Mathématiqueset

Traitement du Signal

Chapitre 1 : Les Signaux

Cours et TD

Florence Alberge

DUT Deuxième Année Département Mesures Physiques IUT d’Orsay

Table des matières

1 Les Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Introduction 51.1.1 Qu’appelle-t-on traitement du signal ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Qu’est-ce-qu’un signal ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Rappels sur les fonctions 61.2.1 Propriétés et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Transformations de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Signaux élémentaires 81.3.1 Sinusoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Echelon ou fonction d’Heaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 Signal rectangulaire ou fonction porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Les distributions 111.4.1 Les fonctions sont-elles suffisantes ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 La théorie des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3 Retour sur la distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4 La distribution peigne de Dirac � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Conclusion 16

1.6 Exercices (TD1) 17

IntroductionQu’appelle-t-on traitement du signal?Qu’est-ce-qu’un signal?

Rappels sur les fonctionsPropriétés et définitionsTransformations de référence

Signaux élémentairesSinusoidesEchelon ou fonction d’HeavisideSignal rectangulaire ou fonction porte

Les distributionsLes fonctions sont-elles suffisantes?La théorie des distributionsRetour sur la distribution de DiracLa distribution peigne de Dirac �

ConclusionExercices (TD1)

1 — Les Signaux

OBJECTIFS : à Définir la notion de signalà Connaître les transformations élémentaires sur les fonctionsà Définir les signaux (fonctions) élémentaires : Heaviside, Porteà Définir la notion de distributionà Définir les distributions élémentaires : Dirac, Peigne de Diracà Modéliser correctement une situation

1.1 Introduction1.1.1 Qu’appelle-t-on traitement du signal?

Le traitement du signal est une science récente qui évolue rapidement et qui a apportéd’inestimables progrès dans de nombreux domaines techniques :

— En instrumentation : spectrométrie par transformée de Fourier— En acoustique : détermination des fréquences des modes de résonance d’une structure

métallique, analyse de signaux acoustique...— En médecine : imagerie, échographie,...— En géophysique : prospection pétrolière, prévisions sismiques,...

Le traitement du signal a aussi accompagné bon nombre d’évolutions récentes dans lesapplications grand public :

— Diffusion de signaux : radio, téléphonie mobile, télévision numérique terrestre(TNT),..

— Compression des signaux : audio (format MP3), images (format JPEG), vidéo(format MPEG)

pour ne citer que quelques exemples.Quand un signal est émis, on le saisit au moyen de capteurs, on le mesure, on le transformepour pouvoir le transmettre puis, on le recueille au moyen d’un récepteur avant de letransformer à nouveau pour restituer l’information initiale. L’ensemble constitue unechaîne qui réalise l’émission, le traitement, la transmission et la réception du signal. Lacomplexité et la multiplicité des échanges sont rendus possibles par le formidable déve-loppement des moyens de traitement des signaux. Ces moyens sont d’ordre électronique,informatique et conceptuel. Ils s’appliquent à un large domaine incluant physique etbiologie.

6 Les Signaux

Les outils conceptuels constituent la théorie du signal, ils permettent de construire unmodèle théorique de ce que l’ingénieur désire réaliser. Ce modèle est basé sur des loisphysiques exprimées en langage mathématique. L’objet de ce cours est d’exposer leséléments mathématiques et les techniques de traitement du signal les plus courantes.Bien que ces éléments aient un champ d’application considérablement plus vaste quecelui des signaux, le vocabulaire et les exemples employés font constamment référence àce domaine.Nous allons, au cours des différents chapitres, décrire les signaux les plus utilisés ainsique les traitements que nous pouvons leur appliquer.

1.1.2 Qu’est-ce-qu’un signal?Un signal expérimental est une grandeur physique et doit donc être physiquement

réalisable. Ces signaux physiques sont représentés par des fonctions s(t) à valeurs réellesd’une variable réelle t.

� Exemples Voici quelques exemples de signaux :— L’intensité d’un courant électrique— La tension aux bornes d’une résistance— La position d’un mobile— Une intensité lumineuse— Un relevé de température à l’intérieur d’un four— Un son (pression acoustique)

�

Ces signaux sont par nature à énergie bornée, à amplitude bornée et à valeur réelle.Nous verrons dans la suite du cours que pour la commodité des calculs et pour l’étudede certains phénomènes, les signaux pourront être modélisés par des fonctions à énergieinfinie et/ou à valeurs complexes.Nous verrons également que la notion de fonction ne permet pas de modéliser tous lessignaux. Nous utiliserons un nouveau concept appelé distributions (voir section 1.4) quipermet de généraliser la notion de fonctions.

1.2 Rappels sur les fonctions

Nous allons commencer ce cours en rappelant quelques propriétés et définitions surles fonctions.

1.2.1 Propriétés et définitions

Définition 1.2.1 Une fonction f caractérise la mise en relation entre un élément td’un ensemble de départ et un élément unique f(t) d’un ensemble d’arrivée.

En général, nous considèrerons comme ensemble de départ R et comme ensemble d’arrivée,R ou C.

Définition 1.2.2 Une fonction f est paire si la droite des ordonnées est un axe desymmétrie du graphe de f .

Cela revient à dire que si t appartient au domaine de définition de f alors −t aussi et

1.2 Rappels sur les fonctions 7

pout tout t on a f(−t) = f(t).

� Exemple f(t) = cos(2πf0t) est une fonction paire �

� Exemple g(t) = t2 est une fonction paire �

Définition 1.2.3 Une fonction f est impaire si l’origine du repère est un centre desymmétrie du graphe de f .

Cela revient à dire que si t appartient au domaine de définition de f alors −t aussi etpout tout t on a

f(−t) = −f(t)

� Exemple f(t) = sin(2πf0t) est une fonction impaire. �

� Exemple g(t) = t3 est une fonction impaire. �

Définition 1.2.4 Une fonction f est périodique si il existe un réel T tel que pour toutt appartenant au domaine de définition de f , t+ T appartient aussi au domaine dedéfinition de f et f(t+ T ) = f(t).

Tout réel T satisfaisant la définition 1.2.4 est une période de la fonction f .Si T est non nul, on dit que la fonction est périodique.

N On notera T0 la plus petite période strictement positive, si elle existe on dira quela fonction est périodique de période T0.

� Exemples Les fonctions cos(t) et sin(t) sont des fonctions périodiques de période 2π.Les fonctions cos(2πf0t) et sin(2πf0t) sont des fonctions périodiques de période T0 = 1

f0.

En physique, on appelle f0 la fréquence (en Hz) et ω0 = 2πf0 est appelée pulsation enrad.s−1. �

à Etude de la périodicité d’une somme de fonctions périodiquesSoit f une fonction telle que f = λf1 + µf2 où λ et µ sont des réels et f1 et f2 sont desfonctions périodiques de périodes respectives T1 et T2. Pour savoir si f est périodique,on doit calculer et simplifier T1

T2.

— Si T1T2 est un irrationnel, on concluera que la fonction f n’est pas périodique— Si T1T2 est un rationnel, il existe un couple unique (n; p) d’entiers positifs non nuls

tel que T1T2

= np avec n

p irréductible. On concluera que la fonction f est périodiqueet que sa période est T0 = pT1 = nT2.

� Exemple Etudier la périodicité de la fonction f(t) = 12sin(18t) + 4cos(24t). �

Définition 1.2.5 Le support d’une fonction est le plus petit ensemble (fermé) en dehorsduquel la fonction est nulle. Une fonction est dite à support borné si le support de fest un intervalle [a, b] avec a > −∞ et b < +∞.

� Exemples g(t) = cos(t) avec t ∈ R n’est pas une fonction à support borné. Mais,f(t) = cos(t) pour t ∈ [0; 2π] et f(t) = 0 pour t /∈ [0; 2π] est une fonction à supportborné. �

8 Les Signaux

1.2.2 Transformations de référenceDans la suite de ce cours, nous serons amenés à effectuer des changements de variable

dans les fonctions ou à effectuer des opérations élémentaires sur les fonctions. Vous devezdonc les connaître. Elles sont résumées dans la table 1.1. On note f(t) la fonction avanttransformation. Les transformations élémentaires sont les symétries par rapport à l’axedes ordonnées ou des abscisses, les opérations de dilatation/contraction sur l’axe desordonnées ou des abscisses et les translations sur l’axe des ordonnées ou des abscisses.Vous devez également être capable de combiner ces transformations.

1.3 Signaux élémentairesLe traitement du signal doit beaucoup à l’électronique. Les signaux principaux que

nous utiliserons dans ce cours sont des signaux que vous avez déjà utilisés dans votrecours d’électrité du semestre 1.

1.3.1 Sinusoides

Définition 1.3.1 On appelle signal sinusoidal pur s(t) = E sin(ω0t+ φ) avec E > 0.

N E : amplitude du signalω0 : pulsation (en rad.s−1) du signalT0 = 2π

ω0: période du signal

ν0 = 1T0

: fréquence du signalφ déphasage ou phase à l’origine

U Utilisation :Modélisation d’un courant ou d’une tension électrique (alternatif)Modélisation d’un son pur (diapason)Modélisation d’une onde lumineuse monochromatique

Bien souvent, pour faciliter les calculs, nous utiliserons les formes équivalentes à based’exponentielle complexe. On rappelle ici les équations d’Euler :

cos(ω0t) =ejω0t + e−jω0t

2

sin(ω0t) =ejω0t − e−jω0t

2j

1.3.2 Echelon ou fonction d’Heaviside

Définition 1.3.2 On appelle échelon ou fonction d’Heaviside la fonction H(t), discon-tinue, qui prend pour valeur 0 pour tous les réels strictement négatifs et 1 pour tousles réels strictements positifs. On a ainsi

H(t) =

0 si t<012 si t=01 si t>0

La valeur de H(0) a très peu d’importance, puisque la fonction est le plus souventutilisée dans une intégrale. Certains auteurs donnent H(0) = 0, d’autres H(0) = 1. Lavaleur H(0) = 1

2 est souvent utilisée, parce que la fonction obtenue est ainsi symétrique.

1.3 Signaux élémentaires 9

Nom de la Equation Exemple graphiquetransformation

Aucune f(t)t

f(t)

1

1−1

Translation de +a f(t− a)t

a+1aa−1

f(t−a)

1

(axe des abscisses)

Dilatation/Compression f

(tT

)avec T ∈ R∗+ T

1

f(t/T)

t−T

(axe des abscisses)

Symétrie f(−t)t

1

1−1

f(−t)

(par rapport àaxe des ordonnées)

Translation de +a f(t) + a

a

t−1 +1

f(t)+a1+a

(axe des ordonnées)

Dilatation/Compression Tf(t) avec T ∈ R∗+

Tf(t)

T

−1 1t

(axe des ordonnées)

Symmétrie −f(t)

t−1 +1

−f(t)

−1

(par rapport àaxe des abscisses)

Table 1.1 – Transformations élémentaires sur des fonctions

10 Les Signaux

Figure 1.1 – Fonction d’Heaviside

Figure 1.2 – Fonction porte

C’est cette valeur que nous retiendrons dans la définition de la fonction d’Heaviside. Lareprésentation graphique de H(t) est donnée en figure 1.1 1.

U La fonction H(t) est utilisée dans les mathématiques du traitement du signal pourreprésenter un signal obtenu en fermant un interrupteur à un instant donné et enle maintenant fermé indéfiniment. En utilisant les transformations élémentaires,nous pourrons modéliser la fermeture d’un interrupteur à un instant t0 quelconqueainsi que l’ouverture d’un interrupteur à un instant t1 quelconque.

RH Olivier Heaviside (1850-1925) est un mathématicien et physicien britanniqueautodidacte. Il a notamment montré comment la théorie des nombres complexespouvait être utilisée pour l’étude des circuits électriques. Il a également inventé denouvelles techniques mathématiques pour résoudre les équations différentielles.

1.3.3 Signal rectangulaire ou fonction porte

Définition 1.3.3 La fonction porte est une fonction souvent notée Π définie commesuit :

∀t ∈ R, Π(t) =

1 si − 1/2 < t < 1/20 si t > 1/2 ou t < −1/2

1/2 si |t| = 1/2

Sa représentation graphique est donnée en figure 1.21. Par généralisation, on appelleégalement fonction porte toute fonction déduite par translation et/ou dilatation de lafonction définie ci-dessus.

1. source image : wikipedia

1.4 Les distributions 11

� Exemple Un signal sinusoidal de la forme 2cos(500πt) est observé en sortie d’uncapteur entre les instants t = 10ms et t = 90ms. Le signal en sortie du capteur est donc

2cos(500πt)Π

(t− 50.10−3

80.10−3

)où 50.10−3 est le centre de la porte (translation de la porte de +50.10−3) et 80.10−3 estla largeur de la porte (dilatation d’un facteur 80.10−3). �

� Exemple Un filtre passe-bande en fréquence, idéal, de fréquence de coupure bassefmin = 100Hz et de fréquence de coupure haute fmax = 600Hz a pour fonction de

transfert H(f) = Π

(f−350

500

). �

U Modélisation de l’acquisition d’un signal sur un intervalle de tempsModélisation d’un filtre idéal

1.4 Les distributionsNous abordons ici un premier tournant où les fonctions vont s’avérer insuffisantes

à modéliser efficacement les signaux. Nous donnons, dans le paragraphe 1.4.1 une ap-proche intuitive permettant de comprendre pourquoi les fonctions ne suffisent plus. Nousévoquerons dans la section 1.4.2 la notion de distribution qui est le cadre mathématiquepermettant de généraliser le notion de fonction. Nous terminerons cette section en dé-taillant des deux distributions fondamentales en traitement du signal : la distribution deDirac (paragraphe 1.4.3) et la distribution peigne de Dirac (paragraphe 1.4.4).

1.4.1 Les fonctions sont-elles suffisantes?L’échelon unité est souvent utilisé pour représenter l’établissement instantané d’un

courant ou d’une tension constante dans un circuit électrique. La fonction d’Heavisiden’est pas continue en 0 ; elle n’est donc pas dérivable en ce point. Dans l’établissementd’une tension ou d’un courant, il n’y a pas réellement de discontinuité au temps t = 0mais plutôt un établissement continu et très rapide (de l’ordre de 10−7). On pourrait doncmodéliser la fermeture ou l’ouverture d’un interrupteur par la fonction Ha(t) représentéesur la figure 1.3. Cette fonction est continue et dérivable par morceaux. Sa dérivée H ′a(t)est également représentée sur la figure 1.3. On peut constater que H ′a(t) vérifie pour tout

t

1

t-a a -a a

H ′a(t)Ha(t)12a

Figure 1.3 – Approximation de la fonction d’Heaviside et dérivation

a les propriétés suivantes :

∀t ∈ R H ′a(t) ≥ 0

H ′a(t) = 0 si |t| > a

12 Les Signaux∫ +∞

−∞H ′a(t)dt = 1

On peut observer que le lien entre H(t) et Ha(t) est donné par :

H(t) = lima→0

Ha(t)

On supposera ici que l’on peut effectuer le même passage à la limite sur la dérivée.Appelons δ(t) la dérivée de H(t) on a

δ(t) = lima→0

H ′a(t)

La dérivée de H(t) doit alors vérifier les trois conditions suivantes :

(i) ∀t ∈ R δ(t) ≥ 0

(ii) δ(t) = 0 si t 6= 0

(iii)

∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1

Le problème c’est qu’il n’est pas possible de définir une fonction qui vérifieles trois conditions (i)-(iii) simultanément car l’intégrale d’une fonction nullepresque partout est nécessairement nulle.

Alors comment faire ? Une première réponse a été amené par les théoriciens de la physiquedes particules et notamment par Paul Dirac vers 1920-1930. Ces physiciens ont utilisé etdéfini un objet δ(t) qui vérifie : δ(t) =

{0 si t 6= 0

+∞ si t = 0∫ +∞−∞ δ(t)dt = 1

La représentation graphique de δ(t) est donnée ci-dessous. On voit instantanémentque δ(t) n’est pas une fonction. Elle porte le nom de distribution de Dirac. La valeur “1”en haut de la flêche est appelé poids du Dirac et indique la valeur de

∫ +∞−∞ δ(t)dt. Nous

t

δ(t)

0

1

Figure 1.4 – Représentation graphique de la distribution de Dirac

avons donc une généralisation de la notion de dérivation qui correspond au phénomènephysique étudié comme représenté sur la figure 1.5. La question qu’il nous reste à réglerest comment intégrer ce nouvel objet dans la théorie que nous connaissons sous le nomd’analyse fonctionnelle ou plutôt comment prolonger l’analyse fonctionnelle et la notionde fonction aux objets tels que δ(t). Pour cela nous avons besoin d’évoquer une desdécouvertes majeures du siècle dernier : “la théorie des distributions”.

1.4 Les distributions 13

t

H(t)

1

] [

(fonctions)Dérivation usuelle

(distributions)Nouvelle dérivation

H’(t) δ(t)

t t

1

Figure 1.5 – Représentation graphique de la distribution de Dirac

1.4.2 La théorie des distributions

RH Il a fallu attendre 1946 pour que ces nouveaux objets trouvent leur place dans lesmathématiques. C’est Laurent Schwartz (1915-2002) mathématiciens français qui aélaboré cette fantastique théorie des distributions. Il a obtenu en 1950 la médailleFields pour ses travaux sur la théorie des distributions. Intellectuel engagé, il atoute au long de sa vie mené de nombreux combats politiques.

La théorie des distributions est devenue incontournable dans le domaine de la physiquestatistique mais aussi dans le domaine du traitement du signal. Cette théorie n’est pasà notre programme, nous nous contenterons ici d’en donner un rapide aperçu afin decomprendre comment manipuler la distribution de Dirac que nous avons définie plus haut.

Définition 1.4.1 Une distribution est une fonctionnelle (ou un opérateur) linéaireet continu agissant sur des fonctions. Dans ce cours nous ne considèrerons que lesdistributions régulières Tφ(f) définies selon

Tφ(f) =

∫ +∞

−∞f(t)φ(t)dt

Il s’agit donc d’une application qui à la fonction f associe le nombre réel Tφ(f).Pour que l’intégrale existe on doit imposer à f des conditions. En particulier, f doit êtreune fonction à support borné et indéfiniment dérivable.

N L’ensemble des fonctions f à support borné et indéfiniment dérivable est appeléespace des fonctions tests et noté D.

On peut maintenant construire une distribution à partir d’une fonction quelconque.

� Exemple A partir de la porte Π(t), on peut construire la distribution TΠ qui à toutefonction f ∈ D associe

TΠ(f) =

∫ +∞

−∞Π(t)f(t)dt =

∫ + 12

− 12

f(t)dt

La distribution TΠ associe à toute fonction f sa moyenne sur l’intervalle [−12 ; 1

2 ] �

14 Les Signaux

On peut aussi construire une distribution à partir d’un objet qui n’est pas unefonction comme avec δ(t) par exemple. C’est là que réside la modernité de la théorie desdistributions. Ce qui nous intéresse ce n’est pas forcément d’avoir des signaux parfaitementdéfinis en tout point. Ce qui nous souhaitons c’est connaitre l’interaction de ces signauxavec un appareil de mesure. Nous verrons dans le chapitre sur la convolution le lien entreintégrale et effet d’un appareil de mesure.

1.4.3 Retour sur la distribution de DiracNous avons déjà donné la définition de la distribution de Dirac. Pour plus de clarté,

nous la redonnons ci-dessous.

Définition 1.4.2 — Distribution de Dirac. La distribution de Dirac δ(t) est la dérivéeau sens des distributions de la fonction d’Heaviside. Elle vérifie : δ(t) =

{0 si t 6= 0

+∞ si t = 0∫ +∞−∞ δ(t)dt = 1

Il nous reste à caractériser correctement Tδ. Par définition,

Tδ(f) =

∫ +∞

−∞f(t)δ(t)dt avec f ∈ D

Proposition 1.1 La distribution de Dirac est telle que

Tδ(f) =

∫ +∞

−∞f(t)δ(t)dt = f(0) avec f ∈ D

Démonstration. On utilise l’intégration par partie. On sait que H(t) (Heaviside) est uneprimitive de δ(t) (Dirac), on a :

Tδ(f) =

∫ +∞

−∞f(t)δ(t)dt = [f(t)H(t)]+∞−∞ −

∫ +∞

−∞f ′(t)H(t)dt

f ∈ D donc limt→+∞ f(t) = limt→−∞ f(t) = 0 par conséquent

Tδ(f) = −∫ +∞

−∞f ′(t)H(t)dt = −

∫ +∞

0f ′(t)dt = − lim

t→+∞f(t) + f(0) = f(0)

�

U Une distribution de Dirac permet de modéliser une impulsion brève d’aire 1. Ellepeut modéliser aussi bien la foudre, un choc ou une impulsion électrique.

Propriété 1.4.1 — Multiplication entre un Dirac et une fonction.

f(t)δ(t) = f(0)δ(t)

Sa représentation graphique est donnée sur la figure 1.6.

1.4 Les distributions 15

δ(t)

t

t

t

f (t)δ(t)

f (t)

Avant multiplication Après multiplication

1

f (0)

Figure 1.6 – Multiplication d’une fonction par Dirac

Démonstration. En utilisant notre connaissance de δ(t), on peut dire que : f(t)δ(t) =

{0 si t 6= 0

signe(f(0))×∞ si t = 0∫ +∞−∞ f(t)δ(t)dt = f(0)

Cela correspond à un Dirac d’aire f(0) c’est à dire à f(0)δ(t). �

Par extension, on peut définir un dirac translaté en t0.

Définition 1.4.3 — Dirac “translaté”. On appelle distribution de Dirac en t0, δt0(t) =δ(t− t0). On a δt0(t) =

{0 si t 6= t0

+∞ si t = t0∫ +∞−∞ δt0(t)dt = 1

On peut prouver les deux propriétés suivantes en utilisant des preuves similaires à cellesutilisées plus haut pour le Dirac en 0.

Proposition 1.2 La distribution Tδt0 est telle que

Tδt0 (f) =

∫ +∞

−∞f(t)δt0(t)dt = f(t0) avec f ∈ D

Propriété 1.4.2 — Multiplication entre un Dirac translaté et une fonction.

f(t)δt0(t) = f(t0)δt0(t)

On retiendra qu’une multiplication par un Dirac modélise l’action de prélever un pointunique sur une fonction.

1.4.4 La distribution peigne de Dirac �

Définition 1.4.4 La distribution Peigne de Dirac (se prononce cha) est une somme de

16 Les Signaux

distributions de Dirac espacées de T où T est un réel.

�T (t) =+∞∑

n=−∞δ(t− nT )

Sa représentation graphique est donnée sur la figure 1.7.

t

1

T 2T-T-2T

�T (t)

Figure 1.7 – Représentation graphique d’un peigne de Dirac

Propriété 1.4.3 — Multiplication entre un Dirac et une fonction.

f(t)�T (t) =

+∞∑−∞

f(nT )δ(t− nT )

Sa représentation graphique est donnée sur la figure 1.8.

t

t

t

Signal continu

Peigne

Signal échantillonné

(analogique)

(numérique)

f (t)

�T (t)

f (t)�T (t)

Figure 1.8 – Multiplication d’une fonction par un peigne de Dirac

U Une multiplication par un peigne de Dirac permet de modéliser l’échantillonnagec’est à dire le passage d’un signal à temps continu vers un signal à temps discret.

1.5 ConclusionNous avons vu dans ce premier chapitre différents signaux permettant de modéliser

des phénomènes physiques ou des situations concrètes (passage d’un signal analogique àun signal numérique, passage d’un signal à support infini à un signal à support compact,..).Nous allons dans la suite nous intéresser aux techniques d’analyse, de traitement et demodification des signaux.

1.6 Exercices (TD1) 17

1.6 Exercices (TD1)

Exercice 1.1 Pour chacun des signaux ci-dessous, indiquer s’il est périodique. Si c’est lecas, donner la valeur de sa période.• s1(t) = 2 sin(800πt− π

3 )• s2(t) = 2− cos(800πt− π

12) + 2 sin(100πt)• s3(t) = ej50πt + ej150πt

• s4(t) =∑+∞

n=1 cos(n10πt)• s5(t) = − cos(t) + sin(πt)

Exercice 1.2 Représenter les deux signaux définis ci-dessous :

f(t) =

{ sin(t) si 0 ≤ t ≤ πf(t) est paire

f(t) est périodique de période 2π

g(t) =

{ t si 0 ≤ t < 3g(3) = 0

g(t) est impaireg(t) est périodique de période 6

Exercice 1.3 Soit la fonction s(t) représentée sur la figure ci-dessous. Représenter :

• s(t− 2) et s(t)− 2

• s(t3

)et s(t)

3

• s(−t) et −s(t)• s(7− t)

Exercice 1.4 Représenter les signaux suivants :• s1(t) = 2H(t+ 7)−H(t+ 3) + 4H(t− 6)• s2(t) = H(−t− 4) +H(t− 2)

• s3(t) = Π

(t+2

5

)• s4(t) = Π(t− 4)cos(πt)• s5(t) = −3δ(t) + 2δ(t− 3)− 4δ(t+ 5)

• s6(t) = e−t10 δ(t− 2)

Exercice 1.5 Calculer :

18 Les Signaux

1.∫ +∞−∞ Π(t− 4) cos(πt)dt

2.∫ +∞−∞ e−

t10 δ(t− 2)dt

3.∫ +∞−∞ e−

t10H(t− 2)dt

Exercice 1.6 On considère le signal s(t) = cos(πt) et s̃(t) = s(t)×�0.5(t). Représenters(t) et s̃(t).

Exercice 1.7 On considère le signal s(t) ci-dessous :

1. Donner l’expression de s(t) à l’aide d’une combinaison d’Heaviside.2. Donner l’expression de s(t) à l’aide d’une combinaison de portes.

Exercice 1.8 Représenter les signaux suivants puis déterminer et représenter leur dérivéeau sens des distributions :

1. s1(t) = Π

(t4

)2. s2(t) =

{ 2 si t < −15 si − 1 ≤ t < 2−2 si t ≥ 2

Exercice 1.9 On considère les situations suivantes :• Un thermomètre initialement à 30 degrès Celcius est plongé brusquement dans un

bain à 10 degrès. Exprimer analytiquement la modélisation de ce signal.• Un filtre de fréquence, idéal, ne laisse passer que les signaux entre 60Hz et 200Hz.

Donner l’expression analytique de sa fonction de transfert.• Soit une impulsion électrique d’amplitude 20V pour 9.995 ≤ t ≤ 10.005 où t est

exprimé en secondes. Donner deux expressions analytiques possibles pour ce signalen utilisant soit une porte soit une distribution de Dirac. Quel critère peut nouspermettre de choisir la modélisation à utiliser ?