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7/26/2019 M04 Series de Fourier
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M04 Analyse harmonique : sries de Fourier
MATHS POUR LA PHYSIQUE : CHAPITRE 4.
Analyse harmonique 1 : les sries de Fourier.
Ob
jectifs
Savoir sous quelles conditions une fonction est dveloppable en
srie de Fourier (D.S.F.). Connatre les formules donnant les
coefficients de Fourier dune fonction donne.
Savoir tablir ou lire un spectre en frquence.Connatre lgalit de
Bessel - Parseval en comprendre sa signification dun point de vue
nergtique . Comprendre le lien entre la rgularit de la fonction et
la dcroissance des coefficients de Fourier. Savoir tablir le D.S.F.
de quelques signaux simples (carr ou triangle symtrique).
1 lments de thorie sur les sries de Fourier.
1.1 Le thorme de Dirichlet.
Sous certaines conditions de rgularit dont la dmonstration relve
dun cours de mathmatiques et qui seronttoujours satisfaites en
physique, une fonction f (de la variable t), priodique de priode T
et de pulsation = 2/Test dcomposable en une srie de fonctions
sinusodales de pulsations n, avec n entier naturel et
damplitudes dtermines, sous les formes quivalentes :
f(t) =a0
2 +
n=1
[ancos(nt) +bnsin(nt)] f(t) =n=0
cncos(ntn) .
Ce dveloppement unique est appel dveloppement en srie de
Fourierde la fonction f (en abrg D.S.F.).
Les coefficients an etbn sont les coefficients de Fourier de la
fonction f.
Le casn= 1correspond au fondamentalet les valeurs n >2 aux
harmoniques de rangn.
Remarque. La srie de Fourier converge vers la fonction fpartout
o fest continue et vers f(t+) +f(t)
2 en
chaque point o fadmet une discontinuit de premire espce.
Forme complexe du DSF. On dfinit galement une forme complexe du
D.S.F. en utilisant les identits :
cos(nt) =exp(int) + exp(int)
2 et sin(nt) =
exp(int)exp(int)
2i
Le D.S.F. sous forme complexe scrit : f(t) =
n=
Cnexp(int) .
1.2 Calcul des coefficients de Fourier.
Signification du terme constant :
Le terme constant reprsente la valeur moyennedef
c0 =a0
2 =f=
1
T
T0
f(t)dt
ce qui reprsente lamplitude de la composante continue du signal
f(t).
Calculs des coefficients de Fourier :
On a n 0, an = 2
T
T0
f(t)cos(nt)dt , bn = 2
T
T0
f(t)sin(nt)dt , cn = a2n+b
2n et tan(n) =
bnan
.
De mme Cn = anibn
2 =
1
T
T0
f(t)exp(int)dt .
Remarque. Les bornes dintgration peuvent tre modifies condition
dintgrer sur un intervalle de longueurT.
A. ROBICHON, PC 1/ 3
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Considrations de parit.
Si f est paire, on a n, bn = 0 et an = 4
T
T /20
f(t)cos(nt)dt
Si f est impaire, on a n, an = 0 et bn = 4
T
T /20
f(t)sin(nt)dt
Considrations de symtrie.
Lorsquef
t+
T
2) =f(t)
, le D.S.F. ne comporte que des harmoniques impairs.
1.3 Dcroissance des coefficients de Fourier. Spectre
frquentiel.
Plus une fonction est rgulire, plus ses coefficients de Fourier
tendent rapidement verszro si n . Plus prcisment, si fest de classe
Cr, alors
|cn(f)| cste
nr et meme nr |cn(f)| 0
n
Remarque. Ce rsultat a en physique une consquence trs importante
: si en thorie, le nombre des harmo-niques est infini, il suffit
souvent en pratique de calculer seulement les premiers termes. La
suite trigonomtriqueainsi obtenue donnera une approximation dautant
meilleurs de la fonction f que lamplitude des coefficientsde
Fourier diminuera plus vite si le rang augmente.
Spectre de Fourier dune fonction f.
Il est commode de reprsenter les sries cn par des graphiques
dutype de la figure ci-contre, o lon porte en abscisses le rang nde
lharmonique (ou sa frquence) et on trace verticalement unsegment de
hauteur cn gale lamplitude de lharmonique.
Chacune des sries de segments obtenues constitue un spectre
defrquences ou spectre de Fourier de la fonction f : un
spectremontre immdiatement limportance relative des diffrents
har-moniques.
Cn
n
0 1 2 3 4 5 6 71
Remarque. Le spectre de Fourier dune fonction sinusodale ne
comporte videmment quune seule raie lafrquence de la sinusode.Le
vocabulaire employ en analyse de Fourier est emprunt la musique
:
Un son musical est dcrit par une fonction priodique dont la
frquencedtermine la hauteurdu son.Le poids relatif des divers
harmoniquesdtermine le timbredu son.Le spectre frquentiel est
dautant plus riche quil comporte plus dharmoniques.
1.4 Aspect nergtique ; galit de Bessel-Parseval.
On appelle galit de Bessel-Parseval la relation reliant la
valeur moyenne du carr dumodule de la fonction fa ses coefficients
de Fourier :
f2
=a20
4 +
1
2
+n=1
a2n+b
2n
.
Valeur efficace.
On appelle valeur efficaceSeffdun signalsT-priodique la valeur
quadratique moyenne des: Seff =
s2 .
En anglais, cette valeur est appele valeur RMS (pour Root Mean
Square).
Interprtation nergtique de lgalit de Bessel-Parseval.
Dans de trs nombreux contextes, lnergie ou la puissance
transporte par un signal est proportionnelle aucarr de son
amplitude :
A. ROBICHON, PC 2/ 3
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puissance lectrique proportionnelle au carr de lintensit du
courant, puissance lumineuse proportionnelle au carr du champ
lectrique, nergie cintique proportionnelle au carr de la vitesse,
...
Lgalit de Bessel-Parsevalexprime la faon dont lnergie
correspondant au phnomne priodique dcritparf se rpartit entre les
diffrents harmoniques.
Lnergie moyenne associe une fonction priodique est gale la somme
des nergiesmoyennes associes chacune de ses composantes de
Fourier.
2 D.S.F. de quelques signaux les plus courants.
2.1 Signal carr symtrique.
On considre la fonction f telle que f(t) =
+A t
0;
T
2
A t
T
2; T
,donc choisie ici impaire.
On a p, ap = 0, bp = 0 et b2p+1 = A4
1
(2p+ 1) .
t
f(t)
A
T/2
A
T
Le D.S.F. du signal carr scrit : f(t) =A4
sin(t) +
sin(3t)
3 +
sin(5t)
5 +
On notera que lamplitude du fondamental est suprieure celle du
signal carr (facteur 4
)
2.2 Signal triangulaire symtrique.
On considre la fonctionftelle que :
f(t) =
+at t
T
2;
T
2
a(tT) t T2
; T , donc choisie ici impaire.
On a p, ap = 0, bp = 0 et b2p+1 = A8
21
(2p+ 1)2 .
t
f(t)
A
T/2
A
T
Le D.S.F. du signal triangulaire scrit : f(t) =A8
2
sin(t) +
sin(3t)
9 +
sin(5t)
25 +
On notera que lamplitude du fondamental est infrieure celle du
signal triangulaire (facteur 8
2)
2.3 Redressement mono-alternance.
On considre la fonctionftelle que :
f(t) =
+Asin(t) t
0;T2
0 t
T
2; T
.
Le D.S.F. scrit : f(t) =A
1
+
1
2sin(t) +
2
+p=1
cos(2pt)
14p2
t
f(t)
A
T/2 T
2.4 Redressement double-alternance.
On considre la fonctionftelle que f(t) =A |sin(t)|.
Le D.S.F. scrit : f(t) =A 2
+ 4
+p=1
cos(2pt)
14p2
t
f(t)
A
T/2 T
A. ROBICHON, PC 3/ 3
