LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4docnum.univ-lorraine.fr/public/DDOC_T_2013_0327_BAILLARD.pdfCela n'a sûrement pas été tout le temps facile, alors merci

AVERTISSEMENT

Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de soutenance et mis à disposition de l'ensemble de la communauté universitaire élargie. Il est soumis à la propriété intellectuelle de l'auteur. Ceci implique une obligation de citation et de référencement lors de l’utilisation de ce document. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction illicite encourt une poursuite pénale. Contact : [email protected]

LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4 Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 335.2- L 335.10 http://www.cfcopies.com/V2/leg/leg_droi.php http://www.culture.gouv.fr/culture/infos-pratiques/droits/protection.htm

THESE

Présentée pour l'obtention du grade de

Docteur de l'Université de Lorraine

Spécialité : Mécanique et Énergétique

Par

Clément BAILLARD

Laboratoire d’Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée

Université de Lorraine, CNRS UMR 7563

2, avenue de la forêt de Haye, BP 160

Simulation numérique du refroidissement parspray en régime de Leidenfrost

Président : Buchlin Jean-Marie Professeur Émérite

Rapporteurs : Harion Jean-Luc Professeur des Universités

Villedieu Philippe Ingénieur de Recherche ONERA & ProfesseurINSAE

Examinateurs : Borean Jean-Luc Ingénieur des Procédés ArcelorMittal

Directeurs dethèse :

Lemoine Fabrice(Directeur)

Professeur des Universités

Caballina Ophélie(Co-direction

Maître de conférences

LabergueAlexandre(Co-direction)


THESE

Présentée pour l'obtention du grade de

Docteur de l'Université de Lorraine

Spécialité : Mécanique et Énergétique

Par

Clément BAILLARD

Simulation numérique du refroidissement par sprayen régime de Leidenfrost

Président : Buchlin Jean-Marie Professeur Émérite

Rapporteurs : Harion Jean-Luc Professeur des Universités

Villedieu Philippe Ingénieur de Recherche ONERA & Professeur INSAE

Examinateurs : Borean Jean-Luc Ingénieur des Procédés ArcelorMittal

Directeurs de thèse : Lemoine Fabrice(Directeur)

Professeur des Universités

Caballina Ophélie(Co-direction


Labergue Alexandre(Co-direction)


Laboratoire d’Énergétique et de Mécanique Théorique et Appliquée

Université de Lorraine, CNRS UMR 7563

2, avenue de la forêt de Haye, BP 160

54504 Vandœuvre-lès-Nancy

Buchlin Jean-Marie Professeur ÉmériteHabilitation à diriger des recherchesVon Karman Institute for Fluid Dynamics, Rhode-St-Genèse (Belgique)

Harion Jean-Luc Professeur des UniversitésHabilitation à diriger des recherchesÉcole des Mines de Douai, Douai

Villedieu Philippe Ingénieur de Recherche ONERA & Prof. INSAEHabilitation à diriger des recherchesONERA, Toulouse

Borean Jean-Luc Ingénieur des Procédés ArcelorMittal, ArcelorMittal Research, Maizières-lès-Metz

Lemoine Fabrice Professeur des UniversitésHabilitation à diriger des recherchesLEMTA, Vandœuvre-lès-Nancy

Caballina Ophélie Maître de ConférencesLEMTA, Vandœuvre-lès-Nancy

Labergue Alexandre Maître de ConférencesLEMTA, Vandœuvre-lès-Nancy

Remerciements :Ce n'est en général pas ainsi que l'on commence les remerciements, mais Amandine, ma compagne,

mérite amplement d'être au sommet de la liste. Merci de m'avoir soutenu et relevé. Merci de m'avoir

montré comment améliorer mes formulations, et comment organiser mes idées. Sans toi je peux

littéralement dire que rien n'aurait été possible.

Je souhaite également remercier les membres de mon jury, en premier lieu Philippe Villedieu et

Jean-Luc Harion d'avoir accepté d'être mes rapporteurs, ainsi que Jean-Marie Buchlin et Jean-Luc

Boréan pour avoir fait partie de mon jury, et enfin mes directeurs : Ophélie Caballina, Alexandre

Labergue et Fabrice Lemoine. J'ai apprécié les observations apportées à mes travaux. Cela m'a

permis de poser dessus un nouveau regard, positif et critique.

J'ai eu 4 directeurs durant ma thèse, 1 par année pourrait-on dire. Benoît tu m'as accueilli et fait

confiance dès mon stage de fin d'études. Tu as été présent tout au long de ce parcours et ce, même

après avoir pris ta retraite (bien méritée). Tu m'as apporté de la confiance pour mon travail. Je te

remercie pour tout. Alexandre et Ophélie, nous avons commencé à travailler ensemble autour de

l'expérience. C'était amusant, enrichissant, long mais pas lent. J'en garde un souvenir formidable.

Cela n'a pas été toujours facile entre nous, mais je vous remercie de m'avoir aidé à débuter et à finir

cette aventure. Ophélie, j'ai fait de nombreux passages dans ton bureau, parfois pour des questions

bêtes (ou dirait-on simple), parfois pour des points cruciaux. On a passé un temps conséquent à

réfléchir ou à organiser des idées ensemble, et parfois débattu sur des points de désaccord où j'ai pu

te faire répéter 100 fois les mêmes choses pour bien comprendre. Cela n'a sûrement pas été tout le

temps facile, alors merci de ta patience et de ton attention. Ce sont des moments qui m'ont permis

d'avancer, de marche en marche. Fabrice tu m'as appris à me battre, et tu m'as permis de gagner ce

combat : merci. J'ai énormément appris sur les relations de travail grâce à toi (et à Denis). J'ai

surtout apprécié les réunions pour la re-lecture de mon manuscrit. Exposer nos points de vues, et

trouver un compromis personnel et scientifique m'a permis de garder la foi! Alexandre, Ophélie, je

vous joins à ces moments également.

J'ai passé plus de la moitié de mon temps de thèse à l'ESSTIN, et que de bons souvenirs. Amine

merci pour ton aide du début de la thèse lorsque je n'avais aucune idée de comment créer une goutte

dans Fluent. Boris tu as brillamment repris le flambeau, sans tes coups de main (et d’œil) je connais

des programmes qui seraient encore buggés et de la physique qui serait bancale. Beaucoup de

thésards sont passés dans mon bureau, et l'inverse aussi. Les dessins de Michael faient à la mousse à

raser, les blagues de Patrice et le tambour contre le mur, les discussions limite-limite avec Laurent,

les "et toi t'en es où" de Romain, Kamil LE collègue de bureau polonais, tout cela restera gravé dans

ma mémoire. Je n’oublie pas le passage de notre collègue espagnole, Noélia. Le début de thèse fut

formidable notamment grâce à toi. Et puis Mélanie (les blagues et les potins), Anne Tanière

(soutien, blagues, amitié, et une confiance inébranlable), Nicolas (coups de main, blagues et

kebabs), Mohammed, Benoît (de nouveau), Fred, Céline, Valérie, Alain, Abdel, ... j'ai tellement de

souvenirs avec vous tous ensemble. J'aimerais vraiment écrire le meilleur moment avec chacun de

vous mais ce serait trop long. Je me rappelle des cafés du matin avec ses discussions de l'actualité,

et ceux de la fin d'aprem riches en échanges scientifiques, conseils et nouvelles sur nos

avancements respectifs. N'arrêtez pas ces moments-là, je crois que c'est d'une utilité fondamentale

pour l'équipe ESSTIN (je devrais dire les équipes:D). Je retiens surtout votre soutien, votre aide,

votre « secouage de puces » si besoin, et la très bonne ambiance, la fraternité ! C'est bien ça qui va

me manquer le plus, cet esprit d'équipe qui nous réunissait tous, les réflexions et discussions calmes

ou animées. Vous m'avez tous permi à un moment de parler de ce que je faisais, vous m'avez

critiqué, conseillé, guidé et cela m'a bien servi. Merci à tous.

Il ne faudrait pas que j’oublie les stagiaires qui sont passés à l'époque (particulièrement Justin

Jacquot) et certains élèves de l'école dont la bonne humeur rendait les jours plus chaleureux.

Enfin je vous remercie tous d'avoir été présents nombreux à ma soutenance. Vous voir tous entrer à

la file indienne m'a fait chaud au cœur.

A l'ESSTIN j'ai également enseigné. Merci à Anne, Eric Landfrid et Gilles Parent de m'avoir offert

la possibilité d'être enseignant, responsable et respectable (je l'espère!). Merci également au service

technique de l'ESSTIN. Sébastien, Jean-Pierre et tous les autres, on a passé des moments cool !

L'autre moitié de ma thèse s'est déroulée à Brabois. D'abord perdu dans ce bureau (presque tout

seul, sauf lorsque les stagiaires dont Julien Hoarau sont arrivés :) ). Puis mon intronisation dans ce

superbe bureau au nord ouest du bâtiment. Merci Cédric de m'avoir laissé ta place dans cette

ambiance et ce confort plein de camaraderie ! La team des poilus: Pierre, Lionel (encore 1 an -->

courage), Nicolas, Bamdad j'ai plein de bons souvenirs avec vous. Merci à Caroline pour l’accueil

qu'elle me faisait dans le bureau lorsque durant la dernière année je ne bossais plus dans le mien.

Les repas RU avec Hugues et Adrian resteront mythiques (n'oubliez pas : le mieux c'est les

exosquelettes!). J'ai sûrement oublié du monde, mais je retiens que j'ai beaucoup souri et ri à

Brabois. Sachez tous que je vous remercie vraiment pour les moments que l'on a pu vivre. Parmi les

permanents, je voudrais particulièrement remercier Michel Gradeck pour l'intérêt qu'il portait à mon

travail et à mon état d'esprit, ainsi que pour son aide, Olivier Botella pour le coup de main au

moment où il le fallait, Benjamin Remy pour l'aide à l'utilisation de FlexPDE (pas de chap. 4 sans

cela!). Enfin un clin d’œil à Alain Delcomte et au service électronique pour les repas à l'INIST de la

dernière année, et les nombreuses discussions que nous avons eues.

Les services de secrétariat et d'informatique savent combien ils ont été nécessaires, utiles et

efficaces pour moi, je vous adore. Merci à Mélanie Thibault, Marie-Luce Boulet, Jean-Paul Gobert,

Nicolas Rogier de l'ESSTIN, ainsi qu'à Edith Lang, Irène Léonard et Ludovic Buhler du site de

Brabois.

La collaboration de mon laboratoire avec L'ONERA m'a permis de collaborer avec Jean-Mathieu

Senoner. Je te remercie pour ta curiosité, tes conseils et nos échanges sur le sujet de la reproduction

numérique du spray. Cela m'a aidé à prendre de la distance sur mon travail, et ce fut salvateur et

encourageant. En ce qui concerne les collaborations, je remercie également Jean-Luc Borean et

Pascal Gardin de ArcelorMittal pour leurs conseils et leur intérêt.

L'organisation du séminaire de l'école doctorale restera un moment exceptionnel durant mon

doctorat. Certes la réécriture du code HTML pour le site du séminaire m'a pris beaucoup de temps,

mais les rencontres que cela m'a permis de faire compensent amplement. Christine, Anthony,

Émilie, Christelle, Amandine, je suis très heureux de vous connaître et espère longtemps vous

côtoyer. Coucou également à Aurélie, amie de ces amies, et une de mes amies maintenant !

Merci à tous ceux de la danse, et surtout Marie-George, Muriel, Anael, Amélie, Mélody, Esther,

Mélanie, Mathieu, Florian et j'en oublie. Vous avez supporté mes blagues le soir, et cela m'a aidé à

attaquer chaque matin ! Et merci d'être venus à la soutenance ;) !

Ma famille ne m'a pas beaucoup vu alors merci de m'avoir attendu, et d'avoir assisté à mon final.

Gabin, j'ai loupé ta naissance, j'avais la tête dans le manuscrit, mais promis je t'en ferai la lecture

pour me faire pardonner ;). Mes amis de toute la France vous avez été là quelques fois, et ça a fait

du bien. Mes colocs, vous m'avez vécu, subi, aidé et encouragé. Je bois à votre santé. Amandine, tu

m'as vécu, subi, aidé et encouragé, et tu l'as fait presque toute seule → MERCIIII

Merci à tous

Table des matières :Nomenclature :.............................................................................................................1

Introduction :...............................................................................................................5

Chapitre 1 : État de l’art.............................................................................................7I. Les sprays, généralités..................................................................................................................8

I.1. Génération d'un spray...........................................................................................................8I.2. Écoulement d'un spray dilué.................................................................................................9I.3. Caractérisation d'un spray...................................................................................................11

I.3.1.Outils statistiques.........................................................................................................12I.3.2.Caractérisation de la phase discrète.............................................................................14I.3.3.Caractérisation de l'échelle globale du spray...............................................................15I.3.4.La phase continue : l'air...............................................................................................15

I.4. Classification des sprays.....................................................................................................16

II. Refroidissement par spray.........................................................................................................18II.1. Régimes et mécanismes du transfert thermique................................................................18

II.1.1.Courbe de Nukiyama..................................................................................................18II.1.2.Courbe transitoire de refroidissement.........................................................................21

II.2. Mécanismes du refroidissement par impact d'un spray.....................................................22II.2.1.Généralités..................................................................................................................22II.2.2.Refroidissement par impact direct..............................................................................23II.2.3.Refroidissement en présence d'un film liquide...........................................................25

II.3. Participation des modes de transfert thermique dans le refroidissement total..................30

III. Modélisation du refroidissement par spray..............................................................................32III.1. Généralités.......................................................................................................................32III.2. Corrélations pour le refroidissement par impact direct de gouttes en régime d'ébullition en film vapeur............................................................................................................................34

III.2.1.Refroidissement par impact direct d'un train de gouttes monodispersées.................35III.2.2.Refroidissement par impact direct d'un spray...........................................................38

III.3. Méthodes et corrélations relatives au transfert thermique en présence d'un film liquide 42

IV. Conclusion...............................................................................................................................44

Chapitre 2 : Calcul numérique de l'écoulement libre d'un spray.........................49I. Méthodes et modèles pour la simulation d'un spray...................................................................50

I.1. Outils de simulations applicables aux sprays.....................................................................50I.1.1.Simulation eulérienne de la phase continue.................................................................51I.1.2.Suivi lagrangien de la phase discrète...........................................................................56I.1.3.Couplage du suivi lagrangien à la simulation eulérienne............................................63

I.2. Méthodes d'initialisation d'un spray....................................................................................65

II. Caractérisation du spray étudié : contrainte de simulation.......................................................67II.1. Présentation des dispositifs expérimentaux.......................................................................67

II.1.1.Description du banc expérimental..............................................................................67II.1.2.La technique d'Analyse Phase Doppler......................................................................69II.1.3.Caractéristiques et configuration du dispositif PDA utilisé........................................72II.1.4.Ombroscopie et imagerie rapide.................................................................................73II.1.5.Mesure locale du débit – Méthode des godets............................................................74

II.2. Caractéristiques des grandes échelles du spray.................................................................74II.2.1.Visualisation par caméra rapide des dimensions du spray..........................................74II.2.2.Évaluation du débit surfacique...................................................................................76

II.3. Caractérisation statistique des gouttes du spray................................................................77II.3.1.Diamètre des gouttes...................................................................................................77II.3.2.Vitesse des gouttes......................................................................................................79

II.4. Synthèse.............................................................................................................................80

III. Mise en œuvre de la simulation numérique.............................................................................81III.1. Description du schéma numérique...................................................................................81

III.1.1.Méthodes et modèles de simulation utilisés..............................................................81III.1.2.Domaine de calcul, maillage et conditions limites....................................................83

III.2. Paramétrisation numérique..............................................................................................87III.2.1.Schémas numériques de résolution des équations dans Fluent®..............................87III.2.2.Processus d'initialisation d'une phase discrète dans Fluent®....................................89III.2.3.Résumé des paramètres numériques de la simulation...............................................89

III.3. Initialisation de la phase discrète.....................................................................................90III.3.1.Principe général d’initialisation de la phase discrète du spray : UDF.......................90III.3.2.Données de génération du spray numérique..............................................................92III.3.3.Paramètres additionnels de génération du spray.......................................................97

III.4. Conditions limites du gaz sur la surface S_injection.......................................................97

IV. Simulation de l'écoulement......................................................................................................99IV.1. Validation de la méthode d'initialisation..........................................................................99

IV.1.1.Fonctionnement général.............................................................................................99IV.1.2.Caractéristiques des gouttes initialisées...................................................................100IV.1.3.Synthèse...................................................................................................................104

IV.2. Validation du transport de la phase discrète du spray.....................................................104IV.2.1.Évasement du spray.................................................................................................104IV.2.2.Caractéristique de la phase discrète dans le plan Z = 500 mm................................106

IV.3. Synthèse..........................................................................................................................108

V. Conclusion du chapitre............................................................................................................108

Chapitre 3 : Simulation numérique simplifié de l'impact d'un spray froid sur une surface chaude...................................................................................................111

I. Hypothèses de travail................................................................................................................112I.1. Hypothèse sur la configuration d’impact..........................................................................112I.2. Comportement d'impact des gouttes.................................................................................112I.3. Influence de la plaque chaude sur la dynamique du spray................................................113I.4. Conclusion........................................................................................................................113

II. Configuration numérique........................................................................................................114II.1. Description du schéma numérique..................................................................................114II.2. Domaine de calcul et maillage.........................................................................................115II.3. Conditions limites............................................................................................................116II.4. Schémas et paramètres numériques de la simulation......................................................116

III. Influence de la paroi sur les caractéristiques du spray...........................................................118III.1. Effet de la plaque sur le débit surfacique.......................................................................119III.2. Effet de ségrégation des gouttes en fonction du diamètre..............................................119

III.2.1.Evolution des diamètres statistiques des gouttes.....................................................120III.2.2.Évolution des densités de probabilité du diamètre..................................................121III.2.3.Synthèse sur la ségrégation des gouttes et l’influence sur la répartition du liquide122

III.3. Effet de la plaque sur la trajectoire des gouttes..............................................................123III.3.1.Étude des composantes de la vitesse des gouttes....................................................124III.3.2.Étude des corrélations taille-vitesse........................................................................124III.3.3.Calcul et comparaison des angles d'incidence des petites et des grosses gouttes. . .130III.3.4.Synthèse sur la vitesse et les trajectoires des gouttes..............................................132

Chapitre 4 : Étude numérique du refroidissement d'une plaque chaude soumise à l'impact d'un spray froid.....................................................................................135

I. Principe et méthode de la simulation........................................................................................137I.1. Principe de l'étude numérique...........................................................................................137I.2. Modèles de refroidissement par spray dans la littérature, en régime de Leidenfrost.......138I.3. Grandeurs d'impact du spray utiles pour la corrélation de Yao et Cox.............................138

II. Mise en œuvre de la simulation..............................................................................................140II.1. Schéma numérique et stratégie de simulation.................................................................140II.2. Géométrie et conditions limites.......................................................................................140

II.2.1.Domaine de calcul....................................................................................................140II.2.2.Conditions limites.....................................................................................................141

II.3. Maillage et pas de temps de calcul..................................................................................143

III. Simulation du refroidissement...............................................................................................144III.1. Refroidissement au temps initial....................................................................................144

III.1.1.Aspect général du transfert thermique et contribution des différents modes..........144III.1.2.Analyse du transfert thermique par comparaison avec les caractéristiques du spray............................................................................................................................................146

III.2. Étude transitoire du refroidissement..............................................................................148III.2.1.Evolution de la température....................................................................................148III.2.2.Évolution de la densité de flux de chaleur extraite par le spray..............................149

III.3. Champs de température finaux et homogénéité du refroidissement..............................150

IV. Influence de la dynamique de l’impact du spray sur le refroidissement................................151IV.1. Présentation des configurations de refroidissement.......................................................151IV.2. Caractéristiques générales du refroidissement...............................................................152IV.3. Flux de chaleur extrait au cours de temps......................................................................153IV.4. Courbes transitoires de refroidissement.........................................................................154IV.5. Homogénéité du refroidissement....................................................................................155

V. Synthèse du chapitre................................................................................................................156

Conclusion :..............................................................................................................159

Bibliographie :..........................................................................................................165

Annexes 1) Auteurs référencés pour construire la carte de la figure 1.5............172

Annexes 2) Le modèle TAB.....................................................................................175

Annexes 3) Cartes des paramètres des fonctions d'interpolation de la vitesse pour la méthode d'initialisation..............................................................................177

Nomenclature :

Atrans , Alongi Angles des trajectoires des gouttes avec la plaque dans les plans XZ et YZ[°]

CD Coefficient de traînée

cP Chaleur spécifique [J.kg-1.K-1]

d Ou d p Diamètre de goutte [µm]

d10 Diamètre moyen [µm]

d20 Diamètre surfacique [µm]

d30 Diamètre volumique [µm]

d32 Diamètre de Sauter [µm]

D0 Diamètre / paramètre séparant les petites et les grosses gouttes [µm]

EX , EY , EZRéférentiel du système de coordonnée

E (X )r Moment statistique d'ordre r de la variable X

g Accélération de la pesanteur [m.s-2]

hLV Chaleur de changement de phase liquide → vapeur [J.kg-1]

hT Coefficient de transfert de chaleur [W.m-2.K-1]

I turb Intensité turbulente

k Énergie cinétique turbulente [m2.s-2]

mX Mode de la distribution statistique de la variable X

mom Quantité de mouvement (de l'anglais momentum)

Nu Nombre de Nusselt

N Densité de flux de gouttes [m-2.s-1]

Oh Nombre de Ohnesorge

P Pression [Pa]

Qm Débit massique [kg.s-1]

QV Débit volumique [kg.min-2]

QV Débit surfacique / densité de flux liquide [L.m-2.s-1]

Ra Nombre de Rayleight

Re Nombre de Reynolds

Rμt /μ Rapport de viscosité

SP Maître couple [m2]

St Nombre de Stokes

T sat Température de saturation du liquide [°C]

T w Température de paroi [°C]

t Temps [s]

U 0 Vitesse des petites gouttes [m.s-1]

ULim Vitesse des grosses gouttes [m.s-1]

u rel Vitesse relative entre le liquide et le gaz [m.s-1]

V Volume [m3]

Var (X ) Variance de la distribution statistique de la variable X

u ou v Vitesse [m.s-1]

We Nombre de Weber

x , y ,z Système de coordonnées [m]

X ,Y , Z Axes principaux du système de coordonnées

X ad=X

Z⋅tan(θ longi/2)Coordonnée adimensionnelle dans la direction X

Y ad=Y

Z⋅tan (θ trans /2)Coordonnée adimensionnelle dans la direction Y

X r Moment statistique d'ordre r de la variable X

Symboles :

ΔT w=T w−T L Différence de température entre la paroi et le liquide [°C]

ΔT sat=T w−T sat Température de surchauffe de la plaque [°C]

ΔT sub=T sat−T L Température de sous-refroidissement du liquide [°C]

Δ t Pas de temps [s]

ε Taux de dissipation turbulente [m2.s-3]

εT Efficacité de refroidissement

(ε )ray Émissivité d'un matériaux

θ longi Angle d'évasement longitudinal (direction X)

θ trans Angle d'évasement transversal (direction Y)

λ Conductivité thermique [J.K-1.m-1]

μ Viscosité dynamique [kg.m-1.s-1]

μ log 1er Paramètre de la loi de probabilité log-normale

ν Viscosité cinématique [m2.s-1]

ρ Masse volumique [kg.m-3]

σ Tension superficielle entre un liquide et un gaz

σ log 2nd Paramètre de la loi de probabilité log-normale

σ X Écart type de la distribution statistique de la variable X

σ S.B. Constante de Stefan Boltzmann [W.m-2.K-4]

τ Constante de temps [s-1]

ΦV Facteur de volume cible (voir la méthode d'initialisation du spray)

χV Titre volumique

ω taux de dissipation spécifique de la turbulence [s-1]

I ndices et exposants :

B Relatif à la fragmentation (de l'anglais Breakup)

CHF Relatif au point d'ébullition critique

CP Relatif à la phase continue

DP Relatif à la phase discrète

film Relatif à un film

G Phase gazeuse / air

ini Relatif à l'initialisation du spray

L Phase liquide

lam Relatif à un régime laminaire

leid Relatif au régime de Leidenfrost

m Relatif à la masse (liquide ou gazeux)

p Particule / gouttes

rel Relatif entre le gaz et le liquide, par exemple u rel=uG−u p

sat saturation

sd Relatif à une goutte solitaire (de l'anglais single drop)

sp Relatif au spray

ss Relatif à un train de gouttes (de l'anglais single stream)

turb ou t Relatif à la turbulence (régime ou grandeur associée)

w Plaque / surface (de l'anglais wall)

Sigle s :

Moyenne temporelle ou spatialevol Moyenne volumique

Introduction :Un grand nombre de procédés des industries de transformation de la matière ou de conversion des

énergies nécessitent l’extraction de hauts flux de chaleur.

Les processus d’extraction de flux de chaleur, ou de refroidissement, comprennent en particulier

l'immersion du solide à refroidir dans un liquide (ou trempe), l'impact d’une matrice de jets d’eau

cohérents sur la surface à refroidir, ou encore l’utilisation d'un spray. Le refroidissement par spray

consiste à faire impacter un brouillard de gouttes sur la surface à refroidir. À titre d’exemple, dans

l'industrie métallurgique, la phase de refroidissement fait partie intégrante du traitement thermique,

qui se compose d'une succession de phases de chauffage et de refroidissement qui conféreront au

matériau une micro-structure en relation avec ses propriétés d’usage. Dans les procédés

sidérurgiques, des brames d’acier sont chauffées à près de 1200°C pour faciliter leur laminage à

chaud, puis refroidies de manière extrêmement rapide, avec des taux de refroidissement pouvant

atteindre quelques milliers de K par seconde, en fonction des propriétés microstructurales et

mécaniques désirées. Ces étapes nécessitent un contrôle de la vitesse de refroidissement, du flux de

chaleur ainsi qu’une bonne homogénéité spatiale du refroidissement.

Si les techniques d’impacts de jets d’eau cohérents peuvent paraître simples à mettre en œuvre et

permettent un contrôle du refroidissement jusqu’à des températures assez basses, elles ont

néanmoins l'inconvénient de consommer de grandes quantités de fluide de refroidissement et les

flux thermiques extraits peuvent s’avérer parfois très hétérogènes, ce qui conduit à limiter la qualité

des produits obtenus. De plus, la consommation excessive de fluide de refroidissement induit une

consommation d’énergie accrue, ce qui diminue l’efficacité énergétique globale du procédé.

Le refroidissement par spray ne constitue pas d’ailleurs le seul champ d’application des modèles

d’interaction entre une goutte et une paroi chauffée. Dans un moteur à combustion interne, le

combustible est injecté sous la forme d’un spray de fines gouttelettes qui s’évaporent, cette vapeur

se mélangeant au comburant avant de dégager de la chaleur par combustion. Une partie du spray

impacte sur la paroi de la chambre de combustion, donnant lieu à des phénomènes d’évaporation, de

Figure 1: Banc de refroidissement d'une brame d'acier par des rampes de spray.

dépôt et de formation de film ou d’émission de gouttes secondaires. Ces phénomènes sont d’autant

plus importants pour le fonctionnement global du moteur que la chambre est de petite taille,

correspondant à la tendance actuelle d’évolution des moteurs à combustion interne.

L'utilisation de liquides sous forme dispersés (sprays) peut permettre, dans certaines conditions,

d'atteindre des flux thermiques très élevés, notamment en maximisant les surfaces d’échange entre

le fluide de refroidissement, l’air et la paroi, en particulier en favorisant les changements de phase

(évaporation).

L’interaction d’un spray et d’une paroi chaude constitue un phénomène complexe qui couple

hydrodynamique, transferts de chaleur et de masse. La modélisation fine des phénomènes

d’interaction entre une goutte et une paroi chauffée constitue une étape nécessaire plutôt bien

documentée dans la littérature, même si de multiples verrous scientifiques restent à lever, tels que la

répartition des énergies dans le bilan énergétique de l’interaction goutte-paroi (relation évaporation,

chaleur sensible, flux extrait à la paroi) ou encore l’établissement de modèles hydrodynamiques

dans des régimes complexes tels que l’ébullition en film de vapeur ou l’impact d’une goutte sur un

film liquide déjà présent sur la paroi.

Ainsi, afin de dimensionner correctement les installations industrielles utilisant le refroidissement

par spray, il est nécessaire de disposer d’un outil de simulation suffisamment prédictif qui

permettent de calculer, pour un spray caractérisé par sa distribution surfacique de débit et sa

distribution granulométrique à l’injection, l’évolution de la température de paroi, le champ de

température résultant et le temps caractéristique nécessaire au refroidissement à une température

donnée.

C’est dans ce cadre que s’inscrit l’objectif de ce travail de thèse. Une buse d’injection couramment

utilisée dans l’industrie sidérurgique sera étudiée en utilisant ses caractéristiques mesurées (débit

spécifique, distribution granulométrique, distribution des composantes de vitesse, corrélations taille-

vitesse) afin d’entreprendre la simulation numérique du spray en écoulement libre. Puis l’influence

de la présence d’une surface impactant sur l’écoulement sera envisagée. Enfin, en se basant sur

l’état de l’art, un modèle de refroidissement global sera utilisé afin de simuler sur le plan des

transferts thermiques l’interaction des gouttes et de la paroi et ainsi de déterminer l’évolution du

champ de température de paroi en fonction du temps, ceci en se limitant au régime d’ébullition en

film de vapeur (régime de Leidenfrost). Ce régime particulier correspond au cas où la surface

impactée est très chaude, ce qui conduit à la formation d’un film de vapeur entre le liquide et la

surface chaude, diminuant ainsi les transferts thermiques. Ce régime est en effet très important dans

le domaine du refroidissement des produits sidérurgiques, puisqu’il correspond au premier régime

rencontré lors de la phase de refroidissement. Le régime de remouillage, obtenu lorsque la

température de paroi devient inférieure à la température de Leidenfrost ne sera pas considéré dans

ce travail.

Chapitre 1 : État de l’art


I. Les sprays, généralitésI.1. Génération d'un spray

Un spray est issu de l'atomisation d'une phase liquide dans un environnement gazeux.

L'atomisation correspond à la conversion d'un grand volume de liquide en une collection de

gouttes et de ligaments. Différentes méthodes existent pour générer un spray, parmi lesquelles

forcer le passage d'un liquide à travers un petit orifice/une buse (méthode dite de pression),

mettre en rotation le liquide, arracher des gouttes par l'action d'un flux d'air co- ou contre-

courant à haute vitesse, faire impacter un jet liquide contre une surface, ou encore utiliser des

ondes acoustiques ou des forces électriques. L'essentiel est de créer une force capable de

contrer la tension superficielle du liquide pour le fragmenter. En fonction de l'application

recherchée pour le spray, l'une ou l'autre de ces méthodes peut être privilégiée. Dans le cadre

du refroidissement, les sprays sont généralement obtenus en utilisant des buses générant un

spray conique plein ou plat ou encore des buses « swirl », permettant une mise en rotation du

liquide.

La forme, les dimensions de la buse ainsi que la pression d'entrée vont définir le régime

d'écoulement à l'intérieur de la buse. Ces conditions initiales vont déterminer la vitesse, le

diamètre des gouttes, ou encore l'angle de dispersion du spray lorsque celui-ci est pleinement

développé.

La figure 1.1 montre les étapes successives de la formation d'un spray. La région

d'atomisation primaire est dominée par le liquide, qui se divise en gouttes, ligaments, ou

autres éléments liquides de tailles variables. Les forces en présence sont essentiellement liées

au développement d’instabilités hydrodynamiques et à la propagation d'ondes dans un milieu

liquide continu.

La concentration en liquide dans l'espace occupé par le spray diminue à mesure que l'on

s'éloigne de la buse et les phénomènes physiques évoluent. Dans la région dense du spray, les

interactions entre le liquide et l'air commencent à apparaître. Les transferts de quantité de

mouvement entre les deux phases se traduisent par des processus de déformation et de

fragmentation du liquide : c'est l'atomisation secondaire. Dans le cas où la densité du liquide

est très supérieure à celle du gaz (rapport supérieur à 1000), les forces de traînée et de gravité

sont les forces dominantes. Les interactions gouttes-gouttes (collision, coalescence, rebond,

éclatement) interviennent également.

La région diluée ressemble à un brouillard en déplacement, majoritairement constitué de

gouttes sphériques ou déformées. En prenant en considération l'évasement que prend le spray,

dans la mesure où les gouttes suivent la même trajectoire générale et dans l'hypothèse où la

dispersion turbulente reste modérée, la probabilité de rencontre entre gouttes est faible. Les

transferts de quantité de mouvement, de chaleur et de masse entre les phases liquide (gouttes)

8/195

I. Les sprays, généralités

et gazeuse déterminent les caractéristiques principalement du spray, notamment lorsque les

interactions entre gouttes (collisions) sont minoritaires.

Les frontières limitant ces régions ne sont pas très précisément établies : en effet, il n'existe à

notre connaissance que peu de travaux discutant ce sujet. Gounder et al.[1] précisent qu'un

spray dont le titre volumique χV est inférieur à 1 % est dilué, mais de manière générale, il

est admis qu'en dessous d'un titre volumique de l'ordre de 5 % le spray l'est également. Pour

un volume V tot dans l'espace, le titre volumique est calculé selon l'équation (1.1)

χV=V occupé par le liquide

V tot

avec: V tot=V occupé par le liquide+V gaz (1.1)

D'autres auteurs ([2] [3] [4]) proposent une limite basée sur le débit surfacique, cette limite

étant comprise entre 0.2 et 3.5 L.m-2.s-1.

La suite de notre étude se limitera aux sprays dilués.

I.2. Écoulement d'un spray dilué

En phase diluée, les gouttes ne subissent que les forces aérodynamiques liées à la différence

de vitesse entre elles et l'air qui les entoure. Ces interactions gaz-liquide sont bien connues,

notamment grâce à une succession de travaux réalisés par Faeth et son équipe : [5] [6] [7] [8].

Dans le cas stationnaire, et lorsque la différence de densité entre le liquide et le gaz atteint un

facteur 1000, la principale interaction gaz-liquide est représentée par la force de traînée. La

fragmentation peut également avoir un grand rôle.

La figure 1.2 résume l'ensemble des formes que peut prendre l'interaction gaz-liquide [9]. Elle

est construite en fonction de deux nombres adimensionnels :

9/195

Figure 1.1: Étapes d’atomisation et régions caractéristiques d'un spray

Régiond'atomisation

primaire

Régiondense du

spray

Régiondiluée du

spray

Buse d'injection

CorpusculesLigaments

Gouttes

LigamentsGouttes Gouttes


─ Le nombre d'Ohnesorge, Oh=μ L(ρ Lσd )−1 /2

: il représente le rapport entre les

forces visqueuses et celles liées à la tension superficielle. Il décrit la capacité de

déformation d'une goutte à partir de ses propriétés physiques et de son diamètre. Dans le

cas d'un goutte d'eau de diamètre supérieur à 1µm, on obtient Oh≤0.03 .

─ Le nombre de Weber, WeB=ρ Gu rel

2d /σ L où u rel est la vitesse relative moyenne

entre le gaz et la goutte, compare les forces d'inertie et celles de tension superficielle. La

cohésion de la goutte peut donc s’exprimer par ce nombre.

Dans la gamme Oh≤0.1 les phénomènes sont indépendants du nombre d'Ohnesorge. On

note quatre régimes :

• WeB≤12 : Régime de déformation sans fragmentation.

• 12≤WeB≤20 : Régime de fragmentation bag.

• 20≤WeB≤80 : Régime de fragmentation multimode.

• WeB>80 : Régime de fragmentation shear.

Pour des nombres de Weber très grands ( WeB>800 ), il existe un autre régime nommé

« catastrophique ». La goutte subit alors une fragmentation très rapide de type « explosif ».

10/195

Figure 1.2: Carte de déformation et de fragmentation en fonction des nombresd'Ohnesorge et de Weber, pour des gouttes en écoulement dans une phase gazeuse.

Figure tirée de Faeth[5]


(i) Régime de déformation

Dans la gamme des nombres de Weber WeB inférieurs à 12, la goutte subit une déformation

lui donnant l'aspect d'un ovoïde plus ou moins aplati au lieu d'une sphère. Cette déformation

est plus ou moins marquée en fonction de la valeur du nombre de Weber, dépassant 20% du

diamètre initial pour WeB≥3 . Au-delà de cette valeur, la goutte entre en oscillation.

Ces changements provoquent une augmentation de la traînée de la goutte comparée à celle

d'une sphère.

(ii) Régimes de fragmentation – Mécanismes et résultats

Dans les conditions permettant la fragmentation d'une goutte ( WeB≥12 ), la déformation

prend des formes très variable : un sac en régime bag, un disque en régime shear.

La traînée est très influencée par ces changements. La figure 1.3 présente un exemple de

l'évolution temporelle du coefficient de traînée CD dans le cas d'une fragmentation en régime

bag. Au maximum de la déformation de la goutte t / t *≈2 , le coefficient de traînée est trois

fois plus important que celui d'une goutte sphérique.

I.3. Caractérisation d'un spray

Un spray correspond au transport d'un volume de liquide sous la forme d'un brouillard de

gouttes. Ainsi, il présente l'avantage de maximiser la surface d'échange qui dépend du

diamètre, du nombre de gouttes et du débit liquide. Caractériser un spray nécessite de

connaître à la fois des informations sur les gouttes (diamètre, vitesse, répartition spatiale et

locale des gouttes et du liquide), mais aussi des informations plus macroscopiques comme la

forme générale du spray, l’écoulement d’air engendré ou encore la répartition du liquide dans

l'espace.

11/195

Figure 1.3: Evolution du coefficient de traînée en fonction du temps,dans le cas d'une fragmentation Bag. Figure issue de Faeth[5]


I.3.1. Outils statistiques

Un spray est constitué d’un ensemble d’éléments fluides discrets ayant une certaine

probabilité de présence dans le temps et l’espace. La caractérisation d'un spray nécessite donc

d'utiliser des outils statistiques.

La fonction de densité de probabilité pdf (X ; A , t ) décrit au point spatial A et à l'instant t

la probabilité de trouver une valeur x comprise dans l’intervalle [X ; X +d X ] . Elle respecte

la condition ∫−∞

+∞pdf (X ; A , t )d X=1 . On dit aussi qu'elle est normalisée. Si l'on dispose

d'un échantillon suffisamment grand de la grandeur X , alors l'histogramme formé en prenant

des classes infiniment étroites ressemble à cette fonction. La fonction pdf est aussi

communément appelée fonction de distribution de la grandeur X .

La fonction de répartition Cpdf (X , A , t ) correspond à la probabilité de trouver une valeur

x inférieure à X : Proba(x≤X )=Cpdf (X )=∫−∞

X

pdf (x )d x . On l'appelle également

fonction de densité de probabilité cumulée.

Le tableau 1.1 regroupe les principales grandeurs généralement utilisées dans l'étude

statistique des sprays. Le mode mX est la valeur de X telle que la fonction de densité de

probabilité est maximale. La variance Var (X ) représente la répartition autour de la

moyenne de la population de X . Elle est homogène à [X ]2 . Il est souvent plus aisé de

travailler avec l'écart type σX=√Var (X ) qui possède la même dimension que X. Le

moment le plus connu est celui d'ordre 1 X 1 , également noté X , puisqu'il correspond à la

valeur moyenne.

La densité de probabilité de taille d’une population de gouttes est représentées sous forme

graphique par un histogramme. Afin de donner une représentation mathématique de celle-ci,

de nombreux auteurs ont cherché à représenter la densité de probabilité d’une population de

gouttes à partir d'expressions mathématiques basées sur un nombre réduit de paramètres.

De nombreuses fonctions ont été développées dans le but de représenter les densités de

population de gouttes, notamment en fonction de la technique utilisée pour générer le spray.

Les fonctions de distribution utilisées incluent la loi normale, log-normale, la loi de Poisson,

de Nukiyama-Tanasawa, de Rosin-Rammler ou encore de Weibull. Dans la mesure où les

mécanismes liés à l'atomisation d'un spray ne sont pas encore totalement compris, il n'existe

12/195

Nom Symbole Formulation

Moment statistique d'ordre r E(X )r ou X rE(X )r=∫ X

rpdf (X )dX

VarianceÉcart Type

Var (X )σX

Var (X )=E (X −E (X2))=E (X 2)−E (X )2

σX=√Var (X )

Mode mX ∀ x , pdf (mX )>pdf (x )

Tableau 1.1: Grandeurs statistiques permettant en particulier de caractériser un spray.


pas de règle sur le choix d'une fonction de distribution, ce qui oblige à en tester plusieurs,

avant de choisir celle qui correspond le mieux au phénomène étudié [10].

Un certain nombre de phénomènes d'atomisation présents dans la nature suivent une loi

normale lorsque le logarithme du diamètre est pris comme variable [10]. Dans notre cas, la loi

log-normale reproduit correctement les résultats sur le diamètre des gouttes, qui seront

présentés aux chapitres 2 et 3. On s'attardera donc sur cette loi et sur ses propriétés.

Une variable X suit une loi log-normale de paramètres μ log et σ log2 si la variable

Y=ln (X ) suit une loi normale d'espérance μ log et de variance σ log2 . La densité de

probabilité de la loi log-normale s'écrit :

f (X ;μ log ,σ log)=1

X σ log√2πexp(−(ln X −μ log)

2

2σ log) (1.2)

Cette fonction est valable pour σ log>0 et μ log∈[−∞ ;+∞] , x>0 .

La fonction log-normale est représentée sur la figure 1.4, pour plusieurs couples de la valeur

moyenne X 1 et de l'écart-type σ X . En augmentant la moyenne, la courbe est décalée vers

les valeurs supérieures de X, tout en réduisant la hauteur du maximum. À valeur moyenne

X 1 constante, la diminution de l'écart type peut se traduire par un affaissement de la courbe

(courbe noir vers courbe rouge) ou le contraire (courbe verte vers courbe bleu).

Tous les moments statistiques ainsi que le mode de la loi log-normale existent et sont donnés

par le tableau 1.2.

13/195

Figure 1.4: Représentation de la loi log-normale de la grandeur X,pour plusieurs couples de valeurs moyennes X 1 et d'écarts-type σ X .


I.3.2. Caractérisation de la phase discrète

La phase discrète est constituée des gouttes et autres particules liquides de formes diverses

(ligaments, sphéroïdes par exemple) en déplacement dans une phase continue (l'air). Les

gouttes peuvent être caractérisées par leur taille et les différentes composantes de leur vitesse.

La notion de taille est rendue compliquée par les formes variables que prennent les gouttes

(section I.2). En règle générale, les gouttes sont supposées sphériques de diamètre égal à une

dimension caractéristique de l'objet considéré. La dimension caractéristique d’un objet non

sphérique varie suivant la méthode expérimentale ou numérique utilisée. La population de

diamètres est généralement représentée sous forme d’une pdf en nombre ou en volume, ce qui

offre la possibilité de considérer l'aspect numéraire des gouttes ou l'aspect volumique du

liquide.

Les grandeurs statistiques telles que le mode, la variance, et les moments d'ordre 1, 2 et 3 sont

également utilisées. Les moments permettent respectivement de calculer le diamètre moyen

d10 , le diamètre surfacique d20 et le diamètre volumique d30 . Leurs formulations sont

regroupées dans le tableau 1.3. Le diamètre de Sauter, d32 , correspond au rapport entre le

volume moyen et la surface moyenne des particules. Il est très utile pour l'étude des

phénomènes mettant en jeu des aspects liés au volume ou à la surface tels que les interactions

14/195

Nom SymboleFormulationoù X =d

diamètre moyen d10 d10=X 1

diamètre surfacique (lié à la surface moyenne)

d20 d20=( X 2)1/2

diamètre volumique (lié au volume moyen) d30 d30=(X 3)1 /3

diamètre de Sauter d32 d32=d20

2

d303

Tableau 1.3: Grandeurs caractéristiques pour l'étude statistique du diamètre d des gouttesd'un spray.

Nom Formulation

Moment statistique d'ordre r X r=er μ log+r

2 σ log2

2

Variance Var (X )=(eσ log2

−1)e2μ log+σ log2

Mode mX=eμ log−σ log

2

Tableau 1.2: Grandeurs statistiques pour la fonction log-normale, en fonction desparamètres σ log et μ log .


liquide-air (forces d’inertie, traînée), ou les phénomènes de transport de masse et de chaleur

entre la phase liquide et la phase gazeuse : évaporation, transferts convectifs.

La vitesse est généralement représentée par une pdf en nombre. Les grandeurs statistiques se

limitent à la variance, σu , le mode mu , et la vitesse moyenne u . Enfin, le diamètre et la

vitesse sont très souvent corrélés par une courbe, u=CorrelVit /Diam(d ) , permettant par

exemple de différencier le comportement en vitesse des petites et des grosses gouttes.

I.3.3. Caractérisation de l'échelle globale du spray

À l'échelle globale, le spray est un volume discontinu de liquide en déplacement. La grandeur

la plus commune pour décrire un spray est donc le débit QV [L.s−1] . Cette grandeur ne

comprend toutefois aucune information sur la répartition spatiale du liquide. En revanche,

lorsque l’on s’intéresse aux interactions entre un spray et une paroi plane, le débit surfacique

QV [L.m−2 .s−1 ] constitue une grandeur intéressante. Il est généralement calculé sur une

surface orientée perpendiculairement au sens de l'écoulement. Certaines études s'intéressent

également à la densité de flux de gouttes N[m−2.s−1 ] . L'équation (1.3) donne un ordre de

grandeur de ce paramètre :

N=

QV

πd303 /6

(1.3)

Le titre volumique est également un bon indicateur de la densité d'un spray. Une

approximation est donnée par l'équation (1.4).

χV=QV

uvol

où uvol est la vitesse moyenne des gouttes pondérée par leur volume.

(1.4)

La vitesse uvol s'approche de la vitesse moyenne u classique lorsque le profil de la pdf du

diamètre, exprimé en volume, est plat.

I.3.4. La phase continue : l'air

La phase continue dans laquelle se déplacent les gouttes joue un rôle important, comme cela a

été évoqué dans la section I.2.

Ses caractéristiques physiques sont sa masse volumique ρG et sa viscosité μG ,

généralement considérées comme constantes dans les conditions où la vitesse d'écoulement

uG reste très inférieure à la vitesse du son locale, qui ne dépend que de la température du

gaz.

La phase continue est simplement caractérisée par la vitesse locale uG(X , t) et par la

pression locale PG( X , t ) du gaz.

15/195


I.4. Classification des sprays

Les sprays sont aussi variables que les méthodes utilisées pour les générer : les différences

tiennent aussi bien des caractéristiques de la distribution des gouttes (pdf des tailles) que de la

répartition globale du liquide dans l’espace. La classification des sprays est une étape

nécessaire qui permettra ultérieurement de décrire la physique de l'écoulement du spray et du

refroidissement par spray.

Les interactions liquide-air ainsi que l'impact des gouttes sur une surface mettent en jeu la

cohésion de la goutte (atomisation, éclatement) et la dissipation de son énergie cinétique, ce

qui amène à considérer deux nombres adimensionnels : le nombre de Reynolds Resp

(équation 1.5) qui compare les forces d'inertie et de viscosité, et le nombre de Weber Wesp

qui compare les forces d'inertie et de tension superficielle (équation 1.6), le nombre

d’Ohnesorge vu précédemment se déduisant à partir de ces deux derniers par :

Ohsp=√Wesp /Re sp

Re sp=ρ L ud 30

3

μL d 202 =

ρ Lu d32

μ L

(1.5)

Wesp=ρ L u

2d30

3

σ L d202 =

ρ L u2d 32

σ L

(1.6)

L'indice « sp » signifiera que ces nombres sont construits à l'échelle globale du spray et non

sur une goutte individuelle particulière. Chacun de ces nombres représente le rapport entre

une force volumique et une force surfacique, dont les statistiques à l'échelle du spray

dépendent respectivement de la surface moyenne d20 et du volume moyen d30 . Ces nombres

peuvent être ainsi construits à partir du diamètre de Sauter d32 , pour ce qui concerne

l’échelle spatiale. Contrairement aux grandeurs présentées dans le paragraphe I.2 sur

l'écoulement du spray dilué, ces nombres de Reynolds et de Weber s'écrivent uniquement à

partir des propriétés physiques de la phase dispersée ρ L , μ L et σ L .

Pour calculer ces grandeurs, il est plus juste d'utiliser la vitesse relative entre le gaz et les

gouttes, u rel=uG−u . Il faut toutefois noter que le champ gazeux est généralement plus

difficilement accessible expérimentalement.

Le nombre de Weber des gouttes permet de qualifier leur comportement lors de l'impact avec

une surface : rebond, déformation, éclatement ; il est souvent placé en premier plan dans

l'étude de ces phénomènes, devant le nombre de Reynolds.

Le comportement du spray à l’échelle des gouttes sera donc décrit par le nombre de Weber, le

comportement global par le flux surfacique liquide, ce dernier étant un paramètre essentiel

pour l’étude des interactions gouttes-paroi.

La figure 1.5 regroupe les domaines d'étude utilisés dans plusieurs références disponibles

dans la littérature. Seules les études qui traitent d’impacts sprays-paroi ou de refroidissement

16/195


par sprays ont été considérées. On trouvera la liste des références ayant permis de construire

cette carte en Annexes 1) .

Peu de références correspondent à l’utilisation d’un débit surfacique très élevé. De plus, un

grand nombre d’études concernent des sprays composés de très petites gouttes, très rapides.

Les débits QV sont de l'ordre de 1 à 2 L.min-1. Pour obtenir un débit surfacique élevé, les

auteurs ont limité leurs études à une zone proche de la buse (2 à 10 diamètres de buse).

Le titre volumique a également été représenté sur la carte de la figure 1.5. Les valeurs sont

calculées à partir de l'équation (1.4). On observe que les titres volumiques les plus importants

correspondent aux flux surfaciques les plus grands. Les valeurs sont toutefois toutes

inférieures à quelques pour-cents et correspondent donc à des sprays en régime dilué.

Afin de mieux appréhender la suite de ce travail de thèse, le tableau 1.4 regroupe les

principales caractéristiques du spray qui sera étudié dans la suite de ce travail. La gamme

correspondante est matérialisée par l'ellipse hachurée sur la figure 1.5. Il apparaît clairement

que le domaine d'étude de cette thèse est peu référencé, à notre connaissance, dans la

littérature.

17/195

Figure 1.5 : Classification des sprays utilisés dans des études d'interaction spray-paroidans la littérature.


II. Refroidissement par sprayII.1. Régimes et mécanismes du transfert thermique

II.1.1. Courbe de Nukiyama

La méthode la plus simple pour refroidir un solide « chaud » est de le plonger dans un liquide

« froid ». On appelle cela une trempe ou un bain. Les phénomènes de transfert thermique

observés ont été décrits par Nukiyama en 1934 [11], lors d’une expérience sur la chauffe et le

refroidissement d’un fil électrique plongé dans un bain d’eau. Ces observations furent

complétées par celles de Drew et Mueller en 1937 [12], et permirent d’établir une courbe

typique du transfert thermique.

18/195

Grandeur s Gamme

Diamètre de Sauter d32 [µm] [ 300 ; 500 ]

Vitesse moyenne u [m/s] [5 ; 20]

Nombre de Weber We [100; 2000]

Débit surfacique QV [L/m²/s] [40 ; 150]

Tableau 1.4: Caractéristiques principales du spray utilisé dans cette thèse

Figure 1.6: Courbe de Nukiyama pour une surface en refroidissement dans un bain liquide.

Point de Leidenfrost

Régim

e m

ono

ph

asi

que

Régime d'ébullition

nucléée Régime de transitionRégime d'ébullition en film

de vapeur

Point d'ébullition critique

hT[W

.m−

2.K

−1]

qT[W

.m−

2]

qT

hT

ΔT w=T w−T L[°K ]

II. Refroidissement par spray

La courbe de Nukiyama (figure 1.6, courbe trait plein, échelle de droite) exprime le flux de

chaleur extrait à la paroi, qT , en fonction de la température caractéristique ΔT w=(T w−T L)

, avec T w la température de la paroi et T L la température du liquide. Le coefficient de

transfert thermique hT(ΔT w) défini par l'équation (1.7), est également présenté sur la figure

1.6 (courbe pointillée, échelle de gauche).

qT=hTΔT w (1.7)

D'après l'équation (1.7) le terme hT modélise les phénomènes physiques (ex : changement de

phase, convection), indépendamment du gradient de température entre la surface et le fluide.

Les courbes de hT et qT mettent particulièrement bien en évidence quatre régimes de

refroidissement. Par ordre croissant de température ΔT w on trouve : le régime

monophasique, le régime d'ébullition nucléée, le régime de transition et le régime d'ébullition

en film de vapeur, appelé aussi régime de Leidenfrost.

(i) Régime monophasique

Lorsque T w≤T sat , T sat étant la température de saturation du liquide, le transfert thermique

se fait par conduction directe entre la paroi et le fluide, ou éventuellement par convection. Le

coefficient de transfert thermique est généralement assez faible.

(ii) Régime d'ébullition nucléée

On considère en général qu'au-delà de T sat , le liquide

peut changer de phase. En réalité, les conditions

physiques permettant de générer de la vapeur dépendent

aussi de la pression ambiante, de l'affinité du liquide

avec la surface, ou encore de la tension superficielle du

liquide. Ces conditions sont réunies dans les sites de

nucléation ou site d'ébullition, qui correspondent à des

aspérités à la surface du solide, mais aussi à des

poussières et contaminants qui peuvent se trouver dans

le liquide ou sur la surface du solide.

La figure 1.7 schématise un site de nucléation dans lequel une bulle grandit. La croissance de

la bulle nécessite de contrer la tension superficielle du liquide et dépend de l'angle de contact.

Ainsi, l'angle d'ouverture Φ du site d'ébullition est une propriété importante. Plus Φ est

petit, moins la température nécessaire à l'activation d'un site d'ébullition est grande. La

croissance d'une bulle s'accompagne de la diminution de la température de la paroi au niveau

du site, mais aussi autour, au point d'empêcher toute activation des sites environnants. La

bulle croît et stagne sur la paroi jusqu'à atteindre une taille critique. Alors elle se détache et

s'éloigne de la paroi. Pour permettre la croissance d'une nouvelle bulle, il faut attendre la

remontée en température du site. Chaque site d'ébullition possède entre autres caractéristiques

une fréquence de création de bulle, une taille de bulle ainsi qu'une température d'activation.

La surface d'un matériau est recouverte d'une multitude de sites, de forme, de profondeur et de

19/195

Figure 1.7: Schéma d'un sited'ébullition, d'ouverture Φ


taille différente. Le nombre de sites de nucléation activé croît avec la température à la paroi.

Cela se traduit visuellement par quelques bulles de vapeur à faible température, puis par

l'apparition de colonnes de plus en plus importantes à mesure que la température croît.

Le régime de nucléation est compris entre la température d'ébullition, souvent T sat , et la

température de flux de chaleur critique T CHF . Le flux de chaleur croît entre ces deux

températures, proportionnellement au nombre et à la taille des bulles formées.

(iii) Ébullition critique

Il existe une limite à la quantité de vapeur qui peut se trouver simultanément sur la surface.

Lorsque deux bulles de vapeur fusionnent, elles créent un film isolant. Le transfert thermique

est alors réalisé par la conduction dans la vapeur seulement, ce qui se traduit par une

diminution du coefficient de transfert thermique : hT<hT,max . Toutefois, le flux de chaleur

continue à croître puisque le gradient de température est grand. Le phénomène de « crise

d'ébullition » apparaît au point d'inflexion de la courbe du flux de chaleur, lorsqu'une

augmentation supplémentaire de la température n'est plus suffisante pour contrer la

diminution de hT . Le maximum de flux de chaleur est appelé « flux de chaleur critique »,

noté qT, CHF .

(iv) Régime de transition et point de Leidenfrost

Le régime de transition est compris dans la gamme de température [T CHF ; T Leid ] . Une fois les

premières bulles de vapeur fusionnées, un film irrégulier de vapeur se forme sur la surface. À

mesure que la température croît dans ce régime, une plus grande surface est recouverte de

vapeur et l'épaisseur du film augmente. Ce régime est souvent cité comme difficile à atteindre

expérimentalement à cause de la sensibilité du film de vapeur aux influences extérieures (ex :

vibrations, courant d'air) capables de déstabiliser le film de vapeur et de le rompre, entraînant

la reprise de l'ébullition nucléée.

Le point de Leidenfrost (T Leid ,qT,leid ) correspond à l'état où toute la surface est recouverte

d'un film de vapeur. Le flux de chaleur, ainsi que le coefficient de transfert thermique passent

alors par un minimum local.

(v) Régime d'ébullition en film de vapeur

Quelle que soit la température T w>T Leid appliquée, le film de vapeur fait office d'isolant

entre le liquide et la plaque. On parle de régime d'ébullition en film de vapeur (ou régime de

Leidenfrost). Son existence est liée à l'équilibre entre la quantité de vapeur créée à l'interface

liquide-vapeur et la quantité de vapeur qui s'échappe. Le transfert thermique est limité par la

conduction au travers du film fin de vapeur (d’une épaisseur de quelques microns

généralement) ; le coefficient de transfert thermique est constant. Dans ce régime, le flux de

chaleur dépend linéairement de la température de paroi.

20/195


II.1.2. Courbe transitoire de refroidissement

La forme de la courbe de Nukiyama n'est valable que dans le cas stationnaire, où la mesure du

flux de chaleur est réalisée après stabilisation de la température T w . Nukiyama avait déjà

montré en 1934 [11] que lors d'un protocole de type chauffe, correspondant à la mesure de

l'évolution transitoire de la température sous l'effet d'un flux thermique imposé, ou d'un

refroidissement transitoire, correspondant à une surface initialement chaude plongée dans un

bain froid, les régimes précédemment cités n'apparaissent pas tous et pas toujours dans les

mêmes conditions.

Le refroidissement par spray concerne le cas particulier du refroidissement transitoire d'une

plaque initialement chaude, sous l'action d'un spray. Ce refroidissement est décrit par

l'évolution conjointe à la paroi du flux thermique qT et de la température T w , en fonction

du temps.

Dans la plupart des configurations de refroidissement, l'évolution de la température et du flux

de chaleur en fonction du temps est identique [13]-[14]. Les travaux de Ciafalo et al. [13] sur

le refroidissement par spray consistent à refroidir une plaque verticale en utilisant deux sprays

de type swirl placés de part et d’autre de la plaque. Ces auteurs présentent un exemple de

courbe de refroidissement (figure 1.8).

Au début de la phase de refroidissement, la température de la paroi est très élevée. Cependant

le flux thermique extrait à la paroi demeure relativement modeste, ce qui est caractéristique du

21/195

Figure 1.8: Courbe de refroidissement (figure tirée de [13]).

Temps depuis le début du refroidissement [s]

Tem

péra

ture

[°K

]

Flu

x de

cha

leur

[W.m

-2]

qT

T w

Point de remouillage

Ebullition critique


régime d'ébullition en film vapeur. À mesure que la température décroît, le film de vapeur

s'affaiblit puis se rompt. Il n'y a, à notre connaissance, aucun consensus sur le processus qui

mène à la rupture, mais la diminution progressive de l'épaisseur du film de vapeur constitue

une hypothèse crédible. Le point de remouillage est alors atteint : il s’agit du premier instant

où du liquide entre en contact direct avec la surface, permettant la reprise de l'ébullition. Ce

point coïncide avec le point de Leidenfrost. Le changement brutal du phénomène responsable

de l'échange de chaleur se traduit par la chute rapide de la température de paroi et une

augmentation du flux extrait. Une fois la phase d'ébullition critique passée, le nombre de sites

de nucléation activé diminue, se concrétisant par une chute du transfert thermique, également

visible par la diminution de la pente de l’évolution de la température en fonction du temps.

II.2. Mécanismes du refroidissement par impact d'un spray

II.2.1. Généralités

Il existe des similitudes entre les régimes et les phénomènes physiques mis en évidence dans

les cas du refroidissement en bain et du refroidissement par spray. Toutefois, ces deux types

de refroidissement comportent des différences fondamentales. D'une part, un spray est

discontinu et se compose de deux phases et d'autre part, le refroidissement par spray dépend à

la fois de la répartition du flux liquide dans l’espace et des caractéristiques propres aux

gouttes (pdf des diamètres et des vitesses entre autres caractéristiques). Ces spécificités sont

responsables de mécanismes propres à l'interaction entre un spray et une plaque chaude.

Dans certaines conditions de refroidissement, un film liquide prend forme sur la surface. Les

conditions d'apparition de ce film nécessitent généralement un débit surfacique important, une

surface d'impact suffisamment grande pour que le film puisse se développer et des conditions

thermiques particulières. Ce film liquide n'étant pas nécessairement continu, la surface de la

plaque se présente comme une succession de zones liquides ou asséchées [15]. On définit

deux configurations de refroidissement par spray :

─ L'impact direct : la plaque est asséchée, ou tout juste humide. Les gouttes impactent

directement la surface et le transfert thermique s’effectue soit directement entre la

surface et la goutte déformée par l’impact sur la paroi, soit par l’intermédiaire d’un film

de vapeur se formant entre la goutte déformée et la paroi dans le cas du régime de

Leidenfrost.

─ L'impact sur un film liquide : la plaque est alors noyée par le spray. Les gouttes

impactent le film liquide, mais le transfert thermique est causé par plusieurs

phénomènes : convection par le film liquide, évaporation directe, ébullition, impact de

gouttes.

Dans le cas général d'un refroidissement par spray, ces deux configurations peuvent coexister.

Les deux paragraphes suivants développent successivement chacune des configurations.

22/195


Les termes d'impact horizontal et vertical seront parfois utilisés. Ces termes correspondent

respectivement à l'impact d'un spray injecté horizontalement sur une plaque verticale et à

l'impact d'un spray injecté verticalement sur une plaque horizontale.

II.2.2. Refroidissement par impact direct

Cette configuration existe dans des conditions de refroidissement où la plaque n'est pas noyée.

En pratique, cela signifie que la goutte doit quitter la paroi ou s’évaporer avant l'arrivée d'une

goutte suivante au même endroit, minimisant ainsi les risques de coalescence à la paroi. Ces

conditions sont notamment atteintes lorsque le débit surfacique est modéré, le flux de chaleur

élevé, ou encore dans le cas d'un impact horizontal (surface impactée verticale). Dans cette

configuration, les mécanismes du refroidissement et l'efficacité du transfert thermique

dépendent directement des régimes d'impact des gouttes sur la paroi.

Deux familles d’impact d’une goutte sur une paroi chaude peuvent exister : (a) l'impact

mouillant, lorsque le liquide se dépose sur la surface de la plaque ; (b) l'impact non-mouillant,

lorsque le liquide n’entre pas en contact direct avec la paroi.

(i) Grandeurs adimensionnelles pour l'étude de phénomènes d'impact direct

Les nombres de Weber, d’Ohnesorge ou de Reynolds sont très employés pour l'étude de

l'impact direct des gouttes sur une paroi sèche. Mundo et al. [16] ont introduit une grandeur

adimensionnelle unique qui permet de définir des limites entre les différents mécanismes

physiques, le nombre de Mundo K :

K=WeOh−04 (1.8)

En plus du nombre de Weber, cette grandeur permet de considérer l'effet, de la viscosité du

liquide sur les comportements d'impact. L’exposant affecté au nombre d’Ohnesorge laisse

présager d’un impact relativement modéré de la viscosité du liquide.

On distingue trois régimes d’impact : dépôt, rebond, éclatement. Ces régimes sont positionnés

sur le diagramme de la figure 1.9 en fonction du nombre de Mundo K et de la température

adimensionnelle T * , définie par l'équation (1.9). Les points positionnés sur la carte

compilent les résultats extraits de Cossali et al. [17] et Dewitte et al. [18].

T *=T w−T sat

T leid−T sat

(1.9)

Les mécanismes propres à chaque régime varient en fonction de la température de la paroi. Il

convient donc de séparer les comportements d'impact dans les conditions T sat<T w<T leid , de

ceux dans les conditions T w>T leid , c'est-à-dire 0<T *<1 dans le premier cas et T *>1 dans

le second.

23/195


(ii) Régime d'impact pour une condition de température T * < 1

On distingue trois régimes d’impacts, un étant non-mouillant et les deux autres mouillants.

À faible température (0<T *<0.5) , un régime de type mouillant est observé. La goutte se

dépose sur la paroi, ce qui conduit à la formation d’un film liquide, qui, en fonction de la

température de paroi, peut bouillir et s’évaporer (voir II.1.1.(ii)). Dans le cas d’un film

bouillonnant, la génération de vapeur provoque l'éclatement du film liquide, menant à la

formation et à l’éjection de gouttes secondaires.

Pour des températures de paroi plus élevées (0.5<T *<1) deux régimes d'impact existent.

Le régime (non-mouillant) de rebond apparaît pour des nombres de Mundo faibles. L'énergie

cinétique incidente est suffisamment faible pour que la tension superficielle maintienne la

cohésion de la goutte. La goutte s'écrase sur la plaque, sans se rompre, s'étale puis se

reconstitue et repart. Une part de l’énergie cinétique est dissipée sous forme visqueuse.

L'énergie thermique est transmise par conduction entre la paroi et la goutte, avant d'être

évacuée par le liquide. Une fraction du volume de la goutte peut s’évaporer.

Pour des nombres de Mundo plus élevés ( K>1000 ), le second régime dit de splashing ou

d'éclatement est observé. La goutte impacte la paroi, se déforme, puis le film liquide créé se

rompt, provoquant ainsi l’éjection de gouttes secondaires. Une fraction du liquide peut

également s’évaporer en fonction des conditions thermiques.

24/195

Figure 1.9: Diagramme K−T * des régimes d'interaction goutte-paroichaude, sans film liquide. (Mesures expérimentales de [17] et [18]).


(iii) Régime d'impact pour une condition de température T * > 1

Ces conditions thermiques nous placent dans le régime d'ébullition en film de vapeur (régime

de Leidenfrost). À l’approche de la paroi, une petite fraction de la goutte est rapidement

vaporisée, cette vapeur formant un film isolant le liquide de la paroi. On distingue alors deux

régimes d'impact, de type non-mouillant.

Ici, les données seront présentées en termes de nombre de Weber, plutôt qu’en nombre de

Mundo.

Pour un nombre de Weber faible We≤30 , un régime de rebond est observé. La dynamique

de la goutte est toutefois différente à cause de la présence du film de vapeur.

Pour un nombre de Weber plus élevé (30<We<70) , la goutte s’étale sur la paroi puis, pour

les nombres de Weber élevés, peut éclater après étalement, en générant une ou plusieurs

gouttes secondaires. À mesure que le nombre de Weber croît, le nombre de gouttes

secondaires augmente.

Au-delà de We>70 , on retrouve un régime d'éclatement, avec la génération de nombreuses

gouttes secondaires polydispersées en taille et en vitesse, ceci dans la phase de déformation

initiale de la goutte.

(iv) Rôle des gouttes secondaires dans le refroidissement par impact direct

La figure 1.5 montre que dans le cadre du refroidissement par spray, la majeure partie des

sprays étudiés dans la littérature comprennent des gouttes dont le nombre de Weber est

supérieur à 100. Le régime d'éclatement est donc principalement rencontré, ce qui implique

un nombre important de gouttes secondaires.

Yao et Choi [2] ont étudié différentes configurations d'impact d'un train de goutte

monodispersé sur une surface, en régime de Leidenfrost, pour des nombres de Weber

We∈[160−380] . Les impacts ont été réalisés verticalement et horizontalement. La

configuration horizontale (plaque verticale) permet d'évacuer le liquide par l'action de la

gravité. Ainsi, les gouttes secondaires ne retombent pas sur la surface et ne participent pas au

refroidissement. Ces auteurs observent que le refroidissement en impact vertical est

considérablement supérieur au refroidissement en impact horizontal, ce qui montre que l’effet

des gouttes secondaires n’est pas négligeable dans le processus de refroidissement par impact

direct.

II.2.3. Refroidissement en présence d'un film liquide

Lorsque la plaque reçoit continuellement un débit liquide QV trop important pour être

évaporé, ou susceptible de favoriser la fusion de plusieurs gouttes étalées à la paroi, le liquide

s'écoule vers les bords sous la forme d'un film liquide, puis est évacué. Les caractéristiques de

ce film (épaisseur efilm, L , vitesse u film, L ) sont entre autres conditionnées par le débit liquide

surfacique au niveau de la plaque, les caractéristiques des gouttes au moment de l’impact, le

taux d’évaporation, ou encore les dimensions de la plaque et l'orientation du spray. Les

25/195


gouttes impactent alors le film avec des régimes différents de ceux observés sur une paroi

sèche.

Les caractéristiques du film liquide ainsi que leur influence sur le refroidissement sont

brièvement discutées au paragraphe suivant.

(i) C aractéristiques du film liquide, et influence sur le refroidissement

Zhao et al. [19] et Cheng et al. [20] ont étudié le comportement du film liquide et son lien

avec le refroidissement par spray. Les sprays étudiés incluent respectivement les gammes de

nombres de Weber We∈[208 ; 400] et We∈[24 ;100] et de débit surfacique

QV∈[20 ; 300] L.m-2.s-1 et QV

∈[27 ; 113] L.m-2.s-1. Ils confrontent des résultats

expérimentaux et des simulations numériques en régime de transfert thermique monophasique

et d'ébullition nucléée.

Les figures 1.10(a) et (b) sont issues des travaux de simulation de Zhao et al. [19]. L'épaisseur

du film est nulle au centre de la zone d'impact, puis croît rapidement vers la périphérie pour

atteindre efilm , L≈200−300µm . L'absence de film au cœur de l'impact s'explique, selon Zhao

et al. [19], par le régime de rebond des gouttes qui impactent verticalement sur la paroi. Il n'y

a dans ce cas pas de dépôt de liquide à la surface. Le même résultat est obtenu par Cheng et

al. [20], mais ces derniers expliquent l'absence de film au centre par la pression d'impact

générée par le spray, qui a tendance à chasser le liquide vers la périphérie. La comparaison

des figures 1.10(a) et 1.10(b) montre que les zones rapides du film coïncident avec les zones

les plus épaisses.

Xie et al. [21] ont également réalisé des simulations de refroidissement par spray en régime

monophasique, en présence d'un film liquide. Leurs mesures sont comparées aux résultats

expérimentaux de Chen et al. [22]. Les configurations comprennent des sprays tels que

We∈[500 ; 1300] et QV=[0.61 ; 12]L.m−2 .s−1 et avec une épaisseur de film efilm, L=50 µm .

Wendelstorf et al. [14] ont réalisé des simulations de l'épaisseur du film liquide en

26/195

Figure 1.10 : Caractéristiques du film liquide en refroidissement par spray, sur un profilradial dont l'origine est prise au centre de la zone d'impact : (a) épaisseur et (b) vitesse dufilm, (c) température de la paroi, en fonction de la position sur la plaque. Figures issues de

Zhao et al. [19].

(a) (b) (c)


refroidissement par spray, à partir de mesures expérimentales du coefficient de transfert

thermique réalisées à 600°C. Ces configurations comprennent des sprays tels que We≈700

et QV=[3 ; 30]L.m−2.s−1 . L'épaisseur du film croît avec le débit surfacique dans la gamme

efilm, l∈[280 ; 4000 ]µm .

Les résultats de ces auteurs montrent l'importance du débit surfacique QV sur le

refroidissement. L'influence du diamètre, de la vitesse et du nombre de Weber des gouttes est

en revanche moins évidente. Cheng et al. [20] montrent cependant que les profils dans la

section du spray du diamètre de Sauter d32 ou de la vitesse axiale des gouttes uz peuvent

être corrélés au profil de l'épaisseur du film.

À notre connaissance, il existe peu de résultats montrant un lien direct entre les

caractéristiques du film et les capacités de refroidissement. La figure 1.10(c) représente le

profil de la température de paroi T w (pour un flux de chaleur qT imposé et homogène). On

note une importante corrélation entre l’épaisseur (a) et la vitesse (b) du film, et le niveau de

refroidissement. Le coefficient de transfert thermique est globalement plus important là où le

film est épais et rapide.

(ii) Modes et mécanismes de transfert thermique

Il existe un consensus pour établir l'existence de quatre principaux modes de transfert

thermique [20] lorsque le refroidissement par spray implique la présence d’un film à la paroi :

─ Le transfert convectif entre le film et la plaque

─ l'évaporation du film liquide directement à l'interface air-film liquide.

─ l'ébullition du liquide et la formation de vapeur.

─ le transfert direct de chaleur par impact entre les gouttes et la paroi, lorsque le film

présente des discontinuités.

Ces quatre modes coexistent avec une importance qui varie en fonction notamment du régime

de refroidissement. Cette problématique sera approfondie au paragraphe II.3.

Chaque mode est composé d'un ensemble de mécanismes, représentés sur la figure 1.11 .

L'ébullition à la paroi, l'ébullition secondaire, la convection, l'évaporation (flèches pleines)

sont les mécanismes directement responsables du refroidissement. Des mécanismes indirects

(flèches pointillées) peuvent favoriser ces mécanismes directs : interaction entre les gouttes et

le film, entraînement d'air, fragmentation des bulles, rupture du film de vapeur.

La présentation de ces processus fait l'objet des paragraphes qui suivent.

27/195


(iii) Mécanismes directs du transfert thermique

• Convection forcée par le film liquide

L'écoulement du film liquide induit un transfert par convection le long de la paroi.

• Évaporation directe à l'interface air-film liquide

Le film est alors suffisamment mince pour atteindre la température de saturation du liquide

T film ,L=T sat . De la vapeur peut dont être générée à l'interface liquide-air, ceci contribuant au

refroidissement par évaporation. Le refroidissement est limité par la conduction de chaleur à

travers le film liquide, depuis la plaque vers l'interface liquide-air. Par ailleurs, il n'y a pas à

notre connaissance de preuves montrant l'existence de cellules de convection permettant

d'augmenter le transfert perpendiculairement à la plaque et donc d’accroître l'importance du

mécanisme d'évaporation directe.

• Nucléation / ébullition à la paroi

Le paragraphe II.1.1.(ii) explique que pour un refroidissement en bain, la vapeur est formée

au sein de sites de nucléation en surface de la plaque. La présence d'un film liquide conduit au

même phénomène. Le flux de chaleur est limité par le temps mis par une bulle pour se former

puis s'extraire et par l’espace occupé par la bulle à la surface de la plaque. Ce dernier point

empêche l'activation de sites de nucléation trop proches les uns des autres, mais aussi conduit

à la fusion des bulles et l'apparition d'un film de vapeur continu.

28/195

Figure 1.11: Schéma des principaux mécanismes du refroidissement par spray en présenced'un film liquide.

Entraînement d'air par les gouttes

ébullition à la paroi

convection du film liquide sur la paroi

fragmentation des bulles

rupture du film de vapeur

évaporation à l'interface

Processus indirect de refroidissement

Processus direct de refroidissement

brassage du film liquide

Ébullition secondaire autour d'un embryon gazeux


• Ébullition secondaire

L'ébullition secondaire est l’un des phénomènes majeurs concourant aux capacités de transfert

thermique et à l’efficacité du refroidissement par spray.

Esmailzadeh et al. [23] et Sigler et al. [24] ont observé l'ébullition nucléée en présence d’un

film liquide. Leur méthode expérimentale propose de noyer une surface chaude sous une

hauteur variable de liquide, de manière à simuler la présence d'un film. Lors de la libération

des bulles de vapeur à l'interface liquide-air, une fine couche de liquide est éjectée sous forme

de gouttelettes, puis retombe. Durant ce court temps de séjour en phase gazeuse (air et

vapeur), les gouttes emprisonnent de la vapeur et la transportent jusque dans le liquide.

Lorsque ces embryons gazeux approchent de la surface, ils se comportent comme des sites de

nucléation et forment de nouvelles bulles, ce qui contribue à accroître les transferts

thermiques.

Lorsque le refroidissement par spray est considéré, le même phénomène se produit du fait de

l'arrivée massive de gouttes. L'apport d'embryons gazeux augmente le nombre de sites de

nucléation et par conséquent le transfert thermique. Rini et al. [25] ont concentré leur étude

sur le refroidissement en régime d'ébullition nucléée. Ils observent que les sites de nucléation

sont au moins à 70 % issus de l'apport d'embryons gazeux par les gouttes. De plus, la densité

numérique de sites d'ébullition à la surface ( nsite d'ébullition [m−3] ) est multipliée par quatre entre

un refroidissement en bain et un refroidissement par spray, dans des conditions de transferts

thermiques identiques ( ΔT w , état de surface, liquide de refroidissement). Dans un même

temps, le flux de chaleur est multiplié par six.

Horacek et al. [15] ont étudié le refroidissement par impact d’un spray composé de FC-72, en

régime d'ébullition et de transition. Ce liquide possède une température de saturation assez

faible T sat , FC-72=56°C et une grande affinité avec l'air, ce qui permet d'améliorer

l'entraînement de gaz au sein des gouttes. Les auteurs observent une nette augmentation du

flux de vapeur généré à la paroi lorsque du gaz est dissout dans le liquide, qui se traduit par un

flux de chaleur augmenté. Cette nucléation abondante a l'avantage d'empêcher la formation

continue d'un film de vapeur et donc multiplie les alternances entre film de vapeur et film

liquide à la surface de la plaque. Ainsi, leurs résultats montrent que la densité de longueur des

lignes de contact vapeur-liquide-solide et l'intensité du refroidissement croissent de manière

conjointe.

• Impact direct des gouttes sur la paroi

L’épaisseur du film liquide n'étant pas homogène à la surface de la paroi, les conditions sont

parfois réunies pour que l'épaisseur efilm, L soit très faible, voire nulle (paragraphe III.2.3.(i)).

Dans ces conditions, l’interaction entre le spray et la plaque se traduit par les régimes d'impact

vus au paragraphe II.2.2.

29/195


(iv) Mécanismes indirects du transfert thermique

• Interactions entre les gouttes et le film liquide

Le film liquide agit comme une barrière entre les gouttes et la paroi. En fonction de l'énergie

cinétique transportée par les gouttes, plusieurs mécanismes peuvent être observés.

Les gouttes provoquent un brassage du film liquide, qui augmente la convection forcée.

L'importance de l'impact des gouttes dans le phénomène de convection à particulièrement été

mis en évidence par l'étude de Xie et al. [21] en régime monophasique. En régime d'ébullition

nucléée, Rini et al. [25] obtiennent la même conclusion. Ainsi, quelque-soit le nombre de

bulles générées et le flux de chaleur, la convection par le film liquide sur la plaque et

l'évaporation directe représentent de l’ordre de 50 % du transfert thermique total. Ils attribuent

ce comportement à l'effet du brassage des gouttes.

• Interaction entre les gouttes et les bulles, dans le film liquide

Au sein du film liquide, les gouttes peuvent croiser la trajectoire des bulles et provoquer leur

fragmentation. Ce phénomène permet la génération de nouveaux embryons propices à la

nucléation.

Lorsque l'énergie incidente est suffisante, les gouttes peuvent impacter directement la surface

et provoquer le détachement prématuré des bulles. Une des conséquences est l’augmentation

de la fréquence de production des bulles, mais également une réduction de la taille des bulles

au moment de leur libération. Si ce dernier point est défavorable au transfert thermique [25],

la réduction de la surface occupée par les bulles sur la plaque réduit les possibilités de fusion

et donc de formation d'un film vapeur.

• Fragilisation et rupture du film de vapeur

Dans les conditions de température où le film de vapeur apparaît, les gouttes peuvent traverser

le film de liquide et impacter le film de vapeur. Ceci fragilise le film de vapeur et permet

localement la reprise de l'ébullition nucléée ([15] [26] [27]). Ce phénomène, même s'il semble

être admis, est rarement observé à cause des conditions particulières de son obtention

(présence conjointe d’un film liquide et d’un film de vapeur).

II.3. Participation des modes de transfert thermique dans le refroidissement total

Plusieurs auteurs ont cherché à séparer l'importance des différents modes de transfert de

chaleur dans le refroidissement par spray. Les études concernent principalement des

simulations numériques, mais certains protocoles expérimentaux, comme celui utilisé par Rini

et al. [25], permettent de séparer le rôle de chaque mode de transfert de chaleur.

Issa et Yao [28] ont simulé le refroidissement par spray d'eau, pour une température T w

supérieure à la température de Leidenfrost ( T w=525 °C ). Le débit surfacique au centre de la

30/195


zone d'impact s'évalue à QV=2.5L.s−1.m−2 . Les gouttes sont polydispersées en diamètre (

d∈[9 ; 63]µm ), pour un nombre de Weber des gouttes inférieur à 1000. Le refroidissement

par spray ainsi simulé correspond à une configuration d'impact direct et les contributions de

trois modes de transfert thermique sont considérées : l'impact direct des gouttes, la convection

de l'air sur la plaque et les transferts radiatifs. Le transfert radiatif apparaît comme négligeable

dans les conditions thermiques considérée. Le refroidissement direct par impact de gouttes

joue un rôle majeur avec plus de 50 % des transferts thermiques totaux. Il convient également

de prendre en compte la convection de l'air sur la plaque, qui est responsable de près de 50 %

du transfert thermique total. Cette importante contribution de la convection de l'air est due à la

méthode de génération du spray elle-même, basée sur une buse de type cône plein avec une

injection d'air co-courante à l'écoulement des gouttes à une vitesse de 35 m.s-1.

Les simulations réalisées par Zhao et al. [19] sur le refroidissement par spray permettent de

différencier l'importance de chacun des modes de transfert thermique dans le refroidissement

d'une surface par impact d'un spray, en présence d'un film liquide (figure 1.12). En régime

monophasique, la convection liée au film et le transfert thermique par impact direct des

gouttes dominent. En régime diphasique (température supérieure à T sat ), mais dans des

conditions thermiques ne permettant pas le développement d'un film de vapeur, l’évaporation

résultant de l'ébullition (50%) et le transfert thermique par impact direct des gouttes (30%)

sont les principaux modes de transfert de chaleur.

Rini et al. [25] réalisent des expériences de refroidissement par spray en présence d'un film

liquide. En régime d'ébullition nucléée, ils obtiennent une contribution de 50 % pour le mode

31/195

Figure 1.12: Répartition des modes de transfert thermique en fonctiondu flux de chaleur. La température d'ébullition est atteinte pour un fluxde chaleur qT

≈160W . cm−2 . (Figure tirée de Zhao et al.(2010)[19])


de transfert par évaporation résultant de l’ébullition, les 50 % restant étant partagés entre la

convection due à l’écoulement du film liquide sur la plaque et l'évaporation directe.

Ainsi, les gouttes et leurs caractéristiques jouent un rôle majeur dans le refroidissement, que

se soit au travers de l'impact direct sur la surface ou des interactions avec un film liquide

(ébullition, mouvements de brassage). Cependant la contribution de chaque mode de transfert

de chaleur varie beaucoup suivant la configuration de refroidissement, ne permettant pas de

conclure sur la prépondérance d'un mécanisme par rapport aux autres.

III. Modélisation du refroidissement par sprayIII.1. Généralités

Depuis les années 80, de nombreuses études ont été réalisées pour comprendre le

refroidissement par spray, dans des configurations très variées. Ainsi, on compte des

refroidissements par spray en milieu confiné, en apesanteur, par aspersion sur des plaques

verticales ou horizontales, des recouvrements totaux ou partiels de la surface à refroidir ou

encore l'utilisation de plusieurs buses simultanément. Les paramètres étudiés sont autant ceux

du spray (diamètre des gouttes, vitesse des gouttes, débit surfacique, flux surfacique de

gouttes), que ceux de la surface chauffée (température/régime de refroidissement, état de

surface, affinité entre le liquide et le matériau de la surface, formes et dimensions, propriétés

thermophysiques du matériau constituant la surface). L'angle entre l'axe du spray et la plaque,

le type de liquide, la dissolution de gaz dans le liquide sont autant d'autres paramètres

permettant de comprendre la physique fine du refroidissement par spray.

La multitude des configurations étudiées a permis de mettre en lumière les mécanismes du

refroidissement par spray (voir II.2). Dans le même temps, le nombre et la complexité de ces

mécanismes rend difficile leur modélisation. Cette modélisation passe par une meilleure

compréhension des liens entre les conditions du refroidissement et chacun des mécanismes.

Ainsi, nous mettrons en évidence les principaux résultats liés aux caractéristiques du spray

lui-même : diamètre et vitesse des gouttes, débit surfacique QV , flux surfacique de gouttes

N , nombre de Weber We . Enfin, dans le cadre de cette étude bibliographique, les régimes

de refroidissement autre que l'ébullition en film de vapeur ne seront que peu abordés, notre

étude étant centrée sur ce régime particulier rencontré dans le refroidissement des produits

sidérurgiques.

Le flux de chaleur surfacique qT et l'efficacité de refroidissement εT permettent

respectivement de quantifier et de qualifier le refroidissement. L'efficacité de refroidissement

correspond au rendement du refroidissement par rapport au spray utilisé, c'est-à-dire à la part

32/195

III. Modélisation du refroidissement par spray

de la consommation liquide réellement utile au refroidissement. Elle s'écrit comme le rapport

entre le flux de chaleur réel et le flux de chaleur maximal que peut idéalement extraire le

spray (équation (1.10)).

Lorsqu’une goutte interagit avec une paroi à haute température, la goutte est soumise à trois

types de flux de chaleur. Ces différents échanges sont schématisés sur la figure 1.13 dans le

cas d'une goutte de température initiale T L interagissant avec une paroi chaude de

température T w .

Le premier terme (violet) correspond au flux de chaleur sensible vers le liquide lorsque sa

température s'élève de ΔT sub entre sa température initiale T L et sa température de saturation

T sat . Le second terme (jaune) correspond au flux de chaleur prélevé pour assurer le

changement de phase d'une fraction du liquide. Le troisième terme (rouge) correspond au flux

de chaleur sensible acquis par la vapeur qui subira une surchauffe ΔT sat=T w−T sat . Dans le

cas limite où tout le liquide participe à ces trois phases d'échanges, on obtient flux de chaleur

maximal que peut extraire le liquide pour une température initiale T L et une température de

paroi T w . Ainsi, l'efficacité de refroidissement d'un spray dont le débit surfacique de liquide

est QV peut s'écrire selon l'équation (1.10).

εT=qT

ρ L QV (cP,LΔT sub+hLV+c P,VΔT sat)

(1.10)

Pour certains auteurs, l'efficacité est calculée en ne prenant en compte que le terme de

changement de phase hLV . Le tableau 1.5 présente l'importance relative des termes de

chaleur sensible du liquide et de la vapeur, dans des conditions de refroidissement typiques :

température de paroi T w=650 °C et température initiale de l'eau T L=25 °C .

33/195

Figure 1.13: Schéma illustrant les trois formes de transfert de chaleur entre unegoutte et une surface chaude. Chaque terme, exprimé en énergie massique

[J.kg-1], correspond à un terme du dénominateur de l'équation (1.10).

qT∝hLV

T w

T L

T sat

qT∝CP ,LΔT sub

qT∝CP ,VΔT sat

Goutte en impact

Paroi chaude

Générationde vapeur


Dans ces conditions et pour de l'eau, le terme de chaleur sensible du liquide représente 8 % de

la chaleur sensible totale.

L’importance du terme de chaleur sensible de la vapeur dépend de la température atteinte par

la vapeur. Dans notre cas, ce terme représente 30 % de la chaleur sensible totale, en supposant

que la température de la vapeur atteint celle de la plaque, ce qui n'est pas forcément le cas. Il

peut être plus exact de considérer la température de film, T film,V=(T sat+T w)/2=375 ° C et

dans ce cas, ce terme représente encore 15 % du bilan total.

En conclusion, il apparaît nécessaire de ne pas négliger les termes correspondant à la chaleur

sensible du liquide et de la vapeur dans le bilan énergétique du refroidissement par spray.

Enfin, il est difficile de comparer deux études sur l'efficacité de refroidissement sans s'assurer

que cette efficacité est calculée de manière identique.

III.2. Corrélations pour le refroidissement par impact direct de gouttes en régime d'ébullition en film vapeur.

Le refroidissement en configuration d'impact direct a été étudié au travers d'expériences sur

l'impact de train de gouttes ou de sprays (généralement de type dilué). Les paragraphes

suivants présentent, pour ces deux configurations, une synthèse des résultats obtenus par

différents auteurs.

34/195

Grandeur Valeur

Chaleur spécifique massique du liquide cP,L (à T = 25°C) 4 180 J.kg−1.°K−1

Chaleur spécifique massique de la vapeur cP,V

(à T=T sat≈100 ° C ) 2 060 J.kg−1.°K−1

Chaleur de vaporisation hLV 2 257 000 J.kg−1

Température de sous-refroidissement ΔT sub=T sat−T L 100 – 25 = 75 °C

Température de surchauffe ΔT sat=T w−T sat 650 – 100 = 550 °C

Calcul des termes de chaleur sensible liquide et vapeur

Chaleur sensible du liquide : cP,LΔT sub 313 500 J.kg−1

Chaleur sensible de la vapeur : cP,VΔT sat 1 133 000 J.kg−1

Chaleur sensible totale 3 703 500 J.kg−1

Tableau 1.5: Chaleurs sensibles du liquide et de la vapeur dans le cas d'un refroidissementpar spray d'eau, à la température initiale T L=25°C , au contact d'une surface de

température T w=650 ° C . On considère le cas limite où la température de la vapeur atteintcelle de la plaque.


III.2.1. Refroidissement par impact direct d'un train de gouttes monodispersées

Un train de gouttes permet de générer successivement des gouttes monodispersées en taille et

en vitesse. Les grandeurs utilisées pour interpréter le refroidissement par impact sont

généralement le diamètre des gouttes d , la composante normale à la plaque de la vitesse des

gouttes u , ou encore le nombre de Weber basé sur une goutte We (équation (1.11)) :

We=ρ L du

2

σ L(1.11)

La fréquence d'impact des gouttes f ss , les propriétés physiques et la température de la surface

(indice « w ») et du liquide de refroidissement (indice « L ») interviennent également. On note

que la génération d'un train de gouttes ne permet généralement pas de faire varier

indépendamment les trois grandeurs d , u et f ss , limitant par là même les domaines d'étude.

Les corrélations citées par la suite sont regroupées dans le tableau 1.6, Ces relations

concernent principalement le flux de chaleur extrait à la paroi et l'efficacité de

refroidissement.

(i) F lux de chaleur extrait en fonction des caractéristiques d'impact

En 1970, Pedersen [29] a étudié le transfert thermique d’un train de gouttes monodispersées

impactant sur une surface chauffée dans une gamme de température de surface

T w∈[650 ; 970]°C , c'est-à-dire en régime d'ébullition en film de vapeur. Dans la gamme de

nombres de Weber We∈[45 ; 332] , une augmentation du flux de chaleur extrait avec la

vitesse incidente des gouttes est relevée. La température de surface et le diamètre des gouttes

conduisent également à l’accroissement du flux de chaleur extrait mais dans une moindre

mesure, l'influence du diamètre étant toutefois marginale.

Par la suite, d'autres études ([30] [2] [31] [32]) ont confirmé l’effet de la vitesse des gouttes

sur le flux de chaleur extrait à la paroi. Un certain nombre d’entre elles montrent également

que le flux de chaleur extrait croît avec diamètre des gouttes. L'ensemble de ces études se base

sur l'impact d'un train de gouttes, pour un diamètre et une vitesse de goutte respectivement

compris dans les intervalles d∈[200 ;100]µm et u∈[1 ; 7]m.s−1 , le nombre de Weber étant

lui compris dans l’intervalle We∈[20 ; 220] .

Le rôle de la fréquence f ss d'impact des gouttes sur le flux de chaleur a également été étudié

([30] [33] [34] [32]). Ainsi, ces auteurs montrent que le flux de chaleur extrait à la paroi croît

avec la fréquence d'impact dans la gamme f ss∈[0.67 ;10000 ]s−1 . En augmentant

considérablement la fréquence d'impact des gouttes, Yao et Choi [2] observent que l'influence

de la vitesse et du diamètre des gouttes diminuent, tandis que l’influence du débit surfacique

augmente considérablement. On note qu'à diamètre de goutte constant, le débit surfacique

varie dans le même sens que la fréquence d'impact.

35/195


(ii) E fficacité de refroidissement en fonction des caractéristiques d'impact

Les résultats sur l'efficacité de refroidissement rapportée à une goutte εT,sd , sont en revanche

parfois contradictoires. Pedersen [29] observe l'augmentation de l'efficacité de refroidissement

avec la vitesse des gouttes, de même que Takeuchi et al. [30]. L'inverse est en revanche noté

par Bolle et Moureau [35] et Bernardin et Mudawar [32].

Concernant le diamètre des gouttes, Takeuchi et al. [30] notent que l’efficacité de

refroidissement décroît lorsque le diamètre des gouttes croît, de même que Bernardin et

Mudawar [32] et Bolle et Moureau [35]. Exprimé en fonction du nombre de Weber basé sur

une goutte We , la corrélation de Bernardin et Mudawar [32] affiche une décroissance de

l'efficacité de refroidissement d'une goutte lorsque le nombre de Weber croît.

Dernièrement, Dunand et al. [36] observent la croissance de l'efficacité de refroidissement

lorsque la vitesse des gouttes croît, tandis que l'augmentation du diamètre dans la gamme

d∈[80 ; 240]µm tend à diminuer l'efficacité de refroidissement. De manière générale,

l'efficacité croît avec le nombre de Weber dans la gamme We∈[0 ; 150] .

Takeuchi et al. [30] et Senda et al. [33] observent que l'efficacité de refroidissement diminue

avec la fréquence d'impact des gouttes dans la gamme f ss∈[0.67 ;1000 ]s−1 . Ce résultat laisse

supposer que des interactions verticales d'une goutte sur la suivante existent et limite

l'efficacité du refroidissement.

Issa et Yao [28] regroupent les résultats de plusieurs auteurs([37] [29] [33]), notamment

Pedersen [29], concernant un train de gouttes monodisperse impactant sur une paroi chaude.

Les données expérimentales comprennent des gouttes de diamètre d∈[200 ;3835]µm et de

vitesse u∈[2 ; 10]m.s−1 , avec une fréquence d’impact f ss∈[10 ;10816 ]s−1 , en régime

d'ébullition nucléée pour T w∈[139 ; 441]°C et d'ébullition en film de vapeur pour

T w∈[255 ;621]°C . Ils construisent une corrélation sur l'efficacité de refroidissement d'une

goutte εT−sd

Issa1 , en régime de Leidenfrost, valable pour un nombre de Weber inférieur à 650.

Cette corrélation montre que l'efficacité de refroidissement croît avec le nombre de Weber

puis décroît à partir de We=1000 . Ce comportement n'est pas justifié par les auteurs, mais

on note qu'il se produit au-delà de la gamme de validité de la corrélation. Cette corrélation a

été testée dans le cadre d’une simulation du refroidissement par spray, ceci en comparaison

avec sur une série de mesures expérimentales [38]. Le spray ainsi simulé est de type cône

plein, avec une injection simultanée d’eau et d’air dont les débits massiques sont

respectivement Qm,L=10−4 kg.s−1 et Qm,G=2E-3kg.s−1 . Le débit surfacique du liquide au

niveau de l’impact sur la plaque est de QV>2.5 L.m−2 .s−1 et le diamètre des gouttes est

compris dans la gamme d∈[9 ; 63]µm . Le nombre de Weber des gouttes est quant à lui

compris entre 100 et 1000. Pour chaque goutte qui impacte la surface, les auteurs applique la

corrélation εT−sd

Issa1 concernant l’efficacité de refroidissement afin de déterminer le flux de

chaleur extrait. Les résultats de la simulation sont en accord avec les mesures expérimentales

36/195


37/195

Nom de lacorrélation etréférence des

auteurs

Grandeur corrélée Corrélation

εT−sd

Bolle&M. :

Bolle et Moureau(1982)[35]

E xpériences d'i mpact d'une goutte en r égime d'ébullition en film de vapeur : eau , We∈[1 ; 1500] , T w∈[800 ; 1200]°C

Énergie extraite par l'impact d'une goutte

ET−sd

Bolle&M.=0.82(λ w ρ L cP,L)0.5(T w−T L)

d2.5

√u

Efficacité de refroidissement rapportée à une goutte

εT−sd

Bolle&M.=1.566 √λ wρ w cP,w

ρ L hLV

(T w−T L)√ 1u d

εT−ssTak. :

Takeuchi et al.(1983)[30]

Expérience d'i mpact d'un train de goutte en r égime d'ébullition en film de vapeur : eau , d∈[290 ;560]µm, u∈[2.2 ; 4.8]m.s−1

f ∈[10 ; 100]s−1 , We∈[22 ; 210], T w∈[600 ; 1000 ]°C

Flux de chaleur extrait par un train de gouttes

qT−ss

Tak. ∝f0.95

u0.65

d2.62

Efficacité de refroidissement pour un train de gouttes

εT−ss

Tak. ∝f−0.05

u0.65

d−0.38

εT−ss

B.&M. :

Bernardin etMudawar (1997)

[32]

Expériences d'i mpact d'un train de goutte en r égime d'ébullition en film de vapeur : eau , d∈[240 ;1000 ]µm, u∈[1.2 ;7 ]m.s−1

f ∈[500 ;12000] s−1 , We∈[20 ; 200], T w∈[200; 400]°C

Flux de chaleur extrait par un train de gouttes

qT−ss

B.&M.=383.6ΔT0.912

d0.996

u0.254

Efficacité de refroidissement pour un train de gouttes

εT−ss

B.&M.= 1719ρ L hLV

ΔT0.912

d−1.004

u−0.746

εT−sd

Issa :

Issa et Yao(2005)[28]

Expériences d'i mpact d'un train de goutte en régime d'ébullition en film de vapeur :

eau , d∈[200 ; 482]µm, u∈[2 ; 10]m.s−1

f ∈[50 ; 10816]s−1 , We∈[10 ; 650], T w∈[255 ;621]°C

Efficacité de refroidissementrapportée à une goutte

εT−sd

Issa1 =3.771×10−3We

0.691e−9.079E-4We

Expériences d'i mpact d'un train de goutte en régime d'ébullition nucléée : eau , d∈[330 ;3835]µm, u∈[3.63 ;9.45 ]m.s−1

f ∈[10 ; 10816]s−1

, We∈[50 ; 480], T w∈[139 ; 441]°C

Efficacité de refroidissementrapportée à une goutte

εT−sd

Issa2 =9.844E-2We0.3428

Tableau 1.6: Relations obtenues par différents auteurs pour le transfert thermique par impactd'une goutte ou d'un train de goutte. Les indices « sd » et « ss » correspondent au type

d'élément liquide pour lequel est calculé la grandeur, avec respectivement une goutte seule ouun train de gouttes.


sur le flux de chaleur. Cependant, en utilisant des sprays tels que QV>4L.m−2 .s−1 , les

auteurs observent une divergence entre les résultats de la simulation et ceux de l'expérience.

Ils attribuent cette différence à un phénomène de noyage de la plaque, présent dans

l'expérience mais non reproduit par la simulation qui ne considère que des impacts directs des

gouttes. Ce phénomène de noyage équivaut à la formation d'un film liquide.

À partir des travaux de ces mêmes auteurs ([37] [29] [33]), Issa et Yao [28] développent

également une corrélation sur l'efficacité de refroidissement en régime d'ébullition εT−sd

Issa2 .

Cette corrélation est par la suite reprise par Zhao et al. [19]. En régime d'ébullition nucléée,

l'efficacité de refroidissement croît lorsque le nombre de Weber croît.

III.2.2. Refroidissement par impact direct d'un spray

D'autres auteurs ont étudié le refroidissement par impact d'un spray sur une surface chaude en

régime d'ébullition en film de vapeur. Le tableau 1.7 regroupe les principales relations sur le

flux de chaleur et l'efficacité de refroidissement obtenue dans cette configuration. Les

paramètres du spray pouvant influencer le refroidissement sont le diamètre statistique d10 ou

d32 , la vitesse moyenne u , le débit surfacique, ou encore le nombre de Weber Wesp et le

nombre de Reynolds Resp basés sur les caractéristiques du spray (équations (1.5) et (1.6)). La

température de la surface (indice « w »), ainsi que les propriétés physiques de celle-ci et celles

du liquide de refroidissement (indice « L ») interviennent également.

Dans le cas de l'impact d'un spray monodispersé en diamètre, Deb et Yao [3] obtiennent une

relation analytique εT−sp

D.&Y. pour l'efficacité de refroidissement dans la gamme Wesp∈[40 ; 80]

et QV∈[0.3 ; 2] L.m-2.s-1, pour des refroidissements allant du régime de refroidissement

transitoire au régime d'ébullition en film de vapeur c’est-à-dire T w∈[140 ;600 ]°C pour de

l’eau. L'efficacité de refroidissement croît avec le nombre de Weber.

Klinzing et al. [39] étudient le refroidissement généré par une large gamme de sprays grâce à

l'utilisation de cinq buses différentes. Leurs mesures permettent le développement de

corrélations pour tous les régimes de refroidissement, dont le régime d’ébullition en film de

vapeur qT−sp Klinzing2 . En régime d'ébullition en film de vapeur, ils observent que le flux

thermique extrait décroît légèrement lorsque le diamètre croît, mais croît fortement avec le

flux surfacique. Pour les faibles débits surfaciques QV<3.5L.m−2.s−1 , le flux de chaleur est

indépendant de la vitesse. Pour les débits surfaciques plus élevés QV>3.5 L.m−2.s−1 , le

diamètre n'influence pas l'efficacité du refroidissement. En revanche, l'efficacité de

refroidissement croît lorsque la vitesse moyenne des gouttes décroît et, avec une importance

identique, l'efficacité de refroidissement croît avec le débit surfacique.

Bernardin et Mudawar [32] proposent d’approcher expérimentalement une configuration de

spray simplifiée à partir de l'assemblage de plusieurs trains de gouttes. Deux configurations

comportant N diaph=4 et Ndiaph=9 diaphragmes, permettent de faire varier la densité du spray

38/195


du point de vue surfacique, c'est-à-dire au niveau de la surface d’impact (figure 1.14). Cette

modélisation est intermédiaire entre un véritable spray et un train de gouttes puisque le

diamètre et la vitesse des gouttes sont monodispersés, mais que des interactions latérales entre

les gouttes peuvent avoir lieu. On note que les points d'impact sont uniformément répartis sur

la plaque. Les auteurs comparent la mesure du flux de chaleur extrait à la paroi pour chacune

des configurations, avec le flux de chaleur résultant de l’impact de N diaph train de goutte

solitaire dont le flux de chaleur est donnée par la corrélation qT−ss

B.&M. (tableau 1.6). Ainsi, Le

flux de chaleur qui résulterait de l’impact de N diaph trains de gouttes solitaire s’écrit :

qT ,N diaph=Ndiaph qT−ss

B.&M.(1.12)

En configuration avec quatre trains de gouttes, le flux extrait à la paroi est égal au flux de

chaleur calculé par la relation (1.12). Ce résultat montre que les interactions latérales entre les

gouttes semblent négligeables. Dans la configuration avec neufs trains de gouttes, le flux de

chaleur calculé à l'aide de la relation (1.12) est supérieur au flux de chaleur mesuré. Les

auteurs observent le rebond latéral des gouttes issues d'un train de goutte qui viennent

interférer avec les trains de gouttes situés à proximité, ce qui réduit l’efficacité pour refroidir

la plaque, comparativement au cas de trains de gouttes pris individuellement. Bernardin et

Mudawar [32] montrent donc que l'efficacité de refroidissement diminue à mesure que l'on

augmente la densité latérale du spray. En augmentant la fréquence d’impact des gouttes,

Takeuchi et al. [30] ont observé un résultat similaire. Dans ce cas, des interactions successives

des gouttes formant le train sont responsables de la diminution de l'efficacité de

refroidissement. Ces résultats reviennent à dire que les grandeurs tels que le débit surfacique

QV , le flux de goutte surfacique N , ou le titre volumique χ V sont des paramètres

importants dans le refroidissement par spray et que le refroidissement par spray ne peut pas

être directement relié aux observations réalisées sur un train de gouttes seul.

39/195

Figure 1.14: Schéma illustrant la configuration de refroidissement parimpact de multiples trains de gouttes (Bernardin et Mudawar[32])


Bernardin et Mudawar [32] ont proposé de construire une corrélation pour le refroidissement

par spray, en prenant en compte deux cas concernant la densité du spray. Ils considèrent que

l'efficacité du refroidissement d’un spray εT−sp est comprise entre l'efficacité d'un spray très

dilué et l'efficacité d’un spray dense. Une interpolation linéaire entre ces deux situations

permet d’exprimer l’efficacité de refroidissement en fonction de la densité du spray, exprimé

40/195

Auteurs Corrélations et gammes de validités

εT−sp

D.&Y. :

Deb et Yao(1987)[3]

εT−sp

D.&Y.=0.02729exp(0.081√ln(Wesp/35+1)

(B+S /60.5)1.5 )+0.21085 K B exp( −90Wesp+1)

avec B=cP,V(T w−T sat)/hLV , K=λ Vap /(c p,VapμVap) , S=(λ ρ cP)w

0.5

(λ ρ c P)steel0.5

−1

Gammes : eaud≈300µm , u∈[3 ;4 ]m.s−1 , We∈[40 ;80 ]QV

∈[0.3 ; 2]L.m−2 .s−1 , T w∈[150 ;600]°C

qT−sp

Klinzing :

Klinzing et al.(1992)[39]

QV∈[0.58 ;3.5]L.m−2 .s−1 : qT−sp

Klinzing1=63.25ΔT w1.691

QV0.264

d32−0.062

QV∈[3.5 ;9.96 ]L.m−2 .s−1 : qT−sp

Klinzing2=1.413E5ΔT w0.461

QV0.566

u0.639

Gammes : eaud32∈[0.137;1350 ]µm, u∈[10.1 ; 29.9]m.s−1

Wesp∈[200 ; 20000] , T w>T leid

qT−sp

B.&M. :

Bernardin etMudawar(1997)

[32]

qT−sp

B.&M.=ρ LhLVQ VεT,sd(1−

QV

QV,dense )+1720 ΔT w

0.912d32

−1.004u

−0.746 (QV)2

QV,dense

avec εT, sd=3.68E4ρ L hLV

ΔT1.691

d32−0.062 et QV, dense

=5L.s−1 .m−2

Gammes : eaud∈[250 ; 1002]µm , u∈[1.0 ; 10]m.s−1, We∈[20 ; 200]QV

∈[0.175 ; 2.63 ]L.m−2 .s−1, T w∈[180 ; 380]°C

εT−sp

Y.&C.-Re :

εT−sp

Y.&C.-We :

Yao et Cox(2002)[40]

ReQV

∈[0.002; 50] :

ε T−sp

Y.&C.- Re=2.5E−4[ReQV

T sat

ΔT sub+ΔT sat]−1.05

+2.5E−2[ReQV

T sat


WeQV

∈[6E−10

;3E−2] :

ε T−sp

Y.&C.-We=8E−7[WeQV

T sat


+3.5E−3[WeQ V

T sat


Gammes :eaud∈[130 ; 25E+3]µm, u∈{[0.6 ; 7.3] ; 20 }m.s−1 , We sp∈[100 ;3659]

QV∈{[0.016; 2.05] ;50 }L.m−2 .s−1 , T w∈[300 ; 800]°C

Tableau 1.7: Relations obtenues par différents auteurs pour le transfert thermique par impactdirect d'un spray, en régime d'ébullition en film de vapeur.


par le débit surfacique QV .

L'efficacité de refroidissement du spray dilué est obtenue à partir du flux de chaleur de

Klinzing et al. [39] qT−sp

Klinzing (voir tableau 1.7) en fixant un débit surfacique très faible

QV=0.175 L.m−2 .s−1 . Le cas du spray dense est basé sur les expériences d’un train de

gouttes monodisperse en impact normal sur une paroi εT−ss

B.&M. de Bernardin et Mudawar [32]

(voir tableau 1.6). Ils considèrent en effet que l’augmentation de la fréquence d’impact d’un

train de gouttes en impact normal permet de simuler une situation de spray dense par

interaction de gouttes successives sur la paroi. On note toutefois que la corrélation εT−ss

B.&M. ne

prend pas en compte la fréquence d'impact des gouttes, et que les expériences avec plusieurs

trains de gouttes montrent que la corrélation issue d'un train de goutte unique ne peut pas être

utilisés pour traiter les phénomènes présents dans un spray. L'efficacité de refroidissement

εT−ss

B.&M. du train de gouttes en impact normal est atteinte pour QV=5 L.m−2 .s−1 (valeur

initialement donnée par Klinzing et al. [39] Pour définir la limite entre un spray dilué et un

spray dense). La relation finale qT−sp

B.&M. , valable pour un spray dont la densité est

intermédiaire (résultat de l’interpolation linéaire), est présentée dans le tableau 1.7.

D’après cette corrélation, le flux de chaleur extrait par un spray croît avec le débit surfacique,

mais décroît lorsque la vitesse moyenne ou le diamètre de Sauter des gouttes augmente.

Bernardin et Mudawar [32] obtiennent en utilisant cette corrélation des écarts de 3% à 23%

avec la mesure expérimentale du flux extrait au cours de l’impact d’un spray plat. Le spray

testé par ces auteurs se caractérise par une répartition inhomogène du débit surfacique dans la

zone d'impact QV∈[0.51; 2.63]L.m−2.s−1 . Les valeurs du diamètre et de la vitesse sont

homogènes sur cette même zone et respectivement égales à d32=463µm et u=9.6m.s−1 .

Finalement, ces résultats montrent qu'il est possible d'utiliser les corrélations obtenues à l’aide

de trains de gouttes pour évaluer le refroidissement généré par l’impact d’un spray

relativement dilué, à condition de prendre en compte l'influence du débit surfacique.

Par la suite, Yao et Cox [40] ont réalisé des mesures d'efficacité de refroidissement par un

spray impactant une surface chauffée en régime de Leidenfrost. En regroupant leurs données

et celles de plusieurs autres auteurs, ils construisent deux corrélations basées sur des nombres

de Reynolds Resp , QV et de Weber Wesp ,QV

relatifs au spray définis par :

Re sp ,QV=

ρ L d QV

μL

Wesp ,QV =

ρ Ld (QV )

2

σ L

(1.13)

Ces nombres sont basés sur le débit surfacique plutôt que sur la vitesse. Les auteurs

expliquent ce choix par l'absence de rôle clair de la vitesse sur l'efficacité de refroidissement.

Les corrélations résultantes concernant l’efficacité de refroidissement sont présentées dans le

tableau 1.7. Les auteurs notent que la relation basée sur un nombre de Weber prédit de

41/195


manière plus précise l’efficacité du refroidissement mesurée expérimentalement. Ce modèle a

été testé expérimentalement sur le refroidissement généré par des sprays industriels (

QV≈50 L.m−1 .s−1 et u≈20m.s−1 ) et montre une bonne concordance du calcul avec

l'expérience (figure 1.15).

III.3. Méthodes et corrélations relatives au transfert thermique en présence d'un film liquide

Quelques études proposent de modéliser le comportement du film liquide en prenant en

compte les différents modes de transfert thermique propre à la présence d'un film liquide.

Dans un souci de simplification du propos, les explications se concentrent sur la partie

thermique du refroidissement et sur la dynamique du film liquide.

Zhao et al. [19] ont réalisé la simulation du refroidissement par spray en régime

monophasique et en régime d'ébullition nucléée dans les conditions We∈[24 ;100] et

QV∈[20 ; 300]L.m−2 .s−1 . Le film est décrit par un maillage fixe et par des équations de

conservation de masse et de quantité de mouvement en instationnaire, le film étant alimenté

que par les gouttes qui impact la plaque en régime d'étalement. Les autres gouttes

rebondissent. Les trajectoires des gouttes et des bulles sont calculées. Quatre modes de

transfert thermique sont modélisés : convection du film liquide sur la plaque, échange entre le

film et l’environnement (air), le transfert thermique générée par la goutte, l’ébullition nucléée.

Ces transferts thermiques sont décrit par des nombres de Nusselt, des coefficients de transfert

thermique ou encore une efficacité de refroidissement (voir tableau 1.8). Les mécanismes

indirects utilisés dans la simulation sont également présentés. Les résultats de la simulation

sont en adéquation avec des mesures expérimentales sur la vitesse d'écoulement du film et sur

son épaisseur (voir paragraphe II.2.3.(i)), mais se limitent à des cas où il n’y a pas de film de

vapeur.

42/195

Figure 1.15: Comparaison des corrélations ε T,Y.&C.-Re et ε T,Y.&C.-We avec des mesuresexpérimentales de refroidissement en régime d'ébullition en film de vapeur, pour des

températures de paroi comprises entre 300 °C et 700 °C. (Figures tirée de Yao et Cox [40])

ΔT sat

ε T,Y.&C.- Re

ε T

ReQV

T sat /(ΔT sub+ΔT sat)

ΔT sat

ε T,Y.&C.-We

ε T

WeQV

T sat /(ΔT sub+ΔT sat)


Xie et al. [21] proposent également une simulation en régime de refroidissement

monophasique. Les auteurs notent que le flux surfacique de gouttes très élevé a tendance à

lisser les effets de fluctuation du fait des impacts et permet de considérer le film liquide

comme une interface stable et rigide. Le film liquide est également décrit par un maillage fixe

et par des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement, mais la

résolution est opérée ici en stationnaire. Toutes les gouttes contribuent à alimenter le film

liquide, et les mécanismes des différents régimes d’impact ainsi que l'évaporation ne sont pas

modélisés. Le refroidissement en surface est modélisé par la contribution de l'impact direct

des gouttes dans l’hypothèse d'un film liquide fin et par le transfert convectif du film liquide

43/195

Zhao et al.[19] Xie et al.[21]T

erm

es d

e M

odél

isat

ion

Convection du filmliquide sur la

plaque

Nombre de Nusselt sur le film : Nufilm,L=0.322 Re film

1/2 Prfilm1/3

Nombre de Nusselt sur lefilm : Nufilm,L=0.322 Re film

1/2 Prfilm1/3

Échange film-environnement

Convection avec l'air : coefficientde transfert thermique

hT, film-air,L=λair

e film

0.322 Reair1 /2 Prair

1 /3

Tran s fert s radiatif s : qT =(εw )

Rayσ S.B.(T w−T G4 ) , avec

(ε w )Ray l'émissivité de la surface.

Pas pris en compte

Transfertthermique issu de

la goutte

Transfert thermique lors de lat raversé e du film liquide :

Nudrop, 2=2+(0.4 Redrop1 /2 +0.06 Redrop

2/2 )Prdrop0.4

Transfert thermique par impact : efficacité de Issa et Yao [28] :

εT−sdIssa2

Transfert thermique parimpact :

efficacité de Issa et Yao[28]εT−sd

Issa2

Ébullition nucléée

ébullition à la paroi : Plusieurscorrélations issues de diverses

auteurs.ébullition secondaire : Apportd'embryons gazeux à partir des

gouttes, puis utilisation descorrélations pour l'ébullition à la

paroi.

Pas pris en compte

Autres mécanismes

• Fragmentation des bulles par impact des gouttes

• Évacuation du liquide en bord desurface

• Entraînement des bulles par lefilm

Aucun

Tableau 1.8: Méthodes et corrélations pour la simulation du refroidissement par spray enprésence d'un film liquide


le long de la paroi. Ce choix a été fait sur la base d'études expérimentales montrant que ces

modes dominent en régime de refroidissement monophasique [41]. Le transfert convectif du

film sur la paroi est corrélé par un nombre de Nusselt identique à celui utilisé par Zhao et al..

Le refroidissement par impact est modélisé par la corrélation de Issa et Yao [28] (tableau 1.6)

sur l’efficacité de refroidissement. Les corrélations utilisées par Xie et al. [21] sont également

présentées dans le tableau 1.8. Les résultats, sur l'épaisseur du film liquide et la température

de stabilisation de la surface chauffée, sont en accord avec des études expérimentales réalisées

par différents auteurs ([22], [42]).

Le même type de simulation a également été réalisé par Cheng et al. [43] pour la gamme

We∈[208 ; 400] et QV∈[27 ; 113]L.m−2.s−1 .

En fin de compte, la modélisation numérique du refroidissement par spray dans cette

configuration avec film liquide est en général peu référencée, notamment en régime

d'ébullition en film de vapeur.

IV. ConclusionAu vu des résultats présentés dans cet état de l'art, il apparaît clairement que le

refroidissement par spray ne peut pas se limiter à l’impact de gouttes individuelles ou d’un

train de gouttes sur une surface chaude. La littérature tend à montrer que suivant les

conditions de refroidissement, d'autres phénomènes (convection, ébullition secondaire) vont

totalement dominer le refroidissement, notamment dans le cas où un film liquide se forme à la

surface de la plaque chauffée. Cependant, les conditions d'apparition de ce film liquide ne

sont pas totalement identifiées, en particulier du fait du grand nombre de paramètres

d’influence.

Des travaux associant corrélations empiriques et simulations numériques permettent

néanmoins de traiter le refroidissement par spray en configuration de film liquide. Ces

méthodes permettent notamment d'obtenir des informations sur les caractéristiques du film

liquide à la surface de la plaque et le transfert thermique induit par celui-ci. Des études

impliquant la présence d’un film liquide dans des conditions de températures de paroi élevées,

en régime de transition ou d'ébullition en film de vapeur, ne sont cependant pas documentées

dans la littérature.

Les gammes d’étude ayant permis de construire les différentes corrélations empiriques

présentées dans les tableaux 1.6 et 1.7 sont représentées sur la carte de la figure 1.16. Les

nombres de Weber correspondent à celui du spray Wesp , sauf pour la corrélation de Issa et

Yao [28] qui traite de l'efficacité de refroidissement rapportée à une goutte. La gamme

correspondant au spray qui fera l’objet de ce travail de thèse est également reportée sur cette

figure (ellipse hachurée). À notre connaissance, cette gamme est peu documentée dans la

44/195

IV. Conclusion

littérature, du fait du débit surfacique particulièrement élevé. Néanmoins, des études

comportant une gamme de débits spécifiques et de nombres de Weber approchant existent.

La figure 1.17 compare quelques-unes de ces corrélations pour différents débits spécifiques.

Les figures (a) à (d) représentent l'efficacité de refroidissement ε T en fonction du nombre de

Weber sur le spray dans la gamme Wesp∈[11 ;10000] , pour des débits surfaciques croissants

QV=0.1 ; 1 ;10 ;100 L.m−2.s−1 . Les nombres de Weber sont calculés pour trois diamètres de

gouttes d∈{50 ; 200 ; 600}µm . La vitesse est comprise dans la gamme u∈[1.15 ; 120]m.s−1 .

L'efficacité de refroidissement est calculée pour de l'eau en prenant une température initiale

du liquide T L=25°C et une température de paroi T w=500 °C . L'efficacité calculée à partir

de la corrélation de Bernardin et Mudawar [32] est recalculée de manière à prendre en compte

tous les termes du dénominateur de l'équation (1.10). L'efficacité de Deb et Yao [3] est

calculée pour une plaque d'acier. Ces propriétés physiques ainsi que celles du liquide utilisé

pour le calcul des efficacités de refroidissement sont regroupés dans le tableau 1.9.

Les corrélations n'étant pas toutes construites à partir du nombre de Weber, plusieurs valeurs

d'efficacité sont possibles pour un même nombre de Weber (points rouges bleus et verts),

notamment lorsque la corrélation n'est basée que sur le diamètre ou que sur la vitesse.

Certaines efficacités de refroidissement ont des valeurs irréalistes car elles sont calculées à

partir de corrélations non valables sur notre gamme d'étude. La corrélation de Bernardin et

45/195

Figure 1.16: Représentation schématique des gammes d'étude ayant permis de construire descorrélations empiriques relatives à l'efficacité de refroidissement d'un spray.

Deb et Yao (1987)

Issa et Yao (2005)

Bernardin et Mudawar (1997)

Yao et Cox (2002)

Klinzing et al.(1992)


Mudawar [32] conduit à une efficacité beaucoup trop élevée pour les petits et les grands

nombres de Weber. La corrélation de Klinzing et al. [39] est irréaliste pour les petits débits

surfaciques QV=0.1 L.m-2.s-1. Enfin la corrélation de Issa et Yao [28] est physique (< 1) sur

toute la gamme d'étude, mais la tendance observée en fonction du nombre de Weber We

lorsque celui ci est supérieur à 1000 ne correspond à aucune observation expérimentale.

L’utilisation de cette corrélations au-delà de sa gamme de validité est donc risquée.

Finalement, deux corrélations se démarquent :

– La corrélation de Yao et Cox [40] conduit à une efficacité de refroidissement réaliste sur

une large gamme de débits surfaciques et de nombres de Weber. Cette corrélation prend en

particulier en compte l'effet de noyage (la formation d’un film liquide) sur la plaque

lorsque le débit surfacique augmente.

46/195

Figure 1.17: Efficacité thermique calculée à partir de plusieurs modèles, en fonction dunombre de Weber et du débit surfacique. Les modèles regroupent des cas d'impact goutte-

paroi et des cas de refroidissement par spray. (T L=20°C T w=500°C)

10 100 1000 100000.10

1.00

10.00

100.00

Conditions: Qsurf = 100 L/m²/s - Twall = 600°C Weber []

Effi

caci

té th

erm

ique

[%]

(d )QV=100 L.m−2 .s−1

Wespou We

Effic

acité

de

refr

oidi

ssem

ent

ε T

10 100 1000 100000.01

0.10

1.00

10.00

100.00

Conditions: Qsurf = 10 L/m²/s - Twall = 600°C Wesp [-]

Effi

caci

té th

erm

ique

[%]

(c)QV=10 L.m−2 .s−1

Wespou We

Effic

acité

de

refr

oidi

ssem

ent

ε T

10 100 1000 100001.00

10.00

100.00

1000.00

Conditions: Qsurf = 0.1 L/m²/s - Twall = 600°C Weber []

Effi

caci

té th

erm

ique

[%]

(a)QV=0.1L.m−2 .s−1

Wespou We

Eff

icac

ité d

e re

froi

diss

emen

tε T

10 100 1000 100001.00

10.00

100.00

Conditions: Qsurf = 1 L/m²/s - Twall = 600°C Weber []

Effi

caci

té th

erm

ique

[%]

(b)QV=1L.m−2 .s−1

Wespou We

Eff

icac

ité d

e re

froi

diss

emen

tε T

Klinzing et al.

Issa et Yao

Yao et Cox

Deb et Yao

Bernardin et Mudawar qT−sp

B.&M.

εT−sp

Y.&C.-We

εT−sp

D.&Y.

qT−sp

Klinzing

εT−sd

Issa

IV. Conclusion

– La corrélation de Deb et Yao [3] conduit également à une efficacité de refroidissement

réaliste sur une large gamme de débits surfaciques et de nombres de Weber. Bien que le

calcul de cette efficacité soit basée sur le nombre de Weber du spray, cette corrélation a été

construite à partir d'un spray monodispersé en diamètre. Par conséquent, cette efficacité de

refroidissement d'un spray s'apparente à une efficacité de refroidissement ramenée à une

goutte. Le calcul du flux de chaleur nécessite alors de connaître le flux surfacique de

gouttes N . Ainsi, la corrélation prédit une croissance du flux de chaleur surfacique avec

le débit surfacique et ne considère pas une éventuelle formation d'un film liquide.

Ces corrélations offrent la possibilité de connaître le flux de chaleur extrait par un spray à

partir d'information sur ce spray au niveau de la plaque. La corrélation de Yao et Cox [40]

nécessite des grandeurs statistiques : QV et d32 ; tandis que la corrélation de Deb et Yao [3]

nécessite de connaître le flux surfacique de goutte N et les diamètres et vitesses de chaque

goutte. Enfin la corrélation de Yao et Cox [40] semble mieux convenir pour résoudre le

refroidissement par un spray dont le débit surfacique est important, QV>5L.m−2.s−1 .

47/195

Masse volumiqueρ [kg.m-3]

Capacité calorifiqueCP, i

[J.kg-1.K-1]

Conductivitéthermique

λ [W.m-1.K-1]

Eau liquide (à T L=20°C ) 998 4185 0.604

Vapeur d'eau ( àT V=T L ,sat ) 0.5863 2026.7 0.0246

Surface (acier) 7795.67 574.67 44.33

Tableau 1.9: Propriétés physico-chimiques du liquide et de la surface, utilisées pour le calculde l'efficacité εT .

Chapitre 2 : Calcul numérique del'écoulement libre d'un spray

La simulation numérique est aujourd'hui très répandue. Elle permet par exemple de prévoir des

phénomènes, ou de mieux comprendre leur fonctionnement, en réduisant le nombres d’essais

expérimentaux, souvent coûteux. Elle ne permet toutefois pas de s'affranchir de pratiques

expérimentales et en sont même souvent très dépendantes. La constitution d'un modèle peut ainsi

prendre pour base un ensemble de mesures expérimentales (on se référera aux corrélations du

chapitre 1). La phase de test d'un modèle nécessite également une base expérimentale.

Le développement des performances de l'informatique de ces dernières années a permis

d'augmenter considérablement la part de la simulation numérique dans la recherche scientifique des

écoulements. On nomme ce domaine la CFD, pour Computational Fluid Dynamic. Les simulations

peuvent maintenant être réalisées en trois dimensions, avec une résolution spatiale et temporelle très

fine. De plus, le nombre important de modèles et de logiciels existant permet de développer

rapidement une simulation couplant différents codes multi-physique. Malgré cet accroissement des

performances de l'outil informatique, la mise en place d'une simulation demeure une opération

complexe qui est de surcroît soumise à un compromis entre précision et temps de calcul.

Ce chapitre vise à présenter et valider une méthode pour la simulation de l'écoulement d'un spray.

Nous commencerons par présenter le cadre général de la simulation d'un spray ainsi que les

modèles et méthodes existants. Nous présenterons ensuite les caractéristiques d'une simulation de

type Euler-Lagrange de l'écoulement du spray. Les résultats seront comparés avec un ensemble de

données expérimentales obtenues au cours de ce travail de thèse.

On gardera à l'esprit l'objectif général de ce manuscrit : la simulation de l'impact et du

refroidissement d'un spray. Les choix présentés par la suite seront donc contraints par la simulation

de l'impact.

49/195

Chapitre 2 : Calcul numérique de l'écoulement libre d'un spray

I. Méthodes et modèles pour la simulation d'un spray

Un spray est un écoulement diphasique, constitué d'un gaz, la phase continue, et d'un liquide,

la phase discrète. Comme nous l'avons expliqué précédemment (chapitre 1), il existe des

interactions entre ces phases qu’il est nécessaire de correctement modéliser pour représenter

l’action du gaz sur les gouttes, notamment la dispersion turbulente, mais également les

modifications de la phase continue induites par la présence de la phase discrète (échange de

quantité de mouvement et modification éventuelle de la turbulence).

La mise en place de la simulation d'un spray nécessite ainsi de répondre à trois grandes

problématiques :

─ Comment définir la géométrie limitant la zone de calcul, généralement appelée

« domaine de calcul » ?

─ Comment décrire l'état initial du spray, c'est-à-dire à la fois la phase discrète, mais

aussi la phase continue ?

─ Comment modéliser un écoulement composé de deux phases et prendre en compte

les interactions entre elles ?

La suite de cette première section présente un certain nombre de méthodes et de modèles

proposés dans la littérature pour résoudre ces problématiques. Les modèles utilisés au cours

de ce travail de thèse sont notamment décrits. La géométrie délimitant le domaine de calcul

sera ensuite présentée dans la section III.

Plus de détails sur les méthodes et modèles applicables aux écoulements diphasiques sont

disponibles dans les articles de revue de Jiang [44], Gant [45], Jenny [46] et Gouesbet [47].

I.1. Outils de simulations applicables aux sprays

D'une manière générale, les méthodes de simulation se scindent en deux classes, suivant le

référentiel de calcul choisi : Eulérien ou Lagrangien. Dans un référentiel de calcul

Lagrangien, on considère une particule individuelle fluide et on suit ses déplacements dans

l'espace et le temps. Dans un référentiel de calcul Eulérien, on considère un point fixe de

l'espace et on suit l'évolution temporelle des caractéristiques de l'écoulement en ce point.

Une méthode de calcul utilisant un référentiel de calcul Eulérien est dite « Eulérienne »,

tandis qu'une méthode utilisant un référentiel de calcul Lagrangien est dite « Lagrangienne ».

Deux approches sont communément utilisées pour modéliser un spray : (a) l'approche Euler-

Euler où la phase liquide et la phase gazeuse sont modélisées par une méthode eulérienne en

étant considérées comme deux fluides continus distincts. ; (b) l'approche Euler-Lagrange où la

50/195


phase gazeuse est décrite par une méthode eulérienne et la phase liquide par une méthode

lagrangienne. Une comparaison des avantages et inconvénients de chacune des méthodes,

dans le cadre de la simulation d'un spray, est présentée par Gant [45]. Cette étude tend à

montrer qu'une simulations Euléro-Lagrangienne est plus à même de reproduire l'écoulement

d'un spray, pour un temps de calcul plus faible et une physique plus justement reproduite.

Ainsi, les résultats des approches eulériennes-eulériennes varient fortement en changeant les

conditions d'initialisation de la phase discrète (vitesse et diamètre des gouttes), tandis que le

choix des conditions limites ainsi que la modélisation des termes de fermeture des équations

sur la phase discrète reste peu fiable. Pour les approches lagrangiennes, la phase discrète est

simulée en effectuant le suivi d’un très grand nombre de gouttes au sein de l’écoulement d’air.

Cette méthode peut s’avérer coûteuse en temps de calcul mais c’est la méthode qui s’appuie

sur le moins d’hypothèses pour la résolution de la phase dispersée.

Nous avons fait le choix dans cette thèse d’utiliser une approche eulérienne-lagrangienne pour

appréhender la simulation numérique du spray en utilisant le logiciel FLUENT®.

Les paragraphes suivants exposent les modèles utilisés pour la simulation eulérienne de la

phase continue et le suivi lagrangien des gouttes. La restriction sur le choix des modèles est

notamment influencée par le logiciel de CFD utilisé. D'autres arguments quant à ce choix

seront avancés dans la section III.

I.1.1. Simulation eulérienne de la phase continue

La simulation eulérienne consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes qui régissent

l’écoulement d’un fluide :

∂ρ∂ t

+∂ρ u i

∂ x i

=0 (2.1)

∂∂ t

(ρ u i)+∂∂ x j

(ρ u j u i )=−∂P

∂ x i

+ ∂∂ x j

[μ( ∂u i

∂ x j

+∂u j

∂ x i

−23δij

∂u l

∂ x l)]+Smom ,i (2.2)

Le terme Smom , i représente un terme source, traduisant le transfert de quantité de mouvement

entre la phase dispersée et la phase continue. Nous reviendrons plus tard sur la formulation de

ce terme. Dans le cas d’un spray, l’écoulement de gaz est un écoulement turbulent. Pour

appréhender la turbulence de l’écoulement, trois approches peuvent être envisagées :

– La plus directe est l'approche DNS (Direct Numerical Simulation) dans laquelle l'espace

est discrétisé en cellules aussi petites que les plus petites structures de l'écoulement. Cette

approche n'utilise aucun modèle, et donc aucune approximation. Cependant son coût

numérique, en temps de calcul et en mémoire, limite son utilisation à des écoulements de

faible extension et à des nombres de Reynolds turbulents modérés.

– La Simulation des Grandes Échelles (LES) est basée sur l’introduction d’un nombre

d'onde de coupure en dessous duquel l'énergie due aux mouvements tourbillonnaires est

prise en compte par un modèle. En résumé, les plus grosses structures tourbillonnaires

51/195


sont résolues exactement, tandis que les plus petites sont modélisées en introduisant une

viscosité supplémentaire calculée par les modèles dits de « sous-maille ». L'approche LES

nécessite d'utiliser des maillages demeurant relativement fins, et donc gourmands en

puissance de calcul.

– Les approches RANS, Reynolds Averaged Navier Stokes, s’appuient sur une approche

statistique afin de résoudre les grandeurs moyennes de l’écoulement turbulent Ces

méthodes RANS ne sont donc pas adaptées pour résoudre des problèmes fortement

instationnaires. Il n'est d’ailleurs pas possible de résoudre des structures plus petites que la

résolution spatiale de la grille de calcul.

L'utilisation de la moyenne temporelle en RANS et du filtrage spatial en LES aboutit dans les

deux cas à un problème de fermeture du système d’équations à résoudre. Les approches

permettant d’expliciter ces termes inconnus conduisent à un nombre important de modèles de

turbulence. L'approche LES est toutefois moins dépendante à la modélisation de ce terme

inconnu quant à la précision de la simulation numérique. Enfin, le traitement d'un écoulement

diphasique en LES est assez flou, notamment en ce qui concerne les échanges d'énergie

turbulente entre les deux phases. Ces inconvénients sont mieux contournés par les méthodes

RANS, que nous utiliserons donc dans les simulations.

Le paragraphe suivant présente les principes généraux des approches RANS pour la

simulation d'écoulements turbulents.

(i) Présentation des équations RANS

L'approche RANS consiste à séparer l'écoulement moyen de l'écoulement fluctuant en

utilisant une moyenne temporelle, on parle de la décomposition de Reynolds. Une

composante de vitesse est écrite comme la somme d'un champ de vitesse moyen v=v ( X , t )et d'un champ de vitesse fluctuant v

=v (X , t ) : v=v+ v

. En introduisant cette

décomposition dans les équations de Navier-Stokes et en moyennant l’ensemble de

l’expression, l’équation se simplifie par :

∂∂ t

(ρ u i )+∂∂ x i

(ρ u j u i)=−∂P

∂ x i

+ ∂∂ x j [μ( ∂u i

∂ x j

+∂u j

∂ x i

−23δij

∂u l

∂ x l)]

+ ∂∂ x j

(−ρ u i

u j

)+Smom ,i

(2.3)

Le terme ρ u i

u j

correspond à une composante du tenseur de Reynolds. Pour résoudre cette

équation, il est nécessaire de modéliser le tenseur de Reynolds. L'hypothèse de Boussinesq

(équation 2.4) permet d'exprimer le tenseur de Reynolds en fonction des gradients de vitesses.

Deux grandeurs sont alors introduites : la viscosité dynamique turbulente μ t et l'énergie

cinétique turbulente k=12

u i

u j

.

52/195


−ρ u i

u j

=μt( ∂u i

∂ x j

+∂u j

∂ x i

−23δij

∂u l

∂ x l)−2

3ρ k δij (2.4)

Si on introduit la relation 2.4, l’équation 2.3 devient :

∂∂ t

(ρ u i)+∂∂ x j

(ρ u j u i )=+ ∂∂ x j

[(μ+μ t )∂u i

∂ x j]+ ∂

∂ x j[(μ+μ t )

∂u j

∂ x i]

− ∂∂ x i

[ 23 (μ+μ t )

∂u l

∂ x l]− ∂

∂x i[P+

23ρ k ]

+Smom, i

(2.5)

L’obtention du champ de vitesse nécessite la détermination de la viscosité dynamique

turbulente μ t et de l’énergie cinétique turbulente k. Différents modèles de turbulence

permettent d’accéder à ces caractéristiques de l’écoulement.

(ii) Modèles de fermeture RANS

Nous n’introduirons ici que les modèles à deux équations de transport disponibles dans la

littérature et qui sont couramment utilisés. Le fondement de ces modèles reposent sur

l’introduction de deux équations différentielles permettant d’accéder à l’échelle des vitesses

u et à l’échelle des longueurs des structures turbulentes ℓ , en considérant par analyse

dimensionnelle : k∝u 2 et μ t∝ρ u

ℓ .

– Le modèle k-ε : La formulation de ce modèle conduit à deux équations de transport

pour l’énergie cinétique turbulente k et le taux de dissipation de l’énergie turbulente ε .

La viscosité dynamique est alors obtenue par :

μ t=Cμρ k

2

ε (2.6)

Ils existent plusieurs variantes de ce modèle : k-ε standard [48], RNG-k-ε [49] [50] [51], k-ε

réalisable [52]. Concernant le modèle k-ε standard, sa formulation est régie par les équations

suivantes :

∂∂ t

(ρ k )+ ∂∂ x j

(ρ k u j)=∂

∂ x j(Γk

∂ k

∂ x j)+Gk−Y k+Sk (2.7)

∂∂ t

(ρ ε )+ ∂∂ x j

(ρ ε u j)=∂

∂ x j(Γε

∂ε∂ x j

)+Gε−Y ε+S ε (2.8)

avec Γk=μ+μtσ k

et Γε=μ+μ tσ ε

.

53/195


Les termes en Γ représentent la diffusivité de la grandeur en indice, ceux en G représentent

un terme de production par le champ de vitesse moyen, ceux en Y traduisent la dissipation et

54/195

Modèle RANS k-ε Modèle RANS k-ω

Viscosité turbulente μ t μ t=Cμρ k

2

ε μ t=α*ρ kω

Terme de production GkGk=−ρ u i

u j

∂u j

∂ x i

Terme de production de la dissipation Gε ou Gω

Gε=C 1εεk

GkGω=αω

kGk

Terme de dissipation de l'énergie turbulente Y k

Y k=ρ ε Y k=β* f β* ρ kω

Terme de dissipation de la dissipation Y ε ou Y ω

Y ε=C2εεk

Gk Y ω=ρ βf βω2

Tableau 2.1: Formulation des différents termes des équations de transports pour les modèlesRANS k-ε et RANS k-ω.

Termes où la constante apparaît Modèle RANS k-ε Modèle RANS k-ω

Constantes de diffusion : σ k=1.0 ; σ ε=1.3 σ k=2.0 ; σ ω=2.0

Constante de Viscosité turbulente

Cμ=0.09

α* : terme d'amortissement de laviscosité turbulente, correction pour

les faibles Reynolds turbulents :Ret>1000 → α*=α *∞=1Ret<1000 → 0<α *<α *∞

Terme de production de la dissipation Gε ou Gω

C1ε=1.44

α : terme d'amortissement de laviscosité turbulente, correction pour

les faibles Reynolds turbulents :Ret>1000 → α=α∞=1Ret<1000 → 0<α<α∞

Terme de dissipation de l'énergie turbulente Y k

-

β* : terme comportant unamortissement pour les faibles

Reynoldsf β* : f β*=f (χ k) , avec

χ k=1

ω3

∂ k

∂ x j

∂ω∂ x j

Terme de dissipation de la dissipation Y ε ou Y ω

C 2ε=1.92

β : terme comportant unamortissement pour les faibles

Reynoldsf β : f β=f (χ ω)

Tableau 2.2: Constantes des modèles RANS k-ε et RANS k-ω.


enfin les termes en S modélisent la modification de la turbulence par la phase discrète. Tous

ces termes sont précisés dans le tableau 2.1. Cette formulation de la turbulence fait intervenir

cinq constantes (Cμ ,C1ε ,C 2ε ,σ k ,σ ε ) , déterminées expérimentalement sur des études

d’écoulements cisaillés simples (tableau 2.2).

Ce modèle présente les avantages d'être simple à mettre en œuvre, stable et économique

numériquement parlant et d'être applicable à de nombreux types d'écoulements confinés ou

non. En revanche, à moins d'introduire des lois de parois supplémentaires ou d'utiliser des

variantes (par exemple k-ε RNG et réalisable), ce modèle RANS-k-ε n'est pas valable dans

les régions de proche paroi (zone de bas Reynolds). Enfin, on pourra noter que ce modèle ne

permet pas de reproduire correctement les écoulements complexes présentant des phénomènes

de recirculation ou de rotation. Cette limitation trouve sa source dans l'hypothèse d'isotropie

de la turbulence et dans les limitations pour résoudre un décollement à la paroi, souvent

présent dans ce type d'écoulement.

– Le modèle k-ω : il est basé sur un modèle de 1988 où Wilcox reprend l'idée de

Kolmogorov concernant la fréquence caractéristique des grands tourbillons [53]. Il est

basé sur les équations de transport de k et de la fréquence de dissipation de la turbulence

ω. Cette dernière est définie comme le rapport de ε sur k. La viscosité dynamique

turbulente μ t est alors calculée comme suit :

μ t=α *ρ kω (2.9)

Les équations issues de cette formulation s’écrivent comme suit :

∂∂ t

(ρ k )+ ∂∂ x j

(ρ k u j)=∂

∂ x j(Γk

∂ k

∂ x j)+Gk−Y k+Sk (2.10)

∂∂ t

(ρ ω )+ ∂∂ x j

(ρ ω u j )=∂∂ x j

(Γω∂ω∂ x j

)+Gω−Y ω+Sω (2.11)

Avec Γk=μ+μtσ k

et Γω=μ+μ tσ ω

.

Les formulations des termes G et Y sont précisés dans le tableau 2.1. Ces termes ont la même

signification physique que pour les équations discutées pour le modèle k-ε.Le coefficient α * figurant dans l'équation 2.9 propose d’amortir la viscosité turbulente dans

le cas d'un écoulement à bas-Reynolds. Cela permet notamment de prendre en compte le

comportement de l'écoulement en proche paroi. On dit, contrairement à son homologue

RANS-k-ε, que le modèle RANS-k-ω est intégrable jusqu'à la paroi.

Toutefois, l'utilisation de ce modèle RANS-k-ω doit être limitée au cas des écoulements

confinés.

– Le modèle k-ω SST : En 1994, Menter [54] a proposé un modèle « hybride » entre les

modèles RANS-k-ε et k-ω, appelé k-ω SST. Ce nouveau modèle permet de combiner les

capacités du modèles RANS-k-ε loin ou en l'absence de paroi, aux qualités du modèle

55/195


RANS-k-ω en proche paroi. Pour ce modèle, les valeurs des constantes sont modifiées

comparé aux modèles standarts.

Les constantes des modèles évoqués dans cette partie sont données dans le tableau 2.2.

I.1.2. Suivi lagrangien de la phase discrète

(i) Équation du mouvement

La méthode Euler-Lagrange, également appelée « Suivi de Particule Lagrangien », propose de

modéliser l'écoulement du gaz par une approche Eulérienne, tandis que le spray est représenté

par un ensemble de « particules numériques » Lagrangiennes. Dans la suite de cette section

I.1, l'indice « p » désigne les particules et l'indice « G » désigne le gaz, également appelé

fluide porteur.

La trajectoire de chaque particule à travers le domaine de calcul est calculée depuis le point

d'injection. Les mouvements de chaque particule sont calculés à partir du système d’équations

ci-dessous :

d xp

d t=u p

mp

d u p

d t=∑ Fextérieur

(2.12)

où mp représente la masse de la particule, up sa vitesse absolue et x p sa position

instantanée dans le référentiel absolu. Les équations de conservation de la masse et de

l'énergie peuvent également être utilisées en fonction des mécanismes modélisés.

En considérant que la gravité est la seule force extérieure de volume, l’équation générale du

mouvement pour la particule peut s’écrire :

mp

d u p

d t=F traînée+FMasse ajoutée+F Gradient de pression+F Portance+ FHistoire+F Flottabilité (2.13)

De nombreux auteurs se sont attachés à caractériser chacun des termes pour une plage de

Reynolds particulaire Rep la plus étendue possible ([55] [56]). Ce nombre de Reynolds

particulaire est calculé comme suit :

Rep=ρG d p u rel

μG(2.14)

où u rel est la norme de la vitesse relative u rel entre la particule et le fluide porteur

u rel=up−uG .

- FORCE DE TRAÎNÉE STATIONNAIRE :

Cette force résulte du frottement visqueux et des actions de pression à la surface de la

particule. L’expression générale de cette force est la suivante :

56/195


F traînée=−12ρ G SpCD u rel

u rel

∥u rel∥(2.15)

où Sp est le maître couple de la particule. Pour une particule sphérique Sp=πd p

2

4 . La

grandeur CD représente le coefficient de traînée.

En régime de Stokes, c'est-à-dire Rep≪1 pour une sphère rigide, le coefficient de traînée

prend la forme suivante :

Rep≪1 ⇒ CD=24Rep

(2.16)

Toujours dans le cas d'une sphère rigide et pour Rep≤1000 , le coefficient de traînée est

donné par la relation de Schiller et Nauman [57] :

Re p≤1000 ⇒ CD,S.&N.≈24Re

(1+0.15 Re0.687 ) (2.17)

Les expressions établies par Morsi et Alexander [58] sont adaptées pour une plus large

gamme de Reynolds ( Re p<5×104 ). La forme générale du coefficient de traînée CD s’écrit

comme suit :

CD=k 1

Re p

+k 2

Re p2 +k 3 (2.18)

où les coefficients k 1 , k 2 et k 3 sont donnés par plage de Re p dans le tableau 2.3.

Ces relations sont complétées par l'approximation CD≈0.44 pour 1000<Re p<105 (Loi de

Newton).

La figure 2.1 récapitule l’évolution de ces coefficients en fonction du nombre de Reynolds.

Sur cette figure 2.1, les corrélations établies pour des coefficients de traînée d'une sphère

57/195

Rep k 1 k 2 k 3

< 0.1 24 0 0

0.1 → 1 22.73 0.0903 3.69

1 → 10 29.167 -3.889 1.222

10 → 100 46.5 -116.67 0.6167

100 → 1000 98.33 -2778 0.3644

1000 → 5000 148.62 -4.75E+004 0.357

5000 → 10000 -490.55 5.79E+005 0.46

10000 → 50000 -1662.5 5.42E+006 0.5191

Tableau 2.3: Valeurs des coefficients k 1 , k 2 et k 3 de Morsi et Alexander [58] en fonctionde Rep .


fluide peu déformée sont également présentées. Dans le domaine des Reynolds inférieurs à

200, la corrélation de Hadamard se base sur la différence de viscosité entre le fluide porteur,

et le fluide de la sphère. Rivkind et al. [59] ont proposé une corrélation sur une plage plus

étendue de Reynolds, 2≤Rep≤500 pour une sphère fluide peu déformée. On observe les

faibles variations (à l'échelle de la figure) amenées par la prise en compte d'une déformation

minime.

Ces différentes corrélations ne sont valables que dans le cas de gouttes sphériques ou

faiblement déformées. Pour une goutte d'eau en mouvement dans l'air, la déformation devient

importante pour Y ad supérieur à 1000 et il est nécessaire de corriger le coefficient de traînée

[60].

Liu et al.(1993) [61] proposent le modèle dynamically varying drop drag coefficient. Ce

modèle calcule le coefficient de traînée d'une sphère rigide déformée (équation 2.20) à partir

de la corrélation de Schiller et Nauman CD ,S.& N. et par la déformation de la goutte :

CD=CD,S.&N. (1+2.632 y ) (2.19)

La déformation de la goutte est caractérisée par le facteur de forme y, calculé à partir du

modèle de fragmentation TAB, présenté au paragraphe (ii) de cette section. Le principe de

cette formulation est de faire varier le coefficient de traînée entre celui d'une goutte sphérique

pour y=0 , et celui d'un disque pour y=1 . Ces auteurs proposent également de modifier le

calcul du maître couple Sp de manière à prendre en compte l'aplatissement de la goutte.

58/195

Figure 2.1: Comparaison des corrélations sur le coefficient de traînée CD enfonction du nombre de Reynolds.


a<d p Sp=πa2

a>d p S p=πd p2 (2.20)

avec a le demi grand axe de la goutte déformée.

Ce dernier modèle est disponible dans le logiciel FLUENT®. Le maître couple Sp n'y est

toutefois pas corrigé.

- FORCE DE MASSE AJOUTÉE

La force de masse ajoutée traduit la force nécessaire à la mise en mouvement du fluide

porteur autour de la particule. C'est donc une force qui freine les particules. Le coefficient

CmA donne la masse du fluide porteur réellement mis en mouvement, exprimé en ration de la

masse de la particule. Le coefficient CmA est généralement fixé à ½, mais peut également

varier en fonction de l'accélération relative de la particule et du fluide porteur.

F Masse Ajoutée=−CmAρ G

πd p3

6 (d u rel

d t ) , avec CmA=12

. (2.21)

- FORCE DE GRADIENT DE PRESSION

La force de gradient de pression caractérise l'inertie du mouvement d'ensemble fluide porteur-

particule et représente la force que le fluide doit exercer sur un élément de lui-même, de

volume identique à celui de la particule, afin de lui fournir une accélération égale à

l'accélération de l'écoulement non perturbé (loin de la particule). La forme générale du

gradient de pression s'écrit en fonction de la dérivée temporelle de la vitesse du fluide

porteur :

FGradient de pression=ρ G

πd p3

6 (∂uG

∂ t+uG⋅∇ uG) (2.22)

- FORCE D’HISTOIRE

La force d'histoire, ou terme historique de Basset, traduit le temps non nul que met une

impulsion de mouvement issue de la particule à un instant t pour se propager dans le fluide

porteur. Au contraire de la force de traînée qui est une interaction à action immédiate, la force

d'histoire produit une interaction progressive qui s'atténue avec le temps. Sa forme générale

s'écrit :

F histoire(t)=3πμGd ∫−∞

t

K (t−τ , τ)(d up(t )

d τ−

d uG( t)

d τ )d τ ,

avec K (t−τ , τ)=d p

2√πν G(t−τ) le noyau de la force d'histoire.

(2.23)

- FORCE DE FLOTTABILITÉ

On limite l'action des forces volumiques à l'action de la gravité, au travers de la force de

gravité et de la force d'Archimède. Ces deux forces sont réunies dans l'équation (2.24). On

59/195


note que pour ρG≪ρ p , la force d'Archimède devient négligeable, ce qui est le cas d’une

goutte d’eau dans l’air.

FGravité=πd p

3

6 (ρ p−ρ G ) g , g étant l’accélération de la pesanteur (2.24)

- SIMPLIFICATION DE L’ÉQUATION DU MOUVEMENT POUR UN ÉCOULEMENT AIR+GOUTTES D'EAU

Dans le cas d’un spray, les deux phases ont un rapport de masse volumique très grandeρ p

ρG≈103 de telle sorte que les forces de masse ajoutée et d’histoire peuvent être négligées

comme l’a démontré Michaelides [62]. Pour les mêmes raisons, la force liée au gradient de

pression est généralement négligeable devant la traînée.

L’équation finale du mouvement dans le cas d'un écoulement gaz-goutte d'eau se simplifie

donc suivant la relation :

mp

d u p

d t=ρ p

πd p3

6

d u p

d t

=−ρ G

πdp2

8CD u rel

u rel

∥u rel∥+πd p

3

6ρ pg

(2.25)

Le temps de relaxation τp caractérise la durée nécessaire à une particule pour atteindre sa

vitesse limite, ou vitesse terminale lorsque celle-ci est soumise à un incrément de vitesse.

Toujours dans le cas où ρ p

ρG≫1 , on obtient à partir de la force de traînée :

F traînée=m p

u relτ p

, avec τ p=43

ρ p

ρG

d

CD u rel

(2.26)

Ce temps de relaxation permet d'introduire un nombre sans dimension caractérisant le temps

de réponse d'une particule soumise aux fluctuations de la phase porteuse, le nombre de

Stokes :

St=τ pτ G

(2.27)

où τ G représente une échelle de temps caractéristique de l'écoulement et des structures de la

turbulence en particulier.

On note que dans le cas où le coefficient de traînée est différent de celui de Stokes (équation

(2.16)), le temps de relaxation change à chaque instant, en fonction de la vitesse instantanée

u rel( t) , perdant par conséquence sa définition initiale. Il caractérise alors le temps de réponse

de chaque particule en fonction de son diamètre et de sa vitesse.

(ii) La déformation et la fragmentation des gouttes

En simulation Lagrangienne, deux familles de modèles de fragmentation existent. Les

modèles déterministes simulent le comportement de la goutte à partir d'équation physiques :

oscillation d'une goutte (modèles TAB [63], DDB [64], ITAB et ETAB [65] [66]), propagation

60/195


d'onde (modèles WAVE ou KH-RT [67] [68]). Les modèles stochastiques calculent l'évolution

d'une distribution de diamètres de gouttes à partir d'équation de probabilité sur la

fragmentation et la collision [69]. Les nombreux modèles disponibles ont principalement été

développés pour des simulations d'injection diesel. À titre de comparaison, les régimes de

fragmentation pour cette application sont principalement de type shear1, voir catastrophique,

alors même que dans une application de refroidissement telle que la nôtre, les régimes sont de

type bag au plus. Enfin, les gouttes sont généralement de petite dimension ( ddiesel<100µm ),

mais très rapides ( udiesel≈100m.s−1 ). Parmi les modèles déterministes les plus utilisés se

trouve le modèle TAB, Taylor Analogous Breakup, développé par O'Rourke et Amsden [63].

Ce modèle consiste à caractériser le déplacement x de l'équateur de la goutte, par rapport à

sa position d'équilibre sphérique. Ce déplacement est supposé obéir aux équations régissant

un oscillateur harmonique forcé, soumis aux forces internes (tension superficielle, viscosité

interne) et externe (traînée). Les constantes du modèle sont issues de calculs théoriques sur

l'oscillation d'une goutte dans son mode fondamental (Lamb [70]), et vérifient le seuil de

fragmentation minimum WeB=12 (voir § I.2). La déformation adimensionnelle y utilisée

au paragraphe précédent dans l'équation (2.19) est donnée par l'équation :

y=2

C b

x

d p

avec C b=12 (2.28)

Les détails sur ce modèle sont présentés en Annexes 2) .

Cette approche Euler-Lagrange est généralement utilisée dans les cas où la fraction volumique

locale de liquide χV est inférieure à quelques pourcents. Le logiciel FLUENT® fixe cette

limite à χV≈10% . Dans ce cas, cette approche est numériquement moins coûteuse qu'une

méthode Euler-Euler, tout en offrant la possibilité de suivre l'histoire d'une particule et

d'ajouter aisément des termes spécifiques pour des interactions particulières (fragmentation,

collision, impact sur une paroi, etc). Elle peut cependant devenir numériquement très lourde

lorsqu'un trop grand nombre de particules est suivi. Toutefois, cette limite peut être

contournée en considérant chaque « particule numérique » comme la représentante de

plusieurs gouttes physiques, suivant des critères statistiques sur le diamètre et le volume de

liquide transporté. On utilise alors le terme de parcel pour exprimer la présence de plusieurs

gouttes.

(iii) Modèle de dispersion turbulente

Dans l’équation du mouvement d’une particule (équation (2.25)), la vitesse fluide uG utilisée

dans la formulation des différentes forces s’entend comme la vitesse instantanée du fluide à la

position de la particule pour chaque instant t. Une simulation eulérienne de la phase continue

par un modèle RANS ne permet d'accéder qu'au seul champ de vitesse moyen. Or, l'influence

des fluctuations turbulentes du fluide porteur, l'air, sur le mouvement d'une particule est un

paramètre de première importance dans l'étude des écoulements diphasiques dispersés. En

1 Voir chapitre 1 pour la description de ces différents régimes

61/195


simulation Euler-Lagrange, la principale difficulté réside donc dans la définition de la

turbulence ressenti par la particule lagrangienne. Si les caractéristiques eulériennes d'une

turbulence peuvent être calculées (voir paragraphes I.1.1), il n'en est pas de même de celles

vues par une goutte en déplacement par exemple.

La prise en compte de la turbulence sur le mouvement des particules est possible en utilisant

un modèle de dispersion afin de générer les fluctuations de vitesse de la phase fluide. Ainsi,

chaque vitesse instantanée uG est représentée par la somme d’une vitesse moyenne uG

obtenue directement par le modèle RANS et d’une fluctuation v G :

uG=uG+v G (2.29)

La difficulté est de réussir à générer cette fluctuation de vitesse compte tenu des propriétés de

la turbulence du fluide.

Les modèles de dispersion qui ont d'abord été développés sont les modèles de type Eddy

Interaction, très largement détaillés dans Gosman et Ioannides [71] et Graham [72] [73].

Les modèles EIM (Eddy Interaction Models) sont basés sur la représentation de la turbulence

comme un ensemble de structures tourbillonnaires, avec lesquelles les particules interfèrent.

Les caractéristiques des tourbillons (intensité, taille, durée de vie) sont représentatives des

propriétés turbulentes locales, issues du calcul eulérien sur la phase continue. Ces modèles

sont également appelés modèles à marche aléatoire discontinue ou Discontinuous Random

Walk (DRW).

En pratique, l'interaction d'une particule avec un tourbillon est modélisée par l'ajout du terme

fluctuant v G dans la vitesse du gaz uG ressentie par la particule (équation (2.29)). Chaque

composante v G , i de la fluctuation est issue d'un processus stochastique gaussien, dont l'écart

type respecte l'intensité turbulente du tourbillon, soit :

√vG , i2 =√2k /3 (2.30)

L'équation (2.30) suppose une turbulence homogène et isotrope.

Les caractéristiques du tourbillon sont maintenues constantes jusqu'à ce qu'il disparaisse

(durée de vie du tourbillon), ou que la particule le traverse. La particule interagit alors avec un

nouveau tourbillon dont les caractéristiques sont calculées à partir de donnée sur le champ

turbulent de la phase continue. Un nouveau tirage aléatoire pour les composantes v G , i et

alors réalisé suivant le processus stochastique gaussien décrit pour l’équation 2.30. Les

calculs de la dimension du tourbillon ℓeddy et de sa durée de vie τ eddy sont basés sur les

grandeurs turbulentes k et ε (ou ω en prenant ε=kω ).

ℓeddy=Cμ3 /4 k

3 /2

ε

τ eddy=√ 32

Cμ3 /4 k

ε

(2.31)

62/195


Ce type de modèle permet de rendre compte simplement de la dispersion de la phase discrète,

même si les effets d'inertie, de continuité et de croisement de trajectoire ne sont pas

reproduits. Enfin, le calcul d'une fluctuation isotrope peut avoir pour conséquence de générer

l'accumulation des petites particules dans les zones de faible intensité turbulente.

D'autres méthodes existent, comme celles basés sur l'équation de Langevin, et permettent une

prise en compte plus fine de la turbulence sur les trajectoires de la phase dispersée. Leur mise

en œuvre ne sera pas traité dans cette thèse.

I.1.3. Couplage du suivi lagrangien à la simulation eulérienne

(i) Méthode numérique pour le couplage

Dans l'approche Euler-Lagrange, l'influence de la phase dispersée sur la phase continue est

modélisée par un terme source de quantité de mouvement Smom , i dans l'équation Eulérienne

(2.5), et des termes source de turbulence Sk et Sω dans les équations du modèle RANS k-ω

(2.10) et (2.11).

En pratique, le solver CFD FLUENT calcule pour chaque cellule de calcul d'indice n un terme

source SΦn : il somme sur toutes les particules localisées dans la cellule n la contribution à la

grandeur Φ transférée de la phase discrète à la phase continue (équation (2.32)). Cette

contribution dépend de la masse mpΔ t transit de liquide transportée par chaque particule à

travers la cellule n durant le temps Δ t transit . Δ t transit est le temps passé par la particule dans la

cellule n. Ce temps est inférieur ou égale au pas de temps utilisé pour la résolution des

équations de la phase continue (voir III.2, chapitre 2).Enfin, Sp

Φ correspond à la contribution

massique de chaque particule.

SΦn =

∑particule

Sp

Φ m pΔt transit

V n

(2.32)

où V n correspond au volume de la cellule d'indice n.

Les équations pour le calcul des termes sources de chaleur ou de masse ont une forme

identique à cette équation (2.32).

Les formulations des termes SΦp pour la quantité de mouvement et la turbulence font l'objet

des paragraphes suivants. Elles sont à chaque fois exprimés pour une particule d'indice p.

(ii) Terme de source de quantité de mouvements

Dans notre cas d’étude, seule la force de traînée contribue aux échanges de quantité de

mouvement entre le fluide et la particule. La source de quantité de mouvement S

p

mom d'une

particule sur la phase continue est calculée au travers du principe de réciprocité, appliqué à la

force de traînée définit au paragraphe I.1.2.

63/195


On obtient:

S

p

mom=F traînée

m p

=18μG

ρ p d2

24Rep

CD u rel , [m.s−2 ] (2.33)

(iii) Terme source de la turbulence

- ORIGINE DU COUPLAGE SUR LA TURBULENCE :

La présence de particules en mouvement dans une phase continue modifie la turbulence. Cette

modulation de la turbulence est due à plusieurs mécanismes : la dissipation de l’énergie

cinétique par les particules, l’augmentation de la viscosité apparente, ou encore les vitesses

induites dans le sillage des particules. Les mécanismes étant nombreux, les modèles existant

ne permettent pas de prendre en compte tous les phénomènes. Nous allons présenter ceux qui

ont été étudiés dans cette thèse.

- MODÉLISATION DU TERME SOURCE DANS L’ÉQUATION DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE TURBULENTE :

Le terme source de la l'énergie cinétique turbulente est généralement calculé à partir de la

fluctuation du terme de traînée et de la fluctuation de la vitesse de la phase continue :

Sp

k=⟨Sp

mom ,i

u rel , i

⟩=⟨Sp

mom ,i uG , i⟩−⟨Sp

mom , i⟩⟨uG , i⟩ (2.34)

où ⟨−⟩ correspond à une moyenne temporelle.

On note que cette formulation conduit à une valeur négative du terme source de turbulence,

c'est-à-dire que l'action des particules se limite à une atténuation de la turbulence. Cet aspect

est particulièrement limitant lorsque l'on considère l'action de grosses particules sur

l'écoulement, pour lesquelles on s'attend à créer de la turbulence au travers du sillage.

- MODÉLISATION DU TERME SOURCE DANS LES ÉQUATIONS SUR LA DISSIPATION DE LA TURBULENCE

Dans FLUENT, le terme source de la dissipation turbulente est modélisé selon la formulation

vue dans Faeth [74] :

Sp

ω=−2C 3ε μ tεk

∂Sp

mom

∂ r, avec C3,ε≈1.8 (2.35)

où r représente la position en coordonnée cylindrique centré sur la position de la particule.

I.2. Méthodes d'initialisation d'un spray

La figure 2.11 schématise quelques-unes des méthodes utilisées pour initialiser le calcul

numérique d’un spray. Deux familles distinctes existent :

─ L'atomisation primaire est simulée (en orange et rouge) par des corrélations

empiriques ou par la résolution d'équations modélisant les mécanismes spécifiques à

l'atomisation (propagation d'onde, écoulement interne à la buse, fragmentation). Ces

64/195


méthodes permettent d'obtenir les caractéristiques du spray (nombre, répartition

spatiale, taille et vitesse des gouttes) à différentes distances de la buse.

─ L'atomisation primaire n'est pas simulée (en vert). La simulation début donc à partir

d'un spray pleinement développé pour lequel des informations dans une section située

en aval de l'atomisation sont nécessaires.

(i) Simulation de l'atomisation primaire

L'atomisation primaire peut être modélisée à partir d'une méthode Euler-Euler appliquée sur

une nappe liquide issue de la buse (en rouge). Cette méthode permet de suivre au plus près la

réalité du développement d'un spray [75]. Basé sur le même principe, la méthode ELSA

(Eulerian Lagrangian Spray Atomisation) [76] se limite à la résolution d'une seule équation

eulérienne moyennée sur les deux phases qui décrit le développement et la fragmentation

d'une nappe liquide. Une phase de transition permet de transformer les éléments liquides

eulériens en particules numériques lagrangiennes de volume équivalent.

Une autre solution, du type Euler-Lagrange, consiste à initialiser au niveau de la buse des

particules dont le diamètre est égal au diamètre de sortie de la buse (en orange sur la figure).

En appliquant les modèles de fragmentation tels que TAB, WAVE ou KH-RT, certains auteurs

obtiennent des résultats en accord avec leurs mesures expérimentales dans le cadre de

l'atomisation d'un spray diesel ([68] [66]). Cette méthode nécessite cependant une

réévaluation des constantes propres aux modèles de fragmentation en fonction du type de

spray.

65/195

Figure 2.2: Représentation schématique de quelques méthodes d'initialisation d'un spray

Buse d'injection

Description lagrangienne de l'atomisation par fragmentation de grosses gouttes

Plan d'initialisation d'un nuage de goutte

Description eulérienne de l'atomisation: fragmentation d'une nappe liquide

EZ

Création de particule lagrangiennes à partir des information du calcul Eulérien


L'atomisation primaire peut également être décrite à partir de corrélations empiriques

décrivant les caractéristiques du spray proches de la buse d'injection ([77] [78] [79]). Ces

corrélations dépendent du type de buse et des conditions d’injection du spray. Le logiciel

FLUENT® propose un certain nombre de ces corrélations. Différentes études ont montré que

ces corrélations ne fonctionnement par pour tous les sprays ([80] [81]).

La description de la phase d'atomisation primaire a l'inconvénient premier d'être coûteuse en

mémoire et en temps de calcul, d'autant plus si la zone d'intérêt de l'étude se situe loin de la

zone d'injection. De plus ces méthodes sont principalement testées sur des sprays diesels (

ddiesel<100µm , udiesel≈100m.s−1 ).

(ii) Initialisation direct e dans un plan en aval de l’atomisation primaire

En l'absence de modélisation de l'atomisation primaire, un brouillard de particule est

directement généré dans le calcul en utilisant des informations sur les caractéristiques du

spray (nombre, répartition, taille et vitesse des gouttes). Ces informations sont généralement

obtenues grâce à des mesures expérimentales réalisées ou encore à partir de corrélations

obtenues par méthode expérimentale.

La méthode consiste à reproduire numériquement ces caractéristiques ([82] [83]). Des

simplifications et ajustements sont généralement nécessaires, par exemple l'utilisation d'une

fonction de distribution pour générer le diamètre des gouttes. Il faut également définir à quelle

distance de la buse le spray est initialisé. Ces choix peuvent dépendre de la région de validité

des corrélations, ou encore du plan de mesure expérimental.

La reproduction correcte du spray au niveau du plan d’initialisation nécessite également

d'imposer des caractéristiques de vitesse et de turbulence à la phase continue. Les conditions

d'existence et d'évolution du spray à partir du plan d'initialisation sont en effet fortement

dépendantes des caractéristiques de la phase gazeuse. Cet aspect, peu évoqué dans la

littérature, demande à être pris en compte.

Une approche alternative permet de contourner ce problème. À partir d'informations sur le

spray obtenu très en aval de la buse, on extrapole les caractéristiques du spray au niveau de la

buse d'injection. La simulation est ainsi initialisée dans la zone la plus resserrée du spray,

normalement constituée que de liquide, et donc sans écoulement de gaz. C'est notamment le

choix fait par Gant(2006) ([45] [84]). Il n'est alors pas nécessaire d'initialiser la phase

continue.

II. Caractérisation du spray étudié : contrainte de simulation

Les simulations effectuées au cours de cette thèse se basent sur un spray réel, étudié dans le

cadre d'une campagne expérimentale. Le premier paragraphe présente les outils et

66/195


configurations utilisés. Les choix des méthodes et des modèles numériques dépendent des

caractéristiques de ce spray réel. Les paragraphes suivants présentent les principaux résultats

expérimentaux, avec tout d'abord l'aspect du spray à l’échelle globale, la dimension et le

débit, puis l'aspect à l’échelle des gouttes. Les données regroupent des visualisations du spray

et des mesures de débit surfacique QV dans un plan situé à Z=250mm. Des mesures par PDA

(Phase Doppler Analyser) ont également été réalisées dans ce plan, afin d’accéder à la taille et

à la vitesse des gouttes. Un second plan, Z=500mm, est également caractérisé grâce au PDA

et permettra de valider la méthode de simulation (section IV).

II.1. Présentation des dispositifs expérimentaux

II.1.1. Description du banc expérimental

La figure 2.3 schématise le banc d'étude développé pour la caractérisation du spray en

écoulement libre. Il se compose d'une boucle fluide en circuit fermé et d'un banc de

déplacement tridimensionnel CharlyRobot®. La boucle fluide est constituée d'un réservoir,

faisant également office de récupérateur d'eau, d'une pompe, d'un manomètre, d'un débitmètre

et de la buse d’injection du spray.

On décide d'utiliser un spray plein de type flat fan, ou spray plat. Les caractéristiques du spray

correspondent à celles rencontrées dans l'industrie métallurgique, c'est-à-dire un débit

surfacique de l'ordre de 50 L.m-2.s-1 à 300 mm en aval de la buse d’injection2, pour une vitesse

d’écoulement de l’ordre de 30 m.s-1 au voisinage de la buse d’injection.

2 Le débit surfacique est approximé en divisant le débit total QV par la surface de la section du spray.

67/195

Figure 2.3: Schéma du banc d'essai. Le référentiel a pour origine le point de sortie de la bused'injection.

Manomètre

débitmètre

Pompe

Buse d’injection EY

EZ

EX

θ évasement


À partir d’informations issues de différents constructeurs, plusieurs buses répondant à nos

exigences d’ordre industriel ont été pré-sélectionnées. Les caractéristiques des sprays sont

prises à une pression d’injection P injection=5 bars , permettant alors l’obtention de la vitesse

d’écoulement demandée. Le choix final est réalisé par visualisation du spray par caméra

rapide. Les conditions à valider sont liées à des contraintes expérimentales telles que

l’encombrement du spray, la taille de la surface utilisée dans l’étude du refroidissement, mais

également une zone d’atomisation primaire de faible dimension. La condition à valider est

une atomisation primaire rapide. Le tableau 2.4 regroupe les informations sur la buse choisie.

La principale inconnue est la gamme de diamètre des gouttes.

La particularité d'un spray plat est la forme ellipsoïdale de sa section, lorsque celle ci est prise

perpendiculairement à la direction principale de l'écoulement. On définit un référentiel (X, Y,

Z), de vecteurs {EX ; EY ; EZ} , tel que la direction EX corresponde à la plus grande dimension

de l'ellipse, et la direction EY vecteur à la plus petite dimension. Le vecteur EZ est dirigé

selon la direction principale d'écoulement du spray. L'origine est placée au niveau de la sortie

de la buse.

L'instrumentation comprend une caméra rapide pour la caractérisation à grande échelle du

spray, un PDA pour caractériser les gouttes, et un système de récupération locale des gouttes

pour calculer le débit surfacique. Le banc de déplacement permet de caractériser spatialement

le spray en déplaçant les outils de mesure sous différents points du spray.

II.1.2. La technique d'Analyse Phase Doppler

(i) Anémométrie Phase Dopple r

L’Analyse Phase Doppler (PDA) est une technique optique non intrusive qui permet la mesure

simultanée de la vitesse et de la taille d’une particule. Il s’agit d’une extension directe de

68/195

Caractéristiques de la buse

Constructeur Lechler

Type Flat Fan nozzle (spray plat)(ref : 632.641)

Angle d’évasement θévasement 20°

Diamètre de l’orifice 2.5 mm

Condition de fonctionnement

Fluide de travail eau

Pression de travail 5 bars

Débit 6.5 L/min

Tableau 2.4: Caractéristique de la buse étudiée et conditions de fonctionnement


l’Anémométrie Laser Doppler (LDA). Il semble donc opportun de rappeler brièvement le

principe de la LDA. La technique repose sur la mesure du décalage fréquentiel observé entre

une onde incidente et l’onde réfléchie par une particule en mouvement (Effet Doppler) dont le

décalage dépend de la vitesse de la particule up . Les montages de LDA les plus couramment

utilisés sont constitués d’une source laser où le faisceau est séparé en deux avant d’être

focalisé en un point à l’aide d’une lentille (figure 2.4.a). Au point focal, les deux faisceaux se

croisent pour former un volume appelé volume illuminé V i et ayant la forme d’un ellipsoïde

de dimensions a0 , b0 et c0 (figure 2.4.b). Du fait de la cohérence de la source lumineuse, le

volume illuminé est constitué d’un réseau de plans successivement lumineux et sombres et

distants d’une distance δ (figure 2.4.b). Lorsqu’une particule traverse le volume illuminé, la

lumière diffusée présente alors un signal modulé (bouffée Doppler) dont la fréquence, appelée

fréquence Doppler f D , dépend de la distance inter-plans et de la vitesse de la particule selon

l’équation :

f D=2sin(β )

λbu p ,n (2.36)

avec up , n la composante suivant n de la vitesse de la particule up , orthogonale aux plans

d’interférence et appartenant au plan des deux faisceaux. En utilisant deux autres faisceaux de

longueur d’onde différente, il est possible de mesurer une seconde composante de la vitesse

en orientant les faisceaux de telle manière que le second volume illuminé soit orthogonal au

premier. Les bouffées Doppler sont détectées par un photodétecteur (PM) placé arbitrairement

dans l’espace et inséré dans une sonde de réception ayant une lentille frontale de focale f r .

Le signal électrique généré par le PM est amplifié via une haute tension HT (de l’ordre du kV)

avant d’être enregistré pour le traitement (calcul de f D ).

(ii) Analyse Phase Doppler

L’analyse Phase Doppler utilise au moins deux photodétecteurs (nommés PM1 et PM2) placés

à des endroits spatiaux différents de telle sorte que le signal issue de la particule n’arrive pas

simultanément sur les deux PM (figure 2.5). En plus de la fréquence Doppler, la méthode du

PDA consiste à mesurer le déphasage entre deux bouffées Doppler. Le déphasage des bouffées

Doppler ΔΦ 12 , dû aux différences de chemin optique, est directement lié au rayon de

69/195

Figure 2.4: Configuration d'un montage LDA à deux faisceaux (a) et détails du volumeilluminé (b)

up

(a) (b)


courbure de la particule qui permet, en la supposant sphérique, d’accéder au diamètre de la

particule d p . Flögel (1981) a été le premier à établir la relation entre la phase et le diamètre :

ΔΦ 12=d pH12 (2.37)

Le paramètre H 12 désigne le facteur de phase ou facteur géométrique entre les

photodétecteurs 1 et 2 et ne dépend que de la configuration expérimentale fixée : indices de

réfractions des particules np et du milieu ambiant nm , demi-angle des faisceaux incidents

β , l’angle d’observation ϕ (position de l’optique de réception) et angle d’élévation des

deux PM, ψ 1 et ψ 2 par rapport au plan de diffusion (figure 2.5).

Plus les photodétecteurs PM1 et PM2 sont proches ( ψ 1 et ψ 2 petits), plus le déphasage sera

petit et donc plus le diamètre maximum détectable d p ,max sera important. Cependant, la

précision sur le calcul du diamètre sera altérée. À noter que d p ,max dépend également de la

configuration optique utilisée (dimension du volume illuminé, focale de l’optique de réception

et angle d’observation) et aux indices de réfraction des particules et du milieu ambiant. Le

déphasage ΔΦ 12 est une fonction périodique de période 2π, où la valeur 2π correspond à

d p ,max . Ainsi, pour une particule ayant un diamètre supérieur à d p ,max , le calcul du

déphasage conduira à un diamètre plus petit. Une solution pour s’affranchir de cette ambiguïté

est d’utiliser un troisième photodétecteur (PM3). On obtient un second déphasage ΔΦ 13 dont

la combinaison avec ΔΦ 12 permet de lever l’ambiguïté.

Contrairement à la LDA, la mesure du diamètre est sensible à la position des PM. En effet,

suivant l’angle d’observation ϕ un mode de réémission de la lumière sera privilégié :

réflexion, réfraction d’ordre 1 et réfraction d’ordre 2 pour les principaux modes (figure 2.6).

La sensibilité sur le calcul du diamètre dépend également de la qualité du PM et de son

amplification (haute tension HT) mais aussi du gain électronique ( V d ) du dispositif de

traitement du signal (calcul de Lf et de V i ).

70/195

Figure 2.5: Schéma de principe du PDA


La sonde de réception d’un dispositif PDA contient les trois PM, un doublet de lentille (dont

une frontale interchangeable) et dispose d’une fente servant de filtre spatial afin de définir un

volume de détection V d précis. Le volume de détection est le résultat de la projection de la

fente de largeur Lf sur le volume illuminé V i (figure 2.7). Ses dimensions dépendent de Lf ,

du grandissement du doublet Γ r et de la distance focale de la lentille frontale f r .

Typiquement, ce volume peut être approximé à un cylindre de diamètre l s , d’axe principal

confondu avec l’axe de la sonde de réception.

II.1.3. Caractéristiques et configuration du dispositif PDA utilisé

Le dispositif PDA utilisé est un système commercialisé par la société Dantec-Dynamics®. Le

système comprend une sonde de réception classique (57X10; Lf=120 µm ) équipée d’un

quatrième PM pour une mesure bidimensionnelle de la vitesse et d’un processeur BSA®P80

pour le traitement des bouffées Doppler. Pour cette étude, deux composantes de la vitesse sont

mesurées : la composante verticale suivant la direction principale d’écoulement du spray et

une composante horizontale. Une source laser à Argon et un séparateur de couleur permettent

71/195

Figure 2.7: Définition du volume de détection du PDA

Figure 2.6: Principaux modes de diffusion d'un rayon laser incident par une particule.


d’obtenir les deux paires de faisceaux nécessaires ( λ bv=514.5 nm et λ bb=488 nm ) pour la

génération des deux volumes illuminés via une sonde d’émission Dantec-Fiberflow®.

Dans cette étude, il s’agit d’analyser l’écoulement de gouttes d’eau ( np =1.33) évoluant dans

l’air ( nm =1). Dans ce cas, l’étude de la diffusion de la lumière montre que l’intensité du

signal du mode de réfraction d’ordre 1 est le plus important. Ainsi, la sonde de réception est

placée à un angle d’observation ϕ=45° . D’autre part, le diamètre maximal des gouttes

présentes dans le spray étudié est d'environ 1 mm. La configuration optique suivante est donc

choisie : écartement des faisceaux e=40 mm , focale de la lentille d’émission f e=1200 mm

et focale de la lentille de réception f r=510 mm . Dans ces conditions, le diamètre maximal

détectable est d p ,max=1055µm . Le Tableau 2.5 récapitule la configuration optique retenue

pour l’étude et précise les dimensions des volumes illuminés et de détection.

En se basant sur le repère (X, Y, Z) définit à la figure 2.3, les deux faisceaux verts sont placés

dans un plan parallèle au plan définit par Y et Z afin de mesurer la composante verticale uz

de la vitesse. Les faisceaux bleus sont parallèles au plan définit par X et Y. La mesure des

composantes ux et uy est réalisée en effectuant une rotation de 90° de la sonde d’émission

autour de l’axe Z.

Les hautes tensions HT des PM et des gains électroniques G sont ajustés afin d’optimiser les

mesures. Les critères d’optimisations sont basés sur le taux d’acquisition (nombre de gouttes

détectées par seconde) et le taux de validation (nombre de gouttes validées). D’une manière

générale, l’évolution de ces paramètres en fonction de HT et de G décrit une courbe ayant un

extremum. Comme critère de sélection de HT et du G, il faut aussi tenir compte de la

sensibilité sur le calcul du diamètre. En effet, une augmentation de HT et du G conduit à

détecter des gouttes de plus en plus petites et donc à diminuer la valeur du diamètre moyen

d10 jusqu’à atteindre une valeur asymptotique. Cette étude d’optimisation pour le réglage des

hautes tensions et gains électroniques est réalisée une fois pour toute pour un point dans le

spray. Enfin, afin d’assurer la convergence sur le calcul des diamètres statistiques, les

acquisitions sont entreprises en enregistrant 300 000 gouttes pour chaque point spatial dans le

spray. Ce choix est basé sur le calcul en temps réel du diamètre moyen des gouttes à mesure

qu'elles sont détectées. Ce nombre est stable pour une population de 300 000 gouttes

détectées.

72/195


II.1.4. Ombroscopie et imagerie rapide

La technique d'ombroscopie est souvent préférée à l'éclairage direct pour la détection des

contours d'objets de formes irrégulières. La camera rapide permet de saisir une image d'un

objet en mouvement rapide. L'utilisation conjointe de ces deux techniques est donc adéquate

pour visualiser les sprays.

La camera rapide utilisée est une Photron Fastcam APXRS 3000, de résolution maximale

1024*1024 pixels pour une fréquence d’acquisition maximale de 3000 images/s. La cadence

de prise de vue peut être augmentée en réduisant la résolution. Un rétroéclairage puissant de

type lampe HMI (400W) est utilisé, ainsi qu'un diffuseur de lumière (plaque de plastique

translucide et mate).

Le matériel disponible n'est pas suffisant pour créer un fond homogène et une visualisation

optimale des contrastes. Par conséquent le fond, acquis par la caméra sans la présence du

spray, est soustrait en post-traitement à chaque image.

73/195

Grandeur valeur

Longueur d'onde faisceau vert, λ bv [nm] 514.5

Longueur d'onde faisceau bleu, λ bb [nm] 488

Rayon des faisceaux (bleu et vert) [mm] 1.35

Écartement des faisceaux, e [mm] 40

Focale d'émission, f e [mm] 1200

Focale de réception, f r [mm] 500

Grandissement du PDA, Γ r [mm] 3.8

Angle d'observation, ϕ [mm] 45

Diamètre maximum détectable, d p ,max

[mm]1.067

Dimensions du volume illuminés, basé surles faisceaux vert ( λ=514.5 nm ), en 1/e2

[mm]

Dimensions du volume illuminés, basé surles faisceaux bleu λ=488 nm , en 1/e2

[mm]

a0,v 36.80 a0,v 34.9

b0, v≈c0,v 0.58 b0, v≈c0,v 0.55

Dimensions du volume de détection

Largeur de la fente, Lf [mm] 0.120

Largeur de la fente projetée, ls [mm] 0.270

Tableau 2.5: Caractéristiques et configuration optique du dispositif PDA.


II.1.5. Mesure locale du débit – Méthode des godets

Comme nous l'avons mentionné au cours du chapitre 1, le débit surfacique QV est une

caractéristique importante d'un spray. La méthode utilisée pour mesurer cette grandeur est

simple, mais suffisamment précise et reproductible (figure 2.8). On place une pipette

collectrice, de diamètre dcollection=7.5mm , sous le spray. L'eau s'écoule par un tuyau flexible

jusqu'à une éprouvette de récupération graduée. La mesure du temps Δ t recup pour récupérer

un volume V recup de liquide permet de calculer le débit liquide à travers la section Scollection

de la pipette collectrice.

L'utilisation d'une pipette permet de localiser plus précisément la mesure du débit (petite

section efficace) et de diminuer l'aspect intrusif de la méthode de mesure. Le diamètre de

collection et le volume de récupération sont choisis de manière à minimiser l'erreur, tout en

ayant un temps de récupération raisonnable (entre 1 et 2 minutes). L'incertitude relative

moyenne est de 8 %, avec une erreur maximale de 10 %. Enfin, le déplacement de la pipette

permet de cartographier la répartition de QV à une altitude Z donnée.

II.2. Caractéristiques des grandes échelles du spray

II.2.1. Visualisation par caméra rapide des dimensions du spray

La figure 2.9 montre une vue générale du spray dans les deux plans longitudinaux et

transversaux. Ces visualisations sont issues d'images de la caméra rapide. Les deux images

sont à la même échelle. On observe, comme attendu pour un spray plat, une différence entre

les dimensions longitudinale et transversale du spray. Une zone dense, au cœur du spray, et

une zone diluée, en périphérie, sont visibles sur ces clichés. La limite externe de la zone

diluée n'est pas clairement définie, à cause de l'aspect très dispersé et de la forte importance

du niveau de contraste sur la définition de la limite.

Les visualisations par caméra rapide ont montré que le spray n'est pleinement atomisé qu'à

partir de du plan Z=250 mm ; le spray n'est donc pas étudié pour Z≤250 mm . L'hypothèse

est faite que le fluide est majoritairement compris dans la zone dense du spray. Dans le plan

Z=250 mm , les angles d'évasement sont θ longi=25° et θ trans=7.5° . L’angle longitudinal

74/195

Figure 2.8: Schémas de principe de la méthode de mesure du débit surfacique

Bécher gradué

Pipette

Diamètre de collection [mm] 7.5

Volume de récupération [ml] 50/200


θ longi est légèrement supérieur à celui donné par le constructeur θ évasement=20 ° . La

différence peut être dû à plusieurs paramètres : les réglages de la caméra rapide, le post-

traitement de l’image, la pression d’injection à la buse. On note que les résultats qui suivent

sur la répartition du liquide et sur les caractéristiques des gouttes sont en meilleur accord avec

une valeur d’évasement θlongi=25 ° , obtenue à partir des visualisations par caméra rapide.

On introduit les coordonnées adimensionnelles X ad et Y ad définies par les équations (2.38)

et (2.39) :

X ad=X

Z⋅tan(θ longi /2)(2.38)

Y ad=Y

Z⋅tan(θ trans /2)(2.39)

75/195

Figure 2.9: Visualisation de la forme générale du spray. L'aspect de rideau d'eauest du à un temps d'exposition long. La buse est positionnée en Z=0 mm .

θ longi=25 °

EZ

EX

θ trans=7.5°

EZ

EY

Z=250 mm

Z = 0 mm


II.2.2. Évaluation du débit surfacique

Le débit surfacique QV est évalué pour 5 profils longitudinaux tels que Y ad∈[−0.36 ; 0.36] .

Ces profils sont représentés sur la figure 2.10(a). Pour chaque profil, on observe que le débit

surfacique est minimal au bord du spray ( ∥X ad∥≈1 ) ; le débit surfacique présente des

maxima locaux en deux points équidistants du centre de la section ( ∥X ad∥≾0.4 ). Le long

d’un profil Y ad , l’intensité des maxima situés de part et d’autre de l’axe Y est différente.

Au centre de la section, les profils ∥Y ad∥=0.18 sont sensiblement confondus. Les maxima

de chacun des profils se situent à la même abscisse ∥X ad∥≈0.67 , mais sont asymétrique par

rapport à l’axe X. Une remarque identique peut être faite pour les profils ∥Y ad∥=0.36 .

Ainsi, deux dissymétries sont observées dans la section du spray.

La dissymétrie d’axe Y, correspondant aux différences d’intensités des maximas de part et

d’autre de l’axe Y, est attribuée à des dissymétries dans l’écoulement en amont de la buse. Des

essais précédents ont ainsi montré la forte influence de l’alimentation liquide de la buse sur la

distribution finale du débit. Ces essais montrent que les résultats sont très sensibles au

montage et particulièrement à l’alimentation liquide.

La dissymétrie d’axe X est revanche attribuée à des erreurs de positionnements des points de

mesures dans le spray

Pour corriger cela, les profils sont repositionnés par l'application d'une transformée spatiale

(rotation + translation), puis les points sont symétrisés par rapport à l'axe des Y. Ce faisant, on

obtient la carte présentée en figure 2.10(b). Notons qu'après l'application de la transformée

spatiale, il est vérifié que les lignes d'iso-débit possèdent la symétrie d'axe Y.

On note que la construction des cartes expérimentales présentées par la suite nécessite

également de reproduire le post-traitement présenté ici pour le débit surfacique.

76/195

Figure 2.10: Mesures expérimentales de la répartition du débit dans le plan Z = 250 mm

(a) - Mesure brute dudébit surfacique

(b) - Carte du débit surfaciqueaprès traitement

EY

EX


La carte du débit surfacique de la figure 2.10(b) montre nettement la structure du spray : deux

maxima équidistants du centre de la section, un plateau central, et une décroissance rapide sur

les bords de la section. On remarque que dans la direction Y aucune donnée n'est disponible

au-delà de Y ad≈0.40 . L'intégration du débit surfacique sur la surface de la carte donne un

débit total mesuré QV=4.8 L.min−1 , inférieur à celui injecté à l’entrée de la buse. On

explique cet écart par l’absence de points de mesures au-delà de X ad=0.8 et Y ad=0.4 , suite

à la sous-estimation de l’étendu spatiale du spray dans la section située à Z=250mm de la

buse. La mise en œuvre numérique du spray passera donc par l’extrapolation de valeurs du

débit surfacique dans les zones non scannées (voir § III.3.2).

II.3. Caractérisation statistique des gouttes du spray

Les mesures réalisées par PDA (Phase Doppler Analyser) permettent d'obtenir la fonction de

densité de probabilité pour le diamètre d , ainsi que les courbes liant le diamètre et chacune

des composantes ux , uy et uz de la vitesse des gouttes.

II.3.1. Diamètre des gouttes

La caractérisation du diamètre des gouttes donne accès à un ensemble de densités de

probabilité du diamètre, ou pdf. Ces courbes sont mesurées en différents points des sections

étudiées, situées à des distances Z=250 mm et Z=500 mm de la buse.

La figure 2.11 illustre les courbes de densité de probabilité pour le diamètre, pour trois points

de la section Z=250mm . Ces points de mesures reflètent la population du diamètre au

centre de la section (courbe noir, symboles carrés) et son évolution dans les directions X

77/195

Figure 2.11: Courbes caractéristiques de la pdf sur le diamètre desgouttes.


(courbe rouge, symboles circulaires) et Y (courbe verte, symboles triangulaires). Toutes les

positions sont exprimées en grandeurs adimensionnelles X ad et Y ad .

L’allure des pdfs varie avec la position dans la section. À mesure que l'on s'éloigne du centre

de la section selon la direction X, les grosses gouttes sont plus nombreuses (courbe

rouge/cercles). Cette tendance s'inverse à partir de X ad≈0.8 . On obtient alors des courbes de

pdf similaire à la courbe verte (symbole triangulaire). Depuis le centre et selon la direction Y,

les petites gouttes sont progressivement majoritaires.

À partir des courbes de densité de probabilité, il est aisé de calculer les différents diamètres

statistiques présentés dans le chapitre précédent. Les données expérimentales permettent de

construire des cartes de ces diamètres dans la section Z=250 mm . Les figures 2.12(a) et (b)

présente des profils du diamètre d10 dans cette même section.

L'aspect des profils rappelle ceux observés pour le débit surfacique. Le diamètre moyen passe

par deux maxima dans la direction E longi : d10,max={240 ; 280} µm. Le diamètre moyen au

centre de la section varie peu : d10≈200µm . Au bord de la section le diamètre moyen décroit

78/195

Figure 2.12: Répartition spatiale du diamètre moyen dans le plan Z= 250mm. (a) et (b) :Profils caractéristiques, (c) : Carte

(a)

EY

EX

(b)

(c)


rapidement. Enfin, on note que les limites du spray (X ,Y )ad=1 définis au paragraphe II.2.1,

correspondent à une même valeur de diamètre moyen d10≈120µm .

II.3.2. Vitesse des gouttes

Les mesures réalisées grâce au PDA permettent d’accéder aux fonctions de densité de

probabilité de chaque composante ux , uy et uz de la vitesse, et cela pour différents points

situés dans le plan Z=250mm . Comme le montre les équations présentées au paragraphe

I.1.2, la dynamique des gouttes est liée à leur taille, au travers du nombre de Stokes. Il est par

conséquent intéressant de considérer la relation entre la vitesse des gouttes et leur diamètre :

u i (d )=fct (d ) , la vitesse u i (d ) étant la moyenne des vitesses de toutes les gouttes de

diamètre d .

La figure 2.13 illustre l’évolution des corrélations uz(d )=f (d ) dans les directions X et Y.

Ainsi, on note que les petites gouttes ( d<50 µm ) sont deux à trois fois moins rapides que les

grosses gouttes ( d>500µm ). Pour un diamètre suffisamment grand, d>250µm , la vitesse

des gouttes tend vers une limite uz, lim . La valeur de uz, lim est constante dans la région telle

que X ad<0.70 et Y ad<0.30 , puis décroît sur les frontières du spray (courbe

verte/triangles). Lorsque l'on s'écarte du centre, la vitesse des petites gouttes décroit quelle

que soit la direction d'observation.

Des courbes identiques sont obtenues pour les vitesses longitudinale ux (d ) et transversale

uy (d ) , avec toutefois des différences dans les variations spatiales des vitesses des petites et

des grandes gouttes. Ces données seront plus amplement analysées dans le paragraphe III.3.

79/195

Figure 2.13: Relation entre la vitesse uz et le diamètre d desgouttes.


Les figures 2.15(a) et (b) présente des profils de vitesse moyenne axiale uz dans la direction

X et Y. La vitesse uz correspond à la composante axiale de la vitesse u des gouttes,

moyennée sur toutes les classes de diamètre de goutte. Les profils selon X (figure 2.15 (a))

forment un plateau à uz≈19m.s−1 , qui décroit très rapidement au-delà de X ad≈0.75 . Les

profils selon Y (figure 2.15(b)) s’apparentent à une distribution gaussienne. Enfin, on note que

les limites du spray (X ,Y )ad=1 définis au paragraphe II.2.1, correspondent une même

valeur de vitesse uz≈10 m.s−1 .

II.4. Synthèse

Le spray que l'on se propose de simuler est donc caractérisé par une forte hétérogénéité de la

répartition du liquide dans la section Z= 250mm, ainsi que par l'absence de symétrie de

rotation suivant l'axe des Z. La topographie des cartes de diamètres statistiques et du débit

surfacique présentent une allure similaire. Elles sont caractérisées par deux maxima de part et

d'autre du centre de la section, séparés par un plateau. Les gammes de diamètre moyen d10 ,

de vitesse axiale moyenne uz et de débit surfacique QV dans cette section sont regroupés

dans le tableau 2.6. On note la présence d'une symétrie de translation par rapport à l'axe des X

pour toutes les cartes des grandeurs du diamètre, de la vitesse et du débit surfacique.

80/195

Figure 2.14: Répartition spatiale de la vitesse moyenne axiale uz dans le plan Z = 250 mm.(a) : Profils caractéristiques, (b) : Carte

(a)

EY

EX

(b)

(c)


Ces données expérimentales vont permettent de construire une version numérique du spray

afin de valider une méthode de simulation de l’écoulement d’un spray. Les données à Z= 250

mm permettront d'initialiser le spray, tandis que les données obtenues à une distance Z= 500

mm de la buse serviront de point de contrôle du fonctionnement de la méthode de simulation.

Il a été montré, en section I de ce chapitre, l'importance du choix de la méthode de simulation

en fonction du flux surfacique de goutte N et du titre volumique χV . On évalue ces deux

grandeurs à N≈109 m−2 .s−1 et χV∈[0.1 ; 1]% . On remarque que ce titre volumique est

bien caractéristique d'un spray dilué.

III. Mise en œuvre de la simulation numériqueIII.1. Description du schéma numérique

III.1.1. Méthodes et modèles de simulation utilisés

La simulation numérique du spray est réalisée avec le solver CFD FLUENT® grâce une

approche Euler-Lagrange. Le choix d’un méthode lagrangienne permet de traiter le flux

important de gouttes, tout en étant cohérent avec un titre volumique faible (paragraphe II.4).

Enfin, les équations sont résolues en instationnaire.

Plusieurs simulations ont été entreprises, avec des variations dans le modèle de turbulence

employé. Le modèle RANS-k-ω a été retenu. Le point de divergence entre ce modèle et une

approche RANS k-ε standard se porte sur la modélisation du champ gazeux qui s’est avéré

moins pertinent avec le modèle RANS k-ε. On se limitera dans ce chapitre à la présentation

des résultats de simulation obtenus pour cette configuration3.

L’interaction entre les phases inclut un modèle de traînée et de turbulence. La traînée est

calculée à partir du modèle dynamically varying drop drag coefficient (paragraphe I.1.2). Le

modèle de fragmentation TAB est également intégré. Enfin, la dispersion turbulente subie par

3 Comme cela a été mentionné au paragraphe I.1.1, ce modèle n'est en théorie pas adapté à la simulation d'un écoulement non confiné comme celui considéré ici. L'utilisation d'un modèle RANS k-ω SST aurait été préférable. Des résultats préliminaires obtenus avec ce modèle montrent que les caractéristiques des phases dispersée et continue sont sensiblement identiques à celles présentées dans ce manuscrit.

81/195

Grandeur Gamme dans la section Z= 250mm

Diamètre moyen d10 [82 ; 285] µm

Débit surfacique QV

[8 ; 130] L.m-2.s-1

Vitesse moyenne axiales uz [3 ; 20] m.s-1

Tableau 2.6: Récapitulatif des gammes des grandeurs caractéristiques principales du spray,dans la section Z= 250mm.


les gouttes est prise en compte au travers du modèle stochastique EIM. On note que le titre

volumique relativement faible du spray permet de poser raisonnablement l'hypothèse de

l'absence d'interaction de type goutte-goutte.

L'écoulement du gaz est induit par la présence des gouttes. Cette caractéristique, propre aux

sprays générés par des buses pleines, est reproduite par l’utilisation d’un traitement réciproque

des interactions entre les phases, ce que l'on nomme un couplage « Two-Way » (voir §I.1.3).

L'initialisation du spray est réalisée par l'injection d'un brouillard de gouttes Lagrangiennes

sur un plan situé en aval de la buse. Ce choix est motivé par la complexité du spray (voir

paragraphe II.4), ainsi que par l'absence de tests permettant de valider un modèle de

fragmentation primaire pour ce spray. Le plan d'initialisation correspond au plan expérimental

situé à Z= 250 mm de la buse.

82/195

Figure 2.15: Représentation schématique du domaine de calcul. Le cylindre mesureH dom=400mm de hauteur et Rdom=250 mm de rayon. Les conditions limites sont

inscrites en lettres italiques.

S_outupPressure Outlet

S_outside

Pressure Outlet

S_outdownPressure Outlet

Rdom=250 mm

Hdo

m=

40

0m

m

EY

EZ

EX

III. Mise en œuvre de la simulation numérique

III.1.2. Domaine de calcul, maillage et conditions limites

Une géométrie 3D est construite pour simuler l'écoulement du spray. Les mesures

expérimentales ont montré la présence d'une symétrie d'axe EX pour les caractéristiques du

spray, permettant de ne résoudre qu'une moitié de l'écoulement.

(i) Géométrie

L’ensemble du domaine de calcul, présenté sur la figure 2.15, est composé d'un cylindre de

hauteur H dom=400 mm et de rayon Rdom=250mm . La hauteur du cylindre permet de

suivre l'écoulement du spray depuis le plan d'initialisation situé à Z=250mm de la buse,

jusqu'à une distance de 550 mm de la buse. Le domaine est suffisamment large pour limiter

l'influence des conditions limites appliquées aux frontières du domaine sur l'écoulement du

spray.

Le positionnement du plan d'initialisation dans le domaine de calcul à fait l'objet de plusieurs

tentatives. Les résultats ont montré l'importance de définir de manière réaliste l'écoulement

gazeux au niveau du plan d'initialisation.

Les mesures expérimentales n'incluent pas de mesures des champs de vitesse et de pression de

l'air, que se soit au cœur du spray ou encore à sa périphérie. Les premières simulations

réalisées proposait donc d'initialiser les gouttes du spray dans différents plans du domaine,

situés en bordure supérieur ou au centre de celui-ci, dans un air au repos ou encore en

imposant une vitesse verticale de l'ordre de quelques mètres par seconde. Ces méthodes se

sont traduites par de fort gradient de pression et de vitesse au niveau du plan d'initialisation

des gouttes, par une réduction de l'angle d'évasement du spray, mais également par la

divergence du calcul à cause de valeurs irréalistes de la vitesse des gouttes.

L'initialisation correcte du spray dans un plan aval à la buse suppose donc de reproduire un

écoulement réaliste de l'air, et dans notre cas de prendre en compte l'histoire de l'atomisation

primaire sur le développement de l'écoulement gazeux. On propose ainsi de modéliser la

présence de la région d'atomisation primaire par un cône solide (en rouge sur la figure 2.15),

dont il sera par la suite fait référence comme le Cône Virtuel d'Atomisation Primaire ou cône

VAP. Ce cône a pour but de guider l'écoulement du gaz en amont du plan d'initialisation. Pour

éviter qu'il ne constitue un frein à l'écoulement du spray, une condition limite de type « mur

en mouvement » est imposée sur sa frontière latérale S_atomisation (voir §III.1.2(ii)). Enfin,

la surface inférieure du cône S_injection est située dans le plan d'initialisation. Elle constitue

le plan d'initialisation pour les variables concernant la phase discrète (voir §III.3) et permet

également d'injecter un flux d'air représentatif de celui présent dans le spray expérimental

(voir §III.4).

La forme et les dimensions du cône VAP sont issues des trois constatations expérimentales

suivantes :

83/195


─ Les visualisations du spray (figure 2.9) montrent que les dimensions longitudinale et

transversale en Z=250mm de la buse sont respectivement de 55 mm et de 17 mm.

─ La carte de débit surfacique présentée en figure 2.10 (§II.2.2) ne recouvre pas toute

la section du spray ( débit QV≈4.80L.min−1 récupéré, pour 6.5 L.min−1 injecté). En

accord avec le point précédent, on peut considérer que la section du spray à 250mm de

la buse est plus large que cette carte.

─ La carte de la vitesse uz montre que la vitesse décroit rapidement sur les bords du

spray. Le tracé de l'iso-vitesse uz=uz,max/ 2≈10 m.s−1 correspond approximativement

aux limites du spray définies dans les visualisations de la figure 2.9, et rappelé dans le

premier point. La même constatation peut être faite pour les iso-valeurs sur les

diamètres d10 et d32 . Les courbes de ces iso-valeurs sont approchées par l'équation

d'une super-ellipse (équation 2.40).

∥(x )A ∥n

+∥(y )B ∥n

=1 (2.40)

La surface S_injection est générée par une super-ellipse d'équation (2.40), avec A=55 ,

B=12 (en mm) et n=2.7 . Les angles du cône, à partir de cette surface vers le haut du

domaine, sont identiques aux angles d'évasements longitudinal θ X=25° et transversal

θ Y=8 ° du spray (§ II.2.1), obtenus expérimentalement par ombroscopie. Enfin, le cône VAP

mesure 100 mm de haut (figure 2.16).

84/195

Figure 2.16: Visualisation du Cône Virtuel d'Atomisation Primaire (CVAP) et de lasurface d'initialisation, représentée dans le domaine entier sur la figure 2.15 . Les

conditions limites sont inscrites en lettres italiques.

S_atomisationMoving Wall

S_injectionVelocity Inlet

HC

VA

P=

100

mm

écoulement d'air créé


(ii) Conditions limites pour la phase continue

Cinq surfaces délimitent le domaine de calcul, sur lesquelles il faut appliquer des conditions

limites concernant la phase gazeuse. Le tableau 2.7 regroupe les types et les valeurs

appliquées comme conditions limites.

Il n'existe pas d'informations sur les caractéristiques de l'air en périphérie du spray, seules les

gouttes ayant été caractérisées expérimentalement. On le suppose toutefois à la pression

atmosphérique. Une condition de pression P=P atmosphérique est donc imposée sur les surfaces

S_Outdown, S_Outup et S_Outside (condition Pressure Outlet). Les valeurs de la vitesse

et de la turbulence de l'air sortant par ces surfaces sont issues des valeurs des cellules

adjacentes. En cas de retournement de l'écoulement (BackFlow), on impose une injection d'air

faiblement turbulente, correspondant une intensité turbulente I turb=√2k /3/∥uG∥=1 et une

viscosité turbulente Rμ t /μ=μ t /μG=1 .

La surface S_injection permet de générer un écoulement d''air représentatif de celui présent

dans un spray réel. La vitesse, les caractéristiques turbulentes et la pression sont imposées

(condition limite de type Velocity-Inlet). Les propriétés imposées sur cette surface sont plus

amplement présentées au paragraphe III.4.

La surface S_atomisation (limitant le cône VAP) est une surface glissante (Wall-moving), ce

qui permet de ne pas générer de frein à l'écoulement. On impose un mouvement dans la

direction axiale Z. La vitesse correspondante est issue de la vitesse des petites gouttes obtenue

expérimentalement. Sur les bords du spray, on évalue cette vitesse à 5 m.s-1.

85/195

Nom de lasurface

Type de Conditionlimite

Propriété appliquée sur la limite

S_Outdown

Pressure-Outlet

Pression Pression atmosphérique

S_OutupDirection

d'écoulementA partir des cellules

adjacentes

S_OutsideCondition en

cas deBackFlow

Intensité turbulente I turb : 1

Rapport de viscosité Rμ /μ t :

1

S_injection Velocity-InletVitesse et

turbulenceVoir paragraphe III.4

S_atomisation Wall-moving

Condition d'adhérence totale

Écoulement dans la direction Eaxial à lavitesse uz≈5 m.s−1

Tableau 2.7: Résumé des conditions limites pour la phase continue appliquées sur le domainede calcul


(iii) Maillage

Le maillage présenté en figure 2.17 est le fruit de plusieurs essais visant à trouver un

compromis entre stabilité de la solution et coût numérique. Les cellules sont toutes

hexaédriques afin de limiter le nombre total de mailles. De manière générale, on note que le

comportement de la phase discrète est peu influencé par la taille des mailles, sauf dans le cas

extrême de très grosses mailles lmaille>1cm , voir lmaille>0.5cm au niveau du plan

d'initialisation. Ces dimensions semblent alors inadéquates pour résoudre le couplage entre les

phases. Par ailleurs, un maillage trop fin lmaille<1mm provoque une divergence du calcul

semblant être issue des termes sources trop grands des grosses gouttes dans les équations de la

phase continue. La taille minimale des mailles est donc limitée par la dimension des plus

grosses gouttes, d max≈1mm .

Malgré tout, certaines régions du domaine nécessitent une attention particulière pour résoudre

correctement l'écoulement de la phase continue et le couplage entre les phases. Le maillage

est structuré en trois zones, chacune correspondant à un type et une vitesse d'écoulement

spécifiques.

─ Zone 1, zone d'injection : Cette zone est caractérisée par des forts gradients latéraux

(direction X et Y) dans le champ de vitesse du gaz, mais également sur la pression dans

la direction Z. C'est également une zone de transition importante entre un écoulement

d'air seul, et l'écoulement couplé air + gouttes (bord du cône VAP). La zone d'injection

est maillée par des cellules de dimensions caractéristiques lmaille=2 mm , avec un

raffinement au niveau de la surface S_injection où les cellules ont une taille de l'ordre

de 1 à 1.5 mm.

─ Zone 2, zone d'écoulement du spray : C'est la zone de développement du spray. La

phase discrète est bien dispersée et l'écoulement du gaz ne comporte pas de gradient

locaux important. La zone d'écoulement du spray est maillée par des cellules de taille

moyenne d'environ 3 mm.

─ Zone 3, zone d'écoulement périphérique : C'est la zone d'alimentation en air du

spray. Elle ne présente pas de structures d'écoulement particulières à résoudre et peut

être maillée par des cellules plus grosses 5<lmaille<8mm .

Pour donner un ordre de grandeur, le maillage total est constitué de 539 000 cellules

hexaédriques.

86/195


III.2. Paramétrisation numérique

III.2.1. Schémas numériques de résolution des équations dans Fluent®

Le solver CFD FLUENT® permet de réaliser une simulation Euler-Lagrange en

instationnaire, avec une action réciproque des phases l'une sur l'autre (Two-Way Coupling). La

résolution instationnaire d'un écoulement consiste à suivre son évolution au cours du temps.

Le temps est discrétisé sur des temps t i successifs, séparés par un pas de temps Δ tCP4. La

solution de l'écoulement au temps t i est calculée par un procédé itératif, l'objectif étant

d'approcher progressivement la solution sans divergence du calcul. Dans ce processus itératif,

4 L'indice « CP » signifie Continous Phase, soit la phase continue en français.

87/195

Figure 2.17: Structure du maillage du domaine décrit précédemment (figure 2.15). La tailledes mailles doit vérifier des contraintes différentes suivant la zone 1, 2 ou 3.

Zone 2: zone d'écoulement du sprayZone 3: zone d'écoulement périphérique de l'air

Zone 1: zone d'injection

EZ

EX

211

2

33

EZ

EY

13

EY

EX

dessus

coté face


les coefficients de relaxation α permettent d'ajuster la vitesse d'évolution de la solution à

chaque itération et d’assurer une stabilité numérique.

Les actions entre les phases étant réciproques, il est nécessaire de résoudre conjointement les

équations eulériennes et lagrangiennes. Les termes sources d'interactions entre les phases sont

donc régulièrement remis à jour avant de résoudre de nouveau les équations de chacune des

phases. Les figures 2.18(a) et (b) représentent l'organigramme de résolution de l'écoulement

entre les instants ti et ti+1 et l'évolution de la convergence de la solution de la phase continue en

fonction du nombre d'itération réalisée.

Le calcul débute par l'injection de nouvelles particules dans le domaine, puis par la résolution

des équations de la trajectoire de la phase discrète. Au bout de NTwo-Way itérations de la phase

continue, une nouvelle solution pour la phase discrète est calculée. La mise-à-jour des termes

sources présent dans les équations de la phase continue provoque une remontée du niveau de

convergence de la solution de la phase continue (piques sur la figure 2.18(b)). Le nombre

d'itération NTwo-Way est choisi de manière à assurer une convergence partielle de la solution de

la phase continue, c'est-à-dire que cette solution se stabilise mais que le couplage entre les

phases n'a pas convergé, avant de résoudre de nouveau les équations de la phase discrète. Les

solutions de chacune des phases ainsi que le couplage convergent lorsque la mise-à-jour des

termes sources issues de la phase discrète ne provoque plus d'évolution dans la solution de la

phase continue (figure 2.18(b), à droite). On dit que la solution a atteint une convergence

totale. Le passage au pas de temps suivant est conditionné par la convergence totale au pas de

temps actuel ou par la réalisation de NCP itérations sur la phase continue.

L'étape de résolution de la phase discrète (figure 2.18) consiste à résoudre les équations de la

phase discrète par un processus itératif. Le temps est de nouveau discrétisé de manière à

diviser le calcul de la trajectoire des gouttes en N t ,DP étapes. L'intervalle de temps pour le

calcul de la phase discrète est calculé à partir de l'équation (2.41) :

88/195

Figure 2.18: (a) : Organigramme de résolution d'un calcul Euler-Lagrange en in-stationnaire, sous Fluent®

(b) : Evolution de la solution de la phase continue au temps ti vers la convergence totale.

Nombre d'itération

Evo

luti

on d

e la

sol

utio

n de

la p

hase

con

tinu

e

Non convergence du couplage entre les phases

k=0 k= NTowWay

Convergence totale de la solution au temps t

i+1

Convergence partielle de la phase continue

Solution convergée au temps t

i

k= 2 *NTowWay

k= 3 *NTowWay

Injection de nouvelles particules discrètes

Résolution de la phase discrète

NTwoWay

itérations sur la phase continue

?

k=NCP

OUI

NON

k=0

Solution finale à l'instantt i +1=t i+Δt CP

Solution initiale à l'instant t i

k=k +NTwoWay

(a) (b)


Δ tDP=Δ tCP

N t , DP

(2.41)

III.2.2. Processus d'initialisation d'une phase discrète dans Fluent®

La résolution d'un pas de temps débute par une étape d'injection des nouvelles particules

discrètes dans le domaine de calcul (figure 2.18(a)). Nous allons ici détailler ce processus

d'injection. Si QV,ini est le débit volumique total de la phase discrète, alors un volume

V=QV/Δ tCP est injecté à chaque pas de temps. Les particules discrètes sont initialisées à

partir d'un réseau de points d’injection répartis en différentes positions dans le plan

d'initialisation. Chaque point d'injection initialise une particule numérique discrète par pas de

temps. Selon la méthode des parcelles, la trajectoire d'une particule numérique peut

représenter les trajectoires de plusieurs gouttes. Le nombre de goutte représenté par chaque

parcelle numérique dépend de la fraction du volume V alloué au point d'injection et du

diamètre des gouttes imposé sur ce point. Une vitesse initiale u ini est également imposée.

La définition d'un processus d'initialisation de la phase discrète nécessite donc de connaître le

débit volumique total QV,ini et les caractéristiques des points d'injection. Ces caractéristiques

sont :

─ une position : (x ini ,y ini ,z ini)

─ un volume à injecter : V ini

─ le diamètre des particules : d ini

─ la vitesse des particules : u ini

L'ensemble de ces informations sont introduites dans le solver à travers des routines

spécifiques dénommées pour Fluent des UDF (User Defined Function), dont leur mise en

œuvre fait l'objet de la section III.3.

III.2.3. Résumé des paramètres numériques de la simulation

Le tableau 2.8 résume les paramètres numériques, présentés précédemment, utilisés pour les

simulations présentées dans ce mémoire.

Les schémas de discrétisation sont choisis de manière à garantir un calcul précis et efficace.

Les coefficients de sous-relaxation α sont issus de plusieurs essais permettant d'obtenir une

convergence rapide des solutions des deux phases continue et discrète. Les nombres

d'itérations NCP et NTwo Way permettent d'atteindre une convergence partielle de la solution

continue avant chaque résolution de la phase discrète, tout en garantissant une convergence

globale rapide.

89/195


III.3. Initialisation de la phase discrète

La solution retenue est l'initialisation d'un nuage de gouttes dans un plan d'initialisation,

s’appuyant sur la surface S_injection. Les caractéristiques du brouillard de gouttes au niveau

de ce plan correspondent aux données expérimentales à 250 mm de la buse. On note S ini la

surface limitée par la section du spray dans le plan d'initialisation.

III.3.1. Principe général d’initialisation de la phase discrète du spray : UDF

Les données expérimentales présentées dans la section II de ce chapitre contiennent toutes les

informations nécessaires à l'initialisation de la phase discrète dans FLUENT®. L'algorithme

de l'UDF doit vérifier trois contraintes, liées au spray expérimental :

─ Le débit total est de QV≈6.5L.s−1

90/195

Résolution de la phase continue (CP)

Notation VariableMode decalcul

ou valeur

Schémas de discrétisation

Temps Second Order

Implicite

PressionSecond Order

Upwind

Quantité de mouvement Second ordrespatial upwindTurbulence (k ou ω)

αCoefficient de sous-relaxation

Pression 0.6

Quantité de mouvement 0.6

Turbulence (k ou ω) 0.7

Terme source de la phase dispersée

0.3

ΔtCP Pas de temps de la phase continue 0.0005 s

NCP Nombre d'itérations de la phase continue 60

Résolution de la phase discrète (DP)

NTwo WayNombre d'itérations de la phase continue entre chaque résolutionde la phase discrète

5

NDP Nombre maximum d'itérations de la phase discrète 500

Nt, DP Discrétisation temporelle pour la résolution de la phase discrète 10

Tableau 2.8: Résumé des paramètres numériques introduit dans la simulation


─ La répartition surfacique de ce débit vérifie la carte QV(x , y ) (figure 2.10(b))

─ En un point (x , y ) de la section, le diamètre des gouttes vérifie la courbe de pdf

locale (exemple en figure 2.11).

Le respect à la fois de la répartition spatiale sur les diamètres statistiques et du débit

surfacique n’est pas aisé à réaliser du point de vu numérique. La solution envisagée pour

résoudre cette difficulté est la division de la section du spray S ini en plusieurs zones

d'initialisation de surface S id , de débit surfacique homogène QV,id . La définition des couples

(S id ,QV,id ) est donnée au paragraphe III.3.2(i).

L'organigramme de la figure 2.19 représente les étapes successives permettant de générer des

points d'injection dans chaque zone d'indice « id ». Les cadres rectangulaires rouges

représentent les données nécessaires pour réaliser les opérations auxquelles elles sont liées.

Ces informations sont issues des données présentées dans les paragraphes suivants. Le

processus débute par la définition d'un point d’injection auquel est attribué successivement un

diamètre de goutte puis une vitesse. Le nombre de gouttes injectées pour chaque point

d'injection est fixé à 1. Après la génération de chaque point d'injection le volume total

initialisé par la zone V tot est réévalué. Si V tot est inférieur à un facteur ΦV du volume cible

de la zone V id , une nouvelle parcelle numérique est générée. Dans le cas contraire, les

informations sur les points d'injection sont envoyées à Fluent®. Le volume de liquide non

injecté, ou éventuellement sur-injecté, est conservé afin d'être injecté au pas de temps suivant.

Le facteur de volume cible ΦV est calculé à partir de l'équation (2.42) :

ΦV=1−12

min(QV,id)Δt CP

πd max3 /6

(2.42)

avec min(QV,id) le débit minimum parmi les zones d'initialisation et d max le diamètre

maximum des gouttes initialisées.

Les étapes de génération des points d'injection sont principalement basées sur des lois

probabilistes. Par conséquence, à chaque nouvelle phase d'injection de particules de la phase

discrète (voir paragraphe III.2.1), de nouveaux points d'injection indépendants et différents

des précédents sont générés.

91/195


III.3.2. Données de génération du spray numérique

L'utilisation du programme présenté dans le paragraphe précédent nécessite la définition des

propriétés des zones d'injection (dimension et débit surfacique), ainsi que les caractéristiques

des gouttes initialisées en chaque point d'injection (diamètre et composantes de la vitesse).

(i) Définition des zones d'injection

Les zones ont la forme de super-ellipse, décrite au paragraphe III.1.2 (équation 2.40), définies

dans le plan d'initialisation. De manière générale, si X c et Y c sont les coordonnées du

92/195

Figure 2.19: Organigramme de génération des points d'injection pour la zone d'indice id

Débit d'injection cible : Q

V, id

V k=πd k

3

6

Limites de la surface : Sid

Loi de probabilité valable au point

I k(x ,y )

Fonction de corrélation entre le diamètre et

chaque composante de vitesse au point

I k(x ,y )

Création des points d'injections pour la zone

d'indice id

Génération d'un point d'injection partirage aléatoire d'une position

I k(x ,y )

Tirage aléatoire d'un diamètre

d k

Calcul des vitesses{u x , k ; uy , k ; uz , k}

?

V tot<Φ V id

V tot=0

V id=QV, id Δ tCP

V tot=V tot+V k

OUIFacteur de convergence

du volume cible : Φ ∈[0.6 ; 1]

NON

{I k}id

{V id−V tot}

- Ensemble de points d'injections

- volume non-injectée


centre de l'ellipse, cette équation se réécrit, avec A , B et n les paramètres de la super-

ellipse :

∥(x−X c)

A ∥n

+∥(y−Y c)

B ∥n

=1 (2.43)

La figure 2.20 représente les zones d'injection définies à partir de la carte de débit surfacique

QV . Les paramètres de chacune de ces zones d'injection sont regroupés dans le tableau 2.9.

Les limites des surfaces S id suivent les lignes d'iso-débit QV={30 ; 40 ; 60 ; 80 ; 90 ou 110 } .

Enfin des lignes d'iso-débit supplémentaires QV={8 ; 20} sont ajoutées (surface S1 et S2 )

afin d'obtenir un débit totale sur la surface S ini de 6.7 litres par minute. Les limites de la

première zone S1=S ini sont légèrement supérieures à la surface S_injection. Cette astuce

permet de stabiliser l'écoulement, ainsi que le calcul numérique, en bordure du volume CVAP.

Les zones se recouvrent à la manière d'une pyramide à niveau (type pyramide Maya) : par

conséquent, le débit surfacique en un point (x , y ) de la surface est la somme des débits

surfaciques QV,id (x , y ) de toutes les zones S id auquel il appartient. Par simplification le

débit surfacique QV,id est considéré constant. Chaque zone est donc caractérisée par sa

surface, présentée précédemment et par un débit QV,id obtenu à partir des équations (2.44)

puis (2.45) :

93/195

Figure 2.20: Représentation des zones d'injection sur la carte expérimentale du débitsurfacique. (en fonction des coordonnées X ad et Y ad , § II.2.1)

Xad

[-]

Yad

[-]

S1

S2

S3

S4

S5

S7 S

6

S9

S7

S8


QV,n =

∫Sn

QV(x , y )dxdy−∑

k

∫Sk

QV(x , y )dx dy

Sn−∑k

Sk

avec k={n+1} (2.44)

où k représente la zone qui chevauche directement la zone d'indice n 5.

QV,id=({QV,n }n=id−{QV,n

}n=id−1)S id (2.45)

(ii) Position des points d'injection

Par simplification, on décide d'imposer une répartition uniforme des points d'injection sur

chaque zone. Les positions des points d'injection {I k}id sont tirées aléatoirement, suivant une

loi de probabilité uniforme, sur la surface S id . À chaque phase d'initialisation les positions

des points d'injection sont différentes afin de reproduire l'aspect discontinu et aléatoire du

spray.

(iii) Loi de probabilité pour le diamètre

En chaque point du plan d'initialisation, le diamètre des gouttes doit reproduire les données

expérimentales. Autrement dit, les grandeurs statistiques {d10, d20, d30, d32, md } , ainsi que la

forme des lois de densité de probabilités expérimentales doivent être respectées.

La fonction Log-normale permet de reproduire la tendance de ce type de pdf, tout en étant une

fonction simple à programmer. La figure 2.21 illustre, pour le point (X ,Y )ad=(0,0) , les

tentatives réalisées pour approcher la pdf expérimentale du diamètre avec cette fonction.

Chaque courbe Log-normale est établie de manière à respecter les valeurs de deux des

grandeurs statistiques issues des données expérimentales (parmi : md, d10 , d20 , d30 , d32 ).

5 Ainsi pour n=1 on obtient k=2 . En revanche pour n=4 on obtient k={5 ,6 ,7 } .

94/195

Indice de lazone d'injection

X c

[mm]Y c

[mm]A

[mm]B

[mm]n

[-]Débit : QV, id

[L.min−1 ]

S1 0 0 60 15 2.7 1.5

S2 0 0 55 12 2.7 2.137

S3 0 0 44 8 4.5 1.057

S4 0 0 43 6.2 6 1.293

S5 0 0 27.5 3.4 6 0.387

S6 35.2 -0.15 7.2 4.7 2.2 0.099

S7 -34 -0.1 7 5.1 2.2 0.171

S8 35.5 -0.5 3.8 2.8 1.3 0.031

S9 -34.3 -0.5 2 2 1.8 0.019

Total débit : 6.70

Tableau 2.9: Récapitulatif des zones d'injection et du débit alloué à chacune


La fonction Log-normale issue des diamètres d10 et md approche correctement la courbe

expérimentale. Toutefois, pour d'autres positions dans la section l'accord sera meilleur avec un

autre couple de grandeurs statistiques. Ainsi, aucune des combinaisons de grandeurs ne

permet de générer des courbes Log-normale capables de reproduire toutes les pdfs dans la

section Z=250 mm du spray. Le choix s'est finalement porté vers une loi de probabilité

Log-normale, dont les paramètres sont établis afin de respecter les valeurs du diamètre moyen

d10 et du mode du diamètre md .

Les cartes expérimentales de ces deux grandeurs sont lues par l'UDF d'initialisation

(paragraphe III.3.1). Pour chaque point d'injection I k(x ,y ) , une valeur du diamètre moyen

d10(x , y ) et du mode md(x , y ) est alors déterminer par interpolation, selon une méthode

de type plus proche voisin6. Le diamètre de la goutte est ensuite tiré aléatoirement suivant une

loi de probabilité Log-normale vérifiant ces grandeurs.

(iv) Corrélation entre le diamètre et les composantes de la vitesse

Les mesures expérimentales montrent une corrélation entre le diamètre des gouttes et leur

vitesse (paragraphe II.3.2), caractéristique des atomiseurs à effet de pression, les gouttes les

plus grosses étant les plus rapides. Cependant, les gouttes de même diamètre n'ont pas

nécessairement la même vitesse. La vitesse initiale de chaque goutte dans la simulation est

tirée aléatoirement suivant un processus stochastique gaussien. La vitesse moyenne u i=f (d )

et l'écart type σui=f (d ) sont obtenus à partir des données expérimentales.

6 Pour éviter la génération d'escalier par la méthode d'interpolation de type proche voisin, les cartes des grandeurs possèdent une résolution spatiale de 1mm dans les directions X et Y.

95/195

Figure 2.21: Interpolation par une fonction Log-Normale de la courbeexpérimentale de densité de probabilité du diamètre en (X ad ,Y ad )=(0,0) .


Les courbes u i=f (d ) , i= {x , y z } , sont interpolées à partir de la seule équation

paramétrique (2.46). À partir des corrélations taille/vitesse obtenues expérimentalement, un

diamètre D0, i séparant les petits diamètres et les grands diamètres est définie (figure 2.22).

Pour les gouttes de petites diamètres d<D 0 la vitesse moyenne des gouttes est considérée

constante, u=U0 . Pour les gouttes de diamètre supérieur, d>D0 , la vitesse est interpolée

par une fonction exponentielle inverse de paramètre ULim , UAmp et D63 . Un exemple de

cette interpolation est présenté sur la figure 2.22(a).

d<D 0, i → u i=U0, i

d>D 0, i → u i=ULim , i−UAmp , i⋅exp(− d

D63, i ) (2.46)

Les cartes des coefficients locaux U 0 , i (x , y ) , D0, i (x , y ) , ULim , i (x ,y ) , UAmp , i (x ,y ) et

D63, i (x ,y ) sont déduits des courbes de corrélation taille-vitesse issues des données

expérimentales. Ces cartes sont présentées en Annexes 3) .

Comme le montre la figure 2.22(b), l'écart type σuz

de la vitesse axiale est peu dépendant de

la position dans le plan d'initialisation. Cette remarque est également vérifiée pour les écarts

types sur les autres composantes de la vitesse. L'écart type de chaque composante de la vitesse

est donc calculé à partir d'une seule équation σui=f i (d ) . Les équations sont regroupées dans

le tableau 2.10. Pour les plus petits diamètres, d<D 0, i , l'écart type est indépendant du

diamètre, égal à une valeur qui varie suivant la position dans le plan d'initialisation :

σ 0,ui(x , y ) .

96/195

Figure 2.22: Exemple de l'interpolation des composantes de la vitesses u i et de l'écart typeσu

z


III.3.3. Paramètres additionnels de génération du spray

Ce paragraphe présente les quelques données supplémentaires utiles pour initialiser la

simulation numérique de l’écoulement du spray.

Pour éviter l'obtention de gouttes trop grosses lors du processus de tirage aléatoire du

diamètre des gouttes, on impose un diamètre maximum d max=1200 µm . Ce diamètre est

légèrement supérieur au diamètre maximum mesurable par le PDA. De la même manière, un

diamètre minimum est imposé à d min=5µm .

Les vitesses sont issues d'un processus stochastique qu'il convient également de borner. La

vitesse axiale est positive : uz∈[1 ; 40]m.s−1 . Les mêmes valeurs seuils sont imposées aux

composantes longitudinale et transversale de la vitesse : (ux ,uy )∈[−10 ; 10]m.s−1 .

Comme expliqué au paragraphe III.3.1, le facteur de volume cible est fixé à ΦV=0.95 .

III.4. Conditions limites du gaz sur la surface S_injection

Sur la surface S_injection, il faut également fixer des conditions limites relatives à la phase

gazeuse réaliste, afin d’obtenir un écoulement d'air représentatif de celui présent dans un

spray réel. Cependant, aucune donnée expérimentale ne donne le champ de vitesse de l'air en

écoulement au cœur du spray.

En comparant le temps mis par les gouttes pour parcourir le domaine de calcul avec leur

temps de relaxation τ p (voir § I.1.2), il est possible de séparer les gouttes inertielles, c'est-à-

dire celle dont la trajectoire est peu influencée par le milieu gazeux, des autres. Sur la figure

2.23, les temps de relaxations et le temps de parcours moyen sont calculés Pour la vitesse des

gouttes, les corrélations u i=f (d ) sont utilisées afin de prendre en compte les comportements

propres à chaque classe de diamètre de goutte. Le temps de relaxation est calculé pour deux

coefficients de traînée afin de prendre en compte la dépendance avec le nombre de Reynolds :

la traînée de Stokes pour Re<1 et la traînée de Schiller et Naumann pour Re<1000 (voir

§I.1.2).

Quelle que soit la composante de la vitesse, les gouttes dont le diamètre est inférieur à 50µm

peuvent être considérées comme des traceurs passifs représentatifs de la vitesse de

97/195

Composantei de lavitesse

Équation d'interpolation, pour d>D0, i (x , y )

x σux=1.5

y σuy=e

−0.0725 (d−35.0)+1.25

zd<950 µm → σ

u z

=1.49e-11d4−5.07e-08d

3+5.46e-05d2−0.019d +4.77

d≥950 µm → σuz=5.0

Tableau 2.10: Équations pour l'interpolation des composantes de l'écart type de la vitesse


l'écoulement d’air dans la section d’injection. Les gouttes de faible diamètre d<D 0, i vérifient

cette caractéristique. Il est alors possible d'établir les cartes des composantes uG , i de la

vitesse de l'air : uG(x , y )=(U 0,x ; U0,y ; U 0,z)(x ,y ) .

Diverses sources d'erreurs dans la simulation de l'écoulement du spray ont fait l'objet de notre

attention, notamment une possible sous-estimation de l'influence de la turbulence sur la phase

discrète.

Les fluctuations turbulentes de l’écoulement de l'air sont inconnues. On propose de les

estimer à partir des écarts types sur les composantes de la vitesse des petites gouttes σ0,ui.

L'énergie turbulente k est donnée par l'équation (2.47) :

k=12 (σ0,u

x

2 +σ0,uy

2 σ0,uz

2 ) (2.47)

La dissipation spécifique turbulente ω est donnée par l'équation (2.48), issue d'une analogie

avec la définition du taux de dissipation turbulente ε dans l'équation du modèle RANS- k ε .

ω=k

1/2

Cμ1 /4

moyenne [D 0,x ,D0, y D0,z], avec Cμ=0.09 (2.48)

L'intensité turbulente I turb correspondant au calcul de ces grandeurs est comprise entre 0.22

et 1.35 , avec une moyenne de 0.51 . Le rapport de viscosité Rμt /μs'échelonne de 3.03 à

7.24 , avec une moyenne à 5.08 .

98/195

Figure 2.23: Temps de relaxation estimé des gouttes issues du spray, obtenue à partir descorrélation diamètre/vitesse issues des mesures expérimentales, pour deux modèles de traînée(courbe rouge et noires). La courbe bleu représente le temps estimé mis par les gouttes pour

parcourir la distance entre le plan d'initialisation et le bas du domaine.

IV. Simulation de l'écoulement

IV. Simulation de l'écoulementIV.1. Validation de la méthode d'initialisation

Les différentes approximations sur la définition des zones d'initialisation, le diamètre des

gouttes ou encore les corrélations diamètre-vitesse sont la source possible de différences entre

le spray numérique généré et les mesures expérimentales.

IV.1.1. Fonctionnement général

Pour un pas de temps de Δ tCP=0.5 ms , le processus d'initialisation génère en moyenne

np=1540 gouttes, pour un débit moyen QV=6.66L.min−1 , proche du débit attendu de

6.7L.min−1 . Les valeurs de n et QV à chaque pas de temps sont reportées sur la figure

2.24. Le tirage aléatoire du diamètre utilisé dans le processus d'initialisation ainsi que le

facteur de volume cible ΦV sont responsables des fluctuations observées. Le choix d'un

intervalle de calcul plus grand, ainsi que l'affinage de la valeur du facteur de volume cible

permet de réduire ces fluctuations. Dans la configuration actuelle, Δ tCP=0.0005s et

ΦV=0.95 , on obtient un écart type σ n=226 pour le nombre de gouttes générées et un écart

type σ QV=0.22L.m−1 pour le débit, ce qui est faible et donc tout à fait convenable.

99/195

Figure 2.24: Résultat du fonctionnement du processus d'initialisation, en nombre de gouttesgénérées np (courbe orange) et en débit liquide QV (courbe noire)

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.54

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

800

1300

1800

2300

2800

3300

t [s]

Qv

[Lm

in]

n [-

]

QV

[L.m

in−

1]


IV.1.2. Caractéristiques des gouttes initialisées

L'initialisation du spray s'appuie sur le diamètre moyen, le mode du diamètre et le débit

surfacique. Par la suite on compare les données expérimentales (symboles) de ces grandeurs,

prises comme référence, avec le résultat de l'initialisation présentée au paragraphe III.3. Tous

les profils sont issus du plan Z=250mm pour l'expérience, et du plan d'initialisation pour la

simulation.

La figure 2.25 montre que suivant les deux directions, pour X ad=0 et Y ad=0 (figure (a) et

(b), en noir), les tendances des profils d10 sont bien reproduites par la simulation. On peut

toutefois noter une légère sous évaluation des valeurs, l'erreur relative étant maximale au

niveau des maxima, s'élevant à 14% . L’observation des autres profils X ad et Y ad confirme

le bon accord entre les données expérimentales et celle de l’initialisation. Les valeurs sont de

nouveau sous-évaluées au centre de la section, mais sur-évaluées au bord du spray, pour

X ad>0.7 . Ces différences sont attribuées à la coupure en d max=1200µm de la loi Log-

Normale. Ceci est confirmé par un essai avec d max=2000 µm , non présenté ici, qui

permettrait de mieux approcher les profils expérimentaux. Ce choix n'est toutefois pas retenu

car aucune information expérimentale ne prouve l’existence de gouttes de cette taille dans le

spray.

Les profils X ad=0 et Y ad=0 du mode du diamètre sont présentés sur la figure 2.26. Les

tendances des profils expérimentaux sont reproduites, mais l'accord reste très qualitatif. On

note que le calcul du mode du diamètre, que ce soit pour l'expérience ou la simulation, dépend

fortement de la discrétisation utilisée pour construire la courbe de pdf (ici Δd≈10µm ). Les

écarts observés sont donc dans l'incertitude de la mesure de md .

100/195

Figure 2.25: Comparaison du diamètre d10 résultant du processus d'initialisation (courbespointillées), avec les données expérimentales (courbes avec symboles).


Le diamètre d32 n'est pas une grandeur directement intégrée dans le processus d'initialisation,

mais constitue un résultat témoignant de son fonctionnement. De plus, il joue un rôle

fondamental dans les processus de transfert thermique et nécessite donc d’être correctement

modélisé. Nous avons précédemment évoqué les limites du choix d'une fonction Log-normale

générée par le couple de paramètres {d10 ,md } . Ceci laisse supposer que les moments du

diamètre d'ordre supérieur ( d30 , d32 ) seront mal modélisés. La figure 2.27 montre, de

manière surprenante, que le diamètre d32 généré par la méthode d'initialisation est proche du

diamètre expérimental. Ces résultats confirment le bien-fondé du choix de la fonction Log-

normale et des paramètres utilisés. On peut toutefois noter que contrairement au diamètre d10

, d32 est globalement sur-évalué.

Les profils de débit surfacique de l'initialisation reproduisent qualitativement ceux issus de

l'expérience (figure 2.28). Le débit surfacique est de manière générale sur-évalué, avec une

erreur relative maximale de 31 % au niveau des maxima (figure 2.28(a), profils Y ad=0 ).

101/195

Figure 2.26: Comparaison du mode du diamètre md résultant du processus d'initialisation(pointillés), avec les données expérimentales (courbes avec symboles).

Figure 2.27: Comparaison du diamètre d32 résultant du processus d'initialisation(pointillés), avec les données expérimentales (courbes avec symboles).


On rappelle quelques caractéristiques des zones d'injection pouvant expliquer les différences

précédemment citées. La densité des points d'injection est homogène sur chaque zone

d'initialisation. Le nombre de gouttes par point d'injection est fixé à 1, donc le volume de

liquide représentatif de chaque point d'injection est proportionnel au cube du diamètre

initialisé en ce point. Les fortes variations du diamètre moyen au niveau des maxima tendent

donc à augmenter localement le débit surfacique, et provoquent une sur-évaluation des valeurs

calculées, comparé à l'expérience. En revanche, ces mêmes variations permettent d'obtenir un

aspect régulier des profils du débit surfacique.

Sur les différents profils, les points ne bénéficiant pas de comparaisons expérimentales

correspondent aux lignes d'iso-débit supplémentaires ajoutées sur la carte de la figure 2.20.

Les valeurs ainsi générées sont réalistes et valident les choix faits.

Les profils de la vitesse axiale uz , moyennée sur toutes les classes de diamètre de goutte

(figure 2.29), montre que l'initialisation est en accord raisonnablement avec l'expérience.

Selon X, la rupture de pente visible sur les profils Y ad=0 à X ad=1 est correctement

positionnée. Dans cette direction, les écarts quantitatifs sont faibles, avec un maximum de

5 % en X ad=0.6 . Selon Y, les profils X ad=0 et X ad=1 sont monotones décroissants. La

pente est toutefois sous-estimée dans cette direction.

Les profils des vitesses moyennes longitudinale ux et transversale uy sont représentés sur

les figures 2.30(a) et (b).

Les tendances de la vitesse longitudinale ux calculée reproduisent celles observées dans

l'expérience. On note que la vitesse tend vers 0 en X ad=0 . Les mêmes constatations sont

réalisées avec la vitesse transversale uy , sauf sur le profil X ad=0 dont le comportement est

discuté plus loin (commentaire sur la figure 2.30). Les vitesses initiales longitudinale et

transversale des gouttes sont directement responsables de l'évasement futur du spray dans le

domaine de calcul. Au bord du spray, X ad>0.6 , la décroissance de ux est sous-évaluée pour

tous les profils, et mène à un écart relatif de près de 50 % avec l'expérience. En revanche, la

102/195

Figure 2.28: Comparaison du débit surfacique QV résultant du processus d'initialisation

(pointillés), avec les données expérimentales (courbes avec symboles).


vitesse uy pour Y ad>0.5 suit correctement les profils expérimentaux. L'ensemble des

différences sur la vitesse pointées jusqu'ici sont attribuées aux différences dans la statistique

du diamètre précédemment discutées.

Le profil X ad=0 de la vitesse uy diverge particulièrement des mesures expérimentales

(figure 2.30(b)). La figure 2.31 présente les paramètres de la corrélation uy=f (d ) introduit

dans le processus d'initialisation, le long du profil du X ad=0 . On observe que le paramètre

de vitesse UAmp , y n'est pas égale à 0 en Y ad=0 . Cette erreur a pour conséquence de sous

estimer les vitesses initiales des gouttes de diamètre compris entre 100 et 500µm . L'effet

sur la vitesse moyenne uy est important sur le profil X ad=0 (figure 2.31), mais n'a pas

d'influence apparente sur le reste de l'écoulement.

103/195

Figure 2.30: Comparaison des vitesses moyennes longitudinale ux et transversale uy

résultant du processus d'initialisation (pointillés), avec les données expérimentales (courbesavec symboles).

Figure 2.29: Comparaison de la vitesse axiale moyenne uz résultant du processusd'initialisation (pointillés), avec les données expérimentales (courbes avec symboles).


IV.1.3. Synthèse

Globalement, on peut dire que l'initialisation est satisfaisante car le débit QV est réaliste

(faibles fluctuations et bonne valeur moyenne), et que les caractéristiques des gouttes

initialisées reproduisent correctement celles des gouttes expérimentales.

Toutefois, des faibles écarts sont observés sur les diamètres statistiques ( d10 sous évalué et

d32 sur-évalué). De plus la vitesse transversale uy présente une forte anomalie au centre du

spray et la vitesse longitudinale ux est systématiquement sur-évaluée en périphérie du spray.

Concrètement, les écarts à l'expérience sur les diamètres statistiques indiquent que le spray

initialisé présente une répartition des diamètres différente de celle du spray expérimental.

Ainsi, on soupçonne qu'un nombre plus important de très grosses gouttes soit initialisé, tout

en étant compensé par un nombre important de petites gouttes, qui explique le d10 sous-

évalué.

La vitesse des gouttes et leur diamètres sont liés par des corrélations u i=f (d ) , dont la

validité a pu être vérifiée. Ainsi, les différences observées sur les différentes composantes de

la vitesse sont la conséquence des changements dans la répartition des diamètres des gouttes.

Les variations observées entre les mesures expérimentales et le résultat du processus

d'initialisation pourraient être responsables de certaines différences dans l'écoulement aval,

entre le spray calculé et les informations expérimentales. C'est ce que nous allons à présent

vérifier.

IV.2. Validation du transport de la phase discrète du spray

IV.2.1. Évasement du spray

Le développement et l'évasement du spray sont des informations régulièrement utilisées pour

vérifier le bon fonctionnement de la simulation d'un spray [[85]]. Les comparaisons sont

généralement réalisées sur des visualisations des sprays. Ainsi que le montrent les

visualisations du spray (paragraphe II.2.1), il n'est pas aisé de définir une limite spatiale au

104/195

Figure 2.31: Paramètres de la corrélation uy=f (d ) , observés sur le profil X ad=0 .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Vy0# -Init

VyLim# -Init

VyAmp# -Init

Y [mm]

vitesse [

m/s

]

ULim , y

UAmp ,y

U0 , y

Y ad

uy[m

.s−1]


spray. Pour vérifier que le spray simulé s'évase de manière réaliste, on propose d'étudier

l'évolution entre deux plans des grandeurs telles que les diamètres d10 et d32 ainsi que celle

de la vitesse moyenne axiale uz .

On définit les grandeurs normalisées d10, N , d32, N et uz, N , correspondant aux diamètres et à

la vitesse, normalisées par rapport à leur valeur au centre de la section :

dk , N=d k

dk (0,0), avec k=10 ; 32 (2.49)

uz, N=uz

uz(0,0)(2.50)

Ce choix permet de simplifier la comparaison des profils de chaque grandeur entre les deux

plans considérés.

Dans la suite (figure 2.32) on compare l'évolution entre les deux plans considérés, des

grandeurs d10, N , d32, N et uz, N observées expérimentalement (a,b) et numériquement (c,d)

en considérant dans chaque cas les profils X ad=0 et Y ad=0 .

Nous commencerons par l'analyse de l'évolution des profils expérimentaux (figure 2.32(a) et

2.32(b)). Les tendances des profils sur les plans Z=250mm et Z=500 mm sont auto-

similaires, à la fois pour les diamètres et pour la vitesse normalisée. On note toutefois

l'absence de superposition du profil X ad=0 pour le diamètre normalisé d32, N (figure b). Ces

résultats semblent pouvoir être généralisés puisqu'ils ont également été observés dans des

conditions d'utilisations de la buse différentes de celles présentées en section II.

Nous allons à présent vérifier si ces caractéristiques sont reproduites dans le spray simulé : les

grandeurs simulées sont portées sur les figures 2.32 (c) et (d). Suivant les directions X et Y, le

profil de uz, N est auto-similaire entre Z=250 mm et 500 mm. Les profils d10, N et d32, N

dans les deux directions reproduisent les mêmes tendances entre Z=250 et 500 mm, sans

toutefois être auto-similaire.

Ainsi, la vitesse uz, N vérifie le critère sur l'évasement. L’accord sur l’évolution des diamètres

d10, N et d32, N est toutefois moins évident, particulièrement dans la direction d'évasement X.

105/195


IV.2.2. Caractéristique de la phase discrète dans le plan Z = 500 mm

L'évolution des caractéristiques de la phase discrète entre deux plans Z est un point de

validation important du fonctionnement d'une méthode de simulation. Les figures 2.33 (a) et

(b) présentent, le long d'un profil Y ad=0 dans le plan Z=500mm, une comparaison de

différentes grandeurs statistiques issues de la simulation (courbe) et des mesures

expérimentales (symbole). Les mesures expérimentales, prises comme référence dans la suite

de ce paragraphe, ont été réalisées dans les mêmes conditions que celles utilisées pour

initialiser le spray (même configuration du PDA et d'alimentation de la buse).

Le diamètre d10 calculé (courbe grise, figure (a)) est globalement surévalué par rapport aux

mesures d'environ 30 µm . Les positions des maxima sur ces profils sont cependant en

accord.

Concernant le diamètre de Sauter d32 (courbe cyan, figure (a)), la valeur au centre

correspond à la mesure, mais l'évolution n'est pas reproduite. Sur la périphérie du spray

X ad>1 , le d32 calculé croît, au lieu de chuter comme la courbe expérimentale. Cette

évolution sera plus longuement discutée dans les paragraphes suivants.

106/195

Figure 2.32: Evolution entre les plans Z=250 mm et Z=500mm des grandeursnormalisées d10, N , d32, N et uz, N .


La comparaison de la vitesse axiale moyenne uz est présentée sur la figure (b). Dans la zone

X ad<0.9 , la vitesse calculée est sous-évaluée d'environ 2 m.s−1 , soit un écart relatif

maximum de 15% . Cette différence s'inverse dans la périphérie. La présence de grosses

gouttes (plus rapide) dans la périphérie du spray simulé pourrait expliquer cette inversion.

Pour mieux comprendre les divergences observées sur la vitesse uz , on peut analyser

séparément la vitesse des petites gouttes (d< 50 µm) et des grosses gouttes ( d> 500 µm).

Comme le montre la figure 2.34, la vitesse des grosses gouttes ULim , z calculée est correcte,

tandis que la vitesse des petites gouttes U0 , z calculée est sous-évaluée de 5 m.s-1, soit 50 %.

La sous-évaluation de uz semble donc être due à une mauvaise modélisation du

comportement des petites gouttes.

107/195

Figure 2.34: Comparaison expérience (symboles)/simulation(courbes)des paramètres de la corrélation uz =f(d)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

5

10

15

20

25

Xad []

Vite

sse

[m

/s] ULim ,Z

U0 ,Z

X ad

uz[m

.s−

1]

exp. simu.

Figure 2.33: Comparaison expérience/simulation des diamètres statistiques d10 et d32 (a) etde la vitesse axiale moyenne uz (b), dans le plan Z= 500mm, le long du profil Y ad=0 .

exp.simu.


IV.3. Synthèse

L'analyse de l'évasement du spray numérique montre que l'aspect général du spray

expérimental est bien reproduit. Toutefois, des efforts supplémentaires sont encore à produire

pour traiter correctement la phase dispersée loin de la buse. On a en effet observé une sur-

évaluation générale des diamètres statistiques et surtout des valeurs de diamètre peu réalistes

dans la périphérie du spray. La vitesse des petites gouttes est également moins bien reproduite

alors même que le comportement des grosses gouttes semblent être correctement décrit.

Des différences avec les données expérimentales ont été observées à l'initialisation, mais ne

peuvent toutefois pas être directement corrélées avec toutes les différences constatées à

Z=500mm.

Les divergences concernant les diamètres loin de la buse peuvent s'expliquer uniquement à

partir des différences de l'initialisation. Comparé au spray expérimental, le nombre de grosses

gouttes généré par le processus d'initialisation est plus élevé, notamment au niveau des

maximas (visible sur tous les profils X de diamètre d10 et de débit surfacique QV ). Les

composantes initiales latérales de la vitesse ( ux et uy ) des grosses gouttes étant supérieures

à celle des petites gouttes, la périphérie du spray se peuple progressivement de ces grosses

gouttes à mesure que l'on s'éloigne de la buse.

À l'inverse, les divergences observées sur la vitesse à l'initialisation ne suffisent pas à

expliquer les différences observées loin de la buse, en particulier sur la vitesse des petites

gouttes. Cette gamme de goutte est très sensibles à l'écoulement du gaz, ce qui par voie de

conséquence indiquent une modélisation de l'écoulement d'air qui pourrait certainement être

améliorée. Il pourrait donc s'agir d'erreurs dans la modélisation de la turbulence du gaz en

présence d'une phase dispersée. D'un autre côté, l'écoulement d'air et son champ turbulent qui

participera à la dispersion des petites gouttes sont générés par l'entraînement des grosses

gouttes. La modélisation de la traînée peut donc être mis en cause, que ce soit au niveau du

maître couple Sp pour des grosses gouttes déformées, ou encore simplement le coefficient de

traînée CD . La génération de turbulences dans le sillage des grosses gouttes ne peut

également pas être ignorée : ceci est de nature à influencer les caractéristiques de la

turbulence utilisées dans le modèle de dispersion. Ces différentes pistes pourront être étudiées

dans des études futures.

V. Conclusion du chapitrePlusieurs méthodes de simulation pour les sprays ont été présentées. À partir de ces

connaissances et en tenant compte des particularités du spray étudié, une méthode de

simulation a été proposée pour modéliser l'écoulement.

Les résultats expérimentaux ont permis de faire ressortir les caractéristiques principales du

spray, notamment sa forme particulière en ellipse et l’inhomogénéité du liquide dans sa

108/195

V. Conclusion du chapitre

section. À partir de ces mesures, une reproduction numérique du spray a pu être proposée et

testée.

Il a alors été observé que le processus d'initialisation développé au cours de cette thèse permet

de reproduire les cartes de grandeurs caractéristiques d'un spray (débit surfacique, diamètre,

vitesse), et de prendre en compte les couplages entre ces grandeurs. De plus, la description de

l'écoulement du gaz dans le plan d'initialisation est une méthode peu commune ; nous avons

ainsi montré son intérêt et sa faisabilité dans la simulation d'un spray.

Malgré quelques imperfections, qui pourraient sans doute être résolues en améliorant les

modèles d'interaction entre les phases, la méthode de simulation permet de reproduire les

grandes lignes de l'écoulement du spray.

Une étude plus approfondie de cette simulation est possible, et permettrait d'obtenir des

informations supplémentaires sur le spray, généralement inaccessibles par l'expérience. Citons

par exemple l'évolution du taux de vide dans le spray, ou encore les caractéristiques du champ

de vitesse du gaz au cœur et en bordure du spray.

La méthode proposée et testée peut maintenant être utilisée dans le cadre de la simulation de

l'impact d'un spray, sujet du chapitre suivant.

109/195

Chapitre 3 : Simulation numériquesimplifié de l'impact d'un spray

froid sur une surface chaude

Le chapitre précédent traitait du calcul numérique de l'écoulement libre d'un spray. Il a permis de

proposer puis de valider une méthode de simulation fiable. En s'appuyant sur ce travail, on se

propose maintenant de modéliser l'interaction entre le spray et une paroi à haute température.

L'objectif de ce chapitre est d'observer les modifications induites par la présence de la plaque sur

l'écoulement du spray. On s’intéressera plus particulièrement aux caractéristiques du spray sur la

surface d’impact avec la paroi.

Dans la première partie de chapitre, on présentera les hypothèses et simplifications qui ont été

admises afin de réaliser la simulation de l’impact du spray. Dans une seconde partie, la

configuration numérique de la simulation est présentée, d'une manière analogue à la section III du

chapitre précédent. Enfin, l'influence de la paroi sur l'écoulement ainsi que les caractéristiques du

spray sur la surface d'impact sont présentées dans les troisièmes et quatrièmes sections.

111/195

Chapitre 3 : Simulation numérique simplifié de l'impact d'un spray froid sur une surface chaude

I. Hypothèses de travailComme cela sera détaillé ultérieurement (voir § II), nous travaillerons ici avec la même

configuration numérique qu'au chapitre précédent. Les conditions d'initialisation du spray sont

donc identiques, ainsi que les modèles numériques et les conditions limites. Nous allons

présenter ici les hypothèses supplémentaires induites par la présence de la plaque dans le but

de garantir une simulation simple et réaliste.

I.1. Hypothèse sur la configuration d’impact

L'objectif de ce chapitre est de considérer le cas de l'impact d'un spray sur une surface chaude.

Le chapitre 1 a présenté les différents phénomènes attendus, tant en ce qui concerne la

dynamique du spray sur la plaque que l'aspect thermique lié au refroidissement. Le spray

présenté au chapitre précédent, ainsi que les caractéristiques de la plaque (voir section II)

laisse présager la formation d'un film liquide à la surface de la plaque. La température de la

plaque est supposée suffisante pour atteindre le régime d'ébullition en film de vapeur.

Les travaux de Zhao et al. [19] et Cheng et al. [20], présentés au chapitre 1 section II, ont

montré la faisabilité de la simulation d'un refroidissement par spray en présence d'un film

liquide, mais n'ont pas étendu leur méthode à des températures élevées. Cette méthode n'est

donc pas validée en présence d'un film de vapeur supplémentaire.

L’absence de données expérimentales sur les propriétés du film en fonction des

caractéristiques thermiques de la plaque et des caractéristiques dynamiques du spray, mais

également la complexité pour mettre en place un modèle valide de film liquide, nous poussent

à ignorer la présence d’un film liquide. La première hypothèse concerne donc l'état de surface

de la plaque. Elle est supposée sèche, c'est-à-dire qu'il n'existe aucune stagnation de liquide à

sa surface et donc pas de formation de film liquide. Du point de vue de la dynamique du

spray, les conditions aux limites de la phase continue au niveau de la plaque sont

profondément modifiées par cette hypothèse. Au lieu d'une condition aux limites basée sur la

continuité du tenseur des contraintes au niveau d'une interface liquide/air, une condition

d'adhérence entre l'air et la paroi est simulée. Sans toutefois pouvoir le vérifier ni le quantifier,

on peut raisonnablement supposer que cette absence d'interface film liquide/air va influencer

l'écoulement en amont.

I.2. Comportement d'impact des gouttes

Même si par simplification la plaque simulée est supposée sèche, on raisonne en considérant

le cas d'un impact sur film liquide. Il n'existe à notre connaissance aucun modèle pour

l'impact des gouttes sur film liquide. En revanche l'impact des gouttes sur une paroi sèche est

riche de quelques modèles (étalement, rebond, splashing) et pourrait être introduit dans le

calcul. On risquerait cependant d'apporter des comportements d'impacts incohérents avec la

configuration avec film liquide attendue.

112/195

I. Hypothèses de travail

Ceci nous conduit à introduire une seconde hypothèse simplificatrice consistant à ne pas

modéliser les phénomènes dynamiques de l’impact. Ainsi, l'arrivée d'une goutte sur la plaque

se traduit par sa disparition du processus de calcul. Le principal inconvénient de cette

hypothèse est d'ignorer la formation des gouttes secondaires générées lors de l’impact, et par

conséquent de négliger la redistribution des caractéristiques du spray ( QV , d , We ) sur la

plaque qui pourrait en découler.

I.3. Influence de la plaque chaude sur la dynamique du spray

La température élevée de la plaque peut influencer les caractéristiques thermique et

dynamique du spray en amont de l’impact. Trois mécanismes peuvent ainsi être mis en

évidence : le rayonnement de la plaque, la génération de vapeur du fait de l’évaporation des

gouttes, la convection de l’air.

Le rayonnement provoque l'élévation de la température des gouttes et ainsi change les

conditions d'impact (dynamique d'impact et efficacité de refroidissement).

La génération de vapeur au niveau de la plaque modifie les caractéristiques de la phase

continue et par couplage le comportement des gouttes. Ce dernier mécanisme dépend

fortement de la part du changement de phase dans les mécanismes de refroidissement. Or,

l'état de l'art du chapitre 1 a montré que l'importance relative des mécanismes de

refroidissement (convection, évaporation, ...) n'est pas encore totalement comprise, ce qui

rend difficile leur modélisation. De plus, on peut supposer que la présence d’un film liquide

influence le comportement d’une phase vapeur. Le film liquide n’étant pas modélisé, il n’est

par raisonnable de modéliser la génération de vapeur.

Enfin, la présence d’une plaque surchauffée dans un environnement gazeux froid provoque le

développement de cellules de convection. Dans le cas d’un spray, on considère que le

phénomène de convection est noyer par l'intensité de l’écoulement gazeux généré par le

mouvement des gouttes.

Ainsi, la troisième hypothèse propose d'ignorer ces trois mécanismes, et par la même

l'influence thermique de la plaque sur le spray. Cette dernière hypothèse permet en outre de

séparer la modélisation du refroidissement (influence thermique du spray sur la plaque) de

celle de l'impact du spray. Le refroidissement fera l'objet du chapitre suivant.

I.4. Conclusion

La dynamique d'impact n'est donc pas réellement modélisée. On s’intéresse principalement à

la déviation du spray autour de la plaque, à son incidence sur les caractéristiques du spray

comparées à un écoulement libre et ainsi finalement aux caractéristiques du spray au moment

de l'impact.

113/195


II. Configuration numériqueII.1. Description du schéma numérique

Dans la mesure où l’on ne considère pas de film liquide et pas d'impact de gouttes, nous

utilisons un schéma numérique identique à celui présenté en section II du chapitre précédent.

On en rappelle simplement les grandes lignes.

La simulation du spray est réalisée par une approche Euler-Lagrange, avec un couplage entre

les phases (Two-Way Coupling). La phase continue (l'air) est résolue par une méthode RANS

k-ω. Cette méthode a précédemment été testée en écoulement libre et comporte l'avantage

d'être intégrable jusqu'à la paroi sans modifications supplémentaires. La phase discrète est

traitée en lagrangien, avec le modèle de traînée dynamically varying drop drag coefficient et

le modèle de fragmentation TAB. La modulation de la turbulence du gaz induite par la

présence des gouttes est calculée par le modèle EIM. L'initialisation du spray et de

l'écoulement d'air est réalisée suivant les mêmes procédures qu’au paragraphe III.3 du

chapitre 2, en conservant les mêmes valeurs.

114/195

Figure 3.1: Représentation schématique du domaine de calcul pour la simulation d'impact.Les conditions limites sont inscrites en lettres italiques.

S_outupPressure Outlet

S_outside

Pressure Outlet

S_outdownPressure Outlet

Rdom=500 mm

Hdo

m=

357

mm

Rimp=180 mmS_impact

Wall

S_atomisation

H imp=12 mm

EY

EZ

EX

II. Configuration numérique

Enfin, l'impact n'étant pas modélisé, le contact entre la plaque et une goutte se traduit par la

disparition de cette dernière du domaine de calcul.

II.2. Domaine de calcul et maillage

Le domaine de calcul est schématisé sur la figure 3.1. Sa forme est identique au domaine

présenté au chapitre précédent (paragraphe III.1.2). La plaque sur laquelle impacte le spray est

représentée par un cylindre de rayon Rimp=180mm et de hauteur H imp=12 mm . Elle est

positionnée dans le domaine de manière à ce que sa partie supérieure soit située à

Z=500 mm de la buse. Le rayon du domaine principal est également étendu jusque

Rdom=500 mm . Cette dernière modification est nécessaire pour garantir la validité des

conditions limites, notamment celle d’imposer la pression atmosphérique sur les frontières du

domaine.

Le maillage réalisé sur ce domaine est présenté sur la figure 3.2. Les zones de maillage

introduites au chapitre précédent sont conservées avec les mêmes contraintes de dimension.

Pour rappel, la zone d'écoulement périphérique (3, grise) est maillée par des éléments de

dimension caractéristique l maille∈[5 ; 8]mm . Les plus grosses cellules sont situées le long des

frontières du domaine. La zone d'injection (1, rouge) est maillée par des cellules de dimension

caractéristique l maille∈[1.5 ; 2 ]mm . Enfin, la dimension caractéristique du maillage de la zone

d'écoulement du spray (2, marron) est intermédiaire entre les zones 1 et 3, l maille≈3 mm . La

justification de ces échelles est donnée au chapitre 2, paragraphe III.1.2(iii).

Afin de résoudre correctement l'écoulement en proche paroi, c'est-à-dire le développement de

la couche limite et les fort gradients de vitesse et de pression sur les bords de la plaque, une

zone de maillage supplémentaire est introduite au niveau de la plaque (4, verte). Pour alléger

le calcul, la sous-couche visqueuse de la couche limite n'est pas résolue numériquement. Ceci

115/195

Figure 3.2: Structure du maillage du domaine décrit précédemment (figure 3.1). La taille desmailles doit vérifier des contraintes différentes suivant la zone 1, 2, 3 ou 4.

1

Zone 2: zone d'écoulement du sprayZone 3: zone d'écoulement périphérique de l'air

Zone 1: zone d'injection

Zone 4: zone d'impact

Eaxial

E longi

2

1

2

33

Eaxial

E trans

1

3

E trans

E longi

dessus

coté

face

2 2


est rendu possible par l'utilisation du modèle RANS k−ω , intégrable jusqu'à la paroi.

Conformément aux exigences du modèle k-ω, la première maille tangente à la surface vérifie

y+=10 , ce qui correspond à lmaille=0.75mm . Sur les bords de la plaque, le maillage est

raffiné avec des mailles de dimension caractéristique inférieure à 1.5 mm.

II.3. Conditions limites

Les conditions limites de cette simulation sont identiques aux conditions limites utilisées dans

le chapitre précédent. Le tableau 3.1 reprend les conditions limites appliquées sur chaque

surface en ajoutant la condition limite sur la plaque S_impact.

II.4. Schémas et paramètres numériques de la simulation

Les schémas et paramètres numériques appliqués pour réaliser la simulation sont regroupés

dans le tableau 3.2. Comparé à la simulation sur le spray en écoulement libre, les coefficients

de sous-relaxation sont réduits, sauf pour celui relatif au terme source de la phase discrète qui

passe de 0.3 à 0.5. Le nombre NTwo Way d'itérations de la phase continue entre chaque

résolution de la phase discrète a également été réduit à 2. Les autres paramètres restent

identiques. Ces changements sont nécessaires pour maintenir un bon niveau de convergence

de la solution de chacune des phases, et du couplage entre elles.

116/195

Nom de lasurface

Type de condition limite Propriétés appliquées sur la limite

S_Outdown

Pressure-Outlet

Pression Pression atmosphérique

S_OutupDirection

d'écoulementA partir des cellules

adjacentes

S_OutsideCondition en

cas deBackFlow

Intensité turbulente I turb : 1

Rapport de viscosité Rμ /μ t : 1

S_injection Velocity-InletVitesse et

turbulenceVoir chapitre II, paragraphe

III.5

S_atomisation Wall-moving


Écoulement dans la direction E axiale à la

vitesse uz≈5 m.s−1 .

S_impact Wall-steady


Condition sur laphase discrète

Suppression duprocessus de calcul

Tableau 3.1: Résumé des conditions limites appliquées sur le domaine de calcul

117/195

Résolution de la phase continue (CP)

Notation VariableMode de calcul

ou valeur

Schémas de discrétisation

Temps Second Order

Implicite

Pression Second Order

Quantité de mouvement Second OrderUpwindTurbulence (k ou ω)

αCoefficient de sous-relaxation

Pression 0.4

Quantité de mouvement 0.4

Turbulence (k ou ω) 0.4

Terme source de la phase dispersée

0.5

ΔtCP Pas de temps de la phase continue 0.0005 s

NCP Nombre d'itérations de la phase continue 60

Résolution de la phase discrète (DP)

NTwo WayNombre d'itérations de la phase continue entre chaque résolution de la phase discrète

2

NDP Nombre maximum d'itérations de la phase discrète 500

Nt, DPDiscrétisation temporelle pour la résolution de la phase discrète

10

Tableau 3.2: Résumé des paramètres numériques introduits dans la simulation


III. Influence de la paroi sur les caractéristiques du spray

On étudie l'influence de la plaque sur le comportement du spray. L’objectif de cette partie est

donc de comparer les caractéristiques du spray impactant la plaque à celles du spray libre à la

distance Z= 500mm de la buse. Les données d’impact sont toutes issues de la simulation

présentée dans la section II précédente, tandis que les données du spray libre sont issues de la

simulation présentées au chapitre 2.

Dans la suite de ce chapitre, on utilise de nouveau les coordonnées adimensionnelles X ad et

Y ad, dont le calcul est basé sur les angles d'évasement du spray θ X=25 ° et θ Y=8 ° :

X ad=X

Z⋅tan(θ X /2)

Y ad=X

Z⋅tan (θ Y /2)

(3.1)

La figure 3.3 schématise la plaque et les valeurs correspondant à ses limites, soit dans la

direction longitudinale X admax=1.62 et dans la direction transversale Y ad

max=5.15 . L'empreinte

du spray libre est également représentée. Elle correspond à la zone dans laquelle des résultats

sont disponibles pour le spray libre à Z=500mm. Ainsi, au-delà de X ad≈1.50 dans la

direction X et Y ad≈1.60 dans la direction Y, le spray libre n'est plus suffisamment dense

pour être considéré comme présent, ce pourquoi aucun point de mesure n'a été réalisé.

Dans un premier temps on s’intéresse à l’aspect global du spray (répartition du débit), puis on

sera amené à s’intéresser aux caractéristiques locales du spray (diamètre, vitesse et angle

d'incidence des gouttes).

118/195

Figure 3.3: Limites de la plaque rapportées en grandeurs adimensionnelles X admax et Y ad

max

(valeurs en rouges). L'empreinte du spray libre correspond aux points disponibles dans lasimulation d'écoulement sans la plaque, soit X ad≈1.50 et Y ad≈1.60 .

X ad

Y ad

0

1

2

3

4

55.15

0.5 1.0 1.5

1.62

Empreinte du spray en écoulement libre à Z=500mm de la buse

Surface d'impact


III.1. Effet de la plaque sur le débit surfacique

Le débit surfacique impactant la plaque est comparé avec le débit du spray libre suivant la

direction X (Figure 3.4a) et la direction Y (Figure 3.4b). De façon générale, les profils du

débit surfacique en présence de la plaque suivent ceux du spray libre, tout en étant légèrement

inférieures avec une différence de l'ordre de 1 L.m-2.s-1. Dans la direction X, les maximas,

caractéristiques importantes de ce type de spray, sont aplaties. Dans la direction Y, le débit

surfacique d'impact demeure relativement constant à QV≈3×10−4 L.m-2.s-1 à partir de

Y ad≈2 . Ainsi, la présence de la plaque provoque une redistribution du débit dans la section

Z=500mm.

On s'intéresse maintenant à la répartition du débit du spray en présence de la plaque

seulement. En intégrant le débit surfacique sur la surface de la plaque on obtient le débit

liquide reçut par la plaque, soit 5.92 L/min d'eau sur les 6.7 L/min initialement injecté dans le

domaine. L'incertitude sur cette quantité est de +/- 0.1 L/min et dépend de la méthode

d'interpolation utilisée pour construire la carte de QV , avant l'intégration. Par conséquent,

environ 0.8L/min sont évacués sur le côté de la plaque et ne participe pas au refroidissement,

soit environ 10 %. Nous reviendrons sur cette répartition du débit au moment de la synthèse

de la section suivante (voir §III.2.3).

III.2. Effet de ségrégation des gouttes en fonction du diamètre

L'effet de la présence de la plaque sur le comportement du spray est mis en évidence par de

légères modifications de la répartition du débit surfacique et notamment la présence d'un débit

surfacique non nul loin du centre du spray dans la direction Y. Afin d’identifier l’origine de

ces variations, nous allons nous intéresser au comportement des gouttes par classe de taille.

Nous allons considérer tout d'abord les évolutions des diamètres statistiques afin de définir les

zones nécessitant une étude plus approfondie.

119/195

Figure 3.4: Comparaison du débit surfacique pour le spray libre et le spray impactant, lelong des profils Y ad=0 (a) et X ad=0 (b), dans le plan Z = 500mm


III.2.1. Evolution des diamètres statistiques des gouttes

Les figures 3.5 et 3.6 comparent l’évolution des diamètres d10 et d32 entre le cas du spray

libre et celui du spray impactant à Z=500mm.

Pour les cas avec et sans impact, les profils du diamètre moyen d10 selon la direction X

(Figure 3.5) sont sensiblement confondus, excepté au centre où la valeur dans le cas de

l’impact est légèrement supérieure de 10 µm. Dans la direction Y, les deux profils suivent la

même tendance tout en étant supérieur dans le cas de l’impact. Au-delà de Y ad≈3 , le

diamètre d’impact stagne à d10≈50µm .

Concernant le diamètre de Sauter, on note que la symétrie selon la direction X disparaît pour

le cas du spray impactant (figure 3.6a). Cette perte de symétrie n’affecte pas la zone centrale.

Suivant la direction Y (figure 3.6b), les profils avec et sans impact sont superposés jusqu‘à la

120/195

Figure 3.5: Comparaison du diamètre moyen d10 pour le spray libre et le spray impactant, lelong des profils Y ad=0 (a) et X ad=0 (b), dans le plan Z = 500mm.

Figure 3.6: Comparaison du diamètre de Sauter d32 pour le spray libre et le sprayimpactant, le long des profils Y ad=0 (a) et X ad=0 (b), dans le plan Z = 500mm.


limite du spray libre ( Y ad≈1.60 ), où on note alors une forte diminution du diamètre de

Sauter. La valeur du diamètre de Sauter se stabilise alors à d32=75µm à partir de Y ad≈2.75

jusqu'au bord de la plaque.

III.2.2. Évolution des densités de probabilité du diamètre

Les résultats précédents sur les diamètres statistiques mettent en évidence la faible influence

de la présence de la plaque sur les caractéristiques globales du spray.

Au centre du spray, le diamètre moyen croît lorsque la plaque est présente, tandis que le

diamètre de Sauter ne varie pas. Ce comportement peut s’expliquer en s’intéressant aux

densités de probabilité du diamètre. La figure 3.7 donne un exemple de pdf du diamètre des

gouttes dans la zone centrale du spray. Sur cette figure, la densité de probabilité en taille au

point (X ,Y )ad=(0,0) dans des conditions d’impact est comparée avec celle obtenue en spray

libre. Les diamètres d10 et d32 dans le cas de l’impact sont également indiqués. Les deux

courbes sont sensiblement confondues, mise à part au niveau des petits diamètres. Pour

d<90 µm , on observe une légère diminution de la population pour le cas avec impact. Pour

les gammes de diamètre autour du mode md≈125µm , le pic est plus important dans le cas

avec impact. Ainsi en ce point, les changements principaux se portent sur les diamètres

inférieurs au diamètre moyen, ce qui explique les faibles variations de ce dernier entre le

spray libre et le cas de l'impact et l'absence de variation significative du diamètre de Sauter

observés précédemment.

121/195

Figure 3.7: Comparaison spray libre (noir)/impact (rouge) des pdfs du diamètre end<200µm .

d10=229 µm

d32=519µm


La figure 3.8 illustre l’évolution dans la direction des X positifs de la pdf du diamètre en

présence de la plaque et à Z=500mm. On note une brusque variation dans les formes des pdfs

à partir de X ad≈1.26 . La pdf se resserre alors nettement vers les petits diamètres. Ce repli

pourrait également être observé en regardant l’évolution des pdf vers les X négatifs, avec

toutefois une présence moins prononcée des gouttes de diamètre d∈[300 ; 500] , ce qui

explique l'absence de symétrie par rapport à l'axe X sur le diamètre de Sauter.

Dans la direction Y, des évolutions identiques peuvent être observées au-delà de Y ad≈2.00 .

Les pdfs se resserrent alors jusqu'à réduire la gamme du diamètre des gouttes à d<150 µm .

III.2.3. Synthèse sur la ségrégation des gouttes et l’influence sur la répartition du liquide

La comparaison des populations de diamètre recueilli sur la plaque et en écoulement libre

montre qu'il faut séparer la surface d'impact en deux zones : la zone centrale et la zone

périphérique.

La zone centrale possède des dimensions proches de l'empreinte du spray libre (figure 3.3).

Elle est caractérisée par des diamètres de gouttes assez proches du spray libre, avec toutefois

une présence un peu moins prononcée de petites gouttes ( d<100 µm ). Le débit surfacique

d'impact est également réduit comparé au cas du spray libre.

On retrouve une partie des petites gouttes dans la zone périphérique de la plaque. La

diminution brutale des deux diamètres statistiques est ainsi à mettre en lien avec le repli des

pdf, tandis que leur stabilisation au bord de la plaque correspond à une stabilisation de la

gamme de diamètre à d<150 µm . Une autre partie des petites gouttes est déviée par la plaque

puis simplement évacuée vers les bords, sans impact.

122/195

Figure 3.8: Evolution dans la direction X des courbes de pdfs du diamètreen configuration d'impact


Le tableau 3.3 résume la répartition du débit injecté dans chacune des zones : l'empreinte du

spray, la périphérie de la plaque, l'extérieur de la plaque.

Cette nouvelle répartition des gouttes en fonction de leur diamètre change la répartition

spatiale en nombre de goutte. Ainsi, il est intéressant de regarder l'influence de la plaque sur le

flux surfacique de goutte N (figure 3.9). On note la diminution de N induite par la

plaque dans la zone d'empreinte du spray, tandis que la périphérie de la plaque est couverte

par un flux surfacique de petites gouttes constant de N≈106 m−2 .s−1 . Bien qu’une part non

négligeable du débit soit déviée sur la périphérie de la plaque et que ce liquide soit représenté

par des gouttes de faible diamètre, la densité de flux de goutte reste faible en périphérie de la

plaque.

III.3. Effet de la plaque sur la trajectoire des gouttes

Le paragraphe précédent a mis en évidence dans le cas d'un impact le déplacement des petites

gouttes (diamètres jusqu'à d≈150 µm) vers l'extérieur du spray ainsi qu’évolution dans la

répartition du débit comparé au cas du spray libre. Ces déplacements de population de goutte

s'accompagnent nécessairement d’une variation des vitesses et de l'angle d'incidence des

gouttes sur la plaque.

123/195

Débit initialement injecté :6.7 L/min

Zone d'empreintedu spray

Zone de périphérie dela plaque

Débit évacué

Débit [L/min] 5.84 (86%) 0.08 (1.2%) 0.86 (12.8 %)

Tableau 3.3: Résumé des parts de débit arrivant dans les différentes zones de l'impact

Figure 3.9: Comparaison du flux surfacique de gouttes N pour le spray libre et le spray

impactant, le long des profils Y ad=0 (a) et X ad=0 (b), dans le plan Z = 500mm

0 1 2 3 4 51.00E+05

1.00E+08

2.00E+08

3.00E+08

4.00E+08

5.00E+08

6.00E+08

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 21.00E+05

1.00E+08

2.00E+08

3.00E+08

4.00E+08

5.00E+08

6.00E+08

N

[m−

2.s−

1]

X ad Y ad

Z = 500 mmSpray libre

impact


III.3.1. Étude des composantes de la vitesse des gouttes

Les figures qui suivent présentent des comparaisons sur les trois composantes de vitesse

moyenne uz , ux et uy7, entre le cas du spray libre et celui de l'impact (en présence de la

plaque).

Les profils de la composante uz selon les directions X et Y sont représentés sur les figures

3.10(a) et (b) respectivement. Dans la zone central du spray, soit X ad∈[−0.75 ; 0.75] et

Y ad∈[−1 ;1] , la composante uz en présence de la plaque est plus importante que dans le

cas du spray libre ( Δuz<1 m.s−1 ). En dehors de cette zone, les deux courbes sont confondues

quelle que soit la direction d'observation. On note que dans la direction Y (figure 3.10(b)), la

composante uz en présence de la plaque tend vers uz≈0.5m.s−1 à partir de Y ad≈2.00 .

La figure 3.11 représente l'évolution des composantes ux et uy

, selon les directions X et Y.

Pour les deux directions, on observe une nette augmentation des deux composantes du fait de

la présence de la plaque. Cette augmentation s’accentue lorsque l’on s’éloigne de la zone

centrale. Dans le cas de l'impact, on remarque également que les composantes ux et uy

tendent vers une vitesse limite à l’approche du bord de la plaque (environ 2.5 m/s pour les

deux composantes).

Ainsi la présence de la plaque semble accélérer la vitesse moyenne des gouttes, quelle que

soit la composante observée. En outre, l'observation dans les deux directions X et Y montre la

présence d'un plateau de la vitesse lorsque l'on s'approche des bords de la plaque.

III.3.2. Étude des corrélations taille-vitesse.

Pour expliquer les comportements observés précédemment sur les diamètres et les

composantes de la vitesse, on étudie les corrélations taille/vitesse.

7 Ces vitesses sont obtenues en moyennant les composantes de la vitesse de toutes les gouttes, quelle que soit leur diamètre, situées en différents points de la surface Z=500mm.

124/195

Figure 3.10: Comparaison de la vitesse axiale moyenne uz pour le spray libre et le sprayimpactant, le long des profils Y ad=0 (a) et X ad=0 (b), dans le plan Z = 500mm.


(i) Aspect général des corrélations diamètre-vitesses

Ainsi que l'on peut l'attendre, les corrélations taille/vitesse u i=f (d ) montrent des différences

importantes de la vitesse en fonction du diamètre des gouttes. On sera amené à séparer le

comportement des petites gouttes d<D0, i, de celui des grosses gouttes. Le diamètre D0, i ,

identique à celui présenté au chapitre 2, peut varier en fonction de la composante i de la

vitesse, et du point d'observation (voir figures 3.12(a)(b), lignes vertes verticales).

D’une manière générale, l’étude de ces corrélations affiche des allures différentes en fonction

de la composante de la vitesse et du point d'observation :

– la corrélation taille/vitesse selon uz présente une allure identique quel que soit le point

d’observation. Les figures 3.12(a)(b) (courbes bleus) donnent des exemples de cette allure.

Pour les petites gouttes (en général d<D 0,z≈200µm ), la vitesse est constante ou

légèrement croissante. Pour les grosses gouttes, la vitesse tend rapidement vers sa valeur

limite, de telle sorte que les gouttes dans la gamme de diamètre d∈[500 ; 1200] ont une

vitesse uz constante. Cette allure peut être interpolée par une fonction de la forme

u∝1−αe−βd , identique à celle déjà observée au chapitre 2 (voir §II.3.2). Par la suite, on

retrouve cette allure pour les grosses gouttes sur toutes les corrélations diamètres-vitesse.

Il sera alors fait référence à l’allure générale des grosses gouttes.

– L’allure des corrélations taille/vitesse selon ux et uy

est différente selon la position

(figures 3.12(a)(b) (courbes rouges)). D'une manière générale, l'aspect de la courbe au

niveau des gros diamètres d>D0, i≈200 µm suit l’allure générale des grosses gouttes. Les

différences entre les allures des courbes de corrélation diamètre/vitesse se concentrent

donc sur le comportement au niveau des petites gouttes.

La carte de la figure 3.12 schématise les zones où les corrélations taille-vitesse présentent soit

l’allure représentée sur la figure (a), soit l’allure représentée sur la figure (b). Au centre du

125/195

Figure 3.11: Comparaison entre le spray libre et le spray impactant, de la vitesselongitudinale ux

le long de l'axe X (a), et de la vitesse transversale uy le long de l'axe Y(b).


spray, c'est-à-dire la zone gris clair pour la composante ux et la zone grise foncée pour la

composante uy, les corrélations décrivent une allure semblable à celle du profil (a). La

vitesse décroit linéairement dans la gamme des petits diamètres, puis adopte l’allure générale

des grosses gouttes pour les gros diamètres. En dehors de ces zones, l'allure des corrélations

au niveau des petites gouttes présente un caractère non linéaire. Comme le montre l'exemple

de la figure (b), il est alors nécessaire de discriminer le comportement des très petites gouttes,

126/195

Figure 3.12: Corrélation taille/vitesse pour les trois composante, pour plusieurs positions surla plaque. Chaque jeu de corrélation peut être mis en en lien avec la carte du diamètre

moyen.

(b)(a)

Zone d'allure (a) pour la vitesse uy

Zone d'allure (a) pour la vitesse ux

Limite entre les petites et les grosses gouttesD0, i

Allure exponentielleinverse

Allure exponentielleinverse


d<50 µm, et celui des gouttes légèrement plus grosses, 50µm<d<D0, i .

Lorsque aucune grosse goutte n'impacte la surface, zones correspondant à d10<80 µm sur la

carte du diamètre moyen (figure 3.12), l'allure des corrélations diamètre/vitesse ressemble à

celle présentée pour la figure (b) en limitant l'échelle de diamètre à d<200µm .

Une interprétation mettant en jeu les conditions d'initialisation de la phase discrète et

l'influence de la plaque, permet d'expliquer les allures particulières des corrélations

taille/vitesse observées pour les composantes latérales du vecteur vitesse. L’étude portera

principalement sur le comportement des petites gouttes, tout en précisant que, entre Z=250

mm et Z=500 mm, la limite admise D0, i entre les petites gouttes et les grosses gouttes ne

varie que peu. Par conséquent, la définition des petites et de grosses gouttes est la même quel

que soit le plan d’observation. Pour rappel, l'initialisation (en Z=250 mm) impose que la

vitesse des petites gouttes soit indépendante du diamètre, soit un profil plat de la courbe

u i=f (d ) lorsque d<D0, i . Cette vitesse est généralement plus faible que celle des grosses

gouttes d>D 0, i .

À l'approche de la plaque, les fortes variations des composantes latérales de la vitesse du gaz

influencent les composantes latérales de la vitesse des gouttes. Les très petites gouttes ayant

un faible nombre de Stokes suivent l'écoulement du gaz et accélèrent dans les directions X et

Y. Les gouttes plus grosses, plus inertielles, sont moins sensibles aux variations de la vitesse

du gaz et par conséquent leurs composantes latérales restent petites (figure 3.12(a)). À mesure

que l'on se déplace vers les bords de la plaque, le chemin parcouru par les petites gouttes est

plus grand. Il est alors probable que les champs de vitesse de l’air traversé par les gouttes

puisse varier autant en direction qu’en intensité, ce qui accentue les différences de vitesse

entre les très petites gouttes et celles légèrement plus grosses. On obtient alors des allures de

corrélations diamètre/vitesse identiques à celles présentées en figure 3.12(b).

Pour quantifier la différence de comportement entre les petites et les grosses gouttes, nous

nous appuierons comme au chapitre 2 (§II.3.2) sur les deux grandeurs U 0, i et U lim , i

respectivement représentatives des composantes de vitesse i des petites et des grosses gouttes.

La notion de petites et de grosses gouttes dépend de la position considérée au travers de la

valeur D0, i (x , y ) . Les gammes de diamètre utilisées pour le calcul des vitesses U 0, i et

ULim , i, en fonction de leur position le long des axes X et Y, sont reportées dans le tableau 3.4.

Les données de ce tableau reprennent les informations du paragraphe III.2. On notera que la

vitesse ULim , i au bord de la plaque ne correspond plus qu'à des gouttes de petite taille

d<150 µm .

127/195


Dans les paragraphes qui suivent, nous réalisons une comparaison sur les vitesses U 0, i et

ULim , i en présence de la plaque (courbes rouges, impact) et sans la plaque (courbes noires,

spray libre), pour chacune des 3 composantes de la vitesse.

(ii) Vitesse axiale u z

La figure 3.13 permet d’estimer l'influence de la plaque sur la vitesse axiale des petites

gouttes U 0,z et des grosses gouttes ULim , z .

Dans la direction X, aucune évolution sensible n'est visible pour la vitesse des grosses gouttes.

En revanche, la vitesse des petites gouttes est de manière générale réduite dans le cas du spray

impactant. Les mêmes remarques peuvent être notées dans la direction Y.

On observe de nouveau le peu d'influence de la plaque sur la vitesse axiale des grosses

gouttes. Pour Y ad>1.70 , les deux courbes de U 0,z et ULim , z se rejoignent puis se

confondent, consécutivement à la réduction de l’amplitude des diamètres, notamment au

128/195

Gamme de diamètre pour lecalcul de U0, i (en µm)

Gamme de diamètre pour le calculde ULim , i (en µm)

Le long de l'axe X

X ad<1.62 d∈[0 ; 30] d∈[400 ;1200 ]

X ad>1.62 d∈[0 ; 30] d∈[50 ; 200 ]

Le long de l'axe Y

yad<1.72 d∈[0 ; 20 ] d∈[400 ;1200 ]

Y ad=2.30 d∈[0 ; 20 ] d∈[200 ;700 ]

Y ad>2.86 d∈[0 ; 20 ] d∈[30 ; 150]

Tableau 3.4: Gamme de calcul du diamètre pour les vitesses U 0, i et ULim , i .

Figure 3.13: Comparaison entre le spray libre et le spray impactant des vitesses U 0,z

(symboles pleins) et ULim , z (symboles creux), le long des axes X (a) et Y (b).


profit des petites gouttes, plus sensible à l'écoulement gazeux (tableau 3.4). On retrouve la

valeur de la vitesse moyenne sur toutes les classes de diamètre U0,z≈ULim , z≈uz≈0.5m.s−1 .

Ces résultats montrent que l'augmentation de la vitesse uz observée au centre dans le cas de

l’impact n'est finalement que la conséquence de la modification sur la statistique du diamètre

de goutte. La présence plus importante de grosses gouttes dans le cas du spray impactant

augmente artificiellement la vitesse moyenne uz.

(iii) Vitesses latérales u x et u y

On s’intéresse maintenant à la composante ux de la vitesse (sur la figure 3.14), dans la

direction X.

La vitesse U lim , x des grosses gouttes est peu influencée par la présence de la plaque. À

l'inverse, la vitesse des petites gouttes est fortement augmentée par la présence de la plaque.

Enfin on note que pour −0.72<X ad<0.72 la vitesse des petites gouttes est identique à celle

des grosses gouttes. Ce résultat reste délicat à interpréter et aucune interprétation physique

évidente ne peut être proposée. En dehors de la zone centrale, la vitesse des petites gouttes

dans le cas du spray impactant atteint un maximum pour X ad≈1.00 avec U 0,xmax≈2.5 m.s−1 ,

puis décroit légèrement. Comme pour la composante uz, cette valeur correspond à celle

observée pour la vitesse moyenne ux sur toutes les classes, conséquence de la statistique sur

le diamètre des gouttes dans cette zone.

129/195

Figure 3.14: Comparaison entre le spray libre et le spray impactant, des vitesses U 0,x

(symboles pleins) et ULim , x (symboles creux), le long de l'axe X, dans le plan Z =500mm.


La figure 3.15 représente les mêmes résultats que la figure 3.14 mais pour la composante uy,

dans la direction Y. Pour Y ad<1.2 , la vitesse transversale des grosses gouttes ULim , y est peu

influencée par la présence de la plaque et croît jusqu'à atteindre un palier à 2.6 m.s-1. Cette

valeur correspond de nouveau à celle observée pour la vitesse sur toutes les classes. On note

également que la vitesse limite atteinte par les petites gouttes est légèrement inférieure à celle

des grosses gouttes, avec U 0,ymax≈1.95 m.s−1 . On explique ce comportement par une légère

différence du nombre de Stokes associé.

III.3.3. Calcul et comparaison des angles d'incidence des petites et des grosses gouttes

À partir des résultats sur les différentes composantes de vitesses des petites et des grosses

gouttes, nous proposons de calculer les angles d'incidence dans les deux plans XZ et YZ, pour

chaque classe de diamètre. Ces angles sont ensuite comparés aux angles d'incidence obtenus

dans le cas du spray libre. Les deux angles longitudinal (dans le plan XZ) et transversal (dans

le plan YZ) sont calculés à partir des deux équations (3.2) et (3.3), en considérant que la

composante de la vitesse orthogonale au plan est nulle. Les angles sont pris par rapport à la

direction normale à la plaque (figure 3.16).

130/195

Figure 3.15: Comparaison entre le spray libre et le spray impactant, des vitesses U 0,y

(symboles pleins) et ULim , y (symboles creux), le long de l'axe Y, dans le plan Z =500mm.

Figure 3.16: Schémas de l'angle de trajectoire calculépar les équations (3.1) et (3.1)

Vecteur vitesse de la goutte

Angle d'incidence de la goutte


direction X : A0,longi=atan(U0,x

U0,z) et ALim, longi=atan(ULim , x

ULim , z) (3.2)

direction Y : A0,trans=atan(U 0,y

U 0,z) et ALim , trans=atan(ULim , y

ULim , z) (3.3)

Les profils des angles d'incidence avec et sans la plaque sont représentés sur la figure 3.17(a)

et 3.17(b) selon les directions X et Y respectivement. On note tout d'abord que les profils de

l’angle longitudinal (figure a) et de l’angle transversal (figure b) suivent les mêmes

comportements que les profils de vitesses U 0, i et ULim , i présentés sur les figures 3.14 et

3.15.

Dans la zone d'empreinte du spray, X ad<1.5 et Y ad<1.62 , les angles d'impact des grosses

gouttes ALim , longi et ALim , trans n'évoluent pas sensiblement en comparaison avec les angles

d'incidence du spray libre. L'angle longitudinal maximal est d'environ 20° et l'angle

transversal maximal de 7°. Ces valeurs sont légèrement inférieures aux valeurs des angles

d'évasement du spray θ X=25 ° et θ Y=8 ° et ainsi concordent avec le comportement inertiel

attendu pour les grosses gouttes. En dehors de la zone d'empreinte, on note une variation

brutale en Y ad≈2.5 de l'angle ALim , trans pour l'impact, qui rejoint alors la courbe de l'angle

A0,trans . Comme pour la vitesse, cette variation est simplement attribuée à la réduction de

l’amplitude des diamètres de goutte, avec un glissement vers des gouttes de petite taille.

Pour les petites gouttes ( A0,longi et A0,trans ), les profils des angles d'incidence en présence de

la plaque sont fortement augmentés par rapport à ceux obtenues pour le spray libre. Dans la

direction X (figure 3.17.a), l'angle d'incidence sur la plaque croît linéairement jusqu'à

X ad≈1.25 , pour atteindre A0,longi=70 ° . Dans la direction Y (figure 3.17.b), l'angle d'impact

croît également jusqu'à un maximum de A0,trans≈65° . Comme pour la composante uy de la

131/195

Figure 3.17: Comparaison entre le spray libre et le spray impactant, des angles Alongi le longde l'axe X (a), et Atrans le long de l'axe Y (b), pour les petites gouttes (indice « 0 » , symboles

pleins) et pour les grosses gouttes (indice « Lim », symboles creux).


vitesse, on note que l'angle des trajectoires A0,trans des petites gouttes est plus faible que

l'angle ALim , trans .

La présence de la plaque a donc comme principale influence de modifier les angles

d'incidences des gouttes de faible diamètre, ceci également dans la zone qui constituerait

normalement l'empreinte du spray libre. Les trajectoires des petites gouttes sont, au moment

de l'impact, quasi-rasantes, alors même que les trajectoires des grosses gouttes restent très

verticales (dans les limites de l'évasement initial du spray). Ces résultats concordent avec la

ségrégation observée, fonction du diamètre de gouttes, et nous permet de conclure sur le

déplacement des populations de petites gouttes d<200µm vers le bord de la plaque, voir au-

delà.

III.3.4. Synthèse sur la vitesse et les trajectoires des gouttes

La présence de la plaque n'influence pas significativement la vitesse des grosses gouttes. Ces

dernières, regroupées dans la zone d'empreinte du spray, conservent les valeurs des

composantes de vitesse et d'angle d'incidence qu'elles ont en configuration de spray libre. La

vitesse des petites gouttes ( d<200µm ) est en revanche fortement augmentée pour les

composantes latérales ux et uy ,et diminuée pour la composante axiale uz , en conséquence

de quoi leur trajectoire devient pratiquement tangente à la plaque.

Ainsi donc, cette étude sur la vitesse montre surtout les comportements très différents

observés entre les très petites gouttes et les gouttes plus grosses. On rappelle ainsi l'allure non

linéaire des corrélations taille/vitesse pour d<200µm , ou encore la légère différence entre

les vitesses transversales U0,y et ULim , y au bord de la plaque ( Y ad>3 ). Ces différences ont

principalement été expliquées par les variations spatiales du champ de vitesse de la phase

gazeuse uG au niveau de la plaque, mais également par l'inertie des gouttes.

À ce propos, les figures 3.18 et 3.19 présentent les cartes de contour des composantes uG, x et

uG, y de la vitesse du gaz, dans respectivement les plans XY et {XZ ; YZ}. Les contours des

vitesses uG, x et uG, y

dans le plan XY (figure 3.18) présentent une symétrie par rapport aux

axes X et Y, ce pourquoi seul un quart du plan est présenté pour chacune de ces vitesses.

Quel que soit la composante de la vitesse, la structure de ces cartes est identique. La

composante uG, x de la vitesse du gaz est nulle le long de l'axe Y et présente un maximum en

(X ,Y )ad=(1.1 ,0) avec uG, x

max≈2.85 m.s−1 . Concernant la composante uG, y, elle est nulle le

long de l'axe X et présente un maximum en (X ,Y )ad=(0 ,3) avec uG, x

max≈3.00m.s−1 . Ces

maxima correspondent en valeur comme en position à ceux observés sur les profils de vitesse

U0,x et U 0,y . On montre bien que les composantes de la vitesse et les trajectoires suivies par

les très petites gouttes sont directement issues du champ de vitesse du gaz. Ainsi, les gouttes

de faible de diamètre (voir tableaux 3.4 pour la gamme correspondante) suivent l'écoulement.

132/195


Le champ de vitesse dans le plan XZ et YZ pour les composantes uG, x et uG, y est représenté

sur les cartes de la figure 3.19. Cette figure permet d’observer l’évolution du champ de vitesse

moyenne du gaz ressenti par les gouttes, à partir de 10 cm au-dessus de la plaque et jusqu'à la

surface8. À partir de l'angle d'incidence locale sur la plaque des gouttes (traits noirs) et des

8 En considérant que le champ de gaz est stationnaire sur une échelle de temps équivalente à la durée de la traversé du domaine de calcul pour une goutte.

133/195

Figure 3.18 : Carte de la composante de vitesse uG, x et uG, y de la phase continue au niveau

de la paroi dans le plan XY. Le bord de la plaque est représenté par le demi cercle gris.

0

1

2

3

4

55.15

0.5 1.0 1.5

1.62 X ad

Y ad

uG , x [m.s−1 ]uG , y [m.s−1 ]

3.00

2.70

2.40

2.10

1.80

1.50

1.20

0.90

0.60

0.30

0.00

0.51.01.5

1.62

Figure 3.19: Champ de vitesse de la composante uG, x et uG, y de la phase continue dans le

plan XZ et YZ (respectivement à gauche et à droite). Les angles d'incidences A0,longi etA0,trans sont représentés par les traits noirs fins.

0

5.151.62X ad Y ad0.51.01.5

10 cm

Z

3.002.702.402.101.801.501.200.900.600.300.00

uG , x [m.s−1 ] uG , y [m.s−1 ]

1 2 3 4 5


cartes des composantes du vecteur vitesse uG , on peut déduire les accélérations successives

ressenties par les petites gouttes avant l'impact et ainsi expliquer les comportements

particuliers observés sur les vitesses des petites et des très petites gouttes.

Dans la direction X, les petites gouttes qui impactent la plaque pour X ad<1 possèdent une

trajectoire caractérisée par un angle A0,longi<34° . Ces gouttes sont accélérées dans la

direction X tout au long de leur trajectoire. Les gouttes les plus grosses, donc les plus

inertielles, sont moins accélérées. On obtient alors les allures affines et décroissantes des

corrélations taille/vitesse de la figure 3.12(a).

En revanche, les petites gouttes qui impactent la plaque en X ad>1.5 présentent une

trajectoire ayant un angle A0,longi>75 ° avec la verticale de la plaque. Ces gouttes sont tout

d'abord accélérées dans la direction X à mesure qu'elle s'approche de la plaque, puis sont

ralentis par l'écoulement gazeux. Dans cette région de la plaque, l'allure non-linéaire des

corrélations taille/vitesse (figure 3.12.b) correspondent alors à l'analyse suivante : les très

petites gouttes d<50 µm suivent l'écoulement gazeux et sont fortement ralenties. Leur

vitesse d'impact est identique à la vitesse du gaz au point d'impact. En revanche, les gouttes de

diamètre supérieur présentent une vitesse d'impact différente (supérieure ou inférieure), ceci

en fonction de leur temps de relaxation respectif τ p et de leur vitesse par rapport au gaz.

En reprenant la même analyse sur la carte réalisée dans le plan YZ de la composante de

vitesse uG, y, on peut expliquer les allures des courbes de corrélation taille/vitesse pour la

composante uy de la vitesse. L'allure non-linéaire apparaît dans ce cas au-delà de Y ad≈3 .

134/195


Chapitre 4 : Étude numériquedu refroidissement d'une plaquechaude soumise à l'impact d'un

spray froid

La simulation du refroidissement d'une plaque à haute température (en régime de Leidenfrost)

sous l'action de l'impact d'un spray froid est la dernière étape du procédé général visant à

simuler le refroidissement par spray. Les chapitres précédents ont permis d’obtenir les

caractéristiques d’impact du spray. L'objectif de ce chapitre est de calculer le comportement

thermique de la plaque lorsqu'elle est soumise au transfert thermique imposé par un spray,

décrit par une corrélation issue de la littérature.

Nous commencerons par présenter les conditions de refroidissement que l'on souhaite simuler,

ainsi que les méthodes employées pour mener à bien le calcul du refroidissement de la plaque.

Dans une seconde partie, la configuration numérique sera présentée, avant de conclure sur les

caractéristiques de ce refroidissement. Par la suite, plusieurs cas seront testés afin de mieux

comprendre l'influence de certaine des caractéristiques du spray sur le refroidissement.

135/195

I. Principe et méthode de la simulation

I. Principe et méthode de la simulationI.1. Principe de l'étude numérique

On se propose de simuler la conduction thermique dans la plaque lorsque celle ci est soumise

à différentes contraintes thermiques dont le flux de chaleur extrait par l’impact du spray froid

ainsi que les pertes par convection naturelle et par rayonnement. Ces contraintes seront

modélisées par différents flux de chaleur imposés aux frontières de la plaque.

Le spray est identique à celui présenté dans les chapitres précédents. Un débit de 6 L.min-1

d’eau vient impacter la surface, principalement concentré au centre de la plaque. Le débit

surfacique maximum est de QV=13 L.m−2 .s−1 . Au centre de la plaque, le diamètre des

gouttes est compris dans l'intervalle d∈[10 ; 1100]µm , tandis qu'aux bords, ce diamètre est

plutôt inférieur à 150 µm. La vitesse axiale moyenne des gouttes au centre du spray est de

uz≈10 m.s−1 . Elle décroit vers la périphérie de la plaque pour atteindre 0.5 m.s-1. Dans ces

conditions, on fait l’hypothèse de la présence d’un film liquide en écoulement sur la plaque.

Les principales données statistiques sur le spray sont rappelées dans le tableau 4.1.

La plaque chaude correspond à celle déjà décrite au chapitre 3 : il s’agit d’une plaque de

nickel de rayon Rimp=180mm et d'épaisseur eimp=10mm . Cette plaque est placée dans des

conditions de refroidissement correspondant au régime d'ébullition en film de vapeur. Pour

cela, on utilise une corrélation utilisée pour le flux de chaleur extrait par le spray,

caractéristique de ce régime. De plus, l'étude de la plaque se limite à une température

T w>300°C afin de ne pas atteindre le point de remouillage. Ce choix est basé sur les

expériences vues dans la littérature, bien que cette température puise changer suivant les

conditions de refroidissement. Pour les mêmes raisons, la température initiale est fixée à

T w=800°C .

On note que dans la gamme de température T w∈[300 ;800 ]°C , les propriétés physico-

137/195

Grandeur Gamme

Diamètre moyen d10 [50 ; 250] µm

Diamètre de Sauter d32 [75 ; 550] µm

Débit surfacique QV

[3× 10−4; 13] L.m-2.s-1

Vitesse moyenne axiales uz [0.5 ;13] m.s-1

Tableau 4.1: Récapitulatif des gammes des grandeurs caractéristiques principales du spray àl'impact

Chapitre 4 : Étude numérique du refroidissement d'une plaque chaude soumise à l'impact d'un spray froid

chimiques du nickel varient assez peu. On considère les propriétés thermophysiques du nickel

à T w=500 °C (tableau 4.2) comme valables sur toute la gamme de température.

I.2. Modèles de refroidissement par spray dans la littérature, en régime de Leidenfrost

Le chapitre 1 a permis de lister les phénomènes physiques entrant en jeu dans le

refroidissement par spray, en régime de Leidenfrost, avec ou sans présence d'un film liquide.

Sans toutefois chercher à modéliser de manière explicite l'ensemble de ces phénomènes, on

souhaite ici imposer un flux de chaleur extrait par le spray représentatif de ce régime de

refroidissement. Parmi les corrélations sur le refroidissement par spray vues au chapitre 1, il

est proposé d’utiliser celle de Yao et Cox [40], décrivant l’efficacité de refroidissement. Cette

corrélation est basée sur des informations statistiques du spray : débit surfacique QV et

diamètre de Sauter d32 . La corrélation de Yao et Cox pour l'efficacité de refroidissement est

rappelé par l'équation (4.1) :

ε T−sp

Y.&C.- We=8E−7[WeQV

T sat

ΔT sub+ΔT sat ]−0.62

+3.5E−3[WeQV

T sat

ΔT sub+ΔT sat ]−0.2

avec WeQV=

ρ L d32 (QV)2

σ L

(4.1)

Cette équation est définie dans la gamme WeQV

∈[6E−10

; 3E−2] et a été validée pour des

sprays correspondant aux gammes de débit surfacique, de diamètre des gouttes et de

température de paroi suivantes : QV∈[0.016 ;50 ]L.m−2 .s−1 , d∈[130 ; 25E+3]µm et

T w∈[300 ;800 ]°C ; c'est-à-dire les gammes qui nous intéressent (voir Chapitre 1). Enfin,

cette corrélation présente l'avantage de considérer le noyage de la plaque comme une action

qui réduit l'efficacité à mesure que le débit surfacique augmente. Ce phénomène a été mis en

évidence au chapitre 1.

138/195

Masse volumiqueρ w [kg.m−3 ]

Capacité calorifiquecP , w [J.kg.K−1]

Conductivitéthermique

λ w [W.m−1 .K−1 ]

Nickel ( T w=500 °C ) 8900 444 90.4

Tableau 4.2: Propriétés physico-chimiques du Nickel pour une température de paroiT w=500 °C

I. Principe et méthode de la simulation

I.3. Grandeurs d'impact du spray utiles pour la corrélation de Yao et Cox

La figure 4.1 regroupe, pour rappel, les cartes de débit surfacique et de diamètre de Sauter

obtenues à partir de la simulation du spray avec impact (voir chapitre 3), dans le demi-plan

XY de la plaque. Les caractéristiques du spray présentent une symétrie par rapport à l'axe X,

ce pourquoi seul un demi plan est présenté.

On note que les lignes d'iso-débit (Figure 4.1.a) ont une allure d’ellipse concentrique et que

quelques variations par rapport à cette allure générale sont visibles autour de Y ad≈2.5

(proche d'une symétrie d'axe Y).

Concernant le diamètre de Sauter (Figure 4.1.b), on note l'absence de symétrie d'axe Y ainsi

que des irrégularités pour ∥X ad∥>1 et Y ad>1 .

139/195

Figure 4.1: Caractéristiques d'impact du spray utiles pour l'utilisation de la corrélation deYao et Cox [40] : (a) débit surfacique, (b) diamètre de Sauter

(a)

(b)


II. Mise en œuvre de la simulationII.1. Schéma numérique et stratégie de simulation

Le problème consiste à résoudre numériquement l'équation de la chaleur dans le domaine de

calcul que constitue la plaque. Cette équation s’écrit en instationnaire et sans source :

ρ w cP , w

∂T w

∂ t=λw Δ(T w) (4.2)

où l'indice « w » représente la plaque de nickel.

Cette équation est résolue par le solver FlexPDE®, selon une méthode par éléments finis de

type Galerkin, avec un processus itératif de type Newton-Raphson et une discrétisation

temporelle implicite du second ordre. En fonction de l’erreur calculée dans chaque cellule du

domaine de calcul, le logiciel adapte automatiquement le pas de temps du calcul et

éventuellement le niveau de discrétisation spatiale (raffinage du maillage). Le niveau de

précision, correspondant à l’erreur maximale, est imposé par l’utilisateur. Une précision sur la

température de la paroi de 10−3 °C est en l’occurrence demandée. L'utilisateur impose

également un pas de temps de calcul et un maillage initial, permettant de guider le logiciel

dans la recherche d’une solution.

Au temps initial de la simulation, l'ensemble du domaine présenté au paragraphe II.2 est

initialisé avec une température T w=800 °C . Les contraintes thermiques subies par la plaque

sont prises en compte par le biais des conditions aux limites, imposées sous la forme de flux

de chaleur (influence des gouttes + convection naturelle + rayonnement). L’objectif étant de

rester au-dessus du point de Leidenfrost, le calcul instationnaire se termine lorsque la

température minimum de la plaque atteint T w=300 °C .

Les propriétés physico-chimiques de la plaque sont maintenues constantes tout au long du

calcul, conformément au paragraphe I.1 et au tableau 4.2.

II.2. Géométrie et conditions limites

II.2.1. Domaine de calcul

Le domaine de calcul reproduit une plaque cylindrique de diamètre Dimp=360 mm et

d'épaisseur eimp=10 mm . Considérant la symétrie d’axe X observée sur les cartes des

caractéristiques du spray (§ I.3), on ne résout les équations que sur un demi cylindre,

représenté sur la figure 4.2. Une condition limite de type symétrie est imposée sur le plan

(EX , EZ) et permet de prendre en compte l'intégralité de la plaque.

140/195

II. Mise en œuvre de la simulation

II.2.2. Conditions limites

Les conditions limites appliquées aux frontières du domaine, représenté par des flèches sur la

figure 4.2, correspondent aux différentes contraintes thermiques de type flux de chaleur

induits à la fois par l'impact des gouttes qT ,sp , ainsi que par les pertes liées à la convection

naturelle et au rayonnement en face supérieure qT ,PerteSup et inférieure qT ,PerteInf

. La frontière

latérale du domaine (grisée) est considérée comme parfaitement isolées qT =0 .

(i) Flux de chaleur extrait par les gouttes

La corrélation sur l'efficacité du refroidissement de Yao et Cox [40] ε T−sp

Y.&C.- We (§ I.2), ainsi

que les caractéristiques d'impact du spray (§ I.3), permettent de calculer la densité de flux de

chaleur, extraite par les gouttes :

qT ,p =ε T−sp

Y.&C.- WeQV

ρ L [c P,L(T sat−T L)+hLV+cP,G(T w−T sat)] (4.3)

avec QV en [m3.m-2.s-1] et ε T−sp

Y.&C.- We l'efficacité de Yao et Cox [40] pour un spray, basée sur le

nombre de Weber : WeQV (voir paragraphe I.2).

À chaque instant et en tout point sur la surface supérieure de la plaque, le logiciel FlexPDE

actualise cette densité de flux de chaleur en fonction de la température locale T w .

(ii) Flux de chaleur lié aux pertes par convection naturelle et par rayonnement

Les propriétés thermophysiques de la plaque ainsi que les configurations du transfert

thermique sont différentes sur les faces supérieure et inférieure. Des corrélations différentes

sont ainsi utilisées pour les pertes sur les faces inférieure qT ,PerteInf et supérieure qT ,PerteSup

:

141/195

Figure 4.2: Représentation schématique du domaine de calcul pour la simulation durefroidissement de la plaque. Les flèches (orange, rouge, jaune) représentent les conditions

limites imposées aux frontières du domaine.

D imp=360 mm

eimp=10 mmEY

EZEXFlux de chaleur nul

Face supérieure :Convection naturel + rayonnement

Face inférieure : Convection naturel + rayonnement

Flux de chaleur extrait par les gouttes

qT , p

qT , PerteInf

qT , PerteSup


qT ,PerteInf =(qT , Inf

)Ray+(qT ,Inf

)ConvNat

qT ,PerteSup =(qT ,Sup

)Ray+(qT ,Sup

)ConvNat (4.4)

Les choix présentés ici pour les flux de chaleur (qT )Ray

et (qT )ConvNat

sont basées sur les

travaux de Ouattara [86].

- CONVECTION NATURELLE

La littérature donne quelques corrélations pour la convection naturelle générée sur une plaque

plane horizontale [87]. Le choix de cette corrélation dépend de la direction du gradient de

température par rapport à la gravité, et également du régime d'écoulement (turbulent ou

laminaire).

Dans notre cas, les deux vecteurs ∇ T et g sont dirigés dans le même sens au-dessus de la

plaque mais dans le sens inverse au-dessous. On utilise donc deux corrélations. La convection

naturelle sur la face supérieure est donnée par un nombre de Nusselt correspondant à un

écoulement turbulent (équation (4.5)). La convection naturelle sur la face inférieure est quant

à elle modélisée par le nombre de Nusselt de l'équation (4.5), pour un écoulement laminaire

déformable. On nomme ce régime ainsi pour exprimer la variabilité de la densité de l’air sous

l’effet de la température. Ces deux corrélations sont valables dans une gamme limitée de

condition, définie à partir du nombre de Rayleigh local Ra=Gr Pr :

Face supérieure, cas turbulent 2 .107≤Ra≤3.1010 : Nu turbConvNat=0.14(Gr Pr )1/3 (4.5)

Face inférieure, cas laminaire déformable 3 .105≤Ra≤1010 : Nu lamConvNat=0.27(Gr Pr )1/4 (4.6)

Ces corrélations sont basées sur les nombres de Prandtl Pr et de Grashof Gr définis par les

équations (4.7) et (4.8).

Pr=ν G

λ G/ρG c P, G(4.7)

Gr=g( 1T film

)Dimp

3 (T w−T G

ν G2 ) , avec T film=

T w+T G

2 (4.8)

On obtient ainsi les flux de chaleur extraits par convection naturelle en face inférieure et

supérieure :

(qT , Inf )ConvNat

=Nu lamConvNat λG

Dimp(T w−T G)=(hT , Inf )

ConvNat (T w−T G)

(qT , Sup )

ConvNat=Nu turb

ConvNat λG

Dimp(T w−T G)=(hT , Inf )

ConvNat(T w−T G)

(4.9)

Dans ces équations, les propriétés physico-chimiques de l'air (prises à la température T film )

varient de manière conséquente avec la température T w . Ces variations sont prises en compte

en calculant les équations (4.9) pour plusieurs températures de l'air, puis en interpolant les

142/195

II. Mise en œuvre de la simulation

résultats. On obtient alors les équations (4.10) pour les coefficients de transfert thermique

(hT)ConvNat

(valables sur la gamme de température T film∈[160 ; 415]°C ) :

(hT , Inf )ConvNat

=−0.1211(T w−T G)2 /3+2.0694(T w−T G)

1/3−0.0201

(hT ,Sup)ConvNat

=−0.1043(T w−T G)1/2+1.3879(T w−T G)

1 /4−0.0227(4.10)

- RAYONNEMENT

La loi de Stefan-Boltzmann donne le flux de chaleur surfacique rayonné par un corps noir à la

température T w :

(qT )Ray

=σ S.B.T w

4 (4.11)

avec la constante de Stefan-Boltzmann σ S.B.=5.6704 .10−8 W.m−2 .K−4 .

Dans le cas où l'objet n’est pas un corps noir, la densité de flux de chaleur rayonnée est

calculée en multipliant l'équation 4.11 par une émissivité totale hémisphérique (ε w )Ray .

Dans notre cas, la plaque émet un rayonnement à une température T w et reçoit le

rayonnement de l’atmosphère (considéré comme un corps noir) à la température T G . Le bilan

radiatif sur les deux faces s’écrit donc :

(qT )Ray

= (ε )wRayσ S.B.(T w

4 −T G4 ) (4.12)

Les valeurs d'émissivité (ε w )Ray de la plaque pour chacune des faces sont identiques à celles

utilisées par Ouattara [86]. La face supérieure est polie alors que la face inférieure est dépolie

afin d’obtenir une émissivité diffuse, condition nécessaire pour les mesures de thermographie

infrarouge effectuées lors des travaux de Ouattara.

II.3. Maillage et pas de temps de calcul

Comme expliqué précédemment, FlexPDE® permet de raffiner automatiquement le maillage

et de changer le pas de temps de calcul en fonction des besoins numériques locaux (précision

et rapidité du calcul). Plusieurs essais ont permis de construire un maillage initial adéquat :

pas d'influence sur la solution et peu coûteux en puissance de calcul (processeur et mémoire

vive). La principale contrainte que l’on impose sur ce maillage est la reproduction précise des

cartes de débit surfacique et de diamètre de Sauter. La figure 4.3 présente ce maillage

optimisé, pour lequel on impose une taille minimale de maille de 2 mm.

143/195

Émissivité : (ε )Ray

Face inférieure : (ε )wRay 0.64 (Nickel grenaillé)

Face supérieure : (ε )wRay 0.05 (Nickel poli)

Tableau 4.3: Récapitulatif des émissivités (ε w )Ray utilisées dans le calcul du flux de chaleur

extrait par rayonnement.


Le pas de temps de calcul initial pour ce maillage est Δ t=0.001s .

III. Simulation du refroidissementIII.1. Refroidissement au temps initial

À l’instant initial, la plaque est à la température uniforme T w=800 ° C . On impose alors un

transfert thermique aux frontières supérieure et inférieure de la plaque.

III.1.1. Aspect général du transfert thermique et contribution des différents modes

La figure 4.4 illustre la densité de flux de chaleur totale (somme de touts les modes de

transfert thermique sur la face considérée), pour la face supérieure (symboles bleus) et pour la

face inférieure (symboles rouges), le long des axes X et Y.

Sur la face supérieure, les allures des profils de densité de flux de chaleur totale ressemblent à

celles déjà observées pour les profils de débit surfacique et de diamètre de Sauter (voir

chapitre 3). La densité de flux de chaleur est importante au centre de la plaque avec un

maximum de (qT , sup )max

≈7 .105 W.m-2, puis décroît vers les bords de la plaque pour atteindre

un minimum de (qT , sup )min

≈1.104 W.m−2 .

D'un manière générale, la chaleur de la plaque est principalement extraite en face supérieure.

On note toutefois qu'au bord de la plaque, ∥X ad∥>1.2 ou Y ad>2 , la densité de flux de

chaleur extraite sur la face inférieure est plus élevée que celle de la face supérieure.

Les contributions des différents modes de transfert thermique (rayonnement, convection

naturelle et impact du spray), exprimées en densité de flux de chaleur, sont également

représentées sur la figure 4.4. On parlera de la contribution (en %) de chaque mode par

rapport à la densité de flux de chaleur totale.

144/195

Figure 4.3: Structure du maillage du domaine décrit au paragraphe II.2. Le maillagecomprend environ 50000 mailles, pour une dimension caractéristique minimum de maille de

2 mm dans les directions X et Y et Z.

EY

EZEX

III. Simulation du refroidissement

Le mode de transfert de chaleur par l'action du spray est majoritaire sur la majeure partie de la

zone impactée par le spray, mis-à-part là où le débit surfacique de liquide devient très faible.

À titre d'exemple, on observera les profils de densité de flux de chaleur dans la direction X sur

la face supérieure (en bleu) : 99 % des transferts thermiques dans cette zone sont issues de

l'action du spray. Dans la direction Y en revanche, l'action du spray ne contribue

majoritairement au transfert thermique que pour Y ad≤2.5 . Au-delà, les contributions de la

convection naturelle et du rayonnement atteignent respectivement 30 % et 60 % de la densité

de flux de chaleur totale en ces points. La part importante de ces contributions est dû à la

chute rapide de la densité de flux de chaleur extraite par le spray qui atteint une valeur

minimale de (qT , sp )min

≈1200 W.m−2 (soit 10 % de (qT , sup ) ).

Sur la face inférieure, le rayonnement est responsable de 93 % de la densité de flux de chaleur

totale sur cette face, quelle que soit la position sur la plaque.

Ces premiers résultats montrent que sur la face supérieure le spray est responsable de la

majeure partie du refroidissement, sauf au bord où les contributions des pertes par convection

naturelle et par rayonnement deviennent significatives. On note de plus que le flux de chaleur

( qT intégré sur une surface) sur la face supérieure est plus grand que celui sur la face

inférieure. Le refroidissement de la plaque est donc bien guidé par le transfert thermique

imposé par l'action du spray sur la face supérieure de la plaque.

On simplifiera l'étude du refroidissement en parlant de la densité de flux de chaleur totale

plutôt que de séparer les contributions de chaque mode de transfert thermique.

145/195

Figure 4.4: Densité de flux de chaleur extraites sur les faces supérieure et inférieure de laplaque, représentées dans les directions X et Y, pour les faces supérieure (bleu) et inférieure

(rouge). La contribution de chaque mode de transfert thermique : impact du spray,convection naturelle, rayonnement; est également représentée.


III.1.2. Analyse du transfert thermique par comparaison avec les caractéristiques du spray

(i) Densité de flux de chaleur extraite

La figure 4.5 représente la densité de flux de chaleur totale perdue par la plaque sur la face

supérieure à l’instant initial. Les figures 4.5(a) et (b) permettent de corréler les

caractéristiques d'impact du spray ( QV , d32 ) avec la carte de densité de flux de chaleur en

face supérieure. On remarque trois zones de refroidissement dont les limites sont représentées

sur les graphiques de la figure 4.5 par des lignes pointillées.

146/195

Figure 4.5: Carte de la densité de flux de chaleur extraite sur la face supérieureqT =qT , sp

+qT ,PerteSup , au temps initial t= 0 seconde. Les figures (a) et (b) représentent les

profils dans les directions X et Y des données d'entrées QV et d32 .

0.5 1.0 1.5X ad

Y ad

-0.5-1.0-1.5 0.0

1

2

3

4

5

0

8.00

7.00

6.00

5.00

4.00

3.00

2.00

1.00

0.00

qT[W.m−2 .s−1 ]

x105

Zone 1 Zone 2

Zone 3

Zone 1

Zone 2

Zone 3

qT[W.m−2 ]


La zone 1 (au centre) correspond au plateau du débit surfacique et du diamètre de sauter. Le

flux de chaleur présente également cette allure, avec un léger pic au niveau du maxima de

QV .

La zone 2 est caractérisée par un fort gradient négatif du débit surfacique QV dans les deux

directions X et Y tandis que le diamètre de Sauter conserve une valeur constante, ou

faiblement décroissante. Dans cette zone, la densité de flux de chaleur décroît également

rapidement avec toutefois quelques inhomogénéités, que l'on peut lier à celles observées sur la

carte du diamètre de Sauter et du débit surfacique (voir §I.3). L'influence directe du diamètre

de Sauter peut toutefois être considérée comme faible.

Dans la zone 3, la densité de flux de chaleur est faible et décroît de plusieurs ordres de

grandeur (non-visible à cause de la résolution de l'échelle de couleur), consécutivement à la

décroissance du diamètre de Sauter et surtout du débit surfacique. On rappelle que dans cette

zone, la contribution du spray sur l'intensité de refroidissement totale est de seulement 10 %

(voir §III.1.1).

(ii) Efficacité de refroidissement

L'efficacité de refroidissement du spray (obtenue à partir des données sur le spray au niveau

de la plaque et de la corrélation de Yao et Cox [40]) est représentée sur la figure 4.6. Les trois

zones décrites pour la figure 4.5 sont reproduites. L'efficacité du refroidissement dans la zone

1 est de l'ordre de 0.01 %. Sa valeur croît dans la zone 2 pour rapidement atteindre une

efficacité de refroidissement de 100 % dans la zone 3.

D'après l'équation (4.10), l'efficacité de refroidissement est inversement proportionnelle au

débit surfacique. En revanche les figures 4.5 et 4.6 montrent que les zones d'efficacité

maximale correspondent à celles où la densité de flux de chaleur est la plus faible, et

inversement. On déduit que la quantité de liquide arrivant sur la plaque prime sur l'efficacité

dans le refroidissement.

147/195

Figure 4.6: Carte de l'efficacité de refroidissement calculée à partir de l'équation de Yao etCox et des données d'entrée du spray.

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

εT

0.9

1.00

1

2

3

4

5 5.15

0.5 1.0 1.5

1.62

X ad

Y ad

-0.5-1.0-1.5 0.0

0-1.62 Zone 1

Zone 2

Zone 3


(iii) Lien entre le flux de chaleur et le débit

Le tableau 4.4 permet d'arriver à la même conclusion. Il compare la part du débit totale du

spray venant impacter chacune des trois zones avec la part de flux de chaleur extrait par les

gouttes sur toute la face supérieure de la plaque. Le flux de chaleur est obtenue en intégrant la

densité de flux de chaleur sur chacune de ces zones.

La zone 1 au centre de la plaque est arrosée par 48 % du débit total, mais ne représente

pourtant que 22 % du flux de chaleur extrait sur la totalité de la face supérieure. C'est la

conséquence directe de la très faible efficacité de refroidissement dans cette zone. La zone 2

subit la majorité du refroidissement avec 67 % du flux de chaleur, pour environ 50 % du débit

total. Enfin la zone 3 subit encore 11 % du flux de chaleur, mais comme le montre la

proportion du débit et les contributions respectivement des modes de transfert de chaleur

(figure 4.4), l'action des gouttes est faible. Cette contribution de la zone 3 est principalement

le fait du rayonnement appliqué sur une surface plus large comparée aux surfaces des autres

zones.

III.2. Étude transitoire du refroidissement

III.2.1. Evolution de la température

La figure 4.7 illustre la décroissance en température en fonction du temps pour plusieurs

points de la plaque, repérés sur le schéma de droite.

Le calcul du refroidissement se termine lorsque la température minimale de la plaque atteint

T w=300°C , ce qui se produit au centre après un temps t fin=48secondes . Ainsi qu'on

l'observe, plus la densité de flux de chaleur extraite au temps initial (Figure 4.5) est élevée,

plus la température décroit rapidement. Cette observation est valable quel que soit l'instant du

refroidissement (pas de croisement des courbes). On limite donc l'étude à la comparaison des

températures finales {T w }t end pour les différents points de la figure 4.7.

Dans la direction X, la température finale atteinte au point B+ est identique à la température

atteinte au point B-, {T w ,B+ }tend=650 °C . Le refroidissement est donc symétrique par rapport à

l'axe Y. Dans la direction Y, le point C est situé au centre de la zones 2. La température finale

en ce point est {T w ,C }tend=400°C . Au bord de la plaque, la température de la plaque atteint au

point D {T w ,D }tend=730°C .

148/195

Zone 1 Zone 2 Zone 3

Proportion du flux de Chaleur [%]qT=6875.66 W 21.60 67.15 11.25

Proportion du débit total [%]QV=5.81 L/min 48.06 51.50 0.30

Tableau 4.4: Pour chaque zone, contribution au flux de chaleur sur la face supérieure etproportion du débit liquide venant impacter.


La matière de la plaque, le nickel, a été choisie pour sa conductivité thermique λ w élevée,

apte à uniformiser le refroidissement. On note ainsi que dans l’épaisseur de la plaque, la

température est identique sur les faces supérieure et inférieure (point B et Binf par exemple).

Malgré tout, une petite différence de température finale est observable pour le couple de point

A et Ainf, conséquence de la densité de flux de chaleur très élevée sur la face supérieure de la

plaque. De même entre le centre et le bord de la plaque, une différence de température de

200°C et 400°C est respectivement obtenue dans les directions X et Y (soit les couples de

points A et B+, et A et D).

III.2.2. Évolution de la densité de flux de chaleur extraite par le spray

La figure 4.8 donne l'évolution de la densité de flux de chaleur extraite par le spray aux temps

initial et final.

Au centre du spray, la densité de flux de chaleur diminue de 2×105 W.m-2 entre ces deux

149/195

Figure 4.8: Evolution du flux de chaleur extrait par l'action du spray entre l'instant initial etl'instant final, dans les directions X et Y.

Figure 4.7: Evolution de la température de la plaque en fonction du temps, en différents pointsur les faces supérieure et inférieure.

B-

DA

B+

BinfDinf

Ainf

C


instants, mais l'allure des profils est conservée. Sur les bords de la plaque, dans la direction Y,

la densité de flux de chaleur varie peu.

Dans la corrélation de Yao et Cox, la température joue un rôle mineur. Ainsi, les différences

de température observée entre l'instant initial et final du refroidissement ne provoquent pas de

variations importantes des courbes de densité de flux de chaleur.

III.3. Champs de température finaux et homogénéité du refroidissement

Les évolutions de la température de la plaque au cours du temps vues au paragraphe précédent

peuvent être visualisées sur la carte de champ de température final (figure 4.9).

Dans le plan XY, les courbes d'iso-température forment des ellipses concentriques semblables

à celles observées pour le débit surfacique (voir §I.3). Les températures finales les plus faibles

correspondent aux endroits où le débit surfacique et le diamètre de Sauter sont les plus élevés,

et donc responsable des densités de flux de chaleur les plus élevées. Par rapport aux cartes de

ces grandeurs, dont celle de la densité de flux de chaleur (figure 4.5), on note l’absence des

inhomogénéités caractéristiques de la zone 2. Cet effet est la conséquence de la conduction

thermique élevée du nickel qui homogénéise l’action des flux de chaleurs appliqués aux

frontières de la plaque.

150/195

Figure 4.9: Cartes des lignes de contour d'iso-température de la plaque au temps t end , dansles plans XY, XZ, et YZ.

Zone 1 Zone 2

1

2

3

4

5

0.5 1.0 1.5X ad

-0.5-1.0-1.5 0.0

0

Z [mm] 0

-10

0-10

Plan XY

Plan YZ

Plan XZ

Zone 1

Zone 2

Zone 3

Zone 3

Zon

e 1

Zon

e 2

Zon

e 3

Y ad

810

750

690

630

570

510

450

390

330

270

T w [°C]


Les cartes des plans XZ et YZ permettent de visualiser la direction des gradients de

température ∇ T w dans l’épaisseur de la plaque (perpendiculaire aux lignes d'iso-

température).

Au centre du spray (zone 1), le gradient de température est principalement dirigé dans la

direction Z négative. Le refroidissement local (comprendre l'évolution temporelle locale de la

température) est alors issue du flux de chaleur extrait à la surface par le spray.

En s’approchant des zones 2 et 3, les lignes de contour sont déviées et le gradient de

température s’oriente vers les directions X et Y négative, c'est-à-dire vers le centre de la

plaque. Le refroidissement dans ces zones est ainsi dû à la conduction dans la plaque plutôt

qu'à l'action du spray ou des pertes thermiques.

On peut déduire que les zones 2 et 3 constituent une source de chaleur pour la zone centrale.

IV. Influence de la dynamique de l’impact du spray sur le refroidissement

La section III précédente met en évidence la forte corrélation entre la densité de flux de

chaleur extraite par le spray et le débit surfacique, tandis que le diamètre de Sauter semble

jouer un rôle moins significatif (§III.2). Ces résultats sont évidement liés au choix de la

corrélation de l'efficacité de refroidissement, mais ils dépendent également des

caractéristiques du spray utilisé pour refroidir la surface.

Dans la plupart des études sur le refroidissement par spray, les auteurs font l'hypothèse que

l'on peut utiliser les résultats sur la dynamique d’un spray en écoulement libre pour étudier le

refroidissement d'une surface. Ces études ne prennent donc pas en compte les modifications

sur l’écoulement des gouttes et du gaz induites par la présence d'une plaque. On peut alors se

poser la question de la pertinence de ce choix. Cette section propose d’évaluer l’impact de

cette hypothèse sur la quantification du refroidissement.

IV.1. Présentation des configurations de refroidissement

Deux configurations de refroidissement sont simulées. La première est induite par le spray en

impact et correspond à l’étude de refroidissement réalisée dans les paragraphes précédents. La

seconde configuration propose d’utiliser les données du spray libre obtenues dans le plan Z=

500 mm (chapitre 2) pour calculer le flux de chaleur extrait par la plaque. Les équations

présentées au paragraphe II.2.2.(i) sont de nouveau utilisées, mais en changeant les valeurs de

QV et de d32 . Les principales caractéristiques de ces deux configurations de refroidissement

sont regroupées dans le tableau 4.5.

151/195


Le but n'est pas de connaître l'intensité du refroidissement, puisque cette information dépend

surtout de la corrélation choisie, mais plutôt de comparer les évolutions sur le refroidissement

apportées par une modification des conditions d’aspersion. Les caractéristiques de la seconde

configuration seront ainsi comparées avec celles de la première.

Pour la configuration de spray libre, on considère qu’un débit total légèrement plus grand

vient impacter la surface, comparé à la configuration d’impact. Ce débit est de plus concentré

au centre de la plaque sur une surface 3 fois plus faible, nommé de nouveau zone d'empreinte

du spray. Le débit surfacique maximal varie peu (13,77 L.m-2.s-1 (Impact) → 15,0 L.m-2.s-1

(Spray Libre)) et dans la zone d'empreinte du spray le diamètre de Sauter des gouttes est

sensiblement identique. Pour plus de détails concernant les différences entre ces deux

configurations, on pourra se référer au chapitre 3.

IV.2. Caractéristiques générales du refroidissement

Le tableau 4.6 regroupe des informations générales sur le refroidissement, concernant le flux

de chaleur total qT[W] et le temps de refroidissement t fin[s] , généré par ces deux

configurations. Le flux de chaleur total qT[W] s'obtient en intégrant la densité de flux de

chaleur qT sur toute la surface supérieure de la plaque.

Le flux de chaleur total à l’instant initial est plus élevé en configuration Impact (40%

d’augmentation), alors même que le débit liquide QV est inférieur. La conséquence directe de

ce résultat est un temps de refroidissement plus long en configuration Spray Libre, pour une

différence de 4.6 secondes.

152/195

Configuration 1 :Impact

Configuration 2 :Spray Libre

Débit total (sur la plaquetotale) : Q V

5.80 L.min-1 6.08 L.min-1

Surface arroséeToute la plaque

→ surface : 1020 cm2

Zone d'empreinte du spray :∥X ad∥<1.50 et Y ad<1.60

→ surface : 307 cm2

Gamme de débit surfacique[L.m−2.s−1]

QV∈[2E-4 ; 13.77] QV

∈[0.01 ;15.0]

Gamme de Diamètre de sauter d32∈[60 ; 700]µm d32∈[240 ; 790]µm

Tableau 4.5: Résumé des principales caractéristiques des deux configurations de spraycomparées


IV.3. Flux de chaleur extrait au cours de temps

Le flux de chaleur extrait par le spray à l'instant initial du refroidissement est représenté sur la

figure 4.10 (courbes bleu), le long des profils d'axes X et Y, pour les deux configurations. Le

tableau 4.7 résume les valeurs maximale et moyenne (linéique) des densités de flux de chaleur

obtenues pour chacun des profils d'axe X et Y.

Dans la zone d'empreinte du spray, quelle que soit la direction d'observation, on note que les

profils en configuration Spray Libre et Impact sont proches (figure 4.10(a) et (b)). Le long du

profil d'axe X, la densité de flux de chaleur est toutefois légèrement supérieure en faveur de la

configuration Spray Libre, comme le confirme les valeurs maximale et moyenne du tableau

4.7 (« profil d’axe X »).

Le long du profil d'axe Y, les courbes de densité de flux de chaleur pour la configuration

Spray Libre et Impact se croisent à plusieurs reprises pour Y ad<1 . Dans l'intervalle

1.5<Y ad<3 , la densité de flux de chaleur en configuration Impact est supérieure à celle

obtenue en Spray Libre. La valeur de densité de flux de chaleur la plus élevée est obtenue en

configuration Spray Libre (au centre), tandis que la valeur moyenne le long de l'axe Y est plus

élevée en configuration Impact (tableau 4.7, « profil d’axe Y »). À l'extrémité de la plaque

dans la direction Y, on note que les deux courbes de densité de flux de chaleur se rapprochent.

153/195

Configuration 1 :Impact

Configuration 2 :Spray Libre

Flux de Chaleur total au temps initial :qT

6875.66 Watts 4985.23 Watts

Temps de refroidissement t fin

(temps pour atteindre T w=300 °C enun point de la plaque)

48.5 secondes 53.1 secondes

Tableau 4.6: Caractéristiques générales du refroidissement pour les deux configurations.

Figure 4.10: Evolution du flux de chaleur au cours du refroidissement, en configurationsd'impact et de spray libre, le long des profils d'axe X (a) et d'axe Y (b)

(a) (b)


En effet, les contributions de la convection naturelle et du rayonnement dominent le transfert

thermique dans cette zone de la plaque, donc le transfert thermique est indépendant de la

configuration d'arrosage (Spray Libre ou Impact).

Ainsi au temps initial, on observe l'effet de la répartition plus homogène du débit liquide

induite par la plaque (configuration Impact) qui permet une densité de flux de chaleur élevée

sur une plus large portion de la plaque, bien que la configuration Spray Libre permette une

valeur maximale de la densité de flux de chaleur plus grande.

À t=48s après le début du refroidissement (c'est-à-dire la fin du calcul pour la configuration

Impact), on observe que les profils de densité de flux de chaleur ont peu évolué comparé à

ceux au temps initial. La décroissance plus rapide de la température en configuration Impact

ne provoque pas une réduction suffisante de la densité de flux de chaleur pour que celle-ci soit

inférieures à celle obtenue en configuration Spray Libre. Cet état s'explique de nouveau par la

dépendance assez faible en température de la corrélation utilisée pour l'efficacité de

refroidissement.

IV.4. Courbes transitoires de refroidissement

La figure 4.11 illustre la décroissance de la température de paroi en fonction du temps pour

plusieurs points à la surface de la plaque.

Au bord de la plaque, dans la direction Y (point D), les deux courbes de température pour le

spray libre et pour l'impact sont confondues. On rappelle, en configuration Impact, que les

gradients de température au niveau du point D sont dirigés vers l'intérieur de la plaque, signe

que le flux de chaleur extrait par le spray joue un rôle mineur dans le refroidissement local.

En configuration Spray Libre, le flux de chaleur extrait par les gouttes en ce point est nul, d'où

le rapprochement des deux courbes.

Dans la direction X (points B+), la température en chaque instant est plus élevée en

configuration Spray Libre. Cela correspond au résultat attendu lorsque l'on se base sur les

courbes de flux de chaleur à l'instant initial.

Au centre de la plaque (points A et C) en revanche, la température en configuration Spray

Libre décroît tout d'abord plus rapidement comparé à la configuration Impact (zoom sur la

figure 4.11), puis cette tendance s'inverse au bout de quelques instants. Au point A, les deux

courbes se croisent au bout du temps t=15s . En ce point à l’instant initial, le flux de chaleur

extrait par les goutte qT ,p est supérieure en configuration Spray Libre, mais la densité de flux

154/195

Profil d'axe X Profil d'axe Y

Valeur max moyenne Valeur max moyenne

Configuration 1 : impact 743316 415483 710744 157114

Configuration 2 : spray libre 808592 419875 741094 108645

Tableau 4.7: Valeurs maximale et moyennée le long des X et Y du flux de chaleur extrait parle spray, au temps initial.


de chaleur moyenne autour du point est plus élevée en configuration Impact (voir paragraphe

précédent). Le point C est situé à (X ,Y )ad=(0,1) . À l'instant initial, la densité de flux de

chaleur en configuration Impact est proche (mais inférieure) à celle obtenu en configuration

Spray Libre. La courbe de température en configuration Impact rattrape donc rapidement celle

en Spray Libre, au bout de t=0.10s .

Ces résultats montrent donc que la densité de flux chaleur plus élevée en configuration Spray

Libre créer tout d'abord un refroidissement plus rapide. Mais l'effet d'un refroidissement plus

homogène permet à la configuration Impact de rattraper ce retard, et d'aboutir à un temps de

refroidissement plus cours.

IV.5. Homogénéité du refroidissement

Les paragraphes précédents ont mis en évidence l'influence de l’homogénéité de l'arrosage sur

la vitesse de refroidissement. Un refroidissement plus inhomogène, tel que celui de la

configuration Spray Libre, engendre une contrainte mécanique qui peut déformer le matériau.

La figure 4.12 illustre l'inhomogénéité du refroidissement au travers de deux grandeurs

statistiques sur la température : la moyenne spatiale en face supérieure (T w)Sup

, et l'écart type

spatiale en face supérieure (σ T w )Sup . Ces grandeurs sont exprimées en fonction du temps.

155/195

Figure 4.11: Courbes transitoire de refroidissement sur différents poins de la plaque, pourdifférentes configurations du spray.

DA

B+C

Zoom


Comme attendu, la température moyenne en configuration Impact décroît plus rapidement que

en configuration Spray Libre. À mesure que la température décroît, l'écart type spatial de la

température augmente, tandis qu'à chaque instant sa valeur est plus grande en configuration

Impact. Au temps final du refroidissement des deux configurations (respectivement {t fin}libre

et {t fin }impact ), on note que les écarts type atteignent la même valeur (σ T w ){tfin}libre

≈(σ T w ){t fin}impact

.

Cependant, pour le cas de la configuration Spray Libre une température moyenne terminale

plus élevée est obtenue : (T w){t fin}libre

>(T w){t fin}impact

.

Ces observations semblent montrer que le refroidissement en configuration Impact est plus

inhomogène, ce qui est en contradiction avec les conditions d'entrées de la simulation qui

fixent un débit liquide QV plus faible en Impact, et surtout mieux réparti sur l'ensemble de la

plaque.

Ce qu'il faut retenir c'est que pour un même temps de refroidissement, l'écart type ne fournit

pas une information fiable sur l’homogénéité du refroidissement. Il est préférable de comparer

cette grandeur à température moyenne de plaque identique.

V. Synthèse du chapitreÀ partir des données sur les caractéristiques d'impact d'un spray et d'une corrélation pour

l'efficacité de refroidissement d'un spray (Yao et Cox [40]), une simulation du refroidissement

d'une plaque de nickel en régime de Leidenfrost a été réalisée. En plus du flux de chaleur issu

de l'impact du spray, deux pertes supplémentaires ont été prises en compte : la convection

156/195

Figure 4.12: Evolution de l'inhomogénéité de la température de la plaqueau cours du temps.

V. Synthèse du chapitre

naturelle et le rayonnement, contributions qui par ailleurs s'avèrent négligeables sur la grande

majorité de la surface.

Les résultats de la simulation montrent que l'évolution temporelle de la température de la

plaque est corrélée avec le flux de chaleur issu du spray. Ainsi les zones recevant peu de

gouttelettes agissent comme une source de chaleur qui alimente la zone centrale par

conduction.

La dernière partie de ce chapitre a montré que les caractéristiques dynamiques de l'impact du

spray modifiées par la présence de la plaque ont une influence significative sur le

refroidissement. Les résultats montrent que malgré un débit liquide légèrement supérieur

lorsque le refroidissement est généré à partir du spray libre, le temps de refroidissement est

plus long comparé à la configuration Impact. Ces résultats mettent en avant l'importance de la

répartition des caractéristiques du spray induites par la présence de la plaque sur la vitesse du

refroidissement, mais également sur son homogénéité qui est meilleure avec la configuration

d'impact. Ainsi, l'hypothèse souvent faite dans la littérature, consistant à utiliser les

caractéristiques d'un spray libre pour évaluer le refroidissement par spray, peut s'avérer

inexacte.

Enfin, le dernier paragraphe a mis en avant la difficulté de mesurer l’homogénéité d'un

refroidissement, ainsi que des pistes pour ne pas réaliser de conclusions inexactes dans ce type

d'étude.

L'ensemble de ces résultats se basent sur la corrélation pour l'efficacité du refroidissement par

spray de Yao et Cox [40]. L'une des qualités de cette corrélation est de considérer le

phénomène de noyage de la plaque (réduction de l'efficacité de refroidissement du liquide

lorsqu'il impacte la surface en trop grande quantité). Cependant, lorsque le débit surfacique

QV est faible, l'efficacité tend rapidement vers 1. Hors dans ces conditions de débit, on peut

raisonnablement penser à obtenir des impacts de gouttes isolées, pour lesquels les

informations tirées de la littérature montrent que l'efficacité de refroidissement est au

maximum de 30 % (voir chapitre 1). La densité de flux de chaleur pour le spray calculée dans

la zone périphérique, bien que faible, est dans les faits sur-évalué. Des améliorations sur cette

corrélation peuvent donc être apportées, en la couplant par exemple avec une corrélation pour

l'impact de gouttes solitaires à la manière des travaux de Bernardin et Mudawar [32].

Il faut de plus noter que les corrélations issues de la littérature ne précisent en général pas les

mécanismes mis en jeu lors des interactions gouttes paroi et se focalisent sur des évolutions de

grandeurs globales. Hors, un même spray va produit des configurations d'impact variées en

fonction du lieu d'impact sur la surface (voir chapitre 1 et 3). Les corrélations ne pouvant être

liées à un type ciblé de mécanisme d'impact et de refroidissement, le choix de l'une d'elle à

partir des caractéristiques du spray est impossible.

157/195

Conclusion :

159/195

Conclusion :

Tout au long de ce mémoire de thèse, une stratégie de simulation a été proposée afin de suivre

le refroidissement par spray depuis la phase d’écoulement en présence d’une plaque, jusqu’au

refroidissement de la plaque en régime de Leidenfrost.

Comparé aux études sur le refroidissement par spray existantes dans la littérature, le spray

reproduit numériquement se rapproche de ceux utilisés dans l'industrie sidérurgique. Il se

caractérise par un débit à l'injection élevée QV≈6.7L.min−1 , une répartition inhomogène du

débit dans la section perpendiculaire à la direction principale de l'écoulement et une large

polydispersion en taille de gouttes d∈[10 ; 1000]µm .

La simulation de l’écoulement du spray repose sur une approche euléro-lagrangienne avec

two-way coupling. Le choix a été fait de s’appuyer sur une caractérisation expérimentale du

spray afin tout d'abord de s’affranchir de la modélisation de la phase d’atomisation primaire,

puis de valider la méthode numérique utilisée pour simuler l’écoulement libre du spray. Cette

même méthode numérique a ensuite été utilisée pour résoudre l’écoulement du spray en

présence de la plaque.

Les résultats obtenus sur la dynamique des gouttes impactant la paroi ont finalement servi de

données d'entrée à la simulation du refroidissement. Le couplage entre la dynamique du spray

et le flux de chaleur imposé sur la plaque est pris en compte grâce à l’utilisation d’une

corrélation sur l'efficacité de refroidissement issue de la littérature.

Certains aspects de cette stratégie numérique ont nécessité une attention particulière et nous

nous proposons de revenir sur certains de ces choix dans cette conclusion pour dégager des

perspectives à ce travail.

(i) Initialisation du spray

L'absence de méthode numérique pour l'atomisation primaire qui soit suffisamment fiable et

calibrée pour reproduire les caractéristiques de ce spray nous a poussé à nous affranchir de la

modélisation de l'atomisation primaire. La simulation est donc initialisée en aval. La méthode

d’initialisation ainsi développée dans le cadre de ce travail permet de reproduire

l'inhomogénéité du spray en débit et en taille, ainsi que les corrélations liant le diamètre des

gouttes et leur vitesse.

La mise en œuvre de cette méthode nécessite une somme importante de données

expérimentales obtenues dans la section choisie pour l'initialisation du spray. Ces données

comprennent la répartition du débit surfacique et les mesures simultanées du diamètre et de la

vitesse des gouttes. Le champ de vitesse de l'air au cœur et à la périphérie du spray est

également nécessaire mais n’a en revanche pas été directement mesuré.

La méthode par PDA utilisée pour obtenir les caractéristiques des gouttes a montré certaines

limites, particulièrement à cause de la large polydispersion en taille du spray, mais également

à cause de l'écart des grosses gouttes par rapport à la forme sphérique. Dans cette étude, les

imprécisions sur les données ont néanmoins été atténuées par un important travail de post-

traitement (depuis les mesures expérimentales jusqu'à l'introduction dans la simulation). Ce

161/195

Conclusion :

travail de post-traitement ainsi fait l'objet d'un développement d'outils pérennes.

La définition des limites spatiales du spray constitue également une information importante

nécessaire à la méthode d'initialisation. Dans cette étude, nous nous sommes basés sur une

visualisation par caméra rapide du spray. Bien que la mise en œuvre de cet outil soit aisée, la

définition des limites du spray reste délicate à cause de la présence d’une zone diluée sur sa

périphérie. La définition d’un critère précis pour cette limite pourrait conduire à une meilleure

reproduction du spray dans la simulation.

Enfin, pour initialiser le champ de vitesse de la phase gazeuse, à défaut de mesures directes,

nous avons proposé d'utiliser la vitesse des petites gouttes. La méthode se justifie d'elle-même

à partir des nombres de Stokes correspondant à cette gamme de diamètre de gouttes. Malgré

tout, les approximations faites notamment pour la turbulence du gaz mériteraient d'être

vérifiées.

(ii) Méthode de simulation de l’écoulement et de l'impact du spray

Dans notre approche euléro-lagrangienne, le choix s'est porté sur un modèle RANS k-ω pour

la résolution de la phase continue. Ce modèle de turbulence donne un champ d'écoulement

gazeux réaliste, notamment au niveau des frontières libres du domaine. Il offre en plus la

possibilité de traiter aisément l'écoulement en proche paroi. Les forces exercées sur la phase

discrète sont limitées à l'action de la force de traînée et à celle de la force de gravité. La

dispersion turbulente influençant la trajectoire des gouttes a également été prise en compte par

un modèle à marche aléatoire discontinue. Une des particularités du spray étudié se trouve

dans l'importance des actions, réciproques, des phases continue et discrète l'une sur l'autre. La

présence de nombreuses gouttes inertielles génère puis entretien l'écoulement du gaz, et dans

le même temps les nombreuses petites gouttes sont fortement influencées par l'écoulement du

gaz. Ces phénomènes ont été intégrés dans la simulation par un traitement de la phase discrète

de type TwoWay coupling basé sur l’ajout de termes sources de transfert de quantité de

mouvement et par la modulation de la turbulence dans la gestion de la phase continue.

Les comparaisons entre la simulation de l'écoulement libre du spray et les mesures

expérimentales ont mis en évidence les limites de la configuration numérique utilisée. Les

différences se concentrent sur la vitesse des petites gouttes qui est sous-évaluée dans la

simulation. Quelques pistes d'amélioration ont déjà été citées dans la conclusion du chapitre 2.

Parmi celles-ci on note la nécessité de connaître le champ de vitesse du gaz au cœur et en

périphérie du spray. En comblant cette lacune, il serait possible de valider l'utilisation des

modèles type RANS k-ω dans la simulation de l'écoulement gazeux généré par un spray, mais

également de statuer sur la validité des modèles d'interactions entre les phases.

La méthode de simulation est malgré tout fiable. Les simulations réalisées ont, en particulier,

permis de quantifier l'influence de la présence de la plaque sur l'écoulement du spray. On a

ainsi observé que 10 % du débit initial n’impacte pas la surface. Le cœur du spray, composé

de nombreuses grosses gouttes, est peu influencé par la présence de la plaque. Comparé au cas

de l'écoulement libre, la périphérie du spray est en revanche principalement plus chargée en

162/195

Conclusion :

petites gouttes convectées par le gaz et qui viennent impacter presque tangentiellement la

plaque. Ces résultats ne peuvent cependant pas être généralisés car ils dépendent du spray et

de la plaque utilisée (dimensions respectives, débit initial, …). La prise en compte de la

présence de la plaque sur l'impact se base une hypothèse forte qui consiste à ignorer les

mécanismes d’impact. Des évolutions plus sensibles des caractéristiques du spray entre un

écoulement libre et un écoulement avec plaque pourraient ainsi être observées en prenant en

compte ces mécanismes, notamment la présence de gouttes réémises (goutte secondaire après

éclatement ou rebond). Bien sûr, l'introduction des mécanismes d'impacts n'est valable qu'à

condition d'avoir des situations d'impact de gouttes isolées sur une surface sèche. Cette

hypothèse peut paraître correcte au bord de la plaque utilisée ici, mais au centre le flux

surfacique de gouttes élevé peut conduire à la formation d'un film liquide. La physique

décrivant l'interaction entre le spray et la plaque serait alors profondément différente.

(iii) Étude numérique du refroidissement de la plaque

Les données obtenues sur les caractéristiques des gouttes impactant la plaque ont permis de

calculer le flux de chaleur extrait par le spray à partir d'une corrélation issue de la littérature

sur l'efficacité de refroidissement.

Les résultats quantitatifs sur le flux de chaleur et sur le temps de refroidissement sont

évidemment dépendants du choix de cette corrélation. Ces simulations ont surtout mis en

évidence l'importance de considérer les caractéristiques du spray à l’impact en tenant compte

de la présence de la plaque lorsque l'on souhaite caractériser le refroidissement généré par un

spray.

Les limites sur la modélisation du flux de chaleur induites par la corrélation de Yao et Cox

[40] ont pu être évoquées dans le chapitre 4. Le fait d'utiliser une corrélation globale pour lier

les caractéristiques de la dynamique d'impact d'un spray avec le flux de chaleur extrait à la

paroi est pertinent, mais les corrélations disponibles dans la littérature sont soit trop globales,

soit trop locales (c'est-à-dire exprimées à l'échelle de la goutte). Il manque de plus des

informations sur les conditions de refroidissement correspondant à ces corrélations, ainsi que

sur la physique qu'elles modélisent. Cela limite grandement l'utilisation de ces corrélations

pour prédire un refroidissement.

(iv) Perspective s

Au vu de ces conclusions, deux grands axes de perspectives peuvent être dégagés. Le premier

concerne la simulation numérique de l'écoulement du spray libre et le second la modélisation

du refroidissement.

Parmi les limites évoquées pour l'initialisation du spray et pour la simulation de son

écoulement, l'absence de connaissances sur les caractéristiques d'écoulement de l'air est un

verrou régulièrement évoqué. La connaissance de ces grandeurs permettrait de consolider

l'étape d'initialisation du spray mais également de répondre aux interrogations évoquées au

chapitre 2 au sujet des différences observées entre les mesures expérimentales et la

163/195

Conclusion :

simulation. Ces données pourraient être accessibles par des mesures de PIV diphasique

(Vélocimétrie par Imagerie de Particules). De plus, la comparaison de la vitesse de l’air

obtenue par cette méthode avec celle obtenue par le PDA permettrait également augmenter la

fiabilité des mesures PDA pour un spray.

En ce qui concerne l’étude de l’impact du spray et du refroidissement de la plaque, deux

difficultés majeures demeurent : l’identification des mécanismes physiques d’impact (régime

de rebond, d’éclatement, interactions entre gouttes, voire formation d’un film liquide) et des

mécanismes de refroidissement (évaporation, convection). Une des questions récurrentes lors

de ce travail est la présence ou non d’un film liquide au-dessus du film de vapeur. Des

mesures expérimentales par caméra rapide ainsi que des mesures de thermographie infrarouge

couplées à un modèle inverse (mesures permettant d'accéder au flux extrait au niveau de la

paroi) pourraient répondre à cette question et ainsi améliorer la compréhension et la

modélisation des mécanismes physiques du refroidissement par spray.

Enfin, la goutte isolée reste aujourd’hui le cas privilégié pour appréhender les mécanismes

élémentaires de l'impact et du refroidissement, mais la transposition à l’échelle du spray n’est

pas encore clairement maîtrisée. Cela constitue bien évidemment un axe d'investigation

majeur pour l'avenir.

164/195

Bibliographie :

Bibliographie :

[1] : J. D. Gounder, A. Kourmatzis, A. R. Masri ; Turbulent piloted dilute spray flames: Flowfields and droplet dynamics ; Combustion and Flame, 159, 3372-3397 ; 2012

[2] : S.C. Yao, K.J. Choi ; Heat transfer experiments of monodispersed vertically impactingsprays ; International Journal of Multiphase Flow, 13, 639-648 ; 1987

[3] : S. Deb, S. C. Yao ; Heat transfer analysis of impacting dilute spray on surfaces beyondthe leidenfrost temperature ; Proceedings ASME National Heat Transfer Conference, 87(1),1–8 ; 1987

[4] : W. P. Klinzing, J. C. Rozzi, I. Mudawar ; Film and transition boiling correlations forquenching of hot surfaces with water sprays ; Journal of Heat Treating, 9, 91-103 ; 1992

[5] : G.M. Faeth, L.-P. Hsiang ; Drop properties after secondary breakup ; Int. J. of MultiphaseFlow, 19, 721-735 ; 1993

[6] : W. H. Chou, L.P. Hsiang and G.M. Faeth ; Temporal properties of secondary dropbreakup in the shear breakup regime ; Int. J. of Multiphase Flow, 23, 651-670 ; 1997

[7] : W.H. Chou and G.M. Faeth ; Temporal properties of secondary drop breakup in the bagbreakup regime ; Int. J. of Multiphase Flow, 24, 889-912 ; 1998

[8] : Z. Dai, G.M. Faeth ; Temporal properties of secondary drop breakup in the multimodebreakup regime ; Int. J. of Multiphase Flow, 27, 217-236 ; 2001

[9] : G. Faeth, L. Hsiang, P. Wu ; Structure and Breakup Properties of Sprays ; InternationalJournal of Multiphase Flow, 21, 99-127 ; 1995

[10] : Atomization and Sprays ; A. H. Lefebvre ; Taylor & Francis

[11] : S. Nukiyama ; Film boiling water on thin wires ; Soc. Mech. Engng., 373, - ; 1934

[12] : T.B. Drew, A.C. Mueller ; Boiling ; Transactions of AIChE, 33, 449-471 ; 1937

[13] : M. Ciofalo, A. Caronia, M. Di Liberto, S. Puleo ; The Nukiyama curve in water spraycooling: Its derivation from temperature–time histories and its dependence on thequantities that characterize drop impact ; International Journal of Heat and Mass Transfer,50, 4948-4966 ; 2007

[14] : J. Wendelstorf, K. Spitzer, R. Wendelstorf ; Spray water cooling heat transfer at hightemperatures and liquid mass fluxes ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 51,4902-4910 ; 2008

[15] : B. Horacek, K. T. Kiger, J. Kim ; Single nozzle spray cooling heat transfermechanisms ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 48, 1425-1438 ; 2005

[16] : CHR. Mundo, M. Sommerfeld, C. Tropea ; Droplet-wall collisions: experimentalstudies of the deformation and break-up processes ; Int. J. of Multiphase Flow, 21(2), 151-173 ; 1995

165/195

Bibliographie :

[17] : G. E. Cossali, M. Marengo, M. Santini ; Single drop empirical models for spray impacton solid walls : a review ; Atomization and Sprays, 15, 699-736 ; 2005

[18] : J. Dewitte, P. Berthoumieu, G. Lavergne; An experimental study of droplet hot wallinteractions and a survey of the splashing regime; 5th International Symposium onMultiphase Flow, Xi'an, China; 2005

[19] : R. Zhao, W. Cheng, Q. Liu, H. Fan ; Study on heat transfer performance of spraycooling: model and analysis ; International Journal of Heat Mass Transfert, 46, 821-829 ;2010

[20] : W. Cheng, F. Han, Q. Liu, R. Zhao ; Theoretical investigation on the mechanism ofsurface temperature non-uniformity formation in spray cooling ; International Journal ofHeat and Mass Transfer, 55, 5357-5366 ; 2012

[21] : J. Xie, R. Zhao, F. Duan, T. Wong ; Thin liquid film flow and heat transfer under sprayimpingement ; Applied Thermal Engineering, 48, 342-348 ; 2012

[22] : X.Q. Chen, L.C. Chow,M. S. Sehmbey; Thickness of film produced by pressureatomizing nozzles; 30th AIAA Thermophysics Conference, -; 1995

[23] : L. Esmailzadeh, R. Mesler ; Buble entrainment with drops ; J. Colloid InterfaceScience, 110, 561-573 ; 1986

[24] : J. Sigler, R. Mesler ; The behavior of the gas film formed upon drop impact with aliquid surface ; J. Colloid Interface Science, 134, 459-474 ; 1990

[25] : D.P. Rini, R.H. Chen, L.C. Chow ; Bubble behavior and nucleate boiling heat transfer insaturated FC-72 spray cooling ; Journal of Heat Transfer, 124, 63-72 ; 2002

[26] : S. Hsieh, T. Fan, H. Tsai ; Spray cooling characteristics of water and R-134a. Part I:nucleate boiling ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 47, 5703-5712 ; 2004

[27] : S. Hsieh, T. Fan, H. Tsai ; Spray cooling characteristics of water and R-134a. Part II:transient cooling ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 47, 5713-5724 ; 2004

[28] : R. J. Issa, S. C. Yao ; Numerical Model for Spray-Wall Impaction and Heat Transfer atAtmospheric Conditions ; Journal of Thermophysics and Heat Transfer, 19, 441-447 ; 2005

[29] : C.O Pedersen ; An experimental study of dynamic behavior and heat transfercharacteristics of water droplets impinging upon a heated surface ; Int. J. Heat and MassTransfer, 13(2), 369-381 ; 1970

[30] : K. Takeuchi, J. Senda, K. Yamada ; Heat Transfer characteristics and the breakupbehavior of small droplets impinging upon a hot surface ; Proceedings ASME/JSMEThermal Engineering Joint Conference, 1, 165-172 ; 1983

[31] : K.J. Choi, S.C. Yao ; Mechanisms of film boiling heat transfer of normally impactingspray ; Int. J. Heat and Mass Transfer, 30(2), 311-318 ; 1987

[32] : J. D. Bernardin, I. Mudawar ; Film boiling heat transfer of droplet streams and sprays ;International Journal of Heat and Mass Transfer, 40, 2579-2593 ; 1997

[33] : J. Senda, K. Yamada, H. Fujimoto, H. Miki ; The heat transfer characteristics of a smalldroplet impinging upon a hot surface. ; Int. J. JSME Ser II, 31(1), 105-111 ; 1988

166/195

Bibliographie :

[34] : J. D. Bernardin, C. J. Stebbins, I. Mudawar ; Mapping of impact and heat transferregimes of water drops impinging on a polished surface ; International Journal of Heat andMass Transfer, 40, 247-267 ; 1997

[35] : L. Bolle, J. C. Moureau ; Spray cooling of hot surfaces ; Multiphase Science andTechnology, 1(1-4), 1-97 ; 1982

[36] : P. Dunand, G. Castanet, M. Gradeck, F. Lemoine, D. Maillet ; Heat transfer of dropletsimpinging onto a wall above the Leidenfrost temperature ; Comptes Rendus Mécanique,341, 75-87 ; 2013

[37] : FK III Mc Ginnis, J.P. Holman ; Individual droplet heat transfer rates for splattering onhot surfaces ; Int. J. Heat Mass Transfer, 12(1), 95-108 ; 1969

[38] : Y.M. Chang, S.C. Yao ; Studies of water mist cooling on heated metal surfaces ;Proceeding of NHTC'00, 34 th National Heat Transfer Conference, 1, 683-690 ; 2000

[39] : W. P. Klinzing, J. C. Rozzi, I. Mudawar ; Film and transition boiling correlations forquenching of hot surfaces with water sprays ; Journal of Heat Treating, 9, 91-103 ; 1992

[40] : S. Yao, T. Cox ; A general heat transfer correlation for impacting water sprays on high-temperature surfaces ; Experimental heat transfer, 15, 207-219 ; 2002

[41] : T. Shedd, A. Pautsch ; Spray impingement cooling with single- and multiple-nozzlearrays. Part II: Visualization and empirical models ; International Journal of Heat and MassTransfer, 48, 3176-3184 ; 2005

[42] : W.-L. Cheng, Q.-N. Liu, R. Zhao, H.-l. Fan ; Experimental investigation of parameterseffect on heat transfer of spray cooling ; Heat and Mass Transfer, 46(8-9), 911-921 ; 2010

[43] : W. Cheng, F. Han, Q. Liu, R. Zhao, H. Fan ; Experimental and theoretical investigationof surface temperature non-uniformity of spray cooling ; Energy, 36, 249-257 ; 2011

[44] : X. Jiang, G. Siamas, K. Jagus, T. Karayiannis ; Physical modelling and advancedsimulations of gas–liquid two-phase jet flows in atomization and sprays ; Progress inEnergy and Combustion Science, 36, 131-167 ; 2010

[45] : S. Gant ; CFD Modelling of Water Spray Barriers ; Health and Safety Laboratory, 79, 1-35 ; 2006

[46] : P. Jenny, D. Roekaerts, N. Beishuizen ; Modeling of turbulent dilute spray combustion ;Progress in Energy and Combustion Science, 38, 846-887 ; 2012

[47] : G. Gouesbet, A. Berlemont ; Eulerian and Lagrangian approaches for predicting thebehaviour of discrete particles in turbulent flows ; Progress in Energy and CombustionScience, 25(2), 133-159 ; 1999

[48] : B.E. Launder, D.B. Spalding ; Lectures in Mathematical Models of Turbulence ;Academic Press London, -, - ; 1972

[49] : D. Choudhury ; Introduction of the renormilization group method and turbulencemodeling ; Tech. Rep. TM-107, Fluent Inc., Lebanon (USA) ; 1993

167/195

Bibliographie :

[50] : S. A. Orszag, V. Yakhot,W. S. Flannery, F. Boysan, D. Choudhury, J. Maruzewski, andB. Patel.; Renormalization Group Modeling and Turbulence Simulations; InternationalConference on Near-Wall Turbulent Flows, Tempe, Arizona; 1993

[51] : V. Yakhot, S.A. Orszag, S. Thangam, T.B. Gatski, C.G. Speziale ; Development ofturbulence models for shear flows by a double expansion technique ; Physic of Fluids, 4(7), 1510-1520 ; 1992

[52] : T.-H. Shih,W.W. Liou, A. Shabbir, Z. Yang, and J. Zhu ; A New k-ε Eddy-ViscosityModel for High Reynolds Number Turbulent Flows - Model Development and Validation ;Computers Fluids, 24 (3), 227-238 ; 1995

[53] : D.C. Wilcox ; Re-assessment of the scale-determining equation for advanced turbulencemodels ; AIAA Journal, 26(11), 1299-1310 ; 1988

[54] : F.R. Menter ; Zonal Two Equation k-ω Turbulence Models for Aerodynamic Flows ;AIAA Journal, 93-2906, - ; 1993

[55] : M.R. Maxey, J.J. Riley ; Equation of motion for a small rigid sphere in a non-uniformflow ; Physic of Fluids, 26, 883-889 ; 1983

[56] : R. Gatignol ; The Faxen formulae for a rigid particle in an unsteady non-uniform flow ;J. Meca. Théor. et Appliquée, 1(1-4), 143-160 ; 1983

[57] : L. Schiller, A. Nauman ; A drag coefficient correlation ; V.D.I. Zeitung, 77, 318-320 ;1935

[58] : S.A. Morsi, A.J. Alexander ; An investigation of particle trajectories in two-phase flowsystem ; J. Fluid Mech., 55, 193-208 ; 1972

[59] : V.Y. Rivkind, G.M. Ryskin, G.A. Fishbein ; Flow around a spherical drop atintermediate Reynolds numbers ; Appl. Math. Mech., 40, 687-691 ; 1976

[60] : Ecoulements Multiphasiques ; B. Oesterlé ; Hermes Science Publications

[61] : A. B. Liu, D. Mather, and R. D. Reitz ; Modeling the Effects of Drop Drag and Breakupon Fuel Sprays ; SAE Technical Paper, 930072, - ; 1993

[62] : E. E. Michaelides ; Review-The transient Equation of Motion for Particles, Bubbles andDroplets ; J. Fluids Engin., 119, 233 ; 1997

[63] : P. J. O'Rourke and A. A. Amsden ; The TAB Method for Numerical Calculation ofSpray Droplet Breakup ; SAE Technical Paper, 872089, - ; 1987

[64] : E. A. Ibrahim, H. Q. Yang and A. J. Prezelwas ; Modeling of spray DropletsDeformation and Breakup ; AIAA Journal, 9 (4), 651-654 ; 1993

[65] : F. X. Tanner ; A Cascade Atomization and Drop Breakup Model for the Simulation ofHigh-Pressure Liquid Jets ; SAE Technical Paper, 2003-01-1044, - ; 2003

[66] : F. X. Tanner ; Liquid Jet Atomization and Droplet Breakup Modeling of Non-Evaporating Diesel Fuel Sprays ; SAE Technical Paper, 970050, - ; 1997

168/195

Bibliographie :

[67] : M.A. Gorokhovski, V. Saveliev ; Analyses of Kolmogorov's model of breakup and itsapplication into lagrangian computation of liquid sprays under air-blast atomization ;Atomization and Sprays, 15(1), 184-192 ; 2003

[68] : R.D. Reitz ; Modeling Atomization Processes in High-Pressure Vaporizing Sprays ;Atomization and Sprays, 3, 309-337 ; 1987

[69] : S.V. Apte, M.A. Gorokhovoski, P. Moin ; LES of atomizing spray with stochasticmodeling of secondary breakup ; Int. J. of Multiphase Flow, 29, 1503-1522 ; 2003

[70] : Hydrodynamics Sixth Edition ; H. Lamb ; Dover Publications

[71] : A.D. Gosman, E. Ioannides ; Aspects of computer simulation of liquid-fueledcombustors ; J. Energy, 7, 482-490 ; 1981

[72] : D. Graham, James ; Turbulent dispersion of particles using eddy interaction models ;Int. J. Multiphase Flow, 22(1), 157-175 ; 1996

[73] : D. Graham ; An improved eddy interaction model for numerical simulation of turbulentparticle dispersion ; J. Fluids Engng., 118, 816-823 ; 1996

[74] : G. Faeth ; Spray Atomization and combustion ; AIAA, , ; 1986

[75] : R. Lebas, T. Menard, P. A. Beau, A. Berlemont, F. X. Demoulin ; Numerical simulationof primary break-up and atomization : DNS and modelling study ; International Journal ofMultiphase Flow, 35, 247-260 ; 2009

[76] : P. Beau ; Modélisation de l’atomisation d’un jet liquide Application aux sprays Diesel ;PhD thesis, CoRIA ; 2006

[77] : C.S. Lee, S.W. Park ; An experimental and numerical study on fuel atomizationcharacteristics of high-pressure diesel injection sprays ; Fuel, 81 (18), 2417-2423 ; 2002

[78] : S. W. Park , H. J. Kim and C. S. Lee ; Numerical and Experimental Analysis of SprayAtomization Characteristics of a GDI Injection ; KSME Int. Journal, 17(3), 449-456 ; 2003

[79] : S. W. Park , H. J. Kim and C. S. Lee ; Experimental Analysis and Numerical ModelingUsing LISA-DDB Hybrid Breakup Model of Direct Injected Gasoline Spray ; KSME Int.Journal, 17 (11), 1812-1819 ; 2003

[80] : V. Chagras ; Identifier dans la litterature les expériences tests pour valider les modèlesde sprays de Fluent ; Consultante ArcelorMittal ; 2006

[81] : F. Tafnout ; Modélisation du refroidissement par spray d'un cylindre mobile ; StagiaireArcelorMittal ; 2008

[82] : S.S. Yoon, J. C. Hewson, P.E. Desjardin, D. J. Galze, A. R. Black, R. R. Skaggs ;Numerical modeling and experimental measurements of a high speed solid-cone waterspray for use in fire suppression applications ; Int. J. of Multiphase Flow, 30, 1369-1388 ;2004

[83] : E. Belut ; Étude des écoulements d'air et de particules au voisinage de pièces enmouvement : application à la conception des captages sur machines tournantes réalisantdes opérations d'usinage ; PhD thesis, Université Henri Poincaré-Nancy1 ; 2006

169/195

Bibliographie :

[84] : A. Collin, P. Boulet, G. Parent, M. Vetrano, J. Buchlin ; Dynamics and thermalbehaviour of water sprays ; International Journal of Thermal Sciences, 47, 399-407 ; 2008

[85] : S. Kim, J. W. Hwang, C. S. Lee ; Experiments and modeling on droplet motion andatomization of diesel and bio-diesel fuels in a cross-flowed air stream ; Int. J. Heat andFluid Flow, 31(4), 667-679 ; 2010

[86] : A. Ouattara ; caractérisation du refroidissement par jet liquide impactant une plaquemétallique à haute température ; PhD thesis, Université Henri Poincaré-Nancy1 ; 2009

[87] : Initiation aux transferts thermiques ; J.F. Sacadura ; Techniques et Documentation,Paris, Edition Lavoisier

[88] : L. H. Wachters, N. A. Westerling ; The heat transfer from a hot wall to impinging waterdrops in the spheroidal state ; J. Chem. Engng. Science, 21, 1047-1056 ; 1966

[89] : S.C. Yao, K.J. Choi ; Heat transfer experiments of monodispersed vertically impactingsprays ; International Journal of Multiphase Flow, 13, 639-648 ; 1987

[90] : K.J. Choi, S.C. Yao ; Mechanisms of film boiling heat transfer of normally impactingspray ; Int. J. Heat and Mass Transfer, 30(2), 311-318 ; 1987

[91] : K. A. Estes, I. Mudawar ; Correlation of Sauter mean diameter and critical heat flux forspray cooling of small surfaces ; International Journal of Heat Mass Transfert, 38, 2985-2996 ; 1995

[92] : H. Yang, X. Cao, X. Sun ; Effects of Spray Angle on Spray Cooling of ExtrudedAluminum Alloy Plate ; AASRI Procedia, 3, 630-635 ; 2012

[93] : M. Ciofalo, I. D. Piazza, V. Brucato ; Investigation of the cooling of hot walls by liquidwater sprays ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 42, 1157-1175 ; 1999

[94] : R. Chen, L. C. Chow, J. E. Navedo ; Effects of spray characteristics on critical heat fluxin subcooled water spray cooling ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 45,4033-4043 ; 2002

[95] : D.P. Rini, R.-H. Chen, L.C. Chow ; Bubble behavior and nucleate boiling heat transferin saturated FC-72 spray cooling ; J. Heat Transfer, 24, 63-72 ; 2002

[96] : R. Chen, L. C. Chow, J. E. Navedo ; Optimal spray characteristics in water spraycooling ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 47, 5095-5099 ; 2004

[97] : S. Hsieh, T. Fan, H. Tsai ; Spray cooling characteristics of water and R-134a. Part I:nucleate boiling ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 47, 5703-5712 ; 2004

[98] : S. Hsieh, T. Fan, H. Tsai ; Spray cooling characteristics of water and R-134a. Part II:transient cooling ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 47, 5713-5724 ; 2004

[99] : B. Horacek, K. T. Kiger, J. Kim ; Single nozzle spray cooling heat transfermechanisms ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 48, 1425-1438 ; 2005

[100] : R. J. Issa ; Numerical modeling of the dynamics and heat transfer of impacting spraysfor a wide range of pressures ; PhD thesis, Pittsburg University ; 2003

170/195

Bibliographie :

[101] : M. Visaria, I. Mudawar ; Effects of high subcooling on two-phase spray cooling andcritical heat flux ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 51, 5269-5278 ; 2008

[102] : M. Visaria, I. Mudawar ; Theoretical and experimental study of the effects of sprayinclination on two-phase spray cooling and critical heat flux ; International Journal of Heatand Mass Transfer, 51, 2398-2410 ; 2008

[103] : J. Wendelstorf, K. Spitzer, R. Wendelstorf ; Spray water cooling heat transfer at hightemperatures and liquid mass fluxes ; International Journal of Heat and Mass Transfer, 51,4902-4910 ; 2008

[104] : R. Wendelstorf, K. Spitzer, J. Wendelstorf ; Effect of oxide layers on spray watercooling heat transfer at high surface temperatures ; International Journal of Heat and MassTransfer, 51, 4892-4901 ; 2008

[105] : S. Kondaraju, J. S. Lee ; Hybrid turbulence simulation of spray impingement cooling :The effect of vortex motion on turbulent heat flux ; International Journal for NumericalMethods in Fluids, 59, 657-676 ; 2009

[106] : W. Cheng, F. Han, Q. Liu, H. Fan ; Spray characteristics and spray cooling heattransfer in the non-boiling regime ; Energy, 36, 3399-3405 ; 2011

[107] : F. Ramstorfer, J. Roland, C. Chimani, K. Mörwald ; Investigation of Spray CoolingHeat Transfer for Continuous Slab Casting ; Materials and Manufacturing Processes, 26,165-168 ; 2011

[108] : N. Mascarenhas, I. Mudawar ; Analytical and computational methodology formodeling spray quenching of solid alloy cylinders ; International Journal of Heat and MassTransfer, 53, 5871-5883 ; 2010

[109] : J. Xie, Z. Gan, F. Duan, T. Wong, S. Yu, R. Zhao ; Characterization of sprayatomization and heat transfer of pressure swirl nozzles ; International Journal of ThermalSciences, , 02/09/17 ; 2013

[110] : Z. Zhang, J. Li, P. Jiang ; Experimental investigation of spray cooling on flat andenhanced surfaces ; Applied Thermal Engineering, 51, 102-111 ; 2013

171/195

Annexes 1) Auteurs référencés pour construire la carte de la figure 1.5


Noms des

auteursTitre de la publication Année Référence

Watcher and Westerling

The heat transfer from a hot wall to impinging water drops in

the spheroidal state1966 [88]

PedersenAn Experimental study of the dynamic behavior and heat

transfer of a liquid droplet impinging upon a heated surface1970 [29]

HoogendoornLeidenfrost temperature and heat transfer coefficients for

water sprays impinging on a hot surface1974 -

Bolle and

MoureauSpray cooling of hot surfaces 1982 [35]

Takeuchi et al. Heat transfer characteristics and the breakup behavior of

small droplets impinging upon a hot surface1983 [30]

Deb and YaoHeat Transfer analysis of impacting dilute spray on surfaces

beyond the leidenfrost temperature1987 [3]

Yao et ChoiChoi et al.

Heat transfer experiments of monodispersed vertically

impacting sprays

Mechanisms of film boiling heat transfer of normally

impacting spray

1987 [89]-[90]

Deb et al. Analysis on film boiling heat transfer of impinging sprays 1989 -

Klinzing et al.Film and transition boiling correlations for quenching of hot

surfaces with water sprays1992 [4]

Shi et al.Dynamic behavior and heat transfer of a liquid droplet

impinging on a solid surface1993 -

Inada and YangFilm boiling heat transfer for saturated drops impinging on a

heating surface1994 -

Estes et al.Correlation of Sauter mean diameter and critical heat flux for

spray cooling of small surfaces1995 [91]

MudawarExperimental and numerical study of quenching complex-

shaped metallic alloys with multiple, overlapping sprays1995 -

Yang et al. Nucleate boiling heat transfer in spray cooling 1996 [92]

Bernardin & Mudawar

Film boiling heat transfer of droplet streams and sprays 1997 [32]

Bernardin et al. Mapping of impact and heat transfer regimes of water drops 1997 [34]

172/195


impinging on a polished surface

CiofaloInvestigation of the cooling of hot walls by liquid water

sprays1999 [93]

Chen et al.Effects of spray characteristics on critical heat flux in

subcooled water spray cooling2002 [94]

Rini et al.Bubble behavior and nucleate boiling heat transfer in

saturated FC-72 spray cooling2002 [95]

Yao et CoxA General Heat Transfer correlation for impacting water

sprays on high-temperature surfaces2002 [40]

Chen et al. Optimal spray characteristics in water spray cooling 2004 [96]

Hsieh et al.Spray cooling characteristics of water and R-134a. Part I:

nucleate boiling2004 [97]

Hsieh et al.Spray cooling characteristics of water and R-134a. Part II:

transient cooling2004 [98]

Horacek Single nozzle spray cooling heat transfer mechanisms 2005 [99]

Issa et YaoNumerical model for spray-wall impaction and heat transfer

at atmospheric conditions2005 [28]-[100]

CiofaloThe Nukiyama curve in water spray cooling: Its derivation

from temperature–time histories and its dependence on the

quantities that characterize drop impact

2007 [13]

Visaria & Mudawar

Effects of high subcooling on two-phase spray cooling and

critical heat flux2008 [101]

Visaria &

Mudawar

Theoretical and experimental study of the effects of spray

inclination on two-phase spray cooling and critical heat flux2008 [102]

WendelstorfSpray water cooling heat transfer at high temperatures and

liquid mass fluxes2008

[103]-

[104]

KondarajuHybrid turbulence simulation of spray impingement cooling :

The effect of vortex motion on turbulent heat flux2009 [105]

Zhao et al.Study on heat transfer performance of spray cooling: model

and analysis2010 [19]

Cheng et al.Experimental and theoretical investigation of surface

temperature non-uniformity of spray cooling2011 [106]-[43]

Ramstorfer et al.

Investigation of Spray Cooling Heat Transfer for Continuous

Slab Casting2011 [107]

Cheng et al.Theoretical investigation on the mechanism of surface

temperature non-uniformity formation in spray cooling2012 [20]

Gounder et al.Turbulent piloted dilute spray flames: Flow fields and droplet

dynamics2012 [1]

Mascarenhas et

al.

Methodology for predicting spray quenching of thick-walled

metal alloy tubes2012 [108]

173/195


Pereira et al.Single phase cooling of large surfaces with square arrays of

impinging water sprays2012 -

Xie et al.Thin liquid film flow and heat transfer under spray

impingement2012 [21]

Xie et al.Characterization of spray atomization and heat transfer of

pressure swirl nozzles2013 [109]

Zhang et al.Experimental investigation of spray cooling on flat and

enhanced surfaces2013 [110]

174/195

Annexes 2) Le modèle TAB

Annexes 2) Le modèle TABLe modèle TAB (Taylor Analogous Breakup's model) est un

modèle déterministe développé par O'Rourke et Amsden

[63].

Ce modèle calcul l'oscillation d'une goutte de diamètre

d0=2 r0 et de vitesse u0 relative au milieu environnent,

soumise aux forces internes (tension superficielle, viscosité

interne) et externe (traînée). Une analogie avec un oscillateur

harmonique forcé permet de calculer le déplacement x de

l'équateur par rapport à sa position d'équilibre (figure 2.1).

Lorsque les conditions limites sont atteintes une

fragmentation est réalisée.

L'équation d'oscillation de l'équateur s'écrit:

F−kx−dd x

d t=m

d2x

d t2 (2.1)

avec : Fm

=CF

ρ G U0

2

ρL r0

, km=Ck

σρ Lr0

3 ,

dm=Cμ

μL

ρ Lr 0

2 et CF=1 /3 , Ck=8 , Cμ=5 .

Les constantes Ck et Cμ sont issues des calculs théoriques de l'oscillation d'une goutte dans

son mode fondamental, obtenues par H. Lamb [70]. CF est calculé à partir de Ck Cb /CF=12.

Cette dernière équation vérifie le seuil de fragmentation WeB≥12 obtenue

expérimentalement. Le modèle considère que la vitesse relative entre la phase gazeuse et la

goutte est constante durant le temps du calcul.

On définit la déformation adimensionnelle de la goutte y=x /(Cb⋅r 0) , avec Cb=1 /2 . On

obtient ainsi l'équation d'évolution de la déformation y ( t) :

yTAB( t)=Wec+e−t /t d[(y 0−Wec)cos(ω t)+1ω(dy

0

d t+

y0−Wec

td)sin(ω t )] (2.2)

avec : ω2=Ck

σρL r0

3−

1

td

2 , td=2

Cμ

ρL r0

2

μL, Wec=

CF

Ck Cb

We r ( Wer le nombre de Weber basé

sur le rayon) et y0 ,dy0/d t la déformation et la vitesse de déformation de la goutte au début

du calcul.

Deux conditions sont nécessairement pour permettre une fragmentation :

─ Wer>6 , comme décrit expérimentalement.

175/195

Figure 2.1: Dans le modèle TAB ledéplacement x de l'équateur décrit

la déformation de la goutte.

Annexes 2) Le modèle TAB

─ L'amplitude d'oscillation de l'équateur doit être égale au rayon de la goutte, soit

xmax=Cb⋅r 0 et Cb=1 /2 . Numérique on cherche l'existence d'un temps t TAB tel que

ymax=y ( tTAB)=1 .

Caractéristiques des gouttes filles

Le diamètre des gouttes filles est calculé en égalisant l'énergie de la goutte mère et des gouttes

filles. Les gouttes filles sont considérées non déformées et stables à leur naissance. Une

simplification est aussi effectuer pour le calcul de la goutte mère en utilisant ω=8σ /ρl r0

3 . On

obtient le rayon de sauter des gouttes filles:

r 32,TAB=r 0

1+8K y max

2

20+ρL r 0

3((d y /d t )t=tTAB)

2

σ (6K−5120 ) (2.3)

La constante K=10/3 permet de prendre en compte l'énergie stockée dans les autres modes

d'oscillation de la goutte (le calcul ne se fait que sur le mode fondamental).

Le nombre de goutte est obtenue par conservation de la masse.

Pa rapport à la goutte mère, la vitesse des gouttes fille est perpendiculaire à u0 . La norme est

égale à la vitesse de déplacement de l'équateur au moment de la fragmentation :

u fille,TAB=CV (Cb r 0)(d y /d t)t=tTAB

(2.4)

CV est une constante d'ajustement égal à l'unité.

176/195

Annexes 3) Cartes des paramètres des fonctions d'interpolation de la vitesse pour la méthode d'initialisation.


177/195

Figure 3.1: Carte des principaux paramètresde la corrélation diamètre vitesse pour la

composante ux

σ u x[m.s−1 ]

ULim , x [m.s−1 ]

U0, x [m.s−1 ]


composante uy

σ u y[m.s−1 ]

ULim ,y [m.s−1 ]

U 0, y [m.s−1 ]


178/195


composante uz

σ u z[m.s−1 ]

ULim , z [m.s−1 ]

U0,z [m.s−1 ]


Simulation numérique du refroidissement par spray en régime de Leidenfrost

Dans l'industrie métallurgique, le refroidissement est une étape fondamentale qui permet de donner

certaines qualités aux matériaux (résistance mécanique, souplesse). L'impact d'un spray est une

méthode de refroidissement connue mais mal comprise, limitant aujourd'hui ses champs d'applications.

Cette thèse vise à mettre en place un outil numérique apte à l'étude et à l'optimisation futur du

refroidissement par spray.

La littérature met en évidence la multitude des mécanismes du refroidissement, et le peu

d'informations sur les liens entre ces mécanismes et les caractéristiques du spray (diamètre, vitesse et

répartition spatiale des gouttes). Pour simuler le refroidissement, on propose de séparer l'étape

d'écoulement du spray de celle du calcul du refroidissement de la plaque. Une corrélation sur la

densité de flux de chaleur issue de la littérature permet de lier les deux étapes. Une analyse poussée du

spray est réalisée grâce à plusieurs outils expérimentaux: Analyseur à Phase Doppler, caméra rapide,

mesure de débit surfacique. Les éléments clefs pour caractériser puis d'initialiser le spray dans la

simulation sont ainsi mis en évidences. La méthode d'initialisation, la configuration numérique (Euler-

Lagrange, modèle RANS k-ω), ainsi que le domaine de calcul sont validés avec l'écoulement d'un

spray libre. La méthode est ensuite utilisée pour simuler l'écoulement du spray en présence d'une

plaque. Finalement, le refroidissement d'une plaque est simulé. On obtient la densité de flux de chaleur

extraite de la plaque en fonction des caractéristiques du spray. Enfin, cette thèse soulève des questions

sur des points de simulation couramment utilisés mais menant à des erreurs dans le calcul du

refroidissement.

Mots clés : refroidissement, transfert thermique, impact, spray, simulation, Euler-Lagrange,

expérimentale, PDA

Numerical simulation of the spray cooling process, in the Leidenfrost regime

In the metallurgy industry, the cooling is a fundamental stage which allows to bring certain qualities to

materials (mechanical resistance, flexibility). The impact of a spray is one known process but it is not

well understood, limiting its today's scopes. This thesis aims at developing a simulation procedure, in

order to obtain a usefull numerical tool for the study and the futur optimization of the spray cooling.

Litterature highlights the multitude of the mechanisms of spray cooling, but also the few existing

information linking these mechanisms and the characteristics of the spray (diameter, speed and space

distribution of droplets). In order to simulate the spray cooling, one proposes to split this process in

two stages, the spray flow and the calculation of the cooling. Based on the literature, a correlation on

the density of flow of heat removed from the plat is used to link the two stages. A full spray

characterization is realized thanks to several experimental tools: Phase Doppler Analyser, speed-

camera, measure of surface liquid flow density. Key elements required to characterize and also to

initialize the spray in the simulation, are highlighted as well. The method of initialization, the

numerical configuration (Eulerian-Lagrangian simulation, RANS k-ω turbulence model), as well as

the domain of calculation are validated with the simulation of a free-fall spray. The method is then

used to calculate characteristics of the spray in the presence of a surface. Finally, the cooling of plate is

simulated, bringing results on the heat flow density removed from the plate in accordance with

characteristics of the spray. Main results concern the highlighting of major points of simulation

communally used but leading to error in the cooling simulation.

Keywords: cooling, thermic-transfert, spray, impact, numerical simulation, Euler-Lagrange,

experimental, PDA

179/195

Documents

LIENS Code de la Propriété Intellectuelle. articles L 122. 4docnum.univ-lorraine.fr/public/DDOC_T_2013_0327_BAILLARD.pdfCela n'a sûrement pas été tout le temps facile, alors merci