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BUREAU DE RECHERCHES GEOLOGIQUES ET MINIERES
74, rue de la Fédération - 75 - Paris 15» Tel 783-94-00
DIRECTION DU SERVICE GÉOLOGIQUE NATIONAL
Boite postale 818 45 - Orléans-La Source Tél. 87-06-60 à 64
MANUEL D'HYDRAULIQUE DES SYSTÈMES
DE CAPTAGE ET DRAINAGE
(1er fascicule)
par
M. BONNET
Département d'Hydrogéologie
45 - Orléans-La Source
BP. 818 - Tel 87-06-60 à 64
69 SGL 225 HYD Octobre 1969
RESUME
Ce manuel rassemble sous une forme condensée les principales formu¬
lations analytiques qui sont solution des problèmes d'écoulement que peut
rencontrer le praticien au niveau de la conception de l'exploitation ou de l'utili¬
sation à des fins d'essai, des ouvrages de captage ou de drainage en terrains
aquifères.
Le texte est constitué essentiellement par un simple exposé des formu-
les^de leurs conditions d'application et de leurs limites de validité. Il est divisé
en trois parties principales. La première^ présentée dans ce premier fascicule,
a trait à l'hydraulique des puits traversant complètement la couche aquifère et
n'introduisant pas par la construction de perturbations notables dans l'écoule¬
ment. La deuxième a trait aux écoulements en direction des drains ou tranchées .
La troisième envisage le cas des puits réels et rassemble les formules quantita¬
tives qui permettent de prendre en compte les perturbations introduites par les
ouvrages de captage. Ces deux autres parties seront réunies dans un second
fascicule.
En annexe, on trouvera les tableaux de valeurs de la plupart des
fonction s- solutions présentées dans le texte ainsi qu'un certain nombre de gra¬
phiques et abaques qui sont d'un usage courant en particulier dans l'interpréta¬
tion des pompages d'essai.
Cet aide-mémoire, destiné aux hydrauliciens et aux hydrogéologues
possédant des connaissances de base en hydraulique souterraine, a été réalisé
dans le cadre des études générales méthodologiques entreprises par le Départe¬
ment d'hydrogéologie (programme propre).
- I -
SOMMAIRE
INTRODUCTION
1. REGIME PERMANENT
1.1. Nappes captives entre épontes imperméables
1.1.1. Milieu fini avec limite à charge constante
1.1.1.1. Puits centré dans un cercle
1.1.1.2. Puits excentré dans un cercle
1.1.1.3. Puits centré dans une ellipse
1.1.2. Milieu semi- infini
1.1.2.1. Une limite infinie à charge constante
1.1.2.2. Deux limites parallèles et infinies à charge constante
1.1.2.3. Une limite à charge constante sur un segment
1.1.3. Milieu infini, avec écoulement initial uniforme
1.2. Nappes captives avec épontes semi-perméables (drainance)
1.3. Nappes libres
1.3.1. Substratum horizontal étanche
1.3.1.1. Milieu fini circulaire avec limite à charge constante
1.3.1.2. Autres cas
1.3.2. Substratum incliné avec drainance
1.3.3. Substratum incliné étanche
1.3.4. Substratum incliné (avec ou sans drainance) et réalimentation par une
limite à charge constante
2. REGIME TRANSITOIRE
2.1. Nappes captives entre épontes imperméables
2.1.1. Milieu infini
2.1.1.1. Puits parfait
2.1.1.2. Puits incomplet
2.1.2. Milieu semi-infini
2.1.2.1. Limite étanche
2.1.2.2. Limite à niveau constant
/
- II -2.1.3. Milieu fini circulaire
2.1.3.1. Limite à charge constante
2.1.3.2. Limite étanche
2.2. Nappes captives avec épontes non étanches (drainance)
2.2.1. Puits parfait
2.2.1.1. Puits à débit constant
2.2.1.2. Puits à rabattement constant
2.2.2. Puits incomplet
2.3. Nappes libres
2.3.1. Milieu infini, sur substratum étanche horizontal
2.3.1.1. Puits parfait
2.3.1.2. Puits incomplet
2.3.2. Milieu infini sur substratum incliné et non étanche
2.3.2.1. Puits parfait
2.3.2.2. Puits incomplet
2.3.3. Cas dérivés du précédent
2.3.3.1. Substratum horizontal , non étanche
2.3.3.2. Substratum incliné étanche
2.3.4. Milieu aquifère semi-infini limité par un plan d'eau à niveau
constant
2.3.5. Milieu aquifère semi- infini limité par une barrière étanche
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
ANNEXES
- Ill -
INTRODUCTION
Ce manuel rassemble sous forme condensée et directement utilisable
par les ingénieurs les principales formules, fonctions (expression analytique
et tableau de valeurs) et courbes (ou abaques) universelles (c'est-à-dire sur
graphiques bilogarithmiques), qui sont à la base des solutions des problèmes
d'hydraulique posés par le fonctionnement des système de captage ou de drai¬
nage.
Il s'adresse aux praticiens déjà avertis et ne constitue qu'un
aide mémoire qui ne saurait remplacer les rapports méthodologiques plus didac¬
tiques et plus détaillés déjà publiés (ou en cours de publication) par le dépar¬
tement d'hydrogéologie (formulaire de l'hydrogéologue - cahier de travaux
pratiques d'interprétation des pompages d'essai, memento d'hydraulique souter¬
raine. . .J, ni , à fortiori, les ouvrages généraux d'hydrogéologie ou d'hydro¬
dynamique auxquels il faut se reporter, en cas de doute, pour plus de précision.
Il a également pour objectif d'aider à une harmonisation des notations
nomenclatures et présentations graphiques dans le domaine des calculs les plus
fréquents en hydrogéologie pratique. Il poursuit en cela le but principal du
"memento d'hydraulique souterraine".
Nous avons donc repris ici les mêmes notations et définitions que
celles proposées dans ce memento. La liste en est rappelée en début de texte.
De même les hypothèses de validité de certaines solutions sont rappelées très
rapidement et on pourra se reporter pour plus de précision soit au "memento"^
soit au cahier de travaux pratiques.
De toute façon, toutes les formules présentées ci-après impliquent
les hypothèses fondamentales suivantes qui ne seront plus énoncées :
- le milieu aquifère est homogène (isotrope ou anisotrope)
- la masse spécifique et la viscosité de l'eau sont constantes
- la loi de DARCY s'applique rigoureusement.
- IV -
Le texte de ce manuel sera divisé en trois parties :
- la première partie traitera des écoulements radiaux circulaires autour des
puits et forages dits parfaits, c'est-à-dire n'introduisant pas de pertes de
charge ou d'effets parasites dans l'écoulement (1).
- la deuxième partie traitera des écoulements linéaires vers les tranchées ou
drains.
- la troisième partie traitera le cas des puits et ouvrages réels et présentera
les principaux effets parasites dont ils peuvent être la cause.
Les tableaux de valeurs et les courbes universelles ont été rassem¬
blées dans une chemise hors texte. Pour des raisons de commodité de présenta¬
tion, le texte est présenté en deux fascicules séparés, le premier qui est
présenté ici, est consacré à la première partie, dans le second sont rassemblées
les deuxième et troisième partie.
(1) Nous proposons d'attribuer au terme "parfait" cette seule définition et de le distin¬
guer soigneusement du terme "complet" qui désignera un puits à pénétration totale
(par opposition au puits à pénétration partielle qui sera dit "incomplet"). Ainsi
dans cette acception le terme puits parfait ne s'oppose qu'au terme puits réel
qui désigne un ouvrage introduisant des perturbations non négligeables, en revanche,
il est complémentaire de tout autre : en particulier on peut distinguer, puits parfait
complet, puits parfait incomplet, puits réel complet, puits réel incomplet.
- 1 -
NOTATIONS
A (T,f) - Fonction d'écoulement d'un puits en aquifère étanche
B = Facteur d'Infiltration =\/Kb/K'b' (L)
b = Epaisseur de la couche aquifère principale (L)
b' = Epaisseur d'une couche encaissante (L)
b = Epaisseur mouillée moyenne (nappe libre) (L)
d = Distance d'un puits à une limite rectiligne (L)
F (jç)= W (1/x) = Fonction de puits
H = Hauteur de la surface piézométrique par rapport au substratum
(si substratum horizontal et écoulement bldlmenslonnel
H = h = h = M* + C*® ) (L)
H = Hauteur d'eau dans le puits
h = Hauteur de la surface Ubre par rapport au substratum (L)
h = Hauteur d'eau dans un piézomètre complet
l = Pente d'une nappe Inclinée
K,K' = Coefficient de perméabilité (ou perméabilité de DARCY) d'une
nappe prlncl pale ou d'un semi-perméable encaissant (LT )
Ko (x) = Fonction de BESSEL modifiée de seconde espèce d'ordre 0
M (u,/2!> ) = Fonction
Q = Débit de pompage (L T )
r = Distance radiale (L)
r = Rayon d'un puits (L)
S (T , f ) = Fonction de puits pour un puits de rayon quelconque
- 2
S, S' = Coefficient d'emmagasinement d'un aquifère principal ou
d'un semi-perméable encaissant (s.d.)
s = Rabattement (L)
s = Rabattement au puits (L)
T = Kb = Transmissivité (L^ T^
t - Temps (en général à partir du début du pompage) (T)
u =
r'S
4Tt
4 Ttu =
r^S
V (r, P ) = Fonction
W (u) = Fonction de puits pour les aquifères étanches (fonction de THEIS)
W (u, û) = Fonction de puits pour les aquifères non étanches (fonction de HAJiTUSH)
¡b = Compressibilité de l'eau (M'''lT^)
ou paramètre dans les formules se rapportant aux aquifères non étanches
avec emmagasinement dans une couche semi-perméable
/3 = ( r/ 4 B) / S '/S
0 = Poids spécifique de l'eau (M L T")
Paramètres dans les formules se rapportant aux aquifères non étanches
S,= H-S'/3S
S^= 1 -H S '/S
f* = r/rp = (paramètre)
K tt = Facteur de temps adlmenslonnel = rr- (nappes Ubres) ou
coHo
T tJT (nappes captives)
4' = p/îr+ z = Charge (ou potentiel) hydrauUque (ou piézométrique)
n = Charge moyenne dans un piézomètre complet
/ (u', r/d)"
/' (u', r/d)= Fonction de puits en milieu semi-inflnl
- 3 -
LES ECOULEMENTS RADIAUX
On envisage Ici , salif irídication contraire expressément formulée,
les écoulements qui se produisent vers des puits de rayon assez faible.
1. REGIME PERMANENT
1.1 . Nappes captives entre épontes imperméables
1,1.1. Milieu fini avec limite à charge constante
1.1.1.1. Puits centré dans un cercle
A. Puits parfait
O 2 7TT(Ho-Hp)
Log R/r
B. Puits incomplet
1er cas : Nappe d'épaisseur finie
\\\\\\\\\\\ ^\\\\\\\N\V
JJL
H.l> inifit/
:'\\\\\\\v\\\\
Formule de MUSKAT (voir réf. [7]*p. 274)
2 TtT s
Qj^ 1 2 Log 4 bAp - G (b)l - Log (4 b/R)
avec B = « facteur de pénétrationo
G (B) = fonction représentée graphiquement ci-après,
« Les chiffres entre f ] indiquent des références de la liste bibliographique
Jointe en annexe
6(1) - 4 -
K .O
c .
4
7
0
O.Z 0.4 0.6 O.S 1.0
Formule de KOZENY (voir HARR, [3] , page 263)
1 + 7vQ ^ 27TT s b
Log (RAp)
= 2TTK p s
Log (RAp)
-Ifi- cos J?:^
[1.^]
avec oc terme correctif donné par le graphique ci-dessous
1.6
1-4
12
1-0
kO.6
II
V 0.4
0.2
0
4a_«
à
Ot
ggjy
90/
1 1
O-OÛOI
1 1
^^b.
-«.
}00
r
fej
-««
1-
r
-^
^
¿x^
««
r
V\
0./ 0.2 as 0-4 0.5 0.6 0-7 0-8 0-9 1.0
- 5 -
2èrne_ças : Nappe d'épaisseur infinie ( p/h « 6 )
Formule de GRINSKY ([s] page 262)
Q^ ,2 7rKp , S
Log (1 , 6 pAp)
valable uniquement pour une couche semi-lnflnle selon oz :
W/////////////M-\^^^^
1.1.1.2. Puits excentré dans un cercle
(voir figure)
Fonnule de MUSKAT (réf. [?] p. 172)
1 -
Log ( 1 --^
Log _B_ -f Log (1 -
avec : Q, -= débit du puits centré
Log
Les variations de Q/Q. scmt données ci-dessous dans le cas
J_2 000
- 6 -
IS
«A./"»
IZ
1-2
l-l
lad à. a; 0- 5 0.d «-6 Ó-i à-7 0-0
\f
0.> f.O
s /A
1.1.1.3. Puits centré dans une ellipse (grand axe = a ; petit axe = b)
Soit Q le débit d'un puits Implanté au centre du cercle de rayon R
et Qe le débit du puits centré dans l'ellipse. POLUBARINOVA KOCHINA
([8] page 367) donne les variations du rapport 9e pour les deuxQo
cas R = ab, a = nb et b = R, a=nR
1.1.2. Puits en milieu seml-lnflnl
1.1.2.1. Une limite infinie â charge constante
(Voir MUSKAT [7] page 175)
- 7 -
1 1 Pui/s
X «'^y
-^> oc¿l'mi/* à cA^i-g' co/ij/w/i/e . H9
Formule du débit :
O 2TTT (H, - Hp)
Log -^-d.
Avec les notations de la figure ci-dessus, les équipotentielles sont
données par :
"- 2 Log(2d/i'o ^^ x^+li-HdJi'-"'
en faisant :
x^ -t- (y - d)""
X* + (y -I- d)*const = C
Ce sont des cercles de rayon ^ ^ ^ centrés sur l'axe des y
7- 1-°'au point o, d
1 + C
1 - C*
1.1.2.2. Deux limites parallèles et infinies à charge constante.
HnHt .//
_ 2TrT (Ho-Hf)
-Log(1^3inlïjd.)
- 8 -
1.1.2.3. Une limite à charge constante sur un segment de longueur finie
2 C (MUSKAT [7] page 186)
£/^nc^V///y.
-y -^«"A fx..y')
Xm fC
w . H » Ho
W///////////Á
Q =2 7TT (H^ - Hp)
Log4 y° / \/(c^- roY-4-4 wï C
^p V c»-r¿-+ \/(c*- rj)^+4yi C
avec : r^ = y^ -h x/
1.1.3. Milieu Infini avec écoulement Initial uniforme de pente I
(f/.O
Les équipotentielles et les lignes de courant sont définies par
/= IX +"2^ Log Í2S!±Í)+ c
yM-» = T y + _Q arc tg -ï- -t- Ci ' 2TCT X
- 9 -
Coordonnées du point S (point de stagnation)
y = 0 X =27TT I
Coordonnées des points A et B
Largeur asymptotique du front d'emprunt
2L- -^-T I
1.2. Nappes captives avec épontes semi-perméables
(voir figure détaillée en 2.2.)
Quel que soit le cas, on a en régime permanent :
s = ^ K, (r/B)
On rappelle :
B*- T/(K'A*)
Les variations de K^ (fonction de BESSEL modifiée de seconde esi}èce d'ordre 0)
sont données en annexe sous forme de tableau (tableau T^ ) et sous forme de
graphique sur papier bilogarithmique (planche 1).
1.3. Nappes libres
1.3.1. Substratum horizontal, étanche
1.3.1.1. Milieu fini circulaire avec limite à charge constante (ou rayon d'influ¬
ence R )
Rappel
En nappe libre, 11 faut soigneusement distinguer les 3 notions :
- potentiel ou charge hydraulique ; 4>(z', r)
- cote de la surface piézométrique: h (r) ='^(h, r)
- charge moyenne donnée par un piézomètre complet (c'est-è-dlre
crépine sur toute la hauteur aquifère ) :
^-(r)= h(r)=-^ j\^^jdz
(voir figure cl-aprês)
- 10 -
Piiro ponc/ua./.
Avec les notations de la figure ci-dessus on a
- pour le débit (rigoureusement)
_ TTK (H^- h'p )"^ Log (RA)
-pour la forme de la surface Ubre :
2 h h - h^ = H*- (Q/tt K ) Log (RA),Pour tout r^ou (formes simplifiées
mais plus limitées)
h*= H^ - (H^- h* ) [LDg (RA)/Log (RAp)l pour {' ^'^^^^ L -i I r^::l 1,5 H
J. TT-Îh*= H - (OA K ) Log (RA ) POur r 1,5 H
Remarque : Dans ces formules le couple (H, R) peut être remplacé par n'Importe
quel couple (h, r) pourvu que le point considéré soit situé dans la
région r -^^^ 1 , 5 H
- pour la hauteur de la surface de suintement au puits
Hp - hp = (H - hp) - -^ Q/2 TT K H,
avec 3,75 sirp/:H. 0.1
«^=3,5 si 0,1^ r^/H, 0,25
1.3.1.2. Autres cas
D'une façon générale les solutions présentées pour les puits en nappe
captive aux paragraphes 1 .1 .1 . ,1 .1 .'2. et 1 .2. sont transposables au cas des
puits en nappe libre à substratum horizontal en prenant :
s - sV2 H au lieu de s = H - h K H au lieu de Kb = T
1.3.2. Substratum incliné
Avec les notations présentées en détail ci-après figure 1.3.2. , on a
^ ^ ^^ " Jir ) = ^ exp ( - -^ cos 9 ) K (ocr)
- 11 -
(^
avec :
9
/3= 2b: angle polaire (voir figure 1.3.2.)
~ avec b : épaisseur mouillée moyenne (plusieurs définitions possibles)
1 1 1-jp, -I- -pavee B = Kb' (K'/b')
: foncüon de BESSEL modifiée de deuxième espèce d'ordre 0
(voir tableau 1 et figure 1).
Pi¿romi/i'*/
\ Po/m/vkJ A- COUPE
Oria/nt c/*/' CffOrq*.» f ^« o^
L. OC
,y
ar. ^"'^L^^Ke
1
y.
n^
(oc.y)
ÂKt an/airt
B
9^
B- PLAN
Figure 1.3.2. Représentation schématique
de l'écoulement en direction d'un puits en nappe libre sur
substratum incliné non étanche
- 12 -1.3.3. Substratum incliné étanche
En faisant 1/B = 0 dans l'équation précédente ,on obtient :
1.3.4. Substratum incliné et réalimentation par une limite rectiligne à charge
constante (voir figure 1.3.4. ci-dessous)
Figure 1.3.4. Représentation schématique d'un puits
situé près d'un cours d'eau dans une nappe libre inclinée non étanche
(Voir HANTUSH [4 J )
Par application de la méthode des images on a :
2 s (1 §) = -2- exp^ h/ TTKH» ^^
On notera :
- (x-Xo)
i^K (<r) - K, kr,)
- pour une nappe inclinée vers le bas dans la direction des
X >0-i>p-=c0
- pour une nappe inclinée vers le haut, /i>.0
2. REGIME TRANSITOIRE - 3 -
2.1. Nappes captives entre épontes Imperméables
2.1.1. Milieu Infini
2.1.1.1. Puits parfait (pénétration totale)
1") Puits produisant à débit constant
On dispose de deux solutions générales qui donnent le rabatte¬
ment en tout point de l'espace (à distance r du puits) quel que
soit le rayon rp du puits (mais en négligeant l'effet de capacité.
-A. La soluUon de THEIS
W (u)4 TTT
.vec:u.^r^ S
valable à condition que t > 30 ^ T
On trouvera tableau 2 une tabulation très complète de la
fonction W (u)
Dans certains cas (interprétation des essais) 11 est plus
commode de faire un changement de variables en posant :
' / 1 4 T t
On doit alors manipuler la fonction :
F (u') = W Uu
Le tableau 3 donne les valeurs de cette fonction qui est
représentée graphiquement en coordonnées bilogarithmiques
(graphique universel) planche 2.
-B. La_solutlon_de_HANTlJSH_
Q
4 TTTS(T'V
avec:T=T 7- et ?=SrJ ^ rp
valable sans limitation sur le temps
Les variations de la fonction S {T, f ) sont données
tableau 4.
- 14 -
-C. D'autre part pour des temps suffisamment grands
t > 1 00 -i-I-^T
les fonctions précédentes tendent asymptotiquement vers la fonction
logarithmique suivante :
2 3 0 2 25 T ts ' ijj: . log Tz (approximation de JACOB)
2") Puits produisante rabattement constant
(puits Jaillissants ou puits en régime critique : voir rapport B.R.G.M.
DS 67 A 136 par C. BENCOMO)
Dans ce cas, on a :
-A. Pcmr le_d^é^ltjm_puU«
Q^^ - 2 TIT Sp g(^pI) (soluUon de JACOB et LOHMAN)
G (X^) '= G (T/0) fonction tabulée donnée tableau 10 et sous forme de
graphique bilogarithmique, planche 4
-B, Pour le j-abattement dans un piézomètre à distance r :
T t rs a= S>
S r5. ' fof» P
avec :
A Ci", p) fonction tabulée donnée tableau 5
2.1.1.2. Puits incomplet (pénétration partielle )
Avec les notations et hypothèses rappelées ci-dessous :
Notations
l>o//i
V/////AÍ/////////////////
- 15 -
Hypothèses :
1 . Nappe homogène et anisotrope caractérisée par deux valeurs de perméabilité
Kr (horizontale) et Kj. (verticale)
2. Système horizontal
3. Puits  rayon infiniment petit et débit constant
4. K' « 0 (épontes étanches)
On possède diverses solutions qui donnent le rabattement dans xm piézomètre
ponctuel de pénétration z (voir figure )
-A. §oli}tion_Ç;.épérale_
s "4^^7b fw (") + f Í"' r/^' <1/^' ^/^' ^/^^]
avec :
u
r^S4 K b.t
2 b - Z t ='"(^)-K^) -(^)w(^/if-(-^Jn = lL J L
T((l-d)
-B. Solu^pn j)our_des _pérlodes de^ernpji grandes
Dès que t ^ b g
2 K.,
s^
4'nKj.b
avec :
4 bf
s Tl(l-d)
f W (u
Où
) + f s
sinl-îi^- sin ^) -(^Kv^^^^)
-C. Solution gourdes périodes de temps courtes
Tant que t S b 1 -ï-^ z
/ 5 K,
s =STlKr (1 - d )
2 b
. E(u, ^L_, A- ,-5-
avec :
E =» M u, a (1-i-z)- M
(u, a (d +z) + M u.a (l-z)
- M u,a (d-z)
ou : M (u, A ) est une fonction tabulée dont les valeurs sont données tableau 6
et a = \f^A7^- 16 -
Cette équation est également valable pour une nappe d'épaisseur Infinie
p)our toutes valeurs de t.
-D. Solution pour des distances relativement grandes
Desque r > 1,5 b\/Kr/Kz
la solution générale dégénère en
s =TT?^'b ^ ^"' (formule de THEIS)
ou autrement dit, au-delà de cette distance "on ne volt plus" l'influence de la
pénétration partielle du puits et de ranlsotrople, du milieu.
- Remarque importante : le cas des piézomètres non ponctuels.
Le rabattement moyen s dans un piézomètre crépine entre les cotés d'
et r (r > d' , voir figure ci-dessus) peut s'obtenir par intégration des
solutions présentées en A et B , soit :
rl'
^ = d'^-d') ^. Hz)^^
z n'intervenant que dans un cos , cette intégration est très aisée.
On constate ainsi que pour un piézomètre complet (d' = 0 , 1' « b) on
obtient la solution de THEIS :
W (u)477Krb
Conséquence pratique :
Un piézomètre complet ne subit pas l'influence de la pénétration
partielle du puits pompé quelle que soit sa distance au puits
- 17 -2.1.2. Milieu semi-infini
En appliquant la théorie des images et avec les axes et notations ci-
dessous:
\>//n.y
On a :
2.1.2.1. Limite étanche
Q
= 4 T t
r,^S
avec
F (u'.) +F (u'^)
4 T t
TTs"
Pui/i/m0y
w- X.
Dans le cas particulier de piézomètres Implantés selon un axe
perpendiculaire à la limite , on a :
u
Soit :
* x-t s4
4 T t ^ , 4 T tet u', «
* X
T t 4 Tt / 2 d _ n.
fs-'(2d-x/s "^i^Tl ^>
s =4-nT
/(u', , -^)
2.1.2.2. Limite à charge constante
Symétriquement on trouve :
^[f(u',)-F(uV)]41^
et pour les piézomètres Implantés selon un axe perpendiculaire *
la limite :
/ (u', ,-^)471 T ^ '-i ' d
Le tableau 7 donne les valeurs de ^ et ji' qui sont repré¬
sentées sur graphique bilogarithmique planche 3.
- 18
2.1.3. Milieu fini circulaire de rayon R - Pompage à débit constant par un puits
centré (voir réf . [2] p. 73 à 86)
Dans ce qui suit, on fait l'hypothèse que le rayon du puits est petit
devant celui du milieu (R/rp>.60)*
2.1.3.1. Charge constante Ho sur la limite
- le rabattement à la distance r du puits s'écrit
s 0"(r) 2 TTT
Log-B
valable pour ^ >60
"^P
" ^ '^2.^ S Ri ^
avec
4*,= fonction tabulée donnée tableau 8 (voir CHAUMET, page 76)
- pour le puits , on a
s.--a- Log ^ 2 q) -î-k^ rp S R-''P 2'nT
valable pour; t,= ^'^ ^^ < t <1 t
avec :
t défini par ^|il%^ = 0,01i *^ Log RAp
pour t <c t^ , on a :
2 3 O T tSp = 'H* Log 2, 25 j^ (approximation de JACOB)
et pour t > t^on a le régime permanent à moins de 1 % près, soit :
2.1.3.2. Limite étanche (par exemple lentille)
Dans ce cas, on ne connaît de solutions pratiques que pour l'évolution
du rabattement au puits .
* Il existe toutefois des solutions pour les cas ou cette hypothèse n'est pas vérifiée
(réf. [2] p. 86 )
- 19 -
Trois périodes de temps sont à considérer :
1°) pour t^0,l A_§-= t.T *
^P=fl? ^°« 2,25 X^ (JACOB)P
2°) pour t i>0,25 -^-§-= t^
'P 2TrT R 2R* R*S
(régime pseudo permanent : le rabattement décroît linéalreraent en
fonction du temps)
3") Pour la période intermédiaire t^ < t < t^^ on pourra prendre la solution
de THEIS .
2.2. Nappes captives avec épontes non étanches (drainance)
(réf. [4 ] pages 53 à 61 de la traduction B.R.G.M.)
En ce qui concerne la drainance, S. M. HANTUSH distingue deux cas
schématisés par les'tieux modèles" de la figure 2,2.
V^ÀWi^i ///jtm/ i>9rm4*iU
y////////"/////}///////////.
A. MODELE 1
B. MODELE 2
Figure 2.2. Représentation schématique des
systèmes à drainance (non étanches )
- 20 -
2.2.1. Les puits complets
Toutes les solutions présentées ci-après Impliquent les hypothèses suivantes::
(1) Les nappes aquifères représentées dans les 2 modèles sont individuellement
élastiques, homogènes. Isotropes et d'épaisseur uniforme, de superficie
Infinie, et reposent sur un substratum horizontal (ou au moins de pente
<0.01).
(2) La perméabilité et le coefficient d'emmagasinement demeurent constants dans
le temps.
(3) Les puits sont crépines sur toute l'épaisseur de la nappe principale (mais
leur rayon n'est pas nécessairement petit).
On utilise les variables réduites suivantes :
S^= 1 -h S'/ 3 S
S^ = 1 -h S'/S
B* = T/ (K'/b')
u » r*S/4 T t
T- t/r^pS
En règle générale on ne connaft pas de solution rigoureuse mais uni¬
quement des solutions asymptotiques valables dans certaines conditions bien
définies qui doivent être impérativement respectées.
2.2.1.1. Puits A débit constant (puits en pompage)
1*) Pour les temps grands
-A. M«lèle__l_:
t > à la fols à : 2 b' S'/K'
et : 30 S^ fp SA [l - (10 r^/B ) J
avec également : rp/B < 0, 1
la fonction W (u,/6 ) (ou fonction de puits pour les nappes non
étanches) est représentée entièrement sous forme tabulaire .
Tableau 2.
- 21-
On a aussi, pour la commodité de l'interpi'étatlon des pompages
d'essal^dressé un tableau de la fonction W (1/u, y& ) " F (u*, /3 )
(voir tableau 3 . )
Cette fonction est également représentée sur graphique bilogarithmique
planche 2.
On rappelle que, évidemment :
W (u, o ) » W (u) (solution de THEIS)
F (u', o) » F (u')
Pour des temps très grands, la solution ci-dessus tend asymptotiquement
vers la solution du régime permanent donnée paragraphe 1.2. soit :
^ " -2^ *^«' <^/^^
-B. Modèle 2 :
t > à la fols à : 2 b' S'/K
et : 30 ^^rp SA
Sl S'est négligeable , c'est-ft-dlre sl la couche senü-perméable du modèle 1
ne livre pratiquement pas d'eau à l'aquifère drainé et ne fait que transmettre
le flux appelé h l'horizon supérieur, on a avec les mêmes conditions restric¬
tives sur le temps et fp/^ *
C'est la solution classiquement connue sous le nom de formule de
HANTUSH. Elle est évidemment identique & la solution présentée en A. A la
signification près de la variable u . On pourra donc consulter les tableaux
2 , 3 et la planche 2 .
- 22 -
2°) Pour les temps petits
c'est-à-dire : t < S'b'/lO K'
On a pour les deux modèles :
s =1^ H (u, /9 )4 TTT y ' I '
avec :
H (u,/3 ) Fonction tabulée. Voir tableau 9.
3") Pour les temps intermédiaires
Il n'existe pas de solution analytique connue. On peut graphi¬
quement obtenir une solution approchée en Joignant les portions de
courbe représentant les solutions présentées ci-dessus pour les deux
périodes extrêmes.
2.2.1.2. Puits Jaillissants (artésiens)
On ne connaft de solution que pour les temps grands :
t>2 b' S'/K'
-A. Modèle _1_
. Pour le rabattement :
s =SpZ {'C/S^, ^ , rp/B)
La fonction Z n'est pas tabulée ; elle admet toutefois diverses formes
approchées (voir HANTUSH - Traduction B.R.G.M. page 44).
Lorsque t t»oo (régime permanent) on a :
K, (r/B)
'P Ko (rp/B)s = s.
Pour Ko voir tableau 1 et planche 1
. Pour le débit au puits
Dans les mêmes conditions de validité en ce qui concerne le temps
Q(t) -2 7TT Sp G (Vi^, fp/B)
La fonction G est donnée sous forme de tableau (Tableau 10).
- 23 -
-B. Modèle _2
On a pour les rabattements et le débit au puits :
s =sp Aiir/ ¿^.^)
Q(^=2TrT Sp GCZr/S^)
pour A et G voir tableaux 1 0 et 5 courbe planche 4
-C. Si S' est néglijreabje
On a sans restriction sur le temps (S' ^ O)
S = Sp Z (T, f , rp/B)
Q = 2'TTT Sp G (Z, rp/B)
2.2.2. Les puits incomplets
En reprenant les notations de la figure présentée , paragraphe 2.1.1.2. , on a
pour la dépression s (r, z,t ) (appelée s ci-après) dans un piézomètre
ponctuel de profondeur z et situé à une distance r du puits imparfait (carac¬
térisé par d et 1) :
-A. yne_s^olutlojrijfénérale
s ={4^^ J W (u, r/B) + f (u, rA. r/B, dA, lA. zA )1
avec
' 4 Kr b t «' " "ru = /^\ , et 8*= K b/ (K'b')
00
f =[2b/7T(l-d^ zr (1/n) Fsin (nTTlA) - sin(n-ndA3
xcos (m\zA) W [u , / (r/B)^ + (Kz/Kr) (n TT rA) J
pour W voir tableau 2 .
-B. Une solution_apjprojchée_£o^r lejjem£s_qrancl8_
soit pour t >bS/2 K^
s ^(jTfK b)!"^ ^"' '^^^ "^ ^s < "' ^/^' ^/^' ^^' ^^' ""^^^avec : oa
fs =[2b/TT(l-d)] Çj (1/n) [sin (nTTlA) - sln (nTTdA)]
X cos (nTTzA) Ko [u , ^(r/B )*-K K^/K^ (n TC rA)']
Pour Ko voir tableau 1 .
- 24 -
-C. Une solution pour les distances relativement grandes
c'est-à-dire r>l,5 bN/K^/Kg
==4l%b W(u, r/B)avec :
4 Kfbt
C'est la solution classique de HANTUSH. On ne volt plus l'effet de l'ani¬
sotropie et de la pénétration partielle.
Le cas des piézomètres crépines : voir remarque finale du paragraphe
2.1.1.2. On arrive aux mômes conclusions .
2.3. Les nappes libres
2.3.1. Milieu aquifère infini sur substratum horizontal étanche
2.3.1.1. Puits parfait
Avec les notations de la figure 1.3.1.1., on a:
^^^'-^^^Sth. v(r. nya+cf)
avec :
^ K t
^Ho ' ' Ho
et â condition que :
h- hp <0,5 Ho
Les variations de la fonction V sont dormées tableau 11 et planche 5
(graphique bilogarithmique)
c f : facteur correctif
nul pour : 0,05 <t<5
donné par les graphiques ci-après pour T: -<0,05 et X>5
- 25 -
-0.40
,-0.30
..\-o-eoü
\-afo
iÏO.fO
o.?o
0.50
F\
^\\\\
-. ^\
.^ ^^̂V .\^
'ourit
i
5
C
0
£
F
nr./eAf, V. O/KVQJ002 0.9 0-0985
0.002 C).$ 0J84
0-OOZ 07 0-257Ç.0O2 0.6 0-521
0.010 0.8 0249
0.010 0 6 0-452
A
f
8
D
o.t 0:3 O.S
Valturs de f>
10
-0.30
^-0-25
^.20
I -0.(5
S-0-10
HI%-Q.05
.M
1-0.05
*0-10
\\
\
\
\».
s^.
0.03 0-05 0)0 090 OSO 1.00 5O0
Remarque
Si le milieu est anisotrope (K^. # K^,) la solution est la suivante :
v(r;n-(i + cf)
avec
27TKrH,
Kr= ^^r et p= -îi/iTTk
coH ^^ ^ H l/V\
Quelques cas particuliers
-A. Rabattement au puits
1") pourT<:0,05
= H -h xV (T, ?n) 3t (1 -f Cf)p 2Tîto " ' ^ -' ^P'
avec
f" = -5- . C f (voir figure)P Ho
2') pour 0,05 <! t <c5
s = Ho- h^= -^^ (m + Log -3i )P
avec m(f) donné par le tableau ci-dessous
- 26 -
3**) pour7r>5
HÍ-hJ=Tj^ Log (I.S/V^)
-B. Rabattement dans les piézomètres
1») r>l,5 Ho
s =(Ho- h) =^^ V (T, f ) (1+Cf)
2') r<l,5 Ho
sl (Ho - hp)<0,5 Ho et t> ^Q^rpS
" W(u)=2HoS(l-f^)
W (u) fonction de puits voir paragraphe 2.1.1.1.
s
H,sl -^ <; 0,02 on retrouve l'équation de THEIS
Pour calculer la cote de la surface piézométrique h A partir de
l'observation d'une charge moyenne h observée sur un piézomètre complet
on peut écrire :
2hh-h*-^^W(u)
2.3.1.2. Puits incomplet
Lorsque les rabattements sont faibles par rapport A l'épaisseur mouillée
statique (H,)/ on peut appliquer les solutions présentées pour les nappes
captives (voir paragraphe 2.1.1.2.) A condition de remplacer s, b, u, et
B respectivement par s - sV 2 Ho * H», u et B, sauf dans le cas des
temps petits (paragraphe 2.1.1.2. C) où 11 faut utiliser s - s*/2 1
2.3.2. Milieu infini sur substratum incliné et non étanche (drainance)
2.3.2.1. Puits parfait
Avec les notations de la figure 1.3.2. on a :
H*-h*=2h. s (l-Yû) "-^ exp. f-^ cosej W (u, oC r)
solution valable pour :
KO, 02 ; Ho - hp - s^ <0,5 H. ; t >-^^ jî - (10<rp)*]
oC rp < 0,1
- 27 -
avec :
1 : pente du substratum
9 : angle polaire par rapport A la ligne de plus forte pente
b : hauteur mouillée moyenne. On peut prendre par exemple :
b=4-(Ho+hp)
2 b
.lkco
1^^-ioL n.-, Qj^
Pour la fonction W voir tableau 2 .
2.3.2.2. Puits à pénétration partielle
Tant que l'on a des rabattements faibles par rapport A la tranche mouillée
initiale on peututiliser les solutions présentées au paragraphe 2.2.2. A
condition de remplacer s, b, u, B respectivement par s - sV2 H. , H,, u
et B.
2.3.3. Cas dérivés du précédent
2.3.3.1. Substratum horizontal , non étanche
En faisant -L- = o,on obtient :
Ho - h'' = 2 Ho s (1 - "2^ ) = -^ w (u , c< r)
2.3.3.2. Substratum Incliné, étanche
En faisant -^ = o -* L- , on obüent :
H Ho s (1 - -f^) ^-^ exp(- -^ cos 9 ).W(u, t)o
2.3.4. Milieu aquifère semi-infini limité par un plan d'eau à niveau constant
En appliquant la méthode des images et avec les notations et systèmes de coortion-
- 28 -
nées déjà présentes ,par 2.1. 2.on obtient :
- Puits dans une nappe libre sur substratum étanche horizontal
"" [W(u,)-W(u^)|soit
(voir fonction ^ tableau 7 et planche 3 )
- Puits dans une nappe libre sur substratum non étanche Incliné
(vers le haut et dans la direction des x > 0 )
Ho - h^= 2^ ^^^' [" ^^ ' '' [ W (u, ^ r - W (u^cC r^ )]
(bI substratum incliné vers le bas f^ est 0 )
2.3.5. Milieu aquifère semi-Infini limité par une barrière étanche
- si le substratum de la nappe est horizontal, la méthode des Images s'applique
et on a :
soit :
Ho - R*- ^jç [ W (u^) -I- W (u¿) ]
Ho - h'= -tÛ-. (f> (u'^ , gi ) (voir tableau 7, planche 3)
- si le substratum est incliné la méthode des Images ne s'applique pas : on ne
connaît pas actuellement de solutions au problème.
- 29 -
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
(1) J. BEAR, D. ZALAVSKY, S. IRMAY
Physical principles of water percolation and seepage
UNESCO, Arid zones research - XXIX
(2) P. CHAUMET, A. HOUPEURT
Cours de production - Tome III - Ecoulement monophasique des fluides
dans les milieux poreux
TECHNIP 1965
(3) M.E. HARR
Groundwater and seepage
Me GRAW-Hill 1962
(4) M.S. HANTUSH
Hydraulics of wells, in : Advances in Hydroscience - Tome I
VEN TE CHOW (New York 1964) - Traduction B.R.G.M. - DS 67 A 119
(MINOUX - BERKALOFF)
(5) A. HOUPEURT
Eléments de mécanique des fluides dans les milieux poreux
TECHNIP 1958
(6) R. IFFLY
Solutions numériques des problèmes d'écoulement monophasique en milieu
poreux
TECHNIP 1964
(7) M. MUSKAT
The flow of homogeneous fluids through porous media
J.W. EDWARDS, Inc, 1946
(8) P.Y. POLUBARINOVA- KOCHINA
Theory of ground water movement
traduit par J.M. R. de WIEST PRINCETON UNIVERSITY PRESS 1962
ANNEXES (Hors texte)
Tableaux
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Planches
1
2
3
4
Fonctions représentées
Ko (x)
W (u,yi) et F (u',/i)
S (XT'/)
A iZ.f)
M (u ,^)
^ (u; , x^/d) et ^' (u_^ , x_^d)
4!a(ü)
H (u^)
G iV.I^)
V (r,ô)
TABLEAU 1 II
Valeurs de K^ (x), fonction de BESSEL modifiée de deuxième espèce d'ordre 0
3
pour les valeurs de x comprises dans l'intervalle 10 ^ x ^ 7
x/N
1.0
1.1
1.2
1.31.41.51.6
1.71.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.32.L
2.52.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.13.2
3.33.4
3.53.63.73.8
3.9
4.0
4.14.2
4.34.4
4.54.6
4.74.8
4.9
5.0
5.15.2
5.35.45.55.6
5.75.8
5.9
N = 10 ^
7.02376.92846.84146.76136.68726.6182
6.55376.49316.43596.3818
6.33056.2818
6.23526.19086.1482
6.10746.0682
6.03045.99415.9590
5.92515.89235.86065.8298
5.79995.77095.7428
5.71545.68875 .6627
5.63745.61275.58865.56515.5421
5.51965.49775.4762
5.45515.4345
5.41435.39455.37515.3560
5.33735.3190
5.3010
5.28335.26595.2488
N = 10 ^
4.7212
4.62604.5390
4.4590
4.38494.31594.25144.1908
4.1337
4.0797
4.02853.97973.93323.8888
3.84633.8056
3.76643.72873.69243.6574
3.62353.5908
3.55913.52843.4986
3.46973.4416
3.41433.38773.3618
3.33653.31193.28793.26453.24153.2192
3.19733.1758
3.15493.1343
3.1142
3.09453.0752
3.05623.0376
3.01953.00152.98392.96662.9496
N = lO"'^
2.4271
2.33332.24792.16952.0972
2.0300
1.96741.9088
1.85371.8018
1.75271.70621.6620
1.61991.5798
1.54151.5048
1.46971.4360
1.4036
1.3725
1.34251.31361.28571.25871.2327
1.2075I.I832
1.15961.1367
1.11451.09301.0721
1.0518
1.0321
1.0129
0.9943.9761
.9584
.9412
.9244
.9081
.8921
.8766
.8614
.8466
.8321
.8180
.8042
.7907
N = 1
0.4210
.3656
.3185
.2782
.2437
.2138
.1880
a655.1459.1288
.1139
.1008
.0893
.0791
.0702
.0623
.0554
.0493
.0438
.0390
.0347
.0310
.0276
.0246
.0220
.0196
.0175
.0156
.0140
.0125
.0112
.0100
.0089
.0080
.0071
.0064
.0057
.0051
.0046
.0041
.0037
TABLEAU 1
Valeurs de Ko (x) (suite)
x/N
6.0
6.16.2
6.36.46.56.6
6.76.8
6.9
7.0
7.17.2
7.37.4
7.57.6
7.7
7.8
7.9
8.08.1
8.2
8.38.48.58.6
8.7è.6
8.9
9.0
9.19.2
9.39.49.59.6
9.7
9.8
9.9
N = 10 ^
5.2320
5.21555.1992
5.1832
5.16755.1520
5.13675.12165.1068
5.0922
5.07795.06375.0497
5.03595.02235.00894.99564.9876
4.96974.4569
4.94434.93194.9197
4.90754.89564.88374.8720
4.86054.84914.8378
4.8266
4.81554.8046
4.7938
4.78314.77254.7621
4.7517
4.7414
4.7313
N = 10 ^
2.93292.91652.90032.88442.8688
2.85342.8382
2.82332.8086
2.7941
2.7798
2.76572.75192.7382
2.72472.71142.69832.68532.67262.6599
2.64752.6352
2.62312.61112.5992
2.58752.57592.56452.55322.5421
2.5310
2.5201
2.50932.49862.48812.4776
2.46732.45712.4470
2.4370
N = 10 ^
.7775
.7646
.7520
.7397
.7277
.7159
.7043
.6930
.6820
.6711
.6605
.6501
.6399
.6300
.6202
.6106
.6012
.5920
.5829
.5740
.5653
.5568
.5484
.5402
.5321
.5242
.5165
.5088
.5013
.4940
.4867
.4796
.4727
.4658
.4591
.4524
.4459
.4396
.4333
.4271
N = 1
.0012
.0004
Formules d'approximations
Pour X .¿15.10"^ Ko(x) ^ Log (1,1 2/x)
P our X Ko(x) # nJ 7r/2 X (1 - 1/8 x) exp (-x)
W(
TABLEAU 2 - VALEURS DES FONCTIONS
u,/i) = J (1/y) exp (-y - /^/4y) dy et F (u',[^) =W(l/u,/^ )
IV
u = 1 /u
oo
10*
5(5)*
1.5(5)
î. (5)
10>
5141
}5(4)
I. (4)
10'
5 0)
].5 0)
1. Ol
I0>
5(»
I.S (II
2 (Il
10'
5
2.9
2
10
I
2.9
I.
1.
.9
.25
.)
125
u ^v^
0
OOOOOI
.000002
.000003
000004
ooooos
.000006
.000007
.000008
.00000»
.00001
0000?
00003
.00004
.00005
.00006
00007
00008
.00009
.0001
.0002
.0003
00O4
.0005
0006
0007
.0008
.0009
001
.002
003
,004
005
.006
007
008
009
01
.02
.03
.04
.05
.06
07
08
.0»
.1
2
.3
.4
.5
.6
.7
8
.9
1.0
70
30
4.0
50
6.0
7.0
8.0
0
00
13.2383
I254SI
121397
Il 6520
11.6289
114465
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5.4075
5.1170
4.8722
4.5710
4.5022
4.3573
4.2305
4.1180
4.0269
4.9252
3.2997
2.9235
2.5553
2.4478
2.2790
2.1372
2.0153
1.9087
1.8141
1.2192
0.9038
7012
5590
4538
3733
3103
2599
0.2192
489
130
38
11
4
1
C
0.075
5.4228
5.4228
5.4227
5.4212
5.4150
5.4052
5.3921
5.3745
5.3542
5.3317
5.3078
5 . 05 1 7
4.8243
4.6335
4.4713
4.3811
4.2078
4 . 0980
3.9991
3.9091
3.2917
2.9183
2.6515
2.4448
2.2766
2.1352
2.0136
1.9072
1.8128
1.2186
0.9035
7010
5588
4537
3733
3102
2599
0.2191
489
13G
38
11
4
0
0.08
5.2950
5.2950
5.2949
5.2942
5.2912
5.2848
5.2749
5.2618
5.2461
5.2282
5.2087
4.9848
4.7746
4.5942
4.4389
4.3036
4.1839
4.0769
3.9802
3.8920
3.2832
2.9127
2.6475
2.4416
2.2740
2.1331
2.0118
1.9055
1 .8114
1.2181
0.9032
7008
5587
4536
3732
3102
2599
0.2191
489
130
38
11
4
1
0
0.085
).1750
5.1750
5.1747
5.1730
5.1689
5.1(^21
5.1525
5.1405
5.1265
5.1109
4.9166
4.7234
4.5533
4.4050
4.2747
4.1588
4.0547
3.9603
3.8741
3.2742
2.9059
2.5432
2.4383
2.2713
2 . 1 308
2.0099
1.9040
1.8099
1.2175
0.9029
7006
5586
4535
3732
3101
2598
0.2191
489
130
38
11
4
1
0
0.09
).0620
5.0620
5.0619
5.0510
5.0585
5.0539
5.0471
5.0381
5.0272
5.0133
4.8475
4.6707
4. 5111
4.3699
4.2446
4.1326
4.0315
3.9395
3.8552
3.2647
2.9007
2 . 6386
2.4347
2.2684
2.1284
2.0078
1.9022
1.8084
1.2168
0.9025
7004
5584
4534
3731
3101
2598
0.2191
489
130
38
11
4
1
0
0.095 0.10
.9553 4.8541
4.9553
4.9552
4.9547
4.9532
4.9502
4.9454
4.9388
4.9306
4.9208
4.7778
4.6169
4.4676
4.3335
4.2134
4.1053
4.0073
3.9178
3.8356
3.2547
2.8941
2.5338
4.8541
4.8539
4.8530
4.8510
4.8478
4.8430
4.8368
4.8292
4.7079
4.5622
4.4230
4.2960
4. 1812
4.0771
3.9822
3.8952
3.8150
3.2442
2.8873
2.6288
2.43101 2.4271
2.2654 2.2622
2.1258 2.1232
2.00561 2.00341 . 9O03
1.8057
1.2162
0.9022
7002
5583
4533
3730
3100
2597
0.2190
488
130
38
11
4
1
C
1 .8983
1.8050
1.2155
0.9018
7000
5581
4532
3729
3100
2597
0.2190
488
130
38
11
4
1
0
vil
TABLEAU 2 (fin)
ü', l/u
10
5.(1)
2.5(1)
2.(1)
10.
5.
2.5
2.
1.
.5
.2:
.2
.125
X0
.01
.07
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
.1
.2
.3
.4
.5
.6
,7
.8
.9
10
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
70
80
10
0 84 20
084 20
8418
8409
8391
8360
8316
8259
0.8190
7148
6010
5024
4710
3543
2996
2543
2168
0.1855
444
122
34
II
4
1
0
15
0 4274
0 4274
4275
4274
04271
4135
3812
3411
3007
7630
2292
1994
1734
0.1509
394
112
34
10
3
1
0
2,0
0.2278
0.2276
2268
2211
2096
1944
1774
1602
1436
1281
0.1139
335
ICO
31
10
3
1
0
2.5
0 1247
0.1247
1240
1217
1174
1112
1040
961
381
0 0303
271
84
27
9
3
1
0
3.0
00495
0.0695
494
491
481
444
439
«07
572
0 0534
210
71
24
8
3
1
0
35
0.0392
0.0392
390
384
379
348
354
0.0338
154
57
20
7
2
1
0
40
00223
0.0223
222
221
218
213
0.0207
112
45
14
4
2
1
0 .
4.5
0.0128
0.0128
127
127
12S
0.0123
77
34
13
5
2
1
0
SO
0.0074
0.0074
73
0.0073
51
25
10
4
2
1
0
4.0
0.0025
0.0025
21
12
4
2
1
0
7.0
0.0008
0.0008
4
3
1
1
0
BO
0.0003
0.0003
7
7
1
0
9.0
0.0001
0.0001
0
Approximations de la fonction W (u, /3)
Développement en série : ^
W(u) = -0;57 72 - Log u - ^ (-1)* uVn . n
Pour u -ii 0,05
W(u) = - 0,5772 - Log u = Log (0,562/u)
Relations d'équivalence
N(o,/5) = 2 K (/b) , W(u,o)=W(u)
W(u,/b) = 2 K,, (/i) - W (/;>V4 u, A )
^* W(u,^) at* W (u) pour u ^ 2 A«* W (u) pour u r:^ 5 /^b"* si 0^0,1
W (u,/b)î^2 K (/b) - Io (^) W (/Ô/'4 u) pour \x^^ ¡^/l^ si u
TABLEAU 3 - VALEURS ET APPROXIMATIONS DE LA FONCTION
S (1^J) = -4r j[l - exp (-TA] r du
R =jj^(u)Y ( î u) - Y^ (u) Jo ( ^u) |/u*mu) + Y^*(u) j
VIH
1 . Approximations
S (r,J) » W (f/4l:) siTr>20
2. Tableau de valeurs (d'après M.S. HANTUSH)
X,0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
1.00
1.20
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
5
6
8
10
12
15
20
25
30
50
100
500
1,000
5,000
10,000
25,000
1
0.616
0.842
1.005
1.131
1.244
1.344
1.420
1.483
1.608
1.722
1.860
2.048
2.199
2.337
2.551
2.727
2.865
3.104
3.305
3.456
3.657
3. 921
4.122
4.298
4.775
5.441
7.037
7.716
9.324
10.015
10.933
2
0.440
1.407
1.948
2.098
2.287
2.551
2.752
2.915
3.405
4.059
5.642
6.333
7.942
8.633
9.550
5
0.0126
0.192
0.488
0.591
0.729
0.925
1.088
1.230
1.658
2.274
3.820
4.511
6.107
6.798
7.716
1 ..l.i.
10
0.000
0.0012
0.0302
0.0528
0.0905
0.162
0.236
0.309
0.578
1.058
2.476
3.142
4.725
5.416
6.333
IX
TABLEAU 4 - VALEURS ET APPROXIMATIONS DE LA FONCTION
oo
A (r, T) = 1 - 4. ri,fa)J,(^")-Y>)J,(^") exp (-Tu^) ^^ / Jo (û) + Yo^(u) u
Pour X <^ 0,05
A (r, ? )~ [l/fT"] [ erfc \{V^)nf^ (^ d/t" /4r ierfc :?- i)/2\/t
Pour T
A (r,?)
500
W ( î/4 r)/ Log (2,25 -cr )
T^
10-'
10-'
10''
1
10
f '1
ju !
1.0
1 1.000
! 1.000
3 1.000
1 1.000
S 1.000
i 1.000
' 1.000
1 1.000
9 1.000
1 1 1.000
: 1.000
1 1.000
1 1 1.000
i 1,000
i 1.000
1.000
1 1.000
> 1.000
1 1.000
z 1.000
I 1.000
1 1.000
1 1.000
1.000
1 1.000
) 1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
) 1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
l.OOO
1.000
1.000
' 1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
l.OOO
1. 1
0.024
0.109
o.iai
0.2S1
0.30]
0.343
0.3SO
0,410
0.43S
0.4SI
0,S89
0,632
0,491
0,718
, 0.7391 0,754, 0 , 76 7
, 0,776
1 0.787
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i 0,173
X ...0,190
0,893
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0,90]
0,904
0,934
0,9]3
0,9]7
0.940
0,943
, 0,94S
i 0,946
0,948
' 0,949j 0,9561 0,9391 0,962
1^ 0,96]
i 0,9440.965
0.944
' 0.944
\ 0.9670.970
0.972
0.97]
0.974
0.974
0.975
0.973
0.976
0,9 74
1.2
0.000
0,001
0,009
0,02]
0,042
0,062
0,08]
0,104
0,134
0.144
0.390
0.]79
0,4]9
0,4<]
0,317
0,514
0,366
0.5IS
0.601
0,691
0,75]
0,7St
0,789
0,800
0,80B
0,813
0,821
0,134
0.870
0.879
0.»6
0.890
0,894
0.898
0.900
0.90]
0,916
0,932
0.936
0.939
0.9]1
0.9]]
0,933
0,9]6
0.9]7
0,94]
0.946
0.948
0.9S0
0.931
0.932
0.933
0,934
0,934
1,3
0,000
0,000
0.001
0,002
0,00s
O.OIO
0,016
0,032
0,0 30
0,117
0,194
0,234
0.30 2
0.341
0,373
0.400
0.423
0.44]
0.362
0.620
0.633 1
0.698
0.715
0.735
0,73s
0, 74]
O.790
0.813
0,826
0,8]S
0.842
0,848
0.8S] ¡0,857 :
0,860
0.879 1
0,»6 \0,894 \0.698 1
{ 0.901 '0.904
1 0.906 '
: 0.908
0.909
0.918
0.923
0.926
0.928
0.930
0,931
0.9J3
0.93]
0.91* '
1,4
0,000
0,000
0.001
0,001
0.003
0.004
O.0J9
0.087
0.IJ3
0.1 7S
0,2U
0,2<2
0,2 70
0,294
0,]16
0,4S0
0,S19
0,S62
0,615
0.634
0.649
0.661
0.672
0.732
0.760
0.777
0.789
0,798
0,«0S
0.811
0.al6
0.120
0.843
0.(36
0.(64
0.(69
0.(74
0,(77
0,(79
0,8(3
0,((4
0.(9S
0,901
0,90S
D,90(
0,910
0,912
0.913
0.914
0,913
1.3
0,000
0,000
0.010
0.034
0.06]
0.09]
0. 122
0.149
0. 174
0, 196
0,217
0,]SS
0,430
0,479
0,340
0,362
0,5 79
0,S94
0,606
0.677
0,711
0,7]1
0, 746
0,757
0,76S
0, 77]
0,779
0,7(4
0,(1]
0,(27
0,(]6
0,(4]
0,(46
0,(31
0,(53
0,(3 7
0,(60
0.874
0,8(1
0,((6
0.((9
0,(91
0,(9]
0.893
0.897
0,898
1.6
0,000
0.000
0.002
0,011
0.037
0,046
0,066
0.087
0. 106
0.123
0,14]
0,2 73
0,33 2
0,403
' 0,4730,496
0,313
1 0,332
0.346
0,627
0,663
0,6(9
0,706
0,718
0,72(
0,737
0,74]
0,749
0,7()
0,(00
0,(10
0,(1(
0,(21
0.(3(
0.(32
0.(15
0.(18
0.(34
0.(63
0.847
0.(71
0.(74
0.(77
0.(790.8(0
0.((i
1,7
0,000
0.000
0.003
0,010
0,021
0.03]
0.047
0.062
0.077
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-
-h
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O.OK
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j 0.378i 0.5851 0.S91
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0.00s0.018
0.014
0.031
0.067
0.0(3
0.097
0.110
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0.236
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0.II4
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0.006
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0.034
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0.)97
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0.479
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0.503
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0.000
0.002
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-
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0.2(0
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H
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0,000
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300
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0,422
30
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'0.0840.104
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SO
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0.000
0.001
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0.000
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0.000
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0.000
0.001
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90
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0.008
100
0.000
0.000
0.001
0.001
0.0020.003
0.004
TABLEAU 5 - VALEURS ET APPROXIMATIONS DE LA
FONCTION M(u,A) (d'après M.S. HANTUSH)
1 . Approximations
Pour u ^ 0,05/fb .
Pour u ^ 0,OS//b^
Pour u ^¿1 5 //3*
2. Tableau
0,01 M (u,/i)#%>2 [arg sh /i - 2/^^u/7r J
M (u,y^)i«2 [arg sh /i- /berf ( n/TT)!
M (u,/Î5);iiW (u)
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1
2
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7
8
9
101
O.I
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0.1993
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0. .992
0, .99.
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U. 1925
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a,32(-2)
5.44(-2)
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4. IO(-2)
3.57(-2)
3. 13(-2)
9.01(-3)
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l.23(-5)
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9. 29(-2)
a.oe(-2)
7.03(2)
6,14(-2)
l,75(-2)
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1.78(-3)
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l,95(-4)
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0. 5348
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0. 5239
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0.4164
0.4050
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0. 3844
0.3081
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0.2153
0. 1835
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8.95(-2)
2.51(-2)
7.68(-3)
2.44(-3)
7.96(-4)
2.64(-4)
8. 84(-5)
2.99(-5)
1.02(-5)
3.48(-e)
0.4
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0.7785
0.7783
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0.7777
0.7775
0.7774
0.7772
0.7760
0.7751
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0.7731
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0.7720
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0.7620
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0.7580
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0.7515
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0.7047
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0.6901
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0.5817
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0. 2039
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0. 1319
0. .148
3. I6(-2)
9.47(-3)
2.96(-3)
9.49(-4)
3. 10(-4)
1.02( 4)
3.42(-5)
.. 15(-5)
3.90(-6)
0.5
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3.67(.2)
l.08(-2)
3.3l(-3)
1.05(-3)
3.36(4)
1. 10(-4)
3.63(-5)
1.21(-5)
4.07(-6)
0.6
1. 1376
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1, 1341
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1.1334
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1.1291
1. .281
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1.1255
1.1248
1. 124.
I. 1185
.. .142
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Pour uii.10 M (u,[b) = W (u) pour toutes valeurs de 1^
Les nombres entre parenthèses indiquent la puissance de 1 0
TABLEAU 5 (suite) XI
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1.1330
-1Pour u ^ 2.10" M(u,/2>) = W (u) quelque soit /b
TABLEAU 5 (fin)XII
9.9004
5.0739
9. 0045
5. 057)
5.8519
9.0400
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«.3137
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6 6879
6.9545
Pour -u.i^ 10 '^ M (u,/2>) = W (u) pour u J^ 8.10 quelque soit ¡^
TABLEAU 6 - VALEURS DES FONCTIONS - XIII -
f (u;, , r/d) =
^' (u;, r/d) =
F (u' , r/d) + F (u' , r/d) (limite étanche)
F (u' , r/d) - F (u' , r/d) (limite à charge constante)
^=(2^-1)*-avec : ux r
F(x) = W (1/x)
u 1
u 2
'r'I 2d-r
.n- r
^\r/d
1 (+11)*
5 (+1 0)
2.5 (+10)
1.25 (+10)
1 (+10)
5 (+9)
2.5 (+9)
1. 25 (+ 9)
1 (+9)
5 (+ 8)
2.5 (+8)
1.25 (+ 8)
1 (+8)
2500
50
10.0393
-0.0408
0
41.68
40.29
38.91
37.52
37.07
35.69
34.30
32.91
32.47
31.08
29.70
28.31
27.86
0
7.82
400
20
0.095
- 0.105
0
43 . 51
42.12
40.74
39.35
38.91
37.52
36.13
34.75
34.30
32.91
31.53
30.14
29.70
0
5.99
II
II
II
II
II
II
II
M
II
II
II
II
100
10
0.182
-0.222
0
44.90
43.51
42.12
40.74
40.29
38.91
37.52
36.13
35.69
34.30
32.91
31.53
31.08
0
4.61
25
5
0.333
- 0.5
0
46.28
44.90
43.51
42.12
41.68
40.29
38.91
37.52
37.07
35.69
34.30
32.91
32.47
0
3.22
9
3
0.5
-1
0
47.31
45.92
44.53
43.15
42.7 0
41.31
39.93
38.54
38.09
36.71
35.32
33.94
33.49
0
2.20
4'
2
0.667
- 2
0
': 48.12
46.73
45.34
43.95
43.51
42.12
40.74
39.35
38.91
37.52
36.13
34.75
34.30
0
1.39
(1
ll
II
II
M
II
1
M
II
II
II
II
2
\r0.828
- 4.8
0
48.81
47.42
46.04
44.65
44.20
42.82
41.43
40.05
39.60
38.21
36.83
35.44
34.99
0
0.69
* les chiffres entre parenthèses Indiquent la puissance de 10 .../.
TABLEAU 6 (suite)-XIV
5 (+ 7)
2.5 (+7)
1.25 (+7)
1 (+ 7)
5 (+ 6)
2.5 (+6)
1.25 (+ 6)
1 (+ 6)
5 (+ 5)
2.5 (+5)
1.25 (+ 5)
1 (+ 5)
5 (+4)
2.5 (+4)
1.25 (+ 4)
1 (+ 4)
5. (+3)
2.5 (+3)
1.25 (+ 3)
1 (+ 3)
5 (+ 2)
2.5 (+2)
1.25 (+ 2)
1 (+ 2)
26.48
25.09
23.70
23.26
21.87
20.49
19.10
18.65
17.27
15.89
14.51
14.07
12.71
11.37
10.08
9» 68
8.50
7.47
6.60
6.36
5.64
7.82II
11
II
II ,
II
II
M
II
7.81
7.80
7.80
7.77
7.73
7.63
7.59
7.38
7.03
6.51
6.31
5.64
28.31
26.92
25.54
25.09
23.70
22.32
20.93
20.49
19.10
17.71
16.33
15.88
14.50
13.12
11.75
11.. 31
9.97
8.66
7.41
7.03
5.95
5.03
4.27
4.04
5.99II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
5.98II
5.96
5.95
5.91
5.84
5.70
5.63
5.33
4.86
4.25
4.03
29.70
28.31
26.92
26.48
25.09
23.70
22.32
21.87
20.49
19.10
17.71
17.27
15.88
14.50
13.12
12.67
11.29
9.93
8.58
8.15
6.86
5.65
4.57
4.26
4.61II
II
II
II
II
II
II
4.60II
II
II
II
II
II
II
4.59
4.57
4.53
4.51
4.42
4.25
3.95
3.82
31.08
29.70
28.31
27.86
26.48
25.09
23.70
23.26
21.87
20.49
19.10
18.65
17.27
15.88
14.50
14.05
12.67
11.29
9.91
9.47
8.11
6.77
5.48
5.08
3.22II
II
II
M
II
II
II
11
II
II
II
tl
II
tl
tl
3.21II
3.20
3.19
3.13
3.13
3.04
2.99
32.10
30.72
29.33
28.88
27.50
26.11
24.73
24.28
22.89
21.51
20.12
19.67
18.29
16.90
15.52
15.07
13.68
12.30
10.92
10.47
9.10
7.73
6.38
5.96
2.20II
II
II
II
lt
II
II
II
II
2.19II
II
2.18
2.17
2.13
2.12
32.91
31.53
30.14
29.70
28.31
26.92
25.54
25.09
23.70
22.32
20.93
20.49
19.10
17.71
16.33
15.88
14.49
13.11
11.73
11.28
9.90
8.52
7.16
6.72
1.39
1.38
1.38
1.38
1.37
1.36
1.36
33.61
32.22
30.83
30.39
29.00
27.62
26.23
25.78
24.40
23.01
.21.62
21.18
19.79
.18.41
17.02
16.57
15.19
13.80
12.42
11.97
10.59
9.21
7.83
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0.6911
M
II
tr
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
M
II
II
II
11
M
0.68
./.
TABLEAU 6 (Fin) - XV -
5 (+1)
2.5 (+1)
1.25 (+1)
1 (+1)
5 (+0)
2.5 (+0)
1.25 (t-O)
1
5 (-1)
2.5 (-1)
3.35 3.35 3.40
2.69
2.03
3.31
2.68
2.03
3.91
2.90
2.08
1.85
1.22
2.79
2.46
1.98
1.80
1.22
4.66
3.46
2.39
2.08
1.29
0.71
0.31
0.22
2.05
1.91
1.67
1.56
1.16
0.70
0.31
0.22
5.38
4.09
2.89
2.53
1.53
0.79
0.32
0.22
0.05
1.33
1.27
1.17
1.12
0.91
0.62
0.30
0.22
0.05
6.04
4.71
3.44
3.05
1.93
1.01
0.40
0.27
0.05
0.05
0.67
0.65
0.62
0.60
0.52
0.39
0.22
0.17
0.05
0.00
TABLEAU 7 - VALEURS ET APPROXIMATIONS DE LA FONCTION ^i (u)
XV»
I . Approximations
Pour u^ 0,2
(0,809 + Log u )
2. Valeurs
u
"TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
N -10 ^
1,52468
1,35141
1,25006
1,17814
1,12236
1,07 678
1,03825
1,00487
0,97542
N = 10 ^
0,94908
0,77581
0,67444
0,60252
0,54673
0,50115
0,46260
0,42922
0,39977
N - lO"'^
0,37344
0,20247
0,11323
0,06348
0,035605
0,019969
0,011199
0,006281
0,003523
N = 100
0,001976
0,000006
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
XVII
TABLEAU 8 - VALEURS ET APPROXIMATION DE LA FONCTION
H (u,^) = Wl/y) exp (-y) erfc | /3 ^TT/Vy (y-u) dy
Approximations
4 n*Peur u ::^ 10 p
H (u,yi) ñ¿ W(u) - (4y^//ir¡j)
Pour u^^ 10" V/^^ et IÇ)-^ V
H (u,/i) = 0,5 Log (0,044//^^u)
Tableau de valeurs
0,258+0,693 exp - (0,5 u)
1
1
1
4
5
b
7
a
9
1
1
)
4
5
b
7
a
9
1
I
)
4
5
b
7
6
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1
2
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4
5
b
T
B
9
1
1
1
4
5
4
T
a
9
1
l
1
4
5
b
T
B
9
l
Z
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4
5
8
7
a
9
10
(
(-6)
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(-61
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(-9)
(-9)
(-5)
(-9)
(-9)
(-91
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(-St
(
(-«)
(
(-4)
(-4)
(-4)
(-41
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1-4)
(
(-11
(-1)
(-11
(-11
(
(-11
(-11
(
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(-1)
l-l»
l-l)
(-11
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(-lt
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11
(-11
-lt
-Il
-lt
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-lt
-Il
-lt
-U
01
01
01
01
01
01
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01
01
01
'
11. 9041
11.9195
11. 159)
11.0968
10.8998
10. 7618
10.6466
10. 5455
10. 4551
10. 1719
9.8197
9. 4815
9. 1)5B
9.0411
8.8811
a. T451
8.6166
8. 5109
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7.4110
T. 1191
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6. 75)1
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TABLEAU 9 - APPROXIMATIONS ET VALEURS DE LA FONCTION
XVIII
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Pour T^ 0,01
Pour T/ii^^-l
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G (7:,/3) «i 2/W (1/4 T ,/i)
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0.117
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TABLEAU 10 - VALEURS ET APPROXIMATIONS DE LA FONCTION
oo
V (r,P) = J (l/u) J (u y) il - exp (-Tu th u)l du
1 . Approximations
Pour7--i0,05 V (T,/*)^arg sh (1/p) + arg sh (T/^ - arg sh [(I +7)/"? )1
PourT^0,01 V (T, f )% arg sh (r/f ) - Z/\Jl +?*
Pour 7:^0,01 et T/f^O V ( ?, f) î« Log (2 T/f)
Pour r :-> 5 V (T,?) ^ 0, 5 W (f^4 T)
XIX
2. Tableau de valeurs
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4
10"' s
1 t
10
1
2.99
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4. oe
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8, 15
8.20
8.25
8. 30
8. 12
8.35
2
2.30
2.97
3.40
3.68
3.90
4.06
4.20
4. 34
4.47
4. 54
5, 15
5,50
5.75
6.00
6, 10
6.20
6.25
6.35
6.45
6.88
7. 15
7.28
7.35
7.50
7.55
7.60
7.65
7.75
3
1.90
2.58
3.00
3.26
3.49
3.65
3.80
3.94
4.05
4. 14
4.78
5. 12
5. 35
5.58
5.65
5.80
5.85
6.00
6.05
6.45
6.70
6.85
7.00
7. 10
7. 15
7.20
7.25
7.35
4
1.64
2.30
2.70
2.98
3.20
3. 36
3.51
3.65
3,75
3.85
4.50
4,85
5,08
5.25
5.40
5. 50
5.60
5,70
5.75
6. 15
6.45
6. 58
6.65
6.75
6.85
6.90
7.00
7.05
I0-Í
5
1.42
2.09
2.46
2.75
2.96
3. 15
3. 30
3.42
3, 54
3,63
4.28
4.61
4.85
5.00
5. 15
5.25
5. 35
5.50
5.55
5.92
6.20
6.35
6.50
6.55
6.62
6. 70
6.75
6.80
6
1.28
1.92
2.28
2.58
2.79
2.96
3. 12
3.24
3. 35
3,45
4. 10
4.43
4.67
4.85
4.98
5.08
5.20
5.30
5.35
5.75
6,00
6,15
6,25
6.35
6.40
6.50
6.55
6.60
7
1, 15
1,76
2. 13
2.42
2.64
2,80
2.96
3.09
3.20
1. 30
3.93
4.28
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4. 70
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4.92
5.00
5. 12
5.20
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6. 00
6. 10
6.20
6.30
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6.40
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8
1. 04
1.64
2.00
2.29
2.50
2.68
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4. 38
4.55
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5,00
5.05
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5.90
6.00
6. 10
6.20
6.25
6.30
6.35
9
0.950
1.52
1.88
2. 17
2. 38
2.56
2.70
2.84
2.95
3.04
3,66
4,01
4.26
4.45
4.56
4,68
4.80
4.90
4.95
5.35
5.60
5.75
5.85
5.95
6.05
6. 10
6. 15
6.20
10"î
1
0.875
1.42
1.79
2.06
2,28
2,45
2,60
2,72
2,84
2.94
3, 56
3.90
4. 15
4. 30
4.45
4.55
4.65
4.75
4.83
5.25
5.50
5.70
5.80
5.85
5.95
6.05
6. 10
6. 14
2
0.474
0.860
1.'18
1.42
1.60
1.78
1.91
2.04
2. 14
2.25
2.87
3.24
3.46
3.65
3.76
3.90
3.96
4.05
4. 10
4.59
4.82
4.95
5.05
5.20
5.25
5. 30
5. 35
5.40
3
0. 322
0.610
0.860
1.07
1.24
1.40
1.54
1.65
1.75
1.85
2.46
2,84
3.05
3,24
3,37
3,50
3.55
3.65
3,74
4, 18
4,42
4.55
4.68
4.78
4.85
4.92
5.00
5.02
4
0.240
0.468
0.675
0.850
1.010
1. 15
1.28
1. 39
1. 50
1.58
2.20
2. 54
2.76
2.95
3.09
3.20
3.26
3.36
3.45
3.90
4. 12
4.26
4.40
4.50
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4.70
4.80
5
0. 192
0.378
0.555
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0.850
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1.09
1.20
1.29
1, 38
1,98
2. 32
2.54
2.72
2.85
2.99
3.05
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3.22
3.68
3.90
4.04
4.19
4.26
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1. 14
1.22
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0.400
0. 525
0,630
0,7 35
0.835
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1.02
1.09
1.65
1.98
2.20
2.38
2.50
2.64
2.71
2.80
2.90
3. 34
3.57
3.70
3.85
3.92
4.00
4. 10
4. 15
4. 19
8
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2.07
2.24
2,38
2.50
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2.75
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1.96
2. 14
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2.64
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3.46
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10
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2. 16
2.28
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3.20
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1.49
1.59
1.66
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1.86
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2. 16
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3.84
2
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1. 30
1.38
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1.88
2. 10
2.25
2.18
2.47
2.5»
2.60
2.67
2.74
4
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1.04
1. U
1. 18
1.60
1.82
1.97
2.09
2. 18
2.25
2.32
2.19
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0. 700"
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1.18
1.60
1.75
1.87
1.95
2.04
2. II
2. 17
2.24
6
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I.IS
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I.J*
1.44
I.SO
I.5S
2
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O.ZIO
![infoterre.brgm.frinfoterre.brgm.fr/rapports/79-SGN-255-HYD.pdf · RESUME ANALYTIQUE 1. Répercussions de l'aridité sur l'économie de l'eau: effets de l'aridité [fait climatique]](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5c6a759d09d3f27a7e8cb138/-resume-analytique-1-repercussions-de-laridite-sur-leconomie-de-leau.jpg)
