LOIS DE PROBABILITEVariable alatoire discontinueFacult de Mdecine dOranLaboratoire de BiostatistiqueBOUKERMA AMEUR*

I - VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE LOI DE PROBABILITE

I.1 : Variable alatoire discrte: Soit x une variable pouvant prendre l'ensemble des valeurs : x1, x2, x3, x4, x n, avec les probabilits p1,p2, p3, p4, p n, respectivement, telles que: p1+p2+ p3+ p4++p n = Pi = 1 On dit que x est variable discrte si elle ne peut prendre que des valeurs isoles et variable alatoire si sa valeur est fixe par le rsultat d'une preuve.Donc toutes les (valeurs) variables qui sont associes une preuve alatoire et qui prennent les valeurs numriques discontinues s'appellent variables alatoires discontinues *

I.2 : Loi de probabilit :

On dit qu'on a dfinit une loi de probabilit (fonction de distribution) d'une variable alatoire discontinue si on arrive dterminer toutes les valeurs que peut prendre la variable xi et toutes les probabilits correspondantes Pi.On peut prsenter une loi de probabilit par un ensemble des couples de valeurs associes de xi et Pi, au moyen d'un tableau *

xiX1 X2 X3X nPiP1 P2 P3 P n1

Exemple 1 :On jette un d quilibr une seule fois.Soit x la variable alatoire dsignant le nombre de points obtenus sur chaque face.1-Dterminer la loi de probabilit de cette variable.2-Reprsenter graphiquement cette loi

Rponse:1-Loi de probabilit:

Connaissant toutes les valeurs possibles de la variable xi et les valeurs correspondantes de Pi, on a donc dfini la loi de probabilit de cette variable.*

xi1 2 3 4 5 6Pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/61

2- La Reprsentation Graphique Loi de Probabilit*En portant les valeurs de Xi en abscisses et celles des Pi en ordonnes, on obtient un digramme en btons

Exemple 2 :On lance une paire de ds. Soit x la somme de points obtenus.A- Dterminer la loi de probabilit de cette variable.B- Construire le graphe correspondant.

A- Loi de probabilit :On peut dnombrer tous les cas possibles en construisant le tableau suivant :1er DEOn remarque que les valeurs possibles de x sont toutes les valeurs entires de 2 12 ; x [2 ; 12 ].2EME DE*

123456123456723456783456789456789105678910116789101112

Tableau de la loi de probabilit :Donc on a bien dfini la loi de probabilit de cette variable, puisqu'on a dtermin toutes les valeurs possibles de xi et les valeurs des probabilits correspondantes Pi.*

Xi23456789101112xipi

Pi1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/361

B- La Reprsentation graphique: loi de probabilit*

I -3. Esprance mathmatique et variance. I -3. a. Esprance mathmatique :L'esprance mathmatique d'une variable alatoire discontinue, note E (x) vaut :E(x)= p1 x1+ p2 x2+ p3 x3 + p4x4 ++ pn xn

Pour l'exemple 1 :E(x) = (1/6).1+ (1/6).2 + .+ (1/6).6 = 21/6 E(x) = 21/6Pour l'exemple 2 :E (x) = (1/36).2 + (2/36).3 + + (1/36).12 = 7 E(x) = 7E(x)= PIXI*

I -3. b. Variance :

La variance d'une variable alatoire discontinue, note x ou V(x) est dfinie par :

La formule de dfinition ; qui peut encore s'crire :

Formule pratique.

V(x) = Pi xi E(x) V(x) = Pi xi E(x) *

Procdure de calcul de E(x) et V (x) d'une variable alatoire discontinue. Reprenons l'exemple N1 E(x) = Pi. xi =21/6 E(x) = 21/ 6 V(x) = Pi xi - E(x) = 91/6 - 21/6 V(x) = 2,9*

Xi123456PI1/61/61/61/61/61/61PI XI 1/62/63/64/65/66/6 PI XI=21/6 PI XI21/64/69/616/625/636/6 PI XI2= 91/6

I.5 . DEFINITION ET REPRESENTATION GRAPHIQUE DE LA FONCTION DE REPARTITION

La fonction de rpartition F(x) est la fonction cumulative qui correspond la courbe cumulative (sigmode) de la variable statistique - C'est un moyen (outil) pour le calcul des probabilits des Lois.C'est une fonction en escalier, toujours croissante.*

Exemple : Soit dterminer la fonction de rpartition de la loi de probabilit dfinie par : F (x) = 0 pour x 2 F (x) = 1/36 pour 2 x 3 F (x) = 3/36 pour 3 x 4

F (x) = 6/36 pour 4 x 5 F (x) = 10/36 pour 5 x 6 F (x) = 15/36 pour 6 x 7 F (x) = 21/36 pour 7 x 8

F (x) = 26/36 pour 8 x 9

F (x) = 30/36 pour 9 x 10

F (x) = 33/36 pour 10 x 11

F (x) = 35/36 pour 11 x 12

F (x) = 36/36 =1 pour x12*

Xi23456789101112P(X=x) 136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136F(X x) 136 336 63610361536213626363036333635363636

Reprsentation graphique la fonction de rpartition F(x)*

Graph1

0

0

0.0277777778

0.0277777778

0.0833333333

0.0833333333

0.1666666667

0.1666666667

0.2777777778

0.2777777778

0.4166666667

0.4166666667

0.5833333333

0.5833333333

0.7222222222

0.7222222222

0.8333333333

0.8333333333

0.9166666667

0.9166666667

0.9722222222

0.9722222222

1

1

Somme des deux ds

Probabilit cumule

Fonction de rpartition

Feuil1

Somme = xnb rsultatsmasse f(x)cumul F(x)00

210.02777777780.027777777820.027777777820

320.05555555560.083333333330.083333333320.0277777778

430.08333333330.166666666740.166666666730.0277777778

540.11111111110.277777777850.277777777830.0833333333

650.13888888890.416666666760.416666666740.0833333333

760.16666666670.583333333370.583333333340.1666666667

850.13888888890.722222222280.722222222250.1666666667

940.11111111110.833333333390.833333333350.2777777778

1030.08333333330.9166666667100.916666666760.2777777778

1120.05555555560.9722222222110.972222222260.4166666667

1210.0277777778112170.4166666667

Total36170.5833333333

80.5833333333

80.7222222222

90.7222222222

90.8333333333

100.8333333333

100.9166666667

110.9166666667

110.9722222222

120.9722222222

121

141

Feuil1

Somme des deux ds

Probabilit

Fonction de masse

Feuil2

Somme des deux ds

Probabilit cumule

Fonction de rpartition

Feuil3

Exemple : Soit dterminer la fonction de rpartition de la loi de probabilit dfinie par :

F (x) = 0 pour pour x 2F (x) = 0,1 pour pour 2 x 5F (x) = 0,1 + 0,4 pour 5 x 6F (x) = 0,1 + 0,4 + 0,3 pour 6 x 8F (x) = 0,1 + 0,4 + 0,3 + 0,2 = 1 pour x 8

*

Xi2568Pi0,10,40,30,21

*F(x) 1,0 0,5 0,1 La reprsentation graphique : La fonction de rpartition F(x)

Alors la fonction de rpartition a pour valeurs :

F (x) = 0 pour X X1F (x) = P1 pour X1 x X2F (x) = P1 + P2 pour X2 x X3F (x) = P1 + P2+ P3 pour X3 x X4F (x) = P1 + P2 + P3 + P4 = 1 pour X X4

Cas gnral : Soit la loi de probabilit*

XiX1X2X3X4PiP1P2P3P41

*

Notions probabilistes(Concepts thoriques)Notions statistiques(Concepts pratiques)Probabilit dun vnementFrquence relativeVariable alatoireVariable statistiqueLoi de probabilitDistribution statistique (empirique)Esprance mathmatique dune variable alatoire E(X) ou Moyenne arithmtique dune variable statistique

Variance dune variable alatoire V(X) ou s2Variance dune variable statistique s2

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