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Année universitaire 2018/2019

Licence économie-gestion 1ère année Double licence mathématiques-économie 1ère année

Double licence langues étrangères appliquées (LEA) et économie et gestion 1ère année Prépa ENS Cachan 1ère année

Semestre 1 – Session 1 / Contrôle continu

Novembre 2018

Matière : Mathématiques I Enseignants du cours : Brigitte GODBILLON-CAMUS et Sandrine SPAETER-LOEHRER Durée : 1h30 Aucun document autorisé Calculatrice non programmable autorisée

Exercice 1. (3,5 points) Simplifiez les expressions suivantes :

1) !!− !

!

!!!!

2) 𝑛 − !!!!!

3) !

!!! ! ! !!!!

!! !!!!

Corrections :

a) (1 point) !!− !

!

!!!!

= !×!!×!

− !×!!×!

!!!×! = !"!!"!"

!!= !!

!"

!!= !

!!!"

! = 35! = 1225 ;

b) (1 point) 𝑛 − !

!!!!= 𝑛 − !

!!!

!!= 𝑛 − !

!!!!= 𝑛 − 𝑛× !

!!!= 𝑛× !!!

!!!− 𝑛× !

!!!

= 𝑛× !!!

!!!− !

!!!= − !

!!! ;

c) (1,5 points) !

!!!!!

!!!!!! !

!!!=

!!!! ×

!!!!!! !

!!!! !!!

!×!!!!!!!!

!!!=

!!! !!!!! !!!! !!! !!

!!!

= !!!!!! !!!

× !!!!!!!!!

= !!!(!!!)

× !(!!!)(!!!)

= !(!!!)!

;

Exercice 2. (3,5 points) Donnez l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

1) 𝑓 𝑥 = !(!!!!)

2) 𝑔 𝑥 = 𝑥! − 9

3) ℎ 𝑥 =ln( !!!!!!!!"

)

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Correction:

1) (1 point) f(x) = !(!!!!)

On doit avoir : 1− 𝑒! ≠ 0

On exclut la(es) valeure(s) pour la(s)quelle(s) ona : 1− 𝑒! = 0

1− 𝑒! = 0

𝑒! = 1

ln (𝑒!) = ln(1)

x = 0 , c’est la valeur à exclure. Donc Df= R \ {0}= R*

___________________________________________________________________________________

2) (1 point) g(x) = 𝑥! − 9 On doit avoir : 𝑥! − 9 >= 0

Ou encore (x+3)*(x-3) >=0 ce qui se traduit par :

x+3 >=0 et x-3 >=0

Ou

x+3 <=0 et x-3 <=0

On obtient alors,

x >= -3 et x >= 3 qu’on remplace par x >=3 c-a-d x dans [3 ; +∞[

Ou

x <=-3 et x<= 3 qu’on remplace par x <= -3 c-a-d x dans ]-∞ ; -3]

Donc l’ensemble de définition est la réunion des deux intervales : Dg= ]-∞ ; -3] u [3 ; +∞[

__________________________________________________________________________________

3) (1,5 points) h(x) = ln( !!!!!!!!"

)

On doit avoir : 𝑥! − 2𝑥 − 15 ≠ 0 et !!!!!!!!"

> 0

Pour 𝑥! − 2𝑥 − 15 ≠ 0 , on cherche les deux racines de 𝑥! − 2𝑥 − 15 (qu’il faut exclure du domaine de définition)

On a ∆ = (-2)2 – 4* 1* (15) = 64

Donc x1 = (2+8)/2 = 5 et x2 = (2-8)/2 = -3

Ensuite, pour !!!!!!!!"

> 0

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!!!!!!!!"

> 0 équivaut à 𝑥! − 2𝑥 − 15 > 0

Or le signe de 𝑥! − 2𝑥 − 15 est celui du coefficient de x2 (ici +1) à l’extérieur des deux

Racines, c-a-d que 𝑥! − 2𝑥 − 15 > 0 si x est dans ]-∞ ; -3[ u ]5 ; +∞[

Donc l’ensemble de définition est la réunion des deux intervales privés des deux racines :

Dh= ]-∞ ; -3[ u ]5 ; +∞[

Remarque : On peut aussi factoriser 𝑥! − 2𝑥 − 15 𝑒𝑛 𝑥 + 3 𝑥 − 5 puis dresser un tableau de signes pour trouvers les intervales correspondants à 𝑥! − 2𝑥 − 15 > 0

Exercice 3. (5 points) Les ingénieurs des Chantiers de l’Atlantique (societé STX) ont mis au

point une modélisation permettant de prévoir le profit annuel de l’entreprise via la fonction de

profit 𝑃 𝑞 où 𝑞 représente le nombre de paquebots produits: 𝑃 𝑞 = !!!!!!"!!!"!!!

1. (2 points) Pour combien de paquebots produits le profit de l’entreprise est-il nul?

Il faut donc trouver les valeurs de q pour lesquelles P(q) est nul, on résout donc l’équation −5𝑞! + 15𝑞 − 10 = 0. Méthode du discriminant : ∆= 25, 𝑞0! = 1 𝑒𝑡 𝑞0! = 2. Mais la fonction n’est pas définie pour q=2. Donc P(q)=0 pour q=1.

2. (1 point) Pourquoi cette fonction ne colle-t-elle pas à la réalité économique de l’entreprise ?

On doit pouvoir définir le profit de l’entreprise quand 2 paquebots sont vendus !

3. (2 points) Les ingénieurs remédient à ce problème et parviennent à modéliser le profit de l’entreprise via la fonction 𝜋 𝑞 = 6𝑞! − 10𝑞 − 10. Combien de paquebots l’entreprise doit-elle produire pour commencer à faire du profit ? On résout donc l’inéquation 𝜋 𝑞 ≥ 0. ∆= 100− 4 −60 = 340, 𝑞0! =

!"! !"#!"

= −0,7 𝑒𝑡 𝑞0! =!"! !"#

!"= 2,37.

On peut passer au tableau des signes pour étudier le signe du polynôme : Valeurs de q : 0 2 ,37 Infini 6𝑞! − 10𝑞− 10

------------------ 0 ++++++++++++++++++++++++++++++++++

Les chantiers doivent donc produire au moins 3 paquebots par an pour être rentables ( notion de seuil de rentabilité).

Exercice 4. (3 points) On considère la fonction 𝑓 définie sur 𝐼 = 1 ; + ∞ telle que

𝑓 𝑥 = !!

𝑥 + !"!"

1) Montrez que 𝑓 est monotone sur 𝐼 .

2) Montrez que 𝑓 réalise une bijection de I sur un ensemble 𝐽 à préciser.

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3) Déterminez 𝑓!! (n’oubliez pas de préciser le domaine de définition de 𝑓!!)

Correction :

1) (0,5 point) 𝑓! 𝑥 = !!

> 0 il y a donc stricte monotonie. Autrement on peut montrer que la fonction conserve l’ordre (comme fait en TD) à savoir : Pour tout a et b de 𝐼 tels que 𝑎 < 𝑏 on a 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏 = !

! 𝑎 − !

! 𝑏

Comme on a : 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 − 𝑏 < 0 ⇔ !!

𝑎 − !!

𝑏 < 0 ⇔ !!

𝑎 + !"!"− !

! 𝑏 − !"

!"< 0

On a donc 𝑓 𝑎 − 𝑓 𝑏 < 0 ainsi f est strictement croissante sur l’intervalle I (donc strictement monotone sur I).

2) (1,5 points) Puisque 𝑓 est strictement monotone sur 𝐼, elle réalise une bijection de 𝐼 sur 𝐽 = 𝑓(𝐼). De plus, 𝑓 est une fonction continue en tant que polynôme de degré 1 sur I, ainsi 𝐽 = 𝑓(𝐼) est un intervalle. Cf : corollaire du Théorème de Weierstrass vu en TD. On en déduit que 𝐽 = lim!→! 𝑓 𝑥 ; lim!→!! 𝑓 𝑥 = 𝑓(1) ; + ∞ = 3,2 ; + ∞

3) (1 point) L’ensemble de définition de 𝑓!! est donc 𝐽 = 𝑓 𝐼 = 3,2 ; + ∞ 𝑓!! ∶ 3,2 ; + ∞ → 1 ; + ∞ 𝑦⟼ 𝑓!! 𝑦 = !

! 𝑦 − !"

!"

Exercice 5. (5 points) Dites si les affirmations qui suivent sont vraies ou fausses et

EXPLIQUEZ POURQUOI pour chaque question posée.

(1) (1,5 points avec explication) Le salaire de Laura augmente de 100€ tous les six mois.

Chaque augmentation de salaire supplémentaire lui rapporte un supplément d’utilité

positif mais plus faible.

Affirmation : La relation entre l’utilité et le salaire de Laura est croissante et convexe.

Faux. Les préférences de Laura vis-à-vis de son salaire sont concaves car chaque

augmentation de salaire lui procure une supplément de bien-être plus faible et donc le bien-être croît mais on a une croissance de ce bien-être qui diminue. La relation entre le bien-être de Laura et son salaire est donc croissante et concave.

. (2) (1,5 points avec explication) L’espérance de vie à la naissance (variable 𝑥 plus bas) peut

s’exprimer en nombre décimal. Par exemple, d’après l’ONU l’espérance de vie à la naissance en France en 2015 était de 85,6 ans pour les femmes. Sachant cela, les affirmations sont :

a. On peut écrire 𝑥 ∈ ℕ Faux. Il s’agit ici d’un nombre décimal.

b. On peut écrire 𝑥 ∈ ℚ∗! Vrai. Oui, ceci peut être écrit sous la forme d’une fraction (428/5) et ce nombre est strictement positif.

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c. On peut écrire 𝑥 ∈ ℝ Vrai. Car ℚ∗! ⊂ ℝ.

(3) (2 points avec explication) En 2018, la France a un PIB 23,6 fois plus élevé que celui

du Maroc. Affirmation : Dans l’hypothèse où la France connaît une croissance économique annuelle de 1% à partir de 2018 et le Maroc de 4%, il faudra 108 ans pour que le PIB du Maroc soit équivalent à celui de la France. (Rappel : vous devez expliquer vos réponses).

Vrai/Faux ??? Comme PIBF=23,6.PIBM Et qu’on cherche valeur de t telle que 𝑃𝐼𝐵𝐹. 1,01 ! = 𝑃𝐼𝐵𝑀. 1,04 ! Il faut résoudre en t l’équation suivante : 23,6.𝑃𝐼𝐵𝑀. 1,01 ! = 𝑃𝐼𝐵𝑀. 1,04 ! Et on trouve donc 𝑡 = !" (!",!)

!" !,!" !!" (!,!")= 108,0015 qui est très proche !!! de 108

(Quelle valeur a été donnée en Amphi ???) Donc si valeur 108 a été donnée en Amphi, c’est VRAI si valeur 108,0015 je pense qu’on peut accepter les 2 réponses : VRAI (car il faudra environ 108 ans pour que le PIB du Maroc soit équivalent à celui de la France) et FAUX (car il faudra un petit peu plus de 108 ans pour que le PIB du Maroc soit équivalent à celui de la France). On peut retenir qu’ici l’important ce sont surtout les explications !!!