Mécanique des Fluides - ribiere.regit.orgribiere.regit.org/cinematique_des_fluides_PC_Ribiere.pdf · du volume de la particule de fluide (au point M de calcul). Le vecteur tourbillon

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Mécanique des Fluides

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Cinématique des fluides

1. Les fluides.1.1. Classification de la matière




1. Les fluides.1.1. Classification de la matièrePropriétés macroscopiques




1. Les fluides.1.1. Classification de la matièrePropriétés microscopiques

Energie d'interaction entre entités élevées:Cohésion de la matière

Energie d'interaction entre entités très faible




1. Les fluides.1.1. Classification de la matièrePropriétés microscopiques

Organisation régulière:Forme donnée

Pas d'organisation longue distance:Milieu “coule” = Fluide




1. Les fluides.1.2. Mécanique des milieux continus




1. Les fluides.1.2. Mécanique des milieux continusEchelle mésoscopique ~ (0,1 µm)3= particule de fluideechelle meso >> micro donc utilisation grandeur thermo: Pechelle meso << macro donc grandeur locale: P(M,t)




1. Les fluides.1.2. Mécanique des milieux continusEchelle mésoscopique ~ 0,1 µm

Vitesse de la particule de fluide= moyenne des vitesses des entités de la particule de fluide, mouvement d'ensemble




1. Les fluides.1.2. Mécanique des milieux continusEchelle mésoscopique ~ 0,1 µm

Ne pas confondre la vitesse de la particule de fluide (mouvement d'ensemble) et la vitesse des entités




2. Champ des vitesses dans un fluide 2.1. Description Lagrangienne





Point de vue mécanique usuel:Découper à t=0 le fluide, nommer chacune à t=0 puis suivre leur mouvement

à t=0






à t






Définition de la vitesse de la particule de fluide M0

Etude de la trajectoire de la particule M0






Définition de la vitesse de la particule de fluide M0

Etude de la trajectoire de la particule M0

Mais point de vue mal adapaté à la description d'un milieu continu





point de vue mal adapaté à la description d'un milieu continu




2. Champ des vitesses dans un fluide 2.2. Description Eulérienne





Découper à chaque instant t le fluide selon un quadrillage fixe, puis suivre le mouvement de la particule qui transite en M à l'instant t






à t=0






à t






Définition de Etude des lignes de courant






Définition de Etude des lignes de courant

Point de vue naturel en mécanique des milieux continus




















Définition:Un écoulement est dit stationnaire si et seulement si les champs eulériens sont indépendants du temps.





Définition:Un écoulement est dit stationnaire si et seulement si les champs eulériens sont indépendants du temps.

à t1 à t2




2. Champ des vitesses dans un fluide 2.3. Lien entre description Lagrangienne et Eulérienne









Description Lagrangienne en coordonnées cartésiennesM0

Passage d'un point de vue Eulérien à Lagrangien:





Passage du point de vue Eulérien à Lagrangien:

Résolution numérique de ce système d'équations différentielles





En régime stationnaire, trajectoires et lignes de courant sont confondues





Cas non stationnaire: les courants marins et les marées


http://www.montasurfschool.com/fr-montalivet-surf-meteo.htm



3. Dérivation en description Eulérienne3.1. Dérivé particulaire d'un champ scalaire: masse volumique.




3. Dérivation en description Eulérienne3.1. Dérivé particulaire d'un champ scalaire: masse volumique.Dérivation en suivant le mouvement de la particule de fluide pdt dt












3. Dérivation en description Eulérienne3.1. Dérivé particulaire d'un champ scalaire: masse volumique.Dérivation en suivant le mouvement de la particule de fluide pdt dtdérivée particulaire ou dérivée totale

dérivée locale

dérivée convective




3. Dérivation en description Eulérienne3.2. Dérivé particulaire d'un champ vecteur: vecteur vitesse.












3. Dérivation en description Eulérienne3.3. Mise en pratique




3. Dérivation en description Eulérienne3.3. Mise en pratique1er cas:




3. Dérivation en description Eulérienne3.3. Mise en pratique2eme cas:




3. Dérivation en description Eulérienne3.3. Mise en pratique3eme cas:




3. Dérivation en description Eulérienne3.3. Mise en pratiqueConclusion:

La divergence de la vitesse est égale au taux de dilatation relative du volume de la particule de fluide (au point M de calcul).

Le vecteur tourbillon décrit la rotation locale des particules de fluides.




4. Notion de débit4.1. Débit volumique









Débit volumique: flux du vecteur vitesse à travers surface S qté de volume dVol qui traverse S pdt dt




4. Notion de débit4.2. Débit massique









On pose le vecteur densité de courant





On pose le vecteur densité de courant

Débit massique: flux du vecteur à travers surface S qté de matière dM qui traverse S pdt dt




5. Conservation de la matière 5.1. Equation locale de conservation de la matière









Démo 1 : cas unidimensionnelConsidérons une tranche dx d'un tuyau de section S, d'axe x.

Variation de masse ds dx=masse entrant en x –masse sortant en x+dx





Démo 2 : cas général tridimensionnelConsidérons un volume dτ d'un fluide délimité par surface Σ.

Variation de masse ds dτ = -masse sortante à travers s




5. Conservation de la matière 5.2. Conservation du débit massique (équation globale)




5. Conservation de la matière 5.2. Conservation du débit massique (équation globale)

Pour un écoulement stationnaire

Donc

En régime stationnaire, le débit massique se conserve sur un tube de courant.




5. Conservation de la matière 5.3. Conservation du débit volumique (équation globale)





L'idée que la divergence du champ de vitesse est liée à la dilatation de la particule de fluide a été vues sur l'exemple 1 d'écoulement.






Démo générale











Pour les écoulements incompressibles, le débit volumique se conserve sur un tube de courant.







Un écoulement est incompressible si et seulement si la vitesse de l'écoulement << célérité du son dans le milieu.







Cq: Si les lignes de champ d'un écoulement incompressible s'écartent, alors la vitesse du fluide diminue.




5. Conservation de la matière 5.4. Conditions aux limites de la vitesse d'un fluide parfait





Considérons une membrane mobile, imperméable Σ:

Interprétation: le fluide (parfait) coule le long de l'obstacle mais ne pénètre pas dans la membrane.





Considérons une membrane mobile, imperméable Σ:

Interprétation: le fluide (parfait) coule le long de l'obstacle mais ne pénètre pas dans la membrane.

Applications: 1. Obstacle fixe2. Interface de deux fluides parfaits non miscibles




6. Exemple d'écoulement 6.1. Ecoulement potentiel




6. Exemple d'écoulement 6.1. Ecoulement potentielEtude des écoulements irrotationnels et incompressibles

Ecoulement irrotationnelDonc un potentiel tel que

De plus l'écoulement est incompressible doncSoit finalement

Equation de Laplace




6. Exemple d'écoulement 6.1. Ecoulement potentielEtude des écoulements irrotationnels et incompressibles

Ecoulement irrotationnelDonc un potentiel tel que

De plus l'écoulement est incompressible doncSoit finalement

Equation de Laplace

Rq Hypothèses implicites très fortes sur l'écoulement




6. Exemple d'écoulement 6.2. Le tuyau poreux




6. Exemple d'écoulement 6.3. La tornade




6. Exemple d'écoulement 6.3. La tornade




6. Exemple d'écoulement 6.4. Onde dans un bassin












6. Exemple d'écoulement 6.4. Onde dans un bassinLien entre trajectoire elliptique des particules de fluides et ligne de courant pour les ondes dans un bassin (non stationnaire)




6. Exemple d'écoulement 6.5. La tuyère














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