Livre Physique - Magnétisme

7/22/2019 Livre Physique - Magntisme

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Signaux mcaniques

et ondes mcaniques progressives

1. Signaux mcaniques

Un signal mcanique, cest--dire une perturbation de courte dure, sepropage dans un milieu matriel lastique en provoquant des dforma-tions (branlements) du milieu son passage.

On distingue : les signaux transversaux : ce sontdes dformations orthogonales ladirection de propagation (dforma-tion dune corde, vague la surfacede leau) ;

Fig. 1-1 Fig. 1-2

2. Phnomnes vibratoires

Un mouvement vibratoire est un mouvement qui seffectue de part etdautre dune position moyenne (position dquilibre par exemple).

Le mouvement effectu lors dun aller-retour est une oscillation.

3. Ondes mcaniques progressives

Comme pour les signaux mcaniques, il existe des ondes mcaniqueslongitudinales et des ondes mcaniques transversales.

On dfinit une onde mcanique comme tant le phnomne dcoulantde la propagation dans un milieu matriel dune succession de signauxmis par un systme vibratoire appel source ou metteur. Ces ondes

sont dites progressives si, dans un milieu illimit, elles sloignent ind-finiment de la source.

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CHAPITRE 1 LES ONDES MCANIQUES PROGRESSIVES

t

t + t

vt

t+ t

v

les signaux longitudinaux : ce sontdes dformations parallles ladirection de propagation (compres-sion-longation dun ressort).


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Dans les milieux homognes, on dfinit la vitesse de propagation delonde ou clrit (note V) comme tant la vitesse de dplacement de ladformation.

4. Ondes sonores

Les ondes sonores sont des ondes mcaniques longitudinales de com-pression-dilatation qui se propagent dans toutes les directions. Ces ondesne se propagent pas dans le vide. Leur propagation ncessite un milieumatriel lastique.

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cours s a v o i r - f a i r e e x e r c i c e s c o r r i g s

On jette une pierre la surface de leau calme dun lac. Celle-ci entre dans leauen un point O situ quelques mtres de la rive.

1. Comment sappelle le phnomne physique engendr par la chute de lapierre dans leau ?

2. Prciser en le justifiant si le phnomne de propagation est transversal oulongitudinal.

3. Dans cette exprience, quel est le rle jou par leau ?4. Supposons prsent quon laisse tomber en O une succession de pierres intervalles de temps rguliers. Comment peut-on alors nommer le phnomnede propagation engendr ?

corrig comment1. Indication : lexprience revient perturber un milieu matriel lastique.

En entrant dans leau, la pierre provoque une perturbation de courte dure dela surface. Leau tant un milieu matriel lastique, la perturbation va se propa-ger. Il sagit donc dun signal mcanique.2. La dformation de la surface se fait orthogonalement la direction de pro-pagation qui, elle, est dans un plan horizontal. Donc ce signal mcanique esttransversal.

3. Ici, leau est le milieu dans lequel le signal peut se propager : il sagit doncdun milieu matriel lastique.

4. Indication : le dispositif de perturbation est maintenant entretenu.

Le point O et chaque pierre lorsquelle touche leau constituent un systme

vibratoire. Le phnomne engendr est donc une onde mcanique progressive.

exemple dapplication


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Proprits gnrales

des ondes mcaniques1. Onde et clrit

cause des frottements existants lors du passage de la perturbation dansle milieu matriel, une partie de lnergie transporte se transforme en cha-leur. On dit quil y a amortissement du signal : son amplitude diminue.

La propagation de signaux peut se produiredans des milieux : une dimension (corde, ressort, chelle deperroquet, ), deux dimensions (surface de leau voir

figure 1-3, ), trois dimensions (son dans lair, ). Fig. 1-3

Dans les milieux deux ou trois dimensions, lnergie se rpartit sur descercles ou des sphres de plus en plus grands : il se produit une attnua-tion du signal, il se dilue . Il ne faut pas confondre amortissement etattnuation.

Le milieu tant considr homogne (constitu dlments de mmenature), isotrope (qui a les mmes proprits dans toutes les directions) etinfini, la clrit des ondes progressive est constante.

Remarque : les ondes lectromagntiques (en particulier la lumire) se propage

dans le vide la vitesse :

c 3,00.108 m.s-1.

Dans la plupart des cas, la clrit ne dpend pas de la forme et de lam-

plitude de londe. Cest une proprit du milieu et de son tat physique :elle dpend de la nature du milieu, elle augmente avec son lasticit etdiminue avec son inertie.

Contrairement au dplacement dun objet mobile, la propagation duneonde seffectue sans transport de matire. Une onde se propage cepen-dant dans un milieu en transportant de linformation et de lnergie.

2

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2. Croisement de deux signaux

Si deux signaux de mme nature se propagent lun vers lautre, alors ilsse superposent momentanment lorsquils se croisent. La dformationrsultante est gale la somme algbrique des dformations que provo-querait chacun des signaux sil intervenait seul au point considr (voirfigure 1-4).

Aprs stre croiss, les signaux sloignent sans avoir t modifis par

leur rencontre.


On reprend la situation de lapplication 1. mi-chemin entre O et la rive, flotteun bouchon B de pcheur initialement au repos (OB = 10 m).

1. Expliquer pourquoi le bouchon nest pas entran vers la rive au moment ola perturbation passe son niveau.

2. En ne tenant pas compte de lamortissement, calculer le coefficient parlequel il faut diviser lnergie E1 transporte par londe sur L = 1 cm de large lors-quelle est situe en A 1 m de O pour trouver lnergie E2 transporte parlonde sur L = 1 cm de large lorsquelle arrive en B.

corrig comment1. Le passage de la perturbation se traduit par des mouvements ascendants etdescendants de leau. Le bouchon tant solidaire de leau qui lentoure, il na lui

aussi quun mouvement ascendant et descendant. Le bouchon navance doncpas vers la rive.2. Indication : le fait que lon considre londe sur 1 cm de large ou sur toute autre

longueur na pas dimportance en soi. Cest ici lnergie par unit de longueur,

lnergie linique, qui intervient dans le calcul : L se simplifie.

Si on nglige lamortissement, la totalit de lnergie E rpartie sur le cercle C1 deprimtreP1=2(OA) se retrouve rpartie sur le cercle C2 de primtreP2=2(OB).

Lnergie transporte parL = 1 cm de largeur sur C1 est :E PL E1 1

= .

Lnergie transporte parL = 1 cm de largeur sur C2 est :E PL

E2 2=

.

Le coefficient cherch est :( )( )

EE

PL E

PL E

PP

OA

OB

22

1021

2

112

= = = = = .


Fig. 1-4

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Ondes progressives une dimension

1. Notion donde progressive une dimension Si, lextrmit S dune longue corde lgrement tendue, nous produi-sons une succession dbranlements cadencs, nous observons la propa-gation dune onde mcanique unidirectionnelle (voir fig. 1-5). La cordeconstitue un milieu mono-dimensionnel (non dispersif).

2. Notion de retard

Tout point du milieu de propagation (non dispersif) situ la distance dde la source reproduit le mouvement de la source avec le retard tel que :

Vd

= avec en seconde, den mtre et Ven m.s-1.

La perturbation, en un point M du milieu, linstant t, est celle quavaitla source S au temps t0, tel que :t0 = t

3


SFig. 1-5

Reprenons encore une fois la situation de lapplication 1. On jette une pierre la surface de leau calme dun lac. Celle-ci entre dans leau en un point O situ 20 m de la rive. mi-chemin entre O et la rive, flotte un bouchon de pcheurinitialement au repos.

1. Un observateur regarde sa montre au moment o les vagues atteignent lebouchon. Il voit alors indiqu : t1 = 15 h 00. Sachant que la perturbation se pro-page V= 0,5 m.s-1, quelle heure t0 tait-il quand la pierre a touch leau ?

2. Avec quel retard (par rapport au bouchon) la perturbation atteindra-t-ellela rive ?

corrig comment1. Conseil : faites un schma en coupe de la rive t0 et t1.La dure qui spare ces deux schmas est (t1t0).Pendant cette dure, la perturbation sest propage de dmtres la clrit V.

exemples dapplication

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Notion donde

progressive priodique1. Phnomne priodique

Un phnomne convenablement entretenu est priodique (ex : lame

vibrante).

Un phnomne vibratoire est priodique lorsquil se reproduit identique

lui-mme au bout dun intervalle de temps T, appel priode. T sex-

prime en secondes (s).

La frquence dun phnomne priodique est gale au nombre de

priodes par seconde :

T1

= , o est exprim en hertz (Hz).

2. Onde progressive priodique

Une onde progressive est priodique si, un instant quelconque, une

photographie du milieu montre lexistence dune priodicit spatiale de

londe progressive.

La priode correspondante sappelle longueur donde ; elle est note .

Exemple : onde progressive dans un milieu une dimension de direction

de propagation [Sx).

3. Cas dune onde progressive sinusodale

Une source vibratoire sinusodale (harmonique) gnre une onde progres-

sive sinusodale.

Vibration en phaseLes points distants dun nombre entier de longueurs donde sont dits en

phase : d= k. , avec k entier (ex :M1 etM2...).

1

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CHAPITRE 2 ONDES MCANIQUES PROGRESSIVES PRIODIQUES

S

longueur donde longueur donde

milieu de propagation la datet

x

Fig. 2-1


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Double priodicit dun phnomne

ondulatoire ; quation aux dimensions1. Priodicit temporelle T

Tous les points du milieu de propagation reproduisent le mouvement de

la source ; ils vibrent avec la mme priode Tet la mme frquence que

la source. Test appel priode temporelle de londe progressive.

2. Priodicit spatiale

La longueur donde reprsente la priode spatiale de londe : cest la

distance parcourue par londe pendant une priode T(priode du phno-

mne vibratoire entretenu).

Lexpression de la longueur donde est : ,

avec : longueur donde en mtres (m), V : vitesse de propagation en

mtres par seconde (m.s1), T: priode en secondes (s) et : frquence en

hertz (Hz).

3. Double priodicit et T

La priode temporelle Test aussi bien la dure quil faut londe pour

avancer dune longueur donde (priode spatiale) que la dure ncessaire

pour quun point se retrouve dans le mme tat de vibration.

La priode spatiale est aussi bien la distance parcourue en Tsecondes

(priode temporelle) que la distance sparant deux points conscutifs vibrant

en phase. En pratique, pour mesurer la frquence dune onde sur cuve onde

par exemple, on utilise un stroboscope. La frquence de londe est la pluspetite frquence stroboscopique pour laquelle il y a immobilit apparente.

4. quation aux dimensions

La notion de dimension est rattache celle dun type de grandeurs phy-

siques ; elle est indpendante du systme dunits choisi.

Quatre dimensions indpendantes fondamentales permettent de dcrire

une grande partie de la physique : les longueurs symbolises par la lettre L,

les masses symbolises par la lettre M,

les temps symboliss par la lettreT,

les intensits des courants symbolises par la lettre I.

.V T vV

= =m

2

30



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En physique, lutilisation du signe = signifie non seulement que les

expressions de part et dautre du signe ont la mme valeur, mais aussi

quelles sont de mme nature, cest--dire quelles ont la mme dimension.

Par convention, la dimension dune grandeur physique A (autre quune

longueur, une masse, un temps ou une intensit) est note [A].

La dimension dun produit (ou dun quotient) est le produit (ou le quo-

tient) des dimensions. Les fonctions exponentielles, logarithmiques et

trigonomtriques nont pas de dimension.

5. Dimension de la longueur donde

Daprs la dfinition de la longueur donde : .

La longueur donde a bien la dimension dune longueur.

.. .V T V T TL T,soit= = = =m m8 8 8 88B B B BB


Un robinet goutte de faon rgulire la surface dune eau calme raison de120 gouttes par minute, en crant une onde progressive sinusodale. La distanceentre deux crtes est 8 cm.

1. Que vaut la vitesse Vde propagation de londe ?

2. Sachant que 1 Hertz correspond 1 s1, retrouver, par une analyse dimen-

sionnelle de la formule = V

, la dimension de .

corrig commentIndication : dterminez dabord les priodes spatiale et temporelle de londe.

Rappel : la priode temporelle T est linverse de la frquence.

1. Il tombe 120 gouttes par minute, cest--dire 120/60 = 2 gouttes par seconde.La frquence de la chute des gouttes, et par consquent celle de londe, est donc

= 2 Hz. De plus, T 121

= = = 0,5 s ; donc la priode temporelle est T= 0,5 s.

Lors de la propagation de londe, une crte de vague prend la place de celle quila prcde en Tsecondes. Par dfinition, la priode spatiale est la distance entredeux crtes ; la priode spatiale est ici = 8 cm = 0,08 m.

Comme londe parcourt mtres en Tsecondes, sa vitesse est :

.

2. Par analyse dimensionnelle, on a :est bien une longueur.

..V

T

TL

TL T L

1 1= = = =m8 =B G

, ,, , .T soit m sV 0 050 08 0 16 1= = =m

-


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Phnomnes

de diffraction et de dispersion1. Diffraction des ondes progressives sinusodales

Lorsquon interpose un dia-

phragme de petite dimension dans

le faisceau dune onde progressive,

le faisceau slargit : cest le phno-

mne de diffraction (figure 2-3).

De manire gnrale, il y a diffrac-

tion chaque fois quune onde ren-

contre un obstacle (figure 2-4).

Consquences : les ondes peuvent contourner des obstacles.

2. Influence de la dimension de louverturesur le phnomne observ

Lorsquune onde progressive sinusodale, de longueur donde , passe au

travers dune ouverture de dimension d:

si d ou d< (figure 2-4), londe

est diffracte et elle prend la forme

dune onde sphrique (ou circulaire)

centre sur louverture ;

si d (figure 2-5), londe passe

sans tre perturbe. Elle est seulement

diaphragme (sauf prs des bords o

lon retrouve une diffraction mais trs

ngligeable en gnral).

Le passage par une ouverture, quelle que soit sa dimension d, ne modifie

ni la longueur donde ni la frquence de londe progressive.

3


32

V

ondeincidente

ondediffracte

V

ondeincidente

ondediffracte

Fig. 2-3 Fig. 2-4

V

ondeincidente

ondediaphragme

Fig. 2-5


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On fait passer une onde sonore de frquence = 1 kHz dans une ouverture cir-culaire de diamtre dpratique dans une paroi de laine de roche (isolant acous-tique). Londe sonore est mise par une source ponctuelle assez loigne. Dansles conditions de lexprience, la vitesse du son dans lair est v = 340 m.s1.

1. Quelle est la gomtrie de londe mise ?

2. Du fait que la source ponctuelle est assez loigne, quelle gomtrie peut-onattribuer londe incidente au niveau de lobstacle ?

3. a) Quelle sera la gomtrie de cette onde sonore aprs lobstacle si d= 10 cm ?

b) Quelle sera la gomtrie de cette onde sonore aprs lobstacle si d= 1 m?

corrig comment1. Indication : en 3 dimensions, une onde est en gnral soit sphrique soit plane. Le

choix est donc assez restreint.

Comme la source est ponctuelle, londe est sphrique.

2. Du fait que la source ponctuelle est assez loigne, on peut considrer londecomme plane lorsquelle arrive sur la paroi de laine de roche. En effet, on peutassimiler une petite portion de sphre une portion de plan si la sphre estgrande devant la portion considre, cest--dire si sa surface (ici lobstacle) est

loigne de son centre (la source sonore).

3. Indication : Comparez la dimension du diaphragme la longueur donde du son.En fonction du rsultat, londe est soit diffracte, soit simplement diaphragme.

Connaissant la vitesse v de londe et sa frquence , on en dduit sa longueur

donde : . A.N. : =1000340 = 0,34 m = 34 cm

a) Si d= 10 cm, d< : londe est diffracte, elle est donc sphrique.

b) Si d= 100 cm, d> : londe est diaphragme, elle est donc plane.

v =


3. Phnomne de dispersion des ondes mcaniques

Certains milieux sont trs dispersifs : cest le cas de la surface de leau.

Certains milieux sont trs peu dispersifs : cest le cas dun gaz.

Un milieu est dit dispersifpour une onde progressive sinusodale si la

clrit de londe dpend de sa frquence.


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Propagation de la lumire

dans le vide1. Loptique gomtrique : rappels

Dans un milieu transparent, homogne et isotrope, la lumire se pro-page en ligne droite avec une vitesse qui dpend du milieu.

Le rayon lumineux est le modle qui reprsente le chemin suivi par lalumire. Cette notion de rayon lumineux est la base de loptique go-

mtrique. Elle permet : dexpliquer la formation des ombres (utilise pour les calculs de lon-gueurs en classe de seconde) et les conditions de visibilit dun objet ; de comprendre les phnomnes de rflexion et de rfraction (lois deDescartes) ; la conception dinstruments doptiques (lunette astronomique, lunetteterrestre ou jumelles, appareils de projection ou de rtro projection...).

2. Modle ondulatoire de la lumire Lexistence du phnomne de diffraction de la lumire (voir page 32)prouve son caractre ondulatoire.

La lumire est un ensemble dondes lectromagntiques auxquelles lilhumain est sensible : ces ondes sont appeles ondes lumineuses.

Remarque :selon ce que lon fait avec la lumire, on la voit comme un grain de

lumire appel photon (optique gomtrique), ou bien comme une onde (lors

dune diffraction par exemple). On parle de la dualit onde-corpuscule. Ces deux facettes de la lumire restrent longtemps contradictoires lune de lautre mais

elles sont dsormais unifies par une thorie assez rcente : la mcanique quantique.

3. Clrit

La lumire se propage dans les milieux transparents ; elle est arrte parles milieux opaques.

Contrairement aux ondes mcaniques, les ondes lumineuses se propa-gent aussi dans le vide. La propagation de ces ondes se fait avec la mmeclrit :

c 3,00.108 m.s1

1

44

CHAPITRE 3 LA LUMIRE, MODLE ONDULATOIRE


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La diffraction de la lumire

1. Observation de la diffractionde la lumire mise par un laser

Si on fait passer le faisceau laser travers une ouverture circulaire de dia-mtre de lordre du dixime de millimtre, nous constatons que le faisceaumergent diverge. Nous observons sur lcran (figure 3-2) un cercle brillantentour danneaux noirs et brillants : la figure observe est appele figurede diffraction.

Remplaons louverture circulaire par une fente (figure 3-3) : la lumireest diffracte dans une direction perpendiculaire la fente.

Un fil rectiligne diffracte la lumire de la mme faon quune fente.

2. Observation de la diffraction de la lumire blanche

Lorsquon regarde la lumire du jour tra-

vers un voilage fin, on voit apparatre destaches lumineuses irises formant une croix(figure 3-4).

Chaque maille du tissu diffracte la lumireblanche, laspect observ rsulte de la superpo-sition des lumires diffractes.

3. Influence de la dimension de louverture

ou de lobstacle sur le phnomne de diffraction

On admet, en premire approximation, quune onde lumineuse traver-sant une petite ouverture de largeur a (figure 3-5) diverge en formant uncne de demi-angle au sommet tel que :

2

46


laser

trou

supportcran

anneaux de

diffraction

laser

fente

verticale

supportcran

Fig. 3-2 Fig. 3-3

Fig. 3-4


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, avec exprim en radian.a =m


On envoie un rayon laser He-Ne ( = 632 nm) sur une plaque de carton en unpoint perc dun petit trou circulaire de diamtre a.

1. Que se passe-t-il si a = 1 cm ?

2. Que se passe-t-il si a = 10 m ? Calculer le demi-angle au centre en degrsdu cne de lumire qui se forme aprs lobstacle.

corrig commentConseil : pensez comparer la longueur donde du rayonnement et les dimensions dutrou.

1. Dans ce cas, a >> 0. On a donc a 00c=

m.

Il ny a pas de diffraction visible : le faisceaunest que diaphragm.

2. Ici a est plus petit. Il y a formation

dun cne de diffraction tel que : .

.. , . , . . .: ,AN rad 10 10

632 10 6 32 10 6 32 10 2360 3 66

92 2

c.= = =-

-

- -

a0

=

m


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onde lumineuse delongueur donde

obstacleouverture de

dimensiona

largeur de la tachecentrale (cestsouvent la seuleque lon considrebien quil en existedautres moinslumineuses)

Fig. 3-5

Fig. 3-6

Fig. 3-7


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On admet que la sensation couleur jaune est due aux ondes lectroma-gntiques visibles ou lumires monochromatiques dont les frquences sontcomprises entre min = 5,0.1014 Hz et max = 5,3.1014 Hz. On admet que laclrit dans leau est sensiblement la mme pour les diverses lumires mono-

chromatiques et est gale 225 000 km.s1

. Prciser les longueurs donde cor-respondantes lorsque ces lumires se propagent dans lair, puis dans leau.

corrig commentIndication : considrer que la clrit de la lumire est indpendante de sa frquence

revient ngliger le caractre dispersif de leau. Pour lair, on fait toujours cetteapproximation.

Rappel : la clrit de la lumire dans lair est suppose connue : Vair c 3,00.108 m.s1.

On a

V

=

, donc

V

minmaxair

air=

et

V

maxminair

air=

.AN :

, ., .

, . m5 0 103 00 10

6 010maxair 148

7.=

- et, ., .

, . m5 3 103 00 10

5 710minair 148

7.=

- .

Pour la couleur jaune dans lair, on a : .

De mme,V

minmaxeaueau

= etV

maxmineaueau

= .

On calcule , . m 4 510maxeau 7. - et , . m 4 210mineau 7. - .

Pour la couleur jaune dans leau, on obtient : .4,2.107m 4,5.107m

5,7.107m 6,0.107m


La clrit Vde la lumire dans un milieu matriel transparent tant tou-jours infrieure sa clrit dans le vide, alors n est toujours suprieur 1.

Exemples : nair ( 0C, 105Pa) = 1,00029 1,00 ; neau 1,33 ; nverre 1,50.

Par suite, la longueur donde dune onde lumineuse dpend du milieu

dans lequel elle se propage. Comme 0 =c et =

V , on a : c

V 0= .

On obtient donc : ou .n

0=n

0=

n > 1


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Phnomne de dispersion

de la lumire blanche par un prisme1. Milieux dispersifs

Dans certains milieux matriels transparents, la clrit de la lumiredpend de la frquence de la lumire considre. Comme dans le cas desondes mcaniques, ces milieux sont dits dispersifs.

Lindice de rfraction du milieu dpend donc dans ce cas non seulement

du milieu mais aussi de la frquence de londe lumineuse qui sy propage.

2. Le prisme

clair de lumire blanche, le prisme dcompose cette lumire en unspectre color continu. Une tradition mythique veut que lon distinguesept couleurs (violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge) dans cespectre (arc-en-ciel) mais il est clair que la couleur varie continment duviolet au rouge et quil y a donc une infinit de couleurs.

4

50


arte

prisme

lumireblanche

Drouge

rouge

jaune

violet

Dviolet

cran

ici seuls 3 rayons sont reprsents: en fait il y a toutes

les couleurs de larc en ciel.

Fig. 3-8


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On envoie un faisceau de lumire monochromatique sur un prisme en verre.Que lui arrive-t-il lors de la traverse du prisme ?

corrig commentIndication : exploitez le caractre monochromatique de la lumire.

Comme, par dfinition, cette lumire nest compose que dune seule couleur,il ny aura pas de dispersion. Ce rayon subit une rfraction sur la face dentreet une autre sur la face de sortie. Ce rayon est donc simplement dvi.


Dans un milieu transparent comme le verre, les diverses radiations nontpas la mme vitesse : cette vitesse dcrot des radiations rouges aux radia-tions violettes. En consquence, lindice n du verre constituant un prisme

dcrot quand la longueur donde augmente : n400nm = 1,7 et n650nm = 1,5. Les radiations qui constituent la lumire blanche ne subissent pas lamme rfraction. Le violet est plus rfract (plus dvi) que le jaune, quilui-mme est plus dvi que le rouge : cest la dispersion de la lumire.


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Stabilit et instabilit des noyaux

1. Composition des noyaux Le noyau est le cur dun atome. Il renferme des nuclons : Z protonschargs positivement (charge +e) et (AZ) neutrons (de charge nulle et demasse voisine de celle des protons).

A est appel nombre de masse : il reprsente le nombre de nuclons,cest--dire le nombre total de protons et de neutrons.

Z est le nombre de charge ou numro atomique : il reprsente lenombre de protons.

2. Reprsentation dun noyau

Un noyau est donc caractris par les nombres A et Z. Il sera reprsentpar le symbole:

, X tant le symbole de llment chimique.

Remarque :on appelle nuclide lensemble datomes ou dions possdantdes noyaux identiques.

3. Isotopes dun mme lment chimique

Ce sont des noyaux ayant le mme nombre de charge Z (mme nombrede protons) mais des nombres de masse A diffrents (donc des nombresdiffrents de neutrons).

Exemples:Isotopes de lhydrogne : H [1 proton et (11) = 0 neutron] ; H [1 pro-ton et (21) = 1 neutron] et H [1 proton et (31) = 2 neutrons].

Isotopes du carbone : C [6 protons et (126) = 6 neutrons] et C [6 pro-tons et (14-6) = 8 neutrons].

4. Domaine de stabilit et dinstabilit des noyaux

La cohsion et la stabilit des noyaux atomiques sont assures par lin-teraction forte. Cest une interaction attractive intense, de courte porte,qui sexerce indiffremment entre protons, entre neutrons ou entre pro-ton et neutron. Elle est en concurrence avec la rpulsion lectrostatiquequi existe entre les protons.

146

126

31

21

11

AZ X

1

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CHAPITRE 4 DCROISSANCE RADIOACTIVE


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On considre la courbe (N, Z) de sta-bilit des noyaux donnant linven-taire des noyaux des principauxatomes. Les points noirs indiquent

les noyaux stables et les pointsrouges, les noyaux instables, radio-actifs.

1. Comparer le nombre de neu-trons et de protons pour desnoyaux lgers stables.

2. Comparer le nombre de neu-trons et de protons pour desnoyaux lourds stables.

3. Y a-t-il forcment un seul isotopestable par lment?

corrig comment1. Indication : situez les points concerns par rapport la droite dquation y = x.On voit que les points noirs pour les petites valeurs de N et de Z (noyaux lgers)sont situs au voisinage de la droite N = Z. On en dduit que les noyaux stableslgers contiennent un nombre de neutrons sensiblement gal celui des pro-tons.

2. Indication : situez les points concerns par rapport la droite dquation y = 2 x.On voit que les points noirs pour les grandes valeurs de N et de Z (noyaux

lourds) sont situs bien au-dessus de la droite N = Z. On en dduit que lesnoyaux stables lgers contiennent plus de neutrons que de protons.

3. Certains points noirs se trouvent sur une mme verticale, donc il existe deslments qui ont plusieurs isotopes stables.

exemple dapplicationA=230

220

220200

190180

170160

150140

130

120

110100

9080

70

60

50

50 60

70 80

90 100

120

130

140

A=110

N=Z

40

402010

20

30

30Z

N150

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Fig. 4-1

Lorsque le nombre de protons dans le noyau augmente, la rpulsionlectrostatique lemporte sur linteraction forte : le noyau est instable.


23/90

La radioactivit

1. Dfinition La radioactivit rsulte de dsintgrations spontanes de noyaux ato-miques instables. Ces noyaux sont dits radioactifs. Cette dsintgrationradioactive saccompagne de lmission de particules , ou +.

2. Les trois types de radioactivit spontane Il existe trois types de radioactivit spontane : la radioactivit : mission de particule (positive), note He ; la radioactivit : mission dun lectron, not e ; la radioactivit + : mission dun positon e (antiparticule de llectron).

Une dsintgration radioactive saccompagne souvent dun rayonnementlectromagntique de frquence leve : un noyau pre X, instable, se dsin-tgre en un noyau fils excit Y* qui retourne dans son tat fondamental Ypar des missions . On parle de dsexcitation : AZ Y*

AZ Y + .

3.Lois de conservationdes quations-bilan des ractions nuclaires

Lors dune raction nuclaire, il y a conservation : du nombre de charge Z ; du nombre de nuclons A avant et aprs la raction ; de lnergie totale.

Lors dune dsintgration radioactive, il y a une diminution de lnergiede masse du systme de particules qui constituaient le noyau : cette nergiese transforme en nergies cintiques des particules et en nergie transfrepar rayonnement .

4. quation dune raction nuclaireRadioactivit :Elle concerne les noyaux lourds dont lenombre de masse est A > 200 (figure 4-2).

.

Exemple : Ra Rn + He + 42222

86226

88

AZ X A4Z2 Y + 42 He +

0+1

01

42

2

66


N

N - 2

ZZ - 2

missionzone de

stabilit

Fig. 4-2


24/90

Radioactivit :Elle concerne certains nuclidesprsentant un excs de neutrons

(figure 4-3) :.

Tout se passe comme si :

.

Exemple : C N + 01 e +

Radioactivit+ :Cette dsintgration ne sobserve quavec les radionuclides artificielscomportant un excs de protons (figure 4-3) : .

Tout se passe comme si : .

Exemple : P Si + 0+1 e + 3014

3015

11 p

10 n +

0+1 e

AZ X

AZ1 Y +

0+1 e +

147

146

10 n

11 p +

01 e

AZ X

AZ+1 Y +

01 e +


1. Le nuclide C (carbone 14) est radioactif. Il se dsintgre en mettant uneparticule (le numro atomique du Bore est Z=5, celui de lazote Z=7). Donnerla composition de ce noyau et crire lquation de sa dsintgration.

2. Complter les quations des ractions nuclaires suivantes en prcisant letype de radioactivit :

a) Cd Ag + +

b) Po He + Pb +

corrig comment1. Daprs la notation X, ce noyau est compos de Z = 6 protons et de(AZ) = 8 neutrons.Lquation de sa dsintgration est : C N + e + .Le noyau fils obtenu est celui dazote.

2. Indication : utilisez les deux premires lois de conservation.

a) dsintgration + : Cd Ag + e +

b) dsintgration : Po He + Pb + 2068242

21084

0+1

10747

10748

01

147

146

AZ

42

21084

1074710748

146


Fig. 4-3

67

mission -

mission +N + 1

N

N

N - 1

Z Z + 1 Z - 1 Z


25/90

Loi de dcroissance radioactive

1. Loi de dcroissance tant donn une population de N(t) noyaux radioactifs la date t. Onnote Nla variation de cette population pendant une dure t. Du fait dela dsintgration dun certain nombre de noyaux radioactifs, la popula-tion N(t) dcrot et la variation correspondante Nest ngative.

La quantit de noyaux qui se dsintgrent pendant cette dure test gale

(N) telle que : (1). La grandeur positive est la constante

radioactive. Elle est caractristique du type de noyau pour la dsintgrationtudie (unit : s1).

La consquence de cette relation (1) est que le nombre moyen de noyauxnon dsintgrs prsents dans lchantillon une date test :

,

avec 1

= la constante de temps et N0 le nombre de noyaux radioactifs

initialement prsents dans lchantillon.

2. Demi- vie t1/2 La demi-vie, ou priode radioactive, dun nuclide radioactif est la dure aubout de laquelle la moiti des noyaux radioactifs initialement prsents dans

un chantillon sest dsintgre (figure 4-4) : (2).

Au bout dune dure gale n fois ts, le nombre de noyaux radioactifsencore prsents dans lchantillon est :

. On a donc : .=N tN

2n0_ iN $=N $=e$N=N t e 21n t t

n n

0 0 0/ /1 2 1 2- -m m_ b di l n

,lnt 20 693

/1 2 .=m m

N N Ne e /t t0 0= =- -m x

N= .N.t

3


68

pourcentage de noyaux radioactifs

dure (gradue en demi-vie radioactive)

0 1 2 3 4

10%

0%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Fig. 4-4: loi de dcroissance radioactive


26/90


27/90

quivalence masse-nergie

1. quivalence masse-nergie Einstein a montr que la masse constitue une forme dnergie appelenergie de masse. La relation entre la masse (en kg) dune particule, au repos,et lnergie (en J) quelle possde est :

,

avec c 3,00.108 m.s1, vitesse de la lumire dans le vide.

Lunit dnergie utilise en physique nuclaire est llectron-volt (eV) etses multiples (keV, MeV, GeV) :

.

2. Dfaut de masse La masse dun noyau est infrieure la somme des masses des nuclonsle constituant.

On appelle dfaut de masse dun noyau, la diffrence entre la massetotale des nuclons spars au repos et la masse du noyau constitu et aurepos.Pour un noyau AZ X, le dfaut de masse est :

,

avec mx : masse du noyau, mp : masse du proton et mn : masse du neutron.

La formation dun noyau partir de ses constituants saccompagnedune perte de masse, donc dune mission dnergie.

3. nergie de liaison Lnergie de liaison est lnergie quil faut fournir un noyau au repospour le dissocier en nuclons isols et immobiles :

.

Pour un noyau AZ X :El = mnuclons.c2 mX.c2 = (Z.mp + (A Z).mn)c2 mX.c2.

On a :El = [(Z.mp + (A Z).mn) mX]c2, soit .

Lnergie de liaison est toujours positive.

El = m.c2

El + mnoyau.c2 = mnuclons.c2

m = (Z.mp + (A-Z).mn) mx

1eV = 1,6.1019J

E = m.c2

1

82

CHAPITRE 5 NOYAUX, MASSE ET NERGIE


28/90


29/90

Fusion et fission

1. Courbe dAston La figure suivante donne les valeurs moyennes de El /A en fonction deA (courbe dAston) ; cette courbe permet de comparer la stabilit des dif-frents types de noyaux.

Sur cette figure, leniveau zro de lner-gie correspond aux

nuclons spars etau repos. un mini-mum de la courbe

(valeur maximalepour + El /A) corres-pond une stabilitmaximale.

2. Exploitation de la courbe dAston :domaines de la fission et de la fusion

Pour 50 < A < 80, la courbe prsente un minimum trs aplati qui cor-respond donc aux noyaux les plus stables.

Les extrmits de la courbe correspondent aux noyaux les plus instables : un noyau trs lourd (A > 100), bombard par une particule adquate peutse casser en deux noyaux plus lgers : cest la fission nuclaire ;

un noyau lger peut donner un noyau plus lourd (possdant une ner-gie de liaison par nuclon plus grande) : cest la fusion nuclaire.

3. La fission nuclaire

Lors dune fission nuclaire, un neutron lent dont lnergie cintique estde lordre de 0,1 MeV casse un noyau lourd fissile en formant deuxnoyaux plus lgers et en librant dautres neutrons et de lnergie.

Le seul noyau naturel fissile est luranium 235.Exemple de raction : n + U Sr + Xe + 2 n +

Si la masse de matire fissile dpasse une certaine valeur, appele massecritique, les neutrons librs pourront, leur tour, provoquer une fission :cest la raction en chane.

10

13954

9538

23592

10

2

84


50 100 150 200 250

80

A

nombre de masse

nuclidesles plus stables

ractionsde fusion

ractionsde fission

El/A (MeV/nuclon)

1

5

8

10

8,8

Fig. 5-1


30/90

4. Raction en chane

Soit k le nombre moyen de neutrons librs qui provoquent une fission.

Si k < 1, la raction sarrte. Le systme est sous-critique. Si k > 1, la raction peut devenir explosive. Le systme est sur-critique.

Si k = 1, la raction sauto-entretient. Le systme est critique.

5. La fusion nuclaire

Lors dune fusion nuclaire, deux noyaux lgers sunissent pour formerun noyau plus lourd en librant de lnergie.

Cest la fusion dhydrogne en hlium qui est lorigine de lnergiesolaire : H + H He + n + 17 MeV.

Ces ractions sont trs exonergtiques (Bombe H).

Les ractions de fusion ne peuvent seffectuer qu trs haute temprature( 108 K). Ces ractions sont souvent appeles ractions thermonuclaires .

10

42

31

21

85


1. Calculer lnergie de liaison par nuclonEA

l (en MeV/nuclon) dun noyauduranium 235. Quelle est sa particularit parmi tous les noyaux naturels ? Onrappelle que le numro atomique de luranium est 92.

2. Lors de sa fission, il peut par exemple donner un noyau La, un noyau debrome et 3 neutrons. crire lquation de cette raction.

corrig comment1. Indication : calculez dabord le dfaut de masse.Par dfinition, .

. . .

AE

Amc

A

Z m A Z m m c p nl

22

noyau= =

+ - -

D _a i k; E

.

:AEAN l = 1,24.10-12J/nuclon.

En divisant par 1,6.1019, on a :El = 7,76.106 eV/nuclon = 7,76 MeV/nuclon.Cest le seul noyau naturel fissile !

2. Indication : utilisez les lois de conservation pour quilibrer la raction.

En utilisant les lois de conservation de la charge et des nuclons, on obtient :

n + U La + Br + 3. n + .108535

14857

23592

10

14857



31/90

Bilan de masse et dnergie

dune raction nuclaire1. Masse en physique nuclaire

Pour exprimer les masses, en physique nuclaire, on utilise une unitpratique : lunit de masse atomique (symbole u) qui est, par convention,le douzime de la masse dun atome de carbone 12.

. ,N

u1 121 12 1 66

A

327

.=

-

-. . kg10 10

Daprs la relation dEinstein, 1 u quivaut 931,5 MeV.

2. nergie libre par une raction nuclaire

Lnergie libre par une raction nuclaire correspond la diminutionde la masse totale du systme.Cette perte de masse Mest :

M= (masse totale avant raction) (masse totale aprs raction) = mav map. Daprs la relation dEinstein, lnergie correspondante est gale :

E = M.c2 = (mav map).c2.

Cette nergie est libre sous forme : dnergie cintique communique aux particules cres ; dnergie de rayonnement (rayonnement lectromagntique de trsgrande frquence et donc de grande nergie).

3

86


positon ouproton neutron lectron

positron particule

masse (en kg) 1,6726.10-27 1,6479.1027 9,1095.1031 9,1095.1031 6,6470.1027

masse (en u) 1,007 3 1,008 7 0,55.103 0,55.103 4,001 5

nergie au repos

(en MeV) 938,3 939,6 0,5 0,5 3 728,4


32/90


33/90


34/90

Le sens choisi est appel senspositif.Si le sens rel du courant corres-

pond au sens choisi, alors i = +I> 0.Si le sens rel du courant correspond au sens inverse, alors i = I< 0.

4. Convention rcepteur

Dans le but de simplifier la relation liant la tension u et lintensit i pourun diple passif, il faut se placer en convention rcepteur.

Dans un rcepteur, le courant descend les potentiels. Si le dipleAB estun rcepteur, alors, pour u = uAB = VA VB > 0 (soit VA > VB), le courant vabien deA versB dans le diple, cest--dire que i > 0. Les grandeurs tensionet intensit sont, dans cette convention, de mme signe.

Pour un gnrateur, et pour des raisons similaires, il faut utiliser la conven-tion inverse (flches u et i de mme sens) appele convention gnrateur.

BA

i

uAB

diple rcepteur

En convention rcepteur, il faut reprsenter i et u par des flches de sensoppos.

101


Dans le circuit ci-contre, le courant i = 1 A est sup-pos constant.1. Combien dlectrons traversent S chaque

seconde ? Dans quel sens ?On rappelle que e = + 1,6.1019 C.2. Pour le dipleD, i et u sont-ils en conventiongnrateur ou rcepteur ? SiD est une rsistanceR, donner la loi liant u et i.

corrig commentRappel : 1 ampre est un dbit de 1 coulomb par seconde et chaque lectron a unecharge q = e = 1,6.1019 C.

1. La charge lectrique traversant la section S chaque seconde de B vers Nest :q = i.t= 1 1 = 1 C. La charge : q = 1 C circule de N vers B.Pour former une telle charge, il faut N= (q)/(e) = 6,25.1018 lectrons. Ces lec-trons de charge ngative circulent donc de N vers B.2. Comme u et i (pourD) sont dans des sens opposs, il sagit de la conventionrcepteur. Pour une rsistance, on a donc u =R.i dans cette convention.


Fig. 6-3

Fig. 6-4

S

B

P N

A

u

D i

Fig. 6-5

i


35/90

Relation entre tension et intensit

1. Charge dun condensateur courant constant En reprenant le montage de lafigure 6-2 (le condensateur tantpralablement dcharg) et en rele-vant, la fermeture de linterrup-teurK, les valeurs de la tension uABen fonction de la dure tde charge,

on obtient le graphe ci-contre.

Ce graphe est celui dune fonction linaire, on a donc : (1), o

k est une constante. Comme par dfinition qA = i.t, daprs la relation (1),

on en dduit : ..

uq

k ti t

AB=

A = constante, soit : (2).

Le coefficient C est positif : il est appel capacit du condensateur. Lacapacit sexprime en Farads de symbole F, avec qA en coulombs (C) et uAB

en volts (V).

2. Cas des courants variables

Dans ce cas, intensit et tension sont des grandeurs qui sont des fonc-tions du temps. On travaille alors avec les valeurs instantanes i(t) et u(t).

Les lois fondamentales utilises en courant continu (tensions, intensi-

ts) restent valables pour des valeurs instantanes. Dans le cas de courants variables, lintensit nest plus un dbit constantde charges.

Comme qA(t) = C.uAB(t), alors (4)..i t C tuddAB=_ i

On dfinit la valeur instantane i(t) de lintensit la date t commetant gale la valeur de la drive de la fonction q(t) cette date t, avecen convention rcepteur : i(t) =

t

q

dd A (3)

qA = C.uAB

uAB = k.t

2

102

CHAPITRE 6 DIPLE RC

umax

uAB

0 t

Fig. 6-6


36/90

On tudie la charge dun condensateur de capacit C avec un gnrateur de cou-

rant dlivrant une intensit constante i = 100 A. Un dispositif lectroniquenon reprsent permet dinterrompre priodiquement la charge en produisantune dcharge totale quasi instantane du condensateur. On branche un oscillo-scope comme lindique le schma et on observe lcran de loscillographe ci-dessous.

1. Recopier le schma en reprsentant la tension u mesure par loscilloscope.Si on considre la tension u et lintensit i pour le condensateur, dans quelleconvention (gnrateur ou rcepteur) est-on ? En dduire la relation entre u et i.

2. Dterminer la capacit C du condensateur.

corrig commentRappel : lentre Y de loscilloscope correspond la borne + dun voltmtre.1. Loscilloscope mesure toujours la tensionentre la voie Y et la masse, cest--dire que u = uAB(pointe de la flche en A).u et i (tension aux bornes de C) sont de senscontraire : il sagit donc de la convention rcep-teur.

Dans cette convention, la relation demande est (4).

2. Pour chaque charge, u varie linairement en fonction du temps. Le termed(u(t)/dtcorrespond donc la pente des segments obliques de loscillogramme.

Graphiquement, on trouve ( ( ) / ( ) , .u t t 0 24 20 2 10d d V . ms V . s1 4 1= = =- - .

Daprs la relation (4), on a ( ( )/u t tiC

d d= , soit C = 5 nF.

.i Ct

u t

d

d=

_a ik


103


i A Y

B

C

oscilloscope

sensibilit verticale : 1 V/div

base de temps : 0,1 ms/div

Fig. 6-7 Fig. 6-8

i A Y

B

Cu

Fig. 6-9


37/90

Diple RC

1. Charge et dcharge dun condensateur Le montage ci-contre est ralis pour tu-dier la charge puis la dcharge dun conden-sateur. Le gnrateur de tension dlivre iciune tension continue, de valeur constanteau cours du temps. On utilise un oscillos-cope mmoire.

La charge ou la dcharge dun diple (R, C) sont des phnomnes transitoires.

3

104

CHAPITRE 6 DIPLE RC

Uo

uR uC

P

R

N+q -q

K

1

2

voie YA voie YB

i

Fig. 6-10

Si K passe en position , un cou-rant positif stablit dans le circuit.Lintensit i de ce courant dcrotprogressivement tandis que uC aug-

mente. Quand uC = Uo, alors i = 0. Daprs la loi des mailles et (4) :

uc+ uR = Uo donc .

Cette quation est lquation dif-frentielle rgissant la charge du

condensateur.

En tenant compte des conditions

initiales, la solution de cette qua-tion diffrentielle est :

(5).RC=U avec x= exp1 -u t tc 0 -x

df` npj

.utu Ud

dR Cc c 0+ =

Si K passe de , un courantngatif stablit dans le circuit. Lavaleur absolue de lintensit de cecourant dcrot : le condensateur se

dcharge. Quand i = 0 alors uC = 0. Daprs la loi des mailles et (4) :

uc+ uR = 0 donc .

Cette quation est lquation dif-frentielle rgissant la dcharge

du condensateur.

En tenant compte des conditions

initiales, la solution de cette qua-tion diffrentielle est :

(6).RC=U avec xexp=u tt

c 0 -x

d` nj

.utu

ddR C 0c c+ =

0,63.Uo0,99.Uo

Uo

0 5 t

uc(t)

0,37.Uo

0,01.Uo

Uo

0 5 t

uc(t)

Fig. 6-11 Fig. 6-12

charge dun condensateur dcharge dun condensateur


38/90


39/90


40/90

La valeur de lnergie potentielle lectrostatique stocke par un conden-

sateur est : .

Daprs (2), on a aussi :E Cq q u21 21c c2

$

= = .

Remarque : stockage et dstockage de lnergie ne peuvent jamais seffectuerinstantanment, ce qui confirme que les variations de la tension uc(t) ne sont

jamais discontinues.

3. Analyse dimensionnelle de la constante de temps

Daprs la loi dohm pour un conducteur ohmique : u = R.i, on a Ri

u=7 7

7A AA.

Daprs (2), on a : q = C.u, soit C u

q=7 7

7A A

A.

Or daprs (4), on a it

q=7 7

7A AA, soit T

i

q= 7

7AA.

On en dduit : .R Ci

u

u

q

i

qT$= = =7 7

777

77A A

AAA

AA

.

La constante a donc bien la dimension dun temps.

E Cu21

c c2

=

107


On considre le circuit ci-contre.A t = 0 s, on ferme linterrupteur K. On appelleuc(t) la tension aux bornes du condensateur initia-lement charg.

Elle a alors pour expression : expRC

tu t 10c $= -d_ ni .

1. tablir lexpression de lintensit i(t) du courant dans le circuit pour t> 0 s.2. Calculer lnergieE(t1) stocke dans le condensateur t1 = 2 ms.

corrig comment1. Rappel : sachez que lintensit dans un condensateur est proportionnelle la dri-

ve de la tension ses bornes ; le coefficient de proportionnalit est sa capacit C.

exp expi t Ctu

R RCt t

dd 10

1010

10 10c

3 3 6$ $ $$

= = - - = --

_ d di n n ,soit .

2. Rappel : lnergie stocke dans un condensateur ne dpend que de sa capacit et dela tension ses bornes.

J9 10$=10=: .exptAN E 21 10

10 10

2 103 6

32

61

7

$

$

$

--

---

J

L

KK`

N

P

OOj

R

T

SSS

V

X

WWW

E t C u t21

c1 12

$= _` ij 9 C

i(t) = 0,01.e1000.t


C=1FR=1k

K i

uc

Fig. 6-16


41/90

La bobine

1. Description - Symbole Les bobines ou inductances sont constitues dun fil conducteur isolbobin sur un support isolant (baklite, tflon...) cylindrique ou torique, lintrieur desquelles on peut introduire des noyaux mtalliques (alliageferromagntique) ou des noyaux de ferrite.

Du point de vue lectrique, une bobine est caractrise : par une grandeur appele inductance, noteL, exprime en henry (H) ;

par sa rsistance rexprime en ohm () qui reprsente son dfaut.Remarque : linductance dpend des caractristiques physiques de la bobine

(nombre de spires par unit de longueur, prsence ou non dun noyau...).

Sa reprsentation symbolique est :

2. La bobine en convention rcepteur

La tension aux bornes dune

bobine est:

(1).

Le terme r.i correspond la tension que lon aurait aux bornes dun

conducteur ohmique de rsistance r.

Le terme Lti

dd

$ est li aux variations de lintensit du courant dans labobine.En particulier, si i > 0 et tend augmenter (lors de la fermeture du circuit)alorsL

ti

dd

$ > 0. La bobine se comporte bien en rcepteur qui soppose aupassage du courant, elle modre laugmentation de i.Inversement, si i > 0 et tend diminuer (lors de louverture du circuit),

alorsL tidd$ < 0. La bobine se comporte en gnrateur qui tend mainte-nir un courant dans le circuit.

Remarque :en rgime permanent et en courant continu (i = cte), on a uAB = ri ;

la bobine se comporte alors comme un simple conducteur ohmique.

u r i Lti

dd

= +AB

1

118

CHAPITRE 7 DIPLE RL

Ai B

uAB

L. r.idi

dt

Fig. 7-1


42/90

3. nergie dans une bobine

La puissance lectrique reue par un diple (AB) est gale Pe = uAB.i.

Pour une bobine : r i Li ti

d

dPe

2$= +

. Cette puissance se dcompose en deux termes : la puissance dissipe par effet Joule :Pj = r.i2 ; la puissance (magntique) emmagasine par la bobine :P Li

ti

dd

m = .

Cette expression peut scrire :Pt

Lidd

21

m2

= d n (4).Or par dfinition de la puissance : P

tEd

dm m= _ i (5).

Daprs (4) et (5), on dduit lnergie emmagasine par une bobine ladate t:

Em : nergie en joules (J), avec L : inductance en Henry (H).{

i : intensit en ampres (A)E Li2

1m

2=

119


Une bobine (L = 1 mH, r = 10) est traverse par un courant de la formei(t) =I0.cos (t) avecI0 = 0,1 A et = 1000 rad.s1.

1. Trouver lexpression de la tension uL(t) aux bornes de la bobine.

2. Que vaut lnergie emmagasine dans cette bobine t= secondes ?

corrig comment1. Rappel : la drive de f(t) = cos(t) est f(t) = sin(t).

cos cosu t ri t Lt

i tr I t L

tI t

dd

dd

0 0= + = +~ ~L_ _ _ _ _ai i i i ik,soit: .

2. Rappel : pour n entier, cos(2n) = 1

Par dfinition,2

E t L i t21

m = = =r r_ _ai ik .A.N. : J5 10$=, cosE t 2

1 10 0 1 1 000m 32

6$ $ $== rr

- -_a_ iki .

sin1,cosu t t t 1 000 0 1 000= -L_ _ _i i i



43/90


44/90


45/90


46/90

Lors de larrt du courant, etdaprs (1) et (3), si la rsistance dela bobine est ngligeable, on a :

expRI=

,

.

expu L ti L I t

ut

dd

soit

0

0

$ $

= = - -

-

AB

AB

de d no

n

Remarque :on observe que la variation de la tension est discontinue.

123


0

uAB

oscillogramme reprsentant uAB= f (t)

2TT

t

-RI0

+RI0

Fig. 7-8

e

xemple dapplication

i(A)

0,2

0,126

0 1 5 10t(s)

0,1

CA

B

Fig. 7-10

On considre le schma de la figure 7-4. t0 = 0, on ferme linterrupteur K.On observe ltablissement dun cou-rant dans la bobine dinductanceL etle conducteur ohmique de rsistanceR = 50 dont les variations sont repr-sentes sur le schma ci-contre.

1. Faire lanalyse dimensionnelle de

la constante de temps = L/R.2. Dterminer graphiquement cetteconstante.

corrig commentIndication : utilisez la formule u L

ti

dd

$=L .

1. Comme utiL

dd

$=L , on a: U LT

I$=8 8 88B B BB, soit L

I

U T$= 8

88 8 BBB B . On a

I

UR=8

8 8BB B .

R

L

R

R TT = = =88 88 88 BB BB BB : cette constante a bien les dimensions dun temps.

2. La pente de la tangente lorigineest :

,,

, .ti

t ti i

dd A s2 5 0

0 1 00 04

c

c

00 1

=-

-=

-

-=

-

t 0=e o .Or, daprs (5),

t 0=

,,

t

i

I

d

ds 0 04

0 250= = =

d n

.

0,2

0 1 10t(s)

0,1

i(A)

Fig. 7-9


47/90

Dcharge dun condensateur

dans une bobine1. Principe et schma du montage

Linterrupteur (K) tant sur la position (1), lecondensateur de capacit C se charge. La chargeest termine lorsque uc= Uo. La valeur de lner-gie potentielle lectrostatique stocke dans lecondensateur est alors :E C u CU2

121

c o2 2

= = .

Linterrupteur (K) est alors bascul sur la posi-tion (2). Le condensateur se dcharge dans leconducteur ohmiqueR et la bobineL.

Loscilloscope mmoire, branch aux bornes du condensateur, permetdtudier le rgime transitoire qui rgne lors de cette dcharge.

2. Observations

Suivant la rsistance R du circuit, on peut observer deux rgimes dedcharge.

Lorsque la rsistance est faible (fig. 8-2) : la dcharge du condensateurnest pas instantane, elle donne lieu des oscillations libres. La tensionvolue dune faon quasi priodique autour de la valeur 0 ; son amplitude

diminue au cours du temps. Il sagit dun rgime pseudo-priodique.Treprsente la pseudo-priode des oscillations.

Lorsque la rsistance est grande (fig. 8-3) : la tension ucsannule sansoscillation. Il sagit dun rgime apriodique.

1

136

CHAPITRE 8 OSCILLATIONS LIBRES DANS UN CIRCUIT RLC

KR

i(1)

(2)

N

L

PC

voieYA

gnrateurde tensionUo=cte

uc

Fig. 8-1

0

T

t

uc

t

0

uc

Fig. 8-2 Fig. 8-3


48/90


49/90

tude dun circuit LC1.

Principe

Soit le circuit constitu dune bobine dinductance L et de rsistancenulle, associe un condensateur de capacit C initialement charg (fig. 8-4). la fermeture du circuit, on obtient un rgime priodique (fig. 8-5).Un tel circuitLC de rsistance nulle constitue un oscillateur lectrique depriode propre To.

2. tude thorique

chaque instant, daprs ladditivit des tensions, on a : uAB + uMN = 0. la date t, la charge porte par larmature A est q(t) et la tension aux

bornes du condensateur est : uAB(t) =( )q tC .

Aux bornes de la bobine, on a : uMN(t) = r i(t) +L tdd ( )i t

et comme r= 0,uMN(t) =L

td

d ( )i t.

Or, par dfinition de lintensit dun courant : i(t) = ( )tq t qdd = ..Lquation diffrentielle rgissant la variation de la charge q du condensa-

teur dans le temps est donc :( ) ( )

Lt

q t q t

dd

C 022

+ = .

Cette quation peut encore scrire : .

La solution de lquation diffrentielle est de la forme :

, avec oLC T

1 20

= = .

o est la pulsation propre du circuit (en rad.s1), Qm est lamplitude (encoulomb) et o est la phase lorigine des dates (en rad).

( ) ( )cosq t Q t m 0 0= +

q qLC1 0

.+ =

.

2

138


A B

C-q+q

LMN

K

uAB

uMN

i

t

uAB+Um

To

-Um

Fig. 8-4 Fig. 8-5


50/90

Un circuitLC est un oscillateur lectrique harmonique qui est le sigedoscillations lectriques libres, non amorties, de priode propre :

.T LC

2 20

0

= =

139

Un circuit srie est constitu dun condensateur de capacit C = 2 F prala-blement charg, dune bobine dinductanceL = 5 mH, de rsistance supposenulle et dun interrupteur ouvert. La tension aux bornes du condensateur estUo = 6 V. la fermeture du circuit, on observe la tension aux bornes du conden-sateur laide dun oscilloscope mmoire.

1. Quel type doscillogramme doit-on obtenir ?

2. Calculer la priode propre et la frquence propre du circuit ainsi constitu.

3. En fait, la rsistance de la bobine est R = 27 . Que peut-on observer sur

lcran de loscilloscope ?corrig comment1.Indication : les diffrents rgimes que lon peut observer sont directement lis

la rsistance totale du circuit.

La rsistance du circuit tant nulle, celui-ci constitue un oscillateur lectriqueharmonique : le rgime est priodique. On peut observer un oscillogramme dutype de la figure 8-5, avec Um = 6 V.

2.Rappel : la frquence (en hertz) est linverse de la priode (en secondes).

La priode propre de ce circuit est : T LC20 = . On en dduit la frquence :f

T1

00

= .

: . . , . ,TAN s ms2 5 10 2 10 6 3 10 0 630 3 6 4# .= =- - - .

, ., . ,f Hz kHz

6 3 101 1 6 10 1 590 4

3. . =

-.

Ds que la rsistance du circuit nest pas nulle, le rgime est soit pseudo-prio-dique, soit apriodique suivant la valeur de cette rsistance et la valeur de la rsis-tance critique. Pour le montage tudi, la rsistance critique est :

RCL2c= , soit

.

.R 22 105 10 100c 63= =-

-

.

La rsistance du circuit tant infrieure la rsistance critique, le rgime estpseudo-priodique.




51/90

Tension, intensit et nergie

1. Tension instantane aux bornes du condensateur cosu t

C

q t

CQ

t ABm

0 0= = +_ _ _i i i soit, en posant U CQ

mm

= :

.

2. Intensit du courant

Par dfinition, =i tt

t

dqd_ _i i .

On a donc: sinQ= -

i t t m0 0 0+

_ _i i , soit cosQ=

i t t

2m0 0 0+ +

_ di n .AvecIm = 0 Qm, on obtient : . Lintensit du courant est dphase de 2 par rapport la charge q(t) etpar rapport la tension aux bornes du condensateur. Quand la tension estmaximale, lintensit est nulle et vice versa.

3. changes nergtiques dans un circuit LC

Lnergie potentielle lectrique stocke par le condensateur la date t

est :ECq

21 2

=C , soit cosE CQ

t 21

Cm2

20 0= +_ i .

Lnergie magntique emmagasine par la bobine la date test :

m0 sinE Li L Q t 21

21

L2 2 2 2

0 0= = +_ i.Comme

LC1

02

=~ , on a : m sinEC

Qt 2

1L

22

0 0= +_ i.

chaque instant, lexpression de lnergie totale est :E =EC +EL.On calcule : sinE

C

Qcos t t 2

m2

20

20= + + +0 0_ _i i9 C, soit : .

chaque instant il y a transfor-mation mutuelle de lnergiepotentielle lectrostatique ennergie magntique ou linverse.

Remarque :on constate que lnergiestocke par le condensateur et lner-

gie emmagasine par la bobine ont

une frquence double de celle de la

charge.

EC

Qcte2

m2

= =

cosI=i t t 2m 0 0+ +_ di n

cosu t U t AB m 0 0= +_ _i i

3

140


tTo

0

Qm2

C12

ECEL

Fig. 8-6


52/90

141


Un circuitLC est constitu dune bobine (L = 50 mH ; r= 0 ) et dun conden-

sateur (C = 20 F) pralablement charg et possdant une nergie initialeEC(t= 0) = 0,36 mJ.

1. partir de lexpression de lnergie totale du systme un instant t etsachant que cette nergie est constante, retrouver lquation diffrentielle quirgit le rgime priodique du systme.

2. Donner lexpression de la tension instantane aux bornes du condensateuret en calculer les caractristiques.

corrig commentIndication : pensez que si une grandeur est constante dans le temps, alors sa drivepar rapport au temps est nulle.1. Lnergie totale de loscillateur lectrique est :

E =EC +EL, soit .

Cette nergie tant constante, on en dduit que :t

EC

qt

q L iti

dd

dd

dd

21 2 2 2 0= + = .

Or, i tq q

dd= =

: et ti

tq q

dd dd 2

2= =

: :, donc tE

Cqq Lq q Lq q

LCq

dd 1 1 0= + = + =

: : : : : : :f p .Quel que soit linstant t, on a : .

2. La solution de cette quation diffrentielle est : cosQ=q tT

t 2m0

0+_ di n .On en dduit lexpression de la tension aux bornes du condensateur :

cos= =u tC

t

CQ

Tt 2

00+

mC

q_ _ di i n ,

soit: avec UC

Qm=m .

Or, lnergie initiale du condensateur a pour expression : .E C U21

m2

C = .

On calcule : UC

E t2 0m

C=

=_ i. :

., .

,UAN V20 10

2 0 36 106 06

3#

= =-

-

m .

La priode est : T LC2=0 . : . .AN T s 2 50 10 20 10 2 103 6 3#= =- - -0 .

t= 0, uC(t) = Um donc cos

0 = 1 et la phase lorigine est

0 = 0 rad.La tension uC(t) est alors :

.cos costu t t

62 10

2 6 1 0003= =-CJ

L

KK_ _NP

OOi i.

cos=u t UT

t 20

0+C m_ di n

qLC

q1 0+ =: :

EC

qLi2

121

22

= +



53/90

Amortissement et entretien

des oscillations dans un circuit RLC1. Amortissement dans un circuit LC

Daprs la loi dadditivit des tensions :uC + uR + uL = 0,

soit:Cq

Riti

dd 0+ + = ou encore

Cq

ti Rid

d+ = - (1).

Or, la date t, lnergie lectrique totale du

circuit vaut :ECq

Li21

21

2= +

2 .

Drivons cette expression par rapport au temps :

tE

Cq

t

qLi

ti

Cq

Lti id

ddd

dd

dd

= + = +

J

L

KK

N

P

OO .

Daprs (1), on a :t

E Ri i Ridd 2

= - = -_ i . On remarque que : 0).

1. tablir lquation diffrentielle liant la ten-sion uC aux bornes du condensateur ses dri-ves premire u

C: et seconde uC

: : .2. Que se passe-t-il siR =R0 ? Quel est lintrt du dipleD ?3. Quelle est dans ce cas lexpression de la priode ? Calculer sa valeur.

corrig commentIndication : pensez que la tension aux bornes dun condensateur est lie sa

charge par : q = C.uC; par dfinition de lintensit, i t

qq C u

dd

= = =C

: :

do :

t

i

t

qq Cu

d

d

d

dC2

2= = =

: : : :

.

1. Daprs la loi dadditivit des tensions, on a : uD + uL + uC = 0,

soit : R i Lti Ri

C

qL

ti R R i

C

q

dd

dd 0- + + + = + - + =0 0_ i ,

do :LC u R R Cu u 0C C

+ - + =0: : :

C_ i . On obtient: (1).

2. SiR =R0, lquation diffrentielle (1) devient : u LC u1 0+ =

CC

: :

(2).

Cette quation diffrentielle (2) est celle qui rgit le rgime priodique dun

oscillateur lectrique harmonique (sans amortissement) de priode propre T0.Le dipleD sert compenser les pertes dnergie par effet Joule dues la rsis-tance du circuit (bobine).

3. Lexpression de la priode T0 a pour expression : , soitT0 = 1,0.103 s.

T LC20 =

Cu L

R Ru

LCu1 0

C+

-

+ =0: : :

C

_ i

exemple dapplicationi i

DuCuD

uL

R

K

Fig. 8-10


55/90

Vecteur vitesse

1. Systme On appelle systme, un objet ou ensemble dobjets que lon distingue deson environnement pour en faire ltude. Un systme est indformable sila distance entre deux quelconques de ses points reste constante au coursdu temps ; un tel systme est appel solide.

On dfinit le centre de masse dun systme comme tant le point remar-quable o lon peut imaginer avoir concentr toute la matire du systme,

dans le cas o, pour une tude simplifie, ce systme devrait tre rduit un point. Dans le cas dun solide homogne, le centre de masse est situau centre gomtrique du solide.

2. Rfrentiels

Un objet peut tre en mouvement par rapport un observateur etimmobile par rapport un autre. Pour dfinir le mouvement dun objet,il est ncessaire de prciser le rfrentiel dtude et le repre de temps.

Un rfrentiel est le solide ou tout point du solide par rapport auquel ondcrit le mouvement dun mobile. Exemple : le rfrentiel terrestre (laTerre, le sol, le laboratoire...).

ce rfrentiel, on associe en gnral un repre despace comportant 1,2 ou 3 vecteurs unitaires ( , ,i j k ) et un point origine O li au rfrentiel.

Pour dfinir la position dun objet dans le temps, il est ncessaire de dfi-

nir un repre de temps. Ce repre est constitu dun instant ou dune dateorigine t0 (dbut de lexprience ou de lobservation par exemple) et duneunit de dure. Dans le systme international (S.I.), lunit de temps est laseconde (s).

Tout point M de lespace est alors repr, une date t, par le vecteur posi-tion :

.

Dans un repre orthonorm, la distance (OM) est alors gale :

OM x y z2 2 2= + + .

Dans le systme international (SI), elle sexprime en mtre (m).

OM t x t i y t j z t k$ $ $= + +_ _ _ _i i i i

1

158

CHAPITRE 9 LA MCANIQUE DE NEWTON


56/90


57/90

Premire et troisime lois de Newton

1. Forces On appelle force toute action mcanique dun corps sur un autre capablede produire des effets sur le mouvement ou la forme de ce dernier corps.

Si une force est exerce par un autre point ou objet du systme lui-mme, il sagit dune force intrieure. Si une force est exerce par un objetou un point extrieur au systme, il sagit dune force extrieure.

Parmi les forces extrieures, on peut distinguer :

les forces de contact : le corps qui subit la force est en contact avec celuiqui la cre (raction dun support, forces de frottement, tension dun fil...).Les forces de contact peuvent tre localises en un point ou rparties surla surface de contact ; les forces distance : les deux corps ne sont pas ncessairement aucontact lun de lautre : forces de gravitation, forces lectriques et forceslectromagntiques. Chacune de ces forces est rpartie sur lensemble ducorps, mais elles sont chacune modlises par une force unique qui

sexerce toujours sur le centre de masse.

2. Systmes matriels particuliers

Un systme isol est un systme qui nest soumis aucune force extrieure.

Un systme pseudo-isol est un systme qui est soumis des forces ext-rieures qui se compensent globalement : extF 0=! .

3.Premire loi de Newton (ou principe de linertie)

Lorsquun solide est isol ou pseudo-isol, il existe toujours un pointparticulier G du solide, appel centre dinertie, qui peut : soit tre au repos, sil est initialement au repos V t 0

G =_ i ;

soit tre anim dun mouvement rectiligne uniforme : V t cteG

=_ i . Que le systme soit dformable ou indformable, quil soit form duneou de plusieurs parties, le centre dinertie (C.I.) dun systme est toujoursconfondu avec le centre de masse (appel aussi centre de gravit).

Ce principe nest valable que dans certains rfrentiels appels rfren-tiels galilens. La Terre (ou le laboratoire) peut tre considre comme unrfrentiel galilen. Tout rfrentiel anim dun mouvement rectiligneuniforme par rapport un rfrentiel galilen est aussi galilen.

2

160



58/90

4. Troisime loi de Newton :principe des actions rciproques

Lorsquun solide S1 exerce sur un solide S2 une forceF/1 2

(action), alorsle solide S2 exerce sur le solide S1 une force F2/1 (raction) telle que :

F F/1 2/2 1

= - .

Dans tout rfrentiel, les corps tant immobiles ou anims de mouve-ments quelconques, ces deux forces ont mme intensit, mme droitedaction mais elles sont de sens contraires.


Une voiture tracte, vitesse constante et en lignedroite, une caravane sur une route en pente.On dfinit successivement plusieurs systmes :a. la voiture ;b. lattelage (voiture + caravane).

Faire dans chacun des cas le bilan des forces intrieures et extrieures au systmeen prcisant sil sagit de forces distance ou de contact, localises ou rparties.

corrig commentIndication : pensez au principe des actions rciproques ; toute force exerce par unobjet A sur un objet B correspond une force oppose exerce par B sur A.

a. Le systme choisi { la voiture} est soumis aux forces suivantes : le poids de la voiture : force extrieure, distance ;

les ractions du sol sur les roues : forces extrieures de contact, rparties ; la raction de la caravane sur la voiture : force extrieure de contact, localise ; la force de frottement de lair sur la voiture : force extrieure de contact, rpartie.b. Les forces auxquelles est soumis le systme choisi {lattelage} constitudune voiture et dune caravane sont : le poids du systme [voiture + caravane] : force extrieure, distance ; les ractions du sol sur les roues du systme [voiture + caravane] : forces ext-rieures de contact, rparties ; la force de frottement de lair sur le systme [voiture + caravane] : force ext-rieure de contact, rpartie. la force exerce par la voiture sur la caravane et la force exerce par la caravanesur la voiture sont deux forces intrieures : elles sont opposes daprs le principedes actions rciproques.


161

Fig. 9-1


59/90

Exemples de forces

1. Le poids Pdun corps La Terre exerce sur tout objet une force de pesanteurappele poids de lobjet, not P. Ses caractristiquessont : direction : verticale sens : vers le bas valeur :P= mg point dapplication : centre dinertie de lobjet.

gintensit de la pesanteur est fonction du lieu etde laltitude la surface de la Terre ; en moyenne

g= 9,8 N.kg 1.

2. La raction RN

dun support sur un solide

Cette force de contact, rpartie sur la surface de

contact, est exerce par un support sur lobjet. Son point dapplication est le centre de la surfacede contact (si la rpartition est uniforme).

Sa direction est normale (orthogonale) la surfacede contact ; son sens est vers le haut.

3. Forces de frottement f

Ce sont des forces rparties, exerces par toutcorps en contact avec le systme tudi.

Leur point dapplication est le centre de la surfacede contact (si la rpartition est uniforme).

Leur direction est celle du dplacement, mais sonsens est inverse de celui du dplacement si le sys-tme tudi est en mouvement.

Leur valeur dpend de la nature des surfaces encontact, de la vitesse, de la forme du mobile...

Remarque :la raction totale dun support sur un solide est :R R fN= + .

3


162

P

G (m)

Fig. 9-2

RN

Fig. 9-3

fsens

du

mouve

ment

Fig. 9-4 :cas dun frottementsolide


60/90

163


4. Force de rappelRF exerce par un ressort

sur un solide

Les caractristiques de cette force sont : direction : celle du ressort sens : vers le milieu du ressort valeur :FR = k(l l0) = k.l,o k reprsente le coefficient de raideur duressort (en N.m1) et l, son allongement. point dapplication : point dattache.

On veut fabriquer un dynamomtre avec un ressort de masse ngligeable. Pourltalonner, on laccroche une potence et on suspend son autre extrmit desmasses marques connues. On obtient les allongements suivants :

Calculer le coefficient de raideur du ressort utilis, aprs avoir prcis ledomaine o le dynamomtre est utilisable.

corrig commentIndication : deux grandeurs sont proportionnelles lorsque la reprsentation de lune

en fonction de lautre donne une droite (fonction linaire) ou que le rapport de ces deuxgrandeurs est constant.

Chaque masse marque accroche au ressort est soumise deux forces : sonpoidsPet la force de rappel

RF exerce par le ressort.

lquilibre, ces deux forces se compensent :

RP F 0+ = , soitFR =P= mg.

PourFR, on obtient les valeurs suivantes en Newtons : 0 ; 0,49 ; 0,98 ; 1,47 ; 1,96 ;2,94 ; 3,92 ; 4,9.Les rapportsFR/l sont gaux pourFR > 1 N. Le dynamomtre est donc utilisablepour les valeurs deFR entre 1 N et 5 N.Le coefficient de proportionnalit du rapport FR/l reprsente le coefficient deraideur du ressort. Il est gal :

. :, ,

, . .kB A

F B F AAN N cmk

l lN m10 5

4 6 2 60 4 40

1 1R R=

-

-

=-

-= =

- -_ __ _

i ii i

.


m (en g) 0 50 100 150 200 300 400 500

l = l l0 (en cm) 0,0 0,3 0,9 2,2 3,4 5,9 8,3 10,8

Fig. 9-5

FR

(S)

llo

l


61/90

Deuxime loi de Newton

1.Variations du vecteur vitesse Dans le cas o les forces extrieures appliques un systme ne secompensent pas extF 0!!c m, alors le systme voit son tat de repos ou demouvement modifi.Il y a une modification du vecteur vitesse de son centre dinertie.

2.Vecteur acclration

Lacclration reprsente le taux de variation de la vitesse par rapport autemps, pour une dure tla plus petite possible. Le vecteur acclration estgal la drive premire du vecteur vitesse par rapport au temps.

.

Le repre tant fixe, les vecteurs unitaires ,i j ket sont des vecteurs

constants dans le temps et par suite, on a :ti

tj

tk

dd

dd

dd 0= = = .

Lexpression du vecteur acclration est donc : .

do :. . .; ;x y za

tv

t

x at

v

t

ya

tv

t

zd

ddd

dd

d

dd

ddd

xx

yy

zz

2 2

2

2

22= = = = = = = = =

. . ..

La valeur de lacclration est :. . .. . .

x y za 2 2 2= + + . Son unit dans le sys-tme international est le mtre par seconde au carr (m.s 2).

3. Les diffrents types de mouvements

tudier les variations de v en fonction du temps revient considrer

celles de v v2

=2 . Or : .

t

v

vtv v ad

d

dd2 2$= =

2d n.

On en dduit :

si . >v a 0 , alors v augmente : le mouvement est acclr ;

si .


62/90

4. Deuxime loi de Newton applique au centre dinertie

Dans un rfrentiel galilen, la somme des forces extrieures appliques un solide de masse m constante est relie lacclration de son centre

dinertie par la relation : .

Remarque :si extF 0=! , alors a 0=G , ce qui entrane que GV cte= . Le principe delinertie est un cas particulier du thorme du centre dinertie.

ext .F m a= G!

165


Les positions dune balle lance en lair sont rep-res dans un plan vertical (Ox ; Oz).Une analyse informatique des positions de laballe au cours du temps nous donne les quationshoraires suivantes :

x(t) = 5,2t{ z(t) = 5t2 + 3 t+ 1,8.

Les distances sont en mtres, les dates en secondes. On prendra g= 10 m.s2

.1. Calculer les coordonnes du vecteur vitesse et celles du vecteur acclrationdans le repre (Ox ; Oz).

2. En dduire, partir du vecteur acclration, que la balle a un mouvement dechute libre.

corrig commentIndication : un objet a un mouvement de chute libre sil nest soumis qu une seule

force : son poids.

1. Les coordonnes des vecteurs vitesse et acclration sont obtenues par dri-vations successives des coordonnes du vecteur position par rapport au temps.On a donc :

,v

xtx

ztz t

dd

dd

5 2

10 3

= =

= = - +

.

.

Z

[

\

]]

]]

(1) et

.

.a

xtx

tx

ztz

tz

dd

dd

0

10

dd

dd

2

2

2

2

= = =

= = = -

. .

. .

Z

[

\

]]]

]]]

(2).

2. Daprs (2), on constate que : .

.

a gm s

m s

0

10

2

2=

-

-

-

*.

Or dans le rfrentiel terrestre suppos galilen et daprs la deuxime loide Newton, la balle nest soumise qu une seule force, son poids. On a :

. .m a m g P = = : la balle a un mouvement de chute libre.

e

xemple dapplicationz

0x

Sens dumouvement

Fig. 9-7


63/90

Chute libre verticale

1. Mouvement de chute libre Cest le mouvement dun objet soumis uniquement son poids.

2. Expression de lacclration

En se plaant dans un rfrentiel terrestre suppos galilen et en consi-drant un solide soumis son seul poids P, daprs la deuxime loi deNewton, on a :

. .m a P m g G = = , soit (1). Lacclration du centre dinertie du solide est gale au champ de pesan-teur. Elle ne dpend ni de la masse du solide ni de sa vitesse initiale, cest--dire de la manire dont il est lanc.

3. Chute libre sans vitesse initiale

Choisissons un repre orthonorm (O ; , ,i j k) dont laxe vertical est

orient vers le haut et dont lorigine O est la position initiale. Lorigine desdates est choisie linstant o le solide est lch.

Le champ de pesanteur tant considr comme uniforme (identique entout point de la rgion considre) dans le repre choisi, on pose les condi-tions initiales suivantes :

OG t

x

y

z

v t

v

v

v

et000

0

0

00

0

ox

oy

z

0

0

0 0

=

=

=

=

=

=

=

=

_ _i iZ

[

\

]]

]]

Z

[

\

]]

]]

Comme g000

Z

[

\

]]

]], on a daprs (1): a {

.

.

.a g= = -

a 0= =a x

y

z

0xy

z

= =..

.

Par intgrations successives du vecteur acclration et en tenant comptedes conditions initiales, on obtient :

v

{et OG

{ z g t=x

y

0

021 2

=

=

Le centre dinertie G dun solide en chute libre, abandonn sans vitesseinitiale, est anim dun mouvement :

a gG =

1

178

CHAPITRE 10 TUDE DE CAS

.

.

.v x

v y

0

0

x

yz

= =

= =

v z g t = = -


64/90

rectiligne vertical (car x = 0 ety= 0) ;

uniformment acclr . > >g t t0 0=$a v g g t ou2- -car $ = }_ _d i i n . La valeur de la vitesse crot dune faon linaire avec la dure de la chute :

(2).

La hauteur de la chute est lie la dure par la relation : (3).

En liminant t entre les relations (2) et (3), nous obtenons la relation

caractrisant une chute libre : .v2 = 2g.h

.h z g t 21 2

= =

.v v g t z= =

179


Pour mesurer la profondeur h dun puits, on laisse tomber du haut du puits unepierre de masse m = 2 kg, sans vitesse initiale.On mesure la dure qui spare le lcher de la pierre et la perception du son mislors de son impact sur leau : t= 1,5 s.Donnes : le son se propage dans lair la vitesse : vs = 340 m.s1 ; on prendrag= 10 N.kg1.Quelle est la profondeur du puits ?

corrig commentIndication : il faut du temps la pierre pour atteindre le fond, et il faut du temps auson de limpact pour remonter jusqu lexprimentateur.

Soit t1, la dure ncessaire pour que la pierre atteigne le fond du puits.

Soit h, la profondeur du puits : : .,h g t t ghsoit 2

1 21

21= =_ i (1).

Soit t2, la dure ncessaire pour que le son remonte : t vhs

2 = (2).

La dure totale de lexprience est : t= t1 + t2, soit .t gh vh 2 s= + (3).

On poseX h= , avecXpositif, ce qui donne dans la relation (3) :

t v v gX X2

s s2

= + et par suiteX v g X t v2 0s s2 $+ - =d n (4).

On rsout cette quation du second degr : v g t v 2 4 25160s s

2= + = .

Lquation (4) a deux solutions : lune positiveX1 et lautre ngativeX2.Cest la solution positive qui permet de trouver h :

.

2

: ,AN mh 2340 102

10 8#

.=

- + 25160

J

LKKd N

POOn .2

h Xv g

22s

12

= =

- +

J

LKKd

N

POOn



65/90

Chute verticale avec frottement

1. Les forces en prsence Un objet qui tombe dans latmosphre est soumis trois forces : son poids P, vertical, vers le bas, de valeur P= mg(constante pour unchamp de pesanteur uniforme) ; la pousse dArchimde PA due lair, verticale, vers le haut, de valeur(constante au cours du temps) gale au poids du volume dair dplac.

. . .P m g V gA air= = o Vreprsente le volume de lobjet et reprsente la

masse volumique de lair ; une force de frottement fluide f verticale, de sens oppos au mouvementet dont la valeur crot avec la vitesse dune faon linaire.

2. Application de la deuxime loi de Newton un mouvement de chute verticale

On se place dans le rfrentiel terrestre suppos galilen.

Le systme tudi est un solide lch, t= 0, sans vitesse initiale, dunpoint O origine du repre et soumis aux trois forces ,P P fetA .

Appliquons au systme tudi la 2e loi de Newton :

(4)

Au fur et mesure de la chute, la vitesse augmente et lintensit de laforce f augmente contrairement aux deux autres forces. Pour une certainevitesse appele vitesse limite v

lim, lintensit de la force f atteint un maxi-

mum tel que : f=P+PA.

On a alors f P PA= - +d n , do a 0G = : le mouvement est alors uniforme.3. quation diffrentielle du mouvement

Ces forces tant verticales, elles nont chacune quune composante ver-ticale :

PZ= m.g;PAZ= + mair.g; fZ= .vZ. On en dduit, daprs (4), que lacclration na quune composante ver-ticale telle que :

(5).m.aZ= .vZ+ mair.g m.g

.P P f m aA G+ + =

2

180

CHAPITRE 10 TUDE DE CAS


66/90

Daprs la dfinition de lacclration et en posant :v= vZ(< 0),

(6).

Cest lquation diffrentielle du mouvement.

4. Rsolution de lquation diffrentiellepar la mthode dEuler

Daprs la notion de drive, limtv

tv

dd

t 0=

"

, soit en premire approxi-

mation :tv

tv

dd

. pour tle plus petit possible.

En appliquant cette relation lquation (6), nous obtenons une suitede valeurs de la vitesse intervalles de temps rguliers t(cest--dire auxdates : 0, t, 2t, 3t...), partir de v0 = 0.

mv v m v m g t1

air1 $ $- = - + -

m0 0 d n> H , soit avec v0 = 0, mv m g t1air $ $= -1 d n .

partir de v1, on peut tablir de la mme manire les valeurs v2, v3 Cette mthode numrique itrative permet de tracer point par point lacourbe reprsentative de la fonction v(t).

t

v

m

v

m

m g

d

d 1air= - + -m

d n

cours s a

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Livre Physique - Magnétisme