LP n°23 : Traitement d'un signal. Etude spectrale. (LP n°12 du Concours Externe Spécial)

Ugo Hincelin

Mai 2017

Niveau

Licence 2

Objectifs

Analyser le spectre d'un signal Filtrer un signal : principe et pratique Modulation et Démodulation d'un signal : principe et pratique

Prérequis

Signal harmonique et périodique Electrocinétique Ecriture complexe des signaux sinusoïdaux Décomposition en série de Fourier

Table des matières

1 Introduction 2

2 Traitement linéaire : Filtrage 2

2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.3 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Filtres du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Filtres du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4 Etude spectrale d'un signal polychromatique ltré (EXP 1) . . . . . . . . . 5

3 Traitement non linéaire : Modulation et démodulation (EXP 2) 53.1 Modulation d'amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Démodulation d'amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 Détection de crête ([2] p.394) (à faire si il y a du temps, préférerdétection synchrone) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.2 Détection synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Conclusion et ouverture 7

Références

[1] D. Augier, C. More, 2013, Physique PCSI, Tec & Doc (ltres)

[2] Perez, 2009, Cap Prépa, Physique MPSI-PCSI-PTSI, Pearson Education, (détecteurde crête p.394)

[3] Sanz, Salamito, 2006, Physique tout-en-un PSI PSI*, Dunod

[4] Montage 31 Résonance

[5] Montage 23 : Mise en forme, transport et détection de l'information

[6] programme Terminale S sur échantillonnage / quantication

1

1 Introduction

Le traitement du signal est un vaste sujet. Deux grandes familles de signaux existent, lessignaux analogiques et ceux dit numériques. Il est possible de passer de l'une à l'autre fa-mille par des conversions dite CAN (Conversion Analogique Numérique) et CNA (Conver-sion Numérique Analogique). Ces signaux sont la plupart du temps modiés, an d'enextraire une information utile, ou bien an de les adapter à un mode de transmissionparticulier.

Nous avons étudié dans des cours précédents les signaux harmoniques et périodiques,leur décomposition en série de Fourier, et l'analyse de ces signaux à l'oscilloscope. Danscette leçon, nous allons maintenant étudier le traitement de ce signal et le spectre obtenu.Nous choisissons de focaliser sur : 1) un traitement linéaire, le ltrage d'un signal, et 2)un traitement non linéaire, la modulation et la démodulation d'un signal.

2 Traitement linéaire : Filtrage

Problématique Un signal utile est souvent accompagné d'un bruit ou d'autres signauxinutiles. Il est alors possible de ltrer le signal brut an d'en extraire le signal utile .Exemples : télévision (plusieurs chaînes, dont une est désirée), téléphone (plusieurs commu-nications, dont une est destinée à l'utilisateur), électrode de verre en chimie pour mesurerle pH (information utile dans la valeur moyenne de la tension, fonction ane 1 du pH,superposée à l'ondulation parasite 50 Hz qu'on cherche à éliminer).

Dénition Un traitement linéaire n'ajoute pas de nouvelles fréquences au signal.

2.1 Propriétés

On traite dans cette section les signaux variant continûment dans le temps.

Un ltre est un opérateur qui sélectionne les signaux utiles sur un critère fréquentiel.

Figure 1 [1]p.328

e (t) signal d'entrée

s (t) signal de sortie

1. Diérence de potentiel entre une électrode de verre et une électrode de référence :∆E = a + b× pH

2.1.1 Linéarité

C'est un opérateur linéaire.La relation le dénissant est une équation diérentielle linéaire à coecients constants.

Filtre d'ordre 1 : Ads(t)dt +Bs (t) = C de(t)

dt +De (t)

Filtre d'ordre 2 : Ad2s(t)dt2 +B ds(t)

dt + Cs (t) = D d2e(t)dt2 + E de(t)

dt + Fe (t)

Régime harmonique / permanent / sinusoïdal forcé Après le régime transitoire,un ltre restitue un signal périodique, de même période.Si e (t) = Em cosωt, alors s (t) = Sm cosωt+ φ

Principe de superposition Sachant que s1 (t) et s2 (t) sont les signaux de sortie dee1 (t) et e2 (t), si e = e1 + e2 alors s = s1 + s2.

2.1.2 Fonction de transfert

On utilise la représentation complexe des signaux. Le signal de sortie s est relié au signald'entrée e par la fonction de transfert H : He = s.Pour e (t) = Em cosωt et s (t) = Sm cosωt+φ, la fonction de transfert nous donne deux

informations importantes :

1. le rapport des amplitudes grâce à son module : |H| = Sm

Em

2. le déphasage grâce à son argument : argH = φ

2.1.3 Diagramme de Bode

|H| = fonction (ω) et argH = fonction (ω) ω est souvent étalée sur plusieurs ordres de grandeur, donc on utilise l'échelle loga-

rithmique |H|varie aussi sur plusieurs OdG, on dénit alors le gain en décibel : GdB = 20 log |H|

Remarque : Attention aux comparaisons. 60 dB revient à |H| = 1000 et 80 dB revient à|H| = 10000 soit un facteur 100, bien que 60/80 = 3/4.

2.2 Filtres du premier ordre

Ads(t)dt +Bs (t) = C de(t)

dt +De (t) donne H =se = D+jωC

B+jωA

Voyons les ltres principaux :

Filtre passe-bas Exemple du circuit RC : SCHEMA CIRCUIT en gure 3C = 0, D = B = 1 et A = RC = τ (τ : constante de temps)H = 1

1+jωτ : gain maximum pour ω = 0 donc passe-bas

Fréquence de coupure, ωc = 1τ , marque la transition entre 2 domaines :

2

1. intervalle [0, ωc] appelée bande passante à -3dB où le gain varie peu (calculH (ω = ωc) = 1√

12+12puis 20 logH = −3dB)

2. intervalle [ωc,∞[appelée bande atténuée où le gain diminue de 20dB par décade

SCHEMA DIAGRAMME :

Figure 2 Passe-bas ordre 1

Filtre passe-haut Exemple circuit CR : SCHEMA CIRCUIT en gure 3

D = 0, B = 1, A = C = RC = τ

H = jωτ1+jωτ : gain maximum pour ω −→∞ donc passe-haut

Fréquence de coupure : ωc = 1τ

SCHEMA DIAGRAMMES

Remarque : Filtre amplicateur et atténuateur Il est possible d'augmenter le gaindans la bande passante an d'avoir par exemple H = H0

1+jωτ de telle sorte que H0 > 1. On

parle de ltre amplicateur. Pour H0 < 1 on parle de ltre atténuateur ([1] p.335).

Figure 3 Montages ltre ordre 1

2.3 Filtres du second ordre

Voyons les ltres principaux :

Filtre passe-bas Schéma Circuit + Fonction H + Diagrammes

(σ : coecient d'amortissement

Q : facteur de qualité

Q = 12σ = ωc

∆ω avec ∆ω déni à -3dB)

Pour ω ωc, H ' −H0

(ωc

ω

)2: gain diminue de 40 dB par décade (ω×10⇒ H÷100⇒

G− 20× 2)

Remarque : lien avec mécanique : d2s(t)dt2 + ω0

Qds(t)dt +ω2

0s (t) = H0ω20e (t). Q augmente,

frottement diminue.

Filtre passe-haut Circuit + Fonction H + Diagrammes

Pour ω ωc, H ' −H0

(ωωc

)2

: gain augmente de 40 dB par décade (ω × 10 ⇒H × 100⇒ G+ 20× 2)

Filtre passe-bande Circuit + Fonction H + Diagrammes

3

Figure 4 Montages ltre ordre 2

Figure 5 Diagrammes ltre ordre 2

4

Variation asymptotique du gain

Ordre 1 : 20 dB par décade

Ordre 2 : 40 dB par décade

Ordre n : 20n dB par décade

Filtres de plus en plus sélectif

2.4 Etude spectrale d'un signal polychromatique ltré (EXP 1)

Illustration en [1]p.368. Idée de setup :

Idée générale : Passe-bande RLC (Pulsation de résonance : ωc = 1√LC

. Facteur

de qualité : Q = 1R

√LC ) sur un signal carré généré par un GBF : variation de la

fréquence de résonance, donc de la bande passante, par changement des paramètresL et C (voir [4]). Voir le spectre du signal avant et après ltrage.

Signal carré [1] : V (t) = V0+∞∑k=1

Vk cos (kω0t+ φk) avec Vk = 0 si k pair, et

Vk = 4Eπk si k impair. V0 donne la valeur de la tension moyenne du créneau, qui est

à fréquence nulle. Exemple setup : [1] p.365 : Acc=22V, f=2,5 kHz, visualisation deV1=4E/pi=14V et f1=2,5kHz, V2=0 et f2=5kHz, V3=4E/3pi=4,7V et f3=7,5kHz,etc.

Figure 6 Signal carré [1]

3 Traitement non linéaire : Modulation et démodula-tion (EXP 2)

Problématique Pour les transmissions radio par exemple, les fréquences des signauxutiles en jeu sont celles de l'audible, entre 20 Hz et 20 kHz. Mais la transmission directe

5

est problématique :

comment distinguer ce signal d'autres signaux de même fréquence ? dimensions des antennes : f = 1 kHz donne λ = c

f = 300 km ! imaginons qu'on puisse construire une antenne, il faut changer la taille si on change

la fréquence !

Il faut adapter le signal à transmettre au canal de transmission. Solution : on utilise uneonde porteuse Sp = Ap cos Ωt + φ qui possède une fréquence plus élevée (100 kHz à 100MHz environ). On la module par notre signal utile Sm = Am cosωt :

1. modulation d'amplitude : Ap (t)

2. modulation de fréquence : fp (t) = 2πΩ(t)

3. modulation de phase : φ (t)

Dénition Un traitement non linéaire ajoute de nouvelles fréquences au signal.

3.1 Modulation d'amplitude

schéma multiplieur [3]p.934

s (t) = kx (t) y (t) avec k un terme atténuateur intrinsèque au multiplieur

Signal modulant utile avec une composante continue ajoutée pour aider à la démo-dulation : Sm = Am cos (ωt) + A0 = A0 (1 +m cosωt) avec m = Am

A0le taux de

modulation

Intérêt de A0 : 1) obtenir un terme en cos(Omega*t) pour avoir la fréquence de la porteusedans le signal, et récupérer la porteuse par une boucle à verrouillage de phase (PLL [5]) ;2) avoir un taux de modulation inférieur à 1 pour avoir une amplitude minimale du signalmodulé au dessus de la tension seuil de la diode dans le cas d'une détection de crête

Signal porteur : Sp = Ap cos Ωt

multiplication : S = kSmSp = kA0Ap(cos Ωt+ m

2 cos (Ω + ω) t+ m2 cos (Ω− ω) t

) spectre : 3 pics avec leur amplitude

Figure 7 Modulation amplitude

3.2 Démodulation d'amplitude

3.2.1 Détection de crête ([2] p.394) (à faire si il y a du temps, préférer dé-tection synchrone)

Figure 8 Montage détecteur crête

Choix de R et C : Tm = 12πfm

> τ = RC Tp = 12πfp

Figure 9 Détection crête [2]

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Contrainte sur m :

1. Choisir un m susamment petit pour avoir un signal modulé dont le minimumd'amplitude est supérieur à la tension seuil (tension minimale pour un courant nonnul passant dans la diode ; voir la caractéristique (i,u) de la diode) : kA0 (1−m)Ap >Amin ⇔ 1− Amin

kA0Ap> m

2. MESURE QUANTITATIVE : mesure du taux de modulation (m2 = Alaterale

Acentrale)

(Mode FFT : calculer m à partir des mesures des amplitudes des raies(m=2*Alaterale/Acentrale))

Transition : Limitation donc besoin d'un procédé plus ecace, la démodulation synchrone

3.2.2 Détection synchrone

([3]p.942) Schéma multiplieur : s = S*Sp

s = k′SSp = k′kA0Ap(cos Ωt+ m

2 cos (Ω + ω) t+ m2 cos (Ω− ω) t

)Ap cos Ωt

s = A (1 + cos 2Ωt) + m2 A (cos (2Ω− ω) t+ cos (2Ω + ω) t+ 2 cosωt)

Schéma FFTFiltre passe-bas : sfinal = A (1 +m cosωt)Filtre passe-bande : sfinal = Am cosωt

Figure 10 Détection synchrone

4 Conclusion et ouverture

Bilan : 1) ltrage pour éliminer du bruit, ou sélectionner un signal parmi une mul-titude de signaux 2) modulation pour adapter un signal à un canal de transmissionet démodulation pour récupérer le signal utile

Ouverture : Signaux numériques (Tout est numérique maintenant ! !), Multiplexage.Les technologies modernes utilisent du multiplexage (notamment pour augmenter le débit).La famille des xDSL (ADSL, VDSL qui diérent par la nature symétrique ou non du débitentrant et sortant, et par la valeur de ce débit) utilise la plage de fréquence non utilisée parla voix sur les lignes téléphoniques. Sur cette plage libre, 255 canaux (donc 255 porteuses)d'environ 4 kHz de large se partagent une bande passante de 1.1 MHz.

Notes sur le BO niveau PSI

An de compléter l'approche analogique des circuits électriques, un module à voca-tion expérimentale est consacré au traitement numérique des signaux à travers les sujetssuivants : = l'échantillonnage et le repliement de spectre ; = le ltrage numérique ; = lesconversions analogique/numérique et numérique/analogique.

Filtrage analogique d'un signal périodique Mettre en évidence l'action d'un ltrelinéaire sur un signal périodique dans les domaines fréquentiel et temporel.

Détection synchrone Mesurer une fréquence par une détection synchrone élémen-taire à l'aide d'un multiplieur et d'un passe-bas simple adapté à la mesure.

Analyse spectrale Mettre en évidence le phénomène de repliement du spectre pro-voqué par l'échantillonnage avec un oscilloscope numérique ou une carte d'acquisition.Choisir les paramètres d'une acquisition numérique destinée à une analyse spectrale ande respecter la condition de Shannon, tout en optimisant la résolution spectrale.

Electronique numérique Utiliser un convertisseur analogique-numérique et unconvertisseur numérique-analogique.

Commentaires / Questions

Aller vite sur les ltres pour passer du temps sur le ltrage du signal carré Préférer la démodulation synchrone au détecteur de crête Pour avoir un ordre n de ltrage plus grand, on peut mettre en cascade les ltres :

2e ordre suivi d'un 2e ordre = 4e ordre. Attention pour le calcul de la fonction detransfert H totale, il faudra des montages suiveurs pour bien adapter l'impédanceentre les ltres.

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AOP : ltre linéaire actif dans la zone de linéarité Filtre non linéaire VS linéaire : génération de nouvelles fréquences ou pas. Filtre

linéaire : on appauvrie le signal en terme de fréquence Utilité du Ao dans la modulation : récupérer la porteuse par une boucle à verrouillage

de phase (PLL : phase locked loop) et faire une détection synchrone avec cetteporteuse retrouvée

Utilisation intéressante en pratique : passe-bas en audible Image : info spatiale, compression spatiale, on dégage les très hautes fréquences

spatiales Quantication VS Echantillonage : on quantie les niveaux des amplitudes et on

échantillonne en temps. Combien de niveau de quantication ? si 16 bits, alors 2**16 niveaux Pourquoi choisir hautes fréquences ? Loi de puissance rayonnée en 1/lambda**4.

Rayonnement dipolaire électrique. Voir leçon correspondante. Numérique : voir bouquin PSI 2014 nouveau programme, Krob, Electronique Expé-

rimental Sur Internet, rechercher : vanderbrouck, java physique, applet java, simulation, élec-

tronique Question : précaution à prendre à l'oscilloscope ? 25 kilo sample per second : infor-

mation donnée par l'oscilloscope. L'oscillo échantillonne le signal. On doit respecterle critère de Shannon. 6kHz pour la porteuse. Echantillonnage à 25kHz. 6*2=12 <25

Fréquence de résonance de mon ltre passe-bande. On modie par R, C et L. Maison modie aussi le facteur de qualité. Filtre actif qui permet de déplacer la fréquencede résonance, sans changer le facteur de qualité.

Défaut composant actif ? Limite d'utilisation existe. AOP montre des saturations. Un signal qui a une valeur moyenne non nulle possède une composante à fréquence

nulle. Ondes électromagnétiques : ltre sélectionnant une fréquence particulière : ltre

passe-bande. Traitement d'image ? Image subit-elle un ltrage fréquentiel ?

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