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tude dune fonction relle dune variable relle

1 Gnralits

1-1 Fonction, image, antcdent, ensemble de dfinition

1-1-1 On appelle fonction relle dune variable relle une relation tablie entre deux parties I et J de , telle qu tout on associe un unique rel de J not et appel son image par . On dit dans ce cas que y est un antcdent de par . Notons quun rel y de J nadmet pas ncessairement un unique antcdent par f.

1-1-2 Lensemble de dfinition de est lensemble D des rels tels que existe. 1-2 Graphe et courbe reprsentative

Le graphe dune fonction dfinie sur D est lensemble ; / . On appelle courbe reprsentative dune fonction la reprsentation de son graphe G dans un repre donn du plan, les ordonnes des points de tant les images de leurs abscisses (celles-ci tant dans lensemble de dfinition de la fonction).

1-3 Proprits particulires

1-3-1 Proprits de parit :

Soit une fonction densemble de dfinition D. est dite paire si D est symtrique par rapport 0 et si , . Dans ce cas et si le repre est orthogonal, est symtrique par rapport laxe des ordonnes. est dite impaire si D est symtrique par rapport 0 et si , . Dans ce cas, est symtrique par rapport lorigine du repre. 1-3-2 Proprits de priodicit : est dite priodique de priode T (ou T priodique) si elle est dfinie sur et si T est le plus petit rel positif tel que , . est alors entirement connue (par translation) par sa restriction un intervalle de longueur T.

1-4 Variations et extrema

1-4-1 Variations :

Soient I un intervalle et une fonction dfinie sur I. On dit que : est croissante sur I si ; , est dcroissante sur I si ; , est constante sur I si ; , Si les ingalits sont strictes, on dit que est strictement croissante (ou dcroissante). Enfin, si est toujours de mme variation sur I, on dit quelle y est monotone. 1-4-2 Extrema

Soient I un intervalle et une fonction dfinie sur I. On dit que : admet un maximum absolu sur I en c qui vaut si , admet un maximum local sur I en c sil existe un intervalle tel que admet un maximum absolu en c sur . admet un minimum absolu sur I en c qui vaut si , admet un minimum local sur I en c sil existe un intervalle tel que admet un minimum absolu en c sur .

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1-5 Composition de fonctions

Soient u et g deux fonctions respectivement dfinies sur des intervalles I et . Si ! , alors on peut dfinir sur I la fonction dite compose de u suivie de g et note " # ! par : , "!.

2 Limites : dfinitions, interprtation graphique, calculs

2-1 Dfinitions

a et L dsigneront des rels et f une fonction dfinie sur un voisinage V de a (intervalle ouvert contenant a ou ayant a pour borne), sauf ventuellement en a.

2-1-1 Limite finie L en un rel a On dit que f admet en a la limite gauche $% (resp. droite $&), et on note lim*+,*-, $% resp. lim*+,*3, $&

si 4 5 0, 78 5 0 tel que $%> 4 (resp. = = 8 | $&| 4)

On dit que f admet en a une limite L, et on note lim*+, $ si f admet des limites droite et gauche gales L, cest--dire si : 4 5 0, 78 5 0 tel que

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2-2-3 Si g est une fonction telle que lim*+@F "G 0 (resp. lim*+AF "G 0), on dit que la courbe H reprsentative de g est une asymptote (C) au voisinage de (resp. ). Si g est affine, on dit que H est une asymptote oblique. 2-3 Calculs de limites

Aux 2-3-1 2-3-4, 8 est un rel, ou , ou . L et L dsignent deux rels. Quant u et v, elles dsignent deux fonctions dfinies au voisinage de 8 et y admettant une limite. 2-3-1 Somme

Si lim*+I ! L L L et lim*+I J L

alors lim*+IF ! JG L+L + Forme indtermine

2-3-2 Produit

Si lim*+I ! L L>0 L0 L

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2-3-9 Limites et monotonie

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle F=; 8F, o 8 dsigne un rel, ou , ou . Si f est croissante et majore par un rel M, elle admet en 8 une limite finie L, et $ . Si f est croissante et nadmet pas de limite finie, alors elle tend vers . Si f est dcroissante et minore par un rel m, elle admet en 8 une limite finie L, et $ . Si f est dcroissante et nadmet pas de limite finie, alors elle tend vers . 2-3-10 Premires limites de rfrence + 8 5 0, lim*+C L*\ 0 et lim*+@ I .

Si ] ^ est pair, alors lim*+A _ . Si ] ^ est impair, alors lim*+A _ Si P est un polynme de terme de plus haut degr =__, alors lim*+ ` lim*+ =__

Si R est une fraction rationnelle (quotient de deux polynmes), la limite en linfini est celle du quotient des termes de plus haut degr respectifs des deux polynmes.

3 Continuit

3-1 Continuit en un rel

Soient a un rel, V un voisinage de a (contenant a) et f une fonction dfinie sur V. On dit que f est continue gauche en a si lim*+,*-, =. On dit que f est continue droite en a si lim*+,*3, =. On dit que f est continue en a si elle y est continue gauche et droite, cest--dire si lim*+, =

3-2 Continuit sur un intervalle, prolongement par continuit

3-2-1 f dfinie sur I est dite continue sur I si elle est continue en tout = . 3-2-2 Soit f continue sur un intervalle G=; aG (resp. Fa; =F). Si f admet en a une limite finie L droite (resp. gauche), on appelle prolongement par continuit de f sur F=; aG la fonction b: c d si G=; aG resp. Fa; =F$ si = [

3-3 Proprits impliques par la continuit

3-3-1 Image dun intervalle par une fonction continue

Si f est continue sur un intervalle I, alors est un intervalle. 3-3-2 Continuit sur un intervalle ferm et existence dextrema

Si f est continue sur un intervalle ferm de longueur finie F8; eG, alors elle y est borne et y atteint ses bornes, cest--dire quelle y admet un maximum et un minimum.

3-3-3 Thorme des valeurs intermdiaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit L; tel que L L et . Alors Q GL; F, il existe GL; F tel que Q. Cest--dire : toute valeur intermdiaire entre deux images admet un antcdent.

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3-3-4 Bijectivit des fonctions continues monotones

Si f est continue et strictement monotone sur I, elle dfinit une bijection de I sur , cest- -dire une fonction telle que tout lment de admet un unique antcdent par f , permettant par consquent den dfinir une fonction dite rciproque et note AL. Dune manire gnrale, la rciproque AL de est la fonction, si elle existe, dfinie sur qui, tout , associe lunique tel que . Autrement dit : AL f # AL g AL # 4 Drivabilit

4-1 Drivabilit en un rel

Ici, f dsignera une fonction dfinie en un rel a et sur un voisinage V de a.

4-1-1 On dit que f est drivable gauche (resp. droite) en a

si lim*+,*-, = = resp. lim*+,*3,

= = existe et est iinie Dans ce cas, cette limite est appele nombre driv gauche (resp. droite) de en a. f est dite drivable en a si elle y admet des nombres drivs gauche R%= et droite k&= (sauf, par abus, si lon parle dune borne dintervalle), et si ceux-ci sont gaux. Dans ce cas, on appelle nombre driv de f en a le nombre :

k= gg = lim*+, = = liml+P = Y =Y 4-1-2 Si f est drivable en a, alors il existe 4 dfinie sur un voisinage W de 0 telle que : Y m, = Y = k=Y Y4Y et liml+P 4Y 0 Cette expression est appele dveloppement limit lordre 1 de f au voisinage de a.

4-1-3 Si f est drivable en a, alors elle y est continue. La rciproque est fausse.

4-1-4 Si f est drivable en a, alors il existe un voisinage W de 0 tel que : Y m, = Y n = k=Y Cette expression est appele approximation affine de f au voisinage de a.

4-1-5 Interprtation graphique : tangente une courbe reprsentative de fonction

En posant = Y, lapproximation affine de f au voisinage de a se r-crit : n = k= = si n =. On appelle tangente (C) au point B=; = la droite (T) dquation : = k= = Cest la droite passant par A et de coefficient directeur f(a). Lapproximation affine de f au voisinage de a consiste confondre localement (C) et (T).

4-2 Fonction drive

4-2-1 Soit f dfinie sur un intervalle I. Si f est drivable en tout = , on dit que f est drivable sur I et on appelle drive de f la fonction dfinie sur I par k gg : c k

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4-2-2 Si f est drivable sur un intervalle I, elle y est continue. La rciproque est fausse.

4-3 Thormes de Rolle et des accroissements finis

f dsignera ici une fonction continue sur F=; aG et drivable sur G=; aF. 4-3-1 Thorme de Rolle : si = a, alors il existe G=; aF tel que k 0. 4-3-2 Egalit des accroissements finis :

Il existe G=; aF tel que a = a =k. Interprtation graphique : A et B tant les points de (C) dabscisses a et b, ce thorme affirme lexistence dun point de (C) o la tangente est parallle la droite (AB).

4-3-3 Ingalit des accroissements finis

g satisfaisant aux mmes hypothses que f, si G=; aF, k "k, alors a = "a "=.

En particulier : sil existe o tel que G=; aF, k o, a = oa =. 4-4 Fonction drive et variations

f dsignera ici une fonction drivable sur un intervalle ouvert I. On dduit de 4-3-2 que :

4-4-1 f est constante sur I f , k 0. 4-4-2 f est strictement croissante sur I f , k 0 et R nest nulle sur aucun intervalle J I (tout en pouvant ventuellement sannuler ponctuellement). 4-4-3 f est strictement dcroissante sur I f , k 0 et R nest nulle sur aucun intervalle J I (tout en pouvant ventuellement sannuler ponctuellement). 4-4 Drive et extrema locaux

f dsignera ici une fonction drivable sur un intervalle ouvert I.

4-4-1 Si f admet en un extremum local, alors k 0. La rciproque est fausse. 4-4-2 Soit . Si k 0 et sil existe un voisinage G 8; 8F (o 8 5 0) de c tel que = G 8; F et a G; 8F, k=ka 0, f admet en c un extremum local 4-6 Fonctions drives des fonctions de rfrence Dans tout ce qui suit, lintervalle de drivabilit de f est identique son ensemble de

dfinition, lexception du cas o : c I avec 8 G0; 1F : dans ce cas, f est dfinie sur F0; F et drivable seulement sur G0; F.

Fonction f Fonction drive R : c = a (o a et b sont fixs)

k: c = : c I , o 8 K 0 k: c 8IAL : c cos k: c sin : c sin k: c cos : c tan k: c 1 tan 1/cos

4-7 Limites de rfrence interprtables comme des nombres drivs

lim*+P cos 1 0 ; lim*+P sin 1

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4-8 Rgles de drivation

4-8-1 Somme : si u et v sont drivables en a, ! J aussi et k= !k= Jk= 4-8-2 Produit : si u et v sont drivables en a, ! J aussi et k= !k=J= !=Jk= Si k est une constante, le nombre driv de o! en a est k= o!k=. 4-8-3 Inverse : si v est drivable en a et si J= K 0, LM est drivable en a et k= 1FJ=G Jk= 4-8-4 Quotient : si u et v sont drivables en a et J= K 0, OM est drivable en a et k= !k=J= !=Jk=FJ=G 4-8-5 Compose : si u est drivable en a et v en u(a), " # ! est drivable en a et k= "k!=!k= 4-8-6 Rciproque : soient f une fonction drivable sur un intervalle I et y admettant une rciproque. Si R ne sannule pas sur I, alors AL est drivable sur J = f(I) et : AL = 1AL= 4-9 Cas particuliers dduits de 4-6 et 4-8-5

u dsignant une fonction drivable sur un intervalle I :

Fonction f Condition supplmentaire sur u Fonction drive R

F!GI aucune si 8 ^\0

u ne sannule pas sur I si 8 s\^

u strictement positive sur I si 8 G0; F\^

k 8F!GIAL!k cos F!G aucune k sinF!G !k sin F!G aucune k cosF!G !k

tanF!G ! ne contient pas de multiple impair de t/2 k F1 tanG!k

4-10 Fonctions rciproques des fonctions de rfrence

4-10-1 Fonctions racines n-imes :

Pour tout ] ^v, la fonction _: c _ est drivable (donc continue) et strictement croissante sur F0; F. Elle admet donc une fonction rciproque _AL, appele fonction racine n-ime, qui est dfinie, continue et strictement croissante sur F0; F. On note : _AL y et par dfinition : y f _ Cette fonction est drivable sur G0; F (elle ne lest pas en 0). Sa drive est : _AL: c 1] y

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4-10-2 Fonction arcsinus : sin dfinit une bijection strictement croissante de F z ; zG dans F1; 1G. On appelle arcsinus sa fonction rciproque, qui est donc une fonction strictement croissante de F1; 1G dans F z ; zG. On la note arcsin. Elle nest pas drivable en -1 ni en 1. G1; 1F, arcsinR 1{1 4-10-3 Fonction arccosinus : cos dfinit une bijection strictement dcroissante de F0; tG dans F1; 1G. On appelle arccosinus sa rciproque, qui est donc une fonction strictement dcroissante de F1; 1G dans F0; tG. On la note arccos. Elle nest pas drivable en -1 ni en 1 G1; 1F, arccosR 1{1 4-10-4 Fonction arctangente : tan dfinit une bijection strictement croissante de | z ; z} dans . On appelle arctangente sa rciproque, strictement croissante de dans | z ; z}. On a : , arctanR 11

4-10-10 Formules de drivation obtenues par composition

Soient I un intervalle et u une fonction drivable sur I. Si u(I) est inclus dans lensemble de drivabilit des fonctions vues prcdemment, on obtient avec 4-8-5 :

Fonction f Fonction drive R : c {!y k: c !k] ! {!y : c arctan! k: c !k1 ~! : c arcsin ! k: c !k1 ~! : c arccos! k: c !k1 ~!