calage semi-automatiquedes modèles hydrodynamiques

description du logiciel M I C A et deux exemples d'application

BRGM

calage semi-automatiquedes modèles hydrodynamiques

description du logiciel M I C A et deux exemples d'application

N. KesslerElève stagiaire de l'Ecole des Mines de ParisOption "Sciences de la Terre"

juillet 198787 S G N 871 EAU

BUREAU DE RECHERCHES GEOLOGIQUES ET MINIERESSERVICE GÉOLOGIQUE NATIONALDépartement Eau et Environnement

B.P. 6009 - 45060 ORLÉANS CEDEX 2 - Tél.: 38.64.34.34

1*

T^^i^xjL xné

Les modèles hydrodynamiques sont d'un emploi courant enhydrogéologie, car ils permettent de simuler l'évolution future duniveau piézométrique d'une nappe aquifère soumise à diversesperturbations externes (pompages, . . . )

Ces modèles sont basés sur la résolution d'une équationdifférentielle de conservation, dont les divers paramètres(transmissivités, coefficients d'emmagasinement, ... ) dépendent de lanappe étudiée. Ceux-ci sont rarement accessibles à l'observationdirecte et ils doivent donc être estimés, soit à partir de testsponctuels (essais de débit), soit à partir de l'interprétation decartes piézométriques.

Le logiciel MICA développe une méthode semi-automatique d'aideau calage de ces modèles, proche de la démarche "manuelle" empiriqueutilisée actuellement pour 1' identification des paramètreshydrodynamiques à partir de données piézométriques.

Le présent mémoire propose donc, après une courte synthèsebibliographique, une présentation des algorithmes retenus, puis desexemples d'application, avec notamment l'étude d'un cas réel. Enfin,une analyse critique des résultats obtenus débouche sur despropositions de développements futurs du logiciel.

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Les modèles hydrodynamiques sont d'un emploi courant enhydrogéologie, car ils permettent de simuler l'évolution future duniveau piézométrique d'une nappe aquifère soumise à diversesperturbations externes (pompages, . . . )

Ces modèles sont basés sur la résolution d'une équationdifférentielle de conservation, dont les divers paramètres(transmissivités, coefficients d'emmagasinement, ... ) dépendent de lanappe étudiée. Ceux-ci sont rarement accessibles à l'observationdirecte et ils doivent donc être estimés, soit à partir de testsponctuels (essais de débit), soit à partir de l'interprétation decartes piézométriques.

Le logiciel MICA développe une méthode semi-automatique d'aideau calage de ces modèles, proche de la démarche "manuelle" empiriqueutilisée actuellement pour 1' identification des paramètreshydrodynamiques à partir de données piézométriques.

Le présent mémoire propose donc, après une courte synthèsebibliographique, une présentation des algorithmes retenus, puis desexemples d'application, avec notamment l'étude d'un cas réel. Enfin,une analyse critique des résultats obtenus débouche sur despropositions de développements futurs du logiciel.

T^tíi^ cisîs nvns». -fc i ^ x- ^ :

PREAMBULE

0. - IHTEODÜCTIOF AUÏ KODELES HYDRODYNAMIQUES 5

0. 1 Les Modèles Hydrodynamiques en Hydrogéologie 6

0,2 L'équation de Diffusivité 8

1. - PROCESSUS D' IDEKTIFICATIOF 12

1. 1 Le Calage des Modèles 13

1) introduction au problème du calage 132) le calage par "essai et erreur" 13

1. 2 Les Approches Automatiques 14

1) formalisation du problème 142) les différents modèles inverses 153) une approche semi-automatique 18

2. - DESCRIPTION DU LOGICIEL MICA 20

2. 1 Présentation Générale du Logiciel 21

2.2 Les Paramètres Optimisés 23

2. 3 Le Critère d' Erreur 25

2.4 Le Module d'Optimisation 26

1) remarques préliminaires 262) présentation de l 'algorithme de newton 273) application au logiciel KICA 254) méthode de calcul des dérivées partielles 30

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PREAMBULE

0. - IHTEODÜCTIOF AUÏ KODELES HYDRODYNAMIQUES 5

0. 1 Les Modèles Hydrodynamiques en Hydrogéologie 6

0,2 L'équation de Diffusivité 8

1. - PROCESSUS D' IDEKTIFICATIOF 12

1. 1 Le Calage des Modèles 13

1) introduction au problème du calage 132) le calage par "essai et erreur" 13

1. 2 Les Approches Automatiques 14

1) formalisation du problème 142) les différents modèles inverses 153) une approche semi-automatique 18

2. - DESCRIPTION DU LOGICIEL MICA 20

2. 1 Présentation Générale du Logiciel 21

2.2 Les Paramètres Optimisés 23

2. 3 Le Critère d' Erreur 25

2.4 Le Module d'Optimisation 26

1) remarques préliminaires 262) présentation de l 'algorithme de newton 273) application au logiciel KICA 254) méthode de calcul des dérivées partielles 30

3. - EXEMPLES D' APPLICATIOIÎ 33

3. 1 Expérimentation du Logiciel 34

1) présentation de la nappe "test" 342) validation des algorithmes 37

a) régime permanent 37b) régime transi toire 37

3) expérimentations complémentaires 40

3.2 Application à un Cas Réel 43

1) la nappe du cailly 432) calage manuel "assisté" 453) calage "semi-automatique" 45

4. - COSCLUSIORS ET PERSPECTIVES 53

4. 1 Résultats Obtenus 54

4. 2 Dévslopperasnts Proposés 55

BIBLIOGRAPHIE 57

3. - EXEMPLES D' APPLICATIOIÎ 33

3. 1 Expérimentation du Logiciel 34

1) présentation de la nappe "test" 342) validation des algorithmes 37

a) régime permanent 37b) régime transi toire 37

3) expérimentations complémentaires 40

3.2 Application à un Cas Réel 43

1) la nappe du cailly 432) calage manuel "assisté" 453) calage "semi-automatique" 45

4. - COSCLUSIORS ET PERSPECTIVES 53

4. 1 Résultats Obtenus 54

4. 2 Dévslopperasnts Proposés 55

BIBLIOGRAPHIE 57

PîlEAMBULE

L'étude des écoulements d'eau dans la zone saturée ou dans la zone

non-saturée des aquifères nécessite le recours à des modèles

hydrodynamiques de simulation.

Etant donné que les mesures de terrain ne peuvent être par nature

que très ponctuelles (pompages d'essai, tensiomètres, profils de sonde à

neutron), il est indispensable d'ajuster (c'est-à-dire de caler) les

valeurs de paramètres des modèles (perméabilité, colmatage des berges,

coefficients d'emmagasinement, recharge par les pluies, etc..) de façon

à reproduire les observations de terrains (cartes piézométriques, débits

de sources ou de cours d'eau). Ce calage des modèles est une phase

indispensable mais délicate et coûteuse. Le texte qui suit présente une

méthode de calage originale et simple pour caler un modèle maillé (par

exemple hydrodynamique) de manière semi-automatique.

Ce travail a été réalisé au département EAU du BRGM par

Nicolas KESSLER, élève stagiaire de l'Ecole des Mines de Paris, option

"Sciences de la Terre". L'encadrement de cette recherche a été assuré

par Dominique THIERY (BRGM/EAU) ainsi que par Gislain de MARSILY

(CIG/Fontainebleau) .

Le logiciel MICA (Méthode Inverse pour un Calage Automatique) a été

écrit en mai 1987 par N. KESSLER pour réaliser le calage d'un modèle

hydrodynamique à mailles carrées du BRGM et a été appliqué à deux

exemples (un exemple théorique et un exemple réel -nappe du CAILLY-).

Après cette date, le logiciel a été perfectionné fin 1987 au BRGM et a

été appliqué avec succès à un autre exemple réel (nappe du BREIL d'AUDE)

qui n'est pas décrit dans ce rapport.

Cette recherche a été réalisée sur les fonds propres du BRGM dans le

cadre du projet "Recharge des aquifères en climat aride".

PîlEAMBULE

L'étude des écoulements d'eau dans la zone saturée ou dans la zone

non-saturée des aquifères nécessite le recours à des modèles

hydrodynamiques de simulation.

Etant donné que les mesures de terrain ne peuvent être par nature

que très ponctuelles (pompages d'essai, tensiomètres, profils de sonde à

neutron), il est indispensable d'ajuster (c'est-à-dire de caler) les

valeurs de paramètres des modèles (perméabilité, colmatage des berges,

coefficients d'emmagasinement, recharge par les pluies, etc..) de façon

à reproduire les observations de terrains (cartes piézométriques, débits

de sources ou de cours d'eau). Ce calage des modèles est une phase

indispensable mais délicate et coûteuse. Le texte qui suit présente une

méthode de calage originale et simple pour caler un modèle maillé (par

exemple hydrodynamique) de manière semi-automatique.

Ce travail a été réalisé au département EAU du BRGM par

Nicolas KESSLER, élève stagiaire de l'Ecole des Mines de Paris, option

"Sciences de la Terre". L'encadrement de cette recherche a été assuré

par Dominique THIERY (BRGM/EAU) ainsi que par Gislain de MARSILY

(CIG/Fontainebleau) .

Le logiciel MICA (Méthode Inverse pour un Calage Automatique) a été

écrit en mai 1987 par N. KESSLER pour réaliser le calage d'un modèle

hydrodynamique à mailles carrées du BRGM et a été appliqué à deux

exemples (un exemple théorique et un exemple réel -nappe du CAILLY-).

Après cette date, le logiciel a été perfectionné fin 1987 au BRGM et a

été appliqué avec succès à un autre exemple réel (nappe du BREIL d'AUDE)

qui n'est pas décrit dans ce rapport.

Cette recherche a été réalisée sur les fonds propres du BRGM dans le

cadre du projet "Recharge des aquifères en climat aride".

]yncDca.é 1 ^ :=: I-I y ca. i- cd c3. y xi,sl m i c^-lj o ^

Ce chapitre préliminaire est consacré à une présentation succin(tedes modèles hydrodynamiques utilisés en hydrogéologie. Il est destinéaux lecteurs ne possédant que des notions très vagues en modélisation.

Les lecteurs plus familiers avec de telles techniques sont doncinvités à se reporter directement au chapitre 1, qui donne uneprésentation théorique générale des processus d' identification et deleur application aux modèles hydrodynamiques.

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Ce chapitre préliminaire est consacré à une présentation succin(tedes modèles hydrodynamiques utilisés en hydrogéologie. Il est destinéaux lecteurs ne possédant que des notions très vagues en modélisation.

Les lecteurs plus familiers avec de telles techniques sont doncinvités à se reporter directement au chapitre 1, qui donne uneprésentation théorique générale des processus d' identification et deleur application aux modèles hydrodynamiques.

0. 1 Les Modèles Hydrodynamiques en Hydrogéologie

L'utilisation d'un "modèle", c'est-à-dire de la représentationmathématique d'un système physique, est une pratique courante' enhydrogéologie. Ces modèles sont en effet pratiquement indispensablesdès qu'il s'agit de prévoir le comportement du système étudié face àdiverses sollicitations extérieures.

Un exemple simple va nous permettre d'illustrer les conditionsd'emploi des modèles hydrodynamiques [fig. 13.

Supposons donc que nous nous trouvions dans une vaste régionagricole, dans laquelle se trouve implantée uns petite usine. Pour lesbesoins de sa production, celle-ci utilise des quantités d'eaurelativement importantes, qu'elle prélève sur le réseau de distri¬bution collectif.

Dans la perspective d'une augmentation de la production,entraînant une augmentation substancielle des besoins en eau, lesdirigeants de l'usine ont donc à s'interroger sur 1' opportunuité defaire construire un puits particulier à l'usine, qui viendrait puiserdans la nappe aquifère peu profonde.

Une telle décision peut cependant poser des problèmes. On estainsi amené à se poser deux types de questions:

- quelle sera la qualité des saux pompées, celles-ci pouvantnotamment être polluées par des infiltrations provenant de larivière proche?

- quelle sera la quantité d'eau que l'on pourra réellement pomper,compte tenu des possibilités de réalimentation de la nappe, touten conservant un débit minimal dans la rivière, qui sert àl'irrigation des différentes cultures environnantes?

Pour pouvoir répondre à de telles questions, il estindispensable de construire un modèle hydrodynamique pGrmettant desimuler le comportement de la nappe aquifère. On peut ainsi, entestant successivement diverses hypothèses, déterminer le meilleuremplacement pour le forage envisagé, et quantifier ses conditionsd'exploitation optimales.

Les modèles hydrodynamiques constituent donc des outils dedécision irremplaçables, dont la valeur est cependant liée à laqualité des prévisions.

Avant de revenir sur ce point, nous allons rapidement enprésenter les principes.

0. 1 Les Modèles Hydrodynamiques en Hydrogéologie

L'utilisation d'un "modèle", c'est-à-dire de la représentationmathématique d'un système physique, est une pratique courante' enhydrogéologie. Ces modèles sont en effet pratiquement indispensablesdès qu'il s'agit de prévoir le comportement du système étudié face àdiverses sollicitations extérieures.

Un exemple simple va nous permettre d'illustrer les conditionsd'emploi des modèles hydrodynamiques [fig. 13.

Supposons donc que nous nous trouvions dans une vaste régionagricole, dans laquelle se trouve implantée uns petite usine. Pour lesbesoins de sa production, celle-ci utilise des quantités d'eaurelativement importantes, qu'elle prélève sur le réseau de distri¬bution collectif.

Dans la perspective d'une augmentation de la production,entraînant une augmentation substancielle des besoins en eau, lesdirigeants de l'usine ont donc à s'interroger sur 1' opportunuité defaire construire un puits particulier à l'usine, qui viendrait puiserdans la nappe aquifère peu profonde.

Une telle décision peut cependant poser des problèmes. On estainsi amené à se poser deux types de questions:

- quelle sera la qualité des saux pompées, celles-ci pouvantnotamment être polluées par des infiltrations provenant de larivière proche?

- quelle sera la quantité d'eau que l'on pourra réellement pomper,compte tenu des possibilités de réalimentation de la nappe, touten conservant un débit minimal dans la rivière, qui sert àl'irrigation des différentes cultures environnantes?

Pour pouvoir répondre à de telles questions, il estindispensable de construire un modèle hydrodynamique pGrmettant desimuler le comportement de la nappe aquifère. On peut ainsi, entestant successivement diverses hypothèses, déterminer le meilleuremplacement pour le forage envisagé, et quantifier ses conditionsd'exploitation optimales.

Les modèles hydrodynamiques constituent donc des outils dedécision irremplaçables, dont la valeur est cependant liée à laqualité des prévisions.

Avant de revenir sur ce point, nous allons rapidement enprésenter les principes.

fig. 1 utilisation das modèles hydrodynamiques: exemple introductiffig. 1 utilisation das modèles hydrodynamiques: exemple introductif

0.2 L'Equation de Diffusivité

Lorsque l'on veut modéliser une nappe aquifère, on commencepar définir un maillage géométrique (généralement carré) de la surfaceconsidérée. On obtient ainsi une subdivision de la nappe en petitsvolumes élémentaires.

Un volume élémentaire type peut être schématisé de la manièresuivante [fig. 23 :

- le mur de la nappe est constitué par un niveau imperméable,généralement argileux

- l'aquifère occupe une couche poreuse (sables, grès...) et/oufissurée (calcaires. . . ) saturée sur une certaine hauteur

- lar.sque la nappe ne se situe pas directement sous la surface dusol, on définit son toit, nouvelle couche imperméable

lous allons maintenant établir l'équation de diffusivité géné¬rale, en nous limitant à l'exemple d'un aquifère non totalement saturé(nappe libre), pour lequel on peut assimiler la hauteur mouillée h àla charge hydrodynamique en négligeant la valeur de la pressionatmosphérique.

L'eau d'une nappe n'est généralement pas immobile; on observeun écoulement des point hauts vers les points bas avec une vitesseapparente u (vitesse de Darcy). Au niveau de notre maille élémentaire,on observe donc des flux latéraux échangés avec les mailles avoi¬sinantes. Il existe également des termes d'échanges avec la surface:pluies ou irrigations d'uns part, débits de pompage d'autrs part.

L'équation ds conservation de la masss d'eau d'une mailles'écrit donc de la manière suivante (les débits sortants étant comptéspositivement) :

.4.

[13 Z p.qi - p.Q = (S<p.V.)/Ît

qi : débits latéraux-Q : débit échangé avsc la surfaceV« : volume d'eau compris dans la maillsp. : masss volumique de l'eau

0.2 L'Equation de Diffusivité

Lorsque l'on veut modéliser une nappe aquifère, on commencepar définir un maillage géométrique (généralement carré) de la surfaceconsidérée. On obtient ainsi une subdivision de la nappe en petitsvolumes élémentaires.

Un volume élémentaire type peut être schématisé de la manièresuivante [fig. 23 :

- le mur de la nappe est constitué par un niveau imperméable,généralement argileux

- l'aquifère occupe une couche poreuse (sables, grès...) et/oufissurée (calcaires. . . ) saturée sur une certaine hauteur

- lar.sque la nappe ne se situe pas directement sous la surface dusol, on définit son toit, nouvelle couche imperméable

lous allons maintenant établir l'équation de diffusivité géné¬rale, en nous limitant à l'exemple d'un aquifère non totalement saturé(nappe libre), pour lequel on peut assimiler la hauteur mouillée h àla charge hydrodynamique en négligeant la valeur de la pressionatmosphérique.

L'eau d'une nappe n'est généralement pas immobile; on observeun écoulement des point hauts vers les points bas avec une vitesseapparente u (vitesse de Darcy). Au niveau de notre maille élémentaire,on observe donc des flux latéraux échangés avec les mailles avoi¬sinantes. Il existe également des termes d'échanges avec la surface:pluies ou irrigations d'uns part, débits de pompage d'autrs part.

L'équation ds conservation de la masss d'eau d'une mailles'écrit donc de la manière suivante (les débits sortants étant comptéspositivement) :

.4.

[13 Z p.qi - p.Q = (S<p.V.)/Ît

qi : débits latéraux-Q : débit échangé avsc la surfaceV« : volume d'eau compris dans la maillsp. : masss volumique de l'eau

í^

^^x

^

>n\\\\\\\\\n\\nn\

fi,:. 2 représentation d'un volume élémentairs d'une nappa aquifère

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^

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1 o

Dans le cas d'une napps libre, l'eau psut êtrs considéréscomme incomprsssibls, et on psut donc simplifisr l'équation deconservation par p«.

Pour pouvoir simuler l'évolution du nivsau piézométrique da lanappa, il nous rests maintsnant à sxprimer les différents débitsapparaissant dans l'équation bilan [13 en fonction de la chargshydrodynamique h st ds quslquss constantes hydrodynamiques propres àl'aquifère considéré.

Esmarquons tout d'abord qus las débits latéraux liés àl'écoulemsnt de la nappe sont évidsmment proportionnais à la vitessede celui-ci (la vitssss da Darcy u) , mais également à la hauteurmouillés h:

[23 qi # Uih

La vitesss d'écoulement ast par ailleurs donnés par la loi dscomportsment proposés par Darcy pour Iss milieux poreux (loi dsDarcy) :

[33 u = KAh

Ah : gradisnt de la charge hydrodynamiqusK : psrméabilité, caractéristique du milisu poreux

En remplaçant l'exprsssion da la vitesss ds Darcy dans [23, onobtient donc;

[43 qi # KhAhi

On peut introduira dans cette expression la transmissivité T,

qui s'apparenta au produit Kh:

[53 qi # TAhi

Enfin, si l'on s'intéresse au second membra de l'équationbilan [13, on psut rsmarquar qua le voluma d'sau intérisur à la maillaest ancora une fois proportionnel à la hautsur mouillés:

[63 V. # Sh

S : coefficient d' ammagasinsmsnt

Dans le cas d'uns napps librs, le coefficient d' emmagasinamant£ représenta an fait la porosité a, qua l'on corriga généralsmsnt pourns pas tenir compts ds l'sau liés (qui n' intsrvient pas au niveau dubilan) sn uns porosité cinématiqus Ua plus faible.

1 o

Dans le cas d'une napps libre, l'eau psut êtrs considéréscomme incomprsssibls, et on psut donc simplifisr l'équation deconservation par p«.

Pour pouvoir simuler l'évolution du nivsau piézométrique da lanappa, il nous rests maintsnant à sxprimer les différents débitsapparaissant dans l'équation bilan [13 en fonction de la chargshydrodynamique h st ds quslquss constantes hydrodynamiques propres àl'aquifère considéré.

Esmarquons tout d'abord qus las débits latéraux liés àl'écoulemsnt de la nappe sont évidsmment proportionnais à la vitessede celui-ci (la vitssss da Darcy u) , mais également à la hauteurmouillés h:

[23 qi # Uih

La vitesss d'écoulement ast par ailleurs donnés par la loi dscomportsment proposés par Darcy pour Iss milieux poreux (loi dsDarcy) :

[33 u = KAh

Ah : gradisnt de la charge hydrodynamiqusK : psrméabilité, caractéristique du milisu poreux

En remplaçant l'exprsssion da la vitesss ds Darcy dans [23, onobtient donc;

[43 qi # KhAhi

On peut introduira dans cette expression la transmissivité T,

qui s'apparenta au produit Kh:

[53 qi # TAhi

Enfin, si l'on s'intéresse au second membra de l'équationbilan [13, on psut rsmarquar qua le voluma d'sau intérisur à la maillaest ancora une fois proportionnel à la hautsur mouillés:

[63 V. # Sh

S : coefficient d' ammagasinsmsnt

Dans le cas d'uns napps librs, le coefficient d' emmagasinamant£ représenta an fait la porosité a, qua l'on corriga généralsmsnt pourns pas tenir compts ds l'sau liés (qui n' intsrvient pas au niveau dubilan) sn uns porosité cinématiqus Ua plus faible.

1 1

Si l'on introduit les axprsssions [53 st [63 dans l'équationds conservation [13, on obtisnt alors l'équation ds diffusivité, quis'écrit pour un volums élémantaira infinimsnt pstit;

[73 div(TAh) = SShlSt -i- Q

La résolution numérique d' une tails équation parmst deretrouver la charge hydrodynamique A au niveau de chaque maille, stdonc ds reconstituer una carts piézométrique pour la nappe modélisée.On peut ainsi simuler l'évolution du niveau piézométrique pourdiversas conditions initiales, st détsrminer l'impact prévisible dssaménagsmsnts snvisagés.

La valeur des prévisions obtenues à l'aida d'uns tsllsmodélisation dépend alors ssssntiellemant da dsux facteurs.

Il faut tout d'abord s'assurer qus Is models choisi était bisnadapté à la nappe étudiée. En effet, sslon la complexité de calls-ci,on aura recours à un modèle mono- ou multi-couches (plusieursaquifères superposés) et on sa placara dans la cas d'uns napps libra,captive ou mixts. Il y égalsmant lisu de détsrminer si la nappe doitêtrs modélisés sn régime transitoirs ou an régime permanent.

Par ailleurs, un modela convenabls étant choisi, il faut luifournir l' ensemble dss données qui lui sont nécsssairas avac lameilleurs précision possible. Or csci n'sst pas toujours facile, et ilfaut souvant procéder de façon indirecta: c'sst cs qu'on appalls Is"calage" du modèle.

1 1

Si l'on introduit les axprsssions [53 st [63 dans l'équationds conservation [13, on obtisnt alors l'équation ds diffusivité, quis'écrit pour un volums élémantaira infinimsnt pstit;

[73 div(TAh) = SShlSt -i- Q

La résolution numérique d' une tails équation parmst deretrouver la charge hydrodynamique A au niveau de chaque maille, stdonc ds reconstituer una carts piézométrique pour la nappe modélisée.On peut ainsi simuler l'évolution du niveau piézométrique pourdiversas conditions initiales, st détsrminer l'impact prévisible dssaménagsmsnts snvisagés.

La valeur des prévisions obtenues à l'aida d'uns tsllsmodélisation dépend alors ssssntiellemant da dsux facteurs.

Il faut tout d'abord s'assurer qus Is models choisi était bisnadapté à la nappe étudiée. En effet, sslon la complexité de calls-ci,on aura recours à un modèle mono- ou multi-couches (plusieursaquifères superposés) et on sa placara dans la cas d'uns napps libra,captive ou mixts. Il y égalsmant lisu de détsrminer si la nappe doitêtrs modélisés sn régime transitoirs ou an régime permanent.

Par ailleurs, un modela convenabls étant choisi, il faut luifournir l' ensemble dss données qui lui sont nécsssairas avac lameilleurs précision possible. Or csci n'sst pas toujours facile, et ilfaut souvant procéder de façon indirecta: c'sst cs qu'on appalls Is"calage" du modèle.

12

02n.SLp>d- -fc3r-o 1

ci' Id^Ti-fc i £ dLc=;si.-b dL CDXi

Les qualités prédictives des modèles hydrodynamiques dépendent engrande partie de la connaissance des différents paramètrescaractérisant la nappe étudiée (perméabilités ou transmissivités,coefficients d'emmagasinement. .. ). Ces derniers ne sont généralementpas directement mesurables, et il faut les estimer à partir des autresdonnées disponibles; c'est ce qu'on appelle le "calage du modèle", quis'apparente donc à un processus d' identification.

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02n.SLp>d- -fc3r-o 1

ci' Id^Ti-fc i £ dLc=;si.-b dL CDXi

Les qualités prédictives des modèles hydrodynamiques dépendent engrande partie de la connaissance des différents paramètrescaractérisant la nappe étudiée (perméabilités ou transmissivités,coefficients d'emmagasinement. .. ). Ces derniers ne sont généralementpas directement mesurables, et il faut les estimer à partir des autresdonnées disponibles; c'est ce qu'on appelle le "calage du modèle", quis'apparente donc à un processus d' identification.

13

1.1 Le Calage des Modèles

1.1.1 introduction au problema du calage

L'utilisation d'un modela hydrodynamique nécessite l'acqui¬sition da plusisurs typss ds donnéss:

- das données concernant la géométris ds la nappe, qus l'on obtientgénéralement sans trop da problemas à partir da cartas topographiqueset géologiques.

- dss donnéss concernant las conditions aux limitas ds la nappsétudiés. Elias sont généralsmsnt connues da façon approxi mat ivas, etsimplifiées sous la forma "débit imposé" ou "chargs imposés".

- das données caractérisant le comportement hydrodynamiqus dal'aquifère: ca sont assantisllamant Iss champs ds transmissivités stds coefficients d' emmagasinamant. Ceux-ci na sont malhaursusemant pasaccassiblss à 1' obssrvation dirscts. Lsur masure n'est possible qua damaniera extrêmement ponctuai Is, à l'occasion d'un sssai da pompage: lanombre d' obssrvations disponiblss ast donc limité par le nombre dapuits répartis sur la domains étudié.

L'estimation ds ces paramètres hydrodynamiques constitua doncun problème particulièrement délicat. Peur completar las maigresdonnées dont on disposa, il faut recourir à un processus d'identi¬fication basé sur la princips suivant: puisqus l'on a généralsment àsa disposition, sinon une carts complète, du moins un certain nombrade relevés piézométriques, on psut chsrchsr à détsrminsr lasparamétras hydrodynamiquss qui, une fois introduits dans la models,permsttant d'obtenir une restitution satisfaisante de cas données.

Lorsque l'on parvisnt ainsi à déterminer une distribution deparamétras donnant un ajustsment satisfaisant dss divsrsas obssr¬vations et das résultats da la simulation, on considéra qu'il y a lieud' identif isr catts distribution avsc cslle du systems résl; le modelshydrodynamiqus ast alors "calé", at on paut procéder aux diversessimulations pour Issquellas ca modèle a été construit.

1.1.2 la calage par "sssai et erreur"

lous allons maintenant nous intérasssr au processus de calagslui-mêms, c'est-à-dire la maniera dont on détsrmine la distributiondes divers paramètres hydrodynamiquss donnant le mailleur ajustementantra observations st résultats ds la simulation.

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1.1 Le Calage des Modèles

1.1.1 introduction au problema du calage

L'utilisation d'un modela hydrodynamique nécessite l'acqui¬sition da plusisurs typss ds donnéss:

- das données concernant la géométris ds la nappe, qus l'on obtientgénéralement sans trop da problemas à partir da cartas topographiqueset géologiques.

- dss donnéss concernant las conditions aux limitas ds la nappsétudiés. Elias sont généralsmsnt connues da façon approxi mat ivas, etsimplifiées sous la forma "débit imposé" ou "chargs imposés".

- das données caractérisant le comportement hydrodynamiqus dal'aquifère: ca sont assantisllamant Iss champs ds transmissivités stds coefficients d' emmagasinamant. Ceux-ci na sont malhaursusemant pasaccassiblss à 1' obssrvation dirscts. Lsur masure n'est possible qua damaniera extrêmement ponctuai Is, à l'occasion d'un sssai da pompage: lanombre d' obssrvations disponiblss ast donc limité par le nombre dapuits répartis sur la domains étudié.

L'estimation ds ces paramètres hydrodynamiques constitua doncun problème particulièrement délicat. Peur completar las maigresdonnées dont on disposa, il faut recourir à un processus d'identi¬fication basé sur la princips suivant: puisqus l'on a généralsment àsa disposition, sinon une carts complète, du moins un certain nombrade relevés piézométriques, on psut chsrchsr à détsrminsr lasparamétras hydrodynamiquss qui, une fois introduits dans la models,permsttant d'obtenir une restitution satisfaisante de cas données.

Lorsque l'on parvisnt ainsi à déterminer une distribution deparamétras donnant un ajustsment satisfaisant dss divsrsas obssr¬vations et das résultats da la simulation, on considéra qu'il y a lieud' identif isr catts distribution avsc cslle du systems résl; le modelshydrodynamiqus ast alors "calé", at on paut procéder aux diversessimulations pour Issquellas ca modèle a été construit.

1.1.2 la calage par "sssai et erreur"

lous allons maintenant nous intérasssr au processus de calagslui-mêms, c'est-à-dire la maniera dont on détsrmine la distributiondes divers paramètres hydrodynamiquss donnant le mailleur ajustementantra observations st résultats ds la simulation.

n.'Or

Le seul procédé utilisé ds maniera opérationalle demeure, dansl'état actual das chosss, un calage manuel empiriqus par "sssai sterreur": 1' hydrogéologus chargé da la construction du modèle commsncspar estimar au mieux les divers champs da paramètres, an utilisant lesdonnées dont il dispose. Il effsctus alors uns simulation, dont ilcompara las résultats avec les masures corraspondantas observées àpartir du systems real. Il lui faut alors modifier sas estimations dedépart en fonction dss écarts relevés, st sffsctusr uns nouvslla simu¬lation.

Il s'agit donc d'une méthode iterativa, dont le, principaldéfaut est de nécessiter una quantité importants ds tsmps-ingéniaur.En effet, l'étape crucials qui consista à modifier les estimationssuccassivss afin d'améliorsr Is calags demande un travail d' intsr-prétation dss écarts très délicat. Dans le cas d' aquif èrss complexes,il faut parfois sa résoudra à conssrvar, faute de temps (la budget datsls études étant généralamant très strict), un calage approximatif,Par ailleurs, toujours pour les mêmes raisons, il sst rara que l'onpuisse explorer simultanémsnt plusisurs hypothèses qui paraissantavoir a priori un intérêt comparable. Par ailleurs, la calage consistapratiqusmsnt toujours à un ajustsmsnt das perméabilités seules. Ornous avons vu au paragraphs précédant qu'il existait également unagrands incartituds an ca qui concerna non seulement d'autrssparamétras hydrodynamiques (coefficients d' emmagasinamant, drai-nancss..,), mais encors das donnéss comms conditions initialss ouconditions aux limites.

La qualité d'un calage manual dépsnd donc an grande partie dal'habilsté st ds _ l'sxpériancs ds 1' hydrogéologus chargé ds lamodélisation, et resta très difficils à apprécier. Cependant, ils'agit da la seule methods susceptible à l'haura actuells ds fournirda.s résultats opérât ionnsls.

1.2 Les Approchas Automatiques

1.2.1 formalisation du problema

D'un point da vus théorique, la processus d'identificationpaut sa définir comma l'induction d'un models mathématiqus psrmattantde rspréssntsr un système dont on connait la réponse à un ensambla dasollicitations données.

Dans la cas das modèles hydrodynamiques utilisés anhydrogéologie, on possède des informations a priori sur lecomportement du systènfâ; structure interna, équations physiquesrégissant la système, mssurss directes. . . La models à idsntifiar estalors classiquement représenté par una "boîte grisa", dont il s'agitde déterminer certains paramétras. On obtient alors la schéma suivant,

n.'Or

Le seul procédé utilisé ds maniera opérationalle demeure, dansl'état actual das chosss, un calage manuel empiriqus par "sssai sterreur": 1' hydrogéologus chargé da la construction du modèle commsncspar estimar au mieux les divers champs da paramètres, an utilisant lesdonnées dont il dispose. Il effsctus alors uns simulation, dont ilcompara las résultats avec les masures corraspondantas observées àpartir du systems real. Il lui faut alors modifier sas estimations dedépart en fonction dss écarts relevés, st sffsctusr uns nouvslla simu¬lation.

Il s'agit donc d'une méthode iterativa, dont le, principaldéfaut est de nécessiter una quantité importants ds tsmps-ingéniaur.En effet, l'étape crucials qui consista à modifier les estimationssuccassivss afin d'améliorsr Is calags demande un travail d' intsr-prétation dss écarts très délicat. Dans le cas d' aquif èrss complexes,il faut parfois sa résoudra à conssrvar, faute de temps (la budget datsls études étant généralamant très strict), un calage approximatif,Par ailleurs, toujours pour les mêmes raisons, il sst rara que l'onpuisse explorer simultanémsnt plusisurs hypothèses qui paraissantavoir a priori un intérêt comparable. Par ailleurs, la calage consistapratiqusmsnt toujours à un ajustsmsnt das perméabilités seules. Ornous avons vu au paragraphs précédant qu'il existait également unagrands incartituds an ca qui concerna non seulement d'autrssparamétras hydrodynamiques (coefficients d' emmagasinamant, drai-nancss..,), mais encors das donnéss comms conditions initialss ouconditions aux limites.

La qualité d'un calage manual dépsnd donc an grande partie dal'habilsté st ds _ l'sxpériancs ds 1' hydrogéologus chargé ds lamodélisation, et resta très difficils à apprécier. Cependant, ils'agit da la seule methods susceptible à l'haura actuells ds fournirda.s résultats opérât ionnsls.

1.2 Les Approchas Automatiques

1.2.1 formalisation du problema

D'un point da vus théorique, la processus d'identificationpaut sa définir comma l'induction d'un models mathématiqus psrmattantde rspréssntsr un système dont on connait la réponse à un ensambla dasollicitations données.

Dans la cas das modèles hydrodynamiques utilisés anhydrogéologie, on possède des informations a priori sur lecomportement du systènfâ; structure interna, équations physiquesrégissant la système, mssurss directes. . . La models à idsntifiar estalors classiquement représenté par una "boîte grisa", dont il s'agitde déterminer certains paramétras. On obtient alors la schéma suivant,

y représentant la réponse du sy.stèma à uns certaine sollicitation upour una distribution v de paramétras:

u -Í [M0DELE3 -^ yT

V

La problema d'identification proprament dit revient alors àdeterminar, pour un coupla (u',y') observé pour la système real, ladistribution v* obtenant la meilleur ajustamant, antra le résultat dela simulation y* et l'observation y":

u'-) [MODELE! -î y*

Le critère d'ajustement ast généralement une fonction quadra-tiqus ds l'écart sntre 7" at y*:

[13 J = J <y%y*)

1.2.2 les différants modèles inversas

La problems invsrss défini ci-dsssus a donné liau à da nom-brausas tentativas d'automatisation. Nous rappalarons ici quelquas-unas das méthodes proposées.

Les premières tentativas da modélisations inversas remontsnt àuns vingtains d'annéss. Ls principa alors employé s' apparente à unerégression multiple par moindres carrés, las coefficients da sensi¬bilité étant obtenus à la suits ds plusieurs simulations pourlesquelles las paramétras sont modifiés chacun à leur tour.

Une telle méthode nécsssits un découpage préliminairs dumodels en un certain nombra da zones dans lasqusls las grandeurs qual'on chercha à estimar sont supposéss uniformas, ceci sn raison dunombrs rslativsmsnt restraint da paramètres pouvant être optimisés àla fois (limité par la coût an tamps-calcul).

Cependant, l'expérimentation de cette pramièra génération damodèles inversas a laissé apparaîtra da gravas problemas daconverganca, attribuées alors au caractère inadapté des zonationsutilisées (Jahns [19663).

y représentant la réponse du sy.stèma à uns certaine sollicitation upour una distribution v de paramétras:

u -Í [M0DELE3 -^ yT

V

La problema d'identification proprament dit revient alors àdeterminar, pour un coupla (u',y') observé pour la système real, ladistribution v* obtenant la meilleur ajustamant, antra le résultat dela simulation y* et l'observation y":

u'-) [MODELE! -î y*

Le critère d'ajustement ast généralement une fonction quadra-tiqus ds l'écart sntre 7" at y*:

[13 J = J <y%y*)

1.2.2 les différants modèles inversas

La problems invsrss défini ci-dsssus a donné liau à da nom-brausas tentativas d'automatisation. Nous rappalarons ici quelquas-unas das méthodes proposées.

Les premières tentativas da modélisations inversas remontsnt àuns vingtains d'annéss. Ls principa alors employé s' apparente à unerégression multiple par moindres carrés, las coefficients da sensi¬bilité étant obtenus à la suits ds plusieurs simulations pourlesquelles las paramétras sont modifiés chacun à leur tour.

Une telle méthode nécsssits un découpage préliminairs dumodels en un certain nombra da zones dans lasqusls las grandeurs qual'on chercha à estimar sont supposéss uniformas, ceci sn raison dunombrs rslativsmsnt restraint da paramètres pouvant être optimisés àla fois (limité par la coût an tamps-calcul).

Cependant, l'expérimentation de cette pramièra génération damodèles inversas a laissé apparaîtra da gravas problemas daconverganca, attribuées alors au caractère inadapté des zonationsutilisées (Jahns [19663).

1©

L' etapa suivants a donc été d'essayer de s'affranchir da lacontrainte liés à l'utilisation d'uns zonation préalable. Cast ainsiqua Chavsnt st al. [19753 proposant une méthode da résolutionpermettant de rsstitusr las transmissivités de chacune das maillas dumodèle à identifier.

Cette méthode utilisa sncors uns fois un critèrs "moindrscarré" portant sur Iss écarts antre charges observées et chargessimulées, l'optimisation sa faisant par une méthode da gradientsimple. L'originalité de la méthode ast l'utilisation d'un problems"adjoint" permettant le calcul simultané das dérivées partielles ducritère par rapport à la transmissivité de chacune des maillas dumodela. Deux simulations dirsctss suffisent donc à détsrminsr, d'unspart la valsur du critère, d'autrs part la valeur de sss dérivésspartiallas. La direction d'optimisation ainsi obtenue, la pas astchoisi par tâtonnements successifs. Le caractère ralativamsnt grossisrds catta technique ast justifié (pour las auteurs)- par la structurafortement non-quadratiqus ds l'srrsur par rapport aux divsrssstransmissivités (ce qui laisss à psnssr qus l'application d'uneméthode faisant intervenir les dérivées partielles secondes na seraitguèrs plus sfficace).

Malgré l'obtention ds résultats satisfaisants pour das casreals simples, l'utilisation de catta méthode s' sst hsurtés uns foisancora à das problemas da stabilité ds la convsrgsncs, quiapparaissant donc comme liés à la nature même du problème inversa.

En affat, calui-ci peut être rspréssnté par un csrtain opéra-tsur Q:

[23 v = [Q3 (u,y)

ii correspond alors à l' inverse da l'opérateur T! du modèledirsct:

[33 y = [113 (u,v)

Las difficultés surviennent du fait da la structura da casdsux opérateurs (non-linéairss) ; sn effst, l'opérateur ïï du modelsdirect n'est pas injactif (ce qui lui confère d'ailleurs uns grandsstabilité, at lui psrmet ds traitsr sans problems dss donnéss"bruitéss"). Il sn results qua l'opérateur inversa Q n'est pas borné,st possède un csrtain nombrs ds "quasi-singularités", cs qui a pourconséquanca désagréable de transformar da faibles variations dans lasdonnéss obssrvéss sn srraurs arbitrairement grandes au niveau desvaleurs calculées.

Les études suivantes ont donc visé à limiter l' effet da cessingularités, an imposant notamment un certain nombre da contraintesaux sst i mat ions recherchées.

1©

L' etapa suivants a donc été d'essayer de s'affranchir da lacontrainte liés à l'utilisation d'uns zonation préalable. Cast ainsiqua Chavsnt st al. [19753 proposant une méthode da résolutionpermettant de rsstitusr las transmissivités de chacune das maillas dumodèle à identifier.

Cette méthode utilisa sncors uns fois un critèrs "moindrscarré" portant sur Iss écarts antre charges observées et chargessimulées, l'optimisation sa faisant par une méthode da gradientsimple. L'originalité de la méthode ast l'utilisation d'un problems"adjoint" permettant le calcul simultané das dérivées partielles ducritère par rapport à la transmissivité de chacune des maillas dumodela. Deux simulations dirsctss suffisent donc à détsrminsr, d'unspart la valsur du critère, d'autrs part la valeur de sss dérivésspartiallas. La direction d'optimisation ainsi obtenue, la pas astchoisi par tâtonnements successifs. Le caractère ralativamsnt grossisrds catta technique ast justifié (pour las auteurs)- par la structurafortement non-quadratiqus ds l'srrsur par rapport aux divsrssstransmissivités (ce qui laisss à psnssr qus l'application d'uneméthode faisant intervenir les dérivées partielles secondes na seraitguèrs plus sfficace).

Malgré l'obtention ds résultats satisfaisants pour das casreals simples, l'utilisation de catta méthode s' sst hsurtés uns foisancora à das problemas da stabilité ds la convsrgsncs, quiapparaissant donc comme liés à la nature même du problème inversa.

En affat, calui-ci peut être rspréssnté par un csrtain opéra-tsur Q:

[23 v = [Q3 (u,y)

ii correspond alors à l' inverse da l'opérateur T! du modèledirsct:

[33 y = [113 (u,v)

Las difficultés surviennent du fait da la structura da casdsux opérateurs (non-linéairss) ; sn effst, l'opérateur ïï du modelsdirect n'est pas injactif (ce qui lui confère d'ailleurs uns grandsstabilité, at lui psrmet ds traitsr sans problems dss donnéss"bruitéss"). Il sn results qua l'opérateur inversa Q n'est pas borné,st possède un csrtain nombrs ds "quasi-singularités", cs qui a pourconséquanca désagréable de transformar da faibles variations dans lasdonnéss obssrvéss sn srraurs arbitrairement grandes au niveau desvaleurs calculées.

Les études suivantes ont donc visé à limiter l' effet da cessingularités, an imposant notamment un certain nombre da contraintesaux sst i mat ions recherchées.

IV

Sffisellem at da Marsily t 19713 sont ainsi les premiers àinsister sur la nécessité da limiter las solutions rscharchées à unensamble da valeurs "admissiblas" , ceci afin d'éliminer les solutionsparasitas sans caractèrs physique. Pour cala, ils proposent darecharchar la projection du champ da transmissivités real sur unensambla da fonctions da Walsh (fonctions caractéristiques), ce quirsvisnt sn fait à rétablir uns subdivision da l'aquifère sn zonssuniformes. La démarcha est la suivants; sn partant d'uns zona unique,on procéda à das subdivisions succassivss, ds plus en plus finss, ston rscharche à chaque fois la meilleur ajustement des piézométriesobservées et simulées; on arrête la processus lorsqus l'utilisationd'une subdivision plus fine ne parmat plus da diminuer la valeur ducritère da façon significativa (ce qui signifia qua l'on sort dudomaine de stabilité du problème inverse).

Uns approche analogue consista à impossr à l'snssmbls dessolutions admissiblas une structura a priori basée sur l'smploi desoutils géostatiques (krigeage). La modèle développé par Nauman etYakowitz [19793 ast de ce typa. Il parmet égalsmant d'introduire unaestimation de type bayésienne pour chacun dss paramètres recherchés(ici las transmissivités de chacune des mailles), an introduisant unterme supplémsntairs dans le calcul du critèrs [ 13 :

[43 J = JH,(h-,h*) + XJt(T*,T*)

Dans cetts expression T' rspréssnts uns astimation a priori duchamp das transmissivités, Jh et Jr représentant las fonctionsquadrat iquss suivantes:

[53 Jh(h-,h*) = [h* - h*3'V[h* - h*3

[63 Jt(T*,T*) = [T* - T*3'V[T* - T-*3

V,V : matrices définies positives

Ls cosfficient da pondération A parmst de privilegiar l'un oul'autre des deux tsmfâs constituant la critère d' erreur, chacun da cesdeux termes jouant sn ssns contrairs. Ls prsmisr tsrms sa rapporta eneffet à l'ajustement des piézométries simulées et observées, et permetdonc da quantifier la précision du modela. La second masure quant àlui l' eloignement de la solution trouvée avsc une astimation jugés apriori comma raisonnable, et Joua donc sur la stabilité en pénalisantles solutions trop éloignées d'una réalité physique. Le problemaconsista alors à déterminer la coefficient X assurant le mailleurcompromis antra ces deux impératifs. Pour cela, las auteurs sa basantsur la représentation graphique da diversas statistiques, tracées pourdes valeurs différsntss ds .A. Uns fois détsrmine le cosfficiantoptimal Aopt, l'optimisation s'sffactua à l'aide d'un algorithmeNewton-Raphson, las dérivées premières at secondes du critère [43 parrapport aux transmissivités étant obtenues de façon analytique.

IV

Sffisellem at da Marsily t 19713 sont ainsi les premiers àinsister sur la nécessité da limiter las solutions rscharchées à unensamble da valeurs "admissiblas" , ceci afin d'éliminer les solutionsparasitas sans caractèrs physique. Pour cala, ils proposent darecharchar la projection du champ da transmissivités real sur unensambla da fonctions da Walsh (fonctions caractéristiques), ce quirsvisnt sn fait à rétablir uns subdivision da l'aquifère sn zonssuniformes. La démarcha est la suivants; sn partant d'uns zona unique,on procéda à das subdivisions succassivss, ds plus en plus finss, ston rscharche à chaque fois la meilleur ajustement des piézométriesobservées et simulées; on arrête la processus lorsqus l'utilisationd'une subdivision plus fine ne parmat plus da diminuer la valeur ducritère da façon significativa (ce qui signifia qua l'on sort dudomaine de stabilité du problème inverse).

Uns approche analogue consista à impossr à l'snssmbls dessolutions admissiblas une structura a priori basée sur l'smploi desoutils géostatiques (krigeage). La modèle développé par Nauman etYakowitz [19793 ast de ce typa. Il parmet égalsmant d'introduire unaestimation de type bayésienne pour chacun dss paramètres recherchés(ici las transmissivités de chacune des mailles), an introduisant unterme supplémsntairs dans le calcul du critèrs [ 13 :

[43 J = JH,(h-,h*) + XJt(T*,T*)

Dans cetts expression T' rspréssnts uns astimation a priori duchamp das transmissivités, Jh et Jr représentant las fonctionsquadrat iquss suivantes:

[53 Jh(h-,h*) = [h* - h*3'V[h* - h*3

[63 Jt(T*,T*) = [T* - T*3'V[T* - T-*3

V,V : matrices définies positives

Ls cosfficient da pondération A parmst de privilegiar l'un oul'autre des deux tsmfâs constituant la critère d' erreur, chacun da cesdeux termes jouant sn ssns contrairs. Ls prsmisr tsrms sa rapporta eneffet à l'ajustement des piézométries simulées et observées, et permetdonc da quantifier la précision du modela. La second masure quant àlui l' eloignement de la solution trouvée avsc une astimation jugés apriori comma raisonnable, et Joua donc sur la stabilité en pénalisantles solutions trop éloignées d'una réalité physique. Le problemaconsista alors à déterminer la coefficient X assurant le mailleurcompromis antra ces deux impératifs. Pour cela, las auteurs sa basantsur la représentation graphique da diversas statistiques, tracées pourdes valeurs différsntss ds .A. Uns fois détsrmine le cosfficiantoptimal Aopt, l'optimisation s'sffactua à l'aide d'un algorithmeNewton-Raphson, las dérivées premières at secondes du critère [43 parrapport aux transmissivités étant obtenues de façon analytique.

IS

Le principal défaut da la méthode proposée par Naum3.n atYakowitz réside dans uns application trop lourde at trop pau générale.Les résultats obtenus sur un cas réel (Nauman st al. [19803) peuventalors apparaîtrs comms un peu décevants: il s'agit cspandant d'un dasraras examples d' sxpérimsntation approfondis (st critique) d'un modèleinvsrss appliqué à un cas résl,

La tsndancs actuells ast donc da revsnir à uns démarcha plussimple, proche de calle des débuts, mais intégrant certains desaspects las plus intérsssants dss modèles succassivament proposés.

Cooley [ 19773 proposa ainsi un nouvel algorithmed'optimisation dérivé d'une méthode Nswton-Gauss st permettant decontrôler da façon empirique las instabilités da converganca, tout antravaillant sur un nombra restraint de zonas uniformes déterminées àpartir da connaissances géologiques a priori, ceci afin de limitar unefois ancora les problemas d'instabilité.

Aboufirassi at Marino [19843 limitent égalamant le nombre deparamètres caractérisant la champ da transmissivités rscharche, andéfinissant una fois ancora un certain nombra da zones sur lasqusllssil sst supposer variar da façon linéaire. Las deux auteurs se servantégalamant d'una approximation géostatistiqua pour evaluar las champs het r à introduira dans la calcul d'un critère analogue à celui proposépar Nauman et Yakov;itz - [43. Là ancora, la rechercha d'un A^pts'effectua par simulations successives, l'optimisation du critère J sefaisant à l'aida da l'algorithme ds Powsll.

Pour terminar cette ravua bibliographique, il nous faut citerlas travaux récents ds Khan [19863, qui proposa uns approcha dif¬férante. Reprenant la concept d'un nombre limité da zonas uniformes,il se contenta d'approcher ds façon numérique les dérivéss partisllesd'un critèrs quadratiqus simpls ds typa [53, sans chsrchsr à Isssxprimsr analytiquenent à partir da l'équation de diffusivité.

Catta méthode d' optimisation ast donc beaucoup moinssophistiqués qus eslíes da sas prédécesseurs, puisqu'elle ignoratotalsmsnt la structura interne du modèle utilisé. Cependant, slle astégalemant plus générale, puisqus les paramètres optimisés sont traitésds manièrs "avaugla" par le processus d'optimisation.

Signalons enfin qu'une synthèse bibliographique consacrée auproblèmes rsncontrés par la modélisation inverse ast proposée parAllison at Pack [19853.

1.2.3 une approche semi-automatique

Dans l'état actual das choses, las diverses méthodes automa¬tiques que nous vsnons d' exposer ne peuvent pas encore êtreconsidérées comme opérationalles. Donnant des résultats satisfaisantpour das cas simplss, sllss na sont d'aucune aida lorsque las nappesétudiées dsviennsnt complexes (et le problème inversa d'autant plus"indéterminé").

IS

Le principal défaut da la méthode proposée par Naum3.n atYakowitz réside dans uns application trop lourde at trop pau générale.Les résultats obtenus sur un cas réel (Nauman st al. [19803) peuventalors apparaîtrs comms un peu décevants: il s'agit cspandant d'un dasraras examples d' sxpérimsntation approfondis (st critique) d'un modèleinvsrss appliqué à un cas résl,

La tsndancs actuells ast donc da revsnir à uns démarcha plussimple, proche de calle des débuts, mais intégrant certains desaspects las plus intérsssants dss modèles succassivament proposés.

Cooley [ 19773 proposa ainsi un nouvel algorithmed'optimisation dérivé d'une méthode Nswton-Gauss st permettant decontrôler da façon empirique las instabilités da converganca, tout antravaillant sur un nombra restraint de zonas uniformes déterminées àpartir da connaissances géologiques a priori, ceci afin de limitar unefois ancora les problemas d'instabilité.

Aboufirassi at Marino [19843 limitent égalamant le nombre deparamètres caractérisant la champ da transmissivités rscharche, andéfinissant una fois ancora un certain nombra da zones sur lasqusllssil sst supposer variar da façon linéaire. Las deux auteurs se servantégalamant d'una approximation géostatistiqua pour evaluar las champs het r à introduira dans la calcul d'un critère analogue à celui proposépar Nauman et Yakov;itz - [43. Là ancora, la rechercha d'un A^pts'effectua par simulations successives, l'optimisation du critère J sefaisant à l'aida da l'algorithme ds Powsll.

Pour terminar cette ravua bibliographique, il nous faut citerlas travaux récents ds Khan [19863, qui proposa uns approcha dif¬férante. Reprenant la concept d'un nombre limité da zonas uniformes,il se contenta d'approcher ds façon numérique les dérivéss partisllesd'un critèrs quadratiqus simpls ds typa [53, sans chsrchsr à Isssxprimsr analytiquenent à partir da l'équation de diffusivité.

Catta méthode d' optimisation ast donc beaucoup moinssophistiqués qus eslíes da sas prédécesseurs, puisqu'elle ignoratotalsmsnt la structura interne du modèle utilisé. Cependant, slle astégalemant plus générale, puisqus les paramètres optimisés sont traitésds manièrs "avaugla" par le processus d'optimisation.

Signalons enfin qu'une synthèse bibliographique consacrée auproblèmes rsncontrés par la modélisation inverse ast proposée parAllison at Pack [19853.

1.2.3 une approche semi-automatique

Dans l'état actual das choses, las diverses méthodes automa¬tiques que nous vsnons d' exposer ne peuvent pas encore êtreconsidérées comme opérationalles. Donnant des résultats satisfaisantpour das cas simplss, sllss na sont d'aucune aida lorsque las nappesétudiées dsviennsnt complexes (et le problème inversa d'autant plus"indéterminé").

a.©

Le but de cette étude ast donc da proposer una méthode decalaga semi-automatiqua, calquée sur la démarcha réellement utilisée,at permettant de réduira de façon substancialla le temps passé poureffectuer un calage, sans pour autant diminuer le rôle da 1' hydro¬géologus.

Nous nous sommss pour cala inspiré da la méthode proposée parKhan [19863, qui nous paraissait la plus proche de calla utilisée pourun calaga manuel.

La généralité de la procedure d'optimisation utilisés permetpar ailleurs d' utiliser catta méthode pour optimiser non ssulemant daschamps da perméabilités ou da coefficients d'emmagasinement, maisaussi des paramètres caractérisant par exemple das conditions auxlimitas (débit da pompage, pluviométrie...). Il serait égalamantpossible de faire portar l'optimisation sur das paramètres necorrespondant non pas à la valeur des champs sux-mêmes, mais à leursvariations dans 1' espaça (coaf ficisnts d'uns approximation linéairs oupolynomials par zonas, at pourquoi pas cosf ficisnts da krigeage...).

La seule limite à la définition des paramètres à optimiserrésida dans lsur nombra, nécassairamsnt rslativsmsnt faibls pourconservsr dss duress da calcul raisonnabls (uns dizains pour fixer unordre da grandeur). Cspandant, catta limite na constitua pas unalimita théoriqus, qui existe cependant an raison das instabilitésinhérentes au problems inversa.

L'intervention da l'hydrogéologue dans cette procédure sami-automatiqua résida principalement dans le choix d'hypothèses a priori:choix ds valsurs initiales pour las différsntss sstimations, choixd'une fonction critèrs (qui paut être choisie da façon quslconqus,contrairsmant à la plupart des autres modelas) , choix ds différantsparamètres d'optimisation permettant d'aider la converganca...

L'utilisation da tallas hypothèses nécessite évidemment uneanalysa critique das résultats obtenus, an vus da modifier s'il y alieu certains des choix effectués. Ceci paut évidsmmsnt amsnsr àplusisurs rsmisss sn question succassivss dans ls cas ds nappascomplexas: la procédure ssmi -automat i qus paut alors se montrer aussicoûteuse an tsmps qu'un calags manuel classique. Cependant, sa miss snosuvre simple et rapids st sa grands généralité psrmattant alors datestar un nombrs beaucoup plus important d'hypothèses, et doncd'obtsnir un calags plus sûr.

Pour tsrminar cstts préssntation rapids, signalons qus lslogicisl mis au point rsspacte la généralité da la méthode utilisée,ca qui permet donc de l'utiliser, sous réserve d'un nombra limité demodifications, pour la calaga da modelas quelconques, hydrodynamiquesou non, admsttant un formalisms analogue.

a.©

Le but de cette étude ast donc da proposer una méthode decalaga semi-automatiqua, calquée sur la démarcha réellement utilisée,at permettant de réduira de façon substancialla le temps passé poureffectuer un calage, sans pour autant diminuer le rôle da 1' hydro¬géologus.

Nous nous sommss pour cala inspiré da la méthode proposée parKhan [19863, qui nous paraissait la plus proche de calla utilisée pourun calaga manuel.

La généralité de la procedure d'optimisation utilisés permetpar ailleurs d' utiliser catta méthode pour optimiser non ssulemant daschamps da perméabilités ou da coefficients d'emmagasinement, maisaussi des paramètres caractérisant par exemple das conditions auxlimitas (débit da pompage, pluviométrie...). Il serait égalamantpossible de faire portar l'optimisation sur das paramètres necorrespondant non pas à la valeur des champs sux-mêmes, mais à leursvariations dans 1' espaça (coaf ficisnts d'uns approximation linéairs oupolynomials par zonas, at pourquoi pas cosf ficisnts da krigeage...).

La seule limite à la définition des paramètres à optimiserrésida dans lsur nombra, nécassairamsnt rslativsmsnt faibls pourconservsr dss duress da calcul raisonnabls (uns dizains pour fixer unordre da grandeur). Cspandant, catta limite na constitua pas unalimita théoriqus, qui existe cependant an raison das instabilitésinhérentes au problems inversa.

L'intervention da l'hydrogéologue dans cette procédure sami-automatiqua résida principalement dans le choix d'hypothèses a priori:choix ds valsurs initiales pour las différsntss sstimations, choixd'une fonction critèrs (qui paut être choisie da façon quslconqus,contrairsmant à la plupart des autres modelas) , choix ds différantsparamètres d'optimisation permettant d'aider la converganca...

L'utilisation da tallas hypothèses nécessite évidemment uneanalysa critique das résultats obtenus, an vus da modifier s'il y alieu certains des choix effectués. Ceci paut évidsmmsnt amsnsr àplusisurs rsmisss sn question succassivss dans ls cas ds nappascomplexas: la procédure ssmi -automat i qus paut alors se montrer aussicoûteuse an tsmps qu'un calags manuel classique. Cependant, sa miss snosuvre simple et rapids st sa grands généralité psrmattant alors datestar un nombrs beaucoup plus important d'hypothèses, et doncd'obtsnir un calags plus sûr.

Pour tsrminar cstts préssntation rapids, signalons qus lslogicisl mis au point rsspacte la généralité da la méthode utilisée,ca qui permet donc de l'utiliser, sous réserve d'un nombra limité demodifications, pour la calaga da modelas quelconques, hydrodynamiquesou non, admsttant un formalisms analogue.

so

OtLS».p>i -fc3^^ S

D^^c^x-dL-p-fc-i CDTidu Lc3S-i.c=isl lyniOA

Xe logiciel KICA (Méthode Inverse pour le Calage Automatique) a étédéveloppé pour servir de base à la méthode de calage semi-automatiqueproposée. Ce chapitre a pour but d'en présenter les principalescaractéristiques, en essayant de donner une Justification desdifférents choix effectués.

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Xe logiciel KICA (Méthode Inverse pour le Calage Automatique) a étédéveloppé pour servir de base à la méthode de calage semi-automatiqueproposée. Ce chapitre a pour but d'en présenter les principalescaractéristiques, en essayant de donner une Justification desdifférents choix effectués.

2 1

2.1 Présentation Générale du Logiciel

Le logicial MICA possède uns structura analogue à cells dascalaga.s manuels classiques, qua l'on paut décomposer da la manièresuivants:

i, Définition du models

ii. Estimations a priori

iii. Simulation par ls modèle

iv. Comparaison avsc la.s observations réelles

V. Modification das estimations

Las étapes (iii) à (v) sont répétéss jusqu'à ca qu'unajustement satisfaisant soit trouvé entre las valeurs observées stslmuléss.

Uns talla structura sst articulés autour du modela dssimulation (modèle "direct"). MICA respecte une tails disposition[fig. 33, en adoptant cspsndant uns distinction natte antre modeladirect at modèle inversa: ceux-ci possèdent notammsnt Isurs modulasd'antréas/sortias proprss.' Lss avantagss d'una talla configurationsont doubles.

Calle-ci offre tout d'abord una grande souplesse d'utili¬sation, puisque las paramètres à optimiser sont traités de façonpurement formai la dans la modela invsrss; on psut ainsi fairs portarl'optimisation sur des valeurs da perméabilité ou da coefficientsd' ammagasinament bisn sûr, mais aussi sur tout paramètre ayant unsinflusnce sur la comportsment du models direct: pluviométrie, débitsd' irrigation ou de pompage, flux aux limites, drainancas dans la casd'un models multicouchs, st pourquoi pas coefficients d'unaintsrpolation de typs linéaire, polynomiale ou géostatistiqua desdiversas distributions rschsrchéss.

Par ailleurs, la structura modulaire utilisée a été conçuepour permettre l'adaptation d'un modèle direct quelconque en liau atplace du modela hydrodynamique actuallsmant utilisé (il s'agit d'unmodela monoeouche du BRGM permettant de résoudrs l'équation dediffusivité sn régime transitoire). Catts adaptation nécsssitsuniqusment l'écriturs d'un sous-programms d' intsrfacs specif iqus sntrsles deux modèles, et quelques modifications mineures du modela dirsct(pour éviter da réinitialiser lss données fixas à chaqus simulation).

2 1

2.1 Présentation Générale du Logiciel

Le logicial MICA possède uns structura analogue à cells dascalaga.s manuels classiques, qua l'on paut décomposer da la manièresuivants:

i, Définition du models

ii. Estimations a priori

iii. Simulation par ls modèle

iv. Comparaison avsc la.s observations réelles

V. Modification das estimations

Las étapes (iii) à (v) sont répétéss jusqu'à ca qu'unajustement satisfaisant soit trouvé entre las valeurs observées stslmuléss.

Uns talla structura sst articulés autour du modela dssimulation (modèle "direct"). MICA respecte une tails disposition[fig. 33, en adoptant cspsndant uns distinction natte antre modeladirect at modèle inversa: ceux-ci possèdent notammsnt Isurs modulasd'antréas/sortias proprss.' Lss avantagss d'una talla configurationsont doubles.

Calle-ci offre tout d'abord una grande souplesse d'utili¬sation, puisque las paramètres à optimiser sont traités de façonpurement formai la dans la modela invsrss; on psut ainsi fairs portarl'optimisation sur des valeurs da perméabilité ou da coefficientsd' ammagasinament bisn sûr, mais aussi sur tout paramètre ayant unsinflusnce sur la comportsment du models direct: pluviométrie, débitsd' irrigation ou de pompage, flux aux limites, drainancas dans la casd'un models multicouchs, st pourquoi pas coefficients d'unaintsrpolation de typs linéaire, polynomiale ou géostatistiqua desdiversas distributions rschsrchéss.

Par ailleurs, la structura modulaire utilisée a été conçuepour permettre l'adaptation d'un modèle direct quelconque en liau atplace du modela hydrodynamique actuallsmant utilisé (il s'agit d'unmodela monoeouche du BRGM permettant de résoudrs l'équation dediffusivité sn régime transitoire). Catts adaptation nécsssitsuniqusment l'écriturs d'un sous-programms d' intsrfacs specif iqus sntrsles deux modèles, et quelques modifications mineures du modela dirsct(pour éviter da réinitialiser lss données fixas à chaqus simulation).

+

/

I

NOUVELLESESTIMATIONS

t

DONNEES FIXES

gécmétris, . .

.-.¡.

1

/

; \

+

t

1

PARAMETRES A

ESTIMER

perutèabilités. . .

' '

\

SIMULATION i

'

/

'

VALEURS CALCULEES !

==========:=:= = = === '

piézométrie. . . !

+

/ VALEURS OBSERVEESa. =:r ===:=:===== = = =

! piézométrie. . .

A VT-^TV-f^ïri'A lal 11 I Pi..Li..>iZ.xv

critère quadratique !

I/

I OPTIMISATION\

îig. ?. .ijrganigramms simplifié du programma MICA

+

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A VT-^TV-f^ïri'A lal 11 I Pi..Li..>iZ.xv

critère quadratique !

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I OPTIMISATION\

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23

2.2 Les Paramètres Qptlnisés

Nous allons maintenant rsvsnir un peu plus sn détail sur ladéfinition das paramétras que l'on charcha à optimissr au cours ducalags. Comme nous l'avons déjà indiqué plus haut, ces paramètres sonttraités de façons totalsmsnt différentss par le modèle direct et parle modèle invarse.

Du point de vue du models invsrss, css paramètres ne sont qusdss valsurs formsllss influant sur ls comportement du modela direct,et plus précisément sur le critère d'erreur obtenu par la confron¬tation des résultats de la simulation avec las observations faites surla système réel.

Du point da vue du modèle direct, ces paramètres correspondentau contraire à des valeurs physiques (ou influant sur celles-ci dafaçon directe) .

Le passage d'un point da vue à l'autre sa fait grâce au scus-programma d'interface, qui restitue au modèle dirsct lss différentschamps correspondant aux paramètres que lui transmet le modèleinversa.

Ce processus, qui offre une grande souplesse d'utilisation,peut être illustré à l'aida de l'exemple suivant, où l'on cherche àestimer un champ î/ij.

Pour diverses raisons (temps calcul, mais aussi stabilité dumodèle inverse), nous avons vu qu'il était souhaitable de limiter lenombre de paramètres optimisés simultanémsnt. Supposons alors que dansle cas de notre exemple, une reconnaissance géologique préalable aitfait ressortir la présence de trois zones lithoiogiques contrastées:

Vi.

23

2.2 Les Paramètres Qptlnisés

Nous allons maintenant rsvsnir un peu plus sn détail sur ladéfinition das paramétras que l'on charcha à optimissr au cours ducalags. Comme nous l'avons déjà indiqué plus haut, ces paramètres sonttraités de façons totalsmsnt différentss par le modèle direct et parle modèle invarse.

Du point de vue du models invsrss, css paramètres ne sont qusdss valsurs formsllss influant sur ls comportement du modela direct,et plus précisément sur le critère d'erreur obtenu par la confron¬tation des résultats de la simulation avec las observations faites surla système réel.

Du point da vue du modèle direct, ces paramètres correspondentau contraire à des valeurs physiques (ou influant sur celles-ci dafaçon directe) .

Le passage d'un point da vue à l'autre sa fait grâce au scus-programma d'interface, qui restitue au modèle dirsct lss différentschamps correspondant aux paramètres que lui transmet le modèleinversa.

Ce processus, qui offre une grande souplesse d'utilisation,peut être illustré à l'aida de l'exemple suivant, où l'on cherche àestimer un champ î/ij.

Pour diverses raisons (temps calcul, mais aussi stabilité dumodèle inverse), nous avons vu qu'il était souhaitable de limiter lenombre de paramètres optimisés simultanémsnt. Supposons alors que dansle cas de notre exemple, une reconnaissance géologique préalable aitfait ressortir la présence de trois zones lithoiogiques contrastées:

Vi.

24

L'hypothèse la plus simple consiste alors à supposer que lechamp ¥ peut être considéré comme uniforma dans chacune des troiszones Zl , Zs et Za:

Vij = ai ,

Vij = az ,

Vij = as ,

(i,(i,<i,

,j)J)J>

e Zle Zae Za

L'optimisation porta alors sur les 3 paramètres ai, a^, aa.

On paut reprochar à cas hypothèses da contraindre de manièretrop importante la forme de la solution. Il sst csrtain qu'on pautintroduire ainsi un biais important, mais c'est là la principe même del'estimation bayésienne. L'introduction d'une zonation basée sur desconnaissances a priori du système constitue l'un des moyens las plusefficaces pour donner à la modélisation inversa un caractère physique,ce qui est indispensable compta tenu de l'instabilité intrinsèque duproblème purement mathématique. L'optimisation d'un nombre restraintda paramètres doit donc être comprise non pas comms une limitation dumodels, mais comms uns solution adaptés à la naturs même du problemsinvsrss. Pour prsndrs uns analogis simple, on paut panser à larésolution des systèmes linéaires, pour lesquels il est vain d'essayerde rechercher plus d'inconnues que l'on na disposa d'équations.

Il n'en reste pas moins que l' utilisa-tion de zonas supposéesuniformes ne convient peut être pas toujours à la résolution d'unproblème inversa, at ca pour deux raisons:

- La modélisation de cas réels possédant une géologie complexepourrait mener à une multiplication abusive da telles zones, et doncdu nombre da paramètres à optimiser, entraînant une perte da stabilitédu modèle et des problèass da convergence (oscillations).

- La manque de données sur la nappa étudiée paut poser desproblèmes lors da la définition da cas zones. On paut alors craindrequ'une zonation trop éloignée da la réalité donne lieu, non seulementà un biais important inévitable dans l'estimation, mais également àdes problèmes de convergence dus à une parte da la sensibilité desdifférents paramètres.

L'assouplissement du postulat "zonas uniformes" paraît doncsouhaitable dans certains cas (tout en conservant un nombre restreintde paramètres bien entendu). On peut rappeler à cet égard la tentativerécente d' Aboufirassi et Marino [19843, qui proposent d'utiliser uneapproximation linéaire par zonas pour la variation du champ da trans¬missivités. L'utilisation de paramètres d'optimisation "formels" auto¬rise le logicial MICA à utiliser une même hypothèse; si l'on reprendalors l'exemple exposé au début de ce paragraphe, on obtient la formu¬lation suivante:

24

L'hypothèse la plus simple consiste alors à supposer que lechamp ¥ peut être considéré comme uniforma dans chacune des troiszones Zl , Zs et Za:

Vij = ai ,

Vij = az ,

Vij = as ,

(i,(i,<i,

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e Zle Zae Za

L'optimisation porta alors sur les 3 paramètres ai, a^, aa.

On paut reprochar à cas hypothèses da contraindre de manièretrop importante la forme de la solution. Il sst csrtain qu'on pautintroduire ainsi un biais important, mais c'est là la principe même del'estimation bayésienne. L'introduction d'une zonation basée sur desconnaissances a priori du système constitue l'un des moyens las plusefficaces pour donner à la modélisation inversa un caractère physique,ce qui est indispensable compta tenu de l'instabilité intrinsèque duproblème purement mathématique. L'optimisation d'un nombre restraintda paramètres doit donc être comprise non pas comms une limitation dumodels, mais comms uns solution adaptés à la naturs même du problemsinvsrss. Pour prsndrs uns analogis simple, on paut panser à larésolution des systèmes linéaires, pour lesquels il est vain d'essayerde rechercher plus d'inconnues que l'on na disposa d'équations.

Il n'en reste pas moins que l' utilisa-tion de zonas supposéesuniformes ne convient peut être pas toujours à la résolution d'unproblème inversa, at ca pour deux raisons:

- La modélisation de cas réels possédant une géologie complexepourrait mener à une multiplication abusive da telles zones, et doncdu nombre da paramètres à optimiser, entraînant une perte da stabilitédu modèle et des problèass da convergence (oscillations).

- La manque de données sur la nappa étudiée paut poser desproblèmes lors da la définition da cas zones. On paut alors craindrequ'une zonation trop éloignée da la réalité donne lieu, non seulementà un biais important inévitable dans l'estimation, mais également àdes problèmes de convergence dus à une parte da la sensibilité desdifférents paramètres.

L'assouplissement du postulat "zonas uniformes" paraît doncsouhaitable dans certains cas (tout en conservant un nombre restreintde paramètres bien entendu). On peut rappeler à cet égard la tentativerécente d' Aboufirassi et Marino [19843, qui proposent d'utiliser uneapproximation linéaire par zonas pour la variation du champ da trans¬missivités. L'utilisation de paramètres d'optimisation "formels" auto¬rise le logicial MICA à utiliser une même hypothèse; si l'on reprendalors l'exemple exposé au début de ce paragraphe, on obtient la formu¬lation suivante:

I Via = «li -I- Pij -^ ïl , (i,j) e ZlI Vij = azi -i- J3£J -H ÏZ , (i,j) e ZzI Via = c(3i -^ Paj <- -^3 , (i,j) e Za

L'optimisation porte cette fois-ci sur les 9 coefficients(a,P,ï)i ,2,3.

D'autres utilisations du caractère formel des paramètresoptimisés semblent pouvoir être envisagées, notamment en ce quiconcarne l'emploi d'outils géostatistiques dans l'estimation desdifférents champs. De telles considérations sortent cependant du cadrede notre étude, et n'ont fait l'objet d'aucune expérimentation.

Enfin, mentionnons qu'il est évidemment possible d'utiliserdes changements de variables quelconques entre modèle inverse etmodèle direct. Ainsi,- dans le cadre da notre étude, il s'est révélépratique de travailler non pas avac las perméabilités elles-mêmes,mais avec leur logarithme, ceci afin d'augmenter la sensibilité desparamètres sur lesquels s'effectuaient le calage.

2.3 Le Critère d'Erreur

La procédure d'optimisation, décrite au paragraphe suivant,fait appel au calcul d'un critère d'erreur permettant d'apprécier laqualité de l'ajustement entre le modèle direct et le système physiqueréel. Ce critère permet en fait de comparer certains des résultatsobtenus par simulation avac les observations correspondantes faitesdirectement sur le système réel.

La généralité de la procédure d'optimisation utilisée, trèsformelle, autorise encore une fois une grande souplesse dans ladéfinition de la fonction critère. Pour la validation du logiciel,nous nous sommes cependant contentés d' un critère quadratique classi¬que partant sur l'écart des piézométries. Nous avons néanmoins adoptédes critères légèrement différents selon la nature du calaga. Pour lascalages en régime permanent, pour lesquelles on dispose d'una cartepiézoïtétrique, le critère cumule les écarts obtenus pour toutes lesmailles du modèles, pondérés éventuellement par un coefficient da"plausibilité":

[13 J (h', h*) = [h*-h*3'P[h*-h*3

P: matrice de "plausibilité"

I Via = «li -I- Pij -^ ïl , (i,j) e ZlI Vij = azi -i- J3£J -H ÏZ , (i,j) e ZzI Via = c(3i -^ Paj <- -^3 , (i,j) e Za

L'optimisation porte cette fois-ci sur les 9 coefficients(a,P,ï)i ,2,3.

D'autres utilisations du caractère formel des paramètresoptimisés semblent pouvoir être envisagées, notamment en ce quiconcarne l'emploi d'outils géostatistiques dans l'estimation desdifférents champs. De telles considérations sortent cependant du cadrede notre étude, et n'ont fait l'objet d'aucune expérimentation.

Enfin, mentionnons qu'il est évidemment possible d'utiliserdes changements de variables quelconques entre modèle inverse etmodèle direct. Ainsi,- dans le cadre da notre étude, il s'est révélépratique de travailler non pas avac las perméabilités elles-mêmes,mais avec leur logarithme, ceci afin d'augmenter la sensibilité desparamètres sur lesquels s'effectuaient le calage.

2.3 Le Critère d'Erreur

La procédure d'optimisation, décrite au paragraphe suivant,fait appel au calcul d'un critère d'erreur permettant d'apprécier laqualité de l'ajustement entre le modèle direct et le système physiqueréel. Ce critère permet en fait de comparer certains des résultatsobtenus par simulation avac les observations correspondantes faitesdirectement sur le système réel.

La généralité de la procédure d'optimisation utilisée, trèsformelle, autorise encore une fois une grande souplesse dans ladéfinition de la fonction critère. Pour la validation du logiciel,nous nous sommes cependant contentés d' un critère quadratique classi¬que partant sur l'écart des piézométries. Nous avons néanmoins adoptédes critères légèrement différents selon la nature du calaga. Pour lascalages en régime permanent, pour lesquelles on dispose d'una cartepiézoïtétrique, le critère cumule les écarts obtenus pour toutes lesmailles du modèles, pondérés éventuellement par un coefficient da"plausibilité":

[13 J (h', h*) = [h*-h*3'P[h*-h*3

P: matrice de "plausibilité"

2©

Dans le cas das régimes transitoiras, on na dispose généra¬lement que de quelques historiques piézométriques (numérotés de i à n)échelonnés sur p pas de temps:

p "

[23 J (h-, h*) =11 Xi([h"-h*3i) =11 ji

Xi: pondération de chaque piézomètre

Cependant, d'autres critères sont enviseageables, comme parexemple un ajustement des débits des divers exutoires d'une nappa; onpaut également adapter un critère de type bayésien [1.63, comprenantune estimation a priori des différents paramètres optimisés.L'utilisation d'un tel critère, qui va dans le même sans que celled'une zonation préalable, peut se révéler utile lorsque l'on a parexemple une idée précise de la valeur moyenne du champ des perméa¬bilités, afin de pénaliser les solutions s' écartant trop de cettevaleur.

2.4 Le Module d'Optimisation

2.4.1 remarques préliminaires

Le module d'optimisation utilisé par le logicial MICA est,comme dans la plupart des modèles inverses, dérivé d' une méthode deNewton, Son originalité vient de ce que les différentes dérivéespartielles des critères [13 ou [23 ne sont pas obtenues de façonanalytique à partir de l'équation de diffusivité, mais de façonpurement numérique par calcul approché.

Une telle méthode peut sembler beaucoup plus grossière que lesméthodes semi-analytiques développées jusqu'ici. Cependant, on peutfaire les quelques remarques suivantes;

* Plus souple, elle se rapproche davantage de la méthode classique paressai et erreur utilisée pour le calcul manuel. De cette manière,elle peut être utilisée da manière semi-automatique, e-t constituerune aide au calage véritablement efficace.

* Plus générale, elle permet de faire porter l'optimisation sur unegamme très étendue de paramètres, ouvrant ainsi des voies d'expéri¬mentation nouvelles.

t Contrôlées au cours de l'optimisation, les erreurs numériques sontprobablement da l'ordre des erreurs de modélisation (directe etinverse) .

* Si l'on exclut les erreurs numériques, la méthode da Newton intégréeau logiciel (2e ordre) est plus puissante que celles généralementutilisées par les modèles Inverses (1er ordre).

2©

Dans le cas das régimes transitoiras, on na dispose généra¬lement que de quelques historiques piézométriques (numérotés de i à n)échelonnés sur p pas de temps:

p "

[23 J (h-, h*) =11 Xi([h"-h*3i) =11 ji

Xi: pondération de chaque piézomètre

Cependant, d'autres critères sont enviseageables, comme parexemple un ajustement des débits des divers exutoires d'une nappa; onpaut également adapter un critère de type bayésien [1.63, comprenantune estimation a priori des différents paramètres optimisés.L'utilisation d'un tel critère, qui va dans le même sans que celled'une zonation préalable, peut se révéler utile lorsque l'on a parexemple une idée précise de la valeur moyenne du champ des perméa¬bilités, afin de pénaliser les solutions s' écartant trop de cettevaleur.

2.4 Le Module d'Optimisation

2.4.1 remarques préliminaires

Le module d'optimisation utilisé par le logicial MICA est,comme dans la plupart des modèles inverses, dérivé d' une méthode deNewton, Son originalité vient de ce que les différentes dérivéespartielles des critères [13 ou [23 ne sont pas obtenues de façonanalytique à partir de l'équation de diffusivité, mais de façonpurement numérique par calcul approché.

Une telle méthode peut sembler beaucoup plus grossière que lesméthodes semi-analytiques développées jusqu'ici. Cependant, on peutfaire les quelques remarques suivantes;

* Plus souple, elle se rapproche davantage de la méthode classique paressai et erreur utilisée pour le calcul manuel. De cette manière,elle peut être utilisée da manière semi-automatique, e-t constituerune aide au calage véritablement efficace.

* Plus générale, elle permet de faire porter l'optimisation sur unegamme très étendue de paramètres, ouvrant ainsi des voies d'expéri¬mentation nouvelles.

t Contrôlées au cours de l'optimisation, les erreurs numériques sontprobablement da l'ordre des erreurs de modélisation (directe etinverse) .

* Si l'on exclut les erreurs numériques, la méthode da Newton intégréeau logiciel (2e ordre) est plus puissante que celles généralementutilisées par les modèles Inverses (1er ordre).

2'?'

2.4.2 présentation théorique de l'algorithme de newton

L'objet de ce paragraphe est de donner une présentation rapideet théorique de l'algorithme de Newton utilisé. Dans un soucis desimplification, nous nous sommes restraint au cas mono-dimansionnel.Nous verrons au paragraphe suivant comment on peut le modifier ' pourtraiter de l'optimisation simultanée de plusieurs paramètres.

Supposons que f e C^ soit une fonction réalla convexe dontl'on rechercha le minimum Xo.

En Xo, on a donc:

[33 f (Xo) =0 et f"(xo) > 0

(car Xo n'est pas un point d'inflexion)

En effectuant un développement limité au premier ordre de fen un point x proche de xo, on peut écrire:

[43 f (Xo) = f (X) + (Xo -x)f"(x) -i- o(xo - x)

On en déduit directement, en repartant [33 dans [43;

[53 Xo = X - f'(x)/f"(x) + a(xo - x)/f"(x)

Comme par ailleurs f" est continue et non nulle en xo, il estlégitime de poser;

[63 o(xo - x)/f*'(x) = o(xo - x)

et [53 s'écrit alors:

[73 Xo = X - f ' (x)/f" (X) -I- a(xo - x)

On peut déduire de ca calcul simple un algorithme trèspuissant permettant d'approcher le minimum d'une fonction. Cetalgorithme récurrent peut être défini de la façon suivante:

1 Xo £ IR

[83 I Xr^H-l .= Xr, - f (Xr,)/lf"(Xr,)l

Cet algorithme ne converge presque sûrement que dans le casd'une fonction strictement convexe et deux fois continûment derivable.On l'applique cependant de manière générale, en faisant néanmoinsintervenir la valeur absolue de la dérivée seconde, ceci afind'obtenir un minimum de la fonction recherchée.

2'?'

2.4.2 présentation théorique de l'algorithme de newton

L'objet de ce paragraphe est de donner une présentation rapideet théorique de l'algorithme de Newton utilisé. Dans un soucis desimplification, nous nous sommes restraint au cas mono-dimansionnel.Nous verrons au paragraphe suivant comment on peut le modifier ' pourtraiter de l'optimisation simultanée de plusieurs paramètres.

Supposons que f e C^ soit une fonction réalla convexe dontl'on rechercha le minimum Xo.

En Xo, on a donc:

[33 f (Xo) =0 et f"(xo) > 0

(car Xo n'est pas un point d'inflexion)

En effectuant un développement limité au premier ordre de fen un point x proche de xo, on peut écrire:

[43 f (Xo) = f (X) + (Xo -x)f"(x) -i- o(xo - x)

On en déduit directement, en repartant [33 dans [43;

[53 Xo = X - f'(x)/f"(x) + a(xo - x)/f"(x)

Comme par ailleurs f" est continue et non nulle en xo, il estlégitime de poser;

[63 o(xo - x)/f*'(x) = o(xo - x)

et [53 s'écrit alors:

[73 Xo = X - f ' (x)/f" (X) -I- a(xo - x)

On peut déduire de ca calcul simple un algorithme trèspuissant permettant d'approcher le minimum d'une fonction. Cetalgorithme récurrent peut être défini de la façon suivante:

1 Xo £ IR

[83 I Xr^H-l .= Xr, - f (Xr,)/lf"(Xr,)l

Cet algorithme ne converge presque sûrement que dans le casd'une fonction strictement convexe et deux fois continûment derivable.On l'applique cependant de manière générale, en faisant néanmoinsintervenir la valeur absolue de la dérivée seconde, ceci afind'obtenir un minimum de la fonction recherchée.

2S

Pour donner une interprétation géométrique simple de cetalgorithme, on peut remarquer qu'utiliser un développement limité aupremier ordre de la dérivée revient à approximer la fonction àminimiser par une parabole qui lui est tangente [fig. 43, L'algorithmeconsiste alors à rechercher le minimum de cette parabole qui constitueune approximation du minimum de la fonction, le procédé étant renduitéra-tif jusqu'à ce qu'une précision satisfaisante soit atteinte.

La méthode employée est une technique classique en optimi¬sation non-linéaire. Elle n'échappe donc pas aux problèmes deconvergence et d'existence de minima locaux qui constituent las prin¬cipaux obstacles à leur utilisation.

2.4.3 application au logiciel MICA

L'algorithme présenté au paragraphe précédent doit évidemmentêtre modifié pour pouvoir être utilisé dans le cas de l'optimisationsimultanée de plusieurs paramètres.

Pour ce faire, on dispose principalement de deux méthodesdistinctes:

- la progression par gradient global- la progression par directions successives

La méthode faisant appel au gradient global consista àoptimiser tous les paramètres an même temps suivant une "ligne de plusgrande pente" correspondant à celle du gradient déterminé par lasdérivées premières. Le pas d'optimisation à utiliser ast alorsfonction du Jacobien du système, et son calcul rigoureux nécessitedonc celui de toutes les dérivées secondes croisées, ce qui se révèlevite prohibitif en temps calcul. On "peut alors se contenter decalculer les termes diagonaux de la matrice jacobienne, en négligeantles termes croisés, mais au prix d'une perte d'efficacité au niveau dal'optimisation difficilement appréciable.

On peut alors préférer appliquer l'algorithme de Newton mono¬dimensionnel successivement à chaque paramètre. Dans ce cas, le pascalculé est optimal, alors que les directions d'optimisation suiviesne correspondent plus aux gradients ("lignes de plus grandes pentes"),mais aux axes (fixes) associés aux différents paramètres. L'ajustementdes divers paramètres se fait cependant de façon simultanée, l'axed'optimisation variant constament d'un paramètre à l'autre, laprogression vers le minimum s'effectuant théoriquement "en spirale".

C'est la deuxième méthode qui a été développée dans le cadredu logiciel MICA, car elle semble amener une convergence moins rapide

2S

Pour donner une interprétation géométrique simple de cetalgorithme, on peut remarquer qu'utiliser un développement limité aupremier ordre de la dérivée revient à approximer la fonction àminimiser par une parabole qui lui est tangente [fig. 43, L'algorithmeconsiste alors à rechercher le minimum de cette parabole qui constitueune approximation du minimum de la fonction, le procédé étant renduitéra-tif jusqu'à ce qu'une précision satisfaisante soit atteinte.

La méthode employée est une technique classique en optimi¬sation non-linéaire. Elle n'échappe donc pas aux problèmes deconvergence et d'existence de minima locaux qui constituent las prin¬cipaux obstacles à leur utilisation.

2.4.3 application au logiciel MICA

L'algorithme présenté au paragraphe précédent doit évidemmentêtre modifié pour pouvoir être utilisé dans le cas de l'optimisationsimultanée de plusieurs paramètres.

Pour ce faire, on dispose principalement de deux méthodesdistinctes:

- la progression par gradient global- la progression par directions successives

La méthode faisant appel au gradient global consista àoptimiser tous les paramètres an même temps suivant une "ligne de plusgrande pente" correspondant à celle du gradient déterminé par lasdérivées premières. Le pas d'optimisation à utiliser ast alorsfonction du Jacobien du système, et son calcul rigoureux nécessitedonc celui de toutes les dérivées secondes croisées, ce qui se révèlevite prohibitif en temps calcul. On "peut alors se contenter decalculer les termes diagonaux de la matrice jacobienne, en négligeantles termes croisés, mais au prix d'une perte d'efficacité au niveau dal'optimisation difficilement appréciable.

On peut alors préférer appliquer l'algorithme de Newton mono¬dimensionnel successivement à chaque paramètre. Dans ce cas, le pascalculé est optimal, alors que les directions d'optimisation suiviesne correspondent plus aux gradients ("lignes de plus grandes pentes"),mais aux axes (fixes) associés aux différents paramètres. L'ajustementdes divers paramètres se fait cependant de façon simultanée, l'axed'optimisation variant constament d'un paramètre à l'autre, laprogression vers le minimum s'effectuant théoriquement "en spirale".

C'est la deuxième méthode qui a été développée dans le cadredu logiciel MICA, car elle semble amener une convergence moins rapide

"^ Câ

fis;. 4 présentation géamétricue de la méthode de Nevrton

"^ Câ

fis;. 4 présentation géamétricue de la méthode de Nevrton

30

certes, mais plus sûre. L'algorithme utilisé est donc le suivant, pétant le nombre de paramètres à optimisar:

[93'n-.-!

K i c Il.pt

= x^ - f;(x^ )/if'^(xE )i

= xi.;î - fi(x*;i)/lf';,(xi;])l i e Î2,pl

2avec: f^ = Sî/Sx^ î'I^ = (S=f/ix^

Afin d'améliorer la convergence, deux possibilités supplémen¬taires sont laissées au choix de l'utilisateur.

Celui-ci peut tout d'abord contraindre l'optimisation enimposant des limites inférieures et supérieures aux différentsparamètres. Ces limites peuvent correspondre à des limitas physiques,ou être imposées par des connaissances a priori.

Il est égaleme'nt possible d'influencer la convergence à l'aidede coefficients de relaxation: sur-relaxation pour accélérer laconvergence lorsque les paramètres sont peu sensibles, sous-relaxationpour amortir des oscillations possibles dans le cas contraire. Dansles deux cas, la relaxation se fait de manière progressive à partir dedeux seuils donnés par l'utilisateur.

2.4.4 méthode de calcul des dérivées partielles

Pour pouvoir utiliser l'algorithme da Newton présenté auparagraphe précédent, il faut pouvoir disposer des dérivées partiellesde la fonction critère par rapport aux différents parantètres àoptimiser. Pour cela, MICA utilise un module de dérivation numérique,permettant d' obtenir un calcul approché de ces dérivées.

La itéthode de calcul est directement inspirée d'un dévelop¬pement limité de la fonction critère f, catta fois-ci au deuxièmeordre :

[103 f (X -H h) = f (X) -h h. f'(X) -1- %*-h.f"(X).h -l- o(h)

Posons alors;

[113 Ci = (0,0 c 0)T

i* coordonnée

30

certes, mais plus sûre. L'algorithme utilisé est donc le suivant, pétant le nombre de paramètres à optimisar:

[93'n-.-!

K i c Il.pt

= x^ - f;(x^ )/if'^(xE )i

= xi.;î - fi(x*;i)/lf';,(xi;])l i e Î2,pl

2avec: f^ = Sî/Sx^ î'I^ = (S=f/ix^

Afin d'améliorer la convergence, deux possibilités supplémen¬taires sont laissées au choix de l'utilisateur.

Celui-ci peut tout d'abord contraindre l'optimisation enimposant des limites inférieures et supérieures aux différentsparamètres. Ces limites peuvent correspondre à des limitas physiques,ou être imposées par des connaissances a priori.

Il est égaleme'nt possible d'influencer la convergence à l'aidede coefficients de relaxation: sur-relaxation pour accélérer laconvergence lorsque les paramètres sont peu sensibles, sous-relaxationpour amortir des oscillations possibles dans le cas contraire. Dansles deux cas, la relaxation se fait de manière progressive à partir dedeux seuils donnés par l'utilisateur.

2.4.4 méthode de calcul des dérivées partielles

Pour pouvoir utiliser l'algorithme da Newton présenté auparagraphe précédent, il faut pouvoir disposer des dérivées partiellesde la fonction critère par rapport aux différents parantètres àoptimiser. Pour cela, MICA utilise un module de dérivation numérique,permettant d' obtenir un calcul approché de ces dérivées.

La itéthode de calcul est directement inspirée d'un dévelop¬pement limité de la fonction critère f, catta fois-ci au deuxièmeordre :

[103 f (X -H h) = f (X) -h h. f'(X) -1- %*-h.f"(X).h -l- o(h)

Posons alors;

[113 Ci = (0,0 c 0)T

i* coordonnée

En remplaçant h par i^i dans la développement limité [103;

[123 f(X -1- ei) = f(X) -I- exÎf/ffXi(X) + fée^xi^^f /ixi^(X) -i- o(e=)

En remplaçant ¿i par -¤i dans le développement limité [103:

[133 f(X - Ei) = f(X) - exi5'f/5xi(X) ^ ièe=x(S=f /<yxi=(X) -i- o(e=^)

En combinant [ 123 et [ 133 , on peut alors trouver uneexpression des dérivées premières et secondes;

[143 (Sf/ÎXi(X) = ^^^ " ^^^^~ ^^^ " ^"^ -^ o(e)

[153 i=f/5xi=(X) = f<X..i) -.f(X-.i) -2f(X) ^ ^^^^

Le calcul des dérivées secondes croisées serait égalsmantpossible, en remplaçant h par es. + ej dans le développement [103.

Les expressions [143 et [153 permettant alors d'obtenir uncalcul approché des dérivées à l'aide de trois valeurs de la fonctionf. Ceci représente trois simulations du modèle direct pour chaqueparamètre à optimiser: une simulation correspondant à la valeur duparamètre en cours d'optimisation, et deux simulations correspondant àdes petites perturbations autour de cette valeur, l'une par excès,l'autre par défaut [fig. 53.

La valeur optimale de cette perturbation (le e des équations[ 113 à [ 153 ) doit être choisie avec soin, afin de trouver un compromisentra une valeur suffisamment grande pour que la perturbation soitsignificative, et une valeur sufisammant petite pour que l'on obtienneune approximation correcte des dérivées.

La version actuelle de MICA laissa ce choix à l'utilisateur,qui procède de façon empirique et par essais successifs; d'après notrepropre expérience, un coefficient de perturbation de 1% ne paraît pasdéraisonnable.

Pour conclura cette présentation du logiciel d'optimisation,précisons que c'est la calcul des différentes dérivées partielles quiprend évidemment la plus da temps, puisque ce calcul nécessite troissimulations "directes" pour chaque paramètre. L'unité de tempsutilisée pour traduire la durée d'une optimisation est donc la duréed'une simulation "directe", qui dépend elle du modèle utilisé. Si nousnotons Tmd cette durée, l'algorithme utilisé est en IxSxnxTm^, où nreprésenta le nombre de paramètres optimisés et I le nombre d'itéra¬tions du modula d'optimisation (alors qu'une méthode de gradientglobal faisant appel au calcul du Jacobien serait en Ixn^ .

En remplaçant h par i^i dans la développement limité [103;

[123 f(X -1- ei) = f(X) -I- exÎf/ffXi(X) + fée^xi^^f /ixi^(X) -i- o(e=)

En remplaçant ¿i par -¤i dans le développement limité [103:

[133 f(X - Ei) = f(X) - exi5'f/5xi(X) ^ ièe=x(S=f /<yxi=(X) -i- o(e=^)

En combinant [ 123 et [ 133 , on peut alors trouver uneexpression des dérivées premières et secondes;

[143 (Sf/ÎXi(X) = ^^^ " ^^^^~ ^^^ " ^"^ -^ o(e)

[153 i=f/5xi=(X) = f<X..i) -.f(X-.i) -2f(X) ^ ^^^^

Le calcul des dérivées secondes croisées serait égalsmantpossible, en remplaçant h par es. + ej dans le développement [103.

Les expressions [143 et [153 permettant alors d'obtenir uncalcul approché des dérivées à l'aide de trois valeurs de la fonctionf. Ceci représente trois simulations du modèle direct pour chaqueparamètre à optimiser: une simulation correspondant à la valeur duparamètre en cours d'optimisation, et deux simulations correspondant àdes petites perturbations autour de cette valeur, l'une par excès,l'autre par défaut [fig. 53.

La valeur optimale de cette perturbation (le e des équations[ 113 à [ 153 ) doit être choisie avec soin, afin de trouver un compromisentra une valeur suffisamment grande pour que la perturbation soitsignificative, et une valeur sufisammant petite pour que l'on obtienneune approximation correcte des dérivées.

La version actuelle de MICA laissa ce choix à l'utilisateur,qui procède de façon empirique et par essais successifs; d'après notrepropre expérience, un coefficient de perturbation de 1% ne paraît pasdéraisonnable.

Pour conclura cette présentation du logiciel d'optimisation,précisons que c'est la calcul des différentes dérivées partielles quiprend évidemment la plus da temps, puisque ce calcul nécessite troissimulations "directes" pour chaque paramètre. L'unité de tempsutilisée pour traduire la durée d'une optimisation est donc la duréed'une simulation "directe", qui dépend elle du modèle utilisé. Si nousnotons Tmd cette durée, l'algorithme utilisé est en IxSxnxTm^, où nreprésenta le nombre de paramètres optimisés et I le nombre d'itéra¬tions du modula d'optimisation (alors qu'une méthode de gradientglobal faisant appel au calcul du Jacobien serait en Ixn^ .

3 2

AH)o

orf

Oa

I

o

m-

m

paramétra cut i misé

X-E X X+£ í>-

01H-Hc(-'w<*H-Oa

fi.(Dc:fíi-j-n>rl(U

Ù1

3 -1C lü

í» M-

H^ -)O (Ua

a oC 1-J.

I--' Ù-1

rl- iD-i-j, go íDa

5 calcul numérique des dérivées

3 2

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paramétra cut i misé

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rl- iD-i-j, go íDa

5 calcul numérique des dérivées

OliSLiDdL -t^Dtre 3

Le logiciel MICA présenté au chapitre précédent a tout d'abord ététesté sur un exemple théorique, afin d'en valider les divers algo¬rithmes. Cette première étape franchie, on s'est intéressé aucomportement du modèle dans le cas d'une nappe réelle.

Ce chapitre présente donc certains des résultats obtenus. Ceux-cipermettent de Justifier les algorithmes utilisés (souvent simplifi¬cateurs), et donnent un aperçu des possibilités opérationnelles de laméthode semi-automitique proposée.

OliSLiDdL -t^Dtre 3

Le logiciel MICA présenté au chapitre précédent a tout d'abord ététesté sur un exemple théorique, afin d'en valider les divers algo¬rithmes. Cette première étape franchie, on s'est intéressé aucomportement du modèle dans le cas d'une nappe réelle.

Ce chapitre présente donc certains des résultats obtenus. Ceux-cipermettent de Justifier les algorithmes utilisés (souvent simplifi¬cateurs), et donnent un aperçu des possibilités opérationnelles de laméthode semi-automitique proposée.

34

3.1 ExpèrJt^gntatiQP du Logiclgl

3.1.1 présentation de la nappe "test"

L'utilisation d'un cas théorique n'a ici pour but que dedémontrer la validité des différents algorithmes mis en oeuvre par lelogiciel MICA. En aucun cas, il ne permet da préjuger du comportementdu logiciel dans le cas de modélisations réelles car, nous l'avons vu,le problème inverse est particulièrement instable. Citons au passageque les modèles inverses existants ont la fâcheuse propriété de donnerd'excellents résulats lorsqu'on les applique à des cas théoriques,mais de se montrer bisn moins efficace dans la pratiqua; ceci expliquesans doute le nombre restreint de publications traitant del'application d'un modèle inverse à un cas réel...

Cependant, l'utilisation de tels cas théoriques est pratiquepour tester la convergence des différents algorithmes, et l'influencede différents facteurs sur le comportement du programme. Pour cetteraison, nous avons donc commencé par appliquer MICA à une nappe"artificielle" construite de toute pièce à partir d'un modèlehydrodynamique .

La nappe test ainsi reconstituée est une nappe relativementsimple, généralement libre, mais pouvant devenir captive dans sapartie NV. Elle comporte un petit plan d'eau dans sa partie S, quiconstitua donc une limite à potentiel imposé. Les contours da la nappesont également des limites à potentiel imposé. Enfin, un pompage a étéplacé dans la partie médiane de la nappe, et constitue une limite àflux imposé (le débit de pompage étant de 2880 m^lii. La raison d'êtrede ce pompage est la suivante; en l'absence da toute autre caused'instabilité, le problème inverse n'est défini par rapport auxcoefficients de l'équation de diffusivité qu'à une constantemultiplicative près si les conditions aux limites ne se rapportantqu'à des potentiels imposés. La débit de pompage imposé sert à levercette indétermination, qui s'apparenta au problème de Cauchy deséquations différentielles.

Pour obtenir artificiellement une carte piézonétrique "obser¬vée" [fig. 63, une simulation a été effectuée sur un modèlehydrodynamique avec des distributions simples des paramètres K(perméabilités) et S (coefficients d'emmagasinement). On a ainsiadopté trois bandes parallèles de perméabilités contrastées [fig. 73,la bande médiane étant nettement plus perméable que les deux bandeslatérales. De même, on a défini deux zones pour les coefficientsd'emmagasinement [fig. 83.

34

3.1 ExpèrJt^gntatiQP du Logiclgl

3.1.1 présentation de la nappe "test"

L'utilisation d'un cas théorique n'a ici pour but que dedémontrer la validité des différents algorithmes mis en oeuvre par lelogiciel MICA. En aucun cas, il ne permet da préjuger du comportementdu logiciel dans le cas de modélisations réelles car, nous l'avons vu,le problème inverse est particulièrement instable. Citons au passageque les modèles inverses existants ont la fâcheuse propriété de donnerd'excellents résulats lorsqu'on les applique à des cas théoriques,mais de se montrer bisn moins efficace dans la pratiqua; ceci expliquesans doute le nombre restreint de publications traitant del'application d'un modèle inverse à un cas réel...

Cependant, l'utilisation de tels cas théoriques est pratiquepour tester la convergence des différents algorithmes, et l'influencede différents facteurs sur le comportement du programme. Pour cetteraison, nous avons donc commencé par appliquer MICA à une nappe"artificielle" construite de toute pièce à partir d'un modèlehydrodynamique .

La nappe test ainsi reconstituée est une nappe relativementsimple, généralement libre, mais pouvant devenir captive dans sapartie NV. Elle comporte un petit plan d'eau dans sa partie S, quiconstitua donc une limite à potentiel imposé. Les contours da la nappesont également des limites à potentiel imposé. Enfin, un pompage a étéplacé dans la partie médiane de la nappe, et constitue une limite àflux imposé (le débit de pompage étant de 2880 m^lii. La raison d'êtrede ce pompage est la suivante; en l'absence da toute autre caused'instabilité, le problème inverse n'est défini par rapport auxcoefficients de l'équation de diffusivité qu'à une constantemultiplicative près si les conditions aux limites ne se rapportantqu'à des potentiels imposés. La débit de pompage imposé sert à levercette indétermination, qui s'apparenta au problème de Cauchy deséquations différentielles.

Pour obtenir artificiellement une carte piézonétrique "obser¬vée" [fig. 63, une simulation a été effectuée sur un modèlehydrodynamique avec des distributions simples des paramètres K(perméabilités) et S (coefficients d'emmagasinement). On a ainsiadopté trois bandes parallèles de perméabilités contrastées [fig. 73,la bande médiane étant nettement plus perméable que les deux bandeslatérales. De même, on a défini deux zones pour les coefficientsd'emmagasinement [fig. 83.

3S

PIEZOMETRIE EN METRES

fig. 5 nappe test: carta piézométrique

3S

PIEZOMETRIE EN METRES

fig. 5 nappe test: carta piézométrique

e5

lappa test: carta des Derméabi lités

©P

O 100 m

-napoa test carte des coefficients d'emmagasinement

e5

lappa test: carta des Derméabi lités

©P

O 100 m

-napoa test carte des coefficients d'emmagasinement

3'?'

3,1,2 validation des algorithmes

a) régime permanent

Une première optimi-sation a été effectuée en régime permanent(<S # (?).

Celle-ci portait sur trois valeurs de perméabilités, corres¬pondant aux zonas "réallas" da cas perméabilités [fig. 73: ces zonesétaient donc supposées "connues" avac précision, ca qui ne seraitévidemment pas le cas pour une nappe réelle.

L'estimation initiale était celle d'une distriution uniformedes perméabilités pour l'ensemble de la nappe.

Le chemin d'optimisation [fig. 93 permet de vérifier laconvergence des algorithmes, un ajustement satisfaisant étant atteint(la figure est en échelle semilogarithmique) , On remarque cependantque l'ajustement est meilleur en ce qui concerne la zone centrale; onpeut chercher à l'expliquer par la présence dans cette zone du pompagedéterminant la valeur exacte des perméabilités.

La représentation de l'évolution des écarts maximum et moyenau cours de l'optimisation [fig. 103 montre que la diminuation de cesécarts se fait principalement en début d'optimisation: ceci illustrebien l'une des difficultés du problème inverse, qui est celle de lafaible sensibilité du critère à de grandes variations des paramètres.

Enfin, la valeur de l'ajustement obtenu antre valeurs "obser¬vées" et simulées peut être donnée par la comparaison des écartspiézométriques en début et en fin d'optimisation [fig. 113.

Ces résultats ne sont évidemment pas représentatifs du compor¬tement opérationnel du logiciel, mais valident totalement las algo¬rithmes utilisés.

b) régime transitoire

Le logiciel MICA permet également de traiter le cas desrégimes transitoires. Pour ceux-ci, on ne dispose généralement que daquelques historiques piézométriques répartis sur l'ensemble de lanappe. Pour la nappe test, nous avons donc défini arbitrairement uncertain nombre de "piézomètres" pour lesquels on a simulé tout d'abordun ensemble d'historiques, à partir des valeurs "réelles" desperméabilités [fig. 63 et des coefficients d' emmagasinement [fig. 73,

Ces historiques ont alors fourni les "observations"nécessaires au processus d'optimisation. Celui-ci portait sur uneestimation simultanée des perméabilités et des coefficients d'emmaga¬sinement pour chacune das zones prédéfinies, l'estimation initialecorrespondant à des distributions uniformes.

3'?'

3,1,2 validation des algorithmes

a) régime permanent

Une première optimi-sation a été effectuée en régime permanent(<S # (?).

Celle-ci portait sur trois valeurs de perméabilités, corres¬pondant aux zonas "réallas" da cas perméabilités [fig. 73: ces zonesétaient donc supposées "connues" avac précision, ca qui ne seraitévidemment pas le cas pour une nappe réelle.

L'estimation initiale était celle d'une distriution uniformedes perméabilités pour l'ensemble de la nappe.

Le chemin d'optimisation [fig. 93 permet de vérifier laconvergence des algorithmes, un ajustement satisfaisant étant atteint(la figure est en échelle semilogarithmique) , On remarque cependantque l'ajustement est meilleur en ce qui concerne la zone centrale; onpeut chercher à l'expliquer par la présence dans cette zone du pompagedéterminant la valeur exacte des perméabilités.

La représentation de l'évolution des écarts maximum et moyenau cours de l'optimisation [fig. 103 montre que la diminuation de cesécarts se fait principalement en début d'optimisation: ceci illustrebien l'une des difficultés du problème inverse, qui est celle de lafaible sensibilité du critère à de grandes variations des paramètres.

Enfin, la valeur de l'ajustement obtenu antre valeurs "obser¬vées" et simulées peut être donnée par la comparaison des écartspiézométriques en début et en fin d'optimisation [fig. 113.

Ces résultats ne sont évidemment pas représentatifs du compor¬tement opérationnel du logiciel, mais valident totalement las algo¬rithmes utilisés.

b) régime transitoire

Le logiciel MICA permet également de traiter le cas desrégimes transitoires. Pour ceux-ci, on ne dispose généralement que daquelques historiques piézométriques répartis sur l'ensemble de lanappe. Pour la nappe test, nous avons donc défini arbitrairement uncertain nombre de "piézomètres" pour lesquels on a simulé tout d'abordun ensemble d'historiques, à partir des valeurs "réelles" desperméabilités [fig. 63 et des coefficients d' emmagasinement [fig. 73,

Ces historiques ont alors fourni les "observations"nécessaires au processus d'optimisation. Celui-ci portait sur uneestimation simultanée des perméabilités et des coefficients d'emmaga¬sinement pour chacune das zones prédéfinies, l'estimation initialecorrespondant à des distributions uniformes.

-3©

ÏÏë

i

4.00 .

3.00 -

2.00

1.00 -

60 7515 30 45NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 9 nappe test: optimisation des perméabilités

ECART MAXIMUM

»i K

15 30 45 60 75NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 10 nappe test: minimisation des écarts piézométriques

-3©

ÏÏë

i

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3.00 -

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1.00 -

60 7515 30 45NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 9 nappe test: optimisation des perméabilités

ECART MAXIMUM

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15 30 45 60 75NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 10 nappe test: minimisation des écarts piézométriques

e?

VALEURS FÍJALES

fig. 11 nappe test: carta das écarts piézométriques (m)

e?

VALEURS FÍJALES

fig. 11 nappe test: carta das écarts piézométriques (m)

40

Las résultats obtenus pour les perméabilités montrent une foisencore un ajustement remarquable [fig. 123, surtout en ce qui concernala zone médiane. L'obtention de tels résultats, comparables (et même

supérieurs) à ceux du régime permanent, donne lieu à une remarqueimportante; la valeur da l'optimisation n'est pas liée au nombred'observations totales (bien plus important en permanent, où l'ondispose d'une carte complète), mais plutôt au nombre d' observationsindépendantes (celle-ci apparaissant donc plus corrélées dans l'espaceque dans le temps).

L'utilisation de cartes, obtenues bien souvent à partird'interpolations, peut donc se révéler pénalisante, l'augmentation dunombre d'observations finissant par multiplier las sources d'erreurssans apporter d'informations supplémentaires.

L'ajustement des coefficients d'emmagasinement donne desrésultats satisfaisants [fig. 133, la zone comprenant le pompage étantune fois encore la mieux ajustée. Précisons que ces valeurs ont étéobtenues à partir d'une estimation initiale très éloignée des valeursréelles, et ceci bien que la nappa sa soit révélée assez peu sensibleaux perturbations des coefficient d'emmagasinement.

Pour fixer un ordre de grandeur, cette optimisation a demandéenviron 80 simulations directes, soit 36' de temps-calcul pour le VAXdu BRGM.

Signalons enfin que la nombre de piézomètres définis pour lecas traité était d'une quinzaine, répartis au hasard sur l'ensemble dela nappe. L'expérimentation a été répétée pour 10 et 20 piézomètres,en donnant des résultats très voisins. Par la suite, il pourrait serévéler intéressant de poursuivre cette expérimentation, afin de sefaire une idée sur le nombre optimal de piézomètres à utiliser, et surleur répartition.

3.1.3 expérimentations complémentaires

Quelques expériences complémentaires ont été effectuées sur lanappa test, afin d'essayer d'apprécier l'influence des différenteserreurs inhérentes à l'application de la méthode aux cas réels.

On a ainsi cherché tout d'abord à évaluer l'influence deserreurs liées aux valeurs observées. Pour cela, on a introduit unbiais pseudo-aléatoire dans les historiques piézométriques an lesarrondissant. On constate alors une dégradation de l'ajustement desperméabilités [fig. 143, bien que le calage puisse encore êtreconsidéré comme satisfaisant.

Par ailleurs, nous avons déjà indiqué que l'optimisation sefaisait sur les zones "réelles", c'est-à-dire correspondant effec-

40

Las résultats obtenus pour les perméabilités montrent une foisencore un ajustement remarquable [fig. 123, surtout en ce qui concernala zone médiane. L'obtention de tels résultats, comparables (et même

supérieurs) à ceux du régime permanent, donne lieu à une remarqueimportante; la valeur da l'optimisation n'est pas liée au nombred'observations totales (bien plus important en permanent, où l'ondispose d'une carte complète), mais plutôt au nombre d' observationsindépendantes (celle-ci apparaissant donc plus corrélées dans l'espaceque dans le temps).

L'utilisation de cartes, obtenues bien souvent à partird'interpolations, peut donc se révéler pénalisante, l'augmentation dunombre d'observations finissant par multiplier las sources d'erreurssans apporter d'informations supplémentaires.

L'ajustement des coefficients d'emmagasinement donne desrésultats satisfaisants [fig. 133, la zone comprenant le pompage étantune fois encore la mieux ajustée. Précisons que ces valeurs ont étéobtenues à partir d'une estimation initiale très éloignée des valeursréelles, et ceci bien que la nappa sa soit révélée assez peu sensibleaux perturbations des coefficient d'emmagasinement.

Pour fixer un ordre de grandeur, cette optimisation a demandéenviron 80 simulations directes, soit 36' de temps-calcul pour le VAXdu BRGM.

Signalons enfin que la nombre de piézomètres définis pour lecas traité était d'une quinzaine, répartis au hasard sur l'ensemble dela nappe. L'expérimentation a été répétée pour 10 et 20 piézomètres,en donnant des résultats très voisins. Par la suite, il pourrait serévéler intéressant de poursuivre cette expérimentation, afin de sefaire une idée sur le nombre optimal de piézomètres à utiliser, et surleur répartition.

3.1.3 expérimentations complémentaires

Quelques expériences complémentaires ont été effectuées sur lanappa test, afin d'essayer d'apprécier l'influence des différenteserreurs inhérentes à l'application de la méthode aux cas réels.

On a ainsi cherché tout d'abord à évaluer l'influence deserreurs liées aux valeurs observées. Pour cela, on a introduit unbiais pseudo-aléatoire dans les historiques piézométriques an lesarrondissant. On constate alors une dégradation de l'ajustement desperméabilités [fig. 143, bien que le calage puisse encore êtreconsidéré comme satisfaisant.

Par ailleurs, nous avons déjà indiqué que l'optimisation sefaisait sur les zones "réelles", c'est-à-dire correspondant effec-

-4 1

10

I

telO,

T T-

15 30 45 60 75NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig, 12 nappe test: optimisation des perméabilités(transitoire)

JO

I^

Ci

i30 45 60 75

NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 13 nappe test: optimisation des coefficientsd'emmagasinement (transitoire)

-4 1

10

I

telO,

T T-

15 30 45 60 75NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig, 12 nappe test: optimisation des perméabilités(transitoire)

JO

I^

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i30 45 60 75

NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 13 nappe test: optimisation des coefficientsd'emmagasinement (transitoire)

42

NOMBRE DE SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig, 14 nappe test; optimisation des perméabilités(parturbatio-n de la piézométrie)

-"^'^°^^^°^»»---<^ .^

1 r 1 1 1

NOMBRE DE SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 15 nappe test: optimisation des perméabilités(perturbation des limites de zonas)

42

NOMBRE DE SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig, 14 nappe test; optimisation des perméabilités(parturbatio-n de la piézométrie)

-"^'^°^^^°^»»---<^ .^

1 r 1 1 1

NOMBRE DE SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 15 nappe test: optimisation des perméabilités(perturbation des limites de zonas)

43

tivament à callas utilisées pour générer la piézométrie de la nappatest. Ceci ne correspond évidemment pas aux cas réels, pour lesquelssa surimposant deux types d'erreurs: une erreur correspondant àl'approximation de la distribution réelle par des zones homogènes, etune erreur liée à la définition des limites de ces zones, qui peuventparfois être mal adaptées fautes de connaissances précises.

Nous avons donc repris l'exemple de la nappe test, mais enmodifiant cette fois-ci les zones sur lesquelles se faisaitl'optimisation. Pour cela, on a gardé trois bandes grossièrementparallèles, mais orientées cette fois-ci NE-SV.

L'optimisation montre évidemment une dégradation dal'ajustement [fig. 153. Les contrastes sont cependant respectés, lavaleur des estimations finales pour chaque zone correspondant en grosà une moyenne de sas perméabilités.

Les résultats de ces diverses expérimentations suggèrent doncune relative robustesse des algorithmes développés. On peut doncpasser à l'étape suivante de l'expérimentation, c'est-à-direl'application de la méthode à des cas réels.

3.2 Application à un Cas Réel

3.2.1 la nappe du cailly

La nappe retenue est celle du Cailly, petit affluent an rivedroite de la Seine à proximité de Rouen (Seine Maritime).

L'aquifère est constitué par les assises crayeuses du CrétacéSupérieur, qui reposent sur un niveau imperméable constitué par lesargiles de l'Albien.

Las limites attribuées à la nappe sont celle du bassin versantdu Cailly; celui-ci peut être grossièrement subdivisé en un domaine deplateau et un domaine de vallée, la séparation étant arbitrairementmatérialisée par la courba da niveau 150 NGF [fig. 163.

Ces deux domaines ont des comportements très différents dupoint da vue hydrodynamique. Le domaine de plateau, recouvert par deslimons argileux et des argiles à silex, ast caractérisé par une assisecrayeuse importante (150 à 200 m) mais pau perméable. Dans lesvallées, tapissées d'alluvions pau développés (0 à 6 m), la craie estau contraire très fissurée, voire karstif iée, et la transmissivité astdonc très impartante en dépit d'épaisseurs plus faibles (80 à 100 m).

43

tivament à callas utilisées pour générer la piézométrie de la nappatest. Ceci ne correspond évidemment pas aux cas réels, pour lesquelssa surimposant deux types d'erreurs: une erreur correspondant àl'approximation de la distribution réelle par des zones homogènes, etune erreur liée à la définition des limites de ces zones, qui peuventparfois être mal adaptées fautes de connaissances précises.

Nous avons donc repris l'exemple de la nappe test, mais enmodifiant cette fois-ci les zones sur lesquelles se faisaitl'optimisation. Pour cela, on a gardé trois bandes grossièrementparallèles, mais orientées cette fois-ci NE-SV.

L'optimisation montre évidemment une dégradation dal'ajustement [fig. 153. Les contrastes sont cependant respectés, lavaleur des estimations finales pour chaque zone correspondant en grosà une moyenne de sas perméabilités.

Les résultats de ces diverses expérimentations suggèrent doncune relative robustesse des algorithmes développés. On peut doncpasser à l'étape suivante de l'expérimentation, c'est-à-direl'application de la méthode à des cas réels.

3.2 Application à un Cas Réel

3.2.1 la nappe du cailly

La nappe retenue est celle du Cailly, petit affluent an rivedroite de la Seine à proximité de Rouen (Seine Maritime).

L'aquifère est constitué par les assises crayeuses du CrétacéSupérieur, qui reposent sur un niveau imperméable constitué par lesargiles de l'Albien.

Las limites attribuées à la nappe sont celle du bassin versantdu Cailly; celui-ci peut être grossièrement subdivisé en un domaine deplateau et un domaine de vallée, la séparation étant arbitrairementmatérialisée par la courba da niveau 150 NGF [fig. 163.

Ces deux domaines ont des comportements très différents dupoint da vue hydrodynamique. Le domaine de plateau, recouvert par deslimons argileux et des argiles à silex, ast caractérisé par une assisecrayeuse importante (150 à 200 m) mais pau perméable. Dans lesvallées, tapissées d'alluvions pau développés (0 à 6 m), la craie estau contraire très fissurée, voire karstif iée, et la transmissivité astdonc très impartante en dépit d'épaisseurs plus faibles (80 à 100 m).

44

;ourb5 de niveau +\50 NGF

fig. 16 nappe du Cailly: situation générale

44

;ourb5 de niveau +\50 NGF

fig. 16 nappe du Cailly: situation générale

Les données piézométriques dont l'on disposait étaient consti¬tuées par une carte piézométrique établie pour le mois de janvier 1968dans des conditions de régime permanent [fig. 173.

La pluviométrie considérée correspond à une moyenne mensuellede 24 mm.

3.2.2 calage manuel "assisté"

La nappe du Cailly ayant fait l'objet d'une étude récente parle Bureau de Recherches Géologiques et Minières, on disposait d'unecarte des perméabilités obtenue à la suite d'un calage manuel clas¬sique [fig. 183 .

Sur cette carte, on retrouve bien le contraste antre domainede plateau et domaine de vallée, celui-ci étant caractérisé par desperméabilités pouvant être relativement élevées (>10~=^ m/s).

Nous nous sommes tout d'abord inspiré de cette carte pourproposer un découpage de la nappe en 5 zones supposées homogènes[fig. 193. L'optimisation des valeurs des perméabilités dans ces 5zones permet de retrouver un résultat remarquablement proche de celuidonné par le calage manuel [ fig. 203 .

La confrontation des algorithmes à des données réellesconfirme donc leur robustesse.

Par ailleurs, l'exemple de "calage assisté" traité ici illus¬tre bien ce que peut être la contribution du calage semi-automatique;le logicial MICA parmet an effet de retrouver les valeurs detransmissivités optimales pour une zonation donnée, celle-ci restant àdéterminer da façon plus ou moins empirique. Il complète donc lecalage manuel, en permettant de tester rapidement si la zonationproposée (déterminée par tâtonnements successifs) est bien adaptée àla nappe étudiée.

3.2.3 calage "semi-automatique"

Cependant, la connaissance préalable d'une zonation très fineétait-elle indispensable pour pouvoir obtenir un calage satisfaisant?

Pour essayer de répondre à cette question, nous avons décidéd'effectuer une expérimentation supplémentaire se contentantd'exploiter les connaissances a priori que l'on possédait pour lanappe du Cailly. On a ainsi établi une nouvelle zonation [fig. 213s'appuyant uniquement sur la connaissance du contraste existant entravallée et plateau et sur l'allure des courbes piézométriques. Cettezonation, évidemment plus grossière, était passablement différente decelle utilisée lors de la première optimisation.

Les données piézométriques dont l'on disposait étaient consti¬tuées par une carte piézométrique établie pour le mois de janvier 1968dans des conditions de régime permanent [fig. 173.

La pluviométrie considérée correspond à une moyenne mensuellede 24 mm.

3.2.2 calage manuel "assisté"

La nappe du Cailly ayant fait l'objet d'une étude récente parle Bureau de Recherches Géologiques et Minières, on disposait d'unecarte des perméabilités obtenue à la suite d'un calage manuel clas¬sique [fig. 183 .

Sur cette carte, on retrouve bien le contraste antre domainede plateau et domaine de vallée, celui-ci étant caractérisé par desperméabilités pouvant être relativement élevées (>10~=^ m/s).

Nous nous sommes tout d'abord inspiré de cette carte pourproposer un découpage de la nappe en 5 zones supposées homogènes[fig. 193. L'optimisation des valeurs des perméabilités dans ces 5zones permet de retrouver un résultat remarquablement proche de celuidonné par le calage manuel [ fig. 203 .

La confrontation des algorithmes à des données réellesconfirme donc leur robustesse.

Par ailleurs, l'exemple de "calage assisté" traité ici illus¬tre bien ce que peut être la contribution du calage semi-automatique;le logicial MICA parmet an effet de retrouver les valeurs detransmissivités optimales pour une zonation donnée, celle-ci restant àdéterminer da façon plus ou moins empirique. Il complète donc lecalage manuel, en permettant de tester rapidement si la zonationproposée (déterminée par tâtonnements successifs) est bien adaptée àla nappe étudiée.

3.2.3 calage "semi-automatique"

Cependant, la connaissance préalable d'une zonation très fineétait-elle indispensable pour pouvoir obtenir un calage satisfaisant?

Pour essayer de répondre à cette question, nous avons décidéd'effectuer une expérimentation supplémentaire se contentantd'exploiter les connaissances a priori que l'on possédait pour lanappe du Cailly. On a ainsi établi une nouvelle zonation [fig. 213s'appuyant uniquement sur la connaissance du contraste existant entravallée et plateau et sur l'allure des courbes piézométriques. Cettezonation, évidemment plus grossière, était passablement différente decelle utilisée lors de la première optimisation.

4e

PIEZOMETRIE EN METRES

ECHELLE

fig. 17 nappe du Cailly: carte piézométrique

4e

PIEZOMETRIE EN METRES

ECHELLE

fig. 17 nappe du Cailly: carte piézométrique

4'?'

Nord

PERMEABILITES dO"* m/s)

1200 - 1500^^ 600 - 1200^N^ 100 - 600

p?;?;^ 20 - 1000 - 20

fig. 18 nappe du Cailly: carte des perméabilités(calapé manuel)

4'?'

Nord

PERMEABILITES dO"* m/s)

1200 - 1500^^ 600 - 1200^N^ 100 - 600

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fig. 18 nappe du Cailly: carte des perméabilités(calapé manuel)

4S

Nord

^ zone 1

I '^ ^ zone 2\^77^ zone 3

zona 4zone 5

fi?!;. 19 nappe du Cailly: zones da perméabilités(calage automat iqua)

4S

Nord

^ zone 1

I '^ ^ zone 2\^77^ zone 3

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fi?!;. 19 nappe du Cailly: zones da perméabilités(calage automat iqua)

4©

10 20 30 40 50 60

NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

70

fig. 20 nappa du Cailly: optimisation des perméabilités(calage automatique)

4©

10 20 30 40 50 60

NOMBRE DB SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

70

fig. 20 nappa du Cailly: optimisation des perméabilités(calage automatique)

o

Pour pouvoir apprécier l'ajustement des perméabilités, on aestimé la moyenne carre.spandant à chaque zone à partir de la carteobtenue par calage manuel. On a alors comparé les valeurs obtenues enfin d'optimisation avec ces moyennes [fig. 223.

L'ajustement est ici encare satisfaisant; à partir du momentoù les zones da perméabilités sont choisies de façon grossièrementcorrecte, les résultats obtenus par le logiciel MICA peuvent donc êtreconsidéré comme représentatifs du système modélisé.

o

Pour pouvoir apprécier l'ajustement des perméabilités, on aestimé la moyenne carre.spandant à chaque zone à partir de la carteobtenue par calage manuel. On a alors comparé les valeurs obtenues enfin d'optimisation avec ces moyennes [fig. 223.

L'ajustement est ici encare satisfaisant; à partir du momentoù les zones da perméabilités sont choisies de façon grossièrementcorrecte, les résultats obtenus par le logiciel MICA peuvent donc êtreconsidéré comme représentatifs du système modélisé.

s 1

VZZA zone 2E::^ zone 3I 1 zone 4' : zone 5

ECHELLE

fig. 21 nappe du Cailly: zone da perméabilités(deuxième calage automatique)

s 1

VZZA zone 2E::^ zone 3I 1 zone 4' : zone 5

ECHELLE

fig. 21 nappe du Cailly: zone da perméabilités(deuxième calage automatique)

1000 -

zone 5

< zone 4

%

I

£3

^^

100 - zone 3

zone 2

10

10 20 30 40 50 60

NOMBRE DE SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 22 nappa du Cailly: optimisation des perméabilités(deuxième calage automatique)

1000 -

zone 5

< zone 4

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I

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^^

100 - zone 3

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10

10 20 30 40 50 60

NOMBRE DE SIMULATIONS DU MODELE DIRECT

fig. 22 nappa du Cailly: optimisation des perméabilités(deuxième calage automatique)

S3

Pour conclure cette étude, il a semblé utile d'ébaucher une analysecritique des résultats obtenus, en essayant d'apprécier les forces etles faiblesses du logiciel mis au point.

Far ailleurs, l'étude réalisée est loin d'avoir épuisé toutesles possibilités du logiciel, et elle demande évidemment à êtrepoursuivie. Ce dernier chapitre est donc également l'occasion deproposer de nouvelles voies de recherches qui nous ont semblé promet¬teuses, mais qui n'ont pu être développées faute du temps nécessaire.

S3

Pour conclure cette étude, il a semblé utile d'ébaucher une analysecritique des résultats obtenus, en essayant d'apprécier les forces etles faiblesses du logiciel mis au point.

Far ailleurs, l'étude réalisée est loin d'avoir épuisé toutesles possibilités du logiciel, et elle demande évidemment à êtrepoursuivie. Ce dernier chapitre est donc également l'occasion deproposer de nouvelles voies de recherches qui nous ont semblé promet¬teuses, mais qui n'ont pu être développées faute du temps nécessaire.

S4

4.1 Résultats Obtenus

Le problème de l'identification automatique des modèles hydro¬dynamiques reste après plus de vingt ans de recherches l'un desproblèmes las plus mal maîtrisés en hydrogéologie.

L'annonce de la mise au point, en un temps très limité, d'unlogiciel prétendant régler ce problème, même partiellement, seraitdonc bien prétentieuse.

Néanmoins, la procédure misa au point possède deux particu¬larités importantes, qui lui permettent de revendiquer un rôle deprécurseur dans une "voie nouvelle":

- tout d'abord, la but recherché n'est plus celui d'une procédure"tout-automatique", mais plutôt celui d'une aide au calage manuelactuellement pratiqué. Ceci se traduit dans une démarcha trèsproche de celle du calage manuel, qui permet donc une intégrationréellement efficace des deux méthodes,

- ensuite, la mise au point d'un module d'optimisation formel offreune souplesse bien supérieure à celle de la plupart destechniques proposées, au dépend certes d'une certaine efficacitédes calculs. Cependant, les possibilités ouvertes compensentlargement les limitations imposées par la coût du temps-calcul.

En raison même de la richesse des possibilités ouvertes,l'étude réalisée a du se limiter à la réalisation d'un prototypeexpérimental, qui ne peut que préfigurer une solution vraimentefficace pour le problème inverse.

Les résultats obtenus, sur cas théoriques ou réels, naconstituent donc qu'une validation préliminaire des algorithmesutilisés; l'application encourageante obtenue pour la nappe du Caillyne doit pas masquer les difficultés rencontrées pour le traitementd'autres nappes, dont l'étude n'a pu être achevée- compte tenu dufaible temps disponible. Le développement du logiciel doit donc sepoursuivre en parallèle d'une expérimentation poussée à partir da casréels.

S4

4.1 Résultats Obtenus

Le problème de l'identification automatique des modèles hydro¬dynamiques reste après plus de vingt ans de recherches l'un desproblèmes las plus mal maîtrisés en hydrogéologie.

L'annonce de la mise au point, en un temps très limité, d'unlogiciel prétendant régler ce problème, même partiellement, seraitdonc bien prétentieuse.

Néanmoins, la procédure misa au point possède deux particu¬larités importantes, qui lui permettent de revendiquer un rôle deprécurseur dans une "voie nouvelle":

- tout d'abord, la but recherché n'est plus celui d'une procédure"tout-automatique", mais plutôt celui d'une aide au calage manuelactuellement pratiqué. Ceci se traduit dans une démarcha trèsproche de celle du calage manuel, qui permet donc une intégrationréellement efficace des deux méthodes,

- ensuite, la mise au point d'un module d'optimisation formel offreune souplesse bien supérieure à celle de la plupart destechniques proposées, au dépend certes d'une certaine efficacitédes calculs. Cependant, les possibilités ouvertes compensentlargement les limitations imposées par la coût du temps-calcul.

En raison même de la richesse des possibilités ouvertes,l'étude réalisée a du se limiter à la réalisation d'un prototypeexpérimental, qui ne peut que préfigurer une solution vraimentefficace pour le problème inverse.

Les résultats obtenus, sur cas théoriques ou réels, naconstituent donc qu'une validation préliminaire des algorithmesutilisés; l'application encourageante obtenue pour la nappe du Caillyne doit pas masquer les difficultés rencontrées pour le traitementd'autres nappes, dont l'étude n'a pu être achevée- compte tenu dufaible temps disponible. Le développement du logiciel doit donc sepoursuivre en parallèle d'une expérimentation poussée à partir da casréels.

4.2 Développement proposés

Avant même de songer à une mise en forme "pratique" destinéeaux utilisateurs n'ayant pas de connaissance préalable du contenu duprogramma, la développement du ' logiciel MICA sembla devoir êtrepoursuivi salon deux axes complémentaires.

Il y a lieu tout d'abord d'essayer de raffiner l'algorithme deNewton utilisé. Celui-ci semble an effet ne pas être utilisé aumaximum de ces capacités, notamment en ce qui concerne le calcul desdérivées au deuxième ordre. Des expériences supplémentaires devraientêtre effectuées afin de déterminer si le calcul des dérivées secondese.st d'une précision satisfaisante pour justifier l'abandon d'uneméthode par "gradient global" limitée au premier ordre, le pas optimalétant déterminé par tâtonnements successifs.

L'estimation du pas de perturbation optimal pour le calcul desdérivées pourrait également être automatisée, ce pas pouvant être desurcroît modifié au fur et à mesure de l'optimisation.

L'utilisation des coefficients de sous ou sur-relaxation s'estpar ailleurs révélé particulièrement efficace et devrait bénéficierd'un mailleur contrôla pour pouvoir s'adapter en cours d'optimisation'.

A ces techniques qui relèvent du domaine de l'optimisationnon-linéaire, il semble essentiel de devoir rajouter la prise encompte da divers phénomènes physiques susceptibles de jouer un rôlesur la qualité de la convergence. Des phénomènes comme dénoyage oupassage d'un état de nappe libre à un état de nappe captive sont eneffet susceptibles d'influer sur la forme de la fonction d'erreur, quine vérifie alors plus les hypothèses da l'algorithme de Newton.

Pour préciser ce problème, prenons la cas d'un dénoyage,inexistant pour le système réel, mais "artificiellement" provoqué lorsde la modélisation par un paramètre de perméabilité très éloigné de savaleur réelle. L'existence da ca dénoyage va provoquer la perte desensibilité du paramètre qui justement le provoqua, car la piézométrien'évoluera plus sous l'influence d'une petite perturbation de ceparamètre; on obtient ainsi un état de blocage qui empêche touteoptimisation correcte.

Pour éviter de tels problèmes, il semble donc souhaitabled'utiliser une fonction-critère de type bayésien qui, liée à unelimitation de l'intervalle de variation des paramètres, devrait

4.2 Développement proposés

Avant même de songer à une mise en forme "pratique" destinéeaux utilisateurs n'ayant pas de connaissance préalable du contenu duprogramma, la développement du ' logiciel MICA sembla devoir êtrepoursuivi salon deux axes complémentaires.

Il y a lieu tout d'abord d'essayer de raffiner l'algorithme deNewton utilisé. Celui-ci semble an effet ne pas être utilisé aumaximum de ces capacités, notamment en ce qui concerne le calcul desdérivées au deuxième ordre. Des expériences supplémentaires devraientêtre effectuées afin de déterminer si le calcul des dérivées secondese.st d'une précision satisfaisante pour justifier l'abandon d'uneméthode par "gradient global" limitée au premier ordre, le pas optimalétant déterminé par tâtonnements successifs.

L'estimation du pas de perturbation optimal pour le calcul desdérivées pourrait également être automatisée, ce pas pouvant être desurcroît modifié au fur et à mesure de l'optimisation.

L'utilisation des coefficients de sous ou sur-relaxation s'estpar ailleurs révélé particulièrement efficace et devrait bénéficierd'un mailleur contrôla pour pouvoir s'adapter en cours d'optimisation'.

A ces techniques qui relèvent du domaine de l'optimisationnon-linéaire, il semble essentiel de devoir rajouter la prise encompte da divers phénomènes physiques susceptibles de jouer un rôlesur la qualité de la convergence. Des phénomènes comme dénoyage oupassage d'un état de nappe libre à un état de nappe captive sont eneffet susceptibles d'influer sur la forme de la fonction d'erreur, quine vérifie alors plus les hypothèses da l'algorithme de Newton.

Pour préciser ce problème, prenons la cas d'un dénoyage,inexistant pour le système réel, mais "artificiellement" provoqué lorsde la modélisation par un paramètre de perméabilité très éloigné de savaleur réelle. L'existence da ca dénoyage va provoquer la perte desensibilité du paramètre qui justement le provoqua, car la piézométrien'évoluera plus sous l'influence d'une petite perturbation de ceparamètre; on obtient ainsi un état de blocage qui empêche touteoptimisation correcte.

Pour éviter de tels problèmes, il semble donc souhaitabled'utiliser une fonction-critère de type bayésien qui, liée à unelimitation de l'intervalle de variation des paramètres, devrait

limiter considérablement les problèmes de ce type (et de même pour lesproblèmes de passage libre-captif).

Enfin, une attention toute particulière devrait être réservéeaux moyens da contrôla a posteriori d'une procédure d'optimisation.L'aspect semi-automatique de la démarche utilisée demande en effet uneinterprétation et une analyse critique des résultats obtenus. Lavisualisation du chemin d'optimisation, et une analyse des sensibi¬lités des différents paramètres sont alors d'une aide précieuse etgagneraient donc à être développés.

En définitive, las conseils que l'on peut donner pour ledéveloppement ultérieur du logicial MICA visent à améliorer de façonqualitative et quantitative les connaissances a priori intégrées à laprocédure d'optimisation, tout' en gardant à celle-ci la souplesse quien fait toute la richesse,

La mise au point d'un programme opérationel demanderaégalamant l'amélioration de l'interactivité entre l'utilisateur et lelogiciel, afin d'intégrer véritablement calui-ci à la procédure decalage actuelle.

limiter considérablement les problèmes de ce type (et de même pour lesproblèmes de passage libre-captif).

Enfin, une attention toute particulière devrait être réservéeaux moyens da contrôla a posteriori d'une procédure d'optimisation.L'aspect semi-automatique de la démarche utilisée demande en effet uneinterprétation et une analyse critique des résultats obtenus. Lavisualisation du chemin d'optimisation, et une analyse des sensibi¬lités des différents paramètres sont alors d'une aide précieuse etgagneraient donc à être développés.

En définitive, las conseils que l'on peut donner pour ledéveloppement ultérieur du logicial MICA visent à améliorer de façonqualitative et quantitative les connaissances a priori intégrées à laprocédure d'optimisation, tout' en gardant à celle-ci la souplesse quien fait toute la richesse,

La mise au point d'un programme opérationel demanderaégalamant l'amélioration de l'interactivité entre l'utilisateur et lelogiciel, afin d'intégrer véritablement calui-ci à la procédure decalage actuelle.

S'Z

Bibliographie

Aboufirassi, M. and Marino, M. A. 119843. A geostatistically basedapproach to the identification of aquifer transmissivities in YoloBasin, California.Math, Geol, la, No. 2, 125-137

Allison, H.J. and Peck, A.J. [19853. Inverse problems for groundwaterresearch.Kydr. and Vater Res. Symposium, I.E. A., Sydney, 14-16 May

Chavent, G. , Dupuy, M. and Lemonnier, P. [19753. History matching byuse of optimal control theory.Soc. Pet. Eng. Jour.. 1^(1), 74-86.

C^ooley, R.L. [19773. A method of estimating parameters and assessingreliability for models of steady state groundwater flow (I. Theroryand numerical properties) .

Va-ter Rss- Reg- , 12., 318-324.EBtsellem, Y. and de Marsily, G. [ 1969] . Restitution automatique des

perméabilités d'une nappe, le problème inverse et la décon-volution.Houille Blanche. S., 861-868

Essellem, Y. and de Marsily, G. [19711. An automatic solution forthe inverse problem.Vater Res. Res. , 5., Na. 5, 1264-1283.

Jahns, H. O. [19663. Rapid method for obtaining a two-dimensionalreservoir description from field pressure data.Soc. Pet. Eng. Jour. , g., 315-327; Trans., AIME, Vol. 237.

Khan, l.A. [19863. Inverse problem in ground water (I. Modeldevelopment / II. Model application),Gr. Vater. . 24., No.l, 33-48.

Neuman, S. P. and Yakowitz, S. [1979]. A statistical approach to theinverse problem of aquifer hydrogeology (I. Theory),Vater Res. Res. . 15., No. 4, 845-860.

Neuman, S.P. , Fogg, G.E. and Jacobson, E.A.I1980). A statisticalapproach to the inverse problem of aquifer hydrogeology (II. CaseStudy) .

Vater Res. Res. , ig., 33-58.

S'Z

Bibliographie

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Allison, H.J. and Peck, A.J. [19853. Inverse problems for groundwaterresearch.Kydr. and Vater Res. Symposium, I.E. A., Sydney, 14-16 May

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Va-ter Rss- Reg- , 12., 318-324.EBtsellem, Y. and de Marsily, G. [ 1969] . Restitution automatique des

perméabilités d'une nappe, le problème inverse et la décon-volution.Houille Blanche. S., 861-868

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Khan, l.A. [19863. Inverse problem in ground water (I. Modeldevelopment / II. Model application),Gr. Vater. . 24., No.l, 33-48.

Neuman, S. P. and Yakowitz, S. [1979]. A statistical approach to theinverse problem of aquifer hydrogeology (I. Theory),Vater Res. Res. . 15., No. 4, 845-860.

Neuman, S.P. , Fogg, G.E. and Jacobson, E.A.I1980). A statisticalapproach to the inverse problem of aquifer hydrogeology (II. CaseStudy) .

Vater Res. Res. , ig., 33-58.

87 SGN 871 EAU87 SGN 871 EAU