MAT 2300 : devoir 4Géodésique et le théorème de Gauss-BonnetDate de remise : le 8 décembre au cours. (Le devoir peut se mériter 115%).

1. Soit la paramétrisation x(u, v) = (coshu cos v, coshu sin v, u) de la caténoïde. Noter quecette paramétrisation d’une surface de révolution ne respecte pas l’hypothèse simplifica-trice que la courbe génératrice (coshu, u) soit paramétrée par sa longueur d’arc.

(10) (a) Montrer que la relation de Clairaut et le fait qu’une géodésique est toujours paramé-trée par (un multiple de) sa longueur d’arc réduisent les équations géodésiques aux deuxéquations

v ′ cosh2 u = c et (u ′2 + v ′2) cosh2 u = 1

où c est une constante.(10) (b) Le reste de l’exercice étudie le comportement des géodésiques en fonction de la constante

c. Donner la solution explicite des géodésiques dans le cas c = 0.(10) (c) Monter que, pour c = 1, la fonction u = u(s) satisfait u ′ = ± tanhu/ coshu qui a,

comme une de ses solutions, u(s) = f−1(s) où f−1 est la fonction inverse de

f(u) = s0 + coshu+ log tanh u2

où s0 est une constante.(10) (d) Toujours pour c = 1, montrer que la fonction v = v(s) a les comportements asympto-

tiquesv ′ −→

s→−∞ 1 et v −→s→∞ v0

où v0 est une constante. Justifier la conclusion suivante : les géodésiques avec c = 1 s’en-roulent autour du cercle u = 0 pour les valeurs de s → −∞ et convergent asymptotique-ment vers un méridien pour s→ +∞.

(15) (e) La figure ci-contre représente deux géodé-siques sur la caténoïde, l’une avec c > 1 etl’autre avec c < 1. (En fait, les deux valeurs dec sont très voisines de 1.) Répondre aux troissous-questions en justifiant vos réponses.(i) La géodésique rouge correspond à c < 1

ou c > 1 ?(ii) Quelle est le minimum umin =

mins∈R |u(s)| le long de la géodésiquerouge ? (La réponse devrait être en fonctionde c.)

(iii) L’exercice # 18 (c), p. 66 (voir tp du 8 no-vembre) a montré que l’hélicoïde et la caté-noïde sont localement isométriques. Décri-vez qualitativement la géodésique sur l’hé-licoïde qui peut être construite à partir dela géodésique bleu sur la caténoïde.

Out[834]=

1

2. (Variante de l’exercice # 8, p. 90 du manuel) Soit le paraboloïde M paramétrisé par~x(u, v) = (u cos v, u sin v, u2), 0 < u <∞ et v ∈ (0, 2π). SoitMr le sous-ensemble obtenu enrestreignant le paramètre u à 0 < u < r <∞.

(10) (a) Calculer la courbure géodésique ainsi que∫κg ds pour le cercle frontière ∂Mr deMr.

(10) (b) Calculer χ(Mr).

(10) (c) Calculer la courbure gaussienne K ainsique la courbure totale

∫ ∫MrKdA pour le

sous-ensemble Mr. Vérifier le théorème deGauss-Bonnet pour cette (sous-)surface.

(10) (d) Calculer les limites limr→∞ ∫κg ds et

limr→∞ ∫ ∫KdA. Expliquer la relation entre

la courbure totale de M et l’image de M parl’application de Gauss.

Out[28]=

(20) 3. Les solides platoniciens — Un solide de Platon est un polyèdre convexe régulier, c’est-à-dire dont toutes les faces sont des polygones réguliers identiques. On tiendra pour acquisque le centre de masse d’un solide de Platon est à égale distance de tous ses sommets et qu’ilest donc possible de « gonfler » un polyèdre platonicien pour qu’il repose sur une sphère :il suffit d’envoyer chaque point x des arêtes vers x/||x||. L’image d’une arête est alors un arcde grand cercle. Voici par exemple le « gonflement » du cube :

Out[434]=

Démontrer :Théorème : Il existe au plus cinq solides platoniciens.Suggestion : soit A le nombre d’arêtes, n le nombre de côtés des faces et m le nombre defaces se rencontrant à chaque sommet. Montrer d’abord que

1

n+1

m=1

A+1

2.

Out[438]=

2