MEMOIRE DE FIN D’ETUDE EN VUE D’OBTENTION DU DIPLÔME D

UNIVERSITE D’ANTANANARIVO

ECOLE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE

Département Bâtiments et Travaux Publics

MEMOIRE DE FIN D’ETUDE EN VUE D’OBTENTION DU DIPLÔME D’INGENIORAT

PrPrPrPrésenté parésenté parésenté parésenté par : : : : RAVELONIRINA Solofoniaina

SousSousSousSous lalalala directiondirectiondirectiondirection dededede :

Monsieur RANDRIANTSOA Jonas Date de soutenance : 18 Janvier 2005

PROMOTION 2004

REMERCIEMENTS

A l’issue de ce mémoire de fin d’étude nous tenons à exprimer notre gratitude à

l’égard de :

− Monsieur RANDRIANOELINA Benjamin, Directeur de l’Ecole Supérieure

Polytechnique d’Antananarivo qui nous a autorisé de soutenir ce mémoire.

− Monsieur RABENATOANDRO Martin, Maître de Conférence Chef de

Département Bâtiments et Travaux Publics à l’ESPA d’avoir fait l’honneur de

présider le jury.

− Monsieur RANDRIANTSOA Jonas, Chef de division de grands travaux à la

société MADARAIL, directeur de mémoire de m’avoir dirigé et encadré tout au

long de la réalisation de ce mémoire.

− Tous les membres de jury.

− Tout le corps enseignant qui a contribué à notre formation à l’ESPA.

− Toute la famille qui nous a soutenu moralement et financièrement durant la

réalisation de ce mémoire.

− Tous les amis, toute personne ou entité qui ont contribué de près ou de loin à

l’élaboration de ce projet.

Vos amples contributions vont droit au cœur.

LISTES DES FIGURES

Figure n°1 : Structure classique de la voie

Figure n°2 : Profil d’un rail vignole

Figure n°3 : Type des joints

Figure n°4 : Principe de raccordement

Figure n°5 : Le raccordement en alignement

Figure n°6 : Schéma de calcul de dévers

Figure n°7 : Variante en béton armé

Figure n°8 : Variante en béton précontraint

Figure n°9 : Poutre principale de la variante en bé ton armé

Figure n°10 : Superstructure de la variante en béto n armé

Figure n°11 : Culée de la variante en béton armé

Figure n°12 : Infrastructure de la variante n°1

Figure n°13 : Epaisseur de l’âme de la poutre en se ction d’about

Figure n°14 : Poutre principale de la variante en b éton précontrainte

Figure n°15 : Coupe transversale de la poutre princ ipale

Figure n°16 : Coupe transversale du tablier

Figure n°17 : Convoi type

Figure n°18 : Détermination de l 0

Figure n°19 : Ligne d’influence de la CRT des poutr es

Figure n°20 : Schéma de calcul pour déterminer la l igne d’influence

Figure n°21 : Ligne d’influence des réactions aux a ppuis

Figure n°22 : Calcul de la ligne d’influence à une section considérée

Figure n°23 : Ligne d’influence des efforts trancha nts

Figure n°24 : Diagramme des efforts tranchants du a ux entretoises

Figure n°25 : Ligne d’influence des moments fléchis sants

Figure n°26 : Espacement des armatures de précontra inte

Figure n°27 : Distance des armatures de précontrain te aux parements.

Figure n°28 : Disposition constructive

Figure n°29 : Schéma de principe de tracée pour la première famille

Figure n°30 : Distance de relevage de câbles en ext rados

Figure n°31 : Schéma de principe de tracée de relev age de câble pour la deuxième famille.

Figure n°32 : Modélisation de la répartition de cha rge sous la dalle

Figure n°33 : Ligne d’influence des efforts trancha nts de la dalle

Figure n°34 : Section de calcul des armatures de la dalle

Figure n°35: Schéma de principe de calcul de la li gne d’influence des entretoises

Figure n°36 : Distribution de charge appliquée aux entretoises d’about

Figure n°37 : Distribution de charge appliquée aux entretoises intermédiaires

Figure n°38 : Représentation des lignes d’influence s des moments flechissants aux appuis

pour l’entretoise d’about

Figure n°39 : Représentation des lignes d’influence s des moments flechissants aux appuis

pour l’entretoise intermédiaires

Figure n°40 : Représentation des lignes d’influence s des moments flechissants à mi-travée


Figure n°41 : Représentation des lignes d’influence s des moments flechissants à mi-travée

pour l’entretoise intermédiaire

Figure n°42 : Ligne d’influence des efforts trancha nts pour l’entretoise d’about

Figure n°43 : Ligne d’influence des efforts trancha nts pour l’entretoise intermédiaire

Figure n°44 : Section de calcul de l’entretoise d’a bout

Figure n°45 : Section de calcul des sollicitations de l’encorbellement.

Figure n°46 : Modélisation pour le calcul des solli citations de la garde ballast

Figure n°47 : Appareil d’appui en élastomère fretté de type A

Figure n°48 : Poussée due à la charge totale située en arrière de la garde grève

Figure n°49 : Section de calcul du mur garde grève

Figure n°50 : Inventaire des charges du mur garde g rève

Figure n°51: Modélisation de calcul des sollicitati ons du mur de front

Figure n°52 : Diagramme des moments fléchissants à l’ELS

Figure n°53 : Diagramme des moments fléchissants à l’ELU

Figure n°54 : Diagramme des efforts tranchants du m ur de front à l’ELU


Figure n°56 : Modélisation de calcul du mur de fron t sous N

Figure n°57 : Section de calcul du mur de front so us N

Figure n°58 : Modélisation de calcul de la semelle

Figure n°59 : Schéma de calcul de la stabilité de l a semelle

Figure n°60 : Modélisation de calcul du chevêtre

Figure n°61 : Section de calcul du chevêtre

LISTE DES TABLEAUX

Tableau n°1 : Type de rail utilisé à Madagascar

Tableau n°2 : Valeurs caractéristiques des écarteme nts de voie en fonction des rayons de

courbure

Tableau n°3 : Devers maximales à Madagascar

Tableau n°5 : Altitude de la ligne TA

Tableau n°6 : Localisation des ponts en béton armé sur la ligne TA

Tableau n°7 : Localisation des tunnels sur la ligne TA

Tableau n°8 : Effectif de la population dans la zon e d’influence du projet

Tableau n°9 : Taux d’accroissement de la population

Tableau n°10 : Prévision de la population

Tableau n°11 : Effectif cheptel dans les deux grand es villes

Tableau n°12 : Exemple de grandes industries à Anta nanarivo

Tableau n°13 : Synthèse des unités de trafics sur T A

Tableau n°14 : Estimation du coût de la variante en béton armé


Tableau n°17 : Efforts tranchants due aux charges p ermanents de la poutre

Tableau n°18 : Efforts tranchants due aux surcharge s de la poutre

Tableau n°19 : Récapitulation des efforts tranchant s de la poutre

Tableau n°20 : Moments fléchissants dus aux charges permanentes de la poutre

Tableau n°21 : Moments fléchissants dus aux surcha rges de la poutre

Tableau n°22 : Récapitulation des moments flechissa nts de la poutre.

Tableau n°23 : Valeur du point de tangence et des a ngles de relevage respectif pour les

câbles de la 1ère famille

Tableau n°24: Coordonnées des câbles de la première famille jusqu’au point de tangence

Tableau n°25 : Coordonnées de chaque câble de la de uxième famille par rapport à leur point

d’ancrage.

Tableau n°26: Perte de frottement de câble à mi-tra vée

Tableau n°27 : Pertes par rentrée d’ancrage

Tableau n°28 : Pertes par déformation instantanée d u béton

Tableau n°29 : Tension après pertes instantanées

Tableau n°30 : Pertes dues au relaxation des aciers

Tableau n°31 : Pertes par fluage à mi-travée

Tableau n°32 : Pertes différés totales dans chaque câble

Tableau n°33 : Tension final à mi-travée

Tableau n°34 : Force de précontrainte en première p hase

Tableau n°35 : Force de précontrainte en troisième phase

Tableau n°36 : Récapitulation des sollicitations de la dalle

Tableau n°37 : Coefficient de majoration dynamique des entretoises

Tableau n°38 : Ligne d’influence des moments flechi ssants de l’entretoise d’about

Tableau n°39 : Ligne d’influence des moments flechi ssants de l’entretoise intermédiaire

Tableau n°40 : Moments fléchissants de l’entretoise d’about

Tableau n°41 : Moments fléchissants de l’entretoise intermédiaire

Tableau n°42 : Ligne d’influence des efforts tranch ants de l’entretoise d’about

Tableau n°43 : Ligne d’influence des efforts tranch ants de l’entretoise intermédiaire

Tableau n°44 : Récapitulation des sollicitations ap pliquées aux entretoises d’about

Tableau n°45 : Récapitulation des sollicitations ap pliquées aux entretoises intermédiaires

Tableau n°46 : Récapitulation des armatures dans le s entretoises intermédiaires

Tableau n°47 : Récapitulation des armatures dans le s entretoises d’about

Tableau n°48 : Récapitulation des efforts agissant sur l’appareil d’appui

Tableau n°49 : Récapitulation des sollicitations du mur garde grève

Tableau n°50 : Récapitulation des sollicitations du mur en retour

Tableau n°51 : Stabilité de la culée en première ph ase de construction

Tableau n°52 : Stabilité de la culée en deuxième ph ase de construction

Tableau n°53 : Stabilité de la culée en phase d’ex ploitation

LISTE DES ANNEXES

ANNEXE N°1 : Caractéristiques d’un rail Vignole

ANNEXE N°2 : Plan d’éclissage

ANNEXE N°3 : Profil des crampons et tirefonds

ANNEXE N°4 : Profil d’un traverse métallique

ANNEXE N°5 : Profil d’un traverse en béton

ANNEXE N°6 : Profil type d’un système d’attache sur traverse métallique

ANNEXE N°7 : Aperçu des productions agricole de cha que fivondronana

ANNEXE N°8 : Trafic des voyageurs avant 2000

ANNEXE N°9 : Pertes par frottement de câbles

ANNEXE N°10 : Calcul perte par déformation instanta née du béton

ANNEXE N°11 : Perte due au retrait du béton

ANNEXE N°12 : Valeur de maxuτ

ANNEXE N°13 : Valeur de α et σ’s

ANNEXE N°14 : Valeur de l’excentricité relative ζ

ANNEXE N°15 : Valeur de K

ANNEXE N°16 : Disposition des câbles dans la poutre principale

ANNEXE N°17 : Plan de câblage de la poutre principa le

ANNEXE N°18 : Nomenclatures des aciers (tablier du pont)

ANNEXE N°19 : Coupe transversale du pont

ANNEXE N°20 : Ferraillage de la poutre principale ( coupe transversale)

ANNEXE N°21 : Ferraillage de la poutre (coupe longi tudinale)

ANNEXE N°22 : Ferraillage de la dalle-trottoir-gard e-ballast

ANNEXE N°23 : Ferraillage des entretoises (coupes t ransversales)

ANNEXE N°24 : Ferraillage des entretoises (coupes l ongitudinales)

ANNEXE N°25 : Schéma de la culée

ANNEXE N°26 : Ferraillage de la culée

ANNEXE N°27 : Ferraillage du fût colonne

ANNEXE N°28 : La première travée du nouveau pont

ANNEXE N°29 : Sous détail des prix

LISTE DES PHOTOS

Photo n°1 : Vue d’ensemble de l’ouvrage

Photo n°2 : Dégradation de l’arc

Photo n°3 : Dégradation des potelets

Photo n°4 : Dégradation des poutres de rive

Photo n°5 : Dégradation des poutrelles transversale s

Photo n°6 : Dégradation du trottoir

Photo n°8 : Dégradation des parapets

Photo n°9: Dégradation de la structure de la voie

LISTES DES ABREVIATIONS ET NOTATIONS

1. Abréviations

BAEL : Béton armé aux états limites

BPEL : Béton précontraint aux états limites

CMD : Coefficient de majoration dynamique

CRT : Coefficient de répartition transversale

ELS : Etat limite ultime

ELU : Etat limite de service

FCE : Fianarantsoa Cote Est

HA : Haute Adhérence

INSTAT : Institut National de la Statistique

LDP : Lot de petits matériels

LI : Ligne d’influence

MLA: Moramanga Lac Alaotra

MO: Main d’oeuvre

MTRO : Matériaux

MTRL : Matériels

OPM : Optimum proctor modifié

OPN : Optimum proctor naturel

PK : Point kilométrique

PU : Prix unitaire

RDM : Résistance des matériaux

RNCFM : Réseau National de Chemin de Fer Malagasy

SNCF : Société Nationale de Chemin de fer Française

TA : Tananarivo-Antsirabe

TCE: Tananarivo Côte Est

2. Notations

A : Aire d’une section d’armature (A : armatures de précontrainte ; AS : armatures

longitudinales ; Ap : armatures de peau ; At : armatures transversales)

B : Aire d’une section de béton ; Base d’une semelle

E : Module d’élasticité longitudinale

Eij : Module de déformation instantanée du béton

I : Module d’inertie

L : longueur ou portée

M : Moment fléchissant

N : Effort normale

P : Action de la précontrainte

R : Action d’appui (réaction)

S : Moment Statique

V : Effort tranchant

b : dimension transversale d’une poutre

c et c’: distance des frontières supérieure et inférieur du noyau central au centre d’inertie

d : distance d’une armature ou du barycentre d’armatures à la fibre supérieure

e : excentricité d’un effort normal par rapport au centre de gravité de la section.

f : contrainte limite particulière d’un matériau (fprg ou fpeg pour l’acier de précontrainte)

fcj : résistance caractéristique à la compression du béton âgé de j jour

ftj : résistance caractéristique à la traction du béton âgé de j jour

g : densité de charge permanente

h : hauteur total d’une section

i : rayon de giration

n : coefficient d’équivalence acier béton

q : densité de charge d’exploitation

s : espacement des armatures

t : temps

u : Périmètre

α : déviation angulaire pour les câbles de précontraintes

β : Angle d’inclinaison de calcul des bielles

γ : poids volumique.

ρ : rendement géométrique d’une section

ρ1000 : valeur relative à la perte par relaxation des aciers

σ : contrainte normale

τ : Contrainte tangentielle

ϕ : Coefficient de frottement par unité de longueur

φ : Diamètre nominale d’une armature.

Reconstruction du pont ferroviaire au PK 24+500 de la ligne TA

1

SOMMAIRE INTRODUCTION

PARTIE I : GENERALITES

Chapitre I. Historique du chemin de fer

Chapitre II. Notion de la voie ferrée

PARTIE II : ENVIRONNEMENT DU PROJET

Chapitre I. Présentation de la ligne TA

Chapitre II. Environnement socioéconomique

Chapitre III. Etude de trafic

Chapitre IV. Diagnostic général du viaduc au PK 24+400 de la ligne TA

Chapitre V. Projet de reconstruction du pont-rail.

PARTIE III : ETUDE DES VARIANTES

Chapitre I. Les données techniques

Chapitre II. Propositions des variantes

Chapitre III. Choix de l’ouvrage définitif

PARTIE IV : ETUDE DE LA VARIANTE PRINCIPALE

Chapitre I. Description générale du nouvel ouvrage

Chapitre II. Etude des éléments de la superstructure

Chapitre III. Etude des éléments de l’infrastructure

PARTIE V : ETUDE FINANCIERE

Chapitre I Devis quantitatif

Chapitre II. Bordereau Détail estimatif

CONCLUSION

BIBLIOGRAPHIE

ANNEXES

TABLE DES MATIERES


2

INTRODUCTION

Le transport est sans doute un des facteurs de développement. A cet effet, l’extension

des infrastructures dans le domaine de transport est devenue une priorité du gouvernement

Malagasy.

En ce début de siècle, bien que la route ait reconquit une place importante et tandis

que les voies aériennes aient bouleversé l’échelle des vitesses, le chemin de fer reste un

moyen de transport apprécié. En effet, on ne peut nier les avantages qui font valoir le

transport ferroviaire : capacité de traction en masse, économie de construction et d’entretien,

durée de vie élevée, haut niveau de sécurité.

A Madagascar, le réseau Nord du chemin de fer Malagasy est maintenant entre la

direction de la société Comazar de l’Afrique du Sud prenant le nom MADARAIL. Cette

dernière, en considération de la politique de l’Etat et pour les besoins même de la société,

projette de revaloriser les lignes de transport ferroviaire Malagasy.

Actuellement, la priorité de la société consiste en la réouverture du réseau qui

répondrait à un trafic intense. Pour cela, en plus du renouvellement et de la remise en état

de la structure entière de la voie, il faut analyser de prêt les valeurs des ouvrages d’art. La

valeur ouvrage ne doit pas être sous estimé car l’effondrement d’un seul ouvrage détruira

tous les efforts déployés.

Conscient du problème, la société Madarail en collaboration avec le ministère des

travaux publics ont effectué un diagnostic de tous les ouvrages d’art sur la ligne TA.

Le présent mémoire, intitulé « Reconstruction du pont ferroviaire au PK 24+500

de la ligne TA » traitera les études de diagnostic et des solutions techniques de la dite

pont.

Cet ouvrage a été réalisé avec deux considérations : en premier lieu, c’est une

synthèse des divers enseignements fondamentaux reçus durant ces cinq années de

formation d’ingéniorat. En deuxième lieu c’est le fil conducteur qui nous a permis d’avoir une

vue d’ensemble de la problématique de conception et de construction – deux responsabilités

primordiales de l’ingénieur.

Ainsi, le présent ouvrage comprendra les diverses étapes de conception d’un pont-rail :

− la première partie Généralités donnera un aperçu historique et technique de la

voie ferrée.

− la partie Environnement du projet rassemblera les données de bases du

projet : environnements naturels et socio-économiques.

− suivi de la partie Etude de variantes citant les solutions proposées.

− L’étude de la variante principale est donnée dans la quatrième partie.

− L’étude financière va clore l’ouvrage en estimant le coût du projet.


3

PARTIE I GENERALITES


4

CHAPITRE I HISTORIQUE DU CHEMIN DE FER

I Origine du chemin de fer Le chemin de fer est né sur le carreau des mines pour transporter le charbon. Dès le

XVIIe siècle, les mineurs utilisèrent en effet des barres de guidage en bois pour faire glisser

les chariots, avant d'adopter par la suite des rails métalliques.

L'apparition de la première locomotive à vapeur, mise au point par l'ingénieur anglais

Richard Trevithick en 1803, marqua le début de l'ère des chemins de fer.

À partir de 1840, le chemin de fer connut un développement remarquable dans les

pays qui disposaient de charbon, ou qui pouvaient facilement en importer, comme l'Europe

et les États-Unis. Bénéficiant de la révolution industrielle, les grands réseaux ferrés furent

construits entre 1830 et 1930, les principales lignes entre 1840 et 1890. En 1875, un demi-

siècle après la naissance des premières voies ferrées, on comptait 129 000 km de lignes aux

États-Unis et 123 000 km en Europe occidentale. Quelques années plus tard, en 1881, on

dénombrait 363 000 km de voies ferrées dans le monde, dont 172 000 km en Europe et 165

000 km aux États-Unis. En 1950, ces derniers étaient desservis par 350 000 km de lignes

ferroviaires sur un total mondial de 1,3 million de km.

II Historique du chemin de fer à Madagascar Le chemin de fer est arrivé à Madagascar au début du XXème siècle avec les colons

français.

La ligne TCE (Tananarive Cote EST) fut la première ligne construite de 1901 à 1913

avec 374 Km de voies. Elle relie la ville de Toamasina à Antananarivo pour ouvrir les hauts

plateaux aux échanges internationaux.

Ensuite fut construit, de 1912 à 1923, la ligne TA (Tananarive-Antsirabe) avec 154 km

de voie. Elle relie la capitale à la ville touristique d’Antsirabe, économiquement prospère. La

construction de cette ligne revient au Gouverneur Général PICQUIE.

Parallèlement à la ligne TA, le Gouverneur Général GARBIT commençait la

construction du 1er tronçon de 60 Km de la ligne MLA reliant Moramanga et la région

d’Alaotra. Le prolongement de la ligne jusqu'à Andaingo fut terminé le 04 janvier 1915.

L’ouverture de l’expansion de la ligne dirigée vers Ambatondrazaka est ensuite terminée le

14 juin 1922. Et enfin, le 27 mars 1923, la construction des 167 Km de voies partant de

Moramanga vers Ambatosoratra fut achevée.

Les 3 lignes qui sont la TCE, la MLA et la TA forment le réseau Nord.


5

Dans la région Sud, la ligne FCE (Fianarantsoa Côte Est) reliant la région de

Fianarantsoa vers l’Océan Indien fut construite de 1923 à 1936 avec 164 Km de voies

ferrées. Cette ligne constitue le réseau Sud.

Après la prise de l’indépendance, la gestion des réseaux ferroviaires malagasy était

assuré par la société d’Etat RNCFM. Cette dernière envisageait l’extension du réseau Nord

et Sud vers les différentes régions de l’île. En 1969, une antenne industrielle de 19 Km fut

construite entre Vohidiala et Morarano chrome contribuant à l’exploitation de la mine. En

1986, 7 Km de voies fut construit entre la ville d’Antsirabe et Vinaninkarena dans le cadre du

projet de liaison du centre vers le moyen Sud, moyen Ouest et le profond Sud. 8 Km furent

construites en 1987 dans le cadre du projet de liaison du Nord Est d’Ambatosoratra.

III Situation actuelle Après le déclin de la société RNCFM et dans le cadre de la politique de la privatisation,

la gestion du réseau Nord de la voie ferrée malagasy est maintenant assurée par la Société

COMAZAR de l’Afrique du Sud, ayant pris le nom de MADARAIL. Le réseau Sud reste

propriété de l’état.

Actuellement, la société Madarail procède à la réouverture des 3 lignes constituant le

réseau Nord, à savoir la TCE, la MLA et TA. Les travaux de renouvellement et de remise en

état de la voie ferrée sont déjà entamés, ainsi que les réhabilitations des ouvrages d’art.


6

CHAPITRE II NOTION DE LA VOIE FERREE

I Définition La voie ferrée est constituée par l’assemblage des éléments d’élasticité variables

destinés à transmettre vers la plateforme la charge dynamique sous les roues des véhicules.

Les éléments formant la structure de la voie classique sont :

− Les rails avec les organes de liaison et de fixation.

− Les traverses.

− Le ballast.

− Le sous-couche et le plateforme constituant l’infrastructure de la voie.

105

240

200

400

Figure n°1 : Structure classique de la voie.

II Les éléments de la voie ferrée

II.1 L’infrastructure

L’infrastructure servant d’assiette à la voie ferrée proprement dite comporte :

− La plateforme terrassée selon le tracé, le profil en long et en travers répondant aux

conditions de vitesse et de tonnage de la ligne.

− Les ouvrages d’art composés des différents ouvrages de franchissement,

d’assainissement et d’autres permettant l’exploitation normale de la voie.

II.1.1 La plateforme

La plateforme est constitué par le sol naturel sur laquelle se posera la superstructure

de la voie, ou par le corps de remblai confectionné pour la construction de la voie.


7

Elle joue principalement le rôle de couche de forme recevant la contrainte venant de la

superstructure et en même temps sert comme couche de liaison entre la superstructure et le

sol naturel.

La plateforme est comparable à celle de la plateforme routière avec un taux de

compactage de :

− 95 % OPM sur une épaisseur minimale de 0,50 m pour la couche de forme.

− la plus grande valeur entre 90 % OPN et 95 % OPM pour le corps de remblai.

II.1.2 Les ouvrages d’art

Ce sont les ouvrages de franchissement et d’assainissement de la voie. On distingue

les ponts, les dalots, les buses, les fossés, les murs de soutènement.

II.2 La superstructure

La superstructure constitue le deuxième étage de la voie ferrée. Elle comprend :

− La voie courante proprement dite constituée par les rails avec les organes de

liaison, les traverses avec les appareils de fixation, et les accessoires constituant

les appareil de voie.

− Le ballast.

II.2.1 Les rails

Ce sont les éléments qui sont en contact direct avec les roues des matériels roulants.

a Rôles

Les rails assurent les fonctions suivantes :

− recevoir les forces dynamiques venants de ces derniers.

− transmettre ces forces dans les parties sous-jacentes, précisément les traverses et

ballast.

− guider les bogies des matériels roulants sur les alignements droits, dans les courbes et

aux intersections des voies.

b Caractéristiques des rails

Vu ses fonctions, les rails doivent être en avec de l’acier, nuance 65 en alignement, et

70 en courbe. Les qualités exigées de l’acier de rail sont :


8

− La résistance à l’abrasion ;

− L’absence de fragilité ;

− L’absence de susceptible à l’auto trempe ;

− La soudabilité en vue des longs rails soudés.

Le rail universellement utilisé est le rail Vignole. Ce type de rail est constitué par le

champignon, l’âme et le patin.

âme

patin

champignon

Figure n°2 : Profil d’un rail Vignole

Le champignon reçoit directement la roue des matériels roulants. Sa largeur est choisie

de façon à réaliser un effet de freinage de la zone de contact rail-roue, et à donner un marge

d‘usure suffisante dans les courbes de faible rayon.

Le patin est caractérisé par sa largeur qui conditionne la rigidité du rail dans le plan

horizontale et détermine le taux de compression sur les traverses.

L’épaisseur de l’âme doit tenir compte des efforts tranchants qu’elle supporte et des

sollicitations élevées qui se développent au voisinage des troues d’éclissage.

Les rails sont classés suivant leur poids métrique. Le système d’unité international est

le kilogramme par mètre linéaire. On distingue les rails de 25 kg, 26 kg, 30 kg, 36 kg et 40

kg. Les rails normaux, utilisés à Madagascar, ont pour longueur 12 m et 25 m. Les

caractéristiques d’un rail Vignole sont données à l’ANNEXE n°1.

Voici les types de rails utilisés à Madagascar depuis la colonisation jusqu’à nos

jours :

Rails Année de pose Ligne

S.25 kg

S.26 kg

S.30 kg

S.31 kg

S.33 kg

S.36 kg

S.37kg

1925 – 1936

1925 – 1936

1950

1969

1975

1975

1969

TA

MLA

TCE-MLA

FCE

FCE

TCE-MLA

FCE

Tableau n°1 : Type de rail utilisé à Madagascar.


9

c Durée de vie

Dépendant du tonnage que supporte la voie, de la vitesse des trains, de la puissance

des rails, de la qualité de l’acier du rail, des caractéristiques de la superstructure de la voie,

de la technologie de préparation de l’acier et du tracé de la voie, la durée de vie des rails est

très variée. A Madagascar, la durée de vie des rails varie entre 20 à 30 ans.

II.2.2 Les organes de liaison des rails

Les barres de rails sont assemblées entre eux par l’intermédiaire des éclisses, et entre

deux rails consécutifs doit être aménagé un espace appelé joint.

L’ouverture des joints est fonction de la longueur des rails, de coefficient de dilatation

linéaire, de la température de pose et enfin de la température maximum observée dans la

contrée considérée. En effet, les joints encore nommés joint de dilatation ont pour rôle de

permettre la dilatation linéaire des rails pour éviter la compression et le flambement de ces

derniers lorsqu’ils sont soumis aux fortes températures. Les joints sont distingués selon leur

emplacement :

Joint suspendu ou en porte-à-faux : ce type de joints se place entre deux

traverses consécutifs. Beaucoup de pays utilise ce type de joint appelé

encore joint élastique. On emploi ce type de joint à Madagascar.

Joint appuyé : contrairement au premier, les joints se posent sur les

traverses. On l’appelle ainsi joint rigide. Ce dernier présente un

inconvénient dans les travaux de bourrage des zones de joint.

Selon leur plan de pose on distingue :

Les joints en équerre ou joints concordants : les joints de deux files de rails

sont perpendiculaires à l’axe de la voie. On utilise les joints en équerre à

Madagascar.

Les joints chevauchés ou alternés : contrairement au joints en équerre, elles

sont disposés en quinconce.

90°

Joint en équerre ou joint discordant. Joint chevauché.

Figure n°3 : Type des joints


10

Les éclisses sont des les éléments qui assurent l’assemblage de deux barres de rails

consécutifs. Ainsi elles doivent avoir une résistance à la déformation plus proche de celle

des rails. Elles doivent empêcher les mouvements verticaux et latéraux des extrémités des

rails tout en permettant la dilatation. De ce fait, elles supportent des efforts importants

(efforts transversaux et verticaux). Pour assurer cette fonction, il faut que les éclisses soient

coincées entre le patin et le champignon des rails. Elles sont fixées sur les rails par des

boulons. On distingue des éclisses à deux, quatre et six trous. Les éclisses peuvent être

plates ou cornières suivant leur type. A Madagascar, on utilise les éclisses cornières dont les

fixations sont assurées par des boulons.

Voir ANNEXE n°2 pour les plans d’éclissages.

II.2.3 Les organes de fixation des rails

Elles ont pour rôles de :

Fixer les rails sur les traverses.

Lier les rails entre eux au niveau des joints et éclisses.

Garder l’écartement entre deux files de rails.

Supporter les efforts dynamiques de l’interaction roue-rail.

Les rails sont fixés sur les traverses par des attaches qui se diffèrent par le type de

traverses utilisées.

− Fixation pour traverses en bois :

Les rails sont fixés sur les traverses en bois par des crampons ou des tirefonds.

Le crampon a une forme de clou à section carrée. Il est a forte résistance latérale, il

maintient donc bien l’écartement de la voie. Il est facile à poser mais maintient mal le patin

sur la traverse. Avec le crampon, dès que le rail est déchargé, il se redresse, et comme la

tête du crampon ne bloque pas les rails sur la traverse, il finit par se produire un jeu. Le rail

se relève alors librement sans entraîner la traverse. Quand un second essieu atteint les rails

ceux-ci s’abaissent à nouveau et viennent prendre appui sur la traverse pour se redresser

dès que l’essieu s’est éloigné. Il se produit donc un battement entre le rail et la traverse et

celle-ci reste appuyé sur le ballast.

Le tire-fond est une sorte de vis à bois. Il est moins résistant que les crampons et se

couche plus facilement mais on obtient une bonne adhérence du rail sur la traverse. Avec les

tirefonds, les rails en se redressant soulèvent la traverse. Il se produit un vide entre la

traverse comme avec le crampon mais entre la traverse et le ballast. Si l’on n’y remédie pas

par le bourrage, ce vide s’accroît, la traverse va danser.

A Madagascar on utilise surtout les tirefonds.

Les profils des crampons et tirefonds sont donnés dans l’ANNEXE n°3.


11

− Fixation pour traverses métalliques :

Les rails sont fixés sur les traverses métalliques par des boulons qui prennent appui

sur les crapauds fixant sur le patin des rails. Les crapauds sont classés au type d’attaches

rigides donc pour éviter le desserrage rapide de la fixation on peut utiliser des crapauds

élastiques qui permettent d’amortir les efforts dynamiques des matériels roulants appliqués à

la structure. (Voir ANNEXE n°6)

− Fixation pour traverses bétons :

Les attaches pour les rails sur traverses en béton sont des boulons tirefonds vissée

dans une gaine isolante ou non, elle-même scellé dans la traverse, ou à l’aide d’un boulon à

tête marteau. Les attaches sur les traverses en béton armé sont plus compliquées que ceux

des traverses en bois. Elles doivent être élastiques. Entre le rail et le traverse, il fait intercaler

une semelle en caoutchouc afin d’éviter l’usure de la table de sabotage de la traverse.

II.2.4 Les traverses

Ce sont les éléments sur lesquelles se posent les rails. Elles se placent

perpendiculairement aux deux files des rails.

Les rails sont fixés sur les traverses par les attaches qui dépendent du type de

traverses utilisées. Ils sont inclinés de 1/18 à 1/20 sur les traverses dans l’effort d’augmenter

la stabilité des véhicules.

La variation de l’écartement de la voie est obtenue par l’intermédiaire de jeu de

crapaud pour les traverses métalliques et par réglage de sabotage pour les traverses en

bois.

a Rôles des traverses

Les traversent assurent les fonctions suivantes :

− Recevoir les efforts dynamiques verticaux et horizontaux des rails et les

transmettent aux couches de ballast.

− Amortir ces efforts dynamiques.

− Garder l’écartement de la voie.

− maintenir l’inclinaison des rails qui est à 1/20.

b Types de traverses

Les traverses sont de trois catégories selon les matériaux de construction :


12

Traverse en bois

Traverse métallique

Traverse en béton

b.1 Traverses en bois :

Les traverses en bois sont les plus employées dans le monde. Les traverses en bois

dur comme le chêne le hêtre et les bois exotiques ont la plus large emploie.

Elles doivent avoir les caractéristiques suivantes :

− Posséder une grande résistance à la rupture, une grande résistance au matage,

une grande résistance au cisaillement et une haute résistance à la flexion.

− Avoir une résistance pour contrer l’effet de l’arrachement des attaches.

− Avoir une longévité assez longue.

A Madagascar, on utilise les Varongy, heretsika, nante, dinty, lalona, rotra …

Généralement, les traverses en bois ont les dimensions suivantes :

1900 mm x 220 mm x 130 mm.

La partie en contact avec les rails s’appelle table de sabotage. Les deux parties de

gauche et de droites s’appellent épaulement.

Les bois pour traverses doivent relativement être traités de façon à se protéger contre

les termites et la moisissure. Le problème avec les traverses en bois est la destruction rapide

de la nature par condamnation des bois.

b.2 Traverses métalliques :

Les traverses métalliques sont des produits industrielles de fabrication simple. Elles

ont généralement une forme en U renversé, avec les deux extrémités fermées. Ces

couvercles qui couvrent les deux extrémités s’appellent bâche et a pour rôle de retenir le

ballast sous le traverse, de fixer le bourrage et de créer un effort antagoniste qui fixe les rails

qui ont tendance à se translater à gauche ou à droite.

Les traverses métalliques doivent avoir une taille moyenne pour faciliter le bourrage. La

longévité des traverses est environ 3 ans. Les dimensions suivant la norme sont :

1800 mm x 233 mm x 75 mm avec une épaisseur moyenne de 8mm.

Les traverses plates ont une longueur de 1800 mm en pesant 39 kg. Les traverses

pincées ont une longueur de 1900 mm avec un poids de 44 kg.

Les figures illustrant les profils de traverses métalliques sont dans l’ANNEXE n°4.


13

b.3 Traverses en béton :

Ce sont des traverses en béton armé préfabriqué ou en béton préfabriqué. On

distingue les traverses en béton armé monobloc, et en deux blocs reliés par une des pièces

métalliques ou entretoises. Les traverses monoblocs présentent beaucoup d’inconvénient :

une fâcheuse tendance au rupture sous l’effet d’une charge appliquée brusquement et

créant des fissures au niveau des attaches et contact béton rail. Même pour les traverses en

deux blocs, les inconvénients sont nombreux : poids propre élevé, problème d’isolation en

cas de circuit de voie, fissures au niveau des attaches et au contact béton acier. Mais elles

présentent quand même beaucoup d’aspects positifs : pas de destruction de la nature, à

l’abri de la pourriture et l’oxydation, plus stable par rapport aux autres types de traverses, ont

une durée de vie longue de l’ordre de 40 ans. (Voir ANNEXE n°5)

Le choix entre ces 3 types de traverses est conditionné par les critères financières, les

problèmes de matériaux et matériels, la durée de service voulue.

c Travelage

Le travelage est la manière de disposer les traverses perpendiculairement aux files des

rails ou normalement à l’axe de la voie dans la courbe selon les indications données dans le

plan de pose.

Pour chaque type de rail, sont mentionnés sur le plan de pose :

Les nombres de traverses pour chaque barre de rail.

Les mesures montrant l’emplacement de chaque traverse intercalée par les

joints de la première ou la deuxième traverse.

L’intervalle de 2 traverses consécutives.

Le travelage dépend du trafic. Elle varie de 1200 à 1800 traverses au kilomètre. A

Madagascar, le travelage varie entre 1333 et 1500 traverses au kilomètre.

II.2.5 Le ballast

On appelle ballast la couche entre la plateforme et les traverses. Il est constitué par

des granulats de roches dures ou calcaires concassées de diamètres compris entre 25 et 60

mm.

Elle a pour rôle :

de répartir sur la plateforme les charges venant des traverses. En effet, les

contraintes transmissent par le ballast au niveau de la plateforme doit être inférieur


14

aux limites admissibles de la plateforme pour éviter le poinçonnement et atténuer

les tassements résiduelles due au vibration sous l’action répétée des charges.

assurer la stabilité rail - traverse sous les efforts verticaux et horizontaux. Elle joue

alors un rôle d’amortisseur des effets dynamiques reçus par les rails. Ainsi, le

ballast doit être uniformément élastique.

assurer, en raison de sa granulométrie, le drainage et l’évacuation rapide des eaux

zénithales.

permettre une rectification rapide du nivellement de la voie au moyen des

bourrages dressages.

Le ballast doit répondre aux des critères suivant pour bien assumer ses fonctions :

elle doit être propre, exempt de terre, d’argile et de matières étrangères provenant

de la couverture soit de filons soit des poches de mauvaises qualités.

sa granulométrie ne doit être comprise entre 20 mm et 60 mm.

les pierres concassées formant la couche de ballast doivent être de bonne qualité,

dures, vives, non schisteuses, et non friables.

Une mauvaise qualité de ballast entraîne le retirement intensif des rails de la voie.

L’épaisseur de la couche de ballast varie entre 25 et 40 cm.

En générale, le ballastage de la voie comprend les sous couches et le ballast

proprement dit. La sous couche est formé de matériaux de qualités, perméables, qui peuvent

être constitués de ballast ancien non épuré en cas de renouvellement de la voie.

Les sous couches répondent à plusieurs buts :

− elles constituent une semelle au ballast qui doit évacue les eaux de capillarités.

− elles forment une fondation plus rigide de protection de la plateforme, pour les

zones qui, en profondeur, cumulent les charges transmises par les traverses.

− elles permettent une économie de ballast.

L’épaisseur de la sous couche varie de 10 à 20 cm.

III Géométrie de la voie

III.1 Tracé en plan

La voie ferrée dans le plan est caractérisée par l’alignement et les courbes.


15

III.1.1 Caractéristiques de la voie en alignement

L’écartement de la voie est la distance mesurée à 12 mm au dessous du plan de

roulement et perpendiculaire aux rails. En alignement, l’écartement de la voie doit être

constant avec une marge.

A Madagascar la valeur de l’écartement est de 1000 mm.

Dans les alignements les rails sont disposés avec une inclinaison vers l’intérieur à

l’aide des semelles spéciales. Il faut laisser un espace vide entre le boudin et le champignon

du rail afin de diminuer la résistance au mouvement de l’usure des rails et de la roue, les

rails doivent être disposée sur le même niveau.

III.1.2 Caractéristiques de la voie dans les courbes

Dans les courbes, la voie admet les particularités suivantes :

− Variation de l’écartement en fonction du rayon de courbure.

− Raccordement des courbes aux alignements ou des courbes aux courbes.

− Elévation de la file extérieure de la voie par rapport à la file intérieure.

− Pose des rails courts dans la file intérieure.

a Variation de l’écartement de la voie

Dans les courbes, l’écartement de la voie est fonction du rayon de courbure de façon à

facilité l’inscription du matériel roulant.

L’écartement minimal admissible de la voie s’obtient par l’inscription du matériel

roulant.

A Madagascar le rayon de courbure minimal est de 50 m en pleine voie. Dans les

gares on peut trouver des rayons de 45 m.

Voici quelques valeurs des écartements de la voie en fonction des rayons de courbure

à Madagascar :

Rayon de courbure R (mm) Ecartements (mm)

R > 100 000 1000

85 000 < R < 95 000 1007

75 000 < R < 84 000 1009

65 000 < R < 74 000 1011

55 000 < R < 64 000 1015

50 000 < R < 54 000 1020

Tableau n°2 : Valeurs caractéristiques des écartements de voie en fonction des rayons de

courbure.


16

b Raccordement de la voie dans les courbes

Les alignements sont raccordés aux courbes circulaires par une courbe parabolique

d’équation :

RL

XY

6

3

= Avec Y : ordonnée de la courbe au point d’abscisse X. [m]

R : Rayon de courbure circulaire. [m]

L : Largeur du raccordement parabolique. [m]

La longueur L nécessaire pour l’exécution du raccordement étant donné par la

formule :

W

DL = où D : dévers dans la courbe circulaire considérée [mm]

W : Variation de dévers par mètre de longueur de voie. [mm/m]

L’origine des axes est prise au point de tangence de l’alignement et de la courbe.

On calcule l’ordonnée Y en chaque point d’intervalle 4

L à partir du point d’abscisse X

qui varie de 0 à L avecR

Lm

24

2

= .

L/4 L/4 L/4 L/4

L/2 L

L

Alignement

Y

courbe circulaire

Raccordement parabolique

X0

R-m R

Figure n°4 : Principe de raccordement


17

La longueur minimum d’un alignement entre les points de tangence de deux courbes

circulaires de sens contraires ne pourra être inférieure à 70 m.

Nous verrons les caractéristiques des devers dans le paragraphe profil en long.

III.1.3 Intersection des voies

Les intersections de deux voies sont assurées par les appareils de voies. Les appareils

de voie comprennent deux grandes catégories :

− Les branchements.

− Les traversées.

La combinaison des deux donne la jonction.

Le branchement assure la séparation d’un itinéraire principale en deux itinéraires

secondaire ou plus. On distingue :

Le branchement simple : une voie directe et une voie déviée.

Le branchement double symétrique : une voie directe et deux voies symétriques par

rapport à la voie directe.

Le branchement symétrique.

La traversée assure l’intersection de deux itinéraires principaux. La traversée jonction

donne, de plus, la liaison simple ou double des deux itinéraires sécants.

a Les éléments de l’appareil de voie :

Les appareils de voie classiques comportent trois éléments constitutifs essentiels,

reliées par des parties intermédiaires de voie courante. Ce sont :

L’aiguillage qui assure la continuité entre l’origine de l’éclatement de l’itinéraire principal

suivant un ou deux itinéraires secondaires.

Le croisement qui assure une intersection entre deux files de rails de main différente.

La traversée qui assure une double intersection entre deux files de rails de même main.

L’aiguillage comporte deux rails contre aiguilles et deux rails aiguilles.

Les deux aiguilles sont généralement solidaires dans leur mouvement de translation,

assurant la continuité vers l’un ou l’autre itinéraire.

Le croisement comporte un cœur de croisement, deux rails de coté, deux contre rails et

deux entretoises de liaison. La traversée comporte le cœur de traversés et des pièces de

butée.


18

b Les caractéristiques de l‘appareil de voie

L’appareil de voie est caractérisé par le rayon de déviation qui est fonction de la vitesse

d’exploitation choisie en une voie déviée. Le rayon est calculé en tenant compte de

l’accélération de la pesanteur horizontale ‘a1’ non compensé admise (qui détermine une

insuffisance de dévers) et qui est compris ente 0,5m/s2 et 1m/s2.

En générale l’appareil de voie est caractérisé par sa longueur, le type de rail, son

branchement, son angle de déviation <a> (0,13 < tan a < 0,15)

III.2 Profil en long

Les profils en long des voies ferrées sont caractérisés par des pentes très faibles. La

déclivité fictive est déterminée à partir de la formule :

Rn f

δ500= avec fn : en mm/m

δ : Écartement de la voie [mm]

R : rayon de courbure. [m]

Pour le raccordement de deux déclivités, on détermine la longueur de raccordement et

la distance du milieu de la courbe de raccordement au point de d’intersection de la tangente.

La valeur factorisant de raccordement de déclivité est donnée par la formule suivante :

ξ2000=L ;

−+= 1)

41(

2ξe

Où R : rayon de courbure de raccordement. [m]

ξ : Différence de pente de déclivité. [m]

e : distance de milieu de courbe de raccordement au point d’intersection des tangentes.

L : longueur de raccordement. [m]

L

e

Figure n°5 : Le raccordement en alignement

Dans les pays développés qui utilisent le TGV, les rampes de raccordement sont

environ 0,6 mm/m et D = 180 mm valeur limite.

A Madagascar, la rampe maximale est 3,5 %, les rampes de raccordement ne

dépassent pas 4 mm/m, et le rayon de courbure de raccordement a été fixé à 2000m.


19

III.3 Profil en travers

III.3.1 Les profils en travers type

On distingue les profils en travers en alignement et en courbe.

Pour la plateforme, les profils en travers sont établis avec des versants, assurant

l’écoulement rapide des eaux vers l’extérieur pour une évacuation par ruissellement normale

ou par collectage dans les fossés. Les pentes prescrites de ces versants sont comprises

entre 0,03 et 0,05. En voie unique on admet une seule versant qui, dans les courbes, aura

une inclinaison de même sens que le dévers. La constitution des versants de la plateforme

exige une exécution soignée, les pentes étant bien dressées, si possible compactées et

damées.

a Détermination des dévers

Dans les courbes, le profil en travers est caractérisé par les devers, et un profil en

pente unique qui est dirigée vers le centre de la courbe.

En effet, les véhicules sont soumis à la force centrifuge dans les courbes. L’élimination

de cette force se fait par surélévation de la file extérieure par rapport à la file intérieure à la

courbe. C’est le dévers.

La détermination du devers se fait de la manière suivante :

1,5m

D

G

F

aT

Re

Rio

Figure n°6 : Schéma de calcul de dévers

Soient Re, Ri : les réactions normales respectives au niveau de la file extérieure et de

la file intérieure.

F : la force centrifuge appliquée au véhicule.


20

G : le poids du véhicule avec G = mg.

T : la réaction transversale au niveau du rail de la file extérieure.

S : l’écartement de la voie correspondant à R.

a : distance entre le centre de gravité du véhicule et le rail.

D : le dévers.

XX’ : axe perpendiculaire au véhicule.

Afin d’obtenir un usure uniforme sur les deux files, choisissons D de façon à ce que

0=∑−∑ RRe

Les moments de toutes les forces appliquées au véhicule donnent :

022

sincos =+−− SR

SRGaFa ieαα

Avec S

D=αsin et la condition 0=∑−∑ RRe , on a 0sincos =− αα GaFa

Où R

VmF

2

= et mgG = . V : vitesse de franchissement de la courbe de rayon R.

m : masse du véhicule.

R : rayon de courbure.

Dans le cas de différents types trains, on a :

R

VmF i

i

2

∑= et gmG 11 = . Le dévers s’exprime par G

FSD =

En prenant S = 1000 mm, g = 9,8 m/s2, R en mètre, V en km/h, et si on pose encore

mi = ni Gi on trouve :

∑

∑=

ii

iii

Gn

VGn

RD

28,7

avec ni : nombre de train d’un type déterminé franchissant la

courbe étudiée en 24 heures et Gi le poids de ces trains.

Des expériences ont montrés qu’il faut additionner à cette formule un terme ∆D qui est

fonction de la nature du train. Si la plupart des trains franchissant la courbe en 24 heures est

un train de voyageurs, alors on prend ∆D = 25 à 30 mm ; pour les trains marchandises, ∆D =

15 à 20 mm ; pour les autres cas, ∆D = 20 à 25 mm.

D’où la formule générale : DGn

VGn

RD

ii

iii ∆+

∑

∑=

28,7


21

b Vérification des dévers

Soit R

Vacf

2

= l’accélération centrifuge.

m

Gacp

αtan= l’accélération centripète due à l’élévation de la file extérieure

Comme α est petit, on a S

D== αα sintan , soit S

Dg

Sm

DGacp ==

On doit avoir cpcf aa = donc S

gD

R

V =2

Dans la pratique, ce cas est très difficile à obtenir. On a toujours une accélération

résiduelle a telle que :

S

gDa

R

Vadmr +≤

2max

Par expérience, on sait que si 2/14,0 sma admr ≤≤ le passager dans le véhicule

ressent moins l’effet du virage. Soit g

Sa

Rg

SVD r max

2max −≥

En prenant, S = 1000 mm ; g = 9,8 m/s2 ; R en m et a en m/s2 on a :

admraR

VD 102

8,7 2max −=

Cette condition doit être satisfaite si on veut considérer à la fois l’usure minimale du rail

de file extérieure et l’effet du virage senti par le voyageur dans le véhicule.

Voici quelques valeurs de dévers à Madagascar :

R [m] 50 à 70 70 à 115 115 à 150 150 à 210

D [mm] 90 85 80 75

Tableau n°3 : Devers maximales à Madagascar.

III.4 Dimensionnement de la voie

Dimensionner une voie ferrée consiste à déterminer le type de rail, le type de traverse,

l’épaisseur du ballast, de telle manière que les contraintes transmises au sol de la plateforme

soient inférieures à la contrainte admissible du sol.


22

III.4.1 Détermination du poids du rail

On utilise des formules empiriques mise au point sur la base des expériences de

différente compagnie de chemin de fer.

− Formule proposée par la Conférence Ferroviaire de Caire :

Pq 5,2=

− La formule du professeur YERSHOV

2,2maxV

q =

− La formule du professeur SHULGA

203,0046,31 Tq =

− La formule de JEAN ALIAS

22 += Pq

− La formule de SHAJUNIANZ

3/23/225,0 )012,01)(1( PVTAq ++=

Dans ces formules on a :

q : poids par mètre linéaire de rail. [Kg/ml]

A : coefficient égale à 1,2

T : tonnage annuel du trafic ferroviaire

P : la charge par essieu [T]

III.4.2 Dimensionnement du ballast

L’épaisseur du ballast est déterminée de façon à ce que les contraintes transmises par

les charges des essieux soient inférieures à la charge admissible du sol de plateforme.

En effet, les charges se répartissent sur grande surface de la plateforme grâce à la

couche de ballast, réduisant ainsi les contraintes transmises. Les charges se répartissent

sous traverses sous un certain angle.

La détermination de l’épaisseur se fait par les formules suivantes :

− L’A.R.E.A (Etats-Unis) avec un angle de répartition de 30°.

oPh

P8,16

1 =

Où 1P : pression en un point situé à une profondeur h [m] en dessous de la surface

inférieure de la traverse.

oP : Pression unitaire par cm2 sous la surface inférieur de la traverse.


23

− La technique européenne admet que, la transmission de charge sous traverses se

fait avec un angle de 45°.

oPbh

bP

+=

21

Avec 1P : pression en un point situé à une profondeur h [m] en dessous de la surface

inférieure de la traverse.

oP : Pression unitaire par cm2 sous la surface inférieur de la traverse

b : Largeur de la traverse

h : Profondeur de la ballast

La pression unitaire sous la surface inférieure de la traverse se calcule par la formule

suivante :

0

0 lb

PP

t

m=

Où mP : Pression maximale exercée par la charge roulante sur les rails et les traverses.

[kg/cm2]

tb : Largeur de la traverse [cm]

0l : Longueur bourrée sous chaque fil de rail [cm]

La pression maximale exercée par la charge roulante sur les rails et les traverses est

calculée à l’aide de la formule de DRIESSEN :

vm Cn

PP = avec

a

dn = et

300001

2VCv +=

Où P : Charge par essieu

d : Entraxe des essieux

a : Entraxe des traverses

vC : Coefficient d’influence de la vitesse

V : Vitesse d’inscription. A Madagascar V = 80 km/h

Les contraintes admissibles du sol selon leur nature sont :

Terrain médiocre : 1 kg/cm2

Sable : 2 kg/ cm2

Bon terrain : 3 – 4 kg/ cm2


24

PARTIE II ENVIRONNEMENT

DU PROJET


25

CHAPITRE I PRESENTATION DE LA LIGNE TA

I Généralités

La ligne TA relie Antananarivo et Antsirabe sur un parcours de 153 Km, prolongé vers

le Sud jusqu'à la gare de Vinaninkarena au PK 163+875.

Elle a été construite pendant la période de colonisation par le gouverneur PICQUIE. La

construction qui commençait au début de 1913 ne fut achevée qu’en 1921. Vu ces dates, la

ligne TA est très âgée. La société RNCFM, en son temps, s’est chargée de tous les

entretiens nécessaires pour l’exploitation maximale de la voie. Aujourd’hui, la société

MADARAIL prend en charge la remise en état de la ligne entière.

II Caractéristiques de la ligne

II.1 Le tracé

La ligne, partant de Soarano, suit dans un premier tronçon un terrain plat avec une

pente réduite et des courbes de rayons moyens. Elle affronte ensuite un tronçon

montagneux jusqu’à Ambatolampy (PK 62), où la pente arrive à 1,6 % et les courbes de

rayon réduit (125m) sont nombreux.

Ensuite, jusqu’à la gare d’Ilempona, la configuration du terrain permet encore un

tracé doux avec des courbes de rayon relativement grand et des pentes qui ne dépassent

pas 1%.

Après Ilempona, la ligne affronte un autre tronçon montagneux et monte jusqu’à une

altitude de 1687 m pour descendre sur Antsirabe qui est situé à l’altitude 1504 m.

Evidemment, ce dernier tronçon présente des pentes qui arrivent jusqu’à 1,5% et un nombre

élevé de courbes de rayon réduit, jusqu’à 125 m.

Le rayon minimal de courbe sur la ligne est de 200 m et les pentes varient de 1 à

1,5%.

On peut constater que, par rapport aux autres lignes, les pentes sont plutôt réduites et

les rayons de courbure minimums sont très largement supérieur à la valeur minimale

admissible qui est de 80 m.

L’altitude de la ligne est représentée par le schéma sont par le tableau suivant :


26

Gares Kilométrage des gares [Km] Altitude [m]

Soanierana

Ambohijanaka

Ambatofotsy

Tsinjony

Behenjy

Andriambilany

Ambatolampy

Ambohimandroso

Ampitatafika

Ilempona

Andavabato

Sambaina

Andranomanelatra

Antsirabe

Vinaninkarena

0+000

2+800

16+300

26+150

35+700

45+700

62+100

78+300

88+100

97+700

110+200

131+350

138+100

149+950

163+000

1252

1259

1347

1378

1495

1537

1551

1556

1500

1659

1687

1357

1628

1587

1504

Tableau n°4 : Altitude de la ligne TA.

Source MADARAIL.

II.2 La structure de la ligne TA

II.2.1 Les éléments de la voie

Les 154 Km de voie constituant la ligne TA sont caractérisés par des rails de 25, 30, et

36 kg/ml reposant sur des traverses en bois, métalliques et parfois en béton.

Les terrains qui intéressent la ligne TA sont formés dans la plus grande partie par des

sols résiduels surtout argileux, produits d’altération physico-chimique. Elle est granitique

entre Antananarivo et Ambatolampy, basaltique et métamorphique entre Ambatolampy

Antsirabe. La plateforme est surtout formée de matériaux fins, limoneux argileux et rarement

sableux, caractérisés par une plasticité moyennement élevée et par une portance réduite.

Ces terrains représentent la base d’appui de la couche de ballast aujourd’hui enfoncée dans

la souscouche, sur une épaisseur de 0,10 m.


27

II.2.2 Les gares

La ligne TA est composée en total 13 gares dont les principales sont Soarano,

Ambatolampy, Antsirabe, Vinaninkarena.

II.2.3 Les ouvrages d’art

Les ponts

La ligne comporte en total 43 ponts dont 6 métalliques, 22 en maçonneries et 14 en

béton armé.

La localisation des ponts en béton armé avec leur longueur respectif est donnée par le

tableau ci après :

Nature Localisation [PK] Longueur [m]

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

Béton armé

2+534

17+411

20+703

23+095

24+500

36+084

75+943

86+310

88+074

98+179

131+381

135+834

137+368

149+637

18,50

131,00

90,00

88,50

100,00

32,50

80,00

100,00

98,00

63,00

150,00

125,00

180,00

125,00

Tableau n°5 : Localisation des ponts en béton armé sur la ligne TA.

Source : Ministère des Travaux Publics.

Les 14 ponts en béton armé ont une longueur total de 1 462,10 m.

Les tunnels

La ligne TA comporte 7 tunnels situés sur les 60 premiers kilomètres du tronçon, partie

sur zone très accidentée. Leur localisation et leur longueur sont données ci après :


28

Localisation [PK] Longueur (m)

14+496

23+475

38+329

47+561

51+000

52+367

60+704

228,10

98,58

219,70

132,80

130,08

140,50

217,85

Tableau n°7 : localisation des tunnels sur la ligne TA.

Source : Ministère des travaux Publics.

Les murs de soutènement

Les murs de soutènement rencontrés sur la ligne sont soit en gabions, soit en

moellons hourdés au mortier de ciment, soit dans certains endroits simplement en pierres

sèches.

Les dalots, les buses, les fossés

On trouve, sur la ligne, des dalots en béton armé et en maçonnerie de moellons. Les

fossés sont en terre et en maçonnerie.


29

CHAPITRE II ENVIRONNEMENT

SOCIOECONOMIQUE

Les échanges, la circulation et les interactions entre régions sont expliqués en partie

par les caractères socio économiques de chaque région. Il est de ce fait important de

connaître les environnement socioéconomiques du projet afin pouvoir estimer les trafics

futurs que va satisfaire la ligne ferroviaire.

I Délimitation des zones d’influences

Localisation de l’ouvrage : Le pont qui fait l’objet de notre étude se trouve au PK

24+500 de la ligne TA, précisément entre la gare d’Ambatofotsy et celle de Behenjy. La zone

d’influence du pont sera directement celle de la ligne TA.

On distingue :

Zones d’influence directes : Ce sont les zones qui bénéficieront directement de la

reconstruction de l’ouvrage.

Zones d’influence indirectes : Ce sont les zones qui bénéficient indirectement de la

reconstruction de l’ouvrage.

La zone d’influence direct du projet est composée des fivondronana suivant :

Antananarivo, Ambatolampy, Antsirabe. La ligne TA relie alors deux grandes villes à

potentiels socio-économiques très grandes : la région de Vakinankaratra réputée pour sa

richesse en agriculture et ses industries, et la ville d’Antananarivo, capitale de Madagascar,

où se déroulent les échanges interrégionaux.

II Etude démographique

II.1 Effectif de la population de la zone d’influence

L’effectif de la population justifie les échanges et les circulations d’une région à une

autre. Il est indispensable de connaître l’occupation du territoire et l’évolution de la

population au cours des années précédentes. Le tableau suivant montre la différence dans

l’occupation du territoire par la population dans les fivondronana constituant une région.

(Avec effectif en 2001)


30

Fivondronana Superficie

[km2]

Nombre

d’habitants

[hab]

Densité

démographique

Taux

d’urbanisation

Antananarivo renivohitra

Antananarivo atsimondrano

Antananarivo avaradrano

Ambatolampy

Antanifotsy

Antsirabe I

Antsirabe II

107

379

545

1 632

2 456

113

2 284

903 450

292 057

207 942

278 741

160 356

333 979

229 123

6 638

606

300

104

89

115

115

100

100

Tableau n°8 : Effectif de la population dans la zone d’influence du projet.

Source INSTAT

II.2 Taux d’accroissement de la population dans les 20 ans à venir :

D’après INSTAT, le taux d’accroissement augmente en zone urbaine.

Année 1998-2003 2003-2008 2008-2013 2013-2018 2018-2023

Taux

d’accroissement 2,7 3 3,2 3,5 3,5

Tableau n°9 : Taux d’accroissement de la population

Source INSTAT

II.3 Prévision de la population de la zone d’influence

L’effectif est obtenu par la formule P (t) = Po (1+α)∆t

Avec P (t) : nombre de population en année différente.

Po : nombre de population à l’année de référence.

∆t = t – to

En prenant comme année de référence l’année 2001, avec un taux d’accroissement de

2,7%, on obtient les résultats dans le tableau suivant :


31

Année Antananarivo Ambatolampy Antsirabe Total

2002 1 133 093 174 022 399 108 1 706 223

2003 1 163 687 178 721 409 884 1 752 291

2004 1 195 106 183 546 420 950 1 799 603

2005 1 227 374 188 502 432 316 1 848 192

2006 1 260 513 193 591 443 989 1 898 093

2007 1 294 547 198 818 455 976 1 949 342

2008 1 329 500 204 186 468 288 2 001 974

2009 1 365 396 209 700 480 931 2 056 027

2010 1 402 262 215 361 493 917 2 111 540

2011 1 440 123 221 176 507 252 2 168 552

2012 1 479 006 227 148 520 948 2 227 102

2013 1 518 940 233 281 535 014 2 287 234

2014 1 559 951 239 579 549 459 2 348 990

2015 1 602 070 246 048 564 294 2 412 412

Tableau n°10 : prévision de la population.

III Activités économiques

La ligne TA relie deux grandes régions de l’île : la région d’Antananarivo qui est la

capitale de Madagascar et la région de Vakinankaratra avec une potentialité économique

très élevée.

Les principales activités dans de la région concernée est classé en quatre catégories :

− L’agriculture.

− L’élevage.

− Les industries.

− Le tourisme.

III.1 L’agriculture

Favorisée par son sol riche en élément fertilisant, le climat tropical, son importante

disponibilité en eau, la région de Vakinankaratra est une zone polyculture. A part la culture

vivrière, la région produit également une quantité importance de fruits et de légumes variés.

Les produits agricoles sont surtout orientés vers l’autoconsommation.

Les tableaux de l’ANNEXE n°7 montre un aperçu des productions agricoles de c haque

Fivondronana.


32

III.2 L’élevage

Les productions de l’élevage participent inévitablement comme paramètre de

développement d’une région après l’agriculture. Dans notre zone d’étude, l’élevage constitue

aussi une source importante de revenue pour la population.

Les plus pratiqués sont l’élevage bovin, ovin et surtout porcin dans la région de

Vakinankaratra, l’élevage de volaille.

L’effectif cheptel dans chaque circonscription de l’élevage est récapitulé par le tableau

suivant :

CIREL ESPECES 1996 1998 1999

Antananarivo Bovins

Porcins

Ovins

Caprins

Volaille

209 200

101 765

5964

1 803 789

136 183

61 580

6 170

423

649 433

136 118

30 956

1 658

1 594 600

Antsirabe Bovins

Porcins

Ovins

Caprins

Volaille

220 000

210 133

2 708

2 163 076

308 750

159 880

7 160

210

1 291 240

220 759

21 014

7 147

326

1 290 600

Tableau n°11 : Effectif cheptel dans les deux grandes villes.

III.3 L’industrie et l’artisanat

Le principal point qui marque les potentialités des deux grandes villes que sont

Antananarivo et Antsirabe est l’importante activité industrielle dans ces régions. En effet,

plus de la moitié des unités industrielles de Madagascar sont concentrés dans ces deux

villes.

III.3.1 Les activités industrielles et artisanales d’Antananarivo

Les activités artisanales et industrielles de la capitale sont divisées en les secteurs

suivants :

− L’industrie agro alimentaire.

− L’industrie textile.

− L’industrie de bois et ses dérivées.

− L’industrie chimique.

− L’industrie métallique.


33

− L’industrie de Bâtiments et Travaux Publics.

− L’industrie mécanique et électrique.

− L’industrie de cuir et de la chaussure.

− L’industrie du tabac.

On distingue aussi des centaines de PME à Antananarivo.

Voici quelques exemples de grandes industries à Antananarivo :

ENTREPRISES Nature de l’activité

COLAS, SNTPI,SMATP,DAIHO Corporation,

SOGEA, SARA, …

Entreprises de Bâtiments et Travaux Publics

Béton France Spécialisés en Matériaux de construction en

aggloméré.

SOMACOU Fabriquant de couverture

SOCOBIS, JB, … Biscuiterie, confiserie, chocolaterie

PAPMAD papeterie

CODAL, LECOFRUIT, … Conserveries des fruits et légumes.

SAVONNERIE TROPICALE Savonnerie

TIKO, Zone Forello, la hutte canadienne… Produit agricole et élevage

SOBRIMA, TABIMA Fabrication de tuiles et briques.

Tableau n°12 : Exemple de grandes industries à Antananarivo

III.3.2 Les activités industrielles et artisanales dans la région de Vakinankaratra

Le secteur industrielle est vraiment très développé dans la région de Vakinankaratra.

Durant ces quarante dernières années on n’a cessé d’observer le développement du secteur

artisanal et industriel à Antsirabe. La multiplicité des activités rend difficile l’inventaire et le

contrôle. Toutefois, nous pouvons citer quelques importantes industries :

− Dans l’activité agro-alimentaire, on distingue :

TIKO : production d’yaourt, de lait UHT, de jus naturel, d’eau potable, de beurre et

de fromage, d’huile raffinée de soja et de tournesol.

SOCOLAIT : produit près de 3000 tonnes de lait concentré et 150 tonnes de

farilac par an.

KOBAMA : produit environ 200 tonnes de farine par jour.

− Concernant l’activité industrielle :

COTONA : le premier complexe textile de l’océan indien. Il produit plus de 20

millions de mètres de tissus par an et emploie quelques 2000 personnes.


34

SACIMEM : fabrique des cigarettes, traite les tabacs à fumer et à marcher pour le

marché interne et externe. Elle fait vivre plus de 450 familles.

STAR : produit de boissons comme la bière, le fanta, sprite, coca-cola.

− Concernant l’exploitation du sol :

SOMADEX : exploitation de calcite, talc, Kaolin, dolomie, chaux. Elle emploie plus

de 200 personnes.

HOLCIM : cimenterie.

CHAUMAD : produit 8000 tonnes de chaud par an.

III.4 Le tourisme

Grâce à son histoire, ses lieux touristiques comme le palais de la reine, celui u premier

ministre, le parc zoologique de Tsimbazaza, Antananarivo reste une région riche en

potentialité touristique. La capitale attire aussi biens les étrangers que les natifs.

La ville d’Antsirabe, longtemps considéré comme un pôle touristique important surtout

pendant la période coloniale, a actuellement perdu sa réputation. Toutes fois, la source

thermale d’Andranomafana, le Ranovisy et les lacs légendaires d’Andraikiba et de Tritriva

attire encore les touristes.

En ce qui concerne l’infrastructure touristique, il existe 98 agences de voyage à

Antananarivo, et 3 agences à Antsirabe. Dans le domaine d’hébergement, Antananarivo

compte jusqu’à 1991 chambres d’hôtel, et 246 chambres à Antsirabe.

IV Conclusion

La ligne TA relie deux villes importantes caractérisées par une développement

économique et sociale considérable : Antananarivo, capitale de Madagascar, et la région de

Vakinankaratra très productive et riche en industries. L’existence d’un transport en masse

comme le transport sur chemin de fer gagnera vite profit en assurant le transport voyageurs

marchandises sur cette axe.


35

CHAPITRE III ETUDE DE TRAFIC

La connaissance du trafic futur est d’une importance particulière du fait qu’elle sert

aussi bien à l’évaluation de la rentabilité du projet qu’au choix du type d’intervention à faire.

Le trafic à envisager sur la ligne étudiée dépend uniquement des caractères

socioéconomiques des zones concernées. Vu les potentialités socioéconomiques des

régions reliées par la ligne la ligne TA, il est certain que la ligne TA aura à recevoir un trafic

lourd et intense après la remise en état de toute la structure ferroviaire de la ligne.

I Situation du trafic sur la ligne TA avant 2000

A cause de la dégradation considérable des infrastructures ferroviaires ainsi que les

matériels roulants, les années 1990 à 1998 sont marquées par la baisse considérable du

trafic, que ce soit pour le trafic de voyageurs que pour les marchandises. Le tableau en

ANNEXE N°8 illustre l’évolution du trafic de voyage ur entre 1990 et 1998.

II Projection de trafic

La réouverture de la ligne TA a été inaugurée en juin 2004. Depuis cette date, alors

que le renouvellement de la voie n’est pas complètement achevé, l’exploitation de la ligne a

déjà commencé pour le transport des marchandises. Il n’y a pas encore de transport de

voyageurs.

Actuellement, les marchandises qui circulent actuellement sur le réseau Antananarivo

Antsirabe sont :

− les hydrocarbures venant de Toamasina vers Antsirabe.

− les contenaires venant de Toamasina vers Antsirabe.

− les ciments venant d’Antsirabe vers Antananarivo.

Le trafic futur pour ces marchandises selon la projection de Madarail est donné par le

tableau suivant : (en tonne/ Km).

Années de service Trafic hydrocarbure

Toamasina Antsirabe

Trafic conteneurs

Toamasina Antsirabe

Trafic ciment

Antsirabe -Tana

1

2

3

3300

5098

6127

0

722

883

2073

5183

7773


36

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

7572

9285

62365

62365

62365

62365

62365

70742

70742

70742

78105

78105

78105

78105

78105

78105

78105

1160

1380

9049

9049

9049

9049

9049

10491

10491

10491

12162

12162

12162

12162

12162

12162

12162

9500

11600

76536

76536

76536

76536

76536

77731

77731

77731

77731

77731

77731

77731

77731

77731

77731

Tableau n°13 : Synthèse des unités de trafics sur TA.

CHAPITRE IV DIAGNOSTIC DU VIADUC AU PK

24+500 DE LA LIGNE TA


37

I Description de l’ouvrage existant

L’ouvrage est un viaduc en béton armé, à 3 arches paraboliques de 28 m d’ouvertures,

s’appuyant sur deux culées et deux piles intermédiaires. Le tablier étant continu sur palée

s’appuyant sur les arcs, et encastré sur les culées.

La longueur total du pont est de 100 m, la largeur du tablier 3,80 m.

Les culées sont en maçonnerie de moellon.

Les piles, les arcs, les potelets, les poutrelles transversales et les poutres de rives sont

en béton armé.

Les trottoirs sont des dalles en encorbellement, en béton armé et le tablier en dalle de

béton armé.

L’ouvrage franchit sous sa première travée (côté vers Antananarivo) la route nationale

n°7 avant de franchir un obstacle naturel.

Photo n°1 : Vue d’ensemble de l’ouvrage

II Diagnostic de l’ouvrage existant

Après descente sur terrain, on a pu établir les diagnostics suivants :

II.1 L’infrastructure

Les culées : les murs en maçonnerie de moellon ne présentent pas de signe de

désordre ni de dégât.

Les piles en béton armé : présentent des impacts de décollement du béton avec

apparition des aciers corrodés et amorce de fissuration.

II.2 La superstructure

Les arches en béton armé :


38

− Dégradation des matériaux : sur l’arc de gauche en direction d'Antsirabe, deux impacts

dus à des chocs laissent apparaître les aciers inférieures fortement tordues et qui sont

maintenant corrodées. Il y a aussi présence de fissures ainsi que des décollements de

béton entraînant à terme la corrosion des armatures. Le décollement de béton dû aux

impacts se propage rapidement sur les parties de l’arc infecté, laissant apparaître les

aciers.

− Conséquence et évolution : les dégradations sont très graves et comme l’élément infecté

est porteur, les dégradations entraîneront la rupture et la ruine de l’ouvrage.

Photo n°2 : Dégradation de l’arc

Les potelets en béton armé :

− Dégradation des matériaux : fissures horizontales au droit des appuis des poutres et du

gousset.

− Conséquences et évolution : risque de rupture de l’acier. L’élément concerné est

porteur, la dégradation entraînera la ruine de l’ouvrage

Photo n°3 : Dégradation des potelets

Poutres de rive en béton armé :

− Dégradation des matériaux : fissurations apparentes, impacts de décollement de béton

avec apparition des aciers corrodés. Les fissures sont importantes, débutant depuis la

dalle en encorbellement du trottoir, descendant verticalement et transversalement le


39

dessous du tablier du pont traversant ainsi les poutres de rives, les poutres

longitudinales et la dalle du tablier.

− Conséquences : rupture des aciers.

Photo n°4 : Dégradation des poutres de rive

Poutres longitudinales en béton armé : même dégradation que les poutres de rive.

Poutrelles transversales en béton armé :

− Dégradations des matériaux : fissures horizontales sous appui. Certains arrêtes sont

cassées de façon importante et les aciers sont fortement corrodés.

− Conséquences et évolution : perte de résistance, rupture.

Photo n°5 : Dégradation des poutrelles transversales

Trottoirs en encorbellement :

− Dégradations des matériaux : De nombreuses fissures, à priori anciennes, sont visibles

en surface. Les fissures sont transversales, leurs espacements suivant la longueur du

pont sont irréguliers et leurs ouvertures et profondeurs sont variables. Elles ont été

traitées à une époque non déterminée, mais présentent un aspect que l'on peut

qualifier de 'sérieux'. (profonds avec larges ouvertures)


40

− Conséquences et évolution : corrosion de l’acier, résistance diminuée, rupture.

Photo n°6 : Dégradation du trottoir

Tablier dalle en béton armé :

− Dégradations des matériaux : les fissures repérées dans la dalle du trottoir, ainsi que sur

la poutre longitudinale se retrouvent partiellement dans la dalle - tablier. Nous avons

découvert des témoins sous le ballast, qui sont datés du : 05/10 /1918. En sous face, et

au droit des appuis sur les poutrelles transversales, les aciers inférieurs sont apparents

au droit de l'encastrement et la corrosion très importante.

− Conséquences et évolution : corrosion de l’acier, résistance diminué, rupture.

Photo n°7 : Dégradation de la dalle du tablier.

Les parapets : Détériorés et inexistants : Initialement constitué d'un garde corps

réalisé avec des poteaux en béton espacés de 2 m à 3 m et comportaient des lisses

intermédiaires en tubes ou profilés métalliques.

Photo n°8 : Dégradation des parapets.


41

La structure de la voie sur tablier :

− Le ballast : comme le montre le photo n°8 ci-dessu s et le photo n°9 ci-après,

le ballast est tout envahie par la végétation.

− Les traverses : traverses manquant et parfois pourris.

− Les rails : dégradation généralisées au niveau des systèmes de fixation (tire-

fonds arrachés ou tordus), des éclisses (courbure générale), et des rails

(usure de la champignon et oxydation).

Photo n°9: Dégradation de la structure de la voie

III Bilan des dégradations :

On constate que les dégradations les plus graves sont les fissures transversales et le

décollement du béton entraînant l’apparition des aciers tordues et corrodées.

Les fissures transversales sont graves et affectant presque tous les éléments du

tablier.

Particulièrement, le plus à craindre est la dégradation de l’arc de la première travée

due au choc causé par des véhicules. En effet, la naissance du premier arc est à 2m de

l’accotement de la route, ce qui laisse toute possibilité de choc pour les véhicules à grands

gabarits comme les semi remorques.

Bref, les dégradations sont assez graves, menaçant même la rupture du pont.

Apparemment, elles sont dues à la fatigue des matériaux causés par l’âge de service,

les intempéries et le manque d’entretien.


42

CHAPITRE V PROJET DE RECONSTRUCTION DU

PONT-RAIL

Dans le cadre du relancement du transport sur la ligne ferroviaire TA, la société

Madarail pense promouvoir ses environnements d’affaires : augmentation de tonnage et de

fréquence de transport journalier.

Actuellement les travaux de remise en état et du renouvellement de la voie sont à leur

terme. Et comme nous avons dans le chapitre étude trafic, la ligne est maintenant en cours

d’exploitation. Le trafic de marchandises commence à s’intensifier.


43

Vu les zones d’influence du projet élaboré dans l’étude socio économique et les

projections de trafic futur, il est probable que les voies ferrées de la ligne TA auront à

supporter un trafic très intensifié. L’assurance de ce trafic nécessitera à la voie et aux

ouvrages d’art des capacités de résistance élevées.

Vu le diagnostic du pont ferroviaire situé au PK 24+500 de la ligne TA, on conclut que

dans son état actuel le pont n’assurera pas le besoin du trafic de la ligne.

En considération de tout cela, on conclut que la reconstruction du pont s’avère

nécessaire.

La réparation des dégradations de l’ouvrage existant par le traitement de fissures

n’assurera la pérennité de l’ouvrage qu’à court terme, et on serait contraint de réduire la

capacité du pont. La construction d’un nouveau pont ayant une capacité pouvant répondre

au besoin d’un trafic futur constituera une meilleure solution.

Pour éviter la coupure de la circulation sur la ligne TA, l’ancien pont ne sera pas démoli

pour servir d’ouvrage provisoire.


44

PARTIE III ETUDES DES

VARIANTES

CHAPITRE I LES DONNEES TECHNIQUES

La conception d’un pont doit satisfaire à un certain d’exigence puisqu’il est destiné à

offrir un service à des usagés. On distingue les exigences fonctionnelles qui sont l’ensemble

des caractéristiques permettant au pont d’assurer sa fonction d’ouvrage de franchissement

et les exigences naturels qui sont l’ensemble des éléments de son environnement

déterminant sa conception.

I Les données fonctionnelles

Ce sont les tracés en plan, le profil en long et en travers caractérisant la géométrie de

l’axe de la voie portée et les données relatives à l’obstacle.


45

Notre futur ouvrage franchit :

− un obstacle naturel : ravin de profondeur de 15m.

− une voie de circulation qui est la route nationale RN 7.

Du sens Antananarivo vers Antsirabe, le pont franchit d’abord la RN7. (voir ANNEXE

N°28)

Notre ouvrage est alors contraint de respecter les caractéristiques fonctionnelles

relative à la voie franchie. Il s’agit de respecter la hauteur libre et les ouvertures.

En générale, la hauteur libre minimale sous ouvrage d’art est :

− 4,30 m pour les réseaux routiers nationales.

− 4,50 m pour les grandes routes de trafics internationales.

− 4,75 m pour les autoroutes.

La hauteur libre doit être dans notre cas supérieur à 4,30 m.

Cette hauteur minimale sous poutre est largement respectée par l’ancien pont. On

gardera par conséquent le niveau de l’ancien ouvrage pour éviter le rehaussement de la voie

ferrée.

II Les données naturelles

Ce sont :

− les données géotechniques et géologiques.

− les données hydrauliques et hydrologiques.

Les données géotechniques déterminent le type de fondation des appuis de l’ouvrage.

Elles constituent aussi l’un de l’élément de choix pour l l’emplacement des piles et des

culées.

D’après les ressources données par Madarail, l’ancien pont est fondé sur banc

rocheux. Défaut de données, on va adopter ce cas pour le futur ouvrage. On peut alors

envisager des fondations superficielles pour notre ouvrage. Les semelles seront ancrées à

0,5 m en dessous de la limite supérieur du fond rocheux.

Les données hydrauliques et hydrologiques sont par contre utiles pour le calage des

ouvrages franchissant un cours d’eau ou un canal. Ces données ne sont pas utiles dans

notre cas.


46

CHAPITRE II PROPOSITION DE VARIANTES

Avant de proposer des variantes pour le nouvel ouvrage, rappelons les dispositions

suivantes :

− L’ancien pont ne sera pas détruit mais sera par contre utilisé comme ouvrage

provisoire évitant la coupure du trafic.

− Le futur ouvrage sera désaxé par rapport à l’ouvrage existant tout en en essayant

de garder ou même réduire l’ouverture du pont.

− La côte du tablier de l’ancien pont sera gardée de façon à ne pas perturber la

rampe ou la continuité de la voie ferrée de part et d’autre à respecter le gabarit

sous pont.


47

− A cause de présence de banc rocheux à une faible profondeur l’ouvrage sera

construit sur fondations superficielles.

La longueur total du tablier du nouveau pont sera égale à 98m. On se propose dans ce

cas deux choix selon le type de pont :

Variantes n°1 : Pont en béton armé à poutres sous rail composé de :

− 4 travées indépendantes de 24,5 m chacune et comportant deux poutres

isostatiques sous rail.

− 2 culées et 3 piles intermédiaires.

24,5 24,5 24,5 24,5

Figure n°7 : Variante en béton armé

Variantes n°2 : Pont en béton précontraint composée de :

− 3 travées indépendantes de 33 m chacune. Chaque travée comportant deux

poutres intermédiaires.

− 2 culées et 2 piles intermédiaires.

33 33 33

Figure n°8 : Variante en béton précontraint

I Comparaison de variantes

I.1 Hypothèses des prix des matériaux

− Béton dosé 400 : 2 250 000 fmg par m3 (avec coffrage).

− Béton dosé 350 : 1 950 000 fmg par m3 (avec coffrage).

− Acier passif : 25 000 fmg par Kg.


48

− Acier actif : 70 000 fmg par Kg.

− Lancement de la poutre en béton armé ou précontrainte : 10% du prix de la

poutre.

I.2 Ratio approximatif d’armatures

On prendra les valeurs suivant pour les dosages approximatifs des aciers :

Pour la superstructure du pont en béton armé : 250 kg/m3

Pour les culées et semelles : 100 kg/m3

Pour les piliers poteaux : 200 kg/m3

Pour l’acier de précontrainte : 80 kg/m3

Pour l’acier passif pour béton précontraint : 80 kg/m3

I.3 Prédimensionnement de la variante n°1

La longueur total d’une travée pour la variante en béton armé est de lt = 24,5 m. La

longueur de calcul sera alors :

[ ]mlL 600051 0 ,, += avec lo calculé par la formule : [ ]mlLt 650071 0 ,, +=

Soit la longueur de calcul : L = 24 m.

I.3.1 Superstructure

La répartition de charge définit par le règlement UIC (Union International de Chemin de

fer) implique que pour éviter l’excentricité de la centre de pression des charges, celle doit

être comprise entre la largeur fictive B. Prenons l’entraxe des deux poutres égale à 2,50 m.

La superstructure de l’ouvrage comporte :

Deux poutres principales en béton armé.

Une dalle pleine en béton armé.

Des entretoises en béton armé solidarisant les poutres principales.

− Dalle

La dalle sera coulée sur place, son épaisseur e se réfère à la limite de poinçonnement.

Soit 15 cm < e < 23cm. Prenons e = 20 cm.

− Poutres principales

Les poutres auront une forme en T. On peut dimensionner la poutre principale d’un

pont en béton armée comme suit :

Hauteur de la poutre th :


49

1520

Lh

Lt ≤≤ avec L = 24 m. Soit 1,2 < th < 1,6 [m].

Prenons directement th = 1,60 m.

Largeur b de la table de la poutre en T :

En générale tt hbh 7050 ,, << ,soit 0,6 < b < 1,4 [m].

Prenons b = 1 m.

Epaisseur de l’âme b0:

On a 0,35 d < b0 < 0,4 d

Avec d : hauteur utile, d = ht –c. Pour c = 4, d = 116 cm

Prenons bo = 40 cm. 100

20

40

120140

Figure n°9 : Poutre principale de la variante en béton armé

− Entretoises :

En pratique l’épaisseur de l’entretoise varie entre 0,25 et 0,3 m. Prenons e = 25 cm.

La hauteur de l’entretoise est la distance entre les bords inférieurs de la table et la

hauteur de renflement. Si on suppose 30 cm comme renflement, he = 90 cm.

Entraxe de l’entretoise : 0,03ht < de < 0,05 ht.

Soit 3,6 < de < 6 [m]. Prenons de = 6 m. avec cette distance on obtient 5 entretoises

dont 2 aux appuis et 3 en travées.

− Trottoir :

L’épaisseur du trottoir sera 10 cm avec une largeur de 80 cm.

− Garde ballast :


50

La dimension est fonction de l’épaisseur de la couche de ballast. Pour un ballast

d’épaisseur 25 cm, prenons la dimension 0,15 x 0,50 [m2] pour la section du garde ballast.

− Gargouille :

Ce sont des tubes en acier galvanisé de diamètre courant 50 mm. Ils sont

généralement espacées de 2 m suivant la longueur du pont.

On adoptera comme épaisseur du ballast 25 cm.

250

21090

15

25

140

50

80 15 40 47,5 105 47,5 40 15 80

Figure n°10: Superstructure de la variante en béton armé

I.3.2 Infrastructure

− Appareil d’appui

Le plus courant est l’appareil d’appui en élastomère fretté de dimension a x b x n.

− Culées

La culée sera constituée d’un mur garde grève, de deux murs en retour et d’un mur de front.

Mur garde grève :

Epaisseur ge : cmecm g 3020 << . Prenons cmeg 30=

Hauteur : apptg ehh += avec appe est l’épaisseur de l’appareil d’appui. Supposons

que .cmeapp 15= , mhg 55,1= .

Mur en retour :

Epaisseur 3020

220 ≤

+=≤ m

rm

Le . Prenons directement cme rm 30= .


51

Longueur du mur mLmr 4= ; Hauteur : mrmr Lh3

2= ; soit mhmr 72,= . Prenons mhmr 153,=

Mur de front :

Le sommier est intégré sur le mur de front.

Epaisseur du mur : prenons mef 601,= .

Hauteur : l’hauteur du mur est égale à la côte sous poutre. mh f 757,= .

Largeur : elle est égale à la largeur du tablier. ml f 74,= .

La semelle de fondation :

− Largeur : meB fC 601,=≥ ; prenons mBC 4= .

− Longueur : mlL fC 74,=≥ ; prenons mLC 16,= .

− Epaisseur : meB

e fCc 51

4,=

−≥ ; prenons me 1= .

Figure n°11: Culée de la variante en béton armé

− Piles

La pile sera constituée d’un chevêtre, d’un fût et de la semelle.

Pour le chevêtre, on prendra les dimensions suivantes :

Largeur : a1 = 2,2 m.

Longueur : B1= B0+ b0 +2 x 0,6 où B0 distance entraxe des poutres extérieures.

Avec B0 = 2,5m.

b0 : largeur de la semelle au appui. Prenons bo = 1,00 m.

D’où : B1 = 4,7 m.

Le fût sera composé de deux colonnes diamètre b0 =0,7 a1. prenons bo = 1,20 m.


52

On prendra les mêmes valeurs que pour les culées pour la semelle de fondation :

prenons B = 4m, h = 1 m, L = 6,1 m.

Figure n°12: Infrastructure de la variante n°1

I.3.3 Estimation du coût de la variante n°1

DESIGNATION UNITE QUANTITE PU (fmg) MONTANT(fmg) Infrastructure Piles béton Q 350 (avec coffrage) m3 500 1 950 000 975 244 530 acier kg 93 437 25 000 2 335 926 999 fouille pour fondation m3 1 094 90 000 98 415 000 culée béton Q 350 (avec coffrage) m3 193 1 950 000 376 864 800 acier kg 19 326 25 000 483 160 000 fouille pour fondation m3 929 90 000 83 610 000

Total infrastructure 4 517 921 328 Superstructure béton Q 400 (avec coffrage) m3 220 2 250 000 495 652 500 acier kg 55 073 25 000 1 376 812 500 Lancement de la poutre Fft 1 187 246 500 187 246 500

Total superstructure 2 059 711 500 TOTAL 6 577 632 828



53

I.4 Prédimensionnement de la variante n°2

C’est la variante à poutres précontraintes isostatiques à 3 travées. La longueur total

d’une travée est de 33 m. La longueur de calcul est [ ]mlL 60,005,1 0 += avec 0l calculé à

partir de [ ]mlLt 650071 0 ,, += . Soit après calcul mL 432,= .

I.4.1 Superstructure

a.1 Hauteur totale de la poutre

1520

Lh

Lt ≤≤ avec L la travée de calcul, mL 4032,=

Soit [ ]mht 162621 ,, ≤≤ ; Prenons mht 002,=

a.2 Dimensions de la table supérieure

− Largeur b de la table supérieure : prédimensionné en fonction de la hauteur totale de la

poutre.

tt hbh 7050 ,, << ; Soit [ ]mb 331950 ,, << Prenons mb 401,= .

− Epaisseur de la table : cmecm d 2315 << . Prenons cmed 20= .

a.3 Epaisseur de l’âme

− Section médiane : l’épaisseur minimale ob de l’âme doit être au moins égal à gΦ3 , où

gΦ est le diamètre du gaine de l’armature principale de la poutre. Nous utiliserons les

câbles de 12T13, donc mmg 67=Φ . On a alors cmbo 120,≥ . Prenons cmbo 22= .

− Sections d’abouts : les sections d’about de la poutre principale sont soumises à des

efforts tranchants considérables. Ainsi il est nécessaire d’augmenter la section de l’âme

aux abouts sur une longueur de 0,8h pour contrer ces effets, et permettant aussi de bien

disposer les câbles aux abouts. Prenons cmbo 42= pour les sections d’about.

200

42 22

200

Figure n°13 : Epaisseur de l’âme de la poutre en section d’about


54

a.4 Dimensions du talon

Le talon est destiné pour loger des armatures de précontrainte.

− largeur du talon rb : 00 5452 bbb r ,, << ; soit [ ]mbr 9955 << . Prenons cmbr 70= .

− Hauteur du talon rh : 00 52 bhb r ,<< ; soit [ ]mhr 5522 << .Prenons cmhr 30= .

− Les goussets supérieures et inférieurs font un angle 045=ϕ par rapport à l’horizontale.

49 10 22

30

24

111

105

20

140

200

4942

200

70 70

30

14

136

20

140

Figure n°14 : Poutre principale de la variante en béton précontraint

a.5 Dimensions des entretoises

− Hauteur eh de l’entretoise : c’est la distance entre la partie inférieure de la table et le

gousset inférieure. Soit [ ]mhe 261302420002 ,)(, =++−= .

− Entraxe ed : tet hdh 050030 ,, ≤≤ ; soit [ ]mde 106 ≤≤ . Prenons mde 18,= .

− Nombre d’entretoises en : 51=+=e

e d

Ln

a.6 Trottoirs

Les trottoirs prendront les dimensions suivantes :

− Epaisseur moyenne : cmetr 17= .

− Largeur cml tr 80= .


55

a.7 Garde ballast

Il a pour dimension cm15 x cm50 .

a.8 Rendement géométrique de la section

Les caractéristiques géométriques de la section de la poutre sont exprimées par son

rendement géométrique ρ .

'

2

vv

i=ρ avec i : rayon de giration de section nette.

v et 'v distance respectives du bord supérieur et inférieur de la section de la poutre

par rapport à son centre de gravité.

En général :

Si 450,≤ρ la section est massive.

Si 50,=ρ la section est normale.

Si 50,≥ρ la section est élancée.

Dans notre cas, le tableau suivant permet de calculer le rendement géométrique de la

section, en considérant les hypothèses suivantes :

− la section nette Bn est égale à la section brute BB déduis de celle des câbles Bc,

en considérant que Bc est 5% de BB, ou Bn = 0,95 BB.

− l’inertie de la section nette In/∆ est égale à l’inertie de la section brute IB/∆ déduit

de celle des câbles qui est pris 10% de IB/∆, soit In/∆ = 0,90 IB.

− le moment statique Sn/∆ de la section nette est égale au moment statique SB/∆ de

la section brute déduit de celle des câbles Sc/∆, soit Sn/∆ = SB/∆ - Sc/∆.

Section partielle Dimension

équivalente

B [m] Z [m] S∆ [m3] I0 [m

4] I∆ [m4]

Table supérieur 1,4 x 0,2 0,2800 0,1000 0,0280 0,0009 0,0037

Gousset sup1 2x(0,49x0,05) 0,0245 0,2166 0,0053 5,104 .10-6 0,0011

Gousset sup2 2 x (0,1x0,1) 0,0100 0,2833 0,0028 8,333 .10-6 0,0008

Ame 0,22 x 1,5 0,3300 0,9500 0,3135 0,06187 0,3597

Gousset inf 2x(0,24x0,24) 0,0576 1,6200 0,0933 0,0002 0,1514

Talon 0,7 x 0,3 0,2100 1,8500 0,3885 0,0015 0,7203

Section brute 0,9121 0,8314 1,2371

Section câble 0,0456 1,9 0,0866 0,1237

Section nette 0,8664 0.7448 1,1134

Tableau n°15 : Rendement géométrique de la section


56

Avec S∆ = B.Z ; I∆ = I0 + S∆. Z ;

n

n

B

SV = ; VhV t −=' ; VSII n .∆∆ −= ;

n

n

B

Ii =2

On trouve : V = 0,859 cm ; 'V = 1,1404 cm ; 2i = 0,546

D’où ρ = 0,557 : la section est élancée, ce qui correspond à un rendement maximale

du béton.

I.4.2 Infrastructure

a Les éléments de la culée

Mur garde grève :

− Epaisseur ge : cmecm g 3020 << . Prenons cmeg 30=

− Hauteur : apptg ehh += avec appe est l’épaisseur de l’appareil d’appui. en prenant

appe =15 cm, on a mhg 152,= .

Mur en retour :

Même dimension que pour la variante en béton armé. C'est-à-dire :

− Longueur du mur mLmr 4=

− Epaisseur : cme rm 30= .

− Hauteur : mhmr 153,=

Mur de front :

En utilisant les mêmes méthodes que pour la première variante, on obtient les

dimensions suivantes :

− Epaisseur du mur : mef 601,= .

− Hauteur : mh f 157,= .

− Largeur : ml f 74,= .

La semelle de fondation :

− Largeur : meB fC 601,=≥ ; prenons mBC 4= .

− Longueur : mlL fC 74,=≥ ; prenons mLC 16,= .

− Epaisseur : meB

e fCc 51

4,=

−≥ ; prenons me 1= .


57

b Les éléments de la pile

Les éléments de la pile seront identiques à la première variante avec les mêmes

dimensions, sauf pour la longueur du fût. La longueur du fût sera 14,1 m.

I.4.3 Estimation du coût de la variante n°2

DESIGNATION UNITE QUANTITE PU [Fmg] MONTANT[Fmg] Infrastructure Piles béton Q 350 m3 323 1 950 000 628 991 198 acier kg 60 120 25 000 1 502 997 945 fouille pour fondation m3 1 094 90 000 98 415 000 culée béton Q 350 m3 180 1 950 000 360 551 100 acier kg 18 000 25 000 450 000 000 fouille pour fondation m3 729 90 000 65 610 000

Total infrastructure 3 206 814 143 Superstructure béton Q 400 m3 293 2 250 000 660 052 800 acier passif kg 23 469 25 000 586 713 600 acier actif kg 23 469 70 000 1 642 798 080 Lancement de la poutre Fft 1 288 956 448 288 956 448

Total superstructure 3 178 520 928 TOTAL 6 385 335 071

Tableau n°16 : Estimation du coût de la variante en béton précontraint.

II Comparaisons des variantes

D’après les résultats des tableaux précédents, on constate que la différence entre le

coup des deux variantes est faible. Le cout de la variante en béton armé est un peu plus

élevé que celui de la variante en béton précontraint.

Du point de vue mise en œuvre, le béton armé, construction plus courant que le béton

précontrainte, présente une facilité de construction. Par contre, les constructions en béton

précontraint ont l’avantage d’une durée de vie largement supérieur aux constructions en

béton armé. De ce fait, on préfère garder la variante en béton précontraint comme solution.

En plus, la variante en béton armé nécessite un emplacement de piles intermédiaires

plus près de la route. Cela engendra des problèmes dans le cas où l’on projette l’extension

de la chaussée franchie.

La variante retenue est le pont en béton précontraint à 3 travées indépendantes.


58

PARTIE IV ETUDE DE LA VARIANTE

PRINCIPALE


59

CHAPITRE I DESCRIPTION GENERAL DU

NOUVEL OUVRAGE

I Caractéristiques du futur ouvrage

Rappelons les caractéristiques de l’ouvrage définitif : c’est un pont en béton

précontraint à 3 travées indépendantes appuyées sur deux culées et deux piles

intermédiaires. La longueur total du pont est de 98 m. Les travées étant identiques, la

longueur total d’une travée est mLt 33= . La travée de calcul est mL 432,= .

La hauteur libre sous pont est de 8,50 m pour la travée qui franchie la route nationale. Il

est largement supérieur au gabarit minimal sous les ouvrages franchissant les routes, qui a

pour valeur 4,50 m sur toute la largeur de la route.

I.1 Caractéristiques de la superstructure du pont-rail

I.1.1 Structure de la voie ferrée sur le pont-rail

− Les rails : on utilise les rails de 36 kg/ml.

− Les traverses : les traverses utilisées sont en bois. Sur les ouvrages d’art, la

distance entre les bords de deux traverses est de 50 cm.

− Le ballast : selon les règles, l’épaisseur minimale du ballast sous traverse est de 25

cm. Prenons e= 25 cm.

I.1.2 Superstructure du pont-rail

Le tablier du futur pont est constitué par les éléments suivants :

− deux poutres principales en béton précontraint préfabriqué par post tension et dosé

à 400. L’entraxe des deux poutres est fixé de façon à ce que la largeur de

répartition de charge sous ballast reste entre inférieur à l’entraxe, ou au moins au

tiers centrale de la table de chaque poutre. Ceci étant dans la mesure d’éviter la

torsion de chaque section de poutre. Prenons comme entraxe des poutres 2,50 m.

− la dalle est en béton armé coulée sur place, sur laquelle se reposera la

superstructure de la voie.

− les entretoises en béton armé dosé à 400, destinées à assurer la rigidité et la

solidarité des poutres à la dalle, et aussi à la stabilité de la superstructure.


60

I.1.3 Caractéristiques de l’infrastructure

a Les culées

On adoptera les culées types mur de soutènement pour les deux appuis du pont. Ce

type de culée est composé des éléments suivants :

− mur garde grève.

− mur en retour.

− mur de front sur laquelle est intégré le sommier.

− semelle de fondation.

L’existence de banc rocheux à faible profondeur du niveau du sol naturel permet

d’envisager les fondations superficielles. La semelle sera ancrée à 50 cm dans la roche

massive.

b Les piles

Les piles peuvent être pleines, pile mur par exemple, ou évidés, piles de type poteau

ou colonne. Pour le choix de la forme des piles, on va se référer à la hauteur des piles

suivant les propositions ci-après :

− En dessous d’une hauteur de 10m, les piles sont normalement pleines.

− Au dessus de 15m, les piles évidées s’avèrent plus intéressant et plus économique.

Dans notre cas, la hauteur de l’une des piles intermédiaires atteint les 15 m. Prenons

des piles colonnes comme appui intermédiaire.

Les piles sont construites sur bloc massive de roche à faible profondeur du niveau du

sol naturel, donc sur fondations superficielles.

II Dimensions

Les dimensions de l’ouvrage définitif seront celles déterminés durant le

prédimensionnement pendant la phase d’étude de variantes.


61

II.1 Coupe transversale de la poutre principale

49 10 22

30

24

111

105

20

140

200

4942

200

70 70

30

14

136

20

140

Section médiane Section d’about

Figure n°15 : Coupe transversale de la poutre principale

II.2 Coupe transversale de la superstructure

250

228

15

80154047,510547,5401580

126

25

Figure n°16 : Coupe transversale du tablier


62

CHAPITRE II ETUDE DES ELEMENTS DE LA

SUPERSTRUCTURE DU PONT RAIL

I.1 Hypothèses de calcul

I.1.1 Règlements et charges appliquées

− Les ouvrages en béton armé sont calculés suivant les normes et les règles BAEL 91

révisé 99 et Documents Techniques Unifiées.

− Les ouvrages en béton précontraint sont calculés suivant les règles BPEL 91.

− Le système de surcharges appliquées est définit suivant les règlements de « l’Union

Internationale de Chemin de fer », qui définit l’essieu pour chaque catégorie :

Catégorie A : 16 T

Catégorie B : 18 T

Catégorie C : 20 T

Le convoi-type utilisée à Madagascar est le poids par essieu de 20 T.

− Les actions :

Actions permanents notées (G) : ce sont les poids propres de l’élément de

construction, le poids des équipements (les éléments nécessaires à la

construction), le poids les poussées et pressions de terre des solides ou des

liquides dont les hauteurs sont peu variables dans le temps, les déformations

imposées à une construction.

Actions variables notées (Q) : ce sont les charges d’exploitation, les poids

poussées et pressions des solides et liquides de niveaux variables, les actions

non permanentes appliquées en cours d’exécution (équipements de chantier),

les actons naturelles (neige, vent, température…)

La précontrainte P: bien qu’ayant des effets permanents, la précontrainte doit

être classée à part. Dans les combinaisons, il sera affecté d’un coefficient Fγ .

Les actions accidentelles : ce sont les chocs (explosions, avalanches…). Sa

probabilité d’apparence est faible.

− Les combinaisons d’action :

à l’ELS : )()( QG +

à l’ELU : )(,)(, QG 51351 +


63

− Procédé de précontrainte :

Nous adoptons le procédé Freyssinet ou procédé STUP. Les câbles utilisées pour les

armatures de précontrainte est le 12T13 dont voici les caractéristiques :

Câble 12 T13

Module d’ancrage 199

Section [mm2] 1130

Poids [kg/ml] 9,1

Ø d’encombrement des gaines [mm] 71

Contrainte de rupture garantie prgf [MPa] 1867

Contrainte limite élastique pegf [MPa] 1656

1000ρ pour relaxation normale (% de la tension finale) 8

Module de déformation longitudinale PE [MPa] 190000

Frottement de câble f [rd-1]

ϕ [m-1]

0,16

0,0014

Nombre maximal de paquets de câbles 2

I.1.2 Caractéristiques des matériaux

a Les aciers

− Armatures en acier Fe E 400 HA

ef = 400 MPa

En ELU 151,

eS

f=σ =348 MPa

Avec γs : coefficient de sécurité = 1,15

En ELS ( )

== tjees fff .,;,max;min ηξσ 10150

3

2= 202 MPa en fissuration

préjudiciable.

− Armatures de précontrainte :

Nous utiliserons des câbles toronnées 12T13 dont les caractéristiques sont énumérées

au paragraphe précédent.

b Le béton

Grosseur de granulat : Cg = 25 mm

Ciment CPA 55


64

Module de déformation différé [ ]MPafE cjvj313700 /=

Module de déformation instantanée [ ]MPafE cjij3111000 /=

La résistance à j jours du béton est obtenue par la formule :

2883,076,4 ccj fj

jf

+= si 28cf ≤ 40 MPa

2895,040,1 ccj fj

jf

+= si 28cf > 40 MPa

cjtj ff 06,06,0 += (MPa)

− Pour le béton armé :

Coefficient d’équivalence n =1

Fissuration préjudiciable K = 106

Contrôle strict

Contrainte de compression admissible :

28cf = 25 MPa

Contrainte de traction de référence :

28tf = 2,1 MPa

− Pour le béton précontraint :

Le béton destiné à être précontraint doit appartenir aux classes suivantes : 30, 35, 40,

50, 60 MPa. Adoptons une résistance du béton à 28 jours égale à 40 MPa.

28cf = 40 MPa.

28tf = 3 MPa.

I.2 Surcharges ferroviaires

La surcharge B d’un convoi type se présente comme suit :

a b b c b b a a b b c b b a d e f e dd e f e

MT MTW W

16.00m 16.00m

12.00m 12.00m

Figure n°17 : Convoi type


65

Désignation Machine Tender Wagon chargé

Longueur total

Nombre d’essieux

Ecartement de deux essieux consécutifs : b, e

Distance d’un tampon à l’essieu voisin : a, d

Distance entre deux essieux intérieurs : c, f

Charge par essieux

Poids total

Poids moyen par mètre de longueur

16 m

6

1,2 m

2,6 m

6 m

20 T

120T

7,5 T

12 m

4

1,6 m

1,3 m

6,2 m

20T

48T

4 T

I.3 Calcul de la poutre principale

I.3.1 Descente de charges

a Charges permanentes

− Dalle du tablier

1,20 x 0,20 x 33 x 2,5 = 21,45 T

Soit gd = 0,65 T/ml

− Poutres principales

Section médiane : 2 x 21 x 0,8671x 2,5 = 91,0455 T

Section d’about : 2 x 2 x 1,1401 x 6 x 2,5 = 68,406 T

Soit gp = 4,832 T/ml

− Entretoises

Section médiane : 3 x 0,25 x 1,26 x 2,28 x 2,5 = 1,7955 T

Section d’about : 2 x 0,25 x 1,26 x 2,08 x 2,5 = 3,276 T

Soit ge = 0,2625 T/ml

− Trottoir

2 x ((0,2+0,136) x 0,5/2) x 33 x 2,5 = 13,86 T

Soit gt = 0,42 T/ml

− Parapet

2 x 0,06 x 33 = 3,96 T

Soit gpt = 0,12 T/ml

− Garde ballast

2 x 0,15 x 0,5 x 33 x 2,5 = 12,375 T

Soit gg = 0,375 T/ml


66

− Ballast 40/60

2,8 x 0,25 x 33 x 1,8 = 41,58 T

Soit gb = 1,26 T/ml

− Traverse en bois

48 x 0,05 = 2,4 T

Soit gg = 0,0727 T/ml

− Rails

0,036 x 33 x 2 = 2,376 T

Soit gr = 0,072 T/ml

Finalement, le poids total des charges permanents est égal à :

G = 270,84 T ; ou g = 8,2072 T par mètre linéaire de la longueur du pont.

b Charges d’exploitation

b.1 Calcul de la charge sous ballast

Pour les calculs des sollicitations de la poutre principale, on considère la charge sous

ballast du à l’essieu de 20 T du convoi type. La répartition des charges sous traverse se fait

avec un angle de 45°. La détermination de la charg e au niveau du tablier se fait suivant les

étapes suivantes :

− Charge maximale mP

Cette charge est calculée à partir de la formule de DRIESSEN énoncée comme suit :

[ ]kgCN

PP vm =

Où P : charge d’un essieu isolé ; P = 20 T

traversesdesdt"entraxe"

essieuxdesbc"entraxe"N = = 120/50 = 2,4

VC : Coefficient d’influence de la vitesse ;30000

12V

Cv += .

Avec V : Vitesse maximale admissible (km/h).

A Madagascar, la vitesse maximale admissible est V = 80 km/h. Soit la charge

maximale supportée est égal à :

11,10111=mP Kg


67

− Pression unitaire P0

C’est la pression mesurée sous la surface inférieure de la traverse.

0

0 lb

PP

t

m=

Où mP : Pression maximale supportée [en kg].

tb : Largeur des traverses utilisées [en cm].

0l : Longueur bourrée sous chaque fil de rail. [en cm].

0P : Pression unitaire [en kg/cm-2].

47,5 105 47,5

150

2545° 45°

Figure n°18 : Détermination de l0

Pour tb = 20 cm et 0l = 1,50 m, on trouve : 0P = 3,37 kg/ cm2

− Pression due à la surcharge au niveau du tablier

Cette pression dépend absolument de l’épaisseur de la couche de ballast au niveau du

tablier.

02P

bh

bP

tt

tT +

=

Avec tb : Largeur des traverses utilisées (en cm) tb =20 cm

th : Épaisseur du ballast (en cm) th = 25 cm

0P : Pression unitaire (en kg/cm-2)

tP : Pression des charges au niveau du tablier.

On trouve : tP = 0,9629 kg/cm2 = 9,629 T/m2.


68

A partir de cette pression, on peut trouver la surcharge sous ballast par mètre linéaire

de la largeur du pont :

q tb = 24,074 T/ml

b.2 Répartition transversale des charges

− Méthode de calcul

Comme 5,0085,0 ≤=l

b et le nombre de diaphragmes est égal à 5, on adopte la méthode de

la compression excentrée pour le calcul des coefficients de répartition transversale.

− Répartition des charges permanentes

pm n

gg ∑= où :

g∑ : Somme des charges permanentes sur chaque mètre linéaire de la

superstructure ; g∑ = 8,2072 T/ml

pn : Nombre de poutre de poutre. pn = 2

gm = 4,1036 T/ml

− Répartition des charges d’exploitation

Les CRT sont obtenus en utilisant la ligne d’influence de la réaction Ri de la poutre i.

Les coordonnées de la ligne d’influence des poutres extérieures se calculent comme suit :

2

2

1 2

1

ai

ai

ny

∑+= ;

2

2

1 2

1'

ai

ai

ny

∑−=

Ainsi, le CRT est égal à :

η = Ω où Ω = aire de la partie de la ligne d’influence de la réaction Ri située sous la

charge répartie.

η = 0,5 ∑yi pour les charges ponctuelles.

D’où la représentation des ordonnées de la ligne d’influence et son allure.


69

80 30 250 30 80

100112144

44

Figure n°19 : Ligne d’influence de la CRT des poutres

Valeur des CRT :

Trottoir Surcharge B

CRT 1,024 0,5

− Coefficient de majoration dynamique δ

Le coefficient de majoration dynamique se calcule par la formule :

S

PL 41

6,0

2,01

4,01

++

++=δ

Où P : Charge permanente du tablier d’une travée de calcul L = 32,4 m.

P = L . g = 8,2072 x 32,4 = 265,915 T

S : Surcharge maximale engendrée par les essieux du surcharge ferroviaire B sur une

travée. S = 280 T.

D’où les valeurs du coefficient de majoration :

δδδδ = 1,17

− Surcharge due à l’essieu

La surcharge dynamique reliée à l’essieu est donnée par la formule :

qB = qtb x δd x ηcB

Avec :

qB : La surcharge répartie sous ballast.

δd : Coefficient de majoration dynamique.

ηcB : Coefficient de répartition transversale.


70

Après calcul, on trouve :

qB = 14,185 T/ml

− Surcharge de trottoir

Pour le trottoir, pour avoir le cas le plus défavorable dans le but d’obtenir un bon

dimensionnement, la densité maximale de surcharge appliquée est de 450 kg/m2.

D’où : qt = 0,45 ηp

Avec qt : La surcharge répartie due au trottoir

ηp : Coefficient de répartition transversal du trottoir

On trouve q t = 0,461 T/ml.

I.3.2 Calcul des sollicitations

Les hypothèses suivant sont adoptées pour la détermination des sollicitations dans les

sections de la poutre :

− Les efforts tranchants sont maximaux au niveau des appuis.

− Les moments fléchissant sont maximaux à mi travée.

− Les sollicitations sont déterminées à l’aide des lignes d’influence de chaque effort.

a Tracé des lignes d’influence

La fonction d’influence F(α) est la valeur de l’effet d’une charge unitaire verticale à une

distance α (α variable) dans une section (∑) située à une position x (x fixé) d’une poutre.

Figure n°20 : Schéma de calcul pour déterminer la ligne d’influence

x

1=P

A B

α


71

− Ligne d’influence des réactions aux appuis

Figure n°21 : Ligne d’influence des réactions aux appuis

− Ligne d’influence des efforts tranchants et des moments flechissants

L’allure de la courbe dépend de la position α de la charge unitaire par rapport à la

position x de la section considérée.

1er cas : si P se trouve à gauche de la section (∑) : α ≤ x

Alors T(x,α) = L

α−

M(x,α) = )( xLL

−α

2ème cas : si P se trouve à droite de la section (∑) : α ≥ x

Alors T(x,α) = L

α−1

M(x,α) = )( α−LL

x

1=P

AR BR

LI RA

LI RB


72

Figure n°22 : Calcul de la ligne d’influence à une section considérée

b Détermination des efforts tranchants

− Ligne d’influence :

On tracera les courbes d’influence correspondant aux abscisses 0, L4

1, L

2

1 par raison

de symétrie.

LI T

LI M

x

1=P

A B )(Σ

α

L

x

L

x−1

( xL − )L

x


73

AB

32.4

S-=4,05

0,5

S+=4,05

0,5

S+=9,1125

0,75

S-=1,0125

0,25

S+=16,2

1

LI T (x = 0)

LI T (x = 8,1)

LI T (x = 16,2)

0 8.1 16.2 24.3 32.4

Figure n°23 : Ligne d’influence des efforts tranchants

− Calcul des efforts tranchants

α) Efforts tranchant due aux charges permanentes

Les efforts tranchants dus au tablier sans entretoise sont donnés par la formule :

Tg = g1 ∑ SLi

Où g1 est la charge permanente répartie linéairement due par la poutre principale,

l’hourdi et les autres superstructures.

Pour une poutre : g1 = gpp + gh + gs = 4,038 T/ml

∑ SLi est la surface totale de la ligne d’influence relative aux sections considérées.

Les efforts tranchants Te dus aux entretoises sont obtenus à l’aide de modélisation au

RDM. On considère les entretoises comme des charges ponctuelles sur une poutre à appui

simple. Le diagramme des efforts tranchants dues aux entretoises se présente comme suit :


74

A B

P eP e P e P e P e

3 2 .4

3 P e /2

3 P e /2

0 8 .1 1 6 .2 2 4 .3 3 2 .4

P e /2P e /2

Figure n°24 : Diagramme des efforts tranchants dus aux entretoises

On a : ART =+ et BRT =−

Si === +

2

30 eP

Tx 2,907 T

Si =−== −

2

3432 eP

Tx , -2,907 T

Avec =eP 1,7955 T

Les valeurs maximales des efforts tranchants dus aux entretoises sont donc :

Effort tranchant T+ T-

Valeur maximale [T] 2,907 2,907

Les efforts tranchants dus aux charges permanentes GT sont la somme ge TT + . D’où

les résultats des calculs de TG dans une poutre :

Abscisse x 0 8,1 16,2 24,3 32,4

gT [T] 65,415 32,708 0 -32,708 -65,416

eT [T] 2,693 1,795 0 -1,795 -2,693

GT [T] 68,109 34,503 0 -34,503 -68,109

Tableau n°17 : Efforts tranchants dus aux charges permanentes de la poutre.


75

β) Efforts tranchants dus aux surcharges d’exploitation

D’une manière générale, il faut déterminer les efforts tranchants minimales T- et

maximales T+.

− Dus à la surcharge B :

Rappelons que qB est égal à 14,185 T/m. L’effort tranchant se calcule par :

T+ = qB . SLi+

T- = qB . SLi-

Avec SLi+ : Surface de la ligne d’influence correspondant à la partie positive.

SLi- : Surface de la ligne d’influence correspondant à la partie négative.

− Dus à la surcharge de trottoir :

Les efforts tranchants dus par la surcharge de trottoir sont obtenus par la formule :

Tt = qt . SLi

Avec qt densité de charge considérée (calculée ultérieurement)

qt = 0,461 T/ml

SLi : surface de la ligne d’influence composante des SLi+ ou SLi

-.

Ainsi, on obtient les résultats suivants :

Abscisse x

T surcharge B T trottoir T résultant

T+ T- T+ T- T+ T-

0 114,904 0 3,734 0 118,638 0 8,1 64,633 7,181 2,100 0,233 66,733 7,41488 16,2 28,726 28,726 0,933 0,933 29,659 29,659 24,3 7,181 64,633 0,233 2,100 7,41488 66,733 32,4 0 114,904 0 3,734 0 118,638 Tableau n°18 : Efforts tranchants due aux surcharges de la poutre.

χ) Récapitulation des efforts tranchants dans une poutre

Les efforts tranchants totaux à mi travée se présentent comme suit :

Effort Tranchant

ELS ELU

Abscisse X T+ T- T+ T- 0 269,904 91,947 186,747 68,109

8,1 146,680 57,701 101,237 41,918 16,2 44,489 44,489 29,659 29,659

Tableau n°19 : Récapitulation des efforts tranchants de la poutre.


76

c Détermination des moments fléchissants

− Ligne d’influence

Nous calculerons les lignes d’influence aux sections d’abscisse 0, L8

1, L4

1, L8

3, L2

1.

AB32.4

S=57,408

S=98,415

S=123,018

S=131,22

0 4,05

8,1

12,1

5

16,2

20,2

5

24,3

28,3

5

32,4

LI M (x=16.20)

LI M (x=4.05)

LI M (x=8.10)

LI M (x=12.15)

3,543753,0375

2,0251,0125

6,0754,05

2,025

5,060257,59375

6,0753,0375

4,05

8,1

4,05

Figure n°25 : Ligne d’influence des moments fléchissants

− Calculs des moments fléchissant

α) Moments fléchissant dus aux charges permanentes :

Les moments fléchissant dus aux charges permanents sont obtenues par :

Mcp = Mg + Mp

Où Mg est le moment du aux charges uniformément réparties, c'est-à-dire la dalle

l’hourdi et les autres superstructures à part les entretoises.

Mg = g . SLi


77

Avec g : densité linéique de charge permanente.

SLi : surface de la ligne d’influence du moment fléchissant de la section considérée.

Mp est le moment fléchissant du aux entretoises.

Mp =∑ Pei . yi avec Pei charge ponctuelle de l’entretoise.

yi ordonnée de la ligne d’influence du moment fléchissant dans la

section d’abscisse considérée correspondant à l’entretoise avec une distance précise.

On a : g = 4,038 T/ml et Pe = 1,7955 T

Ce qui donne les résultats suivants :

Abscisse X Mg [Tm] Mp [Tm] M résultant [Tm]

0 0 0 0 4,05 231,817 10,907 242,724

8,1 397,400 21,815 419,216

12,15 496,751 25,451 522,202

16,2 529,867 29,087 558,954

Tableau n°20 : Moments fléchissants dus aux charges permanentes de la poutre.

β) Calculs des moments fléchissant dus aux surcharges d’exploitation

Les moments fléchissant dus aux charges d’exploitation se calculent comme suit :

MCE = Mmax (surcharge B) + Mmax (Trottoir)

− Dû à la surcharge B

MB= qB . SLi

Avec qB = 14,185 T/ml

SLi : Surface de la ligne d’influence du moment dans la section considérée.

− Dû au trottoir

Mtr = qt . SLi

Avec qt = 0,461 T/ml

SLi : surface de la ligne d’influence du moment dans la section considérée.

On a les résultats après calcul :

Abscisse X MB [Tm] Mtr [Tm] M résultant [Tm]

0 0 0 0

4,05 407,191 13,232 420,424

8,1 698,042 22,684 720,727

12,15 872,553 28,355 900,908

16,2 930,723 30,246 960,969

Tableau n°21 : Moments fléchissants dus aux surcharges de la poutre.


78

χ) Récapitulation des moments fléchissant dans la poutre principale

Moment fléchissant résultant [Tm]

Abscisse X ELS ELU

0 0 0

4,05 663,149 958,314

8,1 1139,943 1647,032

12,15 1423,111 2056,336

16,2 1519,924 2196,043

Tableau n°22 : Récapitulation des moments fléchissants de la poutre.

I.3.3 Calcul des armatures de précontrainte

a Vérification de la section

Avant de commencer tout calcul, vérifions d’abord la section de la poutre vis-à-vis des

sollicitations :

σ∆∆≥ M

V

I

'

Avec V

I : Module d’inertie de la section

∆M = (MGP + Msup) - MQ

MGP : moment dû aux charges permanentes de la poutre.

Msup : moment dû aux charges de la superstructure.

MQ : moment dû aux surcharges d’exploitation.

∆σ = σmax + σmin

σmax = 0,6 fc28 = 24 MPa pour fc28 = 40 MPa

σmin = ft28 = 3 MPa

On a: V

I= 0,401 m3

∆M = 362,802 Tm.

∆σ = 24 - (-3) = 27 MPa.

σ∆∆M

= 0,134 m3

On a 13404010 ,,'

=∆∆≥=

σM

V

I donc condition vérifiée .


79

b Force de précontrainte sous critique

'1 cc

MP

+∆=

Où c et c’ : Borne inférieure et supérieure du noyau limite.

c = ρ . v soit c = 0,478 m

c’ = ρ . v’ soit c’ = 0,635 m

∆M = Mmax – Mmin = Mq = 558,954 Tm

Après calcul :

P1 = 862,437 T

c Force de précontrainte sur critique

cpvc

MMP QG

−++

='2

Avec MG = 558,954 Tm ; MQ = 960,969 Tm ; cp = 0,05 H = 10 cm.

Application numérique :

P2 = 1000,3967 T

d Détermination des armatures de précontrainte

Nous utiliserons les câbles de 12T13 qui ont les caractéristiques suivantes :

prgf = 1867 MPa : Contrainte de rupture garantie.

pegf = 1656 MPa : Contrainte limite élastique.

Soit 0spσ : Contrainte initiale du câble.

0spσ = min 0,80 prgf ; 0,90 pegf = min 1493,6 ; 1490,4= 1490,4 MPa

Soit spσ : Contrainte de calcul du câble après la chute et perte de tension totale.

spσ = 0spσ -∑∆sp

∑∆sp : Somme totale des pertes et chutes de tension du court et long terme.

En supposant que : ∑∆sp = 0,25 0spσ on a spσ = 0,75 0

spσ , spσ = 1117,8 MPa

La force précontrainte normale d’un câble précontraint se définit par : cpsp A.σP =

Acp = section nominale du câble utilisé ; Acp = 1130 mm2 pour le 12T13.

Soit P= 126,311 MPa

Et P = sup P1 ; P2= 1000,396 T


80

Calcul du nombre de câbles : P

PnC = = 7,92

Prenons Cn = 8 câbles Acp = 9040 mm2.

e Détermination des forces probables de calcul

Les forces de précontraint probable de calcul sont déterminées par les équations

suivantes :

),(20,198,0),(

),(80,002,1),(0

2

01

txsptxp

txsptxp

sp

sp

∆−=

∆−=

σσ

σσ

),(1 txpσ = 1222,128 MPa

),(2 txpσ = 1013,472 MPa

Alors, les forces de précontrainte probables :P1 = 1104,803 T ; P2 = 916,178 T.

Pm = 1010,491 T

Détermination des différentes contraintes dues aux moments fléchissant et aux forces

précontraintes

Contrainte élémentaire

Rappelons les caractéristiques de la section :

Mg (Tm) 558,954

Mq (Tm) 960,969

P (T) 1010,491

Bn (m2) 0,866

In (m4) 0,473

i2 (m) 0,546

V (m) 0,859

V' (m) 1,140

e (m) 1,040

Rô 0,557


81

Les contraintes dans la fibre supérieure sont données par les formules suivantes :

Contrainte due aux charges permanentes : VI

M GSG =σ

Contrainte due aux charges d’exploitation : VI

M QSQ =σ

Contrainte due à la force de précontrainte : )1(2V

i

e

B

PSP −=σ

Après calcul, on trouve les valeurs:

CONTRAINTES DANS LA FIBRE INFERIEURE

Actions Sous charge permanent G Sous surcharge Q Sous précontrainte P

Contraintes [MPa] 10,152 17,454 -7,434

Les contraintes dans la fibre inférieure :

Contrainte due aux charges permanentes : 'VI

M GiG −=σ

Contrainte due aux charges d’exploitation : 'VI

M QiQ −=σ

Contrainte due à la force de précontrainte : )'1(2V

i

e

B

PiP −=σ

CONTRAINTES DANS LA FIBRE INFERIEURE

Actions Sous charge permanent G Sous surcharge Q Sous précontrainte P

Contraintes [MPa] -13,470 -23,158 36,998

D’où les contraintes élémentaires résultantes :

A vide A charge

Fibre supérieure [MPa] 2,718 20,173

Fibre inférieure [MPa] 23,528 0,369

En phase de construction, la tension des câbles est à environ 25% supérieure à la

tension finale en service. Alors, si on tend tous câbles en même temps (en une seule phase),

on obtient les contraintes :


82

1,25 x 7,434 10,152 0,859

+ =

1,25 x 36,998 -13,470 32,778

La valeur de contrainte de compression du béton est trop élevée : σ’b = 32, 778 MPa.

On a intérêt a diminuer la contrainte σ’b en tendant les câbles en deux phases successives.

1ère phase :

A 14 jours d’age, on tend les n câbles sans coulage de la dalle et des entretoises.

Soit : Mcp : Moment de la charge permanente de la poutre principale.

gGP = 2,4875 T/ml

MGP = 331,387 Tm

D’où VI

M

n

GPSGP =σ = 6,019 MPa

'VI

M

n

GPiGP −=σ = -7,98624184 MPa

Le nombre de câbles de la première famille se calcule par :

(nc/8) x 1,25 x 36,998 – 7,986 < 0,6 fc14= 20,5128 MPa

Soit nc < 4,908

Prenons nc = 4 câbles, soit P = 4 x 126.311 = 505,2456 T

D’où : MPaV

i

e

B

P

MPaVi

e

B

P

n

iP

n

SP

499,18)'1(

71,3)1(

2

2

=+=

−=−=

σ

σ

On a alors : MPaMPaSGP

SPc 32,301 <=+= σσσ

MPaMPaiGP

iPc 245132,10' <=+= σσσ

Les contraintes de compression dans la fibre inférieure sont tous vérifiées.


83

2ème phase :

A 28 jours, on tend le reste des câbles, les dalles et entretoises sont déjà coulées.

En supposant que les 4 premiers câbles aient déjà effectuées leur perte et chute de tension,

on procède à la mise en tension de la deuxième famille de câbles.

)]

8

25,01(44[

8

72,1062P ++=

= 1,01 x 1062,72

D’où la résultante des contraintes :

σc’= 1,01 x 37,3 – 14,51 = 23,16 MPa < 0,6 fc28 =24 MPa

σc’= -1,01 x 8,37 + 11,95 = 3,5 MPa <24 MPa

Les contraintes sont vérifiées.

f Tracé des câbles

f.1 Disposition des câbles en section médiane

Les dispositions constructives se feront suivant les règles BPEL.

− Rayons de courbure : ils doivent satisfaire aux valeurs minimales suivantes :

gaines enroulables R ≥ 3 m.

gaines rigides cintrables à la main R ≥ 100 Фi avec Фi diamètre intérieur.

tubes rigides R ≥ 3 m.

− Le groupement d’armature doit satisfaire les conditions suivantes :

Dans le sens horizontale : 2 si φ ≤ 5 cm

1 si φ ≥ 5 cm

On a φ = 7,1 cm ; donc un seul groupement autorisé.

Dans le sens verticale : 3 si φ ≤ 5 cm

2 si 5 cm ≤ φ ≤ 10 cm

1 si φ ≥ 10 cm

Dans notre cas on est autorisé à mettre 2 groupements dans le sens vertical.

− L’espacement des armatures doit satisfaire les règles suivantes :

eh ≥ 1,5φ si p = 3 ou si q = 2

eh ≥ φ si p ≤ 2


84

q colonnes de conduit (q<2)

e

e

V

H p colonnes de conduit (p<3)

Figure n°26 : Espacement des armatures de précontrainte

Dans notre cas p = 2, prenons eh = 9 cm.

ev ≥ φ si q = 1

ev ≥ 1,2φ si q = 1

ev ≥ 4cm

Dans notre cas q = 1, prenons ev = 7,1 cm

− Distance aux parements :

c ≥ ¾ a ou φ ou d

a

c

c

c

Figure n°27 : Distance des armatures de précontrainte aux parements

La disposition des câbles dans la section médiane est la suivante :


85

7,3 9 9 9 7,3

158

70

Figure n°28 : Disposition constructive

f.2 Câbles de la première famille

Le principe de tracé consiste à placer d’abord le câble moyen de la première famille, et

tracer ensuite le reste des câbles tout en respectant les conditions réglementaires sur la

disposition constructive, énoncé dans le paragraphe précédent. Le tracé du câble moyen est

obtenu en inscrivant dans le fuseau de passage un tracé respectant, en section la plus

sollicité l’excentricité maximale essayant d’assurer une excentricité proche de la valeur nulle

au droit de l’appui de façon à minimiser localement le moment de contrainte.

Rappelons que la distance minimale entre deux cônes d’ancrage est D = 30 cm et

l’encombrement est de 18 cm au minimum pour le 12T13.

Sur appui, il faut que la condition suivante liée aux efforts tranchants soit toujours

respectée :

VVPsinθVVM +<∑<− m

mV : Effort tranchant minimal aux appuis

MV : Effort tranchant maximal aux appuis

V : Effort tranchant maximal respectant la condition d’intégrité du béton de l’âme.

ZbV 0τ=

où : )(, xtjtj ff στ += 402

avec j = 28 ; B

Px

∑=σ : contrainte au niveau de la fibre moyenne

∑P = 4 x 11,178 x 12 = 505,2456 T (pour les 4 câbles)


86

B = 0,8804 m2

σx = 573,854 T/m2

ft28 = 3 MPa

b0 : épaisseur de l’âme de la poutre aux appuis ; b0 = 42 cm

Z : bras de levier ; Z = 0,8 ht = 1,6 m

D’où τ = 323,8247965 T/m2 ; soit V = 217,61 T.

D’après les résultats antérieures : VM = 269,904 T et Vm = 91,947 T.

On a alors l’inégalité : 52,294 < 505,2456 sin θ < 309,557

0,1035 < sin θ < 0,6126

5,94° < θ < 37,803°

La valeur optimale de relevage des câbles est :

P

VV mMm

∑

−=

2arcsinθ

D’où θθθθm = 20,9938 °

Prenons cette valeur comme angle de relevage du câble moyen au droit de l’appui.

Prenons D = 40 cm et essayons de placer le câble moyen de façon à avoir une excentricité

nulle. Le point de tangence à l’horizontale est donné par :

αtg

ex

p

k

2= = 5,2426 m ≈ 5,25 m

A partir de ce résultat, on peut déterminer chaque position du câble moyen par

l’équation d’une parabole Y = A X2. La valeur de A se calcule à partir de Y = 1,0053 pour X =

-5,55.

Soit A = 0,0326 m-1.

αe

xk

p

A

x

y

o

Y

XO

Figure n°29 : Schéma de principe de tracée pour la première famille


87

Les autres câbles sont tracées suivant les mêmes principes, l’abscisse du point de

tangence horizontale étant le même pour tous.

Les valeurs de A des équations paraboliques de chaque câble sont les suivants :

Câble moyen Câble n°1 Câble n°2 Câble n°3 Câble n°4

X -5,55 -5,55 -5,55 -5,55 -5,55

Y 1,0079 1,6079 1,2079 0,8079 0,4079

A 0,0327 0,05220 0,0392 0,0262 0,01324

θ [°] 20,993 30,104 23,534 16,240 8,366

Tableau n°23 : Valeur du point de tangence et des angles de relevage respectif pour les

câbles de la 1ère famille.

Les coordonnées des câbles de la première famille en prenant comme origine des

abscisses l’appui de la poutre, et l’axe des ordonnées parallèles à la fibre inférieure de la

poutre sont les suivantes :

x -0,3 0 1 2 3 4 5 5,25

Câble n°1 1,723 1,554 1,058 0,666 0,379 0,197 0,118 0,1155

Câble n°2 1,323 1,196 0,823 0,529 0,314 0,176 0,118 0,1155

Câble n°3 0,923 0,838 0,589 0,392 0,248 0,156 0,117 0,1155

Câble n°4 0,523 0,480 0,354 0,255 0,182 0,136 0,116 0,1155

Câble moyen 1,123 1,017 0,706 0,461 0,281 0,166 0,117 0,1155 Tableau n°24 : Coordonnées des câbles de la première famille jusqu’au point de tangence.

Le plan de câblage de la poutre est donné dans l’ANNEXE N°17 et la disposition des

câbles aux abouts et en travée dans l’ANNEXE N° 16 .

f.3 Câbles de la 2ème famille

Le relevage des câbles de la deuxième famille se fait en travée. On suppose en

générale que l’angle de sortie de ces câbles est identique et que leur partie parabolique est

aussi identique. En général, l’angle de sortie en extrados de ces câbles est 24°15. Ainsi, le

point de tangence à l’horizontale se calcule par :

αtg

Ved p )(2 +

=

d = 7,755 m ; Prenons d = 7,76 m

Pour le relevage en travée, on a la distance maximale de relevage : 34 0

ll

l ≤≤

Soit 8,1 < l0 < 10,8 ; Prenons l0 = 8,1 m

Prenons les dispositions suivantes pour les relevages :


88

120 180 230 280

4 3 2 1

Figure n°30 : Distance de relevage de câbles en extrados

Le tracé individuel des câbles se fait de la même manière que précédemment, c'est-à-

dire en trouvant l’équation de la parabole correspondant à chaque câble. Etant donné que

ces câbles ont tous les mêmes excentricités aux zones d’ancrage, ils ont alors même

équation pour la partie parabolique.

d

e +vp2(e +v)p

α

tgαd =

Figure n°31 : Schéma de principe de tracée de relevage de câble pour la deuxième

famille

Calcul de la point de tangence : Y = A X2 avec Y = 1,7385 pour X = -8,1 ;

Soit A = 0,026497485 m-1.

Les coordonnées d’un câble en extrados, si l’on considère la position d’ancrage du

câble comme origine des abscisses sont :


89

X 0 1,5 3 4,5 6 7,5 7,76

Y 2 1,3928 0,9156 0,5683 0,3509 0,2634 0,2615

Tableau n°25 : Coordonnées de chaque câble de la deuxième famille par rapport à leur point

d’ancrage.

Voir ANNEXE n°16 et n°17 pour le plan de câblage et disposition dans la poutre.

g Calcul des pertes de tension dans les câbles de précontrainte

Les contraintes de précontrainte appliquées à la poutre sont variable selon les diverses

section et en fonction du temps. Ces variations qui vont directement dans le sens d’une

réduction des forces sont appelées pertes de précontrainte. On distingue :

− les pertes instantanées : qui se produisent dans un temps relativement court, au

moment de la mise en tension et de la mise en précontrainte. Elles résultent de la

technologie ou des propriétés des matériaux. Elles sont appelées pertes à la mise en

œuvre.

− les pertes différées : qui se produisent pendant un temps plus long, après que la

structure ait été précontrainte. Elles proviennent de l’évolution dans le temps des

caractères des matériaux lorsqu’ils sont soumis à des actions permanentes.

Le calcul de ces différentes pertes se fait toujours en valeur probable à cause de la

complexité de certains calculs, et ce n’est qu’après avoir fait ce calcul que l’on déduit les

valeurs caractéristiques de la contrainte de précontrainte en appliquant à ces pertes un

coefficient d’incertitude globale.

g.1 Pertes instantanées de précontrainte

g.1.1 Pertes par frottement de câbles

Ces pertes sont dues aux frottements du câble sur la gaine lors de la mise en tension

de celle-ci. La valeur de la tension en tout point est donnée par l’expression :

xfspospo ex ϕασσ −−=)(

Avec α : somme des déviations angulaires sur toute la longueur étudiée (en rd).

f : coefficient de frottement en courbe (en rd-1)

x : longueur du câble entre l’origine et la section considéré

φ : coefficient de frottement par unité de longueur (en m-1)

σspo : tension du câble à l’origine.

La valeur de la perte par frottement de câble est : )()( xx spospo σσσ ϕ −=∆

On a: f = 0,18 rd-1 ; φ = 0,002 m-1 ; σspo = 1488 MPa.


90

Voir ANNEXE N°9 pour les résultats des pertes de f rottement de chaque câble de la

première et deuxième famille en chaque section de la poutre.

Les pertes de frottement de câble à mi-travée sont données par le tableau ci-dessous :

Câbles f (rd-1) αi (rd) φ (m-1) x(m) σspo (Mpa)

σspo(x) (Mpa)

∆σϕ (x) (Mpa)

1 0,16 0,4214 0,0014 8,32183 1490,4 1377,06505 113,3349

2 0,16 0,4214 0,0014 11,12183 1490,4 1371,67752 118,7224

3 0,16 0,4214 0,0014 13,42183 1490,4 1367,26782 123,1321

4 0,16 0,4214 0,0014 15,22183 1490,4 1363,82664 126,5733

5 0,16 0,5251 0,0014 16,78311 1490,4 1338,46547 151,9345

6 0,16 0,4105 0,0014 16,6589 1490,4 1363,47262 126,9273

7 0,16 0,2833 0,0014 16,56984 1490,4 1391,68891 98,7110

8 0,16 0,1459 0,0014 16,516 1490,4 1422,72031 67,6796

Tableau n°26 : Perte de frottement de câble à mi-travée

g.1.2 Pertes par rentrée d’ancrage

Après mise en tension, on vient bloquer les ancrages. Le jeu existant dans l’ancrage

permet un léger glissement avant le blocage définitif. Ce léger glissement et la déformation

propre des pièces d’ancrage lorsque l’effort appliqué par le vérin leur est transféré entraînent

un raccourcissement du câble, donc une perte de tension.

Cette perte s’exprime par :

Panc El

ll 21 ∆+∆=∆σ avec ∆l1 = 1 mm : déplacement de la rondelle situé entre l’ancrage et

l’élément de précontrainte.

∆l2 = 1 mm : déformation propre de l’ancrage.

EP = 190000 MPa

Le tableau suivant montre les valeurs de la perte de tension par ancrage :

Câble ∆l1 + ∆l2 (m) li (m) Ep (Mpa) ∆σanc (Mpa)

1 0,002 16,6436 190000 22,831

2 0,002 22,2436 190000 17,083

3 0,002 26,8436 190000 14,156

4 0,002 30,4436 190000 12,482

5 0,002 33,5662 190000 11,320

6 0,002 33,3178 190000 11,405

7 0,002 33,1396 190000 11,466

8 0,002 33,032 190000 11,503

Tableau n°27 : Pertes par rentrée d’ancrage


91

g.1.3 Pertes par déformation instantanée du béton

Ces pertes sont dues d’une part à la non simultanéité de la mise en tension d’un câble

de la même famille, à l’effet de la mise en tension d’une famille sur l’autre, et par l’effet d’une

action permanente après la mise en tension qui provoquera une surtension.

En effet, lorsqu’on met en tension le premier câble, le béton se raccourcit. Il n’y a pas

de perte pour ce câble mais seulement un sur allongement car le vérin règle encore la

pression. Ce n’est que lors de la mise en tension du câble suivant qu’apparaîtra des pertes

sur la première, et ainsi de suite jusqu’à la dernière câble de la première famille.

De la même manière, la mise en tension de la deuxième famille de câbles à j jour crée

aussi des pertes sur la première qui a déjà effectué les pertes par ancrage et par frottement.

Enfin, l’effet d’une action permanente comme le bétonnage de la dalle et des

entretoises provoque en revanche des surtensions au niveau des câbles.

Soient :

gM : le moment fléchissant du aux action permanentes appliquées après mise en

tension d’une câble.

PE : module de déformation longitudinale de l’acier.

bijE : module de déformation instantanée du béton.

Les simplifications selon le BPEL permet de retenir comme valeur de bi

P

E

E=6.

Nous supposons que l’entreprise titulaire de travaux possède au moins 4 vérins évitant

la non simultanéité lors de la mise en tension de câbles.

Les pertes par déformation )(xpiσ∆ sont déterminées par les formules suivantes :

− perte due à la mise en tension de n câbles sur elle-même.

bij

bPpi E

xEx

)()( 1

2

1 σσ =∆

D’après l’hypothèse qu’on a pris ces pertes sont nulles pour les deux familles de câbles

− perte due à la mise en précontrainte de la deuxième famille et surtension due par le

bétonnage de la dalle et des entretoises.

bij

bPpi E

xEx

)()( 2σσ ∆

=∆

Avec )(xb2σ∆ : variation de contrainte au niveau des câbles.


92

)()(

)(2

2

2 1i

e

B

Ax

I

eMx pPpipg

b ++−=∆σ

σ

Dans l’expression de )(xb2σ∆ :

I

eM pg− : Surtension due à l’action des charges permanentes.

)()(

2

2

1i

e

B

Ax pPpi +σ

: Effet de la deuxième famille sur la première.

Dans cette dernière expression :

)()()()( xxxx piancspopi σσσσσ ϕ ∆−∆−∆−=

Avec )(xϕσ∆ : Perte par rentrée d’ancrage à une section x.

)(xancσ∆ : Perte par frottement de câble à une section x.

On se ramènera à une équation de second degré dont l’inconnue est )(xpiσ∆ .

Pour la deuxième famille : )(xpiσ∆ = 0.

Les valeurs de I

eM pg− et )()(

2

2

1i

e

B

Ax pPpi +σ

sont données dans l’annexe n°10 .

Le tableau ci-dessus montre les valeurs de )(xpiσ∆ en section médiane.

Câble σspo (Mpa) ∆σϕ (x) (Mpa) ∆σanc (Mpa) ∆σpi (x) (Mpa)

1 1490,4 113,334954 22,8315166 0

2 1490,4 118,722483 17,0835195 0

3 1490,4 123,132181 14,1560428 0

4 1490,4 126,573358 12,4820734 0

5 1490,4 151,934526 11,3209054 56,7832804

6 1490,4 126,92738 11,4053149 58,0414734

7 1490,4 98,7110949 11,4666165 59,4628423

8 1490,4 67,6796855 11,5039961 61,0275369

Tableau n°28 : Pertes par déformation instantanée du béton.

g.1.4 Perte instantanée totale

La perte instantanée totale est la somme de toutes les pertes instantanées :

∆σi(x) = ∆σφ(x)+ ∆σanc(x) + ∆σpi(x)

D’où la tension probable après les pertes instantanées.

σpi(x) = σspo - ∆σi(x) = σspo(x) – (∆σanc(x) + ∆σpi(x)) :


93

Le tableau suivant montre les valeurs à mi-travée de la tension des câbles après les

premières pertes :

Câble ∆σi (x) σpi(x)

1 136,166 1354,233

2 135,806 1354,594

3 137,288 1353,111

4 139,055 1351,344

5 220,038 1270,369

6 196,374 1294,025

7 169,640 1320,759

8 140,211 1350,188

Tableau n°27 : Tension après pertes instantanées.

g.2 Pertes différées de précontrainte

Elles résultent des déformations ou des contraintes appliquées aux matériaux

constitutifs qui sont le béton et l’acier. A la différence des pertes instantanées celle-ci se

produisent pendant un certain temps de la vie des ouvrages et se produisent simultanément.

g.2.1 Pertes de tension dues au retrait du béton

Le retrait se développe dès le durcissement du béton alors que les câbles ne sont

tendus que lorsque celui-ci a obtenu la résistance nécessaire. Donc les câbles ancrés sur le

béton, ne subissent que la part de raccourcissement du au retrait effectué après la mise en

tension.

∆σr = εr [r(t) – r(to)] Ep

Avec εr : retrait total du béton ( 3.10-4)

r(to) : fonction traduisant l’évolution du retrait du béton au temps to

m

oo rt

ttr

9)(

0 += où

U

Bdans laquelle B est la section nette du béton, et U le périmètre

de la section considéré.

Ep : 190000 MPa

Les résultats sont affichés en ANNEXE N°11.


94

g.2.2 Pertes dues à la relaxation des armatures

)(]))(

[()( xf

xx pio

prg

pi σµσ

ρσ ρ −=∆ 1000100

6

Avec 1000ρ : valeur garantie de la perte pour relaxation normale.

prgf = 1860 MPa

oµ = 0,30 pour les RN

)(xpiσ : Tension probable après les pertes instantanées.

Le tableau ci-dessus montre les valeurs de )(xρσ∆ en section médiane :

Câbles ∆sp (x) (Mpa)

1 2,7649292

2 2,76692054

3 2,75873656

4 2,74899381

5 2,31975605

6 2,44169851

7 2,58291972

8 2,74263055

Tableau n°30 : Pertes dues au relaxation des aciers

g.2.3 Pertes par fluage du béton

L’expression générale de cette perte est : )()( tEt flPfl εσ =∆ au temps t. L’application

de cette formule conduirait à des calculs complexes. Le BPEL propose alors une formule

simplifiée qui est la suivante :

ij

PMbfl E

E)( σσσ +=∆

Avec )1()(

2

2

i

e

B

Ax

I

eM cppipgM ++=

σσ

)1()(

)(2

2

i

e

B

Axx pd

Mb +∆

−=σ

σσ

où ρσσσσ ∆+∆+∆=∆6

5)( flrd x

rσ∆ : Perte due au retrait du béton.

flσ∆ : Perte par fluage du béton.


95

ρσ∆ : Perte due au relaxation des armatures.

En rapportant la valeur de )(xdσ∆ dans l’expression de )(xbσ et ce dernier dans celle

de flσ∆ , nous aboutirons à une équation de 1er degré en flσ∆ . La valeur de flσ∆ est alors la

solution de cette équation.

Nous limiterons notre calcul dans la section mi-travée :

Câbles σM (MPa) ∆σr (MPa)

∆σρ (MPa) ∆σfl (MPa)

1 8,982 45,391 2,764 81,210

2 8,987 45,391 2,766 81,259

3 8,966 45,391 2,758 81,056

4 8,940 45,391 2,748 80,813

5 9,911 45,391 2,319 88,008

6 10,331 45,391 2,441 91,888

7 10,805 45,391 2,582 96,271

8 11,326 45,391 2,742 101,096

Tableau n°31 : Pertes par fluage à mi-travée

g.2.4 Perte de tension différée finale

La perte de tension différée finale est :

ρσσσσ ∆+∆+∆=∆6

5)( flrd x

Les pertes de tension à mi-travée sont :

Câbles ∆σd (en MPa)

1 128,905

2 128,957

3 128,746

4 128,496

5 135,333

6 139,315

7 143,815

8 148,773

Tableau n°32 : Pertes différées totales dans chaque câble


96

g.2.5 Tension finale probable après tous les pertes

)()()( xxx dPiP σσσ ∆−=∞

Les tensions finales à mi-travée sont :

Câbles σp∞(x) (en MPa)

1 1059,590

2 1057,866

3 1054,756

4 1051,749

5 991,559

6 1019,922

7 1052,018

8 1087,386

Tableau n°33 : Tension final à mi-travée

h Vérification de la force de précontrainte en section médiane

h.1 Caractéristiques géométriques et mécaniques de la poutre

h.1.1 Section brute

− Bb : surface brute ; Bb = 0,9121 m2

− Sb : moment statique brut ; Sb = 0,8314 m3

− Ib : Ib (∆) – Sb V : moment d’inertie ; Ib = 0,4792 m4

− V = Sb/Bb = 0,9115 m

− V’= ht – V = 1,0884 m

h.1.2 Section nette

− cbn nBB4

2πφ−= : Bn = 0,8804 m2 avec nc = 8 et φ = 71 mm

− )'(4

2

dhnSS tcbn −−= πφ ; Sn = 0,7740 m2

− 22

)''(4

dVnII cbn −−= πφ ; In = 0,4515 m4

− V = Sn/Bn = 0,8791 m

− V’ = ht – Vn = 1,12084 m

− '

nnn

n

VVB

I=ρ ; ρ = 0,5204


97

h.1.3 Section homogénéisée

Soit n le coefficient d’équivalence : ij

P

E

En = avec EP = 190000 MPa ;

Eij = 11000(fc28)1/3= 37619,47083 MPa soit n = 5,051

− Bh = Bn + n ATcp = 0,903 m2

− Sh = Sn + n ATcp (ht – Vn) = 0,815 m3

− Vh = Bh/ Sh = 0,902 m

− V’h = ht - Vh = 1,097 m

− Ih = In + n ATcp(V’h – d’) = 0,463 m4

− ρ = 0,517

h.2 Vérification de la section homogénéisée à la force de

précontrainte

La valeur de force de précontrainte P au stade de service due aux moments

fléchissants est :

'1 cc

MP

+∆= et

cpvc

MMP QG

−++

='2

Avec ρ = 0,5105

c’= ρ v’= 0,5674 cm

d’= 0,1155

c= ρ v= 0,4679 cm

MG = 558,954 Tm

MQ = 960,9695 Tm

D’où on trouve : P1 = 932,103 T

P2 = 1049,633 T

En comparant la valeur supérieure entre P1 et P2 avec la force de précontrainte

développée après les pertes et chutes de tension :

PC = 1080,989 T soit P = 1049,633 T < PC = 1080,989 T


98

h.3 Vérification des contraintes normales en section médiane

h.3.1 Vérification à l’ELS

MG = 558,954 T B = 0,9044 m2

MQ = 960,9695 T I = 0,4639 m4

fc28 = 40 MPa V = 0,9039 m

P = 1080,989 T V’ = 1,096 m

== 286,0 cb fσ 24 MPa e = V’ – d’ = 0,982 m

i2 = I/B = 0,5129 m2

− A vide en service

− Contrainte due aux charges permanentes

VI

M GSG =σ Contrainte de la fibre supérieure : S

Gσ = 10,934 MPa

'VI

M GiG −=σ Contrainte de la fibre inférieure : i

Gσ = -13,314 MPa

− Contrainte due a la force de précontrainte

)1(2V

i

e

B

PSP −=σ pour la fibre supérieure : S

Pσ = - 8,556 MPa

)'1(2V

i

e

B

PiP −=σ pour la fibre inférieure : i

Pσ = 36,205 MPa

D’où la résultante représentée par le diagramme suivant :

-8,556 10,934 2,337

+ =

36,205 -13,314 22,890

On constate d’après ce diagramme que :

σb = 2,337 MPa < 0,6 fc28 = 24 MPa

σ’b = 22,890 MPa < 0,6 fc28 = 24 MPa

Les conditions sont bien vérifiées.


99

− À charge en service

VI

M QSQ =σ : pour la fibre supérieure: S

Qσ = 18,798 MPa

'VI

M QiQ −=σ : pour la fibre inférieure: i

Qσ = -22,890 MPa

D’où les diagrammes suivants :

2,337 18,798 21,175

+ =

22,890 -22,890 0

D’après ce diagramme :

σb = 21,175 MPa < 0,6 fc28 = 24 MPa

σ’b = 0MPa < 0,6 fc28 = 24 MPa

La condition d’exploitation de la section est vérifiée. En plus, la fibre inférieure ne présente

pas de partie tendue.

h.3.2 Vérification en phase de construction

− Première phase

En pratique, cette phase sera limitée en coulage de la poutre sur un air spécial pour la

fabrication suivant leur dimension finale et après durcissement du béton. Les critères de

vérification sont :

− Mise en tension de la première famille à 14 jours d’âge du béton.

− Section considérée : section nette (avant injection).

− Actions considérées : poids propre de la poutre.

− Pertes à considérer : pertes instantanées dues au frottement de câble, aux

rentrées de cône et aux déformations dues à la non simultanéité de mise en

tension de chaque câble.


100

On doit vérifier que : σbmax < 0,6 14cf = 20,512 MPa

La valeur de la force de précontrainte dans la section médiane après les pertes

instantanées sera dans ce cas :

Câbles σspo (MPa) ∆σpi (MPa) σpi (MPa) P(T)

5 1490,4 163,255431 1327,14457 149,967336

6 1490,4 138,332695 1352,0673 152,783605

7 1490,4 110,177711 1380,22229 155,965119

8 1490,4 79,1836816 1411,21632 159,467444

618,183504

Tableau n°34 : Force de précontrainte en première phase

P = 618,183 T

Le moment due au poids propre de la poutre est : MGP = 294,086 Tm

Contrainte sous poids de la poutre :

VI

M GPSGP =σ = 5,766 MPa

'VI

M GPiGP =σ = -7,390 MPa

Contrainte sous la force de précontrainte :

)1(2V

i

e

B

P

n

SP −=σ = - 4,890 MPa

)'1(2V

i

e

B

P

n

iP −=σ = 22,286 MPa

4,890 5,766 0,876

+ =

22,286 -7,390 14,896

Alors σb = 0,876 MPa < 0,6 14cf = 20,512 MPa.

σ’b = 14,896 MPa < 0,6 14cf = 20,512 MPa.

La condition est vérifiée.


101

− Deuxième phase

A cette phase s’effectue le coulage de la dalle et des entretoises.

− Section considérée : section nette de la poutre.

− On suppose que les câbles de la première famille aient déjà effectuée le demi de

leur perte différé.

La valeur de la force de précontrainte P sera dans ce cas :

Câbles ∆σpi (x) (MPa) ∆σi (x) ∆σd/2 (en MPa) σpi (Mpa) P(T)

5 -10,2159433 153,039488 67,6667061 1269,69381 143,4754

6 -10,2159433 128,116752 69,6575187 1292,62573 146,066707

7 -10,2159433 99,9617681 71,907846 1318,53039 148,993934

8 -10,2159433 68,9677383 74,3867132 1347,04555 152,216147

590,752188

Tableau n°35 : force de précontrainte en deuxième phase de la construction.

P = 590,752 T.

− Moment fléchissant due au poids propre :

MGP moment fléchissant dû au poids propre de la poutre.

MGh moment fléchissant dû au poids propre de la dalle du trottoir et du parapet.

MGe moment fléchissant dû poids propre des entretoises.

MG = MGP + MGh + MGe = 428,138 Tm.

On doit vérifier que : σbmax < 0,6 28cf = 24 MPa


VI


'VI



)1(2V

i

e

B

P

n

SP −=σ = -4,673 MPa

)'1(2V

i

e

B

P

n

iP −=σ = 21,297 MPa


102

-4,673 8,885 4,211

+ =

21,297 -11,386 9,911

Alors : σb = 4,211 MPa < 24 MPa

σ’b = 9,911 MPa < 24 MPa


− Troisième phase

Cette phase comprend la mise en tension de la deuxième famille des câbles en

supposant que :

− Les pertes sont totalement effectuées pour les câbles de la première famille.

− Les tensions initiales diminuées de demi perte différées pour les câbles de la

deuxième famille.

− Section considérée : section homogénéisée.

Câbles σp (en MPa) ∆σi (x) ∆σd/2 (en MPa) P(T)

1 136,166471 64,4529389 145,745207

2 135,806002 64,4785101 145,78305

3 137,288224 64,3733648 145,627441

4 139,055431 64,248009 145,441911

5 1135,02788 128,25815

6 1154,71079 130,48232

7 1176,94375 132,994644

8 1201,41536 135,759935

1110,09266

Tableau n°36 : Force de précontrainte en troisième phase.

La valeur de la force de précontrainte P sera dans ce cas : P = 1110,09 T.


103


VI


'VI



)1(2V

i

e

B

P

n

SP −=σ = - 8,800 MPa

)'1(2V

i

e

B

P

n

iP −=σ = 37,240 MPa

-8,800 10,934 2,133

+ =

37,24 -13,314 23,925

Alors : σb = 2,133 MPa < 24 MPa

σ’b = 23,925 MPa < 24 MPa


h.4 Justification de la section vis-à-vis de l’effort tranchant

h.4.1 Vérification de l’effort tranchant et contrainte de

cisaillement

Afin de bien vérifier l’effort tranchant et la contrainte de cisaillement de chaque section

de la poutre, on va prendre les dispositions suivantes :

− On considère les sections nettes d’about pour la vérification de l’effort tranchant.

− On adoptera la valeur minimale b de l’âme pour la contrainte de cisaillement.

ττ <=Gn

b Zb

V

Avec ZG = I/S

In = I : moment d’inertie de la section nette.


104

Sn =S : moment statique de la poutre à la section situé au dessus du centre de gravité.

bn =b : largeur nette de l’âme de la section considéré

V : effort tranchant maximal

τ : Contrainte de cisaillement admissible.

Les efforts maximaux sont déjà calculés précédemment :

Effort tranchant dû aux charges permanentes :

Abscisse X Tg Te TG

0 65,415 2,693 68,109

Effort tranchant dû aux surcharges d’exploitation :

T surcharge B T trottoir T résultant

Abscisse x T+ T- T+ T- T+ T-

0 114,904 0 3,734 0 118,638 0

D’où les combinaisons d’action :

Effort Tranchant

Abscisse X

ELU ELS

T+ T- T+ T-

0 269,904 91,947 186,747 68,1090

En ce qui concerne les forces de précontrainte :

Câbles αi (rd) Pi (T) Pisinαi(T) 5 0,52515248 125,846732 63,0926229 6 0,41054524 137,882068 55,030018 7 0,28330447 144,915234 40,5081425 8 0,14594617 146,460656 21,2995687

555,10469 179,930352

Pour avoir une bonne vérification on choisie la section d’âme minimale.

− cbn nBB4

2πφ−= : Bn = 1,124 m2 avec nc = 4 et φ = 71 mm

− )'(4

2

dhnSS tcbn −−= πφ ; Sn = 1,060 m3

− 22

)''(4

dVnII cbn −−= πφ ; In = 0,494 m4


105

− V = 0,9433 m

− V’ = 1,056 m

VERIFICATION au stade de service

Efforts tranchants résultants dans les sections d’about :

diPiT sin∑−+ = 6,816 T

diPiT sin∑−− = 111,821318 T

L’effort tranchant maximal réduit sera :

Vred,S = 111,821 T

− Contrainte de cisaillement

Soit bn = 42 – 7,1 = 34,9 cm

ZG = 1,639 m

La contrainte de cisaillement Sred,τ s’exprime par :

Gn

SredSred Zb

V ,, =τ

Après calcul : Sred,τ = 1,954 MPa ; 2,Sredτ = 3,819 MPa

)3

2(40,0 2828

21 xtt ff στ += = 7,1938 ; soit 1τ = 2,682 MPa

))(6,0(2 282828

2822 xtxc

c

t fff

f σστ −−= = 17,541 MPa ; soit 2τ = 4,188 MPa

Alors : Sred,τ = 1,954 MPa < 1τ = 2,682 MPa < 2τ = 4,188 MPa

Les contraintes de cisaillement sont vérifiées.

− Effort tranchant

Soit Gn ZbV τ= : l’effort tranchant admissible.

Avec τ : contrainte de cisaillement admissible : τ = 2,682 MPa

bn = épaisseur nette de l’âme bn = 42 m.

ZG = 0,87d

On a alors : V = 153,4697 T

VV −max = 33,277 MPa


106

VV +min = 221,578 MPa

Et diPisin∑ = 179,930 T

Alors : VV −max = 33,277 MPa < diPisin∑ = 179,930 T < VV +min = 221,578 MPa.

La condition est bien remplie.

h.4.2 Détermination des armatures passives

On utilisera des aciers de nuance Fe E 400 à haute adhérence.

− Armatures longitudinales

− Armatures longitudinales de peau :

Les armatures de peau disposée dans les sens parallèles à la fibre moyenne de la

poutre. Leur section doit être de 3 cm2 par mètre linéaire de parement. Soit :

plA = 6cm2 suivant la hauteur de la poutre. Prenons plA = 6,78 cm2 ou 6T12.

plA = 4,2 cm2 pour la largeur de la table supérieure de la poutre. Prenons plA = 5,498cm2 ou

7T10.

− Armatures longitudinales dans les zones tendues :

On adoptera les armatures tendues minimales inférieures :

bétondubrutetionladeAs sec%,200=

Soit sA = 18,242 cm2. Prenons sA = 18,80 cm2 ou 6T20.

Les dispositions constructives sont données dans l’ANNEXE N°20 et N°21.

− Armatures transversales

− Armatures transversales de peau :

Les armatures transversales sont disposées parallèlement aux sections droites de la

poutre.

parementdeeurldemlparcmAps arg22=

psA = 2,8 cm2. Prenons psA = 3,14 cm2ou 4T10.

− Minimum d’armatures transversales :

Dans l’âme de la poutre, il est exigé un minimum d’armatures transversales telle que :

MPaf

sb

A e

tn

t 60151

,,

> avec ; );,;inf( 03801 bhmst < = 0,66 m; ef =400MPa.

nb = largeur nette de la poutre. nb = 22 – 7,1 = 14,9 cm.


107

Pour ts = 40 cm, on trouve At > 1,02 cm2 . La section exigée est très faible.

Dans les zones d’appui, ces armatures doivent vérifier le cisaillement telle que :

uredt

ue

tn

t fan

f

sb

A,cot

,τβ >+

3151 avec ured,τ = 1,53 MPa ; tf = 3MPa ; uβ = 17,19°.

On trouve At > 0,28 cm2 pour ts = 40 cm.

Les sections d’armatures transversales exigées sont très faibles. On retiendra les sections

armatures transversales de peau avec un espacement ts = 40 cm.

Les dispositions constructives sont données dans l’ANNEXE N°20 et N°21.

i Justification de section à l’état limite de résistance

i.1 Calcul de résistance des sections droites à la normale soumise

à la flexion

i.1.1 Hypothèses de calcul :

− le béton tendu est négligé.

− le diagramme des contraintes de calcul pour le béton est rectangulaire et la contrainte

uniformément répartie sur une hauteur de 0,8y est égale à bσ .

− les contraintes limites de traction de calcul dans les armatures passives et les câbles

précontraintes sont respectivement égale à :

s

eus

f

γσ =, avec ef = 400 MPa et sγ = 1,15

s

ce

uspf

γσ =, avec

cef = 1656 MPa et spγ = 1,20

− les contraintes de compressions dans les armatures passives et les câbles de

précontraintes situées dans la zone de béton comprimé sont négligeable car A’ = 0 et

Acp’ = 0.

− les déformations ou les contraintes de traction de calcul de précontraintes sont

déterminées en fonction de la hauteur de la zone comprimé de béton ouα .

De plus, la condition de résistance doit vérifier l’inégalité Mu < Mcp

Où Mu : moment ultime dû aux actions extérieures.

Mcp : moment de capacité portante des pièces par rapport au câble précontrainte

tendue.


108

i.1.2 Détermination du positon de l’axe neutre

Cette position dépend de la vérification de l’inégalité ci-après si l’axe neutre tombe

dans la table.

Tcpssus

Tcpusp AAhbAA '',''..... ,, σσσσσ ++≤+ 0

Avec b

cb

f

γσ 28850,

= = 22,66 MPa pour fc28 = 40MPa

s

ce

uspf

γσ =, = 1380 MPa

AcpT = 9040 mm2

s

eus

f

γσ =, = 348 MPa

A = 18,80 cm2

A’ = A’cp = 0

b = 140 cm et h0 = 20 cm

Soit AA usTcpusp .. ,, σσ + = 1313,048 T

0hbb ..σ = 634,66. D’où condition vérifiée.

L’axe neutre tombe dans la nervure.

La hauteur de la zone du béton comprimé est déterminé par :

0=∑F implique 00080 hbbbyAA bbusTcpusp )(.,... ,, −+=+ σσσσ avec b0 = 22 cm.

D’après calcul, on trouve : y = 633,593 cm. d

y=α = 2,11 m.

−+=

111

2

11

1

,wl

σσ

α avec w = 0,85 – 0,008 bcσ = 0,6686

( )spuspus σσσσ −+= 5001 ,, ,sup = 799,011 MPa

2σ = 400 MPa. Contrainte limite des armatures dans la zone du béton comprimé.

On a : lα = 0,560.

α > lα : y > yl = 128,06 cm.

La section du béton est entièrement comprimée.


109

i.1.3 Vérification de la résistance à la section de la poutre et

du hourdi associé

Soit ( ) ),(,).,(. 000 508040 hdhbbyydbM obbcp −−+−= σσ

On trouve Mcp = 3373,371 Tm avec bσ = 22,66 MPa

b0 = 22 cm

b = 140 cm

d = 188,5 cm

Mu = 2196,043 MPa. D’où la résistance est vérifié : Mu < Mcp.

i.2 Vérification des flèches et rotations

i.2.1 Calcul et vérification de la flèche

La flèche est comptée positivement vers le bas et négativement vers le haut.

Soit df : flèche due aux charges permanentes.

if : Flèche due aux surcharges d’exploitation.

Pf : Contre flèche exercée par la force de précontrainte P.

On doit vérifier : idp ffff ++=1 < Ladmf où L

admf est la flèche admissible.

− Calcul de la flèche due aux charges permanentes :

redbd IE

Lgf

850384

5 4

,=

Avec g : charge permanente uniformément répartie. g = 4,103 T/ml

L : Longueur de la travée de calcul. L = 32,4 m

bE : Module de déformation différé du béton. bE = 37619,470 MPa

redI : Moment d’inertie réduit de la section. redI = 0,4515 m4

Soit df = 4,08 cm.

− Flèche due aux surcharges d’exploitation :

redbi IE

Lqf

850384

5 4

,=

Avec q : charge permanente uniformément répartie. q= 14,185 T/ ml


110

Soit if = 14,09 cm.

− Contre flèche exercée par la force de précontrainte P :

redb

pP IE

LePf

.,. 808

20−=

Avec pe0 : 1,007 m

P : Force de précontrainte finale. P = 1080,989 T

Soit Pf = -10,51 cm.

− Vérification de la flèche :

Flèche en service à vide :

dp fff +=0 = -6,43 cm.

Flèche en service charge :

idp ffff ++=1 = 7,66 cm.

Flèche admissible de la travée :

400

Lf L

adm = = 8,10 cm.

On constate que : 1f = 7,66 cm < Ladmf : la flèche est admissible.

i.2.2 Calcul et vérification de la rotation

− Rotation due à la charge permanente :

redbg IE

Lg

85024

1 3

,=β = 0,004 rd.

− Rotation instantanée due à la surcharge d’exploitation :

redbq IE

qL

85024

1 3

,=β = 0,014 rd.

− Rotation durable due à la force de précontrainte

redb

pP IE

LeP

.,. 8020−=β =-0,013 rd


111

− Vérification de la rotation :

Rotation en service à vide :

gpm βββ +=0 = -0,009 rd.

Rotation en service à charge :

pgpm ββββ ++=0 = 0,005 rd.

Rotation admissible :

mβ = 0,024 rd.

On constate que 0mβ = 0,005 rd < mβ . Condition vérifiée.

I.4 Calcul de la dalle

La dalle du tablier est en béton armé monolithique. Elle reçoit directement la charge

provenant de la superstructure de la voie ferrée et la surcharge d’exploitation du système B.

I.4.1 Hypothèse de calcul

Les hypothèses des matériaux de béton sont retenues.

Suivant la distribution des charges, soit permanente, soit variable, la dalle est chargée

uniformément de manière répartie.

En considérant :

lx : la petite portée de la dalle

ly : la grande portée

Alors, lx : distance entre deux parements intérieurs de 2 poutres principales.

lx = 2,28 m

ly : distance entre les nus de deux entretoises successives.

ly = 7,85 m

4,029,0 <==ly

lxα , la dalle est considéré comme ne reposant que sur les deux

grandes bords. Ainsi, la dalle se porte sur une seule direction. En principe le calcul des

moments se fera suivant la petite portée lx et en prenant une largeur unité suivant la

longueur ly de la dalle. On est alors ramené a l’étude d’une dalle poutre.

Comme la dalle est encastrée sur 4 côtés, on prendra pour le calcul des moments

l’hypothèse d’une dalle continue.


112

I.4.2 Principe de répartition de la charge appliquée à la dalle

45° 45°

P P

Figure n°32 : Modélisation de la répartition de charge sous la dalle

I.4.3 Détermination de coefficient de majoration dynamique

d

de

S

Pl 41

6,0

2,01

4,01

++

++=δ

Avec l : distance entre plan moyen des axes des poutres principales.

l = 2,50 m

Pd : Poids total d’une section de couverture de longueur l et comprise entre les plans

moyens des axes de poutre de rive.

Pd = 3,222 T

S : poids total le plus élevée des essieux du système B qui pourra se placer sur la

longueur l du tablier.

S = 40 T

Soit δe = 1,721 T

I.4.4 Calculs des sollicitations

a Moments fléchissants

− Dus aux charges permanentes

D’après hypothèse de calcul et suivant les règles BAEL pour une dalle continue coulée

sur place et encastrée sur les 4 côtés, les moments de flexion se calculerons comme une


113

poutre isostatique. Ces moments isostatiques seront multipliés par des coefficients

forfaitaires :

o Au centre : Mt = 0,8 Mo

o Aux appuis : Ma = -0,5 Mo

Avec : 8

2

0xgl

M =

Où g : charge permanente uniformément répartie ;

g = g1 + g2 = 3,224 T/ml où g1 : poids propre de la dalle

g2 : charge de superstructure

D’où M0 = 2,094 Tm

Mt = 1,6749 Tm

Ma = -1,0469 Tm

− Dus aux surcharges B

La surcharge B se repartie uniformément sur une longueur lx = 2,50 m suivant le sens

transversale.

On connaît la valeur de la pression de charge tP au niveau du tablier. tP = 9,629 T/m2.

Par conséquent, la charge q par mètre linéaire de ly vaut q = 6,74 T/ml.

qB = δd .q = 11,595 T/ml

Par la même méthode, on trouve les moments suivants :

8

2

0xBlq

M = = 7,534 Tm

Au centre : Mt = 6,027 Tm

Aux appuis : Ma = -3,767 Tm

b Efforts tranchants

L’effort tranchant est aussi calculé comme une dalle reposant sur deux appuis simple,

c'est-à-dire sans tenir compte de l’encastrement.


114

x

x = l /2

x

x0

VS

-

+

VB

xA

l

A B

q

Figure n°33 : Ligne d’influence des efforts tranchants de la dalle

o Aux appuis : 2

)()0( xBA

lqlxTxT ====

o En section quelconque : Xx SqT .=

q : charge uniformément répartie

Sx : Section des lignes d’influence de l’abscisse x

− Effort tranchant dus par la charge permanente :

Aux appuis : 2

)()0( xBA

lglxTxT ==== où g = 3.224 T/ml

En travée : Xx SgT .= .

− Effort tranchant dus aux surcharges d’exploitation :

Aux appuis : 2

0 xBBA

lqlxTxT ==== )()( où qB = 11,595 T/ml

En travée : XBx SqT .=


115

c Récapitulation

Actions Moments flechissants [T] Efforts tranchants

Mt [T/m] Ma [T/m] Tapp [T/m]

Charge permanente 1,674 -1,046 3,675

Surcharge B 6,027 -3,767 13,218

ELS 7,701 -4,813 16,894

ELUR 11,300 -7,062 24,789

Tableau n°37 : Récapitulation des sollicitations de la dalle

I.4.5 Détermination et vérification des armatures de la dalle

a Hypothèses de calcul

− Béton dosé à 400 kg/m3.

− Contrainte limite de compression du béton : cjbc f60,=σ = 15 MPa.

− Fissuration préjudiciable.

− Acier nuance Fe E 400 HA.

− Contrainte limite de traction des aciers :

A l’ELU : 151,

esu

f=σ

( )


3

2= 202 MPa.

− Coefficient d’équivalence n = 15

b Armatures en travée

b = 100 cm ; h = 20 m , d’ = 16cm, c’ = 4 cm.

b=100

h=20d=

16

Figure n°34 : Section de calcul des armatures de la dalle


116

Calcul des armatures à l’ELU :

bc

u

fbd

M2

=µ = 0,311

On a : 0,186 < µ < limµ = 0,391

La valeur de limµ est indiquée dans lès règles BAEL 91 modifié 99.

µαβ 21180 −−== uu , = 0,386

su

bcus

fdbA

σα ...,80

=

Avec bcf = 14,2 MPa et suσ = 348 MPa, on a sA = 25,162 cm2.

Prenons sA = 28,27 cm2 soit 9T20.

Vérification à l’ELS :

Il faut vérifier la résistance à la compression du béton et de l’acier avant de donner la section

définitive.

Centre de gravité :

−

++

++

= 157

115

)'(,

)''..()'(

ss

ssss

AA

AdAdb

b

AAy Avec A’s = 0.

y = 8,156 cm.

Inertie :

[ ]223

153

)''.().(.

dyAydAyb

I ss −+−+=

I = 44175,752 cm4

Contrainte :

I

MserK = = 174,326 MPa/m

yKbc .=σ = 14,218 MPa < bcσ = 15 MPa : la condition de compression du béton est

assuré.

).(. ydKs −= 15σ = 205,107 > sσ = 202 : la condition de fissuration n’est pas remplie,

il faut recalculer la section d’aciers tendus As en admettant que ces armatures travaillent au

maximum que possible, c'est-à-dire à l’ELS.


117

Redimensionnent à l’ELS

s

ser

db

Mu

σ2

30

.= = 0,448

λ = 1 + u = 1,448 ; soit cosϕ = λ-3/2 = 0,574 et ϕ = 54,96°.

+°+=3

24021ϕλα cos = 0,513

ns

bc

σα

ασ−

=1

= 14,15 < bcσ = 15 MPa : condition vérifié.

Donc dbAs .)( α

α−

=130

2

= 28,792 cm2.

Prenons sA = 31,42 cm2 = 10T20 par mètre.

Armatures de répartition

AAp 3

1= = 10,47 cm2.

Prenons pA = 12,06 cm2= 6T16 par mètre.

Armatures transversales

− Espacement maximal des armatures transversales:

cmdSt 4090 ;,minmax = = 14,44 cm.

− Diamètre maximal :

= lt

bh φφ ;;minmax 10350 = 5,714 mm.

Vérification du pourcentage d’armatures minimale et de la condition de non fragilité :

− Règle du millième :

hbA ..,0010≥

On a A= 31,42 cm2> 2 cm2. Condition remplie.

− Condition de non fragilité :

dbf

fA

e

tj230,>

On a A= 31,42 cm2> 1,93 cm2.Condition remplie.

Le pourcentage minimal d’armatures est respecté, et le béton est non fragile.


118

c Armatures aux appuis


bc

u

fbd

M2

=µ = 0,210

On a : 0,186 < µ < limµ = 0,391

µαβ 21180 −−== uu , = 0,386

su

bcus

fdbA

σα ...,80

= = 15,504 cm2.




définitive.


y = 6,641 cm.

Inertie :

[ ]223

153

)''.().(.

dyAydAyb

I ss −+−+=

I = 30403,698 cm4

Contrainte :

I

MserK = = 158,303 MPa/m

yKbc .=σ = 10,513 MPa < bcσ = 15 MPa. La condition de compression du béton est

remplie.

).(. ydKs −= 15σ = 205,107 > sσ = 202 MPa. La condition de fissuration n’est pas

remplie, il faut recalculer la section d’aciers tendus As à l’ELS.


s

ser

db

Mu

σ2

30

.= = 0,279

λ = 1 + u = 1,279 ; soit cosϕ = λ-3/2 = 0,690 et ϕ = 46,310°.

+°+=3

24021ϕλα cos = 0,431

ns

bc

σα

ασ−

=1

= 10,18 MPa < bcσ = 15 MPa : condition vérifié.


119

Donc dbAs .)( α

α−

=130

2

= 17,422 cm2.


Vérification de contrainte tangente

La contrainte tangente conventionnelle vaut :

db

V

o

uu =τ = 1,549 MPa.

La contrainte tangente admissible en fissuration préjudiciable est lue sur le tableau

ANNEXE N°12.

=maxuτ 2,5 MPa pour les armatures droites.

uτ = 1,549 MPa. < maxuτ . Le contrainte de cisaillement et vérifié. Les armatures

transversales ne sont pas nécessaires.

Armatures de répartition

AAp 3

1= = 6,27 cm2 .

Prenons pA = 6,79 cm2= 6T12 par mètre.

I.5 Calcul des entretoises


− Les entretoises sont encastrées parfaitement aux deux poutres principales et se

comporte comme une poutre transversale.

− Les sollicitations maximales appliquées sur les entretoises sont :

Les moments fléchissant au milieu de la travée et près des appuis pour pouvoirs

quantifier les sections des armatures à utiliser.

Les efforts tranchants au voisinage des appuis pour qu’on puisse vérifier les

contraintes principales de cisaillement, de traction et de compression, et aussi pour

quantifier les armatures nécessaires pour contrer ces efforts.

I.5.2 Méthode de calcul des sollicitations

Les sollicitations sont déterminées à l’aide de la ligne d’influence des entretoises.


120

l

A B

P=1

x

(Σ)

α

Figure n°35 : Schéma de principe de calcul de la ligne d’influence des entretoises

Les moments fléchissant d’une section d’abscisse x sont donnés par :

l

xM

l

xMxM BA +−+= )()( 1µ

Avec MA et MB les moments d’encastrement

Pour α < x )( αµ −+= ll

x

Pour α > x )( xll

−+= αµ

Les efforts tranchants en une section considérée d’abscisse x se calculent comme

suit :

l

MMxT AB −+= θ)(

Pour l

xαθα =≤

Pour l

xαθα −=≥ 1

Et MA et MB moments d’encastrement respectifs.

I.5.3 Détermination des sollicitations

a Caractéristiques de la section considérée

o Entretoise d’about :

Epaisseur : 25 cm

Hauteur : he = 126 cm

hd = 20 cm

het = 146 cm

Distance entre nue des poutres (Longueur des diaphragmes) le = 2,08 m


121

Entraxe des entretoises : de = 8,1 m

Nombre d’entretoises : n = 2

o Entretoise intermédiaire :

Epaisseur : 25 cm

Hauteur : he = 126 cm

hd = 20 cm

het = 146 cm

Distance entre nue des poutres (Longueur des diaphragmes) le = 2,28 m

Entraxe des entretoises : de = 8,1 m

Nombre d’entretoises : n = 3

b .Méthode de distribution des charges appliquées et calcul des charges

Par convention, la distribution des charges appliquées aux entretoises est triangulaire

faisant un angle de 45° de chaque intérieure de pa rement de la poutre longitudinale.

208

23

50 20

20 T 10 T

Figure n°36 : Distribution de charge appliquée aux entretoises d’about


122

43 183

50 20

20 T 10 T

25 92,5

Figure n°37 : Distribution de charge appliquée aux entretoises intermédiaires

Charges permanentes :

Les charges permanentes à prendre en compte sont :

− Distribution triangulaire des charges provenant de la dalle et de la superstructure de

la voie ferrée.

− Poids propre de l’entretoise.

Soient :

o Entretoise d’about :

Poids propre de la dalle d’épaisseur 0,20 m

gd = 0,385 T/ml

Poids propre de l’entretoise :

ge = 0,788 T/ml

Poids propre de la superstructure de la voie

gs = 0,421 T/ml

D’où les charges permanentes totales :

get = 1,594 T/ml


123

o Entretoise intermédiaire :

Poids propre de la dalle d’épaisseur 0,20 m

gd = 0,695 T/ml

Poids propre de l’entretoise

ge = 0,788 T/ml

Poids propre de la superstructure de la voie

gs = 0,738 T/ml

D’où les charges permanentes totales :

get = 2,220 T/ml

Surcharges d’exploitation

− Coefficient de majoration dynamique

e

eee

S

Pl 41

6,0

2,01

4,01

++

++=δ

Entretoise d’about Entretoise intermédiaire

le [m]

Pe = ge x le [T]

Se [T]

2,08

3,315

30

2,28

5,062

40

δe 1,699 1,673

Tableau n°38 : Coefficient de majoration dynamique des entretoises.

− Pression due à la surcharge B au niveau de la surface de distribution de charge

o Entretoise d’about

Pour la surcharge B au centre de la zone des charges, on considère la charge de 20 T

sur la traverse. La pression sous ballast est :

Pce = 9,629 T/m2.

Pour la surcharge B à l’extrémité de la zone de charge, la charge appliquée est l’essieu

de 10 T, telle que Pex = 4,814 T/m2.

D’où la force crée par la surcharge B :

PB = S1 Pex + S2 Pce

Avec S1 : Surface d’impact de la surcharge Pex sur l’entretoise. S1 =0,93625 m2

S2 : Surface d’impact de la surcharge Pce sur l’entretoise. S2 = 0,651 m2.


124

Soit PB = 12,149 T.

On a alors : PBt = δ. PB = 20,64 T

Ainsi : qBt = 9,923 T/ml.

o Entretoise intermédiaire

Les pressions sous ballast Pce et Pex dues respectivement à la charge de 20 T au

centre et aux deux charges extérieure de 10 T de chaque sont les même que pour les

entretoises d’about. C’est la surface de répartition qui change.

Pce = 9,629T/m2 ; Pex = 4,814 T/m2

PB = S1 Pex x S2 Pce

Avec S1 = 1,494 m2.

S2 = 2 x 0,791 = 1,582 m2.

Soit PB = 22,009 T.

PBt = δ. PB = 36,821 T

Ainsi : qBt = 16,149 T/ml.

c Détermination des sollicitations de calcul

Moments fléchissant

Dus aux charges permanentes

MA = get x SLI (A)

MB = get x SLI (B)

M0,5l = get x SLI (0,5l)

Les formules suivantes permettent de trouver les lignes d’influence des moments

fléchissant aux appuis A et B, et à mi-travée.

Pour x ≤ α : ])2

1([)1(),( 2 αααα −+−=l

xl

xM

x = 0,5l : 2)1(5,0),5,0(l

llMαα −=

Pour x ≥ α : ]2)32

([)(),( 2 αααα −+−= ll

xl

xM

x = 0,5l : 2)(),5,0(l

lMαα =

Les résultats de calcul sont montrés par le tableau suivant :


125

Entretoise d’about

α [m] 0 0,26 0,52 0,78 1,04 1,3 1,56 1,82 2,08

MA [Tm] 0 -0,199 -0,292 -0,304 -0,26 -0,182 -0,097 -0,028 0

MB [Tm] 0 -0,028 -0,097 -0,182 -0,26 -0,304 -0,292 -0,199 0

M0,5l [Tm] 0 0,016 0,065 0,146 0,26 0,146 0,065 0,016 0

Tableau n°39 : Ligne d’influence des moments fléchissants de l’entretoise d’about.

Entretoise intermédiaire

α [m] 0 0,285 0,57 0,855 1,14 1,425 1,71 1,995 2,28

MA [Tm] 0 -0,218 -0,320 -0,333 -0,285 -0,200 -0,106 -0,031 0

MB [Tm] 0 -0,031 -0,106 -0,200 -0,285 -0,333 -0,320 -0,218 0

M0,5l [Tm] 0 0,017 0,071 0,160 0,285 0,160 0,071 0,017 0

Tableau n°40 : Ligne d’influence des moments fléchissants de l’entretoise intermédiaire.

La valeur maximale pour les moments aux appuis est définie par l’équation :

0),( =α

α

d

dM x

Comme 2)1(l

M A

αα −−= , alors 143

2

2),( −+−=

lld

dM x ααα

α

Soit le moment aux appuis est maximal pour les valeurs de α suivant :

− Pour l’entretoise d’about :

α = 0,693 et MA max = -0,308 Tm

Pour raison de symétrie, on a aussi :

α = 0,693 et MB max = -0,308 Tm

− Pour l’entretoise intermédiaire :

α = 0,76 et MA max = -0,338 Tm.

Pour raison de symétrie, on a aussi :

α = 0,76 et MB max = -0,338 Tm

La surface délimitée par la ligne d’influence est obtenue à l’aide de l’intégrale suivante :

αα dMASl

ALI )()(0∫= αα dMBS

l

BLI )()(0∫= αα dMlS

l

lLI )()5,0(0 5,0∫=

Après calcul, on trouve :


SLI (A) = SLI (B) = -0,361 m2

S0,5l = 0,180 m2


126


SLI (A) = SLI (B) = -0,433 m2

S0,5l = 0,216 m2

On trouve les moments fléchissant maximales Meg due aux charges permanents :

ENTRETOISE D’ABOUT

Section A 0,5l B

SLI -0,361 0,180 -0,361

Moments -0,575 0,287 -0,575

Tableau n°41 : Moments fléchissants de l’entretoise d’about.

ENTRETOISE INTERMEDIAIRE

Section A 0,5l B

SLI -0,433 0,216 -0,433

Moments -0,962 0,481 -0,962 Tableau n°42 : Moments fléchissants de l’entretoise intermédiaire.

Représentation des LI MA MB et M0,5l pour l’entretoise d’about et l’entretoise intermédiaire.

LI MA [T m]

-0,35

-0,3

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25

α


127

LI MB [Tm]

-0,35

-0,3

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25

α

Figure n°38 : Représentation des lignes d’influences des moments fléchissants aux appuis


LI MA [Tm]

-0,4

-0,35

-0,3

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5

α


128

LI MB [Tm]

-0,4

-0,35

-0,3

-0,25

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

α

Figure n°39 : Représentation des lignes d’influences des moments fléchissants aux appuis

pour l’entretoise intermédiaires

LI M0,5l [Tm]

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,5 1 1,5 2 2,5

α

Figure n°40 : Représentation des lignes d’influences des moments fléchissants à mi-travée



129

LI M0,5l [Tm]

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 0,5 1 1,5 2 2,5

α

Figure n°41 : Représentation des lignes d’influences des moments fléchissants à mi-travée

pour l’entretoise intermédiaire

Dus à la surcharge B

La surcharge B se transforme en charge linéairement répartie le long de l’entretoise.

Par conséquence les méthodes de calcul précédentes restent absolument valables.

MA = qBt x SLI (A)

MB = qBt x SLI (B)

M0,5l = qBt x SLI (0,5l)

Avec qBt : surcharge répartie due à la surcharge B.

qBt = 9,923 T/ml

SLI : Surface de la ligne d’influence sur la section considérée. On prend toujours la

surface maximale, c'est-à-dire aux appuis A B et à 0,5l.

On a :

− Pour l’entretoise d’about : qBt = 9,923 T/ml.

Section A 0,5l B

SLI -0,361 0,180 -0,361

Moments -3,577 1,788 -3,577

− Pour l’entretoise intermédiaire : qBt = 16,149T/ml.

Section A 0,5l B

SLI -0,433 0,217 -0,433

Moments -6,996 3,498 -6,996


130

Efforts tranchants

Dus aux charges permanentes

TA = TB = get . S

Où S : surface de la ligne d’influence.

ge : charge permanente.

En utilisant la méthode précédente pour l’expression de la ligne d’influence des efforts

tranchants, on a :

Appui A : )21()1()0( 2

llxTA

αα +−==

Appui B : ]23))[(()0( 2 +−==lll

xTB

ααα

Ainsi, on trouve les coordonnées des lignes d’influence suivante :


α [m] 0 0,26 0,52 0,78 1,04 1,3 1,56 1,82 2,08

TA 1 0,957 0,843 0,683 0,5 0,316 0,156 0,0429 0

TB 0 -0,0429 -0,156 -0,316 -0,5 -0,683 -0,843 -0,957 -1

Tableau n°43 : Ligne d’influence des efforts tranchants de l’entretoise d’about.


α [m] 0 0,285 0,57 0,855 1,14 1,425 1,71 1,995 2,28 TA 1 0,957 0,843 0,683 0,5 0,316 0,156 0,042 0 TB 0 -0,042 -0,156 -0,316 -0,5 -0,683 -0,843 -0,957 -1 Tableau n°44 : Ligne d’influence des efforts tranchants de l’entretoise intermédiaire.

Les surfaces délimitées par l’allure des lignes d’influences sont définies par les

équations :

αα dTASl

ALI )()(0∫= ; αα dTBS

l

BLI )()(0∫=

Après le calcul de ces intégrales, on trouve les résultats suivants :

− Pour l’entretoise d’about : get = 1,594 T/ml

SLI (A) = SLI (B) = 0,5l ; soit SLI (A) = SLI (B) = 1,04 m u

Section A (x=0) B (x=l)

Effort tranchant 1,658 -1,658


131

− Pour l’entretoise intermédiaire : get = 2,22 T/ml

SLI (A) = SLI (B) = 0,5l ; soit SLI (A) = SLI (B) = 1,14 m u

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

αααα

T

Figure n°42 : Ligne d’influence des efforts tranchants pour l’entretoise d’about

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,5 1 1,5 2 2,5

αααα

T

Figure n°43 : Ligne d’influence des efforts tranchants pour l’entretoise intermédiaire

Dus aux surcharges B

TA (B) = TB (B) = qBt . S

Section A B

Effort tranchant 2,531 -2,531


132

Ainsi :


TA (B) = TB (B) = 10,319 T.


TA (B) = TB (B) = 23,962 T.

Récapitulations des sollicitations appliquées aux entretoises d’about et intermédiaires


Charges Moments fléchissant [Tm] Effort tranchant [T]

MA max M0,5l max MB max TA max TB max

Charge permanente -0,575 0,287 -0,575 1,658 -1,658

Surcharge B -3,578 1,788 -3,578 10,319 -10,319

ELS : SG + SQ -4,152 2,671 -4,152 11,977 -11,977

ELUR : 1,35SG + 1,5SQ -6,142 3,071 -6,142 17,718 -17,718

Tableau n°44 : Récapitulation des sollicitations appliquées aux entretoises d’about


Charges Moments fléchissant [Tm] Effort tranchant [T]

MA max M0,5l max MB max TA max TB max

Charge permanente -0,962 0,481 -0,962 2,531 -2,531

Surcharge B -9,105 4,553 -9,105 18.409 -18.409

ELS : SG + SQ -10,067 5,034 -10,067 20,940 -20,940

ELUR : 1,35SG + 1,5SQ -14,956 7,478 -14,956 31,031 -31,031

Tableau n°45 : Récapitulation des sollicitations appliquées aux entretoises intermédiaires.

d Détermination des armatures et vérifications

− Hypothèse de calcul

On adoptera les mêmes hypothèses que pour les calculs de la dalle.


133

− Calcul des armatures des entretoises intermédiaires

Armatures aux appuis :

b = 25 cm ; h = 1,46 m .

b=25

h=14

6

d=14

2

A

Figure n°44 : Section de calcul de l’entretoise d’about

A l’ELU :

bc

u

fbd

M2

=µ = 0,0212 < 0,1

La section d’armature théorique est très petite par rapport à celle du béton. On utilisera

la section d’armature minimale donnée par la règle du millième et la condition de non

fragilité :

= db

f

fhbA

e

tjs 2300010 ,;,sup = sup (3,65 ;4,256) = 4,256 cm2

Soit sA ≥ 4,256 cm2. Prenons sA = 4,62 cm2 ou 3T14.


Il faut vérifier la résistance à la compression du béton et la condition de fissuration.


−

++

++

= 157

115

)'(,

)''..()'(

ss

ssss

AA

AdAdb

b

AAy

y = 25,324 cm.

Inertie :

[ ]223

153

)''.().(.

dyAydAyb

I ss −+−+=

I = 1062635,659 cm4


134

Contrainte :

I

MserK = = 9,477 MPa/m

yKbc .=σ = 2,400 MPa < bcσ = 15 MPa

).(. ydKs −= 15σ = 164,380 MPa < sσ =202 MPa

Les contraintes à l’ELS sous les armatures à l’ELU sont admissibles.

Armatures de peau

Puisque la hauteur de l’entretoise est largement supérieure à 80 cm, les armatures de

peau sont nécessaires.

Dans le cas de fissuration préjudiciable : Ap = 3 cm2/ml de parement.

On a alors Ap = 4,71 cm2 soit 6T10.

Vérification de l’effort tranchant


db

V

o

uu =τ = 0,648 MPa.

=maxuτ 2,5 MPa .

uτ < maxuτ . La contrainte de cisaillement est vérifiée.

Vérification des appuis

− Armatures longitudinales : se

uus f

HVA

γ/+

≥

On a se

uu

f

HV

γ/+

= 4,970 cm2 ≥ sA = 4,62 cm2. Les armatures longitudinales aux appuis ne sont

pas vérifiées à l’effort tranchant. On prendra sA ≥ 4,970 cm2.

D’où la section d’armatures longitudinales définitives : sA = 5,56 cm2 ou 1T14 + 2T16.

− Compression du béton : a = min (a’ ; 0,9d) ; ob

cju ba

fV ..,

γ40≤

Pour a = 18 cm, baf

b

cj ..,γ

40 = 30 T > Vu = 20,940 T. La compression du béton est vérifiée.


135


− Pourcentage d’armatures transversales :

s

e

ut f

γ

ττρ90

00

,

−≥ pour les armatures transversales à α = 90°.

Où kf tj .., *300 =τ

*tjf = min tjf ; 3,3 MPa = 2,1 MPa.

Soit =0τ 0,63 MPa et 0tρ = 5,95 .10-05.

Le pourcentage théorique des armatures transversales est très petit. Utilisons le

pourcentage minimale définit par la condition de non fragilité:

=≥ MPaMax

fu

ett 40

2

1,;min

τρρ

On a mintρ = 0,001.


cmdSt 4090 ;,minmax = = 40 cm.


= lt

bh φφ ;;minmax 10350

Soit maxtφ = 14 mm.

− Choix des cadres :

Comme on a 3 armatures sur un lit, prenons le nombre d’armatures transversales

égale à 3.

On détermine les espacements initiaux en fonction du diamètre des cadres :

t

tt b

AS

ρ.0

=

En variant le diamètres des cadres on obtient les valeurs de St suivant :

Ф (mm) 6 8 10 14

st (cm) 45,23 80,42 125,66 246,30

Pour satisfaire maxtS et maxtφ , on choisit les cadres de 3T6.


136

Armatures en travée :

b = 25 cm ; h = 1,46 m.

A l’ELU :

bc

u

fbd

M2

=µ = 0,010 < 0,1

La section d’armature est très petite par rapport à celle du béton. On se ramènera au

résultat des armatures minimales trouvées pour les sections d’appui. Adoptons alors les

mêmes résultats pour la section en travée.

Soit la section d’armatures longitudinales : sA = 4,62 cm2 ou 3T14.



égale à 3.




= lt

bh φφ ;;minmax 10350 = 14 mm.

Prenons des cadres de 3T6.

Récapitulation des résultats


Aux appuis espacement En travée espacement

Armature principale tendue 1T14+2T16 3T14

Armature transversale 3T6 40 3T6 40

Armature de peau 2 x 6T10

Enrobage [cm] 3 3

Tableau n°46 : Récapitulation des armatures dans les entretoises intermédiaires


137

− Calcul des armatures des entretoises d’about

Armatures aux appuis :


bc

u

fbd

M2

=µ = 0,0112 < 0,186


la section d’armature minimale déjà utilisée pour les entretoises intermédiaires.

Soit sA = 4,62 cm2 ou 3T14.


Centre de gravité : même résultat que pour les entretoises intermédiaires.

y = 25,324 cm.

Inertie :

I = 1062635,659 cm4

Contrainte :

I



).(. ydKs −= 15σ = 67,796 MPa < sσ =202 MPa

Les conditions de vérification à l’ELS sont remplies.

Armatures de peau

Même que pour les entretoises intermédiaires.

Ap = 4,71 cm2 soit 6T10.



db

V

o

uu =τ = 0,648 MPa.

=maxuτ 2,5 MPa.

uτ = 0,648 MPa < maxuτ . La contrainte de cisaillement est vérifiée.


− Armatures longitudinales : se

uus f

HVA

γ/+

≥


138

On a se

uu

f

HV

γ/+

= 3,851 cm2 ≤ sA = 4,62 cm2.

Les armatures longitudinales aux appuis sont vérifiées à l’effort tranchant.


cju ba

fV ..,

γ40≤

Pour a = 38 cm baf

b

cj ..,γ

40 = 64 T > Vu = 20,940 T. La compression du béton est vérifiée.


− Pourcentage d’armatures transversales :

s

e

ut f

γ

ττρ90

00

,

−≥ Soit 0tρ = 0,0004

0tρ est très petit. Utilisons le pourcentage minimale définit par la condition de non

fragilité:

=≥ MPaMax

fu

ett 40

2

1,;min

τρρ

On a mintρ = 0,001.

On trouve les mêmes pourcentages d’armatures que pour les entretoises

intermédiaires. D’où :

− Espacement maximal des armatures transversales: maxtS =40 cm

− Diamètre maximal : maxtφ = 14 mm.

Prenons des cadres de 3T6.

Armatures en travée :

A l’ELU :

bc

u

fbd

M2

=µ = 0,0043 < 0,186

La section d’armature est très petite par rapport à celle du béton. On se ramènera aux

résultats antérieurs pour les armatures minimales.

Soit : Armatures longitudinales : sA = 4,62 cm2 ou 3T14.

Armatures transversales : 3T6


139

Récapitulation des résultats


Aux appuis espacement En travée espacement

Armature principale tendue 3T14 3T14

Armature transversale 3T6 40 3T6 40

Armature de peau 2 x 6T10

Enrobage [cm] 3 3

Tableau n°47 : Récapitulation des armatures dans les entretoises d’about

I.6 Calcul de l’encorbellement de trottoir


− On dispose la charge la plus défavorable de façon concentrée de 10 T dans le cas de

déraillement de locomotive ou le wagon sur le pont (en bordure ou en trottoir) dont la

surface d’impact est en carré de 3,6 x 3,6 cm.

− On considère comme section de calcul celle de l’appui de trottoir. Le modèle

imposant à la distribution des charges est anguleux.

99

35

A'

178

10 89

A

A'

Figure n°45 : Section de calcul des sollicitations de l’encorbellement


140

D’où les caractéristiques de la section de calcul :

Ht = 35 cm; Lt = 1,78 m; l = 99 cm.

I.6.2 Descentes de charge

a Charges permanentes

− Poids propre de l’hourdi : hg = 0,354 T/m/ml.

− Poids propre du trottoir : tg = 0,181 T/m/ml.

− Poids du garde corps : cg = 0,06 T/m.

b Surcharge

Charge concentre de 10 T reparti sur un carrée de 36 x 36 cm. P0 = 10 T.

I.6.3 Calcul des sollicitations

a Moments fléchissants

− Du à la charge permanente :

)'''(')''

'('')'(

hhhh

hhth

hg bbGbGb

bbgb

gM +++++= 21

2

22

Avec 'hb = 70 cm ; ''hb = 10 cm.

1G =0 et 2G = cg =0,06 T/ml.

Ainsi : gM = 0,216 Tm/ml.

− Du à la surcharge de 10 T :

T

oq L

xPM

2

20 )(δ=

Avec 0P = 10 T ; tL = 1,78 m ; 0x = 0,89 m ; δ = 1,730.

qM = 3,851 Tm.

− Combinaison d’action :

ELS : Mt = 4,067 Tm.

ELU : Mt = 6,068 Tm.


141

b Effort tranchant

− Du à la charge permanente :

21 GGbgbgV hthhg +++= ''

Soit : gV = 0,536 T/ml de la longueur du trottoir.

− Du à la surcharge de 10 T :

T

oq L

xPV 0δ=

Soit : qV = 8,653 T/ml de la longueur du trottoir.

− Combinaison d’action :

ELS : Vt = 9,189 T.

ELU : Vt = 13,703 T.

I.6.4 Détermination des armatures et vérification


Les hypothèses de calcul sont les mêmes que pour la dalle et l’entretoise.

b Détermination à l’ELU

En comparant les valeurs du moment de la dalle aux appuis et celui d’encorbellement

du trottoir, on constate que :

Mappui (dalle) = 4,843 Tm > Mt = 4,067 T.

Il suffit de prolonger les armatures aux appuis de la partie d’encorbellement.

D’où les armatures de l’encorbellement :

Armatures tendues sA = 18,85 cm2 = 6T20 par mètre.

Armatures de répartition pA = 6,79 cm2= 6T12 par mètre.

c Vérification à l’effort tranchant


db

V

o

uu =τ = 0,648 MPa et =maxuτ 2,5 MPa

uτ = 0,248 MPa < maxuτ . La contrainte de cisaillement est vérifiée.


142

d Vérification au non poinçonnement

Vis-à-vis d’une roue isolée sur le trottoir, il faut vérifier la résistance de la structure au

risque de poinçonnement.

b

cjcu

fhuQ

γ..,0450≥

où uQ : Charge de calcul à l’ELU.

h : épaisseur de la dalle.

uc : périmètre du rectangle d’impact de la charge concentré au niveau du feuillet moyen

de la dalle.

On a uQ = 1,5 x 10 = 15 T

u = 4a = 14,4 cm.

b

cjc

fhu

γ..,0450 = 3,8 T < uQ =15 T.

Le poinçonnement de la dalle n’est à craindre : on n’a pas besoin d’armatures

transversales.

I.7 Calcul du garde ballast

C’est une voile de dimension : 0,15 x 0,50 x 33 m3.

I.7.1 Détermination de la sollicitation

15

50

Q

Figure n° 46 : Modélisation pour le calcul des sollicitations de la garde ballast

La voile sera considérée comme une console encastrée à la dalle.

− Action considérée :

Q : poussée horizontale du ballast.


143

2

2hAQ Bγ

=

Avec A : coefficient fonction de l’angle ϕ du talus naturel du ballast, avec ϕ = 45°

)(tan24

2 ϕπ −=A = 0,172

Bγ : Poids volumique du ballast. Bγ = 1,8 T/m2.

h : hauteur de la voile : h = 50 cm.

D’où Q = 38,604 kg.

− Sollicitation :

Moment fléchissant : QhM GB 3

1=

GBM = 0,00643 Tm.

I.7.2 Calcul des armatures

On adoptera les mêmes hypothèses de calcul que pour les dalles et les entretoises.

Enrobage : 3cm.

Mu = 0,0086805 Tm.

bc

u

fbd

M2

=µ = 0,00050< < 0,1


la section d’armature minimale :

= db

f

fhbA

e

tjs 2300010 ,;,sup = 1,5 cm2

Soit sA ≥ 1,5 cm2. Prenons sA = 2,01 cm2 ou 4T8 par mètre.

Armatures de répartition :

4

AAP = = 0,503 cm2 soit 2T6 = 0,57 cm2.


144

CHAPITRE III ETUDE DES ELEMENTS DE

L’INFRASTRUCTURE

I.1 Hypothèses de calcul

I.1.1 Le béton

Contrainte de compression admissible : 28cf = 25 MPa

Contrainte de traction admissible : 28tf = 2,1 MPa

Contrôle strict

Fissuration préjudiciable.

Contrainte limite de compression du béton : cjbc f60,=σ = 15 MPa.

I.1.2 Les aciers

Acier nuance Fe E 400 HA. ef = 400 MPa

Contrainte limite de traction des aciers :

A l’ELU : 151,

esu

f=σ

A l’ELS ( )


3

2= 202 MPa.

Coefficient d’équivalence n = 15

I.2 Calcul de l’appareil d’appui

On utilise des appareils d’appui en élastomère fretté.

I.2.1 Caractéristiques géométriques de l’appareil

s

2,5mmt

st

Néoprène

Frettes (métal)

Figure n° 47 : Appareil d’appui en élastomère fretté de type A


145

Les caractéristiques géométriques de l’appareil d’appui sont les suivant :

n : nombre de plaque élémentaire.

a : côte parallèle à l’axe longitudinale de l’ouvrage.

b : côte perpendiculaire à l’axe de l’ouvrage.

t : épaisseur d’une couche élémentaire.

ts : épaisseur d’une frette.

T : épaisseur total d’élastomère.

I.2.2 Qualité d’élastomère

Sous un élastomère en polychropène :

Module de cisaillement : G = 8 bars

Module d’élasticité : E = 3G

I.2.3 Calcul de la déformation de l’objet

L’appareil d’appui est sollicité par les déformations de longue et de courte durée, tels

que le déplacement horizontal µ , le déplacement vertical λ et la rotationθ .

a Déplacement horizontal µ

− Longue durée

Le déplacement de longue durée est dû au retrait du béton, fluage et température

(à causes des intempéries et les effortS permanents).

Selon les règles BPEL : χ = 7.10-4 m/ml.

D’où µl = χ.l = 7.10-4 x 32,4 = 0,02268 m.

µl = 2,268 cm

− Courte durée

Ce déplacement est définie par :

EI

zF ffc

2

=µ

Avec Ff : force de freinage pris au septième de tous les essieux compris sur toute la longueur

du tablier. Ff = 280/7= 40 T.

I : moment d’inertie de chaque élément (mur de soutènement et chevêtre).

I = 74,967 m4

zf : bras de levier de la force de freinage

E = Eij = 11000f1/3

D’où µc = 3,10503.10-3cm.


146

b Angle de rotation

− Longue durée

L’angle de rotation de longue durée est dû à la charge permanente du tablier.

IE

lq

B

cpl ..,. 85024

3

=θ

Avec qcp : charge permanent ; qcp = 4,1036 T/ml.

Eb = 11000 fcj1/3

I : moment d’inertie du béton.

D’où θl = 1,342.10-3 rad

− Courte durée

IE

lq

B

CEc ..85,0.24

3

=θ

qCE : surcharge d’exploitation ; qCE = 14,185 T/m.

D’où θc = 4,64 .10-3 rad.

c Sollicitations verticales

− Dues aux charges permanentes (longue durée) :

ELS : Pl = 68,109 T.

ELU : Pl = 91,947 T.

− Dues aux surcharges B (courte durée) :

ELS : Pc = 118,638 T.

ELU : Pc = 177,957 T.

d Récapitulation des résultats pour le calcul de l’appareil d’appui

Action Longue durée Courte durée

Effort vertical (ELS) [T] 68,109 118,638

Effort vertical (ELU) [T] 91,947 177,957

Rotation [rad] 1,342.10-3 4,64.10-3

Déplacement [cm] 2,268 0,003105

Tableau n°48 : Récapitulation des efforts agissant sur l’appareil d’appui.


147

I.2.4 Dimensionnement

Force sollicitant : P = 274,416 (ELU)

Rotation totale : θ = 5,982.10-5rad

Déplacement horizontale : µ = 2,271 cm

Pour le dimensionnement de l’appareil, fixons les valeurs de a et b : a x b = 400 x 600 mm2.

Vérifions ensuite si ces valeurs remplissent les conditions auxquelles l’appareil doit satisfaire

en déterminant par la même occasion l’épaisseur totale de frette utilisée.

I.2.5 Vérification et calcul

a Condition de non glissement

− 1ère condition : 2'1

' /20 cmkgA

Plm ≥=σ au rapport en béton.

Avec A1’= (a-µl).b = 3229,28 cm2

Soit σm = 39,816 ≥ 20 kg/cm2

La première condition sur le non glissement de l’appui est vérifiée.

− 2ème condition : lf PfH '≤ avec T

AGH l

f

µ=

Où f’ : coefficient de frottement. m

f'

610,0'

σ+=

Soit ll Pf

TAG '≤

µ d’où

lm

l

P

AGT

)'

610,0(

σ

µ

+≥

Avec T : épaisseur totale frettée

G = 8 kg/cm2

On trouve T ≥ 1,889

− 3ème condition : )( clcl PPfHH +≤+

Avec Hl + Hc = GAµl/T +2 GAµc/T = GA/T (µl + µc)

)(

)(

cl

cl

PPf

AGT

++

≥µµ

où m

fσ6

10,0 += : coefficient de frottement total

'A

PP clm

+=σ et buaA )(' −=

D’où '2)(10,0

)(

APP

AGT

cl

cl

+++

≥µµ


148

Après calcul on a : T ≥ 1,381 cm

b Epaisseur de l’appareil

D’après UIC : (µl +µc)/ T < 0,7 donc T > 3,244 cm

Les dimensions disponibles sont :

− 3 plaques frettées de 12 mm

− 4 plaques frettées de 8 mm

Prenons les plaques frettées de 12 mm

c Condition de non soulèvement

Pour éviter le soulèvement de l’appareil d’appui, il faut que les deux conditions

suivantes soient satisfaites :

− 1ère condition : a

etg l

'6∑<θ soit

6' ltga

eθ

>∑

Avec e’ : déformation totale en compression totale sous l’action d’une charge lente.

'2

'

34'

m

m

GS

te

σσ

+= où

)(2 bat

baS

+=

On a : e’ = 0,0143 cm et Σ e’ = 0,0432 cm

6

ltga θ= 0,013 cm ; d’où

6' ltga

eθ

>∑

La première condition sur le non soulèvement de l’appui est vérifiée.

− 2ère condition : a

etgtg cl

∑<+ 65,1 θθ soit )5,1(6 cl tgtga

e θθ +>∑

Avec : m

m

GS

te

σσ

34 2 += et

bua

PP clm )( −

+=σ

On a : e = 0,039 cm et Σ e = 0,118 cm

)5,1(6 cl tgtga θθ + = 0,083 cm < Σ e = 0,118 cm

La deuxième condition sur le non soulèvement de l’appui est vérifiée.

d Condition de non flambement

Pour assurer le non flambement de l’appareil d’appui, il faut que les conditions

suivantes soient remplies.


149

− GST

am

2<σ soit aG

TS m

2

σ> ; prenons T > 3,224 cm ; prenons T = 6.t = 72cm

On a déjà calculer S antérieurement : S = 10

Et aG

T m

2

σ= 0,876 donc : 6930

210 ,=>=

aG

TS mσ

− a/10 ≤ T ≤ a/5

Soit 6 ≤ T = 10,8 ≤ 12 [cm].

Les conditions de non flambement sont remplies.

e Limitation de la contrainte de cisaillement

Les performances de l’appareil sont limitées par les contraintes de cisaillement qui

apparaissent entre l’élastomère et les tôles de frette.

τP + τH + τα ≤ 5G

Avec τP : contrainte sous la charge verticale.

)(

)5,1(5,1

baS

PP clP

+=τ soit τP = 22,430 kg/cm2

τH : contrainte sous la charge horizontale.

T

G lH

µτ = soit τH = 2,52 kg/cm2

τα : contrainte de cisaillement due à la rotation.

Tt

tgtgaG

cl )5,1(2

2 αατ α

+= soit τα = 13,838

Ainsi : τP + τH + τα = 38,788 kg/cm2 < 5G = 40 kg/cm2

La contrainte de cisaillement est vérifiée pour les dimensions de l’appareil d’appui.

f Dimensionnement des frettes

L’épaisseur de la frette située entre deux couches de caoutchouc d’épaisseur

respectives t1 et t2 doit vérifier la condition :

''1

21 )5,1)((2

a

cls A

PPttt

σ++

≥ où ena σσ3

2' = : contrainte admissible de l’acier.

Pour un acier de nuance E27, σen = 2700 kg/cm2.

Ainsi, σa’= 1800 kg/cm2


150

− Frette intermédiaire

ts = 0,30049 cm ; prenons ts = 3 mm

− Frette extrême

ts = 2,00 mm

g Récapitulation

En conclusion des vérification faites, nous prendrons comme dimension finale de

chacun des appareils d’appui : 600 x 400 x 6 x (12 + 3) avec une épaisseur totale de 90 mm.

I.3 Calcul des éléments de la culée


On suppose que le remblai d’accès possède les caractéristiques suivantes :

− Densité de sol naturel (à sec) : γh = 1,8 T/m3

− Angle de frottement interne : ϕ = 30°

− Cohésion du sol : C = 0

− Coefficient de poussée (poussée de terre au repos) : K0 = 0,333

− Surcharge réglementaire sous ballast sur le remblai : qb = 9,629 T/m2.

Combinaison d’action :

− ELS : G + 1,2 Q

− ELU : 1,32 G + 1,6 Q

La surcharge considérée est seulement la surcharge B.

I.3.2 Mur garde grève

Les actions à considérer sont :

− Le poids propre du mur garde grève.

− Réaction d’appui d’une charge directement appliquée sur la garde grève.

− La poussée du terrain naturel.

− La force de freinage d’un essieu lourd de Locomotive.

− La poussée due à la surcharge sur remblai.

a Les dimensions du mur

Son épaisseur eg = 30 cm ; sa hauteur hg = 215 cm ; sa longueur Lg = 4,70 m.


151

Figure n° 48 : Poussée due à la charge totale située en arrière de la garde grève

b Actions appliquées au mur garde grève

Forces verticales

Poids propre du mur : Pg = 1,6125 T/ml

Surcharge linéaire produit par l’essieu du système B : SV = 2,8887 T/ml

Forces horizontales

− Poussée de terre : l’action sur l’écran du mur est donnée par la contrainte suivante :

ea = γ Kaγ r

On suppose que l’écran soit parfaitement lisse. La valeur de δ = 0.

Les inclinaisons de la surface par rapport à l’horizontale et la verticale sont tous

nulle. (β = 0 et λ = 0)

On peut alors utiliser la formule de RANKINE:)sin1(cos

sin1

ϕδϕ

γ +−=aK

D’où Kaγ = 0,333

ea = 0,6 r

15,2

0

215,2

06,0

2

1

== ∫ rdreE aa = 1,387 T/ml

− Poussée due à la surcharge ferroviaire :

La surcharge ferroviaire transmise aux ballasts engendre une poussée sur la paroi

verticale du mur garde grève. D’après le principe de répartition de charge sous ballast,

l’essieux de 20 T se réparti sous ballast sur un rectangle de 0,70 m x 2,50 m, et la surcharge

sous ballast est qb = 9,629 T/m2.

− Force de freinage d’un essieu lourd de locomotive

Nous ne considérons que l’effet d’un essieu de 20 T du convoi-type.


152

b.1 Sollicitations

− Due aux actions verticales

Les charges verticales sont appliquées au centre de l’encastrement. Par conséquent :

L’effort tranchant : TV = 0 T

Les moments : MV = 0 T.m

− Due aux actions horizontales

Due à la poussée de terre :

Moment fléchissant à l’encastrement : comme la charge est triangulaire

suivant la verticale, le moment sera égale à gaH hEM3

11 = = 1,058 Tm/ml suivant la

longueur du mur.

D’où MH1 = 4,973 Tm

Effort tranchant : TH1 = Ea x Lg = 6,940 T

Due à la poussée de la surcharge ferroviaire

Tp = 0 car force perpendiculaire à la section.

Moment fléchissant :

dxx

xh

h

KM

gh g

gP ∫ +

−+

=0 7,0250,2

20 avec K = qb x Kaq

ϕεδ

ϕωϕδ tg

aq eK 2

sin1

cossincos −

+−

= et 2

δωε δ −= où

ϕδωδ sin

sinarcsin=

Kaq = 0,333 soit K = 2,924

D’où Mp = 17,484 Tm/ml suivant l’encastrement (∑), ou Mp = 82,177 Tm

− Moment du à la force de freinage :

En ne considérant qu’un essieux du convoi type, le moment fléchissant due au

freinage s’écrit :

g

gef h

hPM

250,2 += ; Mf = 6,3235 Tm/ml ; ou Mf = 29,720 Tm

L’effort tranchant est nul car la modélisation est perpendiculaire à la section.


153

RECAPITULATION

Désignation

Effort tranchant

(T)

Moment fléchissant

(Tm)

ELS ELU ELS ELU

Charge verticales 0 0 0 0

Charge horizontales 6,940 8.804 24,804 33,483

Tableau n°49 : Récapitulation des sollicitations du mur garde grève

b.2 Déterminations des armatures et vérifications

Les hypothèses de calcul des éléments précèdent restent valable pour le mur garde

grève.

− Section de calcul

b = 100 cm ; h = 30 cm ; d = 26 cm.

b=100

h=30d=

26

A

A'

d'=

4

Figure n° 49 : Section de calcul du mur garde grève

− Calcul des armatures à l’ELU

bc

u

fbd

M2

=µ = 0,349

On a : 0,186 < µ < limµ = 0,391

µαβ 21180 −−== uu , = 0,452

su

bcus

fdbA

σα ...,80

=

sA = 47,82 cm2.



154

− Vérification à l’ELS

Centre de gravité : y = 13,648cm.

Inertie : I = 199786,32 cm4

Contrainte :I

MserK = = 124,152 MPa/m

yKbc .=σ = 16,944 MPa > bcσ = 15 MPa

).(. ydKs −= 15σ = 230,024 MPa > sσ =202 MPa

Aucune condition n’est remplie. Les armatures comprimées sont donc nécessaires.

− Redimensionnement à l’ELS

Le moment repris par le béton comprimé sans les armatures prend la valeur :

( ) cjbc fdbM ..., 2310 αα −=

La valeur de α est donnée par le tableau dans l’ANNEXE N°13 : α = 0,5274.

Soit bcM = 22,038 Tm.

Les armatures comprimées doivent reprendre bcsers MMM −=' = 2,76 Tm. Les

armatures auront donc une section A’s correspondant à une contrainte σ’s :

−=d

dfcjs α

σ '.' 19 et ( )''

''

dd

MA

s

ss −

=σ

La valeur de 'sσ est donnée par le tableau dans l’ANNEXE N°13 : 'sσ = 178 MPa

Soit 'sA = 7,062 cm2.

Et la section d’armature tendue sera :

s

cjssS

fdbAA

σασ ....,'' 30+

= = 57,239 cm2

D’où :

SA = 59,69 cm2 soit 19T20.

'sA = 9,55 cm2 soit 19 T8.

− Vérification de l’effort tranchant


db

V

o

uu =τ = 0,309 MPa.

=maxuτ 2,5 MPa.


155

uτ < maxuτ . La contrainte de cisaillement est vérifiée. Les armatures transversales ne sont

pas nécessaires.

I.3.3 Mur en retour

a Dimensions du mur

Longueur du mur Lmr = 4m ; sa hauteur hmr = 3,15 m ; son épaisseur emr = 0,30 m

b Actions appliquées au mur en retour

Considérons, en plus du poids propre du mur, deux forces concentrées l’une verticale

Fv = 6 T et l’autre horizontale Hv = 3 T appliqué à 1 m de l’extrémité théorique du mur, afin

de représenter les différentes forces suivantes :

Les poussées dues aux charges locales sur le remblai.

Les charges accidentelles appliquées au mur en service.

Les actions en cours de construction.

− Actions verticales :

Poids propre du mur : Pmr = 6,225 T

Poids de la superstructure : Ps = 0,3lmr = 1,2 T

Charge concentrée à l’extrémité : Fv = 6 T

− Actions horizontales :

Poussée de terre :

Au point de coordonnée M (x,y) du mur, la poussée due au remblai est :

obp Kyqq )( γ+=

En remplaçant bq , γ et oK par leur valeur, on obtient :

pq = 3,211 + 0,60 y.

L’équation du mur en retour s’écrit : y = 0,538 x + 1 [m].

La poussée de remblai est calculée au centre de gravité du mur : 3mh

y =

D’où qp = 3,842 T/m3.

c Sollicitations


Effort tranchant

Tmr = Pmr + Ps + Fv


156

Moment fléchissant par rapport à l’extrémité du mur garde grève :

Mmr = Pmr . (lmr/3) + Ps .(lmr/2) + Fv (lmr/3)

D’où les sollicitations à la section d’encastrement dues aux actions verticales :

Tv = 14,425 T ; Mv = 25,75 Tm


Effort tranchant :

On applique la formule suivante :

dxdyqTABCD pp ∫∫=

Le domaine ABCD étant définie par : 0 < x < 4 ; 0 < y < 0,538 x + 1

dxdyyTx

p ∫∫+

+=1538,0

0

4

0)6,0211,3(

Le résultat donne Tp = 32,389 T

Le point d’application de Tp se calcule par :

=+

== ∫∫∫∫+

211,32

)6,0211,3(1538,0

0

4

0xdxdyy

T

xdxdyqX

x

ABCD p

T 2,395 m

Moment fléchissant par rapport à la ligne intersection mur retour et garde grève :

)( Tmpp XlTM −=

On a alors : Mp = 74,656 Tm ou Mp = 18,664 Tm/ml

Pour la force de poussée, on obtient les sollicitations à la section d’encastrement :

Effort tranchant : TH = FH = 3 T.

Moment fléchissant : MH = FH (Lm – 1,00) = 11,1 Tm.

RECAPITULATION

Désignation Effort tranchant (T) Moment fléchissant (Tm/m)

ELS ELU ELS ELU

Charge verticales 14,425 19,473 25,750 34,762

poussée de terre 32,389 43,725 19,058 25,728

Concentré 3,00 4,050 2,775 3,746

Tableau n°50 : Récapitulation des sollicitations du mur en retour

d Détermination des armatures

− Hypothèses de calcul

Le mur en retour est soumis en flexion simple dans le sens horizontal et vertical. La

section est calculée comme une console.

Les hypothèses des calculs précèdent restent valable pour le calcul des armatures du

mur en retour.


157

− Armatures destinée à contrer les efforts verticaux

Section de calcul

b = 30 cm ; h = 315 cm ; d = 311 cm.

Détermination des armatures à l’ELU

bc

u

fbd

M2

=µ = 0,0084 < 0,1 :

La section d’armature théorique est très petite par rapport à celle du béton. On

adoptera directement la section d’armature minimale imposée par la condition de non

fragilité et la règle du millième :

hbAs 0010,≥ = 9,45 cm2

dbf

fA

e

tjs 230,≥ = 11,266 cm2

Prenons sA = 12,32 cm2 ou 8T14.



−

++

++

= 157

115

)'(,

)''..()'(

ss

ssss

AA

AdAdb

b

AAy = 56,045 cm.

Inertie : [ ]223

153

)''.().(.

dyAydAyb

I ss −+−+= = 13772776,22 cm4

Contrainte :

I



).(. ydKs −= 15σ = 69,626 MPa < sσ =202 MPa

La contrainte de compression du béton et la fissuration sont vérifiées.



db

V

o

uu =τ = 0,208 MPa.

=maxuτ 2,5 MPa.

uτ = 0,208 < maxuτ . La contrainte de cisaillement est vérifiée.


158

− Armatures destinée à contrer les efforts horizontaux

Section de calcul

b = 100 cm ; h = 30 cm ; d = 26 cm.

Détermination des armatures à l’ELU

bc

u

fbd

M2

=µ = 0,064 < 0,1: section simplement armée

su

us d

MA

σ.,071= = 7,418 cm2.

Soit sA = 7,70 cm2 ou 5T14.


Centre de gravité : y = 6,575 cm.

Inertie : I = 51465,950 cm4

Contrainte :

I

MserK = = 90,126 MPa/m.


).(. ydKs −= 15σ = 262,594 MPa < sσ =202 MPa

La condition de non fissuration n’est pas vérifiée.


s

ser

db

Mu

σ2

30

.= = 0,102

λ = 1 + u = 1,102 ;

cosϕ = λ-3/2 = 0,864 et ϕ = 30,19°.

+°+=3

24021ϕλα cos = 0,284

ns

bc

σα

ασ−

=1

= 5,335 MPa < bcσ = 15 MPa : condition vérifiée.

Donc dbAs .)( α

α−

=130

2

= 9,773 cm2.


159




db

V

o

uu =τ = 0,385 MPa.

=maxuτ 2,5 MPa.

uτ =0,385 < maxuτ . La contrainte de cisaillement est vérifiée.

I.3.4 Mur de front

a Dimensions du mur

Hauteur : Hf = 7,15 m ; épaisseur : ef = 1,60 m ; largeur : lf = 4,70 m.

b Inventaire des charges

Les actions à considérer sont :

− La poussée horizontale de terre : Pt.

− La poussée horizontale due à la surcharge de remblai : Pq.

− Les sollicitations dues au mur en retour, mur de front et au mur garde grève.

− La réaction du tablier sous les charges permanentes et les surcharges ferroviaires.

− La force de freinage.

Figure n°50 : Inventaire des charges du mur de front


160


La poussée de terre Pt :

D’après les hypothèses de calcul énoncé auparavant, le coefficient de poussée se

calcule par la formule de RANKINE :

Poussée de terre :)sin1(cos

sin1

ϕδϕ

γ +−=aK ; γaK = 0,333.

ea = γ Kaγ r +e0 avec e0 = 1,29

La poussée du à la surcharge du remblai :

Poussée due à la surcharge sur remblai : ϕϕ

sin1

sin1

+−=aqK ; aqK = 0,333

eq = q Kaq

La couche de sol a pour hauteur 7,15 m.

Effort de freinage

L’effort du aux forces de freinage est compris à un septième de tous les essieux

compris sur toute la longueur du tablier.

Ff = 280/7 = 40 T.


Poids du mur de soutènement : P mf = 28,6 T/ml

Poids du mur en retour : P mr = 6,225 T

Poids du mur garde grève : Pg = 7.578 T = 1,6125 T/ml

Effort du au tablier sur appui :

o Du au charge permanent : Ptcp = 68,109 T

o Du à la surcharge ferroviaire : Ptq = 118,638 T

c Sollicitations

x

A

B

qFf

Figure n°51 : Modélisation de calcul des sollicitations du mur de front

L’élément est considéré comme soumis à la flexion composée.


161

o Moments fléchissants et effort tranchant :

D’après la méthode de la RDM classique, le moment fléchissant en une section x

s’exprime par :

220

3

2

1

2

1

3

1)( xKqxexKxFMxRxM aqafB −−−−−= γγ

Avec RB : la réaction à l’appui B.

H

MF

HKq

He

HKR

gf

faq

ffaB ++++=

226 0

2

γγ

− A l’ELS : RB = 62,161 T par ml de la largeur du mur.

− A l’ELU : RB = 91,534 T par ml de la largeur du mur.

M : somme algébrique de tous les moments engendrés par les éléments liés

au mur de front, c'est-à-dire le mur garde grève, le mur en retour et le tablier.

− Moment venant du mur garde grève, d’après les calculs antérieurs :

A l’ELS : Mg = 24,802 Tm par mètre de la largeur du mur de soutènement.

A l’ELU : Mg = 33,483 Tm par mètre linéaire de la largeur du mur de soutènement.

− Moment venant du mur en retour :

A l’ELS : Mr = 47,2 Tm soit 10,042 Tm/ml.

A l’ELU : Mr = 63,72 Tm soit 13,557 Tm/ml.

− Moment du aux efforts venant du tablier :

Réaction de l’appareil d’appui : à l’ELS, R = 373,494 T soit 79,466 T/ml.

à l’ELU, R = 539,808 T soit 114,852 T/ml.

Bras de levier : Z = 10 cm.

Moment fléchissant : à l’ELS, Mt = 7,946 Tm/ml.

à l’ELU Mt = 11,485 Tm/ml.

D’où l’équation du moment fléchissant :

− ELS : 813,6255,6025,2200,0)( 23 ++−−= xxxxM

− ELU : 440,8174,89279,3270,0)( 23 ++−−= xxxxM

Les diagrammes des moments fléchissants aux états limites ultimes sont illustrées par

les graphiques suivant :


162

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8

M(x)

x


0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8

M(x)

x

Figure n°53 : Diagramme des moments fléchissants à l’ELU

L’effort tranchant, par définition, est la dérivée du moment fléchissant par rapport à

la variable x :

dx

xdMxT

)()( =

Soit :

− ELS : 255,60500,4600,0)( 2 +−−= xxxT

− ELU : 174,89558,6810,0)( 2 +−−= xxxT

Les efforts tranchants de la poutre sont représentés par les diagrammes suivants :


163

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 7 8

T(x)

x

Figure n°54: Diagramme des efforts tranchants du mur de front à l’ELU

0102030405060708090

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8

T(x)

x


o Effort normal :


164

e

N

Figure n° 56 : Modélisation de calcul du mur de front sous N

N : somme des actions verticales des éléments au dessus du mur de front.

− A l’ELS : NS = 515,492 T.

− A l’ELU : NU = 731,506 T.

Le mur est calculé comme une pièce soumise à la compression excentrée.

L’excentricité réelle vaut :i

iir N

Nee

∑

∑=

− A l’ELU : er = 8,288 cm.

− A l’ELS : er = 8,201 cm.

Soit Lf : longueur de flambement.

h : hauteur de la section droite.

L : longueur de la pièce.

e1 : excentricité de premier ordre.

e2 : excentricité due aux effets du second ordre.

ea : excentricité additionnelle.

L’excentricité du premier ordre à l’ELU est e1 = 8,288 cm.

Si

≤

h

e

h

L f 120;15max faire les calculs en flexion compression pour les sollicitations ultimes.

Si

≥

h

e

h

L f 120;15max vérifier la pièce à l’état ultime de stabilité de forme.

On a 15125,3 ≤=h

L f, l’excentricité de calcul sera : e = e1 + ea + e2.


165

Avec :

cmcmcmL

cmea 86,286,2;2max250

;2max ==

= .

)2(10000

3 2

2 αφ+=h

Le f

où Lf = 0,7L0 = 5 m ; )5,1

1(10ser

u

M

M−=α =0,438 ; 2=φ

=2e 3,452 cm.

D’où la valeur de e = 14,600 cm.

Les sollicitations de calcul deviennent : NU = 731,506 T; MU = e. NU = 106,803 Tm.


d.1 Hypothèse de calcul

Les hypothèses de calcul des éléments calculés précédemment restent valables pour

le calcul du mur.

Le mur de front est soumise à la fois en flexion simple et a la compression excentrée.

d.2 Calcul des armatures dues aux moments fléchissants

− Section de calcul

b = 100 cm ; h = 1,60 m ; d = 1,56 cm.

b=100

h=16

0

d=15

6

A

A'

d'=

4

Figure N° 57 : Section de calcul du mur de front sous N


166

− Détermination des armatures à l’ELU

bc

u

fbd

M2

=µ = 0,0234 < 0,186 : section simplement armée.

su

us d

MA

σ.,071

= = 15,93cm2

− Vérification de la section d’armature minimale

hbAs 0010,≥ = 16 cm2

dbf

fA

e

tjs 230,≥ = 18,837 cm2

Prenons sA = 18,85 soit 6T20

− Vérification à l’ELS :

Centre de gravité : y = 27,01 cm.

Inertie : I = 5361642,54 cm4

Contrainte : I



).(. ydKs −= 15σ = 191,734 MPa < sσ = 202 MPa

Les conditions de compression de béton et de fissuration sont remplies.

− Vérification de l’effort tranchant


db

V

o

uu =τ = 0,571 MPa.

=maxuτ 2,5 MPa.

uτ < maxuτ . La contrainte de cisaillement est vérifiée. Les armatures transversales ne sont

pas nécessaires.

d.3 Armatures dues à l’effort normal


L’effort de compression centrée maximale supportable par le béton vaut :

bcb fhbN ..max = = 2266,666 T.


167

On calcule le coefficient de remplissagemaxb

u

N

N=1ψ .

1ψ = 0,322

On compare ce coefficient à 0,81.

1ψ <0,81 : on détermine l’excentricité critique relativeζ . La valeur de ζ est donné par

le tableau ANNEXE n°14 excentricité relative.

ζ = 0,155.

On calcule heNC .ζ= . Soit NCe =0,248 m.

L’excentricité de calcul est e = 0,146 m < NCe : la section est entièrement comprimée.

L’ELU n’est pas atteint, les armatures se calculent selon les deux conditions suivantes :

− ucmA .24= avec u = périmètre de la section. [en m].

− 0,2% < A/B < 5%.

Soit : A = 4 cm2 x u = 20,8 cm2

A > 0,002 B = 32 cm2.

Prenons A = 12 T 20 = 37,71 cm2.

− Vérification à l’ELS

On calcule l’aire de la section homogène totale.

)'(. Ss AAhbS ++= 15 ; Soit S = 1,648 m2.

Position du centre de gravité :

( )'''

ss

ss

G AAbh

hdAd

hA

x++

−−

−=

15

2215

Gx = 0,0238 m

Inertie de la section homogène totale :

+−+

−−++=22

23

2215

12 GsGSG xh

dAxdh

Axhbhb

I ''...

I = 0,3694 m4.

Les contraintes du béton valent sur la fibre supérieure et la fibre inférieure :

( )I

xh

xeN

S

N GGserser

−−+= 2

supσ


168

( )I

xh

xeN

S

N GGserser

+−−= 2

infσ


supσ = 445,088 T/m2 = 4,45 MPa

infσ = 172,377 T/m2 = 1,72 MPa

Les deux contraintes sont positives, la section est effectivement entièrement comprimée.

Vérifions que la plus grande de ces contraintes ne dépassent pas la

contrainte admissible du béton.

supσ < bcσ = 15 MPa : la condition de la non fissuration du béton est assurée.

I.3.5 Semelle de fondation

La semelle est ancrée à 0,5 m au dessous de la limite supérieure du fond rocheux.

a Inventaire des actions

Figure n° 58 : Modélisation de calcul de la semelle

Le mur de front transmet à la semelle les efforts venant de la superstructure et de la

culée :

− Effort normal dû aux poids propres et des efforts du tablier sur appui : P

P

M

B

H

b

d A


169

− Moment de flexion à la base du mur de front et moment due à l’excentricité de P

par rapport à la centre de gravité de la semelle : M

Ces efforts évalués par mètre linéaire du mur de front sont récapitulés par le tableau suivant

aux états limites ultimes :

Effort normal [MN/m]

ELS 0,85

ELU 1,2

Moment flexion [MN.m/m]

ELS 0,495

ELU 0,78

b Dimensions de la semelle

La méthode de détermination est celle spécifiée par les Règles BAEL 91 modifié 99

A ce stade nous allons négliger le poids propre de la semelle.

− Excentricité

ELS : 850

49500 ,

,==ser

serser P

Me = 0,582 m

ELU : 201

1800 ,

,==u

uu P

Me =0,650 m

− Etat limite utilisé pour la détermination :

Si u

u

ser

ser PP

σσ> : le calcul est conduit à l’ELS ; sinon il sera mené à l’ELU.

Nous avons u

u

ser

ser PP

σσ< le calcul est conduit à l’ELU.

− Détermination de la largeur B de la semelle.

On se fixe de préférence B > 6 ue0 et on vérifie que s

uu P

B

eB

σ

+≥ 031

Prenons B = 4 m ; vérifions 1

21

4

15031

,,

+≥B = 1,786 m.

Retenons B = 4 m.

− Détermination de la hauteur H de la semelle.

On doit avoir =−=−≥4

613

4

,bBH 0,35m


170

Choisissons H =1,00m ; et revérifions la relation en B sur cité en intégrant le poids

propre de la semelle.

Le poids propre de la semelle vaut : Ps= 0,06 MN

Ainsi PU devient PU =1,20+1,35*0,1 = 1,335 MN

ue0 devient 3351

7800 ,

,==u

uu P

Me = 0,584 m

1

3351

4

14031

,,

+≥B = 1,92 m

On peut retenir B = 4 m et H = 1 m.

c Sollicitations de calcul

En intégrant le poids propre de la semelle les sollicitations deviennent :

− Effort normal :

ELU : uP = 1,335 MN/m

ELS : serP =0,95 MN/m

− Moment de flexion

ELU : uM =0,78 MN.m/m

ELS : serM =0,495 MN.m/m

− Excentricité

ELS : ser

serser P

Me =0 = 0,521 m

ELU : u

uu P

Me =0 =0,584 m

d Vérification de condition de résistance de sol

Pour60

Be ≤ . ; La contrainte située à trois quarts de la semelle notée 43/σ doit être inférieur

à la contrainte admissible σ :

σσ ≤

+=LB

P

B

e043 31/ où L : longueur de la semelle

ELU : MPaMPa 107904106

3351

4

58403143 =≤=

+= σσ ,.,

,,/


171

ELS : MPaMPa 105404106

950

4

52103143 =≤=

+= σσ ,.,

,,/

La condition de résistance du sol aux états limites sont vérifiée.

e Détermination des armatures


Les armatures perpendiculaires au mur par unité de longueur de la semelle sont :

Pour 240

Be > :

ss d

MA

σ1=

Avec B

P

B

be

B

eb

BM u

24141350

2 200

2

1

++

−= ,,


1M = 57,6512 Tm. et sA = 17,265 cm2.

Pour éviter de placer des crochets, il faut que : 4

Bl s ≤ =1 m.

Avec sl : longueur de scellement en barre droite

Pour MPafc 2528 = et 400Efe : φsl =35,3.

ls = 35,3 φ ≤ B/4 = 100cm. D’où φ ≤ 335

100

,= 2,83cm.

Prenons φ = 20 mm. Soit sA = 18,85 cm2 ou 6T20 par mètre linéaire.

− Armatures de répartition

4

BAA sr .= avec B en m. On a Ar = 18,10 cm2 ou 9T16.

− Armatures en lit supérieur

Mécaniquement, les armatures en lits supérieurs ne sont pas nécessaires, mais par règle de

disposition constructive, il faut disposer d’un pourcentage d’armature %,.

050≥hB

Al :

Al ≥ 18 cm2 par mètre linéaire.

Comme les armatures de répartitions, prenons Al = 18,85cm2 ou 6T20.

− Armatures de peau

Comme h = 1 m, on a besoin d’armatures de peau : Ap =3 cm2 par mètre de parement.

soit Ap = 3,39 cm2 ou 3T12.


172

− vérification de l’effort tranchant

La contrainte de cisaillement à l’ELU doit être inférieure à :

51

070

0 ,

, cjuu

f

db

V≤=τ

Avec Vu = Pu = 133,5 T/m.

Après calcul, uτ = 85,576 T/m2, et 51

070

,

, cjf= 116,666 T/m2 : condition vérifiée.

Les armatures transversales ne sont pas nécessaires.

I.3.6 Vérification de la stabilité de la culée mur

a Schéma de calcul

Figure n° 59 : Schéma de calcul de la stabilité de la semelle

Soient :

Pt Poids propre de la superstructure

Pg Poids propre du mur garde grève

Pmr Poids propre du mur en retour

Pmf Poids propre du mur de front

Ps Poids propre de la semelle de fondation

P1 Poids de remblai situé au dessus la semelle côté remblai d’accès.

P2 Poids de remblai situé au dessus la semelle côté pont.

Ea Poussée de terre

Eq Poussée due au surcharge de remblai

Pg

P2

P1

A

Ps

Pmf

Pt

Pmr

Ea

Eq


173

b Stabilité au non renversement

La condition de non renversement de la culée mur de soutènement s’écrit :

51A àrapport par nt renverseme de efforts desmoment

A àrapport par t stabilisan efforts desmoment ,≥=rF

La vérification se fait en trois phases :

1ère phase : Stabilité après exécution de la culée seule, sans les charges venant du

tablier et des surcharges d’exploitation.

Actions Intensités des forces [T] Distance par rapport au

point A [m]

moments des forces

% à A [Tm] Horizontales FH Verticales FV

Pt 0 2,4 0

Pg 7,57875 3,15 23,8730625

Pmr 12,45 4,96 61,752

Pmf 134,42 3,15 423,423

Ps 61 2 122

P1 71,4798 2,85 203,71743

P2 26,1324 0,85 22,21254

Ea 121,9509 3,1 -378,04779

Eq 0 4,65 0

∑FH = 121,9509 ∑FV= 313,06095 ∑M/A= 478,9302425

Tableau n°51 Stabilité de la culée en première phase de construction.

rF = 2,266 ≥ 1,5 : la culée est stable pendant la première phase de construction.

2ème phase : Stabilité après la mise en place du tablier sans la surcharge d’exploitation.


point A [m]

moments des forces

% à A [Tm] Horizontales H Verticales FV

Pt 136,216 2,4 326,9184

Pg 7,57875 3,15 23,8730625

Pmr 12,45 4,96 61,752

Pmf 134,42 3,15 423,423

Ps 61 2 122

P1 71,4798 2,85 203,71743

P2 26,1324 0,85 22,21254

Ea 121,9509 3,1 -378,04779

Eq 0 4,65 0

∑FH = 121,9509 ∑FV= 381,16995 ∑M/A= 683,8486425

Tableau n°52 : Stabilité de la culée en deuxième phase de construction.

rF = 2,809 ≥ 1,5 : la culée est stable pendant la deuxième phase de construction.


174

3ème phase : Stabilité durant la phase d’exploitation.


point A [m]

moments des forces % à

A [Tm] Horizontales FH Verticales FV

Pt 136,218 2,4 326,9232

Pg 7,578 3,15 23,873

Pmr 12,45 4,96 61,752

Pmf 134,42 3,15 423,423

Ps 61 2 122

P1 71,47 2,85 203,717

P2 26,13 0,85 22,212

Ea 121,950 3,1 -378,047

Eq 62,6221 4,65 -291,1927

∑FH =184,5730 ∑FV= 381,16995 392,661

Tableau n°53 : stabilité de la culée en phase d’exploitation.

rF = 1,588 ≥ 1,5 : la culée est stable en phase d’exploitation.

Conclusion : Le renversement n’est à craindre ni en phase de construction ni en phase

d’exploitation.

I.4 Calcul des éléments de la pile intermédiaire

Les deux piles intermédiaires ont des hauteurs presque égales. On ne calculera que la

pile la plus longue avec une côte sous poutre de 15,20 m.

I.4.1 Chevêtre

a Prédimensionnement

Largeur bc : bc = bpile + (2 x 0,1). Prenons bc = 2,20 m.

Hauteur : hc = (0,3 x b ; 0,4 x b). Prenons hc = 0,90 m.

Longueur Lc: prenons la longueur du chevêtre égale à la longueur du tablier. Lc = 4,7 m.

b Inventaire des charges

Poids propre de la chevêtre : Pc = 5,85 T/ml.

Charge permanent de la superstructure : P = 136,218 T.

Surcharge de la superstructure : P = 237,276 T.


175

P P q

A B a b

c Sollicitations

Le chevêtre repartit aux piles les charges venant de la superstructure

Figure N° 60 : Modélisation de calcul du chevêtre

D’après les méthodes de la RDM, on obtient les équations du moment fléchissant et de

l’effort tranchant suivant :

Soit RA la réaction à l’appui A.

)(2

baqPRA ++= .

A l’ELS : P = 373,492 T.

A l’ELU : P = 539,808 T.

− Moment fléchissant :

Pour x < a : 2

2xqxM f −=)(

Pour a < x < a+b : )()()( axPaxRxq

xM Af −−−+−=2

2

− Effort tranchant :

Pour x < a : qxxT −=)(

Pour a < x < a+b : PRxqxT A −+−= )()(

Les sollicitations maximales sont :

Pour x < a :

ELS : Mmax = - 3,539 Tm.

Tmax = - 6,435 T.

ELU : Mmax = - 4,778 Tm.

Tmax = - 8,688 T.

Pour a < x < a+b :

ELS : T(x) = 0 pour x = 2,35, soit M = Mmax = 1,031 Tm.

T(a) = Tmax = 7,3125 T.


176

ELU : Mmax = 1,392 Tm.

Tmax = 9,872 T.


b = 100 cm; h = 90 cm, d = 86cm, c’ = 4 cm.

b=100

h=90d=

86

A

A'

d'=

4

Figure n°61 : Section de calcul du chevêtre

d.1 Armatures de rive (x<a)


bc

u

fbd

M2

=µ = 0,004 < < 0,1

La section d’armatures est trop faible par rapport à la section du béton. On utilisera les

sections d’armatures minimales.

hbAs 0010,≥ = 9 cm2

dbf

fA

e

tjs 230,≥ = 10,38 cm2

Prenons sA = 11,31 cm2 ou 10T12.



définitive.


y = 15,469 cm.

Inertie :

I = 967330,495 cm4


177

Contrainte :

I


yKbc .=σ = 0,5659 MPa < bcσ = 15 MPa : la condition de compression du béton est

assuré.

).(. ydKs −= 15σ = 38,70 < sσ = 202 MPa

Les conditions de non fissuration et la compression du béton sont remplies.



db

V

o

uu =τ = 0,33 MPa. < =maxuτ 2,5 MPa.

La contrainte de cisaillement est vérifiée.

d.2 Armatures en travée (a<x<a+b)


Nous avons Mappui largement plus grand que Mtravée. On gardera les mêmes sections

d’armatures qu’aux appuis.

sA = 11,31 cm2 ou 10T12.


− Armatures longitudinales :

On doit vérifier : se

uus f

HVA

γ/+

≥

On a se

uu

f

HV

γ/+

= 1,88 cm2 ≤ sA =11,31 cm2.

Les armatures longitudinales aux appuis sont vérifiées à l’effort tranchant.

D’où la section d’armatures longitudinales définitives : sA = 11,31 cm2


cju ba

fV ..,

γ40≤

Pour a = 116 cm, baf

b

cj ..,γ

40 = 773 T> Vu = 8,688 T. La compression du béton est vérifiée.


178


Certes les armatures transversales ne sont pas nécessaires. Pour une bonne disposition

constructive, nous allons disposer des armatures transversales.

Utilisons le pourcentage minimale définit par la condition de non fragilité:

=≥ MPaMax

fu

ett 40

2

1,;min

τρρ

mintρ = 0,001.




= lt

bh φφ ;;minmax 10350

Soit maxtφ = 14 mm.

− Choix des cadres :


égale à 4.

On détermine les espacements initiaux en fonction du diamètre des cadres :

t

tt b

AS

ρ.0

=

En variant le diamètres des cadres on obtient les valeurs de St suivant :

Ф (mm) 6 8 10 14

st (cm) 45,23 80,42 125,66 246,30

Pour satisfaire maxtS et maxtφ , on choisit les cadres de 4T6.


db

V

o

uu =τ = 0,379 MPa. < =maxuτ 2,5 MPa.

La contrainte de cisaillement est vérifiée.


179

I.4.2 Fut circulaire


Hauteur du fut : 14,1 m.

b Inventaire des forces

− Charge permanente venant de la superstructure. P = 136,218 T.

− Surcharge de la superstructure. Q = 237,276 T.

− Poids propre du chevêtre. Pc = 5,499 T.

− Poids propre du fut.

− Vent extrême : V = 400 kg/m2.

c Prédimensionnement

− Condition de non flexibilité :

9fl

≥φ

Avec fl : longueur de flambement. fl = 0,7l = 9,87 m.

Soit φ ≥ 1,1 m.

− Résistance à la compression du poteau.

En considérant la poteau soumis à la flexion simple, la formule de l’effort normale

ultime limite donne :

s

e

r

bc

ur f

B

AfN

B

γ

β

85090

,,

+≥

Avec Br : section du béton obtenue par déduction de 1 cm de la périphérie.

Nu : effort normal ultime. Nu = 539,808 T.

A : section d’acier.

λ : élancement d’un poteau de diamètre Ф et de longueur de flambement fl :

φλ fl4

=

En posants

ebc f

B

AfK

γ850

90,

,+= ,

B

A étant pris égale à 1% et

4

2πφ=rB , on aura :


180

K

Nluf )](,[

φπφ

35

4201

4

2

+≥

On obtient ainsi l’équation :

01225

81242

24 ≥−−π

φπ

φK

Nl

K

N ufu,

Soit φ ≥ 73,5 cm.

− Dimension définitive :

Prenons φ = 1,20 m.

d Détermination des sollicitations

− Effort normal N provenant de la descente des charges verticales (avec poids propre du

fût).

Ns = 424,991 T.

Nu = 609,332 T.

− La résultante des moments fléchissants due à l’excentricité des charges verticales est

nulle car celle-ci est excentrée de façon symétrique par rapport à l’axe du fût.

− Moment fléchissant maximale à la base du fut à l’effet du vent vaut :

M = 14,910 T/m.

e Calcul des armatures du fût circulaire

e.1 Armatures longitudinales

Les armatures du fût circulaire en flexion composée sont déterminées par le

DIAGRAMME D’ITERATION fournissant le paramètre K en fonction du pourcentage

d’armature.

− Définition des paramètres principaux du diagramme

Géométrie de la section

Enrobage : 3cm.

Rs : distance entre le centre de gravité des armatures et le centre de gravité de la

section considérée.

R : rayon de la section considérée. R = 60 cm.

Nous avons des sollicitations élevées qui conduiront manifestement à une grande

section d’armatures. Prenons Rs = 54 cm.

0,9060

54 ==R

Rs


181

Effort normal réduit

2

3

Rf

N

bc

U=γ

Avec bcf = 1416,667 T/m2.

UN = 609,332 T.

R = 0,6 m.

Soit : γ = 3,584

Moment fléchissant réduit

3

8

Rf

M

bc

=µ

Soit µ = 0,390

Pourcentage mécanique d’armatures

bc

e

f

fK

100

ρ=

Avec ρ : pourcentage de la section d’armature A par rapport à la section totale du béton B.

− Lecture d’abaque

Le principe consiste à lire sur l’abaque correspondant à R

Rs , la valeur de K en fonction

de γ et µ .

Pour 0,90=R

Rs l’abaque correspondant est donné à l’ANNEXE N°15.

On constate que pour les valeurs de γ et µ calculées ci-dessus, K est inférieur à o.

Ce qui indique que la section d’armature est trop petit par rapport à celle du béton. Les

armatures à prendre en compte sont les sections d’armatures minimales.

sA est supérieur à 4 cm2 par mètre de parement, c'est-à-dire 4 cm2 multipliée par le

périmètre u de la section. Et aussi %%, 520 ≤≤B

AS .

Soit sA ≥ 4 cm2 x u = 15,08 cm2, et on doit aussi avoir sA ≥ 0,002 B = 22,62 cm2.

Prenons sA = 25,13 cm2 ou 8 T 20.


182

e.2 Armatures transversales

− Diamètre :

3l

t

φφ = où lφ : diamètre des armatures longitudinales.

3

20=tφ = 6,667. Prenons φ t = 8 mm.

− Espacement minimal

+≤

l

t cma

cm

s

φ15

10

40

min

Où : a : la plus petite dimension transversale de la pièce.

Ici a : diamètre de fût : 1,2 m

×+≤

215

10120

40

cm

cm

st min = 30cm

Prenons St = 25 cm

f Vérification de contrainte

Vérification à l’état limite de compression du béton à l’ ELS : la contrainte de compression de

béton bcσ est limité bcσ = 15 MPa

015 I

RM

AB

N serserbc +

+=σ

− Moment d’inertie de la section homogénéisé par rapport au centre de gravité

24

0 1564 sRAI += φπ

24

0 5613251564

120 ××+= ,π

I = 11360875,4 cm4

− Contrainte

8

2

4

2

10411360875

601091014

101325151130,97

10991424−

−

−

−

×××+

××+×=

,,,

,,

bcσ = 0,79 MPa


183

− Conclusion

On a bcσ ≤ bcσ : le bon fonctionnement du béton à l’état limite de compression est assurée.

Semelle de fondation de la pile intermédiaire

Le principe de calcul étant identique aux calculs de la semelle de fondation de la culée.


184

PARTIE V ETUDE FINANCIERE


185

CHAPITRE I DEVIS QUANTITATIFS

DESIGNATION UNITE QUANTITE

Pont rail

Superstructure

a. Béton dosée à 400

Poutre principale m3 226

Dalle m3 26

Entretoise m3 10

Trottoir m3 17

Garde ballast m3 15

b.Aciers ordinaires

Poutre principale kg 10459

Dalle-trottoir-garde ballast kg 24461

Entretoises kg 679

c.Aciers précontraints (câble 12T13)

Poutre principale kg 12516

d.La voie ferrée

Rail ml 200

Ballast m3 70

Traverses en bois U 150

Attaches U 1200

Eclisses U 34

e.Equipements

Gargouille U 50

Parapet ml 200

Appareil d'appui dm3 259

Infrastructure

a. Béton dosée à 350

Culées

Mur en retour m3 15

Mur garde grève m3 4

Mur de front m3 108

Dalle de transition m3 9


186

Semelle de fondation m3 49

Piles

Chevêtre m3 19

Fûts m3 64

Semelle de fondation m3 28

b.Béton dosée à 150 m3 10

c.Aciers ordinaires

Culées

Mur en retour kg 1965

Mur garde grève kg 525

Mur de front kg 13980

Dalle de transition kg 376

Semelle de fondation kg 6344

Piles

Chevêtre kg 2420

Fûts kg 38272

Semelle de fondation kg 3666

Travaux supplémentaires

a.Protection talus

Engazonnement m2 320

b.Déviation de la voie

Déblai m3 3600

Remblai m3 640

Ballast m3 160

Traverses U 120

Rails (36 kg/ml) ml 160

Attaches U 960

Eclisses U 27


187

CHAPITRE II BORDEREAU DETAIL ESTIMATIF

N° DESIGNATION UNITE QUANTITE PU MONTANT

0.0 INSTALLATION -REPLI-LABORATOIRE

0.01 Installation et repli de chantier Fft 1 1 044 848 234 1 044 848 234 0.02 Prestation du laboratoire Fft 1 208 969 647 208 969 647

TOTAL INSTALLATION-REPLI-LABORATOIRE 1 253 817 881

1.0 TERRASSEMENT 1.01 Débroussaillage et désherbage m2 800 3750 3 000 000 1.02 déblai ordinaire m3 3600 45 000 162 000 000 1.03 remblai m3 640 75 000 48 000 000 1.04 engazonnement m2 320 5 350 1 712 000

TOTAL TERRASSEMENT 214 712 000

2.0 OUVRAGE D'ART 2.1 infrastructure

2.11 fouille pour ancrage de la fondation m3 972 90 000 87 480 000 2.21 béton dosé à 150 kg/m3 m3 10 1 044 700 10 008 226 2.31 béton dosé à 350 kg/m3 290 1 587 200 805 436 685 2.41 Acier ordinaire kg 70226 27 314 1 918 144 747 2.51 coffrage m2 761 300 000 228 355 915

TOTAL INFRASTRUCTURE 3 049 425 573 3.0 superstructure

3.01 béton dosé à 400 kg/m3 m3 293 1 722 825 505 402 429 3.02 Acier de précontraint kg 12516 90 000 1 126 437 891 3.03 acier ordinaire kg 35599 27 314 972 329 529 3.04 coffrage m2 587 300 000 176 014 080 3.05 Lancement des poutres Fft 1 278 018 393 278 018 393

TOTAL SUPERSTRUCTURE 3 058 202 321 3.0 EQUIPEMENT

3.01 Parapets ml 200 550 000 110 000 000 3.02 Gargouille U 50 75 000 3 750 000 3.03 Appareil d'appui en élastomère fretté dm3 259 1 475 000 382 320 000

TOTAL EQUIPEMENT 496 070 000

4.0 VOIE FERREE 4.01 Ballast (20/60) m3 230 125 000 28 750 000 4.02 traverse en bois U 270 65 000 17 550 000 4.03 rails ml 360 144 000 51 840 000 4.04 Attaches U 2160 15 250 32 940 000 4.05 Eclisse U 61 265 000 16 165 000

TOTAL VOIE FERREE 147 245 000 Coût brut 8 219 472 775 Contrôle (15%) 1 232 920 916 TOTAL HT 9 452 393 691


188

TVA (20%) : 1 890 478 738 fmg ou 378 095 748 ariary

TTC : 11 342 872 430 fmg ou 2 268 574 486 ariary

Arrêté le présent devis à la somme de DEUX MILLIARD DEUX CENTS SOICANTE HUITS

MILLIONS CINQ CENTS SOICENTE QUATORZE MILLES QUATRE CENTS QUATRE

VINGT SIX ARIARY (2 268 574 486 ariary).


189

CONCLUSION

Le chemin de fer Malagasy est né vers les époques coloniales avec deux réseaux.

Les lignes TCE, MLA et TA forment le réseau Nord ; la ligne FCE constitue le réseau Sud.

La politique actuelle de relance et de réouverture de l’exploitation du réseau

ferroviaire entamée par la société MADARAIL rend incontournable la nécessité d’un réseau

de compétence assurée. Après diverses inspections, vu l’âge avancé des voies et le manque

d’entretien, un bon nombre d’ouvrages rattachés au réseau Nord a été classé à être

réhabilité. Parmi ces ouvrages, nous avons étudié de près le cas du pont viaduc au PK

24+500 de la ligne TA.

La dégradation généralisée de ses éléments porteurs a conduit notre étude à un

programme de reconstruction de ce pont. Ainsi, nous avons rassemblé en premier lieu les

données de bases relatives à l’étude de notre projet : les données relative aux terrains, à

l’environnement socio économique, les références techniques utiles pour la conception d’un

pont-rail.

Après élimination des variantes secondaires, nous avons étudié la variante principale

s’agissant d’un pont en béton précontraint composé de 3 travées indépendantes de 33 m

chacune. Chaque travée comportant deux poutres intermédiaires.

Pour le calcul des éléments du pont : Les ouvrages en béton armé sont calculés

suivant les normes et les règles BAEL 91 révisé 99 et Documents Techniques Unifiées. Les

ouvrages en béton précontraint sont calculés suivant les règles BPEL 91. Le système de

surcharges appliqué est définit suivant les règlements de « l’Union Internationale de Chemin

de fer ».

Notre étude s’est arrêtée à la phase de l’estimation du coût du projet qui s’élève à la somme

de deux milliards deux cent soicante huit millions cinq cent soicante quatorze milles quatre

cent quatre vingt six ariary (2 268 574 486 ariary), coût que nous jugeons approprié à

l’envergure de notre projet.

En ce qui nous concerne, les échanges de vue, d’instructions eues au cours de

l’établissement de ce mémoire sont des sommes d’enrichissement. Ce mémoire est une

expérience acquise, notamment sur les relations humaines, les techniques de conception et

de diagnostics des ponts.

Tel qu’il se présente, ce document parait constituer néanmoins une étape importante

dans la construction du nouveau pont. Nous exprimons le vœu qu’il puisse être d’une

excellente utilité dans l’accomplissement des futurs travaux.

ANNEXES

SOUS DETAIL DES PRIX

PRIX UNITAIRE PU

Les prix unitaires pris en compte dans le Bordereau Détail Estimatif sont calculés par la formule suivante :

RKxD

PU =

Avec PU : Prix unitaire D : Déboursés K : Coefficient de majoration des déboursés R : Rendement

COEFFICIENT DE MAJORATION DES DEBOURSES K La formule à utiliser pour le calcul du coefficient de majoration des déboursés est la suivante :

+−

+

+=

1001

1001

1001

1001

3

21

TA

Ax

A

K

K sera a arrondi à deux décimales par défaut. Nous avons calculé K avec les valeurs des paramètres définis dans le tableau suivant : T : taxe sur les valeurs ajoutées. T est de 20%.

ORIGINE DES FRAIS DECOMPOSITION A L’INTERIEUR DE CHAQUE

CATEGORIE DE FRAIS

INDICE DE DECOMPOSITION DE

CATEGORIE Frais proportionnel aux déboursés

Frais d’agence et patente Frais de chantier Frais d’étude et de laboratoire Assurances

a1 = 7,2 % a2 = 26 % a3 = 2 % a4 = 0,5 %

Bénéfices brut et frais financiers

Bénéfice net et impôts sur le bénéfice Aléas techniques Frais financiers Aléas de révision des prix

a5 = 13 % a6 = 3 % a7 = 15 % a8 = 6,6 %

Frais proportionnels au prix de règlement des

Frais de siège a9 = 0 %

A1 = a1 + a2 + a3 + a4 = 35,7 % A2 = a5 + a6 + a7 + a8 = 37,6 % A3 = a9 = 0 % D’où la valeur de K : K = 1,55

ANNEXE n°29

(SUITE)

Prix n° : 2.21 Béton de propreté dosé à 150 Prix N°: 3.2

Rendement: 12m3/j

Désignation: Unité Quantité Dépenses Récapitulation

Unité Quantité Prix

unitaire MTRL MO MTRO

MATERIELS

Camion U 1 j 0,5 1 500 000 750 000

Citerne U 1 j 1 300 000 300 000

Bétonnière U 2 j 1 300 000 600 000

Pervibrateur U 2 j 1 300 000 600 000

LDP U 2 j 1 50 000 100 000 2 350 000

MAIN D'ŒUVRE

Chef de chantier Hj 1 h 8 7 000 56 000

Chef d'équipes Hj 1 h 8 6 000 48 000

Ouvrier spécialisé Hj 6 h 8 5 000 240 000

Manœuvre Hj 14,5 h 8 3 000 348 000 692 000

MATERIAUX

Ciment Kg 150 Kg 1800 1 750 3 150 000

Sable m3 0.4 m3 4,8 55 000 264 000

Gravillon m3 0.8 m3 9,6 130 000 1 248 000

Eau L 160 L 1920 200 384 000 5 046 000

Total déboursés D 8 088 000

Prix unitaire 1 044 700

Prix n° : 2.41 Aciers ordinaires Prix N°: 3.2

Rendement: 160kg/j Désignation: Unité Quantité Dépenses Récapitulation

Unité Quantité Prix

unitaire MTRL MO MTRO

MATERIELS

LDP U 1 j 1 50 000 50 000 50 000

MAIN D'ŒUVRE

Chef de chantier Hj 1 h 2 7 000 14 000

Chef d'équipes Hj 1 h 4 6 000 24 000

Ouvrier spécialisé Hj 1 h 8 5 000 40 000 78 000

MATERIAUX

Fer Kg 1,1 Kg 176 15 000 2 640 000

Fil recuit Kg 0,0165 Kg 2,64 19 500 51 480 2 691 480

Total déboursés D 2 819 480

Prix unitaire 27 314

TABLE DES MATIERES SOMMAIRE ...................................................................................................................... INTRODUCTION ............................................................................................................ PARTIE I GENERALITES ............................................................................................ CHAPITRE I - HISTORIQUE DE LA CHEMIN DE FER .........................................

I . Origine du chemin de fer......................................................................................... II . Historique du chemin de fer à Madagascar............................................................. III .Situation actuelle.....................................................................................................

CHAPITRE II - NOTION DE LA VOIE FERREE............. ......................................... I. Définition.................................................................................................................. II. Les éléments de la voie ferrée..................................................................................

II.1. L’infrastructure........................................................................................... II.1.1. La plateforme........................................................................................ II.1.2. Les ouvrages d’art.................................................................................

II.2. La superstructure......................................................................................... II.2.1. Les rails.................................................................................................

a. Rôles....................................................................................................... b. Caractéristiques des rails....................................................................... c. Durée de vie...........................................................................................

II.2.2. Les organes de liaison des rails............................................................. II.2.3. Les organes de fixation des rails........................................................... II.2.4. Les traverses..........................................................................................

a. Rôles des traverses................................................................................. b. Types de traverses..................................................................................

b.1. Traverses en bois....................................................................... b.2. Traverses métalliques................................................................ b.3. Traverses en béton.....................................................................

c. Travelage................................................................................................ II.2.5. Le ballast...............................................................................................

III. Géométrie de la voie............................................................................................... III.1. Tracé en plan..............................................................................................

III.1.1. Caractéristiques de la voie en alignement............................................ III.1.2. Caractéristiques de la voie dans les courbes........................................

a. Variation de l’écartement de la voie...................................................... b. Raccordement de la voie dans les courbes.............................................

III.1.3. Intersection des voies........................................................................... a. Les éléments de l’appareil de voie......................................................... b. Les caractéristiques de l‘appareil de voie..............................................

III.2. Profil en long............................................................................................. III.3. Profil en travers..........................................................................................

III.3.1. Les profils en travers type..................................................................... a. Détermination des dévers....................................................................... b. Vérification des dévers..........................................................................

III.4. Dimensionnement de la voie...................................................................... III.4.1. Dimensionnement du poids du rail...................................................... III.4.2. Dimensionnement du ballast................................................................

PARTIE II ENVIRONNEMENT DU PROJET................. .......................................... CHAPITRE I - PRESENTATION DE LA LIGNE TA........... .....................................

I. Généralités................................................................................................................. II. Caractéristiques de la ligne......................................................................................

1 2 3 4 4 4 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 9 9 10 11 11 11 12 12 13 13 13 14 14 15 15 15 16 17 17 18 18 19 19 19 21 21 22 22 24 25 25 25

II.1. Le tracé........................................................................................................ II.2. La structure de la ligne TA..........................................................................

II.2.1. Les éléments de la voie......................................................................... II.2.2. Les gares................................................................................................ II.2.3. Les ouvrages d’art.................................................................................

CHAPITRE II - ENVIRONNEMENT SOCIOECONOMIQUE........ ......................... I. Délimitation des zones d’influences........................................................................ II. Etude démographique..............................................................................................

II.1. Effectif de la population de la zone d’influence......................................... II.2. Taux d’accroissement de la population dans les 20 ans à venir ................. II.3. Prévision de la population de la zone d’influence.....................................

III. Activités économiques........................................................................................... III.1. L’agriculture.............................................................................................. III.2. L’élevage................................................................................................... III.3. L’industrie et l’artisanat.............................................................................

III.3.1. Les activités industrielles et artisanales d’Antananarivo..................... III.3.2. Les activités industrielles et artisanales dans la région de Vakinankaratra..................................................................................................

III.4. Le tourisme................................................................................................ IV. Conclusion.............................................................................................................

CHAPITRE III - ETUDE DE TRAFIC..................... .................................................... I. Situation du trafic sur la ligne TA avant 2000....................................................... II. Projection de trafic..................................................................................................

CHAPITRE IV - DIAGNOSTIC DU VIADUC AU PK 24+500 DE LA LIGNE TA. I. Description de l’ouvrage existant............................................................................ II. Diagnostic de l’ouvrage existant.............................................................................

II.1. L’infrastructure........................................................................................... II.2. La superstructure.........................................................................................

III. Bilan des dégradations .......................................................................................... CHAPITRE V - PROJET DE RECONSTRUCTION DU PONT-RAIL. ................... PARTIE III. ETUDES DES VARIANTES................................................................... CHAPITRE I. LES DONNEES TECHNIQUES..........................................................

I. Les données fonctionnelles...................................................................................... II. Les données naturelles............................................................................................

CHAPITRE II - PROPOSITION DE VARIANTES............ ........................................ I. Comparaison de variantes.........................................................................................

I.1. Hypothèses des prix des matériaux.............................................................. I.2. Ratio approximatif d’armatures.................................................................... I.3. Prédimensionnement de la variante n°1.......................................................

I.3.1. Superstructure......................................................................................... I.3.2. Infrastructure.......................................................................................... I.3.3. Estimation du coût de la variante n°1.....................................................

I.4. Prédimensionnement de la variante n°2....................................................... I.4.1. Superstructure.........................................................................................

a.1. Hauteur totale de la poutre.................................................................. a.2. Dimensions de la table supérieure...................................................... a.3. Epaisseur de l’âme.............................................................................. a.4. Dimensions du talon............................................................................ a.5. Dimensions des entretoises................................................................. a.6. Trottoirs...............................................................................................

25 26 26 27 27 29 29 29 29 30 30 31 31 31 32 32 33 34 34 35 35 35 37 37 37 37 38 41 43 44 45 45 45 47 48 48 48 48 49 51 53 54 54 54 54 54 54 55 55

a.7. Garde ballast....................................................................................... a.8. Rendement géométrique de la section................................................

I.4.2. Infrastructure............................................................................................. a. Les éléments de la culée......................................................................... b. Les éléments de la pile...........................................................................

I.4.3. Estimation du coût de la variante n°2........................................................ II. Comparaisons des variantes....................................................................................

PARTIE IV ETUDE DE LA VARIANTE PRINCIPALE......... .................................. CHAPITRE I - DESCRIPTION GENERAL DU NOUVEL OUVRAGE. .................

I. Caractéristiques du futur ouvrage............................................................................ I.1. Caractéristiques de la superstructure du pont-rail........................................

I.1.1. Structure de la voie ferrée sur le pont-rail.............................................. I.1.2. Superstructure du pont-rail..................................................................... I.1.3. Caractéristiques de l’infrastructure.........................................................

a. Les culées............................................................................................... b. Les piles.................................................................................................

II. Dimensions.............................................................................................................. II.1. Coupe transversale de la poutre principale................................................. II.2. Coupe transversale de la superstructure......................................................

CHAPITRE II - ETUDE DES ELEMENTS DE LA SUPERSTRUCTU RE DU PONT RAIL......................................................................................................................

I.1. Hypothèses de calcul............................................................................................. I.1.1. Règlements et charges appliquées............................................................. I.1.2. Caractéristiques des matériaux..................................................................

a. Les aciers...................................................................................................... b. Le béton.......................................................................................................

I.2. Surcharges ferroviaires.......................................................................................... I.3. Calcul de la poutre principale................................................................................

I.3.1. Descente de charges.................................................................................. a. Charges permanentes................................................................................... b. Charges d’exploitation.................................................................................

b.1. Calcul de la charge sous ballast.......................................................... b.2. Répartition transversale des charges...................................................

I.3.2. Calcul des sollicitations............................................................................. a. Tracé des lignes d’influence........................................................................ b. Détermination des efforts tranchants........................................................... c. Déterminant des moments fléchissants........................................................

I.3.3. Calcul des armatures de précontrainte....................................................... a. Vérification de la section............................................................................. b. Force de précontrainte sous critique............................................................ c. Force de précontrainte sur critique............................................................... d. Détermination des armatures de précontrainte............................................ e. Détermination des forces probables de calcul.............................................. f. Tracé des câbles............................................................................................

f.1. Disposition des câbles en section médiane.......................................... f.2. Câbles de la première famille.............................................................. f.3. Câbles de la 2ème famille....................................................................

g. Calcul des pertes de tension dans les câbles de précontrainte..................... g.1. Pertes instantanées de précontrainte...................................................

g.1.1. Pertes par frottement de câbles.....................................................

56 56 57 57 58 58 58 59 60 60 60 60 60 61 61 61 61 62 62 63 63 63 64 64 64 65 66 66 66 67 67 69 71 71 73 77 79 79 80 80 80 81 84 84 86 88 90 90 90

g.1.2. Pertes par rentrée d’ancrage.......................................................... g.1.3. Pertes par déformation instantanée du béton................................ g.1.4. Perte instantanée totale.................................................................

g.2. Pertes différées de précontrainte......................................................... g.2.1. Pertes de tension dues au retrait du béton..................................... g.2.2. Pertes dues à la relaxation des armatures...................................... g.2.3. Pertes par fluage du béton............................................................. g.2.4. Perte de tension différée finale..................................................... g.2.5. Tension finale probable après tous les pertes...............................

h. Vérification de la force de précontrainte en section médiane...................... h.1. Caractéristiques géométriques et mécaniques de la poutre................

h.1.1. Section brute................................................................................. h.1.2 Section homogénéisée.....................................................................

h.2. Vérification de la section homogénéisée à la force de précontrainte. h.3. Vérification des contraintes normales en section médiane.................

h.3.1. Vérification à l’ELS...................................................................... h.3.2. Vérification en phase de construction...........................................

h.4. Justification de la section vis-à-vis de l’effort tranchant.................... h.4.1. Vérification de l’effort tranchant et contrainte de cisaillement.... h.4.2. Détermination des armatures passives..........................................

i. Justification de section à l’état limite de résistance...................................... i.1. Calcul de résistance des sections droites à la normale soumise à la flexion.........................................................................................................

i.1.1. Hypothèses de calcul..................................................................... i.1.2. Détermination du positon de l’axe neutre...................................... i.1.3. Vérification de la résistance à la section de la poutre et de hourdi associée....................................................................................................

i.2. Vérification des flèches et rotations.................................................... i.2.1. Calcul et vérification de la flèche.................................................. i.2.2. Calcul et vérification de la rotation...............................................

I.4. Calcul de la dalle................................................................................................... I.4.1. Hypothèse de calcul................................................................................... I.4.2. Principe de répartition de la charge appliquée à la dalle........................... I.4.3. Détermination de coefficient de majoration dynamique........................... I.4.4. Calculs des sollicitations...........................................................................

a. Moments fléchissants................................................................................ b. Efforts tranchants...................................................................................... c. Récapitulation...........................................................................................

I.4.5. Détermination et vérifications des armatures de la dalle........................... a. Hypothèses de calcul................................................................................. b. Armatures en travée.................................................................................. c. Armatures aux appuis................................................................................

I.5. Calcul des entretoises............................................................................................ I.5.1. Hypothèse de calcul................................................................................... I.5.2. Méthode de calcul des sollicitations.......................................................... I.5.3. Détermination des sollicitations................................................................

a. Caractéristiques de la section considérée.................................................. b. Méthode de distribution des charges appliquées et calcul des charges.... c. Détermination des sollicitations de calcul................................................ d. Détermination des armatures et vérifications...........................................

91 91 91 94 94 95 95 96 97 97 97 97 98 98 99 99 100 104 104 107 108 108 108 109 110 110 110 111 112 112 113 113 113 113 114 116 116 116 116 119 120 120 120 121 121 122 125 133

I.6. Calcul de l’encorbellement de trottoir................................................................... I.6.1. Hypothèse de calcul................................................................................... I.6.2. Descentes de charge..................................................................................

a. Charges permanentes................................................................................... b. Surcharge.....................................................................................................

I.6.3. Calcul des sollicitations............................................................................. a. Moments fléchissants................................................................................... b. Effort tranchant............................................................................................

I.6.4. Détermination des armatures et vérification.............................................. a. Hypothèses de calcul.................................................................................... b. Détermination à l’ELU................................................................................ c. Vérification à l’effort tranchant................................................................... d. Vérification au non poinçonnement.............................................................

I.7. Calcul du garde ballast.......................................................................................... I.7.1. Détermination de la sollicitation............................................................... I.7.2. Calcul des armatures .................................................................................

CHAPITRE III - ETUDE DES ELEMENTS DE L’INFRASTRUCTU RE................ I.1. Hypothèses de calcul.............................................................................................

I.1.1. Le béton..................................................................................................... I.1.2. Les aciers...................................................................................................

I.2. Calcul de l’appareil d’appui.................................................................................. I.2.1. Caractéristiques géométriques de l’appareil.............................................. I.2.2. Qualité d’élastomère.................................................................................. I.2.3. Calcul de la déformation de l’objet...........................................................

a. Déplacement horizontal............................................................................... b. Angle de rotation......................................................................................... c. Sollicitations verticales................................................................................ d. Récapitulation des résultats pour le calcul de l’appareil d’appui................

I.2.4. Dimensionnement...................................................................................... I.2.5. Vérification et calcul.................................................................................

a. Condition de non glissement........................................................................ b. Epaisseur de l’appareil................................................................................. c. Condition de non soulèvement..................................................................... d. Condition de non flambement...................................................................... e. Limitation de la contrainte de cisaillement.................................................. f. Dimensionnement des frettes....................................................................... g. Récapitulation..............................................................................................

I.3. Calcul des éléments de la culée............................................................................. I.3.1. Hypothèse de calcul................................................................................... I.3.2. Mur garde grève........................................................................................

a. Les dimensions du mur................................................................................ b. Actions appliquées au mur garde grève.......................................................

b.1. Sollicitations....................................................................................... b.2. Déterminations des armatures et vérifications....................................

I.3.3. Mur en retour............................................................................................. a. Dimensions du mur...................................................................................... b. Actions appliquées au mur en retour........................................................... c. Sollicitations................................................................................................. d. Détermination des armatures.......................................................................

I.3.4. Mur de front...............................................................................................

140 140 141 141 141 141 141 142 142 142 142 142 143 143 143 144 145 145 145 145 145 145 146 146 146 147 147 147 148 148 148 149 149 149 150 150 151 151 151 151 151 151 153 154 156 156 156 156 157 160

a. Dimensions du mur...................................................................................... b. Inventaire des charges.................................................................................. c. Sollicitations................................................................................................. d. Détermination des armatures.......................................................................

d.1. Hypothèse de calcul............................................................................ d.2. Calcul des armatures dues aux moments fléchissants........................ d.3. Armatures dues à l’effort normal........................................................

I.3.5. Semelle de fondation................................................................................. a. Inventaire des actions................................................................................... b. Dimensions de la semelle............................................................................ c. Sollicitations de calcul................................................................................. d. Vérification de condition de résistance de sol............................................. e. Détermination des armatures.......................................................................

I.3.6 Vérification de la stabilité de la culée mur.................................................. a. Schéma de calcul.......................................................................................... b. Stabilité au non renversement ......................................................................

I.4. Calcul des éléments de la pile intermédiaire......................................................... I.4.1. Chevêtre.....................................................................................................

a. Prédimensionnement.................................................................................... b. Inventaire des charges.................................................................................. c. Sollicitations................................................................................................. d. Détermination des armatures.......................................................................

d.1. Armatures de rive (x<a)...................................................................... d.2. Armatures de rive (x<a)......................................................................

I.4.2. Fut circulaire.............................................................................................. a. Hypothèses de calcul.................................................................................... b. Inventaire des forces.................................................................................... c. Prédimensionnement.................................................................................... d. Détermination des sollicitations................................................................... e. Calcul des armatures du fût circulaire..........................................................

e.1. Armatures longitudinales.................................................................... e.2. Armatures transversales......................................................................

f. Vérification de contrainte............................................................................. PARTIE V ETUDE FINANCIERE............................................................................... CHAPITRE I - DEVIS QUANTITATIFS................... .................................................. CHAPITRE II - BORDEREAU DETAIL ESTIMATIF........... ...................................

160 160 161 166 166 166 167 167 169 170 171 171 172 173 173 174 175 175 175 175 176 177 177 178 180 180 180 180 181 181 181 183 183 185 186 188

Auteur : RAVELONIRINA Solofoniaina

Lot 0102 B 440 Amboronomby Antsirabe

0331419280

Encadreur : RANDRIANTSOA Jonas

Titre : Reconstruction du pont ferroviaire au PK 24+500 de la ligne TA

Résumé

Le développement d’un pays est largement fonction de la

possibilité de communication entre les différentes régions le

composant. Le chemin de fer représente l’un de ces vecteurs de

communication. Ainsi, la remise en état des voies ferrées

malagasy peut contribuer au développement du pays. Cependant, il faut remarquer le rôle

important des ouvrages d’art qui assurent l’intégrité d’un itinéraire. Il faut en conséquence

éviter de perdre en vue la gestion et l’entretien de ces ouvrages.

Cet ouvrage entre dans l’étude du relancement des lignes ferroviaires Malagasy en

collaboration avec la société Madarail. Il comprend les inspections des dégradations du pont

rail de la ligne TA au PK 24+500, suivi des propositions de reconstruction après analyse des

diagnostics. La variante principale est un pont à poutres précontraintes isostatiques à 3

travées. La longueur totale d’une travée est de 33m.

En bref, sans vouloir minimiser les autres parties, cet ouvrage accordera à la conception,

stade préliminaire à toute construction, une partie prépondérante.

Nombre de pages : 190 Nombre de tableau : 53 Nombre de photo : 9 Nombre des annexes : 29 Nombre de figures : 61 Rubrique Rubrique Rubrique Rubrique Pont rail.

Mots clés Mots clés Mots clés Mots clés Pont, béton armé, béton précontraint, chemin de fer.

Promotion 2004