magzym.e-monsite.commagzym.e-monsite.com/medias/files/electromagntisme-onde... · Web viewElle nous permet de calculer le champ magnétique d’une distribution de courants ayant

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre

Résumé : Electromagnétisme et ondes. Résumé : Electromagnétisme et ondes..............................................................................................1

Chapitre 1 :.........................................................................................................................................5

La charge électrique...........................................................................................................................5

1. Electromagnétisme.................................................................................................................5

2. La charge électrique...............................................................................................................5

3. Interaction de charges électriques , loi de Coulomb...............................................................5

4. Principe de superposition.......................................................................................................5

5. Distribution de charges...........................................................................................................6

Chapitre 2 :.........................................................................................................................................7

Champs électrique , loi de Gauss........................................................................................................7

1. Champ électrique...................................................................................................................7

2. Calcul du champs électrique...................................................................................................7

Application : le dipôle électrique................................................................................................8

Calcul du champs produit par une distribution de charge..........................................................8

3. Lignes de champs électriques.................................................................................................9

4. Flux électrique........................................................................................................................9

5. Théorème de Gauss..............................................................................................................10

Application du théorème de Gauss..........................................................................................10

1) Symétrie sphérique.......................................................................................................10

2) Symétrie axiale cylindrique...........................................................................................11

3) Symétrie plane..............................................................................................................11

Chapitre 3.........................................................................................................................................12

La matière dans un champs électrique.............................................................................................12

1. Charge dans un champ électrique........................................................................................12

2. Conducteur et équilibre électrostatique...............................................................................12

3. Conducteur et loi de Gauss...................................................................................................12

4. Dipole dans un champ électrique.........................................................................................13

1) Dipole dans un champ électrique non homogène........................................................13

2) Dipole et forces de Van Der Waals...............................................................................14

3) Diélectriques.................................................................................................................14

Chapitre 4 :.......................................................................................................................................15

Le potentiel électrostatique.............................................................................................................15

1. Définition..............................................................................................................................15

1

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre2. Implication du fait que E soit conservatif.............................................................................15

3. Le gradient de potentiel.......................................................................................................16

4. Théorème d’Ostrogradski et équation de Laplace................................................................17

5. Applications..........................................................................................................................18

1) Calcul du potentiel d’une charge ponctuelle....................................................................18

2) Potentiel et champ d’un dipole........................................................................................19

3) Potentiel d’un disque chargé............................................................................................20

Chapitre 5 :.......................................................................................................................................21

Energie électrique............................................................................................................................21

1. Energie d’un système de charges ponctuelles......................................................................21

2. Energie d’un système de conducteurs..................................................................................21

Chapitre 6.........................................................................................................................................23

Condensateurs et diélectriques........................................................................................................23

1. Capacitance..........................................................................................................................23

Chapitre 7.........................................................................................................................................25

Courant électrique, loi d’Ohm..........................................................................................................25

1. Courant électrique................................................................................................................25

2. Résistance et loi d’ohm.........................................................................................................25

Chapitre 8.........................................................................................................................................27

Force magnétique et champ magnétique.........................................................................................27

1. La force magnétique.............................................................................................................27

2. Le champ magnétique..........................................................................................................28

3. Loi de Biot-Savart..................................................................................................................29

Chapitre 9.........................................................................................................................................31

Loi d’Ampère....................................................................................................................................31

1. Loi d’Ampère........................................................................................................................31

2. Le solénoïde..........................................................................................................................32

3. Mouvement de charges dans des champs électriques et magnétiques...............................34

4. Force sur un conducteur parcouru par un courant...............................................................35

5. Couple sur une boucle parcourue par un courant................................................................36

Chapitre 10.......................................................................................................................................37

Induction électromagnétique...........................................................................................................37

1. Force électromotrice induite................................................................................................37

2. Loi de Faraday.......................................................................................................................37

3. Champ électrique induit.......................................................................................................38

2

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre4. Inductance............................................................................................................................39

5. Energie magnétique..............................................................................................................40

Chapitre 11 :.....................................................................................................................................41

Matériaux magnétiques...................................................................................................................41

1. Moments magnétiques atomiques et nucléaires.................................................................41

1° Moment magnétique dû au mouvement orbital de l’électron.................................41

2° Moment angulaire de spin........................................................................................41

3° Le noyau de l’atome a aussi un moment magnétique..............................................41

2. Paramagnétisme...................................................................................................................42

3. Ferromagnétisme.................................................................................................................42

4. Diamagnétisme.....................................................................................................................43

Chapitre 12 :.....................................................................................................................................44

Oscillations électromagnétiques......................................................................................................44

1. Circuit LC...............................................................................................................................44

2. Circuit RLC série....................................................................................................................46

3. Circuits RC et RL....................................................................................................................46

1) Circuit RC soumis à une différence de potentiel 𝛆...........................................................46

2) Circuit RL soumis à une différence de potentiel 𝛆............................................................46

Chapitre 13.......................................................................................................................................47

Les équations de Maxwell................................................................................................................47

1. Le courant de déplacement..................................................................................................47

2. Equations de Maxwell...........................................................................................................48

3. Cavités Résonantes...............................................................................................................49

4. Champ électrique d’une charge accélérée...........................................................................50

Chapitre 14.......................................................................................................................................52

Généralités sur les ondes.................................................................................................................52

1. Les ondes et leur déplacement.............................................................................................52

2. Vitesse des ondes dans un fil................................................................................................54

3. Energie d’une onde...............................................................................................................55

4. Principe de superposition.....................................................................................................56

5. Ondes stationnaires..............................................................................................................57

Chapitre 15 :.....................................................................................................................................58

Ondes électromagnétiques..............................................................................................................58

1. Ondes électromagnétiques planes.......................................................................................58

2. Energie et impulsion d’une onde électromagnétiques.........................................................60

3

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre3. Pression de radiation............................................................................................................60

Chapitre 16.......................................................................................................................................61

Interférences....................................................................................................................................61

1. Ondes électromagnétiques stationnaires.............................................................................61

2. Les films minces....................................................................................................................62

3. Interféromètre de Michelson...............................................................................................62

4. Interférences par deux fentes ( Young)................................................................................62

5. Interférence par plusieurs fentes.........................................................................................64

Chapitre 17 :Diffraction....................................................................................................................65

1. Diffraction par une fente simple...........................................................................................65

2. Diffraction par une ouverture circulaire, critère de Rayleigh................................................66

Chapitre 18 :.....................................................................................................................................67

Aspect moderne de l’optique...........................................................................................................67

1. Le Laser.................................................................................................................................67

2. Holographie..........................................................................................................................68

4


Chapitre 1 : La charge électrique

1. Electromagnétisme. - C’est une des forces fondamentales.- Elle est responsable de la structure de la matière, de l’atome aux êtres vivants.- Applications technologiques- Electromagnétisme →compréhension de la nature de la lumière → relativité restreinte.2. La charge électrique. - 2 types de charges, arbitrairement appelées positives et négatives.- La charge électrique est quantifiée : e est la charge de l’électron.

Remarque : - L’origine de la quantification de la charge est l’inconnue.- La charge de l’électron et du proton sont exactement égales en valeur absolue.- La charge électrique est conservée. ( somme algébrique des charges initiales = somme

algébrique des charges finales).- L’unité de charge est le Coulomb (C) . La charge de l’électron vaut 1.6 10 -19 C

3. Interaction de charges électriques , loi de Coulomb.Des charges de même signe se repoussent, des charges de signe contraire s’attirent. C’est la loi de Coulomb.

F=kq1q2r21r=

14 π ε0

q1q2r21r

k=9109 N m2

C2 ouε 0=8.8510−12C ²/ (N .m2)

Remarques :

- Cette loi est valable de 10-14m jusqu’à de très grandes distances ( 109m).

- Si la loi était en 1r2+n

, la limite actuelle sur n est inférieure à 2 10-16. Le coté « fondamental »

de la loi est marqué que pour la gravitation qui doit être englobée dans une formulation plus générale.

4. Principe de superposition.Pour obtenir la force sur une charge exercée par deux ou plusieurs charges →on calcule les forces individuelles et on fait ensuite la somme vectorielle de ces forces : principe de superposition.

Conséquences :

- La présence d’une troisième charge n’a pas d’influence sur la force exercée entre deux charges.

- Un problème compliqué peut-être subdivisé en une série de problèmes simples.Remarques :

5

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreLe principe de superposition se retrouve dans beaucoup de domaines : gravitation, en électricité, optique ondulatoire, en méca quantique mais il ne s’applique pas en relativité générale.

5. Distribution de charges.Lorsqu’il y a beaucoup de charges et qu’on est à relativement grande distance de celle-ci , il faut considérer que la charge est uniformément distribuée sur un volume , une surface ou une ligne.

Densité de charge volumique :ρ (C/m³)

Densité de charge de surface : σ (C/m²)

Densité de charge linéaire : λ (C/m)

Une charge est distribuée uniformément avec une densité λ sur un fil très long et très fin. Quelle est la force exercée sur une charge q près du fil ?

dF= 14 π ε0

. q dQr2

=

14 π ε0

∗q λdz

r 2

Les composantes de dFz vont se compenser.

d F x=

14π ε0

∗q λcos θdz

r2 et donc F x=∫

−∞

+∞ 14 π ε0

∗¿ q λ cosθ dzr2

¿

Or : z=x tgθDz= x sec² θ dθ R= x secθSec θ= 1

cosθ

Fx=1

4 π ε 0. q λx ∫

− π2

π2

cos θdθ= 12π ε0

qλx

6


Chapitre 2 : Champs électrique , loi de Gauss.

1. Champ électrique.a) Exemple de champs

-champ de gravitation : en tout point de l’espace- Champ des vitesses dans un fluide- Si g et v ne dépendent pas du temps on parlera de champs stationnaire.

b) Remarque :- Dés que les charges sont en mouvement l’emploi du concept de champ est obligatoire pour

décrire le temps fini que met la perturbation due à la mise en mouvement de la 1ère charge pour parvenir à la 2ème

- La charge est source de champs électrique au même titre que la masse est source de champs gravitationnel

- Pour mesurer un champs électrique, on place une charge dans celui-ci et on mesure la force subie. La force subie est donc la force par unité de charge, sa direction est celle de la force si la charge est positive.

F=q E (donc E=NC )

2. Calcul du champs électrique.Si on place une charge q1, à une distance r d’une charge q, la force sur q1, sera

F= 14 π ε0

q q1r21r

Le champs sur q1 du a q : E=F/q1

E= 14 π ε0

qr21r

Champs électrique résultant d’une distribution de charge , le principe de superposition donne :

E=E1+E2+…+En=∑i=1

n

E1=¿∑i

14 π ε0

q ir21ri ¿

Où les charges qi sont situées à une distance ri du point où on calcule le champs.

(N.B ne pas confondre charge et champs : la charge crée le champ qui à son tour agit sur une autre charge mais le champs d’une charge n’agit pas sur le champ d’une autre charge – bien qu’émanation d’une charge , le champs est lui-même neutre).

7

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreApplication : le dipôle électrique.

Le champ électrique n’a qu’une composante selon x :

E x=E x1+E x2=−2( 14 π ε0

qa ²+ y ² sin θ)

Or sin θ=ar= a

√a2+ y2

D’où :

E= −14 π ε0

2qa

(a ²+ y ² )32

1x

A grande distance du dipole y>>>a

E= −14 π ε0

2qay ³1x

Remarque :

- Le champs résulte de la séparation entre les charges , le dipole est neutre.- A grande distance, le dipole est caractérisé par son moment dipolaire (=2qa en C*m)- Le moment dipolaire est considérer comme un vecteur, de longueur =2qa, de direction de la

charge – vers la charge +.

Calcul du champs produit par une distribution de charge Par le principe de superposition à de petits éléments de champs dE produits par des charges dq :

E=∫dE=∫ 14 π ε0

dqr ²ir

Dans le cas des distributions homogènes : dq=ρdV (volume), dq=σdA (surface) , dq=λdx (ligne).

On avait calculé Fx à une distance x d’un conducteur rectiligne infini

F x=1

2π ε 0λqx→E= 1

2π ε 0λx

8

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre3. Lignes de champs électriques.

Soit on représente les lignes de champ électrique

Ligne telle que la tangente en chaque point représente la direction du vecteur E en ce point.

Le sens de E est donné par la flèche sur la ligne

Problème de la représentation de la grandeur E

La densité de lignes de champ (le nombre de lignes croisant une surface unitaire perpendiculaire à la direction de la ligne) va représenter la variation de la grandeur de E.

- On trace nl lignes pour une charge nq- La valeur absolue du nombre de lignes que l’on choisit de représenter est arbitraire.- Les lignes de champs « partent » des charges positives pour arriver aux charges négatives.

Elles ne peuvent se croiser.

Le nombre de lignes de champ croisant une surface fermée est proportionnel à la charge totale enfermée par la surface.

4. Flux électrique.On a vu que le nombre de ligne de champs :

- Était proportionnel à E- Est proportionnel à la surface normale à la direction de la ligne de champ donc à Acosθ (A=

surface , θ= angle entre E et la normale à la surface).

- Nombre de lignes est proportionnel à EA cos θ. Si on désigne par A un vecteur normal à la surface et de longueur proportionnel à la grandeur de la surface.

On appellera flux électrique ΦE=E . A

Si la surface est courbe et/ou E varie de point en point on aura toujours pour de petites surfaces

Φ=∮EdA=N∗m2

C

9


5. Théorème de GaussLe flux électrique à travers une surface fermée quelconque est proportionnel à la charge totale incluse dans la surface.

Φ=∮EdA+qinclu

Calculons le constante de proportionnalité en prenant une sphère de rayon r autour d’une charge q

On a : Φ=∮EdA=∮EdA cosθ et θ est toujours nul.

Mais : E= 14 π ε0

qr ²

Φ=∮ 14 π ε0

qr ²dA= 1

4 π ε0qr ²∮dA= q

ε 0

Donc : ∮EdA=qincluε0

C’est la loi de Gauss.

Remarque :

- Le facteur 4π a été mis dans la loi de Coulomb- Si on admet la loi de Gauss, la loi de Coulomb s’en dérive directement par le raisonnement

inverse de celui-ci-dessus pour déterminer la normalisation.

Application du théorème de Gauss.

1) Symétrie sphériqueUne distribution de charge a une symétrie sphérique si la distribution de charge ne dépend que de la distance à un point particulier appelé centre de symétrie.

La surface de Gauss sera une sphère de rayon arbitraire r centrée sur le centre de symétrie.

Comme E est toujours perpendiculaire à la surface, cosθ=±1et donc :

Φ=∮EdA=E∮ dA=4 πr ² E

Distribution de charge totale Q contenue dans une sphère de rayon R ( r ≥ R) :

4 πr ² E=Qε0→E= 1

4 π ε0Qr ²

(r>R)

Le même champ que si on avait eu une charge ponctuelle Q concentrée en r=0.

Du centre jusque et sur la surface de la sphère, quelle que soit la distribution de q = même champ.

Pour un champ à l’intérieur (r<R) de la sphère :

qincluQ

= r ³R ³

10


4 πr ² E= Qr ³ε0R ³

→E= 14π ε0

QR ³

r (r<R)

Coquille sphérique mince :

Champ à l’extérieur : E= 14 π ε0

Qr ²

Champ à l’intérieur : Q est nul donc 4 πr ² E=0

Le champs en P créé par le petit nombre de charges sur la surface « a » est exactement compensé par le plus grand nombre de charges sur la surface « A ».

Pour calculer E en général :

1) Étudier la symétrie pour essayer de construire une surface telle que la grandeur de E et la direction de E par rapport à la surface soit constant

2) Évaluer Φ en fonction de E3) Évaluer la charge incluse Q4) Utiliser la loi de Gauss et extraire E

2) Symétrie axiale cylindriqueLa distribution de charge :

- Se prolonge à l’infini des deux côtés- Ne dépend que de la distance r à l’axe de symétrie on prendra comme surface de Gauss un

cylindre de rayon r et de longueur l, de même axe que la distribution de charge : E est toujours perpendiculaire à cette surface.

Φ=∫EdA=E∫dA= ∫parois

❑

Ed A+2∫Ed A

E∮d A=2πrl

Φ=2πrlE=q incluε 0

E=q inclu2 πrl ε0

Si on a une charge linéaire de densité : λ : qinclu=λl

Et E= λ2 πr ε0

3) Symétrie plane.LA densité de charge ne dépend que de la distance perpendiculaire au plan : E doit être perpendiculaire au plan.

Φ=∫EdA=2 EA

11


E=qinclu2 ε 0 A

Si on a une surface infinie de densité de charge constante σ : qinclu=σA

E= σ2 ε 0

12


Chapitre 3 : La matière dans un champs électrique

1. Charge dans un champ électrique

F=ma et F=qE→a= qmE

2. Conducteur et équilibre électrostatiqueConducteur : les électrons ne pas liés aux atomes individuels mais libres de se mouvoir.

Équilibre électrostatique : soit un conducteur placé dans un champ électrique uniforme E. Les électrons vont se déplacer vers la gauche sous l’effet de la force électrique qE, on a alors séparation de charges dans le conducteur , conséquence le résultat est la création d’un champ électrique de droite à gauche.

Le champ total sera la somme des champs et donc plus petit que le champ initial. Le mouvements des charges ne s’arrêtera que quand le champ total est nul donc quand E et E r se compenseront.

A l’équilibre électrostatique , le champ dans un conducteur est toujours nul indépendamment de la forme du conducteur, du champ appliqué, de la nature du conducteur.

3. Conducteur et loi de Gauss.À l’équilibre pas de champ dans le conducteur.

Pas de flux à travers la surface de Gauss , donc il ne peut y avoir de charges contenues dans la surface, s’il y a excès de charges, elles doivent se trouver à l’extérieur donc sur la surface du conducteur.

Dans un conducteur il n’y a pas de champ électrique et les charges en excès sont sur sa surface.

Ce comportement est un test de la loi de Gauss , donc de la dépendance en 1/r² de E :

- Placer un conducteur non chargé dans un conducteur creux.- Charger le conducteur creux- Détecter tout mouvement de charges vers le conducteur intérieur : s’il n’y en a pas : loi

en 1/r² : OK !

Champ électrique à la surface d’un conducteur chargé.

- pour une petite surface : courbure du conducteur négligée- pas de flux à travers le tour de la boîte ( cosθ= 0)- pas de flux à travers la surface sur le conducteur (car E est nul à l’intérieur

du conducteur)

- Φ=E A et qinclu=σAdonc E= σε0

13

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre- pour avoir ungrand E il faut ungrand σ

4. Dipole dans un champ électrique Le moment dipolaire p est un vecteur de grandeur q.d et orienté de –q vers +q. Les deux charges étant soumises à des forces de sens contraire -> couple qui tend à faire tourner le dipole et à l’aligner avec la direction de E.

τ+¿=rx F+¿=r F+¿ sinθ=1

2dqE sin θ¿

¿ ¿ est le couple associé à la charge +q.

Pour –q : couple identique

Couple total = τ=dqE sin θ

Couple sur un dipole : τ=pxE

Travail pour écarter le dipole de la direction du champ :

W=−∫θ0

θ

τ dθ=−∫θ0

θ

pE sinθ dθ=pE ¿¿¿

Si on prend le zéro du potentiel pour θ0=π/2 , le théorème travail-énergie donne U=-pE cos θDonc U=−pE

Conversion de l’énergie potentielle en énergie cinétique de rotation et vice-versa pour une molécule isolée, pour une molécule non- isolée : amortissement, l’énergie libérée produisant un échauffement.

1) Dipole dans un champ électrique non homogène.

- Le dipole CD continue à avoir une tendance à s’aligner avec E

- le Dipole AB est aligné mais le champ étant plus fort en B qu’en A, la force positive sur B est supérieure à la force négative sur A.

F=F+¿+F−¿=q (E+ΔE )+ (−q) E=q ΔE¿ ¿

Or p=q Δ x donc F=p dEdx

Résultat valable seulement pour p et E alignés avec x, en général :

F=( p .∇) E

14


2) Dipole et forces de Van Der Waals

Soient deux dipôles , le champ B du au dipole A est :

E=p1

2 π ε0 x ³1x

Au niveau de B le champ n’est pas homogène et donc la force subie par B est : F=p2dEdx

Finalement : F=−3 p1 p22 π ε0 x

4 1x

Même pour une molécule non dipolaire, des fluctuations peuvent créer un dipole temporaire dont le champ va créer une séparation de charges et donc un moment dipolaire induit dans les molécules voisines. La force est proportionnelle à 1/x4 et à p2 , lui-même proportionnel à E de la molécule donc en 1/x³. Le tout donne une force attractive à très courte portée (1/x7) : Force de Van Der Waals.

3) Diélectriques. Molécules polaires : qui a un moment dipolaire intrinsèque, de telles molécules vont s’aligner (à l’agitation thermique près) avec un champ E extérieur.

Molécule non polaire : un champ extérieur peut créer une séparation de charges donc un dipole (aligné avec E). en général le moment induit est proportionnel à E .

On appelle diélectrique une substance qui a un moment dipolaire intrinsèque ou induit ( ce sont les isolants).Placés dans un champ électrique, les dipôles vont s’aligner avec celui-ci, les champs produits par les dipôles s’opposent au champ extérieur et réduisent donc le champ dans le diélectrique. Cette réduction dépend, de la grandeur du moment dipolaire, du degré d’alignement, de la température.

Einterne=Eappliqué

K ou K est une constante diélectrique.

K est une mesure de la qualité de l’isolant, il détermine la vitesse de transmission d’un signal et est lié à l’indice de réfraction.

15


Chapitre 4 : Le potentiel électrostatique.

1. Définition.La différence de potentiel électrique entre deux points A et B sera le travail par unité de charge à fournir pour se déplacer de A en B.

V B−V a=W AB

q=−∫

A

B

E dL

1) Le chemin de A en B, sous l’influence d’un champ électrique peut toujours être décomposé en chemins élémentaires, soit le long d’une ligne de champ contribuant à l’intégrale et donc au potentiel, soit perpendiculaire à la ligne de champ et donc de produit scalaire nul : seul A et B vont compter et non le chemin suivi.

2) La différence de potentiel peut être positive ou négative3) On doit fournir du travail pour déplacer une charge positive à travers une différence de

potentiel positive.4) Une charge positive fournit un travail au monde extérieur lorsqu’elle se déplace dans une

différence de potentiel négative.

On parlera abusivement de potentiel d’un point A en désignant en fait la différence de potentiel entre A et un point de référence arbitraire auquel on donne une valeur nulle de potentiel.

Unités : - différence de potentiel : Joules/ Coulomb ( Volt)

Donc E : V/m

1eV= 1.6 10-19J.

2. Implication du fait que E soit conservatifE statique est conservatif :

∮Edl=0

D’où une ligne de champ ne peut pas former une boucle fermée , sinon cette boucle :

∮Edl ≠0

Les lignes des champ doivent donc avoir des débuts (charges+) et des fins (charges-). La première équation + la loi de Gauss sont équivalentes à la loi de Coulomb : tout champ tel qu’on ait la relation et la loi de Gauss est nécessairement le champ d’une distribution statique de charges ponctuelles.

Le champ électrique est nul à l’intérieur d’une cavité fermée et creuse contenue dans un conducteur homogène.

16

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreDémonstration par l’absurde:

a) Si le champ est non nul, alors on peut tracer une ligne de champb) Elle ne peut commencer ou finir dans la cavité puisque pas de charge.c) Elle doit donc finir ou commencer sur le bord de la cavité ou pénétrer dans le conducteur,

mais là E=0

d) La portion pointillée de la ligne donne donc : ∫A

B

Edl=0

e) Mais ∫A

B

Edl ≠0 donc ∮Edl ≠0 contradiction d’où E nul partout.

3. Le gradient de potentiel.Soit 2 points séparés par un déplacement infinitésimal dl.

dV=−Edl=−E cosθdl

D’où : dVdl

=−E cosθ

Si on prend successivement dl suivant dx, dy, dz :

∂V∂x

=−Ex, ∂V∂ y

=−Ey , ∂V∂ z

=−E z

Ou en rotation vectorielle :

∂V∂x

I x+∂V∂ y

I y+∂V∂ z

I z=−E ou ∇V=−E

On appellera un ensemble de points pour lesquels la fonction potentielle a une valeur fixée et constante une surface équipotentielle.

Une équipotentielle dV=0 et une des équations implique que les composantes de E sur cette surface doivent être nulles et donc que E est perpendiculaire à la surface. Si le champ électrique est partout perpendiculaire à une surface celle-ci est une équipotentielle. Toute surface conductrice à l’équilibre électrostatique est une équipotentielle.

Avec l’expression de V en tout point on en déduit facilement les composantes du champ électrique grâce à la relation : ∇V=−E

Le principe de superposition dans le cas d’une distribution de charges rend le calcul de V facile : le travail pour amener une charge de l’infini en un point au voisinage de plusieurs charges est

17

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestresimplement la somme des quantités de travail nécessaire pour amener la charge de l’infini au voisinage de chaque charge prise individuellement.

18


4. Théorème d’Ostrogradski et équation de Laplace. Φ=∮EdA

Attention : dA est un vecteur infinitésimal proportionnel à la petite surface A et normale à celle-ci :

Φ=∮EdA=∮1

❑

Ed A1+∮2

❑

Ed A2

La surface D est comptée dans chaque intégrale mais avec des normales égales et de sens opposé donc la contribution de D s’annule. Tout le flux sortant de V1 par D, entre dans V2 par cette même surface et vice-versa ; le flux à travers la surface périphérique restant identique.

Pour définir une quantité caractéristique d’une petite région particulière et à la limite , du voisinage

d’un point on ne peut utiliser : ∮si

❑

Ed A i car elle n’a pas de limite finie.

Mais on utilise 1V i∮i

❑

E d Ai

Si ce mécanisme de subdivision tend vers une limite finie alors on a une propriété caractéristique de la fonction vectorielle E au voisinage du point considéré : on l’appellera divergence de E et noté ∇E

∇E≡ limV i→0

1V i∮i

❑

Ed A i

Ceci est le flux sortant du volume Vi , par unité de volume, à la limite des Vi infinitésimaux.

Mécanisme de subdivision :

Φ=∮EdA=∑i=1

N

V i[∮Ei d A i

V i]

Au passage à la limite : N→∞ et Vi→0 :

∮EdA= ∫volume

❑

¿EdV

C’est le théorème d’Ostrogradski : qui établit un lien entre l’intégrale de surface d’une fonction vectorielle et l’intégrale de la divergence de la fonction sur le volume limité par la surface.

19

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreLe théorème de Gauss peut s’écrire sous forme différentielle : ∇E= ρ/ε0 (avec ρ : densité volumique de charge)

Le divergence d’une fonction vectorielle en coordonnées cartésiennes :

¿ F=¿ ∂F x

∂ x+∂F y

∂ y+∂ F z

∂z

On a donc : E= - grad v = -∂V∂x

I x−∂V∂ y

I y−∂V∂z

I z

Div E = ∂E x

∂x+∂ E y

∂ y+∂E z

∂z= ρ/ε0

En combinant : div E= -div grad V= -( ∂ ²V∂ x + ∂ ²V∂ y

+ ∂²V∂ z )

La divergence d’un gradiant est le Laplacien et se note : ∇².

On a alors une relation locale entre la densité de charge en un point quelconque (ρ) et la fonction potentielle (V) au voisinage immédiat de ce point. ∇²V=-ρ/ε0. Quand ρ=0 ,∇²V=0 et c’est l’équation de Laplace. ( les solutions sont fonctions harmoniques.)

5. Applications.

1) Calcul du potentiel d’une charge ponctuelle

V 2−V 1=−∫r1

r2

Edl=−¿∫r1

r2 14 π ε 0

qr ²Ir dl¿

Or dl= Ir dr (car on est le long d’un rayon).

V 2−V 1−∫r 1

r 2 14π ε0

qr ²I r . I rdl=

−q4π ε0 (

−1r )

r1

r2= −q4 π ε 0 (

1r2

− 1r1 )

- Si r2>r1, V2<V1 si q>0 donc le potentiel diminue en s’éloignant.- Si r1 et r2 ne sont pas sur un même rayon , puisque le champ est conservatif on choisira un

chemin décomposé en une partir radiale et une partie circulaire qui ne contribue pas car E et dl sont alors perpendiculaire.

Prenons comme référence un point V1 situé à l’infini :

V (r )−V (∞ )=V (r )= 14 π ε0

qr potentiel d’une charge ponctuelle.

Maintenant on cherche E en connaissant V :

Er=−dVdr =

−ddr ( 1

4 π ε0qr )= 1

4 π ε 0qr ²

Par le principe de superposition, si on a pas des charges discrètes mais une distribution dq de charges :

20


V=∫ dq4 π ε0r

= 14 π ε0

∫ dqr

2) Potentiel et champ d’un dipole.

Par le principe de superposition, le potentiel en P est juste la somme des potentiels dus à chacune des charges donc

V (P )= 14 π ε 0

Qr1

− 14 π ε 0

Qr 2

= Q4 π ε0

(r2−r1)r1 r2

Faisons l’approximation que r est très grand comparé à l, dans ce cas on a approximativement

r1 r2 r ² et r1−r2 l cosθ

V (P )=Qlcosθ4 π ε0 r

2=P cosθ4 π ε 0r ²

Le champ : r=√x ²+ y ²+z ² et cosθ=z

√x ²+ y ²+z ²

Donc en coordonnées cartésiennes :

V (P )= P4 π ε 0

z( x ²+ y ²+z ² )3 /2

d’où E x=−∂V∂x

= P4 π ε0

3 zx( x ²+ y ²+ z ² )5/2

E y=−∂V∂ y

= P4 π ε0

3 zy(x ²+ y ²+z ² )5 /2

E z=−∂V∂ z =

P4 π ε0 ( 1

( x ²+ y ²+z ² )3/2−

3 z ²( x ²+ y ²+z ² )5 /2 )

Sur y : x=0 et z=0 d’où Ex=0 ; Ey=0 et Ez= -P4 π ε0

1y ³

CQFD

21


3) Potentiel d’un disque chargé.Un disque de rayon a possède une charge Q répartie uniformément sur sa surface. Que vaut le champ électrique sur l’axe ?

dV= 14 π ε0

dq√ x ²+r ²

→V= 14 π ε0

∫0

a dq√ x ²+r ²

Or : Q=σπa² et dq=σ2πr dr=(Q/ra²) 2πr dr=(2Q/a²)r dr

D’où V= Q2π ε0a ²

∫r=0

r=a r dr√x ²+r ²

Posons z= x²+r² , alors :

r dr=(dr ² )2

=d(r2+ x2)2

=dz2

V= Q2π ε0a ²

∫z=x ²

z=x ²+a ²

z−1 /2 dz2

= Q2π ε0a ²

(√x ²+a ²−x )

Remarque :

x>>>a : √ x ²+a ²=x√1+ a ²x ² x (1+ 12 a ²x ² )et V=Q

4 π ε 0x

Par symétrie Ey=Ez=0

E x=−∂V∂x

= Q2 π ε0a ²

√ x ²+a ²− x√ x ²+a ²

X<<<a = E x≈Q

2π ε0a ²= σ2 ε 0

22


Chapitre 5 : Energie électriqueL’énergie potentielle est stockée dans le champ électrique et concentrée dans les régions de l’espace ou le champ E est fort.

1. Energie d’un système de charges ponctuelles.L’énergie potentielle d’une charge q1 située à une distance r d’une charge q2 sera

U (r )=q1V 2 (r )= 14 π ε0

q1q2r

Permet d’amener q1 à une distance r de q2 et vice-versa : c’est l’énergie potentielle mutuelle de la paire q1-q2

S’il y a plus de deux charges :

U= 14 π ε0

q1q2r12

+ 14 π ε0

q1q3r 13

+ 14 π ε 0

q2q3r23

=12 ( 14 π ε0

q2r12

+ 14 π ε0

q3r13 )q1+ 12 ( 1

4 π ε0

q1r12

+ 14 π ε0

q3r23 )q2+ 12 ( 1

4 π ε0

q1r13

+ 14 π ε0

q2r23 )q3

¿ 12V autre (1 )q1+

12V autre (2 )q2+

12V autre(3)q3

Où Vautre(i) est le potentiel produit en i par les autres charges que la i.

Finalement :

U=12V autre (1 )q1+

12V autre (2 )q2+

12+…+ 1

2V autre(n)qn

C’est le travail à fournir pour amener les charges à leur position finale à partir d’une configuration initiale où elles sont toutes très éloignées les unes des autres : c’est l’énergie électrique totale.

2. Energie d’un système de conducteurs.Supposons des conducteurs de forme arbitraire, de charge totale Q1,Q2…..Qn et à des potentiels V1,V2,…Vn Le potentiel sur dQ1 est le potentiel dû à toutes les autres charges. L’énergie électrique associée à l’élément de charge dQ1 sera ½ (dQ1)V1 et l’énergie électrique de tout le conducteur 1 sera de ½ Q1V1. Le même argument s’appliquant aux autres conducteurs :

U=12Q1V 1+

12Q2V 2+…+ 1

2QnV n

23

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreApplication :

Deux grandes plaques métalliques de surface A et séparées par une distance d. Des charges +Q et –Q sont respectivement placées sur ces plaques. Quelle est l’énergie électrique ?

Le champ entre les plaques est +/- celui de plaques infinies : E= σε0

=Q /ε0 A

LA différence de potentiel entre les plaques est :

V 2−V 1=−Ed=−Qd /ε0 A

U=12Q1V 1+

12Q2V 2=

12QV 1−

12QV 2=

12Q2dε 0 A

Peut aussi écrit comme :

U=12 ε0( Q

ε0 A ) ² Ad=12 ε0 E ²Application :

U ext=12 ε0∫( 1

4 π ε 0qr ² )²dv avecdv=4 πr ²dr

Donc U ext=q ²8 π ε0

∫R

∞ 1r ²dr= q ²

8 π ε0 (−1r )R∞= 1

8π ε 0q ²R

Calcul de l’énergie à l’intérieur du noyau

U∫ ¿=1

2ε0∫

0

R

( 14 πε 0

qrR3)

2

4π r2dr ¿

¿ q ²8π ε 0

1R6

∫0

R

r4dr= 18 π ε0

q ²5 R

24


Chapitre 6 : Condensateurs et diélectriquesOn appelle condensateur ou capacité tout appareil destiné à stocker des charges électriques.

1. CapacitanceSoit une sphère conductrice métallique, de rayon R. elle peut servir à stocker des charges. Si on place une charge Q sur la sphère , le potentiel =

V= 14π ε0

QR

Il existe une relation de proportionnalité entre la charge Q et le potentiel v et cette relation Ets vraie pour tout conducteur de forme arbitraire.

Q=CV oùC=capacitance duconducteur

Pour la sphère

C=QV

= Q1

4 π ε 0QR

=4 π ε0R

Unité : Farad (F) = 1 Coulomb/ seconde. ( on utilise plus souvent le μF et pF)

1F=1C/V=1C²/N.m

Ε0=8.85 10-12C²/Nm²=8.85 10-12F/m

La forme fréquente d’un condensateur est deux plaques métalliques séparées par un isolant et portant des charges opposées ±Q. LA capacitance est alors la différence de potentiel entre les deux conducteurs. Q= C∆V

Calculons C pour un tel dispositif :

E= σε0

= QA ε0

et ∆V=Ed= Qdε 0 A

d 'ouC= Q∆V

=ε0 Ad

Energie stockée dans un condensateur :

Deu=12ε0 E ² on obtient U= d

2 ε 0 AQ ²=Q ²

2C ou comme

Q=CV →U=12CV ²

Il vaut mieux de petites capacitances à grand voltage que l’inverse pour stocker l’énergie.

25

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreCombinaisons de condensateurs.

En série : 1C

= 1C1

+ 1C2

+…+ 1Cn

En parallèle : C=C 1+C2+…+C n

Diélectriques.

On a vu comment des molécules qui ont un moment dipolaire s’alignent dans un champ électrique et créent un champ qui s’apposent au champ extérieur →constante diélectrique k avec E résultant = 1κEexterne et κ≥1

Un métal peut être considéré comme un diélectrique avec κ~∞ car alors Erésultant=0La relation est aussi valable entre potentiels : ∆V=1/κ ∆V0Ou ∆ V0 est la différence de potentiel en l’absence de diélectrique. C=κ C0 Le diélectrique augmente la capacité

26


Chapitre 7 : Courant électrique, loi d’Ohm

1. Courant électriqueSi on dépose des charges électriques opposées aux extrémités d’un conducteur →champ électrique→ migration des charges vers les extrémités →neutralisation →disparition du champ→ équilibre électrostatique. La plupart des lignes de champ ont leur origine aux bornes de la batterie ou du générateur, elles vont être concentrées dans le conducteur et suivre celui-ci en étant distribuées de façon uniforme sur la surface du conducteur. Si le conducteur a une longueur l et que la batterie maintient une différence de potentiel ∆V à ses extrémités , le champ électrique dans le fil sera

E=∆V / l

Le champ cause un flux de charge ou courant électrique qui est :

I=dqdt

(en Ampère→1 A=1Cs

)

Si un flux de charges dq passe en un point donné du conducteur en un temps dt. Dans un conducteur métallique, le flux de charge est dû aux électrons libres, dans un électrolyte ce seront les ions positifs ou négatifs , dans un plasma ce seront des ions ou des électrons. Densité du courant : j= I/A (A=section du conducteur) Si le

courant varie de point à point : j= dIdA

ouI=∫ j d A

(au cas où les porteurs de charges ne se déplacent pas nécessairement perpendiculairement à la surface, on inclus la direction des porteurs en considérant le vecteur j)

2. Résistance et loi d’ohm.Si l’électron était libre → mouvement rectiligne uniformément accéléré sous l’effet de E. En réalité, à cause du faible libre parcours moyen l’effet de « friction » compense exactement l’effet d’accélération dû à E et il en résulte une vitesse de dérive de l’ensemble relativement lente et constante. A chaque collision, l’énergie cinétique des électrons (fournie par E) se dissipe au profit du réseau d’ions, qui acquière une énergie cinétique aléatoire, donc de la chaleur. La vitesse de dérive moyenne est proportionnelle à e donc

vd÷E . Mais aussi I÷vd donc I÷E mais aussi à la section du conducteur donc :

I ÷ AE= Al∆V .(l est la longueur duconducteur de section A)

Si nous appelons l/ρ le coefficient de proportionnalité

I=( 1ρ )( Al )∆V

Ou I=∆V /R loi d’Ohm

27

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreEt R=ρl / A loi de Pouillet

Où ρ est la résistivité du conducteur et R la résistance.

Remarques :

1) La loi d’ohm est valable pour toute sorte de formes de conducteurs et aussi lorsque la conduction n’est pas seulement due à des électrons libres.

2) Comme I/A=j et ∆V/ρ=E , la loi d’Ohm peut aussi s’écrire j= (1/ρ) E donc la densité de courant est proportionnelle au champ

3) Soit τ le temps moyen entre deux collisions ( propriété du métal indépendante de E. Si al vitesse de dérive est vd , l’électron a une quantité de mouvement mevd.Perte de la quantité de mouvement par unité de temps :

(∆ p∆ t ) perdu=mevdτ

Gain de quantité de mouvement, via le champ électrique :

(∆ p∆ t ) gagné=−e E

Pour un système stationnaire (gain=perte)→vd=

−eEτme

(d ' où j÷ E)

Soit un conducteur de section A et longueur l et soit n le nombre d’électrons libres par unité de volume.La charge totale sera ∆ q=−e∆n AlPrenons ∆t=1/|vd| , le temps nécessaire pour que tous les électrons arrivent à une extrémité →

I=|∆q|∆ t =

enAll

|vd|

=e ²nτme

A E=( e ²nτme

Al )∆V

D’où I=∆V /R (loi d’Ohm) avec R=ρ 1Aloi dePouillet et ρ=

me

e ²nτLorsque la température augmente, l’agitation thermique augmente et donc τ diminue avec pour résultat d’accroitre ρ

ρ=ρ0 [1+α (T−T 0 ) ]4) Loi d’addition des résistances

En série : R=R1+R2+…+Rn

En parallèle : 1R

= 1R1

+ 1R2

+…+ 1Rn

5) La loi d’ohm n’est pas une loi fondamentale, c’est une loi approximative sur les propriétés électriques d’un corps conducteur.

28


Chapitre 8 : Force magnétique et champ magnétique

1. La force magnétique.La force électrique exercée par une charge ponctuelle q’ sur une charge q est donnée par la loi de

Coulomb : F= 14 π ε0

qq 'r ²1r

R est la distance séparant les charges. Si les charges sont en mouvement apparaît une force supplémentaire : la force magnétique.

Soit q et q’ de vitesse instantanée v et v’, la force exercée par la charge q’ sur la charge q est donnée par :

F=μ04 π

qq 'r ²

v ×(v '×1r)

μ0 est la constante de perméabilité = 4 π 10−7 Ns ²c ²

=1.2610−6 Ns ²c ²

Si v et v’ sont dans le plan Ozy alors (v’× 1r) est perpendiculaire à ce plan et v×(v’×1r) est dans le plan Ozy perpendiculaire à v.

Remarques :

1) Soient les forces électriques et magnétiques pour 2 charges ayant des vitesses instantanées parallèles :

Fmag=μ04 π

qq 'r ²

v v ' (attractive ,q' est attirée versq)

F elec=1

4 π ε0qq 'r ²

(répulsive)

D’où :

Fmag

F el=μ0 ε0v v

'=(1.1210−17 s2m2 )v v '= vcv 'c

Or 1.12 10-17 s²/m² = 1/c²

Le rapport ne sera grand que lorsque v et v’ sont grands par rapport à c→Fmag apparaît quand la mécanique de Newton doit être remplacée par la mécanique relativiste.

2) Soit une charge q se déplaçant à une vitesse v à coté d’un conducteur parcouru par un courant. LE conducteur étant neutre → Fel=0 mais il comporte des charges en mouvement → Fmag≠0. De même dans le cas de deux conducteurs parallèles → force magnétique attractive entre les deux fils.

3) Si on calcule la force magnétique exercée par q sur q’ et celle exercée par q’ sur q , elles ne sont pas les mêmes , donc pour les forces magnétiques la 3ème loi de Newton ne s’applique

29

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestrepas et de plus il ne peut y avoir conservation de l’impulsion ! Une analyse plus subtile montre que la quantité de mouvement totale de la particule et du champ est conservée !

2. Le champ magnétique.La force magnétique est communiquée d’une charge à l’autre via le champ magnétique. On déduit el champ magnétique par F=qv ×B(1)

Pour v parallèle ( ou anti parallèle) à B la force sera nulle. Dans le cas ou v et B sont perpendiculaires, la grandeur du champ magnétique F/(qv) est donc la force par unité de charge et de vitesse.

Unité de b : 1tessla →1T=1N/(Cm/s) aussi appelé (Weber/m²)

Pour de faibles champs on utilise souvent le gauss= 10-4T.

Il résulte de l’expression de la force magnétique et de (1) que le champ magnétique crée par une charge q’ en mouvement avec une vitesse v’ sera :

B=μ04 π

q'

r2(v'×1r)

Pour représenter B on utilisera les lignes de champ magnétique telles que leur tangente donne la direction de B et dont le nombre par unité de surface est proportionnel à l’intensité du champ.

Le sens de B est donné par la règle du tire-bonchon. Les lignes de champ forment des boucles fermées.

Le flux magnétique à travers une surface fermée est nul :

∮BdA=0

C’est la loi de Gauss pour un champ magnétique.

Pour une distribution de charge q1,q2,q3 ,…,qn le champ magnétique sera B=B1+B2+…+Bn

C’est de nouveau le principe de superposition qui va nous permettre de calculer le champ magnétique associé à un courant.

30


3. Loi de Biot-Savart

Soit un courant associé à un flux de charges (positives), la charge en mouvement dq’ dans l’élément de fil dl produit le champ dB

dB=μ04 π

d q'

r2(v '×1r )→dB=

μ04 π

dq 'r ²

v ' sin θ

dt= dlv 'et dB=

μ04 π

I dl sin θr ²

D’où la loi de Biot-Savart

dB=μ04 π

I dl × I rr ²

Applications :

1) Calcul du champ magnétique produit par un fil long et fin parcouru par un courant constant. Les lignes de champ sont des cercles concentriques au fil

dB=μ04 π

I dx sin θr ²

→B=∫−∞

+∞ μ04π

I sin θr ²

dx

Exprimons dx et r en fonction de θ

31

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestrex= y cotg (π−θ )=− y cotgθ→dx= y cosec ²dθet r= y /sinθ

D’où → B=∫0

π μ04 π

Iysinθdθ=

μ04 π

Iy

[−cosθ ]0π

D’où B=μ02π

Iy

Les lignes de champ sont concentriques et de densité ÷1/y

32

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre2) Calcul du champ magnétique sur l’axe du conducteur circulaire de rayon R traversé par un

courant I

dB=μ04 π

I dlz ²+R ²

dB est perpendiculaire au segment joignant dl à P. Lorsque dl parcourt le cercle la composante horizontale de B (dBx et dBy) s’annule par symétrie. Seule la composante dBz apporte une contribution

d B z=dB cos (90 °−α )=dB sin α=μ04 π

I dlz ²+R ²

sin α

Or

sin α= R√z ²+R ²

d ' ou

B=μ02π

IπR ²z ³

=μ02 π

μz ³

Avec μ= (courant) ×(surface de la spire)μ est le moment dipolaire magnétique de la spire.

Exemple : 1) Beaucoup de particules élémentaires chargées ont un moment dipolaire magnétique qui

trouve son origine dans le spin. Suite a à cette rotation la particule se comporte comme une série de spires parcourues par un courant →moment dipolaire magnétique. A ce champ magnétique vient s’ajouter le champ électrique associé à la charge et si la particule est en mouvement un champ magnétique supplémentaire associé à v.

2) La terre possède également un moment dipolaire magnétique lié à la rotation de courants dans le noyau de fer liquide. Le champ de la terre, éloigné de celle-ci est caractéristique d’un dipole magnétique.

33


Chapitre 9 : Loi d’Ampère.

1. Loi d’AmpèreElle nous permet de calculer le champ magnétique d’une distribution de courants ayant une certaine symétrie. On a vu que le champ magnétique associé à un fil long et rectiligne traversé par un courant

constant I0 était donné par B=( μ02π )( I 0r ) à une distance r du fil et que les lignes de champ

magnétique étaient des cercles concentriques autour du conducteur.

Que vaut ∮Bdl autour d’un contour fermé quelconque entourant le conducteur ?

Puisque B est dans la direction tangentielle aux arcs circulaires, seulement ceux-ci vont contribuer. Les segments radiaux, perpendiculaires à B n’interviennent pas.

∮Bdl=∮Br dθ=∮ μ02π

I 0rr dθ=

μ02 π

I 0∮dθ

D’où ∮Bdl=μ0 I loid ' Ampère

L’intégrale de B sur tout chemin fermé est égale à μ0 fois le courant intercepté par la surface limitée par le chemin fermé. Le entre le signe du courant et le sens de parcours est la règle du tire bouchon.

Application :

Le champ magnétique produit par un fil rectiligne long mais de section R parcouru par un courant I0 uniformément réparti sur la section.

a) A l’intérieur du fil.

B à une distance r de l’axe du fil, les lignes de champs étant des cercles :

∮Bdl=2 πrB

Le courant I à travers une section de rayon r est relié au courant I0 à travers la section R par

I=I 0πr ²πR ²

La loi d’ampère donne 2πrB=μ0 I=μ0 I0( r ²R ² ) d’où

B=μ02π

I 0 rR ²

(donc B=0 aucentreet maximum pour r=R)

b) A l’extérieur du fil

∮Bdl=2 πrB=μ0 I 0d' où B=

μ02π

I 0r

34

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreVu que le calcul repose su la symétrie cylindrique et pas sur l’épaisseur du fil , le champ est le même que le fil soit mince ou pas.

35


2. Le solénoïde.On va considérer ici le solénoïde idéal :

- Très (infiniment) long- Spires très serrées → distribution de courant uniforme sur la surface.

Le système possède les symétries suivantes :

- Translation le long de l’axe du solénoïde- Rotation autour de l’axe

Les lignes de champ ne peuvent donc être que :

a) Des cercles concentriques →non car pas de composante du courant le long de l’axeb) Des lignes radiales partant de l’axe → non car les lignes de champ devraient partir de l’axec) Des lignes parallèles à l’axe →seule bonne possibilité.

Le solénoïde étant très long les lignes de champ magnétique à l’intérieur du solénoïde doivent être très dispersées donc B≈0 à l’extérieur du solénoïde.

Loi d’Ampère :

∮Bdl=Bl=courant intercepté ×μ0

Le courant intercepté est NI0 d’où

Bl=μ0 I 0→B=μ0 I 0( Nl )=μ0 I 0n

Où n est le nombre de spires par unités de longueur. Le champ magnétique est constant en grandeur et en direction dans le solénoïde.

Calcul du champ d’un toroïde( solénoïde qui est recourbé en forme d’anneau de sorte que ses extrémités soient condondues) :

∮Bdl=2 πr B=μ0N I 0

→B=μ02 π

N I 0r

36

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreForme différentielle du théorème d’Ampère.

Comme le théorème d’Ampère s’applique à un contour quelconque on va l’appliquer à un contour infinitésimal PGRS situé dans le plan xy. On a

∮PQRS

❑

Bdl=∫PQ

❑

❑+∫QR

❑

❑+∫RS

❑

❑+∫SP

❑

❑

∫QR

❑

Bdl=B I y dy=B y dy

∫SP

❑

B' dl=−B ' ydy

Donc

∫QR

❑

❑+∫SP

❑

❑=(B y−B'y )dy

B y−B ' y=d B y=∂ B y

∂x

De même

∫PQ

❑

❑+∫RS

❑

❑=−∂B x

∂ ydy dx

D’où

∮PQRS

❑

Bdl=( ∂B y

∂ x−∂ Bx

∂ y )dx dySi dI est le courant traversant PQRS , on peut le relier à la densité de courant j par dI=j dS=j z dx dy

Et finalement ∂B y

∂ x−∂Bx

∂ y=μ0 j x

De même ∂B z

∂ y−∂B y

∂ z=μ0 j y

→rot B=μ0 j

37

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreOn a établi une relation locale entre B et j en un même point de l’espace. La donnée de j permet de calculer B et vice-versa. S’il n’y a pas de courant électrique rot B=0.

Comme on a vu que ∮Edl=0 la relation locale correspondante sera : rot E= 0

Remarque :

- On a vu le théorème d’Ostrogradski qui permet de transformé une intégrale de surface en une intégrale de volume

∫s

❑

EdA=∫v

❑

¿E dV

- On vient d’utiliser ici une autre relation (théorème de Stockes) qui lie une intégrale de contour à une intégrale de surface.

∮Bdl=∫s

❑

rot BdA

3. Mouvement de charges dans des champs électriques et magnétiquesLa force exercée sur une particule par un champ magnétique est F= qv×B

F est toujours à angle droit par rapport à la vitesse → modifie l’orientation de v mais pas sa grandeur :

ddtv ²= d

d tv . v=2 v dv

dt=2v F

m=0

Mouvement dans un champ magnétique uniforme : F perpendiculaire à v et à B → accélération constante orientée vers 0→ mouvement circulaire uniforme.

a= Fm

=qvBm

= v ²r→r=mv

qB= pqB

La vitesse angulaire du mouvement est :

ω= vr=qBm

Et donc la fréquence cyclotronique :

ν= ω2π

= qB2πm

Cette fréquence ne dépend pas de la vitesse de la particule toutefois les particules de plus faible vitesse se meuvent sur un cercle de plus petit rayon.

V perpendiculaire à B et v parallèle à B donne un mouvement de translation, non affecté par B, de direction B→ mouvement sur une hélice d’axe parallèle à B et de rayon r=mv⊥/qB

38

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreForce de Lorentz.

F=qE+qv×B

Soit deux champs uniformes E et B perpendiculaires et une particule positive allant de gauche à droite : si E=-v×B la force totale sera nulle, donc pour v=E/B la particule ne subira pas de force .

Application :

a) Le sélecteur de vitesse de particules : si on veut extraire les particules de vitesse v on utilise des champs croises E et B tels que v=E/B

b) L’effet HallSi on place une bande conductrice de courant dans un champ magnétique perpendiculaire à la bande, lorsque celle-ci est parcourue par un courant, les électrons subissent une force magnétique qui fait que les électrons s’accumulent sur un des bords de la bande créant une différence de potentiel et donc de champ EA l’équilibre les forces électriques et magnétiques vont se compenser

∆V=∫ Edl=vBl= IBlenA

nest≤nombred ' électronslibres par unité de volume , A=sectionduconducteurMoyen de mesure de B en mesurant ∆VSi B est connu, c’est aussi un moyen de mesurer n

4. Force sur un conducteur parcouru par un courant.Si un fil parcouru par un courant est placé dans un champ magnétique, les charges en mouvement vont subir une force :

dq=I dlv

Et dF=dqvB sinθ=IdlB sinθ→dF=I dl×B

Si deux conducteurs sont parcourus par un courant, chacun crée un champ B qui exerce une force sur l’autre s’ils sont parcourus par un courant de même sens

B'=μ02π

I 'r

La force sur un segment dl du fil parcouru par le courant I sera

dF=I B' dl=μ02 p

II 'rdl

Et la force par unité de longueur

39

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestredFdl

=μ02π

II 'r

5. Couple sur une boucle parcourue par un courant

La force sur le coté a, puisque B est constant, est donnée par F=IaB le couple dû à cette force est

τ=F( b2 )sinθ+F( b2 )sinθ¿ I ab B sin θ

¿ μB sin θ

Avec le moment dipolaire magnétique μ=I ab (N si plusieurs spires )

D’où τ=μ×B

→ le couple tend à faire tourner la spire pour amener μ parallèle à B

On peut aussi écrire l’énergie potentielle de la spire telle que le changement de cette énergie potentielle soit le travail à executer contre la spire pour modifier son orientation d’où :

U=−μB

40


Chapitre 10 : Induction électromagnétiqueLe champ électrique peut être produit non seulement par une charge mais aussi par un champ magnétique dont les lignes de champ se déplacent. Ce champ électrique est non conservatif. L’intégrale de contour de ce champ électrique induit est appelé force électromotrice induite.

1. Force électromotrice induite Si le barreau AB est déplacé à une vitesse v dans le champ magnétique uniforme B, les électrons libre vont subir une force Fe orientée de B vers A. Le déplacement du barreau est donc source d’une force électromotrice et le travail effectué sur une charge positive unitaire sera

ε=vBl ou l est la longueur du barreau

Le champ magnétique B joue un rôle d’intermédiaire permettant la conversion d’énergie mécanique en énergie électrique.

La force électromotrice est égale au nombre de lignes de flux coupées par unité de temps.

Attention il s’agit d’une tension électromotrice pas d’une force ( force = problème historique)

2. Loi de FaradayLa force électromotrice induite le long d’un chemin mobile ou fixe dans un champ magnétique constant ou variable est égale au nombre de lignes de flux coupées par le chemin par unité de temps.

Introduction de flux magnétique :

ΦB=∮BdS

Unité : Weber (1Wb)=1 T.m²

La force électromotrice induite le long d’un chemin fermé dans un champ magnétique est égale au taux de changement de flux magnétique dans la surface définie par el chemin fermé

ε=−dΦB

dt

Application :

Un long solénoïde a une section de rayon R. Il est connecté à une source de courant alternatif de sorte que le champ dans le solénoïde est donné par B=B0 sin ωt (B0 et ω constants). Calculer la force électromotrice induite sur un chemin circulaire de rayon r à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde

a) À l’intérieur du solénoïde B est uniforme, un chemin de rayon r intercepte donc un flux – πr ² B

ε=−dΦB

dt=πr ² dB

dt=πr ²ωB0cosωt

41

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreb) À l’extérieur du solénoïde B=0 donc le flux intercepté est simplement – πr ² B=−πR ² B et

donc

ε=πR ²ωB0 cosωt

3. Champ électrique induitUn barreau se déplaçant à une vitesse v dans un champ magnétique. Les charges libres n’ont pas de vitesse et n’y a donc pas de force magnétique. Il faut donc expliquer la migration par une force électrique → nouveau champ e dans le système de référence en mouvement qui suggère que le conducteur électriquement neutre dans le référentiel immobile ne l’est plus dabs le référentiel en mouvement. Soit la nouvelle force électrique dans le référentiel en mouvement doit être égale à « l’ancienne » force magnétique dans le référentiel au repos.

E'=vB

ε=vBl

ε=E' lavec E'=vB≤travail doit être≤même

La relation ε=E ' l doit être généralisée si E’ dépend de la position

ε=∫E' dl

E’ est appelé champ électrique induit. Il est non conservatif.

Dans le référentiel en mouvement les bords du solénoïde acquièrent une charge électrique et E’ apparaît.

∮E' dl est non nul puisque E’ contribue sur un seul coté du

rectangle → non conservatif. Un champ électrique induit va exister dans le référentiel de tout chemin fermé ou non en mouvement dans un champ magnétique ou dans le référentiel de

tout chemin dans un champ magnétique variable dans le temps

∮E' dl = taux auquel les lignes de champ magnétique sont coupée ou pour un chemin fermé :

∮E' dl=−dΦB

dt

Le champ E’ associé au segment dl doit être défini dans le référentiel où dl est au repos instantané.

Application :

Le champ électrique induit dans le cas du solénoïde a été évalué à l’intérieur et à l’extérieur du solénoïde.

ε=∮Edl

E’ est noté E car il n’y a pas de référentiel en mouvement c’est B qui change dans le temps

→∮E dl=2πrE=πr ²ωB0cosωt

42


Et E=12rωB0 cosωtà l’intérieur du solénoïde.A l’extérieur

2πrE=πR ²ωB0 cosωt→E=12 ( R

2

r )ωB0 cosωt . Les lignes de champ électrique induit seront des

cercles concentriques d’espacement croissant avec r jusque r=R et décroissant ensuite en 1/r

4. InductanceUn courant variant dans le temps dans un conducteur pourra induire une force électromotrice et donc un courant dans un conducteur placé dans le champ créé par le premier conducteur.

Dans le second conducteur :

ε 2=−dΦB1

dt

Mais ΦB1=L21 I 1

D’où ε 1=−L21d I 1dt

La constante de proportionnalité L21 est appelée inductance mutuelleet depend de la dimension des spires, de leur nombre, de la distance entre les conducteurs…

ε 1=−L12d I 2dt

L12=L21

L’inductance mutuelle est liée à la géométrie relative des bobines.

Unité : Henry (H) , 1Henry=1H= 1 V s/A

La constant de perméabilité μ0=1.2610−6H /m

Un conducteur possède une self inductance : parcouru ppar un courant variant dans le temps il crée une force contre- électromotrice qui tend à s’opposer au changement de courant dans le conducteur.

Le flux produit sera donné par

ΦB=LI

Et la force contre- électromotrice induite

ε=−L dIdt

43


5. Energie magnétiqueLa force contre électromotrice est donnée par

ε=−L dIdt

Et l’inducteur effectue un travail sur le courant au taux

Iε=−LI dIdt

Dans un temps dt l’énergie stockée dans l’inducteur est donc

dU=−Iε dt=LI dI

Et donc si I est le courant final

U=∫0

1

L I 'd I '⟹U= 12L I ²

Pour un solénoïde on aura nl spires produisant chacune un flux πR ²B. Mais B=μ0n I

ΦB=πR ²n ² l μ0 I et L=ΦB

I=μ0n ² πR ² l

D’où

U=12μ0n ² πR ² l I ²=

12 μ0

B ²πR ²l

Mais πR ² l= volume du solénoïde et donc la densité d’énergie magnétique sera u sera u=12 μ0

B ²

44


Chapitre 11 : Matériaux magnétiques

1. Moments magnétiques atomiques et nucléaires

1° Moment magnétique dû au mouvement orbital de l’électronSoit une orbite de rayon r et v la vitesse de l’électron le courant moyen le long de l’orbite :

I= e2 πrv

= ev2πr

Moment magnétique μ=I . (surface )=( ev2πr )πr ²= evr

2

Et en fonction du moment angulaire L=me vr

μ= e2me

L(1)

Remarques :

- Le calcul reste valable pour toute orbite périodique- La méca quantique donne le même résultat- Pour un atome de n électrons →relation entre le moment magnétique total et le moment

angulaire orbital total- En mécanique quantique L n’est pas une variable continue mais varie par pas entier de la

constante de Planckℏ=1.06 J . s ²

( qui a des unité de moment angulaire →L=0,ℏ,2ℏ,3ℏ,…

2° Moment angulaire de spinMouvement de rotation sur lui-même qui combiné avec sa charge va donner lieu à un moment magnétique de spin. L’électron ayant un spin de ½ ℏ → la mécanique quantique donne

μspin=( e2me )ℏ=9.2710−24 A .m ²

C’est le magnéton de Bohr.

On ne peut pas faire : L= ½ ℏ dans la formule μ= e2me

L sinon on trouve une valeur de moitié de μspin. μspin a même direction mais sens opposé au moment angulaire de spin. On devra donc combiner les moments orbitaux et les moments de spin pour trouver le moment magnétique total de chaque atome .

3° Le noyau de l’atome a aussi un moment magnétiqueProvenant de moments de rotation orbital des nucléons et de leur moment intrinsèque de spin.

45

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreμproton=1.4110

−26 A .m ² ce qui est petit comparé à l’électron généralement négligé.

2. Paramagnétisme Le moment magnétique de l’atome fait que celui-ci peut être assimilé à un dipôle. Le comportement magnétique de ces dipôles sont orientés aléatoirement. Placés dans un champ magnétique extérieur, ils vont s’aligner dans celui-ci → magnétisation de la matière→ création d’un champ qui augmente le champ initial.

Dans un matériau paramagnétique les atomes ou ions ont un moment dipolaire magnétique permanent. Ces dipôles sont orientés aléatoirement. Placés dans un champ magnétique extérieur, ils vont s’aligner dans celui-ci →magnétisation de la matière→ création d’un champ qui augmente le champ initial.

L’alignement des dipoles magnétiques renforce le champ extérieur alors que celui des dipoles électriques diminuait le champ électrique extérieur.

B=κmBexterne

Où κm>1 est la constante de perméabilité magnétique relative.

Pour une matière paramagnétique il faut donc corriger la loi d’Ampère

3. FerromagnétismeL’accroissement du champ B dans un matériaux paramagnétique est très faible. L’accroissement de B est considérable pour des matériaux ferromagnétiques et ces matériaux restent magnétisés même lorsque le champ externe est supprimé →aimants permanents.Des forces d’origine quantique couplent les spins des électrons d’atomes voisins dans des positions parallèles.

Seuls 5 éléments chimique ont cette propriété ( fer,cobalt, nickel, dysprosium, gadolinium).

A l’échelle microscopique le fer est un aimant permanent, toutefois ces spins ne sont alignés que dans des domaines macroscopiques finis.

Variation de B avec Bextérieur : lorsque le champ extérieur est enlevé les domaines conservent un alignement relatif partiel → hysteresis. La valeur maximum de B

46

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreaprès magnétisation est fonction de la température T et disparaît complètement au-delà d’une certaine température

4. DiamagnétismeDans les matériaux diamagnétiques, la magnétisation provient du moment dipolaire induit. Supposons une substance placée dans un électro-aimant. Pendant la mise en service de celui-ci , B croît avec le temps et donc il y a un champ électrique induit qui va également agir sur les électrons de la substance.

LE champ électrique induit accélère l’électron, augmentant L et donc μ qui s’oppose à la croissance de B et donc le diminue (loi de Faraday- Lenz)

Cet effet est sensible que dans des substances qui ne sont ni paramagnétiques, ni ferromagnétiques (donc sans dipoles permanents)

Soit un électron sur un orbite de rayon r et placé dans un champ B. L’électron subit une force électrique –eE de la part de l’atome et une force magnétique –ev. B provenant du champ B extérieur. Ces deux forces ont même direction et composent l’accélération centripète

eE+evB=me v

2

r

Et en terme de pulsation lorsqu’il n’y a pas de champ B

Donc

eE=meω02 r

D’où

eωB=me (ω ²−ω02 )

47


Chapitre 12 : Oscillations électromagnétiques

1. Circuit LCSoit un circuit sans ristance. A l’instant t=0, le condensateur à sa charge maximum qm. Son énergie est donc

U E=12qm²

C

Le E dénotant une énergie d’origine électrique. A t=0, aucun courant ne circule dans le circuit et donc

l’énergie, d’origine magnétique, stockée dans la self U B=12(L i2) est nulle. Lorsque le condensateur

se décharge un courant i= dq/dt apparaît.

LA conservation de l’énergie totale U=UB+U E du circuit :

U=UB+U E=12L i ²+ 1

2q2

C=constante

Donc dUdt

=0= ddt ( 12 Li ²+ 12 q ²C )=Li( didt )+ qc ( dqdt )

Mais i et q sont liés par i=dqdtdonc di

dt=d ²qdt ²

D’où : L d ²qdt ²+ 1Cq=0

On note la similitude de forme avec

m d ² xdt ²

+kx=0

Donc

électricité Mécaniqueq Xi VC 1/kL M

x=xmcos (ωt+φ )→q=qmcos (ωt+φ)

Calculons

dqdt

=i=−ωqmsin (ωt+φ )

48

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestred ²qdt ²

=−ω ²qmcos (ωt+φ )

49

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreDonc dans l’équation du circuit

ω= 1√LC

fréquenced 'oscillation propre

Quand l’énergie totale est équitablement répartie entre L et C, alors U E=U B=12U Emax

D’où q ²C

=12qm2

C→q= 1

√2qm

L’énergie électrique à l’instant t sera

U E=12q2

C=qm2

2Ccos❑2 (ωt+φ )

U B=12Li ²=1

2Lω ²qm

2 sin ² (ωt+φ )

Mais

ω= 1√LC

doncUB=qm2

2Csin❑2 (ωt+φ )

On remarque

mécanique électricité

U cin=12mv ² U B=

12Li ²

U pot=12kx ² U E=

12 ( 1C )q ²

ω=√(km

) ω= 1√ (LC )

50


2. Circuit RLC sérieU n’est plus constant car il y une perte dans la résistance.

dU=dqV=idt V → dUdt

=iV=i ² R

On a donc

dUdt

=−i ² RetU=12L i ²+1

2q2

C→Li di

dt+ qCdqdt

=−i ² R

Et l’équation devient :

L d ²qdt ²

+R dqdt

+ 1Cq=0 si le circuit est alimenté par une tension sinusoïdale on mettra ici

ε=ε 0cos (ωt+φ )

Cette relation est identique à m d ² xdt ²

+b dxdt

+kx=0

Les solutions seront donc par analogie avec la mécanique :

q=qme−R2 L t cosω' t avec ω'=√ 1

LC−( R2 L ) ²

3. Circuits RC et RL

1) Circuit RC soumis à une différence de potentiel 𝛆R dqdt

+ 1Cq=ε

D’où q=Cε (1−e−tRC )

Et i=dqdt

= εRe

−tRC

Donc à t= 0 i=ε/R

t→∞ i=0

RC= τC est la constante de temps capacitive qui définit la décroissance exponentielle du courant.

2) Circuit RL soumis à une différence de potentiel 𝛆On doit résoudre

L d ²qdt ²

+R dqdt

=ε ou L didt

+Ri=ε

Qui a pour solution

i= εR

(1−ε−t RL )

Donc à t=0 i=0 t=∞ i=ε/R

51

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreLa constante de temps inductive ZL=L/R détermine la croissance exponentielle du courant jusque sa valeur maximum ε/R.

Chapitre 13 : Les équations de MaxwellUn champ magnétique ΦB qui varie dans le temps va produire un champ électrique induit E’ tel que :

∮E' dl=−dΦB

dt

Un champ électrique variable va induire un champ magnétique. L’induction mutuelle des champs électrique et magnétique va donner lieu, dans le vide, à une oscillation électromagnétique auto-entretenue : une onde électromagnétique.

1. Le courant de déplacementLa loi d’Ampère peut dans certains cas être mise en défaut et doit être complétée. Cette loi relie l’intégrale de B sur un contour fermé au courant intercepté par une surface arbitraire qui englobe ce chemin

La plaque du condensateur doit forcément se charger et donc il y a champ et flux électrique entre les deux armatures :

Si nous voulons corriger la loi d’Ampère il faudra faire intervenir le champ électrique Φ.

Montrons que ∮Bdl=μ0 I doit être remplacée dans ce cas par ∮Bdl=μ0 ε 0dΦdt

En effet Φ=Qε0et dΦ

dt= 1ε0dQdt

= 1ε0I donc μ0 ε0

dΦdt

=μ0 I on retrouve le résultat attendu

La quantité ε 0dΦdt est appelée courant de déplacement I d=ε0

dΦdt

Ce n’est pas un vrai courant mais il a l’effet d’un courant , on aura donc la loi d’Ampère-Maxwell

∮Bdl=μ0 ( I+ Id )52

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreRemarque :

Cette loi fait songer à la loi de Faraday qui relie l’intégrale de contour d’un champ électrique à la variation de flux magnétique → symétrie entre « électrique » et « magnétique » la variation dans le temps du flux dans le temps donne lieu à un champ

Application

Soit un condensateur à plaques circulaires parallèles de rayon R auquel on applique une tension sinusoïdale → entre les plaques on aura un champ électrique E=E0 sinωt

Calcul du champ magnétique dans et en dehors du condensateur

a) À l’intérieur ( r<R)E est uniforme donc on considère une circonférence de rayon r qui sera traversée par un flux πr ²E=πr ² E0 sinωt et donc

∮Bdl=μ0 ε 0π r2 dEdt

→B=μ0 ε02

r dEdt

=μ0 ε02

r ωcosωt

b) À l’extérieur (r>R)Comme E est nul à l’extérieur des plaques le flux sera toujours πr ²E (si r≤ R ) et nul si r>R donc le flux est πR ² E.

B=μ0 ε02

R ²rω E0 cosωt

Soit le même champ que celui produit par un condensateur rectiligne (décroissance en 1/r) → c’est comme s’il y avait un conducteur rectiligne à la place de la capacité.

2. Equations de Maxwell.

∮Eds=Qε0

÷E= ρε0loi de Gausse pour électricité

∮Bds=0÷B=0 LoideGauss pour≤magnétisme

∮Edl=−dΦB

dtrotE=−∂B

∂tLoide Faraday

∮Bdl=μ0 I+μ0 ε0d Φdt

rotB=μ0 j+μ0e0∂ E∂ t

LoideMaxwell Ampère

F=qE+qv×B

Remarques :

1) En présence de matériaux diélectriques ou magnétiques il faut modifier ces équations en insérant la constante diélectrique et la perméabilité relative.

2) Ces équations constituent une description complète des interactions entre charges, courants , champs électriques et magnétiques. Si la distribution de charges et courant est connue→ détermine les champs et l’évolution dans le temps des champs

53

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre3) Bien que dérivées empiriquement pour des charges au repos ou en mouvement uniforme →

reste valable pour des charges accélérées et aussi en l’absence de charges.

3. Cavités RésonantesUn champ électrique sinusoïdal appliqué à un condensateur à plaques parallèles va induire un champ magnétique et donc fournir au condensateur une inductance : on a un circuit LC série alimenté par un courant alternatif.

On a vu que si on a entre les plaques du condensateur un champ électrique E (1)=E0sinωt uniforme et parallèle à l’axe du condensateur , il apparaît un champ magnétique.

B(1)=μ0 ε 02

rωE0cosωt

Celui-ci induit un champ électrique E(2) qui s’ajoute à E(1) tel que : ∫E(2)dl=−dΦB( 1)

dt

Si on prend E(2)=0 le long de l’axe du condensateur ( autorisé car on considère ici un ∆E par rapport à une valeur de référence arbitraire)

Calculons ΦB(1)

à travers la petite surface noire c’est B(1) l dr’ et

donc au total ce sera l’intégrale

ΦB(1)=∫

0

r

B(1) l dr '=∫0

r

( μ0 ε02 r 'ωe0cosωt) l dr '

¿μ0 ε02

lωE0 cosωt∫0

r

r 'dr '=μ0ε 04

lr ²ωE0cosωt

dΦB(1)

dt=

−μ0 ε04

lr ²ω ² E0 sinωt

E(2)=−μ0 ε04

r ²ω ² E0 sinωt

E=E(1)+E(2)=(1− μ0 ε04

ω ² r ²)E0 sinωtMais E(2)→B(2)→E(3)→…et ainside suite Les termes entre parenthèses sont donc les premiers d’un développement en série. E=0 pour r=R tel que

1−μ0 ε04

ω ² R ²=0ouR= 2√μ0 ε0

1ω

Le calcul complet de toute la série donne :

R=2.405√ μ0 ε0

1ω

54

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreSi maintenant on « ferme » le cylindre de rayon R par une parois latérale on aura des oscillations auto-entretenues démarrées par une tension alternative de pulsation ω extérieure.

Applications : génération de micro-ondes donc d’ondes radios de haute fréquence ou de radar.

4. Champ électrique d’une charge accélérée.On regarde ici les champs associés à un mouvement accéléré →apparitions de champs électriques et magnétiques supplémentaires → champs de radiation

Soit le cas :

t<0 : la charge au repos

0≤t≤τ : la charge à une accélération a

τ≤t : la charge a une vitesse constante v=aτ

P position de la charge au reposP’ position de la charge en t=τ

Q position actuelle de la chargeLa perturbation associée à l’accélération est confinée entre les deux sphères. A l’intérieur de cette coquille d’épaisseur cτ, les lignes de champ électrique doivent joindre les lignes de champ de la charge en mouvement rectiligne avec celle de la charge au repos via une ligne de champ qui a forcément une composante tangentielle par rapport à la sphère.

Le rapport des composantes radiales et tangentielles de E sera donné par Et

Er= vt sin θ

cτ=at sin θ

c

avec a=v/τ ( on fait l’hypothèse que t>>τ et donc les deux cercles sont ± concentriques)

Le champ radial est le nombre de lignes de champ par unité de surface de la sphère et est donc donné par la relation de Coulomb

55


Er=1

4 π ε0qr ²

Et donc la composante tangentielle → Et=1

4 π ε0qr ²

at sin θc

56

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreMais pour t>>τ , cτ<<ct= r et

Et=1

4 π ε0qa sin θc ² r

champ derotation

- Ce champ tangentiel est appelé champ de radiation- Il est proportionnel à a- Il varie en 1/r ( et non en 1/r² comme Er)

Ce type de champ de radiation subsiste à plus grande distance que le champ de Coulomb. Puisque le champ met un temps fini à se propager, Et à l’instant t va dépendre de l’accélération à un instant antérieur t-(r/c) donc

Et (r , t )= 14 π ε0

qa sin θc ² r

a(r− rc)

La relation s’applique à une charge d’accélération même non uniforme et durant un temps quelconque. Si la charge oscille avec un mouvement harmonique de pulsation ω : a=a0sinωt

Et (r , t )= 14 π ε0

q sinθc ² r

a0sinω(t− rc )

Onde harmonique sphérique de pulsation ω dont l’amplitude diminue en 1/r →onde radio émise par une antenne ou onde lumineuse émise par un atome.

Application :

1) Rayonnement synchrotron produit par un électron circulant dans un accélérateur de particules.

2) Lors d’une collision électron-atome , l’électron est brusquement décéléré produisant un rayonnement de freinage→ production de rayon X dans un tube à rayons X

57


Chapitre 14 : Généralités sur les ondes

1. Les ondes et leur déplacement.Comment transmettre une perturbation d’un extrémité à l’autre ?

- En écartant transversalement une masse de la position d’équilibre et en la relâchant→ onde transversale

- On a à la fois de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle →l’onde transporte de l’énergie

- Après passage de la perturbation, tout revient à son état initial → la perturbation ne transporte pas de matière

Déplacement d’une perturbation parcourant un milieu avec une vitesse v. On va supposer que la forme de la perturbation ne varie pas dans le temps.

Soit y=f(x) la forme de la perturbation à l’instant t=0. A l’instant t ultérieur, la perturbation sera en x=vt mais garde la même forme dons y= f(x-vt) de sorte que pour x=vt, y=f(0).

y=F ( x , t )=f (x−vt ) dont la fonction d’une variable y=f(z) est transformée en une fonction de deux variables F(x,t) par la substitution z= x-vt

Quelle est l’équation différentielle qui satisfait à F(x,t) :

∂F∂ t

=∂ f∂ z

∂ z∂ t

=dfdz

∂ z∂ t

=−v dfdz

(1)

∂F∂ x

=dfdz

∂ z∂ x

=dfdz

(2)

En éliminant df/dz des deux relations :

∂F∂ t

=−v ∂ F∂ x

(3 )(onde sedéplaçant versla droite)

La même opération pour une onde allant vers la gauche :

y=G ( x ,t )= f (x+vt )

→∂G∂t

=v ∂G∂x

(4)

Pour avoir une même équation pour les deux mouvements , il faut dériver encore une fois les équations (3) et (4) par rapport au temps :

58

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre∂ ²F∂ t ²

=−v ² ∂ ² f∂ z ²

et ∂ ² F∂ t ²

=−v ∂ ² f∂ z ²

Et en éliminant ∂ ² f∂ z ² :

∂ ²F∂ t ²

=−v ² ∂ ² F∂x ²

Cette relation est aussi vérifiée par G(x,t). C’est l’équation d’onde à une dimension :

∂ ²F∂ t ²

=v ² ∂ ² F∂x ²

(5)

Elle est aussi vérifiée par une superposition d’onde allant vers la gauche et la droit donc par

y ( x , t )=f ( x−vt )+g ( x+vt )

Nous allons nous intéresser à une forme particulière d’ondes, appelées ondes harmoniques et donc la forme générale est

y ( x , t )=A sin (kx−ωt )+B sin (kx+ωt )(6)

Où A,B et k, ω sont des constantes positives.

Il faut d’abord montrer que cette forme est bien une solution acceptable de l’équation d’onde (5)

∂ ² y∂ x ²

=−k ² A sin (kx−ωt )−k ² B sin (kx+ωt )=−k ² y

∂ ² y∂ t ²

=−ω ² A sin (kx−ωt )−ω ²B sin (kx+ωt )=−ω ² y

D’où ∂ ² y∂ t ²

=ω ²k ²

∂ ² y∂x ²

On a donc bien une onde qui se propage à la vitesse v=ω/k. On montre que la relation y ( x , t )=A sin (kx−ωt )+B sin (kx+ωt )(6)

Où les sinus sont remplacés par des cosinus est aussi solution de l’équation d’onde. On remarque aussi que dans y ( x , t )=A sin (kx−ωt )+B sin (kx+ωt )(6) y(x,t) est le même lorsque l’argument du sinus change de 2π donc

a) Pour t fixé

Sin (kx-ωt) est périodique en x avec une période 2π/k=λK est le nombre d’onde (m-1)

ν est appelé longueur d’onde ( m)

b) Pour x fixé

Sin(kx-ωt) est périodique en t avec une période T=2π/ωω est appelé pulsation ou fréquence angulaire ( s-1)

59

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreT est la période (s)

ν= 1T

= ω2π

est la fréquence ( s−1 )νλ=ωk

=v vitesse de phase de l ' onde

2. Vitesse des ondes dans un fil.Soit F la tension du fil et μ la densité du fil (kg/m)

On suppose que l’amplitude de la perturbation est petite par rapport au fil donc l’onde n’introduit qu’une toute petite perturbation dans le fil et la tension de celui-ci reste constante.

On se place dans un système de référence « attaché » à la perturbation donc en mouvement de vitesse v avec celle-ci.

Sur le petit segment ∆l, la perturbation, de forme quelconque, peut être approchée par un arc de cercle, de rayon R et sous tendant un angle θ. LA force résultante qui tend à ramener le fil à sa position

d’équilibre est ~F∆θ donc μ∆ lv ²R

=F∆θ et donc μ∆ l=m mais

R∆θ=∆l→il reste μv ²=F et

v=√ Fμv ne dépend que de F et μ et donc pas de forme de la perturbation. Grâce à v=√ Fμ la vitesse de

propagation dépend de la force de rapport F et de l’inertie du milieu μ. Il est à noter que le fait que v ne dépend pas de la forme de la perturbation est un cas assez particulier. En général, les différentes parties de la perturbation se déplacent à des vitesses différentes : déformation.

Milieu dispersif : milieu qui donne lieu à un tel comportement. La vitesse du point de déformation maximum est appelée vitesse de groupe et, sauf pour les ondes harmoniques, est différente de la vitesse de phase.

60


3. Energie d’une onde.Une onde transverse dans un fil possède :

- Une énergie cinétique car les particules sont en mouvement- Une énergie potentielle car il faut exercer un travail pour étirer le fil

Soit un intervalle dx, la masse du fil dans cet intervalle est μ dx et la vitesse d’un élément du fil est dy/dt

Energie potentielle : le fil est initialement de longueur dx et prend après extension une longueur

√dx ²+dy ² et donc le changement de

longueur est

δl=√dx ²+dy ²−dx=dx (√1+( dydx )²−1)Si dy/dx est petit on peut utiliser l’approximation

√1+ε ²=1+ 12 ε ² donc δl=12 ( dydx ) ² dxMais l’énergie potentielle est le travail à effectuer contre la tension F pour étendre le fil d’une longueur δl donc

dU=Fδl=12F ( dydx ) ²dx

Et l’énergie totale est :

dE=d Ecin+dU=12μ ( ∂ y∂ t ) ²dx+ 12 F ( ∂ y∂x )²dx

D’où dEdx

=12μ(∂ y∂ t ) ²+ 12 F (∂ y∂ x )²

dE/dx →densité d’énergie totale de l’onde

Application aux ondes harmoniques :

Si y=A cos (kx−ωt ) , encalculant ∂ y∂ t

et ∂ y∂ x

onobtient :

dEdx

=12

(μω2+F k2 ) A ² sin ² (kx−ωt )=¿ μω ² A ² sin ²(kx−ωt )¿

61


Fk ²=F ω2

v2=μω ²

La densité d’énergie est nulle lorsque l’argument du sinus est nul donc aux crêtes de l’onde.

La puissance transportée par l’onde sera la quantité d’énergie passant par un point donné par unité de temps :

P=dEdt

=( dEdx )( dxdt )=v dEdx

=v μω ² A ² sin ² ( kx−ωt )

Le fait que P soit proportionnel à v, à ω² et à A² est vrai pour tous les types d’ondes.

4. Principe de superposition.Lorsque plusieurs ondes arrivent en un même point , la déformation résultante instantanée est simplement la somme des déformations individuelles instantanées : chaque onde se propage comme si les autres n’étaient pas présentes : les ondes n’interagissent pas entre elles. Mais pour des ondes de forte intensité le principe de superposition ne s’applique plus.

Exemple pour deux ondes harmoniques de même amplitude et se propageant dans la même direction :

y1=A cos (kx−ωt)

y2=A cos (kx−ωt+δ ) δ :différence de phase

y= y1+ y2=2 A cos (kx−ωt+ 12 δ)cos 12 δ

En utilisant cos α+¿cos β=2cos 12

(α+β ) cos 12(α−β )¿

L’onde résultante à la même fréquence mais une amplitude donnée par 2A cos ½ δ. Si δ=0, l’amplitude est de 2A et donc les deux ondes s’additionnent, si δ=π l’amplitude totale est nulle (interférence destructive). Si les amplitudes A ne sont pas les mêmes, une interférence destructive réduira l’amplitude totale sans l’annuler complètement. Etudions maintenant la somme de donx ondes de fréquences légèrement différentes :

y1=A cos (k1x−ω1 t )

y2=A cos (k2 x−ω2 t )

y= y1+ y2=2 A cos [ 12 (k1+k2 ) x−12 (ω1+ω2 ) t ]cos [12 (k1−k2 )x−12 (ω1−ω2 ) t ]Pour t=0

y=2 A cos [12 (∆k ) x]cos (¿k>x )

62


Avec ∆ k=k 1−k2 et<k>¿ 12 (k1+k2 )

On a donc

- Une onde harmonique de vecteur d’onde moyen- Dont l’amplitude varie lentement en fonction de x si k1~k2 et donc ∆k est petit

L’amplitude de l’onde est modulée, maximum pour x=0 et minimum pour x=π/∆k lorsque les deux ondes interfèrent destructivement.

Phénomène de battement : lorsque t change la configuration ci-dessus se déplace vers la droite avec al vitesse de l’onde.En un point donné, l’onde subit une pulsation dans le temps appelée battement. Dont la

fréquence est :

νbattement=1∆ t

=v ∆ k2 π

=v k12π

−v k22π

=v1−v2

Une onde périodique peut être décomposée en une somme d’ondes harmoniques (sinus et cosinus) grâce au théorème de fourier.

y=(4 Aπ )sin( 2πxL )+( 4 A3π )sin( 6 πxL )+¿( 4 A5π )sin( 10πxL )+…¿¿4 A∑n=0

∞ 12n+1

sin(4 n+2 ) xπ

L

Où L est la longueur d’onde de l’onde carrée d’amplitude A

5. Ondes stationnairesSoit la superposition de deux ondes de même amplitude et même fréquence mais se propageant en sens opposé.

y1=A cos (kx−ωt )

y2=A cos (kx+ωt )

→ y= y1+ y2=2 A coskx cosωt

C’est une onde stationnaire, quelque soit le temps les maxima restent à la même position. L’onde est affectée d’une pulsation dans le temps de fréquence ω. Les positions d’amplitude maximum (ventre) sont telles que x=0,λ/2,λ,3λ/2… et les positions d’amplitude minimum (nœuds) sont telles que x=1/4λ,3/4λ,5/4λ…si le fil est fixé en x=0, alors il y aura des nœuds en x=0,λ/2,λ,3λ/2 et des ventres en x=1/4λ,3/4λ,5/4λPour un fil de longueur L fixé aux extrémités :

y=A sin [( nπL ) x ]cos[( nπL )vt ]n=1,2,3 ,…

63

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestreLes modes de vibrations possibles sont appelés modes normaux celui à n=1 est le mode fondamental. Celui à n=2 le 1er harmonique etc. Les longueurs d’ondes de ces modes λ1=2l , λ2=L , λ3=2L/3 et

les fréquences correspondantes νn=nv2 L

n=1,2 ,…

64


Chapitre 15 : Ondes électromagnétiques

1. Ondes électromagnétiques planesLes solutions particulières des équations de Maxwell formées d’un champ électrique et d’un champ magnétique perpendiculaires.

Pour cela on prend E orienté suivant l’axe y et B orienté suivant l’axe z.

Dans ce cas E x=0 Ey=EE z=0

Bx=0B y=0B z=B

Les équations de Maxwell donne dans le vide

théorème deGauss électrique→ ∂ E∂ y

=0 (1 )÷E=0

théorème de gaussmagnétique→ ∂B∂z

=0 (2 )÷B=0

théorème de Faraday ∂E/∂z=0 (3) rot E=(-∂B)/∂t

∂E∂ x

=−∂B∂ t

(4 )

théorème deMaxwell ∂B∂ y

=0 (5 )rot B=ε0μ0∂ E∂t

−∂B∂ x

=ε0μ0∂ E∂ t

(6)

De (1) et (3) -> E ne dépend pas de y et z → seulement de x et t

De (2) et (5) → B ne dépend pas de y et z →seulement x et t

→E et B ont à chaque instant la même valeur dans un plan perpendiculaire à x qui est la direction de propagation.

Pour trouver la dépendance des champs en x et t on va utiliser la relation (4) et (6) :

Dérivons (4) par rapport à x :

∂ ² E∂ x ²

=−∂ ²B∂x ∂ t

(7)

Dérivons (6) par rapport à t :

−∂ ²B∂t ²

= 1ε0μ0

∂² B∂x ²

Donc B est aussi une onde [B=B ( x−ct ) ] se déplaçant à la vitesse c. On sait que l’équation d’onde admet pour solution les ondes planes sinusoïdales.

65

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestrePar exemple :

E y ( x ,t )=E0sin (kx−ωt )avecω=kc

Bz ( x ,t )=B0 sin (kx−ωt )(9)

Mais E0 et B0 ne peuvent être indépendantes car il faut obéir aux équation (4) et (6) donc

∂E∂ x

=k E0 cos (kx−ωt ) ∂B∂ t

=−kc B0cos ( kx−ωt )

On aura entre valeurs instantanées les mêmes relations qu’entre les amplitudes :

E=cB et B= 1/c E

Par définition, la direction de E est appelée direction de polarisation de l’onde. Les ondes électromagnétiques associées aux deux solutions vues jusqu’ici sont dites polarisées linéairement parce que e est toujours contenu dans un plan.

La lumière solaire ou d’une lampe est dite non polarisée car constituée d’un grand nombre d’ondes planes dont les positions relatives de polarisation sont aléatoires →la moyenne est nulle.

On peut modifier cela via un filtre polarisant constitué de longues chaines de molécules orientées de façon parallèle : la direction parallèle à celle des molécules laisse passer le champ électrique, la direction perpendiculaire l’arrête.

Il existe d’autres solutions à l’équation d’onde en particulier :

E y ( x ,t )=E0sin (kx−ωt ¿ ) Ez=±E0 cos (kx−ωt )

B y (x , t )=±B0 cos ( kx−ωt )B z=B0 sin (kx−ωt )

On remarque que :

E=√E y2+E z

2=E0et

B=√By2+Bz

2=B0

Donc les champs ont une amplitude constante mais E et B, tout en restant perpendiculaires, tournent autour de la direction de propagation : polarisation circulaire gauche ou droite suivant le signe choisi.

Les ondes électromagnétiques planes sont transversales, les champs E et B sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation.

La loi de Malus

Si la direction préférentielle d’un polariseur fait un angle θ avec la direction d’un champ électrique e d’amplitude E0, la composante du champ parallèle à la direction préférentielle sera E’=E0 cos θ et comme l’intensité transmise est proportionnelle au carré de l’amplitude : intensité transmise = cos²θ ×intensité incidente. C’est la loi de Malus de polarisation.

66

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre2. Energie et impulsion d’une onde électromagnétiques.

Densité d’énergie associée à un champ électrique : EE=12ε0E ²

Densité d’énergie associée à un champ magnétique EB=12μ0c ²E²=

12ε0 E ²=EE

La densité totale d’énergie vaudra donc Etot=ε0 E ²L’intensité de l’onde, énergie par unité de temps à travers une surface unité sera : I=Etot c=c ε0 E ²Et l’intensité moyenne : Imoyen=c ε0 (E ² )moyenQui pour une onde sinusoïdale donne

(E ² )moyen=E ²0 [sin ² (kx−ωt ) ]❑moyen=12E02

D’où Imoyen=12c ε0 E0

2

Produit vectoriel E×B pour une onde électromagnétique plane, c’est un vecteur perpendiculaire au front d’onde et parallèle à la direction de propagation.

|E×B|=EB=( 1c )E ²Le vecteur c²ε0 E×B ou 1/μ0 E×B est appelé vecteur de Poynting et son module est l’intensité instantanée I de l’onde.

∮PdS=dEdt

Avec P= 1μ0

E×B vecteur de Poynting est l’énergie qui traverse la surface s par unité de temps.De

p=mv et Etot=mc² on tire :

p=v Ec ²

=Etot

cpour v=c

Donc la quantité de mouvement par unité de volume associée à l’onde électromagnétique est

p=Etot

c=ε0

Ec=ε0 (E×B )

On peut aussi montrer qu’une onde électromagnétique possède un moment cinétiqueL=r × p=ε 0r . (E×B )

Par conséquent une particule qui émet ou absorbe une onde électromagnétique modifie son énergie et sa quantité de mouvement mais aussi son moment cinétique.P vecteur de Poynting p impulsionPn pression

3. Pression de radiation.Soit une radiation tombant sur une surface A et normale à celle-ci.

La pression sur la surface sera

Pn=Fn

A=p . volume

A= pcA

A=pc=E tot=ε 0E ²

Si la surface absorbe complètement le rayonnement. LA pression de radiation est donc simplement l’énergie totale de l’onde. Si le milieu est parfaitement réfléchissant, la variation de quantité de mouvement est 2p donc Pn=2 Etot .Si la radiation vient dans toutes les idrections par rapport à la surface →facteur 1/3

67


Chapitre 16 : Interférences

1. Ondes électromagnétiques stationnaires.Une onde plane, harmonique et polarisée dans la direction y est totalement réfléchie sur un miroir plan orienté perpendiculairement à sa direction.Les champs électriques des ondes incidentes et réfléchies sont

E¿=E0 cos (ωt−ωxc )←ondede pulsationωse dirigeant versla droite

Eref=−E0 cos(ωt+ ωxc )←onde de pulsationω sedirigeant versla gauche

Etot=E¿+E ref=0en x=0 pour tout t

Dans la région x<0 on aura

Etot=E¿+E ref=E0[cos (ωt−ωxc )−cos (ωt+ωxc )]

¿2 E0 sinωt sinωxc

C’est une onde stationnaire fixée dans l’espace. L’amplitude 2 E0sin ωx/c de l’onde est maximum en

→ωxc

= π2, 3π2, 5π2… et donc si λ est la longueur d’onde (λ=2πc/ω) ;

x=14λ , 34λ , 54λ….maxima variant en t entre2 E0et−2 E0

En les points x=0,1/2 λ,λ,3/2 λ… noeudL’interférence destructive des ondes incidentes et réfléchies génère tout le temps une onde d’amplitude nulle.Le champ magnétique associé au champ électrique est orienté suivant z et vaut :

B¿=E0ccos(ωt−ωx

c )Bref=

E0ccos (ωt+ωxc )

Bref est toujours orienté suivant z positif.

Btot=B¿+Bref=2(E0c )cosωt cos(ωxc )On a une onde stationnaire mais :

68


x=14λ , 34λ , 54λ nœud

x=0,1/2 λ,λ,3/2 λ maxima

- Les maxima de B sont déplacés de ¼ λ par rapport à ceux de E- Il y a une différence de phase en temps de π/2

2. Les films mincesCes phénomènes d’interférence en lumière visible deviennent spectaculaire dans le cas de film mince :

Ondes réfléchies se déplaçant dans la même direction et pouvant interférer constructivement ou destructivement

- 2 ondes les plus intenses après réflexion- Si le rayon est ~ vertical la différence de chemin parcouru par (a) et

(b) est ~2d et donc si 2d est un multiple de λ les 2 ondes vont s’ajouter crête à crête →interférence constructive2d = λ,2λ,3λ,… interférence constructive

2d=1/2 λ,3/2λ,5/2λ… interférence desctructive

(λ est ici la longueur d’onde dans le film, si son indice de réfraction est n, ce sera nλ dans l’air)

Remarque :

Dans notre dérivation on a en fait un changement de phase à chaque réflexion et donc la phase relative des ondes réfléchies ne change pas ? C’est ce qui se passe quand le rayon va d’un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent. Dans le cas d’un film suspendu dans l’air (bulle) l’onde réfléchie à la surface inférieure ne subit pas de changement de phase. Le déphasage relatif est alors de 180° ce qui est équivalent à une différence de chemin de λ/2 →les conditions d’interférences constructives et destructives sont inversées.

3. Interféromètre de Michelson.Comparer deux longueurs avec précision en exploitant le phénomène d’interférences

La mesure consiste à comparer les distance MM1 et MM2 (donc le mouvement de M1) en comptant les franges d’interférences→ mesure en terme de la longueur d’onde de la lumière

Si MM2 différent d’une distance d, la lumière effectue une distance plus longue de 2d sur

un des chemins et on aura des interférences constructives pour

69

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre2d=0 , λ ,2 λ

et destructives pour2d=12λ , 32λ . .

Passage d’un minimum vers maximum chaque fois que M1bouge de 1/4λ4. Interférences par deux fentes ( Young)

Pour que les franges d’interférences soient fixes dans l’espace il faut que les sources lumineuses qui interfèrent soient cohérentes donc aient même fréquence et même phase (ex : le laser)On peut le faire via un dispositif de source lumière monochromatique placée à bonen distance d’une plaque perces de deux fentes minces. La plaque peut alors être considérée comme illuminée par une onde plane et les fentes servent alors de sources ponctuelles cohérentes. Les ondes s’éloignent radialement de chaque fente et on s’attend à ce que en certains points de l’espace, suite à la différence de chemin parcouru, ces ondes interfèrent constructivement et destructivement.

Interférence constructive : si la différence de chemin QP et Q’P diffère d’un nombre entier de longueur d’onde.

D sinθ=0,λ,2λ maximum d’intensité

D sin θ=1/2 λ,3/2λ,5/2λ minimum de l’intensité

Le champ électrique des deux ondes sphériques issues

E1=Ar1cos(ωt−ωr1

c )E2=

Ar 2cos(ωt−ωr2

c )Où A dépend de l’intensité de la source lumineuse. A l’approximation des grandes distances pour P on a

r1=r0−d2sin θ

r2=r0+d2sin θ

D’où

E1=( Ar0 )cos (ωt−(ωr0c )+(ωd2c )sinθ)E2=( Ar0 )cos [ωt−(ωr 0c )−(ωd2 c )sin θ]

La superposition des deux champs donne :

E=E1+E2=Ar0cos (ωt−(ωr 0c )+(ωd2 c )sin θ)+cos (ωt−(ωr0c )+(ωd2c )sin θ)

70


¿2 Ar 0cos(ωt−( ωr0c )+(ωd2c )sinθ)

L’intensité observée est proportionnelle à E². Comme on s’intéresse à la dépendance en θ et non celle en t on va remplacer cos ² (ϖt-ϖr0/c) par sa valeur moyenne dans le temps

[ intensité ]÷ 1r02 cos❑

2(ωd2c sin θ)= 1r02 cos❑

2( πdλ sin θ)Variation avec θ pour un écran à une distance fixe r0 des fentes.

5. Interférence par plusieurs fentes.Supposons 3 fentes équidistantes.Si les ondes issues de fentes adjacentes interfèrent constructivement alors les ondes des 3 fentes interfèrent constructivement. La condition pour une intensité maximum est donc la même que pour deux fentes.

Par contre on a pas la même règle pour les interférences destructives. Il faut que les phases diffèrent de 120° en passant d’une onde à la suivante : la somme des deux ondes est alors annulée par la 3ème.

Minimum en d sin θ=λ/3 mais aussi tous les chemins décalés de 1/3 de période pour d sinθEntre chaque maxima tel que d sin θ=nλ(n=0,1,2..) on aura donc 2 minima séparés par un maxima moins prononcé appelé maxima secondaire.

Si on étend ce raisonnement à N fentes :

Dsinθ=nλ n=0,1,2 maxima

Dsinθ=mλ/N m=1,2,3 avec m= N,2N… exclu minimas

Les maximas secondaires sont approximativement à mi-chemin des minima.

Pour obtenir une excellente séparation des couleur il faut un très grand nombre de fentes !

La distance entre un maxima principal et le minimum le plus proche est

∆θ=(1/N )( λd )oùon suppose sinθ θ

Pour un changement ∆λ en longueur d’onde, le déplacement du maximum est ∆θ=n ∆ λd

Si ces deux valeurs de ∆θ sont égales, el changement ∆λ va dévier le maxima jusqu’à la place de l’ancien minima et donc le nouveau et l’ancien maxima pourront être séparés.

( 1N )( λd )=n ∆ λd d' où λ∆ λ

=Nn

71


Chapitre 17 : Diffraction

1. Diffraction par une fente simpleSoit une onde plane frappant une fente. Pour calculer la distribution de lumière au-delà de la fente on utilise le principe d’Huygens-Fresnel :

On considère que chaque point de la fente atteint par le front d’onde pet être considérée comme la source d’une onde sphérique ; l’onde totale dans la région au-delà de la fente est la superposition de toutes ces ondes.

En fait l’onde au-delà de la plaque est le résultat de l’onde incidente plus les ondes émises par les électrons

libres de la plaque, accélérés par le champ électrique incident.

- On se place en un point P suffisamment loin pour que les rayons puissent être considérés comme parallèles

- Considérons les rayons 1 et 3 séparés par une distance a/2, pour avoir interférence destructive il faut que la différence de chemin soit λ/2 donc a/2 sinθ=λ/2 ou asinθ=λ donne une condition pour avoir un minimum. Les rayons 3 et 5 auront la même propriété.

- Pour les rayons 1 et 2 séparés par une distance a/4. Pour avoir un interférence destructive entre ceux-ci, il faudra a/4 sinθ=λ/2 ou a sin θ=2λ. On aura la même propriété pour les paires : 2-3,3-4 ,4-5.

- La condition pour avoir des minima : a sinθ=λ,2λ,3λ…- La condition pour avoir des maxima : on peut en attendre un au milieu (θ=0) et

approximativement entre les minimas.

Exemple :

Calcul de la distribution d’intensité d’un émetteur TV de λ=0.8m

Onde sphérique issue de dy

dE= Arcos (ωt−ωr

c )dySi P est suffisamment loin : r=r0-y sin θ et au dénominateur l’approximation r~r0 :

dE= Ar0cos (ωt−ωr 0

c+ωycsin θ)d y

Et en intégrant sur y allant de –a/2 à +a/2

E= Ar 0

1

(ωc )sin θ [sin(ωt−ωr0c

+ωa2csin θ)−sin (ωt−ωr 0

c−ωa2csin θ)]

72


¿ 2 A

r0(ωc )sin θcos(ωt−ωr0

c )sin(ωa2c sin θ)

Pour avoir l’intensité il faut calculer E². La moyenne dans le temps de

cos ²[ωt−(ωr0c )]donneun facteur 12 et il reste :

[ intensité ]÷ 1r ²0

sin ² [ πaλ sinθ]sin ²θ

2. Diffraction par une ouverture circulaire, critère de Rayleigh.Il faut également calculer l’intégrale sur tous els points de l’ouverture, source d’ondes sphériques. Le calcul donne une distribution d’intensité qui est qualitativement la même. La position du premier minima est donné par :

sin θ=1.22 λa

- Symétrie axiale- Le phénomène de diffraction par une ouverture circulaire est présent dans beaucoup

d’appareils d’optique.- Deux sources sont séparables si le maximum central d’une source est au moins séparés de

l’autre source par une distance égale au premier minimum de l’autre source.

-- Comme sinθ~∆θ , on a le critère de Rayleigh- ∆θ=1.22 λ/a

73


Chapitre 18 : Aspect moderne de l’optique

1. Le LaserÉmission de lumière : passage d’un atome d’un état excité à un état d’énergie inférieure avec émission d’un photon

Stade 1 : pompage optique : un flash de lumière amène les électrons vers des niveaux excités élevés.Les électrons retombent spontanément vers des orbites métastables.

Stade2 : sous l’effet d’une stimulation adéquate, un photon de bonne longueur d’onde, l’électron retombe vers le niveau

fondamental avec émission d’un photon qui servira de stimulation à d’autres atomes etc : la phase, la direction et la polarisation de ces émissions sont les mêmes.

Remarques :

1) Il y a interférence constructive des ondes émises, l’amplitude totale sera proportionnelle au nombre d’atomes, donc l’intensité totale au carré de celui-ci → l’émission cohérente est beaucoup plus puissante que l’émission incohérente.

2) Pour profiter de l’effet avalanche que constitue l’émission par stimulation on faire en sorte que la lumière traverse un grand nombre de fois le milieu considéré qui constitue une cavité résonnante

Le gain obtenue à chaque traversée du milieu étant seulement de 1% les pertes doivent être bien inférieures à cela.

3) Le rendement total d’un laser est faible : 10W d’énergie électrique -> 0.1W d’énergie lumineuse dans la cavité résonante -> 0.001W de puissance optique extraite. LA taille du faisceau (~1mm) : faisceau de 0.001W correspond à 1000W/m² soit pratiquement l’intensité du soleil. La focalisation via une lentille produisant un faisceau de 10μm conduit à des intensités de 107W/m².Mode pulsé : une impulsion de 10-

12 s répétée 1000 fois/sec permet à un laser de 1W de fournir 109W par impulsion4) Différents types de laser :- Laser à rubis- Laser helium-néon- Laser à dioxyde de carbone- Laser à semi-conducteur

74

Favaretto Mélodie Physique générale 2ème semestre2. Holographie

Reproduction photographique : enregistrement point par point du carré de l’amplitude du champ électromagnétique

L’information sur la phase ets complètement perdue. Si l’amplitude et la phase résultante de l’interférence entre une source lumineuse et un objet pouvaient être enregistrés, l’illumination de l’enregistrement conduirait à un objet impossible à distinguer de l’original.

L’hologramme est produit par l’interférence entre les fronts d’ondes complexes de l’objet et les fronts d’ondes planes du faisceau de référence

Reproduction de l’hologramme :

Principe de la création d’un hologramme :

Supposons que le cube de l’illustration soit remplacé par un miroir plan : les ondes après réflexion sur le miroir sont des ondes planes. Celles-ci vont interférer avec le faisceau de référence et former sur la plaque photographique des zones claires et sombres caractéristiques des franges d’interférences.

La relation entre la distance entre deux interférences constructives et la longueur d’onde sera dsinα=λL’hologramme obtenu va ressembler à un réseau avec une distance d’entre fentes

L’interférence constructives de ces fentes va conduire à des faisceaux diffractés d’intensité maximum.

L’angle θ au 1er ordre sera tel que d sin θ=λL’angle d’émergence du faisceau diffracté au 1er ordre coïncide avec l’angle d’incidence du faisceau original → l’hologramme reconstruit les fronts d’onde : l’onde lumineuse reconstruite a les mêmes caractéristiques que l’objet photographié →ce dernier apparaît comme devant les yeux.

Propriétés vraies pour les fronts d’onde compliqué émis par un objet quelconque. Chaque morceau de l’hologramme contient assez d’information pour donner lieu à une reconstruction complète.

75

Documents

magzym.e-monsite.commagzym.e-monsite.com/medias/files/electromagntisme-onde... · Web viewElle nous permet de calculer le champ magnétique d’une distribution de courants ayant