Modélisation surfacique Partie I : Représentation de …SurfaciquevsVolumique Volumique: lemodèlecontientde l’informationenchaquepoint del’espace Surfacique: lemodèlecontientde

Modélisation surfaciquePartie I : Représentation de surfaces

Ulysse Vimont

Inria, Équipe Imagine

2014-2015

1 Introduction

2 Modèles volumiques

3 Modèles surfaciques

4 Bilan

Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2014-2015 1 / 34

1 IntroductionObjectifs du coursSurfacique vs VolumiqueContinu vs Discret



4 Bilan


Objectifs du cours

définition d’une grille d’analyse pour les modèles de représentationd’objetsprésentation de différents modèlescomparaison de ces modèles


Surfacique vs Volumique

Volumique :

le modèle contient del’information en chaque pointde l’espace

Surfacique :le modèle contient del’information en unsous-ensemble de l’espaceapparenté à une surfacele modèle volumique contientdes données visuelles, le modèlesurfacique des positions en plus


Un peu de calcul

ExerciceCalculer le volume de données pour représenter un cube de1000× 1000× 1000 (où chaque élément contient un double) pour unmodèles volumique, et pour un modèle surfacique. Comparer à la mémoirevive d’une machine standard.


Continu vs discret

Discret :le modèle utilise des primitiveslocalisées, en quantitédénombrable et bornée.représentation non lisseniveau de détail limité

Continu :le modèle utilise des primitivesétenduesrésultat potentiellement lisseniveau de détail extensible(multirésolution)


Un peu de calcul (bis)

ExerciceCalculer le volume de données pour représenter la surface d’un terrain de10x10km2 à une résolution de 10cm2.


1 Introduction

2 Modèles volumiquesCSGSurface impliciteBlobtreeSurface de convolutionÉnumération spatiale


4 Bilan


CSG

PrincipeAssembler des primitives simples grâce à des opérations booléennes.

Arbre d’évaluation :primitives terminales :

I demi-plan (px (X ) > α)I sphère (‖X‖ < ρ)I cylindre (‖px ,y (X )‖ < ρ)I ...

primitives intermédiaires :I union (

⋃)

I intersection (⋂)

I différences (\)I ...


CSG

Plus :définition mathématiqueCAO (usinage)simplicité d’implémentation(ray-tracer)

Moins :faible liberté de formenon représentabilité des objetscomplexes, organiquesinformation non empirique

Utilisé dans Solidwork, Pov-Ray, ...

ExerciceOn dispose de deux fonction booléennes IA, IB : R3 → {0, 1}. TrouverIA∪B, IA∩B, et IA\B.


Surface implicite

PrincipeOn décrit la surface comme l’isopotentielle d’une fonction scalaire del’espace.

On prend une fonction scalaire del’espace :

f : R3 → R

La surface est définie implicitementpar une équation ouverte :

S = f −1(cst) = {X ∈ R3|f (X ) = cst}


Surface implicite

Plus :définition mathématiquemélangeformes "bloby"conversion en maillagedéfinition de la normale(gradient)

Moins :

paramétrisation

contrôle de la topologie

effacement des détails

Très utilisé pour représenter les fluides (approche lagrangienne).

ExerciceTrouver une fonction f représentant une sphère de centre C et de rayon ρà l’isopotentielle 0.

Démo Blender.


BlobtreePrincipeLa surface est assemblée à partir de primitives implicites et d’opérateurs dedéformations.

Analogie avec le CSG-tree, avec enplus :

blendingwarping...


Blobtree

Similaire aux surfaces implicites simples, avec une plus grande facilitéd’édition.

ExerciceTrouver l’équation du blend et du twist.


Surface de convolutionPrincipeLa surface est déduite d’un skelette par convolution avec un noyau àsupport compact.

Cas particulier de surface implicite où f = k ∗ s et :{k est une fonction à support compactS est une fonction type "dirac"

Cf. théorie des distribution.Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2014-2015 15 / 34

Surface de convolution

Plus :facilité d’éditionextension pour rayon variableétendue spatiale limitée

Moins :

comme les surfaces implicites

problème du bulge

ExerciceTrouver un exemple de fonction à support compact.


Énumération spatiale

PrincipeOn définit une propriété donnée de l’objet à représenter dans un ensemblede points de l’espace (grille 3D).

Modèle discret.

Différentes propriétés :

booléen (intérieur / extérieur)

entier (couleur)

double (coefficientd’absorption)


Énumération spatiale

Plus :topologie arbitrairedonnée naturelle, mesurable(scanner CT, IRM,échantillonnage d’un fonctionde potentielle scalaire...)rendu volumique par absorption/ émission

Moins :

volume de données

création de données

caractère surfacique (réflexion,...)

anisotropie liée à la grille

Utilisé en imagerie médicale, en simulation de fluide (champs eulerien), etpour certaines applications de sculptures virtuelles.


1 Introduction


3 Modèles surfaciquesReprésentation paramétriqueB-repNuages de pointsMaillagesSurfaces de subdivisionHeightfield

4 Bilan


Représentation paramétriquePrincipeLa surface est donnée directement par une équation paramétriquecalculable.

On définit un mapping del’espace des paramètres, qu’onpeut ensuite échantillonner.Conversion en maillage.Donnée explicite.


Représentation paramétrique

Plus :surface paramétrée(coordonnées de texture, ...)conversion en maillage

Moins :donnée non intuitive (équation)variété des objetsreprésentables

ExerciceCalculer l’équation de la surface de révolution de la courbe f : R→ R


B-rep

PrincipeLa surface est définie par un ensemble de patch se raccordant de manièrelisse.

Patchs :

Coons

Béziers / Nurbs


Nuages de points

PrincipeLa surface est définie par un ensemble de points supposés êtres dessus.


Nuages de points

Plus :

donnée simple et compacte

visualisation

Moins :structure / informationtopologiquedensité nécessaire


MaillagesPrincipeLa surface est composée d’un ensemble de polygones s’appuyant sur unnuages de points.

technique universellementutilisé

approximation d’ordre 1 d’unesurface


Maillages

Plus :stockage informatique (point +connectivité)rapidité de visualisation(rasterisation)liberté de forme et de topologiedéfinition d’une géométriediscrète (voisinage, courbure)interpolation decaractéristiques sur la surface

Moins :polygone = donnée nonnaturellerésultats anguleux

Demo Blender.


Surfaces de subdivisionPrincipeUn maillage est raffiné autant de fois que nécessaire dans le but d’enaugmenter la résolution.

Chaque face est transformée enplusieurs faces plus petites.


Surfaces de subdivision : schéma de Catmull-Clark1 remplacer chaque face par un point en son barycentre2 remplacer chaque segment par un point en son milieu3 placer chaque point original P en :

F + 2N + (n − 3)Pn

où :I F est le barycentre des points voisins de P ajoutés à l’étape 1I N est le barycentre des points voisins de P ajoutés à l’étape 2I n est le nombre de ces voisins

Demo Blender.nb : il existe bien d’autres schémas de subdivision :

Loop√3-Kobbelt

Butterfly (interpolation)Ulysse Vimont (Inria) Modélisation surfacique 2014-2015 28 / 34

Surfaces de subdivision

Plus :représentation au niveau dedétail adaptéedonne un aspect lisse à desobjets anguleux (convergenceG2 presque partout)

Moins :fortement dépendant dumaillage initial


Heightfield

PrincipeL’altitude de la surface est définie en chaque point d’une grille.

représentation matricielle

surtout utilisé pour les terrains


Heightfield

Plus :pas de topologie à encodersimple à éditer (Gimp)méthodes de générations debruits procédurauxd

Moins :structure rigide (rotation, miseà l’échelle ?)niveau de détail fixétopologie fixe (pas d’arches, degrottes)

ExerciceTrouver une manière de représenter les surplombs avec un champs dehauteur modifié.


1 Introduction



4 Bilan


Conclusion

Pour résumer :les modèles volumiques sont adaptée à :

I la représentation d’objets à la topologie quelconqueI un mode de visualisation off-line (pour l’instant)

les modèles surfaciques sont adaptée à :I la représentation d’objets à la topologie fixeI un mode de visualisation on-line (rasterisation)

les modèles continus sont adaptée à :I la représentation d’objets lissesI la représentation d’objets multirésolution

les modèles discrets sont adaptée à :I la représentation du modèle dans un ordinateurI la visualisation efficace de ce modèle


Fin !

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