Lycée Jean Bart � MPSI � Année 2017-2018

Chapitre 3 � Trigonométrie

I � Dé�nitions et premières propriétés des fonctions trigonométriques

Définitions 1. On se place dans le plan muni d'un repère orthonormal(O; I, J).

Soit x un nombre réel.

1) On appelle point image du réel x le point M du cercle trigonométrique

tel qu'une mesure en radians de l'angle orienté(−→OI,

−−→OM

)soit égale à x.

2) On appelle cosinus du réel x (resp. sinus du réel x) et on note cosx(resp. sinx) l'abscisse (resp. l'ordonnée) du point M .

Remarque : il résulte de la dé�nition que les fonctions cosinus et sinus sontdé�nies sur R tout entier.

Propriété 1 (�bornitude�). Les fonctions cosinus et sinus sont bornées sur R. Plus précisément, ce sont deuxfonctions dé�nies sur R et à valeurs dans [−1; 1] :

∀ x ∈ R :

−1 6 cosx 6 1

−1 6 sinx 6 1ou ∀ x ∈ R :

|cosx| 6 1

|sinx| 6 1

Démonstration : tout point appartenant au cercle trigonométrique a une abscisse et une ordonnée comprise entre −1 et 1. �

Propriété 2 (périodicité). Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques. En d'autres termes :

∀ x ∈ R :

cos (x+ 2π) = cosx

sin (x+ 2π) = sinx

Démonstration : Soit x un nombre réel. Les réels x et (x+ 2π) ont la même image sur le cercle trigonométrique. �

Propriété 3 (parité). La fonction cosinus est paire, et la fonction sinus est impaire. En d'autres termes :

∀ x ∈ R, cos (−x) = cosx et ∀ x ∈ R, sin (−x) = − sinx

Démonstration : Soit x un nombre réel. Les points images de x et −x sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. �

Propriété 4 (valeurs remarquables). Le graphique ci-contre repré-sente une partie du cercle trigonométrique. Sur celui-ci, on a placé les points I,

A, B, C et J , images respectives des réels 0,π

6,π

4,π

3et

π

2. On appelle valeurs

remarquables les images de ces réels par les fonctions trigonométriques.

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

cos (x) 1

√3

2

√2

2

1

20

sin (x) 01

2

√2

2

√3

21

Démonstration : C'est un très amusant petit exercice de géométrie élémentaire ! �

Remarque : on observe en particulier que cosx = 0 si et seulement si x = ±π

2[2π], soit si et seulement si x =

π

2[π] (ou

encore : x =π

2+ kπ avec k ∈ Z).

2 Chapitre 3 - Trigonométrie

Définition 2. Soit x un nombre réel tel que x ̸= π

2[π]. 1 On appelle tangente du réel x et on note tanx le réel :

tanx =sinx

cosx

Remarque : il résulte de cette dé�nition que la fonction tangente est dé�nie sur l'ensemble : Dtan ={x ∈ R, x ̸= π

2[π]

}.

On observera que cet ensemble est symétrique par rapport à zéro ; sur le dessin suivant, l'ensemble Dtan est en e�etconstitué de la droite réelle �privée des points rouges�.

Propriété 5 (périodicité). La fonction tangente est π-périodique. En d'autres termes :

∀ x ∈ R, tan (x+ π) = tanx

Démonstration : Laissée en exercice. �

Propriété 6 (parité). La fonction tangente est impaire. En d'autres termes :

∀ x ∈ Dtan, tan (−x) = − tanx

Démonstration : Laissée en exercice. �

Propriété 7 (valeurs remarquables). Les valeurs remarquables de la fonction tangente sont données dans letableau ci-dessous :

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

tan (x) 0

√3

31

√3 non-dé�nie

Démonstration : c'est une conséquence directe de la dé�nition de la fonction tan, et de la propriété 4. �

II � Etude des fonctions trigonométriques

ä La fonction cosinus

+ Ensemble de dé�nition : R+ Dérivabilité : la fonction cos est dérivable sur R et :

∀ x ∈ R, cos′ x = − sinx

+ Tableau de variation :

x

Signe de − sinx

Variations de cos

−π 0 π

0+ −

−1

1

−1

+ Courbe représentative :

Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordon-nées (cf parité). De plus, pour obtenir la courbe complète,il su�t de la tracer sur [−π;π] puis d'appliquer des trans-

lations de vecteur 2kπ−→i (avec k ∈ Z).

1. C'est-à-dire que x est un réel pour lequel cosx ̸= 0.

Chapitre 3 - Trigonométrie 3

ä La fonction sinus

+ Ensemble de dé�nition : R+ Dérivabilité : la fonction sin est dérivable sur R et :

∀ x ∈ R, sin′ x = cosx

+ Tableau de variation :

x

Signe de cosx

Variations de sin

−π −π/2 π/2 π

0 0− + −0

−1

1

0

+ Courbe représentative :

Cette courbe est symétrique par rapport à l'origine du re-père (cf parité). Comme pour la fonction cosinus, pour obte-nir la courbe complète, il su�t de la tracer sur [−π;π] puis

d'appliquer des translations de vecteur 2kπ−→i (avec k ∈ Z).

ä La fonction tangente

+ Ensemble de dé�nition : R−{π

2+ kπ, k ∈ Z

}+ Dérivabilité : la fonction tangente est dérivable sur sonensemble de dé�nition et :

∀ x ∈ R, x ̸= π

2[π] , tan′ x = 1 + tan2 x =

1

cos2 x

+ Tableau de variation :

x

Signe de tan′x

Variations de tan

−π/2 π/2

+

−∞

+∞

+ Courbe représentative :

Cette courbe est symétrique par rapport à l'origine du re-père (cf parité). Pour obtenir la courbe complète, il su�t dela tracer sur ]−π/2;π/2 [ puis d'appliquer des translations

de vecteur kπ−→i (avec k ∈ Z).

III � Formulaire de trigonométrie circulaire

Les festivités commencent au verso de cette page !

4 Chapitre 3 - Trigonométrie

Note : les formules données sur cette page sont valables pour tout nombre réel x.

Relation fondamentale : cos2 (x) + sin2 (x) = 1

Remarque : c'est une conséquence du théorème de Pythagore.

cos (−x) = cos (x)

sin (−x) = − sin (x)

Interprétation géométrique : les points images de x et −x sont symétriques par rapportà l'axe des abscisses (argument déjà évoqué lors de l'étude de la parité des fonctions coset sin).

cos (π − x) = − cos (x)

sin (π − x) = sin (x)

Interprétation géométrique : les points images de x et π − x sont symétriques parrapport à l'axe des ordonnées.

cos (π + x) = − cos (x)

sin (π + x) = − sin (x)

Interprétation géométrique : les points images de x et π + x sont symétriques parrapport à l'origine O du repère.

cos(π2− x

)= sin (x)

sin(π2− x

)= cos (x)

Interprétation géométrique : les points images de x etπ

2−x sont symétriques par rap-

port la première bissectrice des axes (la droite d'équation cartésienne y = x, en pointillésrouges sur la �gure).)

cos(π2+ x

)= − sin (x)

sin(π2+ x

)= cos (x)

Interprétation géométrique : on passe du point image de x au point

image deπ

2+ x en faisant d'abord une symétrie par rapport la première

bissectrice des axes, puis une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Chapitre 3 - Trigonométrie 5

Note : sur cette page, a, b, p et q désignent des réels quelconques.

Formules d'addition :

cos (a+ b) = cos (a) cos (b)− sin (a) sin (b)

sin (a+ b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a)

tan (a+ b) =tan a+ tan b

1− tan a tan b

En utilisant la parité de la fonction cosinus, et l'imparité des fonctions sinus et tangente, on obtient déjà :

Formules �de soustraction� :

cos (a− b) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b)

sin (a− b) = sin (a) cos (b)− sin (b) cos (a)

tan (a− b) =tan a− tan b

1 + tan a tan b

On déduit de ces formules les suivantes :

Formules de duplication :

cos (2a) = cos2 (a)− sin2 (a) = 2 cos2 (a)− 1 = 1− 2 sin2 (a)

sin (2a) = 2 sin (a) cos (a)

tan (2a) =2 tan a

1− tan2 a

On peut également obtenir les formules ci-dessous à partir des formules d'addition :

Formules de linéarisation :

cos (a) cos (b) =cos (a+ b) + cos (a− b)

2d'où : cos2 (a) =

1 + cos (2a)

2

sin (a) sin (b) =cos (a− b)− cos (a+ b)

2d'où : sin2 (a) =

1− cos (2a)

2

sin (a) cos (b) =sin (a+ b) + sin (a− b)

2d'où : sin (a) cos (a) =

sin (2a)

2

Dans le �sens contraire�, on peut transformer des sommes en produit :

cos p+ cos q = 2 cos

(p+ q

2

)cos

(p− q

2

)

cos p− cos q = −2 sin

(p+ q

2

)sin

(p− q

2

)

sin p+ sin q = 2 sin

(p+ q

2

)cos

(p− q

2

)

sin p− sin q = 2 sin

(p− q

2

)cos

(p+ q

2

)

Et pour �nir, des relations souvent utiles en calcul intégral :

En posant t = tan(x2

), on a :

cosx =1− t2

1 + t2

sinx =2t

1 + t2

tanx =2t

1− t2