Fiche mathématiques financières

Thème 1 : Les taux d'intérêts simples et composés

Taux d'intérêts simples :

Les taux d'intérêts simples sont appliqués dans le cas d'emprunts dont la durée est inférieure à 1 an.

Pour calculer les intérêts , on utilise la formule :

I =C xr xT

Où I représente les intérêts , C le capital emprunté , r le taux et T le nombre de mois.Si la durée est exprimée en jour , pour calculer T , on divise le nombre de jour par 365.

Exemple : Pour un emprunt d'un capital C=1000€ sur une durée de 108 jours , et au taux annuel de 5%.

I = C x r x T I = 1000 x 0.05 x ( 108/365 ) = 14,79€

La valeur acquise est le montant final récupéré par le prêteur à la fin de l'opération.

V acq = C (1+T x r )

Le taux de rendement annuel arithmétique est utilisé quand on a les valeurs de départ , d'arrivée et la durée mais pas le taux , il se trouve grâce à :

r arith = (C1 – C0)

(C0 x T )

Taux d'intérêts composés :

Les taux d'intérêts composés sont appliqués pour les emprunts dont la durée est supérieure à 1 an.

La valeur acquise est cette fois égale à :

V acq = C (1+r )T

Exemple : On place 10000€ sur 5 ans au taux annuel de 5%. Calculer la V acq et les intérêts.

V acq=10000(1+0 ,05)5=12762,82

I =12762,82 – 10000=2762,82

Si les durées ne sont pas en années complètes , on prend le nombre d'années auxquelles on ajoute le nombre de jours.

Exemple : Pour 3 ans et 56 jours , T=3+56365

Pour les intérêts composés , on ne parle plus de taux arithmétique mais de taux de rendement actuariel , pour le calculer , on utilise :

r act=(C1

C 0

)(

1T

)

−1

Pour trouver le taux arithmétique correspondant au taux de rendement actuariel , dans le cas d'une comparaison entre un intérêt simple et un intérêt composé , on utilise la formule :

(1+T∗r arith)=(1+ract)T

Thème 2 : Les principes d'actualisation et de capitalisation

Le principe d'actualisation à la valeur présente signifie que disposer de a t à l'instant t équivaut à

disposer de a t

(1+r )t à l'instant 0.

a0=at

(1+r )t on appelle ça la valeur actuelle ou valeur présente.

La valeur présente d'une séquence est donnée par la formule :

VP=F0+F1

(1+r )+

F2

(1+r )2 …+F n

(1+r )n

Si les flux sont égaux sur une même période , on peut simplifier la formule en utilisant les suites géométriques :

S n=F

(1+r )+

F(1+r )2 …+

F(1+r )n =F .

(1−(1+r )−n)

r

La valeur acquise à la fin d'une séquence de flux est égale à :

V acq=F 0∗(1+r )n+F1∗(1+r )(n−1)

+…+F (n−1)∗(1+r )+F n

/!\ VAN=VNP=VPUn investissement est jugé bon seulement si sa VAN est positive. Plus celle-ci est grande plus l'investissement est intéressant.

Taux de rentabilité interne :

Il est utilisé pour trouver le taux d'une séquence de flux.Pour ceci , on utilise la formule de la VAN en choisissant deux taux r pour encadrer la VAN.L'un d'eux doit donner une VAN>0 et l'autre une VAN<0.

Une fois ces deux taux trouvé et les deux VAN calculée on peut trouver le taux « réel » de la séquence de flux grâce à la formule :

r ou TRI=(r 2∗VAN (r1)– r1∗VAN (r2))

(VAN (r1)−VAN (r2))

Il y a deux cas spéciaux pour lesquels on peut calculer plus facilement le TRI ou r. La rente perpétuelle ( on touche le même montant toutes les périodes sur une durée infinie ) et le remboursement in fine ( on rembourse tous les mois le même montant et à la fin , on rembourse ce montant plus l'emprunt initial ).

Dans ces cas , le TRI our=yx

y étant le montant que l'on paye chaque mois.X étant l'emprunt initial.

Thème 3 : Les prêts et emprunts

Remboursements usuels :

Tout emprunt d'un montant C est remboursé en plusieurs annuités sur une période donnée. A chaque annuité , il faut calculer le capital restant dû afin de trouver les intérêts de la période.

Il existe deux types de remboursement :

-celui à amortissement constant ( l'amortissement est toujours le même seuls l'annuité et les intérêts changent ).-celui à annuité constante ( l'annuité ne change jamais , seuls l'amortissement et les intérêts changent ).

Les intérêts sont toujours calculés selon le capital restant dû de la période précédente.

Une annuité se compose du remboursement partiel du prêt + les intérêts ( I t=r xCRD(t−1 ) )

r étant le taux du marché et CRD(t−1) le capital restant du à la fin de la période précédente.

L'amortissement est égal à l'annuité – les intérêts ( Amt=F− I )

Il existe deux types de versement des intérêts , à terme échu et termes à échoir.

A terme échu signifie que l'intérêt est versé à la fin de l'opération ( ou de chaque période de remboursement ).Ainsi, une somme V placée ou empruntée pendant j jours au taux r postcompté donnera lieu j jours plus tard à un remboursement de :

V F = V + I

Terme à échoir signifie que l'intérêt est versé au début de l'opération ( ou de chaque période de remboursement ). Ainsi, une somme V empruntée sur j jours au taux i précompté ne donne lieu au début de l'opération qu'à un versement de : V0 = V - I A l'échéance , l'emprunteur devra rembourser V.

Dans le cas d'annuités constantes, on utilise la formule suivante pour les trouver :

F=(r xC )

(1−(1

(1+r )n ))

F est l'annuité , r le taux , C le capital emprunté et n le nombre de périodes.

Exemple :

Soit un crédit de 500 000€, à annuités constantes payées terme échu, de taux d'intérêts 6,45%. Le remboursement se fait sur 10ans.

Calculer l'annuité et faire le tableau d'amortissement.

F=(r xC )

(1−(1

(1+r)n ))= F=

(6,45 x500000)

(1−(1

(1+6,45 )10 ))

=69389,69€

Date Total à payer ( annuité )

Intérêts Amortissement du capital

Capital restant dû

0 500 000,00 €

1 69 389,69 € 32 250,00 € 37 139,69 € 462 860,31 €

2 69 389,69 € 29 854,49 € 39 535,20 € 423 325,11 €

3 69 389,69 € 27 304,47 € 42 085,22 € 381 239,89 €

4 69 389,69 € 24 589,97 € 44 799,72 € 336 440,17 €

5 69 389,69 € 21 700,39 € 47 689,30 € 288 750,87 €

6 69 389,69 € 18 624,43 € 50 765,26 € 237 985,61 €

7 69 389,69 € 15 350,07 € 54 039,62 € 183 945,99 €

8 69 389,69 € 11 864,52 € 57 525,17 € 126 420,82 €

9 69 389,69 € 8 154,14 € 61 235,55 € 65 185,27 €

10 69 389,69 € 4 204,45 € 65 185,24 € 0,03 €

Prise en compte des assurances et autre frais :

Lors de la souscription d'une assurance, les intérêts sont majorés à chaque période d'un taux i ( représentant le paiement de l'assurance ), ainsi lorsqu'on les calcule, il faut les ajouter au taux r d'où

k=r+i

k est le taux final utilisé dans les opérations de calcul. Il remplace le r dans la formule de l'annuité constante par exemple.

F=(k xC )

(1−(1

(1+k )n ))

Dans le tableau d'amortissement il convient de rajouter une colonne dédiée à ces frais pour bien les distinguer des intérêts.

Taux effectif global :

Le TEG sert à comparer le coût de deux emprunts tout frais compris ( assurances , frais de dossiers , taux d'intérêts ..).

Le TEG noté r est tel que :

0=(C – f )+F1

(1+r )+

F 2

(1+r )2 +… .+Fn

(1+r )n

f représentant les frais de dossier et F les annuités assurances comprises.

Cette méthode revient à faire celle du TRI ( cf Thème 2 ) pour trouver r. Plus r est petit , plus l'emprunt est intéressant pour l'emprunteur.

Relation entre TEG et TAEG :

TEG= p x r p

TAEG=(1+r p)p−1

Le TAEG est un peu plus précis que le TEG pour donner l'équivalent annuel d'un taux mensuel.

Conversion du taux annuel en taux période :

Lorsque les prêts et emprunts sont effectués avec une période différente de l'année, il faut convertir le taux annuel selon la période.La période peut être le mois , la semaine , le trimestre...

Il existe deux types de taux période :

-Actuariel, on prend compte de la formule des intérêts composés.

k p=(1+k a)(

1p)

−1

Réciproquement :k a=(1+k p)

p−1

k p est le taux période actuariel , k a le taux annuel et p le nombre de périodes.

-Proportionnel, on divise le taux annuel par le nombre de périodes contenues dans une année.

k p=k a

p

Réciproquement :k a=p x k p

k p est le taux proportionnel , k a le taux annuel et p le nombre de périodes.

En général , c'est le taux période proportionnel qui est utilisé en France.

Exemples :

Soit un taux annuel de 13,5% , calculer le taux actuariel mensuel puis semestriel correspondant.Calculer ensuite, pour les mêmes périodes, le taux proportionnel.

Taux actuariel :

-Mensuel = k p=(1+0,135)(

112

)

−1=0,0106 = 1,06%

-Semestriel = k p=(1+0,135)(

12)

−1=0,0654 = 6,54%

Taux proportionnel :

-Mensuel = k p=0,135

12=0,01125 = 1,125%

-Semestriel = k p=0,135

2=0,0675 = 6,75%

Thème 4 : Les emprunts obligataires

Dans ce cours , nous n'étudions que les obligations à taux fixes.

Une obligation est un titre négociable, représentant une des parties égales d’un prêt consenti à une société privée ou à une collectivité publique lors de l’émission d’un emprunt.

Une obligation peut s'acheter lors de son émission par l'émetteur. Après émission, on peut en acheter ou en vendre sur le marché secondaire. A l'échéance, l'obligation est remboursée si on l'a encore.

Analyse de l'émission :

Valeur nominale ( ou faciale ) : C'est la valeur de l'obligation après division de l'emprunt en coupures. Elle sert ensuite pour calculer les intérêts ( appelés coupons ). Elle se note V n .

Par exemple , un emprunt de 1000000€ peut être divisé en 1000 coupures de 1000€. La V n sera alors 1000€

Prix d'émission : C'est le prix auquel on peut acheter une coupure. Il peut être différent de la V n . Il se note V e .

Le remboursement de l'emprunt peut se faire de trois façons :In fine.Par amortissements constants.Par annuités constantes.En général, il est ici en In fine , toutes les obligations sont remboursées à la fin de l'emprunt.

Date de jouissance : C'est la date à partir de laquelle les intérêts commencent.

Les intérêts ( coupons ) sont calculés grâce au taux du coupon ( ou taux facial ) noté k.

Coupon versé = k xV n

Rentabilité de l'émission :

Le taux d'intérêt actuariel sert à calculer la rentabilité de l'émission. Pour cela on utilise un TRI ( oui encore ! ).

Quand le prix d'émission est égale à la valeur nominale et au prix de remboursement, alors le taux d'intérêt actuariel est égal au taux d'intérêt de l'emprunt.Si le prix d'émission est inférieur à la valeur nominale qui est elle inférieure au prix de remboursement, alors le taux d'intérêt actuariel est supérieur au taux d'intérêt de l'emprunt. L'inverse est vrai aussi.

Exemple :

La société Y émet 10000 obligations remboursables in fine au terme de 5 ans. Le prix d'émission est égal à la valeur nominale, soit 1000€. La valeur de remboursement de chaque titre est de 1100€ et le taux nominal est égal à 5% . Trouver le taux actuariel.

La séquence de flux est ici :

{ -1000 , 50 , 50 , 50 , 50 , 1100+50 }

TRI=−1000+50

(1+r )+

50

(1+r)2+

50

(1+r )3+

50

(1+r )4+

1150

(1+r)5

TRI (7%) = -10,7TRI (3%) = 177,86

TRI=(0,03 x−10,7 – 0,07 x177,86)

(−10,7 –177,86)= 0,0677 = 6,77%

Valeur de marché d'une obligation :

La valeur sur le marché obligataire d'une obligation varie énormément en fonction de l'offre et de la demande et du taux d'intérêt. Elle est quasiment toujours différente de la valeur d'émission , nominale ou de remboursement.Lorsque les taux du marché augmentent , le cours de l'obligation diminue et inversement.

Pour calculer la valeur d'une obligation à un instant t , on utilise la formule :

V (rt)=(1+r t)t x (

F1

(1+r t)+

F 2

(1+r t)2 +…+

FT

(1+r t)T )

Cotation sur les marchés :

Une obligation est cotée en pourcentage de la valeur nominale et au pied du coupon.

Le coupon couru représente la valeur du coupon entre le dernier versement et la date de négociation. Il est exprimé aussi en pourcentage de la valeur nominale. On le trouve grâce à :

C /C en€ =(V xi xd )

365

C/C est le coupon couru en € , V la valeur nominale en € , i le taux nominal en pourcentage et d la durée entre le dernier paiement et la date du jour.

Le C/C peut s'exprimer aussi en pourcentage grâce à :

C /C en =(C /C en€ )

V n

Le prix d'une obligation à une date t requiert le C/C. Pour ce prix on utilise :

Prix de l'obligation = Cours au pied du coupon + Coupon couru

Le cours au pied du coupon étant le cours au dernier versement de l'obligation.Ajouter le coupon couru permet de connaître en pourcentage le cours actuel de l'obligation.

Exemple :

Une obligation Y de taux facial 5,5% distribuant un coupon le 09/05 de chaque année pendant encore 5 ans, cotant pied de coupon 108 le 12/08/n de nominal égal à 2000€.Au 12/08/n , 96 jours se sont écoulés depuis le détachement du dernier coupon.

La durée t est donc égale à t=96365

=0,26

Calculer au 12/08/n (en t) , le coupon couru, le cours plein coupon, la valeur de l'obligation et le taux de rendement actuariel de l'obligation.

C /C=0,055 x96365

=0,0143 = 1,43%

Cours plein coupon=108+1,43 = 109,43%

Valeur de l ' obligation=2000 x109,4 100

=2188,6 €

Le taux de rendement actuariel est tel que :

0=−109,43+(1+rt)0,26

(5,5

(1+rt)+

5,5

(1+r t)2+

5,5

(1+rt)3+

5,5

(1+rt)4+

105,5

(1+r t)5)

TRI (3%) = 2,88TRI (8%) = -17,59

TRI=(0,08 x 2,88 –0,03 x−17,59)

(2,88+17,59)= 0,037 = 3,7%