Mathématiques - Créer un blog gratuitement sur Unblog.frslivin.l.s.f.unblog.fr/files/2009/06/terminalesccomplement.pdf · Terminale S3— 2008/2009 Mathématiques 3 la géométrie

— Lycee L.-G. Damas, Cayenne —

Mathematiques

Partie C: Complements

— Leibniz, l’un des fondateur du calcul infinitesimal. —

. Table des matieres? Partie A : Obligatoire? Partie B : Specialite

— Terminale S3— 2008/2009 —

Version du : 1er juin 2009

Table des matieres

I GEOMETRIE 6

1 Trigonometrie 7[Theme) Le cercle trigonometrique] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Abscisses curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Rapports trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2. Les fonctions trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

[Exercices) Le cercle trigonometrique comme rapporteur] . . . . . . . . . . . . . . . 12[Dm no 10) Derivees des fonctions trigonometriques] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20[TD) Equations trigonometriques] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221. Resolutions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1. Avec le sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2. Avec le cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Synthese : Propriete fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233. Resolutions par le calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1. Equations simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Equations plus completes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

[Theme) Angles orientes] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251. Mesures en radians d’un angle oriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Proprietes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263. Configurations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274. Applications aux triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1. Sinus et cosinus d’un angle oriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29[Formulaire) Formules de trigonometrie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30[Complement) Le degre] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321. Unite historique : le degre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322. Le radian : une unite plus naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. Conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364. Angles remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365. Longueurs d’arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376. Conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Transformations du plan 401. Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402. Exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413. Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2

Terminale S3— 2008/2009 Mathematiques

3 la geometrie d’Euclide 45[Theme) Droites et plans] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461. Perspective cavaliere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462. Varietes geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1. Du plan a l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Points, droites et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

[Theme) Insidence] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491. Differents cas d’incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.1. Deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.2. Deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.3. Droite et plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

[TD) Sections d’un tetraedre] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54[Theme) Orthogonalite] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571. Droites orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572. Orthogonalite d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573. Theoremes relatifs a l’orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

II COMPLEMENTS 59

4 Activites TICE 60[Theme) Exemples de TP (2008)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611. Deux courbes qui se frolent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612. Investigations autour d’une equation differentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623. Jouons avec le dessous-de-plat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634. Les nombres repus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645. Le paravent chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656. La recette du kaprekar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667. Approche probabiliste d’une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Fragments du Bac : Exercices et problemes 68[Theme) Geometrie] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.1. Configurations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.2. Ensembles de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.3. Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.4. Exercices du Bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2. Incidence et orthogonalite dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823. Barycentres dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834. Similitudes du plan (specialite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86[Theme) Suites numeriques] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881. Suites numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882. Demonstrations par recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90[Theme) Fonctions numeriques] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931. Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932. Regularite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983. Symetries et invariances de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Table des matieres3



4. Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015. Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026. Logarithme neperien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067. Calcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114[Theme) Probabilites] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181. Applications directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182. Approfondissement (sujets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121[Theme) Arithmetique (specialite)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127[Theme) Bacs blancs et devoirs communs] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Lycee J. Jaures 2005, premier bac blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Lycee J. Jaures 2005, second bac blanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Lycee L.-G. Damas 2009, premier devoir commun . . . . . . . . . . . . . . . . 144Un corrige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Lycee L.-G. Damas 2009, bac blanc (un corrige) . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Lycee L.-G. Damas 2009, second devoir commun . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

[Theme) Revisions de juin] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611. Geometrie dans l’Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612. Probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663. Equations differentelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714. Calcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6 Un peu de physique 177[Theme) Autour du principe de moindre action] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781. Distance d’un point aux points d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1782. Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783. Refraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794. Indice variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.1. Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.2. Profil d’une jetee, ou le probleme de la dalle en pente . . . . . . . . . . . . 180

5. Des corriges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182[Theme) Facteur d’obscurite] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951. Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952. Grandeurs effectivement mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2.1. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1962.2. Protocole de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

3. Expressions du facteur d’obscurite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973.1. Un premier cas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1973.2. Deuxieme cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983.3. Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4. Demonstration de la formule principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.1. Calcul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.2. Application au calcul d’une aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994.3. Calculs des integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2004.4. Rapport d’occultation et facteur d’obscurite . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5. Les lunules d’Hippocrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.1. Biographie : Hippocrate de Chios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Table des matieres4



5.2. Le premier carrage d’une figure non rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.3. Exercice : une deuxieme lunule carrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6. Lunules et theoreme de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.1. Le resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2056.2. La demonstration d’Hippocrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.3. Une generalisation du theoreme de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.4. Utilisation de la formule (6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7 Fiches de synthese 210La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111. Proprietes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112. Proprietes algebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123. Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Fonction Logarithme (par Exponentielle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Fonction Logarithme (par fonction inverse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2151. Introduction comme primitive de la fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . 2152. Proprietes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2153. Proprietes algebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Probabilites discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2181. Cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2182. Evenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183. Variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Arithmetique (specialite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2211. Divisibilite dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212. Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213. Le theoreme de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224. PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2225. Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226. Congruences dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Table des matieres5


Premiere partie

GEOMETRIE

6

Chapitre 1

Trigonometrie

7

Trigonometrie Theme: Le cercle trigonometrique

[Theme) Le cercle trigonometrique

1. Abscisses curvilignes

? Le cercle trigonometriqueOn se donne un cercle Γ de centre Ω et de rayon 1.On choisit un des deux sens de parcours possibles :C’est le sens trigonometrique(en general le sens inverse des aiguilles d’unemontre).Le sens oppose est dit retrograde.

On choisit d’autre part un repere orthonomal direct(Ω; ~u;~v) et on note, comme habituellement,

I(1; 0) , J(0; 1) , I ′(−1; 0) et J ′(0;−1).

Le point I qui va servir d’origine pour mesurerdes longueurs d’arcs orientes sur Γ.

? Abscisses curvilignes d’un point M ∈ ΓUne abscisse curviligne de M est une longueur de chemin possible pour aller de I en M lelong de Γ.

Exemple. Le point J admet pour abscisse curviligne π2

puisque pour aller de I en J onpeut se contenter de parcourir un quart de cercle de Γ dans le sens direct. On peut aussiparcourir trois quarts de cercle dans le sens retrograde ; donc − 3 π

2= π

2− 2 π est une autre

abscisse curviligne de J .Plus generalement, tous les nombres de la forme π

2+2 k π, k ∈ Z, sont des abscisses curvilignes

de J .

? Propriete reciproqueA tout nombre reel x, on peut associer un unique point M de Γ : Ce point M est place commesuit : on parcourt la distance |x| sur cercle C , en partant de I et• dans le sens trigonometrique si x ≥ 0

• dans le sens retrograde lorsque x ≤ 0.

Exercice no 1 [Application directe]

1) Repondre aux questions pour chacun des reels donnes ci-dessous :

π

3; − 2π

3;

5π

6; − π

4;

4π

3;

41π

3; − 21π

4;

51π

4; − 67π

6;

47π

3.

2. Rapports trigonometriques8

Complement


∗ Questions :

• Determiner la mesure principale(appartenant a ]− π; π]).

• Placer le point image sur le cercletrigonometrique ci-contre.

2) Donner la mesure principalede chacun des 16 points places sur lecercle trigonometrique ci-contre.

2. Rapports trigonometriques

2.1. DefinitionsOn considere :

• un nombre reel x

• le point M de Γ d’abscisse curviligne x

B Definition 1: Rapports trigonometriques

? Le cosinus du reel x est l’abscisse de M .Le sinus du reel x est l’ordonnee de M .

∗ Sur la figure :

cos(x) = XM

sin(x) = YM .

∗ Tangente du reel x. On pose tan(x) = IT . Montrer que tan(x) =sin(x)

cos(x).

Pour quelles valeurs de x le reel tan(x) n’est-il pas defini ?

? Angles associesSur le cercle trigonometrique ci-contre, donner les abscisses curvi-lignes des 5 points reperes, en fonc-tion du reel x.

? ConsequenceOn considerant les coordonnees dechacun de ces points, on obtient lesformules suivantes :

2.1. Definitions 9 Complement


? Synthese

Periodicite : cos(2 π + x) = cos(x) et sin(2 π + x) = sin(x).

Raison : les points M(x) et M2π(2 π + x) sont confondus sur γ.

Parite : cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = − sin(x).

Raison : les points M(x) et M ′(−x) sont symetriques par rapport a (Ox).

Symetie : cos(π − x) = − cos(x) et sin(π − x) = sin(x).

Raison : les points M(x) et M ′′(π − x) sont symetriques par rapport a (Oy).

Supplementarite : cos(π/2− x) = sin(x) et sin(π/2− x) = cos(x).

Raison : les points M(x) et M ′′′(π/2− x) sont symetriques par rapport a la premiere bissec-trice.

On donne pour terminer le tableau de valeurs suivant, qui sera demontre en exercice.

? Rapports trigonometriques usuels :

Reel x 0 π6

π4

π3

π2

π

cos(x) 1√

32

√2

212

0 −1

sin(x) 0 12

√2

2

√3

21 0

2.2. Les fonctions trigonometriques

Les proprietes mises en evidence au numero precedent vont permettre d’etudier les fonctions

trigonometriquescos : R → R

x 7→ cos(x)et

sin : R → Rx 7→ sin(x)

.

On fixe un repere orthogonal (O ; ~ı , ~ ) du plan et on note respectivement C et S les courbesdes fonctions cos et sin dans ce repere.

? Etude de cos

Periodicite : cos est definie sur R et, pour tout reel x, cos(2π + x) = cos(x).

B On en deduit que cos est 2 π-periodique et donc que C est invariante par translation devecteur 2 π~i. On peut donc restreindre l’etude a un intervalle d’amplitude 2π ; on choisit,pour des raisons de symetrie, [−π; π].

Parite : cos est definie sur R et, pour tout reel x, cos(−x) = cos(x).

B On en deduit que la fonction cosinus est paire et donc que C est symetrique par rapport a(Oy). On peut donc restreindre l’etude a l’intervalle [0; π].

Symetrie : Pour tout reel x, cos(π − x) = − cos(x)

B On en deduit que C est symetrique par rapport au point A(π/2; 0). On peut donc res-treindre l’etude a l’intervalle [0; π/2].

Variations sur [0, π/2] : Pour l’instant, on se contentera d’observer graphiquement, sur lecercle trigonometrique, que la fonction cosinus est strictement decroissante et positive sur[0; π/2] ; avec : cos(0) = 1 a cos(π/2) = 0.

2.2. Les fonctions trigonometriques10

Complement


A l’aide du tableau de valeursdonne plus haut, on en deduit lacourbe C sur [0; π/2] ci-contre.

L’etude des symetries et de laperiodicite permet d’obtenir en-fin la courbe globale ci-dessous.

? Etude de sin

translation : Pour tout reel x, sin(x) = cos(π/2− x) = cos(x− π/2).

B On en deduit que la courbe S est l’image de C par la translation de vecteur π2~i.

? Pour sin, on a de meme :

Periodicite : Pour tout reel x, sin(2π + x) = sin(x).

B On en deduit que sin est 2π-periodique et que S est invariante par translation de vecteur2π.~i.

Parite : Pour tout reel x, sin(−x) = − sin(x).

B On en deduit que la fonction sinus est impaire et que S est symetrique par rapport al’origine.

Symetrie : Pour tout reel x, sin(π − x) = sin(x)

B On en deduit que S est symetrique par rapport a la droite d’equation x = π/2.

Etude sur [0, π/2] (conjecture graphique) : Sur le cercle trigonometrique, on peut observerque la fonction sinus est strictement croissante et positive sur [0, π/2] ; de sin(0) = 0 asin(π/2) = 1.

Remarque. La relation cos(x) = sin(π/2− x), valable pour tout reel x, prouve aussi queC est l’image de S par la reflexion par rapport a la droite d’equation x = π

4.

2.2. Les fonctions trigonometriques11

Complement

Trigonometrie Exercices. Le cercle trigonometrique comme rapporteur

[Exercices) Le cercle trigonometrique comme rapporteur

Exercice 1

Sur la figure ci-dessus, utiliser le compas l’equerre et la graduation (1/2) de l’axe des abscissespour repondre aux questions suivantes.

1. Sur le cercle trigonometrique C , placer le point A image du reel (−π/3) et le point B(2π/3).

2. Placer le rapport sin(−π/3) ; rappeler sa valeur.

3. Placer les rapports trigonometriques suivants :

cos(π

6

); sin

(−2π

3

); sin

(5π

6

); sin

(−π

6

); cos

(4π

3

).

4. Donner les valeurs des rapports precedents.

On pourra repondre aux questions suivantes sur la deuxieme figure, au bas de cette page.

5. Placer les points C, D, E et F de C , images respectives des reels

π

4;

π

8;

4π

3;

5π

4.

Terminale S312

2008/2009


6. Calculer

τ := 1 + cos

(2π

3

)+ cos

(−2π

3

).

7. Determiner les mesures principales des angles de mesures suivantes :

37π

4; − 10π

3; 29 ;

45π

4.

Terminale S313

2008/2009


Exercice 2

La figure ci-dessous represente un cercle trigonometrique Γ de centre Ω.

— Les constructions demandees seront faites avec l’equerre (non graduee) et le compas uni-quement.

Pour chacune des abscisses curvilignes qui suivent, repondre aux questions de 1 a 3.

α :=11π

4; β := −12π

3; γ :=

71π

6; δ := −129π

2; ζ := −1024π

6.

1. Determiner l’abscisse curviligne principale (note respectivement a, b, c, d et z).

2. Construire sur Γ le point image (note respectivement A, B, C, D et Z).

3. Calculer le cosinus et le sinus.

4. Comparer U := sin(− 14π

3

)et V := 2× sin

(7π3

)× sin

(7π3

).

Terminale S314

2008/2009


Exercice 3

La figure ci-dessous represente un cercle trigonometrique Γ de centre Ω.

— Les constructions demandees seront faites avec l’equerre (non graduee) et le compas uni-quement.

Pour chacune des abscisses curvilignes qui suivent, repondre aux questions de 1 a 3.

α :=21π

4; β := −36π

6; γ :=

51π

6; δ := −109π

2; ζ := −528π

6.

1. Determiner l’abscisse curviligne principale (note respectivement a, b, c, d et z).

2. Construire sur Γ le point image (note respectivement A, B, C, D et Z).

3. Calculer le cosinus et le sinus.

4. Comparer U := sin(− 26π

6

)et V := 2× sin

(13π6

)× sin

(13π6

).

Terminale S315

2008/2009


Un corrige de l’exercice 2

On pose :

α :=11π

4; β := −12π

3; γ :=

71π

6; δ := −129π

2; ζ := −1024π

6.

1. Abscisses curvilignes principales respectives a, b, c, d et z :

α := 11π4

= 8π4

+ 3π4

= 2π + 3π4

donc a = 3π4

(appartenant a ]− π, π]).

β := −12π3

= −4π donc b = 0.

γ := 71π6

= 72π6− π

6= 12π + π

6donc c = π

6.

δ := −129π2

= −128π2− π

2= −64π − π

2donc d = π

2.

Comme, par division euclidienne, on a 1024 = 6× 170 + 4, alors :

ζ := −1024π6

= −6×170π6

− 4π6

= −170π − 2π3

et donc z = −2π3

.

2. Constructions des points images (notes respectivement A, B, C, D et Z) :

Terminale S316

2008/2009


3. Calculs des cosinus et sinus :

cos(α) = cos(a) = − cos(π/4) = −√

22

sin(α) = sin(a) = sin(π/4) =√

22

cos(β) = cos(b) = cos(0) = 1sin(β) = sin(b) = sin(0) = 0

cos(γ) = cos(c) = cos(π/6) =√

32

sin(γ) = sin(c) = sin(π/6) = 12

cos(δ) = cos(d) = cos(π/2) = 0sin(δ) = sin(d) = sin(π/2) = 1cos(ζ) = cos(z) = − cos(π/3) = −1

2

sin(ζ) = sin(z) = − sin(π/3) = −√

32

.

4. Calculs de comparaison. On a :

−14π

3= −12π

3− 2π

3= −4π − 2π

3,

donc :

U := sin

(−14π

3

)= sin

(−2π

3

)= − sin

(π

3

)= −

√3

2.

D’autre part, on a7π

3=

6π

3+

π

3= 2π +

π

3,

donc :

V := 2× sin

(7π

3

)× cos

(7π

3

)= 2× sin

(π

3

)× cos

(π

3

)= 2×

√3

2× 1

2=

√3

2.

Finalement, les quantites U et V sont opposees.

Terminale S317

2008/2009


Un corrige de l’exercice 3

On pose :

α :=21π

4; β := −36π

6; γ :=

51π

6; δ := −109π

2; ζ := −528π

6.

1. Abscisses curvilignes principales respectives a, b, c, d et z :

α := 21π4

= 24π4− 3π

4= 6π − 3π

4donc a = −3π

4(appartenant a ]− π, π]).

β := −36π3

= −6π donc b = 0.

γ := 51π6

= 48π6

+ 3π6

= 8π + π2

donc c = π2.

δ := −109π2

= −108π2− π

2= −54π − π

2donc d = −π

2.

ζ := −528π6

= −88π donc z = 0.

2. Constructions des points images (notes respectivement A, B, C, D et Z) :

Terminale S318

2008/2009


3. Calculs des cosinus et sinus :

cos(α) = cos(a) = − cos(π/4) = −√

22

sin(α) = sin(a) = − sin(π/4) = −√

22

cos(β) = cos(b) = cos(0) = 1sin(β) = sin(b) = sin(0) = 0cos(γ) = cos(c) = cos(π/2) = 0sin(γ) = sin(c) = sin(π/2) = 1cos(δ) = cos(c) = cos(−π/2) = 0sin(δ) = sin(c) = sin(−π/2) = 1cos(ζ) = cos(z) = cos(0) = 1sin(ζ) = sin(z) = sin(0) = 0.

4. Calculs de comparaison. On a :

−26π

6= −13π

3= −12π

3− π

3= −4π − π

3,

donc :

U := sin

(−26π

6

)= sin

(−π

3

)= −

√3

2.

D’autre part, on a13π

6=

12π

6+

π

6= 2π +

π

6,

donc :

V := 2× sin

(13π

6

)× cos

(13π

6

)= 2× sin

(π

6

)× cos

(π

6

)= 2× 1

2×√

3

2=

√3

2.

Finalement, les quantites U et V sont opposees.

Terminale S319

2008/2009

Trigonometrie Dm no 10. Derivees des fonctions trigonometriques

[Dm no 10) Derivees des fonctions trigonometriques

B Polycopie no 25∗ A rendre le 6/3/9

Le but de ce probleme est de prouver que les fonctions sinus et cosinus sont derivables sur R.

On supposera que les notions abordes dans le polycopie de rappels de trigonometrie1, etseulement celles-la, sont connues.

Partie I. Un lemme trigonometrique

Le plan est rapporte a un repere orthonormal (O ; ~u , ~v ).On note C le cercle trigonometrique de centre O, T la droite tangente a C au point I(1; 0).

On considere un reel h appartenant a l’intervalle ]0; π/2[ et, sur le cercle trigonometrique C :

• le point M d’abscisse curviligne h.

• le projete C de M sur (Ox)

• le projete S de M sur (Oy)

• le point d’intersection T de T avecla droite (OM)

1) Exprimer, en fonction du reel h,les grandeurs suivantes :

• l’aire A(h) du triangle OMC

• l’aire B(h) du triangle OMI

• l’aire C(h) du triangle OIT

• l’aire D(h) du secteur angulaire OIM

2) Par des considerations d’aires, justifier que : A(h) ≤ B(h) ≤ D(h) ≤ C(h).

3) En deduire que :1

cos h≥ 1 ≥ sin h

h≥ cos h.

4) Etudier la limite suivante : limh→0+

sin h

h.

1Disponible sur le site en fin de semaine. Correspond aux notions abordees en premiere, exceptee laderivation des fonctions trigonometriques.

Terminale S320

2008/2009

Trigonometrie Dm no 10. Derivees des fonctions trigonometriques

Partie II. Aspect fonctionnel

On note Csin et Ccos les courbes representatives respectives des fonctions sinus et cosinus dansun repere orthogonal (O ; ~ı , ~ ).

1. (a) Montrer que la fonction D : x 7→ sin x

xest paire sur R×.

(b) En deduire l’etude de limh→0−

sin h

h.

(c) Que peut-on en deduire quant a la derivabilite de la fonction sinus en 0 ?

Quelle-est la tangente a Csin au point d’abscisse 0 ?

2. (a) On admet que cos(X) = 1− 2 sin2(X/2), pour tout reel X.

Calculer limh→0

cos h− 1

h.

(b) Que peut-on en deduire quant a la derivabilite de la fonction cosinus en 0 ?

Quelle-est la tangente a Ccos au point d’abscisse 0 ?

3. Soit a un nombre reel quelconque.

(a) On admet que sin(X + Y ) = sin(X) cos(Y ) + cos(X) sin(Y ), pour tous reels X,Y .

Montrer que :sin a + h− sin(a)

h= sin(a)

cos h− 1

h+ cos(a)

sin h

h.

(b) En deduire que la fonction sinus est derivable en a et calculer son nombre derive sin′(a).

(c) A l’aide d’un schema du cercle trigonometrique, justifier que cos(X) = sin(π/2−X).

(d) En deduire que la fonction cosinus est derivable en a et calculer cos′(a).

4. A l’aide de la question 3, etudier la derivabilite de la fonction tangente sur R.

Terminale S321

2008/2009

Trigonometrie TD. Equations trigonometriques

[TD) Equations trigonometriques

1. Resolutions graphiques

1.1. Avec le sinus

a) Sur le cercle trigonometrique de la figure de gauche, ci-dessous, placer les points imagesM(x) des reels x dont le sinus vaut 1/2.

Determiner un reel associe a chacun de ces points.

b) En deduire tous les reels x verifiant sin(x) = 1/2.

c) Suivre la meme demarche pour resoudre l’equation sin(x) = −√

32

.

1.2. Avec le cosinus

a) Sur le cercle trigonometrique de la figure suivante de gauche, placer les points images desreels dont le cosinus vaut

√2/2.

Trouver un reel associe a chacun de ces points.

b) Determiner finalement tous les reels x tels que cos(x) =√

2/2.

c) Suivre la meme demarche pour resoudre l’equation cos(x) = −12.

d) Determiner les solutions de cette equation qui appartiennent a l’intervalle [3π; 5π[.

Terminale S322

2008/2009


2. Synthese : Propriete fondamentale

Soit x et a deux reels.

Pour resoudre des equations trigonometriques, on utilise les equivalences suivantes :

sin(x) = sin(a) si, et seulement si,

x = a + 2 k π

oux = π − a + 2 k π,

avec k ∈ Z.

et :

cos(x) = cos(a) si, et seulement si,

x = a + 2 k π

oux = −a + 2 k π,

avec k ∈ Z.

Terminale S323

2008/2009


3. Resolutions par le calcul

3.1. Equations simples

Resoudre chacune des equations suivantes puis donner ses solutions qui appartiennnent al’intervalle [−11π/3;−5π/3[.

sin(x) =1

2; cos(x) =

√3

2; sin(x) = −

√2

2; cos(x) =

1

2; sin(x) = −

√3

2.

3.2. Equations plus completes

Resoudre chacune des equations suivantes puis donner ses solutions qui appartiennnent a[−7π/3; 0[.

sin(2x +

π

3

)=

1

2; cos

(3x +

π

2

)=

√2

2; sin

(−x +

5π

6

)= −

√3

2; sin

(x

5+

π

4

)= −1

2.

Terminale S324

2008/2009

Trigonometrie Theme: Angles orientes

[Theme) Angles orientes

1. Mesures en radians d’un angle oriente

Disons pour commencer qu’un angle oriente est represente par un couple de deux vecteurs

non nuls (~u,~v) (dans cet ordre). On notera (~u, ~v) cet angle.La notion de mesure va permettre de definir l’egalite de deux angles orientes2.

? Mesure en radians de (~u, ~v). On la definit comme suit :

• On considere les representants des vecteurs ~u et ~v ayant pour origine O, le centre d’un cercletrigonometrique Γ.

• On repere les points de rencontre des demi-droites (O,~u) et (O,~v) avec Γ, qu’on noterespectivement M et N .

• On choisit des abscisses curvilignes a et b de M et N sur Γ.

Une mesure en radians de l’angle oriente (~u, ~v) est par definition : α = b− a.C’est en fait une mesure algebrique de l’arc oriente MN .

? Ecriture modulo 2π. L’angle (~u, ~v) admet une infinite de mesures :

Tous les nombres de la forme : α + 2kπ , k ∈ Z.

2Et donc de definir precisemment ce qu’est un angle oriente.

Terminale S325

2008/2009


On peut noter : mes(~u, ~v) ≡ α [2π]. Cette notation represente non pas un reel mais unefamille de reels (infinie, indexee par k ∈ Z).

? Mesure principaleParmi toutes ces mesures, une seule appartient a l’intervalle ]− π; π].

C’est la mesure principale de l’angle oriente (~u, ~v).

? On la notera : Mes(~u, ~v).C’est, cette fois-ci, un nombre reel bien defini, appartenant toujours a ]− π; π].

B Definition 1: Egalite d’angles orientes

? Deux angles (~u, ~v) et (~u′, ~v′) sont par definition egaux si et seulement si :

mes(~u, ~v) = mes(~u′, ~v′) + 2kπ (k ∈ Z)(⇔ Mes(~u, ~v) = Mes(~u′, ~v′)

).

2. Proprietes usuelles

? Angles geometriques, angles orientes. Soit O, A, B sont trois points deux a deux distincts,

l’angle geometrique AOB donne lieu a deux angles orientes : ( ~OA, ~OB) et ( ~OB, ~OA).

Un angle oriente est donc un angle geometrique auquel ont donne un sens de par-court ; donne par l’ordre des vecteurs.

Par suite, on peut adapter la relation de Chasles des angles geometriques aux angles orientes :

B Proposition 2: Relation de Chasles

? Soient ~u, ~v et ~w trois vecteurs non nuls. Alors :

(~u, ~v) = (~u, ~w) + ( ~w,~v) soit mes(~u, ~v) = mes(~u, ~w) + mes( ~w,~v) + 2kπ (k ∈ Z).

B Corollaire 3: Angles associes

? Soit (~u, ~v) un angle forme par deux vecteurs non nuls. Alors :

B Angle nul : Mes(~u, ~u) = 0.

B Angle plat : Mes(~u,−~u) = π.

B Angles opposes : Mes(~u, ~v) = −Mes(~v, ~u).

B Angles complementaires : Mes(−~u,~v) = π −Mes(~v, ~u).

B Angles egaux : Mes(−~u,−~v) = Mes(~v, ~u).

? Remarque. Ces relations sont valables en mesures principales, ce qui n’est pas le cas dela relation de Chasles.

Terminale S326

2008/2009


3. Configurations usuelles

B Proposition 4: Angle de vecteurs colineaires

? Deux vecteurs non nuls ~u et ~v sont colineaires si, et seulement si, mes(~u, ~v) = kπ.Dans ce cas,

• ~u et ~v sont de meme sens si et seulement si Mes(~u, ~v) = 0.

• ~u et ~v sont de sens contraires si et seulement si Mes(~u, ~v) = π.

B Consequences : AlignementSoient A, B et M trois points deux a deux distincts.

B M appartient au segment (ouvert) ]AB[ si, et seulement si, Mes( ~MA, ~MB) = π.

B M appartient a la droite (AB) si, et seulement si, Mes( ~MA, ~MB) = 0.

4. Applications aux triangle

On commence d’abord par le theoreme de l’angle inscrit :

B Theoreme 5: Angle inscrit

? Soient A, B et C trois points deux a deux distincts appartenant a un cercle C de centre O.

Alors : Mes( ~AB, ~AC) =1

2Mes( ~OB, ~OC).

Vocabulaire. L’angle inscrit (dans C ) est ( ~AB, ~AC) et ( ~OB, ~OC) est l’angle au centrecorrespondant.

? IsometriesUne isometrie est une transformation du planqui conserve les angles geometriquesa.

On peut obtenir toutes les isometries du plan apartir de trois grandes classes de base : trans-lations, rotations et reflexionsb.

Les translations et rotations conserventles angles orientes. On parle d’isometriedirecte ou de deplacement. Les re-flexions transforment les angles orientes enleurs opposes : on parle cette fois d’anti-deplacement.

aCela revient a dire qu’elle conserve les distances.bOu symetries axiales.

Terminale S327

2008/2009


Autrement dit :

B Proposition 6: Image d’un triangle par une isometrie

? Soient A, B et C trois points deux a deux distincts.

1. Si A′, B′ et C ′ sont les images de A, B et C par une rotation ou un translation, alors

Mes( ~A′B′, ~A′C ′) = Mes( ~AB, ~AC).

2. Si A′′, B′′ et C ′′ sont les images de A, B et C par une reflexion, alors

Mes( ~A′′B′′, ~A′′C ′′) = −Mes( ~AB, ~AC).

? Triangles directs

Un triangle ABC est par definition direct si, et seulement si, Mes( ~AB, ~AC) > 0.

B Proposition 7: Somme des angles dans un triangle direct

? Si ABC est un triangle direct alors Mes( ~AB, ~AC) + Mes( ~BC, ~BA) + Mes( ~CA, ~CB) = π.

? Generalisation aux polygonesUn polygone direct est la donnee d’un n-uplet de points (A1, ..., An) tels que, pour tout

i ∈ 1, ..., n− 2, Mes(~AiAi+1, ~AiAi+2) > 0.

Cela revient a dire que pour parcourir les points A1,...,An du polygone (dans cet ordre), onsuit toujours le sens trigonometrique.

? Consequence : Orientation du plan

Une base du plan (~i,~j) est dite directe si, et seulement si, Mes(~i,~j) > 0.Cela depend donc au final du cercle trigonometrique Γ choisit comme reference.

De meme, un repere cartesien (O,~i,~j) du plan est direct si et seulement si la base (~i,~j) l’est.

♦ Remarque : Soient A, B et C trois points.Un triangle ABC est direct si, et seulement si, le repere (A, ~AB, ~AC) est direct.

Terminale S328

2008/2009


4.1. Sinus et cosinus d’un angle oriente

? PrincipeRappelons qu’on sait deja definir le sinus et lecosinus d’un nombre reel.

Soient (~u, ~v) un angle oriente, x une mesure enradians de (~u,~v) ainsi que M(x) le point de Γd’abscisse curviligne x.

Le cosinus de l’angle (~u, ~v) est pardefinition celui du reel x :

cos(~u, ~v) = cos(~i, ~OM) = cos(x) = ΩP .

Le sinus de l’angle (~u, ~v) est quant a lui definit par :

sin(~u, ~v) = cos(~i, ~OM) = sin(x) = ΩQ.

Terminale S329

2008/2009

Trigonometrie Formulaire. Formules de trigonometrie

[Formulaire) Formules de trigonometrie

On fixe deux reels a et b.

Consequences de la definition. Les fonctions cos et sin sont definies de R sur [−1; 1] ;En particulier : −1 ≤ cos ≤ 1 et −1 ≤ cos ≤ 1.

D’autre part (consequence du theoreme de Pythagore) : cos2(a) + sin2(a) = 1.

Formules d’addition.

cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b) , cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) , sin(a− b) = sin(a) cos(b)− sin(b) cos(a)

Remarque : les deux formules de gauche permettent d’obtenir toutes les suivantes.

tan(a + b) =tan(a) + tan(b)

1− tan(a) tan(b), tan(a− b) =

tan(a)− tan(b)

1 + tan(a) tan(b)

(si a et b ne sont pas congrus a π/2 modulo π).

Formules de duplication.

cos(2a) = cos2(a)− sin2(a) , sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) et tan(2a) =2 tan(a)

1− tan2(a)

d’ou

cos2(a) =1 + cos(2a)

2, sin2(a) =

1− cos(2a)

2et tan2(a) =

1− cos(2a)

1 + cos(2a)

(si a est distinct de π/2 modulo π). Les deux formules qui suivent servent essentiellement aucalcul de primitives : si a n’est pas congru a π modulo 2π, alors :

cos(a) =1− tan2(a/2)

1 + tan2(a/2)et sin(a) =

2 tan(a/2)

1 + tan2(a/2).

Formules de linearisation.

cos(a) cos(b) =1

2[cos(a + b) + cos(a− b)] , sin(a) sin(b) =

1

2[cos(a− b)− cos(a + b)]

et sin(a) cos(b) =1

2[sin(a + b) + sin(a− b)].

Formules de factorisation

cos(p)+cos(q) = 2

[cos

(p + q

2

)cos

(p− q

2

)], cos(p)−cos(q) = −2

[sin

(p + q

2

)sin

(p− q

2

)]

sin(p)+sin(q) = 2

[sin

(p + q

2

)cos

(p− q

2

)], sin(p)−sin(q) = 2

[cos

(p + q

2

)sin

(p− q

2

)].

Terminale S330

2008/2009

Trigonometrie Formulaire. Formules de trigonometrie

Equations trigonometriques.

cos(a) = cos(b) ⇔

a ≡ b [2π]oua ≡ −b [2π]

et

sin(a) = sin(b) ⇔

a ≡ b [2π]oua ≡ π − b [2π]

.

Nombres derives en 0.Les fonctions cos, sin et tan sont derivables en 0 et

sin′(0) = limx 6= 0x → 0

sin(x)

x= 1 , cos′(0) = lim

x 6= 0x → 0

cos(x)− 1

x= 0 , tan′(0) = lim

x 6= 0x → 0

tan(x)

x= 1.

Ceci revient a dire (avec le developpement limite d’ordre 1) que

sin(x) = x + xϕ1(x) , cos(x) = 1 + xϕ2(x) et tan(x) = x + xϕ3(x) ,

ou ϕ1, ϕ2 et ϕ3 sont des fonctions definies sur R ayant pour limite 0 en 0. On a d’autre part

x ∈]0; π/2[ ⇒ sin(x) < x , cos(x) > 1− x2

2et tan(x) > x.

Fonctions derivees.Les fonctions cos, sin et tan sont derivables sur leurs ensembles de definition et

cos′ = − sin , sin′ = cos , tan′ = 1 + tan2 =1

cos2.

Primitives.Les fonctions cos, sin sont continues sur R et y admettent donc des primitives :∫

cos = sin +k et

∫sin = − cos +k′ (k, k′ ∈ R).

La fonction tan est continue sur son ensemble de definition et y admet donc des primitives ;sur tout intervalle contenu dans celui-ci :∫

tan = − ln |cos|+ k (k ∈ R).

Formules d’Euler.

cos(a) =eia + e−ia

2, sin(a) =

eia − e−ia

2iet, si a est distinct de π/2 modulo π,

tan(a) = i.e−ia − eia

eia + e−ia.

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Trigonometrie Complement. Le degre

[Complement) Le degre

1. Unite historique : le degre

Le degre, divise en 60 minutes et 3600 secondes, vient des Babyloniens3 : ils utilisaient lesysteme sexagesimal (base 60). Des le VIIesiecle de notre ere, les mathematiciens arabes ontpoursuivi et mesure les angles celestes et terrestres de la meme maniere. L’elaboration decalendriers4, souvent issue de la maitrise des angles astronomiques, en a decoule en se basantsur les periodes du soleil et/ou de la lune.

Par la suite en occident, essentiellement pour repondre aux besoins de l’astronomie et de lanavigation, on a developpe un systeme de reperage de la sphere terrestre : les coordonneesgeographiques5 (latitude λ, longitude φ, altitude h).

B Definition 1: Le degre d’arc (1265)

? Le degre d’arc (symbole ) est une unite pratique d’angle plan. Un angle plat vaut, pardefinition du degre, 180.

∗ Remarque [Conversions — Systeme SI] Bien qu’en dehors du systeme international(SI), le degre est en usage avec lui. On verra dans ce chapitre qu’un degre vaut π/180 radians,10/9 grades ou 160/9 mils, soit 1/360 d’un tour complet.

Les symboles « , ′, ′′ »sont egalement les seuls a ne pas etre separes du nombre les precedantpar une espace : on doit ecrire 1230′ et non 12 30 ′.

3Le royaume de Babylone s’est epanoui en Mesopotamie du sud du debut du IIemillenaire av. J.-C. jusqu’en539 av. J.-C., date de la prise de sa capitale par le roi Cyrus II de Perse. Durant sa longue histoire il a connudes periodes fastes et d’autres plus difficiles, et plusieurs dynasties se sont succede a sa tete.

4Plus generalement la mesure du temps.5Ou coordonnees geocentriques spheriques.

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Sous-unites d’un systeme sexagesimal. Un degre est subdivise en 60 minutes d’arc(symbole ′), elles-memes divisees en 60 secondes d’arc (symbole ′′) :

1′ = 160

= 0, 0166...

1′′ = 1602 = 0, 000277...

1′′′ = 1603 = 0, 000004629...

Inversement, un degre vaut 3600′′.

2. Le radian : une unite plus naturelle

Exercice no 1 [Construction d’un rapporteur naturel]

Le cercle C de la figure suivante a pour rayon 1. Les points successifs places sont espaces dela meme longueur.

1. Quel est le perimetre de C .

2. Par proportionnalite, calculer la longueur des arcs de cercles geometriques suivants :

_

IJ,_

II ′,_

IJ ′,_

IB,_

ID,_

IG,_

IK .

Par definition, ces longueurs sont respectivement les mesures en radians des angles geometriquescorrespondants :

IOJ, IOI ′, IOJ ′, IOB, IOD, IOG, IOK.

Note. On suivra le cercle C dans le sens des aıguilles d’une montre.

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3. Souligner l’ambiguıte de la notation_

IJ si on n’apporte pas davantage de precision.

4. En deduire la longueur des arcs de cercles geometriques suivants :

_

IA,_

BC,_

GL,_

CE,_

FG,_

AC,_

HK .

5. Sachant que, d’apres la definition du radian, un angle plein mesure 360, recopier etcompleter par proportionnalite le tableau suivant :

Mesure en degre 0 30 45 60 90 180 360Mesure en radians 2π

Remarque. On pourra rajouter une ligne pour le grade au tableau precedent : un angle droitmesure 100 grad.

6. Soit ABC un angle geometrique et : d sa mesure en degre, α sa mesure en radians. Exprimerd en fonction de α. De quel type cette expression est-elle ? Donner l’expression inverse quidonne α en fonction de d.

Cas general

Soit C un de centre O et de rayon 1 : c’est par definition un cercle unite.

Comme le cercle C , correspondant a l’angle plein, a pour perimetre 2π, la mesure en radiansd’un angle geometrique est donc une longueur d’arc α appartenant a l’intervalle [0, 2π]. Parproportionnalite on en deduit facilement que :

Un angle plat mesure π rad.

Un angle droit mesure π/2 rad. En tracant la bissectrice d’un tel angle on obtient doncune mesure de π/4 rad (correspondant a 45).

Un tiers de cercle mesure 2π/3 rad (obtenu en tracant une rosace par exemple). La bissec-trice d’un tel angle6 permet d’obtenir π/3 rad (soit 60).

Un douzieme de cercle mesure π/6 rad (soit 30).

6Ou la seconde etape de la construction de notre rosace

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Le radian (comme le degre) etant definis sur un cercle unite, voici la generalisation de larelation mesure en radians – longueur d’arc sur un cercle quelconque.

B Proposition 2: Relation radian-longueur d’arc

? Soit Γ un cercle de centre O et de rayon R ≥ 0.

Un angle geometrique au centre de mesure α (en radians) intercepte un certain arc de cerclede longueur L.

Ces deux grandeurs sont reliees selon la proportion : L = Rα.

∗ Remarque [Cas du degre] Par proportionnalite, si d est la mesure en degres de AOB,alors :

α =π

180× d ⇒ L =

π

180R× d.

Exemple [Perimetre d’un cercle] Evidemment, si on choisit α = 2π alors on retrouvela formule donnant le perimetre d’un cercle de rayon R : P = 2πR.

On termine naturellement se paragraphe en donnant cette fois-ci la relation aire d’un secteur -mesure en radians. La surface d’un disque de rayon R etant A = πR2, en raisonnant encorepar proportionnalite7, on obtient la proposition suivante.

B Proposition 3: Relation radian-aire pour les secteurs angulaires


L’aire d’un secteur circulaire de mesure α (en radians) et de rayon R ≥ 0 est

Aα =1

2αR2.

7Cette fois-ci sur les aires et non les longueurs.

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3. Conversions

Rappelons que les relations longueur-radians et longueur-degres sont lineaires. Autrement dit,pour convertir les mesures des angles geometriques, on peut utiliser le tableau de proportion-nalite suivant :

Mesure en degre d 180Mesure en radians α πMesure en grades a 200

Une autre maniere d’exprimer cette propriete, passe par les formules suivantes :

d

180=

α

π=

a

200.

Exemple [Applications directes] Un angle de d = 15 mesure, en radians,

α =d× π

180=

15π

180=

π

12.

La mesure α′ = 2π3

rad correspond a un angle de

d′ =α× 180

π=

2π/3× 180

π=

360π

3π= 120.

4. Angles remarquables

Voici les mesures des angles les plus usuels qu’il faut connaitre.

Mesure en degre 0 30 45 60 90 180 360Mesure en radians 0 π

6π4

π3

π2

π 2π

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Exemple [Application directe.] Ce tableau sert de convertisseur en utilisant encoreet toujours la proportionnalite.

Un angle de d′′ = 5 mesure par exemple α′′ = 16× π

6= π

36rad.

5. Longueurs d’arcs

Etant donne un cercle Γ et un point I sur Γ, on peut, de meme que sur un cercle trigo-nometrique, considerer la notion d’abscisse curviligne sur Γ.

B Proposition 4: Longueur d’arc


Un angle geometrique au centre de mesure α (en radians) intercepte un certain arc de cerclede longueur L.

Ces deux grandeurs sont reliees selon la proportion : L = Rα.

∗ Remarque [Cas du degre] Par proportionnalite, si d est la mesure en degres de AOB,alors :

α =π

180× d ⇒ L =

π

180R× d.

Exemple [Perimetre d’un cercle] Evidemment, si on choisit α = 2π alors on retrouvela formule donnant le perimetre d’un cercle de rayon R : P = 2πR.

On termine naturellement se paragraphe en donnant cette fois-ci la relation aire d’un secteur -mesure en radians. La surface d’un disque de rayon R etant A = πR2, en raisonnant encorepar proportionnalite8, on obtient la proposition suivante.

8Cette fois-ci sur les aires et non les longueurs.

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B Proposition 5: Relation radian-aire pour les secteurs angulaires


L’aire d’un secteur circulaire de mesure α (en radians) et de rayon R ≥ 0 est

Aα =1

2αR2.

6. Conversions

Le cercle C de la figure suivante a pour rayon 1. Les points successifs sont espaces de la memelongueur.

1. Quel est le perimetre de C .

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2. Par proportionnalite, calculer la longueur des arcs de cercles geometriques suivants :

_

IJ,_

II ′,_

IJ ′,_

IB,_

ID,_

IG,_

IK .

(en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre).

Par definition, ces longueurs sont respectivement les mesures en radian des angles geometriques

IOJ, IOI ′, IOJ ′, IOB, IOD, IOG, IOK.

3. En deduire la longueur des arcs de cercles geometriques suivants :

_

IA,_

BC,_

GL,_

CE,_

FG,_

AC,_

HK .

4. Sachant que, d’apres la definition du radian, un angle plein mesure 360, recopier etcompleter par proportionnalite le tableau suivant :

Mesure en degre 0 30 45 60 90 180 360Mesure en radians 2π

5. Donner une formule permettant la conversion degre-radian.

0

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Chapitre 2

Transformations du plan

1. Definition

B Definition 6: Transformation

? Une transformation du plan est une bijection du plan dans lui-meme.

Dire que f est une transformation du plan P signifie donc que :

• Tout point M de P a une image et une seule M ′ par f(on dit alors que f est une application de P dans P),

• Tout point M ′ de P a un antecedent unique M par f ,i.e. M ′ est l’image d’un point M de P, et d’un seul, par f .

∗ Interet : On peut considerer l’application qui a tout point M ′ de P associe l’unique pointM de P tel que f(M) = M ′.On la note f−1 et on l’appelle la transformation reciproque (ou simplement : la reciproque)de f .

40

Transformations du plan Complement. Transformations du plan

On a alors l’equivalence : M ′ = f(M) ⇔ M = f−1(M ′).

La transformation f−1 herite de certaines proprietes de f . Par exemple :

Proposition 2.0.1. Si f conserve les distances, il en est de meme pour f−1.

Demonstration. Soit M et N deux points d’images respectives M ′ et N ′ par f . Alors,si f conserve les distances,

Mf7−→ M ′

N 7−→ N ′ M ′N ′ = MN donc MN = M ′N ′,

ce qui prouve que f−1 conserve aussi les distances.

Proposition 2.0.2. Si f conserve les angles orientes, il en est de meme pour f−1.

Demonstration. Soit M , N et P trois points tels que M 6= N et M 6= P , d’imagesrespectives M ′, N ′ et P ′ par f . Alors, si f conserve les angles orientes,

Mf7−→ M ′

N 7−→ N ′

P 7−→ P ′

(−−−−→M ′N ′ ,

−−−−→M ′P ′

)=(−−−→MN ,

−−−→MP

)[2π],

d’ou (−−−→MN ,

−−−→MP

)=(−−−−→M ′N ′ ,

−−−−→M ′P ′

)[2π],

ce qui prouve que f−1 conserve aussi les angles orientes.

Exercice no 1 [Similitude]

Soit f l’application d’ecriture complexe z′ = az + b. Est-ce que f est une transformation duplan complexe ?

2. Exemples importants

- L’identite, notee I dP ou simplement I d, egale a sa reciproque.

- Les translations : si f = t~u alors f−1 = t−~u.On rappelle la propriete :

∀(M, N) ∈ P2−−−−→M ′N ′ =

−−−→MN .

- Les homotheties : si f = Hom(O, k) (k 6= 0) alors f−1 = Hom(O, 1/k).On a aussi la propriete :

∀(M, N) ∈ P2−−−−→M ′N ′ = k

−−−→MN .

- Les symetries centrales : si f = sO alors f−1 = sO. Donc f−1 = f . On dit que sO est uneinvolution.On remarque que sO = Hom(O,−1).

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- Les symetries axiales (s.e. orthogonales) : si f = s∆ alors f−1 = s∆. Donc f−1 = f , ets∆ est aussi une involution.

- Les rotations : si f = Rot(O, θ) alors f−1 = Rot(O,−θ).On rappelle les proprietes :

∀(M, N) ∈ P2 M ′N ′ = MN, et si M 6= N, (−−−→MN ,

−−−−→M ′N ′ ) = θ [2π].

∗ Remarque. Les projections ne sont pas des transformations.

3. Composition

Definition 2.0.3. Soit f et g deux applications du plan. On definit la composee g f par :pour tout point M de P, g f (M) = g(f(M)).

On a le schema de composition :

Proposition 2.0.4. La composee de deux transformations est une transformation.

Demonstration. Soit f et g deux transformations. On constate sur le schema precedentque

- tout point M de P a, par g f , une image et une seule M ′ = g(f(M)), donc g f est uneapplication,

et d’autre part, en lisant le schema a l’envers,

M ′ g−1

7−→ g−1(M ′)f−1

7−→ f−1(g−1(M ′)),

il apparaıt que :

- tout point M ′ de P a un antecedent unique M = f−1(g−1(M ′)) dans P par g f .

Donc g f est bien une transformation du plan et on a aussi la propriete :

(g f)−1 = f−1 g−1.

Exercice no 2 [Similitude et transformation]

Montrer que, si a est un nombre complexe non nul, l’application d’ecriture complexe z′ = az+best une transformation du plan complexe.

∗ Remarque. en general g f 6= f g. (penser a la composee de deux symetries centrales).

Mais, pour des transformations, on a toujours les proprietes :

f I dP = I dP f = f,

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f f−1 = f−1 f = I dP ,

eth (g f) = (h g) f

(on dit alors que la composition des transformations est associative).

En effet, si M est un point du plan, d’image M ′ par une transformation f ,

f−1 f(M) = f−1(f(M)) = f−1(M ′) = M,

et,f f−1(M ′) = f(f−1(M ′)) = f(M) = M ′.

De plus, on a pour tout point M du plan :

(h (g f))(M) = h((g f)(M)) = h(g(f(M))),

et((h g) f)(M) = (h g)(f(M)) = h(g(f(M))),

donc(h (g f))(M) = ((h g) f)(M).

Il en decoule immediatement les proprietes :

h = g f ⇔ g−1 h = f,

eth = g f ⇔ h f−1 = g.

Enfin, si f et g ont des proprietes communes, alors g f en herite. Par exemple :

Proposition 2.0.5. Si f et g transforment les droites en droites, alors il en est de memepour g f .

Demonstration. Soit D une droite du plan. Alors D ′ = f(D) est une droite du plan, etdonc D ′′ = g(D ′) = g f(D), est aussi une droite du plan.

Proposition 2.0.6. Si f et g conservent les angles orientes, alors il en est de meme pourg f .

Demonstration. Soit M , N et P trois points tels que M 6= N et M 6= P , d’imagesrespectives M ′, N ′ et P ′ par f , et soit M ′′, N ′′ et P ′′ les images respectives de M ′, N ′ etP ′ par g. Alors, si g conserve les angles orientes,(−−−−−→

M ′′N ′′ ,−−−−−→M ′′P ′′

)=(−−−−→M ′N ′ ,

−−−−→M ′P ′

)[2π],

et, si f conserve les angles orientes,(−−−−→M ′N ′ ,

−−−−→M ′P ′

)=(−−−→MN ,

−−−→MP

)[2π],

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d’ou (−−−−−→M ′′N ′′ ,

−−−−−→M ′′P ′′

)=(−−−→MN ,

−−−→MP

)[2π],

et donc g f conserve aussi les angles orientes.

Avec la composition on peut definir de nouvelles transformations : par exemple les symetriesglissees.Etant donne une droite D et un vecteur ~v non nul et parallele a D (~v est donc un vecteurdirecteur de D), on considere la transformation σ = s t, ou s designe la symetrie d’axe D ett la translation de vecteur ~v.

Definition 2.0.7. La transformation σ = s t est appelee symetrie glissee d’axe D et devecteur ~v.

∗ Remarque. si on considere le plan P dans l’espace a trois dimensions, le resultat d’unetelle transformation est, dans ce plan, celui d’un vissage d’un demi-tour, d’axe D et de vecteur~v.

Exercice no 3 [Symetrie]

Montrer qu’une symetrie glissee conserve les distances ; mais change un angle oriente de vec-teurs en son oppose.

4. Exercices

Exercice no 4 [Similitude]

Soit f l’application d’ecriture complexe z′ = az + b. Est-ce que f est une transformation duplan complexe ?

Exercice no 5 [Similitude et transformation]

Montrer que, si a est un nombre complexe non nul, l’application d’ecriture complexe z′ = az+best une transformation du plan complexe.

Exercice no 6 [Symetrie]

Montrer qu’une symetrie glissee conserve les distances ; mais change un angle oriente de vec-teurs en son oppose.

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Chapitre 3

la geometrie d’Euclide

45

La geometrie d’Euclide Theme: Droites et plans

[Theme) Droites et plans

1. Perspective cavaliere

La perspective cavaliere est une technique de representation des objets de l’espace par desfigures planes.

Elle obeit aux regles essentielles suivantes :

R1 : Deux droites de l’espace paralleles entre elles sont representees par des droites parallelesdu dessin.

R2 : Les representations des figures situees dans des plans vus de face, appeles plans frontaux,sont faites en « vraie grandeur ».

R3 : Il y a conservation du rapport des longueurs de deux segments paralleles ; en particulier,il y a conservation des milieux.

R4 : Deux droites secantes de l’espace sont representees par des droites secantes du dessin.

Exemple [Persective cavaliere dans un cube]

• Si (BC)//(FG) dans l’espace alors sur le dessin aussi(R1).

• (ABF ) est le plan de face, la face avant ABFE et laface arriere DCGH sont representees en vraie gran-deur (R2).

• Si J est le milieu de [AB], alors sur le dessin aussi(R3).

De meme, si (BF )//(AI) et BF = 2AI dans l’espace,alors sur le dessin aussi.

Par contre, dans l’espace AD = 2AI mais pas sur ledessin car (AD) et (AI) sont contenues dans des plansde faces differents.

• Si, dans l’espace, (HF ) et (EG) sont secantes, alors sur le dessin aussi (R4).

La reciproque est fausse : les droite (HF ) et (GC) sont secantes sur la figure mais pas dansl’espace.

Convention. Desormais, on ne parlera plus que des proprietes verifiees dans l’espace.

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2. Varietes geometriques

2.1. Du plan a l’espace

Un point est un objet geometrique de dimension 0 ; Une droite est un objet geometrique dedimension 1 ; un plan a pour dimension 2 et l’espace est de dimension 3. On structure cesdifferentes varietes geometriques selon les regles suivantes.

Deux regles fondamentales :

• Lorsqu’un plan contient deux points distincts A et B, il contient la droite (AB).

• Tous les resultats de geometrie plane sont applicables dans chaque plan de l’espace.

2.2. Points, droites et plans

B Axiome 1: Determination d’une droite

? Par deux points distincts A et B passe une et une seule droite : la droite (AB).

B Axiome 2: Determination d’un plan

? Par trois points non alignes A, B et C passe un unique plan, note (ABC).

En particulier, trois points quelconques de l’espace sont donc toujours coplanaires.

B Corollaire 3: Autres regles de determination d’un plan

? Dans l’espace, il existe un unique plan P :

Exemple [Application au cube] Dans la figure 1, le plan de la face ABFE peut etredetermine de plusieurs manieres :

• par les points non alignes A, B et F

Terminale S347

2008/2009


• par la droite (AB) et le point F

• par les droites secantes (AB) et (BF )

• par les droites paralleles (AB) et (EF )

Remarque. Les points A, B, F et C ne determinent pas de plan : il n’existe aucun plancontenant ces quatre points.

La droite (EF ) ne determine pas de plan non plus mais pour des raisons differentes : il existeplusieurs plans1 contenant cette droite (par exemple (ABF ), (EFG), (EFC), ...).

B Definition 4: Coplanarite

? Lorsque des elements d’une figure (points, droites, etc.) sont situes dans un meme plan, ondit qu’ils sont coplanaires.

Il est clair que deux points ou trois points sont toujours coplanaires. L’utilisation de ce qua-lificatif n’a donc de sens qu’a partir de quatre points.

En revanche, il est legitime de se poser la question de savoir si deux droites sont coplanairesou pas :

Si l’on reprend les notations de l’exemple precedent, les droites (AB) et (DC) sont coplanairescar les points A, B, C et D le sont. Par contre, (AB) et (CG) ne sont pas coplanaires car lespoints A, B, C et G ne le sont pas ; en effet G /∈ (ABC).

1En fait, une infinite.

Terminale S348

2008/2009

La geometrie d’Euclide Theme: Insidence

[Theme) Insidence

1. Differents cas d’incidence

1.1. Deux droites

Pour etudier les differents cas de positions relatives de droites, on part d’un constat simple :

Deux droites de l’espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires.

En particulier, l’intersection de deux droites distinctes est formee d’un point ou est l’ensemblevide.

∗ Remarque [Des regles differentes dans le plan et l’espace]

1. Dans le plan, deux droites qui n’ont aucun point commun sont paralleles. Mais cela estFAUX dans l’espace.

Pour montrer que deux droites de l’espace sont paralleles, il faut et il suffit de verifier que :

• elles n’ont aucun point commun

• elles sont coplanaires

2. Dans le plan, deux droites qui ne sont pas paralleles sont secantes. Cela est encore FAUXdans l’espace.

Pour montrer que deux droites de l’espace sont secantes, il faut et il suffit d’etablir que :

• Elles ne sont pas paralleles

• Elles sont coplanaires.

Terminale S349

2008/2009


Exemple [Droites dans un cube]

• Les droites (CG) et (AB) n’ont aucun point communmais ne sont pas paralleles car elles ne sont pas co-planaires ; en effet : G /∈ (ABC).

Par contre, les droites (DC) et (AB) sont coplanaireset n’ont aucun point commun : elles sont donc pa-ralleles.

• Les droites (CG) et (AB) ne sont pas paralleles maisne sont pas secantes non plus car elles ne sont pascoplanaires : G /∈ (ABC), encore.

Au contraire, les droites (EG) et (HF ) sont copla-naires et non paralleles. Elles sont donc secantes.

ATTENTION : Dans un dessin en perspective cavaliere :

- Des droites representees par des droites secantes peuvent ne pas etre secantes dans l’espace :sur la figure precedente, les droites (CG) et (AB) ne sont pas secantes en realite.

- Des droites representees par des droites paralleles peuvent ne pas etre paralleles dans l’es-pace : les droites (EB) et (FC) ne sont pas paralleles en realite, car elles ne sont pas coplanaires(C /∈ (EBF )).

B Axiome 1: Parallelisme de deux droites

? Etant donnes une droite ∆ et un point M , il existe une unique droite passant par M etparallele a ∆.

B Theoreme 2: Transitivite du parallelisme de droites

? Deux droites paralleles a une meme troisieme sont paralleles entre elles.

1.2. Deux plans

Deux plans de l’espace sont soit secants, soit paralleles, ce qui donne finalement trois casd’incidence entre plans :

Terminale S350

2008/2009


Autrement dit, l’intersection de deux plans distincts est formee d’une droite ou est l’ensemblevide.

On notera d’autre part que deux plans non confondus ayant un point commun sont secants.

♦ Methode n1 [Construction de l’intersection de deux plans secants]

Pour construire la droite d’intersection de deux plans secants P et P ′, il suffit de determiner :

B Ou bien une droite contenue dans P et dans P ′.

B Ou bien deux points distincts appartenant a P et P ′.

De tels points peuvent souvent etre obtenus en considerant les intersections des droitesremarquables2 contenues dans P ou P ′.

B Axiome 3: Parallelisme de plans

? Etant donne un plan P et un point M , il existe un unique plan passant par M et parallelea P.

B Theoreme 4: Transitivite du parallelisme de plans

? Deux plans paralleles a un meme troisieme sont paralleles entre eux.

B Theoreme 5: Plan secants a deux plans paralleles

? Si deux plans sont paralleles, alors tout plan qui coupel’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont pa-ralleles.

2En fonction du contexte.

Terminale S351

2008/2009


B Theoreme 6: Droite parallele a deux plans secants

? Une droite parallele a deux plans secants est parallelea leur intersection.

B Theoreme 7: Theoreme du toit

? Si deux droites paralleles sont contenues respective-ment dans deux plans secants alors elles sont pa-ralleles a la droite d’intersection de ces deux plans.

B Theoreme 8: Droites secantes

? Si deux droites secantes d’un plan sont respectivement paralleles a deux droites secantesd’un autre plan alors ces deux plans sont paralleles entre eux.

1.3. Droite et plan

Une droite ∆ et un plan P sont soit secants, soit paralleles :

Terminale S352

2008/2009


Exemple [Droites et plans dans un cube]

• Les plans (HGE) et (EFC) sont secants ; ils secoupent suivant la droite (EF ).

• Les plans (HGC) et (ABF ) sont strictement pa-ralleles.

• Les plans (ADE) et (DHE) sont confondus.

• La droite (HB) est secante au plan (CGF ) en B.

• La droite (DB) est contenue dans le plan (ABC).

• La droite (HF ) est strictement parallele au plan(ABC).

B Theoreme 9: Droite et plan paralleles

? Une droite est parallele a un plan si et seulement sielle est parallele a une droite contenue dans ce plan.

B Theoreme 10: Droite parallele a un plan

? Etant donne un plan P et une droite D, il existe un unique plan contenant D et parallelea P.

Terminale S353

2008/2009

Incidences de droites et plans TD. Sections d’un tetraedre

[TD) Sections d’un tetraedre

B Complement∗ mardi 28/4/9

Un tetraedre est definit par ses quatre sommets A,B,C et D. On suppose ici implicitement quele tetraedre ABCD est non-applati ce qui signifie que A,B,C et D ne sont pas coplanaires :aucun plan ne les contient tous a la fois.

∗ Partie 1. Empreintes de droitesOn considere un tetraedre ABCD.

Dans chacun des cas, construire le point d’intersection de la droite (MN) avec le plan (ABC).

Indication. Tracer d’abord le droite d’intersection des plans (DMN) et (ABC).

Premier cas

M est un point du segment [DA]N est un point du segment [DB].

Deuxieme cas

M est un point du segment [DA]N est un point de la face DBC

Terminale S354

2008/2009


Troisieme cas

M est un point de la face DABN est un point de la face DBC

∗ Partie 2. Empreintes de plansOn considere un tetraedre ABCD ainsi que tois points R, S, T appartenant respectivementaux segments [DA], [DB] et [DC].

Dans chacun des cas de figure suivants, construire la droite d’intersection du plan (RST ) avecle plan (ABC).

Premier cas

Aucune des droites (RS), (ST ) et(TS) n’est parallele au plan (ABC)

Terminale S355

2008/2009


Deuxieme cas

La droite (RS), et elle seule, est pa-rallele au plan (ABC).

Troisieme cas

Sur la representation en perspective,les points R, S et T semblent alignes.Appartiennent-ils a une meme droitede l’espace ?

Terminale S356

2008/2009

Incidences de droites et plans Theme: Orthogonalite

[Theme) Orthogonalite

1. Droites orthogonales

B Definition 1: Droites orthogonales

? On dit que deux droites de l’espace (non necessairement coplanaires) sont orthogonaleslorsque leurs paralleles respectives menees par un point quelconque de l’espace sont per-pendiculaires.

Exemple [Droites orthogonales dans un cube]

Les droites (EH) et (GC) sont orthogonales car leursparalleles respectives menees par F , les droites (FG) et(FB) sont perpendiculaires.

2. Orthogonalite d’une droite et d’un plan

• Dire qu’une droite est orthogonale a un plan signifiequ’elle est orthogonale a toutes les droites de ce plan.

B Theoreme 2: Droite et plan orthogonaux

? Une droite est orthogonale a un plan si et seulementsi elle est orthogonale a deux droites secantes de ceplan.

Exemple [Droites et plans orthogonaux dans un cube] Dans le cube ABCDEFGHde l’exemple precedent, les droites (CG) et (HF ) sont orthogonales.En effet, les faces BCGF et DCGH sont des carres donc (CG) est orthogonale a (FG) et a(HG).La droite (CG) est orthogonale aux deux droites secantes (FG) et (HG) contenues dansle plan (EFG). Elle est donc orthogonale a ce plan et donc a toute droite de ce plan, enparticulier a (HF ).

Terminale S357

2008/2009

Incidences de droites et plans Theme: Orthogonalite

3. Theoremes relatifs a l’orthogonalite

B Theoreme 3: Orthogonalite et unicite

? • Il existe une unique droite passant par un point donne et orthogonale a un plan donne.

• Il existe un unique plan passant par un point donne et orthogonal a une droite donnee.

B Theoreme 4: Orthogonalite et parallelisme

? • Si deux droites sont orthogonales a un meme planalors elles sont paralleles.

• Si deux droites sont paralleles alors tout plan or-thogonal a l’une est orthogonal a l’autre.

B Theoreme 5: Orthogonalite et parallelisme

? • Si deux plans sont orthogonaux a une memedroite,alors ils sont paralleles.

• Si deux plans sont paralleles, alors toute droiteorthogonalea l’un est orthogonale a l’autre.

Terminale S358

2008/2009

Deuxieme partie

COMPLEMENTS

59

Chapitre 4

Activites TICE

60

Activites TICE Theme: Exemples de TP (2008)

[Theme) Exemples de TP (2008)

1. Deux courbes qui se frolent

Objectif : Il s’agit de determiner, dans certains cas particuliers, les conditions pour qu’uneparabole et un cercle soient tangents l’un a l’autre (c’est-a-dire qu’ils ont un point communen lequel leurs tangentes respectives sont identiques).Le plan est rapporte au repere orthonormal (O;~i,~j). Soit r un nombre reel strictement positif.On considere la parabole P d’equation y = x2 − 3 et le cercle C de centre O et de rayon r.1. Un peu d’exploration.

(a) A l’aide d’un logiciel de geometrie dynamique construire la parabole P et le cercle C.

(b) Conjecturer le nombre de points communs a la parabole P et au cercle C en fonctiondu nombre reel r.

(c) Donner une valeur approchee du (ou des) rayon(s) r tel(s) que la parabole P et lecercle C soient tangents (c’est-a-dire, se coupent en un point ou leurs tangentes sontles memes) et donner dans ce cas une valeur approchee des coordonnees des points detangence observes.

2. On suppose dans la suite de cette etude que 0 < r < 3.

(a) Ecrire un systeme (S) d’equations verifie par les coordonnees x et y des points communsa la parabole P et au cercle C lorsqu’ils existent.

(b) En deduire qu’alors x est solution d’une equation (E) « bicarree », c’est-a-dire de laforme ax4 + bx2 + c = 0, et pour laquelle on explicitera les valeurs de a, b et c.

3. Discuter du nombre de points d’intersection du cercle et de la parabole lorsque 0 < r < 3et faire le lien avec le nombre de solutions de l’equation (E).Caracteriser les cas de tangence et en deduire la valeur du rayon r, ainsi que les coordonneesdes points communs a la parabole P et au cercle C, dans ce cas.

Terminale S361

2008/2009


2. Investigations autour d’une equation differentielle

On considere l’equation differentielle (E) : y′ = −2xy.Dans une premiere partie, la methode d’Euler nous donnera une approximation sur R+ d’unefonction f solution qui vaut 1 en 0.Dans une deuxieme partie nous verifierons qu’une fonction donnee est solution et nous com-parerons a l’approximation trouvee en premiere partie.1. On se donne un pas h strictement positif et deux suites (xn) et (yn) definissant une suite

de points Mn de coordonnees (xn, yn) ou :

• x0 = 0, xn+1 = xn + h• y′n = 2xnyn

• y0 = 1 et yn+1 = yn + hy′n.

Les termes yn sont des approximations de f(xn) par la methode d’Euler.

(a) A l’aide d’un tableur ou de la calculatrice, faire apparaitre les valeurs approchees a10−2 pres de xn et de yn pour un pas h valant 0,1.

n xn yn y′n0 0 1 0123456789101112131415

(b) A l’aide du grapheur ou de la calculatrice, representer la suite des points Mn.

2. (a) Verifier que la fonction g definie sur R par : g(x) = e−x2est une solution de l’equation

differentielle y′ = −2xy .

(b) En posant pour tout reel x, h(x) = ex2g(x), montrer que h est une fonction constante

et que g est la seule solution de l’equation telle que g(1) = 0.

3. Tracer a l’aide du grapheur ou de la calculatrice la courbe de f et comparer avec l’approxi-mation obtenue dans la question 1).

Terminale S362

2008/2009


3. Jouons avec le dessous-de-plat

Un dessous-de-plat est constitue de six barresmetalliques rigides, de differentes longueurs,assemblees et articulees entre elles pour formerdeux losanges de cote 1 (voir la figure ci-contre).Pour simplifier l’etude on suppose que les barressont de largeur nulle. Les barres sont alorsrepresentees par les segments [AB], [AC], [BF ],[CE], [EG] et [FG].

Le point A est suppose fixe. On deplace le pointG le long d’une demi-droite d’extremite A ; onconstate que si le dessous de plat passe de la po-sition de repli complet a l’extension complete, lepoint G decrit un segment de droite.1. Preciser la longueur du segment decrit par le point G.

2. Construire une figure representant ce dessous-de-plat en utilisant un logiciel de geometriedynamique.

3. Comment se deplacent les points B et C lorsque l’on deforme le dessous-de-plat (passagede la position de repli a l’extension complete) ?En utilisant le logiciel, faire apparaitre l’ensemble de points E decrit par le point E lors dela deformation du dessous-de-plat.

4. On definit desormais le repere orthonormal direct (A;−→u ;−→v ), ou le vecteur −→u est unitaire

et colineaire au vecteur−−→AD.

On note t l’abscisse du point G (t etant un reel positif).

(a) Dans quel intervalle evolue le reel t lorsque l’on passe de l’extension complete a laposition de repli ?

(b) Determiner les coordonnees du point E en fonction de t.

(c) En utilisant le logiciel, tracer la courbe representative C de la fonction f definie sur

l’intervalle [0; 3] par : f(x) =√

1− x2

9.

(d) Verifier a l’aide du logiciel que le point E appartient a la courbe C .

(e) Retrouver le resultat precedent par un calcul.

Terminale S363

2008/2009


4. Les nombres repus

On appelle « nombre repu » tout entier naturel dont un multiple a une ecriture decimale necomportant que le chiffre 1. Par exemple, 13 est un nombre repu puisque 13×8547 = 111 111.On demontre (voir question 3) que si un nombre n est un nombre repu, il existe un nombre ptel que l’ecriture decimale de np ne comporte que le chiffre 1, ce chiffre etant repete au plusn fois.Pour tout k entier naturel, on designe par uk l’entier dont l’ecriture decimale comprend exac-tement k fois le chiffre 1 : uk = 111 . . . 1︸︷︷︸

k fois

= 10k−1 + 10k−2 + · · ·+ 10 + 1 =∑k−1

i=0 10i.

1. Dans un premier temps, on veut programmer sur un tableur ou sur une calculatrice untest pour reconnaitre si un nombre n < 100 est ou non un nombre repu. D’apres ce quiprecede, il suffit de tester si l’un des nombres 111, 1111, ... est divisible par n, en s’arretantlorsqu’on trouve un reste nul ou lorsqu’on a teste la divisibilite de un par n.

Pour le realiser, on pratique un algorithme semblable a celui de la division euclidienne posee,mais au lieu a chaque etape de rajouter un 0 a droite du reste precedent, on rajoute un1. En reprenant l’exemple precedent, on obtient :

111 = 8× 13 + 7, donc 1111 = 80× 13 + 71comme 71 = 5×13+6, 1111 = 85× 13 + 6, donc 11111 = 850× 13 + 61comme 61 = 4×13+9, 11111 = 854×13+9, donc 111111 = 8540× 13 + 91comme 91 = 7×13+0, 111111 = 8547× 13 et on s’arrete la puisque le reste est nul.

Cet algorithme peut encore se symboliser par les quatre etapes de la division euclidienneposee :

111 137 8

1111 1371 856

11111 1371 854619

111111 1371 854761910

Mettre en place ce test sur la calculatrice ou le tableur pour un nombre de un ou deuxchiffres. En essayant plusieurs nombres, conjecturer les nombres de un ou deux chiffres quine sont pas des nombres repus et donner une propriete (P) permettant de les definir.

2. Demontrer que la propriete (P) definissant les nombres de un ou deux chiffres qui ne sontpas des nombres repus s’etend a tous les entiers, c’est-a-dire que « tous les entiers naturelsverifiant la propriete (P) sont non repus ».

Enoncer la propriete reciproque de la propriete (P) : cette propriete reciproque est vraiemais on ne demande pas de la demontrer.

3. Soit n un entier au moins egal a 2 ; pour 1 ≤ k ≤ n, on designe par rk le reste de la divisioneuclidienne de uk par n. Montrer que si aucun des rk n’est egal a 0, il existe p et q tels que1 ≤ p < q ≤ n et rp = rq et qu’alors n n’est pas un nombre repu.

Terminale S364

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5. Le paravent chinois

Un paravent chinois se compose de 3 panneaux rec-tangulaires de memes dimensions. Les petits cotes,qui sont en contact avec le sol, mesurent 1 metre.Ce paravent decoupe sur le sol un trapeze ABCD.

On supposera que les angles ABC et BCD ont lameme mesure et que les droites (AD) et (BC) sontparalleles. Ce polygone s’appelle le polygone de «sustentation ».Le but de l’exercice est de determiner la valeurde l’angle a = ABC qui assure au polygone de «sustentation » une aire maximale.

1. Construire un trapeze ABCD tel que AB = BC = CD et (AD)//(BC). On s’assurera que

la valeur de l’angle a = ABC soit variable.

2. Conjecturer la valeur du reel a pour laquelle l’aire s du trapeze est maximum.

3. On note H le projete orthogonal du point B sur la droite (AD) et on note t l’angle ABH,que l’on peut choisir dans l’intervalle [0; π

2] .

Visualiser, a l’aide du logiciel, l’ensemble des points M de coordonnees (t, s).

4. (a) Demontrer que la fonction f definie par : f(t) = [1 + sin(t)] cos(t) represente l’aire dutrapeze ABCD en fonction de t.

(b) Verifier a l’aide du logiciel que le point M est sur la courbe representative de la fonctionf .

(c) Etudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0; π2] et conclure.

Terminale S365

2008/2009


6. La recette du kaprekar

Soit un nombre N de trois chiffres dont deux au moins sont distincts. On note G le nombreforme avec ces memes chiffres pris dans l’ordre decroissant, et P le nombre forme avec cesmemes chiffres pris dans l’ordre croissant.On calcule la difference D = G−P . Le nombre D devient le nombre initial et on recommencele calcul.(Exemple : N = 878 donne G = 887, P = 788 et D = 887−788 = 99, on remplace N par 99).L’algorithme s’arrete lorsqu’on obtient deux fois de suite le meme nombre D.1. A l’aide d’un tableur et des fonctions ENT(),MOD(),MAX(),MIN() qu’il fournit :

(a) Etablir des formules permettant de calculer les chiffres des unites, dizaines, centainesd’un nombre de trois chiffres puis celles donnant G , P et G − P afin de realiser untableau d’au moins 7 colonnes, comme celui de l’exemple ci-dessous :

A B C D E F G1 N Centaines Dizaines Unites G P D2 878 8 7 8 887 788 993 99 0 9 9 990 99 ...

(b) Appliquer l’algorithme aux nombres 787, 877 et 794 puis a differents nombres de troischiffres.Qu’observe-t-on ? Emettre diverses conjectures sur la suite des nombres obtenus dansla colonne A.

2. Demontrer au moins deux des conjectures emises.

Terminale S366

2008/2009


7. Approche probabiliste d’une integrale

Soit g la fonction numerique definie pour tout x appartenant a [0; 1] par g(x) = x (1− x) e2x

et soit C sa courbe representative dans un repere orthonormal (O;−→i ,−→j ).

1. (a) A l’aide du logiciel (ou de la calculatrice) representer la courbe C .

(b) Soit I, J et K les points de coordonnees respectives (1, 0), (0, 1) et (1, 1). Observer laposition de la courbe C par rapport au carre OIKJ .

Dans la suite de l’exercice, on note D l’ensemble des points de coordonnees (x, y) tels que0 ≤ x ≤ 1 et 0 ≤ y ≤ g(x).On admet que, lorsqu’on choisit un point au hasard a l’interieur du carre OIKJ , la pro-babilite d’obtenir un point appartenant a l’ensemble D est egale a l’aire de cet ensemble(c’est-a-dire de la partie du carre OIKJ situee sous la courbe C ).

On choisit au hasard un point a l’interieur du carre OIKJ . On cherche quelle est la pro-babilite d’obtenir un point appartenant a l’ensemble D .

2. (a) A l’aide d’un tableur, simuler le tirage d’un echantillon de 200 points a l’interieurdu carre OIKJ et determiner la frequence f1 des points appartenant a D dans cetechantillon.

(b) Realiser 9 autres simulations de tirages d’echantillons de 200 points choisis au hasarddans le carre OIKJ et completer le tableau de valeurs suivant, ou k est le rang del’echantillon et fk la frequence des points appartenant a l’ensemble D dans l’echantillonde rang k.

rang k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10frequence fk

Donner des valeurs decimales approchees a 10−3 pres.

(c) A l’aide d’autres simulations, emettre une conjecture sur la probabilite que le pointchoisi appartienne a l’ensemble D .

3. Dans cette question on envisage quelques formes de verifications de la conjecture precedente.

(a) Exprimer la probabilite que le point choisi aleatoirement dans le carre OIKJ appar-tienne a l’ensemble D sous forme d’une integrale I.

(b) Verifier alors le resultat a l’aide de deux integrations par parties successives ou biend’une calculatrice.

Terminale S367

2008/2009

Chapitre 5

Fragments du Bac : Exercices etproblemes

68

Fragments du Bac Theme: Geometrie

[Theme) Geometrie

1. Nombres complexes

1.1. Configurations usuelles

Exercice no 1 [Etude d’un triangle]

Soient les points A, B et C d’affixes respectives 2 + 3, 5 i ; 5 + 0, 5 i et 4 + 5, 5 i.1. Faire une figure (unite graphique : 1 cm).

2. Quel est l’affixe du milieu I du segment [BC] ?

3. Calculer l’affixe des vecteurs ~AB, ~AC et ~BC. En deduire les distances AB, AC et BC.

4. Etudier la nature du triangle ABC.

Exercice no 2 [Etude d’un cercle]

On designe par A, B et C les points d’affixes respectives

zA = 4 +5

2i , zB = 4− 5

2i et zC = 2 +

3

2i.

1. Placer les points A, B et C dans le repere (O; ~u;~v)(on prendra comme unite graphique 2 cm).

2. Calculer les longueurs des cotes du rectangle ABC. En deduire la nature de ABC.

3. Soit E l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z verifie la relation |z − 4| = 52.

(a) Les points A, B, C sont-ils des points de E ?

(b) Determiner l’ensemble E. Quels sont les points de E dont l’affixe est reelle ?

1.2. Ensembles de points

Exercice no 3 [Equations avec le conjugue]

Determiner l’ensemble des points M(z) du plan complexe tels que (i− 2)z− (2 + i)z + 6 = 0.

Meme question avec l’equation (3− 2i)z + (3 + 2i)z = 4.

Exercice no 4 [Fonction homographique complexe]

A tout point M d’affixe z = x + iy (z 6= 2, ecrit sous forme algebrique), on associe le point

M ′ d’affixe Z =z + 2

z − 2.

1. Determiner la partie reelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et de y.

Terminale S369

2008/2009


2. Determiner puis construire l’ensemble des points M du plan complexe tels que :

(a) Z est un reel (a) Z est un imaginaire pur.

3. Reprendre les memes questions avec Z ′ =3z + 1

2z − 4.

Exercice no 5 [Egalite de modules]

1. On considere les nombres complexes z1 = 2 + 2i et z2 = −2i.Soient A et C les points images de z1 et z2 respectivement.

(a) Soit M un point d’affixe z ∈ C. Interpreter geometriquement (a l’aide des points A, Cet M) les quantites |z − 2− 2i| et |z + 2i|.

(b) Determiner l’ensemble ∆ des points M d’affixe z tels que : |z − 2− 2i| = |z + 2i|.(c) Placer A et C puis tracer ∆ dans le repere (O; ~u;~v) (unite graphique : 2 cm).

2. Soient maintenant les nombres z3 =3 + 8i

2iet z4 =

1

4(7 + i)(i− 1).

(a) Ecrire z3 et z4 sous forme algebrique.

(b) Soient B et D les points images respectifs de z3 et z4.Verifier que B et D appartiennent a ∆.

(Genie mecanique, 1993)

0

1.3. Arguments

Exercice no 6 [Lignes de niveau]

01. Comment choisir le nombre complexe z pour que Z = z2 + 2z − 3 soit reel ?

Determiner l’ensemble des points M d’affixe z tel que Z soit reel.

2. On considere les points A et B d’affixes respectives i et 1.

Pour tout point M d’affixe z ∈ C, distinct de A, on pose : Z =1− z

i− z.

Determiner chacun des ensembles de points M(z) definis par les conditions suivantes :

(a) E : Z reel

(b) F : Z imaginaire pur

(c) G : |Z| = 1.

(d) H : arg(Z) = π/2 [2π].

0

Exercice no 7 [Transformations geometriques]

Terminale S370

2008/2009


1. Soit la transformation T du plan complexe qui, a tout point M(z), associe le point M ′

d’affixe z′ − 3

5=

√3

5z − i

√3

2.

Montrer que T peut se decomposer sous la forme T = t h, ou t est une translation et hune homothetie dont on determinera les caracteristiques.Reprendre la meme question pour une decomposition de la forme T = h′ t′.

Exercice no 8 [Identite du parallelogramme]

Montrer que, pour tout nombre complexe z, |z + z′|2 + |z − z′|2 = 2(|z|2 + |z′|2).

Donner une interpretation geometrique de cette relation. 0

Exercice no 9 [QCM Baccalaureat]

0 Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte. 0

1. Soit z ∈ C verifiant z + |z| = 6 + 2i. L’ecriture algebrique de z est :

8

3− 2i − 8

3− 2i

8

3+ 2i − 8

3+ 2i

2. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x+iy verifiant |z − 1| = |z + i|est la droite d’equation :

y = x− 1 y = −x y = −x + 1 y = x

3. Soit n un entier naturel. Le nombre (1 +√

3)n est reel si, et seulement si, n s’ecrit sous laforme :

3k + 1 3k + 2 3k 6k

(avec k entier naturel).

4. Soit l’equation (E) z =6− z

3− zd’inconnue complexe z. Une solution de (E) est :

− 2−√

2i 2 +√

2i 1− i − 1− i

5. Soit deux points A et B d’affixes respectives zA = i et zB =√

3 dans un repere orthonormal(O; ~u;~v).

L’affixe zC du point C tel que ABC soit un triangle equilateral avec(

~AB; ~AC)

= π3

est :

− i 2i √

3 + i √

3 + 2i

6. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy verifiant la relation

arg

(z + 2

z − 2i

)=

π

2

est inclus dans :

Terminale S371

2008/2009


La droite d’equation y = x− 1.

Le cercle de centre I(1 + i) et de rayon R =√

2.

La droite d’equation y = x.

Le cercle de diametre [AB], A et B etant les points d’affixes respectives

zA = −2 et zB = 2i.

Exercice no 10 [Factorisation d’un polynome]

On considere la fonction polynomiale

f(x) = x3 + (1−√

2)x2 + (1−√

2)x + 1.

1. Montrer que −1 est racine de f .

2. Determiner trois nombres reels a, b et c tels que

f(x) = (x + 1)(ax2 + bx + c).

3. Resoudre, dans l’ensemble C des nombres complexes, l’equation f(z) = 0.

4. Dans le plan complexe, rapporte a un repere orthonormal (O, ~u,~v), on considere les pointsA, B, C d’affixes respectives

zA = −1 , zB =

√2

2+ i

√2

2et zC =

√2

2− i

√2

2.

5. Calculer les distances OA, OB et OC.

6. A quel cercle de centre O les points B et C appartiennent-ils ?

7. Utiliser les questions precedentes pour placer les trois points A, B et C dans le repere (unitegraphique : 2 cm). On laissera les traits de construction apparents.

8. Etudier la nature du triangle ABC.

Exercice no 11 [Cercle et trapeze]

On designe par i le nombre complexe de module 1 et d’argument π2. Le plan est rapporte a

un repere orthonormal direct (O,~u,~v), d’unite graphique graphique 1 cm.

On considere les points A, B, C et D d’affixes respectives

zA = 8 , zB = 8i , zC = zAe−iπ/3 et zD = zBe2iπ/3.

1. (a) Ecrire zA et zB sous forme trigonometrique.

(b) Donner le module et un argument de zC et zD et ecrire ces nombres sous formealgebrique.

2. Montrer que les points A, B, C, D sont sur un meme cercle C dont on precisera le centreet le rayon.

Terminale S372

2008/2009


3. Tracer le cercle C et placer les points A, B, C, D.

4. (a) On note Z1 et Z2 les affixes respectives des vecteurs ~AC et ~BD.Montrer que Z2 = Z1

√3.

(b) On note Z3 et Z4 les affixes respectives des vecteurs ~AB et ~DC. Calculer |Z3| et |Z4|.(c) Montrer que ABCD est un trapeze isocele.

Exercice no 12 [Complexes et centre de gravite]

1. On considere trois nombres complexes z1, z2 et z3 tels que :

z1 =√

3 + i , z2 = −√

3 + 3i et z3 =4√

3z2

9z3

.

Determiner le module et un argument de chacun de ces nombres.

2. On se place dans le plan rapporte a un repere orthonormal direct (O,~u,~v), d’unite graphiquegraphique 2 cm.

(a) Placer les points A, B, G d’affixes respectives z1, z2, z3.

(b) Demontrer que OAB est un triangle rectangle.

(c) Quel est le milieu du segment [AB] ?

(d) Montrer que G est le centre de gravite du triangle OAB.

Exercice no 13 [Complexes et produit scalaire]

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π2.

1. Placer, dans le plan complexe muni d’un repere orthonormal direct (O, ~u,~v), les points A,B, C, d’affixes respectives

−3 + i , 2− 3i , 2 + 3i.

L’exercice consiste a checher une valeur approchee a 10−2 pres de la mesure, en degre, de

l’angle geometrique BAC. Les questions 2 et 3 seront traitees de facon independante.

2. Premiere methode. On considere les points M1 et M2 definis par ~OM1 = ~AB et ~OM2 = ~AC.

(a) Determiner l’affixe Z1 du point M1 et l’affixe Z2 du point M2.

(b) Calculer, pour chacun des deux nombres Z1 et Z2, le module (on en donnera la valeurexacte) et un argument (on donnera une valeur approchee a 10−2 pres de la mesurecomprise entre −180 et +180).

(c) Deduire de la question precedente, en utilisant la figure, une valeur approchee de l’angle

geometrique BAC.

3. Deuxieme methode.

(a) Quelles sont les coordonnees des vecteurs ~AB et ~AC ?

(b) En deduire le produit scalaire ~AB. ~AC.

(c) Calculer les longueurs AB et AC puis cos BAC.

(d) En deduire une valeur approchee a 10−2 pres de l’angle geometrique BAC.

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2008/2009


Exercice no 14 [Triangle et quadrilatere]

On considere les nombres complexes suivants :

B z1 de module 3 et d’argument π ;

B z2 de module√

2 et d’argument π4

;

B z3 le conjugue de z2.

1. Ecrire ces nombres complexes sous forme algebrique.

2. Representer les points A1, A2 et A3, d’affixes respectives −3, 1 + i et 1 − i dans le plancomplexe rapporte a un repere orthonormal d’origine O.

3. Quel est la nature du triangle A1A2A3 ?

4. Soient B2 et B3 les symetriques de A2 et A3 par rapport a A1.

(a) Calculer les formes algebriques et les modules des affixes de B2 et B3.

(b) Montrer que OB2

OA2est un nombre entier.

(c) Quelle est la nature du quadrilatere A2A3B2B3 ?

Exercice no 15 [Points cocycliques]

Le plan est rapporte a un repere orthonormal direct (O,~u,~v), d’unite graphique graphique 1cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π

2.

Soit le nombre complexe z = 1− i√

3.

1. Calculer le module et un argument de z et placer le point A d’affixe z.

2. On appelle B et C les points d’affixe respectives z2 et 2z.

(a) Determiner le module et un argument de chacun des nombres z2 et 2z.

(b) Ecrire ces deux nombres sous forme algebrique.

(c) Placer chacun des points B et C.

(d) Montrer que les trois points A, B et C appartiennent a un cercle dont le centre a pour

affixe −32− i

√3

2.

1.4. Exercices du Bac

Exercice no 16 [D’apres Antilles-Guyane 2007]

(O ; ~u , ~v ) est un repere orthonormal direct du plan complexe.

Soit A le point d’affixe 1 + i.

Au point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z′ telle que z′ =1

2(z + iz).

1. On pose z = x + iy et z′ = x′ + iy′ avec x, y, x′ et y′ reels.

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2008/2009


(a) Demontrer les egalites suivantes : x′ =1

2(x + y) et y′ =

1

2(x + y).

En deduire que le point M ′ appartient a la droite (OA).

(b) Determiner l’ensemble des points M du plan tels que M = M ′.

(c) Demontrer que pour tout point M du plan les vecteurs−−−−→MM ′ et

−−→OA sont orthogonaux.

2. Soit r la rotation de centre O et d’angleπ

2. M1 est le point d’affixe z1 image de M par r,

M2 le point d’affixe z2 = z, M3 le point d’affixe z3 tel que le quadrilatere OM1M3M2 soitun parallelogramme.

(a) Dans cette question uniquement M a pour affixe 4 + i, placer les points M , M1, M2,M3.

(b) Exprimer z1 en fonction de z, puis z3 en fonction de z.

(c) OM1M3M2 est-il un losange ? Justifier.

(d) Verifier que z′ − z =1

2iz3.

En deduire que MM ′ =1

2OM3.

3. Demontrer que les points M , M1, M2 e tM3 appartiennent a un meme cercle de centre O

si et seulement si MM ′ =1

2OM .

Donner alors la mesure en radians de l’angle geometrique M ′OM .

Exercice no 17 [D’apres Antilles-Guyane septembre 2007]

Partie A

1. Determiner le nombre complexe α tel que

α(1 + i) = 1 + 3iiα2 = −4 + 3i

2. Pour tout nombre complexe z, on pose f(z) = z2 − (1 + 3i)z + (−4 + 3i).Montrer que f(z) s’ecrit sous la forme (z − α)(z − iα).En deduire les solutions sous forme algebrique de l’equation f(z) = 0.

Partie BLe plan complexe est rapporte a un repere orthonorme (O ; ~u , ~v ), unite graphique : 5 cm.

1. On considere les points A et ¿B d’affixes respectives a = 2 + i zet b = −1 + 2i.Placer A et B dans le repere et completer la figure au fur et a mesure.Montrer que b = iα, en deduire que le triangle OAB est un triangle isocele rectangle tel

que(−−→OA ,

−−→OB

)=

π

2.

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2008/2009


2. On considere le point C d’affixe c = −1 +1

2i. Determiner l’affixe du point D tel que le

triangle OCD soit un triangle isocele rectangle tel que(−−→OC ,

−−→OD

)=

π

2.

On pourra conjecturer l’affixe de D a l’aide de la figure pour traiter la question suivante.

3. Soit M le milieu de [CB]. On appelle z−−−−→OM

et z−−−→DA

les affixes respectives des vecteurs−−→OM

et−−→DA . Prouver que :

z−−−−→OM

z−−−→DA

=1

2i.

4. Donner une mesure en radians de l’angle(−−→DA ,

−−→OM

).

5. Prouver que OM =1

2DA.

6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].On admet que le quadrilatere JKLM est un parallelogramme. Demontrer que c’est un carre.

Exercice no 18 [D’apres La Reunion septembre 2007]

Soit les nombres complexes :

z1 =√

2 + i√

6, , z2 = 2 + 2i et Z =z1

z2

.

1. Ecrire Z sous forme algebrique.

2. Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z.

3. En deduire cosπ

12et sin

π

12.

4. Le plan est muni d’un repere orthonormal ; on prendra 2 cm comme unite graphique.On designe par A, B et C les points d’affixes respectives z1, z2 et Z. Placer le point B,puis placer les points A et C en utilisant la regle et le compas (on laissera les traits deconstruction apparents).

5. Ecrire sous forme algebrique le nombre complexe Z2 007.

Exercice no 19 [D’apres Polynesie septembre 2007]

Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuillejointe en annexe . Cette feuille ne sera pas remise avec la copie.Le plan complexe est rapporte a un repere orthonormal direct (O ; ~u , ~v ).On considere un triangle OAB et une similitude directe σ de centre O, de rapport 2 et d’angleθ. Soit :• les points A′ et B′, images respectives des points A et B par la similitude σ ;• les points I, milieu du segment [A′ B] et J, milieu du segment [A B′] ;• le point M milieu du segment [AA′] ;• Je point H, projete orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H′ image du point

H par la similitude σ.

Partie A. Etude d’un exempleDans cette partie, le point A a pour affixe −6 + 4i, le point B a pour affixe 2 + 4i, et le point

Terminale S376

2008/2009


H, projete orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe 4i.

La similitude σ est la similitude directe de centre O, de rapport1

2et d’angle

π

2.

1. Determiner les affixes des points A′, B′ et H′.

2. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire a la droite (HH′).

Partie B. Etude du cas general

1. (a) Montrer que H′ est le projete orthogonal du point O sur la droite (A′ B′).

(b) Montrer que−−→MI =

1

2

−−→AB . On admet que

−−→MJ =

1

2

−−−→A′B′ .

(c) En deduire queMJ

MI=

OH′

OHet que

(−−→MI ,

−−→MJ

)=(−−→OH ,

−−→OH′

)+ k × 2π, k ∈ Z.

2. On appelle s la similitude directe qui transforme M en O et I en H.On note K l’image du point J par la similitude s.

(a) Montrer que OK= OH′, puis que(−−→MI ,

−−→MJ

)=(−−→OK ,

−−→OH′

)+ k × 2π, k ∈ Z.

(b) En deduire que le point H′ est l’image du point J par la similitude s.

3. Montrer que(−→IJ ,

−−→HH′

)=(−−→MJ ,

−−→OH

)+ k × 2π, k ∈ Z.

Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire a la droite (HH′).

ANNEXE

Partie A

Partie B

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2008/2009


Exercice no 20.Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner unedemonstration de la reponse choisie.Le plan complexe est rapporte a un repere orthonormal direct (O, ~u,~v).

1. Soit z un nombre complexe d’argumentπ

3.

Proposition 1 : « z100 est un nombre reel ».

2. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z differente de 1 du plan telle que

∣∣∣∣ z

1− z

∣∣∣∣ = 1.

Proposition 2 : « l’ensemble (E) est une droite parallele a l’axe des reels ».

3. Soit r la rotation d’angle −π

2et dont le centre K a pour affixe 1 + i

√3.

Proposition 3 : « l’image du point O par la rotation r a pour affixe(1−

√3)

+ i(1 +

√3)

».

4. On considere l’equation (E) suivante : z2 + 2 cos(π

5

)z + 1 = 0.

Proposition 4 : « l’equation (E) a deux solutions complexes de modules egaux a 1 ».

Dans le plan complexe rapporte au repere orthonormal direct (O,~u,~v), le point A a pour affixei.On nomme f l’application qui, a tout point M d’affixe z avec z 6= i associe le point M ′ d’affixez′ telle que :

z′ =−z2

z − i

Le but de l’exercice est de construire geometriquement le point M ′ connaissant le point M .

1. Un exemple

On considere le point K d’affixe 1 + i.

(a) Placer le point K.

(b) Determiner l’affixe du point K′ image de K par f .

(c) Placer le point K′.

2. Des points pour lesquels le probleme ne se pose pas

(a) On considere le point L d’affixei

2. Determiner son image L′ par f . Que remarque-t-

on ?

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(b) Un point est dit invariant par f s’il est confondu avec son image.

Demontrer qu’il existe deux points invariants par f dont on determinera les affixes.

3. Un procede de construction

On nomme G l’isobarycentre des points A, M , et M ′, et g l’affixe de G.

(a) Verifier l’egalite g =1

3(z − i).

(b) En deduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon r , alors G est un

point du cercle de centre O de rayon1

3r.

(c) Demontrer que arg g = −(−→u ;

−−−→AM

).

(d) Sur la feuille annexe, on a marque un point D sur le cercle de centre A et de rayon1

2.

On nomme D′ l’image de D par f . Deduire des questions precedentes la constructiondu point D′ et la realiser sur la figure annexe.

Sur la figure ci-dessous le segment [OI ] tel que−→u =

−→OI est partage en six segments d’egale

longueur.

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2008/2009


Exercice no 21.Le plan complexe est rapporte au repere orthonormal diiect (O, ~u,~v). On prendra pour le

dessin :∥∥∥−→u ∥∥∥ = 4 cm.

M est un point d’affixe z non nul. On designe par M ′ le point d’affixe z′ telle que

z′ = −1

z.

ou z designe le conjugue du nombre complexe z.

A - Quelques proprietes

1. Soit z un nombre complexe non nul. Determiner une relation entre les modules de z et z′

puis une relation entre les arguments de z et z′.

2. Demontrer que les points O, M et M ′ sont alignes.

3. Demontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l’egalite :

z′ + 1 =1

z(z − 1).

B - Construction de l’image d’un pointOn designe par A et B les deux points d’affixes respectives 1 et −1.On note C l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z verifie : |z − 1| = 1.

1. Quelle est la nature de l’ensemble C ?

2. Soit M un point de C d’affixe z, distinct du point O.

(a) Demontrer que |z′ + 1| = |z′|. Interpreter geometriquement cette egalite.

(b) Est-il vrai que si z′ verifie l’egalite : |z′ + 1| = |z′|, alors z verifie l’egalite :

|z − 1| = 1?

3. Tracer l’ensemble C sur une figure. Si M est un point de C , decrire et realiser la constructiondu point M ′.

Exercice no 22.Le plan complexe est rapporte au repere orthonornial direct (O,~u,~v) ; l’unite graphique est1 cm.

1. Resoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’equation :

z2 + 4z + 8 = 0.

On donnera les solutions sous forme algebrique, puis sous forme trigonometrique.

2. On note A et B les points du plan d’affixes respectives : a = 2 − 2i et b = −a. Placer cespoints sur un graphique qui sera complete au fil de l’exercice.

(a) Determiner l’affixe c du point C, image du point B par la rotation de centre O et

d’angleπ

2.

(b) On note D l’image de C par la rotation de centre A et d’angleπ

2; demontrer que l’affixe

d du point D est d = 2− 6i.

(c) Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du quadrilatere ABCD?

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2008/2009


3. α etant un nombre reel non nul, on designe par Gα, le barycentre du systeme :

(A ; 1) ; (B ; −1) ; (C ; α) .

(a) Exprimer le vecteur−−−→CGα en fonction du vecteur

−−→BA .

(b) En deduire l’ensemble des points Gα lorsque α decrit l’ensemble des reels non nuls.Construire cet ensemble.

(c) Pour quelle valeur de α a-t-on Gα = D?

4. On suppose dans cette question que α = 2.

Dans cette question, toute trace de recherche, meme incomplete, ou d’initiative non fruc-tueuse, sera prise en compte dans l’evaluation.

Determiner et construire l’ensemble des points M du plan tels que :∥∥∥−−−→MA −−−→MB + 2

−−→MC

∥∥∥ = 4√

2.

Exercice no 23.Le plan est muni d’un repere orthonormal direct (O,~u,~v) (unite graphique : 1 cm).Soient A, B et I les points d’affixes respectives 1 + i, 3− i et 2.A tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z′ telle que z′ = z2 − 4z. Le pointM ′ est appele l’image de M .

1. Faire une figure sur une feuille de papier millimetre et completer cette figure tout au longde l’exercice.

2. Calculer les affixes des points A′ et B′, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?

3. Determiner les points qui ont pour image le point d’affixe −5.

4. (a) Verifier que pour tout nombre complexe z, on a : z′ + 4 = (z − 2)2.

(b) En deduire une relation entre |z′ + 4| et |z − 2| et, lorsque z est different de 2, unerelation entre arg(z′ + 4) et arg (z − 2),

(c) Que peut-on dire du point M ′ lorsque M decrit le cercle C de centre I et de rayon 2 ?

5. Soient E le point d’affixe 2 + 2eiπ3 , J le point d’affixe −4 et E′ l’image de E.

(a) Calculer la distance IE et une mesure en radians de l’angle(~u;−→IE).

(b) Calculer la distance JE′ et une mesure en radians de l’angle(~u;−−→JE′

).

(c) Construire a la regle et au compas le point E′ ; on laissera apparents les traits deconstruction.

Exercice no 24.Le plan complexe est rapporte a un repere orthonormal (O,~u,~v).Soit (C ) le cercle de centre O et de rayon 1.On considere le point A de (C ) d’affixe zA = eiπ

3 .

1. Determiner l’affixe zB du point B image de A par la rotation de centre O et d’angle2π

3.

Determiner l’affixe zC du point C image de B par la rotation de centre O et d’angle2π

3.

Terminale S381

2008/2009


2. (a) Justifier que (C ) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, Bet C sur la feuille de papier millimetre.

(b) Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier.

3. Soit h l’homothetie de centre O et de rapport −2.

(a) Completer la figure en placant les points P, Q et R images respectives des points A, Bet C par h.

(b) Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier.

4. Dans cette question le candidat est invite a porter sur sa copie les etapes de sa demarchememe si elle n’aboutit pas.

(a) Donner l’ecriture complexe de h.

(b) Calculer zA + zB + zC. En deduire que A est le milieu du segment [QR].

(c) Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle (C ) ?

Exercice no 25.

1. Resoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’equation z2 − 6z + 13 = 0. Le plancomplexe est rapporte a un repere orthonormal direct (O,~u,~v) d’unite graphique 1 cm. Onconsidere les points A, B, C d’affixes respectives

a = 3− 2i, b = 3 + 2i, c = 4i.

2. Faire une figure et placer les points A, B, C.

3. Montrer que OABC est un parallelogramme.

4. Determiner l’affıxe du point Ω, centre du parallelogramme OABC.

5. Determiner et tracer l’ensemble des points M du plan tels que∥∥∥−−−→MO +−−−→MA +

−−→MB +

−−→MC

∥∥∥ = 12.

6. Soit M un point de la droite (AB). On designe par β la partie imaginaire de l’affixe du

point M . On note N l’image du point M par la rotation de centre Ω et d’angleπ

2.

(a) Montrer que N a pour affixe5

2− β +

5

2i.

(b) Comment choisir β pour que N appartienne a la droite (BC) ?

2. Incidence et orthogonalite dans l’espace

Exercice no 26.On considere le cube ABCDEFGH. vrai ou faux :1. Le vecteur

−−→AG est normal au plan (BDE).

2. Les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires.

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3. Barycentres dans l’espace

Exercice no 27 [Centre de gravite d’une plaque metallique]

On se propose de determiner la position du centre de gravite de la surface supposee homogenecoloriee sur la figure ci-dessous, sur laquelle les cotes sont en millimetres.

Pour cela on munit le plan de la section d’un repere orthonormal (O,~i,~j) tel que l’axe desordonnees soit axe de symetrie (voir figure).

1. On decoupe la surface en cinq surfaces elementaires : trois surfaces rectangulaires ABCD,EFGH, IJHC, et deux surfaces triangulaires AKL et FMN (voir figure).

Determiner les coordonnees des centres de gravite respectifs G1, G2, G3, G4, G5 des cinqsurfaces elementaires precedentes.

2. En admettant que le centre de gravite G de la surface totale est le barycentre du systeme descinq points G1, G2, G3, G4, G5 affectes respectivement de l’aire de la surface correspondante,determiner une valeur approchee a 10−1 pres de chacune des coordonnees de G.

Exercice no 28 [Autour du centre de gravite d’un tetraedre]

On considere ABCD, un tetraedre de l’espace, ainsi que A′, B′, C ′ et D′ les centres de graviterespectifs des triangles BCD, CDA, DAB et ABC.

Montrer que les droites (AA′), (BB′), (CC ′) et (DD′) sont concourantes.

Une reponse : Le point A′ etant le centre de gravite du triangle BCD, c’est doncl’isobarycentre des points B, C et D. Si on prend toutes les masses egales a 1, A′ est lebarycentre du systeme (B, 1), (C, 1), (D, 1).

On a un resultat analogue pour chacun des points B′, C ′ et D′.

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D’ou l’idee de considerer le systeme (A, 1), (B, 1), (C, 1), (D, 1) : la somme des masses n’etantpas nulle, il a un barycentre G (qui est en fait l’isobarycentre des points A, B, C et D).

D’apres le theoreme d’associativite du barycentre, G est barycentre du systeme (A, 1), (A′, 3) :donc G appartient a la droite (AA′).

On montre de la meme facon que G appartient aux droites BB′, CC ′ et DD′.

B Conclusion : Les droites (AA′), (BB′), (CC ′) et (DD′) sont concourantes en G.

Exercice no 29 [Dans le plan]

Soient ABCD un quadrilatere quelconque, I le milieu de [AC] et J celui de [BD]. On noted’autre part :

• K et L les points tels que ~KA = −2 ~KB et ~DL = 13

~DC

• M le milieu de [KL].

1. Montrer que K est le barycentre du systeme (A, 1); (B, 2).2. Montrer que L est le barycentre du systeme (D, 2); (C, 1).3. En deduire que M est le barycentre du systeme (A, 1); (B, 2); (D, 2); (C, 1) puis du

systeme (I, 2); (J, 4).4. Que peut-on dire des points I, J et M ?

Exercice no 30 [Dans un parallelogramme]

Soient ABCD un parallelogramme, I le milieu de [AD], E le centre de gravite du triangle

ADC et K le milieu de [EB]. On note d’autre part F le point tel que ~BF = 14

~BC.

1. Montrer que K est le barycentre du systeme (A, 1); (B, 3); (C, 1); (D, 1).2. En deduire que les points I, K et F sont alignes.

3. On note L le point tel que ~AL = 34

~AB et M le milieu de [CD]. Montrer que les points L,K et M sont alignes.

Exercice no 31 [Dans un tetraedre]

Soient ABCD un tetraedre, F le milieu de [AD], G le centre de gravite du triangle ABC, etE le point du plan (BCD) tel que BDCE soit un parallelogramme.

1. Montrer que D est le barycentre du systeme (B, 1); (C, 1); (E,−1).2. En deduire que les points E, F et G sont alignes.

Exercice no 32 [Dans un cube]

Soient ABCDEFGH un cube, I le milieu de [AB] et J le centre de gravite du carre EFGH.

On note d’autre part P , Q les points tels que ~BQ = 13

~GB et ~AP = 13

~AE ainsi que K le milieude [PQ].

Montrer que les points E, F et G sont alignes.On considere un cube ABCDEFGH d’arete de longueur 3.

Terminale S384

2008/2009



On choisit le repere orthonormal(D ;

−→ı ,

−→ ,

−→k)

tel que−→ı =

1

3

−−→DA ,

−→ =

1

3

−−→DC et

−→k =

1

3

−−→DH .

1. (a) Donner les coordonnees des points A, C et E.

(b) Determiner les coordonnees du point L barycentre du systeme (C ; 2), (E ; 1).

(c) Determiner les coordonnees des vecteurs−−→AE et

−−→DL .

2. Soit (a, b) un couple de reels. On note M le point de la droite (AE) tel que−−−→AM = a

−−→AE

et N le point de la droite (DL) tel que−−−→DM = b

−−→DL .

(a) Montrer que le vecteur−−−→MN est orthogonal aux vecteurs

−−→AE et

−−→DL si et seulement

si le couple (a, b) verifie le systeme

−a + 2b = 13a− b = 0

(b) En deduire qu’il existe un seul point M0 de (AE) et un seul point N0 de (DL) tels quela droite (M0N0) est orthogonale aux droites (AE) et (DL).

(c) Determiner les coordonnees des points M0 et N0 puis calculer la distance M0N0.


L’espace est rapporte au repere orthonorme (O ; ~ı , ~ , ~k ).

On considere les points A(3 ; 0 ; 6) et I(0 ; 0 ; 6), et l’on appelle (D) la droite passant parA et I.

On appelle (P ) le plan d’equation 2y + z − 6 = 0 et (Q) le plan d’equation y − 2z + 12 = 0.

1. Demontrer que (P ) et (Q) sont perpendiculaires.

2. Demontrer que l’intersection des plans (P ) et (Q) est la droite (D).

3. Demontrer que (P ) et (Q) coupent l’axe(O ;

−→)

et determiner les coordonnees des points

B et C, intersections respectives de (P ) et (Q) avec l’axe(O ;

−→).

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2008/2009


4. Demontrer qu’une equation du plan (T ) passant par B et de vecteur normal−−→AC est

x + 4y + 2z − 12 = 0.

5. Donner une representation parametrique de la droite (OA).

Demontrer que la droite (OA) et le plan (T ) sont secants en un point H dont on determinerales coordonnees.

6. Que represente le point H pour le triangle ABC ? Justifier.

4. Similitudes du plan (specialite)


(O ; ~u , ~v ) est un repere orthonormal direct du plan complexe (unite graphique 1 cm).

On considere le point A d’affixe zA = 1 + i.

On note S1 la symetrie orthogonale par rapport a l’axe(O ;

−→u)

et h l’homothetie de centre

O et de rapport 3. On pose s = h S1.

Partie A

1. Placer le point A et completer la figure au fur et a mesure.

2. Quelle est la nature de la transformation s ? Justifier.

3. Determiner l’ecriture complexe de la transformation s.

Terminale S386

2008/2009


4. (a) Determiner l’affixe zB du point B image de A par s.

(b) Montrer que zB = −3izA. Determiner une mesure de l’angle(−−→OA ,

−−→OB

).

5. Soient M le milieu de [AB] et P l’image de M par s. Montrer que la droite (OP ) estperpendiculaire a la droite (AB).

Partie B

1. On pose C = s(B). Montrer que P est le milieu de [BC].

2. (a) Determiner l’ecriture complexe de s s et en deduire sa nature.

(b) Montrer que l’image de la droite (OP ) par s est la droite (OM).

(c) Que represente le point M pour le triangle OBP ? Justifier.


ABC est un triangle equilateral tel que(−−→AB ,

−−→AC

)=

π

3+ 2kπ, k ∈ Z.

Soit t un nombre reel fixe et soient les points M, N et P , deux a deux distincts, definis par

−−−→AM = t

−−→AB ,

−−→BN = t

−−→BC et

−−→CP = t

−−→CA .

Le but de l’exercice est de demontrer l’existence d’une unique similitude directe σ qui trans-forme les points A, B et C en respectivement M, N et P , et d’en preciser les elementscaracteristiques.On munit le plan dun repere orthonorinal (O ; ~u , ~v ) direct.On note a, b, c, m, n et p, les affixes respectives des points A, B, C, M, N et P .

1. On rappelle que toute similitude conserve le barycentre.

(a) Exprimer m, n et p en fonction de a, b, c et t.

(b) En deduire que les deux triangles ABC et MNP ont meme centre de gravite.Ou notera G ce centre de gravite.

(c) On suppose que σ existe. Determiner l’image de G par σ.

2. On considere la rotation r dc centre G et d’angle2π

3.

(a) Verifier que M est le barycentre du systeme de points A(1− t) ; B(t), et en deduireque r(M) = N .On admet de meme que r(N) = P et r(P ) = M .

(b) Soit σ1, la similitude directe de centre G de rapportGM

GAet d’angle

(−−→GA ,

−−→GM

).

Montrer qu’elle transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P .

(c) Conclure sur l’ existence et l’unicite de σ.

Terminale S387

2008/2009

Fragments du Bac Theme: Suites numeriques

[Theme) Suites numeriques

1. Suites numeriques

Exercice no 1 [Methodologie : Monotonie de suites recurrentes]

Etudier la monotonie des suites suivantes :

• la suite a de premier terme a1 = 3 et de relation de recurrence an+1 = n + 1 + an

• la suite b de premier terme b1 = 1/3 et de relation de recurrence bn+1 = n+13 n

bn

• la suite u definie par u0 = 2 et un+1 = (un − 1)2

• la suite v definie par v0 = 1 et vn+1 =√

v2n + 1

• la suite w definie par w0 = 1 et wn+1 = 11−w2

n.

Exercice no 2 [Utilisation d’une suite arithmetico-geometrique]

1. La suite u est definie par : u0 = 2 et un+1 =1

3un +

23

27pour tout entier naturel n.

(a) On a represente dans un repere orthonormal direct ci-dessous, la droite d’equation

y =1

3x +

23

27et le point A de coordonnees (2; 0). Construire sur l’axe des abscisses les

quatre premiers termes de la suite u.

(b) Demontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est ` =23

18.

(c) Demontrer que pour tout entier naturel n on a : un ≥23

18.

(d) Etudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.

Terminale S388

2008/2009


2. (a) Soit n un entier naturel superieur ou egal a 1. Demontrer que :

n+1∑k=2

1

10k=

1

90

(1− 1

10n

), c’est-a-dire

1

102+

1

103+ · · ·+ 1

10n+1=

1

90

(1− 1

10n

).

(b) La suite v est definie par vn = 1,277 7 . . . 7 avec n decimales consecutives egales a 7.Ainsi v0 = 1, 2, v1 = 1, 27 et v2 = 1, 277.En utilisant la question (a) demontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnelr (c’est-a-dire le quotient de deux entiers).

3. La suite u definie a la question 1 et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.

Exercice no 3 [Suite avec parametre]

Soit a un nombre reel tel que −1 < a < 0.On considere la suite u definie par u0 = a et, pour tout entier naturel n, un+1 = u2

n + un.

1. Etudier la monotonie de la suite u.

2. Soit h la fonction definie sur R par h(x) = x2 + x.

(a) Etudier le sens de variations de la fonction h.

(b) En deduire que pour tout x appartenant a l’intervalle ]− 1 ; 0[, le nombre h(x) appar-tient aussi a l’intervalle ]− 1 ; 0[.

(c) Demontrer que pour tout entier naturel n on a : −1 < un < 0.

3. Etudier la convergence de la suite u. Determiner, si elle existe, sa limite.

Exercice no 4 [Suite recurrente]

Soient la suite u definie par u0 = −1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 15un + 4 n + 3 et

v la suite de terme general vn = 2 un − 10 n + 5.

1. Montrer que v est une suite geometrique.

2. (a) Calculer v0 puis vn en fonction de n.

(b) En deduire que, pour tout entier naturel n, un =3

2× 1

5n+ 5 n− 5

2.

3. Montrer que u peut s’ecrire sous la forme u = t + w ou t est une suite geometrique et wune suite arithmetique.

4. (a) Calculer, pour tout entier naturel n, Tn =n∑

i=0

ti et Wn =n∑

i=0

wi.

(b) En deduire, pour tout entier naturel n, Un =n∑

i=0

ui.

0

Exercice no 5 [Suites recurrentes homographiques]

1. On considere :

• la fonction f definie sur R− 5 par f(x) =3x− 16

x− 5.

Terminale S389

2008/2009


• la suite u definie par

u0 = 10un+1 = f(un), ∀n ∈ N

(a) Verifier que la suite u est bien definie pour tout entier naturel n.

(b) Montrer que l’equation f(x) = x admet une unique solution a.

(c) Montrer que la suite v de terme general vn =1

un − aest arithmetique.

(d) Exprimer vn puis un en fonction de n ∈ N. En deduire lim+∞

u.

2. On considere la fonction g definie sur R − −2 par g(x) =3x + 1

x + 2ainsi que la suite w

definie par

w0 = 3wn+1 = g(wn), ∀n ∈ N

(a) Verifier que la suite w est bien definie pour tout entier naturel n.

(b) Montrer que l’equation g(x) = x admet deux solutions α et β.

(c) Montrer que la suite z de terme general zn =wn − α

wn − βest geometrique.

(d) Exprimer zn puis wn en fonction de n ∈ N. En deduire limn→∞

wn.

2. Demonstrations par recurrence

Exercice no 6 [Calculs de sommes]

1. Pour tout entier n ≥ 1, on pose tn = 1 + 2 + ... + n.

(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, tn =n(n + 1)

2.

(b) En deduire que, pour tout n ≥ 1,n∑

k=1

tk =n(n + 1)(n + 2)

6.

2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n,n∑

k=1

k2 =n(n + 1)(2n + 1)

6.

3. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1,n∑

k=1

k3 =n2(n + 1)2

4=

(n∑

k=1

k

)2

.

4. Calculer, pour tout entier naturel n ≥ 2, la sommen∑

k=1

1

k(k + 1).

0

Exercice no 7 [Derivees successives d’une fonction]

Soit la fonction f definie sur R par f : x 7→ 1√x2 + 1

.

Montrer que, pour tout entier naturel n, sa derivee n-ieme existe et est definie sur R et que,pour tout reel x, f (n)(x) = pn(x)(1+x2)−n−1/2, ou pn est une fonction polynome de degre n.

Terminale S390

2008/2009




3un +

23


(a) On a represente dans un repere orthonorme direct du plan en annexe, la droite d’equation

y =1

3x +

23

27et le point A de coordonnees (2; 0). Construire sur l’axe des abscisses les



18.

(c) Demontrer que pour tout entier naturel n on a : un >23

18.



n+1∑k=2

1

10k=

1

90

(1− 1

10n

)c’est-a-dire que

1

102+

1

103+ · · ·+ 1

10n+1=

1

90

(1− 1

10n

)(b) La suite v est definie par vn = 1,277 7 . . . 7 avec n decimales consecutives egales a 7.

Ainsi v0 = 1, 2, v1 = 1, 27 et v2 = 1, 277.En utilisant le a demontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c’est-a-dire le quotient de deux entiers).

3. La suite u definie au 1 et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.

Exercice no 9.On considere la suite (un)n∈N definie par :

u0 = 5 et, pour tout entier n > 1, un =

(1 +

2

n

)un−1 +

6

n.

1. (a) Calculer u1.

(b) Les valeurs de u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9, u10, u11 sont respectivement egales a :

45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.

A partir de ces donnees conjecturer la nature de la suite (dn)n∈N definie par dn =un+1 − un.

2. On considere la suite arithmetique (vn)n∈N de raison 8 et de premier terme v0 = 16.

Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est egale a

4n2 + 12n.

3. Demontrer par recurrence que pour tout entier naturel n on a :

un = 4n2 + 12n + 5.

4. Valider la conjecture emise a la question 1. b..

Exercice no 10.


3un +

23


Terminale S391

2008/2009


(a) On a represente dans un repere orthonorme direct du plan ci-dessous, la droite d’equation

y =1

3x +

23

27et le point A de coordonnees (2 ; 0). Construire sur l’axe des abscisses les



18.

(c) Demontrer que pour tout entier naturel n on a : un >23

18.



n+1∑k=2

1

10k=

1

90

(1− 1

10n

)c’est-a-dire que

1

102+

1

103+ · · ·+ 1

10n+1=

1

90

(1− 1

10n

)

(b) La suite v est definie par vn = 1, 277 7 · · · 7 avec n decimales consecutives egales a 7.

Ainsi v0 = 1, 2, v1 = 1, 27 et v2 = 1, 277.

En utilisant le a demontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c’est-a-dire le quotient de deux entiers).

3. La suite u definie au 1 et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.

Terminale S392

2008/2009

Fragments du Bac Theme: Fonctions numeriques

[Theme) Fonctions numeriques

1. Generalites

Exercice no 1 [Continuite et derivablite (ROC)]

Partie I. QCM

Sept affirmations, reparties en deux themes et numerotees 1.a) a 2.d) sont proposees ci-dessous.Le candidat portera sur la copie, en regard du numero de l’affirmation, et avec le plus grandsoin, la mention vrai ou faux.

Chaque reponse convenable rapporte 0, 5 point. Chaque reponse erronee enleve 0, 25 point. Iln’est pas tenu compte de l’absence de reponse. Un eventuel total negatif est ramene a 0.

1. Soit f une fonction numerique definie sur un intervalle ouvert I et soit a un element de I.

∗ Affirmation 1.a) Si f est derivable en a, alors f est continue en a.

∗ Affirmation 1.b) Si f est continue en a, alors f est derivable en a.

∗ Affirmation 1.c) Si f est derivable en a, alors la fonction h 7→ f(a + h)− f(a)

hadmet

une limite finie en 0.

2. On considere deux suites (un) et (vn) definies sur N.

∗ Affirmation 2.a) Si limn→+∞

un = +∞ et limn→+∞

vn = −∞ alors limn→+∞

(un + vn) = 0.

∗ Affirmation 2.b) Si (un) converge vers un reel non nul et si limn→+∞

vn = +∞ alors la

suite (un × vn) ne converge pas.

∗ Affirmation 2.c) Si (un) converge vers un reel non nul, si (vn) est positive et

si limn→+∞

vn = 0, alors la suite

(un

vn

)ne converge pas.

∗ Affirmation 2.d) Si (un) et (vn) convergent alors la suite

(un

vn

)converge.

Partie II. Justifications

Justifier les reponses apportees aux affirmations 1a) et 1b).

Dans le cas FAUX, en apportant un contre-exemple ; dans le cas VRAI, en redigeant unedemonstration rigureuse.

Terminale S393

2008/2009


Exercice no 2 [Derivation et composition (avec ROC)]

Les parties 1 et 2 portent sur le meme theme, la derivation, mais sont independantes.

1. Restitution organisee des connaissances

La formule donnant la derivee du produit de deux fonctions derivables est supposee connue.On a enonce ci-dessous deux propositions designees par P et Q. Dire pour chacune d’ellessi elle est vraie ou fausse et justifier.

Dans cet exercice n designe un entier naturel strictement superieur a 1.

• P : Soit f la fonction definie sur R par f(x) = xn ; alors f est derivable sur R, dederivee f ′ donnee sur R par : f ′(x) = n xn−1.

• Q : Soit u une fonction derivable sur R et soit f la fonction definie sur R par f = un ;alors f est derivable sur R, de derivee f ′ donnee sur R par : f ′ = n un−1.

2. On designe par g la fonction definie sur ]− 1; 1[ par g(0) = 0 et g′(x) =1√

1− x2ou g′

designe la derivee de la fonction g sur ]− 1; 1[ ; on ne cherchera pas a expliciter g(x).

On considere alors la fonction composee h definie sur ]− π; 0[ par h(x) = g(cos x).

(a) Demontrer que pour tout x de ]− π; 0[ on a h′(x) = 1, ou h′ designe la derivee de h.

(b) Calculer h(−π

2

)puis donner l’expression de h(x).

Exercice no 3 [derivation et parite]

1. On considere une fonction f derivable et paire sur R. Soit d’autre part la fonction h definiepour tout reel x par h(x) = f(x)− f(−x) (relation A).

(a) Que peut-on dire de la fonction h ?

(b) En utilisant la relation (A), montrer que h est derivable et determiner h′.

(c) En deduire que f ′ est impaire.

2. Vrai ou faux : Si une fonction f est impaire et derivable sur R alors f ′ est paire. Justifierla reponse.

0

Exercice no 4 [Etude d’une fonction rationnelle]

Soit la fonction T definie sur ]3/2; +∞[ par T : x 7→ −x2 − 2x + 5

2x− 3.

On note CT sa courbe dans un repere cartesien du plan.

1. Variations et extrema

(a) Justifier que T est derivable puis etablir que T ′(x) = −2(x− 1)(x− 2)

(2x− 3)2.

(b) En deduire le sens de variation de T sur ]3/2; +∞[ puis dresser son tableau de variation.

2. Calculer la limite de T (x) lorsque x tend vers 3/2. Interpreter graphiquement le resultat.

Terminale S394

2008/2009


3. Comportement en +∞(a) Calculer la limite de T (x) lorsque x tend vers +∞.

(b) Montrer que, pour tout x > 3/2, : T (x) = −x

2− 7

4− 1

4(2x− 3).

(c) En deduire que CT admet un asymptote ∆ en +∞ dont on determinera une equation.

(d) Etudier la position relative de CT par rapport a ∆ sur l’intervalle ]3/2; +∞[.

0

Exercice no 5 [D’apres Baccalaureat Amiens, 1989]

On considere dans le plan (P ) rapporte a un repere orthonormal (O;~i,~j), le cercle (Γ) decentre O et de rayon 1 ainsi que les points A(1; 0) et A′(−1; 0).

1. Par tout point H du segment [AA′] distinct de A et de A′, on mene la perpendiculaire

(∆) a la droite (AA′). La droite (∆) coupe le cercle (Γ) en M et M ′. On pose ~OH = x~i.Calculer en fonction de x l’aire du triangle AMM ′.

2. Soit f la fonction numerique definie sur [−1; 1] par : f(x) = (1−x)√

1− x2 et soit (C) sacourbe representative dans un plan rapporte a un repere orthonormal ou l’unite de longueurest 4 cm.

(a) Etudier la derivabilite de f en −1 et en 1. En deduire les tangentes a la courbe (C)aux points d’abscisses −1 et 1.

(b) Dresser le tableau de variations de f . On y precisera f(0).

(c) Tracer la courbe (C).

3. Montrer que le triangle AMM ′ d’aire maximale est equilateral.

4. Justifier que l’equation f(x) = 1 admet exactement deux solutions α et β (α < β).Determiner β et en donner une valeur approchee par defaut a 10−3 pres de α.

0

Exercice no 6 [Mecanique classique et mecanique relativiste]

En mecanique newtonnienne1, la masse d’un corps a la propriete d’etre constante. En mecaniquerelativiste2, a contrario, la masse d’un corps en mouvement est fonction de sa vitesse :

m =m0√1− v2

c2

, (5.1)

Ou m0 est la masse du corps au repos et c la vitesse de la lumiere dans le vide, v et c etantexprimees dans les memes unites.

? I. Applications numeriques

Calculer, a 10−9 pres, le rapport des massesm

m0

dans les deux cas suivants (on prendra

c = 300 000 km.s−1) :

1Celle que l’on apprend au lycee2Fondee par Enstein.

Terminale S395

2008/2009


B La Terre qui tourne autour du soleil a la vitesse de 29, 7 km.s−1.

B La comete Kohoutek3 qui a ete observee a 111, 6 km.s−1.

? II. La mecanique newtonnienne comme approximation de la mecanique relati-visteEn mecanique, l’energie d’un corps est sa capacite a fournir du travail, c’est-a-dire a produireun deplacement. L’energie cinetique est celle qu’il faut depenser pour faire passer un corps aurepos a une vitesse donnee. Par exemple, pour mouvoir un bateau a voile on utilise l’energiecinetique des masses d’air en mouvement.

La relation (5.1) conduit a l’expression suivante de l’energie cinetique : E = (m−m0) c2.

On se propose de montrer que, pour v/c suffisamment proche de 0, la quantite1

2m0 v2,

est une valeur approchee de E. On reconnait ici la formule bien connue donnant l’energiecinetique en mecanique classique.

On pose x =(v

c

)2

.

B Question. Sachant qu’il est physiquement impossible qu’un corps atteigne la vitesse de

la lumiere, justifier que 0 < 1− x ≤ 1, puis montrer que E = m0 c2

(1√

1− x− 1

).

On considere maintenant la fonction f definie sur [0; 1[ par f(x) =1√

1− x− 1.

? III. Variations de f

1. (a) Determiner le sens de variation de la fonction g definie par g(x) = 1 − x, pour toutreel x appartenant a [0; 1[.

(b) Demontrer que l’ensemble des images g est ]0; 1].

2. En deduire le sens de variation de f a l’aide des resultats sur les fonctions composees.

? IV. Approximation de fOn desire dans un premier temps evaluer la difference

δ(x) =(1− x

2

)−√

1− x, pour x ∈ [0; 1[.

1. Soit x ∈ [0; 1[.

(a) Montrer que : δ(x) =

(1− x

2

)2 − |1− x|1− x

2+√

1− x.

(b) En deduire que : δ(x) =x2

4(1− x

2+√

1− x) .

2. Soit x ∈ [0; 1[.

(a) Etablir l’encadrement :1

2< 1− x

2+√

1− x ≤ 2.

3Decouverte en mars 1973

Terminale S396

2008/2009


(b) En deduire que : 0 ≤ δ(x) <x2

2.

3. Soit u la fonction definie sur [0; 1[ par u(x) =x

2+ δ(x).

(a) Montrer que 0 ≤ u < 1.

(b) Etablir que f =u

1− u; puis que f = u +

u2

1− u.

4. Soit x ∈ [0; 1/2[.

(a) Montrer, en utilisant la question 2, que 0 ≤ u(x) ≤ x.

(b) Montrer que 1− u ≥ 1/2. En deduire que 0 ≤ u(x)2

1− u(x)≤ 2x2.

5. (a) Montrer, en utilisant la question 3, que f(x)− x

2= δ(x) +

u(x)2

1− u(x).

(b) Conclure enfin, en utilisant les questions 2 et 5 que,

pour tout x ∈ [0; 1/2[, 0 ≤ f(x)− x

2≤ 2 x2.

? V. Application a la formule physique

Deduire de la question precedente que, lorsque v ≤ 2, 5 km.s−1,1

2m0 v2 est une valeur

approchee de E avec une precision de 1, 4× 1011m0.

Exercice no 7.Dans ce probleme, on desire demontrer la validite d’une methode grapique de resolutiond’equations du second degre.

Cette methode est la suivante : Soit (Ep,q) x2 + px + q = 0 une telle equation, ou p et q sontdes constantes reelles.

• Dans un repere orthonorme (O ; ~ı , ~ ), on trace la courbe C d’equation y = 14x2 et on place

le point M(p; q).

• On trace, lorsqu’elles existent, les 2 droites tangentes a C passant par M et on noteM1(a1; b1) et M2(a2; b2) les deux points de contact correspondants.

• Les solutions de (Ep,q) sont alors −a1

2et −a2

2.

∗ Partie 1. Application pratique de la methode

1. Utiliser la methode pour resoudre l’equation 2x2 − 6x + 4 = 0. On prendra pour unitegraphique 4 cm.

2. Verifier la pertinence du resultat en resolvant l’equation par le calcul.

∗ Partie 2. Demonstration de la validite de la methodeOn rappelle que l’on s’est place dans un repere orthonorme (O ; ~ı , ~ ) et qu’on a note C lacourbe d’equation y = 1

4x2.

1. Soient l’equation (Ep,q) x2 + px + q = 0 (p, qinR constantes) et M(p; q) le point associe.

(a) Exprimer le discriminant ∆p,q de (Ep,q) en fonction de p et q.

Terminale S397

2008/2009


(b) Dans quelle partie du plan, par rapport a C , se situe le point M pour que l’equation(Ep,q) admette une solution double ? Deux solutions distinctes ? aucune solution ?

2. On suppose dans cette question les reels p et q verifient p2 = 4q.

(a) Resoudre l’equation (Ep,q) en fonction de p.

(b) En deduire une methode graphique pour resoudre les equations correspondant auxpoints de C .

3. On suppose desormais que p2 > 4q.

(a) Soit m ∈ R. Determiner une equation de la droite Dm passant par M et de coefficientdirecteur m, en fonction de m, p et q.

(b) Montrer que Dm rencontre C en un et un seul point si et seulement si m2−mp+q = 0.On dira alors que Dm est tangente a C en ce point.

(c) Determiner les coordonnees de ce point en fonction de m.

(d) Montrer qu’il existe exactement deux valeurs de m satisfaisant a la condition m2 −mp + q = 0.

(e) On note M1(a1; b1) et M2(a2; b2) les 2 points de contact correspondants respectivementa ces deux valeurs. Exprimer a1 et a2 en fonction de p et q.

(f) En deduire les solutions de (Ep,q) en fonction de a1 et a2.

(g) Conclure.

2. Regularite

Exercice no 8 [QCM derivation, d’apres Reunion septembre 2007]

Les parties 1 et 2 portent sur un meme theme, la derivation, mais sont independantes.

1. Restitution organisee de connaissancesLa formule donnant la derivee du produit de deux fonctions derivables est supposee connue.On a enonce ci-dessous deux propositions designees par P et Q. Dire pour chacune d’ellessi vraie ou fausse et justifier.Dans cet exercice n designe un entier naturel strictement superieur a 1. P : Soit f la fonctiondefinie sur R par f(x) = xn ; alors f est derivable sur R, de derivee f ′ donnee sur R par :f ′(x) = nxn−1.Q : Soit u une fonction derivable sur R et soit f la fonction definie sur R par f = un ; alorsf est derivable sur R, de derivee f ′ donnee par f ′ = nun−1.

2. On designe par g la fonction definie sur ] − 1 ; 1[ par g(0) = 0 et g′(x) =1√

1− x2ou g′

designe la derivee de la fonction g sur ]− 1 ; 1[ ; on ne cherchera pas a expliciter g(x).On considere alors la fonction composee h definie sur ]− π ; 0[ par h(x) = g(cos x).

(a) Demontrer que pour tout x de ]− π ; 0[ on a h′(x) = 1, ou h′ designe la derivee de h.

(b) Calculer h(−π

2

)puis donner l’expression de h(x).

Terminale S398

2008/2009


3. Symetries et invariances de courbes

Exercice no 9 [Repere adapte]

On fixe un repere orthonormal R = (O,~i,~j) du plan (unite graphique : 2 cm).

On considere la fonction u : x 7→ 2 +√

x− 1.

Determiner un point Ω tel que la courbe de u dans le repere (Ω,~i,~j) admette pour equation

y′ =√

x′.

∗ Rappel. Soient R = (O,~i,~j) un repere cartesien, Ω le point de coordonnees (xΩ, yΩ) dansR. Soit d’autre part le repere R ′ = (Ω,~i,~j). Si on note (x, y) les coordonnees dans R et (x′, y′)les coordonnees dans R ′. Alors x′ = x− xΩ et y′ = y − yΩ.

Exercice no 10 [Centre de symetrie]

On considere la fonction h : x 7→ 1− 2x

3x + 1definie sur R \ −1/3 et on note Ch sa courbe

dans un repere R = (O,~i,~j).

Montrer que la courbe Ch admet un centre de symetrie dont on determinera les coordonnees.

∗ Rappel. Un point A(a, b) est centre de symetrie de Ch si, et seulement si pour tout xappartenant a son ensemble de definition Dh, 2 a− x ∈ Dh et h(2 a− x) = 2 b− h(x).

Un corrige. On considere :

• h : x 7→ 1− 2x

3x + 1definie sur R− −1/3

• Ch la courbe de h dans le repere R = (O,~i,~j) ; d’equation y = h(x).

∗ Analyse du probleme (au brouillon). La fonction h est une fonction homographiqueadmettant −1

3comme pole (ou valeur « interdite »). Par suite, la droite D d’equation x = −1

3

est asymptote a Ch.

D’autre part, h(x) tend −23

lorsque x tend vers ±∞. La droite ∆ d’equation y = −23

estdonc une deuxieme asymptote a Ch.

D’apres l’allure generale de la courbe d’une fonction homographique (voir sur une calculatrice),on va montrer que le point d’intersection de D et de ∆, c’est-a-dire Ω(−1/3;−2/3), est centrede symetrie de Ch.

∗ Synthese. On applique la methode rappelee precedemment avec a = −1/3 et b = −2/3.

• Pour tout reel x, 2 a− x = −2/3− x

• x ∈ Dh ⇔ x 6= −1/3 ⇔ −2/3 − x 6= −2/3 − (−1/3) ⇔ −2/3 − x 6= −1/3 ⇔−2/3− x ∈ Dh.

Terminale S399

2008/2009


• On peut donc calculer

h(−2/3− x) = 1−2(−2/3−x)3(−2/3−x)+1

2 b− h(x) = −3− h(x) = −43− 1−2x

3x+1

= 7/3+2x−1−3x

= −12x−4−3(1−2x)3(3x+1)

= −7/3+2x3x+1

= −6x−73(3x+1)

= −2x+7/3(3x+1)

.

6 B Conclusion. Le point Ω(−1/3;−2/3) est centre de symetrie de Ch.

Exercice no 11 [Etude d’une famille d’hyperboles]

Pour tout reel m, on definit la fonction fm : x 7→ (2m− 1)x + m

x−m.

On note Hm la courbe de fm dans un repere orthonormal (O ; ~ı , ~ ) (unite graphique : 2cm).

1. Tracer, en justfiant, H0 et H1 dans (O ; ~ı , ~ ).

2. On suppose desormais que m 6= 0.

(a) Montrer que toutes les courbes Hm passent par un meme point A dont on determinerales coordonnees.

(b) Demontrer que toutes ces courbes admettent une meme tangente T en A.

3. (a) Montrer que, pour tout m 6= 0, il existe un second point Bm appartenant a Hm ou latangente a Hm est parallele a T .

(b) Expliciter l’ensemble des points Bm lorsque m parcourt R∗.

4. Montrer que, pour tout m 6= 0, Hm se deduit de H1 par l’homothetie de centre A et derapport m.

5. Application. Utiliser la question precedente pour tracer soigneusement H−1/2.

0

Exercice no 12 [Courbes de fonctions et cercles]

∗ Partie 1 - Etude d’une fonction. Soit la fonction f : x 7→√−x2 + 6x− 27/4.

On note Γ sa courbe dans un repere orthonormal du plan (O ; ~ı , ~ ).

1. Ecrire l’expression−x2+6x−27/4 sous forme canonique. En deduire l’ensemble de definitionde f .

2. Etudier le sens de variation de f ainsi que ses extrema.

3. Determiner des equations des demi-tangentes de Γ aux points d’abscisses 3/2 et 9/2.

∗ Partie 2 - Etude de la courbe de f . Soit Γ′ la courbe la fonction g : x 7→√

1− x2.

1. Dresser le tableau de variation de g puis tracer Γ′ dans (O ; ~ı , ~ ).

2. Montrer que Γ est l’image de Γ′ par une transformation (composee d’une translation etd’une homothetie) que l’on precisera.

Terminale S3100

2008/2009


3. En deduire le trace Γ dans (O ; ~ı , ~ ).

4. Montrer que Γ est symetrique par rapport a la droite d’equation x = 3.

∗ Partie 3 - Cercle construit a partir de Γ. Soit Γ′′ la courbe image de Γ par la symetriede centre Ω(3; 0).

1. Determiner une equation cartesienne de Γ′′.

2. Montrer que la reunion Γ ∪ Γ′′ est un cercle dont on determinera l’equation reduite, lescoordonnees du centre et le rayon.

Exercice no 13 [Etude d’une fonction trinome par transformations]

On fixe un repere orthonorme R = (O,~i,~j) du plan (unite graphique : 2 cm).

1. Tracer dans R la courbe Γ de la fonction carre.

2. (a) On considere maintenant la fonction f definie sur R par f(x) = x2− 4x + 1 et on noteC sa courbe dans le repere R. Ecrire l’expression de f sous forme canonique.

(b) En deduire que f admet un minimum en x = 2 dont on determinera la valeur.

(c) Soient Ω le point de coodonnees (2;−3) et R ′ le repere (Ω,~i,~j). On note (x, y) lescoordonnees dans R et (x′, y′) celles dans R ′. Exprimer x en fonction de x′ et y enfonction de y′.

(d) Determiner une equation de C dans le repere R ′.

(e) En deduire que C est l’image de Γ par une transformation que l’on determinera.

(f) Determiner une equation de Γ dans le repre R.

3. Suivre la meme demarche pour la fonction g definie sur R par g(x) = x2 + 3x + 1.

Exercice no 14 [D’apres Baccalaureat Bordeaux, septembre 1981]

Le plan P est muni d’un repere orthonorme (O,~e1, ~e2).

Soit f la fonction definie sur [0; 1] par f(x) = x− 2√

x + 1 et (C) sa courbe representativedans le repere (O,~e1, ~e2).

1. Etudier la continuite et la derivablite de f .

2. Etudier les variations de la fonction f .

3. Montrer que, pour tout x appartenant a l’intervalle [0; 1] (f f)(x) = x.En deduite que f est une bijection. Que peut-on en deduire quant a la courbe (C) ?

4. Construire la courbe (C) dans (O,~e1, ~e2).

4. Exponentielle


Soit v = (vn)n>0 une suite.On considere la suite u definie pour tout entier naturel n par un = e−vn + 1.

Terminale S3101

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Partie APour chacune des questions, quatre propositions sont proposees dont une seule est intacte.Pour chacune des questions donner, sans justification, la bonne reponse sur votre copie.Une bonne reponse donne 0, 75 point, une mauvaise reponse enleve 0, 25 point et l’absence dereponse est comptee 0 point.Tout total negatif est ramene a zero.1. a est un reel strictement positif et ln designe la fonction logarithme neperien.

Si v0 = ln a alors :

a. u0 =1

a+ 1 b. u0 =

1

1 + ac. u0 = −a + 1 d. u0 = e−a + 1

2. Si v est strictement croissante, alors :

(a) u est strictement decroissante et majoree par 2

(b) u est strictement croissante et minoree par 1

(c) u est strictement croissante et majoree par 2

(d) u est strictement decroissante et minoree par 1

3. Si v diverge vers +∞, alors :

(a) u converge vers 2

(b) u diverge vers +∞(c) u converge vers 1

(d) u converge vers un reel ` tel que ` > 1

4. Si v est majoree par 2, alors :

(a) u est majoree par 1 + e−2

(b) u est minoree par 1 + e−2

(c) u est majoree par 1 + e2

(d) u est minoree par 1 + e2

Partie B (1 point)Demontrer que pour tout entier naturel non nul, on a ln (un) + vn > 0.

5. Equations differentielles


On considere les deux equations differentielles suivantes definies sur]−π

2;

π

2

[:

∗ (E) : y′ + (1 + tan x) y = cos x∗ (E0) : y′ + y = 1.

1. Donner l’ensemble des solutions de l’equation (E0).

Terminale S3102

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2. Soient f et g deux fonctions derivables sur]−π

2;π

2

[et telles que f(x) = g(x) cos x.

Demontrer que la fonction f est solution de (E) si, et seulement si la fonction g est solutionde (E0).

3. Determiner la solution f de (E) telle que f(0) = 0.

Exercice no 17 [Vitesse d’un parachutiste]

Un parachutiste tombe a une vitesse de 55 m.s−1 au moment ou son parachute s’ouvre.

B On fixe l’origine du temps a cet instant-la (t = 0, en seconde).

• Pour tout t ∈ [0; +∞[, on note v(t) la vitesse (en m.s−1) du parachutiste a l’instant t.

? On admet que la resistance de l’air est donnee par R =P v2

25, ou P est le poids du

parachutiste avec son equipement (P = m g en Newton, m masse en kg et g = 9.81 m.s−2

constante de gravitation).

1. Demontrer que la fonction v est solution sur [0; +∞[ de l’equation differentielle

v′ = g

(1− v2

25

).

2. On suppose que v > 5 sur [0; +∞[ et on pose z =1

v − 5.

Determiner une equation differentielle (L) satisfaite par z sur [0; +∞[.

3. Question ROC

? Prerequis : La fonction exponentielle exp est derivable, strictement positive sur R etverifie : exp′ = exp ; exp(0) = 1.

? Question : Resoudre l’equation differentielle (L) sur R.

4. En deduire une expression v(t) et preciser sa limite lorsque t tend vers +∞.

Exercice no 18 [Taux d’alcoolemie]

Le taux d’alcoolemie f(t) (en g.l−1) d’une personne ayant, a jeun, une certaine quantited’alcool, verifie sur ]0; +∞[, l’equation differentielle y′ + y = ae−t, ou

• t est le temps (exprime en heure) ecoule apres l’injestion

• a une constante qui depend des conditions experimentales.

1. On pose, pour tout t ∈]0; +∞[, g(t) = f(t) · et. Demontrer que g est une fonction affine.

2. Exprimer f(t) en fonction de t et de a.

3. (a) Etudier les variations de f puis tracer sa courbe dans un repere orthogonal.

(b) Determiner le taux d’alcoolemie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.

(c) Donner une valeur du delai T (a l’heure pres par exces) au bout duquel le taux d’al-coolemie de cette personne est inferieur a 0, 5 g.L−1.

Terminale S3103

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Exercice no 19 [Le modele de Verlhust]

On repique des plants de 10 cm de haut sous une serre. On sait que la taille maximale de cesplants est de 1 m.

On note f(t) la taille, en metre, d’un plant apres t jours ; en particulier : f(0) = 0, 1.

Le modele de Verhulst repose sur la relation suivante, qui caracterise la vitesse de croissancede la plante selon : f ′(t) = a f(t) (1− f(t)) ou a est une constante dependant des conditionsexperimentales.

Autrement dit, f est solution sur [0; +∞[ de l’equation differentielle y′ = a y (1− y).

1. On pose, pour tout t ∈ [0; +∞[, z(t) =1

f(t).

Montrer que z est solution sur [0; +∞[ de l’equation differentielle z′ + a z = a.

2. Question ROC

? Prerequis : La fonction exponentielle exp est derivable, strictement positive et verifieexp′ = exp ; exp(0) = 1.

? Question : En n’utilisant que ces proprietes, resoudre l’equation z′ + a z = a sur R.

3. En deduire que pour tout reel t ∈ [0; +∞[, on a f(t) =1

9 e−at + 1.

4. On observe qu’au bout de 15 jours, la plante mesure 19 cm.

(a) Montrer que : a = − 1

15ln

(9

19

).

En donner une valeur approchee a 10−2 pres.

(b) Etudier la limite de f en +∞ et preciser son sens de variation.

(c) Representer graphiquement la fonction f (unites graphiques : 1 cm en abscisse et10 cm en ordonnee).

(d) Au bout de combien de jours la plante mesurera-t-elle 90 cm de haut ?

Exercice no 20 [La loi de refroidissement de Newton]

En thermodynamique, la loi de Newton s’enonce ainsi :

La vitesse de refroidissement d’un corps inerte est proportionnelle a la difference de temperatureentre ce corps et le milieu ambiant.

Dans ces conditions, la temperature d’un corps passe de 100C a 70C en 15 minutes.

Au bout de combien de temps se trouvera-t-il a 40C?

Exercice no 21.Soit f la fonction definie sur R par :

f(x) =9

2e−2x − 3e−3x.

Terminale S3104

2008/2009


Partie A :Soit l’equation differentielle (E) : y′ + 2y = 3e−3x.

1. Resoudre l’equation differentielle (E′) : y′ + 2y = 0.

2. En deduire que la fonction h definie sur R par h(x) =9

2e−2x est solution de (E′).

3. Verifier que la fonction g definie sur R par g(x) = −3e−3x est solution de l’equation (E).

4. En remarquant que f = g + h, montrer que f est une solution de (E).

Partie B :On nomme Cf la courbe representative de f dans un repere orthonormal (O,~i,~j) d’unite 1 cm.

1. Montrer que pour tout x de R on a : f(x) = 3e−2x

(3

2− e−x

).

2. Determiner la limite de f en +∞ puis la limite de f en −∞.

3. Etudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f .

4. Calculer les coordonnees des points d’intersection de la courbe Cf avec les axes du repere.

5. Calculer f(1) et tracer l’allure de la courbe Cf .

6. Determiner l’aire A de la partie du plan delimitee par l’axe des abscisses, la courbe Cf ,l’axe des ordonnees et la droite d’equation x = 1. On exprimera cette aire en cm2.

Exercice no 22.I. Restitution organisee des connaissances

Prerequis : on rappelle que : limx→+∞

ex

x= +∞.

1. Demontrer que limx→+∞

ln x

x= 0.

2. En deduire que pour tout entier naturel n non nul : limx→+∞

ln x

xn= 0.

II. Etude d’une fonction fSoit f la fonction definie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f(x) = x− ln x

x2.

On note C sa courbe representative dans un repere orthonormal (O,~i,~j) (unite graphique2 cm).

1. Soit u la fonction definie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par u(x) = x3 − 1 + 2 ln x.

(a) Etudier le sens de variation de la fonction u sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

(b) Calculer u(1) et en deduire le signe de u(x) pour x appartenant a l’intervalle ]0 ; +∞[.

2. Etude de la fonction f

(a) Determiner les limites de f en 0 et en +∞.

(b) Determiner la fonction derivee de f et construire le tableau de variations de la fonctionf .

3. Elements graphiques et traces.

Terminale S3105

2008/2009


(a) Demontrer que la droite (∆) d’equation y = x est asymptote oblique a la courbe C .

(b) Determiner la position de C par rapport a (∆).

(c) Tracer la courbe C et la droite (∆).

Calculs d’airesOn note α un nombre reel strictement positif et on designe par A (α) l’aire, exprimee en unitesd’aire, de la partie du plan delimitee par la courbe C , la droite (∆) et les droites d’equationx = 1 et x = α.

1. On suppose dans cette question que α > 1.

(a) A l’aide d’une integration par parties, demontrer que : A (α) = 1− ln α

α− 1

α.

(b) Determiner la limite ` de A (α) lorsque α tend vers +∞.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, meme incomplete, ou d’initiative non fruc-tueuse. sera prise en compte dans l’evaluation.

Demontrer que ` = A

(1

e

).

6. Logarithme neperien

Exercice no 23 [Equation ln(x) = xn]

Soient n ∈ N∗ et (E) l’equation : ln(x) = xn.1. Dans cette question, n = 1 ; determiner les variations de la fonction f , definie sur ]0; +∞[,

par :f(x) = x− ln(x).

En deduire que, dans le cas n = 1, l’equation (E) n’a pas de solution.

2. Dans cette question, n est quelconque. Demontrer de meme que l’equation (E) n’a pas desolution.

Exercice no 24 [Moyennes arithmetique et geometrique]

Soient n un entier naturel non nul et a1, ... an des reels strictement positifs. On definit :

• La moyenne arithmetique des ai par A =a1 + ... + an

n=

1

n

n∑i=1

ai.

• La moyenne geometrique des ai par G = n√

a1...an =

(n∏

i=1

ai

)1/n

.

Le but de cet exercice est de prouver que G ≤ A.

1. Montrer que, pour tout reel x, ex−1 ≥ x.

2. En deduire que, pour tout i ∈ 1, ..., n, exp(ai

A− 1)≥ ai

A.

Terminale S3106

2008/2009


3. En deduire que 1 ≥ Gn

An.

4. Conclure. Donner un exemple ou l’inegalite demontree est une egalite.

Exercice no 25 [Etude de fonction]

On se propose d’etudier la fonction

f : ]0; +∞[ → Rx 7→ x ln(x + 2)− x ln(x)− x

.

On note C sa courbe dans un repere (O;~i;~j).

1. Etude d’une fonction auxiliaire. Soit g la fonction definie sur ]0; +∞[ par :

g(x) = ln(x + 2)− ln(x)− 2

x + 2− 1.

(a) Calculer la limite de g en 0 par valeurs superieures.

(b) On admet les formules suivantes :

∀ a, b ∈]0; +∞[ , ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln(a

b

)= ln(a)− ln(b).

Justifier que :

g(x) = ln

(x + 2

x

)− 2

x + 2− 1.

En deduire la limite de g en +∞.

(c) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.

(d) Demontrer que l’equation g(x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle[0.36; 0.38]. En deduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

(e) Deduire des questions precedentes que :

ln

(α + 2

α

)=

α + 4

α + 2.

2. Etude de la fonction f .

(a) Calculer les limites suivantes :

limx→0

f(x) ; limh→0

1 + 2h

het lim

x→+∞x ln

(x + 2

x

);

pour la troisieme limite, on pourra utiliser la deuxieme en posant h = 1/x.

(b) En deduire la limite de f en +∞. Determiner l’equation reduite d’un asymptote D aC en +∞.

(c) Demontrer que, pour tout x ∈]0; +∞[, f ′(x) = g(x). En deduire que f admet unmaximum en α et que :

f(α) = 2α

α + 2.

(d) Dresser le tableau de variation de f .

(e) Determiner les coordonnees des points d’intersection de C et de D.

3. Definition [Primitive de f ] : On appelle primitive de f , toute fonction F derivable sur]0; +∞[ telle que F ′ = f .

Terminale S3107

2008/2009


Justifier que la fonction

F : ]0; +∞[ → Rx 7→

(x2

2− 2)

ln(x + 2)− x2 ln(x)2

+ x− x2

2

.

est une primitive de f sur ]0; +∞[.

Exercice no 26 [Fonction avec logarithme]

Soit la fonction f definie sur ]0; +∞[ par

f(x) = x2 + x− 1 + ln x

x.

On designe par C la courbe representative de f dans un repere orthogonal (O;~i;~j) ;(unites graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnees).

1. On considere la fonction ϕ definie sur ]0; +∞[ par

ϕ(x) = 2x3 + x2 + ln x.

(a) Etudier le sens de variation de ϕ.

(b) Demontrer que l’equation ϕ(x) = 0 admet une unique solution α.

(c) Montrer que α appartient a l’intervalle [0.54; 0.55].

(d) En deduire le signe de ϕ(x) suivant les valeurs de x.

2. (a) Determiner lim+∞ f .

(b) Montrer que l’axe des abscisses est asymptote a C .

(c) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

(d) Soit la fonction g definie sur ]0; +∞[ par :

g(x) = x2 + x ;

et Γ sa courbe representative dans (O;~i;~j). Preciser les positions relatives de C et Γ.

(e) Reproduire et completer le tableau de valeurs suivants : Les valeurs de f(x) serontdonnees a 10−2 pres.

(f) Tracer Γ et C .

Exercice no 27 [Suite de fonctions]

On designe par n un entier naturel superieur ou egal a 2 et on considere la fonction fn qui estdefinie sur ]0; +∞[ par :

fn(x) =1 + n ln(x)

x2.

Partie A : Etude de la fonction fn.

1. Montrer que fn est derivable et calculer sa derivee. Montrer que, pour tout reel x strictementpositif, f ′n(x) peut s’ecrire sous la forme d’un quotient dont le numerateur est n−2−2 ln x.

2. Resoudre l’equation f ′n(x) = 0 puis etudier le signe de f ′n(x) en fonction de x ∈]0; +∞[.

3. Determiner la limite de fn en +∞.

4. Etablir le tableau de variation de fn et calculer sa valeur maximale en fonction de n.

Terminale S3108

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Partie B : Representation graphique de quelques fonctions fn. Le plan est rapportea un repere orthonorme (O,~i,~j) (unite graphique : 5 cm). On note Cn la courbe representativede fn dans ce repere.

1. Tracer C2 et C3.

2. (a) Montrer que la fonction difference fn+1 − fn est independante de n.

(b) Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe Cn a partirde C2 et C3.

Partie C : Aire sous la courbe.

1. Justifier que la fonctionFn : ]0; +∞[ → R

x 7→ − ln xx− 1

x

est une primitive de fn.

2. Calculer, en unite d’aire, l’aire du domaine du plan limite par les courbes Cn et Cn+1 et lesdroites d’equations x = 1 et x = e.

3. On note An l’aire, en unite d’aire, du domaine du plan limite par la courbe Cn et les droitesd’equations y = 0, x = 1 et x = e.

(a) Calculer A2.

(b) Determiner la nature de la suite (An) en precisant l’interpretation graphique de saraison.

Partie D : Etude de l’equation fn(x) = 1. Dans cette partie, on suppose que n ≥ 3.

1. (a) Verifier que, pour tout entier n ≥ 3,

en−22n > 1 et fn

(e

n−22n

)≥ 1.

(b) Montrer que l’equation fn(x) = 1 n’a pas de solution dans l’intervalle]1; e

n−22n

[.

(c) Montrer que l’equation fn(x) = 1 admet, dans l’intervalle]e

n−22n ; +∞

[, exactement une

solution notee αn.

2. On se propose de determiner la limite de la suite (αn).

(a) Calculer fn(√

n) et demontrer que, pour tout entier naturel n > e2,

fn(√

n) ≥ 1.

(b) En deduire que, pour n ≥ 8, on a αn ≥√

n.

(c) Conclure.


Question de coursSoit I un intervalle de R.Soient u et v deux fonctions continues, derivables sur I telles que u′ et v′ soient continues sur

Terminale S3109

2008/2009


I.Rappeler et demontrer la formule d’integration par parties sur un intervalle [a ; b] de I.

Partie ASoit f une fonction definie et derivable sur l’intervalle [0 ; 1].On note f ′ la fonction derivee de f .On suppose que f ′ est continue sur l’intervalle [0 : 1].

1. Utiliser la question de cours pour montrer que :∫ 1

0

f(x) dx = f(1)−∫ 1

0

xf ′(x) dx.

2. En deduire que

∫ 1

0

(f(x)− f(1)) dx = −∫ 1

0

xf ′(x) dx.

Partie BOn designe par ln la fonction logarithme neperien.Soit f la fonction definie sur l’intervalle ]− 2 ; 2[ par

f(x) = ln

(2 + x

2− x

).

Soit C la courbe representative de f sur l’intervalle ] − 2 ; 2[ dans un repere orthonormed’unite graphique 2 cm.

1. Determiner les limites de f aux bornes de son ensemble de definition.

2. (a) Montrer que pour tout reel x de l’intervalle ]− 2 ; 2[ on a f ′(x) =4

4− x2.

(b) En deduire les variations de f sur l’intervalle ]− 2 ; 2[.

Partie CLa courbe C est tracee sur la feuille annexe.Hachurer sur cette feuille la partie P du plan constituee des points M(x ; y) tels que

0 6 x 6 1 et f(x) 6 y 6 ln 3.

En utilisant la partie A, calculer en cm2 l’aire de P.

Terminale S3110

2008/2009


Exercice no 29.Partie A. Demonstration de coursPrerequis : definition d’une suite tendant vers plus l’infini.« une suite tend vers +∞ si, pour tout reel A, tous les termes de la suite sont, a partir d’uncertain rang, superieurs a A ».Demontrer le theoreme suivant : une suite croissante non majoree tend vers +∞.

Partie BOn considere la fonction f definie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par

f (x) = ln(x + 1) +1

2x2.

La courbe (C ) representative de la fonction f dans un repere orthogonal est donnee ci-dessous.Cette courbe sera completee et remise avec la copie a la fin de l’epreuve.

1. Etudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

2. Determiner une equation de la tangente (T) a la courbe (C ) au point d’abscisse 0.

3. Tracer la droite (T) sur le graphique. Dans la suite de l’exercice, on admet que, surl’intervalle ]0 ; +∞[ , la courbe (C ) est situee au dessus de la droite (T).

Partie COn considere la suite (un) definie sur N par u0 = 1, et pour tout entier naturel n, un+1 = f (un) .

1. Construire sur l’axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite (un) en laissantapparents les traits de construction (utiliser le graphique donne).

Terminale S3111

2008/2009


2. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de lasuite (un) et son comportement lorsque n tend vers +∞ ?

3.

(a) Montrer a l’aide d’un raisonnement par recurrence que, pour tout entier naturel n, un >1.

(b) Montrer que la suite (un) est croissante.

(c) Montrer que la suite (un) n’est pas majoree.

(d) En deduire la limite de la suite (un).

Exercice no 30.Soit f la fonction definie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

f(x) = ln x− 1

ln x.

On nomme (C ) la courbe representative de f et Γ la courbe d’equation y = ln x dans unrepere orthogonal (O,~i,~j).

1. Etudier les variations de la fonction f et preciser les limites en 1 et en +∞.

2. (a) Determiner limx→+∞

[f(x)− ln x].

Interpreter graphiquement cette limite.

(b) Preciser les positions relatives de (C ) et de Γ.

3. On se propose de chercher les tangentes a la courbe (C ) passant par le point O.

(a) Soit a un reel appartenant a l’intervalle ]1 ; +∞[.

Demontrer que la tangente Ta a (C ) au point d’abscisse a passe par l’origine du reperesi et seulement si f(a)− af ′(a) = 0.

Soit g la fonction definie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

g(x) = f(x)− xf ′(x).

(b) Montrer que sur ]1 ; +∞[, les equations g(x) = 0 et

(ln x)3 − (ln x)2 − ln x− 1 = 0 ont les memes solutions.

(c) Apres avoir etudie les variations de la fonction u definie sur R par u(t) = t3− t2− t− 1montrer que la fonction u s’annule une fois et une seule sur R.

(d) En deduire l’existence d’une tangente unique a la courbe (C ) passant par le point O.

La courbe (C ) et la courbe Γ sont donnees en annexe.

Tracer cette tangente le plus precisement possible sur cette figure.

4. On considere un reel m et l’equation f(x) = mx d’inconnue x.

Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du reel m, le nombrede solutions de cette equation appartenant a l’intervalle ]1 ; 10].

Representations graphiques obtenues a l’aide d’un tableur

Terminale S3112

2008/2009


Terminale S3113

2008/2009


7. Calcul integral

Exercice no 31.On considere la fonction f definie sur [0; +∞[ par : f(x) = x + ln (1 + e−x).Sa courbe representative (C ) ainsi que la droite (D) d’equation y = x sont donnees ci-dessousdans un repere orthonormal d’unite graphique 2 cm.1. Montrer que f est croissante et positive sur [0 ; +∞[.

2. (a) Montrer que la courbe (C ) admet pour asymptote la droite (D).

(b) Etudier la position de (C ) par rapport a (D).

3. Soit I l’integrale definie par : I =

∫ 1

0

ln(1 + e−x

)dx =

∫ 1

0

[f(x)− x] dx.

On ne cherchera pas a calculer I.

(a) Donner une interpretation geometrique de I.

(b) Montrer que pour tout reel t > 0, on a ln (1 + t) 6 t. (On pourra etudier les variationsde la fonction g definie sur [0; +∞[ par g(t) = ln(1 + t)− t.)

On admettra que : pour tout reel t > 0, on at

t + 16 ln(1 + t).

(c) En deduire que pour tout x de [0; +∞[, on a :e−x

e−x + 16 ln (1 + e−x) 6 e−x.

(d) Montrer que ln

(2

1 + e−1

)6 I 6 1− e−1.

(e) En deduire un encadrement de I d’amplitude 0, 4 par deux nombres decimaux.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, meme incomplete, ou d’initiative, meme nonfructueuse, sera prise en compte dans l’evaluation.

Soient M et N les points de meme abscisse x appartenant respectivement a (C ) et (D).On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque ia distance MN estinferieure a 0, 5 mm.Determiner l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables.

Terminale S3114

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Exercice no 32.

Les courbes Cf et Cg donnees ci-contre represententrespectivement, dans un repere orthonormal(O,~i,~j), les fonctions f et g definies sur l’intervalle]0 ; +∞[ par :

f(x) = ln x et g(x) = (ln x)2.

∗ Partie AOn cherche a determiner l’aire A (en unites d’aire)de la partie du plan hachuree.

On note I =

∫ e

1

ln x dx et J =

∫ e

1

(ln x)2 dx.

1. Verifier que la fonction F definie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ parF (x) = x ln x− x est une primitive de la fonction logarithme neperien. En deduire I.

2. Demontrer a l’aide d’une integration par parties que J = e− 2I. En deduire J .

3. Donner la valeur de A .

∗ Partie BDans cette question le candidat est invite a porter sur sa copie les etapes de sa demarche memesi elle n’aboutit pas.Pour x appartenant a l’intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe Cf d’abscisse x et Nle point de la courbe Cg de meme abscisse.Pour quelle valeur de x la distance MN est-elle maximale ? Calculer ce maximum.


∗ Question de coursPrerequis : positivite et linearite de l’integrale.Soient a et b deux reels d’un intervalle I de R tels que a 6 b.Demontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout reel x del’intervalle I, f(x) > g(x), alors

∫ b

af(x) dx >

∫ b

ag(x) dx.

∗ Partie A

1. Soit x un reel superieur ou egal a 1. Calculer en fonction de x l’integrale

∫ x

1

(2− t) dt.

2. Demontrer que pour tout reel t appartenant a l’intervalle [1 ; +∞[, on a : 2− t 61

t.

3. Deduire de ce qui precede que pour tout reel x superieur ou egal a 1, on a :

−1

2x2 + 2x− 3

26 ln x.

∗ Partie B

Soit h la fonction definie sur R par h(x) = −1

2x2 + 2x− 3

2.

Terminale S3115

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Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d’un repere orthogonal (O ; ~ı , ~ ) dans lequelon a trace les courbes representatives des fonctions h et logarithme neperien sur l’intervalle[1 ; 4]. On a a trace egalement la droite (d) d’equation x = 4.

1. (a) Demontrer que

∫ 4

1

h(x)dx = 0.

(b) Illustrer sur le graphique le resultat de la question precedente.

2. On note (D) le domaine du plan delimite par la droite (d) et les courbes representativesdes fonction h et logarithme neperien sur l’intervalle [1 ; 4].

En utilisant un integration par parties, calculer l’aire de (D) en unites d’aire.

Terminale S3116

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On designe par (E) l’ensemble des fonctions f continues sur l’intervalle [0 ;1] et verifiant lesconditions (P1), (P2) et (P3) suivantes :• (P1) : f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ;1].• (P2) : f(0) = 0 et f(1) = 1.• (P3) : pour tout reel x de l’intervalle [0 ;1], f(x) 6 x.Dans un repere orthonormal (O ; ~ı , ~ ) du plan, on note (Cf ) la courbe representative d’unefonction f de l’ensemble (E) et (D) la droite d’equation y = x.

A toute fonction f de (E), on associe le nombre reel If =

∫ 1

0

[x− f(x)] dx.

1. (a) Une seule des trois courbes ci-dessous represente une fonction de (E). La determineren justifiant l’elimination des deux autres.

(b) Montrer que, pour toute fonction f de (E), If > 0.

2. Soit h la fonction definie sur l’intervalle [0 ; 1] par h(x) = 2x − 1. (On rappelle que, pourtout x reel, 2x = ex ln 2).

(a) Montrer que la fonction h verifie les conditions (P1) et (P2).

(b) Soit ϕ la fonction definie sur l’intervalle [0 ; 1] par ϕ(x) = 2x − x− 1.Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], ϕ(x) 6 0. (On pourra etudier le sens de variationde la fonction ϕ sur [0 ; 1]).En deduire que la fonction h appartient a l’ensemble (E).

(c) Montrer que le reel Ih associe a la fonction h est egal a3

2− 1

ln 2.

3. Soit P une fonction definie sur l’intervalle [0 ; 1] par P (x) = ax2 + bx + c ou a, b et c sonttrois nombres reels tels que 0 < a < 1. On se propose de determiner les valeurs des reelsa, b et c pour que la fonction P appartienne a l’ensemble (E) et que Ip = Ih.

(a) Montrer que la fonction P verifie la propriete (P2) si et seulement si, pour tout reel xde l’intervalle [0 ; 1], P (x) = ax2 + (1− a)x.Montrer que toute fonction P definie sur [0 ; 1] par P (x) = ax2+(1−a)x avec 0 < a < 1appartient a(E).

(b) Exprimer en fonction de a le reel IP associe a la fonction P .

(c) Montrer qu’il existe une valeur du reel a pour laquelle IP = Ih. Quelle est cette valeur ?

Terminale S3117

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Fragments du Bac Theme: Probabilites

[Theme) Probabilites

1. Applications directes

Exercice no 1 [Etude de fabrication]

Une entreprise d’electronique fabriquant des multimetres constate lors d’un test de qualiteque 8% des appareils fabriques presentent au moins un defaut D1, 15% presentent au moinsun defaut D2 et 5% presentent les deux defauts. On choisit au hasard un appareil dans laproduction. Tous les tirages sont equiprobables.1. (a) Recopier et completer le tableau ci-dessous par les pourcentages correspondants :

Defaut D2 Pas de defaut D2 TotalDefaut D1 8%

Pas de defaut D1

Total 100%

(b) Quelle est la probabilite P1 que le multimetre presente un et un seul defaut ?

(c) Quelle est la probabilite P2 qu’il ne presente aucun defaut ?

2. Les appareils presentant deux defauts sont mis au rebut. Les appareils presentant un seuldefaut sont repares. Un appareil sera commercialise s’il ne presente aucun defaut ou s’ilest repare. Le benefice realise par l’entreprise sur un multimetre commercialise est de 75euros s’il ne necessite pas de reparation, de 45 euros s’il necessite une reparation. La perteengendree par un appareil mis au rebut est de 45 euros soit un benefice de −45 euros.

(a) Determiner la loi de probabilite de la variable X qui associe le benefice, positif ounegatif, a tout appareil pris au hasard dans la production.

(b) Calculer l’esperance mathematique E(X) de la variable X.

(c) Tracer dans un repere orthogonal la courbe de la fonction de repartition de X. Onprendra comme unites graphiques 1 cm pour 15 euros en abscisse et 5 cm sur l’axe desordonnees.

Exercice no 2 [Formules probabilistes]

1. Soient des evenements A et B tels que : P (A) = 1/5, P (B) = 3/7 et P (A ∩ B) = 5/21.Calculer P (A ∪B), P (A ∩B), P (A ∩B) et P (A ∪B).

2. Meme question avec P (A) = 1/3, P (B) = 1/2 et P (A ∩B) = 2/9.

Terminale S3118

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Exercice no 3 [Montage electrique]

Un moteur electrique possedant trois bornes B1, B2 et B3 doit etre alimente en electricite partrois fils F1, F2 et F3, chaque fil etant relie a une seule borne identifiee.

Lorsque les trois fils sont convenablement branches (F1 avec B1, F2 avec B2, F3 avec B3), lemoteur tourne a 1000 tours par minute.

Lorsqu’un seul des trois fils est branche a la bonne borne (les deux autres fils etant inverses),le moteur tourne a 500 tours par minute.

Lorsqu’aucun fil n’est branche a la bonne borne, le moteur ne tourne pas.

On a perdu le schema de montage et les fils sont indiscernables.

1. Determiner la liste des montages differents possibles et en deduire leur nombre total(exemple : F1 avec B2, F3 avec B1, F3 avec B3 est l’un des montages possibles).

2. Calculer la probabilite que les trois fils soient convenablement branches.

3. Calculer la probabilite qu’un seul des trois fils soit branche a la bonne borne (les deuxautres fils etant inverses).

4. On considere la variable aleatoire X qui, a chaque montage, associe la vitesse de rotationdu moteur.

Determiner la loi de probabilite de la variable aleatoire X. Calculer son esperance mathematique.

Exercice no 4 [Denombrement]

1. (a) Combien y a t il de facons de tirer 3 cartes rouges d’un jeu de 32 cartes, puis 3 cartesrouges sur 5 cartes ?

(b) Combien y a t il de facons de ranger 5 billes de 5 couleurs ?

2. On doit ranger sur une etagere 4 ouvrages de maths differents, 6 de physique differents, 2de chimie differents. Combien y a t il de rangements distincts si :

(a) Les ouvrages doivent etre ranges par specialites.

(b) Seuls les ouvrages de maths doivent etre ranges ensembles.

3. Cinq billes rouges, deux billes blanches, trois billes bleues sont rangees en ligne. Les billesde meme couleur sont indiscernables. Combien y a t il de rangements possibles ?

4. Combien y a t il de facon d’asseoir 7 personnes autour d’une table ronde :

(a) Si elles s’assoient de facon quelconque.

(b) Si deux personnes donnees ne peuvent etre cote a cote.

5. Combien de nombres de 5 chiffres differents peut-on former a partir des chiffres 1,2,...,9 si :

(a) les nombres formes doivent etre impairs.

(b) les deux premiers chiffres de chaque nombre doivent etre pairs.

6. Combien peut-on former de mots de 7 lettres, (4 consonnes differentes et 3 voyelles differentes),a partir d’un ensemble de 7 consonnes et 5 voyelles ? On negligera la necessite que les motsaient un sens.

7. Combien y a t il de facons d’avoir :

Terminale S3119

2008/2009


(a) Au moins 2 cartes rouges sur 5 cartes d’un jeu de 32 cartes.

(b) Moins de 3 cartes noires sur 4 cartes.

(c) Plus de 2 rois sur 5 cartes.

(d) Au plus 2 cartes noires sur 5 cartes.

Terminale S3120

2008/2009


2. Approfondissement (sujets)

Exercice no 5.On considere plusieurs sacs de billes S1, S2, . . . , Sn, . . . tels que :– le premier, S1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ;– chacun des suivants, S2, S3, . . . , Sn, . . . contient 2 billes jaunes et 2 vertes.

Le but de cet exercice est d’etudier l’evolution des tirages successifs d’une bille de ces sacs,effectues de la maniere suivante :– on tire au hasard une bille dans S1

– on place la bille tiree de S1 dans S2, puis on tire au hasard une bille dans S2

– on place la bille tiree de S2 dans S3, puis on tire au hasard une bille dans S3 ; etc...

Pour tout entier n > 1, on note En l’evenement : « la bille tiree dans Sn est verte ».

1. Mise en evidence d’une relation de recurrence

(a) D’apres l’enonce, donner les valeurs de p (E1) , pE1 (E2) , pE1(E2).

En deduire la valeur de p (E2).

(b) A l’aide d’un arbre pondere, exprimer p (En+1) en fonction de p (En).

2. On considere la suite (un) definie par :

u1 =

2

5

un+1 =1

5un +

2

5pour tout n > 1.

(a) Demontrer que la suite (un) est majoree par 1 puis montrer que (un) est croissante.

(b) Justifier que la suite (un) est convergente et preciser sa limite.

3. Evolution des probabilites p (En)

(a) A l’aide des resultats precedents, determiner l’evolution des probabilites p (En).

(b) Pour quelles valeurs de l’entier n a-t-on : 0,499 99 6 p (En) 6 0, 5 ?

Exercice no 6 [Variable gain a la roulette]

Une roulette est dotee de 11 numeros de 0 a 10 colories ainsi : seul le 0 est vert, les autressont rouge, rouge, puis noir, noir, en alternance jusqu’au 10 qui est donc rouge.

On lance la bille. Les gains ou les pertes du joueur dependent de la parite et de la couleur dunumero atteint : le joueur gagne 10 euros sur un noir pair et 20 euros sur un noir impair ; parcontre il perd 20 euros sur un rouge impair et 40 euros sur un rouge pair ; le 0 fait gagner 100euros.

1. Dresser le tableau de la loi de probabilites de la variable aleatoire X qui associe a chaquelancer de bille la perte (X < 0) ou le gain (X > 0) du joueur.

2. En utilisant celle-ci, preciser la probabilite qu’un joueur a de perdre de l’argent.

3. Afin de savoir si le jeu est interessant, calculer l’esperance et l’ecart-type de X.

Terminale S3121

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Exercice no 7 [QCM sur une etude statistique (d’apres Antilles-Guyane 2007]

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte.On s’interesse a deux types de pieces electroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabricationd’une boıte de vitesses automatique.Une seule piece de type P1 et une seule piece de type P2 sont necessaires par boıte.L’usine se fournit aupres de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2.Le sous-traitant S1 produit 80 % des pieces de type P1 et 40 % de pieces de type P2.Le sous-traitant S2 produit 20 % des pieces de type P1 et 60 % de pieces de type P2.

1. Un employe de l’usine reunit toutes les pieces P1 et P2 destinees a etre incorporees dansun certain nombre de boıtes de vitesses. Il y a donc autant de pieces de chaque type.Il tire une piece au hasard.

(a) La probabilite que ce soit une piece P1 est0,8 0,5 0,2 0,4 0,6

(b) La probabilite que ce soit une piece P1 et qu’elle vienne de S1 est0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

(c) La probabilite qu’elle vienne de S1 est0,2 0,4 0,5 0,6 0,8

2. Il y a 200 pieces au total. Cette fois l’employe tire deux pieces simultanement. On supposetous les tirages equiprobables.

(a) Une valeur approchee a 10−4 pres de la probabilite que ce soit deux pieces P1 est :0,1588 0,2487 0,1683 0,0095

(b) Une valeur approchee a 10−4 pres de la probabilite que ce soit deux pieces P1 et P2est :0,5000 0,2513 0,5025

(c) La probabilite que ce soient deux pieces fabriquees par le meme fournisseur est :

357995

103

199

158

9953. La duree de vie exprimee en annees des pieces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le

parametre λ est donne dans le tableau suivant :

λ P1 P2S1 0,2 0,25S2 0,1 0,125

On rappelle que si X, duree de vie d’une piece exprimee en annees, suit une loi exponentielle

de parametre λ, alors p(X 6 t) =

∫ t

0

λe−λxdx.

Une valeur approchee a 10−4 pres de la probabilite qu’une piece P1 fabriquee par S1 duremoins de 5 ans est : 0,3679 0,6321

Terminale S3122

2008/2009



Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher de couleur noire, blanche, ou rouge.On sait de plus qu’il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l’urne.On tire au hasard simultanement 2 boules dans l’urne et on note leur couleur.Soit l’evenement G : « obtenir deux boules de meme couleur ».

∗ Partie AOn suppose que l’urne contient 3 boules noires et 7 boules banches.Calculer la probabilite de l’evenement G.

∗ Partie BOn note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges dans l’urne.

1. On note g(n, b, r) la probabilite en fonction de n, b et r de l’evenement G.

Demontrer que g(n, b, r) =1

210[n(n− 1) + b(b− 1) + r(r − 1)].

2. Le but de cette question est de determiner n, b et r afin que g(n, b, r) soit minimale.

L’espace est muni d’un repere (O ; ~ı , ~ , ~k ) orthonormal.Soient les points N, B et R de coordonnees respectives (15 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) et (0 ; 0 ; 15)et soit M le point de coordonnees (n, b, r). On pourra se rapporter a la figure ci-dessous.

(a) Justifier qu’une equation cartesienne du plan (NBR) est x + y + z − 15 = 0.

(b) En deduire que le point M est un point du plan (NBR).

(c) Demontrer que g(n, b, r) =1

210(OM2 − 15) .

(d) Soit H le projete orthogonal du point O sur le plan (NBR).Determiner les coordonnees du point H.

(e) En deduire tes valeurs de n, b et r afin que la probabilite g(n, b, r) soit minimale.

Justifier que cette probabilite minimale est egale a2

7.

∗ Partie COn suppose que les nombres de boules de chaque couleuront ete choisis par l’organisateur d’un jeu, de telle sorte

que la probabilite de l’evenement G soit2

7.

Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul,puis tire simultanement au hasard deux boules de l’urne.Dans tous les cas, il perd sa mise de depart.S’il obtient deux boules de la meme couleur, il recoitk fois le montant de sa mise, avec k nombre decimalstrictement superieur a 1. Sinon, il ne recoit rien.On note X la variable aleatoire egale au gain algebriquedu joueur.

1. Calculer l’esperance E(X) de la variable X en fonction de x et de k.

2. Determiner la valeur de k pour laquelle le jeu est equitable.

Terminale S3123

2008/2009



La vegetation d’un pays imaginaire est composee initialement de trois types de plantes :40 % sont de type A, 41 % de type B et 19 % de type C.On admet qu’au debut de chaque annee :• chaque plante de type A disparaıt et elle est remplacee par une et une seule nouvelle plante

de type A, B ou C.• chaque plante de type B disparaıt et elle est remplacee par une et une seule nouvelle plante

de type A, B ou C.• chaque plante de type C disparaıt et elle est remplacee par une et une seule nouvelle plante

de type C.La probabilite qu’une plante de type A soit remplacee par une plante de meme type est 0, 6et celle qu’elle le soit par une plante de type B est 0, 3. La probabilite qu’une plante de typeB soit remplacee par une plante de meme type est 0, 6 et celle qu’elle le soit par une plantede type A est 0, 3.Au debut de chaque annee, on choisit au hasard une plante dans la vegetation et on releveson type.Pour tout entier naturel n non nul, on note :• An l’evenement « la plante choisie la n-ieme annee est de type A »,• Bn l’evenement « la plante choisie la n-ieme annee est de type B »,• Cn l’evenement « la plante choisie la n-ieme annee est de type C ».On designe par pn, qn et rn les probabilites respectives des evenements An, Bn et Cn.Compte tenu de la composition initiale de la vegetation (debut de l’annee n0) on pose :

p0 = 0, 40, q0 = 0, 41 et r0 = 0, 19.

1. Recopier sur la copie et completer l’arbre pondereci-contre, en remplacant chaque point d’interrogationpar la probabilite correspondante.Aucune justification n’est demandee pour cette ques-tion.

2. (a) Montrer que p1 = 0, 363 puis calculer q1 et r1.

(b) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul,pn+1 = 0, 6pn + 0, 3qn

qn+1 = 0, 3pn + 0, 6qn

3. On definit les suites (Sn) et (Dn) sur N par

Sn = qn + pn et Dn = qn − pn.

(a) Montrer que (Sn) est une suite geometrique donton precisera la raison.

Pour la suite, on admet que (Dn) est une suitegeometrique de raison 0, 3.

(b) Determiner les limites des suites (Sn) et (Dn).(c) En deduire les limites des suites (pn) , (qn) et (rn). Interpreter le resultat.

Terminale S3124

2008/2009


Exercice no 10 [Test d’aptitude]

Un test d’aptitude consiste a poser a chaque candidat une serie de quatre questions independantes.Pour chacune d’elles, deux reponses sont proposees dont une et une seule est correcte. Un can-didat repond chaque fois au hasard (on suppose donc l’equiprobabilite des reponses).

1. On note V une reponse correcte et F une reponse incorrecte, exemple : V FFV signifieque la premiere et la quatrieme reponses sont correctes et la deuxieme et la troisieme sontincorrectes. Etablir la liste des seize resultats possibles (que l’on pourra presenter a l’aided’un arbre).

2. Quelle est la probabilite pour que le candidat donne la bonne reponse :

(a) a la premiere question posee ?

(b) a une seule des quatre questions posees ?

(c) aux quatre questions posees ?

3. Soit X la variable aleatoire egale au nombre de reponses correctes donnees par le candidat.

(a) Donner les differentes valeurs prises par X.

(b) Donner la loi de probabilite de X.

(c) Calculer l’esperance mathematique de X.

4. Un candidat sera reconnu apte s’il donne au moins trois reponses correctes. Quelle est laprobabilite qu’un candidat repondant au hasard soit reconnu apte ?

Exercice no 11 [Double tirage]

Une premiere urne contient cinq boules numerotees 0, 2, 4, 6 et 8. Une deuxieme urne contientcinq boules numerotes 1, 2, 3, 4 et 5. On appelle partie le fait de tirer au hasard une boulede la premiere urne, puis une boule de la deuxieme. Tous les resultats possibles sont supposesequiprobables.

1. (a) A l’aide d’un tableau, dresser la liste des sommes des deux nombres obtenus pourchacun des resultats possibles.

(b) Quelle est la probabilite d’obtenir pour une partie une somme egale a 7 ?

(c) Quelle est la probabilite d’obtenir pour une partie une somme paire ?

(d) Quelle est la probabilite d’obtenir pour une partie une somme au plus egale a 6 ?

2. On considere le jeu suivant associe a chaque partie. Un joueur gagne :– 30 euros si la somme est paire ;– 100 euros si la somme est treize ;– 10 euros si la somme est 1, 3 ou 5 ;– et ne gagne rien dans les autres cas.On appelle X la variable aleatoire qui, a chaque partie, associe son gain en euros.

(a) Calculer la probabilite de gagner 100 euros.

(b) Donner sous forme d’un tableau la loi de probabilite de X.

(c) L’organisateur demande 20 euros pour obtenir le droit de jouer. Ce jeu est-il equitable ?

Terminale S3125

2008/2009


Exercice no 12 [Roue de loterie]

Soit n un entier naturel non nul. Une roue de loterie se compose de secteurs identiques : troisde ces secteurs sont rouges, quatre sont blancs et n sont verts.Un joueur fait tourner la roue devant un repere fixe ; chaque secteur a la meme probabilite des’arreter devant ce repere.Si le secteur repere est rouge, le joueur gagne 16 kopecs ; s’il est blanc, il perd 12 kopecs ; s’ilest vert, il lance une deuxieme fois la roue : dans ce cas, si le secteur repere est rouge, il gagne8 kopecs ; s’il est blanc, il perd 2 kopecs ; s’il est vert, il ne gagne ni ne perd rien.On note Xn le gain algebrique a l’issue d’une partie.

1. Determiner la loi de probabilite de Xn. Montrer que son esperance est egale a

E(Xn) =16n

(n + 7)2.

2. Soit f la fonction definie sur ]0; +∞[ par : f(x) = x(x+7)2

.

(a) Etudier les variations de f .

(b) En deduire la valeur de n pour laquelle E(Xn) est maximale. Quelle est la valeurcorrespondante de E(Xn).

Terminale S3126

2008/2009

Fragments du Bac Theme: Arithmetique (specialite)

[Theme) Arithmetique (specialite)

Exercice no 1 [Equation arithmetique affine]

1. on considere deux entiers naturels a et b tels que ab 6= 0 et on cherche les entiers relatifs xet y solutions de l’equation : (∗) a x + b y = 60.On notera d le plus grand commun diviseur de a et b.

(a) On suppose que l’equation (∗) a au moins une solution (x0; y0).Montrer que d divise 60.

(b) On suppose que d divise 60.Prouver qu’il existe alors au mois une solution (x0; y0) a l’equation (∗).

2. On considere l’equation (∗∗) 24 x + 36,y = 60 (x et y entiers relatifs).

(a) Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brievement. Simplifier l’equation (∗∗).(b) Trouver une solution evidente pour l’equation (∗∗) et resoudre cette equation.

On appelle S l’ensemble des couples (x; y) solutions.

(c) Enumerer tous les couples (x; y) solutions de (∗∗) tels que : −10 ≤ x ≤ 10.Donner, parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5.

Exercice no 2 [Diviseurs de 30]

1. Determiner dans N, l’ensemble des diviseurs de 30.

2. Trouver les couples (x; y) d’entiers naturels non nuls dont le plus grand commun diviseur∆ et le plus grand commun multiple M verifient 3 M − 2 ∆ = 30.

Terminale S3127

2008/2009

Fragments du Bac Theme: Bacs blancs et devoirs communs

[Theme) Bacs blancs et devoirs communs

Terminale S3128

2008/2009


BACCALAUREAT BLANC

Session 2005

MATHEMATIQUES

Serie S

Enseignements obligatoire et de specialite

Duree de l’epreuve : 4 heures

Coefficient : 7

Les calculatrices electroniques de poche sont autorisees conformement a la loi en vigueur.

Les candidats presentant l’option de specialite, et seulement ceux-la, traiteront les exercices 5et 6 a la place de l’exercice 1.

Les autres candidats traiteront les exercices 1 a 4.

Terminale S3129

2008/2009


Exercice No 1

Soit la fonction f definie sur ]0; +∞[ par

f(x) = x2 + x− 1 + ln x

x.

On designe par C la courbe representative de f dans un repere orthogonal (O;~i;~j) ;(unites graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnees).

1. On considere la fonction ϕ definie sur ]0; +∞[ par

ϕ(x) = 2x3 + x2 + ln x.

(a) Etudier le sens de variation de ϕ.

(b) Demontrer que l’equation ϕ(x) = 0 admet une unique solution α.

(c) Montrer que α appartient a l’intervalle [0, 54; 0, 55].

(d) En deduire le signe de ϕ(x) suivant les valeurs de x.

2. (a) Determinerlim

x→+∞f(x).

(b) Montrer que l’axe des ordonnees est asymptote a C .

(c) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

On donnera une valeur approchee de chaque extremum.

(d) Tracer C .

Exercice No 2

Partie I. A chaque question est affecte un certain nombre de points. Pour chaque question,une reponse exacte rapporte le nombre de points affectes ; une reponse inexacte enleve la moitiedes points affectes.Le candidat peut decider de ne pas repondre a certaines de ces questions. Ces questions nerapportent aucun point et n’en enlevent aucun.Si le total est negatif, la note est ramenee a 0.

Pour chacune des affirmations suivantes, repondre par Vrai ou Faux :

(A) Toute suite bornee est convergente.

(B) Pour toutes suites (un) et (vn) a valeurs strictement positives qui tendent vers +∞, lasuite de terme general un

vnconverge vers 1.

(C) Toute suite croissante non majoree diverge vers +∞.

Partie II. Pour chacune des propositions de la premiere partie, justifier la reponse donnee :– dans le cas ou la propsition vous paraıt fausse : en donnant un contre-exemple.– dans le cas ou la propsition vous paraıt exacte : en donnant une demonstration.

Terminale S3130

2008/2009


Exercice No 3

On repique des plants de 10 cm de haut sous une serre. On sait que la taille maximale de cesplants est de 1 m.On note f(t) la taille, en metre, d’un plant apres t jours ; en particulier : f(0) = 0, 1. Lemodele de Verhulst consiste a considerer que la vitesse de croissance de la plante evolue suivantla relation :

f ′(t) = af(t)(1− f(t))

ou a est une constante dependant des conditions experimentales. Autrement dit, f est solutionsur [0; +∞[ de l’equation differentielle :

y′ = ay(1− y).

1. On pose, pour tout t ∈ [0; +∞[ :

z(t) =1

f(t).

Montrer que z est solution sur [0; +∞[ de l’equation differentielle

(L) z′ + az = a.

2. Question de cours.

Prerequis : La fonction exponentielle exp est derivable sur R, strictement positive etverifie

exp′ = exp et exp(0) = 1.

Question : En n’utilisant que ces proprietes, resoudre l’equation differentielle (L) sur R.

3. En deduire que pour tout reel t ∈ [0; +∞[, on a :

f(t) =1

9e−at + 1.

4. On observe qu’au bout de 15 jours, la plante mesure 19 cm.

(a) Montrer que

a = − 1

15ln

(9

19

).

En donner une valeur approchee a 10−2 pres.

(b) Etudier la limite de f en +∞ et preciser son sens de variation.

(c) Representer graphiquement la fonction f ;(unites graphiques : 1 cm en abscisse et 10 cm en ordonnee.)

(d) Au bout de combien de jours la plante depassera-t-elle 90 cm de haut ?

Terminale S3131

2008/2009


Feuille a rendre avec la copie. - NOM et CLASSE :

Exercice No 4

A chaque question est affecte un certain nombre de points. Pour chaque question, une reponseexacte rapporte le nombre de points affectes ; une reponse inexacte enleve la moitie des pointsaffectes.Le candidat peut decider de ne pas repondre a certaines de ces questions. Ces questions nerapportent aucun point et n’en enlevent aucun.Si le total est negatif, la note est ramenee a 0.

Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte. Le candidat doit cocher lacase correspondante. Aucune justification n’est demandee.

1. Soit z ∈ C verifiant z + |z| = 6 + 2i. L’ecriture algebrique de z est :

8

3− 2i − 8

3− 2i

8

3+ 2i − 8

3+ 2i

2. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x+iy verifiant |z − 1| = |z + i|est la droite d’equation :

y = x− 1 y = −x y = −x + 1 y = x

3. Soit n un entier naturel. Le nombre (1 +√

3)n est reel si, et seulement si, n s’ecrit sous laforme :

3k + 1 3k + 2 3k 6k

(avec k entier naturel).

4. Soit l’equation (E) :

z =6− z

3− z, (z ∈ C).

Une solution de (E) est :

− 2−√

2i 2 +√

2i 1− i − 1− i

5. Soit deux points A et B d’affixes respectives zA = i et zB =√

3 dans un repere orthonormal(O; ~u;~v). L’affixe zC du point C tel que ABC soit un triangle equilateral avec(

~AB; ~AC)

=π

3est :

− i 2i √

3 + i √

3 + 2i

6. Dans le plan complexe, l’ensemble des points M d’affixe z = x + iy verifiant la relation

arg

(z + 2

z − 2i

)=

π

2

est inclus dans :– La droite d’equation y = x− 1.– Le cercle de centre I(1 + i) et de rayon R =

√2.

– La droite d’equation y = x.– Le cercle de diametre [AB], A et B etant les points d’affixes respectives

zA = −2 et zB = 2i.

Terminale S3132

2008/2009


- SPECIALITE -

Exercice No 5

1. On cherche deux entiers relatifs x et y solutions de l’equation :

ax + by = 60 (5.2)

(a et b deux entiers naturels donnes tels que ab 6= 0).

On notera d le plus grand commun diviseur de a et b.

(a) On suppose que l’equation (1) a au moins une solution (x0; y0).

Montrer que d divise 60.

(b) On suppose que d divise 60.

Prouver qu’il existe alors au moins une solution (x0; y0) a l’equation (1).

2. On considere l’equation24x + 36y = 60 (5.3)

(x et y entiers relatifs).

(a) Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brievement. Simplifier l’equation (2).

(b) Trouver une solution evidente pour l’equation (2) et resoudre cette equation.

On appelle S l’ensemble des couples (x; y) solutions.

(c) Enumerer tous les couples (x; y) solutions de (2) tels que

−10 ≤ x ≤ 10.

Donner, parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5.

Exercice No 6

1. Determiner dans N, l’ensemble des diviseurs de 30.

2. Trouver les couples (x; y) d’entiers naturels non nuls dont le plus grand commun diviseur∆ et le plus grand commun multiple M verifient

3M − 2∆ = 30.

Terminale S3133

2008/2009


DEUXIEME BACCALAUREAT BLANC

21 avril 2005

MATHEMATIQUES

Serie S

Enseignements obligatoire et de specialite

Duree : 4 heures

Coefficient : 7

Les calculatrices electroniques de poche sont autorisees conformement a la loi en vigueur.

Les candidats presentant l’option de specialite, et seulement ceux-la, traiteront l’exercice 5 ala place de l’exercice 2.

Les autres candidats traiteront les exercices 1 a 4.

Le sujet comporte 8 pages, dont la feuille annexe (pages 7 et 8) qui est a rendre avec la copie.

Terminale S3134

2008/2009


Exercice no 1 [Aires sous une courbe]

Le plan est rapporte a un repere orthonormal (O,~i,~j). On note I le point de coordonnees(1, 0).

Soient f une fonction positive, strictement croissante et derivable sur [0; 1], C sa courberepresentative dans le repere (O,~i,~j) et ∆ la portion de plan comprise entre C ,l’axe desabscisses et les droites d’equations x = 0 et x = 1.

Le but du probleme est de prouver l’existence d’un unique reel α appartenant a l’intervalle[0; 1] tel que, si A est le point de C d’abscisse α, le segment [IA] partage ∆ en deux regionsde meme aire.

Pour tout x appartenant a l’intervalle [0; 1], on note Mx le point de coordonnees (x, f(x))et Tx le domaine delimite par la droite (IMx), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnees et lacourbe C .

On designe par F la fonction definie sur [0; 1] par

F (x) =

∫ x

0

f(t)dt

et par g(x) l’aire de Tx.

1. Exprimer, pour tout x apprtenant a l’intervalle [0; 1], g(x) en fonction de x, f(x) et F (x).

2. Demonstration de cours. Demontrer que F est derivable et a pour derivee f .

3. Etudier les variations de la fonction g : x 7→ g(x) sur [0; 1].

Terminale S3135

2008/2009


(a) Par des considerations d’aires, montrer que

g(0) ≤ 1

2

∫ 1

0

f(t)dt.

(b) Montrer qu’il existe un unique reel α appartenant a [0; 1] tel que g(α) soit egal a lamoitie de l’aire ∆.

Terminale S3136

2008/2009


Exercice no 2 [Etude d’une configuraion]

On se place dans le plan complexe muni d’un repere orthonorme direct d’origine O.

Soient A, B, C, D E, cinq points tels que les triangles ABC et ADE soient equilaterauxdirects. Soit d’autre part le point F tel que le quadrilatere ACFD soit un parallelogramme.

On note enfin a, b et d les affixes respectives des points A, B et D.

On se propose de demontrer que le triangle BFE est un triangle equilateral direct par deuxmethodes differentes.

Premiere methode

1. Determiner les affixes des points C et E, notes respectivement c et e, en fonction de a, bet d.

Indication. Pour le calcul de l’affixe de C, on pourra remarquer que ce dernier est l’imagedu point B par la rotation de centre A et d’angle π

3.

2. En deduire l’affixe f de F en fonction de a, b et d.

3. Conclure.

Deuxieme methode

Soient r la rotation de centre A et d’angle π3

et t la translation de vecteur ~AD.

1. Determiner l’ecriture complexe de r puis de t.

2. Soit k = t r. Determiner l’ecriture complexe de k.

3. Montrer que k admet un point fixe Ω dont on determinera l’affixe w.

4. Soit M un point d’affixe z. On note z′ l’affixe du point M ′, image de M par k.

Calculer z′ − w en fonction de z − w. En deduire la nature de la transformation k.

5. Quelle est l’image de B par k ?

6. Conclure.

Terminale S3137

2008/2009


Exercice no 3 [Tirages de jetons]

Un urne U contient deux jetons numerotes 1 et 2 ; une autre urne U ′ contient quatre jetonsnumerotes 1, 2, 3, 4. Les jetons sont indiscernables au toucher.

1. On choisit au hasard une urne, puis au hasard un jeton dans cette urne.

(a) Quelle est la probabilite que le jeton tire porte le numero 1 ?

(b) Quelle est la probabilite que le jeton tire provienne de l’urne U , sachant qu’il porte lenumero 1 ?

2. On rassemble les jetons dans une meme urne et on tire simultanement au hasard deuxjetons dans cette urne.

(a) Quelle est la probabilite que les deux jetons portent le meme numero ?

(b) On appelle S la somme des numeros des deux jetons tires.

Determiner la loi de probabilite de S. Calculer l’esperance et l’ecart type de S.

(c) Soit x un reel positif. Un joueur donne 10 euros si S est impair et recoit x euros si Sest pair. On appelle G son gain algebrique.

Determiner x pour que le jeu soit equitable, c’est-a-dire pour que l’esperance de G soitnulle.

Terminale S3138

2008/2009


Exercice no 4 [Coccinelles]

On sait tous qu’il y a des annees a coccinelles et d’autres sans !

On se propose d’etudier l’evolution d’une population de coccinelles a l’aide d’un modele utili-sant la fonction numerique f definie par f(x) = kx(1− x), k etant un parametre qui dependde l’environnement (k ∈ R).

Dans le modele choisit, on admet que le nombre de coccinelles reste inferieur a un million.L’effectif des coccinelees, exprime en millions d’individus, est approche pour l’annee n par unnombre reel un, avec un compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l’annee zero il y a 300 000coccinelles, on prendra u0 = 0, 3.

On admet que l’evolution d’une annee sur l’autre obeit a la relation un+1 = f(un), f etant lafonction definie ci-dessus.

Le but de l’exercice est d’etudier le comportement de la suite (un) pour differentes valeurs dela population initiale u0 et du parametre k.

1. Demontrer que si la suite (un) converge, alors sa limite verifie la relation f(l) = l.

2. Supposons u0 = 0, 4 et k = 1.

(a) Etudier le sens de variation de la suite (un).

(b) Montrer par recurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ 1.

(c) La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

(d) Que peut-on dire de l’evolution a long terme de la population de coccinelles avec ceshypotheses ?

3. Supposons maintenant que u0 = 0, 3 et k = 1, 8.

(a) Etudier les variations de la fonction f sur [0; 1] et montrer que f(12) ∈ [0, 1

2].

(b) En utilisant eventuellement un raisonnement par recurrence,– montrer que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ un ≤ 1

2;

– etablir que, pour tout entier naturel n, un+1 ≥ un.

(c) La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

(d) Que peut-on dire de l’evolution a long terme de la population de coccinelles avec ceshypotheses ?

4. On a represente sur la feuille annexe (pages 7 et 8) la fonction f dans les deux cas etudiesci-dessus ainsi que la droite d’equation y = x. Le troisieme graphique correspond au cas ouu0 = 0, 8 et k = 3, 2.

Illustrer sur les deux premiers graphiques les resultats trouves en 1, et 2, en laissant lestraits de construction et en faisant apparaıtre en abscisse les valeurs successives

u0 , u1 , u2 , ...

En utilisant la meme methode, formuler une conjecture sur l’evolution de la populationdans le troisieme cas.

Terminale S3139

2008/2009


Exercice no 5 [Specialite]

Partie I

Soit ABC un triangle rectangle en B, direct :

( ~BC, ~BA) =π

2.

Soit E un point du segment [AB]. Par le point E on mene une droite d qui coupe le segment[AC] en un point F et la droite (BC) en un point G (voir figure ci-dessous). On suppose queles points E, F , G sont distincts des points A, B, C.

Le cercle Γ circonscrit au triangle ABC et le cercle Γ′ circonscrit au triangle BEG se coupenten deux points distincts B et K.

1. Justifier l’existence d’une similitude plane directe S telle que S(A) = C et S(E) = G.

Determiner l’angle de S.

2. Soit Ω le centre de S.

(a) Montrer que Ω appartient aux cercles Γ et Γ′.

(b) Prouver que Ω est different de B.

(c) Que peut-on en deduire pour Ω ?

Partie II

Le plan complexe est rapporte a un repere orthonormal direct (O,~u,~v) d’unite graphique 2cm. Les affixes des points A, B, C, E, F et G sont donnees par :

zA = 2 + 4i , zB = −1− 2i , zC = 3− 4i , zE = 0 , zF =5

2, zG = −5.

On admettra que le point F est le point d’intersection du segment [AC] et de la droite (GE)et que les conditions de la partie I sont verifiees.

Terminale S3140

2008/2009


1. Placer ces points sur une figure et, a l’aide des resultats de la partie I, construire le pointΩ, centre de la similitude S.

2. Soit S ′ la similitude plane directe telle que S ′(A) = E et S ′(C) = G. Determiner l’ecriturecomplexe de S ′ et determiner l’affixe du centre Ω′ de S ′.

3. Montrer que les points Ω et Ω′ sont confondus.

Terminale S3141

2008/2009


Feuille annexe (a rendre avec la copie) ; Nom et classe :

Premier cas : u0 = 0, 4 et k = 1.

Deuxieme cas : u0 = 0, 3 et k = 1, 8.

Terminale S3142

2008/2009


Troisieme cas : u0 = 0, 8 et k = 3, 2.

Terminale S3143

2008/2009


Lycee L.-G. Damas 2009, premier devoir commun

Exercice No 1 (4 points)? Commun a tous les candidats ?

Huit affirmations, reparties en deux themes et numerotees 1.a) a 2.d) sont proposees ci-dessous.Le candidat portera sur la copie, en regard du numero de l’affirmation, et avec le plus grandsoin, la mention vrai ou faux.

Chaque reponse correcte rapporte 0, 5 point. Chaque reponse erronee enleve 0, 25 point. Iln’est pas tenu compte de l’absence de reponse. Un eventuel total negatif est ramene a 0.

1. ∗ Affirmation 1.a) Si a est un nombre reel quelconque et f une fonction definie et stricte-ment decroissante sur [a; +∞[, alors lim

x→+∞f(x) = −∞.

∗ Affirmation 1.b) Soient f et g deux fonctions definies sur [0; +∞[, g ne s’annullant pas :

Si limx→+∞

f(x) = −∞ et si limx→+∞

g(x) = +∞ alors limx→+∞

f(x)

g(x)= −1.

∗ Affirmation 1.c) Si f est une fonction definie sur [0; +∞[ telle que 0 ≤ f(x) ≤√

x sur

[0; +∞[ alors limx→+∞

f(x)√x

= 0.

∗ Affirmation 1.d) On considere un repere (O ; ~ı , ~ ) du plan.Si f est une fonction definie sur R∗ alors la droite d’equation x = 0 est asymptote a lacourbe representative de f dans le repere (O ; ~ı , ~ ).

2. On considere deux suites (un) et (vn) definies sur N.




(un + vn) = 0.


vn = +∞ alors la



si limn→+∞


(un

vn

)ne converge pas.


(un

vn

)converge.

Terminale S3144

2008/2009



La courbe C ci-dessous represente dans un repere orthogonal (O ; ~ı , ~ ) une fonction f definiesur R.

1. En utilisant le graphique :

(a) Dresser le tableau de variations de f .

(b) Existe-t-il un axe de symetrie de C ?

(c) Donner les limites de f en +∞ et en −∞.

(d) Existe-t-il des droites asymptotes a C ? Si oui, donner leur equation.

(e) Donner la position de C par rapport a ses asymptotes eventuelles.

2. En fait, C est la courbe representative de la fonction f definie sur R par :

f(x) =√

x2 − 2x + 2.

Sans utiliser les resultats de la question 1, repondre aux questions suivantes :

(a) Etudier les variations de f sur R.

(b) Determiner les limites de f en +∞ et en −∞.

(c) Demontrer que la droite ∆ d’equation y = x− 1 est asymptote a C en +∞.Etudier la position relative de C et de ∆.

Terminale S3145

2008/2009



La suite (un) est definie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 =1

2un + n− 1.

1. (a) Demontrer que pour tout n ≥ 3, un ≥ 0.

(b) En deduire que pour tout n ≥ 4, un ≥ n− 2.

(c) En deduire la limite de la suite (un).

2. On definit la suite (vn) par vn = 4 un − 8 n + 24.

(a) Demontrer que la suite (vn) est une suite geometrique decroissante dont on donnera laraison et le premier terme.

(b) Demontrer que pour tout entier naturel n, un = 7

(1

2

)n

+ 2 n− 6.

(c) Verifier que pour tout n, un = xn + yn ou (xn) est une suite geometrique et (yn) unesuite arithmetique dont on precisera pour chacune le premier terme et la raison.

(d) En deduire l’expression de Sn =n∑

k=0

uk en fonction de n.

Exercice No 4 (5 points)? Pour les candidats ne suivant pas l’option de specialite ?

On considere les fonctions numeriques d’une variable reelle definies par :

x 7→ f(x) =1

3

(x2 + x +

1

x

)et x 7→ g(x) = 2 x3 + x2 − 1.

1. Montrer que pour tout x 6= 0, les nombres f ′(x) et g(x) ont le meme signe.

2. (a) Etudier les variations de la fonction g sur R.

(b) En deduire que l’equation g(x) = 0 admet dans R un solution unique α, avec 0 < α < 1.(On ne cherchera pas a calculer α.)

(c) En deduire le signe de g(x) en fontion du reel x.

3. Dresser le tableau des variations de la fonction f .

On designe par (C ) la representation graphique de la fonction f dans un repere orthonorme(unite 3 cm), par I le point de (C ) d’abscisse −1 et par J le point (C ) d’abscisse +1.

4. (a) Verifier que la droite (IJ) est la tangente en J a (C ).

(b) Determiner une equation de la tangente (T ) en I a (C ).

5. Etudier la position de (C ) par rapport a (T ).Rappel : Pour tout reel x, (x + 1)3 = x3 + 3 x2 + 3 x + 1.

6. Utiliser les resultats precedents pour construire la courbe (C ). (On prendra 23

comme valeurapprochee de α.)

Terminale S3146

2008/2009


Un corrige

Exercice no 1 [VRAI/FAUX ROC - 4 points]

∗ Remarque : Les justifications donnees ci-dessous n’etaient pas demandees.

∗ Affirmation 1.a) Si a est un nombre reel quelconque et fune fonction definie et strictement decroissante sur [a; +∞[alors lim

x→+∞f(x) = −∞.

B C’est faux en general : En prenant f : x 7→ 1/xsur [1; +∞[, on obtient une fonction strictement decroissantequi tend vers 0 en +∞. On sait d’ailleurs que toute fonctionstrictement decroissante et minoree sur [1; +∞[ admet unelimite reelle en +∞.

∗ Affirmation 1.b) Soient f et g deux fonctions definies sur [0; +∞[, g ne s’annullant pas.

Si limx→+∞

f(x) = −∞ et si limx→+∞

g(x) = +∞ alors limx→+∞

f(x)

g(x)= −1.

B C’est faux en general : Si f(x) = −x et g(x) = x2 + 1, pour x ∈ [0; +∞[, alors :

g(x) 6= 0 ; limx→+∞

f(x) = −∞ ; limx→+∞

g(x) = +∞ car x2 + 1 ≥ x2 ;

et limx→+∞

f(x)

g(x)= 0, car

∣∣∣∣f(x)

g(x)

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ x

x2 + 1

∣∣∣∣ ≤ x

x2≤ 1

x.

∗ Affirmation 1.c) Si f est une fonction definie sur [0; +∞[ telle que 0 ≤ f ≤ √alors

limx→+∞

f(x)√x

= 0.

B C’est faux en general : Il suffit de prendre f =√

: lim+∞

f√ = 1.

∗ Affirmation 1.d) On considere un repere (O ; ~ı , ~ ) duplan. Si f est une fonction definie sur R∗ alors la droited’equation x = 0 est asymptote a la courbe representativede f dans le repere (O ; ~ı , ~ ).

B C’est faux en general : N’importe quelle fonction gdefinie sur R peut se restreindre en une fonction f definie surR∗ (g(x) = f(x) si x 6= 0 et g(0) n’existe pas). Si on choisitg continue en 0 alors sa restriction f n’a pas d’asymptote en0.

On considere deux suites (un) et (vn) definies sur N.




(un + vn) = 0.

B C’est faux en general : Avec un = n et vn = −n + 1 on a

limn→+∞

un = +∞ ; limn→+∞

vn = −∞ et limn→+∞

(un + vn) = limn→+∞

1 = 1.

Terminale S3147

2008/2009



vn = +∞ alors la


B C’est vrai : C’est un resultats du cours. Notons α 6= 0 la limite de (un). Alors :

limn→+∞

(un × vn) = +∞ si α > 0 et limn→+∞

(un × vn) = −∞ si α < 0.

Dans les 2 cas, le produit ne converge pas.


si limn→+∞


(un

vn

)ne converge pas.

B C’est vrai : Comme limn→+∞

vn = 0+, alors, par inversion limn→+∞

1

vn

= +∞. On peut alors

appliquer l’affirmation precedente au produit un × 1vn

qui ne converge donc pas.


(un

vn

)converge.

B C’est faux en general : On peut choisir, pour n ∈ N, un = 1 et vn =1

(−1)n. Les

suites (un) et (vn) convergent respectivement vers 1 et 0. Pourtant le quotientun

vn

= (−1)n

ne converge pas.

Exercice no 2 [Courbe symetrique - 6 points]

La courbe C ci-dessous represente dans un repere (O ; ~ı , ~ ) une fonction f definie sur R.

1. Observations graphiques

1.a) Tableau de variations de f

x −∞ 1 +∞+∞ +∞

f 1

1.b) Axe de symetrie de CLa droite D d’equation x = 1.

1.c) Limitesf tend vers +∞ en +∞ et en −∞.

1.d) Droites asymptotes a Cla droite ∆ d’equation y = x− 1 et, par symetrie, la droite ∆′ d’equation y = −x + 1.

1.e) Positions relativesLa courbe C est toujours au dessus de ∆ et ∆′.

2. La courbe C represente la fonction f definie sur R par : f(x) =√

x2 − 2x + 2.

2.a) Variations de f . On pose, pour x ∈ R, p(x) = x2−2x+2. Comme p(x) = (x−1)2 +1,alors p ≥ 1 et la fonction f =

√p est bien definie sur R. De plus, comme la fonction racine

carree est strictement croissante, donc f a le meme sens de variation que p. Or p est unefonction trinome de degre 2 dont le coefficient dominant est strictement positif donc :

Terminale S3148

2008/2009


• p admet un minimum en − −22×1

= 1 qui vaut p(1) = 1

• p est strictement decroissante sur ]−∞, 1]

• p est strictement croissante sur [1, +∞[

Par composition avec la fonction√

, on en deduit le tableau de variation de f :

x −∞ 1 +∞

f =√

p √1 = 1

2.b) Limites aux bornes. Si x 6= 0, alors

p(x) = x2

(1− 2

x+

2

x2

)avec lim

x→+∞

1

x= lim

x→+∞

1

x= 0 et lim

x→+∞x2 = +∞

(limites de reference). Donc, par operations sur les limites, limx→+∞

f(x) = +∞.

On montre exactement de la meme maniere que limx→−∞

f(x) = +∞.

2.c) Asymptote en +∞. Montrons que la droite ∆ d’equation y = x− 1 est asymptote aC en +∞ en considerant, pour x > 1, la difference

f(x)− (x− 1) =√

x2 − 2x + 2− (x− 1) =(√

x2 − 2x + 2)2 − (x− 1)2

√x2 − 2x + 2 + (x− 1)

=x2 − 2x + 2− (x2 − 2x + 1)√

x2 − 2x + 2 + (x− 1)=

1√x2 − 2x + 2 + (x− 1)

.

Or, si x > 1 alors (x− 1) > 0, donc√

x2 − 2x + 2 + (x− 1) >√

x2 − 2x + 2 > 0 et on amontre en 2.b) que lim

x→+∞

√x2 − 2x + 2 = +∞. Par inversion, on en deduit que

limx→+∞

[f(x)− (x− 1)] = limx→+∞

1√x2 − 2x + 2 + (x− 1)

= 0.

Ceci prouve que la droite ∆ d’equation y = x− 1 est asymptote a C en +∞.

∗ Position relative de C et de ∆. On etudie cette fois-ci le signe de f(x)− (x− 1) :

• Si x ≤ 1 alors f(x) > 0 ≥ x− 1 donc f(x)− (x− 1) > 0.

• Si x > 1 alors f(x)− (x− 1) =1√

x2 − 2x + 2 + (x− 1)> 0 car

√x2 − 2x + 2 > 0

(x− 1) > 0..

Finalement, f(x)− (x + 1) > 0 pour x ∈ R, c’est-a-dire : C est toujours au dessus de ∆.

Terminale S3149

2008/2009


Exercice no 3 [Suites recurrentes - 5 points]

La suite (un) est definie par u0 = 1 et, pour tout n ∈ N, un+1 =1

2un + n− 1.

1.a) Recurrence. Montrons que, pour tout n ≥ 3, un ≥ 0.

∗ Initialisation. u0 = 1, donc u1 = 12

+ 0− 1 = − 12

et donc :

u2 =1

2×(− 1

2

)+ 1− 1 = − 1

4; u3 =

1

2×(− 1

4

)+ 2− 1 =

7

8≥ 0.

∗ Heredite. Soit un entier k ≥ 3 tel que uk ≥ 0 (hypothese de recurrence). Alors :

k ≥ 3 ⇒ k − 1 ≥ 2 ⇒ 1

2uk + (k − 1) ≥ 2 car

1

2uk ≥ 0.

On a ainsi uk+1 ≥ 2 ≥ 0 (conclusion de recurrence).On peut affirmer finalement que, pour tout entier n ≥ 3, un ≥ 0.

1.b) Minoration de (un). Montrons que si n ≥ 4 alors un ≥ n − 2. La relation de

recurrence ecrite au rang n− 1 donne un =1

2un−1 + n− 2. Or, d’apres 1.a), un−1 ≥ 0 car

n− 1 ≥ . 3. On en deduit que un ≥ n− 2, si n ≥ 3.

1.c) Divergence de (un). D’apres le theoreme du gendarme, les hypotheses

(H) un ≥ n−2 si n ≥ 3, et (H ′) limn→+∞

(n−2) = +∞, entrainent que limn→+∞

un = +∞.

2. Suite auxilliaire. On definit la suite (vn) par : vn = 4 un − 8 n + 24.

2.a) Montrons que la suite (vn) est une suite geometrique. Pour tout entier n ≥ 0,

vn+1 = 4 un+1 − 8 (n + 1) + 24 = 4 un+1 − 8 (n + 1) + 24

= 4

(1

2un + n− 1

)− 8 (n + 1) + 24 = 2 un + 4 n− 4− 8 n− 8 + 24

= 2 un − 4 n + 12 = 12(4 un − 8 n + 24)

= 12vn.

La suite (vn) est donc geometrique de raison 12

et de premier terme v0 = 4×1−8×0+24 = 28.Comme v0 > 0 et 0 < 1

2< 1 alors (vn) est positive et strictement decroissante.

2.b) Expression de (un). Montrons que, pour tout entier naturel n, un = 7

(1

2

)n

+2 n−6.

On a les equivalences :

vn = 4 un − 8 n + 24 ⇔ vn + 8 n− 24 = 4 un ⇔ un =1

4(vn + 8 n− 24) .

Or vn =28

2n=

7

2n−2car (vn) est la suite geometrique de premier terme v0 = 28 et de raison

1

2. Donc : un =

1

4

(7

2n−2+ 8 n− 24

)=

1

4× 7

2n−2+ 2 n− 6 =

7

2n+ 2 n− 6.

Terminale S3150

2008/2009


2.c) Decomposition de (un) On pose, pour tout entier naturel n, xn = 72n et yn = 2 n−6.

La suite (xn) est geometrique de premier terme 7 et de raison 12. La suite (yn) est arithmetique

de premier terme −6 et de raison 2. Et on a bien : un = xn + yn.

2.d) Expression de Sn =n∑

k=0

uk en fonction de n

n∑k=0

uk =n∑

k=0

xk+n∑

k=0

yk = 7×1− 1

2n+1

1− 12

+y0 + yn

2×(n+1) = 14×

(1− 1

2n+1

)+

(n− 12)(n + 1)

2

Exercice no 4 [Etude des fonctions - 5 points]

On considere les fonctions numeriques d’une variable reelle definies par :

x 7→ f(x) =1

3

(x2 + x +

1

x

)et x 7→ g(x) = 2 x3 + x2 − 1.

1. Signe de f ′ et g. Montrons que pour tout x 6= 0, les nombres f ′(x) et g(x) ont le memesigne. La fonction f est derivable sur R∗ et, pour tout x 6= 0,

f ′(x) =1

3

(2 x + 1− 1

x2

)=

1

3× 2 x3 + x2 − 1

x2=

g(x)

3 x2

Comme x2 > 0 si x 6= 0, alors f ′(x) et g(x) sont de meme signe.

2.a) Variations de g. La fonction polynome g est derivable sur R et, pour tout reel x,

g′(x) = 6 x2 + 2 x = 6 x

(x +

1

3

).

On en deduit que :

• si x ∈]−∞;−1/3[ alors g′(x) > 0 ; donc g est strictement croissante sur ]−∞;−1/3]

B g(−1/3) = −227

+ 19− 1 = −26

27

• si x ∈]− 1/3; 0[ alors g′(x) < 0 ; donc g est strictement decroissante sur [−1/3; 0]

B g(0) = −1

• si x ∈]0; +∞[ alors g′(x) > 0 ; donc g est strictement croissante sur [0; +∞[

2.b) Etude de l’equation g(x) = 0. Des variations de g on deduit que :

• Si x < −1/3 alors g(x) < g(−1/3) < 0 ; en particulier : g(x) 6= 0.

• Si −1/3 < x < 0 alors g(0) < g(x) < g(−1/3) < 0 ; de meme : g(x) 6= 0.

• Sur l’intervalle [0; +∞[, on applique le theoreme des valeurs intermediaires :

g est continue sur [0; +∞[ ; g(0) < 0 et limx→+∞

g(x) = +∞,

Donc l’equation g(x) = 0 admet une solution α sur [0; +∞[. Comme g est strictementcroissante sur [0; +∞[, cette solution est unique.

Terminale S3151

2008/2009


Finalement, α est la seule solution de l’equation sur R∗ car g(x) < 0 si x < 0.Or g(0) = −1 < 0 et g(1) = 2 > 0 donc necessairement : 0 < α < 1.

2.c) Signe de g(x) en fontion du reel x. D’apres la question precedente :

x −∞ α +∞g(x) − 0 +

3. Tableau des variations de f . Comme le signe de f ′ est le meme que celui de g sur R∗,on obtient le tableau de variation de f qui suit :

x −∞ 0 α +∞f ′(x) − − 0 +

+∞ +∞ +∞f

−∞ f(α)

∗ Justification des limites. Pour tout reel x 6= 0, on a :

f(x) =x2

3

(1 +

1

x+

1

x3

)et

lim

x→+∞x2 = +∞

limx→+∞

1

xp= 0 si p > 0,

d’ou l’on deduit, par operations, que : limx→+∞

f(x) = +∞. De meme : limx→+∞

f(x) = +∞.

D’autre part, limx→0

x2 = 0 et limx→0−

1

xp= −∞ si p > 0 est impaire. Donc, par addition puis

multiplication par 13, on obtient : lim

x→0−f(x) = −∞ ; de meme : lim

x→0+f(x) = +∞.

On designe par (C ) la representation graphique de la fonction f dans un repere orthonorme(unite 3 cm), par I le point de (C ) d’abscisse −1 et par J le point (C ) d’abscisse +1.

4.a) Verifions que (IJ) est la tangente en J a (C ). D’apres le cours, une equation dela tangente (T ′) a C en J est : y = f ′(1)(x− 1) + f(1). Or :

f(1) =1

3

(12 + 1 +

1

1

)= 1 et f ′(1) =

g(1)

3× 12=

2

3.

une equation de la tangente (T ′) est donc y = 23(x − 1) + 1, soit y = 2

3x + 1

3. Cette droite

possede evidemment le point J . Verifions qu’elle possede aussi I(−1; f(−1)) :

2

3× (−1) +

1

3= −1

3et f(−1) =

1

3

((−1)2 + (−1) +

1

−1

)= −1

3.

Les coordonnees (−1;−1/3) de I verifient donc l’equation de T donc I ∈ T ′. Finalement,comme I ∈ T ′ et J ∈ T ′ alors T ′ = (IJ).

4.b) Equation de la tangente (T ) en I a (C ) : y = f ′(−1)(x− (−1)) + f(−1), soit

y = −2

3(x + 1)− 1

3, ou encore : y = −2

3x− 1.

Terminale S3152

2008/2009


5. Position de (C ) par rapport a (T ). On etudie, pour x 6= 0, le signe de la difference

f(x)−(−2

3x− 1

)= 1

3

(x2 + x + 1

x

)+ 2

3x + 1 = 1

3

(x2 + 3 x + 3 + 1

x

)= 1

3 x(x3 + 3 x2 + 3 x + 1) = (x+1)3

3 x.

Or (x + 1)3 est du meme signe que (x + 1) et x + 1 > 0 si, et seulement si x > −1. On obtientainsi le tableau de signes suivant :

x −∞ −1 0 +∞f(x)−

(−2

3x− 1

)+ 0 − +

Finalement :

• sur ]−∞;−1[, C est au dessus de T ; en I(−1;−1/3) : point de tangence

• sur ]− 1; 0[, C est en dessous de T ; en 0 : discontinuite de C (asymptote verticale)

• sur ]0; +∞[, C est au dessus de T .

6. Courbe (C ).

Terminale S3153

2008/2009


Lycee L.-G. Damas 2009, corrige du bac blanc

Exercice no 5 [Equations differentielles]

1) Resolution de l’equation homogene 2 y′ + y = 0 (E). Comme (E) est equivalente ay′ = − 1

2y, ses solutions sont les fonctions definies sur R sous la forme hC : x 7→ C e−x/2, ou

C est une constante reelle quelconque.

2) Equation complete (E ′) 2 y′ + y = e−x/2(x + 1).

a) Solution particuliere de (E ′). Soient m et p deux reels. On considere la fonction fdefinie sur R par f(x) = e−x/2(m x2 + p x). C’est une fonction derivable telle que, pour toutreel x,

f ′(x) =−1

2e−x/2(m x2 + p x) + e−x/2(2 m x + p) = e−x/2

(−m

2x2 + (2 m− p

2) x + p)

).

Donc :

2 f ′(x)+f(x) = 2 e−x/2

(−m

2x2 + (2 m− p

2) x + p)

)+e−x/2(m x2+p x) = e−x/2 (4 m x+2 p).

Ainsi, f est solution de (E ′) si, et seulement si, pour tout reel x,

2 f ′(x) + f(x) = e−x/2(x + 1) ⇔ e−x/2 (4 m x + 2 p) = e−x/2(x + 1)⇔ 4 m x + 2 p = x + 1 (car e−x/2 6= 0)

Or, les deux fonctions affines (x 7→ 4 m x + 2 p) et (x 7→ x + 1) sont egales si, et seulement si4 m = 12 p = 1,

soit

m = 1

4

p = 12.

6 B Conclusion. La fonction f est solution de (E ′) si, et seulement si, pour tout reel x,

f(x) = e−x/2

(1

4x2 +

1

2x

)=

1

4e−x/2

(x2 + 2 x

).

b) Resolution de (E ′). Soient g une fonction derivable sur R. C’est une solution de (E ′) si,et seulement si, ∀x ∈ R 2 g′(x) + g(x) = e−x/2(x + 1)

⇔ ∀x ∈ R 2 g′(x) + g(x)− (2 f ′(x) + f(x)) = e−x/2(x + 1)− e−x/2(x + 1)

⇔ ∀x ∈ R 2 (g − f)′(x) + (g − f)(x) = 0,

⇔ g − fsolution de (E).

6 B Conclusion : g solution de (E ′) ⇔ (g − f) est solution de (E).

Or, d’apres 1), g est solution de (E) si, et seulement s’il existe un reel C tel que, pour toutx ∈ R, g(x)− f(x) = C e−x/2, soit :

g(x) = C e−x/2 + f(x) = C e−x/2 +1

4e−x/2

(x2 + 2 x

)=

1

4e−x/2

(x2 + 2 x + 4 C

).

Terminale S3154

2008/2009


6 B Conclusion. Les solutions de (E ′) sont les fonctions definies sur R sous la formegC : x 7→ 1

4e−x/2 (x2 + 2 x + C ′), ou C ′ est une constante reelle quelconque.

3) Etude d’une solution. Soit h(x) = 14e−x/2 (x2 + 2 x). La solution h est derivable et

h′(x) =−1

4× 2e−x/2(x2 + 2 x) +

1

4e−x/2(2 x + 2) =

1

4e−x/2

(−1

2x2 + x + 2

).

La derivee h′ est du signe de −12

x2 + x + 2. Son discriminant est ∆ = 12 − 4× −12× 2 = 5

4) Limites aux infinis. Si x 6= 0 alors h(x) =x2

4e−x/2

(1 +

2

x

). Or :

• limx→+∞

(1 +

2

x

)= 1 car lim

x→+∞

1

x= 0 (limite de reference)

• limx→+∞

x2

4e−x/2 = lim

X→−∞X2eX = 0 par croissances comparees (en posant X = −x/2.

B Donc, par produit, limx→+∞

h(x) = 0.

• De meme : limx→−∞

(1 +

2

x

)= 1 et lim

x→−∞

x2

4e−x/2 = lim

X→+∞X2eX = +∞ par produit.

B Donc, par produit encore, limx→−∞

h(x) = +∞.

5) Courbes. Dans un repere orthonorme (O ; ~ı , ~ ), on note :

• C la courbe de h

• Γ la courbe de la fonction k : x 7→ e−x/2.

a) Positions relatives de C et de Γ. On etudie le signe de

h(x)− k(x) =1

4e−x/2

(x2 + 2 x

)− e−x/2 =

1

4e−x/2

(x2 + 2 x− 4

)qui est du meme signe que x2 + 2 x− 4 puisque e−x/2 > 0. On calcule donc

∆ = 22 − 4× 1× (−4) = 20 ; x1 =−2−

√20

2× 1= −1−

√5 et x2 = −1 +

√5.

Comme le coefficient de plus haut degre du polynome est 1 > 0, on en deduit que :

• Si x < −1−√

5 alors x2 + 2 x− 4 > 0. Donc C est au dessus de Γ sur ]−∞;−1−√

5[.

• Si −1 −√

5 < x < −1 +√

5 alors x2 + 2 x − 4 < 0. Donc C est en dessous de Γ sur]− 1−

√5;−1 +

√5[.

• Si x > −1 +√

5 alors x2 + 2 x− 4 > 0. Donc C est au dessus de Γ sur ]− 1 +√

5; +∞[.

• C et Γ se rencontrent pour x = −1−√

5 et pour x = −1 +√

5

b) Traces de C et de Γ.

Terminale S3155

2008/2009


Exercice no 6 [Nombres complexes]

On pose z = −√

2 +√

2 + i

√2−

√2.

1) Forme algebrique de z2. On developpe, en utilisant la premiere identite remarquable :

z2 =(−√

2 +√

2 + i√

2−√

2)2

= (2 +√

2)− 2 i (√

2 +√

2)(√

2−√

2) + i2(2−√

2)

= 2 +√

2− 2 i√

4− 2− 2 +√

2 = 2√

2− 2 i√

2 (Reponse B).

2) Module et argument principal de z2. On factorise par 4, en utilisant l’enonce :

z2 = 2√

2− 2 i√

2 = 4

(√2

2− i

√2

2

)= 4 (cos(−π/4) + i sin(−π/4)) .

Donc |z2| = 4 et Arg(z2) = −π/4 (Reponse B).

3) Module et argument principal de z. D’une part, on a :∣∣z2∣∣ = |z|2 donc |z| =

√|z2| =

√4 = 2 car |z| ≥ 0.

D’autre part, on a arg(z2) = 2arg(z) + 2kπ (k ∈ Z), donc

arg(z) =1

2Arg(z2)− kπ (k ∈ Z) soit Arg(z) = −π/8 ou Arg(z) = −π/8 + π = 7π/8.

Comme Re(z) = −√

2 +√

2 < 0 alors Arg(z) = 7π/8 (Reponse A).

Terminale S3156

2008/2009

Terminale S Mathematiques

Devoir commun

de mathematiques— Samedi 16 mai 2009 —

Duree : 4h

Le sujet comporte 4 pages, plus une feuille reservee aux candidats ayant suivi l’enseignementde specialite. Ces candidats traiteront l’exercice 1.bis enonce sur cette feuille supplementairea la place de l’exercice 1.

Exercice 1 5 pointsPour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de specialite

Le plan complexe est rapporte a un repere orthonormal direct (O, ~u,~v) ; unite graphique :4 cm.

On considere le point A d’affixe zA = 2 + i et le cercle (Γ) de centre A et de rayon√

2.

1. Faire une figure qui sera completee tout au long de l’exercice.

2. (a) Determiner les affixes des points d’intersection de (Γ) et de l’axe (O,~u).

(b) On designe par B et C les points d’affixes respectives zB = 1 et zC = 3.

Determiner l’affixe zD du point D diametralement oppose au point B sur le cercle (Γ).

3. Soit M le point d’affixe3

5+

6

5i.

(a) Calculer le nombre complexezD − zM

zB − zM

.

(b) Interpreter geometriquement un argument du nombrezD − zM

zB − zM

.

En deduire que le point M appartient au cercle (Γ).

4. On note (Γ′) le cercle de diametre [AB].

La droite (BM) recoupe le cercle (Γ′) en un point N.

(a) Montrer que les droites (DM) et (AN) sont paralleles.

(b) Determiner l’affixe du point N.

5. On designe par M′ l’image du point M par la rotation de centre B et d’angle −π

2.

(a) Determiner l’affixe du point M′.

(b) Montrer que le point M′ appartient au cercle (Γ′).

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Terminale S3157

2008/2009


Exercice 2 5 pointsCommun a tous les candidatsLes parties A et B peuvent etre traitees independamment.

Partie A

Soit f la fonction numerique de la variable reelle x definie sur ]0 ; +∞[ par : f(x) =ln(x)

x2.

Sa courbe representative (C ), construite dans un repere orthonormal, et son tableau de va-riations sont donnes ci-dessous.

1. Le tableau de variations de f donne des proprietes sur les variations de la fonction, leslimites aux bornes de l’ensemble de definition ainsi que l’extremum.

Enoncer puis demontrer ces proprietes.

2. Dans cette question, toute trace de recherche, meme incomplete, sera prise en compte dansl’evaluation.

Existe-t-il des tangentes a la courbe (C ) qui contiennent le point O origine du repere ?Si oui donner leur equation.

Partie B

Soit g la fonction definie sur l’intervalle ]0 , +∞[ par : g(x) =

∫ x

1

ln t

t2dt.

1. (a) Que represente f pour la fonction g ?

(b) En deduire le sens de variations de g sur ]0 , +∞[.

2. Interpreter geometriquement les reels g(3) et g

(1

2

).

3. (a) A l’aide d’une integration par parties, montrer que : g(x) = 1− ln x + 1

x.

(b) Determiner la limite de g en +∞.

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Terminale S3158

2008/2009


Exercice 3 4 pointsCommun a tous les candidats

Soit v = (vn)n>0 une suite.On considere la suite u definie pour tout entier naturel n par un = e−vn + 1.

Partie APour chacune des questions, quatre propositions sont proposees dont une seule est exacte.Pour chacune des questions donner, sans justification, la bonne reponse sur la copie.Une bonne reponse 0, 75 point, une mauvaise reponse znleve 0, 25 point et l’absence de reponseest comptee 0 point.Tout total negatif est ramene a 0.

1. a est un reel strictement positif et ln designe la fonction logarithme neperien.

Si v0 = ln a alors :

(a) u0 =1

a+ 1 (b) u0 =

1

1 + a(c) u0 = −a + 1 (d) u0 = e−a + 1

2. Si v est strictement croissante, alors :

(a) u est strictement decroissante et majoree par 2

(b) u est strictement croissante et minoree par 1

(c) u est strictement croissante et majoree par 2

(d) u est strictement decroissante et minoree par 1

3. Si v diverge vers +∞, alors :

(a) u converge vers 2

(b) u diverge vers +∞(c) u converge vers 1

(d) u converge vers un reel ` tel que ` > 1

4. Si v est majoree par 2, alors :

(a) u est majoree par 1 + e−2

(b) u est minoree par 1 + e−2

(c) u est majoree par 1 + e2

(d) u est minoree par 1 + e2

Partie B (1 point)Demontrer que pour tout entier naturel non nul, on a ln (un) + vn > 0.

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Terminale S3159

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Restitution organisee de connaissances

On supposera connus les resultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.

– Si u > 0 sur [a; b] alors

∫ b

a

u(x) dx > 0.

– Pour tous reels α et β,

∫ b

a

[αu(x) + βv(x)] dx = α

∫ b

a

u(x) dx + β

∫ b

a

v(x) dx.

Demontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et

si, pour tout x de [a ; b], f(x) 6 g(x), alors

∫ b

a

f(x) dx 6∫ b

a

g(x) dx.


On considere les suites (xn) et (yn) definies pour tout entier naturel n non nul par :

xn =

∫ 1

0

tn cos t dt et yn =

∫ 1

0

tn sin t dt.

1. (a) Montrer que la suite (xn) est a termes positifs.

(b) Etudier les variations de la suite (xn).

(c) Que peut-on en deduire quant a la convergence de la suite (xn) ?

2. (a) Demontrer que, pour tout entier naturel n non nul, xn 61

n + 1.

(b) En deduire la limite de la suite (xn).

3. (a) A l’aide d’une integration par parties, demontrer que, pour tout entier naturel n nonnul,

xn+1 = −(n + 1)yn + sin(1).

(b) En deduire que limn→+∞

yn = 0.

4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, yn+1 = (n + 1)xn − cos(1).

Determiner limn→+∞

nxn et limn→+∞

nyn.

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Terminale S3160

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Fragments du Bac Theme: Revisions de juin

[Theme) Revisions de juin

1. Geometrie dans l’Espace

Exercice no 1 [QCM. Nouvelle Caledonie, novembre 2006 — 6 points]

∗ Premiere partie L’espace est rapporte a un repere orthonormal (O ; ~ı , ~ , ~k ). Onconsidere :• les points A(0; 0; 3), B(2; 0; 4), C(−1; 1; 2) et D(1;−4; 0)• les plans (P1) : 7x + 4y − 3z + 9 = 0 et (P2) : x− 2y = 0.• les droites (∆1) et (∆2) definies par leurs systemes d’equations parametriques respectifs

x = −1 + ty = −8 + 2tz = −10 + 5t

t ∈ R

x = 7 + 2t′

y = 8 + 4t′

z = 8− t′t′ ∈ R

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte4.

∗ Deuxieme partieL’espace est rapporte a un repere orthonormai (O ; ~ı , ~ , ~k ). On considere la droite (D) pas-

sant par A(0; 0; 3) et dont un vecteur directeur est−→u (1; 0;−1) et la droite (D′) passant par

B(2; 0; 4) et dont un vecteur directeur est−→v (0; 1; 1).

L’objectif est de demontrer qu’il existe une droite unique perpendiculaire a la fois a (D) et a(D′), de la determiner et de degager une propriete de cette droite.

1. On considere un point M appartenant a (D) et un point M ′ appartenant a (D′) definis par−−−→AM = a ~u et

−−−→BM ′ = b~v , ou a et b sont de nombres reels.

Exprimer les coordonnees de M , de M ′ puis du vecteur−−−−→MM ′ en fonction de a et b.

4Une reponse exacte rapporte 0, 5 point ; une reponse inexacte enleve 0,25 point.

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2. Demontrer que la droite (MM ′) est perpendiculaire a (D) et a (D′) si et seulement si lecouple (a; b) est solution du systeme

2a + b = 1a + 2b = −1

3. Resoudre ce systeme. En deduire les coordonnees des deux uniques points M et M ′, quenous noterons ici H et H ′, tels que la droite (HH ′) soit bien perpendiculaire commune a(D) et a (D′). Montrer que HH ′ =

√3 unites de longueur.

4. On considere un point M quelconque de la droite (D) et un point M ′ quelconque de ladroite (D′).

(a) En utilisant les coordonnees obtenues a la question 1, demontrer que

MM ′2 = (a + b)2 + (a− 1)2 + (b + 1)2 + 3.

(b) En deduire que la distance MM ′ est minimale lorsque M est en H et M ′ est en H ′.

Exercice no 2 [Equations de plans. Antilles-Guyane, juin 2007 — 3 points]

L’espace est rapporte au repere orthonorme (O ; ~ı , ~ , ~k ).On considere les points A(3; 0; 6) et I(0; 0; 6), et l’on appelle (D) la droite passant par A et I.On appelle (P ) le plan d’equation 2y + z − 6 = 0 et (Q) le plan d’equation y − 2z + 12 = 0.

1. Demontrer que (P ) et (Q) sont perpendiculaires.

2. Demontrer que l’intersection des plans (P ) et (Q) est la droite (D).

3. Demontrer que (P ) et (Q) coupent l’axe (O ; ~ı ) et determiner les coordonnees des pointsB et C, intersections respectives de (P ) et (Q) avec l’axe (O ; ~ ).

4. Demontrer qu’une equation du plan (T ) passant par B et de vecteur normal−−→AC est

x + 4y + 2z − 12 = 0.

5. Donner une representation parametrique de la droite (OA). Demontrer que la droite (OA)et le plan (T ) sont secants en un point H dont on determinera les coordonnees.

6. Que represente le point H pour le triangle ABC ? Justifier.

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Exercice no 3 [Cube. Antilles-Guyane, septembre 2007 — 5 points]

Dans un cube ABCDEFGH, on designe par I et J les milieux respectifs des segments [AB]et [GH].Le point K est le centre de la face BCGE.

Les calculs seront effectues dans le repere orthonormal(A;−−→AB ,

−−→AD ,

−−→AE

).

2. (a) Demontrer que le quadrilatere DIFJ est unparallelogramme.

Etablir que DIFJ est en fait un losange et mon-

trer que l’aire de ce losange est egale a

√6

2.

(b) Verifier que le vecteur−→n

21−1

est un

vecteur normal au plan (DIJ).

En deduire une equation cartesienne de ce plan.

(c) Determiner la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume de lapyramide EDIFJ . On rappelle que le volume V d’une pyramide de hauteur h

et de base correspondante B est donne par la formule suivante V =1

3×B × h.

2. Soit (∆) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ).

(a) Donner une representation parametrique de (∆) et prouver que K est un point de (∆).

(b) Determiner les coordonnees du point d’intersection L de (∆) et du plan (DIJ).

(c) Verifier que L est le centre de gravite du triangle BEG.

3. Soit (S) l’ensemble des points de l’espace dont les coordonnees verifient l’equation

x2 + y2 + z2 − 2x− y − x +4

3= 0.

(a) Verifier que (S) est une sphere dont on precisera le centre et le rayon.

(b) Montrer que L est un point de (S). Quelle propriete geometrique relative a (S) et auplan (DIJ) peut-un deduire de ce dernier resultat ?

Exercice no 4 [Repere adapte. Metropole, septembre 2007 — 6 points]

On considere dans l’espace un cube de 3 cm de cote, note ABCDEFGH et represente ci-apres.Soit I le barycentre des points ponderes (E; 2) et (F ; 1) ; J celui de (F ; 1) et (B; 2) etenfin K celui de (G; 2) et (C; 1).On veut determiner l’ensemble des points M equidistants de I, J et K. On note ∆ cet en-semble.

1. Placer les points l, J et K sur la figure.

Terminale S3163

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2. Soit Ω le point de ∆ situe dans le plan (IJK). Que represente ce point pour le triangleIJK ?

Pour la suite, on se place dans le repere orthonormal

(A;

1

3

−−→AD ;

1

3

−−→AB ;

1

3

−−→AE

).

3. Donner les coordonnees des points l, J et K.

4. Soient P (2; 0; 0) et Q(1; 3; 3) deux points que l’on placera sur la figure.Demontrer que la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK).

5. Soit M un point de l’espace de coordonnees (x ; y ; z).

(a) Demontrer que M appartient a ∆ si, et seulementsi, le triplet (x ; y ; z) est solution d’un systemede deux equations lineaires que l’on ecrira.Quelle est la nature de ∆?

(b) Verifier que P et Q appartiennent a ∆.Tracer ∆ sur la figure.

6. Determiner un vecteur normal au plan (IJK) eten deduire une equation cartesienne de ce plan.Determiner alors les coordonnees exactes de Ω.

Exercice no 5 [Representation parametrique. Polynesie, septembre 2007 — 4points]

L’espace est muni d’un repere orthonormal (O ; ~ı , ~ , ~k ). Soient (P1) et (P2) les plans d’equationscartesiennes respectives −2x + y + z − 6 = 0 et x− 2y + 4z − 9 = 0.

1. Montrer que (P1) et (P2) sont perpendiculaires.On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normalnon nul a l’un est orthogonal a un vecteur normal non nul a l’autre.

2. Soit (D) la droite d’intersection de (P1) et (P2).

Montrer qu’une representation parametrique de (D) est :

x = −7 + 2ty = −8 + 3tz = t

(t ∈ R).

3. Soient M un point quelconque de (D) de parametre t et A le point de coordonnees(−9;−4;−1).

(a) Verifier que A n’appartient ni a (P1), ni a (P2).

(b) Exprimer AM2 en fonction de t.

(c) Soit f la fonction definie sur R par f(t) = 2t2 − 2t + 3. Etudier les variations de f .Pour quel point M , la distance AM est-elle minimale ? On designera ce point par I.Preciser les coordonnees du point I.

4. Soit (Q) le plan orthogonal a (D) passant par A. Determiner une equation de (Q).Demontrer que I est le projete orthogonal de A sur (D).

Exercice no 6 [Nouvelle-Caledonie, mars 2007 — 5 points]

Pour tout cet exercice, l’espace est muni d’un repere orthonormal (O ; ~ı , ~ , ~k ). 0

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1. Montrer que les points A(1; 2;−3), B(−3; 1; 4) et C(2; 6;−1) determinent un plan.

2. Verifier qu’une equation cartesienne du plan (ABC) est 2x− y + z + 3 = 0.

3. Determiner un systeme d’equations parametriques de la droite D passant par I(−5; 9; 4)et perpendiculaire a (ABC).

4. Determiner les coordonnees du point J , intersection de la droite D et du plan (ABC).

5. En deduire la distance du point I au plan (ABC).

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2. Probabilites

Exercice no 7 [QCM general. Antilles-Guyane, juin 2007 — 4 points]

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte.On s’interesse a deux types de pieces electroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabricationd’une boıte de vitesses automatique.Une seule piece de type P1 et une seule piece de type P2 sont necessaires par boıte.L’usine se fournit aupres de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2.Le sous-traitant S1 produit 80 % des pieces de type P1 et 40 % de pieces de type P2.Le sous-traitant S2 produit 20 % des pieces de type P1 et 60 % de pieces de type P2.1. Un employe de l’usine reunit toutes les pieces P1 et P2 destinees a etre incorporees dans

un certain nombre de boıtes de vitesses. Il y a donc autant de pieces de chaque type.

Il tire une piece au hasard.

(a) La probabilite que ce soit une piece P1 est

0,8 0,5 0,2 0,4 0,6

(b) La probabilite que ce soit une piece P1 et qu’elle vienne de S1 est

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

(c) La probabilite qu’elle vienne de S1 est

0,2 0,4 0,5 0,6 0,8

2. Il y a 200 pieces au total. Cette fois l’employe tire deux pieces simultanement. On supposetous les tirages equiprobables.

(a) Une valeur approchee a 10−4 pres de la probabilite que ce soit deux pieces P1 est :

0,158 8 0,248 7 0,168 3 0,009 5

(b) Une valeur approchee a 10−4 pres de la probabilite que ce soit deux pieces P1 et P2est :

0,500 0 0,251 3 0,502 5

(c) La probabilite que ce soient deux pieces fabriquees par le meme fournisseur est :

357

995

103

199

158

995

3. La duree de vie exprimee en annees des pieces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont leparametre λ est donne dans le tableau suivant :

λ P1 P2S1 0,2 0,25S2 0,1 0,125

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On rappelle que si X, duree de vie d’une piece exprimee en annees, suit une loi exponentielle

de parametre λ, alors p(X 6 t) =

∫ t

0

λe−λxdx.

Une valeur approchee a 10−4 pres de la probabilite qu’une piece P1 fabriquee par S1 duremoins de 5 ans est :

0,367 9 0,632 1

Exercice no 8 [Variable aleatoire gain. Asie, juin 2007 — 4 points]

Une fabrique artisanale de jouets en bois verifie la qualite de sa production avant sa com-mercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis a deux controles : d’une partl’aspect du jouet est examine afin de verifier qu’il ne presente pas de defaut de finition, d’autrepart sa solidite est testee.Il s’avere, a la suite d’un grand nombre de verifications, que :• 92 % des jouets sont sans defaut de finition ;• parmi les jouets qui sont sans defaut de finition, 95 % reussissent le test de solidite ;• 2 % des jouets ne satisfont a aucun des deux controles.On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :• F l’evenement : « le jouet est sans defaut de finition » ;• S l’evenement : « le jouet reussit le test de solidite ».

1. Construction d’un arbre pondere associe a cette situation.

(a) Traduire les donnees de l’enonce en utilisant les notations des probabilites.

(b) Demontrer que pF

(S)

=1

4.

(c) Construire l’arbre pondere correspondant a cette situation.

2. Calcul de probabilites.

(a) Demontrer que p(S) = 0, 934.

(b) Un jouet a reussi le test de solidite. Calculer la probabilite qu’il soit sans defaut definition. (On donnera le resultat arrondi au millieme,)

3. Etude d’une variable aleatoire B.

Les jouets ayant satisfait aux deux controles rapportent un benefice de 10 AC, ceux qui n’ontpas satisfait au test de solidite sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un beneficede 5 AC.

On designe par B la variable aleatoire qui associe a chaque jouet le benefice rapporte.

(a) Determiner la loi de probabilite de la variable aleatoire B.

(b) Calculer l’esperance mathematique de la variable aleatoire B.

4. Etude d’une nouvelle variable aleatoire. On preleve au hasard dans la production de l’en-treprise un lot de 10 jouets.

On designe par X la variable aleatoire egale au nombre de jouets de ce lot subissant avecsucces le test de solidite. On suppose que la quantite fabriquee est suffisamment importantepour que la constitution de ce lot puisse etre assimilee a un tirage avec remise.

Calculer la probabilite qu’au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succes le test de solidite.

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Exercice no 9 [Probabilites discretes. Metropole, septembre 2007 — 5 points]

La scene se passe en haut d’une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller sebaigner, les touristes ne peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une a l’Est et l’autre a l’Ouest.

A - Un touriste se retrouve deux jours consecutifs en haut de la falaise. Le premier jour, ilchoisit au hasard l’une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilite qu’ilchoisisse une direction opposee a celle prise la veille vaut 0,8.Pour i = 1 ou i = 2, on note Ei l’evenement : « Le touriste se dirige vers l’Est le i-emejour » et Oi l’evenement : « Le touriste se dirige vers l’Ouest le i-eme jour ».

1. Dresser un arbre de probabilites decrivant la situation.

2. Determiner les probabilites suivantes : p(E1) ; pE1(O2) ; p(E1 ∩ E2) .

3. Calculer la probabilite que ce touriste se rende sur la meme plage les deux jours consecutifs.

B - On suppose maintenant que n touristes (n > 3) se retrouvent un jour en haut de la falaise.Ces n touristes veulent tous se baigner et chacun d’eux choisit au hasard et independammentdes autres l’une des deux directions.On note X la variable aleatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage al’Est.

1. Determiner la probabilite que k touristes (0 6 k 6 n) partent en direction de l’Est.

2. On suppose ici que les deux plages considerees sont desertes au depart. On dit qu’un touristeest heureux s’il se retrouve seul sur une plage.

(a) Peut-il y avoir deux touristes heureux ?

(b) Demontrer que la probabilite (notee p) qu’il y ait un touriste heureux parmi ces n

touristes vaut : p =n

2n−1.

(c) Application numerique :

Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilite, arrondie au centieme,qu’il y ait un touriste heureux parmi les 10.

Exercice no 10 [Loi exponentielle. Antilles-Guyane, septembre 2007 — 4 points]

Partie AOn suppose connu le resultat suivant :Si X est une variable aleatoire qui suit une loi exponentielle de parametre strictement positif

λ alors, pour t reel positif, p(X 6 t) =

∫ t

0

λe−λx dx.

• Demontrer l’egalite suivante : p(X > t) = e−λt.• En deduire que, pour s et t reels positifs, l’egalite suivante est vraie

P(X>t)(X > s + t) = p(X > s) (loi de duree de vie sans vieillissement),P(X>t)(X > s + t) designant la probabilite de l’evenement (X > s + t) sachant que (X > t)est realise.

Partie BLa duree d’attente exprimee en minutes a chaque caisse d’un supermarche peut etre modeliseepar une variable aleatoire T qui suit une loi exponentielle de parametre strictement positif λ.

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1. (a) Determiner une expression exacte de λ sachant que p(T 6 10) = 0, 7.

On prendra, pour la suite de l’exercice, la valeur 0, 12 comme valeur approchee de λ.

(b) Donner une expression exacte de la probabilite conditionnelle

P(T>10)(T > 15).

(c) Sachant qu’un client a deja attendu 10 minutes a une caisse, determiner la probabiliteque son attente totale ne depasse pas 15 minutes.

On donnera une expression exacte, puis une valeur approchee a 0, 01 pres de la reponse.

On suppose que la duree d’attente a une caisse de ce supermarche est independante decelle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On designe par Y la variablealeatoire qui represente le nombre de caisses pour lesquelles la duree d’attente est superieurea 10 minutes.

(a) Donner la nature et les parametres caracteristiques de Y .

(b) Le gerant du supermarche ouvre des caisses supplementaires si la duree d’attente a aumoins 4 des 6 caisses est superieure a 10 minutes.

Determiner a 0, 01 pres la probabilite d’ouverture de nouvelles caisses.

Exercice no 11 [Denombrement. Centres etrangers, juin 2007 — 4 points]

Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions A, B ou C estexacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numero de la question et la lettre correspondanta la reponse choisie. Aucune justification n’est demandee.Une reponse exacte rapporte 0, 5 point . (Une reponse inexacte enleve 0, 25 point. L’absencede reponse n’apporte ni n’enleve aucun point.Si le total est negatif la note de l’exercice est ramenee a 0.

Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires.

1. On tire au hasard simultanement 3 boules de l’urne.

(a) La probabilite de tirer 3 boules noires est :

A1

56B

1

120C

1

3

(b) La probabilite de tirer 3 boules de la meme couleur est :

A.11

56B.

11

120C.

16

24

2. On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; onprocede ainsi a 5 tirages successifs et deux a deux independants.

(a) La probabilite d’obtenir 5 fois une boule noire est :

A.

(3

8

)3

×(

3

8

)3

B.

(3

8

)5

C.

(1

5

)5

(b) La probabilite d’obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est :

A.

(5

8

)3

×(

3

8

)2

B. 2× 5

8+ 3× 3

8C. 10×

(5

8

)3

×(

3

8

)2

Terminale S3169

2008/2009


3. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note :– R1 l’evenement : « La premiere boule tiree est rouge » ;– N1 l’evenement : « La premiere boule tiree est noire » ;– R2 l’evenement : « La deuxieme boule tiree est rouge » ;– N2 l’evenement : « La deuxieme boule tiree est noire ».

(a) La probabilite conditionnelle PR1 (R2) est :

A.5

8B.

4

7C.

5

14

(b) La probabilite de l’evenement R1 ∩ N2 est :

A.16

49B.

15

64C.

15

56

(c) La probabilite de tirer une boule rouge au deuxieme tirage est :

A.5

8B.

5

7C.

3

28

(d) La probabilite de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu’on a obtenu uneboule noire au second tirage est :

A.15

56B.

3

8C.

5

7

Terminale S3170

2008/2009


3. Equations differentelles

Exercice no 12 [Changement de variable. Metropole, septembre 2007 — 6 points]

Dans tout l’exercice, λ designe un nombre reel de l’intervalle ]0 ; 1].

1. On se propose d’etudier les fonctions derivables sur

]−∞ ;

1

2

[verifiant l’equation differentielle

(Eλ) : y′ = y2 + λy et la condition y(0) = 1.

On suppose qu’il existe une solution y0 de (Eλ) strictement positive sur

]−∞ ;

1

2

[et on

pose sur

]−∞ ;

1

2

[: z =

1

y0

Ecrire une equation differentielle simple satisfaite par la fonction z.

2. Question de cours

Pre-requis

Les solutions de l’equation differentielle y′ = −λy sont les fonctions x 7→ Ce−λx ou C estune constante reelle.

(a) Demontrer l’existence et l’unicite de la solution z de l’equation differentielle (E’λ) :z′ = −(λz + 1) telle que z(0) = 1.

(b) Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z0.

On veut maintenant montrer que la fonction z0 ne s’annule pas sur l’intervalle

]−∞ ;

1

2

[.

3. (a) Demontrer que ln(1 + λ) >λ

λ + 1.

On pourra etudier sur ]0 ; 1] la fonction f definie par f(x) = ln(1 + x)− x

x + 1.

(b) En deduire que1

λln(1 + λ) >

1

2.

4. En deduire que la fonction z0 ne s’annule pas sur

]−∞ ;

1

2

[. Demontrer alors que (Eλ)

admet une solution strictement positive sur

]−∞ ;

1

2

[que l’on precisera.

4. Calcul integral

Exercice no 13 [QCM. Asie, juin 2007 — 4 points]

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie oufause et donner unedemonstration de la reponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, la demonstrationconsistera a proposer un contre-exemple. Une reponse non demontree ne rapporte aucun point.

Terminale S3171

2008/2009


1. Si f est la fonction definie pour tout nombre reel x par : f(x) = sin2 x, alors sa fonctionderivee verifie, pour tout nombre reel x, f ′(x) = sin 2x.

2. Soit f est une fonction definie et derivable sur l’intervalle [−1 ; 1], dont la derivee estcontinue sur cet intervalle.

Si f(−1) = −f(1), alors :∫ 1

−1

tf ′(t) dt = −∫ 1

−1

f(t) dt.

3. Soit f une fonction definie et continue sur l’intervalle [0 ; 3].

Si

∫ 3

0

f(t) dt 6∫ 3

0

g(t) dt, alors pour tout nombre reel x appartenant a [0 ; 3] :

f(x) 6 g(x).

4. Si f est solution de l’equation differentielle y′ = −2y + 2 et si f n’est pas une fonctionconstante, alors la representation de f dans un repere du plan, n’admet aucune tangenteparallele a l’axe des abscisses.

Exercice no 14 [Integrale et primitives. Antilles-Guyane, juin 2007 — 4 points]

Partie A

1. Soit x un eel superieur ou egal a 1.

Calculer en fonction de x l’integrale

∫ x

1

(2− t) dt.

2. Demontrer que pour tout reel t appartenant a l’intervalle [1 ; +∞[, on a :

2− t 61

t.

3. Deduire de ce qui precede que pour tout reel x superieur ou egal a 1, on a :

−1

2x2 + 2x− 3

26 ln x.

Partie B

Soit h la fonction definie sur R par h(x) = −1

2x2 + 2x− 3

2.

Sur le graphique joint ci-apres, le plan est muni d’un repere orthogonal (O ; ~ı , ~ ) dans lequelon a trace les courbes representatives des fonctions h et logarithme neperien sur l’intervalle[1 ; 4]. On a a trace egalement la droite (d) d’equation x = 4.

1. (a) Demontrer que

∫ 4

1

h(x)dx = 0.

(b) Illustrer sur le graphique le resultat de la question precedente.

2. On note (D) le domaine du plan delimite par la droite (d) et les courbes representativesdes fonction h et logarithme neperien sur l’intervalle [1 ; 4].

En utilisant un integration par parties, calculer l’aire de (D) en unites d’aire.

Exercice no 15 [Encadrements. Antilles-Guyane, septembre 2007 — 6 points]

On se propose de determiner des valeurs approchees de l’integrale I =

∫ 12

0

10t2

1 + t2dt en utilisant

deux methodes distinctes.

Terminale S3172

2008/2009


Les parties A et B sont largement independantes l’une de l’autre.

PARTIE AUtilisation d’une integration par parties

1. En remarquant que10t2

1 + t2= 5t× 2t

1 + t2, etablir l’egalite

I =5

2× ln

(5

4

)− 5

∫ 12

0

ln(1 + t2

)dt.

2. On pose, pour x positif ou nul, f(x) = ln(1 + x)− x +x2

2et g(x) = ln(1 + x)− x.

(a) En utilisant les variations de f , demontrer que f(x) > 0. En procedant de la memefacon, on pourrait etablir que g(x) 6 0, inegalite que l’on admettra ici.

(b) A l’aide de ce qui precede, montrer que l’encadrement :

t2 − t4

26 ln

(1 + t2

)6 t2.

est vrai pour tout reel t.

(c) Deduire de la question precedente que

− 5

246 −5

∫ 12

0

ln(1 + t2

)dt 6 − 37

192.

3. En utilisant les questions precedentes, donner un encadrement d’amplitude inferieure a 0,02de I par des nombres decimaux ayant trois chiffres apres la virgule.

PARTIE BUtilisation de la methode d’Euler

1. On pose ϕ(x) =

∫ x

0

10t2

1 + t2dt pour x ∈

[0 ;

1

2

].

Preciser ϕ(0) ainsi que la fonction derivee de ϕ.

2. On rappelle que la methode d’Euler permet de construire une suite de points Mn (xn ; yn)proches de la courbe representative de ϕ. En choisissant comme pas h = 0, 1, on obtient lasuite de points Mn definie pour n entier naturel par :

x0 = 0y0 = 0

et

xn+1 = xn + 0, 1yn+1 = y − n + ϕ′ (xn)× 0, 1

En utilisant, sans la justifier, l’egalite xn =n

10verifier que yn+1 = yn +

n2

100 + n2.

3. Calculer y1, et y2, puis exprimer y3, y4 et y5 sous la forme d’une somme de fractions quel’on ne cherchera pas a simplifier.

Donner maintenant une valeur approchee a 0,001 pres de y5.

Le reel x5 etant egal a1

2, y5 est donc une valeur approchee de ϕ

(1

2

)c’est-a-dire de I.

Terminale S3173

2008/2009


4. Avec la methode d’Euler au pas h = 0, 01, on obtient, pour I, la valeur approchee 0, 354.

Les valeurs de I obtenues avec la methode d’Euler sont-elles compatibles avec l’encadrementde la question 3. de la partie A ?

Exercice no 16 [Suite d’integrales. Polynesie, septembre 2007 — 7 points]

1. Soit f la fonction definie sur R par :

f(x) =(2x3 − 4x2

)e−x.

(a) Determiner les limites de f en −∞ et en +∞.

(b) Calculer f ′(x) et montrer que f ′(x) = 2x (−x2 + 5x− 4) e−x.

(c) Dresser le tableau de variations de f .

(d) Tracer la courbe (C ) representative de f dans un repere orthonormal (O ; ~ı , ~ ) (unitegraphique : 1 cm).

2. Pour n ∈ N∗, on pose

In =

∫ 1

0

xne−x dx.

(a) A l’aide d’une integration par parties, calculer I1.

(b) On admet que, pour tout n superieur ou egal a 2, In = nIn−1 −1

e.

Determiner 12 et 13.

(c) Soit A l’aire, exprimee en cm2, du domaine delimite par l’axe des abscisses, la courbe(C ) et les droites d’equation x = 0 et x = 1. Calculer A .

3. Soit u une fonction definie et derivable sur R.

On definit la fonction v sur ]0 ; +∞[ par v(x) = u

(1

x

).

(a) On suppose que u est croissante sur l’intervalle [a ; b] (ou 0 < a < b).

Determiner le sens de variation de v sur

[1

b;

1

a

].

(b) On definit maintenant la fonction g par g(x) = f

(1

x

)sur ]0 ; +∞[, ou f est la

fonction definie dans la question 1.

Determiner les limites de g en 0 et en +∞,

(c) Deduire des questions precedentes le tableau de variations de la fonction g sur l’inter-valle ]0 ?; +∞[.

Terminale S3174

2008/2009


5. Nombres complexes

Exercice no 17 [Antilles-Guyane, septembre 2007 — 5 points]

Le plan est rapporte a un repere orthonormal direct (O ; ~u , ~v ).On designe par A et B les point, d’affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unite graphique2 cm) qui sera complete selon indications de l’enonce.La question 1 est independante des questions 2 et 3.

1. (a) Resoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’equation

z2 − 4z + 6 = 0.

(b) On designe par M1 et M2 les points d’affixes respectives

z1 = 2 + i√

2 et z2 = 2− i√

2.

Determiner la forme algebrique du nombre complexez1 − 3

z1

.

En deduire que le triangle OBM1 est un triangle rectangle.

(c) Demontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M1 et M2, appartiennent a unmeme cercle C que l’on precisera.

Tracer le cercle C et placer les points M1 et M2 sur le dessin.

2. On appelle f l’application du plan qui, a tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixez′ definie par l’egalite z′ = z2 − 4z + 6.

On designe par Γ le cercle de centre A et de rayon√

2.

Ce cercle ne sera pas trace sur le dessin,

(a) Verifier l’egalite suivante z′ − 2 = (z − 2)2.

(b) Soit M le point de Γ d’affixe z = 2+√

2eiθ ou θ designe un reel de l’intervalle ]−π ; π].Verifier l’egalite suivante : z′ = 2 + 2e2iθ et en deduire que M ′ est situe sur un cercleΓ′ dont on precisera le centre et le rayon. Tracer Γ′ sur le dessin,

3. On appelle D le point d’affixe d = 2 +

√2 + i

√6

2et on designe par D′ l’image de D par f .

(a) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe d− 2.

En deduire que D est situe sur le cercle Γ.

(b) A l’aide la question 2 b, donner une mesure de l’angle(−→u ,

−−→AD′

)et placer le point

D′ sur le dessin.

(c) Demontrer que le triangle OAD′ est equilateral.

Exercice no 18 [Metropole, septembre 2007 — 5 points]

Dans le plan complexe muni du repere orthonormal (O ; ~u , ~v ), on considere les points M etM ′ d’affixes respectives z et z′. On pose z = x + iy et z′ = x′ + iy′, ou x, x′, y, y′ sont desnombres reels.On rappelle que z designe le conjugue de z et que |z| designe le module de z.

1. Montrer que les vecteurs−−−→OM et

−−−→OM ′ sont orthogonaux si et seulement si Re(z′z) = 0 .

Terminale S3175

2008/2009


2. Montrer que les points O, M et M ′ sont alignes si et seulement si lm(z′z) = 0.

Applications

3. N est le point d’affixe z2 − 1. Quel est l’ensemble des points M tels que les vecteurs−−−→OM

et−−→ON soient orthogonaux ?

4. On suppose z non nul. P est le point d’ affixe1

z2− 1.

On recherche l’ensemble des points M d’affixe z tels que les points O, N et P soient alignes.

(a) Montrer que

(1

z2− 1

)(z2 − 1

)= −z2

∣∣∣∣ 1

z2− 1

∣∣∣∣2.(b) En utilisant l’equivalence demontree au debut de l’exercice, conclure sur l’ensemble

recherche.

Exercice no 19 [Antilles-Guyane, juin 2007 — 5 points]

(O ; ~u , ~v ) est un repere orthonormal direct du plan complexe.Soit A le point d’affixe 1 + i.

Au point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z′ telle que z′ =1

2(z + iz).

1. On pose z = x + iy et z′ = x′ + iy′ avec x, y, x′ et y′ reels.

(a) Demontrer les egalites suivantes : x′ =1

2(x + y) et y′ =

1

2(x + y). En deduire que le

point M ′ appartient a la droite (OA).

(b) Determiner l’ensemble des points M du plan tels que M = M ′.

(c) Demontrer que pour tout point M du plan les vecteurs−−−−→MM ′ et

−−→OA sont orthogonaux.

2. Soit r la rotation de centre O et d’angleπ

2. M1 est le point d’affixe z1 image de M par r,

M2 le point d’affixe z2 = z, M3 le point d’affixe z3 tel que le quadrilatere OM1M3M2 soitun parallelogramme.

(a) Dans cette question uniquement M a pour affixe 4 + i, placer les points M , M1, M2,M3.

(b) Exprimer z1 en fonction de z, puis z3 en fonction de z.

(c) OM1M3M2 est-il un losange ? Justifier.

(d) Verifier que z′ − z =1

2iz3.

En deduire que MM ′ =1

2OM3.

3. Demontrer que les points M , M1, M2 e tM3 appartiennent a un meme cercle de centre O

si et seulement si MM ′ =1

20OM .

Donner alors la mesure en radians de l’angle geometrique M ′OM .

Terminale S3176

2008/2009

Chapitre 6

Un peu de physique

177

Un peu de physique Theme: Autour du principe de moindre action

[Theme) Autour du principe de moindre action

Sur les traces de Fermat, Snel, Descartes, Maupertuis, Euler, Lagrange.

1. Distance d’un point aux points d’une droite

∗ Exercice 1. Dans un repere orthonorme (O, x, y) on considere un point A de coordonnees(x0, y0). On etudie la fonction dA qui a tout x associe la distance de A au point M de l’axe(Ox) d’abscisse x.

a) En utilisant le theoreme de Pythagore on etudiera les variations de la fonction dA et enparticulier les extrema et le comportement en +∞ et −∞.

b) Soit δ ∈ R+. Chercher les valeurs de x pour lesquelles dA(x) = δ.

∗ Exercice 2. Dans un repere orthonorme (O, x, y) on considere un point A de coordonnees(x0, y0) avec y0 6= 0.

On etudie la fonction dA qui a tout x associe la distance de A au point M de l’axe (Ox)d’abscisse x.

a) Calculer la derivee de dA et etudier les variations de cette derivee.

b) Etudier les variations de la fonction dA.

c) Calculer limx→∞

(dA(x)− (x− x0)).

En conclure l’existence d’une asymptote en +∞ dont on calculera l’equation. Quelle est laposition de la courbe representative de dA par rapport a cette asymptote.

c) Que se passe-t-il en −∞ ?

2. Reflexion

∗ Exercice 3. Dans un repere orthonorme (O, x, y) on considere deux points A et B decoordonnees respectives (0, yA) et (xB, yB) avec yA, xB, yB > 0. Le point H sera le point del’axe (Ox) d’abscisse xB.

On etudie la fonction dAB qui a tout x associe la somme des distances de A et de B au pointM de l’axe (Ox) d’abscisse x.

a) Calculer la derivee de dAB et montrer que cette derivee s’annule en un point x0 et un seul.De plus on montrera que ce point appartient a l’intervalle ]0, xB[.

b) Etudier les variations de dAB.

c) On note I le point de l’axe (Ox) d’abscisse x0. Montrer que (−−→IO ,

−−→IA ) = −(

−−→IH ,

−−→IB ).

Terminale S3178

2008/2009


3. Refraction

∗ Exercice 4. Dans un repere orthonorme (O, x, y) on considere deux points A et B decoordonnees respectives (0, yA) et (xB, yB) avec yA, xB > 0 et yB < 0. On introduit le pointM de l’axe (Ox) d’abscisse x. Un mobile ayant une vitesse v1 quand il se deplace dans ledemi-plan y ≥ 0, et une vitesse v2 dans le demi-plan y < 0, va de A en B en passant par M(il decrit les segments [AM ] et [MB]).

a) Calculer le temps TAB(x) mis par le mobile pour faire ce parcours.

b) Calculer la derivee de TAB et montrer que cette derivee s’annule en un point x0 et un seul.De plus on montrera que ce point appartient a l’intervalle ]0, xB[.

c)Etudier les variations de TAB.

d) On note I le point de l’axe (Ox) d’abscisse x0. Montrer que 1v1

sin(−−→OA ,

−−→IA ) = 1

v2sin(

−−→AO ,

−−→IB ).

4. Indice variable

Dans les exercices precedents on a minimise le temps de trajet pour aller d’un point a unautre. En optique par exemple ou l’indice d’un milieu est defini comme etant le rapport c

vou

c est la vitesse de la lumiere dans le vide et v la vitesse de la lumiere dans le milieu considere,la loi de la refraction au passage entre deux milieux d’indices respectifs n1 et n2 s’exprime par

n1 sin(i1) = n2 sin(i2)

ainsi qu’on l’a vu dans la section (6).

On peut alors regarder ce qu’il se passe si on fait varier continument l’indice en fonction del’abscisse du point ou en fonction de l’ordonnee du point. Dans ces cas on peut supposerd’apres l’etude faite precedemment que la trajectoire devra verifier n sin(i) =Constante avec0 < i < π

2et Constante> 0.

Voici divers exercices bases sur ce principe.

4.1. Quelques exemples

∗ Exercice 5. Soit f une fonction definie sur [0, +∞[ derivable telle que f(0) = 0 etf ′(0) = tan(i0) > 0. On appelle i l’angle entre l’axe Ox et la tangente au point d’abscisse xau graphe de f , de telle sorte que tan(i) soit le coefficient directeur de cette tangente.

On suppose que 0 < i < π2

et que n est une fonction croissante et positive de x. Montrer quei est une fonction decroissante de x et en particulier que i ≤ i0.

∗ Partie 1. Des exemples avec i petit

On va supposer que l’angle i0 est suffisamment petit pour que lorsque 0 ≤ i ≤ i0 on puisse avoirtan(i) ≈ sin(i). Si bien que la condition n sin(i) = C pourra etre remplacee par n tan(i) = C(ou C est une constante).

a) Cas ou n = n0(1 + kx), k > 0. Calculer f ′(x) puis f(x).

Terminale S3179

2008/2009


b) Cas ou n = n0(2− e−αx), α > 0.Calculer f ′(x) puis f(x).

c) Refaire les memes calculs avec n = n0(αx+1)x+1

, α > 1.

∗ Partie 2. Un exemple avec i pas si petit que ca

On se propose ici de faire une comparaison entre les resultat obtenus par la methode exposeeprecedente et le calcul exact, dans un cas ou celui-ci aboutit.

A cet effet, on notera fe la solution exacte, et fa la solution approchee.

De plus, on suppose que n(x) = n0

√ax + 1, avec n0 et a strictement positifs.

Le lecteur pourra facilement controler que n est une fonction positive, croissante, lorsque xdecrit R+.

a) Calcul exact.

(i) Montrer que f ′e (x) = C√

n2(x)−C2.

(ii) En deduire : fe(x) =2C

a n0

(√ax + 1− C2

n20

−

√1− C2

n20

).

b) Calcul approche (meme principe qu’au 5.1).

(i) Montrer que f ′a(x) ≈ C

n0√

ax+1.

(ii) En deduire : fa(x) =2C

a n0

(√ax + 1− 1

).

c) On pose ∆(x) = fe(x)− fa(x).

(i) Montrer que la fonction ∆ est croissante sur R+.

(ii) Montrer que ∆ admet une limite reelle, que l’on precisera, en +∞.

d) On pose, pour x > 0, q(x) = fe(x)fa(x)

.

Montrer que q admet une limite reelle, que l’on precisera, en +∞.

4.2. Profil d’une jetee, ou le probleme de la dalle en pente

∗ Exercice 6. On fixe 2 points A, B et un plan horizontal P (cf. figure).

Une masse ponctuelle M soumise a la gravitation a l’exception de toute autre force, tombedu plan horizontal P . Elle passe en A et en B en suivant un profil qu’on cherche a definir detelle sorte que le temps mis par M pour aller de A a B soit minimum.

On choisit un repere orthogonal d’origine A oriente comme indique sur la figure. L’angle

(−−→Ax ,

−→V ) (ou

−→V est le vecteur vitesse) sera note i. Au point A cet angle a pour valeur iA. On

admettra que la trajectoire cherchee peut s’ecrire sous la forme cartesienne y = f(x), avec fderivable.

Terminale S3180

2008/2009


Rappelons que la vitesse de M d’abscisse x est v =√

2g(x− x0).

Compte tenu de l’introduction du paragraphe 6 on est amene a imposer la condition n sin(i) =Constanteou n est proportionnel a l’inverse de la vitesse, c’est-a-dire

n sin(i) = nA sin(iA), soit sin(i) =√

x− x0sin(iA)√|x0|

.

a) Calculer x = φ(i).

b) Etablir que y = f(φ(i)).

c) Calculer f ′(x) en fonction de i. En deduire la derivee de la fonction f φ.

d) En deduire que

y =|x0|

sin2(iA)

∫ i

iA

2 sin2(u) du.

e) Calculer la fonction f φ.

On a donc obtenu les deux coordonnees x et y du point M en fonction du meme parametre i.

f) Montrer que les coordonnees x et y du point M verifient les relationsx− x0 = K(1− cos(2i)),y − y0 = K(2i− sin(2i)).

Terminale S3181

2008/2009


g) Construire l’arc (AB) de cette courbe en prenant x0 = −1, iA =π

6et xB = 2.

5. Des corriges

? Exercice 1.

La fonction dA est definie sur R par : dA(x) =√

(x− x0)2 + y20.

a) On remarque tout de suite que :

(i) La fonction dA est minoree : pour tout x reel, dA(x) ≥ |y0|.

(ii) La courbe de la fonction dA presente une symetrie par rapport a la droite d’equationx = x0. En effet, pour tout h reel, dA(x0 + h) = dA(x0 − h).

(iii) La fonction dA est strictement croissante sur l’intervalle [x0 , +∞[.

(iv) Enfin, pour tout x reel, dA(x) ≥ |x− x0|. Il en decoule : limx→+∞

dA(x) = +∞.

On obtient donc le tableau de variation suivant :

b) On deduit du tableau precedent que, δ etant un reel positif donne, l’equation dA(x) = δ :

• n’a pas de solution si δ < |y0|,• a une solution (x = x0) si δ = |y0|,• a deux solutions distinctes x1 et x2 si δ > |y0|, x1 et x2 etant telles que x1 − x0 = x0 − x2.

? Exercice 2.

Terminale S3182

2008/2009


La fonction dA est toujours definie sur R par : dA(x) =√

(x− x0)2 + y20, mais on rajoute la

condition y0 6= 0.

a) y0 n’etant pas nul, le radicande n’est jamais nul, et donc la fonction dA est derivable surR ; et on obtient, pour tout x reel :

d ′A(x) =2(x− x0)

2√

(x− x0)2 + y20

=x− x0√

(x− x0)2 + y20

.

La fonction d ′A est, elle-aussi, derivable sur R, et on a, pour tout x reel :

d ′′A(x) =

√(x− x0)2 + y2

0 −(x− x0)

2√(x− x0)2 + y2

0

(x− x0)2 + y20

=y2

0

((x− x0)2 + y20)

32

> 0.

La fonction d ′A est donc strictement croissante sur R.

D’autre part, pour x 6= x0,

d ′A(x) =x− x0

|x− x0|√

1 + y02

(x−x0)2

.

D’ou, si x > x0, d ′A(x) =1√

1 +y0

2

(x− x0)2

, et donc, limx→+∞

d ′A(x) = 1.

Par contre, si x < x0, d ′A(x) = − 1√1 +

y02

(x− x0)2

, et on a, limx→−∞

d ′A(x) = −1.

On a donc le tableau de variation suivant :

Terminale S3183

2008/2009


b) Des variations de d ′A on deduit son signe et donc le tableau de variation de dA :

c) Pour x ≥ x0 :

dA(x)− (x− x0) =√

(x− x0)2 + y20 − (x− x0) =

((x− x0)2 + y2

0)− (x− x0)2√

(x− x0)2 + y20 + (x− x0)

.

donc dA(x)− (x− x0) =y2

0√(x− x0)2 + y2

0 + (x− x0).

On constate que :

• D’une part limx→+∞

[dA(x)− (x−x0)] = 0, ce qui prouve que la droite D d’equation y = x−x0

est asymptote oblique en +∞ a la courbe C de dA.

• D’autre part, pour x ≥ x0, la difference dA(x) − (x − x0) est > 0, ce qui montre que, surl’intervalle [x0 , +∞[, la courbe C est au-dessus de la droite D .

La courbe C etant symetrique par rapport a la droite d’equation x = x0, on en deduit quela droite D ′, d’equation y = −x + x0 est asymptote oblique en −∞ a la courbe C de dA etque, sur l’intervalle ]−∞ , x0], la courbe C est au-dessus de la droite D ′.

? Exercice 3.

La fonction dAB est definie sur R par : dAB(x) =√

x2 + yA2 +

√(x− xB)2 + yB

2.

a) yA et yB n’etant pas nuls, les deux radicandes ne sont jamais nuls, et donc la fonction dAB

est derivable sur R ; et on obtient, pour tout x reel :

d ′AB(x) =x√

x2 + yA2

+x− xB√

(x− xB)2 + yB2.

Terminale S3184

2008/2009


On remarque que la fonction d ′AB et la somme de deux fonctions strictement croissantessur R. En effet, si on calcule les derivees de ces fonctions, on va constater, comme on l’a dejafait dans l’exercice 2. (question a), que ce sont des reels > 0.

On en deduit que la fonction d ′AB est strictement croissante sur R.

D’autre part, xB etant > 0, on a d ′AB(0) < 0 et d ′AB(xB) > 0.

La fonction d ′AB etant continue, il decoule du corollaire du theoreme des valeurs intermediairesque, dans l’intervalle [0 , xB], l’equation d ′AB(x) = 0 possede une solution unique x0.

De plus, du fait de la monotonie de d ′AB, si x < 0 alors d ′AB(x) ≤ d ′AB(0), donc d ′AB(x) < 0,et si x > xB alors d ′AB(x) ≥ d ′AB(xB), donc d ′AB(x) > 0 ; ce qui montre qu’en dehors del’intervalle [0 , xB], l’equation d ′AB(x) = 0 ne possede aucune solution.

En resume, la fonction d ′AB s’annule en un point x0 et un seul, compris entre 0 et xB.

On en deduit le tableau de variation de la fonction d ′AB :

b) Des variations de d ′AB on deduit son signe et donc le tableau de variation de dAB :

c) On a, par definition de x0 :x0√

x20 + yA

2+

x0 − xB√(x0 − xB)2 + yB

2= 0.

Terminale S3185

2008/2009


Designons par α et β des mesures respectives des angles (−−→IO ,

−−→IA ) et (

−−→IH ,

−−→IB ).

Le cosinus d’un angle oriente de vecteurs etant egal au cosinus de l’angle geometrique formepar ces vecteurs, on constate que :

cos α =x0√

x20 + yA

2et cos β =

x0 − xB√(xB − x0)2 + yB

2.

La relation qui definit x0 se traduit donc par : cos α = cos β.

D’autre part, puisque (−−→IO ,

−−→IA ) = (

−−→IO ,

−−→IH ) + (

−−→IH ,

−−→IA ) [2π], si on designe par γ une

mesure de l’angle (−−→IH ,

−−→IA ), on a la relation : α = π+γ [2π], qui nous donne : sin α = − sin γ.

Or sin γ =OA

‖−−→IA ‖

, et OA = yA > 0, donc sin γ > 0 et donc sin α < 0.

De meme, sin β =HB

‖−−→IB ‖

, et HB = yB > 0, donc sin β > 0.

On en deduit : sin α = − sin β.

D’ou α = −β [2π], et on obtient finalement l’egalite : (−−→IO ,

−−→IA ) = −(

−−→IH ,

−−→IB ).

♦ Remarque. Si on designe par B ′ le symetrique du point B par rapport a l’axe (Ox), une

mesure de l’angle (−−→IH ,

−−→IB ′ ) etant α, on en deduit que les points A, I et B ′ sont alignes, ce

qui nous permet d’obtenir tres simplement le point B ′.

? Exercice 4.

Terminale S3186

2008/2009


a) Le temps TAB(x) mis par le mobile pour aller de A en B en passant par M est donne par :

TAB(x) =

√x2 + yA

2

v1

+

√(x− xB)2 + yB

2

v2

.

b) yA et yB n’etant pas nuls, les deux radicandes ne sont jamais nuls, et donc la fonction dAB

est derivable sur R ; et on obtient, pour tout x reel :

T ′AB(x) =

x

v1

√x2 + yA

2+

x− xB

v2

√(x− xB)2 + yB

2.

On remarque que la fonction T ′AB et la somme de deux fonctions strictement croissantes

sur R. En effet, si on calcule les derivees de ces fonctions, on va constater, comme on l’a dejafait dans l’exercice 2. (question a), que ce sont des reels > 0.

On en deduit que la fonction T ′AB est strictement croissante sur R.

D’autre part, xB etant > 0, on a T ′AB(0) < 0 et T ′

AB(xB) > 0.

La fonction T ′AB etant continue, il decoule du corollaire du theoreme des valeurs intermediaires

que, dans l’intervalle [0 , xB], l’equation T ′AB(x) = 0 possede une solution unique x0.

De plus, du fait de la monotonie de T ′AB, si x < 0 alors T ′

AB(x) ≤ T ′AB(0), donc T ′

AB(x) < 0,et si x > xB alors T ′

AB(x) ≥ T ′AB(xB), donc T ′

AB(x) > 0 ; ce qui montre qu’en dehors del’intervalle [0 , xB], l’equation T ′

AB(x) = 0 ne possede aucune solution.

En resume, la fonction T ′AB s’annule en un point x0 et un seul, compris entre 0 et xB.

On en deduit le tableau de variation de la fonction T ′AB :

c) Des variations de T ′AB on deduit son signe et donc le tableau de variation de TAB :

d) On a, par definition de x0 :x0

v1

√x2

0 + yA2

+x0 − xB

v2

√(x0 − xB)2 + yB

2= 0.

Designons par i1 et i2 des mesures respectives des angles (−−→OA ,

−−→IA ) et (

−−→AO ,

−−→IB ).

Terminale S3187

2008/2009


On a, d’une part, cos(π

2+ i1) =

IO

‖−−→IA ‖

=−x0√

x20 + yA

2.

D’ou, puisque cos(π

2+ i1) = − sin i1, sin i1 =

x0√x2

0 + yA2.

D’autre part, cos(−π

2+ i2) =

IH

‖−−→IB ‖

=xB − x0√

(xB − x0)2 + yB2.

D’ou, puisque cos(−π

2+ i2) = sin i2, sin i2 =

xB − x0√(xB − x0)2 + yB

2.

La relation qui definit x0 se traduit donc par :

sin i1v1

− sin i2v2

= 0,

et on obtient finalement :

1

v1

sin(−−→OA ,

−−→IA ) =

1

v2

sin(−−→AO ,

−−→IB ).

? Exercice 5.

Preliminaire : Montrons que i est une fonction decroissante de x.

Terminale S3188

2008/2009


Remarquons d’abord que, puisque sin(i(x)) =C

n(x), avec C > 0 et n fonction croissante et

> 0 de x, la fonction sin(i) est une fonction decroissante de x.

Considerons a present deux reels x1 et x2 tels que 0 ≤ x1 ≤ x2 et supposons que i(x1) < i(x2).

Comme i(x1) et i(x2) sont dans l’intervalle ]0 ; π2[, et que la fonction sinus est strictement

croissante sur cet intervalle, on en deduit que sin(i(x1)) < sin(i(x2)), ce qui est en contradictionavec la decroissance de la fonction sin(i). Donc i(x1) ≥ i(x2), et la fonction i est bien unefonction decroissante de x.

Il en decoule en particulier que i ≤ i0.

Expression de f ′(x) lorsque i0 est petit.

On suppose que l’angle i0 est suffisamment petit pour que, lorsque 0 ≤ i ≤ i0, on puisse avoirtan(i) ≈ sin(i). Soit M le point de coordonnees (x, f(x)). La tangente en M a pour coefficientdirecteur tan i(x), si bien qu’on peut ecrire :

f ′(x) = tan(i(x)) ≈ sin(i(x)) =C

n(x).

5.1 a) Cas ou n = n0(1 + kx), k > 0.

x > 0 etant fixe, on a pour tout u compris entre 0 et x :

f ′(u) =C

n0(1 + ku)=

i01 + ku

,

puisqueC

n0

= sin(i0) ≈ i0.

Cette fonction etant continue en u on peut integrer de 0 a x :

f(x)− f(0) = i0

∫ x

0

1

1 + kudu,

i.e. puisque f(0) = 0,

f(x) =i0k

ln(1 + kx).

b) Cas ou n = n0(2− e−αx), α > 0.

x > 0 etant fixe, on a comme precedemment, pour tout u compris entre 0 et x :

f ′(u) =C

n0(2− e−αu)=

i02− e−αu

.

D’ou, en integrant de 0 a x :

f(x) = i0

∫ x

0

du

2− e−αu= i0

∫ x

0

eαu

2eαu − 1du =

i02α

ln(2eαx − 1).

c) Cas ou n =n0(αx + 1)

x + 1, α > 1.

Terminale S3189

2008/2009


x > 0 etant fixe, on a comme precedemment, pour tout u compris entre 0 et x :

f ′(u) =C(u + 1)

n0(αu + 1)=

i0(u + 1)

αu + 1.

Or,u + 1

αu + 1=

1α(αu + 1)− 1

α+ 1

αu + 1=

1

α+

1− 1α

αu + 1.

On peut donc integrer f ′(u) de 0 a x, ce qui donne finalement :

f(x) = i0

[1

αx +

(1− 1

α

)1

αln(αx + 1)

].

5.2 a)1. On sait que : sin(i(x)) = Cn(x)

, et que 0 < i < π2, donc :

f ′e (x) = tan(i(x)) =

sin(i(x))√1− sin2(i(x))

=

Cn(x)√

1− C2

n2(x)

.

D’ou, en utilisant la positivite de n :

f ′e (x) =

C√n2(x)− C2

.

2. Comme n(x) = n0

√ax + 1, il vient : f ′

e (x) = C√n2

0(ax+1)−C2.

On integre :

fe(x)− fe(0) =C

n0

∫ x

0

du√au + 1−

(Cn0

)2.

D’ou, finalement, puisque fe(0) = 0,

fe(x) =2C

a n0

(√ax + 1− C2

n20

−

√1− C2

n20

).

b)1. On sait que, puisque 0 < i < π2,

f ′e (x) = tan(i(x)) ≈ sin(i(x)) =

C

n(x),

d’ou :

f ′a(x) =

C

n0

√ax + 1

.

2. On integre :

fa(x)− fa(0) =C

n0

∫ x

0

du√au + 1

=2C

a n0

(√ax + 1− 1

).

Terminale S3190

2008/2009


D’ou, finalement, puisque fa(0) = 0,

fa(x) =2C

a n0

(√ax + 1− 1

).

c)1. La fonction ∆ est derivable sur R+ comme difference de fonctions derivables sur R+, et

∆ ′(x) = f ′e (x)− f ′

a(x) =C√

n20(ax + 1)− C2

− C

n0

√ax + 1

.

D’ou

∆ ′(x) =C

n0

√ax + 1− C2

n20

− C

n0

√ax + 1

.

Or, il est clair que

√ax + 1− C2

n20

<√

ax + 1, donc

C

n0

√ax + 1− C2

n20

>C

n0

√ax + 1

,

et finalement ∆ ′(x) > 0 sur R+, ce qui prouve que la fonction ∆ est croissante sur R+.

c)2. D’apres les resultats precedents :

∆(x) =2C

a n0

(√ax + 1− C2

n20

−

√1− C2

n20

)− 2C

a n0

(√ax + 1− 1

).

Donc

∆(x) =2C

a n0

(√ax + 1− C2

n20

−√

ax + 1−

√1− C2

n20

+ 1

).

Or, si on pose h(x) =√

ax + 1− C2

n20−√

ax + 1, alors

h(x) =−C2

n20√

ax + 1− C2

n20

+√

ax + 1,

qui tend manifestement vers 0 lorsque x tend vers +∞.

Finalement, ∆ admet une limite reelle en +∞ et on a :

limx→+∞

∆(x) = 1−

√1− C2

n20

,

limite qui est manifestement positive.

d)

q(x) =

2Ca n0

(√ax + 1− C2

n20−√

1− C2

n20

)2Ca n0

(√ax + 1− 1

) .

? Exercice 6.

Terminale S3191

2008/2009


a) D’apres la formule donnee :

sin(i) =√

x− x0 ·sin(iA)√|x0|

,

on obtient :√

x− x0 =√|x0| ·

sin(i)

sin(iA),

d’ou

x = x0 + |x0| ·sin2(i)

sin2(iA)= φ(i).

Remarque : on a 0 < iA < π/2 d’apres le ”chapeau” d’introduction.

b) d’apres a), y = f(x) = f(φ(i)).

c) La fonction f est supposee derivable et sa derivee est donnee par

f ′(x) = tan(i(x)),

puisque i(x) est l’angle forme par l’axe Ax et le vecteur vitesse au point M de la trajectoire.

La fonction φ etant clairement derivable et f etant supposee derivable, la composee f φ estderivable et

(f φ)′(i) = f ′(φ(i)) · φ′(i) = f ′(x) · φ′(i).Or

φ′(i) = 2|x0|sin(i) cos(i)

sin2(iA),

donc, en notant i pour i(x),

(f φ)′(i) = tan(i) · 2|x0|sin(i) cos(i)

sin2(iA)= 2|x0| ·

sin2(i)

sin2(iA).

Terminale S3192

2008/2009


d) On a donc

y′(i) =2|x0|

sin2(iA)· sin2(i).

On integre y ′ de iA a i :

y − yA =|x0|

sin2(iA)

∫ i

iA

2 sin2(u) du.

Or yA = 0 (car A est l’origine du repere), donc on obtient :

y =|x0|

sin2(iA)

∫ i

iA

2 sin2(u) du.

e) Sachant que2 sin2(u) = 1− cos(2u),

on en deduit

y =|x0|

sin2(iA)

∫ i

iA

(1− cos(2u)) du.

D’ou

y =|x0|

sin2(iA)

[u− 1

2sin(2u)

]i

iA

=|x0|

sin2(iA)

[i− 1

2sin(2i)

]+ y0,

en posant

y0 = − |x0|sin2(iA)

[iA −

1

2sin(2iA)

],

puis

y =|x0|

2 sin2(iA)[2i− sin(2i)] + y0.

f) Les coordonnees du point M verifient donc les relations :x = φ(i) = x0 + |x0| ·

sin2(i)

sin2(iA)

y = f(φ(i)) = y0 +|x0|

2 sin2(iA)[2i− sin(2i)] .

D’ou, si on pose

K =|x0|

2 sin2(iA),

on obtient x = x0 + K(2 sin2(i))y = y0 + K (2i− sin(2i)) ,

et donc, puisque 2 sin2(i) = 1− cos(2i),x− x0 = K(1− cos(2i))y − y0 = K (2i− sin(2i)) .

Terminale S3193

2008/2009


g) A present, tracons l’arc (AB) de cette courbe pour les valeurs indiquees.Remarquons que se donner le point B revient a se donner la valeur de l’angle iA. En effet, sion se fixe xB, alors yB est une fonction continue et strictement croissante de i.

Avec x0 = −1 et iA =π

6, on trouve K = 2 et y0 =

√3− 2π

3.

(On peut noter que y0 = K[sin(2iA)− 2iA].)

Puis, avec xB = 2, on trouve iB =π

3.

Ce qui nous donne le systeme suivant :x = 2(1− cos(2i))− 1

y = 2 (2i− sin(2i)) +√

3− 2π

3

, i ∈ [π

6;π

3].

D’ou finalement l’arc (AB) :

B Sources

D. Proudhon, R. Rolland, P. SoubeyrandIREM d’Aix-Marseille, Luminy Case 901, F13288 Marseille CEDEX 9

Terminale S3194

2008/2009

Un peu de physique Theme: Facteur d’obscurite

[Theme) Facteur d’obscurite

1. Position du probleme

A un instant donne d’une eclipse de Soleil, on peut considerer deux grandeurs relatives audefaut de luminosite engendre par l’ombre de la Lune :

– La grandeur de l’eclipse g, qui se definit comme suit : soit d la distance du bord du Soleille plus rapproche du centre de la Lune au bord de la Lune le plus rapproche du centre duSoleil. Soit d’autre part dS le diametre du Soleil. Alors, par definition, g = d

dS.

– Le facteur d’obscurite f qui est le pourcentage de la surface du disque solaire etant eclipseepar la Lune.

A partir d’une photographie d’eclipse, il est facile de calculer la grandeur g. Ce document ex-plique plutot comment calculer le facteur d’obscurite f en fonction de grandeurs effectivementmesurables sur un cliche ne laissant paraitre que la zone du Soleil non occultee.

C’est en particulier l’objet des deux sections suivantes. La section 4 expose quant a elleune demonstration d’une formule essentielle ici [cf. formule 6.3] mais qui utilise des notionsmathematiques que l’on aborde en general en fin de classe de terminale.

Enfin, on aborde en appendice les etudes de lunules du mathematicien grec Hippocrate deChios qui fut le premier, au Vesiecle av. J.C., a se pencher sur ce type de travaux.

2. Grandeurs effectivement mesurables

Comme les grandeurs g et f sont des rapports, on peut bien entendu ne considerer que lesdistances apparentes sur une photographie plutot que les distances reelles. C’est ce qu’on ferapour la suite.

Terminale S3195

2008/2009


2.1. Notations

On se place dans un repere orthonorme direct R defini comme suit :

– L’origine de R est le centre OS du Soleil.– Soit OL le centre de la lune. L’axe des abscisses de R possede la meme direction et le meme

sens que le vecteur ~OSOL avant le premier contact.– Ces donnees determinent automatiquement l’axe des ordonnees de R.– Comme unite de longueur, on peut prendre ce qu’on veut, compte tenu du fait que l’on va

calculer un rapport d’aire sans unite.

Notons alors :

– P le point de la lune qui a touche le premier le soleil. Il appartient necessairement a l’axedes abscisses de R. Soit δ son abscisse.

– A1 et A2 les deux points d’intersection des cercles solaires et lunaires.– H le projete orthogonal de ces deux points sur l’axe des abscisses et h son abscisse.

Remarquons que les points A1, A2 et H ne peuvent pas etre definis lorsque le disque lunaireest contenu dans le disque solaire. Ceci n’est pas genant puisque ce cas de figure se resoutfacilement [cf. § 3.1].

– RS le rayon du Soleil– RL celui de la Lune.

Terminale S3196

2008/2009


2.2. Protocole de mesure

Pour calculer le facteur d’obscurite f a un instant donne, on a besoin de determiner, en lesmesurant, les nombres δ, h, RS et RL [cf. formule 6.3].

Une photographie ne devrait faire apparaitre que la portion non occultee du Soleil, ce quisuffit toutefois pour obtenir les grandeurs recherchees :

1. On trace le segment [A1A1] puis sa mediatrice qui est en fait l’axe des abscisses de R.L’intersection de ces deux objets est bien entendu le point H.

2. Pour determiner RS, on utilise un procede standard qui permet de tracer un diametre apartir d’un cercle seul (ou meme une portion plus grande qu’un demi-cercle) : on trace unecorde du cercle puis la mediatrice de celle-ci qui est necessairment un diametre du cercleconsidere.

Ceci permet d’obtenir RS mais aussi de placer le centre OS.

3. Les points OS, H etant places, on peut ainsi mesurer δ et h. Rappellerons qu’ils peuventetre negatifs si on tient compte des orientations choisies.

4. On mesure RL a partir du meme procede que pour RS mais seulement a partir d’unephotographie ou le disque lunaire est entierement contenu dans le disque solaire.

3. Expressions du facteur d’obscurite

3.1. Un premier cas simple

Lorsque le disque lunaire est entierement contenu dans le disque solaire, il est aise de montrerque

f = 100×(

RL

RS

)2

. (6.1)

Terminale S3197

2008/2009


Cette formule s’applique donc lorsque δ verifie

−RS ≤ δ ≤ RS − 2RL. (6.2)

3.2. Deuxieme cas

Lorsque δ ne verifie pas l’encadrement (6.2), on doit travailler un peu plus.

Rappelons d’abords comment se definit la fonction arccosinus. Soit x ∈ [−1; 1]. Il existe deuxangles orientes dont le cosinus vaut x. On choisit celui dont la mesure principale (en radian)appartient a [0; π] et la quantite arccos(x) est alors justement cette mesure.

Remarque. La fonction arccos est en fait la fonction reciproque de la fonction

cos : [0; π] → [−1; 1]

qui est continue et strictement decroissante.

Posons ensuite, toujours pour x ∈ [−1; 1],

η(x) = arccos(x)− x√

1− x2.

Alors le facteur d’obscurite peut se calculer selon la formule suivante :

f = 100×

[(RL

RS

)2

− 1

π

(RL

RS

)2

η

(h− δ −RL

RL

)+

1

πη

(h

RS

)]. (6.3)

3.3. Commentaires

Remarquons que h est la mesure algebrique OSH et que h − δ − RL = OLH, ce qui permetde reecrire (6.3) sous une forme plus geometrique :

f = 100×

[(RL

RS

)2

− 1

π

(RL

RS

)2

η

(OLH

RL

)+

1

πη

(OSH

RS

)].

Terminale S3198

2008/2009


4. Demonstration de la formule principale

Pour etablir la formule (6.3), on utilise la theorie de l’integration dont on rappelle d’abordsles principes fondamentaux.

4.1. Calcul integral

Considerons une fonction g define sur un intervalle [a, b] et notons Γ sa courbe dans un repereorthonorme. On suppose que g est positive et continue (i.e. sa courbe Γ peut se tracer ’sanslever le stylo’).

Une primitive de g est une fonction G, derivable sur [a, b] et telle que G′ = g.

La theorie d’integration de Riemann affirme notamment que g admet necessairement uneprimitive G et que l’aire (en unite d’aire) du domaine delimite par la courbe Γ, l’axe desabscisses et les droites d’equations respectives x = a et x = b vaut

A = G(b)−G(a),

ce qu’on note : ∫ b

a

g(x)dx = [G(x)]ba = G(b)−G(a).

Le premier membre du calcul precedent s’appelle l’integrale de a a b de la fonction g. Celle-ciest appelee integrande.

4.2. Application au calcul d’une aire

On applique les principes precedents pour exprimer l’aire de la partie de la zone d’occultation(Z) situee au dessus de l’axe des abscisses.

Dans le repere considere, les bords des deux astres sont assimiles a des cercles qui admettentles equations cartesiennes suivantes :• x2 + y2 = R2

S, pour le Soleil ;

• (x− δ −RL)2 + y2 = R2L, pour la Lune.

On introduit ainsi les fonctions

S : [−RS, RS] → Rx 7→

√R2

S − x2et

L : [δ, δ + 2RL] → Rx 7→

√R2

L − (x− δ −RL)2

dont les courbes sont les moities superieures des cercles consideres.

Terminale S3199

2008/2009


D’apres le paragraphe 4.1, l’aire de la partie de (Z) qui est situee au dessus de l’axe desabscisses vaut la somme

A =

∫ h

δ

L(x)dx +

∫ Rs

h

S(x)dx.

4.3. Calculs des integrales

Integrale de L.

∫ h

δ

L(x)dx = RL

∫ h

δ

√1−

(x− dc

RL

)2

dx = R2L

∫ h−dcRL

δ−dcRL

√1− u2du,

ou l’on a pose u = x−dc

RL(donc RLdu = dx). Notons que l−dc

RL= −1 ce qui entraıne que

∫ h

δ

L(x)dx = R2L

∫ h−dcRL

−1

√1− u2du.

Integrale de S.

∫ RS

h

S(x)dx = RS

∫ RS

h

√1−

(x

RS

)2

dx = R2S

∫ RSRS

hRS

√1− u2du,

ou, cette fois-ci, u = xRS

(donc RSdu = dx), ce qui entraıne finalement que∫ RS

h

S(x)dx = R2S

∫ 1

hRS

√1− u2du.

Finalement,

A = R2L

∫ h−dcRL

−1

√1− u2du + R2

S

∫ 1

hRS

√1− u2du.

Terminale S3200

2008/2009


Utilisation d’une fonction auxiliaire. Afin de structurer un peu les calculs, on introduitla fonction η, definie sur l’intervalle [−1; 1] par

η(x) = arccos(x)− x√

1− x2.

B Lemme 1: Calcul de I(a, b)

? Soient a et b deux reels tels que −1 ≤ a ≤ b ≤ 1. Alors,

I(a, b) :=

∫ b

a

√1− u2du =

1

2[η(a)− η(b)] .

En particulier,

I(−1, b) =1

2[π − η(b)] et I(a, 1) =

1

2η(a).

Demonstration de 1. C

1

omme −1 ≤ a ≤ b ≤ 1, on peut poser u = cos(t) (donc du = − sin(t)dt) ce qui donne

I(a, b) = −∫ arccos(b)

arccos(a)

√1− cos2(t) sin(t)dt

=

∫ arccos(b)

arccos(a)

sin2(t)dt

=1

2

∫ arccos(b)

arccos(a)

(1− cos(2t)) dt

=1

2

[t− sin(2t)

2

]arccos(b)

arccos(a)

=1

2[arccos(a)− arccos(b)

− sin(arccos(a)) cos(arccos(a)) + sin(arccos(b)) cos(arccos(b))]

=1

2

[arccos(a)− arccos(b)− a

√1− a2 + b

√1− b2

]=

1

2[η(a)− η(b)] .

La deuxieme assertion du lemme vient du fait que

arccos(−1) = π et arccos(1) = 0

puisquecos(π) = −1 et cos(0) = 1.

Terminale S3201

2008/2009


B Consequence : L’aire A vaut

A =R2

L

2

[π − η

(h− δ −RL

RL

)]+

R2S

2η

(h

RS

),

d’ou l’on deduit que celle de la zone (Z) est

Z := 2A = πR2L −R2

Lη

(h− δ −RL

RL

)+ R2

Sη

(h

RS

),

en unite d’aire. Notons qu’en tenant compte des egalites

h = OSH et h− δ −RL = OLH

on obtient aussi

Z = πR2L −R2

Lη

(OLH

RL

)+ R2

Sη

(OSH

RS

). (6.4)

4.4. Rapport d’occultation et facteur d’obscurite

Le rapport d’occultation peut naturellement etre defini comme le quotient de l’aire Z de lazone d’occultation sur celle du disque solaire :

q =Z

πR2S

=

(RL

RS

)2

− 1

π

(RL

RS

)2

η

(h− δ −RL

RL

)+

1

πη

(h

RS

).

Finalement, le facteur d’obscurite est construit selon la meme structure mais ramene a unebase 100, puisque c’est un pourcentage :

f = 100× q = 100×

[(RL

RS

)2

− 1

π

(RL

RS

)2

η

(h− δ −RL

RL

)+

1

πη

(h

RS

)].

5. Les lunules d’Hippocrate

5.1. Biographie : Hippocrate de Chios

Mathematicien grec du Vesiecle av. J.C qu’il ne faut pas confondre avec le celebre Hippo-crate, pere du fameux serment que les medecins pretent lors de l’obtention de leur diplome.Precurseur d’Euclide, epris de synthese et d’organisation systematique des mathematiques,Hippocrate de Chios etudia notamment les problemes de la quadrature du cercle et de laduplication du cube.

Selon la tradition, il est d’abord un commercant de Chios dont les marchandises sont un jourderobees par des pirates vers 430 av. J.C. Furieux, il les poursuit jusqu’a Athenes mais neparvient pas a recouvrer son bien. Cependant, fascine par cette ville, il s’y installe et suit descours de mathematiques. Puis, pour gagner sa vie, enseigne a son tour la geometrie. D’apresAristote, Hippocrate fut l’un des plus eminents geometres ayant existe, mais pour le reste,poursuivait-il, il etait ”niais et stupide”.

Terminale S3202

2008/2009


Il s’interesse alors au probleme de la duplication du cube :Etant donne un cube, comment construire a la regle et au compas un deuxieme cube dontle volume est le double du premier.

Il se rend compte que ce probleme se ramene a un probleme de proportions dit de la moyenneproportionnelle :

Etant donner un nombre positif a, on cherche a construire un nombre x tel que x3 = 2a3.

Ce probleme, qui revient a construire le nombre 3√

2, est en fait insoluble mais il faudra attendreles decouvertes de Galois1 pour le prouver : les seuls nombres constructibles sont ceux qui sontsolutions d’equations algebriques a coefficients entiers dont le degre est une puissance de 2alors que 3

√2 est solution de x3 − 2 = 0.

On attribue d’autre part a Hippocrate de Chios les Livres III et IV des Elements d’Euclide2. LeLivre III concerne les proprietes du cercle et le Livre IV celles de certaines figures polygonalesinscrites ou circonscrites a un cercle. A ce titre, on le considere comme le plus ancien geometrecapable de donner une theorie construite.

Il s’attaque aussi a la quadrature du cercle (tout aussi insoluble que la duplication du cube3)a l’aide de portions de plan limitees par deux arcs de cercles de rayons distincts appeleeslunules.

B Definition 2: [

? L

unule] Une lunule est une surface delimitee par deux arcs de cercles ayant les memes extremites.

Ce fut le premier a carrer une figure courbe, c’est a dire a en trouver un carre de meme aire.Il carra en fait trois lunules que l’on evoque aux sous-sections suivantes.

Il serait egalement le pere du raisonnement par l’absurde :

P et Q etant deux assertions, on veut montrer l’implication P ⇒ Q. Une demonstrationpar l’absurde consiste a supposer que P et non-Q sont vraies simultanement et d’obtenirune contradiction.

Dans les deux sous-sections suivantes, on decrit les raisonnements suivis par Hippocrate deChios qui lui permirent de carrer pour la premiere fois dans l’histoire des mathematiques dessurfaces non rectilignes. La section B a pour objet un troisieme resultat, appele le theoremed’Hippocrate [cf. 6], que l’on redemontre a l’aide de la formule (6.4). Ce resultat donne d’autrepart une generalisation du theoreme de Pythagore.

1Evariste Galois (1811-1832) : mathematicien francais qui etudia la resolubilite des equations algebriques.Ces travaux sont encore l’objet de recherches et ont de nombreuses applications dans toutes les sciences, ycompris humaines

2Euclide : IIIesiecle av. J.C., fondateur de l’ecole de mathematiques d’Alexandrie, auteur des Elements ouil fonda l’arithmetique et la geometrie elementaires

3Cette fois c’est le mathematicien allemand Lindemann (1852-1939) qui le prouva en demontrant la trans-cendance de π : ce nombre n’est solution d’aucune equation algebrique a coefficients entiers

Terminale S3203

2008/2009


5.2. Le premier carrage d’une figure non rectiligne

Soit un triangle ABC, rectangle et isocele en A. Son cercle circonscrit admet l’hypothenuse[BC] comme diametre. On note Γ la moitie de ce cercle qui possede le point A .

Les arcs de cercle_

AB et_

AC sont isometriques puisque ABC est isocele en A. On considere

alors l’arc de cercle_

BC interieur au triangle et semblable a_

AB (et_

AB) ainsi que le rapportde similitude

k =AB

BC=

AC

BC.

Ces donnees definissent naturellement une lunule (en jaune sur la figure) notee LBC .

B Proposition 3: S

? o

us les hypothese precedentes, le triangle ABC et la lunule LBC ont la meme aire.

La demonstration donne un premier exemple de la methode d’exhaustion, frequemment utiliseedans les mathematiques grecques et qui consiste a decouper une surface de deux manieresdifferentes afin d’obtenir une egalite que l’on cherche ensuite a exploiter.

Demonstration de 3. L

3

a surface a decouper est ici le demi-disque delimite par Γ et [BC] dont on note D l’aire (cf.(6.5)).

Considerons pour cela les trois portions de disque respectivement delimitees par les arcs de

cercle_

AB,_

AC et_

BC d’une part et les cotes [AB], [AC] et [BC] d’autre part. On designe parα l’aire commune des deux premiers (surface hachurees en rouge sur la figure) et A celle dudernier (coloriee en vert).

Si on note enfin L l’aire de la lunule LBC et T celle de ABC alors on a les egalites

D = T + 2α = L + A , (6.5)

d’ou l’on tireT = L + (A − 2α). (6.6)

Or le rapport de similitude k permet de relier les aires des portions de disque selon

α = k2A =AB2

BC2×A =

AC2

BC2×A ,

Terminale S3204

2008/2009


donc, d’apres le theoreme de Pythagore,

2α =AB2

BC2×A +

AC2

BC2×A

=AB2 + AC2

BC2×A

=BC2

BC2×A

= A .

La relation (6.6) devient donc T = L .

5.3. Exercice : une deuxieme lunule carrable

On considere un triangle ABC isocele et rectangle en A, son cercle circonscrit Γ et le cercle Γ′

de diametre [BC]. Ce deux cercles s’interceptent en B et C et on note LBC la lunule exterieureau triangle correspondante.

Montrer que le triangle ABC et la lunule LBC ont la meme aire.

Indication. On pourra exprimer de deux manieres differentes l’aire de la surface globalepour obtenir une relation entre l’aire du triangle et celle de la lunule puis utiliser le theoremede Pythagore.

6. Lunules et theoreme de Pythagore

6.1. Le resultat

Considerons un triangle ABC rectangle en A ainsi que les cercles de diametres respectifs [AB],[AC] et [BC]. Comme ABC est rectangle en A, le dernier est son cercle circonsconscrit et ondefinit ainsi deux lunules LAB et LAC exterieures au triangle, comme represente ci-apres.

Terminale S3205

2008/2009


B Theoreme 4: [

? H

ippocrate] Sous les hypotheses precedentes, la somme des aires des deux lunules LAB et LAC

est egale a l’aire du triangle ABC.

6.2. La demonstration d’Hippocrate

Soient :– DAB, DAC et DBC les aires des demi-disques de diametres respectifs [AB], [AC] et [AC] ;– L la somme des aires des deux lunules LAB et LAC ;– T l’aire du triangle ABC.En considerant l’aire globale de la figure de deux manieres differentes, on obtient l’egalite

T + DAB + DAC = DBC + L ,

equivalente a la suivante :

T + (DAB + DAC −DBC) = L . (6.7)

Or :

DAB + DAC −DBC = π

(AB

2

)2

+ π

(AC

2

)2

− π

(BC

2

)2

=π2

4(AB2 + AC2 −BC2)

= 0,

d’apres le theoreme de Pythagore. La relation (6.7) devient donc T = L , ce qu’il fallaitdemontrer.

Terminale S3 206 2008/2009


6.3. Une generalisation du theoreme de Pythagore

Le theoreme de Pythagore est au coeur de la preuve precedente. En fait, il peut etre generaliseau cas de figures semblables :

B Theoreme 5: [

? P

ythagore generalise] Trois figures semblables etant construites sur les trois cotes d’un trianglerectangle, l’aire de celle construite contre l’hypotenuse est egale a la somme des aires des deuxautres.

Le theoreme d’Hippocrate est ainsi une simple consequence du theoreme precedent. En uti-lisant les notations de la figure de droite aux trois demi-disques dont les diametres sont lescotes du triangle, on obtient :

c + d + e = (a + d) + (b + e),

qui se simplifie enc = a + b.

C’est bien la relation entre les aires des trois lunules evoquee dans le theoreme 6.

Terminale S3207

2008/2009


6.4. Utilisation de la formule (6.4)

On souhaite, pour terminer, redemontrer le theoreme 6 a l’aide de la formule generale (6.4).

On utilise celle-ci pour calculer d’abords l’aire LAB de la lunule LAB : Le cercle circonscrit(de diametre [BC]) joue le role du Soleil et celui de diametre [AB] prend le role de la Lune.Plus precisemment, on applique (6.4) avec :

– OS milieu de l’hypothenuse [BC] et RS = BC2

;

– OL = H donc OLH = 0 et RL = AB2

;

Par suite,

OSH =AC

2donc

OSH

RS

=AC

BC= cos(θC)

ou θC est la mesure principal en radian de l’angle ( ~CB, ~CA). Alors, d’apres (6.4) :

Z = πR2L −R2

Lη

(OLH

RL

)+ R2

Sη

(OSH

RS

)= πR2

L −R2Lη(0) + R2

Sη

(OSH

RS

),

D’autre part, on a

η(0) = arccos(0) =π

2puisque cos

(π

2

)= 0

et

η

(OSH

RS

)= η

(AC

BC

)= arccos

(AC

BC

)− AC

BC

√1−

(AC

BC

)2

= arccos(cos(θC))− AC

BC

√BC2 − AC2

BC2

= θC −AC

BC

√AB2

BC2

= θC −AC × AB

BC2

= θC −2T

BC2,

Terminale S3208

2008/2009


ou, rappelons le, T est l’aire de ABC. Donc l’aire de la lunule LAB verifie

LAB = πR2L −Z

= R2Lη(0)−R2

Sη

(OSH

RS

)=

AB2

4× π

2− BC2

4

(θC −

2T

BC2

)=

πAB2

8− BC2

4θC +

T

2.

De meme, pour LAC , on a :

LAC =πAC2

8− BC2

4θB +

T

2.

On peut maintenant calculer la somme des deux aires, en utilisant d’une part le theoreme dePythagore et d’autre part l’identite θC + θB = π

2, valables puisque ABC est rectangle en A :

L = LAB + LAC

=π

8(AB2 + AC2)− BC2

4(θC + θB) + 2× T

2

=πBC2

8− BC2

4× π

2+ T

=πBC2

8− πBC2

8+ T

= T .

On notera pour conclure que, si la formule (6.4) permet d’exprimer les aires des lunulesseparemment (et aussi d’effectuer les calculs dans le cas general), elle offre neanmoins sur cetexemple une demarche beaucoup moins elegante (ou limpide) que celle d’Hippocrate.

Terminale S3209

2008/2009

Chapitre 7

Fiches de synthese

210

La fonction exponentielleFormulaireComplementSynthese1er juin 2009

1. Proprietes analytiques

Soit Γ la courbe de exp : x 7→ ex dans un repere orthogonal (O ; ~ı , ~ ).

? Introduction : La fonction exponentielle est l’unique fonction derivable sur R verifiant :exp = exp′

e0 = 1.

On en deduit immediatement les proprietes qui suivent, necessaires au trace de Γ :

? Signe : exp est a valeurs dans ]0; +∞[ : pour tout reel x, ex > 0.La courbe Γ est donc toujours au-dessus de l’axe (Ox) et ne le rencontre jamais.

? Stricte monotonie : exp est strictement croissante sur R (car exp′ > 0 sur R).On a donc : pour tous reels a et b : a < b ⇔ ea < eb.

B En particulier : ex > 1 ⇔ x > 0.

? Bijection : exp realise une bijection derivable et strictement croissante de R sur ]0; +∞[.Sa fonction reciproque est la fonction Logarithme neperien ln :]0; +∞[→ R.

? Etude locale en 0 : Comme exp(0) = exp′(0) = 1 alors :il existe une fonction ϕ, definie sur R telle que ex = x + 1 + x ϕ(x) et lim

x→0ϕ(x) = 0.

B En particulier : limx→0

ex − 1

x= 1 et la droite T d’equation y = x + 1 est tangente a Γ

au point de coordonnees (0; 1) et toujours en dessous de Γ.

? Nombre de Neper : Le nombre e = exp(1) est appele1 nombre de Neper.Le nombre e est un nombre transcendant (comme π) et donc irrationnel.Une valeur approchee de e a 10−3 pres est 2, 718.

? Formule de derivation : Si u une fonction derivable sur un intervalle I, alors la fonction(exp u) = eu est derivable sur I et (exp u)′ = u′ · (exp u).

? Limites et croissances comparees : Soit n un entier relatif. Alors :

limx→+∞

ex

xn= +∞

limx→−∞

xn ex = 0.

On en deduit que l’axe (Ox) est asymptote a Γ au voisinage de −∞.

1Du nom du mathematicien qui formalisa le premier les phenomenes exponentiels et le logarithmique.

La fonction exponentielle Formulaire

? Courbe :

2. Proprietes algebriques

Soient n un entier relatif et x, y deux reels. Alors :

ex+y = ex · ey e0 = 1e−x = 1

ex = (ex)−1 ex−y = ex

ey

en x = (ex)n ex/n = (ex)1/n si n 6= 0.

3. Equations differentielles

? Resolution de y′ = ay + b. Soient a et b deux reels donnes.

1. L’ensemble des solutions sur R de l’equation differentielle (Ea,b) : y′ = ay + b est :

∗ si a = 0, l’ensemble des fonctions f telles que, pour tout reel x, f(x) = b x + cou c est une constante reelle.

∗ si a 6= 0, l’ensemble des fonctions f telles que, pour tout reel x, f(x) = c ea x − b

aou c est une constante reelle.

2. Soient x0 et y0 deux reels. Parmis les solutions de (Ea,b), il en existe une seule qui soit

solution au probleme de Cauchy suivant :

f(x0) = y0

y′ = a y + b.

Terminale S3212

2008/2009

Fonction Logarithme (par Exponentielle)FormulaireSyntheseComplement1er juin 2009

La fonction exp : R → R∗+ est continue et strictement croissante de R sur R∗

+.D’apres le theoreme de la bijection, elle admet une fonction reciproque,

ln :]0; +∞[→ R

appelee Logarithme neperien.

B Proposition 6: Proprietes immediates

? ∗ ln est continue et strictement croissant de ]0; +∞[ sur R.

∗ Soient x ∈ R et y ∈]0; +∞[. Alors :

• ln(ex) = x et exp(ln(y)) = y

• ex = y ⇔ x = ln(y).

En particulier ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

B Theoreme 7: Limites

? La fonction ln satisfait aux limites suivantes :∗ Limites aux bornes : lim

x→0+ln(x) = −∞ et lim

x→+∞ln(x) = +∞

∗ Nombre derive en 1 : limx→0

ln(1 + x)

x= 1

∗ Croissances comparees : limx→0+

xn ln(x) = 0 et limx→+∞

ln(x)

xn= 0 (n > 0).

B Proposition 8: Variations

? La fonction logarithme neperien eststrictement croissante de ]0; +∞[ sur R.

B Consequence

• Conservation de l’ordre

B 0 < a < b ⇔ ln(a) < ln(b)

• Inversion

B 0 < a = b ⇔ ln(a) = ln(b).

Fonction Logarithme (par Exponentielle) Formulaire

B Proposition 9: Formule de derivation

? La fonction ln est derivable sur R∗+ et, pour tout reel x > 0, ln′(x) =

1

x.

B Composition

Soit u une fonction derivable et ne s’annullant pas sur un intervalle I.

Alors la fonction ln |u| est derivable sur I et (ln u)′ =u′

u.

B Corollaire 10: Etude locale en 1

? La fonction ln est derivable en 1 de nombre derive 1, ce qui entraıne les proprietes suivantes :

∗ [Tangente] La courbe de ln admet une tangente au point d’abscisse 1 :La droite d’equation y = x− 1. Cette tangente est toujours au dessus de la courbe.

∗ [Developpement limite] Il existe une fonction ε, definie sur R, telle que :Pour tout x > −1, ln(1 + x) = x + x ε(x), avec lim

h→0ε(h) = 0.

B Theoreme 11: Formulaire algebrique

? Soient n un entier relatif ainsi que x et y deux reels strictement positifs. Alors :

ln(xy) = ln(x) + ln(y) ln(

1x

)= − ln(x) ln

(yx

)= ln(y)− ln(x)

ln(1) = 0 ln (xn) = n ln(x) ln(x1/n

)= 1

nln(x)

? Derniere remarque :Le terme neperien provient du nom de John Neper (ou Naper), mathematicien ecossais quietudia les phenomenes logarithmiques et exponentielles.

Terminale S3214

2008/2009

Fonction Logarithme (par fonction inverse)FormulaireSyntheseComplement1er juin 2009

1. Introduction comme primitive de la fonction inverse

La fonction inverse est continue sur l’intervalle ]0; +∞[. D’apres le theoreme d’existence deprimitives, cette fonction admet une et une seule primitive sur ]0; +∞[ s’annullant en 1.

Cette primitive est appelee Logarithme neperien et notee ln :]0; +∞[→ R(en anglais, donc sur certains modeles de calculatrices : Log).

C’est ainsi l’unique fonction derivable sur ]0; +∞[ verifiant

ln(1) = 0 et pour tout reel x > 0, ln′(x) =1

x.

B Proposition 12: Proprietes immediates

? 1. La fonction ln est continue et strictement croissant de ]0; +∞[ sur R.

2. Soient x ∈ R et y ∈ R∗+. Alors : ln(ex) = x et exp(ln(y)) = y

et on a l’equivalence ex = y ⇔ x = ln(y).

3. En particulier : ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

2. Proprietes analytiques

B Theoreme 13: Limites

? La fonction ln satisfait aux limites suivantes :

limx→0+

ln(x) = −∞ ; limx→0

ln(1 + x)

x= 1 et lim

x→+∞ln(x) = +∞.

Croissances comparees : soit n un entier naturel non nul. Alors :

limx→0+

xn ln(x) = 0 et limx→+∞

ln(x)

xn= 0.

? Variations : La fonction ln est strictement croissante de ]0; +∞ sur R.

B Consequence : conservation de l’ordre. Si a, b ∈]0; +∞[, alors :

(a < b ⇔ ln a < ln b) et (a = b ⇔ ln a = ln b) .

Fonction Logarithme (par fonction inverse) Formulaire

Courbe :

B Proposition 14: Formules de derivation

? La fonction ln est derivable sur ]0; +∞[ et, pour tout x > 0, ln′(x) =1

x.

Composition : Soit u une fonction derivable et ne s’annulant pas sur un intervalle I. Alors

la fonction ln |u| est derivable sur I et (ln u)′ =u′

u.

B Corollaire 15: Etude locale en 1

? La fonction ln est derivable en 1 de nombre derive 1. Ceci entraine les proprietes suivantes :

Tangente : La courbe de ln admet pour tangente au point d’abscisse 1 la droite d’equation

y = x− 1.

Cette tangente est toujours au dessus de la courbe de ln.

Developpement limite : Il existe une fonction ε, definie sur R, telle que :

pour tout x > −1, ln(1 + x) = x + x ε(x) avec limh→0

ε(h) = 0.

Terminale S3216

2008/2009

Fonction Logarithme (par fonction inverse) Formulaire

3. Proprietes algebriques

B Theoreme 16: Formulaire algebrique

? Soient n un entier relatif non nul ainsi que x et y deux reels strictement positifs. Alors :

ln(xy) = ln(x) + ln(y) ; ln

(1

x

)= − ln(x) ; ln

(y

x

)= ln(y)− ln(x)

ln(1) = 0 ; ln (xn) = n ln(x) ; ln(x1/n

)=

1

nln(x)

Terminale S3217

2008/2009

Probabilites discretesFormulaireSyntheseComplement1er juin 2009

1. Cadre

B Definition 17: Experience aleatoire

? Une experience aleatoire est un processus dont on ne peut pas prevoir l’issue demaniere certaine (ou deterministe).

B Definition 18: Univers

? L’univers Ω d’une experience aleatoire rdE est l’ensemble de tous les resultats (ouissues) possibles de E .

B Definition 19: Probabilite

? Une probabilite sur un univers Ω fini est une application p : Ω → [0; 1] verifiant∑ω∈Ω

p(ω) = 1.

On dit qu’il y a equiprobabilite lorsque p est une fonction constante.

B Definition 20: Espace probabilise

? Un espace probabilise est un couple (Ω, p) ou Ω est l’univers d’une experience aleatoireet p une probabilite sur Ω. Lorsque Ω est fini, on parle d’espace probabilise discret.

2. Evenements

Soit (Ω, p) un espace probabilise discret.

B Definition 21: Evenement d’une experience

? Un evenement A est une partie de Ω.

La probabilite de A est par definition le reel p(A) =∑ω∈A

p(ω); ∈ [0; 1].

L’evenement contraire de A est A = Ω−A : c’est l’ensemble de toutes les issues qui nesont pas dans A. Sa probabilite verifie : p(A) = 1− p(A).

Probabilites discretes Formulaire

♦ Deux evenements extremes

l’evenement certain : Ω, qui verifie p(Ω) = 1

l’evenement impossible : ∅, verifiant p(∅) = 0.

B Proposition 22: Proprietes des probabilites des evenements

? Soient (Ω, p) un espace probabilise discret et A et B deux evenements. Alors :

• p(A) = 1− p(A)

• p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

B p(A ∪B) = p(A) + p(B) si, et seulement si, A et B sont disjoints (c.a.d. A ∩B = ∅)

• s’il y a equiprobabilite, alors p(A) =card(A)

card(Ω).

B Definition 23: Evenements independants

? On dit que deux evenements A et B sont independants si p(A ∩B) = p(A)× p(B).

B Consequence : Si a et B sont independnants alors p(A∪B) = p(A)+p(B)−p(A)×p(B)

3. Variables aleatoires

Soit (Ω, p) un espace probabilise discret.

B Definition 24: Variable aleatoire

? Une variable aleatoire est une application X : Ω → R.

♦ Notations : Pour tout nombre reel a, on note habituellement

1. (X = a) l’evenement forme de toutes issues ω telles que X(ω) = a(c.a.d. l’ensemble de tous les antecedents de a par X)

2. (X ≥ a) l’evenement forme de toutes issues ω telles que X(ω) ≥ a

3. (X ≤ a) l’evenement forme de toutes issues ω telles que X(ω) ≤ a.

? Esperance et variance :Soient (Ω, p) un espace probabilise discret et X une variable aleatoire sur Ω.On note x1, ..., xn les valeurs que prend X.

B Definition 25: Loi de probabilite

? La loi de probabilite de X est la donnee des probabilites pi = p(X = xi), pour1 ≤ i ≤ n.

Terminale S3219

2008/2009

Probabilites discretes Formulaire

B Definition 26: Esperance

? L’esperance mathematique de X est la moyenne ponderee E(X) =n∑

i=1

pi xi.

B Definition 27: Variance de X

? La variance de X est le reel positif V (X) =n∑

i=1

pi (xi − E(X))2.

L’ecart-type est alors defini par σ(X) =√

V (X). C’est la moyenne quadratiqueponderee des ecarts des valeurs xi de X par rapport a son esperance E(X).

B Proposition 28: Autre expression de la variance

? Soient (Ω, p) un espace probabilise discret et X une variable aleatoire sur Ω. On suppose

que X prend les valeurs x1, ...xn. Alors : V (X) =

(n∑

i=1

p(X = xi) x2i

)− E(X)2.

Terminale S3220

2008/2009

Arithmetique (specialite)FormulaireSyntheseComplement1er juin 2009

Soient a et b deux entiers relatifs.

1. Divisibilite dans Z

? Definition : On dit que a est divisible par b, ou encore que a est un multiple de b, s’ilexiste un entier q tel que a = bq. On note alors : b | a.

B Remarque : a | b ⇔ D(a) ⊂ D(b), ou D(a) designe l’ensemble des diviseur de a.

? Propriete cle : Si un nombre divise deux entiers a et b, alors il divise toute combinaisonlineaire a coefficients entiers de a et b. En particulier, il divise a + b et a− b.

? Proprietes usuelles :

• Le cas de 0 : Tout entier divise 0, mais 0 ne divise que 0• Transitivite : c | b et b | a ⇒ c | a• Reciprocite : a | b et b | a ⇒ |a| = |b|• Simplification : a c | a b et a 6= 0 ⇒ c | b.

2. Division euclidienne

Le theoreme

? Dans N : On suppose que a ≥ 0 et b ≥ 1.Il existe alors un unique couple d’entiers naturels (q ; r) tel que a = b q + r et 0 ≤ r < b.

? Dans Z : On suppose que a ∈ Z et b ∈ Z∗ sont de signes quelconques.Il existe alors un unique couple d’entiers relatifs (q ; r) tel que a = b q + r et 0 ≤ r < |b|.

Algorithme d’Euclide pour le calcul du PGCD (dans Z)

? Propriete cle : Si a = b q + r alors les diviseurs de communs a a et b sont exactement lesdiviseurs communs a b et r.

? Theoreme : Soit a et b deux entiers dont l’un au moins est non nul.Il existe un plus grand entier strictement positif qui soit diviseur commun de a et de b.

B Definition : Cet entier positif est le PGCD de a et b.

? Remarque : Les diviseurs communs de a et b sont exactement les diviseurs de leur PGCD.

♦ Notation : Le PGCD de a et b se note PGCD(a , b) ou bien a ∧ b.

Arithmetique (specialite) Formulaire

? Proprietes usuelles :• PGCD (a , 1) = 1• Si a | b alors PGCD (a , b) = |a|• PGCD (c a , c b) = |c| × PGCD (a , b).

Entiers premiers entre eux

? Definition : a et b sont dits premiers entre eux si PGCD(a, b) = 1.

? Propriete : d = PGCD(a b) ⇔

a = d a′ avec d > 0b = d b′ et PGCD(a, b) = 1.

? Remarque :Si deux nombres sont premiers entre eux, alors tout diviseur de l’un est premier avec l’autre.

3. Le theoreme de Bezout

? Theoreme : Si PGCD(a, b) = d, alors il existe deux entiers u et v tels que a u + b v = d.

? Theoreme de Bezout : PGCD(a, b) = 1 ⇔ ∃(u, v) ∈ Z2 / a u + b v = 1.

? Theoreme de Gauss : Si c divise ab et si c est premier avec a, alors c divise b.

B Corollaire : Si un entier est divisible par deux entiers premiers entre eux, alors il estdivisible par leur produit.

B Corollaire : Si PGCD(a, c) = 1 alors D(a , b c) = D(a , b).

4. PPCM

? Theoreme : Si a et b sont deux nombres entiers, il existe un plus petit entier positif quiest multiple commun de a et de b. C’est par definition le PPCM de a et b.

• Si a = 0 ou b = 0 alors PPCM(a, b) = 0.

• Si a 6= 0 et b 6= 0 alors PPCM(a, b) =|a b|

PGCD(a, b).

∗ Les multiples communs de a et b sont les multiples de leur PPCM.

5. Nombres premiers

? Definition :Un nombre premier est un entier n ≥ 2 dont les seuls diviseurs positifs sont 1 et n.Cela revient a dire que n est un entier naturel qui admet exactement 2 diviseurs.

? Theoreme :Tout entier n ≥ 2 est soit un nombre premier, soit un produit de nombres premiers.

Terminale S3222

2008/2009


B Corollaire : Tout entier n ≥ 2 admet un diviseur premier.

? Theoreme : L’ensemble des nombres premiers est infini.

? Proprietes essentielles :(i) Si un nombre premier ne divise pas un entier, il est premier avec lui.(ii) Si un nombre premier divise un produit d’entiers, alors il divise au moins l’un d’entre eux.

Exercice classique : Montrer que : PGCD(a, b) = 1 ⇒ PGCD(a + b, ab) = 1.

Decomposition en produit de nombres premiers

? Theoreme : Tout entier n ≥ 2 s’ecrit de maniere unique sous la forme n =k∏

i=1

pαii , ou les

αi appartiennent a N∗ et ou les pi sont des nombres premiers tels que p1 < p2 < · · · < pk.

B Consequence : Les diviseurs strictement positifs de n sont alors les entiers pβ1

1 pβ2

2 · · · pβk

k ,avec 0 ≤ βi ≤ αi, leur nombre N etant egal a N = (α1 + 1)(α2 + 1) · · · (αk + 1).

Calcul du PGCD et du PPCM

Soient a et b deux entiers tels que a ≥ 2 et b ≥ 2 decomposes en produits de facteurs premiers.

• S’ils n’ont aucun facteur commun alors ils sont premiers entre eux.Donc leur PGCD est egal a 1 et leur PPCM est egal a a b.

• S’ils ont au moins un facteur commun, on obtient leur PGCD en ne gardant que les facteurscommuns affectes du plus petit exposant, et leur PPCM, en gardant tous les facteurs,communs et non communs, affectes du plus grand exposant.

6. Congruences dans Z

? Definition : a ≡ b [n] si a et b ont le meme reste dans la division par n.

? Proposition : La relation de congruence est une relation d’equivalence dans Z.

? Theoreme : a ≡ b [n] ⇔ a− b est divisible par n.

B Corollaire : a ≡ 0 [n] ⇔ a est divisible par n.

? Proprietes de compatibilite :Si a ≡ b [n] et a′ ≡ b′ [n], alors a + a′ ≡ b + b′ [n] et a a′ ≡ b b′ [n].De plus, pour tout k ∈ N, ak ≡ bk [n].

Le petit theoreme de Fermat

? Theoreme : Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p. Alors ap−1 ≡ 1 [p].

B Corollaire : Soit p un nombre premier et a un entier quelconque. Alors ap ≡ a [p].

Terminale S3223

2008/2009


Sylvain [email protected]

Professeur de mathematiquesTerminale S3— 2008/2009Lycee L.-G. Damas ; Cayenne

Remire–Montjoly, le 1er juin 2009.

. Table des matieres

Terminale S3224

2008/2009

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