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1. RAPPELSLa chaîne d'action d’un système automatisé transforme, adapte et transmet le flux de puissance nécessaire àl'obtentiond'unevaleurajoutée.Ellecomprend:

• lesactionneurs(vérins,moteurs)quitransformentuneénergieélectrique,hydraulique,pneumatiqueen énergiemécanique

• lestransmetteursquimodifientl'énergiemécanique• leseffecteursquiagissentdirectementsurlamatièred'œuvre.

Les transmetteurs sont des mécanismes de transformation de mouvement qui permettent d’adapter unmouvement de rotation ou de transformer un mouvement de rotation à un mouvement de translation (ouinversement).Ilspermettentd’adapterlavitesseetleseffortsdesortieentrel’actionneuretl’effecteur.

1.1. Rotation-translation• Systèmevis-écrou:quandontournelavisd’untour,elle

translatedupasdivisépar2𝜋:𝐱 = ± 𝐩𝟐𝛑.𝛉

• Systèmepignoncrémaillère(directiond’unvéhicule)

1.2. Rotation–rotation• Croix de Malte (rotation continue vers rotation

alternative:mécanismedetransfert)• Rouedefriction• Systèmepoulies-courroieouroues-chaîne• Engrenages

ÉlémentsdetransmissiondepuissanceMPSI/PCSITransmetteursadaptateurslinéaires,systèmesàengrenages

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2. HypothèsesetModèle:ContactponctuelOn considère un solide S2 en mouvement relatif et en contact par rapport à un solide S1. Pour construire lemodèleondéfinitunpointdecontactI,unenormaleaucontactn!"etunplantangentaucontact(π)entrelesdeuxsolides(S1estendessousde(π),S2estaudessusde(π)).AucoursdumouvementrelatifdeS2parrapportàS1,onsupposequ’ilexistetoujoursunpointdecontact(nonruptureducontact).

2.1. MiseenévidencedupointcoïncidentdecontactLa définition du point I sur le modèle recouvre en fait, du point de vue cinématique, l’existence de 3 pointsparticuliers:

• LepointImatérielappartenantausolide1• LepointImatérielappartenantausolide2• LepointIquicorrespondaupointgéométriquedecontact

Les deux premiers points ont une existencematérielle différente et coïncident aumoment du contact avec le3ème.Les3pointssontconfondusàl’instanttetnelesontplusàl’instantt+Δt.

Parconséquent:𝐕𝐈,𝐒𝟐/𝐑 ≠ 𝐕𝐈/𝐑 𝐞𝐭 𝐕𝐈,𝐒𝟏/𝐑 ≠ 𝐕𝐈/𝐑

2.2. VitessedeglissementOnappellelevecteurvitessedeglissementenIdeS2/S1levecteurvitesse𝐕𝐈,𝐒𝟐/𝐒𝟏.

Puisque l’on suppose qu’il n’y a pas de rupture de contact entre les 2 solides et que ce sont des solides

indéformables(ilsnepeuventpass’interpénétrer),levecteurvitesseV!,!!/!! estnécessairementcontenudansle

plan(π).Onlereprésenteragénéralementcolinéaireauvecteurtangentt!".

Il ne faut jamais utiliser le calcul direct pour calculer une vitesse deglissement.

!𝐕𝐒𝟐/𝐒𝟏! = !𝛀𝐒𝟐/𝐒𝟏!!!!!!!!!!!!⃗

𝐕𝐈,𝐒𝟐/𝐒𝟏!!!!!!!!!!!!!⃗ !𝐈

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2.3. Conditionderoulementsansglissement

LaconditionderoulementsansglissementenIdeS2/S1s’écrit𝐕𝐈,𝐒𝟐/𝐒𝟏 = 𝟎

Cetterelationvas’avérerutilepourdéterminerlaloiE/Sdestransmetteurslinéaires(poulies-courroie,réducteuràengrenages,…)

2.4. VitessederotationderoulementetvitessederotationdepivotementLevecteurΩ!!/!! étantdonné,onpeutledécomposerenlasommededeuxvecteurs:

𝛀𝐒𝟐/𝐒𝟏 = 𝛀𝐩 𝐒𝟐/𝐒𝟏 + 𝛀𝐫 𝐒𝟐/𝐒𝟏

• Le vecteur normal au plan (π) est le vecteur vitesse de rotation de pivotement de S2/S1. On le noteΩ! !!/!!,

• Levecteurcontenudansleplan(π)est levecteurvitessederotationderoulementdeS2/S1.OnlenoteΩ! !!/!!.

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3. RÉDUCTEURSLesréducteurspermettentd’adapterlecoupleetlavitessederotationd’unmoteurenuncoupleetunevitessesurl’arbredesortie.Lavitessed’unmoteurestsouventélevéeetlecouplefaiblealorsquelavitessesouhaitéesurl’arbrerécepteurestbeaucoupplusfaibleetlecouplebienplusélevé. Unepuissance[Watt:W]estunegrandeurscalaire,produitdedeuxgrandeursvariables:

• l’uned’entreellesestappelée«flux»etestnotéef(t)• l’autreestappelée«effort»etestnotéee(t)

Onpeutclasserlesréducteursendifférentescatégoriesenfonctiondelatechnologieemployéepourtransmettrelemouvement:

• transmissionparadhérence:rouedefriction(dynamodevélo),systèmepoulies-courroieaveccourroieplateoutrapézoïdale(alternateurdevoiture)

• transmission par obstacles: système poulies-courroie avec courroie crantée (courroie de distributiond’unevoiture),systèmeàchaîne(vélo,moto),systèmeàengrenage(boitedevitesse).

3.1. Rouesdefriction

Deux roues cylindriques (ou coniques) sont en contact sur une génératrice et soumises à un effort presseur(ressortssurleschémaci-dessous).Le frottement au contact desdeux rouespermetd’assurer le non glissement relatif et doncde transmettre lemouvementdelarouemotriceverslaroueréceptrice.La condition de roulement sans glissement au point decontactIs’écritdonc:𝑉!,!/! = 0 ⟺ 𝑉!,!/! − 𝑉!,!/! = 0 ⟺ 𝑅!𝜃!. 𝑥! + 𝑅!𝜃! . 𝑥! = 0 ⟺ 𝑅!𝜃! + 𝑅!𝜃! = 0 ⟺ 𝑅!𝜔! + 𝑅!𝜔! = 0D’oùlerapportderéductiond’unteltransmetteur:

𝛚𝐬

𝛚𝐞= −

𝐑𝐞𝐑𝐬

Rq:lesigne«-»signifiequeles2rouestournentdanslesensopposéCette solution technique reste cependant limitée car elle nécessite une pression de contact importante pourassurerlenonglissementenI.Pourremédieràcettelimitation,onutiliseplutôtdestransmissionsparobstacles(voir3.3.)

Réducteur

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3.2. Systèmepoulies-courroieUnsystèmepoulies-courroieest composédedeuxpoulies,montées sur lesarbresd’entréeetde sortied’axesparallèles,enrotationparrapportaubâti.Cesdeuxpouliessontreliéesparunecourroie,quiestunliensouple,considérécommeinextensible.

Dufaitdel'inextensibilitédelacourroie,lesvitessesdetoussespointsontlamêmenorme.

EntraduisantlaconditiondenonglissementdelacourroiesurlespouliesenI1etI2ondéduitque:𝛚𝐬𝛚𝐞= 𝐑𝐞

𝐑𝐬.

Rq:les2pouliestournenticidanslemêmesensCette relation n'est valable que s'il y a non glissement entre la courroie et les poulies ce qui nécessite uncoefficientdefrottementnonnuletunsystèmepermettantdetendreconstammentlacourroie.Pour augmenter le couple transmissiblepar un tel système,onutilisedes courroies àsection trapézoïdale (amélioration de l'adhérence) ou des courroies crantées quisuppriment le glissement (courroie de distribution dans les moteurs 4 temps...) ouencoredeschaînes(moto,auto...)

3.3. SystèmeàengrenagesLesengrenagessontconstituésdedeuxrouesdentéesengrenantl’uneavecl’autre:

• chaqueroueestenrotationautourd’unaxe,• latransmissiondemouvemententrelesdeuxrouessefaitparcontactentrelesdifférentesdents.

Lesfonctionsréaliséessont:• transmettrelapuissance,• adapterlesvitessesderotation,leseffortstransmissibles.

Exemplesdequelquesengrenages:

Engrenageàaxesparallèles Engrenageàaxesconcourants

Denturedroite Denturehélicoïdale

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Propriétés:

Lagéométriedesdenturesesttellequelecomportementcinématiqueestéquivalentàunsystème:• àroueslissesenfrictionl’unesurl’autre• demêmeentraxea• de diamètres primitifs D1 et D2, correspondants aux cercles représentés sur le schéma cinématique ci-

dessous:

Engrenageàdentureextérieure

Lepasentredeuxdentsconsécutivesestdonnépar:𝑝! =

!!!!!

𝑝! =!!!!!

oùZiestlenombrededentsdelarouei.

Or,pourgarantirleparfaitengrènemententrelepignoneetlaroues,ceux-cidoiventavoirlemêmepas.Onendéduitalors:!!

!!= !!

!!.Cerapportestnotém:moduledel’engrenage.

Onadonc𝐃 = 𝐦.𝐙 et𝐩𝐚𝐬 = 𝛑.𝐦

Remarque: lesprofilsdesdents sontdesprofils conjuguésendéveloppantedecercleafind’avoirunangledepressionconstant.

AupointdecontactI,ilyaroulementsansglissement𝑉(𝐼, 𝑠/𝑒) = 0 ⟺ 𝑉!,!/! − 𝑉!,!/! = 0 ⟺ 𝑅!𝜃!. 𝑥! + 𝑅!𝜃! . 𝑥! = 0 ⟺ 𝑅!𝜃! + 𝑅!𝜃! = 0 ⟺ 𝑅!𝜔! + 𝑅!𝜔! = 0

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D’oùlerapportderéductiond’unteltransmetteur:𝛚𝐬

𝛚𝐞= −

𝐑𝐞𝐑𝐬

= −𝐙𝐞𝐙𝐬

Rq:lesigne«-»signifiequeles2rouestournentdanslesensopposé

Lareprésentationdesengrenagesestnormalisée,notammentdanslesschémascinématiques:

Dentureextérieure

Dentureintérieure

Dentureconique

Engrenageàcontactintérieur:

AupointdecontactI,ilyaroulementsansglissement𝑉(𝐼, 𝑠/𝑒) = 0 ⟺ 𝑉!,!/! − 𝑉!,!/! = 0 ⟺ 𝑅!𝜃!. 𝑥! − 𝑅!𝜃! . 𝑥! = 0 ⟺ 𝑅!𝜃! − 𝑅!𝜃! = 0 ⟺ 𝑅!𝜔! − 𝑅!𝜔! = 0D’oùlerapportderéductiond’unteltransmetteur:

𝛚𝐬

𝛚𝐞=𝐑𝐞𝐑𝐬

=𝐙𝐞𝐙𝐬

Rq:les2rouestournenticidanslemêmesens.

3.4. Trainsd’engrenagessimples(axesfixes)

Dans lebutd’augmenter le rapportde réduction,onpeutassocierdansun réducteur plusieursengrenagesensérie.Onparlealorsdetraind’engrenages.Entraduisantlaconditionderoulementsansglissementauniveaudesdifférentspointsdecontactentreroues,onpeutgénéraliserlesdeuxrelationsobtenuesprécédemmentparlarelationdeWillis:

𝛚𝐬𝛚𝐞= −𝟏 𝒏 𝒁𝒎𝒆𝒏𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔

𝒁𝒎𝒆𝒏é𝒆𝒔 avec: n:nombredecontactsextérieursentreroues.

On qualifie de roue menante toute roue motrice et de roue menée, toute roue réceptrice dans le traind’engrenages.Uneroue,àlafoismenanteetmenéeestappeléeroue«folle»:

Ici: !!!!= −1 ! !!.!!

!!.!!= !!

!!

e

e

ss

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Exemple:Onconsidèreletraind’engrenagessuivant:Modulesetnombrededentsdesrouesdentées: Z1=16 m1=1,5mm Z21=39 m21=1,5mm Z23=12 m23=2,5mm Z3=62 m3=2,5mmOn a une mise en série d’un engrenage àcontact extérieur (étage 1) et d’un engrenage àcontactintérieur(étage2)⟹n=1D’où,enappliquantlarelationdeWillis:

r =ω!ω!

= (−1)!.Z!. Z!"Z!". Z!

= −16×1239×62

≃ −0,08

3.5. Casparticuliersdesystèmesàengrenage

3.5.1. SystèmepignoncrémaillèreCetransmetteuradaptateurpermetdetransformerunmouvementderotation en un mouvement de translation (et inversement si lemécanismeestréversible).La vitesse de translation de la crémaillère V est fonction du rayonprimitifRdupignonetdesavitessederotationω.En traduisant la condition de roulement sans glissement en I, ondémontre: 𝐕 = 𝐑.𝛚

3.5.2. SystèmeroueetvissansfinPouruntourdelavis,larouetournerad’unnombrededentségalaunombredefiletsdelavis.

𝛚𝐫𝐨𝐮𝐞

𝛚𝐯𝐢𝐬=𝐧𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 𝐝𝐞 𝐟𝐢𝐥𝐞𝐭𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐯𝐢𝐬

𝐙𝐫𝐨𝐮𝐞

Lesviscomportentgénéralementde1à5filets.

Schémacinématique

Moteur𝐱!⃗ 𝟎

�⃗�𝟎

A

E

D

0 1

23

Étage1 Étage2

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3.6. Trainsépicycloïdaux

3.6.1. DéfinitionsUntrainépicycloïdalestuntraind’engrenagespourlequeltouslesaxesdespignonsnesontpasfixesparrapportaubâti.Il est composé de 2 planétaires et d’un ou plusieurs satellites qui sontmontéssurunportesatellite(s).Grâce à un train épicycloïdal, il est possible d’obtenir une très grandemultiplication (ouréduction)de lavitesseangulaireentre l’arbred’entréeetl’arbredesortiedumécanisme.Cetteperformancecinématique,miseenœuvreparunnombreréduitderouesdentées,estdesurcroîtatteintedansun encombrement limité (ce qui n’est pas le cas pour les mécanismesutilisantencascadedestrainsordinaires).

3.6.2. Déterminationdelaloientrée-sortieUntrainépicycloïdalestunréducteuràengrenagesayantunemobilitéégaleà2.Ondéfiniragénéralementpourl’étudedufonctionnement,l’entrée,lasortieetunmouvementimposésurle3èmearbre(généralementreliéaubâti).Onpeutdéterminerlaloientrée-sortieenécrivantleroulementsansglissementauniveaudespointsdecontact,maiscetteméthodeesttroplourde.

MÉTHODEGLOBALEplusrapidequetraduireleroulementsansglissementauniveaudespointsdecontact:

a) Oncommenceparidentifierlesdeuxplanétaires,le(s)satellite(s)etleportesatellite(s).Généralement,onrepère lessatellitesen1ercar ilsn’ontpasunaxederotation fixepar rapportaubâti. Puis le porte satellite qui est en liaison pivot avec les satellites. Les deux pignons (ou roues)restantssontlesdeuxplanétaires.

b) Onseplacedansleréférentielduportesatellite(c’estàdirequ’onconsidèreleportesatellitefixe)etonremarquequedansceréférentiel,letrainestàaxesfixes(trainsimple):

Ø relationdeWillispourdéterminerlaraisonbasiqueλ dutrain:

λ =ωPLA

ωPLB

= (−1)n ⋅ Π⋅Zmenantes

Π⋅Zmenées Onnetientcomptedelaprésencequed’UNSEULsatellitepourdéterminern.

Eneffet,multiplierlessatellitesn’influepassurlacinématiquemaissurlarépartitiondeseffortsdansletrain

c) Onécritlarelationentreles3vitessesderotationPLA,PLBetPS:Ø relationdeRavigneaux:

ωPLA −λ ⋅ωPLB + (λ −1) ⋅ωPS = 0

d) Ilrestesimplementàinjecterunerelationconnuesurunedesvitessesderotationpourendéduirelaloientrée-sortie:

Ø configurationd’utilisationdutrainépicycloïdal…

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Déterminerlerapportderéduction𝝎𝟑𝝎𝟏dutrainépicycloïdalprésentéenintroductionavec: Z1=30

Z2=90 Z4=12a) S: PS: PLA: PLB:b)RelationdeWillis:Raisonbasiquedutrain:λ = c)RelationdeRavigneaux:d)Configurationd’utilisationdutrain: ωPS=D’oùlaloientrée-sortiedecetrainépicycloïdal: ωPLA= ωPLB=Onremarquequecetrainépicycloïdalpeutêtreutilisédansplusieursconfigurations,cequipermetd’obtenirdesrapportsderéduction(oumultiplication)différents: