MÉCANIQUE DES STRUCTURESflorent.letard.free.fr/meca2mds5bis.pdf · 2006. 3. 9. · Programme Mécanique II - Mécanique des Structures 2004-2005 MS1 (02/12): Les méthodes énergétiques:

MS5:COMPLEMENTS DE DYNAMIQUE DES STRUCTURESMS5:COMPLEMENTS DE DYNAMIQUE DES STRUCTURESLES MODES PROPRES CONCENTRENT L’INFO LES MODES PROPRES CONCENTRENT L’INFO

MÉCANIQUE DES STRUCTURESMÉCANIQUE DES STRUCTURES

Programme Mécanique II - Mécanique des Structures 2004-2005

MS1 (02/12): Les méthodes énergétiques: Des méthodes « éclair » pour calculer des poutres à liaisons multiples• TD 1(02/12):Pont-Stade de France

MS2(10/12) :Structures complexes: les éléments finis simplifient les calculs• TD2(10/12) :Arbre d’alternateur

MS3(16/12) :Plaques :du 3D au 2D• TD3(16/12) :Etage cryogénique d'Ariane V: Plaque de révolution en flexion

MS4(06/01) : le flambement :un exemple d'instabilité• TD4(06/01) :Flambement par dilatation des rails de chemin de fer

MS5 (13/01):Vibrations des structures (compléments): les modes propres concentrent l’info• TD5(13/01) :Réponse dynamique d’un poteau de basket

Etude dynamique d'un arbre d'alternateur

MS5:COMPLEMENTS DE DYNAMIQUE DES STRUCTURESMS5:COMPLEMENTS DE DYNAMIQUE DES STRUCTURESLES MODES PROPRES CONCENTRENT L’INFO LES MODES PROPRES CONCENTRENT L’INFO

1.THEOREME DES PUISSANCES 1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN SOLIDE ELASTIQUEVIRTUELLES POUR UN SOLIDE ELASTIQUE2.PRINCIPE DE HAMILTON (pm)2.PRINCIPE DE HAMILTON (pm)3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS••Poutre en TCPoutre en TC••Poutre en flexionPoutre en flexion••Différentes CL, chargements,FRF Différentes CL, chargements,FRF ••GénéralisationGénéralisationETUDE de CASETUDE de CAS

-Solide élastique linéaire -Petits mouvements autour d ’une position d’équilibre-Les forces sont réparties à la frontière :

théorème des travaux(puissances) virtuellessi w est un champ cinématiquement admissible:

-δU+ δWext=0

dS),(dV),(dV),(dV))().((Tr Sv ∫∫∫∫Ω∂ΩΩ

Ω++ρ−= wfwfwuweus &&

On discrétise les déplacements(réels et virtuels) suivant un nombre fini de :

-fonctions de base wj,-associées à un vecteur qj de coordonnées généralisées

(éléments finis ,déformées hypothétiques,ou expérimentales…..)

1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN 1.THEOREME DES PUISSANCES VIRTUELLES POUR UN SOLIDE ELASTIQUE SOLIDE ELASTIQUE

[ ] [ ]

=== ∑

= M

MLL jjj

n

1jj qq)x()x( wwqWu

dS)qw,(dV)qw,(dV)qw,qw(dV))qw().qw((TriiSiiviijjiijj ∫∫∫∫

Ω∂ΩΩΩ

++−= ffes &&

espace temps

dS),(dV),(dV),(dV))().((Tr Sv ∫∫∫∫Ω∂ΩΩ

Ω++ρ−= wfwfwuweus &&


...dS)w,f(qqdVwwqqdV))w().w((Trq iSt

jijt

jijt +

=

ρ+

εσ ∫∫∫

Ω∂ΩΩ

M

M

M

&&M

O

O

M

M

O

O

FqMKq

FqqMqKqq

=+

=+

&&

&& ttt

[ ] [ ] [ ] [ ]LLM

M

M

MLL

i

ti

ttttjj qq ,wqq)x( ,qq)x( =

==

== WwwWu

dS)qw,(dV)qw,(dV)qw,qw(dV))qw().qw((TriiSiiviijjiijj ∫∫∫∫

Ω∂ΩΩΩ

++−= ffes &&


∫∫Ω∂Ω

+=

= dSt),(dV),(F,F nSnVnn wfwfF

M

M

Second membre:

. La modélisation en éléments finis reporte donc les forces extérieures éventuellement réparties dans le volume ou à la surface du solide en un ensemble de forces équivalentes associées aux coordonnées généralisées qiOn applique quelquefois directement les forces aux nœuds du maillage


2.PRINCIPE DE HAMILTON 2.PRINCIPE DE HAMILTON

À voir dans le poly

∫Ωρ= dV))(),((M jiij xwxw[ ] j

n

1jjq∑

=

== wqWu

( ) ( )[ ]∫Ω= dv.TrK jiij wewsIntégrale volumique(3D),linéique(poutre),surfacique(plaque,coque)

3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE3.MATRICES DE MASSE ET RIGIDITE

Application 1 :barre en traction -compression

lx)x(w et),

lx1()x(woù

),x(wq)x(wqlx

q)lx

1(q)x(u

21

221121

=−=

+=+−=

qMq &&t21

T =

dx

Lx

Lx

1Lx

Lx

1Lx

Lx

1S

L

0 2

2

∫

−

−

−

ρ=M

=

ρ=

2112

6m

2112

6SL

M∫Ωρ= dV)x(w)x(wM jiij

Matrice de masse:


x

u(x,t)q1q2

A1A2

Application 1:barre en traction -compression

[ ] [ ] ε

εε

εε

= ∫ dxqq

)w()w()w()w(

q,q2

ESU

2

1211111

211

111L

021

dx

L1

L1

L1

L1

L1

L1

L1

L1

ESKL

0∫

−

−

−

−

=

−

−=

1111

LES

K

Matrice de rigidité


lx)x(w et),

lx1()x(woù

),x(wq)x(wqlxq)

lx1(q)x(u

21

221121

=−=

+=+−=

x

u(x,t)q1

q2

A1A2

Application1 :barre en traction -compresssion

Ex:Combien de modes peut-on calculer avec un élément:Pour une poutre encastée-libre?

−

−=

1111

LES

K

=

ρ=

2112

6m

2112

6SL

M

Pour une poutre libre-libre?


Application 2 :poutre en flexion(Euler-Bernoulli)

qMq &&t21

T =

,

2

2

1

1

=

ω

ωu

u

q

[ ][ ] ,dx SM L0

t

ρ= ∫ WW

−−−

=

2

22

4221563134135422156

420Lsym

LLLLLL

mM

Matrice de masse:

∫Ωρ= dV)x(w)x(wM jiij

[ ] [ ]q )x(q )x(w),x(w),x(w),x(w)x(u 4321 W==


u(x)x

ω1

ω2

2

1

[ ][ ]dx )x( )x(EIK L0

t∫ ′′′′= WW23

22

13

12

2

22

3 u

u

L4symL612

L2L6L4L612L612

LEI

K

ω←←

ω←←

−−−

=


dsds

udEI

21

UL

02

2

∫

=

,

2

2

1

1

=

ω

ωu

u

q [ ] [ ]qxWqxwxwxwxwxu )( )(),(),(),()( 4321 ==


Application 2 :poutre en flexion(Euler-Bernoulli) u(x) x

ω1

ω2

2

1

23

22

13

12

2

22

3 u

u

L4symL612

L2L6L4L612L612

LEIK

ω←←

ω←←

−−−

=Matrice de rigidité

−−−

=

2

22

L4symL22156

L3L13L4L1354L22156

420m

M

Matrice de masse:

,u

u

q

2

2

1

1

ω

ω=

[ ] [ ]q )x(q )x(w),x(w),x(w),x(w)x(u 4321 W==


Application 2 :poutre en flexion(Euler-Bernoulli) u(x) x

ω1

ω2

2

1

Application:poutre en flexion(Euler-Bernoulli)

23

22

13

12

2

22

3

4612

264612612

ω

ω

←←←←

−−−

=u

u

LsymL

LLLLL

LEI

K


−−−

=

2

22

4221563134135422156

420Lsym

LLLLLL

mM

Matrice de masse:

Exemples: calcul du premier mode propre en flexion d'une poutre encastrée,

−

−= 2422

22156420

'LL

LmM

23

22

23 46612

'ω←

←

−

−=

uLLL

LEI

K


Et pour une structure complexe ( assemblage de structures simples-éléments finis) ?

qKq

qMq

t

t

21

U

21

T

=

= &&

Les mêmes règles dmêmes règles d ’assemblage’assemblages ’appliquent pour les matrices de masse et de rigidité


4.1.Barre en traction-compression.4.1.1Mise en équations(rappel)

tu

xu

Ex 2

2

∂∂

ρ=

∂∂

∂∂

tje)x(Ut),x(u ω=

0)x(Uxd

)x(UdE 22

2

=ρω+

,E

k si ρ

ω=

4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:4.VIBRATION DES SYSTEMES CONTINUS:PERFORMANCES DES ELEMENTS FINISPERFORMANCES DES ELEMENTS FINIS

x

u(x,t)

σ11

)kxsin(B)kxcos(A)x(U +=

4.1.2 Barre en traction-compression: barre encastrée-libre et approximation par éléments finis

)kxsin(B)kxcos(A)x(U ,E

k +=ρ

ω=

0)kLcos(Bksoit ,0)Lx(0Asoit ,0)0x(u

11 ===σ===

CL

( ) ( ) 1n,xL2

1n2sinBUet ,2

1n2LE nn

≥

π−=

π−=

ρω

x

u(x,t)


4.1.2 Barre en traction-compression: barre encastrée-libre et approximation par éléments finis

=

−

−+

ω−

2

1

2

12

FF

qq

1111

LES

2112

6m

,LE3

soit ,0qL

ES2

6m

22

22

ρ=ω=

+ω−

Solution exacte: 222

21 L

E46.2

LE

4 ρ=

ρπ

=ω( )ρ

π−=ω

EL2

1n2n

x

u(x,t)

q2

q1=0


4.2.Poutre en flexion.4.2.1.Mise en équations-CL

0t),x(tu

S)t,x(xu

EI 22

4

4

=∂∂

ρ+∂∂

)tcos()x(U)t,x(u ϕ+ω=

Lkx

0eU)x(U = SEI

Lk

:soit ,0SLk

EI4

224

ρ

=ω=ρω−

Solution générale:

+

+

+

=

Lkx

DshLkx

CchLkx

sinBLkx

cosA)x(U

u(x,t)x


4.2.2 Poutre en flexion simplement appuyée

SEI

Lk

4

2

ρ

=ω

Les CL conduisent à sink=0, k=nπ

2

2

n L2n

SEI

fπ

ρ=

Déformée modale: 1n,L

xnsinUU 0n ≥

π=

CL:U(0) =0, M(0)=0U(L =0, M(L)=0

U(x)x

)t,x(xU

EIM 22

∂∂

=


4.2.2 Poutre en flexion simplement appuyée: approximation EF

23

22

13

12

2

22

3 u

u

L4symL612

L2L6L4L612L612

LEIK

ω←←

ω←←

−−−

=

−−−

=

2

22

L4symL22156

L3L13L4L1354L22156

420m

M

1 élément poutre de longueur L

−−

=2

2

4334

420'

LLLLm

M

23

13

22

22

3 L4L2L2L4

LEI

'Kω←ω←

=

Conditions limites:u(0)=u1=0, u(L)=u2=0Inconnues: rotations ω1 ,ω2

U(x)x

ω1

ω2


4.2.3 Poutre en flexion:autres CL:Poutre encastrée-libre

u(x)

x

Modèle 1 élément fini: pale ou mâtConditions aux limites: u(0)=u1=0,du/ds(0)= ω1=0 Inconnues: u(L)=u2,du/ds(L)= ω2



u(x)

x


Matrice de masse:

−

−= 2L4L22

L22156420m

'M

23

22

23

uL4L6L612

LEI

'Kω←

←

−

−=

23

22

13

12

2

22

3

4612

264612612

ω

ω

←←←←

−−−

=u

u

LsymL

LLLLL

LEI

K

−−−

=

2

22

4221563134135422156

420Lsym

LLLLLL

mM



u(x)

x


0u

L4L6L612

LEIu

L4L22L22156

420m

2

2

232

2

2 =

ω

−

−+

ω

−

−&&&&

Solutions:

421 SL

EI47,12

ρ=ω 4

22 SL

EI3,1211ρ

=ω

Solutions "exactes" système continu

421 SL

EI36,12

ρ=ω

422 SL

EI5,485

ρ=ω

Seule la première FP est bien approximée, AVEC 1 ELEMENT!

4.3 Poutre en flexion/excitation spatiale variable dans le temps

•Idée:projeter sur les modes propres, comme en

dimension finie•Outil:Théorème des puissances virtuelles(TPV)•Pourquoi ça marche:Les modes propres sont orthogonaux par rapport aux opérateurs (que l'on va définir) de masse et rigidité:découplage des équations


4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Opérateurs de masse et rigidité

t),x(ft),x(tu

S)t,x(x

uEI 2

2

4

4

=∂∂

ρ+∂∂

Opérateurs de masse et rigidité:

0v(x)dx)x(SUdx)x(vdx

)x(UdEI

L

0

2L

0 4

4

=ρω− ∫∫

02 >=< MUv,KUv,

Définition des opérateurs de masse et rigidité

TTV:f(x,t)=0u(x,t)=ν(x)e jωt

Opérateurs de masse et rigidité:

M et K symétriques et autoadjoints, il existe une base qui diagonalise simultanément M et K

n2nn

2n

n

mU

,nm si 0

ω>==<

≠>=>=

4.3 Poutre en flexion/excitation variable dans le temps. Réponsesur une base modale

∑∞

=

Υ=1j

jj )t(q)()t,( xxu

)t,x(fx

)x(U)t(EIq)x(U)t(qS

1j4

j4

jjj =

∂

∂+ρ∑

∞

=

&&

dx)x(U)t,x(fdx)x(Ux

)x(UEI)t(qdx)x(U)x(SU)t(q n

L

01j

L

0 n4

4

jn

L

0 jj ∫∑ ∫∫ =

∂

∂+

ρ

∞

=

&&

Développement/projection de la solution sur les modes

Application du Théorème des travaux virtuels, chmp virt. Un(x):


Projection de l ’excitation sur Un:Mode d'autant plus excité que:Forces"spatialement appropriées" à la déformée du mode

[ ] ∫ ==ω+L

0 nn2nnn ...2,1n,dx)t,x(f)x(U)t(q)t(qm &&

Découplage des modes (dénombrables)


[ ] ..2,1n),t(f)x(U)t(q)t(qm0x0nn

2nnn ==ω+&&

En transformée de Fourier

[ ] )j(F)x(U)j(Qm0x0nn

2n

2n ω=ωω+ω−

Cas d'une excitation ponctuelle: . ),xx(f)t,x(f 0x0 −δ=

En redéveloppant: ∑∞

=

ω=ω1j

jj )j(Q)x(U)j,x(U


∑∞

= ω−ω=

ωω

=ω1n

22nn

0nn

x0 )(m

)x(U)x(U)j(F)j,x(U

)j,x,x(H0

Réponse en fréquence : FRF: x/x0

Réponse sur le mode n:-proportionnelle à la déformée du mode n au point d’observation-proportionnelle à la déformée du mode n au point d’excitation-infinie(!!!) à la fréquence de résonance

U(x)x

Un(x0)

F

Exemple:Poutre en flexion simplement appuyée

U(x)x

Un(x0)

F

Exemple:Réponse dynamique d'un pontMais valable pour sollicitation ponctuelle, harmonique…Sinon , calculer les modes par EF et projeter….


exemple: Poutre en flexion simplement appuyée

∑∑∞

=

∞

=

+

=+

=1

42

0

1220

02

nn nn

nn

Ln

SEIp

Lxn

Lxn

SLjmxUxU

pxxHπ

ρ

ππ

ρωω

sinsin

)()()(

),,(

Fonction de transfert:réponse en x à une excitation en x0:

FRF:p=jω

U(x)x

Un(x0)

F


exemple: Modèles de pont


4.4.Généralisation4.4.1 opérateurs de masse et rigidité

Opérateur de masse: poutre dx),(S

3D) solideun (pour dV),(L

0∫∫

ρ=

ρ>=<Ω

vu

vuMuv,

Opérateur de rigidité:

poutre dx)x(vx

)x(uEI) 3D solideun pour (,dV))().(s(Tr

L

0 4

4

∫∫ ∂∂

=>=<Ω

veuKuv,

Il existe une infinité dénombrable de modes orthogonaux par rapport à M et K

n2n

2n m

,nm si 0

ω>==<

≠>=>=

4.4.Généralisation-EXEMPLES

Modes propres d’une maquette de batiment

La projection de la réponse sur les modes, et l'application du TPV au mode n donne:

En temporel:

∑∞

=

=1j

jj )t(q)x()t,x( Uu

[ ] ∫ Ω∂=ω+ dS)x()t,()t(q)t(qm nn2nnn Ux?&&Excitation ponctuelle

[ ] ..2,1n),t()()t(q)t(qm nn2nnn =Υ=ω+ 0xfx&&


:la timbale:un exemple de couplage la timbale:un exemple de couplage vibroacoustiquevibroacoustique

Excitation ponctuelle

[ ] ..2,1n),t()x()t(q)t(qm0xnn

2nnn ==ω+ fU&&


FRF réponse en fréquence

∑∞

= ω+ωωζ+ω−=

ωω

=ω1n

2nnn

2n

0nn

x0 )j2(m

)x(U)x(U)j(F)j,x(U

)j,x,x(H0

Ex FRF d'une caisse de voiture, roue…


La roue résonne suivant ses modes propres (1600-4000Hz) et rayonne dana ce domaine de fréquences

Les traverses rayonnent autour de 400 Hz.

Des défauts microscopiques(1-10 µm) excitent la roue et le rail

Des ondes/modes sont générés dans le rail

• Le bruit de roulement : – Développement du modèle TWINS (ERRI/UIC) 1990-1995– Modèle quantitatif (2/3dB(A)):

Application:réduction du bruit de roulement des trainsApplication:réduction du bruit de roulement des trains

ETUDE de CASETUDE de CAS

4pplication:réduction du bruit de roulement des trains pplication:réduction du bruit de roulement des trains :dynamique de la voie:dynamique de la voie

F,u

102

103

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

fréquences (Hz)

accé

léra

nce

(en

dB r

ef 1

m.s

-2/N

Accelerance verticale LGV NORD Voie 2 Tsemelle=10°C

modèle railmodèle traversemesures

Aplomb traverse

milieu deux traverses

rail


–– Bruit de roulement des trains:Bruit de roulement des trains:–– Parts relatives des contributions roue et voieParts relatives des contributions roue et voie


∑∞

= ++−=

122

0

20 n nnnn

nn

x jmxUxU

jFjxU

)()()(

)(),(

ωωωζωωω

–– Bruit de roulement des trains:Bruit de roulement des trains:–– Parts relatives des contributions roue et voieParts relatives des contributions roue et voie

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100 1000 10000

Frequency (Hz)

SP

L (d

Bre

f 2e

-5P

a)

Lp total

Lp rail

Lp roue

Lp traverse

traverse rail roue


4. Application:réduction du bruit de roulement:modes Application:réduction du bruit de roulement:modes propres dpropres d ’une roue de chemin de fer’une roue de chemin de fer

∑∞

= ++−==

1n2nnn

2n

0nn

x0 j2m

xUxUjFjxU

jxxH0

)()()(

)(),(

),,(ωωωζωω

ωω

Application à l ’optimisation acoustique de la roue

Quelques exemples ++

++

+

++

+ +

-

-

--

--

-

n = 2 n = 3 n = 4

-


4.Application:pplication:

Question subsidiaire:Comment calculer la réponse d'une structure dont on a travaillé les modes


L ’approche théorique pour modéliser le crissement consiste à :

Considérer le crissement comme une instabilitédynamique de l’équilibre stationnaire

Principe :

⇒Déterminer l’équilibre glissant : Zone contact, force normale Ne⇒Etude de stabilité de l’équilibre stationnaire (on introduit une

perturbation glissante)

Modélisation des fréquences Modélisation des fréquences crissantescrissantes


Considérer le crissement comme une instabilitédynamique de l’équilibre stationnaire

⇒Linéarisation des équations - matrices de masse et de raideur non symétriques

⇒Analyse de stabilité : trouver les modes complexes associés au problème en projetant sur une base modale sans frottement tronquée

⇒un mode est instable si la partie réelle de sa valeur propre est positive



On calcule alors les termes de l'équation des vibrations du système, et les modes propres associés

0)..(.)..( ***

=++++ UfUUf ff KKCMM &&&



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-400

-200

0

200

400

600

800

Fréq (Hz)

• Experiment

• Theory

Re( )λ

Modélisation des fréquences Modélisation des fréquences crissantescrissantesETUDE de CASETUDE de CAS

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-400

-200

0

200

400

600

800 • Experiment• Theory

Re( )λ

Fréq (Hz)

Modélisation des fréquences Modélisation des fréquences crissantescrissantesETUDE de CASETUDE de CAS

∑= ++−

=

==n

1i2ii

2i

it

i

tj0

tj

j2mBB

jH

eFjHXex

)()(

,)(

ωωδωω

ω ωω

COMPLEMENTS de DYNAMIQUE des STRUCTURES:COMPLEMENTS de DYNAMIQUE des STRUCTURES:MS6:COMMENT REDUIRE LES VIBRATIONS D’UNE STRUCTURE MS6:COMMENT REDUIRE LES VIBRATIONS D’UNE STRUCTURE

),()()(

)cos()(11

tfthtx

teBBqBth iit

it

n

iii

n

ii

i

∗=

+′== −==∑∑ ϕωδ

Réponse en fréquence

h(t):Réponse impulsionnelle

F-1:transformée de Fourier inverse

Se généralise pour un nombre de modes infini

*: produit de convolution

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