Mcanique des fluides (PC*)

La mcanique des fluides est un sous-ensemble de la mcanique des milieux continus. Elle comprend l'tude des gaz et des liquides l'quilibre et en mouvement, ainsi que l'tude de l'interaction de ces derniers avec les corps solides. Son importance s'explique par le fondement thorique qu'elle offre de nombreuses disciplines comme la mtorologie, l'arodynamique, l'tude des plasmas,

La matrise de l'eau, comme de l'air, a intress les hommes depuis la prhistoire, pour rsoudre les problmes d'irrigation et utiliser la force du vent pour propulser les bateaux. C'est Archimde, au IIIme sicle av. J.-C., qui a t le vritable initiateur de la "mcanique des fluides " en nonant le thorme qui porte son nom. Bien qu'ils ne connussent pas les lois de l'hydraulique, les Romains utilisaient ses applications pour la construction de canaux ouverts pour la distribution d'eau. On l'ignore souvent, mais Lonard de Vinci a laiss des notes relatives aux vagues, aux tourbillons, aux corps flottants, aux coulements dans des tubes et la machinerie hydraulique. C'est lui qui a conu, le premier, un parachute, l'anmomtre (pour mesurer la vitesse des vents) et une pompe centrifuge.

Au XVIIme sicle, Pascal, la suite de travaux sur le dveloppement de mthodes de calcul, a donn un nouvel essor l'hydraulique en expliquant, entre autres, les expriences de son contemporain Torricelli sur les pompes aspirantes. Ses travaux ont t repris durant les sicles suivants avec, en particulier, les innovations de Pitot (rendement des machines hydrauliques, tube de Pitot) et Venturi (travaux hydrauliques, construction d'une tuyre cnes divergents). Les thoriciens Bernoulli et Euler ont grandement contribu la formulation des principes de l'hydrodynamique ; de mme, les travaux de Navier, en thorie gnrale de l'lasticit, et de Barr de Saint-Venant, auteur des premires expriences prcises sur l'coulement des gaz grande vitesse et d'tudes thoriques compltes par Stokes, ont fait avancer de manire dcisive la mcanique des fluides.

Alle tourbillonnaire derrire un cylindre circulaire

Mais il a fallu attendre le XXme sicle, avec la convergence de connaissances mathmatiques et exprimentales et l'utilisation de calculateurs de plus en plus puissants, pour que soient vritablement abords des problmes aussi complexes que les coulements de fluides visqueux dans des tuyaux cylindriques et que soient expliques les diffrences entre les coulements laminaires - tudis par Poiseuille au milieu du XIXmesicle - et turbulents, par les travaux de Reynolds, notamment.

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Rue de tourbillons alterns de Von Karman dans un coulement trs grand nombre de Reynolds.

Ces domaines d'tudes, ainsi que les problmes de couche limite dvelopps par Prandtl ou ceux d'coulements turbulents traits par Karman, font, aujourd'hui encore, l'objet de recherches pousses.

Tourbillon marginal (vortex) ; catapultage d'un F18.

L'tude des fluides au repos dans un repre donn constitue la statique des fluides. Elle comprend la statique des liquides (ou hydrostatique) et la statique des gaz (ou arostatique).

La dynamique des fluides tudie, pour sa part, les fluides en mouvement. On distingue la dynamique des liquides (ou hydrodynamique) et la dynamique des gaz (ou arodynamique). En outre, la dynamique des fluides conducteurs de l'lectricit en prsence de champs magntiques constitue un domaine part, que l'on nomme la magntohydrodynamique. Les diverses branches de la mcanique des fluides jouent un grand rle dans de nombreux domaines, tant dans l'industrie que dans la recherche.

Tourbillon marginaux (vortex) ; au soleil couchant, noter les deux tourbillons des volets et la rpartition

elliptique de la portance matrialise par la condensation de l'humidit de l'air.

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L'hydrodynamique est ncessaire la comprhension du fonctionnement de nombreux engins (pompes, moteurs, changeurs de chaleur...) dans lesquels interviennent des coulements de fluides dans des conduites. Elle est galement la base de la construction navale, de l'hydrologie, de l'ocanographie.

Dcollement arodynamique sur une VW Beetle : le test aux fils de laine montre des dcollements qui n'interviennent quau niveau du pare choc arrire de l'auto. Ceci est certainement du la dpression

engendre par les puissants tourbillons marginaux dus la cambrure importante du toit. Ce que l'on gagne en trane de pression et en partie perdu en trane induite par la portance.

L'arodynamique permet de concevoir avions, fuses, navettes spatiales... Sa connaissance contribue la diminution de la consommation d'nergie des vhicules, en prconisant pour ceux -ci des formes "arodynamiques" qui rduisent l'effet de la rsistance de l'air l'avancement. L'arodynamique est galement la base de la mtorologie et de l'tude de l'atmosphre des autres plantes.

La magntohydrodynamique joue un rle essentiel en astrophysique (modles d'toiles, dynamique de la matire interstellaire). Elle intervient galement dans l'tude des gaz ioniss, ou plasmas (dcharges lectriques dans les gaz, confinement des plasmas par champs magntiques destin la production contrle d'nergie par fusion thermonuclaire). Elle a aussi permis de raliser des prototypes de centrales convertissant directement de l'nergie thermique en nergie lectrique (convertisseurs magntohydrodynamiques).

I) Etude phnomnologique des fluides :

1 Ltat fluide :

Un fluide est un systme compos de nombreuses particules libres de se mouvoir les unes par rapport aux autres. Dans un liquide comme dans un gaz, le mouvement des molcules est dsordonn : cest lagitation thermique.

Dun point de vue quantitatif, on relve les diffrences suivantes :

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Dans un liquide, les distances intermolculaires sont de lordre de grandeur des dimensions molculaires, alors que dans un gaz, elles sont beaucoup plus grandes. Les forces dinteraction entre molcules (forces de Van der Waals en 1 / r 7 ) jouent un rle beaucoup plus important dans les liquides que dans les gaz.

Aux pressions usuelles, la densit particulaire des liquides est de lordre de 1 000 fois celle des gaz.

Le coefficient de compressibilit dun gaz est trs suprieur celui dun liquide : dans la plupart des problmes, les liquides pourront tre considrs comme incompressibles.

Selon la dfinition lmentaire, un liquide a un volume propre, mais pas de forme propre , alors qu'un gaz n'a pas de volume propre mais tend occuper tout l'espace qui lui est offert .

En ralit, la distinction entre liquide et gaz n'est pas toujours vidente : en effet, le passage de la phase gazeuse la phase liquide peut se faire sans transition (on parle alors de continuit de l'tat fluide). Toutefois, dans les conditions normales de pression et de temprature, la phase liquide et la phase gazeuse se diffrencient trs nettement.

Dans un liquide comme dans un gaz, les molcules sont animes de mouvements dsordonns. Cependant, dans un liquide, les molcules sont distantes les unes des autres d'une longueur correspondant environ leur taille, alors que dans un gaz les distances entre molcules sont trs grandes par rapport leur dimension. Les forces dites d'interaction molculaire jouent donc un rle important dans l'tat liquide alors qu'elles n'interviennent que trs peu dans l'tat gazeux. Le modle de gaz parfait, qui suppose que les molcules n'interagissent pas entre elles, rend compte assez convenablement des proprits de la plupart des gaz.

Les liquides et les gaz se distinguent par leur compressibilit. On appelle coefficient de compressibilit le rapport de la diminution relative de volume l'augmentation de pression, et ce temprature constante. Ce paramtre a donc la dimension de l'inverse d'une pression. Les liquides ont des compressibilits trs faibles (celle de l'eau, une temprature de 20 C, est de 4,4 10 -10), qui varient peu avec la pression et la temprature. Ainsi, un accroissement de pression de 2.10 15 Pa se traduit par une diminution de volume de l'eau gale un dix millime du volume initial, soit, pour donner un ordre d'ide, 0,1 cm 3 pour 1 L. Pour les gaz, le coefficient de compressibilit varie plus : une pression voisine de la pression atmosphrique normale, la compressibilit de l'air est 20 000 fois plus grande que celle de l'eau.

Admettre qu'un fluide est incompressible revient dire que sa masse volumique est constante. Le plus souvent, les liquides sont considrs comme des fluides incompressibles. En revanche, l'tude d'un gaz demande de prendre en compte sa compressibilit ; il existe cependant des conditions dans lesquelles un coulement gazeux peut tre assimil un coulement incompressible (lorsque la vitesse de l'coulement est trs petite par rapport celle du son).

2 Grandeur moyenne locale, particule fluide :

Une particule de fluide est un lment de volume de fluide de dimension msoscopique (de

lordre de 0,1 m 3 ). Le vecteur vitesse de cette particule est la moyenne statistique des vecteurs vitesses des molcules qui la constituent. Le mouvement du fluide dans un rfrentiel (R) est alors dcrit par lensemble des vecteurs vitesses de ses particules.

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Du monde des particules ( gauche) au monde fluide ( droite)

3 Contraintes dans les fluides :

Les diverses couches d'un fluide en mouvement ne peuvent pas glisser librement les unes sur les autres : tout se passe comme si des frottements au sein du fluide s'opposaient aux mouvements relatifs des lignes de courant voisines. Cette rsistance au glissement ou la dformation caractrise la viscosit d'un fluide ; elle est la proprit inverse de la fluidit. Cette viscosit, dite dynamique, s'exprime comme le quotient d'une masse par une vitesse (l'unit est le poiseuille ); en rgle gnrale, elle dpend fortement de la temprature - celle des liquides diminue avec la temprature, alors que celle des gaz crot - et elle se rvle trs peu sensible la pression. On mesure la viscosit dynamique d'un fluide, gnralement liquide, l'aide d'un viscosimtre. Le principe consiste en une comparaison entre le temps mis par le fluide pour s'couler dans un tuyau vertical sur une distance donne et celui mis par un fluide de rfrence (l'eau par exemple). Connaissant la densit des deux fluides, on en dduit la viscosit.

On appelle fluide non visqueux, ou fluide parfait, un fluide dont l'coulement se fait sans frottements internes d'aucune sorte. Le modle du fluide parfait permet de rendre compte assez convenablement de la structure de certaines rgions d'coulements rels ou de la modliser, mais jamais de la structure complte de ceux-ci. Une des caractristiques principales de la mcanique des fluides apparat ici : pour reprsenter des faits ou des observations, elle fait appel des modles, dont le degr de raffinement est variable. En raison de l'extrme complexit des phnomnes qu'elle tente de dcrire, elle ne peut se passer de tests exprimentaux (ralisation de maquettes testes dans un bassin et qui serviront la conception des navires ; essais en soufflerie pour la construction aronautique, etc...).

Forces de viscosit :

On tudie un cas simple o les plans parallles (Oxz) glissent les uns sur les autres (voir figures). Ce cas est une bonne approximation de la ralit lorsque les dimensions de lcoulement selon (Ox) et (Oz) sont grandes vis--vis de lpaisseur de la couche de fluide.

On suppose que le vecteur vitesse peut scrire sous la forme (voir figure) :

( , ) xv v y t u=r r

(y reprsente la cote verticale)

Comme ( ) 0div v =r , cet coulement peut tre celui dun fluide incompressible.

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Une plaque de surface S que lon trane sur une couche de liquide visqueux. La plaque se

dplace une vitesse constante et entrane le liquide avec elle.

La vitesse est ici une fonction croissante de y. La force de cisaillement Fr exerce par S2 sur S1

soppose la dformation du systme constitu par S1 et S2.

Considrons deux lments de fluide S1 et S2, spars par la surface , daire S et normale (Oy).

La force de cisaillement, exerce par S2 sur S1, est tangente . Dans le cas de la figure, la surface S2 va plus vite que la surface S1 et va donc lentraner avec elle.

Cette force est donc :

Proportionnelle laire S de la surface .

De mme sens que xur si v(y,t) est une fonction croissante de y

Si la force de cisaillement est une fonction linaire de la drive v

y

, le fluide est dit newtonien

(voir les complments sur les fluides non newtoniens et la rhologie). On se placera dans le cadre de cette hypothse dans la suite du cours.

Conclusion :

Pour un coulement unidirectionnel, tel que ( , ) xv v y t u=r r

, la force de surface tangentielle Fr,

appele force de cisaillement ou de viscosit, qui sexerce travers une surface daire S normale

yur vaut (il sagit de la force exerce par la couche suprieure sur la couche infrieure) :

x

vF S uy

=

r r

La viscosit a pour effet, dans un coulement unidirectionnel, dacclrer les lments lents et de freiner les lments rapides. Il sagit donc dun transfert interne de quantit de mouvement, qui prsente les caractristiques dune diffusion de quantit de mouvement.

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Le coefficient , appel coefficient de viscosit du fluide, peut tre, avec une bonne approximation, considr comme une constante caractristique du fluide une temprature donne.

Lunit pour le coefficient de viscosit est le poiseuille (symbole Pl, gal 1 Pa.s).

Quelques exemples (dans les conditions normales) :

Corps pur Eau Air Glycrine

Viscosit 1,0.10 3 Pl 1,0.10 5 Pl 1,4 Pl

Equivalent volumique des forces de viscosit :

On considre un pav de fluide de volume dxdydz.

y

y + dy

( , )x

v y dy t dxdz uy

+

r

( , )x

v y t dxdz uy

r

On suppose que le champ des vitesses peut encore scrire sous la forme :

( , ) xv v y t u=r r

(coulement incompressible, ( ) 0div v =r ) Pour un tel champ, les forces de viscosit sont portes par laxe (Ox) et seules les faces y et y + dy sont concernes. On peut crire, en appliquant le principe de laction et de la raction, la rsultante des forces de viscosit sur le pav de fluide :

( , ) ( , )( ) ( )vis vis vis x xv y dy t v y tdF dF y dy dF y dx dz u dx dz u

y y + = + + =

r r r r r

Soit :

2 2

2 2( , ) ( , )vis

vis x vis xdFv y t v y tdF dx dy dz u soit f u

y d y

= = =

rrr r r

Pour un champ des vitesses quelconque mais correspondant un coulement incompressible (donc ( ) 0div v =r ), nous admettrons que ce rsultat se gnralise sous la forme :

x

visvis y

z

vdFf v vd

v

= = =

rr r

Remarque :

* visfr

est la densit volumique des forces de viscosit ; elle nest quun quivalent mathmatique

car ces forces ne sappliquent qu la surface dun systme.

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* Lexpression de la densit volumique des forces de viscosit nest donc valable que pour un fluide incompressible. La possibilit de variation du volume dune particule de fluide au cours de son mouvement, sous leffet du champ de pression ou de temprature, introduit un terme

supplmentaire qui a pour expression ( ') ( ( ))grad div v +uuuuur r

, o est la viscosit de volume (ou deuxime viscosit). Comme dans la suite du cours on nutilisera que des fluides parfaits (donc de

viscosits nulles) ou des fluides visqueux incompressibles, ce coefficient ne sera jamais pris en compte.

Interprtation microscopique de la viscosit, transfert de quantit de mouvement :

La force de viscosit est nulle si le champ des vitesses est uniforme et tend homogniser le champ des vitesses dans le cas contraire. La viscosit est un phnomne de transport diffusif de la quantit de mouvement horizontale.

Le transfert diffusif de quantit de mouvement (qui elle est horizontale) se fait selon yur.

On note ( , ) xv v y t u =r r

la densit volumique de quantit de mouvement, o dsigne la masse volumique du fluide que lon suppose constante.

La force de cisaillement (ou de viscosit) peut scrire :

( )x x

v vF S u S uy y

= =

r r r

Cette force dsigne la force subie par la couche infrieure due la couche suprieure. Ainsi, si

v(y,t) est une fonction croissante de y, ( ) 0v

y

>

et la couche infrieure reoit donc une quantit

de mouvement donne par la loi de Newton diffdpF

dt=

rr

.

Par consquent, dans un champ de vitesses inhomogne, les forces de viscosit produisent un transfert de quantit de mouvement des zones rapides vers les zones lentes, qui tend rtablir lhomognit de la vitesse dans lcoulement.

Modle microscopique sommaire pour les gaz :

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Description du modle :

Dbit molculaire :

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Dbit de quantit de mouvement :

Viscosit dun gaz :

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II) Champ des vitesses dans un fluide :

1 Description lagrangienne, description eulrienne :

Description lagrangienne : (Lagrange, 1736 1813)

A un instant initial t0, on dcoupe le fluide en particules de fluides lmentaires centres sur un ensemble de points courants M0 et on suit le mouvement de ces particules au cours du temps dans le rfrentiel (R).

A un instant t, on peut ainsi dfinir le vecteur vitesse 0( , )v M tr

de la particule qui tait en M0

linstant t0.

On dfinit naturellement la trajectoire dune particule de fluide, lieu des positions successives de cette particule au cours du temps.

Dans ce point de vue, un observateur est li chaque particule de fluide. Ce type de description est utile lorsquon veut tudier les phnomnes dadvection1 de contaminants, comme des lments radioactifs dissmins dans des coulements et qui suivent les trajectoires des particules de fluides.

Cest cette description qui est choisie traditionnellement en mcanique du point matriel ou du solide par exemple.

Le pcheur suivant des yeux les feuilles se place en formalisme lagrangien.

En guise dillustration, un policier qui veut vrifier quune voiture particulire ne commet pas dexcs de vitesse choisira de suivre cette voiture et den mesurer la vitesse avec un radar embarqu. Si le policier est plutt proccup par le respect de la limitation de vitesse un carrefour dangereux, il y posera son radar et contrlera la vitesse de toutes les voitures qui passeront cet endroit : cest lapproche eulrienne dun coulement.

De manire plus prcise, le fluide est dcrit chaque instant par lensemble des vitesses des

particules de fluide qui le composent ; on note 0Rr leur position initiale ( linstant t = 0). La

vitesse dune particule est alors :

0( )( ) ( , )dR tV t V R t

dt= =

rr r r

o ( )R t OM=uuuurr

est le rayon vecteur de la particule linstant t.

1 Les transports d'un point un autre se font soit par advection soit par diffusion. Imaginons des poissons dans une rivire. Le mouvement gnral de l'eau assure le transport advectif des poissons. Le mouvement des poissons par rapport l'eau (par exemple en se reprant sur une feuille morte drivant dans le courant) est le transport diffusif.

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Ces grandeurs ne dpendent explicitement que du temps pour une particule considre ( ( )R tr est une fonction connue du temps). Ainsi, en formalisme lagrangien, la vitesse de chaque particule ne dpend que du temps t (la trajectoire tant connue) et des coordonnes initiales de la particule.

Lorsque lon observe les trajectoires des divers vhicules (entre t = t1 et t = t2),

on se place en formalisme lagrangien.

Description eulrienne : (Euler, 1707 1783)

Plutt que de dcrire la vitesse dune particule de fluide, ce qui fournit des caractristiques de lcoulement en fonction du temps mais jamais aux mmes endroits (la position de la particule ne cesse de varier), la description eulrienne consiste tudier le mouvement du fluide des endroits fixes. Il existe de nombreuses techniques exprimentales permettant de mesurer la vitesse dun fluide en une position donne (comme le fil chaud qui permet dobtenir la vitesse du fluide en mesurant le refroidissement dun fil chauff, ou lanmomtre constitu dune hlice dont la vitesse de rotation donne la vitesse du vent, ). Ainsi, on peut suivre lvolution temporelle de la vitesse en un point M fixe : on obtient la vitesse de la particule de fluide qui se trouve en M linstant t de la mesure. Il sagit donc chaque fois dune particule diffrente.

Le pcheur observe comment scoule le fluide autour du rocher : il se place en formalisme eulrien.

Lensemble des vecteurs vitesse des particules forme un champ de vecteurs :

( , ) ( , ) ( , , , )v r t v M t v x y z t= =r r r r dpendant la fois de lespace et du temps : les variables despace (x,y,z) et le temps t sont des variables indpendantes.

Lapproche eulrienne dcrit ltat dun fluide en mouvement en lui associant des champs : champ des vitesses, champ de pression, champ de temprature,

Le point de vue eulrien est le point de vue implicitement adopt en lectromagntisme et en thermodynamique sur les phnomnes de diffusion.

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La description eulrienne est particulirement adapte dans le cas des coulements stationnaires. Un coulement stationnaire (ou coulement en rgime permanent) est un coulement pour lequel la vitesse en tout point M est indpendante du temps :

( ) 0v Mt

=

rr

Dans un coulement stationnaire, la vitesse est constante en tout point fixe mais la vitesse des particules de fluide varie, sauf exception, avec le temps. Ainsi, un coulement stationnaire eulrien nest pas un coulement stationnaire lagrangien.

Les deux gendarmes observant les vitesses des vhicules se sont placs en formalisme eulrien pour dcrire

lcoulement du trafic. A la mme date t, ils nobservent pas les mmes vhicules.

Le caractre stationnaire dun coulement dpend du rfrentiel choisi. Prenons le cas du sillage dun canard la surface dune rivire : ce sillage, qui donne limpression de suivre le canard est stationnaire dans le rfrentiel li au canard mais nest pas stationnaire dans le rfrentiel li la berge.

2 Champ de vitesse, lignes de courant et trajectoires :

La carte du champ des vitesses donne une reprsentation graphique dun coulement. Cette carte est le trac du vecteur vitesse ( , )v M tr en tout point M un instant donn t. A titre dexemple, on considre lcoulement stationnaire autour dun cylindre fixe, de rayon R, infini dans la direction (Oz) perpendiculaire au plan de la feuille, dun fluide parfait (viscosit nulle) ayant une vitesse

uniforme 0 0 xv v u=r r

loin du cylindre. Le calcul du vecteur vitesse ( , ) x x y yv x y v u v u= +r r r

conduit

(voir paragraphe 6) :

2 2 2 2

0 02 2 2 2 2 2( )1 ; 2( ) ( )x yy x R xyR

v v v vx y x y

= + = + +

Une reprsentation de lcoulement souvent utilise est celle des lignes de courants : ces lignes sont les courbes tangentes au vecteur vitesse ( , )v M tr en chacun de leurs points M, linstant considr. Lquation dune ligne de courant (comparable une ligne de champ en lectrostatique) sobtient en crivant que tout vecteur dplacement lmentaire drr le long de la ligne est colinaire au vecteur vitesse ( , )v M tr , soit ( , ) 0v M t dr =

rr r.

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Cylindre fixe : champ des vitesses ( gauche) et lignes de courants ( droite), confondues avec les trajectoires des particules de fluide.

Dans le cadre de la description lagrangienne, on obtient directement les trajectoires des particules de fluide ; exprimentalement, on obtient ces trajectoires en suivant le dplacement de traceurs.

Ligne de courant

Trajectoire

M0

0 0( , )v M t t=r

Ligne de courant linstant t0 et trajectoire passant par le point M0 linstant t0.

Mathmatiquement, une trajectoire sobtient par lintgration (avec des CI : M0 et t0) de lquation :

0( , )dr V R t dt=r rr

On peut remarquer que cette quation implique 0( , ) 0dr V R t =rr rr.

En gnral, les trajectoires et les lignes de courant ne sont pas confondues.

Dans le cas des coulements stationnaires :

0( , ) ( ( )) ( ) ( )V R t V R t v r v M= = =r r r r r r r

et cette relation donne galement la forme des lignes de courant. En conclusion : trajectoires et lignes de courant sont identiques pour les coulements stationnaires (cest le cas dans la figure prcdente).

Complments :

* Lignes de courant :

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* Tube de champ :

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3 Drive particulaire du champ des vitesses :

Imaginer un petit bonhomme sur une particule fluide (toujours la mme) : les variations des grandeurs quil mesure (vitesse, pression, masse volumique, ) sont des variations particulaires, cest--dire des variations de grandeurs lies la mme particule qui se dplace au cours du temps.

( , )M t

( , )M dM t dt+ +

( , )dr v M t dt=r r

On comprend intuitivement que, pour tudier le mouvement dune particule de fluide soumise diffrentes forces, il va falloir dterminer son acclration.

Mais comment calculer lacclration dune particule de fluide en formalisme eulrien ?

La diffrentielle de la vitesse dune particule de fluide (toujours la mme) vaut :

v v v vdv dt dx dy dzt x y z

= + + +

r r r rr

Pendant lintervalle de temps dt, la particule de fluide sest dplace de :

dr v dt=r r

Do :

x y zv v v vdv dt v dt v dt v dtt x y z

= + + +

r r r rr

Et lacclration de la particule de fluide devient :

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x y zdv v v v v

a v v vdt t x y z

= = + + +

r r r r rr

Soit encore :

( . )dv va v grad vdt t

= = +

r r uuuuurr r r

En toute rigueur, vr dans le membre de gauche dsigne la vitesse de la particule fluide (et /d dt

est appele drive particulaire, encore note /D Dt ) alors que dans les autres termes, vr dsigne le champ des vitesses dans tout le fluide. Enfin, le terme ( . )v grad v

uuuuurr r permet de rendre compte

que, mme dans un coulement stationnaire (dans le sens eulrien du terme), aux variations spatiales de la vitesse correspondent des acclrations pour les particules.

Gnralisation :

La drive particulaire dune grandeur vectorielle Gr est donne par :

( . )dG G v grad Gdt t

= +

r ruuuuur rr

Cette drive particulaire se dcompose en deux termes :

* ( . )v grad Guuuuur rr

: la drive convective, qui indique un caractre non uniforme de Gr.

* Gt

r

: la drive locale, qui indique un caractre non permanent de Gr.

Remarque :

On peut montrer que (se placer en coordonnes cartsiennes) :

18

2

( . ) ( )2v

v grad v grad rot v v = +

uuuuur uuuuur uuurr r r r

Exemple dun solide en rotation :

On considre un solide en rotation autour dun axe fixe (Oz). Tout point M li au solide possde un vecteur vitesse de la forme :

v r u=r r

o est la vitesse angulaire de rotation autour de laxe (Oz) et r la distance du point M laxe de

rotation. On calcule ( )rot vuuur r

en utilisant un formulaire danalyse vectorielle :

21( ) ( ) 2 2z zd

rot v r u ur dr

= = =uuuur rr r r

Remarque : pour un champ vectoriel de la forme ( )f r ur :

[ ] ( )1( ) ( )z

drot f r u rf r u

r dr=

uuur r r

Le rotationnel de la vitesse en un point du solide renseigne donc sur la rotation de ce point autour de laxe de rotation (Oz).

Le tourbillon, parfois appel vorticit (du latin vortex), est une formulation mathmatique de la dynamique des fluides relie la quantit de vitesse angulaire ou de rotation que subit un fluide localement. Une faon simple de visualiser le tourbillon est de considrer un fluide en mouvement dans lequel on dlimite un petit volume rigide. Si cette parcelle tourne par rapport un rfrentiel au lieu de translater, elle tourbillonne.

On dfinit alors, pour un fluide, le vecteur tourbillon par :

1 ( )2

rot v =uuurr r

Ce vecteur reprsente le vecteur rotation (locale) dune particule de fluide. Localement, le champ des vitesses dun fluide renseigne sur lexistence de tourbillons dans ce fluide par lintermdiaire de son rotationnel.

Translation simple gauche, rotation droite menant du tourbillon

Un coulement est dit non tourbillonnaire (ou irrotationnel) si le vecteur tourbillon est nul en tout point. Dans le cas contraire, lcoulement est dit tourbillonnaire.

Il ne faut pas confondre turbulences et tourbillons : un champ des vitesses de la forme 2k

v ur

=r r

est tourbillonnaire (comme on peut le vrifier en coordonnes cylindriques), mais il ne sagit pas dune turbulence.

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On peut calculer le vecteur tourbillon :

2 31 1 1 12 2 2z z

k d k krot u u u

r r dr r r = = =

uuurr r r r

La fonction mathmatique qui dcrit ce champ des vitesses est simple .

En pratique, les turbulences sont constitues de tourbillons de taille et de forme variables, qui se font et se dfont constamment.

Structure tourbillonnaire (exemple de la tornade) :

Cette structure correspond une situation bidimensionnelle o le fluide tourne autour de laxe

des z avec une vitesse orthoradiale ( , )v v r u=r r

. On suppose le fluide incompressible. Alors :

1 ( , )( ) 0v rdiv vr

= =

r

(donc v(r) ne dpend que de r uniquement et pas de )

On peut calculer le vecteur tourbillon :

[ ]1 1 1( ) ( )2 2 z

drot v rv r u

r dr = =

uuurr r r

Une telle structure de champ des vitesses correspond donc un vecteur tourbillon zu = r r

. On

pouvait sy attendre en faisant lanalogie avec un solide en rotation autour de laxe (Oz), ou encore par analogie avec le champ magntique cr par un courant lectrique section circulaire de longueur infinie.

En effet, le champ des vitesses dun fluide (incompressible) vrifie les quations locales :

( ) 0 ( ) 2div v et rot v= = uuur rr r

Un champ magntique permanent vrifie les quations de Maxwell :

00divB et rotB j= =uuurr r r

La source du champ magntique est le vecteur jr , celle de vr le double du vecteur tourbillon, 2r. Ainsi, si deux problmes, lun de magntostatique, lautre dcoulement incompressible,

prsentent les mmes symtries, les mmes conditions aux limites et les mmes rpartitions de

sources, alors les solutions (cest--dire les expressions du champ Br et de la vitesse v

r) seront

formellement identiques.

On considre le cas idal o :

0 00

pour r apour r a

<

Alors, pour 0 < r < a :

[ ] 0 01 1 ( ) ( )2d C

rv r soit v r rr dr r

= = +

La constante C = 0 sinon la vitesse serait infinie en r = 0 : 0( )v r r= .

20

Pour r > a :

[ ]2

01 1 ( ) 0 ( )2

ad csterv r soit v r

r dr r r

= = =

On a utilis la continuit de la vitesse en r = a pour dterminer la constante dintgration.

Champ des vitesses dune tornade.

Remarques :

Le thorme de Stockes donne :

( ) ( ) ( ). ( ). 2 .

C S Sv d rot v ndS ndS= =

uuurr rr r r rl

On obtient lquivalent du thorme dAmpre en magntostatique.

En prenant comme contour un cercle et comme surface celle de ce cercle, on obtient :

* Pour r < a :

20 02 ( ) 2 ( )rv r r soit v r rpi pi = =

* Pour r > a :

22 0

02 ( ) 2 ( )a

rv r a soit v rr

pi pi= =

On retrouve les rsultats prcdents.

Cas dun tourbillon ponctuel ou vortex :

La circulation de la vitesse sur une ligne de courant extrieure lil de la tornade est 2

02C api = . Cest donc une constante qui caractrise la tornade au mme titre que la donne de la vitesse angulaire 0 .

Le tourbillon est dit ponctuel (et nomm vortex) si 0a tout en maintenant C constante (finalement, 0 ).

Le champ des vitesses dun vortex scrit :

21

( )2C

v r ur

pi=

r (avec 0r )

Au cas limite du vortex correspond, en magntostatique, le cas dun fil infini parcouru par le

courant dintensit 2I a jpi= , pour lequel le champ magntique vaut 0( )2

IB r ur

pi

=

r.

4 Equation locale de conservation de la masse et consquences :

a) Dbit volumique, dbit massique :

On appelle dbit volumique Dv travers une surface (S) oriente, le volume de fluide qui traverse (S) par unit de temps, compt positivement dans le sens du vecteur normal la surface et ngativement dans le cas contraire.

Ce dbit vaut :

( ).v S

D v n dS= r r

Le dbit massique Dm correspond la masse de fluide qui traverse (S) par unit de temps, compt positivement dans le sens du vecteur normal la surface et ngativement dans le cas contraire :

( ) ( ). .m S S

D v n dS j n dS= = rr r r

avec j v=r r (vecteur densit de courant ou vecteur densit de flux de masse de lcoulement). Si le fluide est incompressible et homogne, donc si la masse volumique est constante et indpendante du point, alors :

m vD D= On peut remarquer que ces dbits sont les quivalents de lintensit lectrique, du flux thermique et du dbit de particules (vu en diffusion).

b) Equation locale de conservation de la masse :

On considre un volume V dlimit par une surface ferme S (fixe dans le rfrentiel dtude).

nr jr

dS

VVolume

Soit la masse volumique du fluide. La masse totale M(t) comprise dans le volume linstant t vaut :

( )( )

VM t d =

La conservation de la masse permet dcrire :

( )( ) ( )( , ) .V Sd M t d j n dSdt = r r

22

Le volume (V) tant fixe :

( )( ) ( ) ( , )( , )V Vd M tM t d ddt t = Finalement, le principe de conservation de la masse conduit

( ) ( )( , )

.

V S

M t d j n dSt

=

r r

En utilisant le thorme de Green-Ostrogradsky :

( ) ( )( , )

V V

M t d divj dt

=

r

soit ( )

( , ) 0V

M t divj dt

+ =

r

Ce rsultat tant vrai pour tout volume (V), il vient :

( , ) 0M t divjt

+ =

r

Cest lquation locale de conservation de la masse.

Consquences pour les coulements stationnaires : le flux de jr est conservatif ( 0divj =r ). Il en rsulte que :

* Le dbit massique sortant dune surface ferme est nul

* Le dbit massique travers toute section dun tube de courant est le mme un instant donn.

5 Interprtation de la divergence de la vitesse, cas particuliers des coulements incompressibles :

On peut crire lquation locale de conservation de la masse sous la forme :

( ) ( ) . 0div v div v v gradt t

+ = + + =

uuuuurr r r

Soit, en faisant apparatre la drive particulaire de la masse volumique :

1( ) 0 ( )D Ddiv v soit div vDt Dt

+ = = r r

Soit une particule de fluide situe au point M linstant t et m sa masse. Soient V(t) et V(t + dt) son volume aux instants t et t + dt. Alors, avec /m V = :

1 1 ( ) ( )( ) ( )D V D m DV V t dt V tdiv vDt m Dt V V Dt V t dt

+ = = = =

r

On voit ainsi linterprtation de ( )div vr : cest une mesure en chaque point du taux daccroissement relatif du volume de la particule de fluide au cours du temps.

23

Pour un coulement incompressible, 0DDt

= et ainsi ( ) 0div v =r . On en dduit que le dbit

volumique se conserve dans un tube de champ et donc concrtement dans une canalisation. En particulier, si la vitesse est constante sur une section de la canalisation :

1 1 2 2v S v S=

Ainsi, lorsque les lignes de champ dun coulement se resserrent, la norme du vecteur vitesse augmente.

6 Ecoulements non tourbillonnaires, potentiel des vitesses :

Un coulement non tourbillonnaire est tel quen tout point de lespace :

( ) 0rot v =uuur rr

On peut alors dfinir ( une constante prs) un potentiel des vitesses, not , par :

v grad= uuuuurr

Si lcoulement est de plus incompressible :

( ) 0 ( ) 0div v donc div grad= = =uuuuurr

Le potentiel des vitesses vrifie lquation de Laplace (vue en lectrostatique pour le potentiel lectrique), 0 = .

* Analogie lectrostatique :

24

Exemple dune source et dun puits bidimensionnels :

Champ des vitesses dune source bidimensionnelle.

(figures)

25

Ce flux reprsente un dbit volumique par unit de longueur de laxe (Oz), not Dv1 et joue

* Construction dun coulement par superposition :

Principe de superposition :

Diple hydrodynamique :

On considre lassociation dune source bidimensionnelle (dbit Dv1) et dun puits galement bidimensionnel (de dbit oppos - Dv1), situs proximit lun de lautre.

26

( droite)

de la figure

27

Conclusion :

Un diple hydrodynamique est constitu par la superposition dun puits (- Dv1) et dune source (+ Dv1) bidimensionnels trs proches (distance d) lun de lautre vis--vis des distances r dobservation.

Le potentiel du champ des vitesses est donn dans un systme de coordonnes cylindriques par :

28

1 cosvD dr

pi

=

7 Exemple ; coulement autour dune aile davion :

On considre une aile davion cylindrique daxe horizontal (Oz) et de rayon R, en mouvement

rectiligne uniforme vitesse xU ur dans le rfrentiel terrestre (R0).

Loin de laile, lair est au repos et la pression est constante (note P).

Il est commode pour exprimer les conditions aux limites sur laile de traiter le problme dans le rfrentiel (R) li lavion, o lon note v

r le champ eulrien des vitesses.

(Ecoulement dair autour dune aile davion.)

Loin de laile, la loi de composition des vitesses donne :

0( ) ( ) 0e x xv v v U u U u = = = rr r r r

r

M

x

y

O

Aile davion xuUvr

=)(

Hypothses :

Lcoulement est stationnaire.

Lcoulement est incompressible ; ce choix est convenable bien que lair soit un fluide compressible si lon suppose que lavion est subsonique (Voir paragraphe III-3).

29

Lcoulement est irrotationnel.

Lcoulement est plan et invariant par translation le long de laxe de laile (on nglige les

effets de bords) et on crit ( ) ( , ) ( , )r r

v M v r u v r u = +r r r

.

Recherche du champ des vitesses :

Lcoulement tant irrotationnel ( 0rot v =uuur rr

), il existe un potentiel des vitesses tel que :

v grad= uuuuurr

Lcoulement tant incompressible, 0div v =r , soit 0 = : le potentiel des vitesses vrifie lquation de Laplace. Etant donn linvariance par translation selon (Oz), le potentiel des vitesses est de la forme ( , )r . La solution gnrale de lquation de Laplace est dans ce cas :

0 01 1

( , ) ln ( ) cos( ) ( ) sin( )n n n nn n n nn n

r r r r n r r n

= =

= + + + + +

o les , ,n n n n

et sont des constantes quelconques. On reconnat dans cette expression un dveloppement en srie de Fourier du potentiel des vitesses r fix.

Le problme tant symtrique par rapport au plan mdiateur de laile y = 0, ce dveloppement est

pair en et les termes en sinus sont nuls :

0 01

( , ) ln ( ) cos( )n nn nn

r r r r n

=

= + + +

A linfini :

( ) ( cos )xv U u grad Ux grad Ur = = = uuuuur uuuuurr r

Soit cosUr = . On en dduit :

1 0; 0 ; 0 ( 1)nU pour tout n = = = Ainsi :

1( , ) cos ( ) cos( )nn

n

r Ur r n

=

= +

Sur laile, la coordonne normale (la vitesse radiale) de la vitesse doit sannuler :

( , )( , ) 0r

R

v Rr

= =

Or :

1

1cos ( ) cos( )nn

n

U n r nr

=

= +

Par consquent :

112

2cos cos( ) 0nn

n

U n R nR

=

+ =

30

Do :

21 2 0nUR et >= =

Finalement :

2

( , ) cosRr U rr

= +

On en dduit les coordonnes du champ des vitesses :

2

2

2

2

1 cos

1 1 sin

r

Rv U

r r

Rv U

r r

= =

= = +

Ecoulement autour d'un cylindre. La fin de l'animation montre la dsintgration du tourbillon (vortex)

symtrique. Ce type d'coulement peut s'observer quand on touille une tasse de caf.

Remarque :

Au paragraphe (II-2), on a donn les coordonnes cartsiennes de la vitesse :

31

2 2 2 2

0 02 2 2 2 2 2( )1 ; 2( ) ( )x yy x R xyR

v v v vx y x y

= + = + +

On peut retrouver ces coordonnes partir des coordonnes de la vitesse en polaires. En effet, pour la coordonne selon laxe (Ox) :

2 22 2

2 2cos sin 1 cos 1 sinx rR R

v v v U Ur r

= = +

Soit :

( )2 2 2 22 22 2 2 2cos sinx R R x yv U U U Ur r r r

= + = +

Finalement, avec 0v U= et 2 2 2r x y= + :

2 2 2

02 2 2( )1 ( )xy x R

v vx y

= + +

On obtiendrait de mme lexpression de vy.

III) Equations dynamiques locales des fluides parfaits :

1 Forces volumiques, forces massiques :

Dans lhypothse du fluide parfait, on nglige les forces de viscosit. Un lment de fluide de

volume d et de masse dm est soumis des forces de reprsentation massique ou volumique selon lexpression :

( : )m v v mdf f dm f d avec f f = = =

r r r r r

Exemples :

Forces de pesanteur :

;m vf g f g= =r rr r

Forces de pression :

1; ;v mdf gradP d f gradP f gradP = = =

uuuuur uuuuur uuuuurr r r

Comment dmontrer le principe dArchimde ?

(cf figure)

32

(figure B)

33

(Figure A)

Une couronne en or ou en mtal quelconque ?

Pourquoi un bateau flotte et existence du mouvement perptuel ?

La condition pour qu'un bateau puisse flotter est relativement simple : il faut que son poids total soit infrieur au poids d'un volume d'eau gal son volume immergeable ( peu prs le volume de sa coque). Une chose moins simple est de s'assurer que le bateau ne chavirera pas : on a vu un galion nomm Vasa se retourner dans le port de Stockholm le jour de son baptme !

34

A : pourquoi un bateau flotte ? B : le mouvement perptuel ?

Un bateau qui flotte ( 0AF mg+ =rr r) est stable quand une rotation d'un angle (angle de roulis)

engendre un couple qui s'oppose cette rotation. Lors de cette rotation, qui s'effectue volume

immerg constant, le couple cr est gal au moment de AFr par rapport au centre de gravit G

du bateau, ' AGG Fuuuur r

, o G'() est l'isobarycentre du volume immerg.

Mais le sens de ce moment est complexe dterminer car le point d'application G'() n'est pas un point fixe du bateau. Toutefois, chaque point de la droite verticale D() contenant G'()

rpond la dfinition de point d'application pour AFr. Pour des angles pas trop grands, les

droites D() dfinies dans le repre li au bateau se coupent toutes en un mme point C.

Tout se passe donc comme si la pousse d'Archimde s'appliquait au point C, appel centre de pousse ou mtacentre, fixe par rapport au bateau. Ce centre de pousse (une fois dtermin par des calculs en gnral complexes) permet de qualifier facilement la stabilit.

Le bateau est stable lorsque son centre de pousse C est au-dessus du centre de gravit du bateau

G (le moment des forces tend ramener le bateau vers sa position = 0) et la stabilit est d'autant meilleure (forte intensit du couple s'opposant au roulis) que C est haut par rapport G. En pratique, on augmente la stabilit des bateaux en abaissant leur centre de gravit G, que ce soit en lestant leur quille ou en plaant les chargements lourds en fond de cale.

Les limites Archimde :

On a reprsent (figure B) en coupe un cylindre homogne susceptible de tourner autour de son

axe et moiti immerg dans une cuve d'eau (des joints entre la paroi de la cuve et le cylindre assurent l'tanchit sans gner une rotation ventuelle). Si on cherche appliquer le thorme d'Archimde, il est clair que le cylindre ayant une moiti dans l'eau et une moiti dans l'air (de densit ngligeable), le centre de gravit G' des fluides dplacs se trouve dans la partie

immerge dans l'eau. La pousse d'Archimde exerce donc un couple non nul par rapport . Comme le poids s'exerce au centre de gravit G appartenant , son moment par rapport , ainsi que celui de la raction de l'axe, est nul et le moment de la pousse d'Archimde n'est donc pas compens : le cylindre tourne. On en dduit alors, avec sans doute une certaine excitation, que l'on a enfin invent le mouvement perptuel ! Cette conclusion, dmentie hlas par l'exprience, est galement dmentie par un raisonnement sur les forces lmentaires de pression qui s'appliquent sur le cylindre : chacune de ces forces normales la surface est concourante ou

parallle (respectivement pour les forces s'appliquant sur la surface cylindrique et sur les deux

35

sections fermant le cylindre), elles ont donc toutes un moment nul par rapport , et le cylindre ne doit donc pas tourner !

Ce paradoxe (apparent) clbre rappelle que le thorme d'Archimde n'est applicable que lorsque l'objet immerg peut tre remplac, sans perturber les fluides entourant l'objet, par des fluides qui seraient l'quilibre mcanique. Or, il est clair ici que cette condition ne peut tre remplie : dans le cas envisag, l'interface entre l'eau et l'air n'est pas horizontale ! En conclusion, hormis le cas trivial d'un objet compltement immerg dans un seul fluide connexe, il sera toujours prudent, avant de faire appel Archimde, de vrifier que l'on peut effectivement remplacer l'objet par des fluides en quilibre !

2 Equation dEuler, applications :

Dans un rfrentiel galilen (R), la relation fondamentale de la dynamique applique une

particule de fluide de masse dm dont on suit le mouvement et soumise aux forces dFr scrit :

Dvdm dFDt

=

rr

Or :

2

( . ) ( )2

Dv v v vv grad v grad rot v v

Dt t t

= + = + +

r r ruuuuur uuuuur uuurr r r r

vdF gradP d f d = +uuuuur rr

dm d = Do lquation dEuler :

( . ) vv

v grad v gradP ft

+ = +

r uuuuur uuuuur rr r

Ou encore :

2

( )2 v

v vgrad rot v v gradP ft

+ + = +

r uuuuur uuur uuuuur rr r

Applications :

Exemple des coulements gostrophiques :

On considre un point O de latitude la surface de la Terre et un repre (Oxyz) du rfrentiel terrestre (R). Le rfrentiel terrestre est en rotation avec un vecteur SNu =

r r dirig par laxe

Sud Nord par rapport au rfrentiel gocentrique galilen. Il apparat donc dans le rfrentiel terrestre des forces de Coriolis et des forces dinertie dentranement. Rappelons que par dfinition du poids, les forces dinertie dentranement sont incluses dans le poids que nous

supposerons dcrit par un champ de pesanteur zg gu= r r

localement uniforme. On va chercher

un critre pour pouvoir ngliger tous les termes contenant la vitesse dans lquation dEuler sauf celui d aux forces de Coriolis. Pour cela on se donne une vitesse caractristique v, une chelle

spatiale caractristique L et une dure caractristique dvolution pour le champ des vitesses de telle sorte que :

36

( . ) ( / )v grad v v v L vv Lv

uuuuurr r

r r

( / ) 1v

vtvv

r r

y

O

r

z

Ainsi, pour des vents tels que 10,1 .v m s voluant sur une dure suprieure dix jours sur des chelles spatiales de lordre dau moins cinquante kilomtres, on a, avec 5 17.10 .rad s = :

2 1( . )

3.10 10

vv grad v t

etv v

< <

uuuuurr r

r rr r

Ceci permet de ngliger lacclration et dcrire lquation dEuler sous la forme simplifie :

2 0gradP g v + =uuuuur rrr r

Cas des vents horizontaux :

On suppose dsormais que le mouvement vertical est ngligeable. Le terme de Coriolis scrit alors :

2 sin02 cos 2 sin

sin 2 cos

y

icx

x

vdF

vd

v

=

La composante verticale de la force de Coriolis est ngligeable devant le poids, de telle sorte que lquation dEuler projete sur la verticale conduit seulement la relation de la statique des

fluides, /P z g = . En dfinitive, en notant / / sinz z zu u = = r r r

, lquation dEuler dans

le plan horizontal scrit vectoriellement :

/ /2gradP v= uuuuur r r

37

Allure des lignes de courants :

Pour comparer les lignes de courant dfinies par ( ) 0d OM v =uuuur rr

et les isobares dfinies par :

. ( ) 0dp gradP d OM= =uuuuur uuuur

On prend le produit scalaire de lquation prcdente par ( )d OMuuuur

:

/ / / /( ). 2 ( ). ( ) 2 ( , , ) 2 sin .( ( ) )zdp d OM grad p v d OM v OM u d OM v = = = = uuuur uuuuur uuuur uuuur uuuurr rr r r r

Ainsi le long dune isobare on a dp = 0 et donc le vecteur ( )d OM vuuuur r

qui est parallle zur doit

tre nul afin davoir une ligne de courant. On montre donc que les isobares sont aussi lignes de courant.

A

P1

P2 P3

Sens de rotation des vents autour dun anticyclone (P3 < P2 < P1) dans lhmisphre Nord.

En outre, au voisinage dun anticyclone (A) dans lhmisphre Nord (sin > 0), on dp < 0 lorsquon sloigne du centre et la relation ci dessus impose que le tridre ( , ( ), )zu d OM v

uuuurr r soit

indirect : donc le vent tourne dans le sens des aiguilles dune montre autour dun anticyclone dans lhmisphre Nord. Le sens de rotation est invers pour une dpression dans lhmisphre Nord car alors dp > 0. Enfin les sens de rotation sont inverss dans lhmisphre Sud car alors

sin < 0.

Oscillations dun fluide dans un tube en U :

On souhaite tudier les oscillations d'un fluide incompressible dans un tube en U de faible section en intgrant lquation dEuler le long dune ligne de courant. On suppose que les surfaces libres restent dans les parties rectilignes et verticales du tube.

Solution :

La cote de la surface libre du fluide dans la branche droite du tube est note z. Soit s labscisse

curviligne dun point M du fluide. La vitesse scrit ( , ) ( )v M t z t T= rr & , o Tr est le vecteur unitaire tangent la ligne de courant (voir figure).

38

Lintgrale de lquation dEuler scrit :

2( , ) ( , ) 1. ( , ) ( , ). 0

2

BB B

PmA AA

v M t v M td e M t gradP M t dt

+ + + =

r uuuuurr rl l

Soit :

2 0Lz gz+ =&&

Do un mouvement oscillant sinusodal de priode 22LTg

pi= .

La mthode de rsolution utilise ici se gnralise et conduit au thorme de Bernoulli.

3 Relations de Bernoulli, applications :

On suppose dans la suite que la seule force volumique (autre que les forces de pression) est le poids.

Cas dun coulement parfait, stationnaire, irrotationnel, incompressible et homogne :

Lquation dEuler devient :

2

2vgrad gradP g = +

uuuuur uuuuur r

En notant :

( )g grad gz = uuuuurr

(laxe (Oz) est orient vers le haut)

Alors :

2

( )2vgrad gradP grad gz =

uuuuur uuuuur uuuuur

Do :

39

2

02vgrad gz P + + =

uuuuur r

Un champ scalaire dont le gradient est nul est indpendant du point M ; cest une fonction du temps uniquement f(t). Comme lcoulement est stationnaire, cette fonction est constante :

212

v gz P C + + = (Thorme de Bernoulli)

Ainsi, le thorme de Bernoulli affirme que la quantit 212

v gz P + + reste en tout point gale une mme constante.

Remarque :

Dans le CP o v = 0, on retrouve la relation fondamentale de lhydrostatique des fluides

( gz P C + = ). On remarque que 212

v et gz dsignent les nergies volumiques cintique et potentielle (de pesanteur), homognes une pression.

Cas dun coulement parfait, stationnaire, incompressible et homogne :

On renonce lhypothse coulement irrotationnel . Alors :

2

( )2v

rot v v grad gz P = + +

uuur uuuuurr r

Ligne de courant

B z

zB

O

zA A

Afin dliminer le terme en rotationnel, on multiplie scalairement par drr et on intgre le long dune ligne de courant entre deux points A et B :

2

( ). .2

B B

A A

vrot v v dr grad gz P dr = + +

uuur uuuuurr r r r

En tout point, drr est parallle au champ des vitesses : le terme ( ).rot v v druuur r r r

est donc nul.

Ainsi :

2

. 02

B

A

vgrad gz P dr + + =

uuuuur r

Soit :

2 21 12 2A A A B B B

v gz P v gz P + + = + +

40

Ainsi, labandon de lhypothse coulement irrotationnel restreint le thorme de Bernoulli aux points A et B dune mme ligne de courant.

Cas dun coulement parfait, non stationnaire, irrotationnel, incompressible et homogne :

Lquation dEuler devient :

2

( )2

v vgrad gradP grad gzt

+ =

r uuuuur uuuuur uuuuur

Soit :

212

v grad v P gzt

= + +

r uuuuur

Comme 0rot v =uuur rr

, on peut dfinir un potentiel des vitesses tel que v grad= uuuuurr

. Alors, avec :

( )v grad gradt t t

= =

r uuuuur uuuuur

Il vient :

21 02

grad v P gzt

+ + + = uuuuur r

Soit une gnralisation du thorme de Bernoulli dans le cas non stationnaire :

21 ( )2

v P gz f tt

+ + + =

(fonction du temps uniquement)

Interprtation nergtique du thorme de Bernoulli :

On se place dans le cas dun coulement parfait, stationnaire, irrotationnel, incompressible et homogne. Alors :

212

v gz P C + + =

En multipliant par le volume d dune particule de fluide :

212

d v d gz P d Cste + + =

On reconnat :

d gz : nergie potentielle de pesanteur de la particule de fluide.

21

2d v : nergie cintique de la particule de fluide.

P d : nergie potentielle associe aux forces de pression.

Le thorme de Bernoulli, plus gnral que la simple conservation de lnergie mcanique dun point matriel dans un milieu non continu, est un cas particulier du 1er principe :

41

, ,( )c macro p macrod U E E P d Q + + = +

Avec 0dU Q= = : les hypothses implicites de lapplication du thorme de Bernoulli sont les aspects isothermes et adiabatiques de lvolution. En effet, pour un fluide parfait, lnergie interne ne dpend que de la temprature. Par ailleurs, laspect adiabatique de la transformation ne pose pas de problme particulier ; en labsence de transfert thermique en provenance de lextrieur du fluide, il n y a pas de production de chaleur au sein mme dun fluide non visqueux.

Applications :

Ecoulement permanent et lent dun fluide compressible :

Peut-on appliquer le thorme de Bernoulli sous sa forme la plus simple un fluide compressible comme lair ? On rappelle la dfinition du coefficient de compressibilit :

1 1 ( )TT

V dV T csteV P V dP

= = =

Il peut encore scrire en fonction de la masse volumique : m

V =

1T

ddP

=

On suppose quil est possible de ngliger les variations de pour un coulement permanent o la vitesse varie entre 0 et vmax. Daprs le thorme de Bernoulli (en labsence de variation de la cote z), la pression varierait entre Pmin et Pmax avec :

2max

max min min 2vP P P P = + = +

Une telle variation de pression est compatible avec lhypothse si la variation de qui lui est lie est faible en valeur relative, soit si :

22 2max

max

22T T T

vP soit v

=

42

Jet homocintique lair libre :

On considre lcoulement stationnaire dun fluide incompressible sous forme :

* dun jet libre, cest--dire sans aucun contact avec une surface rigide ou un autre fluide ;

* de vitesse constante xv v u=r r

.

Ce jet est dit homocintique.

xv vu=r r

Jet homocintique

On suppose que les seules forces intervenant sont les forces de pression ; la relation de Bernoulli scrit, dans tout le jet :

43

212

v P cste + =

La vitesse tant la mme en tout point du jet, il en est de mme de la pression. Aux bords du jet, au contact de latmosphre, la pression vaut P0. Cest donc la pression en tout point du jet.

Dans un jet homocintique lair libre, la pression est uniforme et gale celle existant dans le milieu extrieur. On admettra ce rsultat pour tout jet lair libre.

Le phnomne de Venturi :

Un coulement stationnaire homogne incompressible et soumis aux seules forces de pression, est limit par une conduite de section variable. Le problme est unidimensionnel : toutes les grandeurs ont une valeur uniforme sur une section droite de la conduite.

La conservation du dbit volumique Dv entre les deux sections daires SA et SB donne :

A A B Bv S v S= soit A Bv v<

Lapplication du thorme de Bernoulli entre deux points A et B situs sur une mme horizontale donne :

2 21 12 2A A B B

v P v P + = +

On en dduit que A BP P> : les rgions de faible section, donc de grande vitesse, sont aussi des

rgions de basse pression (effet Venturi).

Dans les tubes verticaux, le fluide est immobile et les hauteurs de liquide mesurent les pressions PA et PB :

A atm A B atm BP P gh et P P gh = + = + On en dduit la diffrence de pression :

( )A B A BP P g h h = On peut ensuite en dduire le dbit volumique dans la conduite, en calculant pralablement vA :

22 2 2 2 2 ( ) 2 ( )AA B A A B A A B

B

Sv v v v P P g h h

S

= = =

Do :

44

2

2 2 2 ( )BA A BA B

Sv g h h

S S=

Et le dbit volumique Dv vaut :

2

2 2 2 ( )Bv A A A A BA B

SD S v S g h hS S

= =

Le tube de Venturi peut ainsi servir de dbitmtre.

Remarque : leffet Venturi reste bien vrifi par un gaz compressible comme lair, tant que sa vitesse reste infrieure la vitesse de propagation du son.

Autre consquence de leffet Venturi (balle de ping-pong dans un flux dair) :

Dans le cas o la balle est tout prs de lentonnoir, la vitesse de lair au voisinage des points proches (B et C sur la figure) est suprieure la vitesse au sommet de la balle (par exemple, au point A). Par le thorme de Bernoulli, la pression en B et en C est infrieure la pression en A. La rsultante des forces de pression sera dirige vers le bas et aura donc tendance plaquer la balle contre lentonnoir.

Cas o la balle est loin de lentonnoir : la vitesse de lcoulement est plus leve au centre du jet dair quaux bords et donc si la balle est dcentre par rapport au jet dair, la pression du ct du centre (A) est plus faible que du ct du bord (B). La rsultante des forces de pression est dirige de B vers A, donc aura tendance ramener la balle au centre du jet dair. Elle agit comme une force de rappel. La balle semble attire par les rgions de lcoulement o la vitesse est la plus rapide.

Balle de ping-pong dans un jet dair.

Lorsque que le jet est vertical ( droite), la balle est maintenue en suspension par une

force de trane parallle lcoulement. Si on lincline ( gauche), la balle reste suspendue grce une force dattraction due la dviation du jet.

45

Autres consquences de leffet Venturi :

Effet de sol pour une formule 1 : PA > PB.

Deux bateaux naviguant cte cte ou amarrs dans un courant. La dflexion des lignes de courant entre les navires produit une chute de pression par effet Venturi et les deux bateaux

prouvent une force qui les pousse lun vers lautre.

De forts vents peuvent tre crs par effet Venturi dans les rues aux btiments aligns.

46

Vidange dun rservoir ; formule de Torricelli :

En tudiant lcoulement de leau par un orifice de surface S perc dans le bas dune cuve, Torricelli observa que le jet sortait perpendiculairement la surface S, avec un dbit volumique Dv(t) proportionnel S et la racine carre de la hauteur deau H(t) dans la cuve.

H

S U

Lignes de courant

Comment interprter ce rsultat ? La conservation du dbit donne :

( ) ( )vdHD t SU tdt

= =

o U(t) est la vitesse de sortie dans le jet et la section de la cuve. Comme S

47

On obtient une loi analogue la loi de la chute libre dans le champ de pesanteur.

Ensuite, le jet suit une loi de chute libre avec la vitesse initiale U horizontale, do la forme parabolique du jet.

1er exercice ; temps de vidange dun rservoir :

Le liquide considr est un fluide parfait en coulement incompressible.

Solution :

48

Le tube de Pitot (Ingnieur franais, XVIIIme sicle) :

Remarque ; influence de lorientation de louverture dun tube :

On place deux tubes dans un coulement liquide, comme prcis sur la figure.

En A, la vitesse est celle de lcoulement, note v.

En B, le fluide est immobile et aucune ligne de courant ne passe.

Il y a continuit de pression entre les points A et A et entre les points B et B.

Le thorme de Bernoulli et le principe fondamental de la statique des fluides donne :

49

21 2

12 A B atm A B

v P P et P P gh P gh + = = =

Par consquent, la vitesse de lcoulement est :

2 12 ( )v g h h= Le choix de lorientation des tubes permet donc, par une mesure de dnivellation, den dduire la vitesse du fluide.

Sonde Pitot :

On place un obstacle dans un coulement dair (voir figures).

On mesure la pression en un point A situ face lcoulement et en un point B situ sur le ct. Le thorme de Bernoulli donne, en ngligeant gz :

Or, la vitesse en A est nulle. On obtient ainsi :

2( )A BB

P Pv

=

Ainsi, la mesure statique de la diffrence de pressions (PA PB) permet daccder la mesure de

la vitesse au point B, sachant que (on suppose ici que liq >> :

'A B D B D C liqP P P P P P gh = = =

Il vient :

2 lidBv gh

=

A

B

B

B

A

B

A

liq

Tube de Pitot pour la mesure de la vitesse dun coulement.

50

Effet Magnus et application aux effets dans les balles de tennis et les ballons de foot :

On se place dans le rfrentiel barycentrique du ballon : le ballon tourne donc autour dun axe passant par le barycentre de la balle et le fluide se dplace par rapport ce rfrentiel.

Cas du dessin du haut (effet lift) : en B, la vitesse est infrieure la vitesse en A (le point B lutte contre le fluide) ; par consquent, daprs le thorme de Bernoulli, PB > PA. Il apparat ainsi une rsultante des forces de pression verticale et dirige vers le bas. Cest leffet Magnus. La balle va descendre plus rapidement quen labsence deffet.

51

Dessin du haut : lift Dessin du bas : slice (Attention, les figures sont traces dans le rfrentiel barycentrique de la balle).

Dans le cas de leffet slic, cest le contraire : la force rsultante est vers le haut et la balle aura tendance aller plus loin quen labsence deffet.

Exercice sur leffet Magnus :

52

le potentiel des vitesses en coordonnes cylindriques :

Solution :

53

Portance des avions :

Le profil dune aile est tel que le mouvement de lair peut tre considr comme la somme dune

translation (avec le vecteur vitesse v

r, qui reprsente la vitesse de lair loin de laile) et dune

rotation au voisinage du profil de laile. Par consquent, la vitesse rsultante est plus grande sur

Force de portance dune aile.

Intrados

54

O est la masse volumique du fluide, S laire dune surface de rfrence de lobstacle, v la

vitesse du fluide par rapport lobstacle loin de celui ci, Cy le coefficient de portance et Cx le coefficient de trane.

Les coefficients Cx et Cy sont des nombres sans dimensions. Ils dpendent de la forme et de lorientation de lobstacle. Il y a deux faons de les dterminer : en faisant des essais en tunnel et par la simulation numrique. Le fait de pouvoir simuler des coulements en faisant des essais en grandeur rduite dans des tunnels ou en soufflerie et la manire dextrapoler ensuite vers la grandeur relle seront examins au paragraphe similarit et nombre de Reynolds .

Sphre : Les objets ronds, tels que les balles de tennis, subissent une trane dintensit modre.

Aile davion : La forme dune aile davion rduit la trane.

Carr : Les objets plats bords carrs subissent une trane de grande intensit.

IV) Ecoulements dun fluide rel ; viscosit dun fluide et nombre de Reynolds :

1 Constatations exprimentales :

La dmarche consiste partir de constatations exprimentales.

1 Il existe une force de rsistance au cisaillement du fluide. Par exemple, faire glisser deux plaques parallles entourant un fluide ncessite lapparition dune force tangente aux plaques.

2 A linterface fluide solide, 0fluide solidev v =rr r : par exemple, on constate que la poussire

reste colle aux ples dun ventilateur.

Il faut ainsi tenir compte dune force de viscosit volumique pour expliquer le rsultat (1).

Tenir compte de (2) implique une modification des conditions aux limites :

55

Dans le cas dun fluide parfait, il ny a pas de conditions aux limites particulires pour la vitesse tangentielle dune particule de fluide sur une paroi solide : elle peut, en particulier, tre diffrente de 0 (la composante normale sera toujours nulle).

Pour un fluide visqueux, il faudra par contre crire la nullit de la composante tangentielle la surface de lobstacle :

tan ( / ) 0v fluide paroi =rr (Vitesse tangentielle)

Il apparat une couche limite au voisinage de linterface solide fluide dans laquelle la vitesse tangentielle va progressivement sannuler.

Couche limite

Paroi

vr

Par ailleurs, la viscosit est un processus dissipatif. Le fluide va perdre de lnergie lors de son mouvement et les particules fluides changent de la chaleur (processus non adiabatique).

Finalement, la diffrence essentielle entre fluide parfait et fluide visqueux apparat dans lexistence de couches limites (plus ou moins paisses) au contact des parois solides. A lintrieur de ces couches, la vitesse tangentielle dun fluide visqueux passe progressivement dune valeur nulle (sur la paroi) une valeur prdite de manire acceptable par le modle du fluide parfait.

En fonction de la portion de paroi considre, ces couches limites peuvent tre laminaires ou turbulentes, avec des transitions de lune lautre en des points particuliers. Limportance de la trane dpend fortement de la structure de la couche limite.

Couche limite. A : coulement parfait autour dune plaque mince. B : coulement rel ; en pointills, lpaisseur de la couche limite.

56

On considre la plaque prcdente suppose carre de cts L, en mouvement uniforme la

vitesse xv vu=r r

.

Dans la couche limite, les frottements dominent et le terme de diffusion de quantit de mouvement est prpondrant. En dehors, cest au contraire le terme de convection qui lemporte.

A la surface de la couche limite, ces deux termes seront du mme ordre de grandeur, soit :

( . ) )v grad v v uuuuurr r r

On note lpaisseur de la couche limite et U0 la vitesse du fluide loin de la couche limite : 20( . ) ( ) Uv grad v v v

x L

uuuuurr r

2 20

2 2 2

Uv vv

x y

+

r

Do :

20 0

20 0

U U L Lsoit

L U U

Le nombre de Reynolds vaut (voir paragraphe (5)) 0eLUR

= , do lpaisseur de la couche

limite :

e

LR

Par exemple, pour une aile davion :

1 5 2 105 ; 50 . ; 1,5.10 .L m U m s m s

= = =

Alors, 71,7.10eR = et = 1,2 mm. Lpaisseur est trs faible et on peut dire que le modle de lcoulement parfait est valable dans tout lespace.

Par contre, si le nombre de Reynolds est faible (< 1 par exemple), alors > L : dans ce cas, la viscosit est primordiale (coulement par exemple de miel sur une cuillre).

Sillage :

57

Ecoulement laminaire et coulement turbulent :

Lorsque le vecteur vitesse dun coulement ( , )v r tr varie erratiquement (dun point lautre t fix, ou en un point donn en fonction du temps), on dit que lcoulement est turbulent. La vitesse de lcoulement est gnralement importante .

Exemples dcoulements laminaires et turbulents.

Dans le cas contraire, lcoulement est qualifi de laminaire : il peut tre dcrit comme un ensemble de lames ou de couches glissant les unes sur les autres. La vitesse de lcoulement est alors faible .

58

* Dans la couche limite, lcoulement peut tre laminaire ou turbulent.

* Dans les coulements rels, on peut observer un dcollement de la couche limite : cest ainsi quapparat le sillage dans lcoulement autour dune sphre. Une couche limite turbulente rsiste mieux au dcollement quune couche limite laminaire.

Exemple ; les tourbillons marginaux derrire les avions :

Allure des tourbillons marginaux

59

2 Equations du mouvement dun fluide visqueux incompressible (quation de Navier-Stokes) :

Le principe fondamental de la mcanique appliqu une particule de fluide et en tenant compte de la force de viscosit conduit lquation de Navier Stokes :

60

3 Exemples de rsolution de lquation de Navier-Stokes :

a) Ecoulement de Couette plan :

Solution :

61

b) Ecoulement de Poiseuille :

En 1835 un mdecin franais, Poiseuille fit une srie dexpriences pour dterminer comment un fluide visqueux scoule dans un tuyau droit. Son but tait de comprendre la dynamique de la circulation sanguine chez lhomme sachant que le plasma sanguin se comporte comme un fluide newtonien.

Le manomtre lit la pression dans la manchette enroule autour du bras. La petite ampoule de caoutchouc pompe de lair dans la manchette, augmentant la pression, jusqu coupure du flux sanguin dans lartre brachiale dans le bras suprieur. La pression est libre progressivement

et, laide dun stthoscope, on entend le sang lorsquil recommence scouler.

62

La tension artrielle varie dans le corps en partie cause de la pesanteur.

Un fluide visqueux incompressible de densit scoule dans un tube cylindrique de longueur L et de rayon R. La pression lentre du tube (z = 0) est PE. La pression la sortie du tube est PS.

z

L

On va calculer les champs des vitesses et de pression lintrieur du tube.

devient :

63

dont la solution est P(z) = cz + a, avec a une constante dintgration. Les conditions aux limites donnent finalement :

( ) E SEP PP z P z

L

=

et la solution pour le champ des vitesses est :

2 2( ) ( )4E S

z

P Pv r R r

L

=

A partir de cette solution, on peut calculer le dbit volumique D de lcoulement (en m 3 .s 1), en

notant E SP P P = la chute de pression dans le tube :

donne sur la figure.

64

appele quation de Poiseuille, qui exprimer la chute de pression P dans un tube de longueur L, de rayon R, pour un fluide de viscosit en coulement stationnaire, en fonction du dbit volumique D.

Ecoulement de Poiseuille : coulement dans un cylindre. Force de frottement subie par le fluide :

Sur la paroi du cylindre, la contrainte de viscosit (par unit de surface) a pour expression :

v z

r R

dvf udr

=

=

r r

Cest la force quexerce la paroi sur le fluide qui glisse sur elle. Pour calculer la rsultante de ces forces de viscosit, on crit :

2E S

r R

P Pdv Rdr L

=

=

Puis :

2(2 )2E S

v z z

P PF R RL u R PuL

pi pi

= = r r r

Lcoulement tant stationnaire, la quantit de mouvement totale du fluide contenu dans le cylindre reste constant au cours du temps, par consquent :

Pr Pr' '

0ession ession v l entre l entre

F F F+ + =rr r r

Par consquent :

( )2 2 2Pr Pr' '

v ession ession e s z z l entre l entre

F F F R P R P u R Pupi pi pi = + = =

r r r r r

On retrouve bien le rsultat prcdent.

65

Complments ; le systme cardio vasculaire humain :

c) Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux :

66

67

4 Similarit et nombre de Reynolds (Hors programme) :

a) Introduction :

On constate que, mis part les quelques cas que lon peut rsoudre analytiquement, il est trs difficile de rsoudre les quations du mouvement dun fluide visqueux.

Ecoulement autour dun obstacle.

68

b) Equations normalises et nombre de Reynolds :

des grandeurs sans dimension. La 1re tape est de partir de lquation de Navier Stokes en

divisant par sous la forme :

21 1( )2

vrotv v grad v gradP v

t

+ + = +

r uuur uuuuur uuuuurr r r

dynamique

Soit, en faisant intervenir le vecteur tourbillon 1 ( )2

rot v =uuurr r

:

21 12 ( )2

vv grad v gradP v

t

+ + = +

r uuuuur uuuuurr r r

On prend le rotationnel de lexpression prcdente. On obtient (sachant que le rotationnel dun gradient est nul) :

2 2 ( ) ( )rot v rot vt

+ =

ruuur uuurr r r

Or :

( ( )) ( ( ))rot rot v grad div v v= uuur uuur uuuuurr r r

Soit, avec 1 ( )2

rot v =uuurr r

et ( ) 0div v =r (fluide incompressible) :

2 ( )rot v = uuur r r

Puis :

2 ( ( )) ( ) 2 ( )rot rot rot v grad div = = uuur uuur uuur uuuuurr r rr

La divergence dun rotationnel tant nul, il vient finalement que :

( ) 2rot v = uuur rr

Et lquation de Navier Stokes devient :

( )rot vt

+ =

ruuur r rr

69

Ce sont des grandeurs sans dimensions. Lquation vrifie par le vecteur tourbillon devient :

2

21 1 '

' ; ; ' ' '' '

v v vv v v

D t D t D D t D t

= = = = = =

r rr r r r r rr r

2

21( ) ' ( ' ') ' ( ' ')v vv v v vD D D

= = r r r r r rr r r

2 31

' '

v v

D D D = =

r r r

Alors, en substituant dans lquation vrifie par le vecteur tourbillon et en simplifiant par 2 2/v D

:

'

' ( ' ') ' ''

vt Dv

+ =

rr r rr

Ainsi, ces quations pour le champ normalis 'Dv

= r r

ne dpendent donc que dun seul

paramtre, sans dimensions, appel nombre de Reynolds :

70

e

DvR

=

c) Ecoulements similaires :

a a aa

a

D vR

=

Ecoulement autour dune aile grandeur nature (a) ; coulement autour dune aile modle rduit (b) ; coulement dans lespace normaliss (c). Les coulements sont similaires sils ont

le mme nombre de Reynolds.

71

En effet, on a montr au paragraphe prcdent que ces coulements, ayant le mme nombre de Reynolds, taient dcrits par la mme quation normalise.

En particulier, les lignes de courant seront les mmes (au facteur de proportionnalit /a bD D prs). Une photographie instantane des lignes de courant de lcoulement (b) est identique celle de lcoulement (a).

Supposons que lon mesure une force bFr

(par exemple, une force de portance et de trane sur une aile) exerce par le fluide (b) sur lobstacle modle rduit . Quelle est la force que lon peut

prdire pour aFr

dans le cas (a) grandeur nature ?

72

Le but des essais en tunnel aro/hydro-dynamique (ou des simulations numriques) est dobtenir ces coefficients Cx et Cy en fonction des paramtres : nombre de Reynolds Re, angle dincidence i et forme de lobjet. Une fois les Cx et Cy connus, les expressions prcdentes permettent de prdire quelles seront les forces dans le cas grandeur nature .

Complments ; rgimes dcoulement dans un canal et nombre de Froude :

Le nombre de Froude, de l'hydrodynamicien anglais William Froude, est un nombre adimensionnel qui caractrise dans un fluide l'importance relative des forces lies la vitesse et la force de pesanteur.

Ce nombre apparat essentiellement dans les phnomnes surface libre, en particulier dans les tudes de cours d'eau, de barrages, de ports et de navires (architecture navale). Il est galement important dans la mtorologie pour l'coulement en montagnes.

Si le fluide ne peut tre assimil un fluide parfait, il faut aussi prendre en compte le nombre de Reynolds.

Le nombre de Froude Fr pour un canal rectangulaire est dfini par :

r

vFgh

=

o v est la vitesse de l'coulement, g l'acclration de la pesanteur et h une dimension linaire caractristique du phnomne.

Exemple :

Leau est assimile un fluide parfait, incompressible, de masse volumique . Elle scoule dans un canal de section droite rectangulaire, de largeur l constante et de profondeur h.

La surface libre est en contact avec lair atmosphrique la pression P0. Lcoulement est suppos permanent, irrotationnel et de direction horizontale (xx). Le champ de pesanteur est uniforme.

a) Montrer que la quantit :

2

2vH hg

= +

est constante le long de lcoulement.

b) On note vq

=l le dbit volumique par unit de largeur. Exprimer (h) et mettre en vidence,

pour un dbit donn, lexistence de deux rgimes dcoulements possibles.

On introduit le nombre de Froude :

73

r

vFgh

=

Lcoulement est dit fluvial ou torrentiel selon que Fr est infrieur ou suprieur 1.

Identifier les deux rgimes dcoulement obtenus la question prcdente.

Interprter nergtiquement Fr.

Solution :

a) On peut appliquer le thorme de Bernoulli (coulement stationnaire, incompressible, irrotationnel) :

212

P v gz cste + + =

On choisit lorigine de laxe vertical (orient vers le haut) au fond du canal. Par consquent, en notant h0 la profondeur pour x = 0 (au dbut du canal) :

2 20 0 0 0

1 12 2

P v gh P v gh + + = + +

Soit :

2 20 0

1 12 2

v h v h Hg g

+ = + =

On remarque que gH reprsente la somme de lnergie cintique massique et de lnergie potentielle massique de pesanteur.

b) En une abscisse x donne, la vitesse est uniforme. Le dbit volumique par unit de largeur est alors :

1 ( ) 2 ( )vq vh vh h g H h = = = = ll l

Lallure du dbit en fonction de h est donne sur la figure.

h1 h2

Le maximum de vaut 3/2

max

23H g =

et il est obtenu pour

23m

h H= .

On voit que pour un dbit donn (plus petit que max) va correspondre deux valeurs de profondeurs h1 et h2 et donc deux valeurs de vitesse :

74

1 1 2 22 ( ) 2 ( )v g H h et v g H h= = Le couple (v1,h1) correspond Fr > 1 : rgime torrentiel (grande vitesse, faible profondeur)

Le couple (v2,h2) correspond Fr < 1 : rgime fluvial (faible vitesse, grande profondeur)

On remarque que :

2 22 / 22 2

r

v v nergie cintique massiqueFgh gh nergie potentielle massique de pesanteur

= = =

Ainsi, pour un cours d'eau, un mme dbit peut tre obtenu de deux faons diffrentes :

Fr > 1 : rgime torrentiel, avec une faible hauteur d'eau et une forte vitesse (quivalent d'un rgime supersonique). Dans ce rgime, le fluide est "tir" par les forces qui le meuvent (la gravit le plus souvent), sans que la masse de fluide en avant soit une gne.

Fr < 1 : rgime fluvial, avec une forte hauteur d'eau et une faible vitesse (quivalent d'un coulement subsonique). Ce rgime est "pilot par l'aval" : le comportement des particules en mouvement est contraint par celles qui les prcdent.

5 Autre dfinition du nombre de Reynolds et interprtation :

La complexit de lquation de Navier-Stokes :

est due essentiellement deux termes :

Le terme de convection de quantit de mouvement ( . )v grad vuuuuurr r

, qui rend lquation non

linaire.

Le terme de diffusion visqueuse vr d au transfert de quantit de mouvement, qui introduit des drives du second ordre.

On considre un coulement dont les paramtres sont

v (vitesse du fluide loin de lobstacle) et

D une taille caractristique (la longueur de lobstacle, par exemple). Lordre de grandeur du rapport du terme convectif sur le terme de diffusion vaut :

2

2

( . ) vv grad v DvDvv

D

=

uuuuurr r

r

Avec

= (viscosit dynamique du fluide) :

( . )e

v grad v Dv Rv

=

uuuuurr r

r

On retrouve lexpression du nombre de Reynolds Re dfini prcdemment.

Lexprience montre que si Re < 2 000, lcoulement est laminaire alors que si Re > 2 000, il devient facilement turbulent.

75

Re > 4 000 : coulement turbulent

Re < 2 000 : coulement laminaire

2 000 < Re < 2 000 : coulement instable, entre le rgime laminaire et le rgime turbulent

Pour un nombre de Reynolds lev, les transferts de quantit de mouvement par convection sont plus importants que ceux par diffusion ; cela signifie que le temps caractristique associ ces transferts par convection est plus court que celui par diffusion. Tout se passe comme si la viscosit du fluide tait nulle. Le fluide a un comportement de fluide parfait et son mouvement est rgi par lquation dEuler :

( . ) vv

v grad v gradP ft

+ = +

r uuuuur uuuuur rr r

Lpaisseur de la couche limite e

LR

est alors faible.

Pour un nombre de Reynolds faible, les transferts de quantit de mouvement par diffusion sont plus importants que ceux par convection ; le temps caractristique associ ces transferts par diffusion est plus court que par convection. Lquation de Navier-Stokes devient alors :

v

v gradP f vt

= + +

r uuuuur r r

Les coulements domins par la viscosit sont toujours des coulements trs lents avec une longueur caractristique trs courte (sve dans les pores des arbres) ou impliquant des fluides trs visqueux (coulements de lave).

76

Exemples dcoulements laminaires ou turbulents selon la valeur du nombre de Reynolds.

Le terme convectif est non linaire : lapparition de turbulences a lieu pour des nombres de Reynolds levs, donc lorsque le terme non linaire lemporte nettement sur le terme linaire (d laspect diffusif de lcoulement, cest--dire la viscosit). Cest donc bien laspect non linaire de lcoulement qui favorise les turbulences.

6 - Ecoulement autour dune sphre :

Un fluide exerce sur une sphre en mouvement une force oppose sa vitesse, appele

trane . On note la masse volumique du fluide, sa viscosit, r le rayon de la sphre et vr sa vitesse.

Evolution du Cx en fonction du nombre de Reynolds (chelle logarithmique).

* Si 1eR < : la force de trane est donne par la formule de Stokes :

6F r vpi= r r

Cest la force traditionnelle de frottement fluide, proportionnelle la vitesse et de sens oppos celle ci.

* Si 3 610 10eR< < : la force de trane est donne par :

77

212 x

F C r vvpi= r r

o Cx est le coefficient de trane (sans dimension), qui dpend de la texture de la sphre. On retrouve une force de frottement de type quadratique (proportionnelle au carr de la vitesse).

* En dehors de ces deux domaines, il nexiste pas de loi simple donnant lexpression de la force de trane.

* La seconde formule se gnralise pour tout type dobjet :

12 x

F C S vv= r r

o S est la surface de lobjet projete dans un plan perpendiculaire la vitesse.

* Lorsque le nombre de Reynolds augmente, il apparat un sillage derrire la sphre, constitu

dabord de tourbillons, puis devenant turbulents pour 310eR > . Un sillage turbulent dissipe beaucoup plus dnergie.

* Pour 610eR = , la taille du sillage diminue fortement, entranant une chute du coefficient de trane. Voici pourquoi une balle de golf est bossele.

En effet, dans les conditions dutilisation, le nombre de Reynolds dune balle de golf est suprieur 10 6 . Les balles de golf sont bosseles de faon augmenter les turbulences, pour leur permettre daller plus loin. Ainsi, dans les mmes conditions de lancement, une balle de golf peut atteindre une distance de 150 m, alors que cette distance ne serait que de 100 m avec une balle lisse.

Les irrgularits permettent dobtenir autour de la sphre une couche limite turbulente alors que celle ci est laminaire pour une surface lisse. Lorsque la couche limite est turbulente, la rsistance au mouvement est plus faible.

78

Description qualitative de lcoulement autour dune sphre :

A gauche : pour un nombre de Reynolds faible, lcoulement est laminaire et quasi-linaire.

A droite : le tourbillon apparaissant derrire la sphre est torique.

A gauche : quand Re augmente, le tourbillon finit par occuper la partie aval de la sphre.

A droite : le tourbillon torique prcdent se dtache en prenant une forme hlicodale.

A gauche : lcoulement nest plus rgulier. La couche limite est laminaire, mais une zone turbulente se dveloppe derrire la sphre. Le point de dcrochement de la couche limite est situ en avant .

A droite : la couche limite laminaire prcdente est devenue turbulente ; elle se dcroche larrire de la sphre. Le sillage est rduit et la rsistance moindre.

Exercice ; coulement non stationnaire autour dune sphre :

79

Solution :

80

V) Bilans dynamiques et thermodynamiques :

1 Systme ferm, systme ouvert :

Systme ferm : il est constitu dune quantit de matire dtermine que lon suit dans son mouvement ; la surface (S) qui le dlimite peut se dformer et se dplacer dans le rfrentiel dtude.

Systme ouvert : on raisonne sur des surfaces de contrle (S), dlimitant des volumes de contrles (V), fixes dans le rfrentiel choisi ; il peut alors y avoir un flux de matire

81

travers la frontire du systme entre lintrieur et lextrieur. Ces systmes sont bien adapts la mthode eulrienne.

2 Bilans dnergie interne et denthalpie (exemple du moteur raction) :

Dans un moteur raction, un gaz (assimil lair suppos parfait) parcourt un cycle que lon considrera tout dabord comme tant rversible. Il pntre dans le racteur la pression P1 et la temprature T1 (tat (1)). Il est ensuite comprim adiabatiquement jusqu la pression P2 et la temprature vaut alors T2 (tat (2)). Il rentre alors dans une chambre de combustion o sa temprature passe de T2 T3, la pression restant gale P2 (la sortie de la chambre de combustion est reprsente par ltat (3)). Le gaz subit ensuite une dtente adiabatique dans une turbin