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Première STI GE Cours M6 : Cinématique - Mouvement plan entre solides

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CINEMATIQUE - Mouvement plan entre solides I. Mouvement plan :

I-1. Définition : Un solide est en mouvement plan, lorsque tous les points de celui-ci, se déplacent dans des plans parallèles à un plan de référence. Un mouvement plan peut-être considéré comme l’addition d’une translation et d’une rotation.

I-2. Exemple d’application : Micromoteur

Décomposition du mouvement plan général :

II. Equiprojectivité :

II-1. Enoncé :

Soit deux points A et B appartenant à un même solide (1) et, V(A,1/0) et V(B,1/0) leurs vecteurs vitesse respectifs :

La projection orthogonale de V(B,1/0) sur (AB ) est égale à la projection orthogonale de V(A,1/0) sur (AB ).

Le produit scalaire de V(A,1/0) par AB est égal au produit scalaire de V(B,1/0) par AB .

1 : Rotation plane (Mouvement plan particulier)

2 : Mouvement plan général (Translation et Rotation)

3 : Translation plane (Mouvement plan particulier)

x

y

+

Position initiale

C

C’ A

Position intermédiaire fictive fictive

A

C’

TRANSLATION

ROTATION

R

T

T

G

C A

B


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Remarque : Pour tout solide en mouvement plan, il suffit de connaître complètement la vitesse d’un point et la direction d’un autre pour déterminer la vitesse de tous les points du solide étudié. Utilité : Résolution graphique de calcul de vitesse.

II-2. Application : micromoteur

Donnée : la vitesse du point C est de 3,2 m/s .

Déterminer la vitesse du point B par rapport au bâti.

V Point

d’application Direction Sens Intensité (m/s)

V(C,2/0) C

suivant x vers la gauche 3,2 m/s

V(B,2/0) B tangent à

T(B,1/0) ⊥⊥⊥⊥ à (AB) en B

vers la gauche ?

V(A,1/0) . AB = V(B,1/0) . AB

V(B,1/0)

V(A,1/0) AH = BK

On applique l’équiprojectivité à la bielle 2

La bielle est en mouvement plan. (2) Etude comparative des vitesses :

V(C,3/0) / V(C,2/0) : V(C,3/0) = V(C,2/0)

V(B,1/0) / V(B,2/0) : V(B,1/0) = V(B,2/0)

B


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Application graphique :

En déduire la vitesse de rotation du moteur en tr/min :

V(B,2/0) = ωωωω1/0 x R = ωωωω1/0 x AB ⇒⇒⇒⇒ V(B,2/0) ..............

Vitesse de rotation en rad/s : ωωωω1/0 = = = .………… rad/s AB ..............

60 x ωωωω1/0 60 x ................ Vitesse de rotation en tr/min : N 1/0 = = = .………… tr/min

2ππππ 2ππππ

Est-il possible de déterminer la vitesse du point G ?

NON, on ne connaît pas sa trajectoire.

III. Centre instantané de rotation :

III-1. Définition :

Pour tout solide (S) en mouvement par rapport à un solide de référence R, il existe un point I appelé Centre Instantané de Rotation (CIR) tel que la vitesse de ce point soit nulle à l'instant t considéré.

V(I, S/0) = 0 Ce point est unique à l'instant considéré. Utilité : Le CIR est utilisé pour la résolution graphique de problèmes de cinématique.

V(B,2/0)

T(B,1/0) = T(B,2/0)

d(V(B,2/0))

B

C A

G

V(B,2/0) = .………...… m/s


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Construction graphique :

Le CIR est situé à l'intersection des perpendiculaires aux directions des vecteurs vitesses appartenant au solide en mouvement plan.

Remarques :

• Pour un mouvement de rotation autour d'un point fixe, le CIR est confondu avec le centre de rotation. • Pour un mouvement de translation rectiligne, le CIR est situé à l'infini des perpendiculaires à la trajectoire. • La position du CIR évolue au cours du temps.

III-2. Application : Micromoteur Donnée : la vitesse du point C est de 3,2 m/s . Déterminer la vitesse du point B par rapport au bâti.

V Point

d’application Direction Sens Intensité (m/s)

V(C,2/0) C

suivant x vers la gauche 3,2 m/s

V(B,2/0) B tangent à

T(B,1/0)

⊥⊥⊥⊥ à (AB) en B

vers la gauche ?

C

B

V(B,1/0)

V(A,1/0)

V(C,1/0)

V(C,1/0)

V(B,1/0)

V(A,1/0)

V(A,1/0) V(B,1/0) V(C,1/0) = = = ωωωω1/0 IA IB IC

On applique le CIR à la bielle 2

La bielle est en mouvement plan. (2) Etude comparative des vitesses :

V(C,3/0) / V(C,2/0) : V(C,3/0) = V(C,2/0)

V(B,1/0) / V(B,2/0) : V(B,1/0) = V(B,2/0)


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V(C,2/0)

V(B,2/0)

T(B,1/0) = T(B,2/0)

d(V(B,2/0))

B

C A

G

V(B,2/0) = .………...… m/s

I (CIR) de la pièce 2 dans son mouvement par rapport au repère fixe 0.

B C

I

V(B,2/0)

V(C,2/0)


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En déduire la vitesse de rotation du moteur en tr/min :

V(B,2/0) = ωωωω1/0 x R = ωωωω1/0 x AB ⇒⇒⇒⇒ V(B,2/0) ..............

Vitesse de rotation en rad/s : ωωωω1/0 = = = .………… rad/s AB ..............

60 x ωωωω1/0 60 x ................ Vitesse de rotation en tr/min : N 1/0 = = = .………… tr/min

2ππππ 2ππππ

Est-il possible de déterminer la vitesse du point G ? OUI Si oui, la déterminer graphiquement. Conclusion : Le CIR permet de déterminer la vitesse de n'importe quel point d'un solide. ⇒⇒⇒⇒ 1 direction + 1 vecteur vitesse connu suffisent Etude des positions successives occupées par I, par rapport au repère fixe, au cours du mouvement du système. Tracer la trajectoire du point B et du point G. Conclusion quant au point I :

I se trouve à l'infini lorsque la biellette 1 est à l'horizontale ou à la verticale. I décrit une hyperbole.


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V(G,2/0) = .………...… m/s

V(C,2/0)

V(G,2/0)

T(B,1/0) = T(B,2/0)

d(V(G,2/0))

B

C A

G

I

B C

I

V(C,2/0) V(G,2/0)

G


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IV. Composition des mouvements : C’est l’étude des "mouvements relatifs".

• Objectifs : Pour un mécanisme plan, de mobilité 1, dont le schéma cinématique est fourni :

- Décrire les différents mouvements et préciser les vitesses.

• Objectifs de la leçon :

- Définir et décrire la notion de composition de mouvement, - Donner et développer les relations concernant la composition des vitesses.

• Support de l’étude : porte-cassette de magnétoscope.

IV-1. Porte-cassette de magnétoscope : présentation du mécanisme

Dans un magnétoscope, le mécanisme porte-cassette permet l'approche et la mise en position de la cassette sur le porte-bobine.

La platine 1 (fig. 8), liée au châssis du magnétoscope supposé fixe, porte deux lumières en forme de L. Le chariot porte-cassette 7 est matérialisé, sur la figure 8, par les axes de centres A et B qui coulissent dans ces lumières.

La transmission du mouvement entre la poulie motrice 2 et le chariot porte-cassette 7 est assurée par :

- le mécanisme poulie 2, courroie 3 et poulie 4a ; - l'engrenage constitué du pignon 4b et de la roue 5b, la poulie 4a et le pignon 4b étant solidaires ; - l'engrenage constitué du pignon 5a et du secteur denté 6, la roue 5a et le pignon 5b étant solidaires.

Lors de la rotation du secteur denté 6, l'axe du chariot porte-cassette 7, de centre A, coulisse à la fois dans la lumière fixe portée par 1 et dans la lumière mobile portée par 6.

IV-2. Définition :

Soit le chariot porte-cassette 7 et le secteur denté 6 en mouvement par rapport à la platine 1. Le mouvement du chariot 7 par rapport à la platine résulte de la composition de deux mouvements (fig. 8) :

- le mouvement de rotation du secteur denté 6 par rapport à la platine 1 - le mouvement du secteur denté 6 par rapport au chariot 7.

⇒

Pour un point A, point géométrique, nous pouvons écrire deux relations :

ωωω 1/66/71/7+= et VVV AAA 1/66/71/7 ∈∈∈ +=

Mvt7/1 = Mvt7/6 + Mvt6/1


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IV-3. Construction graphique de la composition des vitesses pour une position donnée du mécanisme : IV-4. Exemple : Pince de robot

La préhension de l’objet S par la pince décrite sur le schéma cinématique page suivant se fait par pivotement des mors 3. La vitesse de repli du vérin pneumatique est de 0,03 m/s . On représente le module de vitesse de 0,01 m/s par un vecteur dont la longueur est de 0,01 m.

• Etudier graphiquement la composition des vitesses au point B.

• Déterminer graphiquement le vecteur vitesse au point M par rapport au corps 1.

Chaque vecteur vitesse sera caractérisé par quatre informations :

• son point d’application • sa direction • son sens • son module (intensité)

La construction graphique de la figure 9 traduit l'équation :

VVV AAA 1/66/71/7 ∈∈∈ +=

et permet de déterminer les modules des

vecteursV A 1/7∈ , V A 6/7∈ et donc V A 1/6∈ .


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Compléter le tableau suivant : Point

d’application Direction Sens Intensité

)1/2,(AV

)1/2,(BV

)1/3,(BV

)2/3,(BV

)1/3,(MV

Traduire la relation :

1. de composition des mouvements entre 1, 2 et 3 au point B :

2. de composition des vitesses au point B :

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