Matrices de Toeplitz autoadjuntasy el teorema lımite de Szego

Egor Maximenko

para un proyecto conjunto conVıctor Hugo Ibarra Mercado,

Eliseo Sarmiento Rosales y Jose Eliud Silva Urrutia

Instituto Politecnico Nacional, ESFM, Mexico

31 de Julio de 2015

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Matricesde Toeplitz

Trazageneralizada

Distribucionde autovalores

Aproximacionde autovalores

Aplicacion a unatraza misteriosa

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La circunferencia unitaria y el intervalo [0, 2π]

Denotamos por T a la circunferencia unitaria en C:

T := {t ∈ C : |t| = 1}.

La dotamos con la medida invariante normalizada µT.Dada una funcion a ∈ L∞(T), definimos g ∈ L∞([0, 2π]) como

g(θ) = a(ei θ).

Entonces ∫T

a dµT =1

2π

∫ 2π

0g(θ) dθ.

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Matrices de Toeplitz

T5(a) =

a0 a−1 a−2 a−3 a−4a1 a0 a−1 a−2 a−3a2 a1 a0 a−1 a−2a3 a2 a1 a0 a−1a4 a3 a2 a1 a0

.

Suponemos que ak (k ∈ Z) son los coeficientes de Fourierde una funcion a ∈ L∞(T):

ak =

∫T

a(t) t−k dµT(t) =1

2π

∫ 2π

0g(θ) e−k i θ dθ.

La funcion a se llama el sımbolo generador de las matrices

Tn(a) =[aj−k

]nj,k=1.

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Matriz de Toeplitz = operador de convolucion truncado

Dado n ∈ {1, 2, 3, . . .}, denotemos por Jn al encaje de Cn en `2(Z):

Jn : (x0, . . . , xn−1) 7→ (. . . , 0, 0,

0↓

x0, x1, . . . , xn−1, 0, 0, . . .).

Ademas denotemos por Pn a la siguiente proyeccion de `2(Z) sobre Cn:

Pn : (. . . , x−1,

0↓

x0, x1, . . . , xn−1, xn, . . .) 7→ (x0, x1, . . . , xn−1).

EntoncesTn(a) = PnC(a)Jn.

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Matriz de Toeplitz = operador de convolucion truncado

Dado n ∈ {1, 2, 3, . . .}, denotemos por Jn al encaje de Cn en `2(Z):

Jn : (x0, . . . , xn−1) 7→ (. . . , 0, 0,

0↓

x0, x1, . . . , xn−1, 0, 0, . . .).

Ademas denotemos por Pn a la siguiente proyeccion de `2(Z) sobre Cn:

Pn : (. . . , x−1,

0↓

x0, x1, . . . , xn−1, xn, . . .) 7→ (x0, x1, . . . , xn−1).

EntoncesTn(a) = PnC(a)Jn.

5 / 35

Matriz de Toeplitz = operador de convolucion truncado

Dado n ∈ {1, 2, 3, . . .}, denotemos por Jn al encaje de Cn en `2(Z):

Jn : (x0, . . . , xn−1) 7→ (. . . , 0, 0,

0↓

x0, x1, . . . , xn−1, 0, 0, . . .).

Ademas denotemos por Pn a la siguiente proyeccion de `2(Z) sobre Cn:

Pn : (. . . , x−1,

0↓

x0, x1, . . . , xn−1, xn, . . .) 7→ (x0, x1, . . . , xn−1).

EntoncesTn(a) = PnC(a)Jn.

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La matriz Tn(a) es un corte finito de la matriz infinita C(a)

C(a) =

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . a0 a−1 a−2 a−3 a−4. . .

. . . a1 a0 a−1 a−2 a−3. . .

. . . a2 a1 a0 a−1 a−2. . .

. . . a3 a2 a1 a0 a−1. . .

. . . a4 a3 a2 a1 a0. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

T3(a) =

a0 a−1 a−2a1 a0 a−1a2 a1 a0

.6 / 35

Matrices de Toeplitz autoadjuntas (hermitianas)

Suponemos que el sımbolo generador es real:

a ∈ L∞(T,R).

Entonces∀k ∈ Z a−k = ak ,

y las matrices de Toeplitz Tn(a) son autoadjuntas.

T5(a) =

a0 a1 a2 a3 a4a1 a0 a1 a2 a3a2 a1 a0 a1 a2a3 a2 a1 a0 a1a4 a3 a2 a1 a0

.

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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas

0

1

π 2π

Grafica de g

α=0.1

β=0.4

¿cuantos? λ(32)20 ≈ ?

0

1

Valores propios de T8(a)

Valores propios de T16(a)Valores propios de T32(a)

Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)

Segunda pregunta:n∑

j=1ϕ(λ

(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)

Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?

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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas

0

1

π 2π

Grafica de g

α=0.1

β=0.4

¿cuantos? λ(32)20 ≈ ?

0

1

Valores propios de T8(a)

Valores propios de T16(a)

Valores propios de T32(a)

Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)

Segunda pregunta:n∑

j=1ϕ(λ

(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)

Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?

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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas

0

1

π 2π

Grafica de g

α=0.1

β=0.4

¿cuantos? λ(32)20 ≈ ?

0

1

Valores propios de T8(a)Valores propios de T16(a)

Valores propios de T32(a)

Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)

Segunda pregunta:n∑

j=1ϕ(λ

(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)

Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?

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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas

0

1

π 2π

Grafica de g

α=0.1

β=0.4

¿cuantos?

λ(32)20 ≈ ?

0

1

Valores propios de T8(a)Valores propios de T16(a)

Valores propios de T32(a)

Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)

Segunda pregunta:n∑

j=1ϕ(λ

(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)

Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?

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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas

0

1

π 2π

Grafica de g

α=0.1

β=0.4

¿cuantos? λ(32)20 ≈ ?

0

1

Valores propios de T8(a)Valores propios de T16(a)

Valores propios de T32(a)

Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)

Segunda pregunta:n∑

j=1ϕ(λ

(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)

Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?

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Valores propios de matrices de Toeplitz hermitianas

0

1

π 2π

Grafica de g

α=0.1

β=0.4

¿cuantos?

λ(32)20 ≈ ?

0

1

Valores propios de T8(a)Valores propios de T16(a)

Valores propios de T32(a)

Primera pregunta: #{j : λ(n)j ∈ [α, β]} ≈ ? (Szego, 1915)

Segunda pregunta:n∑

j=1ϕ(λ

(n)j ) ≈ ?, donde ϕ ∈ C(R)

Tercera pregunta: λ(n)j ≈ ?

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Matricesde Toeplitz

Trazageneralizada

Distribucionde autovalores

Aproximacionde autovalores

Aplicacion a unatraza misteriosa

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Formula para la traza de una matriz de Toeplitz

ObservacionSea a ∈ L∞(T) y sea n ∈ {1, 2, . . .}. Entonces

tr(Tn(a)) = na0 = n∫T

a dµT =n

2π

∫ 2π

0a(ei θ) dθ.

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La traza generalizada de una matriz de Toeplitz

Sean a ∈ L∞(T,R), n ∈ {1, 2, . . .} y ϕ ∈ C(R).Entonces la matriz ϕ(Tn(a)) esta bien definida y

tr(ϕ(Tn(a))) =n∑

j=1ϕ(λ

(n)j ).

Consideremos el comportamiento asintotico de esta expresion,cuando n→∞.

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Norma de Frobenius (de Hilbert y Schmidt)

En el espacio de matrices Mn×n(C) se define el producto interno

〈A,B〉 = tr(A∗B) =n∑

j=1

n∑k=1

Aj,kBj,k .

La norma correspondiente se llama la norma de Frobenius :

‖A‖F =√〈A,A〉 =

n∑j=1

n∑k=1|Aj,k |2

1/2

.

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Tn(a)Tn(b) ≈ Tn(ab) en cierto sentido

LemaSean a, b ∈ C∞(T). Entonces

limn→∞

(1n‖Tn(a)Tn(b)− Tn(ab)‖F

)= 0.

Este lema permite demostrar que

1n (tr(T p

n (a))− tr(Tn(ap)))→ 0,

luego1n (tr(ϕ(Tn(a)))− tr(Tn(ϕ ◦ a)))→ 0

para cualquier polinomio ϕ.

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Tn(a)Tn(b) ≈ Tn(ab) en cierto sentido

LemaSean a, b ∈ C∞(T). Entonces

limn→∞

(1n‖Tn(a)Tn(b)− Tn(ab)‖F

)= 0.

Este lema permite demostrar que

1n (tr(T p

n (a))− tr(Tn(ap)))→ 0,

luego1n (tr(ϕ(Tn(a)))− tr(Tn(ϕ ◦ a)))→ 0

para cualquier polinomio ϕ.

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Teorema lımite de Szego (1915)

sımbolo generadora ∈ L∞(T,R)

funcion de pruebaϕ ∈ C(R)

1n

n∑j=1

ϕ(λ(n)j ) −−−→

∫Tϕ ◦ a dµT

limn→∞

(1n

n∑j=1

ϕ(λ(n)j )

)=

12π

∫ 2π

0ϕ(g(θ)) dθ.

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Matricesde Toeplitz

Trazageneralizada

Distribucionde autovalores

Aproximacionde autovalores

Aplicacion a unatraza misteriosa

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Corolario del teorema lımite de Szegodistribucion de los valores propios de matrices de Toeplitz autoadjuntas

sımbolo generadora ∈ L∞(T,R)

α < βµT(a−1({α, β})) = 0

#{j : α ≤ λ(n)j ≤ β}n −−−→ µ {θ ∈ [0, 2π] : α ≤ a(ei θ) ≤ β}

2π

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Ejemplo para ilustrar el corolario

0 2π

1

Grafica de g

µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325

0.1

0.4

0

1

Eigenvalues of T32(a)

11 eigenvalues

1132 ≈ 0.344

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Ejemplo para ilustrar el corolario

0 2π

1

Grafica de g

µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325

0.1

0.4

0

1

Eigenvalues of T32(a)

11 eigenvalues

1132 ≈ 0.344

17 / 35

Ejemplo para ilustrar el corolario

0 2π

1

Grafica de g

µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325

0.1

0.4

0

1

Eigenvalues of T32(a)

11 eigenvalues

1132 ≈ 0.344

17 / 35

Ejemplo para ilustrar el corolario

0 2π

1

Grafica de g

µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325

0.1

0.4

0

1

Eigenvalues of T32(a)

11 eigenvalues

1132 ≈ 0.344

17 / 35

Ejemplo para ilustrar el corolario

0 2π

1

Grafica de g

µ {θ : 0.1≤ a(θ)≤ 0.4}2π = 0.325

0.1

0.4

0

1

Eigenvalues of T32(a)

11 eigenvalues

1132 ≈ 0.344

17 / 35

Szego encontro una formula aproximada para la traza generalizaday describio la distribucion asintotica de los valores propios.

Otra pregunta se quedo sin respuesta para 100 anos:

λ(n)j ≈ ?

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Matricesde Toeplitz

Trazageneralizada

Distribucionde autovalores

Aproximacionde autovalores

Aplicacion a unatraza misteriosa

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Esta parte esta basada en un trabajo conjunto conJ. M. Bogoya Ramırez, A. Bottcher y S. M. Grudsky.http://dx.doi.org/10.1016/j.jat.2015.03.003

La idea es “hacer al reves” el teorema de Szego.

20 / 35

Funcion cuantil de una lista de numeros

118 100 195 166 164 123 102 172 164 117

Los mismos numeros en el orden ascendiente:100 102 117 118 123 164 164 166 172 195

QuantileFunction(1/3) = 118porque 118 es el numero mas pequeno v

tal que al menos 1/3 de los elementos son menores o iguales a v .

21 / 35

Funcion cuantil asociada a una funcion a ∈ L∞(T,R)

Fa := la funcion de distribucion acumulada de a :

Fa(v) := µT {t ∈ T : a(t) ≤ v}, v ∈ R.

Qa := la funcion cuantil correspondiente:

Qa(p) := inf{v ∈ R : Fa(v) ≥ p}, p ∈ (0, 1].

Qa crece y tiene la misma distribucion que a.

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Construccion de la funcion cuantilasociada a un sımbolo generador lineal a trozos

v

0 π

2π 3π

22π

34

1

14

Grafica de g

34

1

0

14

1948

1116

1

v

34

1

0

14

1948

1116

1

Graph of Qa

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Construccion de la funcion cuantilasociada a un sımbolo generador lineal a trozos

v

0 π

2π 3π

22π

34

1

14

Grafica de g

34

1

0

14

1948

1116

1

v

34

1

0

14

1948

1116

1

Graph of Qa

a y Qa son identicamente distribuidas:µT{t ∈ T : a(t) ≤ v} = µ{p ∈ (0, 1] : Qa(p) ≤ v}

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Construccion de la funcion cuantilasociada a un sımbolo generador lineal a trozos

v

0 π

2π 3π

22π

34

1

14

Grafica de g

34

1

0

14

1948

1116

1

v

34

1

0

14

1948

1116

1

Graph of Qa

a reordenamiento en el estilo de Lebesgue−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ Qa

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Convergencia uniforme de los valores propios

a ∈ L∞(T,R) R(a) es conexo

max1≤j≤n

∣∣∣λ(n)j − Qa( j/n)∣∣∣ −−−→ 0

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Ejemplo

0 π/2 π 3π/2 2π

1/4

3/4

1

Grafica de g

0 19/48 11/16 1

1/4

3/4

1

Grafica de Qa

1 64

1

Valores propios de T64(a)

Cada valor propio λ(n)j se muestra como el punto(

jn , λ

(n)j

).

Se ve que el tercer dibujo parece mucho al segundo.

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Ejemplo

0 π/2 π 3π/2 2π

1/4

3/4

1

Grafica de g

0 19/48 11/16 1

1/4

3/4

1

Grafica de Qa

y los puntos ( j/n, λ(n)j )

(1364 , Qa

(1364

))

(1364 , λ

(64)13

)

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Ejemplo

0 π/2 π 3π/2 2π

1/4

3/4

1

Grafica de g

0 19/48 11/16 1

1/4

3/4

1

Grafica de Qa

y los puntos ( j/n, λ(n)j )

(1364 , Qa

(1364

))

(1364 , λ

(64)13

)

26 / 35

Ejemplo

0 π/2 π 3π/2 2π

1/4

3/4

1

Grafica de g

0 19/48 11/16 1

1/4

3/4

1

Grafica de Qa

y los puntos ( j/n, λ(n)j )

(1364 , Qa

(1364

))

(1364 , λ

(64)13

)

26 / 35

Ejemplo

0 π/2 π 3π/2 2π

1/4

3/4

1

Grafica de g

0 19/48 11/16 1

1/4

3/4

1

Grafica de Qa

y los puntos ( j/n, λ(n)j )

(1364 , Qa

(1364

))

(1364 , λ

(64)13

)

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El teorema lımite de Szego combinado con el concepto de funcion cuantilproporciona el termino principal de la asintotica de los valores propios:

λ(n)j ≈ Qa

( jn)

suponiendo que a ∈ L∞(T,R) y la imagen esencial R(a) es conexa.

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Matricesde Toeplitz

Trazageneralizada

Distribucionde autovalores

Aproximacionde autovalores

Aplicacion a unatraza misteriosa

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Aplicacion a una traza misteriosaEn un problema de suavizamiento de datos surge la expresion

fn(p) = 1− 1n tr

((In + p R>n Rn)

−1),

dondep es un parametro positivo,In es la matriz identidad n × n,Rn es la matriz (n − 2)× n asociada al operador de diferencias desegundo orden.

R7 =

1 −2 1 0 0 0 00 1 −2 1 0 0 00 0 1 −2 1 0 00 0 0 1 −2 1 00 0 0 0 1 −2 1

.

29 / 35

fn escrita a traves de los valores propios

La funcion fn se puede escribir como

fn(p) = 1− 1n

n∑j=1

11 + p λj(R>n Rn)

.

Notamos querank(R>n Rn) = n − 2,

y los valores propios no nulos de R>n Rn son los valores propios de RnR>n .

fn(p) = 1− 2n −

1n

n−2∑j=1

11 + p λj(RnR>n )

.

30 / 35

fn escrita a traves de los valores propios

La funcion fn se puede escribir como

fn(p) = 1− 1n

n∑j=1

11 + p λj(R>n Rn)

.

Notamos querank(R>n Rn) = n − 2,

y los valores propios no nulos de R>n Rn son los valores propios de RnR>n .

fn(p) = 1− 2n −

1n

n−2∑j=1

11 + p λj(RnR>n )

.

30 / 35

fn escrita a traves de los valores propios

La funcion fn se puede escribir como

fn(p) = 1− 1n

n∑j=1

11 + p λj(R>n Rn)

.

Notamos querank(R>n Rn) = n − 2,

y los valores propios no nulos de R>n Rn son los valores propios de RnR>n .

fn(p) = 1− 2n −

1n

n−2∑j=1

11 + p λj(RnR>n )

.

30 / 35

Pasamos a una matriz de Toeplitz pentadiagonalUn calculo directo muestra que

RnR>n = Tn−2(a), donde

a(t) = t−2 − 4t−1 + 6− 4t + t2 =(1− t)4

t2 .

Por ejemplo,

T8(a) =

6 −4 1 0 0 0 0 0−4 6 −4 1 0 0 0 0

1 −4 6 −4 1 0 0 00 1 −4 6 −4 1 0 00 0 1 −4 6 −4 1 00 0 0 1 −4 6 −4 10 0 0 0 1 −4 6 −40 0 0 0 0 1 −4 6

.

31 / 35

El sımbolo generador de estas matrices pentadiagonales

1 2 3 4 5 6

5

10

15

Recientemente S. M. Grudsky y M. A. Barrera Ceballosdedujeron formulas asintoticas para los valores propiosde las matrices de Toeplitz generadas por esta funcion.Nosotros no utilizamos sus formulas.

32 / 35

Aplicamos el teorema de Szego

fn(p) =n − 2

n · 1n − 2 tr(ϕp(Tn−2(a))),

dondeϕp(u) =

pu1 + pu ,

a(t) = t−2 − 4t−1 + 6− 4t + t2 =(1− t)4

t2 .

Por el teorema de Szego,

limn→∞

fn(p) = g(p),

donde

g(p) =∫T

p a1 + p a dµT =

12π

∫ 2π

0

p(

2 sin θ2

)4

1 + p(

2 sin θ2

)4 dθ.

La ultima integral se puede calcular con la tecnica de residuos.33 / 35

Resultado final: la funcion lımitePara cada p ∈ [0,+∞),

limn→∞

fn(p) = g(p) = 1−√

1 +√

1 + 16p2(1 + 16p) .

0.5 1.0 1.5 2.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

g

f100

34 / 35

¡Gracias!

35 / 35