Mat-5110 : Introduction aux vecteurs

Document original réalisé par Claude Boucher

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Mat-5110 : Introduction aux vecteurs

Martin FrancoeurConseiller en é[email protected]


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Présentation du programme

Mat 5101 : Optimisation IMat 5102 : Statistique III (corrélation)Mat 5105 : ConiquesMat 5106 : Fonctions réelles et équat.Mat 5107 : Fonctions exp et logMat 5108 : Fonctions trigoMat 5109 : Géométrie IVMat 5110 : Introduction aux vecteursMat 5111 : Complément et synthèse II


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Pourquoi les vecteurs en mathématique au secondaire?

Notion mathématique utilisée en physique

Façon de réinvestir les démonstrations


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Définitions

Scalaire: quantité définie par un nombre réel.

Vecteur: quantité ayant une grandeur, une direction et un sens.


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Comment nomme-t-on les vecteurs?

Lettre minuscule surmontée d’une flèche

aPoint de départ (origine) de la flèche et point de départ (extrémité) de la flèche

AB


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Comment nomme-t-on les vecteurs?

Vecteur algébrique: par ses composantesComposantes horizontale et verticale

v=(3,4)Les composantes correspondent aux coordonnées de l’extrémité du vecteur lorsque l’origine du vecteur coïncide avec l’origine du plan cartésien.


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Direction et sens

Toutes les flèches parallèles ont la même direction. Une même direction peut se prendre dans les deux sens.


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Vecteurs colinéaires

Vecteurs colinéaires : vecteurs qui ont la même direction.

Deux vecteurs qui n’ont pas la même direction sont dits : non-colinéaires ou linéairement indépendants.


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Orientation d’un vecteur géométrique

Avec la rose des vents…


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Orientation d’un vecteur géométrique

Angle d’orientation : angle que la flèche forme avec l’horizontal dans le sens anti-horaire.

Détermine à la fois la direction et le sens.


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Orientation d’une vecteur algébrique

Vecteur algébrique: les composantes donne l’orientation du vecteur.

Pour connaître l’angle d’orientation d’un vecteur algébrique, on utilise la trigonométrie.


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Norme d’un vecteur

Longueur du vecteurNotation : ||v||Vecteur géométrique On mesure avec une règle

Vecteur algébrique Distance entre l’origine et l’extrémité du

vecteur


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Vecteurs opposés

Deux vecteurs de même norme, de même direction et de sens contraire

v est toujours opposé à –v.AB est opposé à BA.m=(2,4) est opposé à n=(-2,-4).


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Vecteur nul et vecteur unitaire

Vecteur dont la longueur est 0. On le note 0.Le vecteur nul a toutes les orientations.Vecteur dont la longueur est 1 dans une orientation donnée.Vecteurs orthogonauxVecteurs dont les directions sont perpendiculaires.


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Angle entre deux vecteurs

Lorsque les origines de deux vecteurs coïncident.La plupart du temps noté Utilisation de la loi des sinus et des cosinus


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Addition de vecteurs

Méthode du parallélogrammeMéthode du triangleAddition des composantesLe vecteur somme s’appelle la résultantePour la soustraction de vecteurs, on additionne le vecteur opposé


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Résultante

Norme de la résultante Loi des cosinus

Orientation de la résultanteMesure de l’angle formé par la résultante et un des deux vecteurs


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Exercices 1 et 2 :

Document exercices complémentaires.


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Relation de Chasles

AB + BC + CD = ADAB + BC + CA = AA = 0AB – CB = AB + BC = AC


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Exercice 3 :



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Multiplication d’un vecteur par un scalaire

Le produit d’un vecteur par un scalaire est un vecteur.Le vecteur final a la même direction que le vecteur initial. Même sens si le scalaire est positif.Sens contraire si le scalaire est négatif.


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Combinaison linéaire

w = 3u + 4v

Si u et v sont colinéaires, w aura aussi la même direction.

Si u et v sont non-colinéaires, w aura une direction différente.


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Base vectorielle

Deux vecteurs non-nuls linéairement indépendants forment une base vectorielle.À partir de ces deux vecteurs, on peut les combiner et obtenir tout autre vecteur du plan.La recherche des coefficients d’une combinaison linéaire ne portera que sur les vecteurs décrits par leurs composantes.


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Exercice 5



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Base vectorielle orthonormée

Vecteurs orthogonaux et de norme 1.

i = (1,0) et j = (0,1)


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Base vectorielle et combinaison linéaire

Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs qui, eux-mêmes, peuvent être décomposés en un produit d’un vecteur par un scalaire.


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Multiplication scalaire de 2 vecteurs

Produit de la longueur orientée de la projection orthogonale du premier vecteur sur le deuxième par la norme du deuxième vecteur. Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire.Notation : u v


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Multiplication scalaire

Produit scalaire de vecteurs orthogonaux : 0Produit scalaire de vecteurs géométriques

u v = ||u|| ||v|| cos

Produit scalaire de vecteurs algébriquesu=(a,b) et v=(c,d) u v = ac+bd


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Propriétés de l’addition de vecteurs

La somme de deux vecteurs est un vecteur.Commutativité : u + v = v + uAssociativité : (u + v) + w = u + (v + w)Existence de l’élément neutre : u + 0 = uExistence de l’opposé : u + -u = 0


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Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire

Le produit d’un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur.Associativité : k1(k2u) = (k1k2)u

Existence d’un scalaire neutre : 1u = uDistributivité sur l’addition de vecteurs

k(u + v) = ku + kvDistributivité sur l’addition de scalaires

k1u + k2u = (k1 + k2)u


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Propriétés de la multiplication scalaire de deux vecteurs

La produit scalaire de 2 vecteurs est un scalaireCommutativité : u v = v uAssociativité des scalaires :

k1u k2v = (k1k2)(u v)Distributivité sur une somme vectorielle :

u (v + w) = (u v ) + (u w)


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Un peu de pratique maintenant!


Vous pouvez faire les exercices 6, 8, 9, 11.


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Démonstrations à l’aide des vecteurs

Énoncer la loi de Chasles et l’appliquer à la vérification d’énoncés à l’aide des vecteurs.Construire ou compléter une démonstration.Déterminer si un énoncé, formulé à l’aide des vecteurs, est vrai ou faux. La réponse doit être justifiée …


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Exercices 14 et 15



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Résoudre des problèmes

Utiliser les vecteurs pour résoudre des problèmes.Justifier les étapes de sa démarche.


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Exercices 18 et 22


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