Mécanique quantique Y Textes des problèmes L ECOLE PO

Jean-Louis Basdevant, Jean Dalibard

ECOL

E POL

YTEC

HNIQ

UE Philippe Grangier, Manuel Joffre

Mécanique quantique

Textes des problèmeset corrigés des années

précédentes

Département de Physique

Année 1Tronc Commun

PHY311

Mécanique quantique

Textes de contrôles des connaissancesproposés les années antérieures

Année 2018-2019

Table des matières

1 Le double puits quantique asymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Électron flottant sur de l’hélium liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 États quantiques vibrationnels d’atomes piégés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Détection « non destructive » de bombes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Principe d’une horloge atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 Propagation et étalement d’un paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Interférences de grosses particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 Y a-t-il toujours un état lié dans un puits de potentiel 1D ? . . . . . . . . . . . . 469 Interférences entre deux condensats de Bose–Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . 4810 Moment magnétique du deutéron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311 Mesure QND d’une composante de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5412 Interférences et intrication dans un double puits de potentiel . . . . . . . . . . . . 5913 Évolution d’un système de deux spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6814 Électron dans un piège de Penning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7015 Énergie de l’état fondamental d’un atome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7716 Mesures de Bell et transfert d’intrication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Tous les problèmes de ce recueil sont extraits de sujets de contrôles posés dans le cadre ducours de physique quantique. En général, les contrôles se composent d’un problème du type deceux présentés ici et de quelques questions plus courtes, de type QCM. Un exemple d’exercicecourt proposé en 2014 est le problème 10, « Moment magnétique du deutéron ». Une versionélectronique de ce recueil est disponible sur le site du Département de Physique.

3

1. Le double puits quantique asymétrique 5

1 Le double puits quantique asymétrique

Un puits quantique est une structure cristalline obtenue par croissance de plusieurs couchesde matériaux semi-conducteurs. Nous étudierons dans ce problème un des multiples dispositifsenvisageables, le double puits asymétrique, représenté sur la figure 1. En appliquant un champélectrique sur ce dispositif, on peut modifier notablement la structure des niveaux quantiques dusystème, et contrôler ainsi la dynamique des électrons de conduction. Les applications potentiellesconcernent les détecteurs de lumière dans le moyen ou lointain infra-rouge, les lasers, et lesdispositifs photo-voltaïques.

V(x)

x

Lg Ld

∆

0

V0

1 2 3 4 5

Figure 1 – Double puits asymétrique représenté ici en absence de champ électrique extérieur.Le potentiel ressenti par un électron vaut V (x) = V0 dans les régions 1,3,5, où l’échantillon estcomposé de AlGaAs. Ce potentiel vaut 0 dans les régions 2 et 4, composées de GaAs.

Structure des niveaux d’énergie en absence d’effet tunnel

On suppose dans cette partie que V0 est infini. On admettra que le mouvement d’un électron ausein d’un semi-conducteur est régi par les mêmes lois que dans le vide, à condition de remplacerla masse par une « masse effective » qui a pour valeur m = 6,1×10−32 kg dans le semi-conducteurconsidéré ici. On rappelle la constante de Planck réduite ~ = 1,055 × 10−34 J.s et la charge del’électron q = −1,6 × 10−19 C.

1. Rappeler sans calcul les énergies propres dans un puits carré infini de largeur L.

2. En déduire les énergies propres dans le double puits asymétrique dans le cas V0 = ∞.

3. Les largeurs des puits valent Lg = 10 nm et Ld = 3Lg/2 = 15 nm. Calculer en milli-électron-volt (meV) la position des 6 premiers niveaux d’énergie du système. Y a-t-il des niveaux d’énergiedégénérés ? On précisera pour chaque niveau si l’électron est localisé dans le puits étroit (région2) ou le puits large (région 4).

4. De quelle énergie faudrait-il abaisser ou monter l’énergie du fond du puits large (région 4)par rapport à celle du puits étroit (région 2) pour que le niveau fondamental du double puitssoit dégénéré ? On donnera le résultat sous forme littérale, puis en meV.

5. On cherche à réaliser ce déplacement relatif des fonds des deux puits par un champ élec-trique. Quel est l’ordre de grandeur du champ électrique F nécessaire, sachant que l’épaisseurde la barrière séparant les deux puits est ∆ = 3 nm ?

6 1. Le double puits quantique asymétrique

NB. On ne demande pas ici de calcul quantitatif précis, mais seulement une estima-tion qualitative.

Prise en compte de l’effet tunnel en physique ondulatoire

On suppose dans cette partie que V0 est fini et on s’intéresse aux états stationnaires d’énergie Einférieure à V0.

1. Rappeler la forme de l’équation de Schrôdinger indépendante du temps dans chacune des 5régions indiquées sur la figure 1. On posera k =

√2mE/~ et K =

»

2m(V0 −E)/~.

2. Indiquer la forme des solutions retenues sur chacun des cinq intervalles, sous forme decombinaisons linéaires de fonctions exponentielles (éventuellement complexes) de la variable x.

3. Rappeler le principe du raccordement des solutions aux frontières entre les différentes régionset expliquer l’origine de la quantification de l’énergie.N.B. On ne cherchera pas à faire explicitement les calculs de raccordement qui sontrelativement longs dans le cas qui nous intéresse ici.

4. La résolution numérique de la recherche des énergies dans le double puits donne les résultatsindiqués dans la table 1. Comparer les valeurs obtenues aux prédictions de la question 1.3 etdessiner qualitativement l’allure des fonctions d’onde correspondantes.

niveau énergie (meV)1 222 463 874 1835 1956 344

Table 1 – Niveaux d’énergie dans un double puits asymétrique avec Lg = 10 nm, Ld = 15 nm,∆ = 3 nm, V0 = 1 eV.

Champ électrique externe et mise à résonance des niveaux

On s’intéresse dans cette partie à la possibilité de favoriser l’oscillation tunnel entre les deuxpuits en appliquant un champ électrique. On utilise pour cela le formalisme de Dirac et on noterespectivement |ψg〉 et |ψd〉 les états d’énergie minimale dans le puits gauche et le puits droit,quand le potentiel V0 est infini. On note Eg et Ed les énergies correspondantes. On restreintl’analyse au sous-espace de dimension 2 de base {|ψg〉, |ψd〉}, car ce sont ces niveaux de basseénergie qui jouent un rôle important en pratique. On ne prendra donc pas en compte dans ce quisuit les niveaux excités de chaque puits.

Pour V0 infini et en l’absence de champ électrique appliqué, l’hamiltonien s’écrit dans la base{|ψg〉, |ψd〉}

H0 =

Ç

Eg 00 Ed

å

.


Figure 2 – Variation des deux niveaux d’énergie les plus bas d’un double puits asymétrique, enfonction du champ électrique appliqué (J.E. Golub et al., Appl. Phys. Lett. 53, 2584 (1988)).L’échelle d’énergie verticale est définie à une constante additive près sans importance pour ceproblème.

Le couplage tunnel qui apparaît pour une valeur finie de V0 s’écrit dans cette base :

Vtun. = −JÇ

0 11 0

å

.

1. On suppose que l’effet tunnel est faible (J ≪ |Eg −Ed|) et on considère dans cette questionle cas où aucun champ électrique externe n’est appliqué.

(a) Déterminer les énergies propres de l’hamiltonien H0 + Vtun. du double puits en fonction deEg, Ed et J .

(b) Donner le développement de ces énergies propres à l’ordre 1 inclus en J .

(c) Quels sont les états propres de l’hamiltonien à l’ordre 0 en J ?

(d) L’effet tunnel peut-il jouer ici un rôle significatif ? On comparera le résultat à celui d’undouble puits symétrique, pour lequel Eg = Ed.

2. On applique maintenant un champ électrique F qui déplace de manière différente les posi-tions des niveaux |ψg〉 et |ψd〉. On modélise ce champ par le couplage

Velec. =

Ç

agF 00 adF

å

,

où ag et ad sont des distances dépendant des caractéristiques du puits quantique (ag 6= ad).Déterminer les niveaux d’énergie du double puits et tracer qualitativement leur variation enfonction du champ appliqué F dans le cas ag < ad < 0.Remarque : on aura intérêt à mettre l’hamiltonien total H = H0 + Vtun. + Velec. sous la forme

H = α1 + β

Ç

cos θ sin θsin θ − cos θ

å

, (1)

où α, β et θ seront exprimés en fonction de J et des énergies E et ∆E définies par :

E =1

2(Eg + Ed + (ag + ad)F ) ∆E =

1

2(Eg − Ed + (ag − ad)F )


Le symbole 1 représente la matrice identité.

3. Quelle est la distance minimale entre les deux niveaux d’énergie quand on fait varier lechamp électrique F ? Quels sont les états propres de l’hamiltonien H dans ce cas ?

4. Un résultat expérimental pour la mesure des deux niveaux les plus bas d’un double puitsasymétrique est représenté sur la figure 2. Comparer ce résultat aux prédictions du modèledéveloppé ci-dessus et extraire la valeur du coefficient tunnel J .

Oscillation dans le double puits et émission de rayonnement

Avec une impulsion laser convenablement choisie, on peut préparer les électrons de conduc-tion dans le puits de gauche à un instant précis (t = 0). Si une oscillation des électrons seproduit ensuite entre les deux puits, le dispositif se comporte comme une antenne et un champélectromagnétique est rayonné à la fréquence correspondante.

On utilisera dans cette partie le formalisme de Dirac présenté à la partie précédente. Les ex-périences sont menées sur un dispositif voisin de celui étudié dans la partie 3, mais correspondantà une valeur numérique différente du coefficient tunnel J .

1. On souhaite maximiser l’amplitude du champ électromagnétique rayonné. Quelle est laconfiguration optimale pour les états propres de l’hamiltonien H ? Pour trouver cette condition,on pourra s’intéresser à la partie oscillante de la valeur moyenne de l’opérateur dipole d, qui apour états propres |ψd〉 et |ψg〉 avec les valeurs propres +d0 et −d0.2. Un résultat expérimental montrant ce champ électromagnétique rayonné en fonction du

temps est indiqué sur la figure 3. Les auteurs de cette figure ont ajusté le champ électriquestatique F pour maximiser l’amplitude du champ rayonné. Déduire de cette figure la valeur ducoefficient tunnel J pour le double puits utilisé. On ne cherchera pas à expliquer l’amortissementdes oscillations observé expérimentalement.

Figure 3 – Champ électromagnétique rayonné, après préparation à t = 0 des électrons dansle puits gauche. 1 picoseconde=10−12 seconde (H.G. Roskos et al., Phys. Rev. Lett. 68, 2216(1992)).


Solution

Structure des niveaux d’énergie en absence d’effet tunnel

1. En = n2E1 avec E1 = ~2π2/(2mL2) et n = 1, 2, . . ..

2. En absence de couplage tunnel, une base d’états propres possibles est formée par la réuniondes états propres du puits gauche, d’énergie Eg,n = n2~2π2/(2mL2

g), et du puits droit, d’énergieEd,n = n2~2π2/(2mL2

d).

3. L’état d’énergie le plus bas correspond au fondamental du puits le plus large. En raison duchoix 3Lg = 2Ld, le deuxième niveau du puits étroit coïncide avec le troisième niveau du puitslarge. Ce niveau est dégénéré. Les résultats pour les 6 premiers niveaux sont :

niveau énergie (meV) disposition1 25 droit (n = 1)2 56 gauche (n = 1)3 100 droit (n = 2)4 225 gauche (n = 2)5 225 droit (n = 3)6 400 droit (n = 4)

4. Il faut monter l’énergie du puits large (ou abaisser l’énergie du puits étroit) de

∆E =~2π2

2m

Ç

1

L2g

− 1

L2d

å

= 56 meV − 25 meV = 31 meV.

5. Dans un champ électrique F , la différence d’énergie potentielle pour une charge q entredeux points séparés par une distance ℓ vaut ∆U = qFℓ. Ici, les centres des deux puits sontséparés de ℓ = ∆ + (Lg + Ld)/2 = 15.5 nm. Le champ F nécessaire est donc de l’ordre de∆E/(qℓ) = 2 × 106 V/m. On retrouve bien l’ordre de grandeur des champs qui vont intervenirdans la suite, de quelques dizaines de kV/cm.Note : il ne s’agit ici que d’un ordre de grandeur. En présence d’un champ électrique, le potentieln’est plus uniforme au fond d’un puits, mais varie linéairement avec la position. La résolutionexacte de l’équation de Schrôdinger dans chaque puits fait intervenir des fonctions d’Airy etles niveaux d’énergie n’ont plus d’expression analytique simple en fonction des paramètres duproblème.

Prise en compte de l’effet tunnel en physique ondulatoire

1. Régions 1,3,5 : ψ′′ −K2ψ = 0. Régions 2 et 4 : ψ′′ + k2ψ = 0.

2. Si on élimine les solutions divergeant exponentiellement en ±∞, on arrive aux expressionssuivantes :

Région forme de la fonctionRégion 1 ψ(x) = A eKx

Région 2 ψ(x) = B1 eikx +B2 e

−ikx

Région 3 ψ(x) = C1 eKx + C2 e

−Kx

Région 4 ψ(x) = D1 eikx +D2 e

−ikx

Région 5 ψ(x) = G e−Kx

soit 8 coefficients à déterminer.


xxx

xxx

G D G D G D

G D G D G D

E = 22 meV E = 46 meV E = 87 meV

E = 183 meV E = 195 meV E = 344 meV

Figure 4 – Les 6 premiers états propres (non normalisés) dans le double puits asymétrique.

3. La continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée aux quatre zones frontières donnent 8relations linéaires entre ces coefficients. Par exemple, on trouve à la frontière 1–2, qu’on prendpar convention en x = 0 :

A = B1 +B2 KA = ik(B1 −B2)

En général, le déterminant du système 8 × 8 est non nul et la seule solution du système est lafonction nulle A = B1 = . . . = G = 0. Ce n’est que pour des valeurs discrètes de l’énergie quele déterminant s’annule. On trouve alors une famille de solutions toutes proportionnelles entreelles, et on choisit une solution de norme 1, ce qui fixe l’ensemble des coefficients (à une phaseglobale près).

4. On retrouve des valeurs comparables à celles de la première partie. Ces valeurs sont légère-ment inférieures en raison du caractère fini de V0, qui autorise une probabilité de présence nonnulle de la particule dans les régions classiquement interdites. Les états propres de l’hamiltoniensont représentés sur le figure 4.La dégénérescence trouvée précédemment entre les niveaux 4 et 5 est levée, et deux raisonspeuvent a priori être invoquées :— le couplage tunnel entre les deux niveaux gauche et droit ; si c’est l’effet dominant, les états

propres de l’hamiltonien auront chacun une probabilité de présence significative à gauche età droite.

— l’effet de pénétration dans la zone interdite, qui n’a pas exactement le même effet sur lesniveaux du puits large et sur ceux du puits étroit ; si c’est l’effet dominant, les états propresde l’hamiltonien seront localisés respectivement dans le puits de gauche et le puits de droite.

Il est difficile de prédire quel est l’effet qui domine sans faire de calcul explicite, ce qui n’était pasdemandé dans l’énoncé. La détermination numérique des états propres de l’hamiltonien et leurreprésentation graphique (cf. fig. 4) permet de lever l’ambiguïté : on trouve que c’est le second


phénomène qui domine, car les états propres de l’hamiltonien correspondant aux niveaux 4 et 5sont localisés à gauche et à droite, respectivement.

Champ électrique externe et mise à résonance des niveaux

1. (a) Pour déterminer les valeurs propres de la matrice

H0 + V =

Ç

Eg −J−J Ed

å

on calcule son polynôme caractéristique

P (E) = E2 − E(Eg + Ed) + EgEd − J2

dont les racines sont

E± =1

2

(

Eg + Ed ±»

(Eg − Ed)2 + 4J2)

.

(b) A l’ordre 1 en J , les valeurs propres ne dépendent pas de J et sont E = Eg et E = Ed.

(c) Les vecteurs propres sont à l’ordre zéro en J égaux respectivement à |ψg〉 et |ψd〉.(d) Quand J est petit devant la différence d’énergie |Eg − Ed| entre niveaux, l’effet tunnelentre ces niveaux joue donc un rôle négligeable. La situation est très différente du double puitssymétrique pour lequel Eg = Ed et pour lequel les états propres du problème sont toujours lesétats « complètement mélangés » : (|ψg〉 ± |ψd〉)/

√2.

2. Posons comme indiqué dans l’énoncé

E =1

2(Eg + Ed + (ag + ad)F ) ∆E =

1

2(Eg − Ed + (ag − ad)F )

On trouve alors l’expression indiquée pour H en prenant :

α = E β =√

∆E2 + J2 cos θ =∆E√

∆E2 + J2sin θ =

−J√∆E2 + J2

Les niveaux d’énergie sontE± = α± β = E ±

√

∆E2 + J2

et le tracé de leur variation avec F , représenté sur la figure 5, correspond à deux branchesd’hyperbole.

3. L’écart minimal entre les deux niveaux d’énergie est obtenu pour√∆E2 + J2 minimal,

c’est-à-dire ∆E = 0. Cette situation correspond à la mise à résonance des deux puits :

Eg + agF = Ed + adF .

Dans ce cas, θ = −π/2 et les états propres de H sont

1√2(|ψg〉 + |ψd〉) : niveau fondamental

1√2(|ψg〉 − |ψd〉) : premier niveau excité

L’écart entre les énergies de ces deux niveaux est 2J .

4. On retrouve bien la variation en branches d’hyperbole attendue. L’écart minimal entre lesdeux branches d’hyperbole est de 14 meV, ce qui donne J = 14/2 = 7 meV. Cette valeur estnotablement plus faible que les écarts entre niveaux d’énergie dans un puits (plusieurs dizainesde meV), ce qui justifie de restreindre notre étude au niveau fondamental de chaque puits.


F

Energie

Figure 5 – Variation des énergies propres avec le champ électrique appliqué F (tracé pourag = 4ad).

Oscillation dans le double puits et émission de rayonnement

1. Pour avoir une oscillation importante entre les deux puits, il faut que les états propres del’hamiltonien soient des combinaisons linéaires de |ψg〉 et |ψd〉 avec des poids comparables, cequi impose de travailler près de la résonance dégagée précédemment : Eg + agF = Ed + adF .Si c’est bien le cas, un électron initialement préparé dans le puis de gauche se trouvera aveccertitude dans le puits de droite au bout d’une demi-période, puis de nouveau dans le puits degauche au bout d’une période, et ainsi de suite. L’amplitude du dipole moyen est alors maximale,égale à 2d0. Comme l’amplitude du champ rayonné par un dipole oscillant est proportionnelle àl’amplitude de l’oscillation du dipole, ceci garantit que le champ électromagnétique rayonné seralui aussi maximal.Si on n’est pas au voisinage de la résonance, les états propres de H sont à peu près égaux à|ψg〉 et |ψd〉 : un électron préparé initialement dans le puits de gauche y restera et aucun champappréciable ne sera rayonné.

Remarque. Bien que cela ne soit pas explicitement demandé dans l’énoncé, on peut menerdes calculs plus quantitatifs pour cette question en procédant de la manière suivante :

1. Les états propres de l’hamiltonien sont

|φ+〉 =Ç

cos(θ/2)sin(θ/2)

å

et |φ−〉 =Ç

− sin(θ/2)cos(θ/2)

å

2. L’état initial s’écrit|ψ(0)〉 = |ψg〉 = cos(θ/2)|φ+〉 − sin(θ/2)|φ−〉

et son évolution est

|ψ(t)〉 = cos(θ/2)e−i(α+β)t/~|φ+〉 − sin(θ/2)e−i(α−β)t/~|φ−〉 .

3. Le dipole moyen vaut 〈d〉(t) = 〈ψ(t)|d|ψ(t)〉 et un calcul long, mais sans réelle difficulté,conduit à :

〈d〉(t) = d0Ä

cos2 θ + sin2 θ cos(2βt)ä

.


4. Pour maximiser la partie oscillante du dipole moyen, il faut choisir sin2 θ = 1, ce qui revientà se placer à résonance, auquel cas β = J .

2. Supposons qu’on se place à résonance. L’écart d’énergie entre les deux états propres |ψ±〉de l’hamiltonien vaut 2J et l’état initial

|ψ(0)〉 = |ψg〉 =1√2(|ψ+〉 + |ψ−〉)

va évoluer en

|ψ(t)〉 = eiΦ(t) 1√2

Ä

e−iJt/~|ψ+〉 + e+iJt/~|ψ−〉ä

où Φ(t) est une phase globale sans importance ici. La période de l’oscillation de l’électron estT = π~/J et c’est également la période du champ rayonné. On mesure une période du champde 0,7 ps, ce qui correspond à J = 3 meV.

Remarque. Des structures à puits quantiques similaires à celle étudiée dans ce problème ontété récemment réalisées afin de produire un rayonnement laser dans le domaine de l’infrarougelointain. La conception de ces structures doit être soigneusement étudiée afin d’assurer un dé-peuplement efficace du niveau inférieur rendant possible une inversion de population. Le premierdispositif laser à puits quantiques ayant fonctionné dans le domaine de l’infrarouge lointain re-posait ainsi sur une structure périodique, chaque période étant constituée d’un ensemble de septpuits quantiques couplés par effet tunnel. Le tout est placé dans un champ électrique statiquede plusieurs kV par cm [R. Kohler et al., Terahertz semiconductor-heterostructure laser, Nature417, 156-159 (2002)].

14 2. Électron flottant sur de l’hélium liquide

2 Électron flottant sur de l’hélium liquide

On considère un électron de masse m et de charge q, en mouvement à la surface d’un baind’hélium liquide (figure 1). On suppose que le mouvement de l’électron dans le plan Oxy dela surface est limité par des électrodes non représentées sur la figure. On ne s’intéresse dans ceproblème qu’au mouvement dans la direction z perpendiculaire à la surface.

z

Vide

héliumliquide

0

Figure 1 – Géométrie du dispositif.

La quantification du mouvement de l’électron

1. Le potentiel d’interaction entre l’électron et l’hélium liquide est supposé infini si l’électronest à l’intérieur du liquide (z < 0). En déduire la valeur de la fonction d’onde ψ(z, t) de l’électronpour z < 0, et rappeler la condition de continuité de ψ(z, t) en z = 0.

2. Quand l’électron est placé dans le demi-espace z ≥ 0, il possède une énergie potentielled’origine électrostatique, due à son interaction avec son « image » électrique dans l’hélium.Cette énergie a pour expression

V (z) = −Λ

zavec Λ =

q2

4πǫ0

ε− 1

4(ε+ 1),

où ε est la constante diélectrique de l’hélium.Rappeler l’équation qui régit l’évolution temporelle de la fonction d’onde ψ(z, t) de l’électron.

3. On cherche les solutions stationnaires de cette équation sous la forme ψ(z, t) = φ(z) e−iEt/~.Donner sans démonstration l’équation vérifiée par φ(z) (équation de Schrödinger indépendantedu temps). Dans la suite, on notera En, où n est un entier strictement positif, les énergiesnégatives (états liés) pour lesquelles cette équation admet une solution.

4. Recherche de l’état fondamental.On se donne pour z ≥ 0 la fonction d’onde φ1(z) = c1 z e

−κ1z, où c1 et κ1 sont des nombresréels strictement positifs.

(a) Déterminer le coefficient κ1 et l’énergie E1 tels que φ1 soit solution de l’équation de Schrö-dinger indépendante du temps. On exprimera κ1 et E1 en fonction de m, Λ et ~.

(b) Combien de fois la fonction φ1(z) change-t-elle de signe sur l’intervalle [0,+∞[ ?En déduire que φ1(z) décrit l’état fondamental du système.

(c) Déterminer c1 (en fonction de κ1) pour que φ1(z) soit normalisée.On donne

∫+∞0 un e−u du = n! .

(d) Déterminer la valeur moyenne z1 = 〈z〉 pour un électron préparé dans l’état φ1(z). Onexprimera le résultat en fonction de m, Λ et ~.

2. Électron flottant sur de l’hélium liquide 15

(e) On rappelle la masse et la charge de l’électron : m = 9.1× 10−31 kg et q = −1.6× 10−19 C.On donne également (4πǫ0)

−1 = 9 × 109 J.m.C−2 et ε ≈ 1.057.Calculer l’énergie E1 (en Joule, puis en milli-électronVolt) et l’extension z1 (en nanomètres)de la fonction d’onde φ1(z).

5. Recherche du premier état excité.On considère maintenant la fonction d’onde normalisée φ2(z) = c2 z (1− κ2z) e

−κ2z, où c2 et κ2sont des nombres réels strictement positifs. On ne cherchera pas à calculer c2.

(a) Déterminer le coefficient κ2 et l’énergie E2 tels que φ2 soit solution de l’équation de Schrö-dinger indépendante du temps.

(b) Vérifier la relation E2 = E1/4. Donner en GHz les fréquences ν1 = |E1|/h, ν2 = |E2|/h,ainsi que la fréquence ν0 correspondant à la transition φ1 ↔ φ2, définie par hν0 = |E1 −E2|.

(c) Justifier que φ2 correspond au premier état excité du mouvement de l’électron le long del’axe Oz.

Action d’un champ électrique et absorption de rayonnement

On applique sur le système un champ électrique uniforme E > 0, indépendant du temps,orienté suivant Oz, au moyen d’une paire d’électrodes parallèles à la surface du liquide (figure2). La différence de potentiel entre les électrodes est notée U et la distance entre électrodes estℓ = 4 mm. On a E = U/ℓ.

z

ℓU0

Figure 2 – Une tension positive U tend à comprimer les électrons sur la surface de l’hélium, cequi modifie la position des niveaux d’énergie Ej, j = 1, 2, . . .

En plus du champ constant précédent, on envoie une onde électromagnétique de fréquence νsur l’électron piégé et on mesure la fréquence ν1→2 qui induit la transition entre les deux niveauxd’énergie les plus bas. On trouve

U (Volt) ν1→2 (GHz)0 11850 220

On utilise dans cette partie les notations de Dirac, et on introduit en particulier les kets |φj〉,j = 1, 2 correspondant aux fonctions d’onde φj(z) vues dans la première partie.

1. En utilisant les résultats de la première partie, expliquer le résultat obtenu pour U = 0.

2. La présence du champ électrique E ajoute l’énergie potentielle supplémentaire

W (z) = −q E z


(a) Donner l’expression des éléments de matrice 〈φi|W |φj〉 de W , en fonction de la valeurmoyenne zi de la position de l’électron dans le niveau i = 1 ou i = 2, et de la quantitéd =

∫∞0 z φ1(z)φ2(z)dz.

(b) On choisit U = 50 V. Evaluer en GHz la quantité |qEz1|/h.(c) On note H0 la restriction du Hamiltonien au sous-espace de base {|φ1〉, |φ2〉}, en l’absence de

champ électrique. En présence du champ électrique, le hamiltonien total s’écrit H = H0+W .Evaluer en GHz les quatre coefficients 〈φi|H|φj〉/h, pour i, j = 1, 2, en prenant U = 50V. En déduire que l’on peut négliger les termes non diagonaux de la matrice lors de sadiagonalisation. On donne z2 = 4 z1, et d = −64

√2 z1/243.

(d) Donner dans ce cas la variation de la fréquence ν1→2 avec la différence de potentiel U . Onexprimera le résultat en fonction de E1, E2, z1, ℓ, q et h.

(e) Retrouver le résultat expérimental obtenu pour U = 50 V.

Arrachage de l’électron par effet tunnel

Pour une tension U négative, l’électron peut être arraché à la surface. On souhaite évaluer letemps moyen nécessaire pour qu’un électron préparé sur le niveau d’énergie E1 s’échappe. Pourcela, on considére que lorsqu’il est dans le niveau E1, l’électron

— oscille dans le puits de potentiel près du liquide avec un temps caractéristique T = ~/E1

— « tente sa chance » de s’échapper par effet tunnel avec une probabilité p à chaque oscil-lation.

1. Pour évaluer analytiquement p, on applique au potentiel réel Vtot(z) = V (z) +W (z) vu parl’électron (figure 3) le résultat connu pour une barrière carrée :

p ≃ e−2KL

La longueur L = zb − za correspond à la distance entre les deux points za et zb où Vtot(z) = E1

(za < zb). Le coefficient K est donné par K =»

2m(Vtot,max −E1)/~. Dans toute la suite onnégligera le déplacement du niveau E1 induit par le champ électrique.

E1

Vtot, max

Vtot (z)

za zb z

Figure 3 – Potentiel total vu par l’électron pour une tension U négative.

(a) Pour U = 0, évaluer la force qEv = −dV/dz, prise au point z = z1, qui est ressentie parl’électron du fait de son interaction avec son image électrique (Ev est un champ électriqueeffectif « vu » par l’électron en z = z1). On exprimera qEv en fonction de m,Λ et ~.

(b) Dans tout ce qui suit on supposera que le champ électrique E appliqué par les électrodes esttel que |qE| ≪ m2Λ3/~4. Interpréter physiquement cette hypothèse, et justifier le fait quel’on néglige le déplacement du niveau E1.


(c) Écrire l’équation permettant de déterminer za et zb, en fonction de E1, Λ, q et E .

(d) En utilisant l’expression de E1, et l’hypothèse |qE| ≪ m2Λ3/~4, donner une expressionsimple pour za et zb. En déduire qu’on peut prendre L ≃ mΛ2/(2~2qE).

(e) Montrer que dans cette approximation, on a Vtot,max − E1 ≃ |E1|.(f) Exprimer p en fonction de m, Λ, ~, q et E .

2. On veut maintenant calculer la « durée de vie » de l’électron en présence du champ électrique.

(a) En utilisant les relations de dispersion de Heisenberg, donner l’ordre de grandeur de la vitessev1 de l’électron sur le niveau d’énergie E1, en fonction de l’excursion z1 de son déplacement.En déduire que T = ~/E1 donne une bonne approximation du temps caractéristique d’aller-retour de l’électron piégé.

(b) Exprimer en fonction de p la probabilité Pn que l’électron soit encore piégé à la surface del’hélium après n « tentatives » de s’échapper. Montrer que pour p ≪ 1 et np2 ≪ 1, cetteprobabilité s’écrit Pn ∼ e−np.

(c) On suppose p ≪ 1. Montrer que la probabilité que l’électron soit encore piégé au voisinagede la surface à l’instant t peut s’écrire P (t) = e−t/τ , et exprimer la durée de vie moyenne τde l’électron sur le niveau d’énergie E1, en fonction de T et p.

(d) On réalise avec les électrodes un champ |E| = 104 V/m. Évaluer p, puis la durée de vie τ .

(e) Pour un champ E donné, la durée de vie de l’état fondamental d’énergie E1 est-elle pluslongue ou plus courte que celle de l’état d’énergie E2 ? Lequel de ces deux niveaux est-il leplus facile à « ioniser » ?

Solution

La quantification du mouvement de l’électron

1. L’électron ne peut pas pénétrer dans l’hélium liquide, donc on a ψ(z < 0, t) = 0, et ψ(z, t)est continue (mais non dérivable) en z = 0.

2. On utilise la forme générale de l’équation de Schrödinger :

i~∂ψ

∂t= − ~

2

2m

∂2ψ

∂z2− Λ

zψ

3. On posant ψ(z, t) = φ(z)e−iEt/~ on obtient l’équation indépendante du temps :

− ~2

2m

d2φ

dz2− Λ

zφ = Enφ et E = En.

4. Etat fondamental.

(a) En dérivant deux fois φ1(z) et en reportant dans l’équation précédente, on trouve queκ1 = mΛ/~2, et E1 = −mΛ2/(2~2) = −~

2κ21/(2m).

(b) La fonction d’onde φ1(z) ne change pas de signe, elle correspond donc à l’état fondamentalde l’électron.

(c) En utilisant la condition de normalisation∫+∞0 |φ1(z)|2 dz = 1, on obtient c1 = 2 κ

3/21 .

(d) On obtient z1 = 〈z〉 = ∫ +∞0 z |φ1(z)|2dz = 3/(2κ1) = 3~2/(2mΛ).


(e) On trouve E1= -1.04 10−22J = -0.65 meV, et z1 = 11.5 nm.

5. Premier état excité.

(a) En dérivant deux fois φ2(z) et en reportant dans l’équation précédente, on trouve queκ2 = mΛ/(2~2), E2 = −mΛ2/(8~2) = −~

2κ22/(2m)

(b) On a κ2 = κ1/2, ce qui donne bien E2 = E1/4. On trouve ν1 = 157 GHz, ν2 = 39 GHz, etν0 = ν1 − ν2 = 118 GHz.

(c) La fonction φ2 a un changement de signe, elle correspond donc au premier état excité dumouvement de l’électron le long de l’axe Oz.

Action d’un champ électrique et absorption de rayonnement

1. La fréquence de transition de 118 GHz pour U = 0 correspond bien aux résultats de lapremière partie.

2. Effet du champ électrique.

(a) Eléments de matrice diagonaux (réels) : 〈φ1|W |φ1〉 = −q E z1, 〈φ2|W |φ2〉 = −q E z2.Eléments non diagonaux (qui sont ici réels et égaux) : 〈φ1|W |φ2〉 = 〈φ2|W |φ1〉 = −q E d

(b) L’échelle d’énergie du champ appliqué est donnée (en unités de fréquence) par |qEz1|/h =|qUz1|/(hℓ) ∼ 35 GHz.

(c) En utilisant les résultats précédents, on obtient : a1 = 〈φ1|H|φ1〉/h = - 157 + 35 = - 122GHz, a2 = 〈φ2|H|φ2〉/h = - 39 + 140 = 101 GHz, et b = 〈φ1|H |φ2〉/h = 13 GHz.Les valeurs propres de H sont alors de la forme E± = ((a1 + a2) ±

»

(a1 − a2)2 + 4b2)/2,avec 4b2 ≪ (a1 − a2)

2. A l’ordre le plus bas on peut donc négliger les termes non diagonaux,et les valeurs propres sont simplement a1 = - 122 GHz, et a2 = + 101 GHz.

(d) On a donc hν1→2 = E2 − E1 − 3q E z1 = E2 − E1 + 3|q U | z1/ℓ.(e) Pour U = 50 V on trouve 3|q U | z1/ℓ = 105 GHz, en assez bon accord avec l’expérience.

Arrachage de l’électron par effet tunnel

1. Détermination de p.

(a) En utilisant l’expression z1 = 3~2/(2mΛ), on trouve qEv = −Λ/z21 = −(4/9)m2Λ3/~4.

(b) La condition |qE| ≪ m2Λ3/~4 revient à dire que |qE| ≪ |qEv|, donc que E est une petiteperturbation. Ceci est cohérent avec l’hypothèse d’absence de déplacement du niveau E1.

(c) La condition d’intersection s’écrit −Λ/z−|qE| z = −|E1|, ou encore |qE| z2−|E1| z+Λ = 0.

(d) On vérifie facilement (voir aussi la figure) qu’il existe une solution proche de zéro, quis’obtient en négligeant le terme en z2 dans l’équation du second degré : za ∼ Λ/|E1| = 4z1/3.L’autre solution s’obtient au contraire en négligeant le terme en Λ, et vaut zb ∼ |E1|/|qE|.Comme za ≪ zb, on a L ∼ zb = mΛ2/(2~2|qE|).

(e) On obtient Vtot,max = −2»

Λ|qE|, ce qui est petit en valeur absolue devant E1. On vérifie

donc bien que Vtot,max − E1 ≃ |E1|, et par conséquent K =»

2m|E1|/~ = κ1

(f) On a donc finalement p = exp (−2κ1L) = exp(−m2Λ3/(~4|qE|)) ≪ 1.

2. Calcul de la « durée de vie » de l’électron en présence du champ électrique.

(a) D’après les relations de Heisenberg, on a v1 ∼ ~/(mz1), donc le temps caractéristiqued’oscillation est z1/v1 = mz21/~ = 9~/(8E1). Une approximation acceptable de cette valeurest obtenue en prenant T ∼ ~/|E1|. On obtient numériquement T ∼ 10−12 s.


(b) La probabilité de rester piégé après une « tentative » est 1− p, donc après n tentatives quisont des évènements aléatoires indépendants on a Pn = (1 − p)n = en log(1−p) ≃ e−np.

(c) Le nombre de « tentatives » au bout d’un temps t est n = t/T , donc la probabilité de« survie » au bout de t est P (t) = e−pt/T . C’est une loi exponentielle, avec une durée de vieτ = T/p.

(d) On obtient numériquement p = 3.7 × 10−8, et donc τ = 10−12/p = 27 µs

(e) Un niveau excité étant « moins lié » à la surface, sa durée de vie sera plus courte et ils’ionisera donc plus facilement.

Pour en savoir plus

Les deux niveaux vibrationnels d’énergies E1 et E2 étudiés dans ce problème ont été proposéspour réaliser des bits quantiques ou « qubits ».

Une description plus détaillée de cette situation physique (dont ce problème est inspiré) setrouve sur l’URL en libre accès : http ://arxiv.org/abs/quant-ph/0007113.

20 3. États quantiques vibrationnels d’atomes piégés

3 États quantiques vibrationnels d’atomes piégés

On s’intéresse au mouvement quantique à une dimension d’atomes piégés dans une ondelumineuse stationnaire d’intensité I(x) = I0 sin

2(kx), où k est le vecteur d’onde de la lumière.L’onde crée sur les atomes un potentiel proportionnel à son intensité :

V (x) = V0 sin2(kx) . (1)

On considère des atomes de césium (masse m = 2.2 10−25 kg) localisés dans le puits centré enx = 0. On néglige l’effet tunnel entre puits adjacents ainsi que les interactions entre atomes etl’effet de la gravité. On utilise un faisceau lumineux de longueur d’onde λ = 2π/k = 0.85 µm.

Étude des atomes dans l’état fondamental du puits

1. Développer au deuxième ordre en x l’expression de V (x) au voisinage du minimum x = 0.En utilisant la mécanique classique, en déduire la fréquence ν = ω/(2π) des petites oscillationsdes atomes en ce point.

2. Rappeler sans démonstration l’énergie E0 de l’état fondamental d’un oscillateur harmoniquequantique, dont l’hamiltonien est H = p2/(2m) + V (x) avec V (x) = mω2x2/2.À quelle condition sur E0 et V0 le développement effectué à la question précédente est-il légitimepour déterminer l’énergie de l’état fondamental ?

3. Donner la valeur de ν pour un potentiel tel que V0/h = 106 Hz. Peut-on effectivement utiliserl’approximation harmonique pour calculer l’énergie de l’état fondamental dans ce potentiel ?

4. On prépare un atome dans l’état fondamental |n = 0〉 de ce puits grâce au refroidissementpar laser. On rappelle l’expression de la fonction d’onde ψ0(x) de cet état et l’amplitude deprobabilité pour l’impulsion ϕ0(p) associée :

ψ0(x) =e−x2/(4ℓ2)

(2πℓ2)1/4, ϕ0(p) =

Ç

2ℓ2

π~2

å1/4

e−p2ℓ2/~2 , avec ℓ =»

~/(2mω) . (2)

Donner sans démonstration les dispersions (ou écarts types) en position ∆x0 et en impulsion∆p0 pour cet état. Que peut-on dire de l’inégalité de Heisenberg dans ce cas ?

5. Calculer numériquement les dispersions de position ∆x0 et de vitesse ∆v0 = ∆p0/m pourle puits de profondeur V0/h = 106 Hz.

6. Compte tenu de l’extension spatiale de l’état |n = 0〉, peut-on le visualiser en observant avecun microscope la lumière diffusée par les atomes à λ = 0.85 µm?

7. Lorsqu’on « lâche » les atomes en éteignant le laser qui les piège, ils effectuent un vol libre.On admettra qu’au bout d’un temps de vol tv suffisamment long, leur distribution spatiale (enx) reproduit à une homothétie près leur distribution en p initiale, avec ∆x(tv) = ∆p(0)tv/m. Sion peut visualiser une taille ∆x(tv) de l’ordre de 100 µm, quelle temps de vol tv doit-on utiliser ?

Préparation des atomes dans le premier état excité |n = 1〉On rappelle l’action de l’opérateur création a† = (X − iP )/

√2 sur une fonction ϕ(p) :

a†ϕ(p) =i~

2ℓ

dϕ

dp− iℓp

~ϕ(p) . (3)

3. États quantiques vibrationnels d’atomes piégés 21

1. Rappeler sans démonstration l’énergie de l’état |n = 1〉.2. Exprimer l’état |n = 1〉 en fontion de a† et de |n = 0〉. En déduire l’amplitude de probabilité

pour l’impulsion ϕ1(p) en fonction de ϕ0(p) et de l’opérateur a†, puis calculer explicitementϕ1(p). Tracer la densité de probabilité pour l’impulsion pour cet état.

3. On souhaite faire passer les atomes de l’état |n = 0〉 à l’état |n = 1〉. Pour cela, on induità l’aide d’un laser auxiliaire une transition entre ces deux états pendant une durée t ajustable.Pendant cette période, on admettra que l’évolution de l’atome (due à la fois à l’énergie cinétiquep2/(2m), au potentiel V (x) et au laser auxiliaire) dans le sous-espace de base {|n = 0〉, |n = 1〉}est décrite par l’hamiltonien :

H ′ =~

2

Ç

0 gg 0

å

dans la base {|n = 0〉, |n = 1〉}. (4)

(a) Les états |n = 0〉 et |n = 1〉 sont-ils états propres de H ′ ? Sinon, déterminer ces états propres.Donner les valeurs propres correspondantes.

(b) Sachant que l’atome est initialement dans l’état |n = 0〉, calculer son état ultérieur |ψ(t)〉,d’abord dans la base propre de H ′, puis dans la base {|n = 0〉, |n = 1〉}.

(c) Calculer en fonction de g la durée tR la plus courte non nulle pendant laquelle il fautappliquer le laser auxiliaire pour que l’atome soit avec certitude dans l’état |n = 1〉 à l’issuede cette phase. Déterminer la valeur de tR pour g/(2π) = 1 MHz.

4. Cette méthode (appelée « transition Raman »), associée au refroidissement par laser, peutêtre utilisée pour préparer sélectivement l’état |n = 1〉 à partir de l’état |n = 0〉. Pour visualiserla distribution en impulsion de l’état obtenu, on applique une phase de vol libre puis on me-sure la distribution du nuage d’atomes. Des résultats typiques sont représentés sur la figure 3.Commenter brièvement ces distributions et calculer approximativement la durée du vol libre.

Figure 1 – (a,b) : Visualisations du nuaged’atomes après un temps de vol pour les étatsinitiaux |n = 0〉 et |n = 1〉. (c,d) Profil de ladensité atomique selon l’axe x, mesuré le long dechaque flèche représentée sur les figures a et b.On ne tiendra pas compte de la ligne pointillée.Note : La variable x correspond à la positionoù l’atome est détecté après un temps de vol dedurée tv, et est reliée à l’impulsion initiale p del’atome par une homothétie. Selon les directionsy et z, les atomes sont confinés par un potentielqu’on ne cherchera pas à décrire.


Préparation d’un état non stationnaire

On reprend l’hamiltonien H ′ donné en (4) couplant |n = 0〉 et |n = 1〉, mais on l’appliqueseulement pendant la durée tR/2. On laisse ensuite l’atome évoluer sous l’effet de l’hamiltonienH = p2/(2m)+V (x) pendant une durée ajustable τ . On termine comme précédemment par unephase de vol libre pour analyser l’état obtenu.

1. Déterminer l’état obtenu à l’issue de la phase d’application de l’hamiltonien H ′.

2. Déterminer l’état obtenu après l’évolution de durée τ sous l’effet de H. Calculer les densitésde probabilité pour l’impulsion pour les valeurs de τ : 0, 1/(4ν), 1/(2ν), 3/(4ν).

3. La distribution spatiale obtenue après vol libre est représentée sur la figure 2 pour des duréesτ = qτ0, où q est un entier. Justifier qualitativement la forme de ces courbes, et déterminer lavaleur de τ0.

Figure 2 – Evolution de la distribution en impulsiond’une superposition des niveaux vibrationnels |n = 0〉et |n = 1〉 pour différentes durées τ .

Préparation d’un état comprimé

1. Lemme. On considère un système d’hamiltonien H indépendant du temps. L’état du sys-tème à l’instant t est noté |ψ(t)〉. On étudie l’évolution dans le temps de la valeur moyenne d’unequantité physique A, d’observable associée A. Montrer que l’équation d’évolution de la valeurmoyenne 〈A〉(t) = 〈ψ(t)|A|ψ(t)〉 s’écrit :

i~d〈A〉(t)dt

= 〈ψ(t)|[A, H]|ψ(t)〉 , (5)

où [A, B] = AB− BA est le commutateur des opérateurs A et B. On commencera par déduire del’équation de Schrödinger l’équation d’évolution du bra 〈ψ(t)| et on utilisera ensuite la formulestandard de dérivation d’un produit pour la quantité 〈ψ(t)|A|ψ(t)〉.2. Quelques commutateurs utiles.

(a) A et B étant deux opérateurs quelconques, montrer que [A, B2] = [A, B]B + B[A, B].

(b) En partant du commutateur [x, p] = i~, montrer que

[x, p2] = 2i~p , [x2, p] = 2i~x . (6)

(c) On pose C = xp+ px. Montrer que

[x2, p2] = 2i~C , [x2, C] = 4i~x2 , [p2, C] = −4i~p2 . (7)


3. On définit les trois quantités

Ec(t) =〈p2〉2m

, Ep(t) =1

2mω2〈x2〉 , U(t) =

ω

2〈C〉 . (8)

Les atomes sont initialement préparés dans l’état ψ0(x) du piège pour lequel on rappelle queEc = Ep = ~ω/4 et U = 0. On coupe soudainement le piège à l’instant 0. On admettra queles valeurs de 〈x2〉, 〈p2〉 et 〈C〉 à l’instant t = 0 ne sont pas modifiées lors de cette coupuresoudaine. On laisse ensuite le piège éteint pendant une durée τ1. Pendant cette phase de vollibre, l’hamiltonien est donc H = p2/(2m). Écrire les équations d’évolution des trois quantitésEc, Ep et U , et donner la valeur de ces quantités à l’instant τ1 en fonction de ~, ω et τ1.

4. Après le vol libre de durée τ1, on rebranche soudainement le potentiel V (x). Là encore,on admettra que les valeurs de 〈x2〉, 〈p2〉 et 〈C〉 à l’instant t = τ1 ne sont pas modifiées lorsde ce branchement soudain. On laisse alors l’atome évoluer jusqu’à l’instant τ2 sous l’effet del’hamiltonien H = p2/(2m) + V (x).

(a) Écrire les équations d’évolution des trois quantités Ec, Ep et U pendant cette période.

(b) Que remarque-t-on pour la quantité E(t) = Ec(t) +Ep(t) ? Commenter ce résultat.

(c) Écrire deux équations d’évolution couplées pour T (t) = Ec(t)−Ep(t) et pour U(t). Montrerque ces équations s’intègrent entre les instants τ1 et τ2 pour donner

T (τ2) = c T (τ1) − sU(τ1) , U(τ2) = s T (τ1) + cU(τ1) , (9)

où on a posé c = cos(θ), s = sin(θ) et θ = 2ω(τ2 − τ1).

5. Montrer que la valeur minimale de T (τ2) quand τ2 varie est égale à −»

U(τ1)2 + T (τ1)2.

6. En déduire que l’extension minimale de la distribution en impulsion des atomes s’écrit :

(∆p2)min

∆p20= 1 + 2ξ − 2

»

ξ + ξ2 avec ξ = (ωτ1/2)2 . (10)

7. Comment se comporte ce minimum quand ξ → 0 ou quand ξ → ∞ ? En déduire que pourdes paramètres τ1 et τ2 bien choisis, on obtient un état comprimé, c’est-à-dire un état dont ladispersion en p est plus faible que celle de l’état fondamental |n = 0〉.8. Que peut-on dire de la valeur initiale de ∆x (avant expansion du nuage) pour un état

comprimé ainsi défini ?

9. Les résultats expérimentaux obtenus pour τ1 = τ2 = 0 et pour τ1 = 8 µs, τ2 − τ1 = 0.4 µssont montrés sur la figure 3. Commenter ces résultats.


Figure 3 – (a-b) Visualisations du nuaged’atomes après un temps de vol pour les para-mètres (a) : τ1 = τ2 = 0 et (b) : τ1 = 8 µs,τ2 − τ1 = 0.4 µs. (c-d) Profil de la densité ato-mique selon l’axe x, mesuré le long de chaqueflèche représentée sur les figures a-b. Note : Lavariable x correspond à la position où l’atomeest détecté après un temps de vol de durée tv, etest reliée à l’impulsion initiale p de l’atome parune homothétie. Selon les directions y et z, lesatomes sont confinés par un potentiel qu’on necherchera pas à décrire.

Solution

Étude des atomes dans l’état fondamental du puits

1. On développe V (x) ≃ V0(kx)2, ce qui correspond à une raideur κ = 2V0k

2 et une pulsationω =

»

κ/m =»

2V0k2/m . La fréquence des petites oscillations vaut donc ν =»

2V0/(mλ2).

2. L’état fondamental de l’hamiltonien d’un oscillateur harmonique à une dimension a pourénergie E0 = ~ω/2 = hν/2. Pour que le développement de la question précédente soit valablepour estimer cette énergie, il faut que E0 ≪ V0.

3. La fréquence ν vaut pour les valeurs numériques proposées par l’énoncé ν = (2 106 ×6.62 10−34/(2.2 10−25 × (0.85 10−6)2))1/2 = 9.1 104 Hz. L’énergie du fondamental hν/2 est donc22 fois plus petite que la profondeur du puits V0 et l’approximation harmonique est justifiée.

4. La distribution de probabilité pour la position,

P0(x) = |ψ0(x)|2 =e−x2/(2ℓ2)

(2πℓ2)1/2,

est la distribution gaussienne d’écart-type ∆x0 = ℓ. La distribution de probabilité pour l’impul-sion,

P0(p) = |ϕ0(p)|2 =

Ç

2ℓ2

π~2

å1/2

e−2p2ℓ2/~2

,

est la distribution gaussienne d’écart-type ∆p0 = ~/(2ℓ). L’inégalité de Heisenberg est saturéedans ce cas : ∆x0 ∆p0 = ~/2.

5. On trouve ∆x0 = 20 nm et ∆v0 = 12 mm/s.

6. Cet état a une extension caractéristique de l’ordre de ℓ. On ne peut donc pas visualiseroptiquement la densité de probabilité associée car ℓ ∼ 20 nm est très en dessous de la limite dediffraction pour une longueur d’onde visible.


7. La relation ∆x(tv) = tv∆v0, associée à la contrainte ∆x(tv) ≥ 100 µm, conduit à tv =∆x(tv)/∆v0 ≥ 8 ms.

Préparation des atomes dans le premier état excité |n = 1〉.1. L’énergie du niveau |n〉 est En = (n+1/2)~ω. Le premier niveau excité a donc pour énergie

3~ω/2 .

2. On sait que |n+ 1〉 = a†|n〉/√n+ 1, donc :

ϕ1(p) = a† ϕ0(p) = − i

(2π)1/4

Å

2ℓ

~

ã3/2

p e−p2ℓ2/~2 = −2ipℓ

~ϕ0(p) .

3. (a) Les états propres de H ′ ne sont pas |n = 0〉 et |n = 1〉, mais

|±〉 = 1√2(|n = 0〉 ± |n = 1〉) .

Les valeurs propres correspondantes sont ±~g/2.

(b) On décompose l’état initial |n = 0〉 sur la base des états propres de H ′ :

|ψ(0)〉 = |n = 0〉 = 1√2(|+〉 + |−〉) ,

et on en déduit l’état à l’instant t :

|ψ(t)〉 = 1√2(e−igt/2|+〉 + eigt/2|−〉) .

L’état de l’atome est (à une phase près) égal à |n = 1〉 = (|+〉 − |−〉)/√2 à l’instant t tel que

gt = π. Pour g/(2π) = 1 MHz, on trouve t = 0.5 µs.

4. On voit apparaître selon la direction x les formes attendues pour les densités de probabilitéen impulsion pour l’état |n = 0〉 (figures a et c) et pour l’état |n = 1〉 (figures b et d). La tailledes nuages (environ 100 micromètres de demi-largeur à mi-hauteur pour |n = 0〉) est compatibleavec le temps de vol de 8 ms calculé précédemment.

Préparation d’un état non stationnaire

1. Si on prend gt = π/2 dans l’expression

|ψ(t)〉 = 1√2(e−igt/2|+〉 + eigt/2|−〉) ,

on trouve

|ψ(t)〉 = 1√2(e−iπ/4|+〉 + eiπ/4|−〉) = 1√

2(|n = 0〉 − i|n = 1〉) .

2. Durant l’évolution dans le potentiel V (x), les état propres de l’hamiltonien sont les états|n〉 et on a donc :

|ψ(t+ τ)〉 = 1√2

Ä

e−iωτ/2|n = 0〉 − ie−3iωτ/2|n = 1〉ä

.


La densité de probabilité pour l’impulsion est

P (p) =1

2|ϕ0(p) − ie−iωτϕ1(p)|2

ce qui conduit à (en posant q = 2pℓ/~) :

τ = 0 ωτ = 0 P (p) =1

2|ϕ0(p) − iϕ1(p)|2 ∝ (1 − q)2e−q2/2

τ = 1/(4ν) ωτ = π/2 P (p) =1

2|ϕ0(p) − ϕ1(p)|2 ∝ (1 + q2)e−q2/2

τ = 1/(2ν) ωτ = π P (p) =1

2|ϕ0(p) + iϕ1(p)|2 ∝ (1 + q)2e−q2/2

τ = 3/(4ν) ωτ = 3π/2 P (p) =1

2|ϕ0(p) + ϕ1(p)|2 ∝ (1 + q2)e−q2/2

3. On voit évoluer la superposition avec une période d’environ 6τ0, avec des déformations versla gauche ou vers la droite suivant les coefficients de la superposition. On sait par ailleurs que lafréquence vaut 90 kHz, ce qui correspond à une période de 11 µs. Il y a donc environ τ0 = 2 µsentre deux enregistrements successifs.

Préparation d’un état comprimé

1. Lemme (théorème d’Ehrenfest). L’équation d’évolution du bra 〈ψ(t)| est

−i~d〈ψ(t)|dt

= 〈ψ(t)|H

dont on déduit

i~d〈ψ(t)|A|ψ(t)〉

dt= i~

d〈ψ(t)|dt

A|ψ(t)〉 + i~〈ψ(t)|Ad|ψ(t)〉dt

= −〈ψ(t)|HA|ψ(t)〉 + 〈ψ(t)|AH|ψ(t)〉= 〈ψ(t)|[A, H]|ψ(t)〉 .

2. Quelques commutateurs utiles.

(a) On trouve en développant :

[A, B]B + B[A, B] = AB2 − BAB + BAB − B2A = [A, B2] .

(b) Les deux résultats [x, p2] = 2i~p et [x2, p] = 2i~x découlent directement du résultat précé-dent, associé à [x, p] = i~.

(c) Là aussi, on trouve presque immédiatement le résultat annoncé en développant les commuta-teurs et en utilisant les résultats précédents : [x2, p2] = 2i~C , [x2, C] = 4i~x2 et [p2, C] = −4i~p2.

3. Durant cette phase de vol libre, le théorème d’Ehrenfest entraîne tout d’abord que Ec(t) =Ec(0). On a par ailleurs :

dEp

dt=

ω2

4i~〈[x2, p2]〉 = ω2

2〈C〉 = ωU

etd〈C〉dt

=1

2mi~〈[C, p2]〉 = 2

m〈p2〉 = 4Ec donc

dU

dt= 2ωEc


U(t) varie donc linéairement en temps, et Ep(t) quadratiquement. En t = τ1, on a donc

Ec(τ1) =~ω

4, U(τ1) = 2Ec(0)ωτ1 =

~ω2τ12

, Ep(t) =~ω

4(1 + ω2τ21 ) .

4. (a) En présence du potentiel V (x), on trouve pour Ec (énergie cinétique) :

dEc

dt=

ω2

4i~〈[p2, x2]〉 = −ω

2

2〈C〉 = −ωU ,

pour Ep (énergie potentielle) :

dEp

dt=

ω2

4i~〈[x2, p2]〉 = ω2

2〈C〉 = ωU ,

et pour la quantité C

d〈C〉dt

=1

2mi~〈[C, p2]〉 + mω2

2i~〈[C, x2]〉 = 2

mp2 − 2mω2x2 = 4Ec − 4Ep ,

ou encoredU

dt= 2ω(Ec − Ep) .

(b) On remarque que l’énergie moyenne totale E(t) = Ec(t)+Ep(t) est constante. L’hamiltonienest indépendant du temps et l’énergie est donc une quantité conservée.

(c) Par soustraction des équations d’évolution pour Ec et Ep, on trouve :

dT

dt= −2ωU ,

dU

dt= 2ωT ,

qui peut encore s’écrire T + 4ω2T = 0, U + 4ω2U = 0, d’où la solution indiquée dans l’énoncéen fonction des conditions initiales T (τ1) et U(τ1).

5. Les extrema de T sont obtenus pour tan(θ) = −U(τ1)/T (τ1). Les minima correspondentaux points où cos(θ) = −T (τ1)/

»

U(τ1)2 + T (τ1)2 et sin(θ) = U(τ1)/»

U(τ1)2 + T (τ1)2, d’où

Tmin = −»

U(τ1)2 + T (τ1)2.

6. On a à l’instant τ2 :

∆p2(τ2) = 2mEc(τ2) = m(E(τ2) + T (τ2)) .

L’énergie totale E(τ2) ne varie pas pendant la deuxième phase et on a donc E(τ2) = E(τ1) =Ec(τ1) + Ep(τ1), avec Ec(τ1) = ~ω/4 et Ep(τ1) = ~ω(1 + 4ξ)/4, ce qui donne

E(τ2) =~ω

2(1 + 2ξ) .

Le minimum de ∆p2(τ2) est atteint aux mêmes instants que le minimum de T (τ2). Relions lavaleur de ce minimum au paramètre ξ : U(τ1)

2 = (~ω)2ξ et T (τ1)2 = (Ec(τ1) − Ep(τ1))2 =

(~ω)2ξ2, ce qui donne Tmin = −~ω√

ξ + ξ2. On en déduit

∆p2min =~mω

2

(

1 + 2ξ − 2»

ξ + ξ2)

.

ce qui correspond au résultat donné dans l’énoncé, compte tenu de ∆p20 = ~mω/2.


7. La valeur de ∆p2min est toujours inférieure à ∆p20 : on a donc bien un état « comprimé ».La compression peut être arbitrairement grande car ∆p2min/∆p

20 ∼ 1/(4ξ) quand ξ → ∞. Dans

la limite opposée ξ → 0, on trouve ∆p2min ≃ ∆p20, ce qui est logique : si la phase de vol libre esttrop courte, il n’y a pratiquement pas de modification de la distribution en impulsion.

8. Pour un état comprimé en impulsion, ∆x augmente pour satisfaire l’inégalité de Heisenberg.

9. On constate effectivement une diminution de largeur en impulsion du nuage nettement endessous de celle de l’état fondamental. Les paramètres expérimentaux correspondent à ξ = 5.2,ce qui devrait conduire à une compression de ∆pmin/∆p0 ∼ 0.2. La compression trouvée enpratique n’est pas aussi spectaculaire, avec un ∆p/∆p0 ∼ 0.5.

Note. Les données expérimentales présentées dans ce problème sont extraites des références :— I. Bouchoule, H. Perrin, A. Kuhn, M. Morinaga, C. Salomon, Phys. Rev. A, Rapid Comm.

59, R8 (1999) : Neutral atoms prepared in Fock states of a one dimensional harmonicpotential

— M. Morinaga, I. Bouchoule, J.C. Karam, C. Salomon, Phys. Rev. Lett. 83, 4037, (1999) :Manipulation of motional quantum states of neutral atoms

— I. Bouchoule, Thèse de doctorat, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI (06/10/2000) :Refroidissement par bandes latérales d’atomes de Cesium et quelques applications.http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00141435/fr/

4. Détection « non destructive » de bombes 29

4 Détection « non destructive » de bombes

On dispose de bombes qui peuvent exister sous deux formes, réelles ou factices (figure 1).La différence entre une bombe réelle et une bombe factice est la suivante : quand un neutrontape sur une bombe réelle, le neutron est absorbé et la bombe explose ; au contraire, une bombefactice transmet le neutron sans exploser et sans changer l’état du neutron. Le but du problèmeest de proposer une méthode (quantique !) permettant de déterminer avec une bonne probabilitési une bombe donnée est réelle ou factice, sans la faire exploser.

Figure 1 – Une bombe factice transmet un neutron incident sans exploser. Une bombe réelleexplose quand elle est heurtée par le neutron.

1. Lemme. On considère un sytème quantique d’hamiltonien H(t). On se donne deux solu-tions quelconques |ψ(t)〉 et |ψ′(t)〉 de l’équation de Schrödinger. Montrer que le produit scalaire〈ψ(t)|ψ′(t)〉 ne varie pas dans le temps.

2. Un séparateur de faisceaux pour neutrons. On envoie un neutron sur une lame ma-térielle L (figure 2). Cette lame crée une barrière de potentiel sur laquelle le neutron peut êtretransmis ou réfléchi. On rappelle que l’étude du mouvement de la particule peut se faire de deuxfaçons équivalentes :(i) On décrit l’état du neutron par des paquets d’ondes qui évoluent dans le temps.(ii) On suppose que le neutron est dans un état d’énergie E bien définie et on décrit son état par

des superpositions de quelques ondes planes.Dans cette question 2 ainsi que dans les questions 3 et 4, on utilise le point de vue (i). Dans laquestion 5, on utilisera le point de vue (ii).

(a) On suppose qu’à l’instant t0, avant de toucher la lame, l’état du neutron est

|ψ(t0)〉 = |φ1〉 (1)

où |φ1〉 représente le paquet d’ondes incident représenté sur la figure 2. L’interaction duneutron avec la lame est décrite par un hamiltonien qu’on ne cherchera pas à écrire expli-citement. À l’instant ultérieur t1, l’état du neutron est une superposition de l’état |φ3〉 (leneutron a été réfléchi par la lame) et de l’état |φ4〉 (le neutron a été transmis par la lame) :

|ψ(t1)〉 = ρ|φ3〉 + τ |φ4〉 (2)

où 〈φi|φj〉 = δi,j (i, j = 1, 3, 4). Les coefficients ρ et τ sont choisis réels et positifs ou nuls.Expliquer pourquoi ρ2 + τ2 = 1.

30 4. Détection « non destructive » de bombes

Figure 2 – Lame semi-réfléchissante pour neutron.

(b) On suppose qu’on envoie maintenant le neutron par l’autre voie d’entrée, dans l’état symé-trique de |φ1〉 par rapport à la lame :

|ψ′(t0)〉 = |φ2〉 (3)

tel que 〈φj |φ2〉 = δj,2, (j = 1, . . . , 4). L’état à l’instant t1 s’écrit alors

|ψ′(t1)〉 = τ ′|φ3〉 + ρ′|φ4〉 . (4)

En utilisant le lemme, expliquer pourquoi les coefficients τ ′ et ρ′ vérifient :

|ρ′|2 + |τ ′|2 = 1 , τρ′ + ρτ ′ = 0 . (5)

Note. On prendra dans la suite τ ′ = τ , ρ′ = −ρ. On décrira donc l’action de la lamesemi-réfléchissante par

|φ1〉 évolue vers ρ|φ3〉 + τ |φ4〉 , (6)

|φ2〉 évolue vers τ |φ3〉 − ρ|φ4〉 . (7)

3. Un interféromètre de Mach-Zehnder pour neutrons. On considère le dispositif re-présenté sur la figure 3 composé de deux lames semi-réfléchissantes identiques L et L′ et de deuxmiroirs parfaits Ma et Mb. On définit les instants t0, ..., t3 de la manière suivante :t0 : le neutron est dans l’état |ψ(t0)〉 = |φ1〉, en amont de la première lame L.t1 : après interaction avec L, l’état du neutron est dans la superposition (6) de |φ3〉 et |φ4〉.t2 : le neutron s’est propagé dans l’interféromètre. Dans cette propagation,

|φ3〉 évolue vers ei∆a |φ′1〉 , (8)

|φ4〉 évolue vers ei∆b |φ′2〉 , (9)

où |φ′1〉 et |φ′2〉 sont les états entrants de la deuxième lame L′, et où les phases ∆a et ∆b

peuvent être ajustées par l’expérimentateur.t3 : le neutron a interagi avec la lame L′ et son état peut s’écrire à cet instant

|ψ(t3)〉 = α|φ′3〉 + β|φ′4〉 . (10)

L’évolution des états |φ′1,2〉 vers les états |φ′3,4〉 lors de l’interaction avec L′ se fait de manièresimilaire à (6)-(7).


Figure 3 – Interféromètre de Mach-Zehnder pour le neutron.

(a) Montrer que la probabilité PB de détecter le neutron dans la voie de sortie B de l’interféro-mètre, c’est-à-dire dans l’état |φ′4〉, est égale à

PB = 2ρ2τ2(1 − cos∆) , (11)

où on a posé ∆ = ∆a − ∆b.

(b) Calculer de même la probabilité PA de trouver le neutron dans la voie de sortie A.

(c) Que vaut PA + PB ? Commenter ce résultat.

(d) Montrer qu’il existe des choix de phase ∆ pour lesquels on est certain que le neutron sortiradans la voie A, quels que soient les coefficients ρ et τ . On fera ce choix de phase dans laquestion suivante.

4. Un premier pas vers la détection « non destructive » de bombes.On dispose d’une bombe dont on ignore si elle est réelle ou factice. On la place sur le bras LMbL

′

de l’interféromètre de la figure 3.

(a) Si la bombe est factice, quelles sont les probabilités de trouver le neutron dans les voies desortie A et B ? On rappelle qu’on a fait le choix de phase trouvé à la question 3(d).

(b) Si la bombe est réelle, quelle est la probabilité qu’elle explose ?

(c) On suppose que la bombe est réelle et qu’elle n’a pas explosé quand le neutron a traversél’interféromètre. Quelles sont les probabilités de détecter ce neutron dans les voies de sortieA et B ?

(d) Dans quel cas est-on certain que la bombe est réelle sans qu’elle ait explosé ?

(e) On définit un facteur de mérite F qui est la probabilité de détecter une bombe réelle sansla faire exploser. Que vaut le facteur de mérite F (ρ, τ) pour l’interféromètre de la figure 3 ?

(f) Quel est le couple (ρ, τ) qui maximise le facteur de mérite ?

5. Vers une détection « non destructive » arbitrairement bonne. On réalise mainte-nant l’interféromètre linéaire (de type Fabry-Perot) représenté sur la figure 4, les lames L et L′

étant toujours identiques, mais placées perpendiculairement au trajet du neutron. On note D ladistance entre les lames.On modélise l’état d’un neutron par une superposition d’ondes planes e±ikx, où k est le vecteurd’onde du neutron. Les amplitudes η, µ, ν, ξ des différentes ondes dépendent de la région consi-dérée et sont indiquées sur la figure 4. On donne par convention une amplitude de 1 à l’ondeincidente arrivant de x = −∞. Les amplitudes des ondes planes e±ikx de part et d’autre d’unelame sont reliées par les mêmes coefficients τ et ρ que ceux utilisés ci-dessus.


(a) Au niveau de la lame L. Justifier que l’on a µ = τ − ρ ν et η = ρ+ τ ν .

(b) Au niveau de la lame L′. Justifier que l’on a ξ eikD = τ µ eikD et ν e−ikD = ρµ eikD .

(c) Montrer que pour tout choix de (ρ, τ), il existe des valeurs de D pour lesquelles on estcertain qu’un neutron incident sera transmis par cet interféromètre (c’est-à-dire |ξ| = 1 etη = 0) .

(d) On suppose qu’une bombe, réelle ou factice, est placée entre L et L′. Montrer qu’on peutatteindre des facteur de mérite arbitrairement proches de 1 pour la détection d’une bomberéelle.

Figure 4 – Interféromètre permettant d’atteindre une détection « non destructive » efficace.

Solution

1. Lemme. |ψ(t)〉 et ψ′(t)〉 sont deux solutions de i~|ψ〉 = H(t)|ψ〉. Par conséquent :

d

dt〈ψ(t)|ψ′(t)〉 =

Å

i

~〈ψ(t)|H†(t)

ã

|ψ′(t)〉 + 〈ψ(t)|Å−i

~H(t)|ψ′(t)〉

ã

= 0 , (12)

où on a utilisé le fait que l’hamiltonien H est hermitien : H† = H. Ce résultat prouve enparticulier que— un état initialement normé le reste au cours de l’évolution,— deux états initialement orthogonaux le restent au cours de l’évolution.

2. Un séparateur de faisceau pour neutrons.

(a) Puisque l’état initial est normé, l’état final doit l’être également. Comme les états φ3 et φ4sont supposés orthogonaux, on a ρ2+ τ2 = 1. Ce résultat exprime que la somme des probabilitésd’avoir une réflexion (ρ2) et une transmission (τ2) est égale à 1.

(b) L’état initial est là aussi normé, et l’état final doit l’être également, d’où |ρ′|2 + |τ ′|2 = 1.Par ailleurs l’état initial |φ2〉 est orthogonal à l’état initial |φ1〉. Les états finaux ρ |φ3〉+ τ |φ4〉 etτ ′ |φ3〉+ρ′ |φ4〉 correspondants doivent donc également être orthogonaux, ce qui donne ρτ ′+ρ′τ =0. Cette condition est bien satisfaite pour le choix proposé par l’énoncé : ρ′ = −ρ, τ ′ = τ .

3. Un interféromètre de Mach-Zehnder pour neutrons.

(a) À l’instant t3, juste avant la traversée de la lame L′, l’état du neutron est :

|ψ(t3)〉 = ρ ei∆a |φ′1〉 + τ ei∆b |φ′2〉 . (13)


Juste après la traversée de la lame L′, l’état est donc

|ψ(t4)〉 = ρ ei∆a(

ρ|φ′3〉 + τ |φ′4〉)

+ τ ei∆b(

τ |φ′3〉 − ρ|φ′4〉)

(14)

=Ä

ei∆aρ2 + ei∆bτ2ä

|φ′3〉 + ρτÄ

ei∆a − ei∆b

ä

|φ′4〉 . (15)

La probabilité PB de trouver le neutron dans la voie B correspondant à l’état |φ′4〉 vaut :

PB = |ρτÄ

ei∆a − ei∆b

ä

|2 = 2ρ2τ2(1 − cos∆) . (16)

(b) La probabilité PA vaut quant à elle

PA = |ei∆aρ2 + ei∆bτ2|2 = ρ4 + τ4 + 2ρ2τ2 cos∆ . (17)

(c) On trouve que PA + PB = (ρ2 + τ2)2 = 1, ce qui était bien sûr attendu. En absenced’absorption au niveau des lames ou des miroirs, on est certain que le neutron incident sortiradans une des deux voies A ou B.

(d) Si on choisit ∆ = 0 (modulo 2π), on trouve que PB = 0 quelle que soit la valeur du couple(ρ, τ) : les deux chemins « réflexion sur L – transmission sur L′ » et « transmission sur L –réflexion sur L′ » interfèrent destructivement pour la voie de sortie B.

4. Un premier pas vers la détection « non destructive » de bombes.

(a) Si la bombe est factice, elle n’a aucune influence sur l’état du neutron. On est certain detrouver le neutron dans la voie de sortie A : PA = 1, PB = 0.

(b) L’état du neutron après la lame L est ρ|φ3〉+ τ |φ4〉. Regarder si une bombe réelle située auniveau du miroir Mb explose ou non revient à mesurer si le neutron a été réfléchi ou transmissur la lame L. La probabilité que la bombe explose est le module carré du coefficient de |φ4〉,c’est-à-dire τ2.

(c) Si la bombe est réelle et n’a pas explosé, c’est que le neutron est passé par le chemin LMaL′

et il est donc incident sur la lame L′ dans l’état |φ′1〉. Après traversée de cette lame L′, son étatest ρ|φ′3〉 + τ |φ′4〉. Les probabilités de détecter ce neutron dans les voies de sortie A et B sontdonc respectivement ρ2 et τ2.

(d) Si après le passage du neutron dans l’interféromètre, la bombe n’a pas explosé et si le neutronest détecté dans la voie de sortie B, alors on est certain que la bombe était réelle. En revanche,si le neutron est détecté dans la voie A, on ne peut rien conclure.

(e) Le facteur de mérite est le produit de deux probabilités : pour que la bombe réelle soitdétectée de manière non destructive, il faut que la bombe n’explose pas (probabilité ρ2 d’aprèsla question b) et il faut que le neutron soit détecté dans la voie B (probabilité τ2 d’après laquestion c). On a donc F = ρ2τ2.

(f) On doit maximiser le produit ρ2τ2 en gardant la somme ρ2 + τ2 égale à 1. Le maximum estatteint pour ρ2 = τ2 = 1/2, et le facteur de mérite vaut alors 1/4. Dans ce cas, la moitié desbombes réelles explosent. Sur la moitié restante, seulement 50% donnent lieu à une détection duneutron en B et sont ainsi repérées de manière non destructive. C’est mieux que rien, mais cen’est pas encore très efficace...

5. Vers une détection « non destructive » arbitrairement bonne.

(a) Au point x = 0, on a deux ondes incidentes, une depuis la gauche (eikx) et l’autre depuisla droite (νe−ikx). Ces deux ondes donnent naissance à deux ondes s’éloignant de la lame, l’unevers la droite (µeikx) et l’autre vers la gauche (ηe−ikx). En utilisant (6) et (7), on trouve que lesamplitudes de ces différentes ondes sont reliées par

µ = τ − ρν η = ρ+ τν . (18)


(b) Au point x = D, on a une seule onde incidente d’amplitude complexe µeikD qui peut êtreréfléchie ou transmise. On a donc en ce point :

ξeikD = τµeikD νe−ikD = ρµeikD . (19)

(c) On exprime ν en fonction de µ à l’aide de (19), ν = ρµe2ikD, et on reporte ce résultat dans(18), ce qui donne :

µ =τ

1 + ρ2e2ikD. (20)

On peut alors en déduire les amplitudes transmises (ξ) et réfléchies (η) par cet interféromètre detype Fabry–Perot :

ξ =τ2

1 + ρ2e2ikDη = ρ

1 + e2ikD

1 + ρ2e2ikD. (21)

On peut vérifier qu’on a bien |ξ|2 + |η|2 = 1. Par ailleurs le choix 2kD = π modulo 2π conduità ξ = 1, η = 0. Même si les coefficients de réflexion de chaque lame sont très proches de 1, onpeut avoir une transmission parfaite si la distance D entre les lames est bien choisie.

(d) On se place dans la situation où 2kD = π modulo 2π. Si la bombe est factice, on est certainque le neutron sera transmis par le dispositif. Placer une bombe réelle entre les deux lames revientà mesurer si le neutron a été transmis (probabilité τ2) ou réfléchi (probabilité ρ2) par la premièrelame, la bombe explosant dans le premier cas et pas dans le second.Pour obtenir un bon facteur de mérite, il faut choisir ρ très proche de 1 (et donc τ très proche de0), envoyer un neutron depuis la gauche, et détecter si ce neutron est transmis ou réfléchi. Avecune bombe factice, le neutron sera détecté avec certitude dans l’onde transmise ξeikx. Avec unebombe réelle, on aura soit une explosion (avec une très faible probabilité τ2), soit un neutronréfléchi dans l’onde ηe−ikx (avec une probabilité ρ2 voisine de 1). La détection d’un neutronréfléchi permet donc de s’assurer de manière « non destructive » de la présence d’une bomberéelle. Le facteur de mérite vaut ρ2 ∼ 1.

Pour en savoir plus, voir par exemple The Elitzur-Vaidman bomb tester, Wikipedia.

5. Principe d’une horloge atomique 35

5 Principe d’une horloge atomique

Depuis 1967, les unités de temps et de fréquence sont définies à partir d’une transition entredeux niveaux d’énergie de l’atome de césium. On considère la transition E1 ↔ E2 entre lesdeux niveaux d’énergie les plus bas de cet atome (E2 > E1), et on définit la seconde comme ladurée pendant laquelle une onde électromagnétique résonante avec cette transition effectue 9 192631 770 périodes d’oscillation. Le but de ce problème est d’étudier comment on peut réaliser enpratique cette résonance entre l’onde électromagnétique et la transition E1 ↔ E2. Pour simplifier,on suppose dans ce problème que les niveaux d’énergie E1 et E2 sont non dégénérés 1, et on note|ψ1〉 et |ψ2〉 les états associés. On néglige le mouvement du centre de masse de l’atome et onrestreint la dynamique interne de l’atome au sous-espace de dimension 2 engendré par |ψ1〉 et|ψ2〉. En absence d’onde électromagnétique, l’hamiltonien de l’atome de césium s’écrit donc dansla base {|ψ1〉, |ψ2〉} :

H0 =

Ç

E1 00 E2

å

. (1)

On note |ψ(t)〉 = a1(t)|ψ1〉 + a2(t)|ψ2〉 l’état de l’atome à un instant t quelconque et on poseE2 − E1 = ~ω0.

1. En absence d’onde électromagnétique, donner l’expression de a1(t) et a2(t) en fonction dea1(0) et a2(0). Si l’atome est préparé à l’instant t = 0 dans l’état |ψ1〉, quelle est la probabilitéde le trouver dans l’état |ψ2〉 à l’instant t ?

2. On envoie sur l’atome une onde électromagnétique de pulsation ω. On supposera que lecouplage (d’origine magnétique) entre l’atome et l’onde peut s’écrire dans la base {|ψ1〉, |ψ2〉} :

V (t) = v(t) cos(ωt)

Ç

0 11 0

å

, (2)

où la fonction réelle v(t) est proportionnelle à l’amplitude de l’onde électromagnétique. L’hamil-tonien total du système est alors H(t) = H0 + V (t).À partir de l’équation de Schrödinger i~(d|ψ(t)〉/dt) = H(t)|ψ(t)〉, exprimer da1/dt et da2/dt enfonction de a1(t), a2(t) et des paramètres du problème (E1, E2, ω, v(t)). Le but des questions quisuivent est de résoudre de manière approchée ce système différentiel.On suppose dans toute la suite que l’atome est préparé à l’instant t = 0 dans l’état |ψ1〉.3. Montrer que l’on a pour t > 0

a2(t) =1

i~

∫ t

0v(t′) cos(ωt′) a1(t

′) e−iE2(t−t′)/~ dt′. (3)

4. À partir de (3), on peut obtenir une valeur approchée de a2(t), valable à l’ordre 1 en v, enprenant pour a1(t′) le résultat à l’ordre 0 en v trouvé en question 1. Donner cette expressionapprochée de a2(t) en supposant que a1(0) = 1.

5. On suppose à partir de maintenant que la quantité v(t) est donnée par la fonction en « doublecréneau » représentée sur la figure 1. Cette fonction vaut v0 dans les deux intervalles de largeur2τ centrés respectivement en ta et tb, et elle est nulle partout ailleurs. Quelle est la probabilitéde trouver l’atome dans l’état |ψ2〉 pour t < ta − τ ?

6. On s’intéresse aux temps t compris entre les deux créneaux : ta + τ < t < tb − τ .

1. Une valeur propre est dite « non dégénérée » quand il n’y a qu’un vecteur propre, à un coefficient multiplicatif

près, qui lui est associé.

36 5. Principe d’une horloge atomique

Figure 1 – Fonction en double créneau donnant le couplage entre l’atome et l’onde électro-magnétique, correspondant à la méthode des franges de Ramsey.

(a) Donner l’expression de a2(t). On mettra cette expression sous forme d’une somme de deuxtermes, respectivement proportionnels à 1/(ω − ω0) et 1/(ω + ω0).

(b) Montrer que la probabilité P2 de trouver l’atome dans l’état |ψ2〉 est indépendante du tempst sur l’intervalle considéré.

(c) On suppose que la pulsation ω de l’onde est choisie proche de la pulsation de résonanceatomique ω0 : |ω − ω0| ≪ ω0. Expliquer pourquoi ceci permet de négliger (sauf pour desvaleurs particulières de (ω − ω0)τ) l’un des deux termes intervenant dans l’expression dea2(t). Donner l’expression ainsi simplifiée de P2. On mettra cette expression sous la forme

P2(∆) =

Å

v0τ

~

ã2

F (τ∆), (4)

où ∆ = ω − ω0 et où F est une fonction mathématique que l’on précisera.

(d) Tracer P2 en fonction de ∆. Expliquer en quoi cette variation permet de verrouiller lafréquence de l’onde électromagnétique sur la transition E1 ↔ E2 de l’atome.

(e) Donner une valeur approchée de la largeur totale à mi-hauteur de la fonction P2(∆). Com-ment varie la précision de la mesure de fréquence en fonction de la durée τ de cette mesure ?Discuter le résultat obtenu en terme de « relation d’incertitude » associée à la transforméede Fourier temps-fréquence.

7. On s’intéresse aux temps t après le deuxième créneau : t > tb + τ .

(a) En continuant à utiliser l’approximation introduite en question 6 (c) et découlant de|ω − ω0| ≪ ω0, calculer a2(t).

(b) On pose T = tb−ta. Calculer la probabilité P2 de trouver l’atome dans l’état |ψ2〉 en fonctionde v0, τ, T et ∆. Tracer schématiquement la variation de P2 avec ∆ pour T = 10 τ (on nedemande pas un graphe très précis). Pour T ≫ τ , montrer que P2(∆) oscille rapidement avecune période qu’on reliera à T . Donner une valeur approchée de la largeur totale à mi-hauteurdu pic central de la fonction P2(∆).

(c) Interpréter ce phénomène d’oscillation en terme d’interférences entre deux « chemins quan-tiques » conduisant d’un même état initial vers un même état final.

8. La précision avec laquelle on peut ajuster la fréquence de l’onde électromagnétique sur latransition atomique dépend de la largeur à mi-hauteur du pic central de la fonction P2(∆).Que gagne-t-on à utiliser une fonction en double créneau au lieu d’un simple créneau de largeurτ ≪ T ? Discuter le résultat obtenu dans les mêmes termes que ceux de la question 6 (e).


9. Un résultat de mesure de P2 (obtenu avec une fontaine atomique) est donné en figure 2.Commenter ce résultat en précisant les valeurs de T et τ utilisées. Quelles sont les différencesnotables entre ce résultat expérimental et les prédictions du modèle approché étudié plus haut ?

10. On admet qu’on sait pointer le maximum du pic central montré dans l’insert de la figure2 avec une précision relative de 10−4 par rapport à sa largeur. Quelle est la précision relativede l’horloge ainsi obtenue (erreur sur la mesure de fréquence, divisée par la fréquence mesu-rée) ? Quelle est l’incertitude sur le temps indiqué par une telle horloge au bout d’un siècle defonctionnement ?

Figure 2 – Résultat expérimental pour la probabilité P2 de trouver un atome de césium dansl’état |ψ2〉 après une excitation en double créneau. L’insert en haut à droite représente un zoomsur la partie centrale de la courbe principale. Cette figure correspond à l’expérience décrite dansl’article de G. Santarelli et al., Phys. Rev. Lett. 82, 4619 (1999).

Solution

1. En absence d’onde électromagnétique, l’hamiltonien a pour états propres |ψ1〉 et |ψ2〉.Si l’état initial est |ψ(0)〉 = a1(0)|ψ1〉 + a2(0)|ψ2〉, l’état à l’instant t s’écrit : |ψ(t)〉 =a1(0) e

−iE1t/~ |ψ1〉 + a2(0) e−iE2t/~ |ψ2〉, c’est-à-dire aj(t) = aj(0) e

−iEj t/~, j = 1, 2. Si a2(0) = 0,P2(t) = 0 à tout temps.

2. En présence du couplage au champ, l’équation de Schrödinger i~ d|ψ(t)〉/dt = (H0 +V (t))|ψ(t)〉 s’écrit sur la base {|ψ1〉, |ψ2〉} :

i~da1dt

= E1a1 + v(t) cos(ωt) a2(t), i~da2dt

= E2a2 + v(t) cos(ωt) a1(t). (5)

3. L’équation sur a2 s’intègre par exemple par la méthode « de variation de la constante » :

a2(t) = a2(0) e−iE2t/~ +

1

i~

∫ t

0v(t′) cos(ωt′) a1(t

′) e−iE2(t−t′)/~ dt′. (6)

On retrouve le résultat de l’énoncé pour a2(0) = 0. On peut également se contenter de vérifier


que la fonction a2(t) proposée dans l’énoncé vérifie bien l’équation différentielle du premier ordreen temps trouvée à la question précédente, avec la bonne condition initiale en t = 0.

4. Selon la méthode approchée proposée par l’énoncé (qu’on appelle théorie des perturbationsdépendant du temps, cf. Chapitre 17, § 1 du cours), on injecte la valeur de a1 à l’ordre 0 en v,c’est-à-dire a1(t′) = exp(−iE1t

′/~), dans l’équation (3). Comme cette équation est elle-mêmeproportionnelle au couplage v, on obtient alors l’expression de a2 valable à l’ordre 1 inclus en v :

a2(t) =e−iE2t/~

i~

∫ t

0v(t′) cos(ωt′) ei(E2−E1)t′/~ dt′. (7)

5. Pour t < ta − τ , la fonction figurant dans l’intégrale entre 0 et t de l’équation (7) estidentiquement nulle. La probabilité de trouver l’atome dans l’état |ψ2〉 est donc nulle pour cetintervalle de temps.

6. (a) L’intégrale figurant dans (7) pour des temps entre les deux créneaux se calcule relati-vement simplement et on trouve :

a2(t) =v0e

−iE2t/~

i~

Ç

ei(ω+ω0)ta sin[(ω + ω0)τ ]

ω + ω0+ ei(ω0−ω)ta sin[(ω − ω0)τ ]

ω − ω0

å

. (8)

(b) La seule dépendance de a2 vis-à-vis de t est le préfacteur global e−iE2t/~. Comme la pro-babilité P2 est donnée par P2 = |a2|2, ce préfacteur n’intervient pas dans P2, qui est doncindépendante de t pour t ∈ [ta + τ, tb − τ ].

(c) Si ω est proche de ω0, le terme proportionnel à 1/(ω + ω0) est généralement très petitdevant le terme proportionnel à 1/(ω − ω0) et on peut le négliger. Les seuls instants où cetteapproximation n’est pas valable sont les voisinages des τn tels que (ω − ω0)τn = nπ, où n est unentier, puisque le terme en 1/(ω − ω0) s’annule en ces points. Une fois le terme en 1/(ω + ω0)négligé, on trouve :

P2(∆) =

Å

v0τ

~

ã2

F (τ∆) avec F (x) =

Å

sinx

x

ã2

. (9)

(d) La fonction F (x) intervenant dans P2(∆) est tracée en figure 3. Cette fonction est « piquée »autour de x = 0, ce qui signifie que P2 est maximale pour ω = ω0. C’est une figure typique derésonance et la maximisation expérimentale de la probabilité P2 permet d’assurer que l’ondeélectromagnétique a une pulsation ω voisine de ω0.

(e) La précision de la mesure de fréquence est directement proportionnelle à la largeur de lacourbe de résonance : pour un rapport signal/bruit donné, plus cette courbe est étroite, mieuxon s’approchera de la valeur recherchée ω = ω0. La largeur totale à mi-hauteur de cette fonctionde ∆ est ≈ π/τ , ce qui correspond à la relation de Fourier usuelle : en interagissant avec lesatomes pendant une durée τ , on obtient une courbe de réponse en fréquence de largeur variantcomme 1/τ .

7. (a) En ne gardant que les termes en 1/(ω − ω0), on trouve pour t > tb + τ :

a2(t) =v0e

−iE2t/~

i~

sin(τ∆)

∆

Ä

e−i∆ta + e−i∆tbä

. (10)

(b) Le calcul de P2 = |a2|2 donne

P2(∆) =

Å

v0τ

~

ã2

4 cos2(T∆/2) F (τ∆). (11)


-10 -5 0 5 100.0

0.5

1.0

Figure 3 – Fonction F (x) intervenant dans P2(∆), probabilité de trouver l’atome dans l’état|ψ2〉 après le premier créneau.

Ce résultat est indépendant de t. Cette fonction est tracée en figure 4 dans le cas particulierT = 10 τ . Elle oscille rapidement avec ∆ sous l’effet du terme en cos2(T∆/2), avec une périodeen ∆ égale à 2π/T . La largeur totale à mi-hauteur du pic central est de π/T .

-10 -5 0 5 100

1

2

3

4

Figure 4 – Variation de P2 (au coefficient (v0τ/~)2 près) en fonction de x = τ∆ dans le cas

particulier T = 10 τ .

(c) Dans cette image perturbative, l’atome peut transiter de |ψ1〉 vers |ψ2〉 durant le premierpulse ou durant le second ; l’équation (8) correspond à l’addition des amplitudes correspondantes,et elle donne l’amplitude de probabilité totale de trouver l’atome en |ψ2〉 pour t > tb + τ . Leterme en 4 cos2(∆T/2) dans l’équation (11) correspond à l’interférence des amplitudes associéesà ces deux chemins.

8. Avec le double créneau (méthode des franges de Ramsey), on remplace une largeur en π/τpar une largeur en π/T . La précision est donc bien meilleure. Dans les termes de la question6 (e), on peut considérer qu’on a remplacé la durée d’interaction τ par la durée totale T (et nonpas 2τ comme on aurait pu le croire naïvement).

9. On trouve que la largeur totale à mi-hauteur de la courbe « enveloppe » en fonction de∆/2π est de 80Hz. Cette largeur est par ailleurs égale à 1/(2τ), ce qui donne τ = 6.3ms. Lalargeur totale à mi-hauteur du pic central est de 1Hz, et correspond à 1/(2T ), soit T = 0.5 s.


L’expérience n’est pas dans la limite perturbative, puisque la probabilité de transition approche 1à la résonance. Par ailleurs, il y a un certain brouillage des franges sur les ailes, dû essentiellementà une dispersion des vitesses des atomes et donc des temps T .

10. La raie a une largeur de 1Hz. Si on sait pointer son centre avec une précision relative de10−4, on a un ajustement de ω sur ω0 à 10−4 Hz près, soit une précision relative de l’horloge de10−14. Le retard ou l’avance d’une telle horloge au bout d’un siècle de fonctionnement correspondà environ 30 microsecondes (1 siècle=3600 × 24 × 365 × 100 = 3.2 109 s).

6. Propagation et étalement d’un paquet d’ondes 41

6 Propagation et étalement d’un paquet d’ondes

1. On considère un système quantique d’hamiltonien H indépendant du temps et on note|ψ(t)〉 son état à l’instant t. On se donne une observable A elle aussi indépendante du tempset on s’intéresse à l’évolution dans le temps de la valeur moyenne de cette observable : a(t) =〈ψ(t)|A|ψ(t)〉.(a) Rappeler l’équation d’évolution du ket |ψ(t)〉 et en déduire celle du bra 〈ψ(t)|.(b) En déduire que la quantité da/dt est reliée à la valeur moyenne du commutateur [A, H] =

AH − HA :

i~da

dt= 〈ψ(t)|[A, H]|ψ(t)〉. (1)

2. Évolution du centre d’un paquet d’ondes. On considère une particule ponctuelle demasse m en mouvement libre (pas de potentiel) le long de l’axe x. On note x et p ses opérateursposition et impulsion.

(a) Rappeler (sans justification) l’action de x et de p sur une fonction d’onde ψ(x).

(b) Comparer xp ψ(x) et px ψ(x). En déduire que [x, p] = i~ 1, où 1 est l’opérateur identité.

(c) On se donne deux opérateurs A et B. Montrer que [A, B2] = [A, B]B+ B[A, B]. En déduireque [x, p2] = 2i~ p.

(d) On pose p(t) = 〈ψ(t)| p |ψ(t)〉 et x(t) = 〈ψ(t)| x |ψ(t)〉. À l’aide des questions précédentes,exprimer dp/dt et dx/dt en fonction de p, x et m. En déduire les valeurs de p(t) et x(t) enfonction de p(0), x(0), t et m.

(e) On note ψ(x, t) la fonction d’onde associée au ket |ψ(t)〉. À l’instant initial t = 0, la particule

est préparée dans l’état fondamental φ(ω)0 (x) d’un oscillateur harmonique de pulsation ω :

ψ(x, 0) = φ(ω)0 (x) = C exp(−x2 / 2a20), (2)

où a0 = (~/(mω))1/2 et où C est un coefficient de normalisation. On coupe le potentielharmonique à l’instant t = 0 et on laisse ensuite la particule évoluer librement (expériencede temps de vol). Déterminer la position moyenne et l’impulsion moyenne de la particule àun instant t > 0.

3. Étalement du paquet d’ondes. On s’intéresse encore à l’évolution du paquet d’ondesd’une particule libre préparée dans l’état (1) à l’instant t = 0 et on cherche maintenant à calculerles quantités

p2(t) = 〈ψ(t)| p2 |ψ(t)〉, x2(t) = 〈ψ(t)| x2 |ψ(t)〉, γ(t) = 〈ψ(t)| xp+ px |ψ(t)〉.(3)

On rappelle qu’on a pour l’état (1) : p2(0) = m~ω/2, x2(0) = ~/(2mω) et γ(0) = 0. On donnela valeur des commutateurs : [x2, p2| = 2i~ (xp+ px), [xp, p2] = [px, p2] = 2i~ p2.

(a) Exprimer dp2/dt, dx2/dt, dγ/dt en fonction de p2, x2, γ et m.

(b) En déduire que l’étalement de la distribution en position de la particule est tel que x2(t) =x2(0)

(

1 + ω2t2)

.

4. Oscillateur harmonique à deux dimensions. La particule peut maintenant se propagerdans le plan xy et elle est décrite par une fonction d’onde ψ(x, y, t). À l’instant t = 0, la particuleest préparée dans l’état fondamental d’un oscillateur harmonique de pulsations ωx selon l’axe xet ωy (< ωx) selon y : ψ(x, y, 0) = φ

(ωx)0 (x) φ

(ωy)0 (y).

42 6. Propagation et étalement d’un paquet d’ondes

(a) Comparer les variances initiales ∆x2(0) et ∆y2(0) des distributions en position selon lesdeux axes.

(b) On supprime le potentiel harmonique à l’instant t = 0, on laisse la particule se propagerlibrement dans le plan xy pendant une durée t et on mesure l’ellipticité du nuage ε(t) =∆x(t)/∆y(t). Indiquer si le signe de ε(t) − 1 peut changer au cours du temps et commenterl’origine physique de ce phénomène.

(c) Quand un gaz de particules décrites par la mécanique classique est à l’équilibre thermiqueà température T dans un potentiel harmonique de pulsation ωx selon l’axe x, les variances∆x2 et ∆p2x vérifient « l’équipartition de l’énergie »(kB est la constante de Boltzmann) :

1

2mω2

x∆x2 =

1

2kBT,

∆p2x2m

=1

2kBT. (4)

Donner l’évolution de l’ellipticité d’un tel gaz dans une expérience de temps de vol, ensupposant ωy < ωx. En considérant l’évolution dans le temps du signe de ε(t)− 1, expliquerpourquoi cette expérience permet de déterminer sans ambiguïté si le comportement du gazest régi par la physique classique ou la physique quantique. Dans quelle catégorie peut-onclasser l’expérience de temps de vol présentée en figure 1 ?

Figure 1 – Expérience de temps de vol menée avec des atomes de rubidium, dans un état initialcorrespondant à un « condensat de Bose-Einstein ». La figure (a) correspond à l’instant t = 0 etles figures suivantes aux instants t = 5, 10, 15, 20ms (images : Laboratoire Kastler Brossel).

Solution

Propagation et étalement d’un paquet d’ondes

1. (a) On a i~(d|ψ〉/dt) = H|ψ〉 et −i~(d〈ψ|/dt) = 〈ψ|H .

(b) On utiliseda

dt=

d〈ψ|dt

A|ψ〉 + 〈ψ|Ad|ψ〉dt

(5)

et on en déduit le résultat de l’énoncé.

2. (a) x : ψ(x) → xψ(x) et p : ψ(x) → −i~(dψ/dx).

(b) On déduit immédiatement de ce qui précède que (xp − px)ψ(x) = −i~x(dψ(x)/dx) +i~d(xψ(x))/dx = i~ψ(x).

(c) [A, B2] = AB2 − B2A = AB2 − BAB + BAB − B2A = [A, B]B + B[A, B]. En utilisant[x, p] = i~, on en déduit immédiatement [x, p2] = 2i~ p.

(d) La relation (1) donne ˙p = 0 et ˙x = p/m, soit p(t) = p(0) et x(t) = x(0) + p(0)t/m.

6. Propagation et étalement d’un paquet d’ondes 43

(e) Pour l’état initial considéré, on constate immédiatement que p(0) = 0 et x(0) = 0, puisqueψ(x, 0) est une gaussienne centrée en 0 ainsi que sa transformée de Fourier. On en déduit doncque la position moyenne et l’impulsion moyenne restent nulles à tout instant t > 0.

3. (a) On déduit de la relation (1) les relations suivantes : ˙p2 = 0, ˙

x2 = γ/m et ˙γ = 2p2/m.

(b) Compte tenu des condition initiales, on trouve : p2(t) = p2(0), γ(t) = 2tp2(0)/m et x2(t) =x2(0) + p2(0)t2/m2, dont on déduit le résultat donné dans l’énoncé.

4. (a) Si ωx > ωy, la distribution initiale en x est plus étroite que celle en y : ε2(0) =∆x2(0)/∆y2(0) = ωy/ωx < 1.

(b) Comme l’hamiltonien à deux dimensions s’écrit comme la somme de p2x/2m et de p2y/2m, lesdistributions selon les deux directions évoluent de manière indépendante. On peut donc appliquerà chacune de ces distributions le résultat de la question précédente. L’ellipticité vérifie :

ε2(t) =ωy

ωx

1 + ω2xt

2

1 + ω2yt

2. (6)

Aux temps longs, cette fonction tend vers ωx/ωy, qui est supérieur à 1. Il y a donc un instantparticulier où l’ellipticité s’inverse. Cette inversion est une conséquence de l’inégalité de Heisen-berg : si la distribution en position selon x est plus comprimée que celle en y, la distribution enimpulsion selon x doit être plus large. Aux temps longs, l’étalement du paquet d’ondes reflète ladistribution en impulsion initiale : le paquet d’ondes s’étale plus vite selon x, d’où la nécessaireinversion d’ellipticité.

(c) Pour un gaz de particules classiques à température T , les distributions en impulsion selonles axes x et y ont la même largeur

√mkBT , même si les pulsations selon ces axes ne sont pas les

mêmes. Aux longs temps d’expansion, on s’attend donc à trouver une distribution circulaire, maispas d’ellipticité inversée. Les données de la figure 1 montrent une claire inversion d’ellipticité, enaccord avec la prédiction quantique.

44 7. Interférences de grosses particules

7 Interférences de grosses particules

On mène une expérience de fentes d’Young avec des particules matérielles supposées sphé-riques de rayon R et de masse volumique ρ = 1000 kg/m3 (figure 1). Ces particules sont émisespar une source portée à la température T = 300K. Elles se propagent le long de l’axe y del’interféromètre avec une vitesse v telle que

1

2mv2 =

1

2kBT, (1)

où m est la masse de la particule et kB la constante de Boltzmann.

1. Exprimer la longueur d’onde λ de la particule en fonction de ρ, R, T et de la constante dePlanck h.

2. On note D la distance entre le plan des fentes et l’écran de détection. Rappeler l’expressionde l’interfrange xi en fonction de λ, D et a dans le cas où la largeur de chaque fente ℓ est petitedevant la distance entre fentes a. On supposera également a ≪ D. Dans la suite, on pourrautiliser ce résultat même si ℓ ≈ a.

3. Pour pouvoir observer de manière satisfaisante les franges d’interférence, on pose que lesdeux conditions suivantes doivent être satisfaites :• R ≤ xi/2 : cette condition traduit le fait qu’une particule ne doit pas « s’étaler » sur plusieurs

franges d’interférence.• R ≤ a/2 : cette condition traduit le fait que les particules doivent passer dans les fentes sans

toucher leur bord (R ≤ ℓ/2), sachant par ailleurs que ℓ ≤ a = ℓ+ ℓ′.On fixe D et on optimise a pour observer des interférences avec les particules les plus grossespossibles. Quelle est la taille maximale Rmax pour laquelle les interférences sont observables ? Onexprimera Rmax en fonction de D, ρ, T , kB et h. Quelle valeur doit-on choisir pour la distanceentre fentes a ?

4. La longueur de l’interféromètre est D = 1m. Quelle est la valeur de Rmax ? À quelle vitessecorrespond cette taille maximale ? Quelle est la longueur d’onde correspondante ? Indiquer enquelques lignes les principaux obstacles à la réalisation de cette expérience. Rappel : kB =1.4 10−23 J/K, h = 6.6 10−34 J.s.

Figure 1 – Gauche : interféromètre à fentes d’Young. Droite : Plan des fentes ; chaque fente apour largeur ℓ, la distance entre les centres des fentes est a et la zone opaque entre les fentes estde largeur ℓ′ (a = ℓ+ ℓ′).

7. Interférences de grosses particules 45

Solution

Interférences de gros objets

1. On a λ = h/(mv) avec v =»

kBT/m, soit λ = h/√mkBT . On utilise m = ρ(4π/3)R3, ce

qui donne finalement

λ =

3

4π

h√

ρR3kBT. (2)

2. Si ℓ ≪ a et a ≪ D, l’interfrange dans une expérience de fentes d’Young est donné parxi = λD/a.

3. Pour que les deux conditions nécessaires données dans l’énoncé puissent être simultanémentsatisfaites, il faut que R2 ≤ axi/4, soit R2 ≤ λD/4. En remplaçant λ par sa valeur, on arrivealors à :

R7/2 ≤ 1

8

3

π

hD√ρkBT

, (3)

soit

Rmax =

(

1

8

3

π

hD√ρkBT

)2/7

. (4)

On prend alors a = 2Rmax et on obtient un système de franges d’interférence d’interfrangexi = 2Rmax.

4. La valeur maximale de R pour les paramètres de l’énoncé est de 55 nm. La masse correspon-dante est de 7.1 10−19 kg, la vitesse est v = 7.6 cm/s et la longueur d’onde vaut λ = 1.2 10−14 m.Avec des particules « aussi grosses », il est très difficile de maintenir la cohérence entre les deuxbras de l’interféromètre. Les collisions entre la particule et les molécules du gaz résiduel dansl’enceinte où est menée l’expérience, dont la fréquence augmente avec la taille de la particule,risquent d’introduire des déphasages incontrôlés. Il en va de même pour les champs électriquesrésiduels, si la particule est préparée par mégarde avec une charge électrique non nulle. De plus,on remarque que la vitesse de la particule est très faible, et que les effets de la gravitation serontconsidérables pendant le temps de parcours (13 secondes) entre le plan des fentes et le plan dedétection.

46 8. Y a-t-il toujours un état lié dans un puits de potentiel 1D ?

8 Y a-t-il toujours un état lié dans un puits de potentiel 1D ?

1. On se donne un système quantique d’hamiltonien H. On considère la base |ψn〉 (n =0, 1, 2, . . .) formée par les vecteurs propres de H et on note En les énergies associées. On supposeles En rangées par ordre croissant E0 ≤ E1 ≤ E2 . . .. On se donne un vecteur d’état |ψ〉 norméquelconque. Montrer que la valeur moyenne de l’énergie dans l’état |ψ〉 est toujours supérieure àl’énergie de l’état fondamental :

〈ψ|H |ψ〉 ≥ E0. (1)

On pourra utiliser le développement de |ψ〉 sur la base |ψn〉 : |ψ〉 =∑

n cn|ψn〉.2. On considère une particule quantique de masse m en mouvement le long de l’axe x, soumise

à un potentiel V (x). On suppose que le potentiel V (x) est en tout point négatif et tend vers 0quand x tend vers ±∞ (cf. figure 1a). On se donne un état propre ψα(x) de l’hamiltonien

H =p2

2m+ V (x) (2)

avec l’énergie Eα. Rappeler sans démonstration la condition sur Eα pour que cet état propre soitun état lié.

Figure 1 – (a) Exemple d’un potentiel V (x) négatif en tout point et tendant vers 0 quand xtend vers ±∞. (b) Exemple de deux potentiels V1(x) et V2(x) vérifiant en tout point V2(x) ≤V1(x) ≤ 0.

3. La particule peut être placée dans le potentiel V1(x) ou dans le potentiel V2(x) de la figure1b, les hamiltoniens correspondants étant

Hj =p2

2m+ Vj(x), j = 1, 2. (3)

On suppose que V1(x) et V2(x) tendent vers 0 quand x tend vers ±∞ et que l’on a

V2(x) ≤ V1(x) ≤ 0 pour tout x. (4)

On se donne une fonction d’onde ψ(x) quelconque. Montrer que les moyennes des énergies po-tentielles 〈ψ|Vj(x)|ψ〉 vérifient

〈ψ|V2(x)|ψ〉 ≤ 〈ψ|V1(x)|ψ〉. (5)

8. Y a-t-il toujours un état lié dans un puits de potentiel 1D ? 47

4. On note |ψ(j)0 〉 (j = 1, 2) les états fondamentaux des hamiltoniens Hj et E(j)

0 les énergiesassociées. En utilisant ce qui précède, montrer que

E(2)0 ≤ E

(1)0 . (6)

On pourra considérer l’énergie moyenne de H2 dans l’état |ψ(1)0 〉 et la comparer à E(1)

0 et E(2)0 .

5. On rappelle 1 qu’un puits de potentiel carré [par exemple V (x) = V0 < 0 pour −a < x < a,V (x) = 0 pour |x| ≥ a] admet toujours au moins un état lié.Déduire de ce qui précède que tout potentiel V (x) du type de celui tracé sur la figure 1a, c’est-à-dire continu, négatif et tendant vers 0 à l’infini admet lui aussi au moins un état lié.

Solution

Y a-t-il toujours un état lié dans un puits de potentiel 1D ?

1. La valeur moyenne de l’énergie s’écrit∑

n |cn|2En, ce qui est supérieur ou égal à∑

n |cn|2E0.La fonction d’onde étant normée,

∑

n |cn|2 = 1, d’où le résultat.

2. Les états liés sont les états d’énergie négative, pour lesquels la probabilité de présence tendvers 0 quand x tend vers ±∞.

3. Le résultat est immédiat :

〈ψ|V2(x)|ψ〉 =∫ +∞

−∞|ψ(x)|2 V2(x) dx ≤

∫ +∞

−∞|ψ(x)|2 V1(x) dx = 〈ψ|V1(x)|ψ〉. (7)

4. D’après la question 1, on a

E(2)0 = 〈ψ(2)

0 |H2|ψ(2)0 〉 ≤ 〈ψ(1)

0 |H2|ψ(1)0 〉 (8)

puisque |ψ(2)0 〉 est l’état fondamental de H2. Par ailleurs, on sait d’après la question 3 que

〈ψ(1)0 |V2(x)|ψ(1)

0 〉 ≤ 〈ψ(1)0 |V1(x)|ψ(1)

0 〉 ⇒ 〈ψ(1)0 |H2|ψ(1)

0 〉 ≤ 〈ψ(1)0 |H1|ψ(1)

0 〉 = E(1)0 (9)

puisque la moyenne de l’énergie cinétique dans l’état |ψ(1)0 〉 est la même pour H1 et H2. La

combinaison de (8) et (9) donne le résultat recherché.

5. Si le potentiel V (x) est continu et strictement négatif en certains points, on peut trouver unpotentiel carré V2(x) tel que V (x) ≤ V2(x) en tout point. On sait que l’hamiltonien correspondant

à V2 a au moins un état lié, donc que l’énergie E(2)0 de son état fondamental est strictement

négative. L’énergie de l’état fondamental de l’hamiltonien correspondant à V (x) est inférieure à

E(2)0 (question 4) et elle est par conséquent strictement négative elle aussi. L’état fondamental

correspondant à V (x) est donc un état lié. Cette propriété ne s’étend pas à trois dimensions.

1. cf. livre de cours, chapitre 4, § 3.2.

48 9. Interférences entre deux condensats de Bose–Einstein

9 Interférences entre deux condensats de Bose–Einstein

1. L’état d’un atome piégéDes atomes de masse m sont confinés dans un piège décrit par un potentiel harmonique depulsation ω. Les atomes sont refroidis à une température si basse que l’on peut considérer qu’ilsse trouvent tous dans l’état fondamental du piège et on néglige toute interaction entre eux. Onconsidère le mouvement à une dimension suivant l’axe Ox. On rappelle que la fonction d’ondede l’état fondamental ψ0(x) dans le potentiel V (x) = mω2x2/2 est une gaussienne

ψ0(x) = A e−αx2

, (1)

où A est une constante de normalisation que l’on ne cherchera pas à calculer. On rappelleégalement que la moyenne et l’écart-type d’une distribution de probabilité gaussienne P (u) ∝e−u2/(2σ2) sont respectivement 〈u〉 = 0 et ∆u = σ.

(a) En imposant à ψ0(x) d’être état propre de l’hamiltonien de l’atome, montrer que α =mω/(2~) et retrouver l’expression de l’énergie de cet état fondamental.

(b) On donne ω = 2π×10 Hz et m = 4×10−26 kg. Calculer la moyenne 〈x〉 et l’écart-type ∆x0associés à la distribution de probabilité de la position de l’atome dans l’état fondamental dupiège.

(c) On rappelle que la transformée de Fourier de ψ0(x) s’écrit

ϕ0(p) = B e−p2/(4~2α) , (2)

où B est une autre constante qu’on ne cherchera pas à calculer. En déduire les valeursanalytiques et numériques de la moyenne 〈v〉 et de l’écart-type ∆v0 associés à la distributionen vitesse des atomes.

(d) Donner la valeur du produit ∆x0 ∆p0 des écarts-types en position et en impulsion. Com-menter le résultat obtenu.

2. Étalement d’un paquet d’ondes gaussienÀ l’instant t = 0, on coupe le potentiel confinant les atomes qui se propagent ensuite librement.On rappelle que la fonction d’onde d’un atome à un instant t après la coupure du piège estdonnée par

ψ(x, t) =1√2π~

∫

ϕ(p, t) eixp/~ dp avec ϕ(p, t) = ϕ0(p) e−ip2t/(2m~). (3)

On admettra que la fonction d’onde à l’instant t peut être mise sous la forme

ψ(x, t) = N (t) G1(x, t)G2(x, t) , (4)

où N (t) est une constante de normalisation que l’on ne cherchera pas à déterminer et où lesfonctions G1(x, t) et G2(x, t) sont des fonctions gaussiennes respectivement réelles et imaginairesde la variable x :

G1(x, t) = e−x2 / 4∆x2(t) avec ∆x2(t) = ∆x20 (1 + ω2t2), (5)

G2(x, t) = ei x2 / 2R2(t) avec R2(t) =

~t

m

Å

1 +1

ω2t2

ã

. (6)

(a) Montrer que l’écart-type ∆p(t) de la distribution en impulsion est constant dans ce cas.

9. Interférences entre deux condensats de Bose–Einstein 49

(b) Tracer l’écart type ∆x(t) en fonction du temps et calculer la valeur de ∆x(t) pour un tempst = 40ms, en reprenant les paramètres de la question 1.

3. La figure d’interférence des deux condensatsOn souhaite étudier une expérience réalisée en 1997 par le groupe de W. Ketterle au MIT (USA),portant sur l’interférence de deux condensats de Bose–Einstein. Pour réaliser cette expérience,les physiciens ont partagé en deux l’assemblée d’atomes à l’aide d’un faisceau laser, créant ainsiun potentiel symétrique, centré en O (x = 0), et possédant deux minima (figure 1a). Au voisinagedes minima, le potentiel est en bonne approximation harmonique de pulsation ω et la séparationd entre les minima est supposée grande devant ∆x0. On admettra que l’on peut décrire l’état dechaque atome dans ce potentiel par la superposition

Ψ(x) =1√2

ï

ψ0

Å

x− d

2

ã

+ ψ0

Å

x+d

2

ãò

. (7)

À l’instant t = 0, les expérimentateurs coupent le potentiel confinant les atomes. Leur paquetd’ondes s’étale alors comme calculé à la question 2. Au bout d’une durée t, on prend une photo-graphie de la distribution des atomes ; un résultat typique est montré sur la figure 1b.

Figure 1 – (a) Trait plein épais : potentiel V (x) à double minimum créé à l’aide d’un faisceaulaser. Trait pointillé : approximations harmoniques au voisinage des deux minima de potentiels.Trait plein fin : fonctions ψ0(x ± d/2), états propres de l’hamiltonien obtenu pour les approxi-mations harmoniques. (b) Figure d’interférence obtenue en relâchant les atomes initialementconfinés dans le potentiel V (x). Cette figure, extraite de M.R. Andrew et al., Science 275, 637(1997), a été obtenue après un temps de vol de 40ms.

(a) On considère l’état d’interférence en un point x proche de O, de sorte que |x| ≪ d. En faisantl’approximation G1(x − d/2, t) ≈ G1(x + d/2, t) ≈ G1(d/2, t), montrer que la probabilitéde présence autour de O s’écrit après un temps de vol de durée 1 t telle que ω2t2 ≫ 1 :

P(x, t) ∝ cos2 (πx/ℓ) avec ℓ =2π~t

md. (8)

(b) Pour l’expérience considérée, d = 40µm et t = 40ms. Calculer ℓ et comparer au résultat dela figure 1b.

1. En pratique, on explore un intervalle de durées t telles que ∆x(t) soit compris entre d/4 et d.


On cherche maintenant à interpréter physiquement le résultat (8) et à le généraliser pourrendre compte de l’ensemble de l’interférogramme montré en figure 1b. On souhaite en parti-culier expliquer pourquoi le système de franges est à peu près rectiligne, avec un interfrangequi est sensiblement le même en tout point du plan. On se limite au mouvement le long del’axe Ox dans les questions (c-d-e-f) et on étend le problème à l’ensemble du plan Oxy dansla question (g). Il est inutile de faire les applications numériques dans ce qui suit.

(c) En raisonnant en termes classiques, donner la vitesse v+ ou v− qu’un atome doit avoir pourse trouver au voisinage du point O à l’instant t, s’il se trouvait en x = +d/2 ou x = −d/2 àl’instant 0.

(d) Quelles sont les longueurs d’onde λ± et les vecteurs d’onde k± correspondants ?

(e) Quelle figure d’interférence attend-on si on superpose les deux ondes planes eik±x ? Relierce résultat à celui obtenu en (8).

(f) Reprendre les trois questions (c-d-e) précédentes, en considérant l’interférence au voisinaged’un point x0 quelconque sur l’axe (pas nécessairement |x0| ≪ d/2).

(g) On s’intéresse dans cette dernière question au mouvement dans le plan xOy. Les deuxminima de potentiels sont supposés situés sur l’axe x, en x = ±d/2 et y = 0. Les nuagesd’atomes piégés au voisinage de ces deux minima sont supposés isotropes à l’instant t = 0, etleur extension ∆x0 = ∆y0 est négligeable devant la séparation d entre les nuages. Reprendreles questions (c-d-e) en considérant le voisinage d’un point M(x0, y0) quelconque du plan.

Solution

Interférences entre deux condensats de Bose–Einstein

1. L’état d’un atome piégé

(a) On adψ0

dx= −2αxψ0,

d2ψ0

dx2= −2αψ0 + 4α2x2ψ0, (9)

ce qui donne en reportant dans l’équation aux valeurs propres pour H :

− ~2

2m4α2 +

1

2mω2 = 0,

~2

2m2α = E, (10)

d’où la valeur α = mω/(2~) indiquée dans l’énoncé et l’énergie de l’état fondamental E = ~ω/2.

(b) La distribution de probabilité en position est

P(x) = |ψ0(x)|2 ∝ e−2αx2

. (11)

La valeur moyenne de cette distribution est 〈x〉 = 0 et sa variance est ∆x20 = 1/(4α), soit unécart-type

∆x0 =

~

2mω≈ 4.6 10−6 m. (12)

(c) La distribution de probabilité pour l’impulsion est

P(p) = |ϕ0(p)|2 ∝ e−p2/(2~2α). (13)

9. Interférences entre deux condensats de Bose–Einstein 51

On en déduit que la distribution en impulsion est de valeur moyenne nulle et de variance ∆p20 =~2α = ~mω/2. La distribution en vitesse vérifie donc

〈v〉 = 0, ∆v0 =∆p0m

=

~ω

2m= 2.9 10−4 m/s. (14)

(d) Le produit ∆x0∆p0 est égal à ~/2 : l’inégalité de Heisenberg devient une égalité pour cesfonctions d’onde gaussiennes et réelles.

2. Étalement d’un paquet d’ondes gaussien

(a) La distribution en impulsion est donnée par P(x, t) = |ϕ(p, t)|2 = |ϕ0(p)|2, et ne dépenddonc pas du temps. Il en va de même pour tous les moments de la distribution, en particulierl’écart-type.

(b) La variation de ∆x(t) avec t correspond à une branche d’hyperbole. Pour t = 40ms, lefacteur d’expansion

√1 + ω2t2 vaut environ 2.7, ce qui donne ∆x(t) ≈ 12.4 µm.

3. La figure d’interférence des deux condensats

(a) Après expansion, la fonction d’onde d’un atome s’écrit

Ψ(x, t) =N (t)√

2[G1(x− d/2, t)G2(x− d/2, t) +G1(x+ d/2, t)G2(x+ d/2, t)] (15)

≈ N (t)√2G1(d/2, t) [G2(x− d/2, t) +G2(x+ d/2, t)] , (16)

et la parenthèse de la dernière ligne s’écrit explicitement comme :

G2(x− d/2, t) +G2(x+ d/2, t) = ei(x2+d2/4)/2R2(t)

Ä

eixd/2R2(t) + e−ixd/2R2(t)

ä

. (17)

La densité de probabilité pour la position est alors

P(x, t) ∝ cos2î

xd/2R2(t)ó

(18)

ce qui correspond à la forme en cos2(πx/ℓ) annoncée dans l’énoncé avec l’interfrange

ℓ =2πR2(t)

d≈ 2π~t

md. (19)

(b) L’échelle de la figure est environ 140, et l’interfrange mesuré sur cette figure est de 2.4 mm.L’interfrange réel mesuré est donc de 17 micromètres environ. Ceci est en très bon accord avecla prédiction ci-dessus qui donne ℓ = 16.6 micromètres.

(c) La vitesse d’un atome partant de x = ±d/2 et arrivant au voisinage de x = 0 après untemps t est v± = ∓d/(2t).(d) La longueur d’onde est λ = 2π~/(m|v±|) = 4π~t/(md) et les vecteurs d’onde sont k± =mv±/~ = ∓md/(2~t).(e) Quand on superpose deux ondes variant comme e±ikx, on obtient une onde stationnaire depériode ℓ = π/k = λ/2. Ceci correspond bien au résultat trouvé ci-dessus : ℓ = 2π~t/(md).

(f) Pour un point x0 quelconque, la vitesse v+ que doit avoir un atome pour se trouver en cepoint à l’instant t sachant qu’il était en +d/2 à l’instant 0 est v+ = (x0 − d/2)/t, soit un vecteurd’onde k+ = m(x0 − d/2)/(~t). De même, le vecteur d’onde attribué à un atome initialementen −d/2 et arrivant au point x0 à l’instant t est k− = m(x0 + d/2)/(~t). Au voisinage de x0, la


figure d’interférence résultant de la superposition de eik+x et de eik−x correspond à une sinusoïded’argument (k− − k+)x. Comme k− − k+ = md/(~t) est indépendant de x0, on en déduit quel’interfrange est le même en tout point x0 de l’axe. Le contraste est en revanche dépendant dex0 car les amplitudes G1(x0 ± d/2) sont différentes.

(g) Les vecteurs d’onde associés à un atome initialement en x = ±d/2, y = 0 et arrivant en(x0, y0) à l’instant t sont

~k± =m

~t

Ç

x0 ∓ d/2y

å

. (20)

La figure d’interférence obtenue en superposant ei~k+·~r et ei~k−·~r correspond à des franges parallèlesà l’axe y puisque ky+ = ky−, et d’interfrange ℓ = 2π/|kx− − kx+| égal à celui déterminé plushaut. Ce résultat est notablement différent des franges de forme hyperbolique obtenues quandon fait interférer deux sources ponctuelles monochromatiques (par exemple des rides à la surfacede l’eau créées par deux pointes vibrant sinusoïdalement).

10. Moment magnétique du deutéron 53

10 Moment magnétique du deutéron

Le noyau de deutérium a un moment magnétique ~M , et en le plongeant dans un champmagnétique uniforme parallèle à un axe z, on observe trois états d’énergies E0, 0,−E0, respecti-vement notés {|+〉, |0〉, |−〉}, et associés à l’interaction entre Mz et Bz. On posera E0 = ~ω > 0.On admettra que l’observable Mx, associée à la projection du moment magnétique du deutéronsur l’axe x perpendiculaire à z, a la forme Mx = µ0A, avec µ0 > 0, où A est défini par

A|+〉 = 1√2|0〉, A|0〉 = 1√

2[|+〉 + |−〉], A|−〉 = 1√

2|0〉 .

1. Ecrire la matrice de A dans la base {|+〉, |0〉, |−〉}, et calculer les valeurs propres m1, m2

et m3 de Mx, en ordonnant les valeurs propres m1 > m2 > m3. Vérifier (sans lesrecalculer) que les vecteurs propres normalisés correspondants s’écrivent

|1〉 = 1

2

Ö

1√21

è

, |2〉 = 1√2

Ö

10

−1

è

, |3〉 = 1

2

Ö

1

−√2

1

è

.

2. On suppose qu’à l’instant t = 0 l’état du noyau est |ψ(0)〉 = |1〉, calculer 〈E〉 et ∆E.

3. Calculer la valeur moyenne 〈Mx〉 dans l’état |ψ(t)〉 obtenu par évolution de |ψ(0)〉 sousl’action du champ magnétique Bz.

4. Quelles sont les probabilités de trouver m1, m2 et m3 à l’instant t lors d’une mesure deMx sur l’état |ψ(t)〉 ?

5. Interpréter physiquement cette évolution de la composante Mx du moment magnétique.

Solution

Moment magnétique du deutéron

1. Dans la base {|+〉, |0〉, |−〉}, A est représenté par la matrice

A =1√2

Ö

0 1 01 0 10 1 0

è

Les valeurs propres de A sont a1 = 1, a2 = 0, a3 = −1. d’où les vecteurs propres et valeurspropres de Mx

|1〉 m1 = µ0 ; |2〉 m2 = 0 ; |3〉 m3 = −µ0 .2. |ψ(0)〉 = |1〉 = [|+〉 +

√2|0〉 + |−〉]/2 et 〈E〉 = 0, ∆E = E0/

√2.

3. On a |ψ(t)〉 = [|+〉e−iωt +√2|0〉 + |−〉eiωt]/2 d’où 〈Mx〉 = µ0 cosωt.

4. Puisque P (mi) = |〈i|ψ(t)〉|2, on obtient P (+µ0) = (1 + cosωt)2/4, P (0) = (sinωt)2/2,P (−µ0) = (1 − cosωt)2/4.

5. Cette composante transverse du moment magnétique a un mouvement sinusoïdal de pul-sation ω. De façon générale, on montrerait que la composante du moment magnétiquedans le plan perpendiculaire à B a un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaireω autour de B (précession de Larmor, voir les chapitres 8 et 12 du cours).

54 11. Mesure QND d’une composante de spin

11 Mesure QND d’une composante de spin

A. Mesure Quantique Non-Destructive

On veut mesurer l’état d’un qubit “a" sans effectuer de mesure directe sur ce qubit (mesureQuantique Non-Destructive, ou “QND"). Par exemple, si le qubit est une particule de spin 1/2,on ne va pas utiliser un appareil de Stern et Gerlach, mais faire interagir ce qubit “a" pendant un

temps τ avec une autre particule de spin 1/2, désignée comme qubit “b". On note ~σa = ~Sa/(~/2),

~σb = ~Sb/(~/2) les deux observables de spin, et |a : ±〉z, |b : ±〉z les états propres des observablesσaz et σbz. Après l’interaction, on mesure l’état du qubit b, et on souhaite ainsi effectuer une me-sure “indirecte" de l’état de spin du qubit a. Pour éviter toute confusion il est vivement conseilléde conserver les notations complètes (⊗) des produits tensoriels.

1. Pour un seul spin 1/2 on note |±〉x et |±〉y les états propres de σx et σy, et on choisit lesphases des états pour que |±〉x = (|+〉z ± |−〉z)/

√2, et |±〉y = (|+〉z ± i |−〉z)/

√2. Montrer que

|±〉y = (e±iφ |+〉x + e∓iφ |−〉x)/√2 et déterminer φ.

2. On suppose que les qubits sont immobiles, et on décrit leur interaction par un hamiltonienHm = ~g σaz ⊗ σbx/2, agissant pendant un créneau temporel de durée τ . On négligera l’ac-tion de tout champ extérieur pendant la durée de l’interaction. Montrer que Hm, σaz ⊗ Ib etIa ⊗ σbx commutent, où Ia, Ib désignent les opérateurs identité dans chaque espace. Détermi-ner les vecteurs propres communs de ces opérateurs, et toutes les valeurs propres correspondantes.

3. On suppose qu’à l’instant initial le système de deux qubits est placé dans l’état |ψ+(0)〉 =|a : +〉z ⊗ |b : +〉y, et on ajuste la durée de l’interaction pour avoir gτ = π/2. Ecrire |ψ+(0)dans la base {|a : ±〉z ⊗ |b : ±〉x}, puis calculer l’état final |ψ+(τ)〉 du système dans la base{|a : ±〉z ⊗ |b : ±〉z}. Même question si l’état initial est |ψ−(0)〉 = |a : −〉z ⊗ |b : +〉y.

4. Donner une interprétation de ces résultats en termes de mouvement de précession, en consi-dérant l’expression de Hm et la sphère de Bloch du qubit b. On examinera séparément les deuxcas où le qubit a est soit dans l’état |a : +〉z, soit dans l’état |a : −〉z, et on montrera que danschaque cas le qubit b effectue un mouvement de précession autour d’un axe que l’on précisera.Comment s’interprète alors la condition gτ = π/2 ?

5. On suppose maintenant que l’état initial est l’état normé

|ψ(0)〉 = (α |a : +〉z + β |a : −〉z) ⊗ |b : +〉y

et on applique Hm pendant une durée τ = π/(2g) comme précédemment. En utilisant le résultatdes questions précédentes et le principe de superposition linéaire, déterminer l’état |ψ(τ)〉 dusystème de deux spins. Pour quelles valeurs de α et β cet état est-il intriqué ?

6. Après cette interaction, on mesure la composante suivant z du spin du qubit b. Que trouve-t-on et avec quelles probabilités ? Après cette mesure, que peut-on prédire sur la valeur de lacomposante suivant z du spin du qubit a ? L’état du qubit a est-il changé lors de la mesure ?Justifier le nom de “mesure QND" attribué à ce type d’interaction.

11. Mesure QND d’une composante de spin 55

B. Interférences et mesure QND

Dans cette partie on souhaite utiliser une mesure QND pour tenter de détecter le “chemin suivi"dans une expérience d’interférence. On va d’abord montrer qu’une expérience de précession estformellement identique à une expérience d’interférence, puis tenter d’utiliser la mesure QND.

1. On suppose que le qubit a est préparé dans l’état |χ(0)〉 = |a : +〉x, puis évolue ensuitesous l’action d’un champ magnétique parallèle à z correspondant au hamiltonien Haz = ~ω σaz.

(a) Que vaut |χ(t)〉 ? Comment s’appelle cette évolution du spin ?(b) Après avoir appliqué Haz pendant un temps T , on mesure (directement) l’état de a dans

la base |a : ±〉x. Quels résultats peut-on trouver, et avec quelles probabilités ?(c) Montrer que la dépendance temporelle de ces probabilités peut s’interpréter comme une

interférence entre les amplitudes de probabilités associées aux deux “chemins" possibles |a : +〉zou |a : −〉z menant de l’état initial |a : +〉x à l’état final |a : ±〉x.

2. On considère maintenant qu’après avoir été préparé dans l’état |χ(0)〉, le qubit “a" interagitavec le qubit “b", préparé dans l’état |b : +〉y, via le hamiltonien Hm de la partie A. On supposeque l’état des deux qubits évolue d’abord sous l’action de Hm pendant le temps τ = π/(2g), enl’absence de champ extérieur, puis ensuite sous l’action de Haz ⊗ Ib, pendant un temps T , enl’absence de Hm. Ecrire l’état du système de deux qubits :

(a) avant l’interaction entre les deux qubits (cf question A.5)(b) après l’interaction entre les deux qubits pendant τ (cf question A.5)(c) après une action de Haz ⊗ Ib pendant T. On exprimera d’abord cet état dans la base

{ |a : ±〉z ⊗ |b : ±〉z}, puis dans la base { |a : ±〉x ⊗ |b : ±〉z}.

3. Quels résultats peut-on trouver si on mesure le qubit a selon x et le qubit b selon zdans l’état obtenu à la question 2.c ci-dessus ? Quelle est la probabilité de trouver a dans l’état|a : +〉x, en ignorant l’état du qubit b ? Cette loi de probabilité résulte-elle d’un phénomèned’interférences ? Interpréter le résultat obtenu.

4. On suppose maintenant que Bernard mesure la composante du qubit b non plus suivant zmais suivant y, et qu’Alice mesure toujours celle de a suivant x. Quelle est la probabilité pourque les mesures d’Alice et Bernard donnent toutes deux le résultat +1 ? Montrer qu’on retrouvedans ce cas un phénomène (oscillatoire) d’interférences.

En examinant les phases des oscillations associées aux différents résultats possibles pour lesmesures de a suivant x et de b suivant y, expliquer pourquoi ce phénomène est compatible avecle résultat de la question précédente. Discuter (plusieurs points de vues sont possibles).

Solution

Mesure QND d’une composante de spin

A. Mesure QND d’une composante de spin

1. On a φ = π/4, comme le montre le calcul suivant :

|±〉x = (|+〉z ± |−〉z)/√2, |±〉y = (|+〉z ± i |−〉z)/

√2

|±〉y = ((1 ± i)|+〉x + (1 ∓ i)|−〉x)/2 = (e±iπ/4|+〉x + e∓iπ/4|−〉x)/√2


2. Les opérateurs agissant sur a et b commutent, et Hm a pour états propres |a : ±〉z ⊗ |b :±〉x. Ses valeurs propres ±~g/2 sont obtenues par produit des valeurs propres de σaz et σbx.

3. On a :

|ψ+(0)〉 = |a : +〉z ⊗ |b : +〉y|ψ+(τ)〉 = |a : +〉z ⊗ (eiπ/4−igτ/2|b : +〉x + e−iπ/4+igτ/2|b : −〉x)/

√2

= |a : +〉z ⊗ (|b : +〉x + |b : −〉x)/√2 (car gτ/2 = π/4)

= |a : +〉z ⊗ |b : +〉z

De même |ψ−(τ)〉 = i|a : −〉z ⊗ |b : −〉z. L’état du qubit a ne change pas, et l’état duqubit b “recopie" cet état.

4. Interprétation avec la sphère de Bloch du qubit b :

x

y

z

Etat initialdu qubit b

Etat finaldu qubit bsi az = -1

Etat finaldu qubit bsi az = +1

Beff si

az=+1

Beff si

az=-1

5. L’état initial est

|ψ(0)〉 = (α |a : +〉z + β |a : −〉z) ⊗ |b : +〉y = α |a : +〉z ⊗ |b : +〉y + β |a : −〉z ⊗ |b : +〉y

donc par superposition linéaire de l’évolution des deux termes :

|ψ(τ)〉 = α |a : +〉z ⊗ |b : +〉z + iβ |a : −〉z ⊗ |b : −〉z

Cet état est intriqué si α 6= 0 et β 6= 0.

6. On a un état corrélé de type EPR : la mesure du qubit b donne +1 avec la probabilité |α|2et −1 avec la proba |β|2, comme si l’on avait mesuré directement le qubit a. Pour chacunde ces résultats, l’état du qubit a est parfaitement connu après la mesure (réduction dupaquet d’onde). On obtient donc la valeur de σaz par une “mesure indirecte", aussi appeléemesure QND.

B. Interférences et mesure QND

1. On a |χ(0)〉 = |a : +〉x = (|a : +〉z + |a : −〉z)/√2 et |χ(t)〉 = (e−iωt|a : +〉z + eiωt|a :

−〉z)/√2. C’est à nouveau un mouvement de précession.

11. Mesure QND d’une composante de spin 57

On trouve les résultats ±1 avec les probabilités

P+ = |x〈a : +|χ(T )〉|2 = cos2(ωT )

P− = |x〈a : −|χ(T )〉|2 = sin2(ωT )

Le terme ωT joue le rôle d’une différence de phase entre les deux “bras" de l’interféromètre.

2. On a successivement :

|ψ(a)〉 = (|a : +〉z + |a : −〉z)/√2 ⊗ |b : +〉y

|ψ(b)〉 = (|a : +〉z|b : +〉z + i|a : −〉z|b : −〉z)/√2

|ψ(c)〉 = (e−iωT |a : +〉z|b : +〉z + ieiωT |a : −〉z|b : −〉z)/√2

|ψ(d)〉 = e−iωT

2(|a : +〉x + |a : −〉x) ⊗ |b : +〉z +

ieiωT

2(|a : +〉x − |a : −〉x) ⊗ |b : −〉z

3. On a 4 résultats possibles (++,+−,−+,−−) qui ont tous une probabilité 1/4.

Pour le qubit a seul on a P+ = 1/4 + 1/4 = 1/2 : pas d’interférence !

Trois explications possibles :

- le qubit b indique le “chemin suivi par le qubit a", qui est soit |a : +〉z soit |a : −〉z : pasd’interférence (“complémentarité")

- la mesure QND a exercé une “action en retour" qui brouille la phase entre |a : +〉z et|a : −〉z (“perturbation due à la mesure")

- le qubit a s’est intriqué avec “l’environnement" (qubit b) : effet de “décohérence".

4. L’état |ψ(d)〉 devient :

|ψ(d)〉 = (e−iωT (|a : +〉x + |a : −〉x) ⊗ (|b : +〉y + |b : −〉y)+ eiωT (|a : +〉x − |a : −〉x) ⊗ (|b : +〉y − |b : −〉y))/(2

√2)

= (cos(ωT )|a : +〉x ⊗ |b : +〉y + cos(ωT )|a : −〉x ⊗ |b : −〉y− i sin(ωT )|a : +〉x ⊗ |b : −〉y − i sin(ωT )|a : −〉x ⊗ |b : +〉y)/

√2

Les 4 résultats possibles (++,+−,−+,−−) ont maintenant les probabilités :

P++ = P−− = cos2(ωT )/2, P+− = P−+ = sin2(ωT )/2

Réapparition d’un effet d’interférence !

Par contre pour le qubit d’Alice considéré seul, on a toujours P+ = P++ + P+− = 1/2,et P− = P−+ + P−− = 1/2, car les oscillations sont en opposition de phase. Ces résultatssont donc compatible avec la question précédente, et ne dépendent pas de ce que fait oune fait pas Bernard, sinon on aurait une transmission instantanée d’information à distance.

Dans les 3 points de vue précédents :- à condition de connaitre son résultat, la mesure de b suivant Oy a effacé l’informationrelative au chemin suivi par le qubit a (“gomme quantique" ou “quantum eraser")


- pour chacun des sous-ensembles correspondant à un résultat donné ± de la mesure deBernard, on n’a plus d’information sur les états |a : +〉z et |a : −〉z : pas de brouillage dephase.- le qubit a étant intriqué avec le qubit b, on a une situation EPR : Alice et Bernard prisséparément ne voient pas d’interférences, mais leurs résultats sont fortement corrélés.

12. Interférences et intrication dans un double puits de potentiel 59

12 Interférences et intrication dans un double puits de potentiel

B CAOM YAOM X

852 nm

x

z

y

780 nm

| 〉1| 〉

2 | 〉

1| 〉

2〉S|2

〉S||〉〉|

Figure 1 – Le dispositif expérimental utilise des lasers très focalisés, qui créent les deux puitsde potentiel dans lesquels on peut piéger les atomes. Les dispositifs notés “AOM" permettentde déplacer un piège par rapport à l’autre. On détecte la fluorescence émise par les atomes à780 nm, ce qui permet de les visualiser. Les deux carrés brillants correspondent à deux pixelsd’une caméra sur laquelle on fait l’image des atomes, qui émettent de la lumière à 780 nm. Lesexpériences impliquent de capturer d’abord un ou deux atomes dans des pièges profonds et bienséparés, puis de réduire beaucoup la profondeur des pièges et leur distance, afin d’obtenir del’effet tunnel entre les deux puits. Cette opération est délicate à réaliser, car il faut éviter queles atomes s’échappent du piège, et aussi éviter les fluctuations de positions ou d’intensité deslasers, qui modifient les paramètres de l’effet tunnel.

— A. Mouvement d’un seul atome dans le double puits

1. On considère des atomes neutres placés dans un piège harmonique dont la taille est del’ordre du µm. Un tel piège peut être réalisé à l’aide d’un faisceau laser très focalisé,et est appelé “pince optique" (“optical tweezer") : les atomes sont alors piégés aupoint où la taille du faisceau est la plus faible (point de focalisation, voir Fig. 1).Dans ce problème, ce piège sera décrit par un potentiel d’oscillateur harmonique àune dimension, qui confine l’atome le long d’une direction Oy. Si deux faisceaux laserssont utilisés, on obtiendra un double piège, la distance entre les deux pièges pouvantêtre modifiée en déplaçant le point de focalisation des lasers (voir Fig. 1).

a. Rappeler (sans faire de calcul) la fonction d’onde normalisée φ0(y) et l’énergie E0

d’un atome de masse m dans l’état fondamental d’un piège harmonique de fréquenceangulaire ω. On posera σ2 = ~/(2mω).

b. Donner (sans faire de calcul) la valeur moyenne 〈y〉 et la dispersion ∆y de la positionde l’atome dans cet état.

2. On suppose qu’un seul atome est présent dans le double piège, et on note |φG〉 et |φD〉les états correspondant à une localisation de l’atome dans l’état fondamental du puitsde gauche ou le puits de droite, centrés respectivement en y = −a et y = +a. Danscette question les deux puits sont supposés indépendants.

a. Donner l’expression des fonctions d’ondes φG(y) et φD(y) correspondant à ces deuxétats, ainsi que les valeurs moyennes 〈φG| y | φG〉, 〈φD| y |φD〉 et les dispersions ∆yG,∆yD correspondantes.

60 12. Interférences et intrication dans un double puits de potentiel

b. On considère l’espace des états de dimension deux engendré par les états |φG〉 et|φD〉. Donner l’expression du Hamiltonien H0 décrivant le mouvement de l’atome danscet espace “tronqué".

3. On suppose maintenant que l’atome peut passer par effet tunnel d’un puits à l’autre, eton décrit ce couplage dans la base des états gauche et droit, que l’on notera désormais{|G〉, |D〉}, et que l’on supposera orthonormée. L’effet tunnel est décrit par un termesupplémentaire W , purement non diagonal, dont les éléments de matrice seront notés~J/2. Le Hamiltonien H = H0 + W en présence d’effet tunnel s’écrit alors dans labase {|G〉, |D〉} :

H =~

2

Ç

ω JJ ω

å

a. Déterminer les valeurs propres E± et les états propres |χ±〉 de H. Compte-tenu despropriétés habituelles de l’effet tunnel, quel est le signe de J ?b. On suppose que l’atome est placé initialement dans le puits de gauche (état |G〉),déterminer son état |ψG(t)〉 à un instant t ultérieur, dans la base {|χ+〉, |χ−〉}.c. En déduire l’expression de |ψG(t)〉 dans la base {|G〉, |D〉}.d. Déterminer le temps le plus court ts > 0 au bout duquel les probabilités de trouverl’atome dans les puits de gauche ou de droite sont égales entre elles.e. Reprendre les questions b. à d. si l’atome est initialement dans l’état |D〉.

4. Les courbes de la Fig. 2 (en haut) montrent la probabilité PL de détecter l’atome dansle puits de gauche, en partant d’un état initial dans le puits de gauche (courbe bleue,points circulaires) ou dans le puits de droite (courbe rouge, points triangulaires).

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B C

E F

Time (ms)

P11

PL

Time (ms)0 0.5 1.0 1.5 0 0.5 1.0 1.52.0

0

0.2

0.4

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0.8

1.0

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0 0.25 0.5 0.75 10.

0.2

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0.6

0.8

1.

�2J�

Figure 2 – Courbes expérimentales. Les courbes B et C sont décrites et utilisées dans la questionA4. Les courbes E et F sont décrites et utilisées dans la question B5.

a. Donner les expressions des probabilités attendues PL(G → G) et PL(D → G).b. En évaluant la période d’oscillation sur la figure, déterminer les valeurs (en Hz) de|J |/(2π) correspondant aux courbes (B) et (C).c. Les valeurs des probabilités mesurées n’atteignent pas les valeurs 0 et 1 prévues parle calcul de la partie précédente. Pouvez vous donner des explications possibles pourcette observation ? (voir légende de la Fig. 1).


— B. Mouvement de deux atomes indépendants dans le double puits

1. On suppose maintenant que deux atomes notés 1 et 2 sont placés dans les deux puits.Une base de l’espace des états est formée par les quatre états produits tensoriels :

{|1 : G〉 ⊗ |2 : G〉, |1 : G〉 ⊗ |2 : D〉, |1 : D〉 ⊗ |2 : G〉, |1 : D〉 ⊗ |2 : D〉}qui seront notés de façon plus compacte {|GG〉, |GD〉, |DG〉, |DD〉}, où par conventionl’état de l’atome 1 est écrit avant celui de l’atome 2. On définit l’opérateur Π depermutation des deux atomes par son action dans cette base :

Π |GG〉 = |GG〉, Π |GD〉 = |DG〉, Π |DG〉 = |GD〉, Π |DD〉 = |DD〉.Ainsi, l’action de l’opérateur permutation est d’échanger les états |GD〉 et |DG〉, alorsque les états |GG〉 et |DD〉 sont inchangés.a. Montrer qu’il existe un état, noté |S〉, obtenu comme une combinaison linéairedes états |GD〉 et |DG〉, qui est inchangé par l’action de l’opérateur permutation.Expliciter aussi l’état |A〉, également combinaison linéaire des états |GD〉 et |DG〉, quiest changé en son opposé par l’action de Π.b. Montrer que les états {|GG〉, |S〉, |A〉, |DD〉} forment une base orthonormée et ex-pliciter la matrice de l’opérateur permutation dans cette base.

2. On s’intéresse maintenant à l’évolution de la paire d’atomes.a. On suppose que la paire d’atomes est initialement placée dans l’état |GD〉. Quelleest pour cet état la probabilité de trouver un atome dans chaque puits ? de trouver lesdeux atomes dans le même puits ? Même question pour l’état |DG〉, puis pour l’état|S〉. Que peut-on dire des états |GG〉 et |DD〉 ?b. Partant de l’état initial |GD〉, on laisse évoluer la paire d’atomes pendant un tempst. En supposant que les deux atomes évoluent indépendamment l’un de l’autre, quelest alors l’état produit tensoriel |ψGD(t)〉 ? Quelles sont les probabilités de trouver unatome dans chaque puits ? de trouver les deux atomes dans le même puits ?c. Mêmes questions si on part de l’état |DG〉.d. On suppose maintenant que la paire d’atomes est initialement placée dans l’état|S〉, qui évolue pendant un temps t pour devenir un état |ψS(t)〉 que l’on déterminera.Quelles sont alors les probabilités de trouver un atome dans chaque puits ? de trouverles deux atomes dans le même puits ?

3. On s’intéresse maintenant au cas particulier où t = ts défini dans la question A.3.d.a. Comparer les résultats obtenus dans les questions b. et d. ci-dessus lorsque t = ts.b. Pouvez vous expliquer pourquoi les résultats obtenus sont qualitativement différentsdans ces deux cas ? On pourra écrire explicitement les états |ψGD(ts)〉 et |ψDG(ts)〉,ainsi que leur somme |ψS(ts)〉.

4. Reprendre la question B.2.d., en remplaçant l’état |S〉 par l’état |A〉. Commenter.

5. Les courbes de la Fig. 2 (en bas) montrent la probabilité P11 de détecter l’atomedans deux puits différents, soit en partant de l’état |GD〉 (courbes violettes, pointscirculaires), soit en partant de l’état |S〉 (courbes noires, points carrés).a. Tracer les courbes attendues théoriquement, en utilisant les résultats de la partieprécédente. On considérera une variation de t de 0 à 2π/|J |.b. Peut-on dire que les résultats expérimentaux sont en accord acceptable avec ces pré-dictions ? Quel phénomène spécifique peut être considéré comme une mise en évidencede l’effet d’interférence destructive attendu ?


— C. Etude de l’effet de l’interaction entre atomes

1. Dans les parties précédentes, on a étudié des effets d’interférence en négligeant touteinteraction directe entre les deux atomes. Il s’agit en fait d’une approximation, car siles deux atomes sont dans le même puits ils interagissent faiblement, ce qui peut sedécrire en ajoutant un terme supplémentaire dans le Hamiltonien du système, dansune base de dimension 4 faisant intervenir les deux atomes.

a. En l’absence d’interactions entre atomes, le Hamiltonien pour deux atomes estH2at = H1 ⊗ I2 + I1 ⊗ H2, où 1 et 2 désignent les deux atomes, et I est l’opérateuridentité. En déduire que dans la base {|GG〉, |GD〉, |DG〉, |DD〉} on a :

H2at =~

2

á

2ω J J 0J 2ω 0 JJ 0 2ω J0 J J 2ω

ë

, (1)

b. Pouvez vous sans diagonaliser explicitement cette matrice déterminer lesénergies propres associées ? On pourra utiliser la structure du Hamiltonien H2at, et lefait que les énergies propres des deux atomes pris séparément dont déjà connues.

2. En présence d’interactions, les termes diagonaux correspondant aux états |GG〉 et|DD〉 doivent être augmentés de l’énergie d’interaction que l’on prendra égale à 2~U .On veut identifier les valeurs propres et les états propres du Hamiltonien Htot.

a. Montrer que les états |ψ−〉 = (|GG〉 − |DD〉)/√2 et |A〉 = (|GD〉 − |DG〉)/

√2 sont

états propres de Htot avec des valeurs propres que l’on précisera. Les interactions entreatomes et l’effet tunnel modifient-ils l’évolution du système préparé dans |A〉 ?

b. On considère |ψ+〉 = (|GG〉+ |DD〉)/√2 et |S〉 = (|GD〉+ |DG〉)/

√2. Montrer que

les états |ψa〉 = (|ψ+〉 − a |S〉)/√1 + a2 et |ψb〉 = (|ψ+〉 − b |S〉)/

√1 + b2 sont états

propres de Htot avec des valeurs propres que l’on précisera, en calculant a et b enfonction des données du problème (par convention on prendra |a| > |b|).

3. On souhaite finalement étudier l’évolution des états |S〉 et |GD〉 sous l’action de Htot.

a. Exprimer les états |S〉 et |GD〉 dans la base {|A〉, |ψ−〉, |ψa〉, |ψb〉} (on pourra vérifierdirectement sur leurs coefficients que les états |S〉 et |GD〉 sont bien normés).

b. Donner l’expression de l’état |ψS(t)〉 tel que |ψS(0)〉 = |S〉, et de l’état |ψGD(t)〉 telque |ψGD(0)〉= |GD〉.c. Calculer les probabilités P11(ψS(t)) et P11(ψGD(t)) de trouver les deux atomes dansdes puits différents pour les deux états ci-dessus.

d. Calculer aussi les probabilités Pm(ψS(t)) et Pm(ψGD(t)) de trouver les deux atomesdans le même puits pour les deux états ci-dessus.

e. Quelle est la valeur minimale de la probabilité P11(ψS(t)), ou de manière équivalentela valeur maximale de la probabilité Pm(ψS(t)) ? En déduire une condition sur U et|J | pour que les interactions entre atomes ne changent pas les conclusions de la partieprécédente (caractère “destructif" de l’effet d’interférence).


Solution

— A. Mouvement d’un seul atome dans le double puits

1. On considère des atomes neutres placés dans un piège harmonique.

a. Rappeler (sans faire de calcul) la fonction d’onde normalisée φ0(y) et l’énergie E0

d’un atome de masse m dans l’état fondamental d’un piège harmonique de fréquenceangulaire ω. On posera σ2 = ~/(2mω).

Rép : φ0(y) = 1/(2πσ2)1/4 e−y2/(4σ2) = (mω/(π~))1/4 e−mωy2/(2~) et E0 = ~ω/2.

b. Donner (sans faire de calcul) la valeur moyenne 〈y〉 et la dispersion ∆y de la positionde l’atome dans cet état.

Rép : 〈y〉 = 0 et ∆y = σ.

2. On suppose qu’un seul atome est présent dans le double piège.

a. Donner l’expression des fonctions d’ondes φG(y) et φD(y) correspondant à ces deuxétats, ainsi que les valeurs moyennes 〈φG| y | φG〉, 〈φD| y |φD〉 et les dispersions ∆yG,∆yD correspondantes.

Rép : φG(y) = 1/(2πσ2)1/4 e−(y+a)2/(4σ2) et φD(y) = 1/(2πσ2)1/4 e−(y−a)2/(4σ2).

On a donc 〈φG| y | φG〉 = −a, 〈φD| y |φD〉 = +a et ∆yG = ∆yD = σ.

b. On considère l’espace des états de dimension deux engendré par les états |φG〉 et|φD〉. Donner l’expression du Hamiltonien H0 décrivant le mouvement de l’atome danscet espace “tronqué".

Rép : H0 est une matrice 2 × 2 diagonale dont les deux éléments valent E0 = ~ω/2.

3. On suppose maintenant que l’atome peut passer par effet tunnel d’un puits à l’autre.

a. Déterminer les valeurs propres E± et les états propres |χ±〉 de H. Compte-tenu despropriétés habituelles de l’effet tunnel, quel est le signe de J ?

Rép : Energies propres E± = ~

2 (ω ± J), états propres |χ±〉 = 1√2(|G〉 ± |D〉). On

s’attend à ce que l’état symétrique |χ+〉 ait l’énergie la plus basse, il faut donc J < 0.

b. On suppose que l’atome est placé initialement dans le puits de gauche (état |G〉),déterminer son état |ψG(t)〉 à un instant t ultérieur, dans la base {|χ+〉, |χ−〉}.Rép : On a |ψG(0)〉 = |G〉 = 1√

2(|χ+〉 + |χ−〉) donc

|ψG(t)〉 =1√2(|χ+〉e−iE+t/~ + |χ−〉e−iE−t/~)

c. En déduire l’expression de |ψG(t)〉 dans la base {|G〉, |D〉}.Rép : |ψG(t)〉 = e−

iωt2√2

(|χ+〉e−iJt/2 + |χ−〉eiJt/2) = e−iωt2 (|G〉 cos(Jt2 ) − i|D〉 sin(Jt2 ))

d. Déterminer le temps le plus court ts > 0 au bout duquel les probabilités de trouverl’atome dans les puits de gauche ou de droite sont égales entre elles.

Rép : Ceci est obtenu pour Jt = −π/2 (avec t > 0 puisque J < 0), donc ts = π/(2|J |),et |ψG(ts)〉 = e−iωts/2(|G〉 + i |D〉)/

√2.

e. Reprendre les questions b. à d. si l’atome est initialement dans l’état |D〉.Rép : |ψD(t)〉 = e−

iωt2√2

(|χ+〉e−iJt/2 − |χ−〉eiJt/2) = e−iωt2 (−i|G〉 sin(Jt2 ) + |D〉 cos(Jt2 ))

et pour la même valeur de ts on obtient |ψD(ts)〉 = e−iωt2 (i|G〉 + |D〉)/

√2.

4. Analyse des courbes de la Fig. 2 (en haut).

a. Donner les expressions des probabilités attendues PL(G → G) et PL(D → G).


Rép : D’après les questions précédentes PL(G → G) = cos2(Jt/2) = (1+cos(Jt))/2 etPL(D → G) = sin2(Jt/2) = (1 − cos(Jt))/2.

b. En évaluant la période d’oscillation sur la figure, déterminer les valeurs (en Hz) de|J |/(2π) correspondant aux courbes (B) et (C).Rép : Les périodes d’oscillation sont respectivement 1.9 ms et 1.3 ms environ, ce quicorrespond à des fréquences |J |/(2π) ∼ 1000/1.9 ∼ 530 Hz pour (B), et |J |/(2π) ∼1000/1.3 ∼ 770 Hz pour (C). Une erreur d’une centaine de Hz est acceptable.

c. Les valeurs des probabilités mesurées n’atteignent pas les valeurs 0 et 1 prévues parle calcul de la partie précédente. Pouvez vous donner des explications possibles pourcette observation ? (voir légende de la Fig. 1).Rép : Deux effets contribuent à cette observation : d’une part, l’atome peut être perdu(en s’échappant du piège) pendant la phase de préparation, entre la capture et la me-sure ; d’autre part le contraste des oscillations est réduit par des fluctuations de lavaleur de J , à cause de variations de la barrière tunnel dues à des fluctuations d’in-tensité ou de position des faisceaux laser du piège (cet effet de “brouillage" est d’autantplus important que le temps écoulé est plus grand).

— B. Mouvement de deux atomes indépendants dans le double puits

1. On suppose maintenant que deux atomes notés 1 et 2 sont placés dans les deux puits.a. Montrer qu’il existe un état, noté |S〉, obtenu comme une combinaison linéairedes états |GD〉 et |DG〉, qui est inchangé par l’action de l’opérateur permutation.Expliciter aussi l’état |A〉, également combinaison linéaire des états |GD〉 et |DG〉, quiest changé en son opposé par l’action de Π.Rép : On a |S〉 = (|GD〉 + |DG〉)/

√2 et |A〉 = (|GD〉 − |DG〉)/

√2.

b. Montrer que les états {|GG〉, |S〉, |A〉, |DD〉} forment une base orthonormée et ex-pliciter la matrice de l’opérateur permutation dans cette base.Rép : La base {|GG〉, |S〉, |A〉, |DD〉} est bien orthonormée, et Π est représenté par unematrice 4 × 4 diagonale, comportant trois “1" et un “-1" pour |A〉.

2. On s’intéresse maintenant à l’évolution de la paire d’atomes.a. On suppose que la paire d’atomes est initialement placée dans l’état |GD〉. Quelleest pour cet état la probabilité de trouver un atome dans chaque puits ? de trouver lesdeux atomes dans le même puits ? Même question pour l’état |DG〉, puis pour l’état|S〉. Que peut-on dire des états |GG〉 et |DD〉 ?Rép : Pour les états |GD〉, |DG〉 et |S〉 on a toujours un atome dans chaque puits, etjamais deux atomes dans le même puits. Au contraire pour les états |GG〉 et |DD〉 lesdeux atomes sont dans le même puits.

b. Partant de l’état initial |GD〉, on laisse évoluer la paire d’atomes pendant un tempst. En supposant que les deux atomes évoluent indépendamment l’un de l’autre, quelest alors l’état produit tensoriel |ψGD(t)〉 ? Quelles sont les probabilités de trouver unatome dans chaque puits ? de trouver les deux atomes dans le même puits ?

Rép : Pour l’état initial |GD〉 l’état de la paire d’atomes est le produit tensoriel desétats des atomes individuels :

|ψGD(t)〉= e−iωt(|1 : G〉 cos(Jt/2) − i |1 : D〉 sin(Jt/2)) ⊗ (−i|2 : G〉 sin(Jt/2) + |2 : D〉 cos(Jt/2))= e−iωt(−i|GG〉 sin(Jt)/2 + |GD〉 cos2(Jt/2) − |DG〉 sin2(Jt/2)) − i|DD〉 sin(Jt)/2)


La probabilité pour que les deux atomes soient dans des puits différents est alorscos4(Jt/2) + sin4(Jt/2), et la probabilité pour qu’ils soient dans le même puits estsin2(Jt)/2 = 2 sin2(Jt/2) cos2(Jt/2). La somme des deux probabilités vaut bien 1.

c. Mêmes questions si on part de l’état |DG〉.Rép : Si on part de l’état |DG〉 on a de même :

|ψDG(t)〉= e−iωt((−i|1 : G〉 sin(Jt/2) + |1 : D〉 cos(Jt/2)) ⊗ (|2 : G〉 cos(Jt/2) − i |2 : D〉 sin(Jt/2))= e−iωt(−i|GG〉 sin(Jt)/2 − |GD〉 sin2(Jt/2) + |DG〉 cos2(Jt/2)) − i|DD〉 sin(Jt)/2)

et les probabilités sont les mêmes que dans la question précédente.

d. On suppose maintenant que la paire d’atomes est initialement placée dans l’état|S〉, qui évolue pendant un temps t pour devenir un état |ψS(t)〉 que l’on déterminera.Quelles sont alors les probabilités de trouver un atome dans chaque puits ? de trouverles deux atomes dans le même puits ?

Rép : Par combinaison linéaire des deux états précédents on obtient :

|ψS(t)〉 = e−iωt(cos(Jt)|S〉 − i sin(Jt)(|GG〉 + |DD〉)/√2)

La probabilité pour que les deux atomes soient dans des puits différents est alorscos2(Jt), et pour qu’ils soient dans le même puits sin2(Jt). La somme de ces deuxprobabilités vaut bien 1.

3. On s’intéresse maintenant au cas particulier où t = ts défini dans la question A.3.d.

a. Comparer les résultats obtenus dans les questions b. et d. ci-dessus lorsque t = ts.

Rép : Pour t = ts (situation où un seul atome est “partagé" entre les deux puits avecdes probabilités égales), on trouve que :

- pour l’état initial |GD〉 ou |DG〉, les probabilités de trouver les atomes dans le mêmepuits ou dans des puits différents sont toutes les deux égales à 0.5, ce qui correspondau résultat “intuitif".

- pour l’état initial |S〉, la probabilités de trouver les atomes dans des puits différentsvaut zéro, et celle de les trouver dans le même puits vaut 1 : les atomes sont toujourstous les deux dans le même puits !

b. Pouvez vous expliquer pourquoi les résultats obtenus sont qualitativement différentsdans ces deux cas ? On pourra écrire explicitement les états |ψGD(ts)〉 et |ψDG(ts)〉,ainsi que leur somme |ψS(ts)〉.Rép : Ce résultat est beaucoup moins intutif, et résulte d’une interférence entre am-plitudes de probabilités associées à l’état intriqué de la paire d’atomes. On peut le voirplus directement en écrivant :

|ψGD(ts)〉 = e−iωts(i|GG〉 + |GD〉 − |DG〉 + i|DD〉)/2|ψDG(ts)〉 = e−iωts(i|GG〉 − |GD〉 + |DG〉 + i|DD〉)/2

qui fait clairement apparaitre l’interférence destructive pour les états |GD〉 et |DG〉.4. Reprendre la question B.2.d., en remplaçant l’état |S〉 par l’état |A〉. Commenter.

Rép : On trouve alors que |ψA(t)〉 = e−iωt|A〉 : l’état est stationnaire, et les deuxatomes ne vont jamais dans le même puits ! Ce comportement surprenant est associéau fait qu’il n’y a qu’un seul état antisymétrique dans l’espace des états.


5. Les courbes de la Fig. 2 (en bas) montrent la probabilité P11 de détecter l’atomedans deux puits différents, soit en partant de l’état |GD〉 (courbes violettes, pointscirculaires), soit en partant de l’état |S〉 (courbes noires, points carrés).

a. Tracer les courbes attendues théoriquement, en utilisant les résultats de la partieprécédente. On considérera une variation de t de 0 à 2π/|J |.Rép : On obtient la courbe ci-dessus, où l’axe horizontal est le temps en unités de2π/|J | (qui deviennent des ms en utilisant les valeurs précédentes de |J |).

EP11

0 0.25 0.5 0.75 10.

0.2

0.4

0.6

0.8

1.

Time �2Π�2J�

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.25 0.5 0.75 1.0

!"#$%&' (|)|*

GD

b. Peut-on dire que les résultats expérimentaux sont en accord acceptable avec ces pré-dictions ? Quel phénomène spécifique peut être considéré comme une mise en évidencede l’effet d’interférence destructive attendu ?

Rép : Comme pour les courbes à un atome, on observe une diminution du contrastedes oscillations, et on n’atteint pas les valeurs 0 et 1. Néanmoins, le contraste de l’os-cillation partant de l’état |S〉 est clairement plus élevé que pour l’état |GD〉, comme onl’attend théoriquement. On peut aussi remarquer que la valeur minimale de la probabi-lité à partir de l’état |S〉 est inférieure à 0.5, ce qui n’est pas possible si on part de l’état|GD〉. Ceci peut être considéré comme une mise en évidence de l’effet d’interférencedestructive attendu.

— C. Etude de l’effet de l’interaction entre atomes

1. Les deux atomes sont dans le même puits et ils interagissent faiblement.

a. En l’absence d’interactions entre atomes, le Hamiltonien pour deux atomes estH2at = H1 ⊗ I2 + I1 ⊗ H2, où 1 et 2 désignent les deux atomes, et I est l’opérateuridentité. En déduire la matrice de H2at dans la base {|GG〉, |GD〉, |DG〉, |DD〉}.Rép : On obtient l’expression indiquée en utilisant la définition du produit tensoriel.

b. Pouvez vous sans diagonaliser explicitement cette matrice déterminer lesénergies propres associées ? On pourra utiliser la structure du Hamiltonien H2at, et lefait que les énergies propres des deux atomes pris séparément dont déjà connues.

Rép : Les énergies propres sont (~(ω + J), ~ω, ~ω, ~(ω − J)), ce qui correspond auxsommes des énergies propres (~(ω + J)/2, ~(ω − J)/2) de chacun des deux atomes.

2. En présence d’interactions, les termes diagonaux correspondant aux états |GG〉 et|DD〉 doivent être augmentés de l’énergie d’interaction que l’on prendra égale à 2~U .On veut identifier les valeurs propres et les états propres du Hamiltonien Htot.

a. Montrer que les états |ψ−〉 = (|GG〉 − |DD〉)/√2 et |A〉 = (|GD〉 − |DG〉)/

√2 sont

états propres de Htot avec des valeurs propres que l’on précisera. Les interactions entreatomes et l’effet tunnel modifient-ils l’évolution du système préparé dans |A〉 ?


Rép : Ce sont bien des états propres, avec les valeurs propres respectives ~(ω + 2U)pour |ψ−〉 et ~ω pour |A〉 : cet état n’intervient donc ni dans l’effet tunnel, ni dans lesinteractions entre atomes.

b. On considère |ψ+〉 = (|GG〉+ |DD〉)/√2 et |S〉 = (|GD〉+ |DG〉)/

√2. Montrer que

les états |ψa〉 = (|ψ+〉 − a |S〉)/√1 + a2 et |ψb〉 = (|ψ+〉 − b |S〉)/

√1 + b2 sont états

propres de Htot avec des valeurs propres que l’on précisera, en calculant a et b enfonction des données du problème (par convention on prendra |a| > |b|).Rép : Ce sont bien des états propres, avec les valeurs propres respectives ~(ω+bJ) pour|ψa〉 et ~(ω + aJ) pour |ψb〉, où a = (U +

√J2 + U2)/J , et b = (U −

√J2 + U2)/J .

Remarque : on vérifie facilement qu’on a aussi a = J/(√J2 + U2 − U) et b =

−J/(√J2 + U2 + U)), ce sont d’autres écritures des mêmes quantités.

3. On souhaite finalement étudier l’évolution des états |S〉 et |GD〉 sous l’action de Htot.

a. Exprimer les états |S〉 et |GD〉 dans la base {|A〉, |ψ−〉, |ψa〉, |ψb〉} (on pourra vérifierdirectement sur leurs coefficients que les états |S〉 et |GD〉 sont bien normés).

Rép : On a |S〉 = (|ψa〉√1 + a2 − |ψb〉

√1 + b2)/(b− a) et |GD〉 = (|S〉+ |A〉)/

√2, ces

états sont bien normés.

b. Donner l’expression de l’état |ψS(t)〉 tel que |ψS(0)〉 = |S〉, et de l’état |ψGD(t)〉 telque |ψGD(0)〉= |GD〉.Rép : On a

|ψS(t)〉 = e−iωt((|ψ+〉 − a |S〉) e−ibJt − (|ψ+〉 − b |S〉) e−iaJt)/(b − a),

|ψGD(t)〉 = e−iωt((|ψ+〉 − a |S〉) e−ibJt − (|ψ+〉 − b |S〉) e−iaJt)/(b − a) + |A〉)/√2.

c. Calculer les probabilités P11(ψS(t)) et P11(ψGD(t)) de trouver les deux atomesdans des puits différents pour les deux états ci-dessus.

Rép : P11(ψS(t)) = |(b e−iaJt − a e−ibJt)/(b− a)|2, etP11(ψGD(t)) = (1 + |(b e−iaJt − a e−ibJt)/(b − a)|2)/2.d. Calculer aussi les probabilités Pm(ψS(t)) et Pm(ψGD(t)) de trouver les deux atomesdans le même puits pour les deux états ci-dessus.

Rép : Pm(ψS(t)) = |(e−iaJt − e−ibJt)/(b − a)|2 = 1 − P11(ψS(t)), etPm(ψGD(t)) = |(e−iaJt − e−ibJt)/(b− a)|2/2 = 1 − P11(ψGD(t)).

e. Quelle est la valeur minimale de la probabilité P11(ψS(t)), ou de manière équivalentela valeur maximale de la probabilité Pm(ψS(t)) ? En déduire une condition sur U et|J | pour que les interactions entre atomes ne changent pas les conclusions de la partieprécédente (caractère “destructif" de l’effet d’interférence).

Rép : La dérivée de P11(ψS(t)) par rapport à t est égale à 2abJ sin((a− b)Jt)/(a − b)et s’annule pour (a − b)Jtmin = π. En ce point P11(ψS(tmin)) = (a + b)2/(a − b)2 =U2/(U2 + J2). On peut aussi trouver directement la valeur maximale de Pm(ψS(t)),qui vaut J2/(U2 + J2). On en déduit donc que si U ≪ |J |, les conclusions de la partieprécédente ne sont pas modifiées par les interactions.

68 13. Évolution d’un système de deux spins

13 Évolution d’un système de deux spins

On considère deux particules (a) et (b) de spin 1/2. On appelle {|σa〉z ⊗ |σb〉z} (également

notée plus simplement {|σa, σb〉}) la base propre commune aux deux observables Saz et Sbz, où ~Sa

et ~Sb sont les observables de spin des deux particules et σa,b = ±. Ce système de deux particulesest gouverné par l’hamiltonien

H =2ω0

~Saz ⊗ Sbz,

où ω0 est une constante positive.

1. Montrer que ω0 a la dimension d’une pulsation.

2. Vérifier que la base {|σa, σb〉} est une base propre de H. Donner les valeurs proprescorrespondantes ainsi que les dégénérescences associées.

3. On place le système dans l’état |ψ(0)〉 = |+〉x⊗|+〉x, où pour chacune des particules l’état|+〉x = (|+〉z + |−〉z)/

√2 est l’état propre pour la valeur propre +~/2 de la composante

cartésienne du spin selon l’axe x. L’état |ψ(0)〉 est-il un état intriqué ?

4. Ecrire l’état |ψ(0)〉 dans la base {|σa, σb〉}.5. Ecrire l’expression de l’état |ψ(t)〉 dans la base {|σa, σb〉}.6. On laisse évoluer le système pendant un temps T tel que ω0T = π/2. Ecrire l’état |ψ(T )〉

dans la base {|±〉y ⊗ |±〉z}, où |±〉y = (|+〉z ± i|−〉z)/√2. L’état obtenu est-il intriqué ?

7. L’état du système à l’instant T ′ = 2T est-il intriqué ?

13. Évolution d’un système de deux spins 69

Solution

Évolution d’un système de deux spins

1. Les observables de spin ont la même dimension que ~ donc l’hamiltonien proposé a lamême dimension que (ω0/~)×~

2 = ~ω0. L’hamiltonien ayant la dimension d’une énergie,on en déduit que ~ω0 a la dimension d’une énergie et que ω0 a la dimension d’une pulsation.

2. On a H|σa, σb〉 = (2ω0/~)(~2/4)σaσb|σa, σb〉 = σaσb (~ω0/2) |σa, σb〉. Les valeurs propres

±~ω0/2 sont dégénérées deux fois :

H| ++〉 = ~ω0

2| ++〉 H| − −〉 = ~ω0

2| − −〉

H| + −〉 = −~ω0

2| + −〉 H| − +〉 = −~ω0

2| − +〉

3. L’état |ψ(0)〉 = |+〉x ⊗ |+〉x est clairement factorisé, donc non intriqué.

4. On a

|ψ(0)〉 = |+〉x⊗|+〉x =1

2(|+〉z + |−〉z)⊗(|+〉z + |−〉z) =

1

2(| ++〉 + | + −〉 + | − +〉 + | − −〉)

5. L’état |ψ(0)〉 étant directement écrit dans la base propre de H, on peut écrire immédia-tement

|ψ(t)〉 = 1

2

Ä

e−iω0t/2| ++〉 + eiω0t/2| + −〉 + eiω0t/2| − +〉 + e−iω0t/2| − −〉ä

6. Dans le cas où ω0T = π/2, on a

|ψ(T )〉 = 1

2

Ä

e−iπ/4| ++〉 + eiπ/4| + −〉 + eiπ/4| − +〉 + e−iπ/4| − −〉ä

=e−iπ/4

2((|+〉 + i|−〉) ⊗ |+〉 + (i|+〉 + |−〉) ⊗ |−〉)

=e−iπ/4

√2

(|+〉y ⊗ |+〉z + i|−〉y ⊗ |−〉z)

Il s’agit clairement d’un état intriqué.

7. Dans le cas où ω0T′ = π, on a

|ψ(T ′)〉 = 1

2

Ä

e−iπ/2| ++〉 + eiπ/2| + −〉 + eiπ/2| − +〉 + e−iπ/2| − −〉ä

= − i

2(| ++〉 − | + −〉 − | − +〉 + | − −〉)

= − i

2(|+〉 − |−〉) ⊗ (|+〉 − |−〉)

= −i|−〉x ⊗ |−〉x

L’état obtenu est à nouveau un état factorisé, les deux spins étant inversés par rapport àl’état initial.

70 14. Électron dans un piège de Penning

14 Électron dans un piège de Penning

On étudie dans ce problème le mouvement d’un électron confiné dans un piège de Penninget couplé au rayonnement thermique, ce qui provoque des sauts quantiques entre les différentsniveaux d’énergie. Dans tout le problème, on néglige les effets associés au spin de l’électron.Cette étude repose sur une expérience faite en 1999 par S. Peil et G. Gabrielse à Seattle.

Mouvements cyclotron et axial dans le piège de Penning

On considère un électron de masse m et de charge q, que l’on confine dans un piège dePenning, constitué par la superposition d’un champ électrostatique et d’un champ magnétiqueuniforme B = Bez (B > 0). On adoptera une description simplifiée du mouvement, en ad-mettant qu’il se décompose en deux mouvements d’oscillateur harmonique à une dimension,l’un appelé mouvement cyclotron correspondant au mouvement dans le plan xy et caractérisépar la fréquence angulaire ωc = |q|B/m, et l’autre appelé mouvement axial correspondant aumouvement le long de l’axe z avec la pulsation ωz. On écrira donc l’espace de Hilbert EH sousla forme d’un produit tensoriel de deux espaces appelés respectivement Ec pour le mouvementcyclotron et Ez pour le mouvement axial : EH = L2(R) ⊗ L2(R) = Ec ⊗ Ez. On rappelle queles observables associées à ces deux mouvements indépendants commutent entre elles car ellesagissent dans des espaces de Hilbert différents. On donne les constantes fondamentales suivantes :

m = 9,1 10−31 kg ; q = −1,6 10−19 C ; h = 6,63 10−34 J s ; kB = 1,38 10−23 J K−1.

1. On prend B = 6 T et ωz/(2π) = 100 MHz. Calculer la fréquence du mouvement cyclotron,et vérifier que ωz ≪ ωc.

2. On admettra que l’hamiltonien H0 décrivant le mouvement quantique de l’électron dansle piège de Penning peut s’écrire comme la somme des contributions des mouvementscyclotron et axial, soit H0 = Hc + Hz, avec :

Hc = ~ωc (Nc + 1/2) Hz =p2z2m

+1

2mω2

z z2 .

où l’opérateur Nc est associé au nombre de quanta d’excitation du mouvement cyclotron(mouvement d’oscillateur harmonique à une dimension).

Rappeler l’expression des valeurs propres des opérateurs Nc et Hc.

3. On s’intéresse dans cette question au mouvement axial (selon l’axe z). Rappeler sansdémonstration :

(a) l’expression (en fonction des observables z et pz) des opérateurs az et a†z permettantd’écrire Hz sous la forme Hz = ~ωz (Nz + 1/2), avec Nz = a†zaz et [az, a

†z] = 1 ;

(b) les valeurs propres de Nz et Hz.

4. En déduire les valeurs propres de l’hamiltonien H0.

5. L’expérience est faite pour des températures T variant entre 0,1 K et 4 K. Comparerl’énergie thermique caractéristique kBT à chacun des quanta d’énergie des mouvements“cyclotron" et“axial", associés respectivement à Nc et Nz. Pour le(s)quel(s) de ce(s) mou-vement(s) le caractère discret du spectre d’énergie joue-t-il un rôle important ?

14. Électron dans un piège de Penning 71

Couplage entre les deux mouvements

On étudie dans cette partie une méthode de détection du mouvement cyclotron, qui utiliseun petit couplage (induit par un champ magnétique inhomogène) entre ce mouvement et lemouvement axial. Ce couplage est décrit par l’hamiltonien additionnel :

W =ǫ

2mω2

z Nc ⊗ z2 .

Les conditions expérimentales sont choisies pour avoir ǫ = 4 × 10−8.

1. Ecrire l’hamiltonien total H = H0 + W à l’aide des opérateurs Nc, pz et z.

2. Montrer que les opérateurs Nc et H commutent.

3. Grâce à la commutation de Nc et H, on sait que l’on peut chercher une base proprecommune de ces deux opérateurs. On cherche donc les vecteurs propres de H sous laforme |nc〉 ⊗ |χ〉, où |χ〉 ∈ Ez et {|nc〉} est la base propre de Nc associée aux valeurspropres rappelées à la question 14.2.

(a) Que peut-on dire de Nc(|nc〉 ⊗ |χ〉) ?

(b) Montrer que H (|nc〉 ⊗ |χ〉) = |nc〉 ⊗ H(nc)eff |χ〉, où l’on exprimera l’opérateur H(nc)

eff enfonction de nc et d’observables agissant dans Ez.

(c) Quelle est la nature du mouvement axial gouverné par l’hamiltonien H(nc)eff ? Donner

la fréquence de ce mouvement en fonction de nc.

(d) Déterminer les valeurs propres et les états propres (notés |χnc,nz〉) de l’hamiltonien

H(nc)eff . On exprimera les fonctions χnc,nz(z) à l’aide des fonctions propres ϕnz(z) de

l’opérateur Hz.

4. Montrer que les états |nc〉⊗ |χnc,nz〉 sont états propres de l’hamiltonien H et exprimer lesvaleurs propres correspondantes en fonction de ωc, ωz et ǫ.

5. Le mouvement axial induit dans un circuit électrique un courant proportionnel à 〈pz〉(t), eton mesure le battement entre ce courant et une horloge très stable, de fréquence ωz/(2π).On suppose dans cette question que le système est initialement dans l’état |Ψ(0)〉 =|nc〉 ⊗ |χ0〉.(a) On cherche la solution de l’équation de Schrödinger sous la forme d’un état factorisé

|Ψ(t)〉 = |nc〉 ⊗ |χ(t)〉. Montrer que l’équation de Schrödinger portant sur |Ψ(t)〉 seramène alors à une équation de Schrödinger portant sur |χ(t)〉 pour un hamiltonien quel’on précisera. Peut-il exister des solutions non factorisées compte tenu de la conditioninitiale proposée plus haut ?

(b) Donner les évolutions au cours du temps de la position z(t) et l’impulsion pz(t) d’unoscillateur harmonique classique, en fonction des valeurs initiales z0 et p0. On rappelleque pour un oscillateur harmonique quantique, ces expressions sont identiques à cellesde l’évolution des valeurs moyennes des opérateurs z et pz. En déduire les expressionsde ces valeurs moyennes quantiques, en prenant 〈z〉(t = 0) = z0 et 〈pz〉(t = 0) = 0.

(c) Le courant détecté et l’horloge évoluent à des fréquences légèrement différentes, etvont donc progressivement se déphaser. Quel est, au premier ordre en ǫ, le déphasageϕ entre le courant détecté et l’horloge après une durée τ ?


(d) On choisit τ = 0,1 s et on suppose que la mesure de ϕ se fait avec une précision deπ/20. En reprenant les paramètres physiques précédents, montrer que cette précisionpermet de déterminer sans ambiguïté le nombre d’excitation associé au mouvementcyclotron nc.

6. On se place maintenant dans le cas général où le système est dans l’état

|Ψ〉 =∑

nc,nz

cnc,nz |nc〉 ⊗ |χnc,nz〉

et on effectue une mesure de la grandeur physique Nc à l’aide de la méthode exposée plushaut.

(a) Quelle est la forme générale de l’état de l’électron après une mesure ayant donné lerésultat nc ?

(b) Après une mesure ayant donné le résultat nc, on laisse évoluer le système sous l’actionde l’hamiltonien H pendant une durée ∆t, puis on effectue une nouvelle mesure. Aquel(s) résultat(s) peut-on s’attendre ?

Une mesure quantique de la température de l’électron

En pratique, le mouvement cyclotron est en équilibre thermique avec un thermostat à tem-pérature T . On rappelle que, dans cette situation, les fluctuations thermiques peuvent exciterle système dans un niveau d’énergie En, avec une probabilité pn. On procède à des mesuressuccessives du déphasage ϕ au cours des intervalles [0, τ ], [τ, 2τ ], . . ., [(N − 1)τ,Nτ ]. La duréetotale Nτ de cette série de mesures pour une température T donnée est de Nτ = 3000 secondes,soit un nombre total de résultats de mesure N = 3 104 pour τ = 0,1 s. On peut suivre ainsi lavariation de nc pendant la durée Nτ , avec une résolution en temps égale à τ .

1. Deux enregistrements de cette mesure sont représentés sur la figure 1 pour deux tempéra-tures différentes. Commenter ces enregistrements en précisant en particulier le phénomèneauquel sont associés les changements brusques du signal.

2. La probabilité pn qu’un système se trouve dans un état d’énergie En est donnée par lefacteur de Boltzmann pn = N exp(−En/kBT ), où N est un facteur de normalisation.

Montrer que pour un oscillateur harmonique de pulsation ω, le rapport pn+1/pn est indé-pendant de n, et donner sa valeur.

3. La figure 2 représente des mesures des populations des différents niveaux cyclotron, effec-tuées pour plusieurs températures du cryostat contenant le piège de Penning.

(a) Montrer que les courbes sont compatibles avec une loi exponentielle dont on détermi-nera la pente, et en déduire les températures correspondant à ces mesures.

(b) Quel est l’ordre de grandeur de la plus basse température que l’on peut mesurer avecce dispositif ?

(c) Comment pourrait-on améliorer encore la sensibilité de ce “thermomètre quantique" ?


2

1

0

2

1

0

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 50

te mps (minutes)

nombre

quant ique

cyclot ron

(a)

(b)

Figure 1 – Evolution temporelle du nombre quantique nc associé au mouvement cyclotron pourdeux températures Ta et Tb.

Figure 2 – Probabilités d’occupation des états d’énergie du mouvement cyclotron. Les droitescorrespondent à des températures différentes (l’échelle verticale est logarithmique).


Solution

Mouvements cyclotron et axial dans le piège de Penning.

1. On trouve ωc/(2π) ≈ 1,68 1011 Hz = 168 GHz ≫ ωz/(2π) = 100 MHz.

2. Les valeurs propres de Nc (opérateur “nombre d’excitations" d’un oscillateur harmonique)sont les entiers positifs ou nuls nc, donc celles de Hc sont ~ωc(nc + 1/2).

3. (a) L’hamiltonien Hz correspond à un mouvement harmonique de pulsation ωz. On trouvesimplement son spectre en posant :

az =

…

mωz

2~x+ i

p√2m~ωz

, a†z =

…

mωz

2~x− i

p√2m~ωz

, et Nz = a†zaz ,

l’hamiltonien s’écrivant alors : Hz = ~ωz(Nz + 1/2).

(b) De la relation de commutation [az, a†z] = 1, on déduit (cf. cours, chapitre 7) que les

valeurs propres de Nz sont les entiers nz positifs ou nuls. Les valeurs propres de Hz

s’écrivent donc ~ωz(nz + 1/2).

4. Les valeurs propres de H0 s’écrivent donc ~ωc(nc+1/2)+~ωz(nz +1/2), où nc et nz sontdes entiers positifs ou nuls.

5. Le rapport kBT/~ωµ pour µ = c, z vaut pour le domaine de température envisagé :

kBT

~ωc= 0,012 . . . 0,5

kBT

~ωz= 21 . . . 830

Le caractère discret du spectre d’énergie jouera un rôle important uniquement pour lemouvement cyclotron : seuls les premiers niveaux de ce mouvement nc = 0, 1, 2, 3 serontoccupés de manière appréciable à très basse température. Pour le mouvement axial, defréquence beaucoup plus basse que le mouvement cyclotron, on peut s’attendre à ce queles fluctuations thermiques entraînent l’occupation d’un grand nombre de niveaux. Lecaractère “quantique" du mouvement sera alors masqué par ce bruit thermique.

Couplage entre les deux mouvements

1. En présence du couplage cyclotron-axial, l’hamiltonien H s’écrit :

H = ~ωc (Nc + 1/2) +p2z2m

+1

2mω2

z

Ä

1 + ǫNc

ä

z2 .

2. L’opérateur Nc commute avec H0 (car il commute avec lui-même et avec Nz, qui agitdans un autre espace). Il commute également avec W car [Nc, z] = 0. Donc [Nc, H ] = 0.

3. (a) Nc(|nc〉 ⊗ |χ〉) = Nc|nc〉 ⊗ |χ〉 = nc|nc〉 ⊗ |χ〉. L’état |nc〉 ⊗ |χ〉 est donc un vecteurpropres de Nc pour la valeur propre entière nc.

(b) Considérons successivement l’action des trois termes de H :

Hc|nc〉 ⊗ |χ〉 = ~ωc(nc + 1/2)|nc〉 ⊗ |χ〉Hz|nc〉 ⊗ |χ〉 = |nc〉 ⊗ Hz|χ〉W |nc〉 ⊗ |χ〉 = ǫ

2mω2

zNc|nc〉 ⊗ z2|χ〉 = ǫ

2mω2

znc|nc〉 ⊗ z2|χ〉


On en déduit l’expression demandée avec

H(nc)eff = ~ωc(nc + 1/2)I + Hz +

ǫ

2mω2

zncz2

= ~ωc(nc + 1/2)I +p2z2m

+1

2mω2

z(1 + ǫnc)z2

(c) À une constante additive près (~ωc(nc +1/2)), on retrouve l’hamiltonien d’un oscilla-teur harmonique associé à la fréquence angulaire ωz

√1 + ǫnc.

(d) Les valeurs propres de H(nc)eff sont ~ωz

√1 + ǫnc (nz + 1/2) + ~ωc(nc + 1/2).

De manière générale, on sait que les fonctions propres d’un oscillateur harmonique depulsation ω s’écrivent à l’aide des fonctions de Hermite φn(Z) où Z =

»

mω/~z est une

grandeur sans dimension. On en déduit que ϕnz(z) ∝ φnz(»

mωz/~z) et χnc,nz(z) ∝φnz(

»

mωz√1 + ǫnc/~z). On en déduit χnc,nz(z) ∝ ϕnz((1 + ǫnc)

1/4z). En tenantcompte de la condition de normalisation, on obtient

χnc,nz(z) = (1 + ǫnc)1/8ϕnz((1 + ǫnc)

1/4z)

4. L’opération précédente peut être menée pour chaque valeur possible de nc. On obtientainsi une base d’états propres {|nc〉 ⊗ |χnc,nz〉} de H. La valeur propre associée à chaquevecteur de base est :

Enc,nz = ~ωc (nc + 1/2) + ~ωz

√1 + ǫnc (nz + 1/2)

Cette base ne correspond plus à des fonctions factorisées des mouvements cyclotron etaxial : le couplage a induit une corrélation entre l’état du mouvement cyclotron et lafréquence du mouvement axial.

5. (a) On a vu plus haut que H|nc〉 ⊗ |χ(t)〉 = |nc〉 ⊗ H(nc)eff |χ(t)〉. L’équation de Schrödinger

pour |Ψ(t)〉 se ramène donc à

i~d|Ψ〉dt

= |nc〉 ⊗ i~d|χ〉dt

= |nc〉 ⊗ H(nc)eff |χ(t)〉

La solution proposée est donc bien solution de l’équation de Schrödinger à conditionque |χ(t)〉 soit solution de l’équation de Schrödinger associée à l’oscillateur harmo-

nique décrit par l’hamiltonien H(nc)eff , avec la condition initiale |χ(0)〉 = |χ0〉. Comme

l’équation de Schrödinger est une équation différentielle du premier ordre en temps,c’est là l’unique solution associée à la condition initiale proposée.

(b) Pour un oscillateur harmonique classique de fréquence angulaire ω on a

z(t) = z0 cos (ωt) + p0/(mω) sin (ωt)

pz(t) = m dz/dt = p0 cos (ωt) −mωz0 sin (ωt)

Les valeurs moyennes recherchées s’écrivent 〈χ(t)|z|χ(t)〉 et 〈χ(t)|pz |χ(t)〉, et se com-portent comme attendu pour un oscillateur harmonique à une dimension de pulsationωz

√1 + ǫnc. On obtient alors :

〈z〉(t) = z0 cosÄ

ωzt√1 + ǫnc

ä

〈pz〉(t) = md〈z〉dt

= −mωzz0√1 + ǫnc sin

Ä

ωzt√1 + ǫnc

ä

puisque les équations d’évolution de la position moyenne et de l’impulsion moyennetrouvées en mécanique quantique coïncident avec les équations classiques.


(c) Le déphasage accumulé pendant une durée τ entre le courant détecté, proportionnelà 〈pz〉(t), et l’oscillateur extérieur est :

ϕ = ωzτ√1 + ǫnc − ωzτ ≈ ǫ

2ωzτnc .

Connaissant la durée τ , la pulsation ωz et la constante de couplage ǫ, on en déduit lenombre d’excitation cyclotron nc.

(d) Pour les paramètres indiqués dans l’énoncé, on trouve ϕ = ncδϕ avec δϕ = ǫωzτ/2 ≃2π × 0.2. La précision de π/20 = 2π × 0.025 est donc bien meilleure que l’écart δϕentre les déphasages correspondant à nc et nc + 1, et on peut effectivement mesurersans ambiguïté les nombres d’excitation nc = 0, 1, 2, . . ..

6. (a) D’après le postulat de la mesure, on sait que l’état du système après une mesure del’observable Nc ayant donné le résultat nc est un état propre de Nc associé à la valeurpropre nc. La forme générale d’un tel état propre est |nc〉⊗ |χ〉. Compte tenu de l’étatinitial, cet état sera proportionnel à

∑

nzcnc,nz |nc〉 ⊗ |χnc,nz〉.

(b) Comme montré en 2.5.a, un état initial du type |nc〉 ⊗ |χ〉 restera de la forme|nc〉 ⊗ |χ(t)〉. Il s’agit d’un état propre de Nc et donc une mesure ultérieure de Nc

donnera toujours le résultat nc. Cette conclusion n’est bien sûr pas valable si le sys-tème n’est pas complètement isolé et interagit avec son environnement. Ce couplageavec l’environnement peut alors causer des transitions entre les différents états propresde H, comme on le verra dans la partie 3.

Une mesure quantique de la température de l’électron

1. Les sauts brusques du signal sont associés à un changement du nombre d’excitation dumouvement cyclotron, changement dû au couplage de l’électron piégé avec le thermostat.En l’absence de ce couplage, nc serait une constante du mouvement.

2. Pour un oscillateur harmonique de pulsation ω, on trouve le rapport indépendant de n :

pn+1

pn=e−(n+3/2)~ω/kBT

e−(n+1/2)~ω/kBT= e−~ω/kBT .

3. (a) Pour des populations Pn inférieures à P0, on a bien une loi exponentielle de pente~ωc/kBT . On mesure p ≈ 0,012; 0,03; 0,1 et 0,17. Avec T = −~ωc/(kB log(p)) onobtient les températures T ≈ 1,8 K ; 2,3 K ; 3,5 K et 4,5 K.

(b) Pour mesurer une température avec ce dispositif, il faut disposer d’une distributionstatistiquement significative pour l’occupation du niveau nc = 1. Il est expérimentale-ment difficile d’aller en dessous d’une probabilité d’occupation de 10−2 pour ce niveau,ce qui correspond à une température T ∼ 1.7 K.

(c) Pour améliorer encore la sensibilité de ce thermomètre, on peut :— allonger de manière significative le temps de mesure pour détecter des probabilités

d’occupation du niveau nc = 1 nettement inférieures à 10−2 ;— réduire la valeur du champ magnétique B, de manière à réduire la fréquence cy-

clotron ωc, et augmenter (à température donnée) la probabilité d’occupation duniveau nc = 1 .

Pour en savoir plus : S. Peil and G. Gabrielse, Observing the Quantum Limit of an ElectronCyclotron : QND Measurements of Quantum Jumps between Fock States, Physical Review Letters83, p. 1287 (1999).

15. Énergie de l’état fondamental d’un atome. 77

15 Énergie de l’état fondamental d’un atome.

On a vu en amphi une méthode pour évaluer l’énergie de l’état fondamental d’un atomed’hydrogène, en utilisant les inégalités de Heisenberg. Le but de cet exercice est d’étudier uneautre méthode, plus précise et plus générale.

1. Majoration de la plus petite valeur propre d’une observable (sur 3 points).

On considère un système quantique sur lequel on mesure une quantité physique A, associéeà l’observable A, et on note {|ψn〉}, n = 0, 1... une base orthonormée d’états propres deA. Les valeurs propres correspondantes an sont rangées par ordre croissant (a0 ≤ a1 ≤a2 . . .) et on cherche un majorant de la plus petite valeur propre a0. Soit |ψ〉 un vecteurquelconque de l’espace de Hilbert, qu’on développe sur la base |ψn〉 : |ψ〉 =∑

nCn |ψn〉.

(a) Donner l’expression de Cn en fonction de |ψ〉 et |ψn〉.(b) Le ket |ψ〉 est désormais supposé de norme 1. Écrire la relation vérifiée par les Cn.

(c) Exprimer la valeur moyenne 〈ψ|A|ψ〉 en fonction d’une somme faisant intervenir lesvaleurs propres an et les coefficients Cn.

(d) En utilisant a0 ≤ an pour tout n, en déduire la relation : a0 ≤ 〈ψ|A|ψ〉.

2. Application à l’état fondamental de l’atome d’hydrogène (sur 7 points).

On s’intéresse à un électron de masse m et de charge −q en mouvement dans le potentielcoulombien créé par un proton de charge +q. Le proton est supposé infiniment lourd àl’origine des coordonnées et l’hamiltonien décrivant le mouvement de l’électron s’écrit

H =~p 2

2m+ V (~r) avec V (~r) = − q2

4πǫ0r= −e

2

r, r = (x2 + y2 + z2)1/2 .

où ~r et ~p désignent les opérateurs position et impulsion de l’électron. On souhaite utiliserle résultat 1.d pour trouver un majorant de l’énergie de l’état fondamental de cet hamilto-nien. On choisit une famille de fonctions ψ(~r) = exp(−r/a)/

√πa3, où a est un paramètre

ajustable caractérisant l’extension spatiale de la fonction d’onde.

On rappelle que pour intégrer ou dériver une fonction ne dépendant que de r, l’élémentde volume et le Laplacien en coordonnées sphériques sont 4πr2dr et 1

rd2

dr2 (r.), et on donne

I1 =

∫ ∞

0e−2r/a rdr = a2/4 I2 =

∫ ∞

0e−2r/a r2dr = a3/4

(a) En utilisant le formulaire ci-dessus, vérifier que ψ(~r) est normée.

(b) Calculer la valeur moyenne de l’énergie potentielle 〈ψ|V (~r)|ψ〉 en fonction de e et a.

(c) Calculer la valeur moyenne de l’énergie cinétique 〈ψ| ~p 2

2m |ψ〉 en fonction de m, ~, et a.

(d) En déduire que l’énergie E0 de l’état fondamental de l’atome d’hydrogène vérifie pourtout a réel positif (a peut donc être ajusté entre 0 et ∞) :

E0 ≤ ~2

2ma2− e2

a.

(e) En déduire que l’énergie de l’état fondamental de l’atome d’hydrogène vérifie l’inéga-lité : E0 ≤ −η me4/~2 où η est un coefficient numérique qu’on déterminera.

78 15. Énergie de l’état fondamental d’un atome.

(f) Évaluer numériquement (en électron-volts) cette borne supérieure pour l’énergie, etdonner (en nanomètres) la valeur de la dimension a correspondant à cette borne. Onrappelle que 1/(4πǫ0) = 9 109 u.SI. Que pensez-vous de ces valeurs ?

(g) Le résultat obtenu en amphi était E0 = −23 me4/~2, commenter la différence avec

le résultat obtenu ci-dessus. Pensez-vous que ce résultat dépende de la famille defonctions ψ(~r) qui a été choisie ? Que peut-on en conclure ?

Solution

Énergie de l’état fondamental d’un atome.

1. Majoration de la plus petite valeur propre d’une observable.

(a) La base |ψn〉 est orthonormée, donc Cn = 〈ψn|ψ〉.(b) 〈ψ|ψ〉 =∑

n |Cn|2 = 1.

(c) La valeur moyenne de A dans l’état |ψ〉 s’écrit :

〈ψ|A|ψ〉 =∑

n

|Cn|2an .

(d) Dans la somme précédente, chaque terme |Cn|2an est supérieur à |Cn|2a0, puisquean ≥ a0. Comme

∑

n |Cn|2 = 1, on en déduit le résultat :

〈ψ|A|ψ〉 =∑

n

|Cn|2an ≥∑

n

|Cn|2a0 = a0 .

2. Application à l’atome d’hydrogène

(a) La norme au carré de |ψ〉 vaut :

〈ψ|ψ〉 =∫

|ψ(~r)|2 4πr2 dr =1

πa3

∫

e−2r/a 4πr2 dr = 1 .

(b) La moyenne de l’énergie potentielle vaut :

Ep = 〈V 〉 = −e2∫

|ψ(~r)|24πr dr = −e2 × 1

πa3× πa2 = −e

2

a.

(c) La moyenne de l’énergie cinétique est donnée par :

Ec = − ~2

2m

∫

ψ∗(~r) ∆ψ(~r) 4πr2 dr = − ~2

2m

4

a3

∫

e−2r/a

Ç

−2r

a+r2

a2

å

dr =~2

2ma2.

(d) L’inégalité démontrée en 1.d appliquée au cas A = H pour la famille de fonctionsconsidérées donne l’inégalité souhaitée :

E0 ≤ 〈ψ|H |ψ〉 = Ec + Ep =~2

2ma2− e2

a.

15. Énergie de l’état fondamental d’un atome. 79

(e) Cette inégalité est vérifiée pour tout a > 0. On peut donc chercher le minimum dumembre de droite, qui sera lui aussi une borne supérieure de l’énergie. Ce minimumest atteint pour amin = ~2/(me2) et il vaut Emin = −η me4/~2 avec η = 1/2.

(f) On trouve numériquement amin = 0.053 nm et Emin = −13.6 eV. Ce sont les valeursconnues pour l’atome d’hydrogène.

(g) La valeur obtenue en amphi était issue d’un calcul qualitatif, la méthode utilisée iciest beaucoup plus précise et générale. La qualité du résultat dépend de la famille defonctions utilisées, mais il se trouve que la vraie fonction d’onde de l’état fondamentalfait partie de cette famille ; on trouve donc le résultat exact.

80 16. Mesures de Bell et transfert d’intrication.

16 Mesures de Bell et transfert d’intrication.

Les systèmes quantiques à deux états, comme par exemple une particule de spin 1/2, un pho-ton polarisé, ou les deux états fondamentaux quasi-dégénérés d’une molécule NH3, sont décritsdans un espace de Hilbert E de dimension 2. Ce type de système est appelé de façon généraleun “bit quantique" ou “qubit", car toute mesure donne un résultat binaire, qu’on peut asso-cier aux valeurs 0 et 1 prises par un bit classique. Par contre les états des qubits peuvent êtresuperposés, intriqués... ce qui permet de mettre en évidence des phénomènes très différents deceux observés avec des bits classiques. Cet exercice illustre quelques exemples de tels phénomènes.

A. Question préliminaire (sur 2 points).

On contrôle l’état d’un qubit ou d’un ensemble de qubits en appliquant des “portes quantiques",réalisées en faisant agir un Hamiltonien constant H bien choisi pendant un certain temps t. Onnotera |ϕn〉 les états propres de H et En les énergies correspondantes.

1. Montrer que l’état |Ψ(t)〉 d’un système quantique quelconque s’écrit en fonction de l’étatinitial |Ψ(0)〉 sous la forme |Ψ(t)〉 = u |Ψ(0)〉, où u est défini par son action sur les états propresde H, selon les équations : u |ϕn〉 = ξn(t) |ϕn〉. On donnera l’expression de ξn(t).

2. Montrer que u est un opérateur unitaire, c’est-à-dire tel que u†u est égal à l’identité 1.

B. Mesure de Bell sur deux qubits (sur 8 points).

1. Par analogie avec un photon polarisé on notera |x〉 et |y〉 deux états orthonormés choisis commeréférences pour décrire un qubit ; la base associée sera appelée “base de calcul". Un état arbitrairedu qubit sera donc noté |ψ〉 = α|x〉+β|y〉 avec |α|2+ |β|2 = 1, ou de manière équivalente désignépar le vecteur colonne |ψ〉 =

Ä

α

β

ä

= αÄ

1

0

ä

+ βÄ

0

1

ä

.

1.a On considère l’opérateur h = 1√2

Ä

1 1

1 −1

ä

, appelé “porte de Hadamard". Montrer que

h.h est l’opérateur identité 1. L’opérateur h est-il hermitien ? est-il unitaire ?

1.b On note |u〉 = h |x〉 et |v〉 = h |y〉. Donner les expressions des états |u〉 et |v〉 dans labase de calcul. Que peut-on dire de ces états ? Quelles sont les probabilités de trouver le qubitdans l’état |x〉 ou dans l’état |y〉 s’il est préparé initialement dans l’état |u〉 ou dans l’état |v〉 ?

1.c En supposant que le qubit est une particule de spin 1/2, pouvez-vous indiquer d’après lecours (sans calculs) un moyen pour réaliser physiquement une porte de Hadamard ? On prendrales états propres de Sz comme base de calcul, avec |−〉z = |x〉 et |+〉z = |y〉.

2. On considère maintenant deux qubits notés “a" et “b", la base de calcul est alors la baseformée des produits tensoriels {|xa〉 ⊗ |xb〉, |xa〉 ⊗ |yb〉, |ya〉 ⊗ |xb〉, |ya〉 ⊗ |yb〉} qui sera notée

{ |xaxb〉, |xayb〉, |yaxb〉, |yayb〉}.

2.a On considère l’opérateur s =

Ç

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 −1

å

agissant dans la base de calcul. Montrer

que s.s est l’opérateur identité 1. L’opérateur s est-il hermitien ? est-il unitaire ?

2.b On suppose que les 2 qubits sont placés dans l’état |ψab〉 = (|xa〉+ |ya〉)⊗ (|xb〉+ |yb〉)/2.Cet état est-il intriqué ?

2.c Donner l’expression de l’état |φab〉 = s |ψab〉 en fonction des états de la base de calcul.Cet état est-il intriqué ?

16. Mesures de Bell et transfert d’intrication. 81

2.d En supposant (comme dans 1.c) que chaque qubit a ou b est un spin 1/2, on considèrele Hamiltonien Hab = ~g (Saz/~ + 1/2) ⊗ (Sbz/~ + 1/2) où g est une constante. Déterminer letemps t pendant lequel il faut appliquer Hab pour réaliser la porte s (on pourra étudier l’actionde Hab sur chaque état de la base de calcul, et en déduire uab comme dans la question A.1).

3. On suppose maintenant que l’on fait agir h sur le qubit b sans modifier le qubit a, puis ssur l’ensemble des deux qubits, puis à nouveau h sur le qubit b sans modifier le qubit a.

3.a Déterminer l’effet de cette suite d’opération sur chaque élément de la base de calcul, eten déduire la matrice de l’opérateur correspondant dans cette base.

3.b Cet opérateur noté n est appelé “contrôle de négation" (controlled-not, ou c-not), pouvez-vous justifier cette dénomination ?

4. On fait agir h sur le qubit a sans modifier le qubit b, puis n sur l’ensemble des deux qu-bits.

4.a Donner l’expression (dans la base de calcul) des 4 états images de la base de calcul, enrespectant leur ordre.

4.b Ces états seront notés |χ(i=1..4)ab 〉, et sont appelés états de Bell. Que peut-on dire de ces

états ? Sont-ils intriqués ?

5. On veut effectuer une mesure permettant d’identifier les états de Bell.

5.a On suppose d’abord que les deux qubits sont préparés dans l’un des 4 états de Bell.Montrer qu’en inversant la procédure de la question 4, on peut transformer chaque état de Bellen un état de la base de calcul. En déduire une méthode (appelée “mesure de Bell") permettantd’identifier avec certitude un état de Bell, en effectuant une mesure dans la base de calcul.

5.b Que va-t-on obtenir, et avec quelle probabilité, si on utilise cette même méthode avec unétat initial quelconque des deux qubits, que l’on peut écrire |φab〉 =

∑

i αi |χ(i)ab 〉 ?

C. Transfert d’intrication (partie “bonus" sur 5 points)

On considère maintenant deux états intriqués |ψab〉 et |ψcd〉, partagés entre trois partenairesAlice, Bob et Dan : Alice détient le qubit a, Bob les deux qubits b et c, et Dan le qubit d. Lamission d’Alice, Bob et Dan est de placer les qubits a et d dans un état intriqué, bien que cesqubits soient éloignés : on ne peut donc pas contrôler leur état en faisant directement agir uneporte quantique. Il existe néanmoins une procédure, appelée “transfert d’intrication", permettantd’obtenir ce résultat par la méthode suivante :

— Bob effectue une mesure de Bell sur les deux qubits en sa possession, b et c, il obtient unétat |χ(i=1..4)

bc 〉, et il annonce à Alice et Dan la valeur de i (1, 2, 3 ou 4).— Dan applique sur son qubit d une porte quantique qui dépend de la valeur de i.— L’état |ψad〉 est alors un état intriqué indépendant du résultat obtenu par Bob.1. Afin de déterminer l’opération que doit effectuer Dan, on suppose que les états initiaux de

a, b et c, d sont respectivement |ψab〉 = (|xaxb〉 + |yayb〉)/√2 et |ψcd〉 = (|xcxd〉 + |ycyd〉)/

√2.

1.a Montrer que l’on a

|ψabcd〉 = |ψab〉 ⊗ |ψcd〉 =1

2

4∑

i=1

|χ(i)bc 〉 ⊗ |χ(i)

ad〉

On notera que l’ordre des termes dans un produit tensoriel est arbitraire, pourvu que les qubitsimpliqués soient bien repérés par leur indice.

82 16. Mesures de Bell et transfert d’intrication.

1.b En déduire qu’à la fin de la procédure (mesure de Bob et annonce du résultat) les qubitsa et d sont dans un état intriqué connu d’Alice, Bob et Dan.

1.c Quelles opérations doivent être effectuées par Dan pour que cet état soit indépendant durésultat obtenu par Bob, par exemple pour obtenir |ψad〉 = (|xaxd〉+ |yayd〉)/

√2, quelle que soit

la valeur de i ? On pourra considérer par exemple les portes suivantes :

q =

Ç

0 11 0

å

, p =

Ç

1 00 −1

å

2. On considère la situation où a et d sont deux particules de spin 1/2 éloignées, respectivementintriquées avec des photons polarisés b et c, qui peuvent se propager à grande distance.

2.a Déduire de la question ci-dessus une méthode pour préparer les deux spins dans un étatintriqué (on précisera les rôles et les actions d’Alice, Bob et Dan).

2.b En supposant que la procédure complète de transfert d’intrication peut être effectuée ungrand nombre de fois, comment peut-on vérifier que l’état |ψad〉 obtenu est bien intriqué ?

Cette méthode joue un rôle très important dans des protocoles de communication quantique,car elle permet d’intriquer à distance des qubits qui n’ont jamais interagi directement. Elle a étéutilisée récemment dans l’expérience : “Loophole-free Bell Inequality Violation Using ElectronSpins Separated by 1.3 Kilometres”, B. Hensen et al., Nature vol. 526, p. 682 (2015).

Solution

Mesures de Bell et transfert d’intrication

A. Question préliminaire.

1.a On sait que si on a |Ψ(0)〉 =∑

n cn |ϕn〉, alors |Ψ(t)〉 =∑

n cn e−iEnt/~ |ϕn〉 = u |Ψ(0)〉,

en prenant ξn(t) = e−iEnt/~.

1.b La matrice de u étant diagonale on a u† |ϕn〉 = e+iEnt/~|ϕn〉 donc u†u = 1.

B. Mesure de Bell sur deux qubits.

1.a On vérifie facilement que h.h = 1, et que l’opérateur h est à la fois hermitien et unitaire.

1.b On a |u〉 = (|x〉 + |y〉)/√2, |v〉 = (|x〉 − |y〉)/

√2. Les états |u〉, |v〉 sont deux états

orthogonaux qui forment une base de E , et les probabilités de trouver le qubit dans l’état |x〉 ou|y〉 s’il est préparé dans l’état |u〉 ou |v〉 valent toutes 1/2.

1.c En prenant les états propres |±〉z de Sz comme base de calcul, on peut réaliser une portede Hadamard en appliquant sur le spin 1/2 un champ magnétique suivant Oy, pendant un tempstel que les états propres |±〉z deviennent |±〉x (mouvement de précession).

2.a On vérifie facilement que s.s = 1, et l’opérateur s est à la fois hermitien et unitaire.

2.b L’état initial |ψab〉 = (|xaxb〉 + |xayb〉 + |yaxb〉 + |yayb〉 )/2 n’est pas intriqué.

2.c L’état |φab〉 = (|xaxb〉 + |xayb〉 + |yaxb〉 − |yayb〉 )/2 est intriqué (on peut vérifier que leseul état factorisé dont les trois premières composantes sont 1/2 est |ψab〉 de la question 2.b).

2.d Le Hamiltonien Hab = ~g(Saz/~+1/2)⊗(Sbz/~+1/2) a pour valeurs propres {0, 0, 0, ~g}dans la base de calcul. Il peut donc engendrer s pour un choix approprié de t (gt = π).

16. Mesures de Bell et transfert d’intrication. 83

3.a Ces opérations agissant sur les états de base donnent (en omettant les kets) :

xaxb → xa(xb + yb)/√2 → xa(xb + yb)/

√2 → xaxb

xayb → xa(xb − yb)/√2 → xa(xb − yb)/

√2 → xayb

yaxb → ya(xb + yb)/√2 → ya(xb − yb)/

√2 → yayb

yayb → ya(xb − yb)/√2 → ya(xb + yb)/

√2 → yaxb.

3.b On a n =

Ç

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

å

, et le qubit a est inchangé, tandis que le qubit b est inchangé si

a est dans l’état xa, et bascule si a est dans l’état ya, d’où l’expression “controlled not".

4.a Ces opérations agissant sur les états de base donnent (en omettant les kets) :

xaxb → (xa + ya)xb/√2 → (xaxb + yayb)/

√2 = χ

(1)ab

xayb → (xa + ya)yb/√2 → (xayb + yaxb)/

√2 = χ

(2)ab

yaxb → (xa − ya)xb/√2 → (xaxb − yayb)/

√2 = χ

(3)ab

yayb → (xa − ya)yb/√2 → (xayb − yaxb)/

√2 = χ

(4)ab

4.b Ces 4 états sont intriqués, et forment une base de l’espace de Hilbert des deux qubits.

5.a En inversant la séquence ci-dessus, c’est-à-dire en appliquant n, puis h, on passe de labase de Bell à la base de calcul, en effet la transformation revient au point de départ car n.n = 1et h.h = 1. Il suffit alors de faire une mesure de l’état des deux qubits dans la base de calculpour identifier de façon certain l’un des quatre états de Bell.

5.b La mesure de Bell va projeter l’état |φab〉 sur un état de la base calcul associé à un étatde Bell |χi

ab〉, avec la probabilité |αi|2.

C. Transfert d’intrication.

1.a Il suffit de faire le calcul en développant les produits tensoriels, et en rangeant les produitsd’états de base dans l’ordre des indices abcd. Les deux expressions donnent le même résultat

|ψabcd〉 = (|xaxbxcxd〉 + |xaxbycyd〉 + |yaybxcxd〉 + |yaybycyd〉)/2.

1.b La mesure de Bob projette l’état de ses 2 qubits sur l’un des quatre états de Bell cor-respondant à ses deux qubits, et lorsqu’il annonce le résultat obtenu (valeur de i) Alice et Dansavent que leurs qubits sont dans le même état de Bell.

1.c Pour se ramener à l’état ψad de l’énoncé Dan n’a rien à faire si i = 1, et il doit appliquerà son qubit une porte q si i = 2, p si i = 3, et p.q si i = 4.

2.a Les spins et les photons étant des qubits la procédure ci-dessus s’applique directement.Pour cela il faut qu’Alice et Dan, qui ont les spins séparés spatialement, envoient les photons àBob qui fait la mesure de Bell et annonce la valeur de i.

2.b On peut vérifier que l’état obtenu est intriqué en effectuant un test des inégalités de Bell.

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