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M1 Physique Fondamentale
Magistère 2ème année 2015-2016
Matière Condensée
Recueil de TD - Partie I
Modèle atomique de la surface quasicristallined'un alliage aluminum-palladium-manganèse .
Image AFM (microscope à force atomique)du graphène
hebergement.u-psud.fr/m1matcond
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Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud
Matière condensée
1 TD - Gaz d'électrons libres à 2 dimensions
Constantes :~ = 1.054 10−34 J.s ; constante de PlanckkB = 1.38 10−23 J/K : constante de Boltzmann−e = −1.6 10−19 C : charge de l'électronme = 9 10−31 kg : masse de l'électron
On considère un gaz d'électrons conné à deux dimensions. Cette situation peut être réaliséeexpérimentalement à l'interface entre deux semiconducteurs (puits quantiques par exemple) oubien dans des composés lamellaires tels que les supraconducteurs à haute température critique.On suppose que les électrons sont libres, c'est à dire qu'on ne tient pas compte de l'eet dupotentiel cristallin sur les électrons et on suppose qu'ils n'interagissent pas entre eux.
1. Rappeler l'expression de la fonction de distribution de Fermi-Dirac fFD(ϵ, T, µ). Tracerschématiquement cette fonction pour diérentes valeurs de la température T.
2. (a) Les électrons sont astreints à se déplacer sur une surface rectangulaire de dimen-sions Lx, Ly. En utilisant les conditions périodiques de Born Von Karman, donnerl'expression du vecteur d'onde
−→k . Quelle surface occupe alors un état dans l'espace
des−→k ? En déduire la densité d'états g(
−→k ).
(b) Rappeler l'expression de l'énergie d'un électron libre. Tracer le disque de Fermidans l'espace des vecteurs d'onde
−→k . Tracer ensuite la surface occupée par les états
d'énergies comprises entre ϵ et ϵ+ dϵ. Combien cette surface contient-elle d'états ?
(c) Calculer la densité d'états par unité d'énergie, g(ϵ) et montrer que c'est uneconstante g0 que l'on déterminera.
3. Montrez que le nombre d'électrons Ne et l'énergie moyenne totale du gaz d'électrons Ee
s'écrivent :
Ne =
∫ +∞
0
dϵg(ϵ)fFD(ϵ, T, µ)
Ee(T ) =
∫ +∞
0
dϵg(ϵ)fFD(ϵ, T, µ)ϵ
4. En déduire l'expression de l'énergie de Fermi, ϵF , c'est à dire le potentiel chimique, µ, àtempérature nulle en fonction de la densité électronique, ne, puis g0 en fonction de ϵF .Déterminer également kF en fonction de ne.
5. Les supraconducteurs à haute température critique sont formés d'un empilement de planstrès faiblement couplés entre eux (supraconducteurs lamellaires), chaque plan est formépar un assemblage de carrés avec au sommet des atomes de cuivre et au milieu des côtésdes atomes d'oxygène. Sachant que chaque carré de côté a = 0, 384 nm a 0, 2 électron
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libre, donner la densité électronique surfacique par plan. En considérant un plan unique,donner alors un ordre de grandeur de ϵF , de la température de Fermi, TF et du vecteurd'onde de Fermi, kF . Comparer la température de Fermi à la température ambiante.Conclure.
6. En intégrant la formule donnée précédemment, calculer explicitement Ne en fonction deg0, µ et T . Montrer alors que le potentiel chimique est indépendant de la températuredans la limite ϵF ≫ kBT .
7. On rappelle que la chaleur spécique Cv à volume constant est dénie par la relation :
Cv =∂Ee
∂T
∣∣∣∣V
,
où Ee est l'énergie moyenne totale, T la température et V le volume du cristal.Ee ne dépend de la température que par la fonction de distribution de Fermi-Dirac.La fonction de Fermi-Dirac étant discontinue à température nulle, le développement decette fonction à basse température demande quelques précautions mathématiques. Onadmettra le résultat suivant (développement de Sommerfeld,1927) :∫ +∞
0
dϵh(ϵ)fFD(ϵ, T, µ) = H(µ) +π2
6(kBT )
2h′(µ) +O(T 4),
où H et h′ désignent respectivement la primitive de la fonction h qui s'annule en 0 etla dérivée de h. Utiliser ce développement pour obtenir l'expression de Ee(µ, T ) à bassetempérature en fonction de T et µ puis de T seul. En déduire l'expression de la chaleurspécique électronique, Cel :
Cel =π2
3k2Bg(ϵF )T =
π2
3kBNe
T
TF= γT,
et donner une interprétation qualitative de ce résultat.
8. On rappelle que la contribution des vibrations atomiques (phonons) à basse température,dans le cadre du modèle de Debye, est proportionnelle à T 3 quand T ≪ TDebye : Cph =βT 3. En déduire la forme de la courbe C/T en fonction de T 2 et la méthode pourdéterminer les coecients γ et β. En quoi la mesure de γ est-elle importante pour lacompréhension d'un matériau ? En considérant que les paramètres des supraconducteurslamellaires déterminés au 5. s'appliquent au composé de la gure ci-dessous et qu'unemole du matériau contient 6 1023 électrons, montrer que la valeur mesurée de γ est dubon ordre de grandeur.
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Figure 1. Evolution du rapport C/T pour le supraconducteur lamellaire κ(ET )2Cu(NCS)2(Tc = 10K). Dans l'encadré, représentation de C/T en fonction de T 2 sous un champmagnétique de 10 Tesla lorsque la supraconductivité a disparu. D'après J. Müller et al.,
Physical Review B, vol. 65, p.140509 (2002)
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2 TD - Magnétisme du gaz d'électrons - Paramagnétisme
de Pauli
On considère un gaz d'électrons libres à trois dimensions de densité n et on s'intéresse auxpropriétés magnétiques à température nulle (T = 0 K) dues au degré de liberté de spin portépar les électrons. On notera n↑ et n↓ les nombres d'électrons par unité de volume respectivementde spins ↑ et ↓ suivant un axe de quantication Oz. On désignera par g(k) et g(ϵ) les densitésd'états par unité de volume du gaz non polarisé (n↑ = n↓ =
n2). On utilisera les conditions aux
limites B.V.K.1. En présence d'un champ magnétique B parallèle à Oz, un électron de spin S = 1/2
acquiert en plus de son énergie cinétique, une énergie magnétique −m · B, où mz =−gµBSz est le moment magnétique de l'électron (on prendra le facteur de Landé g = 2).Donner l'expression des énergies totales ϵk,↑ et ϵk,↓ des électrons selon le sens de leur spin.
2. Calculer les densités d'états électroniques par unité de volume g↑(k) et g↓(k) dans l'espacedes k pour les états non-dégénérés (B = 0) de spin respectivement ↑ et ↓.
3. En déduire l'expression des densités d'états en énergie par unité de volume correspon-dantes g↑(ϵ) et g↓(ϵ) en fonction de la densité g(ϵ) en l'absence de champ magnétique.
4. Donner sans les calculer les expressions intégrales de n↑, n↓ et ∆n = n↓ − n↑ en fonctiondes densités d'états en énergie g↑(ϵ) et g↓(ϵ), puis en fonction de g(ϵ).
5. Donner l'ordre de grandeur de l'énergie magnétique et la comparer à celle de l'énergie deFermi. On rappelle la valeur du magnéton de Bohr µB = 9, 2741× 10−24 J/T.
6. En déduire une expression approchée de ∆n puis de l'aimantationMz et nalement de lasusceptibilité magnétique χ = µ0∂Mz/∂B en fonction de µ0, µB et de la densité d'étatsau niveau de fermi du gaz d'électrons g(ϵF ) = 3n/2ϵF . Dans un traitement plus avancéon montre que cette susceptibilité dite de Pauli dépend faiblement de la température ;elle est donnée correctement par ce calcul à T = 0 K.
7. La densité électronique du sodium vaut n = 2.68 × 1028 m−3 et son énergie de FermiϵF = 3.24 eV. Calculer sa susceptibilité magnétique à T = 0 K. Compte tenu de la massevolumique du sodium ρ = 0.971 g.cm−3, comparer votre résultat à la gure 1, où sontreprésentées les quantités 1
4πχρpour diérents métaux.
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Figure 1. Susceptibilité magnétique par unité de masse de quelques métaux en fonction de latempérature.
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3 TD - Eets de connement du gaz d'électrons
On considère la lame métallique mince carrée de côté L et d'épaisseur l, L ≫ l, représentéesur la gure 1. L'axe Oz est perpendiculaire au plan de la lame. Ox et Oy sont dans le plan dela lame. On cherche à prendre en compte les eets associés à la faible épaisseur de la lame encomparant les eets des conditions aux limites périodiques (B.V.K.), rigoureusement valablesdans le cas de solides innis, et les conditions aux limites "de la boîte" appliquées suivant ladirection Oz. On prend ainsi rigoureusement en compte les eets de surface en z = 0 et z = l.La première partie de cet exercice fait appel à des notions de cours / TD qui seront utiliséesdans les parties suivantes.
Figure 1. schéma de la lame mince.
3.1 Préliminaires : le gaz d'électrons libres à 3D et à 2D
On considère un gaz d'électrons libres à 3D, occupant un volume Ω = L2× l et dont le nombred'électrons par unité de volume est noté n3D, que l'on traite en utilisant des conditions auxlimites périodiques (B.V.K.) dans les 3 directions.
1. Rappeler l'expression de la fonction d'onde ψk(x, y, z).
2. Donner, en les justiant, les conditions de quantication pour les composantes de k.On prendra soin de préciser les valeurs autorisées (positives, négatives, nulles) pour cescomposantes.
3. Représenter le volume des états occupés à T = 0 dans l'espace des k. On introduira, sansle calculer, le vecteur d'onde de Fermi.
4. Redonner sans démonstration la valeur de la densité d'états dans l'espace des k, g3D(k).
5. En déduire que la densité d'états en énergie s'exprime sous la forme g3D(ε) = Aε1/2. Ondonnera l'expression de A.
6. On se place à température nulle. Exprimer le nombre d'électrons par unité de volume,n3D, sous la forme d'une intégrale qui fait intervenir g3D(ε) et l'énergie de Fermi εF , puiscalculer n3D en fonction de εF et de constantes.
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7. Calculer ϵF en eV, puis kF dans le cas du cuivre, n3D = 8× 1028 m−3.
Pour un gaz d'électrons libres à 2D, distribués sur une surface S, et dont le nombred'électrons par unité de surface est noté n2D :
8. Rappeler, sans démonstration, la dépendance en énergie de la densité d'états en énergieg2D(ε) .
9. Déterminer l'énergie moyenne à T = 0 en fonction de εF .
3.2 Lame mince : énergie de surface
Maintenant, on prend en compte rigoureusement les eets des faces de la lame mince perpen-diculaires à Oz. On utilise donc des conditions aux limites périodiques (B.V.K.) uniquementsuivant les directions Ox et Oy et la condition ψ = 0 sur les faces perpendiculaires à Oz,situées en z = 0 et z = l. La fonction d'onde associée à un vecteur k s'écrit alors :
ψ(x, y, z) = B eikxxeikyy sin kzz
1. Quelles sont les conditions sur kx et ky ? Quelle est la condition sur kz ? Montrer enparticulier que le choix kz = 0 est maintenant impossible.
2. Montrer que les états occupés à T = 0 occupent maintenant dans l'espace des k unhémisphère. Le plan de base kz = 0 est-il occupé ?
3. Montrer que par rapport aux conditions B.V.K. suivant les 3 directions, la densité dansl'espace des k, g′3D(k), est maintenant doublée. En déduire que la valeur de kF est qua-siment inchangée.
4. Les électrons qui, dans les conditions B.V.K occupaient le plan de base kz = 0, sontrejetés à la surface de Fermi. Pourquoi ne peut-on pas les mettre, à T = 0, sur des étatspour lesquels ∥k∥ < kF ?
5. Dans le cas B.V.K., l'énergie moyenne des électrons dans le plan kz = 0 est celle d'un gaz2D d'énergie de Fermi εF . Donner le gain d'énergie moyen, ∆ε, par électron qui migre duplan kz = 0 à la surface de la sphère de Fermi. On peut noter que ce gain d'énergie moyencorrespond au passage des conditions B.V.K 3D pour un solide inni aux conditions plusrigoureuses de cette partie, adaptées à la géométrie de la lame mince.
6. Le nombre total d'états du disque de rayon kF est celui d'un gaz d'électrons 2D répartissur une surface L2 et d'énergie de Fermi εF . A partir de la densité d'états dans l'espacedes k à 2 dimensions, g2D(k), calculer le nombre total d'électrons à T = 0 gagnant uneénergie moyenne ∆ε.
7. En déduire le gain d'énergie total ∆E puis l'énergie de surface ∆E/2L2 que l'on mettrasous la forme εF × f(kF ) où f(kF ) est une fonction de kF . Vérier l'homogénéité de laformule obtenue. Calculer cette énergie pour le cuivre en J/m2.
3.3 Densité électronique au voisinage de la surface
On rappelle que la densité électronique dans un métal n(x, y, z) s'écrit :
n(x, y, z) =
∫ ∫ ∫∥k∥<kF
∥ψ∥2g(k)dkxdkydkz
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1. Dans le cas des conditions B.V.K. 3D, montrer que cette densité est homogène. Donnersa valeur, n0, en fonction de kF .
2. Dans le cas de la lame mince, traitée rigoureusement,
n(z) = n0
(1− 3
sin 2kF z − 2kF z cos 2kF z
(2kF z)3
)Quelle est la distance pour laquelle n(z) = n0 pour la première fois ? Comment secompare-t-elle à l'ordre de grandeur de la distance interatomique ? Que peut-on enconclure pour les eets de surface sur le gaz d'électrons ?
Figure 2. Variation de la fonction n(z)
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4 TD - Phénomènes de transport
4.1 Conductivité électrique
Nous allons étudier l'évolution de la conductivité électrique avec la température dans deux casparticuliers : un métal et le graphène. On se place dans le cadre de la théorie de Boltzmannpour les phénomènes de transport. On rappelle que, dans un espace de dimension d et ennotant g(ε) la densité d'états en énergie par unité de volume, la conductivité électrique estdonnée par :
σ = e2τ
∫dε g(ε)
v2
d
(−df
0(ε)
dε
)(1)
4.1.1 Conductivité d'un métal
1. En déduire que σ = e2τ g(εF )v2Fddans la limite des basses températures.
2. Retrouver simplement qu'à 2D, on a g(ε) = ne
εFoù ne est la densité électronique. Retrouver
l'expression de la conductivité électrique de Drude dans ce cas particulier.
3. En réalité, le temps de collision dépend de la température. À très basse température, letemps de collision, τ , est dominé par les eets des impuretés et est donc indépendant dela température. À plus haute température, les collisions dues aux vibrations de réseaudominent. Alors, suivant le nombre de modes de vibration excités, on a τ ∝ T−5 pourT ≪ θD et τ ∝ T−1 pour T ≫ θD, où θD est une température caractéristique desphonons. Interpréter la gure 1 (θD(Na)=158 K).
4.1.2 Conductivité du graphène
Le graphène est un matériau bidimensionnel avec une relation de dispersion linéaire déniepar :
ε+(−→k ) = εF + ~vF k, si ε > εF (2)
ε−(−→k ) = εF − ~vF k, si ε < εF (3)
où vF ≈ 106 m.s−1 est la vitesse de Fermi et k =∥∥∥−→k ∥∥∥ est la norme du vecteur d'onde
−→k = (kx, ky).
1. Représenter la relation de dispersion. Calculer la densité d'état ρ(ε) par unité de surfaceet montrer qu'elle est proportionnelle à |ε− εF |.
2. En négligeant la variation du potentiel chimique en fonction de la température, montrerqu'à température nie :
−df0(ε)
dε=
β
4ch2(
β(ε−εF )2
) .13
Figure 1 Evolution de la résistivité avec la température pour des échantillons de sodium.D'après D.K.C. MacDonald et K. Mendelssohn, Proc. Roy. Soc. A, vol. 202, p.523 (1950)
En déduire la conductivité du graphène en fonction de la température sachant que :∞∫0
dxx
ch2x= ln 2.
Comparer la dépendance en température de la conductivité du graphène avec celle d'unmétal.
4.2 Conductivité thermique
Dans cet exercice, nous allons déterminer la conductivité thermique d'un métal. Lors de l'ap-plication d'un gradient de température à un système isolé, il apparaît un transport de chaleurdont les porteurs sont les électrons. Nous allons déterminer la conductivité thermique d'unsystème en fonction de ses propriétés électroniques. Pour ce faire, nous allons considérer le mo-dèle simpliste de Drude. L'approche plus réaliste consiste à utiliser les équations de transporthors équilibre de Boltzmann mais les calculs y sont beaucoup plus complexes.Dans le modèle de Drude, le transfert d'énergie au sein du système est assuré uniquement parles collisions que subissent les électrons. L'électron échange ainsi de l'énergie avec le réseau.On suppose de plus qu'il s'écoule un temps τ entre deux collisions.Pour simplier, on considère une barre métallique isolée de section S, très faible par rapportà sa longueur, soumise à un gradient de température selon cette direction principale x. Labarre étant isolée, il n'y a pas de courant électrique dans le régime permanent considéré ici.Il apparaît par contre un courant de chaleur, de sens opposé au gradient de température,régi, pour de faibles gradients, par −→
jQ = −κ−→∇T (loi de Fourier), κ est appelée conductivitéthermique.
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1. Rappeler la valeur de la vitesse quadratique moyenne v d'un électron (à une dimension) enfonction de la température en supposant que l'électron se comporte comme une particuleclassique.
2. Calculer la variation d'énergie que subit un électron de vitesse v entre les instants t ett+ τ où l'électron a subi une collision, en fonction de v, τ , c sa chaleur spécique et dugradient de température.
3. Soit n la densité d'électrons. Déterminer le nombre d'électrons, n+, traversant la sectionS pendant une durée τ en venant de la gauche et le nombre d'électrons, n−, la traversantpendant la durée τ en venant de la droite.
4. Exprimer alors la quantité de chaleur Q = Sτ−→jQ.−→x qui passe à travers une section S
pendant le temps τ . En déduire l'expression de la densité de courant de chaleur −→jQ et
l'expression de la conductivité thermique, κ.
5. En supposant une répartition isotrope des vitesses, en déduire que la conductivité ther-mique dans un système tridimensionnel s'écrit : κ = 1
3v2τcv =
13vlecv où cv est la chaleur
spécique molaire et le est le libre parcours moyen.
6. Dans le cadre de la physique statistique classique du modèle de Drude, établir une pre-mière approximation de la loi de Wiedemann-Franz liant les conductivités électriqueσ = ne2τ
met thermique :
κ
σ=
3
2
(kBe
)2
T = LT (4)
où L est appelé nombre de Lorentz.
7. Pour le cuivre, on a, à T=0°C, σ = 6.45 ×107Ω−1.m−1 et κ = 385 W.m−1.K−1. Conclu-sion ?Remarque : Il est fortuit que cette approche classique rende aussi bien compte desobservations expérimentales. En réalité, le modèle de Drude surestime d'un facteur 100la chaleur spécique électronique et sous-estime d'un facteur 100 la vitesse des électrons,si bien que ces deux "erreurs" se compensent.
8. En utilisant le modèle de Boltzmann, la formule précédente, κ = 13v2τcv, reste valable
mais v doit être remplacée par la vitesse de Fermi, vF et la chaleur spécique est lachaleur spécique du gaz d'électrons : cv = π2
2nekB
TTF
pour un gaz d'électrons libres oùne est la densité électronique et TF est la température de Fermi. En déduire que la loide Wiedemann-Franz s'écrit :
κ
σ=π2
3
(kBe
)2
T = LT (5)
et qu'elle est vériée pour le cuivre.
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5 TD - Réseau direct
5.1 Réseau rectangulaire
On considère un réseau rectangulaire simple bidimensionnel sur lequel on place des atomes detype A aux sommets des rectangles et des atomes de type B aux centres.
1. Représenter schématiquement ce réseau et y placer les atomes A et B. Déterminer lemotif associé à ce réseau. Tracer les vecteurs de base de ce réseau.
2. Dans le cas où les atomes A et B sont identiques, représenter une maille primitive de ceréseau. Déterminer la multiplicité de la maille rectangulaire.
5.2 Structures cubiques
Pour chacune des structures suivantes : métal de type Lithium : tous les atomes au sommet et au centre du cube sont identiques structure CsCl : l'atome au centre du cube est diérent des atomes au sommets du cube structure pérovskite : un atome est placé au centre (Ba, Ca,...) du cube, les sommets ducube sont occupés par un autre type d'atome (titane en général) et les faces du cube sontoccupées par des atomes d'Oxygène.
Figure 1. De gauche à droite, structures de type Lithium, CsCl, pérovskite.
Donner :
1. le motif dans la maille cubique conventionnelle en précisant les coordonnées des atomes.
2. la formule chimique du composé et le nombre de motifs par cube.
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5.3 Réseau hexagonal
5.3.1 Réseau hexagonal simple
On considère un réseau hexagonal simple bidimensionnel représenté schématiquement sur lagure ci-dessous. L'angle entre chaque direction est de 60.
1. Représenter diérentes mailles primitives pour ce réseau. Dans la suite, on choisira cellequi s'appuie sur les vecteurs a et b de la gure.
2. Dessiner une maille multiple rectangulaire centrée. Quelle est sa multiplicité ? Déterminerla norme des vecteurs de base de cette maille rectangulaire en fonction de a = ∥a∥.
Figure 2. Réseau hexagonal simple.
5.3.2 Structure nid d'abeille
On considère le graphène formé par un plan unique de graphite où les atomes de carbone sontplacés aux sommets d'hexagones réguliers de côté ℓ.
1. Déterminer le réseau et le motif associés à cette structure nid d'abeille.
2. Dessiner une maille primitive telle que l'angle entre les deux vecteurs de base soit de 60.Dénir alors les vecteurs de base a et b.
3. Calculer la norme des vecteurs de base en fonction de ℓ. Déterminer les coordonnées desatomes du motif dans la base
−→a ,−→b
.
4. Indiquer diérentes familles de rangées réticulaires et donner la distance entre rangéespour une d'entre elles.
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Figure 3. A gauche, structure nid d'abeille. A droite, image AFM (microscope à forceatomique) du graphène.
(http ://www.physik.uni-augsburg.de/exp6/imagegallery/afmimages/afmimages_e.shtml)
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6 TD - Réseau réciproque et diraction par un cristal
6.1 Réseaux rectangulaires à deux dimensions
1. Soit un réseau rectangulaire de maille (a, b). Construire le réseau réciproque.2. Soit le réseau rectangulaire centré dont la maille conventionnelle est celle du réseau
précédent. Dénir les vecteurs de base a0 et b0 de la maille primitive. Construire lesvecteurs de base A0 et B0 de la maille primitive du réseau réciproque de deux façons :• directement, de façon géométrique ;• exprimer a0 et b0 dans la base (a, b) puis calculer les coordonnées de A0 et B0 dans labase (A, B).Construire le réseau réciproque et le comparer au précédent.
6.2 Diraction par un réseau monoatomique à deux dimensions avecmotif
Figure 1. Structure nid d'abeille (ci-dessus à gauche) et gure de diraction d'une surface degraphite obtenue par diraction d'électrons lents (ci-dessus à droite).
On considère la structure nid d'abeille dénie au TD 4.
1. Rappeler la nature du réseau direct et le motif de cette structure ainsi que les vecteursde base. On note a la norme de ces vecteurs. Exprimer les coordonnées des vecteurs aet b du réseau direct dans le repère orthonormé (x,y) puis calculer celles des vecteurs duréseau réciproque.
2. Calculer le facteur de structure S(h, k). Montrer que |S| peut prendre deux valeurs.L'image de diraction que l'on s'attend à voir correspond-elle à l'image obtenue expéri-mentalement ?
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7 TD - Structures cristalline et magnétique
Certains uorures anhydres de métaux de transition divalents, de formule générique AF2
(A=Mn, Fe, Co, Ni, Zn), cristallisent dans une structure dite de type rutile observée pourl'oxyde de titane TiO2.Cette structure est décrite dans une maille quadratique simple de paramètres a = b et c (unparallélipipède rectangle), dont les valeurs sont proches pour les diérents uorures.Dans ce texte, basé sur les études de ces uorures dans les années 50 par diraction de rayonsX et de neutrons, on considère uniquement le cas du uorure de manganèse MnF2 pour lequela = b = 4, 8734 Å et c = 3, 3103 Å.
7.1 Réseau réciproque et diraction
1. Donner la nature du réseau réciproque d'un réseau quadratique simple de paramètres aet c et exprimer ses paramètres de maille en fonction de a et c.
2. Rappeler les conditions de Bragg sur l'angle 2θ entre faisceau incident et faisceau diracté,pour obtenir une intensité diractée. On exprimera le résultat en utilisant la longueurd'onde λ du rayonnement utilisé, les paramètres de maille du réseau réciproque, a⋆ et c⋆
et des entiers h, k et l, puis on exprimera la relation donnant sin θ en fonction de λ, a,a/c et ces entiers h, k et l.
3. Application numérique :
(a) On utilise des neutrons thermalisés à 440 K, c'est à dire dont l'énergie cinétiquecorrespond à une température de 440 K. Les neutrons sont des particules qui, dansces conditions obéissent aux lois de la mécanique classique. Montrer que la longueurd'onde associée aux neutrons est λ = 1, 2 Å.
(b) Comparer au diagramme de diraction de la gure 3 obtenu à 300 K.On se contentera d'examiner les raies (1,1,0) et (2,1,0).
Dans cette maille quadratique simple, les positions des six ions du motif sont données cidessous :
A2+ (0, 0, 0) ; (1/2, 1/2, 1/2)F− (u, u, 0) ; (1− u, 1− u, 0) ; (1/2 + u, 1/2− u, 1/2) ; (1/2− u, 1/2 + u, 1/2)
Le nombre u a une valeur approximative de 0,3.
7.2 Réseau de Bravais
1. Donner un schéma décrivant la maille quadratique simple de cette structure cristallineet placer les ions en prenant u ≃ 0, 3.
2. Combien de formules AF2 la maille contient-elle ?
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7.3 Facteur de structure
1. En notant fA, fF les facteurs de diusion respectifs des ions A2+ et F−, donner l'expressiondu facteur de structure S(h, k, l) associé au motif. L'exprimer sous la forme :
S(h, k, l) = fA[1 + g(h+ k + l)] + 2fF[cos 2π(h+ k)u+ g(h+ k + l) cos 2π(h− k)u]
2. Dans le cas h+ k + l impair, montrer que l'intensité sera nulle si h ou k est nul.
3. Quel devrait être le premier pic de Bragg observé ? Est-ce en accord avec le spectre à300 K de la gure 3 ?
7.4 Diraction des rayons X et détermination de u [facultatif]
An de déterminer la valeur du paramètre u, on utilise les résultats des expériences de dif-fraction des rayons X sur MnF2. Cette partie permet d'apprécier la précision obtenue sur lesparamètres de maille par une expérience de diraction.
1. Calculer le rapport des facteurs de structure pour les raies (2,0,2) et (3,1,1) en fonctionde fMn, fF et u.
2. Ce rapport vaut 1,22. En déduire la valeur numérique de u (on gardera la valeur laplus grande) et montrer qu'une variation de 1% de u induirait une variation de plus de30% sur ce rapport d'intensité. On donne fMn/fF = 2, 42 et la représentation graphiqueci-dessous.
0 1 2 3 4 5-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
f(x)
X
Figure 1. Représentation graphique de la fonction (2, 42 + 2 cosx)/(cos 2x− cosx)
7.5 Structure magnétique et diraction des neutrons
Dans le uorure de manganèse, les ions Mn2+ portent un moment magnétique. Les couplagesentre premiers voisins tendent à anti-aligner les moments magnétiques qui s'ordonnent endessous de 67 K comme indiqué sur la gure 2. Les neutrons portent un spin et on peut
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alors montrer que le facteur de diusion neutronique dépend de l'orientation des moments. Ilconvient alors de distinguer le facteur de diusion pour les moments orientés vers le haut fMn↑et de celui des moment orientés vers le bas fMn↓. Les ions F− ne sont pas aectés.
Figure 2. Structure magnétique dans la phase ordonnée : seuls les ions Mn2+ ont étéreprésentés.
Le nouveau motif est donc :
Mn2+↑ (0, 0, 0) ; Mn2+↓ (1/2, 1/2, 1/2)F− (u, u, 0) ; (1− u, 1− u, 0) ; (1/2 + u, 1/2− u, 1/2) ; (1/2− u, 1/2 + u, 1/2)
1. Donner l'expression du nouveau facteur de structure Sm(h, k, l).
2. On considère le cas h + k + l impair, la condition d'extinction h = 0 ou k = 0 est-elletoujours vériée ?
3. Commenter la diérence entre les diagrammes de diraction obtenus en dessous et audessus de la température de transition.
4. En fait, la diérence entre les facteurs de diusion fMn↑ et fMn↓ s'annule dans le cas oùles moments sont parallèles au vecteur de diusion. Montrer que le diagramme obtenuconrme l'orientation des moments choisis sur la gure 2.
Figure 3. Diagramme de diraction de neutrons au dessus (300 K) et en dessous (23 K) de latransition magnétique.
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26
M1 Physique Fondamentale
Magistère 2ème année 2015-2016
Matière Condensée
Devoirs
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Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud
Matière condensée
Devoir 1 : Eet tunnel d'électrons libres : application au
microscope à eet tunnel (prix Nobel 1986)
Données numériques :
Constante de Boltzmann : k = 1, 38× 10−23 J/K. Nombre d'Avogadro : NA = 6, 02× 1023
Constante de Planck : h = 6, 62× 10−34 J.s Masse de l'électron : me = 9× 10−31 kg Masse du neutron : mn = 1, 675× 10−27 kg Charge de l'électron −e = −1, 6× 10−19 COn considère deux solides métalliques identiques dont les surfaces planes perpendiculaires à Ozsont séparées par un petit intervalle de vide d'épaisseur s. A l'intérieur de chacun des solides,les électrons peuvent se déplacer librement dans les 3 directions de l'espace, avec un vecteurd'onde k et une énergie cinétique ϵ(k) = ~2k2/2m. Leur énergie de Fermi est ϵF . L'intervalleentre les deux plaques correspond à une barrière d'énergie potentielle U = ϵF + ϕ.
L'énergie potentielle des électrons ne dépend que de leur position sur l'axe z, normal aux deuxsurfaces, et peut se représenter par le schéma suivant :
3
On applique une diérence de potentiel entre les deux métaux de telle manière que les métaux(1) et (2) soient respectivement aux potentiels 0 et V > 0. L'énergie potentielle des électronset la position du niveau de Fermi dans chacun des métaux sont alors donnés par le schémasuivant :
L'écart en énergie entre les 2 niveaux de Fermi est eV (−e est la charge de l'électron) et onsuppose eV ≪ ϕ et eV ≪ ϵF .
7.6 Préliminaires : le gaz d'électrons libres à 3D
Pour un gaz d'électrons libres à 3D, occupant un volume Ω et dont le nombre d'électrons parunité de volume est noté n :
1. Rappeler la valeur de la densité d'états dans l'espace des k, g(k) ; on utilisera les condi-tions aux limites périodiques.
2. Exprimer n sous forme d'une intégrale qui fait intervenir g(k) puis calculer le module duvecteur d'onde de Fermi, kF , en fonction de n et de constantes. En déduire l'énergie deFermi.
3. Calculer kF puis ϵF en (eV), dans le cas du cuivre, de masse atomique ACu = 63, 5 ×10−3 kg de densité d = 8, 9, avec un électron par atome.
7.7 Condition de l'eet tunnel
A température nulle, T = 0, les électrons de (1) peuvent passer par eet tunnel dans (2) si etseulement si :
kz > 0 (6)
ϵF − eV ≤ ~2k2
2m≤ ϵF (7)
(kz est la composante selon z du vecteur d'onde de l'électron libre considéré).On rappelle que dans un processus tunnel, les électrons conservent leur énergie.
1. Justier les deux conditions (1) et (2).
2. Représenter les états correspondants dans l'espace des k. On notera l'invariance parrotation autour de l'axe kz et on pourra eectuer une coupe dans le plan ky = 0.
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7.8 Les électrons candidats à l'eet tunnel à T = 0 K
1. On considère les électrons du métal (1), vériant les conditions d'eet tunnel et dontle vecteur d'onde k fait un angle avec l'axe z compris entre θ et θ + dθ (dθ innimentpetit). Donner le volume de l'espace des k correspondant, dVk(k, k + dk; θ, θ + dθ) ; dkreprésente la petite variation de k = |k| déduite de l'équation (2).
2. En déduire le nombre d'électrons correspondant, à T = 0 et par unité de volume, dn(θ, θ+dθ), susceptibles de passer par eet tunnel à travers la barrière de potentiel dans ladirection (θ, θ + dθ). Montrer qu'on peut le mettre sous la forme :
dn(θ, θ + dθ) =meV
2π2~2kF sin θ dθ
7.9 Courant tunnel à T = 0 K
On admet que le coecient de transmission par eet tunnel à travers la barrière, D, est donnépar
D = exp(−2k0s) avec k0 =1
~√
2mϕ
D = nombre d'électrons transmis/nombre d'électrons incidents.
1. A partir des résultats de la question précédente, écrire le nombre d'électrons par unitéde volume dn′(θ, θ + dθ) transmis dans la direction (θ, θ + dθ) et en déduire que lacontribution djz au courant tunnel traversant la barrière selon z s'écrit sous la forme :
djz = B cos θ sin θ dθ
où B est une constante exprimée en fonction des données du problème.
2. En déduire, sous forme intégrale, la densité de courant total jz circulant par eet tunnelentre les deux plaques.
3. Calculer jz et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme :
jz = AV exp(−2k0s)
Exprimer la valeur de A en fonction ϵF et de constantes.
4. Application numérique : Quelles sont les valeurs prises par 2 k0, D, A et jz (préciser lesunités) si l'on donne :ϵF = 5 eV ϕ = 3 eV V=0.05 Volt s = 5 Å
7.10 Microscope à eet tunnel
En fait l'une des électrodes est constituée d'une pointe très ne (terminée par un atome !)située à une distance s au dessus d'une surface métallique. Cette substitution ne modie passensiblement les résultats ci-dessus.
1. Sachant qu'il est possible de discerner les variations de courant de l'ordre de 10%, éva-luer la variation de s susceptible d'être ainsi discriminée (résolution topographique dumicroscope tunnel). On prendra s = 5 Å.
2. Dessiner schématiquement la variation du courant en fonction de la tension (caractéris-tique courant-tension). A quoi correspond la partie V < 0 de la caractéristique ?
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Master-1 et Magistère-2 de Physique Fondamentale Université Paris-Sud
Matière condensée
Devoir 2 : Diraction par un cristal polyatomique
Etude structurale du chlorure de sodium
Un cristal de chlorure de sodium, formé d'ions Na+ et Cl−, est représenté sur la gure 1.
Figure 1. Structure du NaCl (ions Cl− en gris et Na+ en noir) basée sur un réseau cubique,et photo de cristaux de NaCl (sel de table).
1. Déterminer le réseau direct, le motif, et le réseau réciproque.
2. Pour calculer le facteur de structure, on décrit la structure cristalline par un réseaucubique simple associé à un motif de 8 ions. Donnez les coordonnées des ions du motifdans la maille.
3. Calculer le facteur de structure S(h, k, l) en fonction des facteurs de diusion des ionsNa+ et Cl−.
4. Montrez que l'on peut factoriser S(h, k, l) en un produit de 2 termes, l'un dépendant desfacteurs de diusion, l'autre non. Interprétez ces deux termes.
5. On rappelle que l'intensité d'un pic de Bragg est proportionnelle à |S|2. Sachant que, pourla diusion des rayons X, le facteur de structure atomique f d'un ion est proportionnel àson nombre d'électrons (on rappelle que ZNa = 11 et ZCl = 17), commentez le diagrammede diraction de la gure 2. On s'intéressera en particulier aux intensités relatives despics de Bragg d'indices pairs et impairs.
6. Rappelez la loi de Bragg. A partir de celle-ci et du diagramme de la gure 2, calculer leparamètre de maille du cristal de NaCl.
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7. On remplace les ions Na+ par des ions K+ (ZK = 19). Le paramètre de réseau changemais non la structure cristalline. Que devient S(h, k, l) ? Avec quelle autre structurecristalline pourrait-on confondre la structure de KCl si on ne disposait pour toute infor-mation que de diagrammes de rayons X ?
Figure 2. Diagramme de diraction X d'une poudre de NaCl obtenu en utilisant la raied'émission Kα du cuivre, λ = 1.54 Å.
Étude structurale de l'hydrure de Thorium
L'hydrure de Thorium ThH2 (Th : Thorium, numéro atomique Z = 90 ; H : Hydrogène, Z = 1)cristallise selon une structure quadratique centrée.
1. Soit un réseau quadratique simple (appelé aussi tétragonal) de paramètres a et c (a =b < c ).
(a) Faire un schéma de la maille élémentaire.
(b) Rappeler les relations mathématiques entre vecteurs de base du réseau direct, notésdans cette question (a1, a2, a3) et vecteurs de base du réseau réciproque (a⋆1, a
⋆2, a
⋆3).
(c) Indiquer sans démonstration la nature du réseau réciproque et en donner les para-mètres.
2. On considère maintenant un réseau quadratique centré. On le décrit à l'aide d'une mailleconventionnelle quadratique de paramètres a et c. On se propose de déterminer le réseauréciproque en traitant le réseau quadratique centré comme un réseau quadratique simpleavec un motif. Ainsi on imagine qu'en chaque n÷ud du réseau quadratique centré setrouve un atome ctif de facteur de diusion f que l'on prendra égal à 1.
(a) Donner les coordonnées des deux atomes constituant le motif du réseau quadratiquesimple puis calculer le facteur de structure S0(h, k, l).
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(b) Quelle condition doivent satisfaire les indices h, k et l pour que S0 soit non nul ?
3. On note fTh et fH les facteurs de diusion des atomes considérés . Dans la maille deparamètres a et c, les atomes du motif ont pour coordonnées :Th : (0, 0, 0) H : (1/2, 0, 1/4) ; (0, 1/2, 1/4)
(a) Le facteur de structure S(h, k, l) est le produit de S0(h, k, l) calculé précédemmentet de S1(h, k, l), facteur de structure obtenu en considérant les 3 atomes précédentscomme motif de la maille quadratique centrée. Établir l'expression de S1(h, k, l).
(b) On réalise une expérience de diraction et on mesure l'angle 2θ entre les directionsdu faisceau diracté et du faisceau incident. Donner la correspondance entre lesvaleurs possibles de θ et les indices (h,k,l) (loi de Bragg). Sachant que c/a vautapproximativement 1.3, donner les indices h,k,l des trois premières réexions deBragg non équivalentes observées pour des angles de diraction croissants.
(c) On donne le diagramme de diraction sur la gure ci-dessous, représenté en fonctionde 2θ et obtenu expérimentalement en utilisant la diraction de neutrons de longueurd'onde λ = 1.057 Å. En utilisant la raie (0,0,2), calculer la valeur de c.
(d) Quelles sont les diérentes valeurs prises par S(h, k, l). Sachant que les numérosatomiques respectifs du Thorium at de l'Hydrogène sont ZTh = 90 et ZH = 1,les intensités des pics de Bragg sur un cliché de diraction des rayons X sont-ellessensibles à la position des atomes d'hydrogène ? Pourquoi ?
Figure 3. Diagramme de diraction de rayons X : intensité diractée en fonction de l'angle2θ.
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