M306 : Intégration et Probabilités élémentaires

8/8/2019 M306 : Intgration et Probabilits lmentaires

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Universit des Sciences et Technologies de LilleU.F.R. de Mathmatiques Pures et Appliques

M306 : Intgration et Probabilits

Elmentaires

Notes de cours par Clment Boulonne

L3 Mathmatiques 2008 - 2009


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Table des matires

1 Dnombrer et sommer 5

1.1 Dnombrabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Ensembles dnombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Ensembles non dnombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Sommabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Motivations, rappels sur les sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Series doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Evnements et Probabilits 21

2.1 Notions de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Vocabulaire probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2 Probabilit comme mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 fini ou dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2 Du fini linfini non dnombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.3 Le cas = R, F= B(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.4 Probabilit uniforme / conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Probabilit conditionnelle et indpendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.1 Probabilit conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.2 Indpendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Variables alatoires relles 36

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.2 Loi dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Fonctions de rpartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.4 Variables alatoires indpendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Variables alatoires discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.2 Lois discrtes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Lois densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4.1 Dfinitions et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.2 Lois densit classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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Rfrences

Certaines parties du cours ont t recopies des polycopis de cours suivant :

1) Ch. Suquet, Introduction au Calcul des Probabilits, 2007-2008

2) Ch. Suquet, Intgration et Probabilits Elmentaires, 2008-2009

Les cours sont tlchargeables sur le site IPEIS (Intgration, Probabilits Elmentaires etInitiation la Statistique) de lUniversit Lille 1.

4
http://math.univ-lille1.fr/~ipeishttp://math.univ-lille1.fr/~ipeis


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Chapitre 1

Dnombrer et sommer

1.1 Dnombrabilit

1.1.1 Motivation

Dfinition 1.1.1. Soit E un ensemble non vide, on dit que E est fini si il existe n N telque E est en bection avec {1,...,n}. n est unique et card(E) = n.

Problme. Soit E =]0, 1[ et F =]1, +[ deux ensembles infinies. E et F contiennent-ils"autant" dlments ?

Y-a-t-il "autant" de droites en dessous et au dessus de la diagonale ?

Dfinition 1.1.2. E est infini sil existe une injection de N dans E.

Dfinition 1.1.3. Deux ensembles ont le mme cardinal (fini ou infini) sils sont en bection.

1.1.2 Ensembles dnombrables

Dfinition 1.1.4. Un ensemble E est dit dnombrable sil existe une bection de E sur N, auplus dnombrable sil est fini ou dnombrable.

Exemple 1.1.1. N est dnombrable. 2N est dnombrable car :

f : N

2Nn 2n est une bection

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6 Chapitre 1. Dnombrer et sommer

N2 est dnombrable. On construit :f : N2 N

(i, j) N (i+j)(i+j+1)2

+ j

Sur laxe des abscisses, on a :

n1k=0

(k + 1) =n(n + 1)

2=

(i + j)(i + j + 1)

2(1.1)

et pour un point quelconque, on ajoute (1.1) la valeur j. On dmontre que f est bective.

Soit l N, on veut (i, j) N2 tel que f(i, j) = l, la suiten(n+1)

2

nN est strictement

croissante, il existe un unique 1 n = n(l) tel que :

n(n + 1)

2 l 0

f(x) = f(x) donc f injective. Donc f({0, 1}N) est une partie infinie non dnombrablede [0, 1].

Construire une bection de ]a, b[ dans R.

1.2 Sommabilit

1.2.1 Motivations, rappels sur les sries

Trois notions de convergence de srie

Rappel. Soit (un)nN, un R ou C :


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Chapitre 1. Dnombrer et sommer 11

convergence de srie : convergence des sommes partielles. convergence absolue : convergence de

n=0

|un|.

convergence commutative : si f : N N bective, on a :n=0

uf(n) converge.

Proposition 1.2.1.

convergence absolue

convergence commutative

convergence

Exemple 1.2.1 (Convergence Convergence commutative ou absolue). Soit :

un =(1)nn + 1

On a :

n=0(1)n

n + 1convergente mais elle nest pas absolument convergente ou commutativement convergente caron peut construire f : N N tel que :

k=0

uf(n)

diverge. On a :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9+ + + + +

f(0) = 0 f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 f(4) = 5 f(5) = 4 f(6) = 7 f(7) = 9 f(8) = 11 f(9)

+ + + + A ltape : p : 1 > 0, 2p1 < 0. Donc :

+n=0

uf(n) diverge

Remarque. Sries termes positifs : Sn =n

k=0

admet toujours une limite dans R+

donc+

k=0 uk

a une sens dans R+

.

Notation.

k=0uk a un sens si convergence.

kN

uk a un sens si lordre ne compte pas (convergence commutative).

1.2.2 Familles sommables

Notation. Soit (ui)iI avec I un ensemble dindices infini et ui R ou C (ou plus gnralementdans un espace vectoriel norm et complet E 5). On notera :

SK =iK

ui

si K

I fini.5mais il faudra remplacer | | par


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Dfinition et proprits

Dfinition 1.2.1. La famille (ui)iI est sommable de somme S, si > 0, J fini I tel queK fini tel que J K I, on a : |S SK| < .

Remarque. Si I = N et (ui)iN sommable alors la sriei=0

ui est convergente car J fini N

tel que en posant N = max J alors :

n N,ni=0

ui = SK

et K = {0,...,n} {0,...,N} J.Attention ! La rciproque est fausse. On peut prendre uk =

(1)kk+1

qui nest pas une sriesommable.

Proprit 1.2.2 (Unicit de la somme). La somme S dune famille sommable est unique.

Dmonstration. (ui)iI est sommable de somme S et S :

> 0 : J fini I tel que K fini J, |S SK| < J fini I tel que K fini J, |S SK| < ()|S S| |S SK| + |SK S| 2 ( > 0) S = S

Proprit 1.2.3 (Invariance par permutation). Si : I I est bective et (ui)iI est som-mable de somme S alors (u(i))iI est sommable de somme S

Dmonstration. On veut montrer que > 0, J fini I, K J avec K fini, on a :

iK u(i) S < or :

iKu(i) =

l(K)

ul = S(K)

On pose J = 1(J), K fini J, (K) (J) = J. Donc : |S(K) S| < .Remarque. Si I = N et (ui)iN est sommable alors la srie

ui est commutativement conver-

gente.

Proprit 1.2.4 (Sommabilit et dnombrabilit). Si (ui)iI est sommable alors I = {i I, ui

= 0

}est dnombrable.

Dmonstration. n N, Jn fini I, Kn Jn, on ait |S SKn| < 1n . On pose :H =

nN

Jn

H est dnombrable et on dmontre que H = I. Soit i0 H, n N, Kn = Jn {i0}. Alors :|SJn ui0 S| 0, N N tel que n N,n

k=0

uf(k) S <

On a :n

k=0 uf(k) = SK

o K = f({0,...,n}). Il suffit de prendre N = max f1(J)b) a) (par contrapose). On suppose que :

> 0, J fini I, K fini J vrifiant |S SK|

On construit une suite (Kn)nN tel que : Kn fini, n N. Kn Kn+1, n N.

nNKn = I |S SKn| On prend : : N I bection.Etape 0 : on pose J0 = {(0)} alors il existe K0 fini J0 tel que |SK0 S| .Etape 1 : on prend k1 = max{1(K0)} + 1, J1 = ({0,...,k1}) et il existe K1 fini J1tel que |SK1 S| . On a que J1 K0....Etape p : kp = max

1(Kp1) + 1, Jp = ({0,...,kp}) Kp1. Kp fini Jp tel que|Skp S| .On a ainsi : k0 < k1 < ... < kp suite strictement croissante. Si i I, 1(i) kn. Elletend vers + pour un certain n i ({0,...,kn}) = Jn Kn.On a aussi : mn = card(Kn) 1. On construit une bection entre :

fn : {mn1 + 1,...,mn} Kn\Kn1o {mn1 + 1,...,mn} et Kn\Kn1 deux ensembles finis de mme cardinal.

f : N I

tel que f|{0,...,m0} = f0 et f|{mn1+1,...,mn} = fn alors :

SKn =iKn

ui =

mnk=0

uf(k)


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et : mnk=0

uf(k) S

pour une sous-suite (mn)nN strictement croissante. La srie+k=0

uf(k) ne converge pas vers

S.

Cas particulier des familles des rels positifs

Proposition 1.2.7. Si (ui)iI est une famille de rels positifs :

a) SiM := supK fini I

SK < + alors la famille (ui)iI est sommable de somme S.

b) Rciproquement, si la famille (ui)iI est sommable de somme S alors M := supK finiI

SK 0, J fini I tel que M < SJ Mdonc K fini J, Sk SJ donc M < SJ SK M donc |M SK| < .

b)

M = supK fini I

SK = supK fini J

SK J fini I

car :

supK fini J

SK supK fini

SK

K fini I. On a : SK SKJ supK fini J

SK. Donc : supK fini

SK supK fini J

SK.

Donc :

> 0, J fini I tel que K fini J; SK ]S , S+ [ M ]S , S+ [, > 0 M = S.

Remarque. Si I = N, sommabilit des (ui)iN convergence de la srie+i=0

ui en prenant

M = supK fini N

SK = supnN

ni=0

ui.

Proposition 1.2.8 (Principe de comparaison). (ui)iI et(vi)iI deux familles des rels positifstel que ui vi, i I :

Si (vi)iI est sommable alors (ui)iI est sommable. Si (ui)iI nest pas sommable alors (vi)iI nest pas sommable.

Remarque. iI u

i a toujours un sens dans R+

, iI = supK fini IS

K R+

si ui 0, i I.


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Critre de Cauchy

Dfinition 1.2.2. (ui)iI vrifie le critre de Cauchy si :

> 0, J fini I tel que K fini I\J, |Sk| < (C)

Remarque. Si I = N, (C) implique le critre de Cauhy (C) pour les sries. Si J fini N,N = max J, J {0,...,N} alors q > p N, K = {p + 1,...,q} alors :

|SK| =

qi=p+1

ui

< Theorme 1.2.9. (ui)iI est sommable si et seulement si elle vrifie le critre de Cauchy.

Dmonstration. Sommabilit (C) :

> 0, J fini I tel que K fini J, |SK S| <

Soit H I\J, donc :|SH| = |SJH SJ| |SJH S| + |S SJ| 2

(C) Sommabilit : On peut montrer que I = {i I, ui = 0} est au plus dnombrable. I fini (ui)iI sommable. I infini, dnombrable.

1) On peut trouver f : N I une bection et on pose : vk = uf(k). On montre ainsique :

n=0 vk est convergente.

> 0, J fini I, K fini I\J, |SK| < q

k=p+1

vk

Il suffit de prendre m = max f

1(J) + 1. p,q : m p < q. On aura :q

k=p+1

vk

=

qk=p+1

uf(k)

= |Sf({p+1,...,q})| < Donc : vk converge vers S.

2) On montre que (ui)iI est sommable de somme S avec S =+

k=0 uf(k). Soit J =

f({0,...,m}) avec m = max f1(J) + 1. On montre que K fini J, |SSK| . On prend SK\J + SJ :

|S SK| |S SJ| + |SK\J |S SK| S

mk=0

uf(k)

|+

k=m+1uf(k)

+ |SK\J| (C)

Corollaire. Si (ui)iI est absolument sommable alors (ui)iI est sommable.


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Dmonstration. Critre de Cauchy :

> 0, J fini I, K fini I\J, iK

|ui|

Lingalit triangulaire nous dit que :

iK

ui iK

|ui|

Proposition 1.2.10. Soit I dnombrable, si ui (avec i I) est valeurs dans R ouC ou dansun espace vectoriel norm complet, on a lquivalence :

(1) (ui)iI est sommable

(2) (ui)iI est absolument sommable

(3) (uf(k))kN est commutativement convergente pour f : N I bective.Corollaire. Soit (ui)iI une famille sommble :

(a) Pour tout ensemble L I (fini ou infini), (ui)iL est sommable et on note SL sa somme.(b) > 0, J fini I, K fini J, |S SK| et si L J est infini alors |S SL| .(c) Si L1,...,Ln sont deux deux disjoints de I et si L =

ni=1

Li alors SL =ni=1

SLi.

Dmonstration. (a) > 0, J fini I tel que K fini : K I\J, |SK| . En posantJ = J L fini L alors K fini L\J alors |SK| car K I\J.

(b)

|S SL| |S SK| |SK SL|alors n N, Jn fini L tel que Kn fini , Jn Kn L, on a :

|SL SKn| 1

n

On pose : Kn = Jn J fini L, do :

|S SL| |S SKn |

+ |SKn SL|

1/n

+ 1n

pour n +

(c) i {1,...,n}, > 0, Ji fini Li tel que K fini Ji K Li :|SLi SK|

En posant J = J1 ... Jn et soit K fini tel que J K L :

K =ni=1

disjointe

(K Li)

SK =ni=1

SKi


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o Ki = K Li, K J o K Li Ji = J Li :ni=1

SLi(a)

SK

ni=1

|SLi SKi | n

car Ji Kifini

Li. n

i=1 SLi est la somme de la famille (ui)iL, cest--dire :

SK =i=1

SLi

Theorme 1.2.11 (Principe de sommation par paquets). Soit (ui)iI une famille sommablede somme S et (I)A une partition de I alors :

iI

ui = A

iI

uiRemarque. Daprs (a) du Corollaire prcdent : (ui)iI est sommable de somme note SI, A la famille (SI)A est sommable.Dmonstration. On veut montrer que : > 0, B fini A tel que C fini B C A :

C

SI S daprs (c) du Corollaire

Si C est fini : C

SI = S

CI =

iIC

ui

o IC =C

I.

> 0, J fini I, Kfini (ou non : (b)) J, |S SK| ()

. Soit :B = { A tel que I J = }

i

J,

!(i)

A tel que i

I(i)

tel que B ={

(i), i

J}

B est fini et si C fini

Balors :

CSI = SIC

et :IC =

C

I B

I = IB J

on applique () K (infini). K = IC.Remarque. (I)A une partition de I tel que (ui)iI est sommable, A et (SI)A estsommable nimplique pas la sommabilit des (ui)iI.

Exemple 1.2.2. I = Z, Ik = {k, k}, uk = k, k Z.


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Theorme 1.2.12. Soit(ui)iI une famille tel que ui R+, i I et soit(I)A une partitionde I. On a alors lingalit dans R+ :

iI

ui =A

iI

ui

Remarque. On a : R+ = R+ {+} :x + (+) = (+) + x = (+) (x R+) (+) + (+) = (+)

Dmonstration. On note : iI

ui = supK fini I

SK = M

M = supB fini A

SIB

o IB =

BI et :

SIB = iIB ui = B SI Si K fini I alors B fini A tel que K IB :

B = {(k), k K} = { A tel que K I = }

o k K, (k) A tel que I(k). On a : SK SIB donc M M.

SIB = supL fini IB

SL M

B fini

A

M

M.

1.3 Series doubles

Cas particulier o I = N2, (uk,l)(k,l)N2 une famille valeurs R, C ou un espace vectorielnorm complet.

Dfinition 1.3.1. La srie double de terme gnral (uk,l)(k,l)N2 est dite convergente (resp. ab-solument convergente) si et seulement si la famille (uk,l)(k,l)N2 est sommable (resp. absolument

sommable). La somme S de la famille est appele somme de la srie double :

S =

(k,l)N2uk,l

Dfinition 1.3.2. (uk,l)(k,l)N2 est convergente si et seulement si (|uk,l|)(k,l)N2 est convergente.Proposition 1.3.1. (uk,l)(k,l)N2 est convergente si et seulements si les suites suivantes sontbornes :

Tn =

(k,l)N2 ;k+ln|uk,l|

Tn = (k,l)N2 ;max(k,l)n |uk,l|


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Dmonstration. (uk,l)(k,l)N2 est sommable si et seulement si (|uk,l|)(k,l)N2 est sommable si etseulement :

supK fini N2

(k,l)K

|uk,l| < +

Reste montrer que :

supK fini N2 (k,l)K|uk,l| = supK={0,...,n}2,nN (k,l)K|uk,l| = supnN Tn

Theorme 1.3.2 (Interversion des sommations). (a) si uk,l R+, (k, l) N2 alors :

(k,l)N2uk,l =

+k=0

+l=0

uk,l

=

l=0

k=0

uk,l

()

() est valable dans R+.

(b) Si la srie double (k,l)N2

uk,l est convergente alors k N, la srie (simple)+

l=0

uk,l et

l N, la srie (simple)k=0

uk,l converge et :

(k,l)N2

uk,l =+k=0

+l=0

uk,l

=

l=0

k=0

uk,l

()

On a ainsi :N2 =

kN({k} N) Ik

=

jN(N {j}) Ij

Dmonstration. Principe de sommation par paquets.

Remarque. En pratique, on vrifie la convergence de (uk,l)(k,l)N2 en montrant que :

(k,l)N2

|uk,l| =k=0

l=0

|uk,l|

=l=0

k=0

|uk,l|

< +

Cas particulier : produit de sries

Theorme 1.3.3(Sries produits)

.Si (u

k)kN et (v

k)kN deux sries absolument convergentes

alors la srie double de terme gnral si (ukvl)(k,l)N est convergente et on a :

S =

(k,l)N2ukvl =

k=0

uk

l=0

vl

=

nN

k+l=n

ukvl

Dmonstration.

Tn =

(k,l){0,...,n}2|ukvl| =

l=0

n

k=0

|ukvl|

=l=0

|vl|

nk=0

|uk|

= nk=0

|uk| nl=0

|vl| k=0

|uk| l=0

|vl|


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donc (uk,l) est convergente. Principe de sommation par paquets :

(k,l)N2

uk,l =k=0

l=0

ukvl

=

k=0uk

l=0 vl =

l=0 vl

k=0 uk(k,l)N2

ukvl =nN

(k,l)In

ukvl

=n

k=0ukvnk


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Chapitre 2

Evnements et Probabilits

2.1 Notions de mesure

La notion de mesure englobe la notion de grandeurs gomtriques (longueur, aire, volume),physiques (masse) et probabilits. On va dfinir une fonction m dun ensemble A vers R+ telquelle satisfait les conditions suivantes :

a) croissance : si A B, m(A) m(B).b) additivit : si A B = , m(A B) = m(A) + m(B), sous rserve que m(A), m(B) et

m(A B) soient dfinies.On peut tendre ladditivit sur des suites finies A1,...,An tel que m(A1...An) = m(A1)+...+m(An) si les Ai sont deux deux disjoints (ceci nest pas forcment vrai pour des suites infinies).Mais des fois, m(A) nest pas clairement dfinis. On va pour cela voir quelques dfinitions.

Dfinition 2.1.1 (Tribu). Une famille Fde parties de est appele tribu (ou -algbre) sur si elle :a) possde lensemble vide : Fb) est stable par passage au complmentaire : A F, AC F.c) est stable par union dnombrable : (i N, Ai F) iN Ai F.Dfinition 2.1.2 (Mesure). Soit Fune tribu sur . On appelle mesure positive sur (, F) uneapplication :

m : F [0, +]vrifiant :

a) m(

) = 0

b) m est -additive : pour toute suite (Ai)iN dlments de Fdeux deux disjoints :

m

iN

Ai

=

i=1

m(Ai)

Remarque. La runion des Ai est invariante par permutation sur les indices et chaque Ai est son tour union dnombrable densembles Bi,j F(j N deux deux, on a clairement :

iNAi =

iN

jN

Bi,j =

(i,j)N2Bi,j

Exemple 2.1.1. 1) La plus petite tribu sur est F= {, }

21


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22 Chapitre 2. Evnements et Probabilits

2) La plus grande tribu est P()3) Si A est une partie de alors F = {, , A , AC} est un tribu. Cest la plus petite tribu

possdant A comme lment, cest--dire toute tribu G telle que A G contient F. On ditque Fest la tribu engendre par A.

Dfinition 2.1.3. Soit C une famille de parties dun ensemble . On appelle tribu engendrepar

Cet on note (

C), la plus petite tribu contenant

C(cest lintersection de toutes les tribus

sur contenant C).Exemple 2.1.2. C = {A}, A , (C) = {, , A , AC}

= R, C = {]a, b], a < b} la tribu engendre par C est appele tribu borlienne sur R(cest celle qui est engendre par les ouverts de R). Elle est note B(R). On a :

[a, b] =

nN

a 1

n, b

= Rd :

C = d

i=1]ai, bi], ai < bi, 1 i d

Rk =

k

2n,

k + 1

2n

1

k

2n

2,

1

k

2n

2 0 k 2n1

Rk =

k

2n,

k + 1

2n

1

k + 1

2n

2,

1

k + 1

2n

2 2n k 0On a :

An =2n

1

k=2nRk

An B(R2) :D =

nN

An

((An)nN est une suite dcroissante qui converge vers D).

Dfinition 2.1.4. Soit et Fune tribu sur , une mesure positive sur (, F) est une appli-cation :

m : F R+A

m(A)

telle que :


23/81

Chapitre 2. Evnements et Probabilits 23

a) m() = 0

b) si (An)nN est une suite dlments disjoints de Falors mnN

An

=

nNm(A).

Remarque.nN

m(An) a une sens dans R+.

Dfinition 2.1.5. Une mesure m sur (, F) est dite :a) discrte si il existe A au plus dnombrable tel que m(\A) = 0 (cest le cas si est au plus

dnombrable)

b) diffuse ou continue si , {} Fet m({}) = 0c) finie si m() < +Exemple 2.1.3. 1) (, F), 0 :

m(A) = 1 si 0

A

0 sinon

m est appele mesure de Dirac en 0, elle est note 0 et elle est finie et discrte. On peutvrifier que cest bien une mesure.

2) mesure ponctuelle sur (, F) : (i)iI une famille au plus dnombrable de , (ai)iI unefamille de rels positifs.

m =iI

aii m(A) =iI

aii(A) A F

Cette mesure est discrte. On montre que cest une mesure :a) m() = 0.b) (An)nN 2 2 disjoints :

m

nN

An

=

iIai i

nN

An

=

nNi (An)

=iI

ainN

i(An)

=

nNiIaii(An) = nN

m(An)

Toute mesure sur un ensemble au plus dnombrable est une mesure ponctuelle : ={i, i I} avec I au plus dnombrable

m =iI

aii

o ai = m({i}).Cas particulier : ai = 1, i I : mesure de comptage sur (, P())

m(A) = card(A) si A est fini

+ si A est infini


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3) Mesure de Lebesgue (Existence admise) : sur (R, B(R)), il existe une unique mesure telleque :

(]a, b]) = b a (a, b) R2, a < bsur (Rd, B(Rd), il existe une unique mesure d telle que :

dd

i=1]ai, bi] =d

i=1(bi ai) pour ai < bi, i i dLa mesure de Lesbegue gnralise la notion de longueur pour d = 1, daire pour d = 2, devolume pour d = 3.

Proprits :

(1) x Rd, d({x}) = 0 (d est diffuse) car, pour d = 1 1, :

{x} = nN

x 1

n, x

On a aussi : A B m(A) m(B). Donc :

d({x}) d

x 1n

, x

1/n

n N

Si A B(Rd) est au plus dnombrable alors d(A) = 0 car A =xA

{x}

(2) d est invariant par translation : si A B(Rd) et c Rd alors tc(A) = A + c B(Rd) etd(tc(A)) = d(A).

(3) d par isomtrie (de Rd) 2.

(4) si h est une homothtie de Rd (h : x

cx pour c

R) alors

B

B(Rd), h(B)

B(Rd)

et d(h(B)) = |c|dd(B).(5) Si E est un sous-espace affine de Rd alors d(E) = 0.

(6)

d

d

i=1

[ai, bi]

= d

d

i=1

]ai, bi]

4) Mesure de Lebesgue-Stieljes sur (R, B(R)), soit F une fonction croissante sur R et continue droite alors il exsite une unique mesure F sur (R, B(R)) tel que :

F(]a, b]) = F(b) F(a) a < bSi F = id, on obtient la mesure de Lebesgue.

2.2 Probabilits

2.2.1 Vocabulaire probabiliste

Dfinition 2.2.1. Une exprience alatoire est lensemble des rsultats possibles sur une ex-prience dont on ne connait pas lavance ces rsultats. Lensemble des rsultats possibles estdcrit par lensemble .

1

on peut gnraliser pour d > 1 en utilisant le produit2symtries, rotations ...


25/81


Exemple 2.2.1. On lance une pice : = {p,f} On lance deux pices : = {p,f}2 = {(p,p), (p,f), (f, p), (f, f)} On lance n pices : = {p,f}n, card() = 2n

Nombre dappels tlphoniques sur un standard : = N pour un jour. = N7 pour 7 jours.

Flche sur une cible : = D, un rsultat est un point du disque. Trajectoire dun objet sur une surface : = {f : I R2} = C0(I,R2)Dfinition 2.2.2. Fest lensemble des vnements observables. On a :

= vnement impossible = vnement certain {} = vnement lmentaire A F, B F, A B = : on dit que A et B sont deux vnements impossibles ou

incompatibles. AC = vnement contraire

iIAi : "au moins un des Ai se ralise"

iI

Ai : "tous les Ai se ralisent"

2.2.2 Probabilit comme mesure

Dfinition 2.2.3. Soit (, F) un espace probabilisable, une probabilit P sur (, F) est unemesure de masse 3 totale 1. Autrement dit :

P : F [0, 1]A P(A)

telle que :

a) P() = 1

b) si (An)nN est une suite dnombrable dvnements deux deux disjoints alors :

P

nN

An

=

nNP(An)

Dfinition 2.2.4. (, F, P) est un espace de probabilit.Proprit 2.2.1. (1) P(

) = 0

(2) n N, A1,...,An dans Fdisjoints alors :

P

ni=1

Ai

=

ni=1

P(Ai)

(3) A F, P(AC) = 1 P(A)(4) A F, B F, A B, P(A) P(B).(5) A F, B F, A B, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)(6) continuit squentiellement monotone :

3cest--dire que P() = 1


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a) (Bn)nN une suite croissante dvnments de Fqui converge vers B 4, alors :P(B) = lim

n+P(Bn)

b) Si (Cn)nN une suite dcroissante dvnements de Fqui converge vers C 5 alots :P(C) = lim

n+P(Cn)

(7) Si (An) est une suite quelconque de Fa)

P

ni=1

Ai

ni=1

P(Ai)

b)

P

nN

An

nNP(An)

Dmonstration de la continuit squentielle. a) Soit B =nN

Bn.

On pose :

A0 = B0 A1 = B1\B0 A2 = B2\B1 Ak = Bk\Bk+1, k N les (An)nN sont disjoints car soit Ai = Bi\Bi1 B alors i j 1, Bi Bj1 donc

Bj1 ce qui contredit Aj = Bj\Bj1.

nNBn =

nN

An

On a ainsi :

P(B) = P

nNAn

= nNP(An) = limn+

n

k=1 P(Ak)or :

nk=1

P(Ak) = P

n

k=1

Ak

= P(B0 (B1\B0) (B2\B1) ... (Bn\Bn1)) = P(Bn)

b) Passage au complmentaire en possant Bn = CCn .

4Mathmatiquement :

Bn Bn+1 n N

nNBn = B

5Mathmatiquement :Cn+1 Cn n N

nNCn = C


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Dmonstration de la proprit (7) de la Proprit 2.2.1.

P

nN

An

nNP(An)

Bn =

n

k=0 Ak

suite croissante de F nN

Bn =nN

An

Donc :

P

nN

An

= P

nN

Bn

(6)= lim

n+P(Bn)

or :

P(Bn) = Pn

k=0 Ak

n

k=0 P(Ak)

R+

+

k=0 P(Ak)

Proposition 2.2.2 (Formule de Poincarr). Soit A1,...,An n vmenements de F :

P

ni=1

Ai

=

ni=1

P(Ai) +n

k=2

(1)k+1 1i1


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Exemples concrets : Problme des anniversaires : "Soit n tudiants pris au hasard :

= {1,..., 365}n

On a que = {1,...,n} est un vnement lmentaire si i = numro du jour anniver-saire du ime tudiant (1 i n), {1,..., 365}. Quelle est la probabilit pour quedeux tudiants aient leur anniversaire le mme jour ? On introduit A =

{ = (1,...,n)

tel que i = j, i = j} et AC = { = (1,...,n) , i = j, i = j}. On a ainsi :

P(AC) =card(AC)

card()=

365 364 ... (365 n + 1)365n

On en dduit que :

P(A) = 1 P(AC) = 365 364 ... (365 n + 1)365n

= N,

F=

P(N, loi de Poisson de paramtre > 0 quon note Pois() :

P({n}) = n

n!e n N

= N, F= P(N), loi gomtrique de paramtre p ]0, 1[ :

P({n}) = p(1 p)n1

2.3.2 Du fini linfini non dnombrable

Exemple du schma "succs-echec"

a) Cas fini : on dfinit n preuves avec chacune deux issues possibles(1) Succs avec probabilit p (p ]0, 1[)(0) Echec avec probabilit 1 pOn a : n = {0, 1}n muni de P(n).

n = {(1,...,n), i {0, 1}, 1 i n}

i = rsultat de la i-me preuve

On prend :

Pn({1,...,n}) =ni=1

pi(1 p)1i = pk()(1 p)nk()

o :

k() =ni=1

i (nombre de succs lors des n preuves)

On peut vrifier que : n

Pn({}) = 1

b) Cas infini : suite infinie de telles preuves :

= {0, 1}N = { = (i)iN , i {0, 1}, i N}


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On dfinit dabord une tribu F. Soit n fix, tous les lments qui dpendent des n premirespreuves doivent tre dans F. On a : n = {0, 1}n, n+1 = {0, 1}Nn avecNn = {k N, k >n}.

Fn = {A n+1, A P(n)}On peut vrifier que Fn est une tribu. On veut que Fcontiennent tous les Fn, cest--dire :

C := nN

Fn F

Remarque.

nNnest pas une tribu.

Exemple 2.3.1. Soit A = "au moins un succs" et An = "au moins un succs avant n".On a ainsi :

nNAn

An

Fn donc An

kN Fkmais nN An kN Fk

. On prend donc

F= (

C) tribu

engendre par C. On dfinit ensuite P sur (, F), on sait que si A = A n+1 Fn alors :

P(A) = Pn(A) =

(1,...,n)Apn

i=1i(1 p)n

ni=1

i

o Pn(A) est une probabilit sur n. P(A) permet de dfinr P sur C :

Fn Fn+1

si B = B n+1 Fn alors B = B {0, 1} n+2 Fn+1.

P(B) = Pn+1(B {0, 1}) =

(1,...,n+1)B{0,1}pn+1

i=1i(1 p)n+1

n+1i=1

i

=

(1,...,n)Bpn

i=1i(1 p)n

ni=1

i

(1 p)

+ p

(1,...,n)Bpn

i=1i(1 p)n

ni=1

i

= Pn(B)

On admet quon peut tendre P en une probabilit sur F= (C).Exemple 2.3.2. A = "au moins 1 succs" :

A =

nNAn F

An An+1 (proprit de continuit monotone squentielle), P(A) = limn+P(An) = 1 .

On a :

P(An) = 1 P(ACn ) = 1 (1 p)n

Remarque. A

C

= "avoir que des echecs" = {(i)iN, i = 0, i N} contient un seullment : P(AC) = 0.


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2.3.3 Le cas = R, F= B(R)Soit P une probbilit sur (R, B(R)) :

Dfinition 2.3.1. La fonction de rpartition de P est lapplication :

F : R [0, 1]x

P(]

, x])

Proprit 2.3.1. (1) F est croissante, continue droite, limit gauche.(2) lim

x F(x) = 0 et limx+F(x) = 1

(3) x R, P({x})) = F(x) F(x) avec F(x) = limtx,t


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Remarque. On a :R =

xR

{x}

mais :P(R) =

xRP({x})

Theorme 2.3.2 (Admis). Si F est une fonction croissante, continue droite et telle que :

limx F(x) = 0 limx+F(x) = 1

alors il existe une unique probabilit sur (R, B(R)) telle que P(]a, b]) = F(b) F(a).Remarque. P(]a, b[) = F(b) F(a)

P([a, b]) = F(b) F(a) P(]b, +[) = 1 F(b) P([b, +

[) = 1

F(b

)

2.3.4 Probabilit uniforme / conditionnelle

Soit m une mesure sur (, F) et soit B Ftel que m(B) > 0 alors :mB : F [0, 1]

A mB(A) = m(AB)m(B)dfinit une probabilit sur (, F).Application 2.3.1. Probabilit uniforme sur un borlien, m = d : mesure de Lebesgue sur

(Rd, B(Rd)) :A B(Rd) P(A) = d(A B)

d(B)

(si B B(Rd), d(B) > 0) est appel probabilit uniform sur B.Exemple 2.3.3. 1) Probabilit uniforme sur [a, b] sur (R, B(R)) :

P(A) =(A [a, b])

b a

F(x) = P(] , x]) = P(] , x] [a, b])b a


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2) Aiguille de Buffon de longueur l sur un plancher avec des lattes de longueur 2l, on sinteresse avec quelle probabilit touche une ligne du planche ?

= [0, l] [0, ](r, ) , si r est la distance du centre de laiguille la ligne la plus proche et est langleentre laiguille et la ligne. A B(R2) :

P(A) =2(A )

2()=

2(A )l

A = {(r, ) , r l2

sin } 2 =0

l

2sin d

donc :P(A) =

1

l

0

l

2sin d =

1

Application 2.3.2. Si P est une partie sur (, F) et si B F, P(B) = 0 alors :

PB : F [0, 1]A PB(A) = P(AB)P(B)

est appele probabilit conditionnelle sachant B = PB(A) = P(A|B).

2.4 Probabilit conditionnelle et indpendance

Soit (, F, P) un espace de probabilit.


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2.4.1 Probabilit conditionnelle

Exemple 2.4.1. = {(F, F); (F, G); (G, F); (G, G)}

la ralisation dun vnement H modifie la probabilit de la ralisation de A.

H = "avoir une fille" ={

(F, F); (F, G); (G, F)}

A = "avoir un garon"

Si on sait que la famille contient une fille, la probabilit que lautra ait un garon est de 23

.

P(A|H) = P(A H)P(H)

=2/4

3/4=

2

3

Proprit 2.4.1. H, P(H) > 0 :

1)PH : F [0, 1]

A PH(A) =P(AH)P(H) = P(A|H)

est une probabilit sur (, F) :PH(A

C) = 1 PH(A)PH() = 1

2) Rgle de conditionnement successif : siA1,...,An, n lments de Ftel que P(A1...An1) =0 alors :

P(A1 ... An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)...P(An|A1 ... An1)

3) Formule de Bayes : (Hi)iI une famille dvnements disjoints au plus dnombrable tel queP(Hi) = 0 (i I) et A F :

P(Hj|A) = P(A|Hj)P(Hj)iIP(A|Hi)P(Hi)

Exemple 2.4.2. Lors du partiel, on donne un QCM avec m choix possibles. p dsigne laprobabilit de connatre son cours et ainsi de rpondre corectement sinon on rpond au hasard.Si ltudiant repond correctement, quelle est la probabilit quil connaisse son cours ? On dsigneles vnements suivants :

R = "ltudiant rpond correctement"


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H = "ltudiant rpond au hasard"

C = "ltudiant connait son cours" = HC

On a ainsi :

P(R|C) = 1, P(R|H) = 1m

, P(C) = p

on veut connatre P(C|R) :P(C|R) = P(R|C)P(C)

P(R|C)P(C) + P(R|H)P(H) =p

p + 1m

(1 p) =mp

m(p 1) + 1

2.4.2 Indpendance

De deux vnements

Dfinition 2.4.1. A et B sont deux vnements indpendants si :

P(A B) = P(A)P(B)Remarque. 1) si 0 < P(B) < 1 alors A et B indpendants P(A|B) = P(A|BC)(= P(A)).2) Deux vnements incompatibles de probabilit non nule ne sont pas indpendants.

Indpendance mutuelle

Exemple 2.4.3.A = "lain est une fille" P(A) = 1/2

B = "le cadet est un garon" P(B) = 1/2

C = "les enfants ont le mme sexe" P(C) = 1/2

On a :A et B indpendants car P(A B) = P({(F, G)}) = 1

4= P(A)P(B)

A et C indpendants

B et C indpendants

A, B et C sont indpendants deux deux mais :

P(C|A B) = 0

La probabilit de C est modifi si A et B sont raliss. A, B et C ne sont pas mutuellementindpendants.


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Dfinition 2.4.2. A, B et C sont (mutuellement) indpendants si :

P(A B) = P(A)P(B)

P(A C) = P(A)P(C)P(B C) = P(B)P(C)

et :P(A B C) = P(A)P(B)P(C)

Dfinition 2.4.3. Une suite (An)nN dvnements est constitue dvnements indpendantssi toute sous famille finie est constitue dvnements indpendants.

I N, I fini, PiI

Ai

=iI

P(Ai)

Dfinition 2.4.4 (Epreuves indpendantes rptes). Des preuves rptes sont dites ind-pendantes si toute famille dvnements (An)n

N tel que An ne dpend que du rsultat de la

n-ime preuve est une famille dvnements indpendants.

Exemple 2.4.4 (Le schma "succs-echec"). Soit :

= {0, 1}N

Si = "succs la i-me preuve"

Les (Si)iN sont indpendants et P(Si) = p. Si on note :

An = "au moins un succs avant la n-ime preuve"

ACn = "aucun succs avant la n-ime preuve" =ni=1

SCi

Alors :P(An) = 1 P(ACn ) = 1 (1 p)n

Soit :

Bn,k = "exactement k succs avant la n-ime preuve" =

I{1,..,n},card(I)=k

union disjointe

iI

Si

i{1,...,n}\I

SCi

de probabilit pk(1p)nkP(Bn,k) =

I{1,...,n},card(I)=k

pk(1 p)nk = Cknpk(1 p)nk


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Chapitre 3

Variables alatoires relles

3.1 Introduction

On sintresse une fonction des vnements lmentaires ({}).

Exemple 3.1.1. Dans le cas de la somme des deux ds :

= {1, ..., 6}2, = (i, j)avec i (respectivement j) est le rsultat du d bleu (respectivement rouge). P quiprobabilitsur (, P()). On introduit la fonction :

X : (i, j) i + j

avec = {2, ..., 12}2 = X(), i + j est la somme des 2 chiffres i, j obtenus. On veut savoirP(A2) tel que :

A2 = "la somme des 2 ds soit 2" = {(i, j) , i+j = 2} = {(i, j) , X(i, j) = 2} = X1({2}) = {(Donc :

P(A2) = PX({2}) = P(X = 2) = P(X1({2})) = 136

De mme pour P(A3) :

A3 = "la somme des 2 ds soit 3" = {(i, j) , X(i, j) = 3} = X1({3}) = {(2, 1), (1, 2)}Donc :

P(A3) = PX({3}) = P(X = 3) = P(X1({3})) = 236

Plus gnralement, pour 2 k 12 :

P(X = k) =

k136

si k 713k36

si k > 7

Lapplication X transporte la probabilit P sur (, P()) en une probabilit PX sur (, P()).B P() :

PX(B) = P(X1(B)) = P(X B)

avec :X1(B) =

{

, X()

B

}image rciproque de lensemble B par X.

36


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Chapitre 3. Variables alatoires relles 37

Dfinition 3.1.1. Soit deux espaces (1, F1) et (2, F2) et X une application de 1 dans 2,on dit que X est F1 F2 mesurable si B F2, X1(B) F1.

La notion de mesurabilit est conserve par composition : somme, produit...

3.2 Gnralits

Soit (, F, P) un espace de probabilit.

3.2.1 Dfinitions

Dfinition 3.2.1. Une application X de dans R est une variable alatoire si cest uneapplication F B(F) mesurable, cest--dire :

B B, X1(B) F ()Remarque.

X1 iI

Bi

=iI

X1(Bi)

X1iI

Bi

=iI

X1(Bi)

X1(AC) = (X1(A))C

Comme B(R) est engendr par {]a, b], (a, b) R2} ou {] , x], x R}, pour vrifier(), il suffit :

x R, X1(] , x]) F

Si X est une variable alatoire alors Y = X2

est une variable alatoire.

Y1(], x]) = {Y x} = {X2 x} = si x < 0{x X x} = X1([x, x]) si x > 0

De mme pour Z = 1X

avec , X() = 0.

1

X x

1 xX et X > 01 xX et X < 0

Z1

(] , x]) = 1X x

=

{X 0} si x = 0X 1

x

{X > 0}

X 12

{X < 0}

=1x

X < 0

si x < 0X 1

x

{X < 0}

X 12

{X > 0}

= {X < 0}

X 1

2

si x > 0

Si X est une variable alatoire et g : R R une application B(R)B(R) mesurable alorsY = g(X) est mesurable car :

Y1(B) = {g(X) B} = {X g1(B) B(R)

}

F


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38 Chapitre 3. Variables alatoires relles

3.2.2 Loi dune variable alatoire

Dfinition 3.2.2. Soit X : R est une variable alatoire alors lapplication PX = P X1sur B(R) dfinie par :

PX : B(R) [0, 1]B PX(B)

o PX(B) = P(X1(B)) = P(X B est une probabilit sur (R, B(R)) appele loi de X (sousP).

Remarque. X1(B) Fdonc PX est bien dfinie.

Dmonstration. PX(R) = P(X R) = P({ , X() R}) = P() = 1 (Bn)nN une famille de borliens de R disjoints 2 2 :

PX nNBn = PX1nNBn = P

nNX

1(Bn) disjoints

= nNP(X

1(Bn)) = nNPX(Bn)

Remarque. Deux variables alatoires X et Y dfinies sur (, F) peuvent avoir la mme loi (sousP) sans tre gale.

Exemple 3.2.1.

X(i, j) = i rsultat du d bleu

Y(i, j) = j rsultat du d rouge

X et Y ont la mme loi :

P(X = Y) =1

6

Dfinition 3.2.3. Soit H F tel que P(H) > 0 alors loi de X sous PH est appele loiconditionnelle de X sachant H.

PX|H : B(R) [0, 1]B PX|H(B) = P(X B|H)

3.2.3 Fonctions de rpartition

Dfinition 3.2.4. Soit X une variable alatoire relle sur alors la fonction de rpartition deX est celle de PX , cest--dire cest lapplication :

FX : R [0, 1]x PX(] , x]) = P(X x)

Remarque. Si FX = FY alors X et Y ont la mme loi.

Exemple 3.2.2. X(i, j) = i + j


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3.2.4 Variables alatoires indpendantes

Dfinition 3.2.5. n variables relles X1,...,Xn dfinies sur (, F, P) sont indpendantes siAi B(R), i {1,..,n} :

P

ni=1

{Xi Ai}

=ni=1

P(Xi Ai)

Exemple 3.2.3.

X(i, j) = iY(i, j) = j sont indpendantes (il suffit de le vrifier pour A = {i} et

B = {j}).

3.3 Variables alatoires discrtes

(, F, P) est un espace de probabilit, X : R une variable alatoire relle dont la loiest note PX .

3.3.1 Gnralits

Dfinition 3.3.1. X est discrte si X() est au plus dnombrable.

Remarque. Si X est discrte alors sa loi PX est discrte : il existe A B(R) tel que PX(R\A) =0 PX(A) = 1.

Si PX est une loi discrte alors :

PX =xA

pxx avec px = P(X = x) = PX({x})

A est au plus dnombrable et PX(A) = 1.

Fonctions de rpartition :

FX(x) = PX(] , x]) = yA,yx

Py


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Si A = {xk, k I}, I fini ou I = N alors :FX(x) =

xkA,xkx

pxk =kI

pxk 1[xk,+[(x) xk (],x])

Si de plus, xk xk+1 alors FX est constante sur lintervalle [xk, xk+1[.

Proposition 3.3.1. La loi de X est discrte si la somme du saut de sa fonction de rpatitionFX vaut 1.

Dmonstration. En effet, il existe A au plus dnombrable :

PX(A) = 1 =xA

PX({x}) ()=xA

(FX(x+) FX(x)) = 1

Rciproquement, FX admet un nombre au plus dnombrable de discontinuit, on la note A : PX(A) = 1(via ())

3.3.2 Lois discrtes classiques

(1) Loi de Bernouilli : X suit la loi de Bernouilli de paramtre p [0, 1], X Bern(p) si :PX = p1 + (1 p)0

P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 pExemple 3.3.1. Si A Falors X = 1A suit une loi de Bernouilli : X Bern(P(A)).

(2) Loi uniforme sur {x1,...,xn} : X Unif({x1,...,xn}) si :

PX =ni=1

1

nxi

i {1,...,n} :P(X = xi) =

1

n

Exemple 3.3.2. X(i, j) = i, X Unif({1, ..., 6}).


41/81


(3) Loi binomiale de paramtres n N et p [0, 1] : X Bin(n, p) si :

PX =n

k=0

Cknpk(1 p)nki

P(X = k) = Cknpk(1 p)nk

Cest la loi du nombre de succs dans une suite de n preuves indpendantes avec 2 issuespossibles : succs de probabilit p chec de probabilit 1 pExemple 3.3.3. Xi = 1Ai , (Ai)i{1,...,n} forme une famille de n variables alatoires ind-pendants de mme probabilit p :

Sn =ni=1

Xi

cest la somme de n variables alatoires de loi de Bern(p) indpendantes.

Sn = Bin(n, p)

(4) Loi hypergomtrique :

Soit une population de N personnes tel que :M personnes votent pour AN M personnes votent pour B

On fait un sondage de n personnes et on regarde X le nombre de personnes parmi les npersonnes qui votent pour A.

P(X = k) =CkMC

nkNM

CnNpour

0 k M0 n k N M

On dit que : X Hyp(N , M , n).Proposition 3.3.2. Si M(n)

NN+

p et si XN Hyp(N, M(n), n) alors k {0,...,n} :

limN+

P(XN = k) = P(X = k) = Cknp

k(1 p)np si X Bin(n, p)

(5) Loi gomtrique de paramtre p

[0, 1] sur N : X

Geo(p) si :

PX =+k=1

p(1 p)k1k

k N :P(X = k) = p(1 p)k1

Cest la loi dapparition du premier succs dans une suite infinie dpreuves indpendantesayant deux issues possibles : succs p

chec 1

p

Remarque. P(X > n) = (1 p)n


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(6) Loi de Poisson de paramtre > 0 : X Pois() si :

PX =kN

k

k!ek

Autrement dit :

k N, P(X = k) =k

k e

Proposition 3.3.3. Si (pn)nN est une suite dans ]0, 1[ tel que npn quand n +alors k N :

limn+C

knp

kn(1 pn)nk =

k

k!e

Si Xn Bin(n, pn) et X Pois() alors :

k N, limn+ P(Xn = k) = P(X = k)

(on dit que Xn converge en loi vers X).

Dmonstration. Voir M206 partie Probabilits

Consquence. Si "n grand et np petit" alors si X Bin(n, p), on peut approcher P(X = k)par P(Y = k) o Y Pois(np).Caractre universel : La loi de Poisson peut modliser : Nombre de numros sur un standard tlphonique Accidents davion ...

3.4 Lois densit

(, F, P) espace de probabilits. X est une variable alatoire relles sur de loi PX .

3.4.1 Dfinitions et proprits

Dfinition 3.4.1. Une densit f est une fonction valeurs dans R+ telle que :

1) f est dfinie sur R\K o K fini valeurs positives ou vide.

2) f est localement Riemann-intgrable sur R\K.3) Lintgrale gnralise :

I =+

f(t)dt

est convergente et I = 1.

Remarque. Si f est dfinie, positive sur ]a, b[ tel queba f(t)dt = 1 alors on peut dfinir g(t) =

f(t)1]a,b[(t) qui est une densit sur R.

Exemple 3.4.1.

g(t) =1

2t1]0,1[(t)


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Dfinition 3.4.2. On dit que la loi de X a pour densit F sous P si :

P(X ]a, b]) = ba

f(t)dt pour tout a b

Remarque. Il ny a pas dunicit de la densit.

Mais :

Lemme 3.4.1. Si X et Y ont pour densit respective f et g tel que t0 R : f(t0) = g(t0) f et g sont continues en t0.

alors X et Y nont pas la mme loi.

Dmonstration.

Soit > 0 :1 > 0 tel que x ]t0 1, t0 + 1[= I1, f(t) f(t0) + 2 > 0 tel que x ]t0 2, t0 + 2[= I2, g(t) g(t0)

est tel que f(t0) + < g(t0) alors [a, b] = I1 I2.t [a, b] : f(t) f(t0) + < g(t0) g(t)

alors :

b

af(t)dt (b a)(f(t0) + ) < (b a)(g(t0) )

b

ag(t)dt P(X ]a, b]) < P(Y ]a, b])


44/81


Proposition 3.4.2 (Fonction de rpartition). Si X a pour denstit f alors sa fonction derpartition F vrifie :

(1) F(x) =+ f(t)dt, x R.

(2) F est continue.

(3) si f est continue en t0 alors F est drivable en t0 et F(t0) = f(t0).

Dmonstration. (1) x R :P(X ] , x]) =

xn

f(t)dt n xnN

] n, x] =] , x] union croissante

donc :PX(] , x]) = lim

n+ PX(] n, x]) = limn+xn

f(t)dt =x

f(t)dt

(2) Soit x0

R, on veut dmontrer :

limxx0,x


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Theorme 3.4.3. Si FX est une fonction densit relle C1 par morceaux, cest--dire FX estcontinue surR, drivable surR\{a1,...,an} et drive continue sur chaque intervalle ]ai, ai+1[pour 0 i n et tel que a0 = , ai < ai+1 (i {0,...,n}), an+1 = +, de drive f(dfinie surR{a1,...,an}) alors X est a densit f.Dmonstration. Si f est continue sur ]ai, ai+1[ alors elle admet des primitives de la forme :

H(x) =x

f(t)dt + c o ]ai, ai+1[

et F est une primitive de f c = F() :

F(x) F() =x

f(t)dt

[a, b] ]ai, ai+1[ :

FX(b)

FX(a) =

b

a

f(t)dt

P(X

]a, b]) =

b

a

f(t)dt

sinon on utilise la relation de Chasles pour les intgrales gnralises.

Remarque. Si X est densit alors P(X = x) = 0, x R.

P(X ]a, b]) = P(x [a, b]) = P(X [a, b[) =ba

f(t)dt

3.4.2 Lois densit classiques

(1) Loi uniforme sur un intervalle [a, b] (a < b) : X

Unif([a, b]) si

I

B(R) :

P(X I) = 1(I [a, b])b a

(PX est la probabilit uniforme sur [a, b])

Sa fonction de rpartition F :

F(x) =1(] , x] [a, b])

b

a

=

0 si < x < axaxb si a x < b1 si b x < +


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Theorme 3.4.4. Si U est une variable alatoire relle de loi uniforme sur [0, 1] et si Fest la fonction de rpartition dune variable alatoire relle X telle que F est strictementcroissante et continue surR alors Y = F1(U) a mme loi que X.

Dmonstration. F est bective de R dans ]0, 1[. Y est dfinie sur {U =]0, 1[} qui est deprobabilit 1. x R :

P(Y x) = P({F1

(U) x} {U ]0, 1[}) = P(U F(x))= 1(] , F(x)] [0, 1]) = 1([0, F(x)]) = F(x)

Remarque. Si X Unif([a, b]) alors X a pour densit :

f(t) =1

b a1[a,b](t)

(2) Loi exponentielle de paramtre a > 0 : X Exp(a) si X a pour densit :f(t) = aeat1[0,+[(t)

X a pour fonction de rpartition :

F(x) =

1 e

ax si x 00 si x < 0

Fonctions de survie :

G(x) = P(X > x) = 1 F(x) =e

ax si x 01 si x < 0

Theorme 3.4.5 (Absence de mmoire). Si X suit une loi exponentielle alors t R,s R+ :

P(X > t + s | X > t) = P(X > s) ()

et rciproquement si X vrifie la proprit (), t R, s R+

alors X suit une loiexponentielle.


47/81


Remarque. si X Exp(a) alors P(X 0) = 1. On dit que X est "presque srement"positive.

(3) Loi normale ou loi gaussienne : X N(m, ), m R, R+ si X a pour densit :

f(t) =12

exp

(t m)2

22

t R

La loi N(0, 1) est la loi normale standard centre rduite.Proposition 3.4.6. Si X N(m, ) alors Y = Xm

suit la loi normale centre rduite.

Dmonstration.

P(Y [a, b]) = PX m [a, b] = P(X [m + a,m + b])=m+bm+a

12

exp

(t m)2

22

On pose u = tm

:

=ba

12

exp(u2/2)du

La loi N(0, 1) :

f(t) = 12

exp(t2/2)

(x) =x

12

exp(t2/2)dtest donne par la table suivante.


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La table donne les valeurs de (x) pour x positif. Lorsque x est ngatif on utilise la relation :

(x) = 1 (x)

qui rsulte de la parit de la densit gausienne N(0, 1).

Exemple : pour x = 1, 8, on trouve : (x) = 1 0, 9641 = 0, 0359.Pour les "trs grandes valeurs de x" (cest--dire |x| 4), on dispose du rsultat suivantqui donne une valuation de la "queue" de la loi normale.

Pour tout x > 0, on a lencadrement :

1x

1x3 1

2exp

x22

< 1 (x) < 1

x12

expx2

2

(4) Loi de Cauchy : X Cau(0, 1) si X a pour densit :

f(t) =1

1

1 + t2

F(x) =1

arctan(x) +

1

2


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Chapitre 4

Esprance dune variable alatoire

4.1 Introduction

Soit X une variable alatoire discrte valeurs dans X() = {xi, i I} avec I est au plusdnombrable. La valeur moyenne de X est donne par son esprance :

E(X) =iI

xiP(X = xi).

Si I est fini, E(X) est bien dfinie. Si I est dnombrable, E(X) est bien dfinie si la famille{xiP(X = xi), i I} est sommable ou bien si I = N, E(X) est bien dfinie si

+i=0

|xi|P(X = xi) < +.

Donc, dans le cas discret,E(X) =

xX()xP(X = x) ()

mais dans le cas densit, on a besoin de calculer une intgrale car P(X = x) = 0, x R(voir la remarque de la section 3.4.1). Donc

E(X) =R

xf(x)dx. ()

On a f(x)dx P(X [x, x + dx]) = x+dxx f(t)dt.

x x+ dx

Les conditions () et () sont dfinies si respectivement :

xX()|x|P(X = x) < + et

R

|x|f(x)dx < +.

Si X est discrte et Y densit, on veut savoir comment dfinir E(X+ Y).

50


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Chapitre 4. Esprance dune variable alatoire 51

1. X()dP(). Cest lintgrale de Lebesgue mais ce nest pas dans le programme du

cours (voir M304).

2. Pour X positive, E(X) =+0 P(X > t)dt =

+0 (1F(t))dt. Une illustration est donne

ci-dessous.

x1

1

x2 xn

E(X)

4.2 Esprence de variables alatoires relles positives

(, F, P) espace de probabilit. X variable alatoire relle positive dfinie sur , on note Fsa fonction de rpartition.

4.2.1 Dfinitions

Dfinition 4.2.1. Lesprance de X (sous P) est :

E(X) =+0

P(X > t)dt =+0

(1 F(t))dt

Remarque. E(X) est dfini comme lment de R+

car t P(X > t) est dcroissante sur R+.On a ainsi lexistence de

x0 P(X > t)dt, x > 0 et x

x0 P(X > t)dt est croissante donc

admet une limite dans R+

.

Remarque. Lesprance ne dpend que de la loi donc la dfinition est aussi valable si X estpresque srement positive (cest--dire P(X 0) = 1).

Dfinition 4.2.2. X est intgrable siE

(X) < +.Exemple 4.2.1. Si X est borne :

M R+, X() M,

Alors :

P(X > t) = 0 t Met donc :

E(X) =

+

0P(X > t)dt =

M

0P(X > t)dt < +

Plus gnralement si P(X > t) ct, pour > 1 et pour t assez grand alors X est intgrable.


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52 Chapitre 4. Esprance dune variable alatoire

4.2.2 Exemples

Esprance dune constante (positive)

X() = c, :

On a ainsi : E(X) = c (valable aussi si P(X = c) = 1.

Esprence dune indicatrice

X = 1A, A F, X Bern(p) avec p = P(A) :

On a ainsi : E(X) = P(A).

Remarque. Si X Bern(p) alors E(X) = p.

Esprence dune variable alatoire tage positive

Dfinition 4.2.3. X est une variable alatoire tage si X() est fini.

Proposition 4.2.1. Si X est une varible alatoire tage positive. On note X() = {xk, 1 k n}. Alors :

E(X) =n

k=1xkP(X = xk)

Dmonstration. Soit :

X =n

k=1

xk1Ak

avec :Ak = X

1({xk}) = { , X() = xk}On dfinit :

PX =n

k=1

pkxk avec pk = P(Ak) = P(X = xk)

On a :

E(X) =+0

P(X > t)dt


53/81


Ainsi :

P(X > t) = PX(]t, +[) =n

k=1

pkxk(]t, +[)avec :

xk(]t, +[) =

1 si xk ]t, +[0sinon

= 1],xk[(t)

P(X > t) =n

k=1

pk1],xk[(t)

On a ainsi :

E(X) =+0

P(X > t)dt =+0

n

k=1

pk1[0,xk[(t)

dt =

nk=1

+0

pk1[0,xk[(t)dt

=n

k=1

pkxk

et finalement :

E(X) =n

k=1

xkP(X = xk)

Esprance dune variable alatoire X positive densit

Proposition 4.2.2. Si X est positive et a pour densit f alors :

E(X) =+0

xf(x)dx R+

Dmonstration.

P(X > t) =

+

tf(x)dx =

+

0f(x)1[t,+[(x)dx

On a ainsi :

E(X) =+0

+0

f(x)1[t,+[(t)dx

dtFT=

+0

+0

f(x)1[t,+[(x)dt

dx

=+0

f(x)+

01[0,x](t)dt

dx =

+0

xf(x)dx

4.2.3 Proprits

Proposition 4.2.3. Si X est une variable positive et c R+ alors :E(cX) = cE(X)

Dmonstration. 1) c = 0 vident.

2) si c > 0 :

E(cX) =+0

P(cX > t)dt =+0

P(X > t/c)

On pose : u = tc

E(cX) = c +

0

P(X > u)du = cE(X)


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Croissance de lesprance

Proposition 4.2.4 (Croissance de lesprance). Si X et Y sont deux variables alatoires posi-tives dfinies sur tel que X Y ( , X() Y()) alors E(X) E(Y).Dmonstration.

E(X) =

+

0P(X > t)dt

On a linclusion {X > t} {Y > t} ainsi P(X > t) P(Y > t) et :

E(X)dans R

+

+0

P(Y > t)dt = E(Y)

Consquence. Si X Y : Si Y est intgrable alors X est intgrable. Si X nest pas intgrable alors X nest pas intgrable.

Approximation dune variable alatoire positive par une suite croissante de va-riables alatoires tages positives

Soit X une variable alatoire.

Xn tage tel que la suite (Xn)nN est croissante. On a :

Xn() = Xn+1() La suite (Xn) converge simplement vers X.

Xn() =

n si X() nk2n si k2n X() (k + 1)2n et 0 k n2n 1

Xn =n2nk=0

k2n1Ak,n

On a : Ak,n = X1([k2n, (k + 1)2n[) pour 0 k 2n 1 et An2n,n = X1[n, +[. Ainsi

(Ak,n)0k2n forment une partition de . Ak,n Fcar X est F B(R) mesurable donc Xn estune variable alatoire qui prend un nombre fini de valeurs (n2n+1). A fix, Xn() Xn+1().Soit n0 = [X()]

1 :

1[x] est la partie entire x


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n n0 :X() n0 n Xn() = n

n > n0 :Xn() = max{l2n, l2n X() = k(n, )2n}

avec k(n, ) = [2nX()] :

n n + 1 n0 : Xn() = n Xn+1() = n + 1 n0 < n n + 1 :

Xn() = k(n, )2n = 2k(n, )2(n+1) X()

car soit :k(n + 1, ) = max{l tel que l2(n+1) X()}

ainsi2k(n, ) k(n + 1, ) Xn() Xn+1()

avec :Xn+1() = k(n + 1, )2

(n+1)

Xn0() Xn0+1() :Xn0() = n0 = 2

n0+1n02(n0+1) Xn0+1()

On a :2n0+1n0 k(n0 + 1, )

et :Xn

0+1() = k(n0 + 1, )2

(n0+1)

(Xn() = k2n). Si n > n0 alors :

k2n X() < (k +1)2n Xn() X() Xn() +2n 0 X()Xn() 2n

Lemme 4.2.5. Si Xn converge en croissant vers X alors P(Xn > t) converge en croissant versP(X > t) quand n + ( t 0 fix).Dmonstration. Xn Xn+1 et {Xn > t} {Xn+1 > t} donc P(Xn > t) P(Xn+1 > t) donc{P(Xn > t)}nN est croissante. Soit An = {Xn > t} donc :

A =+n=0

An = {X > t}

car : si A alors n N tel que Xn() > t. Or X() Xn() donc X() > t donc :

A {X > t} si {X > t}, X() > t :

> 0, n0 N, n n0, X() Xn() X()

On prend = X() t > 0 partir de n0 = n0(t, ), Xn() > t, An. Doncn n0, A. Cela implique que {X > t} A.


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P(A) = limn+P(An) P(X > t) = limn+P(Xn > t)

Theorme 4.2.6 (Beppo-Levi). Soit (Xn)nN une suite croissante de variables alatoires po-sitives qui converge simplement vers X alors :

limn+E(Xn) = E(X)

Dmonstration. On se base sur le thorme suivant :

Theorme 4.2.7. Si (fn)nN est une suite de fonctions qui sont dcroissantes, qui convergesimplement vers f alors : b

afn(t)dt

n+

ba

f(t)dt

fn(t) = P(Xn > t) est une suite de fonctions dcroissantes (en t). On a ainsi avec le lemme

fn(t) f(t) = P(X > t) quand n + :b0

fn(t)dt n+

b0

f(t)dt, b R+

b0

P(Xn > t)dt n+

b0

P(X > t)dt, b R+

si X est intgrable :

> 0 tel que+b

P(X > t)dt <

On a : P(Xn > t) P(X > t) :

0 E(X) E(Xn) =+0

P(X > t)dt +0

P(Xn > t)dt

=b0

P(X > t)dt b0

P(Xn > t)dt pour n assez grand

++b

P(X > t)dt +b

P(Xn > t)dt

2

si X nest pas intgrable : A > 0, b R+ tel que :b0

P(X > t)dt A

A partir dun certain rang n0 = n0(A) :

b0

P(Xn > t)dt b0

P(X > t)dt A2

A2

Cela veut dire que :

limn

+

E(Xn) = + = E(X)


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Additivit de lesprance

Theorme 4.2.8. Si X et Y sont deux variables alatoires positives dfinies sur alors :

E(X+ Y) = E(X) + E(Y)

Dmonstration. Si Xn et Yn sont tages (positives) alors E(Xn + Yn) = E(Xn) +E(Yn). Si X et Y sont quelconques (positives) alors il existe (Xn)n

N tel que chaque Xn soit tage

et Xn() converge en croissant sur X(), et il existe (Yn)nN tel que chaque Ynsoit tage et Yn() converge en croissant sur Y(), alors Zn() := Xn()+Yn()converge simplement en croissant vers Z() := X() + Y() (Zn est tage). Daprs lethorme de Beppo-Levi : E(Zn) E(Z) avec n +, cela implique E(Xn) + E(Yn).On rapplique le thorme de Beppo-Levi :

E(Xn) + E(Yn) n+ E(X) + E(Y) = E(X+ Y)

Corollaire (Inversion sries-esprance). Si (Xn)nN est une suite de variables alatoires posi-tives et si :

S() =+n=0

Xn() fini

alors S est une variable alatoire positive sur (, F) et :

E(S) =+n=0

E(Xn)

Dmonstration.S = lim

n+ Sn

o :

Sn =n

k=1

Xk et (Sn)nN est croissante

Beppo-Levi nous dit que :lim

n+E(Sn) = E(S)

et par linarit :

E(Sn) =n

k=1

E(Xk)

Corollaire (Esprance dune variable positive discrte). SiX est une variable alatoire positive

discrte alors :E(X) =

xX()

xP(X = x) dans R+

Dmonstration. Si X() est fini, X tage, si X() est dnombrable :

X =+k=0

xk1Ak

Ak = {X = xk} = X1({xk})

E(X) =+

k=0E(xk1Ak) =

+

k=0xkP(Ak) =

+

k=0xkP(X = xk)


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Ingalit de Markov

Lemme 4.2.9. X variable alatoire positive :

E(X) =+0

P(X > t)dt =+0

P(X t)dt

Dmonstration.I =

+0

P(X > t)dt J =+0

P(X t)dt P(X t) P(X > t) car {X > t} {X t} J I.

J =+0

P(X t)dt =+

P(X s+)ds =0

P(X s + ) 1

ds

++0

P(X s + )ds P(X>s) I

I

Donc J

I

J = I.

Proposition 4.2.10 (Inaglit de Markov). X variable alatoire positive alors :

x > 0, P(X x) E(X)x

Remarque. La Proposition prcdente nest intressant que si E(X) X.Dmonstration.

E(X) = +0

P(X t)dt x0

P(X t)dt x0

P(X x)dt = xP(X x)

Si t x alors P(X t) P(X x).

Corollaire. Si X est une variable alatoire positive : E(X) = 0 P(X = 0) = 1, cest--direX est nulle presque surement.

Dmonstration. P(X = 0) = 1 P(X > 0) = 0 (X positive).


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si P(X > 0) = 0 alors t R+, P(X > t) = 0 donc :

E(X) =+0

P(X > t)dt = 0

si E(X) = 0 alors :

{X > 0} = nN X >1

nP(X > 0) = lim

n+P(X > 1/n)

P(X > 1/n) =E(X)

1/n= 0

n N, P(X > 1/n) = 0 P(X > 0)Donc : P(X > x) E(X)

x.

Proposition 4.2.11. Si X est une variable alatoire intgrable alors limx+xP(X x) = 0.

Dmonstration.

0 x2

P(X x) +x/2

P(X t)dt x+

0

car : +0

P(X t)dt < +

4.3 Esprance dune variable alatoire relle

4.3.1 Dfinitions et gnralits

Notation. Si x R : x+ = max(x, 0)

x = max(x, 0) |x| = x+ + x et x = x+ x


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X variable alatoire alors X+ et X sont des variables alatoires positives.

X = X+ X

E(X) = E(X+) E(X+)

a un sens si E(X+) t)dtt 0, on a : X+() > t si et seulement si X() > t.

E(X+) =+0

P(X > t)dt E(X) =+0

P(X > t)dt

t 0, on a : X() > t si et seulement si X() < t.

E(X) =+0

P(X < t)dt =0

P(X < u)du


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Cas dune varialble discrte

Proposition 4.3.2. SoitX une variable alatoire discrte alors X est intgrable si et seulementsi :

xX()|x|P(X = x) < +

et dans ce cas :E(X) =

xX()

xP(X = x)

Remarque. Cest encore valable si la loi de X est discrte (en remplaant X() par A ={x P(X = x) = 0}, P(A) = 1.

Dmonstration.

X+() = {X+(), } = = X()]0, +[X()]0, +[

B{0}

est au plus dnombrable. X+ est discrte si :

E(X+) =xB

xP(X = x)

Si X()] , 0] = alors :

X() = {X(), } = {X()

]

, 0]

} Bsi X()

]0, +

[=

B {0} si X()]0, +[=

E(X) =

xX()xP(X = x) =

xB

xP(X = x) =

xB(x)P(X = x)

= xB

xP(X = x) =xB

|x|P(X = x)

E(|X|) = E(X+) + E(X) = xBB|x|P(X = x) =

xX()|x|P(X = x)

On a :

B B = X() (B B = )Si E(|X|) < + et :

E(X) = E(X+)E(X) =xB

xP(X = x)+xB

xP(X = x) =

xBBxP(X = x) =

xX()

xP(X = x)

Remarque. A savoir : esprance des variables alatoires discrtes "classiques".


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Cas dune variable alatoire densit

Proposition 4.3.3. Si X a pour densit f (sous P) alors X est intgrable si et seulement si :+

|x|f(x)dx < +

et dans ce cas :

E(X) = + xf(x)dxDmonstration.

E(X+) =+0

P(X+ > t)dt =+0

P(X > t)dt =+0

+t

f(x)dxdt

=+0

+0

f(x)1[0,x](t)dtdx =+0

xf(x)dx

E(X) =+0

P(X > t)dt =+0

P(X < t)dt =0

P(X < t)dt

= 0

t

f(x)dxdt = 0

0

f(x)1[x,0](t)dtdx = 0

f(x)dx

E(|X|) = E(X+) + E(X) =+0

xf(x)dx =0

(x)f(x)dx =+

|x|f(x)dxet si lintgrale est convergente alors :

E(X) = E(X+) E(X) =+0

xf(x)dx 0

(x)f(x)dx =+

xf(x)dx

4.3.2 Proprits

Proposition 4.3.4 (Linarit). 1) si X et Y sont dfinies sur (, F, P) et intgrables alorsE(X+ Y) = E(X) + E(Y).

2) sic R et X intgrable alors E(cX) = cE(X).Remarque. L1(, F, P) : lensemble des variables relles intgrables.Dmonstration. 1. Z = X+ Y

|Z| |X| + |Y| donc :E([Z[) E(|X| + |Y|) = E(|X|) + E(|Y|) < +

Z intgrable. Z = Z+ Z = X+ X + Y+ Y

Z+ + X + Y v.a positive

= Z + X+ + Y+ v.a positive

E(Z+ + X + Y) = E(Z + X+ + Y+)

Linarit de lesprance de variables alatoires positives :

E(Z+) + E(X) + E(Y) = E(Z) + E(X+) + E(Y+)

E(Z) = E(Z+) E(Z) = E(X+) E(X) + E(Y) E(Y) = E(X) + E(Y)


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2. |cX| = c|X| donc E(|cX|) < + si et seulement si E(|X|) < +.

E(cX) = E((cX)+) E((cX))

c > 0

(cX+) = cX+ c(X) = cX

E(cX) = cE(X+) cE(X) = cE(X)c 0

(cX)+() = cX() = cX() si cX() 0 X() 0(cX)+ = cX

(cX)() = cX() = cX+() si cX() 0 X() 0

E(cX) = E((c)X) E((c)X+) = cE(X) + cE(X+) = cE(X)

Proposition 4.3.5. 1) SiX et Y sont dans L1(, F, P) et si X Y alors E(X) E(Y).2) SiX est intgrable alors |E(X)| E(|X|).Dmonstration. 1) X Y alors Z = Y X 0 donc :

Z est intgrable E(Z) 0Par linarit E(Z) = E(Y) E(X) E(Y) E(X).

2) |X| X |X| par 1) :

E

(|X|) = E

(|X|) E

(X) E

(|X|)

4.4 Moments

4.4.1 h-moments

But. Si h : R R borlienne (B(R)B(R) mesurable) et X une variable alatoire relle sur(, F, P) alors h(X) est une variable alatoire relle et on veut calculer E(h(X)) sans calculerla loi de h(X) donc partir de la loi de X uniquement.

X discrte

Proposition 4.4.1. Si X est une variable alatoire discrte et h : R R borlienne alors :

E(X) =

xX()|h(x)|P(X = x)

et siE(|h(X)|) < + alors :

E(h(X)) = xX() h(x)P(X = x)


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Remarque. La Proposition 4.4.1 reste encore valable si la loi de X est discrte en remplaantX() par :

A = {x R, P(X = x) > 0}Dmonstration. On pose Y = |h(X)|, on a que Y est une variable alatoire et Y est

discrte car :Y() =

{|h

|(X()),

}est au plus dnombrable.E(Y) =

yY()

yP(Y = y)

Pour y Y(), on pose :

By = {x X(), |h(x)| = y} X()

donc est au plus dnombrable et non vide.

{Y = y

}= xBy{

X = x

}(disjointe)

yY()

yP(Y = y) =

yY()yxBy

P(X = x) =

yY()

xBy

|h(x)|P(X = x) ()

Par le principe de sommation par paquets :

() = xX()

|h(x)|P(X = x)

si xX()

|h(x)|P(X = x) < + alors la famille {h(x)P(X = x)}xX) est sommable et

on conclut par principe de sommation par paquets :

E(h(X)) =

xX()h(x)P(X = x)

X densit f

Dfinition 4.4.1. h : [a, b] R est une fonction rgle si h est limite uniforme de fonctionsen escaliers.

On peut montrer que le nombre de points de discontinuit dune fonction rgle est au plusdnombrable.

Exemple 4.4.1. Les

1) fonctions en escaliers

2) fonctions monotones, diffrences de fonctions monotones

3) fonctions continues

sur [a, b] sont des fonctions rgles.

Remarque. h rgle sur [a, b] alors h est Riemann-intgrable sur [a, b] et h est borne sur [a, b].De plus h admet une limite droite et une limite gauche en tous points de [a, b].


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Proposition 4.4.2. Si X est une variable alatoire relle de densit f surR et si h est unefonction rgle sur tout intervalle [a, b] R alors :

E(|h(X)|) =

|h(x)|f(x)dx

siE(

|h(X)

|) < +

alors :

E(h(X)) =+

h(x)f(x)dx

Dmonstration. 1) h est une fonction en escalier sur [a, b] positive. a = x0 < x1 < ... < xn = b :

h(x) =n1k=0

ak1]xk,xk+1[ +n

k=0

bk1{xk}

h(X) =n1k=0

ak1X1(]xk,xk+1[) +n

k=0

bk1X=xn

E(h(X)) =n1k=0

akE(1X1(]xk,xk+1[))+n

k=0

bkE(1X=xn) =n1k=0

akP(X ]xk, xk+1[)+n

k=0

bkP(X = xn)

=n1k=0

ak

xk+1xk

f(x)dx =+

ak1]xk,xk+1[(x)f(x)dx =

+

h(x)f(x)dx

2) h fonction positive rgle sur [a, b] et nulle en dehors, h est limite uniforme de fonctions ensecaliers (n)nN .

h(X) = n(X)

intgrable+ h(X) n(X) ()

() : > 0, N N tel que n N, |h(X) n(X)| < n > N, E(h(X)) = E(n(X)) + E(h(X) n(X))

|E(h(X)) E(n(X))| = |E(h(X) n(X))| E(|h(X) n(X)|) Par 1) :

E(n(X)) =+

n(x)f(x)dx =ba

n(x)f(x)dx?

n+

ba

h(x)f(x)dx

f intgrable sur tout intervalle I R\K (K est un ensemble fini de points de R) :I

n(x)f(x)dx n+

h(x)f(x)dx

Par passage la limite aux bornes :

ba

n(x)f(x)dx n+

ba

h(x)f(x)dx

donc :

E(X) = ba

h(x)f(x)dx = + h(x)f(x)dx


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3) h fonction positive rgle sur tout intervalle [a, b] R. On pose :hn(x) = h(x)1[n,n](x)

(hn(X))nN est une suite croissante de variables alatoires qui converge simplement versh(X). On applique le thorme de Beppo-Levi :

E(hn(X)) n+ E(h(X))Par 2) :

E(hn(X)) =+

hn(x)f(x)dx =nn

hn(x)f(x)dx n

+

h(x)f(x)dx

Donc :

E(h(X)) =+

h(x)f(x)dx

4) h est de signe quelconque. On considre |h| et on refait le 3) et ensuite on dcompose :h(x) = h+(x) h(x)

4.4.2 Moments dordre r

Cest la cas particulier o h(x) = xr, r R+.Dfinition 4.4.2. Soit r R+, on appelle moment absolue dordre r, E(|X|r) et si E(|X|r) < alors X admet un mombre dordre r, E(Xr).

Remarque. 1) si X discrte :

E(|X|r) = xX()

|x|rP(X = x)

et si E(|X|r) < + :E(Xr) =

xX()

xrP(X = x)

2) X densit f :

E(|X|r) =+

|x|rf(x)dx

si E(|X|r) < + :E(Xr) =

+

xrf(x)dx

Proposition 4.4.3. SiX admet un moment dordre r, p [0, r], X admet un moment dordrer.

Dmonstration.E(|X|p) = E(|X|p1{|X|1})

E(1{X1})

|X|1|X|p1+ E(|X|p1{|X|>1})

E(|X|r1{|X|>1}) |X|>1|X|p|X|r


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Proposition 4.4.4. t > 0, r > 0 :

P(|X| t) E(|X|r)

tr

Dmonstration. On utilise lingalit de Markov :

P(|X| t) = P(|X|r

tr

) E(

|X

|r)

tr

4.4.3 Variance

Soit r = 2 et X une variable alatoire relle :

Dfinition 4.4.3. Si X admet un moment dordre 2 alors on appelle variance de X :

Var(X) = E((X E(X))2)

et lcart-type de X, (X) =

Var(X).

Remarque. Si E(X2) < + alors E(X) < + donc m = E(X) est bien dfinie :(X E(X))2 < 2(X2 + m2)

est bien intgrable.

Proposition 4.4.5 (Formule de Koeing). Si X a un moment dordre 2 :

Var(X) = E(X2)

(E(X))2

Dmonstration. En notant m = E(X) :

(X E(X))2 = X2 2mX+ m2

Var(X) = E(X)2 2mE(X) m

+m2 = E(X)2 m2

Consquence. Var(X) 0 E(X)2 E(X2) |E(X)| E(X2) (Cauchy-Schwartz)

Proprit 4.4.6. Si X a un moment dordre 2 :

1) Var(aX+ b) = a2 Var(X) et (aX+ b) = |a|(X).2) Var(X) = 0 X = c presque surement.3) Ingalit de Tchebytchev :

P(|X E(X)| t) Var(X)t2

Dmonstration. 2) E((XE(X))2) = 0 (XE(X))2 = 0 presque surement P(X =E(X)) = 1.

1) Utilisation de lingalit de Markov.


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Chapitre 5

Vecteurs alatoires et indpendance

5.1 Introduction

Soit :X : ,

F)

(Rd,

B(Rd)

X() (X1(),...,Xd()La connaissance individuelle des lois des Xi ne suffit pas connatre la loi du vecteur X.

Exemple 5.1.1. Considrons un ensemble de 10 coureurs de fond, chacun muni dun dossardnumrot de 1 10. Si on les rassemble sur une mme piste pour une preuve de 5000 mtres, onpeut reprsenter le rsultat de la course par le vecteur (X1,...,X10) o Xi dsigne le temps mispar le coureur numrot i pour parcourir les 5000 mtres. Cette exprience nest pas quivalente faire courir isolment un 5000 mtres chacun des 10 coureurs sur des stades spars. Ladiffrence ici vient de la comptition, de la tactique de course...

5.2 Vecteurs alatoires

5.2.1 Gnralits

Dfinition 5.2.1. X : (, F) (Rd, B(Rd)) est un vecteur alatoire si cest une applicationF B(Rd) mesurable.Dfinition 5.2.2. Si X un vecteur alatoire sur (, F) valeurs dans Rd alors sa loi est laprobabilit PX , sur (R

d, B(Rd)) dfinie par :P : B(Rd) [0, 1]

B

PX(B) = P(X

B)

PX(B) = P({ , X() B}) = P(X1(B))Proposition 5.2.1. Si X = (X1,...,Xd) est un vecteur alatoire sur (, F, P) alors chaque Xi(1 i d) est une variable relle et la loi de Xi est appele ime loi marginale de X. De plus :B B(R) :PXi(B) = P(Xi B) = P((X1,...,Xi1) Ri1, Xi B, (Xi+1,...,Xd) Rdi) = PX(Ri1BRdi)Dmonstration. Xi = i X tel que :

i : Rd R

(x1,...,xd)

xi

i : B(Rd) B(Rd) mesurable donc Xi est F B(R) mesurable.

68


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Chapitre 5. Vecteurs alatoires et indpendance 69

Exemple 5.2.1. 1) X = (X1, X2) vecteur alatoire de R2 dont la loi PX est la probabilit

uniforme sur le disque unit :

D = {(x, y) R2, x2 + y2 1}X1 et X2 sont des variables alatoires relles de densit :

f(x) =

2

1 x

21[1,1](x)

Indication.P(X1 t) = P((X1, X2) D et X2 t)

2) X = (X1, X2) tel que PX est la probabilit uniforme sur [0, 1]2

P(X1 t) = P(X [0, 1]2 et X2 < t) = P(X [0, 1] [0, 1]) =

t, t [0, 1]0 si t < 0

1 si t > 1

X1 Unif([0, 1]), X2 Unif([0, 1]).Remarque. Y1 = Unif([0, 1]), Y2 = Y1 et Y = (Y1, Y2) alors X et Y ont les mmes loismarginales mais X et Y nont pas la mme loi :

P(X ) = 0 P(Y ) = 1

5.2.2 Vecteurs alatoires discrets

Dfinition 5.2.3. X est un vecteur alatoire discret de Rd si X() est un ensemble au plusdnombrable de Rd.

Remarque. La loi de X est discrte si A B(Rd) tel que A est au plus dnombrable etP(X A) = 1.Exemple 5.2.2 (Lois multinomiales). Le vecteur alatoire N suit la loi multinomiale de para-mtres n et (p1,...,pd) o n N et les pi sont strictement positifs et de somme 1 si pour toutd-uple (j1,...,jd) dentiers tels que j1 + j2 + ... + jd = n :

P(N = (j1,...,jd)) = n!j1!j2!...jd!

pj11 ...pjdd


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70 Chapitre 5. Vecteurs alatoires et indpendance

Ici lensemble N() = {(j1,...,jd) Nd, j1 + ... +jd = n} est fini et on vrifie grce la formuledu multinme que :

xN()

P(N = x) =

j1+...+jd=n

n!

j1!j2!...jd!pj11 p

j22 ...p

jdd = (p1 + ... + pd)

n = 1n = 1

La loi multinomiale est celle du vecteur des rsultats dune suite dpreuves rptes indpen-

dantes ayant chacune d issues possibles respectives p1, ...pd. Par exemple, considrons 20 tiragedune boule avec remise dans une urne contenant 1 boule bleue, 3 jaunes, 4 rouges et 2 vertes.Notons N = (N1, N2, N3, N4) o Ni est le nombre de boules de la couleur i en numrotant les

couleurs par ordre alphabtique (b,j,r,v). On a (p1, p2, p3, p4) =

110

, 310

, 410

, 210

. La probabilit

dobtenir en 20 tirages 3 bleues, 5 jaunes, 10 rouges et 2 vertes est :

P(N = (3, 5, 10, 2)) =20!

3!5!10!2!

1

10

3 310

5 410

10 2

10

2 0, 004745

5.2.3 Vecteurs alatoires densit

Dfinition 5.2.4. Une densit f sur Rd est une fonction f valeurs dans R+ tel que :

a) f est dfinie sur Rd\H o H est une union finie (ventuellement vide) dhyperplans.b) f est localement Riemann-intgrable.

c)Rd

f(t)dt est convergente et : Rd

f(t1,...,td)dt1...dtd = 1

Dfinition 5.2.5. Un vecteur alatoire X valeurs dans Rd a pour densit f sur Rd si pourtout pav C =

di=1[ai, bi] :

P(X C) =C

f(t)dt =C

f(t1,...,td)dt1...dtd

Exemple 5.2.3. B B(Rd) (avec d(B) = 0), X suit la loi uniforme sur B cest--dire PXprobabilit uniforme sur B :

C B(Rd), PX(C) = P(X C) = d(B C)d(B)

X a pour densit :

PX(C) =1

d(B)BCdt1...dtd =

1

d(B)Rd1BC(t1,...,td)dt1...dtd

=1

d(B)

Rd1B(t1,...,td)1C(t1,...,td)dt1...dtd =

C

1

d(B)1B(t1,...,td)

f(t1,...,td)

dt1...dtd

X a pour densit f = 1d

(B)1B.

Proposition 5.2.2. Si X a pour densit f surRd, X = (X1,...,Xd) alors ses marginales Xi,1 i d ont pour densit :

f(u) = Ri1Rdi f(t

1,...,ti1, u , ti+1,...,td)dt1...dti1dti+1...dtd


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Dmonstration. C B(R) :

P(Xi C) = P(X Ri1 C Rdi) =Ri1CRdi

f(t1,...,td)dt1...dtd

=C

Ri1Rdi

f(t1,...,ti1, u , ti+1,...,td)dt1...dti1dti+1...dtd

fi(u)du

Exemple 5.2.4. f = 11D, X Unif(D) avec :

D = {(x, y) R2, x2 + y2 = 1}

f1(x1) =2

1 x211[1,1](x) =

R

f(x1, x2)dx2

f2(x2) =2

1 x221[1,1](x) =

R

f(x1, x2)dx1

5.2.4 h-momentsDfinition 5.2.6 (Fonction de rpartition). Si X est un vecteur alatoire valeurs dans Rd,sa fonction de rpartition est l"application :

F : Rd [0, 1](t1,...,td) F(t1,...,td) = P(X1 t1, X2 t2,...,Xd td)

qui caractrise la loi de X (mais ce nest pas utilis).

On utilise plutt les h-moments : E(h(X)).

Remarque. F(t1,...,td) = E(h(X)) :

h(x1,...,xd) = 1],t1]...],td](x1,...,xd)

Theorme 5.2.3 (Admis). Deux vecteurs alatoires X et Y valeurs dans Rd ont la mmeloi si et seulement si :

E(h(X)) = E(h(Y)) h Ho H est lun des ensembles suivants :

H = {h : Rd R+ borliennes} H = {h : Rd R continues borns} = Cb(Rd)

H=

{h : Rd

R continues support compact

}=

Cc(R

d)

Proposition 5.2.4 (Calcul des h-moments). h : Rd R borliennes :


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1) siX est un vecteur alatoire discret et si :

E(|h(X)|) = xX()

|h(x)|P(X = x) < +

alors :

E

(h(X)) = xX() h(x)P(X = x) = (x1,...,xd)X() h(x1,...,xd)P(X = (x1,...,xd))2) siX est un vecteur alatoire de densit f surRd et si :

E(|h(X)|) =Rd

|h(x)|f(x)dx < +

alors :E(h(X)) =

Rd

h(x)f(x)dx =Rd

h(x1,...,xd)f(x1,...,xd)dx1...dxd

Proposition 5.2.5 (Loi dun vecteur image). Soit X un vecteur alatoire valeurs dans Rd

de densit fX tel que P(X D) = 1 o D Rd un ouvert. Soit g!D Rd injective tel queg(D) = D et g est de classe C1 alors le vecteur Y = g(X) a pour densit fY :

fY = (fX g1) | Jac(g1)|1DRappel.

Jac = det

i

xj

1id,1jd

Dmonstration. Changement de variables dans Rd :

: D D C1-diffomorphismeD

h(x1,...,xd)dx1...dxd =D

h (x1,...,xd)| Jac()|(x1,...,xd)dx1...dxdh est continue borne de Rd dans R :

E(h(Y)) = E(h g(X)) =D

h g(x1,...,xd)f(x1,...,xd)dx1...dxd ()

= g1 : D D

(

) = D h

g(g1(x1,...,xd)|

Jac(g1)|(x1,...,xd)fX(g

1(x1,...,xd))dx1...dxd

=D

h(x1,...,xd)| Jac(g1)|(x1,...,xd)fX(g1(x1,...,xd))dx1...dxdOn pose (y1,...,yd) = g(x1,...,xd) :

=Rd

h(y1,...,yd)fy(y1,...,yd)dy1...dyd

On peut vrifier que fY est une densit sur Rd.

Remarque.

Jac(g1)(y) =1

Jac(g)(g1(y))


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Application 5.2.1. Cas o g est linaire cest--dire :

g = (g1,...,gd) gi(x1,...,xd) =d

j=1

ajxj

On a aussi :

Jac(g) =

1

det(G) avec G = (aij)1id,1jdfY(g1,...,gd) = fX(g

1(y1,...,yd))1

| det(G)|

5.2.5 Covariance et variance dune somme

Covariance

Dfinition 5.2.7. Soit X et Y variables relles dfinies sur (, F, P) ayant des momentsdordre 2 alors la covariance de X, Y est :

Cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y E(Y))]Cov(X, Y) est bien dfinie car si X et Y sont des moments dordre 2 alors XY est intgrableet on a, grce lingalit de Cauchy-Schwartz :

|E(XY)| E(X2)

E(Y2)

Dmonstration de lingalit de Cauchy-Schwartz. 1) |XY| 12

X2 + 12

Y2

2) |XY| 2

X2 + 12

Y2 ( > 0) car X2 2|XY| + 1

Y2 = (

X 1

Y)2.

En particulier

|XY

|est intgrable :

E(|XY|) 2E(X2) +

1

2E(Y2) min

>0

2E(X2) +

1

2E(Y2)

g()

g() =1

2E(X2) 1

22E(Y2)

g() = 0 =E(Y2)E(X2)

E(X2) = 0, E(Y2) = 0

si E(Y2) = 0 alors P(X = 0) = 1 et donc P(XY = 0) = 1 et Cauchy-Schwartz est vrifi.

Remarque. Cas dgalit (a, b) R2 non tous nuls tel que aX+ bY = 0 presque srement.Proposition 5.2.6.

Cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y E(Y))]1) Cov(X, Y) = Cov(Y, X)

2) Cov(aX+ b,cY + d) = ac Cov(X, Y)

3) | Cov(X, Y)| 1(X)(Y) (CS)Si Cov(X, Y) = 0, on dit que X et Y sont non correles.

1On rappelle que est lcart type dune variable alatoire


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Dfinition 5.2.8. Si Xet Y sont des variables alatoires sur le mme espace ayant des momentsdordre 2 et non constant presque srement alors le coefficient de corrlation (X, Y) est dfinide la manire suivante :

(X, Y) =Cov(X, Y)

(X)(Y)

Proposition 5.2.7. 1)|(X, Y)

| 1

2) est maximal si Y est une fonction affine de X : Y = aX+ b

Proposition 5.2.8.

Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y)

Dmonstration.

E[(XE(X))(Y E(Y))] = E(XY E(X)Y E(Y)X+ E(XY))

=E

(XY) E(X)E(Y) E(X)E(Y) + E(X)E(Y)

Proposition 5.2.9 (Calcul de Cov(X, Y)). 1) X et Y discret :

Cov(X, Y) =

xX(),yY()xyP(X = x, Y = y)

xX()

xP(X = x)

yY()

yP(Y = y)

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M306 : Intégration et Probabilités élémentaires