Mathématiques enPremière S - Perpendiculairesperpendiculaires.free.fr/wp-content/1s-2012-2013.pdf · 2013-08-31 · 1.2 Trinôme PremièreS 1.2 Trinôme 1.2.1 Déﬁnition,formedéveloppée

Mathématiques en Première S

David ROBERT

2012–2013

Sommaire

1 Second degré 11.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Définition, forme développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Racines et discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.4 Forme factorisée, signe d’un trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Fonction trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.1 Démonstration(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5.2 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.3 Algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.4 Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Devoir maison n°1 : Intersection droite – parabole 9

Devoir surveillé n°1 : Second degré 11

2 Vecteurs dans le plan 132.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Translations et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2 Somme de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 Produit d’un vecteur par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.4 Colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Devoir maison n°2 : Trinôme – Centre de gravité 17

3 Généralités sur les fonctions 193.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Notion de fonction (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.4 Courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2 Variations de f + g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.3 Fonctions associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.4 Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.5 Comparaisons de fonctions – Positions relatives de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Devoir surveillé n°2 : Vecteurs – Fonctions 27

SOMMAIRE Première S

4 Suites arithmétiques, suites géométriques 294.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 Petit historique sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.2 Définition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.3 Modes de génération d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.4 Représentation graphique d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2.5 Monotonie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Devoir maison n°3 : Suites arithmétiques et géométriques 38

Devoir surveillé n°3 : Suites arithmétiques et géométriques 39

5 Équations cartésiennes 415.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3 Équations cartésiennes d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.4 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5.1 Vecteurs – Colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.2 Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5.3 Équations de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.5.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Devoir maison n°4 : Intersection droite – cercle 45

Devoir surveillé n°4 : Équations cartésiennes 47

6 Nombre dérivé 496.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.3 Interprétation graphique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4.1 Coefficients directeurs (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.4.2 Lectures graphiques de nombres dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.4.3 Tracés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.4.4 Calculs de nombres dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7 Statistiques 577.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.1.2 Mesures centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.1.3 Mesures de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.2.2 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.3 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3.1 Médiane et quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3.2 Moyenne arithmétique, variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Devoir maison n°5 : Statistiques 67

Devoir surveillé n°5 : Nombre dérivé – Statistiques 69

iv http ://perpendiculaires.free.fr/

http://perpendiculaires.free.fr/

Première S SOMMAIRE

8 Dérivation 718.1 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.1.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.1.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.2.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.2.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.3 Applications de la fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.4.1 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.4.2 Lectures graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.4.3 Études de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.4.4 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Devoir surveillé n°6 : Dérivation 83

9 Variables aléatoires 859.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2.1 Vocabulaire des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.2.2 Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3.1 Loi de probabilité sur un univers Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.3.2 Une situation fondamentale : l’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.3.3 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.4.1 Les situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.4.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.4.4 Espérance, variance, écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Devoir maison n°6 : Probabilités 94

Devoir surveillé n°7 : Dérivation – Variables aléatoires 95

10 Angles orientés 9710.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.2 Angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10.2.1 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.2.2 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.2.3 Propriétés des mesures des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.2.4 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010.3.2 Lignes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10010.3.3 Résolutions d’équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11 Produit scalaire : définitions, propriétésFormules de la médiane 10511.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.3 Formules de la médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Devoir maison n°7 : Puissance d’un point par rapport à un cercle 112

David ROBERT v

SOMMAIRE Première S

12 Loi binomiale 11312.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11312.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.2.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.2.2 Cœfficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.2.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11812.2.4 Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11812.2.5 Échantillonage et prise de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

12.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Devoir surveillé n°8 : Produit scalaire – Loi binomiale 123

13 Compléments sur les suites 12513.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12513.2 Monotonie d’une suite : méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13.2.1 Signe de la différence un+1 −un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12613.2.2 Comparaison de un+1

unà 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13.2.3 Variations de la fonction associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12713.3 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12713.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

13.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12813.4.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

14 Applications du produit scalaire 13114.1 Équations cartésiennes de droites et de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14.1.1 Équations cartésiennes de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13114.1.2 Équations cartésiennes de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

14.2 Relations métriques dans le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13214.2.1 Formule d’AL-KASHI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13214.2.2 Formule de l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13214.2.3 Formule des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13314.2.4 Formule de HÉRON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

14.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13314.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13314.3.2 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13414.3.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13414.3.4 Formules de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13414.3.5 Démonstrations des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13514.4.1 Équations cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13514.4.2 Relations métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13614.4.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

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Chapitre 1

Second degré

Sommaire1.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Définition, forme développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 Racines et discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.4 Forme factorisée, signe d’un trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Fonction trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.1 Démonstration(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5.2 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5.3 Algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.4 Technologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Activités

ACTIVITÉ 1.1.Soient f et g deux fonctions définies sur R par, respectivement f (x) = 2x2 − x −1 et g (x) = 2

(x − 1

4

)2 − 98 .

1. Montrer que, pour tout réel x, f (x) = g (x).

2. En déduire l’extremum de f .

3. En déduire les éventuelles solutions de l’équation f (x) = 0.

4. En déduire le signe de f selon les valeurs de x

On vient de voir, sur un exemple, que lorsqu’une fonction trinôme f (x) = ax2 +bx + c est écrite sous la forme f (x) =α(x +β)2 +γ, appelée forme canonique (on admettra qu’une telle forme existe toujours), alors il est plus facile d’enétudier les caractéristiques. En Seconde, cette seconde forme était toujours donnée, en Première nous allons apprendreà la trouver, c’est-à-dire à trouver α, β et γ à partir de a, b et c.

ACTIVITÉ 1.2 (Cas général).Soit f la fonction définie sur R par f (x) = ax2 +bx + c où a, b et c sont des réels, avec a 6= 0 et α, β et γ trois réels telsqu’on a aussi f (x) =α(x +β)2 +γ.

1. Développer α(x +β)2 +γ.

2. On admet que deux fonctions trinômes f : x 7→ ax2+bx +c et g : x 7→ a′x2 +b′x +c ′ sont égales pour toutx ∈R si et seulement si a = a′, b = b′ et c = c ′.En déduire a, b et c en fonction de α, β et γ.

3. En déduire α, β et γ en fonction de a, b et c.

4. Application : on donne f (x) =−3x2+6x−4 pour toutx ∈R.

(a) Déterminer la forme canonique de f

(b) En déduire l’extremum de f .

(c) En déduire les éventuelles solutions de l’équa-tion f (x) = 0.

(d) En déduire le signe de f selon les valeurs de x

1

1.2 Trinôme Première S

1.2 Trinôme

1.2.1 Définition, forme développée

Définition 1.1. On appelle trinôme toute expression qui peut s’écrire sous la forme ax2 +bx +c où a, b et c sont desréels et a 6= 0. Cette forme s’appelle la forme développée du trinôme.

1.2.2 Forme canonique

Théorème 1.1. Tout trinôme ax2+bx+c peut s’écrire sous la forme α(x+β)2+γ où α, β et γ sont des réels. Cette formes’appelle la forme canonique du trinôme.

Preuve. L’activité 1.2 a montré que α= a, β= b2a et γ=− b2−4ac

4a . ♦

Remarque. Pour alléger les écritures, et parce que cette quantité aura un rôle important plus tard, on notera :∆= b2 −4ac.

La forme canonique devient alors :

Propriété 1.2.

Si a 6= 0 alors ax2 +bx +c = a

(x +

b

2a

)2

−∆

4aoù ∆= b2 −4ac

1.2.3 Racines et discriminant

Définitions 1.2. Soit un trinôme ax2 +bx +c. On appelle :• racine du trinôme tout réel solution de l’équation ax2 +bx +c = 0 ;• discriminant du trinôme, noté ∆, le nombre ∆= b2 −4ac.

Propriété 1.3. Soit ax2 +bx +c un trinôme et ∆= b2 −4ac son discrimant.• Si ∆< 0, alors le trinôme n’a pas de racine.

• Si ∆= 0, alors le trinôme a une unique racine : x0 =− b

2a.

• Si ∆> 0, alors le trinôme a deux racines : x1 = −b+p∆

2a et x2 = −b−p∆

2a

Preuve. La preuve sera faite en classe. ♦

Remarques. • Le signe de ∆ permet de discriminer 1 les équations de type ax2 +bx + c = 0 qui ont zéro, une ou deuxsolutions, c’est la raison pour laquelle on l’appelle le discriminant.

• Si ∆ = 0 les formules permettant d’obtenir x1 et x2 donnent x1 = x0 et x2 = x0 ; pour cette raison, on appelle parfoisx0 la racine double du trinôme.

1.2.4 Forme factorisée, signe d’un trinôme

Propriété 1.4. Soit ax2 +bx +c un trinôme.• Si le trinôme a deux racines x1 et x2 alors ax2 +bx +c = a(x − x1)(x − x2).• Si le trinôme a une racine x0 alors ax2 +bx +c = a(x − x0)(x − x0) = a(x − x0)2.• Si le trinôme n’a pas de racine, une telle factorisation est impossible.Cette écriture, lorsqu’elle existe, est appelée forme factorisée du trinôme.

Preuve. On a obtenu les formes factorisées dans la démonstration précédente. ♦

Propriété. Soit ax2 +bx +c un trinôme.• Si le trinôme n’a pas de racine, ax2 +bx +c est strictement du signe de a pour tout x.• Si le trinôme a une racine, ax2 +bx +c est strictement du signe de a pour tout x 6= − b

2a et s’annule quand x =− b2a .

• Si le trinôme a deux racines x1 et x2, ax2 +bx +c est :· strictement du signe de a quand x ∈]−∞; x1[∪]x2;+∞[ ;· strictement du signe opposé de a quand x ∈]x1; x2[ ;· s’annule en x1 et en x2.

1. Discriminer. v. tr. Faire la discrimination, c’est-à-dire l’action de distinguer l’un de l’autre deux objets, ici des équations

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Première S 1.3 Fonction trinôme

On peut aussi énoncer cette propriété de la façon synthétique suivante :

Propriété 1.5. Un trinôme ax2 +bx +c est du signe de a sauf entre les racines, si elles existent.

Preuve. La preuve sera faite en classe. ♦

1.3 Fonction trinôme

1.3.1 Définition

Définition 1.3. On appelle fonction trinôme une fonction f , définie sur R, qui à x associe f (x) = ax2+bx+c où a 6= 0.

1.3.2 Sens de variation

Propriété 1.6. Soit f (x) = ax2 +bx + c une fonction trinôme. Alors f a les variations résumées dans les tableaux ci-dessous :

• Si a > 0 :

x −∞ − b

2a+∞

f+∞ +∞

• Si a < 0 :

x −∞ −b

2a+∞

f−∞ −∞

Preuve. Voir l’exercice 1.1 de la présente page. ♦

1.4 Bilan

Le tableau 1.1 page suivante résume les choses à retenir sur le chapitre.

1.5 Exercices et problèmes

1.5.1 Démonstration(s)

EXERCICE 1.1.

Soit f une fonction définie sur R telle que f (x) = ax2 +bx+c = a(x + b

2a

)2− ∆

4a où a 6= 0. Dans chacun des cas suivants,

compléter :

1. a > 0 et x1 < x2 6− b2a

. . . . . . . . . . . . x1 < x2 . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . x1 + b2a . . . . . . x2 + b

2a . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .(x1 + b

2a

)2. . . . . .

(x2 + b

2a

)2. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . a(x1 + b

2a

)2. . . . . . a

(x2 + b

2a

)2. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . a(x1 + b

2a

)2− ∆

4a . . . . . . a(x2 + b

2a

)2− ∆

4a . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . f (x1) . . . . . . f (x2) . . . . . . . . . . . .

Donc f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. a > 0 et − b2a 6 x1 < x2

. . . . . . . . . . . . x1 < x2 . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . x1 + b2a . . . . . . x2 + b

2a . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .(x1 + b

2a

)2. . . . . .

(x2 + b

2a

)2. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . a(x1 + b

2a

)2. . . . . . a

(x2 + b

2a

)2. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . a(x1 + b

2a

)2− ∆

4a . . . . . . a(x2 + b

2a

)2− ∆

4a . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . f (x1) . . . . . . f (x2) . . . . . . . . . . . .

Donc f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

David ROBERT 3

1.5 Exercices et problèmes Première S

TABLE 1.1: Bilan du second degré∆= b2 −4ac

∆< 0 ∆= 0 ∆> 0

ax2 +bx +c = 0 n’a pas desolution dans R

ax2 +bx +c = 0 a unesolution : x0 =− b

2a

ax2 +bx +c = 0 a deuxsolutions x1 = −b−

p∆

2a et

x2 = −b+p∆

2a

ax2 +bx +c n’a pas de racineax2 +bx +c a une racine

doubleax2 +bx +c a deux racines

Aucune factorisation ax2 +bx +c = a(x − x0)2 ax2 +bx +c = a(x − x1)(x − x2)

Si a > 0

x −∞ −b

2a+∞

ax2 +bx +c

O x

y

− b

2aO x

y

×

x0 =− b

2a

O x

y

− b

2a××

x1 x2

ax2 +bx +c > 0 sur R ax2 +bx +c > 0 sur Rax2 +bx +c > 0 sur]−∞; x1]∪ [x2;+∞[

et ax2 +bx +c 6 0 sur [x1; x2]

Si a < 0

x −∞ − b

2a+∞

ax2 +bx +c

O x

y

− b

2a O x

y

×

x0 =− b

2a

O x

y

− b

2a

××x1 x2

ax2 +bx +c < 0 sur R ax2 +bx +c 6 0 sur Rax2 +bx +c 6 0 sur]−∞; x1]∪ [x2;+∞[

et ax2 +bx +c > 0 sur [x1; x2]



Première S 1.5 Exercices et problèmes

3. a < 0 et x1 < x2 6− b2a

. . . . . . . . . . . . x1 < x2 . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . x1 + b2a . . . . . . x2 + b

2a . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .(x1 + b

2a

)2. . . . . .

(x2 + b

2a

)2. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . a(x1 + b

2a

)2. . . . . . a

(x2 + b

2a

)2. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . a(x1 + b

2a

)2− ∆

4a . . . . . . a(x2 + b

2a

)2− ∆

4a . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . f (x1) . . . . . . f (x2) . . . . . . . . . . . .

Donc f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. a < 0 et − b2a 6 x1 < x2

. . . . . . . . . . . . x1 < x2 . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . x1 + b2a . . . . . . x2 + b

2a . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .(x1 + b

2a

)2. . . . . .

(x2 + b

2a

)2. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . a(x1 + b

2a

)2. . . . . . a

(x2 + b

2a

)2. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . a(x1 + b

2a

)2− ∆

4a . . . . . . a(x2 + b

2a

)2− ∆

4a . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . f (x1) . . . . . . f (x2) . . . . . . . . . . . .

Donc f est . . . . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 1.2.Soit f une fonction définie sur R par f (x) = ax2 +bx +c où a 6= 0.

1. Montrer que si a et c sont de signes opposés alors l’équation f (x) = 0 admet deux solutions.

2. Peut-on affirmer que si l’équation f (x) = 0 admet deux solutions alors a et c sont de signes opposés ?

1.5.2 Technique

EXERCICE 1.3.Résoudre dans R, sans utiliser les propriétés des trinômes, les équations suivantes :

• x2 = 9 ;• x2 =−3 ;

• (x −5)2 = 3 ;• (5x −4)2 − (3x +7)2 = 0 ;

• (3x +5)2 = (x +1)2 ;• (2x −1)2 +x(1−2x) = 4x2 −1.

EXERCICE 1.4.Résoudre dans R les équations suivantes :

• 4x2 − x −3 = 0 ;• (t +1)2 +3 = 0 ;• x2 +1050x +25×1098 = 0 ;

• x2 +3x = 0 ;• 4x2 −9 = 0 ;• x2 +9 = 0 ;

• x3 +2x2 −4x +1 = 0 ;• x3 +2x2 −4x = 0• 2(2x +1)2 − (2x +1)−6 = 0.

EXERCICE 1.5.On note P (x) =−2x2 − x +1.

1. Résoudre P (x) = 0. 2. Factoriser P (x). 3. Résoudre P (x)6 0.

EXERCICE 1.6.Pour les fonctions données ci-après et définies sur R :• Déterminer les éventuelles valeurs de x pour lesquelles la fonction s’annule.• Donner le signe de la fonction selon les valeurs de x.

1. f (x) = x2 + x +1

2. g (x) =−x2 − x +1

3. h(x) = x2 − x −2

4. i (x)=−x2 +2x −1

5. j (x) =−x2 +2x −2

EXERCICE 1.7.Résoudre les équations et inéquations suivantes :

•2x −5

x −1= x −1

x +1

•x2 − x +1

x +2= 2x +3

• −2x2 +7x −5 6 0 ;

• −x2 +9x +22 > 0 ;

•3x2 + x +1

x2 −3x −10> 0.

•x2 −3x +2

−x2 +2x +3> 0

David ROBERT 5


1.5.3 Algorithmique

EXERCICE 1.8.Les algorithmes à écrire suivants prennent tous comme arguments trois réels a, b et c avec a 6= 0.

1. Écrire un algorithme renvoyant la valeur du discriminant du trinôme ax2 +bx +c.

2. Écrire un algorithme renvoyant le signe du discriminant du trinôme ax2 +bx +c.

3. Écrire un algorithme renvoyant le nombre de racines du trinôme ax2 +bx +c.

4. Écrire un algorithme renvoyant le nombre de racines du trinôme ax2 +bx + c et la valeur de ces racines, le caséchéant.

5. Écrire un algorithme renvoyant le signe du trinôme ax2 +bx +c suivant les valeurs de x.

1.5.4 Technologie

EXERCICE 1.9.Soit f la fonction polynôme définie sur R par f (x) =−x3 −3x2 +13x +15.

1. Montrer que x =−1 est racine de ce polynôme.

2. Déterminer trois réels a, b et c tels que f (x) = (x +1)(ax2 +bx +c).

3. (a) Terminer la factorisation de f (x).

(b) Résolvez l’inéquation f (x) > 0.

EXERCICE 1.10.Soit f la fonction définie sur R par f (x) =−3x2+2x+1. On note C la courbe représentative de f dans un repère

(O;~ı,~

).

1. Précisez la nature de la courbe C et les coordonnées de son sommet S.

2. Montrer que la courbe C coupe l’axe des ordonnées en un point dont on précisera les coordonnées.

3. Montrer que la courbe C coupe l’axe des abscisses en deux points A et B dont on précisera les coordonnées.

4. Pour quelles valeurs de x la courbe C est-elle situé au dessus de l’axe des abscisses ?

EXERCICE 1.11.Voici quatre équations :• A : y = x2 −6x +8 • B : y = 2(x −2)(x −4) • C : y = x2 +1 • D : y = 1− x2

La figure 1.1 de la présente page propose quatre paraboles.Retrouver l’équation de chacune de ces paraboles en justifiant.

FIGURE 1.1: Paraboles de l’exercice 1.11

1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

1 2 3 4 5−1

x

yP1

1

2

3

4

5

6

7

8

−11 2 3−1−2−3−4

x

y

P2

1

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

1 2 3−1−2−3−4

x

y

P3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−11 2 3 4 5 6−1

x

y

P4

EXERCICE 1.12.Chacune des trois paraboles de la figure 1.12 de la présente page est la représentation graphique d’une fonction trinôme.Déterminer l’expression de chacune de ces fonctions.

EXERCICE 1.13.On donne, définies sur R, les fonctions f (x) = x2 + x −1 et g (x) = x +3.

1. Déterminer les coordonnées des éventuels points d’intersection des courbes de f et de g .

2. Déterminer les positions relatives des courbes de f et de g c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles la courbede f et au-dessus de celle de g et réciproquement.

EXERCICE 1.14.Mêmes questions que l’exercice précedent avec f (x) = x2 et g (x) = x.




FIGURE 1.2: Paraboles de l’exercice 1.12

1

2

3

4

5

6

−1

1−1−2−3

x

y

P1

1

2

3

4

−1

−2

−3

1 2 3 4−1

x

y

P2

1

2

3

−1

−2

−1−2−3−4

x

y

P3

1.5.5 Problèmes

PROBLÈME 1.1.Une entreprise produit de la farine de blé.On note q le nombre de tonnes de farine fabriquée avec 0 < q < 80.La tonne est vendue 120( et le coût de fabrication de q tonnes de farine est donné, en (, par C (q) = 2q2 +10q +900.

1. Déterminer la quantité de farine à produire pour que la production soit rentable.

2. Déterminer la production correspondant au bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice.

PROBLÈME 1.2.Trouver deux nombres dont la somme est égale à 57 et le produit égal à 540.

PROBLÈME 1.3.Une zone de baignade rectangulaire est délimitée par unecorde (agrémentée de bouées) de longueur 50 m. Quellesdoivent être les dimensions de la zone pour que la surfacesoit maximale ?

plage

zone de baignade

PROBLÈME 1.4.Quelle largeur doit-on donner à la croix pour que son airesoit égale à l’aire restante du drapeau ?

4 cm

3cm x

x

PROBLÈME 1.5.A et B sont deux points du plan tels que AB = 1. M est unpoint du segment [AB]. On construit dans le même demi-plan les points P et Q tels que AMP et MBQ sont des tri-angles équilatéraux.

1. Déterminer la position de M qui rend maximalel’aire du triangle MPQ .

2. Expliquer pourquoi cette position rend minimalel’aire du quadrilatère ABQP .

bA b Bb

M

bP

b

Q

David ROBERT 7


PROBLÈME 1.6.D est une droite quelconque du plan et F un point du plan n’appartenant pas à D. On cherche à déterminer l’ensembleP des points du plans situés à égale distance de la droite D et du point F .On admet que la distance d d’un point M à une droite D est la longueur H M où H est le pied de la perpendiculaire à D

passant par M .

Partie A : Découvrir à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamiqueÀ l’aide du logiciel Geogebra :• Créer une droite (AB) et un point F n’appartenant pas à (AB).• Créer un curseur nommé d allant de 0 à 20 avec des incréments de 0,1.• Construire l’ensemble des points situés à la distance d de la droite (AB) dans le même demi-plan que F .• Construire l’ensemble des points situés à la distance d du point F .• Jouer avec le curseur jusqu’à trouver des points situés à égale distance de (AB) et de F .• Créer ces points, activer le mode tracer pour ces points et conjecturer l’allure de cet ensemble de points en jouant

avec le curseur d . Nous allons démontrer que cette conjecture est vraie.

Partie B : DémontrerDans le dessin précédent, on peut toujours se placer dans le repère orthonormé

(O ;~ı,~

)suivant : O est le point de la

droite (AB) tel que (OF )⊥(AB) et ‖~ı‖= ‖~‖=OF .

1. Quelle est l’équation de la droite (AB) dans ce repère ?

2. Quelles sont les coordonnées de F dans ce repère ?

3. Observons un point M(x ; y) situé à égale distance de la droite (AB) et du point F .

(a) Exprimer la distance de ce point à la droite (AB) en fonction de x et y .

(b) Exprimer la distance de ce point au point F en fonction de x et y .

(c) Montrer que ces deux distances sont égales si et seulement si M appartient à une courbe dont on préciseral’équation.Préciser alors la nature de cette courbe.



Devoir maison n°1

Intersection droite – parabole

À rendre pour le vendredi 21 septembre.

Le plan est muni d’un repère(O;~ı,~

).

P est la parabole d’équation y = x2 − 4x + 3 et Dm est la droite d’équationy = mx +2 où m est un réel quelconque.

L’objectif de ce devoir est de déterminer quel est le nombre de points d’in-tersection de la parabole P et de la droite Dm selon les valeurs de m.

Partie A. Étude d’un cas particulier : m = 1

1. Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de D1 siet seulement si x est solution de x2 −4x +3 = x +2.

2. Résoudre cette équation.

3. En déduire le nombre de points d’intersection de la parabole P et de ladroite D1.

Partie B. Cas général : m quelconque

1. Une conjecture

À l’aide du logiciel Geogebra et d’un curseur m, représenter P et Dm etconjecturer, selon les valeurs de m, le nombre de points d’intersectionde la parabole P et de la droite Dm .On indiquera clairement les arguments en faveur de cette conjecture et onjoindra son fichier Geogebra à sa copie.

2. Résolution algébrique du problème

(a) Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et deDm si et seulement si x est solution de l’équation

Em : x2 − (4+m)x +1 = 0

(b) Déterminer, en fonction de m, l’expression du discrimant ∆m del’équation Em .

(c) Déterminer le signe de ∆m selon les valeurs de m.

(d) En déduire le nombre de solutions de l’équation Em selon lesvaleurs de m.

(e) Conclure.

Devoir maison n°1

Intersection droite – parabole

À rendre pour le vendredi 21 septembre.

Le plan est muni d’un repère(O;~ı,~

).

P est la parabole d’équation y = x2 − 4x + 3 et Dm est la droite d’équationy = mx +2 où m est un réel quelconque.

L’objectif de ce devoir est de déterminer quel est le nombre de points d’in-tersection de la parabole P et de la droite Dm selon les valeurs de m.

Partie A. Étude d’un cas particulier : m = 1

1. Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de D1 siet seulement si x est solution de x2 −4x +3 = x +2.

2. Résoudre cette équation.

3. En déduire le nombre de points d’intersection de la parabole P et de ladroite D1.

Partie B. Cas général : m quelconque

1. Une conjecture

À l’aide du logiciel Geogebra et d’un curseur m, représenter P et Dm etconjecturer, selon les valeurs de m, le nombre de points d’intersectionde la parabole P et de la droite Dm .On indiquera clairement les arguments en faveur de cette conjecture et onjoindra son fichier Geogebra à sa copie.

2. Résolution algébrique du problème

(a) Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et deDm si et seulement si x est solution de l’équation

Em : x2 − (4+m)x +1 = 0

(b) Déterminer, en fonction de m, l’expression du discrimant ∆m del’équation Em .

(c) Déterminer le signe de ∆m selon les valeurs de m.

(d) En déduire le nombre de solutions de l’équation Em selon lesvaleurs de m.

(e) Conclure.

Nom : Vendredi 28 septembre 2012 – 1h00

Devoir surveillé n°1

Second degré

EXERCICE 1.1 (3 points).Soit ax2 +bx +c un trinôme.L’algorithme ci-contre prend comme arguments a, b et c(avec a 6= 0) et doit renvoyer les valeurs des racines dutrinôme, s’il y en a, mais il est incomplet.Le compléter afin qu’il fonctionne.On n’oubliera pas de joindre cet énoncé à sa copie.

ENTREES

a, b, c

INSTRUCTIONS

Delta PREND LA VALEUR .............

SI .............. ALORS

AFFICHER "Pas de racines"

FIN SI

SI .............. ALORS

x_0 PREND LA VALEUR ..............

AFFICHER x_0

FIN SI

SI .............. ALORS



AFFICHER x_1

AFFICHER x_2

FIN SI

EXERCICE 1.2 (3 points).Les courbes P1, P2 et P3 des figures ci-dessous sont des paraboles, représentatives de fonctions trinômes f1, f2 et f3

du type f (x) = ax2 +bx +c, de discriminant ∆.Sans justifier, pour chacune de ces trois fonctions, préciser, sur votre copie, le signe de a et le signe de ∆.

1

2

3

4

−11 2 3−1−2−3

x

y

P1

1

2

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

x

y

P2

1

2

−1

−2

1 2 3−1−2−3

x

yP3

EXERCICE 1.3 (4 points).Les courbes P1 et P2 des figures ci-dessous sont des paraboles représentatives de fonctions trinômes f1 et f2.En justifiant, donner une expression de f1(x) et une expression de f2(x).

1

2

3

4

−1

−2

1−1−2−3

x

yP1

b

b

b 1

2

3

4

−1

−2

1 2 3−1

x

y

P2

b

b

b

EXERCICE 1.4 (4 points).Le bénéfice B , en milliers d’euros, d’une entreprise, enfonction de la quantité q de tonnes produites pour 06 q 6

10, est donné par : B(q) =−q2 +8q −8.

1. Déterminer pour quelle production l’entreprise estbénéficiaire (on arrondira la production au kilo-gramme).

2. Montrer qu’il existe une production pour laquelle lebénéfice est maximal et donner la valeur de cetteproduction et de ce bénéfice maximal.

EXERCICE 1.5 (6 points).

On donne : f (x) = x2+x−2−2x2+4x+6

1. Étudier le signe de x2 + x −2 selon les valeurs de x.

2. Étudier le signe de −2x2 +4x +6 selon les valeurs dex.

3. Résoudre l’inéquation f (x)> 0.

Chapitre 2

Vecteurs dans le plan

Sommaire2.1 Rappels de Seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Translations et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Somme de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3 Produit d’un vecteur par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.4 Colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

L’objectif de ce chapitre est de se familiariser avec la notion de vecteur du plan, sans qu’un repère du plan soit donné apriori.

2.1 Rappels de Seconde

On trouvera dans ce paragraphe un rappel des définitions et propriétés sur les vecteurs vues en Seconde.Comme ce sont des rappels, les exemples seront limités et les propriétés ne seront pas re-démontrées.

2.1.1 Translations et vecteurs

Définition 2.1 (Translation). Soient A et B deux points du plan.On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui à tout point M du plan associe l’unique point M ′

tel que [AM ′] et [B M] ont même milieu.

Remarque. AB M ′M est alors un parallélogramme.

Définition 2.2 (Vecteur). On appelle vecteur−→AB le bipoint associé à la translation qui transforme A en B .

A est appelé origine du vecteur, B est appelé extrémité du vecteur.

La translation qui transforme A en B sera appelée translation de vecteur−→AB .

Définition 2.3 (Vecteurs égaux et parallélogramme). Deux vecteurs sont dits égaux s’ils sont associés à une mêmetranslation, ce qui revient à :

−→AB =−−→

CD ⇔ ABDC parallélogramme

Remarque. Attention à l’ordre des lettres !

On peut aussi définir un vecteur de la manière suivante :

Définition 2.4 (Direction, sens et norme). Un vecteur ~u non nul est déterminé par :• sa direction ;• son sens ;• et sa longueur, appelée norme du vecteur, notée ‖~u‖.On a alors :Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

13

2.1 Rappels de Seconde Première S

2.1.2 Somme de deux vecteurs

Définition 2.5 (Somme de deux vecteurs). La somme de deux vecteurs ~u et ~v est le vecteur associé à la translationrésultat de l’enchaînement, on dit aussi la composition, des translations de vecteur ~u et de vecteur ~v .

Propriété 2.1 (Relation de CHASLES).

Pour tous points A, B et C, on a :−→AB +

−→BC =−→

AC

A

B C

~u

~v

~u+~v

Propriété 2.2 (Règle du parallélo-gramme). Pour tous points A, B, C et

D on a :−→AB+−→

AC =−−→AD ⇔ ABCD par-

allélogramme.

A

B D

C

~u

~v~u+~v

Définition 2.6 (Vecteur nul, vecteurs opposés). On appelle vecteur nul, noté~0, tout vecteur dont son origine et sonextrémité sont confondues. La translation associée laisse tous les points invariants.On appelle vecteurs opposés tous vecteurs ~u et ~v tels que ~u+~v =~0. On peut noter ~u =−~v ou ~v =−~u.

Propriété 2.3 (Vecteurs opposés). Les vecteurs−→AB et

−→B A sont des vecteurs opposés car

−→AB +−→

B A =−−→A A =−→

0 .

On a donc−→AB =−−→B A et

−→B A =−−→AB.

Propriété 2.4 (Milieu d’un segment). Soient A et B deux points distincts et I un point du plan. Alors :

I milieu de [AB] ⇔−→I A +−→

I B =−→0 ⇔−→

I A =−→B I .

2.1.3 Produit d’un vecteur par un réel

Définition 2.7 (Produit d’un vecteur par un réel). Soit k un réel non nul et ~u un vecteur non nul. Alors le vecteur k~uest un vecteur dont :• la direction est celle de ~u• le sens est celui de ~u si k > 0, le sens opposé de celui de ~u si k < 0• la norme est |k|×‖~u‖

Propriété 2.5 (Distributivité). Pour tous vecteurs ~u et ~v et pour tous nombres réels k et k ′ :k (~u +~v) = k~u +k~v et k~u +k ′

~u = (k +k ′)~u.

Propriété 2.6 (Vecteur nul et produit par un réel). Pour tout vecteur ~u et pour tout nombre k, 0~u =~0 et k~0 =~0.

Propriété 2.7 (Milieu et produit par un réel). Soient A et B deux points distincts et I un point du plan, alors :

I milieu de [AB] ⇔−→AI = 1

2−→AB.

2.1.4 Colinéarité

Définition 2.8 (Colinéarité). Deux vecteurs ~u et ~v sont dits colinéaires s’il existe un nombre k tel que ~u = k~v ou~v = k~u.

Remarque. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ~u car 0~u =~0.

Propriété 2.8 (Colinéarité, alignement et parallélisme). Soient A, B, C et D quatre points du plan. Alors

(AB) ∥ (CD) ⇔−→AB et

−−→CD colinéaires

A,B,C alignés ⇔−→AB et

−→AC colinéaires



Première S 2.2 Exercices

2.2 Exercices

La plupart des exercices peuvent se faire sans utiliser des vecteurs, cependant on devra essayer de passer systématiquementpar les vecteurs.

EXERCICE 2.1.ABCD est un quadrilatère quelconque. I , J , K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC ], [CD] et [D A].Montrer que le quadrilatère I JK L est un parallélogramme.

EXERCICE 2.2.Soit ABCD un parallélogramme non aplati et les points E et F tels que

−→AE = 2

5−→AB et

−−→DF = 3

5−−→DC .

Montrer que les segments [EF ] et [BD] ont même milieu.

EXERCICE 2.3.ABCD est un parallélogramme.

1. Construire les points F et E tels que :−→BE = 2

−→AB et

−→AF = 3

−−→AD .

2. Construire le point G tel que AEGF parallélogramme.

3. Démontrer que les points A, C et G sont alignés.

EXERCICE 2.4.Soit un triangle rectangle ABC en C tel que AC = 3 cm et BC = 3 cm (voir la figure 2.1 de la présente page).

1. Placer les points I , J , K et L définis par les égalités suivantes :•−→AI = 1

2−→AB ; •

−→B J = 2

−→B A ; •

−−→CK =− 2

3−−→C A ; •

−→CL = 2

3−→BC − 13

6−→B A.

2. Tracer le quadrilatère I JK L. Que peut-on conjecturer sur sa nature ?

3. Nous allons démontrer la conjecture faite au point précédent.

(a) À l’aide de la relation de CHASLES, exprimer−→I J en fonction de

−→AB .

(b) À l’aide de la relation de CHASLES, exprimer−→LK en fonction de

−−→CK et

−→CL puis en fonction de

−→AB .

(c) Conclure.

FIGURE 2.1: Figure de l’exercice 2.4

b b

b

C

B

A

EXERCICE 2.5.Écrire les vecteurs ~u, ~v , ~w ,~x et~t en fonction des seuls vecteurs

−→AB et

−→AC .

• ~u = 2−→AB − 1

3−→AC +−→

BC .

• ~v =−→AB +3

−−→C A −2

−→BC .

• ~w = 25

(−→AB −5

−→BC

)+−−→

C A. • ~x =− 25−→AB +−→

AB .

• ~t = 2−→AB − 1

2−→BC − 1

2−−→C A.

EXERCICE 2.6.Soit ABC un triangle non aplati (A, B et C non alignés) et les points D et E tels que :

−−→AD = 5

2

−→AC + 3

2

−→CB et

−→CE = 1

2

−→B A −−→

AC +−→CB

David ROBERT 15

2.2 Exercices Première S

1. Faire un dessin. Conjecturer le lien entre les points B , D et E .

2. Nous allons démontrer la conjecture du point précédent.

(a) Exprimer−−→ED en fonction des seuls vecteurs

−→AB et

−→AC .

(b) Exprimer−−→BD en fonction des seuls vecteurs

−→AB et

−→AC .

(c) Conclure.

EXERCICE 2.7.Sur la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme.A′ est le symétrique de A par rapport à B et E est le milieude [BC ].

b

b

b

b

A

B

C

D

1. Construire A′ et E .

2. Exprimer−−→DE en fonction des vecteurs

−→AB et

−−→AD.

3. Exprimer−−→D A′ en fonction des vecteurs

−→AB et

−−→AD.

4. Conclure.

EXERCICE 2.8.Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle quelconque.

On définit trois points D, E et F par :−−→AD =−→

BC ,−→AE = 1

3−→AC

et−→AF = 2

3−→AC . On appelle, par ailleurs, I et J les milieux

respectifs de [AB] et [CD].

b

b

b

A

B

C

1. Construire D, E , F , I et J .

2. Montrer que les droites (DE ) et (BF ) sont parallèles.

3. Montrer que les points I , E et D sont alignés.

4. Montrer que les points B , F et J sont alignés.



Devoir maison n°2

Trinôme – Centre de gravité

À rendre pour le vendredi 5 octobre

PROBLÈME 2.1.Après plusieurs relevés, un scientifique a modélisé une passe de volley-ball, la passe de Clément à son coéquipier Flo-rian. La hauteur h(t) en fonction du temps t est h(t) = −0,525t 2 + 2,1t + 1,9 où h(t) est exprimée en mètres et t ensecondes.

1. À quelle hauteur Clément commence-t-il sa passe ?

2. Quelle hauteur maximale le ballon atteint-il ?

3. Florian ne réussit pas à toucher le ballon que Clément lui passe. Combien de temps après la passe de Clément leballon tombe-t-il au sol ?

4. Durant combien de temps le ballon est-il en phase de descente ?

5. La hauteur du filet est de 2,43 mètres. Durant combien de temps le ballon est-il situé au-dessus du filet ?

PROBLÈME 2.2.ABC est un triangle quelconque.A′, B ′ et C ′ sont les milieux respectifs des segments [BC ], [AC ] et [AB].G est l’intersection des médianes (BB ′) et (CC ′).

Partie A.On va démontrer une propriété connue :

Les trois médianes sont concourantes en G

1. Soit D le symétrique de A par rapport à G.Montrer, en utilisant éventuellement la propriété de la droite des milieux, que BGCD est un parallélogramme.

2. En déduire que la troisième médiane (A A′) passe aussi par G.

Partie B.Déduire de ce qui précède que

−→AG = 2

3

−−→A A′.

La démonstration serait semblable pour les deux autres médianes.

Partie C.On va démontrer que

−−→G A+−−→

GB +−−→GC =~0.

1. Soit E le point tel que ABEC parallélogramme.Que peut-on en déduire pour A′ ?

Que peut-on en déduire pour−→AB +−→

AC ?

2. Montrer, à l’aide de la relation de CHASLES, que−−→G A+−−→

GB +−−→GC = 3

−−→G A +−→

AB +−→AC .

3. En déduire que−−→G A+−−→

GB +−−→GC =~0.

Partie D.Démontrer que, pour tout point M du plan,

−−→M A +−−→

MB +−−→MC = 3

−−→MG .

Chapitre 3

Généralités sur les fonctions


3.2 Notion de fonction (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.2 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.4 Courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.2 Variations de f +g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.3 Fonctions associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.4 Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.5 Comparaisons de fonctions – Positions relatives de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Activités

ACTIVITÉ 3.1 (Fonctions de référence (rappels)).Compléter le tableau 3.1, page suivante, sur le modèle de la deuxième ligne.

ACTIVITÉ 3.2 (La fonction racine).On appelle fonction racine la fonction qui à un réel x associe, s’il existe, le réel positif, noté

px, tel que

(px

)2 = x.

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction racine.

2. Montrer que si 06 a < b alorsp

a <p

b. Que peut-on en déduire ?

3. Tracer la courbe représentative de la fonction racine.

ACTIVITÉ 3.3 (La fonction valeur absolue).On appelle fonction valeur absolue la fonction qui à un réel x associe, s’il existe, le réel, noté |x|, tel que :

Si x > 0 alors |x| = xSi x 6 0 alors |x| = −x

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction valeur absolue.

2. Montrer que si 06 a < b alors |a| < |b|. Que peut-on en déduire ?

3. Montrer que si a < b 6 0 alors |a| > |b|. Que peut-on en déduire ?

4. Tracer la courbe représentative de la fonction valeur absolue.

19

3.1 Activités Première S

TABLE 3.1: Fonctions de référence - Tableau de l’activité 3.1

FonctionDéfinie sur

Variations Allure de la courbe représentative

Affinef (x) = . . . . . .

D f =

O ~i

~j

x

y

Carréf (x) = x2

D f =R

x −∞ 0 +∞

f (x) = x2

0

O ~i

~j

x

y

Parabole

Cubef (x) = . . . . . .

D f =

O ~i

~j

x

y

Inversef (x) = . . . . . .

D f =

O ~i

~j

x

y

ACTIVITÉ 3.4 (Sommes de fonctions).Partie A.

Sur le graphique de la figure ci-contre, on donne la courbereprésentative d’une fonction affine f et d’une fonctiontrinôme g .

1. Donner, par lecture graphique, les variations de f etcelles de g .

2. On appelle h la fonction h = f + g .

(a) Tracer la courbe représentant la fonction h.On procèdera point par point.

(b) Donner, par lecture graphique, les variationsde la fonction h.

(c) Y a-t-il un lien entre les variations de f et de get celles de h ?

1

2

3

4

5

6

−11 2 3 4−1 O ~ı

~ x

y



Première S 3.2 Notion de fonction (rappels)

Partie B.Avec les fonctions f et g (définies sur R) données ci-dessous, déterminer le sens de variation de f , le sens de variationde g puis le sens de variation de la fonction h = f + g .

• f (x) = 2x +3 et g (x) = x −4 ;• f (x) =−2x +4 et g (x) = x +1 ;• f (x) =−2x +1 et g (x) = 2x −4 ;

• f (x) =−3x +2 et g (x) = x −4 ;• f (x) =−x +4 et g (x) =−2x +3.

Partie C.À l’aide de votre calculatrice graphique ou d’un grapheur (Geogebra, par exemple), avec les fonctions f et g donnéesci-dessous, par lecture graphique, déterminer les variations de f , celles de g puis celles de la fonction h = f + g .

• f (x) = x2 −1 et g (x) = x +1 ;

• pour x 6= 0, f (x) = x et g (x) = 1

x;

• f (x) =−x3 et g (x) =−x +2 ;

• pour x 6= −2, f (x) = 2x +1 et g (x) = 2− 1

x +2.

Partie D.Conjecturer le lien qu’il existe entre les variations de f et g et celles de h = f + g puis le prouver.

ACTIVITÉ 3.5 (Fonctions associées).Soient f , g , h et i les fonctions définies par :

• f (x) =p

x pour x ∈R+

• g (x) = 3+p

x pour x ∈R+• h(x) =−

px pour x ∈R+

• i (x)= 4p

x pour x ∈R+

1. À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer la courbe représentative de f puis celle de g .

2. Décrire la transformation permettant de passer de la courbe de f à celle de g en précisant ses caractéristiques sicette transformation est une transformation usuelle (symétrie, etc.).

3. Mêmes questions en remplaçant g par chacune des autres fonctions.

ACTIVITÉ 3.6 (Fonctions composées).La fonction f est définie sur R par f (x) = x2 −3x −2.Les fonctions g et h sont définies par g (x) =

√f (x) et h(x) = 1

f (x) .

On appelle C f , Cg et Ch leurs courbes représentatives respectives.

1. Étude de g .

(a) Déterminer l’ensemble de définition de g , noté Dg .

(b) À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer C f et Cg .Que peut-on conjecturer sur le lien entre les variations de f et celles de g ?

(c) Montrer que si une fonction positive f est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle I , alorsg =

√f l’est aussi.

2. Étude de h.

(a) Déterminer l’ensemble de définition de h, noté Dh .

(b) À l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un grapheur, tracer C f et Ch .Que peut-on conjecturer sur le lien entre les variations de f et celles de h ?

(c) Montrer que si une fonction non nulle f est croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle I ,alors h = 1

f est décroissante (respectivement croissante) sur I .

3.2 Notion de fonction (rappels)

3.2.1 Définition

Définition 3.1 (Définition, vocabulaire et notations). Soit D un intervalle ou une réunion d’intervalles de R.Définir une fonction f sur un ensemble D, c’est associer, à chaque réel x ∈D, au plus un réel noté f (x).On dit que f (x) est l’image de x par f et que x est un antécédent de f (x).On note :

f : D −→ R

x 7−→ f (x)et on lit « f , la fonction de D dans R qui à x associe f (x) ».

Remarque. f désigne la fonction, f (x) désigne le réel qui est l’image de x par f .

David ROBERT 21

3.3 Opérations sur les fonctions Première S

3.2.2 Ensemble de définition

Définition 3.2 (Ensemble de définition). L’ensemble des réels possédant une image par une fonction est appeléensemble de définition de la fonction. On le note en général D f .

On le détermine par le calcul. À notre niveau les seuls problèmes de définition portent sur les fonctions comportant lavariable x au dénominateur ou sous une racine.

3.2.3 Variations

Définition 3.3 (Rappels). Soit f une fonction définie sur un intervalle I . On dit que• f est croissante sur I si pour tous réels a et b de I on a : si a < b, alors f (a)6 f (b) ;• f est décroissante sur I si pour tous réels a et b de I on a : si a < b, alors f (a)> f (b) ;• f est constante sur I si pour tous réels a et b de I on a : f (a) = f (b) ;• f est monotone sur I si f ne change pas de sens de variation sur I .

Remarque. On obtient les définitions de strictement croissante ou décroissante en remplaçant les inégalités larges pardes inégalités strictes.

3.2.4 Courbe

Définition 3.4 (Courbe représentative). Dans un repère, l’ensemble des points M de coordonnées(x ; y

)où x décrit

D f et y = f (x) est appelé courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f . On la note en généralC f .On dit que la courbe C f a pour équation y = f (x).

On veillera à ne pas confondre la fonction et sa représentation graphique.

3.3 Opérations sur les fonctions

3.3.1 Opérations algébriques sur les fonctions

De la même manière qu’on peut ajouter, multiplier, diviser, etc. des nombres, on peut ajouter, multiplier, diviser, etc.des fonctions.

Définition 3.5. Soit f et g deux fonctions définies au moins sur D et k un réel. Le tableau suivant regroupe lesopérations sur les fonctions f et g :

Opération Notation Définition Définie pourSomme de la fonction f et du réel k f +k ( f +k)(x) = f (x)+k

x ∈D fProduit de la fonction f et du réel k k f (k f )(x)= k f (x)Somme des fonctions f et g f + g ( f + g )(x)= f (x)+ g (x)

x ∈ D f ∩DgDifférence des fonctions f et g f − g ( f − g )(x)= f (x)− g (x)Produit des fonctions f et g f g ( f g )(x) = f (x)× g (x)

Quotient des fonctions f et gf

g

(f

g

)(x) = f (x)

g (x)x ∈D f ∩Dg et g (x) 6= 0

3.3.2 Variations de f + g

Propriété 3.1 (Variations de f + g ). Soit deux fonctions f et g définies au moins sur un ensemble D.• Si f et g sont deux fonctions croissantes sur D, alors la fonction f + g est croissante sur D.• Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur D, alors la fonction f + g est décroissante sur D.

Preuve. Voir l’activité 3.4 ♦

3.3.3 Fonctions associées

Définition

Définition 3.6. Soit f une fonction définie sur D et k un réel.On appelle fonctions associées à f les fonctions : x 7→ f (x)+k ou x 7→ k f (x)



Première S 3.3 Opérations sur les fonctions

Variations

Propriété 3.2 (Variations de f +k). Soit f une fonction définie et monotone sur un intervalle I et k un réel. Les fonctionsf et f +k ont même sens de variation sur I .

Preuve. Si f est croissante et a < b, alors f (a)6 f (b). Donc f (a)+k 6 f (b)+k donc f +k est aussi croissante.On démontre de la même manière si f est décroissante. ♦

Exemple. La fonction f : x 7−→ x2 +2 a les mêmes variations que la fonction carrée.

Propriété 3.3 (Variations de k f ). Soit f une fonction définie et monotone sur D.• Si k > 0 alors les fonctions f et k f ont le même sens de variation sur D.• Si k < 0 alors les fonctions f et k f ont des sens de variation opposés sur D.

Preuve. Voir l’exercice 3.5. ♦

Courbes

Propriété 3.4. Le plan est muni d’un repère(O ;~ı,~

).

Soit f une fonction définie sur D et k un réel.• La courbe de f +k s’obtient à partir de celle de f par une translation de vecteur k~j• Dans un repère orthogonal, la courbe de − f s’obtient à partir de celle de f par la symétrie par rapport à l’axe des

abscisses

On l’admettra.

3.3.4 Fonctions composées

Conformément au programme on se limitera aux cas mentionnés dans la définition ci-dessous.

Définition

Définition 3.7. Soit u une fonction définie sur un intervalle I .• La fonction

pu est définie pour tout x ∈ I tel que u(x) > 0 et s’appelle la composée de la fonction racine et de u.

• La fonction 1u est définie pour tout x ∈ I tel que u(x) 6= 0 et s’appelle la composée de la fonction inverse et de u.

Variations

Propriété 3.5 (Variations dep

u ). Soit u définie sur D et telle que u > 0.Alors u et

pu ont les mêmes variations.

Propriété 3.6 (Variations de 1u ). Soit u définie sur D et telle que u 6= 0.

Alors u et 1u ont des variations opposées.

Preuve. Ces deux propriétés ont été démontrées dans l’activité 3.6. ♦

3.3.5 Comparaisons de fonctions – Positions relatives de courbes

Étudier les positions relatives des courbes de f et g c’est déterminer sur quel(s) intervalle(s) la courbe de f est au-dessus de celle de g et réciproquement. Cela revient à comparer les deux fonctions f et g , c’est-à-dire à déterminer sif (x) = g (x) pour tout x et, sinon, sur quel(s) intervalle(s) on a f (x) > g (x) et f (x) < g (x).

Définition 3.8 (Égalité de deux fonctions). Soit f et g deux fonctions. On dit que f et g sont égales si :

• f et g ont même ensemble de définition D ; • pour tout x ∈ D, f (x) = g (x).On note alors f = g .

Définition 3.9. Soit D une partie de R et f et g deux fonctions définies au moins sur D. On dit que f est inférieure à

g sur D lorsque f (x)6 g (x) pour tout x ∈ D.On note f 6 g sur D.

Remarque. On dit parfois que f est majorée par g sur D ou que g est minorée par f sur D.

David ROBERT 23


Les conséquences graphiques sont les suivantes :

Propriété 3.7. Soient f et g deux fonctions définies au moins sur D, C f et Cg leurs courbes respectives. Alors si f 6 gsur D, C f est au-dessous de Cg .

Preuve. Immédiat. ♦

3.4 Exercices

EXERCICE 3.1.Soient f et g les fonctions définies sur R par : f (x) =−x3 +4x et g (x) =−x2 +4.

On a tracé sur le graphique ci-contre les courbes représen-tatives de f et de g .

1. Associer chaque courbe à la fonction qu’ellereprésente. Justifier succintement.

2. Déterminer graphiquement le nombre de solutiondes équations :

• f (x) = 0 ; • g (x) = 0 ; • f (x) = g (x).

3. Résoudre par le calcul : f (x) = 0 et g (x) = 0

4. Résoudre graphiquement : f (x)6 g (x).

5. Un logiciel de calcul formel affiche les choses suiv-antes :

(%i1) factor(-x^3+x^2+4*x-4);

(%o1) - (x - 2) (x - 1) (x + 2)

(a) Interpréter ces deux lignes.

(b) En déduire une résolution algébrique del’inéquation f (x)6 g (x).

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3−1−2−3 O ~ı

~

x

y

C

C′

EXERCICE 3.2.Dans chacun des cas suivants déterminer si f (x) = g (x)pour tout réel x :• f (x) =

px2 et g (x) = (

px)2 ;

• f (x) = x +1− 1x et g (x) = x2+x−1

x ;• f (x) = x2 −2x +5 et g (x)= (x −1)2 +4 ;

• f (x) = x2+x−2x+2 et g (x)= x −1.

EXERCICE 3.3.On donne les fonctions f , g et h suivantes :

• f (x) = x ; • g (x) = x2 ; • h(x) =p

x.

Leurs courbes sont notées, respectivement, C f , Cg et Ch .Sur [O ; +∞[ :

1. Étudier les positions relatives de C f et de Cg .

2. Étudier les positions relatives de C f et de Ch .

3. Étudier les positions relatives de Cg et de Ch .

EXERCICE 3.4.Soient f et g définies sur R par : f (x) = 1

1+x4 et g (x)= 11+x2 .

Étudier les positions relatives de leurs courbes respectives.

EXERCICE 3.5 (Preuve de la propriété 3.3).Montrer que :• si a et b sont deux nombres de D tels que a < b• si f croissante sur D

• et si k < 0alors k f (a)> k f (b).Conclure.

EXERCICE 3.6.On a représenté sur la figure 3.1 page ci-contre la courbed’une fonction f définie sur R. Y tracer les courbes desfonctions suivantes :

• u = f +2 ; • v =−2 f ; • w(x) = | f |.

EXERCICE 3.7.Soit f la fonction définie sur R\3 par : f (x) = 2x2−5x+1

x−3 .On appelle C sa courbe représentative.

1. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réelx, f (x) = ax +b + c

x−3 .

2. Soit D la droite représentative de la fonction gdéfinie sur R par g (x) = 2x +1.Étudier les positions relatives de C et de D.

EXERCICE 3.8.Soit g la fonction définie par : g (x) = x2+1

x2−1

1. Déterminer son ensemble de définition.

2. Étudier le signe de g (x) selon les valeurs de x.

3. Étudier les positions relatives de la courbe de g et dela droite d’équation y = 1.




FIGURE 3.1: Graphique de l’exercice 3.6

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6 O ~ı

~

x

y

EXERCICE 3.9.L’objectif de cet exercice est d’étudier la fonction f définiesur R\−1 par :

f (x) = x2 +2x −3

x +1

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire.On considère la fonction g définie par : g (x)= −4

x+1

1. Étudier les variations de x 7→ 1x+1 .

2. En déduire les variations de g .

Partie B.

1. Déterminer les réels a, b et c tels que :f (x) = ax +b + c

x+1 pour tout x ∈R\−1.

2. En déduire les variations de la fonction f .

3. On appelle C la représentation graphique de f dansun repère

(O ;~ı,~

).

(a) Déterminer les coordonnées des points d’in-tersection de C avec chacun des axes durepère.

(b) D est la droite d’équation y = x+1. Déterminerles positions relatives de D et de C .

(c) Placer les points trouvés à la question 3a et D

dans un repère et tracer soigneusement C .

EXERCICE 3.10.Soit f la fonction définie sur R\2 par :

f (x) = −x2 +5x −4

x −2

On appelle C sa courbe représentative.

1. (a) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour toutréel x, f (x) = ax +b + c

x−2 .

(b) Étudier les variations de x 7→ cx−2 .

(c) En déduire les variations de f .

2. Étudier les positions relatives de C et de la droited’équation y =−x +3.

3. Déterminer les coordonnées des points d’intersec-tion de C avec les axes de coordonnées.

4. Placer les points et les droites rencontrés dans lesquestions précédentes dans un même repère et ytracer C .

David ROBERT 25

Nom : Vendredi 16 octobre 2012 – 1h00


Vecteurs – Fonctions

EXERCICE 2.1 (6,5 points).ABCD est un parallélogramme.

I est le milieu de [AD], E est le point tel que−→AE = 3

−→AB et F est le symétrique de I par rapport à D.

1. Construire les points I , E et F sur la figure 2.1 de la présente page.

2. (a) Exprimer−−→DF en fonction de

−−→AD. En déduire que

−→EF =−3

−→AB +1,5

−−→AD .

(b) Exprimer−→EC en fonction de

−→AB et

−−→AD.

(c) Que peut-on en déduire pour les points E , C et F ? Justifier.

3. Montrer que les droites (B I ) et (EF ) sont parallèles.


b

b

b

b

A

B

C

D

EXERCICE 2.2 (4,5 points).On a représenté sur la figure 2.2 de la présente page la courbe d’une fonction f définie sur [−3; 4].Tracer dans ce même repère les courbes des fonctions suivantes :

• u = f −1 ; • v =−0,5 f ; • w = | f |.

FIGURE 2.2: Graphique de l’exercice 2.2

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4−1−2−3 O

x

y

b

b

David ROBERT 27

Nom : Vendredi 16 octobre 2012 – 1h00

EXERCICE 2.3 (9 points).

L’objectif de cet exercice est d’étudier la fonction f définie sur R\2 par f (x) = 2x2−8x+6x−2 .

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire.On considère la fonction g définie par : g (x)= −2

x−2 .Compléter l’argumentaire suivant :

La fonction x 7→ x −2 est . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Donc la fonction x 7→ 1x−2 est . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc la fonction x 7→ −2x−2 est . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc la fonction g est . . . . . . . . . . . . . . . sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

Partie B.

1. (a) Montrer que f (x) = 2x −4+ −2x−2 pour tout x ∈R\2.

(b) En déduire les variations de la fonction f .

2. On appelle C la représentation graphique de f et D est la droite d’équation y = 2x −4.

(a) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.

(b) Déterminer les positions relatives de D et de C .

(c) Placer les points de la question 2a, tracer D et compléter le tracé de C dans le repère de la figure 2.3 de laprésente page.

FIGURE 2.3: Repère de l’exercice 2.3

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5−1 O

x

y



Chapitre 4

Suites arithmétiques, suites géométriques


4.2 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 Petit historique sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2 Définition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.3 Modes de génération d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.4 Représentation graphique d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.5 Monotonie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.2 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Activités

ACTIVITÉ 4.1.On donne ci-dessous le tableau d’effectifs, en million, de la population africaine depuis 1950.

Année 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010Population 227,3 285 366,8 482,2 638,7 819,5 1011,2

1. Représenter cette évolution dans un repère.

2. Calculer les coefficients multiplicateurs permettant de passer de la population d’une décennie à celle de la sui-vante à partir de l’année 1950.

3. Un statisticien propose de modéliser la population africaine de la manière suivante : « À partir de 1950, tous lesdix ans, la population africaine est multipliée par 1,28 ».

(a) Comment justifier sa démarche ?

(b) Comparer le résultat obtenu par ce modèle en2010 aux données réelles.Le modèle serait-il plus proche de la réalité avecun coefficient multiplicateur de 1,29 ?

(c) Que fait l’algorithme ci-contre ?Le programmer sur sa calculatrice.

(d) À l’aide de l’algorithme précédent, représentercette évolution sur le même graphique.

(e) À l’aide de l’algorithme précédent, estimer aucours de quelle décennie la population africainedépassera 3 milliards.

ENTREES

n

INITIALISATION

u PREND LA VALEUR 227.3

TRAITEMENT

POUR k ALLANT DE 1 A n FAIRE

u PREND LA VALEUR u*1.28

AFFICHER k

AFFICHER u

FIN POUR

29

4.2 Généralités sur les suites Première S

ACTIVITÉ 4.2.On ne sait pas si l’histoire suivante est vraie ou non.Le Roi demande à l’inventeur du jeu d’échecs de choisirlui-même sa récompense.Celui-ci répond (en ce temps là, on tutoyait les rois) :« Place deux grains de blé sur la première case del’échiquier, quatre grains sur la deuxième, huit sur latroisième, seize sur la quatrième et ainsi de suite. Jeprendrai tous les grains qui se trouvent sur l’échiquier ».Le Roi sourit de la modestie de cette demande.En réalité, cette demande était-elle vraiment modeste ?

1. On numérote les soixante-quatre cases del’échiquier de 1 à 64 et, pour chaque entier n(1 6 n 6 64), on note un le nombre de grains deblé que le Roi doit déposer dans la n-ième case.

(a) Calculer u1, u2, . . . , u10.

(b) Comment passe-t-on d’un terme au suivant ?

(c) Exprimer un en fonction de n et calculer u64.

2. On donne l’algorithme suivant :

ENTREES

n

INITIALISATION

u PREND LA VALEUR 1

s PREND LA VALEUR 0

TRAITEMENT

POUR k ALLANT DE 1 A n

u PREND LA VALEUR u*2

s PREND LA VALEUR s+u

FIN POUR

SORTIES

AFFICHER s

(a) Que fait cet algorithme ?

(b) Entrer cet algorithme dans votre calculatrice.

(c) Utiliser cet algorithme pour obtenir S, le nom-bre total de grains sur l’échiquier.

3. Sachant qu’un grain de blé pèse, en moyenne, 5 ×10−2 gramme et qu’un mètre cube de blé pèse, enmoyenne, une tonne, quelles pourraient être les di-mensions d’un grenier qui contiendrait le blé gagnépar l’inventeur ?Le Roi avait-il raison de sourire ?

ACTIVITÉ 4.3.Un bail est un contrat de location entre un locataire et unpropriétaire.Traditionnellement sa durée est de trois ans.On propose à un locataire deux types de bail :• Contrat A : Le premier loyer est de 1 000 euros et il aug-

mente chaque mois de 11,5 euros pendant la durée destrois ans.

• Contrat B : Le premier loyer est de 1 000 euros et il aug-mente chaque mois de 1 % pendant la durée des troisans.

1. (a) Déterminer, avec éventuellement un algo-rithme programmé sur votre calculatrice, leloyer du dernier mois avec le contrat A.

(b) Déterminer, avec éventuellement un algo-rithme programmé sur votre calculatrice, lasomme des loyers que le locataire devrait payeravec le contrat A.

2. Mêmes questions avec le contrat B.

3. Déterminer quel est le contrat le plus avantageuxpour le locataire.

ACTIVITÉ 4.4.On donne les listes de nombres suivantes :

a b c d e f

0 11

1100

1 −1 1,53

21 20

41

21,75

7

43 4

9 − 1

31,875

15

85 0,8

161

41,9375

31

167 0,16

25 −1

51,96875

63

329 0,032

1. Conjecturer, dans chaque cas, une manièred’obtenir le terme suivant.

2. Conjecturer, dans chaque cas, une manièred’obtenir le vingtième terme.

4.2 Généralités sur les suites

4.2.1 Petit historique sur les suites

Par Frédéric Demoulin

L’un des premiers travaux portant sur les suites de nombres semble provenir d’un certain ARCHIMÈDE 1.Dans son traité La mesure du cercle, pour trouver une valeur approchée de π, il avait eu la brillante idée de considérerdes polygones réguliers inscrits et circonscrits à un cercle de rayon 1 : d’abord deux triangles équilatéraux, puis deuxcarrés, deux pentagones, etc.Comme on peut le voir sur la figure 4.1, plus le nombre de côtés du polygone inscrit au cercle est grand et plus sonpérimètre est proche de la circonférence du cercle tout en lui restant inférieur. De même, plus le nombre de côtésdu polygone circonscrit au cercle est grand et plus son périmètre est proche de la circonférence du cercle tout en luirestant supérieur. Les périmètres de ces polygones forment ainsi deux suites de nombres qui encadrent la circonférencedu cercle, en l’occurence 2π.

1. Très brillant scientifique grec de Sicile, mathématicien, physicien et ingénieur (287 av. J.C. – 212 av. J.C.).



Première S 4.2 Généralités sur les suites

FIGURE 4.1: Exemples de polygones réguliers inscrits et circonscrits è un cercle : pentagone, hexagone et octogone.

Comme ARCHIMÈDE, de nombreux autres grands scientifiques (FIBONACCI, LUCAS, BERNOULLI, NEWTON, MOIVRE,CAUCHY, WALLIS, pour ne citer qu’eux. . . ) vont, historiquement, s’intéresser aux suites dans le but d’approcher desvaleurs numériques.Au cours du XVIIe et du XVIIIe siècle, l’intuition et le génie de mathématiciens tels EULER ou BERNOULLI amènent àl’établissement de nombreux résultats relatifs aux suites, reléguant parfois au second plan les limites de validité deleurs découvertes.Il faut donc attendre le début du XIXe siècle pour qu’AUGUSTIN LOUIS CAUCHY 2 pose les fondements rigoureux de lathéorie des suites. CAUCHY prend ainsi sa revanche sur les illustres mathématiciens du XVIIe et du XVIIIe. Deux événe-ments décisifs viennent alors donner un élan supplémentaire aux suites : l’introduction de la notation indicielle 3 quiconsiste à repérer chaque terme d’une suite par une même lettre affectée d’un indice et le point de vue de PEANO 4 quidéfinit une suite comme étant une fonction de N dans R.Plus récemment, dans la seconde moitié du XXe siècle, le développement des outils de calcul va logiquement donnerun nouvel essor à l’étude des suites. À l’heure actuelle, les domaines d’application des suites sont bien vastes : Analysenumérique, Mathématiques financières, Physique, Biologie, etc.

4.2.2 Définition et notations

Définition 4.1. Une suite numérique u est une fonction de N (ou d’une partie de N) dans R, c’est-à-dire une fonctionqui à tout entier naturel n associe un réel, noté u(n) ou, plus généralement, un .

Ainsi u :

N→R

n 7→un

Exemples. 1. La suite des carrés des nombres entiers est 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; etc. On peut écrire ces termes sous la formeu0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 9 ; etc. On définit alors, pour tout n ∈N, la suite (un ) de terme général un = n2.

2. La suite de terme général un = 1n n’est définie que pour n > 1, on la note (un )n>1.

3. La suite de terme général un =p

n−5 n’est définie que pour n > 5, on la note (un)n>5.

Remarques (Vocabulaire, notations). • n est l’indice (ou le rang) et un est le terme de rang n.• Attention : (un) désigne la suite alors que un désigne le terme de rang n.

4.2.3 Modes de génération d’une suite

Relevés chronologiques

Dans la « vie courante », les principales suites rencontrées sont obtenues par des relevés, en général chronologiques, enéconomie, ou des mesures en physique.En mathématiques, nous nous intéresserons essentiellement aux suites définies mathématiquement (par des formules)dont l’objet sera la modélisation des suites précédentes et à l’étude de leurs propriétés mathématiques.

Définition par une formule explicite

Une suite explicite est une suite dont le terme général s’exprime en fonction de n. Elle est du type un = f (n) où f estune fonction. On a donc la définition suivante :

2. Mathématicien français réputé pour sa finesse et sa rigueur (1789 – 1857).3. La notation indicielle est due, semble-t-il, au grand mathématicien et astronome italien JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736 – 1813).4. Mathématicien italien, la définition axiomatique des entiers naturels porte son nom (1858 – 1932).

David ROBERT 31

4.2 Généralités sur les suites Première S

Définition 4.2. Soit f une fonction définie au moins sur R+. On peut alors définir une suite (un ) de la façon suivante :Pour tout n ∈N, un = f (n).

Remarques. • On peut donc calculer directement n’importe quel terme de la suite à partir de l’indice n. C’est le côtéagréable des suites explicites.

• Si f n’est définie que sur [k;+∞[, avec k > 0, la suite n’est alors définie que pour n > k.

Exemples. 1. La suite (un ) définie, pour tout n ∈N, par un = 2n−1. On a un = f (n) avec f : x 7→ 2x −1. Par exempleu4 = 2×4−1 = 7.

2. Les suites de l’exemple précédent sont toutes des suites explicites. Les deux dernières sont définies, respective-ment, pour n > 1 et pour n > 5.

Définition par récurrence

Une suite récurrente est définie par la donnée des premiers termes et la relation liant les termes de la suite (en généralconsécutifs). Plus généralement, on peut définir une suite récurrente de la façon suivante :

Définition 4.3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout x ∈ I , f (x) ∈ I .On peut alors définir une suite (un) par la donnée de u0 ∈ I et de la relation de récurrence un+1 = f (un ).

(un ) :

u0 ∈ Iun+1 = f (un )

Exemple. (un) :

u0 = 4un+1 = 2un −5

donne :

• u0 = 4 ; • u1 = 2u0 −5 = 3 ; • u2 = 2u1 −5 = 1 ; • etc.

Remarques. • Contrairement aux suites explicites, on ne peut pas, a priori, calculer un terme quelconque de la suite,sans avoir obtenu, avant, tous les termes le précédant.De nombreux exercices seront consacrés à obtenir, malgré tout, des moyens de calculer directement un terme donné,c’est-à-dire à transformer, lorsque c’est possible, la suite récurrente en une suite explicite.

• Toutes les fonctions f ne conviennent pas. Par exemple si u0 = 3 et f (x) =p

x −2, c’est-à-dire un+1 =p

un −2, on au1 =

pu0 −2 =

p1 = 1. Par contre on ne peut pas calculer u2, donc la suite n’est pas définie pour n > 1.

4.2.4 Représentation graphique d’une suite

Définition 4.4. Dans un repère(O;~ı,~

), la représentation graphique d’une suite (un ) est l’ensemble des points Mn

de coordonnées (n;un ).

Remarque. Contrairement à une fonction, la représentation graphique d’une suite n’est pas une courbe mais un nuagede points car la suite n’est définie que pour n ∈N. u1,5 n’a, mathématiquement, pas de sens et donc le point (1,5;u1,5)non plus.

4.2.5 Monotonie d’une suite

Une suite est une fonction particulière, on retrouve donc naturellement la notion de sens de variation pour une suite.

Définition 4.5. Soit (un) une suite. On dit que :• la suite (un ) est croissante si, pour tout entier n : un+1 > un ;• la suite (un ) est décroissante si, pour tout entier n : un+1 6un ;• la suite (un ) est constante si, pour tout entier n, un = un+1.

Définition 4.6. Soit (un ) une suite. On dit que (un ) est monotone si son sens de variation ne change pas (elle restecroissante ou décroissante)

Remarque. On obtient les définitions de strictement croissante, décroissante ou monotone en remplaçant les inégalitéslarges par des inégalités strictes.

Étudier la monotonie d’une suite c’est donc étudier ses variations.



Première S 4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques

4.3 Deux suites particulières : arithmétiques et géométriques

4.3.1 Suites arithmétiques

Définition et premières propriétés

Définition 4.7 (par récurrence). On appelle suite arithmétique toute suite (un ) telle que

Pour tout entier naturel n, un+1 = un + r où r ∈R

r est appelé la raison de la suite arithmétique.

Remarque. Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de montrer que, pour tout n, la différence un+1 −un

est constante. Cette constante sera alors la raison de la suite.

EXERCICE.• La suite formée par les nombres entiers naturels pairs est-elle une suite arithmétique ? Et celle formée parles nombres entiers naturels impairs ?

• La suite définie par : pour tout n, un = 3n−2 est-elle arithmétique ?• La suite définie par : pour tout n, un = n2 est-elle arithmétique ?• Parmi les suites rencontrées dans les activités d’introduction, lesquelles sont arithmétiques ?

Propriété 4.1 (Formule explicite). Soit (un ) une suite arithmétique de premier terme u0 et raison r . Alors, pour toutentier naturel n et tout entier naturel p tel que 06 p 6 n, on a :un = up + (n−p)rEt en particulier, avec p = 0 :un = u0 +nr

Nous l’admettrons.

Variations d’une suite arithmétique

Propriété 4.2. Soit (un ) une suite arithmétique de raison r . Alors :• si r > 0, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;• si r < 0, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;• si r = 0, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve. Pour tout n > 0, on a un+1 −un = un + r −un = r , ce qui donne le résultat. ♦

Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique

Propriété 4.3. Soit (un ) une suite arithmétique et n et p deux entiers naturels tels que 06 p 6 n.

Alors :

n∑

i=pui = up +up+1 + . . .+un =

(up +un )(n−p +1)

2

En particulier, en posant p = 0, on obtient :

n∑

i=0ui = u0 +u1 + . . .+un = (u0 +un )(n+1)

2

La preuve sera faite en classe.Cette formule peut se retenir de la façon suivante :

La somme S de termes consécutifs d’une suite arithmétique est :

S =(1er terme+dernier)× (nb de termes)

2

4.3.2 Suites géométriques

Définition et premières propriétés

Définition 4.8 (par récurrence). On appelle suite géométrique toute suite (un ) telle que

Pour tout entier naturel n, un+1 = q ×un où q ∈R

q est appelé la raison de la suite géométrique.

David ROBERT 33


Remarques. 1. Si q = 0, tous les termes de la suite, hormis peut-être u0 sont nuls.

Si u0 = 0, tous les termes de la suite sont nuls.

En dehors de ces deux cas triviaux, inintéressants, tous les termes de la suite sont différents de zéro.

2. Pour démontrer qu’une suite est géométrique (en dehors des deux cas triviaux), il suffit de montrer que, pour toutn, le quotient un+1

unest constant. Cette constante sera alors la raison de la suite.

EXERCICE.• La suite définie par : pour tout n, un = n2 est-elle géométrique ?• Parmi les suites rencontrées dans les activités d’introduction, lesquelles sont géométriques ?

Propriété 4.4 (Formule explicite). Soit (un ) une suite géométrique de premier terme u0 et raison q. Alors, pour toutentier naturel n et tout entier naturel p tel que 06 p 6 n, on a :un = qn−p up

Et en particulier, avec p = 0 :un = qnu0

Nous l’admettrons.

Variations d’une suite géométrique

On ne s’intéresse, en première, qu’aux variations de suites géométriques de raison positive.

Propriété 4.5. Soit (un ) une suite géométrique de raison q > 0. Alors, si u0 > 0 :• si q = 0, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pour n > 1• si 0 < q < 1, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;• si q = 1, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;• si q > 1, (un ) est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve. Hormis le premier cas, trivial : pour tout n > 0 on a un+1un

= q , ce qui donne le résultat. ♦

Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique

Propriété 4.6. Soit (un ) une suite géométrique de raison q 6= 1 et n et p deux entiers naturels tels que 06 p 6 n.

Alors :

n∑

i=pui = up

1−qn−p+1

1−q

En particulier, en posant p = 0, on obtient :

n∑

i=0ui = u0 +u1 + . . .+un = u0

1−qn+1

1−q

La preuve sera faite en classe.Cette formule peut se retenir de la façon suivante :

La somme S de termes consécutifs d’une suite géométrique est :

S = 1er terme1−qnb de termes

1−q

4.4 Exercices et problèmes

4.4.1 Exercices

EXERCICE 4.1.Pour chacune des suites données ci-dessous :

• u0 = 0 et un+1 = un + 12 pour tout n ∈N

• vn = 5−2n pour tout n ∈N

• wn = (n+1)2 −n2 pour tout n ∈N

• xn = 3n

n+1 pour tout n ∈N

• yn =( 1

2

)npour tout n ∈N

1. Calculer les trois premiers termes.

2. La suite est-elle géométrique ? arithmétique ?

3. Si elle est arithmétique ou géométrique :

(a) calculer le terme de rang 100 ;

(b) calculer la somme des termes jusqu’au rang100.




EXERCICE 4.2. 1. La suite (un) est artihmétique de rai-son r = 8. On sait que u100 = 650.Que vaut u0 ?

2. La suite (un ) est arithmétique de raison r . On saitque u50 = 406 et u100 = 806.

(a) Déterminer r et u0.

(b) Calculer S = u50 +u51 + . . .+u100.

EXERCICE 4.3.On considère une suite géométrique (un ) de premierterme u1 = 1 et de raison q =−2.

1. Calculer u2, u3 et u4.

2. Calculer u20.

3. Calculer la somme S = u1 +u2 + . . .+u20.

EXERCICE 4.4. 1. La suite (un ) est géométrique de raison q = 12 . On sait que u8 =−1.

Que vaut u0 ?

2. La suite (un ) est géométrique de raison q . On sait que u4 = 10 et u6 = 20.

(a) Déterminer q et u0.

(b) Calculer S = u50 +u51 + . . .+u100.

EXERCICE 4.5.Après avoir mis en évidence la suite dont il s’agit et prouver qu’elle est, le cas échéant, arithmétique ou géométrique,calculer les sommes suivantes :

• S1 = 1+2+3+ . . .+998+999• S2 = 2006+2007+ . . . +9999• S3 = 1−2+4−8+16−32+ . . .+4096

• S4 = 1+3+9+27+ . . . +59049• S5 = 1+3+5+7+ . . .+999• A = 1+ 1

2 +1

22 + . . .+ 1228

• B = 3+6+9+ . . .+99

4.4.2 Problèmes

PROBLÈME 4.1.Un étudiant loue un chambre pour 3 ans. On lui propose deux types de bail :• Premier contrat : un loyer de 200( pour le premier mois, puis une augmentation de 5( par mois jusqu’à la fin du

bail ;• Second contrat : un loyer de 200( pour le premier mois, puis une augmentation de 2 % par mois jusqu’à la fin du bail.Question : Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ?

1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.

2. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c’est-à-dire celui du 36è mois.

3. Répondre à la question.

PROBLÈME 4.2.Le nombre d’adhérents d’un club sportif augmente de 5 % chaque année. En 1990, il y avait 500 adhérents.Question : le nombre d’adhérents peut-il doubler et, si oui, en quelle année ?

Pour chaque année à partir de 1990 on note un le nombre d’adhérents l’année 1990+n.

1. Quelle est la valeur de u0 ? de u1 ?

2. Préciser la nature de la suite (un ) puis exprimer un en fonction de n.

3. Répondre à la question.

PROBLÈME 4.3.Un étudiant souhaite s’acheter une super collection de CD d’une valeur de 1 000 (. Pour économiser une telle somme,il ouvre un compte épargne à la banque qui rapporte 0,25 % mensuellement. À l’ouverture, il dépose 100( le premierd’un mois et ensuite 50( le 1er de chaque mois.Question : Quel sera le nombre de mois nécessaires pour l’achat de la collection ?

On pose c0 = 100 et on note cn le capital le premier de chaque mois après le versement initial.

1. Calculer les capitaux c1, c2 et c3 du premier, deuxième et troisième mois.

2. Montrer que (cn ) vérifie une relation de récurrence de la forme cn+1 = acn+b, où a et b sont des réels à déterminer.

3. On pose un = cn +20000.

(a) Montrer que cette suite est géométrique. (b) En déduire un puis cn en fonction de n.

4. À l’aide de la calculatrice, répondre à la question.

David ROBERT 35


PROBLÈME 4.4.Monsieur X désire financer un voyage dont le coût est de 6 000(.Pour ce faire, il a placé 2 000( le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire, à intérêts composés au taux annuel de 3,5 %(ce qui signifie que, chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). À partir del’année suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700( supplémentaires sur ce livret.Question : En quelle année aura-t-il assez d’argent pour financer son voyage ?

On désigne par Cn le capital, exprimé en euros, disponible le 1er janvier de l’année (2003+n) , où n est un entier naturel.Ainsi, on a C0 = 2000.

1. (a) Calculer le capital disponible le ler janvier 2004.

(b) Établir, pour tout entier naturel n, une relation entre Cn+1 et Cn .

2. Pour tout entier naturel n, on pose : un =Cn +20000.

(a) Démontrer que la suite (un ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.

(b) Exprimer un en fonction de n.

(c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : Cn = 22000× (1,035)n −20000.

3. À l’aide de la calculatrice, répondre à la question.

PROBLÈME 4.5.Jean est en train de lire un livre. En additionnant les numéros de toutes les pages qu’il a déjà lues, il obtient 351. enadditionnant les numéros de toutes les pages qu’il lui reste à lire, il obtient 469.

1. À quelle page en est Jean ?

2. Combien de pages comporte ce livre ?

On supposera que le livre commence à la page n°1.

PROBLÈME 4.6.Lequel des deux nombres suivants est le plus grand ?

• A = 2005(1+2+3+ . . . +2006) • B = 2006(1+2+3+ . . . +2005)

PROBLÈME 4.7.Un fournisseur fait une étude sur la fidélité de sa clientèle depuis l’année n = 0, où il y a eu 200 clients. Chaque année,sa clientèle est composée de 50% des clients de l’année précédente auxquels s’ajoutent 400 nouveaux clients.

1. Soit un le nombre de clients l’année n.Justifier que un+1 = 0,5un +400, puis calculer u1,u2, u3 et u4.

2. On considère la suite (vn) définie par vn = un −800.

(a) Vérifier que vn+1 = 0,5vn .

(b) Quelle est la nature de la suite (vn) ?

(c) En déduire l’expression de vn , puis celle de un , en fonction de n.

(d) Calculer u100, u1000 et u10000.Que peut-on alors conjecturer concernant le nombre de clients du fournisseur ?

PROBLÈME 4.8.Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1500 employés.Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l’effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours del’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année. Pour tout entier n onappelle un le nombre d’employés le 1er janvier de l’année (2005+n) .

1. Déterminer u0, u1, u2 et u3

2. (a) Montrer que un+1 = 0,9un +100.

(b) Cette suite est-elle arithmétique ? Cette suite est-elle géométrique ?

3. On pose vn = un −1000.

(a) Déterminer v0, v1, v2 et v3.

(b) Montrer que (vn) est géométrique.

(c) En déduire vn en fonction de n.

(d) En déduire un en fonction de n.

(e) En déduire quel sera l’effectif de l’entreprise le 1er janvier de l’année 2027




PROBLÈME 4.9.Une ville comprenait 300 000 habitants au premier janvier 1950. On estime que la ville accueille tous les ans 2% denouveaux arrivants et a un taux annuel de natalité de 3%. On constate curieusement un nombre fixe de décès et dedépart de 800 personnes par an. On veut déterminer à partir de quelle année la population de la ville sera supérieureau double de la population en 1950.

1. Quelle était la population estimée de la ville le premier janvier 1951 ?

2. On note pn la population de la ville à l’année 1950+n.Exprimer pn+1 en fonction de pn .

3. On pose qn = pn −16000.

(a) Montrer que cette suite est une suite géométrique.

(b) Exprimer qn puis pn en fonction de n.

4. Montrer que(pn

)est croissante.

5. Déterminer, à l’aide de votre calcultrice, à partir de quelle année la population de la ville sera supérieure au doublede la population en 1950.

David ROBERT 37

Devoir maison n°3

Suites arithmétiques et géométriques

À rendre pour le vendredi 20 novembre

PROBLÈME 3.1.On considère les deux suites (un ) et (vn) définies, pour tout n ∈N, par :

un =3×2n −4n+3

2et vn =

3×2n +4n−3

2

1. Soit (wn) la suite définie par wn = un + vn . Démontrer que (wn) est unesuite géométrique.

2. Soit (tn) la suite définie par tn = un−vn . Démontrer que (tn) est une suitearithmétique.

3. Exprimer la somme suivante en fonction de n : Sn = u0 +u1 + . . .+un

PROBLÈME 3.2.On considère la suite (un) définie par :

(un ) :

u0 =−7un+1 = 7un+36

−un−5 pour tout n ∈N

1. Calculer u1 et u2. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ?

2. On pose vn = 1un+6 pour tout n ∈N.

(a) Calculer v0, v1 et v2. Que peut-on conjecturer sur la nature de (vn) ?

(b) Démontrer votre conjecture.

(c) En déduire l’expression de vn en fonction de n puis celle de un .

(d) Étudier la monotonie de (un).

(e) Calculer u20.

Devoir maison n°3


À rendre pour le vendredi 20 novembre

PROBLÈME 3.1.On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout n ∈N, par :

un =3×2n −4n+3

2et vn =

3×2n +4n−3

2

1. Soit (wn) la suite définie par wn = un + vn . Démontrer que (wn) est unesuite géométrique.

2. Soit (tn) la suite définie par tn = un−vn . Démontrer que (tn) est une suitearithmétique.

3. Exprimer la somme suivante en fonction de n : Sn = u0 +u1 + . . .+un

PROBLÈME 3.2.On considère la suite (un ) définie par :

(un ) :

u0 =−7un+1 = 7un+36

−un−5 pour tout n ∈N

1. Calculer u1 et u2. La suite (un ) est-elle arithmétique ? géométrique ?

2. On pose vn = 1un+6 pour tout n ∈N.

(a) Calculer v0, v1 et v2. Que peut-on conjecturer sur la nature de (vn) ?

(b) Démontrer votre conjecture.

(c) En déduire l’expression de vn en fonction de n puis celle de un .

(d) Étudier la monotonie de (un ).

(e) Calculer u20.

Nom : Vendredi 20 novembre 2012 – 1h00



EXERCICE 3.1 (3 points).Après avoir mis en évidence la suite dont il s’agit et prouver qu’elle est, le cas échéant, arithmétique ou géométrique,calculer la somme suivante :

S = 1−3+9−27+ . . . +59049

EXERCICE 3.2 (7 points).Un bail est un contrat de location entre un locataire et un propriétaire.Traditionnellement sa durée est de trois ans.On propose à un locataire deux types de bail :• Contrat A : Le premier loyer est de 2 000 euros et il augmente chaque mois de 23 euros pendant la durée des trois ans.• Contrat B : Le premier loyer est de 2 000 euros et il augmente chaque mois de 1 % pendant la durée des trois ans.

1. Pour le contrat A :

(a) Calculer le loyer du deuxième mois et du troisième mois.

(b) Calculer le loyer du dernier mois, c’est-à-dire celui du 36è mois.

2. Mêmes questions pour le contrat B .

3. Déterminer, en justifiant, quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire.

EXERCICE 3.3 (10 points).Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1 500 employés.Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10% de l’effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours del’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année. Pour tout entier n onappelle un le nombre d’employés le 1er janvier de l’année (2005+n) .

1. Déterminer u1 et u2.

2. (a) Montrer que un+1 = 0,9un +100.

(b) Cette suite est-elle arithmétique ? Cette suite est-elle géométrique ?On justifiera ses deux réponses.

3. On pose vn = un −1000.

(a) Déterminer v0, v1 et v2.

(b) Montrer que pour tout entier natural n, vn+1 = 0,9vn .Que peut-on en déduire pour (vn) ?

(c) En déduire vn en fonction de n.

(d) En déduire un en fonction de n.

4. À l’aide des questions précédentes :

(a) Déterminer quel sera l’effectif de l’entreprise le 1er janvier de l’année 2027

(b) i. Montrer que la suite (un) est décroissante.

ii. En déduire, à l’aide de la calculatrice, l’année où le nombre d’employés sera inférieur à 1 010.

Chapitre 5

Équations cartésiennes


5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Équations cartésiennes d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.4 Équation cartésienne d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5.1 Vecteurs – Colinéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5.2 Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5.3 Équations de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.5.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


Ce paragraphe étant constitué de rappels, les exemples seront limités et les démonstrations des proprités ne seront pasrefaites, sauf pour quelques-unes, en classe.

Définition 5.1. Soient O un point du plan et~ı et~ deux vecteurs de ce plan de directions différentes (non colinéaires),alors

(O ;~ı,~

)est appelé repère du plan. O est appelé origine du repère et le couple

(~ı ,~

)est appelé base du repère.

Définition 5.2. Soit un repère(O;~ı,~

)du plan.

• Si les directions de~ı et de~ sont orthogonales, le repère est dit orthogonal.• Si les normes de~ı et de~ sont égales à 1, le repère est dit normé.• Si les directions de~ı et de ~ sont orthogonales et que les normes de~ı et de ~ sont égales à 1, le repère est dit

orthonormé.• Sinon, le repère est dit quelconque.

Repère orthogonal Repère normé Repère orthonormé

O ~ı

~

O ~ı

~

O ~ı

~

Propriété 5.1. Le plan est muni d’une base(~i ,~j

).

Pour tout vecteur ~u du plan, il existe un unique couple (x; y), appelé coordonnées de ~u, tel que ~u = x~i + y~j .

On notera indifférement ~u(x; y), ou ~u = (x; y), ou ~u

(xy

), ou ~u =

(xy

).

41

5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs Première S

Remarque. On notera que l’origine du repère n’a pas d’importance dans les coordonnées d’un vecteur et que le vecteurnul a pour coordonnées (0; 0).

Propriété 5.2. Le plan est muni d’un repère.Soient ~u =

(x ; y

)et ~v =

(x′ ; y ′) deux vecteurs et k un nombre.

• ~u =~v ⇔ x = x′ et y = y ′.• Le vecteur ~u+~v a pour coordonnées

(x + x′ ; y + y ′).

• Le vecteur k~u a pour coordonnées(kx ; k y

).

Définition 5.3. Le plan étant muni d’un repère(O;~ı ,~

), on appelle coordonnées du point M le couple (x ; y) tel que

−−→OM = x~ı + y~ , x étant appelé abscisse de M et y étant appelé ordonnée de M .

Les coordonnées du point M sont donc les coordonnées du vecteur−−→OM . Cela implique qu’elles dépendent de l’origine

du repère.

Propriété 5.3. Le plan est muni d’un repère.

Soient A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) deux points du plan. Alors les coordonnées du vecteur−→AB sont (xB − xA ; yB − yA).

Propriété 5.4. Le plan est muni d’un repère.Soit A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) et I (xI ; yI ) milieu de [AB]. Alors xI = xA+xB

2 et yI = yA+yB2 .

Propriété 5.5. Le plan est muni d’un repère orthonormé.Soient A et B deux points du plan P de coordonnées respectives (xA ; yA ) et (xB ; yB ).Alors la distance AB est donnée par AB =

√(xB − xA )2 + (yB − yA )2.

5.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs

Propriété 5.6. Le plan est muni d’un repère.Soient ~u (x ; y) et ~v (x′ ; y ′) deux vecteurs du plan. Alors : ~u et ~v colinéaires ⇔ x y ′− x′y = 0.

La preuve sera faite en classe.

5.3 Équations cartésiennes d’une droite

Théorème 5.7. Le plan est muni d’un repère.• Toute droite du plan admet une équation de la forme ax +by +c = 0 avec (a ; b) 6= (0; 0).• L’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient ax +by +c = 0 avec (a ; b) 6= (0; 0) est une droite


Définition 5.4. Le plan est muni d’un repère.Soit D une droite et A et B deux points de cette droite. On appelle vecteur directeur de D tout vecteur ~u 6=~0 colinéaire

à−→AB .

Théorème 5.8. Le plan est muni d’un repère.Toute droite admettant une équation de la forme ax +by +c = 0 admet ~v = (−b ; a) comme vecteur directeur.


Propriété 5.9. Le plan est muni d’un repère.Soit D une droite d’équation réduite y = mx +p. Alors ~v (1; m) est un vecteur directeur de D.


Propriété 5.10. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Preuve. Trivial. ♦



Première S 5.4 Équation cartésienne d’un cercle

5.4 Équation cartésienne d’un cercle

Théorème 5.11. Le plan est muni d’un repère orthonormal.Soit C le cercle de centre Ω(x0 ; y0) et de rayon r .Alors tout point de M de C a ses coordonnées qui vérifient (x − x0)2 + (y − y0)2 = r 2.

Preuve. Par définition ΩM = r or, comme ΩM est une longueur : ΩM = r ⇔ΩM2 = r 2 ⇔ (x − x0)2 + (y − y0)2 = r 2 ♦

5.5 Exercices

5.5.1 Vecteurs – Colinéarité

EXERCICE 5.1.Le plan est muni d’un repère quelconque.On donne les points A (−5; 3), B (−4; 1) et C (1; −4).

1. Déterminer les coordonnées de I , milieu de [AC ].

2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.

EXERCICE 5.2.Le plan est muni du repère

(O;~ı,~

). Soient les points A (−9; −10), B (2; 9), C (5; 3), D (−1; −8) et E (3; 0).

1. Les points C , D et E sont-ils alignés ?

2. Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

EXERCICE 5.3.Le plan est muni du repère

(O ;~ı,~

). On considère les points A (−2; 2), B (−3; −3), C (5; 1) et D (2; 4). E est le milieu du

segment [BC ].

1. Montrer que−−→AD et

−→BC sont colinéaires. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCD ?

2. Montrer que ABED est un parallélogramme.

3. Déterminer si O appartient à la droite (AE ).

EXERCICE 5.4.ABCD est un parallélogramme.A′ est le symétrique de A par rapport à B et E est le milieu de [BC ].

1. Déterminer les coordonnées des points A′, E et D dans le repère(

A ;−→AB ,

−−→AD

)

2. Montrer que les points A′, E et D sont alignés

5.5.2 Équations de droites

Dans les exercices de ce paragraphe, le plan est muni d’un repère quelconque.

EXERCICE 5.5.On considère les points A (−1; 2), B (1; 3) et C (195; 100).

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).À l’aide de cette équation déterminer si A, B et C sont alignés.

2. La droite D d’équation y = 12 x +1 est-elle parallèle à (AB) ?

3. Le point C appartient-il à la droite ∆ passant par le point J (0; 1) et de coefficient directeur 35 ?

EXERCICE 5.6.On donne A(1; 2), B(2; 1) et C (−3; 0). Déterminer les équations des droites suivantes :

1. D′ passant par C et de vecteur

directeur−→AB ;

2. ∆ parallèle à D passant par A ; 3. ∆′ parallèle à D

′ passant par B .

EXERCICE 5.7.Déterminer si les droites suivantes sont parallèles et, si elles ne le sont pas, déterminer les coordonnées de leur pointd’intersection.

• D1 : x +2y −1 = 0 • D2 : y =− x2 +3 • D3 :−2x +3y +5 = 0

David ROBERT 43


EXERCICE 5.8.ABC est un triangle non aplati. I et J sont les point tels que

−→AI = 2

−→AB et

−→AJ = 2

3

−→AC .

1. Dans le repère(

A ;−→AB ,

−→AC

), déterminer les coordonnées des points I et J .

2. Déterminer une équation cartésienne des droites (BC ) et (I J ).

3. Montrer que la droite (I J ) passe par le milieu O du segment [BC ].

5.5.3 Équations de cercle

Dans les exercices de ce paragraphe, le plan est muni d’un repère orthonormé.

EXERCICE 5.9.Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon ducercle :

1. x2 + y2 −2x −6y +5 = 0 ; 2. x2 + y2 − x −3y +3 = 0 ; 3. x2 + y2 − x +8y +10 = 0.

EXERCICE 5.10.On donne Ω(2; −3).

1. Déterminer l’équation du cercle C de centre Ω et de rayon r = 5.

2. Démontrer que le point A(−2; 0) est un point du cercle C .

EXERCICE 5.11.Trouver une équation du cercle C de centre A(1; 2) et de rayon 3 et déterminer les coordonnées des points d’intersec-tion de C avec les axes de coordonnées.

EXERCICE 5.12. 1. Déterminer une équation du cercle C passant par A(2; 1) et B(1; 3) et dont le centre Ω est situésur la droite D d’équation x + y +1 = 0. Indication : chercher d’abord les coordonnées de Ω

2. Même question pour le cercle C′ passant par C (4; 2) et D(2; 6) et dont le cercleΩ

′ est situé sur la droite d’équationx + y +2 = 0.

5.5.4 Divers

EXERCICE 5.13.Sur le dessin ci-dessous fait ) main levée, E AF est un triangle rectangle en A, B ∈ [AE ], D ∈ [AF ] et ABCD est un carré.Les points F , C et E sont-ils alignés ?

b b

bb

b

b

A B

CD

E

F

8 5

13

EXERCICE 5.14.ABCD est un parallélogramme. I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [AD]. K est l’intersection desdroites (DI ) et (B J ).Que peut-on dire des points A, K et C ?



Devoir maison n°4

Intersection droite – cercle

À rendre pour le mardi 11 décembre.

Le plan est muni d’un repère orthornormé(O;~ı,~

).

Les points A, B et C sont de coordonnées respectives (8; 2), (4; −2) et (0; 2).C est le cercle de centre A et passant par B .P est le point de coordonnées (p ; 0) où p est un réel quelconque et on appelleDp la droite (CP ).

Partie A : Questions préliminaires

1. Déterminer une équation cartésienne de C .

2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection du cercle C avec :

(a) l’axe des abscisses ;

(b) l’axe des ordonnées.

Partie B : Deux cas particuliers

1. On pose p =−6.

(a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D−6.

(b) Déterminer l’ensemble des intersections de D−6 et de C .

2. Mêmes questions avec p = 1.

Partie C : Cas généralDéterminer, par le calcul, le nombre d’intersections entre Dp et de C selon lesvaleurs de p.

Devoir maison n°4

Intersection droite – cercle

À rendre pour le mardi 11 décembre.

Le plan est muni d’un repère orthornormé(O ;~ı,~

).

Les points A, B et C sont de coordonnées respectives (8; 2), (4; −2) et (0; 2).C est le cercle de centre A et passant par B .P est le point de coordonnées (p ; 0) où p est un réel quelconque et on appelleDp la droite (CP ).

Partie A : Questions préliminaires

1. Déterminer une équation cartésienne de C .

2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection du cercle C avec :

(a) l’axe des abscisses ;

(b) l’axe des ordonnées.

Partie B : Deux cas particuliers

1. On pose p =−6.

(a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D−6.

(b) Déterminer l’ensemble des intersections de D−6 et de C .

2. Mêmes questions avec p = 1.

Partie C : Cas généralDéterminer, par le calcul, le nombre d’intersections entre Dp et de C selon lesvaleurs de p.

Nom : Vendredi 14 décembre 2012 – 1h00


Équations cartésiennes

EXERCICE 4.1 (10 points).Dans un repère orthonormé, on considère les pointsA (1; 0), B (2; 3), C (−1; 2) et D (1; 6).On pourra s’aider du repère ci-contre trouver l’inspirationou pour vérifier ses résultats mais ceux-ci sont à obtenir al-gébriquement.

1. (a) Déterminer une équation cartésienne de ladroite (AC ).

(b) Déterminer une équation cartésienne de ladroite D, parallèle à la droite (AC ) et passantpar B .

2. La droite∆ est d’équation cartésienne−x+3y−7 = 0.

(a) Donner un vecteur directeur de ∆.

(b) Les droites ∆ et D sont-elles parallèles ?

3. Soit C le cercle de centre B et passant par D.

(a) Déterminer une équation cartésienne du cer-cle C .

(b) Déterminer les coordonnées des points d’in-tersection de C avec l’axe des abscisses.

4. Soit E l’ensemble des points M (x ; y) tels que x2 +y2 −2x −7 = 0.

(a) Montrer que E est un cercle dont on préciserales caractéristiques (centre et rayon).

(b) Le point C appartient-il à E ?

1

2

3

4

5

6

7

8

−1

−2

1 2 3 4 5−1−2

x

y

EXERCICE 4.2 (6 points).ABCD est un parallélogramme. E est le milieu du segment [CD], F est le symétrique de A par rapport à D et G est lesymétrique de A par rapport à B .Par la méthode de votre choix :

1. Déterminer si les points B , E et F sont alignés.

2. Déterminer si les points F , C et G sont alignés.

3. On appelle H l’intersection des droites (AC ) et (DG). Déterminer si les points H , E et B sont alignés.

EXERCICE 4.3 (4 points).Le plan est muni d’un repère orthonormé.A et B sont les points de coordonnées respectives A (1; −2) et B (4; −1).D est la droite d’équation cartésienne 4x +3y −13 = 0.

1. On appelle ∆ la médiatrice du segment [AB].Montrer qu’une équation cartésienne de ∆ est 3x + y −6 = 0.

2. Déterminer les coordonnées de C , intersection de D et de ∆.

3. Déduire de ce qui précède une équation cartésienne du cercle C passant par A et B et tel que son centre appar-tient à la droite D.

Chapitre 6

Nombre dérivé


6.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.3 Interprétation graphique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4.1 Coefficients directeurs (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4.2 Lectures graphiques de nombres dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.4.3 Tracés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.4.4 Calculs de nombres dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1 Activités

ACTIVITÉ 6.1 (Vitesse moyenne, vitesse instantanée).Un corps en chute libre, avec une certaine vitesse initiale, à son altitude donnée au bout de t secondes par la fonctionh(t) (en mètres) exprimée par :

h(t) =−4,9t 2 +20t +15

1. (a) Quelle est son altitude au départ de sa trajectoire ?

(b) Au bout de combien de temps touche-t-il le sol ? On appellera ce temps t0 pour la suite.

2. Tracer la courbe représentative C de la fonction h sur l’intervalle [0; t0].

3. (a) Quelle distance a-t-il parcouru entre l’instant t = 0 et l’instant t = 1 ?

(b) Quelle est alors sa vitesse moyenne sur cet intervalle de temps ?

(c) Mêmes questions entre les instants :

• t = 1 et t = 2 • t = 2 et t = 3 • t = 3 et t = 4 • t = 4 et t = t0.

(d) Comment peut-on retrouver graphiquement ces vitesses moyennes ?

4. Inventer une manière d’obtenir la vitesse initiale.

ACTIVITÉ 6.2 (Nombre dérivé).On s’intéresse à la fonction définie sur R par f (x) =−x2 +25 et on appelle P sa courbe représentative.On appelle :• T le point de P d’abscisse 1 ;• Th le point de P d’abscisse 1+h où h est un réel ;• Dh la sécante (T Th) ;• mh le coefficient directeur de Dh .

1. On suppose que h = 1.

(a) Déterminer l’abscisse x1 et y1 et l’ordonnée de T1.

(b) Déterminer m1 le coefficient directeur de la droite D1.

2. En vous inspirant que la question précédente, compléter le tableau suivant :

h 1 0,5 0,1 0,01 0,001xh

yh

mh

49

6.2 Bilan et compléments Première S

3. Montrer, par le calcul, que, dans le cas général, mh =−2−h pour h 6= 0

4. Quand h tend vers 0 :

(a) Vers quelle valeur tend mh ?

(b) Vers quel point tend Th ?

(c) Vers quelle droite tend la sécante Dh ?

(d) En déduire l’équation réduite de cette droite.

On appellera tangente à P au point d’abscisse 1, la droite de laquelle se rapproche la sécante Dh quand h tend vers 0 eton appellera nombre dérivé de f (x) en 1 le coefficient directeur de la tangente.

6.2 Bilan et compléments

Définition. On appelle accroissement moyen d’une fonction f entre deux nombres distincts a et b le nombre :

f (b)− f (a)

b −a

On écrit la plupart du temps a +h à la place de b et la définition devient alors :

Définition 6.1. On appelle accroissement moyen d’une fonction f entre deux nombres distincts a et a+h le nombre :

f (a +h)− f (a)

h

Les deux définitions sont équivalentes (il suffit de poser b = a +h). C’est la seconde que nous utiliserons pour la suite.

On a vu dans les activités que cet accroissement moyen tendait vers l’accroissement « instantané » quand h tendait vers0. Cet accroissement « instantané » est appelé nombre dérivé en mathématiques, et on a donc la définition suivante :

Définition 6.2 (Dérivabilité et nombre dérivé). Si, quand h tend vers 0, la quantité f (a+h)− f (a)h tend vers un nombre

A, on dit que la fonction f est dérivable en a et on appelle A le nombre dérivé de f en a. On le note f ′(a).

Remarques. • On note parfois ∆ f (x)∆x l’accroissement moyen, surtout en physique.

∆x est la différence 1 entre deux valeurs de x, ∆ f (x) celle entre les deux valeurs correspondantes de f (x).

• On note parfois d f (x)dx le nombre dérivé. Le d indique là encore une différence mais entre deux valeurs infiniment

proches.• Ces nombres correspondent à des quantités concrêtes qui dépendent de la nature de la fonction f ou de la variable.

Ainsi, si f (t) est la distance parcourue au bout d’un temps t , la variation moyenne ne sera rien d’autre que la vitessemoyenne et le nombre dérivé est la vitesse instantanée.

Exemple 6.1. La fonction f définie sur R par f (x) = x3 −7 est-elle dérivable en a = 2 ?

Pour le savoir étudions la quantité suivante :f (2+h)− f (2)

h.

f (2+h)− f (2)

h= (2+h)3 −23

h= 8+12h+6h2 +h3 −8

h

= 12h+6h2 +h3

h= h(12+6h+h2)

h= 12+6h+h2 avec h 6= 0

Lorsque h tend vers 0 (en restant différent de 0), 12+6h+h2 tend vers 12. Donc f est dérivable en a = 2 et son nombredérivé en 2 est 12. On note alors f ′(2) = 12.

1. ∆ est la lettre grecque correspondant à D



Première S 6.3 Interprétation graphique du nombre dérivé

6.3 Interprétation graphique du nombre dérivé

Définition 6.3 (Tangente à une courbe). On appelle tangente à une courbe C en un point M , appartenant à C , unedroite passant par M et qui, si elle existe, est aux alentours de M , la droite la plus proche de C .

Soit C la courbe représentative de la fonction f et A(a; f (a)) et B(a +h; f (a +h)), deux points de cette courbe.

La quantité f (a+h)− f (a)h est le coefficient directeur de la droite (AB), sécante à la courbe.

Lorsque h tend vers 0, la sécante (AB) tend vers la tangente à la courbe au point A et le nombre f (a+h)− f (a)h tend vers le

coefficient directeur de la tangente en A.On a donc la propriété suivante, qu’on admettra :

Propriété 6.1. Soit f une fonction dérivable en a et C la courbe représentative de f .Le nombre dérivé f ′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse a.

Le schéma 6.1 de la présente page illustre cette propriété.

FIGURE 6.1: Interprétation graphique du nombre dérivé

1

2

3

4

5

6

7

−1 1 2 3 4 5 6−1x

y

Af (a)

a

1

f ′(a)

Remarque. Le point A(a; f (a)) est un point de la courbe et est aussi un point de la tangente ; en particulier, ses coor-données vérifient l’équation de la tangente. Cela nous permet d’obtenir, dans le cas général, l’équation de la tangente.

Propriété 6.2. Soit f une fonction définie et dérivable en a et C sa courbe représentative.Alors C admet en son point d’abscisse a une tangente Ta d’équation

y = f ′(a)(x −a)+ f (a)


6.4 Exercices

6.4.1 Coefficients directeurs (rappels)

EXERCICE 6.1.Déterminer graphiquement les coefficients directeurs m des droites de la figure 6.2 page suivante (on les indiquera surle graphique).

EXERCICE 6.2.Dans le repère de la figure 6.3 page 53, représenter les droites suivantes :• D1 passant par le point A (0; 1) et de coefficient directeur m = 2 ;• D2 passant par le point B (1; 0) et de coefficient directeur m =−1 ;• D3 passant par le point C (−1; −1) et de coefficient directeur m = 1

4 ;• D4 passant par le point D (1; 2) et de coefficient directeur m =− 2

3 ;

• D5 passant par le point E (2; −3) et de coefficient directeur m = 35 ;

• D6 passant par le point A (0; 3) et de coefficient directeur m = 0 ;

David ROBERT 51


FIGURE 6.2: Figures de l’exercice 6.1

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5 O x

y

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5 O x

y




FIGURE 6.3: Figure de l’activité 6.2

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6 7 8 9−1−2−3−4−5 O x

y

6.4.2 Lectures graphiques de nombres dérivés

EXERCICE 6.3.On donne sur la figure 6.4 de la présente page la courbe représentative C de la fonction f en y indiquant les droitestangentes aux points A, B et C .

1. Donner par lecture graphique f (−2) et f (6)

2. Donner par lecture graphique f ′(−2), f ′(6) et f ′(2)

3. Déterminer l’équation de la tangente à C au point d’abscisse −2.


2

4

6

−2

2 4 6 8 10−2−4−6−8−10−12 O

x

y

b

b

b

A

B

C

EXERCICE 6.4.La courbe C de la figure 6.5 page suivante est la représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur R,dans un repère orthogonal.

1. Déterminer graphiquement :

(a) f (0) et f ′(0) ;

(b) f (−1) et f ′(−1) ;

(c) f (2) et f ′(2) ;

(d) L’équation de la tangente T−1 au point d’abscisse −1 ;

(e) L’équation de la tangente T0 au point d’abscisse 0.

2. La droite T tangente à la courbe C au point d’abscisse −2 et d’ordonnée −1 passe par le point A de coordonnées(1; 26)

David ROBERT 53


(a) Déterminer par le calcul une équation de T .

(b) En déduire f ′(−2).


5

10

−5

1 2 3−1−2−3 O

x

y

b

b

b

EXERCICE 6.5.On donne sur la figure 6.6 de la présente page la courbe représentative C d’une fonction définie f sur R ainsi que lestangentes à cette courbe en certains points.


O ~ı

~b

b

b

1. Donner par lecture graphique f (3), f (−2) et f (−9).

2. Donner par lecture graphique f ′(3), f ′(−2) et f ′(−9).

3. Déterminer l’équation réduite de T , la tangente à C au point d’abscisse 3.

6.4.3 Tracés

EXERCICE 6.6.Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l’intervalle [−3; 3] dont la courbe est symétrique parrapport à l’axe des ordonnées et ayant les propriétés suivantes :

• f est décroissante sur [−3; 0] ; • f (0) =−2 et f ′(0) = 0 ; • f (3) = 9.

EXERCICE 6.7.Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l’intervalle [0; 9] ayant les popriétés suivantes :

• f (0) = 0 ;• f (1) = 3 et f ′(1) = 2 ;

• f (3) = 6 et f ′(3) = 1 ;• f (5) = 7 et f ′(5) = 0 ;

• f (6) = 6 et f ′(6) =−4.




EXERCICE 6.8.Tracer une courbe C représentant une fonction f définie sur l’intervalle [0; 5] ayant les popriétés suivantes :

• f (0) = 1 ;• f est décroissante sur l’intervalle [0; 2] ;• f admet en 2 un minimum égal à −3 ;

• f (3) =−1 et f (5) =−1 ;• f ′(2) = 0, f ′(3) = 1 et f ′(5) =−1 ;• pour tout x ∈ [2;5], f (x) < 0.

6.4.4 Calculs de nombres dérivés

EXERCICE 6.9.Dans chacun des cas suivants, on admettra que la fonction est dérivable et on déterminera par le calcul son nombredérivé.

1. f (x) = 3x +7 en −2.

2. f (x) = x2 −2x en 3.

3. f (x) = x2 +2x −1 en −1.

4. f (x) = 2x2 − x +1 en 4.

5. f (x) = x3 +2x −1 en 1.

6. f (x) = 1x en 1.

7. f (x) =p

x en 2.

EXERCICE 6.10.Soit f la fonction définie sur R par f (x) =−x2 +2x +3. On appelle C sa courbe représentative.

1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec les axes de coordonnées.

2. Déterminer les nombres dérivés de f là où C coupe les axes.

3. Déterminer f ′(1).

4. Tracer dans un repère les tangentes à la courbe qu’on peut déduire des questions précédentes.

5. Tracer C dans ce même repère.

David ROBERT 55

Chapitre 7

Statistiques


7.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.1.2 Mesures centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.1.3 Mesures de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2 Un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2.2 Résolution du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


7.3.1 Médiane et quartiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3.2 Moyenne arithmétique, variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.3.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

57

7.1 Rappels de Seconde Première S


7.1.1 Vocabulaire

Définition 7.1. Une série statistique est un ensemble d’observations collectées et on a les définitions suivantes :• Population : C’est l’ensemble sur lequel porte une étude statistique ;• Individu : C’est un élément de la population ;• Caractère : C’est ce qu’on observe chez l’individu ;• Modalité : Ce sont les différentes valeurs prises par le caractère ;• La série statistique est dite quantitative quand les modalités sont des nombres et qualitative sinon ;• Dans le cas d’une série quantitative, celle-ci est dite discrète si les modalités sont limitées à un ensemble fini de

valeurs et continue si les modalités peuvent prendre n’importe quelle valeur dans un intervalle.

Exemples. • On peut s’intéresser à une classe (population), comportant des élèves (individus) et observer leur nombrede frères et sœurs (caractère) qui peuvent être 0, 1, 2, . . . (modalités), ces données formant alors une série statistiquequantitative discrète.

• On peut s’intéresser à une chaîne d’usine produisant des bras de suspension pour voiture (population), et observersur chaque pièce (individu) ses dimensions exactes (caractère) qui peuvent varier entre 500 et 750 mm (modalités),ces données formant alors une série statistique quantitative continue.

• On peut s’intéresser à la population française (population dont on prendra un échantillon) comportant des individus(individus) et estimer leur intention de vote (caractère) pouvant être n’importe lequel des candidats se présentant(modalités), ces données formant alors une série statistique qualitative.

Définition 7.2. On a aussi :• Effectif d’une valeur : C’est le nombre de fois que la valeur d’un caractère (la modalité) revient dans la série ;• Fréquence d’une valeur : C’est l’effectif de la modalité divisé par l’effectif total ; elle est comprise entre 0 et 1.• Classes de valeurs : s’il y a trop de valeurs différentes, elles sont rangées par classe (intervalle), l’effectif de la classe

étant alors le nombre de modalités appartenant à cet intervalle.

7.1.2 Mesures centrales

Elles visent à résumer la série par une seule valeur qu’on espère représentative de toutes les valeurs de la série.En Seconde vous en avez vu trois : le mode, la moyenne, la médiane.

Mode

Définition 7.3 (Mode). Le mode d’une série statistique est la donnée la plus fréquente de la série.

Remarques. • S’il y a plusieurs données arrivant à égalité, il y a plusieurs modes.• Si les données sont rangées en classe, on parle de classe modale.• Le mode est défini aussi bien pour les séries quantitatives que qualitatives.

Moyenne arithmétique

Définition 7.4 (Moyenne arithmétique). La moyenne arithmétique d’une série statistique quantitative S =x1, x2, . . . , xn est le nombre, souvent noté x :

x =x1 + x2 + . . .+ xn

n

Remarques. • La somme de toutes les valeurs de la série est inchangée si on remplace chaque valeur par x.• On note parfois x1 + x2 + . . .+ xn =∑n

i=1 xi

• Si la série S comporte n données selon p modalités x1, x2, . . . , xp d’effectifs respectifs (ou de fréquences respectives)

n1, n2, . . . , np , alors x = n1x1+n2x2+...+np xp

n1 +n2 + . . .+np︸︷︷︸effectif total

La moyenne a des avantages calculatoires : si l’on connaît les moyennes et les effectifs de deux séries (ou deux sous-séries), on peut obtenir la moyenne de la série constituée l’agrégation de ces deux séries. Elle a le défaut d’être trèssensible aux valeurs extrêmes.



Première S 7.2 Un problème

Médiane

On appelle médiane d’une série statistique quantitative tout nombre m tel que :• la moitié au moins des valeurs de la série est inférieure à m• la moitié au moins des valeurs de la série est supérieure à mDans le cas d’un nombre de données pair, plusieurs nombres peuvent convenir comme médiane. Au Lycée, on convientalors de la définition suivante :

Définition 7.5 (Médiane). Soit une série statistique quantitative comportant n données : S = x1, x2, . . . , xi , . . . , xn telles que x1 6 x2 6 . . . 6 xn .

• Si n est impair, le n+12

ièmeélément de la série est la médiane : m = x n+1

2

• Si n est pair, tout nombre compris entre le n2

ième et le(n

2 +1)ième élément de la série est une médiane. On prendra

alors comme médiane le nombre m =x n

2+x( n

2 +1)2

La médiane a l’avantage de ne pas être influencée par les valeurs extrêmes. Elle n’a aucun avantage pratique dans lescalculs, puisque pour connaître la médiane d’une série constituée de l’agrégation de deux séries, il faut nécessairementre-ordonner la nouvelle série pour trouver sa médiane, qui n’aura pas de lien avec les deux médianes des deux sériesinitiales.

7.1.3 Mesures de dispersion

Les valeurs extrêmes et l’étendue ont été vues en Seconde. Ce sont des mesures de dispersion :

Définition 7.6. Les valeurs extrêmes d’une série sont ses valeurs minimale et maximale et l’étendue est la différenceentre les valeurs extrêmes de la série.

Un des objectifs de la première est de les compléter par d’autres mesures plus fines.

7.2 Un problème

Le couple moyenne-médiane fournit de bonnes informations sur une série dans certains cas :• Si la moyenne est supérieure à la médiane, on peut conjecturer que les données supérieures à la médiane sont

éloignées de celle-ci ou que les données inférieures à la médiane sont proches de celle-ci (le mode peut alors in-diquer laquelle de ces deux possibilités est la plus probable) ; si la moyenne est très supérieure à la médiane on peutconjecturer que les deux facteurs jouent.

• Si la moyenne est inférieure à la médiane, on peut conjecturer que les données supérieures à la médiane sont prochesde celle-ci ou que les données inférieures à la médiane sont éloignées de celle-ci (le mode peut alors indiquer laquellede ces deux possibilités est la plus probable) ; si la moyenne est très inférieure à la médiane on peut conjecturer queles deux facteurs jouent.

Dans ces cas là, avec seulement 2 nombres (médiane et moyenne), on peut avoir un bon résumé de la série.Par contre si moyenne et médiane sont proches, la seule chose qu’on peut dire c’est les données inférieures et supérieuresà la médiane se compensent pour la moyenne. Soit pas grand chose.On va voir dans le problème qui suit qu’il nous faut d’autres outils pour faire résumer une série.

7.2.1 Le problème

Soit S1, S2 et S3 les trois séries de notes suivantes :

S1 2; 2; 4; 4; 6; 10; 14; 16; 16; 18; 18S2 2; 8; 9; 10; 10; 10; 11; 12; 18S3 2; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 14; 15; 15; 15; 15; 18

1. Pour chacune de ces séries, déterminer les valeurs extrêmes, la moyenne et la médiane.Que constate-t-on ?

2. Ces trois séries ont-elles la même allure ?Inventer des mesures permettant de témoigner des différences entre elles.

David ROBERT 59

7.2 Un problème Première S

7.2.2 Résolution du problème

Les trois séries proposées ont les mêmes valeurs extrêmes, la même moyenne et la même médiane, cependant on peutobserver qu’elles n’ont pas la même allure.Dans S1, deux blocs de notes extrêmes de part et d’autre des valeurs centrales et se compensent pour la moyenne.Dans S2, hormis les valeurs extrêmes, toutes les notes sont regroupées autour des valeurs centrales.Dans S3, deux gros blocs sont situés de part et d’autre des valeurs centrales, l’un autour de 5, l’autre autour de 15, et secompensent pour la moyenne et un petit bloc est centré sur 10.Il s’agît donc d’inventer des mesures témoignant de la dispersion globale des données autour des valeurs centrales. Cenouvel indicateur devra indiquer un écart important pour S1, un écart réduit pour S2 et un écart moyen pour S3.

Première approche

Une autre façon de mesurer la dispersion d’une série est d’examiner comment sont réparties les plus petites valeursd’une part, et les plus grandes valeurs d’autre part. Or on connait la valeur qui les sépare : c’est la médiane.On s’intéresse alors, pour chaque série, aux deux sous-séries que constituent les données inférieures à la médiane et lesdonnées supérieures à la médiane.

Moyenne On peut en faire les moyennes qu’on peut appeler moyenne inférieure(x−)

et moyenne supérieure(x+

).

On obtient alors :

S1 x− ≈ 4,7; x+ ≈ 15,3

S2 x− = 7,8; x+ = 12,2

S3 x− = 6; x+ = 14

Ces indicateurs fournissent une bonne mesure de la dispersion de chacune des séries autour de la médiane.

Médiane On peut en faire les médianes qu’on peut appeler médiane inférieure (m−) et médiane supérieure(m+)

.

On obtient alors :

S1 m− = 4; m+ = 16S2 m− = 9; m+ = 11S3 m− = 5; m+ = 5

Ces indicateurs fournissent là encore une bonne mesure de la dispersion de chacune des séries autour de lamédiane.

On notera que au moins 25% des données de la série sont comprises entre la valeur minimale et m−, 25% entrem− et m, 25% entre m et m+ et enfin 25% entre m+ et la valeur maximale.

Ces trois nombres partagent donc la série en quarts et sont appelés quartiles. m− est le premier quartile, noté Q1,m est le deuxième quartile, noté m, et m+ le troisième quartile, noté Q3.

C’est cette seconde mesure de dispersion qui a été retenue par les statisticiens.

Une seconde approche

Une façon de procéder est de mesurer l’écart de chaque donnée avec les valeurs centrales que sont la médiane et lamoyenne en faisant la différence entre chaque donnée et ces valeurs centrales.Ainsi on obtient :

S1 −8; −8; −6; −6; −4; 0; +4; +6; +6; +8; +8S2 −8; −2; −1; 0; 0; 0; +1; +2; +8S3 −8; −5; −5; −5; −5; −4; −4; −3; −1; 0; +1; +3; +4; +4; +5; +5; +5; +5; +8

Le problème est que la somme de ces écarts est nulle (ou proche de 0 dans des cas moins particuliers que ces séries) !

Valeur absolue Une première solution est de prendre la valeur absolue de chacun de ces écarts.Cet indicateur donne 64 pour S1, 22 pour S2 et 80 pour S3 et témoigne que S2 est moins dispersée que les autres,par contre il fournit une mauvaise indication pour S1 et S3. Cela est dû au fait que si les données de S1 sont plusdispersées que celles de S3, il y en a moins, donc cet indicateur est faussé par les effectifs.Pour contourner ce problème, il suffit de passer à la moyenne de ces valeurs absolues. Ainsi la moyenne des écartsaux valeurs centrales est 64

11 ≈ 5,8 pour S1, 229 ≈ 2,4 pour S2 et 80

19 ≈ 4,2 pour S3.On obtient ainsi une bonne mesure de la dispersion.On admettra que pour cette mesure de dispersion c’est la médiane qui fournit la valeur la plus centrale.



Première S 7.3 Bilan et compléments

Carré Une seconde solution est de prendre les carrés de chacun de ces écarts et d’en faire la moyenne pour compenserles différences d’effectifs comme précédemment.

On obtient (−8)2+(−8)2+(−6)2+...+82

11 ≈ 39,3 pour S1, 15,3 pour S2 et 21,7 pour S3.On obtient là encore ainsi une bonne mesure de la dispersion.On démontre que pour cette mesure de dispersion, c’est la moyenne qui fournit la valeur la plus centrale.C’est cette seconde mesure de dispersion qui a été choisie par les statisticiens. Elle est nommée variance de lasérie.Dépendant des carrés des écarts à la moyenne, son unité peut parfois poser problème. Ainsi, si les données sonten mètre, la variance est en mètre carré. Par ailleurs, avec la mesure en valeur absolue, on obtenait des écarts à lamédiane parlants (« les écarts à la médiane de S1 sont en moyenne de 5,8 » est plus parlant que « la variance deS1 est 39,3 »).Pour toutes ces raisons, et d’autres encore, c’est la racine carrée de la variance qu’on fournit comme résumé et onappelle cette mesure de dispersion l’écart-type de la série.Ainsi les écarts-types des séries S1, S2 et S3 sont, respectivement, 6,3, 3,9 et 4,7.Même si cela n’est pas tout à fait exact, on peut penser l’écart-type comme étant l’écart moyen à la moyenne detoutes les données de la série.


7.3.1 Médiane et quartiles

• On appelle premier quartile, noté Q1, tout réel tel que :· au moins 25% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q1 ;· au moins 75% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q1.

• On appelle deuxième quartile, noté Q2, tout réel tel que :· au moins 50% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q2 ;· au moins 50% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q2.Le deuxième quartile est donc la médiane.

• On appelle troisième quartile, noté Q3, tout réel tel que :· au moins 75% des valeurs de la série ont une valeur inférieure ou égale à Q3 ;· au moins 25% des valeurs de la série ont une valeur supérieure ou égale à Q3.

Comme pour la médiane, selon les valeurs de n, plusieurs nombres peuvent parfois convenir comme quartiles. AuLycée, on convient alors de la défintion suivante :

Définition 7.7 (Quartiles). Soit S une série statisque quantitative.• On appelle premier quartile, noté Q1, la première donnée de la série telle que au moins 25 % des valeurs de la série

ont une valeur inférieure ou égale à Q1.• On appelle troisième quartile, noté Q3, la première donnée de la série telle que au moins 75 % des valeurs de la

série ont une valeur inférieure ou égale à Q3.

On prend donc comme quartiles les termes de rang 14 n et 3

4 n arrondis à l’unité supérieure.

Exemple 7.1. S’il y a n = 29 données dans la série, rangées dans l’ordre croissant :• 1

4 ×29 = 7,25 ≈ 8 donc la huitième donnée de la série convient comme premier quartile ;

• 34 ×29 = 21,75 ≈ 22 donc la vingt-deuxième donnée de la série convient comme troisième quartile.

Définition 7.8. Soit une série statistique quantitative comportant n données : S = x1, x2, . . . , xi , . . . , xn telles quex1 6 x2 6 . . . 6 xn . On appelle• écart interquartile la différence Q3 −Q1 ;• intervalle interquartile l’intervalle [Q1 ; Q3].

Remarque. Toutes ces mesures statistiques sont dans la même unité que les valeurs de la série.

7.3.2 Moyenne arithmétique, variance et écart-type

Définition 7.9. Soit S une série statistique quantitative comportant n données : S = x1, x2, . . . , xi , . . . , xn .On appelle :

• moyenne arithmétique de S, notée x, le nombre x =∑n

i=1 xi

n = x1+x2+...+xnn .

• variance de S, notée V , le nombre V =∑n

i=1(x−xi )2

n = (x−x1)2+...+(x−xn)2

n

• écart-type de S, noté s, le nombre s =p

V .

David ROBERT 61


Les formules de la définition sont équivalentes aux suivantes :

Propriété 7.1. Soit S une série statistique quantitative comportant n données selon p modalités x1, x2, . . . , xp d’effectifsrespectifs (ou de fréquences respectives) n1, n2, . . . , np , alors :

x =∑p

i=1 ni xi∑p

i=1 ni=

n1x1 +n2x2 + . . .+np xp

n1 +n2 + . . .+npV =

∑pi=1 ni

(x − xi

)2

n1 +n2 + . . .+np

Preuve. Dans le cas des effectifs La valeur xi ayant pour effectif ni , pour chaque valeur on a : xi + xi + . . .+ xi︸︷︷︸ni

= ni xi et

la somme de toutes les valeurs est bien égale à la somme des ni xi .

On a aussi n1 +n2 + . . .+np = n. On a donc∑p

i=1 ni xi∑pi=1 ni

= x.

Dans le cas des fréquences Si ni est l’effectif de xi alors x =∑p

i=1 ni xi

n = ∑pi=1

nin xi =

∑pi=1 fi xi où fi est la fréquence de

xi .

Par ailleurs la somme des fréquences,∑p

i=1 fi est égale à 1 donc x =∑pi=1 fi xi =

∑pi=1 fi xi

1 =∑p

i=1 fi xi∑pi=1 fi

.

La formule est donc valable avec les fréquences.On démontre de même que la seconde formule donne bien la variance. ♦

Rappelons ce que nous avons vu dans le problème d’introduction.La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Elle mesure donc la dispersion des valeurs autour de lamoyenne. Elle n’est pas très parlante car elle s’exprime dans le carré de l’unité du caractère.L’écart-type a l’avantage de s’exprimer dans la même unité que le caractère.L’écart-type permet de comparer la dispersion de deux séries, quand l’ordre de grandeur des données des deux sériesest le même. Contrairement à l’écart interquartile, il tient compte de l’ensemble de la population.On dispose d’une formule plus pratique pour calculer la variance :

Théorème 7.2. Soit S une série statistique quantitative comportant n données selon p modalités x1, x2, . . . , xp d’effectifsrespectifs (ou de fréquences respectives) n1, n2, . . . , np , alors :

V =∑p

i=1 ni x2i∑p

i=1 ni− x2

Preuve. On a :

V =∑

i ni(x − xi

)2

n= 1

n

∑

ini

(x2 −2xxi + x2

i

)

= 1

n

[n1

(x2 −2xx1 + x2

1

)+ . . .+np

(x2 −2xxp + x2

p

)]

=1

n

[(n1 + . . .+np )x2 −2x(n1x1 + . . .+np xp ) +n1x2

1 + . . .+np x2p

]

Or n1 + . . . + np = n car c’est la somme des effectifs de chaque valeur et n1x1 + . . . + np xp = nx par définition de lamoyenne. On a donc :

V =1

n

[nx2 −2x(nx)+n1x2

1 + . . .+np x2p

]=

1

n

[nx2 −2nx2 +n1x2

1 + . . .+np x2p

]

= 1

n

[−nx2 +n1x2

1 + . . .+np x2p

]=−x2 + 1

n

(n1x2

1 + . . .+np x2p

)

=−x2 + 1

n

∑

ini x2

i

On démontre la formule avec les fréquences de la même manière que dans la démonstration de la propriété 6. ♦




7.3.3 Représentations graphiques

Diagramme à bâtons, histogramme

Si les données sont regroupées en classes (intervalles), la série peut-être représentée par un histogramme où chaquerectangle a son aire proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) de la classe.Ainsi si on considère la série :

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20ni 3 5 6 5 6 7 7 10 13 20 25 21 23 12 10 5 7 5 3 2 1

Et la même regroupée en classe :

xi [0; 5,5] ]5,5; 8,5] ]8,5; 11,5] ]11,5; 14,5] ]14,5; 20]ni 30 30 66 45 23

On obtient les diagrammes en bâtons (figure 7.1, de la présente page) et histogramme (figure 7.2, page suivante).

FIGURE 7.1: Diagramme en bâtons

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Diagramme en boite

On peut représenter graphiquement les valeurs extrêmes, les quartiles et la médiane par un diagramme en boite, appeléaussi boite à moustaches, conçues de la manière suivante :• au centre une boite allant du premier au troisième quartile, séparée en deux par la médiane ;• de chaque côté une moustache allant du minimum au premier quartile pour l’une, et du troisième quartile au maxi-

mum pour l’autre.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

min maxQ1 m Q3

min maxQ1 m Q3

Ces diagrammes permettent une interprétation visuelle et rapide de la dispersion des séries statistiques. Ils permettentégalement d’apprécier des différences entre des séries (lorsqu’elles ont des ordres de grandeurs comparables).

Remarques. • La hauteur des boites est arbitraire (on les fait parfois proportionnelles à l’effectif total de la série).• La boite contient les 50% des données centrales.

David ROBERT 63


FIGURE 7.2: Histogramme

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

xi [0; 5,5] ]5,5; 8,5] ]8,5; 11,5] ]11,5; 14,5] ]14,5; 20]ni 30 30 66 45 23

Aire = ni 30 30 66 45 23Largeur = amplitude

de la classe5,5 3 3 3 5,5

Hauteur = Aire

Largeur5,45 10 22 15 4,18

7.4 Exercices

EXERCICE 7.1.On a relevé le prix de vente d’un CD et le nombre de CD vendus chez différents fournisseurs. Les résultats forment unesérie statistique à une variable donnée par le tableau ci-dessous.

Prix de vente (en () 15 16 17 18 19Nombre de CD vendus 83 48 32 20 17

1. Quelles sont les différentes valeurs de la série.

2. Donner la fréquence correspondant à chacune de ces valeurs.

3. Donner la moyenne et l’écart-type de la série. Que représentent ces nombres ?

4. Représenter la série par un diagramme à bâtons.

EXERCICE 7.2.Dans une classe de 30 élèves, la moyenne des 20 filles est 11,5 et la moyenne des 10 garçons est 8,5. Donner la moyennede classe.

EXERCICE 7.3.On donne la série suivante : 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 17.

1. Représenter le diagramme en boîte correspondant.

2. Quel est l’écart interquartile de la série ?

3. Quel est l’intervalle interquartile de la série ?

EXERCICE 7.4.Le tableau ci-dessous donne une répartition des salaires mensuels en euros des employés dans une entreprise.

Salaire [1000; 1200[ [1200; 1500[ [1500; 2000[ [2000; 3000[ [3000; 10000[Effectif 326 112 35 8 3

1. Quel est le nombre d’employés de l’entreprise ?

2. Quel est le nombre d’employés touchant un salaire mensuel supérieur ou égal à 1 200 ( ?

3. Représenter les données par un histogramme.

4. Quel est le salaire moyen des employés de l’entreprise ?




EXERCICE 7.5.Un entomologiste a fait des relevés sur la taille de 50 courtilières adultes.33, 35, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43,43, 43, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 46, 46, 47, 47, 48, 48, 50.

1. Organiser les relevés dans le tableau d’effectifs suivant :Valeur 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50EffectifEffectif cumulécroissant

2. Représenter les données par un diagramme à bâtons. Un diagramme circulaire serait-il intéressant ?

3. Calculer la moyenne de la série. Déterminer sa médiane. Déterminer les premier et troisième quartiles.

4. Construire le diagramme en boîte correspondant.

5. On regroupe les données en classes. Compléter le tableau des effectifs suivants :

Valeur [33; 37[ [37; 340[ [40; 42[ [42; 44[ [44; 47[ [47; 51[Effectif

Dessiner l’histogramme correspondant.

EXERCICE 7.6.Huit sprinters effectuent deux 100 m. Leurs temps sont donnés dans le tableau suivant :

Sprinter A B C D E F G HSprint 1 10”14 10” 17 9”94 10” 05 10”25 10” 09 9” 98 10”32Sprint 2 10”41 9”97 9” 96 10” 12 10” 19 10” 24 10”12 10” 17

Soit (xi ) les temps respectifs des sprinters A, B , . . ., H au sprint 1 et (yi ) les temps respectifs des sprinters A, B , . . ., H ausprint 2.

1. Calculer les moyennes x et y des séries (xi ) et (yi ).

2. Calculer les écarts-types sx et sy des séries (xi ) et (yi ).

3. Lequel des deux sprints a été le plus homogène ?

EXERCICE 7.7.Le tableau suivant donne les temps de cinq sportifs qui ont couru un 1 500 m et un 5 000 m.

Coureur 1 Coureur 2 Coureur 3 Coureur 4 Coureur 51 500 m 3’58”17 4’05”48 4’12”97 4’08”29 4’00”125 000 m 14’58”12 14’47”08 15’37”85 13’57”70 14’48”34

On veut déterminer quelle est la course la plus homogène.Le problème est que les données de chaque série ne sont pas du même ordre de grandeur. En effet un écart de 30 s, parexemple, sera proportionnellement plus important lors de la première course qu’un écart de 1 min lors de la seconde.Pour palier à cette difficulté on utilise l’écart-type relatif, noté Cv , appelé coefficient de variation définit par Cv = s

x et

un écart interquartile relatif, définit par Q3−Q1m .

1. Utilisation des coefficients de variation

(a) Calculer le temps moyen m, l’écart-type s puis le coefficient de variation Cv = sm pour le 1 500 m. (On pourra

convertir tous les temps en secondes).

(b) Faire de même pour le 5 000 m.

(c) Conclure.

2. Utilisation de l’interquartile relatif

(a) Déterminer la médiane me et les quartiles Q1 et Q3 pour le 1 500 m. En déduire l’interquartile relatif Q3−Q1me

.

(b) Faire de même pour le 5 000 m.

(c) Conclure.

3. Donner une explication à la contradiction entre 1.c) et 2.c).

David ROBERT 65


EXERCICE 7.8.Le tableau suivant donne les effectifs des notes obtenues dans une classe en Mathématiques et en Histoire-Géographie :

Notes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Maths 0 0 0 0 1 0 1 1 3 4 4 1 3 2 2 1 1 0 0 0 0H.-G. 0 1 0 0 2 0 1 2 1 1 4 2 2 0 3 2 1 0 1 0 1

Le but de l’exercice est de comparer la dispersion des notes en Maths et en Histoire-Géographie.

1. Utilisation des quartiles

(a) Calculer la médiane et l’écart interquartile en Maths.

(b) Calculer la médiane et l’écart interquartile en Histoire-Géographie.

(c) Représenter les diagrammes en boîte des notes en Maths et en Histoire-Géographie.

(d) Interpréter ces résultats.

2. Utilisation des écarts-types

(a) Calculer la moyenne et l’écart-type en Maths.

(b) Calculer la moyenne et l’écart-type en Histoire-Géographie.

(c) Interpréter ces résultats.

EXERCICE 7.9.Le tableau suivant donne les effectifs des notes obtenues dans une classe en Mathématiques et en Sciences de la vie etde la terre :

Note 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Maths 0 1 0 2 0 1 3 0 5 0 2 1 1 0 0 0 2 1 1 0 2

SVT 0 1 0 0 0 0 0 4 4 1 0 3 1 4 2 0 1 0 0 0 1

1. (a) Déterminer les rangs des quartiles et de la médiane des deux séries puis donner leurs valeurs.

(b) Faire le diagramme en boite des deux séries sur une même échelle puis commenter le diagramme.

2. (a) Déterminer la moyenne des notes de Mathématiques et la comparer à la médiane en expliquant ce qui causecet écart.

(b) Déterminer la moyenne des notes de Sciences de la vie et de la terre. L’écart avec la moyenne est-il le même ?Pourquoi ?

(c) Déterminer les écarts types des deux séries (arrondis au dixième) et commenter vos résultats.



Devoir maison n°5

Statistiques

À rendre pour le vendredi 18 janvier.

Soit S une série statistique quantitative comportant N données : S = x1, x2, . . . , xi , . . . , xN et d(x) la fonction qui à unréel x associe :

d(x) = 1

N

[(x − x1)2 + . . .+ (x − xN )2]

On peut voir d comme la fonction qui à un nombre x associe la moyenne des distances de ce nombre à chacune desvaleurs de la série, la distance entre deux nombres x et y étant définie ici comme (x − y)2.On cherche la valeur centrale associée à cette distance, c’est à dire le nombre x0 tel que d(x0) est le minimum de d ,autrement dit le nombre le plus proche de toutes les valeurs de la série pour cette distance.

1. Cas particulierCette partie nécessite un tableur (Calc de la suite bureautique de LibreOffice, par exemple).Soit S la série constituée des moyennes de classe des élèves d’une Première S en mathématiques au premiertrimestre.S = 17,4; 15,5; 14,5; 11,1; 8,9; 11,5; 15,9; 12,5; 10,4; 13; 14,2; 16; 15,1; 15,6; 12,7; 9,7; 9,7; 15,1;10,5; 9,8; 12,5; 14,5; 13,9; 12,9; 8,4; 12,1; 11,5; 13,4; 13; 11; 13,8; 11; 14,6; 13,3; 11,6

(a) On commence avec x = 10. Entrer la valeur de x dans la première case du tableur (A1).

(b) Entrer la série S dans la deuxième colonne qu’on nommera xi (de B2 à B...).

(c) Indiquer au tableur dans troisième colonne, qu’on nommera (xi − x)2, le calcul à effectuer pour obtenir ladistance du premier nombre de la série à x présent dans la case A1.

(d) Copier coller ce calcul afin d’avoir dans la troisième colonne, les distances de chacun des nombres de lasérie à x.

(e) En bas de cette colonne, indiquer au tableur le calcul à effectuer pour obtenir d(x), la moyenne de cesdistances.Vérifier que d(10) ≈ 12,45.

(f) Recopier sur sa copie et compléter le tableau suivant (les valeurs seront arrondies au centième) :

x −5 0 5 10 15 20 25d(x)

(g) En tatonnant, déterminer la valeur de x, au dixième près, telle que d(x) est minimun.Fournir le fichier avec sa copie.

2. Cas général

(a) Montrer que

d(x) = x2 −2x( x1 + . . .+ xN

N

)+

x21 + . . .+ x2

N

N

(b) En déduire que d(x) admet un minimum.

(c) Montrer que ce minimum est atteint en x0 = x, où x est la moyenne des valeurs de la série.Le vérifier dans le cas particulier du 1.

(d) Montrer que le minimum de d(x) est égal à V , la variance de la série.Le vérifier dans le cas particulier du 1.

(e) Conclure.

Remarque. On admettra que, lorsque la distance entre deux nombres x et y est définie par |x − y |, le minimum de lafonction qui à x associe la moyenne des distances de x à chacune des valeurs de la série est atteint en x0 = m où m estla médiane de la série.

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Nom : Lundi 21 janvier 2013 – 2h00


Nombre dérivé – Statistiques

EXERCICE 5.1 (3,5 points).On donne sur la figure ci-contre la courbe représentativeC de la fonction f avec ses tangentes aux points A (−1; 1)et B (0; 4).

1. Donner par lecture graphique, sans justifier, f (−1)et f (0).

2. Donner par lecture graphique, en justifiant, f ′(−1)et f ′(0).

3. On donne : f ′(2) = 4.

(a) Déterminer l’équation de la tangente à C aupoint d’abscisse 2.

(b) Tracer cette tangente sur la figure.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

1 2−1−2−3 O

x

y

b

b

A

B

EXERCICE 5.2 (6 points).Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 + x −2. On appelle C sa courbe représentative.

1. (a) Déterminer, par le calcul, les coordonnées de A, point d’intersection de C avec l’axe des ordonnées.

(b) Déterminer, par le calcul, le coefficient directeur de la tangente à C en A.

2. Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.

3. Déterminer, par le calcul, f ′(1) et une équation réduite de la tangente à C au point d’abscisse 1.

4. (a) Placer en rouge tous les points qu’on peut déduire des questions précédentes dans le repère ci-dessous.

(b) Tracer en vert toutes les tangentes qu’on peut déduire des questions précédentes dans le même repère.

(c) Tracer C dans le même repère.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3−1−2−3−4−5 O

x

y

Nom : Lundi 21 janvier 2013 – 2h00

EXERCICE 5.3 (3,5 points).Les données suivantes sont les notes des élèves d’une classe de Première S au premier trimestre en mathématiques,regroupées en classes :

Notes [0 ; 5[ [5 ; 8[ [8 ; 10[ [10 ; 12[ [12 ; 15[ [15 ; 20]Effectifs 0 1 4 8 15 7

1. Construire un histogramme représentant cette série.On indiquera, éventuellement sous forme de tableau, la méthode utilisée.

2. Évaluer la note moyenne de la classe.

EXERCICE 5.4 (7 points).On étudie dans cet exercice la série formée par les résultats (arrondis au point supérieur) obtenus par une classe A à uncontrôle, qui sont donnés dans le tableau suivant :

Notes xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Effectifs ni 0 0 0 0 0 2 2 2 0 1 1 3 1 4 4 2 2 1 0 0 0

1. (a) Calculer x la note moyenne de cette classe.

(b) Déterminer m, la note médiane de cette classe.

(c) Comment expliquer la différence entre ces deux résultats ?

2. (a) Déterminer la variance puis l’écart-type de cette série, arrondi au dixième.On détaillera un minimum le calcul de la variance (l’utilisation des pointillés pour résumer les calculs estautorisée).

(b) Sur le même contrôle, une autre classe, la classe B, avait une note moyenne de 12,75 et un écart-type d’env-iron 2,20.Sur la base de ces indicateurs statistiques, comparer les résultats des deux classes.

3. (a) Déterminer Q1 et Q3, les premiers et troisième quartiles de la série statistique.

(b) Sur la figure ci-dessous, on a représenté le diagramme en boite de la classe B.

i. Représenter le diagramme en boite de la classe A sur la même figure.

ii. Sur la base de ces deux diagrammes, comparer les résultats des deux classes.

4. Que peut-on dire des conclusions des questions 2b et 3(b)ii ?

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 172

Classe A

Classe B

Chapitre 8

Dérivation

Sommaire8.1 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.1.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.1.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.2.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


8.3 Applications de la fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.3.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.4.1 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.4.2 Lectures graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.4.3 Études de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.4.4 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.1 Fonction dérivée

8.1.1 Activités

ACTIVITÉ 8.1 (Plusieurs nombres dérivés).Soit f la fonction définie sur R par f (x) =−x2 +4.

1. Déterminer les valeurs des nombres dérivés en a dans les cas suivants :

• a = 0 ; • a = 1 ; • a = 2.

2. Cas général : déterminer, en fonction de a, la valeur du nombre dérivé.

On obtient ainsi une fonction, qui dépend de f , qui à tout réel x associe le nombre dérivé de f en x. Une telle fonctionest appelée fonction dérivée de f et est notée f ′. Ainsi, pour f (x) =−x2 +4, f ′(x) = . . . . . ., pour tout x ∈R.

ACTIVITÉ 8.2 (Fonctions dérivées de quelques fonctions usuelles).Déterminer les fonctions dérivées des fonctions usuelles suivantes :

• f (x) = k ; • f (x) = mx +p ; • f (x) = x2 ; • f (x) = x3.

8.1.2 Bilan et compléments

Définition 8.1. On dit qu’une fonction f est dérivable sur un ensemble I lorsqu’elle est dérivable en tout nombre decet ensemble et on note f ′ la fonction qui a tout nombre x de cet ensemble associe le nombre dérivé de f en x. Cettefonction s’appelle la fonction dérivée de f .

On admettra 1 que les fonctions usuelles ont les fonctions dérivées suivantes :

1. Certaines démonstrations ont été faites en activité ou seront faites en exercice

71

8.2 Opérations sur les fonctions Première S

Propriété 8.1. Les fonctions dérivées des fonctions usuelles sont données par le tableau suivant :

Fonction f définie sur Fonction dérivée f ′ définie sur

f (x) = k (constante) R f ′(x) = 0 R

f (x) = mx +p R f ′(x) = m R

f (x) = xn avec n ∈N∗ R f ′(x) = nxn−1R

f (x) = 1

xnavec n ∈N∗ R∗ f ′(x) =− n

xn+1R∗

f (x) =p

x R+ = [0;+∞[ f ′(x) = 1

2p

xR+∗ =]0;+∞[

Remarque. Si l’on remarque que f (x) = 1xn = x−n et que f ′(x) =− n

xn+1 =−nx−n−1, on a alors :

f (x) = xn pour n ∈Z∗ a pour fonction dérivée f ′(x) = nxn−1.Ainsi, pour obtenir la fonction dérivée de f (x) = 1

x2 = x−2, on peut appliquer l’une ou l’autre formule :

f ′(x) =−n

xn+1=−

2

x2+1=−

2

x3ou f ′(x) = nxn−1 =−2x−2−1 =−2x−3 =−

2

x3

8.2 Opérations sur les fonctions

8.2.1 Activités

ACTIVITÉ 8.3 (Produit d’une fonction par une constante).

On pose f (x) = x2, g (x) = 3 f (x) = 3x3 et h(x) = f (x)4 = x2

4 , toutes trois définies sur R.

1. Déterminer la fonction dérivée de chacune de ces fonctions.

2. Que constate-t-on ?

ACTIVITÉ 8.4 (Fonction dérivée d’une somme de fonctions et d’un produit de fonctions).Soient u, v et f trois fonctions définies sur R par u(x) = x3, v(x)=−2x2 et f (x) = u(x)+ v(x).

1. (a) Déterminer f ′(x), u′(x) et v ′(x).

(b) Que constate-t-on ?

2. (a) Montrer que f (x) = g (x)×h(x) où g et h sont deux fonctions non constantes à déterminer.

(b) Déterminer g ′(x) et h′(x).

(c) A-t-on f ′(x) = g ′(x)×h′(x) ?


Plus généralement, on a :

Propriété 8.2. Soient u et v définies et dérivables sur un même intervalle I .

Fonction Fonction dérivée Exemple

ku avec k ∈R ku′ Si f (x) = 4x3 alors f ′(x) = 4×(3x2

)= 12x2

u+ v u′+ v ′ Si f (x) = x + 1x alors f ′(x) = 1− 1

x2

u× v u′v +uv ′ Si f (x) = xp

x alors f ′(x) = 1×p

x+x× 12p

x=p

x+ 12

px = 3

2

px

avec x 6= 0

1

uavec u(x) 6= 0 − u′

u2Si f (x) = 1

3x2+2x+1alors f ′(x) =− 6x+2

(3x2+2x+1)2

u

vavec v(x) 6= 0

u′v −uv ′

v2Si f (x) = 2x−1

3x+2 alors f ′(x) = (2)(3x+2)−(2x−1)(3)(3x+2)2 = 7

(3x+2)2

Remarque. Seules les deux premières formules sont intuitives, les autres sont à apprendre par coeur.En particulier, comme on l’a vu en activité, la dérivée d’un produit (ou d’un quotient) n’est pas égale au produit (ou auquotient) des dérivées.

Preuve. • Montrons que (ku)′ = ku′

ku(a +h)−ku(a)

h= k[u(a +h)−u(a)]

h= k

u(a +h)−u(a)

h

Donc, lorsque h tend vers 0,ku(a +h)−ku(a)

htend vers la même chose que k

u(a +h)−u(a)

h, c’est-à-dire ku′(a)



Première S 8.3 Applications de la fonction dérivée

• Montrons que (u+ v)′ = u′+ v ′

(u+ v)(a +h)− (u+ v)(a)

h= u(a +h)+ v(a +h)−u(a)− v(a)

h= u(a +h)−u(a)

h+ v(a +h)− v(a)

h

Donc, lorsque h tend vers 0,(u+ v)(a +h)− (u+ v)(a)

htend vers la même chose que

u(a +h)−u(a)

h+ v(a +h)− v(a)

h, c’est-à-dire (u′+ v ′)(a)

• Montrons que

(1

u

)′=− u′

u2

1u(a+h) −

1u(a)

h=

u(a)−u(a+h)u(a+h)u(a)

h=

(u(a)−u(a +h)

h

)1

u(a +h)u(a)

Lorsque que h tend vers 0,u(a)−u(a +h)

htend, par définition, vers −u′(a) et

1

u(a +h)u(a)tend vers

1

u2(a), donc

1u(a+h) −

1u(a)

htend vers − u′(a)

u2(a)• On admettra que (uv)′ = u′v +uv ′

• Montrons que(u

v

)′=

u′v −uv ′

v2

On a vu que (uv)′ = u′v +uv ′, oru

v= u× 1

v, donc

(u

v

)′= u′× 1

v+u×

(− v ′

v2

)= u′v

v2− uv ′

v2= u′v −uv ′

v2

♦

8.3 Applications de la fonction dérivée

8.3.1 Activités

ACTIVITÉ 8.5 (Variations d’une fonction).Reprenons la fonction de l’activité 8.1 page 71 : f (x) =−x2 +4 et rappelons que le nombre dérivé en x est le coefficientdirecteur de la tangente à la courbe au point d’abscisse x.

1. Déterminer, à l’aide d’une calculatrice graphique et par lecture graphique, les variations de f en fonction de x.

2. Comment cela se traduit-il pour les coefficients directeurs des tangentes à la courbe ?

3. En déduire un lien entre les variations de f et la fonction dérivée f ′.

ACTIVITÉ 8.6 (Extremum local).On s’intéresse à la fonction définie sur R par f (x) = x3 −3x

1. Montrer que f ′(x) = 3x2 −3.

2. Etudier le signe de f ′(x) selon les valeurs de x.

3. Dresser le tableau des variations de f , en faisant apparaître une ligne indiquant le signe de f ′.

4. Qu’observe-t-on en −1 et en 1, pour f ? Comment cela se traduit-il pour f ′ ?

On dit que f admet en −1 et en 1 des extremums locaux.


On a vu que la tangente à la courbe au point d’abscisse x est la droite la plus proche de la courbe au voisinage du pointde la courbe d’abscisse x. Il est naturel de penser que lorsque la tangente monte, la courbe monte et que lorsque latangente descend, la courbe descend, et réciproquement ou, plus mathématiquement, que lorsque la fonction affinedont la tangente est la représentation graphique est croissante (respectivement décroissante), f est aussi croissante(respectivement décroissante) et réciproquement. Or la croissance et la décroissance d’une fonction affine dépendentdu signe de son coefficient directeur, ici f ′(x). Ainsi, étudier les variations de f revient donc à étudier le signe de safonction dérivée selon les valeurs de x.On admettra donc le résultat suivant :

Théorème 8.3. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f ′ sa fonction dérivée• f ′(x)> 0 pour tout x ∈ I ⇔ f croissante sur I• f ′(x)6 0 pour tout x ∈ I ⇔ f décroissante sur I• f ′(x) = 0 pour tout x ∈ I ⇔ f constante sur I

David ROBERT 73


On admettra aussi la propriété suivante :

Propriété 8.4. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f ′ sa fonction dérivée Si f ′(x) > 0 pour toutx ∈ I (respectivement f ′(x) < 0), alors f est strictement croissante sur I (resp. strictement décroissante)

Remarque. On notera qu’on n’a pas l’équivalence (⇔) dans ce cas, une fonction pouvant être strictement croissanteavec une dérivée qui s’annule seulement en quelques valeurs. C’est le cas, par exemple, de la fonction cube, dont ladérivée s’annule seulement en 0.

Par ailleurs, lorsque la fonction change de sens de variation en a, on dit qu’elle admet un extremum local en a (mini-mum ou maximum). On a donc :

Propriété 8.5. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant a et f ′ sa fonction dérivée.f ′ s’annule et change de signe en a ⇔ f admet un extremum local en a

On l’admettra.On a un maximum lorsque f ′(x) est positive avant a et négative après, et un minimum lorsque f ′(x) est négative avanta et positive après.

Remarque. Local signifie qu’aux alentours de a ce sera un extremum mais, qu’ailleurs, il se peut que f prenne desvaleurs supérieures ou inférieures à cet extremum comme on a pu le voir dans l’activité 8.6 page précédente.

8.4 Exercices

8.4.1 Technique

EXERCICE 8.1.Montrer que la fonction racine carrée est dérivable en tout nombre appartenant à ]0;+∞[ mais pas en 0

EXERCICE 8.2.Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1. f (x) = 3x4 −2x3 +5x −4

2. f (x) = 4x2 −3x +1

3. f (x) = (2x+3)(3x−7) pour x 6= 73

4. f (x) = 2x+43x−1 pour x 6= 1

3

5. f (x) = x+5x2+1

6. f (x) = x3(1+

px)

7. f (x) = 4x2px

8. f (x) =(x2 − 1

x

)(x +

px)

9. f (x) =p

x(1− 1

x

)

8.4.2 Lectures graphiques

EXERCICE 8.3.La courbe

(C f

)de la figure 8.1 page ci-contre est une partie de la courbe représentative, relativement à un repère

orthogonal, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [−4 ; +∞[.

On donne les renseignements suivants :

• les points A(−3; 0), B (−2; α) où α≈ 7,39 et C (0; 3) sontdes points de la courbe

(C f

);

• l’axe des abscisses est asymptote à la courbe(C f

)en

+∞.• la fonction f est décroissante sur l’intervalle [−2; +∞[ ;• la droite tangente à la courbe

(C f

)en son point C passe

par le point D(2; −1). On note f ′ la fonction dérivée dela fonction f .

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle estvraie ou fausse en justifiant la réponse à l’aide des ren-seignements ci-dessus ou du graphique.

1. f ′(0) =− 12 .

2. Pour tout x élément de l’intervalle [−2; +∞[, on a :f ′(x)6 0.

3. Soit une fonction g telle que g ′ = f sur l’intervalle[−4; +∞[, alors la fonction g est décroissante surl’intervalle [−2; +∞[.

EXERCICE 8.4.On a représenté sur la figure 8.2 page suivante, dans un repère orthonormal, la courbe représentative Γ d’une fonctiong définie et dérivable sur R. La courbe Γ passe par les points O(0; 0) et A(2; 2).La droite (AB) est la tangente en A à la courbeΓ. La tangente àΓ au point C d’abscisse 1 est parallèle à l’axe des abscisses.

1. Déterminer graphiquement les valeurs de g (0), g (2), g ′(1) et g ′(2).

2. Une des représentations graphiques page 76, représente la fonction dérivée g ′ de g . Déterminer laquelle.

3. Une des représentations graphiques page 76, représente une fonction h telle que h′ = f sur R. Déterminer laque-lle.

Vous justifierez vos choix à l’aide d’arguments basés sur l’examen des représentations graphiques.





1

2

3

4

5

6

7

−1

−2

1 2 3 4−1−2−3−4 O ~i

~j

x

y

D

A

B

C

α

(C f

)


1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6−1 O ~i

~j

x

y

A

B

C

David ROBERT 75


FIGURE 8.3: Courbes de l’exercice 8.4

Courbe 1 Courbe 2

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6−1−2 O ~i

~j

x

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1 O ~i

~j

x

y

Courbe 3 Courbe 4

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6−1 O ~i

~j

x

y

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2 3 4 5 6−1−2 O ~i

~j

x

y




EXERCICE 8.5.On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ, dans un repère orthonornal, d’une fonction f définie sur R. Lacourbe Γ passe par les points A(0 ; 2) et C(−2 ; 0) et la droite (AB) est la tangente en A à Γ. La tangente à Γ en son pointD d’abscisse −1 est parallèle à l’axe des abscisses.

1. Déterminer, à l’aide des renseignements fournis parl’énoncé, les valeurs de f (0) et de f ′(0).

2. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée f ′ def et une autre représente une fonction h telle queh′ = f sur R. Déterminer la courbe associée à Iafonction f ′ et celle qui est associée à la fonction h.Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix

1

2

−11 2 3−1−2−3

D

B

A

C

Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

2

4

−2

2−2−4 O

−2

−4

2−2−4 O −2

−4

−6

2−2−4O

EXERCICE 8.6.La courbe C f ci-contre est la représentation graphiqued’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 6].Soit A le point du plan de coordonnées (−1; 0) et B le pointdu plan de coordonnées (1; 5). Le point B appartient à lacourbe C f .La droite (AB) est la tangente à la courbe C f au point B .

1. Déterminer f ′(1), où f ′ est la fonction dérivée de lafonction f sur l’intervalle [0;6].

2. L’une des trois courbes C1, C2, et C3 représentéessur les figures 1, 2 et 3 page suivante représente lafonction f ′. Laquelle ? Justifier votre réponse.

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5 6−1−2 O ~ı

~

x

y

A

BC f

8.4.3 Études de fonctions

EXERCICE 8.7.Soit f (x) = 2x2 +3x +4 définie sur R.

1. Étudier le signe de f ′(x) selon les valeurs de x.

2. En déduire les variations de f .

3. Dresser le tableau des variations de f en y indiquant le signe de la fonction dérivée.

4. Montrer que f admet un extremum.

EXERCICE 8.8.On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = x3 −4x2 +4x

1. Calculer la dérivée f ′ de f . Étudier son signe. Dresser le tableau des variations de f en précisant les éventuelsextremums.

2. Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle [−1;3].

3. Déterminer par le calcul les coordonnées des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.

EXERCICE 8.9.On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = x3 −3x −3 On note C sa représentation graphique.

1. Calculer la dérivée f ′ de f . Étudier son signe. Dresser le tableau des variations de f .

2. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 0.

3. Tracer T , les tangentes parallèles à l’axe des abscisses puis C .

David ROBERT 77


FIGURE 8.4: Courbes de l’exercice 8.6Figure 1

O ~ı

~

x

y

C1

O ~ı

~

x

y

C2

Figure 2

O ~ı

~

x

y

C3

Figure 3

EXERCICE 8.10.On considère la fonction g définie sur R∗ par : g (x) = 1

x + x

1. Déterminer g ′(x) pour x ∈R∗.

2. Étudier le signe de la dérivée g ′.

3. Dresser le tableau des variations de g .

4. Déterminer si g admet des extremums locaux.

5. Tracer la représentation graphique de la fonction g

EXERCICE 8.11.Soit f la fonction définie sur R\1 par : f (x) = 2x+3

x−1 .On note C sa représentation grahique.

1. Calculer la dérivée f ′ de f .

2. Soit A le point d’intersection de C avec l’axe des abscisses. Calculer les coordonnées de A, puis une équation dela tangente TA à la courbe C en A.

3. Soit B le point d’intersection de C avec l’axe des ordonnées. Calculer les coordonnées de B , puis une équation dela tangente TB à la courbe C en B .

4. Tracer dans un même repère TA , TB et C .




EXERCICE 8.12.On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f (x) = x2 −3x et g (x) = x3 −3x.

1. Calculer la dérivée f ′ de f , étudier son signe et dresser le tableau des variations de f .

2. Faire de même pour g .

3. (a) Tracer soigneusement, dans un repère, les courbes C f et Cg représentant les fonctions f et g . (On se limiteraà l’intervalle [−2; 2] et on prendra un pas de 0,5).

(b) À l’aide du graphique, déterminer le nombre de points d’intersection entre C f et Cg et leurs coordonnées.

(c) Retrouver ces résultats par le calcul.

EXERCICE 8.13.On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = x

x2+1

1. Calculer la dérivée f ′ de la fonction f et étudier son signe.

2. Dresser le tableau des variations de f en précisant la valeur M de son maximum et la valeur m de son minimum.

3. Tracer la représentation graphique de f sur l’intervalle [−4;4].

EXERCICE 8.14.On considère les deux fonctions f et g définies sur R par : f (x) = x −1 et g (x) = x2

x−1

1. Calculer la dérivée f ′ de f , étudier son signe et en déduire le tableau des variations de f .

2. Calculer la dérivée g ′ de g , étudier son signe et en déduire le tableau des variations de g .

3. (a) Tracer soigneusement, dans un repère, les courbes C f et Cg représentant les fonctions f et g . (On se limiteraà l’intervalle [−3;5] et on prendra un pas de 0,25).

(b) Á l’aide du graphique, déterminer le nombre de points d’intersections entre C f et Cg et leurs coordonnées.

(c) Retrouver ces résultats par le calcul.

EXERCICE 8.15.On considère les fonctions f et g définies sur R par : f (x) =−2x2 +1 et g (x)= x3 −3x +1.

1. Calculer les dérivées f ′ et g ′. Étudier leur signe.

2. Dresser les tableaux des variations des fonctions f et g .

3. Tracer les représentations graphiques C f et Cg des fonctions f et g . (On se limitera à l’intervalle [−3;3]).

4. (a) Factoriser le polynôme P (x) = x2 +2x −3.

(b) Résoudre par le calcul l’inéquation f (x)6 g (x).

EXERCICE 8.16.Soit f la fonction définie sur R\1 par : f (x) = x2−3x+6

x−1 .On appelle C sa représentation graphique dans un repère

(O;~ı ,~

).

1. Déterminer f ′(x).

2. Étudier le sens de variation de f .

3. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 2.

4. Déterminer les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.

5. Peut-on trouver des points de C où la tangente est parallèle à la droite d’équation y = x ?

6. Déterminer les abscisses des points de C où la tangente a pour coefficient directeur −3.

8.4.4 Problèmes

PROBLÈME 8.1.On considère un rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm.

1. Déterminer ses dimensions (Longueur L et largeur l) sachant que son aire S est égale à 34 cm2

2. On recherche maintenant les dimensions du rectangle de façon que son aire S soit maximale.

(a) Exprimer S en fonction de l

(b) On considère la fonction f définie sur R par f (x) = x(2− x).Calculer la dérivée f ′ et étudier son signe. Dresser le tableau des variations de f . Tracer sa représentationgraphique C sur l’intervalle [0;2].

(c) En déduire les dimensions du rectangle dont le périmètre P est égal à 4 cm et l’aire S est maximale.

David ROBERT 79


PROBLÈME 8.2.Un fermier décide de réaliser un poulailler (de forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce poulailler devraavoir une aire de 392 m2. Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de la clôture soit minimale ?La figure ci-dessous représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance séparant chaquepiquet au mur et y la distace entre les deux piquets A et B . (On a donc x > 0 et y > 0).

1. Sachant que l’aire du poulailler est de 392 m2, exprimer y en fonction de x.

2. Démontrer que la longueur l(x) du grillage est : l(x) = 2x2+392x

3. Calculer la dérivée l ′ de l . en déduire le tableau des variations de l .

4. En déduire les dimensions x et y pour lesquelle la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur.

A By

x x

Mur de la ferme

PROBLÈME 8.3. 1. On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = 2x3 −60x2 +450x

(a) Étudier les variations de f sur l’intervalle [0;20]. Dresser le tableau des variations de f .

(b) Déterminer une équation de la tangente ∆ à la représentation graphique de f au point d’abscisse 0.

(c) Déterminer, par calcul, les coordonnées des points d’intersection de C f avec l’axe des abscisses.

(d) Tracer ∆ et la représentation graphique de f pour x ∈ [0;20].

2. Un fabricant envisage la production de briques de lait en carton obtenues en découpant deux bandes de mêmelargeur dans une feuille carrée (voir la figure de la présente page). Le côté de la feuille carrée mesure 30 cm et ondésigne par x la mesure (en centimètres) de la largeur des bandes découpées. On suppose que 0 < x < 15.

(a) Démontrer que le volume (en cm3) de la boîte est V (x) = 2x3 −60x2 +450x.

(b) Pour quelle valeur de x le volume V (x) est-il maximal ? Préciser la valeur de ce volume maximal en litres.

Découpages et pliages

30

30

xbande découpée

bande découpée x x

x

LaitLait

PROBLÈME 8.4.On dispose d’une feuille de dimensions 21 cm × 29,7 cm avec laquelle on veut fabriquer une boite sans couvercle.Pour cela on découpe aux quatre coins de la feuille un carré de côté x. On obtient le patron de la boite. On se proposed’étudier le volume de la boite en fonction de x.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

2. On appelle V (x) le volume de la boite.

(a) Montrer que V (x) = x(29,7−2x)(21−2x).

(b) Étudier les variations de V .

(c) En déduire la (ou les) valeur(s) de x pour laquelle (lesquelles) le volume de la boite est maximum. On don-nera le(s) résultat(s) au millimètre.




21

29,7

x

PROBLÈME 8.5.Quel doit être le format (hauteur, rayon) d’une boite de conserve cylindrique pour que, pour un volume donné, laquantité de métal pour la concevoir, qu’on supposera proportionnelle à sa surface, soit minimale.

PROBLÈME 8.6.Soit C la représentation graphique d la fonction f définie sur R− 2 par : f (x) = x2+ax+b

x−2 où a,b ∈R.


2. Déterminer a et b tels que la droite d’équation y = 8 soit tangente à C au point d’abscisse 3.

3. Déterminer l’abscisse de l’autre point de C où la tangente est horizontale.

PROBLÈME 8.7.Une parabole P admet, dans un repère

(O;~ı,~

), une équation du type : y = ax2 +bx +c avec a 6= 0.

Déterminer les coefficients a, b et c sachant que P coupe l’axe des abscisses au point A d’abscisse 3, l’axe des ordonnéesau point B d’ordonnées 2 et qu’elle admet en ce point la droite d’équation y = 2x +2 pour tangente.Indiquer l’abscisse du second point d’intersection de P avec l’axe des abscisses.

PROBLÈME 8.8.Une entreprise fabrique x portes blindées par jour, x variant de 0 à 120. On estime que le coût total de fabrication, notéC (x), est donné, en euros, par : C (x) = 0,001x3 −0,1x2 +95x +1500.La recette de l’entreprise obtenue par la vente de x portes, notée R(x), en euros, est donnée par : R(x) = 228x.On suppose que chaque porte est vendue.

1. Étude de la fonction bénéfice

(a) Exprimer B(x) en fonction de x.

(b) Calculer B ′(x) pour tout x de [0; 120].

(c) Étudier le signe de B ′(x) puis dresser le tableau des variations de la fonction B .

(d) À l’aide du tableau de variation et d’un tableau de valeurs donné par la calculatrice, donner les arrondis audixième des solutions de l’équation B(x) = 0.

En déduire le nombre de portes vendues pour que la fabrication soit rentable. Justifier votre réponse.

(e) Pour quel nombre de portes vendues, le bénéfice est-il maximal ? Justifier votre réponse.

2. Courbe représentative de la fonction B

(a) Dans un repère orthogonal, tracer la courbe représentative de la fonction B .

(b) Vérifier graphiquement vos réponses aux questions d) et e) de la partie 1.

David ROBERT 81

Nom : Lundi 11 février 2013 – 2h00


Dérivation

EXERCICE 6.1 (3 points).Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

• f (x) = (2x −1)(4x +3) • g (x) = (x2 +2x +3)p

x • h(x) = 1x3+2x2+1

EXERCICE 6.2 (3,5 points).On dispose d’une feuille de dimensions 20 cm × 30 cmavec laquelle on veut fabriquer une boîte sans couvercle.Pour cela on découpe aux quatre coins de la feuille uncarré de côté x. On obtient le patron de la boîte.L’objectif de cet exercice est de déterminer pour quelle(s)valeur(s) de x, le volume de la boîte V (x) est le plus grand.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

2. (a) Montrer que V (x) = x(30−2x)(20−2x).

(b) Étudier les variations de V .

(c) En déduire la (ou les) valeur(s) de x pourlaquelle (lesquelles) le volume de la boite estmaximum. On donnera le(s) résultat(s) au mil-limètre.

20

30

x

EXERCICE 6.3 (3 points).On a représenté ci-dessous la courbe représentative Γ, dans un repère orthonornal, d’une fonction f définie sur R.La courbe Γ passe par l’origine O du repère et la droite (O A), où A (1; 2), est la tangente en O à Γ. La tangente à Γ en sonpoint B d’abscisse −1 est parallèle à l’axe des abscisses.

1

2

3

4

5

6

−1

1 2−1−2−3−4−5

O x

y

b

b

A

Γ

B

1. En justifiant, déterminer les valeurs de f ′(0) et de f ′(−1).

2. Parmi les trois représentations graphiques de la figure ci-dessous, l’une représente la fonction dérivée f ′ de f .Déterminer laquelle en justifiant sa réponse.

3. Parmi les trois représentations graphiques de la figure ci-dessous, l’une représente une fonction F telle que F ′ = f .Déterminer laquelle en justifiant sa réponse.

Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

1

2

3

−11−1−2−3 O

1

2

3

−11−1−2−3 O

1

2

−1

−2

1−1−2−3O

David ROBERT 83

Nom : Lundi 11 février 2013 – 2h00

EXERCICE 6.4 (10,5 points).

Soit f la fonction définie sur R\−2 par : f (x) = x2+12x+242x+4 .

On appelle C sa représentation graphique dans un repère(O;~ı ,~

).

1. Montrer que f ′(x) = 2x2+8x(2x+4)2 pour x ∈R\−2.

2. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation en indiquant les extremums locaux.

3. Déterminer les coordonnées des points de la courbe C :

(a) où la tangente à la courbe est parallèle à l’axe des abscisses.

(b) où la tangente à la courbe a pour coefficient directeur −1,5.

(c) où la courbe intercepte les axes du repère.

4. ∆ est la droite d’équation y = 12 x +5. Déterminer les positions relatives de la courbe C et de la droite ∆ selon les

valeurs de x.

5. Sur le repère ci-dessous :

(a) Placer les points trouvés aux questions précédentes.

(b) Tracer ∆ et les tangentes que l’on peut déduire des questions précédentes.

(c) Tracer C .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10−11 O

x

y



Chapitre 9

Variables aléatoires


9.2 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2.1 Vocabulaire des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.2.2 Expériences aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3.1 Loi de probabilité sur un univers Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3.2 Une situation fondamentale : l’équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.3.3 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.4.1 Les situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.4.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.4.4 Espérance, variance, écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.1 Activités

ACTIVITÉ 9.1 (Fille ou garçon).On se propose d’utiliser le tableur pour résoudre le problème suivant :« Monsieur X est invité chez des nouveaux amis qu’il sait très joueurs mais qu’il connait à peine. Au cours de la conver-sation il apprend que ses nouveaux amis ont deux enfants mais il oublie de demander leur sexe. Soudain l’un de cesdeux enfants entre dans la salle. Il s’agit d’un garçon.“– Vous avez donc un garçon et . . . ? demande-t-il– Je parie que tu ne devineras pas. Sur quoi mises-tu ? un gars ? une fille ?”Sur quoi doit miser monsieur X pour maximiser ses chances de clore le bec à ces amis un peu lourds avant de prendrecongé ? »

On suppose pour simplifier les choses qu’un enfant sur deux qui nait est une fille et l’autre un garçon.

1. Que conjecturez-vous a priori quant au sexe de l’autre enfant ?

2. On se propose d’utiliser la colonne A pour simuler le sexe du premier enfant, la colonne B pour celui du secondenfant et la colonne C pour compter le nombre de garçons.Proposer une formule utilisant la fonction ALEA (ou ALEA.ENTRE.BORNES avec Calc) permettant de simuler lesexe d’un enfant dans les cases A1 et B1 et une formule adaptée pour compter le nombre de garçons de la fratriedans la case C1.Demander au professeur de valider les deux formules avant d’aller plus loin.

3. « Tirer la poignée » verticalement de façon à simuler 100 familles de deux enfants.

4. Dans la plage F4 : J5 dresser un tableau de la forme suivante :

Nombre de garçons 0 1 2 totalEffectif

où les cases Effectif seront automatiquement complétées par le tableur (utiliser la fonction NB.SI)

85


5. En appuyant plusieurs fois sur la touche F9 (Excel) ou CTRL+MAJ+F9 (Calc), indiquer autour de quels effectifssemblent osciller les types de famille.

6. Puisque l’un des enfants est un garçon, quel type de famille doit-on exclure ?En observant les types de famille restants, déterminer sur quel sexe doit miser Monsieur X et dans quelle propor-tion il a des chances de gagner son pari.Votre conjecture est-elle validée ?

ACTIVITÉ 9.2 (Arbres pondérés).On dispose :• d’une urne contenant quatre boules insdiscernables au toucher dont trois boules bleues portant respectivement les

numéros 1, 2 et 3, notées b1, b2 et b3, et une boule rouge unique, notée r ;• d’un jeu de six cartes identiques portant chacun un chiffre en couleur : une carte avec un chiffre 1 en vert, une carte

avec un chiffre 2 en rouge, une carte avec un chiffre 2 en bleu, une carte avec un chiffre 2 en vert, une carte avec unchiffre 3 en rouge et une carte avec un chiffre 3 en bleu.

On considère l’expérience aléatoire suivante : « On prélève de façon équiprobable une boule dans l’urne puis une cartedu jeu. On note, dans l’ordre, la couleur de la boule extraite et le numéro inscrit sur la carte ».

On note Ω l’ensemble de toutes issues possibles et p(A) la probabilité d’un évènement A.

1. Construire l’arbre des possibles et en déduire Ω. Est-on dans une situation qu’équiprobabilité ?

2. (a) Construire un arbre, que nous appelerons « modèle intermédiaire », qui prenne en compte, pour la bouleextraite, non seulement sa couleur mais aussi son numéro et, pour la carte, non seulement le numéro maisaussi sa couleur.

(b) A-t-on équiprobabilité entre chacun des chemins ?

(c) En déduire les probabilités de chacun des évènements élémentaires de Ω.On présentera les résultats sous forme de tableau du type :

ωi ω1 ω2 . . .p(ωi ) p(ω1) p(ω2) . . .

Remarque. Lorsqu’on détermine pour chaque évènement élémentaire sa probabilité, on dit qu’on décrit laloi de probabilité.

3. L’arbre du modèle intermédiaire, nous ramenant à une situation d’équiprobabilité, nous a permis de décrire laloi de probabilité. Cependant il est un peu lourd. Essayons de l’alléger.

(a) Refaire l’arbre des possibles en ajoutant devant chaque éventualité des branches multiples : autant qu’onen peut trouver sur le modèle intermédiaire qui mènent à cette éventualité.

(b) Refaire l’arbre des possibles de la manière suivante :

i. Remplacer ces branches multiples par des branches simples mais en indiquant le nombre de branchesqu’il devrait y avoir. On obtient alors un arbre pondéré (chaque branche ayant un poids).

ii. Combien de chemins du modèle intermédiaire terminaient sur l’évènement élémentaire (r,2) ? Com-ment pourrait-on retrouver ce nombre à partir de l’arbre précédent ?

(c) Refaire l’arbre des possibles de la manière suivante :

i. Pondérer chaque branche, non plus avec le nombre de branches multiples qu’il devrait y avoir, maisavec le quotient de ce nombre par le nombre total de branches qu’il devrait y avoir à ce même niveau.

ii. Quelle est la probabilité de l’évènement élémentaire (r,2) ? Comment pourrait-on retrouver cette pro-babilité à partir de l’arbre précédent ?

ACTIVITÉ 9.3 (Loi des grands nombres).On donne l’algorithme suivant, écrit en langage courant :

EntréesFace, Lancers : Nombres

InitialisationEffectif prend la valeur 0

InstructionsPour k variant de 1 à Lancers faire :• Dé prend la valeur Nombre aléatoire entre 1 et 6 ;• Si Dé = Face alors Effectif = Effectif +1.

Fréquence prend la valeur EffectifLancers

SortieFréquence



Première S 9.2 Rappels

On se propose de l’étudier puis de l’étoffer et enfin de le modifier pour qu’il fasse autre chose.

Partie A : Étude de l’algorithme

1. Que fait cet algorithme ?

2. Le programmer sur Algobox et le faire fonctionner pour la face de votre choix, en faisant plusieurs essais à chaquefois, avec :

• Lancers= 10 • Lancers= 100 • Lancers = 1000 • Lancers = 10000

Qu’observe-t-on ?

3. (a) Le modifier pour qu’il calcule la fréquence d’apparition de la face à chaque valeur de k et affiche dans unrepère le point d’abscisse k et d’ordonnée la fréquence nouvellement calculée.

(b) Le faire fonctionner pour un certain nombre de lancers, comme à la question 2. Qu’observe-t-on ?

Partie B : Modification de l’algorithmeModifier l’algorithme pour qu’il affiche :

1. D’abord, en seule sortie, à la place de la fréquence de l’algorithme originel, la moyenne des résultats obtenus aprèsun certain nombre de lancers ; le faire fonctionner pour un certain nombre de lancers, comme à la question 2 ;qu’observe-t-on ?

2. Ensuite, comme dans la partie précédente, dans un repère, pour chaque valeur de k, le point d’abscisse k etd’ordonnée la moyenne nouvellement calculée ; le faire fonctionner pour un certain nombre de lancers, commeà la question 2 ; qu’observe-t-on ?

Partie C : Une situationOn s’intéresse à la situation suivante : « On lance un dé à 6 faces, équilibré, et on marque :• Un point si on obtient 1 au dé ;• Deux points si on obtient 2 au dé ;• Trois points si on obtient 3 ou 4 au dé ;• Quatre points si on obtient 5 ou 6 au dé ».

On cherche à estimer le nombre de points qu’on peut espérer obtenir en moyenne.

1. Modifier l’algorithme précédent pour qu’il puisse simuler la situation et le faire fonctionner pour conjecturer lenombre de points qu’on obtient en moyenne.

2. (a) Décrire l’univers des possibles Ω et la loi de probabilité.

(b) Sur un grand nombre de lancers, vers quelle fréquence va tendre chacun des évènements élémentaires ?

(c) En déduire vers quelle valeur va tendre la moyenne.

9.2 Rappels

Ce paragraphe ne comportant que des rappels de Seconde, les exemples seront limités et les preuves des théorèmes etpropriétés ne seront pas refaites.

9.2.1 Vocabulaire des ensembles

Définition 9.1 (Intersection). L’intersection de deux en-sembles A et B est l’ensemble des éléments qui sont com-muns à A et B . On la note A∩B .

A B

×e

Ainsi e ∈ A∩B signifie e ∈ A et e ∈ B .

Remarque. Lorsque A∩B =∅, on dit que les ensembles A et B sont disjoints.

Définition 9.2 (Réunion). La réunion de deux ensemblesA et B est l’ensemble des éléments qui sont dans A oudans B . On la note A∪B .

A B

×e

Ainsi e ∈ A∪B signifie e ∈ A ou e ∈ B .

David ROBERT 87

9.3 Probabilités Première S

Définition 9.3 (Inclusion). On dit qu’un ensemble A estinclus dans un ensemble B si tous les éléments de A sontdes éléments de B . On note alors A ⊂ B .

A

B

On dit alors que A est une partie de B ou que A est un sous-ensemble de B .

Remarque. ∅ et E sont toujours des parties de E (partie vide et partie pleine).

On notera P (E ) l’ensemble de toutes les parties de E .

Définition 9.4 (Complémentaire). Soit E un ensemble etA une partie de E . Le complémentaire de A dans E estl’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas àA. On le note A.

A

E

A

Remarque. A∪ A = E et A∩ A =∅.

Définition 9.5. Des parties A1, A2, . . ., Ap d’un ensembleE constituent une partition de E si elles sont deux à deuxdisjointes et si leur réunion est E .Ainsi :• Pour tous i et j de 1; . . . ; p : i 6= j ⇒ Ai ∩ A j =∅ ;

•p∐

i=1Ai = A1 ∪ A2 ∪ . . .∪ Ap = E .

A1 A2 A3 A4 . . . Ap

E

Définition 9.6 (Cardinal). Le nombre d’éléments d’un ensemble fini E est appelé cardinal de E . Ce nombre est notéCard(E ). On convient que Card(∅)=0.

Remarque. La notion de cardinal ne s’applique pas aux ensembles infinis (comme N , Z, Q , R, etc.).

9.2.2 Expériences aléatoires

Issues, univers

Définition 9.7. L’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire est appelé univers (ou univers des possi-bles). On note généralement cet ensemble Ω.

À notre niveau, Ω sera toujours un ensemble fini.

Évènements

Exemple : on lance deux dés et on considère la somme S obtenue. L’ensemble de toutes les issues possibles (univers)est Ω= 2; 3; · · · ; 11; 12.Le tableau 9.1 page ci-contre définit le vocabulaire relatif aux évènements (en probabilité) :

9.3 Probabilités

9.3.1 Loi de probabilité sur un univers Ω

Définition 9.8. Soit Ω= ω1 ; ω2 ; · · · ; ωn l’univers d’une expérience aléatoire.Définir une loi de probabilité P sur Ω, c’est associer, à chaque évènement élémentaire wi , des nombres pi ∈ [0; 1],appelés probabilités, tels que :•

∑

ipi = p1 +p2 +·· ·+pn = 1 ;

• la probabilité d’un évènement A, notée p(A), est la somme des probabilités pi des évènements élémentaires ωi

qui constituent A.

Remarque. On note aussi : pi = p(ωi ) = p(ωi ).

Propriété 9.1. Soit A et B deux évènements de Ω, alors :

• p(A∪B) = p(A)+p(B)−p(A∩B) ; • p(A) = 1−p(A).

Remarque. Comme, par définition, la probabilité de l’évènement certain est 1 alors la probabilité de l’évènement im-possible, qui est son contraire, est 0.



Première S 9.3 Probabilités

TABLE 9.1: Vocabulaire relatif aux évènements en probabilitéVocabulaire Signification Illustration

Événement élémentaire(noté ω)

L’une des issues de lasituation étudiée (un

élément de Ω)Obtenir 7 : ω= 7

Événement(notation quelconque)

Ensemble de plusieurs issues

Obtenir un nombre pair :A = 2; 4; 6; 8; 10; 12Obtenir un multiple de trois :B = 3; 6; 9; 12Obtenir une somme supérieure à 10 :C = 10; 11; 12Obtenir une somme inférieure à 6 :D = 2; 3; 4; 5; 6

Événement impossible(noté ∅)

C’est un évènement qui nepeut pas se produire

« Obtenir 13 » est un évènement impossible.

Événement certain(noté Ω)

C’est un évènement qui seproduira obligatoirement

« Obtenir entre 2 et 12 » est un évènement cer-tain.

Événement « A et B »(noté A∩B)

Événement constitué desissues communes aux 2

évènementsA∩B = 6; 12

Événement « A ou B »(noté A∪B)

Événement constitué detoutes les issues des deux

évènementsA∪B = 2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12

Événementsincompatibles(on note alors

A∩B =∅)

Ce sont des évènements quin’ont pas d’éléments en

commun

C ∩D =∅ donc C et D sont incompatibles. Parcontre, A et B ne le sont pas.

Événementscontraires

(l’évènement contrairede A se note A)

Ce sont deux évènementsincompatibles dont la

réunion forme la totalité desissues (Ω)

Ici, A représente l’évènement « obtenir unesomme impaire ». On a alors :• A∩ A =∅ (ensembles disjoints)• A∪ A =Ω

9.3.2 Une situation fondamentale : l’équiprobabilité

Définition 9.9. Lorsque toutes les issues d’une expérience aléatoire ont même probabilité, on dit qu’il y a équiprob-abilité ou que la loi de probabilité est équirépartie.

Dans ce cas, la règle de calcul de la probabilité d’un évènement A est la suivante :

Propriété 9.2. Dans une situation d’équiprobabilité sur un univers Ω, pour tout évènement élémentaire ω et toutévènement A on a :

• p(ω)=1

Card(Ω)• p(A)=

nombre d’issues favorables

nombre d’issues possibles=

Card(A)

Card(Ω)

Certaines expériences ne sont pas des situations d’équiprobabilité, mais on peut parfois s’y ramener tout de même,comme par exemple dans l’activité 9.2.

9.3.3 Loi des grands nombres

Définition 9.10. Lorsque qu’on répète une expérience aléatoire, on appelle fréquence d’apparition d’une éventualité

ωi donnée le nombre : fi = nombre de fois où l’éventualité ωi apparaîtnombre de fois où l’expérience est répétée

On constate que si l’on répète un grand nombre de fois l’expérience donnée, les différentes fréquences d’apparitionont tendance à se stabiliser. Ce constat est un résultat mathématique appelé La loi des grands nombres ; il se démontre,mais la démonstration est largement hors de nos compétences :

Théorème 9.3 (Loi des grands nombres). Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité,les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de la loi de probabilité quand n devientgrand.

David ROBERT 89

9.4 Variables aléatoires Première S

Remarques. • Dans certains cas, on utilise ce résultat pour valider ou rejeter un modèle (une loi de probabilité) choisià priori.

• Dans d’autres cas, lorsqu’on ne connaît pas de loi de propabibilité relativement à une expérience aléatoire, on peutainsi en introduire une à partir des fréquences déterminées lors d’un grand nombre d’expériences

9.4 Variables aléatoires

9.4.1 Les situations

On illustrera toute cette section par les situations suivantes :

1. on tourne une roue dans une fête foraine qui estpartagée en 8 secteurs égaux : 1 de couleur rouge,3 de couleur verte et 4 de couleur bleue ;

2. on lance deux dés et on s’intéresse à la somme desdeux dés.

9.4.2 Définition

Définition 9.11. Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire.• On appelle variable aléatoire toute fonction X de Ω dans R qui, à tout élément de Ω, fait correspondre un nombre

réel k.• L’évènement noté X = k est l’ensemble des éléments de Ω qui ont pour image k par X .• L’ensemble image de Ω par X est l’ensemble de toutes les images des éléments de Ω par X .

Cet ensemble est noté Ω′.

Avec nos situations de départ on peut imaginer les variables aléatoires suivantes :

1. La partie de roue à la fête foraine coûte 1 ( et l’ongagne :• 0 ( si le bleu sort ;• 2 ( si le vert sort ;• 5 ( si le rouge sort ;Lorsqu’on lance la roue, l’univers est donc Ω =bleu ; vert ; rouge et l’on peut définir la variablealéatoire qui à chaque couleur associe le gain engen-dré.Ainsi, en enlevant la mise (1 ( pour pouvoir jouer),on a :• X : bleu 7→−1• X : vert 7→ 1• X : rouge 7→ 4

2. On peut, par exemple, définir une variable aléatoireX de la façon suivante :• X = 0 si la somme des deux dés est paire ;• X = 1 si elle est impaire.L’ensemble image de Ω par X est Ω′ = 0; 1

Remarques. • Une variable aléatoire n’est pas un nombre, mais une fonction.• Les valeurs d’une variable aléatoire sont toujours des nombres.• En général, une variable aléatoire est notée X , Y , Z .

9.4.3 Loi de probabilité d’une variable aléatoire

Définition 9.12. Soit Ω= ω1 ; ω2 ; · · · ; ωn un univers associé à une expérience aléatoire sur lequel a été définie uneloi de probabilité et Ω′ = x1 ; x2 ; · · · ; xn l’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X .La loi de probabilité de X est la fonction définie sur Ω′, qui à chaque xi fait correspondre le nombre p ′

i = p(X = xi ).

On démontre facilement que∑

ip ′

i = 1.

En reprenant les deux situations de départ, on a :

1. Dans le cas de la roue on a :

xi −1 1 4

p(X = xi )4

8

3

8

1

8

2. p(X = 0) est la probabilité que la variable aléatoiresoit égale à 0, c’est-à-dire que la somme soit paire.On a ainsi p(X = 0) = p(2)+p(4)+p(6)+·· ·+p(12) =18

36=

1

2. De même p(X = 1) = 1

2 .

xi 0 1

p(X = xi )1

2

1

2




9.4.4 Espérance, variance, écart type

Définition 9.13. L’espérance mathématique, la variance et l’écart type de la variable aléatoire X , dont les notationsrespectives sont E (X ), V (X ) et σ(X ) sont respectivement les nombres :

E (X )=n∑

i=1pi wi V (X ) =

n∑

i=1pi (ωi −E (X ))2 =

(n∑

i=1piω

2i

)− (E (X ))2 σ(X ) =

pV

Toujours avec les exemples de la situation de départ :

1. (X est le gain à la roue de la fête foraine)

• E (X ) = 48 × (−1)+ 3

8 ×1+ 18 ×4 = 3

8(le gain qu’on peut espérer à chaque partie est enmoyenne de 0,375 ( )

• V (X ) = 48 × (−1)2 + 3

8 ×12 + 18 ×42 −

( 38

)2 = 17564

• σ(X ) =√

17564 ≈ 1,654

2. (X = 0 si la somme des dés est paire, X = 1 si elle estimpaire)

• E (X ) =∑

ip ′

i xi =1

2×0+ 1

2×1= 1

2

• V (X ) =∑

ip ′

i x2i − (E (X ))2 = 1

2×02 + 1

2×12 − 1

4= 1

4

• σ(X ) =p

V (X ) = 12

Propriété 9.4. Soit Ω un univers associé à une expérience aléatoire sur lequel a été définie une variable aléatoire Xd’espérance E (X ) et de variance V (x).Soit Y une nouvelle variable aléatoire telle que Y = aX +b où a et b sont des réels quelconque.Alors E (Y ) = aE (X )+b et V (Y ) = a2V (X ).

La preuve sera faite en classe.Avec les exemples de la situation de départ :

1. Si, par exemple, la partie coûte quatre euros au lieud’un, on obtient une variable aléatoire Y = 1X − 3.E (Y ) = 1E (X )−3=−2,625 et V (Y ) = 12V (X ) =V (X ).

2. Si, par exemple, on définit la variable aléatoire Y =2X , E (Y ) = 2E (X ) = 1 et V (Y ) = 22V (X ) = 4V (X ) = 1.

9.5 Exercices

EXERCICE 9.1.Deux lignes téléphoniques A et B arrivent à un standard.On note :

• E1 : « la ligne A est occupé » ; • E2 : « la ligne B est occupée ».

Après étude statistique, on admet les probabilités :

• p(E1) = 0,5 ; • p(E2) = 0,6 ; • p(E1 ∩E2) = 0,3.

Calculer la probabilité des évènements suivants :

• F : « la ligne A est libre » ;• G : « une ligne au moins est occupée » ;

• H : « une ligne au moins est libre ».

EXERCICE 9.2.On jette trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée et on appelle « tirage »le résultat obtenu. Ainsi (Face ; Face ;Pile) est un tirage (qu’on notera F F P ).

1. Faire un arbre décrivant l’ensemble des issues possibles de cette expérience aléatoire et donner le cardinal de Ω,l’univers des possibles.

2. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de « Pile »obtenues.

(a) Décrire Ω′, l’univers des possibles pour X .

(b) Déterminer la loi de probabilité associée à X (on la présentera sous forme de tableau).

(c) Déterminer E (X ), V (X ) et σ(X ) respectivement l’espérance, la variance et l’écart type de X .

EXERCICE 9.3.Pour se rendre à son travail, un automobiliste rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux fonctionnent demanière indépendante, que l’automobiliste s’arrête s’il voit le feu orange ou rouge et qu’il passe si le feu est vert. Onsuppose de plus que chaque feu est vert durant les deux tiers du temps et rouge ou orange un tiers du temps. On dit quel’automobiliste a obtenu le feu au vert quand il est passé sans s’arrêter.

1. Faire un arbre représentant toutes les situations possibles.

2. Quelle est la probabilité que l’automobiliste ait :

David ROBERT 91


(a) les trois feux verts ? (b) deux des trois feux verts ?

3. Combien de feux au vert l’automobiliste peut-il espérer ?

EXERCICE 9.4.Un dé (à 6 faces) est truqué de la façon suivante : chaque chiffre pair a deux fois plus de chance de sortir qu’un numéroimpair.

1. Calculer la probabilité d’obtenir un 6.

2. On lance deux fois le dé.

(a) Calculer la probabilité d’obtenir deux fois un chiffre pair.

(b) Calculer la probabilité d’obtenir deux fois un 6.

(c) On appelle X la variable aléatoire qui a chaque tirage associe la somme des deux dés.Calculer l’espérance de X . Comment interpréter ce nombre ?

EXERCICE 9.5.On lance deux dés équilibrés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.L’ensemble E des couples (x ; y), avec 16 x 6 6 et 16 y 6 6, est associé à une loi de probabilité équirépartie.À chaque couple (x ; y) , on associe |x − y |. On définit ainsi une variable aléatoire X sur l’ensemble E .

1. Définir la loi de probabilité de X . 2. Calculer l’espérance et la variance de X .

EXERCICE 9.6.On considère une roue partagée en 15 secteurs égaux tels que :• il y a un secteur de couleur rouge (R)• il y a cinq secteurs de couleur bleue (B)• il y a neuf secteurs de couleur verte (V )La roue tourne sur son axe central et s’arrête sur l’une des couleurs, chaque secteur ayant la même probabilité.Pour pouvoir faire tourner la roue, un joueur doit payer 1 ( et, selon la couleur sur laquelle elle s’arrête, il gagne :

• 0 ( si le vert sort ; • 1 ( si le bleu sort ; • x ( si le rouge sort ;

On appelle X la variable aléatoire associée au gain final (gain − mise de départ) du joueur.

1. Décrire l’univers X (Ω) associé à X .

2. Décrire la loi de probabilité associée à X (on la présentera sous forme de tableau).

3. Exprimer en fonction de x l’espérance de gain du joueur.

4. On suppose que x = 2 ( .

(a) Quelle est l’espérance de gain du joueur ?

(b) Qui est le plus avantagé : l’organisateur du jeu ou le joueur ?

5. Mêmes questions pour x = 15 ( .

6. On dit que le jeu est équitable lorsque l’espérance de gain est égale à zéro, car alors ni l’organisateur du jeu ni lejoueur ne sont avantagés. Combien doit valoir x pour que le jeu soit équitable ?

EXERCICE 9.7.On considère le jeu suivant : Le joueur lance deux dés à six faces ; s’il fait un double 6, il gagne un million d’euros, sinonil perd dix mille euros.Faut-il lui conseiller le jeu ?

EXERCICE 9.8.On dispose d’une roue qui comporte dix secteurs identiques, neuf verts et un rouge.On propose les deux jeux suivants :

Jeu 1 : si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur gagne 2 000 euros, sinon il perd 8 000 euros.

Jeu 2 : si la roue s’arrête sur un secteur vert, le joueur ne gagne ni ne perd rien, sinon, il gagne 10 000 euros.

1. Intuitivement, quel jeu semble le plus avantageux ?

2. Calculer, pour chaque jeu, l’espérance et la vriance de gain du joueur. Que constate-t-on ?

EXERCICE 9.9.Soit X une variable aléatoire d’espérance E (X ), notée aussi m, et d’écart-type σ(X ), noté σ.Soit Y la variable aléatoire définie par Y = X−m

σ .Déterminer E (Y ) et σ(Y ).

EXERCICE 9.10.On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On définit une variable alétoire X en associant à chaque tiragele nombre :




• −10 si on tire le numéro 1 ; • 10 si on tire le numéro 6 ; • 0 dans tous les autres cas.

1. Définir l’univers Ω associé à l’expérience aléatoire et l’univers Ω′ associé à la variable alétoire.

2. On suppose que le dé est parfaitement équilibré. Donner la loi de probabilité de X , son espérance et son écart-type

3. Même question avec la variable Y qui associe à chaque tirage le nombre :

• −5 si on tire le numéro 1 ; • 5 si on tire le numéro 6 ; • 0 dans tous les autres cas.

EXERCICE 9.11.On lance n dés (n > 1). On note A l’évènement « obtenir au moins un 6 ».

1. Décrire A.

2. Exprimer en fonction de n la probabilité p(A).

3. En déduire que p(A)= 1−( 5

6

)n.

4. Compléter le tableau suivant :

n 1 2 3 4 5 6 7 8p(A)

5. Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d’obtenir au moins un six soit supérieure à 34 ?

6. Le lièvre et la tortue font la course.

Le lièvre se divertit longuement mais quand il part, il file à l’arrivée. La tortue, quant à elle, avance inexorablementmais lentement vers l’arrivée.

On considère qu’on peut assimiler cette course au lancement d’un dé :• si le 6 sort, le lièvre avance ;• sinon la tortue avance d’une case et au bout de 4 cases la tortue a gagné.

Voir figure ci-dessous.

Départ du lièvre Arrivée

Départ de la tortue 1 2 3

(a) Déterminer la probabilité que le lièvre l’emporte et celle que la tortue l’emporte.

(b) En combien de lancers de dés peut-on espérer finir la partie en moyenne ?

David ROBERT 93

Devoir maison n°6

Probabilités

À rendre pour le vendredi 15 mars.

Dans un pays peu démocratique, un gouvernement décide d’appliquer uncontrôle strict des naissances et fixe les lois suivantes :• chaque famille aura au moins 1 enfant ;• chaque famille aura au maximum 4 enfants ;• chaque famille arrêtera de procréer après la naissance d’un garçon.On considère que chaque enfant a une chance sur deux d’être un garçon ouune fille à la naissance et que, pour chaque couple de parents, le sexe d’unenfant est indépendant du sexe des précédents.

Quelle conséquence sur la proportion d’hommes et de femmes dans la po-pulation de ce pays peut avoir cette politique sur le long terme ?

Devoir maison n°6

Probabilités




Devoir maison n°6

Probabilités




Devoir maison n°6

Probabilités




Nom : Vendredi 22 mars 2013 – 1h00


Dérivation – Variables aléatoires

EXERCICE 7.1 (5 points).On considère une roue de fête foraine circulaire partagée en 8 secteurs de même mesure telle qu’il y a :

• 1 secteur de couleur rouge (R) ; • 2 secteurs de couleur bleue (B) ; • 5 secteurs de couleur verte (V).

Pour participer à ce jeu, chaque joueur doit payer 2 euros et faire tourner la roue sur son axe central suffisamment fortpour qu’on puisse considérer que la roue a la même probabilité de s’arrêter sur chaque secteur et, selon la couleur dusecteur sur laquelle la roue s’arrête, le joueur gagne :

• 0 euro si c’est le vert ; • 3 euros si c’est le bleu ; • 5 euros si c’est le rouge.

On appelle X la variable aléatoire qui à chaque couleur associe le gain final (gain − mise de départ) correspondant.

1. Décrire la loi de probabilité associée à la variable aléatoire X (on la présentera sous forme de tableau).

2. (a) Calculer l’espérance de la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

(b) Interpréter le résultat en terme de partie et de gain.

(c) Qui est le plus avantagé : l’organisateur ou le joueur ?

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise encompte dans l’évaluation.On dit que le jeu est équitable lorsque l’éspérance de gain est égale à 0, car, alors, ni l’organisateur, ni le joueur nesont avantagés. Comment modifier les gains pour que le jeu soit équitable ?

EXERCICE 7.2 (5 points).On trouve sur le site de la Française des jeux les extraits de règlement suivants :

Astro Le prix de vente d’un ticket est fixé à 2 euros.Pour 1500000 tickets imprimés, le tableau des gainsest le suivant :

Nombre de tickets Montant du gain (en euros)2 20 0004 2 000

20 150700 50

13 000 1882 000 8

117 000 4268 000 2

Soit 480 726 tickets gagnants pour un montant totaldes gains de 1 980 000 euros.

Banco Le prix de vente d’un ticket est fixé à 1 euro.Pour 1500000 tickets imprimés, le tableau des gainsest le suivant :

Nombre de tickets Montant du gain (en euros)2 2 000

268 2001 000 501 500 20

42 000 10115 000 2158 000 1

Soit 317 770 tickets gagnants pour un montant totaldes gains de 945 600 euros.

1. Calculer l’espérance de gain de chacun des deux jeux.

2. Calculer l’écart-type de chacun de ces deux jeux.

3. Comparer ces deux jeux en utilisant les résultats, interprétés, des questions précédentes.

EXERCICE 7.3 (5 points).On appelle C la représentation graphique de la fonction f définie sur R\2 par :

f (x) = x2 +ax +b

x −2où a,b ∈R


2. Déterminer a et b tels que la droite d’équation y = 8 soit tangente à C au point d’abscisse 3.

3. Déterminer l’abscisse de l’autre point de C où la tangente est horizontale.

Chapitre 10

Angles orientés

Sommaire10.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.2 Angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10.2.1 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10.2.2 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10.2.3 Propriétés des mesures des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.2.4 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.3.2 Lignes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.3.3 Résolutions d’équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.1 Activité

Soit un repère orthonormal(O ;~ı,~

), le cercle C de centre

O et de rayon 1 et la droite D d’équation x = 1 qui coupel’axe (Ox) en I .

À tout nombre a, on associe le point M de la droite D, d’ab-scisse 1 et d’ordonnée a.

« L’enroulement » de la droite D autour du cercle C met encoïncidence le point M avec un point N de C .

Plus précisément, si a est positif, le point N est tel quey

I N = I M = a, l’arc étant mesuré dans le sens inverse desaiguilles d’une montre et, si a est négatif, le point N est

tel quey

I N = I M = |a|, l’arc étant mesuré dans le sens desaiguilles d’une montre.

Le point N est le point du cercle C associé au nombre a.

×

×

×

×

×

I

J

D

M

N

O

ACTIVITÉ 10.1. 1. Placer les points de la droite Mi dont les ordonnées yi sont données par le tableau suivant :

Mi M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9

yi 0π

2− π

2

π

3− π

3π −π 2π −2π

2. Placer les points N1, N2, N3, N4, N5, N6, N7, N8, N9 du cercle associés à ces nombres.

3. Indiquer un nombre associé à chacun des points I , J , B(−1;0) et B ′(0;−1).

4. Existe-t-il plusieurs nombres associés à un même point ? Si oui, donner quatre nombres associés au point J .

97

10.2 Angles orientés Première S

10.2 Angles orientés

10.2.1 Orientation du plan

Définition 10.1 (Orientation d’un cercle, du plan, cercletrigonométrique). On utilisera le vocabulaire suivant :• Orienter un cercle, c’est choisir un sens de parcours sur

ce cercle appelé sens direct (ou positif). L’autre sens estappelé sens indirect (négatif ou rétrograde).

• Orienter le plan, c’est orienter tous les cercles du plandans le même sens. L’usage est de choisir pour sens di-rect le sens contraire des aiguilles d’une montre (ap-pelé aussi sens trigonométrique).

• Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans lesens direct et de rayon 1. Lorsque le plan est muni d’unrepère

(O;~ı,~

), le cercle trigonométrique est le cercle

orienté dans le sens direct, de centre O et de rayon 1.

×

×

Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.

Définition 10.2 (Abscisse curviligne, arc orienté, mesures d’un arc orienté). Le plan est muni d’un repère(O;~ı,~

).

Soit I (0; 1) un point du cercle trigonométrique C et D la tangente en I à C , munie du repère (I ;~) (voir schéma 10.1).• On appelle abscisse curviligne d’un point M du cercle trigonométrique, l’abscisse de tout point N de la droite D

associé à M par enroulement. (Remarque : un point à plusieurs abscisses curvilignes).• Si les points A et B du cercle trigonométrique ont pour abscisses curvilignes α et β, alors le couple (A ; B) est appelé

arc orienté et notéy

AB .

• Une des mesures de l’arc orientéy

AB est β−α.

10.2.2 Angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls

Définition 10.3 (Angle orienté). Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls du plan orienté. On appelle angle orienté, noté(~u ; ~v), le couple de ces deux vecteurs.

Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls du plan orienté, O unpoint quelconque et C le cercle trigonométrique de cen-tre O.On considère A′ et B ′ les points définis par

−−→O A′ = ~u et

−−→OB ′ =~v .Les demi-droites [O A′) et [OB ′) coupent le cercletrigonométrique C respectivement en A et en B (voir leschéma ci-contre).

Définition 10.4 (Mesures d’un angle orienté). Unemesure de l’angle orienté (~u ;~v), en radian, est

une mesure de l’arc orienté associéy

AB du cercletrigonométrique.

×

×

×~u

O

A′

A~v

B ′

B

Remarque. • Si une des mesures de (~u ; ~v) est α, alors toutes les mesures sont de la forme α+k ×2π avec k ∈Z.• Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures.

On écrit par exemple (~u ; ~v) = π2 signifiant qu’une des mesures de (~u ; ~v) est π

2 , les autres étant de la forme π2 +k ×2π

avec k ∈Z.On écrit aussi (~u ; ~v) = π

2 +k ×2π avec k ∈Z, ou encore (~u ; ~v)= π2 [2π] qui se lit « π

2 modulo 2π ».

Définition 10.5 (Mesure principale). La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle orientéqui appartient à ]−π ; π].



Première S 10.2 Angles orientés

Définition 10.6 (Colinéarité, orthogonalité). Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls du plan orienté.

• Dire que ~u et ~v sont colinéaires revient à dire que lamesure principale de (~u ; ~v) est 0 (angle nul) ou est π(angle plat).

• Dire que ~u et ~v sont orthogonaux revient à dire que lamesure principale de (~u ;~v) est π

2 (angle droit direct) ou−π

2 (angle droit indirect).

Définition 10.7 (Repère orthonormal direct ou indirect). Soit(O;~ı ,~

)un repère du plan. On dit que

(O ;~ı,~

)est :

• direct si une des mesures de (~ı ;~) est π2 ; • indirect si une des mesures (~ı ;~) est −π

2 .

10.2.3 Propriétés des mesures des angles orientés

Propriété 10.1. Soit un vecteur non nul ~u du plan orienté et k ∈R.

• (~u ; ~u) = 0 et (~u ; −~u) =π. • Si k > 0 alors (~u ; k~u) = 0. • Si k < 0 alors (~u ; k~u) =π.

Preuve. Cela découle de la définition 6. ♦

Propriété 10.2 (Relation de CHASLES). Soit ~u, ~v et ~w trois vecteurs non nuls du plan orienté.

(~u ;~v)+ (~v ; ~w) = (~u ; ~w)

On l’admettra.On en déduit :

Propriété 10.3. Soit ~u et ~u deux vecteurs non nuls du plan orienté, k et k ′ deux réels.

• (~u ; ~v)=−(~v ; ~u).• (~u ; −~v) = (~u ;~v)+π.• (−~u ; ~v) = (~u ;~v)+π.

• (−~u ; −~v) = (~u ;~v).• Si k et k ′ sont de même signe, (k~u ; k ′

~v) = (~u ;~v).• Si k et k ′ sont de signes opposés, (k~u ; k ′

~v) = (~u ; ~v)+π.

Les preuves seront faites en classe.

10.2.4 Cosinus et sinus d’un angle orienté

Sauf indication contraire, l’unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d’un repère orthonormal direct(O;~ı ,~

);

on considère le cercle trigonométrique C de centre O.

Définition 10.8 (Cosinus et sinus d’un réel). Pour tout réel x, il existe un point M unique du cercle trigonométrique

C tel que x soit une mesure de(−−→O A ;

−−→OM

).

• L’abscisse du point M est le cosinus de x (noté cos x).• L’ordonnée du point M est le sinus de x (noté sin x)

Définition 10.9 (Cosinus et sinus d’un angle orienté). Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls du plan. Le cosinus (resp. lesinus) de l’angle orienté de vecteurs (~u ;~v) est le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures. On notecos(~u ;~v) et sin(~u ;~v).

Lien entre cosinus de l’angle orienté et cosinus de l’angle géométrique

Notons α la mesure en radians de l’angle géométrique AOB formé par ~u et ~v , et notons x la mesure principale de (~u ; ~v). On a α= |x|. Deux cas se présentent :• si x > 0, |x| = x et par suite cosα= cos x ;• si x 6 0, |x| = −x et par suite cosα= cos(−x) = cos xOn a donc cos(~u ; ~v)= cos( AOB).Ce n’est pas vrai pour le sinus : sin( AOB) = |sin(~u ; ~v)|

David ROBERT 99

10.3 Trigonométrie Première S

10.3 Trigonométrie

10.3.1 Rappels

Propriété 10.4 (fondamentale).cos2 x + sin2 x = 1

Propriété 10.5 (Sinus et cosinus des angles usuels).

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

sin x 01

2

p2

2

p3

21

cos x 1

p3

2

p2

2

1

20

10.3.2 Lignes trigonométriques

Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le premiercadran. Elles seront démontrées plus tard dans l’année.

x

π2 − xπ

2 + x

π− x

π+ x −x

cos(π2 − x

)= sin x

sin(π2 − x

)= cos x

cos(π2 + x

)=−sin x

sin(π2 + x

)= cos x

cos(π− x) =−cos x

sin(π− x) = sin x

cos(π+ x) =−cos x

sin(π+ x) =−sin x

cos(−x) = cos x

sin(−x) =−sin x

10.3.3 Résolutions d’équations trigonométriques

Résoudre une équation trigonométrique c’est résoudre une équation de la forme cos x =α ou sin x =α où α est un réeldonné.

Propriété 10.6. Soit une équation de la forme cos x =α.Si on trouve un a tel que cos a =α alors l’équation est équivalente à l’équation cosx = cos a et les solutions de l’équationsont les réels a +k ×2π et les réels −a +k ×2π, où k entier quelconque.

Propriété 10.7. Soit une équation de la forme sin x =α.Si on trouve un a tel que sin a =α alors l’équation est équivalente à l’équation sin x = sin a et les solutions de l’équationsont les réels a +k ×2π et les réels π−a +k ×2π, où k entier quelconque.

On l’admettra (des éléments de preuve seront donnés en classe).




10.4 Exercices

EXERCICE 10.1.On considère les points A, B , C et D du cercletrigonométrique C associés, respectivement, aux réels37π

6 , 29π4 , 2π

3 et − 5π12 .

1. Déterminer les mesures principales des angles o-

rientés(−→OI ;

−−→O A

)et

(−→OI ;

−−→OB

).

2. Démontrer que (O A)⊥(OC ).

3. Déterminer les mesures principales des angles o-

rientés(−−→OD ;

−−→O A

)et

(−−→OC ;

−−→OB

).

4. Préciser une mesure en degré de l’angle(−−→O A ;

−−→OD

)

EXERCICE 10.2.Sur un cercle trigonométrique C , on considère les pointsA et B tels que :

(−→OI ;

−−→O A

)= 5π

6et

(−→OI ;

−−→OB

)=−2π

3

× ×

×

×

×

I

J

I ′

J ′

O

Déterminer la mesure principale des angles suivants :

1.(−−→O A ;

−−→O J ′

);

2.(−→O J ;

−−→OB

);

3.(−−→O A ;

−−→OB

);

4.(−−→

AO ;−−→OB

);

5.(−−→O A ;

−−→BO

);

6.(−−→

AO ;−−→BO

);

7.(2−−→O A ; −3

−−→OB

).

EXERCICE 10.3.ABC est un triangle et I est le milieu de [BC ]. On sait que(−→I A ;

−→I B

)= π

3 . Déterminer la mesure principale des angles

orientés suivants :

1.(−→

AI ;−→I B

); 2.

(−→AI ;

−→IC

); 3.

(−→I A ;

−→CB

).

× ×

×

×B I C

A

π3

EXERCICE 10.4.Après avoir placé les points du cercle trigonométriquecorrespondant aux nombres réels suivants, déduiregraphiquement les valeurs exactes de leurs cosinus et si-nus :

• 17π4 • 14π

3 • 19π6 • − 21π

2

EXERCICE 10.5.En vous aidant éventuellement du cercle trignométrique, compléter les tableaux suivants avec les valeurs exactes :

1.

x π3

2π3

−π3

4π3

−8π3

17π3

−28π3

cos x

sin x

2.

x π4

3π4

−π4

5π4

−11π4

19π4

31π4

cos x

sin x

EXERCICE 10.6.Déterminer les valeurs exactes de sin 31π

6 et cos 31π6 .

EXERCICE 10.7.On donne cos 2π

5 =p

5−14 .

Déterminer les valeurs exactes de sin 2π5 , cos 3π

5 , sin 3π5 ,

cos π10 et sin π

10 .

EXERCICE 10.8.Simplifier les expressions suivantes :

A = sin(π− x)+cos(π2 + x

)

B = sin(π+ x)+cos(π2 − x

)+ sin(−x)

C = sin(π2 − x

)+ sin

(π2 + x

)

D = sin(π+ x)+cos(π+ x)− sin(−x)

E = 2sin(π2 + x

)+ sin

(π2 − x

)−cos(−x)

David ROBERT 101


EXERCICE 10.9.Calculer, sans utiliser la calculatrice :

A = sin π4 + sin 3π

4 + sin 5π4 + sin 7π

4

B = cos π3 −cos 2π

3 +cos 4π3 −cos 5π

3

C = sin π6 +cos 7π

6 +cos(−π

6

)

D = sin π2 −cosπ+ sin 3π

2

E = cos 7π4 + sin π

4 −cos 3π4

F = sin2(π3

)+cos2

(π6

)

G = 2cos2(π6

)−cos π

3 +1

EXERCICE 10.10.Résoudre les équations suivantes :

1. Dans R : cos x =p

32 ;

2. Dans ]−2π ; 2π] : sin x =−sin π4 ;

3. Dans ]−π ; π] : sin x −cos π6 ;

4. Dans R : sin x = 0 ;

5. Dans R : cos x = 0 ;

6. Dans R : cos x = cos(−π

4

);

7. Dans R : cos x =−cos π4 ;

8. Dans R : sin x = 12 ;

9. Dans R : sin x =−cos π4 ;

10. Dans ]−π ; π] : (sin x +1)(cos x −1) = 0 ;

11. Dans ]−π ; π] : cos2 x = 1 ;

12. Dans [0; 2π] : 2sin2 x + sin x −1 = 0 ;

13. Dans ]−π ; π] : 2cos x +3 = 2 ;

14. Dans ]−π ; π] : sin2 x − sin x = 0.

EXERCICE 10.11.Pour chacune des équations suivantes :

1. les résoudre dans R, c’est-à-dire déterminerl’ensemble des réels x vérifiant l’équation ;

2. placer sur le cercle trigonométrique les points M tels

que(−→ı ;

−−→OM

)= x ;

3. Donner leurs mesures principales.

1. cos 2x =p

32 ;

2. cos 3x = 0 ;

3. cos 4x =−1 ;

4. cos x = 2 ;

5. sin 2x =− 12 ;

6. sin 3x =−p

22 ;

7. sin x2 = 0 ;

8. sin 6x =−4 ;

9. cos 2x = cos x ;

10. cos 2x = cos(3x +π) ;

11. sin 3x = sin x ;

12. sin x = sin x3 ;

13. cos 2x = sin 3x ;

14. cos x =−sin 2x ;

15. sin 4x =−cos2x ;

16. tan x =p

3 ;

17. tan 2x = 1 ;

18. tan(2x + π

6

)=−

p3 ;

19. sin(x + π

3

)= 1

2 .




David ROBERT 103

Chapitre 11

Produit scalaire : définitions, propriétésFormules de la médiane



11.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.3 Formules de la médiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

11.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Ce chapitre fait appel à la notion d’angle de vecteurs, traitée dans le chapitre 10.

On va s’intéresser dans ce chapitre à la quantité ‖~u +~v‖2 −‖~u‖2 −‖~v‖2.Que devient-elle lorsque les vecteurs ~u et ~v ne sont plus orthogonaux ?Peut-elle être positive ? Négative ?

Définition. On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~u et ~v le nombre réel, noté ~u.~v , défini par :

~u.~v = 1

2

(‖~u +~v‖2 −‖~u‖2 −‖~v‖2)

La présence du coefficient 12 sera justifiée ultérieurement.

11.1 Activités

ACTIVITÉ 11.1.Soit ~u et ~v deux vecteurs et A, B , C et D quatre points tels que : ~u =−→

AB , ~v =−→AC et ~u+~v =−−→

AD .Prouver que ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si ~u.~v = 0.

ACTIVITÉ 11.2.Cette activité fait référence à la figure 11.1 page suivante.

1. Compléter le tableau 11.1 page suivante en utilisant la figure.

2. Conjecturer des réponses aux questions suivantes :

(a) Dans quel(s) cas un produit scalaire est-il positif ? Négatif ? Nul ?

(b) Existe-t-il des points différents qui donnent le même produit scalaire ?À quelle configuration géométrique les points concernés semblent-ils appartenir ?

(c) Que peut-on dire du produit scalaire de deux vecteurs colinéaires ?

105


FIGURE 11.1: Figure de l’activité 11.2

× ×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

× ×A B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L M

TABLE 11.1: Tableau de l’activité 11.2

−→u ‖~u‖2~v ‖~v‖2 ‖~u+~v‖2 ~u.~v

−→AB

−−→A A−→AC−−→AD−→AB−→AE−→AF−→AG−−→AH−→AI−→AJ−−→AK−→AL

ACTIVITÉ 11.3.Le plan est rapporté à un repère orthonormal

(O;~ı,~

)quelconque. Soit les vecteurs ~u(x ; y), ~v(x′ ; y ′) et ~w(x′′ ; y ′′).

1. Démontrer que ~u.~v = xx′+ y y ′.

2. Comparer ~u.~v et ~v .~u.

3. Comparer ~u.(~v + ~w ) et ~u.~v +~u.~w .

4. Soit k un réel. Comparer (k~u).~v et k(~u.~v).

ACTIVITÉ 11.4.Soit A, B et C trois points distincts du plan orienté tels que

(−→AB ;

−→AC

)=α.

On choisit le repère orthonormal direct(

A ;~ı,~)

tel que(~ı ;

−→AB

)= 0.

H est le projeté orthogonal de C sur (AB), c’est-à-dire le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par C .

1. Exprimer en fonction de AB , AC et α les coordonnées des points B , C et H .

2. Calculer−→AB .

−→AC et

−→AB .

−−→AH .

3. Démontrer les conjectures de l’activité 11.2.

ACTIVITÉ 11.5.Démontrer que si ~u et ~v sont deux vecteurs non nuls, alors ~u.~v = ‖~u‖×‖~v‖×cos(~u;~v ).

En déduire que si A, B et C sont trois points distincts, alors−→AB .

−→AC = AB × AC ×cos B AC .




ACTIVITÉ 11.6.ABC est un triangle rectangle en A. H est le pied de la hau-teur issue de A ; I est le milieu de [BC ] ; P et Q sont les pro-jetés orthogonaux de H respectivement sur (AB) et (AC ).

• Montrer que−→AI .

−−→PQ =~0.

• Que peut-on en déduire pour les droites (AI ) et (PQ) ?

Indications (à justifier) :

• 12−→AB + 1

2−→AC =−→

AI

•−→AB .

−−→PQ =−−→AB .

−−→QP =−−→AB .

−−→AH

•−→AC .

−−→PQ =−→

AC .−−→AH

× ×

×

××

×

×

AC

B

HP

Q

I


11.2.1 Définitions

Rappelons la définition du produit scalaire.

Définition 11.1. On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~u et ~v le nombre réel, noté ~u.~v , défini par :

~u.~v = 1

2

(‖~u +~v‖2 −‖~u‖2 −‖~v‖2)

Remarques. • Le mot scalaire provient du latin scala qui signifie échelle. Il a plusieurs significations aussi bien en ma-thématiques qu’en physique. Il faut le comprendre ici comme un nombre et son nom souligne le fait que, si ~u et ~vsont des vecteurs, ~u.~v est lui un nombre.

• On précisera systématiquement que c’est un produit scalaire, car vous verrez plus tard un autre type de produit devecteurs qui ne donne pas un nombre mais un vecteur.

Théorème 11.1 (Autres expressions du produit scalaire). Soit ~u et ~v deux vecteurs du plan.

1. Le plan étant muni d’un repère orthonormal où ~u(x ; y) et ~v(x′ ; y ′) alors ~u.~v = xx′+ y y ′

2. Si les deux vecteurs sont distincts du vecteur nul, ~u.~v = ‖~u‖×‖~v‖×cos(~u ; ~v)

3. Si ~u 6=~0, ~u.~v =~u.~v ′ où ~v ′ est le projeté orthogonal de ~v sur la direction donnée par ~u.

Remarques. • Si l’un des vecteurs est égal au vecteur nul, l’angle orienté de vecteurs (~u ;~v) n’est pas défini.• Si ~u =~0, il n’a pas de direction.• Dans tous les cas, si l’un des vecteurs est nul, ~u.~v = 0.

Théorème 11.2 (Cas de trois points). Soit A, B et C trois points du plan.

• Lorsque−→AB 6=~0 et

−→AC 6=~0,

−→AB .

−→AC = AB × AC ×cos B AC.

• Lorsque A et B distincts, soit H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) :

· −→AB .

−→AC = AB × AH si

−→AB et

−−→AH sont de même sens.

· −→AB .

−→AC =−AB × AH si

−→AB et

−−→AH sont de sens opposé.

Démonstrations des deux théorèmes. Voir les activités. ♦

11.2.2 Propriétés

Théorème 11.3. Soit ~u et ~v deux vecteurs du plan.• Si ~u =~0 ou ~v =~0, alors ~u.~v = 0.• Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si ~u.~v = 0.• ~u.~u = ‖~u‖2. On notera alors ~u.~u =~u2.

Preuve. • Posons ~u =~0. Alors ~u.~v = 12

(‖~u +~v‖2 −‖~u‖2 −‖~v‖2

)= 1

2

(‖~v‖2 −‖~v‖2

)= 0.

David ROBERT 107

11.3 Formules de la médiane Première S

• Soit A, B et C tels que ~u =−→AB et ~v =−→

BC . On a alors ~u+~v =−→AC .

~u et ~v orthogonaux ⇔ ABC rectangle en B ⇔ AB2+AC 2 = BC 2 ⇔‖~u‖2+‖~v‖2 = ‖~u+~u‖2 ⇔ 0 = ‖~u+~u‖2−‖~u‖2−‖~v‖2 ⇔~u.~v = 0

• ~u.~u = 12

(‖~u +~u‖2 −‖~u‖2 −‖~u‖2

)= 1

2

(‖2~u‖2 −2‖~u‖2

)= 1

2

(4‖~u‖2 −2‖~u‖2

)= ‖~u‖2

♦

Remarques. • La dernière ligne de la démonstration explique la présence du 12 . Il est là pour qu’on puisse avoir une

similitude entre le produit des réels (x × x = x2) et le produit scalaire (~u.~u = ‖~u‖2). Sans lui on aurait ~u.~u = 2‖~u‖2, cequi serait moins intuitif à manipuler dans les calculs.

• Les deux derniers points de la propriété sont extrêmement importants. Le deuxième permet de démontrer bien descas d’orthogonalité avec la souplesse des vecteurs. Le dernier permet de passer aisément des longueurs aux vecteurset réciproquement, permettant ainsi de faire appel aux vecteurs, et à leur souplesse, dans bien des démonstrationsconcernant les longueurs.

Propriété 11.4 (Règles de calcul). Soit ~u, ~v et ~w des vecteurs et k un réel.• ~u.~v =~v .~u• ~u.(~v + ~w ) =~u.~v +~u.~w et (~u +~v).~w =~u.~w +~v .~w• (k~u).~v = k(~u.~v) et ~u.(k~v ) = k(~u.~v)

Preuve. Voir activité 11.3. ♦

Propriété 11.5 (Identités remarquables). Soit ~u et ~v deux vecteurs.

• (~u+~v)2 =~u2 +2~u.~v +~v2 • (~u −~v)2 =~u2 −2~u.~v +~v2 • (~u+~v) (~u−~v) =~u2 −~v2

Preuve. En appliquant le deuxième point de la propriété précédente on obtient facilement ces résultats. ♦

Propriété 11.6 (Produit scalaire et coordonnées). Le plan est muni d’un repère(O ;~ı,~

)(orthonormal). Soit ~u(x ; y) un

vecteur.x =~u.~ı et y =~u.~

Preuve. ~u.~ı = x ×1+ y ×0 = x et ~u.~ = x ×0+ y ×1 = y ♦

11.3 Formules de la médiane

Théorème 11.7 (Formules de la médiane). Soit A et B deux points quelconques du plan et I le milieu du segment [AB].Alors, pour tout point M du plan on a :

• M A2 +MB2 = 2M I 2 + 12 AB2 ; • M A2 −MB2 = 2

−−→M I .

−→B A ; •

−−→M A.

−−→MB = M I 2 − 1

4 AB2.

Remarques. • La droite (M I ) étant, pour le triangle M AB , la médiane issue de A, ces formules sont appelées formulesde la médiane.

• Ces formules ne sont pas à apprendre, par contre on doit savoir les retrouver en utilisant les carrés scalaires (voir lapreuve ci-dessous).

• Ces formules sont particulièrement utiles quand on cherche tous les points M vérifiant, par exemple, M A2+MB2 = 4puisqu’elles permettent de passer d’une expression à deux inconnues (M A et MB) à une expression à une inconnue(M I ).

Preuve. Montrons que M A2 +MB2 = 2M I 2 + 12 AB2.

M A2 +MB2 =−−→M A2 +−−→

MB 2 =(−−→M I +−→

I A)2

+(−−→M I +−→

I B)2

= 2−−→M I 2 +2

−−→M I .

(−→I A +−→

I B)+−→

I A2 +−→I B 2

= 2M I 2 +2−−→M I .

−→0 +2

(AB

2

)2

= 2M I 2 +1

2AB2

Les autres démonstrations sont du même type et seront traitées en exercice. ♦




11.4 Exercices

EXERCICE 11.1.Soit ABCD un carré de sens direct. On construit un rect-angle APQR de sens direct tel que :

• P ∈ [AB] et R ∈ [AD] ;• AP = DR.

1. Justifier que−−→CQ.

−→PR =−−→

CQ.(−→

AR −−→AP

)

2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpen-diculaires.

× ×

××

×

××

A P B

CD

QR

EXERCICE 11.2.Démontrer les deuxième et troisième formules de la médiane.

EXERCICE 11.3.ABC est un triangle et I est le milieu de [BC ]. On sait que(−→I A,

−→I B

)= π

3 et que B I =C I = 2 et AI = 3

Calculer :

1.−→AB .

−→AC ;

2. AB2 + AC 2 ;

3. AB2 − AC 2 ;

4. AB et AC .× ×

×

×B I C

A

π3

EXERCICE 11.4.ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC ].Calculer les produits scalaires suivants :

1.−→B A.

−→BC ; 2.

−−→C A.

−→C I ; 3.

(−→AB −−→

AC)

.−→AI .

EXERCICE 11.5.ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3. De plus

−→AB .

−→AC = 4. Ce triangle est-il rectangle ?

EXERCICE 11.6.M N PQ est un carré avec M N = 6. I est le centre du carré.Calculer les produits scalaires suivants :

1.−−→M N .

−−→QP ; 2.

−−→M N .

−−→P N ; 3.

−→I N .

−→I P ; 4.

−→QI .

−→N I .

EXERCICE 11.7.ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7. Calculer

−→AB .

−−→AD . En déduire BD

EXERCICE 11.8.ABCD est un rectangle tel que AD = 3 et AB = 5. E est lemilieu de [AB].

1. Calculer les longueurs AC et DE .

2. En exprimant chacun des vecteurs−→AC et

−−→DE en

fonction des vecteurs−→AB et

−−→AD, calculer le produit

scalaire−→AC .

−−→DE .

3. En déduire la valeur de l’angle θ =(−−→DE ;

−→AC

)en de-

grés à 0,01 près.

θ

× ×

××

×A E B

CD

EXERCICE 11.9.[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.

1. Montrer que pour tout point M du plan : M A2 −MB2 = 2−−→I M .

−→AB

2. Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : M A2 −MB2 = 14.

David ROBERT 109


EXERCICE 11.10.Le but de cet exercice est de démontrer, à l’aide du produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.Soit ABC un triangle. On note A′, B ′ et C ′ les projetés orthogonaux respectifs de A, B et C sur (BC ), (AC ) et (AB). Onnote H = (BB ′)∩ (CC ′).

1. Que valent les produits scalaires suivants :−−→B H .

−→AC et

−−→C H .

−→AB ?

2. Calculer−−→AH .

−→BC .

3. Conclure.

EXERCICE 11.11.ABCD est un rectangle de longueur L et de largeur l .Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B etD sur la diagonale (AC ).

×

× ×

××

×

D C

BA

K

H

l

L

1. Calculer HK en fonction des longueurs des côtés Let l .On pourra évaluer de deux manières le produit

scalaire−−→C A.

−−→BD.

2. Comment choisir L et l pour avoir AC = 2HK ?Exprimer alors l’aire du parallélogramme B HDK enfonction de l’aire du rectangle ABCD.

EXERCICE 11.12.

À quelle condition sur les points A, B et C a-t-on :(−→

AB +−→AC

)2= (AB + AC )2 ?

EXERCICE 11.13.ABCD est un losange de sens direct et de centre O On donne AC = 10 et BD = 6.


−−→AD .

2. On note P le projeté orthogonal de D sur la droite (AB). Calculer AP .

EXERCICE 11.14.B est un point appartenant à [AE ]. ABCD et BEFG sontdes carrés situés dans le même demi-plan par rapport à(AE ), comme sur la figure ci-contre.Montrer que (EC ) est la hauteur issue de E dans le triangleAEG.

b b

bb

b

bb

A B

CD

E

FG

EXERCICE 11.15.ABC est un triangle rectangle et isocèle en A avec AB = 4.R, S et T sont les milieux respectifs de [AC ], [AB] et [CS].La figure ci-contre représente la situation à une échelle don-née.

1. (a) Montrer que (RT ) ∥ (AB).

(b) Montrer que RT = 1.

2. Montrer que (AT ) est une hauteur du triangle ARB .b b

b

b

b b

A B

C

S

RT




EXERCICE 11.16.ABC est un triangle tel que l’angle en A est aigu.B AE et C AF sont des triangles rectangles et isocèles en Aà l’extérieur du triangle ABC (voir la figure ci-contre).On note θ = B AC , b = AC et c = AB .

1. Exprimer−→AB .

−→AF et

−→AC .

−→AE en fonction de b, c et θ.

2. Soit I le milieu de [BC ].Montrer que

−→AI = 1

2

(−→AB +−→

AC).

3. Montrer que (AI ) est la hauteur issue de A dans letriangle AEF .

b

b

b

b

b

b

A

B C

E

F

I

EXERCICE 11.17.ABCD est un trapèze rectangle de base AB = 2a et CD = aet de hauteur AD = h.

1. Exprimer−→AC .

−−→BD en fonction de a et de h.

2. Existe-t-il une valeur de h telle que les diagonales(AC ) et (BD) soient perpendiculaires ?

b b

bb

A B

CD

EXERCICE 11.18.ABCD est un parallélogramme de centre I tel que AB = 7, AD = 5 et BD = 8.

1. Montrer que AB2 + AD2 = 2AI 2 +2I D2 .

2. En déduire AC .

3. En déduire les mesures des angles du parallélogramme à 1 près.

4. En déduire l’aire de ABCD.

EXERCICE 11.19.ABCD est un carré de côté a, I et J sont les milieux respec-tifs des segments [AB] et [BC ]. H est le projeté orthogonalde D sur la droite (AJ ) et K le point d’intersection des seg-ments [AJ ] et [C I ].

1. En exprimant de deux façons le produit scalaire−→AJ .

−−→AD :

(a) Calculer la longueur AH en fonction de a ;

(b) En déduire la distance du point D à la droite(AJ ) en fonction de a.

2. En exprimant de deux façons le produit scalaire−→AJ .

−−→AD, déterminer le cosinus de l’angle JK I puis

donner la valeur approchée à 0,1 près par défaut dela mesure de JK I .

b b

bb

b

b

A B

CD

H

K

J

David ROBERT 111

Devoir maison n°7

Puissance d’un point par rapport à un cercle

À rendre pour le vendredi 19 avril 2013

C est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan. d est unedroite passant par A et coupant C en deux points P et Q .Le but du problème est d’établir la propriété suivante :

Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points

P et Q , le produit scalaire−→AP .

−−→AQ est constant.

1. Soit P ′ le point diamétralement opposé à P . Montrer que−→AP .

−−→AQ =

−→AP .

−−→AP ′.

2. Montrer que−→AP .

−−→AP ′ = AO2 − r 2

3. Conclure.

Remarque. On appelle cette quantité la puissance d’un point par rapport à uncercle.

× × ×

×

A P Q

O

d

C

Devoir maison n°7

Puissance d’un point par rapport à un cercle

À rendre pour le vendredi 19 avril 2013

C est un cercle de centre O, de rayon r et A est un point fixé du plan. d est unedroite passant par A et coupant C en deux points P et Q .Le but du problème est d’établir la propriété suivante :

Quelle que soit la droite d passant par A, coupant le cercle C en deux points

P et Q , le produit scalaire−→AP .

−−→AQ est constant.

1. Soit P ′ le point diamétralement opposé à P . Montrer que−→AP .

−−→AQ =

−→AP .

−−→AP ′.

2. Montrer que−→AP .

−−→AP ′ = AO2 − r 2

3. Conclure.

Remarque. On appelle cette quantité la puissance d’un point par rapport à uncercle.

× × ×

×

A P Q

O

d

C

Chapitre 12

Loi binomiale

Sommaire12.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


12.2.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.2.2 Cœfficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.2.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

12.2.4 Utilisation de la calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

12.2.5 Échantillonage et prise de décision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

12.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

12.1 Activité

Partie A : Une expérience aléatoire élémentaire

On lance un dé équilibré. On gagne si on fait un 6.On note S, comme « succès », cette issue et E , comme « échec », l’autre issue.Déterminer p(S) et p(E ).

Partie B : Trois répétitions

On répète trois fois de suite et de façon indépendante l’expérience élémentaire de la partie A.

1. (a) Représenter cette nouvelle expérience par un arbre.

(b) Quelles sont les probabilités des issues SES, ESS et SSE ?Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir deux succès » ?

(c) Quelles sont les probabilités des issues EES, ESE et SEE ?Quelle est la probabilité de l’événement « obtenir un succès » ?

2. (a) Soit X la variable aléatoire qui associe, à chaque issue, le nombre de succès obtenus lors des trois répétitions.Déterminer la loi de probabilité de X . On présentera les résultats sous forme de tableau et on ne réduira pasles fractions.

(b) Déterminer l’espérance de X . Interpéter le résultat.

Partie C : Quatre répétitions

On répète quatre fois l’expérience élémentaire de la partie A de façon indépendante et on note Y la variable aléatoirequi, à chaque issue, associe le nombre de succès obtenus lors de ces quatre répétitions.On décide de ne pas construire l’arbre.

1. Déterminer la probabilité de chacun des événements Y = 0 et Y = 4.

2. Soit l’événement Y = 2.

(a) Décrire une issue correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.

(b) Décrire une issue distincte de la précédente correspondant à cet événement et déterminer sa probabilité.

(c) Que constate-t-on ?

113

12.1 Activité Première S

(d) Que nous manque-t-il alors pour obtenir p(Y = 2) ?

(e) Quels sont les chemins de l’arbre de la partie B qui, après une quatrième répétition de l’expérience élémen-taire, ne pourront pas mener à des issues correspondant à Y = 2 ?

(f) À l’aide de l’arbre de la partie B, déterminer le nombre de chemins menant à des issues correspondant àY = 2 lorsqu’on répète une quatrième fois l’expérience élémentaire.

(g) En déduire p(Y = 2).






(e) À l’aide de l’arbre de la partie B, déterminer le nombre de chemins menant à des issues correspondant àY = 1 lorsqu’on répète une quatrième fois l’expérience élémentaire.

(f) En déduire p(Y = 1).






(e) À l’aide de l’arbre de la partie B, déterminer le nombre de chemins menant à des issues correspondant àY = 3 lorsqu’on répète une quatrième fois l’expérience élémentaire.

(f) En déduire p(Y = 3).

Partie D : Sept répétitions

On répète sept fois l’expérience élémentaire de la partie A de façon indépendante et on note Z la variable aléatoire qui,à chaque issue, associe le nombre de succès obtenus au cours de ces sept répétitions.

1. Quelles valeurs peut prendre Z ?

2. Déterminer p(Z = 0) et p(Z = 7).

3. Soit l’événement Z = 4.




(d) Que nous manque-t-il alors pour obtenir p(Z = 4) ?

(e) On note(7

4

)le nombre de chemins menant à des issues telles que Z = 4 après sept répétitions.

Exprimer p(Z = 4) à l’aide de cette notation.

(f) Décrire, à l’aide de cette notation, la loi de probabilité de Z .

Partie E : Cœfficients binomiaux

On note(n

k

)le nombre de chemins menant à des issues comportant k succès quand on répète n fois une expérience

aléatoire élémentaire ne comportant que deux issues : un succès et un échec.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour k ?

2. À l’aide des activités précédentes, déterminer :

(a)(1

1

)et

(10

)(b)

(30

),(3

1

),(3

2

)et

(33

)(c)

(40

),(4

1

),(4

2

),(4

3

)et

(44

)

3. (a) Exprimer, avec cette notation, la relation qui nous a permis d’obtenir(4

1

),(4

2

)et

(43

).

(b) En généralisant cette propriété, compléter le tableau 12.1, page suivante, en indiquant dans chaque case lesvaleurs de

(nk

).

(c) En déduire la loi de probabilité de Z de la partie D.



Première S 12.1 Activité

TABLE 12.1: Triangle de PASCAL

kn

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

Partie F : Représentation graphique

1. On a obtenu dans la partie précédente la loi suivante (les valeurs sont arrondies au millième) :

k 0 1 2 3 4 5 6 7p(Z = k) 0,279 0,391 0.234 0,078 0,016 0,002 0 0

La représenter dans le repère de la figure 12.1 de la présente page par un diagramme en bâtons tel que :• k sera en abscisse• la probabilité p(X = k) sera la hauteur du bâton

FIGURE 12.1: Représentation graphique de la loi de Z

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7

David ROBERT 115


2. Rôle de nOn a représenté sur la figure 12.2 page suivante plusieurs lois de ce type, en faisant variant le nombre n de répéti-tions.

(a) Qu’ont en commun ces représentations graphiques ?

(b) Quel semble être le rôle de n sur ces lois de probabilité ?

3. Rôle de pDans notre expérience élémentaire, la probabilité d’obtenir un succès était p = 1

6 . On suppose pour la suite qu’ondispose de toutes sortes de dés truqués nous permettant d’obtenir la valeur que l’on souhaite pour p. On a répétél’expérience soixante fois (n = 60) et on a représenté sur la figure 12.3 les différentes lois obtenues.

(a) Qu’ont en commun ces représentations graphiques ?

(b) Quel semble être le rôle de p sur ces lois de probabilité ?

Partie G : Intervalle de fluctuation et prise de décision

1. On a obtenu dans la partie précédente la loi suivante (les valeurs sont arrondies au millième). Compléter ladernière ligne.

k 0 1 2 3 4 5 6 7p(Z = k) 0,279 0,391 0.234 0,078 0,016 0,002 0 0

p(Z 6 k)

2. On cherche à partager l’intervalle [0; 7], où Z prend ses valeurs, en trois intervalles :• Un intervalle [a ; b] (où a et b sont des entiers) tel que p(a 6 Z 6 b)> 0,95 ;• Et pour qu’il soit centré au maximum, on s’impose que p(Z < a)< 0,025 et p(Z > b)< 0,025.Déterminer à l’aide du tableau précédant les valeurs de a et de b.

3. Sur un dé inconnu, pour tester l’hypothèse « le 6 a une probabilité de sortir égale à 16 » au seuil de 95 %, connaissant

l’intervalle [a ; b] correspondant à cette probabilité, on applique la règle suivante : on répète avec ce dé 7 foisl’expérience et on note la fréquence f d’apparition du 6.

Si f n’est pas dans l’intervalle[

a7 ; b

7

], alors on rejette l’hypothèse.

Dans quels cas rejettera-t-on alors cette hypothèse ?


12.2.1 Premières définitions

Définition 12.1 (Épreuve de BERNOULLI). On appelle épreuve de BERNOULLI de paramètre p toute expérience aléa-toire ayant exactement deux issues possibles, qu’on appelle généralement, pour l’une, succès, notée S, et, pour l’autre,échec, notée S, et telle que p(S)= p.

Définition 12.2 (Schéma de BERNOULLI). On appelle schéma de BERNOULLI de paramètres n et p la répétition à nreprises, de façon indépendante, d’une même épreuve de BERNOULLI de paramètre p.

12.2.2 Cœfficients binomiaux

Définition 12.3 (Cœfficients binomiaux). Soit un schéma de BERNOULLI de paramètres n et p.Pour tout entier 0 6 k 6 n, on appelle cœfficient binomial, noté

(nk

), le nombre de chemins du schéma de Bernoulli

menant à k succès.

Par convention(0

0

)= 1 et on a les propriétés suivantes qui seront démontrées en classe :

Propriété 12.1. Pour tout entier 06 k 6n :

•(n

0

)=

(nn

)= 1 •

(n1

)= n •

(nk

)=

( nn−k

)•

(n+1k+1

)=

(nk

)+

( nk+1

)




FIGURE 12.2: Rôle de n

0.05

0.10

0.15

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

n = 30

0.05

0.10

0.15

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

n = 120

0.05

0.10

0.15

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

n = 240

FIGURE 12.3: Rôle de p

0.05

0.10

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

p = 0,3

0.05

0.10

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

p = 0,5

0.05

0.10

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

p = 0,8

David ROBERT 117


12.2.3 Loi binomiale

Définition 12.4 (Loi binomiale). Soit un schéma de BERNOULLI de paramètres n et p.Soit X la variable aléatoire qui, à chaque issue, associe le nombre de succès.On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p, généralement notée B (n ; p).

Propriété 12.2. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B (n ; p).Alors, pour tout entier 06 k 6 n :

• p(X = k) =(n

k

)pk (1−p)n−k . • p(X 6 k) = 1−p(X > k) • p(X > k) = 1−p(X < k).

Propriété 12.3. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B (n ; p). Alors :

• E (X ) = np • V (X ) = np(1−p) • σ(X ) =√

np(1−p)

On l’admettra.

12.2.4 Utilisation de la calculatrice

Les calculatrices permettent d’obtenir les valeurs exactes de(n

k

)et, dans le cas où la variable aléatoire suit la loi bino-

miale B(n ; p), les valeurs approchées de p(X = k) et de p(X 6 k).

Pour l’exemple nous supposerons que la loi binomiale est de paramètres n = 10 et p = 0,25 et que k = 2.

Casio anciens modèles Casio modèles récents TI(10

2

)Menu RUN10 OPTION PROB nCr 2

Menu RUN10 OPTION PROB nCr 2

10 MATH PRB Combinaison (ounCr) 2

p(X = 2)

Menu STATDIST BINM BpdData : varx : 2Numtrial : 10p : 0,25Inutilisable dans les calculs(noter le résultat pour réutilisa-tion)

Menu RUN(OPTN STAT DIST BINM Bpdpour) BinomialPD(2, 10, 0.25)

DISTR binomFdp(10,0.25,2)

p(X 6 2)

Menu STATDIST BINM BcdData : varx : 2Numtrial : 10p : 0,25Inutilisable dans les calculs(noter le résultat pour réutilisa-tion)

Menu RUN(OPTN STAT DIST BINM Bcdpour) BinomialCD(2, 10, 0.25)

DISTR binomFRép(10,0.25,2)

12.2.5 Échantillonage et prise de décision

Intervalle de fluctuation avec la loi binomiale

L’intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95 % a été défini en Seconde de la façon suivante :

Définition. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, relatif aux échantillons de taille n, est l’intervalle centré au-tour de p, proportion du caractère dans la population, où se situe, avec une probabilité égale à 0,95, la fréquenceobservée dans un échantillon de taille n.

Et la propriété suivante a alors été énoncée :

Propriété. Dans le cas où n > 25 et 0,2 < p < 0,8, l’intervalle I suivant contient l’intervalle de fluctuation, c’est-à-direque la probabilité qu’il contienne la fréquence observée est au moins égale à 95 % :

I =[

p − 1p

n; p + 1

pn

]




La loi binomiale nous permet de calculer très exactement les probabilités des différentes fréquences observables dansun échantillon de taille n, à savoir les valeurs k

n , avec 0 6 k 6 n, même pour n 6 25 et p ∉]0,2; 0,8[. La règle est alors lasuivante :

Propriété 12.4. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % associé à une variable aléatoire X suivant la loi binomiale

B(n ; p), est l’intervalle[

an ; b

n

], où a et b sont les deux entiers naturels définis par :

• a est le plus petit des entiers k vérifiant p(X 6 k) > 0,025 ;• b est le plus petit des entiers k vérifiant p(X 6 k)> 0,975.

Remarques. • Lorsque n > 25 et 0,2 < p < 0,8, il est proche de l’intervalle vu en Seconde.• Lorsque n est assez grand, il est quasiment centré sur p.• Cet intervalle s’obtient grâce aux possibilités des calculatrices (ou des logiciels) par la lecture des probabilités cu-

mulées croissantes.

Prise de décision avec la loi binomiale

On considère une population dans laquelle on suppose que la proportion d’un certain caractère est p.Pour juger de cette hypothèse, on y prélève, au hasard et avec remise, un échantillon de taille n sur lequel on observeune fréquence f du caractère.On rejette l’hypothèse selon laquelle le proportion dans la population est p lorsque la fréquence f observée est tropéloignée de p, dans un sens ou dans l’autre. On choisit de fixer le seuil à 95 % de sorte que la probabilité de rejeterl’hypothèse, alors qu’elle est vraie, soit inférieure à 5 %.La règle de décision adoptée est alors la suivante :

Si la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %[

an ; b

n

], on considère que l’hy-

pothèse selon laquelle la proportion est p dans la population n’est pas remise en question.Sinon on rejette l’hypotèse selon laquelle cette proportion vaut p.

12.3 Exercices

EXERCICE 12.1.Les expériences aléatoires suivantes sont-elles des épreuves de BERNOULLI ? Si oui préciser leur paramètre.

1. On lance un dé cubique équilibré et on gagne si on obtient 6.

2. On lance un dé tétraèdrique équilibré et on note le résultat obtenu.

3. Un automobiliste arrive à un feu et a une probabilité de 0,3 que le feu soit vert.

4. On tire une boule dans une urne contenant quatre boules rouges et six boules noires et on note la couleur de laboule obtenue.

EXERCICE 12.2.On a représenté sur la figure 12.4 page suivante la distribution de probabilité de quatre variables aléatoires suivant leslois binomiales B (30; 0,1), B (30; 0,5), B (30; 0,9) et B (29; 0,5).Associer chaque loi à son graphique.

EXERCICE 12.3.Une association comprenant 30 adhérents organise chaque année une assemblée générale. Les statistiques montrentque chaque adhérent assiste à l’assemblée avec la probabilité de 80 %. Les décisions prises par l’assemble n’ont devaleur légale que lorsque plus de la moitié des adhérents assiste à l’assemblée.Quelle est la probabilité que, lors de la prochaine assemblée, le quorum soit atteint ?

EXERCICE 12.4.Paul affirme : « Avec un dé régulier, on a autant de chance d’obtenir au moins un six en 4 lancers que d’obtenir au moinsdeux six avec 8 lancers ».Sara objecte : « Pas du tout. Dans le premier cas, la probabilité est supérieure à 0,5, dans le deuxième cas, elle est in-férieure à 0,5 ».Qui a raison ?

EXERCICE 12.5.À chaque tir, un archer atteint sa cible avec une probabilité égale à 0,7.Combien de tirs doit-il effectuer pour que, avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99, il atteigne la cible au moinsdeux fois ? Au moins trois fois ?

David ROBERT 119



0.05

0.10

0.15

0.20

5 10 15 20 25

0.05

0.10

0.15

0.20

5 10 15 20 25

0.05

0.10

0.15

0.20

5 10 15 20 25

0.05

0.10

0.15

0.20

5 10 15 20 25

EXERCICE 12.6.On lance une pièce équilibrée n fois. On s’intéresse à la probabilité d’obtenir « face » dans 60 % des cas ou plus.Envisager les cas n = 10, puis n = 100, puis n = 1000.Donner d’abord, sans calcul, une estimation spontanée du résultat, puis solliciter la calculatrice (n = 10) ou un algo-rithme de calcul n = 100 et n = 1000).

EXERCICE 12.7.Une entreprise fabrique chaque jour 10 000 composants électroniques. Chaque composant présente un défaut avecla probabilité de 0,002. Si le composant est repéré comme étant défectueux, il est détruit par l’entreprise, et chaquecomposant détruit fait perdre 1( à l’entreprise.

1. Les composants sont contrôlés un à un, et chaque contrôle coûte 0,1(. Quel est le coût moyen journalier pourl’entreprise (contrôles et destruction des composants défectueux) ?

2. Les composants sont regroupés par lots de 10, et on effecture un unique contrôle automatique de chaque lot,qui coûte aussi 0,1(. À l’issue de ce contrôle, le lot est accepté si tous les composants sont sains, et globalementdétruit si l’un au moins des 10 composants présente un défaut. Quel est le coût moyen journalier pour l’entreprisede ce nouveau dispositif (contrôles et destruction des composants défectueux) ?

EXERCICE 12.8.Un QCM comporte 20 questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est juste.Chaque réponse rapporte un point et il n’y a pas de pénalité pour une réponse fausse. Un candidat répond au hasard àchaque question.Quel nombre total de points peut-il espérer ?Quelle pénalité doit-on attribuer à une réponse fausse pour que le total espéré, en répondant entièrement au hasard,soit égal à 2 sur 20 ?

EXERCICE 12.9.Un texte contient n erreurs. Lors d’une relecture, on considère que chaque erreur a 80 % de chances d’être corrigée.Peut-on prévoir, en moyenne, le nombre d’erreurs restantes après une relecture, . . . , après k relectures, k étant un entiersupérieur à 1 ?




EXERCICE 12.10.Cet exercice nécessite de disposer d’une calculatrice TI ou d’une calculatrice CASIO récente.On dispose d’une partie de programme :

TI Casio: PROMPT N “N” ? → N ←-

: PROMPT P “P” ? → N ←-

: 0 → I 0 → I ←-

: While binomFRép(N,P,I) 6 0,025 While BinomCD(I,N,P) 6 0,025 ←-

: I+1 → I I+1 → I ←-

: End WhileEnd ←-

: I → A I → A ←-

Remarque. binomFRép(n,p,k) ou BinomCD(I,N,P) calculent p(X 6 k), où X est une variable aléatoire suivant la loiB(n ; p).

1. (a) À quoi correspondent N et P demandés en début de programme ?

(b) À quoi correspond A à la fin du programme ?

2. Comment modifier ce programme pour qu’il obtienne A et B à la fin du programme ?

3. Comment modifier ce programme pour qu’il calcule les deux bornes de l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %de la loi binomiale de paramètres n et p ?

4. On a exécuté ce programme avec p = 0,4 et on a obtenu les résultats suivants pour la borne inférieure :

n 20 50 200 1 000 5 000Borne 0,2 0,26 0,335 0,37 0,3864

Comparer ce résultat avec la borne inférieure de l’intervalle de fluctuation introduit en Seconde. Qu’observe-t-on ?

EXERCICE 12.11.Monsieur Z, chef du gouvernement d’un pays lointain, affirme que 52 % des électeurs lui font confiance. On interroge100 électeurs au hasard (la population est suffisamment grande pour considérer qu’il s’agit de tirages avec remise) eton souhaite savoir à partir de quelles fréquences, au seuil de 95 %, on peut mettre en doute le pourcentage annoncé parMonsieur Z, dans un sens, ou dans l’autre.

1. On fait l’hypothèse que Monsieur Z dit vrai et que la proportion des électeurs qui lui font confiance dans la pop-ulation est 0,52. Montrer que la variable aléatoire X , correspondant au nombre d’électeurs lui faisant confiancedans un échantillon de 100 électeurs, suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,52.

2. On donne ci-dessous un extrait de la table des probabilités cumulées p(X 6 k) où X suit la loi binomiale deparamètres n = 100 et p = 0,52.

k 40 41 42 43 . . . 60 61 . . .p(X 6 k) 0,0106 0,0177 0,0286 0,0444 . . . 0,9561 0,9719 . . .

(a) Déterminer a et b tels que :• a est le plus petit entier tel que p(X 6 a) > 0,025 ;• b est le plus petit entier tel que p(X 6 b)> 0,975.

(b) Comparer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %,[

an ; b

n

], ainsi obtenu grâce à la loi binomiale, avec

l’intervalle de Seconde.

3. Énoncer la règle de décision permettant de rejetter ou non l’hypothèse que la proportion des électeurs qui fontconfiance à Monsieur Z dans la population est 0,52, selon la valeur de la fréquence f des électeurs favorables àMonsieur Z obtenue sur l’échantillon.

4. Sur les 100 électeurs interrogés au hasard, 43 déclarent avoir confiance en Monsieur Z. Peut-on considérer, auseuil de 95 %, l’affirmation de Monsieur Z comme exacte ?

EXERCICE 12.12.Un médecin de santé publique veut savoir si, dans sa région, le pourcentage d’habitants atteints d’hypertension artérielleest égal à la valeur de 16 % récemment publiée pour des populations semblables. En notant p la proportion d’hy-pertendus dans la population de sa région, le médecin formule l’hypothèse p = 0,16. Pour vérifier cette hypothèse,le médecin constitue un échantillon de n = 100 habitants de la région ; il détermine la fréquence f d’hypertendus(l’échantillon est prélevé au hasard et la population est suffisamment importante pour considérer qu’il s’agit de tiragesavec remise).Pour quelles valeurs de f , la médecin rejettera-t-il cette hypothèse ?

David ROBERT 121


EXERCICE 12.13.En novembre 1976 dans un comté du sud du Texas, Rodrigo Partida est condamné à huit ans de prison. Il attaque cejugement au motif que la désignation des jurés de ce comté est, selon lui, discriminante à l’égard des Américains d’o-rigine mexicaine. Alors que 80 % de la population du comté est d’origine mexicaine, sur les 870 personnes convoquéespour être jurés lors des années précédentes, il n’y a eu que 339 personnes d’origine mexicaine.Devant la Cour Suprême, un expert statisticien produit des arguments pour convaincre du bien fondé de le requêtede l’accusé. En vous situant dans le rôle de cet expert, pouvez-vous décider si les Américains d’origine mexicaine sontsous-représentés dans les jurys de ce comté ?

EXERCICE 12.14.Un groupe de citoyens demande à la municipalité d’une ville la modification d’un carrefour en affirmant que 40 % desautomobilistes tournent un utilisant une mauvaise file.Un officier de police constate que sur 500 voitures prises au hasard, 190 prennent une mauvaise file.

1. Déterminer, en utilisant la loi binomiale sous l’hypothèse p = 0,4, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

2. D’après l’échantillon, peut-on considérer, au seuil de 95 %, comme exacte l’affirmation du groupe de citoyens ?

EXERCICE 12.15.Dans le monde, la proportion de gauchers est 12 %. Soit n le nombre d’élèves dans votre classe.

1. Déterminer, à l’aide de la loi binomiale, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence des gaucherssur un échantillon aléatoire de taille n.

2. Votre classe est-elle « représentative » de la proportion de gauchers dans le monde ?

EXERCICE 12.16.Deux entreprises recrutent leur personnel dans un vivier comportant autant d’hommes que de femmes. Voici la répar-tition entre hommes et femmes dans ces deux entreprises :

Hommes Femmes TotalEntreprise A 57 43 100Entreprise B 1350 1150 2500

Peut-on suspecter l’une des deux de ne pas respecter la parité hommes-femmes à l’embauche ?



Nom : Vendredi 24 mai 2013 – 1h00


Produit scalaire – Loi binomiale

EXERCICE 8.1.ABCD est un parallélogramme avec AB = 5, BC = 4 et AC = 7.


−−→AD .

2. En déduire BD.

EXERCICE 8.2.ABCD est un carré de côté a.On appelle I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [BC ].

On note θ =(−→

AJ ;−→IC

).

1. En décomposant judicieusement, à l’aide de la rela-

tion de CHASLES, les vecteurs−→AJ et

−→IC , déterminer

le produit scalaire−→AJ .

−→IC en fonction de a.

2. (a) Déterminer la longueur AJ en fonction de a.

(b) Déterminer la longueur IC en fonction de a.

(c) En déduire une expression de−→AJ .

−→IC en fonc-

tion de a et de θ.

3. Déduire des questions précédentes la valeur exactede cosθ puis celle de θ en degré à 0,1 près.

b b

bb

b

b

A B

CD

I

J

EXERCICE 8.3.Des études statistiques ont montré qu’à la naissance la probabilité d’avoir un garçon est égale à 0,51.On rencontre au hasard une famille de trois enfants dont les naissances sont supposées indépendantes et on s’intéresseau nombre de garçons.

1. Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de garçons.Déterminer la loi de probabilité de X . On présentera les probabilités sous forme de tableau et on arrondira lesrésultats au centième.

3. Montrer que la probabilité que cette famille ait au moins un garçon est d’environ 0,88.

4. On rencontre ensuite au hasard et de manière indépendante 10 familles de trois enfants, les hypothèses étant lesmêmes que décrites ci-dessus.Calculer la probabilité, arronie au centième, que neuf familles exactement sur les dix aient au moins un garçon.

EXERCICE 8.4.On donne l’extrait d’une table concernant une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n = 50 etp = 0,2.

k . . . 2 3 4 5 6 . . . 14 15 16 17 18 . . .p(X 6 k) . . . 0,001 0,006 0,018 0,048 0,103 . . . 0,939 0,969 0,986 0,994 0,997 . . .

1. (a) Déterminer le plus petit entier a tel que p(X 6 a) > 0,025.

(b) Déterminer le plus petit entier b tel que p(X 6 b)> 0,975.

2. En déduire l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la variable aléatoire X .

3. Un jeu consiste à tirer une boule dans une urne contenant 2 boules blanches et 8 boules noires. Le joueur gagnes’il obtient une boule blanche.Sur les 50 personnes ayant joué, 5 ont gagné.Peut-on soupçonner l’organisateur du jeu d’avoir triché ?

David ROBERT 123

Chapitre 13

Compléments sur les suites


13.2 Monotonie d’une suite : méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13.2.1 Signe de la différence un+1 −un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13.2.2 Comparaison de un+1un

à 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

13.2.3 Variations de la fonction associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

13.3 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

13.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

13.4.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

13.4.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

13.1 Activités

ACTIVITÉ 13.1.On reprend ici l’énoncé de l’activité 4.1 du chapitre 4.On donne ci-dessous le tableau d’effectifs, en million, de la population africaine depuis 1950.

Année 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010Population 227,3 285 366,8 482,2 638,7 819,5 1011,2

On rappelle ce qu’on avait obtenu dans cette activitéprécédemment :• Un statisticien avait proposé de modéliser la population

africaine tous les dix ans par une suite géométrique (un )de premier terme u0 = 227,3 et de raison q = 1,28 et cemodèle nous avait paru acceptable.

• On avait programmé sur la calculatrice un algorithmedu type ci-contre pour obtenir différentes valeurs prisespar la suite.

• En tatonnant, nous avions trouvé qu’il faudrait 10 dé-cennies (n > 10) pour que la population africaine dé-passe 3 milliards.

ENTREES

n

INITIALISATION


TRAITEMENT

POUR k ALLANT DE 1 A n FAIRE

u PREND LA VALEUR u*1.28

FIN POUR

SORTIES

u

1. (a) Montrer que, pour tout n, un+1un

> 1.

(b) Que peut-on en déduire quant à la monotonie de la suite (un ) ?

2. On cherche dans la suite de cette activité à élaborer un algorithme qui éviterait d’avoir à tatonner pour obtenirle genre de résultat que nous avions obtenu quand nous cherchions au cours de quelle décennie la populationafricaine dépasserait les 3 milliards.

(a) Compléter l’algorithme de la table 13.1, page suivante, qui, pour un seuil quelconque (par exemple 3 mil-liards), indique le nombre de décennies au bout duquel la population africaine dépasse ce seuil.

(b) Programmer cet algorithme sur sa calculatrice.

(c) À l’aide de cet algorithme, compléter le tableau de la table 13.1, page suivante.

125

13.2 Monotonie d’une suite : méthodes Première S

(d) Compléter les phrases suivantes :• « On peut conjecturer que, selon le modèle du statisticien, on peut rendre la population africaine aussi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . que l’on veut : il suffit de prendre n suffisamment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . »• On dira que la suite tend vers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE 13.1: Algorithme et tableau de l’activité 13.1 à compléter

ENTREES

seuil

INITIALISATION

n PREND LA VALEUR 0


TRAITEMENT

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

.....................................................................

SORTIES

AFFICHER n

Seuil (en milliards) 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5Nombre de décennies

ACTIVITÉ 13.2.Une usine fabrique de la peinture spéciale pour carrosserie.À la fin du premier jour, la production est de 1 000 L. Ensuite, elle diminue chaque jour de 2 %.On note un la production de peinture au jour n, avec n entier naturel.

1. (a) Montrer que, pour tout n, un+1 −un < 0.

(b) Que peut-on en déduire quant à la monotonie de la suite (un ) ?

2. (a) À l’aide d’une calculatrice, conjecturer vers quelle valeur va tendre la production journalière de peinture.

(b) En vous inspirant de l’algorithme de l’activité 13.1, page précédente, écrire un algorithme permettant d’obtenirau bout de combien de jours la production sera inférieure à un seuil donné et l’utiliser pour déterminer aubout de combien de jours la production sera inférieure à 10 L.

13.2 Monotonie d’une suite : méthodes

13.2.1 Signe de la différence un+1 −un

Pour étudier le sens de variation d’une suite, on peut étudier le signe de la différence un+1 −un . Cette méthode est trèsgénérale et fonctionne tout le temps.

EXERCICE.Soit (un) la suite définie, pour tout n ∈N, par un = n2 −n.À l’aide de l’étude du signe de la différence un+1 −un , montrer que la suite (un ) est croissante.

13.2.2 Comparaison de un+1un

à 1

Pour étudier le sens de variation d’une suite à termes strictement positifs, on peut comparer un+1un

à 1.Cette méthode est particulièrement adaptée aux suites dont le terme général contient une puissance ou un produit.

EXERCICE.Soit (un) la suite définie, pour tout n ∈N∗, par un = 2n

n . La suite (un ) est à termes strictement positifs car n ∈N∗.

1. Montrer que un+1un

= 2nn+1 .

2. Montrer que, pour tout n > 1, 2nn+1 > 1.

3. Conclure.



Première S 13.3 Convergence d’une suite

13.2.3 Variations de la fonction associée

Pour étudier les variations d’une suite définie par une formule explicite, on peut étudier les variations de la fonctionassociée. On s’appuie alors sur le théorème suivant.

Théorème 13.1. Soit (un ) la suite définie par la relation un = f (n) où f est une fonction définie au moins sur R+.Si la fonction f est monotone sur [0; +∞[, alors la suite (un ) est monotone et a même sens de variation que f .

La preuve sera faite en classe.Cette méthode concerne donc uniquement les suites définies par une formule explicite, elle est intéressante lorsque lesvariations de la fonction associée sont simples à déterminer.

Remarque. La réciproque du théorème est fausse. En effet, considérons la suite (un) définie, pour tout n ∈N, par un =n+ sin(2πn). On a un = f (n) où f : x 7→ x + sin(2πx), définie sur [0;+∞[.Étudions les variations de la suite (un). En remarquant que, pour tout n de N, sin(2πn) = 0, il vient un+1 −un = 1 > 0, lasuite (un ) est donc strictement croissante.Qu’en est-il des variations de la fonction f sur [0;+∞[ ?

~i

~j

O 2 3 4

2

3

4C f

b

b

b

b

b

M0

M1

M2

M3

M4

u0

u1

u2

u3

u4

Comme on peut le voir graphiquement, la fonction f n’est pas monotone sur [0;+∞[. Moralité, pour étudier les varia-tions d’une fonction, on ne pourra pas introduire une suite et s’appuyer sur les variations de cette dernière.

13.3 Convergence d’une suite

Conformément au programme, on ne donnera pas de définition rigoureuse de la convergence d’une suite et les exerci-ces sur le sujet ne seront que des exploitations de logiciels ou d’algorithmes. Notons toutefois cette approche intuitive :• On dit qu’une suite (un ) tend vers +∞ (respectivement −∞) quand on peut rendre les valeurs de un aussi grandes

(respectivement petites) que l’on veut : il suffit de prendre n suffisamment grand.• On dit qu’une suite (un ) tend vers un réel ℓ quand on peut rendre les valeurs de un aussi proche de ℓ que l’on veut :

il suffit de prendre n suffisamment grand.

David ROBERT 127


13.4 Exercices

13.4.1 Monotonie

EXERCICE 13.1.Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes :

1. un = 1+ 1n pour n ≥ 1 ; 2. vn = n+ 1

n pour n ≥ 1 ; 3. wn =( 1

3

)npour n ∈N.

EXERCICE 13.2.Étudier la monotonie de chacune des suites suivantes :

1. un = 1n+2 pour n ∈N ;

2. vn = 2n+1n+3 pour n ∈N ;

3. un = n−n2 pour n ∈N ;

4. wn = 3n pour n ∈N.

EXERCICE 13.3.(vn) est la suite définie pour tout entier strictement positif par vn = 2n

n2

1. Calculer ses quatre premiers termes.

2. On cherche à montrer que la suite est croissante à partir du rang n = 3.

(a) Résoudre l’inéquation 2x2

(x+1)2 > 1.

(b) Montrer que vn+1vn

= 2n2

(n+1)2 .

(c) Conclure.

13.4.2 Convergence

Certains des exercices de ce paragraphe sont des reprises d’exercices ou problèmes du chapitre 4 mais abordés de manièredifférente.

EXERCICE 13.4.Le nombre d’adhérents d’un club sportif augmente de 5 % chaque année. En 1990, il y avait 500 adhérents.Question : comment va évoluer le nombre d’adhérents au cours du temps ?

Pour chaque année à partir de 1990 on note un le nombre d’adhérents l’année 1990+n.

1. Préciser la nature de la suite (un ) puis exprimer un en fonction de n.

2. À l’aide d’un algorithme de seuil, répondre à la question.

EXERCICE 13.5.On se place dans la situation de l’activité 13.2, page 126.En fait l’usine en question stocke sa production au fur et à mesure pour honorer une commande de peinture.Question : L’usine pourra-t-elle honorer une commande de 15 000 L et, si oui, en combien de jours ? Et de 60 000 L ?

1. Que fait l’algorithme suivant ?

ENTREES

n

INITIALISATION

-

TRAITEMENT

s PREND LA VALEUR 1000*(1-0,98^(n+1))/(1-0,98)

SORTIES

AFFICHER s

2. Modifier cet algorithme afin qu’il indique en combien de jours un seuil peut être atteint et le programmer sur sacalculatrice.

3. Répondre à la première partie de la question.

4. Que se passe-t-il quand on entre comme seuil 60 000 L ?Modifier l’algorithme pour qu’il s’arrête si jamais le nombre de jours est supérieur à un an.Que peut-on alors conseiller aux dirigeants de l’usine ?




EXERCICE 13.6.Un fournisseur fait une étude sur la fidélité de sa clientèle depuis l’année n = 0, où il y a eu 200 clients. Chaque année,sa clientèle est composée de 50% des clients de l’année précédente auxquels s’ajoutent 400 nouveaux clients.

Soit un le nombre de clients l’année n. On a donc un+1 = 0,5un +400.

On considère la suite (vn) définie par vn = un −800.

1. Vérifier que vn+1 = 0,5vn .

2. Quelle est la nature de la suite (vn) ?

3. En déduire l’expression de vn , puis celle de un , en fonction de n.

4. Calculer u100, u1000 et u10000.Conjecturer alors la limite ℓ de la suite (un ). Comment l’interpéter ?

5. Il est dit que dans ce cas on peut rendre un aussi proche de ℓ que l’on veut : il suffit de prendre n suffisammentgrand.

(a) Concevoir un algorithme de seuil prenant comme argument un nombre ǫ (petit) et retournant la premièrevaleur de n telle que ℓ−ǫ< un < ℓ+ǫ.

(b) À l’aide de cet algorithme, compléter le tableau suivant :

ǫ 10 5 2 1 0,1 0,01 0,001n

EXERCICE 13.7.Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1500 employés.Une étude montre que lors de chaque année à venir, 10 % de l’effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours del’année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l’entreprise embauche 100 jeunes dans l’année.Question : Comment va évoluer sur le long terme le nombre d’employés dans cette entreprise ?

Pour tout entier n on appelle un le nombre d’employés le 1er janvier de l’année (2005+n). On a donc un+1 = 0,9un +100.

On pose vn = un −1000.

1. Déterminer v0, v1, v2 et v3.

2. Montrer que (vn) est géométrique.

3. En déduire vn en fonction de n.

4. En déduire un en fonction de n.

5. Conjecturer alors la limite ℓ de la suite (un ). Comment l’interpréter ?

6. Il est dit que dans ce cas on peut rendre un aussi proche de ℓ que l’on veut : il suffit de prendre n suffisammentgrand.

(a) Concevoir un algorithme de seuil prenant comme argument un nombre ǫ (petit) et retournant la premièrevaleur de n telle que |un −ℓ| < ǫ.

(b) À l’aide de cet algorithme, compléter le tableau suivant :

ǫ 10 5 2 1 0,1 0,01 0,001n

David ROBERT 129

Chapitre 14

Applications du produit scalaire

Sommaire14.1 Équations cartésiennes de droites et de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14.1.1 Équations cartésiennes de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

14.1.2 Équations cartésiennes de cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

14.2 Relations métriques dans le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

14.2.1 Formule d’AL-KASHI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

14.2.2 Formule de l’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

14.2.3 Formule des sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

14.2.4 Formule de HÉRON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

14.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

14.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

14.3.2 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.3.3 Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.3.4 Formules de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.3.5 Démonstrations des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

14.4.1 Équations cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

14.4.2 Relations métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

14.4.3 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

La plupart des démonstrations nécessitent d’avoir traité le chapitre 11 sur le produit scalaire.

14.1 Équations cartésiennes de droites et de cercles

14.1.1 Équations cartésiennes de droites

Le produit scalaire nous permet d’obtenir d’une autre manière l’équation cartésienne d’une droite.

Définition 14.1. Le plan est muni d’un repère(O ;~ı,~

). On appelle vecteur normal à une droite D tout vecteur ~n non

nul orthogonal à un vecteur directeur de D.

Théorème 14.1. Le plan est muni d’un répère(O ;~ı ,~

)orthonormal. Soit ~n(a ; b) un vecteur non nul. Alors :

• Toute droite de vecteur normal ~n admet une équation de la forme ax +by +c = 0.• Toute droite admettant une équation de la forme ax +by +c = 0 admet ~n = (a ; b) comme vecteur normal.


Propriété 14.2 (Distance d’un point à une droite). Le plan est muni d’un repère(O ;~ı,~

)orthonormal.

Soit D : ax +by +c = 0 une droite et M(α ; β) un point quelconque du plan.La distance de M à D, notée d(M ,D) est

d(M ,D) =|aα+bβ+c|p

a2 +b2


131

14.2 Relations métriques dans le triangle Première S

14.1.2 Équations cartésiennes de cercle

Le produit scalaire nous permet d’obtenir un autre type d’équation cartésienne de cercle.

Théorème 14.3. Le plan est muni d’un repère(O ;~ı ,~

)orthonormal.

Soit A(xa ; ya ) et B(xb ; yb) et C le cercle de diamètre [AB].Alors tout point M de C a ses coordonnées qui vérifient (x − xa )(x − xb)+ (y − ya)(y − yb) = 0.

Preuve. Soit M un point quelconque du plan. On a−−→M A.

−−→MB = (x − xa )(x − xb)+ (y − ya )(y − yb).

Si M = A ou M = B alors−−→M A =~0 ou

−−→MB =~0 donc

−−→M A.

−−→MB = 0.

Si M distinct de A et de B alors le triangle AMB est rectangle en M donc−−→M A.

−−→MB = 0. ♦

14.2 Relations métriques dans le triangle

Dans toute cette section, on parle d’un triangle ABC nonaplati dont on note les longueurs a = BC , b = AC et c = ABet S son aire.

B C

A

a

bc

14.2.1 Formule d’AL-KASHI

Théorème 14.4. Avec les conventions de notations vues plus haut, on a

a2 = b2 +c2 −2bc cos A


Remarques. • Si le triangle est rectangle en A, on retrouve le théorème de PYTHAGORE qui n’en est qu’un cas particulier.La formule d’AL-KHASI s’appelle aussi Pythagore généralisé.

• En permutant les côtés et les angles, on a aussi :

· b2 = a2 +c2 −2ac cos B ; · c2 = a2 +b2 −2ab cosC .

14.2.2 Formule de l’aire

Propriété 14.5. Avec les conventions de notations vues plus haut :

S = 1

2bc sin A = 1

2ac sin B = 1

2ab sinC

Preuve. Deux situations sont à considérer :

Situation 1(triangle acutangle)

A H B

C

Situation 2(triangle obtusangle)

H A B

C

L’aire du triangle est donnée par : S = 12 AB ×C H .

Or C H = AC sin A (situation 1) ou C H = AC sin(π− A

)= AC sin A (situation 2).

Dans les deux cas, S = 12 AB × AC sin A = 1

2 bc sin A.En permutant, on obtient les deux autres égalités. ♦



Première S 14.3 Trigonométrie

14.2.3 Formule des sinus

Propriété 14.6. Avec les conventions de notation vues plus haut :

a

sin A=

b

sin B=

c

sinC

Preuve. D’après ce qui précède, on a : S = 12 bc sin A = 1

2 ac sin B = 12 ab sinC .

En multipliant par 2abc , on obtient 2S

abc = sin Aa = sin B

b = sinCc .

Le triangle étant non aplati, les angles sont non nuls et les sinus de ces angles aussi, on peut donc inverser ces quotients :abc2S = a

sin A= b

sin B= c

sinC♦

Exemple. Soit ABC un triangle tel que c = AB = 5 cm, A = 40˚ et B = 30˚.Alors C = 180−40−30 = 110˚et, comme a

sin A= b

sin B= c

sinC, on obtient a

sin 40 = bsin30 = 5

sin110 puis a ≈ 3,42 cm et b ≈ 2,66cm.

14.2.4 Formule de HÉRON

Propriété 14.7. Avec les conventions de notations vues plus haut et en notant p le demi-périmètre du triangle (2p =a +b +c), on a :

S =√

p(p −a)(p −b)(p −c)

On l’admettra.

14.3 Trigonométrie

14.3.1 Rappels

On a déjà vu, en Seconde et lors du chapitre 10 sur les angles orientés, les propriétés suivantes :

cos2 x + sin2 x = 1

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

sin x 01

2

p2

2

p3

21

cos x 1

p3

2

p2

2

1

20

x

π2 − xπ

2 + x

π− x

π+ x −x

cos(π2 − x

)= sin x

sin(π2 − x

)= cos x

cos(π2 + x

)=−sin x

sin(π2 + x

)= cos x

cos(π− x) =−cos x

sin(π− x) = sin x

cos(π+ x) =−cos x

sin(π+ x) =−sin x

cos−x = cos x

sin−x =−sin x

Nous allons voir qu’il en existe d’autres.

David ROBERT 133

14.3 Trigonométrie Première S

14.3.2 Formules d’addition

Propriété 14.8. Pour tous réels a et b on a :

• cos(a −b) = cos a cos b + sin a sinb• cos(a +b) = cos a cos b − sin a sinb

• sin(a −b)= sin a cosb −cos a sin b• sin(a +b)= sin a cosb +cos a sin b

14.3.3 Formules de duplication

Propriété 14.9. Pour tout réel a on a :

• cos(2a) = cos2 a − sin2 a • sin(2a) = 2sin a cosb

14.3.4 Formules de linéarisation

Propriété 14.10. Pour tout réel a on a :

• cos2 a = 1+cos(2a)2 • sin2 a = 1−cos(2a)

2

14.3.5 Démonstrations des formules

Le point de départ de toutes les formulesÉtudions la quantité cos(a −b) où a et b sont deux nombres réels.Dans un repère orthonormé

(O ;~ı,~

)considérons deux vecteurs −→u et −→v unitaires (c’est-à-dire de norme 1) et tels que(−→ı ; −→u

)= a et

(−→ı ; −→v)= b (voir le schéma).

O~ı

~−→u−→v

a

b

On sait que(−→u ; −→v

)=

(−→u ; −→ı)+

(−→ı ; −→v)= b −a.

Or on a −→u .−→v = ‖−→u ‖×‖−→v ‖×cos(−→u ; −→v

)= cos(b −a)

donc −→u .−→v = cos(b −a) = cos(a −b) car cos x = cos(−x).

On sait aussi que −→u =(

cos asin a

)et −→v =

(cosbsin b

).

Et donc −→u .−→v = cos a cosb + sin a sin b.Ce qui nous donne la première formule de trigonométrie :

cos(a −b) = cos a cos b + sin a sinb

De celle-ci on va déduire toutes les autres.

Les autres formules d’additionOn a démontré que cos(a −b) = cos a cosb + sin a sin b.

Montrons que cos(a +b)= cos a cosb − sin a sin b :cos(a +b) = cos(a − (−b))

= cos a cos(−b)+ sin a sin(−b)

= cos a cos b − sin a sin b

Montrons que sin(a −b) = sin a cosb −cos a sin b :

sin(a −b)= cos(π

2− (a −b)

)= cos

(π2−a +b)

)

= cos(π

2−a

)cosb − sin

(π2−a

)sin b

= sin a cosb −cos a sin b




Montrons que sin(a +b) = sin a cosb +cos a sin b :sin(a +b)= sin (a − (−b))

= sin a cos(−b)−cos a sin(−b)

= sin a cosb +cos a sin b

Les formules de duplicationMontrons que cos(2a) = cos2 a − sin2 a :

cos(2a) = cos(a +a)= cos a cos a − sin a sin a = cos2 a − sin2 a

Montrons que sin(2a) = 2sin a cosb :

sin(2a) = sin(a +a)= sin a cos a +cos a sin a = 2sin a cosb

Les formules de linéarisationMontrons que cos2 a = 1+cos(2a)

2 :

cos(2a) = cos2 a − sin2 a = cos2 a − (1−cos2 a)= 2cos2 a −1

donccos(2a) = 2cos2 a −1 ⇔ 1+cos(2a) = 2cos2 a

⇔ 1+cos(2a)

2= cos2 a

Montrons que sin2 a = 1−cos(2a)2 :

cos(2a) = cos2 a − sin2 a = (1− sin2 a)− sin2 a = 1−2sin2 a

donccos(2a) = 1−2sin2 a ⇔ cos(2a)−1 =−2sin2 a

⇔ cos(2a)−1

−2= sin2 a

⇔ sin2 a = 1−cos(2a)

2

14.4 Exercices

14.4.1 Équations cartésiennes

Dans tous les exercices de ce paragraphe, le plan est muni d’un repère orthonormal.

EXERCICE 14.1.On donne A(1; 2), B(2; 1) et C (−3; 0). Déterminer une équation cartésienne de la droite D passant par C et de vecteur

normal−→AB .

EXERCICE 14.2.Déterminer l’équation du cercle de centre Ω(5; 1) et tangent à la droite D d’équation x + y −4 = 0.

EXERCICE 14.3.On considère un triangle ABC avec A(−1; 2), B(3; 1) et C (2; 4).

1. Déterminer une équation de la médiatrice du segment [AB].

2. Déterminer une équation de la hauteur issue de A dans le triangle ABC .

EXERCICE 14.4.On donne Ω(2; −3).

1. Déterminer l’équation du cercle C de centre Ω et de rayon r = 5.

2. Démontrer que le point A(−2; 0) est un point du cercle C .

3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle C .

EXERCICE 14.5.Soit A(3; 5). Chercher une équation de la tangente en A au cercle C de centre O, origine du repère, et passant par A.

EXERCICE 14.6.Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient : (x −3)(x +2)+ (y −1)(y −4) = 0.

David ROBERT 135


14.4.2 Relations métriques

EXERCICE 14.7.ABC est un triangle tel que a = 2, b = 3 et c = 4. Calculer la valeur exacte de l’aire S de ABC .

EXERCICE 14.8.ABC est un triangle tel que b = 3, c = 8 et A = 60˚. Calculer la valeur exacte de a ainsi que les mesures de B et C (endegrés à 10−1 près).

EXERCICE 14.9.ABC est un triangle tel que b = 6

p2, A = 105˚ et C = 45˚. Calculer les valeurs exactes de a et c.

EXERCICE 14.10.ABC est un triangle tel que BC = 4, B = π

4 rad et C = π3 rad.

1. Montrer que sin A =p

6+p

24 .

2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC .

3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ABC

EXERCICE 14.11.ABC est un triangle tel que S = 5 cm2, c = AB = 13 cm et b = AC = 2 cm. Calculer la (ou les) longueur(s) possible(s) dutroisième côté a = BC .

EXERCICE 14.12.ABC est un triangle tel que AB = 7, AC = 4 et A = 60˚.

1. Calculer la valeur exacte de BC . 2. Calculer la valeur exacte de sin B .

EXERCICE 14.13.ABCD est un quadrilatère convexe. On note θ l’angle en-tre ses deux diagonales (AC ) et (BD). Démontrer que l’aireS du quadrilatère ABCD est donnée par :

S = 1

2× AC ×BD sinθ

A

B

C

D

θ

EXERCICE 14.14.Un promeneur marche 5 km en direction de l’Est, puis 2 km en direction du Nord-Est. Surpris par le mauvais temps, ilretourne directement à son point de départ en courant.Sur quelle distance d a-t-il couru ? (On donnera la valeur exacte, puis la valeur approchée arrondie à 10 m).

EXERCICE 14.15.Montrer que « ABC est un triangle rectangle en A ⇔ sin2 A = sin2 B + sin2 C ».

14.4.3 Trigonométrie

EXERCICE 14.16.Montrer que, pour tous réels a et b : sin(a +b)sin(a −b) = sin2 a − sin2 b

EXERCICE 14.17.En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de sin 7π

12 et cos 7π12 . On pourra utiliser l’égalité 7π

12 = π4 + π

3 .

EXERCICE 14.18.Montrer que, pour tout réel x : cos4 x − sin4 x = cos(2x)

EXERCICE 14.19.Montrer que, pour tout réel x différent de k π

2 , où k ∈Z : sin3xsin x − cos 3x

cos x = 2

EXERCICE 14.20.Résoudre dans R les équations suivantes :

• 2sin3 x −17sin2 x +7sin x +8 = 0 ; • 2cos3 x −7cos2 x +3 = 0 ; • 2sin3 x +cos2 x −5sin x −3 = 0.




EXERCICE 14.21.Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan π

8 =p

2−1.

On rappelle que tan x = sin xcos x pour tout x ∈D =R−

π2 +kπ

où k ∈Z.

1. Démontrer que pour tout x ∈D : tan(π+ x) = tan x. En déduire la valeur exacte de tan 9π8 .

2. Démontrer que pour tout x ∈D : 1+ tan2 x = 1cos2 x

. En déduire la valeur exacte de cos π8 puis de sin π

8 .

3. Calculer la valeur exacte de cos 5π8 .

EXERCICE 14.22.Dans cet exercice, on dipose de la donnée suivante : tan π

12 = 2−p

3.

1. Soit x ∈]0; π

2

[. Démontrer que tan

(π2 − x

)= 1

tan x .

2. En déduire que tan 5π12 = 2+

p3.

EXERCICE 14.23.Dans cet exercice on donne : cos π

5 = 1+p

54 . Calculer la valeur exacte de cos 2π

5 puis de cos 3π5

EXERCICE 14.24.Démontrer que, pour tout x ∈

]0; π

2

[: tan x = 1−cos(2x)

sin(2x) . En déduire les valeurs exactes de tan π8 et tan π

12 .

EXERCICE 14.25.ABC est un triangle non rectangle.

1. Démontrer que tan(A+B) = tan A+tan B1−tan A tan B .

2. Démontrer que tan(A+B) =− tanC .

3. En déduire la relation : tan A+ tan B + tanC = tan A× tanB × tanC

David ROBERT 137

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Mathématiques enPremière S - Perpendiculairesperpendiculaires.free.fr/wp-content/1s-2012-2013.pdf · 2013-08-31 · 1.2 Trinôme PremièreS 1.2 Trinôme 1.2.1 Déﬁnition,formedéveloppée