Marchés à Terme d’Indices et plateforme de trading ...yats.free.fr/doc/automated-trading-2-fr-ppt.pdf · FExposition au risque qu’une contrepartie fasse défaut à ses engagements

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Copyright 2003, Daniel HERLEMONT, tous droits réservés http://www.yats.com 1

Marchés à Terme d’Indiceset

plateforme de trading automatiqueIntraday

IIGestion du risque, levierSystèmes automatiques

Architecture & Développement

Daniel HERLEMONT, [email protected]: 06 10 48 02 99


Sommaire partie II

m Rappels :F Plateforme de tradingF biais comportementaux et faits stylisésF Styles de trading

m Gestion du risque :F Var Intraday FuturesF Gestion du levier, … stratégies "optimales"

m Estimations : volatilité , temps de passage, plus haut, plus bas, …m Aspects techniques:

F trading manuel vs automatiqueF analyse stats vs prédiction temps réel,F backtesting, optimisation , datasnooping, model trading, …F prédictibilités et patterns

F Architecture système, standard, gestion des données, programmations'automates (en JAVA)

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Biais comportementaux

m Excès de confiance (Overconfidence) => prise de risque

m sur réaction (aux statut quo) / sous réaction (aux changements inattendus)m Point de référence (Anchoring)m Aversion aux pertes - asymétrie négative

m Mimétisme - semble plus prononcé en période calme que sous stress, atteint un maximum justeavant un krach

m Anomalies : effet Janvier, effet lundi, situation spéciales (entrée sortieIndice, OPA, fusion, annonces, etc …)

m Dans un système de trading, peu importe l'origine, de l'inefficience:expérience, modélisation, data mining, il est souhaitable de pouvoirl'expliquer par des biais comportementaux et/ou fondamentaux et/ou« techniques » …pour juger de la robustesse, pertinence et stabilité dans le temps


Faits "stylisés"

Absence d'auto-corrélation des rendementsLa traduction la plus immédiate de l'Hypothèse des Marchés Efficients (EMH)rend inefficace toute méthode dite "linéaire" : moyenne mobile, analyse de Fourier,

"Fat tails" (queues épaisses) la distribution des prix ne suit pas une gaussienne, comme le prédit l'EMH.Les pertes sévères ne sont pas aussi rares …relation directe entre : mimétisme, liquidité et kurtosis (mesure de l'aplatissement)

Asymétrie négative: biais vers les pertes plus élevées. Lié à plusieurs facteurs : aversion aux pertes, analystes, politique de communication : les blue ships étantplus sujettes à une forte asymétrie négative.

Clustering de volatilité les périodes calmes alternent avec des périodes de grande activité

Effet de levier : corrélation négative rendement / volatilité :si le prix baisse, le ratio d'endettement augmente et donc le risque et donc la volatilité, et inversement …discutable …

Corrélation volume / volatilité: une augmentation du volume correspond, en général, à une augmentationde l'intensité (fréquence) de trading

Auto-corrélation valeur absolue des rendementsc'est l'autocorrélation la plus forteles mesures dite robustes (valeur absolue, range, .. ) donnent de meilleurs estimations

source: Rama Cont

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Importance de l'asymétrie

rendements élevé <=> asymétrie négative élevés

La prime marginale de risque augmente avec l'asymétriecohérent avec une fonction d'utilité dont l'aversionabsolue décroît avec la richesse U'''>0


70% des day traders perdent de l'argent

Les rendements des prix suivent (en première approche) un mouvement brownien géométrique :- indépendance = la meilleure prédiction possible est le cours actuel.- facteur d'échelle ~ racine carré du temps (conséquence de l'indépendance) :

volatilité jour = volatilité annuelle / 2600.5

rendement jour = rendement annuel / 260

Les données intradaysont dominées par la volatilité (bruit)

La tendance apparaît clairementa des horizons de temps de l'ordre de plusieurs années

rendement volatilité signal/bruit = r/σ ~ t1/2

annuel 5% 20% 0.25jour 0,02% 1.26% 0,016

temps caractéristique = σ 2 /µ2 temps pour lequel signal ~ bruitexemple précédent T=16 ans !!!

signal/bruit = r/σ ~ t1/2

→ 0 lorsque ∆t → 0

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Styles

m trend following / momentumF suivi de tendance :F joue une auto corrélation > 0

m contrarian / valueF Achète (resp vend) les valeurs "sous évaluées" (resp sur-évaluées)F joue une auto corrélation < 0

m Long/short, marché neutre, risque neutre, etc ...

Achat

vente


Momentum vs Contrarien ?

m Momentum: acheter les winners, vendre les loosersF en général: asymétrie négative

gains réguliers mais faibles, pertes élevées mais raresF investisseurs impatients

F Explications comportementale: sous réaction aux nouvelles, transmissiond'information, persistence dans les cycles économiques, … ?

m Contrarien: acheter les loosers, vendre les winnersF en général: asymétrie positive:

pertes faibles mais régulières, gains élevés mais raresF investisseurs patients et plus prudent (?)F Tentative d'explication: sur réaction à très court terme, retour à la moyenne à

très long terme

m Évidences empiriques:

< 1 semaine 1 mois 3 à 12 mois 3 à 5ansContrarien Contrarien Momentum Contrarien

Porte en général sur des sociétés de faible taille et peu liquidesTentatives d'explication de retours anormaux par une rémunération d'un risque plus élevé de- de capitalisation- d'endettement- de liquidité

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m But : limiter les risques

m Long/short: achat et vente simultanée de titres différentsF Peut être basé sur une stratégie de type contrarien (achat simultané des losers

et vente à découvert des winners ) ou momentum (vente à découvert des loserset achat des winners ): si les stratégies sont les bonnes, on est gagnant sur les 2pattes.

F pas nécessairement hedgé contre divers risques, mais limite au moins la casseen cas de problèmes: co mouvement directionnel suite à un krach, pannes,indisponibilité, …

m arbitrages classiques (actif coté sur différentes place, options, etc …)m Autres arbitrages (avant/après OPA, entrée/sortie dans un indice, , …)m Convergence trading: « pari » sur un "retour à la moyenne » (spread …)

F exemple: pairs trading, cointégration, VAR


Risques

m Risque de marché :F C’est l’exposition d’un portefeuille due aux mouvements et aux changements

des facteurs du marché : taux d’intérêt, cours des actions, taux de change…

m Risque de crédit :F Exposition au risque qu’une contrepartie fasse défaut à ses engagements :

payer la dette d’un créancier, ou les coupons d’une obligation émise,restructuration de la dette.

m Risque de liquidité:F C’est le risque lié à la détention d’un actif peu liquide, ce qui ne permet plus de

faire une couverture aux prix du marché, et nécessite une durée beaucoup plusgrande pour la liquidation des positions. C’est le cas particulièrement pour lemarché des OTC.

m Risque de modèle :F Les pertes dues à l’utilisation d’un modèle erroné, ou pas assez précis pour le

pricing, et la gestion du risque. La validation par des modèles indépendants estla procédure la plus utilisée pour éluder ce genre de problèmes.

m Risque Opérationnel:F Cela comprend un grand nombre de sources de risque, allant de la fraude au

risque technologique, au risque lié au changement de législature entre lesdifférentes filières d’une banque dans plusieurs pays. En raison de la diversitéet la disparité de ces sources, le risque opérationnel est très difficile àquantifier.

Source: ENSAE

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Gestion du risque

m Gestion du risque = identifier les risque, les mesurer, mettre en place desmoyens (procédures, gestion) pour éviter des pertes inacceptables

m les principaux risques en trading sur futuresF risques opérationnels: en premier lieu:

Ä personnel: erreurs humaines, autres défaillances,Ä matérielles, logicielles, réseau, … anomalies/pannesÄ broker, place de marché : risque de défaut, litiges, pannes, ..

F risque de marché

m EstimationsF VaR, Expected Shorfall

F Fonction d'utilitéF Gestion du levierF ratios: Sharpe, Sterling (rendement/maxDrawDown), Omega...

m Contrôle: procédures, reporting, ajustements, mesures (stop loss, arrêt), …


VaR

m VaR = Value at Risk =perte potentielle maximale pour une probabilitéfixée sur une période donnée.F Exemple si VaR(95%,10jours)=1 Million €,

la perte maximale sera inférieure à 1 Million €, avec une probabilité de 95%

m Très utilisé, carF rend bien compte de la notion de risque, y compris et surtout extrêmesF facile à comprendre, même par les managers …

F devient réglementaire :

m Bâle (1995)F VaR 1 %, à 10 jours, sur historique de 1 an au moins.F Besoin en capital = Max [VaR(jour-1), 3*MA(VaR,6jours)]

F Mesure sévère …

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Estimation de la VaR

m Un double défi :F manque de données: comment estimer des probabilités d'événements qui ne

sont que très rarement observés ?F dont on ne connaît pas la loi de distribution

m Méthodes:F VaR historique : quantile de l'échantillon

Ä encore faut il avoir suffisamment de données ….

F VaR normaleÄ ne tient pas compte des queues épaisses

F Approximations (Cornish Fisher)Ä mieux que la VaR normale, mais pb de validité de l'approximation et intervalle de

confiance car basé l'estimation de moments d'ordre 3 et 4F Théorie des valeurs extrêmes (Frechet, Gumbel, Weibull, Pareto Généralisé,

…)


Estimation VaR naïve

pic au centre + queues épaisses

= Distribution leptokurtique

Histogramme des incréments de 1 heure sur 500 jours de cotations Gaussienne sigma=18.5

Var 1 heure 90% 95% 99% 99.90% 99.99%Normale 23.7 30.5 43.1 57.2 68.5Historique 21.0 29.5 53.0 98.0 129.0hist/normal 0.9 1.0 1.2 1.7 1.9 divergence

Note: on travaille en incréments et points de base, et non pas en %, car plus adapté au trading sur futures.Finalement assez peu de différence entre incréments et incréments des log (à cette echelle de temps)

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Tout sauf normal !!!

qqplot incréments de 1 heure

Perte à -3 sigma

attendue ~ 50

réalisée ~ 100~ 8 sigma !!!quasiment impossibleavec l'hypothèsenormale

Idem pour les haussessans doute moins marqué(asymétrie négative- a voir …. )

La perte "normale" -50à -3 sigma ( ~ 0.14%), se produit en réalitéà -2 sigma ( ~ 2.28%)soit en réalité, ~ 16 fois plus d'évènements à 3 sigma que dans le modèle normal

Lecture verticale

Lecture horizontale

Queues de distribution "anormales"

Centre de distribution ~ gaussien


Déviation normalité en fonction de la durée

N ticks > 5 millions

1 minute 10 minutes10 secondes

|incrément| ~ 25 pts en moins de 10 secondes

La divergence est d'autant plus marquée que l'intervalle de temps est court

Les fortes pertes à 10 secondes sont sensiblement les mêmes que les pertes en 1 minutes …. Les mouvements de très forte ampleur se produisent à des instants précis et très rapidement …ce qui laisse très peu de temps pour réagir …fonctionnement par bursts: pic d'activié+forts mouvements alternent avec des périodes de calme

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Exemples distributions

Toutes les distributionsn'ont pas des queues épaisses: exemple la loi uniforme

autres exemples: binomialegaussienne tronquéequi sont des profils de P&L de systèmes de trading avecprofit exit et stop loss.

Student, degré deliberté = 3peut être utilisépour modéliserla distributiondes incréments

Cauchy

à l'extrêmepossède une moyenneet varianceinfinies

Exponentielle:également utilisée pour modéliser les cours

Rappel normal=


VaR CAC40 Future Intraday

Étude empirique portant sur le contrat CAC40 Future, étude de la queue de distribution d'un portefeuille de Futures

L ’approximation normale semble correcte pour 1-alpha < 95%

le centre de distribution est à peu près gaussien, conséquence du Théorème de la Limite Centrale

pour 1-alpha >> 95%La VaR gaussienne (212) sous estime la VaR historique (305) qui sous estimel ’approximation de Cornish Fisher (505)

Le TCL n ’est pas applicable auxqueues de distributionL ’approximation normalesous estime largement lesévènements rares :

A noter : déposit exigé, de l ’ordre de 4500€ ≈ VaR(99%,1jours)/3cf exigence de Bâle, sauf que le capital exigé est sur 10 jours:3*VaR(99%,10jours) >> déposit requis

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Exemple: VaR contrat CAC40 Future

Approximation de Cornish Fisher

VaR CAC40 Future sur 600 jours de cotationsdu 24/8/99 au 2/1/2002, entre 8h et 22hnombre de ticks=7 500 00

historicalVaR99(t) = 1,15 t 0,48

ln(historicalVAR99)=0,14 + 0,48*ln(seconds) R2=1,00

sigma(t) = 0,39 t 0,50

ln(sigma)=-0,95 + 0,50*ln(seconds) R2=1,00

VaR Historique = quantile échantillon

Etude de la VaR Intraday pour différents intervalles de temps de qqes secondes à 8 heures.


VaR CAC40 Future à différents moments de la journée

période calme

entre 11h et 14h30 17/9/2002 au 26/6/2003

VaR(99%,2h) ~ 40

période agitéeentre 14h30 et 19h3017/9/2002 au 26/6/2003

VaR(99%,2h) ~ 80

Var Historique ~ VaR Cornish Fisher >> VaR gaussienne

historicalVaR99(t) = 0,92 t 0,49 ln(historicalVAR99)=-0,09 + 0,49*ln(seconds) R2=1,00

sigma(t) = 0,64 t 0,40 ln(sigma)=-0,45 + 0,40*ln(seconds) R2=0,95

historicalVaR99(t) = 0,92 t 0,42 ln(historicalVAR99)=-0,08 + 0,42*ln(seconds) R2=0,99

sigma(t) = 0,69 t 0,33 ln(sigma)=-0,38 + 0,33*ln(seconds) R2=0,91

Anti persistence marquée en période "creuse"

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Exposant de queue de distribution

P(X>x)=1-F(x) ~ C x-α

P( x<X<x+dx) ~ C x-α-1Plus α est petit et plus la queue est épaisseα est aussi l'exposant de queueles moments d'ordre k >= α sont infinisLes moments d'ordres k : E[xk] ne sont définis que si k-α-1<-1, c'est a dire k < αsi α >= 2 la variance est infiniesi α >= 1 la moyenne est infinie

CAC40 Future intraday

Estimateur de Hill

α ~ 3 à 6µ=1/α ~ 0.15 à 0.3

La variance de l'estimateur est grande

CAC40 Future intraday2 ans (2002/2003)

dépend de la périodeen cours de journée

08:00:00 à 22:30:00

11:00:00 à 14:30:00


Théorème des Valeurs Extrêmes

Comnent estimer des probabilités d'évènements rares dont on manque de données ?

Théorème des Valeurs Extrêmes:

Il existe µ, σ, ξ tels que le (Mn- µ)/σ converge vers

ξ=0 Weibullξ>0 Frechetξ<0 Gumbel

Les actifs financiers sont dans la classe de Frechet ξ>0, avec ξ entre 0.2 et 0.5, soit un exposant de queue entre 2 et 5

estimation par méthode de block maxima et maximum de vraisemblancesuppose un historique important et échantillon iid

pour une estimation plus précise de la VaR, on pourra utiliser les lois de Pareto Généralisées

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Estimation des queues de distribution par les valeurs extrêmes

incréments prixξ σ µ 0.23 15 35

Échantillon: sur 500 jours, fin = 30/9/2003, de 10h00 à 17h30, n ticks > 8 millionsincréments = 1 heure

Estimation du modèle GEV (Generalized Extreme Value)


Distribution de Pareto Généralisée - GPD

On s'intéresse à la distribution des pertes au delà d'un certain seuil u:

Pour les distributions vérifiant le théorème des valeurs extrêmes et pour un seuil u suffisamment grand, Il existe ξ, β tel que Fuconverge vers la distribution de Pareto Généralisée

Si n est le nombre total de l'échantillon et Nu le nombre de valeurs dépassant u ,alors

On peut aussi estimer l'espérance de la perte en cas de dépassement de la VaR (Expected Shortfall)

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GPD fit

Échantillon: sur 500 jours,fin = 30/9/2003,de 10h00 à 17h30,n ticks > 8 millionsincréments = 1 heure

u=20, n=3388, Nu=303ξ= 0.144 ± 0.06β= 11.7 ± 1.

Excellent fit …


VaR exemple avec GPD

Pareto

Historique

Normal

Cornish Fisher

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Estimation du seuil pour Pareto Généralisé

Détermination du seuil u: compromis entre un seuil élevé et signification de l'estimation:

Estimation du paramètre de forme (ξ) et Var en fonction du seuil montre une excellente stabilité du résultat dans les zones -/-3 sigma ξ ~ 1.5 VaR(99%,1h;GPD) ~ 50

Intervalle de confiance : il n'est pas possible d'obtenir de très grandes précisions pour le paramètre de forme (xi)L'intervalle de confiance dans l'estimation GPD est obtenu par la méthode de "Profile Likelihood"


Détermination des intervalles de confiance par la fonction de vraisemblance

θθ0

+θ0*θ0

-

L*

L*-1.92

La fonction de vraisemblance peut être utilisée pour déterminer les intervalles de confiance, la fonction G^2 suit une loi du khi2 à un degré de liberté:

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Conclusion étude VaR Future Intraday

1. La VaR normale à des seuils < 90% semble être une bonne approximationvoire une sur estimation de la VaR historique

2 La VaR extrême (>0.99) est largement sous estimée par la VaR normale

3 les meilleurs résultats sont obtenus par l'utilisation des distributions de la théorie des valeurs extrêmes (Pareto Généralisé, …)

Nota: L'utilisation des incréments semble donner de meilleurs résultats que les incréments en % (logarithme). De fait, sur les marchés futures, on raisonne plus souvent en points de base qu'en %


Sigma(t)

H=0.33 => Anti-persistence intradaysemble + prononcée en périodes les pluscalmes

H de l ’ordre de 0.6 suractions et indices:persistence à des échellesde temps plus longues(>journée)

σ(T) ~ t H H = exposant de Hurstinduit, des auto-corrélations "longues", souvent modélisé par des processus de type"fractals", H est coef. de similarité H.

>1/2 Persistence: auto-corrélation positive, les forteshausses (resp. baisses) ont tendance à se succéder,plus souvent le cas pour des actions/indices (actions/indices H ~ 0.6 - 0.7)

H = 1/2 Gaussien

<1/2 Anti Persistence, auto-corrélation négative: une forte hausse (resp.baisse) sera plutôt suivie d ’une forte baisse (resp. hausse), semble être lecas intraday en période calme

exemple: intraday CAC40 Futures en période"calme"de 11:00:00 à 14:30:00 :sigma(t) = 0,69 t 0,33

ln(sigma)=-0,38 + 0,33*ln(seconds) R2=0,91

Estimation de H : Statistique R/S, Ondelettes, … H=0.33 Semble en désaccord avec la littérature H=0.6-0.7a vérifier de plus près ….

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GARCH(1,1)

Coefficientsα0 α1 β1 3.087e+02 1.474e-01 2.555e-12

Échantillon: sur 500 jours, fin = 30/9/2003, de 10h00 à 17h30, n ticks > 8 millionsincréments = 1 heure


Kurtosis

La kurtosis est probablement infinie, ce quiremet en cause toute approximation du typeCornish Fisher, dépend de l'exposant de la queuede distribution,

distribution gaussienne ou exponentielle: tous lesmoments sont finis

loi puissance d'exposant α P(X>x) ~ C x-α-1 :les moments d'ordre supérieurs à α sont infinisavec α ~3 la kurtosis est infinie …

Normalement nulle, pour une gaussienne

K(t) ~ K1/t1/2

Interprétation classique: l'épaisseur de la queue est aussi une signature d'inefficience due à la présence despéculateurs

La kurtosis est directement liée au mimétisme ? Cf. modèle Cont-BouchaudModèle Hwang : le mimétisme est mesuré par la dispersion transversale (atteint son maximum avant un krach).

Instabilité de l'estimation: l'intervalle de confiance de la kurtosisempirique dépend des moments théoriques d'odre 8 !!! Sans douteinfinis …

ref: "empirical porperties of asset returns: stylized facts and statistical issues", Rama Cont.

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Utilité espérée

↑ Rendement↓ Risques

↓ Rendement↑ Risques

U ’(w) > 0U ’ ’(w) < 0

w

U

Agent risquophobe: préfère un revenu certain à un même revenu espéré (et donc aléatoire)

L'utilité est censée mesurer la satisfaction de l ’agent, fonction d'un revenu aléatoire

Il y autant de f.u. que d ’agents …. Dépend de l ’aversion pour le risque de l ’agent

ma préférée : f.u. en logarithme ….Indice relatif d ’aversion au risque = 1,

On tentera donc de maximiser la satisfaction de l ’agent: maximun E [U(w)]

Aversion relative pour le risque = -w U"/U' = γne dépend pas du niveau de la richesse


Utilité - exemple

104 16

UU(w)=ln(w)loterie : w1=4 avec p=0.5, w2=16 avec 1-p=0.5E[w]=p w1 + (1-p) w2 = 0.5*4+0.5*16=10E[U(w)] = p U(w1) + (1-p) U(w2) = 0.5*ln(4)+0.5*ln(16)=ln(8)=U(8)

Aversion aux risques : concavité de la f.u.à revenu égal, préférence pour le certain sur l’aléatoireE[U(w)] < U(E[w])

Quel est le revenu certain équivalent au revenu aléatoirerevenu aléatoire = équivalent certain + prime de risque 10 = 8 + 2

8

Cas général: λ = prime de risque U(E[w]-λ) = E[U(w)]prime risque absolue ≈ - 1/2 U"/U' variance(W)prime risque relative (en %) ≈ - 1/2 W U"/U' variance(W)pour faibles variations, par un développement de Tayloraversion relative = - <W> U"/U' = 1 pour une f/u. en log

Exemple : portefeuille d'actions, avec rendement=10% volatilité=40%,prime de risque = variance/2 = 0.42/2= 8%, équivalent certain (salaire) = 10%-8%=2%pour un équivalent salaire de 100 000 € par an,il faut générer une performance 5 fois plus grande 500 000 € sur un portefeuille de 5 millions €et encore l'aversion au risque est faible

U(w)

w

Quel revenu certain (salaire) souhaiteriez vous en échange d’un revenu incertain (investissement) ?

E[U(w)]

U(E[w])

Indifférence: équivalent certain (8) vs revenu aléatoire (10)préférence revenu certain si revenu certain > 8préférence revenu aléatoire si revenu certain < 8

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Var, Utilité, Espérance-Variance ?

m Espérance/VarianceF <=> Utilité espérée

Ä si Utilité quadratiqueÄ et/ou variations faibles.

F <=> VaRÄ dans le cas gaussien seulement.

m Le plus souvent, les rendements restent « négligeables » devant les risquesextrêmes => Maximiser un f.u. avec des queues épaisses est assez proche dela recherche du minimum d ’une VaR

m Dans le cas de stratégies « risque neutre » (ex: pairs trading), on tente de seprotéger contre les risques extrêmes, les rendements sont faibles et desleviers nécessaires …l ’ajustement du levier devient un facteur essentiel ….


Gestion du levier

m Comment déterminer la fraction de capital à investir dans l'actif risqué ?m En fonction

F du rendement et risques attendus

F du capitalF l'aversion aux risques …

m SoientF S un actif risquéF W un portefeuilleF f la fraction investie dans S

m une stratégie possible : optimiser le taux de croissanceF Kelly, Vince, Thorp, Merton, Maslov, Baviera, Cover, …F stratégie très souvent citée parmi les traders sur futures, hedge funds, …

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Kelly

m Kelly (1956 Bell Labs) avec Shannon, pose le problème suivant:F gain = doublement de la mise, avec une probabilité 1/2<p<1F perte de la mise, avec probabilité q=1-p

m Quelle proportion f du capital doit on miser ? f =levierm si p=1 : levier infini …m si p<1

F Si f=1, c'est la ruine assurée dès la première perte ….

F Si f=0, on ne profite pas d'un réel avantageF => f compris entre 0 et 1 …

m Solution de Kelly : maximiser le taux de croissance ….

Wn = valeur du portefeuille à la période n

On cherche à maximiser la moyenne du taux de croissance <=>

maximiser la moyenne géométrique <=>

Taux de croissance équivalent certain


Kelly (formules)

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

G

f

f*

G*

En étroite relation avec la notion d'entropie …. H= -p log p - q log qMaximiser G <=> minimiser l'entropie H <=> maximiser la prédictibilité d'un signal (au sens Shannon)

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Kelly (exemple)

p=0.7 q=0.3f*=p-q=0.4 et G* ~ 8%soit

Il vaut mieux sous estimer que surestimer f*pour f ~ 2*f* G<0, on perd …par contre pour f ~ f*/2 G ~ 6%,soit 25% de manque à gagner,seulement

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8

G

f

f*

1.Pour un avantage aussi minime soitil (p=0.53), le taux de croissancereste respectable G*~ 1.8%(doublement en 385 coups) mais lelevier doit rester très faible : 6%2. Les pertes interviennent dès 12%de levier. à f ~ 60%, taux decroissance probable ~ -18% après 12périodes, le capital restant le plusprobable n'est plus que 11% ducapital initial … exp(-0.18*12)

-0.2

-0.18

-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0 0.2 0.4 0.6 0.8

G

f

p=0.53 q=0.47 f*=0.06

G*=0.01801

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

G

p=0.9, q=0.1f*=0.8 et G~36.8%gains très élevés,G chute très rapidement au delà de f*encore une fois mieux vautsous estimer f*

Il vaut mieux "sous-parier" que "sur-parier"En trading, faut faire comme les anglais: roulez à gauche


Mieux comprendre KellyPortefeuilles exponentiels, fortement improbables

Quasi nul, mais pas derisque de ruine ….

L'espérance du portefeuilleE(Wn/W0) = E(W1/W0)n=((2p-1)f+1)n

est constituée de termes exponentiellement grandset fortement improbables

Propriétés analogues à la distribution log normale : de fait, log (Wn/W0) peut être approché par une loi normale

moyenne

variance

log (Wn/W0) ≈ gaussienne

(1+f)4

(1+f) 4(1-f)

(1+f)5

(1+f) 3(1-f)2

(1+f) 2(1-f)3

(1+f)(1-f)4

(1-f)5

(1+f)3

(1+f) 3(1-f)

(1+f) 2(1-f)2

(1+f)(1-f)3

(1-f)4

(1+f)2(1-f)

(1+f)(1-f)2

(1-f)3

(1-f)2

(1+f)(1-f)

(1+f)2

(1+f)

(1-f)

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

1-p

Kelly ⇔ Maximiser le portefeuille le plus probable ⇔ Maximiser le portefeuille médian⇔ Maximiser la moyenne géométrique des P&L

Ce portefeuille le plus probable est aussi le portefeuille médian

Le portefeuille le plus probable (maximum de la probabilité)correspond à la moyenne géométrique

21

Page 21


Kelly - Application modèle binomial et Futures (suite)

gain: w %, avec probabilité=p, perte: l %, avec probabilité=q=1-pg=p log(1+fw)+q log(1-fl) f*=(pw-ql)/(wl) = a/(wl) avec a= pw-ql espérance arithmétique

Exemple: contrat Future CAC40, stratégie de type brackettrading encadrement des gains + des pertesprofit exit à +20 pts et stoploss à -20pts, un trade par jour …

Capital par contrat = WL / (p W-qL)= Kn contrats = arrondi.inf(Capital/K)

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

0 50 100 150 200 250

jours

cro

issa

nce

Kelly Buy&Hold

sous jacent en pts S 3000multiplicateur m 10valeur contrat m*S 30000Systeme de tradingdelta pts pts 20cout c 4gain/contrat W=m*pts-c 196perte/contrat L=m*pts+c 204proba gain p 0,54proba perte q=1-p 0,46probacritique pc=L/(W+L) 0,510gain en % sous jacent w 0,65%perte en % sous jacent l 0,68%Espérance a=p w-q l 0,040%Kellyf* f*=a/(w l) 9,00taux de croissance / trade G*=p ln(1+f w)+q ln(1-f l) 0,180%nb trades n 250taux de croissance global exp(nG*) 1,57% 56,96%catipal requis par contrat W L /(pW-qL) 3332capital 10 000nombre de contrats 3marge / contrat 2400n contat/marge 4,2


Kelly - Exemple Futures (suite)

Suppose être investi avec levier 22 sur future DAX :quasiment 100% de la marge !!!Avec 55 contrats en fin de période !!!

problèmes ?

P(gain) trop optimiste ?Stationnarité des probabilités ?slippage ? (gain et pertes réelles != attendues)avantage vs taille des ordres vs Liquidité ?Complexité opérationnelle avec la taille ?

Soit plus de 1000% / an !!!! Cherchez l'erreur …..

Exemple type contrat DAX, multiplicateur = 25delta trading à +/- 20 pts, probabilité gain = 0.58

0%200%400%600%800%

1000%1200%1400%1600%1800%2000%

0 50 100 150 200 250

jours

cro

issa

nce

Kelly Buy&Holdsous jacent en pts S 3 000multiplicateur m 25valeur contrat m*S 75 000Systeme de tradingdelta pts pts 20cout c 4gain/contrat W=m*pts-c 496perte/contrat L=m*pts+c 504proba gain p 0,58proba perte q=1-p 0,42probacritique pc=L/(W+L) 0,504gain en % sous jacent w 0,66%perte en % sous jacent l 0,67%Espérance a=p w-q l 0,101%Kellyf* f*=a/(w l) 22,80taux de croissance / trade G*=p ln(1+f w)+q ln(1-f l) 1,161%nb trades n 250taux de croissance global exp(nG*) 18,21% 1720,67%catipal requis par contrat W L /(pW-qL) 3 289capital 10 000nombre de contrats 3marge / contrat 2 400n contat/marge 4,2capital en fin de periode 182 067n contrats 55Buy & Holdf*/2 11G(f*/2) 0,87%

8,77

22

Page 22


Sensibilité

0

10

20

30

40

50

60

0.5 0.55 0.6 0.65 0.7

levier

p succès

Très grande sensibilité du levier enfonction de la probabilité de succès

delta(levier) = 2S/pts delta(p) = 600 delta(p)delta(p)=0.01 => delta(levier)=6 !!!

Grande sensibilité du levier vs estimation des gains et pertes.

exemple précédent : bracket trading autour de 20 pts sur DAX, avec p(succès)=0.58 => f* ≈ 22si le gain passe à 19 pts au lieu de 20 pts,ou la perte passe à 21 pts au lieu de 20,f* passe à 7 au lieu de 22 !!!

Or: l'espérance d'un perte est plus souvent plus grande qu'attendue et celle d'un gain plus faible …les raisons peuvent être multiples :spread (bid/ask), chasse aux ordres stop, pb de liquidité, stoploss en situation de krach, …


Désir et réalité

Taille des positions

Performance

Les positions ne peuvent par être multipliées àl'infinie sans tenir compte de facteurs quidétériorent la performance:- liquidité- profondeur de marché (impacts)

La stratégie de Kelly suppose le même succès avec 55 contrats qu'avec un seul: c'est faux … La probabilité gain décroît avec la tailleRappelez vous sur-estimer le levier est catastrophique …. or le levier est très sensible à la probabilité de gain ...

=>

estimation réaliste des probabilités de gain en fonction de la liquidité et autres facteurs de risquestratégie moins agressive (Kelly Fractionnel)diversification multi supports / multi stratégies

23

Page 23


Exemple levier optimal - marché action

LES DANGER D'UN LEVIER TROP ELEVE: exemple:

+ 25% ou -15% par mois avec probabilités 50/50

Avec une levier de 5, pour une mise de départ de 100, au bout de 12 mois, le capital probable est de 3 !!!!

Le levier optimal est 1.33 = (.5.025-.5*.15)/(.25*.15), gain géométrique moyen = 3%, gain probable au bout de 12 mois = 47%ce qui est fort différent d'une perte de -97% avec un levier de 5 !!!

Ruine certaine si levier = 1/perteMax = 6.67,

risque élevé et perte , si on utile un levier = 2 * levier optimal

En revanche : utiliser un levier prudent = levierOptimal/2, entraine un manque a gagner de 25% seulement.

!!!! Les rendements sont multiplicatifs ….Après une perte de 50%, il faut 100% de hausse pour se "refaire" ...

Le critère de Kelly est la stratégie optimale: le portefeuille le plus probable croit de manière exponentielleW(T)=exp(T sharpe 2) W0sharpe= µ/σ

Comparaison Buy&Hold et stratégie optimale active:


Exemples

Fonctionne mieux en ajustement intraday sur futures avec faibles coûts de transaction:levier de 2 du sous jacent <=> nContrats = 0.2 Capital / valeurSousJacentnContrats= levier Capital / multiplicateur * valeurSousJacent

Un levier constant amplifie les hausses

… et les baisses

un levier trop grand (5)conduit a des pertes rapides

24

Page 24


Exemples (suite)

NASDAQ

S&P 500Utilisation d'un levier constant ~ 2

Peut mieux faire en intraday future,avec une estimation dynamique des volatilités:taux sans risque : r ≈ 2%µ= rendement+σ2/2, rendement ≈ 5%levier optimal (σ)= (µ-r)/σ2 = ½ + 0.03/ σ2

Opportunités en ce moment (Nov. 2003) ?car faible volatilité (historique) et reprise économique=> autorise des leviers plus élevés …

Plus de 60 fois la valeurdu NASDAQ et pourtantle levier n'est que de 2


NASDAQ en levier 5

Levier 5démontre le caractère exponentielde la stratégie :NASDAQ * 3500 !!!bien loin de NASDAQ*5explosion à la hausse …

mais implosion à la baisse ….

Reste quelques cents …

25

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Ajustements dynamiques

Les stratégies de type Kelly (ou basées sur une fu isoélastique) nécessitent des ajustements permanents, afin demaintenir une proportion constante ("Constant Rebalanced Portfolios"):

f<1 ⇒ δq δS < 0 ⇒ CONTRARIENon doit ajuster en sens inverse de la variation:acheter lorsque l'actif baisse, vendre lorsquel'actif est en hausse.

f>1 ⇒ δq δS > 0 ⇒ SUIVEURon doit acheter lorsque l'actif monte et vendrelorsqu'il baisse.

f=1: on est investi à 100% dans l'actif risqué,et on le restera même en cas de hausse ou debaisse de l'actif.

Soit un portefeuille d'une valeur 1000 avec seul actif risqué de valeur unitaire 10, avec un levier de 4. On détient donc 400=(1000/10)*4unités de l'actif. Le mois suivant, l'actif perd 20%, l'actif passe à 80. Le levier étant de 4, la perte en capital est quatre fois plus importante,la valeur du portefeuille devient 3200=400*80 !!! Pour maintenir un levier constant de 4, il faut ajuster le nombre d'unités en fonction : desnouvelles valeurs du portefeuille (3200) et l'actif 80, soit un nombre d'unités : 160=(3200/80)*4, il faut donc alléger de 400-160=240 unités,soit de 60% =(4-1)*20% (cf ci dessous)

On doit ajuster la quantité pour vérifier :

Donc


Kelly - Distribution quelconque

f* ≈ <r>/<r2>2 f*f*/2

G*

3/4 G*

f

GG ≈ f<r>- f2 <r2>/2

p(r) distribution des rendements discrète ou continue

solutions approchées au second ordre:

Exemple:perteMax=20%alors f* << 5

Solution approchée (très grossière)

Distribution discrète desrendements ri, avec probabilité pi

f* solution de :f* solution de :

Distribution continue

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Allocation optimale inter-temporelle en temps continu

Merton - Continuous Time Finance

Recherche de l'allocation optimale x

On retrouve les mêmes résultats que dans le cas mono-périodiqueavec Γ la matrice de covariance, ρ le vecteur des rendements (ρi = µi-r),r le taux sans risque, γ l'aversion relative au risque.Solution par contrôle optimal stochastique (Hamilton-Jacobi-Bellman)

Cas d'actifs (ou stratégies) non corrélées

Résultat remarquable, sachant que µ et σ peuvent dépendre du temps

Mais: 1. suppose que les proportions sont ajustées en continu2 ne tient pas compte des coûts de transaction.

Cas mono actifrésultats analogues au CAPMà la différence essentielle que:- le CAPM est mono périodique- Kelly (ou Merton) est multi-périodique- dans le cas de Merton, les pondérationsvarient , mais faiblement=> réajustements toujours nécessaires

Applicable à tout processus,pas seulement I(1)Merton est applicable à des processus de retour à la moyenne(OU), …


Levier optimal - cas continu - exemple mono actif

Exemple d ’un modèle lognormal

la stratégie optimale consiste à maintenir un ratio constant dans l ’actif risqué :γ = aversion au risque γ=1, pour un f.u. en logarithme.

Exemple: action/indice classique: CAC40rendement R ≈ 5%,taux sans risque =2%σ = volatilité ≈ 30%µ = R + σ2 /2 = .05+0.3 2 /2 = 9.5%=> f=(µ-r) /σ2 = (.095-.02)/0.09 = 0.83=> investi à 83% en CAC40 (si fu en log) :

f* ~ 1 : traduit une hypothèse de non arbitrage Kelly vs Buy& Hold ?

Exemple f* tels que mesuréf* mesuré depuis

CAC40 0.91 1990DAX 1.3 1990E50 1.72 1990

DJI 1.54 1930NASDAQ 2 1984

27

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DJI

y = 0.7479x + 6E-05R2 = 0.3834

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

<r>

sim

ga^

2

<r>/sigma^2pour les actions composant le DJI, depuis le 2 janvier 1962 au 6 mars 2002.

levier moyen f* ≈ 1.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

AA

AXP

BA

C

CAT

DD

DIS

EK

G E

G M

HD

HON

HWP

IBM

INTC

IP

JNJ

JPM

KO

MCD

MMM

M O

MRK

MSFT

PG

SBC

T

UTX

WMT

XOM


Comment gagner sur une actif qui perd …

si Rendement = 0, l'action reste stable

Une stratégie active permet néanmoins de gagneren restant investi à 50% à tout instant …

car R=0 => µ= σ2 /2 > 0 => levier f*=µ/σ2 =0.5taux de croissance optimal G*(r=0) = ½ µ2/σ2 = σ2 /8

si σ=40% G*(r=0)=2% / anpas trop mal pour une action qui stagne …et plus elle est volatile meilleure est la performance !!!si σ=100% G*(r=0)=12.5% / an

Source maslov, Zhang

Kelly gagnetout en restantà l'achat sur un actifqui perd !!!

!!! ln ST/S0 ~ gaussienne moyenne (µ - σ2/2)T et variance σ 2 T

La stratégie de type Kelly (portefeuille CRP)peut être vue comme un système de "capture"de la volatilité …

Compatible avec l'efficience des marchés: l'effet dela stratégie de Kelly sera de réduire de la volatilité …"une centrale hydraulique qui va capturer une énergieproduite par la hauteur des vagues, aura pour effet deréduire la hauteur des vagues, mais peut on imaginerun océan sans vagues ni tempêtes …. " COVER

Fonctionne aussi pour R<0, dans la limite µ>0 donc µ < σ2 /2, dans ce cas f<1/2

f* peut être négatif (vente à découvert)

Le rendement moyen peut donc être ≤ 0, mais µ>0

Non seulement on peut battre le sous jacent avec un levier < 1 …mais on peut gagner sur un sous jacent qui décline …

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Levier et Sharpe

Sharpe ~ µ/σ, une autre mesure du rendement corrigé du risque …

Relation Kelly avec Sharpe:

Optimiser le taux de croissance est assez proche de l'optimisation du ratio de Sharpe ….

Sharpe dépend du temps :

si un facteur d'échelle en 0.5le levier optimal ne dépend pas du temps f*(intraday)=f(jour)=f(mois)=f(année)

pour être considéré comme une bonne stratégie, le Sharpe annuel doit être > 2

f ~ µ/σ2 => f=Sharpe/ σ

donc si Sharpe=2 et σ=10%, sur un seul actif, suppose un levier f= 20 !!!

(En première approche)


Drawdowns

Drawdowns = perte historique depuis le dernier plus hautmesure de risque agressive: A

B

CE

DF

H

G

I

drawdownsA/BC/DC / FC / H…..

Drawdown

Loi universelle: les queues de distribution des drawdowns suivent une loi puissance

Avec Γ solution de

Modèle binomial: gain Λ avec probabilité p, perte - Λ avec 1-p

Cas gaussien

1/Γ représente le drawdown probable.

Le Drawdown s'exprime aussi en %: D% = (Wmax-W)/Wmax=1-1/D, Probabilité (D%>x%) = P(D>1/(1+x))

ratio de sterling = rendement / maxDrawDown%exemple exigence forte: 30% rendement annuel, max drawdown 10% (Sterling=3)

29

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Kelly et les drawdowns

Portefeuille de Kelly se comporte comme un processus gaussien multiplicatif:

Exposant de la densité des Drawdowns

Hypothèse : investissement dans un actif risque de rendement (instantané) µ et volatilité σ2

Le drawdown est sur le point de divergerespérance et variance infinies

Justifie, encore une fois, l'intérêt d'utiliser des stratégies moins agressives (kelly fractionnel)

Avec f*/2, l'espérance et la variance sont finies

⇒

Résultat universel: indépendant de la distribution des rendements !!!


Drawdowns (suite)

Exemplesτ = 4 Prob(perte historique > 50%) ~ 12,25%50% <=> capital/2 depuis le plus haut historique τ = 4 correspond à un Kelly/2

τ = 2 Prob(perte historique > 50%) ~ 50% !!!τ = 2 correspond à Kelly

Une méthode simple pour définir une gestion cohérente:

exigences de gestion:rendement 30% par anmax drawdown, ne doit pas dépasser 10% (au seuil de 5%)

=> τ > 30 DD%=10% DD=1/(1-0.1) P(> DD) ~ DD^(- τ-1)< 5% τ > 1+log(0.05)/ log(1-0.1)=29.43,

τ =2µ/σ2 et µ=30%=> σ < 15%=> sharpe = µ/σ > 2

P(D>-drawdown)DD% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%DD=Wmax/W 1.11 1.25 1.43 1.67 2.00 2.50 3.33 5.00tau 2 0.9000 0.8000 0.7000 0.6000 0.5000 0.4000 0.3000 0.2000

3 0.8100 0.6400 0.4900 0.3600 0.2500 0.1600 0.0900 0.04004 0.7290 0.5120 0.3430 0.2160 0.1250 0.0640 0.0270 0.00805 0.6561 0.4096 0.2401 0.1296 0.0625 0.0256 0.0081 0.00166 0.5905 0.3277 0.1681 0.0778 0.0313 0.0102 0.0024 0.00037 0.5314 0.2621 0.1176 0.0467 0.0156 0.0041 0.0007 0.00018 0.4783 0.2097 0.0824 0.0280 0.0078 0.0016 0.0002 0.00009 0.4305 0.1678 0.0576 0.0168 0.0039 0.0007 0.0001 0.0000

DD% = (Wmax-W)/Wmax=1-1/DDDD=1/(1-DD%)Probabilité (DD%>x%) = P(DD>1/(1+x))

Si une stratégie de type Kelly (proportion constante), sous entend d'utiliser un levier 15 fois inférieur à celui de Kellyaversion relative pour le risque de l'ordre de 15

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Kelly Fractionnel

Malgré la prise en compte des risques, le levier optimal de kelly reste agressif,

Une mauvaise estimation des paramètres peut conduire à une sur estimation du levier et donc:décroissance rapide du capital dans des drawdowns sévères

Il est plus "prudent" d'utiliser des fractions du levier optimal: se placer à f*/2, f*/4.

Kelly Fractionnel: utiliser un levier f=δ f*, avec 0<δ<1<=>maximiser la fonction d'utilité U(w)= w 1- γ /(1- γ)

γ est l'indice d'aversion relatif pour le risque: plus γ est grand et plus l'agent est risquophobe.

À la limite γ = 1, la fonction d'utilité est le logarithme.

δ γ utilité G*(δ )/G*1/2 2 -w - 1 .751/3 3 -w - 2 .561/4 4 -w - 3 .44

le levier optimal est f*(γ)= 1/ γ µ/σ2


Investissement "optimal" et coûts de transactions

Cette stratégie exige un ajustement permanent pour maintenir un ratio constant dans l'actif risqué: soit "f" ce ratio,l'ajustement quotidien devrait être de l'ordre de (f-1)*variationActif

f=1 on est investi à 100% en permanence.f<1, on est contrarien ... hausse => vente, baisse => achatf>1 on est suiveur de tendance: hausse => achat, baisse => vente

Il existe des "no trade regions" : re-équilibrage uniquement lorsque le ratio sort de bornes fmax, fmin,

exemple µ=12,5%, σ=20%, f=0.6, avec des coûts de 0,5%, ne pas faire réajuster tant que f reste dans un intervalle del'ordre de 10% autour de f.

La région de "non trading est proportionnelle à la racine cubique des coûts (ref: Leland, Baviera, … )si c= coût %

Si µ/σ2 ≈ 0 ou 1, ∆f ≈ 0∆f maximum pour µ/σ2 ≈ 0.5, le sous jacent est quasi stable (rendement = µ - 0.5 σ2 ≈ 0)

permet de retrouver la variationnécessaire de l'actif pour sortir de la zone de "non trading"

Impact très important des coûts de transaction sur une gestion active

31

Page 31


Quantités

Les quantités ne sont pas indivisibles …. Pour justifier d'un réajustement encore faut il que δq soit entier(peut poser probl ème sur futures notamment … )δq=1 ⇒

la pondération optimale w* réalise le maximum du taux de croissance =>

Conclusion : en raison des coûts et des quotités, il n'est pas possible d'ajuster en permanence:Quelle conséquence sur le taux de croissance ?


Kelly en intraday ?

Faire du CRP en intraday est délicat en raison:

- des coûts de transaction - courtage- spread

- des quantités indivisibles

Possible si• les variations sont importantes: se placer immédiatement encontrarien (tjrs pour maintenir le ratio constant)• si les coûts de transaction sont suffisamment faibles, la stratégiede Kelly (ou CRP) peut alors se coupler à une stratégie de tenuede marché, car on connaît à l'avance les prix limitesd'intervention, ce qui aura pour effet de réduire l'impact desfrictions

Vente

Achat

Exemple simple de tenue de marché: Placer des ordres limites d'achat et vente à cours ± ∆cette stratégie peut être bénéficiaire en elle même (tenue de marché), ce qui annule l'effet négatif des coûts de transaction

∆

∆

∆

Achat

Vente

Attention, à l'effet Mickey …. il faut tenir compte des priorités à l'exécution, il peut y avoir un forte anti-autocorrélationcas de spread trop large, (penny stocks, Eurotunnel, Eurodysney)avec accumulation des ordres limites sur la fourchette donc sans véritable opportunité

S∆i série des prix, obtenue en retirant toute |variation| < ∆

p+ = Proba (hausse S∆i) p- = Proba (baisse S∆

i)p-+ = Proba (hausse S∆

i | S∆i-1 =baisse)

p+- = Proba(S∆i baisse | S∆

i-1 = hausse) Proba(gain) = p = p-+ p- + p+- p+p-=p+ =.5 et p-+=p+- =.7 => p=.7Espérance=p (∆+2c) + (1-p) (-∆-2c)= ∆(2p-1) -2c, c= cout de transaction En pratique on trouve E(∆) ≈ 0 ∀∆exemples:future ∆= 10€, p=.7 c=2€ / share (IB)E= ∆(2p-1) -2c = 10 (2*0.7-1)-2*0.02 = 0 action ∆= 0.1$, p=.7 c=0.02$ / share (IB)E= ∆(2p-1) -2c = 0.1(2*0.7-1)-2*0.02 = 0action ∆= 0.5%, p=.7 c=0.1% E= ∆(2p-1) -2c = 0.5(2*0.7-1)-2*0.1 = 0 bref … p=0.7 => ∆0 = 5c

32

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Retour vers le future

Stratégiede trading

Calcul du levier optimalanalyse correlations, ...

Séries Trades/ncontrats

Les mêmes principes de gestion du levier s'appliquent auprofil des P&L

Soient Ri les profits (et pertes) absolus par contratles Ri sont issus:- de l'historique des opérations,- ou d'une distribution espérée- ou les deux ….

W richesseSoient S le prix du contrat, M = multiplicateur1 contrat ≡ investissement M Sγ = aversion relative aux risques

Stratégie corrigée: levier → nombre de contrats par opérationon/off


Kelly tout simplement …

Vince présente Kelly d'une manière simple:

soit TWR = valeur terminale du portefeuille après N périodes

Le levier se traduit directement terme de niveau de risquesigma(levier) = levier * sigma, si bien que l'on peut représenterla valeur terminale probable TWR en fonction du risque.La performance n'est pas croissante avec le risque, mais atteintun maximum correspond au levier optimal.

33

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Le levier optimal est très sensible aux plus fortes pertesdonc aux queues de distribution:

Levier optimal, asymétries, valeurs extrêmes

Cas d'une distribution, avec queue en loi puissance

Source: Thèse de Baviera

Le levier optimal est d'autant plus faible que:- la distribution a une asymétrie négative- la kurtosis est grande… ce qui est le cas de la plupart des actifs financiers !!! Mn= moment d'ordre n

=E(rn)


Estimation du levier optimal

Estimations indépendantes de µ et σ (voir après)

Estimation directes: résoudre

Méthodes adaptatives et itératives: voir Portefeuilles Universels

Cas multivarié et cas général:

Les contraintes pouvant être arbitraires (vente à découvert ou pas, contraintes sur actif particulier, secteurs, coût de transactions, …) : nécessite des programmes complexes d'optimisation dans le cas général

sinon, on pourra utiliserune premièreapproximation, du mondegaussien sans contraintes

Monde gaussien avec contraintes

L'erreur d'estimation du levier est en 1/σ ⇒ estimation d'autant meilleure que l'actif est volatile !!!

34

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Kelly-Conclusion (provisoire ….)

m Stratégie optimaleF avec le meilleur taux de croissance (si iid)F Le taux de croissance = taux de croissance certain équivalent (peut être comparé

au taux sans risque)F minimise aussi la durée pour atteindre un objectifF le risque de ruine n'existe pas … en principe

m Points critiques :F Stratégie très active : maintenir un ratio constant a tout moment => tenir

compte des coûts de transaction.F Risque importants en cas de dépassement du levier optimal, les drawdowns

peuvent être sévères …F Positions pouvant être importantes => Kelly FractionnelF Suppose une modélisation correcte: nécessité une estimation correcte des

rendements et risques attendus. le plus délicat étant l'estimation des rendementsF mais …. Il existe aussi des méthodes "non paramétriques"


Kelly - Méthodes non paramétriques, adaptatives et universelles

Portefeuilles Universels (Thomas Cover - prof. Théorie de l'information - successeur de Shannon)Méthodes non paramétrique, adaptative et optimale (universelle)

approche classique: - Modélisation- stratégie optimale | modèle -> G*(modèle) = µ/σ2

Inconvénients:- problèmes d'estimations des paramètres (surtout µ)- risque de modèle: mauvaise adéquation, variation des paramètres dans le temps

Approche Non paramétrique, on-line et universelle

- non paramétrique : pas besoin de spécifier un modèle "let's the data speak""- online: adaptation en fonction de nouvelles données

- universel: convergence vers la stratégie optimale a posteriori (Hindsight )

L'algorithme de COVER garantit que le taux de croissance du portefeuille universel (UNI)converge vers le taux de croissance optimal rétrospectif du meilleur portefeuille CRP (BCRP)

lim G (UNI)= G(BCRP)t → ∝

Comme si on était capable de se projeter dans l'avenir et sélectionner un portefeuille qui aurait donné les meilleurs résultatsa posteriori !!! Avec des hypothèses minimales sur les distributions: la seule hypothèse est |E log(rendement) |<∞

Attention la convergence peut être longue (résultat asymptotique) …. et comme toute méthode non paramétrique, nécessite un grand nombre de données … la méthode est complexe et coûteuse en temps de caclul

Exemple d'algorithme universel: compression en gz, zip tend vers le taux maximal de compression ∀ fichier

Méthode dite compétitive:convergence même dans le pire cas

35

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Propriétés remarquables du meilleur CRP et fondements

Note: concavité du logarithme ⇒ la performance de tout CRP est meilleur que la moyenne des performances

BCRP = meilleur portefeuille CRP au temps t

xt = performances relatives des actifs au temps tnormalisation W0=1, w=pondération constante sur toute la duréePerformance d'un CRP:

Taux de croissance optimal

Théorème fondamental:si les xt sont IID, la meilleure stratégie est une stratégie CRP, c'est celle qui maxime le taux de croissance = BCRPla distribution des rendements peut être quelconque, multivariée, pas nécessairement lognornales, avec ou sans correlations, … En pratique les rendements ne sont pas iid, mais suffisamment proches pour que ce théorème puisse s'appliquer avec succèsCe théorème est d'autant plus pertinent que l'efficience des marchés s'accroît

BCRP bat le meilleur actif …. le buy & hold dans un seul actif est aussi une stratégie CRP particulière

Tout portefeuille buy & hold (BAH) est moins performant que le meilleur actif:

BCRP fait mieux que la gestion indicielle BCRP bat les indices classiques du type DJI ou CAC40 … Et tous les portefeuilles BAH, en général … On peut toujours générer de la performance absolue par une couverture BAHadéquate en fonction des objectifs (dollar neutre, marché/bêtas neutre)

le portefeuille BCRP bat la moyenne géométrique (indice Value Line)(en raison de la concavité du logarithme)


Portefeuilles Universels (suite)

0.001

0.01

0.1

1

1 10 100 1000 10000

t

ln(t

)/t

Le temps de calcul du portefeuille universel croit de manière exponentielle avec le nombred'actifs !!! Incalculable au delà de 9 actifs …

Mais il existe des méthodes approchées linéaires avec le nombre d'actifs et historique

La convergence peut être longue …

Quoiqu'il en soit, fournit des fondements théoriques importants pour justifier des méthodes non paramétriques et adaptativespourvu qu'elles vérifient certaines propriétés (universalité et compétitivité)S'agissant de marché actions, il est difficile de prétendre à des modélisations précises, on doit accepter une large classes de distribution et processus candidats : les hypothèses des ptf universels fournit un tel cadre … ce faisant on ne peut donc espérer guère mieux que ces résultats … ce qui n'est pas si mal … La pratique montre que ce type d'algorithmes donne des résultats bien meilleurs que la limite du pire cas.

ln(t)/t ~ 1% au bout de 2 ansmais il s'agit du pire cas …

Algorithme YATS

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Portefeuilles universels (suite)

Avec des résultats spectaculaires en pratiqueLe portefeuille universel est très prochedu meilleur portefeuille CRP rétrospectifbat la meilleure valeur de l'indice !!!

Les meilleurs résultats sont obtenus par la recherche du meilleur CRP en tentant compte de dépendances … résultats spectaculaires

même en présence de coûts de transaction

capital x 1 million, avec coût de transaction à 0.15% !!! (*)

mais tombe à capital x 100 si coût à 1%(*) On rouve actuellement des brokers avec coûts bien plus faibles, ex: 0.02$/share, soit 0.02% pour une action à 100$

Univers = actions du DJI (36 actions) sur 22 ans …avec différents coûts de transaction de 0 à 1.2%

combinent deux phénomènes:- contrarien à très court terme, par effet des réajustements- momentum et suivi de tendance à moyen terme, par apprentissage des pondérations

capital multiplié par plus de 100 000 Exemple coût=0.2%

croi

ssan

ce d

u ca

pita

l


Exemple Kelly adaptatif (et universel)

Phase d'apprentissage

Mesures de performance: Sharpe, Sterling

Sterling= performance/maxDrawDown

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Kelly adaptative (suite)

Krach de 87le levier est très sensible aux fortes pertesaura du mal a s'en remettre

Richesse finale = 737 506, soit ~ un facteur de l'ordre de 1000Échelles logarithmiques !!!

Gain > x 1000


^FCHI from:19900301 to:20031110constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 3425.19 1.872 3232.15 1.765 41.52 0.02

optimal F in Hindsight 0.92 3335.66 1.82Adaptative 0.92 11888.23 6.49

^GDAXI from:19901126 to:20031110constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 3746.24 2.62 4683.13 3.245 100.55 0.07

optimal F in Hindsight 1.3 4332.21 3Adaptative 1.3 23823.55 16.51

^SSMI from:19901109 to:20031110constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 5242.2 3.782 12377.27 8.925 9128.01 6.58


^STOXX50E from:19911231 to:20031114constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 2656.94 2.662 4024.5 4.025 449.04 0.45


A noter, la méthode adaptative fait mieux que le meilleure CRP a posteriori !!!

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^DJI from:19800102 to:20031110constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 9756.53 11.832 54780.81 66.435 -119420.7 -144.82


^IXIC from:19841011 to:20031110constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 1941.64 7.932 5600.85 22.895 232.77 0.95


^GSPC from:19821020 to:20031111constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0

asset (f*=1.0) 1 1046.57 7.522 4143.77 29.765 -737.56 -5.3


Pas trop malmalgré un Krachcomme celuide 87


Historique

Pour le fun …sur la base de ces théories, Thorp et Shannon créent le premier ordinateur "prêtà porter" (habillable) en 1966 pour battre le casino !!! autre aventure dans le même style:Eudaemonic Enterprise Doyne Farmer, Norman Packard, mathématiciens spécialisé en théoriedu chaos. réalisent un ordinateur à pied ! Pour exploiter les biais de la roulette au casino …

puis ils créent la société "Prediction" pour développer des modèles de prédiction sur lesmarchés financiers (contrats avec UBS)

Le critère de Kelly a été utilisé par Ed. Thorp (Élève deShannon), hedge fund (Princeton Newport Partners)arbitrages long-short, Sharpe=3 ….

Utilisé couramment par les traders sur Futures et hedgeFundDéfaillance LTCM : pari/levier > levier optimal de Kelly

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Estimations

m Généralités:F Les méthodes d'estimation des paramètres:

Ä Méthodes fréquentielles (maximum de vraisemblance, méthode des moments, etc … ): requière souvent des hypothèses d'indépendances pas toujours conformes à laréalité.

Ä Méthodes bayesiennes, plus adaptées sans doute aux environnements de trading online

Ä Méthodes non paramétriques (Noyau, KNN, ..): évite à modéliser, nécessitent ungrand nombre de données.

F qualité d'estimation et intervalles de confiance

m Exemples:F rendements, drift (µ)F volatilité

F maximum, minimum, temps de passage, ….


Estimation de la tendance

Finalement, pour appliquer Kelly, dans un modèle paramétrique en f=µ /σ2 il faut estimer deux paramètres essentiels: µ et σle plus délicat est l'estimation de µ …

Estimation à partir des rendements historiques: le meilleur estimateur est la moyenne:r = (∑ ri)/navec ri = ln(Si /Si-1)se réduisant à r = ln(Sn /Sà) /nles valeurs intermédiaires ne servent pas !!!On a interet à choisir la période la plus longue possible.

Pour un actif ~ lognormal (5%,20%)intervalle de confiance an à 95% ~ 5% ± 1.64*20% !!!N'est pertinent que lorsque r devirent ~ σ, c'est à dire au bout de T tq Tr ~ T½ σ, ie. T ~ σ2/r 2 =0.22/0.052 = 8 ans

nota: temps caractéristique = 1/sharpe2

Si Sharpe annuel = 2, on pourra juger de la pertinence du rendement au bout de 3 mois de tracking seulement !!!

Vous avez dit tendance ?

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Estimations de la volatilité

L'estimation de la volatilité est essentielle: gestion du risque, pricing dérivés, leviers, …

Estimateur utilisant tous les ticks:

Zhouet variantes …

Les estimateurs utilisant les plus haut / plus bas sontbeaucoup plus efficaces (x10) et réactifs

La mesure du range (plus haut - plus bas) est parmi lesmeilleurs estimateurs de volatilité

Estimation à partir des cours de clôture (ou last)

Riskmetrics (JP Morgan)

µ=0.94 soit temps caractéristique de 16 jours ouvrés, soit 3 semaines environ≈ GARCH(1,1)

Méthodes utilisant les extremums:Rogers Satchell, Parkinson, Garman Klass, True RangeMaximum de vraisemblance de la distribution des +hautet +bas


Estimations de la volatilité (suite)

Pourquoi utiliser les plus haut et plus bas ?

- utilise toutes les données disponibles

- les extremum sont des mesures agrégées sur toute une période: les open/close ne sont que photos à des moments précis

- permet d'effecteur des mesure plus précises, robustes et réactives (meilleur résultat avec moins d'historique)

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Estimateur de volatilité par maximum de vraisemblance avec Open/Close/High/Low

Source: Malik MagdonIsmail, Amir F. AtiyaVolatility Estimation Using High, Low, and Close Data(Algorithmes implémentés dans YATS)


Distributions plus haut, plus bas, temps de passage, etc ...

m Intérêts des distributions des plus haut, plus bas, temps de passage, …F les statistiques basée sur les valeurs absolues,, les plus hauts et plus bas, … sont

plus robustes (cf estimation volatilité)F renseignements pour le placement des ordres de sortie (stop, limites, …)

F base d'un style de trading (bracket trading)

m Quelques questions classiques:F des temps de passage pour atteindre un objectif donné.

F temps de sortie d'une double barrièreF timing des plus haut / plus bas

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Temps de passage

Brownien sans drift : en application du principe de réflexion

densité du temps de passage

temps pour atteindre un niveau donné x:

Mais le temps le plus fréquent ne dépend que de la volatilité et la barrière

Exemple: un stop à -3% avec une volatilité de 32% (0.02/jour) temps typique = 0.032/3* 0.022= 0.75 d ’une journée detrading, soit 6 heures … Trailing stop à temps constant T est proportionnel à σ : TrailingStop ≈ 1.73 T σ

Le temps typique de passage peut être vu comme l ’horizon optimal d ’investissement étant donné un objectif

Le temps de passage d'une diffusion "anormale"

la densité est en H=0.5 pour une diffusion normale, on retrouve bien une densité en t -3/2

H<0.5 => temps de passage > normal , H>0.5 => temps de passage < normal


distribution des plus bas, plus haut

P(low-open < -L) ≈ 2P(close-open < -L) E[ (high-low) / open] = 2 E[ |close-open|/open ]

Cas d'un un actif sans drift (µ=0)

Densité de la valeur absolue

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La loi Arcsinus

La loi arcsinus : le timing du plus haut et du plusbas sur un intervalle de temps T est régi par la loi :

Contrairement à l'intuition, il y a plus de chance que le plus haut ou plus bas se produise en débutou fin de période (jour, semaine, mois ….).Les plus haut et plus bas se trouveront le plus souvent aux extrêmes : 30% dans le 2 décilesextrêmesc'est a dire les premiers ou derniers 3/4 d'heures d'un jour de trading,le premier jour ou dernier jour sur deux semaine de trading, etc ...à droite ou a gauche et à l'opposé l'un de l'autre.

En pratique les PH et PB se produisent bien avant ou bien après que la loi de l'arcsinus le prédit.L'extremum se produit dans la premiere heure dans 30% des casou la denrière heure dans 20% des cas …

conséquences: breakout de la première heure et mean reversion en milieu de journée ?

Src : Timing the highs and lows of the day , Emmanuel Acar, Pierre Lequeux and Stephane Ritz, Banque Nationale de Paris Plc


Double barrière

m Dualité temps / rendement:F au lieu d'examiner les rendements à des intervalles de temps réguliers,F on intéresse à la durée nécessaire pour atteindre un rendement fixé à l'avance ou

sortir d'une barrière,

m Utile pour définir des stratégies de trading:F placement des ordres limites , ordres stop, …

avec horizon de tempsF bracket trading: estimation des profits exit et stop loss

T0

Référence=0

L

Hdistribution de la durée pour atteindre etdépasser H ou L la première fois ?

Probabilité(H soit atteint avant L) ?

Distribution de la durée de sortie de labarrière ?

Problèmes classiquesoptions exotiques (barrière, lookback, …)

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Temps de sortie d'une double barrière

Espérance du temps de sortie d'une double barrière x1<0 , x2>0(σ=1)

T=0

x1

x2

0

Dans le cas µ≠0 l'espérance et surtout la variance du temps de sortie dépendent peu du drift (second ordre)

Avec p = probabilité de sortie par le haut (x2)

Dans le cas µ=0

Encore une façon pour estimer une volatilité:mesurer les durées dans un tunnel

offre l'avantage de fonctionner avec desséries irrégulièrement espacées (intraday)

Pas si évident …. En pratique

peut être considéré comme une mesure du temps de tradingcertains auteurs parlent de temps intrinsèque


Temps de sortie

CAC40 FutureTemps de sortie d'une double barriere ∆=5ptsn 52321, mean 300s, std dev 528s, skewness 5,767 kurtosis 61,77 median 128 auto-correlation 0,3 E(τ) = 300s

temps typique = 2 minutes pour franchir 5 pts à la hausseou la baisse

<τ> ~ |∆|α

avec α de l'ordre de 1.5 à 1.8

(1.5 plutôt en période agitée)

< 2 (cas gaussien)

tendance à sortir plus rapidement que la diffusionnormale à comparer à |r| ~ tH ou t ~ |r| 1/H

α=1/H < 2 => H > ½ => persistence

time = 8.70 delta 1.76 régression: ln(time)=2.16 + 1.76*ln(barrier) R2=1.00

CAC40 sur 2003

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Automatique vs Manuel

m Automatique:F l'automatisation de stratégies nécessite une approche rigoureuse, dans toutes

les phases: modélisation, backtests, opérations, … ne laisse pas de place auhasard ..

F réduction des erreurs de tradingF nécessairement "simpliste", pour des raisons de:

Ä difficultés de calibrage, stabilité, robustesse vs paramètresÄ de la complexité opérationnelle et de développement: gestion multi actifs, mutli

quantité, exécution partielle, incohérences des états,Ä risques de bugs ou spécifications incomplètes, il n'est pas possible de prendre en

compte tous les évènements possibles (exit all dès le moindre avènement inattendu)

F un travail long et complexe à mettre au point …

m Manuel:F Prise en compte d'une multitude de paramètres issues de l'expérience,

approche plus "intuitive",

F pas souvent "formalisable": il n'est pas toujours possible, ni souhaitable dechercher à automatiser des méthodes manuelles

F peut réagir à toute situation.

m Semi automatique:F marche:arrêt, surveillance des automatismes par un opérateur ...

F une approche plus sûre


Trading vs Études Statistiques

m Objectifs différents :F le trader est surtout intéressé par les prédictions et la dynamique, En trading

on est surtout intéressé par les dépendancesF statisticien modélise pour décrire, éventuellement expliquer, il s'intéresse

surtout aux aspects statiques, En analyse, on fait tout pour retirer lesdépendances, la plupart des analyses statistiques s'effectuent avec des variablesaléatoires "Indépendantes et Identiquement Distribuées"

m Des méthodes différentes :F Les méthodes statiques fréquentielles en analyses statiques (ex: Maximum de

Vraisemblance), Études statiques portant sur un grand nombre de données …Les probabilités objectives existent, …

F vs les méthodes Bayesiennes en dynamique:

Ä Posterior = Prior * VraisemblanceÄ Ne soufre pas du pb d'échantillon de faible tailleÄ Mise à jour en fonction de nouvelles donnéesÄ plus adaptées dans le cas d'estimation on-line et trading temps réel.

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Utilisation d'indicateurs

m Indicateurs, mis à jour au fur et à mesure de l'arrivée des données, sensésdonner des indications sur l'état du marché:F Moyennes mobiles, momentumF RSI(Relative Strength Index)F Bandes de Bollinger

F CCI (Commoditiy Channel Breakout)F etc, ….

m En réalité la plupart des indicateurs sont redondants, privilégier lesindicateurs simples, et significatifs, si possible robustes,F du type range, valeur absolueF discrétisation (du type p(+|+-+)=0.68),

Ä simplifie, les procédures de tests tout en enrichissant les modèlesÄ simplifie les analyses numériques, permet un traitement sous la forme de Chaîne de

Markov,Ä réduit les degrés de liberté.


Backtests et Data Snooping

Risque de Data Snooping: Trouver des stratégies qui ne sont que des artefacts dans les données.

Essayer de très nombreux systèmes avec de très nombreux paramètres, éventuellement optimiser ces paramètresne sélectionner que les meilleurs, sans savoir pourquoi ils fonctionnent=> forte probabilité pour ne sélectionner que des Snoopy: c'est à dire des systèmes qui fonctionnent à merveille sur le passé et vont se révéler catastrophiques en réel.

DATA SNOOPING dans une marche aléatoire:Prenons le cas d'une marche aléatoire, avec un certain nombre de data générée, représentant un historique de marchédans ce cas E[gain de tout système] est <0 = coût de transactionon réalise des backtests de 900 trades de quoi donner confiance au trader, confiance illusoire …Essayons plusieurs milliers de systèmes …disons 10 000 (il suffit de tester un système avec 4 paramètres pouvant prendre 10 valeurs différentes)avec des performances additives: perf globale =∑ perf tradesla performance globale est une v.a. (gaussienne, le théorème de la limite centrale)de moyenne nulle et variance(perf globale)=n variance(trade) (1+2ρ)supposons σ(trade)=1500, et autocorrélation ρ=0.3> 0, car on utilise des stop loss.variance(900 trades) = 56921 au lieu de 45000 si pas d'AC (l'AC > 0 des trades entraîne un risque plus élevé)les 10 meilleurs systèmes sur 10 000 essayés correspondent au quantile 10/10000 de la gaussienne N(0, 45000)soit une espérance de gain de 195 par trade pour le plus mauvais des 10 meilleurs !!! Avec une bonne t-stat=3.9Si on a affaire à des queues plus épaisses, l'illusion sera encore plus aveuglante ….

Comment éviter le data snooping ?- modélisation + explication des anomalies

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Trading et modélisation

Modélisation = simplification du réel

Exemple de modèles:mean reversion (series AR(1), ARIMA, avec coefficient de rappel)Pairs trading, co intégration,Chaînes de Markov,

recherche de solutions analytiques ou par simulation de Monte Carlo

Fit: Data réelle = Modèle + ε0

Simulations: Data Synthétiques = Modèle + ε1, avec ε1 ≡ ε0A la différence essentielle que l'on peut générer autant de données que nécessaire pour"résoudre" le système, trouver les paramètres optimaux, le maximum de la fonctionobjectif (exemple utilité horaire), sans soupçon de data snooping ou suroptimisation.

On reporte le risque de data snooping sur le risque de modèle: Inadéquation du modèle,Mauvais usage du modèle, Approximations grossières, Bugs dans le développement,Données instables, …


backtesting

m Définir le système de trading: traduire l'idée en modèle, puis en règlesF claires et non ambiguës, pouvant donner lieu a programmationF cohérentesF complètes: prévoir tous les cas

m Définir sa fonction d'utilitém Se placer dans des conditions les plus fidèles (cas du simulateur

YATS/RAPT)F Prise en compte des coûts de transactionF de la fourchette bid/ask, ou sinon du slippage (ersatz de spread lorsqu'on ne

dispose pas de tous les ticks)F délais de transmission des ordres et des priorités à l'exécution, …

m Tester et backtester sur les données du marché ou par simulation de montecarlo.

m Optimisations, avec prudence sur les données réelles, sans modération surles modèles.

m études de sensibilitéF aux valeurs des paramètresF à des étalons : au système de trading idéal et parfait, au système aléatoire

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Critères de performance et contraintes

On doit choisir une fonction d'utilité à optimiser parmi:

- la fonction d'utilité classique : isoélactique (logarithme, puissance), …

- une utilité terminale ou utilité par unité de tempsexemple: on pourra chercher à optimiser l'utilité/jouren principe, l'utilité/jour devrait donner une idée du revenu certain équivalent (à comparer à un salaire, par exemple)

- le ratio de Sharpe : rendement/volatilité

- le ratio de Sterling : rendement/maxDrawDown

- une pénalisation des performances (pessimistic ratio de Pardo)

- minimiser la VaR

Ajouter à cela des contraintes Sur la fonction objectif: exemple: rejet de toute solution dont - le maxDrawDown serait > 10%- le nombre de trades serait jugé insuffisant (pour des raisons de signification statistiques, …)- etc … Sur les paramètres du système:marge ? la somme des pondérations libre ou contraintes = 1 ou =X avec X = levier uatorisévente à découvert ? (pondération<0?)maximum/minimum sur certaine actifs, classes d'actifs, contraintes sur les paramètres des indicateurs techniques, …


Exemple

Exemple: système de retour à la moyenne le plus simple possible:

On a déjà défini 4 paramètres : longueur moyenne mobile, seuil de volatilité, valeur du stopLoss et exitTime, on peut y ajouter : la tranche horaire, etc …

chacun pouvant prendre 10 valeurs au moins, le nombre de cas à tester croit de manière exponentielle avec le nombre deparamètres ….

Donc de fortes chances pour trouver un système de mean reversion qui va fonctionner sur les données disponibles

EXIT RULE // retour à la moyenne SI position=achat et last < µ ou position=achat et prix > µ ou profitAndLoss > stopLoss ou dureePosition > stopTime

µ= moyenneMobile (1h)σ =volatilité(1h)

ENTRY RULE

ACHAT si last - µ > 2σ

VENTE si last - µ < 2σ

Nota: on peut faire exactement l'inverse pour un système de breakout

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Optimisations

YATS inclut des méthodes d'optimisation globales permettant de trouver des optimumsde fonctions objectifs à plusieurs variables (paramètres) et sous contraintes arbitrairesMéthodes utilisées =

recuit simulé combiné avec des optimisations locales (BFGS, Hooke, … )

(ces mêmes méthodes sont utilisés dans les estimateurs de maximum de vraisemblance)

Maximum global

Optimum locaux

- directement sur les prix du marché pour tester et optimiser des stratégies avec un risque important de sur-optimisation- sur des données synthétiques issus d'un modèle pour trouver la stratégie optimale du modèle.

Les fonctions (avec contraintes) à optimiser n'ont pas souvent les belles propriétésque l'on trouve dans le livres: ne sont pas toujours continues (a fortiori ni différentiables), les solutions peuvent être entières (quantités)


Stop Loss

Le Stop Loss est une pratique courante pour limiter les pertes

Exemple: position sur CAC40 Future, stop loss à -10pts deperte=> permet de s'assurer que la perte ne dépassera jamais 10pts….

Oui mais … si on continue et sans traitement complémentaire,le résultat sera le même

Si une stratégie est mauvaise, elle restera mauvaise, mêmeavec stop loss.

En général, le stop loss fait apparaître des autocorrélationspositives.

Stop loss

Stop loss

Stop loss

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Auto corrélation des trades

perte constatéearrêt trading réel, passage en mode virtuelgain virtuel:reprise du trading réel

Après traitement, il n'y a plus d'autocorrélation évidente

En général la série des trades d'un système de trading présente de fortes auto corrélations positives (mauvaisemodélisation, …). Tout n'est pas perdu: on peut appliquer un système "anti autocorrélation"

exemple: Win=20, Loss=-20 Cost=4 probabilité(win)=0.5Système brut : perte -1080 : Avec traitement Anti AC: gain de 544 !!!

Système ultra simpliste: si AC >0, alors les proba(perte|perte)>0.5,il suffit alors d'arrêter après une perte, et reprendre après le premier gain ...

Utilisation possible d'algorithmes plus sophistiqués de prédiction on line …


Exemples de patterns prédictibles

Après le pattern "caacaac", on peut vendre le SMI, en plaçant un profitExit et stop loss +/- 4 pts, la probabilité du modèle étant (0.72) > à la probabilité critique (0.68) avec une espérance de gain de 3.48 € par contrat et par trade (aller retour)

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Pairs Trading

Stratégies Long/Short pour réduire les risques, rechercher la performance absolue:

Soient wi = pondérations dans l'actif iw0= ponderation actif sans risque

long/short dollar neutre : montant investi en long = montant en short Σ wi = 0, i≥1long/short marché neutre:

exemple: r1=α + βr2 + εle portefeuille vérifiant w2 = -β w1 sera ~ neutre aux variations de si β ≈ 0, à la fois dollar et beta neutre

co intégration / pairs tradingrecherche de retour à la moyenne dans les ratios des prix x1/x2y=ln(x1)-ln(x2)régression: y(t)=µ+ρ y(t-1)+ερ = 1 marche aléatoireρ < 1 y(t) est stationnaire et y(t) prévisible mais σ2 (y) = σε

2/(1-ρ2) peut être très grand si ρ proche de 1test statistique de racine unitaire (Dickey Fuller): H0: ρ = 1co integration != corrélation :

penser à un homme ivre qui se promène avec son chien en laisseils vont nulle part … mais ils y vont ensemble …


Trading de spread sur futures indices en intraday

?Sn= 43,801 - 0,055 Sn-1 + eavec Si =spread = CAC40(i*10seconds) -ESTX50(i*10seconds) et ? Si=Si-Si-1Augmented Dickey Fuller Test t-stat : -10,532 =>LE SPREAD EST STATIONAIRE (Dickey Fuller pvalue: 0,01)

Le spread est stationnaireon peut donc mettre en œuvreune stratégie de retour à la moyenne du spread: exemple achat si spread < µ +2σvente si spread > µ +2σµ=moyenne mobile

vente

achat

vente

Exemple de pairs trading sur future:

Dans tous les cas une position long/shortsemble préférable sur futures ne serait ce que pour rendre ces instruments moins risquéslimiter les risques opérationnels (pannes, krach, …)

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Trading de spread sur futures indices en intraday (suite)

Mais pas si évident, en raison du véritable couts : la fourchette

Prix vente du spread

Prix achat du spread

Le spread peut aussi être unindicateur pour négocier un seulinstrument en utilisant desrelations d'équilibrese placer en cas de ruptured'équilibreexemple achat du CAC40

Les instruments le plus liquidessont en avance sur les moinsliquides … (causalité Granger)

exemple:?CAC40t= 0,007+ 0,487 ?ESTX50t+ 0,195 ?ESTX50t-10s+ e

en clair: les variations duCAC40 à t dépendent aussi desvariations du E50 à t-10s


Programmation dynamique et apprentissage

Les systèmes de simulation/backtests sont myopes …une opération (achat/vente) commence par une pertenette: coûts de transaction, spread, …la récompense éventuelle n'intervient que plus tard …pb classiques des jeux (échecs, backgammon, …)

A quel moment est il intéressant de prendre une positionpuis sortir pour en prendre une autre, en fonction desétats, gains espérés et incertitudes (risques)

Systèmede trading

Marché+

Portefeuille

Reward- coûts de transaction immédiats± P&L trades avec retard

Actions: Vente, Achat

États: rendements des actifs, indicateurs, position courante du ptf

Modèle Continu de Mertonavec consommation/épargneoptimisation conjointedu flux des revenus Cet du capital W qui procure ces revenus …

U (C) = salaire équivalent du traderρ = taux d'actualisation des revenus futurspas nécessairement le taux sans risque,permet de définir une fen être mobile ≈ moyenne mobile pondérée

Modèle discret et mis sous la forme d'un processus dedécision de Markovπ = politique = fonction Etats → ActionsSolution : programmation dynamique ou apprentissagetrouver les actions optimales en fonction de l'étatIl existe des algorithmes qui garantissent uneconvergence vers la solution unique (Q-learning,SARSA, TD-learning,...)

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Programmation dynamique et apprentissage (suite)

Parmi les problèmes les plus complexes:

- explosion combinatoire,- risque d'overfitting (si appliqué directement aux data)

- solution analytique, si modèles analytiques simples ou le plus souvent par simulationexemple solution analytique dans le cas de process lognormaux (Merton), avec mean reversion (Ornstein-Uhlenbeck, AR), avec coût de transaction(le modèles les plus simples se traduisent par des équations puissante mais horriblement complexes)

- extractions de modèles non paramétriques (exemple chaîne de Markov) et solution par des techniquesd'apprentissage

- devient rapidement inextricable …

=> application réaliste dans des cas relativement simples:trading sur un seul instrument (1 devise, 1 future, …),

Sujets d'etude /stage: trading sur futures indices par apprentissage automatique


Architecture

IB Trader Work StationStandalone configuration

Excel

DDE link

Socket port 7496

Internet

IB FIX/XML server

other quotes, news feed serverFIXML engine server

Slect socket Port = default is 7496

Enable socket clients checkbox

Plateforme de trading

DCOM bridge

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Gestion des données haute fréquence

La plupart des outils statistiques ne sont adaptésqu'aux données régulièrement espacées dans letemps=> régularisation des données haute fréquence:méthodes:

précédent,interpolation linéaire,spline cubique …

en temps réel … => performance et stockage(surtout en mode simulation et backtests)

T0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

Le temps d'accès disque demeure le principal goulet d'étranglement (assez peu de progrès vs CPU)

Les bases de données SQL sont mal adaptées à la gestion des données haute fréquencepb de performance et encombrement (produits intéressant : KDB)

Utiliser plutôt des structures de fichiers « plats » optimisées pour des accès rapides par instrumentet en cross section (à une date donnée)

autres problèmes: gestion des mauvais ticks, gestion des interruptions, duplications, suspensions, …

La gestion des données est très lourde … représente plus de 50% du temps consacré à l'élaboration et opération d'un système


FIX / XML et ISO15022

http://www.fixprotocol.org

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MVC architecture

Data Model instrumentsquoteson going ordersaccount information

Data Model instrumentsquoteson going ordersaccount information

View = Trading Algorithms+ (User interface)

quotes, buy/sell buttonscharts, etc …

View = Trading Algorithms+ (User interface)

quotes, buy/sell buttonscharts, etc …

Controller- maps user actions to model updates- monitor external events(price, orders, etc …)

Controller- maps user actions to model updates- monitor external events(price, orders, etc …)

Query state

Notify change

Trading (& user) actions

State change

External eventsticks, order status

View selection

user orders, request market data account information,etc ...IB TWS API


Trading manager

Broker managerQuotes manager

Event queue

Posting events

Read /scheduleand timely dispatch events

USER INETRFACE

tables

charts

Manual orAutomated trading

Buy/sell/cancel requests

Actual or simulated

Historicalquotes

Live quotes feed

Simulatedquotes

Order status

Plateform Scheduler

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Order State Diagram

Placed

onStatus = filled

Filled

Cancel Placed

Cancelled

On decision:timeout, etc...

onStatus = cancelled

Notes:Transitions from “Placed” to “Cancelled” may be due to the market, orportfolio constraints (margin, etc …)Transition from Placed to cancel placed may be due to decisions to cancelthe order, but a filled status may arrive while cancel is sentIn conclusion: states should be based on recieved order status.


Exemple de Diagramme d'état d'un automate de trading

stopped

readyEntry placed

evalEntry

Entry filled

Entry cancel placedtimeout

Status=filled

Exit placed

Stop lossinit

Stop loss

Exit cancel placed

Exit filled

Stop lossplaced

Some principles:- wait for cancel confirmation before entering a new order- set to stopped on any error or unexpected state / event

Stop loss cancel placed

Entry cancelled

Exit cancelled

Stop lossfilled

Stop loss cancelled

Status=filled

Status=filled

Redo cancel

timeout

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Évènements

package com.yats.trading.event;import java.util.*;/** * Trading listener. * can be registered within the Manager, via standard java method * manager.addListener . * <p>all "callbacks" method names start with "on" : onTick, onOrderStatus, * .... * @author <a href=mailto:[email protected]>Daniel Herlemont</a> */public interface TradingListener extends EventListener, TickListener, com.yats.trading.TradingConstants {

public void onMarketDepth(MarketDepthEvent te); public void onOrderStatus(OrderStatusEvent te); public void onConnectionClosed(TradingEvent te); public void onConnectionOpened(TradingEvent te); public void onError(ErrorEvent te); public void onOpenOrder(OpenOrderEvent te); public void onUpdateAccountTime(UpdateAccountTimeEvent te); public void onUpdateAccountValue(UpdateAccountValueEvent te); public void onUpdatePortfolio(UpdatePortfolioEvent te); public void onTradingAction(TradingActionEvent te);

}

il faut réagirà différents évènementséventuellement asynchrones:tick data status des ordresinformations (compte, positions, ..)connections….

Architecture push: on ne maîtrise pas l'arrivée des évènements

S'oppose à la programmation procédurale: on ne peut pas écrire un seul programme linéaireil faut écire es bouts de procédures qui vont partager des mêmes données, avec tous les pbsde synchronisation afférents l'environnement est thread safe (cad que l'on peut programmercomme si il n'y avait qu'un seul processus (thread) actif


Programmation

/** Copyright 2001 YATS, All rights reserved.* Use is subject to license terms.*/

package com.yats.trading.studio.daniel;

import java.util.logging.*;import java.beans.*;

import com.yats.trading.*;import com.yats.math.*;import com.yats.trading.event.*;import com.yats.trading.studio.*;import com.yats.trading.indicator.*;import com.yats.commons.util.*;

/** * A simple mean reversion system. * <p>settings: * <li>Max = maximum on b bars. * <li>Min = minimum on b bars. * <p>entries: * <li>Sell if price hits the Max * <li>Buy if price hits the Min * <p>exits: * trailing stop at Max-Min * @author <a href=mailto:[email protected]>Daniel Herlemont</a> */

public class MeanReversionTS extends InstrumentEESTS {

static Logger logger=Logger.getLogger(MeanReversionTS.class.getName());

TimeSeries maximum; TimeSeries minimum; TrailingStopOrderExecutor trailingStop;

int bars=15; double profitExitPts=4; double stopLossPts=4;

public void init() { super.init(); bars=getProperties().getInteger("bars",bars); profitExitPts=getProperties().getDouble("profitExitPts",profitExitPts); stopLossPts=getProperties().getDouble("stopLossPts",stopLossPts);

maximum=TickIndicators.chainByListener(Functions.maximum(bars), getLastsLiveTimeSeries());

minimum=TickIndicators.chainByListener(Functions.minimum(bars), getLastsLiveTimeSeries());

}

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Programmation (suite)

protected void evalEntry(TradingEvent event) {

double max=maximum.getLastValue(); double min=minimum.getLastValue(); if (getLast()>=max) { entryOrderExecutor.sellAtLimit(getAsk());// entryOrderExecutor.sellAtBid(); } if (getLast()<=min) { entryOrderExecutor.buyAtLimit(getBid());// entryOrderExecutor.buyAtAsk(); }

}

protected void evalExit(TradingEvent event) { double plPts=getProfitAndLossPoints(); if (plPts>=profitExitPts || plPts<-stopLossPts) { placeExit(); } }

void placeExit() { boolean isBuy=entryOrderExecutor.isBuy(); if (isBuy)// exitOrderExecutor.sellAtBid(); exitOrderExecutor .sellAtLimit(getAsk()); else// exitOrderExecutor.buyAtAsk(); exitOrderExecutor.buyAtLimit(getBid()); }


Librairies YATS

- Time séries (estimation ARMA, générateur, …)- Calcul stochastique- Options classiques et exotiques (barriere, lookback)- Gestion de risque, estimation des queues de distribution (Pareto Generalisé,valeurs extrêmes, …)VaRfonctions d'utilité- gestion de portefeuille CRP, critères de Kelly, - portefeuilles universels- estimation de la volatilité et co dépendance en utilisant les plus haut plus bas, par maximum devraisemblance - ondelettes- estimation Hurst (R/S, Variance ratio, …)- filtre de Kalman - chaine de markov à longueur variable- interfaces avec logiciel d'apprentissage automatique (Weka)et non linéaires (KNN, densité non paramétrique à noyau)- algorithmes de prédictions universelles- régressions linéaire, ANOVA, - co intégration : test Dickey Fuller, régression VAR/VECM- tests statistiques (normalité, BDS, …)- optimisations locales: BFGS, Hooke et globales: recuit simulé, - calcul matriciel- programmation fonctionnelle

Analyse technique/statistiques de systèmes de trading: moyenne mobiles, RSI, MACD, volatilité, range, …et moins classiquesenvironnement de backtestingoptimisations de stratégies….- Réutilisations de stratégies, avec paramètres- programmation en javascript,

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Quelques Références

index.htmlSource commenté Application WEB http://localhost/trading/rapt/study/

Documents

Marchés à Terme d’Indices et plateforme de trading ...yats.free.fr/doc/automated-trading-2-fr-ppt.pdf · FExposition au risque qu’une contrepartie fasse défaut à ses engagements