Cours de mathématiques – Option Mathématiques

Cours de mathématiques – OptionMathématiques Complémentaires de

Terminale Générale

Table des matièresChapitre 1 – Inférence bayésienne.......................................................................................................4

I – Probabilité conditionnelle et arbre..............................................................................................4a) Définition d'une probabilité conditionnelle............................................................................4b) Formule des probabilités totales.............................................................................................4c) Utilisation d’un arbre de probabilité.......................................................................................5

II – Inversement du conditionnement..............................................................................................7III – Indépendance...........................................................................................................................7

Chapitre 2 – Modèles définis par une fonction....................................................................................8I – Calculs des dérivées...................................................................................................................8

a) Rappels sur les formules de dérivation...................................................................................8b) Rappels sur les opérations entre fonctions dérivables............................................................8c) Rappel sur la composition d’une fonction affine par une fonction dérivable.........................9d) Composition d’une fonction dérivable par la fonction carré ou par la fonction cube............9e) Composition d’une fonction dérivable par la fonction racine carrée......................................9f) Composition d’une fonction dérivable par la fonction exponentielle...................................10

II – Applications de la dérivation...................................................................................................10a) Rappel : nombre dérivée et tangente.....................................................................................10b) Rappel : dérivée et sens de variation.....................................................................................11

III – Fonctions continues...............................................................................................................12a) Continuité d’une fonction.....................................................................................................12b) Théorème des valeurs intermédiaires...................................................................................12

IV – Convexité et concavité...........................................................................................................13a) Définitions.............................................................................................................................13b) Lien avec la dérivée..............................................................................................................14c) Point d’inflexion...................................................................................................................15

Chapitre 3 – Évolutions discrètes.......................................................................................................16I – Rappels sur les suites numériques............................................................................................16

a) Génération d’une suite..........................................................................................................16b) Sens de variation...................................................................................................................17

II – Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques.............................................................17III – Limite d’une suite..................................................................................................................18

a) Notion de limite d’une suite..................................................................................................18b) Limites des suites de référence.............................................................................................19c) Limite d’une somme.............................................................................................................19d) Limite d’un produit...............................................................................................................20e) Limite d’un quotient.............................................................................................................20f) Limites et inégalités...............................................................................................................21g) Limite d’une suite géométrique............................................................................................21

Cours de mathématiques – Option Mathématiques Complémentaires de Terminale Générale :1/70

IV – Suites arithmético-géométriques...........................................................................................21a) Définition..............................................................................................................................21b) Détermination du terme général d’une suite arithmético-géométrique................................22

Chapitre 4 – Évolutions continues......................................................................................................23I – Limite d’une fonction...............................................................................................................23

a) Limite d'une fonction à l'infini..............................................................................................23b) Limites à l’infini des fonctions de référence........................................................................23c) Interprétation graphique d’une limite finie à l’infini............................................................23d) Limite d’une fonction en un nombre réel.............................................................................24e) Limite en zéro de certaines fonctions de référence...............................................................24f) Interprétation graphique d’une limite infinie en un réel........................................................25g) Opérations et théorèmes de comparaison.............................................................................25

II – Primitives................................................................................................................................26a) Définition et premières propriétés........................................................................................26b) Primitives de fonctions usuelles...........................................................................................27c) Opérations algébriques et calcul de primitives.....................................................................27

III – Équations différentielles........................................................................................................28a) Équations différentielles et calcul intégral............................................................................29b) Résolution de certaines équations différentielles..................................................................29

Chapitre 5 – Fonction logarithme népérien........................................................................................31I – Existence de la fonction logarithme népérien..........................................................................31

a) Notion de fonction réciproque..............................................................................................31b) Définition de la fonction logarithme népérien......................................................................32

II – Étude de la fonction logarithme népérien...............................................................................33a) Dérivée et primitive..............................................................................................................33b) Sens de variation et signe.....................................................................................................33

III – Propriétés algébriques............................................................................................................35a) Relation fonctionnelle...........................................................................................................35b) Application à la résolution d’équations ou inéquations et à la recherche de seuil................36

Chapitre 6 – Calculs d’aires...............................................................................................................37I – Intégrale d’une fonction continue et positive...........................................................................37

a) Définition..............................................................................................................................37b) Propriétés..............................................................................................................................38

II – Intégrale d’une fonction continue...........................................................................................39a) Intégrale d’une fonction continue et négative.......................................................................39b) Intégrale d’une fonction continue de signe non constant.....................................................39c) Propriétés..............................................................................................................................39

III – Calcul d’une intégrale............................................................................................................40a) Théorème fondamental de l’analyse.....................................................................................40b) Calcul d’une intégrale d’une fonction continue....................................................................40

Chapitre 7 – Répartitions des richesses, inégalités.............................................................................42I – Outils statistiques pour la répartition des richesses et l’inégalité.............................................42

a) Moyenne et écart-type...........................................................................................................42b) Médiane, quartiles, déciles...................................................................................................43

II – Outils analytiques pour la répartition des richesses, l’inégalité..............................................45a) Intégration et valeur moyenne..............................................................................................45b) Convexité..............................................................................................................................45c) Courbe de Lorenz et indice de Gini......................................................................................45

Chapitre 8 – Corrélation et causalité..................................................................................................47


I – Statistiques à deux variables.....................................................................................................47a) Nuage de points.....................................................................................................................47b) Ajustement d’un nuage de points..........................................................................................48c) Paramètres statistiques..........................................................................................................48

II – Ajustement affine par la méthode des moindres carrés...........................................................49III – Ajustement et changement de variable..................................................................................51

Chapitre 9 – Expériences répétées......................................................................................................54I – Loi uniforme discrète...............................................................................................................54II – Loi de Bernoulli......................................................................................................................55III – Loi binomiale.........................................................................................................................56

a) Schéma de Bernoulli.............................................................................................................56b) Coefficients binomiaux.........................................................................................................56c) Le triangle de Pascal.............................................................................................................57d) Loi binomiale........................................................................................................................58

IV – Loi binomiale et échantillonnage...........................................................................................59a) Représentation graphique d'une loi binomiale......................................................................59b) Intervalle de fluctuation et règle de décision........................................................................60c) Intervalle de confiance et estimation....................................................................................61

Chapitre 10 – Temps d’attente............................................................................................................62I – Loi géométrique........................................................................................................................62

a) Définition et expression........................................................................................................62b) Propriétés de la loi géométrique...........................................................................................63

II – Lois continues à densité..........................................................................................................64a) Densité de probabilité...........................................................................................................64b) Fonction de répartition d’une loi à densité...........................................................................65c) Espérance et variance d’une loi à densité.............................................................................65

III – Loi uniforme continue sur un intervalle................................................................................66a) Définition d’une loi uniforme continue sur un intervalle.....................................................66b) Espérance, variance et écart-type d’une loi uniforme continue sur un intervalle.................66

IV – Loi exponentielle...................................................................................................................67a) Définition de la loi exponentielle..........................................................................................67b) Espérance d’une loi exponentielle........................................................................................67c) Propriété d’absence de mémoire de la loi exponentielle.......................................................68


Chapitre 1 – Inférence bayésienne

I – Probabilité conditionnelle et arbre

a) Définition d'une probabilité conditionnelle

On considère deux évènements A et B tels que P(A)≠0 .

Définition : La probabilité de l'évènement B , sachant que A est réalisé, se note PA(B) .

On a PA(B)=P (A∩B)

P (A).

Conséquences : Soient A et B deux évènements tels que P( A)≠0 .

• P( A∩B)=P (A)×P A(B) (probabilités composées)

• PA ( B )=1−P A(B) (probabilité de l’évènement contraire)

b) Formule des probabilités totales

Définition : Soient A1 , A2 , A3 , …, An des évènements d’un univers Ω de probabilités non nulles. Ces évènements forment une partition de l’univers si et seulement si ils sont deux à deux incompatibles et A1∪ A2∪A3∪…∪ An=Ω .

Exemple : Soit A un évènement. Les évènements A et A forment une partition de l'univers Ω puisque toute issue appartient soit à A , soit à A et que ces deux évènements sont incompatibles.

En effet, on a Ω=A∪A et ∅=A∩A .

Chapitre 1 – Inférence bayésienne : 4/70

Formule des probabilités totales : Soient A1 , A2 , A3 , …, An des évènements formant une partition d’un univers Ω . Pour tout évènement B de l’univers Ω , on a :

P(B)=P (A1∩B)+P (A2∩B)+P( A3∩B)+…+P (An∩B) soit

P(B)=P (A1)×P A1(B)+P (A2)×P A2

(B)+P( A3)×P A3(B)+…+P( An)×P An

(B)

c) Utilisation d’un arbre de probabilité

On peut construire un arbre pour illustrer une situation (ici, la partition est formée par A et A ) :

Le chemin correspondant à l’évènement A∩B est le chemin qui part de Ω , passe par A et arrive en B . On a en utilisant la formule des probabilités composées, P(A∩B)=P (A )×PA(B) .

La probabilité d'un évènement est le produit des probabilités des branches qui composent son chemin.

Comme P( A)+P (A)=1 , la somme des probabilités qui partent d'un nœud est égale à 1.


Exemple : Dans un lycée, 40 % des élèves sont en seconde, 35 % en première, le reste en terminale.

Parmi les secondes, 45 % sont des filles ; parmi les premières, 50 % sont des filles et parmi les terminales, 60 % sont des filles.

On choisit un élève au hasard.

On considère les évènements suivants :

F : « L’élève est une fille »

S : « l’élève est en seconde »

U : « l’élève est en première »

T : « l’élève est en terminale ».

On a donc P(S)=0,4 , P(U )=0,35 , PS(F )=0,45 , PU (F)=0,5 et PT (F )=0,6 .

On peut donc illustrer la situation avec cet arbre :

On peut à l’aide des probabilités totales avec la partition S , U , T calculer la probabilité que la personne choisie soit une fille :

P(F)=P (S)×PS(F )+P (U )×PU (F)+P(T )×PT(F )=0,4×0,45+0,35×0,5+0,25×0,6=0,505 .


II – Inversement du conditionnement

Formule de Bayes : Soient A et B deux évènements de probabilités non nulles. On a :

PB( A)=P (A)×P A(B)

P (B).

Preuve : Par définition, P(A∩B)=PA (B)×P(A) mais aussi P(A∩B)=PB(A)×P(B) .

On a donc PB(A)×P(B)=PA(B)×P(A)⇔ PB(A)=PA (B)×P (B)

P(B).

Exemple : Avec l’exemple précédent, cherchons la probabilité que l’élève soit en seconde sachant que c’est une fille. À l’aide de la formule de Bayes, on a :

PF (S )=P (S )×PS(F )

P (F )=

0,4×0,450,505

=36

101.

III – Indépendance

Définition intuitive : Deux évènements non impossibles A et B sont indépendants si la réalisationde l’un n’influe pas sur la réalisation de l’autre, c’est-à-dire si PA(B)=P(B) et PB(A)=P(A) .

Remarque : Supposons A et B indépendants. Leurs probabilités sont alors non nulles.

Comme PA(B)=P(A∩B)

P(A), on a

P(A∩B)P (A )

=P (B)⇔P(A∩B)=P (A )×P(B) .

De même comme PB(A)=P(B∩A )

P(B), on a

P(B∩A )P(B)

=P (A )⇔P(B∩A )=P(B)×P(A) .

Définition : Soient A et B deux évènements non impossibles. A et B sont indépendants si et seulement si P( A∩B)=P ( A)×P(B) .

Propriété (admise) : Soient A et B deux évènements. Les propositions suivantes sont équivalentes :

• A et B sont indépendants





Chapitre 2 – Modèles définis par unefonction

I – Calculs des dérivées

a) Rappels sur les formules de dérivation

On note D f l'ensemble de définition de la fonction f et D f ' celui de la fonction dérivée de f .

D f f x = D f ' f ' x=

ℝ k (constante) ℝ 0

ℝ x ℝ 1

]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[ 1x

]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[−

1

x2

ℝ xn (avec n∈ℕ* ) ℝ n xn−1

]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[ 1

xn (avec n∈ℕ* )]−∞; 0[∪]0 ;+ ∞[

−n

xn+ 1

[0 ;+ ∞[ √ x ]0 ;+ ∞[ 12 √ x

ℝ ex ℝ ex

b) Rappels sur les opérations entre fonctions dérivables

u et v sont deux fonctions dérivables sur un même intervalle I .

Fonction Dérivée

Somme u+v u '+v '

Produit k×u avec k∈ℝ k×u'

Produit u×v u '×v+v '×u

Inverse 1v

avec v (x )≠0 pour tout x∈ I −v '

v2

Quotient uv

avec v (x )≠0 pour tout x∈Iu '×v−v '×u

v2

Chapitre 2 – Modèles définis par une fonction : 8/70

c) Rappel sur la composition d’une fonction affine par une fonction dérivable

Théorème : Soient a et b deux réels. Soit g une fonction dérivable sur un intervalle J etf la fonction définie sur un intervalle I par f ( x)=g( a x+b) . Alors si pour tout x∈ I ,a x+b∈ J , la fonction f est dérivable sur I et on a f '(x)=a×g'( a x+b) .

Exemple : Soit f la fonction définie sur ] 13 ;+∞[ par f (x)=√3 x−1 . En posant g(x )=√ x , on a

pour tout x>13

f (x)=g (3 x−1) . Si x>13

, 3x−1>0 et g est dérivable sur ]0 ;+∞[ par

g ' (x )=3

2√ x.

On en déduit que f est dérivable sur ]13 ;+∞[ et pour tout x>13

on a :

f ' (x)=3×g ' (3 x−1)=3

2 √3 x−1.

d) Composition d’une fonction dérivable par la fonction carré ou par la fonction cube

Propriété : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .

La fonction f=u2 définie sur I par f ( x)=u2( x)=(u( x))2 est dérivable sur I et pour tout

x∈I on a f '(x)=2×u '(x)×u( x) .

Preuve : pour tout x∈ I , f (x)=(u(x ))2=u (x)×u (x) . f est donc dérivable sur I comme produit de fonctions dérivables sur I . On a donc f ' (x)=u ' (x)×u(x)+u ' (x)×u (x)=2×u ' (x )×u(x ) .

Propriété ( admise ) : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I .

La fonction f=u3 définie sur I par f ( x)=(u( x))3 est dérivable sur I et pour tout x∈I on a f '(x)=3×u '( x)×u2

( x) .

e) Composition d’une fonction dérivable par la fonction racine carrée

Propriété : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que pour toutx∈I , u( x)> 0 . La fonction f=√u définie sur I par f ( x)=√u( x) est dérivable sur I et

pour tout x∈I , f '(x)=u '(x )

2√u( x).


f) C omposition d’une fonction dérivable par la fonction exponentielle

Propriété admise : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I .

La fonction f=eu définie sur I par f ( x)=eu(x ) est dérivable sur I et pour tout x∈I on a

f '(x)=u '( x)×eu(x ) .

Exemple : Soit f définie sur ℝ par f (x)=e(x4) . f (x)=eu (x) avec u(x )=x4

⇒u '(x )=4 x3 . f est

donc dérivable sur ℝ par f ' (x)=u ' (x)×eu (x)=4 x 3e(x

4).

II – Applications de la dérivation

a) Rappel : nombre dérivée et tangente

Propriété : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a∈I .

La tangente à la courbe représentative de f au point A( a ;f (a)) est la droite passant par Aet de coefficient directeur f '(a) .

Elle admet pour équation réduite y= f '(a) ( x−a)+ f (a) .

Exemple : Soit f définie sur ]−∞ ;0 [∪]0 ;+∞[ par f (x )=1x

. Cherchons l'équation de la

tangente en A d'abscisse x=2 à la courbe, si elle existe. f est dérivable sur ]−∞ ;0 [∪]0 ;+∞[

et pour tout x≠0 f ' (x)=−1

x2 donc la tangente en x=2 existe. Comme f ' (2)=−1

2×2=−

14

,

la tangente en x=2 a pour équation réduite y= f ' (2)( x−2)+ f (2) soit

y=−14(x−2)+

12⇔ y=−

14(x−2)+

12⇔ y=−

14

x+1 .


b) Rappel : dérivée et sens de variation

Théorème 1 : Soit f une fonction monotone et dérivable sur un intervalle I .• Si f est une fonction croissante sur I ⇔ pour tout x∈I , f ' x0 .• Si f est une fonction décroissante sur I ⇔ pour tout x∈I , f ' x0 .• Si f est constante sur I ⇔ pour tout x∈I , f ' x=0 .

Théorème 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenu dans son ensemble de définition D f .• Si f ' x0 pour tout x∈I (éventuellement, f ' peut s'annuler en un nombre fini

de valeurs) alors f est strictement croissante sur I .• Si f ' x0 pour tout x∈I (éventuellement, f ' peut s'annuler en un nombre fini

de valeurs) alors f est strictement décroissante sur I .• Si pour tout x∈I f ' x=0 , alors f est constante sur I .

Exemple : Soit f définie sur ℝ par f (x)=(x2+2 x−15)2 . Déterminons ses variations.

Pour tout x∈ℝ , f (x)=u2(x ) avec u(x )=x2

+2 x−15⇒u' (x)=2 x+2 .f est dérivable sur ℝ par f (x)=2×u ' (x )×u(x )=2×(2 x+2)×(x2

+2 x−15) .On cherche quand la dérivée s’annule afin d’en étudier le signe.• 2 x+2=0⇔x=−1

• Pour x2+2 x−15 , Δ=22

−4×1×(−15)=64 , il y a donc deux racines :

x1=−2−√64

2×1=−5 ; x2=

−2+√642×1

=3


x – ∞ – 5 – 1 3 + ∞

2 x+2 – | – 0 + | +

x2+2 x−15 + 0 – | – 0 +

f ' (x) – 0 + 0 – 0 +

f (x)0

256

0

En effet,

• f (−5)=((−5)2+2×(−5)−15)2=0

• f (−1)=((−1)2+2×(−1)−15)2=256

• f (3)=(32+2×3−15)2=0


III – Fonctions continues

a) Continuité d’une fonction

Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est continue sur I si et seulement si sa courbe représentative se trace d’un trait continu, « sans lever le crayon ».

Exemple : f n’est pas continue sur ℝ , car f est discontinue en x=2 (avec f (2 )=2 ) :

Propriété ( admise ) : Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cette intervalle.

Conséquences : Les fonctions polynômes et exponentielle sont donc continues sur ℝ , la fonction inverse est continue sur ]−∞;0 [ et sur ]0 ;+∞[ .

Remarque : La réciproque est fausse ; par exemple, la fonction racine carrée est continue sur[0 ;+∞[ , mais est dérivable sur ]0 ;+∞[ car non dérivable en 0.

b) Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (admis) : Soit f une fonction définie et continue sur[ a ; b ] . Pour tout nombre réel k compris entre f (a ) et f (b) , l’équation f ( x)=k admet aumoins une solution dans [ a ; b ] .


Les solutions sont les abscisses des points d’intersection.

Conséquence (admise) :

Soit f une fonction définie, continue et strictement monotonesur [ a ; b ] .

Pour tout nombre réel k compris entre f (a ) et f (b) ,l’équation f ( x)=k admet une unique solution dans [ a ; b ] .

La solution est l’abscisse du point d’intersection.

IV – Convexité et concavité

Dans cette partie, on considère une fonction f dérivable sur un intervalle I .

a) Définitions

Convexité ConcavitéDéfinition : f est convexe sur I si et seulement si sa représentation graphique est située entièrement au-dessus de chacune de sestangentes.

Définition : f est concave sur I si et seulement si sa représentation graphique est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.


Exemples :

Convexité Concavité

La fonction carré définie sur ℝ par f (x)=x 2 est convexe.

La fonction inverse définie sur ]−∞;0 [ par

f (x)=1x

est concave.

b) Lien avec la dérivée

Convexité ConcavitéPropriété (admise) : La fonction f est convexe sur I si et seulement si sa fonction dérivée f ' est croissante sur I .

Propriété (admise) : la fonction f est concave sur I si et seulement si sa fonction dérivéef ' est décroissante sur I .

Remarque : Si f ' est également dérivable sur I , pour déterminer si elle est croissante ou décroissante, on peut étudier le signe de sa dérivée, c’est-à-dire le signe de f ' ' , appelée dérivée seconde de f . À l’aide du théorème 1 du II a), on en déduit le résultat suivant.

Convexité ConcavitéPropriété : Soit f une fonction deux fois dérivable sur I . f est convexe sur I si et seulement si pour tout x∈I f ' '( x)⩾0 .

Propriété : Soit f une fonction deux fois dérivable sur I . f est concave sur I si et seulement si pour tout x∈I f ' '( x)⩽0 .


c) Point d’inflexion

Définition : La représentation graphique de la fonction f présente un point d’inflexion si elle traverse sa tangente en ce point.

Théorème (admis) : Les quatre points suivants sont équivalents :

f présente un point d’inflexion en x=a La courbe de f passe de concave à convexe (ou l’inverse) en x=a

f ' change de sens de variation en x=a Si f ' ' existe, f ' ' s’annule et change de signeen x=a

Exemple :

La fonction f ci-dessous présente un point d’inflexion en x=a et est deux fois dérivable sur son ensemble de définition.

On a :

x – ∞ a + ∞

f ' ' (x) – 0 +

f ' (x)


Chapitre 3 – Évolutions discrètes

I – Rappels sur les suites numériques

a) Génération d’une suite

Les suites permettent de modéliser les phénomènes discrets (dont on peut numéroter les différentes étapes), à l’inverse des fonctions définies sur des intervalles, qui modélisent les phénomènes continus.

Une suite u peut aussi se noter (un)n∈ℕ si son rang de départ est n=0 . Si son rang de départ est un certain entier n0 , on peut la noter (un)n⩾n0

.

Suites définies explicitement Suites définies par une relation de récurrence

Pour tout n⩾n0 , un se calcule en appliquant une fonction f (définie sur [n0;+∞[ ) à l’entiern : un=f (n) .

Exemple : Soit f la fonction définie sur

[ 32 ;+∞[ par f (x )=√ 2 x – 3 . On définit une

suite (un)n⩾2 par un= f (n)=√ 2 n – 3 .La suite (un)n∈ℕ est bien définie.

On a :• u2=f (2 )=√ 2×2−3=1 ;

• u3=f (3)=√2×3−1=√5 ;

• u4=f (4)=√ 2×4−1=√ 7 ;

• u50=f (50)=√ 2×50−3=√ 97 …

On peut calculer n’importe quel terme.

Pour tout n⩾n0 , un+1 se calcule à partir du terme précédent un en appliquant une fonctionf définie sur un intervalle I contenant n0 tel que pour tout x∈I f (x)∈I .

Exemple : Soit la suite (un)n∈ℕ :

{ u0=– 2un+1=√un+3 avec n∈ℕ

.

La fonction f est définie sur [−3 ;∞[ .u0=−2∈[−3 ;∞[ . Si x∈[−3 ;∞[ ,x+3∈[0 ;+∞[⇒√ x+3∈[0 ;+∞[ doncf (x)∈[−3 ;+∞[ .La suite (un)n∈ℕ est bien définie.

On a :• u1=f (u0)=√ u0+3=√−2+3=1 ;

• u2=f (u1)=√ u1+3=√ 1+3=2 ;

• u3=f (u2)=√ u2+3=√ 2+3=√ 5 ;

• u4=f (u3)=√ u3+3=√ √ 5+3 …

Pour calculer un terme, il faut nécessairement avoir calculé les précédents.

Chapitre 3 – Évolutions discrètes : 17/70

b) Sens de variation

Définition : Soit p∈ℕ . Une suite (un) est strictement croissante à partir du rang p si pour tout entier naturel n⩾ p , on a un<un+1 .

Remarque : On peut adapter cette définition aux suites croissantes, strictement décroissantes, décroissantes. Une suite est monotone lorsqu'elle est soit croissante, soit décroissante.

Méthodes : • On peut déterminer, pour tout n⩾p , le signe de la différence un+1−un .

• On peut comparer, pour tout n⩾p , le rapport un+1

un

avec 1, après s'être assuré que un était

de signe constant pour tout n⩾p .

II – Rappels sur les suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique de raison r et de premier terme u0

Suite géométrique de raison q≠0 et de premier terme u0≠0

Définition(par

récurrence)Pour tout entier n : un+1=un+r Pour tout entier n : un+1=un×q

Expressionsexplicites

Pour tous entiers n et p :• un=u0+nr• un=u1+(n−1)r• un=u p+(n−p)r

Pour tous entiers n et p :• un=u0×qn

• un=u1×qn−1

• un=u p×qn−p

Sens devariation

• Si r>0 , (un) est strictement croissante.

• Si r<0 , (un) est strictement décroissante.

• Si r=0 , (un) est constante.

• Si q>1 et u0>0 , (un) est strictement croissante.

• Si q>1 et u0<0 , (un) est strictement décroissante.

• Si 0<q<1 et u0>0 , (un) est strictement décroissante.

• Si 0<q<1 et u0<0 , (un) est strictement croissante.

• Si q=1 la suite est constante.• Si q<0 , la suite n’est pas

monotone.Somme de

termesconsécutifs

Pour tout n∈ℕ ,

u0+u1+…+un=∑k=0

n

uk=(n+1)(u0+un

2 )Si q≠1 , pour tout n∈ℕ ,

u0+u1+…+un=∑k=0

n

uk=u01 – qn+1

1 –q

Utilisation

Les variations absolues un+ 1−un entre deux termes consécutifs sont constantes :une suite arithmétique modélise un phénomène d’évolution linéaire.

Les variations relatives un+1−un

un entre

deux termes consécutifs sont constantes : une suite géométrique modélise un phénomène d’évolution exponentielle.


III – Limite d’une suite

a) Notion de limite d’une suite

Définitions : On considère une suite (un) et L∈ℝ .

• u diverge vers +∞ (onnote lim

n→+∞un=+∞ ) si

pour tout seuil A∈ℝaussi grand soit-il,l’intervalle ] A;+∞[contient tous les termesun à partir d’un certainrang N .

• u diverge vers −∞ (on notelim

n→+∞un=−∞ ) si pour tout seuil

A∈ℝ aussi petit soit-il,l’intervalle ]−∞ ; A[ contient tousles termes un à partir d’un certainrang N .


• u converge vers L (on note limn→+∞

un=L ) si tout intervalle ouvert I contenant L

aussi petit soit-il contient tous les termes un à partir d’un certain rang N .

b ) Limites des suites de référence

Propriétés admises : Soit un entier k⩾ 1 . On a :

limn→+∞

n=+∞ limn→+∞

nk=+∞ lim

n→+∞√ n=+∞

limn→+∞

1n=0 lim

n→+∞

1

nk=0 lim

n→+∞

1

√ n=0

c ) Limite d’une somme

Propriétés admises : Soient u et v deux suites, L et L ' deux réels. On a alors :

Si limn→+∞

un= L L L +∞ +∞ −∞

et limn→+∞

v n= L' +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

alors limn→+∞

un+ vn= L+L ' +∞ −∞ +∞ F.I −∞

F.I signifie « Forme Indéterminée » : cela signifie que le tableau ne permet pas de conclure. En règne générale, il faut faire une transformation d’écriture.

Exemple : Pour tout n∈ℕ , soient un=n et vn=−3 n . On a alors limn→+∞

un=+∞ et limn→+∞

vn=−∞ .

Si l’on cherche la limite de un+vn en +∞ , on est dans le cas d’une forme indéterminée. Cependant, comme un+vn=−2n , on a directement lim

n→+∞un+vn=−∞ .


d) Limite d’un produit


Si limn→+∞

un= L L≠0 L≠0 +∞ +∞ −∞ 0

et limn→+∞

v n= L' +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ ±∞

alors limn→+∞

un×v n= L×L' +∞ siL>0

−∞ siL<0

−∞ siL>0

+∞ siL<0

+∞ −∞ +∞ F.I

Exemple : Pour tout n∈ℕ∖ {0 } , soient un=1n

et vn=n3+2 n .

On a alors limn→+∞

un=0 et comme limn→+∞

n3=+∞ et lim

n→+∞2 n=+∞ , le théorème relatif à la limite

d’une somme donne limn→+∞

vn=+∞ .

Si l’on cherche la limite de un×vn en +∞ , on est dans le cas d’une forme indéterminée.

Cependant, comme pour tout n∈ℕ∖ {0 } , un×vn=1n×(n3

+2 n)=n3

n+

2 nn=n2

+2 , on a

limn→+∞

n2=+∞ et lim

n→+∞2=2 , donc le théorème relatif à la limite d’une somme donne

limn→+∞

un×vn=+∞ .

e) Limite d’un quotient


Si limn→+∞

un= L L L>0 L>0 L<0

et limn→+∞

v n= L'≠0 ±∞ 0 avec v n>0 0 avec v n<0 0 avec v n>0

alors

limn→+∞

un

vn

=L

L '0 +∞ −∞ −∞

Si limn→+∞

un= L<0 0 ±∞ +∞ −∞

et limn→+∞

v n= 0 avec v n<0 0 ±∞ L' L'

alors

limn→+∞

un

vn

=+∞ F.I F.I

+∞ si L'>0−∞ si L'<0

−∞ si L'>0+∞ si L'<0


f) Limites et inégalités

Propriétés admises : On considère trois suites u , v et w et N∈ℕ .

• Théorème de minoration : Si pour tout entier naturel n⩾N un⩽vn et limn→+∞

un=+∞ ,

alors limn→+∞

v n=+∞ .

• Théorème de majoration : Si pour tout entier naturel n⩾N un⩽vn et limn→+∞

v n=−∞ ,

alors limn→+∞

un=−∞ .

• Théorème des gendarmes : Si pour tout entier naturel n⩾N un⩽vn⩽wn et si u etw convergent vers le même réel L , alors lim

n→+∞v n=L .

• Passage à la limite dans les inégalités : Si u converge vers L et v converge vers L' et si pour tout entier naturel n⩾N un⩽vn , alors L⩽L' .

g) Limite d’une suite géométrique

Propriété admise : Soit q∈ℝ ∖ {0 } . La suite (qn) est géométrique, et on a :

• Si q>1 , la suite (qn) diverge vers +∞ .

• Si q=1 , la suite (qn) vaut toujours 1 et donc converge vers 1.

• Si 0<q<1 , la suite (qn) converge vers 0.

• Si −1< q<0 , la suite (qn) converge vers 0.

• Si q=−1 , la suite (qn) alterne les valeurs 1 et −1 donc diverge sans limite.

• Si q<−1 , la suite (qn) alterne des valeurs de signes contraires et de plus en plus

grandes en valeur absolue, donc (qn) diverge sans limite.

IV – Suites arithmético-géométriques

a) Définition

Définition : Une suite (un)n∈ℕ est arithmético-géométrique si et seulement si il existe des réelsa et b tels que, pour tout n∈ℕ , un+1=aun+b .

Remarque s : Si a=1 , pour tout n∈ℕ , un+1=un+b donc u est arithmétique de raison b .

Si b=0 , pour tout n∈ℕ , un+1=aun donc u est arithmétique de raison a .

Si a≠1 et b≠0 , u n’est ni arithmétique, ni géométrique.


b) Détermination du terme général d’une suite arithmético-géométrique

Contrairement aux suites arithmétique et géométrique, l’expression du terme général d’une suite arithmético-géométrique n’est pas au programme, cependant la méthode pour le déterminer est à connaître. Par la suite, (un)n∈ℕ est arithmético-géométrique sans être arithmétique.

Méthode :

• 1ère étape : On recherche le point fixe c de la fonction affine f ( x)=a x+ b , c’est-à-direla solution x=c de l’équation x=a x+b .

• 2ème étape : On considère la suite auxiliaire (v n)n∈ℕ définie pour tout n∈ℕ parv n=un− c et on justifie que cette suite est géométrique de raison a .

• 3ème étape : On détermine le terme général de la suite v , puis celui de u .

Exemple : Pour tout n∈ℕ , soit u la suite définie par { u0=4un+1=3 un−5 .

• 1ère étape : On résout sur ℝ x=3 x−5⇔– 2 x=−5⇔x=52

. Le point fixe est c=52

.

• 2ème étape : Pour tout n∈ℕ , on pose vn=un−52

.

On a alors, pour tout n∈ℕ , vn+1=un+1−52=3 un−5−

52=3 un−

152=3(un−

52 )=3 v n .

v est donc géométrique de raison 3.

• 3ème étape : v est géométrique de raison 3 et v0=u0−5=4−5=−1 donc pour tout n∈ℕ ,

vn=v0×3n=−1×3n

=−3n ; de plus pour tout n∈ℕ vn=un−52⇔un=vn+

52=−3n

+52

.

On a donc déterminé le terme général de la suite arithmético-géométrique v :

pour tout n∈ℕ , un=52−3n

.

Propriété : Si u n’est pas arithmétique, la suite v de l’étape 2 est géométrique de raison a .

Preuve : u n’est pas arithmétique donc a≠1 .

• 1ère étape : On cherche le point fixe c :

a x+b= x⇔a x−x=−b⇔ x(a−1)=−b⇔a≠1

x=−b

a−1 donc c existe et c=−

ba−1

.

• 2ème étape : Pour tout n∈ℕ , comme vn=un−c on a :vn+1=un+1−c=a un+b⏟

un +1

– (ac+b)⏟c=ac+b

=a un+b – ac−b=a un – a c=a(un−c )=a vn donc v est

géométrique de raison a .


Chapitre 4 – Évolutions continues

I – Limite d’une fonction

Dans cette partie, l et a sont des réels.

a) Lim ite d ' une fonction à l ' infini

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a ;+∞[ .

• On dit que f admet pour limite +∞ en +∞ lorsque les valeurs de f ( x) sont aussi grandes que l’on veut dès que x est suffisamment grand. On note lim

x→+∞f ( x)=+∞ .

• On dit que f admet pour limite l en +∞ lorsque les valeurs de f ( x) sont aussi proches de l que l’on veut dès que x est suffisamment grand. On note lim

x→+∞f ( x)=l .

Remarque : On définit de même les limites en −∞ et les limites égales à −∞ .

b ) Limites à l’infini des fonctions de référence


limx→+∞

xk=+∞ lim

x→−∞xk=+∞ si k est pair lim

x→−∞xk=−∞ si k est impair

limx→+∞

√ x=+∞ limx→+∞

1x=0 lim

x→−∞

1x=0

limx→+∞

1

√ x=0 lim

x→+∞

1

xk=0 lim

x→−∞

1

xk=0

limx→+∞

ex=+∞ lim

x→−∞ex=0

c ) Interprétation graphique d’une limite finie à l’infini

Soient f une fonction et l un réel tels que limx→+∞

f (x)=l . Alors, on dit que la droite d'équation

y=l est asymptote horizontale à la courbe de f en +∞ .

Graphiquement, cela signifie que lorsque x devient très grand, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y=l . La situation est analogue en −∞ .

Chapitre 4 – Évolutions continues : 24/70

Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ ci-dessous.

On constate que limx→+∞

f (x)=4 , c'est-à-dire que la droite y=4 est asymptote horizontale à la

courbe de f en +∞ , et que limx→−∞

f (x)=2 , c'est-à-dire que la droite y=2 est asymptote

horizontale à la courbe de f en −∞ .

d ) Lim ite d’une fonction en un nombre réel

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert dont a est une borne.

On dit que f admet pour limite +∞ en a lorsque les valeurs de f ( x) sont aussi grandes que l’on veut, dès que x est suffisamment proche de a .

Remarques :

• La définition de la limite égale −∞ est analogue.

• Si f est définie sur ]−∞; a[∪]a ;+∞[ , on étudie les limites « à gauche » et « à droite » ena , notée respectivement lim

x→ax<a

f (x ) et limx→ax>a

f (x ) ou encore limx→a-

f (x ) et limx→a+

f (x ) .

• Si les limites à gauche et à droite sont égales, on ne précise pas de quel côté se fait la limite.

e ) Limite en zéro de certaines fonctions de référence


limx→0x<0

1x=−∞ lim

x→0x>0

1x=+∞ lim

x→0

1

xk=+∞ si k est pair

limx→0x<0

1

xk=−∞ si k est impair lim

x→0x>0

1

xk=+∞ si k est impair lim

x→0

1

√ x=+∞


f ) Interprétation graphique d’une limite infinie en un réel

Soient f une fonction et a un réel tels que limx→a

f (x )=+∞ ou limx→ a

f (x )=−∞ . Alors, on dit que la

droite d'équation x=a est asymptote verticale à la courbe de f .

Graphiquement, cela signifie que lorsque x devient très proche de a , la courbe de f se rapprochede la droite d'équation x=a .

Exemple : Soit f la fonction définie sur ]−∞; 3 [ ci-dessous.

On constate que limx→ 3

f (x )=−∞ , et donc la droite d'équation x=3 est asymptote verticale à la

courbe de f .

g ) Opérations et théorèmes de comparaison

Les propriétés relatives aux opérations sur les limites et les théorèmes de comparaison pour les limites de suites restent valables pour celles des fonctions.


II – Primitives

a) Définition et premières propriétés

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On appelle primitive de f toute fonction F dérivable sur I telle que, pour tout x∈ I , F'( x)= f ( x) .

Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=x 3+5 x−8 .

La fonction F définie sur ℝ par F( x)=x3

3+

52

x2−8 x+5 est une primitive de f puisque F est

dérivable sur ℝ et que pour tout x∈ℝ , F ' ( x)=3 x3

3+

52×2 x−8×1+0=

x 3

3+5 x−8=f (x ) .

Propriétés :

• Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une primitive sur I .

• Deux primitives diffèrent d’une constante, c’est-à-dire que si F est une primitive de f sur un intervalle I , alors pour tout réel C , la fonction G définie sur I par G(x)=F(x )+C est aussi une primitive de f (puisque sa dérivée sur I est G' (x)=F ' ( x)+0=f (x ) ).

Conséquences : On déduit des propriétés ci-dessus que :

• Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet une infinité de primitives sur I .

• Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I , x0∈I et y0∈ℝ .

Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F( x0)= y0 .

Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=x5 .

Cherchons la primitive F de f sur ℝ telle que F(1)=2 .

f étant dérivable sur ℝ , ses primitives sur ℝ sont les fonctions F( x)=x6

6+C avec C∈ℝ .

Or F(1)=2 donc 16

6+C=2⇔

16+C=2⇔C=

126−

16⇔C=

116

.

La primitive cherchée est la fonction F définie sur ℝ par F( x)=x6

6+

116

.


b) Primitives de fonctions usuelles

À partir du tableau donnant les dérivées des fonctions usuelles, on peut en déduire ce tableau de primitives. Le nombre C est une constante réelle quelconque.

f est définie par sur les primitives F de f sontdéfinies par

f (x)=a ( a est une constante) ℝ F( x)=a x+C

f (x)=x ℝF( x)=

x2

2+C

f (x)=xn ( n est un entiernaturel non nul)

ℝF( x)=

xn+1

n+1+C

f (x)=1

x2

]−∞; 0[ ou ]0 ;+∞[F(x )=−

1x+C

f (x)=1

√ x

]0 ;+∞[ F(x )=2√ x+C

f (x)=ex ℝ F( x)=ex+C

c) Opérations algébriques et calcul de primitives

Dans le tableau suivant, f et g sont deux fonctions de primitives respectives F et G sur un même intervalle I , k et C sont des constantes réelles et u est une fonction dérivable sur I .

une fonction de la forme admet pour primitivef +g F+G+C

k f kF+C

2u u ' u2+C

u '

u2 (avec u(x )≠0 pour tout x∈I ) −1u+C

u '

√u (avec u(x )>0 pour tout x∈I )

2√u+C

u ' eu eu+C

Exemple 1 : Cherchons la primitive sur ]0 ;+∞[ s’annulant en x=1 de la fonction

f (x)=3 x2+5+

1

x2 . Une primitive de f sur ]0 ;+∞[ est : F(x )=3×x2+1

2+1+5 x−

1x+C donc

F(x )=x3+5 x−

1x+C . Or F(1)=0 donc 13

+5×1−11+C=0⇔1+5−1+C=0⇔C=−5 .

La fonction cherchée sur ]0 ;+∞[ est F(x )=x3+5 x−

1x−5 .


Exemple 2 : Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=x e(x2) .

Posons u(x )=x2 . u est dérivable sur ℝ et pour tout x∈ℝ , u ' (x )=2 x .

On a donc pour tout x∈ℝ f (x)=12

u ' (x)eu (x), donc f admet pour primitives

F(x )=12

eu (x)+C=

12

e(x2 )+C avec C∈ℝ .

Exemple 3 : Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=(ex−x )(ex

−1) .

Posons u(x )=ex−x . u est dérivable sur ℝ et pour tout x∈ℝ , u ' (x )=ex

−1 .

On a donc pour tout x∈ℝ f (x)=u (x)u' (x)=12×2 u (x)u '(x ) , donc f admet pour primitives

F(x )=12(u(x ))2+C=

12(e x−x)2+C .

III – Équations différentielles

On appelle équation différentielle une équation où l’inconnue n’est pas un nombre, mais une fonction, et cette équation établit une relation entre la fonction inconnue et ses dérivées.

En électricité, en mécanique, en biologie, …, de nombreux phénomènes continus satisfaisant à une loi d’évolution et à une condition initiale sont décrits par une fonction f plusieurs fois dérivable sur un intervalle I et définie comme solution d’une équation où interviennent une ou plusieurs de ses dérivées.

Exemple : On considère l’équation différentielle y ' +5 y=9 t , où y est une fonction de la variable réelle t , définie et dérivable sur ℝ .

Ici, l’inconnue est la fonction y de variable t (on peut donc noter l’équation aussiy ' (t)+5 y (t)=9 t ), on cherche donc, si elles existent, les fonctions y solutions de l’équation.

On peut remarquer que la fonction f (t)=95

t−9

25 définie sur ℝ est solution de l’équation ; en

effet, pour tout t∈ℝ , f ' (t)=95

et f ' (t)+5 f (t)=95+5 ( 95 t−

925 )=

95+9 t−

95=9 t .

Cependant, il y a-t-il d’autres solutions ?

Le but de ce chapitre est de résoudre certains types d’équations différentielles.


a) Équations différentielles et calcul intégral

Dans certains cas, l’équation différentielle fait apparaître une dérivée de la fonction y , mais pas la fonction y .

Exemple : On considère l’équation différentielle y '=et+5 t−3 , où y est une fonction de la

variable réelle t , définie et dérivable sur ℝ .

Ici, pour trouver les solutions y , il suffit de chercher les primitives sur ℝ de y ' , donc de la fonction f (t)=et

+5 t−3 .

On en déduit que les solutions de l’équation sur ℝ sont les fonctions y ( t )= et+

52

t 2−3 t+C ,

avec C∈ℝ .

b) Résolution de certaines équations différentielles

Propriété : Soit a un réel. Les solutions de l’équation différentielle y '=a y sont les fonctionsf définies sur ℝ par f ( x)=k eax

, où k est une constante réelle.

P reuve :

• La fonction f définie sur ℝ par f (x)=k eax où k∈ℝ est dérivable sur ℝ par

f ' (x)=ak eax . On a donc pour tout x∈ℝ f ' (x)=a f (x ) , donc f est solution de l’équation différentielle y '=a y .

• Réciproquement, soit f une solution de l’équation différentielle y '=a y . On considère la fonction g définie sur ℝ par g(x)=f (x)e−ax .g est dérivable sur ℝ comme produit de fonctions dérivables sur ℝ . On a alorsg '(x )=f ' (x)e−ax

+ f (x)(−a e−ax)=( f ' (x )−a f (x ))e−ax .

Or f est solution de y '=a y donc pour tout x∈ℝ f ' (x)−a f (x )=0 . Donc g ' (x )=0 pour tout x∈ℝ . On en déduit qu’il existe k∈ℝ tel que pour tout x∈ℝg(x)=k⇔k=f (x)e−ax

⇔ f (x )=keax .

Théorème : Soient a et b deux réels tels que a≠0 .

Les solutions de l’équation différentielle y '=a y+ b sont les fonctions f définies sur ℝ par

f ( x)=k eax−

ba

, où k est un réel quelconque.

Remarque : La fonction u définie sur ℝ par u(x )=−ba

est la seule fonction constante solution de

l’équation différentielle y '=a y+b . On peut donc en déduire que les solutions sont celles de l’équation y '=ay de la propriété précédente augmentées de u .


E xemple: Soit (E) l’équation différentielle 5 y '+4 y=12 .

L’équation (E) équivaut à 5 y '+4 y=12⇔5 y '=−4 y+12⇔ y '=−45

y+125

.

Les solutions de cette équation sont les fonctions f définies sur ℝ par

f (x)=k e−

45

x−

125

−45

⇔ f ( x)=k e−

45

x+ 3 avec k∈ℝ .

Remarque : Il y a donc une infinité de solutions à l’équation différentielle y '=a y+b avec a≠0 , puisque k est quelconque. Cependant, si on impose une image, alors la solution de l’équation est unique.

Exemple : Cherchons la solution f de l’équation différentielle (E) 5 y '+4 y=12 telle quef (0)=7 .

D’après ce qui précède, les solutions de (E) sont les fonctions f définies sur ℝ par

f (x)=k e−

45

x+3 avec k∈ℝ .

Or f (0)=7⇔k e−

45×0+3=7⇔k+3=7⇔ k=4 .

La solution de (E) telle que f (0)=7 est la fonction f définie sur ℝ par f ( x)= 4 e−

45

x

+ 3 .


Chapitre 5 – Fonction logarithmenépérien

I – Existence de la fonction logarithme népérien

a) Notion de fonction réciproque

Le théorème des valeurs intermédiaires permet de définir une nouvelle fonction à partir d’une fonction connue, qui permet « d’annuler » cette dernière.

Propriété et définition : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I . On appelle intervalle-image de f l’ensemble constitué des images par f des réels de I . Cet ensemble est un intervalle d’après le théorème des valeurs intermédiaires, on le note f ( I ) .

E xemples :

• Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=x 2 . Alors f (ℝ)=[ 0 ;+∞[ .

• Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=cos(x ) . Alors f (ℝ)=[−1; 1] .

Propriété et définition : Soient I et J des intervalles de ℝ .

Si la fonction f est continue et strictement monotone sur I et si J est son intervalle-image,

alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires pour tout a∈J il existe un unique réelb∈I tel que f (b)=a .

La fonction g définie sur J et d’intervalle-image I qui au réel a associe le réel b est appelée fonction réciproque de f . Pour tous a∈J et b∈I on a a= f ( b)⇔ b=g (a) .

Exemple : Soit f la fonction définie sur [0 ;+∞[ par f (x)=x 2 . f est continue et strictement croissante sur [0 ;+∞[ . Pour tout a∈[0 ;+∞[ et x∈[0 ;+∞[ , f (x)=a⇔ x2

=a⇔x=√a .

La fonction réciproque de f est donc la fonction g définie sur [0 ;+∞[ par g(x)=√ x .

Pour tout x⩾0 , g( f (x))=√ x2=x et f (g (x))=√ x

2=x .

Propriété (admise) : Dans un repère orthonormal, les courbes de deux fonctions réciproques l’une de l’autre sont symétrique par rapport à la droite Δ d’équation y=x .

Chapitre 5 – Fonction logarithme népérien : 32/70

b) Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction exponentielle est définie sur ℝ , continue et strictement croissante et son intervalle-image est ]0 ;+∞[ . D’après la propriété précédente, elle admet une fonction réciproque.

x –∞ +∞

exp0

+∞

Définition : On appelle logarithme népérien la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Cette fonction est notée ln .

Propriétés : On déduit donc de cette définition que :

• La fonction logarithme népérien est définie et continue sur ] 0;+∞[ .

• Pour tous a>0 et b∈ℝ , eb=a⇔ b=ln (a) .

• Pour tout x>0 , e ln (x )=x et pour tout x∈ℝ ln (ex

)=x .

• e0=1⇔ ln (1)=0 et e1

=e⇔ ln (e)=1 .

• limx→0

ln (x)=−∞ et limx→+∞

ln ( x)=+∞ .

D’après la propriété précédente, les courbes des fonctions ln et exp dans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la droite Δ d’équation y=x .

La courbe de la fonction ln admet une asymptote verticale d’équation x=0 .


II – Étude de la fonction logarithme népérien

a) Dérivée et primitive

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0;+∞[ et on a ln '( x)=1x

.

Preuve : On considère la fonction f (x)=eln (x) sur ]0 ;+∞[ .

• Pour tout x>0 , f (x)=x . f est dérivable sur ]0 ;+∞[ par f ' (x)=1 .

• Pour tout x>0 , f est de la forme eu (avec u=ln ). On a donc :f ' (x)=u ' (x)eu (x)

=ln ' (x)e ln(x)=ln '(x )×x .

On en déduit que pour x>0 , ln '(x )×x=1⇔ ln ' (x)=1x

.

Conséquence : la fonction logarithme népérien est donc la primitive sur ]0 ;+∞[ de la fonction inverse qui s’annule en 1.

Propriété admise : Si u est une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I , alors la fonction f définie sur I par f ( x)=ln (u( x)) est dérivable sur I par

f '(x)=u '(x )

u( x).

Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=ln(x2+5) .

f (x)=ln (u(x )) avec u(x )=x2+5 . u est dérivable sur ℝ par u ' (x )=2 x et u(x )>0 pour tout

x∈ℝ , donc f est dérivable sur ℝ par f ' (x)=u ' (x )u(x )

=2 x

x 2+5

.

Conséquence : Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I , alors la

fonction ln(u) est une primitive sur I de u 'u

.

b) Sens de variation et signe

Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ] 0;+∞[ .

Preuve : Pour tout x∈]0 ;+∞[ , ln ' (x )=1x>0 donc ln est strictement croissante sur I .


Propriété immédiate : La fonction logarithme népérien s’annule en x=1 , est strictement négative sur ] 0;1 [ et strictement positive sur ]1 ;+∞[ .

Propriétés admises : limx→0

ln (x)=−∞ et limx→+∞

ln ( x)=+∞ .

I nterprétation graphique : La droite d’équation x=0 est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien.

x 0 1 e +∞

ln '(x ) + | + | +

ln

–∞

0

1

+∞

P ropriété : La fonction logarithme népérien est concave sur ] 0;+∞[ .

Preuve : Pour tout x>0 , ln '(x )=1x

donc ln ' ' (x )=−1

x2<0 . La dérivée seconde étant négative sur

]0 ;+∞[ , la fonction ln est concave sur ]0 ;+∞[ .

La fonction ln est croissante et concave. Sa courbe croît, mais « de moins en moins vite ».


III – Propriétés algébriques

a) Relation fonctionnelle

Propriété fondamentale : Pour tous réels a>0 et b>0 , on a ln ( a× b)= ln(a)+ ln (b) .

Preuve : Soient a>0 et b>0 . On a :

• e ln(a×b)=a×b

• e ln(a)+ ln(b)=eln (a)

×e ln(b )=a×b

On a donc e ln(a×b)=eln (a)+ ln(b)

⇔ ln(a×b)=ln(a)+ ln(b) .

Conséquences : Pour tous réels a>0 , b>0 et tout entier relatif n , on a :

• ln (ba )=ln (b)− ln ( a)

• ln (1a )=− ln(a)

• ln ( an)=n ln( a)

Preuve : Soient a>0 , b>0 et n un entier relatif.

• ln (b)=ln (a×ba )⇔ ln (b)=ln (a)+ ln( ba )⇔ln ( ba )= ln(b)− ln(a) .

• Si b=1 , la première relation entraîne la deuxième puisque ln (1)=0 .

• Si n=0 , ln (a0)=ln (1)=0=0×ln (a) .

Si n>0 , ln (an)=ln (∏

k=1

n

a)=∑k=1

n

ln (a)=n ln(a) .

Si n<0 , ln (an)=ln (( 1a )

−n

)=−n ln( 1a )=n ln (a) (puisque −n>0 ).


b) Application à la résolution d’équations ou inéquations et à la recherche de seuil

Exemple 1 : On résout sur ]0 ;+∞[ l’inéquation ln(3 x )+ln( x3 )+ln (e2

)⩽0 .

L’équation équivaut à ln(3 x×x3 )+2⩾0⇔ln(x2

)⩽−2 .

La fonction exp étant strictement croissante sur ℝ , on a x2⩽e−2 .

Comme x>0 , la fonction racine carrée étant strictement croissante sur [0 ;+∞[ on a

x⩽√e−2⇔x⩽

1e

. S=] 0 ;1e ] .

Exemple 2 : On cherche le plus petit entier n tel que 0,2n<10−6 .

La fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ;+∞[ , on a :ln(0,2n

)< ln(10−6)⇔n ln(0,2)<−6 ln(10 ) .

On divise par ln(0,2)<0 puisque 0,2<1 :

n>−6 ln(10 )

ln(0,2). Comme

−6 ln(10)ln(0,2)

≈8,6 , le plus petit entier n cherché est 9.


Chapitre 6 – Calculs d’aires

Dans ce chapitre, le plan est muni d’un repère orthogonal(O ; i⃗ , j⃗) .

L’aire du rectangle OIKJ est donc une unité d’aire (1 u.a.).

I – Intégrale d’une fonction continue et positive

a) Définition

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [ a ; b ] .

L’aire A de la partie du plan (en unités d’aire) constituée de l’ensemble des points M ( x ; y )

tels que a⩽x⩽b et 0⩽ y⩽ f ( x) est A=∫a

b

f (x)d x .

Remarques : On a donc ∫a

b

f (x)d x⩾0 . De plus ∫a

a

f (x)d x=0 , puisque le domaine est réduit à un

segment.

La variable x est « muette » : le nombre ∫a

b

f (x)d x est le même que ∫a

b

f (t)d t .

Chapitre 6 – Calculs d’aires : 38/70

b) Propriétés

Soient f et g deux fonctions continues et positives sur un intervalle [a ;b ] .

Relation de Chasles : Pour tout c∈[ a ;b ] , on a ∫a

b

f ( x)d x=∫a

c

f ( x)d x+∫c

b

f ( x)d x .

Interprétation géométrique : L’aire du domaine délimité entre les droites x=a et x=b est égale à la somme de l’aire du domaine entre les droites x=a et x=c et de l’aire du domaine entre les droites x=c et x=b (on a a⩽c⩽b ).

Conservation de l’ordre : Si, pour tout x∈[ a ;b ] on a f ( x)⩽g (x) alors

∫a

b

f ( x)d x⩽∫a

b

g( x)d x .

Interprétation géométrique : Si la courbe de f est au-dessous de la courbe de g , l’aire du domaine sous la courbe de f est inférieure ou égal à l’aire du domaine sous la courbe de g .

Valeur moyenne : La valeur moyenne de f sur [ a ; b ] est le réel μ=1

b−a∫a

b

f ( x)d x .

Interprétation géométrique : Comme μ×(b−a)=∫a

b

f (x)d x , la valeur moyenne de l’intégrale est

égale à la hauteur du rectangle ayant pour côté b−a (comme le domaine) et ayant même aire que le domaine.

Inégalité de la moyenne : Si, pour tout x∈[ a ;b ] il existe m et M tels que m⩽f (x)⩽M ,

alors m(b−a)⩽∫a

b

f (x)d x⩽M ( b− a) .

Interprétation géométrique : En particulier, si m est la valeur minimale de f (x) sur [a ;b ] et M la valeur maximale de f (x) sur [a ;b ] on en déduit en divisant par b−a que m⩽μ⩽M .


II – Intégrale d’une fonction continue

a) Intégrale d’une fonction continue et négative

Soit f une fonction dérivable et négative sur un intervalle [ a ; b ] .

L’aire A de la partie du planconstituée de l’ensemble des pointsM ( x ; y ) tels que a⩽x⩽b et

f ( x)⩽ y⩽0 est A=−∫a

b

f ( x)d x .

b ) Intégrale d’une fonction continue de signe non constant

Dans le cas général,pour une fonction fdérivable sur unintervalle [ a ; b ] ,

∫a

b

f ( x)d x représente

l’aire algébrique de lapartie du plan entre lesdroites x=a et x=b ,l’axe de abscisses et lacourbe de f . Lorsqueles images de f sontnégatives, l’aire estcomptée négativement,et lorsque les imagesde f sont positives,l’aire est comptéepositivement.

c) Propriétés

Toutes les propriétés vues précédemment restent vraies si la fonction continue n’est pas positive.


III – Calcul d’une intégrale

a) Théorème fondamental de l’analyse

Théorème fondamental de l’analyse : Soit f une fonction continue sur l’intervalle [ a ; b ] .

Alors la fonction F définie sur [ a ; b ] par F( x)=∫a

x

f ( t)d t est une primitive de f .

P reuve du théorème fondamental de l’analyse :

Cette preuve traite uniquement le cas d’une fonction continue, croissante et positive sur l’intervalle[a ;b ] : elle va démontrer que F a pour dérivée f . Soient x0 , t et x tels que a⩽x0⩽t⩽x⩽b .

f est croissante sur [a ;b ] donc f (x0)⩽f (t )⩽f (x) . D’après l’inégalité de la moyenne, commef (x0) et f (x) sont respectivement les valeurs minimale et maximale de f (t) sur [ x0 ; x ] :

f (x0)(x−x0)⩽∫x0

x

f (t)d t⩽f (x)(x−x0) . D’après la relation de Chasles, on a :

∫a

x

f (t)d t=∫a

x0

f (t)d t+∫x0

x

f (t)d t⇔∫x0

x

f (t)d t=∫a

x

f (t)d t−∫a

x0

f (t )d t⇔∫x0

x

f (t)d t=F (x)−F (x0) .

L’encadrement précédent devient :

f (x0)(x−x0)⩽F (x)−F (x0)⩽f (x)(x−x0)⇔ f (x0)⩽F (x )−F (x0)

x−x0

⩽f (x) .

On a donc un encadrement du taux d’accroissement de F entre x et x0 .

Comme f est continue, limx→x0

f (x )=f (x0) ; à l’aide du « théorème des gendarmes » on en déduit

que F est dérivable en x0 et de nombre dérivé f (x0) .

b) Calcul d’une intégrale d’une fonction continue

Théorème : Si F est une primitive de f sur [ a ; b ] , alors ∫a

b

f ( x)d x=F( b)−F (a) .

Preuve : À l’aide du théorème fondamental de l’analyse, on sait que F(x )=∫a

x

f (t )d t est une

primitive particulière de f . On vérifie que F(b)−F (a)=∫a

b

f (t)d t−∫a

a

f (t)d t=∫a

b

f (t )d t .

Soient F et G deux primitives de f sur I , il existe donc C∈ℝ tel que pour tout x∈I ,F( x)=G(x )+C . On remarque que pour tous a∈ I et b∈I , F(b)−F (a)=G(b)−G(a) .

La valeur de la différence F(b)−F (a) ne dépend donc pas du choix de la primitive.


Remarques et conséquences :

• Le calcul de la différence F(b)−F (a) se note aussi [F(x )]ab

.

On a donc : ∫a

b

f (x)d x= [F (x) ]ab=F(b)−F (a) .

• Linéarité : Pour toutes fonctions f et g continues sur [a ;b ] , pour tous α∈ℝ et β∈ℝ ,

∫a

b

α f (x )+βg (x)d x=α∫a

b

f (x )d x+β∫a

b

g( x)d x .

• On peut généraliser le calcul de ∫a

b

f (x)d x lorsque [a ;b ] n’est pas un intervalle, c’est-à-

dire si b>a : avec la relation de Chasles, on peut poser ∫a

b

f (x)d x=−∫b

a

f (x)d x .

Exemple : Soit I=∫−2

3

ex+5 x−4 x2 d x . La fonction f (x)=ex

+5 x−4 x2 admet pour primitive sur

[−2 ; 3 ] F( x)=ex+

5 x 2

2−

4 x3

3. On a donc I=∫

− 2

3

ex+5 x−4 x2 d x=[ex

+5 x2

2−

4 x3

3 ]−2

3

donc

I=e3+

5×32

2−

4×33

3−(e−2

+5×(−2)2

2−

4×(−2)3

3 )=e3−e−2

−2056

.


Chapitre 7 – Répartitions des richesses,inégalités

I – Outils statistiques pour la répartition des richesses etl’inégalité

a) Moyenne et écart-type

Une étude statistique quantitative est l’étude d’un paramètre que l’on peut quantifier. On résume en général cette étude par un tableau comme suit :

Valeur x1 x2 ... x p

Effectif n1 n2 ... n p

Parfois, les effectifs sont remplacés par les fréquences f 1 , f 2 , ... f p .

Définition : L’effectif total, noté N , d’une série statistique, est la somme des effectifs.On a donc N=n1+n2+…+np .

Définition : La moyenne d’une série statistique, notée x , est le quotient de la somme de toutes

les valeurs de la série par l’effectif total. On a donc x=n1 x1+n2 x2+…+np x p

N.

Propriété : On peut aussi calculer la moyenne avec les fréquences : x=f 1 x1+ f 2 x2+… f p x p .

Définition : La variance d’une série statistique, notée V , est la moyenne des carrés des écarts

à la moyenne. On a donc V=n1 ( x1−x )

2+n2 ( x2−x )

2+…+n p ( x p−x )

2

N.

Définition : L’écart-type d’une série statistique, noté σ , est la racine carrée de la variance.On a donc σ=√V .

Remarque : Le couple (x ,σ) permet de résumer une série statistique. Il a pour avantage d’utiliser toutes les valeurs de la série, ce qui le rend représentatif. Il a l’inconvénient d’être « sensible » aux valeurs extrêmes.

Chapitre 7 – Répartitions des richesses, inégalités : 43/70

Exemple : On considère la série suivante (notes sur 10 à un devoir organisé sur plusieurs lycées).

Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Effectif 2 5 23 45 72 123 251 135 145 15 5

Effectif total : N=2+5+23+…+5=821 .

Moyenne : x=2×0+5×1+23×2+…+5×10

821≈5,95 .

Variance : V≈2×(0−5,95)2+5×(1−5,95)2+23×(2−5,95)2+…+5×(10−5,95)2

821≈2,81 .

Écart-type : σ≈√ 2,81≈1,68 .

b) Médiane, quartiles, déciles

Dans cette partie, les valeurs sont classées dans l’ordre croissant, et répétées autant de fois que leur effectif. On a donc une série statistique x1⩽x2⩽…⩽xN .

Définition : La médiane d’une série statistique, notée Me , est la valeur qui sépare une série statistique classée dans l’ordre croissant en deux sous-séries de même effectif.

Remarque : Afin d’avoir l’unicité de la médiane, si l’effectif N est pair, la médiane sera la moyenne du couple de valeurs central.

Propriété : On a donc :

• Si N est impair, la médiane est la valeur de rang N1

2 Me=x N1

2 .

• Si N est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang N2

et N21

Me=

x N2

x N21

2 .

Définitions : • Le premier quartile d’une série statistique, noté Q1 , est la plus petite valeur de la série

telle qu'au moins un quart des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Q1 .• Le troisième quartile d’une série statistique, noté Q3 , est la plus petite valeur de la

série telle qu'au moins les trois quarts des valeurs de la série sont inférieures ou égales àQ3 .

• L’écart interquartile est la quantité Q3−Q1 .

Propriété : On a donc Q1=xe où e est la valeur arrondie à l’unité à l’excès de N4

et Q3=xc

où c est la valeur arrondie à l’unité à l’excès de 3N4

.


Définitions : • Pour k allant de 1 à 9, le kème

décile, noté Dk , est la plus petite valeur de la série tellequ’au moins 10×k % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à Dk .

• Le rapport interdécile est la quantité D9

D1.

Remarques : • Le couple (Me ,Q3−Q1) permet de résumer une série statistique. Il a l’avantage de ne pas

être sensible aux valeurs extrêmes. Environ 50 % des valeurs appartiennent à l’intervalle[Q3 ;Q1] .

• Le rapport D 9

D 1 met en évidence le rapport entre le haut et le bas de la distribution.

On peut illustrer ces paramètres ainsi :

Exemple : On considère la série suivante (notes sur 10 à un devoir organisé sur plusieurs lycées).

Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Effectif 2 5 23 45 72 123 251 135 145 15 5

E.C.C 2 7 30 75 147 270 521 656 801 816 821

Médiane : N est impair et les valeurs sont classées, donc Me=x 821+12

=x411=6 .

Quartiles : N4=205,25 donc Q1=x206=5 ;

3 N4=615,75 donc Q3=x616=7 . On a Q3−Q1=2 .

Déciles : N10=82,1 donc D1=x83=4 ;

9 N10=738,9 donc D9=x739=8 . On a

D9

D1

=2 .


II – Outils analytiques pour la répartition des richesses, l’inégalité

a) Intégration et valeur moyenne

On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a ;b ] .

Théorème : Si F est une primitive de f sur [ a ; b ] , alors ∫a

b

f ( x)d x=F( b)−F (a) .

Valeur moyenne : La valeur moyenne de f sur [ a ; b ] est le réel μ=1

b−a∫a

b

f ( x)d x .

Interprétation géométrique : Comme μ×(b−a)=∫a

b

f (x)d x , la valeur moyenne de l’intégrale est

égale à la hauteur du rectangle ayant pour côté b−a (comme le domaine) et ayant même aire que le domaine.

b ) Convexité

f désigne une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I .

f est convexe sur I f est concave sur I

Propriété sur la courbe C f C f est au-dessus de toutes sestangentes

C f est au-dessous de toutes sestangentes

Propriété sur la dérivée f ' f ' est croissante f ' est décroissante

Propriété sur la dérivéeseconde f ' '

f ' ' est positive f ' ' est négative

c) Courbe de Lorenz et indice de G ini

Définitions :

• Une courbe de Lorenz est une représentation graphique qui à toute proportion x d’une population classée suivant la détention d’une grandeur, associe la part y de la grandeur détenue.

• L’indice de Gini noté G est égal au double de l’aire A de la partie délimitée par la courbe de Lorenz et le segment [OK ] (avec O(0 ;0) et K (1;1) ).


Remarques : En appelant L la fonction dont la représentation graphique est la courbe de Lorenz, on a :

• 0 % de la population possède 0 % de la grandeur, et 100 % de la population possède 100 % de la grandeur, la courbe de Lorenz passe nécessairement par O et K : L(0)=0 etL(1)=1 .

• Pour tout x∈[0 ;1 ] , L(x)⩽x .

• L est croissante et convexe sur [0 ;1 ] .

• L’aire A se calculant sous la forme ∫0

1

(x−L(x))d x , on a G=2×∫0

1

( x−L( x))d x .

• Dans une population égalitaire, une proportion x de la population possède une proportionx de la grandeur, donc la courbe de Lorenz est le segment [OK ] , et dans ce cas l’indice de

Gini vaut 0, puisque G=2×∫0

1

(x−x )d x=2×[0 ]01=0 .

• Dans une population dont l’inégalité est maximale, la courbe de Lorenz est l’union des segments [OI ] et [ IK ] (avec I (1;0) ), et dans ce cas l’indice de Gini vaut 1, puisque

G=2×∫0

1

(x−0)d x=2×[ x2

2 ]01

=2×( 12−0)=1 .


Chapitre 8 – Corrélation et causalité

I – Statistiques à deux variables

a) Nuage de points

Définition : On étudie deux variables (notés X et Y ) sur un échantillon de taille n .

On a donc en tout 2 n données : n données x1 , …, xn de la variable X , associées aux n données y1 , …, yn de la variable Y . Le nuage de points sera l'ensemble des points ( x1; y1) , …, ( xn ; y n) .

Exemple : Le tableau ci-dessous présente les données de 1996 à 2006 du nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal.

Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Rang de l'année x i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Estimation du nombrede personnes vivant

avec le VIH (enmilliers) y i

9 11 13 16 20 24 29 35 41 49 57

Source : UNAIDS (Joint United Nations program on HIV/AIDS)

Le nuage de points est constitué des points de coordonnées (0 ; 9), (1 ; 11), (2 ; 13), …, (10 ; 57).

Chapitre 8 – Corrélation et causalité : 48/70


b ) Ajustement d’un nuage de points

Il s’agit de trouver une approximation « simple » entre les variables X et Y . L’allure du nuage de points permet de déterminer si une telle approximation est possible. Effectuer un ajustement de la série consiste à trouver une fonction f telle que la courbe y=f (x) passe près du nuage de points.

Pour une croissance accélérée, on pourra utiliser un ajustement de type parabolique ou exponentiel ;pour une croissance ralentie, on pourra utiliser un ajustement de type logarithmique ou racine carrée. Pour une croissance constante, on pourra utiliser un ajustement affine.

Exemple : Avec l’exemple précédent, on peut envisager un ajustement affine ou exponentiel.

Définition : Lorsqu’un ajustement est possible, on dit que les variables X et Y sont corrélées ; il y a un lien mathématique entre les deux.

Remarque : Deux variables peuvent être corrélées sans qu’il y ait de lien de cause à effet entre elles ; elles peuvent être deux conséquences d’une même cause par exemple !

c ) Paramètres statistiques

Définition : Le point moyen G d'un nuage de points est le point dont l'abscisse est la moyenne

des abscisses, et l'ordonnée la moyenne des ordonnées. Ses coordonnées (x ; y ) vérifient donc

x=1n∑i=1

n

x i=x1+ x2+…+ xn

n et y=

1n∑i=1

n

y i=y1+ y2+…+ yn

n.

Rappel : La variance de X est le réel V (X )=1n∑i=1

n

( xi−x )2⇔V (X)=( 1

n∑i=1

n

x i2) – x2 .

Définition : La covariance de X et Y est le réel Cov (X ;Y )=1n∑i=1

n

( x i−x ) ( y i− y ) .

R emarques : On a Cov(X ;Y )=Cov (Y ; X ) et Cov(X ; X)=V (X ) .

Exemple : Avec l’exemple précédent, le point moyen G a pour coordonnées (5;30411 ) ; de plus

V (X )=1

11(02+12+…+102

)−52=10 , V (Y )=

111(92+112

+…+57 2)−( 304

11 )2

=28584121

et

Cov(X ;Y )=1

11 ((0−5)(9−30411 )+…+(10−5)(57−

30411 ))=

52311


II – Ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Lorsque les points du nuage semblent à-peu-près alignés, on peut chercher la droite de régression par la méthode des moindres carrés.

Définition : On considère un nuage de n points. Pour une droite donnée, on s'intéresse aux distances verticales l1 , …, ln .

La droite de régression par la méthode des moindres carrés pour un nuage de n points est la

droite pour laquelle la quantité ∑i=1

n

li2 est la plus petite possible.

Exemple : On a tracé une droite arbitraire qui semble passer près des points.

Les longueurs l0 , l1 , …, l10 correspondent aux distances entre les points et leurs projections

verticales sur la droite. On cherche donc la droite qui minimise la quantité ∑i=0

10

li2 .


Théorème (admis) : L’équation y=a x+b de la droite de régression par la méthode des

moindres carrés minimisant ∑i=1

n

( y i−(a x i+b))2 , on peut démontrer que a=Cov(X ;Y )

V (X ) et

b= y−a x .

Remarques :

• En multipliant par n le numérateur et dénominateur, on a a=∑i=1

n

( xi−x ) ( y i− y )

∑i=1

n

( xi−x )2

.

• Comme b= y−a x , on en déduit que le point moyen G (x ; y ) appartient toujours à la droite de régression par la méthode des moindres carrés.

Exemple : Avec l’exemple précédent, a=Cov (X ;Y )

V (X )=

5231110=

523110

et b=30411−

523110

×5=8522

.

La droite de régression par la méthode des moindres carrés a pour équation y=523110

x+8522

.


Définition : Le coefficient de corrélation est le réel r=Cov(X ;Y )

√V (X )×V (Y ), ce qui équivaut à

r=∑i=1

n

( x i−x ) ( y i− y )

√∑i=1

n

( x i−x )2√∑

i= 1

n

( y i− y )2

, ce qui équivaut également à r=Cov(X ;Y )

σ (X )σ (Y ).

Remarques : On a toujours −1⩽r⩽1 ; si |r|≈1 , les points sont quasiment alignés ; si r≈0 , les points sont très dispersés autour de la droite, et l’ajustement affine n’est donc pas adapté.

Exemple : Avec l’exemple précédent, r=523

√10×28584=

523√198523820

≈0,978 . L’ajustement affine

est adapté.

III – Ajustement et changement de variable

Principe : On considère un nuage d’une série statistique à deux variables pour laquelle un ajustement affine n’est pas adapté.

Dans certains cas, un changement de variable permet d’obtenir un nouveau nuage de points pour lequel un ajustement affine est adapté. En faisant le changement de variable inverse, on peut obtenirun ajustement pour le nuage initial.

Exemple : On a étudié l’évolution presque tous les mois du nombre d’abonnés à une chaîne sur un site de vidéos, depuis son ouverture en septembre 2019.

Mois 11/2019 12/2019 01/2020 03/2020 05/2020 06/2020 07/2020 09/2020Rang du mois

xi

2 3 4 6 8 9 10 12

Nombred’abonnés y i

56 61 72 95 150 207 312 560

À l’aide du graphique suivant, on constate qu’un ajustement exponentiel semble pertinent.


On pose donc z=ln ( y ) .

On a donc comme nuage de points (en arrondissant à 10−1 près :

Rang du mois xi 2 3 4 6 8 9 10 12

zi= ln( y i) 4 4,1 4,3 4,6 5 5,3 5,7 6,3


L’ajustement affine est ici pertinent. Par la méthode des moindres carrés on obtient en arrondissantà 10−2 près : z=0,23 x+3,38 , donc z=ln ( y)⇔0,23 x+3,38=ln( y )⇔ y=e0,23 x+ 3,38

On peut estimer le nombre d’abonnés en décembre 2020 (en supposant le modèle valide) :Le rang est x=15 , on a y=e0,23×15+ 3,38

≈925 .En décembre 2020, le nombre d’abonnés sera d’environ 925.


Chapitre 9 – Expériences répétées

I – Loi uniforme discrète

Notation : Si a et b sont deux entiers relatifs tels que a⩽b , on note ⟦a ;b⟧ l’ensemble des entiers relatifs n tels que a⩽n⩽b . On a donc ⟦a ;b⟧=[ a ;b ]∩ℤ . cet ensemble contient doncb−a+1 éléments.

Définition : Une variable aléatoire X suit la loi uniforme discrète sur ⟦a ;b⟧ (avec a∈ℤ etb∈ℤ tels que a⩽b ) si et seulement si :• X (Ω)=⟦a ; b⟧ (c’est-à-dire si X prend toutes les valeurs entières de ⟦a ;b⟧ )

• Pour tout k∈⟦a ;b⟧ P(X=k)=1

b− a+1.

k a a+1 … b

P(X=k) 1b−a+1

1b−a+1

1b−a+1

1b−a+1

Exemple : Soit X la variable aléatoire égale au nombre indiqué lors du lancé d’un dé cubique classique. Si le dé est équilibré, X suit la loi uniforme discrète sur ⟦1;6 ⟧ . Pour tout k∈⟦1 ;6⟧ ,

P(X=k )=16

.

Propriétés : Si la variable aléatoire X suit la loi uniforme discrète sur ⟦a ;b⟧ , alors son

espérance est E(X )=a+b

2.

Preuve : On a E(X)=∑k=a

b1

b−a+1×k=

1b−a+1

∑k=a

b

k . La somme est égale à la somme des b−a+1

premiers termes de la suite arithmétique de raison 1 et de premier terme a , cette dernière vaut

(b−a+1)×a+b

2. On a donc E(X)=

1b−a+1

×(b−a+1)×a+b

2=

a+b2

.

Exemple : Soit X la variable aléatoire égale au nombre indiqué lors du lancé d’un dé cubique

classique équilibré. On a donc E(X)=1+6

2=

72

.

Chapitre 9 – Expériences répétées : 56/70

II – Loi de Bernoulli

Définition : Soit p∈[ 0 ;1 ] . On considère une expérience aléatoireà deux issues : – S (appelée succès) avec une probabilité p ,– S (appelée échec) avec donc une probabilité 1− p .

Cette situation constitue une épreuve de Bernoulli.Soit X la variable aléatoire prenant la valeur 1 si S est réalisé et0 sinon.La loi de probabilité de X est appelée loi de Bernoulli.

x 0 1

P ( X=x ) 1− p p

Exemple : Dans une usine, la probabilité qu'un article fabriqué présente un défaut est 0,02.Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 si l'article présente un défaut et 0 sinon.X suit une loi de Bernoulli de paramètre p=0,02 .

Propriétés : Soit X une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p∈[ 0 ;1 ] . Alors :• E (X )= p• V (X )= p(1− p)• σ (X )=√ p (1− p)

Preuves : • E (X )=(1− p)×0+ p×1= p• V (X )=E (X 2

)−E (X )2=(1−p)×02+ p×12

− p2=p− p2

= p(1−p)• σ(X )=√ V (X )=√ p (1− p)

Exemple : En reprenant l'exemple ci-dessus :• E (X )=0,02• V (X )=0,02(1−0,02)=0,02×0,98=0,0196• σ (X )=√ 0,0196=0,14


III – Loi binomiale

a) Schéma de Bernoulli

Définition : Lorsqu'on répète unemême épreuve de Bernoulli n foisde façons indépendantes, on ditque l'on est en présence d'un schéma de Bernoulli.

Cette situation peut être résumée parun arbre qui possède 2n chemins.

b) Coefficients binomiaux

Définition : Soient n et k deux entiers naturels tels que 0⩽k⩽n .

( nk ) est appelé coefficient binomial, et se lit « combinaison de k parmi n ».

( nk ) donne le nombre de chemins de l'arbre correspondant à k succès parmi les n

répétitions d'une épreuve de Bernoulli.

Remarques : Pour tout n∈ℕ ,

• ( nn)=1 , car un seul chemin représente n succès lors des n répétitions (c'est le chemin

supérieur dans l'arbre).

• ( n0)=1 , car un seul chemin représente n échecs lors des n répétitions (c'est le chemin

inférieur dans l'arbre).

• ( n1)=n , car n chemins représentent 1 succès lors des n répétitions : en effet, cet unique

succès peut se produire à la première épreuve, ou à la deuxième, …, ou à la dernière épreuve.


Propriétés : Soient n un entier non nul, et k un entier.

• Si 0⩽k⩽n , on a ( nk )=(

nn−k)

• Si 0⩽k⩽n−1 , on a ( nk )+ (

nk+ 1)=(

n+ 1k+ 1)

Preuves :

• Pour 0⩽k⩽n , ( nk ) est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions.

Or, à chaque chemin contenant k succès, on peut associer un chemin contenant k échecs – il suffit pour cela d'inverser les notations « succès » et échecs » : le chemin S1−S 2 – S 3 – S4−S 5 est donc associé à S1−S 2 – S 3 – S 4−S5 .

Il y a donc autant de chemins avec k succès qu'avec k échecs (soit n−k succès) :

( nk )=(

nn−k ) .

• Pour 0⩽k⩽n−1 , ( n+ 1k+ 1) est le nombre de chemins réalisant k+ 1 succès pour n+ 1

répétitions. On peut partager ces chemins en deux catégories :- Ceux qui commencent par un succès : il reste donc n épreuves, et parmi celles-ci il doit y

avoir encore k succès. Ce qui fait donc ( nk ) chemins possibles.

- Ceux qui commencent par un échec : il reste donc n épreuves, et parmi celles-ci il doit y

avoir encore k+ 1 succès. Ce qui fait donc ( nk+ 1) chemins possibles.

On a donc ( nk )+ (

nk+ 1)=(

n+ 1k+ 1) .

c) Le triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est un tableau qui donne les valeurs des coefficients binomiaux ( nk ) .

Comme 0⩽k⩽n , il a la forme d'un triangle. Il peut bien sûr être prolongé pour n=4 , n=5 , … etpour k=4 , k=5 , …

k=0 k=1 k=2 k=3

n=0 ( 00)n=1 ( 10) ( 11)n=2 ( 20) ( 21) ( 22)n=3 ( 30) ( 31) ( 32) ( 33)


Les remarques et propriétés précédentes permettent de calculer les coefficients :

• Pour n∈ℕ , ( n0)=1 donc dans la colonne « k=0 » toutes les valeurs valent 1.

• Pour n∈ℕ , ( nn)=1 donc dans la diagonale ( 00) , ( 11) , … toutes les valeurs valent 1.

• Pour 0⩽k⩽n−1 , ( nk )+ (

nk+ 1)=(

n+ 1k+ 1) donc la valeur de la case ( n+ 1

k+ 1) s'obtient en

ajoutant la case du dessus ( nk+ 1) avec la case à côté de cette dernière ( n

k ) .

On obtient donc :

k=0 k=1 k=2 k=3

n=0 1

n=1 1 1

n=2 1 2 1

n=3 1 3 3 1

Remarque : La calculatrice permet de calculer n'importe quel coefficient binomial.

d) Loi binomiale

Définition : On répète une même épreuve de Bernoulli de paramètre p∈[ 0;1 ] n fois de façons indépendantes (schéma de Bernoulli). Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de succès (c'est-à-dire le nombre de « 1 ») parmi les n expériences.Alors, on dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p . On note X∼B(n ; p) .

Exemple : Si on joue sept fois à un jeu dont la probabilité de gagner à chaque fois est 0,4, la variable aléatoire X représentant le nombre de fois où l'on gagne suit une loi binomialeB(7 ;0,4) .

Théorème (loi de probabilité d'une loi binomiale) : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n∈ℕ et p∈[0 ;1] ( X∼B(n ; p) ).

Alors, pour k∈⟦0; n⟧ , P ( X=k )=( nk ) pk

(1− p)n− k .

Preuve : En utilisant l'arbre, on constate que X=k est réalisé si un chemin comporte k succès et donc n−k échecs. En faisant le produit des probabilités des branches, la probabilité d'un tel

chemin est donc pk(1−p)n− k . Comme par définition il y a ( n

k ) chemins avec k succès, on a le

résultat souhaité.

Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p .• E(X )=n p• V (X )=n p (1−p)• σ (X )=√n p(1− p)


Exemple : Si X est une variable aléatoire suivant une loi binomiale B( 4 ;13 ) , alors :

P (X=3)=( 43)(13 )

3

( 1−13 )

4−3

=4( 13 )

3

( 23 )

1

=4×127×

23=

881

E (X )=4×13=

43

V (X )=4×13×

23=

89

σ (X )=√ V (X )=√ 89=

2 √ 23

IV – Loi binomiale et échantillonnage

a) Représentation graphique d'une loi binomiale

On considère dans cette partie une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(15 ;0,3) .On construit un diagramme représentant cette loi : en abscisse, ce sont les valeurs k de la variable aléatoire X (avec 0⩽k⩽15 ), et en ordonnée, les probabilités P (X=k ) .

On a E (X )=15×0,3=4,5 . On remarque que les valeurs de X les plus probables sont centrées autour de l'espérance de X : pour des valeurs éloignées de E (X ) , la probabilité que X prenne ces valeurs est très faible.En réalité, cette observation est vraie pour n'importe quelle loi binomiale.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

b) Intervalle de fluctuation et règle de décision

Dans une population, afin de pouvoir affirmer que la fréquence d’apparition d’un caractère est p , on met en place une règle de décision.

Définition : Soit X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et p .

Alors un intervalle de fluctuation au seuil 1−α (avec 0⩽α⩽1 ) de la fréquence F=Xn

est

I=[k1

n;

k2

n ] où k1 et k2 sont les plus petits entiers vérifiant :

P(X⩽k1)>α2

et P(X⩽k2)⩾1−α2

.

Remarque s : • On a donc P(X<k1)<

α2

et P(X>k2)<α2

.

• On a P(k1⩽X⩽k2)⩾1−α .

Règle de décision : Avec les notations précédentes, on formule l’hypothèse « Dans la population, la proportion du caractère étudié est p ». On prélève un échantillon de taille n . Si la population est très grande, on peut assimiler le tirage à un tirage avec remise indépendant. Soit f obs la fréquence observée du caractère.• Si f obs∈I , alors on ne rejette pas l’hypothèse.• Si f obs∉I , alors on rejette l’hypothèse (avec une probabilité α de la rejeter à tort).

Exemple : On cherche à savoir si la face 6 d’un dé est truquée.On fait l’hypothèse qu’elle n’est pas truquée ; par conséquent, on fait l’hypothèse que la fréquence

d’apparition de la face 6 est p=16

.

On lance 40 fois le dé. Soit X le nombre de fois où 6 apparaît. X suit une loi binomiale de

paramètres 40 et 16

.

On observe 7 apparitions de la face 6. On a donc f obs=740

.

On cherche l’intervalle de fluctuation à 95 %, c’est-à-dire que 1−α=0,95⇔α=0,05 .Par calculs, on détermine que les plus petits entiers k1 et k 2 tels que P(X⩽k1)>0,025 etP(X⩽k1)⩾0,975 .

On obtient k1=2 et k 2=12 . L'intervalle de fluctuation à 95 % pour la fréquence est

I=[ 240

;1240 ] . Il y a donc 95 % de chances que X soit entre 2 et 12.

Comme f obs∈ I , on ne rejette pas l’hypothèse que la face 6 est équilibrée.


Illustration graphique de l’exemple :

c) Intervalle de confiance et estimation

Dans une population, on cherche à estimer, à partir d’un échantillon, la proportion inconnue p d’un caractère donné.

Propriété (admise) : Soit X un variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et

p ( X∼B(n ; p) ) avec p inconnue et F=Xn

la fréquence associée à X .

Alors, pour n suffisamment grand, p appartient à l’intervalle [ F− 1

√n; F+

1

√n ] avec un

probabilité supérieure ou égale à 95 %.

Exemple : Dans une très grande cuve, on a des boules rouges ou bleues indiscernables au toucher.

Le nombre de boules est tel qu’un tirage sans remise peut être assimilé à un tirage avec remise.

Lors d’un tirage de n=100 000 boules, on observe 35 559 rouges.

La fréquence observée f obs des boules rouges dans l’échantillon est donc f obs=0,355 59 .

[ f obs−1√n

; f obs+1√n ]=[0,355 59−

1√100 000

;0,355 59+1

√100 000 ]=[ 0,354 59 ;0,356 59 ] est donc

l’intervalle de confiance au niveau 95 % de la proportion p de boules rouges dans la cuve.


01

23

45

67

8910

1112

1314

1516

1718

1920

2122

2324

2526

2728

2930

3132

3334

3536

3738

3940

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0,18

Chapitre 10 – Temps d’attente

I – Loi géométrique

a) Définition et expression

Modélisation : On considère une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p∈]0;1 [ .

On répète cette épreuve de façon identique et indépendante jusqu’à l’apparition du premier succès – Le nombre d’épreuves n’est donc pas fixé à l’avance.

On note X la variable aléatoire qui associe à cette répétition d’épreuve le rang du premier succès.

Définition et propriété : Soit X la variable aléatoire égale au rang du premier succès dans la répétition d’épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p∈]0 ;1[ .

Alors X suit la loi géométrique de paramètre p . On note X∼G( p) . X prend ses valeurs dans ℕ* et pour tout k∈ℕ * on a P(X=k)= p×(1−p)k−1 .

Preuve : Soit k∈ℕ* . Si X=k , cela veut dire qu’il y a eu k−1 échec(s) puis 1 succès (dans cet ordre). Par indépendance, on a P(X=k )=(1−p)×(1− p)×…×(1−p)⏟

k−1 échec(s)

×p=p×(1−p)k−1 .

Représentation graphique : Si X suit une loi géométrique de paramètre p=0,3 , on place en abscisses les valeurs k et en ordonnées les valeurs P(X=k ) .

Chapitre 10 – Temps d’attente : 64/70

b) Propriétés de la loi géométrique

Propriété (admise) : Si X suit une loi géométrique de paramètre p , alors son espérance

mathématique vaut E(X )=1p

.

Propriété caractéristique : La loi géométrique de paramètre p est une loi de probabilité sans mémoire, autrement dit pour tous entiers naturels non nuls m et n on aP(X>m)(X>m+n)=P(X>n) .

Interprétation : Si on sait qu’il y a déjà eu m échecs, la probabilité que le premier succès arrive après la m+n ème tentative est égale à la probabilité que dans le même cas le premier succès arrive après m échecs. Autrement dit, le fait qu’il y ait déjà eu des échecs ne modifie pas le temps d’attente restant pour avoir le premier succès.

Exemple : On procède à des lancers successifs d’un dé classique équilibré.

On note X la variable aléatoire égale au rang d’apparition du premier 6.

Alors X suit la loi géométrique de paramètre 16

.

P(X=5)=16×(1−1

6 )6−1

=16×( 5

6 )5

=3125

46656≈0,067 . La probabilité que le premier succès

apparaisse au cinquième essai est d’environ 0,067.

E(X)=116

=6 donc en moyenne le premier succès arrive au sixième essai.

On sait que le 6 n’est pas apparu aux 3 premiers essais. Cherchons la probabilité qu’il n’apparaisse pas aux deux suivants :

P( X>3)(X>3+2)=P (X>2)=1−P(X=1)−P(X=2)=1−16−

16×

56=

2536≈0,69 .


II – Lois continues à densité

Dans toute cette partie, a et b sont deux réels tels que a<b .

a) Densité de probabilité

Définition : On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [ a ; b ] . On dit que f est une fonction de densité (ou une densité de probabilité) sur [ a ; b ] si et seulement si

∫a

b

f ( x)d x=1 .

Exemple : Soit f la fonction définie sur [1 ; 2 ] par f (x)=2

x2 .

Sur [1 ; 2 ] , la fonction f est continue et positive. De plus,

∫1

2

f (x)d x=∫1

22x2 d x=[− 2

x ]12

=−22−( 2

1 )=1 . f est donc bien une fonction de densité sur [1 ; 2 ] .

Définition : Soit f une fonction de densité sur [ a ; b ] .

On dit que la variable aléatoire X suit la loi de probabilité de fonction de densité f si pour

tous réels c et d avec c⩽d , on a P(X∈[ c ;d ] )=P (c⩽X⩽d )=∫c

d

f ( x)d x .

Remarques :

• Pour tout c∈[ a ;b ] , on a P(X=c)=∫c

c

f ( x)d x=0 .

• Pour tous c et d de [a ;b ] avec c⩽d on aP(c⩽X⩽d )=P(c<X⩽d)=P(c⩽X<d)=P (c<X<d ) .

• X est dans ce cas une variable aléatoire continue à valeurs réelles dans [a ;b ] ; par positivité de f , on a notamment si a⩽c⩽c '⩽d '⩽d⩽b , P(c⩽X⩽d )⩾P(c '⩽X⩽d ' ) .

Exemple : Soit X la variable aléatoire à valeurs dans [1 ; 2 ] de densité f (x)=2

x2 . On a

P (X∈[ 1,2 ;1,3[ )=∫1,2

1,32

x2 d x=[−2x ]1,2

1,3

=−2

1,32−(−2

1,22 )=6253042

.


b) Fonction de répartition d’une loi à densité

Définition : La fonction de répartition de la variable aléatoire X de fonction de densité f sur[ a ; b ] est la fonction F , qui à tout réel t∈[ a ; b ] associe la probabilité d’obtenir une valeur inférieure ou égale à t :

F( t)=P(X⩽t)=∫a

t

f ( x)d x .

Remarques :

• F est ainsi la primitive de f qui s’annule en a .

• f étant positive, la fonction F est continue et strictement croissante.

• Pour tous c et d de [a ;b ] avec c⩽d , on aP(c⩽X⩽d )=P(X⩽d)−P(x<c)=F (d )−F (c) .

c) Espérance et variance d’une loi à densité

Définitions : Soit X une variable aléatoire de fonction de densité f sur [ a ; b ] .

• L’espérance de X est le réel E(X )=∫a

b

x f (x )d x .

• La variance de X est le réel V (X )=E((X−E(X))2)=∫a

b

(x−E(X ))2 f (x)d x .

• L’écart-type de X est le réel σ (X )=√V (X) .

Propriété : Comme pour les lois discrètes, on a

V (X )=E(X2)−(E(X))2=∫

a

b

x2 f ( x)d x−(E(X) )2 .

Exemple : Soit X la variable aléatoire à valeurs dans [1 ; 2 ] de densité f (x)=2

x2 .

E(X)=∫1

2

x f (x)d x=∫1

2

x×2x2 d x=∫

1

22x

d x=[ 2 ln(x) ]12=2 ln(2)−2 ln(1)=ln(22

)−2×0=ln (4 ) .

V (X )=∫1

2

x 2 f (x)d x−(E(X )2)=∫1

2

x2×

2x2 d x−(ln(4))2=∫

1

2

2 d x−(ln(4))2=[ 2 x ]12−( ln(4))2⇔

V (X )=2×2−2×1−(ln(4))2=2−( ln(4))2 .


III – Loi uniforme continue sur un intervalle

Dans toute cette partie, a et b sont deux réels tels que a<b .

a) Définition d’une loi uniforme continue sur un intervalle

Définition : On appelle loi uniforme sur [ a ; b ] la loi de probabilité dont la densité de

probabilité sur [ a ; b ] est la fonction constante f ( x)=1

b−a.

Remarques :

• b−a est la longueur de l’intervalle [a ;b ] .

• f est bien une fonction de densité, puisque sur [a ;b ] la fonction est croissante, continue et

∫a

b

f (x)d x=∫a

b1

b−ad x=[ 1

b−a×x ]

a

b

=1

b−a×(b−a)=1 .

Propriété : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [ a ; b ] , alors sa

fonction de répartition F est définie sur [ a ; b ] par F( t)=P(X⩽t)=t−ab−a

.

Preuve : Pour tout t∈[a; b] , F( t)=P(X⩽t)=∫a

t1

b−ad x=[ 1

b−a×x]

a

t

=1

b−a×(t−a)=

t−ab−a

.

b) Espérance, variance et écart-type d’une loi uniforme continue sur un intervalle

Propriétés : Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ a ; b ] . Alors on a

E(X )=a+b

2, V (X )=

( b−a)2

12 et σ (X )=

b−a2√ 3

.

Preuve de l’expression de l’espérance :

E(X)=∫a

b

x×1

b−ad x=

1b−a [

x2

2 ]ab

=1

b−a×(b2−a2

)

2=

1b−a

×(b−a)×(b+a)=a+b

2.


IV – Loi exponentielle

a) Définition de la loi exponentielle

Définition : Soit λ un réel strictement positif. La loi exponentielle de paramètre λ est la loi de probabilité sur [ 0;+∞[ dont la fonction de densité f est définie sur [ 0 ;+∞[ parf ( x)=λ e−λ x . Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ on note X∼exp( λ) .

Preuve du fait que la fonction est une densité : La fonction f est continue et positive sur [0 ;+∞[ .

Soit b⩾0 ; on a ∫0

b

λ e−λ x d x=[−e−λ x]0b=−e−λ×b

−(−e−λ×0)=1−e−λ b .

Comme λ>0 , limb→+∞

−λ b=−∞⇒ limb→+∞

e−λ b=0 donc lim

b→+∞∫

0

b

λ e−λ x d x=1 .

Propriété : Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ>0 alors sa fonction de répartitionF est définie sur [ 0;+∞[ par F( t)=P(X⩽t )=1−e⁻λ t .

Preuve : Soit t⩾0 ; on a F( t)=P(X⩽t)=∫0

t

λ e−λ x d x=[−e−λ x]0t=−e−λ×t

−(−e−λ×0)=1−e−λt .

Conséquence : On a donc, pour tous réels positifs c et d avec c⩽d ,P( c⩽X⩽d )=e−λ c

−e−λ d et P(X⩾ c )=e−λ c .

Preuves : P(c⩽X⩽d )=P(X⩽d)−P(X<c )=F(d)−F(c)=1−e−λ d−(1−e−λ c

)=e−λc−e−λ d et

P(X⩾c)=1−P(X<c)=1−F (c)=1−(1−e−λ c)=e−λ c .

b) Espérance d’une loi exponentielle

Propriété admise : L’espérance d’une variable aléatoire X de loi exponentielle de

paramètre λ>0 est E(X )=1λ

.


c) Propriété d’absence de mémoire de la loi exponentielle

Propriété : Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ>0 , alors pour tous réels positifs t et h on a P(X⩾ t) (X⩾ t+h)=P (X⩾h) .

Interprétation : La probabilité que X dépasse h ne dépend pas de la valeur t à partir de laquelle elle s’effectue. C’est l’absence de mémoire. Si X est une durée de vie, la probabilité que celle-ci dépasse h ne dépend pas de l’âge à partir de lequel on considère cet évènement.

Preuve : Pour tous t et h positifs, on a :

P( X⩾t)(X⩾t+h)=P((X⩾t )∩(X⩾t+h))

P(X⩾t) or (X⩾t)∩(X⩾t+h)=(X⩾t+h) donc

P( X⩾t)(X⩾t+h)=P(X⩾t+h)

P(X⩾t )=

e−λ(t+h)

e−λ t =e−λ t×e−λ h

e−λ t =e−λh=P(X⩾h) .


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Cours de mathématiques – Option Mathématiques