

(r ls l i ) = ô,, -2inô(Er -8,) (vl-) lV le ')

t2

-Rd'pfzl fu h tliia& dzo æMlolua. æ dilaaaaa' dzo ozcriaal el$eaë

La comparaison des deux équations (1-36) et (l-37) montre que pour l'énergie

Er = Er on al'égalité suivante:

(e'lv' lvl. ')= (*l- ' lu lo')

4.2. Nlatrice de transition

L'opérateur de transition ?t (E) est définit comme :

?'(E)=v'+v,fr*v'

(1 -38)

(r-3e)

( r -40)

( r -41)

(r-42)

(r-43)

Les é|éments de matrice de cet opérateur entre les états Qi et tp1, solutions de

l 'équation homogène (1-19) avec E, - Ei : E, sont :

( t l ". l t )= ( qr (E) | z' l .r, tnl)

Les équations (1-39) et ( l-24) nous donnent

(rlz'li)=(*,lr *u,*fur l- )lV r \ l \=( *, l['. v #-;u l*' )

= { *l lv, le' )

L'égalité (1-38) nous amène à:

( rl r- lt)= (v,* lv lq, ) = (o, I u lY,- )

On trouve donc l'équation qui relie les éléments de matrice S et ?+

(r l r l i ) : ôr,-2ir ô(Er-Ei) (r lz. l i )

Cette équation s'écrit finalement, en introduisant la conservation des quantités de

mouvement par I'intermédiaire de la fonction de Dirac comme :

l3

Ra,ppel dp h t/étub dzo co(l'eo.aaa et di|ù4ëio4ro dz,o' azAavoo e4{*â4o

( r l t l i ) = or , -2 in ô(Er - E i )ô(Pr - 4) I r (r-44)

l - t t \P,, P, et T, =(fl?* l i) sont respectivement les quantités de mouvement et l 'élément_ t , r u

\ | | |

de transition réduit entre l'état initial etl'état final.

5. Approximation de Born

Enpartant de la définit ion (1-39), I 'opérateur ?= (E) est délicat à calculer à cause de

la présence du hamiltonien H dans son expression. Pour surmonter ces difficultés on a

eu recours à des approximations. Basée sur la théorie des perturbations,

I'approximation de Born permet de résoudrepar itération le problème de diffusion.

En uti l isant le développement (1-30), on obtient :

?t (E):v i + vr ; j *

V

= V +v, - l-y +%=-]- vr' ' E , -K t in ' ' E i -K t iq

et par itérations successives on obtient :

I _ ,851*1n " i (1-45)

(r-46)

(r-47)

L'approximation de Born au premier ordre (Born I) consiste à ne tenir compte que du

premier terme de ce développement. Ceci est valable dans le cas des potentiels

d'interaction à courtes portées. La validité de la première approximation de Born est

limitée aux collisions par impact électronique aux grandes vitesses d'impact par

rapport aux électrons de la cible.

?r =Yl"'#rrr +vi4#r r-+-trv, + "'

L'amplitude de diffusion est donnée alors dans le cadre de Born I par:

I i=(q, lYIq ' )

l4

-Rd'ppd & h t/in4& dzt' æ(/'aara d 4i4i'rmarl4 &o aecûha eltkâ.eo

où gi et gr représentent les

etI'état final du système.

fonctions d'onde décrivant respectivement l' état initial

6. Notion de sections efficaces

6.1. Sections eff icaces de diffusion

La section efficace de diffusion est défini par:

o=Ns l (1 -48)

(r-4e)

6.2. Sections eff icaces d' ionisation

D'après l'équation (1-49) et la relation entre la matrice 7 et la probabilité de

transition d'un état initial vers un état final (voir Goldberger et llatson (1967)), la

section efficace d'ionisation s'écrit :

FNt

où, F est le flux de particules incidentes, N, étant le nombre total de particules cibles

et N, celui des particules diffusées. La section efficace o a la dimension d'une

surface et est reliée à la probabilité de transition P d'un état initial vers un état final

par la relation :

Po= -

F

oir = (2n)o f Iuu, ô(Er -Ei)ô(pr -p,) l rnl ' (1-s0)

où k, est I'impulsion de l'électron incident et \ celle de I'un des deux électrons

0:1,2) dans la voie f inale.

î5

-Rdfpd fu h ttiu'tip dzo æ&uaao ei d14à'c'ru"4 dzo oaltaat' elllèÂaeo

6.3. Sections eff icaces d' ionisation simplement différentiel les

La section efficace simplement différentielle en angle de I'un des deux électrons est

déduite à part ir de l 'équation (1-50) par:

d o - . n I l - - - . r ^ . - ^ , , r )

*4 = Q") r k ,JAt , (ô(Er -E i )ô(Pf

-4) l ro ; ' (1 -51)

doa-l

définit, pour une énergie donnée, la probabilité de détecter l'électron j dans une

direction donnée. Cette quantité est fonction de l'énergie incidente E, et de Q .

6.4. Sections eff icaces d' ionisation doublement différentiel les

A partir de l 'équation (1-51) et en dérivant par rapport à l 'énergie E, de l 'électron j

on obtient la section efficace doublement différentielle :

Elle est fonction des paramètres cinématiques E,, E: et Q et mesure la distribution en

énergie et en angle de la particule j.

6.5. Sections efficaces d'ionisation triplement différentielles

De même à partir de l'équation (l-52) on déduit la section effrcace triplement

différentielle comme :

dË = ç2n)a* o, ô (Er -e,) l rnl ' (r-s2)

(r -s3)*fu = (2n)a?t (Ei -8,)l rol'

l6

-Rd,ppd dp h ilit4ie dzo a(/'aaa'a er di$itttûëa4& deo azcriaeu efi{*aizo

avec j :1,2. El le est fonction de tous les paramètres cinématiques E,, E,, Er,0t,0ret

<p, (figure 2.1). Donc la section efficace triplement différentielle nous donne la

description la plus détaillée du processus de simple ionisation

t7

_ttt* dzë Aafu i'ti.liaz.fr et (ùra/r" f4atr q*to æMaaa de tW b,2d ozn dzo cr:ûho alal'atæa

Chapitre 2

ETUDE DES ETATS INITIAUX ET FINAUX POUR UNE

COLLISION DE TYPE (C,2C) SUR DES CIBLES ALCALINES

l.Introduction

Dans ce chapitre on déterminera les fonctions d'onde initiale et finale décrivant notre système

avant et après la collision ionisante. Dans le cas des collisions électroniques de haute énergie,

I'approximation de Born au premier ordre basée sur la théorie des perturbations permet de

décrire ce type de problème. A t=-co, nous supposons que l'électron incident et l'atome

neutre sont très éloignés I'un de l'autre, donc leur interaction peut être considérée comme

nulle. A t=+co, on se retrouve avec un système formé de trois corps "libres" :l'ion

résiduel, l'électron diffusé et l'électron éjecté. L'équation de Schrôdinger d'rtrt tel système à

trois corps libres n'a pas de solution exacte. Nous donnerons dans ce chapitre une fonction

d'onde pour décrire ce système à trois corps obtenue par une méthode proche de celle de

Brattner, Briggs et Klar (1989) et Brauner et al (1991) et qui satisfait aux conditions

asymptotiques exigées par I'approximation de Born (1930).

t8

-ttr* dzo elali ë'tttëasr er lùûzn /Âan qao æUao,aro dp lïfp G,Ze) ast' dzo a/ko alal,auo

Nous étudierons de plus differents modèles pour déterminer une solution approchée du double

continuum. Ces descriptions nous permethons par la suite (chapitre 3), à travers la

détermination des sections efficaces d'ionisation, d'étudier les effets de corrélation liée à la

description du double continuum.

2. Description de l'état initial du système électron-alcalin

e f ( k i , r r ) *A - ->A* + e t ( k t , r r ) * e r ( k r , r r ) (2-r)

où A est un alcalin.

- 1

errryt

Figure 2.1 Représentation des différents vecteurs d'onde h , k, et k, associésrespectivement aux électrons incident, diffusé et éjecté. 0, et 0, sont les anglespolaires de diffusion et d'éjection. gz est l'angle azimutal d'éjection. 9, :0o

2.1. Concept d'électron actif

Les électrons "actifs" de la cible A sont les électrons susceptibles, durant la collision, soit de

changer d'orbitale par excitation, soit de passer dans le continuum par ionisation. Dans ce

klr l

tç

_tt* dzo ddlt ë'lr:tiau./, et (iruânÉ Faan ane co&aolaç dz tq,/p G,Zd azn dzo a/ka alal,t'æo

travail, nous éfudierons uniquement le cas de l'ionisation de l'électron de valence. Les autres

électrons de la cible sont dits électrons "spectateurs".

2.2.Lois de conservations de loénergie et des quantités de mouvement

Les lois de conservations de l'énergie totale et des quantités de mouvement pour de telle

réaction (2-l) sont :

et

Ei=Er +E2+ E io . i r a t i on

k i = k r + k 2 + k r e c u l

(2-2)

(2-3)

où kr..r, représente la quantité de mouvement de I'ion résiduel après la collision.

2.3. Rôle du transfert d'impulsion K

Le vecteur transfert d'impulsion K est défini par la relation K = ki - kr. L'équation (2-3)

s'écrit alors en fonction du transfert K

K = kz *kr.rut (2-4)

K dépend des énergies incidente et diffusée, E, , E,, et des angles de diffusion 0r et <pt. K joue

un rôle très important. En effet, lorsque le module du vecteur I X I est grand et que l'électron

incident est dévié de sa direction d'incidence suivant un grand angle de diffusion, le paramètre

d'impact est petit et la perte d'énergie est grande dans ce cas, on parle alors de choc binaire.

Lorsque le module lX I est faible, ainsi que la perte d'énergie, on note I'existence de deux

directions d'éjection préférentielles. La première, dans la direction du transfert K (ceci se

traduit par un pic dans la représentation des sections efficaces, dit pic binaire). La seconde,

dans la direction de - K, est due au noyau (pic de recul). L'électron lié quitte I'atome avec une

faible énergie et subit une réflexion due à l'attraction de I'ion résiduel. Il poursuit ensuite son

chemin dans la direction opposée du transfert.

20

_ttt* dzo ét4lo ùsiaiaz* d ltuazr pauc aaz, co%eo.aa dz W b,Zd wc deo a/fu alal,atua.

2.4. Description de l'électron de valence

L'électron de valence se trouve dans le potentiel du noyau et des Z-l électtons en couche

fermée. L'interaction de l'électron incident avec le noyau et les autres électrons peut être

remplacée par un potentiel effectif dit potentiel modèle'

Le coeur des alcalins ayant une strucfure en couches fermées, le potentiel modèle doit avoir

une symétrie sphérique. Le potentiel modèle utilisé dans nos calculs est celui donné par M.

Klapisch (1971) soit :

v"(rr) = -+- e-r)+-Pe-T'z . (2-s)

Les paramètres ç , F et y sont optimisés de manière à reproduire au mieux les niveaux

d'énergies expérimentaux de l'électron de valence, lM. Klapisch, thèse d'état, Orsay (1969)]

lM. Klapiscft, comput. phys. commun.2,239 (1971)]. Pour le Sodium, nous avons :

Z= l l , ç=7 .902 ,F =23 .52 e t y = 2 .633

Pour l'hydrogène ce potentiel se réduit au terme de l'interaction coulombi"oo" -!.

2.5. Description de la voie initiale

Soit l'équation de Schrôdinger :

Hr Y (q , rz )=n , X ( . r , t r ) (2 -6 )

où H, est le hamiltonien initial total du système. H, s'écrit dans le repère lié au centre de

masses (qui est confondu pour les collisions électroniques au réferentiel du laboratoire)

comme:

(2-7)

_ttudz dzo &aro htfilau, d lùta/,ce /t4tr aw ciMi4iaa dn W G,âe) o//tt. lzo d/ho alal'aræo

6,,V"(r,) ( i : 1,2) étant respectivement le laplacien et le potentiel d'interaction de

l'électron i et rrr: tt - t2.

A t = - co , I'interaction de l'électron incident avec une cible neutre est dans notre

approximation considérée comme nulle. Le hamiltonien H, peut être approximé à une somme

de deux hamiltoniens H, et H, :

avec:

où H, étant celui de l'électron projectile et H, celui de l'électron lié à la cible. La fonction

d'onde initiale peut donc être représentée par un produit de fonctions d'onde solution de Hr et

Hr, soit :

H , =H , +H t

H, = -14,,2

Ig, = - i \ z tY , ( r r )

y, ( r , ,rr) =0, ( r , ) q,r_ ( .r )

où Ôr et (Pnzm obéissent aux équations suivantes

Ht 0 t=Er0r

H z gnm(rr) = Ez gnm(rz)

g n/m (rz) = R(rz) Yf l (02 ,Az)

La fonction radiale R(rr) est développée sur une base d'orbitales de Slater (STO) :

(2-8)

(2-ea)

(2-eb)

(2-r0)

(2-rra)

(2-1lb)

(2-12)

L,équation (2-l la)apoursolutionuneondeplane ô r= -4exp(ik, r,) avec k? =28t.(zn1rz

V, étant un potentiel central (A. Messiah (1964), H. A. Bethe and E. E. Salpeter (1977)), nous

pouvons écrire g nz- (rz) comme un produit d'une fonction d'onde radiale par une

harmonique sphérique Yi @r,qr), soit :

22

_ttu* dzo éhrë ùu:ûka* d (ùt4a,t fi&.rw 4(/i4io'4 de lW b,Zd aan lzo a/ka' alal,atu.

M N

R(rz) =Zi Iau exp(-v,rr)j=0 i=l

(2-13)

(2-r4)

Les vi sont des paramètres empiriques. Les coefficients Cu sont déterminés par une

diagonalisation de la matrice du hamiltonien H, dont les éléments sont :

1$ e-",lwrltl' "-Etz

;.=

o*l __+-, _[ z(z + r) - r'(r' + r) (t + k,)!+ (E(f ' * ù- rl (k + k, + r)r_ E' (t + t' +?)rl""i[ryt-l , \N-À/'--G+il\\ 'À''t ' 2 @,+\), .J

-(z-r), (k*k'11)l - -p ' (o*u'1,?)lr,](e+€*r )u*n

* ' " ( r *q*T)u .n ' . ' -J

Les paramètres v' et C,, sont donnés pour le cas du sodium dans I'annexe D.

3. Description de la voie finale, problème de double continuum

La fonction d'onde finale doit décrire les deux électrons libres dans le champ coulombien de

I'ion résiduel. Ce problème est connu sous le nom de double continuum. La description du

double continuum élechonique est I'un des problèmes importants et non résolus exactement

de la physique atomique. Ce problème a engendré plusieurs descriptions du double continuum

qui ont eu pour conséquences d'introduire dans le cadre de Born l autant approximations. J'en

présente ici quelques une.

L'approximation PWBA (plane waves Born approximation), utilisée par ï(etzel (1933) et

Veldre (1966) dans le cadre de I'ionisation de l'atome d'hydrogène. Elle consiste à décrire les

électrons diffusé et éjecté par des ondes planes. Cette description n'est valable que pour des

collisions à très hautes énergies.

La première approximation de Born (First Born Approximation) décrit les deux électrons

diffusé et éjecté respectivement par une onde plane et une onde coulombienne. Elle est valable

pour les électrons rapides ( > 600 eV pour le cas de I'hélium) et pour un grand transfert

tfr* dzt etalo ëttlûiarrl er lùtattl /a4rt q"to æ&ilau de W Q,Zd wc dzo ciAko' a/a/'atu,o'

d'impulsion, il faut une grande dissymétrie énergétique entre les deux électrons. Dans ce cas

seul l'électron éjecté est soumis au potentiel coulombien.

Le modèle à particules indépendantes utilisant un produit de deux fonctions d'onde

coulombiennes (2C) a été introduit par Geltman (1956) pour décrire le processus de double

ionisation d'hélium, Geltman et Hidalgo (1974) pour leprocessus de simple ionisation. La

validité de ce modèle est la description de processus d'ionisation électronique rapides ou à

grand paramètre d'impact.

Ces modèles ne prennent pas en compte f interaction biélectronique dans la description du

double continuum. Ces modèles ne satisfont donc pas aux conditions asymptotiques exactes.

Leurs domaines de validité est limité donc aux processus d'ionisation rapides ou à grand

transfert d'impulsion. En effet, dans le cas où les électrons émergent avec des énergies

comparables, les résultats peuvent être erronés.

A côté de ces études on peut citer également d'autres méthodes basées sur les développements

en ondes partielles (DWBA) qui permettent d'introduire les effets de distorsion IV'alters et al

(1ee3).

Pour tenir compte de la répulsion biélectronique, des auteurs tel que Schultz (1973) ont

introduit la notion de charges effectives dans l'équation de Schrôdinger. Ces charges

effectives solutions de l'équationde Peterkop (1960) dépendent de la dynamique du problème

car elles sont fonction des vecteurs d'onde k, et Ç. Elles ont été utilisées par exemple par

Whelan et at (1989) pour le calcul des sections efficaces de f ionisation de l'hydrogène ls. Ce

modèle satisfait aux conditions asymptotiques exactes mais présente une ambiguïté liée à la

non unicité des solutions de l'équation de Peterkop.

Un autre type de fonctions d'onde est construit comme un produit de trois fonctions d'onde

coulombiennes conélées (3C) obtenues par une méthode de type Pluvinage (1951). Ce type

de fonctions satisfait aux conditions asymptotiques exactes du problème du double continuum

coulombien (Merluriev (1977), Garibotti et Miraglia (1980). Brauner et al (1989) ont été les

premiers à utiliser ce type de fonction d'onde pour l'étude du processus (e,2e) de I'hydrogène

atomique. Elle a été aussi employée pour la description du processus de photo double

ionisation (Pont M. et al (1996)), de la double ionisation par impact électronique (Joulakian et

at (1992)).

_ttt* lzo éraro,ùtiliaz* el k'tatsr fuart clta ea&aii$ dz lW G,Ze) ouc lzo d/lcn' alal,aaco

3.1. Fonction d'onde corrélée Yr"

Pour déterminer la fonction d'onde Vtc de l'état final du système les termes à courte portée

du potentiel modèle ne seront pas pris en compte dans la détermination de la fonction.

Dans la voie finale, on considère un système formé de trois corps libres. L'équation de

Schrôdinger de ce système s'écrit :

[- ; , Â,, * Â,, ) - i

- i.* ] r,

(.,,,,)= Er vi (.,,.,)

E, =Ê*k7' 22

r, (resp. r, ) représente la distance entre l'électron diffusé (resp. éjecté ) et f ion résiduel. E

est l'énergie totale des deux électrons.

(2-rs)

(2-r6)

(2-r7)

I Coordonnées deJacobi

Soit K I'opérateur d'énergie cinétique définit par :

K-- ïro,,*4,,)

er(m)' N (M)

Figure 2.3 coordonnées de Jacobi

Chaque couple de coordonnées (r,, , R), (r, , R,) et (rr , Rr) utilisé séparément forme un

système de coordonnées complet. K s'écrit :

-ttt* dza eialo ùtilëaz* er l*'taru" faart qto æ&aaoa dp W G,Zd ozrc dzo a/fu alal'aueo

K-- a" - a* 'Ztt" 2It,*

- Lr,

- a*,

2F" ZtrtÈ

- -À r , r - a *21t" 2v

où F., FA, F, et v sont des masses réduites données par :

mMl r .= ; ç= l '

m lU= - = - .' 22 '

m(m+ M)[ l - - =

- - : t - - ^ : : ' = 1 .

2m+ M

2mMv- -= l

2m+ M

(2-18a)

(2-18b)

(2-1 8c)

(2-re)

(2-20)

(2-2r)

où m et M sont les masses respectives de l'électron et de l'ion.

r Méthode de Pluvinage

Cette méthode a été introduite par Pluvinage (1951) pour décrire les systèmes atomiques à

deux électrons (atome d'hélium). L'équation de Schrôdinger d'un tel système n'est pas

séparable. Beaucoup d'approches, basées sur des méthodes variationnelles et perturbatives,

ont été formulées. La méthode de Pluvinage a l'avantage de prendre en compte le terme de

répulsion électronique.

L'idée de Pluvinage est d'écrire la solution de l'équation (2-15) sous forme d'un produit de

deux fonctions p I et V 2 solutions des équations suivantes :

[- +, À,, * a., ) -? - ?|vr =Er vrL L r t t z ) '

I r 1 l

l - ; ( an + 4,, ) +;

. l * , =Ezvz

En remplaçant V dans l'équation (2-15) par le produit Vr Vz on obtient :

26

_ârtt* dzo éraië autûiaz* d /ù,atct /nan aae æMeo.ao dp W b,Ze) o*t dzo caâko a/a/tæa'

Ir| -;( a., * Â,, ) -? - ?.: I - = v (Er+Ez)L o

'z q 12 \z _J Q-22)

-[(o., + vu) v,] [tv,, + v,, ) vr]

Pluvinage propose alors de prendre :

[{v., * v,, ) \y1] [{v,, * v,, ) vz]=Àvr vz Q-23)

Cette équation nous permet d'écrire en utilisant (2-21) et (2-22) que :

E=Er +[r-? ' (2-24)

Nous adopterons cette méthode pour la résolution du double continuum.

a Application de la méthode de Pluvinage au problème du double continuum

En utilisant l'équation (2-18a), l'équation (2-15) s'écrit :

1ZZ1G

; (4 , , +a* , ) -

; -

; . ; ) v r ( r r , r z )= Er v i ( r1 , r2 ) (2 -2s )

Pour résoudre cette équation nous introduisons une coffection supplémentaire f . Nous

écrivons la fonction d'onde du système sous la forme d'un produit de trois termes :

V '=V€T, Q-26)

où les fonctions € et V vérifient le système d'équations suivant :

6-Z- t )v=Erv Q-27)q 1 2

(K+I)€=ErE Q-28)ltz

et le terme y a étê introduit pour la normalisation de la fonction d'onde finale y t .

L'équation (2-27) devient avec (2-18a) :

_tttt* dzo ehro ùufituw e, (ùtaaw Éôar qz erl&atbr4 dp tW G,Zd aos lzo a/fu a/a/,a'tzo

(2-2e)

Cette équation décrit le mouvement de deux particules indépendantes. Elle est séparable et la

solution \y s'écrit alors comme le produit de deux fonctions solutions des équations

suivantes :

| +(Â,,+Ân)-i ilv=u,v

| : o, , - z--?

] c(o, ,k1,q)= o

[ ; A, ,z-

î -* t ] " t , ,k2,r2)=o

Ces équations décrivent chacune le mouvement d'une particule dans un potentiel coulombien.

Lesfonct ions C(cr ;ek; , r ; ) , ( i :1 ,2) ,sontdesondescoulombiennesets 'écr ivent :

c (o , r k i , r i ) = 124 -% e iu ' ' ' f ( 1 - i u , )e -na i / z rF r ( i c r i , 1 , - i ( k i r , +k , r , ) )

ZCf , : = - - .

' k i

'avec ( i :1,2).

(2-30a)

(2-30b)

(2-3r)

(2-32)

(2-33)

(2-34)

Les fonctions r Fr et f désignent respectivement la fonction hypergéométrique confluente et

la fonction gamma (Abramowitz et Stegun (1972)).

La fonction v s'écrit alors :

V (rr , rz) = (Zn)-t " i (k1q+k2r2)

f (1- ia,) f (1- icr 2)e-L(. , .+ù2)t2

x rFr ( ia , ,1 , - i (k , r , +k , r r ) ) tF r ( ia r ,1 , - i (k r r r+kr r r ) )

De même l'équation (2-28) devient en utilisant l'équation (2-18c) :

(-an.-+*_l-)€=Er€'' I rtz

La solution ( s'écrit sous la forme d'un produit d'une onde coulombienne, décrivant le

mouvement d'une particule de coordonnées r,, et de masse I A*, un champ coulombien 12 ^ Î p

-tttt* dzë eraîo c'titia4* er lùtaltr fian uno 4(/i4ia4 dp W G,Ze) wt deo d/fu alal,aa'

et d'une onde plane décrivant le mouvement d'une particule libre de coordonnées R et de

masse 2. t s'êcit alors :

_ : 'l Gn,R) = (2n)-/z e-iKR

1 /

x (2n1-72 . ik12r12 f (1- io, , ) e

(2-3s)-napt2,

F, ( ic r r r , l , - (krz r r , +kn t r r ) )

(k,r,K) étant les moments conjugués de ces deux particules correspondantes aux coordonnées

de Jacobi (r,r,R) et

(2-36)

En substituant (2-26) dans (2-25) et en utilisant (2-27) et (2-28) on obtient l'équation suivante:

Z . r k r - k tu l r r = c t l i t " 3 J Jt '

k r , 2

I l_ I-21(vr , , hv€)vr , , +(vr , , hv)(vr , , hq)- ; t , ) *

-i[(o. hv ()v* *(v* nv)(v* h€)v* -2E,lx (2-37)

(Âr,, *io., x=Er x

Pour la résolution de cette équation, on choisit de négliger toutes les dérivées logarithmiques.

Ce choix est justifié quand r,, tend vers I'infini. En effet, ces dérivées s'écrivent en fonction

,F , ( i o , +1 ,2 , - i ( k r r r +k , r , ) )oes teffnes ' , l.'-" qui tendent vers zéro lorsque r, (i : I,2, L2) tend

, F , ( i c t , , l , - i ( k ' r ' +k i r i ) )

vers l'infini.

Donc l'équation (2-37) s'écrit sous la forme :

I( -Âr , , - ;o* lxoErx

Par la suite les solutions sont :

(2-38)

I t = et i (k12 q2-KR) (2-39a,b)

Parmi ces deux solutions nous choisissons celle qui nous convient le mieux, soit :

_ttt* dzo étuio iaiûiaz* et k taz,t fitltr qae ct%âht dp W b,2e) wc dzo dAfu' altal,ltæo

1 = g- i (k rz q2-KR) '

Les expressions (2-33), (2-25) et (2-39b) donnent la forme finale de la fonction d'onde

normalisée Vrc :

V rc = (2n) - t r i (k1q+k2r2) C (c r1 , 11 ,k r ) C (az , r2 ,k2) C(an, r12 ,k r - ) (2-40)

Ce modèle de fonction corrélée ryr. tient compte de la corrélation électronique dans l'état

final et reste le premier modèle d'onde définit sans ambiguïté, à f inverse du modèle de

Peterkop. Les résultats obtenus pour I'ionisation de l'hydrogène dans son état fondamental ls

et les états excités 2s et 2p- pour différents domaines d'énergies sont très encourageants

(Brauner et al (1989), Hanssen et al (1994) et Hafid (1994)).

3.2. Fonction dtonde y , "

Le modèle présenté par Geltman et Hidalgo (lg74)néglige f interaction I

biélectronique.ttz

Les mouvements associés aux deux électrons peuvent donc être séparés et sont alors décrits

par un produit de deux fonctions coulombiennes. Ces équations sont identiques aux équations

(2-30a et b).

La solution ry ," s'écrit alors

V z c = (2n)-t.i(k1q +k2r2 ) C (cr 1, q, kr ) C (u r,rr,kr) (2-4r)

Cette solution peut être obtenue à partir de I'expression (2-40) de la fonction ryr.

remplaçant le paramètre a' par zéro.

3.3. Fonction d'onde V zcc

Plusieurs auteurs (Botero et Macek (1991-1992), Whelan et al (1993), Dal Cappello et al

(1994) ont remplacé I'hypergéométrique fonction de r,, dans (2-40) par I'unité tout en

gardant sa normalisation, soit f (l-ia,r) e-ndrz. Le carré de ce terme est appelé facteur de

_trt* dzo éturo cttiliaz* et lrh*tcb /n& qtte u&aaw dz W h,Zd azts dzo ca/h,o' a/a/'t'æo

Gamow. I1 permet de décrire I'interaction géométrique entre les deux électrons dans le

continuum particulièrement si k, = k, car il interdit aux deux électrons sortants d'être au

même endroit.

Elle s'écrit :

V zcc = (2n)-3 . ik1q+ik2r2 C (cr r , 11, k1 ) C (cr z,r2,k 2) f (1 - ia rr) e- n o" (2-42)

La description de l'état final par la fonction V zcc améliore certes la forme des sections

efficaces par rapport à la fonction V zc dans le cas où k, = kr, mais détruit sa normalisation,

donc la magnitude est perdue, de plus cette fonction d'onde ne satisfait plus aux conditions

asymptotiques.

4. conclusion

Nous avons donné dans ce chapitre une description de l'état initial de la cible, en particulier

nous avons présenté la description de l'électron de valence de l'alcalin. Nous avons introduit

par la suite les différentes méthodes de résolution du problème de double continuum par les

fonctions d'onde (3C), (2C) et (2CG).

-.-4/4/kn/ii4 dp b lo*tu" æ,niûie dw F:zæe4ëao Q,2e) dPH A Na

Chapitre 3

APPITCATION DE LA FONCTION CORRELEE AU

PROCESSUS (e,2e) DE L'HYDROGENE ET DU SODIUM

L. Introduction

Dans ce chapitre, nous présentons nos calculs, pour une géométrie plane (qt

: 0o, gz : 0o) des sections efficaces triplement différentielles d'ionisation en fonction

de I'angle d'éjection 0, et pour un angle de diffusion 0, donné. Nos calculs portent

sur l'hydrogène excité 3s, 3p . et 3d. et le sodium darrs ,on état fondamental 3s et

ses premiers états excités 3p . et 3d. .

Nous analyserons les sections efficaces triplement différentielles (SETD) pour

plusieurs conflrgurations angulaires et énergies de collisions. Nous bomparerons les

résultats obtenus par les différents modèles de fonctions d'onde finales (3C, 2CG et

2C) introduits précédemment.

---4/4/4?nuaa le b h*tt* co'n*i&ie da pqaceoout G,Zd leH eZ Na

2. Méthode de calcul de la SETD

2.1. Section efficace triplement différentielle

La section efficace triplement différentielle par rapport aux angles solides Ç), et

O, des deux électrons, diffusé et éjecté, et par rapport à l'énergie E de l'un d'entre eux

s'écrit :

d 3 o (3 -1)dç ) ,dQ,dE

où T' est l'élément de matrice de diffusion T entre un état initial i et un état final f.

lTnl est donné par :

=(zn)af l tr l '

lrnl'=ilr. er.i;F-el'

f ( k l , k 2 ) = g ( k z , k r )

r = (y, (rr , rz) lv lv, (r , , . r))

(3-2)

où f et g sont respectivement les amplitudes de diffusion directe et d'échange. Dans

cadre de la première approximation de Born, nous avons :

avec

(3-3a)

(3-3b)

où Y, et Y, sont données respectivement par les équations (2-40) et (2-10). Le potentiel

d'interaction V est donné Par :

6'-Çrt 1V- - ' - (Z - l ) - -Be -T ' r +

^ ( 3 -3c )r, 11 În

Ce potentiel peut être considéré comme une perturbation. En effet, V tend vers 0 plus

rapidement que rr'2.

Aad de b l"*tioo 4.'néûie d4 /,144eoo44 G,Ze) dp H A Nl

2.2. Méthode de calcul de la SETD

En introduisant les expressions des fonctions d'onde, initiale et finale ainsi que

I'expression du potentiel V dans 1'équation (3-3b), nous remarquons que les amplitudes

de diffusion f et g s'écrivent comme une somme de f intégrale générique 'W

et de ses

dérivées multiples par rapport à ),"2, î*, ïy €t 11" (Annexe C) :

rW = W(K1, K 2 , K3, P1,P 2 ,cL 1 ,u" 2 ,d 3 , ) " p ) " 2 ) " 3 , \ ) =

rd3r d3R - .J ï ï , \ (_ ic , ,1 , i (K , r + K1r ) )e - iK ' r - iP1r -À1r

x,Fr(- icrr ,1, i (KzR + KrR))e- iK2R-iP2R-r2R-inR

x,F,(- ior ,1, i (Kr(r +R) + K3lr +Rl)) . -À' l r+Rl

(3-4)

Cette intégrale est une généralisation de celle donnée par Brauner et al (1989) dans

laquelle on a introduit le paramètre vectoriel q afin de pouvoir générer les états p et d.

On montre dans I'annexe que W s'écrit :

, iæcr3 _ a-inor (3 -5)

(3-6)

W=N( ts=0)+

1+ eY

tJr#, i.''r (N(t,) - N1t, = s;;

ou

2ni

t3=

et

avgc :

Nft,)=1+n),(*^Jr*tak)"'[_-",--]_'o',',,[-*,,_iaz,,,ffi

Àr =Xr - i k3 t3

(3-7)

(3-8)

Les paramètres oo , G 11 6 2 et o, sont donnés dans l'annexe B.

34

--r4Q4/raf6, le h l444trhr4 æ'n'élée 4.& fr?44eo044 G,Ze) d4 H el Na

3. Résultats et discussions

Dans ce chapitre nous étudierons la SETD en fonction de I'angle polaire 0, pour deux

domaines d'énergie. Pour le premier, nous avons choisi une situation où 1'énergie d'un

des deux électrons sortants est très grande par rapport à celle du deuxième, (250 eV

pour l'électron incident et 5 eV pour l'éjecté). Le deuxième domaine d'énergie est une

situation où les énergies des deux électrons sortants sont comparables (= 98 eV pour le

diffusé et 50 eV pour l'éjecté).

Pour les angles de diffusion que nous avons choisi, on s'est mis dans deux situations

optimales. La première, 0, = 0,5o, correspond à un grand paramètre d'impact. Dans ce

cas la SETD est plus sensible à la distribution électronique initiale de la cible. Pour la

seconde, nous avons choisi un angle de diffusion qui impose une direction d'éjection

parallèle à celle du moment de transfert. Dans ce cas, nous avons le moment de recul

nul, ce qui a pour conséquence une augmentation des sections efficaces (pic de Bethe).

Cet angle de diffusion est déterminé en posant k.",,r:0, soit :

coso, = l r<, l t +lr<,1'- l r<r l tz l t<, l l t<,1

(3-e)

On trouve alors 0, = 8o pour le premier domaine d'énergie et e1 = 35o pour le second.

Dans toutes les figures présentées ultérieurement, les résultats des modèles 3C seront

tracés en ligne continue, 2C en ligne discontinue et ZCG en ligne continue avec des

cercles pleins. La flèche sur ces figures indique la direction du transfert.

-JW*a{rh" de h (oac&o+r coauilt1e d.a /ioceoaao G.2e) /4 H et Na

3.1. Hydrogène et sodium 3s

Figure 3-a

Dans les f igures 3.1 (resp. 3.2), l 'angle de diffusion est f ixé à 0,5o (resp. 8"). Ces

figures représentent la variation de la SETD en fonction de 0, (angle d'éjection) pour

(a) I'hydrogène et (b) sodium dans un état 3s (figure 13). Les énergies E, et E, sont

respectivement 250 eV et 5 eV.

Dans les f igures 3.I (a, b), les trois modèles 3C,2CG et 2C montrent des al lures de

SETD similaires. En effet, à petits angles de diffusion, le paramètres d'impact est grand

et |a SETD est très sensible à la distribution électronique de la cible. Ces courbes

montrent bien les deux pics binaire et de recul. Les deux pics ont quasiment la même

amplitude, cela est dû à la distribution sphérique de l'état 3s. Ces observations

confirment les résultats obtenus pour les états ls et 2s de l'hydrogène lHafid (1994),

Hafid et al (1993), Joulakian et al (1992)1. Cependant 2CG donne des SETD plus

faibles que 2C et 3C, ceci est la conséquence de I'introduction du facteur de Gamow, en

effet, ce facteur est toujours inférieur à I'unité.

Les figures3.2 (a, b) montrent aussi des SETD similaires pour les trois modèles avec

un pic binaire important dans la direction du transfert tandis que le pic de recul a

l=0m=0

4pptraAcaro le k fuacaaa cî'aélée dl4 /ta4e4'o4o G,Ze) dp H æ Na

pratiquement disparu. On note aussi I'apparition de petites structures de pics de part et

d,autre du pic binaire pour les angles 0z = 230o ,260", 290o et 320" . Ces structures sont

dues aux deux zéros de la fonction radiale de l'état 3s. On les observe également dans

le cas de l'hydrogène 2s lHafid (1994)] par contre elles sont totalement absentes dans

le cas de I'hydrogène 1s.

Dans les f igures 3.3 (resp. 3.4), I 'angle de diffusion est f ixé à 0,5o (resp. 35').

L'énergie d' incidence est égale à 150 eV et 50 eV. Les énergies des deux électrons

sortants sont comparables (E, : 98 eV et Er: 50 eV). Ces courbes montrent une

grande disparité entre les trois modèles. De part et d'autre de la direction d'éjection

0r:0,, on observe une diminution des SETD pour 3C et 2CG. Cette diminution est

en partie due au facteur de Gamow qui interdit l'éjection, pour des énergies

comparables, des deux électrons dans la même direction. Le pic de recul est situé à

180o tandis qu'un dédoublement du pic binaire (figure 3.3 (b)) est observé. Ce

dédoublement de pic est dû au fait que la direction du transfert et la direction

d'éjection interdite du deuxième électron sont très proches.

Dans les fîgures 3.4,|e paramètre d'impact étant petit, on observe un choc binaire qui

se traduit par un seul pic dans la direction du transfert. La diminution des SETD pour

3C et 2CG autour de 0, : 35o traduit I'effet du facteur de Gamow. Le pic observé

autour de 350o est un effet de la corrélation introduite par I'hypergéométrique

fonction de r,, du modèle 3C, en effet, il n'existe pas pour 2C et zCG.

ca

tiit de (a lou4tiat @.,né&ie rLo /,144eoo4o G,Ze) de H e, NL

1o-2

b 102

180

e2 @eg.)

Figure 3.1 SETD (e,2e) de l'état 3s (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonction de

l ' ang led ' é j ec t i on0 ,pou rE i=250eV ,E ,=5eVe t0 r=0 .5o>_>

désigne le modèle 3C, - - -, désigne 2C et,--.-- , désigne 2CG.

38

tii4t de (4 lo't44tiar4 coauiûie a4 f,uce4'ë'44 G,Ze) d"e H ue Na

180

e2 @eg.)

Figure 3.2 SETD (e,2e) de l'état 3s (a) de l'hydrogène, (b) du sodium en fonction de

I 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei =250ev , Er= 5eV et 0r = 8o t- >

désigne le modèle 3C, - - -, désigne 2C et,--o-- , désigne 2CG'

ca

--t4pft*at/ho d"e (a lorætioe co,ni&ie da fna4eooao G,Ze) dpH ar Na

10-3

rc4

10-5

o 1o-'

10-3

104

180

e2 (Deg.)

Figure 3.3 SETD (e,Ze) de l'état 3s (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonction deI 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei = 150eV , Ez = 50eV et 0r = 0.5o, - ,

désigne le modèle 3C, - - -, désigne 2C et,--o-- , désigne 2CG.

/ -rrttt"t""ttttttr!!, r 2 - t

t ,t l

t 't l,r lr lI

t lt lt lI,

II

I

a \

t tr\..-

\ \\ r\ \

\ \1 t\ lI r

il lI rt

t

/ i ,'r./ t ' l '

i lt l

i7I

i llrr lr lr lI

\\, ' t \t \ i

\ \

\ \

! r' i\ rIl

\

I(b) \

a

.-,t4f*tdatia4 dp h l4tæao'r co,néûie é,4 Fnaceooao G,Zd de H d Na

10-1

101

100

1o-2

ca

10-3

104

10-5

10€

1o-7100

10-1

1o-21o-3104

10-5

104

1o-7

10-8

10-e

1010120 180 240

e, (Des.)

Figure 3.4 SETD (e,2e) de l'état 3s (a) de l'hydrogène, (b) du sodium en fonction de

I 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei = l50eV , E, = 50eV et 0, = 35o,- ,


f"\\'ït',

4l

4pp&:atlua dp h lotcitit$ ci'uétée du fru4*,oa.a& G,Zd deH e/ Na

3.2. Hydrogène et sodium 3p

Les états 3p, ont la particularité, comme le montre la figure 3-b d'avoir des

distributions de charges non sphériques, en effet, elles peuvent être représentées par

une figure de forme 8 (le long de I'axe z pour 3po).

l= ' l

m = +1, -1

Figure 3-b

Les minimums observés pour ces distributions à 90o et270" (resp. 0o et 180o) pour le

sous niveau3po (resp. 3p*,) traduisent le fait que la probabilité de trouver un électron

pour ces angles est nulle. Des minimums doivent alors être observés dans les SETD à

ces angles. Ce sont des directions d'éjection interdites pour l'électron atomique

sortant.

Les figures 3.5 et 3.6 représentent la variation de la SETD respectivement pour les

états 3po et 3p*, avec un angle de diffusion de 0.5o. Les énergies d'incidence et

d'éjection sont respectivement 250 eV et 5 eV. Ces courbes montrent une très grande

différence entre les résultats du modèle 3C d'une part et ceux de 2CG et 2C d'autre

part. Pour ZCG et 2C, on remarque bien les directions d'éjection interdites à 90o,

270" (fîgure 3.5), 0" et l80o (figure 3.6). Pour 3C les courbes montrent un

phénomène d'interférences destructives dû à la corrélation dans le cas de I'hydrogène

42

/hf,/&kÂltirr de b l4d4tii4 eo,n^il,ie d4 pæoeooao b,Zd d"eH etNA

alors que pour le sodium les trois courbes ont des allures similaires (figures 3.5b

et 3 .6b) .

Dans les figures 3.7 nous représentons la variation de la SETD de I'hydrogène 3po et

3p*, pour un angle de diffusion égale à 8o. Les courbes montrent des SETD

semblables à cel les de l 'état 3s (f igure 3.2).L'éIectron est sensible alors, dans ce cas,

à une distribution électronique quasi symétrique, cat le paramètre d'impact petit.

Pour les f igures (3.8-11), les énergies des électrons sortants sont comparables

(Ei =150eV, Ez=50eV). Pour les f îgures 3.8,9 l 'angle de d i f fus ion étant 0 .5o et i l

est égale à 35o pour les f igures 3.10,1 1.

A petit angle de diffusion, des phénomènes d'interférences, traduits par des

oscillations autour des pics, apparaissent dans le cas de l'hydrogène. Une différence

très nette est observé entre les SETD des trois procédures dans ces régions

d'interférence. Ces phénomènes ne sont pas visibles dans le cas du sodium car la

distribution électronique est plus étendue que celle de I'hydrogène. Pour l'état 3po ,

une diminution des SETD pour 3C et 2CG au voisinage de 0o est à noter (Gamow).

L'effet de la répulsion électronique introduite par I'hypergéométrique fonction de r,,

dans 3C est observé pour l'état 3pr,. En effet, les pics des SETD de 3C sont déplacés

par rapport à ceux de 2C et 2CG vers les grands angles d'éjection.

Dans les f igures 3.10,11, on observe pour l 'hydrogène des courbes de mêmes al lures

que celles de l'état 3s (figure 3.4). On peut en déduire que l'électron incident est

sensible à une distribution angulaire quasi symétrique. Les trois procédures donnent

la même forme autour de la direction du moment de transfert alors que seules 3C et

2CG interdisent la directiofl 0z : 35o. Le même pic que dans la figure 3.4 est observé

autour de 350o, ceci est encore un effet de la corrélation introduite par 3C.

Pour le sodium, autour de la direction du moment de transfert qui est à 300o, un

phénomène d'interférences est observé. Celles-ci sont dues à la superposition de deux

phénomènes : un favorable à l'éjection qui est la direction du transfert et l'autre

défavorable qui est la direction interdite 270o pour 3po. L'effet du facteur de Gamow

43

:4f,Waft*o de h lidirëar4 coaui&ôe a4 p'æce4'ë'at' G,Ze) lpH a Na

est visible autour de 35o. On note aussi une disparité entre les résultats des trois

procédures.

On doit ajouter que, le minimum que nous observons autour de 300o sur les figures

3.10b et 3.1lb est dû à la structure de l'état initial de I'atome et nonpas à la corrélation

de l'état final, puisque ce minimum est retrouvé sur les trois courbes.

4

c.l

:4pA*aftn44 d^e h ludotcor4 co,né(ée d& /)rwooat k,Ze) deH d Na

10-1

b 103

180

e2 (Deg.)

F'igure 3.5 SETD (e,2e) de l'état 3po (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonction deI 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei =250eV , E, = 5eV et 0r = 0.5o: - ,


- - - '

- - r \ \ \ , ' . 2 - -

. t - - 1 J { { - i /

^ / -/ ) ? - -

- \ - t , I 2t - . 2 ' \ . t t /

t ' ^ . / ' \ r t ft_ / - \ \ .

i // \ \ i r

45

co

/ûp,/L?Alë4a dz ta fuazr,aro coaé&ie 4a Faaceooao b,Ze) d"eH e/ Na

1o-2

b 102

180

e2 @eg.)

Figure 3.6 SETD (e,2e) de l'état 3pt, (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonctionde l 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei =250eV, E, = 5eV et 0, - 0.5o: - ,désigne le modèle 3C, - - -, désigne 2C et,--o-- , désigne 2CG.

a t t '

"/ - -

- z _ y ' / t { - r - a a a

- ,r' .rn-r{<-'\ '--.1.'.. ,rr)rt'

'\ 'tr,

i / - \ . \

r /.i 7' \ \

.r'/ ' \\t / \ t r , ' . / L r' l \ ' . i / ,1 \ t . t t \ t

%

ca

-,,4fftaafu" /.e b lt'4déae co,taélée aa /nn4eoë6t4 G,Zd deH el Na

103

102

101

100

10-1

1o-2

10-3

rc2

101

100

10-1

1o-2

1o-3

rc4180

e2 (Deg.)

Figure 3.7 SETD (e,2e) de l'état 3p de I'hydrogène en fonction de I'angled'éject ion 0, pour Ei =250 eV, E, = 5eV et 0t - 80 r - :


b

47

-,4f//*ntii44 de b (a44lia44 æ'u4i(tie d'ot' p?rceoê'u4 G,Zd dzH elNA

1o-3

104

10-5

180

e2 @eg.)

Figure 3.8 SETD (e,2e) de l'état 3po (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonction de

I 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei = l50eV , E, =50eV et 0, = 0.5o: - ,


- a a a a a " " " " " " " " " t ' ! {

^ r - a -

- ! t t t t l ! l ! ! r

- r ' -

- t t a

, , - t l

48

-t4f@*afti41 de h l"*tio" co,ni&ôe da /tuceooaco Q,2e) deH d Na

104

10-5

10€

1O-7

1o-8

O 1o-9b 101

100

10-1

1o-2

10-3

104180

e2 @eg.)

Figure 3.9 SETD (e,2e) de l'état 3pt, (a) de l'hydrogène, (b) du sodium en fonction

de I 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei = l50eV , E, = 50eV et 0, = 0.5o, - ,


, ' , " t t t '

! . . . . r f . . . . . . . r . r ! ! ! . . . \>{

. r , , r ,-ttr-rr-i

......*,'

4ç

ea

--Jpftaauaa dp h h*ti"" cowi&ôe d4 f,w'æoë'uo G,Zd le H ee Na

103

102

101

100

10-1

rc-21o-3rc410-5

10-6

1o-71o-8

rc-2180

02 (Deg.)

Figure 3.10 SETD (e,2e) de l'état 3po (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonctionde I'angle d'éjection 0, pour Ei = 150eV , Ez = 50eV et 0, = lJo,


b

\-/ /

\--l (a)

. . .4. . . . . .a. . . . . . . . . r r \ \

\ lrt

c.l

--Jppt*atc:oa d'e b (44ctin4 æuui&ie dtt p'n4'eoê'aoG,Zd dBH er Na

10210110010-11o-210-3rc410-5

10-6

rc-710-8

10-e

180

e2 @eg.)

Figure 3.11 SETD (e,2e) de l'état 3pr, (a) de l'hydrogène, (b) du sodium en fonction

de I'angle d'éjection 0, pour Ei = 150eV , E, =50eV et 0, = 35o t- ,


b

^ raaaaaaat""""""""""""" l ta"t t t t t " .

\

,"" t,

-,4pplAattbw dz ea k"aztiow ca+aiûie aa .piaceouqt (e,Zd de H eZ Na

3 .3 . Hyd rogène e t sod ium 3d

Les étars -1d- . ( t - rsure 3-c) ont des d is t r ibut ions de charges encore p lus complexes que

cel ies des états 3p ( f , rgure 3-b. t .

l=2m = +1, -1

l - t )l - I

m-12t-2

z

l=2m=0

Figure 3-c

-,4pplAattbw dz ea k"aztiow ca+aiûie aa .piaceouqt (e,Zd de H eZ Na

3 .3 . Hyd rogène e t sod ium 3d

Les étars -1d- . ( t - rsure 3-c) ont des d is t r ibut ions de charges encore p lus complexes que

cel ies des états 3p ( f , rgure 3-b. t .

l=2m = +1, -1

l - t )l - I

m-12t-2

z

l=2m=0

Figure 3-c

--,4/4/katii dp b htorrit4 couéUe 44 /r4ceoo44 G,Zd dP H a Nt

Ces distributions de charges imposent des directions d'éjection interdites pour

l ' é l ec t ron a tom ique à0 r : 45 " ,135o ,225" e t 315o pou r l ' é ta t 3d0 ,02 :0o , 90o , 180o

et270" pour 3d* , e t 0 , : 0o, l80o pour 3d*r .

Dans les figures 3.12-14 nous présentons la SETD des états 3d- en fonction de I'angle

d'éjection 02 pour des énergies d'incidence et d'éjection respectivement de 250 eV et

5 eV. L'angle de diffusion est fixé à 0,5o. Les courbes, 3C, 2CG et 2C montrent des

résultats ayant des allures très similaires. Cette similitude provient du fait que, pour ce

domaine d'énergie et au petit angle de diffusion, on simule la transformée de Fourrier

de la distribution électronique de la cible. Une fois de plus, ces courbes nous

confirment les remarques faites sur les magnitudes obtenues pour les niveaux 3s et 3p-

et |e fait que la procédure 2CG donne toujours des sections efficaces faibles par rapport

aux modèles 3C et 2C.

Les pics et les directions d'éjection interdites au nombre de deux pour le sous niveau

3d*, et quatre pour 3de,3d*r ainsi que leurs orientations s'expliquent facilement

d'après la figure 3-c.

Toujours pour les mêmes énergies, dans les fîgures 3.15-17,l 'angle de diffusion est

8o (petit paramètre d'impact). L'électron incident est sensible à une distribution

électronique de la cible quasi symétrique. Donc dans ce cas, les SETD pour le niveau

3d sont semblables à celles des niveaux 3s et 3p. Les trois procédures 3C, 2CG et 2C

donnent la même forme autour de la direction du moment de transfert. Pour les niveaux

3do et 3d*, (figure 3.15, 16) nous observons autour de 250" - 300o une oscillation due

à I'interférence entre la direction du moment de transfert favorable et celles

défavorables des directions interdites (fîgure 3-c) des sous niveaux 3do et 3d*, (270")'

L'effet des directions interdites à 0o et l80o n'a pas d'impact sur le niveau 3dt,

puisque celles ci se trouvent loin de la direction du moment de transfert (pic de Bethe).

Les figures 3.18 présentent la SETD de I'hydrogène pour des énergies d'incidence et

d'éjection respectives de 150 eV et 50 eV (0, : 0,5o). Pour ce cas, 3C, 2CG et 2C

donnent des SETD différentes en forme et en magnitude. De même que pour les

courbes 3.8a et 3.9a, on observe des oscillations autour des pics de la direction du

-4q,ptaauo44 de h loaltii44 co,n4i&4e dw Fnnceoëao G,Ze) deH æ Na

transfert. Pour l'état 3d0, on remarque I'effet du facteur de Gamow autour de la

direction 0z : 0o.

Pour 0,:35o, les f igures (3.19-21) ont les mêmes al lures que la f igure 3.4 (état 3s),

donc on peut dire ici aussi que l'électron incident est sensible à une distribution

électronique quasi symétrique. Les trois procédures donnent la même forme autour de

la direction du moment de transfert par contre au alentour de 0, :35o, 3C et 2CG

donnent des sections plus faibles que celles de 2C (Gamow).

-,4f,/!rtÂûi& d"e b 14441ë04 co'né(ée a4 puceoazo G,àe) d"eH a Nt

180

e2 (Deg.)

Figure 3.f 2 SETD (e,2e) de l'état 3do (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonctionde l 'ang led 'é jec t ion 0 , pour E i =250eV, Ez=5eV e t 0 r =0 .5o s -s


,rrtttttarrt \'

-r4pA*ntii" le h li4oliat co,nti&4e d4 y',1a4e4o4o G,Ze) dPH A NA

t t \

t t t \

\,tr\.I

l l

\ ' llt\r lt \r !

ù

dl) l [ ,

I r \ \ / ' ' ,

\\ -,/

r""'t r t I

t r .

2"-\

co

b 1oB

180

e2 (Deg.)

Figure 3.13 SETD (e,2e) de l'état 3ds, (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonction

de I 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei =250eV, E, = 5eV et 0, = 0 '5o, - :

désigne le modèle 3C,- - -, désigne2C et,--o--, désigneZCG.

--Jf4taaûho de b l"*rdo* co'tialéz 4u /taceoëu4 G,Ze) d"e H A Na

102

101

100

10-1

1o-2

107

106

105

104

103

rc2

/ , , . t t t t t t .rrra\

,/v-'--'\'7Z-----\'r'

a

10-"eo

b 108

101

180

e2 (Deg.)

Figure 3.14 SETD (e,Ze) de l'état 3dt, (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonction

de I 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei=250eV, E, =5eV €t 0 , =0.5o,- ,


-r4pf*aliôt dp h ("*lioo co,n4tie da f.Itceooot G,Zd 1z H æ Na

102

101

100

10-1

180

e2 (Deg.)

Figure 3.15 SETD (e,2e) de l'état 3do (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonctionde l 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei =250eV, Ez=5eV et 0r = 8o t- ,


103

ca

b

/ ,."-- ---Y,

/\' ,")'n'---'-./

58

-,,4fA*aaw de h /"*ti" cnm&ip a4 F.zaceooao Q,Zd de H a Nt

102

101

100

10-1

1o'2

O 1o-3

105

180

e2 (Deg.)

Figure 3.16 SETD (e,2e) de l'état 3ds, (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonctionde I 'angle d 'é ject ion 0, pour Ei =250eV, Er= 5eV et 0r = 8o >-tdésigne le modèle 3C, - - -, désigne 2C et,--o-- , désigne 2CG.

Vdl'\ r, / ' ; ; \ ,I l tr : \

I "'i

-,,+p'p%nûbt d"e b ("*ti" ea4né&é2 d4 Pttaceoout G,Zd deH ez Na

102

101

100

10-1

1o-29 105

b

180

e2 (Deg.)

Figure 3.17 SETD (e,2e) de l'état 3d1, (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonctionde I'angle d'éjection 0, pour Ei=250eV, E, =5eV et 0, = 80:-,


/i,' -ii' rt

- l \\

60

-44/*24tb" lp h /aactua co,nélée dlt P'noe4o44' G,Zd le H a Na

10-3

104

10-5

106

1o-7rc4

10-5

10-6ca-t,

1o-'

10-8

10-e

10-10

10-510-61O-710-810-e

1o-101 0-111O-1210-131o-14

180

oz (Deg.)Figure3.l8 SETD (e,2e) de l'hydrogène, pour (a) 3d0, (b) 3dsr et (c) 3dg, en fonction

de I ' ang le d 'é jec t i on 0 , pou r E i =150eV,Er=50eV e t 0 , -0 .5o : - ,


l \ I

\ r t ?f ' _ , - -

. . \ . ' /

\ , r t t . - . r_ . r r . t t t ! . It ,

- l l t a a a a a a l t l l a a . r t t a '

6l

co

-JWt"atiat de b lo44t4b& coaaila|e dct P'nce4'ou.ë G,Ze) dp H el Na

102

101

100

10-1

rc-21o-3

rc410-5

106

1o-7104

103

102

101

100

1o-1

rc-2120 180 240

e2 (Deg.)

Figure 3.19 SETD (e,2e) de l'état 3do (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonctionde I'angle d'éjection 0, pour Ei = 150eV , Ez = 50eV et 0, = 35o ;-tdésigne le modèle 3C, - - -, désigne 2C et,--o-- , désigne 2CG.

-a<<--.-a2

62

4p,pl*attaa /"e h /aaatëoa ca4/éUe da fioceooqi G,Ze) dpH a Na,

101

100

10-1

1o-2

10-3

104

10-5

10-6

O 1o-7b 103

102

101

100

1o-1

1o-2

180

e2 (Deg.)

Figure 3.20 SETD (e,2e) de l'état 3ds, (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonctionde I'angle d'éjection 0, pour Ei = l50eV , E2 = 50eV et 0, = 35o ,-,désigne le modèle 3C, - - -, désigne 2C et,--o-- , désigne 2CG.

//rtitr

[/

63

ca

101

100

1o-1

1o'2

1o-3

104

10-5

10-6

1o-7

1o'2180

e2 (Deg.)

Figure 3.21 SETD (e,2e) de l'état 3de (a) de I'hydrogène, (b) du sodium en fonction

de I'angle d'éjection 0, pour Ei = l50eV , E, -- 50eV et 0, = 35o:--:


b

'r'/\"3

64

-r4fAAaûôa dp (a lo*li"t æwi&ie d.ct /,?iceooot G,Ze) d"eH ANa

4. CONCLUSION

Ce chapitre a permis d'étudier les sections efficaces triplement différentielles pour

des cibles d'hydrogène et de sodium pour différentes situations énergétique et d'angle

de diffusion.

Les résultats ont montré qu'aux petits angles de diffusion (grand paramètre

d'impact), les trois procédures donnent, en général, des sections efficaces similaires

en allures mais pas en magnitude. A petit paramètre d'impact, les sections efficaces

pour les états 3p et 3d sont assez proches de celles de l 'état 3s. Ceci nous laisse

conclure que, 1'électron incident interagit avec une distribution électronique quasi

symétrique de la cible. Dans le cas où les énergies des deux électrons sont

comparables, des phénomènes d'interférences constructives ou destructives sont

observés de part et d'autre des pics.

Pour les collisions à énergies comparables, les résultats présentés dans ce chapitre

nous ont permis de mettre en évidence I'importance de la corrélation dans l'état final,

introduite par l'hypergéométrique fonction de r,r.

L'introduction du facteur de Gamow interdit aux deux électrons de sortir dans la

même direction avec des énergies proches, mais n'améliore pas pour autant les

résultats de la procédure 2C. Les sections efficaces données par 2CG sont toujours

plus faibles que celles de 3C et 2C.

Ce chapitre montre I'importance de I'utilisation d'une fonction d'onde corrélée pour

une description rigoureuse du double continuum.

65

Er"* dp ('e//4 lz h palantaataat da'& h S87D

Chapitre 4

ETUDE DE L'EFFET DE LA

POLARISATION DANS LA SETD

l. Introduction

La faisabilité expérimentale (e,2e) pour des cibles préparées par un laser a été montrée par

Zheng et at (1990). Fehr et al (1994) ont observé un dichroïsme d'orientation dans la SETD

de cibles préparées. Des travaux théoriques ont été réalisés par Berakdar et Klar (1992) KIar

(1993), en particulier sur les paramètres de Stockes pour le processus de la photo double

ionisation. Berakdar et al (1996) ont pu montrer dans leurs calculs un dichroïsme similaire

dans la SETD de I'hydrogène préparé (état2p).

En ignorant toute polarisation de spin, la SETD pour une réaction (e,2e) sur une cible ayant

une distribution électronique sphérique est une fonction invariante par rotation pour des

rotations conjointes des trois vecteurs moments (k, , k, et kr), (Klar et Fehr (1992) et

Biedenharn et Louck (l9Sl). Cette symétrie élémentaire de la SETD est généralement

détruite si la cible est preparée par un laser dans un état excité de symétrie non sphérique. En

effet, les distributions en sous niveaux M dépendent du choix de I'axe de quantification.

Le but de ce chapitre est d'étudier à partir d'une preparation initiale de la cible, comment

celle-ci est transférée aux deux électrons du continuum. Pour cela la SETD est analysée en

fonction des tenseurs d'orientation et d'alignement. L'étude de l'orientation et de l'alignement

66

-tttt* d" hl/", dz (a fala,zttaAæ da"rl (4 S?TD

a étê établie à partir du formalisme de la matrice densité en utilisant la technique des tenseurs

inéductibles (Fano and Macek (1973), Blum (1981).

La partie théorique présentée dans ce chapitre est inspirée de plusieurs ouvrages :

* Mécanique quantique A. Messiah Tomes I et II (1964)

* Mécanique quantique C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë Tomes I et II (1970)

* Angular momentum D. M. Brink, G. R. Satchler (1968)

* Quantum collision theory C. J. Joachain (1987)

* Atomic collisions E. W. McDaniel (1989).

2. Mélange statistique doétats et état PUr, opérateur densité

2.1. Mélange statistique d'états et état pur

L'étatd'un système n'est pas toujours parfaitement déterminé. Si f information sur ce système

est incomplète, on fait appel à la notion de probabilité. Cette information incomplète se

présente en mécanique quantique de la manière suivante : l'état du système peut être, soit

l'état lVr) avec une probabilité p,, soit l'état lVz) avec une probabilité pr, ...etc.

où

Pr+Pz+" '= IP t= I (4 -1 )k

On dit alors que le système est un mélange statistique des états lvl), lvr) ... avec les

probabilités pr, pz, ....

Dans le cas où l'état du système est parfaitement connu, c'est à dire que toutes les probabilités

pu sont nulles sauf une, nous disons que le système est dans un état pur.

Remarque:

Il ne faut pas confondre un mélange statistique d'états avec un système quantique décrit par

t'etat lV) qui est une superposition linéaire d'états :

lv)=I ckl \vk)k

(4-2)

67

ttt* dp ('elld dz h. lahntaaaw dâ'44 b Sen

En effet, le calcul du module au carré des amplitudes de probabilité montre des termes croisés

du type Ck Ckl, qui engendrent des effets d'interférences entre ces états. Ceci implique alors

qu'un tel système (équation (4-2)) n'est pas simplement équivalent à un système qui aurait la

probabilité lC,l' d'etre dans l'état lvr) ,lcrl ' d'être dans l'état lvr),....,..

I1 est donc impossible de décrire un mélange statistique par un <<vecteur d'état moyen>> qui

serait une superposition d'états lVn). C'est un <<opérateur moyen>> qui assure une

description simple du mélange statistique d'états : I'opérateur densité.

Nous allons montrer dans ce qui suit qu'il est complètement équivalent de décrire le système

par son vecteur d'état ou par l'opérateur densité.

2.2. Description du système par son vecteur d'état

Soit lry (t)) le vecteur d'êtatd'unsystèmeàl'instantt.

lv ( t )) : Icn ( t) l o,) (4-3)

(4-4)

(4-5)

où les { | "") } forment une base orthonormée de I'espace des états. Les Cn (t) satisfont la

relation :

Ilc" (t)l ' = tn

Soit A une observable d'éléments de matrice :

(""1e luo) = A"o

La valeur moyerure de A à I'instant t est :

(A),,, = (v(t)l e I v(t)) = à ";

(t) cp (t) A"p (4-6)

Enfin, l'équation d'évolution du vecteur lV (t)) est l'équation de Schrôdinger dépendante du

temps:

68

-ât* de ('ell* dp h ph,ttoaaaa dao h SîTD

l '+lv (t))= H(t) lv (t)) (4-7)d t '

où H( t ) est le hamiltonien du système.

2.3. Description du système par son opérateur densité

Dans les valeurs moyeru-res de l'équation (4-6) interviennent les coefficients C" (t) par des

expressions du type C; (t) Ce (t) ; celles-ci ne sont rien d'autre que les éléments de matrice de

I'opérateur lv (t)Xv (t)1, projecteur sur le ket lv (t)) ; en effet d'après @-3) :

(", lr (t)Xv (t) 1". ) = c; (t) ce (t)

Il est donc naturel d'introduire l'opérateur densité p(t) défini par :

p(t) = lv (t)Xv (t) |

(4-8)

(4-e)

Cet opérateur est représenté, dans la base {1"")}, par une matrice, appelée matrice densité,

dont les éléments sont :

pp" ( t ) = (uo lp( t ) lu")= c i ( t )ce ( t ) (4-10)

La donnée de p(t) suffit-elle pour caractériser l'état quantique du système? En effet, écrivons

les formules (4-4), (4-6) et (4-7) en fonction de I'opérateur densité.

D'après (4-10), la relation (4-4) s'écrit :

?la'(t) l t : I pnn (t) = rr(p(t)) = t (4-l l)

La valeur moyenne de A (équation (a-6)) devient en utilisant les relations (a-5) et (4-10) :

(A),,, = I(uol p(t)lu,)(u"l I l"o)n,p

= I("o lp( t )Aloo)= rr {o( t )A } (4-r2)p

6ç

-ârt* lp h444 lz b Fah.ttiwauo da'ro h SîTD

Nous exprimons maintenant l'évolution dans le temps de I'opérateur p(t). Celle-ci se déduit

de l'équationde Schrôdinger @-7):

fr ortl = rfr | v (t)Xv (t) l) + l,v (t)X*(v (t)l)

= !n(t) | v (t)Xv (t) | * +l v (t)Xv (0 | H(t)

=ilr(t),p(t)] (4-13)

Reste enfin à donner, en fonction de p(t), les probabilités ?(a,) des différents résultats que

peut donner la mesure d'une observable A à I'instant t.

On sait que P(a,) s'écrit :

?(a,) = (v(t)lr"lv(t))

où Pn est le projecteur sur le sous espace propre associé à a,,.

En utilisant la relation (4-I2) on obtient :

?(a") = t t {P" P(t)}

D'après la définition (a-9) I'opérateur densité est hermitique

p+(t ) = p( t )

De même I'opérateur densité vérifie dans le cas pur les deux relations suivantes :

p21t; = p1t;

r ' {o '( t ) } = I

?(a") = Ipr ?x@")k

Dans le cas d'un mélange statistique d'états, la probabilitê P(a") pour qu'une mesure de

I'observable A donne le résultat a,, s'écrit :

(4-r4)

(4-15)

(4-r6)

(4-r7)

(4-r8)

(4-1e)

70

tr"* dp {elkl dz tn ftntaru:oa.tita datè h SîTD

où PL (an) est la probabilité de trouver an si le vecteur d'état était l\yk) . ?r@) s'écrit :

?u(a,)= (vu ( t ) lP" lvn t t l ) (4-20)

or d'après (4-15) on a :

ou

?*(a,) = tr { pt P"

pr: lvuXvr I

est l'opérateur densité correspondant àl'êtat lVu) .

Par définition, I'opérateur densité du système s'écrit :

P= IP tPrk

L'équation (4-19) devient en utilisant (4-21) et (4-23) :

?(a" )= Ipr r r {orP" }K

r l= rr{Inr o- t" } = rr { oP" }

p21t; + p1t;

r ' {e' t t) } < r

d'après (4-23) on voit que, quel que soit le ket lu), on a :

(4-2r)

(4-22)

(4-23)

(4-24)

(4-2s)

(4-26)

A I'exception des relations (4-17) et (4-18), toutes les autres propriétés de I'opérateur densité

dans le cas pur restent valables pour le mélange statistique d'états.

En général :

(" lpl ' )= Inu("lpnlu)k

=?oul(olvu)l '=o (4-27)

donc p(t) est un opérateur positif.

ctdll' I

fli

!

tt'r* de l'efi{cr dz h, fafuioaaaa dâ',o b SATD

La comparaison entre la description du système par son vecteur d'état et la description par

I'opérateur densité montre que I'usage de I'opérateur densité présente quelques avantages sur

le vecteur d'état. On voit d'après (4-9) que deux vecte*. lV) et eiolV) to,i 0 est un réel)

qui décrivent le même état physique, coffespondent au même opérateur densité; donc I'usage

de p(t) supprime les inconvénients liés au facteur de phase arbitraire. En plus, on remarque

que (4- 1 l), (4-12) et (a- 1 5) sont linéaires par rapport à p (t) tandis que les expressions (a-6)

et (4-14) sont quadratiques par rapport a lV (t)) .

3. Rotation d'un système physique, opérateur de rotation

3.1. Définition des rotations : Angles d'Euler

Une rotation autour d'un point O est un déplacement d'ensemble des points de I'espace, dans

lequel O reste fixe. La correspondance entre un point P de I'espace et le point P' son

transformé après rotation, est biunivoque. Une rotation peut être spécifiée par la donnée de ses

angles d'Euler cr,8,T .

Soient Oxyz un trièdre etar,ùr, a3 ses trois vecteurs unitaires. Soit OXYZ le trièdre obtenu

lorsqu'on applique à Oxyz la rotation R. ur, a2, a3 se transforment en trois nouveaux vecteurs

Ar, Ar, A.. Soit Ou un uxe perpendiculaire à OzZ. La rotation R est le résultat de trois

rotations successives :

a. rotation R,(a) d'angle cr autour deOz

b. rotation R"(P) d'angle B autour de Ou

c. rotation Rzj) d'angle y autour de OZ

R(crÊy ) = R z(T)R "(F)R" (a)

Les angles d'Euler cr,Ê,T sont données par :

(Oy vient en Ou)

(Oz vient enOZ)

(Ou vient en OY)

(4-28)

ç1 = (Oy,Ou) g = (oz,oz) y = (ou,ov)

-Ettt* dp (e{ld dz h fah,ztoaau dâ"të h Sen

Les trois nouveaux vecteurs Ar, A2, A, s'écrivent cofilme une combinaison linéaite de a,r, tr,

ar.Lamatrice ainsi formée sera désignée par la suite par la lettre R.

3.2. Rotation d'un système physique : opérateur de rotation

Dans ce qui suit, on va raisonner sur une seule particule. La généralisation à un système à

plusieurs particules est simple à faire. Soit a un état dynamique possible de cette particule et

ry (r) la fonction d'onde représentant cet état. Soit a' l'état dynamique obtenu lorsqu'on lui

fait subir une rotation R, V '(r) la fonction d'onde correspondante :

u'= Blal v'(r) = R[v(r)]

La valeur de la fonction qr' au point r est égale à celle de la fonction r.y au point r, qui se

transforme en r par la rotation Rdonc :

v'(r) = e[v(r)] = y (R-tr) avec \=R-rr (4-29)

Les distributions statistiques relatives aux états a et a' sont respectivement Ity (r)1'? et

lv'(r)lt et vérifient l 'égalité lv'(r)lt =lqr{t,)l '

La relation (4-29) établit une coffespondance linéaire entre ry et V' , il existe alors un

opérateurR tel que :

ru '= R \r (4-30)

L'opérateur R est unitaire, en effet les nofines des deux fonctions d'onde sont égales :

Jlv'(r)l ' d, = Ilv (e-'rll ' d, = Jl,v 1r,)12 dr,

On a effectué le changement de variable r, = p-rr pour obtenir la dernière égalité. On a aussi

utilisé le fait que l'élément de volume dr se conserve dans la rotation.

La gênéralisation à un système à N particules se fait sans difficulté. La fonction qr (q ,. . ., rx )

se transforme lors la rotation Ren :

e [v ( r r , . . . , rn ) ]= V (R - r r r , ' . ' ,R - t tn

) = R V ( r r , " ' , rx )

73

-tt"* dp !'el/d dz h. fahtoanaa /n'44 h St7

Donc à toute rotation R d'un système physique donné est associé un opérateur unitaire R tel

que :

RR* =R* .R= l (4 -31)

la')=nla) (4-32)

De cette égalité, on déduit la loi de transformation de I'opérateur densité p. p' étant I'opérateur

densité représentant l'état dSmamique après la rotation.

A côté de la rotation du système physique proprement dit, on peut envisager la rotation des

instruments qui permettent son observation.

Soit A une observable et A'= R [,t] sa transformée dans la rotation R.

("1 I lu) = (u' l n' lu')

et comme I u') : n la) on Peut écrire

P'= R [o]= nPn*

3.3. Rotation des observables

L'équation (4-34) doit être vérifiée quel que soit l'état la) donc

A = .R*A 'R ou A ' :RAR"

3.4. Moment cinétique et rotations infinitésimales

(4-33)

(4-34)

(4-3s)

( ' le l")= ( ' ln. A'nla)

Dans ce paragraphe, nous allons établir la relation fondamentale entre le moment cinétique

d'un système et ses opérateurs de rotations infinitésimales. La rotation Rr(a) d'un angle cr

autour de Oz transforme la fonction ry (x,y,z) en

e"(a)[V G,y,ùl- ry(xcosa + ysina,- xsino + ycosct,z) (4-36)

74

tttt* dp l'elld dz h fah,ttoaaioo dan& h S87D

Dans le cas d'une rotation infinitésimale Rr(e), si I'on ne tient compte que des termes du

premier ordre en e dans le développement de Taylor du second membre autour du point

(x,y,z);

< , ( r ) [V ( * ,y ,ù l= V(x+y6, -x€ +y ,z )

=V(x , y ,z )+ r (v } - , . * lox oy

= (1- ie L,)V (x,y,z) (4-37)

Donc, l'opérateur de rotation infinitésimale, pour un système à N particules lors d'une rotation

quelconque R"(e) d'un angle € par rapport à un axe u, se met sous la forme général

R, (e )= 1 - i e (L .u )

En conclusion

La composante, suivant un axe quelconque u, du moment cinétique total J du système, est liée

à I'opérateur de rotation infinitésimale autour de cet axe par la relation :

R"(e)= 1- ie (J .u ) .

3.5. Construction de I'opérateur rotation R (oBy)

(4-38)

Soit la rotation R"(q) . On considère que toute rotation finie est une succession de rotations

infinitésimales. On a:

R, (q + dq) = Ru (dq) R, (q) = (1 - i J "d<p)

R" (q)

où on a Posé Ju = J.u

Onpeutécr i reque **" t* l=- iJuRu(q) avec Ru(g)=loQ

En intégrant cette équation différentielle on trouve que

R"(q)= s-ieJo g-39)

Donc pour une rotation R(aBy) définie par les angles d'Euler o,Ê,T nous avons

75

ttt* d" !'r/l"l da ta Vn{antoaau dÂo (a SîTD

À(crpy ) = e-i1 Jz

e-i P Jo a-icr

J" (4-40)

Pour ne faire figurer dans cette expression que les composantes du moment cinétique suivant

les axes de coordonnées, nous écrivons I'opérateur Ju en fonction de Jr.

On sait que :

J , = R r ( c r ) J , À r * (o ) = e - i oJ ' Jy r+ ioJ '

Par suite

e - i F l o -

" - i a l " e - i 9 J r a + i c r J "

En faisant la même chose pour J, et en transportant les deux résultats dans l'équation (4-40)

on trouve :

À(crpy) = s-iaJ, "- ipJ'"- irJ.

(4-41)

3.6. Sous espace invariant irréductible

3.6.u Sous espace invariant ei

Soit ljm) un vecteur propre commun à J et J, correspondant aux valeurs propres j(j+l) et m

respectivement. m doit vérifier nécessairement I'inégalité -j < m < j .

En partant d'un vecteur lim) ae moment cinétique déterminé, on est en mesure de construire

(2j+l)vecteurs par application répétée de J* et J-. Ces vecteurs engendrent un certain espace fi

. Les opérateurs J*, J-etJ"transforment les (zj+l) vecteurs les uns dans les autres, donc ils

laissent eifnvariant. Toute autre fonction F(J) laisse également e[nvariant.

3.6.b. Sous espace invariant irréductible

L'expression @-al montre que tout opérateur de rotation est une fonction des composantes

du moment cinétique total. Les vecteurs d'un espace ehe transforment les uns dans les autres

par rotation : L'espace est dit invariant par rotation.

76

-âro* dp {414, dz ta pnla,ztaanuo da'& b Sâ7D

Si lu) est un vecteur arbitraire de cet espace, l'ensemble des vecteurs nlu) qui se déduisent

de ce vecteur par rotation engendrent I'espace eftout entier : on dit d'un espace qui possède

cette propriété qu'il est irréductible par rapport aux rotations.

En effet, I'irréductibilité de eBe démontre comme suit :

Soit e j l'espace engendré par l'ensemble des vecteurs nlu) . J. lu) fait partie de ef en effet

J. lu) = (Jx + i l r ) lu) = l , t

- i + iR*(e) -Àr(r) ) lu)

Il en est de même pour J- lu) ainsi que pour tout vecteur obtenu par application de J* ou J- sur

unvecteurde ei.

Considérons le développement l")= IlfIVIXWtl") et désignons par m la plus petite valeurM

de M pour laquelle (fUlu)* O.

Le vecteur lt.--lo) est proportionnel à lr r) eif . tttais puisque tous lesLe vecteur l';-lo) estproportionnel à IJJ) qui appartient donc à e{. Mais puisque tous les

vecteurs lf Vf) sedéduisentOe ll l) parapplicationrépétédeJ-,i lsfonttouspartieae el. ei

contient alors une suite complète de vecteurs de base de ej : les sous espaces ej et

identiques.

itï sont

tt',* dp {elk, dz h fahntoaao 1n4 b 587

4. Tenseurs et opérateurs tensoriels

4.1. Scalaires et vecteurs

Nous avons l'habitude de traiter certaines quantités physiques telles que la masse et l'énergie

qui ne sont pas reliées à l'orientation du référentiel et qui n'ont pas de propriétés

directionnelles. De telles quantités sont des scalaires ou des tenseurs d'ordre zéro.

D'autres quantités telles que la position d'un point dans I'espace ou la vitesse d'une particule

sont associées à la direction et à I'amplitude. Ces quantités sont des vecteurs ot des tenseurs

d'ordre un.IJn vecteur peut être spécifré par la donnée de ses composantes suivant les axes

Ox, Oy, Oz. Les composantes représentant le vecteur dépendent du choix de ces axes. Les

composantes x, (i = 1,2,3) du vecteur position r dans le nouveau repère sont obtenues à partir

de celle de I'ancien repère xi (i = 1,2,3) par une transformation linéaire :

Si A est un vecteur quelconque de composantes (,\), alors ses composantes se transforment,

lors d'une rotation d'axes du repère, suivant la même loi que les composantes de r.

x l = ) a i 1x1J

Ar= La;.;A;J

(4-42)

(4-43)

Cette équation conduit à une nouvelle définition d'un vecteur conrme une quantité représentée

par trois composantes et qui se transforme suivant la loi (4-43) lors d'un changement de

repère.

4.2. Tenseurs dtordre supérieur

Les moments de masses d'un système de particules sont donnés par

Mij )moxo, x.,,c[

78

-tt',* dz ('el{d dp b phnitaan dnl4o h StT

où xo, est le vecteur position de la particule et mo sa masse. Les moments de masses sont

des séries de 6 quantités linéairement indépendantes (Mt,=Mjt) et représentent un tenseur

symétrique d'ordre 2. IJne rotation d'axes du repère transforme les moments de masses

suivant :

M,., = la;1a.;1Mtrkl

(4-44)

En général, un tenseur d'ordre 2 (non symétrique) est représenté par 9 composantes li qui se

transforment lors d'une rotation suivant la même loi (4-44) :

(4-4s)I j= Ia*a;rTgkl

De même, un tenseur d'ordre n est représenté par 3" composantes qui se transforment suivant

une généralisation évidente de l'équation (a-a5).

Si on écrit les 9 composantes I: d'un tenseur d'ordre 2 sous forme d'une colonne, les

coefficients de la transformation forment une matrice 9x9. De ce tenseur d'ordre 2, on peut

former :

a)vnscalaire lT*.k

b) w tenseur antisymétrique Î = *tl,

- l,) .

/-

c) vntenseur symétrique detracenulle i, = ]G, +Ti,) -]U,,IT* ." 2 ' " 3 ' ' ,?

Inversement, les 5 composantes indépendantes î3, let 3 composantes indépendantes T.; et

tTl* ensemble, spécifient les 9 composantes indépendantss I:. Lors d'une rotation lesk

composant.r î: se transforment les unes dans les autres, de même pour les 11, tandis que

IT* reste invariant.k

Ainsi, on peut réduire la représentation de dimension 9 de l'équation (4-45) en représentations

inéductibles de dimensions 5,3 et 1. Les tenseurr îr, T1 et lT*sont les composantes

inéductibles du tenseur générald'ordre 2 appartenant aux ,"p.er.ittutions R2 , R1 etR6 du

goupe de rotations.

79

-tt"* dp (e414 dp h. fahntaateuo dâ4 b Stn

4.3. Tenseurs sphériques irréductibles

En général, un tenseur sphérique Tk d'ordre ft est défrni comme étant une quantité

représentée par 2k+l composantes Tro qui se transforment suivant la représentation

inéductible Rp.

Tio = IruoR}q(crFy) g-46)p

L'irréductibilité du tenseur est une conséquence directe de celle de R1

4.4. Opér ateurs tensoriels

La notion de tenseur peut être étendu directement aux opérateurs tensoriels quantiques. Un

opérateur tensoriel irréductible d'ordre k est un opérateur avec 2k+l composantes Tko qui se

transforment lors d'une rotation (crpy) d'axes comme :

Tio :,RT.R* = Irtp RIq(crBy) @-47)p

Cette relation, oùR représente une rotation infinitésimale (1-icrJ^)(voir $.3), conduit aux

lois de commutation des composantes du moment angulaire J avec les composantes de T1.o .

Rh =(uol t - ioJ1 lkq)=ôoo - icr ( tn l r^ l tq)

Avec cette relation l'équation (4-47) devient :

(1 - ioJ^) Tuo (1 + iaJ^) = ITuo$op

où Jr.Trq - rnoJ^ = T

T*(tcpll^ ltq )

Enposant Jx=Jz puis J^ =Jt ofl trouve

[tr ' t*r]= qTkq

80

tr"* de (4kl dp h fah.atoatto,t dz/44 h SETD

[r. ,tuo] = [{r t q + t) (k r q)] '/'&o* ,

4.5. Eléments de matrice des opérateurs tensoriels

Nous désirons évaluer les éléments d'un opérateur tensoriel relativement aux vecteurs d'états

d'un système dynamique. Soit Tuo un opérateur tensoriel d'ordre k et soit l'élément de

matrice (cr I rvr Itn, l"'t't '). Le vecteur d'état Trn I s'J'M ') se transforme suivant la

représentation R1 "

Rr,. Nous réduisons cette représentation à ses composantes irréductibles

en formant les vecteurs avec le moment angulaire (K,Q).

I P Ka ) = I ( rq I I ' kM'q) roo l a 'J 'M ' )q M '

En inversant cette relation et en prenant l'élément de matrice avec (u J M I on trouve :

(a l rv r I tn , l " ' J 'M ' )= I (o JM I B Ka Xra I J 'k M'q )\ | ' t t K e

= ( c r JM I P JM ) ( JM l J ' kM 'q )

= (-r) 'u(" r l l r - ;1" ' r ' ) ( r M I r ' kM'e )

(4-48)

(4-4e)

Le terme (cr J M I p I rtr ) est indépendant de M. Ainsi l'élément de matrice de I'opérateur

s'écrit comme un produit de deux termes. Les propriétés directionnelles sont contenues dans

les coefficients de Clebsch-Gordan et la dynamique du système apparaît seulement dans

l 'élément de matrice (oJMlBlrr,r ) souvent noté ("rllt- l l" 'r ') et appelé élément de

matrice réduit.

4.6. Règles de sélection

D'après l'équation (4-49),les règles de sélection sont liées aux propriétés des coefficients de

Ctebsch-Gordan. L'élément de matrice (o I rvr lt** l"','t ') s'annule à moins que :

(a-s0a)

8t

14 ' :q *M

Ettt* dp {efi/d de h fahntoanoet dn"të h Stn

lJ - l ' l< t< l+ l ' (4-50b)

5. Matrices de rotation nj, tenseurs statistiques

D'après le $3.6 chaque opérateur de rotation R(crpy) est représenté par une matrice à (2J+1)

dimensions, R' (apy), dépendant de J. Par définition

Rio", (oÊy) = (wt I n (crBy)l Jtvt')

= (*1"- icrJ , . - iFJ v " - iv I " l * )

Cette matrice porte le nom de matrice de rotation. On peut écrire

(4-51)

(4-5s)

R(apy)lru )= IIJM')Rio"n,(c'Py) g-sz)M '

En utilisant le développement pour ll M) et ll'tut) on trouve la relation entre p' et p :

Pir,,u'r,,,, = I. (*,k (oFy ))* pru,J'1,'fti'M' (o By )ptr

(4-s3)

Mais il est plus commode de choisir des combinaisons linéaires des éléments (4-53) qui

forment une représentation irréductible; c'est à dire un développement en multipôles des

éléments de p. D'après l'équation (4-10) les éléments de p sont une combinaison bilinéaire

des composantes C-. On peut écrire

prv,rru, = I p*e (J,J,XKelJ - MJ'M') (-11r-r'-v (4-s4)KQ

Les termes ft<q sont appelés tenseurs statistiques (Fano, U. (1951), ou multipôles d'état

(Fano, U.(1953). En inversant l'équation (4-54) on peut les écrire comme

Prq (J,J') = I Pna,rnn, (-l;r-r'-v (r - uru'lrq)M

82

Et * de t'eftlz, dp h trahntoattuo di4& h Stfu

Cette écriture (4-55) montre qu'on peut introduire des tenseurs Prq d'ordre K avec

l l - l ' l< K< l r + l '1.

En utilisant les tables des coefficients de Clebsch-Gordan on peut écrire par exemple

que :

_lPoo(J,J') = ôrr QJ +l) ' IP*,r'r ' (4-56)

M

et dans le cas où J est fixé poo se réduit à

I

poo(J,J') = (2J +t1 t tr(p)

Par construction qo est une composante d'un tenseur sphérique,

Pi<q' = IP*onôo'(oFY)a

L'hermiticité de p s'écrit pour les tenseurs Prcq comme

o'o , =(2n)a u1u,

l t . l ' (4-59)d Q r d o 2 d E k i ' ' r

(4-s7)

prq (J ,J ' ) = ( -1 ; r ' - r+o p* -q (J ' , J ) * (4-s8)

Remarque : S'il est possible par rotation d'axes (4-57) de rendre p diagonale en M,

alors avec ce choix d'axes, seuls les tenseurs Prq avec Q = 0 sont non nuls' Physiquement'

cela signifie qu'il existe un axe de symétrie cylindrique du système.

6. SETD, tenseurs d'orientation et d'alignement

La section efficace triplement différentielle s'écrit :

où Tn = (vu,u, l v lv,)

83

trt* dz (ekr dp h fahnioaa:at da4 h S87D

Dans l'étude que I'on va faire nous nous limiterons au cas où J est fixé. Dans le cas d'un

alcalin préparé avec une distribution en plusieurs sous niveaux M, une sommation sur tous les

états possibles est indispensable. Pour faire apparaître les éléments de la matrice densité, on

êcirala fonction d'onde initiale cornme une combinaison linéaire de tous les états possibles :

"tu'"0* )l v i )=;t ' l

La SETD sera donnée alors par :

d 3 o

dc)rdQ2dE2

(4-60)

= cI(vu,u, I v l"tu'n4rr)o'rr(etu'"0rrlv lvu,u, ) t+-orl

où c est une constan te c =(2n;o -\-r-!zK i

Nous suivons par la suite le même traitement que Fano (1957) ou Brink et Satchler (1979) en

remplaçant la matrice densité par les multipôles d'états prq. Puisque notre système admet

I'axe d'incidence z cofilme axe de symétrie cylindrique, (remarque $ 5) p est diagonale en M

et par la suite seuls les tenseurs prq avec Q = 0 interviennent. La matrice densité s'écrit

d'après (4-54) :

PL, = I1-1;*-'-'(l - UrulKo)o*oK=0

(4-62)

En introduisant I'expression (4-62\ dans l'équation (4-61) nous trouvons les différentes

contributions à la SETD correspondantes aux differentes valeurs de K:0,1,...2J

d 3 o

dordcr2dE2

Nous remarquons que la somme sur M dans l'équation (4-63) définit un tenseur d'ordre K

donné par :

(4-64)

= cI pro I (-1; r-r-rra (l - vrnr | *o) l(r n,*, I v l.'u't o,* )l' @-63)K M

r5*l = c I t-r)"-r-rv' (J - M.IM I *0) l(v u,u, lvletr.'n 4 - ;12M

84

L'équation (4-63) s'écrit alors sous cette forme compacte,

d ' o = T p*o I[)K=0

tr'* lz {elkr da |a. patauoattuc dtuo h S?TD

(4-6s)dç)1do2dE2

Le nombre de ces tenseurs I(*) est de2J+1, où J est le moment angulaire total de I'atome

cible. L'équation (4-65) montre que la SETD peut être décomposée en un ensemble fini de

tenseurs irréductibles caractérisants les différentes propriétés dpamiques. Donc toute la

dynamique du processus d'ionisation est complètement décrite par la connaissance de

I'ensemble des tenseurs I (*). Ces quantités sont entièrement indépendantes des populations

des sous niveaux magnétiques. Ces populations sont décrites par les multipôles d'état Pro 9ui

sont indépendants de la dynamique. Nous remarquons que l'équation (4-65) ressemble

formellement à une analyse de la polarisation de lumière émise en fonction des paramètres

d'alignement et d'orientation comme propriétés de la cible (équation (14) Fano et Macek

(1973)). Dans le traitement de Fano et Macek ces paramètres sont des valeurs moyennes de

certains opérateurs de tenseurs relatifs à l'état initial de la cible. Dans le traitement actuel les

paramètres I [*) peuvent aussi bien être considérés comme des valeurs moyennes. Cela peut

être vu en réécrivant l'équation (4-64) sous la forme

(4-66)

où r représentent I'ensemble des coordonnées élechoniques et où le tenseur S[K) s'écrit

s[K)(r,r') = cI (-t)**'.'(J - MJMIK0)(rlr'n'"0-X"'*'n0- l r')M

(4-67)

Cependant, ily a des différences entre le traitement présenté ici et le travail de Fano et Macek

(FM). Dans le premier, la valeur moyenne (4-66) est prise relativement à l'état final tandis que

FM traite avec des états initiaux. Le second, les états initiaux considérés par FM sont des états

propres du moment angulaire alors que nos états finaux ne sont pas des états propres du

moment angulaire.

L'introduction de I'ensemble des I [*) dans la section efficace différentielle a plusieurs

avantages. Nous mentionnons qu'un changement 2:M-> -M de la projection du moment

r5*r = c(vu,u, 1r1lv1r;s[K)(.,r') v(r')lvu,u, (.'))

85

tra* dp (elld da ta pttan'toanua lnt4t h Sgn

angulaire appliqué à I (*) a pour valeur propre (-1)", i.e. 2L(t)= (-1)* t

(*). Donc, les

paramètres I (K) sont pairs (impairs) pour des valeurs paires (impaires) de K. Cela peut être

déduit aussi en combinant l'équation (4-67) avec les propriétés des coefficients de Clebsch-

Gordan (voir par exemple $ annexe I Brink eL Satchler (1979))

(l - urul Ko)= (-l)"."(.rMl - vl ro) (4-68)

Les tenseurr I (*) avec un K impair sont définis comme des tenseurs d'orientation, tandis que

pour K pair ce sont des tenseurs d'alignement.

Par exemple, J = 0 correspond à un seul tenseur, nous n'obtenons ni tenseur d'orientation ni

d'alignement, le cas J =U2 permet d'obtenir uniquement un tenseur d'orientation, cependant

pour J ) 1 nous obtenons à la fois des tenseurs d'orientation et d'alignement.

Notre étude porte sur les états excités P et D. En utilisant les équations (4-64), (4-68) ainsi que

les propriétés des coefficients de Clebsch-Gordan nous obtenons

Pour un état p, trois tenseurs I[") :

* Une somme statistique sur tous les sous niveaux

r[o' = Ëltt-*,u,lvle'u'no,')l'

* l(vu,u,lvl"'u'"0,0)l' * l(v*,*,lvleiu'"'o'-,)l .] t+-osl

* Un tenseur d'orientation

r[" = *[l(* -,-, lvl"'u'"' 0,, )l'" " l zL l

* Un tenseur d'alignement

r[', = #[l(*-,-, lvl"'u,"'0,,)l' - r l(r u,n, lvlr'*,',0,0)l'

Pour l'état d, cinq tenseursllK) :

* IJne somme statistique sur tous les sous niveaux

r1o, = Ë [K- u,u, lvle*,n q ,]l' *l(v u,*, lvl"'*'n 0,, )l

- l(v u,u, lvleiu'" o,-' )l' ]

(4-70)

(4-72)

* l(v u,u, lVleiu'" 4,-, )l' -l

to-ttl

*l(vu,u,lvleiu'"0,,)l'*l(vu,u,lvl.'*'"ôr-,)l'*l(*-,-,lvlr*'no,-')l'l

86

-td* d" hlld dz ta. pn{antaanao da'44 b Sân

(4-73)

(4-74)

(4-7s)

* Deux tenseurs d'orientation

rl" = *[-, l(vu,u, lvleio'"q, )l' * l(r-,-, lvl.'u'"0,, )l'

-l(v *,*, lvlr'u'" 0,-, )l' * ,l(v u,*, lvleiu'" o,-, )l' l

rl, = ;ft [- ttr r,x, lvleik,', q,,)l' -2 l(v o,u, lvl"'u,n 0,, )l'

*2 l(vu,u, lvl"'u'"0,-, )l' * l(r-,-, ltl"'u'"0,-, )l' -l

* Deux tenseurs d'alignement

r1" = hlrl(vn,u, lvleiu'"q, )l' * l(*-,-, lvl"'u'"0,,)l'

-zl(vo,o,lvl.'u"'0ro)l'.l(*u,u,lvle'u'ryor-')l '*zl(vu,u,lul.'u'"0r-r)l']

rlo' = #[l(*-,*, lvle'u'"o,)l' * 4 l(vu,u, lvl"'u'"0,,)l'

*ol(v r.,r, lvleik'"qro)' * al(v n,u, lvl.'u'"0r-,)l' (4-76)

Les tenseurr 16:? représentent la somme statistique sur tous les sous niveaux de l'état M, soit

dans le cas où aucune préparation de la cible n'est faite. I-e I$) représente la difference entre

la SETD pour L:1, M:l et celle pour M: -1. En général, I$), I{t) et I{' constituent du

point de vue expérimental, des dichroismes d'orientation(Fehr et al (1994)) dans la SETD de

cibles préparées pax un laser de lumière polarisée circulaire droite / gauche. Un dichroïsme

circulaire similaire a été observé pour le processus de la photo double ionisation (Berakdar et

Klar (1992), Berakdar et al (1993)). Nous notons que, les dichroïsmes circulaires pour la

photo double ionisation sont originaires d'un transfert de I'orientation du champs de radiation

aux deux électrons du continuum, tandis que dans notre cas les dichroïsmes sont dus à une

orientation initiale de la cible transférée à la paire d'électrons sortants.

* l(v u,u, ltlr'*'" 0r-, )l']

87

-1tr* d" t'rl/"f dp h falan'ioanu dn/44 h SAn

Les paramètres d'alignement nous donnent une sorte de somme statistique sur les sous

niveaux de l'état étudié avec des coefficients plus au moins importants à chaque cas. Nous

remarquons que le tenseur I[t) peut être écrit sous forme

(4-77)

Le tenseur I[t) mesure la différence entre les SETD pour une cible préparée par une lumière

polarisée linéairement et celle préparée par ule lumière non polarisée.

#[t* -c "61(v -,u, lvleik,', 0,,)l' ]

88

tt'* dp ('ell* de h. fafuiaaataa dn'ra (n SîTD

7. Résultats et discussions

La section efficace d'ionisation quintuplement différentielle (SE5D) pour

I'hydrogène et le sodium est déterminée en utilisant les mêmes fonctions d'onde que

dans le chapitre précédent. L'étude de la SE5D se fait par variation de I'angle

azimutal <p, (figure 2.1). Celle-ci va nous permettre de déterminer comment une

orientation ou un alignement initial de la cible influence les deux électrons du

continuum. Cette étude est un test plus fin des modèles du double continuum.

Dans toutes les figures présentées, les indices (a) et (b) désignent respectivement

I'hydrogène et le sodium.

7.1. Hydrogène et sodium 3p

Dans les figures 4.1-3 nous donnons, pour les conditions cinématiques suivantes,

Er =250eV, E2=5eV, 0r =4o et 02 =300o, les var ia t ions des paramètres tensor ie ls

X[o), X[t) et X[2) t..p"ctivement, en fonction de I'angle azimutal gz de l'électron

éjecté.

X [0) po.rr I'hydrogène (figure 4.1.a) présente un pic à 0o, celui-ci est dû au fait qu'on

est proche de la direction du moment de transfert qui est une direction privilégiée.

Cependant dans la figure 4.1.b on observe pour le même angle un minimum, celui-ci

est dû àl'êtat initial de la cible puisqu'on le retrouve dans les trois calculs.

Les figures 4.2, représentent le paramètre d'orientation >[t) ou dichroTsme. Ce

dernier est la différence des SE5D entre les niveaux M : 1 et M : -1 (polarisations

circulaires à droite et à gaucht). >f) :0, pour gz:0o ou 180o, en effet, ces angles

donnent une géométrie coplanaire pour lesquelles les sections efficaces des états 3p*t

et 3p-, sont égales.

8ç

tt't* de (e#4 dz {a, lntatioaauc dÂ"to h SATD

X[t) (ftg"res 4.3) représente une différence entre les SE5D pour une cible préparée

par une lumière polarisée linéairement et celle par une la lumière non polarisée

(4-77). Le minimum négatif au voisinage de 0o (figure 4.3.a) implique un fort

alignement le long de l'axe z pour l'hydrogène (a-71). Par contre, dans le cas du

sodium (figure 4.3.b) la situation à 0o est très différente en particulier pour 3C

(minimum positif) la corrélation détruit cet alignement le long de I'axe de collision.

On remarque que pour l'hydrogène dans les courbes 4.1-3a,les trois procédures 2C,

2CG et 3C donnent des résultats similaires dans la forme. Cependant, les magnitudes

sont très différentes (les résultats 3C ont été multipliés par des facteurs allant de 20 à

100) .

Pour le sodium (figures 4.1-3b) on remarque une disparité entre les résultats 3C d'une

part et ceux de 2C et 2CG d'autre part. Ces différences sont dues à la corrélation

entre les deux électrons. En effet, les modules des vecteurs k, et k, étant fixés, une

variation de I'angle rp, entraîne une variation du vecteur k,, . Ce dernier est I'un des

paramètres de l'hypergéométrique dans la fonction 3C, responsable de la corrélation

de l'état final. On remarque aussi que pour ces courbes la procédure 2CG n'est

pratiquement qu'à un facteur près de 2C et qui est de I'ordre de 2,5. En effet, pour

ces conditions cinématiques le facteur de Gamow (2-42) varie très peu en fonction de

l'angle azimutal <pr.

ç0

d

^l

Eft* d" ('rl/"f dz {a' pnlauoaAaa dnaè h S87D

0

qz (Deg.)

(b) Sodium 3p

/ , . \

) l ^ l \

l l \ r t

2yâ2CGx2.5t \

I t - |

,,AIr ll t

t t I

t l

,1,l l, t

t \t \

, r tt l

\ r ,

\[

IrI 't t I, l

r l\r!

I

It ,

l t t lr\rL

1\\L

:_.::\\

?tlt

t l

\ ,'?'! j

'\'.'.-- .l:"'

l tIt

l ' l tt \-_-.-. j '

€006020

qz (Deg')

20-200 --€0 a0

90

dj

70

^l

50-€0 €0-?:0

Figure 4.1 variation de X[0) de I'hydrogène (a) et du sodium (b) en fonction de

I' an s I etz i mut ï T,: ffi , : ltliJr,irï; i i";, 1. -T, irh;.'i3 ;

(a) Hydrogène 3p

/ ' \/ \

, l

/ \

,:13c!n'

= = - - - i - ' - . /./- - t '

. - a - a - a - a - a - r - -

20

âtt* dp (elk, dz h palantoaaat dnë h SîTD

3Ckl00(a) Hydrogène 3p

-'-' -'r::_:l_._=\I

,I

,'\E-=l I

I

cûj

90

^l-o

ê20J

;0-on -20

-20

-€o -?:0 -60 ,.0

60 20 €o

<pz (Deg.)

-80 -- -to -a0 -60 0 60 20 €0

qz (Deg.)

Figure 4.2 variation de X$) de I'hydrogène (a) et du sodium (b) en fonction de

I'angle azimutal Q2 pourEr = 250eV ,Ez = 5eV, 0, = 4o et 0z = 300o,

, désigne le modèle 3C,- - -, désigne 2C et,--o-- , désigne 2CG.

'-qt

\t\

ZCG x25/

/

\ /\

\\

\ \(b) Sodium 3p

q2

-ta* dz (4k, da ta pnlanttaaao 1n'@ (a SîTD

- . - - - - \ \

a_._a_4,

(a) Hydrogène 3p

t \r \I

I

I

I Il l

I

-20- -lgo -?]0 -60 0 60 20 €0

q, (DeS.)

5

d - 5

É

N -

.Y -O

(€ 20j)\/

N

iço^]

-6

60

40

a/

,,!z

9r.\b 9?o\a

'ralorrrarartll\\I\\I?

I

I,,,?,II

tQQaaara.aaatoGa'aa

II\ô\I\tII

tIILa

iIII

aIlIIIaI

I

,

2CGx2.5

(b) Sodium 3p

40'-to -?r0 -60 0 60 20 €0

qz @eg.)


I'angle azimutal q2 pour Er = 250eV ,82 = 5 eV , 0, = 4o et 0z = 300o ,

, désigne le modèle 3C,- - -, désigne 2C et,--c-- , désigne zCG.

-20

-Ertt* dp f e#el da ta pntan'taatcaa da'& h SîTD

7.2 Hydrogène et sodium 3d

Dans les figures 4.4-8 nous donnons pour I'hydrogène (a) et le sodium (b),

variations de I[0), >1t', >[", >1" et >[4), en fonction de I 'angle azim:utal q,

| 'électron éjecté pour E, :250eY , E2 = 5eV, 0, = 4o et 0z = 300o.

It0) lngutes 4.4) montre que lorsque g2 augmente, le moment de recul, donné par k,""o, = K

- kr, diminue. On observe alors une augmentation dans les magnitudes. La direction autour de

0o est une direction privilégiée car on est proche de la région de Bethe.

Les figures 4.5 et 4.7 représentent respectivement Etl) et Xl3), des dichroismes. En

effet, comme Xf) poor les états p, >[t) et X[3) representent les deux formes de

dichroisme. Comme prévu par les équations de Xll) et X[3) (4-73,74), ces paramètres

s'annulent pour q2:0o ou 180'(géométrie coplanaire). Ces courbes montrent que,

pour une direction où ez est positif, il est plus probable (X[3)) de détecter un électron

issu d'un état M : 1 ou 2 qlue d'un état M : -1 ou -2. Pour I'hydrogène et pour le

sodium ces courbes ont pratiquement les mêmes allures.

Malgré que 0o soit une direction privilégiée (Bethe) on peut observer pour I'hydrogène

dans le cas de X{') (ng.trc 4.6.a) un minimum négatif. Ceci montre un alignement le

long de I'axe de collision. Ce minimum, pour le sodium (frgure 4.6.b) est très

faiblement reproduit seulement par 3C, mais on n'observe pas d'effet d'alignement le

long de l'axe z "ut

2\2) est positif.

Des pics sont aussi observés dans les variations du paramètre d'alignement I[o)

(figures 4.8) étant donné que ce paramètre s'écrit (4.76) comme une somme sur tout les

états avec des coefficients donnés .

Dans toutes ces figures, les résultats montrent une grande différence entre 2CG et 2C

d'une part et 3C d'autre part surtout dans les magnitudes.

les

de

q4

(t

\/ 30

n

âta* dp {4ld de ta pnlnn'toanua dn$4 h S87D

<p, (Dee.)

x 104

(b) Sodium 3d

/ 'z '

z 'a - - - \

/ ,r"__<_t!t- t

a, ' , ' ' -\-

,'' -"..2 . - \

.,t"

-\

-2 '\r-

---- ---

300

250

o' (Deg.)


I 'ang le az imuta l92 pourEr =250eV,82=5eV,0 , =4o e t 0z =300o,

, désigne le modèle 3C,- - -, désigne 2C et,--o-- , désigne zCG.

200

ci-.!

\/ 150

Ht0

50

€0a060-60-?.00 --€0

ç5

tdj

\/U

H-2

tr"* d" hllrr dz ta' patattoanuo d44 h S7TD

(a) Hydrogène 3d

./,, \ \/ , \

. / ' - - ------- ; . t

=11-'-'---- \ " \

r - ---':-r \ - . . ' . ' /tr. \--------

t t . '

- 8 ---€o -eo -60 0 60 20 €0

qz (Deg.)

-40 -'--€o -ao -60 0 60 a0 €0

<p, (Des.)

Figure 4.5 variation de Xft) de I'hydrogène (a) et du sodium (b) en fonction de

I 'ang le az imuta l92 pourEr =250eV,82=5eV,0 , =4o e t 0z =300o,

, désigne le modèle 3C,- - -, désigne 2C et,--o-- , désigne zCG.

40

nv

n

x 104

(b) Sodium 3d

, ' a t t

\r'., ' 'z

1{'---

ç6

-ttt* d" {rllrf dz ta fnlan'eoAeoto dn'@ h S87D

(a) Hydrogène 3d

l l

0

q5

ôlÊ ^

nv

-5

-0'-to -ao -60 0 60 a0 €0

.p, (DeS.)

x 104

(b) Sodium 3d

,r)tt"'<'__----2' -:

,' 'tt

\--

0 ---€o -ao -60 0 60 a0 €0

q, (Des.)

Figure 4.6 variation de X{2) de I'hydrogène (a) et du sodium (b) en fonction de

I'angle azimttal9z PourEr = 250eV ,82 = 5eV, 0r = 4o et 0, = 300o,

., désigne le modèle 3C,- - -, désigne 2C et,--o-- , désigne zCG.

AO

deovoo

ôl

. î 80

60

40

20

q7

0

j

0ca

n

tt* d" h{l"r dz ta palan'ioanæ dn & ta SîTD

(a) Hydrogène 3d

-30-,BO -Q0 -60 0 60 20 €0

q, (Des.)

x 104

(b) Sodium 3d

i, ,// /

=1* '

I \ ,"fi

-0

00

CËj

\./ ocA

H

-00-€0 -eo -60 0 60 Q0 €0

qz (Deg')


l ' ang le az imu ta l Q2 pou rEr =250eV,82=5eV,0 , =4o e t 0z =300o ,

, désigne le modèle 3C,- - -, désigne 2C et,--c-- , désigne 2CG.

tt'r* dp hfilzt dz ta. palan'aar'ao dnè b SîTD

(a) Hydrogène 3d

1=""u" , '*:-:-'r:-

0--€o -eo -60 0 60 20 €0

,p, (Des.)

x 104250

(b) Sodium 3d

22""t'<'-l\rr\

0 ---€o -ao -60 0 60 a0 €0

q, (Des.)

Figure 4.8 variation de X{a) de I'hydrogène (a) et du sodium (b) en fonction de

I'angle azimtfial q2 pour Er = 250eV ,82 = 5 eV , 0r = 4o et 0, - 300o ,

, désigne le modèle 3C,- - -, désigne 2C et,--o-- , désigne 2CG.

80

d-i

\/ 40s

n

200

60dj

e00\i

n

9ç

Eur. Phys. J. D 2,203-208 (1998) THe EunOPEANPHYSICAL JOURNAL D,^ EDP Sciencesv Springer-Verlag 1998

[of Na(3s, 3p, 3d)

1 lntroduction

Atomic sodium has been largely employed in ion-atom col-lisions [1-3]. These authors have studied the electron ex-change and excitation in collisions involving excited andprepared sodium targets. In spite of the fact that, the ma-nipulation, from the experimental point of view, of sodiumBeems to be easier than other alkali, it has been rarelyemployed in (e,2e) ionisation experiments [4], in whichthe incident electron is detected after scattering in coin-cidence with the ejected electron. Zheng et al' l5] havepbserved the momentum density profile of excited andbriented sodium atoms. Recently Dorn et ol. [6] give the

[rientational dichroism in (e,2e) reactions with orientedNa(3p) atoms. These experiments present a large theo-

tetical and experimental interest as they permit throughbhe determination of the five fold differential cross section(5DCS) the study of the ionisation mechanisms and the

verifications of the different theoretical models proposedfor the description of the double continuum.

i Sodium atoms present the pa,rticularity of having afundamental 3s(2,S) state, which has, in contrast to atomic

frydrogen, a distinci energy value from that of 3p(2P) and3d(2D) states. Flom this point of view, it is the only tar-get which permits the study of the 3s distribution in an(e,2e) experiment. More the prepa,ration of the p states is

relatively easier for sodium tha,n for lithium.

Many approximate descriptions, of the electronic dou-

lle continuum resulting from a,n (e,2e) rcaction, where[he ejected and the scattered electrons a,re subject to the

l' ; ;-;;;i; j;;;iy;;;;

" c ienc e s . univ -metz . rr

lfript" differential cross section of electron impact ionisation

, and B. Joulakian

Received: 17 November 1997 / Received in final form: 16 March 1998 / Accepted: 21 March 1998

Abstract. The fivefold differential cross section (5DCS) of the ionisation by electron impact of atomic

sodium is determined theoretically for its fundamental'fs1'?S; state and the excited 3p(P) alrrdSd(zD)

states by a procedure which employs in the transition matrix element of the fust order Born approximation,

the correlated double continuum (3C) wave function. This permits us to determine the statistical M-state

population and the orientation and alignment tensors in (e,2e) detection. It is also shown that, the use of

Gamow correlation term, in the independent pa.rticle (2C) model, reproduces, only in some situations, the

shape of the angular distribution of the SDCS obtained by the (3c) wave function.

PACS. 34.80.Dp Atomic excitation and ionization by electron impact

Coulomb field of the residual ion, are nowadays available(see for example [7]), such as those obtained by generalis-ing the partial wave expansion to the two electron systems,or the independent particle model using a product of twomonoelectronic exact Coulomb wave functions, designatedby (2C), in which one can introduce (Peterkop [8]) theboundary conditions by the means of an effective chargewhose value depends on the dynamics of the problem'

Another type of wave functions constructed by a cor-related product of two Coulomb functions (3C) obtainedby a Pluvinage [9] type approximation have been, since along time, observed to satisfy the exact boundary condi-tions of the Coulomb double continuum [10'11]. Brauneret at. lL2l have first calculated the different matrix ele-ments àb[ained by using this type of wave functions to thedetermination of the 5DCS of (e,2e) ionisation of atomichydrogen. The advantages of applying this type of wavefunctions was also demonstrated in other situations, Iikein the description of the electrons emerging from a photo-double-ionisation process [13], and a double ionisation byfast electron impact [14], and to the determination of thedifferential cross section of the (e, 2e) ionisation of excitedmetastable (2s) hydrogen by Hafid et al.llSl whose resultswere compared to those of the second Born calculations

[16] .In this paper, we present the determination of the

triple differential cross section (5DCS) of Na(3s) Na(3p)and Na(3d) using a model potential for the alkaline coreboth in the determination of the bound state wave func-tion of the target and in the interaction potential of theincoming electron with the target. We give the M statis-tical population and the dicroism (Berakdar et al. [l7l) of

k,,h...

204 The European Physical Journal D

with r12 : lrr - r2l and V2, the model potential, whichdescribes the interaction of the incident electron with theelectrons of the alkaline core given by: (Klapisch [18])

V2: -Bexp(- l r r ) - (Z -1)exp(-( r i l ,T1

w i t h B : 2 3 . 5 t , 7 : 2 . 6 8 8 , C : 7 . 9 0 2 a n d Z : L l .(7)

The initial state, which takes into account the incidentand the bound electrons, will be written as the product ofa plane wave and the wave function of the valence electronof the alkaline atom:

lr4) : lo9=('Ti;r'n) ç.,*(")\, (8)| \z1r ) " ' ' /

the wave function g*m(rz) is obtained by an expansionon Slater basis

nj

gntm:Yr* (0 ,Ô) lc t ' " texP( -o i r ) (9 )j :o

where ai, ui aîd nj ate empirical parameters, and thecoefficients Ci are determined variationally.

The final state is approximated by a 3C type functiongiven by:

V1 Grrz) : Meik'n "ôkz'1zy(r1,rz)

(10)

with

X(r t , rz) :yF1( i ,a1, I , - i (kg1* k1 ' r1))

x1F1('ia2,7, -i( le2r2 * k2 ' r2))

x1F1 ( i ap ,7 , - i ( kp rp * k12 ' r 12 ) ) ' ( 11 )

The constant M is given by:

M : expl-n(o, + o, + a:'2) 12)

x r(1 - io')r(t - iaz)r(t - iop)l(2n)3 (12)

where

kr

Fie. 1. Coordinates used in the text.

[ne SOCS by three different descriptions of the final state[o studv the influence of the electron-electron correlation.

2 Theory

For given wave vectors k6, k1 , k2 (Fig. 1) of the incident,scattered and the ejected electrons respectively, the five-fold differential cross section (SDCS) (3DCS in coplanardetection) of lhe lnlrn) state of the alkaline atom will begiven (in atomic units) by:

(5) d'o (2r)ale1le2 ,- ,2o!]/^ : mffi : f Pyrl".m' (1)

flere O1 and A2 represent respectively the solid angles ofthe different wave vectors. The recoil energy of the ionbeing negligible, we can write:

Y:,:,.+.+ e)pvhere the ionisation energy .I;F" : 5.138 eV, /$ :

p.036 eV and /fi : 7.52L2 eV. The transition amplitude

[s given by:

1 . , o 3 , .I l4,l : i lf,,,* + snml2 +;lf"r* - ea^12 (3)

tvith

fntm : (ûf (rr , rz) lVlÛr(rr , 12, l ,m)) (4)

- 1 - 1 1ot :

lki, CI2 :

lki, CIr2 :

ù' (13)

t r r : | 1 t r - k r l .

Tr rt2

with

(14)

R. Cheikh ef ol.: TDCS of electron impact ionisation of Na(3s, 3p,3d)

W ( k , , k a , k o b , p r , p z , c " a t r r b t c " o b t \ 1 , À 2 , À s , q ) : [ + + 1 F 1 ( - i c . o , l , i ( k . r + k ' . r ) )

e x p ( - i k " ' r - i p t ' r - À 1 r )

205

f -, - : -:J- M- i t i*^ ô.,- {W (h, -kz,kn,-k,;, o, (tr t e2 t an, 0, ui, 0, q)1/2(2r)2 fin'o

- W (ktz,kz, kr, kr - kr - krz, kr - kt, c,12, ez t dr t 0, vi,0, n) + O fiW(k1, -k2, k12,

+ (Z - 1)W(k1, -kz,k1 ' : . , -k t ,O, cr r ,d2,ap,( ,u i ,0 , r1) \

x 1F1(- ia6,L, i (k6B+ ko . R,) )exp(- iku ' R - ipr R - i r t ' R - ÀrR)

x 1F1(-iao6,I, i( le'6lr + Rl + k"u ' (r + R)))exp(-Àalr * Rl). (15)

-k l , O, ot7 t d2 t A12 r 'y , v i , 0, Q)

(16)

tVe define the following basic integral, which is a general-isation of the one presented in [12]:

See equation (15) aboue

For the rn sublevel of the lzll) state their procedure shouldbe extended by introducing supplementary derivations ofbhe basic integral in terms of \2, r1r, qo and 4r. The orig-inality of our approach consists in the fact that we couldperform all the derivations analytically using recursion re-lations developed in [19].

The direct term of the transition matrix element is

Siven by:

See equation (16) aboue

lhe Dn1* are operators and their applications permits to

Ienerate the spatial and angular part of the corresponding)ound state.

t Result

lrVe will in what follows present the variation of the five

bld differential cross section (5DCS) of the 3s, 3p and

td levels of sodium in terms of the ejection angle for an

lncidence energy value of 150 eV and an ejection energy

[alue of 50 eV. We consider two scattering angles, 0.5olorresponding to a situation of small momentum trans-pr, and 35o corresponding to an optimal situation inloplanar geometry giving zero recoil momentum of the

bn k'".or, - K - kz : 0 (Bethe ridge), when the ejec-

lion direction (kz) is parallel to the momentum transfer

K : kt - kr. On each figure we will present three curves,

fepresenting the results obtained bg the Coulomb pro-pcted Born 2C procedure [20] in dotted lines. These are

lealised by replacing an by zero in equation (16). Thisp equivalent to a,n independent particle description of the

[nal state double continuum by two Coulomb wave func-

fions. Next, the curves in full line will represent the re-

fults obtained by the 3C correlated two electron contin-

fum wave function (Eq. (10)), which can be considered

[r contrast to the preceding, as a first order Born proce-

[ure with correct boundary conditions. Finally, the curves

with dashed lines will represent the results noted 2CG ob-tained by multiplying the 2C results by the Gamow factor

G : , l?t' ,, which is also present in the 3C waveSlnn(1412l

function. The comparison between the 3C and the 2CGresults will permit us to find out situations where the finalstate correlation introduced by the third hypergeometricfunction is important. This will show the reliability of thecalculations [7,2L,221 where the final state correlation isintroduced only partially by the Gamow factor'

We consider first, in the Figures 2a and 2b the varia-tion of the SDCS of the ionisation of sodium for the sub-Ievels 3ps and 3p11 respectively in a coplanar geometryfor an scattering angle of 0.5". We remark that, the 2Cand 3C results differ in shape and in magnitude, speciallyin the forward ejection direction 02 x 0o or 360o. In fact,the Gamow term, present in the 3C and 2CG results, hin-ders the ejection in this direction. On the other hand, the3C and 2CG results are somewhat similar in shape in the3ps case but not in the 3pa1 case in Figure 2b, where themaxima are translated to the forward direction.

In the case of the scattering angle of 35o we present inFigures 3a and 3b the SDCS of 3ps and 3p11 respectively.Here the momentum tra;nsfer direction around the ejectionangle of 300" is an optimal direction, as in this directionthe recoil momentum which is given by kreco;t,: K - kz.Here the conclusion that we can do when comparing thedifferent results is that the Gamow factor introduces adifference in the magnitude, as it destroys the norm ofthefinal state wave function. More it does not contribute inany way in the modification of the general shape of thecurve of 2C. One must add that, the minimum that weobserve around 300o in Figure 3a is due to the structureof the initial state of the atom and not to the final statecorrelation as it exists on the three curves'

In the Figures 4a, b, 5a, b and 6a, b we present respec-tively for the 3s 3p and 3d levels for the scattering angles0.5o and 35' by tlne M statistical distribution given by:

D ,f,)*.rn : - l

u n l -2 l + l

(17)

206 The European Physical Journal D

I 8()

gz (dÈ9.)

Fis. 2. The fivefold differential cross section (5DCS) of the (e,

2e) ionisation of sodium in terms of the ejection angle 0z' The

incident, ejected electron energies and the scattering angle are

fespectively 150 eV, 50 eV and 0.5': (a) for the 3ps level and(b) for the 3p+r level. The full curve gives the 3C results. The

$otted curve gives the 2C results. The dashed curve gives the

ZCG results.

I

!'ollowing the treatment of Berakdar et aI. [17], we deter-

pnined the tensorial parameters lÉo), l[t), x[') "ott""ttt-ng the p sublevels with:

0 60 120 I 80 240 300 360g? (deg.)

Fig. 3. Same as Figure 2 but for the scattering a"ngle at 35o.

r20 180 240 300

s, (deg.)

Fig. 4. The total SDCS (Eq. (1)) for (e, 2e) ionisation ofsodium 3s in coplanar geometry for the scattering a,ngle at:(a) 0.5' and (b) 35".

i0-2

tjo) : ftOt?,+ "5ll + "["o ,)rÉ') : fif"fÀ- "[? ,)Etù : ftf"til

-2o5?"+ "[oo ,). (18)

[Ve give in Figure 7 their variations in terms of the az-

fmuthal angle 92 of the ejected electron direction keeping

br : 0o with the spherical polar angles 0r : 35o and

?z : 60".In Figure 7a and 7c, we present respectively lhe M-

[tatistical distribution of the DCS given by X[0) and the

bÉ') *tti"tt represents for excitation, the difference be-

lween the linearly-polarised and the unpolarised light, in-

[eed r[2) can be written as:

E[4: fifztq -tfi";t1.

R. Cheikh et al.: TDCS of electron impact ionisation of Na(3s, 3p,3d) 207

-â 1 ^

f^

.}- U

;-5

ai ,û

10

ct

r 5

8

0 60 120 180 210 300 36092 (deg.)

Fig. 5. Same as Figure 4 but for sodium 3p.

o 60 120 180 240 300 360

e2 (dcg.)

Fig. 6. Same as Figure 4 but for sodium 3d.

0 60 120 180 240

e, (des.)

Fig. 7. The tensorial components [17] in terms of the azimu-

tal angle g2 of t}l.e ejected electron. The incident, ejected elec-

tron energies, the scattering and ejection angles are respec-

tively 150 eV,50 eV 35o and 60o: (t) XÉo), (b) t6t) and (c)s(z)2 0 .

As expected, increasing (p2 makes the recoil momentumkrecoit - K - k2 diminish causing the increase in the in-tensity, which is observed in the three curves. The direc-tion around gz : 780o is a privileged direction (Betheregion). The minimum at 92: 180o is due to the mini-mum observed in Figure 3a and b around 300'. The 2Cand 2CG curves have more or less the same shape whichdefers strongly from that of 3C. This can be explained bythe fact that, as we keep the moduli of k1 and k2 fixed,k12 increases with 92 which is a parameter of the thirdhypergeometric function of the 3C, which is responsiblefor the final state correlation.

In Figure 7b, we present the variation of the dicroismgiven by:

t6') : ftvfÀ- "[? ,]'

in terms of rp2. Now as expected {1) fot p2 : 0o, 180o'Here also the 2CG and 2C results are in complete disagree-ment specially in the sensitive region a,round 9z : I50"to 210".

208

4 Conclusion

We have developed a procedure which determines theSDCS of the (e, 2e) ionisation of the different sublevelsof the n : 3 level of sodium by applying a 3C wave func-tion. Our results show for a,n unpolarized electron beam ofL50 eV and an ejection energy of 50 eV the particularities

of the variation of the SDCS in terms of the ejection angle3s, 3p and 3d sublevels and the limitations of the applica-

ùion of the Gamow factor to the 2C calculations, specially[n the determination of the dichroism in the 3pa1.

fhe authors would like to thank the CNUSC (Centre NationalUniversitaire Sud de Calcul) and the CIRIL (Centre Interuni-gersitaire de Recherche Informatique Lorrain) for computa-Iional facilities.

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Whelan, H.R.J. Walters, J. Phys. B' 28, 5317 (1994)'

8t* dp ('ellc, dz ta palaa,toanuc da"tt h SETD

8. CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons étudié la SE5D des alcalins préparés et comment une

préparation initiale de la cible est transférée aux deux électrons du continuum.

Les résultats montrent que les trois représentations du double continuum ne donnent

pas, en général, des sections efficaces similaires en allures et surtout en magnitude.

Ces calculs montrent le rôle très important de la corrélation dans l'êtat final. En effet,

cornme on peut le constater dans les figures 4.1-3.b, une grande disparité est observée

entre les résultats 3C d'une part et ceux de 2C et2CG d'autre part.

L'introduction du facteur de Gamow améliorait certes les résultats obtenus par 2C

(chapitre précédent) en interdisant aux deux électrons de sortir dans la même

direction, mais elle n'est pas d'une grande utilité dans ce chapitre. En effet, les

résultats de 2CG ne sont, dans certains cas, qu'à un facteur multiplicatif près de ceux

de 2C.

tu

CONCLUSION GENERALE

Dans ce travail nous avons présenté pour des collisions électroniques à grande vitesse

d'impact, les principes théoriques nécessaires pour l'étude de l'ionisation simple des alcalins.

Nous avons donné une description de l'état initial de la cible en utilisant le potentiel modèle

donné par Klapisch (I97I). Dans le cadre de la première approximation de Born, nous avons

présenté quelques modèles permettant de décrire le double continuum et spécialement le 3C

qui en plus d'être une fonction corrélée, elle vérifie les conditions asymptotiques exactes.

Nous avons par la suite développé la méthode de calcul des éléments de la matrice de

transition en donnant une généralisation de l'intégrale donnée par Brauner et al (1989). En

effet, le paramètre vectoriel q que nous avons rajouté, nous a permis d'étendre nos calculs aux

états p et d. Nous avons pu entreprendre pour la première fois une étude de I'ionisation simple

des états n:3 de I'hydrogène et du sodium pour différentes situations énergétiques et

angulaires.

l0l

êaa*ura'o ,é/4ônlp

Les résultats présentés dans le chapihe 3 ont montré qu'aux petits angles de diffusion, les

modèles 2C, 2CG et 3C donnent en général des sections efficaces similaires en allure

seulement. A petit paramètre d'impact, l'électron est sensible à une distribution électronique

quasi symétrique de la cible. En effet, les sections efficaces des états p et d sont assez proches

de celles des états 3s.

Dans |e cas des énergies comparables, les résultats nous ont permis de mettre en évidence la

nécessité d'utiliser une fonction d'onde corrélée pour une description du double continuum.

En effet, la corrélation introduite par I'hypergéométrique fonction de rrr joue un rôle très

important pogr ce domaine d'énergie. La conéIation géométrique introduite par le facteur de

Gamow empêche les deux électrons de sortir dans la même direction avec des énergies du

même ordre mais n'améliore pas pour autant les résultats de 2C.

Nous avons ensuite présenté dans le chapitre 4 une étude théorique des collisions assistées par

un laser. La SETD est analysée en fonction des tenseurs d'orientation et d'alignement. Cette

étude nous a permis de tester encore les différentes descriptions du double continuum.

Les résultats obtenus sur I'hydrogène et le sodium préparés montrent une disparité importante

entre le modèle 3C et les autres modèles. Ils nous ont confirmé le rôle très important joué par

la conélation inhoduite par I'hypergéométrique fonction de r,, et que l'introduction du facteur

de Gamow pour de type de collisions n'améliore pas les résultats de2C.

Nous avons montré ainsi que seule une fonction d'onde corrélée et ayant le comportement

asymptotique exacte peut décrire d'une façon rigoureuse le double continuum.

t02

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t07

Annexe A

sachant que

L'équation de Schrôdinger s'écnt sous la forme :

f [ - t1 l ( ,a 'Pnr," ' ) 12 I

2 l , ' a; [ t ' * t )+ ]enn^]* u ' ( t )e" ' ' = Eoenr-

1 - - - - a - " ^ - Y rV*(r)=-:-(Z- l ) : - -Be'-rr

où L2 représente le carré de I'opérateur moment cinétique et Vr ( r ) est un potentiel modèle de

l'électron de valence donné par Klapisch :

Cu-cur- DE L'ELEMENT DE MATRTcE (éq.(2-14))

q,r-(t) = R(r)Yr'(e,,p)

avec R(r) développée sur une base de fonctions de Slater :

Les éléments de matrice sont :

(A-1)

(A-2)

(A-3)

(A-4)M . N

R(r) - I t j Icu e-u i 'j=0 i=l

A =( rke-t ' lHolru 'e- t ' (A-s)

A = {- }!*-'"

Soient les dérivées suivantes :

*(rk ' r -€r ) = (u,rn ' - t -Ert ' ) . -6 '

#rr' *( '- ' .-" )) = [u'(u'* 1)- z(t<'+ t)Er *8"']r k'e-E'

A- 2nfisino * {-lu'(u'

+ 1)Jrk*k'.-(e+€)r *

+frk+k'+2e-(e+É)r * . nryJrk*t'

-(Z -1) Jru*u'*t.-(e+Éte)r *

On introduit ces dérivées (A-6) et (A-7) dans I'expression de l'élément de matrice A et

obtient:

-" [u'(u' + t)- z(t ' + t)€r

.UPJrr-re-* rk ' . -€r ar- Jrk-re-- rk ' r-( 'd.

- ( : -4 ;Jru- , . - " e-$ rk 'e-É 'd . -ÊJru"-* " -n

r t ' " -€ 'u , )

En introduisant les coordonnées sphériques r, 0 et <p on trouve :

+1 ' r ' ] r t ' e - t '

d r

(A-6)

(A-e)

+ (k' * r)€ 1rk+k'+r.-(e+€)r *

.-(t*6). * _ Jrk+k'+t.-(e+€)r 6,

-gJrk*r '*2.-(e+É+r)r * ] ,o-t)

sachant que :

Jrns-r '=Ë

on obtient :

t0ç

< rk e-" lHol rk ' e- t '

^l r lQ+t)-t ' ( t '."i6E)**'l , 4(u + k,)!+ (s#(r + r' + r)!- f(ft#l-(z-r) ( t + t '+ t ) t -p

( r *€* r )o*u* ' ( r *€* r )n*u* '(A-e)( t+t '+z) t

ft0

Annexe B

DETERMINATION DE L'INTEGRALE W

W = V/(kr,k2,k3,Pr,P 2,&r,d2,u"3,)u1,?v2,Ir ,1) = Ji+

(B-1)

x ,q(- ia , ,1, i (k , r + k , r ) ) . - ik1r- ip1r- r '1r

x,n, ( - icr ' l , i (k2R + krn)) " - ik2R- ip2R- inR-r '2R

' ,4(-icr,,t,i(t<,(r + R) + k,lr + nl)) e-"t".*t

Suivant la méthode de Brauner et al (1989) oa Sinha et al (1987), nous expnmons

l'hypergéométrique fonction de r,, sous la forme d'une intégration sur un contour 0 incluant

les points 0 et I (voir fig.Bl) (Landau et al (1965))

, F, (a, c, z) = (-znt)-'+df t dt(-t)*' (1 - t)"-u-l ."

W devient

Pour la convergence de I'intégrale nous avons (Gradshteyn (1980))

,F,(a,1,0) = (-zni)-' td(-|"-'(1- t)-" = 1

ce qui nous petmet d'écrire

sr = (-zni)-' !uarr1-r,)-t"'-t(r - t,)t"'N(t,)

(B-2)

(B-3)

ftt

w = N(tr = 0)+ (-zn,)-' ltr(-tr)-i"r-1(l

-,r)'"'[*(rr)- N(t, = o)]

où

(B-4)

(B-5)

(B-6)

(B-7)

(B-8)

(B-e)

(B-10)

ît2

dr dRx,4(- ia, ,1, i (k,r + k,r)) . - ik ' r . - iPrr- l ' ' r

x ,4(-ior,l,i(kzR + krn)) e-ik2R-iP2R-il '?R

, a-Ârlr+nl

avec

posons :

N(t , )= jrR

Pt =P , - k t t ,

Pz :Pz+q -k r t ,

A r : l r - f t r t ,

f ( t r ) = ( - r r ) - ' " ' - ' (1- . , ) ' " ' [N( , , ) - N( t , = o) ]

Figure Bl

f r1t, ; ot, =7,L.r(t3) dt3

. L,t(rr)dt, = IS[,.,r(*+ie)dx

de même

. Iu,t(tr)dt, = ljg J,"'.'r(* - ie) dx

e, {\

t , e 'e t p->

0, 0,t 0u

0 1 t t

0o 0t

les intégrales sur ces deux contours 0r et 0s sont opposées donc

[n,t(rr) dt, + l , f(t3) dt3 = o

pourle contour Lzoîpose t, = reiq où q = arctan9 et r = xcosqx

donc si e + 0 alors <p + 0 etr-) x ce quinouspermet d'écrire

( - t r ) - t " ' (1- t r ) t " ' = ( - re ie ; - i " '11- re ie) i " : = e-nqjx- i " '11- x1 i " ' (B-11)

Soit, I'intégrale sur Qrs'êcnt

L,r()dt3 - -e-ro' fi(l-,. )'"'[N(x)

- N(x = o)]u*

de même pour le contour 0ooîa (-tr;- i" ' (1- tr)t" ' = eno'x-t" '(1- x) '" ' donc

o L,t(r,)dt, = e'c': fi(!:ë. )'"'[N(x) - N(x = ol]u*

(B-12)

(B-13)

finalement pour le contour Qrlorsque e -+ 0 on peut I'assimiler à un cercle de centre 0 et de

rayon p qui possède une singularité en 0, or d'après le théorème de Cauchy

. L,t(rr)dt, = P.r1f,tr = O) =,l5Or,f(tr) = 0 (B-14)

pour le contox Qu

r l,t1t;at, = Jgoi f,

r1t + e'+iy)dy = I (B-rs)

Les équations (B-9), (B-10), (B-12), (B-13), (B-14) et (B-15) nous donnent

ft3

4anerc I

I r1t,;ot, =(e'o: - e-no: rfi[+)'"' [N(t')

--ry(t' : o)]u,,

donc W s'écrit

e?Io3 _ e-1rct3 I*,sL*](';;,,)'"'

2ni [*or*ei",'[N(t,)-Nft, = o)] où t, =J - - ' 1 . . " v L \

Il nous reste maintenant à déterminer f intégrale N. Plusieurs auteurs Schultz (1971), Geltman

et Hidalgo (1974) et finalement Sinha, et al (1987), I'ont calculé.

Pour cela, introduisons dans I'intégrale N (B-5) la représentation intégrale de la fonction

hypergéométrique (Erdelyi et al (1953)):

,F,(a,c,z) = ,1uffie J at t'-'(r - t)"-"-'to

Ce qui nous donne

N = [r(-icr,)r(r + icr,)r(-icr,)r(r + io,)]-' f ot,

* , =( t - t , ) r . , +r ,

l r i = Xi - i t jk j

Rec>Rea>0

t ; i " ,a ( l - t r ) ' " 'N ,

(B-16)

(B-17)

(B-18)

w=N(t r=o)+

w=N(t r=o)+

2ni

eÎct3 _ e-Îc[3

t;i",-'(1- t,)'"' f ot,

*,=#t -r^JI#(* - *,)' + Fr? (x -*r)' * w|

ou

avec j : 1 , 2

1+ eY

L'intégrale N, peut être détérminée suivant la méthode de Lewis (1956)

(B-1e)N 1

Les fonctions o sont indépendantes de l, ettr, elles sont données par :

or2 = -2lk$,

oo = [ (À,

* ]u,) ' +(e, - e,) ' ] (s+zn,) .

+zlx,(x', * *,* a?) + x,(tl,+ Al + a;)] '

+[(r, +rt,) ' * oî] [t i , *,\,) ' .a;]

o, = -2[i(x, + À,)k, + (e, - Q,)k, ] (s + 2À,) s

-zl(x',+ A'z, + a1)t, + 2).,(il',k, + Q,k,)] s

-21()",* ^,)' . al][i(r", + À,)k, * e,k,]

o, = -2l i(t , + rr)k, + (Q, - Q,)k,] (s+ 2Â,) s

-zl i(*,+À'?, +a?)t, +z)",(tt"zk, +Q,k,)] s

-2'1(?",* Â,)' . a?)] [i(1, + À,)k, * Q,k,]

+k ,k r ] (s+2Àr )s

-+[(r,r, - iq,n,)t, + (].,k, - iq,t,)t, ] s

++[i(1", +Â,)k, +O,r<,] [ i (r , +4,)k, *Q,k,]

Qr=k r *P ,=k r *P r - k t t ,

Q , =k , +P , =k , +Pz + î - k r t ,avec

îî5

Grâce à (B-19) et (B-17), N s'écrit

avec

et la représentation intégrale de la fonction hypergéométrique (Erdelyi et al (1953))

N = [r(-i',)r(r + ro,)]-'(+,,)'[-*^") f,as N,(s)

,Fr(a,b,c,z) = *ftq f dt to-' (t -,)"-o-' ( r - tz)-^

nous donne

(B-20)

(B-21)

Rec>Reb>0

N , (s) = | dt,t;'"'-'(t - t, )'"'(o,t, * oo)-t , r, [t,-io, ,t,-ffi)

= f, dt,t;'",-'(r - t,)i"' (o,rr * oo)-' [t.

";Ï' i;j ]'"'

si l'on poso a = 6 = Go * o' of t, = - -= dans l'expression de Nr, on trouve

o r +o12 ' b+ (1+b )y

Nr(ù = o; i " ' -1(o, + o, r ) t " 'b- ( l+ iat ) (1+ b) l * io ' * io ' ( l + u; - t t * ' " ' )Nr( r )

o o,

o l

Irdy ,{'*,",)-,(r + v)t'.-,r'[r . ffir]-"."''

=N,(s) = JEdve(v)

116

Yo = -

Dans ce travail la singularité se trouve à l'extérieur du contour d'intégration (, donc (Cauchy)

où le contour d'integration est € : y e [O,*]ett avec 0 = ârB

I'axe des réels.

la fonction g(y) a une singularité en

N,(ù = ['dy r(r+ior)-l(l + y)(1*io')-r[t. #Br]-".*''

Or, sachant que

, F,(a,b,c,l - ")

=ru#O f, at to-'(t + t)"-"(1 + zt)-^

et

,Fr(a,b,c,z) = (r - z)c-a-u r 4 (. - b,c - a,c,z)

N(tr) s'écrit donc,

0 2 + o opar rapport a

c t z * 0 2 + o 1 + o o

(B-22)

Rec>Reb>0 largzl<Tc

icr".1"" (or+ oo)(o, + oo)

(B-23)

(B-24)

N(t,) = (0,)'(- uLh*(#J "' [-el

-'"', r[-,o,,- oroz - orzoo

Soit

"nat

_

"-nat ff*r* ei"'v[N(t,)-N(t, = o)]2ni

(o , + oo ) (o , +oo )

o o ( o , + 6 2 + o o + o r r )

w=N(tr=o)+

ft7

Nous devons calculer I'amplitude de diffusion suivante :

o p= (vr lv lv, t=.*,1- !-rr- t)+-Fe-r ' ' . l l * , >:Pr +P2 +P3+Pa (c- l)' l r t rnl

Annexe C

CALCUL DE L'AMPLITUDE

DE DIFFUSION EN FONCTION DE W

où les fonctions où Y, et Y, sont données respectivement par les équations (2-40) et

(2-r0).

. P, = < v,l-tz-tr?l*, ' (c-2)

=- (z- 1) l - - tM -+ i9r ,or , " - ik14r- ik ' r2e4r, ^l4n' r,

,. ,q(-io,,1,i(k,r,, +t,r,)),4(-icrr,1,i(krr, +krrr)) '4(-io,r,1,i(k'rr,, +k,rr,r))

rlç

x eiu,., I(ar* + CC,ur, + cruS,)e-v1r2.-Çrrk=l

en effectuant le changement de variables suivant :

f : r r

R: _r,

on trouve

(c-3)

fl8

p1 = (z - D ]-Tt . +i [90* .-iklr.ikrR-r \ /Qn1/ ' ^ l+nf i , . - . - t t

x ,q (-icr,, l, i(k,r + t,r)),r,(-icrr,1,i(-krR + krR)),4(-ia,r,t, i(t<,r(, * R)+ k,rlr * Rl))

" e ik, ' (Cor + CruR + CruR2)e-utRs-+

P, = -(z - u ùæ*

. i[.- * - c,r

*..,- jlJ

W(k, , -k2 ,kp , -k ; ,0 ,c [1 ,a .2 ,a .12 , ( , vn ,0 ,0 )

, Pz =(r,l-*lr,'

(c-4)

(c-5)

P, n'est autre que l'équation (C-2) avec Z:2 et Ç:0 , soit alors :

l r lPr=1vr l - ; l v r >

I ' r I

I - .g f^ ô n ô2 , r , a ' )= - ûæt.)[to- r-

-crt av?

*c'n æ1)

W(kr,-kr, k12,-k;,0, cr 1,u2,d 12,O,vu,0,0)

. p3 = < v, l -Fr-* lv, t

= -F;z

M-+ [or, arr.- ik1qr- ik2r '(zn1/z ^l4n r

x ,4,(-ia,,t,i(k,r, + t,r,)),F,(-icrr,1,i(kr., + trtr)),F,(-ia,r,t,i(x ntn*k,rtr)) (c-6)

x e'u,', i(ar- + c,ur, * cruÉ)s-Trrs-vtrzË'r\

en effectuant le même changement (C-3) que précédemment on trouve

îtç

p, =:. u M -+ Jaran"-ik,rrik:R(zn7r' ''l4n-

x ,4,(-icr,,1,i(k,r + t,r)),4(-icrr,1,i(-krn + qn)),F,(-icr,r,t,i(x,r(. * R) + k,rlr + Rl)

" " 'u, ' | (Cou + C,uR + CruRt) e-Tre-vrR

p., = F,, *^'-ï [a,- 3-a,u(ZnY ,4On t= t \ d r #.c'-ila'J

1 r k r2 r0 r - k i r& z rd r r d t 2 rY k , r rO rO) ]

l r lt Po = (Vr l - lV i >

lr t r I

= -! u . --L [, dt'

, da" s-ikrrr s-ikrrr(2")/' "l4n

'lr' - trl

x ,4(-io,,1,i(k,r, +t,r,)),4(-icrr,1,i(krr, +krrr)) ,4(-icr,r,1,i(k' 'r,, +k'rr,'))

nk

t eiu," I(ar* + c,ur, + Cr6])"- '* 'k=l

Le changement de variables suivant :

r : r r - 12

R: r,

nous donne

(c-7)

(c-8)

(c-e)

p^ =- | ; iM-+ lT* . - ik ' r r - ik 'Rr- ik2R

(zn\/' 'J

x ,q(-ia,,t,i(t<,(r + R) + k,lr + nl)),r,(-i"2,1,i(k2R + krR)) ,F,(-io,,,1,i(t<,,r + k,rr))

" rikrr"ikrR i("r- + c,*R + cr*R2) e-u*R

k=1 '

t20

, . = t= t . . T[a

ô- . - .n ô ' ' ar \

' ^tz(zn)' ;\ "- fr -"'ri'-*"'-;'.)

w(k r ' k2 , k ' k , - k , - k12 , k r - k ; , c [ 12 ,&2 ,d t0 , vu ,0 ,0 )

Finalement, on trouve pour les états s de l'hydrogène ou du sodium :

P = -t*ft.Ë("* * c,.#..* #JW ( k r , - k z , k n

- k , , 0 , c r r , u z , u r 2 , 0 , v u , 0 , 0 )

+(Z - l )w(k l , -k 2 , k 12 , -k ; ,0 , c [ 1 ,& 2 ,u tz , ç , vu ,0 ,0 )

-p =a w( -k 2 , k ' k12 ,0 , -k i ,a 2 ,g . t ,d t2 ,y k , y ,0 ,0 )\ r -

ov,.

(c-10)

(c-11)

(c-12)

(c-13)

(c-14)

(c-ls)

(c-r6)

(c-17)

- w ( k r , k 2 , k ' k , - k , - k u , k l - k s , o 1 2 , o ' 2 , u . 1 0 , v * , 0 , 0 )

P = -à;ft.à[.,- * c,,fr*c,-fr) n

de même on trouve Pour les états

po ,=#g'.('+)â(.*-.,-*J"

p,r p=+i#f*.[*r,+JË,[c*-.,-#J"

d o

d* ,

-c,u+]"Nu)

, =,#' '. ('*)t* -' gu'J à[.,- - .,- *) "d , , ' = - #'. [*.'+J[* -'f][('*

î2î

Annexe D

PARAMETRES vk ET c ik DES F'oNcrroNS D'ONDE

INITIALES DU SODIUM

0.7083 1 .1081 2.1537 3.6310 5.7059 8.02s4 12.368

Co* 4.3402 -3.8294 -2.9246 -0.6233 7.9590 -4.2978 2.5365

cr* -0.4868 -t.2496 0 0 0 0 0

cro 0.0831 0.0480 0 0 0 0 0

V, 0.7083 1.1081 2.t537 3.6310 5.7059 8.0254 11

Co* -54.031 t6.474 14.473 32.559 -15.544 7.694 -1.639

cr* 6.7420 30.832 44.1t7 0 0 0 0

crn 0 0 0 0 0 0 0

D

Yr. 0.44 0.7 1 .1 2.4 3.6 5.7 11

Cou 0 0 0 0 0 0 0

cru -2.783 -7 .188 5.803 -20.343 20.899 4.0r08 -0.453

cru 0.197 2.067 4.335 16.392 22.774 0 0

Energies expérimentales(eV)

Energies théoriques(eV)

Sodium 3s 5 .1 38 5 .12

Sodium 3p 3.036 3.02

Sodium 3d r.522 1.51

123

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