Lois de probabilités avec la calculatrice graphique …maths2pro.free.fr/calculatrice/casiograph35manuel.pdf · Dans ce manuel dédié à l’utilisation de la calculatrice graphique

Lois de probabilités avec la calculatrice graphiqueGraph 35+ USB pour le lycée

www.casio-education.fr

Par Benoît Truchetet

Ce guide est dédié à Madame Meyniel ancien chef d’établissement, mes collègues et anciens élèves du lycée polyvalent privé Albert de Mun (Paris 7e) qui m’ont permis chacun à leur niveau de me plonger dans l’univers des calculatrices CASIO.

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Modélisations et ruptures Ou comment avoir plusieurs solutions justes mais différentes à un même problème. Dans ce manuel dédié à l’utilisation de la calculatrice graphique Fx - CG20, j’ai voulu mettre en avant divers problèmes qui permettent de balayer les possibilités techniques et mathématiques de ce formidable outil. Pour garder une envie de se positionner personnellement dans les différents exercices, les solutions ne sont que partiellement formulées. Il restera donc, à charge au lecteur de s’approprier les problèmes ainsi que leurs démonstrations. Le but n’est pas dans cet ouvrage de proposer un manuel de prise en main de la calculatrice ni un manuel de résolutions mathématiques formalisées mais, bien de créer l’envie de rentrer dans cette belle aventure qu’est la résolution d’une question mathématique ouverte. L’idée, dans les différents questionnements que propose cet écrit, reste de susciter l’envie et de créer la rupture entre un exercice classique de mathématiques où la réponse exacte est unique voire pré-formaté par des connaissances apprises et digérées. Ainsi, nous allons voir qu’il n’est pas forcément évident d’avoir une réponse unique et juste ! Le paradoxe de Bertrand va nous conduire dans un domaine d’espaces probabilisés où chacune des réponses sera exacte et pourtant différente de la précédente. Le travail autour du pavage turc va nous conduire à changer de registre : au lieu de résoudre un problème en le modélisant géométriquement, nous allons l’exporter dans le monde de l’origami. Encore une fois : pas de bonne réponse unique mais, deux visions d’un même énoncé pour deux modèles cohérents. A travers quelques problèmes historiques, nous allons souligner le fait qu’un modèle peut s’avérer faux ultérieurement comme pour l’approximation de Pi utilisé dans le papyrus Rhind ou l’utilisation d’une parabole pour représenter une chainette, sans que cela ne nuise à une réponse approchée souvent suffisante pour résoudre un questionnement. Devrons-nous considérer la méthode d’Euler de la même façon à la fin de cette lecture ? Pourrions-nous imaginer les notions de probabilité du même œil après avoir vu notre impossibilité à choisir le bon modèle ? Devrions-nous continuer à nous limiter à la Mathématique ou utiliser la mécanique pour nous sortir d’une impasse ? Pourrions-nous retrouver dans une mosaïque la méthode des bâtisseurs d’antan ? A vous de conclure… Mathématicalement,

BLAISE Jean-Philippe

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SommaireRÉGLAGES DE LA CALCULATRICE A. ALLUMER ET ÉTEINDRE LA CALCULATRICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 a) Allumer la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 b) Éteindre la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 B. ENTRER DANS LE MENU DE SON CHOIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 C. METTRE EN FRANÇAIS LA LANGUE DE L’INTERFACE DE LA CALCULATRICE . . . . . . . . . . . .5 D. RÉGLER LE CONTRASTE DE LA CALCULATRICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 E. RÉINITIALISER LES DONNÉES PRINCIPALES DE LA CALCULATRICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 F. RÉINITIALISER LES MÉMOIRES PRINCIPALES DE LA CALCULATRICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

LOIS DE PROBABILITES DISCRÈTES I. LOI BINOMIALE B(n;p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 A. VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 B. CALCULS À PARTIR DU MENU STATISTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 a) Loi binomiale « simple » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 b) Loi binomiale « cumulative » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 c) Loi binomiale « inverse » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 C. CALCULS À PARTIR DU MENU SUITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 a) Loi binomiale « simple » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Saisirunesuitedéfinieparuneformuleexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Saisir la plage du tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 b) Loi binomiale « cumulative » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Saisirunesuitedéfinieparuneformuleexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Saisir la plage du tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 d) Loi binomiale « inverse » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 Saisirunesuitedéfinieparuneformuleexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 Saisir la plage du tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 D. CALCULS À PARTIR DU MENU PROGRAMME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 a) Programme : Loi binomiale « simple » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 b) Programme : Loi binomiale « simple » et « cumulative » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 c) Programme : Loi binomiale « inverse » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36II. LOI DE POISSON P(m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 A. VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 B. CALCULS À PARTIR DU MENU STATISTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 a) Loi de Poisson « simple » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 b) Loi de Poisson « cumulative » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 c) Loi de Poisson « inverse » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 C. CALCULS À PARTIR DU MENU SUITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 a) Loi de Poisson « simple » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 Saisirunesuitedéfinieparuneformuleexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Saisir la plage du tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 b) Loi de Poisson « cumulative » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 Saisirunesuitedéfinieparuneformuleexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Saisir la plage du tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 c) Loi de Poisson « inverse » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55 Saisirunesuitedéfinieparuneformuleexplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 Saisir la plage du tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Afficherletableaudevaleurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 D. CALCULS À PARTIR DU MENU PROGRAMME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 a) Programme : Loi de Poisson « simple » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 b) Programme : Loi de Poisson « simple » et « cumulative » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 c) Programme : Loi de Poisson « inverse » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

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LOI DE PROBABILITÉ CONTINUE LOI NORMALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 A. VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 B. CALCULS À PARTIR DU MENU STATISTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 a) Calcul de P( a ≤ X ≤ b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 b) Calcul de P( X ≤ b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 c) Calcul de P(a ≤ X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 d) Calcul de k connaissant P( k ≤ X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 e) Calcul de k connaissant P( X ≤ k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 C. CALCULS À PARTIR DU MENU RUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 a) Calcul de P( a ≤ X ≤ b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80 b) Calcul de P( X ≤ b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 c) Calcul de P(a ≤ X ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 D. CALCULS À PARTIR DU MENU PROGRAMME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 a) Programme : Loi Normale - P( k ≤ X ) et P( X ≥ k ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 b) Programme : Loi normale - P( a ≤ X ≤ b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101 c) Programme : Loi normale inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

INITIATION À LA PROGRAMMATION A. SUPPORTS DE PROGRAMMATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 B. BASES DU MODE PRGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 a) Accéder au mode programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 b) Créer une zone de texte pour saisir un nouveau programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 c) Effacer un programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 d) Editer un programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 e) Copier – Coller une partie d’un programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 f) Éxécuter un programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 g) Quitter le mode PRGM et revenir au Menu Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 C. COMMANDES DE BASES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 a) Afficher un texte – Effacer un écran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 b) Enregistrer une valeur dans une variable et afficher son contenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 c) Effacer le contenu d’un écran texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 D. BOUCLES ET CONDITIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 a) If, Then, IfEnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 b) If, Then, Else, If.End . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116 c) Lbl, Goto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 d) For, To, Next . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118 e) While, WhileEnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 f) Do, LpWhile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 E. MISES EN PRATIQUES DANS DIFFÉRENTS DOMAINES DES MATHÉMATIQUES . . . . . . . . . . . . . .121 a) Programme « Calcul de la distance entre de deux points » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 b) Programme « Passage à la caisse » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122 c) Programme « ABCD est il un parallélogramme ? » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 d) Programme « Simuler N lancers d’une pièce de monnaie non truquée » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 e) Programme « Simuler N lancers d’un dé à six faces non truqué » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 f) Programme « Jeux du Devin » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 F. MÉMENTO DES COMMANDES, FONCTIONS ET SYMBOLES UTILISÉS DANS CETTE INITIATION À LA PROGRAMMATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 a) Saisie en utilisant une combinaison de touches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 b) Saisie en utilisant la fonction Catalogue (CATALOG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 Méthode 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 Méthode 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 Méthode 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

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RÉGLAGES DE LA CALCULATRICE

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REGLAGES DE LA CALCULATRICE

A. Allumer et éteindre la calculatrice

a) Allumer la calculatrice

Appuyer sur la touche O pour allumer la calculatrice.

RÉGLAGES DE LA CALCULATRICE

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b) Eteindre la calculatrice

Appuyer sur OFF à l’aide des touches LO pour éteindre la calculatrice.

B. Entrer dans le menu de son choix

Application : Entrer dans le menu PROGRAMME

A partir du Menu Principal (MAIN MENU) Touche p

Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur l’icône de son choix pour la mettre en surbrillance,

Valider à l’aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche 9 correspondant au numéro en bas à droite de l’icône du menu.

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C. Mettre en français la langue de l’interface de la calculatrice


Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur l’icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance,

Valider à l’aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E. à l’aide des touches aj. Le mode Gestionnaire système (System Manager) s’affiche. Appuyer sur LANG à l’aide de la touche e. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur Français pour le mettre en surbrillance. Appuyer sur SEL à l’aide de la touche q. Appuyer sur la touche EXIT pour valider le choix.

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Le menu de l’interface est maintenant en français. Appuyer sur la touche EXIT pour revenir au menu Gestionnaire Système. Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu principal.

D. Régler le contraste de la calculatrice



Valider à l’aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E. à l’aide des touches aj. Le mode Gestionnaire système s’affiche. Appuyer sur à l’aide de la touche q.

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Pour augmenter le contraste, appuyer plusieurs fois sur la touche $. Pour diminuer le contraste, appuyer plusieurs fois sur la touche !. Pour revenir à l’état initial appuyer sur INIT à l’aide de la touche q. Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu principal.

E. Réinitialiser les données principales de la calculatrice



Valider à l’aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E. à l’aide des touches aj. Le mode Gestionnaire système s’affiche. Appuyer sur RSET à l’aide de la touche y pour réinitialiser la calculatrice ou effacer les mémoires principales.

6

98

Pour réinitialiser les données principales de la calculatrice : Appuyer sur STUP à l’aide de la touche q. Appuyer sur q pour valider votre choix. Appuyer deux fois sur la touche EXIT pour revenir au menu Gestionnaire système. Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu principal.

9

F. Réinitialiser les mémoires principales de la calculatrice

A partir du Menu Principal (MAIN MENU)

Touche p Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur l’icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance,

Valider à l’aide de la touche l. Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E. à l’aide des touches aj. Le mode Gestionnaire système s’affiche. Appuyer sur RSET à l’aide de la touche y pour réinitialiser la calculatrice ou effacer les mémoires principales. Pour réinitialiser les mémoires principales de la calculatrice : Appuyer sur MAIN à l’aide de la touche w. Appuyer sur q pour valider votre choix.

8

1110

Appuyer deux fois sur la touche EXIT pour revenir au menu Gestionnaire système. Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu principal.

LOIS DE PROBABILITES DISCRÈTES

I. LOI BINOMIALE B(n;p)

11

LOIS DE PROBABILITES DISCRETES


A. Vocabulaire et définitions

Loi Binomiale B(n;p)

Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n;p) si :

l’expérience est répétée n fois de manière aléatoire et indépendante, il y a 2 issues possibles : succès avec une probabilité de réalisation de p,

échec avec une probabilité de non réalisation q = 1- p. La loi binomiale permet de donner la probabilité P d’obtenir k fois le même résultat lorsque l’on répète n fois la même expérience.

knkkn )p1(pC)kX(P

Propriétés :

)p1(pn)X(

)p1(pn)X(Vpn)X(E

10

LOIS DE PROBABILITES DISCRÈTES


1312

B. Calculs à partir du Menu STATISTIQUE

a) Loi binomiale « simple » Application : Une cible est posée sur un mur. Elle possède deux secteurs : Le centre. L’extérieur.

La probabilité d’atteindre : Le centre est de 0,1. L’extérieur est de 0,9.

En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 3 fois le centre ?

Réponse : Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l’on atteint le centre. Cette VA suit la loi binomiale B(10;0.1) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : atteindre le centre avec une probabilité de 0.1, ne pas atteindre le centre avec une probabilité de 0.9. 057.0)1.01(1.0C)3X(P 733

10 En 10 lancers la probabilité d’atteindre 3 fois le centre est de 0.057.


Touche p Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur l’icône STAT pour la mettre en surbrillance,

Valider à l’aide de la touche l. Ou plus rapidement appuyer sur la touche 2. L’éditeur de listes s’affiche. Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités.

13

Appuyer sur BINM à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu de la loi binomiale. Appuyer sur Bpd à l’aide de la touche q. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois ou l’on atteint le centre. Cette variable aléatoire suit la loi binomiale B(10;0,1) en effet l’expérience est répétée 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - atteindre le centre avec une probabilité de 0,1. - ne pas atteindre le centre avec une probabilité de 0,9. Calculons P(X = 3). Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N3l10l0.1l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel.

12

1514

Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l’aide de la touche q pour lancer le calcul. En 10 lancers la probabilité d’atteindre 3 fois le centre est d’environ 0.057.

b) Loi binomiale « cumulative » Application : Une famille a 6 enfants. Calculer la probabilité pour qu’il y ait moins de garçons que de filles. On suppose que la probabilité pour qu’un enfant soit un garçon est de 0,5.

Réponse : Soit X la VA représentant le nombre de fois ou un enfant est un garçon dans une famille. Cette VA suit la loi binomiale B(6 ;0.5) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - L’enfant est un garçon avec une probabilité de 0,5. - L’enfant n’est pas un garçon avec une probabilité de 0,5. Pour qu’il y ait moins de garçons que de filles, il faut qu’il y ait 0 ; 1 ou 2 garçons. Calculons

( 2)( 2) ( 0) ( 1) ( 2)

P XP X P X P X P X

0 0 661 1 562 2 46

( 0) 0.5 (1 0.5) 0,015625

( 1) 0.5 (1 0.5) 0,09375( 2) 0.5 (1 0.5) 0,234375

P X CP X CP X C

11( 2) 0,3437532

P X .

La probabilité pour qu’il y ait moins de garçons que de filles est de 0,34375.

15

A partir de l’éditeur de listes

Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le sous menu des lois de probabilités. Appuyer sur BINM à l’aide de la touche y pour entrer dans le sous menu de la loi binomiale. Appuyer sur Bcd à l’aide de la touche w. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois ou un enfant est un garçon. Cette variable aléatoire suit la loi binomiale B(6;0,5) en effet l’expérience est répétée 6 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - L’enfant est un garçon avec une probabilité de 0,5. - L’enfant n’est pas un garçon avec une probabilité de 0,5. Pour qu’il y ait moins de garçons que de filles, il faut qu’il y ait 0, 1 ou 2 garçons. Calculons P(X 2).

14

1716

Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N2l6l0.5l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l’aide de la touche q pour lancer le calcul. La probabilité pour qu’il y ait moins de garçons que de filles est de 0,34375.

110 3437532

,

17

c) Loi binomiale « inverse » La variable aléatoire X suit une loi binomiale B( 20;0,2 ) Déterminer le nombre k tel que P(X k) 0,6.

Réponse : Soit X une. Cette VA suit la loi binomiale (20;0,2)B Calculons

0 0 2020( 0) (0, 2) (1 0, 2)

0,01152921P X C

0,01152921 0,6

1 1 1920

( 0) ( 1)0,01152921 (0, 2) (1 0, 2)0,01152921 0,05764607 0,06917529

P X P XC

2 2 1820

( 0) ( 1) ( 2)0,06917529 (0, 2) (1 0, 2)0,06917529 0,13690942 0, 20608471

P X P X P XC

3 3 1720

( 0) ( 1) ( 2) ( 3)0, 20608471 (0, 2) (1 0, 2)0, 20608471 0, 205364140, 41144886

P X P X P X P XC

4 4 1620

( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)0, 41144886 (0, 2) (1 0, 2)0, 41144886 0, 21819940,62964826

P X P X P X P X P XC

P(X 4) 0,6

16

1918


Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le sous menu des lois de probabilités. Appuyer sur BINM à l’aide de la touche y. Appuyer sur InvB à l’aide de la touche e. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire qui suit la loi binomiale B( 20;0,2 )

19

Calculons k tel que P(X k) 0,6 Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N0.6l20l0.2l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l’aide de la touche q pour lancer le calcul. P(X 4) 0,6

18

2120

C. Calculs à partir du Menu SUITES

a) Loi binomiale « simple » Application : Une cible est posée sur un mur. Elle possède deux secteurs : Le centre. L’extérieur.

La probabilité d’atteindre : Le centre est de 0,1. L’extérieur est de 0,9.

En 10 lancers quelle est la probabilité d’atteindre 3 fois le centre ?

Réponse : Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l’on atteint le centre. Cette VA suit la loi binomiale B(10 ;0.1) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : atteindre le centre avec une probabilité de 0.1, ne pas atteindre le centre avec une probabilité de 0.9. 057.0)1.01(1.0C)3X(P 733

10 En 10 lancers la probabilité d’atteindre 3 fois le centre est de 0.057

21

A partir de du menu RECUR

Appuyer sur TYPE à l’aide de la touche e pour sélectionner le type de suite.

Saisir une suite définie par une formule explicite Appuyer sur an à l’aide de la touche q pour sélectionner : suite définie par une formule explicite.

Saisir la formule explicite : 1010 0,1 (0,9)n n nC

A savoir : 10 Pour obtenir le symbole appuyer sur la touche i. Appuyer sur PROB à l’aide de la touche r pour accéder au sous menu Probabilité.

Appuyer sur à l’aide de la touche e. V

20

2322

Appuyer deux fois de suite dd pour revenir à l’écran de saisie initiale. Finir la saisie de la formule explicite. A savoir : qm0.1^q$m0.9^j10-qk Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seul la ligne ou se trouve l’expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance.

Saisir la plage du tableau de valeurs Appuyer sur SET à l’aide de la touche y pour indiquer la valeur initiale et la valeur finale pour n. Start : 0 End : 10 A savoir : 0l10l Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

23

Afficher le tableau de valeurs Vérifier à nouveau que seul la ligne où se trouve l’expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l’aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs. Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. En 10 lancers la probabilité d’atteindre 3 fois le centre est d’environ 0.057.

22

2524

b) Loi binomiale « cumulative » Application : Une famille a 6 enfants. Calculer la probabilité pour qu’il y ait moins de garçons que de filles. On suppose que la probabilité pour qu’un enfant soit un garçon est de 0,5.

Réponse : Soit X la VA représentant le nombre de fois ou un enfant est un garçon dans une famille. Cette VA suit la loi binomiale B(6;0.5) en effet l’expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - L’enfant est un garçon avec une probabilité de 0,5. - L’enfant n’est pas un garçon avec une probabilité de 0,5. Pour qu’il y ait moins de garçons que de filles, il faut qu’il y ait 0 , 1 ou 2 garçons. Calculons

( 2)( 2) ( 0) ( 1) ( 2)

P XP X P X P X P X

0 0 661 1 562 2 46

( 0) 0.5 (1 0.5) 0,015625

( 1) 0.5 (1 0.5) 0,09375( 2) 0.5 (1 0.5) 0,234375

P X CP X CP X C

11( 2) 0,3437532

P X

La probabilité pour qu’il y ait moins de garçons que de filles est de 0,34375.




25

Saisir la formule explicite : 66 0,5 (0,5)n n nC


Appuyer sur à l’aide de la touche e. V Appuyer deux fois de suite dd pour revenir à l’écran de saisie initiale. Finir la saisie de la formule explicite. A savoir : qm0.5^q$m0.5^j6-qk Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q.

24

2726

Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seule la ligne ou se trouve l’expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance.


27

Afficher le tableau de valeurs Appuyer sur SET UP à l’aide des touches Lp Se délacer dans le tableau à l’aide du pavé directionnel jusqu’à la ligne . L’affichage par défaut de cette option est en mode Off. Appuyer sur On à l’aide de la touche q pour choisir l’affichage des sommes des termes de la suite. Appuyer sur la touche EXIT pour quitter le SET UP et revenir au menu Recursion. Vérifier à nouveau que seule la ligne où se trouve l’expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l’aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs.

Afficher le tableau de valeurs Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. La probabilité pour qu’il y ait moins de garçons que de filles est de 0,3437.

26

2928

d) Loi binomiale « inverse » La variable aléatoire X suit une loi binomiale B( 20;0,2 ) Déterminer le nombre k tel que P(X k) 0,6.

Réponse : Soit X une VA. Cette VA suit la loi binomiale (20;0,2)B Calculons

0 0 2020( 0) (0, 2) (1 0, 2)

0,01152921P X C

0,01152921 0,6

1 1 1920

( 0) ( 1)0,01152921 (0, 2) (1 0, 2)0,01152921 0,05764607 0,06917529

P X P XC

2 2 1820

( 0) ( 1) ( 2)0,06917529 (0, 2) (1 0, 2)0,06917529 0,13690942 0, 20608471

P X P X P XC

3 3 1720

( 0) ( 1) ( 2) ( 3)0, 20608471 (0, 2) (1 0, 2)0, 20608471 0, 205364140, 41144886

P X P X P X P XC

4 4 1620

( 0) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)0, 41144886 (0, 2) (1 0, 2)0, 41144886 0, 21819940,62964826

P X P X P X P X P XC

P(X 4) 0,6

29




Saisir la formule explicite : 2020 0, 2 (0,8)n n nC


Appuyer sur à l’aide de la touche e. V

28

3130

Appuyer deux fois de suite dd pour revenir à l’écran de saisie initiale. Finir la saisie de la formule explicite. A savoir : qm0.2^q$m0.8^j20-qk Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seule la ligne ou se trouve l’expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance.


31


Afficher le tableau de valeurs Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. P(X 4) 0,6

30

3332

D. Calculs à partir du Menu PROGRAMME Pour information, un chapitre est dédié à une initiation à la programmation dans cet ouvrage.

a) Programme : Loi binomiale « simple »

Ecrire un programme, BINO 1, permettant de calculer dans le cas d’une loi binomiale, la probabilité de réussir k épreuves au cours de n épreuves.

Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de P à R. A savoir, N, P, K et R Demander à l’utilisateur d’entrer le nombre d’épreuves réalisées que l’on stocke dans la variable N. Demander à l’utilisateur d’entrer la probabilité de succès à une épreuve que l’on stocke dans la variable P. Demander à l’utilisateur d’entrer le nombre d’épreuves réussies au cours des N épreuves que l’on stocke dans la variable K. Afficher la variable R correspondant à la valeur prise par

(1 )k k n knC p p en fonction des valeurs de N, P et K

saisies.

33

Améliorer le programme précédent en y ajoutant des tests de validité de saisie.

Explication pour réaliser ce programme Code

Ecrire un programme, BINO 2T permettant de calculer dans le cas d’une loi binomiale, la probabilité de réussir k épreuves au cours de n épreuves. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l’utilisateur du programme. Le nombre d’épreuves réalisées que l’on stocke dans la variable N doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel non nul. La probabilité de succès à une épreuve que l’on stocke dans la variable P doit vérifier le fait que cette valeur est une valeur comprise entre 0 et 1. Le nombre d’épreuves réussies au cours des n épreuves que l’on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel inférieur ou égal à N.

32

3534

b) Programme : Loi binomiale « simple » et « cumulative »

Ecrire un programme, BINO 3, permettant de calculer dans le cas d’une loi binomiale, la probabilité de réussir : k épreuves, moins de k épreuves, au plus k épreuves, au moins k épreuves, plus de k épreuves.

au cours de n épreuves.

Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à S. A savoir, N, P, K ,R et S. Demander à l’utilisateur d’entrer le nombre d’épreuves réalisées que l’on stocke dans la variable N. Demander à l’utilisateur d’entrer la probabilité de succès à une épreuve que l’on stocke dans la variable P. Demander à l’utilisateur d’entrer le nombre d’épreuves réussies au cours des n épreuves que l’on stocke dans la variable K. Afficher la variable R correspondant à ( )P X k Afficher la variable S correspondant à ( )P X k Afficher la variable R correspondant à ( )P X k Afficher la variable 1- (R+S) correspondant à ( )P X k Afficher la variable 1- S correspondant à ( )P X k en fonction des valeurs de N, P et K saisies.

35



Ecrire un programme BINO 4T permettant de calculer dans le cas d’une loi binomiale, la probabilité de réussir : k épreuves, moins de k épreuves, au plus k épreuves, au moins k épreuves, plus de k épreuves.

au cours de n épreuves. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l’utilisateur du programme. Le nombre d’épreuves réalisées que l’on stocke dans la variable N doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel non nul. La probabilité de succès à une épreuve que l’on stocke dans la variable P doit vérifier le fait que cette valeur est une valeur comprise entre 0 et 1. Le nombre d’épreuves réussies au cours des n épreuves que l’on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel inférieur ou égal à N.

34

3736

c) Programme : Loi binomiale « inverse »

Ecrire un programme, BINO 5, permettant de déterminer le nombre k dans le cas d’une loi binomiale, tel que P(X k) m. X est la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ;p).

Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à P. A savoir : K,M, N et P. Demander à l’utilisateur d’entrer le nombre d’épreuves réalisées que l’on stocke dans la variable N. Demander à l’utilisateur d’entrer la probabilité de succès à une épreuve que l’on stocke dans la variable P. Demander à l’utilisateur d’entrer la probabilité M tel que P(XK) M. Afficher la variable K correspondant à P(XK) M en fonction des valeurs de N, M et P saisies. Cette valeur est obtenue à l’aide de la fonction InvBinomialCD présente dans le catalogue. (Voir partie initiation à la programmation)

37



Ecrire un programme, BINO 6T permettant de déterminer le nombre k dans le cas d’une loi binomiale, tel que P(X k) m. X est la variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ;p). Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l’utilisateur du programme. Le nombre d’épreuves réalisées que l’on stocke dans la variable N doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel non nul. La probabilité de succès à une épreuve que l’on stocke dans la variable P doit vérifier le fait que cette valeur est une valeur comprise entre 0 et 1. La probabilité M tel que P(XK) M que l’on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est une valeur comprise entre 0 et 1. Le nombre d’épreuves réussies au cours des n épreuves que l’on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel inférieur ou égal à N.

36

3938

II. LOI DE POISSON P(m)


Loi de Poisson P(m)

La loi de Poisson peut être considérée comme une extension de la loi binomiale, si les 3 conditions suivantes sont vérifiées :

n 30

p 0 1,

n p 15

!kem)kX(P

mk

Rappel : m= pn

Propriétés :

pnm)X(

pnm)X(Vpnm)X(E


39


a) Loi de Poisson « simple » Application : On suppose que 2% des articles produits par une usine sont défectueux. Calculer la probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait 3 articles défectueux.

Réponse : En 10 lancers la probabilité d’atteindre 3 fois le centre est de 0.057. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où une pièce est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(2) en effet l’expérience est répété 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - la pièce est défectueuse avec une probabilité de 0,02. - la pièce n’est pas défectueuse avec une probabilité de 0,98. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées :

300,1

15

npn p

en effet

100 300 02 0 12 15

, ,

Calculons P(X = 3).

3 22( 3) 0.183!

eP X

La probabilité d’avoir 3 articles défectueux sur 100 pièces est de 0,18.


Touche p Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur l’icône STAT pour la mettre en surbrillance,

Valider à l’aide de la touche l. Ou plus rapidement appuyer sur la touche 2. L’éditeur de listes s’affiche. Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités.

38


4140

Appuyer sur à l’aide de la touche u. Appuyer sur POISN à l’aide de la touche q pour entrer dans le menu de la loi de Poisson. Appuyer sur Ppd à l’aide de la touche q. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois qu’une pièce est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(2) en effet l’expérience est répété 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - la pièce est défectueuse avec une probabilité de 0,02. - la pièce n’est pas défectueuse avec une probabilité de 0,98. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées :

300,1

15

npn p

en effet 100 300 02 0 12 15

, ,

Calculons P(X = 3).

41

Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N3l2l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l’aide de la touche q pour lancer le calcul. La probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait 3 articles défectueux est d’environ 0,18.

40

4342

b) Loi de Poisson « cumulative » Application : On suppose que 1% des ampoules produites par une usine sont défectueuses. Calculer la probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses.

Réponse : Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois qu’une ampoule est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(1) en effet l’expérience est répétée 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - l’ampoule est défectueuse avec une probabilité de 0,01. - l’ampoule n’est pas défectueuse avec une probabilité de 0,99. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées :

300,1

15

npn p

en effet

100 300 01 0 11 15

, ,

P(X >3) =1 - P(X 3 ) Calculons P(X 3 ).

( 3)( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)

P XP X P X P X P X P X

0 1

1 1

2 1

3 1

1( 0) 0,3678790!

1( 1) 0,3678791!

1( 2) 0,1839402!

1( 3) 0,0613133!

eP X

eP X

eP X

eP X

P(X 3 ) 0 98101, P(X >3) =1 - P(X 3 )

1 0 981010 019

,,

La probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses est d’environ 0,02.

43


Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Appuyer sur POISN à l’aide de la touche q pour entrer dans le menu de la loi de Poisson. Appuyer sur Pcd à l’aide de la touche w. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w.

42

4544

Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois qu’une ampoule est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(1) en effet l’expérience est répétée 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - l’ampoule est défectueuse avec une probabilité de 0,01. - l’ampoule n’est pas défectueuse avec une probabilité de 0,99. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées :

300,1

15

npn p

en effet 100 300 01 0 11 15

, ,

P(X >3) =1 - P(X 3 ) Calculons P(X 3 ). Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N3l1l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l’aide de la touche q pour lancer le calcul. P(X 3 ) 0 98101, P(X >3) =1 - P(X 3 )

1 0 981010 019

,,


45

c) Loi de Poisson « inverse » La variable aléatoire X suit une loi de Poisson P(1). Déterminer le nombre k tel que P(X k) = 0,98.


Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Appuyer sur POISN à l’aide de la touche q pour entrer dans le menu de la loi de Poisson. Appuyer sur InvP à l’aide de la touche e. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w.

44

4746

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi de Poisson P(1). Calculons k tel que P(X k) = 0,6. Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : N0.98l1l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Execute pour la mettre en surbrillance Appuyer sur CALC à l’aide de la touche q pour lancer le calcul. P(X 3) =0,98

47

C. Calculs à partir du Menu SUITES

a) Loi de Poisson « simple » Application : On suppose que 2% des articles produits par une usine sont défectueux. Calculer la probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait 3 articles défectueux.

Réponse : En 10 lancers la probabilité d’atteindre 3 fois le centre est de 0.057 Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où une pièce est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(2) en effet l’expérience est répété 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - la pièce est défectueuse avec une probabilité de 0,02. - la pièce n’est pas défectueuse avec une probabilité de 0,98. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées :

300,1

15

npn p

en effet

100 300 02 0 12 15

, ,

Calculons P(X = 3).

3 22( 3) 0,183!

eP X

La probabilité d’avoir 3 articles défectueux sur 100 pièces est de 0,18.

46

4948




Saisir la formule explicite : 22

!

n en

A savoir : b2^q$mLGn2Nq Pour obtenir la variable n appuyer sur la touche q. Pour obtenir le symbole factoriel ! appuyer sur la touche i. Appuyer sur PROB à l’aide de la touche r pour accéder au sous menu Probabilité.

Appuyer sur à l’aide de la touche q. V

49

Appuyer sur la touche l pour valider la saisie. Vérifier que seul la ligne ou se trouve l’expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance.

Saisir la plage du tableau de valeurs Appuyer sur SET à l’aide de la touche y pour indiquer la valeur initiale et la valeur finale pour n. Nous pouvons nous limiter au calcul des 11 premières valeurs. Start : 0 End : 10 A savoir : 0l10l Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

48

5150

Afficher le tableau de valeurs Vérifier à nouveau que seul la ligne où se trouve l’expression dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l’aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs. Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. La probabilité pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait 3 articles défectueux est d’environ 0,18.

51

b) Loi de Poisson « cumulative » Application : On suppose que 1% des ampoules produites par une usine sont défectueuses. Calculer la probabilité P pour que dans un échantillon de 100 articles il y ait plus de 3 ampoules défectueuses.

Réponse : Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois qu’une ampoule est défectueuse. Cette Variable aléatoire suit la loi de Poisson P(1) en effet l’expérience est répétée 100 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : - l’ampoule est défectueuse avec une probabilité de 0,01. - l’ampoule n’est pas défectueuse avec une probabilité de 0,99. Les 3 conditions pour passer à une loi de Poisson sont vérifiées :

300,1

15

npn p

en effet

100 300 01 0 11 15

, ,

P(X >3) =1 - P(X 3 ) Calculons P(X 3 ).

( 3)( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)

P XP X P X P X P X P X

0 1

1 1

2 1

3 1

1( 0) 0,3678790!

1( 1) 0,3678791!

1( 2) 0,1839402!

1( 3) 0,0613133!

eP X

eP X

eP X

eP X

P(X 3 ) 0 98101, P(X >3) =1 - P(X 3 )

1 0 981010 019

,,


50

5352





!

n en



53



52

5554


55

Afficher le tableau de valeurs Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. P(X 3 ) 0 98101, P(X >3) =1 - P(X 3 )

1 0 981010 019

,,


c) Loi de Poisson « inverse » La variable aléatoire X suit une loi de Poisson P(1). Déterminer le nombre k tel que P(X k) = 0,98.

Réponse : Soit X une. Cette VA suit la loi de Poisson (1)P . Calculons

0 11( 0) 0,367879

0!eP X

0,367879 0,98

1 1

( 0) ( 1)10,367879

1!0,367879 0,367879 0,73578

P X P Xe

0,73578 0,98

2 1

( 0) ( 1) ( 2)10,73578

2!0,73578 0,18394 0,91972

P X P X P Xe

0,91972 0,98

3 1

( 0) ( 1) ( 2) ( 3)10,91972

3!0,91972 0,0613130,981

P X P X P X P Xe

0,981> 0,98 P(X 3) 0,98

54

5756





!

n en



57



Afficher le tableau de valeurs Appuyer sur SET UP à l’aide des touches Lp

56

5958

Se délacer dans le tableau à l’aide du pavé directionnel jusqu’à la ligne . L’affichage par défaut de cette option est en mode Off. Appuyer sur On à l’aide de la touche q pour choisir l’affichage des sommes des termes de la suite. Appuyer sur la touche EXIT pour quitter le SET UP et revenir au menu Recursion. Vérifier à nouveau que seule la ligne où se trouve l’expression de la suite dont on souhaite éditer les termes possède un signe = en surbrillance. Appuyer sur TABL à l’aide de la touche u pour accéder au tableau de valeurs.

Afficher le tableau de valeurs Se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel. P(X 3 ) 0 98101, P(X >3) =1 - P(X 3 )

1 0 981010 019

,,


59

D. Calculs à partir du Menu PROGRAMME

Pour information, un chapitre est dédié à une initiation à la programmation dans cet ouvrage.

a) Programme : Loi de Poisson « simple »

Ecrire un programme, POISS 1, permettant de calculer dans le cas d’une loi de Poisson

( )P m , la probabilité de réussir k épreuves.

Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à R. A savoir : K, M et R Demander à l’utilisateur d’entrer le paramètre m de la loi de Poisson que l’on stocke dans la variable M. Demander à l’utilisateur d’entrer le nombre d’épreuves réussies que l’on stocke dans la variable K. Afficher la variable R correspondant à la valeur prise par

!

n mm en

en fonction des valeurs de M et K saisies.

58

6160



Ecrire un programme, POISS 2T permettant de calculer dans le cas d’une loi de Poisson ( )P m , la probabilité de réussir k épreuves. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l’utilisateur du programme. Le paramètre m de la loi de Poisson que l’on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre strictement positif. Le nombre d’épreuves réussies que l’on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel positif ou nul.

61

b) Programme : Loi de Poisson « simple » et « cumulative »

Ecrire un programme, POISS 3, permettant de calculer dans le cas d’une loi de Poisson

( )P m , la probabilité de réussir : k épreuves, moins de k épreuves, au plus k épreuves, au moins k épreuves, plus de k épreuves.

Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à T. A savoir : K, M, R , S et T. Demander à l’utilisateur d’entrer le paramètre m de la loi de Poisson que l’on stocke dans la variable M. Demander à l’utilisateur d’entrer le nombre d’épreuves réussies que l’on stocke dans la variable K. Afficher la variable R correspondant à ( )P X k Afficher la variable S correspondant à ( )P X k Afficher la variable R correspondant à ( )P X k Afficher la variable 1- (R+S) correspondant à ( )P X k Afficher la variable 1- S correspondant à ( )P X k en fonction des valeurs de M et K saisies.

60

6362



Ecrire un programme POISS 4T permettant de calculer dans le cas d’une loi Poisson ( )P m , la probabilité de réussir : k épreuves, moins de k épreuves, au plus k épreuves, au moins k épreuves, plus de k épreuves.

Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l’utilisateur du programme. Le paramètre m de la loi de Poisson que l’on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre strictement positif. Le nombre d’épreuves réussies que l’on stocke dans la variable K doit vérifier le fait que cette valeur est un entier naturel positif ou nul.

63

c) Programme : Loi de Poisson « inverse »

Ecrire un programme, POISS 5, permettant de déterminer le nombre k dans le cas d’une loi de Poisson ( )P m tel que P(X k) n.

Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à N. A savoir : K, M, et N. Demander à l’utilisateur d’entrer le paramètre m de la loi de Poisson que l’on stocke dans la variable M. Demander à l’utilisateur d’entrer la probabilité N tel que P(XK) N. Afficher la variable K correspondant à P(XK) N en fonction des valeurs de M et N saisies. Cette valeur est obtenue à l’aide de la fonction InvPoissonCD présente dans le catalogue. (Voir partie Initiation à la programmation)

62

6564



Ecrire un programme, POISS 6T, permettant de déterminer le nombre k dans le cas d’une loi de Poisson ( )P m tel que P(X k) n. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l’utilisateur du programme. Le paramètre m de la loi de Poisson que l’on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre strictement positif. La probabilité N tel que P(XK) = M que l’on stocke dans la variable N doit vérifier le fait que cette valeur est comprise entre 0 et 1.

LOI DE PROBABILITÉ CONTINUE

LOI NORMALE

65

LOI DE PROBABILITE CONTINUE

LOI NORMALE


Loi Normale N (m ; )

Définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale N (m ; ) de paramètres m et lorsque sa densité de probabilité est le fonction f définie sur par :

2-1 -( )2 ( )1( )

( ) 2

x m

xf x ex

Remarques : Soit X la variable aléatoire suivant la loi normale N (m ; ). E(X) = m, V(x) = 2 et )X( . La variable X qui suit la loi normale de paramètre m et est appelée variable aléatoire gaussienne. La loi normale ou loi de Laplace-Gauss est un exemple d'une variable aléatoire continue. Pour une variable aléatoire continue, la probabilité d'être entre deux valeurs réelles a et b est l'aire du domaine limité par la courbe représentative d'une certaine fonction f, que l'on appelle densité de probabilité, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

( ) ( )

b

aP a X b f x dx

avec 0)x(f , ( ) 1

f x dx et 21 ( )

2 ( )1( )( ) 2

x m

xf x ex

64

LOI DE PROBABILITÉ CONTINUE

LOI NORMALE

6766

La loi normale centrée réduite N (0 ;1) Théorème : Si une variable aléatoire X suit la loi normale N (m ; )alors la variable aléatoire:

X mT

suit la loi normale centrée réduite N (0 ;1).

Ce résultat test important car il permet de limiter l’étude des lois normales à celle de la seule loi normale centrée réduite N (0 ;1)., dont la densité de probabilité a pour représentation graphique la courbe ci-dessous.

Propriétés :

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) 1 (a>0)

P T a P T a aP T a P T a a aP a T b P a T b b aP a T a P a T a a

67


a) Calcul de P( a ≤ X ≤ b) Application : Lors d’un examen passé par 100 étudiants, les notes sont réparties normalement. La moyenne est de 12 et l’écart type est de 2. Calculer la probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12.

Réponse : Soit X la VA représentant la note de l’étudiant.

Elle suit la loi Normale N (12 ;2)

Pour calculer ]12X7[P , nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant

le changement de variable suivant :

MXT .

]12X7[P =7 12 12 12[ ]

2 2P T

]12X7[P = ]0T5.2[P ]12X7[P = 0.5 - 0.0062

]12X7[P 0.4938

La probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12 est d’environ 0,4938.


Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur NORM à l’aide de la touche q pour entrer dans le sous menu de la loi de normale.

66

6968

Appuyer sur NCd à l’aide de la touche w. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant la note d’un étudiant. Cette Variable aléatoire suit la loi normale N (12 ; 2). Calculons (7 12) P X . Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : 7l 12l 2l 12l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Executer pour la mettre en surbrillance.

Appuyer sur CALC à l’aide de la touche q pour lancer le calcul.

69

(7 12) P X 0 4938 , La probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12 est d’environ 49,38%.

b) Calcul de P( X ≤ b) Application : Le propriétaire d'un verger récolte des pommes: une étude statistique a montré que la masse moyenne m d'une pomme récoltée par ce cultivateur est de 120g avec un écart type de 40. On admet que la variable aléatoire X qui, à toute pomme de cette récolte, associe sa masse suit la loi normale N (120 ; 40). On prend une pomme au hasard dans la récolte. Déterminer la probabilité de l’évènement suivant : P(X ≤ 130).

Réponse : Soit X la variable aléatoire qui, à toute pomme de cette récolte, associe sa masse suit la loi normale N (120 ; 40). On prend une pomme au hasard dans la récolte. Pour calculer P(X ≤ 130) nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant le changement

de variable suivant :

MXT .

[ 130]P X =130 120[ ]

40P T

[ 130]P X = [ 0, 25]P T [ 130]P X 0.5987

La probabilité de l’évènement suivant : P(X ≤ 130) est d’environ 0,5987.

68

7170


Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur NORM à l’aide de la touche q pour entrer dans le sous menu de la loi de normale. Appuyer sur NCd à l’aide de la touche w. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant la masse d’une pomme. Cette Variable aléatoire suit la loi normale N (120 ; 40).

71

Calculons ( 130)P X . Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : -10^99l 130l 40l 120l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Remarque : Le « » est encodé comme une valeur réelle égale à

9910 . Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Executer pour la mettre en surbrillance.


( 130) 0,5987P X La probabilité pour qu’une pomme est une masse inférieure ou égale à 130 grammes est d’environ 59,87%.

70

7372

c) Calcul de P(a ≤ X )

Application : Le propriétaire d'un verger récolte des pommes: une étude statistique a montré que la masse moyenne m d'une pomme récoltée par ce cultivateur est de 120g avec un écart type de 40. On admet que la variable aléatoire X qui, à toute pomme de cette récolte, associe sa masse suit la loi normale N (120 ; 40). On prend une pomme au hasard dans la récolte. Déterminer la probabilité de l’évènement suivant : P(200 ≤ X).

Réponse : Soit X la variable aléatoire qui, à toute pomme de cette récolte, associe sa masse suit la loi normale N (120 ; 40). On prend une pomme au hasard dans la récolte. Pour calculer P(200 ≤ X) nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant le changement


MXT .

[200 ]P X =200 120[ ]

40P T

[200 ]P X = [2 ]P T [200 ]P X 0.0228

La probabilité de l’évènement suivant : P(200 ≤ X) est d’environ 0,0228.


Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur NORM à l’aide de la touche q pour entrer dans le sous menu de la loi de normale.

73

Appuyer sur NCd à l’aide de la touche w. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant la masse d’une pomme. Cette Variable aléatoire suit la loi normale N (120 ; 40). Calculons : P(200 ≤ X). Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : 200l 10^99l 40l 120l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel. Remarque : Le « » est encodé comme une valeur réelle égale à

9910 . Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Executer pour la mettre en surbrillance.


72

7574

(200 ) 0,023P X

La probabilité pour qu’une pomme est une masse supérieure ou égale à 200 grammes est d’environ 2,3%.

d) Calcul de k connaissant P( k ≤ X) Application : En 1955, Wechler a proposé de mesurer le QI (Quotient Intellectuel) des adultes grâce à deux échelles permettant de mesurer les compétences verbales et les compétences non verbales. On compare le score global de la personne testée avec la distribution des scores obtenu par un échantillon représentatif de la population d'un âge donné, dont les performances suivent une loi normale ayant pour moyenne 100 et pour écart-type15. Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d'individus les plus performants ?

Réponse : Soit X la variable aléatoire qui, à toute personne testée, associe la mesure de son QI suit la loi normale N (100 ; 15). Quel QI minimum faut-il obtenir pour faire partie des 5% d'individus les plus performants ? Pour calculer k tel que P( k X) = 0,05 nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant


MXT .

[ ]P k X =100[ ] 0,05

15kP T

Après lecture de la table de la loi normale nous déterminons que 100 1,6449

15k

Soit 124,67k

125 est le QI minimum qu’il faut obtenir pour faire partie des 5% d'individus les plus performants.

75


Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur NORM à l’aide de la touche q pour entrer dans le sous menu de la loi de normale. Appuyer sur InvN à l’aide de la touche e. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant le QI d’une personne. Cette Variable aléatoire suit la loi normale N (100 ; 15).

74

7776

Calculons k tel que P( k ≤ X) = 0,05.

Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne TAIL pour la mettre en surbrillance.

Le mode de représentation est « Côté Droit » ( Tail : Right) Nous sommes dans le cas :

Appuyer sur RIGHT à l’aide de la touche w. Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : 0.05l 15l 100l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel.

77

Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Executer pour la mettre en surbrillance.


125k 125 est le QI minimum qu’il faut obtenir pour faire partie des 5% d'individus les plus performants.

e) Calcul de k connaissant P( X ≤ k) Application : En 1955, Wechler a proposé de mesurer le QI (Quotient Intellectuel) des adultes grâce à deux échelles permettant de mesurer les compétences verbales et les compétences non verbales. On compare le score global de la personne testée avec la distribution des scores obtenu par un échantillon représentatif de la population d'un âge donné, dont les performances suivent une loi normale ayant pour moyenne 100 et pour écart-type 15.

Un patient obtenant un score de 69 fait-il partie des 5% inférieur de la distribution ?

Réponse : Soit X la variable aléatoire qui, à toute personne testée, associe la mesure de son QI suit la loi normale N (100 ; 15). Un patient obtenant un score de 69 fait-il partie des 5% inférieur de la distribution ? Pour calculer k tel que P(X ≤ k) = 0,05 nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centré réduite N (0 ;1) en effectuant


MXT .

[ ]P X k =100[ ] 0,05

15kP T

Après lecture de la table de la loi normale nous déterminons que 100 1,6449

15k

Soit 75,33k

69 75 Une personne avec un QI de 69 appartient donc au 5% inférieur de la population.

76

7978


Appuyer sur DIST à l’aide de la touche y pour entrer dans le menu des lois de probabilités. Appuyer sur NORM à l’aide de la touche q pour entrer dans le sous menu de la loi de normale. Appuyer sur InvN à l’aide de la touche e. Appuyer sur Var à l’aide de la touche w. Soit X la variable aléatoire représentant le QI d’une personne. Cette Variable aléatoire suit la loi normale N (100 ; 15). Calculons k tel que P(X ≤ k) = 0,05.

79

Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne TAIL pour la mettre en surbrillance.

Le mode de représentation est « côté Gauche » ( Tail : Left) Nous sommes dans le cas :

Appuyer sur LEFT à l’aide de la touche q. Saisir les valeurs une à une. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne que l’on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur la touche l pour valider chaque saisie. A savoir : 0.05l 15l 100l Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche N du pavé directionnel.

78

8180

Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la ligne Executer pour la mettre en surbrillance.


75k 69 75 Une personne avec un QI de 69 appartient donc au 5% inférieur de la population.

C. Calculs à partir du Menu RUN

a) Calcul de P( a ≤ X ≤ b)

Application : Lors d’un examen passé par 100 étudiants, les notes sont réparties normalement. La moyenne est de 12 et l’écart type est de 2. Calculer la probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12.

Réponse : Soit X la VA représentant la note de l’étudiant.

Elle suit la loi Normale N (12;2)

Pour calculer ]12X7[P , nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant le

changement de variable suivant :

MXT

]12X7[P =7 12 12 12[ ]

2 2P T

]12X7[P = ]0T5.2[P ]12X7[P = 0,5 - 0,0062

]12X7[P 0, 4938

La probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12 est d’environ 0,4938.

81

A partir du menu Run-Math

Appuyer sur i. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Appuyer sur PROB à l’aide de la touche e pour entrer dans le sous menu probabilité. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Nous sommes dans le menu loi normale centrée réduite. Pour calculer ]12X7[P , nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en

effectuant le changement de variable suivant :

MXT

Soit :

]12X7[P =7 12 12 12[ ]

2 2P T

]12X7[P = ]0T5.2[P

80

8382

Méthode 1 :

La fonction permet dans le cas ou une variable aléatoire suit une loi N (0 ; 1) de calculer 2( )P T T . Il nous faut donc calculer P(0) – P(-2,5). A savoir : qn2.5k Remarque : Il ne faut pas oublier de fermer les parenthèses sous peine d’obtenir un résultat faux. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

(7 12) P X = ( 2,5 0)P T 0 4938 , La probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12 est d’environ 49,38%.

83

Méthode 2 :

La fonction permet dans le cas ou une variable aléatoire suit une loi N (0 ; 1) de calculer 2(0 )P T T .

(7 12) P X = ( 2,5 0)P T = (0 2,5)P T Il nous faut donc calculer Q(2,5). A savoir : w2.5k Remarque : Il ne faut pas oublier de fermer les parenthèses sous peine d’obtenir un résultat faux. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

(7 12) P X = ( 2,5 0)P T 0 4938 , La probabilité pour qu’un étudiant obtienne une note comprise entre 7 et 12 est d’environ 49,38%.

82

8584

Il est possible d’illustrer à la calculatrice graphiquement le calcul (0 2,5)P T dans le cas ou T est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.


Appuyer sur SET UP à l’aide des touches Lp La ligne Input/Output est par défaut en surbrillance. Si ce n’est pas le cas se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel jusqu’à cette ligne. L’affichage par défaut est en mode naturel Math, appuyer sur Line à l’aide de la touche w pour passer en mode affichage linéaire. Appuyer sur la touche EXIT pour quitter le SET UP et revenir au menu Run-Mat. Appuyer sur la touche Sketch à l’aide des touches Lr. Appuyer sur GRPH à l’aide de la touche y.

85

Appuyer sur Y = à l’aide de la touche q. Appuyer sur i. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Appuyer sur PROB à l’aide de la touche e pour entrer dans le sous menu probabilité. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Nous sommes dans le menu Loi Normale centrée réduite.

84

8786

La fonction permet dans le cas ou une variable aléatoire suit une loi N (0 ; 1) de calculer 2(0 )P T T .

(0 2,5)P T Il nous faut afficher et calculer Q(2,5).

A savoir : w2.5k Remarque : Il ne faut pas oublier de fermer les parenthèses sous peine d’obtenir un résultat faux. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

(0 2,5)P T 0 4938 ,

87

b) Calcul de P( X ≤ b) Application : Le propriétaire d'un verger récolte des pommes: une étude statistique a montré que la masse moyenne m d'une pomme récoltée par ce cultivateur est de 120g avec un écart type de 40. On admet que la variable aléatoire X qui, à toute pomme de cette récolte, associe sa masse suit la loi normale N (120 ; 40). On prend une pomme au hasard dans la récolte. Déterminer la probabilité de l’évènement suivant : P(X ≤ 130).

Réponse : Soit X la variable aléatoire qui, à toute pomme de cette récolte, associe sa masse suit la loi normale N (120 ; 40). On prend une pomme au hasard dans la récolte. Pour calculer P(X ≤ 130) nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant le changement


MXT .

[ 130]P X =130 120[ ]

40P T

[ 130]P X = [ 0, 25]P T [ 130]P X 0.5987

La probabilité de l’évènement suivant : P(X ≤ 130) est d’environ 0,5987.


Appuyer sur i. Appuyer sur à l’aide de la touche u.

86

8988

Appuyer sur PROB à l’aide de la touche e pour entrer dans le sous menu probabilité. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Nous sommes dans le menu Loi Normale centrée réduite. Pour calculer P(X ≤ 130) nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant le

changement de variable suivant :

MXT .

[ 130]P X = 130 120[ ]40

P T

[ 130]P X = [ 0, 25]P T

89

La fonction permet dans le cas ou une variable aléatoire suit une loi N (0 ; 1) de calculer 2( )P T T . Il nous faut donc calculer P(0,25) A savoir : qn2.5k Remarque : Il ne faut pas oublier de fermer les parenthèses sous peine d’obtenir un résultat faux. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

( 130) [ 0,25] 0.5987P X P T La probabilité pour qu’une pomme est une masse inférieure ou égale à 130 grammes est d’environ 59,87%.

Il est possible d’illustrer à la calculatrice graphiquement le calcul ( 0, 25)P T dans le cas ou T est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.


Appuyer sur SET UP à l’aide des touches Lp

88

9190

La ligne Input/Output est par défaut en surbrillance. Si ce n’est pas le cas se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel jusqu’à cette ligne. L’affichage par défaut est en mode naturel Math, appuyer sur Line à l’aide de la touche w pour passer en mode affichage linéaire. Appuyer sur la touche EXIT pour quitter le SET UP et revenir au menu Run-Mat. Appuyer sur la touche Sketch à l’aide des touches Lr. Appuyer sur GRPH à l’aide de la touche y. Appuyer sur Y = à l’aide de la touche q. Appuyer sur i.

91

Appuyer sur à l’aide de la touche u. Appuyer sur PROB à l’aide de la touche e pour entrer dans le sous menu probabilité. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Nous sommes dans le menu loi normale centrée réduite. La fonction permet dans le cas ou une variable aléatoire suit une loi N (0 ; 1) de calculer 2( )P T T .

( 0, 25)P T Il nous faut donc afficher et calculer P(0,25).

90

9392

A savoir : q0.25k Remarque : Il ne faut pas oublier de fermer les parenthèses sous peine d’obtenir un résultat faux. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

[ 0, 25] 0.5987P T

c) Calcul de P(a ≤ X )

Application : Le propriétaire d'un verger récolte des pommes: une étude statistique a montré que la masse moyenne m d'une pomme récoltée par ce cultivateur est de 120g avec un écart type de 40. On admet que la variable aléatoire X qui, à toute pomme de cette récolte, associe sa masse suit la loi normale N (120 ; 40). On prend une pomme au hasard dans la récolte. Déterminer la probabilité de l’évènement suivant : P(200 ≤ X).

Réponse : Soit X la variable aléatoire qui, à toute pomme de cette récolte, associe sa masse suit la loi normale N (120 ; 40). On prend une pomme au hasard dans la récolte. Pour calculer P(200 ≤ X) nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant le changement


MXT .

[200 ]P X =200 120[ ]

40P T

[200 ]P X = [2 ]P T [200 ]P X 0,0228


93


Appuyer sur i. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Appuyer sur PROB à l’aide de la touche e pour entrer dans le sous menu probabilité. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Nous sommes dans le menu loi normale centrée réduite. Pour calculer P(200 ≤ X) nous devons avant tout nous « ramener » à la loi Normale centrée réduite N (0 ;1) en effectuant le changement de variable suivant :

MXT .

92

9594

[200 ]P X =200 120[ ]

40P T

[200 ]P X = [2 ]P T

La fonction permet dans le cas ou une variable aléatoire suit une loi N (0 ; 1) de calculer 2( )P T T . Il nous faut donc calculer R(2) A savoir : e2k Remarque : Il ne faut pas oublier de fermer les parenthèses sous peine d’obtenir un résultat faux. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

[200 ]P X = [2 ]P T 0.0228


95

Il est possible d’illustrer à la calculatrice graphiquement le calcul [2 ]P T dans le cas ou T est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.


Appuyer sur SET UP à l’aide des touches Lp La ligne Input/Output est par défaut en surbrillance. Si ce n’est pas le cas se déplacer dans le tableau en utilisant le pavé directionnel jusqu’à cette ligne. L’affichage par défaut est en mode naturel Math, appuyer sur Line à l’aide de la touche w pour passer en mode affichage linéaire. Appuyer sur la touche EXIT pour quitter le SET UP et revenir au menu Run-Mat. Appuyer sur la touche Sketch à l’aide des touches Lr.

94

9796

Appuyer sur GRPH à l’aide de la touche y. Appuyer sur Y = à l’aide de la touche q. Appuyer sur i. Appuyer sur à l’aide de la touche u. Appuyer sur PROB à l’aide de la touche e pour entrer dans le sous menu probabilité. Appuyer sur à l’aide de la touche u.

97

Nous sommes dans le menu Loi Normale centrée réduite. La fonction permet dans le cas ou une variable aléatoire suit une loi N (0 ; 1) de calculer 2( )P T T .

( 2)P T Il nous faut donc afficher et calculer R(2).

A savoir : e2k Remarque : Il ne faut pas oublier de fermer les parenthèses sous peine d’obtenir un résultat faux. Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

[2 ]P T 0.0228

96

9998

D. Calculs à partir du Menu PROGRAMME

Pour information, un chapitre est dédié à une initiation à la programmation dans cet ouvrage.

a) Programme : Loi Normale - P( k ≤ X ) et P( X ≥ k )

Ecrire un programme, Norma 1, permettant de calculer dans le cas d’une loi normale N (m ;σ) , la probabilité P( k ≤ X ) et la probabilité P( X ≥ k ).

Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à Z. A savoir : K, M, S, U , Y et Z. Demander à l’utilisateur d’entrer les paramètres m et de la loi normale que l’on stocke respectivement dans les variables M et S. Demander à l’utilisateur d’entrer la valeur pour laquelle on cherche la probabilité que l’on stocke dans la variable K.

Calculer la valeur de U tel que k mU

correspondant

au changement de variable X mT

.

T suit la loi N (0 ;1)

99

Afficher la variable Y correspondant à la valeur prise par P(U) en fonction des valeurs de M, S et K saisies.

La fonction permet dans le cas ou une variable aléatoire suit une loi N (0 ; 1) de calculer 2( )P T T . Cette fonction est présente dans le catalogue. (Voir partie Initiation à la programmation)

98

101100



Ecrire un programme, Norma 2T, permettant de calculer dans le cas d’une loi normale N (m ;σ) , la probabilité P( k ≤ X ) et la probabilité P( X ≥ k ). Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l’utilisateur du programme. Le paramètre m de la loi normale que l’on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre réel positif ou nul. Le paramètre de la loi normale que l’on stocke dans la variable S doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre réel strictement positif .

101

b) Programme : Loi normale - P( a ≤ X ≤ b )

Ecrire un programme, Norma 3, permettant de calculer dans le cas d’une loi normale N (m ;σ) , la probabilité P( a ≤ X ≤ b).

Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de A à Z. A savoir : A, B, M, S, U, Y et Z. Demander à l’utilisateur d’entrer les paramètres m et de la loi normale que l’on stocke respectivement dans les variables M et S. Demander à l’utilisateur d’entrer les valeurs a et b pour lesquelles on cherche la probabilité que l’on stocke respectivement dans les variables A et B.

Calculer la valeur de U tel que a mU

ainsi que

la valeur de la valeur de V tel que b mV

correspondant au changement de variable X mT

.

T suit la loi N (0 ;1)

100

103102

Afficher la variable Y correspondant à la valeur prise par P(V) – P(U) en fonction des valeurs de M, S , A et B saisies.

La fonction permet dans le cas ou une variable aléatoire suit une loi N (0 ; 1) de calculer 1 2( )P T T T à savoir 2 1( ) - ( )P T P T . Cette fonction est présente dans le catalogue. (Voir partie Initiation à la programmation)

103



Ecrire un programme, Norma 4T, permettant de calculer dans le cas d’une loi normale N (m ;σ) , la probabilité P( a ≤ X ≤ b). Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l’utilisateur du programme. Le paramètre m de la loi normale que l’on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre réel positif ou nul. Le paramètre de la loi normale que l’on stocke dans la variable S doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre réel strictement positif. La valeur b représente la valeur maximale que l’on stocke dans la variable B doit vérifier que c’est un nombre réel strictement supérieur à a.

102

105104

c) Programme : Loi normale inverse

Ecrire un programme, NORMA 5, permettant de déterminer le nombre k dans le cas d’une loi normale N (m ;σ) , tel que P(X k) = P ou P(X k) = P.

Explication pour réaliser ce programme Code Initialiser toutes les variables de K à U. A savoir : K, M,S, P et U. Demander à l’utilisateur d’entrer les paramètres m et de la loi normale que l’on stocke respectivement dans les variables M et S. Demander à l’utilisateur d’entrer la probabilité P tel que P(X k) P ou P(X k) = P que l’on stocke dans la variable P.

105

Calculer la valeur de U tel que a mU

ainsi que

la valeur de la valeur de V tel que b mV

correspondant au changement de variable X mT

.

T suit la loi N (0 ;1) Afficher la variable K correspondant à P(X k) = P ou correspondant à P(X k) = P en fonction des valeurs M , P et S saisies.

Calculer la valeur de U tel que k mU

et afficher sa

valeur. Cette valeur est obtenue à l’aide de la fonction InvNormCD présente dans le catalogue. (Voir partie Initiation à la programmation)

104

107106



Ecrire un programme, Norma 6T, permettant de déterminer le nombre k dans le cas d’une loi normale N (m ;σ) , tel que P(X k) = P ou P(X k) = P. Ce programme doit inclure des tests de validité des informations saisies par l’utilisateur du programme. Le paramètre m de la loi normale que l’on stocke dans la variable M doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre réel positif ou nul. Le paramètre de la loi normale que l’on stocke dans la variable S doit vérifier le fait que cette valeur est un nombre réel strictement positif . La probabilité P tel que P(XK) = P ou P(X k) = P que l’on stocke dans la variable P doit vérifier le fait que cette valeur est comprise entre 0 et 1.

INITIATION À LA PROGRAMMATION

107

INITIATION A LA PROGRAMMATION Ce que disent les textes : « Au lycée d’enseignement général et technologique : La calculatrice doit permettre de favoriser l’apprentissage d’une démarche algorithmique. »

A. Supports de programmation

En classe de seconde, les élèves doivent savoir concevoir et mettre en œuvre quelques algorithmes. Cette formation se poursuit jusqu’en classe de terminale. Nous aborderons dans cette initiation des Applications en relation avec diverses parties du programme de mathématiques. Dans le cadre de l’activité algorihmique, il est demandé que les élèves soient entraînés à écrire des programmes sur calculatrice ou avec un logiciel adapté. « Les calculatrices graphiques programmables peuvent être exploitées grâce à leur commodité en classe entière. » (Source : document Ressources pour la classe de seconde – Algorihmique) La Casio Graph35+USB permet une écriture aisée de programmes dédiés aux mathématiques. Son langage est un dérivé du BASIC.

B. Bases du mode PRGM

a) Accéder au mode programme


Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur l’icône PRGM pour la mettre en surbrillance,

Valider à l’aide de la touche l. Plus rapide appuyer sur la touche 9. L’éditeur de listes des programmes s’affiche. Il est alors possible d’utiliser cet écran pour saisir des programmes, les modifier et les exécuter.

106

INITIATION À LA PROGRAMMATION

109108

b) Créer une zone de texte pour saisir un nouveau programme Application : Créer une zone de Texte accueillant un programme nommé : ESSAI

A partir du menu de programmation

o Si votre machine ne contient pas de programme en mémoire.

o Si votre machine contient un (des) programme(s) en mémoire.

Appuyer sur NEW à l’aide de la touche e.

Saisir son nom : ESSAI Pour taper un nom avec les caractères alphabétiques appuyer sur La Pour accéder au mode ALPHA-LOCK et ainsi verrouiller l’écriture alphabétique. Lajmmfj Appuyer sur la touche l pour valider la saisie.

109

c) Effacer un programme Application : Supprimer le programme VECTEUR1 de la liste des programmes.


Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur le nom du programme à supprimer pour le mettre en surbrillance. Appuyer sur DEL à l’aide de la touche r. Appuyer sur la touche q pour confirmer la suppression du programme.

108

111110

d) Editer un programme Application : Editer le programme VECTEUR1.


Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur le nom du programme à Editer pour le mettre en surbrillance. Appuyer sur EDIT à l’aide de la touche w. Appuyer sur la touche EXIT pour revenir à la liste des programmes.

111

e) Copier – Coller une partie d’un programme Application : Copier les 4 premières lignes d’un programme et les coller à la suite.

A partir de l’éditeur de programmes Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur le début de la ligne à copier. Appuyer sur la touche CLIP à l’aide des touches L8. Le symbole d’une feuille clignote à l’écran. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur le dernier caractère de la dernière ligne à copier pour mettre l’ensemble du texte en surbrillance. Appuyer sur COPY à l’aide de la touche q. Se positionner à l’aide du pavé directionnel à l’endroit ou l’on souhaite coller le texte surligner. Appuyer sur la touche PASTE à l’aide des touches L9.

110

113112

f) Exécuter un programme Application : Exécuter le programme AGE2.


Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur le nom du programme à Editer pour le mettre en surbrillance. Appuyer sur EXE à l’aide de la touche q. Remarque :

Si la syntaxe est mauvaise, la machine vous indique : Syntax ERROR Press : [EXIT]

Appuyer sur la touche EXIT pour atterrir dans l’éditeur de programmes et corriger votre erreur.

g) Quitter le mode PRGM et revenir au Menu Principal


Appuyer sur la touche p pour revenir au Menu Principal.

113

C. Commandes de bases

Attention : les mots du langage de programmation ne doivent pas être tapés lettre par lettre. On les retrouve sur les touches, dans les sous menu du mode PRGM ou dans le catalogue. (Voir F/ Mémento des commandes, fonctions et symboles utilisés dans cette initiation à la programmation)

a) Afficher un texte – Effacer un écran

Application : Afficher le texte : Bonjour


Pour afficher du texte, il suffit de le mettre entre guillemets.

b) Enregistrer une valeur dans une variable et afficher son contenu

Application 1 : Stocker 3+5 dans la variable A. Afficher le contenu de A


Pour attribuer la valeur 3+5 à la lettre A on tape 3+5→ A. Le résultat de l’opération 3+5 est stocké dans la variable A. On affiche le texte A=, en le mettant entre guillemets. Pour afficher le contenu d’une variable, par Application A, il suffit d’écrire le nom de cette variable A précédé du symbole : .

112

115114

Application 2 : Demander à l’utilisateur de rentrer au clavier une valeur que l’on stockera dans la variable A et une autre valeur que l’on stockera dans la variable B. Ajouter la variable A à la variable B, mettre le résultat obtenu dans une variable C Afficher le contenu de C.

Explication pour réaliser ce programme Code On affiche le texte A= à l’écran, ?→A signifie que l’on demande à l’utilisateur d’entrer une valeur que l’on stocke dans la variable A. On affiche le texte B= à l’écran, ?→B signifie que l’on demande à l’utilisateur d’entrer une valeur que l’on stocke dans la variable B. On affiche le texte C= à l’écran, On affiche le contenu de la variable C pour cela on fait précéder C du symbole : .

c) Effacer le contenu d’un écran texte

Application : Reprendre l’application précédente, mais avant d’afficher le contenu de C effacer l’écran texte.


La commande ClrText permet d’effacer l’écran texte.

115

D. Boucles et conditions

a) If, Then, IfEnd

Application : Demander à l’utilisateur de rentrer son âge au clavier. En fonction de cet âge afficher : tu es majeur, ou tu es mineur.

Explication pour réaliser ce programme Code La structure de ce programme peut se traduire par : Si < Condition vraie >If Alors < Instruction > Then Fin IfEnd ---------------------------------------------------------------------- On affiche le texte : Quel est ton âge à l’écran. ?→A signifie que l’on demande à l’utilisateur d’entrer une valeur (son âge) que l’on stocke dans la variable A. Si A 18 (condition 1) Alors on affiche le texte : Tu es majeur. Fin de condition 1. Si A<18 (condition 2) Alors on affiche le texte : Tu es mineur. Fin de la condition 2.

114

117116

b) If, Then, Else, If.End


Explication pour réaliser ce programme Code La structure de ce programme peut se traduire par : If< Condition 1 vraie > Si Then < Instruction 1> Alors Else < Instruction 2> Sinon If.End Fin du si ----------------------------------------------------------------------Affiche le texte : Quel est ton âge à l’écran. ?→A signifie que l’on demande à l’utilisateur d’entrer une valeur ( son âge) que l’on stocke dans la variable A. Si A 18 Alors on affiche le texte : Tu es majeur. Sinon on affiche le texte : Tu es mineur. Fin

117

c) Lbl, Goto


Explication pour réaliser ce programme Code Lbl signifie label (étiquette), cette commande permet de baliser un endroit du programme. Goto signifie aller à et permet d’envoyer le programme au niveau du label correspondant. La structure de ce programme peut se traduire par : Lbl <Nom du label> Etiquette < Instruction > Goto <Nom du label> Aller à Le nom du label peut être 0,1,…9,A, …Z. --------------------------------------------------------------------- Afficher le texte : Quel est ton âge à l’écran. ?→A signifie que l’on demande à l’utilisateur d’entrer une valeur (son âge) que l’on stocke dans la variable A. Si A 18 Alors on va (goto) au label 0. Afficher : Tu es majeur. Stop, quitter le programme instruction. Si A<18 Alors on va (goto) au label 1. Afficher : Tu es mineur. Stop, quitter le programme instruction.

116

119118

d) For, To, Next

Application : Ecrire un programme affichant les valeurs de 3x pour 0 x 5 . Avec x entier.

Explication pour réaliser ce programme Code La structure de ce programme peut se traduire par : For < Valeur de départ donner à la variable > Pour To< Valeur d’arrivée de la variable > A < Instruction> Next Après ----------------------------------------------------------------------La variable A prend comme valeur de départ 0 (For I→0) et s’arrêtera lorsqu’elle atteindra la valeur 10 (To 5) On affiche la valeur prise par 3x pour chaque valeur de la variable A La variable A voit augmenter sa valeur de 1. ( Next) L’instruction est un ordre qui signifie : afficher la valeur calculée (si il s’agit d’un calcul) et faire une pause. L’utilisateur doit appuyer sur la touche EXE pour passer à l’affichage suivant.

119

e) While, WhileEnd

Application : Demander à l’utilisateur de rentrer le résultat de8 7 . Reposer la question tant que la réponse est fausse sinon écrire : BRAVO

Explication pour réaliser ce programme Code La structure de ce programme peut se traduire par : While < Condition > Tant que < Instruction> WhileEnd Fin du « Tant que » ---------------------------------------------------------------------- Afficher le texte : 8 7 ... à l’écran. ?→A signifie que l’on demande à l’utilisateur d’entrer une réponse que l’on stocke dans la variable A. Tant que la variable A ne vaut pas 56, reprendre l’action à exécuter, à savoir attendre la réponse de 8 7 ... Si la réponse est 56, on quitte la boucle et on affiche BRAVO

118

121120

f) Do, LpWhile

Application : Ecrire un programme permettant de faire calculer 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

Explication pour réaliser ce programme Code La structure de ce programme peut se traduire par : Do < Instruction > Faire < Instruction> LpWhile < Condition> Tant que la condition est fausse, retourner au Do. ---------------------------------------------------------------------- Initialiser les variables A à S. Tant que la variable A ne vaut pas 10, reprendre les instructions entre "Do"et le "Lpwhile". Lorsque A vaut 10 sortir de la boucle et afficher la valeur de S correspondant à la somme 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

121

E. Mises en pratiques dans différents domaines des mathématiques

a) Programme « Calcul de la distance entre de deux points »

Application : A et B étant deux points définis par leurs coordonnées, Automatiser le calcul de la distance AB.

Algorithme Code

VARIABLES

M, N // Coordonnées de A P,Q // Coordonnées de B E // AB² D // AB

ENTREES

Afficher A(X,Y) Afficher XA = Saisir M Afficher YA = Saisir N Afficher B(X,Y) Afficher XB = Saisir P Afficher YB = Saisir Q

TRAITEMENT E prend la valeur

2 2P M Q N( ) ( ) D prend la valeur E

SORTIE Afficher AB² = Afficher E Afficher AB = Afficher D

Remarque : L’instruction est utilisée à la fin d’une ligne lorsque l’on a besoin d'afficher plusieurs résultats. Pour passer de la lecture de l’affichage à un autre, l’utilisateur doit appuyer sur la touche EXE .

Test

120

123122

b) Programme « Passage à la caisse »

Application : Un magasin affiche la promotion suivante : « Pour tout achat, profitez de 5% de réduction. Si le montant est supérieur à 75€ bénéficiez de 35% de réduction. »

1) Soit x le prix d’un article avant réduction. On suppose que x 75 . Déterminer en fonction de x le prix de l’article après réduction.

On suppose que x 75 . Déterminer en fonction de x le prix de l’article après réduction. 2) Ecrire un algorithme demandant de saisir le prix avant réduction de l’article et affichant le

prix après réduction. 3) Programmer cet algorithme sur votre calculatrice.

Algorithme Code

VARIABLES P // Nombre réel

ENTREES

Afficher Prix avant réduction Saisir P

TRAITEMENT Si P 75 , Alors P prend la valeur 0 95 P, Sinon , P prend la valeur 0 65 P, Fin Si

SORTIE

Afficher Prix après réduction = Afficher P

Test

123

c) Programme « ABCD est il un parallélogramme ? »

Application: 1) ABCD est un parallélogramme. Quelle condition soit être vérifiée par ses diagonales [AC] et [BD] ? Cette condition permet–elle de prouver que ABCD est un parallélogramme ? On désignera par P1cette propriété. 2) Soit A AA x y( ; ) ; B BB x y( ; ) ; C CC x y( ; )quatre points du plan. Utiliser les coordonnées des points A, B, C et D pour traduire algébriquement la condition trouvée à la première question. 3) Ecrire un algorithme qui vérifie si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ou pas. 4) Traduire l’algorithme en Basic Casio. 5) Tester.

Correction 1) [AC] et [BD] doivent se couper en leur milieu. Cette condition permet de prouver que ABCD est un parallélogramme.

Données Construction Conclusion

I est le milieu de [AC] et [BD]

ABCD est un parallélogramme.

Propriété P1 Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. 2)

A C B D

A C B D

x x x x2 2

y y y y2 2

3) Algorithme Code

VARIABLES A, B // Coordonnées de A C, D // Coordonnées de B E, F // Coordonnées de C G,H // Coordonnées de D

M // A E2

N // C G2

P // B F2

Q // D H2

122

125124

ENTREES Afficher ABCD est il un parallélogramme ? Afficher A(X,Y) Afficher XA = Saisir A Afficher YA = Saisir B Afficher B(X,Y) Afficher XB = Saisir C Afficher YB = Saisir D Afficher C(X,Y) Afficher XC = Saisir E Afficher YC = Saisir F Afficher D(X,Y) Afficher XD = Saisir G Afficher YD = Saisir H

TRAITEMENT

M prend la valeur A E2

N prend la valeur C G2

P prend la valeur B F2

Q prend la valeur D H2

Si M ≠ N Alors Sinon Si P = Q Sinon Fin Si Fin Si

SORTIE Afficher Non Afficher Oui Afficher Faux

125

Test Test 1 Par Application A(3 ; 5) B(6 ; 9) C(6 ; -3) et D(6 ; -1). M ≠ N Résultat : ABCD n’est pas un parallélogramme.

Test 2 Par Application A(0 ; 0) B(0 ; 4) C(2 ; 5) et D(2 ; 0). M = N puis P ≠ Q Résultat : ABCD n’est pas un parallélogramme. Test 3 Par Application A(0 ; 0) B(0 ; 4) C(2 ; 4) et D(2 ; 0). M = N et P = Q Résultat : ABCD est un parallélogramme.

124

127126

d) Programme « Simuler N lancers d’une pièce de monnaie non truquée »

Application : Une expérience consiste à lancer une pièce de monnaie non truquée Ecrire un programme simulant N fois cette expérience. Pour information :

o L’instruction Ran≠ permet de générer un nombre dans l’intervalle [0 ; 1[. o L’instruction RanInt#(a,b) avec a<b permet de générer un nombre entier aléatoire compris

entre a et b inclus . Par exemple : L’instruction RanInt≠(0,1) permet de générer un nombre entier aléatoire 0 ou 1. o L’instruction RanInt#(a,b,c) avec a<b permet de générer c nombres entiers aléatoires

compris entre a et b inclus. Par exemple : L’instruction RanInt≠(1,6,10) permet de générer dix nombres entiers aléatoires

compris entre 1 et 6. Algorithme Code

VARIABLES A // Nombre de pile(s) B // Nombre de face(s) N // Nombre de lancer(s) C // Nombre entier aléatoire compris entre 0 et 1 ENTREES Afficher PIECE Afficher Nb Lancers ? Saisir N

TRAITEMENT Pour I =1 à N (Début de la boucle) C prend aléatoirement une valeur de 0 ou de 1. Si C = 0 Alors A+1 →A On incrémente de 1 le nombre de pile(s)). Sinon B+1 →1 On incrémente de 1 le nombre de face(s) Fin Si On boucle. La boucle s’arrête lorsque I atteint la valeur de N.

SORTIE Afficher Pile(s) : Afficher A Afficher Face(s) : Afficher B

Test

127

e) Programme « Simuler N lancers d’un dé à six faces non truqué »

Application : Une expérience consiste à lancer un dé à six faces non truquée. Ecrire un programme simulant N fois cette expérience. Pour information :

o L’instruction Ran≠ permet de générer un nombre dans l’intervalle [0 ; 1[. o L’instruction RanInt#(a,b) avec a<b permet de générer un nombre entier aléatoire compris

entre a et b inclus . Par exemple : L’instruction RanInt≠(0,1) permet de générer un nombre entier aléatoire 0 ou 1. o L’instruction RanInt#(a,b,c) avec a<b permet de générer c nombres entiers aléatoires

compris entre a et b inclus. Par exemple : L’instruction RanInt≠(1,6,10) permet de générer dix nombres entiers aléatoires

compris entre 1 et 6. Algorithme Code

VARIABLES A // Nombre d’apparitions de la face 1. B // Nombre d’apparitions de la face 2. C // Nombre d’apparitions de la face 3. D // Nombre d’apparitions de la face 4. E // Nombre d’apparitions de la face 5. F // Nombre d’apparitions de la face 6. N // Nombre de lancer(s) K // Nombre entier aléatoire compris entre 1 et 6 ENTREES Afficher Dé à 6 faces Afficher Nb Lancers ? Saisir N TRAITEMENT Pour I =1 à N (Début de la boucle) K prend aléatoirement une valeur de 0 ou de 1. Si K = 1 Alors Aller à l’étiquette 1 Etiquette 1 On incrémente A de 1 Aller à l’étiquette 0 Si K = 2 Alors Aller à l’étiquette 2 Etiquette 2 On incrémente B de 1 Aller à l’étiquette 0 Si K = 3 Alors Aller à l’étiquette 3 Etiquette 3 On incrémente C de 1 Aller à l’étiquette 0

126

129128

Si K = 4 Alors Aller à l’étiquette 4 On incrémente D de 1 Aller à l’étiquette 0 Si K = 5 Alors Aller à l’étiquette 5 Etiquette 3 On incrémente E de 1 Aller à l’étiquette 0 Si K = 6 Alors Aller à l’étiquette 6 On incrémente F de 1 Aller à l’étiquette 0 Etiquette 0 On boucle : Suivant La boucle s’arrête lorsque I atteint la valeur de N.

SORTIE Afficher Face 1 : Afficher A Afficher Face 2 : Afficher B Afficher Face 3 : Afficher C Afficher Face 4 : Afficher D Afficher Face 5 : Afficher E Afficher Face 6 : Afficher F

Test

129

f) Programme « Jeux du Devin »

Application : Le jeu du devin, est le suivant : La calculatrice "pense" à un nombre entre 1 et 100 et vous devez deviner ce nombre. La calculatrice doit vous indiquer, après chacune de vos propositions, si celle-ci est trop grande ou trop petite. Ecrire un programme permettant de jouer à ce jeu. Afficher en fin de jeu, le nombre d'essais lorsque l'utilisateur aura trouvé la solution.

Algorithme Code

VARIABLES M // Nombre entier à découvrir compris entre 1 et 100 P // Nombre entier proposé par l’utilisateur N // Nombres d’essais ENTREES Afficher Nombre Mystère Saisir M TRAITEMENT Initialiser la variable N Générer un nombre entier aléatoirement entre 1 et 100. Le stocker dans la variable M. Tant que P M reprendre les instructions entre "Do"et le "Lpwhile". A savoir : Effacer l’écran texte Demander à l'utilisateur d'entrer un nombre. Le stocker dans la mémoire P. Si P>M, Alors Pause Si P<M, Alors Incrémenter d’une unité la

SORTIE Afficher : Plus petit Afficher : Plus grand

128

131130

variable N à chaque passage de boucle. Remarque : Isz N est équivalent à N+1→N (Compteur) Lorsque P = M sortir de la boucle

Afficher : Gagne: Afficher : Nb de coup Afficher : N

Test

131

F. Mémento des commandes, fonctions et symboles utilisés dans cette initiation à la programmation

a) Saisis en utilisant une combinaison de touches La liste ci-dessous est loin d’être exhaustive.

Guillemets "

az

TEXTE

a Touche clavier Par Application pour afficher M a7(M) Pour verrouiller l’écriture alphabétique (mode ALPHA-LOCK) La

→

→ qui ce situe juste au-dessus de la touche AC/ON

?

Lo(PRGM) r ( ? )

:

Lo(PRGM) u( )y ( : )

Lo(PRGM) y ( )

Lo(PRGM) e( JUMP) e ( )

=

L. (=)

<

Lo(PRGM) u ( )e(REL) )r (<)

>

Lo(PRGM) u ( )e(REL) )e (<)

Lo(PRGM) u ( )e(REL) )y ( )

Lo(PRGM) u ( )e(REL) )u ( )

Lo(PRGM) u ( )e(REL) )w ( )

130

133132

~

u(CHAR) w(SYBL)N N$$$l(~)

Isz

Lo(PRGM) e( JUMP)r (Isz)

If

Lo(PRGM) q (COM) ) q(If)

Else

Lo(PRGM) q (COM) ) e (Else)

Then

Lo (PRGM) q (COM) )w (Then)

If.End

Lo (PRGM) q (COM) ) r (I.End)

For

Lo (PRGM) q (COM) ) u ( ) q (For )

To

Lo (PRGM) q (COM) ) u ( )w (To )

Next

Lo (PRGM) q (COM) ) u ( )r (Next)

Lbl

Lo (PRGM) e( JUMP) q (Lbl)

Goto

Lo (PRGM) e( JUMP) w (Goto)

Clrtext

Lo (PRGM) u ( )q (CLR)q(Text)

While

Lo (PRGM)q (COM) )u ( )u ( )q (Whle)

WhilEnd

Lo (PRGM) q (COM) )u ( )u ( )w (WEnd)

Do

Lo (PRGM) q (COM) )u ( )u ( )e (Do)

LpWhile

Lo (PRGM) q (COM) )u ( )u ( )r (Lp.W)

Stop

Lo(PRGM) w (CTL ) r (Stop)

133

Ran

iu ( )e (PROB) r (RAND)q(Ran )

RanInt(

iu ( )e (PROB) r(Rand)w (Int)

b) Saisis en utilisant la fonction catalogue Il est possible d’accéder à l’ensemble des commandes, fonctions et symboles de la calculatrice en utilisant le Menu Catalogue de la calculatrice

Application : Insérer dans un programme l’instruction Goto.

Mode opératoire

Afficher le catalogue interne à la calculatrice Appuyer sur L4(CATALOG) Le catalogue se présente sous la forme d’une liste des commandes classées de manière alphabétique

Méthode 1 Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur le nom de la commande que l’on souhaite insérer pour la mettre en surbrillance en faisant défiler les commandes par ordre alphabétique. Appuyer sur INPUT à l’aide de la touche q pour insérer la commande Goto.

Méthode 2 Saisir au clavier la première lettre de la commande que l’on souhaite intégrer, provoquant ainsi l’affichage de la première commande qui commence par cette lettre. Dans le cas de Goto, saisir la lettre G. Appuyer sur b( G). Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur le nom de la commande ( Goto) que l’on souhaite insérer pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur INPUT à l’aide de la touche q pour insérer la commande.

132

~

u(CHAR) w(SYBL)N N$$$l(~)

Isz

Lo(PRGM) e( JUMP)r (Isz)

If

Lo(PRGM) q (COM) ) q(If)

Else

Lo(PRGM) q (COM) ) e (Else)

Then

Lo (PRGM) q (COM) )w (Then)

If.End

Lo (PRGM) q (COM) ) r (I.End)

For

Lo (PRGM) q (COM) ) u ( ) q (For )

To

Lo (PRGM) q (COM) ) u ( )w (To )

Next

Lo (PRGM) q (COM) ) u ( )r (Next)

Lbl

Lo (PRGM) e( JUMP) q (Lbl)

Goto

Lo (PRGM) e( JUMP) w (Goto)

Clrtext

Lo (PRGM) u ( )q (CLR)q(Text)

While

Lo (PRGM)q (COM) )u ( )u ( )q (Whle)

WhilEnd

Lo (PRGM) q (COM) )u ( )u ( )w (WEnd)

Do

Lo (PRGM) q (COM) )u ( )u ( )e (Do)

LpWhile

Lo (PRGM) q (COM) )u ( )u ( )r (Lp.W)

Stop

Lo(PRGM) w (CTL ) r (Stop)

135134

Méthode 3 Appuyer sur CTGV à l’aide de la touche u pour afficher la liste des catégories présente dans le Catalogue. Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur la catégorie dans laquelle se trouve la commande que l’on souhaite intégrer pour la mettre en surbrillance ou appuyer sur la touche ( 5) correspondant au numéro de la catégorie. Goto est une commande de programmation (Catégorie 5) Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur le nom de la commande que l’on souhaite insérer pour la mettre en surbrillance en faisant défiler les commandes de la catégorie sélectionnée par ordre alphabétique. Appuyer sur INPUT à l’aide de la touche q pour insérer la commande Goto.

Ou Saisir au clavier la première lettre de la commande que l’on souhaite intégrer, provoquant ainsi l’affichage de la première commande qui commence par cette lettre. Dans le cas de Goto, saisir la lettre G. Appuyer sur b( G). Se positionner à l’aide du pavé directionnel sur le nom de la commande (Goto) que l’on souhaite insérer pour la mettre en surbrillance. Appuyer sur INPUT à l’aide de la touche q pour insérer la commande.

135

Notes personnelles

134

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Notes personnelles

3

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24 rue Émile Baudot - 91120 PALAISEAUEmail : [email protected]

Directeur de la publication : Keity Mardinli

Rédacteur en chef : Benoît Truchetet

Réalisation : Arc’ad+

Diffusion : Professeurs de mathématiques exclusivement

Août 2012

Documents

Lois de probabilités avec la calculatrice graphique …maths2pro.free.fr/calculatrice/casiograph35manuel.pdf · Dans ce manuel dédié à l’utilisation de la calculatrice graphique