Statistiques quantiques

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

px.

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

1

2

px.

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

px.

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

px.

22,...)2,1(,...)1,2(

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Classique Quantique

1

2

1 et 2 discernables

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

px.

,..)4,3,2,1(,..)4,3,1,2(

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Quantique

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

Symétrie permutationnelle ,...)4,3,2,1(,..)4,3,1,2(

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Quantique

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

Symétrie permutationnelle

+ ou - ???

,...)4,3,2,1(,..)4,3,1,2(

Indiscernabilité des particules d’un système à N corps identiques

Quantique

1

2

?

? ?

?

1 et 2 indiscernables

Symétrie permutationnelle

+ ou - ???

R: Principe de Pauli

,...)4,3,2,1(,..)4,3,1,2(

Principe de Pauli

• Pour Bosons:

• Pour Fermions:

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 (

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 (

Principe de Pauli

• Pour Bosons: fonction d’onde symétrique

par rapport à la permutation 12

• Pour Fermions: fonction d’onde antisymétrique

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 (

) ,... 2 , 1 ( ) ,... 1 , 2 ( S

A

par rapport à la permutation 12

Ensemble de particules indiscernables

molécule 1 molécule 2 molécule 3 molécule N

Conséquences de principe de Pauli

• Si particules (indiscernables) 1,2,3,… sont indépendantes:– et sont des bosons:

– et sont des fermions:

limite) (sans ,...3 ,2 ,1 , 0 in

1 , 0 in

[si les niveaux sont considérés avec une dégénérescence de spin appropriée: Ex: E(1s) de H est 2x dégénéré]

Statistique de Bose-Einstein

Ensemble macroscopique de N bosons indiscernables:

• Pour une partition {n1,n2,n3,…} fixée, les permutations des n1 particules sur 1, avec les n2 particules sur 2, etc.., ne comptent pas.

• Si Wi=Nombre de façons de placer les ni particules sur les gi sous niveaux de i,, alors

)( ,....),( 21 ii

iBE nWnnW

Calcul de Wi

gi -1 cloisons

Calcul de Wi

gi -1 cloisons

ni particules indiscernables

Calcul de Wi

gi -1 cloisons

ni particules indiscernables

ni + gi -1 objets

Calcul de Wi

gi -1 cloisons

ni particules indiscernables

ni + gi -1 objets

(ni + gi -1)! permutations

Calcul de Wi

gi -1 cloisons

ni particules indiscernables

ni + gi -1 objets

(ni + gi -1)! permutations

À compter !

Calcul de Wi

gi -1 cloisons

ni particules indiscernables

ni + gi -1 objets

(ni + gi -1)! permutations

À compter !(équivalents)

Calcul de Wi

gi -1 cloisons

ni particules indiscernables

ni + gi -1 objets

(ni + gi -1)! permutations

À ne pas compter

Calcul de Wi

gi -1 cloisons

ni particules indiscernables

ni + gi -1 objets

(ni + gi -1)! permutations

À ne pas compter: permutations entre particules ou entre cloisons!

Calcul de Wi

gi -1 cloisons

ni particules indiscernables

ni + gi -1 objets

)!1(!

)!1()(

ii

iiii gn

gnnW

Statistique de Bose-Einstein

Ensemble macroscopique de N bosons indiscernables:

i ii

ii

i ii

iiBE

gn

gn

gn

gnnnW

!!

)!(

)!1(!

)!1(,....),( 21

Statistique de Bose-Einstein

Maximisation de WBE avec contraintes de conservation de masse et d’énergie

BNnB

gTn

ii

i

i

1)exp(

)( i

Statistique de Fermi-Dirac

Ensemble macroscopique de N fermions indiscernables:

• ni=0,1

• Pour une partition {n1,n2,n3,…} fixée, les permutations des n1 particules sur 1, avec les n2 particules sur 2, etc.., ne comptent pas.

• Si Wi=Nombre de façons de placer les ni particules sur les gi sous niveaux de i,, alors

)( ,....),( 21 ii

FDi

FD nWnnW

Calcul de WiFD

gi sous-niveaux

Calcul de WiFD

gi sous-niveaux

ni particules indiscernables

ni < gi nécessairement

Calcul de WiFD

gi sous-niveaux

ni particules indiscernables

ni < gi nécessairement

Calcul de WiFD

gi sous-niveaux

ni particules indiscernables

nouvel état

Calcul de WiFD

gi sous-niveaux

ni particules indiscernables

rien de nouveau

Calcul de WiFD

gi sous-niveaux

ni particules indiscernables

Sur gi! permutations des sous-niveaux, on a ni! permutations de sous-niveaux occupés, (gi-ni)! de permutations de sous-niveaux vacants: (à ne pas compter)

Calcul de WiFD

gi sous-niveaux

ni particules indiscernables

)!(!

!)(

iii

ii

FDi ngn

gnW

Statistique de Fermi-Dirac

Ensemble macroscopique de N fermions indiscernables:

i iii

ii

i

FDi

FD

ngn

gnWnnW

)!(!

! )( ,....),( 21

Statistique de Bose-Einstein

Maximisation de WFD avec contraintes de conservation de masse et d’énergie

BNnB

gTn

ii

i

i

1)exp(

)( i