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1

La Merci

MATHEMATIQUES

Frédéric Laroche

Terminale S5 2006 - 2007

2

TABLE DES MATIERES

1 . ANNALES BAC 2005 3 1. 1. National remplacement 3 1. 2. Nouvelle Calédonie 6 1. 3. Nouvelle Calédonie remplacement 9 1. 4. Amérique du Sud remplacement 11 1. 5. Polynésie remplacement 16 1. 6. National 18 1. 7. Pondichéry 22 1. 8. La Réunion 25 1. 9. Polynésie 29 1. 10. Liban 32 1. 11. Centres étrangers 36 1. 12. Asie 39 1. 13. Antilles 42 1. 14. Amérique du Nord 44 2 . ANNALES BAC 2006 49 2. 1. Pondichéry 49 2. 2. National 52 2. 3. Polynésie 54 2. 4. Liban 57 2. 5. La Réunion 60 2. 6. Amérique du Nord 64 2. 7. Antilles 69 2. 8. Asie 72 2. 9. Centres étrangers 75 3 . CONCOURS 78 3. 1. Concours Fesic 2006 79 3. 2. Concours Fesic 2005 86 3. 3. Concours Geipi et ENI 2006 91 3. 4. Concours EPF 2005 97 4 . RESUME DE COURS 99 4. 1. Suites 100 4. 2. Analyse 100 4. 3. Exponentielle 101 4. 4. Logarithme 102 4. 5. Equations différentielles 102 4. 6. Intégration 103 4. 7. Nombres complexes 104 4. 8. Barycentre 105 4. 9. Géométrie de l’espace 106 4. 10. Probabilités 108 5 . RESTITUTION ORGANISEE DES CONNAISSANCES 115 5. 1. Analyse 115 5. 2. Géométrie 130 5. 3. Probabilités 136 5. 4. Spécialité : arithmétique 138 5. 5. Spécialité : géométrie 144 6 . CALCUL INTEGRAL EXERCICES 155 6. 1. Cours : équations différentielles 155 6. 2. Calcul 155 6. 3. Divers 156 6. 4. Intégrale et suite 157 6. 5. Intégrales 160 6. 6. Equations différentielles 162 7 . NOMBRES COMPLEXES EXERCICES 167

8 . FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES 187

9 . FONCTION LOGARITHMES EXERCICES 219

10 . SUITES EXERCICES 241

11 . GEOMETRIE EXERCICES 257

12 . PROBABILITES EXERCICES 269

3

1 . ANNALES BAC 2005

1. 1. National remplacement

Exercice 1. 1 (7 points)

Partie A

La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par 12( ) (20 10)x

f x x e−

= + .

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j

(unité graphique 1 cm).

1. Étudier la limite de la fonction f en +∞ .

2. Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.

3. Établir que l’équation f(x) = 10 admet une unique solution strictement positive α dans l’intervalle ]0 ; +∞ [. Donner une valeur décimale approchée à 10−3 près de α .

4. Tracer la courbe C.

5. Calculer l’intégrale 3

0( )f x dx∫ .

Partie B

On note y(t) la valeur, en degrés Celsius, de la température d’une réaction chimique à l’instant t, t étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l’instant t = 0, est y(0) = 10.

On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; +∞ [ associe y(t), est solution de

l’équation différentielle (E) : 121

' 202

ty y e

−+ = .

1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partie A est solution de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle [0 ; +∞ [.

2. On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de l’équation différentielle (E), définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [, qui prend la valeur 10 à l’instant 0.

a. On note g une solution quelconque de l’équation différentielle (E), définie sur [0 ; +∞ [ vérifiant g(0) = 10. Démontrer que la fonction g − f est solution, sur l’intervalle [0 ; +∞ [, de l’équation différentielle

(E’) : 1

' 02

y y+ = .

b. Résoudre l’équation différentielIe (E’).

c. Conclure.

3. Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redescend-elle à sa valeur initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute.

4. La valeur θ en degrés Celsius de la température moyenne à cette réaction chimique durant les trois premières heures est la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 3].

Calculer la valeur exacte de θ , puis donner la valeur approchée décimale de θ arrondie au degré.

Exercice 1. 2 (5 points, non spécialistes)

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.Aucune justification n’est demandée.

1. Soit z le nombre complexe de module 2 et d’argument 3π. On a alors :

4

A : 14 128 3 128z i= − − . C : 14 64 64 3z i= − + .

B : 14 64 64z i= − . D : 14 128 128 3z i= − + .

2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d’affixe 3 et le point T d’affixe 4i. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z tels que 3 3 4z i− = − .

A : (E) est la médiatrice du segment [ST].

B : (E) est la droite (ST) ;

C : (E) est le cercle de centre Ω d’affixe 3 − 4i, et de rayon 3 ;

D : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.

3. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit scalaire .ACCE

est égal à :

A : 3 . B :−3 . C : 3− . D : 32.

4. Une fonction g est définie sur l’intervalle ] −∞ ; 0] par 2 2

( )3

x xg x

x

−=−

; soit Γ sa courbe représentative

dans un repère du plan.

A : Γ admet une asymptote d’équation y =−1.

B : Γ n’admet pas d’asymptote.

C : Γ admet une asymptote d’équation y = x.

D : Γ admet une asymptote d’équation y = 1.

5. Soit la fonction f définie sur ℝ par 2

0( )

xtf x e dt−= ∫ . La fonction f’’, dérivée seconde de la fonction f sur

ℝ , est définie par :

A : 2

0''( ) 2

xtf x te dt−= −∫ . C :

2''( ) 2 xf x xe−= − .

B : 2

0( )

xxf x e dx−= ∫ . D :

2''( ) xf x e−= .

Exercice 1. 3 (5 points, spécialistes)

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidatindiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée.

1. On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation : 2 4 0 (modulo 6)x x− + ≡ .

A : toutes les solutions sont des entiers pairs.

B : il n’y a aucune solution.

C : les solutions vérifient 2(6)x ≡ .

D : les solutions vérifient 2(6)x ≡ ou 5(6)x ≡ .

2. On se propose de résoudre l’équation (E) : 24x + 34y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.

A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (34k−7 ; 5−24k), k∈ℤ . B : L’équation (E) n’a aucune solution.

C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (17k−7 ; 5−12k), k∈ℤ . D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (−7k ; 5k), k∈ℤ .

5

3. On considère les deux nombres n = 1 789 et p = 17 892 005. On a alors :

A : 4(17)n ≡ et 0(17)p ≡ . C : 4(17)p ≡ .

B : p est un nombre premier. D : 1(17)p ≡ .

4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d’affixes respectives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocèle direct d’hypoténuse [AB] si et seulement si le point M d’affixe z est tel que :

A : 1b ia

zi

−=−

. C: a − z = i(b − z).

B : 4 ( )i

z a e b a

π

− = − . D : ( )2

b z a zπ− = − .

5. On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit

f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d’angle 23π ; soit g la similitude directe de centre A, de

rapport 12 et d’angle

3π ; soit h la symétrie centrale de centre I.

A : h g f transforme A en B et c’est une rotation.

B : h g f est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].

C : h g f n’est pas une similitude.

D : h g f est la translation de vecteur AB

.


L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. On considère le plan P passant par le point B(1 ; −2 ; 1) et de vecteur normal ( )2 ;1 ; 5n −

et le plan R

d’équation cartésienne x + 2y − 7 = 0.

a. Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires.

b. Démontrer que l’intersection des plans P et R est la droite ∆ passant par le point C(−1 ; 4 ; −1) et de vecteur directeur u

(2 ; −1 ; 1).

c. Soit le point A(5 ; −2 ; −1). Calculer la distance du point A au plan P, puis la distance du point A au plan R.

d. Déterminer la distance du point A à la droite ∆ .

2. a. Soit, pour tout nombre réel t, le point Mt de coordonnées (1 + 2t ; 3 − t ; t). Déterminer en fonction de t la longueur AM. On note ( )tϕ cette longueur. On définit ainsi une fonction ϕ de ℝ dans ℝ .

b. Étudier le sens de variations de la fonction ϕ sur ℝ ; préciser son minimum.

c. Interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.


Partie A On dispose d’un dé en forme de tétraèdre régulier, possédant une face bleue, deux faces rouges et une face verte ; on suppose le dé parfaitement équilibré.

Une partie consiste à effectuer deux lancers sucessifs et indépendants de ce dé. À chaque lancer on note la couleur de la face cachée.

On considère les évènements suivants :

E est l’évènement « à l’issue d’une partie, les deux faces notées sont vertes »,

F est l’évènement « à l’issue d une partie, les deux faces notées sont de la même couleur ».

1. Calculer les probabilités des évènements E et F ainsi que la probabilité de E sachant F.

6

2. On effectue dix parties identiques et indépendantes. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux fois l’évènement F au cours de ces dix parties (on en donnera une valeur approchée décimale à 10−3 près).

Partie B On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme parfaitement équilibré. Pour cela on numérote de 1 à 4 les quatre faces de ce dé, puis on lance ce dé 160 fois en notant le nombre ni de fois où chaque face est cachée ; on obtient les résultats suivants :

face i 1 2 3 4

effectif ni 30 48 46 32

On note fi la fréquence relative à la face ni et 2obsd le réel

4 2

1

14i

i

f

=

− ∑ . On simule ensuite 1 000 fois

l’expérience consistant à tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l’ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4) puis, pour chaque

simulation, on calcule 4 2

2

1

14i

i

d F

=

= − ∑ , où Fi est la fréquence d’apparition du nombre i. Le 9ème décile de

la série statistique des 1 000 valeurs de d2 est égal à 0,0098. Au vu de l’expérience réalisée et au risque de 10 %, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré ?

1. 2. Nouvelle Calédonie


Le plan est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v

. Unité graphique : 4 cm

Partie I

1. Placer les points I, J, H, A, B, C, D d’affixes respectives : zI = 1 , zJ = i , zH = 1+i, zA = 2 , 32Bz i= + ,

zC = 2i et zD = −1

2. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F.

Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe 1

12Fz i= − + .

3. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques.

Partie II

On considère la transformation f du plan, d’écriture complexe : ' 2z iz i= − + .

1. Déterminer les images des points O, A, B par f.

2. a. Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie ?

b. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

c. La transformation f est-elle une symétrie axiale ?

3. Soit t la translation de vecteur IJ . Donner l’écriture complexe de t et celle de sa réciproque t−1.

4. On pose s = f o t−1.

a. Montrer que l’écriture complexe de s est : ' 1z iz i= − + + .

b. Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s.

c. En déduire que f est la composée d’une translation et d’une symétrie axiale à préciser.


Le plan est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v

. Unité graphique : 3 cm

À tout point M d’affixe z du plan, on associe le point M’ d’affixe z’ par l’application f qui admet pour

écriture complexe : (3 4 ) 5

'6i z z

z+ +

= .

7

1. On considère les points A, B, C d’affixes respectives zA = 1 + 2i, zB = 1 et zC = 3i.

Déterminer les affixes des points A’, B’, C’ images respectives de A, B, C par f. Placer les points A, B, C, A’, B’, C’.

2. On pose z = x + iy (avec x et y réels). Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z’ en fonction de x et y.

3. Montrer que l’ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d’équation 12

y x= . Tracer (D).

Quelle remarque peut-on faire ?

4. Soit M un point quelconque du plan et M’ son image par f. Montrer que M’ appartient à la droite (D).

5. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z : '

6 3A

z z z z z zi

z

− + −= + .

En déduire que le nombre '

A

z z

z

− est réel.

b. En déduire que, si 'M M≠ , les droites (OA) et (MM’) sont parallèles.

6. Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N’ ? (on étudiera deux cas suivant que N appartient ou non à (D)). Effectuer la construction sur la figure.

Exercice 1. 8(5 points)

On considère les suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n non nul, par :

1

1

11, 2n n

u

u u nn

−

= = + ≥

et lnn nv u n= − pour 1n ≥ .

1. a. Calculer u2, u3 et u4.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : 1

1n

n

k

uk

=

=∑ .

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel k non nul : 11 1 1

1

k

kdx

k x k

+≤ ≤

+ ∫ .

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes :

11 lnn nu n u

n− ≤ ≤ − et 0 1nv≤ ≤ .

c. En déduire le sens de variation de la suite (vn).

3. Montrer que la suite (vn) converge. On note γ la limite de la suite (vn) (on ne cherchera pas à caluler γ ).

Quelle est la limite de la suite (un) ?


Cet exercice comporte deux parties indépendantes. La partie I est la démonstration d’un résultat de cours. La partie II est un Q.C.M.

Partie I : Question de cours

Soient A et B deux évènements indépendants. Démontrer que A et B sont indépendants.

Partie II

Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point, l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note correspondant à la partie II est ramenée à zéro.

8

1. Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher. On extrait simultanément trois boules de l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires et une boule rouge ?

A 75512

B 1356

C 1564

D 1528

2. Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine le tiers d’une population. Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population soit grippée est 0,25.

Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe ?

A 1120

B 340

C 112

D 440

3. Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.

Il gagne 10 € si le dé marque 1. Il gagne 1 € si le dé marque 2 ou 4. Il ne gagne rien dans les autres cas. Soit X la variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X ?

A 2 B 13 C 16 D 17

4. La durée d’attente T , en minutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une variable

aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre 16

λ = . On a donc pour tout réel t > 0 :

0( )

txP T t e dxλλ −< = ∫ avec

16

λ =

où t désigne le temps exprimé enminutes.

Sachant qu’un automobiliste a déjà attendu 2 minutes, quelle est la probabilité (arrondie à 10−4 près) que son temps total d’attente soit inférieur à 5 minutes ?

A 0,2819 B 0,3935 C 0,5654 D 0,6065


Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui.

Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est à dire à . . . 30 km/h !

L’avant du camion est représenté par le segment [CC’] sur le schéma ci-dessous.

Le lapin part du point A en direction deD.

Cette direction est repérée par l’angle BADθ = avec 02πθ≤ ≤ (en radians).

1. Déterminer les distances AD et CD en fonction de θ et les temps t1 et t2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et CD.

2. On pose 7 4

( ) 2tan2 cos

f θ θθ

= + − .

Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f(θ ) > 0.

3. Conclure.

Rappel :

9

La fonction tanx x→ est dérivable sur 0,2π

et a pour dérivée la fonction

2

1

cosx

x→ .

1. 3. Nouvelle Calédonie remplacement


L’exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose 3 affirmations. Pour chacune d’elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante. Aucune justification n’est demandée.

Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonification de 0,25 point est ajoutée chaque fois qu’une question est traitée correctement en entier (c’est-à-dire lorsque les réponses aux 3 affirmations sont exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point.

L’abstention n’est pas prise en compte, c’est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à zéro.

Dans l’exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; , )O u v

.

ine θ Faux Vrai

( ) ( )cos sinn niθ θ+ Faux Vrai Q1 Pour tout n entier naturel non nul,

pour tout réel θ , ( )nie θ est égal à :

cos( ) sin( )n i nθ θ+ Faux Vrai

2z z+

Faux Vrai

2z z

i

− Faux Vrai Q2

La partie imaginaire du nombre z est égale à :

2z z−

Faux Vrai

2y Faux Vrai

2y− Faux Vrai Q3

Soit z un nombre complexe tel que z x iy= + (x et y réels). Si z est un

imaginaire pur, alors 2z est égal à :

2z− Faux Vrai

2BC AC= Faux Vrai

( ), 2 ,2

AB AC k kπ π= + ∈

ℤ Faux Vrai Q4

A, B et C sont des points d’affixes respectives a, b et c telles que

3b a

ic a

− =−

, alors : 2.CACB CA=

Faux Vrai


Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique.

Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d’un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à p.

Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l’amende est de cent euros. Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude.

Soit Xi la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé au i-ème trajet et la valeur 0 sinon. Soit X la variable aléatoire définie par X = X1 + X2 + X3 +···+X40.

1. Déterminer la loi de probabilité de X.

10

2. Dans cette partie on suppose que 120

p = .

a. Calculer l’espérance mathématique de X.

b. Calculer les probabilités P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2).

c. Calculer à 10−4 près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plus deux fois.

3. Soit Zi la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur.

Justifier l’égalité Z = 400 − 100X puis calculer l’espérance mathématique de Z pour 15

p = .

4. On désire maintenant déterminer p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure à 99%.

a. Démontrer que ( ) ( )38 2( 2) 1 741 38 1P X p p p≤ = − + + .

b. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : ( ) ( )38 2( ) 1 741 38 1f x x x x= − + + .

Montrer que f est strictement décroissante sur [0 ; 1] et qu’il existe un unique réel x0 appartenant à

l’intervalle [0 ; 1] tel que f (x0) = 0,01. Déterminer l’entier naturel n tel que 01

100 100n n

x+< < .

c. En déduire la valeurminimale qu’il faut attribuer à p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure ou égale à 99%. (On exprimera p en fonction de x0).


Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j

.

Soit f la fonction définie sur ]−1 ; +∞ [ par : 2( ) 2,2 2,2ln( 1)f x x x x= − + + .

1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre 2 4x− ≤ ≤ , 5 5y− ≤ ≤ .

Reproduire sur la copie l’allure de la courbe obtenue grâce à la calculatrice.

2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :

a. Sur les variations de la fonction f ?

b. Sur le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0 ?

3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f.

a. Étudier le sens de variation de la fonction f.

b. Étudier les limites de la fonction f en −1 et en +∞ , puis dresser le tableau de variations de f.

c. Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0.

d. Les résultats aux questions 3. a. et 3. c. confirment-ils les conjectures émises à la question 2.?

4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−0,1 ; 0,2], de façon à visualiser les résultats de la question 3.

a. Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y proposez-vous pourmettre en évidence les résultats de la question 3. c. dans la fenêtre de votre calculatrice ?

b. À l’aide de la calculatrice determiner une valeur approchée par défaut à 10−2 près de la plus grande solution α de l’équation f (x) = 0.

5. Soit F la fonction définie sur ]−1 ; +∞ [ par 3 21( ) 1,1 2,2 2,2( 1)ln( 1)

3F x x x x x x= − − + + + .

a. Démontrer que F est une primitive de f sur ]−1 ; +∞[.

b. Interpréter graphiquement l’intégrale 0

( )f x dxα

∫

11

c. Calculer 0

( )f x dxα

∫ et exprimer le résultat sous la forme 3 2b cα α+ (b et c réels).


Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.

PARTIE A Étant donnés deux points distincts A0 et B0 d’une droite, on définit les points : A1 milieu du segment [A0B0] et B1 barycentre de (A0, 1) ; (B0, 2).

Puis, pour tout entier naturel n, An+1 milieu du segment [AnBn] et Bn+1 barycentre de (An, 1) ; (Bn, 2).

1. Placer les points A1 , B1, A2 et B2 pour A0B0= 12 cm.

Quelle conjecture peut-on faire sur les points An et Bn quand n devient très grand ?

2. On munit la droite (A0B0) du repère ( )0 ;A i

avec 0 0112

i A B=

.

Soit un et vn les abscisses respectives des points An et Bn. Justifier que pour tout entier naturel n strictement positif, on a

1 2n n

n

u vu +

+= et 1

23

n nn

u vv +

+= .

PARTIE B

On considère les suites (un) et (vn) définies par u0 = 0 ; v0 = 12 ; 1 2n n

n

u vu +

+= et 1

23

n nn

u vv +

+= .

1. Démontrer que la suite (un) définie par wn = vn − un est une suite géométrique convergente et que tous ses termes sont positifs.

2. Montrer que la suite (un) est croissante puis que la suite (vn) est décroissante.

3. Déduire des deux questions précédentes que les suites (un) et (vn) sont convergentes et ont la même limite.

4. On considère la suite (tn) définie par tn = 2un + 3vn. Montrer qu’elle est constante.

PARTIE C À partir des résultats obtenus dans les parties A et B, préciser la position limite des points An et Bn quand n tend vers +∞ .

1. 4. Amérique du Sud remplacement


Les parties A et B sont indépendantes Alain fabrique, en amateur, des appareils électroniques. Il achète pour cela, dans un magasin, des composants en apparence tous identiques mais dont certains présentent un défaut.

On estime que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02.

Partie A On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est suffisamment important pour que l’achat de 50 composants soit assimilé à 50 tirages indépendants avec remise, et on appelle X le nombre de composants défectueux achetés.

Alain achète 50 composants.

1. Quelle est la probabilité qu’exactement deux des composants achetés soient défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10−1 près.

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des composants achetés soit défectueux ? Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10−2 près.

3. Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de composants défectueux ?

Partie B

12

On suppose que la durée de vie T1 (en heures) de chaque composant défectueux suit une loi exponentielle de paramètre 4

1 5 10λ −= × et que la durée de vie T2 (en heures) de chaque composant non défectueux suit

une loi exponentielle de paramètre 42 10λ −= (on pourra se reporter au formulaire ci-dessous).

1. Calculer la probabilité que la durée de vie d’un composant soit supérieure à 1 000 heures :

a. si ce composant est défectueux ;

b. si ce composant n’est pas défectueux.

Donner une valeur approchée de ces probabilités 10−2 près.

2. Soit T la durée de vie (en heures) d’un composant acheté au hasard.

Démontrer que la probabilité que ce composant soit encore en état de marche après t heures de fonctionnement est :

4 45 10 10( ) 0,02 0,98t tP T t e e− −− × −≥ = + .

(on rappelle que la probabilité qu’un composant vendu dans le magasin soit défectueux est égale à 0,02).

3. Sachant que le composant acheté est encore en état de fonctionner 1 000 heures après son installation, quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ?

Donner une valeur approchée de cette probabilité à 10−2 près.

Formulaire :

Loi exponentielle (ou de durée de vie sans vieillissement) de paramètre λ sur [0 ; +∞ [ :

Pour 0 a b≤ ≤ , ([ ; ])b

x

aP a b e dxλλ −= ∫ ; pour 0c ≥ , ( )

0[ ; [ 1

cxP c e dxλλ −+ ∞ = − ∫ .


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

. Unité graphique 2 cm.

Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ telle que 4

'zz

= , où z désigne le nombre complexe conjugué de z.

1. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

2. Déterminer l’ensemble des points dont l’image par l’application f est le point J d’affixe 1.

3. Soit α un nombre complexe non nul. Démontrer que le point A d’affixe α admet un antécédent unique par f , dont on précisera l’affixe.

4. a. Donner une mesure de l’angle ( ), 'OM OM

. Interpréter géométriquement ce résultat.

b. Exprimer 'z en fonction de z . Si r désigne un réel strictement positif, en déduire l’image par f du

cercle de centre O et de rayon r.

c. Choisir un point P du plan complexe non situé sur les axes de coordonnées et tel que OP = 3, et construire géométriquement son image P’ par f.

5. On considère le cercle C1, de centre J et de rayon 1. Montrer que l’image par f de tout point de C1, distinct de O, appartient à la droite D d’équation x = 2.


Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

. On prendra pour unité graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :

a = i, b = 1 + 2i, 42i

c e

π

= et d = 3 + 2i.

On considère la similitude directe s qui transforme A en B et C en D. Soit M un point d’affixe z et M’, d’affixe z’, son image par s.

1. Exprimer z’ en fonction de z. Déterminer les éléments caractéristiques de s.

13

Soit (Un) la suite numérique définie par : 0

1

02 1n n

U

U U+

= = +

pour tout n ∈ ℕ .

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+1 etUn sont premiers entre eux.

3. Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude s, les termes dela suite (Un).

4. Montrer que pour tout entier naturel n, 2 1nnU = − .

5. Montrer que, pour tous entiers naturels n et p non nuls tels que n p≥ , ( 1)n p n p n pU U U U− −= + + .

La notation pgcd(a ; b) est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels a et b. Montrer pour n p≥ l’égalité

pgcd( , ) pgcd( , )n p p n pU U U U −= .

6. Soit n et p deux entiers naturels non nuls, montrer que : pgcd( , )pgcd( , )n p n pU U U= . Déterminer le

nombre : pgcd(U2005 , U15).


Dans cet exercice, une réponse par « VRAI » ou « FAUX », sans justification, est demandée au candidat en regard d’une liste d’affirmations. Toute réponse conforme à la réalité mathématique donne 0,4 point. Toute réponse erronée enlève 0,1 point. L’absence de réponse n’est pas comptabilisée. Le total ne saurait être négatif.

On donne le cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1, et les milieux I et J des arêtes [AB] et [CG]. Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre. Le candidat est appelé à juger chacune des dix affirmations suivantes. On utilisera pour répondre la feuille annexe, qui sera rendue avec la copie.

J

I

H

G

F D

E

C

B

A

n° Affirmation Vrai

ou Faux

1 1

.2

AC AI =

2 . .AC AI AI AB=

3 . .AB IJ AB IC=

4 . cos3

AB IJ AB ACπ= × ×

On utilise à présente le repère orthonormal ( ); , ,A AB AD AE

n° Affirmation Vrai

ou Faux

5 Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :

14

12

x t

y t

z t

= + = =

, le paramètre t décrivant ℝ .

6

Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :

11

21

1 12 2

x t

y t

z t

= +

= + = +

, le paramètre t décrivant ℝ .

7 6x − 7y + 8z − 3 = 0 est une équation cartésienne de la droite (IJ).

8 L’intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droite

passant par I et par le milieu de l’arête [DC].

9 Le vecteur de coordonnées (−4 ; 1 ; 2) est un vecteur

normal au plan (FIJ).

10 Le volume du tétraèdre EFIJ est égal à 16.


Partie A

On considère les fonctions f et g définies sur ℝ par 2

( ) xf x e−= et 22( ) xg x x e−= .

On note respectivement Cf et Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthogonal ( ; , )O i j

, dont les tracés se trouvent sur la feuille annexe. La figure sera complétée et rendue avec la copie.

1. Identifier Cf et Cg sur la figure fournie (justifier la réponse apportée).

2. Étudier la parité des fonctions f et g.

3. Étudier le sens de variationde f et de g . Étudier les limites éventuelles de f et de g en +∞ .

4. Étudier la position relative de Cf et Cg.

Partie B

On considère la fonction G définie sur ℝ par 22

0( )

xtG x t e dt−= ∫ .

1. Que représente G pour la fonction g ?

2. Donner, pour x > 0, une interprétation de G(x) en termes d’aires.

3. Étudier le sens de variations de G sur ℝ .

On définit la fonction F sur ℝ par : pour tout réel x, 2

0( )

xtF x e dt−= ∫ .

4. Démontrer, que, pour tout réel x, 21

( ) ( )2

xG x F x xe− = −

; (on pourra commencer par comparer les

fonctions dérivées de G et de 21

( )2

xx F x xe− → −

.

On admet que la fonction F admet une limite finie l en +∞ , et que cette limite l est égale à l’aire, en unités d’aire, du domaine A limité par la courbe Cf et les demi-droites [ ; )O i

et [ ; )O j

.

5. a. Démontrer que la fonction G admet une limite en +∞ que l’on précisera.

b. Interpréter en termes d’aires le réel ( )1 22

01 tN t e dt−= −∫ .

15

c. En admettant que la limite de G en +∞ représente l’aire P en unités d’aire du domaine D limité par la demi-droite [ ; )O i

et la courbe Cg justifier graphiquement que :

( )1 22

01

2t l

N t e dt−= − ≥∫

(on pourra illustrer le raisonnement sur la figure fournie).

Document à rendre avec la copie - Annexe Exercice 3

Affirmation n° Vrai ou faux

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Exercice 4

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5

x

y

16

1. 5. Polynésie remplacement


On étudie le mouvement aléatoire d’une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A, B et C. À l’instant 0, la puce est en A.

Pour tout entier naturel n :

• si à l’instant n la puce est en A, alors à l’instant (n +1), elle est : soit en B avec une probabilité égale à 13 ; soit en C avec une probabilité égale à

23 ;

• si à l’instant n la puce est en B, alors à l’instant (n +1), elle est : soit en C, soit en A de façon équiprobable ;

• si à l’instant n la puce est en C, alors elle y reste.

On note An (respectivement Bn, Cn) l’évènement « à l’instant n la puce est en A » (respectivement en B, en C). On note an (respectivement bn, cn) la probabilité de l’évènement An, (respectivement Bn, Cn).

On a donc : a0 = 1, b0 = c0 = 0.

Pour traiter l’exercice, on pourra s’aider d’arbres pondérés.

1. Calculer ak , bk et ck pour k entier naturel tel que 1 3k≤ ≤ .

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 1n n na b c+ + = et 1

1

121

.3

n n

n n

a b

b a

+

+

= =

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 216n na a+ = .

c. En déduire que, pour tout entier naturel p, 2 2 1

2 2 1

1et 0

6

1 10 et .

3 6

p

p p

p

p p

a a

b b

+

+

= = = =

3. Montrer que lim 0nn

a→∞

= . On admet que lim 0nn

b→∞

= . Quelle est la limite de cn lorsque n tend vers +∞ ?


Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

(unité graphique : 1 cm).

Partie A

Dans le repère ( ; , )O u v

, on considère la courbe H d’équation 2 2 16y x− = .

1. Montrer que H est la réunion de deux courbes C et C’ où C est la courbe représentative de la fonction f

définie sur ℝ par 2( ) 16f x x= + et où C’ est l’image de C par une transformation simple que l’on précisera.

2. Étudier la fonction f (limites aux bornes de l’ensemble de définition et sens de variation).

a. Montrer que la droite d’équation y = x est une asymptote de C.

b. Tracer H dans le repère ( ; , )O u v

.

On nomme A et B les points de la courbe H d’abscisses respectives −3 et 3. On considère le domaine D du

plan constitué des points M(x ; y) vérifiant 3 3x− ≤ ≤ et 2 16 5x y+ ≤ ≤ . Hachurer le domaine D et exprimer l’aire de D à l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

Partie B

On appelle r la rotation de centre O et d’angle 4π.

17

1. a. Donner l’écriture complexe de r .

b. On désigne par x’ et y’ les coordonnées du point M’, image par r du point M(x ; y) du plan.

Vérifier que ( )

( )

1'

21

'2

x x y

y x y

= + = −

. Déterminer les coordonnées des points A’ et B’, images respectives de A et B

par la rotation r. Placer les points A’ et B’ dans le repère ( ; , )O u v

.

2. Soit H’ l’hyperbole d’équation xy = 8.

a. Tracer H’ dans le repère ( ; , )O u v

.

b. Montrer que H’ est l’image de H par la rotation r.

3. Soit D’ l’image de D par la rotation r. On admet que D’ est l’ensemble des points M(x ; y) du plan

vérifiant 2 4 2x≤ ≤ et 8

5 2y xx

≤ ≤ − .

a. Hachurer D’.

b. Calculer l’aire de D’ exprimée en cm2. En déduire une valeur approchée à 10−3 près de l’aire de D.


Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

.

1. Le point M est situé sur le cercle de centre A(−2 ; 5) et de rayon 3 . Son affixe z vérifie :

a. 22 5 3z i− + = ; b. 22 5 3z i+ − = ; c. 2 5 3z i− + = .

2. On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle que les nombres

complexes z b

c a

−−

et z c

b a

−−

sont imaginaires purs.

a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC ;

b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AD] ;

c. M est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de diamètre [AB]. On appelle G l’isobarycentre des points A, B et C et on note Gz son affixe.

a. 5

3 2, 56Gz i− − = ; b.

1(1 ) (4 3 )

3Gz i i− + = + ; c. 1

(3 2, 5 ) (4 3 )3Gz i i− + = + .


L’annexe se rapporte à cet exercice. Elle sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal ( ; , )O i j

.

Soit la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par ( ) cos(4 )xf x e x−= et Γ sa courbe représentative tracée dans le

repère ( ; , )O i j

de l’annexe. On considère également la fonction g définie sur [0 ; +∞ [ par ( ) xg x e−= et on

nomme C sa courbe représentative dans le repère ( ; , )O i j

.

1. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞ [, ( )x xe f x e− −− ≤ ≤ .

b. En déduire la limite de f en +∞ .

2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbes Γ et C.

18

3. On définit la suite ( )nu sur ℕ par 2nu f nπ =

.

a. Montrer que la suite ( )nu est une suite géométrique. En préciser la raison.

b. En déduire le sens de variation de la suite ( )nu et étudier sa convergence.

4. a. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; +∞ [, [ ]'( ) cos(4 ) 4sin(4 )xf x e x x−= − + .

b. En déduire que les courbes Γ et C ontmême tangente en chacun de leurs points communs.

5. Donner une valeur approchée à 10−1 près par excès du coefficient directeur de la droite T tangente à la

courbe Γ au point d’abscisse 2π. Compléter le graphique donné en annexe, en y traçant T et C .

Annexe : exercice 4

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

1. 6. National


Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.

PARTIE A : QUESTION DE COURS On suppose connus les résultats suivants :

(1) deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et un − vn tend vers 0 quand n tend vers +∞ ;

(2) si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n appartenant à ℕ , on a n nu v≤ ;

(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Démontrer alors la proposition suivante :

« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».

19

PARTIE B

On considère une suite (un), définie sur ℕ dont aucun terme n'est nul.

On définit alors la suite (vn) sur ℕ par 2

nn

vu

−= .

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente.

2. Si (un) est minorée par 2, alors (vn) est minorée par −1.

3. Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante.

4. Si (un) est divergente, alors (vn) converge vers zéro.


Le but de l’exercice est d’étudier quelques propriétés de la figure donnée en annexe. Cette annexe sera à rendre avec la copie.

On munit le plan d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

. Le quadrilatère MNPQ est un quadrilatère non croisé et de sens direct. Les triangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des triangles rectangles isocèles, extérieurs au quadrilatère MNPQ et de sens direct (les sommets des angles droits étant respectivement les points R, S, T et U).

Partie A On désigne par m, n, p et q, les affixes respectives des points M, N, P et Q.

1. Soit f la similitude directe de centre M qui transforme N en R.

a. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude f .

b. On désigne par r l’affixe du point R. Démontrer que 1 12 2i i

r m n+ −= + où i désigne le nombre complexe

de module 1 et d’argument 2π (on pourra éventuellement utiliser l’écriture complexe de la similitude f ).

On admettra que l’on a également les résultats 1 12 2i i

s n p+ −= + ,

1 12 2i i

t p q+ −= + et

1 12 2i i

u q m+ −= + ,

où s, t et u désignent les affixes respectives des points S, T et U.

2. Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même isobarycentre.

3. a. Démontrer l’égalité u − s = i(t − r).

b. Que peut-on en déduire pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d’une part, et pour les droites (RT) et (SU), d’autre part ?

Partie B Cette partie sera traitée sans utilisation des nombres complexes.

1. Démontrer, en utilisant les résultats établis dans la partie A, qu’il existe une unique rotation g qui transforme R en S et T en U.

2. Décrire comment construire géométriquement le point Ω , centre de la rotation g. Réaliser cette construction sur la figure de l’annexe.


20

P

N

L

K

M

AO

Dans le plan orienté, on considère les points O et A fixés et distincts, le cercle C de diamètre [OA], un point M variable appartenant au cercle C et distinct des points O et A, ainsi que les carrés de sens direct MAPN et MKLO. La figure est représentée ci-dessus.

Le but de l'exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et de montrer que le point N appartient à un cercle à déterminer.

On munit le plan complexe d'un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points O et A soient respectivement 0 et 1.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument 2π. On note k, l, m, n et p les affixes

respectives des points K, L, M, N et P.

1. Démontrer que, quel que soit le point M choisi sur le cercle C, on a 1 12 2

m− = .

2. Établir les relations suivantes : l = im et p = − im + l + i.

On admettra que l'on a également (1 )n i m i= − + et (1 )k i m= + .

3. a. Démontrer que le milieu Ω du segment [PL] est un point indépendant de la position du point M sur le cercle C.

b. Démontrer que le point Ω appartient au cercle C et préciser sa position sur ce cercle.

4. a. Calculer la distance KN et démontrer que cette distance est constante.

b. Quelle est la nature du triangle NKΩ ?

5. Démontrer que le point N appartient à un cercle fixe, indépendant du point M, dont on déterminera le centre et le rayon.


Pour les questions 1 et 2, on donnera les résultats sous forme de fraction et sous forme décimale approchée par défaut à 10−3 près.

Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.

21

1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l'espérance mathématique de X.

2. Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie.

On considère les événements suivants :

C1 : "L'enfant choisit la boîte cubique",

C2 : "L'enfant choisit la boîte cylindrique",

R : "L'enfant prend une bille rouge",

V : "L 'enfant prend une bille verte".

a. Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.

b. Calculer la probabilité de l'événement R.

c. Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique ?

3. L'enfant reproduit n fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.

a. Exprimer, en fonction de n, la probabilité pn que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses n choix.

b. Calculer la plus petite valeur de n pour laquelle 0,99np ≥ .


PARTIE A

Soit f la fonction définie sur ℝ par 4

4

3( )

2

x

x

ef x

e

=

+

.

a. Démontrer que 4

3( )

1 2x

f x

e−

=

+

.

b. Étudier les limites de la fonction f en +∞ et en −∞ .

c. Étudier les variations de la fonction f.

PARTIE B 1. On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est notée g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0 ; +∞ [ dans ℝ .

La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle

[0 ; +∞ [, de l'équation différentielle (E1) '4y

y = .

1. a. Résoudre l'équation différentielle (E1).

b. Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t = 0, la population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire g(0) = 1. c. Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?

2. En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombre des rongeurs vivants au temps t (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :

22

(E2) :

2( ) ( )'( )

4 12(0) 1

u t u tu t

u

= −

=

pour tout nombre réel t positif ou nul, où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.

a. On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) > 0. On considère, sur l'intervalle [0 ; +∞ [, la fonction

h définie par 1

hu

= . Démontrer que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction

h satisfait aux conditions (E2) : 1 1

'( ) ( )4 12

(0) 1

h t h t

h

= − + =

pour tout nombre réel t positif ou nul,

où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.

b. Donner les solutions de l'équation différentielle 1 1

'4 12

y y= − + et en déduire l'expression de la fonction h,

puis celle de la fonction u.

c. Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers +∞ ?

ANNEXE

À rendre avec la copie, figure de l’exercice 2 de spécialité

U

T

S

R

Q

P

N

M

1. 7. Pondichéry


On considère la fonction f, définie sur [1 ; [+ ∞ par ( )te

f tt

= .

1. a. Justifier la continuité de f sur [1 ; [+ ∞ .

b. Montrer que f est croissante sur [1 ; [+ ∞ .

2. Restitution organisée de connaissances On pourra raisonner en s’appuyant sur le graphique fourni.

Pour tout réel 0x de [1 ; [+ ∞ , on note 0( )A x l’aire du domaine délimité par la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l’axe des abscisses et les droites d’équations 1x = et 0x x= .

23

a. Que vaut A(1) ?

b. Soit 0x un réel quelconque de [1 ; [+ ∞ et h un réel strictement positif. Justifier l’encadrement suivant :

0 00 0

( ) ( )( ) ( )

A x h A xf x f x h

h

+ −≤ ≤ + .

c. Lorsque 0 1x ≥ , quel encadrement peut-on obtenir pour 0h < et tel que 0 1x h+ ≥ ?

d. En déduire la dérivabilité en 0x de la fonction A ainsi que le nombre dérivé en 0x de la fonction A.

e. Conclure.


Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v

. On désigne par I le point d’affixe 1Iz = , par A le point d’affixe 1 2Az i= − , par B le point d’affixe 2 2i− + et par (C) le cercle de diamètre

[AB].

On fera une figure que l’on complètera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm.

1. Déterminer le centre Ω du cercle (C) et calculer son rayon.

2. Soit D le point d’affixe 3 94 2D

iz

i

+=+

. Ecrire Dz sous forme algébrique puis démontrer que D est un point

du cercle (C).

3. Sur le cercle (C), on considère le point E, d’affixe Ez , tel qu’une mesure en radians de ( ),I EΩ Ω

est 4π.

a. Préciser le module et un argument de 12Ez + .

b. En déduire que 5 2 2 5 2

4 4Ez i−= + .

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3

x

y

e

0x 0x h+

24

4. Soit r l’application du plan P dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’

tel que 41 1'2 2

iz e z

π + = +

.

a. Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.

b. Soit K le point d’affixe 2Kz = . Déterminer par le calcul l’image de K par r. Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat.


Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v

. On considère l’application f qui au

point M d’affixe z fait correspondre le point M’ d’affixe z’ tel que 3 4 1 2

'5 5

i iz z

+ −= + .

1. On note x et x’, y et y’ les parties réelles et imaginaires de z et z’. Démontrer que

3 4 1'

54 3 2

'5

x yx

x yy

+ + = − − =

.

2. a. Déterminer l’ensemble des points invariants par f.

b. Quelle est la nature de l’application f ?

3. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que z’ soit réel.

4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont entières.

a. Donner une solution particulière ( )0 0;x y appartenant à 2ℤ de l’équation 4 3 2x y− = .

b. Déterminer l’ensemble des solutions appartenant à 2ℤ de l’équation 4 3 2x y− = .

5. On considère les points M d’affixe z x iy= + tels que 1x = et y∈ℤ . Le point ' ( )M f M= a pour affixe z’. Déterminer les entiers y tels que Re( ')z et Im( ')z soient entiers (on pourra utiliser les congruences modulo 5).


L’espace E est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k . On considère les points A, B et C de

coordonnées respectives ( )1 ; 0 ; 2 , ( )1 ;1 ; 4 et ( )1 ;1 ;1− .

1. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Soit n le vecteur de coordonnées ( )3 ; 4 ; 2− . Vérifier que le vecteur n

est orthogonal aux vecteurs AB

et AC

. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives 2 2 1 0x y z+ + + = et 2 6 0x y z− + = .

a. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants suivant une droite D dont on déterminera un système d’équations paramétriques.

b. La droite D et le plan (ABC) sont-ils parallèles ?

3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentre G des points A, B et C affectés des coefficients 1, 2 et t.

a. Justifier l’existence du point G pour tout réel positif t.

Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs 1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.

Exprimer le vecteur IG

en fonction du vecteur IC

.

b. Montrer que l’ensemble des points G lorsque t décrit l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C. Pour quelle valeur de t, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec G ?


25

Pour tout entier naturel n, on pose 10

2n n

nu = . On définit ainsi une suite ( )n nu ∈ℕ .

1. Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l’équivalence suivante :

1 0,95n nu u+ ≤ si et seulement si 101

1 1,9n

+ ≤

.

2. On considère la fonction f définie sur [1 ; [+ ∞ par 101

( ) 1f xx

= +

.

a. Etudier le sens de variation et la limite en +∞ de la fonction f.

b. Montrer qu’il existe dans l’intervalle [1 ; [+ ∞ un unique nombre réel α tel que ( ) 1,9f α = .

c. Déterminer l’entier naturel 0n tel que 0 01n nα− ≤ ≤ .

d. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a : 101

1 1,9n

+ ≤

.

3. a. Déterminer le sens de variation de la suite ( )nu à partir du rang 16.

b. Que peut-on en déduire pour la suite ?

4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, l’encadrement : 16

160 0,95nnu u−≤ ≤ . En déduire la limite de la suite ( )n nu ∈ℕ .

1. 8. La Réunion


Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.

Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner trois propositions ou plus d’une question, ou bien n’en donner aucune, ne rapporte aucun point. Si, par application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro.

1. Les suites suivantes sont convergentes :

a. 2005

0

2n

nn >

b. 2 ( 1)

1

n

n

n n

n∈

+ − + ℕ

c. 0

1sin

n

nn >

d. 1

lnn

n

n>

2. On considère trois suites (un) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :

n n nu v w≤ ≤ , lim ( ) 1nn

u→+∞

= − et lim ( ) 1nn

w→+∞

= .

Alors :

a. lim ( ) 0nn

v→+∞

= .

b. La suite (un) est minorée.

c. Pour tout n de ℕ , on a : 1 1nv− ≤ ≤ .

d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

3. Une suite (un) est définie sur ℕ par 0

1

1, 52 1n n

u

u u+

= = −

pour tout entier naturel n.

a. La suite (un) converge vers 1, abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x et y = 2x −1.

b. La suite (vn), définie sur ℕ par vn = un −1, est géométrique.

c. La suite (vn) est majorée.

d. La suite (wn), définie sur ℕ par wn = ln (un −1), est arithmétique.

26

4. Deux suites (xn) et (yn) sont définies pour n > 0 par les relations :

1 1 1...

1 2nxn n n

= + + ++

et 1 1 1

...1 2 2ny

n n n= + + +

+ +.

a. Les suites (xn) et (yn) sont toutes les deux croissantes.

b. 31920

x = et 33760

y = .

c. Les suites (xn) et (yn) ne sont pas majorées.

d. Les suites (xn) et (yn) sont adjacentes.


On considère trois urnes U1, U2 et U3.

L’urne U1 contient deux boules noires et trois boules rouges ; l’urne U2 contient une boule noire et quatre boules rouges ; l’urne U3 contient trois boules noires et quatre boules rouges.

Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1 et une boule de U2, à les mettre dans U3, puis à tirer au hasard une boule de U3. Pour i prenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par Ni, (respectivement Ri ) l’évènement

« on tire une boule noire de l’urne Ui » (respectivement « on tire une boule rouge de l’urneUi »).

1. Reproduire et compléter l’arbre de probabilités suivant

2. a. Calculer la probabilité des évènements 1 2 3N N N∩ ∩ , et 1 2 3N R N∩ ∩ .

b. En déduire la probabilité de l’évènement 1 3N N∩ .

c. Calculer de façon analogue la probabilité de l’évènement 1 3R N∩ .

3. Déduire de la question précédente la probabilité de l’évènement N3.

4. Les évènements N1 et N3 sont-ils indépendants ?

5. Sachant que la boule tirée dans U3 est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée de U1 soit rouge ?


Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant :

« Étant donnés deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD(a ; b) = 1 alors PGCD(a2 ; b2 ) = 1 ».

N3

R3

N3

R3

N3

R3

N3

R3

N2

R2

N2

R2

N1

R1

27

Une suite (Sn) est définie pour n >0 par 3

1

n

n

p

S p=

=∑ . On se propose de calculer, pour tout entier naturel

non nul n, le plus grand commun diviseur de Sn et Sn+1.

1. Démontrer que, pour tout n > 0, on a : 2( 1)

2n

n nS

+ =

.

2. Étude du cas où n est pair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k.

a. Démontrer que 2 2 22 2 1PGCD( ; ) (2 1) PGCD( ; ( 1) )k kS S k k k+ = + + .

b. Calculer PGCD (k ; k +1).

c. Calculer PGCD(S2k ; S2k+1).

3. Étude du cas où n est impair. Soit k l’entier naturel non nul tel que n = 2k +1.

a. Démontrer que les entiers 2k +1 et 2k +3 sont premiers entre eux.

b. Calculer PGCD(S2k+1 ; S2k+2).

4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur de n, que l’on déterminera, pour laquelle Sn et Sn+1 sont premiers entre eux.


On se propose de démontrer qu’il existe une seule fonction f dérivable sur ℝ vérifiant la condition :

( ) '( ) 1 pour tout nombre réel ,(C)

(0) 4f x f x x

f

− = = −

(où f’ désigne la fonction dérivée de la fonction f ) et de trouver cette fonction.

1. Onsuppose qu’il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur ℝ par g (x) = f (−x) f (x).

a. Démontrer que la fonction f ne s’annule pas sur R.

b. Calculer la fonction dérivée de la fonction g .

c. En déduire que la fonction g est constante et déterminer sa valeur.

d. On considère l’équation différentielle (E) 1

'16

y y= . Montrer que la fonction f est solution de cette

équation et qu’elle vérifie f (0)=−4.

2. Question de cours :

a. On sait que la fonction 16x

x e→ est solution de l’équation différentielle (E). Démontrer alors que l’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’ensemble des fonctions, définies sur ℝ , de la forme

16x

x Ke→ , où K est un nombre réel quelconque.

b. Démontrer qu’il existe une unique solution de l’équation différentielle (E) prenant la valeur −4 en 0.

3. Déduire des questions précédentes qu’il existe une seule fonction dérivable sur ℝ satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.


On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. Un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes.

Partie A On considère un tétraèdre ABCD et on note H le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre ABCD issues des points A et B sont concourantes, alors la droite (BH) est une hauteur du triangle BCD.

28

Partie B

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k on donne les points A(3 ; 2 ; −1), B(−6 ; 1 ; 1),

C(4 ;−3 ; 3) et D(−1 ; −5 ; −1).

1. a. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (BCD) est : −2x −3y +4z −13 = 0.

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).

c. Calculer le produit scalaire .BH CD

.

d. Le tétraèdre ABCD est-il orthocentrique ?

2. On définit les points I(1 ; 0 ; 0), J(0; 1; 0), K(0 ; 0 ; 1). Le tétraèdre OIJK est-il orthocentrique ?


L’exercice comporte une annexe à rendre avec la copie.

On considère les fonctions f et g définies, sur l’intervalle [0 ; +∞ [, par f (x) = ln(x +1) et ( ) 1xg x e= − . On

désigne par Cf et Cg les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormal ( ; , )O i j

. Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile ; cette annexe sera à joindre à la copie, avec les éventuels ajouts effectués par le candidat,

1. Vérifier que les courbes Cf et Cg ont une tangente commune au point O(0 ; 0). Préciser la position de la courbe Cf par rapport à cette tangente.

2. Démontrer que les courbes Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

3. Soit a un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre

0( ) ln( 1)

a

I a x dx= +∫ .

a. En utilisant des considérations d’aires, démontrer que ln( 1)

0( ) ln( 1) ( 1)

axI a a a e dx

+= + − −∫ .

b. En déduire la valeur de I (a).

c. Retrouver la valeur de I (a) en effectuant une intégration par parties.

Courbes de l’exercice 5

29

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

1. 9. Polynésie


Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres. Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés par a et b. 2 % des montres fabriquées présentent le défaut a et 10 % le défaut b.

Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les évènements suivants :

A : « la montre tirée présente le défaut a » ;

B : « la montre tirée présente le défaut b » ;

C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts » ;

D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ».

On suppose que les évènements A et B sont indépendants.

1. Montrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,882.

2. Calculer la probabilité de l’évènement D.

3. Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants.

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts a et b. On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ».

Calculer la probabilité de l’évènement E. On en donnera une valeur approchée à 10−3 près.


Pour chacune des cinq questions, une seule des trois propositions est exacte. 30

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k .

On considère les points A(3 ; 1 ; 3) et B(−6 ; 2 ; 1).

Le plan P admet pour équation cartésienne x +2y +2z = 5.

1. L’ensemble des points M de l’espace tels que 4 2MA MB− =

est :

a. un plan de l’espace ; b. une sphère ; c. l’ensemble vide.

2. Les coordonnées du pointH, projeté orthogonal du point A sur le plan P sont :

a. 11 1 1

; ;3 3 3

b. 8 1 7; ;

3 3 3

c. 7 1 5; ;

3 3 3 −

.

3. La sphère de centre B et de rayon 1 :

a. coupe le plan P suivant un cercle ; b. est tangente au plan P ; c. ne coupe pas le plan P.

4. On considère la droite D de l’espace passant par A et de vecteur directeur ( )1 ; 2 ; 1u −

et la droite D’

d’équations paramétriques 3 23 ,

x t

y t t

z t

= + = + ∈ =

ℝ . Les droites D et D’ sont :

a. coplanaires et parallèles ; b. coplanaires et sécantes ; c. non coplanaires.

5. L’ensemble des points M de l’espace équidistants des points A et B est :

a. la droite d’équations paramétriques

32

37 ,

22

x t

y t t

z t

= − − = − ∈

= +

ℝ ,

b. le plan d’équation cartésienne 9x − y + 2z + 11 = 0,

c. le plan d’équation cartésienne x + 7y − z − 7 = 0.


On considère la suite (un) d’entiers naturels définie par u0 = 14, un+1 = 5un − 6 pour tout entier naturel n.

1. Calculer u1, u2, u3 et u4.

Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ?

2. Montrer que, pour tout entier naturel n, 2 (modulo 4)n nu u+ ≡ . En déduire que pour tout entier naturel k,

2 2(modulo 4)ku ≡ et 2 1 0(modulo 4)ku + ≡ .

3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2un = 5n+2 +3.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, 2 28(modulo 100)nu ≡ .

4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de un suivant les valeurs de n.

5. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (un) est constant. Préciser sa valeur.


La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ par f (x) = x +ln x.

On nomme Γ sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( ; , )O i j

du plan.

31

1. a. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.

b. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞ [.

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’équation f (x) = n admet une unique solution dans ]0 ; +∞ [.

On note nα cette solution. On a donc : pour tout entier naturel n, lnn n nα α+ = .

b. Sur la page annexe, on a tracé Γ dans le repère ( ; , )O i j

.

Placer les nombres 0α , 1α , 2α , 3α , 4α et 5α sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.

c. Préciser la valeur de 1α .

d. Démontrer que la suite ( nα ) est strictement croissante.

3. a. Déterminer une équation de la tangente ∆ à la courbe Γ au point A d’abscisse 1.

b. Étudier les variations de la fonction h définie sur ]0 ; +∞ [ par h(x) = ln x − x +1.

En déduire la position de la courbe Γ par rapport à ∆ .

c. Tracer ∆ sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 1

2 nn α+ ≤ .

4. Déterminer la limite de la suite ( nα ).

Partie B

On considère une fonction g continue, strictement croissante sur ]0 ; +∞ [ et telle que 0

lim ( )x

g x→

= −∞ et

lim ( )x

g x→+∞

= +∞ .

On admet que l’on peut, comme on l’a fait dans la partie A, définir sur ℕ une suite ( )nβ de réels tels que ( )ng nβ = , et que cette suite est strictement croissante.

1. Démonstration de cours :

Prérequis : définition d’une suite tendant vers +∞ .

« Une suite tend vers +∞si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A ».

Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞ .

2. Montrer que la suite ( )nβ tend vers +∞ .


Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal ( ; , )O u v

. Unité graphique : 2 cm.

1. On rappelle que, pour tous nombres complexes a et b, 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + + . Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation z3 = 8.

2. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c définies par : a = 2, 1 3b i= − + et 1 3c i= − − .

On appelle r la rotation de centre A et d’angle 2π et r’ la rotation de centre A et d’angle

2π− .

On pose ' '( )B r B= et ' ( )C r C= et on note b’ et c’ les affixes respectives de B’ et C’.

a. Placer les points A, B et C dans le repère ( ; , )O u v

.

Dans la suite de l’exercice, on complètera cette figure.

b. Montrer que ' 2 3 3b i= + + .

c. Montrer que b’ et c’ sont des nombres conjugués.

3. On appelle M, N, P et Q les milieux respectifs des segments [CB], [BB’], [B’C’] et [C’C]. On note m, n, p et q leurs affixes.

32

a. Montrer que l’affixe n du point N est égale à ( )1 31 3

2i

+ + . En déduire que les points O, N et C sont

alignés.

b. Montrer que n + 1 = i(q + 1). Que peut-on en déduire pour le triangle MNQ ?

c. Montrer que le quadrilatère MNPQ est un carré.

Page annexe

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve

Exercice 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x

y

1. 10. Liban


Pour chacune des huit affirmations (entre guillemets) ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et lamention « vrai » ou « faux ». Une réponse correcte rapporte 0,5 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points. Un éventuel total négatif sera ramené à zéro.

33

1. « Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a ; +∞ [, alors lim ( )

xf x

→+∞= −∞ ».

2. Soient f et g deux fonctions définies sur [0 ; +∞ [, g ne s’annulant pas :

« Si lim ( )x

f x→+∞

= −∞ et si lim ( )x

g x→+∞

= +∞ alors ( )

lim 1( )x

f x

g x→+∞= − ».

3. « Si f est une fonction définie sur [0 ; +∞ [ telle que 0 ( )f x x≤ ≤ sur [0 ; +∞ [ alors lim ( ) 0x

f x→+∞

= ».

4. On considère un repère ( ; , )O i j

du plan.

« Si f est une fonction définie sur ℝ * alors la droite d’équation x = 0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère ( ; , )O i j

».

5. « La fonction f définie sur R par 2( ) ( 3 1) xf x x x e= + + est une solution sur ℝ de l’équation différentielle

' (2 3) xy y x e− = + ».

6. Soient A, B, C trois points du plan. On appelle I le barycentre des points A et B affectés respectivement des coefficients 3 et −2.

« Si G est le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 3,−2 et 1 alors G est le milieu du segment [CI] ».

7. Soient A, B, C trois points du plan et G le barycentre de A, B et C affectés respectivement des coefficients 3, −2 et 1.

« L’ensemble des points M du plan tels que 3 2 1MA MB MC− + =

est le cercle de centre G et de

rayon 1 ».

8. Soient A et B deux points distincts du plan. On désigne par M un point quelconque du plan.

« Le produit scalaire .MAMB

est nul si et seulement si M = A ou M = B ».


Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.

Si le test est positif (c’est-à-dire si l’écran fonctionne correctement), l’écran est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé puis testé une seconde fois. Si ce deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit.

Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70 % des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que parmi les écrans réparés, seulement 65 % d’entre eux passent le second test avec succès.

On note T1 l’évènement : « le premier test est positif ».

On note C l’évènement : « l’écran est acheminé chez le client ».

1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des évènements T1 et C.

2. La fabrication d’un écran revient à 1000 € au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte 50 € de plus si l’écran doit être testé une seconde fois.

Un écran est facturé a euros (a étant un réel positif) au client.

On introduit la variable aléatoire X qui, à chaque écran fabriqué, associe le «gain » (éventuellement négatif ) réalisé par le fabricant.

a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.

b. Exprimer l’espérance de X en fonction de a.

c. À partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut-elle espérer réaliser des bénéfices ?

34


Partie A

On considère la suite (un) définie par : pour tout entier naturel n non nul, 1

0(1 )n t

nu t e dt= −∫ .

1. Montrer que la fonction : (2 ) tf t t e→ − est une primitive de : (1 ) tg t t e→ − sur [0 ; 1]. En déduire la valeur de u1.

2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n non nul, 1 ( 1) 1n nu n u+ = + − (R).

Partie B On regarde d’abord ce qu’affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes de la suite (un) en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus.

Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices :

Valeur de n

Valeur de un affichée par la première calculatrice

Valeur de un affichée par la deuxième calculatrice

1 7,1828182845E-01 7,1828182846E-01

2 4,3656365691E-01 4,3656365692E-01

3 3,0969097075E-01 3,0969097076E-01

4 2,3876388301E-01 2,3876388304E-01

5 1,9381941508E-01 1,9381941520E-01

6 1,6291649051E-01 1,6291649120E-01

7 1,40415433581E-01 1,4041543840E-01

8 1,2332346869E-01 1,2332350720E-01

9 1,0991121828E-01 1,0991156480E-01

10 9,9112182825E-02 9,9115648000E-01

11 9,0234011080E-02 9,0272128000E-02

12 8,2808132963E-02 8,3265536000E-02

13 7,6505728522E-02 8,2451968000E-02

14 7,1080199309E-02 1,5432755200E-01

15 6,6202989636E-02 1,31491328006E+00

16 5,9247834186E-02 2,0038612480E+01

17 7,2131811612E-02 3,3965641216E+02

18 −8,7016273909E-02 6,1128154189E+03

19 −1,7533092042E-02 1,1614249296E+05

20 −3,5166184085E-02 2,3228488592E+06

21 −7,3858986580E-02 4,8779825043E+07

22 −1,6249077047E-02 1,0731561499E+09

23 −3,7372887209E-02 2,4682591448E+10

24 −8,9694930302E-02 5,923821947E+11

25 −2,242372585E-02 1,4809554869E+13

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) quand on examine les résultats obtenus avec la première calculatrice ? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice ?

Partie C Dans cette partie on se propose d’étudier la suite (un) à partir de la définition : pour tout entier naturel n

non nul, 1

0(1 )n t

nu t e dt= −∫ .

1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0nu ≥ .

35

2. a. Montrer que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul n,

( ) ( )1 1n ntt e t e− ≤ − .

b. En déduire que pour tout n non nul, 1n

eu

n≤

+.

3. Déterminer la limite de la suite (un).

Partie D

Dans cette partie, on se propose d’exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (un) :

1 ( 1) 1n nu n u+ = + − .

Étant donné un réel a, on considère la suite (vn) définie par : v1 = a et pour tout entier naturel non nul n,

1 ( 1) 1n nv n v+ = + − .

1. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n, ( !)( 2 )n nv u n a e= + + − où n! désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls.

2. Étudier le comportement de la suite (vn) à l’infini suivant les valeurs de a. (On rappelle que lim !n

n→+∞

= +∞ .)

3. En déduire une raison susceptible d’expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices.


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v

. Unité graphique : 0,5 cm. On note j le

nombre complexe 23

ie

π

. On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 8, b = 6j et c = 8j2.

Soit A’ l’image de B par la rotation de centre C et d’angle 3π.

Soit B’ l’image de C par la rotation de centre A et d’angle 3π.

Soit C’ l’image de A par la rotation de centre B et d’angle 3π.

1. Placer les points A, B, C, A’, B’ et C’ dans le repère donné.

2. On appelle a’, b’ et c’ les affixes respectives des points A’, B’ et C’.

a. Calculer a’. On vérifiera que a’ est un nombre réel.

b. Montrer que 3' 16i

b e

π−= . En déduire que O est un point de la droite (BB’).

c. On admet que ' 7 7 3c i= + . Montrer que les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en O.

3. On se propose désormais de montrer que la distance MA+MB+MC estminimale lorsque M = O.

a. Calculer la distance OA + OB + OC.

b. Montrer que 3 1j = et que 21 0j j+ + = .

c. On considère un point M quelconque d’affixe z du plan complexe. On rappelle que a = 8, b = 6j et c = 8j2.

Déduire des questions précédentes les égalités suivantes :

( ) ( ) ( )2 2 22a z b z j c z j a bj cj− + − + − = + + = .

d. On admet que, quels que soient les nombres complexes z, ' '' ' ''z z z z z z+ + ≤ + + . Montrer que

MA+MB+MC est minimale lorsque M = O.


1. On considère l’équation (E) : 109x − 226y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.

a. Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équation (E) ?

36

b. Montrer que l’ensemble de solutions de (E) est l’ensemble des couples de la forme (141+226k, 68+109k), où k appartient à ℤ .

En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul d inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul e tels que 109d = 1+226e. (On précisera les valeurs des entiers d et e.)

2. Démontrer que 227 est un nombre premier.

3. On note A l’ensemble des 227 entiers naturels a tels que 226a ≤ .

On considère les deux fonctions f et g de A dans A définies de la manière suivante :

à tout entier de A, f associe le reste de la division euclidienne de 109a par 227 ;

à tout entier de A, g associe le reste de la division euclidienne de 141a par 227.

a. Vérifier que g[f(0)] = 0.

On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :

Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p alors 1 1pa − ≡ modulo p.

b. Montrer que, quel que soit l’entier non nul a de A, [ ]226 1 modulo 227a ≡ .

c. En utilisant 1. b., en déduire que, quel que soit l’entier non nul a de A, g[f(a)]= a. Que peut-on dire de f[(g (a)]= a ?

1. 11. Centres étrangers


Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits.

On admet que lors du premier appel téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas est 0,4 et que s’il décroche, la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire est 0,3.

On pourra construire un arbre pondéré.

1. On note :

• D1 l’évènement : « la personne décroche au premier appel » ;

• R1 l’évènement « la personne répond au questionnaire lors du premier appel ».

Calculer la probabilité de l’évènement R1.

2. Lorsqu’une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois. La probabilité pour que le correspondant ne décroche pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité pour qu’il réponde au questionnaire sachant qu’il décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas lors du second appel, on ne tente plus de la contacter.

On note :

• D2 l’évènement : « la personne décroche au second appel ».

• R2 l’évènement : « la personne répond au questionnaire lors du second appel ».

• R l’évènement : « la personne répond au questionnaire ».

Montrer que la probabilité de l’évènement R est 0,236.

3. Sachant qu’une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité pour que la réponse ait été donnée lors du premier appel (on donnera la réponse arrondie au millième).

4. Un enquêteur a une liste de 25 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes d’une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que 20 % des personnes répondent au questionnaire (on donnera la réponse arrondie au millième) ?



, unité graphique 8 cm.

On appelle A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe 1. On appelle E l’ensemble des points du plan distincts de A, O et B.

37

À tout point M d’affixe z appartenant à l’ensemble E , on associe le point N d’affixe 2z et le point P d’affixe 3z .

1. Prouver que les points M, N et P sont deux à deux distincts.

2. On se propose dans cette question de déterminer l’ensemble C des points M appartenant à E tels que le triangle MNP soit rectangle en P.

a. Enutilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si et seulement si 2 21 1z z+ + = .

b. Démontrer que 2 21 1z z+ + = équivaut à 1 1 12 2 4

z z + + =

.

c. En déduire l’ensemble C cherché.

3. Soit M un point de E et z son affixe, on désigne par r le module de z et α l’argument de z, ] ];α π π∈ − + .

a. Démontrer que l’ensemble F des points M de E tels que l’affixe de P soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi-droites (éventuellement privées de points).

b. Représenter les ensembles C et F dans le repère ( ; , )O u v

.

c. Déterminer les affixes des points M de E tels que le triangle MNP soit rectangle en P, l’affixe de P étant un réel strictement positif.


Partie A

Soit N un entier naturel, impair non premier. On suppose que 2 2N a b= − où a et b sont deux entiers naturels.

1. Montrer que a et b n’ont pas la même parité.

2. Montrer que N peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels p et q.

3. Quelle est la parité de p et de q ?

Partie B On admet que 250 507 n’est pas premier. On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a ; b) vérifiant la relation (E) : 2 2250 507a b− = .

1. Soit X un entier naturel.

a. Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux de 2X modulo 9.

b. Sachant que 2 2250 507a b− = , déterminer les restes possibles modulo 9 de 2 250 507a − ; en déduire les

restes possibles modulo 9 de 2a .

c. Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.

2. Justifier que si le couple (a ; b) vérifie la relation (E), alors 501a ≥ . Montrer qu’il n’existe pas de solution du type (501 ; b).

3. On suppose que le couple (a ; b) vérifie la relation (E).

a. Démontrer que a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.

b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505+9k ; b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.

Partie C

1. Déduire des parties précédentes une écriture de 250 507 en un produit deux facteurs.

2. Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ?

3. Cette écriture est-elle unique ?

38


Soit ABCD un tétraèdre tel que ABC, ABD et ACD soient trois triangles isocèles rectangles en A avec AB = AC = AD = a. On appelle A1 le centre de gravité du triangle BCD.

1. Montrer que la droite (AA1) est orthogonale au plan (BCD) (on pourra par exemple calculer 1.AA CD

et

1.AA BC

).

2. En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre ABCD, calculer la longueur du segment [AA1].

3. On appelle G l’isobarycentre du tétraèdre ABCD et I le milieu de [BC].

a. Montrer que G appartient au segment [AA1] et déterminer la longueur AG.

b. Déterminer l’ensemble des points M de l’espace tels que 2MA MB MC MD MB MC+ + + = +

.

4. Soit H le symétrique de A par rapport à G.

a. Démontrer que 4GA AC AD BA+ + =

.

b. Démontrer l’égalité 2 2 .HC HD DC BA− =

.

c. En déduire que HC = HD.

On rappelle que le volume d’une pyramide de hauteur h et d’aire de base associée b est13

V hb= .


I. Première partie

On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par

( ) ln(1 )f x x x= + − et 2

( ) ln(1 )2x

g x x x= + − + .

1. Étudier les variations de f et de g sur [0 ; +∞ [.

2. En déduire que pour tout 0x ≥ , 2

ln(1 )2x

x x x− ≤ + ≤ .

II. Deuxième partie

On se propose d’étudier la suite (un) de nombres réels définie par : 132

u = et 1 1

11

2n n nu u+ +

= +

.

1. Montrer par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel 1n ≥ .

2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel 1n ≥ :

2

1 1 1ln ln 1 ln 1 ... ln 1

2 2 2n nu

= + + + + + +

.

3. On pose 2

1 1 1...

2 2 2n nS = + + + et

2

1 1 1...

4 4 4n nT = + + +

À l’aide de la première partie, montrer que : 1

ln2n n n nS T u S− ≤ ≤ .

4. Caiculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire lim nn

S→+∞

et lim nn

T→+∞

.

5. Étude de la convergence de la suite (un).

a. Montrer que la suite (un) est strictement croissante.

b. En déduire que (un) est convergente. Soit l sa limite.

c. On admet le résultat suivant : si deux suites (vn) et (wn) sont convergentes et telles que n nv w≤ pour tout n entier naturel, alors lim limn n

n nv w

→+∞ →+∞≤ .

39

Montrer alors que 5

ln 16

l≤ ≤ et en déduire, un encadrement de l.

1. 12. Asie


Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k on appelle D la droite d’équations

paramétriques 1 223

x t

y t

z t

= + = − = − −

et P le plan d’équation cartésienne x +2y −3z −1 = 0.

Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule affirmation est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l’affirmation choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Numéro de la ligne

Affirmation A Affirmation B Affirmation C

1 Le point M de coordonnées (−1 ; 3 ; 2) appartient à D

Le point N de coordonnées (2 ; −1 ; −1) appartient à D

Le point R de coordonnées (3 ; 1 ; −4) appartient à D

2 Le vecteur u de coordonnées

(1 ; 2 ; −3) est un vecteur directeur de D

Le vecteur v de coordonnées

(−2 ; 1 ; 1) est un vecteur directeur de D

Le vecteur w de coordonnées

(3 ; 1 ; −4) est un vecteur directeur de D

3 D est incluse dans P D est strictement parallèle à P D est sécante à P

4 Le point G de coordonnées (1 ; 3 ; −2) appartient à P

Le point H de coordonnées (1 ; 3 ; 2) appartient à P

Le point K de coordonnées (1 ; 3 ; −1) appartient à P

5 Le plan Q1 d’équation cartésienne

x +2y −3z +1 = 0

est perpendiculaire à P

Le plan Q2 d’équation cartésienne

4x −5y −2z +3 = 0


Le plan Q3 d’équation cartésienne

−3x +2y −z −1 = 0


6 La distance du point T de coordonnées (−1 ; −3 ; 2) au

plan P est 14

La distance du point T de coordonnées (−1 ; −3 ; 2) au

plan P est 14

La distance du point T de coordonnées (−1 ; −3 ; 2) au

plan P est 2 3


Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en euros est demandée.

Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant 2 boules vertes et 3 boules jaunes.

Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu.

Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m.

Si le joueur obtient 2 boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit :

• sur 18 de la roue le gain est de 100 €,

• sur 14 de la roue le gain est de 20 €,

• sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m.

On appelle V l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules vertes ».

On appelle J l’évènement « le joueur a obtenu 2 boules jaunes ».

On appelle R l’évènement « le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien ».

40

1. Quelques calculs.

a. Calculer les probabilités P(V) et P(J) des évènements respectifs V et J.

b. On note PV(R) la probabilité pour le joueur d’être remboursé sachant qu’il a obtenu deux boules vertes. Déterminer PV(R) puis (R V)P ∩ .

c. Calculer P(R).

d. Calculer la probabilité de gagner les 100 €, puis la probabilité de gagner les 20 € de la roue.

On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c’est-à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m.

a. Donner les valeurs prises par la variable aléatoire X.

b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que P(X =−m) est 0,6.

c. Démontrer que l’espérance mathématique de la variable aléatoire X est 140 51

( )80

mE X

−= .

d. L’organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro. Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que l’organisateur puisse espérer ne pas perdre d’argent ?

3. Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus. Calculer la probabilité qu’il perde au moins une fois sa mise.

4. On voudrait qu’un joueur ait plus d’une chance sur deux d’être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois. On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l’urne mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose 1n ≥ .

Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée.




On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante : 3 2( 8 ) (17 8 ) 17 0z i z i z i+ − + + − + = .

I. Résolution de l’équation (E).

1. Montrer que −i est solution de (E).

2. Déterminer les nombres réels a, b, c tels que : 3 2 2( 8 ) (17 8 ) 17 ( )( )z i z i z i z i az bz c+ − + + − + = + + + .

3. Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.

II. On appelle A, B et C les points d’affixes respectives 4+i, 4−i,−i.

1. Placer les points sur une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice.

2. Le point Ω est le point d’affixe 2. On appelle S l’image de A par la rotation de centre Ω et d’angle de

mesure 2π. Calculer l’affixe de S.

3. Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle (C) dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer (C) .

4. À tout point M d’affixe 2z ≠ , on associe le point M’ d’affixe 10 2

'2

iz iz

z

+ −=−

.

a. Déterminer les affixes des points A’, B’, C’ associés respectivement aux points A, B et C.

b. Vérifier que A’, B’, C’ appartiennent à un cercle (C’) de centre P, d’affixe i.

Déterminer son rayon et tracer (C’).

c. Pour tout nombre complexe 2z ≠ , exprimer 'z i− en fonction de z.

d. Soit M un point d’affixe z appartenant au cercle (C) . Démontrer que ' 2 5z i− = .

e. En déduire à quel ensemble appartiennent les points M’ associés aux points M du cercle (C).

41


Le but de cet exercice est d’étudier les similitudes directes qui transforment l’ensemble S1 des sommets d’un carré C1 donné en l’ensemble S2 des sommets d’un carré C2 donné.

Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct R= ( ; , )O u v


On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H d’affixes respectives 12i− ,

11

2i− ,

11

2i+ ,

12i , 1 i− , 3 i− ,

3 i+ , 1 i+ .

C1 est le carré de sommets A, B, C, D et de centre O1, C2 est le carré de sommet E, F, G, H de centre O2. S1 est donc l’ensemble A, B, C, D et S2 l’ensemble E, F, G, H.

1. Placer tous les points dans le repère R, construire les carrés C1 et C2.

2. Soit h l’homothétie de centre Ω d’affixe −1 et de rapport 2. Donner l’écriture complexe de h et prouver que h transforme S1 en S2.

3. Soit s une similitude directe qui transforme S1 en S2 et soit g la transformation 1g h s−= .

a. Quel est le rapport de la similitude s ?

b. Prouver que g est une isométrie qui laisse S1 globalement invariant.

c. Démontrer que g(O1) =O1.

d. En déduire que g est l’une des transformations suivantes : l’identité, la rotation r1 de centre O1 et d’angle

2π, la rotation r2 de centre O1 et d’angle π , la rotation r3 de centre O1 et d’angle 2

π− .

e. En déduire les quatre similitudes directes qui transforment S1 en S2.

4. Étude des centres de ces similitudes.

a. Déterminer les écritures complexes de 1h r , 2h r , 3h r .

b. En déduire les centres 1Ω , 2Ω , 3Ω de ces similitudes et les placer sur le dessin.


On s’intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers 2e .

On définit, pour tout entier naturel 1n ≥ , l’intégrale ( )2

0

12

!n x

nI x e dxn

= −∫ .

1. Calculer I1.

2. Établir que pour tout entier naturel 1n ≥ , 220 ( 1)

!

n

nI en

≤ ≤ − .

3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel 1n ≥ , 1

12( 1)!

n

n nI In

+

+ = −+

.

4. Démontrer par récurrence que 2

2 2 2 21 ...

1! 2! !

n

ne In

= + + + + + .

5. On pose, pour tout entier naturel 1n ≥ , 2!

n

nun

= .

a. Calculer 1n

n

u

u+ et prouver que pour tout entier naturel 3n ≥ , 1

12n nu u+ ≤ .

b. En déduire que pour tout entier naturel 3n ≥ , 3

31

02

n

nu u−

≤ ≤

.

6. En déduire la limite de la suite (un) puis celle de la suite (In).

7. Justifier enfin que : 2 3

2 2 2 2 2lim 1 ...

1! 2! 3! !

n

ne

n→+∞

= + + + + +

.

42

1. 13. Antilles


( ; , )O u v

est un repère orthonormal du plan P. Soit A le point d’affixe 1; soit B le point d’affixe −1.

Soit F l’application de P privé de O dans P qui à tout point M d’affixe z distinct de O associe le point

M’ = F(M) d’affixe 1

'zz

−= .

1. a. Soit E le point d’affixe 3ie

π

; on appelle E’ son image par F. Déterminer l’affixe de E’ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

b. On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de C1 par l’application F.

2. a. Soit K le point d’affixe 562

ie

π

et K’ l’image de K par F. Calculer l’affixe de K’.

b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de C2 par l’application F.

3. On désigne par R un point d’affixe 1 ie θ+ où ] [;θ π π∈ − + . R appartient au cercle C3 de centre A et de

rayon 1.

a. Montrer que 1

' 1z

zz

−+ = . En déduire que : ' 1 'z z+ = .

b. Si on considèremaintenant les points d’affixe 1 ie θ+ , ] [;θ π π∈ − + , montrer que leurs images sont

situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du 3. a.


1. a. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9 de 7n.

b. Démontrer alors que 2005(2005) 7(9)≡ .

2. a. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : ( (10) 1(9)n ≡ .

b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres. Démontrer la relation suivante : (9)N S≡ .

c. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.

3. On suppose que 2005(2005)A = ; on désigne par :

– B la somme des chiffres de A ;

– C la somme des chiffres de B ;

– D la somme des chiffres de C.

a. Démontrer la relation suivante : (9)A D≡ .

b. Sachant que 2005 < 10000, démontrer que A s’écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres. En déduire que 72180B ≤ .

c. Démontrer que 45C ≤ .

d. En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.

e. Démontrer que D = 7.


1. Démontrer que pour tout n de ℕ * et tout x de [0 ; 1] : 2

1 1 1x

n x n nn− ≤ ≤

+.

2. a. Calculer 1

0

1dx

x n+∫ .

43

b. Déduire en utilisant 1., que : pour *n∈ℕ , 2

1 1 1ln

2

n

n nn

+ − ≤

puis que 1 1

lnn

n n

+ ≤

.

3. On appelle U la suite définie pour *n∈ℕ par : 1

1 1 1 1( ) ln( ) 1 ... ln( )

2 3

k n

k

U n n nk n

=

=

= − = + + + + −∑ .

Démontrer que U est décroissante (on pourra utiliser 2. b.)

4. On désigne par V la suite de terme général : 1

1 1 1 1( ) ln( 1) 1 ... ln( 1)

2 3

k n

k

V n n nk n

=

=

= − + = + + + + − +∑ .

Démontrer que V est croissante.

5. Démontrer queU et V convergent vers une limite commune notée γ . Déterminer une valeur approchée de γ à 10−2 près par la méthode de votre choix.


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie.

Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.

40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains de biographies sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.

1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :

a. 0,4 b. 0,75 c. 1150

.

2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :

a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4

3. La probabilité que Ie lecteur choisisse un roman policier français est :

a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3

4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :

a. 0,9 b. 0,7 c. 0,475

5. La probabilité que le lecteur ait choisi un romanpolicier sachant que l’écrivain est français est :

a. 4150

b. 1219

c. 0,3

6. Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque. La probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est :

a. 1−(0,25)20 b. 20×0,75 c. 0,75×(0,25)20


A. Soit [KL] un segment de l’espace ; on note I son milieu. On appelle plan médiateur de [KL] le plan perpendiculaire en I à la droite (KL).

Démontrer que le plan médiateur de [KL] est l’ensemble des points de l’espace équidistants de K et L.

B. Ici l’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k ; on considère les points

A(4 ; 0 ; −3), B(2 ; 2 ; 2), C(3 ; −3 ; −1), D(0 ; 0 ; −3).

1. Démontrer que le plan médiateur de [AB] a pour équation

4x −4y −10z −13 = 0.

On admet pour la suite que les plans médiateurs de [BC] et [CD] ont respectivement pour équations

2x −10y −6z −7 = 0 et 3x −3y +2z −5 = 0.

44

2. Démontrer, en résolvant un système d’équations linéaires, que ces trois plans ont un unique point commun E dont on donnera les coordonnées.

3. En utilisant la partie A montrer que les points A, B, C et D sont sur une sphère de centre E. Quel est le rayon de cette sphère ?

1. 14. Amérique du Nord


Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

1. Dans le plan complexe, on donne les points A, B et C d’affixes respectives −2+3i, −3−i et 2,08+1,98i. Le triangle ABC est :

(a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle

(c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle

2. À tout nombre complexe 2z ≠ − , on associe le nombre complexe z’ défini par : 4

'2

z iz

z

−=+

.

L’ensemble des points M d’affixe z tels que ' 1z = est :

(a): un cercle de rayon 1 (b) : une droite

(c) : une droite privée d’un point (d): un cercle privé d’un point

3. Les notations sont les mêmes qu’à la question 2. L’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ est un réel est :

(a): un cercle (b) : une droite

(c) : une droite privée d’un point (d): un cercle privé d’un point

4. Dans le plan complexe, on donne le point D d’affixe i. L’écriture complexe de la rotation de centre D et

d’angle 3π− est :

(a) : 1 3 3 1

'2 2 2 2

z i z i

= − − +

(b) : 1 3 3 1

'2 2 2 2

z i z i

= − + − +

(c) : 1 3 3 1

'2 2 2 2

z i z i

= − − −

(d) : 1 3 3 1

'2 2 2 2

z i z i

= − + +

.


Le graphique de l’annexe sera complété et remis avec la copie.

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par 2 1

( )1

xf x

x

+=+

.

1. Étudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2]. Montrer que si [ ]1 ; 2x∈ alors [ ]( ) 1 ; 2f x ∈ .

2. (un) et (vn) sont deux suites définies sur ℕ par :

u0 = 1 et pour tout entier naturel n, 1 ( )n nu f u+ = ,

v0 = 2 et pour tout entier naturel n, 1 ( )n nv f v+ = .

a. Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2]. Construire sur l’axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (un) et (vn) en laissant apparents tous les traits de construction.

À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (un) et (vn) ?

45

b. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que :

Pour tout entier naturel n, 1 2nv≤ ≤ .

Pour tout entier naturel n, 1n nv v+ ≤ .

On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que :

Pour tout entier naturel n, 1 2nu≤ ≤ .

Pour tout entier naturel n, 1n nu u +≤ .

c. Montrer que pour tout entier naturel n, ( ) ( )1 1 1 1

n nn n

n n

v uv u

v u+ +

−− =

+ +.

En déduire que pour tout entier naturel n, 0n nv u− ≥ et ( )1 114n n n nv u v u+ +− ≤ − .

d. Montrer que pour tout entier naturel n, 14

n

n nv u − ≤

.

e. Montrer que les suites (un) et (vn) convergent vers un même réel α . Déterminer la valeur exacte de α .


Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par ( )( ) ( 1) 2 xf x x e−= − − .

Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2 cm).

1. a. Étudier la limite de f en +∞ .

b. Montrer que la droite ∆ d’équation y = 2x −2 est asymptote à C .

c. Étudier la position relative de C et ∆ .

2. a. Calculer f’(x) etmontrer que '( ) 2(1 )x xf x xe e− −= + − .

b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, f’(x) > 0.

c. Préciser la valeur de f’(0), puis établir le tableau de variations de f .

3. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’aire, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations x = 1 et x = 3.

4. a. Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à ∆ .

b. Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite ∆ .


On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3.

On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).

Un joueur fait une partie en deux étapes :

Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.

Deuxième étape :

• si le dé indique 1, il tire au hasardune boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

• si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

• si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.

À la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la ou les boules tirée(s).

On définit les évènements suivants :

D1 : « le dé indique 1 », D2 : « le dé indique 2 »,

46

D3 : « le dé indique 3 », G : « la partie est gagnée ».

A et B étant deux évènements tels que ( ) 0p A ≠ , on note pA(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. a. Déterminer les probabilités 1 ( )Dp G , 2 ( )Dp G et 3 ( )Dp G .

b. Montrer alors que 23

( )180

p G = .

2. Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.

3. Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à 10−2 près.

Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0,9 ?

-1

0

1

2

3

4

0 1 2 3

x

y


La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l’exercice et remise avec la copie. On y laissera apparents les traits de construction.

Dans le plan orienté, on donne le triangle ABC tel que AB =2, 1 5AC = + et ( ),2

AB ACπ=

.

1. a. Démonstration de cours : démontrer qu’il existe une seule similitude directe S transformant B en A et A en C.

b. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de S.

2. On appelle Ω le centre de S. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [AB] et à la droite (BC). Construire le point Ω .

3. On note D l’image du point C par la similitude S.

a. Démontrer l’alignement des points A, Ω et D ainsi que le parallélisme des droites (CD) et (AB). Construire le point D.

47

b. Montrer que 3 5CD = + .

4. Soit E le projeté orthogonal du point B sur la droite (CD).

a. Expliquer la construction de l’image F du point E par S et placer F sur la figure.

b. Quelle est la nature du quadrilatère BFDE ?

Cette page sera remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Annexe : exercice 2

0

0,5

1

1,5

0 0,5 1 1,5 2

x

y

Annexe : exercice de spécialité

C

BA

49

2 . ANNALES BAC 2006

2. 1. Pondichéry


Dix affirmations, réparties en trois thèmes et numérotées de 1.a. à 3.d. sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur sa copie en regard du numéro de l’affirmation, et avec le plus grand soin, la mention VRAI ou FAUX.Chaque réponse convenable rapporte 0,4 points. Chaque réponse erronée enlève 0,1 point. Il n’est pas tenu compte de l’absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à 0.

1. Pour tout réel x, xe désigne l’image de x par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a. Pour tous les réels a et b : ( ) ( )babae e= .

Affirmation 1. b. Pour tous les réels a et b : a

a b

b

ee

e

− = .

Affirmation 1. c. La droite d’équation 1y x= + est la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d’abscisse 1.

2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

Affirmation 2. b. Si f est continue en a, alors f est dérivable en a.

Affirmation 2. c. Si f est dérivable en a, alors la fonction ( ) ( )f a h f a

hh

+ −֏ admet une limite finie en

0.

3. On considère deux suites ( )nu et ( )nv définies sur ℕ .

Affirmation 3. a. Si lim nu = +∞ et lim nv = −∞ alors ( )lim 0n nu v+ = .

Affirmation 3. b. Si ( )nu converge vers un réel non nul et si lim nv = +∞ , alors la suite ( )n nu v× ne

converge pas.

Affirmation 3. c.

Si ( )nu converge vers un réel non nul, si ( )nv est positive et si lim 0nv = , alors la

suite n

n

u

v

ne converge pas.

Affirmation 3. d. Si ( )nu et ( )nv convergent, alors la suite n

n

u

v

converge.



. On prendra pour unité graphique 5 cm.

On pose 0 2z = et, pour tout entier naturel n, 112n n

iz z+

+= . On note nA le point du plan d’affixe nz .

50

1. Calculer 1 2 3 4, , ,z z z z et vérifier que 4z est un nombre réel. Placer les points A0, A1, A2, A3 et A4 sur une figure.

2. Pour tout entier n, on pose n nu z= . Justifier que ( )nu est une suite géométrique puis établir que, pour

tout entier naturel n, 1

22

n

nu =

.

3. A partir de quel rang 0n tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

4. a. Etablir que, pour tout entier naturel n, 1

1

n n

n

z zi

z+

+

−= . En déduire la nature du triangle OAnAn+1.

b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An−1An .On a ainsi

0 1 1 2 1...n n nl A A A A A A−= + + + . Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite ( )nl ?



. On prendar pour unité graphique 5 cm.

Soit f la transformation qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ définie par :

1 1' 1

2 2z i z

= + +

.

1. Justifier que f est une similitude directe dont on précisera le centre Ω (d’affixe ω ), le rapport k et l’angle θ .

2. On note A0 le point O et, pour tout entier naturel n, on pose ( )1n nA f A+ = .

a. Déterminer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points.

b. Pour tout entier naturel n, on pose n nu A= Ω . Justifier que ( )nu est une suite géométrique puis établir

que, pour tout entier naturel n, 1

22

n

nu =

.

c. A partir de quel rang 0n tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?

3. a. Quelle est la nature du triangle 0 1A AΩ ? En déduire la nature du triangle 1n nA A +Ω .

b. Pour tout entier naturel n, on note ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2…An−1An .On a ainsi

0 1 1 2 1...n n nl A A A A A A−= + + + . Exprimer ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite ( )nl ?


L’espace est muni d’un repère orthonormé ( ; , , )O i j k .

Partie A (cette partie constitue une restitution organisée de connaissances)

Soient a, b, c et d des réels tels que ( ) ( ), , 0, 0, 0a b c ≠ . Soit P le plan d’équation 0ax by cz d+ + + = . On

considère le point I de coordonnées ( ), ,I I Ix y z et le vecteur n de coordonnées ( ), ,a b c .

Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à 2 2 2

I I Iax by cz d

a b c

+ + +

+ +.

1. Soit la droite ∆ passant par I et orthogonale au plan P. Déterminer en fonction de a, b, c, d, xI, yI et zI un système d’équations paramétriques de ∆ .

2. On note H le point d’intersection de ∆ et P.

a. Justifier qu’il existe un réel k tel que IH kn=

.

b. Déterminer l’expression de k en fonction de a, b, c, d, xI, yI et zI.

51

c. En déduire que 2 2 2

I I Iax by cz dIH

a b c

+ + +=

+ +.

Partie B

Le plan Q d’équation 11 0x y z− + − = est tangent à une sphère S de centre le point Ω de coordonnées

( )1 ; 1 ; 3− .

1. Déterminer le rayon de la sphère S.

2. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite ∆ passant par Ω et orthogonale au plan Q.

3. En déduire les coordonnées du point d’intersection de la sphère S et du plan Q.


Les parties A et B sont indépendantes.

Un laboratoire de recherche étudie l’évolution d’une population animale qui semble en voie de disparition.

Partie A En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon de cette population dont l’effectif initial est égal à 1000. Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en milliers d’individus, est approché par une fonction f du temps t (exprimé en années à partir de l’origine 2000).

D’après le modèle d’évolution choisi, la fonction f est dérivable, strictement positive sur [0 ; [+ ∞ , et

satisfait l’équation différentielle : (E) ( )1' 3 ln

20y y y= − − .

1. Démontrer l’équivalence suivante : une fonction f, dérivable, strictement positive sur [0 ; [+ ∞ , vérifie,

pour tout t de [0 ; [+ ∞ , ( )1'( ) ( ) 3 ln ( )

20f t f t f t= − − si et seulement si la fonction ( )lng f= vérifie,

pour tout t de [0 ; [+ ∞ , 1 3

'( ) ( )20 20

g t g t= − .

2. Donner la solution générale de l’équation différentielle : (H) 1 3

'20 20

z z= − .

3. En déduire qu’il existe un réel C tel que pour tout t de [0 ; [+ ∞ :

( ) exp 3 exp20t

f t C = +

(la notation exp désigne la fonction exponentielle).

4. La condition initiale conduit donc à considérer la fonction f définie par ( ) exp 3 3 exp20t

f t = −

.

a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ .

b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ; [+ ∞ .

c. Résoudre dans [0 ; [+ ∞ l’inéquation ( ) 0,02f t < .

Au bout de combien d’années, selon ce modèle, la taille de l’échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus ?

Partie B En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements suivants : « La population testée comporte 50% d’animaux malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99 % des cas ; si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas. »

On note M l’évènement « l’animal est malade », M l’évènement contraire et T l’évènement « le test est positif ».

52

1. Déterminer ( )P M , ( )MP T et ( )MP T .

2. En déduire P(T).

3. Le laboratoire estime qu’un test est fiable si sa valeur prédictive, c’est-à-dire la probabilité qu’un animal soit malade sachant que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test est-il fiable ?

2. 2. National


Soit ( ; , , )O i j k un repère orthonormal de l’espace. On considère les points A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; −3),

C(3 ; 1 ; −3), D(1 ; 0 ; −2), E(3 ; 2 ; −1), 3 9; 4 ;

5 5 −

.

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ousi elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.

1. Une équation du plan (ABC) est : 2x + 2y − z − 11 = 0.

2. Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).

3. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

4. La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante : ( )1 211

x t

y t t

z t

= − + = − + ∈ = −

ℝ .

5. Le point I est sur la droite (AB).


1. Soit f la fonction définie sur ℝ par ( ) 2 1 xf x x e −= .

On désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j

d’unité graphique 2 cm.

a. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ ; quelle conséquence graphique pour C peut-on en tirer ?

b. Justifier que f est dérivable sur ℝ . Déterminer sa fonction dérivée f ’.

c. Dresser le tableau de variations de f et tracer la courbe C.

2. Soit n un entier naturel non nul. On considère l’intégrale In définie par 1

1

0

n xnI x e dx−= ∫ .

a. Établir une relation entre In+1 et In.

b. Calculer I1, puis I2.

c. Donner une interprétation graphique du nombre I2. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1. c.

3. a. Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; 1] et pour tout entier naturel n non nul, on a l’inégalité suivante : 1n n x nx x e x e−≤ ≤ .

b. En déduire un encadrement de In puis la limite de In quand n tend vers +∞ .

Exercice 2. 77 (5 points , non spécialistes)

On considère le plan complexe P rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

. Dans tout l’exercice, P \O désigne le plan P privé du point origine O.

1. Question de cours

On prend comme pré-requis les résultats suivants :

– Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg(zz’) = arg(z)+ arg(z’) à 2kπ près, avec k entier relatif.

– Pour tout vecteur w non nul d’affixe z on a : ( ) ( )arg ,z u w=

à 2kπ près, avec k entier relatif.

53

a. Soit z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que ( ) ( )arg arg arg ''z

z zz

= −

à 2kπ près,

avec k entier relatif.

b. Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c, on

a : ( )arg ,c a

AB ACb a

− = −

à 2kπ près, avec k entier relatif.

2. On considère l’application f de P \Odans P \O qui, au point M du plan d’affixe z, associe le point M’

d’affixe z’ définie par : 1

zz

′ = . On appelle U et V les points du plan d’affixes respectives 1 et i.

a. Démontrer que pour 0z′ ≠ , on a ( ) ( )arg ' argz z= à 2kπ près, avec k entier relatif. En déduire que,

pour tout point M de P \O les points M et M’ = f(M) appartiennent à une même demi-droite d’origine O.

b. Déterminer l’ensemble des points M de P \O tels que f(M) = M.

c. M est un point du plan P distinct de O, U et V, on admet que M’ est aussi distinct de O, U et V.

Établir l’égalité : 1 1 1 1z z z

iz i i z i z i

′ − − − = = − ′ − + − .

En déduire une relation entre 1

argz

z i

′ − ′ −

et 1

argz

z i

− −

.

3. a. Soit z un nombre complexe tel que 1z ≠ et z i≠ et soit M le point d’affixe z. Démontrer que M est

sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si 1z

z i

−−

est un nombre réel non nul.

b. Déterminer l’image par f de la droite (UV) privée de U et de V.


Partie A : Question de cours

1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.

2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B Il s’agit de résoudre dans ℤ le système ( )( )

( )13 19

6 12

nS

n

≡ ≡

.

1. Démontrer qu’il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.

(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).

Vérifier que, pour un tel couple, le nombre 13 12 6 19N v u= × + × est une solution de (S).

2. a. Soit n0 une solution de (S), vérifier que le système (S) équivaut à ( )( )

0

0

19

12

n n

n n

≡ ≡

.

b. Démontrer que le système ( )( )

0

0

19

12

n n

n n

≡ ≡

équivaut à ( )0 12 19n n≡ × .

3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l’équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N correspondante.

b. Déterminer l’ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2. b.).

4. Un entier naturel n est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13. On divise n par 228 = 12× 19. Quel est le reste r de cette division ?

Exercice 2. 79

1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s’arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants.

a. Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ?

54

b. Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?

c. Quelle est la probabilité pn que n tirs suffisent pour crever le ballon ?

d. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn > 0,99 ?

2. Ce tireur participe au jeu suivant :

Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit k le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à k tirs pour crever le ballon.

Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0,4096 (on pourra utiliser un arbre pondéré).

3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équilibré ou s’il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :

Face k 1 2 3 4

Nombre de sorties de la face k 58 49 52 41

a. Calculer les fréquences de sorties fk observées pour chacune des faces.

b. On pose 4 2

2

1

14k

k

d f

=

= − ∑ . Calculer d2.

c. On effectue maintenant 1 000 simulations des 200 lancers d’un dé tétraédrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre d2. On obtient pour la série statistique des 1 000 valeurs de d2 les résultats suivants :

Minimum D1 Q1 Médiane Q3 D9 Maximum

0,00124 0,00192 0,00235 0,00281 0,00345 0,00452 0,01015

Au risque de 10 %, peut-on considérer que ce dé est pipé 7

2. 3. Polynésie


Le plan complexe estmuni du repère orthonormal direct ( ; , )O u v

; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a = 1 et b = −1. On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M’ d’affixe z’ définie par

−′ =+11

zz

z.

On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.

1. Déterminer les points invariants de f c’est-à-dire les points M tels que M = f(M).

2. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de −1, ( ) ( )1 1 2z z′ − + = − .

b. En déduire une relation entre 1z′ − et 1z + , puis entre arg (z’ − 1) et arg (z + 1), pour tout nombre

complexe z différent de −1. Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.

3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M’ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.

4. Soit le point P d’affixe 2 3p i= − + .

a. Déterminer la forme exponentielle de (p +1).

b. Montrer que le point P appartient au cercle (C).

c. Soit Q le point d’affixe q p= − où p est le conjugué de p. Montrer que les points A, P’ et Q sont alignés.

d. En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l’image P’ du point P par l’application f .

55


Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on donne les points A(0 ; 0 ; 2) B(0 ; 4 ; 0) et

C(2 ; 0 ; 0).

On désigne par I le milieu du segment [BC], par G l’isobarycentre des points A, B et C, et par H le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC).

Proposition 1 : « l’ensemble des points M de l’espace tels que . 0AM BC =

est le plan (AIO) ».

Proposition 2 : « l’ensemble des points M de l’espace tels que MB MC MB MC+ = −

est la sphère de

diamètre [BC] ».

Proposition 3 : « le volume du tétraèdre OABC est égal à 4 ».

Proposition 4 : « le plan (ABC) a pour équation cartésienne 2x + y + 2z = 4 et le point H a pour

coordonnées 8 4 8; ;

9 9 9

. »

Proposition 5 : « la droite (AG) admet pour représentation paramétrique ( )22 2

x t

y t t

z t

= = ∈ = −

ℝ . »


Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Proposition 1 : « Pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n − 1 ».

Proposition 2 : « Si un entier relatif x est solution de l’équation ( )2 0 modulo 6x x+ ≡ alors

( )0 modulo 3x ≡ ».

Proposition 3 : « L’ensemble des couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de l’équation 12x − 5y = 3 est l’ensemble des couples (4+10k ; 9+24k) où k∈ℤ ». Proposition 4 : « Il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et PPCM(a, b) − PGCD(a, b) = 1 ».

Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture bca en base dix.

Proposition 5 : « Si l’entier M est divisible par 27 alors l’entier M − N est aussi divisible par 27 ».


On a posé à 1 000 personnes la question suivante : « Combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ? ». Les réponses ont été regroupées dans le tableau suivant :

Retards le 1er mois

Retards le 2ème mois

0 1 2 ou plus Total

0 262 212 73 547

1 250 73 23 346

2 ou plus 60 33 14 107

Total 572 318 110 1000

1. On choisit au hasard un individu de cette population.

a. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le premier mois,

b. Déterminer la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu’il n’en a pas eu le premier mois.

56

2. On souhaite faire une étude de l’évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois (n entier naturel non nul). On fait les hypothèses suivantes :

– si l’individu n’a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,46.

– si l’individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,66.

– si l’individu a eu deux retards ou plus le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est encore 0,66.

On note An, l’évènement « l’individu n’a eu aucun retard le mois n, Bn, l’évènement « l’individu a eu exactement un retard le mois n », Cn, l’évènement « l’individu a eu deux retards ou plus le mois n ».

Les probabilités des évènements An, Bn, Cn sont notées respectivement pn, qn et rn.

a. Pour le premier mois (n = 1), les probabilités p1, q1 et r1 sont obtenues à l’aide du tableau précédent. Déterminer les probabilités p1, q1 et r1.

b. Exprimer pn+1 en fonction de pn, qn, et rn. Onpourra s’aider d’un arbre.

c. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = −0,2pn +0,66.

d. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par un = pn − 0,55. Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on donnera la raison.

e. Déterminer lim nn

u→+∞

. En déduire lim nn

p→+∞

.


Partie A

On donne le tableau de variations d’une fonction f dérivable sur ℝ :

x −∞ 0 2 +∞

f

+∞

0

24e−

0

On définit la fonction F sur ℝ par ( ) ( )2

x

F x f t dt= ∫ .

1. Déterminer les variations de la fonction F sur ℝ .

2. Montrer que ( ) 20 3 4F e−≤ ≤ .

Partie B

La fonction f considérée dans la partie A est la fonction définie sur ℝ par ( ) 2 xf x x e−= . On appelle g la

fonction définie sur ℝ par ( ) xg x e−= .

On désigne par (C) et (Γ ) les courbes représentant respectivement les fonctions f et g dans un repère orthogonal ( ; , )O i j

. Les courbes sont tracées en annexe.

1. a. Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles données dans la partie A. On ne demande pas de justifier les limites.

b. Étudier les positions relatives des courbes (C) et (Γ ).

2. Soit h la fonction définie sur ℝ par ( ) ( )2 1 xh x x e−= − .

a. Montrer que la fonction H définie sur ℝ par ( ) ( )2 2 1 xH x x x e−= − − − est une primitive de la

fonction h sur ℝ .

b. Soit un réel α supérieur ou égal à 1. On considère la partie du plan limitée par les courbes (C) et (Γ ) et les droites d’équations x = 1 et x = α . Déterminer l’aire A(α ), exprimée en unité d’aire, de cette partie du plan.

57

c. Déterminer la limite de A(α ) lorsque α tend vers +∞ .

3. On admet que, pour tout réel m strictement supérieur à 4e−2, la droite d’équation y = m coupe la courbe (C) au point P(xP ; m) et la courbe (Γ ) au point Q (xQ ; m).

L’objectif de cette question est de montrer qu’il existe une seule valeur de xP, appartenant à l’intervalle ] ]; 1−∞ − telle que la distance PQ soit égale à 1.

a. Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe) les points P et Q tels que xP appartienne à ] ]; 1−∞ − et PQ = 1.

b. Exprimer la distance PQ en fonction de xP et de xQ. Justifier l’égalité ( ) ( )P Qf x g x= .

c. Déterminer la valeur de xP telle que PQ = 1.

-1

1

3

5

7

9

11

13

15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

2. 4. Liban


Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on donne les points A(2 ; 1 ; 3), B(−3 ; −1 ; 7) et

C(3 ; 2 ; 4).

1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit (d) la droite de représentation paramétrique 7 234

x t

y t t

z t

= − + = − ∈ = +

ℝ .

a. Montrer que la droite (d) est orthogonale au plan (ABC).

58

b. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soit H le point commun à la droite (d) et au plan (ABC).

a. Montrer que H est le barycentre de (A ; −2), (B ; −1), (C ; 2).

b. Déterminer la nature de l’ensemble 1Γ , des points M de l’espace tels que

( ) ( )2 2 . 0MA MB MC MB MC− − + − =

.

En préciser les éléments caractéristiques.

c. Déterminer la nature de l’ensemble 2Γ , des points M de l’espace tels que 2 2 29MA MB MC− − + =

.

En préciser les éléments caractéristiques.

d. Préciser la nature et donner les éléments caractéristiques de l’intersection des ensembles 1Γ et 2Γ .

e. Le point S (−8 ; 1 ; 3) appartient-il à l’intersection des ensembles 1Γ et 2Γ ?


Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( ; , )O u v

. On prendra 2 cm pour unité graphique. Soit A le point d’affixe i et B le point d’affixe 2.

1. a. Déterminer l’affixe du point B1 image de B par l’homothétie de centre A et de rapport 2 .

b. Déterminer l’affixe du point B’ image de B1 par la rotation de centre A et d’angle 4π. Placer les points A,

B et B’.

2. On appelle f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ tel que z’ = (1 + i) z + 1.

a. Montrer que B a pour image B’ par f .

b. Montrer que A est le seul point invariant par f.

c. Établir que pour tout nombre complexe z distinct de i, 'z z

ii z

− = −−

. Interpréter ce résultat en termes de

distances puis en termes d’angles. En déduire une méthode de construction de M’ à partir de M, pour M distinct de A.

3. a. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble 1Σ des points M du plan dont

l’affixe z vérifie 2 2z − = .

b. Démontrer que z’ − 3 − 2i = (1 + i)(z − 2). En déduire que si le point M appartient à 1Σ , alors son image M’ par f appartient à un cercle 2Σ , dont on précisera le centre et le rayon.

c. Tracer 1Σ et 2Σ sur lamême figure que A, B et B’.


Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct ( ; , )O u v

, on considère les points A d’affixe 3i et B d’affixe 6 ; unité graphique : 1 cm.

Partie A

1. Montrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A en O et O en B. Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Montrer qu’il existe une similitude indirecte et une seule qui transforme A en O et O en B.

Partie B 1. Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’ d’affixe ' 2 6z i z= − + où z désigne le conjugué de z.

Montrer que f possède un point invariant et un seul. On note K ce point.

2. Soit h l’homothétie de centre K et de rapport 12. On pose g f h= .

59

a. Montrer que g est une isométrie laissant invariant le point K.

b. On désigne par M’’ l’image du point M d’affixe z par la transformation g. Montrer que l’écriture complexe de g est '' 2 2z i z i= − + + où z’’ est l’affixe de M’’.

c. Montrer qu’il existe sur l’axe ( ; )O v un unique point invariant par g ; on le note L. Reconnaître alors la

transformation g.

d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie h’ suivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h’.

3. Déterminer les droites ∆ telles que f (∆ ) et ∆ soient parallèles.


Partie A : étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ [0 ; + ∞ par f(x) = x ln(x +1).

Sa courbe représentative (C) dans un repère orthogonal ( ; , )O u v

est donnée en annexe.

1. a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [ [0 ; + ∞ .

b. L’axe des abscisses est-il tangent à la courbe (C) au point O ?

2. On pose 21

0 1x

I dxx

=+∫ .

a. Déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout 1x ≠ − , 2

1 1x c

ax bx x

= + ++ +

.

b. Calculer I.

3. À l’aide d’une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2, calculer, en unités d’aires, l’aire A de la partie du plan limitée par la courbe (C) et les droites d’équations x = 0, x =1 et y = 0.

4. Montrer que l’équation f(x) = 0,25 admet une seule solution sur l’intervalle [0 ; 1]. On note α cette solution. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

Partie B : étude d’une suite

La suite (un) est définie sur ℕ par ( )1

0ln 1n

nu x x dx= +∫ .

1. Déterminer le sens de variation de la suite (un). La suite (un) converge-t-elle ?

2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, ln 2

01nu

n≤ ≤

+. En déduire la limite de la suite (un).


La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ , avec λ > 0.

Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en panne avant l’instant t est égale à ( )0

txP X t e dxλλ −≤ = ∫ .

1. Déterminer λ , arrondi à 10−1 près, pour que la probabilité P(X > 6) soit égale à 0,3. Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0,2.

2. À quel instant t, à un mois près, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5 ?

3. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e−0,4.

4. Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10−2 près, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ?

5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années.

60

Annexe

Exercice 3 : Représentation graphique de la fonction f obtenue à l’aide d’un tableur, courbe (C )

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3

x

y

2. 5. La Réunion


Partie A Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞ [ par ( )lnx

f xx

= .

1. a. Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en +∞ .

b. Étudier les variations de la fonction f .

2. Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et un+1 = f(un) pour tout entier naturel n.

a. On a tracé la courbe représentative C de la fonction f sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d’équation y = x et les points M1 et M2 de la courbe C d’abscisses respectives u1 et u2. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite (un).

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a un ≥ e (on pourra utiliser la question 1. b.).

c. Démontrer que la suite (un) converge vers un réel l de l’intervalle [e ; +∞ [.

Partie B

On rappelle que la fonction f est continue sur l’intervalle ]1 ; +∞ [.

1. En étudiant de deux manières la limite de la suite [f (un)], démontrer que ( )f l l= .

2. En déduire la valeur de l.


Première partie : Calculer l’intégrale 1

0

xxe dx∫ .

61

Deuxième partie

La figure ci-contre représente une cible rectangulaire OIMN

telle que, dans le repère orthonormal ( ); ,O OI OJ

, la ligne

courbe C reliant le point O au point M est une partie de la courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ par

( ) xf x xe= .

Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l’indique la figure ci-dessous.

Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l’extérieur de la cible, soit l’une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe C .

Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à

l’extérieur de la cible avec une probabilité de 12 et que les

probabilités d’atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives.

1. Démontrer que la probabilité d’atteindre la partie A est

égale à 12e. Quelle est la probabilité d’atteindre la partie B ?

2. On lance de manière indépendante trois fléchettes.

a. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de probabilité de X. En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique.

b. Soit E l’évènement : « Exactement deux fléchettes atteignent la partie A ». Calculer une valeur approchée au millième de la probabilité de E.

c. Soit F l’évènement : « les trois fléchettes atteignent la partie B ». Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte).

Sachant qu’aucune fléchette n’a atteint l’extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ?

3. On lance cette fois de manière indépendante n fléchettes.

a. Déterminer en fonction de n la probabilité pn pour qu’au moins une des fléchettes atteigne la partie A.

b. Déterminer le plus petit naturel n tel que 0,99np ≥ .



. L’unité graphique est 2 cm. On

désigne par i le nombre complexe demodule 1 et d’argument 2π+ . On réalisera une figure que l’on

complétera au fur et à mesure des questions.

1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation 4z

iz

− = . Écrire la solution sous forme

algébrique.

2. Résoudre dans ℂ l’équation z2 − 2z + 4 = 0. Écrire les solutions sous forme exponentielle.

3. Soient A, B, A’ et D les points du plan complexe d’affixes respectives : a = 2, b = 4, a’ = 2i et d = 2 + 2i.

Quelle est la nature du triangle ODB ?

4. Soient E et F les points d’affixes respectives 1 3e i= − et 1 3f i= + . Quelle est la nature du quadrilatère OEAF ?

0

partie A

partie B

I

J

M N

62

5. Soit C le cercle de centre A et de rayon 2. Soit C’ le cercle de centre A’ et de rayon 2. Soit r la rotation de

centre O et d’angle 2π+ .

a. On désigne par E’ l’image par la rotation r du point E. Calculer l’affixe e’ du point E’.

b. Démontrer que le point E’ est un point du cercle C’.

c. Vérifier que : ( ) ( )3 2e d e d′− = + − . En déduire que les points E, E’ et D sont alignés.

6. Soit D’ l’image du point D par la rotation r. Démontrer que le triangle EE’D’ est rectangle.


On complètera la figure donnée en annexe 2 au fur et à mesure des questions, et on la rendra avec la copie.

ABCD est un carré tel que ( ),2

AB ACπ= +

. Soit I le centre du carré ABCD. Soit J le milieu du segment

[CD].

On désigne par s la similitude directe qui transforme A en I et B en J.

Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de la similitude s. Dans la partie A on utilisera des raisonnements géométriques ; dans la partie B on utilisera les nombres complexes.

Partie A

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s.

2. On désigne par Ω le centre de cette similitude. 1Γ est le cercle de diamètre [AI], 2Γ est le cercle de diamètre [BJ]. Démontrer que Ω est l’un des points d’intersection de 1Γ et 2Γ . Placer Ω sur la figure.

3. Donner l’image par s de la droite (BC). En déduire le point image par s du point C, puis le point K image par s du point I.

4. On pose h s s= (composée de s avec elle même).

a. Donner la nature de la transformation h (préciser ses éléments caractéristiques).

b. Trouver l’image du point A par h. En déduire que les points A, Ω et K sont alignés.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )A u v

, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 2, 2 + 2i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitudes est 1

12

z iz i′ = + + .

2. Calculer l’affixe du point Ω .

3. Calculer l’affixe du point E tel que s(E) = A. Placer le point E sur la figure.


Pour chacune des questions 1, 2, 3 et 4, parmi les quatre affirmations proposées, deux sont exactes et deux sont fausses. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et les deux affirmations qu’il pense exactes. Aucune justification n’est demandée. Les quatre questions sont indépendantes et sont notées sur 1 point. Toute réponse juste rapporte 0,5 point. Donner plus de 2 réponses à une question entraîne la nullité de la question.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

1. Soit P le plan d’équation 2x +3y +4z = 0.

a. La distance du point O au plan P est égale à 1.

b. La distance du point O au plan P est égale à 129

.

c. Le vecteur 3

1 ; ; 22

n

est un vecteur normal au plan P.

d. Le plan Q d’équation −5x + 2y + z = 0 est parallèle au plan P.

63

2. On désigne par P le plan d’équation 2x + y − z = 0, et par D la droite passant par le point A(1 ; 1 ; 1) et de vecteur directeur u

(1 ; −4 ; −2).

a. La droite D est parallèle au plan P.

b. La droite D est orthogonale au plan P.

c. La droite D est sécante avec le plan P.

d. Un système d’équations paramétriques de D est ( )11 41 2

x t

y t t

z t

= + = − ∈ = −

ℝ .

3. On désigne par E l’ensemble des points M(x ; y ; z) tels que : x + y + z = 3 et 2x − z = 1. Soit le point A(1 ; 1 ; 1).

a. L’ensemble E contient un seul point, le point A.

b. L’ensemble E est une droite passant par A.

c. L’ensemble E est un plan passant par A.

d. L’ensemble E est une droite de vecteur directeur u (1 ; −3 ; 2).

4. ABCD est un tétraèdre quelconque. Soit P le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC).

a. Le plan P contient toujours le point D.

b. Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC.

c. Le plan P est toujours l’ensemble des points M de l’espace tels que : . .BM BC BA BC=

.

d. Le plan P est toujours le plan médiateur du segment [BC].

ANNEXE 1

À compléter et à rendre avec la copie

Figure de l’exercice 1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

x

y

64

ANNEXE 2

À compléter et à rendre avec la copie

Figure de l’exercice 3

2. 6. Amérique du Nord


Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point ; l’ absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.

Une urne contient 10 bulletins indiscernables au toucher de trois sortes :

4 sont marqués « oui », 3 sont marqués « non » et 3 sont marqués « blanc ».

Lors d’un premier jeu, le joueur commence par miser 30 centimes d’euro. Il tire ensuite un bulletin de l’urne et l’y remet après l’avoir lu. Si le bulletin est marqué « oui », le joueur reçoit 60 centimes d’euro, s’il est marqué « non », il ne reçoit rien. Si le bulletin est marqué « blanc », il reçoit 20 centimes d’euro.

Question 1 : Le jeu est A : Favorable au joueur B : défavorable au joueur C : équitable.

Question 2 : le joueur joue quatre parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu’il tire au moins une fois un bulletin marqué « oui » est égale à

A : 216625

B : 544625

C : 25.

Lors d’un second jeu le joueur tire simultanément deux bulletins de l’urne.

Question 3 : la probabilité qu’il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à :

A : 415

B : 1130

C : 1115

.


Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

(unité graphique 2 cm), on

considère les points A, B et C d’affixes respectives 2Az = , 1 3Bz i= + et 1 3Cz i= − .

A B

C D

65

Partie A

1. a. Donner la forme exponentielle de Bz puis de Cz .

b. Placer les points A, B, et C.

2. Déterminer la nature du quadrilatère OABC.

3. Déterminer et construire l’ensemble ∆ des points M du plan tels que 2z z= − .

Partie B

A tout point M d’affixe z tel que Az z≠ , on associe le point M’ d’affixe z’ défini par 4

'2

zz

−=−

.

1. a. Résoudre dans ℂ l’équation 42

zz

−=−

.

b. En déduire les points associés aux points B et C.

c. Déterminer et placer le point G’ associé au centre de gravité G du triangle OAB.

2. a. Question de cours

Prérequis : le module d’un nombre complexe, noté z , vérifie 2

z zz= où z est le conjugué de z.

Démontrer que :

* pour tous nombres complexes z1 et z2, 1 2 1 2z z z z× = × ;

* pour tous nombres complexes z non nul, 1 1z z

= .

b. Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2, 2

22

zz

z′ − =

−.

c. On suppose dans cette question que M est un point quelconque de ∆ , où ∆ est l’ensemble défini à la question 3. de la partie A.

Démontrer que le point M’ associé à M appartient à un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ .


Le plan muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

. On prendra pour unité graphique 4 cm. Soit Ω le point d’affixe 2.

On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle 4π, et h l’homothétie de centre Ω et de rapport

22.

1. On pose h rσ = .

a. Quelle est la nature de la transformation σ ? Préciser ses éléments caractéristiques.

b. Montrer que l’écriture complexe de σ est : 1

: 12i

z z iσ + + −֏ .

c. Soit M un point quelconque du plan, d’affixe z. On désigne par M’ son image par σ et on note z’ l’affixe de M’. Montrer que ( )2z z i z′ ′− = − .

2. a. Question de cours : Prérequis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul.Propriétés algébriques des modules et des arguments.

Démonter que : si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de

centre A et d’angle 2π est le point Q d’affixe q telle que ( )q a i p a− = − .

b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle MM′Ω , pour M distinct de Ω .

66

3. Soit A0 le point d’affixe 2 i+ . On considère la suite ( )nA de points du plan définis par : pour tout entier

naturel n, ( )1n nA Aσ+ = .

a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’affixe na de nA est donnée par : ( )2

422

2

n ni

na e

π+

= +

.

b. Déterminer l’affixe de A3 .

4. Déterminer le plus petit entier n0 tel que l’on ait : pour 0n n> , le point An est dans le disque de centre Ω et de rayon 0,01.


1. On considère la fonction g définie sur ] [0 ;+∞ par : ( ) 2lng x x

x= − . On donne ci-dessous le tableau de

variations de g.

x 0 2,3 x0 2,4 +∞

g

−∞

0

+∞

Démontrer toutes les propriétés de la fonction g regroupées dans ce tableau.

2. Soit f la fonction définie sur ] [0 ;+∞ par ( ) 5 ln xf x

x= .

a. Démontrer que ( )0 20

10f x

x= où 0x est le réel apparaissant dans le tableau ci-dessus.

b. Soit a un réel. Pour 1a > , exprimer ( )1

a

f t dt∫ en fonction de a.

3. On a tracé dans le repère orthonormal ( ; , )O i j

ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et

g notées respectivement ( )fC et ( )gC . On appelle I le point de coordonnées ( )1 ; 0 , P0 le point

d’intersection de ( )gC et de l’axe des abscisses, M0 le point de ( )fC ayant même abscisse que P0 et H0 le

projeté orthogonal de M0 sur l’axe des ordonnées.

On nomme D1 le domaine plan délimité par la courbe ( )fC et les segments [ ]0IP et [ ]0 0P M . On nomme

D2 le domaine plan délimité par le rectangle construit à partir de [ ]OI et [ ]0OH .

Démontrer que les deux domaines D1 et D2 ont même aire, puis donner un encadrement d’amplitude 0,2 de cette aire.

67


Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j

. On s’intéresse aux fonctions dérivables sur [ [0 ; + ∞

vérifiant les conditions :

(1) pour tout réel x appartenant à [ [0 ; + ∞ , ( ) ( ) 2' 4f x f x= − ;

(2) ( )0 0f = .

On admet qu’il existe une unique fonction f vérifiant simultanément (1) et (2).

Les deux parties peuvent être traitées de nmanière indépendante. L’annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A : étude d’une suite

Afin d’obtenir une approximation de la courbe représetative de la fonction f, on utilise la méthode itérative d’Euler avec un pas égal à 0,2. On obtient ainsi une suite de points notés ( )nM , d’abscisse ( )nx et

d'ordonnée ( )ny telles que :

0 12

0 1

0, 0,2

0, 0,2 0,8n n

n n n

x x x

y y y y

+

+

= = +

= = − + +.

1. a. Les coordonnées des premiers points sont consignées dans le tableau de l’annexe. Compléter ce tableau. On donnera les résultats à 10−4 près.

b. Placer sur le graphique donné en annexe les points Mn pour n entier nturel inférieur ou égal à 7.

c. D’après ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite ( )ny et sur sa

convergence ?

2. a. Pour x réel, on pose ( ) 20,2 0,8p x x x= − + + . Montrer que si [ ]0 ; 2x∈ alors ( ) [ ]0 ; 2p x ∈ .

b. Montrer que pour tout entier naturel n, 0 2ny≤ ≤ .

c. Etudier le sens de variation de la suite ( )ny .

d. La suite ( )ny est-elle convergente ?

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

H0

I P0

M0 Cf

Cg

68

Partie B: étude d’une fonction

Soit g la fonction définie sur [ [0 ; + ∞ par ( )4

4

12

1

x

x

eg x

e

−=+

et ( )gC sa courbe représentative.

1. Montrer que la fonction g vérifie les conditions (1) et (2).

2. a. Montrer que ( )gC admet une asymptote ∆ dont on donnera une équation.

b. Etudier les variations de g sur [ [0 ; + ∞ .

3. Déterminer l’abscisse α du point d’intersection de ∆ et de la tangente à ( )gC à l’origine.

4. Tracer dans le repère de l’annexe la courbe ( )gC et les éléments mis en évidence dans les questions

précédentes de cette partie B.

Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l’épreuve. Exercice 4 : annexe

Partie A

n 0 1 2 3 4 5 6 7

xn 0 0,2 0,4

yn 0 0,8000 1,4720

Partie B

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

x

y

69

2. 7. Antilles

Exercice 2. 100(3 points)

1. Restitution organisée des connaissances.

Pré-requis :

– la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞ [ et sa fonction dérivée est la fonction

inverse (1

xx

֏ ).

– ln(1)= 0.

Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x, ln(ax) = ln(a)+ln(x).

2. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que 1

ln ln bb

= − et que ln ln lna

a bb

= − pour tous réels

strictement positifs a et b.

3. On donne 0,69 ≤ ln2 ≤ 0,70 et 1,09 ≤ ln3 ≤ 1,10. En déduire des encadrements de ln6, 1ln6 et

3ln8.


QCM : pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Chaque bonne réponse rapporte 0,75 point, chaque erreur enlève 0,25 point, l’absence de réponse vaut 0 point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

Vous répondrez sur votre copie en indiquant le numéro de la question et la lettre correspondant à votre réponse.

1. L’équation 2 3 4 0x xe e− − = admet dans ℝ :

a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 2 solutions

2. L’expression xe−−

a. n’est jamais négative b. est toujours négative c. n’est négative que si x est positif

d. n’est négative que si x est négatif

3. 2 1

lim2

x

xx

e

e→+∞

− =+

a. 12

b. 1

c. 2 d. +∞

4. L’équation différentielle y = 2y’ −1 a pour ensemble de solutions :

a. 2 1xx ke −֏

avec k ∈ ℝ b.

12 1x

x ke +֏

avec k ∈ ℝ c.

12 1x

x ke −֏

avec k ∈ ℝ

d. 2 12

xx ke +֏

avec k ∈ ℝ


Partie A

Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ . On rappelle que

( )0

atP X a e dtλλ −≤ = ∫ . La courbe donnée en annexe 1 représente la fonction densité associée.

1. Interpréter sur le graphique la probabilité P(X ≤ 1).

2. Indiquer sur le graphique où se lit directement le paramètre λ .

Partie B

On pose λ = 1,5.

1. Calculer P(X ≤ 1), en donner une valeur exacte puis une valeur approchée à 10−3 près par excès.

70

2. Calculer P(X ≤ 2).

3. Déduire des calculs précédents l’égalité suivante : P(1 ≤ X ≤ 2) = 0,173 à 10−3 près.

4. Calculer l’intégrale 1,5

01,5

xtte dt−∫ . Déterminer la limite quand x tend vers +∞ de F(x) ; on obtient ainsi

l’espérance mathématique de la variable X.

Partie C

Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de millimètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine. On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1,5.

Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80 % des cas. Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.

1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.

a. Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10−3 près.

b. Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subi une rectification ?

2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que le nombre de cylindres est suffisamment important pour assimiler ce tirage à un tirage successif avec remise.

a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?

b. Quelle est la probabilité qu’au moins un cylindre soit refusé ?


1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

, on considère les points

– A d’affixe a, a ∈ ℝ ; – B d’affixe b +i, b ∈ ℝ ;

– C image de B dans la rotation de centre A et d’angle 3π.

a. Déterminer une relation entre a et b pour que le point C appartienne à l’axe ( ; )O v.

b. Exprimer alors l’affixe du point C en fonction de a.

2. Dans cette question, on pose 3a = et b = 0. On considère les points C d’affixe c = −i et D d’affixe 2 3 2 3d i= + − .

a. Quelle est la nature du triangle ABC ?

b. Calculer le quotient d a

c a

−−

; que peut-on en déduire pour le triangle ACD ?

c. Déterminer l’affixe du point E image de D dans la rotation de centre A et d’angle 3π.

d. Déterminer l’affixe du point F image de D dans la translation de vecteur AC

.

e. Déterminer la nature du triangle BEF.


Sur la figure donnée en annexe 2, on considère les carrés OABC et OCDE tels que :

( ) ( ); ;2

OA OC OC OEπ= =

.

On désigne par I le milieu du segment [CD], par J le milieu du segment [OC] et par H le point d’intersection des segments [AD] et [IE].

1. Justifier l’existence d’une similitude directe s transformant A en I et D en E.

2. Déterminer le rapport de cette similitude s.

71

On admet que l’angle de la similitude s est égal à 2π.

3. Donner, sans justifier, l’image de B par s.

4. Déterminer et placer l’image de C par s.

5. Soit Ω le centre de la similitude s.

a. Montrer que Ω appartient au cercle de diamètre [AI] et à celui de diamètre [DE].

b. Montrer que Ω ne peut être le point H.

c. Construire Ω .

6. On considère le repère orthonormal direct ( ); ,O OA OC

.

a. Déterminer l’écriture complexe de la similitude s.

b. En déduire l’affixe du centre Ω de s.


Partie A

On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté ( ; )O u

donné en annexe 3, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12.

Le point An+1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et (Bn, 3).

1. Sur le graphique placer les points A2, B2.

2. On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn.

Montrer que : 12

3n n

n

a ba +

+= . On admet de même que 1

34

n nn

a bb +

+= .

Partie B

1. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un = bn − an.

a. Montrer que la suite (un) est géométrique. En préciser la raison.

b. Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n.

c. Déterminer la limite de (un). Interpréter géométriquement ce résultat.

2. a. Démontrer que la suite (an) est croissante (on pourra utiliser le signe de un).

b. Étudier les variations de la suite (bn).

3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an) et (bn) ?

Partie C

1. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 3an +4bn. Montrer que la suite (vn) est constante.

2. Déterminer la limite des suites (an) et (bn).

Annexe 1

72

0

1

2

0 1 2 3 4

x

y

Annexe 2

I

J

E

D C B

AO

Annexe 3

u

B0B1A1A0

121086420

2. 8. Asie


Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v


On rappelle que pour tout vecteur w non nul, d’affixe z, on a : z w=

et ( )arg ,z u w=

à 2kπ près.

Partie A : restitution organisée de connaissances

Prérequis : On sait que si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors : ( )arg arg argzz z z′ ′= + .

73

Soient z et z’ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : arg arg argz

z zz

′= − ′ .

Partie B

On note A et B les points d’affixes respectives −i et 3i. On note f l’application qui, à tout point M du plan,

d’affixe z, distinct de A, associe le point M’ d’affixe z’ telle que : 3iz

zz i

+′ =+

.

1. Étude de quelques cas particuliers.

a. Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. Placer ces points sur le dessin.

b. On note C le point d’affixe c =−2 + i. Démontrer que le point C’, image de C par f , appartient à l’axe des abscisses.

2. Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que ( )arg ,2

z MA MBπ′ = +

à 2kπ près.

3. Étude de deux ensembles de points.

a. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z’ soit un nombre complexe imaginaire pur.

b. Soit M d’affixe z un point du cercie de diamètre [AB] privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point M’ ?


On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe. Dans tout l’exercice, l’espace est

rapporté au repère orthonormal ( ); , ,A AB AD AE

. On note I le point de coordonnées 1; 1 ; 1

3

.

1. Placer le point I sur la figure.

2. Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.

3. On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC).

a. Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées :

(i) Il existe un réel k tel que AR kAC=

.

(ii) . 0IR AC =

.

b. Calculer les coordonnées du point R.

c. En déduire que la distance IR s’exprime par 113

IR = .

4. Démontrer que le vecteur n de coordonnées (3 ; −3 ; 2) est normal au plan (ACI). En déduire une

équation cartésienne du plan (ACI).

5. Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est 522

.


Étant donné un entier naturel n ≥ 2, on se propose d’étudier l’existence de trois entiers naturels x, y et z tels que 2 2 2 2 1modulo 2nx y z n+ + ≡ − .

Partie A Étude de deux cas particuliers

1. Dans cette question on suppose n = 2. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.

2. Dans cette question, on suppose n = 3.

a. Soit m un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste r de la division euclidienne de m par 8 et le reste R de la division euclidienne de m2 par 8.

r 0 1 2 3 4 5 6 7

R

74

b. Peut-on trouver trois entiers naturels x, y et z tels que 2 2 2 7 modulo 8x y z+ + ≡ ?

Partie B Étude du cas général où n ≥ 3

Supposons qu’il existe trois entiers naturels x, y et z tels que 2 2 2 2 1modulo 2nx y z n+ + ≡ − .

1. Justifier le fait que les trois entiers naturels x, y et z sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.

2. On suppose que x et y sont pairs et que z est impair. On pose alors x = 2q, y = 2r, z = 2s +1 où q, r, s sont des entiers naturels.

a. Montrer que 2 2 2 1modulo 4x y z+ + ≡ .

b. En déduire une contradiction.

3. On suppose que x, y, z sont impairs.

a. Prouver que, pour tout entier naturel k non nul, k2 + k est divisible par 2.

b. En déduire que 2 2 2 3 modulo 8x y z+ + ≡ .

c. Conclure.


Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7. Et s’il perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8.

Dans tout l’exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les évènements :

• Gn : « Pierre gagne la n-ième partie ».

• Pn : « Pierre perd la n-ième partie ».

On pose : pn = p(Gn) et qn = p(Pn).

1. Recherche d’une relation de récurrence.

a. Déterminer p1 puis les probabilités conditionnelles ( )G 21 Gp et ( )P 21 Gp .

b. Justifier l’égalité pn + qn = 1.

c. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 0,5pn +0, 2.

2. Étude de la suite (pn) : on pose, pour tout entier naturel n non nul, 25n nv p= − .

a. Prouver que la suite (vn) est une suite géométrique et exprimer vn en fonction de n.

b. En déduire l’expression de pn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (pn) quand n tend vers +∞ .


Partie A

On considère l’équation différentielle (E) : xy y e−′ + = .

1. Démontrer que la fonction u définie sur l’ensemble ℝ des nombres réels par ( ) xu x xe−= est une

solution de (E).

2. Résoudre l’équation différentielle (E0) : 0y y′ + = .

3. Démontrer qu’une fonction y, définie et dérivable sur ℝ , est solution de (E) si et seulement si v − u est solution de (E0).

4. En déduire toutes les solutions de (E).

5. Déterminer la fonction f2, solution de (E), qui prend la valeur 2 en 0.

Partie B

k étant un nombre réel donné, on note fk la fonction définie sur l’ensemble ℝ par : ( ) ( ) xkf x x k e−= + .

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal ( ; , )O i j

.

75

1. Déterminer les limites de fk en −∞ et +∞ .

2. Calculer ( )kf x′ pour tout réel x.

3. En déduire le tableau de variations de fk.

Partie C

1. On considère la suite d’intégrales (In) définie par 0

02

xI e dx−

−= ∫ et pour tout entier naturel n ≠ 1 par :

0

2

n xnI x e dx−

−= ∫ .

a. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I0.

b. En utilisant une intégration par parties, démontrer l’égalité : ( ) ( )1 21 2 1n

n nI e n I+

+ = − + + .

c. En déduire les valeurs exactes des intégrales I1 et I2.

2. Le graphique ci-dessous représente une courbe Ck qui est la représentation graphique d’une fonction fk définie à la partie B.

a. À l’aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel k correspondant.

b. Soit S l’aire de la partie hachurée (en unité d’aire) ; exprimer S en fonction de I1 et I0 et en déduire sa valeur exacte.

ANNEXE Exercice 2 (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité)

H G

D C

FE

BA

2. 9. Centres étrangers


Partie A : restitution organisée de connaissances Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :

76

(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :

( )cos sin

arg à 2 près 0

z r z r i

z r

θ θθ π

= = +⇔ = ≥

(ii) Pour tous nombres réels a et b : ( )( )

cos cos cos sin sin

sin sin cos sin cos

a b a b a b

a b a b b a

+ = −

+ = +.

Soient z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :

1 2 1 2z z z z= et ( ) ( ) ( )1 2 1 2arg arg argz z z z= + à 2π près.

Partie B Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.

On rappelle que si z est un nombre complexe, z désigne le conjugué de z et z désigne le module de z.

1. Si 1 12 2

z i= − + , alors z4 est un nombre réel.

2. Si 0z z+ = , alors z = 0.

3. Si 1

0zz

+ = , alors z = i ou z = −i.

4. Si 1z = et si 1z z′+ = , alors z’ = 0.


On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4. On lit le nombre sur la face cachée.

Pour k ∈ 1 ; 2 ; 3 ; 4), on note pi la probabilité d’obtenr le nombre k sur laface cachée. Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres p1, p2, p3 et p4 dans cet ordre, forment une progression arithmétique.

1. Sachant que p4 = 0,4 démontrer que p1 = 0,1, p2 = 0,2 et p3 = 0,3.

2. On lance le dé trois lois de suite. On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants.

a. Quelle est la probabilité d’obtenir dans l’ordre les nombres 1, 2, 4 ?

b. Quelle est la probabilité d’obtenir trois nombres distincts rangés dans l’ordre croissant ?

3. On lance 10 fois de suite le dé. On suppose les lancers deux à deux indépendants. On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.

a. Pour à 1 10i≤ ≤ , exprimer en fonction de i la probabilité de l’événement (X = i ).

b. Calculer l’espérance mathématique de X. Interpréter le résultat obtenu.

c. Calculer la probabilité de l’évènement (X ≥ 1). On donnera une valeur arrondie au millième. 4. Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois le dé, les lancers étant encore supposés indépendants deux à deux. On note Un la probabilité d’obtenir pour la première fois le nombre 4 au nième lancer.

a. Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu’elle est convergente.

b. Calculer 1

n

n i

i

S U

=

=∑ puis étudier la convergence de la suite (Sn).

c. Déterminer le plus petit entier n tel que Sn > 0,999.


Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier 4n−1, lorsque n est un entier naturel.

77

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « si p est un nombre entier et a un entier naturel premier avec p, alors 1 1 0 modpa p− − ≡ ».

Partie A : quelques exemples

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.

2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que 428 −1 est divisible par 29.

3. Pour 1 4n≤ ≤ , déterminer le reste de la division de 4n par 17. En déduire que, pour tout entier k, le nombre 44k −1 est divisible par 17.

4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4n −1 est-il divisible par 5 ?

5. À l’aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de 428 −1.

Partie B : divisibilité par un nombre premier

Soit p un nombre premier différent de 2.

1. Démontrer qu’il existe un entier 1n ≥ tel que 4 1modn p≡ .

2. Soit 1n ≥ un entier naturel tel que 4 1modn p≡ .Onnote b le plus petit entier strictement positif tel que

4 1modb p≡ et r le reste de la division euclidienne de n par b.

a. Démontrer que 4 1modr p≡ . En déduire que r = 0.

b. Prouver l’équivalence : 4n −1 est divisible par p si et seulement si n est multiple de b.

c. En déduire que b divise p −1.


On désigne par f la fonction définie sur l’ensemble ℝ des nombres réels par ( ) 11 x

f xe−=

+.

On note C la courbe representative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j

, (unité graphique : 5 cm). Partie A : étude de la fonction f

1. Vérifier que pour tout nombre réel x : ( )1

x

x

ef x

e=

+.

Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ . Interpréter graphiquement les résultats obtenus. Calculer f ’(x) pour tout nombre réel x. En déduire les variations de f sur ℝ . Dresser le tableau des variations de f. Tracer la courbe C et ses asymptotes éventuelles dans le repère ( ; , )O i j

.

Partie B : quelques propriétés graphiques. 1. On considère les points M et M’ de la courbe C d’abscisses respectives x et −x. Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [MM’]. Que représente le point A pour la courbe C ?

2. Soit n un entier naturel. On désigne par Dn le domaine du plan limité par la droite d’équation y = 1, la courbe C et les droites d’équations x =0 et x = n, An désigne l’aire du domaine Dn exprimée en unité d’aire.

a. Calculer An.

b. Étudier la limite éventuelle de An, lorsque n tend vers +∞ .

Partie C : calcul d’un volume

Soit λ un réel positif, On note V(λ ) l’intégrale ( )0 2

f x dxλ− ∫ . On admet que V(λ ) est une mesure,

exprimée en unité de volume, du volume engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses, de la portion de la courbe C obtenue pour 0xλ− ≤ ≤ .

1. Déterminer les nombres réels a et b tels que : pour tout nombre réel x, ( ) ( )

2

2 211 1

x x x

xx x

e ae be

ee e= +

++ +.

2. Exprimer V(λ ) en fonction de λ .

3. Déterminer la limite de V(λ ) lorsque λ tend vers +∞ .

78


ABCDEFGH est le cube d’arête 1 représenté sur la feuille annexe qui sera complétée et rendue avec la copie.

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( ); , ,A AB AD AE

.

Partie A : un triangle et son centre de gravité 1. Démontrer que le triangle BDE est équilatéral.

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE.

a. Calculer les coordonnées de I.

b. Démontrer que 13

AI AG=

. Que peut-on en déduire pour les points A, I, G ?

3. Prouver que I est le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE).

Partie B : une droite particulière

Pour tout nombre réel k, on définit deux points Mk et Nk, ainsi qu’un plan Pk de la façon suivante :

* Mk est le point de la droite (AG) tel que kAM kAG=

;

* Pk est le plan passant par Mk et parallèle au plan (BDE) ;

* Nk est le point d’intersection du plan Pk et de la droite (BC).

1. Identifier 13

P , 13

M , et 13

N en utilisant des points déjà définis. Calculer la distance 1 13 3

M N .

2. Calcul des coordonnées de Nk.

a. Calculer les coordonnées de Mk dans le repère ( ); , ,A AB AD AE

.

b. Déterniner une équation du plan Pk dans ce repère.

c. En déduire que le point Nk a pour coordonnées (1 ; 3k −1 ; 0).

3. Pour quelles valeurs de k la droite (MkNk) est-elle orthogonale â la fois aux droites (AG) et (BC) ?

4. Pour quelles valeurs de k la distance MkNk est-elle minimale ?

5. Tracer sur la figure donnée en annexe, la section du cube par le plan 12

P . Tracer la droite 1 12 2

M N

sur

la même figure.

ANNEXE Exercice 4

H G

D C

FE

BA

3 . CONCOURS

79

3. 1. Concours Fesic 2006

Calculatrice interdite ; traiter 12 exercices sur les 16 en 2 h 30 ; répondre par Vrai ou Faux sans justification. +1 si bonne réponse, −1 si mauvaise réponse, 0 si pas de réponse, bonus d’1 point pour un exercice entièrement juste.

Exercice 3. 116


. Soit la fonction f qui, à tout point M

d’affixe z, z différent de 1, associe le point M’ d’affixe z’ telle que 2 1

'1

zz

z

+=−

.

a. f possède deux points invariants conjugués.

b. L’ensemble des points M d’affixes z tels que 'z ∈ℝ est l’axe des abscisses.

c. L’ensemble des points M d’affixes z tels que ' 2z = est un cercle.

d. A tout point M’ du plan d’affixe z’, on peut associer un point M d’affixe z tel que ( ) 'f M M= sauf au point M’ d’affixe ' 2z = .

Exercice 3. 117


. On considère les complexes 1z de

module 2 et d’argument 3π, 2 1z z= et 3 1z i= + .

a. 8 93 1112

4z z

z

×= .

b. 4 71 2

63

z z

z

× est un nombre réel.

c. ( )41 3 28 16 3z z− = − .

d. L’ensemble des points M d’affixe z telles que ( ) ( )3arg argz z= est la droite d’équation y x= .

Exercice 3. 118


. On considère le point A d’affixe

5 3a i= − . On appelle :

* B le point d’affixe b, image de A par la rotation de centre O et d’angle 3π,

* C le point d’affixe c, milieu de [OA],

* D le point d’affixe d donnée par ( )12

d c b a− = − ,

* E le point d’intersection des droites (AD) et (BC).

a. Le point B a pour affixe 3 3b i= + .

b. D est le milieu de [OB].

c. E est le barycentre de (B, 1) ; (C, 2).

d. La droite (OE) est perpendiculaire à (AB).

Exercice 3. 119

a. La courbe représentant la fonction ( )sinx x→ est la courbe C2.

80

b. On considère les trois courbes de la page suivante : la courbe représentant la fonction 1xx e +→ est C1.

c. On considère la fonction f représentée par la courbe (C) ci-dessous et la fonction F

définie sur [0 ; 4] par 0

( ) ( )x

F x f t dt= ∫ .

F est croissante sur [0 ; 4].

d. On considère les mêmes fonctions f et F qu’au c.

La fonction F est deux fois dérivable sur [0 ; 4] et vérifie ( )'' 0 0F = .

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

x

y

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

x

y

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

x

y

-2

-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2 3

x

y

C1 C2

C3 C4

81

Exercice 3. 120

a. Soient f, g et h trois fonctions définies sur ℝ . On suppose que, quel que soit x∈ℝ , on a : ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ , que lim ( ) 3

xf x

→+∞= et que lim ( ) 5

xh x

→+∞= .

Alors g(x) admet une limite quand x tend vers +∞ et cette limite est comprise entre 3 et 5.

b. Soit f la fonction définie par 1

( ) xf x e−

= pour 0x ≠ et ( )0 0f = . On appelle (C) sa courbe représentative

dans un repère du plan. (C) possède une asymptote d’équation 0x = et 00

lim ( ) 0xx

f x→>

= .

c. La fonction F définie par 2

( ) ln2 2x x

F x x= − est une primitive de la fonction f définie par ( ) lnf x x x=

sur *+ℝ

d. Soient f la fonction définie par ( ) 2 lnf x x= et (C) sa courbe représentative dans un repère du plan. (C) possède au point d’abscisse −1 une tangente d’équation 2 2y x= − − .

Exercice 3. 121

a. Soit u la suite définie pour tout *n∈ℕ par 2

1

nt

nu e dt−= ∫ . On veut prouver que la suite u est

convergente. On considère pour cela le raisonnement suivant :

« Je choisis 0m = et 1M = . Soient *n∈ℕ et [ ]1 ;t n∈ , on a 2t t≥ , donc 2

0 t te e− −≤ ≤ . Il s’ensuit que

10

nt

nu e dt−≤ ≤ ∫ , soit 1

0nt

nu e− ≤ ≤ − , soit enfin 10 1nnu e e− −≤ ≤ − ≤ . Ceci étant vrai pour tout *n∈ℕ ,

la suite apparaît bornée par 0m = et 1M = .

Soit de plus *n∈ℕ . La fonction 2tt e−→ est continue et positive sur [ ]1 ; n . nu représente donc l’aire de la

portion de plan comprise entre les droites d’équations x = 1, x = n, y = 0 et la courbe représentant cette fonction. Cette aire augmente quand n augmente, ce qui se traduit par le fait que la suite u est croissante. Conclusion : u est croissante et majorée par 1 donc la suite u est convergente. »

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

C1 C2

C3

82

Ce raisonnement est exact.

b. Soit f la fonction définie sur [ ]0 ; ln 2 par : ( )( ) 2 1 xf x x e= − . On appelle (C) la courbe représentative de

f dans un repère du plan. On cherche à calculer l’aire de la portion de plan limitée par les droites d’équation x = 0, x = ln2, y = 0 et la courbe (C).

On considère pour cela le raisonnement suivant (et le renseignement ln 2 0,7≈ ) :

« La fonction F définie par ( )( ) 2 3 xF x x e= − est une primitive de f sur [ ]0 ; ln 2 . F est en effet dérivable sur

[ ]0 ; ln 2 et ( ) ( )'( ) 2 2 3 2 1x x xF x e x e x e= + − = − .

On a : ( ) ( ) ( )ln 2 ln 2

00( ) 2 3 2 ln 2 3 2 3 4 ln 2 3 0,2xf x dx x e = − = − × − − = − ≈ − ∫ . Comme le résultat est

négatif, c’est que l’aire cherchée est la valeur absolue de ce résultat, soit 0,2 unité d’aire ».


c. Soit f lafonction définie sur ℝ par ( )10( ) 1f x x= + . On cherche une approximation de ( )0,001f . On

considère pour cela le raisonnement suivant :

« f est définie et dérivable sur ℝ . Pour x réel, ( )9'( ) 10 1f x x= + et la courbe représentant f possède une

tangente au point d’abscisse 0 d’équation '(0) (0)y xf f= + , soit 10 1y x= + . On en déduit que (0,001) 10 0,001 1f ≈ × + , soit (0,001) 1,01f ≈ . »


d. Soit D l’ensemble des valeurs réelles x telles que sin 0x ≠ . Soit f la fonction définie sur D par : cos

( )sin

xf x

x= . On veut prouver que f est décroissante sur D. On considère pour cela le raisonnement

suivant :

« f est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont dérivables sur D et dont le dénominateur ne s’annule pas sur D. On en déduit que f est dérivable sur D.

Pour Dx∈ , on a 2 2

2 2

sin cos 1'( )

sin sin

x xf x

x x

− −= = − . Pour tout Dx∈ , on a '( ) 0f x < . Comme le signe de la

dérivée donne le sens de variation de la fonction, c’est que f est strictement décroissante sur D. »


Exercice 3. 122

Soit (E) l’équation différentielle : ' 2 sinxy y e x−+ = .

Soit f la fonction définie par ( )1( ) cos sin

2xf x e x x−= − − .

a. f est dérivable sur ℝ et, pour x∈ℝ , '( ) cosxf x e x−= .

b. Pour n∈ℕ , ( ) ( ) ( )

1 1'( ) 1

2

nnn

nf x dx e e

ππ π

π

+− −−

= +∫ .

c. f est l’unique solution de l’équation (E) qui s’annule en 0.

d. Si g est une solution de (E), la courbe représentant g possède une tangente au point d’abscisse 0 dont une équation est donnée par ( ) ( )1 2 0y x g= − .

Exercice 3. 123

83

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v

. Soit f la fonction définie par ( ) 3 2ln

5x

f xx

+ =

. On

appelle Df l’ensemble de définition de f.

a. *fD += ℝ .

b. Soit g une fonction définie et dérivable sur 2

0,3gD

− = −

ℝ telle que quel que soit gx D∈ ,

3 1'( )

3 2g x

x x= −

+. f et g sont égales à une constante additive près.

c. 1

( ) 2lim

1 5x

f x

x→= −

−. d.

00

lim ( ) 0xx

xf x→>

= .

Exercice 3. 124

Soient *λ +∈ℝ et les fonctions f1 et f2 définies sur ℝ par 3

1( ) xf x e= , 2 22( ) 2x xf x e eλ λ= − + . On appelle C1 et

C2 leurs courbes représentatives dans un repère du plan.

a. C1 et C2 se coupent au point ( )ln ; 3A λ λ .

b. Quel que soit *λ +∈ℝ , C1 est au-dessus de C2.

c. Il existe un point B en lequel C1 et C2 possèdent la même tangente.

d. Lorsque λ est supérieur à 1, l’aire de la portion du plan comprise entre les courbes C1 et C2 et limitée par

les droites d’équation x = 0 et lnx λ= est, en unités d’aire, ( )21

3

λ −.

Exercice 3. 125Exercice 10

On considère une suite v strictement croissante dont tous les termes appartiennent à l’intervalle [ ]0 ;π .

On définit les suites c et s pour n∈ℕ par ( )cosn nc v= et ( )sinn ns v= .

a. La suite v converge vers π . b. La suite c est croissante. c. La suite s est périodique.

d. Les suites c et s sont adjacentes si et seulement si la suite v converge vers 4π.

Exercice 3. 126


. On considère la suite ( )nz définie pour

n∈ℕ par 23n

i

nz e

π

= et on appelle nA le point d’affixe nz .

a. Quel que soit n∈ℕ , nA appartient au cercle de centre O et de rayon 1.

b. Quel que soit n∈ℕ , 1 1 1n nz z z+ − = − .

c. La suite ( )nz est périodique de période 5.

d. 4

0 1 40

... 0k

k

z z z z

=

= + + + =∑ .


On considère la suite u définie pour *n∈ℕ par : 1 1u = et 1 2

1 1n nu u

n n+

= +

.

a. Pour *n∈ℕ , on a ( )1 !n

nu

n=

− .

84

b. La suite u est croissante.

c. Quelque soit *n∈ℕ , si on a 2n ≥ , alors on aura : 23

0 24

n

nu−

≤ ≤ ×

.

d. La suite u est convergente et de limite nulle.


On considère un espace probabilisé fini ( ), pΩ dans lequel un événement A a les trois possibilités A1, A2,

et A3 deux à deux distinctes de se produire et un événement B a les deux possibilités B1 et B2 distinctes de se produire. Le tableau suivant donne en pourcentages la probabilité de certains événements de se produire par rapport à l’univers Ω .

A1 A2 A3 Total / A

B1 20

B2 30

Total / B 10 100

On donne aussi les renseignements suivants : ( )2A 60 %p = et ( )B 311

A6

p = .

a. A1 et B1 sont incompatibles.

b. La probabilité d’obtenir B1 est 24 % .

c. Si A3 est réalisé, la probabilité d’obtenir A3 et B1 est 4 %.

d. La probabilité d’obtenir A3 et B1 est 4 % .


Une rampe lumineuse est constituée d’ampoules bleues, rouges ou jaunes provenant de deux usines U1 et U2. U1 produit 60 % de ces ampoules. La durée de vie en années de chacune de ces ampoules suit une loi exponentielle dont les paramètres sont les suivants :

Ampoules bleues Ampoules rouges Ampoules jaunes

Ampoules de U1 B1 0,25λ = 1 0,20Rλ = 1 0,15Jλ =

Ampoules de U2 B2 0,20λ = R2 0,15λ = J2 0,10λ =

a. La probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans sachant qu’elle vient de U1 est ( )10,6 1 e−− .

b. La probabilité qu’une ampoule rouge dure moins de 5 ans est 1,25 11 0,6 0, 4e e− −− − .

c. La probabilité qu’une ampoule jaune dure entre 5 et 10 ans est ( ) ( )0,75 1,5 0,5 10,6 0, 4e e e e− − − −− + − .

d. La demi-vie en années d’une ampoule jaune de U2 est 4 ln 2 .


Le schéma ci-dessous représente une situation de l’espace dans un repère approprié dont le centre est un point O. On sait que la droite d est orthogonale au plan P. On appelle A le point de coordonnées (2 ; −1 ; −2).

85

P

d

-1

2

-2

1

1

1

x

z

yO

a. Le plan P a pour équation cartésienne 2 1 0x y z− − − = .

b. La droite d a pour équations paramétriques : 2

1 2 , .2 4

x t

y t t

z t

= − = + ∈ = +

ℝ

c. La demi-droite [OA) a pour équations paramétriques : 2 21 , .2 2

x t

y t t

z t

= + = − − ∈ = − −

ℝ

d. La sphère de centre O et de rayon 12 est cachée par P.


L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

86

Pour θ ∈ℝ , on désigne par P et Q les plans d’équations respectives 2sin

P :y x

z

θ − =

∈ ℝ,

2cosQ :

z y

x

θ − =

∈ ℝ.

On appelle ∆ la droite d’intersection de ces deux plans.

a. Pour tout θ ∈ℝ , les plans P et Q sont orthogonaux.

b. Pour tout θ ∈ℝ , la droite ∆ est contenue dans le plan d’équation 1z x

y

− = ∈ ℝ

.

c. Pour tout θ ∈ℝ , la droite ∆ est orthogonale au plan d’équation 0x y z+ + = .

d. Il existe un réel θ tel que ∆ soit parallèle au plan ( ; , )O i j

.

3. 2. Concours Fesic 2005

Exercice 3. 132


. On considère la fonction f qui, à tout

complexe z non nul, associe le complexe : 2

' ( )z

z f zz

= =

.

Soient 0z∈ −ℂ et ' ( )z f z= . On appelle M le point de coordonnées (x, y) d’affixe z et M’ le point de coordonnées (x’, y’) d’affixe z’.

a. On a 2 2

2 2'

x yx

x y

−=

+ et

2 2

2'

xyy

x y=

+.

b. 'z ∈ℝ si et seulement si M appartient à l’axe des ordonnées.

c. [ ]8(1 )f i+ est un nombre réel.

d. Il existe un et un seul point M tel que M et M’ soient confondus.

Exercice 3. 133


.

Soit *m∈ℝ . On considère les points A, J, K et M d’affixes respectives 1Az i= + , Jz i= , 2Kz i= + et

1Mz im= + . Soit N le symétrique de M par rapport à A.

a. Le point N a pour affixe 1 (2 )i m+ − .

b. Quel que soit *m∈ℝ , K est l’image de N par la translation de vecteur JM

.

c. Il existe une valeur de m et une seule telle que K soit l’image de J par la rotation de centre M et d’angle

2π.

d. Soit 2m = . Pour prouver que les droites (OA) et (MK) sont perpendiculaires, il faut et il suffit de prouver que ( ) 0A K Mz z z− = .

Exercice 3. 134

On appelle z le complexe de module 2 et d’argument 23π et on pose

12i

t−= .

a. Soit n∈ℤ . nt est un nombre réel si et seulement si n est un multiple de 4.

b. 12π est un argument de

2

3

z

t. c. La partie réelle de 10z est 92− . d. 2 81 ... 1t t t+ + + + = .

87

Exercice 3. 135

On considère la courbe (C) ci-dessous, la droite ∆ : 2x = et l’axe des abscisses étant asymptotes à (C). On appelle f la fonction représentée par (C) et g la fonction définie par ( ) ln( ( ))g x f x= .

a. g est définie sur ] 2 ; 2[− .

b. g est dérivable en 0 et 1

'(0)ge

= .

c. L’équation ( ) 1g x = possède exactement deux solutions.

d. 0

lim ( )x

g g x→

= −∞ .

Exercice 3. 136

a. Soit f la fonction définie sur I 0 ;2π =

par ( ) ln(cos ) cos(ln )f x x x= − . f est dérivable sur I et, pour tout

Ix∈ , 1

'( ) tan sinf x xx

= − +

.

b. Soit [ ]1 ; 2x∈ − . On a 2

1 2 11

2 1

x

x

+− ≤ ≤+

.

c. La courbe représentant la fonction ln(2 6)x x→ − dans un repère du plan se déduit de la courbe représentant lnx x→ par une translation d’un vecteur de coordonnées (3, 2).

d. Soit f la fonction définie sur ℝ par : 2 sin( ) x xf x e−= . f est dérivable sur ℝ et, pour x∈ℝ ,

( ) ( )2 sin'( ) 2sin cos x xf x x x x x eπ π −= + + + .

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

x

y

e

(C)

∆

88

Exercice 3. 137

a. On considère le raisonnement suivant :

« Pour tout x +∈ℝ , et pour tout *n∈ℕ , 0

(1 ) 1n

n k

k

nx x nx

k=

+ = ≥ +

∑ . En particulier pour *n∈ℕ et

1x

n= on obtient

11 1

n

nn

+ ≥ +

. Comme ( )lim 1n

n→+∞

+ = +∞ , on en déduit que

1lim 1

n

n n→+∞

+ = +∞

. » Ce raisonnement est exact.

b. On considère la fonction f définie sur +ℝ par : ( ) lnf x x x= si 0x > et (0) 0f = et on considère le

raisonnement suivant :

« f est continue sur +∗ℝ comme produit de fonctions continues sur +∗

ℝ . De plus, comme

0lim( ln ) 0 (0)x

x x f→

= = , c’est que f est continue en 0. Il s’ensuit que f est continue sur +ℝ et donc est

dérivable sur +ℝ . » Ce raisonnement est exact.

c. Soit f la fonction définie sur ] ; 1[ ]1 ; [D = − ∞ − ∪ + ∞ par : 1

( ) ln1

xf x x

x

− = + . On considère le

raisonnement suivant :

« f est définie et dérivable sur D car composée par des fonctions définies et dérivables sur D. Pour x D∈ on peut écrire : [ ]( ) ln( 1) ln( 1)f x x x x= − − + et on obtient alors

1 1 1 2'( ) ln( 1) ln( 1) ln

1 1 1 ( 1)( 1)x x

f x x x xx x x x x

− = − − + + − = + − + + − + . »


d. Soit P(n) la phrase définie sur ℕ par : « 4 1n + est divisible par 3. » On considère le raisonnement suivant :

« Supposons qu’il existe 0n ∈ℕ tel que 0P( )n soit vraie. Montrons que 0P( 1)n + est vraie.

Puisque 0P( )n est vraie, il existe k∈ℕ tel que 04 1 3n k+ = .

On a alors ( )10 0 0 0 0 04 1 4 4 1 3 4 4 1 3 4 3 3 4n n n n n nk k+ + = × + = × + + = × + = + .

Ceci prouve que 04 1n + est un multiple de 3 et donc que 0P( 1)n + est vraie. On en déduit que quel que soit n∈ℕ , P(n) est vraie. » Ce raisonnement est exact.

Exercice 3. 138

Soit f la fonction définie sur ] [1 ;1− par 2

2

1 1( ) ln

1

xf x

x x

−= + si 0x ≠ et (0) 0f = . On appelle (C) la courbe

représentant f dans un repère orthonormal du plan.

a. 0

( )lim 2x

f x

x→= − . b. f est dérivable en 0 et '(0) 0f = .

c. Pour ] [1 ;1x∈ − et 0x ≠ , 1

fx

existe et vaut 2

2

1 1ln

1

xf x

x x

− = + .

d. Soient g la fonction définie sur ] [1 ;1− par ( )( )g x f x= et (Γ ) la courbe représentant g dans le même

repère que (C). On déduit (Γ ) à partir de (C) par une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Exercice 3. 139

89

E désigne la fonction « partie entière ». Soit f la fonction définie sur +ℝ par : (0) 0f = et ( ) lnf x x x= si

0x > .

a. 22

lim ( ) 0xx

f E x→<

= . b. 4

0( ) 6E x dx =∫ .

c. Il existe une et une seule valeur réelle x telle que ( )f x x= − .

d. 1 ( )e

e

f x dx∫ désigne l’aire de la portion de plan située entre les droites d’équation 1

xe

= , x e= , 0y = et la

courbe (C) représentant f.

Exercice 3. 140

Soit f la fonction définie par 20

1( )

1

x

f x dtt

=−∫ .

a. f est définie sur ] [1 ;1− . b. f est croissante sur ] [1 ;1− .

c. (0) 1f = . d. f est une fonction paire.

Exercice 3. 141

Pour tout entier n, 3n ≥ , on désigne par nu le nombre de diagonales d’un polygone convexe ayant n côtés. On appelle u la suite ainsie définie pour 3n ≥ , de terme général nu .

a. 5 6u = et 6 10u = . b. Pour tout entier n, 3n ≥ , on a 1 1n nu u n+ = + − .

c. La suite u est une suite arithmétique de raison 1n− . d. Pour tout entier n, 3n ≥ , on a : ( 3)2n

n nu

−= .

Exercice 3. 142

On considère les suites u et v définies pour n∈ℕ par : 0 0 1 12

1, 2, ,2 1 2

n n n nn n

u v u vu v u v+ +

+ += = = =

+.

a. Soit w la suite définie pour n∈ℕ par : n n nw v u= − . La suite w est une suite géométrique de raison 3

22

− .

b. Quel que soit n∈ℕ , n nu v≤ . c. La suite v est décroissante.

d. Les deux suites u et v convergent et ont la même limite.

Exercice 3. 143

On considère la suite u définie pour n∈ℕ par : 0 13

0,4n

n

u uu

+= =−

.

Soit v la suite définie pour n∈ℕ par : 13

nn

n

uv

u

−=

−. On considère enfin la suite w définie pour n∈ℕ par :

ln( )n nw v= . On admet que u, v, w sont bien définies.

a. Quelque soit n∈ℕ , 1

1

3n nv

+= .

b. w est une suite arithmétique dont la raison est égale au premier terme.

c. Soit n∈ℕ ; ( ) ( )0 1 2ln ... ( 1)( 2)ln 3nv v v v n n× × × × = − + + .

d. La suite u est convergente.

90

Exercice 3. 144

Un sondage fait état de l’intérêt d’un certain nombre de personnes sur la lecture de trois revues, appelées A, B et C. Tous les chiffres cités ci-dessous font référence à ces personnes sondées.

Parmi les personnes interrogées, 75 lisent A, 58 lisent B et 60 lisent C. On sait de plus que 18 lisent A et B, 18 lisent B et C et 15 lisent A et C. Enfin 3 personnes lisent les trois revues et 5 personnes ne lisent aucune de ces revues.

Par ailleurs, et parmi les personnes qui ne lisent que la revue A, 20 sont des femmes ; parmi les personnes qui ne lisent que la revue B, les deux-cinquièmes sont des femmes ; parmi les personnes qui ne lisent que la revue C, il ya moitié-moitié d’hommes et de femmes.

a. 150 personnes ont été sondées.

b. 100 personnes lisent une et une seulement de ces trois revues.

c. On interroge au hasard une personne du sexe masculin qui ne lit que l’une des trois revues. Il y a 25 % de chances qu’il s’agisse d’un homme qui ne lise que la revue A.

d. On interroge au hasard une personne qui ne lit que l’une des trois revues. Il y a 25 % de chances qu’il s’agisse d’un homme qui ne lise que la revue A.

Exercice 3. 145

Un feu tricolore de circulation reste 55 secondes au vert et 5 secondes à l’orange, temps pendant lesquels un piéton ne peut pas traverser. Puis il reste 60 secondes au rouge, temps pendant lequel un piéton peut traverser. Dans l’exercice, on ne s’intéresse qu’aux seuls piétons qui se présenteraient pour traverser à ce feu tricolore entre 8 h 00 et 8 h 05.

A 8 h 00, ce feu se met au rouge. On appelle T la variable aléatoire qui donne, en secondes, le temps écoulé entre 8 h 00 et l’heure d’arrivée devant ce feu d’un piéton qui souhaite traverser. On admet que T suit une loi uniformément répartie sur l’intervalle [0 ; 300].

a. La densité de probabilité associée à T est la fonction f ainsi définie :

1( )

3f t = si [0 ; 60[t∈ ou si [120 ;180[t∈ ou si [240 ; 300[t∈ ; ( ) 0f t = dans les autres cas.

b. La probabilité qu’un piéton attende moins de 10 secondes est 23.

c. La probabilité qu’un piéton attende plus de 40 secondes est 215

.

d. Entre 8 h 00 et 8 h 05, 10 piétons se présentent à ce feu tricolore. La probabilité que 3 d’entre eux

exactement aient attendu moins de 10 secondes est 3

10

2

3.

Exercice 3. 146

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . Soit (D) la droite définie pour t∈ℝ par :

3 14 31

x t

y t

z t

= − + = − + = +

. Lorsque [0 ;1]t∈ , l’ensemble des points M de (D) décrivent un segment ; soient A et B les

extrémités de ce segment, A étant le point dont les coordonnées sont toutes positives. Soit (S) la sphère de diamètre [AB]. Soient (P) le plan d’équation 3 0x y z− − + = et C le point de coordonnées (3, 3, 3).

a. Une équation cartésienne de (D) est 31

13 4

yxz

−− = = − .

b. Le plan (P) contient la droite (D).

c. Une équation de (S) est donnée par ( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 1)( 2) 0x x y y z z− + + − + + − − = .

d. Soit G le barycentre de (A, 1) ; (B, −1) ; (C, −1) (on notera que G existe pusique la somme des coefficients n’est pas nulle). Le triangle GAC est isocèle.

91

Exercice 3. 147

Le schéma ci-dessous représente une situation de l’espace dans un repère approprié.

B

-2

3

2A

1

3

1 1

z

y

x

O

On appelle (P) le plan perpendiculaire à (AB) passant par B et on appelle (C) le cône de sommet A et dont la base est le disque de centre B et de rayon 2.

a. Une équation de (P) est : 5 2 18 0x y z− − + = .

b. La distance de A à (P) est 30 en unités de repère.

c. On considère le raisonnement suivant : « Soit M(x, y, z) un point de l’espace. M appartient à (AB) s’il

existe t∈ℝ tel que AM tAB=

. Dans ce cas, on a 3 511 2

x t

y t

z t

− = − − = − =

. On en déduit 3 511 2

x t

y t

z t

= − = + = +

. »

Ce raisonnement donne de façon nécessaire et suffisante une équation paramétrique de la droite (AB).

d. L’intersection de (C) et du plan (yOz) est un disque.

3. 3. Concours Geipi et ENI 2006

Première épreuve (1 h 30), Geipi uniquement

Exercice 3. 148 /Exercice 1 (7,5 points)

On considère la fonction f définie sur ] [0 ; + ∞ par : ( ) ln xf x

x= . Soit Cf la courbe représentative de f dans

un repère orthogonal ( ; , )O i j

.

Partie A

1. Calculer ( )0

limx

f x+→

et ( )limx

f x→+∞

.

2. a. Déterminer la dérivée f’ de f.

b. Dresser le tableau de variation de f sur ] [0 ; + ∞ . Préciser ( )1f et ( )f e .

c. En déduire que f admet un maximum M que l’on précisera.

3. Tracer la courbe Cf. On placera avec soin les points de Cf d’abscisses respectives 1 et e.

92

4. Donner, suivant les valeurs de x appartenant à ] [0 ; + ∞ le signe de ( )f x .

5. Soit A un réel. On veut déterminer, suivant les valeurs de A, le nombre de solutions de l’équation ( )f x A= . Distinguer les différents cas et préciser, pour chacun d’eux, le nombre de solutions appartenant

à chaque intervalle ] ]0 ;1 , ] ]1 ; e ou ] [;e + ∞ .

Partie B

Soit a un réel strictement positif. On se propose dans cette partie de déterminer tous les réels x, strictement positifs, qui vérifient l’inéquation ( )aE suivante :

( ) : x aaE a x≤ .

1. Justifier que l’inéquation x aa x≤ est équivalente à l’inéquation ( ) ( )f a f x≤ .

2. On suppose dans cette question que a e= .

a. En utilisant la partie A, donner l’ensemble des solutions S1 des solutions de l’inéquation ( ) : x eeE e x≤ .

b. Sans les calculer, comparer eπ et eπ . Justifier la réponse.

3. On suppose dans cette question que 0 1a< ≤ . Quel est le signe de ( )f a ? En utilisant la partie A,

donner l’ensemble des solutions S2 des solutions de l’inéquation ( ) : x aaE a x≤ en fonction de a.

4. On suppose dans cette question que 1a > et a e≠ .

a. En utilisant la partie A, expliquer pourquoi l’équation ( ) ln af x

a= admet deux solutions a1 et a2 qui

vérifient 1 21 a e a< < < . On remarquera que l’une des solutions a1 ou a2 est égale à a.

b. Donner alors l’ensemble des solutions S3 des solutions de l’inéquation ( )aE en fonction de a1 et a2.

5. Application : on suppose dans cette question que a = 2.

a. Déterminer l’entier naturel n, différent de 2, tel que ( ) ( )2f n f= .

b. En déduire l’ensemble des solutions S4 des solutions de l’inéquation ( ) 22 : 2xE x≤ .

Exercice 3. 149 /Exercice 2 (7 points)

Ariane et Benjamin échangent des balles au ping-pong. Soient les événements suivants :

A : « Ariane marque le point », B : « Benjamin marque le point ».

Ariane étant légèrement plus expérimentée que Benjamin, la probabilité qu’elle marque un point est

( ) 53P

100p A= = .

Ils décident d’engager une partie selon les modalités suivantes :

- Le joueur qui gagne un set est le premier qui marque deux points, consécutifs ou non.

- La partie s’arrête dès qu’un des deux deux joueurs a remporté trois sets, consécutifs ou non. On dit alors que ce dernier a gagné la partie.

Partie A

Dans cette partie on étudie la probabilité pour Ariane de « gagner un set ».

1. Dans un échange de balles, quelle est la probabilité q que Benjamein marque le point ?

2. Faire un arbre donnant tous les événements élémentaires (au bout de trois points un des deux joueurs a forcément gagné le set).

3. Donner la probabilité P1 qu’Ariane marque les deux premiers points.

4. Donner la probabilité P2 qu’Ariane gagne le set, Benjamin ayant marqué un point.

5. Donner la probabilité P3 qu’Ariane gagne le set. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée à 10−3 près.

93

Partie B

On étudie maintenant la probabilité pour Ariane de gagner la partie (trois sets gagnés consécutifs ou non). Tous les sets sont joués dans des conditions identiques et indépendantes. Pour le jeu d’un set, on note les événements suivants :

S : « Ariane gagne le set », E : « Ariane perd le set ».

On suppose que pour chaque set, les probabilités de ces événements sont :

( )P 0, 545P S= = et ( )P 0, 455Q E= = .

1. Finir le dessin de l’arbre des événements élémentaires et le compléter.

2. Donner en fonction de P la probabilité T1 qu’Ariane gagne les trois premiers sets.

3. Donner en fonction de P et Q, la probabilité T2 qu’Ariane gagne la partie, Benjamin ayant remporté un set.

4. Donner en fonction de P et Q, la probabilité T3 qu’Ariane gagne la partie, Benjamin ayant remporté deux sets.

5. a. Donner en fonction de P et Q, la probabilité T qu’Ariane gagne la partie.

b. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité T.

6. a. Déterminer en fonction de P et Q, la probabilité H qu’Ariane gagne la partie, sachant que Benjamin a remporté le premier set.

b. Donner une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité H.

Partie C

On suppose maintenant que chaque joueur gagne 10 euros pour chaque set gagné et perde 10 euros pour chaque set perdu. Ariane et Benjamin engagent une partie dans les mêmes conditions que précédemment. On note GA la variable aléatoire représentant le gain d’Ariane à la fin de la partie et GB la variable aléatoire représentant le gain de Benjamin à la fin de la partie. Ces gains peuvent être positifs ou négatifs.

1. Donner le tableau représentant la loi de probabilité de GA. On donnera les probabilités en fonction de P et Q.

2. Donner une valeur approchée à 10−3 près de l’espérance de gain E(GA) d’Ariane à l’issue de la partie.

3. Donner en fonction de E(GA) l’espérance de gain E(GB) de Benjamin.

94


On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j

.

Pour tous les vecteurs u et v du plan on note u v

i le réel égal au produit scalaire des vecteurs u

et v. On

considère un vecteur unitaire k du plan, c’est-à-dire tel que

21k k k= =

i et la droite D passant par O et

de vecteur directeur k.

On rappelle qu’un point N du plan appartient à la droite D s’il existe un réel xN tel que NON x k=.

Pour tout point M du plan on note ( )M OM kρ =i .

Partie A

1. Déterminer l’ensemble F de tous les points M du plan qui vérifient ( ) 0Mρ = .

2. Soit N un point quelconque de la droite D et réel xN tel que NON x k=. Déterminer ( )Nρ en fonction

de xN.

Partie B

On considère la transformation f du plan dans lui-même qui, à tout point M, associe le point M’ = f(M) défini par : ( )' 2OM M k OMρ= −

.

1. Déterminer l’image N’ d’un point quelconque N de la droite D. Justifier la réponse.

2. Soit M un point quelconque du plan, M’ son image par f et IM le milieu du segment [MM’].

a. Exprimer le vecteur MOI

en fonction des vecteurs OM

et 'OM

et montrer que IM appartient à la droite D.

b. Déterminer ( )'Mρ en fonction de ( )Mρ . On fera le détail du calcul.

c. En déduire l’image ( )'' 'M f M= de M’.

d. Montrer que le vecteur 'MM

est orthogonal à k.

3. En déduire la nature de la transformation f.

Deuxième épreuve Geipi et ENI (45 minutes)

QCM, 5 réponses proposées, une seule réponse est correcte sur les cinq. Chaque bonne réponse vaut 1 point. Une réponse fausse ou multiple coûte 0,25 point.

Exercice 3. 151 /Question 1

On considère l’équation différentielle avec condition initiale suivante : ( )( )

1 1'

4 20 3

y yE

y

= − + =

.

A. (E) admet pour solution : 2 1xy x e− +֏ . B. (E) admet pour solution

14 1

:2

xy x Ce

−+֏ où C

est un réel quelconque.

C. (E) admet pour solution 14: 3x

y x Ce +֏ où C est un réel quelconque.

D. (E) admet pour unique solution 14: 2x

y x e−

+֏ .

E. (E) admet pour unique solution 14: 2 4x

y x e−

− +֏ .

95


Dire quel est l’ensemble S des solutions de l’inéquation suivante : ( ) 12 ln 2 ln 3 ln 2

2x x

− − + ≤

.

A. [ [0 ; 2S = . B. 1; 2

2S

= − . C. [ ]0 ;12S = . D. ] ]1

; 0 2 ;122

S = − ∪

. E. 1; 0

2S

= − .


Une urne contient six boules dont cinq boules rouges et une boule noire. On effectue au hasard des tirages successifs et sans remise d’une boule et on s’arrête dès qu’on a tiré une boule noire. Quelle est la probabilité P d’avoir à effectuer six tirages avant de s’arrêter ?

A. 1P = . B. 56

P = . C. 136

P = D. 6

1

6P = E.

16

P = .


Dire quel est l’ensemble S des solutions complexes de l’équation suivante : 2 5 7z z i+ = + .

A. ,S a i a= + ∈ℝ . B. 33i

S+ =

. C.

33i

S− =

D.

3 3;

3 3i i

S+ − =

. E. 1 ,

3b

S i b = − ∈

ℝ .


Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère le plan P d’équation 2 13x y z+ + = . Le point A a

pour coordonnées ( )1, 0, 1 et le point B a pour coordonnées ( )2, 1, 3 . La droite (AB) et le plan P admettent

pour intersection :

A. Le point

( )0, 8, 5I .

B. Le point

( )3, 2, 5I .

C. Le point

( )1, 1, 2I . D. L’ensemble vide. E. La droite (AB).


Une intégration par parties permet de calculer l’intégrale 1

lne

I x xdx= ∫ . Quelle est la valeur de I ?

A. 2 12 4e

I = + . B. 0I = . C. 2 14

eI

+= D. 14

I = − E. 1I = .


Soit la fonction définie sur ℝ par ( ) ( )3 2 xg x x e−= − . Parmi ces cinq expressions, laquelle correspond à

une primitive de g ?

A. ( )2( ) 3 xG x x x e−= − + . B. ( )( ) 2 1 xG x x e−= − . C. ( )( ) 2 5 xG x x e−= − D. ( )( ) 5 2 xG x x e−= −

E. ( )( ) 1 2 xG x x e−= − .


On considère l’équation (E) : cos sinx x= − . Une de ces cinq affirmations est exacte. Laquelle ?

A. (E) admet une solution dans 3

; 22π π

. B. (E) admet quatre solutions dans [ ]0 ; 2π .

C. (E) admet pour solution 34π− dans [ ]; 0π− . D. (E) a deux solutions opposées dans [ ];π π− .

96

E. La différence entre deux solutions distinctes de (E) est toujours égale à 2kπ , k entier relatif.


Soit la suite ( )n nu ∈ℕ définie par

0

1

02 3

4n

nn

u

uu

u+

= + = +

pour tout n entier naturel. La suite ( )n nv ∈ℕ définie par

13

nn

n

uv

u

−=

+ est une suite géométrique de raison q. Que vaut q ?

A. 34

q = . B. 2q = . C. 13

q = − . D. 15

q = . E. 2q = − .


Voici la courbe représentative d’une fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal.

A. La dérivée f‘ de f est impaire. B. 3

2( )

1

xf x

x=

+. C.

( )2

22

1'( )

1

xf x

x

−=+

.

D. ( )

2

22

1'( )

1

xf x

x

−=+

. E. ( )lim 1 0x

xf e

→+∞− = .

Troisième épreuve Geipi et ENI (45 minutes)


Soit la fonction g définie sur ℝ par ( )x x

x x

e eg x

e e

−

−−=+

. On note Cg sa courbe représentative dans le plan

rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j

.

1. Montrer que g est impaire.

2. a. Montrer que, pour tout réel x, on a ( )2

2

1

1

x

x

eg x

e

−

−−=+

.

b. Calculer ( )limx

g x→+∞

. Justifier la réponse.

3. a. Déduire de ce qui précède que Cg admet une droite asymptote 1∆ au voisinage de +∞ .

b. En utilisant la question 1., déduire que Cg admet une droite asymptote 2∆ au voisinage de −∞ dont on donnera une équation.

4. a. Montrer que pour tout réel x, ona ( ) 1g x < .

b. Indiquer alors la position de la courbe Cg par rapport aux deux asymptotes 1∆ et 2∆ .

5. a. Déterminer g’(x), où g’ désigne la dérivée de g.

b. Donner le tableau de variation de g sur ℝ .

6. Déterminer une équation de la tangente T0 à la courbe Cg au point d’abscisse 0.

97

7. Tracer Cg, les asymptotes 1∆ et 2∆ et la tangente T0.


On se place dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O u v

.

Partie A

On considère la transformation T qui, à tout point M du plan P, d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’

défini par : 2 2

'2 2

z iz= + .

1. Déterminer sous forme algébrique l’affixe b de l’unique point invariant B par T.

2. On suppose que M est différent de B et on pose 'z b

Zz b

−=−

.

a. Déterminer le réel R tel que Z iR= .

b. Déterminer un argument et le module de Z.

c. En déduire une mesure de l’angle ( ), 'BM BM

et une expression de la distance BM’ en fonction de BM.

Partie B

Soit α un nombre complexe et Aα le point d’affixe α . On considère la transformation Tα qui, à tout

point M du plan P, d’affixe z, associe le point M’ d’affixe z’ défini par : ( ) ( )2 2' 1

2 2z i zα α= + + − .

1. On suppose dans cette question que 2 iα = − .

a. Déterminer l’affixe du vecteur 'MM

.

b. En déduire que 2Ti− est une transformation géométrique simple dont on donnera les éléments

caractéristiques.

2. a. Il existe une valeur 1α pour laquelle 1Tα est une rotation de centre O. Quelle est cette valeur ?

b. Déterminer alors l’angle 1θ de la rotation 1Tα .

3. 4. Concours EPF 2005

Quatre exercices à choisir sur les cinq proposés : - les numéros 1 et 2 sont obligatoires, - il suffit de choisir deux autres exercices parmi les numéros 3, 4 et 5. Les quatre exercices peuvent être traités dans n’importe quel ordre.

Exercice 3. 163

On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct. A tout nombre complexe z

différent de i, on associe le nombre complexe Z défini par 1z

Zz i

+=−

.

On pose z x iy= + où x et y désignent les parties réelle et imaginaire de z.

1. Calculer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imaginaire de Z.

2. Déterminer l’ensemble E1 des points du plan complexe tels que Z soit réel.

3. Déterminer l’ensemble E2 des points du plan complexe tels que Z soit imaginaire pur.

4. Soit A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe i. Déterminer l’ensemble E3 des points du plan tels que

arg Z soit égal à 2π ou

2π− .

5. Tracer les ensembles E1, E2 et E3.

98

Exercice 3. 164

Soit f la fonction définie sur ℝ par ( )2( ) ln 1x xf x e e= − + . Soit C sa courbe représentative dans un repère

orthonormal du plan.

1. Vérifier que f est bien définie sur ℝ .

2. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞ .

3. Montrer que la courbe C admet deux asymptotes dont l’une est la droite d’équation 2y x= .

4. Déterminer la fonction dérivée f’ de f et étudier son signe sur ℝ .

5. Dresser le tableau de variation de f.

6. Construire la courbe C, en précisant al tangente au point d’abscisse 0.

Exercice 3. 165

Un dictionnaire comporte n pages.

1. Dans ce dictionnaire on choisit une page.

La moyenne des numéros de toutes les pages restantes est 1 000,743.

a. Si on choisit la page 1, exprimer la moyenne M1 des numéros des pages restantes en fonction de n.

b. Si on choisit la page n, exprimer la moyenne Mn des numéros des pages restantes en fonction de n.

c. Déterminer alors les valeurs possibles pour n.

2. On choisit la page numérotée i. Calculer la moyenne Mi des numéros des pages restantes. En déduire le numéro de la page choisie et le nombre de pages de ce dictionnaire.

Exercice 3. 166

On désigne par ABCD un carré de côté a, par Γ le demi-cercle de diamètre [CD] intérieur à ce carré et par O le milieu du segment (CD].

Soit M le point de contact de la tangente, autre que la droite (AD), menée de A à Γ et N le point où cette tangente coupe la droite (BC).

1. Démontrer que les droites (OA) et (ON) sont les bissectrices respectives des angles de sommet O des triangles DOM et COM.

En déduire la nature du triangle AON.

2. Calculer les distances AM, AO, AN, MN et NC en fonction de a.

3. La droite(OM) coupe la droite (BC) en un point E. On pose BE = b.

a. Démontrer que l’on a EM = b.

b. En calculant de deux façons différentes l’aire du triangle AEN, déterminer EN en fonction de b.

c. Déduire des questions précédentes une relation entre a et b, puis b en fonction de a.

D

CB

A

99

Exercice 3. 167

On considère la fonction f définie sur ℝ par ( )( ) 2 ln 1x xf x e e−= + . Le graphique ci-dessous, obtenu à l’aide

d’un ordinateur, donne la courbe représentative Γ de f dans un repère orthonormal.

-1

0

1

2

3

4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

x

y

D’après le graphique on peut émettre trois conjectures :

(A) : « La fonction f est strictement croissante sur ℝ ».

(B) : « La courbe Γ admet deux asymptotes d’équations respectives y = 0 et y = 2 ».

(C) : « La courbe Γ admet un centre de symétrie ».

On suppose que l’on a démontré les conjectures (A) et (B) et on s’intéresse à la conjecture (C).

1. Si le centre de symétrie de Γ existe, quelle est son ordonnée ? On justifiera la réponse.

2. Montrer que l’équation f(x) = 1 admet une unique solution, notée α . Un tableur permet d’obtenir le tableau suivant :

x f(x)

−0,922 0,9998

−0,921 1,0002

Donner, en le justifiant, un encadrement de α . Que peut-on en déduire pour le centre de symétrie s’il existe ?

3. Montrer que le point S, de coordonnées (a ; b) est centre de symétrie de la courbe Γ si et seulement si pour tout réel x, on a ( ) ( ) 2f a x f a x b+ + − = .

4. Calculer f(0).

Soit g la fonction définie sur ℝ par ( ) ( ) 2 ln 2g x f x= + . Un tableur permet d’obtenir le tableau suivant :

x g(x)

−1,844 2,0161

−1,843 2,0165

−1,842 2,0168

Montrer que (2 ) (0) 2f fα + ≠ .

Que peut-on en déduire pour l’existence d’un centre de symétrie pour Γ ?

4 . RESUME DE COURS

100

4. 1. Suites

Suites arithmétiques : 1er terme u0 ; 1n nu u a+ = + ; 0nu u na= + ou 1 ( 1)nu u n a= + − ; diverge.

(nbre de termes)(1 terme+dernier terme)

2nS

°= ; ( )1

1 2 ...2

n nn

++ + + = .

Suites géométriques : 1er terme u0 ; 1n nu bu+ = ; 0n

nu u b= ou 11

nnu u b −= ; converge vers 0 si 1b < ; si

1b ≠ , 1

20 0

1(1 ... )

1

nn

nb

S u b b b ub

+−= + + + + =−

tend vers 01

si 11

u bb

<−

; si 1b = , 0( 1)nS u n= + .

Suites arithmético-géométriques (souvent rencontrées en Probabilités) : 1n nu au b+ = + .

Chercher le point fixe u tel que u au b= + ; en soustrayant on obtient

1 0( ) ( )nn n nu u a u u u u a u u+ − = − ⇒ − = − .

En général :

* (un) est strictement croissante (décroissante = <) si 1n nu u+ > , soit 1 0n nu u+ − > ou 1 1si 0nn

n

uu

u+ > > .

* (un) majorée s’il existe M réel tel que nu M< pour tout n, minorée s’il existe m réel tel que nm u< pour tout n.

* (un) converge vers une limite l si on peut trouver une suite vn dont on est sûr qu’elle converge vers 0 (suites géométriques ou fonctions de n tendant vers 0 à l’infini) et une constante k positive telles que

n nu l kv− ≤ pour n suffisamment grand (en fait il se peut que la relation ne soit pas vérifiée jusqu’à n=100

par exemple, mais si elle l’est après c’est bon).

* Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Si la suite est définie par 1 ( )n nu f u+ = et que la fonction f est continue, la limite dans ces cas là est toujours solution de l’équation ( )f x x= .

* Deux suites ( )nu et ( )nv sont adjacentes si elles vérifient les conditions suivantes :

( ),

lim 0

n n

n n

n nn

u v

u croissante v décroissante

v u→∞

≤ − =

;

deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

4. 2. Analyse

Lorsque l’ensemble de définition de f est symétrique :

* f(–x) = f(x) : f est paire, symétrie par rapport à Oy ;

* f(–x) =−f(x) : f est impaire, symétrie par rapport à O ;

* f est continue en 0x ssi 0( )f x existe et 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= .

* Nombre dérivé en x0 : 0 0 0

000 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim '( )x x h

f x f x f x h f xf x

x x h→ →

− + −= =

− ; (si le résultat est infini : tangente

verticale).

* Tangente en x0 : 0 0 0'( )( ) ( )y f x x x f x= − + .

* Si f’’(x0) ≥ 0, la courbe est au-dessus de sa tangente en x0 ; si f’’(x0) ≤ 0, la courbe est en dessous de sa tangente.

* f et g ont des courbes asymptotes ssi lim( ( ) ( )) 0f x g x∞

− = ; leurs positions respectives dépendent du signe

de f(x) – g(x).

101

* Quelques limites :

0α > : 0

lim 0x

xα→

= ; 0α < : 0

limx

xα→

= +∞

* 0

sinlim 1h

h

h→= *

( ) ( ) ( )( )

0

1 1 0

lim 0h

h h h h

h

α α ε αε

→

+ = + + ≠ =

.

* A l’infini un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré.

fonction dérivée fonction dérivée *, nx n∈ℚ

1nnx − *,nu n∈ℚ

1' nnu u −

u + v u’+ v’ *,uα α ∈ℝ

1.u uαα −′

ku, k réel ku’ u v ' .( ' )v u v

u.v u’.v+u.v’ 1u− 11/ 'u u−

u '

2u

u cos u – u’ sin u

1u 2

'uu

− sin u u’ cos u

u

v 2

' 'u v uv

v

− tan u 2'(1 tan )u u+

Pour la dérivabilité on revient à la définition s’il y a un problème avec les formules de base : c’est toujours

le cas lorsque la fonction comporte une racine puisque la dérivée de u est '

2u

u : si u s’annule en x = a, la

dérivée n’est alors pas définie pour x = a. On calcule alors ( ) ( )

limx a

f x f a

x a→

−−

(avec éventuellement x > a,

x < a) ; si le résultat est fini on a le coefficient directeur de la tangente, si le résultat est infini on a une (demi) tangente verticale.

4. 3. Exponentielle kxe , k constante réelle, est solution de l’équation différentielle (E) 'y ky= avec y(0) = 1.

On en déduit grâce à la méthode d’Euler que lim 1n

t

n

te

n→+∞

+ =

pour tout t réel.

Ceci montre également que 0xe > pour tout x réel. Grâce à la résolution de (E) on obtient que ( )'x xe e= et grâce à la formule de dérivation des fonctions composées (la dérivée de u v est ' .( ' )v u v ) que la dérivée de ue est euu′ .

L’exponentielle est continue, croissante et bijective de ℝ vers [0 ; +∞ [. Sa réciproque est la fonction logarithme néperien, ce qui donne : si ] [;x∈ −∞ + ∞ et ] [0 ;y∈ + ∞ , exp exy x= = équivaut à lnx y= (on

peut remplacer les égalités par des inégalités).

Propriétés algébriques : e e ea b a b+ = ; e

ee

aa b

b− = ; ( )e e

ba ab= ; 1aa

ee

− = ; /2a ae e= .

Limites : lim exx→+∞

= +∞ ; lim e 0x

x→−∞= ;

0

e 1lim 1

h

h h→

− = ; 0α > :e

limx

x xα→+∞= +∞ ; lim e 0x

xxα −

→+∞= ou

lim e 0x

xxα

→−∞= .

102

Fonction exponentielle de base a : lnx x aa e= ( a > 0 ) ; on a alors la dérivée de ln *( ),uu eα α α= ∈ℝ qui est 1.u uαα −′ .

4. 4. Logarithme

On peut définir la fonction ln comme l’unique primitive de la fonction 1/x s’annulant lorsque x = 1 :

1

1ln

x

x dtt

= ∫ (x > 0) ou comme fonction réciproque de la fonction exponentielle :

si ] [,x∈ −∞ + ∞ et ] [0,y∈ + ∞ , exp exy x= = équivaut à lnx y= .

La fonction ln(u) n’existe que si u > 0.

Propriétés algébriques : ln ln lnab a b= + ; ln ln lna

a bb

= − ; 1

ln ln( )aa

= −

; ln( ) lnna n a= . ln1 0= ;

ln e 1= (e vaut environ 2,7183…). lnx est positif lorsque x > 1, négatif lorsque x < 1.

Limites : lim lnx

x→+∞

= +∞ ; 0

lim lnx

x→

= −∞ ; 0

lim ln 0x

nx x −

→= ;

( )0

ln 1lim 1h

h

h→

+= .

Croissance comparée : ln

lim 0x

x

xα→+∞= .

La dérivée de ln u est 'uu ; comme u est très souvent positif, le signe de la dérivée est alors celui de u’.

Primitive : xlnx − x (s’obtient par IPP : u’ = 1, v = lnx).

Logarithme décimal (souvent employé en Physique) : ln

logln10

xx = .

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0 1 2 3 4 5

x

logarithme

4. 5. Equations différentielles

Une équation différentielle est une équation liant une fonction inconnue (notée généralement y) et ses dérivées (y’, y’’, …). On dira que l’équation est linéaire et du premier ordre si on peut l’écrire ' ( ) ( )y P x y Q x+ = . L’équation est sans second membre si Q(x) = 0.

Par la suite k, k’, C désigneront des constantes, x la variable.

* Equation 'y ky= : sol. kxy Ce= . * Equation ' 'y ky k= + : sol. ' kxk

y Cek

= − + .

D’une manière générale si on a une équation différentielle (E) et que l’on nous donne une fonction f dont on demande si elle est solution, il suffit de calculer les dérivées nécessaires de f, de remplacer et de vérifier que f satisfait (E) (on arrive alors à une égalité du style 0=0).

103

Pour la résolution d’une équation linéaire avec second membre on résout l’équation sans second membre, ce qui donne une solution f, on cherche une solution particulière u de l’équation complète, la solution générale sera alors la somme de f et u.

En général une constante d’intégration apparaît (C dans les équations précédentes) ; on peut obtenir cette constante si l’on connaît une valeur initiale de y (en général y(0), parfois y’(0)) : on remplace x par 0 et y par y(0) et on en déduit C.

Résolution approchée : on utilise souvent la méthode d’Euler qui consiste à remplacer y’ par ( ) ( )y x h y x

h

+ − en

choisissant un pas h suffisamment petit (par ex. h = 0,01 mais cela dépend du contexte…). Connaissant alors y(0) par exemple on en déduit y1 = y(h), y2 = y(2h), y3 = y(3h)… ce qui donne deux suites : nx nh= et

1( )n ny yϕ −= . Ces suites sont les coordonnées d’une suite de points que l’on peut tracer ; on a alors une approximation de la courbe solution. Cette méthode n’est pas très précise (en fait ça dépend du pas h choisi mais également de la fonction y), aussi on ne peut l’utiliser que sur un nombre de pas limité. Par contre on peut éventuellement remplacer h par 1/n et faire tendre n vers l’infini, ce qui peut donner la limite de certaines suites (là ça devient plus compliqué). Exemple type : xe est solution de y’ = y et

y(0) = 1, ce qui nous donne la suite ( ) 1n

xy n

n

= +

qui a donc pour limite xe lorsque n tend vers l’infini.

4. 6. Intégration

Formules fondamentales : Si F est une primitive de f, alors ( ) ( ) ( )

b

a

f t dt F b F a= −∫ .

Si ( ) ( )x

ag x f t dt= ∫ , alors ( ) ( )g x f x′ = et ( ) ( ) ( )

x

a

f x f a f t dt′− = ∫ .

Intégration d’une inégalité : Si a b≤ et f g≤ , alors ( ) ( )

b b

a af t dt g t dt≤∫ ∫ .

Si a b≤ et m f M≤ ≤ , alors ( ) ( )( )b

am b a f t dt M b a− ≤ ≤ −∫ .

Linéarité :

[ ]( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a af t g t dt f t dt g t dtα β α β+ = +∫ ∫ ∫ .

Positivité : Si a b≤ et 0f ≥ , alors ( ) 0b

af t dt ≥∫ .

Valeur moyenne de f sur [ a ; b ] :

1( )

b

af t dt

b a− ∫ .

Intégration par parties (IPP) :

[ ]b b

b

aa auv dt uv u vdt′ ′= −∫ ∫ .

f primitive de f f primitive de f

'uu ln u u’ *, 1nu n∈ − −ℚ 11

1

n

nu +

+

' uu e ue ax be + 1 ax bea

+

ln u ln( )

( )ln

x a dx

x a x x

+ =

+ −∫ u’ cos u sinu

Principales primitives :

u’ tan u ln cosu u’ sin u cosu−

104

4. 7. Nombres complexes

Définitions et Formes

Algébrique z x iy= + ;

Trigonométrique ( )cos sin , 0iz i e θρ θ θ ρ ρ= + = > ; ρ est le

module, θ est l’argument de z.

OM xu yv= +

; 2 2OM z x yρ= = = + ;

( )OP Re cosx z ρ θ= = = ;

( )OQ Im siny z ρ θ= = = ; tan arctan [ ]y y

x xθ θ π = ⇒ =

.

Formules d’Euler : ( )1cos

2i ie eθ θθ −= + ; ( )1

sin2

i ie ei

θ θθ −= −

(pas au programme).

Algèbre : a, b, c réels, 0a ≠ , 2 4b ac∆ = − . L’équation P(z) = 2 0az bz c+ + = admet :

0∆ > : deux solutions réelles ; 1 2b

za

− + ∆= ; 2 2b

za

− − ∆= ;

0∆ = : 1 2 2b

z za

−= = ;

0∆ < : 2 solutions complexes conjuguées ; 1 2b i

za

− + −∆= ; 2 2b i

za

− − −∆= .

Factorisation : ( )( )21 2az bz c a z z z z+ + = − − .

Somme des racines : 1 2b

z za

+ = − . Produit des racines : 1 2c

z za

= .

Trigonométrie

Formule de Moivre : *n∀ ∈ℕ , ( )ni ine eθ θ= ou ( )cos sin cos sinni n i nθ θ θ θ+ = + .

Racines nièmes de l’unité : 2kin

ku eπ

= où 0, 1, 2, ..., 1k n= − ; 1ku = ; les solutions de nz a= où ia e αρ= sont

0k kz z u= , où 1

0i

n nz eα

ρ= (hors programme mais parfois utile).

Opérations algébriques

Somme : ( ) ( ) ( ) ( )z z x iy x iy x x i y y′ ′ ′ ′ ′+ = + + + = + + + ;

Produit : ( ) ( ) ( ) ( )z z x iy x iy xx yy i xy x y′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⋅ = + ⋅ + = − + + .

Conjugué : iz x iy e θρ= + = , iz x iy e θρ −= − = ; z z z z′ ′+ = + , zz z z′ ′= ⋅ .

Inverse : 2 2 2 2 21 1 iyz z x

i ez zz x y x yz

θ

ρ−−= = = + =

+ + ; ( )1

2x z z= + ; ( )1

2y z z

i= − ; 22 2zz x y z= + = .

Puissance : ( )nn i n inz e eθ θρ ρ= = , n∈ℤ .

Module et argument d’un produit : ( ) ( ) ( )ii iz z e e e θ θθ θρ ρ ρρ ′′ +′ ′ ′⋅ = ⋅ = ; zz z z′ ′= ⋅ ;

arg( . ') arg( ) arg( ')[2 ]z z z z π= + .

Module et argument d’un quotient : ( )i

i

i

z ee

z e

θθ θ

θρ ρ

ρρ′−

′= =′ ′′

; zz

z z=

′ ′ ; arg( ) arg( ) arg( ')[2 ]

'z

z zz

π= − .

M(z)

P(x)

Q(y)

u

v

ρ

θ

105

Géométrie

Vecteur AB

: affixe b − a.

Angle de deux vecteurs : ( , ) argc a

AB ACb a

− = −

.

Distance de deux points : AB b a= − .

Equation d’un cercle : M(z) est sur le cercle de centre A(a) et de rayon r si z a r− = (et réciproquement).

Translation de vecteur ( )u a

: '/ 'z z z z a→ = + .

Rotation de centre ( )ωΩ d’angle θ : '/ ' ( )iz z z e zθω ω→ − = − .

Homothétie centre ( )ωΩ , rapport k : '/ ' ( )z z z k zω ω→ − = − .

Similitude directe (spécialité) : '/ 'z z z az b→ = + .

( ( ), , ) : '/ ' ( )iS k z z z ke zθω θ ω ωΩ → − = − ; ( )ωΩ est le centre et donc l’unique point invariant ;

avec θ = 0 : homothétie, avec k = 1 : rotation. Similitude indirecte (spécialité) :

'/ 'z z z az b→ = + : s’il existe des points invariants c’est une réflexion sinon c’est la composée d’une similitude directe et de la réflexion d’axe (Ox) ( z z→ ).

Caractérisation des réels et des imaginaires purs :

Im( ) 0 arg( ) 0[ ]z z z π∈ ⇔ = ⇔ =ℝ ;

Re( ) 0 arg( ) [ ]2

z i z zπ π∈ ⇔ = ⇔ =ℝ (à savoir : arg( )

2i

π= ).

Inégalité triangulaire : z z z z z z′ ′ ′− ≤ + ≤ + .

Produit scalaire : . ' . 'p z z z z= + .

4. 8. Barycentre

Sauf indication contraire toutes les propriétés énoncées dans cette fiche sont valables dans le plan ou dans l’espace voire des espaces de dimensions supérieures…

Définitions

Étant donnés n points A1, A2, …, An pondérés par n réels de somme non nulle 1 2, ,..., nα α α , on appelle barycentre du système : 1 1 2 2( ), ( ),... ( )n nA A Aα α α l’unique point G vérifiant :

1 1 2 2 ... 0n nGA GA GAα α α+ + =

.

Lorsque tous les coefficients sont égaux, on parle d’isobarycentre.

Propriété du barycentre

Soit G le barycentre du système 1 1 2 2( ), ( ),... ( )n nA A Aα α α et O un point quelconque. Alors :

( )1 1 2 21 2

1...

... n nn

OG OA OA OAα α αα α α

= + + ++ + +

Si O est l’origine d’un repère dans l’espace, on obtient les coordonnées du barycentre par :

1 2

1 21 21 2

1 2

1...

...

G A A An

G A A n Ann

G A A An

x x x x

y y y y

z z z z

α α αα α α

= + + + + + +

Dans le plan, on obtient une formule analogue : affixe du barycentre

( )1 21 21 2

1...

...G A A n Ann

z z z zα α αα α α

= + + ++ + +

106

Homogénéité : Lorsqu’on multiplie ou divise tous les coefficients du système 1 1 2 2( ), ( ),... ( )n nA A Aα α α par un même réel non nul, le barycentre ne change pas.

Associativité : dans le système 1 1 2 2( ), ( ),... ( )n nA A Aα α α , on peut regrouper certains points et les remplacer par leur barycentre affecté de la somme des poids correspondants (à condition que cette somme ne soit pas nulle).

Caractérisations barycentriques

La droite (AB) est l’ensemble des barycentres des points A et B : on divise par α β+ et on pose tβ

α β=

+,

alors ( )0 1 0AM BM t AM tBM AM tABα β+ = ⇔ − + = ⇔ =

;

si t est un réel quelconque, M est un point quelconque de (AB),

si [0 ;1]t∈ M est un point du segment [AB].

Le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B, C.

Le triangle (ABC) est l’ensemble des barycentres des points A, B, C affectés de coefficients de même signe.

Construction

Utiliser AG ABβ

α β=

+

pour deux points ; au-delà de deux points utiliser l’associativité. Eviter au

maximum d’utiliser la définition.

4. 9. Géométrie de l’espace

Nous ne revenons pas sur les propriétés semblables à celles du plan : barycentres, colinéarité, orthogonalité, distances, etc. Quelques méthodes de base et quelques formules.

1. Trouver un vecteur normal à un plan passant par trois points A, B et C : on construit les vecteurs ( ; ; )u AB a b c= =

et ( ' ; ' ; ')v AC a b c= =

; on cherche donc ( ; ; )n x y z=

tel que . 0u n ax by cz= + + =

et

. ' ' ' 0v n a x b y c z= + + =

; comme on a un système à deux équations et trois inconnues, deux des variables s’expriment en fonction de la troisième, par exemple z ; mettons que l’on ait 3x z= , 2y z= , on a alors

(3 ; 2 ; ) (3 ; 2 ;1)n z z z z= =

; tous les vecteurs colinéaires à (3 ; 2 ; 1) sont normaux au plan (ABC).

2. Trouver l’équation d’un plan : cette équation est toujours de la forme 0ax by cz d+ + + = où a, b et c

sont les coordonnées du vecteur n normal au plan. Lorsqu’on connaît n

et un point A on fait le p.s. :

. . 0A

A

A

a x x

n AM b y y

c z z

− = − = −

ce qui donne l’équation du plan. L’angle de deux plans est donné par celui de

leurs vecteurs normaux.

3. Equations de droites ou de cercles : une droite est l’intersection de deux plans, elle a donc deux équations cartésiennes (idem pour les cercles, intersection d’une sphère et d’un plan) ; en général on utilise les équations paramétriques : une droite passant par A et de vecteur directeur ( ; ; )u α β γ=

est l’ensemble de

points M tels que AM tu=

où t est un réel quelconque. On a alors A

A

A

x x t

y y t

z z t

αβγ

= + = + = +

.

Réciproquement lorsqu’on a des équations paramétriques de droites on a un point de passage avec les constantes et un vecteur directeur avec les coefficients du paramètre t.

Equation d’une sphère ; comme pour le cercle dans le plan : 2 2 2 2( ) ( ) ( )A A Ax x y y z z R− + − + − = .

107

4. Intersection droite-droite : faire l’égalité entre les équa-tions paramétriques (avec des paramètres différents) ; comme on a trois équations pour deux inconnues il se peut qu’il n’y ait pas de solution, dans ce cas les droites ne sont pas sécantes. Si les vecteurs directeurs sont colinéaires les droites sont parallèles.

5. Intersection plan-droite : remplacer x, y et z dans l’équa-tion du plan 0ax by cz d+ + + = par les relations paramétri-ques ; on résout alors en t ; on remet la valeur de t trouvée (si on en trouve une) dans les équations de la droite ce qui donne le point d’intersection.

6. Intersection plan-plan : s’ils sont parallèles leurs vecteurs normaux sont colinéaires (première chose à voir). Sinon leur intersection est une droite. Par exemple on cherche l’intersection des plans 2 3 0x y z+ + =

et 2 1 0x y z− + − = ; en résolvant on a par exemple 3 /51/5

x y

z y

= + = − −

; on pose alors y = t, ce qui donne les

équations paramétriques d’une droite : 3 /5

1/ 5

x t

y t

z t

= + = = − −

.

7. Distance d’un point à un plan : le point est ( , , )A A AA x y z , le plan a pour équation 0ax by cz d+ + + = , la

distance est alors 2 2 2

( , ) A A Aax by cz dd A P

a b c

+ + +=

+ +.

8. Spécialité : une surface de l’espace a une équation du type F(x, y, z)=0 ; pour faire l’intersection avec un plan comme y = k on remplace y par k et on regarde le type de courbe résultat. Exemple : la surface 2 2 2x y z+ = coupe les plans x = k suivant 2 2 2z y k− = , soit 2 2z y k= ± + qui sont des hyperboles dans les

plans parallèles à (yOz) et deux droites dans le plan (yOz).

9. Surfaces et Volumes :

surface volume

sphère 24 Rπ 343

Rπ

tétraèdre et autres pyramides somme de la surface des faces x3

base hauteur

cylindre surf. du rectangle + 2x surf. du cercle

2R hπ

cône 213

R hπ

vol. de révolution engendré par une fonction f tournant autour de l’axe (Ox)

2[ ( )]b

af x dxπ ∫

108

4. 10. Probabilités

Combinatoire-Dénombrement

( ) ( )Card A B =Card A+Card B Card A B∪ − ∩ . ( )Card A B =Card A Card B× .

Soit E un ensemble de n éléments :

Nombre d’arrangements de p éléments de E : ( ) ( )A 1 ... 1pn n n n p= − − + .

Nombre de permutations de E : ! 1 2 3 ...n n= × × × × ; 0! 1= .

Nombre de sous-ensembles de p éléments de E :

( ) ( )( )

1 ... 1A !=

! ! ! !

pn

n n n n p n

p p p p n p

− − + = = − ;

10n

=

; 1n

n

=

; ( 1)

2 2

n n n −=

; …

Binôme de Newton :

1( ) ... ...1

n n n n k k nnna b a a b a b b

k− −

+ = + + + + +

.

Propriétés des combinaisons : =n n

p n p

−

;

Relation de Pascal : 11 1

n n n

p p p

+ = + + +

;

Nombre de parties (sous-ensembles) d’un ensemble :

+ +...+ 20 1 1

nn n n n

n n

+ = −

.

La notation n

p

est la notation internationale moderne mais on trouve l’ancienne écriture Cpn dans

de nombreux textes.

Probabilités

Si A et B sont incompatibles : ( )P A B∩ = ∅ et

( ) ( ) ( )P A B =P A +P B∪ ;

( ) ( )P A 1 P A= − ; ( )P 1Ω = ; ( )P 0∅ = .

Dans le cas général :

( ) ( ) ( ) ( )P A B =P A +P B P A B∪ − ∩ .

Si A1 ,…, An forment une partition de A,

( ) ( )1

P A P An

i

i=

=∑ .

Dans le cas équiprobable : ( ) Card AP A

Card =

Ω.

A et B sont des événements indépendants ssi

P(A B) P(A)P(B)∩ =

Probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé : BP (A) (notation ancienne utilisée

jusqu’il y a peu : ( )P A|B ) et

( ) ( ) ( )B BP(A B)

P A B P A P B P (A)P(B)

∩∩ = ⇔ = .

Formule des probabilités totales : Si les événements B1 , B2 , …, Bn forment une partition de Ω , l’ensemble des événements, alors

( ) ( ) ( ) ( )1 2 B 1 B1P A =P A B +P A B +...+P A B P (A).P(B ) ... P (A).P(B )n nn∩ ∩ ∩ = + + .

Variable aléatoire

X : application de l’ensemble des événements vers ℝ . On cherche les valeurs possibles ix de X, la loi de probabilité est la donnée de toutes les probabilités P(X )i ip x= = . La somme des valeurs de la loi de probabilité est toujours 1.

109

Espérance mathématique : ( )1

En

i i

i

x p x

=

=∑ Fonction de répartition : ( ) ( )F Px X x= ≤ .

Variance :

( ) ( )( ) ( )( )2 22

1 1

V E En n

i i i i

i i

x p x x p x x

= =

= − = −∑ ∑ Ecart-type : ( ) ( )VX Xσ = .

Loi de Bernoulli ou loi binomiale : X = nombre de réalisations de A sur n épreuves, P(A) = p,

alors :P( ) (1 )k n knX k p p

k−

= = −

; espérance : np ; variance : np(1 − p).

Probabilités continues

x suit une loi uniforme sur un intervalle de longueur L : 0

1( ) ( )P x f t dt dt

L L

α α αα−∞

≤ = = =∫ ∫ , la densité de

probabilité est f.

Probabilité que x soit entre α et β : 1( ) ( )P x f t dt dt

L L

β β

α α

β αα β −< ≤ = = =∫ ∫ .

Moyenne : 2

0 0

1 1 1. .

2 2

LL Lx t dt t dt t

L L L

+∞

−∞

= = = = ∫ ∫ .

x suit une loi exponentielle de paramètre λ :

0 0 0(0 ) ( ) 1 ( )

tt tu u tP x t f u du e du e e F tλ λ λλλ

λ− − − ≤ ≤ = = = = − = − ∫ ∫ .

Moyenne : 0

1ux ue duλλλ

+∞−= =∫ en faisant une intégration par parties ; cette moyenne représente la durée

de vie moyenne et peut être déterminée expérimentalement.

Probabilités continues : généralités

Prenons une ficelle de longueur L fixée solidement aux deux extrémités et tendons la jusqu’à ce qu’elle se casse. La probabilité qu’elle se brise à une distance x de l’une des extrémités est alors une variable aléatoire continue puisque l’endroit en question peut être représenté par un réel.

Il est bien clair qu’il y a une infinité de réels x possibles et la probabilité qu’elle casse à un point précis x est forcément nulle ; si ce n’était pas le cas il faudrait, pour faire la somme des probabilités des valeurs que peut prendre x ajouter une infinité de valeurs strictement positives qui ne pourront en aucun cas faire un total de 1.

On va donc définir la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur x par une fonction f telle que la somme de toutes les valeurs prises par f(x) soit 1. Or la somme des valeurs d’une fonction est son intégrale sur l’intervalle des valeurs de la fonction. Si x est définie sur [a ; b], on doit avoir

( ) 1b

af t dt =∫ .

Faisons une comparaison simple : la ficelle a un certain poids, mettons 1 ce que vous voulez (kilo, gramme, tonne). Le poids d’un point isolé est nul, par contre le poids d’un segment de longueur dx de ficelle n’est pas nul mais proportionnel à sa longueur (en supposant la ficelle homogène).

Pour connaître ce poids il faut connaître le poids par unité de longueur de la ficelle, sa densité, en l’occurrence 1/ L .

110

On va donc dire que la variable aléatoire x a une densité de probabilité, donnée dans cet exemple par

f(x)=1/L ; vérifions que ça marche : 0 0

1( ) 1

Lb L

a

tf t dt dt

L L

= = = ∫ ∫ , impeccable !

On peut même très souvent (en fait toujours) remplacer ( )b

af t dt∫ par

( ) ( ) ( ) ( )a b

a bf t dt f t dt f t dt f t dt

+∞ +∞

−∞ −∞= + +∫ ∫ ∫ ∫

car si la variable est nulle en dehors de [a ; b], les deux intégrales avant a et après b seront nulles.

Il ne sert à rien en général de chercher précisément la valeur de la probabilité d’une valeur x0 de la variable aléatoire puisqu’elle est nulle, par contre on a souvent intérêt à chercher la probabilité d’un intervalle.

Reprenons notre ficelle et demandons nous quelle est la probabilité qu’elle casse avant une position α : c’est la somme des probabilités de tous les points avant α, soit

0

1( ) ( )P x f t dt dt

L L

α α αα−∞

≤ = = =∫ ∫ ,

c’est-à-dire proportionnelle à la longueur de ficelle avant α. Quelle est la probabilité qu’elle casse entre α et β ? Vous avez compris, j’espère :

1( ) ( )P x f t dt dt

L L

β β

α α

β αα β −< ≤ = = =∫ ∫ ,

donc proportionnelle à la longueur de ficelle entre α et β. Remarquons au passage que le fait que chaque point ait une probabilité nulle amène à se poser des questions sur la notion d’intégrale : supposons que sur ma ficelle j’aie un certain nombre de nœuds, c’est-à-dire des endroits où la masse de la ficelle n’est plus la même, à priori ils ne vont pas compter quand on va faire la somme de tous les points et en tout cas leur contribution, s’ils sont en nombre suffisamment limité, va être nulle ; on peut donc ne pas en tenir compte dans les calculs d’intégrales.

On peut alors se demander à partir de quelle quantité de nœuds leur poids va modifier les probabilités de chaque segment. Ces remarques sont à l’origine de la théorie de la mesure et de l’intégration sous une forme beaucoup plus générale (voir l’intégrale de Lebesgue).

La définition de la moyenne d’une variable aléatoire x prenant les valeurs xi avec les probabilités pi est

i i

i

x x p=∑ . Dans le cas d’une variable continue x de densité f(x), vous avez déjà deviné ce que sera la

moyenne : ( )x tf t dt+∞

−∞= ∫ .

Pour la ficelle : 2

0 0

1 1 1. .

2 2

LL Lx t dt t dt t

L L L

+∞

−∞

= = = = ∫ ∫ , en moyenne la ficelle va se casser au milieu !

D’une manière générale dans le cas d’une loi continue, on ne peut donc connaître que la probabilité

d’intervalles si on connaît la densité de probabilité f : ([ , ]) ( )b

aP a b f t dt= ∫ .

Un exemple : la loi tangente

Soit OAB un triangle rectangle isocèle de côté 1, on prend M au hasard sur [AB], quelle est la loi de l’angle AOMθ = ?

Il est clair que 04πθ≤ ≤ et que tanAM θ= ; comme la fonction tan est croissante (sa dérivée est

1+tan2θ), on a

111

tan(0 ) (tan tan ) tan

1u

P u P u uθ θ≤ ≤ = ≤ = =

(loi uniforme sur le segment [AB] de longueur 1), par ailleurs on a

0(0 ) ( )

u

P u f t dtθ≤ ≤ = ∫

et 2

0tan 1 tan

u

u tdt= +∫ ;

on conclut que 2( ) 1 tanf t t= + (chercher sa moyenne…).

Durée de vie sans vieillissement on dit qu’un individu (ou une machine ou …) suit une loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité qu’il meure à l’instant t+h ne dépend pas du fait qu’il soit vivant à l’instant t. Cette situation ne s’applique évidemment pas à l’être humain mais se retrouve dans les phénomènes de désintégration radioactive (α) ou dans des situations de pannes électroniques. Traduit en termes de probabilités conditionnelles, on a alors si on note T la v.a. représentant la durée de vie d’un individu :

( )T tP T t h≥ ≥ + (1)

ne dépend pas de t. Avec t=0 on a 0( ) ( )TP T h P T h≥ ≥ = ≥ ( 0T ≥ est certain) d’où ( ) ( )T tP T t h P T h≥ ≥ + = ≥ puisque (1) doit être valable pour tout t ; par ailleurs nous avons par définition des probabilités conditionnelles :

( )( )

( ) T tP T t h T t

P T t hP T t

≥≥ + ∩ ≥ = ≥ +

≥,

or l’événement T t h T t T t h≥ + ∩ ≥ = ≥ + (on ne peut pas vivre jusqu’à t+h si on ne vit pas jusqu’à

t…) d’où ( )

( )( )

P T t hP T h

P T t

≥ + = ≥≥

et en notant ( ) ( )t P T tϕ = ≥ : ( ) ( ) ( )t h t hϕ ϕ ϕ+ = avec (0) 1ϕ = .

Dérivons cette relation par rapport à t : h reste constant, donc ϕ(h) également et [ϕ(h)]’ = 0 ; ϕ’(t+h) = ϕ(h)ϕ’(t), ce qui donne en faisant t = 0 : ϕ’(h) = ϕ’(0)ϕ(h), la fonction ϕ est solution de l’équation différentielle

'y yα= , avec y(0) = 1 et y’(0) = α.

Nous trouvons alors ( ) tt Ceαϕ = ; avec ϕ(0) = 1 : ( ) tt eαϕ = .

Comme ϕ est décroissante, 0α < , d’où en posant α λ= − la loi de probabilité : ( ) ( ) tt P T t e λϕ −= ≥ = .

Si on cherche la probabilité que l’individu meure avant t, on a bien sûr ( ) 1 tP T t e λ−< = − .

Ceci est intéressant car on peut calculer directement la densité de probabilité :

0( ) ( ) 1 ( )

ttP T t f u du e F tλ−≤ = = − =∫ ;

dérivons : '( ) ( ) tF t f t e λλ −= = d’où 0

( )t

uP T t e duλλ −≤ = ∫ .

Calculons sa moyenne : 0

1uT ue duλλλ

+∞−= =∫ en faisant une intégration par parties ; cette moyenne

représente la durée de vie moyenne et peut être déterminée expérimentalement.

Prenons l’exemple de la désintégration radioactive : λ est la constante de désintégration qui dépend de chaque noyau ; elle s’obtient par mesure de la période. On prend N0 atomes et on mesure au bout d’un

temps T le nombre N1 d’atomes du même type restants, on a alors 1

0

( )( )

TNN t Tk e

N t Nλ−+ = = = .

A

O

M

θ

B

112

Par exemple pour le C14 on a 12

k = pour T = 5730 ans (période ou demi-vie) , soit

1 1 ln2ln ln 0,00012

5730T k

T kλ λ− = ⇒ = = ≈ et 8266 ansT ≈ (il est évident que l’on n’attend pas 5730 ans,

mais quand on a T et k on a « facilement » λ ).

Et si on voulait la variance de la loi exponentielle ? Plaçons nous dans le cas général : il nous faut calculer 0

2 2 2 220

1( ) ( ) ( ) .0 uV T u f u du T u dx u e duλ

λ

+∞ +∞−

−∞ −∞= − = + −∫ ∫ ∫ .

La loi exponentielle vaut 0 pour 0u < , ue λ− pour 0u ≥ , on sépare donc l’intégrale en deux. La première est nulle, reste la seconde à calculer. Il faut faire une IPP de nouveau : 2u u= , ' uv e λ−= , soit ' 2u u= ,

1 uv e λ

λ−= − , d’où 2 2

0 00

1 2tt tu u uu e du u e ue duλ λ λ

λ λ− − − = − − − ∫ ∫ .

La limite du crochet quand t tend vers l’infini est 0, donc le crochet vaut 0 ; dans l’intégrale restante on a

20 0

2 2 2 1 2t tu uue du ue duλ λ

λ λ λ λ λ− − −− = − = − =∫ ∫ . Finalement on a 2 2 2

2 1 1Var( )T

λ λ λ= − = et l’écart-type

1λ.

Processus de Poisson et loi γ

La loi exponentielle vue précédemment est un cas particulier de loi appelée loi gamma. Regardons de quoi il s’agit.

On dit qu’une suite (An) d’événements A se réalisant aux dates aléatoires (tn) obéit à un processus de Poisson si les variables (ti − ti−1) correspondant aux durées entre deux événements successifs sont indépendantes, suivent la même loi de probabilité et si la réalisation de l’un quelconque des Ai (et d’un seul) pendant un intervalle de temps très petit [ ];t t t+ ∆ vaut tλ∆ quelque soit t. Le coefficient de proportionnalité λ est le

paramètre du processus. Par exemple l’événement A est l’arrivée d’un avion sur un aérodrome, la suite des (An) est alors la suite des arrivées des avions pendant un temps donné.

La loi du nombre d’événements A se produisant pendant l’intervalle de temps [ ];t t t+ ∆ est donc une loi

binomiale (1, )B tλ∆ (A se produit une seule fois dans cet intervalle de temps). Prenons maintenant un

intervalle de temps 2 1t t− que nous découpons en n petits intervalles de longueur t∆ : 2 1t tn

t

−=

∆ ; appelons

X la v.a. égale au nombre de fois où A se produit entre t1 et t2 ; X est alors la somme de n v.a. suivant une loi

binomiale et suit donc la loi 2 1( , ) ( , )t t

B n t B tt

λ λ−∆ = ∆

∆ (la loi binomiale est stable pour l’addition, la

démonstration consiste à montrer que si vous avez une v.a. X de loi ( , )B n p et une v.a. Y de loi ( , )B m p alors X+Y suit une loi ( , )B n m p+ ).

Lorsque t∆ tend vers 0 la loi binomiale tend vers la loi de Poisson de paramètre 2 12 1( )

t tt t t T

tλ λ λ−

∆ = − =∆

d’où ( )

( )!

T ke TP X k

k

λ λ−

= = .

Revenons à la loi γ : la probabilité que l’un quelconque des événements A se réalise dans [ ];t t t+ ∆ est

tλ∆ ; quelle est alors la loi de probabilité de la date T de réalisation du prochain événement A ? Appelons F la fonction de répartition de T et f la densité de probabilité de T ; supposons également que A s’est réalisé à l’instant 0, la nouvelle occurrence de A se produira entre t et t t+ ∆ : on a alors

[ ]( ) 1 ( )f t t F t tλ∆ = − ∆ .

Expliquons : F(t) est l’événement « A se produit avant t » et 1 − F(t) est l’événement « A ne se produit pas avant t » ; on a dit précédemment que A se produisait avec la probabilité tλ∆ dans [ ];t t t+ ∆ d’où la

relation. Il faut évidemment que les A se produisent indépendamment les uns des autres pour pouvoir mettre le premier A à l’instant 0.

113

En passant à la limite on a [ ]( ) 1 ( )f t dt F t dtλ= − , or [ ]1 ( )

'( ) ( )d F t

F t f tdt

−= − = − d’où en remplaçant f :

( )1 ( )1 ( )

F t

F tλ

′−= −

−, soit en intégrant 1 ( ) t C tF t e eλ λ− + −− = = car C est nulle puisque F(0) = 0. On dérive alors F

ce qui donne ( ) tf t e λλ −= ; T suit donc une loi exponentielle ou plutôt une loi gamma 1

1(0, )γ

λ puisque

1 11/1( )

(1/ ) (1)

t

f t e tλ

λ− −=

Γ. La moyenne de T est 1/λ , de même que son écart-type.

Si on cherche la loi de probabilité de Tn, de réalisation du nième évènement A, c’est la somme de n variables T

de loi 1

1(0, )γ

λ, Tn a donc pour loi

1(0, )nγ

λ de densité 1( )

( )t nf t e t

nλλ − −=

Γ.

115

5 . RESTITUTION ORGANISEE DES CONNAISSANCES

Pour chaque question nous rappelons la démonstration et nous essayons de proposer une mise en situation… Lorsqu’il n’y a pas de démonstartion demandée vous pouvez inventer une question…Certains exercices de 2005 comportent ce genre de questions.

5. 1. Analyse

5. 1. a : Propriétés des suites On rappelle la définition d’une suite tendant vers +∞ : une suite admet pour limite +∞ si tous les termes de la suite à partir d’un certain rang sont dans un intervalle de la forme [ ; [A + ∞ où A est un réel quelconque (la définition est la même pour −∞ , mais les termes seront dans un intervalle ] ; ]A− ∞ ).

Théorème 1

Si une suite (un) est croissante et non majorée, alors lim nn

u→+∞

= +∞ ; si une suite (un) est décroissante et non

minorée, alors lim nn

u→+∞

= −∞ .

Démonstration

Soit (un) croissante, non majorée et M un réel quelconque. On est sûr qu’à partir d’un certain rang N, on aura nu M> pour n > N puisque un est croissante. Puisque un n’est pas majorée, on peut choisir M aussi grand que l’on veut et les termes de la suite seront dans un intervalle ] ; [M + ∞ ce qui correspond à la définition.

Théorème 2 (admis)

Toute suite croissante majorée par M converge vers l avec l M≤ . Toute suite décroissante minorée par m converge vers l avec l m≥ .

Théorème 3

On dit que deux suites (un) et (vn) sont adjacentes si :

( ),

lim 0

n n

n n

n nn

u v

u croissante v décroissante

v u→∞

≤ − =

.

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont même limite l. De plus on a n nu l v≤ ≤ .

Démonstration

On utilise le th. 2 : nu est croissante et majorée par 0v donc converge vers l ; nv est décroissante et

minorée par 0u donc converge vers l’. Comme on a ( )lim 0n nn

v u→∞

− = , à partir d’un certain rang N la

distance entre nu et nv devient aussi petite que l’on veut, de même que celle entre l et l’ ; on peut écrire cela de la manière suivante :

( ') ( ' ) ( ) ' lim( ') lim( ) lim( ) 0 0 0 0n n n n n n n nn n n

v u v l l l l u l l v l l u v u→∞ →∞ →∞

− = − + − + − ⇒ − = − + − − − = + − =

et par conséquent l = l’.

Exercice 5. 168

Soit (un) une suite. On considère les propriétés suivantes :

– P1 : la suite (un) est majorée ;

– P2 : la suite (un) n’est pas majorée ;

116

– P3 : la suite (un) converge ;

– P4 : la suite (un) tend vers +∞ ;

– P5 : la suite (un) est croissante.

Dans tous les cas on demande de justifier la réponse.

1. Donner la traduction mathématique des propriétés P1 et P4.

2. Si les propriétés P1 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?

3. Si les propriétés P2 et P5 sont vraies, que peut-on en conclure pour (un) ?

4. Une suite vérifiant la propriété P4 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P2 ?

5. Une suite vérifiant la propriété P2 vérifie-t-elle nécessairement la propriété P4 ?

Correction

1. P1 : il existe au moins un réel M tel que pour tout n entier, nu M≤ ;

P4 = négation de P1 : il n’existe aucun réel M pour lequel, pour tout entier n, nu M≤ .

2. Si P1 et P5 sont vraies, la suite (un) est convergente (théorème de cours).

3. Si (un) est croissant et non majorée, elle grandira plus que toute valeur réelle, elle tendra donc vers +∞ .

4. Si la suite (un) tend vers +∞ alors elle ne peut-être majorée, c’est donc vrai.

5. Si la suite (un) n’est pas majorée elle ne tend pas forcément vers +∞ . Par exemple ( 1)nnu n= − .

Exercice 5. 169

A. Démonstration de cours.

Soit (un) une suite croissante non majorée.

1. Soit M un nombre réel et n0 un entier naturel tel que 0nu M> . Démontrer que pour tout entier

naturel n, si n > n0 alors un > M.

2. Quelles conséquences peut-on en tirer pour la suite (un) ?

3. Enoncer le théorème du cours ainsi démontré.

B. Répondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes en justifiant chaque réponse : 1. Si une suite n’est pas majorée alors elle tend vers +∞ .

2. Si une suite est croissante alors elle tend vers +∞ .

3. Si une suite tend vers +∞ alors elle n’est pas majorée.

4. Si une suite tend vers +∞ alors elle est croissante.

Correction

A. 1. Comme (un) est croissante, pour tout n > n0, on a 0n nu u> et par conséquent nu M> .

2. La suite (un) n’est pas majorée ; comme elle est croissante elle tend vers +∞ .

3. « Toute suite croissante non majorée tend vers +∞ . »

B. Vrai/Faux

1. Faux : voir exemple à l’exercice1.

2. Faux : exemple typique nnu K q= − où 0 < q < 1 : nu tend vers K alors que nq est décroissante et

nK q− est croissante.

3. Vrai : ce sont deux termes antinomiques.

4. Faux : on peut très bien avoir par exemple une suite oscillante et croissante.

Exercice 5. 170

Partie I

A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié du nombre de points affectés. Le candidat peut

117

décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n’en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Pour chacune des affirmations suivantes répondre sans justification par Vrai ou Faux :

(A) Soit (un) et (vn) deux suites à valeurs strictement positives. Si, pour tout entier n, n nv u> et si

lim nn

u→+∞

= +∞ alors 2

lim n

n n

v

u→+∞= +∞ .

(B) Toute suite bornée est convergente.

(C) Pour toutes suites (un) et (vn) à valeurs strictement positives qui tendent vers +∞ , la suite de terme

général n

n

u

v converge vers 1.

(D) Toute suite croissante non majorée tend vers +∞ .

Partie II

Pour chacune des propositions de la première partie, justifier votre réponse :

– dans le cas où la proposition vous paraît fausse : en donnant un contre-exemple.

– dans le cas où la proposition vous paraît exacte : en donnant une démonstration.

Correction

Parties I & II

(A) Vrai : 2

2 nn n n n n n n

n

vv u v v u v u

u> ⇒ > ⇒ > > . Donc comme lim n

nu

→+∞= +∞ , on a

2

lim n

n n

v

u→+∞= +∞ .

(B) Faux : exemple classique : ( 1)nnu = − qui est bornée par −1 et 1 et qui ne converge pas.

(C) Faux : évidemment… Exemple : 2nu n= et nv n= .

(D) Vrai : reprendre l’exercice 1.

Exercice 5. 171

On rappelle la définition d’une suite tendant vers +∞ : une suite (un) tend vers +∞ si pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A.


2. On considère la suite (un) définie par 0 0u = et la relation de récurrence 1un

n nu u e−+ = + .

a. Etablir que la suite (un) est croissante.

b. Démontrer que si la suite (un) a pour limite un réel l, alors l vérifie la relation ll l e−= + .

c. Conclure quand à la convergence de la suite (un).

Correction


Par l’absurde : si (un) était croissante et non majorée et qu’elle tende vers une limite L, alors il arriverait un moment (une valeur N de n) où Nu L ε< − où ε est un réel positif choisi arbitrairement (aussi petit qu’on le veut) ; si le terme suivant est supérieur à L ε− , la suite ne converge pas vers L et si le terme suivant reste inférieur à L, la suite est majorée. Dans les deux cas il y a contradiction.

2. 1un

n nu u e−+ = + .

a. Il est immédiat que 1 0unn nu u e−

+ − = > . donc (un) est croissante.

b. Si la suite (un) a pour limite un réel l, alors 1lim lim ln n

n nu u l l l e−

+→∞ →∞= = ⇒ = + .

118

c. De la relation précédente on tire 0le− = ce qui est impossible (ou plus prosaïquement ce qui signifie que l est +∞ puisque la suite est monotone). La suite ne converge donc pas.

5. 1. b : Théorème des gendarmes pour les fonctions

Rappelons au préalable la signification profonde de lim ( )x

h x L→+∞

= : à partir du moment où x devient

suffisamment grand la valeur de ( )h x L− devient aussi petite que l’on veut, on a alors h(x) dans n’importe

quel intervalle de la forme ] [;L Lε ε− + où ε est un réel strictement positif.

Théorème

Soit f, g, h trois fonctions définies dans un intervalle [ [;I a= + ∞ telles que ( ) ( ) ( )f x h x g x≤ ≤ sur I. Alors si

lim ( ) lim ( )x x

f x L g x→+∞ →+∞

= = , on a lim ( )x

h x L→+∞

= . On a évidemment le même résultat en −∞ .

Démonstration

Considérons un intervalle J contenant L :

Pour x suffisamment grand f(x) et g(x) sont dans J, et par conséquent h(x) également. Comme on peut faire ceci pour n’importe quel intervalle contenant L, h a forcément pour limite L.

La démonstration est identique si on veut appliquer à lim ( )x a

h x L→

= , la seule différence provient du

comportement de x : on dira alors que x est aussi proche que l’on veut de a, soit que x est dans un intervalle de la forme ] [;a aδ δ− + , le reste étant identique.

Exercice 5. 172

1. On considère la fonction numérique f définie sur [1 ; [+ ∞ par 1 1

( ) expf xx x

=

.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( ; , )O i j

du plan.

Pour tout réel 1α ≥ , on considère les intégrales 2 1

( )J dxx

α

αα = ∫ et

2 1 1( ) expK dx

x x

α

αα =

∫ .

Le but de l’exercice est d’étudier, sans chercher à la calculer, l’intégrale ( )K α .

a. Déterminer la limite de f en +∞ . Interpréter graphiquement le résultat.

b. b. Montrer que la dérivée de f peut s’écrire 2

1 1 1'( ) exp

xf x

x xx

+ = −

. En déduire le sens de variation

de f.

c. Donner l’allure de la courbe C.

2. a. Interpréter géométriquement le nombre ( )K α .

b. Soit 1α ≥ , montrer que 1 1 1exp ( ) exp

2 2K α

α α ≤ ≤

.

c. En déduire que 1

( )2

K eα≤ ≤ .

3. a. Calculer ( )J α .

] [ L f(x) g(x) h(x)

119

b. Démontrer que pour tout réel 1α ≥ , 1 1

exp ln(2) ( ) exp ln(2)2

K αα α

≤ ≤

.

4. Démonstration de cours.

Démontrer le théorème suivant : soient u, v et w des fonctions définies sur [1 ; [+ ∞ telles que pour tout réel 1x ≥ , ( ) ( ) ( )u x v x w x≤ ≤ . S’il existe un réel l tel que lim ( )

xu x l

→+∞= et lim ( )

xw x l

→+∞= alors lim ( )

xv x l

→+∞= .

5. Déduire de ce qui précède la limite de ( )K α lorsque α tend vers +∞ .

Correction

1. [1 ; [+ ∞ , 1 1

( ) expf xx x

=

. 1α ≥ ,2 1

( )J dxx

α

αα = ∫ et

2 1 1( ) expK dx

x x

α

αα =

∫ .

a. En +∞ 1/x tend vers 0 donc f tend vers 0.e0 = 0. L’axe horizontal est une asymptote de (C).

b. 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) exp exp exp 1 exp

xf x

x x x x x x xx x x x

+ ′ = − + − = − + = − .

Comme x est supérieur à 1, f’ est toujours négative et f est décroissante.

c.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

x

y

2. a. 2 1 1

( ) expK dxx x

α

αα =

∫ correspond à l’aire comprise entre la courbe (C) l’axe (Ox) et les droites

x α= , 2x α= .

b. Sur l’intervalle [ ], 2α α , f est décroissante et on a

1 1 11

21 2

1 1 1 1(2 ) exp ( ) ( ) exp

2 2

xx

f f x f

α αα αα α

α α α α

≤ ≤ ≤≤ ≤ ≤ ⇒ = ≤ ≤ =

.

120

Intégrons cette inégalité : 2 21 1 1 1

exp ( ) exp2 2

dx K dxα α

α αα

α α α α ≤ ≤ ∫ ∫ . Or on a

( )2 1 1 1 1 1 1

exp 2 exp exp2 2 2 2 2 2

dxα

αα α

α α α α α = − = ∫ ,

( )2 1 1 1 1 1

exp 2 exp expdxα

αα α

α α α α α = − = ∫

d’où 1 1 1exp ( ) exp

2 2K α

α α ≤ ≤

.

c. Comme 1 1 1

0 12 xα α

≤ ≤ ≤ ≤ , 1 1 1 1exp(0) exp ( ) exp exp(1)

2 2 2K α

α α ≤ ≤ ≤ ≤

, soit 1

( )2

K eα≤ ≤ .

3. a. [ ]2 21 2

( ) ln ln 2 ln ln ln 2J dx xx

α ααα

αα α αα

= = = − = =∫ .

b. Comme on a 1 1 1

0 12 xα α

≤ ≤ ≤ ≤ , on a 1 1 1

1 exp exp exp2

exα α

≤ ≤ ≤ ≤

, soit en multipliant par

1/x : 1 1 1 1 1 1 1 1

exp exp exp2

ex x x x x xα α

≤ ≤ ≤ ≤

puis en intégrant :

1 1ln 2 (ln 2)exp ( ) (ln 2)exp ln 2

2K eα

α α ≤ ≤ ≤ ≤

.

4. Démonstration de cours : il faut s’attendre à tout avec les méchants professeurs de maths…

5. Lorsque α tend vers +∞ , 1

exp2α

et 1

expα

tendent vers e0 = 1. La limite est donc ln2.

5. 1. c : Théorème des valeurs intermédiaires / Corollaire du théorème

L’énoncé du théorème est le suivant : soit f continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I ; pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Démonstration avec des suites

Choisissons a b≤ et définissons deux suites (an) et (bn) telles que 0a a= et 0b b= ; on fait maintenant une utilisation du balayage : supposons qu’à un moment (soit pour une valeur de n) on soit sûr que

[ ]( ) ; ( )n nk f a f b∈ ; plaçons nous alors dans l’intervalle [ ];n na b et calculons 2

n na bu f

+ =

: soit k est

supérieur à u, auquel cas nous prenons 1 1,2

n nn n n

a ba b b+ +

+= = , soit il lui est inférieur auquel cas nous

prenons 1 1,2

n nn n n

a ba a b+ +

+= = . Dans tous les cas on sera sûr que [ ]1 1( ) ; ( )n nk f a f b+ +∈ .

En faisant une récurrence il est alors clair que an est croissante, bn est décroissante et en plus, comme à

chaque fois on prend le milieu de l’intervalle, l’écart entre les deux est tel que 1 11( )

2n n n nb a b a+ +− = − , soit

que 0 01( )

2n n nb a b a− = − . Cette suite géométrique tend vers 0 et par utilisation des gendarmes on a

lim limn nn n

a b c→∞ →∞

= = ; enfin comme f est continue,

[ ]lim ( ) ; lim ( ) (lim ) ; (lim ) ( ) ; ( ) ( )n n n nn n n n

k f a f b f a f b f c f c f c→∞ →∞ →∞ →∞

∈ = = =

.

Corollaire : l’équation f(x) = k a une unique solution c dans [a ; b] si [ ( ) ; ( )]k f a f b∈ et f est strictement monotone.

121

Le théorème précédent justifie l’existence de c mais pas son unicité. Supposons qu’il existe c’ tels que f(c’) = k, alors entre c et c’, soit f est constante (interdit par le strictement) soit elle n’est pas monotone… autrement dit pour tout c’ de [a ; b] , si 'c c≠ alors ( ') ( )f c f c≠ .

Exercice 5. 173 : la Règle de L’Hopital (mathématicien français du 18ème siècle)

Préliminaire : le Théorème de Rolle.

Soit f continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et f(a) = f(b), alors il existe au moins un point c de ]a ; b[ tel que f’(c)=0.

Si f est constante tous les points x donnent f’(x) = 0. Sinon, comme f est continue sur [a ; b], il existe un point c tel

que pour tout x de [a ; b], ( ) ( )f x f c M≤ = (si f(a) est différent de M, sinon on fait le même raisonnement avec

( ) ( )f x f c m≥ = ).

Soit ( ) ( )

( )f x f c

g xx c

−=

−, si x>c, g(x) ≤ 0, et si x<c, g(x) ≥ 0 ; on a donc lim ( ) 0

x c

g x+→

≤ et lim ( ) 0x c

g x−→

≥ d’où

lim ( ) 0 '( )x c

g x f c→

= = .

A quel(s) endroit(s) de cette démonstration a-t-on utilisé le TVI ?

Soit f et g deux fonctions continues sur [a ; b], dérivables sur ]a ; b[.

1. Soit la fonction ϕ définie par ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))( ) ( )f b f a

x f x f a g x g ag b g a

ϕ −= − − −

−. Calculer ( )aϕ et ( )bϕ .

2. Montrer que '( )xϕ s’annule sur ]a ; b[ et qu’il existe c dans ]a ; b[ tel que

'( )( ( ) ( )) '( )( ( ) ( ))g c f b f a f c g b g a− = − .

3. Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle I , a un point de I, f et g dérivables sur I sauf en a et telles que f(a) = g(a) = 0 et , '( ) 0x I x a g x∀ ∈ ≠ ⇒ ≠ .

a. Montrer que si '( )

lim'( )x a

f xl

g x→= alors

( )lim

( )x a

f xl

g x→= .

b. Montrer que la réciproque est fausse en considérant les fonctions 2 1( ) sin( )f x x

x= et g(x) = sinx.

c. Application : déterminer la limite en 0 de 3

3cos( ) 1

( )x

xu x

x e

−= .

5. 1. d : Dérivation d’une fonction composée / dérivation du produit de deux fonctions

La méthode de démonstration étant semblable on donne les deux pour le prix d’une…

Démonstration du produit

Avant de faire quoi que ce soit revenons à la définition du nombre dérivé : pour f continue et dérivable en x0, on a

0 0 0 00 0 0 0 0

0

( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

h

f x h f x f x h f xf x f x h f x h f x hf x h h

h hϕ ϕ

→

+ − + −= ⇔ = + ⇔ + = + +

où ( )hϕ tend vers 0 lorsque h tend vers 0.

Soient maintenant deux fonctions u et v dérivables en x0, on a :

0 0 0 1( ) ( ) '( ) ( )u x h u x hu x h hϕ+ = + + et 0 0 0 2( ) ( ) '( ) ( )v x h v x hv x h hϕ+ = + +

où 1( )hϕ et 2( )hϕ tendent vers 0 quand h tend vers 0.

Effectuons le produit : [ ][ ]0 0 0 1 0 0 2( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )uv x h u x hu x h h v x hv x h hϕ ϕ+ = + + + + , développons et

mettons h en facteur :

[ ] [ ]0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( )uv x h u x v x h u x v x u x v x h h v x h h u x hϕ ϕ+ = + + + + + + ;

122

le bloc [ ]1 0 2 0( ) ( ) ( ) ( )h v x h h u x hϕ ϕ+ + + tend vers 0 lorsque h tend vers 0 et représente une fonction 3( )hϕ

qui tend vers 0 lorsque h tend vers 0 (en fait on sépare les termes constants et les termes variables).

Finalement on a quelque chose de la forme 0 0 0 3( ) ( ) ( ' ')( ) ( )uv x h uv x h u v uv x h hϕ+ = + + + donc le nombre dérivé de uv en x0 est 0( ' ')( )u v uv x+ , ce qui donne la formule bien connue.

Remarque : pour obtenir les autres formules on prend tout d’abord la fonction 1

vu

= et donc telle que

u.v = 1 ; on dérive ce qui donne 21 ' '

' ' 0 ' 'u u

u v uv v vu u u

+ = ⇒ = = − = −

; en réutilisant cela on a

2 21 1 1 ' ' ' '

' . ' ' 'u u v u v uv

u u u uv v v v v v v

− = = + = − =

.

Démonstration de la composée

Soient u dérivable en x0 avec 0 0( )y u x= et v dérivable en y0 : on a

0 0 0 2( ) ( ) '( ) ( )v y H v y Hv y H Hϕ+ = + + et 0 0 0 1( ) ( ) '( ) ( )u x h u x hu x h hϕ+ = + + .

Ecrivons [ ] [ ]0 0 0 1 0( ( ) ( ) '( ) ( ) ( )v u x h v u x hu x h h v u x Hϕ+ = + + = + avec 0 1'( ) ( )H hu x h hϕ= + ; on a alors

( )0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 2( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) '( ) ( )v y H v y h u x h v y H H v y hu x v y h h v y H Hϕ ϕ ϕ ϕ+ = + + + = + + +

où l’on voit apparaître le terme dérivé 0 0'( ) '( )u x v y . On récupère donc la formule ( )( )' '. 'v u u v u= .

Exercice 5. 174

On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre réel a appartenant à I.

1. Rappeler la définition de « f est dérivable en a ».

2. Dans chacun des cas suivants, indiquer si les deux propriétés citées peuvent être vérifiées simultanément ou non. Si la réponse est « oui », donner un exemple (un graphique sera accepté) ; dans le cas contraire, justifier la réponse.

– f est continue en a et f est dérivable en a ;

– f est continue en a et f n’est pas dérivable en a ;

– f n’est pas continue en a et f est dérivable en a ;

– f n’est pas continue en a et f n’est pas dérivable en a.

Exercice 5. 175

On considère la fonction ( )2

x xe ef x

−−= définie sur ℝ .

1. Etudier les variations de f ; montrer que pour tout x réel on peut trouver un unique y tel que ( )y f x= .

2. Soit g la fonction telle que ( )g y x= . Vérifier que ( )2( ) ln 1g y y y= + + .

3. Rappeler la formule de dérivation des fonctions composées. Montrer alors que si u et v sont deux

fonctions dérivables telles que ( ( ))v u x x= alors 1

'( )'( ( ))

u xv u x

= .

4. Appliquer ce résultat aux fonctions f et g précédentes.

5. 1. e : Théorème : « il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f’ = f et f(0) = 1 Le problème est double : existence et unicité.

Existence

Lors de la présentation de l’exponentielle on part de la méthode d’Euler et après de nombreuses manipulations sur les suites on obtient l’existence de exp(x)… Ici nous allons partir du logarithme néperien, ce qui sera plus simple.

123

La fonction 1/x est continue sur ]0 ; [+ ∞ , elle admet donc une unique primitive (théorème admis) sur cet intervalle, primitive appelée lnx, telle que ln1 = 0 (voir 1.f). Par dérivation des fonctions composées on a :

( ) 'ln '

ff

f= .

Notre équation se transforme alors : '( )

'( ) ( ) 1 ln ( )( )

f xf x f x f x x K

f x= ⇒ = ⇒ = + ; comme f(0) = 1, il vient

ln1 0 0K K= + ⇒ = .

La fonction ln est bijective et a donc une fonction réciproque appelée exponentielle d’où ( ) exp( ) ( ) exp( )f x x f x x= ⇔ = ± . Comme f(0) = 1, il reste uniquement ( ) xf x e= . Enfin xe est solution de

f’ = f, on a donc ( ) 'x xe e= ; de plus comme ln est croissante, exp l’est également ; pour finir, avec

exp(0) = 1 et exp croissante il est immédiat que 0xe > .

Unicité

Supposons qu’il existe une fonction g, autre solution de notre équation f’ = f ; nous pourrons toujours écrire ( ) ( ) xg x h x e= , d’où en remplaçant dans l’équation :

' '( ) ( ) ( ) '( ) 0x x x xg g h x e h x e h x e h x e= ⇒ + = ⇔ = .

Comme 0xe > , il reste h’(x) = 0 d’où h(x) = C = constante. On a alors ( ) xg x Ce= et comme g(0)=1, il reste C = 1 et g = exp.

Exercice 5. 176

Une exsanguino-transfusion peut se schématiser de la façon suivante : un récipient R contient un liquide L dans lequel se trouve une substance S dont on veut diminuer la concentration. Le volume de R est de p litres (genre le corps humain…) et la concentration initiale de S est de a gramme par litre dans L.

1. Première méthode : on injecte dans R de manière continue du liquide L ne contenant pas la substance S et on prélève simultanément la même quantité de mélange par un tuyau de sortie de sorte que le volume de liquide dans R reste constant. Les tuyaux d’arrivée et de sortie ont des débits de d litres par heure.

On note m(t) la quantité de S dans L au bout du temps t et C(t) sa concentration.

a. Montrer que ( ) ( ) ( )m t h m t dhC t+ − = − ; en déduire que '( ) ( )m t dC t= − puis que '( ) ( )d

C t C tp

= − (E).

b. Démontrer que l’unique solution de (E) est ( ) expd

C t a tp

= −

.

c. Au bout de combien de temps la concentration de S est-elle inférieure à 5 % de sa valeur initiale ?

d. Cette méthode permet-elle d’éliminer complètement S ?

2. Deuxième méthode : toutes les minutes on prélève dans R un pourcentage fixe q de mélange que l’on remplace par la même quantité de L ne contenant pas S. A la minute n on appelle mn la masse de S restant dans R et Cn sa concentration.

a. Exprimer en fonction de n et des autres paramètres la masse nm∆ de S prélevée à la minute n.

b. Exprimer 1nm + en fonction de nm puis 1nC + en fonction de nC . En déduire nC en fonction de n, a, p et q.

c. Au bout de combien de minutes la concentration de S est-elle inférieure à 5 % de sa valeur initiale ?

d. En posant 60n t= donner une expression de nC . Comparer au résultat du 1.

5. 1. f : Propriétés de exp et ln On admet l’existence d’une fonction solution de f’ = f avec f(0) = 1 (méthode d’Euler). Cette fonction est notée exp : ( ) exp( ) xf x x e= = . Voir thème précédent.

124

* Du fait de sa définition, il est immédiat que ( )'x xe e= .

* Cette fonction est positive. On a évidemment '(0) (0) 1f f= = ; par ailleurs prenons ( ) ( ) ( )g x f x f x= − et

dérivons g : '( ) '( ) ( ) ( )( '( )) 0x x x xg x f x f x f x f x e e e e− −= − + − − = − = (dérivation des fonctions composées : [ ( )]' '( )f x f x− = − − ).

Conclusion g est une constante ; calculons (0) (0) ( 0) 1.1 1g f f= − = = d’où 1

1x x xx

e e ee

− −= ⇔ = .

* Par ailleurs la relation précédente montre qu’elle ne s’annule pas puisque s’il existait une valeur a de x pour laquelle on a 0ae = alors on aurait 1 0 1a ae e− = ⇔ = …bof !

* Puisqu’elle ne s’annule pas elle garde un signe constant et comme 0 1e = elle est positive.

* Comme 0xe > , sa dérivée l’est également, elle est donc strictement croissante.

* Réutilisons ( ) ( ) ( )g x f x f x= − en prenant cette fois ( ) ( ) ( )g x f x a f x= + − ;

on dérive : '( ) '( ) ( ) ( )( '( )) 0x a x x a xg x f x a f x f x a f x e e e e+ − + −= + − + + − − = − = donc g est constante et vaut

(0) ( ) (0) .1a ag f a f e e= = = . Par conséquent on a x a x a x a x x a x x a x ae e e e e e e e e e e+ − + − += ⇔ = ⇔ = .

Les autres propriétés viennent facilement.

Pour ln, c’est la réciproque de exp et ses principales propriétés découlent de cela.

* Comme exp est bijective de ℝ vers ]0 ; [+ ∞ , ln l’est de ]0 ; [+ ∞ vers ℝ .

* Sa dérivée est telle que ( ) ( )ln ln 11 ( )' ' ln ' (ln )' (ln )'x xx e x e x x x

x= = = = ⇒ = (dérivation des fonctions

composées et utilisation de ln xx e= ).

* Posons lnx u= et lna v= dans x a x ae e e+ = :

( )ln ln ln ln ln ln ln lnln ln( ) ln ln ln( )u v u v u v u ve e e e uv e uv u v uv+ + += ⇔ = ⇔ = ⇔ + = .

Exercice 5. 177

Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes :

1. exp est une fonction dérivable sur ℝ ;

2. sa fonction dérivée, notée exp’, est telle que, pour tout nombre réel x, exp’(x) = exp(x) ;

3. exp(0) = 1.

En n’utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que :

– Pour tout nombre réel x, exp(x) × exp(–x) = 1.

– Pour tout nombre réel a et tout nombre réel b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b).

5. 1. g : Croissances comparées : ln

lim 0x

x

x→+∞= , lim

x

x

e

x→+∞= +∞ , lim 0x

xxe

→−∞=

Démonstrations

1. La limite la plus importante est ln

limx

x

x→+∞ : en fait il s’agit de comparer lnx et x ; lorsqu’on trace ln, on

voit que sa courbe ressemble pas mal à celle de x d’où l’idée de regarder plutôt ln

limx

x

x→+∞.

Etudions la fonction ln

( )x

f xx

= ;

1 1 ln2 ln2'( )2

x xxx xf x

x x x

−−= = , donc f a un maximum en 2x e= ,

2 2( )f e

e= . Par ailleurs si on prend x > 1, il est clair que f est positive. On peut donc écrire

20 ( )f x

e≤ ≤ d’où

125

en divisant tout par x qui est positif, 1 ln 2 ln 2

0 0x x

xx x e x e x≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ . Il reste à appeler les

gendarmes et à passer à la limite lorsque x tend vers +∞ : ln

lim 0x

x

x→+∞= .

2. En multipliant par 11nx − qui tend également vers 0 on a

lnlim 0

nx

x

x→+∞= .

3. En faisant le changement de variable 1

Xx

= , X tend vers 0+ et 0 0

lim ln 0 lim ln 0n n

X x

X X x x+ +→ →

− = ⇔ = .

4. En faisant le changement de variable lnXx e X x= ⇔ = on a :

ln lnlim 0 lim lim lim

X

n Xx x X X

x x X e

x Xx e→+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = = ⇒ = +∞ ;

en posant Y = –X, 1

lim lim lim 0 lim 0Y

Y xYY Y Y x

eYe xe

Y Ye

−

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞= +∞ ⇔ = −∞ ⇔ = ⇔ =

− ;

1 1lim lim lim lim lim

n nnx x xnx Xn n n

n n nx x x x X

e e e e ex xx Xx n nnn n

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= = = = = +∞

; de la même manière que

précédemment on a lim 0n x

xx e

→−∞= .

Remarque : grosso-modo on peut résumer la situation en disant qu’à l’infini (+ ou –) l’exponentielle l’emporte sur n’importe quel polynôme, lequel l’emporte toujours sur ln en +∞ .

On pourrait partir de l’exponentielle définie par lim 1n

x

n

xe

n→+∞

+ =

, mais les calculs sont vraiment

déplaisants. Par contre si on utilise la définition suivante nettement plus efficace de exp : 2

lim 1 ...1! 2! !

nx

n

x x xe

n→+∞

= + + + +

, la plupart des limites du 4. viennent immédiatement.

Exercice 5. 178

1. La fonction g est définie sur ]0 ; +∞ [ par ( ) 2 3ln 6g x x x x= − + . En utilisant les variations de g, déterminer son signe suivant les valeurs de x.

2. La fonction numérique f est définie sur ]0,+∞[ par 3ln( ) 1

xf x x

x= + − .

a. Démonstration de cours : au choix

- démontrer que ln

lim 0x

x

x→+∞= et en déduire que lim

x

x

e

x→+∞= +∞

ou bien

- démontrer que limx

x

e

x→+∞= +∞ et en déduire que

lnlim 0x

x

x→+∞= .

b. Déterminer les limites de f en 0 et +∞ (en +∞, on pourra poser X x= ).

c. Utiliser la première partie pour déterminer le sens de variation de f.

3. Soit ∆ la droite d'équation y = x – 1 et C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan. Montrer que ∆ est asymptote de C et étudier leurs positions relatives. construire C et ∆ .

Exercice 5. 179

Soit les fonctions f et g définies sur ℝ par ( ) xf x x e= − et ( ) (1 ) xg x x e= − .

126

1. a. Démonstration de cours : en utilisant seulement ln

lim 0x

x

x→+∞= , déterminer les limites de f et g en

+∞ et −∞ .

b. Montrer que la droite D(y = x) est asymptote de Cf.

c. Dresser le tableau de variation de f et g.

2. a. Pour tout réel x, on pose ( ) ( ) ( )h x f x g x= − . Déterminer le sens de variation de h.

b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point d’intersection d’abscisse α et que [ ]1 ; 2α ∈ .

c. Etudier suivant les valeurs de x la position relative de Cf et Cg. Tracer D, Cf et Cg.

3. a. En utilisant les variations de f, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1 xx e+ ≤ .

b. En utilisant les variations de g, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1

1xe

x≤

−.

c. On pose 1

xk

= , k entier naturel. Déduire des questions précédentes que

1 1ln ln

1k k

k k k

+ ≤ ≤ − .

4. On s’intéresse à la suite 1 1 1

1 ... ln2 3nS n

n= + + + + − .

a. A l’aide de votre calculatrice donner des valeurs approchées à 10–4 près de 10 20 30, ,S S S . Quelles conjectures pouvez vous faire sur le comportement de Sn ?

b. En utilisant les inégalités du 3. c. Montrer que (Sn) est décroissante et que 0 1nS≤ ≤ . Qu’en concluez-vous ?

5. 1. h : Théorème : « si f est continue sur un intervalle I et si a est un point de I, la fonction F telle que

( ) ( )x

aF x f t dt= ∫ est l’unique primitive de f sur I s’annulant en a ».

Démonstration

Soit G une primitive de f sur I ; la fonction 0

( ) ( ) ( ) ( )x

F x f t dt G x G a= = −∫ est une primitive de f telle que

( ) 0F a = : comme G(a) est une constante, '( ) '( ) 0 ( )F x G x f x= − = et ( ) ( ) ( ) 0F a G a G a= − = .

Cette primitive est unique : supposons qu’il existe une fonction H différente de F qui satisfasse les mêmes conditions, alors ( ) ( )H x F x k= + où k est une constante ; en particulier on a ( ) ( )H a F a k k= + = , mais

comme ( ) ( )x

aH x f t dt= ∫ , on a également H(a) = 0 donc k = 0 et H = F.

Exercice 5. 180

Le but de l’exercice est d’établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On rappelle que :

H est une primitive de h sur [a ; b] si et seulement si H est dérivable sur [a ; b] et pour tout x de [a ; b] on a H’(x) = h(x).

Soit f la fonction définie sur ℝ par 2( ) ln(1 )f t t= + .

1. Expliquer pourquoi f est continue sur ℝ .

2. Montrer que f est croissante sur [0 ; [+ ∞ .

La fonction f est représentée ci-dessous.

Pour 0α ≥ , on note ( )A α l’aire de la portion de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et la droite d’équation x α= .

127

3. a. Soit x0 et h deux réels strictement positifs. En utilisant un rectangle convenable, établir l’encadrement

2 20 00 0

( ) ( )ln(1 ) ln(1 ( ) )

A x h A xx x h

h

+ −+ ≤ ≤ + + .

b. En utilisant une propriété géométrique de la courbe de f donner un encadrement similaire lorsque

0 0 0x h x+ < < .

c. Démontrer que A est dérivable en x0. Quel est le nombre dérivé de A en x0 ?

4. Expliquer pourquoi 0 (1) ln2A≤ ≤ et ln2 (2) ln2 ln5A≤ ≤ + .

5. 1. i : Intégration par parties Résultat et démonstration

Soit u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] admettant des dérivées u’ et v’ continues, alors

[ ]'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )b b

b

aa au t v t dt u t v t u t v t dt= −∫ ∫ .

Du fait que [ ]( ) ( ) ' '( ) ( ) ( ) '( )u t v t u t v t u t v t= + et que toutes les fonctions considérées sont continues on peut

intégrer cette relation entre a et b, ce qui donne le résultat.

Exercice 5. 181

La répartition de l’énergie rayonnée par une étoile en fonction de la couleur (ou la longueur d’onde) du rayonnement est donnée par la loi de Planck dont une loi approchée est la loi de Wien. Pour chaque longueur

d’onde λ une étoile de température T (en degrés Kelvin) donne un rayonnement d’intensité 12( 1)5

C

T

CI

e

λλλ

−= ,

où C1 et C2 sont des constantes : 12 2

1 3740.10 .C W cm−= et 2 1, 438 .C cm K= .

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

x

y

x0+h x0

128

Einstein avait fait remarquer que cette loi était fausse (que se passe-t-il si λ devient très petit ?), mais

donne une approximation pour certains λ. Comme 2C

Tλ est très supérieur à 1, on peut également écrire

λλ λ

−=

215

C

TC

I e .

1. En dérivant Iλ par rapport à λ trouver la valeur de λ pour laquelle Iλ est maximale. En déduire la loi de Wien : 2897 .mT constante m Kλ µ= = .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 500 0 1000 0 1500 0 2 0000

Longueur d'onde

Intensité de la radiation

30 00 4000 500 0

Entre les deux traits verticaux on a les longueurs d’onde visibles (en Angström). Les courbes correspondent à différentes valeurs de T. Les valeurs mλ de λ pour lesquelles I est maximale décroissent quand la température augmente.

L’énergie totale E émise par seconde par unité de surface de l’étoile croît avec la température T ; cette

énergie est égale à E=0

limu

uI dλ λ

→+∞ ∫ .

1. Démonstration de cours.

Démontrer à l’aide de deux intégrations par parties successives que [ ]'' ' ' ''b b

b

aa auv dt uv u v u vdt= − +∫ ∫ .

(Pour avoir une écriture plus lisible on a omis d’écrire les (t)…)

2. Calculer b

aI dλ λ∫ pour T fixé en faisant une succession d’intégrations par parties : on posera tout

d’abord 3

1u

λ= ,

2

1'

k

v eλλ

= .

3. 0

limb

a aI dλ λ

→ ∫ puis 0

limb

bI dλ λ

→+∞ ∫ .

4. En déduire la loi de loi de Stefan-Boltzmann : 4

41 40 2

6. BT

E I d C k TC

λ λ+∞

= = =∫ où Bk est la constante de

Boltzmann.

D’une façon générale, tous les corps chauffés émettent de l’énergie suivant des lois qui se rapprochent plus ou moins

des lois précédentes. La brillance énergétique 'I λ est toujours plus petite que la brillance énergétique Iλ du corps

noir, et le rapport entre les deux définit le facteur d’émission spectrale ; il dépend de la nature du corps émissif, de son état de surface, de la température, de la longueur d’onde, etc.

129

5. 1. j : Equation y’ = ay + b : existence et unicité de la solution passant par un point donné. Résultat et démonstration

Dans ce type d’équation la méthode la plus générale est la plus rentable ; on résout tout d’abord y’ = ay,

soit '

ln ax K K ax axya y ax K y e e e y Ce

y+= ⇒ = + ⇔ = = ⇔ = ± , C réel positif non nul. Pour trouver la

solution de l’équation initiale on pose C = h(x), soit ( ) axy h x e= et on remplace dans l’équation :

' '( ) ( )ax axy h x e ah x e= + , soit '( ) ( ) ( ) '( ) '( )ax ax ax ax axh x e ah x e ah x e b h x e b h x be−+ = + ⇔ = ⇔ = ;

il reste à intégrer h’ : ( ) 'axbh x e K

a−= − + d’où la solution

' 'ax ax axb by e K e K e

a a− = − + = −

.

Connaissant un point tel que 0 0( )y x y= on remplace et on trouve K ‘ ce qui est toujours possible dans ce cas. Comme K’ est unique la solution est unique.

Remarque : l’intérêt de la méthode vue ici est qu’elle permet de résoudre de nombreuses équations différentielles de ce type, voire nettement plus compliquées.

Exercice 5. 182

Une étude sur le comportement de bactéries placées dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence a conduit à proposer une loi d’évolution de la forme

2( )2 ( ) 0,0045 ( )

dN tN t N t

dt= − (1)

où t est le temps exprimé en heures. N(t) représente le nombre d’individus présents dans l’enceinte à l’instant t ; à t = 0 on a N(0)=1 (en milliers).

1. On pose 1

( )( )

y tN t

= ; montrer que y est solution d’une équation différentielle (E) du type y’ = ay+b.

2. Résoudre (E).

3. En déduire la solution N(t) de (1).

4. Etudier les variations de N.

5. Montrer que 2

2( )0,0025 0,00125

t

t

eN t

e=

−. Déduisez-en une primitive de N(t).

6. On appelle nombre moyen de bactéries la limite quand T tend vers +∞ de 0

1( )

T

N t dtT ∫ . Calculer cette

intégrale et en déduire le nombre moyen de bactéries dans l’enceinte.

Exercice 5. 183

Dans une pièce à la température constante de 20°C, à l’instant initial noté 0 la température (0)θ d’un liquide est égale à 70°C. Cinq minutes plus tard elle est de 60°C.

On admet que la température θ du liquide est une fonction dérivable du temps t, exprimé en minutes, et que sa dérivée '( )tθ est proportionnelle à la différence entre la température ( )tθ et celle de la pièce.

On notera a le coefficient de proportionnalité, a∈ℝ . 1. Démonstration de cours.

Soit (E) l’équation différentielle 'z az= .

On rappelle que la fonction axx e→ est une solution de l’équation (E).

Démontrer que toute solution de (E) est de la forme axx Ce→ , où C est une constante réelle.

2. Résoudre l’équation différentielle : ' 20y ay a= − .

130

3. Quelle sera la température du liquide 30 minutes après l’instant initial ?

Exercice 5. 184

Soit E1 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’ = y.

Soit E2 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’’ = y.

Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe une unique fonction f qui appartient à E2 et qui vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0.

1. Vérifier que les fonctions définies sur ℝ par xx e→ et xx e−→ sont des éléments de E2.

2. Soit f une fonction dérivable sur ℝ , on pose u = f + f’.

a. Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.

b. Démonstration de cours.

On rappelle que la fonction xx e→ est une solution de E1.

Démontrer l’unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(0) = 1.

3. Soit f un élément de E2. On pose, pour tout réel x, ( ) ( ) xg x f x e= .

a. Démontrer que si f vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0, alors 2'( ) xg x e= .

b. Démontrer qu’il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression.

5. 2. Géométrie

5. 2. a : Module et argument d’un produit, d’un quotient Les démonstrations sont relativement simples, nous ne la ferons que pour le quotient, pour le produit c’est

pareil ; on rappelle que 2z zz= .

Soient deux complexes z et z’ et leur quotient 'z

z, le conjugué de

'z

z est

'z

z d’où

22

2' ' ' ' ' '

zz z z zz

z z z z z z

= = =

.

L’égalité des carrés donne bien sûr l’égalité des modules puisuqe ces derniers sont positifs.

Pour l’argument on a ( ), arg( ) (2 )u OM z π=

si z est l’affixe du point M et u le vecteur directeur de l’axe

horizontal. Par ailleurs

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ' , , ' , , ' arg( ) arg( ') (2 )OM OM OM u u OM u OM u OM z z π= + = − + = − +

;

cherchons maintenant

( )'

( ' )' ' 'arg arg arg ' arg( ') arg( ) , ' (2 )

ii

i

z r e re z z OM OM

z rre

θθ θ

θ θ θ π− = = = − = − =

.

Exercice 5. 185

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v

du plan. On rappelle que pour tout vecteur

w non nul, d’affixe z, on a : z w=

et ( )arg( ) ,z u w=

défini à 2kπ près.

Dans cet exercice, on prend comme prérequis le résultat suivant :

Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls alors arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) (à 2kπ près).

1. Soit z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, démontrer que arg arg( ) arg( ') 2'z

z z kz

π = − +

.

131

On note A et B les points d’affixes respectives 2i et –1. A tout nombre complexe z, distinct de 2i, on associe

le nombre complexe 12

zZ

z i

+=+

.

2. Donner une interprétation géométrique de l’argument de Z dans le cas où 1z ≠ − .

3. Déterminer et représenter graphiquement, en utilisant la question précédente, les ensembles de points suivants :

a. L’ensemble E des points M d’affixe z tels que Z soit un nombre réel négatif.

b. L’ensemble F des points M d’affixe z tels que Z soit un nombre imaginaire pur.

5. 2. b : Résolution dans ℂ des équations du second degré

La résolution est identique à ce qui se passe dans ℝ : on a donc l’équation 2 0az bz c+ + = où a, b et c sont des réels. On calcule 2 4b ac∆ = − ; si ∆ est positif c’est comme dans ℝ , sinon

2' ' 'i i∆ = −∆ = ∆ ⇒ ∆ = ∆ ; on a donc les solutions 1( )

2b i

za

− + −∆= et 2

( )2

b iz

a

− − −∆= .

On remarque également que les deux racines sont conjuguées (ceci n’est valable que si a, b et c sont réels) .

Exercice 5. 186

On considère dans ℂ l’équation du second degré 2 2(1 cos ) 2(1 cos ) 0z u z u+ + + + = où u est un pramètre réel appartenant à l’intervalle [0 ; π ].

1. Résoudre cette équation dans ℂ .

2. Déterminer le module et l’argument des solutions.

Exercice 5. 187

Rechercher tous les couples 1 2( , )z z de nombres complexes satisfaisant aux conditions : 1 2

1 2

12

2 3

z z

z z

= + =

.

Donner la forme trigonométrique de chacun des nombres ainsi obtenus.

Exercice 5. 188

1. Quelle est l’équation du second degré de la forme 2 0z az b+ + = dont les solutions sont 1iz re θ= et

2iz re θ−= ?

2. Résoudre dans ℂ l’équation 2 2 cos 1 0Z Z θ− + = .

3. En déduire la résolution dans ℂ de l’équation 4 22 cos 1 0z z θ− + = . On donnera les solutions sous forme trigonométrique.

4. Les quatre solutions de l’équation précédente sont les affixes de quatre points du plan complexe. Pour quelle(s) valeur(s) de θ ces quatre points sont ils les sommets d’un carré ?

5. Décomposer en produit de deux facteurs du second degré le polynôme 4 2( ) 2 cos 1P x x x θ= − + .

5. 2. c : Écriture complexe des transformations Les transformations concernées sont :

translation : M a pour image M’ dans la translation de vecteur u si ' ' 'MM u z z u z z u= ⇔ − = ⇔ = +

;

homothétie de centre ( )ωΩ de rapport k : ' ' ( ) 'M k M z k z z kz kω ω ω ωΩ = Ω ⇔ − = − ⇔ = − +

;

rotation de centre ( )ωΩ , d’angle θ :

132

( )'

arg, ' '

' ( ) ''' 1

i i i i

z

M M z ze z e z z e z e

zzM Mz

θ θ θ θ

ω θθ ω ω ω ω ω ω

ωωω

− = Ω Ω = − − ⇔ ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = − + −−Ω = Ω = −

.

Comme vous êtes observateurs vous vous dites que homothétie et rotation ont une écriture quasiment identique, du style ' ( )z a zω ω− = − , sauf que a est réel pour l’homothétie et imaginaire de module 1 pour la rotation. Que se passe-t-il pour un a complexe quelconque, eh bien on a la composée d’une homothétie de rapport positif, k a= , et d’une rotation d’angle arg( )aθ = . C’est une similitude directe de centre Ω , de

rapport k et d’angle θ .

Exercice 5. 189

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v

du plan. On rappelle que pour tout vecteur

w non nul, d’affixe z, on a : z w=

et ( )arg( ) ,z u w=

défini à 2kπ près.

1. Soient M, N et P trois points du plan, d’affixes m, n et p tels que m n≠ et n p≠ .

a. Démontrer que ( )arg ,p m

MN MPn m

− = −

à 2kπ près.

b. Interpréter géométriquement p m

n m

−−

.

2. En déduire la traduction complexe d’une rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle de mesure θ , θ désignant un nombre réel.

5. 2. d : Distance d’un point à un plan

n

H

A

Soit ( , , )A A AA x y z un point de l’espace, P le plan d’équation 0ax by cz d+ + + = et H le projeté orthogonal de A sur P. Il faut donc calculer la distance AH.

Le vecteur

a

n b

c

est normal à P ; le vecteur AH

est colinéaire à n

, il existe donc t réel tel que AH tn=

.

Calculons le produit scalaire .AH n

en posant que H a pour coordonnées (x, y, z) :

. ( ) ( ) ( )H A A A A A A A AAH n a x x b y y c z z ax by cz ax by cz d ax by cz= − + − + − = + + − − − = − − − −

;

par ailleurs comme AH tn=

on a 2 2 2. . .AH n AH n AH a b c= ± = ± + +

. On a donc finalement

2 2 2

A A Aax by cz dAH

a b c

+ + +=

+ + (les valeurs absolues apparaissent pour assurer que AH est positif).

133

Remarque : la démonstration donnant la distance d’un point à une droite dans le plan est exactement la

même ; on obtient alors 2 2

A Aax by cAH

a b

+ +=

+ où la droite a pour équation ax + by +c =0.

Exercice 5. 190

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k . Les points A, B et C ont pour coordonnées :

( 1 ; 2 ;1), (1 ; 6 ; 1), (2 ; 2 ; 2)A B C− − − .

1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés et que le vecteur 113

n

= −

est normal au plan (ABC).

2. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆ ) orthogonale au plan (ABC) passant par le point D(0 ; 1 ; −1).

4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H avec le plan (ABC). Quelle est la distance de D au plan (ABC) ?.

5. Démonstration de cours : démontrez que la distance de D au plan (ABC) est

2 2 2

D D Dax by cz dd

a b c

+ + +=

+ + où 0ax by cz d+ + + = est une équation cartésienne de (ABC). Retrouvez ainsi le

résultat précédent.

6. Soit M un point quelconque de (DC) de paramètre t (soit DM tDC=

, t réel) ; vérifier que la distance AM

est minimale lorsque 514

t = − . En déduire les coordonnées du point Q, projeté orthogonal de A sur (DC).

5. 2. e : Distance d’un point à une droite

H

M

n

A

K

On prend une droite (d) passant par A, de vecteur directeur n

et un point M de l’espace. Soit (P) le plan

passant par A et orthogonal à n, on appelle K le projeté orthogonal de M sur (d) et H le projeté de M sur

(P) ; on a alors 2 2 2MK KH MH= − avec Pythagore, mais comme AKMH est un rectangle, MA = HK. On en déduit 2 2 2MK MA MH= − : chacun de ces termes se calcule facilement et c’est donc fini…

Exercice 5. 191

1. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j

.

a. Soient u, v, w, x0, y0 des nombres réels tels que 2 2 0u v+ ≠ . Etablir une formule donnant la distance du

point 0 0 0( , )M x y à la droite d’équation 0ux vy w+ + = .

b. Soient a, b, c des réels strictement positifs, on considère les points ( , 0)A a et (0, )B b . Calculer la distance du point O à la droite (AB).

134

2. Soient a, b, c des réels strictement positifs ; on considère les points ( , 0, 0)A a , (0, , 0)B b et (0, 0, )C c dans

un repère orthonormal ( ; , , )O i j k de l’espace.

a. Calculer la distance du point C à la droite (AB).

b. Montrer la relation

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2Aire Aire Aire AireABC OAB OBC OCA= + + .

5. 2. f : Caractérisation barycentrique d’une droite, d’un plan, d’un segment, d’un triangle D’une manière générale le barycentre de deux points A et B affectés des coefficients α et β est tel que

0AG BG AG ABβα β

α β+ = ⇔ =

+

. Comme on peut toujours diviser les coefficients par un même nombre,

on peut choisir 1α β+ = , ce qui donne AG ABβ=

, soit la définition de la colinéarité de AG

et AB

. De 1α β+ = on tire 1β α= − , soit

(1 ) 0AG BGα α+ − =

où α est un réel quelconque. Ceci caractérise alors G comme un point quelconque de la droite (AB) lorsque α parcourt ℝ .

Particulièrement si 0 1 0 1 1 0 1α α β≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ on voit avec AG ABβ=

que G parcourt le segment [AB] ; si 0 1α β≤ ⇔ ≥ , G parcourt la demi-droite « après » B et si 1 0α β≥ ⇔ ≤ , G parcourt la demi-droite « avant » A.

Dans un plan la situation est tout à fait semblable, mis à part qu’un plan est défini par trois points non alignés A, B, C ; on considère alors le barycentre G de ( ) ( ) ( ) , , , , ,A B Cα β γ en prenant tout de suite

1α β γ+ + = . On a donc

( ) ( )0 (1 ) 0 0AG BG CG AG BG CG AG BG GA CG GAα β γ β γ β γ β γ+ + = ⇔ − − + + = ⇔ + + + + =

,

soit AG AB ACβ γ= +

avec β et γ parcourant ℝ . G parcourt alors le plan dans son ensemble.

Le même raisonnement que précédemment nous permet alors de dire que lorsque β et γ parcourent l’intervalle [0 ; 1], G est à l’intérieur du triangle ABC (en fait dans ce cas les coordonnées de G dans le

repère ( ), ,A AB AC

sont précisément β et γ ). Les autres régions du plan pouvant être caractérisées de

manière semblable.

Exercice 5. 192

Voici un très joli exercice permettant de caractériser le point d’intersection des bissectrices d’un triangle comme barycentre des sommets du triangle.

On considère dans ℂ les complexes z1 et z2 de modules 1 et d’arguments α et β.

1. Montrer que ( )21 2

1 2

z z

z z

+ est un réel positif ou nul.

2. A et B sont deux points du plan complexe d’affixes respectives a et b. Calculer en fonction de a et b l’affixe z du barycentre G de ( , ), ( ,A b B a .

3. Montrer que OG

est un vecteur directeur de la bissectrice de l’angle des demi-droites de vecteurs directeurs OA

et OB

.

4. On considère un triangle UVW et on note les longueurs des côtés UV w= , VW u= et WU v= . Montrer que le centre du cercle inscrit dans UVW est le barycentre de ( ) ( ) ( ) , , , , ,U u V v W w .

Exercice 5. 193

Voici un autre exercice dans le même style mais sans utiliser les complexes.

135

On considère un triangle isocèle ABC de côtés BC = 2a, AC = AB = 3a, a étant un réel strictement positif. On note A’ le milieu de [BC] et H l’orthocentre du triangle.

1. Soit α une mesure de l’angle BAC . Montrer que 7

cos9

α = .

2. Soit B’ le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Calculer ''

B A

B C. En déduire deux réels u et v tels que

B’ soit le barycentre du système ( , ) ; ( , )A u C v .

3. En s’aidant de la deuxième question, déterminer trois réel a, b, c tels que H soit le barycentre du système ( , ) ; ( , ) ; ( , )A a B b C c .

Correction

C'

H B'

A

A' CB

BC = 2a, AC = AB = 3a

1. Un petit coup d’Al-Kashi donne immédiatement :

2

2 2 2 2 2 2 22

14 72 . .cos( ) 4 9 9 18 cos( ) cos( )

918

aBC AB AC AB AC BAC a a a a BAC BAC

a= + − ⇔ = + − ⇔ = = .

2. Le calcul de ''

B A

B C revient à celui de

''

B A

B C− puisque les vecteurs 'B A

et 'B C

sont de sens contraire.

Dans le triangle ABB’ on a ' 7 7

cos ' .39 3

ABAB a a

ABα= ⇔ = = ; comme ' 'AC AB B C= + on a

7 2' 3

3 3B C a a a= − = . On a donc

' 7 / 3 72 / 3 2'

B A a

aB C= − = − .

Evidemment les valeurs algébriques ne sont que la traduction des vecteurs correspondants : ' 7

2 ' 7 ' 2 ' 7 ' 02'

B AB A B C B A B C

B C= − ⇔ = − ⇔ + =

et donc B’ est le barycentre du système ( , 2) ; ( , 7)A C .

3. Comme la figure est symétrique par rapport à (AA’) et que (AA’) est une hauteur, il faut que b = c : dans ce cas on a H barycentre de ( , ) ; ( , ) ; ( , )A a B b C b , soit celui de ( , ) ; ( ', )A a A b c+ et H est sur (AA’).

Par ailleurs H est sur (BB’), donc il faut regrouper ( , ) ; ( , )A a C b en B’, il suffit donc de prendre

H = barycentre de ( , 2) ; ( , 7) ; ( , 7)A B C .

136

5. 3. Probabilités

5. 3. a : Formule des probabilités totales Propriété et démonstration

On note ( )

( )( )A

P A BP B

P A

∩= la probabilité de l’événement B sachant que A est réalisé. Soit E l’univers de

possibilités et une famille d’ensembles 1 2, , ..., nA A A formant une partition de E (la réunion de tous ces ensembles est E et leurs intersections deux à deux est vide).

On a alors ( )1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nP B P B A B A B A= ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩ ; comme i jA A∩ lorsque i est différent de j, on a

également ( ) ( )i jB A B A∩ ∪ ∩ = ∅ . Par conséquent 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nP B P B A P B A P B A= ∩ + ∩ + + ∩ .

Utilisons les probabilités conditionnelles : ( )

( ) ( ) ( ). ( )( )i

A i A ii ii

P A BP B P A B P B P A

P A

∩= ⇔ ∩ = pour chaque i. Il

vient finalement 1 21 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )A A A nnP B P B P A P B P A P B P A= + + + .

Exercice 5. 194

Dans une classe de trente élèves sont formés un club photo et un club de théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois.

1. On interroge un élève de la classe pris au hasard. On appelle P l’événement : « l’élève fait partie du club photo » et T l’événement : « l’élève fait partie du club théâtre ». Montrer que les événements P et T sont indépendants.

2. Lors d’une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d’un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort.

a. On appelle T1 l’événement : « Le premier élève appartient au club théâtre ». Calculer 1( )P T .

b. On appelle T2 l’événement « L’élève pris en photo appartient au club théâtre ». Calculer 21 ( )TP T puis

21( )

TP T . En déduire 2 1( )P T T∩ et 2 1( )P T T∩ .

b. On appelle T0 l’événement : « L’élève pris en photo appartienne au club théâtre ».

c. Démonstration de cours : Démontrer que ( )2 2 1 2 11 1( ) ( ) ( ) ( )T T

P T P T P T P T P T= + . Calculer 2( )P T .

3. Toutes les semaines on recommence de façon indépendante la séance de photographie avec tirage au sort du photographe et du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de suite.

Calculer la probabilité qu’au bout de 4 semaines aucun membre du club théâtre n’ait été photographié.

Correction

Club photo : 10 membres, club théâtre : 6 membres. Deux élèves sont membres des deux clubs à la fois.

1. Avec des patates le résultat est immédiat.

P(P) = 10/30 = 1/3 et P(T) = 6/30 = 1/5.

On a alors 2 1

(P T)30 15

P ∩ = = et 1 1 1

(P) (T)3 5 15

P P× = × =

donc les événements sont indépendants.

Ceci est un pur hasard de calcul, si vous changez par exemple le nombre d’élèves dans la classe ça ne marche plus…

2. a. 12 1

( )10 5

P T = = .

b. 211

( )9TP T = : il reste à tirer un membre du club théâtre parmi les neuf restants.

21

2( )

9TP T = : si 1T est réalisé le premier élève ne fait pas de théâtre, il reste deux choix parmi 9 restants.

2 10−2 = 8 6−2 = 4

137

2 1 2 111 1 1

( ) ( ) ( )9 5 45TP T T P T P T∩ = = × = ; 2 1 2 11

2 4 8( ) ( ) ( )

9 5 45TP T T P T P T∩ = = × = .

b. Avec les probabilités totales, on a :

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 11 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T

P T P T T T T P T T P T T P T P T P T P T= ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ = + .

Donc 21 8 9 1

( )45 45 45 5

P T = + = = . Le calcul aurait pu se faire directement avec un arbre.

3. Loi binomiale : 4n = , 24

1 ( )5

p P T= − = ; la probabilité cherchée est, en posant X = nombre de fois où

l’élève photographié n’appartient pas au club théâtre : 4

4 04

4 4 256( 4) (1 )

4 6255P X p p

= = − = =

.

5. 3. b : Propriétés des n

p

(triangle de Pascal et binôme de Newton).

Exercice 5. 195

1. Démonstration de cours. Démontrer que, pour tous entiers naturels n et k tels que 1 k n≤ < , on a :

1 11

n n n

k k k

− − + = −

.

2. En déduire que pour tous entiers naturels n et k tels que 2 1k n≤ < − , on a :

2 2 22

2 1n n n n

k k k k

− − − + + = − −

.

3. On considère deux entiers naturels n et k tels que 2 1k n≤ < − . On dispose d’une urne contenant n boules indiscernables au toucher. Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches.

On tire au hasard et simultanément k boules de l’urne. On appelle A l’évènement « au moins une boule rouge a été tirée ».

a. Exprimer en fonction de n et de k la probabilité de l’évènement A , contraire de A. En déduire la probabilité de A.

b. Exprimer d’une autre manière la probabilité de l’évènement A et montrer, à l’aide de la formule obtenue à la question 2, que l’on retrouve le même résultat.

Correction

1. Démonstration : il est plus simple d’utiliser ( 1)...( 1)

( 1)...2.1

n n n n k

k k k

− − += − que

!!( )!

n n

k k n k

= −

, la mise au

même dénominateur étant plus visible.

1 1 ( 1)...( 1 1 1) ( 1)...( 1 1) ...( 1)1 ( 1)...2.1 ( 1)...2.1 ( 1)...2.1

n n n n n k n n k n n k

k k k k k k k k

− − − − − + + − − − + − ++ = ⇔ + = − − − − ;

le dénominateur commun apparaît alors : k!

Il suffit donc de multiplier la première fraction par k en haut et en bas, ce qui donne

( 1)...( 1) ( 1)...( ) ...( 1)! !

k n n k n n k n n k

k k

− − + + − − − += .

On peut mettre ( 1)...( 1)n n k− − + en facteur du numérateur de la fraction de gauche :

( 1)...( 1) ( 1)...( 1)! !

n n k k n k n n n k

k k

− − + + − − − + =

et c’est fini.

138

2. Réécrivons 1 11

n n n

k k k

− − + = −

un rang plus bas pour n et pour k : 2 2 12 1 1

n n n

k k k

− − − + = − − −

;

réécrivons 1 11

n n n

k k k

− − + = −

un rang plus bas pour n mais pas pour k : 2 2 11

n n n

k k k

− − − + = −

;

ajoutons les deux lignes : 2 2 2 1 1

22 1 1

n n n n n n

k k k k k k

− − − − − + + = + = − − −

.

3. Dans l’urne on a 2 boules rouges et n − 2 boules blanches ; il y a n

k

tirages simultanés possibles de k

boules de l’urne.

a. A = « au moins une boule rouge a été tirée » ; A = « aucune boule rouge n’a été tirée » = « les k boules

tirées sont blanches » : il y a 2n

k

−

manières de faire et

2

(A)

n

kP

n

k

− =

.

On a donc

2 2

(A) 1

n n n

k k kP

n n

k k

− − −

= − =

.

b. A peut se produire si on tire 1 rouge et k − 1 blanches, nombre de manières : 2 2 2

21 1 1

n n

k k

− − = − −

,

ou 2 rouges et k − 2 blanches : nombre de manières : 2 2 22 2 2

n n

k k

− − = − −

.

On a alors

2 22

1 2(A)

n n

k kP

n

k

− − + − − =

.

L’égalité entre les deux est alors l’égalité des numérateurs :

2 2 2 2 2 22 2

1 2 1 2n n n n n n n n

k k k k k k k k

− − − − − − − = + ⇔ = + + − − − −

,

soit l’égalité du 2.

5. 4. Spécialité : arithmétique

5. 4. a : Théorème de la division euclidienne

Soient a un entier relatif et b un entier non nul ; il existe un couple d’entiers relatifs (q, r) tels que

a bq r= + avec 0 r b≤ < .

L’opération qui au couple (a, b) associe le couple (q, r) est appelée division euclidienne. q est le quotient, r le reste.

Démonstration : soit x un réel, on appelle partie entière de x le nombre entier relatif juste inférieur à x ; on le

note E(x). La division de a par b fournit un nombre réel a

ub

= ; soit alors E( )q u= , on a alors

1 0a

q q qb a qb b a qb bb

≤ < + ⇔ ≤ < + ⇔ ≤ − < .

139

Posons r a qb= − , on a évidemment a qb r= + et 0 r b≤ < . L’existence de r est assurée, celle de q est due à l’existence d’un entier égal à la partie entière d’un réel, chose que nous admettrons…

S’il existait deux couples (q, r) et (q’, r’) on aurait de la même manière ' 'a bq r bq r= + = + d’où ( ') 'b q q r r− = − donc 'r r− est un multiple de b, mais on a 'b r r b− < − < , la seule possibilité est donc que

' 0 'r r r r− = ⇔ = et comme b n’est pas nul, que ' 0q q− = , soit q = q’. Nous avons donc unicité.

Exercice 5. 196

n désigne un nombre entier naturel.

1. Démontrer que 2 5 4n n+ + et 2 3 2n n+ + sont divisibles par 1n + .

2. Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels 23 15 19n n+ + est divisible par 1n + .

3. En déduire que, quel que soit n, 23 15 19n n+ + n’est pas divisible par 2 3 2n n+ + .

Peut-on préciser, suivant les valeurs de n, le reste de la division de 23 15 19n n+ + par 2 3 2n n+ + ?

5. 4. b : Algorithme d’Euclide

Ecrivons les divisions successives de a par b, de r0 par r1, … jusqu’à celle de rn−1 par rn :

0 0

0 1 1

0 1 2 2

1 1 1

....

n n n n

a bq r

b r q r

r r q r

r r q r− + +

= += += +

= +

Comme on a 1 1 00 ...n nr r r r b+≤ < < < < < et que ce sont tous des nombre entiers, il arrivera forcément un moment où 1nr + sera nul (principe de la descente infinie de Fermat) sinon on aboutirait à une contradiction.

Supposons par exemple que rN soit le dernier reste non nul ; on a 0 0r a bq= − et si d est un diviseur de a et b, d divise alors 0a bq− et donc r0, d est un diviseur de b et r0. Le même raisonnement appliqué aux divisions successives montre que d est un diviseur de a, b, r0, r1, …, rN.

Particulièrement, si d est le Plus Grand Commun Diviseur de a et b, c’est également celui de b et r0, de r0 et r1, de r1 et r2,…de 1Nr − et Nr . Or on a 1 1N N Nr q r− += donc Nr divise 1Nr − , c’est le PGCD de a et b.

Exercice 5. 197

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 32 1n − est un multiple de 7. En déduire que 3 12 2n+ − et 3 22 4n+ − sont des multiples de 7.

2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.

3. Soit p un entier et le nombre 2 32 2 2p p ppA = + + . Déterminer suivant que p = 3n, 3n+1 ou 3n+2 la

divisibilité de pA par 7.

Exercice 5. 198

On considère les entiers naturels a, b et c qui s’écrivent dans la base n : 111a = , 114b = et 13054c = .

1. Sachant que c ab= , déterminer n puis l’écriture de chacun de ces nombres en base 10.

2. Vérifier, en utilisant l’algorithme d’Euclide, que a et b sont premiers entre eux. En déduire les solutions dans 2

ℤ de l’équation 1ax by+ = .

5. 4. c : Propriétés de la congruence

Si ( )a p n≡ et ( )b q n≡ alors

( )( )a b p q n± ≡ ± : par exemple on a a p kn= + , 'b q k n= + d’où ( ') ( )a b p q k k n a b p q n+ = + + + ⇔ + ≡ + ;

140

( )ab pq n≡ : a p kn= + , 'b q k n= + , d’où 2( )( ' ) ' ' ( )ab p kn q k n pq kqn k pn kk qpn ab pq n= + + = + + + ⇒ ≡ ;

on en déduit immédiatement que ( )m ma p n≡ par récurrence sur m.

Exercice 5. 199

On considère les dix caractères A, B, C, D, E, F, G, H, I et J auxquels on associe dans l’ordre les nombres entiers de 1 à 10. On note Ω = 1, 2, . . . , 10.

Définition de la congruence modulo 11 : on rappelle que si a et b désignent deux entiers relatifs, on dit que a est congru à b modulo 11, et on écrit [11]a b≡ , si et seulement s’il existe un entier relatif k tel que a = b + 11k.

1. a. Démonstration de cours : démontrer que si [11]a b≡ et [11]c d≡ alors [11]ac bd≡ .

b. En déduire que si [11]a b≡ , alors pour tout n entier naturel on a : [11]n na b≡ .

2. On désigne par f la fonction définie sur Ω par « f(n) est le reste de la division euclidienne de 5n par 11 ».

On désire coder à l’aide de f le message « BACF ». Compléter la grille de chiffrement ci-dessous :

Lettre B A C F

n 2 1 3 6

f(n) 3

Lettre C

Peut-on déchiffrer le message codé sans ambiguïté ?

3. On désigne par g la fonction définie sur Ω par « g(n) est le reste de la division euclidienne de 2n par 11 ». Etablir, sur le modèle précédent, la grille de chiffrement de g. Permet-elle le déchiffrement sans ambiguïté de tout message codé à l’aide de g ?

4. Le but de cette question est de déterminer des conditions sur l’entier a compris entre 1 et 10 pour que la fonction h définie sur E par « h(n) est le reste de la division euclidienne de an par 11 » permette de chiffrer et déchiffrer correctement un message de 10 caractères.

Soit i un élément de Ω .

a. Montrer, en raisonnant par l’absurde, que si, pour tout i∈ Ω , i < 10, ai n’est pas congru à 1 modulo 11, alors la fonction h permet le déchiffrement sans ambiguïté de tous messages.

b. Montrer que s’il existe i∈ Ω , i < 10, tel que 1[11]ia ≡ , alors la fonction h ne permet pas de déchiffrer un message avec certitude.

c. On suppose que i est le plus petit entier naturel tel que 1 10i≤ ≤ vérifiant 1[11]ia ≡ .

En utilisant la division euclidienne de 10 par i, prouver que i est un diviseur de 10.

d. Quelle condition doit vérifier le nombre a pour permettre le chiffrage et le déchiffrage sans ambiguïté de tous messages à l’aide de la fonction h ? Faire la liste de ces nombres.

5. 4. d : Théorème de Bézout Soit a et b deux entiers non nuls, d leur PGCD.

Alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au bv d+ = .

Démonstration : On appelle U l’ensemble des entiers non nuls de la forme n au bv= + : U n’est pas vide puisqu’il contient a, b, etc. U a alors un plus petit élément d0 tel que 0 0 0au bv d+ = ; comme d divise a et b, il divise d0 et donc 0d d≤ .

Montrons que d peut s’écrire au bv d+ = : on divise a par d0, soit

0 0 0 0 0 0( ) (1 ) ( )a d q r r a d q a au bv q a qu b qv= + ⇔ = − = − + = − + − avec 00 r d≤ < .

r est donc dans U mais d0 est le plus petit élément de U donc r est nul (sinon il serait dans U) ; conclusion d0 divise a ; le même raisonnement avec b fait que d0 divise b donc d0 divise d et 0d d≤ . Finalement

0d d= .

141

Remarque : cette relation permet de montrer deux choses vraiment importantes :

* a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u et v entiers relatifs tels que 1au bv+ = .

* L’équation ax by c+ = a des solutions en nombres entiers si et seulement si c est un multiple de d, PGCD de a et b.

Exercice 5. 200

1. Calculer, en fonction de n, la somme des n premiers entiers naturels non nuls.

2. Démontrer par récurrence que

2

3

1 1

n n

p p

p p

= =

=

∑ ∑ . Exprimer 3

1

n

n

p

s p=

=∑ en fonction de n.

3. Soit Dn le PGCD des nombres sn et sn+1 .Calculer Dn lorsque

a. n= 2k.

b. n = 2k+1.

En déduire que sn , sn+1 et sn+2 sont premiers entre eux.

Exercice 5. 201

Pour tout entier naturel n, non nul, on considère les nombres

4 10 1nna = × − , 2 10 1n

nb = × − et 2 10 1nnc = × + .

1. a. Calculer a1, b1, c1, a2, b2, c2, a3, b3 et c3.

b. Combien les écritures décimales des nombres an et cn ont-elles de chiffres ? Montrer que an et cn sont divisibles par 3.

c. Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b3 est premier.

d. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, 2n n nb c a× = .

e. Montrer que PGCD( , ) PGCD( , 2)n n nb c c= . En déduire que bn et cn sont premiers entre eux.

2. On considère l’équation (E) : 3 3 1b x c y+ = d’inconnues les entiers relatifs x et y.

a. Justifier le fait que (E) a au moins une solution.

b. Appliquer l’algorithme d’Euclide aux nombres c3 et b3 ; en déduire une solution particulière de (E).

c. Résoudre l’équation (E).

Liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.

Exercice 5. 202 : Nouvelle Calédonie, remplacement, novembre 2004

Dans cet exercice a et b désignent des entiers strictement positifs.

1. a. Démontrer que s’il existe deux entiers relatifs u et v tels que 1au bv+ = alors les nombres a et b sont premiers entre eux.

b. En déduire que si ( )22 2 1a ab b+ − = alors a et b sont premiers entre eux.

2. On se propose de déterminer tous les couples d’entiers strictement positifs (a ; b) tels que

( )22 2 1a ab b+ − = . Un tel couple sera appelé solution.

a. Déterminer a lorsque a = b.

b. Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.

c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a b< , alors 2 2 0a b− < .

3. a. Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors ( ; )y x x− et ( ; )y y x+ sont aussi des solutions.

b. Déduire de 2. b. trois nouvelles solutions.

142

4. On considère la suite de nombres entiers strictement positifs ( )n na ∈ℕ définie par 0 1 1a a= = et pour tout entier n, 0n ≥ , 2 1n n na a a+ += + .

Démontrer que pour tout entier naturel 0n ≥ , 1( ; )n na a + est solution. En déduire que les nombres na et

1na + sont premiers entre eux.

Correction

1. a. Démonstration de cours : voir plus haut.

b. ( ) ( )2 222 2

2 2

1 11

( ) 11

a ab b a a b b ba ab b

b b a a aa ab b

+ − = + − × = + − = ⇔ ⇔ − − × =+ − = −

. Dans les deux cas on peut écrire

1au bv+ = : dans le premier ,u a v v b= + = − , dans le second ,u b a v a= − = − .

2. a. a = b : ( )22 2 41 1 1a ab b a a+ − = ⇔ = ⇒ = (a > 0).

b. (1 ; 1) est déjà fait, (2 ; 3) : ( )22 22 2.3 3 1+ − = et (5 ; 8) : ( )22 2 25 5.8 8 (25 40 64) 1+ − = + − = .

c. 2 2 1a ab b+ − = : si on a 2 2 0a b− > , alors 2 2a ab b+ − ne peut pas valoir 1 ; de même 2 2a ab b+ − ne peut valoir −1 dans ce cas puisqu’il serait positif. Dans tous les cas on a 2 2 0a b− < .

3. a. ( ; )y x x− est une solution ssi (x ; y) est une solution :

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 1y x y x x x y xy x xy x x y xy x− + − − = − + + − − = − + = ;

Même calcul pour ( ; )y y x+ .

b. (2 ; 3) est solution donc (3 2 ; 2) (1 ; 2)− = et (3 ; 3 2) (3 ; 5)+ = en sont ; (5 ; 8) est solution donc (8 5 ; 5) (3 ; 5)− = et (8 ; 5 8) (8 ;13)+ = en sont ; on a les nouvelles solutions : (1 ; 2) , (3 ; 5) et (8 ;13) .

4. 0 1 1a a= = , 2 1n n na a a+ += + . Démonstration par récurrence : supposons que 1( ; )n na a + est solution, alors

1 1 1 2( ; ) ( ; ) ( ; )n n n n ny y x a a a a a+ + + ++ = + = est solution d’après le 3. a. Comme c’est vrai au rang 0 : (1 ; 1) est solution, c’est toujours vrai.

La question 1. b. justifie alors que les nombres na et 1na + sont premiers entre eux.

5. 4. e : Théorème de Gauss

a, b, c trois entiers non nuls ; si a et b sont premiers entre eux et que a divise bc, alors a divise c.

La démonstration est immédiate : a divise bc donc bc ka= , a et b sont premiers entre eux donc il existe u et v tels que 1au bv+ = , soit en multipliant par c : ( )cau cbv c cau kav c a cu kv c+ = ⇒ + = ⇔ + = ; il est donc clair que a divise c (ainsi que cu kv+ …).

Exercice 5. 203

1. On admet que 1999 est un nombre premier. Déterminer l’ensemble des couples (a, b) d’entiers naturels tels que a + b = 11994 et dont le PGCD vaut 1999.

2. On considère l’équation (E) : 2 11994 0n Sn− + = où S est un entier naturel. On s’intéresse à des valeurs de S telles que (E) admette deux solutions dans ℤ

a. Peut on trouver S tel que 3 soit solution de (E) ? Si oui, préciser la deuxième solution.

b. Même question avec 5 ?

c. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 11994. En déduire toutes les valeurs possibles de S.

5. 4. f : L’ensemble des nombres premiers est infini Il existe plus de 600 démonstrations, la plus connue restant celle d’Euclide : je ne résiste pas au plasir de vous laisser traduire la page d’Eric Weisstein : http://mathworld.wolfram.com/EuclidsTheorems.html

143

Euclid's second theorem states that the number of primes is infinite. This theorem, also called the infinitude of primes theorem, was proved by Euclid in Proposition IX.20 of the Elements (Tietze 1965, pp. 7-9). Ribenboim (1989) gives nine (and a half) proofs of this theorem. Euclid's elegant proof proceeds as follows.

Given a finite sequence of consecutive primes 2, 3, 5, ..., p, the number 2.3.5.... 1N p= + , known as the ith Euclid number when ip p= is the ith prime, is either a new prime or the product of primes. If N is a prime, then it must be greater than the previous primes, since one plus the product of primes must be greater than each prime composing the product. Now, if N is a product of primes, then at least one of the primes must be greater than p. This can be shown as follows.

If N is composite and has no prime factors greater than p, then one of its factors (say F) must be one of the primes in the sequence, 2, 3, 5, ..., p. It therefore divides the product 2.3.5...p . However, since it is a factor of N, it also divides N. But a number which divides two numbers a and b < a also divides their difference a − b, so F must also divide (2.3.5... ) (2.3.5... ) 1 (2.3.5... ) 1N p p p− = + − = .

However, in order to divide 1, F must be 1, which is contrary to the assumption that it is a prime in the sequence 2, 3, 5, .... It therefore follows that if N is composite, it has at least one factor greater than p. Since N is either a prime greater than p or contains a prime factor greater than p, a prime larger than the largest in the finite sequence can always be found, so there are an infinite number of primes. Hardy (1967) remarks that this proof is "as fresh and significant as when it was discovered" so that "two thousand years have not written a wrinkle" on it.

Exercice 5. 204

1. Démonstration de cours : démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers.

2. Soit p un nombre premier strictement plus grand que 2. Démontrer que p est congru à 1 ou à –1 modulo 4. Donner deux exemples de chacun de ces cas.

Le but de ce qui suit est de répondre à la question suivante :

« Les nombres premiers p congrus à –1 modulo 4 sont-ils en nombre fini ? »

Supposons que ce soit le cas : soit n le nombre des nombres premiers congrus à –1 modulo 4, notons A = p1p2 … pn le produit de ces nombres et B = 4A – 1.

3. Montrer que B est congru à –1 modulo 4.

4. Soit q un diviseur premier de B. Montrer que q est distinct de chacun des nombres p1, p2, …, pn précédents.

Montrer que parmi les diviseurs premiers de B, l’un au moins est congru à –1 modulo 4.

5. Quelle réponse apporter à la question posée ?

5. 4. g : Décomposition en produits de facteurs premiers La démonstration n’est pas très drôle. Le lecteur peut consulter

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_fondamental_de_l%27arithm%C3%A9tique

Exercice 5. 205

1. On considère le nombre 3 2200 2 5n = = .

a. Combien n a-t-il de diviseurs ? En utilisant un arbre, calculez les tous et faites leur somme s.

b. Vérifiez que 2 3 2(1 2 2 2 )(1 5 5 )s = + + + + + .

2. On considère maintenant le nombre N a bα β= où a et b sont deux nombre premiers.

a. Quel est le nombre de diviseurs de N ?

b. Soit S la somme des diviseurs de N. Montrez que 2 2(1 ... )(1 ... )N a a a b b bα β= + + + + + + + + .

c. Déduisez en une expression « simple » de S. Montrez alors que pour α et β suffisamment grands on a

.1 1

S a b

N a b≈

− −.

144

Application numérique : 100 2005 7N = ; trouver une valeur approchée de S.

Exercice 5. 206

Pour tout entier 1n ≥ on pose 1! 2! ... !nu n= + + +

On donne la décomposition en facteurs premiers des dix premiers termes de la suite ( )nu .

1

22

3

42

5

13

33 11

3 17

u

u

u

u

u

==

== ×

= ×

26

47

28

29

210

3 97

3 73

3 11 467

3 131 347

3 11 40787

u

u

u

u

u

= ×

= ×

= × ×

= × ×

= × ×

1. Montrer que nu n’est jamais divisible par 2, par 5 ni par 7.

2. Peut-on affirmer que nu est divisible par 11 à partir d’un certain rang ?

3. Peut-on affirmer que, à partir d’un certain rang, nu est divisible par 32 mais pas par 33 ?

5. 4. h : Petit théorème de Fermat Voici une démonstration due à Leibniz (il n’est pas sûr que ce dernier connaissait celle de Fermat).

Exercice 5. 207

On considère l’expression 0 1 2 0 1 2( ... ) ( ... )p p pp pn n nZ u u u u u u u u= + + + + − + + + + où 0u , 1u , 2u ,… , nu sont des

entiers quelconques (dont la somme n’est pas divisible par p) et p un nombre premier. Montrer par récurrence sur n que nZ est divisible par p. Retrouver ainsi la démonstration du théorème de Fermat.

Exercice 5. 208

1. Le nombre 112 1− est-il premier ?

2. p et q étant deux entiers naturels non nuls, quel est le reste de la division par 2 1p − du nombre 2 (2 )pq p q= ? En déduire que 2 1pq − est divisible par (2 1)p − et (2 1)q − .

3. Démontrer que, si 2 1n − est premier, alors n est premier. Réciproque ?

5. 5. Spécialité : géométrie

5. 5. a : Toute similitude de rapport k (>0) est la composée d’une homothétie de rapport k et d’une isométrie

Soit s une similitude de rapport k positif et h une homothétie de rapport 1k. La composée h s est alors

une similitude de rapport 1. 1kk

= , c’est donc une isométrie f.

On a donc 1 1 1h s f h h s h f s h f− − −= ⇔ = ⇔ = où l’homothétie 1h− a pour rapport k.

Exercice 5. 209 : remplacement 2004, Amérique du Sud

Soit A0 et B0 deux points du plan orienté tels que 0 0 8A B = . On prendra le centimètre comme unité.

Soit S la similitude de centre A0, de rapport 12 et d’angle

34π. On définit une suite de points ( )nB de la

façon suivante : pour tout entier naturel n, 1 ( )n nB S B+ = .

1. Construire B1, B2, B3 et B4.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, les triangles 0 1n nA B B + et 0 1 2n nA B B+ + sont semblables.

145

3. On définit la suite ( )nl par : pour tout entier naturel n, 1n n nl B B += .

a. Montrer que la suite ( )nl est une suite géométrique et préciser sa raison.

b. Exprimer nl en fonction de n et 0l .

c. On pose 0 1 ...n nl l lΣ = + + + . Déterminer la limite de nΣ lorsque n tend vers +∞ .

4. a. Résoudre l’équation 3 4 2x y− = où x et y sont deux entiers relatifs.

b. Soit ∆ la droite perpendiculaire en A0 à la droite 0 0( )A B . Pour quelles valeurs de n, nB appartient-il à ∆ ?

Correction

1. Rien n’interdit de prendre A0 à l’origine et B0 en z = 8. On a alors 341

: '2

iS z z e z

π

→ = , d’où en notant nz

l’affixe de Bn : 34

112

i

n nz e z

π

+ = , soit 3 34 4

01 8

2 2

n ni i

n n nz e z e

π π

= = .

B4B3

B2

B1

B0A

Enfin, bref, à chaque fois on tourne de 34π et on divise la distance par 2.

2. Par S on a 0 0

1

1 2

n n

n n

A A

B B

B B+

+ +

→ → →

donc les triangles 0 1n nA B B + et 0 1 2n nA B B+ + sont semblables.

3. a. 1 1 2 11 12 2n n n n n nl B B B B l+ + + += = = puisque les triangles sont semblables et que le rapport de similitude

est 1/2.

b. 01 8

2 2n n nl l= = .

c. 1

0 1

11

2... 8 161

12

n

n nl l l+−

Σ = + + + = →−

.

4. a. 3 4 2x y− = a comme solution évidente x = 2, y = 1 : 3.2 − 4.1 = 2. Soustrayons :

3 4 2 2 43( 2) 4( 1) 0 3( 2) 4( 1) ,

3.2 4.1 2 1 3x y x k

x y x y ky k

− = − =⇒ − − − = ⇔ − = − ⇔ ∈ − = − =

ℤ

146

d’où les solutions 2 41 3

x k

y k

= + = +

, k entier relatif.

b. On voit sur la figure que B2 est sur ∆ ; en faisant 34π à chaque fois il faudra 4 coups pour revenir sur ∆ ,

les valeurs de n correspondantes sont donc 2 4n k= + .

Sinon on peut repartir sur 3 34 4

01 8

2 2

n ni i

n n nz e z e

π π

= = qui est imaginaire pur lorsque

33 2 4 3 4 2

4 2n

k n k n kπ π π= + ⇔ = + ⇔ − = , soit les solutions précédentes.

5. 5. b : Les isométries du plan sont les transformations ' iz e z bθ= + ou ' iz e z bθ= + Il est immédiat de montrer que ces deux types de transformations sont des isométries ; par exemple pour ' iz e z bθ= + :

1 1( ) '( ')M z M z→ et 2 2( ) '( ')N z N z→ , soit 2 1 2 1 2 1 2 1' ' ' ' 1iM N z z e z z z z z z MNθ= − = − = − = − = .

Il est plus délicat de montrer que toute isométrie est de cette forme : soit f une isométrie du plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J) ; on note (O’, I’, J’) le repère image par f : ce repère est également orthonormal d’après les propriétés des isométries (conservation des longueurs et des angles, les isométries positives conservant le sens des angles, les iso. négatives les renversant).

Prenons M(x ; y), on a OM xOI yOJ= +

, M’(x’ ; y’) son image par f : ' ' ' ' ' ' ' 'O M x O I y O J= +

.

Calculons les produits scalaires : 2

. .OMOI xOI yOJ OI x= + =

, 2

. .OMOJ xOI OJ yOJ y= + =

, de même ' '. ' ' 'O M O I x=

, ' '. ' ' 'O M O J y=

.

Mais comme les distances et les angles sont conservés, on a

( ) ( ). . .cos , ' '. ' ' .cos ' ', ' ' ' '. ' 'OMOI OMOI OM OI O M O I O M O I O M O I= = =

ainsi que . ' '. ' 'OMOJ O M O J=

d’où ''

x x

y y

= =

et ' ' ' ' ' 'O M xO I yO J= +

.

Passons maintenant en complexes : prenons dans le repère (O, I, J) les affixes : (0) '( )O O b→ , ' '( )O I u

,

' '( )O J v

et ( )M z x iy= + .

* ' 'O I

est normé donc 1 iu u e θ= ⇔ = , θ réel quelconque.

* ' 'O J

est normé et orthogonal à ' 'O I

donc iv iu ie θ= = ou iv iu ie θ= − = − .

* ' ' ' ' ' ' 'O M xO I yO J z b xu yv= + ⇔ − = +

d’où les deux possibilités :

' '

' '

i i i i

i i i i

z b xe iye e z z e z b

z b xe iye e z z e z b

θ θ θ θ

θ θ θ θ

− = + = = + ⇔ − = − = = +

.

5. 5. c : Caractérisation complexe d’une similitude

Les deux résultats précédents donnent immédiatement que si s est une similitude de rapport k > 0, elle est

de la forme ' 'f hi i iz z e z b kz ke z kb ke z cθ θ θβ β→ = + → + = + + = +

ou de la forme ' 'f hi i iz z e z b kz ke z kb ke z cθ θ θβ β→ = + → + = + + = + .

En fait ike θ est un complexe a quelconque de même que c, ce qui donne 'z az c= + ou 'z az c= + .

Exercice 5. 210 National 2004, remplacement

L’exercice comporte une annexe, à rendre avec la copie.

147

A et C sont deux points distincts du plan ; on note Γ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de Γ ; B est un point du cercle Γ distinct des points A et C.

Le point D est construit tel que le triangle BCD soit équilatéral direct ; on a donc ( ), (2 )3

BC BDπ π= +

.

Le point G est le centre de gravité du triangle BCD.

Les droites (AB) et (CG) se coupent en un point M.

Partie A

1. Placer les points D, G et M sur la figure de la feuille annexe.

2. Montrer que les points O, D et G appartiennent à la médiatrice du segment [BC] et que le point G est le milieu du segment [CM].

3. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude directe s de centre C transformant B en M.

Partie B

Dans cette question le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives −1 et +1. Soit E le point construit pour que le triangle ACE

soit équilatéral direct ; on a donc ( ), (2 )3

AC AEπ π= +

.

1. Calculer l’affixe du point E et construire le point E sur la feuille annexe.

2. Soit σ la similitude directe d’expression complexe 3 3 1 3

'4 4i i

z z+ −= + . Déterminer les éléments

caractéristiques de σ et en déduire que σ est la similitude réciproque de s.

3. Montrer que l’image E’ de E par σ a pour affixe 1 32 2

i− + et montrer que le point E’ appartient au

cercle Γ .

4. On note Σ le lieu des points M lorsque le point B décrit le cercle Γ privé des points A et C. Montrer que le point E appartient à Σ .

Soit O’ l’image du point O par la similitude s. Démontrer que le point O’ est le centre de gravité du triangle ACE. En déduire une construction de Σ .

A rendre avec la copie

B

CA

Correction

148

O

M

G

DB

C

A

2. [BC] est une corde du cercle Γ donc OB = OC ; par ailleurs dans un triangle équilatéral le centre de gravité et le troisième sommet sont sur la médiatrice, ici sur celle de [BC]. (GC) est la médiatrice de [BD] ; par ailleurs on a 90 , 30 , 30ABC BCG GBD= ° = ° = ° d’où 180 90 30 30 30DBM = − − − = ° , moralité M est le symétrique de G par rapport à [BD] et GM = CG.

3. On regarde les images par

( )

2 3 2 3 22 2

3 2 3 3:

, (2 )6

CM CGkC C CB CBs

B MCB CM

πθ π

= = = = =→

⇒ → = = −

Partie B

1.

E'

E

O

M

G

D

B

C

A

2. 3 3 1 3

'4 4i i

z z+ −= + : 63 3 3 3 1 3

4 2 2 2 2

iia i e

π += = + =

donc rapport 32 et angle

6π. On

cherche le centre : 3 3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 3

1 14 4 4 4 4 4i i i i i i

z z z z z + − + − − −= + ⇔ − = ⇔ = ⇔ =

, c’est

149

donc C. La réciproque d’une similitude a même centre, un rapport inverse et un angle opposé : c’est bien le cas ici.

3. E est sur l’axe imaginaire, son affixe est 3i (hauteur d’un triangle équilatéral de côté 2). Son image a

pour affixe 3 3 1 3 3 3 3 1 3 2 2 3 1 3

' 34 4 4 4 2 2i i i i i

z i i+ − − + − − += + = = = − + qui a évidemment pour

module 1 et est donc sur Γ .

4. Comme ' ( )E Eσ= , on a ( ')E s E= puisque s est la réciproque de σ ; comme E’ est sur Γ , E est sur Σ .

Lorsque B parcourt Γ , M parcourt le cercle de centre s(O)=O’ et de rayon 23.

On obtient l’affixe de O’ « facilement » en écrivant que

6' 0 '

2 2 3 1( ) 1 1 1

2 23 3 3 3

i

O C C Oi i

z z e z z z i

π− − = − ⇔ = − − + = − + + =

.

Celle du centre de gravité de ACE est ( )1 1 1 33 3 3

A C Ei i

z z z− ++ + = = .

E est un point de Σ et O’ son centre, la construction est faite.

O'

E'

E

O

M

G

DB

C

A

5. 5. d : Propriétés des similitudes

* Les similitudes de la forme 'z az b= + sont associées aux isométries positives, elles conservent le sens des angles : prenons trois points M, N, P et leurs images M’, N’, P’ ;

on a alors ( ) ( )' ' ( ) ( )' ', ' ' arg arg arg ,

' ' ( ) ( )p m ap b am b p m

M N M P MN MPn m an b am b n m

− + − + −= = = =

− + − + −

.

* Les similitudes de la forme 'z az b= + sont associées aux isométries négatives, elles renversent le sens des angles : prenons trois points M, N, P et leurs images M’, N’, P’ ;

( ) ( )' ' ( ) ( )' ', ' ' arg arg arg arg ,

' ' ( ) ( )p m ap b am b p m p m

M N M P MN MPn m an b am b n mn m

− + − + − − = = = = = − − + − + −−

.

150

* Conservation du barycentre : soit G le barycentre de ( , ) ; ( , )M Nα β , M’ et N’ les images de M et N,

alors 'm am b= + , 'n an b= + , 1 1

( ) ' ( ) ( )a

g m n g a m n b m n bα β α β α βα β α β α β

= + → = + + = + + + + + ;

montrons que G’ est le barycentre de ( ', ) ; ( ', )M Nα β :

( ) ( ) ( )1 1 1' ' ' ( )

ag m n am b an b m n b b ag bα β α α β β α β α β

α β α β α β α β= + = + + + = + + + = +

+ + + +.

En fait cette propriété est suffisante puisque l’associativité du barycentre fait que ceci sera valable pour un nombre quelconque de points.

Par ailleurs ceci permet de montrer d’autres propriétés simples comme la conservation du parallélisme.

5. 5. e : Une similitude ayant deux points fixes distincts est soit l’identité, soit une symétrie axiale

Si notre similitude s’écrit 'z az b= + , elle a soit un seul point fixe 1b

za

=−

, soit une infinité lorsque a = 1

et b = 0 ; c’est donc l’identité si elle en a plus que un.

Si elle s’écrit 'z az b= + et qu’elle a comme points fixes u et v, on a :

( )'( )

u v vu uvb u u

u au b u au b u vu v u v z u z uu vu v a u vv av b u v

au v

− − = − == + = + − − −⇔ ⇔ ⇒ − = − −− = −= + − = −

.

Cette dernière écriture est celle d’une réflexion d’axe (uv), ce que le lecteur vérifiera aisément…

Exercice 5. 211 Polynésie, 2004, remplacement

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

. On prendra sur la figure 1 cm pour unité

graphique. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives 1 i− + , 3 2i+ et 2i .

1. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point

M’ = f(M) d’affixe z’ définie par : 1

' 1 (1 2)2i

z z i+= − + + .

a. Calculer les affixes des points A’ = f(A) et C’= f(C).

b. En déduire la nature de f et caractériser cette transformation.

c. Placer les points A, B et C puis construire le point B’ = f(B).

2. a. Donner l’écriture complexe de l’homothétie h de centre A et de rapport 2 .

b. Montrer que la composée g f h= a pour écriture complexe '' (1 ) 1 3z i z i= + − + .

3. a. Soit M0 le point d’affixe 2 4i− . Déterminer l’affixe du point 0 0( )M g M′′ = puis vérifier que les

vecteurs AB

et 0AM′′

sont orthogonaux.

b. On considère un point M d’affixe z. On suppose que la partie réelle x et la partie imaginaire y de z sont des entiers. Démontrer que les vecteurs AB

et AM′′

sont orthogonaux si, et seulement si, 5 3 2x y+ = − .

c. Résoudre dans 2ℤ l’équation 5 3 2x y+ = − .

d. En déduire les points M, dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l’intervalle [ 6 ; 6]− , tels

que AB

et AM′′

sont orthogonaux. Placer les points obtenus sur la figure.

Correction

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives 1 i− + , 3 2i+ et 2i .

151

1. a. 1

' 1 (1 2)2i

z z i+= − + + :

1' ( 1 ) 1 (1 2) 2 1 2 1

2i

a i i i i i i+= − − − + + = − − + + = − + ,

1' ( 2) 1 (1 2) 1 1 2 2

2i

c i i i i i i+= − − + + = − + − + + = .

b. On a 411

2

iie

π+ = = donc f est une isométrie. Par ailleurs les deux points A et C sont invariants donc f

est une réflexion d’axe (AC).

c.

B'

B

C

Av

uO

2. a. : '/ ' 2( ) ' 2 (1 2) 2 ( 1 )(1 2)h z z z a z a z z a z i→ − = − ⇔ = + − = + − + −

b. 1 1

' 1 (1 2) 2 ( 1 )(1 2) 1 (1 2)2 2

fh i ig f h z z z z i z i i

+ +′′ ′= = → → = − + − = + − + − − + + , soit

( ) ( ) ( ) ( )1 12 ( 1 ) 1 2 1 1 2 (1 ) ( 1 ) 1 2 1 1 2

2 2i i

z z i i i z i i+ + ′′ = + − − − − + + = + + − − − − + +

;

il reste à simplifier :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( 1 ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2

2i

i i i i i+ − − − − + + = − − − + + = − + − + + + ,

soit finalement '' (1 ) 1 3z i z i= + − + .

3. a. 0 02 4 (1 )(2 4 ) 1 3 3 9z i z i i i i′′= − → = + + − + = − + ; AB

a pour affixe 3 2 1 4b a i i i− = + + − = + et 0AM′′

a pour affixe 0 3 9 1 2 8z a i i i′′ − = − + + − = − + ; avec le produit scalaire on a : 4.( 2) 1.8 8 8 0− + = − + = , les vecteurs sont orthogonaux.

b. (1 )( ) 1 3 1 ( 3) ( 2)z x iy z i x iy i x y i x y z a x y i x y′′ ′′= + → = + − − + = + − + − + ⇒ − = + + − + ;

le produit scalaire donne 4( ) 1( 2) 5 3 2x y x y x y+ + − + = + + et est nul lorsque 5 3 2x y+ = − .

c. On a une solution évidente : x = 2, y = −4 ; soustrayons :

5 3 2 2 3 2 35( 2) 3( 4) 0 5(2 ) 3( 4) ,

5.2 3( 4) 2 4 5 4 5x y x k x k

x y x y ky k y k

+ = − − = = − ⇒ − + + = ⇔ − = + ⇔ ⇔ ∈ + − = − + = = − +

ℤ .

152

d.

4 86 6 6 2 3 6 8 3 4 1, 0, 1, 23 3 0,1, 26 6 2 106 4 5 6 2 5 10 0, 1, 2

5 5

kx k k k

ky k k k

k

− ≤ ≤− ≤ ≤ − ≤ − ≤ − ≤ − ≤ = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − ≤ ≤ − ≤ − + ≤ − ≤ ≤ = − ≤ ≤

.

Il y a trois points seulement : m (2 ; −4), A (−1 ; 1) et n (−4 ; 6).

m'

n'

n

m

B'

BC

Av

uO

5. 5. f : Forme réduite d’une similitude directe

Une similitude directe s (avec a différent de 1, qui n’est donc pas une translation) a un point fixe : ω , seul

point tel que 1b

a ba

ω ω ω= + ⇔ =−

.

On a alors ( ) '

, ' arg (2 )'

' ( ) ( )' '

i

zM M

z az b zz a z ke z

M za bk

M z

θ

ω θ πωω ω ω

ωω ωω

− Ω Ω = == + −⇒ − = − = − ⇔ Ω −= + = =

Ω −

.

s est donc la composée d’une homothétie de rapport k et d’une rotation d’angle θ , les deux de centre ( )ωΩ .

Remarquez que si vous tombez dans vos calculs sur un rapport négatif, il suffit de rajouter π à θ pour revenir à un rapport positif : ( )i i i ike e ke keθ π θ θ π+− = = .

5. 5. g : Propriété : « étant donnés quatre points A, B, A’, B’ tels que A ≠ B et A’ ≠ B’, il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’ ». Avec tous les résultats précédents c’est un jeu d’enfant :

153

on a les affixes a, a’, b et b’. Si on a une similitude directe, celle-ci s’écrit 'z zα β= + ; il suffit donc de trouver α et β en fonction de a, a’, b et b’.

' '' ''' ' ' ' ( ) '

b aa a a aA A

b aB B b b b a b a

a a

α β α β αα β α β α

−= + = +→ = ⇔ ⇔ ⇔ − → = + − = − = −

;

c’est tout.

Exercice 5. 212

On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la distance A0B0 soit égale à 4 2 . On

précise de plus que l’angle ( )0 0,OA OB

est un angle droit direct.

On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la façon suivante :

– An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;

– Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).

1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2, B2, A3, B3.

2. a. Démonstration de cours. Démontrer qu’il existe une similitude directe et une seule qui transforme A0 en A1 et B0 en B1.

b. Soit s cette similitude : préciser son angle et son rapport, puis vérifier que son centre est O. Démontrer que, pour tout entier naturel n, la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.

3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus modulo 4.

b. On désigne par Ω le point d’intersection des droites (A0B4) et (B0A4). Démontrer que le triangle A0B0 est isocèle en Ω .

c. Calculer la distance A0B4.

d. Démontrer que 0 44A BΩ = Ω .

e. En déduire l’aire du triangle 0 0A BΩ .

Exercice 5. 213

On considère un triangle OA0B0 rectangle isocèle en O et tel que la distance A0B0 soit égale à 4 2 . On

précise de plus que l’angle ( )0 0,OA OB

est un angle droit direct.

On définit alors pour tout entier naturel n les points An+1 et Bn+1 de la façon suivante :

– An+1 est le milieu du segment [AnBn] ;

– Bn+1 est le symétrique du point An+1 par rapport à la droite (OBn).

1. Représenter le triangle OA0B0, puis construire les points A1, B1, A2, B2, A3, B3.

2. Soit s la similitude directe de centre O qui transforme A0 en A1.

a. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude s, puis montrer que la similitude s transforme B0 en B1.

b. Démontrer que pour tout entier n, la similitude s transforme An en An+1 et Bn en Bn+1.

3. a. Démontrer que les points O, An et Ap sont alignés si et seulement si les entiers n et p sont congrus modulo 4.

b. On désigne par Ω le point d’intersection des droites (A0B4) et (B0A4). Déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle 0 0A BΩ (tout élément de réponse, par exemple l’exposé d’une méthode ou la détermination d’une valeur approchée, sera pris en compte).

155

6 . CALCUL INTEGRAL EXERCICES

6. 1. Cours : équations différentielles

Exercice 6. 214

Valider ou infirmer les propositions suivantes :

1. Les solutions de l’équation différentielle : y’ + 4y = 0 sont les fonctions définies sur ℝ par 4( ) xf x e C−= + où C est une constante réelle.

2. La fonction définie pour tout x réel par 7( ) 5xf x e−= + est l’unique solution de l’équation différentielle :

y’ = −7 y + 35 et y(0) = 5.

6. 2. Calcul

Exercice 6. 215 Calcul de primitives 1

Déterminez une primitive de f sur I dans chacun des cas suivants : (pensez à vérifier vos réponses)

a. 5 3( ) 12 4 1 ;f x x x I= − + = ℝ ; b. 24

( ) 3 ; ]0 ; [f x Ix

= − = +∞ ; c. 33

( ) ;( ² 1)

xf x I

x= =

+ℝ ;

d. 2

( ) ; ]1 ; [² 1x

f x Ix

= = +∞−

; e. 6 3

( ) ;² 1x

f x Ix x

+= =+ +

ℝ ; f. ( ) cos 2sin ;f x x x I= − + = ℝ ;

g. 3( ) cos sin ;f x x x I= = ℝ ; h. 1

( ) cos ; ] ; [cos ² 2 2

f x x Ix

π π= + = − + ; i. ( ) (2 1)² ;f x x I= + = ℝ

j. 4 4 ² 2

( ) ; ]0 ; [²

x xf x I

x

− −= = +∞ ; k. ( ) (3 1)² ;f x x I= − = ℝ ; l. 42 3 ² 1

( ) ; ]0 ; [²

x xf x I

x

− += = +∞ ;

m. 3

3 ²( ) ; ]1 ; [

1

xf x I

x= = +∞

− ; n. 3

5( ) ;

( ² 1)x

f x Ix

−= =+

ℝ ; o. 4( ) cos sin ;f x x x I= = ℝ ;

p. ( ) sin 2cos ;f x x x I= − + = ℝ ; q. 0,5( ) ;

² 1x

f x Ix x

+= =+ +

ℝ ; r. 23

( ) 1 ; ]0 ; [f x Ix

= − + = +∞ ;

s. 3 2( ) 7 2 3 ;f x x x I= − + = ℝ ; t. 2( ) sin ; ] ; [

cos ² 2 2f x x I

x

π π= + = − + .


Donner une primitive de chacune des fonctions suivantes

f définie sur ℝ par 5 2

( ) 2cos(3 ) 4sin( ) cos6 3 3 3

xf x x

π π π+= − − + .

g définie sur 1,

3 +∞

par 5

( ) 47 3 1

g xx

= −−

.

h définie sur ] 2 ; 5[ par 3 73 1

( )(2 4) 4(5 )

h xx x

= +− −

.

k définie sur ]0 ; +∞ [ par 2

3 2 4( )(2 3 )

x xk x

x x

+=+

.

l définie sur ]0 ; +∞ [ par 4 3

35 2 4 1

( )x x x

l xx

+ − += .

156


1. Montrer grâce à la formule de duplication que pour tout réel x, 2 1 cos(2 )cos

2x

x+= . En déduire une

primitive sur ℝ de la fonction f : 2cosx x→ .

2. En utilisant la question 1. montrer que pour tout x, 4 cos(4 ) 4cos(2 ) 3cos

8x x

x+ += . En déduire une

primitive sur ℝ de la fonction f 2.

3. Montrer que pour tout x, 3 2cos cos cos sinx x x x= − . En déduire une primitive sur ℝ de la fonction g : 3cosx x→ .

4. A l’aide d’une intégration par parties, donner une primitive sur ℝ de la fonction h définie par ( ) 2 sin(3 )h x x x= .

5. Dans quel album d’Asterix voit-on pour la première fois Idefix ?

Exercice 6. 218 Calcul d’intégrales

Calculez les intégrales suivantes (la rédaction doit être détaillée ; vous pouvez cependant vérifier vos réponses à l’aide de la calculatrice) :

a)0

3

3

( 2 ² 1)x x dx

−

+ −∫ ; b) 2

1

1² 2 2x

dxx x

−− +∫ ; c)

1

lne

tdt

t∫ ; d) 2

3

1

2 xe dx∫ ; e) 3

0

52 3

dxx +∫ ; f)

2

1

( 1)lnx x dx+∫ ;

g) 1

ln²

exdx

x∫ ; h) 2

0

sin coscos ² 1

x xdx

x

π

+∫ ; i)0

3

2

(2 1)x x dx

−

− +∫ ; j)

2

1

2(3 1)²

duu−∫ ; k)

1

lne

e

xdx

x∫ ; l)

22

0

3 xe dx∫ ;

m)

4

0

12 1

dxx +∫ ; n)

2

1

² lnx x dx∫ ; o)

1

ln2²

etdt

t∫ ; p) 4

sin

6

cos xx e dx

π

π−

∫ ;

6. 3. Divers

Exercice 6. 219 Encadrement

Pour tout réel positif a, on définit 21

ln( )

a xI a dx

x= ∫ .

1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que 2ln( ) 1

( ) 1a

I aa

−= + .

2. En déduire la limite de I(a) quand a tend vers +∞ .

3. On définit maintenant 21

ln( )( )

1

a xJ a dx

x=

+∫ .

En utilisant (avec justification) que pour tout x supérieur à 1, 2 2 21 2x x x≤ + ≤ , montrer que 1( ) ( ) ( )

2I a J a I a≤ ≤ .

Exercice 6. 220 Volume de révolution

La fonction ( ) xf x xe= engendre en tournant autour de l’axe (Ox) un volume de révolution. Calculer à l’aide d’une intégration par parties le volume engendré par la portion de courbe délimitée par x = 0 et x = 1. En donner une valeur approchée à 10−2 près.

157

Exercice 6. 221 argch x

Soit la fonction ( )2( ) ln 1f x x x= + − .

1. Montrer que f existe sur [1, [+ ∞ ; calculer sa dérivée f’(x).

2. Déduisez en la valeur de 2

22 1

dxK

x=

−∫ .

3. Pensez-vous pouvoir utiliser une méthode semblable pour calculer l’intégrale 121 22

'1

dxK

x−=

−∫ ?

Exercice 6. 222 Fonction trigo

1. On pose F(x) = ax2cosx + bxsinx + c cosx (a, b, et c sont trois constantes réelles). Calculer F’(x).

2. Déterminer a, b et c pour que F soit une primitive de x2sinx.

3. En déduire le calcul de 22

3

sinx xdx

π

π∫ .

6. 4. Intégrale et suite

Exercice 6. 223

On considère la fonction numérique f définie par 1

( )1

f xx

=+

.

1. Déterminer une fonction polynôme P, de degré inférieur ou égal à 3 qui a même valeur et même nombre dérivé que f en 0 et 1.

2. Soit k la fonction définie par 3 21 1 3( ) 1

1 4 4k x x x x

x= + − + −

+. Factoriser k et en déduire la position

relative de Cf et CP, les courbes représentatives de f et P.

3. A l’aide d’un encadrement de 1+x pour x dans [0 ; 1] montrer que 1

0

1 1( )

240 120k x dx< <∫ .

4. Calculer 1

0( )f x dx∫ et

1

0( )P x dx∫ .

5. Déduire des résultats précédents la valeur de l’entier n tel que 1

ln2240 240n n+< < .

6. On considère la suite géométrique nu de premier terme 1 et de raison −x.

a. Calculer la somme des n premiers termes : 2( ) 1 ... ( )nns x x x x= − + − + − ; en déduire 1( )

( ) ( )1

n

nx

f x s xx

+−= ++

.

b. Montrer que 1

2 3 1

0 0

1 1 1 ( )( ) ... ( )

2 3 1 1

na an x

f x dx a a a x dxn x

++ −= − + + + − +

+ +∫ ∫ .

c. Montrer que sur [0 ; a] on a 1 1 1( )

1 1 1

n n na x a

a x a

+ + +−− ≤ ≤+ + +

puis que 2 1 2

0

( )1 1 1

n n naa x adx

a x a

+ + +−− ≤ ≤+ + +∫ . Préciser la

limite de 1

0

( )1

na xdx

x

+−+∫ lorsque n tend vers +∞ .

d. On admet que ce résultat reste valable lorsque a vaut 1. En déduire un algorithme de calcul de ln2.

158

Rappel : somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme u0, de raison q : 1

011

nqu

q

+−−

.

Exercice 6. 224

Pour tout k entier on note kf l’application de [0 ; 1] dans ℝ définie par ( ) 1kkf x x x= − . On appelle kC sa

courbe représentative.

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de kf .

2. Donner, en distinguant suivant la valeur de k, le tableau de variations de kf .

3. Etudier les positions respectives de kC et 1kC + . Tracer les courbes 0 1 2, ,C C C .

4. On pose 1

0( )k kI f x dx= ∫ . Calculer

1

00

( )f x dx∫ .

a. Quel est le sens de variation de kI ? Montrer que kI converge vers une limite l que l’on ne cherchera pas.

b. Montrer, en intégrant par parties que pour tout entier k > 0, on a 12

2 3k kk

I Ik

−=+

. En déduire une

expression de kI .

c. Montrer que pour tout k entier, on a 1

0( )

1ka

f x dxk

≤+∫ où a est une constante que l’on déterminera. En

déduire la limite de kI .

Exercice 6. 225

On considère la fonction f définie sur 1−ℝ par ( )1

xef x

x

−=

−. On rappelle que 2,7183e ≈ .

La courbe C représentative de f dans un repère orthonormé est donnée sur la feuille jointe (les unités n’ont aucune importance) ; le tableau de variation de f est fourni ci-contre.

On considère l’intégrale 0

1( )J f t dt

−= ∫ ; l’objet de l’exercice est de trouver un encadrement permettant un

calcul approché de J et non d’en donner un calcul exact.

1. Interpréter géométriquement J : on fera un petit croquis explicatif sur la feuille jointe que l’on rendra avec la copie. Donner une estimation à la louche de J.

2. Utiliser le tableau de variation de f pour justifier que 12e

J≤ ≤ .

3. Rappeler la démonstration de la formule de la somme des termes d’une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison x. Justifier alors

l’égalité : 1

2 11 ...

1 1

nn x

x x xx x

++ + + + + =

− −.

4. En déduire que 0 1 2 ... n nJ u u u u R= + + + + + où 0

1

k tku t e dt−

−= ∫ et

01

1( )n

nR t f t dt+

−= ∫ .

5. Justifier l’encadrement 0 0

1 1

1 12n n

ne

t dt R t dt+ +

− −≤ ≤∫ ∫ ; en déduire que

11 2( 1)n

eR

n n≤ ≤

+ +. Quelle est la

limite de nR quand n tend vers l’infini ?

On pose dorénavant 0 1 ...n nS u u u= + + + ; on voit donc que la suite nJ S− tend vers 0, soit que les valeurs successives de nS constituent une « bonne » approximation de J.

x −∞

0

1 +∞

+ +

−∞ 1

0

−

+∞ +∞ 0

159

6. Jusqu’à quel terme n0 doit-on calculer nS pour être sûr que 0nS est une valeur approchée de J à 10−2

près ?

7. On s’intéresse de plus près à ku .

a. Calculer 0u .

b. En utilisant une intégration par parties montrer que 1( 1)kk ku e ku −= − + .

c. A l’aide de cette relation donner sous la forme k ka e b+ , où ka et kb sont deux entiers relatifs, la valeur de 1 2 3 4, , ,u u u u et 5u . En déduire les valeurs de 4S et 5S . Donner une estimation de la précision obtenue ainsi sur J.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

Exercice 6. 226 Constante d’Euler

Soit les fonctions f et g définies sur ℝ par ( ) xf x x e= − et ( ) (1 ) xg x x e= − .

1. a. Démonstration de cours : en utilisant seulement ln

lim 0x

x

x→+∞= , déterminer les limites de f et g en

+∞ et −∞ .

b. Montrer que la droite D(y = x) est asymptote de Cf.

c. Dresser le tableau de variation de f et g.

2. a. Pour tout réel x, on pose ( ) ( ) ( )h x f x g x= − . Déterminer le sens de variation de h.

b. Montrer que Cf et Cg ont un unique point d’intersection d’abscisse α et que [ ]1 ; 2α ∈ .

c. Etudier suivant les valeurs de x la position relative de Cf et Cg. Tracer D, Cf et Cg.

3. a. En utilisant les variations de f, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1 xx e+ ≤ .

b. En utilisant les variations de g, montrer que pour tout x dans [0 ; 1] on a 1

1xe

x≤

−.

c. On pose 1

xk

= , k entier naturel. Déduire des questions précédentes que

1 1ln ln

1k k

k k k

+ ≤ ≤ − .

160

4. On s’intéresse à la suite 1 1 1

1 ... ln2 3nS n

n= + + + + − .

a. A l’aide de votre calculatrice donner des valeurs approchées à 10–4 près de 10 20 30, ,S S S . Quelles conjectures pouvez vous faire sur le comportement de Sn ?

b. En utilisant les inégalités du 3. c. Montrer que (Sn) est décroissante et que 0 1nS≤ ≤ . Qu’en concluez-vous ?

Exercice 6. 227

On définit la suite d’intégrales : 1

0

01 x

dxI

e=

+∫ , 1

1

01

x

x

eI dx

e=

+∫ ,…,1

01

nx

n x

eI dx

e=

+∫ (n désigne un entier naturel).

1. Calculer I1 et I0 + I1. En déduire I0. Pour tout entier n, calculer 1n nI I ++ .

2. Montrer sans calcul que la suite (In) est croissante.

3. Prouver que pour tout x de [0 ; 1] 1 21

nx nx nx

x

e e e

e e≤ ≤

+ +. En déduire un encadrement de In.

4. A partir de cet encadrement, déterminer la limite de In et celle de nn

I

e.

6. 5. Intégrales

Exercice 6. 228

L'objectif est de calculer les intégrales suivantes : 21 1 1

2

2 20 0 0I ; J ; K 2 .

2 2

xdx x dx

x x= = = +

+ +∫ ∫ ∫dx

1. Calcul de I

Soit la fonction f définie sur [0; 1] par 2( ) ln( 2).f x x x= + +

a. Calculer la dérivée de la fonction 2 2.x x +֏

b. En déduire la dérivée f ´ de f.

c) Calculer la valeur de I.

2. Calcul de J et de K

a. Sans calculer explicitement J et K, vérifier que : J + 2I = K.

b. À l'aide d'une intégration par parties portant sur l'intégrale K, montrer que :

K 3 J.= −

c. En déduire les valeurs de J et de K.

Exercice 6. 229

Soit la fonction f définie par : f(x) = sin4 x ; x ∈ R.

1. Exprimer sin2 x en fonction de cos 2x, puis sin4 x en fonction de cos 2x et de cos 4x.

2. Quelle est la forme générale des primitives de f sur R ?

3. Calculer 8

0( )f x dx

π

∫ .

161

Exercice 6. 230

On désigne par n un nombre entier relatif différent de −1 et par x un nombre réel supérieur ou égal à 1.

1. Calculer l’intégrale 1

( ) lnx

nnI x t tdt= ∫ (on pourra effectuer une intégration par parties)


1( ) (ln )

xn

nJ x t t dt= ∫

3. Calculer ( ) ( )n nI e J e−

4. déterminer la limite de ( ) ( )

1n n

n

I e J e

e +−

quand n tend vers +∞

Exercice 6. 231

On pose 0

1

e

I xdx= ∫ et 1

(ln )e

nnI x x dx= ∫ pour tout n entier non nul.

1. Calculer I0 et I1 (on pourra utiliser une intégration par parties).

2. Montrer que pour tout n entier 212 ( 1)n nI n I e+ + + = . Calculer I2 .

3. Montrer que pour tout n entier, 1n nI I+ ≤ . En déduire en utilisant la relation du 2° l’encadrement

suivant : 2 2

3 2ne e

In n

≤ ≤+ +

.

4. Calculer lim nn

I→+∞

et lim nn

nI→+∞

Exercice 6. 232

Soit p et n des entiers naturels. On pose 1

,

0

(1 )p np nI x x dx= −∫ .

1. Calculer , 0nI et ,1nI . Calculer 0, nI et en déduire 1, nI .

2. Etablir une relation de récurrence entre ,p nI et 1, 1p nI + + . En déduire la valeur de ,p nI en fonction de p

et n.

Exercice 6. 233 ROC

Le but de l’exercice est d’établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On rappelle que :

H est une primitive de h sur [a ; b] si et seulement si H est dérivable sur [a ; b] et pour tout x de [a ; b] on a H’(x) = h(x).

Soit f la fonction définie sur ℝ par 2( ) ln(1 )f t t= + .

1. Expliquer pourquoi f est continue sur ℝ .

2. Montrer que f est croissante sur [0 ; [+ ∞ .

La fonction f est représentée ci-dessous.

Pour 0α ≥ , on note ( )A α l’aire de la portion de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe représentative de f et la droite d’équation x α= .

3. a. Soit x0 et h deux réels strictement positifs. En utilisant un rectangle convenable, établir l’encadrement

2 20 00 0

( ) ( )ln(1 ) ln(1 ( ) )

A x h A xx x h

h

+ −+ ≤ ≤ + + .

162

b. En utilisant une propriété géométrique de la courbe de f donner un encadrement similaire lorsque

0 0 0x h x+ < < .

c. Démontrer que A est dérivable en x0. Quel est le nombre dérivé de A en x0 ?

4. Expliquer pourquoi 0 (1) ln2A≤ ≤ et ln2 (2) ln2 ln 5A≤ ≤ + .

6. 6. Equations différentielles

Exercice 6. 234 Bac C, Pondichéry, Juin 1988

1. On se propose de résoudre l’équation différentielle (E) : ' 1y y x+ = + , y étant une fonction réelle de la variable réelle et y’ sa dérivée.

a. On pose z = y – x. Ecrire l’équation différentielle (F) vérifiée par z.

b. Résoudre (F), puis (E)

2. On appelle yα la solution de (E) telle que (0)yα α= et Cα la courbe représentative de yα , où α est un paramètre donné.

a. Etudier les variations de yα et donner l’allure de Cα dans les trois cas α < 0, α = 0, α > 0.

b. Montrer que pour tout α la tangente à Cα au point d’abscisse –1 passe par l’origine.

c. Plus généralement, montrer que toutes les tangentes au courbes Cα en leurs points de même abscisse 0x donnée se coupent sur 0C .

Exercice 6. 235 Antilles-Guyane, 1988

1. Résoudre l’équation différentielle : 1

' 0y yn

− = (1).

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

x

y

x0+h x0

163

2. On considère l’équation différentielle 1 1

'( 1)x

y yn n n

+− = −+

(2). Déterminer deux réels a et b tels que la

fonction affine g définie sur ℝ par g(x) = ax + b soit solution de (2).

3. Montrer que, pour que la fonction h définie sur ℝ soit la solution de (2), il faut et il suffit que h – g soit solution de (1).

4. En déduire toutes les solutions de (2).

5. Déterminer celles de ces fonctions f vérifiant f(0) = 0.

Exercice 6. 236 Guadeloupe, 2000

On considère l’équation différentielle : ( ) : ' 2 21 2

x

x

eE y y

e

−+ =

+.

1. Vérifier que la fonction f définie sur ℝ telle que 2: ln(1 2 )x xf x e e− +֏ est solution de (E).

2. Montrer que la fonction ϕ est solution de (E) si, et seulement si, ϕ – f est solution de l’équation différentielle (E’) : y’ + 2y = 0.

3. Résoudre (E’) et en déduire les solutions de (E).

Exercice 6. 237 France, sept 2003

10 points

Partie A : Une équation différentielle

On considère l’équation différentielle : (E) ( )23

3' 3

1 x

ey y

e−

−− =+

.

On donne une fonction ϕ dérivable sur ℝ et la fonction f définie sur ℝ par 3( ) ( )xf x e xϕ−= .

1. Montrer que f est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, exprimer '( ) 3 ( )x xϕ ϕ− en fonction de f ’(x).

2. Déterminer f de sorte que ϕ soit solution de (E) sur ℝ et vérifie (0)2eϕ = .

Partie B : Étude d’une fonction

Soit la fonction f définie sur ℝ par : 1 3

3( )

1

x

x

ef x

e

−

−=+

. On désigne par C sa courbe représentative dans le plan

muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞ , puis étudier les variations de f .

2. Tracer C.

3. Pour α réel non nul, on pose 0

( ) ( )I f x dxα

α = ∫ .

a. Donner le signe et une interprétation graphique de ( )I α en fonction de α .

b. Exprimer ( )I α en fonction de α .

c. Déterminer la limite de ( )I α lorsque α tend vers +∞ .

Partie C : Étude d’une suite

On définit sur ℕ * la suite (un) par : 1

0( )

x

nnu f x e dx= ∫ , où f est la fonction définie dans la partie B. On ne

cherchera pas à calculer un.

1. a. Donner, pour tout n de ℕ *, le signe de un.

b. Donner le sens de variation de la suite (un).

c. La suite (un) est-elle convergente ?

164

2. a. Montrer que pour tout n de ℕ *, 1

1 1n

nI u e I≤ ≤ où I1 est l’intégrale de la partie B obtenue pour α égal à 1.

b. En déduire la limite de la suite (un). Donner sa valeur exacte.

Exercice 6. 238 Apprentissage

Pendant une phase d’apprentissage, l’efficacité d’un individu croît jusqu’à une valeur maximale.

1. Etude d’un modèle discret

Supposons qu’une personne travaillant sur une technique nouvelle produise 5 unités le premier jour, alors que la production attendue est de 40 unités par jour.

On appelle un la production au n-ième jour. Alors u1 = 5, et on fait l’hypothèse que pour tout entier n,

1 0,8 8n nu u+ = + .

a. Calculer u2, u3.

b. On pose pour n ≥ 1 vn = 40 – un. Montrer que (vn) est une suite géométrique, et en déduire l’expression de un en fonction de n. Quel est le sens de variation de (un) ?

c. Déterminer la limite de (un). Au bout de combien de temps la production sera-t-elle supérieure à 39 unités ?

2. Etude d’un modèle continu

Supposons que la production initiale soit de 100 unités à l’heure, que la production attendue soit de 800 unités, et que la vitesse d’apprentissage soit proportionnelle à la quantité manquante pour réaliser l’optimum. Ainsi, si f(t) est la production horaire à l’instant t, on a '( ) 0,8(800 ( ))f t f t= − .

a. Résoudre l’équation différentielle ' 640 0,8y y= − . En déduire la fonction f. Quelle est la limite de f en +6 ?

b. Au bout de combien de temps la production est-elle la moitié de l’optimum ? 99 % de l’optimum ?

Exercice 6. 239 Quotient

On considère l’équation différentielle (E) 2' ( 1) ( 1)xxy x y e x− + = − + avec x strictement positif.

1. Résoudre l’équation sans second membre (E0) : ' ( 1) 0xy x y− + = .

2. On pose ( ) xy f x xe= dans (E) ; montrer que 21

'( ) 1f xx

= − − . En déduire les solutions de (E).

3. Quelle est la solution générale de (E) dans le cas où x est négatif ? Les fonctions trouvées sont-elles continues en 0 ? dérivables en 0 ?

Exercice 6. 240 Populations

Le but de cet exercice est l’étude de la dynamique d’une population d’œufs et de larves de certains insectes en fonction du temps dans une première partie et de la population elle-même dans la deuxième partie. Dans chaque partie le temps est mesuré dans une unité choisie.

Partie A

On prend l’unité de temps égale à 1 heure.

La fonction N qui donne à l’instant t le nombre d’œufs vivants pondus est définie pour 0t ≥ par 0,3

0( ) tN t N e−= où N0 désigne le nombre initial d’œufs au moment de la ponte (t=0). On prendra dans la suite N0=900.

1. Etudier la fonction N sur [0, [+ ∞ (sens de variation, limites). Quelles interprétations concrètes tirez vous de cette étude ?

2. Construire la représentation graphique(C) de N pour [0 ;15]t∈ dans un repère orthogonal : 1 cm par unité de temps en abscisse et 10 cm pour 1000 en ordonnées.

165

3. Résoudre dans [0, [+ ∞ l’équation 01

( )2

N t N= . On notera t1 sa solution ; que représente t1

pratiquement ? ; placer le point de (C) d’abscisse t1 sur le graphique.

4. a est un réel strictement positif.

a. Calculer 0

( ) ( )a

I a N t dt= ∫ en fonction de a. Déterminer la limite de I quand a tend vers +∞.

b. On considère que la durée de vie moyenne d’un œuf est donnée par lim ( )a

E J a→+∞

= où 0

( ) ( )a

J a tN t dt= ∫ .

Calculer J(a) au moyen d’une intégration par parties et en déduire la valeur de E.

Partie B

L’unité de temps est la journée.

La population P(t) d’insectes se développe dans un milieu où la population totale ne peut pas dépasser un certain seuil noté Pmax ; la croissance de la population est alors proportionnelle au nombre d’œufs qui éclosent et à la différence entre Pmax et P(t) ; on a alors l’équation différentielle suivante en prenant Pmax=1

et 12

a = : (1) ( )1'( ) ( ) 1 ( )

2P t P t P t= − avec P(0)=0,01.

1. On pose 1

( )P ty

= ; calculer P’(t) et montrer que y est solution de l’équation 1 1

'2 2

y y+ = (2).

2. Trouver une constante K telle que y=K soit solution de (2). En déduire que toutes les solutions de (2)

s’écrivent 12t

y Ce K−

= + où C est une constante puis que les solutions de (1) sont 12

1( )

tP t

Ce K−

=

+

.

3. Déterminer la valeur de la constante C.

4. Montrer que la fonction P est effectivement croissante et déterminer sa limite en +∞. Tracer la fonction P dans un repère judicieusement choisi.

5. Au bout de combien de jours la population P(t) dépassera-t-elle 12 (graphiquement et par le calcul) ?

Interpréter ce résultat en termes de populations sachant qu’une unité représente 10 6 individus.

Variante

Partie B

La population P(t) d’insectes se développe dans un milieu où la population totale ne peut pas dépasser un certain seuil noté Pmax ; la croissance de la population est alors proportionnelle au nombre d’œufs qui éclosent et à la différente entre Pmax et P(t) ; on a alors l’équation différentielle

(1) ( )max'( ) ( ) ( )P t aP t P P t= − avec P(0)=1000.

1. On pose 1

( )P ty

= ; calculer P’(t) et montrer que y est solution de l’équation

max'y aP y a+ = (2).

2. On pose maxaP b= ; trouver une constante K s’exprimant en fonction de Pmax telle que y=K soit solution

de (2). En déduire que toutes les solutions de (2) s’écrivent bty Ce K−= + puis que les solutions de (1) sont

max

max

( )1bt

PP t

P Ce−=+

.

3. Le coefficient a représente la multiplication des insectes sur une période de 1 mois, soit par exemple a=10, Pmax=10 6 pour des pucerons au printemps. Déterminer les constantes b, K et C pour cette valeur de a.

4. Montrer que la fonction P est effectivement croissante et que sa limite en +∞ est bien Pmax. Tracer la fonction P dans un repère judicieusement choisi.

166

5. On cherche à se débarrasser des pucerons précédents de manière écologique en introduisant des coccinelles dans la plantation. Une coccinelle mange à peu près 10 pucerons par jour, soit 300 pucerons par mois. On dispose de 100 coccinelles, quel sera le moment idéal où introduire ces coccinelles (c’est-à-dire le moment où elles mangeront tous les pucerons en 1 mois si on ne tient pas compte de la croissance des pucerons pendant ce mois-ci) ? Réciproquement, on s’aperçoit de l’invasion au bout d’un mois . Combien devra-t’on mettre de coccinelles pour éliminer les pucerons en un mois ?

Exercice 6. 241 Second ordre

Soit E1 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’ = y.

Soit E2 l’ensemble des fonctions solutions de l’équation différentielle y’’ = y.

Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe une unique fonction f qui appartient à E2 et qui vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0.

1. Vérifier que les fonctions définies sur ℝ par xx e→ et xx e−→ sont des éléments de E2.

2. Soit f une fonction dérivable sur ℝ , on pose u = f + f’.

a. Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.

b. Démonstration de cours.

On rappelle que la fonction xx e→ est une solution de E1.

Démontrer l’unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(0) = 1.

3. Soit f un élément de E2. On pose, pour tout réel x, ( ) ( ) xg x f x e= .

a. Démontrer que si f vérifie f(0) = 1 et f’(0) = 0, alors 2'( ) xg x e= .

b. Démontrer qu’il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression.

Exercice 6. 242 Equation de la chaleur

Dans une pièce à la température constante de 20°C, à l’instant initial noté 0 la température (0)θ d’un liquide est égale à 70°C. Cinq minutes plus tard elle est de 60°C.

On admet que la température θ du liquide est une fonction dérivable du temps t, exprimé en minutes, et que sa dérivée '( )tθ est proportionnelle à la différence entre la température ( )tθ et celle de la pièce.

On notera a le coefficient de proportionnalité, a∈ℝ . 1. Démonstration de cours.

Soit (E) l’équation différentielle 'z az= .

a. Démontrer que la fonction axx e→ est une solution de l’équation (E).

b. Démontrer que toute solution de (E) est de la forme axx Ce→ , où C est une constante réelle.

2. a. Résoudre l’équation différentielle : '( ) ( ) 20t a t aθ θ= − .

b. Soit ( )a tθ la solution de cette équation. Quel doit être le signe de a pour que cette équation ait un sens physique ?

c. Déterminer la solution ( )tθ correspondant aux conditions initiales.

3. Quelle est la limite de ( )tθ lorsque t tend vers +∞ . Interprétation physique.

4. Quelle sera la température du liquide 30 minutes après l’instant initial ?

5. Déterminer le laps de temps nécessaire pour que la température initiale du liquide chute de moitié. On note ce temps T et on l’appelle « période » de la température… Quelle sera température au bout de trois périodes ?

167

7 . NOMBRES COMPLEXES EXERCICES

Exercice 7. 243 Divers,QCM, France, sept 2003

Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct ( ; , )O i j

. On considère les points A et Ω

d’affixes respectives : 1 3a i= − + + et 1 2iω = − + .

On appelle r la rotation de centre Ω et d’angle 23π et h l’homothétie de centre Ω et de rapport

12

− .

1. Placer sur une figure les points A et Ω , l’image B du point A par r, l’image C du point B par r et l’image D du point A par h.

2. On note b, c et d les affixes respectives des points B, C et D.

Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s’achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4.

Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases lamention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).

1 a ω− = 2 4 3 1−

2 ( )arg a ω− = 56π−

476π

6π

3 ( ),v CΩ =

( )arg iω − ( ),v C− Ω

23π

4 ω = ( )13

a b c+ + a b c+ + 2b i−

5 b d

a d

− =−

32

i 33

i− 33

i

6 Le point D est :

l’image de Ω par la translation de vecteur

12AΩ

.

l’image de Ω par l’homothétie de centre A

et de rapport 32 .

l’image de Ω par la rotation de centre B et

d’angle 6π− .

Annexe

1 Réponses

2 Réponses

3 Réponses

4 Réponses

5 Réponses

6 Réponses

Exercice 7. 244 2nd degré et barycentre, Antilles, sept 2001


.

1. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes l’équation d’inconnue z : 2 8 3 64 0z z+ + = .

2. On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives les nombres complexes 4 3 4a i= − − et 4 3 4b i= − + .

Calculer les distances OA, OB et AB. En déduire la nature du triangle OAB.

168

3. On désigne par C le point d’affixe 3c i= + et par D son image par la rotation de centre O et d’angle

3π. Déterminer l’affixe d du point D.

4. On appelle G le barycentre des points pondérés (O ; −1), (D ; 1) et (B ; 1).

a. Montrer que le point G a pour affixe 4 3 6g i= − + .

b. Placer les points A, B, C, D et G sur une figure (unité graphique : 1 cm).

c. Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.

5. a. Justifier l’égalité 1 32 2

c gi

a g

−= +

−.

b. En déduire une mesure en radians de l’angle ( ),GA GC

, ainsi que la valeur du rapport GC

GA.

Que peut-on en déduire concernant la nature du triangle AGC ?

Exercice 7. 245 2nd degré, Polynésie 1996

Partie A Soit P le polynôme défini sur ℂ par: 2( ) 2 3 4P z z z= + + .

1. Résoudre dans ℂ l'équation P(z) = 0.

2. Écrire les solutions sous forme trigonométrique.

Partie B Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (unité 4 cm). Soient A, B et C les points d'affixes respectives a = 2i, 3b i= − + et 3c i= − − .

1. Placer les points A, B et C sur une figure.

2. Soit a b

Zc b

−=−

.

a. Interpréter géométriquement le module et un argument de Z.

b. Écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.

c. En déduire la nature du triangle ABC ainsi qu'une mesure, en radians, de l'angle ( , )BC BA

.

3. Calculer l'aire du triangle ABC en centimètres carrés.

Exercice 7. 246 Petit exo de base

1. Sur la figure ci-dessous placer les points suivants : 3 24 33 3 3 3 1 3

(1 ), (2 2 ), (1 3), ( ), (1 2 ), ( 2 2), ( ), (2 ), ( )4 4 2 2 2

i iA i B i C i D i E i F i G i H ie K e

π π−−+ − + − − + − + − − .

2. Lire sur la figure le module et l’argument de chacun des complexes correspondants.

3. Faire le calcul pour , , ,B D G Hz z z z .

4. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle des conjugués de , , ,B D G Hz z z z .

5. Calculer ( ) ( )( )

35 2 6

4, , ( ) ( )AC E K

H

zz z z

z.

6. Calculer les complexes A Ez z− et B Ez z− ; déterminer leurs modules. Calculer A E

B E

z z

z z

−−

, déterminer son

module et son argument, en déduire l’angle des vecteurs EA

et EB

.

7. On fait une rotation de centre O et d’angle 2π sur les points E, A et B. Si E’, A’ et B’ sont leurs images,

quelles sont les affixes de ces trois points. Que vaut alors ' '

' '

A E

B E

z z

z z

−−

?

169

8. On veut construire un triangle rectangle isocèle ABM dont l’hypothénuse est [AB]. Lire sur la figure les affixes possibles des points M. Donner une méthode pour trouver les points M, l’appliquer.

j

iO

Exercice 7. 247 Cercles

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( ; , )O u v

, unité graphique 4 cm, on considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b, et c telles que :

a = 1 – i, b = 1 + i, c = – 1 + i = – a.

On note Γ le cercle de diamètre [AB].

1. a. Placer sur une figure les points A, B, C et le cercle Γ .

b. Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique.

c. Soit r la rotation de centre O telle que r (A) = B. Déterminer l'angle de r et le point r (B), image de B par r. d. Déterminer l'image Γ ’ du cercle Γ par r ; placer Γ ' sur la figure.

2. On considère un nombre θ dans ]0 ; 2π[ distinct de π ; on note M le point d'affixe 1 iz ie θ= + . On désigne par M' l'image de M par r, et on appelle z' l'affixe de M'.

a. Montrer que M est un point de Γ distinct de A et de B.

b. Exprimer z' en fonction de z. Calculer en fonction de θ les affixes u et u' des vecteurs BM

et 'BM

.

c. Etablir la relation ' tan2

u uθ= .

170

d. Prouver que les points B, M et M' sont alignés. Placer sur la figure un point M et son transformé M'.

Exercice 7. 248 Rotation

Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormal ( ; , )O u v

, (unité graphique : 2 cm), on note B et C

les points d'affixes respectives – i et 3

.2

i−

Soit R la transformation du plan P qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M’ d'affixe z´ telle

que 3' ei

z z

π

= .

1. Placer les points B et C dans le plan P et donner l'écriture de leurs affixes respectives sous la forme exponentielle ( ire θ ).

2. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de la transformation R.

3. Déterminer, sous la forme exponentielle, les affixes des images respectives B’ et C’ par la transformation R des points B et C. Placer B’ et C’ dans le plan P.

Que peut-on dire du point B’ ?

Que peut-on dire des points B’ et C’ relativement à l'axe des abscisses ?

4. a. En utilisant les points B et C, déterminer et construire l'ensemble D des points M d'affixe z telle que

3.

2i

z i z−+ = −

b. Déterminer l'image D’ par la transformation R de l'ensemble D.

Exercice 7. 249 Homographie

Dans le plan complexe P, muni d'un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives :

zA = – 2 i, zB = 4 – 2 i, zC = 4 + 2 i, zD = 1.

1. a. Placer les points A, B, C et D sur une figure, qui sera peu à peu complétée. On prendra pour unité graphique 2 cm.

b. Préciser la nature du triangle ABC.

2. On désigne par F l'application qui, à tout point M de P, d'affixe z et distinct de A, associe le point M’ d'affixe :

(4 2 )'

2z i

zz i

− +=+

.

a. Déterminer les images de B et C par F.

b. Déterminer l'ensemble E des points d'affixe z tels que ' 1z = . Construire E.

3. a. Montrer que, pour tout nombre complexe z distinct de − 2i , on a : (z´ − 1) (z + 2i) = − 4 − 4i.

b. En déduire que si M est sur un cercle de centre A et de rayon r, M’ est sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. De même montrer que si M est sur une droite passant par A, alors M’ est sur une droite passant par D.

Exercice 7. 250 Carrés, rotations et alignement

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (O ; , )u v

.

1. On considère trois points distincts A, B et C d'affixes respectives a, b et c.

a. Interpréter géométriquement l'argument du quotient c a

b a

−−

.

b. Montrer que A, B et C sont alignés si et seulement si c a

b a

−−

est un nombre réel.

171

2. Placer sur une figure (unité graphique : 1 cm) les points A1, B1 et C1 d'affixes respectives

1 1 12, 3, 4 3 3.a b i c i= = = − +

Montrer, à l'aide de la propriété précédente, que les points A1, B1 et C1 sont alignés.

3. On considère les points A2, B2, C2, A3, B3, C3 tels que les quadrilatères OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3 soient des carrés directs.

a. Tracer les carrés OA1A2A3, OB1B2B3, OC1C2C3.

b. Donner les affixes a3 et b3 des points A3 et B3 puis les affixes a2 et b2 des points A2 et B2.

c. À l'aide de la rotation de centre O et d'angle 2π , calculer l'affixe c3 de C3 à l'aide de c1.

d. En déduire que les points A3, B3 et C3 sont alignés.

4. a. Déterminer le réel a tel que le barycentre du système (O, a), (C1, 1), (C3, 1) soit C2.

(Rappel : le barycentre G du système (A, α ), B, β ),… est tel que ... 0AG BGα β+ + =

)

b. Calculer l'affixe c2 de C2.

c. Montrer que les points A2, B2, C2 sont alignés.

Exercice 7. 251 Barycentre, ligne de niveau

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; , )u v

; on prend comme unité graphique 2 cm.

1. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2 et dont un argument est 2π.

b. Résoudre dans ℂ l’équation iz – 2 = 4i – z. On donnera la solution sous forme algébrique.

2. On désigne par I, A et B les points d’affixe respectives 1, 2i et 3 + i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Calculer l’affixe ZC du point C image par A de la symétrie de centre I.

c. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe C B

A B

z z

z z

−−

. En déduire le module et un argument de ce

nombre ; ainsi qu’une interprétation géométrique.

d. Soit D le point d’affixe ZD telle que D C A Bz z z z− = − , montrer que ABCD est un carré.

3. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur MA MB MC MD+ + +

a. Exprimer le vecteur MA MB MC MD+ + +

en fonction du vecteur MI

.

b. Montrer que le point K défini par 2KA KB KC KD AB+ + + =

est le milieu du segment [AD].

c. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tel que : 2MA MB MC MD AB+ + + =

.

Construire Γ .

Exercice 7. 252 Barycentre + ligne de niveau, Polynésie, juin 2004


. Unité graphique : 1 cm.

1. On désigne par A, B et I les points d’affixes respectives : zA = 3 + 2i, zB = −3 et zI = 1 − 2i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe I A

I B

z zZ

z z

−=

−. Que peut-on en déduire sur la nature du

triangle IAB ?

c. Calculer l’affixe zC du point C image de I par l’homothétie de centre A et de rapport 2.

d. Soit D le barycentre du système (A, 1) ; (B, −1) ; (C, 1) ; calculer l’affixe zD du point D.

172

e. Montrer que ABCD est un carré.

2. Déterminer et construire l’ensemble 1Γ des points M du plan tels que :

12

MA MB MC MA MC− + = +

.

3. On considère l’ensemble 2Γ des points M du plan tels que : 4 5MA MB MC− + =

.

a. Montrer que B appartient à 2Γ .

b. Déterminer et construire l’ensemble 2Γ .

Exercice 7. 253 3ème degré, barycentre, ligne de niveau

1. On considère dans ℂ l'équation d'inconnue Z : (E) 3 212 48 128 0Z Z Z− + − =

a. Vérifier que 8 est solution de cette équation.

Déterminer les nombres réels α , β , γ tels que, pour tout complexe Z, 3 2 212 48 128 ( 8)( ).Z Z Z Z Z Zα β γ− + − = − + +

b. Résoudre l'équation (E).

2. ( ; , )O u v

est un repère orthonormal direct du plan orienté, l'unité graphique est 1 cm.

On considère les points A, B, C d'affixes respectives 2 2 3, 2 2 3, 8a i b i c= − = + = .

a. Calculer le module de a (noté a ) et son argument θ . Placer les trois points A, B et C.

b. Calculer le complexe a c

qb c

−=−

, déterminer son module et son argument θ . En déduire la nature du

triangle ABC.

c. Déterminer le barycentre D des points pondérés (A, a ), (B, b ), (C, c ). Placer D.

d. Déterminer l'ensemble E des points M du plan tels que : 2 2MA MB MC MA MB MC+ + = + −

.

Tracer E.

Exercice 7. 254 3ème degré, losange, N. Calédonie, sept 2002

1. On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par :

( ) ( )3 2( ) 14 2 74 2 74 2P z z i z i z i= + − + − − .

a. Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l’équation P(z) = 0.

b. Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe z, on ait

( ) ( )2( ) 2P z z i z az b= − + + .

c. Résoudre dans l’ensemble ℂ des nombres complexes, l’équation P(z) = 0.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

. On prendra 1 cm pour unité graphique.

a. Placer les points A, B et I d’affixes respectives zA =−7 + 5i ; zB =−7− 5i et 2Iz i= .

b. Déterminer l’affixe de l’image du point I par la rotation de centre O et d’angle 4π− .

c. Placer le point C d’affixe zC = 1 + i.

Déterminer l’affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme.

d. Placer le point D d’affixe zD = 1 + 11i.

173

Calculer A C

D B

z zZ

z z

−=

− sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC)

et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Exercice 7. 255 3ème degré, rotation, Pondichéry, mars 2003

Première partie On considère dans l’ensemble des complexes, l’équation suivante : (E) z3 +2z2 −16 = 0.

1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme : (z −2)(az2 + bz + c) = 0, où a, b et c sont trois réels que l’on déterminera.

2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

Deuxième partie Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j

.

1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives zA = −2−2i, zB = 2 et zD = −2+2i.

2. Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.

3. Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle 2π− et F l’image de C par la rotation de centre

D et d’angle 2π.

a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.

b. Placer les points E et F.

4. a. Vérifier que : F A

E A

z zi

z z

−=

−.

b. En déduire la nature du triangle AEF.

5. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de centre I et d’angle 2π− .

Exercice 7. 256 Produit scalaire

z et z´ sont deux nombres complexes et on pose : ( , ' ) ' ' .z z zz zzϕ = +

z et 'z désignent les conjugués respectifs de z et z´. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O; , )u v


1. Calculer : ϕ (i, 3) ; ϕ (1 + 2i, – 2 + i), ϕ (2 + i, – 3 + 2i), 2

6 3( , ).i ie e

π π

ϕ

Montrer que pour tout couple (z, z´) le nombre ϕ (z, z´) est réel. 2. a. On pose z = x + iy et z´= x´+ iy´ ; x, y, x´, y´ réels. Calculer ϕ (z, z´) en fonction de x, x´, y, y´.

b. Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que ϕ (z, 1 + i) = 2 2 .

Dessiner D dans le repère (O; , )u v

.

3. a. On pose iz re θ= et '' ' iz r e θ= ; θ et θ´ réels, r et r´ réels positifs. Calculer ϕ (z, z´) en fonction de r, r´ et cos(θ – θ ´).

b. Exprimer ϕ (z, z') en fonction de r.

Déterminer l'ensemble C des points M d'affixe z tels que ϕ (z, z') = 2.

Dessiner C dans le repère. (O; , )u v

. Que peut-on dire de la position relative de C et D ? Justifier la réponse.

Exercice 7. 257 Forme algébrique, forme trigonométrique de pi/12 -1

Dans le plan rapporté au repère orthonormal direct (O ; , )u v

on considère les points A, B et C d'affixes

respectives : 6 22Ai

Z−= , 1BZ i= − , A

C

ZZ

ZB= .

174

1. a. Écrire ZC sous forme algébrique.

b. Déterminer le module et un argument de ZA et de ZB.

c. Écrire ZC sous forme trigonométrique ; en déduire les valeurs exactes de π

cos12

et de π

sin12

.

2. Soit I le point d'affixe ZI = 1.

a. Quelle est la nature du triangle OIB ?

b. Déterminer les images de I et B dans la rotation de centre O et d'angle π12

. En déduire la nature du

triangle OAC.

Exercice 7. 258 Forme algébrique, forme trigonométrique de pi/12 - 2

Soit les nombres complexes : 16 22i

z−= et 2 1z i= − .

a. Mettre sous forme trigonométrique z1, z2 et 1

2

zZ

z= .

b. En déduire que 6 2

cos12 4π += et

6 2sin

12 4π −= .

c. On considère l’équation d’inconnue réelle x :

( ) ( )6 2 cos 6 2 sin 2x x+ + − = .

Résoudre cette équation dans ℝ et placer les points images des solutions sur le cercle trigonométrique.

Exercice 7. 259 Forme algébrique, forme trigonométrique de pi/12 - 3

Le plan complexe P est rapporté à un repere orthonormal ( ); ,O i j

. On considère dans P les points A, B

et C d'affixes respectives 1 3Az i= + , 1Bz i= − − et (2 3)Cz i= − + + .

1. a. Calculer le module et un argument du nombre complexe C B

A B

z zW

z z

−=

−

b. En déduire la nature du triangle ABC.

2. a. Écrire le nombre complexe A

B

z

zsous forme algébrique.

b. Écrire les nombres zA et zB sous forme trigonométrique. En déduire la forme trigonométrique de A

B

z

z.

c. À l'aide des deux questions précédentes donner les valeurs exactes de cos12π

et sin12π

.

Exercice 7. 260 Equation du second degré - 1

On désigne par P le plan complexe. Unité graphique : 2 cm.

1. Résoudre l’équation d’inconnue complexe z : 2 2 4 0z z− + = . On notera z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et z2 l’autre. Donner le module et l’argument de chacun des nombres z1, z2, z12, z22. Ecrire sous forme algébrique z12 et z22

2. On considère dans le plan les points (1 3)A i+ , (1 3)B i− , ( 2 2 3)C i− + et ( 2 2 3)D i− − .

a. Représenter les points A, B, C et D dans le plan P. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?

b. Montrer que les points O, A et D d’une part et les points O, B et C d’autre part sont alignés. Quel est le point d’intersection des diagonales de ABCD ?

175

c. Quelles sont les affixes des vecteurs AB

et AC

? Montrer que les droites AB et AC sont perpendiculaires.

Exercice 7. 261 Equation du second degré - 2

α étant un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 2π ] et z un nombre complexe, on considère le polynôme P(z), défini par : α α= − − + − −3 2( ) (1 2sin ) (1 2sin ) 1P z z z z .

1. a. Calculer P(1).

b. En déduire l'existence de trois réels a, b, c tels que = − + +2( ) ( 1)( )P z z az bz c . Déterminer a, b et c.

c. Résoudre, dans ℂ , l'équation P(z) = 0.

2. On considère trois nombres complexes : z1 = 1 ; z2 = – sinα + i cosα ; z3 = – sinα – i cosα .

Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres complexes z1, z2 et z3.

Exercice 7. 262 Médiatrice - 1

Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal (O ; , )u v

. Soit (D) l'ensemble des points M de (P)

d'affixe z vérifiant : (1) 3 2z i z i− = + −

1. En écrivant z = x + i y, montrer par le calcul que (D) est une droite dont on donnera une équation.

2. On se propose dans cette question de vérifier le résultat du 1.

Soit A le point d'affixe 3i et B le point d'affixe – 2 + i.

a. Placer A et B dans le repère (O ; , )u v

.

b. En interprétant géométriquement la relation (1) à l'aide des points A et B, re-démontrer que (D) est une droite. Tracer (D).

c. Retrouver alors par le calcul l'équation de (D) obtenue au 1.

Exercice 7. 263 Médiatrice - 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct

( ; , )O u v , unité graphique : 3 cm.

1. Placer les points B et D d'affixes respectives zB = 3 + i, zD = 3 – i. On complètera la figure dans les questions suivantes.

2. Montrer que le triangle ODB est un triangle équilatéral.

3. Soit E le point d'affixe 3i

Ez e

π−= .

a. Le point A est l'image de E par la rotation r de centre O et d'angle π2. Déterminer l'affixe zA du point A et

vérifier que A est le milieu du segment [OB].

b. Le point C est l'image de E par la translation t de vecteur 2v . Déterminer l'affixe zC du point C.

4. Calculer −−

C A

B A

z z

z z et déterminer un argument de ce nombre complexe.

5. Déduire des questions précédentes que la droite (CD) est la médiatrice du segment [OB].

Exercice 7. 264 Inversion

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct

(O ; , )u v . L'unité graphique est 4 cm.

À tout point M d'affixe z non nulle, on associe le point M´ d'affixe z´ telle que = − 1'zz, où z désigne le

nombre complexe conjugué de z.

1. a. Déterminer une relation entre les arguments de z et de z´.

b. En déduire que les points O, M et M´ sont alignés.

176

2. Démontrer que + = −1' 1 ( 1)z z

z.

On nomme A et B les points d'affixes respectives 1 et – 1. On désigne par C le cercle de centre A contenant le point O et par C* le cercle C privé du point O.

3. On suppose dans cette question que le point M appartient à C* .

a. Justifier l'égalité : − =1 1z . Démontrer que + =' 1 'z z . Interpréter géométriquement cette égalité.

b. Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M´ à partir du point M.

4. Le point M étant un point du plan, d'affixe z non réelle, on nomme M1 son symétrique par rapport à l'axe des réels.

a. Calculer +−' 1' 1

z

z en fonction de z. Exprimer alors l'argument de

+−' 1' 1

z

z en fonction de l'angle

1 1( , ).M A M B

b. Comparer les angles

1 1( , )M A M B et ( , ).MA MB

c. Démontrer que M´ appartient au cercle circonscrit au triangle AMB.

Exercice 7. 265 Inversion 2, Antilles, sept 2004

( ; , )O u v

est un repère orthonormal du plan P. Soit A le point d’affixe 1 ; soit B le point d’affixe −1.

Soit F l’application de P privé deO dans P qui, à tout point M distinct de O, d’affixe z , associe le point

M’ = F(M) d’affixe 1

'zz

−= .

1. a. Soit E le point d’affixe 3ie

π

, on appelle E’ son image par F. Déterminer l’affixe de E’ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.

b. On note C1 le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l’image de C1 par l’application F.

2. a. Soit K le point d’affixe 562

ie

π

et K’ l’image de K par F. Calculer l’affixe de K’.

b. Soit C2 le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l’image de C2 par l’application F.

3. On désigne par R un point d’affixe 1 ie θ+ où ] [;θ π π∈ − + ; R appartient au cercle C3 de centre A et de

rayon 1.

a. Montrer que 1

' 1z

zz

−+ = . En déduire que ' 1 'z z+ = .

b. Si on considère maintenant les points d’affixe 1 ie θ+ où θ décrit l’intervalle ] [;π π− + , montrer que

leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du 3.a.

Exercice 7. 266 Suite géométrique

On désigne par nM le point du plan complexe d’affixe nz définie par:

31 1(cos sin )

2 2 3 3

n nin

nz e n i nπ π π = = +

où n est un nombre entier naturel et où 0M est le point d’affixe 0 1z = .

1. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles nz est réel.

2.Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal. ( ); ,O u v

(unité = 8 cm).

a. Représenter dans P les points 0 1 2 3 4, , , , .M M M M M

b. Calculer en fonction de n les longueurs des trois côtés du triangle 1n nOM M + . Montrer que ce triangle est rectangle.

3. On considère la suite ( )n na ∈Ν définie par 1n n na z z+= − .

177

a. Montrer que la suite ( )na est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. Calculer 0

k n

n k

k

l a=

=

=∑ . Déterminer la limite de nl quand n tend vers +∞ .

4. a. Calculer en fonction de n l’aire nb du triangle 1n nOM M + .

b. Calculer 0

k n

n k

k

s b=

=

=∑ . Déterminer la limite de nb quand n tend vers +∞ .

Exercice 7. 267 Homographie

Soit un plan P rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

. On note A le point d'affixe i et B celui d'affixe −2i. M le point d'affixe z et M' le point d'affixe z'.

Soit f l'application du plan complexe définie par:

2( ) '

1z i

f z ziz

−= =+

1. Soit z un complexe différent de i.

a. On désigne par r et θ le module et un argument de z – i. Interpréter géométriquement r et θ .

b. Montrer que (z' + 2i)(z − i) = 1.

c. On désigne par r' et θ ’ le module et un argument de z' + 2i. Interpréter géométriquement r' et θ ’ .

2. Soit (C) le cercle de centre A et de rayon 1. Montrer que si M appartient à (C), son image M' par f appartient à un cercle (C') de centre B dont on donnera le rayon.

3. Soit T le point d'affixe 2 2

12 2

i

+ +

a. Calculer l'affixe de AT

; en déduire que T appartient au cercle (C) .

b. Déterminer une mesure en radians de l'angle ( ),u AT

. Tracer le cercle (unité 2cm) et placer T.

c. En utilisant les questions précédentes, construire l'image T' de T par f.

Exercice 7. 268 Homographie, Amérique du Sud, déc 2002

Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O u v

on appelle A et B les points d’affixes respectives 2 et −2. À tout point M d’affixe z, z différent de 2, on associe le point N d’affixe z et

M’ d’affixe z’ tel que 2 4

'2

zz

z

−=−

.

1. Calculer z’ et 'z lorsque z = 5 puis lorsque z = 1 + i.

2. a. Interpréter géométriquement 2z − et 2z − .

b. Montrer que, pour tout z distinct de 2, ' 2z = . En déduire une information sur la position de M’.

3. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z (z ≠ 2) tels que M’ = B.

4. On note AM

Z et BM

Z les affixes respectives des vecteurs AM

et BM

. Montrer que, pour tout point M

distinct de A et n’appartenant pas E , le quotient AM

BM

Z

Z

est un nombre réel. Interpréter géométriquement

ce résultat.

5. Un point M distinct de A, n’appartenant pas E , étant donné, proposer une méthode géométrique pour construire le point M’. On illustrera par une figure.

178

Exercice 7. 269 Homographie+cercles, France, sept 2002


d’unité graphique 4 cm. On note A et B les points d’affixes respectives 1 et i. À tout point M, distinct de A et d’affixe z, est associé le point M’

d’affixe Z définie par : ( ) ( )1

1

i z iZ

z

− −=

−.

1. a. Calculer l’affixe du point C’ associé au point C d’affixe − i.

b. Placer les points A, B et C.

2. Soit z = x +iy où x et y désignent deux nombres réels.

a. Montrer l’égalité : ( ) ( )

( ) ( )

22 2 2

2 22 2

1 1 1 1

1 1

x y x yZ i

x y x y

− + − − + −= −

− + − +.

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z telle que Z soit réel.

c. Déterminer l’ensemble F des points M d’affixe z telle que Re(Z) soit négatif ou nul.

3. a. Écrire le nombre complexe (1 − i) sous forme trigonométrique.

b. Soit M un point d’affixe z, distinct de A et de B. Montrer que Z est un réel non nul si et seulement s’il

existe un entier relatif k tel que ( ),4

MA MB kπ π= +

.

c. En déduire l’ensemble des points M vérifiant ( ),4

MA MB kπ π= +

.

d. Déterminer l’ensemble des points M vérifiant ( ), 24

MA MB kπ π= +

.

Exercice 7. 270 Homographie, La Réunion, juin 2004


; i désigne le nombre complexe

demodule 1 et d’argument 2π. Soient les points A, B et C d’affixes respectives i, 1+i et −1+i.

Soit f l’application qui, à tout point M du plan différent de A, d’affixe z, associe le point M’ du plan d’affixe

z’ tel que : 2

'iz

zz i

+=−

.

1. a. Déterminer les images de B et de C par l’application f.

b. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de i, on a la relation ( ) ( )' 1z i z i− − = .

c. Soit D le point d’affixe 1+2i. Placer les points A, B, C et D sur une figure (unité graphique 4 cm). Déduire de la question précédente une construction du point D’ image du point D par l’ application f.

2. Soit R un nombre réel strictement positif. Quelle est l’image par l’application f du cercle de centre A et de rayon R ?

3. a. Montrer que, si l’affixe du point M est un imaginaire pur différent de i, alors l’affixe du point M’ est un imaginaire pur. Que signifie ce résultat pour l’image par l’application f de l’axe imaginaire privé du point A ?

b. Soit ∆ la droite passant par le point A et de vecteur directeur u. Déterminer l’ image de la droite ∆

privée du point A par l’application f.

Exercice 7. 271 Carré

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j

, on considère le point M d'affixe zM=2+im (où m est un nombre réel) et le carré MNPQ de centre O et tel que N soit l'image de M par la

rotation de centre O et d'angle de mesure 2π.

1. a. Déterminer, en fonction de m les affixes , ,N P Qz z z des points N, P et Q.

179

b. Représenter le carré MNPQ dans le cas particulier où le point M a pour affixe 2 + 3i.

2. M étant le point d'affixe zM = 2 + im , on note I le milieu du segment [MN] et J le milieu du segment

[NP] d'affixes respectives zI et z

J .

Calculer le nombre complexe M J

Q I

z zw

z z

−=

−.

Donner l'interprétation géométrique du module et de l'argument de w, et expliquer, par un raisonnement géométrique, le résultat obtenu.

3. Soit A le point d'affixe 2.

a. Calculer l'affixe Z du vecteur AI

. Calculer le module de Z, puis, en distinguant les cas m < −2 et m > −2, déterminer un argument de Z.

b. En déduire l'ensemble ∆ décrit par le point I quand M décrit la droite D d'équation x = 2. Représenter ∆ .

Exercice 7. 272 Rotation et homothétie

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( ; , )O u v

ayant comme unité graphique 2cm.

1. a. Résoudre dans ℂ l’équation : 2 2 3 4 0z z− + = .

b. On pose 3a i= + et 3b i= − , exprimer a et b sous forme exponentielle.

c. Placer A(a) et B(b) dans le repère précédent.

2. a. Soit r la rotation de centre O et d’angle 3π.

Donner l’expression complexe de r, puis déterminer l’image A’ de A par cette rotation (On exprimera a’ sous forme algébrique et exponentielle). Placer A’ dans le repère précédent.

b. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport 32

− . Donner l’expression complexe de h, puis déterminer

l’image B’ de B par cette homothétie (On exprimera b' sous forme algébrique et exponentielle). Placer B’ dans le repère précédent.

Exercice 7. 273 Homothéties

On considère deux cercles (C) et (C’) de centres respectifs O et O’ et de rayons respectifs r et 2r, tangents extérieurement en A, de diamètres respectifs [AB] et [AA’].

Soit M un point quelconque de (C) , distinct de A et B, et M’ le point de (C’) tel que le triangle AMM’ soit rectangle en A (on prendra pour la figure r = 2cm).

1. a. Déterminer en justifiant les réponses :

- le rapport de l’homothétie h1 de centre A qui transforme (C) en (C’).

- le centre I de l’homothétie h2, distincte de h1 qui transforme (C) en (C’). Placer I sur la figure.

b. On note M1 = h1(M). Montrer que M1 est le point de (C’) diamétralement opposé à M’. Déterminer h2(M) et en déduire que la droite (MM’) passe par un point fixe lorsque M décrit le cercle (C) privé des points A et B.

2. Soit Ω le milieu de [MM’]. Montrer que Ω appartient à un cercle fixe dont on donnera le centre et le rayon.

3. On considère le repère orthonormé direct du plan complexe constitué par O et les vecteurs OA et

OC

(orthogonal à OA , et de longueur 1, on considère donc que r = 1). Soit M d’affixe z un point de (C). On a

donc θ θ π= ∈, [0,2 ]iz e .

a. Calculer en fonction de z les affixes des points M1 puis M’. En déduire l’affixe de I.

180

b. Vérifier que

θ θθ

θ θ θ

−

−

+ +=−

−

2 2

2 2

11

i ii

ii i

e e e

ee e

pour tout θ . Montrer que l’angle ( , ')AM AM est droit.

Exercice 7. 274 Rotation-translation

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que AB = AC et ( ), (2 )2

AB ACπ π=

. Soient I, J et K

les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB].

K

JI

B

AO

On appelle R la rotation de centre I et d’angle 2π, T la translation de vecteur

12BC

et on pose f = R o T et

g = T o R.

1. Déterminer l’image de K par f et l’image de J par g. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f et g.

2. Déterminer la nature de la transformation g o f−1. Chercher l’image de A par cette transformation et caractériser alors g o f−1.

Soit M un point du plan, M1 l’image de M par f et M2 l’image de M par g.

3. Déterminer g o f−1(M1). Quelle est la nature du quadrilatère ACM2M1 ?

4. On choisit le repère ( ); ,A AB AC

. Déterminer les affixes des points I, J et K. Donner l’expression

complexe de f et celle de g. Déterminer les affixes de AC

et 1 2M M

. Conclure.

Exercice 7. 275 Quadrilatère et triangles, N. Calédonie, mars 2004


.

On considère le quadrilatère ABCD tel que : ( ), [2 ]AB AD α π=

, ( ), [2 ]CD CB β π=

, 0 α π< < , 0 β π< < .

On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que :

( ) [ ], 23

DC DPπ π=

, ( ) [ ], 2

3DA DQ

π π=

, ( ) [ ], 23

BA BMπ π=

, ( ) [ ], 2

3BC BN

π π=

.

Soit a, b, c et d les affixes respectives des points A, B, C et D, m, n, p et q les affixes respectives des points M, N, P et Q.

1. Démontrer les relations suivantes :

( )3i

m e a b b

π

= − + , ( )3i

n e c b b

π

= − + , ( )3i

p e c d d

π

= − + , ( )3i

q e a d d

π

= − + .

2. En utilisant les relations précédentes :

181

a. Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme.

b. Démontrer que l’on a : ( ) [ ], 23

AC QPπ π=

, AC = QP, ( ) [ ], 2

3NP BD

π π=

et NP = BD.

3. Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD

vérifient : AC = BD et ( ) [ ],6

AC BDπ π=

.

Exercice 7. 276 3ème degré+Hyperbole, Am. Nord, juin 2004


.

1. On veut résoudre dans ℂ l’équation (E) : z3 + 4z2 + 2z − 28 = 0.

a. Déterminer deux réels a et b tels que l’équation (E) s’écrive : (z −2)(z2+ az + b) = 0.

b. Résoudre (E).

2. On note (H) l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z vérifiant : 2 24 4z z− = − .

a. On note x et y les parties réelle et imaginaire de l’affixe z d’un point M. Montrer que : M appartient à (H) si et seulement si x2 − y2 = 4.

b. Soient A, B et C les points d’affixes respectives 2, 3 5i− − , 3 5i− + .

Vérifier que A, B et C appartiennent à (H).

3. Soit r la rotation de centre O et d’angle 4π− .

a. Déterminer les affixes de A’, B’ et C’, images respectives de A, B et C par la rotation r (on donnera ces affixes sous la forme algébrique).

b. On note M’ l’image par r du point M d’affixe z. On note z’ l’affixe de M’. Les parties réelle et imaginaire de z sont notées x et y, celles de z’ sont notées x’ et y’. On note (H’) l’ensemble des points du plan dont l’antécédent par r est un point de (H).

- Exprimer x et y en fonction de x’ et y’.

- En utilisant la question 2. a. prouver que : M’ appartient à (H’) si et seulement si x’y’ = −2.

4. Faire une figure sur laquelle on placera les points A, B, C, A’, B’, C’, la courbe (H’), puis la courbe (H).

Exercice 7. 277 Conjugué, Centres étrangers, juin 2004


, unité graphique : 2 cm. On appelle A le point d’affixe −2i. À tout point M du plan d’affixe z, on associe le point M’ d’affixe ' 2 2z z i= − + .

1. On considère le point B d’affixe b = 3 − 2i.

Déterminer la forme algébrique des affixes a’ et b’ des points A’ et B’ associés respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin.

2. Montrer que si M appartient à la droite (∆ ) d’équation y = −2 alors M’ appartient aussi à (∆ ).

3. Démontrer que pour tout point M d’affixe z , ' 2 2 2z i z i+ = + ; interprétez géométriquement cette

égalité.

4. Pour tout point M distinct de A on appelle θ un argument de z +2i.

a. Justifier que θ est une mesure de l’angle ( );u AM

.

b. Démontrer que ( ) ( )2 ' 2z i z i+ + est un réel négatif ou nul.

c. En déduire un argument de z’ +2i en fonction de θ .

d. Que peut-on en déduire pour les demi-droites [AM) et [AM’) ?

5. En utilisant les résultats précédents, proposer une construction géométrique du point M’ associé au point M.

182

Exercice 7. 278 f(z)=z2+1, N. Calédonie, mars 2003

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( ; , )O u v

.

On considère la transformation ponctuelle f qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ définie par : z’ = z2 +1.

1. Déterminer les antécédents du point O.

2. Existe-t-il des points invariants par f ? Si oui, préciser leurs affixes respectives.

3. Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?

4. Soit A le point d’affixe ( )21

2Az i= + . Déterminer l’affixe du point A’ image de A par f puis prouver que

les points O, A et A’ sont alignés.

5. Soit θ un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2π [ et N le point d’affixe ie θ .

a. Montrer que N appartient au cercle (Γ ) de centre O et de rayon 1.

b. Lorsque θ varie, montrer que N’, image du point N par f reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. Vérifier que ( )2cosON ONθ′ =

. En déduire que les points O, N et N’ sont alignés.

d. Expliquer la construction du point N’.

Exercice 7. 279 f(z)=z2, Polynésie, nov 2004


. On prendra 2 cm pour unité graphique.

Pour tout point M du plan d’affixe z on considère les points M’ et M’’ d’affixes respectives ' 2z z= − et 2''z z= .

1. a. Déterminer les points M pour lesquels ''M M= .

b. Déterminer les points M pour lesquels '' 'M M= .

2. Montrer qu’il existe exactement deux points M1 et M2 dont les images 1 1 2 2, , ,M M M M′ ′′ ′ ′′ appartiennent à l’axe des ordonnées. Montrer que leurs affixes sont conjuguées.

3. On pose z x iy= + où x et y sont des nombres réels.

a. Exprimer sous forme algébrique le nombre complexe '''

z z

z z

−−

.

b. En déduire l’ensemble E des points M du plan pour lesquels les points M, M’ et M’’ sont alignés. Représenter E graphiquement et en couleur.

4. On pose iz e θ= où 0 ;2πθ ∈

.

a. Déterminer l’ensemble Γ des points M d’affixe z ainsi définis et chacun des ensembles ′Γ et ′′Γ des points M’ et M’’ associés à M.

b. Représenter Γ , ′Γ et ′′Γ sur la figure précédente.

c. Dans cette question 6πθ = . Placer le point M3 obtenu pour cette valeur de θ , et les points 3M′ , 3M′′

associés. Montrer que le triangle 3 3 3M M M′ ′′ est rectangle. Est-il isocèle ?

Exercice 7. 280 Napoléon, Antilles, sept 2004

5 points

Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormal direct, on considère ABC un triangle direct sur lequel on construit extérieurement trois triangles équilatéraux BCA’, ACB’ et ABC’. On considère respectivement les points P, Q et R, centres de gravité respectifs des triangles BCA’, ACB’ et ABC’.

183

On note a, b, c, a’, b’, c’, p, q et r les affixes respectives des points A, B, C, A’, B’, C’, P, Q et R.

1. a. Traduire, avec les affixes des points concernés, que C’ est l’image de A dans une rotation d’angle de mesure dont on précisera le centre.

b. Montrer que a’ + b’ + c’ = a + b + c.

2. En déduire que p + q + r = a + b + c.

3. En déduire que les triangles ABC, A’B’C’ et PQR ont même centre de gravité.

4. Montrer que : 3(q − p) = (b’ − c)+(c − a’)+(a − b).

On admettra que, de même : 3(r − p) = (a − c) + (b − a’) + (c’ − b).

5. Justifier les égalités suivantes :

( ) ( ) ( )3 3 3' ; ' ' ; 'i i i

a c e b c b a e c a c b e a b

π π π

− = − − = − − = − .

6. Déduire des questions 4. et 5. que le triangle PQR est équilatéral.

R

P

Q

B'

C'

A'

C

BA

Exercice 7. 281 Projection orthogonale, Am. Sud, nov 2003



Soit I le point d’affixe 1. On note C le cercle de diamètre [OI] et on nomme son centre Ω .

Partie I On pose 01 12 2

a i= + et on note A0 son image.

1. Montrer que le point A0 appartient au cercle C.

2. Soit B le point d’affixe b, avec b = −1+2i, et B’ le point d’affixe b’ telle que b’ = a0b.

a. Calculer b’.

b. Démontrer que le triangle OBB’ est rectangle en B’.

Partie II

Soit a un nombre complexe non nul et différent de 1, et A son image dans le plan complexe. À tout pointM d’affixe z non nulle, on associe le point M’ d’affixe z’ telle que z’ = az.

1. On se propose de déterminer l’ensemble des points A tels que le triangle OMM’ soit rectangle en M’.

a. Interpréter géométriquement 1

arga

a

−

.

184

b. Montrer que ( ) 1' , ' arg 2 ,

aM O M M k k

aπ− = + ∈

ℤ .

c. En déduire que le triangle OMM’ est rectangle en M’ si et seulement si A appartient au cercle C privé de O et de I.

2. Dans cette question, M est un point de l’axe des abscisses, différent de O. On note x son affixe. On choisit a de manière que A soit un point de C différent de I et de O.

Montrer que le point M’ appartient à la droite (OA). En déduire que M’ est le projeté orthogonal de M sur cette droite.

Exercice 7. 282 f(M)=MA.MB, Antilles, sept 2002

Dans le plan complexe rapport au repère orthonormal ( ; , )O u v

direct, (unité graphique : 5 cm), on

considère les points A et B d’affixes respectives 1Az i= + et 1 12 2Bz i= − + . On désigne par (C ) le cercle de

centre O et de rayon 1.

1. Donner la forme trigonométrique de zA et celle de zB.

2. Dans la suite de l’exercice, M désigne un point de (C ) d’affixe ie α , [ ]0 ; 2α π∈ .

On considère l’application f qui tout point M de (C ), associe ( )f M MA MB= ×

a. Montrer, pour tout α ∈ℝ , l’égalité suivante : 2 1 2i ie ieα α− = .

b. Montrer l’égalité suivante : 2 1 3( ) 1

2 2i if M e i eα α = − − +

.

c. En déduire l’égalité suivante : 21 3

( ) 2sin4 2

f M α = + − +

.

3. a. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe deux points M de (C), dont on donnera les coordonnées, pour lesquels f(M) est minimal. Donner cette valeur minimale.

b. En utilisant 2. c., montrer qu’il existe un seul point M de (C ), dont on donnera les coordonnées, pour lequel f (M) est maximal. Donner cette valeur maximale.

Exercice 7. 283 Spirale

Dans cet exercice on essaie de calculer la longueur d’une portion de spirale. La figure jointe au sujet sera complétée au fur et à mesure des besoins et rendue avec la copie.

1. On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j

de sorte que le point A ait pour affixe 1.

a. Donner sous forme algébrique et sous forme exponentielle l’affixe du point B du cercle de centre O, de

rayon 1, tel que ( , ) (2 )4

OA OBπ π=

.

b. Calculer la distance AB à 10 – 2 près. En considérant que l’arc AB du cercle trigonométrique a une

longueur de 4π, donner alors une valeur approchée de π à l’aide de la distance AB.

c. Placer sur la figure le point M1, image de A par la rotation R de centre 0 et d’angle 8π, placer de même les

points Mk tels que 1 ( )k kM R M+ = avec 1 15k≤ ≤ . Que peut-on dire de M16 ?

d. On appelle z1 l’affixe de M1 ; montrer que 2 41

iz e

π

= et vérifier que 12 2 2 22 2

z i+ −= + . Calculer

alors la distance AM1 à 10 – 3 près et donner une nouvelle valeur approchée de π .

185

2. On construit maintenant les points Nk de la manière suivante : N0=A et pour tout k, 1 15k≤ ≤ ,

134k kON ON+ = et Nk appartient au segment [OMk].

a. Placer sur la figure les point Nk , 1 16k≤ ≤ . Que peut-on dire de N16 ? Quelle est la nature de la suite

k kd ON= ? Exprimer sous forme trigonométrique l’affixe Zk des points Nk.

b. Justifier que les triangles 1k kN ON + sont tous semblables. Quelle est la nature de la suite 1k k kD N N += ? Donner son expression en fonction de k et de D0 ; exprimer en fonction de k et D0 la somme

0 1 ...n nS D D D= + + + où n est un entier quelconque.

c. Donner une valeur approchée à 10 – 3 près de la longueur 0 0 1D N N= , en déduire une valeur approchée à 10 – 3 près de la longueur de la ligne polygonale 0 1 2 15 16...N N N N N . Quelle est la limite de Sn lorsque n tend vers l’infini ? Quelle signification concrète a cette limite ?

B

AO

Figure à compléter et à rendre avec la copie.

Exercice 7. 284 Bissectrice

Soit a et b deux nombres réels, on considère les nombres complexes z et z' de module 1 et d'arguments respectifs a et b.

1. Montrer, en utilisant la forme exponentielle de z et z', que 2( ')

'z z

zz

+ est un réel positif ou nul.

2. En déduire que arg [z + z'] = 12(arg [z] + arg [z']) .

3. On appelle M et M' les images de z et z' dans le plan muni d'un repère orthonormé direct de centre O et N le point tel que OMNM' soit un parallélogramme. Interpréter géométriquement l'égalité précédente à l'aide de ces points.

Exercice 7. 285 Théorème de Ptolémée

Quelques définitions :

On dira qu’une application f est involutive si et seulement si f o f = Id.

186

Quatre points A, B, C et D sont cocycliques ssi ils appartiennent au même cercle Γ. On montre que quatre points A,B, C et D sont cocycliques ssi ( ), ( , )( )AC AD BC BD π= (attention, ce sont des angles de

droites…)

On désigne par P le plan complexe, par Ω le point d’affixe i et P’=P-Ω . M un point qurelconque de P’ a pour affixe z.

Pour tout réel non nul m, on désigne par fm l’application de P’ dans P’ telle que

: ( ) ( )/mm

f M z M z z iz i

′ ′ ′→ − =+

.

1. On suppose m donné. Montrer que fm est involutive. Déterminer l’ensemble des points invariants par fm. Démontrer que pour tout point M de P’, les points Ω , M et M’ sont alignés et que .M M m′Ω Ω =

(produit

scalaire).

2. Soit m et λ deux réels non nuls. Pour tout point M de P’, on désigne par M’ le point fm(M) et par M’’ le point ( ')f Mλ . Montrer que M’’ est l’image de M par une transformation que l’on précisera. Quelle est la nature de cette transformation ?

3. Le nombre m est toujours supposé fixé. Soit A, B, C, D quatre points distincts de P’, d’affixes respectives

a, b, c et d. On appelle birapport de ces quatre points (noté (A, B, C, D) ) le nombre complexe ( )( )( )( )c a d b

c b d a

− −− −

.

a. Démontrer que (A, B, C, D) = (C, D, A, B).

b. Démontrer que (A, B, C, D) est un nombre réel si et seulement si les points A, B, C et D sont alignés ou cocycliques.

c. On désigne par A’, B’, C’, D’ les images respectives des points A, B, C et D par fm. Montrer que (A, B, C, D) et (A’, B’, C’, D’) sont conjugués.

4. Déduire de la question précédente que, quels que soient les points M et N appartenant à P’, les points M, N, M’ et N’ sont alignés ou cocycliques.

5. On désigne par ∆ une droite ou un cercle du plan P et par 1∆ son intersection avec P’. Démontrer que l’image de 1∆ par fm est l’intersection d’une droite ou d’un cercle avec P’.

A

CD

a-Pi

aa

E

O

B

187

8 . FONCTION EXPONENTIELLE EXERCICES

Exercice 8. 286 Introduction à la fonction exponentielle (version simple)

1. Approche par les suites géométriques Une ville voit sa population augmenter de 10 % chaque année.

Le 31 décembre 1990, elle comptait u0 = 50 000 habitants. On note un le nombre d’habitants à la date du 31 décembre de l’année 1990 + n.

1. Calculer le nombre d’habitants de cette ville les 31 décembre 1991 et 1992. Quelle est la nature de la suite (un) ?

2. En déduire l’expression de un en fonction de n et le nombre d’habitants de cette ville le 31 XII 2003.

3. Placer sur un graphique les points de coordonnées (n ; un) pour n entier, 0 13n≤ ≤ . Proposer une méthode pour estimer le nombre d'habitants de cette ville à la fin du mois de juin de l'année 2003.

2. Introduction de l'équation différentielle y'=ky L’expérience suggère que, si l’on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (c’est-à-dire dont le nombre est de l’ordre du nombre d’Avogadro, soit 1023 ), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps ∆ t à partir d’un instant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à l’instant t et au temps d’observation ∆ t, est une constante λ caractéristique du noyau en question.

On peut donc écrire :( )( )N t

tN t

λ∆= − ∆ ou encore )(

)()()(tN

t

tNttN

t

tN λ−=∆

−∆+=∆

∆.

En faisant tendre ∆ t vers 0, on trouve alors '( ) ( )N t N tλ= − ou encore )()(

tNdt

tdN λ−= .

Trouver les fonctions N qui satisfont cette condition , c’est résoudre l’équation différentielle 'y yλ= − .

On peut pressentir que la donnée de la population N(0) = N0 au départ détermine parmi les solutions trouvées celle qui décrira l’évolution de N (l'unicité de la solution sera peut-être démontrée plus tard).

Le problème posé en termes mathématiques est alors le suivant :

Résoudre l’équation différentielle yy λ−=' .

C’est à dire chercher les fonctions f dérivables sur ℝ qui vérifient que pour tout t∈ℝ , f’(t)=−λ f(t). Puis parmi celles-ci, celle qui vérifie f(0)= N0.

3. Une approche graphique des fonctions solutions de f'(x)=f(x) Préambule: Nous considérons ici l'équation différentielle : y’ = y. Une fonction est une solution de cette équation différentielle, si elle est dérivable sur ℝ et que pour tout réel x, on a f'(x) = f(x).

On peut remarquer que si f est une solution de l'équation différentielle y' = y alors la fonction g définie par g(x) = kf(x) avec k un réel quelconque est également une solution et il existe alors une infinité de solutions à cette équation différentielle.

L'activité suivante conduit à une construction des courbes intégrales (ce sont les courbes des fonctions solutions de l'équation différentielle) et permet de visualiser que la donnée d'une valeur de la fonction (b = f(a)) détermine cette fonction.

Activité: Supposons que (a ; b) sont les coordonnées d'un point M appartenant à la courbe représentative C d'une solution de l'équation différentielle.

1. Commençons tout d’abord par le point M1 de coordonnées (0 ; 1). Déterminer une équation de la tangente en M1.

2. Soient M2, M3 et M4 les points de coordonnées respectives(−1 ; 2), (2 ; 1) et (0 ; −1). Déterminer une équation de la tangente en chacun de ces points. Une même courbe peut-elle passer par M1 et M4 ?

3. Démontrer que, dans le cas général l’équation de la tangente T à C en M est y bx ab b= − + .

188

Quelle remarque peut-on faire sur le coefficient directeur de cette tangente ?

M et M’ étant deux points de même ordonnée que peut-on dire des tangentes en M et M’ ?

4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal (unité 3 cm), on considère les points dont les coordonnées

(x ; y) vérifient 2 4x− ≤ ≤ , 2 2y− ≤ ≤ , 2k

x = et '2k

y = avec k et k’ entiers. Pour chacun de ces points tracer

un segment de tangente (environ 1 cm).

5. Admettons qu'il existe une unique fonction f solution vérifiant f(0) = 1 et pour tout réel x, f '(x) = f(x).

Construire une ébauche de la courbe représentative de cette fonction. Quelle valeur approchée de f(1) obtient-on ?

4. Utilisation de la méthode d'Euler De nombreux phénomènes d’évolution sont modélisés par une fonction dérivable f dont la dérivée f’ est proportionnelle à la fonction f elle-même (f’ = kf). Nous allons observer l’une d’elle par la méthode d’Euler.

Soit f une fonction dérivable sur ℝ vérifiant f(0) = 1 et pour tout x : f’(x) = f(x).

1. Montrer que, pour tous réels a et h (h voisin de 0), l’approximation affine de f en a, s’écrit : ( ) ( ) (1 )f a h f a h+ ≈ × + .

2. Appliquer cette formule avec a = 0, a = h, a = 2h, ... En déduire que, si l’on part de f(0), la suite des valeurs approchées de f(x) obtenues par la méthode d’Euler, avec le pas h, est une suite géométrique. Quelle est sa raison ?

3. Construire point par point sur le même graphique, une représentation graphique approchée de f en prenant un pas h de 0,5 puis de 0,1. Prolonger la courbe sur l’intervalle [−1 ; 2] avec la même méthode (pas h de 0,1).

A l’aide d’un tableur, on peut représenter cette fonction de manière encore plus précise et sur un intervalle plus large.

La fonction f est appelée fonction exponentielle.

4. Valeur approchée de f(1) : on se place sur l’intervalle [0 ; 1] que l’on subdivise en n intervalles. Le pas h

vaut donc ici 1n.

a. Montrer que la valeur approchée de f(1) obtenue par cette méthode est 1

1n

n

+

.

b. Donner la valeur approchée de f(1) correspondant à n =10 000. On admettra que la suite de terme

général 1

1n

n

+

converge et on notera e sa limite.

5. Définition et premières propriétés de la fonction exponentielle L’étude faite dans les questions précédentes nous amène à conjecturer l’existence de solutions à l’équation différentielle y’ = y (ce sont les fonctions dont on peut tracer les représentations graphiques de manière approchée en « suivant » les tangentes tracées en 3.). Cependant ces constatations ne constituent pas une preuve. Pour poursuivre notre étude nous sommes conduits à admettre un résultat :

« Il existe une fonction f dérivable sur ℝ qui est solution de y’ = y et qui vérifie f(0) = 1. »

Nous allons étudier dans la suite les conséquences de cette conjecture (dans la suite du problème f désignera toujours cette fonction).

1. Posons F(x) = f(x). f(−x). Calculer la dérivée de F. En déduire que f(x) n’est jamais nulle.

2. Supposons que g est une (autre) solution de y’ = y. Posons ( )

( )( )g x

h xf x

= .

189

a. Démontrer que h est dérivable sur ℝ et que h’(x) = 0.

b. En déduire que pour tout réel x, ( ) (0) ( )g x g f x= × , puis que f est la seule solution de l’équation différentielle qui prend la valeur 1 en 0.

3. Soit a un réel. On considère la fonction g définie par ( ) ( )g x f a x= + .

Démontrer que g est une solution de l’équation différentielle y’ = y. En déduire que pour tout réels a et b, on a : ( ) ( ) ( )f a b f a f b+ = .

4. a et b sont deux réels quelconques.

a. En utilisant judicieusement l’égalité démontrée à la question précédente et f(0)=1, calculer ( )f a− et

( )f a b− .

b. Démontrer que pour tout n entier relatif ( ) ( )( )nf na f a= .

Exercice 8. 287 Introduction à la fonction exponentielle (version difficile)

L’objectif de ce travail est de découvrir la fonction exponentielle réelle à travers la résolution d’une équation différentielle par la méthode d’Euler. La première partie doit vous permettre de maîtriser cette méthode avec le concours d’Excel, la deuxième permet de trouver la solution de l’équation différentielle, la troisième démontre certains résultats très importants quand à la quatrième on revient à la méthode d’Euler pour résoudre deux équations différentielles intéressantes.

1. La méthode d’Euler

Une équation différentielle est une équation liant une fonction inconnue (notée généralement y) et ses dérivées (y’, y’’, …).

On dira que l’équation est linéaire et du premier ordre si on peut l’écrire + =' ( ) ( )y P x y Q x . L’équation est sans second membre si Q(x) = 0. Par la suite k, k’, C désigneront des constantes, x la variable.

D’une manière générale si on a une équation différentielle (E) et que l’on nous donne une fonction f dont on demande si elle est solution, il suffit de calculer les dérivées nécessaires de f, de remplacer et de vérifier que f satisfait (E) (on arrive alors à une égalité du style 0=0).

1. On s’intéresse à la résolution de l’équation différentielle ='y ky où k est un réel quelconque. En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que ε+ = + +( ) (1 ) ( ) ( )y x h hk y x h h avec ε

→=

0lim ( ) 0h

h .

2. On définit les suites (xn) et (yn) par α=0x , β=0y , + = +1n nx x h et ε+ = + +1 (1 ) ( )n ny hk y h h . Donner l’expression de xn en fonction de α, h et n. En considérant que ε( )h h est négligeable donner une expression de yn en fonction de β, h, k et n. 3. On prend α = 0 et β = 1. a. Construire une feuille de calcul permettant de calculer les valeurs successives de xn et yn. Tracer les représentations graphiques Cn(xn, yn) obtenues dans les cas suivants avec un pas h = 0,02 :

k = −2 ; k = −0,5 ; k = 0 ; k = 0,5 ; k = 1 ; k = 2.

b. Toujours avec α = 0 et β = 1, justifier que quand k > 0 la fonction y est croissante, quand k = 0 la fonction y est constante et quand k < 0 la fonction y est décroissante.

c. En modifiant les valeurs de α et β dans la feuille de calcul déterminer les changements apportés par ces différentes valeurs aux courbes Cn.

2. Résolution de y’ = y

On note n! (ce qui se lit factorielle de n) le nombre −1.2.3...( 1).n n .

1. a. On se demande s’il existe une fonction polynôme satisfaisant à l’équation (1) ='y y avec =(0) 1y .

Pour cela on pose =

=∑1

( )N

nn

n

P x a x . Calculez P’(x) et déduisez-en qu’aucune fonction polynôme (autre que le

polynôme nul) n’est solution.

190

b. On considère que dans P(x) N devient très, très grand. Montrez alors que si P était solution on aurait

= 1!nan. On admettra que la fonction (si, si, ça représente bien une fonction) définie par

∞

=

=∑1

1( )

!n

n

f x xn

est

solution de (1) (la fonction f ici définie a été trouvée par Newton aux débuts du calcul différentiel).

2. On revient à la méthode d’Euler : on considère les suites =0 0x , =0 1y , + = +1n nx x h , + = +1 (1 )n ny h y et

on pose pour une valeur x fixée =+1x

hn

. On note alors = ( )n nx x x et = ( )n ny y x .

Montrez alors que = + + + + − ( ) 1 1 ... 1 (1 )

1 2n

x x xy x x

n n.

3. On s’intéresse au comportement de ( )ny x lorsque n tend vers l’infini.

a. Montrez que lorsque x est positif ou nul, ≤ + =

( ) 1 ( )n

n n

xy x w x

n et que lorsque x est négatif ou nul,

≥ + =

( ) 1 ( )n

n n

xy x w x

n.

b. Montrez que →∞

=( )

lim 1( )n

nn

w x

y x. On admettra que pour n suffisamment grand les suites ( )nw x et ( )ny x sont

« équivalentes », c’est-à-dire qu’elles ont le même comportement.

4. Comportement de ( )nw x .

a. Démontrez par récurrence la propriété (P) : + ≥ +(1 ) 1nu nu pour tout réel u > −1.

b. Sens de variation de wn : montrez que + = + −+ +

1 11 ( 1)

x x x

n n n n. Justifiez alors que si n > x > −n,

+

++ +

+

= + − = + − + + + +

1

11 1

1( ) 1 1 1 1( 1)( )( 1) 1

n

nn n

n

x x x xw x

xn n n n xn n

n

puis en utilisant (P) que pour un entier n suffisamment grand, +

+ ≥ + − = +

1

1( ) 1 1 ( )n

n n

x xw x w x

n n x.

Concluez.

5. On considère −

= −

( ) 1n

n

xz x

n toujours avec n > x > −n.

a. Tracez avec l’aide de votre tableur préféré les suites ( )nw x et ( )nz x pour x = 2 puis pour x = −0,5. Quelles conjectures pouvez-vous faire sur leur comportement ?

Les vraiment courageux peuvent s’attaquer aux questions d., e. et f.

b. Montrez que = −1( )

( ) n

n

w xz x

; déduisez-en que ( )nz x est décroissante à partir d’un certain rang.

c. Montrez que

= − ≥ −

2 2

2

( )1 1

( )

n

n

n

w x x x

z x nn ; qu’en déduisez-vous pour ( )nw x et ( )nz x ?

d. Montrez que < − <2

0 ( ) ( ) ( )n n n

xz x w x w x

n. Quelle est la limite de −( ) ( )n nz x w x quand n tend vers

l’infini ? Concluez !

191

6. On conclut donc de tout ceci à l’existence d’une limite commune aux suites ( )nw x et ( )nz x ; cette limite est une fonction et est notée exp(x) (exponentielle de x) avec

−

→∞ →∞

= + = − = −

1exp( ) lim 1 lim 1

exp( )

n n

n n

x xx

n n x

Par définition des suites ( )ny x et ( )nz x on a exp(0) = 1.

On s’intéresse ici à la dérivée de exp (a priori exp doit être solution de y’ = y, donc sa dérivée doit être elle-

même, sinon tout ce qu’on a fait n’aura servi à rien) : on cherche donc la limite de + −exp( ) exp( )x h x

h

lorsque h tend vers 0.

a. Montrez que

+ + = + = + + = + + +

( ) 1 1 1 ( ) 11

n

n nn

n n

x h x h hy x h y x

xn n n xn

n

.

b. Montrez que lorsque n est suffisamment grand on a > −+

1h

n x.

c. En utilisant la propriété (P) montrez que + ≥ + + ( ) ( ) 1n n

nhy x h y x

n x puis que

+ −≥

+( ) ( )

( )n nn

y x h y x ny x

h n x.

Lorsque n tend vers l’infini quelle inégalité obtenez-vous ?

On remplace h par −h dans l’inégalité précédente, ce qui donne

− − ≥ − ⇔ − − ≤exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( ) exp( )x h x h x x x h h x

puis x par x + h :

+ − ≤ + ⇔ − + ≤exp( ) exp( ) exp( ) (1 )exp( ) exp( )x h x h x h h x h x

En prenant h petit, 1−h >0 d’où + ≤ ⇔ + − ≤− −1

exp( ) exp( ) exp( ) exp( )1 1

hx h x x h x

h h. Il n’y a plus qu’à

conclure.

7. Nous savons maintenant que l’équation y’ = y avec y(0)=1 a au moins une solution. Est-ce la seule ?

a. On suppose qu’il existe une solution g autre que exp. Posons =( ) ( )exp( )f x g x x . Calculez f’(x).

b. Montrez que g est alors telle que ='( ) 0g x . Que vaut g(x) ?

c. En utilisant f(0) = 1, montrez que f n’est autre que exp.

3. Quelques propriétés de exp Les questions précédentes montrent deux définitions différentes de exp(x) :

∞

→∞ = =

= =∑ ∑0 0

exp( ) lim! !

n nN

Nn n

x xx

n n et

→∞

= +

exp( ) lim 1n

n

xx

n.

(La première définition n’a pas été justifiée proprement, ce sera l’objet d’un problème ultérieur).

1. Avec Excel tracez les deux suites représentant exp(1) pour n compris entre 0 et 200 ainsi qu’une droite horizontale représentant exp(1) (on l’obtient directement avec la fonction exp de Excel). Quelle définition vous semble la plus efficace en terme de temps de calcul ? Le nombre ≈exp(1) 2,7183... est noté simplement e.

2. exp est toujours strictement positive

a. On suppose qu’il existe un réel α tel que exp(α) = 0, calculez α α−exp( )exp( ) ; concluez.

192

b. Comme exp est dérivable sur ℝ elle est continue sur ℝ . En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires montrez que exp(x) > 0 pour tout x réel.

c. Déduisez-en le sens de variation de exp.

3. Dérivée de exp(u)

En utilisant la dérivation des fonctions composées montrez que ( )′ =exp( ) 'exp( )u u u .

4. La limite de exp en +∞ est +∞

En utilisant la propriété (P) montrez que →∞

≥ +exp( ) lim(1 )n

x nx ; déduisez-en la limite de exp en +∞.

Déterminez également →−∞lim exp( )x

x .

5. Cexp(kx) est la solution de y’ = ky

a. Calculez la dérivée de =( ) exp( )f x C kx et vérifiez que f est solution. Que vaut f si y(0) = 1 ?

b. Soit g une autre solution possible, on pose =( ) ( )exp( )g x h x kx ; montrez que g est constante. Concluez.

6. exp(a + b) = exp(a)exp(b) Cette propriété fondamentale peut être montrée en utilisant les définitions à base de suites mais c’est un peu laborieux. On va utiliser le fait que exp(kx) est l’unique solution de y’ = ky avec y(0) = 1.

a. On montre d’abord que si exp(ax) est solution de f’ = af alors exp(a + b) = exp(a)exp(b) : soit g la fonction définie par = + −( ) exp( ) exp( )exp( )g x a x a x .

Montrez que ='( ) ( )g x ag x , calculez g(0). Concluez.

b. On montre maintenant que si une fonction f est telle que f(a + b) = f(a)f(b) pour tous a, b réels alors f(x) = exp(kx).

Dérivez la relation f(a + x) = f(a)f(x) par rapport à x. Que se passe-t-il lorsque x = 0 ? Déduisez-en que f est solution de y’ = ky où k = f’(0).

Pour quelques compléments :

http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/Lycee_fichiers/CoursT_fichiers/EDexp03.pdf

La relation précédente n’est jamais que la propriété bien connue des puissances : +=.a b a bu u u avec a, b rationnels. La définition de la fonction exponentielle étend alors aux puissances réelles cette propriété ;

comme on a par ailleurs exp(1) = e, on note en général =exp( ) xx e où les règles de calcul habituelles sur les puissances s’appliquent évidemment.

On peut se demander ce qui se passe si on étend la définition de x réel à x complexe dans ∞

→∞ = =

= =∑ ∑0 0

exp( ) lim! !

n nN

Nn n

x xx

n n par exemple ; on définit alors une fonction appelée exponentielle complexe qui a

les mêmes propriétés que l’exponentielle réelle et on notera += = =exp( ) .z x iy x iyz e e e e . Dans le cas où la partie réelle de z est nulle on retrouve la notation exponentielle vue dans les complexes d’où

= + = +(cos sin ) cos sinz x x xe e y i y e y ie y . Cette fonction est fondamentale dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique.

Exercice 8. 288 Quelques résolutions avec utilisation de la méthode d’Euler

1. = +' 'y ky k

On considère l’équation différentielle : (A) = − +' 10 6y y où y désigne une fonction de la variable t, dérivable sur ℝ .

a. En utilisant la méthode d’Euler avec y(0) = 0 et un pas h = 0,01 tracer la courbe solution sur [0 ; 5].

b. Trouver K constante réelle telle que f(t) = K soit solution de(A).

c. On pose y = u + K ; montrer que y est solution de (A) si et seulement si u est solution de (B) : y’ = −10y.

d. Déterminer les solutions de (B), en déduire les solutions de (A).

193

e. En utilisant la même méthode qu’au III. 4. b montrer que les solutions trouvées sont les seules possibles. f. Déterminer la solution de (A) telle que f(0) = 0.

Tracez cette solution sur la même figure qu’à la question IV. 1. a. Représentez également l’écart entre la solution obtenue avec Euler et la solution exacte. Interprétez.

2. Etablissement d’un courant dans une bobine

Aux bornes d’une bobine de résistance R (exprimée en ohms) et d’inductance L (exprimée en henrys), on branche, à la date t = 0, un générateur de force électromotrice E (exprimée en volts). L’unité de temps est la seconde.

L’intensité du courant dans le circuit (exprimée en ampères) est une fonction dérivable du temps, notée i. A la date t = 0 l’intensité est nulle.

Au cours de l’établissement du courant, la fonction i est solution de l’équation différentielle :

Li’ + Ri = E (ou + =diL Ri Edt

).

Valeurs numériques : dans toute la suite, on prend R = 5, L = 0,5 et E = 3.

1. Déduire des questions précédentes l’expression de i(t) pour t > 0 .

2. Déterminer →+∞lim ( )t

i t . Donner une interprétation physique du résultat.

3. Au bout de combien de temps le courant atteint-il la valeur de 0,59 ampères (on cherchera la réponse avec Excel) ?

Exercice 8. 289 QCM

Répondre par Vrai ou Faux à chaque question sans justifier.

Chaque réponse juste rapporte 0,75 points ; toute réponse fausse coûte 0,5 points ; pas de réponse ne rapporte ni n’enlève rien. Si toutes les réponses sont justes un bonus de 1 point est donné.

Soit la fonction ( )( ) 3 xf x x e−= − + et C sa courbe représentative.

a. Pour tout 0, on a : ( ) 3.x f x x> ≥ − +

b. La droite d’équation 0y = est asymptote à la courbe C.

c. La dérivée de f est '( ) (2 ) xf x x e−= − .

d. La fonction f admet un unique extremum.

e. Pour tout réel 2m e≠ , l’équation ( )f x m= admet soit 0 soit 2 solutions.

f. La fonction ( ) ( 3) xg x x e−= − + n’est pas dérivable en 0.

g. La fonction f est-elle une solution de l’équation différentielle ' 7 xy y e−− = ?

h. La valeur moyenne de f entre 0 et 1 est …

Exercice 8. 290 Famille de fonctions expo + intégrales

On donne les courbes Cn représentatives des fonctions 1( ) n x

nf x x e −= sur [0 ; 1] avec 1n ≥ (sur la figure on s’est arrêté à n = 10, mais les représentations sont similaires).

On considère alors la suite d’intégrales 1

1

0

n xnI x e dx−= ∫ .

On rappelle que 2,718e ≈ et que ! 1.2.3.4....( 1).n n n= − .

1. a. Déterminez graphiquement la valeur des coefficients directeurs des tangentes aux courbes Cn en 0 pour n = 1 puis pour 2n ≥ . Vérifiez vos résultats avec un calcul.

b. Donnez une interprétation géométrique de ( nI ). Quelles conjectures pouvez-vous faire sur le comportement de cette suite (sens de variation, convergence, limite) ?

2. On va montrer les résultats obtenus en 1.b.

194

a. Montrez que 1 2I e= − au moyen d’une intégration par parties.

b. Montrez que ( nI ) est décroissante ; déduisez-en un encadrement de nI et concluez quand à sa convergence.

c. Montrez que sur [0 ; 1] on a ( )n nnx f x ex≤ ≤ . En déduire que

11 1n

eI

n n≤ ≤

+ +. Quelle est la limite de

nI ? Déterminez la valeur de l’entier n0 tel que pour 0n n> on est sûr que 210nI−≤ .

3. On essaie d’obtenir une expression de nI .

a. Au moyen d’une intégration par parties, montrez que 1 ( 1) 1n nI n I+ = + − . Déduisez-en les valeurs exactes de 2 3 4, ,I I I .

b. Il semble clair que nI peut se mettre sous la forme !n nI n e a= − : déterminez une relation de récurrence entre 1na + et na .

Montrez par récurrence que ! ! ! !

! ! ...2! 3! 4! !nn n n n

a n nn

= + + + + + + . Déduisez-en que 1 1 1

lim1 1 ...2! 3! !n

en→∞

= + + + + + .

Exercice 8. 291 Expo+suite integrales

On considère la fonction f définie sur 1−ℝ par ( )1

xef x

x

−=

−. On rappelle que 2,7183e ≈ .

La courbe C représentative de f dans un repère orthonormé est donnée sur la feuille jointe (les unités n’ont aucune importance) ; le tableau de variation de f est fourni ci-dessous.

On considère l’intégrale 0

1( )J f t dt

−= ∫ ; l’objet de l’exercice est de trouver un encadrement permettant un

calcul approché de J et non d’en donner un calcul exact.

1. Interpréter géométriquement J : on fera un petit croquis explicatif sur la feuille jointe que l’on rendra avec la copie. Donner une estimation à la louche de J.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

x

y

C1

C2

C3 C4

195

2. Utiliser le tableau de variation de f pour justifier que 12e

J≤ ≤ .

3. Rappeler la démonstration de la formule de la somme des termes d’une suite géométrique de 1er terme 1

et de raison x. Justifier alors l’égalité : 1

2 11 ...

1 1

nn x

x x xx x

++ + + + + =

− −.

4. En déduire que 0 1 2 ... n nJ u u u u R= + + + + + où 0

1

k tku t e dt−

−= ∫ et

01

1( )n

nR t f t dt+

−= ∫ .

5. Justifier l’encadrement 0 0

1 1

1 12n n

ne

t dt R t dt+ +

− −≤ ≤∫ ∫ ; en déduire que

11 2( 1)n

eR

n n≤ ≤

+ +. Quelle est la

limite de nR quand n tend vers l’infini ?

On pose dorénavant 0 1 ...n nS u u u= + + + ; on voit donc que la suite nJ S− tend vers 0, soit que les valeurs successives de nS constituent une « bonne » approximation de J.

6. Jusqu’à quel terme n0 doit-on calculer nS pour être sûr que 0nS est une valeur approchée de J à 10−2

près ?

7. On s’intéresse de plus près à ku .

a. Calculer 0u .

b. En utilisant une intégration par parties montrer que

1( 1)kk ku e ku −= − + .

c. A l’aide de cette relation donner sous la forme k ka e b+ , où

ka et kb sont deux entiers relatifs, la valeur de 1 2 3 4, , ,u u u u et 5u . En déduire les valeurs de 4S et 5S . Donner une estimation de la précision obtenue ainsi sur J.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

y

Exercice 8. 292 Problème expo, Amérique du Nord, 1999

On considère la fonction numérique f définie sur ] −∞ ; 1[ par 11

22

( )( 1)

x

xf x ex

+−=

−.

On désigne par (Γ ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j

, l’unité graphique étant 2 cm.

Partie 1

x −∞

0

1 +∞

+ +

−∞ 1

0

−

+∞ +∞ 0

196

1. a. Soit 21

Xx

=−

. Prouver l’égalité 2( )2

Xef x X e= . En déduire la limite de f quand x tend vers 1 par

valeurs inférieures.

b. Déterminer la limite de f en −∞ .

c. En déduire une asymptote à la courbe (Γ ).

2. a. Soit v la fonction numérique définie sur ] −∞ ; 1[ par 11( )

x

xv x e+−= . Calculer v’(x).


44

'( )( 1)

x

xx

f x ex

+−−=

−.

c. Etudier les variations de f.

d. Tracer la courbe (Γ ).

Partie 2

1. Déterminer une primitive de f sur ] −∞ ; 1[.

2. Soit α un réel tel que 0 < α < 1. Déterminer 0

( ) ( )g f x dxα

α = ∫ .

3. Quelle est la limite de g lorsque α tend vers 1 ?

4. Quelle est l’aire en cm2 du domaine limité par la courbe de f, l’axe des abscisses, les droites d’équations x = α et x = −α ?

Partie 3

1. a. Démontrer que l’équation 1

( )2

f x = a deux solutions dont l’une est −1. On notera β l’autre solution.

b. Donner un encadrement de β de largeur 10−2.

2. Soit a un élément de ] −∞ ; 1[. Déterminer graphiquement en fonction de a, le nombre de solutions de l’équation f(x) = f(a).

Exercice 8. 293 Problème expo, Pondichéry, juin 2003

On considère la fonction numérique définie sur ℝ par 2

2 1( )2

x xf x x e −= − . Le graphique ci-dessous est une

représentation de cette fonction.

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

x

y

Au vu de cette courbe quelles conjectures pouvez-vous faire sur :

a. le sens de variation de f sur [−3 ; 2] ;

b. la position de la courbe par rapport à l’axe (x’x) ?

Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.

Partie A : Contrôle de la première conjecture.

197

1. Calculer f'(x) pour tout réel x, et l'exprimer à l'aide de l'expression g(x) où g est la fonction définie sur ℝ par 1( ) ( 2) 1xg x x e −= + −

2. Etude du signe de g(x) pour x réel.

a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +∞ puis quand x tend vers −∞ .

b. Calculer g' (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.

c. En déduire le sens de variation de la fonction g, puis dresser son tableau de variation.

d. Montrer que l'équation g(x) = 0 possède une unique solution dans ℝ . On note α cette solution. Montrer que 0,20 < α < 0,21.

e. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

3. Sens de variation de la fonction f sur ℝ .

a. Etudier, suivant les valeurs de x, le signe de f’(x) ;

b. En déduire le sens de variation de la fonction f ;

c. Que pensez-vous de votre première conjecture ?

Partie B Contrôle de la deuxième conjecture.

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ( ); ,O i j

. On se propose de

contrôler la position de la courbe par rapport à l'axe (x'x).

1. Montrer que 3

( )2( 2)

fααα

= −+

.

2. On considère la fonction h définie sur l'intervalle [ 0 ; 1] par 3

( )2( 2)

xh x

x

−=+

.

a. Calculer h'(x) pour x ∈ [0 ; 1], puis déterminer le sens de variation de h sur [0 ; 1]. b. En déduire un encadrement de ( )f α .

3. a. Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe (x'x).

b. Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l'axe des abscisses.

c. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

Partie C : Tracé de la courbe. Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie Γ de C correspondant à l'intervalle

[−0,2 ; 0,4], dans le repère orthogonal ( ); ,O i j

avec les unités suivantes :

Sur l'axe (x’x) : 1 cm représentera 0,05

Sur l'axe (y’y) : 1 cm représentera 0,001

1. Compléter le tableau suivant à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n.10−4 (n entier relatif).

x −0,20 −0,15 −0,10 −0,05 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40

f(x)

2°- Tracer alors Γ dans le repère choisi.

Partie D : Calcul d'aire. On désire maintenant calculer l'aire du domaine D fermé délimité par la courbe Γ , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x =1− ln(2).

1. A l'aide d'une double intégration par parties, déterminer une primitive sur ℝ de la fonction 2 xx e .

2. En déduire une primitive F de la fonction f.

3. Calculer alors en unité d’aire l’aire du domaine D et en donner une valeur approchée au cm2.

198

Exercice 8. 294 Expo+equa diff second ordre+intégrale

Objectif du problème : Résolution d'une équation différentielle et étude d'une de ses solutions.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ); ,O i j


Partie A

On considère l'équation différentielle : y'' + 2y´ + y = 2e– x (E)

1. Déterminer le réel a tel que la fonction y0 définie sur ℝ par 2

0( ) xy x ax e−= soit solution de l'équation (E).

2. Démontrer que y, fonction numérique deux fois dérivable sur ℝ , est solution sur ℝ de (E) si et seulement si la fonction z définie par z = y – y0 est solution de l'équation différentielle (E1) :

2 0z z z′′ ′+ + = .

3. On admet que les solutions de (E1) sont de la forme ( ) xz x eα β −= + : faire la vérification.

4. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).

5. Déterminer la solution f de (E) dont la courbe représentative dans le repère (O ; , )i j

passe par le point

de coordonnées (–1 ; 0) et admet en ce point une tangente de vecteur directeur i.

Partie B

Soit f la fonction définie sur ℝ par 2( ) ( 1) xf x x e−= + ..

On note (C) la courbe représentative de f dans le repère (O ; , )i j

.

1. a. Déterminer la limite de f en −∞ .

b. Déterminer la limite de f en +∞ . Donner une interprétation graphique de ce résultat.

c. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.

3. On se propose dans cette question d'étudier la position de (C) par rapport à (T).

a. On pose ( ) 1 xk x x e= + − .

Calculer k’(x) ; en déduire le sens de variation de k et son signe.

b. En déduire la position de (C) par rapport à (T).

4. Après avoir reproduit et complété le tableau de valeurs ci-dessous, tracer (T) et (C) dans le repère (O ; , )i j

. Les valeurs de f(x) seront données à 10–2 près.

x –2 –0,5 –0,25 0,5 1 2 3 4 6

f(x)

5. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n non nul, par : 1

4 ( )n

nn

u f t dt+

= ∫ .

a. Représenter u3 sur le graphique précédent.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul : 4 ( 1) 4 ( )nf n u f n+ ≤ ≤ . En déduire le sens de variation de (un).

c. Déterminer la limite de la suite (un).

Exercice 8. 295 Expo + acc finis

Partie A

On considère la fonction g définie sur ℝ par 2( ) ( 1) xg x x e−= + .

Soit C la représentation graphique de la fonction g dans le repère orthonormal (O ; , )i j


1. Calculer la dérivée g´ de g. Montrer que g´(x) est du signe de (1 – x2). En déduire les variations de g.

199

2. Montrer que :

a. lim ( )x

g x→−∞

= +∞ .

b. lim ( ) 0x

g x→+∞

= et préciser l'asymptote à C correspondante.

3. Tracer la courbe C dans le repère (O ; , )i j

. On placera en particulier les points de la courbe d'abscisses respectives –2 ; –1 ; 0 ; 1 et 3.

4. a. Par une lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel k, le nombre de solutions de l'équation g(x) = k.

b. Prouver rigoureusement que l'équation g(x) = 2 admet une solution α et une seule. Prouver que α appartient à l'intervalle [– 2 ; – 1].

c. Montrer que α vérifie la relation 21 2 .eα

α = − −

Partie B

On appelle f la fonction définie sur l'intervalle I = [– 2 ; – 1] par : 2( ) 1 2 .x

f x e= − −

1. Étude de f a. Étudier les variations de f sur I.

b. En déduire que, pour tout élément x de I, f(x) appartient à I.

c. Montrer que, pour tout élément x de I, 1

'( ) .2

f xe

≤

d. On rappelle que ( )f α α= . En intégrant l’inégalité précédente, montrer que, pour tout élément x de I, on

a : 1

( ) .2

f x xα α− ≤ −

2. Approximation de αααα à l'aide d'une suite Soit (un) la suite d'éléments de I définie par la relation de récurrence un + 1 = f(un) et la condition initiale

032

u = − .

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : 11

.2n nu uα α+ − ≤ −

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a 11

.2

n nu α +− ≤

c. Prouver que la suite (un) converge, préciser sa limite et déterminer un entier n0 tel que 0nu soit une valeur

approchée de α à 10 – 3 près. Calculer 0nu .

Exercice 8. 296 Expo + suite intégrales

Partie A :

1. On considère la fonction g définie sur ℝ par : 1( ) xg x x e −= − .

a. Etudier les variations de g (on ne demande pas les limites). Calculer g(1), en déduire le signe de g.

b. En déduire que pour tout réel x, 1xxee

− ≤ , puis que 1 0xxe−− > .

2. On désigne par f la fonction définie sur ℝ par 1

( )1 x

f xxe−=

−. Soit C sa courbe représentative dans le

plan rapporté à un repère orthonormé (unités : 3 cm)

a. Vérifier que f est définie sur ℝ .

200

b. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞ .

c. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

d. Ecrire une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer T puis C.

3. a. Déterminer les images par f des intervalles [0, 1] et [1, +∞ [.

b. En déduire que 1 ( )1

ef x

e≤ ≤

− pour tout x positif ou nul.

Partie B.

Soit 1

( )1 x

f xxe−=

− définie sur [0, 1]

1. Donner une interprétation géométrique du nombre 1

0( )I f x dx= ∫ .

2. Soit n un nombre entier naturel non nul, et 1

0

nn

nxJ x e dx−= ∫ .

a. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que 12

1Je

= − .

b. On se propose de calculer J2 sans utiliser une intégration par parties : déterminer les coefficients a, b et c tels que la fonction H(x) définie par 2 2( ) ( ) xH x ax bx c e−= + + soit une primitive de 2 2( ) xh x x e−= . En déduire

que 2 21 5

14

Je

= −

.

3. Pour tout entier n non nul, on pose 1 21 ...n nu J J J= + + + + .

a. Montrer que pour tout réel x, ( ) 1

2 21

1 ...1

nx

x x n nxx

xexe x e x e

xe

+−− − −

−

−+ + + + =

−.

b. En déduire que 1

1 ( 1)

0( )n n x

nI u x e f x dx+ − +− = ∫ .

c. En utilisant A.1.b montrer que pour tout x positif ou nul : 1 ( 1)1

10 n n x

nx e

e

+ − ++≤ ≤ .

En déduire que ( )

1 ( 1) 10 ( )

1n n x

nx e f x

e e

+ − +≤ ≤−

puis un encadrement de nu . Déterminer lim nn

u→+∞

.

4. Montrer que 2 2 21( 1)

u I ue e

≤ ≤ +−

. Sachant que 2 1 21u J J= + + , trouver deux nombres d1 et d2 tels que

0< d1- d2<10–1 et d1<I< d2.

Exercice 8. 297 Sous-tangente constante

Une propriété de la fonction exponentielle.

1. Tracer la courbe représentative C de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé sur l’intervalle [–2 ; 2] (unités : 2 cm par axe).

2. Tracer sur la même figure les tangentes à C aux points d’abscisses –1, 0 et 1. Mesurer à la règle la distance entre l’abscisse de chaque point et le point où les dites tangentes coupent l’axe horizontal. Que constatez-vous ?

3. Soit un point A de C d’abscisse a ; vérifier que l’équation de la tangente à C en A est (1 )a ay e x a e= + − . En déduire que la distance cherchée au 2. est bien une constante que l’on déterminera.

4. On cherche maintenant s’il y aurait d’autres courbes présentant cette propriété, à savoir que la distance entre l’abscisse du point et le point d’intersection de la tangente à la courbe en ce point soit constante :

201

a. Ecrire l’équation de la tangente T au point a pour une courbe quelconque, déterminer l’abscisse u du point d’intersection de T avec (Ox), calculer la distance entre ces deux points et montrer que répondre à la

question revient à résoudre l’équation différentielle constante'f

f= .

b. Conclure.

Exercice 8. 298 Expo + equa diff + intégrale, Asie, 1999

11 points

I. Résolution de l’équation différentielle (E) : ' 1y y x+ = − .

1. A l’aide d’une intégration par parties, calculer 1

( 1)x

te t dt−∫ .

2. Soit z une fonction dérivable sur ℝ , on pose ( ) ( ) xf x z x e−= . Montrer que f est solution de (E) si, et

seulement si, pour tout x réel, '( ) ( 1)xz x e x= − .

3. A l’aide de la première question, déterminer toutes les fonctions z vérifiant '( ) ( 1)xz x e x= − .

4. Déduire de la question précédente les solutions de (E). Déterminer la solution pour laquelle l’image de 1 est 0.

II. Etude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur ℝ par 1( ) 2 xf x x e −= − + , (C) sa courbe représentative. Le plan est rapporté au

repère orthonormé ( ; , )O i j


1. a. Etudier le sens de variation de f.

b. Préciser lim ( )x

f x→−∞

et lim ( )x

f x→+∞

.

2. a. Montrer que la droite (D) d’équation 2y x= − est asymptote de la courbe (C).

b. Préciser la position de (C) par rapport à (D).

3. Tracer (D) et (C).

III. Calcul d’aires

Soit 0x un réel strictement positif.

1. On considère le domaine limité par (C), (D) et les droites 0x = et 0x x= . Exprimer à l’aide de 0x l’aire S1 de ce domaine.

2. On considère la fonction g définie par 1( ) xg x e −= , donner une interprétation graphique de l’intégrale ayant servi au calcul de S1 à l’aide de la courbe (Cg) de g (faire un schéma explicatif après avoir tracé rapidement (Cg)).

3. A est le point de coordonnées 0( ; 0)A x . B est le point de (Cg) d’abscisse 0x . (T) est la tangente à (Cg) au point B, K est le point d’intersection de (T) avec l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de K.

4. Calculer en unités d’aire l’aire S2 du triangle ABK. Vérifier que S1 + 2S2 = e.

a

A

T

y=f(x)

202

Exercice 8. 299 Equa diff : insectes

Le but de cet exercice est l’étude de la dynamique d’une population d’œufs et de larves de certains insectes en fonction du temps. Dans l’ensemble de cette modélisatuion, le temps est mesuré dans une unité choisie (par exemple le mois).

Partie A

La fonction N qui donne à l’instant t le nombre d’œufs vivants pondus est définie pour 0t ≥ par 0,3

0( ) tN t N e−= où N0 désigne le nombre initial d’œufs au moment de la ponte (t=0). On prendra dans la suite N0=1000.

1. Etudier la fonction N sur [0, [+ ∞ (sens de variation, limites). Quelles interprétations concrètes tirez vous de cette étude ?

2. Construire la représentation graphique(C) de N pour [0 ;15]t∈ dans un repère orthogonal : 1 cm par unité de temps en abscisse et 10cm pour 1000 en ordonnées.

3. Résoudre dans [0, [+ ∞ l’équation 01

( )2

N t N= . On notera t1 sa solution (que représente t1 ?) ; placer le

point de (C) d’abscisse t1 sur le graphique.

4. a est un réel strictement positif.

a. Calculer 0

( ) ( )a

I a N t dt= ∫ en fonction de a. Déterminer la limite de I quand a tend vers +∞.

b. On considère que la durée de vie moyenne d’un œuf est donnée par lim ( )a

E J a→+∞

= où 0

( ) ( )a

J a tN t dt= ∫ .

Calculer J(a) au moyen d’une intégration par parties et en déduire la valeur de E.

Partie B

La fonction L qui donne, à l’instant t, le nombre de larves vivantes est solution dans [0, [+ ∞ de l’équation

différentielle ' 0,5 0,2L N L= − , soit (1) : 0,3'( ) 0,2 ( ) 500 tL t L t e−+ = .

1. Résoudre l’équation différentielle '( ) 0,2 ( ) 0L t L t+ = .

2. Déterminer le réel K tel que la fonction f définie par 0,3( ) tf t Ke−= soit solution de (1). En déduire que

toutes les solutions de (1) sont de la forme 0,2 0,3( ) t tL t ke Ke− −= + .

3. Déterminer la solution pour laquelle L(0)=N0.

Exercice 8. 300 Problème- expo, Djibouti, 1995

Soit f la fonction définie sur [0, [+∞ par 1

2 3( ) 3 3x

f x x e−

= − + et g la fonction également définie sur [0, [+∞

par 13( ) 2x

g x x e−

= − . On note C la courbe représentative de f dans le repère orthonormal ( ); ,O i j

, unité

graphique : 2 cm.

1. Sens de variation de g

a. Calculer la dérivée g' de g ; vérifier que g’(x) est toujours strictement positif.

b. Calculer la limite de g quand x tend vers +∞ c. Déduire de ce qui précède l’existence et l'unicité d'un nombre réel α > 0 tel que g(α) = 0 et montrer que 0,4 0,5α≤ ≤ .

d. Étudier le signe de g(x) sur [0, +∞ [.

e. Montrer que f’(x) = g(x) ; en déduire le sens de variation de f.

2. Comportement asymptotique de f en +∞

a. Déterminer la limite de f en +∞

203

b. Déterminer le signe de 2( ) ( 3)f x x− − et sa limite en +∞ ; interpréter graphiquement ce résultat ; on

note P la courbe d'équation 2 3y x= − .

3. Signe de f

a. Dresser le tableau de variation de f b. Prouver que l'équation f (x) = 0 admet une solution non nulle a et une seule appartenant à l'intervalle [α,+∞[ et montrer que 0,8 < a < 0,9.

c. Étudier le signe de f (x) sur [0, +∞ [.

4. Courbe

Tracer dans le repère orthonormal ( ); ,O i j

les courbes P et C. On précisera la tangente à C au point

d'abscisse 0.

Exercice 8. 301 Deux expos pour le prix d’une, N. Calédonie, 1996

A. On désigne par f la fonction définie sur ℝ par 2( )x

xf x e e= − et on appelle C la courbe représentative de f

dans le repère orthonormal ( ); ,O i j

.

1. Étudier les variations de f. Préciser les limites de f en −∞ et en +∞ .

2. Déterminer le signe de f(x) en fonction de x. 3. Tracer la courbe C.

B. Dans cette partie, on se propose d'étudier la fonction g définie sur 0−ℝ par

2( ) lnx

xg x e e= − .

On note G la courbe représentative de g dans le repère ( ); ,O i j

.

1. Préciser les limites de g en −∞ , en +∞ et en 0.

2. Calculer g'(x) et déterminer le signe de g'(x) en utilisant le signe de f'(x) et le signe de f(x). Dresser le tableau de variation de g.

3. Démonter que pour tout x réel strictement positif 2( ) ln 1x

g x x e−

− = −

.

Montrer que la droite D d'équation y = x est asymptote à la courbe G. Étudier la position de la courbe G par rapport à D pour tout x réel strictement positif.

4. Démontrer que pour tout x réel strictement négatif 2( ) ln 12

xx

g x e − = −

. Montrer que la droite d

d'équation 2x

y = est asymptote à la courbe G. Étudier la position de G par rapport à d pour tout x réel

strictement négatif.

5. Construire G, D et d dans le repère ( ); ,O i j

. (On utilisera un graphique différent de celui de la

partie A.)

Exercice 8. 302 Dérivabilité, Paris C, 1979

L’objet de cet exercice est d'étudier la fonction g définie sur [0 ; +∞ [ par 1

( ) si 0 et (0) 1te

g t t gt

−−= > = .

1. a. Établir que g est continue en 0.

b. Déterminer la limite de g en +∞ .

204

2. a. Pour tout t > 0 , calculer g'(t) .

b. Prouver que pour tout 0 , 1 tt t e≥ + ≤ .

c. En déduire le signe de g' et le sens de variation de g (on ne demande pas de construire la courbe représentative de g).

3. On se propose d'étudier la dérivabilité de g en 0. À cet effet on introduit la fonction h définie sur [0, +∞ [

par : 2

( ) 12

tth t t e−= − + − .

a. Calculer h’ et h’’, ainsi que les valeurs de h(0) et h'(0).

b. Prouver que pour tout 0t ≥ , 3

0 ( )6t

h t≤ ≤ (1). Pour cela, on établira d’abord que 0 ''( )h t t≤ ≤ et on en

déduira un encadrement de h’ et de h.

c. Déduire de la relation (1) un encadrement de 21 te t

t

−− −. Prouver finalement que g est dérivable en 0 et

donner la valeur de g’(0).

4. Construire la courbe représentative C de g, le plan étant rapporté à un repère orthonormal ( ); ,O i j

.

Exercice 8. 303 Equation diff + fonction+intégrale

Partie A

On se propose de résoudre sur ℝ l’équation différentielle (E) : y’ – 2y = 2(e2x – 1).

1. Montrer que la fonction h définie sur IR par : 2( ) 2 1xh x xe= + est solution de l’équation différentielle (E).

2. On pose : y = z + h. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle : z’ – 2z = 0.

Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de (E).

3. Démontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0. Elle sera appelée g et étudiée dans la partie B.

Partie B

On considère la fonction g définie sur ℝ par : 2( ) (2 1) 1xg x x e= − + .

1. Déterminer le sens de variation de g. Présenter son tableau de variation. En déduire le signe de g sur ℝ .

2. Résoudre dans ℝ l’inéquation : 1 ( ) 0g x− ≥ .

3. Calculer l’intégrale : 12

0(1 ( ))g x dx−∫ .

4. Interpréter graphiquement les résultats des questions 2. et 3.

Partie C

On considère la fonction numérique f définie pour tout x réel par : 2 1

( )xe

f xx

−= .

1. a. Calculer les limites de f en −∞ , en 0 et en +∞ .

b. En déduire que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote que l’on précisera.

2. Déterminer le sens de variation de f et donner son tableau de variation (on pourra utiliser la partie B).

3. Soit (C) la courbe représentative de f dans le repère orthogonal ( ; , )O i j

avec pour unités 4 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.

Après avoir recopié et complété le tableau ci-dessous avec des valeurs approchées arrondies à 10−2 près, construire la courbe (C) pour les valeurs de x comprises entre – 2 et 1.

205

x –2 –1,5 –1 –0,5 –0,2 –0,1 –0,05 0,05 0,1 0,2 0,5 1

f(x)

4. Soit f1 la fonction définie par 1

1

( ) ( ) si 0(0) 2

f x f x x

f

= ≠ =

.

Cette fonction est définie et continue sur ℝ . En supposant que f1 est dérivable en 0, expliquer comment on peut déterminer graphiquement une valeur approchée du nombre dérivé 1(0)f ′ .

Faire cette lecture graphique. Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?

Partie D

On se propose de trouver un encadrement de l’intégrale 21

2

1xeJ dx

x

−

−

−= ∫ .

Montrer que pour tout x de [–2 ; –1] on a : 20,86 1 0,99xe

x x x

−− ≤ ≤ − .

En déduire un encadrement de J d’amplitude 0,1.

Exercice 8. 304 Sol équation+vol de révolution, Antilles, sept 2004

5 points

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par f (x) = xe−x+2.

Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.

Partie A

1. Dresser le tableau des variations de f sur [0 ; +∞ [ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative.

2. a. Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction f et de la fonction logarithme népérien ; on notera L cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l’équation f(x) = ln(x)

sur [1 ; +∞ [.

b. Montrer que la fonction g définie sur ]0 ; +∞ [ par : g(x) = ln(x)− f(x) est strictement croissante sur [1 ; +∞ [.

En déduire que l’équation f (x) = ln(x) admet une unique solution α sur [1 ; +∞[.

c. Déterminer à 10−3 près une valeur approchée de α .

Partie B

1. À l’aide d’une double intégration par parties déterminer 3

2 2

0

xI x e dx= ∫ .

2. On définit le solide S obtenu par révolution autour de l’axe (Ox) de la courbe d’équation y = f(x) pour 0 3x≤ ≤ dans le plan (xOy) (repère orthonormal d’unité 4 cm).

On rappelle que le volume V du solide est donné en unités de volume par : ( )3 2

0( )V f x dxπ= ∫ .

a. Exprimer V en fonction de I.

b. Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm3 près du volume du solide.

Exercice 8. 305 Solution d’équa diff, Polynésie, juin 2004

1. Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction fk définie sur ℝ par : 1

( )1

x

k x

kef x x

ke

−= ++

.

a. Justifier que, pour rout réel k positif ou nul, la fonction fk est solution de l’équation différentielle :

(E) : 2y ’ = (y − x)2 +1.

b. En déduire le sens de variations de fk sur ℝ .

206

2. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthonormal ( ; , )O i j

. Sur l’annexe, on a représenté la droite D d’équation y = x − 1, la droite D’ d’équation y = x+1 et plusieurs courbes Ck correspondant à des valeurs particulières de k.

Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe C’ passant par le point A de coordonnées (1 ; 1).

3. On remarque que, pour tout x réel, on a : 2

( ) 11

k xf x x

ke= − +

+ (1) et

2( ) 1

1

x

k x

kef x x

ke= + −

+ (2).

En déduire pour tout k strictement positif :

- la position de la courbe Ck par rapport aux droites D et D’ ;

- les asymptotes de la courbe Ck.

4. Cas particulier : k = 1.

a. Justifier que f1 est impaire.

b. Soit la fonction F définie sur ℝ par : 10

( ) ( )x

F x f t dt= ∫ . Interpréter graphiquement le réel F(x) dans les

deux cas : x >0 et x < 0. Déterminer alors la parité de F à l’aide d’une interprétation graphique.

c. Déterminer les variations de F sur ℝ .

d. En utilisant l’égalité (2), calculer explicitement F(x). Annexe (vous pouvez agrandir…)

207

Exercice 8. 306 Am. du Sud, décembre 2002

10 points

A. Étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur ℝ par ( ) ( )1 1xg x e x= − + .

1. Étudier le sens de variation de g.

2. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [ 1,27 ; 1,28 ] ; on note a cette solution.

3. Déterminer le signe de g(x) sur ] −∞ ; 0[. Justifier que g(x) > 0 sur [0 ; a[ et g(x) < 0 sur ]a ; +∞ [.

B. Étude de la fonction f définie sur ℝ par : ( ) 21x

xf x

e= +

+.

On désigne par Cf la courbe représentative de f dans un repère orthogonal ( ; , )O i j

; unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses et 2 cm sur l’axe des ordonnées.

1. Déterminer la limite de f en +∞ et interpréter graphiquement ce résultat.

2. a. Déterminer la limite de f en −∞ .

b. Démontrer que la droite (d) d’équation y = x + 2 est une asymptote pour Cf.

c. Étudier la position de Cf par rapport à (d).

3. a. Montrer que la fonction dérivée de f a même signe que la fonction g étudiée dans la partie A. b. Montrer qu’il existe deux entiers p et q tels que f(a) = pa + q.

c. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

4. Tracer la courbe Cf dans le repère avec ses asymptotes et sa tangente au point d’abscisse a.

C. Encadrements d’aires Pour tout entier naturel n, tel que n ≥ 2 , on note Dn l’ensemble des points M(x, y) du plan, dont les coordonnées vérifient : 2 ≤ x ≤ n et 2 ≤ y ≤ f (x) et on appelle Anson aire, exprimée en unités d’aire.

1. Faire apparaître D5 sur la figure.

2. Démontrer que pour tout x , tel que x ≥ 2, on a : 78 1

x x

x

xxe xe

e

− −≤ ≤+

.

3. On pose 2

nx

nI xe dx−= ∫ . À l’aide d’une intégration par parties, calculer In en fonction de n.

4. Écrire un encadrement de An en fonction de In.

5. On admet que An a une limite lorsque n tend vers +∞ . Déterminer la limite de In lorsque n tend vers +∞ .

Que peut-on en déduire pour la limite de An lorsque n tend vers +∞ ? Donner une interprétation géométrique de ce dernier résultat.

Exercice 8. 307 Tangente hyperbolique, Polynésie, sept 2002


, toutes les courbes demandées seront tracées dans ce repère (unité graphique 4 cm).

Partie A - Étude d’une fonction

f est la fonction définie sur ℝ par 2

2

1( )

1

x

x

ef x

e

−=+

, Γ est sa courbe représentative dans le repère ( ; , )O i j

.

1. Étudier la parité de f .

2. Montrer que pour tout x appartenant ℝ , − 1 < f (x) < 1.

3. Quelles sont les limites de f en −∞ et +∞ ? En déduire les équations des asymptotes éventuelles à Γ .

4. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variations ; en déduire le signe de f (x) sur ℝ .

208

5. a. α étant un nombre appartenant à ]− 1 ; 1[, montrer que l’équation f (x) = α admet une solution unique x0. Exprimer alors x0 en fonction de α .

b. Pour 12

α = , donner une valeur approchée de x0 à 10− 2 près.

Partie B - Tangentes à la courbe

1. Déterminer une équation de la tangente T1 à Γ au point d’abscisse 0.

2. Montrer que pour tout nombre t réel, f ’(t) = 1− [f(t)]2. En déduire un encadrement de f ’(t).

3. Pour x positif ou nul, déterminer un encadrement de 0

'( )x

f t dt∫ , puis justifier que 0 ≤ f (x) ≤ x. Quelles

sont les positions relatives de Γ et T1 ?

4. Déterminer une équation de la tangente T2 à Γ au point A d’ordonnée 12.

5. Montrer que le point B de la courbe Γ , d’ordonnée positive, où le coefficient directeur de la tangente est

égal à 12 a pour coordonnées : ( )( )ln 1 2 ;1+ .

6. Tracer Γ , T1 et T2. On placera les points A et B.

Partie C - Calcul d’intégrales

1. Montrer que ( )x x

x x

e ef x

e e

−

−−=+

; en déduire une primitive de f.

2. Quelle est l’aire en cm2 de la surface comprise entre Γ , la droite d’équation y = x et les droites d’équations x =0 et x = 1 ? Hachurer cette surface sur la représentation graphique.

3. Calculer [ ]1 2

0( )f x dx∫ .

4. En utilisant une intégration par parties, montrer que : [ ]( )2 21 220

1 11 ( ) ln

21

e ef x dx

ee

− +− = − + ∫ . En

déduire [ ]1 2

0( )x f x dx∫ .

Exercice 8. 308 Etude de fonction

On se propose d’étudier la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par : 1

1( ) ( 1)exp( ) ( 1) xf x x x e

x

−= + − = + si x > 0 et f (0) = 0.

On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( ; , )O i j

d’unité 4cm.

1. Variations de f

a. Montrer que la dérivée f’ de f sur ]0 ; +∞ [ est de la forme 1

exp( ) ( )Q xx

− × où Q est une fonction

rationnelle.

b. Déterminer la limite de (1 ) tt e−+ lorsque t tend vers +∞ . En déduire que f est dérivable en 0 et déterminer '(0)f .

c. Etudier le sens de variation de f.

d. Déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ .

e. Démontrer que l’équation ( ) 2f x = , [ [0 ;x∈ + ∞ , admet une unique solution α dont on donnera un

encadrement à 10−1 près.

2. Etude d’une fonction auxiliaire

209

Soit ϕ la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par : ( ) 1 (1 ) tt t eϕ −= − + .

a. Calculer la dérivée de ϕ .

b. Prouver que, pour tout réel t positif ou nul, 0 '( )t tϕ≤ ≤ .

c. En déduire que, pour tout réel t positif ou nul, ²

0 ( )2t

tϕ≤ ≤ (1)

3. Etude de f au voisinage de +∞

a. A l’aide de l’encadrement (1) , établir que, pour tout réel x strictement positif : 1

0 ( )2

x f xx

≤ − ≤ .

b. En déduire que (C) admet une asymptote (∆ ) au voisinage de +∞ et préciser la position de (C) par rapport à (∆ ).

4. Etude de la tangente à (C) en un point

Soit a un élément de ]0 ; +∞ [ , et (Ta) la tangente à (C) au point d’abscisse a.

a. Déterminer une équation cartésienne de (Ta).

b. Montrer que (Ta) coupe l’axe des abscisses (0 ; )i→

au point d’abscisse 1 ²

a

a a+ +.

c. Construire (C) et (∆ ). On placera le point de (C) d’ordonnée 2 et on précisera les tangentes à (C) aux

points d’abscisses 13 , 1 et 3.

Exercice 8. 309 Equation exponentielle+ROC+prise initiative

Le but des deux premières questions de cet exercice est l'étude, sur ℝ , de l'équation (E) : 3 4 5x x x+ = .

1. Démontrer que (E) est équivalente à : 3 4

15 5

x x + =

.

2. On considère la fonction f définie sur ℝ par : 3 4

( )5 5

x x

f x = +

.

a. Question de cours

Pour tout réel a strictement positif, on note af la fonction (exponentielle de base a) définie pour tout réel x

par : ln( ) x x aaf x a e= = .

Démontrer que af est strictement croissante lorsque a est élément de ]1 ; +∞ [, strictement décroissante sur ℝ lorsque a est élément de ]0 ; 1[ et est constante lorsque a est égal à 1.

Étudier la limite de af en +∞ , selon les valeurs de a.

b. Étudier le sens de variations de f.

c. Étudier la limite de f en +∞ .

d. En déduire qu'il existe un unique x0 réel positif ou nul tel que 0( ) 1f x = . Donner la valeur de x0.

3. Questions avec « prise d'initiative »

a. Résoudre, sur ℝ , l'équation : 3 4 5 6x x x x+ + = .

b. L'équation 3 4 5 6 7x x x x x+ + + = admet-elle une solution entière (x solution est un nombre entier) ?

210

Exercice 8. 310 Expo + ln

Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire g

Soit g la fonction numérique définie sur R par ( ) ln(1 2 )1 2

xx

x

eg x e

e= − +

+,

1. Calculer g’(x) et montrer que ce nombre est strictement négatif pour tout x de ℝ .

2. Déterminer la limite de g en −∞ .

3. Dresser le tableau de variation de la fonction g. En déduire le signe de g(x).

Partie B : Étude de la fonction f

Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par 2( ) ln(1 2 )x xf x e e−= + .

1. Calculer f’(x) et montrer que pour tout réel x, 2'( ) 2 ( )xf x e g x−= .

2. En posant 1 2 xX e= + , montrer que4 ln

( )( 1)²

X Xf x

X X=

−. En déduire la limite de f en +∞

3. En posant 2 xh e= , calculer la limite de f en −∞ .

4. Dresser le tableau de variation de f.

5. On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal ( ; , )O i j

(unités graphiques : 4 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées).

a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.

b. Tracez la courbe C et la tangente T.

Exercice 8. 311 Recherche d’une fonction + aire +suite


. L’unité graphique est 4 cm. On donne sur la feuille

annexe (à rendre avec la copie) la courbe (C) représentative d’une fonction f définie sur R par :

2( ) x xf x ae be cx− −= + + ,

expression dans laquelle a, b et c sont des constantes réelles, indépendantes de x, à déterminer.

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2 -1 0 1 2 3

x

y

211

A . Détermination de f

1. La courbe (C) est tangente à la droite (T) d’équation 1

22

y x= − au point I1

(0, )2

− . En déduire une

expression de a et b en fonction de c.

2. La courbe (C) a pour asymptote en +∞ la droite D d’équation y = 2x. En déduire, pour tout réel x,

l’égalité suivante : 21( ) 2

2x xf x e e x− −= − + .

B. Étude de f

1. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞ .

2. Montrer que pour tout x de R l’égalité suivante est vérifiée : '( ) ( 1)(2 )x xf x e e− −= + − .

En déduire les variations de f. Quelles sont les coordonnées du point A de la courbe correspondant au minimum de f ?

3. Étudier la position de la courbe par rapport à son asymptote D.

4. a. Démontrer que f s’annule une et une seule fois sur [0 ; 2 ] pour une valeur notée α .

b. Déterminer l’abscisse t du point d’intersection de (T) et de (Ox). Calculer f(t) et en donner une valeur approchée à 10−3 près. En déduire que α est inférieur à t.

c. A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de α d’amplitude 10−2 (on précisera la méthode utilisée).

5. Compléter la figure en annexe en traçant l’asymptote D, la tangente (T) et en mettant en évidence t et α .

C. Calcul d’aire

On note g la fonction définie sur ℝ par ( ) 2 ( )g x x f x= − .

Soit G une fonction telle que pour tout x de ℝ , '( ) ( )G x g x= .

On pose pour tout entier naturel : 16[ ( ) ( ln2)]na G n G= − − .

1. Calculer an en fonction de n. Que représente na ?

2. Déterminer la limite de la suite ( )n na ∈ℕ .

3. a. Démontrer, pour tout n , l’inégalité suivante : 16(1 )nna e−≥ − .

b. En déduire une valeur de n vérifiant l’inéquation suivante : 15,99na ≥ .

c. Est-ce la plus petite valeur de n solution de l’inéquation ?

Exercice 8. 312 Groupe 1, juin 1996

L’objet de ce problème est :

* d’étudier la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par 1( )

x

x

ef x

e x

−=−

.

* de justifier rigoureusement le tracé de sa courbe C dans le plan muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j

d’unité graphique 5cm.

* de détailler enfin certaines propriétés d’une suite de nombres réels construite à partir de f.

Partie A : Questions préliminaires

1. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par ( ) 1xg x e x= − − .

a. Montrer que pour tout x>0 on a g’(x)>0. En déduire les variations de g sur [0 ; +∞ [.

b. Calculer g(0). En déduire que pour tout x>0 on a g(x)>0.

2. Soit h la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par ( ) (2 ) 1xh x x e= − − .

a. Etudier la fonction h et dresser son tableau de variations.

212

b. Montrer que l’équation h(x) = 0 admet une solution et une seule α sur [1 ;2].

c. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

d. Préciser suivant les valeurs du réel positif x le signe de h(x).

Partie B : Etude de la fonction f et tracé de la courbe C 1. a. Justifier que f est définie en tout point de [0 ; +∞ [.

b. Montrer que pour tout x ≠ 0 on peut écrire 1

( )1

x

x

ef x

xe

−

−−=

−. En déduire lim ( )

xf x

→+∞ et interpréter

relativement à C le résultat obtenu.

c. Montrer que 2( )

'( )( )x

h xf x

e x=

−.

d. Etudier la fonction f et dresser son tableau de variation.

2. a. Montrer que pour tout x (1 ) ( )

( )x

x g xf x x

e x

−− =

−.

b. En déduire suivant les valeurs du réel positif x la position de la courbe C par rapport à la droite ∆ d’équation y = x.

3. a. Préciser la tangente à C en son point d’abscisse 0.

b. Tracer C en faisant figurer sur le dessin la droite ∆ d’équation y = 1 ainsi que tous les éléments obtenus au cours de l’étude.

Partie C : Etude de la suite (un) définie par 0( ( ) 1)

n

nu f x dx= −∫ .

1. Déterminer une primitive de la fonction f. En déduire l’expression de un en fonction de n.

2. Interpréter géométriquement le nombre réel –u1.

3. Déterminer lim nn

u→+∞

(on pourra utiliser l’égalité ln( )nn e= )

4. Interpréter géométriquement le nombre réel un − u1 puis le résultat obtenu dans la question précédente.

Exercice 8. 313 Acc finis, N. Calédonie, 1993

On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par 1( )

2xf x xe x−= − .

1. a. Calculer la dérivée de f ainsi que lim ( )x

f x→+∞

.

b. On appelle g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par 1( ) (1 )

2xg x x e−= − − .

Etudier le sens de variation de g et montrer que l’équation ( ) 0g x = a une unique solution α sur [0 ; 0,5]. En déduire l’étude du signe de g(x) sur [0 ; +∞[et les variations de f.

2. On appelle h la fonction définie sur l’intervalle I = [0 ; 0,5] par 1

( ) 12

xh x e= − .

a. Montrer que α est l’unique solution sur I de l’équation h(x) = x. b. Etudier les variations de h, en déduire que pour tout élément x de I, h(x) appartient à I.

c. Prouver que pour tout élément x de I on a –0,83 ≤ h’(x) ≤ 0. En déduire que pour tout x de I on a ( ) 0,83h x xα α− ≤ − .

3. On définit une suite ( )nu par 0

1

0( )n n

u

u h u+

= =

.

a. Montrer que pour tout entier n, un appartient à I, et que 1 0,83n nu uα α+ − ≤ − .

213

b. En déduire que pour tout entier n, 1(0,83)

2n

nu α− ≤ .

c. Déterminer la limite de la suite (un).

4. Préciser un entier p tel que l’on ait 210pu α −− ≤ . Calculer up à l’aide de votre calculatrice (on en

donnera la partie entière et deux décimales). En déduire un encadrement de α.

Montrer que 2

( )2(1 )

fαα

α=

−, et donner un encadrement de f (α).

Exercice 8. 314 Bac S, 1997

Partie A

Soit ϕ la fonction définie sur ℝ par ( ) 1xx e xϕ = + + .

1. Etudier le sens de variation de ϕ et ses limites en −∞ et +∞ .

2. Montrer que l’équation ( ) 0xϕ = admet une solution unique a sur [−2 ; −1] et que l’on a 1,28 1,27a− < < − .

3. Etudier le signe de ( )xϕ sur ℝ .

Partie B

Soit f la fonction définie sur ℝ par ( )1

x

x

xef x

e=

+ et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un

repère orthonormal ( ; , )O i j

d’unité graphique 4 cm.

1. Montrer que 2( )

'( )( 1)

x

x

e xf x

e

ϕ=+

. En déduire le sens de variation de f.

2. Montrer que ( ) 1f a a= + et en déduire un encadrement de f(a).

3. Soit T la tangente à C au point d’abscisse 0. Donner une équation de T et étudier la position de C par rapport à T.

4. Chercher les limites de f en −∞ et +∞ . Démontrer que la droite D d’équation y = x est asymptote à C et étudier la position de C par rapport à D.

5. Faire le tableau de variation de f.

6. Tracer sur un même graphique les droites T, D et la courbe C. La figure devra faire apparaître les points de d’abscisse comprise entre –2 et 4.

Exercice 8. 315 Exponentielle de base quelconque

1. Résoudre les équations et inéquations suivantes :

a. 2 12 3x x+= b. 2 5x

= c. 15 3x− ≤ d. 17 6x

xx+ ≤

2. Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes et calculer leur dérivée :

a. f définie par ln( ) xf x x= b. g définie par ( ) (ln )xg x x= .

Exercice 8. 316 Equa diff+cosh, Centres étrangers, juin 2001

Les objectifs du problème sont de déterminer la solution d'une équation différentielle (partie A), d'étudier cette solution (partie B) et de la retrouver dans un contexte différent (partie C).

Partie A

On appelle (E) l'équation différentielle " 0y y− = , où y est une fonction définie et deux fois dérivable sur l'ensemble ℝ des nombres réels.

1. Déterminer les réels r tels que la fonction h définie par ( ) rxh x e= soit solution de (E).

214

2. Vérifier que les fonctions ϕ définies par ( ) x xx e eϕ α β −= + , où α et β sont deux nombres réels, sont des solutions de (E). On admettra qu'on obtient ainsi toutes les solutions de (E).

3. Déterminer la solution particulière de (E) dont la courbe passe par le point de coordonnées 3

ln 2 ;4

et

admet en ce point une tangente de coefficient directeur 54.

Partie B

On appelle f la fonction définie sur l'ensemble ℝ des nombres réels par 1

( ) ( )2

x xf x e e−= − . On désigne par

C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal ( ; , )O i j

.

1. Soit µ un réel. Montrer que pour tout réel x, ( )f x µ= équivaut à 2 2 1 0x xe eµ− − = . En déduire que l'équation ( )f x µ= a une unique solution dans ℝ et déterminer sa valeur en fonction de µ .

2. a. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞ .

b. Calculer f ' (x) pour tout nombre réel x et en déduire le sens de variation de f sur ℝ .

3. a. Déterminer une équation de la tangente T à C en son point d'abscisse 0.

b. En étudiant le sens de variation de la fonction d définie sur ℝ par ( ) ( )d x f x x= − , préciser la position de T par rapport à C.

c. Tracer T et C (unité graphique 2cm).

4. Soit D la partie représentant sur le graphique l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) telles que 0 1, ( )x x y f x≤ ≤ ≤ ≤ . Hachurer le domaine D, calculer en cm2 l'aire de D.

Partie C On cherche à déterminer les fonctions Φ dérivables sur l'ensemble ℝ des nombres réels, telles que pour

tout réel x : 0

( ) ( ) ( )x

x x t t dt xΦ − − Φ =∫ (H).

1. On suppose qu'il existe une telle fonction Φ .

a. Justifier que pour tout nombre réel x, 0 0

( ) ( ) ( )x x

x x x t dt t t dtΦ = + Φ − Φ∫ ∫ . Calculer (0)Φ .

b. Démontrer que pour tout nombre réel x, 0

'( ) 1 ( )x

x t dtΦ = + Φ∫ . Calculer '(0)Φ .

c. Vérifier que Φ est une solution de l'équation différentielle (E) de la partie A. Déterminer laquelle, parmi toutes les solutions explicitées dans la question A. 2.

2. a. A l'aide d'une intégration par parties, calculer 0

( )x

t tt e e dt−−∫ .

b. Démontrer que la fonction trouvée à la question 1.c. vérifie bien la relation (H).

Exercice 8. 317 Tangentes communes à ln et exp, 1996

L'objectif est de déterminer les droites tangentes à la fois à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien et à celle de la fonction exponentielle. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j

d'unité graphique 1 cm.

On note :

Γ et C les courbes d'équations respectives xy e= et lny x= ;

215

Ta la tangente à la courbe Γ en son point A d'abscisse a, a étant un nombre réel.

Dλ la tangente à C en son point K d'abscisse λ , λ étant un nombre réel strictement positif.

Les deux parties sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A Dans cette partie on recherche des tangentes aux courbes C et Γ qui sont parallèles ; puis à quelle condition une droite tangente à Γ est également tangente à C.

1. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite Ta. Déterminer de même une équation cartésienne de la droite Dλ .

b. Déterminer λ en fonction de a pour que les droites Ta et Dλ soient parallèles.

On notera b la valeur de λ ainsi obtenue, B le point de la courbe C d'abscisse b et Db la tangente correspondante.

2. Montrer que les droites Ta et Db sont confondues si et seulement si : ab e−= et ( 1) 1aa e a−+ = − .

Partie B

Dans cette partie, on se propose de déterminer les solutions de l'équation : 11

x xe

x− −=

+ (1).

Pour cela, on considère la fonction f définie pour tout x différent de –1 par 1

( )1

xxf x e

x

−=+

.

1. a. Montrer que ( ) 1f x = si et seulement si 11

x xe

x− −=

+.

b. Etudier les variations de f sur [0 ; +∞ [ et la limite de f en +∞ .

c. Montrer que l'équation ( ) 1f x = admet dans [0 ; +∞ [ une solution unique µ dont on donnera un encadrement à 10−1 près.

2. a. Pour tout nombre réel x différent de 1 et –1, calculer le produit ( ) ( )f x f x× − .

b. Déduire des questions précédentes que l'équation (1) admet deux solutions opposées.

c. Déterminer les tangentes communes aux courbes C et Γ.

3. Tracer dans le repère orthonormal ( , , )O i j

les courbes C et Γ . On rappelle que ces courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y x= . Tracer également les tangentes communes Tµ et

T µ− . On prendra pour µ la valeur approchée 1,55.

4. On appelle A le point de contact de Tµ et Γ , B le point de contact de Tµ et C, H le point de contact de

T µ− et Γ , K le point de contact de T µ− et C. Montrer que ces points ont pour coordonnées 1

,1

Aµµµ

+ −

,

1,

1B

µ µµ

− − + ,

1,

1H

µµµ

−− + ,

1,

1K

µ µµ

+ −

. Démontrer que ABHK est un trapèze isocèle.

Exercice 8. 318 Exp et suites, La Réunion, juin 2004

4 points

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par 22 1( ) 1 xf x x e −= − .

Sa courbe représentative C et son asymptote ∆ , d’équation y = 1, sont tracées en annexe, à rendre avec la copie. Son tableau de variations est page suivante.

A -Lecture graphique 1. k est un nombre réel donné. En utilisant la représentation graphique, préciser en fonction de k le nombre de solutions dans l’intervalle [0 ; +∞ [ de l’équation f(x) = k.

216

2. n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’équation 1

( )f xn

= admet

deux solutions distinctes.

B - Définition et étude de deux suites

1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2.Montrer que l’équation 1

( )f xn

= admet deux solutions un et vn

respectivement comprises dans les intervalles [0 ; 1] et [1 ; +∞ [.

2. Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses les réels un et wn pour n appartenant à l’ensemble 2 ; 3 ;4.

3. Déterminer le sens de variation des suites (un) et (vn).

4. Montrer que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite. Procéder de même pour la suite (vn). En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

Annexe : courbe de l’exercice 1.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x

y

Exercice 8. 319 Exp et suites, N. Calédonie, 1996,

Partie A

On considère la fonction f définie sur ℝ par 2( ) (1 2 ) xf x x e= − .

1. Etudier les limites de f en +∞ et en −∞ .

2. Calculer '( )f x , étudier les variations de f, dresser son tableau de variation.

x

f

0

0

1 +∞

f’ + −

0

1 1

217

3. Tracer la courbe représentative C de f dans un repère orthonormal d'unité 2cm.

Partie B

La fonction f est toujours celle définie dans la partie A. On note (1) 'f f= , (2) ''f f= , (3)f , … ( )nf les dérivées successives de f, n désignant un entier naturel non nul.

1. Calculer (2)f et (3)f .

2. Montrer par récurrence sur l'entier non nul n que ( ) 2( ) 2 (1 2 )n n xf x n x e= − − .

3. Pour tout entier non nul n, la courbe de ( )nf admet une tangente horizontale en un point nM .

a. Calculer les coordonnées nx et ny de nM .

b. Vérifier que la suite ( )nx est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison. Quelle est la limite de ( )nx ?

c. Vérifier que la suite ( )ny est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. Quelle est la limite de ( )ny ?

Exercice 8. 320 Bac S, 1995, plus classique, tu meurs (Corneille)

Dans ce problème, on étudie les fonctions f et g définies sur ℝ par : ( ) xf x xe−= et [ ]2( ) ( ) ( )g x f x f x= + .

Partie A : étude de f 1. Justifier que f est dérivable sur ℝ , calculer sa dérivée f’, étudier le sens de variation de f.

2. Déterminer les limites de f en −∞ et +∞ .

3. Donner le tableau de variation de f.

4. Montrer que l’équation 1

( )2

f x = − admet une solution α unique sur ℝ , donner un encadrement de α à

10−2 près.

Partie B : Etude de g

1. Justifier que g est dérivable sur ℝ et que l’on a pour tout x : [ ]'( ) '( ) 1 2 ( )g x f x f x= + .

2. Déterminer les limites de g en −∞ et +∞ .

3. Donner la tableau de variation de g (on calculera la valeur exacte de g(α ) ).

4. a. Etablir que pour tout réel x, on a : ( ) (1 )x x xg x x xe xe e− −− = + − .

b. Montrer que pour tout réel x, on a : 1 1x xxe x e−+ ≤ + ≤ .

c. Préciser la position de la courbe de g par rapport à sa tangente à l’origine.

Exercice 8. 321 Exp et radical

On appelle f la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par 1

( )xe

f xx

− −= si 0x ≠ , et (0) 0f = .

1. Prouver que 0

1lim 1

t

t

e

t

−

→

− = −

2. En déduire la continuité de f en 0.

3. Etudier le signe de f(x).

4. Etudier la limite de f en +∞ .

5. Montrer que l’on a pour tout 0x > : 1 2

'( )2

x xe xef x

x x

− −− −= .

6. Etudier les variations de f à l’aide d’une fonction auxiliaire.

7. Etudier la dérivabilité de f en 0 (on sera amené à utiliser la question 1)

218

Exercice 8. 322 Exp par morceaux, Bac E, Rennes, 1976

On appelle f la fonction définie sur ℝ par :

1

( ) si 0(0) 0

( ) si 0

x

x

f x xe x

f

f x xe x−

= <

= = >

.

1. Etudier les limites de f en −∞ et +∞ .

2. Etudier la continuité de f en 0.

3. Etudier la dérivabilité de f en 0.

4. Etudier les variations de f.

5. Montrer que la droite d’équation 1y x= + est asymptote à la courbe de f (on sera amené à poser 1)xt

= .

6. Tracer la courbe de f dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité 3 cm.

Exercice 8. 323 Un problème pas très marrant

Pour chaque entier naturel n, on définit sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ la fonction fn par 1

( ) lnx

ne

f x n xx

−= + .

Partie A : étude du cas particulier n = 0.

f0 est donc définie sur ]0 ; +∞ [ par 01

( )xe

f xx

−= .

1. Justifier, pour tout réel u, l’inégalité 1ue u≥ + . En déduire que pour tout réel x, 1 0xe x− + − ≥ , puis que, pour tout réel x, 1 ( 1) 0xx e+ − ≥ .

2. Déterminer les limites de f0 en 0 et en +∞ .

3. Montrer que, pour tout réel x appartenant à ]0 ; +∞ [, la dérivée de f0 est donnée par '0 2

( 1) 1( )

xe xf x

x

− += .

En déduire le sens de variation de f0.

4. Représenter la courbe C0 de f0 dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

Partie B : étude de la famille de fonctions f n pour 1n ≥ .

On appelle Cn la courbe représentative de fn dans le repère précédent.

1. Déterminer le sens de variation de fn sur l’intervalle ]0 ; +∞ [.

2. Déterminer les limites de fn en 0 et en +∞ . En déduire que Cn possède une asymptote que l’on précisera.

3. Etudier les positions relatives des courbes Cn et Cn+1.

4. Montrer que toutes les courbes Cn passent par un même point B dont on précisera les coordonnées.

5. Pour tout entier naturel non nul n, montrer qu’il existe un unique réel an appartenant à ]0 ; 1[ tel que ( ) 0n nf a = .

6. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 1( ) ln( )n n nf a a+ = . En déduire que 1n na a +≤ , puis que la suite (an) est convergente.

7. a. En utilisant la partie A, montrer que pour tout réel x appartenant à ]0 ; 1], 1

1xe

ex

− ≤ − .

b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul n, 1

ln( )ne

an

−≥ , puis que 1 e

nna e

−

≥ .

c. En déduire la limite de la suite (an).

8. Construire sur le graphique précédent les courbes C1 et C2.

219

9 . FONCTION LOGARITHMES EXERCICES

Exercice 9. 324 Logarithme + suite, Polynésie, nov 2004

9 points

La courbe C donné ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par : ln

( ) 1x

f x xx

= + − .

1. a. Montrer que f est dérivable et que, pour tout x strictement positif, f(x) est du signe de

( )( ) 2 1 lnN x x x x = − − +

.

b. Calculer N(1) et déterminer le signe de N(x) en distinguant les cas 0 1x< < et 1x > .

c. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞ [ et les coordonnées du point de C d’ordonnée maximale.

2. On note ( )A α l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan grisée sur la figure, où α désigne un réel de ]0 ; 1[.

a. Exprimer ( )A α en fonction de α (on pourra utiliser une intégration par parties).

b. Calculer la limite de ( )A α lorsque α tend vers 0. Donner une interprétation de cette limite.

3. On définit une suite ( )n nu ∈ℕ par son premier terme 0u élément de [1 ; 2] et :

pour tout entier naturel n, 1ln

1nn

n

uu

u+ = + .

a. Démontrer, pour tout réel x élément de [1 ; 2], la double inégalité : ln

0 1x

x≤ ≤ .

b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, nu appartient à [1 ; 2].

4. En remarquant que, pour tout entier naturel n, 1 ( )n n nu f u u+ = + , déterminer le sens de variation de la suite ( )nu .

-4

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

x

y

α

C

220

5. a. Montrer que la suite ( )n nu ∈ℕ est convergente. On note l sa limite.

b. Déterminer la valeur exacte de l.

Exercice 9. 325 Logarithme, Polynésie, sept 2003

10 points

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par : ( )2

(0) 11

( ) 3 2 ln si 02

f

f x x x x

= = − >

.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( ; , )O i j

.

Partie A

1. a. Calculer 0

lim ( )x

f x→

. Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

b. Déterminer la limite de f en +∞ .

2. a. Étudier la dérivabilité de f en 0.

b. Montrer que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞ [ et calculer f ’(x) pour x > 0.

3. Étudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞ [, puis dresser son tableau de variations.

4. Montrer que l’équation f(x) = 0 possède une solution unique α sur l’intervalle [0 ; +∞ [. Déterminer une valeur approchée décimale de α à 10− 2 près.

Partie B

1. Calculer une équation de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse 1x = .

2. On considère la fonction g : 1

( ) 22

x f x x− −֏ définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [.

a. Calculer g ’(x), puis g ’’(x) où g ’ et g ’’ désignent respectivement les fonctions dérivées première et seconde de g. Étudier le sens de variations de g ’. En déduire le signe de g ’(x) sur ]0 ; +∞ [.

b. Étudier le sens de variations de g. En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D.

3. Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).

Partie C

1. n est un entier naturel non nul. Exprimer en fonction de n le réel 1

21 lnn

n

I x xdx= ∫ (on pourra utiliser

une intégration par parties).

2. En déduire en fonction de l’entier n, l’aire An exprimée en cm2 du domaine plan délimité par la courbe C ,

la tangente D et les deux droites d’équation 1

xn

= et x = 1.

3. Calculer lim nn

A→+∞

et interpréter le résultat obtenu.

Exercice 9. 326 Tangentes, N. Calédonie, mars 2003

10 points

PARTIE I

Sur la figure ci-dessus est tracée dans un repère orthogonal la courbe (C) représentative de la fonction f où f est une fonction définie et dérivable sur *

+ℝ . Les points A, B, C et D sont les points de la courbe (C)

d’abscisses respectives 1, e , e et e e ; de plus, A appartient à l’axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à (C) au point D.

221

1. Dans cette question, on ne demande qu’une observation graphique.

Avec la précision permise par ce graphique :

a. Donner une estimation à 5.10−2 près des coefficients directeurs des tangentes à la courbe (C) aux points A, B, C et D.

b. Préciser combien la courbe (C) admet de tangentes horizontales, de tangentes passant par l’origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l’abscisse du point de contact avec la courbe (C).

c. Choisir le seul tableau pouvant décrire les variations de la fonction dérivée de f . Justifier ce choix.

2. On admet que la fonction dérivée de f est définie sur *+ℝ par

2

1 ln( )

xg x

x

−= .

a. Étudier les variations de g. Cela corrobore-t-il votre choix dans la question 1. c. ?

b. Déterminer les limites de g en 0, puis en +∞ .

c. Calculer g(1), ( )g e e ; puis démontrer que l’équation g(x) = 1 n’a qu’une seule solution. Quelle

observation de la question 1. b. a-t-on démontrée ?

d. Expliquer pourquoi f est définie sur *+ℝ par

21

1 ln( )

x tf x dt

t

−= ∫ . Calculer f (x) à l’aide d’une intégration

par parties.

Partie II

On étudie la fonction f définie sur *+ℝ par

ln( )

xf x

x= .

1. Étudier les variations de f, préciser ses limites en 0 puis en +∞ .

222

2. On cherche à justifier les observations de la question I. 1. concernant les tangentes à la courbe (C) qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur égal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère.

Démontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente vérifie la condition donnée, préciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les résultats démontrés dans la partie I. 2. c. et préciser ces points.

3. Étude de la tangente (T) à la courbe (C) au point D (le point D a pour abscisse e e ).

a. Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à (C) au point D est 3

4

2

x e ey

e

− += .

b. Montrer que le signe de ( ) ( )3 22 ln 4x e x x e e xϕ = + − détermine la position de la courbe (C) par

rapport à cette tangente.

c. La fonction ϕ est définie sur *+ℝ . À partir des variations de ϕ , déterminer la position de la courbe (C)

par

rapport à la tangente (T).

Partie III Calcul d’aires

1. Démontrer que les abscisses des points A, B et C sont les trois premiers termes d’une suite géométrique dont on précisera la raison. Vérifier que l’abscisse de D est le quatrième terme de cette suite.

2. Soit x0 un nombre réel strictement supérieur à 1 et E le point de la courbe (C) d’abscisse x0. On considère les droites dA, dB, dC, dD et dE parallèles à l’axe des ordonnées et passant respectivement par A, B, C, D et E.

On note U1 l’aire de la partie du plan limite par l’axe des abscisses, la courbe (C) et les droites dA et dC ;

U2 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe (C) et les droites dB et dD et

U3 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe (C) et les droites dC et dE.

a. Calculer U1, puisU2.

b. Déterminer x0 pour que U1, U2 et U3 soient les trois premiers termes d’une suite arithmétique. Quelle remarque peut-on faire sur l’abscisse du point E ?

Exercice 9. 327 Logarithme, France, sept 2002

11 points

Partie A

1. Montrer que pour tout x > 0, on a : 2 1 0xe − > .

2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par : 2

1( )

1xg x

e=

−.

a. Déterminer les limites de g en 0 et en −∞ . Interpréter graphiquement les résultats.

b. Calculer g ’(x). Étudier le sens de variation de g puis dresser son tableau de variations.

Partie B

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ dont la courbe représentative C dans un repère orthogonal ( ; , )O i j

est donnée sur la feuille annexe avec sa tangente au point d’abscisse e.

On admet l’égalité suivante : ( )( )2( ) 2 ln lnf x x a x b x c= + + où a, b et c désignent trois réels.

1. Exprimer f ’(x) en fonction de a, b et c.

2. À l’aide des informations données sur le graphique, déterminer les valeurs de 1

'fe

, ( )'f e , ( )'f e .

3. En déduire l’égalité : ( )( )2( ) 2 2 ln 3 ln 2f x x x x= − + pour tout x ∈ ]0 ; +∞ [.

4. Déterminer la limite de f en 0. On pourra poser t = − lnx et vérifier pour tout x ∈ ]0 ; +∞ [ l’égalité :

( )2( ) 2 2 3 2tf t e t t−= + + .

223

5. Déterminer la limite de f en −∞ .

6. Montrer pour tout x ∈ ]0 ; +∞ [ l’égalité : ( ) ( )'( ) 2 ln 1 2 ln 1f x x x= + − .

7. Étudier le signe de f ’(x) et dresser le tableau de variations de f.

Partie C

1. Tracer, dans le repère ( ; , )O i j

de la feuille annexe, la courbe représentative Γ de la fonction g étudiée en partie A.

2. a. Montrer que pour tout x > 0 , on a 2

2( ) 1

1

x

x

eg x

e= −

−.

b. Calculer, et exprimer en unités d’aire, l’aire de la surface délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Γ et

les droites d’équation 14

x = et x = 2.

3. Soit ϕ la fonction définie sur [0,1 ; 0,3] par : ϕ (x) = f(x) − g(x).

a. Montrer que, pour tout x appartenant [0,1 ; 0,3], on a : '( ) 0xϕ > .

b. Montrer que l’équation f(x) = g(x) possède une solution unique α sur [0,1 ; 0,3] et déterminer un encadrement de α d’amplitude 10− 2.

Partie D

1. Montrer que pour tout x > 0, f (x) > 0.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

ee2e

1e

2e

224

2. On définit la fonction h sur ]0 ; +∞ [ par l’expression suivante : h g f= .

a. Déterminer les limites en 0 et en +∞ de h.

b. Déterminer le sens de variation de h sur ]0 ; +∞ [.

c. Montrer que ( ) ( )h g gα α= . Déterminer une valeur approchée de ( )h α à 10− 4 près.

Exercice 9. 328 Logarithme et intégrale, Antilles, sept 2002

12 points

Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par :

( ) ( )

(0) 0(1) 0

( ) ln ln 1 , ]0 ;1[.

f

f

f x x x x

= = = × − ∈

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique : 10 cm).

On admet que 0

lim ( ) 0x

f x→

= et 1

lim ( ) 0x

f x→

= , ainsi que le résultat suivant : pour α > 0, 0

lim ln 0x

x xα→

= .

Partie A - Étude de la fonction f

1. a. Déterminer la limite quand x tend vers 0 de l’expression ( )ln 1 x

x

−.

b. En déduire la limite quand x tend vers 0 de l’expression ( )f x

x ; que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Montrer que pour tout 1 1;

2 2x

∈ − ,

1 12 2

f x f x − = +

. Que peut-on en conclure pour C ?

3. Soit ϕ la fonction définie sur ]0 ; 1[ par : ( ) ( )( ) 1 ln 1 lnx x x x xϕ = − − − .

a. Déterminer '( )xϕ , puis montrer l’égalité 2 1

'( )(1 )x

xx x

ϕ −=−

; en déduire les variations de 'ϕ sur ]0 ; 1[.

b. Montrer que 'ϕ s’annule en deux valeurs a1 et a2 sur ]0 ; 1[ (on ne cherchera pas à calculer ces valeurs). Donner le signe de 'ϕ sur ]0 ; 1[.

c. Déterminer la limite quand x tend vers 0 de ( )xϕ et la limite quand x tend vers 1 de ( )xϕ . Calculer

12

ϕ

. En déduire le signe de ( )xϕ sur ]0 ; 1[.

4. a. Montrer que f ’(x) a même signe que ( )xϕ sur ]0 ; 1[.

b. Donner le tableau de variations de f .

c. Montrer que, pour tout x de ]0 ; 1[, les inégalités suivantes sont vraies : ( ) ( ) ( )20 ln ln 1 ln 2x x< × − ≤ .

d. Tracer C .

Partie B - Encadrement d’une intégrale

Pour 1

0 ;2

t ∈

, on pose : 12

1( ) lnt

I t x xdx= ∫ , 1

222( ) ln

tI t x xdx= ∫ ,

12( ) ( )t

I t f x dx= ∫ .

1. a. À l’aide d’intégrations par parties, montrer que : 2

21

ln 2 1 1( ) ln

8 16 2 4t

I t t t= − − − + ; 3

32

ln 2 1 1( ) ln

24 72 3 9t

I t t t= − − − + .

b. Déterminer les limites de I1(t) et de I2(t) quand t tend vers 0.

2. Soit g et h les fonctions définies sur 1

0 ;2

par : 21( )

2g x x x

= − +

et 21( ) ( )

2h x g x x= − .

225

a. Étudier sur 1

0 ;2

les variations de la fonction ( )ln 1 ( )x x g x− −֏ .

b. En déduire que, pour tout x de 1

0 ;2

, ln(1− x) ≤ g (x).

c. Par un procédé analogue,montrer que pour tout x de 1

0 ;2

, ln(1− x) ≥ h(x).

d. En déduire un encadrement de f (x) sur 1

0 ;2

.

3. a. Montrer que 1 2 1 21

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

I t I t I t I t I t− − ≤ ≤ − − .

b. En supposant que I (t) admet une limite note l quand t tend vers 0, donner un encadrement de l.

Exercice 9. 329 Logarithme et calcul d’aire, Antilles, sept 2001


. On considère la fonction f , définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ par : f (x)=−3−ln x +2(ln x)2. On note (C ) sa courbe représentative.

Partie A - Étude de la fonction f et tracé de la courbe (C)

1. a. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’équation f (x) = 0. (On pourra poser lnx = X).

b. Résoudre dans ]0 ; +∞[ l’inéquation f (x) > 0.

2. a. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞ .

b. Calculer f ’(x).

c. Étudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

3. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe (C ) au point d’abscisse 54e .

4. On se propose d’étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (T ).

Pour cela, on considère la fonction ϕ , définie sur ]0 ; +∞ [ par : 54 41

( ) ( ) 48

x f x e xϕ−

= − −

.

a. Montrer que 544 ln 1

'( ) 4x

x ex

ϕ−−= − puis calculer ''( )xϕ .

b. Étudier le sens de variation de 'ϕ sur ]0 ; +∞ [. En déduire que, pour tout x appartenant à ]0 ; +∞ [, on a '( ) 0xϕ ≤ .

c. Calculer 54eϕ

. Pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[ déterminer le signe de ( )xϕ . En déduire la position

de la courbe (C ) par rapport à la droite (T ).

5. Tracer la courbe (C) et la droite (T). (Unité graphique : 2 cm).

Partie B - Calcul d’une aire

1. Vérifier que la fonction h, définie par ( ) lnh x x x x= − , est une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; +∞ [.

2. On pose 3 / 2

1 1ln

e

eI xdx

−= ∫ et

3 /22

2 1(ln )

e

eI x dx

−= ∫ .

a. Calculer I1.

b. En utilisant une intégration par parties, montrer que 3

122

55

4I e e−= − .

226

c. Calculer 3 /2

1( )

e

ef x dx

−∫ . En déduire l’aire, en unités d’aire, de l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels

que 3

1 2e x e− ≤ ≤ et ( ) 0f x y≤ ≤ .

Exercice 9. 330 Logarithme et exponentielle

On considère la fonction définie sur [0 ; [+ ∞ par ( ) lnxf x e x= − et sa courbe représentative C dans un plan

rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j


1. a. Étudier les variations de la fonction g définie sur ℝ par ( ) 1xg x xe= − .

b. En déduire qu'il existe un réel unique a tel que : 1aae = . Donner un encadrement de a d'amplitude 10−3.

c. Préciser le signe de g(x) selon les valeurs de x.

2. a. Déterminer les limites de f aux bornes de ]0, [+ ∞ .

b. Calculer la fonction dérivée f' de f et étudier son signe sur ]0 ; [+ ∞ en utilisant la question 1. Dresser le tableau des variations de f.

c. Montrer que f admet un minimum m égal à 1a a−+ . Justifier que : 2,32 2,34m≤ ≤ .

3. Donner une équation de la tangente T à C en son point d'abscisse 1. Déterminer le point d'intersection de T et de l'axe des ordonnées.

4. Tracer C et T.

Exercice 9. 331 Logarithme et 2nd degré

On désigne par a un réel de l’intervalle ]0 ; [π et on considère la famille de fonctions numériques fa définies

par ( )2( ) ln 2 cos 1)af x x x a= − + . On appelle Ca la représentation graphique de fa dans un plan muni d’un

repère orthonormé ( ; , )O i j

.

1. Montrez que l’ensemble de définition de fa est ℝ .

2. Déterminez les limites de fa en +∞ et −∞ .

3. Montrez que la droite d’équation x = cos a est axe de symétrie de Ca.

4. a et a’ étant deux réels distincts, montrez que Ca et Ca’ sont sécantes en un unique point que l’on précisera.

5. Calculez ( )af x′ et déduisez-en son sens de variation.

6. Donnez l’allure des courbes Ca .

Exercice 9. 332 Logarithme et valeur absolue

Soit f la fonction définie sur 3D = −ℝ par ( ) ( 1)ln 3f x x x= + − où ln désigne la fonction logarithme

népérien. C est la courbereprésentative de f dans un repère orthonormal ( ); ,O i j

(unité 1 cm).

1. a. Vérifier que si x D∈ alors 1

'( ) ln 33

xf x x

x

+= + −−

.

b. Pour x appartenant à D, calculer f’’(x) où f’’ désigne la dérivée seconde de f. En déduire les variations de f’.

c. Calculer les limites de f’ en −∞ et en 3.

2. a. Montrer que f’ s’annule sur ] [; 3−∞ pour une seule valeur α. Donner un encadrement de α

d’amplitude 0,1. Etudier le signe de f’(x) sur ] [; 3−∞ .

b. Etudier le signe de f’(x) sur ] [3 ; + ∞ et dresser le tableau de variations de f.

2. Etudier les limites de f aux bornes de D. Préciser les asymptotes éventuelles à C.

227

3. Calculer les coordonnées des points d’intersection de C et de l’axe des abcisses.

4. Tracer la courbe C.

Exercice 9. 333 Logarithme et équa diff

Première partie

On considère la fonction numérique f définie sur [ [0 ;∞ par :

2( ) ln si 0

(0) 0

xf x x x

xf

+ = ≠ =

1. a. Montrer que f est continue en 0.

b. f est-elle dérivable en 0 ?

c. On pose 2 avec ( 0)h x

x= > . trouver la limite de f quand x tend vers +∞.

2. a. Pour x > 0 calculer '( ) et ''( )f x f x et vérifier que 24

''( )( 2)

f xx x

= −+

.

b. Etudier le sens de variation de '( )f x et trouver la limite de '( )f x quand x tend vers +∞. En déduire le signe de '( )f x .

c. Dresser le tableau de variations de ( )f x .

3. On appelle C la courbe représentative de ( )f x (unités : 4 cm). Tracer C en indiquant la tangente en O et au point A d’abcisse 2.

4. Soit u la fonction définie sur [ [0 ; + ∞ par 2

( )2x

u xx

=+

et H sa représentation graphique dans le même

repère que C.

a. Dresser le tableau de variation de u et vérifier que pour tout x>0 on a

( ) ( ) . '( )f x u x x f x− = .

En déduire la position relative de C et H. Tracer H en indiquant le point B d’abcisse 2.

b. λ étant un réel strictement positif, montrer que la tangente à C au point d’abcisse λ rencontre l’axe des ordonnées au point J d’ordonnée u(λ). En déduire à l’aide du tracé de H la construction de la tangente à C au point d’abcisse λ. Indiquer la construction ainsi de la tangente à C au point A. Deuxième partie On se propose de déterminer l’ensemble (E) des fonctions g, définies et dérivables sur ]0, +∞[ et possédant la propriété suivante P :

2( ) '( )

2x

g x xg xx

− =+

g étant définie et dérivable sur ]0, +∞[ on pose ( )

( )g x

G xx

= .

1. Montrer que g possède la propriété P si et seulement si 1 1

'( )2

G xx x

= −+

.

2. En déduire l’ensemble (E).

Exercice 9. 334 Logarithme et radical

1. La fonction g est définie sur ]0 ; +∞ [ par ( ) 2 3ln 6g x x x x= − + .

En utilisant les variations de g, déterminer son signe suivant les valeurs de x.

2. La fonction numérique f est définie sur ]0 ; +∞ [ par

3ln( ) 1

xf x x

x= + − .

228

a. Démonstration de cours : démontrer que ln

lim 0x

x

x→+∞= .

b. Déterminer les limites de f en 0 et +∞ (en +∞ , on pourra poser X x= ).

c. Utiliser la première partie pour déterminer le sens de variation de f.

3. Soit ∆ la droite d'équation y = x – 1 et C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé du plan. Montrer que ∆ est asymptote de C et étudier leurs positions relatives. construire C et ∆.

Exercice 9. 335 Logarithme et primitives

Partie A

Étude de la fonction f définie sur −ℝ par f(x) =

1 ln.

x

x

+ On appellera C sa courbe représentative.

1. Étudier la limite de f en + ∞. Étudier la limite de f en 0. Étudier les variations de f ; en dresser le tableau de variations.

2. Déterminer la valeur de x telle que f(x) = 0.

Écrire l'équation de la tangente T à C en ce point.

3. Tracer C et T.

Partie B

1. Montrer qu'une primitive de x ֏ ln xx

est x ֏ 2(ln )

2x

. En déduire l'ensemble des primitives F de f.

2. Déterminer la primitive de f qui s'annule pour x = 1. Cette primitive sera appelée F1.

Déduire de la partie A le sens de variation de F1 ; déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition, dresser le tableau de variations et donner les intersections de la courbe représentative de F1 avec x´Ox. Représenter graphiquement F1.

3. On appelle F2 la primitive de f qui prend la valeur 0,5 pour x = 1. Donner l'expression de F2.

Expliquer la construction de la courbe représentative de F2 à partir de celle de F1. Tracer la courbe représentative de F2.

Exercice 9. 336 Logarithme+ acc finis

Le but de ce problème est d'étudier, dans un premier temps (partie A), la fonction f définie sur [ [0 ; + ∞

par 2 1

( ) ln4 2

x xf x x

x

+ = + +

pour x > 0 et 1

(0)2

f = , puis (partie B) de trouver une approximation de la

solution de l'équation f(x) = x.

Partie A

Dans cette partie le plan est rapporté au repère orthonormal(O ; )i, j

, unité graphique : 2 cm. On désigne par C la représentation graphique de f.

I. Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par :2 1

( ) ln( 2) ln2 4

g x x xx

= + − − ++

.

1. a. Étudier le sens de variation de g.

b. Déterminer lim ( ).x

g x→+∞

c. En déduire le signe de g(x) pour tout x de ]0 ; +∞ [.

2. Montrer que, pour tout x de [2 ; 3], on a 1

( )2

g x < .

II. Etude de f

229

1. Déterminer la limite, quand x tend vers zéro par valeurs strictement positives, de 2

lnx

xx

+

(on

pourra poser 1

xt

= ) et démontrer que f est continue en 0.

2. La fonction f est-elle dérivable en 0 ? Donner une interprétation graphique du résultat.

3. Étudier le sens de variation de f (on vérifiera que ( ) ( )f x g x′ = ).

4. a. Démontrer que 2

lim ln 2x

xx

x→+∞

+ =

(on pourra utiliser le résultat :0

ln(1 )lim 1h

h

h→

+ = ).

b. En déduire lim ( ).x

f x→+∞

c. Montrer que la droite ∆ d'équation 5

4 2x

y = + est asymptote à C au voisinage de +∞ .

5. Tracer dans le repère (O ; )i, j

la droite ∆ , la courbe C et la droite D d'équation y = x.

Partie B

Dans cette partie, on désigne par I l'intervalle [2 ; 3].

1. Soit la fonction h définie sur I par h(x) = f(x) − x. Montrer que, pour tout x de I, h´(x) < 0.

On remarquera que h´(x) = g(x) − 1. 2. En déduire le sens de variation de h et montrer que l'équation h(x) = 0 admet une unique solution dans I ; on note α cette solution.

3. Montrer que, pour tout x de I, 0 < f´(x) <2

1.

4. En déduire que, pour tout x de I, |f(x) − α| ≤ 2

1|x − α|.

On définit la suite ( )n nu ∈ℕ par u0 = 2 et, pour tout n de ℕ , un + 1 = f(un). On admet que, pour tout n de ℕ , un appartient à I.

a. Établir les inégalités suivantes :

(1) pour tout n de ℕ , 112n nu uα α+ − ≤ − ,

(2) pour tout n de ℕ , 12

n

nu α − ≤

.

b. En déduire que la suite (un) converge. Quelle est sa limite ?

c. Déterminer n0 entier naturel tel que 0nu soit une valeur approchée de α à 10− 3 près.

En déduire alors une approximation de α à 10− 3 près.

Exercice 9. 337 Logarithme+irrationnelle+intégrales+acc finis

Soit f, définie sur l'intervalle [0 ; +∞ [ par ( ) (1 )f x x x= − ; fC sa courbe représentative dans un repère

orthonormé.

Soit g définie sur l'intervalle [0 ; +∞ [ par : ( ) ln pour 0(0) 0g x x x x

g

= − > =

représentée par la courbe gC dans le

même repère.

Partie A

1. Etudier les variations des deux fonctions f et g, déterminer leurs limites en 0 et +∞ .

2. La fonction g est elle-dérivable en 0 ? 3. Tracer les courbes Cf et Cg .

230

Partie B

On s'intéresse à la différence f(x) − g(x) et on se propose d'en étudier le signe. À cet effet, on pose, pour tout

réel x de l'intervalle ]0 ; +∞ [, ( ) ( )

( ) .f x g x

xx

ϕ −=

1. Quelle information apporte le fait de connaître le signe de ( )xϕ ?

2. Vérifier que : 1

( ) ln .x x xx

ϕ = − + Calculer la fonction dérivée ϕ ' de ϕ et vérifier que

( )21'( ) .

2

xx

x xϕ

−= −

Quel est le sens de variation de ϕ sur ]0 ; +∞ [ ? (L'étude des limites de ϕ aux bornes de son domaine de définition n'est pas demandée).

3. En déduire le signe de ϕ . Quelles conclusions en tirez-vous ?

4. Est-ce que les courbes Cf et Cg ont même tangente au point de contact ?

5. Montrer qu’il existe deux nombres réels α et β tels que 1( ) 10xϕ −≤ pour tout x de l’intervalle

[ ];α β . Donner des valeurs approchées de α et β à 10−2 près. Donner alors un encadrement de la

distance verticale entre les courbes Cf et Cg, soit ( ) ( )f x g x− , sur l’intervalle [ ];α β .

Partie C : Calcul d'intégrales

Pour tout réel a de l'intervalle ]0 ; 1] on pose : 1

I( ) ( )da

a f x x= ∫ et 1

J( ) ( )d .a

a g x x= ∫

1. Calculer l'intégrale I(a) en fonction de a. À cet effet, on pourra remarquer que f(x) peut s'écrire 1 32 2( )f x x x= − .

2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer J(a) en fonction de a.

3. a. Calculer : 0

lim(I( ) J( ))a

a a→

− [on admettra que 2

0lim( ln ) 0x

x x→

= ].

b. Donner une interprétation géométrique de cette limite.

Partie D

On considère l'équation, définie dans ℝ + : g(x) = − 24. Dans cette partie, on se propose de déterminer une valeur approchée de la solution α de cette équation. 1. Justifier que l'équation proposée a dans R+ une solution α et une seule et que 9 < α < 11. Vérifier que α

est solution de l'équation : 24ln

xx

= .

2. Soit h la fonction définie sur [9 ; 11] par : 24

( )ln

h xx

= .

a. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle [9 ; 11], h(x) appartient aussi à l'intervalle [9 ; 11].

b. Démontrer, pour tout réel x de l'intervalle [9 ; 11], la double inégalité : 22

'( ) 0,563(ln3)

h x ≤ < .

c. En déduire, pour tout réel x de l'intervalle [9 ; 11], l'inégalité : ( ) 0,56h x xα α− ≤ − .

3. On considère la suite (un) définie par récurrence : 0

1

9( )n n

u

u h u+

= =

pour tout entier n.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un appartient à l'intervalle [9 ; 11], puis que l'inégalité : 1 0,56n nu uα α+ − ≤ − est vérifiée.

231

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, l'inégalité : 2(0,56)nnu α− ≤ est vérifiée. Démontrer que la

suite (un) converge vers α .

c. Trouver le plus petit entier naturel pour lequel on a l'inégalité : 2(0,56) 0,01n < .

Soit n0 cet entier : que représente pour α le terme 0nu correspondant ?

À l'aide de votre calculatrice donner une approximation décimale à 10−2 près de0nu .

Exercice 9. 338 Famille de fonctions ln + aire

Soit k un nombre réel. On considère la fonction fk définie sur [0 ; 1] par 2( ) (ln )kf x x x kx= + si x > 0 et fk(0) = 0.

On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans le plan rapporté au repère orthonormal (O ; )i, j


On note I, J et L les points de coordonnées respectives (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1).

Première partie : Étude des fonctions f k

A. Étude et représentation de f0

Dans cette question k = 0.

1. Signe de la dérivée

a. Calculer la dérivée 0f ′ de f0 sur ]0 ; 1] et montrer que 0( )f x′ peut s'écrire sous la forme

0( ) (ln )(ln 2)f x x x′ = − .

b. Déterminer les solutions de l'équation 0( ) 0f x′ = sur ]0 ; 1].

c. Étudier le signe de 0f ′ sur ]0 ; 1].

2. Étude à l'origine

a. Déterminer la limite de lnuu, puis de

2(ln )uu

lorsque u tend vers +∞ .

b. En déduire que 2(ln )x x tend vers 0 lorsque x tend vers 0, puis que f0 est continue en 0.

c. Déterminer la limite de 0( )f x

x lorsque x tend vers 0. En déduire la tangente en O à la courbe C0.

3. Tracé de la courbe C0

a. Dresser le tableau des variations de f0.

b. Tracer la courbe C0.

B. Étude de fk

1. Dérivée de fk

a. Calculer ( )kf x′ sur ]0 ; 1].

b. Soit Ak le point de Ck d'abscisse 1. Montrer que la tangente Tk à Ck au point Ak est la droite (OAk).

2. Étude à l'origine

a. Établir que fk est continue en 0.

b. Déterminer la tangente à Ck en O.

On ne demande pas d'étudier les variations de fk.

C. Étude et représentation de f 1 et 12

f

1. Étude de f1 et tracé de C1

a. Prouver que, pour tout x ∈ ]0 ; 1], 21( ) (ln 1)f x x′ = + .

b. Déterminer la position relative des courbes C0 et C1.

232

c. Établir le tableau de variation de f1 et tracer C1 sur le même graphique que C0 en précisant le coefficient directeur de la tangente T1 à C1 au point A1.

2. Étude de 12

f et tracé de 12

C

a. Prouver que, pour tout x de [0 ; 1], 0 112

( ) ( )( )

2f x f x

f x+

= .

b. En déduire une construction de 12

C à partir de C0 et C1 et tracer 12

C sur le même graphique que C0 et C1

en précisant la tangente 12

T à 12

C au point 12

A .

Deuxième partie : Partage du carré OILJ en quatre parties de même aire

Soit α un nombre réel tel que 0 1α< ≤ .

1. Calcul d'une intégrale : on pose 2I( ) (ln ) dx x xα

α1

= ∫ .

a. Prouver, en effectuant une intégration par parties, que 2

2I( ) (ln ) ln d2

x x xα

αα α1

= − − ∫

b. En effectuant à nouveau une intégration par parties, prouver que : 2 2 2

2 1I( ) (ln ) ln .

2 2 4 4α α αα α α= − + + −

c. Déterminer la limite I de ( )I α lorsque α tend vers 0.

2. Calcul d'aires

a. On pose 1

( ) ( )k kS f x dxα

α = ∫ .

Exprimer ( )kS α en fonction de α . En déduire la limite Sk de ( )kS α quand α tend vers 0.

On admettra que cette limite représente l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine plan limité par la courbe Ck, l'axe (Ox) et la droite d'équation x = 1.

b. En déduire que les courbes C0, 12

C et C1 partagent le carré OILJ en quatre parties de même aire.

Exercice 9. 339 Ln et rotation

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j

. Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique (unité graphique : 2 cm).

A. Etude d'une fonction f et de sa courbe représentative (C)

On considère la fonction f , définie sur ]0 ; +∞ [ par : ( )( ) ln 1 1f x x= + − .

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞ .

2. Etudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞ [.

3. Soit (C) la courbe représentative de f dans ( ; , )O i j

et A le point de (C) d'abscisse 3. Calculer l’ordonnée

de A. Soit B le point de (C) d'abscisse 54, P le projeté orthogonal de B sur l'axe ( ; )O i

et H le projeté

orthogonal de B sur l'axe ( ; )O j.

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer les points A, B, P et H dans le repère ( ; , )O i j

et représenter la courbe (C).

B. Utilisation d’une rotation

233

Soit r la rotation de centre O et d'angle 2π. A tout point M du plan d'affixe z, la rotation r associe le point

M ' d'affixe z '.

1. a. Donner z ' en fonction de z. On note z = x + iy et z’ = x ' + iy’ (x, y, x’ et y’ réels), exprimer x’ et y’ en fonction de x et y, puis exprimer x et y en fonction de x’ et y’.

b. Déterminer les coordonnées des points A’, B’ et P’ images respectives des points A, B et P par la rotation r.

2. On appelle g la fonction définie sur ℝ par 2( ) 2x xg x e e− −= + et ( )Γ sa courbe représentative dans le

repère ( ; , )O i j

.

a. Montrer que lorsqu'un point M appartient à (C), son image M’ par r appartient à ( )Γ . On admet que lorsque le point M décrit (C), le point M’ décrit ( )Γ .

b. Tracer sur le graphique précédent les points A’, B’, P’ et la courbe ( )Γ (l'étude des variations de g n'est pas demandée).

C : Calcul d’intégrales On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine de même aire.

1. Calculer l'intégrale ln 2

0

( )g x dx∫ . Interpréter graphiquement cette intégrale.

2. a. Déterminer, en unités d'aire, l'aire A du domaine plan D limité par les segments [AO], [OH] et [HB] et l'arc de courbe d'extrémité B et A.

b. On pose ( )3

5 / 4

I ln 1 1x dx= + −∫ . Trouver une relation entre A et I puis en déduire la valeur exacte de

l'intégrale I.

Exercice 9. 340 Etude de ln(chx) et de son intégrale

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ; , )

O i j . L’unité graphique est 3 cm..

A . Étude de f

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par ( ) ln( )x xf x e e−= + et on désigne par (C) sa courbe

représentative dans le repère ( ; , )O i j

.

1. a. Déterminer la limite de f en +∞ .

b. Démontrer que, pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞ [, on a 2( ) ln(1 )xf x x e−= + + . En déduire que la courbe (C) admet comme asymptote la droite D d’équation y = x.

c. Étudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote D.

2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Construire la courbe (C) et l’asymptote D,

B. Intégrales liées à f

Pour tout x de l’intervalle [0 ; +∞ [ on pose 2

0( ) ln(1 )

xtF x e dt−= +∫ . On ne cherchera pas à calculer F(x).

1. Soit a un réel positif. En utilisant la partie A , donner une interprétation géométrique de F(a).

2. Étudier le sens de variation de F sur l’intervalle [0 ; +∞ [ .

3. Soit a un réel strictement positif. Démontrez que :

Pour tout t de [0 ; a], 1 1

11 1a t

≤ ≤+ +

. En déduire que ln(1 )1a

a aa

≤ + ≤+

.

234

4. Soit x un réel positif. Déduire de la question 3. que 2

220 0

( )1

tx xt

t

edt F x e dt

e

−−

− ≤ ≤+∫ ∫ puis que

2 21 1 1 1ln2 ln(1 ) ( )

2 2 2 2x xe F x e− −− + ≤ ≤ − .

5. On admet que la limite de F(x) , lorsque x tend vers +∞ , existe et est un nombre réel noté L. Etablir que 1 1ln2

2 2L≤ ≤ .

6. Pour tout entier naturel n, on pose 1

2ln(1 )n

tn

nu e dt

+−= +∫ .

a. On considère la fonction h définie sur [0 ; +∞ [ par 2( ) ln(1 )th t e−= + . Étudier le sens de variation de h.

b. Démontrer que pour tout naturel n : 20 ln(1 )nnu e−≤ ≤ + .

c. Déterminer la limite de (un) lorsque n tend vers +∞ .

7. Pour tout entier naturel n on pose 1

0

n

n i

i

S u−

=

=∑ . Exprimer Sn à l’aide de F et de n. La suite (Sn) est–elle

convergente ? Dans l’affirmative quelle est sa limite ?

Exercice 9. 341 Th. des valeurs intermédiaires

On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞ [ par 1

( ) 1 (ln 2)f x xx

= − −

.

1. Déterminer les limites de f en 0 et en +∞ .

2. Montrer que f est dérivable sur]0 ; +∞ [ et calculer f’(x).

3. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par ( ) ln 3u x x x= + − .

a. Etudier les variations de u.

b. Montrer que l’équation u(x) = 0 possède une solution unique α dans l’intervalle [2 ; 3]. Montrer que 2,20 < α < 2,21

c. Etudier le signe de u(x) sur ]0 ; +∞ [.

4. a. Etudier les variations de f.

b. Exprimer lnα comme un polynôme en α . Montrer que 2( 1)

( )fαα

α−= − . En déduire un encadrement de

f(α ) d’amplitude 22 10−×

5. a. Etudier le signe de f(x) sur ]0 ; +∞ [.

b. Tracer la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormal ( ; , )O i j

d’unité 2 cm..

Exercice 9. 342 Bac C, Paris, 1990

f est la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par ln

( )1

x xf x

x=

+.

1. Montrer que l’on a, pour tout réel x de ]0 ; +∞ [, ( )21 ln

'( )1

x xf x

x

+ +=+

.

2. La fonction ϕ est définie sur ]0 ; +∞ [ par ( ) 1 lnx x xϕ = + + . Etudier ses variations, en déduire que l’équation ( ) 0xϕ = admet une solution unique β . Etudier le signe de ϕ .

3. En déduire les variations de f, étudier les limites de f en 0 et +∞ .

4. Montrer que, pour tout entier strictement positif n, l’équation ( )f x n= admet une solution unique que

l’on notera nα . On cherche maintenant à étudier la suite ( )nα .

235

5. Montrer que, pour tout entier n > 0, ( )nf e n< . En déduire que nn eα > et la limite de ( )nα

6. Prouver que la relation ( )nf nα = peut se mettre sous la forme ln nn

n

n

e

αα

=

. En déduire la limite de

nne

α.

Exercice 9. 343 Centres étrangers, 2000, extrait

La fonction f est définie sur [0 ; +∞ [ par (0) 0f = et si x > 0, 2ln(1 )

( )x

f xx

+= . Sa courbe dans le plan

rapporté à un repère d’origine O, est donnée ci-dessous :

x

- 1 0 1 2 3 4 5

y

0

1

2

1. Montrer que, pour tout réel positif t, 0 ln(1 )t t≤ + ≤ . En déduire la continuité de f en 0.

2. Montrer que 0

( )lim 1x

f x

x→= . En déduire la dérivabilité de f en 0.

Exercice 9. 344 D’après Japon, 1997

A. On considère la fonction f1 définie sur ]0 ; +∞ [ par 1 2ln

( )x

f xx

= , et on appelle (C1) sa courbe

représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unité 2 cm sur (Ox), 10 cm sur (Oy).

1. Déterminer 10

lim ( )x

f x→

et 1lim ( )x

f x→+∞

. Que peut-on en déduire pour (C1) ?

2. Etudier les variations de f1, donner son tableau de variation.

3. Déterminer une équation de la tangente T à (C1) en son point d’abscisse 1.

B. On considère la fonction f2 définie sur ]0 ; +∞ [ par 2

2 2ln

( )x

f xx

= , et on appelle (C2) sa courbe

représentative dans même repère que (C1).

1. Déterminer 20

lim ( )x

f x→

et 2lim ( )x

f x→+∞

. Que peut-on en déduire pour (C2) ?

2. Etudier les variations de f2, donner son tableau de variation.

3. Etudier le signe de 1 2( ) ( )f x f x− , en déduire la position relative de (C1) et (C2).

4. Tracer T, (C1) et (C2).

Exercice 9. 345 Equations

On pose 3 2( ) 2 7 2 3P X X X X= + + − .

a. Calculer P(−1), en déduire une factorisation de P.

b. Résoudre dans ℝ l’équation P(X) = 0.

c. En déduire la résolution dans ℝ de :

6 4 2

3 2

2

2 7 2 3 0

2ln 7 ln 2ln 3 0

ln(2 3) ln( 2 2) ln(8 9)

x x x

x x x

x x x x

+ + − =

+ + − =

+ + + + = +

236

Exercice 9. 346 Amérique du Nord 1998

Pour tout entier n supérieur ou égal à 2 on considère la fonction fn définie sur ]0 ; +∞ [ par 21 ln

( )nn x

f xx

+= .

Partie A

I. Etude des fonctions fn

1. Calculer ( )nf x′ et montrer que l’on peut écrire le résultat sous la forme d’un quotient dont le numérateur est 2 2 lnn n x− − .

2. Résoudre l’équation ( ) 0nf x′ = . Etudier le signe de ( )nf x′ .

3. Déterminer les limites de fn en +∞ et en 0.

4. Etablir le tableau de variation de fn et calculer sa valeur maximale en fonction de n.

II. Représentation graphique de quelques fonctions fn.


d’unité graphique 5 cm. On note Cn la courbe représentative de fn dans ce repère.

1. Tracer C2 et C3.

2. Calculer 1( ) ( )n nf x f x+ − . Cette différence est-elle dépendante de l’entier n.

3. Expliquer comment il est possible de construire la courbe de C4 à l’aide de C2 et C3. Tracer C4.

Partie B : Calculs d’aires.

1. Calculer à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale 21

lne xI dx

x= ∫ .

2. En déduire l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par les courbes Cn et Cn+1 et les droites d’équation x = 1 et x = e.

3. On note An l’aire en unités d’aire du domaine plan limité par la courbe Cn, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = e. Calculer A2. Déterminer la nature de la suite (An) en précisant l’interprétation géométrique de sa raison. Exprimer An en fonction de n.

Partie C : Etude sur l’intervalle ]1 ; +∞ [ de l’équation ( ) 1nf x = .

Dans toute la suite on prendra n ≥ 3.

1. Vérifier que pour tout n, 2

2 1n

ne

−

> et 2

2 1n

nnf e

− >

. En déduire que l’équation ( ) 1nf x = n’a pas de

solution sur l’intervalle 2

21;n

ne

−

.

2. On pose pour t ≥ 1, ln

( )t

tt

ϕ = . Etudier les variations de ϕ . En déduire que pour tout t appartenant à

]1 ; +∞ [, 1

( )te

ϕ ≤ , puis que pour tout n ≥ 3, ( ) 1nf n < .

3. Montrer que l’équation ( ) 1nf x = a exactement une solution αn sur 2

2 ,n

ne n−

. Combien l’équation

( ) 1nf x = a-t-elle de solutions sur ]0 ; +∞ [ ?

Calculer ( )nf n et montrer que pour tout 2n e≥ , ( ) 1nf n > . En déduire que pour n ≥ 8 on a

nn nα< < et donner la limite de la suite (αn).

237

Exercice 9. 347 Intégrales

On appelle f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par 1 ln

( )x

f xx

−= .

1. Etudier les limites de f en 0 et en +∞ . Quelles sont les conséquences pour la courbe représentative de f ?

2. Etudier les variations de f.

3. Calculer 1( )

e

f x dx∫ .

4. A l’aide d’une intégration par parties, calculer 21

lne xdx

x∫ puis 2

21

lne xdx

x∫ .


1( )

e

f x dx∫ .

Exercice 9. 348 Ln et intégrale

On appelle f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par ( ) ( 1)ln 1f x x x= + − , et C sa courbe dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité 2 cm.

1. Etudier les limites de f en 0 et en +∞ . En déduire l’existence d’une asymptote à C.

2. a. Calculer la dérivée f ’ de f, puis la dérivée f ’’ de f ’, montrer que f ’’(x) = 21x

x

−.

b. Etudier le signe de f ’’, calculer f ’(1) et en déduire que pour tout x, f ’(x) ≥ 2. c. Préciser le sens de variation de f.

3. Montrer que pour tout x ≥ 1, f(x) + 1 ≥ 2(x – 1). 4. Montrer que l’équation f(x) = 0 a une unique solution a sur [1 ; 2]. Donner à la calculatrice un encadrement de a à 10−2 près.

5. Tracer C.

6. a. En remarquant que 2( 1) 1

2x

xx x

+ = + + , donner une primitive de 2( 1)x

x

+.

b. En déduire à l’aide d’une intégration par parties le calcul de 1( )

e

f x dx∫ .

Exercice 9. 349 Bac S, Antilles, 1997

On appelle f la fonction définie sur ]0 ; +∞ [ par 1 1

( ) ln1

xf x

x x

+ = − + .

1. Déterminer la dérivée de f, étudier ses variations.

2. Calculer les limites de f en 0 et en +∞ . Dresser le tableau de variation de f.

3. g est définie sur ]0 ; +∞ [ par 1

( ) lnx

g x xx

+ =

. Déterminer la dérivée de g et étudier son signe à l’aide

de la question précédente.

4. Vérifier que g h k= , avec ln( 1) 1

( ) , ( )x

h x k xx x

+= = . En déduire les limites de g en 0 et en +∞ , et dresser

le tableau de variation de g.

Exercice 9. 350 Un exo de sup

On appelle f la fonction définie pour x > 0 par 1

( ) xf x x= et f(0) = 0.

1. Calculer f(1) et f(2).

238

2. Montrer que l’on a pour tout x > 0 ln

( )x

xf x e= . En déduire que f est continue en 0.

3. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +∞ [ et que f ’(x) est du signe de 1 – lnx. En déduire les variations de f. Etudier la limite de f en +∞ et dresser le tableau de variation de f.

4. Donner une équation de la tangente T à la courbe C de f en son point d’abscisse 1. Montrer que pour

tout réel strictement positif x on a ln

lnx

xx

≤ . En déduire la position de C par rapport à T (on sera amené à

remarquer que ln xx e= ).

5. Montrer que 0

( )lim 0x

f x

x→= . Que peut-on en déduire pour f et C ?

6. Donner l’allure de C en faisant figurer tous les résultats précédents.

Exercice 9. 351 Ln et exp (2)

A. Soit f la fonction définie sur ℝ par : ( ) ln(1 )xf x e−= + .

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ; , )O i j

(unités graphiques : 4 cm).

1. Déterminer la limite de f en −∞ et en +∞ . Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

2. Montrer que C admet une asymptote D d’équation : y = –x. Préciser la position de D par rapport à C.

3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. Tracer D, T et C.

4. Soit x0 un nombre réel non nul. On note M et N les points de C d’abscisses respectives x0 et –x0 .

a. Vérifier que : f(x0) – f(–x0) = –x0.

b. Calculer le coefficient directeur de la droite (MN). Que peut-on en conclure ?

c. Montrer que f ’(x0) + f ’(–x0) = –1. En déduire que les tangentes à C en M et N se coupent sur l’axe des ordonnées.

d. Illustrer sur la courbe C les résultats précédents en prenant x0 = 1.

B. On se propose dans cette partie d’étudier la suite de nombres réels (un ), définie par :

1

1 1

11

11 n n n

ue

u u pour tout entier n dee

∗+ +

= +

= +

ℕ

.

1. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n de *ℕ : un >0.

b. Montrer que la suite (un) est strictement croissante.

c. Montrer par récurrence que, pour tout entier n de *ℕ : ln un = f(1) + f(2 ) + f(3) + … + f(n) (1)

2. a. Etudier les variations des fonctions g et f définies sur [0 ; +∞ [ respectivement par :

( ) ln(1 )g t t t= + − et 21( ) ln(1 )

2h t t t t= + − + .

b. En déduire que, pour tout réel t de [0 ; +∞ [, 21ln(1 )

2t t t t− ≤ + ≤ .

c. En déduire que pour tout réel x : 2

( )2

xx xe

e f x e−

− −− ≤ ≤ (2)

3. a. Soit a est un réel strictement supérieur à 1. Calculer, pour tout entier n de *ℕ ,

2 3

1 1 1 1...n n

Sa a a a

= + + + +

et montrer que la suite (Sn) admet une limite que l’on déterminera..

b. On pose, pour tout entier n de *ℕ :

239

2 3

1 1 1 1...n n

Ae e e e

= + + + + et 2 4 6 2

1 1 1 1...n n

Be e e e

= + + + + .

A l’aide des relations (1) et (2), montrer que : An – 1

2Bn ≤ ln un ≤ An.

c. En déduire que la suite (ln un) est majorée.

4. a. Montrer que la suite (un) est convergente. On note l sa limite.

b. On admet que si (an) et (bn) convergent respectivement vers L et L’ et si, pour tout entier n de *ℕ , an ≤ bn

alors L ≤ L’. Montrer que : 2

2 1

2( 1)

e

e

+

− ≤ ln l ≤ 1

1e−. En déduire une valeur approchée de l à 0,1 prés .

241

10 . SUITES EXERCICES

Exercice 10. 352 Questions de cours au sujet des suites

Valider ou infirmer les propositions suivantes :

1. Si une suite u est croissante et majorée par 5 , alors elle converge vers 5.

2. Si une suite u est monotone et bornée , alors elle est convergente.

3. Si une suite u n’est pas convergente , alors elle n’est pas bornée.

4. Si deux suites ont la même limite, alors elles sont adjacentes.

5. Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont bornées.

6. Une suite convergente est bornée.

7. Une suite bornée est convergente.

8. Une suite qui tend vers +∞ ne peut pas être majorée.

9. Si n nu v− tend vers 0 alors un et vn ont la même limite.

10. Si (un) et (vn) tendent vers +∞ alors n nu v− tend vers 0.

11. Si pour tout n ≥ 10, 21

3nun

− ≤ alors (un) converge vers 3.

Exercice 10. 353 Raisonnement par récurrence 1

1. On note 1 2 3 ....... !n n× × × × = (et on lit « factorielle » n).

Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel 1n ≥ , on a : 1! 2nn −≥ .

2. Démontrez que, pour tout entier naturel n, l’entier 23 2n n− est un multiple de 7 ; n désigne un entier supérieur à 1.

3. Montrer par récurrence les propriétés suivantes :

a. Pour tout entier naturel n, 2n n≥ .

b. Pour tout entier naturel n, 2 1 2 12 3n n+ ++ est un multiple de 5.

c. Pour tout entier n 1, 1 1 1 1

... 11 2 2 3 ( 1) 1n n n

+ + + = −× × + +

.

Exercice 10. 354 Raisonnement par récurrence 2

1. Rappeler la valeur de 1 2 3 ...nS n= + + + + .

2. On appelle nS′ la somme 1 2 2 3 3 4 ... ( 1)nS n n′ = × + × + × + + + .

a. Montrer par récurrence que pour tout n on a ( 1)( 2)

'3n

n n nS

+ += .

b. On admettra que 2

1 1

n n

n

k k

S k k

= =

′ = +∑ ∑ . Déduire des résultats précédents la valeur de 2

1

n

k

k

=∑ en fonction

de n.

3. Montrer par récurrence que 1

( 1)( 2)( 3)( 1)( 2)

4

n

k

n n n nk k k

=

+ + ++ + =∑

4. On cherche à généraliser les résultats précédents : p désigne un entier supérieur à 1, et on définit la somme :

( , ) 1 2 ... 2 3 ... ( 1) 3 4 ...( 2) ... ( 1)....( 1)S n p p p p n n n p= × × × + × × × + + × × + + + + + − .

242

Montrer par récurrence sur n (p est supposé fixé) que ( 1)( 2)...( )

( , )1

n n n n pS n p

p

+ + +=

+.

Exercice 10. 355 Nombres de Fermat

1. Pour tout entier naturel n, on note ( )22 1

n

nF = + . Calculer F0, F1, F2, F3.

2. Démontrer par récurrence que pour tout n 1, on a 0 1 2 1... 2n nF F F F F +× × × = − .

3. Montrer que la suite ( )nF est croissante et non majorée. Quelle est sa limite ?

Exercice 10. 356 Somme de termes

1. Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 0, on a 23 ( 1)n n n≥ − .

2. On définit, pour n ≥ 1, la suite ( )nu par 1 21 2

...3 3 3

n n

nu = + + + .

a. Quel est le sens de variation de ( )nu ?

b. Montrer par récurrence que pour tout entier k 1, 3

02

k

k − ≤

. En déduire que, pour tout k 1,

13 2k k

k ≤ puis un majorant de nu . Que peut-on en conclure pour ( )nu ?

3. On définit pour n ≥ 1 la suite ( )nv par 1

n nv un

= + . En utilisant la question 1), montrer que ( )nv est

décroissante. Quelle est la limite de ( )n nv u− ? Que peut-on en conclure pour ( )nv ?

Exercice 10. 357 Les lettres de Gaston

On définit la suite ( )nu par 0 13

2000, 2004n nu u u+= = + .

1. Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équation respectives y x= et 3

2004

y x= + , puis

les premiers termes de la suite ( )nu .

2. On pose pour tout n 800n nv u= − . Montrer que la suite ( )nv est géométrique. En déduire l’expression de nu en fonction de n et la limite de ( )nu . Au bout de combien de temps a-t-on 810nu < ?

3. Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis, se plaint à sa dulcinée : « Voyez-vous, m’oiselle Jeanne, tous les jours je sais traiter le quart de mon courrier en retard, mais il m’arrive 200 lettres de plus chaque matin .» « Monsieur Gaston, vous arriverez bien à trouver une solution, vous êtes si intelligent… » Oui, mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros ?

4. La question a. est indépendante de ce qui précède

a. Si ( )nx est une suite croissante, on définit ( )ny par 0 1...1

nn

x x xy

n

+ +=

+. Montrer que ( )ny est croissante et

que pour tout n on a n ny x≤ . Que peut-on dire pour une suite ( )nx décroissante (on ne justifiera pas ses affirmations).

b. On appelle nM la quantité de lettres qu’il y eu en moyenne sur le bureau de Gaston pendant les n premiers jours (en comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres). Exprimer nM en fonction de

n. Quel est le sens de variation de ( )nM . La suite ( )nM est-elle convergente ?

Exercice 10. 358 De Mesmaeker

Monsieur De Mesmaeker, grand patron bruxellois, propose à ses nouveaux employés les deux contrats suivants : dans tous les cas un salaire initial de 1500 € pour le premier mois, augmenté de 5 € chaque mois (contrat 1), ou augmenté de 0,3% tous les mois (contrat 2).

243

1. Soient nu et nv les salaires respectifs pour chaque contrat le nième mois.

Exprimer nu et nv en fonction de n.

2. Quel salaire gagnerait-on pour chaque contrat après un an passé dans l’entreprise ?

3. Comparer la totalité des sommes gagnée par quelqu’un qui resterait pendant 40 ans dans l’entreprise.

Exercice 10. 359 Définition de la limite d’une suite

1. Soit une suite de terme général un . Que signifie : la suite (un) a pour limite +∞ ?

2. Soit la suite (un) définie par 2 2

nn

un

+= pour n ≥ 1.

a. Montrez qu’à partir d’un certain rang 0n , à déterminer, tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]10 ; +∞ [.

b. Soit A un réel aussi grand que l’on veut (on peut supposer 10A ≥ ) ; montrez qu’à partir d’un certain rang 0n , à déterminer en fonction de A, tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]A ; +∞ [.

c. En déduire à l’aide du 1. la limite de la suite (un).

d. Donnez une méthode pratique permettant d’obtenir cette limite sans avoir recours à la définition.

Exercice 10. 360 Récurrence 3

On considère la suite *( ),nu n∈ℕ définie par 1

21

1

( ) 4n n

u

u u+

=

=.

1. Calculer 2 3 4 5, , ,u u u u . Donner les résultats sous la forme 2α .

2. On considère la suite ( )nv définie par ln( ) ln 4n nv u= − . Montrer que ( )nv est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

3. Exprimer nv en fonction de n. En déduire nu et calculer lim nn

u→∞

.

4. Pour quelles valeurs de n a-t-on 3,96nu > ?

Exercice 10. 361 Récurrence 4 : Pondichéry, avril 2003

On considère la suite nu définie par 0

1 (2 )n n n

u a

u u u+

= = −

où a est un réel donné avec 0 < a < 1.

1. On suppose que 18

a = ;

a. Calculer 1u et 2u .

b. Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative P de la fonction f : ( ) (2 )f x x x= − ainsi que la droite d (y = x).

c. Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses les points 1 2 3, ,A A A d’abscisses respectives

1 2 3, ,u u u .

2. On suppose dans cette question que a est quelconque (0 < a < 1).

a. Montrer par récurrence que 0 1nu< < .

b. Montrer que nu est croissante.

c. Que peut-on en déduire ?

3. On suppose de nouveau 18

a = et on considére la suite 1n nv u= − .

a. Exprimer 1nv + en fonction de nv

b. En déduire l’expression de nv en fonction de n.

244

c. Déterminer la limite de nv puis celle de nu .


On considère la suite ( )n nu ∈ℕ définie par 0u e= et, pour tout entier naturel n, 1n nu u+ =

On pose, pour tout entier naturel n, lnn nv u= .

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 112n nv v+ = , en déduire que nv est le terme général d'une suite

géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

b. Donner l'expression de nv en fonction de n. En déduire celle de nu en fonction de n.

2. Pour tout entier naturel n on pose 0 1 n nv v v= + +…+S et 0 1 n nu u u= × ×…×P .

a. Montrer que Snn e=P .

b. Exprimer nS en fonction de n.

c. En déduire l'expression de nP en fonction de n.

3. Déterminer la limite de la suite ( )nS ; en déduire celle de la suite ( )nP .


On considère la suite (un) définie par : 0 11

0 12n nu et u u+= = + pour tout n entier naturel.

1. Calculer u1, u2, u3, u4, u5 . Placer les points correspondants sur une droite graduée.

2. Démontrer que la suite (un) est bornée.

3. Démontrer que la suite (un) est croissante.

4. Que peut-on conjecturer pour la limite de la suite ?


On considère la suite (un) définie par : 0 2u = et 1 2 3n nu u+ = + pour tout n entier naturel.

1. Donner les valeurs approchées à 10−3 près de u1, u2, …, u10.

2. Démontrer que, pour tout n de ℕ , 0 3nu≤ ≤ .

3. Démontrer que la suite (un) est convergente.

4. Déterminer lim nn

u→+∞

.

Exercice 10. 365 Récurrence 8 : Haddock

Le Capitaine Haddock a décidé de rationaliser sa consommation de Whisky. Il a un stock de 200 bouteilles, et chaque mois il consomme le quart de son stock, et rachète 10 bouteilles. On appelle un le nombre de bouteilles en stock au bout de n mois (ainsi u0 = 200)

1. Montrer que, pour tout n 0, 13

104n nu u+ = + . Calculer u1 et u2.

2. On pose pour tout entier n : 40n nv u= − . Quelle est la nature de la suite (vn) ?

3. Quelle sera, à terme, la consommation mensuelle du Capitaine ? Au bout de combien de mois sera-t-elle inférieure à 12 bouteilles ?

Exercice 10. 366 Récurrence 9, Antilles–Guyane, sept 2003

Partie A - Étude préliminaire d’une fonction f définie sur ℝ par ϕ (x) = (2−x)ex −1

1. Déterminer les limites de la fonction ϕ en −∞ et +∞ .

2. Montrer que la fonction ϕ est continue et dérivable sur ℝ et étudier le signe de sa dérivée.

245

En déduire les variations de la fonction ϕ et préciser les valeurs de ( 2)ϕ − , (0)ϕ , (1)ϕ et (2)ϕ .

3. Prouver que la fonction ϕ s’annule uniquement en deux valeurs que l’on nommera α et β . On prendra α < β . Étudier alors le signe de la fonction ϕ sur l’ensemble des réels et récapituler cette étude dans un tableau.

4. À l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 10−2 des valeurs α et β .

5. Montrer que 1

2eα

α=

−.

Partie B - Étude d’une fonction f définie par 1

( )x

x

ef x

e x

−=−

et calcul intégral

1. Montrer que ex −x ne s’annule pas sur ℝ . En déduire que f est définie sur ℝ .

2. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et +∞ .

3. Calculer la dérivée f ’ de la fonction f puis, à l’aide des résultats de la partie A, construire le tableau des variations de f .

4. Montrer que 1

( )1

f αα

=−

, le nombre α étant la plus petite des deux valeurs pour lesquelles la fonction

ϕ de la partie A s’annule.

5. Déterminer une primitive de la fonction f sur ℝ . Donner une valeur exacte puis une valeur décimale

approchée à 0,01 près de l’intégrale : 1

0( )f x dx∫ .

Partie C - Étude de deux suites

1. Préciser l’ensemble de définition Dg de la fonction g définie sur cet ensemble par 1

( ) ln2

g xx

= − où ln

désigne la fonction logarithme népérien. Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que l’image par g de l’intervalle I = [−2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.

2. a. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : 0

1

2( )n n

u

u g u+

= − =

.

Montrer que u1 appartient à l’intervalle I = [−2 ; 0]. Prouver par récurrence, à l’aide des variations de la fonction g, que la suite (un) a tous ses termes dans l’intervalle I et est croissante.

b. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : 0

1

0( )n n

v

v g v+

= =

.

Calculer le terme v1 et montrer que 1 1 02 0u v v− ≤ ≤ ≤ ≤ .

Établir par récurrence, à l’aide de la croissance de la fonction g sur l’intervalle [−2 ; 0], que pour tout entier naturel n strictement positif, on a : 12 0n n nu v v −− ≤ ≤ ≤ ≤ .

Préciser le sens de variation de la suite (vn).

3. a. Soit m la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par : m(x) = x −ln(1+x).

Montrer que m est croissante et calculer m(0). En déduire que, pour tout x positif, on a ln(1+x) ≤ x.

b. Vérifier que, pour tout entier n, 1 1 ln 12n n

n nn

v uv u

v+ +

−− = + −

. En déduire que 1 1 2n n

n nn

v uv u

v+ +

−− ≤

−.

Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite (vn) appartiennent à l’intervalle [−2 ; 0], donner un

encadrement de 1

2 nv− et établir que : ( )1 1

12n n n nv u v u+ +− ≤ − .

Prouver alors que, pour tout entier naturel n, ( )1 1 0 01

2n n nv u v u+ +− ≤ − .

Que peut-on en déduire pour la suite de terme général vn −un et pour les suites (un) et (vn) ?

246

4. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10−4 de u10 et v10.

Exercice 10. 367 Géométrique 1

La population mondiale est de l'ordre de 5 milliards d'individus.

1. Si on admet un accroissement moyen de la population mondiale de 1,6 % par an, quelle sera la population mondiale dans vingt ans ?

2. Dans combien d'années la population mondiale aura-t-elle doublé (en prenant le même taux annuel d'accroissement) ?

3. P0 désigne la population d'un continent en 1939, Pn la population du même continent n années plus tard ; i désigne le taux d'accroissement annuel moyen de la population au cours de cette période. Montrer que Pn = P0 (1 + i)n.

Application numérique : en Europe la population était de 380 millions en 1939 et de 500 millions en 1989. Dans le même temps la population est passée en Amérique du Sud de 110 millions à 435 millions d'habitants. Calculer le taux d'accroissement annuel moyen sur cette période dans les deux cas.

Exercice 10. 368 Géométrique 2 : des sous

1. On place un capital C à intérêts composés (les intérêst versés au bout d’un an sont intégrés au capital) pendant une durée de 2 ans. On souhaite récupérer son capital augmenté de 10 % au bout de ces deux ans. Quel doit être le taux d’intérêt annuel auquel est placé le capital ?

2. Même question mais la durée de placement est de 4 ans et on veut un capital augmenté de 20 %.

3. Proposez une formule générale de calcul.

Exercice 10. 369 Intégrale 1

L'objectif est d'étudier la suite (un) définie pour tout entier n ≥ 0 par : 1

0 20

1

1u dx

x=

+∫ et, pour n ≥ 1, 1

20 1

n

nx

u dxx

=+∫ .

1. a. Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par :

2( ) ln( 1 ).f x x x= + +

Calculer la dérivée f ' de f. En déduire u0 .

b. Calculer u1.

2. a. Prouver que la suite (un) est décroissante (on ne cherchera pas à calculer un).

En déduire que la suite (un) est convergente.

b. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a : 21 1 2x≤ + ≤ .

En déduire que, pour tout entier 1n ≥ , on a :

(1) 1 1

1( 1) 2nu

nn≤ ≤

++.

Déterminer la limite de (un).

3. Pour tout entier 3n ≥ , on pose : 1

2 2

0I 1nn x x dx−= +∫ .

a. Vérifier que, pour tout entier 3n ≥ , on a : un + un−2 = In.

Par une intégration par parties portant sur In, montrer que, pour tout entier 3n ≥ , on a :

2( 1) 2n nnu n u −+ − = .

b. En déduire que, pour tout entier 3n ≥ , on a :

(2) (2 1) 2nn u− ≤ .

247

c. À l'aide des inégalités (1) et (2), montrer que la suite (nun) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 10. 370 Intégrale 2

Première partie

On considère la courbe (C) de la fonction inverse : 1

( )x f xx

=֏ pour 1 2x≤ ≤ . On voudrait trouver une

valeur approchée de l’aire comprise entre (C), l’axe (Ox) et les droites d’équations x = 1 et x = 2. On découpe l’intervalle [1 ; 2] en n intervalles de même amplitude.

1. Donner les valeurs x0, x1, …, xn des bornes des intervalles.

2. Déterminer les images de ces valeurs par f.

3. En considérant les aires des n rectangles dont l’un des sommets est sur la courbe (C), déduire, en fonction de n, un encadrement de l’aire cherchée.

Deuxième partie

On considère la suite (un) définie par : 1

1 1 1 11 2 2

i n

n

i

un n n n i

=

=

= + + + =+ + +∑… , pour tout n de ℕ *, et la suite

(vn) définie par : 1

0

1 1 1 11 2 1

i n

n

i

vn n n n i

= −

=

= + + + =+ − +∑… , pour tout n de ℕ *.

1. Déterminer u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3, v4 et en donner des valeurs approchées à 10–2 près.

2. Représenter les points correspondants sur une droite.

3. Démontrer que la suite (un) est croissante et la suite (vn) est décroissante.

4. Calculer vn – un et démontrer que lim 0n nn

v u→+∞

− = .

5. Quelle conjecture peut-on faire pour les suites (un) et (vn) ?

6. En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée à 10−3 près de u50 et v50 puis de u150 et v150 .

Exercice 10. 371 Récurrence double

On considère la suite (un) définie par :0 1

1 1

0 ; 17 8n n n

u u

u u u+ −

= = = +

.

1. Montrer que la suite sn définie par sn = un+1 + un est une suite géométrique dont on précisera la raison. En déduire sn en fonction de n.

2. On pose vn = (−1)nun et on considère la suite tn définie par tn = vn+1 − vn. Exprimer tn en fonction de sn.

3. Exprimer vn puis un en fonction de n (on pourra calculer de deux manières la somme 0 1 ... nt t t+ + + ).

4. Déterminer lim8nnn

u

→+∞.

Exercice 10. 372 Suites adjacentes 1

On considère les suites (un) et (vn) définies par : 1 10 nnu

−= − et 1 10 nnv

−= + pour tout n de ℕ .

1. Donner les valeurs de u0, v0, u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4.

2. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

3. Quelle est leur limite ?

4. Que peut-on dire du nombre dont l’écriture décimale est 0,9999… ?


On considère la suite ( ) 1n nu ≥ définie par : 2 2 2 2

1

1 1 1 11 2

p n

n

p

up n

=

=

= = + + +∑ … ,

248

et la suite ( ) 1n nv ≥ définie par :

1n nv u

n= + .

1. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

2. Soit l leur limite. Donner un entier n0 pour lequel l’encadrement de l par 0nu et 0nv est un encadrement

d’amplitude inférieure ou égale à 10–3.

3. En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée de 0nu et 0nv .

Est-il possible que l soit égal à 2

6π

?


On considère les suites (un) et (vn) définies par :

0

1

03 14n

n

u

uu +

=

+ =

, et 0

1

23 14n

n

v

vv +

=

+ =

pour tout entier naturel n.

Dans un repère orthonormé ( ; , )O i j

, tracer les droites (D) et (∆ ) d’équations respectives

3 14x

y+= et y = x.

1. En utilisant ces deux droites, placer sur l’axe des abscisses les réels u1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.

2. Calculer u1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.

3. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes et donner leur limite.

Exercice 10. 375 Suites adjacentes 5 : Bac C, N. Calédonie, 1986

On définit deux suites (un) et (vn) par : 1 1 1 12 3

12, 1, ,3 4

n n n nn n

u v u vu v u v+ +

+ += = = =

1. Pour tout entier n 1, on pose wn = un – vn. Montrer que (wn) est une suite géométrique à termes positifs, déterminer sa limite et exprimer wn en fonction de n.

2. Démontrer que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante.

3. Pour tout entier n 1, démontrer que n nu v≥ . En déduire que 1 1n nu u v v≥ ≥ ≥ .

4. Pour tout entier n 1, on pose tn = 3un + 8vn. Démontrer que (tn) est une suite constante.

5. En déduire les expressions de un et vn en fonction de n, puis les limites de (un) et (vn).

Exercice 10. 376 Suites adjacentes 6 : étude d’un nombre

Définition et étude d’un nombre à l’aide de deux suites adjacentes A. Préambule : quelques propriétés de la factorielle

n est un entier naturel non nul. On note !n (et on lit « factorielle n ») le produit − × × ×( 1) ... 2 1n n . On convient de plus que =0! 1 .

1. Calculer 2!, 3!, 4!, 5!

2. Simplifier +( 1)!!

n

n puis

!nn.

3. Vérifier que −− =

+ +2 1 1

( 1)! ! ( 1)!n

n n n.

4. Justifier que le nombre + + + +

1 1 1! 1 ...

1! 2! !n

n est un entier.

249

5. h est la fonction définie sur ℝ par −

= + + + + +−

2 1

( ) 1 ...1! 2! ( 1)! !

n nx x x xh x

n n. Calculer '( )h x et vérifier que pour

tout ∈ℝx , −

= + + + +−

2 1

'( ) 1 ...1! 2! ( 1)!

nx x xh x

n.

B. Etude du nombre e

On considère les deux suites ( ) ≥1n nu et ( ) ≥1n n

v définies par : = + + + +1 1 11 ...

1! 2! !nun et = + 1

!n nv un.

1. Etude des suites ( ) ≥1n nu et ( ) ≥1n n

v

a. Calculer 1 1 2 2 3 3, , , , ,u v u v u v .

b. Montrer que la suite ( ) ≥1n nu est strictement croissante.

c. Montrer que la suite ( ) ≥1n nv est décroissante. Est-elle strictement décroissante ? L’est-elle à partir d’un

certain rang ?

d. Montrer que les suites ( ) ≥1n nu et ( ) ≥1n n

v sont adjacentes.

e. On note l leur limite commune. Déterminer un encadrement de l d’amplitude −310 .

2. On suppose que l est rationnel, c’est à dire qu’il existe deux entiers naturels p et n vérifiant =p

ln.

a. Est-il possible que n = 1 ?

b. Justifier l’encadrement : < < + 1!n n

pu u

n n.

c. En déduire que < − − <0 ( 1)! ! 1np n n u .

d. Justifier que le nombre = − −( 1)! ! nN p n n u est un entier. Qu’en conclut-on ?

3. Où l’on retrouve l’exponentielle.

a. Quel autre nombre déjà rencontré vérifie l’inégalité établie à la question B. 1. e. ?

b. Pour n entier fixé ( ∈ℕ*n ), on définit la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] par :

− = + + + +

2

( ) 1 ...1! 2! !

nxx x x

f x en

.

Montrer que pour tout ∈[0 ; 1]x , −= −'( )!

nxx

f x en

.

c. Etablir le tableau de variation de f sur [0 ; 1].

d. Calculer f(0). Montrer que =(1) nufe. En déduire que pour tout ∈ℕ*n : <nu e .

4. Pour n entier fixé ( ≥ 2n ), on définit la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1] par : −

− = + + + + + −

2 1

( ) 1 ... 21! 2! ( 1)! !

n nxx x x x

g x en n

.

a. Montrer que pour tout ∈[0 ; 1]x , −

−= −1

'( ) ( 2 )!

nxx

g x n x en

.

b. Etablir le tableau de variation de g sur [0 ; 1].

c. Calculer g(0). Montrer que =(1) nvge. En déduire que pour tout ≥ 2n : < <n nu e v .

Conclure : quelle est le nombre l défini en B. 1. e. ?

Exercice 10. 377 Expo+sol équation, N. Calédonie, sept 2002

250

10 points

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O i j

. (Unités graphiques : 2 cm).

Partie A

On considère la fonction f définie sur ℝ par ( ) 2( ) 3x

f x x e−

= + .

1. Déterminer les limites de f en −∞ , puis en +∞ .

2. Étudier les variations de f sur ℝ et dresser son tableau de variations.

3. Construire la courbe (Γ ) représentative de f dans ( ; , )O i j

.

4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer 0

2

3

x

I xe dx−

−= ∫ et en déduire l’aire, en unités d’aire, du

domaine défini par les couples (x, y) tels que 0 ≤ y ≤ f (x) et x ≤ 0.

5. a. Démontrer que l’équation f (x) = 3 admet deux solutions dans ℝ . Soit α la solution non nulle,

montrer que : 3

22

α− < < − .

b. Plus généralement, déterminer graphiquement suivant les valeurs du nombre réel m, le nombre de solutions de l’équation f (x) =m.

Partie B

On considère la fonction ϕ définie sur ℝ par 2( ) 3 3x

x eϕ = − .

1. Démontrer que f(x) = 3 si et seulement si ϕ (x) = x.

2. Soit 'ϕ et ''ϕ les dérivées première et seconde de la fonction ϕ .

a. Calculer, pour tout réel x, ( )' xϕ et ( )'' xϕ . Justifier que ( ) 32

αϕ α += .

b. Étudier le sens de variation de ( )' xϕ , puis celui de ( )xϕ .

c. On se place désormais dans l’intervalle I= [−2 ; α ].

3. Montrer que, pour tout x appartenant I :

a. ( )xϕ appartient à I.

b. ( )1 3'

2 4xϕ≤ ≤ .

c. En déduire, à l’aide d’une intégration, que pour tout x de l’intervalle I, on a :

( ) ( ) ( ) ( )1 30

2 4x x xα ϕ α ϕ α≤ − ≤ − ≤ − .

4. On considère la suite (un) définie sur ℕ par : ( )0

1

2

n n

u

u uϕ+

= − =

.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, un appartient à l’intervalle I.

b. Justifier que, pour tout entier n, ( )13

04n nu uα α+≤ − ≤ − puis que

30

4

n

nuα ≤ − ≤

.

c. En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.

d. Déterminer le plus petit entier p tel que : 2310

4

p− ≤

. Donner une approximation décimale à 10−2 près

de up , à l’aide d’une calculatrice, puis une valeur approchée de α à 22 10−× près.

Exercice 10. 378 Encadrement d’intégrale, Polynésie juin 2004

251

5 points

On considère la suite (In), n ∈ ℕ , définie par : 2

1

0 1

t

ne

I dtn t

−=

+ +∫ .

1. a. Déterminer le sens de variation de cette suite.

b. Montrer que (In), est une suite positive.

c. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1] on a 2

11 1

te

n t n

−≤

+ + + et en déduire que

10

1nIn

≤ ≤+

. Que peut-on en

conclure quant à la convergence de (In) ?

2. On considère f et g deux fonctions définies sur [0 ; 1] par : ( ) 1xf x e x−= + − et 2

( ) 12

xxg x x e−= − + − .

a. Étudier le sens de variation et le signe de f.

b. En déduire le sens de variation de g sur [0 ; 1].

c. Établir, pour tout x appartenant à [0 ; 1], l’encadrement : 2

1 12

x xx e x−− ≤ ≤ − + .

d. En déduire un encadrement de 2te− pour tout t appartenant à [0 ; 1].

e. Établir l’encadrement : ( ) ( )2 23

3 2 30 1nIn n

≤ ≤+ +

.

f. Donner une valeur de p telle que Ip ≤ 10−2.

Exercice 10. 379 Puissances et factorielles, Liban juin 2004

4 points

1. Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.

a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, ! !

n kk k

n k≤ .

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, ! !

nn kx x k

n k k

≤ ×

.

c. Montrer que lim 0!

n

n

x

n→+∞= .

2. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, 1

1!

nn

n

−≥ (on pourra écrire

1

!

nn

n

− comme un

produit de n−1 facteurs supérieurs ou égaux à 1).

b. En déduire que lim!

n

n

n

n→+∞= +∞ .

Exercice 10. 380 Indice de Gini, Centres étrangers juin 2004

9 points

On s’intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d’une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent vérifier les conditions suivantes :

(1) f(0) = 0 et f(1) = 1 ;

(2) f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] ;

(3) Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], f(x) ≤ x.

Le plan est rapporté au repère orthonormal R= ( ; , )O i j


I. Étude d’un modèle

252

On appelle g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par g (x)= xex−1.

1. Prouver que g vérifie les conditions (1) et (2).

2. Montrer que ( )( ) xxg x x e e

e− = − et en déduire que g vérifie la condition (3).

3. Tracer les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g dans le repère R.

II. Un calcul d’indice

Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice If égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du domaine plan M délimité par les droites d’équations y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .

1. Justifier que [ ]1

0( )fI x f x dx= −∫ .

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice Ig, associé à g.

3. On s’intéresse aux fonctions fn, définies sur l’intervalle [0 ; 1] par 2

( )1

n

nx

f xx

=+

où n est un entier naturel

supérieur en égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de leur indice In lorsque n tend vers l’infini.

a. On pose [ ]1

0( )n nI x f x dx= −∫ et

1

0( )n nu f x dx= ∫ . Prouver que

12n nI u= − .

b. Comparer 1

1

nt

t

+

+ et

1

nt

t+ sur l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (un) est décroissante.

c. Prouver que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], 1

01

nntt

t

+≤ ≤

+.

d. En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 2, 2

01nu

n≤ ≤

+.

e. Déterminer alors la limite de In quand n tend vers l’infini.

Exercice 10. 381 Accroissements finis, Asie juin 2004

8 points

I. Étude d’une fonction f

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle 1;

2I

= − + ∞ par f (x) = ln(1+2x).

1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I.

2. Déterminer la limite de f (x) quand x tend vers 12

− .

3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g(x)= f(x)−x.

a. Étudier les variations de g sur l’intervalle I.

b. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée β , appartenant à l’intervalle [1 ; 2].

c. En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle I.

4. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; β [, f(x) appartient aussi à ]0 ; β [.

II. Étude d’une suite récurrente

On appelle (un), n ≥ 0 la suite définie par un+1 = f(un) et u0 = 1.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ; β [.

2. Démontrer par récurrence que la suite (un) est croissante.

3. Justifier que la suite (un) est convergente.

253

III. Recherche de la limite de la suite (un)

1. Montrer que pour tout réel x ≥ 1, 2

( )3

f x ≤ .

2. Recherche de la limite de la suite (un) :

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, n ≥ 0, ( )0

2'( )

3 nuf t dt u

ββ≤ −∫ .

b. En déduire que pour tout entier naturel n, ( )123n nu uβ β+− ≤ − , puis à l’aide d’un raisonnement par

récurrence que 2

03

n

nuβ ≤ − ≤

.

c. Quelle est la limite de la suite (un) ?

Exercice 10. 382 Intégrale et suite, Amérique du Nord, mai 2004

8 points

Partie I

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :

(En) '!

nxx

y y en

−+ = .

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur ℝ , vérifient, pour tout x réel :

g (x)= h(x)e−x .

a. Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel, '( )!

nxh x

n= .

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que h(0) = 0. Quelle est alors la fonction g ?

2. Soit ϕ une fonction dérivable sur ℝ .

a. Montrer que ϕ est solution de (En) si et seulement si ϕ − g est solution de l’équation : (F) y’ + y = 0.

b. Résoudre (F).

c. Déterminer la solution générale ϕ de l’équation (En).

d. Déterminer la solution f de l’équation (En) vérifiant f (0) = 0.

Partie II

Le but de cette partie est démontrer que 0

1lim

!

n

nk

ek→+∞

=

=∑ (on rappelle que par convention 0! = 1).

1. On pose, pour tout x réel, 0 ( ) xf x e−= , 1( ) xf x xe−= .

a. Vérifier que f1 est solution de l’équation différentielle : y’ + y = f0.

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la solution de l’équation différentielle y’ + y = fn−1 vérifiant fn(0) = 0.

En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n ≥ 1 : ( )!

nx

nx

f x en

−= .

2. Pour tout entier naturel n, on pose 1

0( )n nI f x dx= ∫ (on ne cherchera pas à calculer In).

254

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement :

0 ( )!

n

nx

f xn

≤ ≤ . En déduire que ( )

10

1 !nIn

≤ ≤+

0, puis déterminer la limite de la suite (In).

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité : 11

1!k kI I e

k−

−− = − .

c. Calculer I0 et déduire de ce qui précède que : 1

0

1!

n

n

k

eI

k

−

=

= −∑ .

d. En déduire finalement : 0

1lim

!

n

nk

ek→+∞

=

=∑ .

Exercice 10. 383 Intégrale et suite, N. Calédonie, mars 2004

Partie A : Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur ℝ par 2( ) 1 2x xf x e e− −= + − etC sa courbe représentative dans un plan

rapporté à un repère orthogonal ( ; , )O i j

, (unités graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe des ordonnées).

1. a. Soit Ie polynôme P défini sur ℝ par P(X) = 1+X −2X2. Étudier Ie signe de P(X).

b. En déduire Ie signe de f (x) sur ℝ .

c. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ . Qu’en déduire pour la courbe C ?

3. Vérifier que ( )2 2( ) 2x x xf x e e e−= + − , puis déterminer la limite de f en −∞ .

4. a. Soit f ’ la fonction dérivee de la fonction f, calculer f ’(x).

b. Montrer que f ’(x) a Ie même signe que (4−ex ), puis étudier Ie signe de f ’(x).

c. Dresser Ie tableau de variations de f. On montrera que Ie maximum est un nombre rationnel.

5. a. Démontrer que la courbe C et la droite D d’équation y = 1 n’ont qu’un point d’intersection A dont on déterminera les coordonnées.

b. Étudier la position de la courbe C par rapport a la droite D.

6. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A.

7. Tracer les droites D et T , puis la courbe C.

Partie B : Étude d’une suite

1. Calculer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan limitée par la courbe C, l’axe des ordonnées et la droite D.

2. On considère la suite (un) définie sur ℕ * par : [ ]ln 2

1 ln 2( ) 1

n

nn

u f x dx+

− += −∫ .

a. Démontrer que la suite (un) est à termes positifs.

b. Donner une interprétation géométrique de (un).

3. a. En utilisant Ie sens de variation de f , montrer que, pour tout n ≥ 2 :

si x ∈ [(n −1)+ln2 ; n +ln 2] alors f(n +ln 2)−1 ≤ f(x)−1 ≤ f[(n −1)+ln2]−1.

b. En déduire que, pour tout n, n ≥ 2, on a : f(n +ln 2)−1 ≤ un ≤ f[(n −1)+ln2]−1.

c. Démontrer que la suite (un) est décroissante à partir du rang 2.

d. Montrer que la suite (un) est convergente.

4. Soit la suite (Sn) définie pour n > 0, par Sn = u1 +u2 + u3 +. . .+ un.

a. Écrire Sn à l’aide d’une intégrale.

255

b. Interpréter géométriquement Sn.

c. Calculer Sn et déterminer la limite de la suite (Sn).

Exercice 10. 384 Intégrale et suite, Amérique du Sud, nov 2003

On considère la fonction f définie sur ℝ par : 1

( )x x

f xe e−

=+

et on désigne par Γ sa courbe représentative

dans un repère orthogonal ( ; , )O i j

.

Partie A

1. Étudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour la courbe Γ ?

2. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, x xe e− ≤ .

3. a. Déterminer la limite de f en +∞ .

b. Étudier les variations de f sur [0 ; +∞ [.

4. On considère les fonctions g et h définies sur [0 ; +∞ [ par 1

( )x

g xe

= et 1

( )2 x

h xe

= .

Sur l’annexe sont tracées les courbes représentatives de g et h, notées respectivement C1 et C2.

a. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, h(x) ≤ f(x) ≤ g(x). b. Que peut-on en déduire pour les courbes Γ , C1, et C2 ? Tracer Γ sur l’annexe, en précisant sa tangente au point d’abscisse 0.

Partie B

Soit (In) la suite définie sur ℕ par : 1( )

n

nn

I f x dx+

= ∫ .

1. Justifier l’existence de (In), et donner une interprétation géométrique de (In).

2. a. Démontrer, que pour tout entier naturel n, f(n +1) ≤ In ≤ f (n).

b. En déduire que la suite (In) est décroissante.

c. Démontrer que la suite (In) est convergente et determiner sa limite.

Partie C

Soit (Jn) la suite définie sur ℕ par : 0( )

n

nJ f x dx= ∫ .

1. En utilisant l’encadrement obtenu dans la question A. 4. a., démontrer que, pour tout entier naturel n :

( )11 1 1

2n n

ne J e− −− ≤ ≤ − ≤ ..

2. Démontrer que la suite (Jn) est croissante. En déduire qu’elle converge.

3. On note L la limite de la suite (Jn) et on admet le théorème suivant : « Si un, vn et wn sont trois suites convergentes de limites respectives a, b et c et si, à partir d’un certain rang on a pour tout n, un ≤ vn ≤ wn, alors a ≤ b ≤ c ».

Donner un encadrement de L.

4. Soit u la fonction définie sur ℝ par 2

1( )

1u x

x=

+. On note v la primitive de u sur ℝ telle que (1)

4v

π= .

On admet que la courbe représentative de v admet en +∞ une asymptote d’équation 2

yπ= .

a. Démontrer que, pour tout réel x, ( )2

( )1

x

x

ef x

e=

+.

b. Démontrer que, pour tout réel x, f est la dérivée de la fonction ( )xx v e֏ .

c. En déduire la valeur exacte de L.

256

Annexe

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0 1 2 3 4 5 6

x

y

257

11 . GEOMETRIE EXERCICES

Exercice 11. 385 QCM

Question 1 : ABCD est un tétraèdre régulier d’arête a. . ...AB AD =

a) 2a b) 212a c) 2a− d) 21

2a−

Question 2 : Si ( )u v w⊥ − et si ( )v u w⊥ −

alors

a) ( )w u v⊥ − b) u v⊥

et u w⊥ c) v w

→⊥

d) u v⊥ mais pas

necessairement u w⊥

Question 3 : On considère un cube ABCDIJKL et on munit l’espace du repère ( ); , ,A AB AD AI

. La

distance du point J au plan (BIK) est :

a) 3 b) 33 c)

332 d)

32

Question 4 : Les plans P et P’ d’équations respectives : 3 5 2 1 0x y z− + − = et 6 10 3 0x y z− + − = sont des plans :

a) orthogonaux b) parallèles c) sécants d) strictement parallèles

Question 5 : On pose A(1 ; 0 ; −1), B(0 ; 1 ; 1), P (2 ; 0 ; 1), Q(1 ; 1 ; 0) et R(1 ; 0 ; 1). L’intersection de la droite (AB) avec le plan (PQR) est :

a) le point 2 1 2; ;

3 3 3

b) la droite (AB) c) le point 1 2 1; ;

3 3 3

d) n’existe pas

Question 6 : On considère un cube ABCDEFGH on munit l’espace du repère ( ); , ,A AB AD AE

. Le plan

CFH a pour équation :

a) x – y + z = 2 b) x + y + z = 2 c) x + y – z + 2 = 0 d) x + y – z = 2

Question 7 : On considère un plan P d’équation x + 2y – z – 4 = 0 et la droite (d) définie par le point A(1 ; −3 ; 0) et le vecteur directeur ( 1 ; 0 ; 2)u = −

. Le plan P et la droite (d) sont sécants en un point dont l’abscisse est :

a) 4 b) 0 c) −2 d) 1

Question 8 : On considére trois plans d’équations respectives :

x + 2y – z − 4 = 0 ; −2x + 3y + z –1 = 0 et –5x + 4y + 3z + 2 = 0 .

L’intersection de ces trois plans est :

a) vide b) un point c) une droite de vecteur

directeur 5 1; ;1

7 7u

=

d) une droite de vecteur

directeur 5 1; ;1

2 2u

=

258

Question 9 : Dans un repère orthonormé ( ; , , )O i j k , on considère les points A(1 ; 2 ; 3), B(−1 ; 0 ; −1) et

C(2 ; 1 ; −3). L’isobarycentre G du triangle OBC a pour coordonnées :

a) 1 1 4; ;

3 3 3−

b) 2 5;1 ;

3 3

c) (−1 ; 0 ; 2) d) 1 1 2; ;

3 3 3−

Question 10 : On peut caractériser la demi-droite [AB) comme étant l’ensemble des barycentres des points pondérés (A, a) et (B, b) avec a et b réels tels que a + b n’est pas nul et :

a) 0a

a b≥

+ b) a et b de même signe

c) a et b de signes opposés

d) 0b

a b≥

+

Exercice 11. 386 Fesic 2002, exo 13

Soit (ABC) un triangle équilatéral de côté 3 ; G le centre de gravité de (ABC) ; H le symétrique de A par rapport à G. On pourra également considérer I le milieu du segment [BC].

a. Le point H est le barycentre du système de points pondérés : (A, 1) ; (B, –2) ; (C, –2).

b. On a : . 3HAHC =

.

Soit (P) le plan passant par A et perpendiculaire à la droite (HC).

c. Pour tout point M de (P), on a : . 3HMHC =

.

d. Le plan (P) est l’ensemble des points M de l’espace vérifiant :

( 2 2 ). 9MA MB MC HC− − = −

Exercice 11. 387 Fesic 2003 exo 16

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . On considère les points A(0 ; 4 ; −1),

B(−2 ; 4 ; −5), C(1 ; 1 ; −5), D(1 ; 0 ; −4) et E(2 ; 2 ; −1).

a. Une équation du plan (ABC) est 2x + 2y − z − 9 = 0.

b. Le point E est projeté orthogonal de D sur (ABC).

c. Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.

d. Le point Ω(−1 ; 2 ; −3) est le centre d’une sphère passant par A, B, C et D.

Exercice 11. 388 QCM espace France, juin 2004

Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse inexacte enlève 1/2 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif la note est ramenée à 0.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k , on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan P

d’équation 3 4 0x y z+ − + = .

1. Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est :

A : 11 23

x t

y t

z

= + = − = −

B : 21

1 3

x t

y t

z t

= + = − + = −

C : 12 23

x t

y t

z t

= + = − − =

D : 213 3

x t

y t

z t

= + = − + = − −

(t réel).

2. Les coordonnées du point d’intersection H de la droite D avec le plan P sont :

A : (−4 ; 0 ; 0) B : 6 9 3; ;

5 5 5− −

C : 7 2 1; ;

9 3 3−

D : 8 25 9; ;

11 11 11−

3. La distance du point S au plan P est égale à :

A : 113

B : 311

C : 911

D : 911

259

4. On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale :

A : au point I(1 ; −5 ; 0) B : au cercle de centre H et de rayon 10

311

r =

C : au cercle de centre S et de rayon 2 D : au cercle de centre H et de rayon 3 1011

r =

Exercice 11. 389 QCM espace, N. Calédonie, nov 2004

5 points

Cet exercice est un Q.C.M. Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes.

Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux) dans la case correspondante.

Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question 3 réponses correctes rapportent 1 point, 2 réponses correctes rapportent 0,5 point.

E H

A D

G

F

C B

Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On choisit le repère orthonormal ( ); , ,A AB AD AE

. On appelle I et J

les milieux respectifs des segments [EF] et [FG]. L est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3). Soit (P) le plan d’équation 4 4 3 3 0x y z− + − = .

1. Les coordonnées de L sont :

Propositions a. 1; 0 ; 0

3

b. 3; 0 ; 0

4

c. 2; 0 ; 0

3

Réponses

2. Le plan (P) est le plan :

Propositions a. (GLE) b. (LEJ) c. (GFA)

Réponses

3. Le plan parallèle au plan (P) passant par I coupe la droite (FB) en M de coordonnées :

Propositions a. 1

1 ; 0 ;4

b. 1

1 ; 0 ;5

c. 1

1 ; 0 ;3

Réponses

4.

Propositions a. Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N qui est le symétrique de M par rapport à B.

b. Les droites (EL) et (IM) sont parallèles.

c. b. Les droites (EL) et (IM) sont sécantes.

Réponses

260

5. Le volume du tétraèdre FIJM est :

Propositions a. 136

b. 148

c. 124

Réponses

Exercice 11. 390 QCM, Amérique Nord, juin 2004

3 points

Dans le plan affine, on considère ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le centre

de gravité de ABC. Pour tout réel m, différent de 13

− , on note Gm le barycentre du système de points

pondérés Sm = (A, 1) ; (B, m) ; (C, 2m). Pour tout point M du plan on note 3 2MV MA MB MC= − −

.

Pour chacune des six affirmations suivantes, dite si elle est vraie (V) ou fausse (F).

Chaque bonne réponse donne 0,5 point, chaque réponse fausse ou illisible enlève 0,25 point, l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Un éventuel total négatif serait ramené à 0.

Affirmation V ou F

G1 est le milieu du segment [CI].

G1 est barycentre de ( ) 2, 2 ; ,

3J C

.

Pour tout point M , 2MV AB AC= +

.

Pour tout m, distinct de 13

− , mAG

est colinéaire à 1AG−

.

1/2IBG− est un triangle rectangle.

Pour tout point P de (AG−1), il existe un réel m tel que P = Gm.

Exercice 11. 391 QCM, Asie, juin 2004

4 points

L’espace E est rapporté au repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On appelle P le plan d’équation 2x−y +5 = 0 et Q le plan d’équation 3x+y −z = 0.

1. Montrer que P et Q sont sécants en une droite D dont une représentation paramétrique est :

2 55 5

x

y

z

ααα

= = + = +

où α est un nombre réel.

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses :

• Affirmation 1 : D est parallèle au plan R d’équation : −5x +5y −z = 0.

Soit D’ la droite de l’espace de représentation paramétrique : 3

12 2

x

y

z

ββ

β

= − = + = +

où β est un nombre réel.

• Affirmation 2 : D et D’ sont coplanaires.

Exercice 11. 392 Exo de base dans l’espace - 1

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k . Les points A, B, C et D ont pour coordonnées :

( 1 ; 0 ; 2), (3 ; 2 ; 4), (1 ; 4 ; 2), (5 ; 2 ; 4)A B C D− − − −

261

On considère les points I, J, K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD]

et J est tel que 14

BJ BC=

.

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

2. a. Montrer que I, J et K ne sont pas alignés.

b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est 8 9 5 12 0x y z+ + − = .

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que (IJK) et (AD) sont sécants en un point L dont on donnera les coordonnées.

d. Déterminer la valeur du réel k tel que AL kAD=

.

Exercice 11. 393 Exo de base dans l’espace - 2

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k . Les points A, B et C ont pour coordonnées :

( 1 ; 2 ;1), (1 ; 6 ; 1), (2 ; 2 ; 2)A B C− − − .

1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés et que le vecteur 113

n

= −

est normal au plan (ABC).

2. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆ ) orthogonale au plan (ABC) passant par le point D(0 ; 1 ; −1).

4. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H avec le plan (ABC). Quelle est la distance de D au plan (ABC) ?.

5. Soit M un point quelconque de (DC) de paramètre t (soit DM tDC=

, t réel) ; vérifier que la distance AM

est minimale lorsque 514

t = − . En déduire les coordonnées du point Q, projeté orthogonal de A sur (DC).

Exercice 11. 394 Exercice de base dans l’espace - 3

P1, P2 et P3 sont trois plans d’équations cartésiennes :

P1 : 2 5 0x y z− + − =

P2 : 3 5 7 4 0x y z+ + + =

P3 : 3 0y z+ + = .

1. Montrer que P1 et P2 sont perpendiculaires.

2. Déterminer une équation paramétrique de l’intersection D de P1 et P2.

3. En déduire que P1, P2 et P3 ont un unique point commun et calculer ses coordonnées.


Soit le plan P d’équation 2 3 1 0x y z+ + − = et le point A (1 ; 4 ; 1).

1. Déterminer la distance du point A au plan P.

2. Calculer le rayon de l’intersection de la sphère de centre A et de rayon 5 avec le plan P.


Soit ABCD un losange de centre O avec OB = 2OA.

1. Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que ( ) ( )2 2 =0MA MC MD MB MC MD+ − − +

.

2. Déterminer l’ensemble des points M tels que : 2 2 2 22 6MA MC MD OA+ − = − .

262

Exercice 11. 397 Nouvelle Calédonie, septembre 2003

5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k .

On considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).

c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne 20x +9y +12z −180 = 0.

d. Montrer que le système 0

4 3 020 9 12 180 0

x

y z

x y z

= − = + + − =

a une solution unique. Que représente cette solution ?

e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.

3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2. c. ?

Exercice 11. 398 Volume tétraèdre

L'espace étant rapporté à un repère orthonormal de sens direct (O, OI, OJ, OK)

, on considère le cube de sommets O, I, R, J, N, K, L, M dont une représentation est jointe sur la feuille annexe.

J

N M

R

LK

IO

On note A le milieu de l'arête [IL] et B le point défini par : 2

KB KN.3

=

On appelle P le plan passant par les points O, A et B.

1. a. Préciser les coordonnées des points A et B.

b. Déterminer les coordonnées d’un vecteur u orthogonal à OA

et OB

.

2. a. Montrer que l'aire du triangle OAB vaut 14

.6

b. Le point 1

C 1 ; ;13

appartient-il à P ? Justifier votre réponse.

3. On considère le tétraèdre OABK.

a. Montrer que son volume vaut19.

b. En déduire la distance du point K au plan P.

263

N.B. : On rappelle que le volume d'un tétraèdre est le tiers du produit de l'aire d'une base par la longueur de la hauteur correspondante.

Exercice 11. 399 Distance dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal on considère le point ( 1 ;1 ; 3)A − et la droite D ayant pour

représentation paramétrique 1 22 ,2 2

x t

y t t

z t

= + = − ∈ = +

ℝ ; le but de l’exercice est de calculer de deux manières

différentes la distance d du point A à la droite D.

1. Soit M un point de D, on pose 2( )f t AM= ; calculer f(t) en fonction de t, déterminer le minimum de f et en déduire d.

2. Soit P le plan passant par A et perpendiculaire à D :

a. déterminer un vecteur normal de P, donner une équation cartésienne de P, trouver un point M0 de D.

b. Calculer la distance Pd de M0 à P ainsi que 0AM . Exprimer d en fonction de Pd et 0AM , en déduire d.

Exercice 11. 400 Droites et plans de l’espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( ; , , )O i j k . On appelle P le plan d’équation 2 5 0x y− + = et

P’ celui d’équation 3 0x y z+ − = .

1. Montrer que P et P’ sont sécants suivant une droite D dont une représentation paramétrique est

5 25 5

x t

y t

z t

= = + = +

où t est un réel quelconque.

2. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier précisément vos réponses :

* D est parallèle au plan R d’équation 5 5 0x y z− + − = .

* Soit D’ la droite de représentation paramétrique 3

12 2

x u

y u

z u

= − = + = +

où u est un réel quelconque. Les droites D et

D’ sont coplanaires.

Exercice 11. 401 Droites, plan, sphère, Polynésie, sept 2003

5 points

L’espace est rapporté à un repère ( ; , , )O i j k orthonormé. Soit s un nombre réel.

On donne les points A (8 ; 0 ; 8), B (10 ; 3 ; 10) ainsi que la droite D d’équations paramétriques :

5 31 22

x s

y s

z s

= − + = + = −

.

1. a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite ∆ définie par A et B.

b. Démontrer que D et ∆ sont non coplanaires.

2. a. Le plan P est parallèle à D et contient ∆ . Montrer que le vecteur ( )2 ; 2 ;1n −

est un vecteur normal à

P. Déterminer une équation cartésienne de P .

b. Montrer que la distance d’un point quelconque M de D à P est indépendante de M.

c. Donner un système d’équations paramétriques de la droite définie par l’intersection de P avec le plan (xOy).

264

3. La sphère S est tangente à P au point C(10 ; 1 ; 6). Le centre Ω de S se trouve à la distance d = 6 de P, du même côté que O. Donner l’équation cartésienne de S.

Exercice 11. 402 Barycentre espace, N. Calédonie, mars 2004

E H

A D

GF

C B

On considère Ie cube ABCDEFGH ci-dessus. O1 et O2 sont Ies centres des carrés ABCD et EFGH, et I est Ie centre de gravité du triangle EBD. Soit m un nombre réel et Gm le barycentre du système de points pondérés : (E ; 1), (B ; 1 − m), (G ; 2m − 1), (D ; 1 − m).

Partie A

1. Justifier l’existence du point Gm.

2. Préciser la position du point G1.

3. Vérifier que G0 = A. En déduire que les points A, I et G sont aIignés.

4. Démontrer que 2mAG mAO=

. En déduire l’ensemble des points Gm lorsque m parcourt l’ensemble des nombres réels.

5. a. Vérifier que les points A, Gm , E et O1, sont coplanaires.

b. Déterminer la valeur de m pour laquelle Gm se trouve sur la droite (EI).

Partie B

Dans cette question, l’espace est rapporté au repère orthonormal ( ); , ,A AB AD AE

.

1. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (EBD). En déduire une équation cartésienne du plan ABD.

2. Déterminer les coordonnées du point Gm.

3. Pour quelles valeurs de m, la distance de Gm au plan (EBD) est-elle égale à 33 ?

Exercice 11. 403 Barycentre espace, Antilles, juin 2004 (c)

5 points

On considère le tétraèdre ABCD ; on note I le milieu du segment [AB] et J celui de [CD].

1. a. Soit G1 le barycentre du système de points pondérés (A, 1) ; (B, 1) ; (C, −1) ; (D, 1).

Exprimez 1IG

I en fonction de CD

. Placez I, J etG1 sur une figure.

b. Soit G2 le barycentre du système de points pondérés (A, 1) ; (B, 1) ; (D, 2). Démontrez que G2 est le milieu du segment [ID]. Placez G2.

c. Démontrez que IG1DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G2 par rapport aux points G1 et J.

2. Soit m un réel. On noteGm le barycentre du système de points (A, 1) ; (B, 1) ; (C,m−2) ; (D,m).

a. Précisez l’ensemble E des valeurs de m pour lesquelles le barycentreGm existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel m appartient à l’ensemble E.

265

b. Démontrez que Gm appartient au plan (ICD).

c. Démontrez que le vecteur mmJG

est constant.

d. En déduire l’ensemble F des points Gm lorsque m décrit l’ensemble E .

A

B

C

D

Exercice 11. 404 Barycentre espace, France, juin 2001

Soient trois points de l’espace A, B et C non alignés et k un réel de l’intervalle [−1 ; 1]. On note Gk le barycentre du système 2( , 1), ( , ), ( , )A k B k C k+ − .

1. Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G1 et G−1.

2. a. Montrer que pour tout réel k de [−1 ; 1], on a l’égalité : 2 1k

kAG BC

k

−=+

.

b. Etablir le tableau de variation de la fonction f définie sur [−1 ; 1] par 2( )1

xf x

x= −

+.

c. En déduire l’ensemble des points Gk quand k décrit l’intervalle [−1 ; 1].

3. Déterminer l’ensemble E des points M de l’espace tels que

2 2MA MB MC MA MB MC+ − = − +

.

4. Déterminer l’ensemble F des points M de l’espace tels que

2 2MA MB MC MA MB MC+ − = − −

.

5. L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( ; , , )O i j k . Les points A, B et C ont pour coordonnées

respectives (0 ; 0 ; 2), (−1 ; 2 ; 1) et (−1 ; 2 ; 5). Le point Gk et les ensembles E et F sont définis comme ci-dessus.

a. Calculer les coordonnées de G1 et G−1. Montrer que les ensembles E et F sont sécants.

b. Calculer le rayon du cercle Γ , intersection de E et F.

Exercice 11. 405 Molécule de méthane (c)

La molécule de méthane (CH4) a la forme d’un tétraèdre régulier de côté a dont les sommets sont occupés par des atomes d’hydrogène et le centre est occupé par l’atome de carbone. On considère par la suite que chaque atome peut être assimilé à un point.

266

1. Sur la figure ci-dessous construire le centre de gravité G du tétraèdre ABCD. Montrez que la droite (GD) est orthogonale au plan (ABC). Soit H le projeté orthogonal de D (et donc de G) sur (ABC). Que peut-on

dire de H dans le triangle (ABC) ? Montrez que 14

GH DH= .

On note I le milieu de [AB].

2. Que peut-on dire du triangle CID ? Calculez les distances CI, CH, GH, GC. Déduisez-en le cosinus de l’angle CGD puis une valeur approchée en degrés de cet angle à 10−2 près.

D

C

B

A

H

O

O

C

H

C

H

H

3. A la suite d’une expérience de chimie amusante on a remplacé un des atomes d’hydrogène par la molécule (COOH) ce qui donne de l’acide acétique. La molécule a alors la forme de deux tétraèdres reliés par les deux atomes de carbone comme l’indique le schéma joint.

Sachant que l’atome de carbone a pour masse 12, celui d’oxygène 16 et celui d’hydrogène 1 construire le centre de gravité de la molécule (CH3COOH) sur la figure suivante (les lettres représentent les divers atomes).

267

Exercice 11. 406 Lignes de niveau

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = a et AC = 2a.

I désigne le milieu de [AC] et G est le barycentre du système (A ; 3) ; (B ; −2) ; (C ; 1). 1. Construire le point G et préciser la nature du quadrilatère ABIG. Exprimer en fonction de a les distances GA, GB et GC.

2. À tout point M du plan, on associe le nombre réel :

f (M) = 3MA2 − 2MB2 + MC2.

a. Exprimer f (M) en fonction de MG et de a.

b. Déterminer et construire l'ensemble (Γ ) des points M du plan tels que : f (M) = 2a2.

3. À tout point M du plan, on associe maintenant le nombre réel :

h (M) = 3MA2 − 2MB2 − MC2.

a. Démontrer qu'il existe un vecteurUnon nul tel que : h (M) = MB.U

− 2a2.

b. On désigne par (∆ ) l'ensemble des points M du plan tels que : h (M) = −2a2. Vérifier que les points I et B appartiennent à (∆ ), préciser la nature de cet ensemble. Construire (∆ ).

4. (∆ ) et (Γ ) sont sécants en deux points E et F. Montrer que les triangles GEC et GFC sont équilatéraux.

Exercice 11. 407 EPF 2003, carré qui tourne

On considère la configuration obtenue à partir de deux carrés ayant un sommet commun (en gris) et de la construction de deux parallélogrammes (en blanc). Montrer que les centres des carrés et des parallélogrammes sont les sommets d’un carré.

P

OA

B

R

C

D

Q

S

On pourra se placer dans le repère ( ; , )O OA OB

et prendre ( , )OA OD α=

.

Exercice 11. 408 Homothétie

Soit ( γ ) le cercle de centre O et de rayon R. [AA’] un diamètre fixé de ( γ ), P le milieu de [OA’]. Une droite δ distincte de la droite (AA’) et de la perpendiculaire en P à (AA’) pivote autour de P et coupe ( γ ) en B et C.

1. Déterminer l’ensemble E1 des milieux M de [BC] lorsque δ varie.

2. a. Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. La droite (A’M) coupe (AH) en D. Déterminer l’ensemble E2 des points D lorsque M décrit E1.

b. Montrer que A’BDC est un parallélogramme. En déduire que D est l’orthocentre du triangle ABC.

3. La droite (AM) coupe (OD) en I. Montrer que 2 0IO ID+ =

. Que représente I pour le triangle ABC ? Déterminer l’ensemble E3 des points I lorsque M décrit E1.

268

Exercice 11. 409 Inversion

Soit S un point du plan et (C) le cercle de centre S de rayon a ; on considère la transformation f suivante qui à tout point M du plan associe M‘ tel que :

M'

T

M

S

* si M est un point du plan extérieur à (C) alors M’ est la projection orthogonale du point de contact T de la tangente à (C) issue de M sur la droite (SM) ,

* si M est à l’intérieur de (C), T est l’intersection entre la perpendiculaire à (SM) passant par M et (C) et M’ est l’intersection entre la tangente à (C) passant par T et (SM).

1. Vérifier que f est une involution : f f Id= ; quelle est la réciproque de f ?

2. On prend S à l’origine du plan et a quelconque. Déterminer l’écriture complexe de f.

3. Déterminer l’image d’une droite par f : deux cas suivant qu’elle passe par S ou pas.

4. Image d’un cercle par S : deux cas : de centre S ou pas.

269

12 . PROBABILITES EXERCICES

Note : c’est le bordel avec l’orthographe, le mot binome peut s’écrire de dix manières différentes (et ne parlons pas des polynomes et consorts). Aussi, et j’engage fortement mes lecteurs à procéder de même, j’ai décidé de supprimer l’accent circonflexe dans tous les cas… (ainsi que l’Académie Française le recommande d’ailleurs).

Exercice 12. 410 QCM 1 (P. Engel)

1. A et B sont deux évènements indépendants tels que p(A) = 0,2 et p(B) = 0,3 alors p(A∪B) =….

a b c d

0,06 0,44 0,5 0,56

2. A et B sont deux évènements. p(A ∩ B ) = ……

a b c d

p(A) – p( A ∩ B ) p(B) – p( A∩B ) p( B ) – p( A ∩ B ) p(A) – p( A ∩ B )

3. Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement et sans remises 2 boules de l’urne. La probabilité de l’événement : « la 2ième boule tirée est noire sachant que la première l’est aussi » est égale à ….

a b c d

54

2564

514

47

4. Lors d’une course de chevaux comportant 20 partants, la probabilité de gagner le tiercé dans le désordre est combien de fois supérieure à la probabilité de gagner le tiercé dans l’ordre ?

a b c d

10 fois 6 fois 5 fois 3 fois

5. Dans un tiroir il y a 3 paires de chaussettes de couleurs différentes, on tire au hasard 2 chaussettes ; la probabilité qu’elles appartiennent à la même paire est égale à ….

a b c d

13

15

16

12

6. Une seule de ces 4 affirmations est fausse laquelle ?

a b c d

Deux évènements incompatibles ne sont pas

nécessairement indépendants

Si p(A) ≠ 0 alors pA(A)=1

Dans un jeu de 32 cartes, la probabilité d’obtenir les 4 as dans une main de 5 cartes est

inférieure à un dix millième.

Que l’on joue au loto ou pas, la probabilité de gagner le gros lot est identique au

millionième près

270

7. On considère l’épreuve qui consiste à lancer un dé non truqué. On gagne 20 € si on obtient le 6, on perd 4 € sinon. L’espérance de gain pour ce jeu est ….

a b c d

Impossible à déterminer

négative positive nulle

8. On choisit au hasard une boule d’une urne contenant 3 boules rouges numérotées 1, 2 et 3, deux boules vertes numérotées 1 et 2 et une boule bleue numérotée 1. On considère les évènements suivants :

R : «La boule tirée est rouge » ;

A : « la boule tirée est numérotée 1 »

B : « la boule tirée est numérotée 2 ».

Laquelle de ces 4 affirmations est vraie ?

a b c d

Il n’y a pas d’évènements indépendants parmi les 3.

R et A sont indépendants

A et B sont indépendants

R et B sont indépendants

9. En considérant une année de 365 jours, la probabilité pour que dans un groupe de 23 personnes choisies au hasard, 2 personnes au moins aient la même date anniversaire est……

a b c d

Inférieure à 0,5 Egale à 0,5 Supérieure à 0,5 Proche de 0,003

10. Un élève répond au hasard aux 10 questions de ce QCM. La probabilité qu’il obtienne la moyenne est environ égale à ….

a b c d

0,003 0,058 0,078 0,0035

Exercice 12. 411 QCM 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions, chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant à la réponse choisie.

Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies. 40% des écrivains de romans policiers sont français et 70% des écrivains biographiques sont français. Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.

1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :

a. 0,4 b. 0,75 c. 1150

2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l'auteur soit français est :

a. 0,3 b. 0,8 c. 0,4

3. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :

a. 1,15 b. 0,4 c. 0,3

4. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l'écrivain est français est :

a. 4150

b. 1219

c. 0,3

271

Exercice 12. 412 Exercice de base 1

On considère l’ensemble E des entiers de 20 à 40. On choisit l’un de ces nombres au hasard.

A est l’événement : « le nombre est multiple de 3 »

B est l’événement : « le nombre est multiple de 2 »

C est l’événement : « le nombre est multiple de 6 ».

Calculer p(A), p(B), p(C), p(A ∩ B), p(A ∪ B), p(A ∩ C) et p(A ∪ C).


On lance deux fois de suite un dé équilibré.

1. Représenter dans un tableau les 36 issues équiprobables .

2. Calculer la probabilité des événements :

A : « on obtient un double » ;

B : « on obtient 2 numéros consécutifs »

C : « on obtient au moins un 6 » ;

D : « la somme des numéros dépasse 7 ».


On lance 4 fois de suite une pièce équilibrée.

1. Dresser la liste des issues équiprobables.

2. Quel est l’événement le plus probable : A ou B ?

A : « 2 piles et 2 faces »

B : « 3 piles et 1 face ou 3 faces et 1 pile ».

Exercice 12. 415 Exercice de base 4 : Dans une urne

Mille boules numérotées de 0 à 999 sont placées dans une urne. On tire une boule au hasard et on note X le numéro sorti.

1. Calculer la probabilité des événements :

A : « X est divisible par 5 »

B : « X se termine par 0 »

C : « X est multiple de 2 »

D : « X est divisible par 3 ».

2. Déterminer la probabilité des événements A C, A C, B D, B D, A D, A D∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ puis A B∩ et C D∪ .

Exercice 12. 416 Exercice de base 5 : La loterie

Dans une loterie, on vend 100 billets dont 3 sont gagnants.

1. On achète un billet. Quelle est la probabilité qu’il soit gagnant ?

2. On achète un deuxième billet. Quelle est la probabilité de gagner au moins un lot ?


Un joueur lance un dé : si le numéro est un nombre premier, le joueur gagne une somme égale au nombre considéré (en euros) ; sinon il perd ce même nombre d’euros.

1. Si X est le gain algébrique réalisé, donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique et son écart-type.

2. Le jeu est-il favorable au joueur ?

272


En fin de 1eS, chaque élève choisit une et une seule spécialité en terminale suivant les répartitions ci–dessous :

Par spécialité

Mathématiques Sciences Physiques SVT

40% 25% 35%

Sexe de l’élève selon la spécialité

Spécialité

Sexe Mathématiques Sciences physiques SVT

Fille 45% 24% 60%

Garçon 55% 76% 40%

On choisit un élève au hasard.

1. Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire.

2. a. Quelle est la probabilité de chacun des événements suivants ?

F : « l’élève est une fille », M : « l’élève est en spécialité maths ».

b. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ayant choisi spécialité mathématiques ?

3. Sachant que cet(te) élève a choisi spécialité mathématiques, quelle est la probabilité que ce

soit une fille ?

On appelle probabilité de F sachant M cette probabilité (conditionnelle) et on la note MP (F) .

4. a. Quelle égalité faisant intervenir P(F M)∩ , P(F) et MP (F) peut-on écrire ?

b. Comparer P(F) et MP (F) et en donner une interprétation.

5. a. Sachant que cet(te) élève a choisi spécialité SVT, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

b. Comparer SP (F) et P(F) , et en donner une interprétation.

Exercice 12. 419 Exercice de base 14 : test

Un laboratoire a mis au point un éthylotest. Théoriquement , celui-ci devrait être positif lorsqu’une personne testée a un taux d’alcoolémie excessif (c’est à dire strictement supérieur au seuil toléré). Mais il n’est pas parfait :

* À un taux d’alcoolémie excessif, l’éthylotest est positif 96 fois sur cent.

* À un taux d’alcoolémie acceptable, l’éthylotest est positif 3 fois sur cent.

On suppose que ces résultats portent sur un échantillon suffisamment important pour qu’ils soient constants.

Dans une région, 95 % des conducteurs d’automobiles ont un taux d’alcoolémie acceptable.

On soumet au hasard un automobiliste de cette région à l’éthylotest.

On définit les événements suivants :

T : « L’éthylotest est positif »

S : « Le conducteur a un taux d’alcoolémie excessif »

1. Traduire mathématiquement chacune des trois données numériques de l’énoncé.

2. Quelle est la probabilité qu’un automobiliste ait un taux d’alcoolémie excessif et que l’éthylotest soit positif.

3. Calculez P(T).

4. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait un taux d’alcoolémie excessif si l’éthylotest est positif ?

273

5. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait un taux d’alcoolémie acceptable si l’éthylotest est négatif?

6. Quelle est la probabilité que l’éthylotest donne un résultat erroné ?

Exercice 12. 420 Exercice de base 15 : sondage

Un sondage auprès de 150 personnes a donné les résultats suivants :

A la question «Consommez vous régulièrement de l'alcool ?», 50 personnes répondent oui.

A la question «Êtes-vous fumeur ?», 80 personnes répondent oui.

A la question «Êtes-vous un fumeur consommant régulièrement de l'alcool ?», 35 personnes répondent oui.

1. Représenter ces données par un diagramme.

2. Combien de personnes sont des fumeurs ne consommant pas régulièrement de l'alcool ?

3. Combien de personnes consomment régulièrement de l'alcool et ne sont pas fumeurs ?

4. Combien de personnes ne sont pas fumeurs et ne consomment pas régulièrement de l'alcool ?

5. Combien de personnes sont fumeurs ou consomment régulièrement de l'alcool ?

Exercice 12. 421 Exercice de base 16 : Cartes

On tire simultanément 8 cartes d’un jeu de 32, et on appelle ce tirage une main.

1. Combien y a-t-il de mains différentes possibles ?

2. Combien de mains ne comportent-elles que des cartes rouges.

3. a. Combien de mains contiennent-elles le roi de pique ?

b. Combien de mains comportent-elles exactement 2 as ?

c. Combien de mais comportent-elles exactement 1 roi et 2 piques ?

d. Combien de mains comportent-elles la dame de carreau et au moins 2 cœurs ?

4. Combien de mains comportent-elles les 4 as ou les 4 rois ?

Exercice 12. 422 Tintin et Milou, N. Calédonie, 1993

On considère le mot MILOU. On forme des « mots », ayant un sens ou non, avec certaines de ses lettres. Chaque lettre intervient au plus une fois dans un même « mot ».

1. Combien de mots de 5 lettres peut-on faire ?

2. Combien de mots peut-on faire en tout ?

3. Combien de mots de 5 lettres dans lesquels il n’y a pas deux voyelles consécutives ?

4. Combien de mots de 6 lettres peut-on faire en employant les lettres du mot TINTIN, chaque lettre pouvant figurer autant de fois qu’elle apparaît dans le mot ?

5. Combien de mots de 6 lettres peut-on faire en employant les lettres du mot HADDOCK, chaque lettre pouvant figurer autant de fois qu’elle apparaît dans le mot ?

Exercice 12. 423 Sondage, Bac E, Rennes 1977

Un enquêteur s’intéresse aux loisirs d’un groupe de 200 personnes. Il apprend que 100 pêchent, 80 lisent, et 30 pratiquent ces deux activités.

1. Représenter ces données sous la forme d’un diagramme de Caroll (autrement dit des patates, NDLR), le compléter.

2. On effectue un sondage en choisissant 20 personnes du groupe.

a. Combien de sous-groupes différents peut-on faire ?

b. Combien de sous groupes dans lesquels il y a exactement 10 pêcheurs ?

c. Combien de sous groupes dans lesquels les proportions de l’ensemble sont respectées (10 chasseurs, 8 lecteurs et 3 pratiquant les 2) ?

d. Combien de sous groupes dans lesquels il y a exactement 10 chasseurs et 8 lecteurs ?

274

On donnera les résultats en utilisant les coefficients n

p

ou les factorielles.

Exercice 12. 424 Archer

Une étude statistique a montré qu'un archer de très bon niveau, tirant dans une cible à onze zones numérotées 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 10, a atteint avec une flèche :

– la zone 10 avec une fréquence de 0,3 ;

– la zone 9 avec une fréquence de 0,6 ;

– la zone 8 avec une fréquence de 0,1.

À chaque flèche tirée est associé un nombre de points égal au numéro de la zone atteinte.

On admet que, pour cet archer se présentant à une compétition, les probabilités des événements :

– " la flèche marque 10 ",



sont respectivement égales aux fréquences observées et que les tirs sont indépendants les uns des autres.

On appelle volée deux tirs successifs d'une flèche.

1. Cet archer tire une volée. On associe à une volée la variable aléatoire X, somme des points marqués à chacun des deux tirs de la volée. On appelle volée réussie toute volée telle que 19X ≥ .

a. Quelles sont les valeurs prises par X ? Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

b. Vérifier que la probabilité de l'événement " 19X ≥ " est920

.

Calculer la probabilité de l'événement « 17 19X≤ ≤ »

c. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X.

2. Cet archer tire trois volées successives, que l'on suppose indépendantes. On considère la variable aléatoire Y, nombre de volées réussies parmi les trois tirées. Calculer la probabilité des événements suivants :

a. « 2Y = ».

b. « 1Y ≥ ».

3. Cet archer tire n volées successives, que l'on suppose indépendantes.

Quelle doit être la valeur minimale n0 de n pour que la probabilité de l'événement : " une volée au moins est réussie " soit supérieure ou égale à 0,999 ?

Exercice 12. 425 Boules - 1, Antilles C, 1994

Une boîte contient 60 boules blanches et 40 boules noires. On effectue dans cette boîte des tirages successifs avec remise de chaque boule après tirage. On arrête le tirage après l’obtention d’une boule blanche.

1. On limite le nombre de tirages à 4. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaire à l’obtention de la première boule blanche. Si on n’a pas tiré de boule blanche après le 4ème tirage on prend X = 0.

a. Calculer la probabilité p(X = 0).

b. Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique E(X) et sa variance V(X).

2. On procède maintenant à n tirages au maximum, n > 1. X est la v.a. définie comme précédemment, si on n’a pas tiré de boule blanche après les n tirages on prend X = 0.

a. Déterminer la loi de probabilité de X. Montrez que 3 2

E(X)5 5f =

où f est la fonction définie par :

2 3 1( ) 1 2 3 4 ... nf x x x x nx −= + + + + + .

275

b. On considère la fonction g définie par 2( ) 1 ... ng x x x x= + + + + . Montrez par récurrence que 11

( )1

nxg x

x

+−=−

. Calculez g’(x) en utilisant les deux formes, déduisez-en une autre expression de f(x).

Calculez alors E(X).

c. Déterminez la limite de E(X) quand n tend vers +∞. Interprétez.

Exercice 12. 426 Boules - 2, Polynésie, 1999

Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On en prélève n successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les événements suivants :

A : « On obtient des boules des deux couleurs » ;

B : « On obtient au plus une boule blanche ».

1. a. Calculer la probabilité de l’événement : « Toutes les boules tirées sont de même couleur ».

b. Calculer la probabilité de l’événement : « On obtient exactement une boule blanche ».

c. En déduire que ( )2nn

p A B∩ = , 11

( ) 12n

p A −= − , 1

( )2nn

p B+= .

2. Montrer que ( ) ( ) ( )p A B p A p B∩ = × si et seulement si 12 1n n− = + .

3. Soit ( nu ) la suite définie par 12 ( 1)nnu n−= − + , n > 1. Calculer 2u , 3u , 4u .

Montrer que nu est strictement croissante. En déduire la valeur de l’entier n tel que les événements A et B soient indépendants.

Exercice 12. 427 Boules - 3

Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au toucher.

1. On tire simultanément 4 boules de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir une seule boule blanche.

2. On effectue 4 tirages successifs d'une boule, sans remise.

a. Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche.

b. Calculer la probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages.

3. On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec remise.

a. Calculer la probabilité de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche.

b. Calculer la probabilité de tirer une seule boule blanche au cours de ces quatre tirages.

c. Calculer la probabilité de n'obtenir aucune boule blanche au cours des quatre tirages.

d. Calculer la probabilité de tirer au moins une boule blanche au cours de ces quatre tirages.

4. On effectue n tirages successifs, avec remise. On appelle Pn la probabilité d'obtenir, au cours de ces n tirages, une boule blanche uniquement au dernier tirage.

a. Calculer P1, P2, P3.

b. Conjecturer Pn.

Exercice 12. 428 Urnes et boules, Pondichéry, 1998

4 points

1. On dispose d’une urne U1 contenant trois boules rouges et sept boules noires. On extrait simultanément deux boules de cette urne, on admet que tous les tirages sont équiprobables.

276

a. Quelle est la probabilité p1 que les deux boules tirées soient rouges ?

b. Quelle est la probabilité p2 que les deux boules tirées soient noires ?

c. Quelle est la probabilité p3 que les deux boules tirées soient de la même couleur ?

d. Quelle est la probabilité p4 que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?

2. On dispose aussi d’une deuxième urne U2 contenant quatre boules rouges et six boules noires. On tire maintenant deux boules de l’urne U1 et une boule de l’urne U2, on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

On considère les événements suivants :

R : « Les trois boules tirées sont rouges. »

D : « Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur »

B : « La boule tirée de l’urne U2 est rouge ».

a. Calculer la probabilité de l’événement R.

b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?

c. Calculer la probabilité conditionnelle pD(B), probabilité de l’événement B sachant que l’événement D est réalisé.

On donnera tous les résultats sous forme de fraction irréductible.

Exercice 12. 429 Urnes et boules, N. Calédonie, sept. 2002

Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d’une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 € ; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 € et si une seule est rouge il gagne 4 €. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.

Soit X la variable alatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d’un jeu.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

2. Pour un jeu, la mise est de 10 €. Le jeu est-il favorable au joueur, c’est-à-dire l’espérance mathématique est-elle strictement supérieure à 10 ?

3. Pour l’organisateur, le jeu ne s’avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions :

- soit augmenter la mise de 1 €, donc passer à 11 €,

- soit diminuer chaque gain de 1 €, c’est-à-dire ne gagner que 99 €, 14 € ou 3 €.

Quelle est la solution la plus rentable pour l’organisateur ?

Exercice 12. 430 Cartes

On dispose d'un jeu de 32 cartes (16 noires, 16 rouges). L'expérience consiste à extraire une carte, noter sa couleur et la remettre dans le jeu, puis à extraire une nouvelle carte dont on note aussi la couleur.

Deux cartes noires font gagner deux francs.

Deux cartes rouges font perdre deux francs.

Deux cartes de couleurs différentes procurent un gain nul.

1. a. Quelle est la probabilité de gagner deux francs, de perdre deux francs, de réaliser un gain nul ?

b. On répète cinq fois l'expérience. Déterminer la probabilité de gagner dix francs.

2. Dans un plan muni du repère (O ; , )i j

, on considère les points

A (0 ; 1) ; B(–2 ; –1) ; C(2 ; –1).

L'origine O est le barycentre du système de points pondérés : (A, a) ; (B, b) ; (C, c), où a, b, c, sont des réels de somme non nulle.

X est la variable aléatoire qui ne prend que les valeurs –2, 0, 2 avec les probabilités :

p(X = – 2) = a ; p(X = 0) = b ; p(X = 2) = c.

277

a. A l'aide des coordonnées des points A, B, C, O, écrire deux équations vérifiées par les réels a, b, c.

b. Quelle est la valeur de a + b + c ?

c. Résoudre le système de trois équations ainsi obtenu, d'inconnues a, b, c.

d. Déterminer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.

Exercice 12. 431 Génétique

L’objet de l’exercice est une application du calcul des probabilités à la génétique. Une première question est consacrée à une étude de suites qui interviennent dans cette application.

1. Soit α un nombre réel non nul différent de 1. On considère les suites na et nb définies par :

0 0

1 1

0 et 11

et 2n n n n n

a b

a a b b bα α+ +

= =

− = + =

a. Exprimer nb en fonction de n et de α pour tout n.

b. En déduire la valeur de 1n na a+ − et montrer que 1(1 )

2n

na α= − pour tout entier n

2. Etant donné un gène possédant un couple d’allèles A et a, on dit qu’une plante est homozygote lorsqu’elle contient les deux mêmes allèles sur une paire de chromosomes homologues : elle est alors de génotype AA ou aa. Une plante est hétérozygote lorsqu’elle est de génotype Aa. Certaines plantes se reproduisent par autogamie ou autofécondation : tout se passe pour la descendance comme si on fécondait deux plantes de même génotype, chaque chromosome d’une paire étant sélectionné au hasard.

a. Calculer les probabilités pour qu’une plante de génotype AA, ou Aa, ou aa donne par autogamie une plante de génotype AA, Aa ou aa . On présentera les résultats sous forme de tableau :

Génotype de la plante initiale

AA Aa aa

AA

Génotype du descendant Aa

aa

Ainsi à l’intersection de la colonne Aa et de la ligne aa on fera figurer la probabilité pour qu’une plante de génotype Aa donne par autogamie une plante de génotype aa (le total de chaque colonne est donc forcément 1).

b. Partant d’une plante hétérozygote (Aa) (génération 0) on constitue par autogamie des générations successives. On note

AAn l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype AA »

Aan l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype Aa »

aan l’événement « la plante de la n-ième génération est de génotype aa »

on appelle xn la probabilité de AAn, yn la probabilité de Aan , zn la probabilité de aan, en particulier 0 0x = ,

0 1y = , et 0 0z = .

Calculer x1 , y1 , et z1.

c. Déterminer les probabilités conditionnelles suivantes :

un+1=P(AAn+1/AAn),

vn+1=P(AAn+1/Aan),

wn+1=P(Aan+1/Aan),

Utiliser ces probabilités conditionnelles pour montrer que 114n n nx x y+ = + et 1

12n ny y+ = .

d. Utiliser les résultats du 1° pour donner les valeurs de xn et yn. Que vaut xn + yn + zn ? en déduire zn .

278

e. On garde les hypothèses et notations du b. Calculer la probabilité pn pour qu’une plante de la n-ième génération ne soit pas homozygote. A partir de quelle génération a-t-on p 0,01n ≤ ?

Exercice 12. 432 Jetons

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On imagine n sacs de jetons S1, S2, ..., Sn.

Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc.

On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante :

Première étape : on tire au hasard un jeton de S1.

Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on tire, au hasard, un jeton de S2.

Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard, un jeton de S3 ...et ainsi de suite...

Pour tout entier naturel k tel que 1 k n≤ ≤ , on note Ek l'événement : « Le jeton sorti de Sk est blanc », et

kE l'événement contraire.

1. a. Déterminer la probabilité de 1E , notée P(E1), et les probabilités conditionnelles : 21 ( )EP E et 21( )

EP E .

En déduire la probabilité de E2, notée P(E2).

b. Pour tout entier naturel k tel que 1 k n≤ ≤ , la probabilité de Ek est notée pk. Justifier la relation de

récurrence suivante : 11 13 3k kp p+ = + .

2. Étude d'une suite (un) : on note (uk) la suite définie par u1 = 13 et, pour tout entier naturel k,

11 13 3k ku u+ = + .

a. On considère la suite (vk) définie par : pour tout élément k de ℕ *, 12k kv u= − . Démontrer que (vk) est

une suite géométrique.

b. En déduire l'expression de uk en fonction de k. Montrer que la suite (uk) est convergente et préciser sa limite.

3. Dans cette question, on suppose que n = 10.

Déterminer pour quelles valeurs de k on a : 0,4999 0,5kp< < .

Exercice 12. 433 Grippe

Le directeur du personnel d’une entreprise constate que, chaque hiver, un nombre important d’employés s’absentent, malades de la grippe. Le médecin de l’entreprise lui assure qu’une personne non vaccinée contre la grippe a 40 % de chances d’attraper la maladie alors qu’une personne vaccinée n’a que 5 % de chances de tomber malade.

Le directeur décide donc de proposer au personnel une vaccination gratuite.

1. On choisit un employé au hasard et on considère les événements suivants :

V : l’employé s’est fait vacciner.

G : l’employé contractera la grippe durant l’hiver.

279

On note PE(F) la probabilité d’un événement F sachant que E s’est réalisé.

a. Déterminer les probabilités suivantes : P ( )V G , P ( )V G , P ( )VG et P ( )V G .

b. Exprimer la probabilité P(G) en fonction de la probabilité P(V).

2. Déterminer le pourcentage minimum de personnes à vacciner pour que moins de 20% des employés aient la grippe cet hiver.

3. Finalement 80 % du personnel accepte de se faire vacciner.

a. Quelle est la probabilité p1 qu’un employé, pris au hasard, tombe malade cet hiver ?

b. Fred, employé au service informatique, tombe malade de la grippe. Quelle est la probabilité p2 qu’il soit vacciné ?

c. Calculer la probabilité p3 qu’un employé, pris au hasard, ne soit pas vacciné et attrape la grippe cet hiver.

4. L’entreprise comporte 500 personnes. On considère que le fait pour une personne de tomber malade est indépendant du fait que d’autres personnes le soient.

a. On note X la variable aléatoire égale au nombre de personnes malades. Quelle est la loi de probabilité de X ?

b. Quel est le nombre moyen de personnes qui tomberont malades de la grippe cet hiver ? En moyenne dans quel intervalle ce nombre peut-il varier ?

c. Pour assurer le bon fonctionnement de l’entreprise le chef du personnel envisage l’embauche de 10 intérimaires. Que pensez vous de cette décision, sachant qu’avec plus de 50 personnes malades l’entreprise ne fonctionne plus.

Exercice 12. 434 Sondage

On considère un groupe de 16 personnes parmi lesquelles 4 ont une caractéristique C . Ces 4 personnes seront dites de type C . On prend simultanément et au hasard 5 personnes dans le groupe.

1. a. Calculer la probabilité pa de n’avoir aucune personne du type C b. Calculer la probabilité pb d’avoir exactement une personne du type C

c. Calculer la probabilité pc d’avoir au moins deux personnes du type C.

d. On sait que deux des personnes choisies sont du type C. Déterminer alors la probabilité d’avoir quatre personnes de type C.

Les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible puis sous forme décimale à 410− près

2. On constate après enquête que dans la population entière 25% des gens sont du type C. On estime que le nombre de personnes est suffisamment important pour pouvoir utiliser une loi binomiale.

On choisit au hasard n personnes (n > 2) et on appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes ayant le type C.

a. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer p(X=0) et p(X=1) en fonction de n et en déduire la probabilité pn d’avoir au moins deux personnes de type C.

b. Démontrer que 0,9np ≥ si et seulement si 13 3

0,14 4

nn

− + ≤

.

c. On pose 13 3

4 4

n

nn

u− + =

.

Calculer 1n

n

u

u+ et démontrer que un est décroissante.

d. Par essais successifs trouver la plus petite valeur de n telle que 0,9np ≥ .

Exercice 12. 435 Questionnaire

Dans cet exercice, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Dans un jeu, il s'agit de trouver la bonne réponse à une question posée. Les questions sont classées en trois

280

catégories : sport, cinéma, musique. Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. Les trois catégories sont donc équiprobables.

Alain, fervent supporter de ce jeu, est conscient qu'il a :

– 5 chances sur 6 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en sport ;

– 2 chances sur 3 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en cinéma ;

– 1 chance sur 9 de donner la bonne réponse sachant qu'il est interrogé en musique.

1. Alain participe à ce jeu et tire au hasard une question. Déterminer la probabilité que :

a. la question soit dans la catégorie sport et qu'il donne la bonne réponse ;

b. sa réponse soit bonne à la question posée.

2. Pour participer au jeu, Alain doit payer 10 € de droit d'inscription. Il recevra :

− 10 € s'il est interrogé en sport et que sa réponse est bonne ; − 20 € s'il est interrogé en cinéma et que sa réponse est bonne ; − 50 € s'il est interrogé en musique et que sa réponse est bonne ; − 0 € si la réponse qu'il donne est fausse. Soit X la variable aléatoire égale au gain d'Alain (on appelle gain la différence, en francs, entre ce qu'il reçoit et les 10 € de droit d'inscription).

a. Déterminer les valeurs prises par X.

b. Déterminer la loi de probabilité de X.

c. Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.

Alain a-t-il intérêt à jouer ?

Exercice 12. 436 Urnes 1

On dispose de deux urnes :

- une urne U1 dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires ;

- une urne U2 dans laquelle il y a deux boules blanches et trois boules noires.

Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne étant équiprobables.

1. Montrer que la probabilité de l'événement E : « Parmi les quatre boules tirées, il y a exactement deux boules blanches » est égale à 0,46.

2. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules blanches obtenues.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Le joueur doit verser 2,50 F avant d'effectuer le tirage : il reçoit à l'issue du tirage 1 F par boule blanche obtenue. Le jeu est-il équitable ?

3. Calculer la probabilité d'avoir tiré une et une seule boule blanche de l'urne U1 sachant qu'on a tiré deux boules blanches.

4. On ne considère que l'urne U1, de laquelle on tire toujours au hasard et simultanément deux boules. On nomme succès le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la même épreuve (en remettant chaque fois les boules tirées dans l'urne). Déterminer la probabilité d'avoir au moins un succès sur les dix tirages.

Exercice 12. 437 Urnes 2, Amérique du Sud, déc 2002

Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes. Une urne B contient deux boules rouges et deux boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.

1. On dispose d’un dé à 6 faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6.

On le lance une fois ; si l’on obtient un multiple de 3, on tire au hasard une boule de l’urne A, sinon on tire au hasard une boule de l’urne B.

a. Calculer la probabilité d’obtenir une boule noire.

281

b. Quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir ?

c. Quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l’urne B sachant qu’elle est rouge?

2. On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que l’on pose chaque fois devant l’urne.

a. Montrer que la probabilité de l’évènement « la 3e boule tirée est noire » vaut 14.

b. Certains pensent que l’évènement « la première boule tirée est noire » a une probabilité supérieure à l’évènement « la troisième boule tirée est noire ». Est-ce vrai ? Justifier.

Exercice 12. 438 Raquettes

Lorsque les éléphants sautent en parachute au-dessus de la savane, ils chaussent des raquettes pour ne pas s’enliser. Il y a deux types de raquettes pour pachydermes : des à petit tamis et des à grand tamis. Certains éléphants préfèrent mettre quatre raquettes à petit tamis (une à chaque patte) tandis que d’autres préfèrent porter deux raquettes à grand tamis (aux pattes postérieures). La probabilité qu’une raquette se détache avant l’arrivée au sol est la même pour les deux types et est notée p.

1. Un éléphant saute avec quatre raquettes : quelle est la probabilité P qu’il ait moins (strictement) de deux raquettes à l’atterrissage ?

2. Un éléphant saute avec deux raquettes : quelle est la probabilité Q qu’il n’ait aucune raquette à l’atterrissage ?

3. Sachant qu’un éléphant s’enlise s’il a perdu plus de la moitié de son équipement, comparer, en fonction de valeurs de p, les probabilités de s’enliser avec chaque type de chausse.

Exercice 12. 439 Code d’entrée

Le code d’entrée d’un immeuble est composé de 5 symboles parmi les chiffres de 0 à 9 et les lettres A et B. Un même symbole peut être utilisé plusieurs fois.

1. Combien y a-t-il de codes possibles ?

2. Combien de codes ne comportent que des chiffres pairs ?

3. Combien de codes contiennent un et un seul 0 ?

4. Combien de codes contiennent au moins une lettre ?

5. Un nouveau syndic est nommé, qui décide que pour des raisons de sécurité, le code doit comporter au moins un chiffre et au moins une lettre. Combien y a-t-il dorénavant de codes possibles ?

6. Un SDF veut dormir dans le hall. Il sait par une indiscrétion que le code comporte les chiffres 1258 et la lettre B. Combien de codes devra-t-il essayer au maximum avant de passer la nuit au chaud ?

Exercice 12. 440 Station-service, National, 1998

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité pi = P(X = i) :

i 0 1 2

pi 0,1 0,5 0,4

a. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.

b. Calculer l’espérance mathématique de x et son écart type.

2. Dans cette station service, la probabilité qu’un client achète de l’essence est de 0,7 ; celle qu’il achète du gazole est 0,3. Le choix de chaque client est indépendant de celui des clients précédents. On considère les événements :

C1 : En cinq minutes, un seul client se présente ;

C2 : En cinq minutes, deux clients se présentent ;

E : En cinq minutes, un seul client achète de l’essence.

a. Calculer P(C1 ∩ E).

282

b. Montrer que C2P (E) 0, 42= et calculer P(C2 ∩ E).

c. En déduire la probabilité qu’en cinq minutes un seul client achète de l’essence.

3. Y désigne la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l’essence en cinq minutes. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance.

Exercice 12. 441 Paquets de gaufrettes

Un supermarché commercialise des gaufrettes vendues en paquets pour lesquels :

Dans 5% des cas l’emballage n’est pas intact.

Dans 70% des emballages non intacts il y au moins une gaufrette cassée.

90% des emballages intacts ne contiennent pas de gaufrette cassée.

1. Un client achète au hasard un paquet de gaufrettes. On note I l’événement « l’emballage est intact » et C l’événement « au moins une gaufrette est cassée ».

a. Calculer la probabilité de I.

b. On considère les événements suivants : E « l’emballage n’est pas intact et aucune gaufrette n’est cassée » et F « l’emballage est intact et aucune gaufrette n’est cassée ».

Exprimer E et F en fonction de I, I , et C . Calculer les probabilités de E et de F. En déduire la probabilité de C , puis celle de C.

c. Le paquet ne contient pas de gaufrette cassée. Calculer la probabilité que l’emballage ait été intact.

2. Lors d’une vente promotionnelle, les paquets sont vendus par lots de 5. Un client achète au hasard un tel lot. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait aucune gaufrette cassée ? Que le lot contienne au moins un emballage détérioré ?

Exercice 12. 442 Calcul de l’espérance et de la variance de la loi binomiale

On considére une v.a. X suivant une une loi binomiale B(n, p) où ( ) (1 )k n kk

np P X k p p

k−

= = = −

. On pose

( ) ( 1 )nf x px p= + − .

a. Calculer '( )f x et "( )f x puis '(1)f et "(1)f .

b. Vérifier que 0

( )n

kk

k

f x p x

=

=∑ . Calculer de nouveau '( )f x et "( )f x puis '(1)f et "(1)f .

c. Déduire des calculs précédents les valeurs de E(X) et Var(X).

Exercice 12. 443 Autour du binome

Les trois questions sont indépendantes.

1. Les adhérents du foyer rural de Vaudouhé l’Etang peuvent pratiquer une ou plusieurs des activités suivantes : photographie, mycologie ou pêche. 130 pêchent, et parmi eux 55 font de la mycologie, et 46 de la photo. 155 font de la photo, et parmi eux 60 sont aussi mycologues. Il y a en tout 130 amateurs de champignons, et 24 pratiquent les 3 activités. Combien le foyer rural comporte-t-il d’adhérents ?

2. Résoudre l’équation 3 ( 1)2 3n n

n n

+ = −

dans l’ensemble des entiers supérieurs à 3.

3. On pose ( ) ( 1)nf x x= + .

a. Calculer f ’(x).

b. En utilisant la formule du binôme de Newton, développer f(x).

c. Déduire du b. une autre expression de f ’(x).

d. En déduire que 1

0

2n

n

k

nk n

k−

=

=

∑ .

283

Exercice 12. 444 Examens sanguins

Lors des recrutements massifs de 1940 l’armée américaine mit sur pied une méthode de détection de certaines maladies évitant de procéder par unité (on ne testait pas chaque individu).

Mettons que dans une population N il y ait une proportion p de personnes atteintes d’une maladie donnée, détectable par analyse sanguine. On choisit un échantillon de taille n (certaines recrues de 1940) dont on mélange les prélèvements sanguins.

Si le résultat est négatif aucune de ces n personnes n’est malade, sinon on analyse individuellement chacun des prélèvements. Le problème est évidemment d’optimiser le coût des analyses et donc la taille de l’échantillon n.

1. Soit Xn la v.a. égale au « nombre d’analyses nécessaires pour un groupe de n personnes ».

a. Montrer que ( 1) (1 )nnP X p= = − . En déduire ( 1)nP X n= + .

b. Montrer que le nombre moyen d’analyses par personne est 1 1

( ) 1 (1 )nnE X pn n

= + − − .

2. Si on procède par échantillons de 1, on teste tout le monde ; il faut donc minimiser 1

( )nE Xn

et pour cela

déterminer quand 1

(1 )nnu pn

= − − est négatif.

a. On pose (1 )nnv n p= − ; montrer qu’il existe une valeur 0n de n (qui dépend de p) telle que lorsque

0n n≤ , nv est croissante et lorsque 0n n≥ , nv est décroissante.

b. En déduire qu’il existe une valeur 1n de n pour laquelle 1nv > lorsque 1n n≤ et 1nv < lorsque 1n n≥ .

c. On pose n x= et ( ) 1 (1 )xf x x p= − − . Retrouver les résultats précédents en étudiant les variations de f.

d. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles 0nu > .

3. On se demande quelle est la valeur de n pour laquelle l’économie moyenne est la plus forte. Quelle méthode proposeriez-vous pour répondre à cette question ?

Exercice 12. 445 Evolution d’une population de bactéries

Dans une population de bactéries, à un instant donné, chaque bactérie meurt avec une probabilité p, se divise en deux avec une probabilité q et meurt avec une probabilité r = 1 − p − q.

Toutes les bactéries se comportent de la même façon et de manière indépendante. On s’intéresse à la probabilité de disparition des bactéries au cours du temps. On note np la probabilité que la génération n ne comporte aucun individu ; dans tous les cas on part d’une seule bactérie initiale.

1. Montrer que 1p p= et que 22 2 (1 )p p pq p q= − + − .

2. D’une manière générale, montrer que 21n n np p rp qp+ = + + .

3. Montrer que la suite np est croissante et majorée par1. Montrer que np converge et déterminer les valeurs possibles de sa limite.

4. Etudier les cas 1 1 1, ,

2 4 4p q r= = = puis

1 1 1, ,

4 4 2p q r= = = et enfin

1 1 1, ,

4 2 4p q r= = = .

Exercice 12. 446 Tirages successifs, Liban, juin 2003

4 points

Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On répète n fois l’épreuve qui consiste à tirer une boule puis la remettre dans l’urne ; on suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées et que les tirages sont indépendants.

On note pn, la probabilité de tirer exactement une boule blanche lors des n − 1 premiers tirages et une boule blanche lors du n-ième tirage.

284

1. Calculer les probabilités p2, p3 et p4.

2. On considère les évènements suivants :

Bn : «On tire une boule blanche lors du n-ième tirage »,

Un : «On tire une boule blanche et une seule lors des n − 1 premiers tirages ».

a. Calculer la probabilité de l’évènement Bn.

b. Exprimer la probabilité de l’évènement Un en fonction de n.

c. En déduire l’expression de pn en fonction de n et vérifier l’égalité : 1 2

4 3

n

nn

p− =

.

3. On pose : Sn = p2 + p3 +···+ pn.

a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a :

21 1

2 3

n

nn

S = − + ×

.

b. Déterminer la limite de la suite (Sn).

Exercice 12. 447 Hôpital, Liban, juin 2004

4 points

Le personnel d’un très grand hôpital est réparti en trois catégories : les médecins, les soignants (non médecins) et le personnel AT (administratif ou technique).

12% des personnels sont des médecins et 71% sont des soignants.

67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes.

On donnera une valeur approchée de tous les résultats à 10−4 près.

1. On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital.

a. Quelle est la probabilité d’interroger une femme soignante ?

b. Quelle est la probabilité d’interroger une femme médecin ?

c. On sait que 80% du personnel est féminin. Calculer la probabilité d’interroger une femme AT.

En déduire la probabilité d’interroger une femme sachant que la personne interrogée fait partie du personnel AT.

2. Tout le personnel de cet hôpital a un temps de trajet domicile-hôpital au plus égal à une heure et on suppose que la durée exacte du trajet est une variable aléatoire uniformément répartie sur [0 ; 1].

On interroge au hasard un membre du personnel de cet hôpital. Quelle est la probabilité pour que la personne interrogée ait une durée de trajet comprise entre 15 min et 20 min ?

3. Une entreprise souhaite envoyer un courrier publicitaire à 40 personnes qui travaillent dans cet hôpital. Elle a la liste du personnel mais ne connaît pas la fonction de chacun. Elle choisit au hasard 40 noms de la liste (en raison de la taille de la population, on considère qu’il s’agit de 40 tirages successifs indépendants avec remise).

Quelle est la probabilité que, sur les 40 courriers envoyés, 10 exactement soient reçus par des médecins ?

Exercice 12. 448 Ramassage, Centres étrangers, juin 2004

5 points

Un employé se rend à son travail. S’il est à l’heure il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l’entreprise, s’il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,50 €.

Si l’employé est à l’heure un jour donné, la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est 15, s’il est en

retard un jour donné la probabilité qu’il soit en retard le lendemain est 120

.

285

Pour tout entier naturel non nul n, on appelle Rn l’évènement : « l’employé est en retard le jour n ». On note pn la probabilité de Rn et qn celle de nR . On suppose que p1 = 0.

1. Détermination d’une relation de récurrence.

a. Déterminer les probabilités conditionnelles 1( )R nnp R + et 1( )nRn

p R + .

b. Déterminer p(Rn+1 ∩ Rn) en fonction de pn et p(Rn+1 ∩ nR ) en fonction de qn.

c. Exprimer pn+1 en fonction de pn et de qn.

d. En déduire que 11 35 20n np p+ = − .

2. Étude de la suite (pn). Pour tout entier naturel non nul n, on pose 423n nv p= − .

a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison 320

− .

b. Exprimer vn puis pn en fonction de n.

c. Justifier que la suite (pn) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 12. 449 Fléchettes, France, sept 2002

4 points

Un carré de côté 20 cm est partagé selon les 10 zones suivantes :

- un disqueD de rayon1 cm,

- 8 secteurs S1, S2, . . . , S8 de même aire délimités par les frontières du disque D et du disque D’ de même centre et de rayon 9 cm,

- une zone R entre le disque D’ et le bord du carré.

On place un point aléatoirement dans le carré. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l’aire de cette zone.

1. a. Déterminer la probabilité p(D) pour que le point soit placé dans le disque D.

b. Déterminer la probabilité p(S1) pour que le point soit placé dans le secteur S1.

2. Pour cette question, on utilisera les valeurs approchées suivantes : p(D) = 0,008 et pour tout k appartenant à 1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8, p(Sk) = 0,0785.

À cette situation aléatoire est associé le jeu suivant :

- un point placé dans le disque D fait gagner 10 euros ;

- un point placé dans le secteur Sk fait gagner k euros pour tout k appartenant à 1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ;

- un point placé dans la zone R fait perdre 4 euros.

On note X la variable alatoire égale au gain algébrique obtenu.

286

a. Calculer la probabilité p(R) pour que le point soit placé dans la zone R. Calculer l’espérance de X.

b. On joue deux fois de suite. On a donc placé deux points de manière indépendante dans le carré. Calculer la probabilité d’obtenir un gain total positif ou nul.

c. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. On joue n fois de suite. On a donc placé n points de manière indépendante dans le carré.

Calculer la probabilité pn d’obtenir aumoins un point placé dans le disque D. Déterminer la plus petite valeur de n tel que pn ≥ 0,9.

Exercice 12. 450 Fléchettes, Amérique du Nord, mai 2004

4 points

Un jeu de hasard est formé d’un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante :

B B B B B B B B B J J J V V R

R V V J J J B B B B B B B B B

La fléchette atteint toujours une case et une seule.

Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R), ont toutes la même probabilité d’être atteintes.

Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur gagne 8 euros.

Si la fléchette atteint une case verte, le joueur gagne 5 euros.

Si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.

Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la lettre a désigne un nombre réel positif.

1. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté négativement quand il perd).

a. Donner la loi de probabilité de X.

b. Calculer a pour que le jeu soit équitable, c’est-à-dire pour que l’espérance E(X) soit nulle.

2. Un joueur est considéré comme gagnant s’il a obtenu un gain strictement positif.

a. Quelle est la probabilité p qu’un joueur gagne ?

b. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes. Quelle est la probabilité qu’il gagne exactement 2 fois ? exactement 5 fois ?

c. Quel est le nombre moyen de parties gagnantes dans la situation décrite en 2. b. ?

Exercice 12. 451 Lancer de tétraèdres, Polynésie, juin 2003

Partie A

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé ( ; , , )O i j k , on considère les points A, B, C et D de

coordonnées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B( 2 2 ; 0 ; −1), C( 2− ; 6− ; −1), D( 2− ; 6 ;−1).

1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur.

2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O.

3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.

287

Partie B

On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d’eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge.

On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu’on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).

1. Calculer la probabilité pour qu’au moins trois faces rouges soient visibles sur les trois tétraèdres.

2. Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun tétraèdre.

3. Calculer la probabilité de l’évènement E « les six faces rouges sont visibles ».

4. On répète n fois l’expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres. Calculer la probabilité pn pour que l’évènement E soit réalisé au moins une fois.

Calculer lim nn

p→+∞

.

Exercice 12. 452 Avec de la géométrie, Amérique du Sud, nov 2003

4 points

Un sac contient 4 jetons numérotés respectivement −1, 0, 0, 1 et indiscernables au toucher.

On tire un jeton du sac, on note son numéro x et on le remet dans le sac ; on tire un second jeton, on note son numéro y et on le remet dans le sac ; puis on tire un troisième jeton, on note son numéro z et on le remet dans le sac.

Tous les jetons ont la même probabilité d’être tirés.

À chaque tirage de trois jetons, on associe, dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( ; , , )O i j k le point

M de coordonnées (x, y, z).

Sur le graphique joint en annexe, sont placés les 27 points correspondant aux différentes positions possibles du point M. Les coordonnées du point A sont (1 ; −1 ; −1) dans le repère ( ; , , )O i j k

.

On note C le cube ABCDEFGH.

1. Démontrer que la probabilité que le point M soit en A est égale à 164

.

2. On note E1 l’évènement : « M appartient à l’axe des abscisses ». Démontrer que la probabilité de E1 est

égale à 14.

3. Soit P le plan passant par O et orthogonal au vecteur n (1; 1 ; 1).

a. Déterminer une équation cartésienne du plan P .

b. Tracer en couleur sur le graphique la section du plan P et du cube C. (On ne demande pas de justification).

288

c. On note E2 l’évènement : « M appartient à P ». Quelle est la probabilité de l’évènement E2 ?

4. On désigne par B la boule de centreO et de rayon 1,5 (c’est-à-dire l’ensemble des points M de l’espace tels que OM ≤ 1,5).

On note E3 l’évènement : « M appartient à la boule B ». Déterminer la probabilité de l’évènement E3.

Exercice 12. 453 Pièces d’1 euro et loi binomiale, France sept 2003

5 points

Un commerce possède un rayon « journaux » et un rayon « souvenirs ». À la fin d’une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon « journaux » contient 3 fois plus de pièces de 1 € que celle du rayon « souvenirs ». Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face differe et symbolise un des pays utilisant lamonnaie unique.

Ainsi, 40 % des pièces de 1 € dans la caisse du rayon « souvenirs » et 8 % de celles du rayon « journaux » portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira « face étrangère »).

1. Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère. Pour cela il prélève au hasard et avec remise 20 pièces issues de la caisse « souvenirs ». On note X la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face « étrangère ».

a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité qu’exactement 5 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

c. Calculer la probabilité qu’au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

2. Les pièces de 1 € issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.

289

On prélève au hasard une pièce du sac.

On note S l’évènement « la pièce provient de la caisse souvenirs » et E l’évènement « la pièce porte une face étrangère ».

a. Déterminer P(S), PS(E) ; en déduire P(S ∩ E).

b. Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à 0,16.

c. Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu’elle provienne de la caisse « souvenirs ».

3. Dans la suite, la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à 0,16. Le collectionneur prélève n pièces (n entier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise.

Calculer n pour que la probabilité qu’il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.

Exercice 12. 454 Promenades avec un guide, Antilles septembre 2003

5 points

Une association organise des promenades en montagne.Douze guides emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L’été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit s’inscrire la veille de la promenade.

Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des groupes inscrits ne se

présente pas au départ de la promenade est égale à 18. On admettra que les groupes inscrits se présentent

indépendamment les uns des autres.

Les probabilités demandées seront arrondies au 100ème le plus proche.

1. a. Montrer que la probabilité qu’un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents est comprise entre 0,20 et 0,21.

b. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d’unmois de 30 jours. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Donner la signification des évènements X = 30 puis X = 0 et calculer la probabilité de ces évènements. Préciser l’espérance mathématique E(X). Quelle signification peut-on donner à ce résultat ?

c. Une somme de 1 Crédit (la monnaie locale) est demandée à chaque groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade.

Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l’association ne gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la journée.

On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par l’association un jour donné.

Calculer la probabilité de l’évènement [S = 11]. Préciser l’espérance mathématique de S.

2. a. Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l’association décide de prendre chaque jour une réservation supplémentaire. Évidemment si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13ème groupe sera dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplacement entraîne une dépense de 2 Crédits à l’association.

Quelle est a probabilité P13 qu’un jour donné il n’y ait pas de désistement, c’est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade?

b. Soit R la variable aléatoire égale au coût de l’activité de substitution.

Préciser la loi de la variable aléatoire R et calculer son espérance mathématique.

c. Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est : 13 13

130

7 1. 2P13 8 8

k k

k

kk

−

=

− ∑ .

Calculer ce gain.

d. La décision du dirigeant est-elle rentable pour l’association ?

290

Exercice 12. 455 Accidents de scooter, N. Calédonie, novembre 2003

5 points

On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carrefour.

Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l’espérance mathématique de Sn notée E(Sn) est égale â 10.

Soit p la probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée.

1. Calculer p, puis justifier l’égalité 10 10

( ) 1k n k

n

nP S k

k n n

− = = −

où k est un entier naturel tel que

0 k n≤ ≤ .

2. a. Établir l’égalité [ ]10

ln 1ln ( 0) 10

10nn

P S

n

− = = −−

où ln désigne la fonction logarithme népérien ; en

déduire que 10lim ( 0)nn

P S e−

→∞= = .


( 1) ( )10 1n n

n kP S k P S k

n k

−= + = = × ×− +

, où k est un entier naturel tel que 0 1k n≤ ≤ − .

c. Démontrer que si 10 10lim ( )!

k

nn

P S k ek

−

→∞= = pour 0 k n≤ ≤ , alors on a également

110 10

lim ( 1)( 1)!

k

nn

P S k ek

+−

→∞= + =

+ pour 0 1k n≤ + ≤ .

d. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’entier naturel k que

10 10lim ( )!

k

nn

P S k ek

−

→∞= = où k est un entier naturel tel que 0 k n≤ ≤ .

3. On suppose que le nombre n est suffisamment grand pour que l’on puisse admettre que 10 10!

k

ek

− est

une approximation acceptable de P(Sn = k). Utiliser cette approximation pour calculer à 10−4 près la probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour.

Exercice 12. 456 Chaine de Markov, binomiale, N. Calédonie, juin 2003

5 points

Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services.

On note, pour n entier naturel non nul, In l’évènement « La société intervient durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur » et pn = p(In) la probabilité de l’évènement In.

Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée :

• p(I1) = p1 = 0,75.

• Sachant qu’il y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,04.

• Sachant qu’iI n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,64.

On rappelle que A est l’évènement contraire de l’évènement A et que pB(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.

PARTIE 1

291

1. Préciser ( )1I nnp I + et ( )1nIn

p I + puis calculer ( )1n np I I+ ∩ et ( )1n np I I+ ∩ en fonction de pn (n∈ ℕ *).

2. En déduire 1 0,6 0,64n np p+ = − + .

3. On considère la suite (qn) définie sur ℕ * par : qn = pn − 0,4.

a. Démontrer que (qn) est une suite géométrique.

b. En déduire qn puis pn en fonction de n.

c. Donner une valeur approchée de p6 à 10−3 près par excès.

PARTIE 2

Le même mois, la société de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau.

On estime que la probabilité d’intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à 0,373.

Donner, à 10−3 près par excès, la probabilité qu’il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des évènements indépendants).

Exercice 12. 457 Assurance, Polynésie, sept 2002

Une compagnie d’assurance automobile fait un bilan des frais d’intervention, parmi ses dossiers d’accidents de la circulation.

85% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle.

20% des dossiers entraînent des frais de dommages corporels.

12% des dossiers entraînant des frais de réparation matérielle entraînent aussi des frais de dommages corporels.

Soit les évènements suivants :

R : le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle,

D : le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels.

1. En utilisant les notations R et D, exprimer les trois pourcentages de l’énoncé en termes de probabilités ; les résultats seront donnés sous forme décimale.

2. Calculer la probabilité pour qu’un dossier :

a. entraîne des frais de réparationmatérielle et des frais de dommages corporels ;

b. entraîne seulement des frais de réparation matérielle ;

c. entraîne seulement des frais de dommages corporels ;

d. n’entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels ;

e. entraîne des frais de réparation matérielle sachant qu’il entraîne des frais de dommages corporels.

3. On constate que 40% des dossiers traités correspondent à des excès de vitesse et parmi ces derniers 60% entraînent des frais de dommages corporels.

a. On choisit un dossier ; quelle est la probabilité pour que ce dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels ?

b. On choisit cinq dossiers de façon indépendante. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un dossier corresponde à un excès de vitesse et entraîne des frais de dommages corporels.

Exercice 12. 458 Sondage écolo, Polynésie,1996

4 points

Un sondage effectué à propos de la construction d’un barrage a donné les résultats suivants :

65% des personnes sont contre la construction,

parmi les personnes qui sont contre cette construction, 70% sont des écologistes,

parmi les personnes qui sont pour la construction, 20% sont écologistes.

292

On note C l’événement « la personne concernée est contre la construction », D l’événement contraire, E l’événement « la personne concernée est écologiste » et F l’événement « la personne concernée est contre la construction et n’est pas écologiste ».

1. Calculer les probabilités p(C), pC(E), pD(E).

2. a. Calculer la probabilité qu’une personne soit contre la construction et soit écologiste.

b. Calculer la probabilité qu’une personne soit pour la construction et soit écologiste.

c. En déduire la probabilité qu’une personne soit écologiste.

3. Calculer la probabilité pE(C).

4. Montrer que p(F) = 0,195. On choisit au hasard 5 personnes. Quelle est la probabilité qu’au moins une d’elles soit contre la construction et ne soit pas écologiste ?

Exercice 12. 459 Loterie

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

Un joueur achète 2 € , un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie.

Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 15 € avec une probabilité de 150

ou bien ne rien gagner.

G désigne l’événement : « le joueur gagne au grattage ».

Il participe ensuite à une loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut gagner 15 € , ou 30 € , ou bien ne rien gagner.

L1 désigne l’événement : « Le joueur gagne 15 € à la loterie » ;

L2 désigne l’événement : « Le joueur gagne 30 € à la loterie » ;

P désigne l’événement : « Le joueur ne gagne rien à la loterie ».

Si le joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 15 € à la loterie est 170

, et la probabilité

qu’il gagne 30 € à la loterie est 1490

.

1. a. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.

b. Calculer la probabilité pour que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné au grattage. Compléter l’arbre obtenu avec cette valeur.

c. Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur , après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.

La probabilité de l’événement « X = 13 » est 2125

.

La probabilité de l’événement « X = 28 » est 1250

.

a. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 15 € à la loterie, sachant qu’il a gagné 15 € au grattage est

égale à 110

.

b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie , sachant qu’il a gagné 15 € au grattage.

c. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance de X. Ce jeu est-il équitable ?

Exercice 12. 460 Chaîne de Markov, Antilles, sept 2002

5 points

293

1. Soit la suite (un) définie par 112

u = et par la relation de récurrence : 11 16 3n nu u+ = + .

a. Soit la suite (vn) définie pour n ≥ 1 par 25n nv u= − ; montrer que (vn) est une suite géométrique dont on

précisera la raison.

b. En déduire l’expression de vn en fonction de n puis celle de un.

2. On considère deux dés, notés A et B. Le dé A comporte trois faces rouges et trois faces blanches. Le dé B comporte quatre faces rouges et deux faces blanches.

On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on garde le même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi de suite.

On désigne par An l’évènement « on utilise le dé A au n-ième lancer », par nA l’évènement contraire de An,

par Rn l’évènement « on obtient rouge au n-ième lancer », par nR l’évènement contraire de Rn, par an et rn les probabilités respectives de An et Rn.

a. Déterminer a1.

b. Déterminer r1. Pour cela, on pourra s’aider d’un arbre.

c. En remarquant que, pour tout n ≥ 1, ( ) ( )n n n n nR R A R A= ∩ ∪ ∩ , montrer que 1 16 3n nr a= + .

d. Montrer que, pour tout n ≥ 1, ( ) ( )1n n n n nA R A R A+ = ∩ ∪ ∩ .

e. En déduire que, pour tout n ≥ 1, 11 16 3n na a+ = + , puis déterminer l’expression de an en fonction de n.

f. En déduire l’expression de rn en fonction de n puis la limite de rn quand n tend vers +∞ .

Exercice 12. 461 Petit commerce, Antilles, juin 2003

5 points

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article. Un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure sur 3 % des pièces et un défaut sur un composant électronique sur 2 % des pièces. Les deux défauts étant indépendants l’un de l’autre. Un article sera défectueux s’il présente au moins un des deux défauts.

1. Montrer que la probabilité qu’un article soit défectueux est 0,0494.

2. Une grande surface reçoit 800 de ces articles. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’articles défectueux. Définir la loi de probabilité de X, calculer son espérance mathématique. Interpréter.

3. a. Un petit commerçant commande 25 articles à A. Calculer à 10−3 près la probabilité qu’il y ait plus de deux articles défectueux dans la commande.

b. Il veut que sur sa commande la probabilité qu’il y ait au moins un article défectueux soit inférieure à 50 %. Quel est le nombre maximal d’articles qu’il peut commander ?

4. La durée de vie en jours de chaque article est donnée par une loi exponentielle de paramètre 0,0007. Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un article ait une durée de vie comprise entre 700 et 1000 jours.

Exercice 12. 462 Autocars, Asie, juin 2003

5 points

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des événements extérieurs comme des chutes de pierre, des troupeaux sur la route, etc.

Un autocar part de son dépôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’au premier blocage. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre

182

λ = . On arrondira les résultats au millième.

1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans blocage soit :

294

a. comprise entre 50 et 100 km ;

b. supérieure à 300 km.

2. Sachant que l’autocar a parcouru 350 km sans blocage, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?

3. a. A l’aide d’une intégration par parties calculer 82

0

1( )

82

xA

I A xe dx−

= ∫ où A est un nombre positif.

b. Calculer la limite M de I(A) lorsque A tend vers +∞. On admettra que M est la distance moyenne parcourue par un autocar avant le premier blocage.

4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun entre le dépôt et le lieu où survient un blocage sont des variables aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi exponentielle

de paramètre 182

λ = . d étant un réel positif, on note Xd la v.a. égale au nombre d’autocars n’ayant subi

aucun blocage après avoir parcouru d kilomètres.

a. Montrer que Xd suit une loi binômiale de paramètres N0 et de λ− .

b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun blocage après avoir parcouru d kilomètres.

Exercice 12. 463 QCM probas continues, La Réunion, juin 2003

5 points

1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. On tire une boule ; les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n supérieur ou égal à 10. Soit X la v.a. égale au nombre de boules blanches tirées.

a. X suit une loi binômiale de paramètres n et 1/4. c. P(X 5) 1 P(X 5)< = − > .

b. 21

P(X 0)2 n

= = . d. E(X) 0,25n= .

2. Une maladie atteint 1 % d’une population donnée. Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes :

* chez des individus malades 99 % des tests sont positifs et 1 % négatifs ;

* chez des individus sains 98 % des tests sont négatifs, 2 % positifs.

Un individu est choisi au hasard et on lui applique le test. Soit M l’événement « l’individu est malade » et T l’événement « le test pratiqué est positif ».

a. M MP (T) P (T) 1,01+ = . c. 2P(T) 2,97.10−= .

b. M MP (T) P (T) P(T)+ = . d. Sachant que le test est positif il y a deux chances sur trois pour que l’individu testé ne soit pas malade.

3. La durée d’attente en secondes à la caisse d’un supermarché est une v.a. Y qui suit une loi exponentielle de paramètre 0,01.

a. La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par

0,01( ) tf t e−= .

c. La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est 0,16 à 10−2 près.

b. Pour tout réel t ≥ 0, 0,01P(Y ) 1 tt e−≤ = − . d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute.

Exercice 12. 464 Durée de vie d’une machine

La moyenne de durée de vie d’une machine, telle qu’annoncée par le constructeur, est de 5000 heures.

a. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de défaillance au cours de 2000 premières heures d’utilisation de la machine.

295

b. Sachant que la machine n’a pas connu de défaillance au cours des 2000 premières heures d’utilisation, quelle est la probabilité que cette machine ne connaisse aucune défaillance pendant les 6000 premières heures d’utilisation ?

Exercice 12. 465 Oscilloscopes, Polynésie, juin 2004

4 points

Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre λ avec λ > 0.

Toutes les probabilités seront données à 10−3 près.

1. Sachant que p(X > 10) = 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de λ est 0,125.

On prendra 0,125 pour valeur de λ dans la suite de l’exercice.

2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.

3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à dix ans ?

4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?

5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?

Exercice 12. 466 Durée de vie, Am. Nord, juin 2003

5 points

On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur [0, +∞[. Ainsi la probabilité d’un intervalle [0, t[, notée ( )[0, [p t , est la probabilité que l’appareil tombe en

panne avant l’instant t.

Cette loi est telle que ( )0

[0, [t

xp t e dxλλ −= ∫ , où t est un nombre réel positif représentant le nombre

d’années. A partir de la question 5. on prend 0,2λ = .

Réponses Questions

a b c

1. Pour t positif ou nul, la valeur exacte de ( )[ , [p t + ∞ est : 1 te λ−− te λ− 1 te λ−+

2. La valeur de t pour laquelle on a ( ) ( )[0, [ [ , [p t p t= + ∞

est :

ln2λ

ln2λ

2λ

3. D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :

50ln

41

41

ln50

ln82ln100

4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux premières années, la probabilité qu’il ne connaisse aucune panne l’année suivante est :

( )[1, [p + ∞ ( )[3, [p + ∞ ( )[ 2, 3[p

5. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois premières années, arrondie à 10−4 près, est :

0,5523 0,5488 0,4512

6. Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d’appareils qui n’ont pas de panne au cours des trois premières années. La valeur la plus proche de la probabilité de l’événement « X = 4 » est :

0,5555 0,8022 0,1607

296

Exercice 12. 467 Loi uniforme, Antilles, sept 2001

Soit m un nombre réel et f la fonction définie sur ℝ par : [ ]( ) sin pour 0 ;

( ) 0 sinon.

f x m x x

f x

π = ∈

=

1. Déterminer le réel m tel que f soit une densité de probabilité.

2. Représenter f dans un repère orthonormé.

3. Soit X une variable aléatoire dont f est une densité de probabilité.

Définir la fonction de répartition de X puis représenter graphiquement F dans un repère orthonormé.

4. Calculer la probabilité 3

4 4p X

π π ≤ ≤

.

5. Calculer les probabilités p(X ≤ 0) et p(X ≥ 0).

Exercice 12. 468 Barycentre, urnes, binomiale, Polynésie, nov 2004

6 points

On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés.

Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres −2, −1, 0, 1, 2 et 3. Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre 1 et un carton le nombre −1.

On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables. On note a le nombre lu sur le carton de U et b celui lu sur le carton de V.

1. Jusitifier que les points pondérés (A ; a), (B ; b) et (C ; 4) admettent un barycentre. On note G ce barycentre.

2. a. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :

E1 : « G appartient à la droite (BC) » ;

E2 : « G appartient au segment [BC] ».

b. Montrer que la probabilité de l’événement E3 : « G est situé à l’intérieur du triangle ABC et n’appartient à

aucun des côtés » est égale à 25 (on pourra faire appel à des considérations de signe).

3. Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois dans les mêmes conditions l’épreuve qui consiste à tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis à considérer le barycentre de la question 1. On désigne par X la varaiable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de réalisations de l’événement E3.

a. Déterminer l’entier n pour que l’espérance de la variable aléatoire X soit égale à 4.

b. Déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d’avoir au moins un des barycentres situé à l’intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale à 0,999.

Exercice 12. 469 Test+binomiale+adequation, Antilles, sept 2004

Pour chacune des trois questions, la totalité des points sera donnée si la réponse est correctement justifiée.

Les trois questions sont indépendantes.

1. La probabilité pour un individu d’une population d’être atteint d’une maladie M est égale à 0,003. Un test de dépistage, pour cette maladie, a été réalisé ; avec ce test, on peut dire que

• si une personne est atteinte de la maladie M, le test est positif dans 50 % des cas ;

• le test est positif pour 3% des personnes saines.

Quelle est à 0,01 près la probabilité d’avoir la maladie M lorsque le test est positif ?

a. 0,95 b. 0,9 c. 0,15 d. 0,05

2. On considère une planche à clous de ce type :

297

On lance une boule B du haut de la planche, elle tombe alors dans l’un des quatre récipients notés R1, R2, R3 et R4. À chaque étape, la bille a une probabilité de 0,3 d’aller vers la gauche et 0,7 d’aller vers la droite (gauche et droite relatives à l’observateur).

On note p1 la probabilité que la bille tombe dans le bac R1 ou dans le bac R3 et p2 la probabilité que la bille tombe dans le bac R2 ou dans le bac R4.

Que valent p1 et p2 ?

a. p1 = p2 = 0,5 b. p1 = 0,216 et p2 = 0,784

c. p1 = 0,468 et p2 = 0,532 d. p1 = 0,468 et p2 = 0,432.

3. Les 1 000 premières décimales de π sont données ici par un ordinateur :

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

8214808651 3233066470 9384460959 0582235725 3594085234

8111745028 4102701930 5211055596 4462294895 4930301964

4288109756 6593344612 8475648233 7867831652 7120190914

5648566923 4603486534 5432664825 3393607260 2491412737

2450700660 6315580574 8815209209 6282925409 1715364367

8925903600 1133053054 8820466525 3841469519 4151160943

3057270365 7595919530 9218611738 1932611793 1051185480

7446297996 2749567355 8857527240 9122793318 3011949129

8336733624 4065664308 6025394946 3952247371 9070217986

0943702770 5392171762 9317675238 4674818467 6691051320

0056812714 5263560827 7857753427 9778900917 3637178721

4684409012 2495343054 6549585371 0507922796 8925892354

2019956112 1290219608 6403441815 9813629774 7713099605

1870721134 9999998372 9780499510 5973173281 6096318599

0244594553 4690830264 2522300253 3446850352 6193110017

1010003137 8387528865 8753320830 1420617177 6691473035

9825349042 8755460731 1595620633 8235378759 3751957781

8577805321 7122600661 3001927876 6111959092 1642019894

En groupant par valeurs entre 0 et 9 ces décimales, on obtient le tableau suivant :

Valeurs 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Occurrences 93 116 102 102 94 97 94 95 101 106

Avec un tableur, on a simulé 1 000 expériences de 1 000 tirages aléatoires d’un chiffre compris entre 0 et 9.

298

Pour chaque expérience, on a calculé ( )9

22

0

0,1k

k

d f

=

= −∑ où fk représente, pour l’expérience, la fréquence

observée du chiffre k. On a alors obtenu une série statistique pour laquelle on a calculé le premier et neuvième décile (d1 et d9), le premier et troisième quartile (Q1 et Q3) et la médiane (Me) :

d1 = 0,000422 ; Q1 = 0,000582 ; Me = 0,000822 ; Q3 = 0,001136 ; d9 = 0,00145.

En effectuant le calcul de d2 sur la série des 1 000 premières décimales de π , on obtient :

a. 0,000456 b. 0,00456 c. 0,000314

Un statisticien découvrant le tableau et ignorant qu’il s’agit des décimales de π , fait l’hypothèse que la série est issue de tirages aléatoires indépendants suivant une loi équirépartie. Il prend un risque de 10 % de rejeter cette hypothèse quand elle est vraie. Accepte-t-il cette hypothèse ?

a. Oui b. Non c. Il ne peut pas conclure.

Exercice 12. 470 QCM probas diverses, La Réunion, juin 2004

5 points

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève un demi-point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Première partie Pour réaliser des étiquettes de publipostage, une entreprise utilise deux banques de données :

B1, contenant 6 000 adresses, dont 120 sont erronées et 5 880 sont exactes,

B2, contenant 4 000 adresses, dont 200 sont erronées et 3 800 sont exactes.

1. On prélève au hasard, avec remise, 10 étiquettes parmi les 6 000 réalisées à l’aide de B1. La probabilité qu’exactement trois de ces étiquettes comportent une adresse erronée est :

A :

120 58803 7

600010

+

B : 3120

C : 3 710 120 5880

3 6000 6000

× ×

D : 3 710 3 7

3 120 5880

× ×

2. Parmi les 10 000 étiquettes, on en choisit une au hasard. Sachant que l’étiquette comporte une adresse exacte, la probabilité qu’elle ait été réalisée à l’aide de B1 est :

A : 0,98 B : 0, 4 0,95

0,6 0,98 0,6 0,02×

× + × C : 0,6 0,98× D :

0,6 0,980,6 0,98 0, 4 0,95

×× + ×

Deuxième partie La durée de vie, exprimée en heures, d’un robot ménager jusqu’à ce que survienne la première panne est modélisée par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l’intervalle [ [0 ; + ∞

(loi exponentielle de paramètre λ = 0,0005).

Ainsi la probabilité que le robot tombe en panne avant l’instant t est : [ [( )0

0 ;t

xp t e dxλλ −= ∫ .

1. La probabilité qu’un robot ait une durée de vie supérieure à 2 500 heures est :

A : 2 5002 000e

− B :

54e C :

2 5002 0001 e

−− D :

2 0002 500e

−

2. La durée de vie moyenne d’un robot ménager est donnée par la formule 0

limt

x

tE xe dxλλ −

→+∞= ∫ .

299

a. L’intégrale 0

txxe dxλλ −∫ est égale à :

A : 2

2tt

e λλ − B : 1t

t ete

λλ

λ λ

−−− − + C : t tte eλ λλ λ λ− −− − D :

tt e

teλ

λ

λ

−− −

b. La durée de vie moyenne des robots, exprimée en heures, est :

A : 3 500 B : 2 000 C : 2531,24 D : 3 000

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