Maple

2014-01-23

v0.1 | ISOZ Vincent

MAPLE V R4/2013 VINCENT ISOZ

Vincent ISOZ Maple V R4

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Le but de ce document est seulement de compiler tous les codes Maple V R4 se trouvant sur

le site Sciences.ch par Section et par chapitre. Si vous souhaitez participer amliorer ce

mme site web en compltant le contenu thorique avec des exemples que vous avez,

n'hsitez pas me les communiquer l'adresse [email protected].

Maple est de mon point de vue une sorte de "formulaire du physicien/ingnieur et

mathmaticien du 21me

sicle" visuel. Effectivement, il permet rapidement de retrouver ou

vrifier des rsultats classiques sans devoir se dplacer la BU ou longuement chercher sur

Internet si nous souvenirs sont justes.

Table des matires Bibliographie .............................................................................................................................. 3 Configuration ............................................................................................................................. 4 Section Arithmtique .................................................................................................................. 5

Chapitre: Nombres ................................................................................................................. 5 Chapitre: Statistiques .............................................................................................................. 6

Section: Algbre ....................................................................................................................... 10 Chapitre: Calcul Algbrique ................................................................................................. 10 Chapitre: Calcul Vectoriel .................................................................................................... 12 Chapitre: Algbre Linaire ................................................................................................... 13

Chapitre: Suites Et Sries ..................................................................................................... 15 Chapitre: Calcul Diffrentiel Et Intgral .............................................................................. 17

Section: Analyse ....................................................................................................................... 20 Chapitre: Analyse fonctionnelle ........................................................................................... 20 Chapitre: Analyse complexe ................................................................................................ 25

Section: Gomtrie ................................................................................................................... 31 Chapitre: Gomtrique Analytique ...................................................................................... 31 Chapitre: Gomtrique Diffrentielle ................................................................................... 40

Chapitre: Gomtrique Euclidienne ..................................................................................... 40

Chapitre: Gomtrique Trigonomtrie ................................................................................. 41 Section: Mcanique .................................................................................................................. 42

Chapitre: Mcanique Analytique.......................................................................................... 42 Chapitre: Mcanique Classique ............................................................................................ 43

Chapitre: Mcanique Ondulatoire ........................................................................................ 44 Chapitre: Mcanique Statistique .......................................................................................... 47

Section: lectromagntisme ..................................................................................................... 48 Chapitre: lectrostatique ...................................................................................................... 48 Chapitre: lectrodynamique ................................................................................................. 49

Chapitre: Optique Ondulatoire ............................................................................................. 50 Section: Physique Atomique .................................................................................................... 51

Chapitre: Physique Quantique Ondulatoire .......................................................................... 51

Section: Cosmologie ................................................................................................................ 52 Chapitre: Astronomie ........................................................................................................... 52 Chapitre: Cosmologie ........................................................................................................... 53 Chapitre: Thorie des cordes ................................................................................................ 56

Section: Chimie ........................................................................................................................ 57 Chapitre: Chimie Quantique ................................................................................................. 57

Section: Informatique Thorique ............................................................................................. 59

Chapitre: Mthodes Numriques .......................................................................................... 59


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Chapitre: Fractales ................................................................................................................ 61

Chapitre: Cryptographie ....................................................................................................... 77 Section: Mathmatiques Sociales ............................................................................................. 78

Chapitre: Dynamique des populations ................................................................................. 78

Chapitre: conomie .............................................................................................................. 80 Section: Ingnierie .................................................................................................................... 82

Chapitre: Gnie Civil............................................................................................................ 82 Chapitre: Gnie Industriel .................................................................................................... 83 Chapitre: Gnie Mto ......................................................................................................... 85


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Bibliographie

Voici la liste de livres d'une qualit pdagogique et de rigueur extraordinaires que j'ai eu la

chance d'avoir entre les mains et dont je recommande l'acquisition. J'en ai lu beaucoup

d'autres mais qui sont tellement mauvais qu'ils ne valent pas la peine d'tre mentionns:

Le lecteur aura donc compris que je recommande trs fortement de complter la lecture du

prsent e-book (non exhaustif sur le domaine de la gestion de projets) par la liste de lecture ci-

dessous.

lments de mathmatiques appliques / ~4'900 pages / ditions

Sciences.ch / Vincent ISOZ / 3me

dition

ISBN: 978283999327

Commentaire: Livre rdig par les soins de votre serviteur... Il

contient les dmonstrations mathmatiques dtailles de tous les

outils prsents dans ce prsent support et pas que...

Physicss with Maple / ~610 pages / ditions Wiley & Sons / Frank Y

Wang

ISBN: 3527406409

Commentaire: ce jour l'ouvrage le plus intressant et de la

meilleure qualit pdagogique que j'ai pu avoir entre mes mains sur

Maple. Un certain nombre d'application du prsent support y sont

directement inspirs.


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Configuration

Les versions "rcentes" de Maple ont par dfaut une interface assez dtestable. Nous

recommandons au lecteur de passer directement en mode feuille de donne comme indiqu ci-

dessous:


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Section Arithmtique

Chapitre: Nombres

Vrification que l'application A qui est l'oprateur de conjugaison d'un quaternion:

devait tre de dterminant 1 pour que nous ayons une rotation.


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Chapitre: Statistiques

Calcul du taux dfection assur en % selon une loi Normale centre rduite pour un nombre

de sigma donns et ensuite le taux de dfection en parties par million:

Plot d'une fonction de distribution bivarie Normale:

avec comme rsultat de sortie:


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et le plot correspondant des iso-lignes:

Et pour vrifier qu'il s'agissait bien d'une fonction de densit de probabilit:


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ou pour calculer la probabilit cumule dans une quadrant du domaine de dfinition:

Vrification de la converge de la fonction de rpartition binomiale vers la loi Normale:


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avec le premier plot en entier:

et le dernier plot en entier:


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Section: Algbre

Chapitre: Calcul Algbrique

Petit polynme du deuxime degr:

o nous voyons bien qu'il n'y a aucune solution (zros) relle. Alors qu'en nous plaant dans

les complexes, nous avons:


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o les deux zros sont bien visibles sur l'axe imaginaire en -1 et +1. videmment quand c'est

la premire fois que l'on voit une fonction reprsente sur une figure en prenant en compte les

valeurs complexes on essaie d'y retrouver la parabole correspondante au cas purement rel.

Pour cela, il suffit de couper la surface ci-dessus en deux sur l'axe imaginaire et nous avons

alors:


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Chapitre: Calcul Vectoriel

Calcul du gradient d'une fonction avec isoclines en plus. D'abord nous faisons un plot de la

fonction:

Pour le fun, nous ajoutons les isoclines:

Et nous affichons la projection du gradient sur le plan X, Y:


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et en 3D:

Chapitre: Algbre Linaire

Intersection des trois plans dfinis par les trois quations d'un systme de trois quations

linaires trois inconnues:


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Ce systme n'a aucune solution. Ce qui peut soit se vrifier la main, soit avec Maple 4.00b

en crivant:

Reprsentation d'un systme de deux quations deux inconnues:


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Chapitre: Suites Et Sries

Un exemple d'application avec une srie de Maclaurin (avec tant nul) de la fonction sin(x):


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Plot d'une srie de Fourier d'une fonction particulire:

et avec 50 termes pour mettre en vidence le phnomne de Gibbs:


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Plot de quelques fonctions de Bessel:

Dveloppement de Taylor d'une srie de Bessel au 5me

ordre:

Chapitre: Calcul Diffrentiel Et Intgral

Exemple de fonction avec sa drive premire et seconde:


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Un trac graphique du module de la fonction Gamma d'Euler pour x parcourant un intervalle

des nombres rels (attention dans Maple 4.00b bien crire GAMMA en majuscules!!!):

et la mme fonction trace avec Maple 4.00b mais dans le plan complexe cette fois-ci et

toujours avec en ordonne le module de la fonction Gamma d'Euler:


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Section: Analyse

Chapitre: Analyse fonctionnelle

Quelques petits exemples de reprsentations graphiques que nous pouvons faire avec Maple.

Nous prparons d'abord la fonction empirique servant de base pour les exemples:

Et nous commenons:


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Deuxime tape nous amliorons un peu l'aspect:

Nous mettons en vidence les courbes de niveau (isoclines):

Ce n'est pas trs beau donc amliorons cela:


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Avec une petite rotation pour voir du dessus:

Et en coupe:


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Ou avec des coupes multiples:

Le lecteur pourra aussi animer le prcdent graphique avec la commande suivante:


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Le logarithme en base 10 est trs utilis dans les reprsentations graphiques du point de vue

scientifique lorsque l'on s'intresse des amplitudes de variations. Par exemple avec le

logiciel Maple 4.02 nous avons sans chelle logarithmique pour deux sinus ayant pourtant par

rapport leur moyenne respective la mme variation d'amplitude de 50% le rsultat visible ci-

dessous qui ne met pas ncessairement en vidence cet tat de fait de faon triviale:

Alors qu'avec l'chelle logarithmique nous voyons bien que les variations sont de mme

amplitude relative:


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Chapitre: Analyse complexe

Application et contrles des rsultats obtenus avec la transformation de Joukowski:

et au final:


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Reprsentation graphique en srie de puissance de:

22

0

1

1

n

n

g x xx

Pour mettre en vidence le rayon de convergence de la srie de puissance.

Et de faon beaucoup moins intuitive, la mme dmarche pour la fonction suivante qui a

"curieusement" le mme rayon de convergence dans les rels:


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22

0

11

1

n n

n

h x xx

Mais si nous plottons cette dernire fonction dans le plan des complexes, nous avons:

Donc lorsque nous dveloppons une fonction en srie de puissances, nous concluons que son

rayon de convergence est dfini par tout le plan complexe et non par l'axe traditionnel de

l'analyse relle.


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Avec notre fonction h(x) exprime en utilisant un dveloppement de Maclaurin sur 5 termes,

nous voyons immdiatement avec Maple 4.00b que sur les bords du carr inscrit au disque de

convergence, la srie ne converge plus et nous y devinons le dbut des deux singularits:

Et la srie de Laurent autour de la singularit i donne:

Si nous faisons la somme des deux sries de Laurent pour les deux singularits avec 7 termes:


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Et un autre exemple mettant en vidence la singularit essentielle en 0 0z de:

1

zf z e

Et maintenant, dtermination des ples et rsidus de la fonction:


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31/86

Section: Gomtrie

Chapitre: Gomtrique Analytique

Plot d'un cercle:

Plot d'une ellipse:


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Plot d'hyperboles:

Plot pour montrer qu'une parabole (ou in extenso un cercle ou une ellipse) peuvent tre vue

comme l'intersection d'un plan avec un cne:

ce qui donne:


33/86

ou pour une hyperbole:

Ce qui donne:


34/86

Ou pour une ellipse:

ce qui donne:


35/86

Et enfin pour l'obtention d'un cercle:

Ce qui donne:


36/86

Exemple d'application de l'quation paramtrique d'un plan:

Exemple d'application de l'quation paramtrique d'un cne:


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Exemple d'application de l'quation paramtrique d'une sphre:


38/86

Exemple d'application de l'quation paramtrique d'un ellipsode:

Exemple d'application de l'quation paramtrique d'un cylindre:

Exemple d'application de l'quation paramtrique d'un parabolode:


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Exemple d'application de l'quation paramtrique d'un tore:


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Chapitre: Gomtrique Diffrentielle

Exemple de l'quation paramtrique d'une courbe gauche typique (hlice):

Chapitre: Gomtrique Euclidienne

Obtention de l'expression gnrale de la matrice de rotation 3D:


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Chapitre: Gomtrique Trigonomtrie

Plot du sinus cardinal:

Plot de quelques fonction de la trigonomtrique hyperbolique:


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Section: Mcanique

Chapitre: Mcanique Analytique

Dtermination de la surface minimale de rvolution (qui correspond donc aussi la surface

que prend du liquide savon entre deux cercles):


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Chapitre: Mcanique Classique

Trac de la cyclode:

Trajectoire du pendule double:

Ce qui donne (chaos dterministe):


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Chapitre: Mcanique Ondulatoire

Plot de la fonction de Bessel apparaissant dans la solution de la membrane de tambour

circulaire:

Animation 3D des solutions de l'quation diffrentielle du tambour:


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Ce qui donne:


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Exemple de frquence de modulation:


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Chapitre: Mcanique Statistique

Plot de la fonction de Fermi pour une valeur prcise du potentiel chimique et trois valeurs

de 1/ kT :

Ce qui donne:


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Section: lectromagntisme

Chapitre: lectrostatique

Reprsentation d'un diple asymtrique rigide:

Ce qui donne:


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Chapitre: lectrodynamique

Pour les potentiels de Linard-Wiechert calcul du dterminant d'un matrice pour gagner du

temps:


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Chapitre: Optique Ondulatoire

Plot des interfrences d'une fente rectangulaire mince (diffraction de Fraunhofer):

Animation de la "propagation" d'une onde lectromagntique polarise (elliptique directe

gauche):


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Section: Physique Atomique

Chapitre: Physique Quantique Ondulatoire

Exemple de diffrenciation entre vitesse de phase et vitesse de groupe:

Reprsentation des fonctions propres et fonctions de densit de quelques niveaux d'nergie de

l'oscillateur harmonique:


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Section: Cosmologie

Chapitre: Astronomie

Dtermination numrique du deuxime point de Lagrange partir de l'quation:

Nous avions gard que la solution relle!


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Chapitre: Cosmologie

volution du rayon d'un Univers avec en bleu un Univers plat domin par la matire et en

rouge un Univers plat domin par la radiation:

volution du rayon d'un Univers plat domin par la matire (en bleu), l'Univers plat domin

par la radiation (en rouge) et enfin l'Univers courbure positive domin par la matire (vert)

et en mettant des coefficients artificiels pour mieux distinguer les tracs:


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Ci-dessous nous avons l'volution du rayon d'un Univers plat domin par la matire (en bleu),

d'un Univers plat domin par la radiation (en rouge), d'un Univers courbure positive

(sphrique) domin par la matire (vert) et enfin d'un Univers courbure positive (sphrique)

domin par la radiation (noir):



(sphrique) domin par la matire (vert), d'un Univers courbure positive (sphrique) domin

par la radiation (noir), l'Univers courbure ngative (hyperbolique) domin par la matire

(gris):


55/86



(sphrique) domin par la matire (vert), d'un Univers courbure positive (sphrique) domin

par la radiation (noir), d'un Univers courbure ngative (hyperbolique) domin par la matire

(gris), l'Univers courbure ngative (hyperbolique) domin par la radiation (brun):


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Chapitre: Thorie des cordes

Rappel d'une courbe paramtre simple en fonction du temps:


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Section: Chimie

Chapitre: Chimie Quantique

Trac de la 6me

harmonique sphrique 1,2Y du modle "rotateur rigide" de l'atome

hydrognode:

Plot des isodensits de 1,0,0 :


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ou de 3,1,0 :

Trac de l'nergie potentielle (profil de potentiel) effective avec des valeurs exprimentales

relles en fonction du rayon avec les valeurs relles des constantes:


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Section: Informatique Thorique

Chapitre: Mthodes Numriques

Exemple d'application de la mthode de newton:

Fonction baleine bosse pour recherche de minimum local:


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Gnration d'une variable pseudo-alatoire:

Estimation de l'intgrale simple d'une fonction en utilisant la mthode de Monte-Carlo:

Estimation de Pi par la mthode de Monte-Carlo:


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Recherche des racines d'une fonction par la mthode dichotomique.

Chapitre: Fractales

Gnration d'un Fractale de Cantor:


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Ce qui donne:

Maintenant l'ensemble de dpart du triangle de Sierpinski:


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Premire itration:

Pour faire

loisir le nombre d'itrations voulu, on crira le script suivant:

Ce qui donnera:


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ou encore si on souhaite le faire avec des carrs:

ce qui donne:


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Ou pour la tapis de Serpiensky:

Ce qui donnera pour 4 itrations:


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Et pour la fractale spirale:


67/86

Ce qui donne pour 15 itrations:


68/86

Et pour le flocon de von Koch:

ce qui donne donc 4 pour itrations:


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Maintenant avec le script gnrique suivant, nous allons gnrer plusieurs "fractales

naturelles":


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Pour gnrer une fractale naturelle de type rameau, on crira alors:

ou pour un flocon:


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Ou un "arbre"...:

ou pour finir la fameuse fougre:


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Le classique des classiques des fractales temps d'chappement:

Ce qui donnera:


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Ou l'autre grand classique qu'est l'ensemble de Julia:

Ce qui donnera:


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Nous devons donc pouvoir crire un unique algorithme (voir plus bas) qui permette d'obtenir

tous les ensembles de Julia partir du fractale de Mandelbrot en choisissant simplement bien

le point de dpart comme le montre les figures ci-dessous:

Ce qui donne pour quelques valeurs particulires de a et b:


75/86

ou encore:

ou encore:


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ou encore:


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Chapitre: Cryptographie

Application de l'algorithme RSA:

ce qui donne:


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Section: Mathmatiques Sociales

Chapitre: Dynamique des populations

Arbre de Feigenbaum du modle logistique:

Ce qui donne:


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Modle proies-prdateurs de Lotka-Volterra:

Ce qui donne:

ou encore:


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Chapitre: conomie

Calcul du taux du MWWR (Money Weighted Rate of Return) avec les informations

suivantes:

- Valeur au 1er Janvier 2006: 30 MFr.-

- Investissement dans le fonds au 3/8me

de l'anne: 18 MFr.-

- Retraits sur le fonds au de l'anne: 30 MFr.-

- Valeur du fonds au 31 dcembre 2006: 21 MFr.


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Rsolution de l'quation du deuxime degr suivante pour dterminer dans la modle de

Markowitz pour dterminer l'ordonne l'origine de la tangente de la frontire efficiente au

point choisi (et in extenso sa pente):


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Section: Ingnierie

Chapitre: Gnie Civil

Plot de l'intgrale de Fresnel pour la spirale de Cornu (un vhicule suivant ce trac une

vitesse constante subit une acclration angulaire constante):

Comparaisons grossire entre une parabole une chanette:


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Rsolution d'un systme pour dterminer une chanette particulire:

Chapitre: Gnie Industriel

Exemple du calcul du PPM Six Sigma avec un processus centr limite capable:

Mme calcul mais avec un procd dcentr de 3.9 sigma:


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Exemple du plot de la surface d'un plan d'exprience deux variables avec interactions:


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Chapitre: Gnie Mto

Plot des quations de Lorenz:

Plot que de la variable x du modle avec une toute petie variation en y:


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BibliographieConfigurationSection ArithmtiqueChapitre: NombresChapitre: Statistiques

Section: AlgbreChapitre: Calcul AlgbriqueChapitre: Calcul VectorielChapitre: Algbre LinaireChapitre: Suites Et SriesChapitre: Calcul Diffrentiel Et Intgral

Section: AnalyseChapitre: Analyse fonctionnelleChapitre: Analyse complexe

Section: GomtrieChapitre: Gomtrique AnalytiqueChapitre: Gomtrique DiffrentielleChapitre: Gomtrique EuclidienneChapitre: Gomtrique Trigonomtrie

Section: McaniqueChapitre: Mcanique AnalytiqueChapitre: Mcanique ClassiqueChapitre: Mcanique OndulatoireChapitre: Mcanique Statistique

Section: lectromagntismeChapitre: lectrostatiqueChapitre: lectrodynamiqueChapitre: Optique Ondulatoire

Section: Physique AtomiqueChapitre: Physique Quantique Ondulatoire

Section: CosmologieChapitre: AstronomieChapitre: CosmologieChapitre: Thorie des cordes

Section: ChimieChapitre: Chimie Quantique

Section: Informatique ThoriqueChapitre: Mthodes NumriquesChapitre: FractalesChapitre: Cryptographie

Section: Mathmatiques SocialesChapitre: Dynamique des populationsChapitre: conomie

Section: IngnierieChapitre: Gnie CivilChapitre: Gnie IndustrielChapitre: Gnie Mto

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