Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie

8/12/2019 Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie

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Daniel FREDON

Mathmatiquespour les sciences

de la vie et de la sant

en 30 fiches


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Daniel FREDON

Mathmatiquespour les sciences

de la vie et de la sant

en 30 fiches


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Dunod, Paris, 2008

ISBN 978-2-10-053931-4


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3Avan t - p r o po s

D

unodLaphotocopienonautoriseestundlit.

Avant-propos

Ce livre est destin tous les utilisateurs de mathmatiques en biologie, pharmacie,

mdecine, environnement, chimie principalement aux tudiants qui vont passer un

examen ou un concours et qui ont besoin d'accder rapidement l'essentiel, avec des

exercices d'entranement et d'applications.

C'est pourquoi l'utilisation est facilite par le dcoupage en fiches courtes (ce qui vouspermet de ne retenir que celles qui sont au programme de l'anne) et un index dtaill

situ en fin d'ouvrage.

Le choix des sujets a t fait en pensant un public assez large : des sciences de la vie

et de la sant (avec beaucoup d'exemples de modlisation) jusqu' la chimie (avec du

calcul vectoriel permettant d'tudier une proprit de la molcule de mthane).

Dans les exercices, l'accent a t mis le plus souvent possible sur des situations appli-

ques, car l'enseignement des mathmatiques au public dj dcrit ne doit pas tre un

sous-produit de l'enseignement des mathmatiques en licences de mathmatiques etinformatique.

Toutes vos remarques, vos commentaires, vos critiques, et mme vos encouragements,

seront accueillis avec plaisir.

[email protected]


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4 M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s

Tabledes matires

Partie 1 : Algbre et gomtrie

Fiche 1 Rappels d'algbre 6

Fiche 2 Nombres complexes 12Fiche 3 Exponentielle complexe 16

Fiche 4 Polynmes 20

Fiche 5 Fractions rationnelles 24

Fiche 6 Systmes linaires 28

Fiche 7 Calcul vectoriel 32

Fiche 8 Coordonnes non cartsiennes 38

Fiche 9 Calcul matriciel 42

Fiche 10 Dterminants (ordre 2 ou 3) 48

Partie 2 : Analyse

Fiche 11 Suites de rels 52

Fiche 12 Suites particulires 58

Fiche 13Fonctions dune variable relle

62

Fiche 14 Fonctions drivables 68

Fiche 15 Fonctions usuelles 74

Fiche 16 Fonctions circulaires et leurs rciproques 80

Fiche 17 Fonctions hyperboliques et leurs rciproques 86

Fiche 18 tude globale des fonctions drivables 90

Fiche 19 tude locale des fonctions drivables 94

Fiche 20 Calcul intgral 100


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5Ta b l e d e s m a t i r e s

D


Fiche 21 Calcul de primitives 104

Fiche 22 Intgrales gnralises 110

Fiche 23 Sries numriques 116

Fiche 24 quations diffrentielles du premier ordre 122

Fiche 25 quations diffrentielles linairesdu second ordre coefficients constants 128

Fiche 26 Systmes diffrentiels 134

Fiche 27 Exemples de modlisation 138

Fiche 28 Fonctions de plusieurs variables 146

Fiche 29 Optimisation dune fonction deux variables 150

Fiche 30

Intgrales multiples154


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Rappels d'algbre

I Oprations sur les nombres rels Corps des nombres rels

On dit que lensemble R des nombres rels est un corps pour dire quil est muni

de deux oprations + et , avec toutes les proprits dont vous avez lhabitude. Puissances

Dfinition

Soit a R et n N (avec n 2). On dfinit a puissance n par :an =a a

n facteurs

On pose de plus :a1 =a,a0 = 1 (pour a=/ 0),an =1

an (pour a=/ 0).Proprits

Pour n Z,p Z,a=/ 0,b=/ 0, on a :an ap =an+p anbn =(ab)n (an)p =anp

a

b

n= a

n

bn

an

ap=anp

Formules de calcul

a et b tant deux rels quelconques, on a :

Identits remarquables

(a+ b)2 =a2 + 2ab + b2 ; (a b)2 =a2 2ab + b2 ; (a b)(a+ b)=a2 b2

Formule du binme

(a+

b)n

=

n

k=0

n

k akbn

k o

n

k=n!

k!(n k)!

FICHE1


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7F I C H E 1 R a p p e l s d a l g b r e

D


1

Autre galit

an bn =(a b)n1k=0

ank1bk.

Racinen-ime

Dfinition

Soit n N et x R+ . On appelle racine n-ime de x lunique rel positif a telque an =x. On crit :

a= nx=x1n .Proprits

La fonction R+

dans R+

:x

x1n est une bijection strictement croissante.

Pourx R+ ,p Z,q N , on notexpq =

x

1q

pLes rgles de calcul sur les exposants rationnels sont alors les mmes que pour lesexposants entiers.

II Ingalits

Proprits des ingalits

Lorsquex> 0 ety > 0, oux < 0 ety < 0, on a :

xy 1x

1

y

Si x et y sont de signes contraires, le rsultat nest plus le mme.

Pourx 0 et y 0, on a :x2 y2

xy

x

y .

On a toujours :xyx+z y+z.Pourz > 0 : xyx z yz ; pourz < 0 : x yx z yz .

Si on ne connat pas le signe de z, on ne peut rien dire.

Intervalles

[a,b] est lensemble desxtels que : a x b.[a,b[ est lensemble desxtels que : a x


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Pour des rels quelconques, on a :a x b b x a

a x b et a y b

a+ a x+y b + b


Attention ne pas soustraire membre membre des ingalits.

Sinon, on aurait, par exemple, 6 x 8 et 1 y 5

qui entranerait 6 1 x y 8 5 , do 5 3, ce qui serait curieux !

III Valeur absolue Dfinition

La valeur absolue dun relx, note |x|, est le rel positif tel que :|x| =x six 0 ; |x| = x six 0

Sixety sont deux rels,|xy| reprsente la distance dexy .

Proprits

|x| = |y| (x=y oux= y)

|xy

| = |x

| |y

| ; x

y =|x|

|y|(si y

=/ 0) ; |

x

| |y

|

|x

y

|

|x

| + |y

|Soit a > 0. On a : |x b| ab a x b + a

IV Approximations Partie entire

tant donn un nombre relx, il existe un plus grand entier relatif, not E(x) ou[x], tel queE(x) x. On lappelle la partie entire dex.

On a donc, par dfinition : E(x) x


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d 10n sappelle la valeur dcimale approche dex 10n prs par dfaut, et(d+ 1) 10n cellepar excs.

Notation scientifique

Soitxun nombre dcimal non nul. Il existe un nombre dcimal et un entier muniques tels que :

x= 10m avec 1 ||< 10.Cette criture est la notation scientifique dex. Si est lentier le plus proche de ,alors lordre de grandeur dexest 10m.

V Entiers naturels Raisonnement par rcurrence

Soit E(n) un nonc qui dpend dun entier naturel n.SiE(0) est vrai, et si, quel que soit k, limplicationE(k)E(k+ 1) est vraie,alors lnonc E(n) est vrai pour tout entier n.Ce principe a diverses variantes, par exemple :si E(0) est vrai, et si, quel que soit k 0, limplication

E(0) etE(1) et . . . etE(k) E(k

+1)

est vraie, alors lnoncE(n) est vrai pour tout entier n.

Le symbole

Une somme comme S=x1+x2+ +x86+x87 se note :S=87

i=1xi et se lit :

somme de i= 1 i= 87 desxi.Dans cette criture, la lettre i choisie pour dsigner lindice nintervient pas dansle rsultat. On dit quil sagit dune variable muette.

Proprits

ni=1

(xi+yi )=n

i=1xi+

ni=1

yi;n

i=1(kxi )=k

ni=1

xi


D


1


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Applicat ion

Parmi les affirmations qui suivent, dterminez celles qui sont vraies et celles qui sontfausses.Pour toutxrel :

1. si 0 1

104soit

1

x> 104 ; donc 1. est vraie.

Le contre-exemplex= 102, o 1x

= 102, montre que 2. est faux. Le contre-exemplex= 103 , ox2 = 106, montre que 3. est faux. Lhypothse de 4. entrane quex=/ 0.Six > 0, on a :x < 103 1

x> 103 . Six< 0, on a 1

x< 0< 104. Dans tous les

cas 4. est vraie.

Comme |x|< 103 x2 < 106 et 106 < 103, 5. est vraie.

Applicat ion

Rsolvez dans R linquation :

x 2x+ 2

1.

Solut ion algbrique

Pour toutxdu domaine de dfinition D= R \ {2} , on a :x 2x+ 2 1

x 2x+ 2

2 1 (x 2)

2

(x+ 2)2 1 0

(x 2)2 (x+ 2)2

(x+ 2)2 0x 0.

Lensemble des solutions est donc S= [0,+[ .



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Solut ion gomtrique

Linquation est quivalente |x 2| |x+ 2| .Sur un axe orient, dsignons par A le point dabscisse 2, par B le point dabscisse2 et par M le point dabscisse x. La rsolution de linquation est la recherche despointsMplus prs de B que de A .Cest la demi-droite dorigine O (milieu de [AB]) contenant B.

Applicat ion

Dmontrez par rcurrence que :n

k=1(1)nkk2 = n(n+ 1)

2pour n N .

Solut ion

Pour n= 1, on vrifie bien que 1= 1 22

Supposons que lgalit soit vraie pour un entier Nquelconque, et montrons quel-le est alors vraie pour N+ 1. crivons la somme calculer pour N+ 1 de sorte quelhypothse pourNsoit utilisable :

N+1k=1

(1)N+1kk2 = N

k=1(1)Nkk2 + (N+ 1)2

= N(N+ 1)2

+ (N+ 1)2 = (N+ 1)(N+ 2)2

La proprit est donc vrifie pour N+ 1. La proprit est donc dmontre par rcurrence pour n N quelconque.


D


1


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M a t h m a t i q u e s p o u r l e s s c i e n c e s d e l a v i e e t d e l a s a n t e n 3 0 f i c h e s

Nombres complexes

I Forme algbrique Dfinition

Tout nombre complexez scrit, de manire unique,z

=x

+iy avecxet y rels,

i tant un nombre complexe particulier tel que i2 = 1.Le relxsappelle la partie relle dez , et se note Re(z).Le rely sappelle la partie imaginaire dez , et se note Im(z).

galit

Deux nombres complexes sont gaux si, et seulement si, ils ont mme partie rel-le et mme partie imaginaire.

FICHE2

Attention, il ny a pas dingalits dans C . Ncrivez jamais quun nombre complexe est

positif, ou ngatif. Cela naurait aucun sens.

Oprations dans C

Laddition et la multiplication ont les mmes proprits que pour les rels. Pensez remplacer i2 par 1.

Plan complexe

Soit (O,u ,v ) un repre orthonormal direct du plan.Le pointM(x,y) est limage dez=x+ iy, etz laffixe deM.Laffixe du vecteur u + v est le nombre complexez= + i.SizA etzB sont les affixes de A et B, le vecteur

AB a pour affixezBzA.

La somme des nombres complexes correspond laddition des vecteurs.

Conjugu dun nombre complexe

Le conjugu dez=x+ iy est le nombre complexez=x iy.

z=z ;z+z=z+z ;zz=z z ;zz

=z

z


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13F I C H E 2 N o m b r e s c o m p l e x e s

D


2

II Forme trigonomtrique Module dun nombre complexe

Dfinition

Le module de z=x+ iy (o x R et y R) est le nombre rel positifz z=

x2 +y2 . On le note |z| , ou , ou r.

Si Mest laffixe dez ,|z| est la longueur O M.Proprits

Siz R, le module dez est la valeur absolue dez .Le module dun nombre complexe a des proprits qui prolongent celles de lavaleur absolue dun nombre rel :

|z| = 0z= 0 ; |Re(z)| |z| ; |Im(z)| |z| ;|z| |z| |zz| |z| + |z|;

|zz| = |z| |z| ; |zn| = |z|n pourn N ;zz

= |z||z| siz=/ 0 .

Siz R, alorsz2 = |z|2 ; mais siz / R, alorsz2 =/|z|2. Forme trigonomtrique

Tout nombre complexe non nulz scrit sous forme trigonomtrique :z= (cos + i sin) avec > 0.

= |z| est le module dez . est un argument dez , not argz .Il est dfini, modulo 2, par :

cos= x

et sin= y

Proprits de largument dun nombre complexe non nulLes galits suivantes ont lieu 2k prs (avec k Z) :

arg(zz)= argz+ argz ; arg(zn)=n argz avec n Z ;

arg1z

= argz ; arg

zz

= argz argz .

z est rel si, et seulement si,z= 0 ou argz= 0 [] .

z est imaginaire pur si, et seulement si,z= 0 ou argz=

2 [].

y

v

M

O u x


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Applicat ion

tout nombre complexe a, on associe lapplication f dfinie sur C \ {1} parf(z)= a az

1

z

1. Que pouvez-vous dire defsi a est rel ?2. On suppose a= ia) Trouvez lensemble des pointsMdaffixez tels quef(z) soit rel positif.

b) Soitz C . Dterminez les antcdents parfdez.3. Trouvez lensemble des pointsMdaffixez tels quef(z) soit rel.

Solut ion

1.fest constante gale a.

2. a) On a :f(z)= f(x+ iy)= y+ i (1 +x)1 x iy =

2y+ i (1 x2 y2)(1 x)2 +y2

f(z) R+ Imf(z)

= 0 et Ref(z) 0 1 x2 y2 = 0 et 2y 0

Lensemble cherch est le demi-cercle trigonomtrique du demi-plany 0, priv dupoint U daffixe 1.

b) On a :f(z)=z z(z+ i)=z i carz= 1 nest pas solution.Discutons en fonction du paramtrez .

Siz= i, alorsz na pas dantcdent.Siz=/ i , alorsz a un antcdent, et un seul :z

iz+ i

3.f(z) R f(z)= f(z) a a z1 z =

a a z1 z

(a

az) (1

z)

=(a

az) (1

z)

(a a) (zz 1)= 0

.

Si a R, lensemble est le plan priv de U.Si a / R, on af(z) R zz= 1 x2 +y2 = 1 .Lensemble est le cercle trigonomtrique priv de U.



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Applicat ion

UtilisezZ= 1 + i3

+i

pour calculer cos

12et sin

12

Solut ion

Forme trigonomtrique : cherchons le module et largument deZ.

|Z| = |1 + i||

3 + i|=

2

2

arg(Z)= arg(1 + i) arg(

3 + i)= 4

6=

12[2]

On peut donc crire :Z=

2

2

cos

12+ isin

12

Forme algbrique : multiplions la fois le numrateur et le dnominateur de la frac-tion par le conjugu du dnominateur.

Z= (1 + i) (

3 i)(

3 + i) (

3 i)=

3 + 14

+ i

3 14

En galant les deux formes, on obtient :

cos

12= (

3 + 1)24

et sin

12= (

3 1)24

15F I C H E 2 N o m b r e s c o m p l e x e s

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Exponentielle

complexe

I Exponentielle complexe Dfinition et proprits

On dfinit lexponentielle du nombre complexe z=

x

+iy par :

ez = ex eiy = ex(cosy+ isiny) .Cette notation est justifie par le prolongement des proprits dj connues pourlexponentielle relle :

z C z C ez ez = ez+z ;z C n Z ezn = enz .

Si z est une constante complexe et tune variable relle, on a :

ddt

ezt=z ezt.

Formule de Moivre

R n Z ( cos + isin )n = cos n + isin n ,ce qui scrit avec la notation prcdente :(ei)n = ein.

Formules dEuler

Pour tout rel xet tout entier n, on a :

cosx= eix + eix

2; sinx= e

ix eix2i

;

cos (nx)= einx + einx

2 ; sin (nx)= e

inx einx2i

FICHE3

On peut utiliser ces formules pour linariser des polynmes trigonomtriques, avant den

calculer une primitive.


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17F I C H E 3 E x p o n e n t i e l l e c o m p l e x e

D


3

II Racines n-imesdun nombre complexe

Racines n-imes de lunit

Soit Un lensemble des racines n-imes de 1, cest--dire lensemble des nombrescomplexes z tels que zn = 1. On a :

Un= {u0,u1,. . . ,un1} avec uk= cos2k

n+ isin 2k

n= (u1)k

Proprit

n1

k=0

uk

=0 .

Racines n-imes dun nombre complexe non nul

Tout nombre complexe non nul a= (cos + isin ) possde n racines n-imes :

zk= n

cos

+ 2kn

+ isin + 2kn

avec k {0,. . . ,n 1} .

partir de lune dentre elles, on peut les obtenir toutes en la multipliant par leslments de U.

Cas particulier des racines carres

Pour dterminer les racines carres de z=a+ ib , il est plus commode deprocder par identification, cest--dire de chercher les rels et tels que( + i)2 =a+ ib .Lgalit des parties relles et des parties imaginaires donne :

2 2 =a et 2=b .

Lgalit des modules conduit :2 + 2 =

a2 +b2 .

On en dduit 2 et 2 , puis et en utilisant le fait que est du signe de b.

Ce calcul est utilis lors de la rsolution dune quation du second degr coefficients

complexes.


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Applicat ion

Calculez I=

4

0cos4x dx.

Solut ion

On va linariser cos4x, cest--dire lcrire sous forme dune somme dexpressions dedegr 1. On peut utiliser les formules dEuler et la formule du binme :

cos4x=

eix + eix2

4= 1

24ei4x + 4 ei2x + 6+ 4 ei2x + ei4x

=

1

8

ei4x + ei4x

2 +4

ei2x + ei2x

2 +3=

3

8+

cos2x

2 +

cos4x

8

Do : I=

3

8x+ 1

4sin2x+ 1

32sin4x

4

0

= 332

+ 14

Applicat ion

En faisant confiance la notation exponentielle, retrouvez les formules de trigono-mtrie qui donnent cos (a

+b) et sin (a

+b) .

Solut ion

Lexponentielle complexe ayant les mmes proprits que lexponentielle relle, poura et b rels, on doit avoir :

ei (a+b) = ei a ei b

cest--dire en dtaillant :

cos (a+

b)

+isin (a

+b)

= cos a+ isin a cos b+ isin b .En dveloppant le produit du second membre, et en galant les parties relles et lesparties imaginaires, on obtient :

cos (a+b)= cos a cos b sina sin bsin (a+b)= sina cos b+ cos a sin b



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Applicat ion

Rsolvez dans C lquation : z2 2iz+ 2 4i= 0.

Solut ion

Lquation est du second degr. Le fait que les coefficients soient complexes ne chan-gent pas les formules dont vous avez lhabitude. On calcule le discriminant :

= (2i)2 4(2 4i)= 12+ 16 i .On cherche les racines carres de , cest--dire les nombres complexes tels que :

12+ 16 i=(a+ ib)2 =a2 b2 + 2ab iEn galant les parties relles et imaginaires, et aussi les modules, on obtient :

a2 b2 = 122ab= 16a2 +b2 = || = 20

ce qui donne :

a2 = 4b2

=16

ab > 0

Les racines carres de sont donc : 2+ 4i et 2 4i et les racines de lquation :

z1=2i+ 2+ 4i

2 = 1+ 3 i ; z2=

2i 2 4i2

= 1 i

19F I C H E 3 E x p o n e n t i e l l e c o m p l e x e

D


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Polynmes

I Gnralits Dfinitions

P est une fonction polynme sil existe des rels a0,. . . ,an tels que :

x R P(x) =anxn + + a1x + a0 .

Les nombres ai sont les coefficients du polynme.

Si P =/ 0, le plus grand entier n tel que an =/ 0 est le degr de P. On le note dP

ou deg P. Lorsque an = 1, le polynme est dit unitaire ou normalis. Pour le

polynme nul P = 0, on convient que dP = .

Lensemble des polynmes coefficients dans K (avec K = R ou C) se note

K[X] .

Oprations algbriques

Soit P(x) =

ni=0

ai xi et Q(x) =

mj=0

bj xj deux lments de K[X] et K.

Addition de deux polynmes

(P + Q)(x) =

rk=0

ckxk avec r = max (m,n) et ck =ak + bk.

On a d(P +Q) max (dP,dQ) . Si dP =/ dQ , il y a galit.

Produit par un scalaire

(P)(x) =

ni=0

( ai )xi . Si =/ 0, on a d(P ) = dP.

Produit de deux polynmes

(PQ)(x) =

m+nk=0

dkxk avec dk =

i+j=k

aibj.

On a d(PQ) = dP + dQ .

FICHE4


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23/160

Applicat ion

Soit P un polynme tel que

le reste de la division de P(x) par x 1 soit 2,

et le reste de la division de P(x) par x 2 soit 3.

Quel est le reste de la division de P(x) par (x 1)(x 2) ?

Solut ion

Comme on veut diviser le polynme P(x) par un polynme de degr 2, lgalit de

division scrit :

P(x) =(x 1)(x 2)Q(x) + x + .

En remplaant xpar 1 puis par 2, on obtient :

P(1) = 2 = +

P(2) = 3 = 2 +

= 1

= 1

Le reste de la division est donc : R(x) = x 1.

Applicat ion

Soit B(x) =n xn xn1 xn2 x 1 .

En utilisant (1 x)B(x), prouvez que toutes les racines de B sont simples.

Solut ion

Pour dmontrer que toutes les racines de B(x) sont simples, nous allons raisonner par

labsurde, cest--dire supposer quil existe une racine au moins double et montrer que

ce nest pas possible.

Dveloppons le produit donn dans lnonc :

(1 x)B(x) =nxn xn1 xn2 x 1

nxn+1 + xn + xn1 + xn2 + + x= nxn+1 + (n + 1)xn 1

Drivons cette galit :

B(x) + (1 x)B (x) = n(n + 1)xn + n(n + 1)xn1

=n(n + 1)xn1(1 x)

Si xest une racine au moins double, elle vrifie :B(x) = B (x) = 0. Daprs lgali-

t prcdente, les seules valeurs possibles sont 0 et 1.

Comme B(0) = 1, la valeur 0 nest pas racine de B(x) .



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On a bien B(1) = 0. Mais aprs avoir calcul B(x), on obtient :

B(1) =n2

(n 1) + (n 2) + + 1

=n2 n(n 1)

2=/ 0 .

Donc 1 nest pas racine double, et B(x) nadmet pas de racine multiple.

Applicat ion

Montrez que i est racine double du polynme :

P(x) = x6 + x5 + 3x4 + 2x3 + 3x2 + x + 1 .

Factorisez P(x) dans R[X].

Solut ion

On a P (x) = 6x5 + 5x4 + 12x3 + 6x2 + 6x + 1.

Comme P(i) = 0 = P (i) , i est racine au moins double de P(x).

P(x) tant coefficients rels, le conjugu i est aussi racine au moins double.

P(x) est donc divisible par (x i)2(x + i)2 =(x2 + 1)2 . En effectuant la division, on

obtient :

P(x) =(x4 + 2x2 + 1) (x2 + x + 1) =(x2 + 1)2(x2 + x + 1) .

Comme x2 + x + 1 na pas de racine relle, il sagit de la factorisation en polynmes

irrductibles dans R[X].

23F I C H E 4 P o l y n m e s

D


4


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Fractions

rationnelles

I Dcomposition en lments simples Forme gnrale

Une fraction rationnelle est une fonction qui peut s'crire sous la forme

F(x)= A(x)B(x)

o A(x) et B(x) =/ 0 sont deux polynmes. En simplifiant, on a

une criture irrductible.

On note K(X) l'ensemble des fractions rationnelles coefficients dans K

(K = R ou C).

Une fraction rationnelle irrductible s'crit de faon unique, sous la forme :

F(x)= E(x) +R(x)

B(x)avec dR < dB .

E(x) est la partie entire, et R(x)B(x)

la partie fractionnaire de F(x).

lments simples

Un lment simple de K(X) est une fraction rationnelle, non nulle, de la forme

S(x)=P(x)

Q(x)o Q est un polynme irrductible de K[X] , N et

dP < dQ .

Si dQ = 1, l'lment simple S(x) est dit de premire espce ; alors P(x)=a .

Si d

Q = 2, il est dit de deuxime espce ; on a alors P(x)= ax+ b .

Partie polaire

Si la factorisation de B en polynmes irrductibles comporte un terme Q avec Q

irrductible et N , on appelle partie polaire de F relative Q une somme

d'lments simples du type :

P1

Q+

P2

Q1 + +

P

Q,

o, pour tout i, dPi < dQ .

FICHE5


26/160

25F I C H E 5 F r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s

D


5

Pour une fraction Fdonne, les polynmes Pi existent et sont uniques.

Thorme de dcomposition

Toute fraction rationnelle, crite sous forme irrductible, est gale, de faon unique, la

somme de sa partie entire et des parties polaires relatives chacun des facteurs irr-

ductibles intervenant dans la dcomposition de B.

II Mthodes pratiquesde dcomposition

Plan d'tude

On met F sous forme irrductible. On obtient Eet R l'aide de la division euclidienne de A par B.

On factorise B en polynmes irrductibles.

On crit la forme littrale de la dcomposition en lments simples de F, ou de

R

B Pour ceci, il faut distinguer le cas o la dcomposition a lieu dans C(X) et

ne comporte que des lments simples de premire espce, ou dans R(X) auquel

cas il peut y avoir des lments simples de premire et de deuxime espce.

On dtermine les coefficients l'aide de diverses mthodes.

Mthodes pratiques

La mthode la plus rudimentaire consiste rduire au mme dnominateur la

forme dcompose, et identifier les numrateurs.

Vous pouvez remplacer xpar des valeurs numriques, diffrentes des ples.

Sachant que la dcomposition est unique, si F est paire, ou impaire, on obtient

des relations entre les coefficients.

En multipliant F(x) par Qk(x) et en remplaant xpar un zro deQ, on obtient le

numrateur associ Q

k

(x). Si est un ple simple, la partie polaire associe ax

vrifie :

a =A()

B ()


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Applicat ion

Soit f la fonction dfinie par f(x) =1

x2 + 3x+ 21. Exprimez f(x) comme somme de fractions rationnelles plus simples.

2. Dduisez-en la valeur de I =1

0

f(x) dx.

Solut ion

1. Comme x2 + 3x+ 2 = (x+ 1) (x+ 2) , la fonction f est dfinie sur] ; 2[ ] 2; 1[ ] 1; +[ .

Comme les deux ples sont simples, f(x) peut se dcomposer en lments simples

sous la forme :1

x2 + 3x+ 2=

a

x+ 1+

b

x+ 2

En multipliant les deux membres de cette galit par x+ 1 et en remplaant xpar 1,

on obtient a = 1.

En multipliant par x+ 2 et en remplaant xpar 2, on obtient b = 1.

Donc f(x) =1

x+ 1

1

x+ 2

2. L'intervalle d'intgration est inclus dans un intervalle o fest dfinie. On dduit dela question prcdente :

I =

10

f(x) dx =ln|x+ 1| ln|x+ 2|

10

= ln2 ln3 + ln2= ln

4

3

0,288

.



28/160

Applicat ion

Simplifiez la somme : S=

nk=0

1

(x+ k) (x+ k+ 1)

Solut ion

La fraction rationnelle1

(x+ k) (x+ k+ 1)a deux ples simples.

Sa dcomposition en lments simples est de la forme :

1

(x+ k) (x+ k+ 1)=

a

x+ k+

b

x+ k+ 1

En multipliant les deux membres de cette galit par x+ k et en remplaant xpar k,

on obtient a = 1.

En multipliant par x+ k+ 1 et en remplaant xpar k 1, on obtient b = 1.

Donc1

(x+ k) (x+ k+ 1)=

1

x+ k

1

x+ k+ 1

On en dduit, en explicitant la notation :

S=1x

1

x+ 1

+ 1x+ 1

1

x+ 2

+ + 1x+ n

1

x+ n+ 1

Les termes intermdiaires se simplifient de proche en proche. Il ne reste que le premier

et le dernier, soit :

S=1

x

1

x+ n+ 1=

n+ 1

x(x+ n+ 1)

27F I C H E 5 F r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s

D


5


29/160


Systmes linaires

I Gnralits Dfinitions

Un systme de n quations linaires p inconnues, coefficients dans K= Rou C , est de la forme :

(S)

a11x1 + + a1pxp = b1

......

an1x1 + + anpxp = bn

Les coefficients ai j et les seconds membres bi sont des lments donns de K.Les inconnuesx1,. . . ,xp sont chercher dans K.

Le systme homogne associ (S) est le systme obtenu en remplaant les bipar 0.

Une solution est unp-uplet (x1,. . . ,xp) qui vrifient (S). Rsoudre (S), c'est chercher toutes les solutions. Un systme est impossible, ou incompatible, s'il n'admet pas de solution. Deux systmes sont quivalents s'ils ont les mmes solutions.

Systmes triangulaires

Un systme linaire (S) est triangulaire si n=p (il y a autant d'quations que d'in-connues) et si ai j= 0 pour tousj


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29F I C H E 6 S y s t m e s l i n a i r e s

D


6

II Mthode du pivot de Gauss Principe de la mthode

La mthode consiste construire un systme triangulaire quivalent (S).On obtient un systme quivalent en utilisant l'une des oprations lmentaires : addition d'un multiple d'une ligne une autre ligne, ce qui se code :

L i L i+ Lj ; multiplication d'une ligne par un scalaire non nul, ce qui se code :L i L i ; change de deux lignes, ce qui se code :L i Lj.

chaque tape le pivot est choisi pour faire apparatre des 0 en-dessous, pour finale-ment aboutir un systme triangulaire.En calcul numrique, pour minimiser les erreurs d'arrondi, on choisit comme pivot leterme de plus grande valeur absolue.

Remarques

Si, au cours du calcul, on rencontre une quation du type 0x1 + + 0xn= 0, on peut la supprimer et

continuer le procd, une quation du type 0x1 + + 0xn= b avec b=/ 0, le systme n'a

pas de solution et il est inutile de continuer.

Mthode de Gauss-Jordan

Dans cette variante du pivot de Gauss, chaque tape on fait apparatre des zros la fois au-dessus et au-dessous du pivot.On obtient ainsi directement la solution (si elle existe) sans avoir effectuer dessubstitutions pour achever la rsolution.


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Applicat ion

Un agriculteur a livr sa cooprative 30 t de bl, 45 t de tournesol et 75 t de sorgho.Il a reu un chque de 234 M.Le prix de la tonne de bl est la moyenne du prix de la tonne de tournesol et du prixde la tonne de sorgho. D'autre part, s'il avait livr une tonne de chacun de ces pro-duits, il aurait reu 5,1 M.Quel est le prix pay la tonne de chacun des produits livrs ? (la ralit des prixn'est pas garantie).

Solut ion

Dsignons parx,y etz les prix respectifs, en M, d'une tonne de bl, d'une tonne detournesol et d'une tonne de tournesol. Les informations fournies se traduisent alors parle systme linaire de 3 quations 3 inconnues :

(S)

30x +45y +75z = 234

2x y z = 0

x +y +z = 5,1

La rsolution peut se faire par la mthode du pivot de Gauss :

(S)

x +y +z = 5,1

3y +3z = 10,2

15y +45z = 81

x +y +z = 5,1

y +z = 3,4

30z = 30

x = 1,7

y = 2,4

z = 1

Cette mthode a l'avantage d'tre automatique. Mais, ici, vous pouvez obtenir directe-

mentxavecL2 +L3, puis substituer.Les prix unitaires sont donc de 1,7 M par tonne pour le bl, 2,4 M par tonne pourle tournesol et 1 M par tonne pour le sorgho.


La mise en quations suppose implicitement que la situation est linaire, c'est--dire que,pour chaque produit, le prix total est proportionnel au prix unitaire et que le prix total estla somme des prix pays pour chaque produit. L'existence de subventions fixes, parexemple, pourrait rendre le problme non linaire.


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Applicat ion

Dans une cage, on a une population de 100 souris. Elle est compose de mles griset de femelles blanches. On laisse la population se dvelopper pendant un mois. lafin de l'exprience, on dnombre 284 souris.

L'accouplement des souris donne une fois sur quatre une souris blanche, et trois foissur quatre une souris grise. En un mois, le nombre de mles a t multipli par 2, etle nombre de femelles par 3. Il n'y a pas eu de mort au cours de l'exprience.

1. Dterminez le nombre de mles et le nombre de femelles en dbut d'exprience.

2. Dterminez le nombre de souris grises et le nombre de souris blanches la fin dumois.

Solut ion

1. Notons x le nombre de mles et y le nombre de femelles en dbut d'exprience.D'aprs les informations fournies, ces nombres (entiers) vrifient le systme :

x+y = 100

2x+ 3y = 284

La combinaison 3L1 L2 donne x= 16, puis, en reportant dans L1 on obtienty= 84.Il y avait donc au dpart 16 mles gris et 84 femelles blanches.

2. On est pass de 100 souris 284 souris, sans mortalit. Il y a donc eu 184 nais-

sances. D'aprs les informations fournies, elles se dcomposent en184

4 = 46 souris

blanches et 184 46 = 138 souris grises.

la fin du mois, il y a donc 16+ 138 = 154 souris grises et 84+ 46 = 130 sourisblanches.La couleur du pelage n'est donc plus un caractre de reconnaissance statistique dusexe.

31F I C H E 6 S y s t m e s l i n a i r e s

D


6


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Calcul vectoriel

I Barycentre de points pondrs Dfinition

Soit A1,. . . ,An des points du plan ou de lespace, affects de coefficients respec-

tifs 1,. . . ,n tels quen

i=1i=/ 0. Le barycentre de ce systme de points pond-

rs est lunique point G tel que :n

i=1iGAi= 0 .

On a alors, pour tout point P :n

i=1iPAi=

ni=1

i

PG .

En choisissant P= O , on peut ainsi calculer les coordonnes de G.

Proprits

Le barycentre dun systme de points pondrs nest pas modifi si on multiplietous les coefficients par un mme nombre non nul.Si 1= = n=/ 0, le barycentre des points pondrs (A1,1),. . . ,(An,n) estdonc le mme que celui de (A1,1),. . . ,(An,1) . On lappelle lisobarycentre despoints.Le barycentre dun ensemble de points pondrs est inchang si on remplace unsous-ensemble par son barycentre partiel (sil existe) affect de la somme des coef-

ficients des points remplacs. Applications

En gomtrie, lisobarycentrede deux points A et B est le milieu du segment [AB],de trois points non aligns A , B et C est le centre de gravit du triangle ABC,de quatre points non coplanaires A ,B,C,D est le centre de gravit du ttradre ABC D .

En physique, si les coefficients i sont les masses des points Ai , le barycentre estle centre dinertie, ou centre de gravit, du systme.

La dfinition se gnralise une infinit de points.

FICHE7


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33F I C H E 7 C a l c u l v e c t o r i e l

D


7

II Produit scalaire Dfinition

Soitu et

v deux vecteurs non nuls dfinissant un angle . Le produit scalaire

de u et de v est le rel :u v = u v cos

o u est la norme de u .Si lun des vecteurs est nul, on pose u v = 0.

Orthogonalit

On dit que deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.

Thorme de Pythagoreu et v sont orthogonaux si, et seulement si, u + v2 = u2 + v2 .

Une base (i ,j ) du plan, ou (

i ,j ,k ) de lespace, est orthonormale si les

vecteurs sont tous de norme 1 et sont deux deux orthogonaux.

Expression analytique du produit scalaire

Si (i ,j ,k ) est une base orthonormale de lespace et siu = xi + yj + zk et v = xi + y j + zk , alors :u v = xx +yy +zz .

Applications

En gomtrie, dans un repre orthonormal, on a les rsultats qui suivent. quation cartsienne de la sphre de centre (x0,y0,z0) et de rayon R :

(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2

quation cartsienne du plan passant par M0(x0,y0,z0) et orthogonal au vecteur(a,b,c) :

a(x x0) + b (y y0) + c (z z0) = 0

Distance du point M0(x0,y0,z0) au plan ax+ by + cz + d= 0 :

|ax0

+by0

+cz0

+d

|a2 + b2 + c2


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III Produit vectoriel Dfinitions

Orientation de lespace

Un repreO,OA,

OB,

OC

tant donn, considrons un observateur ayant les

pieds en O, la tte en Cet regardant dans la direction de A . Le repre est ditdirect si lobservateur a le point B sa gauche,indirect si lobservateur a le point B sa droite.

Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est le vecteur w tel que : si u et v sont colinaires, w = 0 , si

u et

v ne sont pas colinaires,

w est orthogonal

u et

v , de norme

w = u v sin (u ,v ) et le repreO,u ,v ,w est direct.

On le note w = u v .

Expression analytique dans une base orthonormale directe

Si (i ,j ,k ) est une base orthonormale directe de lespace et si

u = xi +yj + zk et v = xi +y j +zk , alors :

u v = (yz zy)i + (zx xz)j + (xy y x)k . Application

En gomtrie, laire dun triangle ABC est gale 1

2ABAC



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Applicat ion

Dans un repre orthonormal de lespace, on note :D la droite passant par A(1,3,2) et de vecteur directeur u (2,1,0) ,P le plan dquation 2x

3y

+5z

7=

0et M le point (1,2,3) . Dterminez :1. la distance de M P ;2. la distance de M D .

Solut ion

1. La distance de M P est gale :

|2x0 3y0 + 5z0 7|22 + (3)2 + 52 =

11

382. Aidons-nous dun dessin :


D


7

A

H

D

M

u

La dfinition du produit vectoriel entrane :AMu = u HM .

CommeAM u = (5,10,2) la distance de M D est donc :

HM = AMuu

= 1295


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Applicat ion

La molcule de mthane CH4 comporte quatre atomes dhydrogne situs aux som-mets dun ttradre rgulier et un atome de carbone situ au centre de ce ttradre.Calculez langle entre deux liaisons C

H.

Solut ion

Dsignons par H1 , H2 , H3 , H4 les sommets dun ttradre rgulier occups par desatomes dhydrogne et par C le centre du ttradre.


H2

H1

H4

H3

M

C

Soit M le milieu de [H3H4] .

Si la longueur des cts du ttradre est a, on a alors, en considrant les triangles qui-latraux H2H3H4 et H1H2H4 :

MH1= MH2= a

3

2

Les points H1 , H2 , Cet Msont dans le plan mdiateur de [H3H4] .Si Hdsigne le milieu de [H1H2] , on a donc la configuration plane :

H2H1

H

M

C


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C tant lisobarycentre des points H1 , H2 , H3 , H4 , on a :0 = CH1 +CH2 +CH3 +CH4= CH1 +CH2 + 2CM= 2CH+ 2CM .

C est donc le milieu de [MH].

En appliquant le thorme de Pythagore au triangle rectangle MHH2 , on a :

MH=

3

4a2 1

4a2 =

2

2a et par consquent CH=

2

4a .

Dans le triangle rectangle CHH2, on a donc tan

2=

2 et lon conclut :

= 2 arctan(

2) 109,5 .


D


7


39/160


40/160

39F I C H E 8 C o o r d o n n e s n o n c a r t s i e n n e s

D


8

Le triplet (,,z) reprsente les coordonnes cylindriques de M.

Un cylindre de rvolution daxe Oz et de rayon R a pour quation = R et un pointMde ce cylindre se caractrise par deux coordonnes (,z) .

III Coordonnes sphriques(dans lespace)

Reprage dun point

Dans lespace, on peut aussi reprer un

point Mnappartenant pas (Oz) par :

langle

[0,2[ entre le demi-plan

xOz et le demi-plan zOM ( estreprsent dans le plan horizontal

xOy) ;

langle 2,

2

situ dans le

demi-plan zOM entre Om et OM ;

la distance r= OM.Le triplet (r,,) reprsente les coordonnes sphriques de M.

Une sphre de centre O et de rayon R a pour quation r= R et un point Mde la sph-re se caractrise par deux coordonnes (,) .

Sur la sphre terrestre, xOy est le plan de lquateur, Oz est laxe des ples, xOz est

le demi-plan du mridien de Greenwich ; est alors la longitude et la latitude du

point M.

M

z

r

y

x

m

O

Attention, en physique on prend souvent pour langle (Oz,OM) ]0, [ . On lappelle la

colatitude du point M.


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Applicat ion

R > 0 tant donn, dcrivez le domaine D de lespace dfini en coordonnes cylin-

driques par :

0

R

2

z2

0 2

0 z R

Solut ion

Les bornes de et de z sont lies, mais ne dpendent pas de ; et varie de 0 2.

Le domaine D admet donc la droite Oz comme axe de rvolution.

Pour se reprsenter D, il suffit donc didentifier son intersection avec le plan xOz etde faire un tour complet autour de Oz.

Dans ce plan, on a y= 0 et = |x|. Lintersection de D avec le plan xOz est doncdfinie par :

x2 + z2 R2 et z 0 .Il sagit du demi-disque de centre O et de rayon R avec z 0.


z

x

R

R

O

Le domaine D est donc la demi-sphre de centre O, de rayon R, situe au-dessus du

plan z= 0.


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Applicat ion

R > 0 tant donn, dcrivez le domaine D de lespace dfini en coordonnes cylin-

driques par :

0 z

0 2

0 z R

Solut ion

Les bornes de et de z sont lies, mais ne dpendent pas de ; et varie de 0 2.

Le domaine D admet donc la droite Oz comme axe de rvolution.

Pour se reprsenter D, il suffit donc didentifier son intersection avec le plan xOz etde faire un tour complet autour de Oz.

Dans ce plan, on a y= 0 et = |x|. Lintersection de D avec le plan xOz est doncdfinie par :

0 z R et z x z.Il sagit du triangle limit par les droites z= x,z= x et z= R.

41F I C H E 8 C o o r d o n n e s n o n c a r t s i e n n e s

D


8

x

z

R

O

Le domaine D est donc le morceau du cne de sommet O, daxe Oz, de demi-angle

au sommet = 4

qui est limit par les plans z= 0 et z= R.


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Calcul matriciel

I Dfinitions Matrices

On appelle matrice un tableau de nombres rels comportant n lignes et pcolonnes.

On note ai j llment dune matrice A situ sur la ligne i et la colonne j.

FICHE9

La matrice A scrit :

a11 . . . a1p

......

an1 . . . anp

ou ai j 1in1jp ou

ai j

.

Format

On dit que A est de format (n,p), ou de type (n,p).

galit

Deux matrices A et B sont gales si elles sont de mme format, et si ai j =bi j pourtout i et pour tout j.

Matrices particulires

Si p = 1, A est une matrice colonne. Si n = 1, A est une matrice ligne. Si n = p, A est une matrice carre dordre n. Les lments a11,. . . ,ann forment

la diagonale principale de A .

Matrices carres particulires

Soit A =(ai j ) une matrice carre dordre n. A est diagonale si ai j = 0 pour i =/ j . A est la matrice identit dordre n si elle est diagonale et si a

ii = 1 pour tout i ;

on la note In.

Le premier indice est celui de la ligne, le second celui de la colonne.


44/160


45/160

Si on note :

X =

x1

...

xp

, B =

b1

...

bn

, A =

a11 . . . a1p

......

an1 . . . anp

,

(S) est quivalent lgalit matricielle : A X = B .


Attention ce que les inconnues soient crites dans le mme ordre dans chaque qua-

tion.

Inverse dune matrice carre

Si A est carre dordre n, on a : AIn = InA = A . Une matrice carre A dordre n est inversible sil existe B telle que :

A B = B A = In.

Si B existe, elle est unique. On la note A1 . Pour obtenir A1 , il suffit de rsoudre le systme Y = A X, qui admet pour solu-

tion X = A1Y.

Transpose dune matrice

Soit A une matrice de format (n,p). La transpose de A est la matrice B = tA deformat (p,n) dfinie par :

bi j =aj i pour tout i et pour tout j.

Elle est donc obtenue partir de A en changeant les lignes et les colonnes.

Formule du binme

Si A B = B A, alors, pour m N, on a :

(A + B)m =m

k=0

mk

AkBmk.


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Applicat ion

Soit A =

4 2

1 0

1 3

et B =

2 5 3

1 6 4

Calculez, si cest possible : A + B , AB , B A.

Solut ion

Les matrices A et B ne sont pas de mme format. Leur somme est donc impossible. Le nombre de colonnes de A est gal au nombre de lignes de B. Le produit A B exis-te donc et on a :

A B =

6 32 42 5 3

5 13 15

Le nombre de colonnes de B est gal au nombre de lignes de A . Le produit B A exis-te donc et on a :

B A = 10 13

6 14

Roue de secours

Pour ceux qui auraient des difficults pour calculer un produit de matrices, voici unedisposition du calcul de A B qui peut aider certains :

2 5 3

1 6 4

4 2

1 0

1 3

lemplacement de chaque croix, vous prenez la ligne et la colonne sur laquelle ellese trouve, vous multipliez les premiers termes, les deuximes et vous additionnezles rsultats des produits effectus. Vous obtenez ainsi A B .Avec le mme processus de calcul, dans le bloc en blanc situ en haut, gauche, vous

obtenez B A.

45F I C H E 9 C a l c u l m a t r i c i e l

D


9


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Applicat ion

On tudie lvolution dans le temps dune population animale. la date n (enannes), cette population se subdivise en xn jeunes et yn adultes. Lanne comporteune saison hivernale et une saison de reproduction.

Lors de la saison hivernale, 40 % des jeunes survivent et deviennent des adultes, et80 % des adultes survivent.Lors de la saison de reproduction, chaque adulte donne naissance 2 jeunes (en fait4 par femelles). Tous les adultes survivent.1. Exprimez xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn. crivez matriciellement le rsultatobtenu.2. Calculez xn et yn en fonction des valeurs initiales x0 et y0 du dbut de lobserva-tion.

Solut ion1. la fin de la saison hivernale de lanne n + 1, il y a 0,4xn + 0,8 yn adultes. Lenombre de jeunes la date n + 1 est donc :

xn+1 = 20,4xn + 0,8yn

.

Les adultes la date n + 1 comportent les jeunes de la date n qui ont survcu et sont devenus adultes (soit 0,4xn) ; les adultes de la date n qui ont survcus (soit 0,8yn).On a donc :

yn+1 = 0,4xn + 0,8 yn .

On a donc le systme : xn+1 = 0,8xn + 1,6yn (1)

yn+1 = 0,4xn + 0,8yn (2)

que lon peut crire matriciellement :

xn+1

yn+1 =

0,8 1,6

0,4 0,8

xn

yn = A

xn

yn

2. Comme le passage de lanne n lanne n + 1 se reprsente par la multiplicationpar une matrice A qui est constante, on a :

xn

yn

= An

x0

y0

Le calcul de An se fait souvent avec des techniques matricielles qui ne sont pas pr-sentes dans ce livre. Cest pourquoi nous allons utiliser une mthode de substitution

analogue celle de la fiche 26 pour les systmes diffrentiels.



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crivons (1) au rang suivant, puis substituons dabord (2), puis (1) :

xn+2 = 0,8xn+1 + 1,6 yn+1

= 0,8xn+1 + 1,60,4xn + 0,8

xn+1 0,8xn1,6

soit aprs simplication :n N xn+2 1,6xn+1 = 0 .

partir de n = 1, la suite (xn ) est donc gomtrique, de raison 1,6, ce qui conduit :

n N xn =(1,6)n1x1 =(1,6)n10,8x0 + 1,6y0

.

En reportant dans (1) et en simplifiant, on obtient :

n N yn =1

2(1,6)n1x1 =(1,6)n1

0,4x0 + 0,8y0

.

47F I C H E 9 C a l c u l m a t r i c i e l

D


9

Remarquons que, ds la fin de la premire anne, on a xn = 2yn, cest--dire qu la fin

de chaque anne il y a deux fois plus de jeunes que dadultes.


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Dterminants

(ordre 2 ou 3)

I DfinitionSoit A une matrice carre dordre n. Son dterminant est un scalaire (rel ou com-

plexe) qui lui est associ. Dans ce livre, nous nous limiterons n = 2 et n = 3. La

gnralisation se fait en utilisant les proprits nonces plus loin.

Casn = 2

Soit A =

a b

c d

. Son dterminant est le scalaire :

det A =

a bc d = ad bc .

Casn = 3

Soit A =

a b cd e f

g h i

. Son dterminant est le scalaire :

det A =

a b c

d e f

g h i

= aei + b f g + cd h ceg bdi a f h .

Interprtation vectorielle dans le casn = 3

Produit mixteLe produit mixte de trois vecteurs u,v, w de lespace est le rel :

(u,v, w) = u (v w)

Expression analytique dans une base orthonormale directe

Cest le dterminant des coordonnes des vecteurs :

(u,v, w) = x x x

y y y

z z z = x

y y

z

z y x

x

z

z +z x

x

y

y

FICHE10


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49F I C H E 1 0 D t e r m i n a n t s ( o r d r e 2 o u 3 )

D


10

II Proprits Transpose

det A = det tA .

Les proprits concernant les colonnes de A sappliquent donc aussi aux lignes. Dans

les deux cas, on parlera de ranges.

Oprations sur les ranges

On ne change pas la valeur dun dterminant en ajoutant une de ses lignes (resp.

colonnes) une combinaison linaire des autres lignes (resp. colonnes).

Cette proprit est trs utilise pour faire apparatre des 0 sur une colonne (resp. ligne).

Multiplier une ligne (ou une colonne) dun dterminant par un scalaire, cest

multiplier le dterminant par ce scalaire.

Lchange de deux lignes (ou de deux colonnes) transforme det A en det A.

Dveloppement suivant une range

Dfinitions

Soit un dterminant dordre n. On appelle mineur de llment ai j le dtermi-

nant dordre n 1 obtenu en supprimant la i-ime ligne et la j-ime colonne de , sans changer lordre des autres ranges. Notation : Di j.

On appelle cofacteur de llment ai j, le nombre Ai j = (1)i +jDi j .

Thorme

Un dterminant est gal la somme des produits deux deux des lments dune

range (ligne ou colonne) par leurs cofacteurs.

On utilise ce rsultat aprs avoir fait apparatre sur une mme range le plus pos-

sible de zros.

Application

Le dterminant dune matrice triangulaire est gal au produit des lments diagonaux.

Produit

det(A B) = det A det B .

Caractrisation dune matrice carre inversible

A inversible det A =/ 0.


51/160

III Valeurs propreset vecteurs propres

Dfinitions

Soit A une matrice carre. Le nombre est une valeur propre de A sil existe un

vecteur reprsent par une matrice colonne X =/ 0 telle que A X = X.

X est un vecteur propre associ .

Le sous-espace propre E associ est lensemble des X tels que AX = X.

Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

Les valeurs propres de A sont les nombres tels que :

det(A In) = 0 .

det(A In) est un polynme en appel polynme caractristique de A .

Pour chaque valeur propre (cest--dire les racines du polynme caractris-

tique), on cherche le sous-espace propre associ en rsolvant le systme

A X = X.


Les valeurs propres et les vecteurs propres sont utiliss en biologie dans lanalyse des

donnes statistiques. Mais dans ce cas, la matrice est de grande taille et lordinateur est

indispensable.


52/160

Applicat ion

Dterminez les valeurs propres et les sous-espaces propres de A =

5 4

1 2

Solut ion

Le polynme caractristique de A est :

P() =

5 41 2 = (5 )(2 ) 4

= 2 7 + 6 = ( 1)( 6)

Les valeurs propres de A sont les racines de P, soit 1 et 6.

Un vecteur (x,y) appartient au sous-espace propre E1 si, et seulement si :5x + 4y = x

x + 2y = y x + y = 0

E1 est donc la droite engendre par le vecteur (1,1).

Un vecteur (x,y) appartient au sous-espace propre E6 si, et seulement si :

5x + 4y = 6x

x + 2y = 6y x= 4y

E6 est donc la droite engendre par le vecteur (4,1).

51F I C H E 1 0 D t e r m i n a n t s ( o r d r e 2 o u 3 )

D


10


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Suites de rels

I Gnralits

Dfinition

Une suite numrique est une application u deN , priv ventuellement dun nombrefini dlments, dans R .On note un , la place de u(n), le terme gnral, et (un) la suite.Une suite est souvent donne par son terme gnral, ou par une relation de rcur-rence permettant de calculer un de proche en proche.

Suite monotone

Une suite (un) est stationnaire si, et seulement si :

nN

un+1= un . Une suite (un) est croissante si, et seulement si :

n N un un+1 . Une suite (un) est dcroissante si, et seulement si :

n N un un+1 .

Suite borne

Une suite (un) est majore sil existe M tel que :

n N un M. Une suite (un) est minore sil existe m tel que :

n N m un . Une suite (un) est borne si elle est la fois majore et minore, cest--dire sil

existe M tel que |un| M, quel que soit n N.

FICHE11


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53F I C H E 1 1 S u i t e s d e r e l s

D


11

II Limite dune suite

Dfinitions

Dfinition de limn

un=

l

Tout intervalle ouvert contenant l, contient tous les termes de la suite partir duncertain rang. On dit que la suite est convergente vers l.

Dfinition de limn

un= +Tout intervalle du type [A,+[, contient tous les termes de la suite partir duncertain rang.

Dfinition de limn

un= Tout intervalle du type ],A], contient tous les termes de la suite partirdun certain rang.

Oprations sur les suites convergentes

Combinaison linaire

et tant des rels, si (un) converge vers l1 , et si (vn) converge vers l2 , alors lasuite (un + vn) converge vers l1 + l2 .

Produit

Si (un) converge vers l1 , et si (vn) converge vers l2 , alors la suite (unvn) conver-ge vers l1l2 .Si (un) converge vers 0, et si (vn) est borne, alors la suite (unvn) converge vers 0.

Quotient

Si (un) converge vers l1 , et si (vn) converge vers l2=/ 0, alors la suiteun

vn

converge vers l1l2

Image dune suite convergente

Soit fdfinie sur un intervalle I et a un point de I.f a pour limite l au point a si, et seulement si, pour toute suite (xn) convergeantvers a, la suite

f(xn)

converge vers l, finie ou non.

Pour dmontrer qu'une fonction f n'a pas de limite lorsque x tend vers a, il suffit donc de

fournir un exemple de suite (xn) qui tend vers a et telle quef(xn)

soit divergente.


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Relation dordre

Si (un) converge vers l1, et si (vn) converge vers l2 , et si on a un vn pour toutn, alors l1 l2 .

Thorme dencadrement (ou th. des gendarmes)

Si (un) et (vn) sont des suites convergentes qui ont mme limite l et siun wn vn pour tout n, alors la suite (wn) est convergente et converge vers l.

III Existence de limites

Convergence des suites monotones

Toute suite croissante et majore est convergente.Toute suite croissante et non majore tend vers

+.

Toute suite dcroissante et minore est convergente.Attention, si (un) est croissante et si un M pour tout n, vous pouvez seulementaffirmer que (un) converge vers l, avec l M.

Suites extraites

Dfinition

Une suite (vn) est dite extraite dune suite (un) si elle est dfinie par vn= uh(n) oh est une application strictement croissante de N dans N . On dit aussi que (vn) est

une sous-suite de (un) .Proprit

Si (un) est une suite convergente dont la limite est gale l, alors toute suiteextraite est aussi convergente et converge vers l.Cette proprit entrane que si deux suites extraites de (un) ont des limites dis-tinctes, alors (un) est divergente.Mais si deux suites extraites ont la mme limite l, on ne peut rien dire, sauf si lesvaleurs des suites extraites recouvrent tous les un . Dans ce cas, (un) converge

vers l. Suites adjacentes

Les suites (un) et (vn) sont adjacentes si :

(un) est croissante ; (vn) est dcroissante ; limn+

(vn un) = 0 .Si deux suites sont adjacentes, elles convergent et ont la mme limite.


Si (un) croissante, (vn) dcroissante et un vn pour tout n, alors elles convergent vers l1

et l2 . Il reste montrer que l1 = l2 pour qu'elles soient adjacentes.


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Applicat ion

Soit a et b deux rels strictement positifs.

tudiez la convergence de la suite de terme gnral :

un= n (n + a)(n + b) .

Solut ion

Transformons lcriture de un en multipliant, et en divisant, par lexpression conju-gue :

un=n2 (n + a)(n + b)n +(n + a)(n + b) =

n(a + b) abn +(n + a)(n + b)

= (a + b)ab

n

1+

1+ an

1+ b

n

On a : limn+

ab

n= lim

n+a

n= lim

n+b

n= 0 .

Par consquent : limn+

un= a + b

2

Applicat ion

Soit a et b deux rels strictement positifs, avec a >b .

tudiez la convergence de la suite de terme gnral :

un= nan + bn .

Solut ion

Comme un= (an + bn) 1n scrit avec un exposant variable, nous allons considrer sonlogarithme, puis mettre en facteur le terme dominant dans an + bn, cest--dire an.

ln(un) =1

nln

an + bn

= 1

nln

an

1+ (ba)n

= lna + 1n

ln

1+ (b

a)n

Comme 0 0,(E) a deux racines distinctes r1 et r2. Toute suite vrifiant (1) est alors

du type :

un= K1rn1+ K2rn2 .Les constantes K1 et K2 sexpriment ensuite en fonction de u0 et u1 .

Si = 0,(E) a une racine double r0= b

2a Toute suite vrifiant (1) est alors

du type :

un= (K1 + K2n)rn0 .Les constantes K1 et K2 sexpriment ensuite en fonction de u0 et u1 .

Si < 0,(E) a deux racines complexes conjugues r1= + iet r2= ique lon crit sous forme trigonomtrique r1= ei et r2= ei .Toute suite vrifiant (1) est alors du type :

un= n (K1 cosn+ K2 sinn) = n A cos(n ) .Les constantes (K1 et K2, ou A et ), sexpriment ensuite en fonction de u0 et u1 .


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Applicat ion

Une population est passe de 320 000 en 2000 332 000 en 2007.

Estimez la population en 2005 dans chacune des trois hypothses suivantes :

1. laccroissement annuel de la population est constant sur la priode 2000-2007 ;2. le taux daccroissement annuel est constant sur cette priode :

3. laccroissement annuel est constant et gal 1 500 sur la priode 2000-2003 et le

taux daccroissement annuel est constant sur la priode 2003-2007.

Solut ion

Prenons lanne 2000 comme anne 0 et dsignons par Pn la population lanne n. Par

hypothse, on a : P0

=320 000 et P7

=332 000.

1. Soit r laccroissement annuel de la population. La suite (Pn ) est une suite arithm-tique de raison r ; do :

n N Pn= P0 + nr.

On en dduit : r= P7 P07

= 1714.On cherche :

P5= P0 + 5r= 320 000+ 5 1714 = 328 570 .2. Soit q le taux daccroissement annuel. La suite (Pn) est une suite gomtrique de

raison 1+ q ; do :n N Pn= P0(1+ q)n .

En particulier, P7= P1(1+ q)7 entrane : 1+ q=332 000

320 000

17 1,005 27.

On cherche :

P5= P0(1+ q)5

= 328 526.3. Dans ce cas, on a :

P3= P0 + 3 1 500 = 324 500.Soit q le taux daccroissement annuel sur la priode 2003-2007.

P7= P3(1+ q )4 entrane : 1+ q =332 000

324 500

14 1,005 73 .

On cherche :

P5= P3(1+ q )2 = 328 229 .



62/160

Applicat ion

(un) la suite de rels dfinie par :

n N un+2= un+1 + un et u0= u1= 1.Calculez un puis lim

nun.

Solut ion

Lquation caractristique r2 r 1 = 0 a deux racines relles distinctes

r1=1

5

2et r2=

1+

5

2

Toute suite (un ) vrifiant la relation de rcurrence

n N un+2 un+1 un= 0est donc de la forme un= K1rn1+ K2rn2 .Les conditions initiales permettent de calculer K1 et K2 :

u0= 1 = K1 + K2u1= 1 = K1r1 + K2r2

K1=1 r1r2 r1

= 5+

5

10

K2=r2 1r2

r1= 5

5

10

La suite (un ) est donc dfinie par :

n N un=5+

5

10

152

n+ 5

5

10

1+52

n

Comme

1

5

2

| 0,6| < 1 , on a limn

152

n= 0.

Comme1

5

2 1,6> 1 , on a lim

n

1+

5

2

n

= +.

On obtient donc limn

un= +.

61F I C H E 1 2 S u i t e s p a r t i c u l i r e s

D


12

Cette suite a t publie en 1202 par Fibonacci sous la forme :

Partant dun couple de lapins, combien de couples de lapins obtient-on aprs un nombre

donn de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple,

lequel ne devient productif quaprs deux mois.

Comme limn

un = +, vous avez un premier exemple de lapinisme.


63/160


Fonctions

dune variable relle

I Gnralits

fdsigne une fonction dfinie sur D R et valeurs dans R .

Sens de variation

fest croissante sur I si I D etx1 I x2 I x1 < x2 f(x1) f(x2) .

fest dcroissante sur I si I D etx1 I x2 I x1 < x2 f(x1) f(x2) .

fest monotone sur I si elle est croissante sur I, ou dcroissante sur I. Avec des ingalits strictes, on dfinit : f strictement croissante, strictementdcroissante, strictement monotone, sur D.

Parit, priodicit

fest paire si

x D (x) D et f(x) = f(x) .

Son graphe est symtrique par rapport (O y) . fest impaire si

x D (x) D et f(x) = f(x) . Son graphe est symtrique par rapport O. fest priodique, de priode T (ou T-priodique), si

x D (x+ T) D et f(x+ T) = f(x) .

Son graphe est invariant par les translations de vecteurs kTi avec k Z.

FICHE13


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63F I C H E 1 3 F o n c t i o n s d u n e v a r i a b l e r e l l e

D


13

II Limites

Notion de limite

Dire que f admet une limite l lorsque x tend vers a, signifie que lon peut obte-nir f(x) aussi proche de l que lon veut condition de prendre x suffisammentvoisin de a.

On note : limxa f(x) = l .

Dire que f admet pour limite + lorsque x tend vers a, signifie que lon peutobtenir f(x) aussi grand que lon veut condition de prendre x suffisammentvoisin de a.

On note : limxa f(x) = +.

Dire que fadmet pour limite+ lorsque x tend vers+ , signifie que lon peutobtenir f(x) aussi grand que lon veut condition de prendre x suffisammentgrand.

On note : limx+ f(x) = + .

Pour , les ides sont analogues.

Proprits des limites

Thorme dencadrement (ou th. des gendarmes)Soit f,g ,h trois fonctions dfinies au voisinage de x0 et y vrifiant f g h .Si fet h ont la mme limite l (finie ou infinie) en x0, alors g a pour limite l enx0.

Oprations algbriques

Soit fet g deux fonctions dfinies au voisinage de x0 et admettant des limites l etm en x0, et un rel.Alors les fonctions f+ g, f et f g admettent respectivement pour limites en x0 :l + m, f et lm. Si de plus m=/ 0, 1g a pour limite 1m

Fonction compose

Soit fune fonction dfinie au voisinage de x0 avec limxx0

f(x) = u0 et g dfinie auvoisinage de u0 telle que lim

uu0g(u) = v.

Alors g f est dfinie au voisinage de x0 et limxx0

g(f(x)) = v .


65/160

Fonctions quivalentes

Dfinition

Soit f et g deux fonctions dfinies sur I et x0 un point, fini ou non, appartenant

I ou extrmit deI. Si fg

est dfini au voisinage de x0, sauf peut-tre en x0, on dit

que fet g sont quivalentes au voisinage de x0 si

limxx0

f(x)

g(x)= 1 .

Notation : f g ou fx0

g.

Proprits

Si f1 x0 g1 et f2 x0 g2 , alors f1f2 x0 g1g2 etf1

f2 x0g1

g2 Si f

x0g et si lim

xx0g(x) = l , alors lim

xx0f(x) = l.


Pour chercher la limite dun produit ou dun quotient, on peut donc remplacer chacune

des fonctions par une fonction quivalente, choisie pour simplifier le calcul.

Mais attention ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une

fonction compose

quivalents classiques

ex 10

x ; sinx0

x ; 1 cosx0

x2

2 ;

ln(1+ x)0

x ; tanx0

x ; (1+ x) 10x

Une fonction polynme est quivalente son terme de plus haut degr lorsque x tend vers + ou ,son terme de plus bas degr lorsque x tend vers 0.

III Continuit Dfinitions

Continuit en un point

fest continue en x0 si, et seulement si, limxx0

f(x) = f(x0).Continuit sur un intervalle

Soit E un ensemble qui soit un intervalle ou une runion dintervalles. Une fonc-tion f, dfinie sur E, est dite continue sur E, si fest continue en tout point de E.


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Continuit et oprations

Si f et g sont continues en x0, alors f+ g et f g sont continues en x0. Si de plusg(x0) =/ 0, alors f

gest continue en x0.

Si fest continue en x0 et si g est continue en f(x0), alors g f est continue en x0. Image dun intervalle par une fonction continue

Thorme des valeurs intermdiaires

Si fest continue sur un intervalle I, alors f(I) est un intervalle.

Image dun intervalle ferm

Si fest continue sur un intervalle ferm I, alors f(I) est un intervalle ferm.En particulier, si une fonction f est continue sur [a,b], et si f(a) et f(b) sont designe contraire, lquation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [a,b].

Fonction rciproque dune fonction continue strictement monotone

Soit f une fonction continue et strictement croissante (resp. dcroissante) sur unintervalle I.fest une bijection deI sur f(I), et sa bijection rciproquef1 est continue et stric-tement croissante (resp. dcroissante) sur lintervalle f(I).

Dans un repre orthonorm, les graphes de f et de f1 sont symtriques par rap-port la premire bissectrice des axes.


D


13


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Applicat ion

tudiez lexistence, et la valeur ventuelle, de la limite lorsque x tend vers 0

1. de la fonction fdfinie sur ]0,+[ par f(x) = xsin 1x

2. de la fonction g dfinie sur R par g(x) = sin 1x

Solut ion

1. On a toujours : 0 |f(x)| x.Comme lim

x0

x= 0, on en dduit, daprs le thorme dencadrement, quelim

x0f(x)

=0 .

2. Pour dmontrer que g(x) na pas de limite, il suffit (cf. fiche 11) de fournir un

exemple de suite (xn ) dont la limite est 0, alors que la suite

f(xn )

na pas de limite.

Pour n N, considrons xn= 12+ n

. On a bien limx0

xn= 0

Par ailleurs sin1

xn= sin

2+ n

= (1)n est une suite qui na pas de limite puis-

quelle vaut alternativement 1 et 1.La fonction g na donc pas de limite lorsque x tend vers 0.

Applicat ion

Dterminez, si elle existe, la limite : limx+

1+ lnx

x

lnx.

Solut ion

Comme la puissance est variable, passons lcriture exponentielle (cf. fiche 14), soit :

f(x) =

1+ lnxx

lnx= eE(x) avec E(x) = ln

f(x)

= lnx ln

1+ lnx

x

.

On sait que limx+

lnx

x= 0 et que ln(1+ u)

0u ; do E(x)+

(lnx)2

x

Comme limx+

(lnx)2

x =0 , on a donc lim

x+

f(x)

=e0

=1 , grce la continuit de

la fonction exponentielle.



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Applicat ion

Soit fune fonction continue, de [0 ; 1] dans [0 ; 1]. Dmontrez quil existe au moinsun rel x tel que f(x) = x.

Solut ion

Si f(0) = 0, ou si f(1) = 1, cest termin.Supposons donc que f(0) =/ 0 et f(1) =/ 1. On a alors f(0) > 0 et f(1) < 1 puisqueles valeurs de fsont dans [0 ; 1].La fonction g dfinie sur [0 ; 1] par g(x) = f(x) x vrifie g(0) > 0, g(1) < 0, etelle est continue.Daprs le thorme des valeurs intermdiaires, il existe alors x]0 ; 1[ tel queg(x)

=0, cest--dire f(x)

=x.


D


13


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Fonctions drivables

I Dfinitions Drive en un point

Soit fune fonction dfinie sur D et x0 un lment de D tel que fsoit dfinie au voi-sinage de x0. On appelle drive de fau point x0 le nombre (lorsquil existe) :

limxx0

f(x) f(x0)x x0

= limh0

f(x0 + h) f(x0)h

= f(x0) .

On dit alors que fest drivable en x0.

Si limxx+0

f(x) f(x0)x x0

existe,fest dite drivable droite en x0, et cette limite est

appele drive droite de fen x0, et note fd(x0) .

On dfinit de mme la drive gauche en x0, note fg(x0) .f est drivable en x0 si, et seulement si, fadmet en x0 une drive droite et unedrive gauche gales.

Fonction drive

fest dite drivable sur E, si elle drivable en tout point de E.On appelle fonction drive de f sur E, la fonction, note f, dfinie sur E par :x

f(x).

Drives successives

Soit fdrivable sur E. Si f est drivable sur E, on note sa fonction drive f ouf(2). On lappelle drive seconde de f.Pour n entier, on dfinit par rcurrence la drive n-ime, ou drive dordre n, defen posant f(0) = f, puis f(n) = (f(n1)), lorsque f(n1) est drivable sur E.fest dite de classe Cn sur E si f(n) existe sur E, et est continue sur E.fest dite de classe C, ou indfiniment drivable, si fadmet des drives de tous

ordres.

FICHE14


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69F I C H E 1 4 F o n c t i o n s d r i v a b l e s

D


14

II Interprtations Interprtation graphique

fdrivable en x0 signifie que le graphe de fadmet au point dabscisse x0 une tan-

gente de pente f(x0). Son quation est :y f(x0) = f(x0) (x x0) .

Si limxx0

f(x) f(x0)x x0

= , f nest pas drivable en x0, mais le graphe de fadmet au point dabscisse x0 une tangente parallle Oy.

Interprtation exprimentale

Soit t la dure coule entre une origine des temps et linstant considr.

Si f(t) est la distance parcourue par un mobile pendant la dure t, le taux devariation

f(t) f(t0)t t0

est la vitesse moyenne entre les instants tet t0 ;

la drive f(t0) est la vitesse instantane linstant t0 ;la drive seconde f(t0) est lacclration instantane linstant t0 . Si f(t) est une quantit deau, de gaz, de sang... coule pendant la dure t, lenombre f(t0) est le dbit instantan linstant t0 .

III Proprits Drivabilit et continuit

Toute fonction drivable en x0 est continue en x0.

Attention, la rciproque est fausse. Par exemple, la fonction x |x| est continue, et nondrivable, en 0, car elle admet une drive gauche et une drive droite diffrentes.

Incertitudes et notation diffrentielle

La dfinition de la drivabilit de fen x0 permet dcrire pour h petit :

f(x0 + h) f(x0) + f(x0)hDans les sciences exprimentales, on note x la variation h de x, et f la varia-tion f(x0 + h) f(x0) de f. On utilise le calcul approch prcdent pour estimerles incertitudes absolues et relatives :

f(x) f(x)x ; f(x)f(x)

f(x)

f(x)x.

On utilise le plus souvent la notation diffrentielle : df= f(x) dx.


71/160

Oprations algbriques sur les fonctions drivables

Si f et g sont drivables en x0, il en est de mme de f+ g, de f g, et def

gsi

g(x0)

=/ 0 ; et on a :

(f+ g)(x0) = f(x0) + g(x0)(f g)(x0) = f(x0)g(x0) + f(x0)g(x0) fg

(x0) =

f(x0)g(x0) f(x0)g(x0)g2(x0)

Fonction compose

Soit fune fonction drivable en x0 et g une fonction drivable enf(x0), alors g fest drivable en x0, et

(g f)(x0) = g(f(x0)) f(x0).

Drive dune fonction rciproque

Soit fune fonction continue strictement monotone sur un intervalle I. On supposeque fest drivable en f(x0) et que f(x0) =/ 0.Alors, la fonction rciproquef1 est drivable en f(x0) et

(f1)(f(x0)) = 1f(x0)

Variations dune fonction drivable

Si, pour toutx I,f (x) = 0 alors fest constante sur I. Si, pour toutx I,f (x) 0 alors fest croissante sur I. Si, pour toutx I,f (x) > 0 alors fest strictement croissante sur I.

Ce dernier rsultat est encore valable sif sannule en des point isols, cest--diretels que leur ensemble ne contienne pas dintervalle.



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Applicat ion

Calculez la drive de la fonction fdfinie sur ] ;1] [1; +[ par :

f(x)=

(2x2 + 1)x2 1

3x3 Solut ion

La fonction fest dfinie et continue sur lensemble indiqu. Mais elle nest drivableque sur ] ;1[ ]1;+[ car x x nest pas drivable en 0.La fonction ftant complique, commenons par des calculs prliminaires.

La drive dex2 1 = (x2 1) 12 est : 2x

2x2

1

La drive du numrateur N(x) = (2x2 + 1)x2 1 est :N(x) = 4x

x2 1 + (2x2 + 1) x

x2 1

On a donc :

f(x) =12x4

x2 1 + (2x2 + 1) 3x

4

x2 1

9x2(2x2 + 1)x2 1

9x6

=12x4(x2

1)

+(2x2

+1)3x4

9x2(2x2

+1)(x2

1)

9x6x2 1

= 1x4

x2 1


D


14


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Applicat ion

On veut couper un fil de 200 cm en deux morceaux pour former un cercle et un carr. quel endroit faut-il couper le fil pour que la somme des aires soit minimale ? maxi-male ?

Solut ion

Dsignons par x (en cm) la longueur du morceau qui formera un cercle, et donc par200 x la longueur du morceau qui formera un carr.Le cercle a pour rayon R= x

2et le disque a pour aire R2 = 1

4x2 .

Le carr a pour ct1

4(200 x) et pour aire 1

16(200 x)2 .

Il sagit donc dtudier la fonction dfinie par :

A(x) = 14

x2 + 116

(200 x)2 avec 0 x 200 .

Sa drive A(x) =

1

2+ 1

8

x 25 est croissante de A(0) = 25

A(200) 31,8 . Elle sannule pour x0=25

12+ 18

88. Le tableau de variation de A

est donc :x 0 x0 200

A 0 +A

Laire totale est donc minimum pour x= x0 et a pour valeur A(x0) 1 400.Comme A(0) = 2 500 et A(200) 3 183, laire est maximum pourx= 200, cest--dire lorsque lon forme seulement un carr.



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Applicat ion

On considre que la rsistance dune poutre paralllpipdique est proportionnelle sa largeur et au cube de sa hauteur.Dterminez la largeur et la hauteur de la poutre la plus rsistante que lon peut obte-nir en taillant un tronc de 20 cm de diamtre.

Solution

Soit xet y la largeur et la hauteur (en cm) de la poutre.La poutre tant taille dans un tronc de 20 cm de dia-mtre, on a

x2 + y2 = 202 = 400ce qui impose 0< x < 20 pour que le problme ait unsens.La rsistance de la poutre est proportionnelle

xy3 = x400 x23 = x(400 x2) 32tudions les variations de la fonction R dfinie sur ]0,20[ par

R(x) = x(400 x2) 32 . On a :

R(x) = (400 x2)32 3x2(400 x2)

12= 400 x2

400 4x2

= 4

400 x2 (10 x) (10 + x)ce qui conduit au tableau de variation :

x 0 10 20

R(x) + 0 R(x)

0 0

La rsistance de la poutre est donc maximum pour x= 10, ce qui entraney=

300 = 10

3 17,3.


D


14

20

y

x


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Fonctions usuelles

I Logarithmes et exponentielles Fonction logarithme nprien

Elle est dfinie pour x> 0 par :

ln1 = 0 ;

x> 0 (lnx) =1

x

Elle est strictement croissante.

limx0+

lnx = ; limx+

lnx = +.

Lunique solution de lquation lnx = 1 est note e (e 2,718). a > 0 b > 0 r Q

ln (ab) = ln a + ln b ; ln (ar

) = rlna ; lnab

= ln a ln b . Fonction exponentielle

Cest la fonction rciproque de la fonction ln. Elle est dfi-nie sur R , valeurs dans ]0,+[, strictement croissante.Elle est note exp, ou x ex.x R

ex

= ex ;

limx

ex = 0 ; limx+

ex = + .

a R b R r Q

ea+b = ea eb ; era = (ea)r ; ea =1

ea ; eab =

ea

eb

Logarithme de base a

La fonction logarithme de base a (a > 0 ; a =/ 1), est la fonction dfinie par :

x> 0 loga(x) =lnx

lna

Sa drive est : (logax)

=

1

ln a 1

x

FICHE15

y

1

1 x0

y

1

1 x0


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75F I C H E 1 5 F o n c t i o n s u s u e l l e s

D

unod

Laphotocopienonautoriseestundlit.

15

Ses proprits algbriques sont les mmes que celles de la fonction ln.Si a = 10, loga est le logarithme dcimal. On le note log.

Exponentielle de base a

La fonction exponentielle de base a (a > 0), est la fonction dfinie par :x R expa(x) = a

x = exln a.

Pour a =/ 1, cest la fonction rciproque de la fonction loga .y = ax lny = xln a x = loga(y) .

Sa drive est :(ax) = ln a ax.

Remarquez bien quici, la variable est en exposant.

Remarquez bien quici lexposant est constant.

Ses proprits algbriques sont les mmes que celles de la fonction exp.

II Fonctions puissancesLa fonction x xr, pour x> 0 et r Q, est dj connue. On la gnralise, pourx> 0 et a R , en posant :

xa = ealnx.

Les proprits connues pour les exposants rationnels sont prolonges ; en particulier(xa) = axa1 .

Pour a < 0, la fonction x xa est dcroissante de + 0.Pour a > 0, la fonction x xa est croissante de 0 + . Dans ce cas, on peut pro-longer la fonction par continuiten 0. La fonction prolonge est drivable en 0, si a > 1.

III Comparaison des fonctionslogarithmes, exponentielleset puissances

Fonctions logarithme et puissance

Pour b > 0, on a : limx+

lnx

xb = 0 ; lim

x0+xblnx = 0 .

Fonctions puissance et exponentielle

Pour a > 1 et b quelconque, on a : limx+

ax

xb = +.

Fonctions logarithme et exponentielle

Pour a > 1, on a : limx+

lnx

ax = 0.


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Applicat ion

Quel est leffectif initial dune population microbienne y(t) dont la croissance est detype exponentiel, sachant que cette population est multiplie par 1,5 toutes les2 minutes et que leffectif est de 77 au bout de 5 minutes ?

Solut ion

Si tdsigne le temps en minutes, y(t) la population linstant t et y0 la population linstant 0, le modle de lnoncest :

y(t) = y0 ekt

avec k> 0 puisquil sagit dune croissance.


Ce modle est pertinent tant que le milieu nutritif est suffisant pour la population tudie.

Les hypothses scrivent :

y(t+ 2) = 1,5y(t) et y(5) = 77 .

La premire hypothse scrit : y0 ek(t+2) = 1,5y0 ekt

ce qui donne aprs simplification par y0 ekt :

e2k = 1,5 soit k=1

2ln(1,5) 0,203 .

La seconde hypothse scrit : y0 e5k = 77.

Lutilisation de la premire hypothse donne : e5k = e52

ln

32

=

3

2

52

ce qui entrane : y0 = 77

3

2

52

27,94 28.

On peut donc estimer que leffectif initial est de 28.


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Applicat ion

Un mdicament est inject, par voie intraveineuse, intervalles rguliers (enheures) et dose constante D (en mg). Sa diffusion dans le compartiment sanguin,de volume 5 litres, est suppose instantane. Son limination est dcrit par :

C(t) = C0 ekt

ok est une constante positive qui dpend du mdicament et C0 =D

5la concentra-

tion apporte par une dose au moment de son injection.

1. Dterminez la concentration juste avant, et juste aprs, la n-ime injection.2. Avec = 12 et k= 0,1, quelle serait la concentration sanguine la plus leve quelon atteindrait si lon poursuivait indfiniment le mme traitement ?

Solut ion

1. Juste avant la n-ime injection, cest--dire linstant (n 1) , le cumul des restesde chaque injection donne :

An = C0 ek(n1) + C0 e

k(n2) + + C0 ek .

Il sagit de la somme des termes dune progression gomtrique dont on peut consi-

drer que le premier terme est C0 ek(n1) et la raison ek (on peut aussi lire len-

vers), ce qui donne :

An = C0 ek(n1) 1 e

k(n1)

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Mathematiques Pour Les Sciences de La Vie